Bài toán cực trị hình học không gian

CHỦ ĐỀ 13: BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH KHÔNG GIAN
I. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Áp dụng các phương pháp tính thể tích thông qua tam giác vuông; các loại góc và khoảng cách trong
không gian cũng như các công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ.
• Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa biến.
Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho các số thực dương 2 2 (a +b)2 - Dạng 2 số: 2 a b a b ab ab + + ≥ → ≤ hoặc ab ≤ 2 4 3 3 3 3 - Dạng 3 số: 3 3 a b c a b c abc abc + + + + ≥ → ≤ hoặc (a b c) abc + + ≤ 3 27
Cách 2. Khảo sát hàm số f(x) trên khoảng xác định (đạo hàm – lập bảng biến thiên)
2. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 4, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy (ABCD) và SC = 6. Tính thể tích lớn nhất V của khối chóp đã cho max A. 40 V = B. 80 V = C. 20 V = D. V = 24 max 3 max 3 max 3 max Lời giải
Đặt AD = x ⇒ Diện tích hình chữ nhật ABCD là S = x ABCD 4
Tam giác ABC vuông tại B, có 2 2 2
AC = AB + BC = x +16
Tam giác SAC vuông tại A, có 2 2 2
SA = SC − AC = 20 − x
Do đó, thể tích khối chóp S.ABCD là 1 1 2 4 2 V = SA S = − x x = x − x S ABCD . . ABCD . 20 .4 . 20 . 3 3 3 x + 20 − x 2 ( )2 2 2 Ta có 20 40 .x 20 − x ≤ = =10 ⇒ V ≤ 2 2 3 Dấu bằng xảy ra khi 2
x = 20 − x ⇔ x = 10 . Vậy 40 V = . max 3 Chọn A
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 4, các cạnh bên bằng nhau và
bằng 6. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là A. 40 V = B. 64 V = C. 128 V = D. 32 V = max 3 max 3 max 3 max 3 Lời giải
Vì SA = SB = SC = SD ⇒ Hình chiếu của S trên mặt phẳng
(ABCD) là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ⇒ SO ⊥ ( ABCD)
Đặt AB = x . Ta có 2 2 2
BD = AB + AD = x +16
Tam giác SBO vuông tại O, có 2 2 2 2 x 16 128 36 x SO SB OB + − = − = − = 4 2
Do đó, thể tích khối chóp S.ABCD là 2 1 1 128 − x 2 2 V = SO S = x = x − x S ABCD . . ABCD . .4 . 128 . 3 3 2 3 2 2 Mà 2 x +128 − x 2 128 x 128 128 − x ≤ = 64 →V ≤ .64 = . Vậy V = . Chọn C 2 3 3 max 3
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 4, SC = 6. Tam giác SAD cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là A. 40 V = B. 20 V = C. V = 20 D. 80 V = max 3 max 3 max max 3 Lời giải
Gọi H là trung điểm AD. Tam giác SAD cân tại S ⇒ SH ⊥ AD
Ta có (SAD) ⊥ ( ABCD) ⇒ SH ⊥ ( ABCD) 1
⇒ V = .SH.S 3 ABCD
Đặt AD = 2x → S = AB AD = x ABCD . 8
Tam giác HCD vuông tại D, có 2 2 2
HC = HD + CD = x +16
Tam giác SHC vuông tại H, có 2 2 2
SH = SC − HC = 20 − x 2 2 Do đó 1 2 8 2 8 x + 20 − x 80
V = . 20 − x .8x = . x 20 − x ≤ . = 3 3 3 2 3 Dấu bằng xảy ra khi 2
x = 20 − x ⇔ x = 10 . Vậy 80 V = . Chọn D max 3
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = 1. Các cạnh bên SA = SB =
