Bài toán cực trị hình học không gian và các khối lồng nhau – Trần Đình Cư Toán 12

Tài liệu gồm 31 trang hướng dẫn phương pháp giải dạng toán cực trị hình học không gian và các khối lồng nhau kèm theo bài tập minh họa có lời giải chi tiết.Mời các bạn đón xem.

I TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trn Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 1
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 2
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN
VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Trong quá trình tìm kiếm li gii nhiu bài toán hình hc, s rt li nếu chúng ta xem xét c
phn t biên, phn t gii hạn nào đó, tức là phn t mà tại đó mỗi đại lượng hình hc có th nhn
giá tr ln nht hoc giá tr nh nht, chng hạn ncạnh ln nht, cnh nh nht ca mt tam
giác; góc ln nht hoc góc nh nht ca một đa giác v.v…
Nhng tính cht ca các phn t biên, phn t gii hn nhiều khi giúp chúng ta tìm đưc li gii
thu gn ca bài toán.
Phương pháp tiếp cận như vy ti li giải bài toán được gi là nguyên tc cc hn.
Như vậy bài toán cc tr hình hc cn thiết trong không gian, nó thường xut hin nhng câu
hi khó trong phn thi trc nghim THPT Quc gia.
PHƯƠNG PHÁP
Cơ sở ca phương pháp cần kết hp giữa các quan điểm tìm cc tr như sau:
1. S DNG BẤT ĐẲNG THC THÔNG DNG
Bất đng thc Cauchy cho các biến đại lượng không âm.
2
f x A x B x 2 A x .B x const; x D 1
A x B x
g x A x .B x const; x D 2
2




Nếu
0
xD
, đ đẳng thc trong (1) hoc (2) xy ra
00
A x B x
0
xD
0
xD
minf x f x
maxg x g x
(ycbt)
Bất đng thc Schwartz cho các biến đại lượng tùy ý.
2 2 2 2
2
2 2 2 2
p x a x . x b x . x a x b x x x const; x D 3
q x a x b x x x a x x b x x const; x D 4


Nếu
0
xD
, đ đẳng thc trong (3) hoc (4) xy ra:
0
00
xD
00
0
xD
maxp x p x
a x b x
xx
minq x q x

(ycbt)
2. S DNG TÍNH B CHN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC
h x sinu x .cosu x 1
;
nếu
0
00
xD
0
sinu x 1
x D : maxh x h x 1
cosu x 1
3. S DỤNG ĐẠO HÀM Đ LP BNG BIN THIÊN
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 3
4. S DNG CÁC NGUYÊN LÝ HÌNH HC CC HN
minMA MH A H
T ý nghĩa đường kính là dây cung dài nht của đường tròn, ta có:
H qu: M trên đường tròn (AB) đường kính AB; vi O là tâm
thì:
maxd M;AB CO MH CO;CO AB

Khong cách ngn nht giữa hai đường thẳng độ dài đường
vuông góc chung ca hai đường thng đó.
Xác định điểm M trên đường thẳng (d) để
min
MA MB
Đây là bài toán Bất đẳng thc
, cn phân biệt các trường hp:
o A, B khácn so vi (d):
MA MB AB
0
min MA MB AB
töông öùng: M M AB d

o A, B cùng bên so vi (d):
Dựng A’ đối xng vi A qua (d).
Lúc đó: A’ B khác n so vi (d), nên tr v
trường hp trên:
MA MB AB MA' MB' AB
0
min MA MB min MA' MB AB
töông öùng: M M A'B d
Kết lun: Vy trong mi trường hợp ta xác định được M tha mãn ycbt.
Xác định điểm M trên đường thẳng (d) để
max
MA MB
Tương tự, cn phân biệt hai trường hp:
o A, B cùng bên so vi (d)