SC = 2. Tính thể tích lớn nhất V của khối chóp đã cho max A. 2 V = B. 5 V = C. 5 V = D. 4 V = max 3 max 8 max 4 max 3 Lời giải
Gọi H là trung điểm BC, A ∆ BC vuông tại A
Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp A ∆ BC
Vì SA = SB = SC ⇒ H là hình chiếu của S trên (ABC)
Đặt AC = x . Tam giác ABC vuông 2 2 2
⇒ BC = AB + AC = x +1
Diện tích tam giác ABC là 1 x S = = ∆ AB AC ABC . . 2 2 2
Tam giác SBH vuông tại H, có 2 2 15 x SH SB BH − = − = 2
Do đó, thể tích cần tính là 1 1 2 V = .SH.S = − ∆ x x ABC . 15 3 12 2 2 Mà 2 x +15 − x 15 1 15 5 x 15 5 − x ≤ = → V ≤ . = . Vậy V = . 2 2 12 2 8 max 8 Chọn B
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 1, cạnh bên SA = x và vuông góc với
mặt đáy (ABCD). Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt AM = y (0 < y <1) . Tính thể tích lớn nhất V của max khối chóp S.ABCM, biết 2 2 x + y =1. A. 3 V = B. 3 V = C. 3 V = D. 3 3 V = max 3 max 8 max 24 max 8 Lời giải Từ giả thiết, ta có 2 2 2
x + y =1⇒ y = 1− x Diện tích mặt đáy  AM + BC  x +1 S =   AB = ABCM .  2  2 1 (x + ) 2 1 1− x
Thể tích khối chóp V là V = SA S = S ABCM . . S.ABCM . 3 ABCM 6
Xét hàm số f (x) = (x + ) 2
1 1− x trên (0;1), có 2 2 ′( ) 2 x + x 1− x − 2x f x = − x − = f ′(x) 1 1 ; = 0 ⇔ x = 2 2 1− x 1− x 2
Dựa vào bảng biến thiên, ta được f (x) 1 3 3 max f   3 = =   . Vậy V = . Chọn B (0 ) ;1  2  4 max 8
Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng 4. Thể
tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là A. V = 8 3 B. V = 24 3 C. V = 6 3 D. V =16 3 max max max max Lời giải
Gọi O là tâm hình vuông ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD)
Gọi M là trung điểm CD, H là hình chiếu của O trên SM SO ⊥ CD Ta có 
⇒ CD ⊥ (SMO) ⇒ CD ⊥ OH ⇒ OH ⊥ (SCD) OM  ⊥ CD
Lại có AB / /CD ⇒ AB / / (SCD) ⇒ d ( A ; B SC) = d ( ;
A (SCD)) = 2d ( ; O (SCD))
Theo bài ra, ta có d ( A ;
B SC) = 2OH = 4 → OH = 2
Đặt AB = 2x → OM = x . Tam giác SMO vuông tại O, có 1 1 1 2x = + ⇒ SO = 2 2 2 2 OH SO OM x − 4 3
Do đó, thể tích khối chóp S.ABCD là 1 1 2x 2 8 = . . x V SO S = x = ABCD . .4 . 2 2 3 3 x − 4 3 x − 4 3 Xét hàm số ( ) x f x =
trên (2;+∞) → max f (x) = 6 3 2 x − 4
Vậy thể tích lớn nhất cần tính là 8 V = = . Chọn D max .6 3 16 3 3
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có SA = x (0 < x < 3) , tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1. Với
giá trị nào của x thì thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất? A. 3 V 3 3 = B. V = C. 1 V = D. V = max 4 max 4 max 4 max 2 Lời giải
Gọi O là tâm hình thoi ABCD ⇒ OA = OC (1) Theo bài ra, ta có S ∆ BD = C
∆ BD ⇒ SO = OC (2) Từ (1) và (2), ta có 1
SO = OA = OC = AC 2 ⇒ S ∆ AC vuông tại S 2 2 2
⇒ AC = SA + SC = x +1 2 2 Suy ra 1 x 1 OA AC + = = và 2 2 3 x OB AB OA − = − = 2 2 2 ( 2x + )( 2 1 3− x )
Diện tích hình thoi S = OAOB = ABCD 2. . 2
Lại có SB = SC = SD =1⇒ Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác BCD → H ∈ AC
Tam giác SAC vuông tại S, có . SA SC x SH = = 2 2 2 SA + SC x +1 ( 2x + )1( 2 3 1 1 − x )
Do đó, thể tích cần tính là x 1 2 V = .SH.S = = x − x ABCD . . . 3 2 3 3 2 x +1 6 2 2 Mà 2 x + 3− x 3 1 3 1 . x 3 1 − x ≤
= → V ≤ . = . Vậy V = . Chọn C 2 2 6 2 4 max 4
Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD có AB = x và các cạnh còn lại bằng 2 3 . Thể tích tứ diện ABCD lớn nhất khi giá trị của x bằng A. x = 2 B. x = 3 2 C. x = 4 D. x = 2 2 Lời giải
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB Hai tam giác ACD, BCD đều 3
⇒ AM = BM = 2 3. = 3 2 2 ⇒ A ∆ BM cân tại M 2 2 36 x MN AB MN BM BN − ⇒ ⊥ ⇒ = − = 2 BM ⊥ CD Ta có 
⇒ CD ⊥ ( ABM ) 2 ⇒ V = V = CM S ABCD 2 C ABM . . . AM ⊥ CD 3 ABM ∆ 2
Do đó, thể tích cần tính là 2 3 36 − x 3 2 V = x = x − x ABCD . . . 36 3 2 2 6 2 2 Mà 2 x + 36 − x 3 .x 36 − x ≤ =18 →V ≤ .18 = 3 3 2 6 Dấu bằng xảy ra khi 2 2
x = 36 − x ⇔ 2x = 36 ⇔ x = 3 2 . Chọn B
Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến
mặt phẳng (SBC) bằng 3. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). Tính cosα khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất? A. 3 cosα = B. 1 cosα = C. 3 cosα = D. 3 cosα = 6 2 2 3 Lời giải
Gọi M là trung điểm BC, kẻ AH ⊥ SM (H ∈ SM )
Tam giác ABC cân tại A suy ra BC ⊥ AM
Mà SA ⊥ ( ABC) ⇒ SA ⊥ BC
Suy ra BC ⊥ (SAM ) ⇒ AH ⊥ BC ⇒ AH ⊥ (SBC) Do đó d ( ;
A (SBC)) = AH = 3. Tam giác AMH vuông 3 ⇒ AM = sinα Tam giác vuông cân ABC 9 9
⇒ BC = 2AM ⇒ S = = ABC ∆ 2 2 sin α 1− os c α
Khi đó, thể tích khối chóp là 1 9 V = . . SA S = 3 ABC ∆ ( 2
1− cos α )cosα
Xét hàm số f (x) = ( 2
1− cos x)cos x , ta được 2 3 f (x) ≤ . Suy ra 27 3 V ≥ 9 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 3 cosα = . Chọn D 3
Ví dụ 10: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng  = 
2, SAB SCB = 90° . Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp S.ABC có thể tích nhỏ nhất. A. AB = 3 B. AB = 2 C. AB = 3 5 D. 10 AB = 2 Lời giải
Gọi D là điểm sao cho ABCD là hình vuông AB ⊥  AD AB ⊥ AD Ta có  ⇒  ⇒ AB ⊥ (SAD)  ⇒ AB ⊥ SD SAB = 90° AB ⊥ SA
Tương tự, ta cũng có BC ⊥ SD suy ra SD ⊥ ( ABCD)
Kẻ DH ⊥ SC (H ∈ SC) → DH ⊥ (SBC) Khi đó d ( ;
A (SBC)) = d ( ;
D (SBC)) = DH . Đặt AB = x > 0
Tam giác SCD vuông tại D, có 1 1 1 1 1 1 x 2 = + ⇔ = + ⇒ SD = 2 2 2 DH SD DC ( 2)2 2 2 2 SD x x − 2 3
Do đó, thể tích khối chóp S.ABC là 1 2 x V = V = S ABC . S ABCD . . . 2 2 6 x − 2 3 Xét hàm số ( ) x f x =
trên ( 2;+∞) , ta được min f (x) = f ( 3) = 3 3 . Chọn A 2 x − 2 ( 2;+∞)
Ví dụ 11: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AC = 2. Trên đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng
(ABC) lấy các điểm M, N khác phía so với mặt phẳng (ABC) sao cho AM.AN = 1. Thể tích của khối tứ
diện MNBC nhỏ nhất bằng A. 1 V = B. 1 V = C. 2 V = D. 1 V = min 3 min 6 min 3 min 2 Lời giải
Đặt AM = x, AN = y suy ra AM.AN = .xy =1
Tam giác ABC vuông cân tại B, có AC AB = BC = = 2 2
Diện tích tam giác vuông ABC là 1 S = = ∆ AB ABC .BC 1 2 Ta có 1 V x + y = V +V = S + = ∆ AM AN MNBC M ABC N ABC ABC . . . ( ) 3 3 Lại có x +
+ y ≥ 2 xy (bất đẳng thức AM – GM) x y 2 ⇒ ≥ 3 3
Dấu bằng xảy ra khi x = y =1. Vậy 2 V = . Chọn C min 3
Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA = AB = 2. Cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Thể tích lớn
nhất V của khối chóp S.AHK bằng max A. 2 V = B. 3 V = C. 3 V = D. 2 V = max 6 max 2 max 6 max 3 Lời giải
Đặt AC = x (0 < x < 2) Tam giác ABC vuông tại C 2 2 2
⇒ BC = AB − AC = 4 − x
Tam giác SAB vuông cân tại A, có đường cao AH 1 ⇒ SH = SB 2 2
Tam giác SAC vuông tại A, có 2 SK SA 4
SA = SK.SC ⇒ = = 2 2 SC SC 4 + x 2 Ta có V SH SK x − x S AHK 1 4 2 2 4 . = . = . = ⇒ V = S AHK . 2 2 . 2 V SB SC x + x + x + S ABC 2 4 4 3 4 . 2
Xét hàm số ( ) 2 x 4 2 = . − x f x
trên (0;2) , ta được max f (x) = . 2 3 x + 4 (0;2) 6 Chọn A
Ví dụ 13: Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có AB = x, AD = 3, góc giữa đường thẳng A′C và mặt phẳng ( ABB A
′ ′) bằng 30°. Tìm x để thể tích khối hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất. A. 3 15 x = B. 3 6 x = C. 3 2 x = D. 3 5 x = 5 2 2 5 Lời giải
Ta có BB′ ⊥ BC và AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( ABB A ′ ′)
⇒ B là hình chiếu vuông góc của C trên ( ABB A ′ ′) Suy ra ′ A C ( ABB′ ′ A )
 = ( ′AC ′AB)  =  ; ; C ′ A B = 30°
Tam giác A′BC vuông tại B, có  tan ′ = BC CA B ⇒ ′ A B = 3 3 ′ A B
Tam giác A′AB vuông tại A, có 2 2 2
AA′ = A′B − AB = 27 − x
Do đó thể tích khối hộp là 2 V = ′ = − ′ ′ ′ ′ AA AB AD x x ABCD A B C D . . 3 . 27 . 2 2 Lại có 2 x + 27 − x 27 27 81 . x 27 − x ≤ = → V ≤ = ABCD A′B C ′ D ′ ′ 3. . 2 2 2 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 3 6
x = 27 − x ⇒ x = . Chọn B 2
Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V. Gọi M là trung điểm của
SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN = 2NB, mặt phẳng (α ) di động qua các điểm M,N và cắt các
cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q. Tính thể tích lớn nhất V của khối chóp S.MNKQ. max A. V B. 2V C. V D. V 2 3 3 6 Lời giải Đặt SK x = (0 ≤ x ≤ ) 1 . Hình vẽ tham khảo SC
Vì mặt phẳng (α ) di động qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K,
Q nên ta có SA SC SB SD 1 3 SD 2 + = + ⇒ 2 x + = + = SM SK SN SQ
x 2 SQ 2 + x V
Ta có S.MNPQ 1  SM SN SK SM SK SQ  1  4x 2  2x 1 =  . . + . . = − = − V  SA SB SC SA SC SD     x  +  x + S ABCD 2 2 3 2 3 2 .