MA MB AB
max MA MB AB
tương ứng
0
M M AB d
o A, B khác n so vi (d)
(
d
)
M
0
A
B
M
(
d
)
M
0
A
B
M
(
d
)
I
M
0
A'
A
B
M
M
H
A
C
H
O
A
B
M
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 4
MA MB MA' MB AB
Với A’ là hình đối xng của điểm A qua (d), thì A’ và B cùng
phía vi (d).
0
max MA MB max MA' MB AB
töông öùng M M A'B d
Kết lun: Vy trong mi trường hợp ta đã xác định điểm M tha ycbt.
I. MT S VÍ D MU
Ví d 1. Cho mt hình n ct tròn xoay có chiu cao h, các bán kính đáy là r và R
rR
.
Tìm kích thước ca hình tr tròn xoay cùng trc đối xng, ni tiếp trong hình nón ct
đó và có thể tích ln nht.
Gii
Gi x là bán kính, z là chiu cao ca hình tr. Ta có:
r x R
0zh

Gi s rng hình tr ni tiếp trong nh nón ct như thiết din qua trục như hình bên.
Thiết din này ct nh nón theo hình thang cân AA’B’B, cắt hình tr theo hình ch nht
HKNM.
1 1 2 1
SO' O'A' r
SO OA R
SO' r SO'
SO SO' R r OO'
rh rh Rh
SO' , SO h
R r R r R r
O M SO SO OA SO
x
x
OA SO OA SO SO


1
R SO z
SO SO z x
SO
Th tích V hình tr là:
2
2
2
2
R
V V x x z . SO z z
SO
2
22
2
2
3 2 2
2
R
V x SO z 2SO.z z
SO
R
V x z 2SO.z SO z 0 z h
SO
(
d
)
M
0
A'
A
B
M
r
R
z
h
O'
O
1
H
K
N
M
S
B'
A'
B
A
O
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 5


22
22
22
R R SO
V' x 3z 4SO.z SO 3 z z SO
3
SO SO
SO Rh Rh
V' x 0 z z SO z z
3 R r
3 R r
Bng biến thiên:
Rh Rh
zx
3
3 R r
maxy
z h x r

Để ý rng:
0zh
, ta có:
Rh r 2
zh
R3
3 R r
Kết lun:
r2
R3

: Th tích ca hình tr ln nht khi hình tr ch thước bán kính đáy:
Rh
x
3
,
chiu cao:
Rh
z
3 R r
.
2r
1
3R
: hình tr th tích ln nht khi hình tr kích thước bán nh đáy:
xr
chiu cao
zh
.
d 2. Cho na hình cu n nh r mt na hình nón xoay ngoi tiếp vi na hình
cu (mặt đáy của hai hình nm trong cùng mt mt phng). Gọi góc đỉnh ca nón là
2
.
a) Vi góc
nào thì din tích toàn phn ca hình n bng
12
5
din tích toàn phn ca
na hình cu.
b) Vi góc
nào thì hình nón có th tích nh nht.
ng dn gii
a. Gi (SAB) mt tiết diện qua đỉnh S và tâm H ca hình nón
ngoi tiếp vi na hình cu bán kính r, ta có:
1
HI r, AHI ASH ASB
2
HI r
AH
cos cos

AH r HI r
SA ; SH
sin cos sin sin sin
CT
0
+
-
+
0
0
Rh
(R-r)
Rh
3(R-r)
0
h
V'(x)
x
r
α
α
H
S
B
A
I
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 6
Gi
tp tp
cn
S ; S
và
n
V
theo th t là din tích toàn phn ca na hình cu, hình nón th
tích ca hình nón, ta có:
tp
2 2 2
c
2
tp
2
n
2
S r 2 r 3 r
r r r
S AH AH.SA .
cos cos sin
cos
2
tp tp
2
nc
3
r sin 1
12 12
S S .3 r
55
sin sin
3
36sin 31sin 5 0
51
36 sin 1 sin sin 0
66
51
sin sin
66
(vì
là mt na góc đỉnh ca hình nón
0
2
)
Tương ng din tích toàn phn ca hình nón bng
12
5
din tích toàn phn ca na mt
cu (ycbt).
b. Ta có:
2
2
nn
2
1 1 r r
V V AH .SH .
3 3 sin
cos
33
n
23
1 1 1 1
V r r
33
cos sin sin sin
Do đó:
2
3
nn
2
3
1 3sin cos cos
V ' V ' r
3
sin sin
3
n
2
3
33
cos sin sin
33
V ' r
sin sin
Khi
biến thiên trong khong
0;
2