Xét hàm số f (x) 2x 1 = − trên [0; ]
1 ta được max f (x) = f ( ) 1 1 = 3 x + 2 [0 ] ;1 3
Vậy thể tích lớn nhất cần tính là V V = . Chọn C S.MNPQ 3
Ví dụ 15: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 18 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình
vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để có
được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. x = 6 B. x = 4 C. x = 2 D. x = 3 Lời giải
Sau khi cắt ở bốn góc hình vuông cạnh x, ta được khối hộp có
• Chiều cao bằng x cm
• Đáy là hình vuông cạnh 18 − 2x cm
Do đó, thể tích khối hộp chữ nhật là V = x ( − x)2 1 . 18 2 = .4 .
x (18 − 2x).(18 − 2x) 4
x + − x + − x
Ta có x ( − x) ( − x) ( )3 3 4 18 2 18 2 36 4 . 18 2 . 18 2 ≤ = = 1728 27 27 Suy ra 1
V ≤ .1728 = 432 . Dấu bằng xảy ra khi 4x =18 − 2x ⇒ x = 3 . Chọn D 4
Ví dụ 16: Người ta muốn thiết kế một bể cá bằng kính không có nắp với thể tích 72 3
dm và chiều cao 3 dm.
Một vách ngăn (cùng bằng kính) ở giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với các kích thước a,b (đơn vị dm) như hình vẽ
Tính a,b để bể cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính cả tấm kính ở giữa), coi bề dày các tấm kính như nhau và
không ảnh hưởng đến thể tích của bể.
A. a = b = 2 6
B. a = 3,b = 8
C. a = 3 2,b = 4 2
D. a = 4,b = 6 Lời giải
Thể tích của bể cá là 24
V = 3ab = 72 ⇒ ab = 24 ⇒ b = a
Diện tích bể cá gồm: 3 mặt có diện tích 3a (hai mặt bên và vách ngăn); 2 mặt có diện tích 3b (hai mặt
bên) và một mặt đáy có diện tích ab (đơn vị 2 dm )
Do đó, tổng diện tích làm bể là S = ( a) + ( b) 144 3. 3
2. 3 + ab = 9a + 6b + ab = 9a + + 24 a
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có 144 144 9a + ≥ 2 9 . a = 72 a a
Suy ra S ≥ 72 + 24 = 96 . Dấu bằng xảy ra khi 144 9a =
⇒ a = 4;b = 6 . Chọn C a
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = 1. Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABC. A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 3 6 4 12
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = 2, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 1. Tìm thể tích
lớn nhất của khối chóp S.ABC A. 5 B. 5 C. 2 D. 4 8 4 3 3
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = BA = BC = 1. Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABC. A. 1 B. 2 C. 1 D. 3 6 12 8 12
Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6. Tìm thể tích
lớn nhất V của hình hộp chữ nhật đã cho. max A. V = B. V = C. V = D. V = max 6 6 max 8 2 max 12 max 8
Câu 5: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 32, độ dài đường chéo bằng 2 6 . Tìm
thể tích lớn nhất V của hình hộp đã cho max A. V = B. V = C. V = D. V = max 12 3 max 6 6 max 16 max 16 2
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 4, các cạnh bên bằng nhau và
bằng 6. Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD A. 130 B. 128 C. 125 D. 250 3 3 3 3
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có SB = x (0 < x < 3) . Tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1. Với
giá trị nào của x thì thể tích khối chóp S.ABCD là lớn nhất? A. 3 x = B. 2 x = C. 6 x = D. 3 x = 3 2 2 2
Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy (ABC). Biết SC = 1, tìm thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABC. A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 3 12 12 27 27
Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AB = 2. Cạnh bên SA = 1 và vuông góc
với mặt phẳng đáy. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABC là A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 3 4 12 6
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 4, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy (ABCD) và SC = 6. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là A. 40 B. 80 C. 20 D. 24 3 3 3
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: 1 S =  1 1 . SA SBsin BSA ≤ . SA SB = SAB 2 2 2
Mặt khác d (C;(SAB)) ≤ SC nên 1 1 1 1 V = S d C SAB ≤ SC = S ABC SAB . ; . . . ( ( )) 3 3 2 6
Dấu bằng xảy ra ⇔ SA ⊥ SB ⊥ SC . Chọn B Câu 2:
Do SA = SB = SC = 2 ⇒ hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt
phẳng đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và là trung điểm của BC.
Đặt BC = 2x ⇒ HA = HB = HC = x (với H là trung điểm của BC). Ta có: 2 2 2 2
AC = 4x −1;SH = SA − HA = 4 − x
Thể tích khối chóp S.ABC là: 2 1 1 2 4x −1 1 V = SH.S = − x = − x x − ABC 4 . ( 2 4 )( 2 4 )1 3 3 2 6 1 =
( − x )( x − ) 2 2 2 2
1 16 − 4x + 4x −1 5 16 4 4 1 ≤ . = 12 12 2 8 Vậy 5 V = . Chọn A max 8 Câu 3:
Đặt AC = x , gọi E là trung điểm của SB khi đó: C  E ⊥ SB 
suy ra SB ⊥ ( ACE) và ta có : 3 AE = CE = AE ⊥ SB 2
Gọi H là trung điểm của AC do tam giác AEC cân nên 2 2 2 3 x
EH ⊥ AC ⇒ HE = AE − AH = − 4 4 2 1 1 1 3 x V = V +V = SB S = HE AH = x − S ABC S B ACE . ACE . . .EAC . 3 3 6 4 4 2 2 2 2   Lại có 3 x 3 x x 3 x x 3 − .x = 2. − . ≤  − +  = 4 4 4 4 2  4 4 4  4 1 1 ⇒ V
≤ ⇒ V = . Dấu bằng xảy ra 2 6
⇔ 3 = 2x ⇔ x = ABCD max 8 8 2
Cách 2: Nhận xét V ⇔ S lớn nhất 1 ⇔  3 AE CE AEC =  3 . sin .sin AEC ≤ max ACE 2 8 8 Vậy 1 V = . Chọn C max 8 Câu 4:
Giả sử 3 kích thước của hình hộp chữ nhật là a,b,c ta có 2(ab + bc + ca) = 36
⇔ ab + bc + ca =18 ⇔ (a + b)c + ab =18(*) Lại có: 2 2 2 2 2 2
a + b + c = 6 ⇔ a + b + c = 36 ⇔ (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca) = 36
⇔ a + b + c = 6 2 ⇒ (  + = − − c) a b 6 2 c (*) 6 2
c + ab =18 ⇒  2
ab =18 + c − 6c 2
Do (a + b) ≥ ab ⇒ ( − c)2 2 ≥ ( 2 4 6 2
4 18 + c − 6c 2) ⇔ 0 ≤ c ≤ 4 2
Lại có: V = abc = ( 2 + c − c ) 3 2 18
6 2 c = c − 6c 2 +18c = f (c) (với c∈ 0;4 2   ) c = 3 2 Ta có: f ′(c) 2
= 3c −12c 2 +18 = 0 ⇔  c = 2
Lại có: f (0) = 0; f ( 2) = f (4 2) = 8 2; f (3 2) = 0
c = 2 ∨ c = 4 2  Suy ra V 8 2  =
⇔ a + b = 5 2 ⇔ a; ;
b c = 4 2; 2; 2 hoặc các hoán vị. Chọn C max ( ) ( ) ab = 8  Câu 5:
Giả sử 3 kích thước của hình hộp chữ nhật là a,b,c ta có: 4(a + b + c) = 32 ⇔ a + b + c = 8 Lại có: 2 2 2 2 2 2
a + b + c = 2 6 ⇔ a + b + c = 24 ⇔ (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca) = 24
⇒ ab + bc + ca = 20 ⇔ (a + b)c + ab = 20 ⇔ (8 − c)c + ab = 20
a + b = 8 − c ⇔  2
ab = 20 + c − 8c
Do (a + b)2 ≥ ab ⇔ ( − c)2 ≥ ( 2 + c − c) 4 4 8 4 20 8 ⇔ ≤ c ≤ 4 3
Lại có V = abc = ( 2 + c − c) 3 2 20
8 c = c −8c + 20c = f (c) (với 4 c  ;4 ∈  ) 3     10 c =
Khi đó f ′(c) 2
= 3c −16c + 20 = 0  ⇔ 3  c = 2
Mặt khác f ( ) = f ( ) 10  400 0 0; 2 =16; f = ; f (4) =   16  3  27
Do đó V =16 . Chọn B max Câu 6:
Do SA = SB = SC = SD nên hình chiếu vuông góc của đỉnh
S xuống đáy là tâm O của hình chữ nhật ABCD 2 Đặt 2 x 16 AB x BD x 16 OB + = ⇒ = + ⇒ = 2 2 2 Khi đó 2 2 x 16 128 36 x SO SB OB + − = − = − = 4 2 Ta có 1 1 2 V = SO S = − x x S ABCD . ABCD 128 .4 . 3 6 2 2 1 = x − x ≤ ( 2 2 x + − x ) 128 . 128 128 = 3 3 3 Do đó 128 V =
⇔ x = . Chọn B max 8 3 Câu 7: Ta có: S ∆ AC = A
∆ DC (c – c – c)
Do đó SO = DO (2 đường trung tuyến tương ứng) Suy ra BD SO = ⇒ SB
∆ D vuông tại S (tam giác có đường trung 2
tuyến ứng với cạnh đối diện bằng nửa cạnh ấy). Khi ấy 2 2 2
BD = SB + SD = 1+ x 2 2 2 BD 1+ x 2
⇒ AC = 2OA = 2 AB − = 2 1− = 3− x 4 4 2 2 Lại có 1 3 x . SB SD x 3 x V AC S − − = = = S ABCD . . SBD . . 3 3 2 6 2 2
Áp dụng BĐT AM – GM ta có: 2 x + 3− x 3 1 x 3− x ≤ = ⇒ V ≤ 2 2 4 Dấu bằng xảy ra 2 2 6
⇒ x = 3− x ⇔ x = . Chọn C 2 Câu 8: Đặt 2
CA = CB = x ⇒ SA = 1− x 2 Ta có: 1 1 2 x 1 2 2 V = SA S = − x = − x x S ABC . ABC . 1 . 1 . . 3 3 2 6
Xét hàm số f (x) = ( 2 − x ) 4 4 6 1
x = x − x (x∈(0; ) 1 ) Ta có: f ′(x) 3 5 2 2 2
= 4x − 6x = 0 ⇔ x = ⇔ x = 3 3   Khi đó f (x) 2 4 1 4 3 Max = f   = ⇒ V = = . Chọn D ( ) max 0;1  3  27 6 27 27   Câu 9: Đặt 2
AC = x ⇒ BC = 4 − x 2 2 Ta có: 1 1 2 1 x 4 x 1 V SA S x x + − = = − ≤ = S ABC . ABC . 4 . . 3 6 6 2 3
Dấu bằng xảy ra ⇔ x = 2 ⇒ AC = BC = 2 . Chọn A Câu 10: Đặt 2 2 2
AC = x ⇒ SA = SC − x = 36 − x Lại có 2 2 2
AD = AC − AB = x −16 1 1 2 2 V = SA S = − x x − S ABCD . ABCD . 36 .4 16 . 3 3 2 2
4 36 − x + x −16 40 ≤ . = 3 2 3 Vậy 40 V = ⇔ x = . Chọn A max 26 3
Document Outline