thì
n
V ' 0
1
trong đó
1
3
sin
3

.
Ta có bng biến thiên:
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 7
Do đó hàm
n
V
đạt cc tiu ti
1
.
Vy vi
xác định bi
3
sin
3

thì hình nón có th tích nh nht
3
n
3
V r .
2

(ycbt).
d 3. Cho khi t din ABCD, biết BCD mt tam giác đều cạnh a và tâm điểm
O. Mt cu ngoi tiếp t din ABCD nhận đường tròn (BCD) làm mt đường tròn ln. Xác
định v trí ca đỉnh A trên mt cu ấy để th tích t din ABCD ln nht.
Gii
Để ý đường tròn (BCD) mt đường tròn ln ca mt cu
ngoi tiếp t din ABCD và O tâm ca tam giác BCD
cnh a, nên tâm O của tam giác BCD cũng chính là tâm ca
mt cu ngoi tiếp t din ABCD.
a3
OA OB
3
T đó diện tích
c
S
ca mt cu ngoi tiếp t din ABCD là:
2
22
c
a 3 4
S 4 OA 4 a
33




Gọi AH là đường cao ca t din ABCD h t đỉnh A xung mặt đáy (BCD).
HOA H 90 AH OA
Và tính được th tích ca khi t din ABCD bng:
ABCD
22
1 1 1 a 3
V S .AH . .a .AH
3 3 2 3
3.a 3.a
.AH .OA 1
12 12






Du đẳng thc trong (1) xy ra
HO
(hình chóp A. BCD đều)
2
3.a
maxV .OA
12
(ycbt).
d 4. Trong tt c các lăng tr tam giác đều có cùng din tích toàn phn S, tìm các cnh
bên và cạnh đáy của lăng trụ có th tích ln nht.
Gii
Gi x là cạnh đáy và h là cạnh bên của lăng tr.
π
r
3
3
2
-
+
α
1
0
0
V
n
'
α
V
n
π
2
a
O
B
D
C
H
A
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 8
Ta có din tích toàn phn của lăng trụ:
22
x 3 x 3
S 2. 3xh 3xh
42
Ta có th tích của lăng trụ là:
2
x3
Vh
4
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số:
2
x 3 3xh 3xh
2 2 2

Ta có:
2 2 2 2
3
x 3 3xh 3xh x 3.9x .h
3
2 2 2 8
4 2 4 2
4
3 3 2
3
2
44
9 3x .h 9 3x h 3
S 3 S 27. S 9 3. x h
88
22
x 3h 2 2S S S 2S
V
4
4.9 3 18 3
Vy
4
S 2S
maxV
18 3
Du “=” xảy ra khi:
2
2S a
x 2S 3
x 3 3xh S
3
33
2 2 3
1 2S 3
h.
33

Ví d 5. Cho mt cu tâm O bán kính R. Mt hình nón ni tiếp trong hình cu có chiu cao
là x
0 x 2R
.
a. Tính th tích V, din tích xung quanh S ca hình nón.
b. Tìm h thc liên h giữa V, S, R độc lập đối vi x.
c. Vi giá tr nào ca x thì V ln nht?
Gii
a. Gi r là bán kính đường tròn đáy của hình nón.
2
2 2 2 2
22
r OM OH R x R
r 2Rx x x 2R x
Th tích ca hình nón:
22
11
V r x x 2R x
33
Din tích xung quanh ca hình nón:
S rSM
Biết
2 2 2
SM SH HM x x 2R x 2Rx
b. Ta có:
2
1
V x 2R x 1
3
2 2 2
S x 2R 2R x S 2 Rx 2R x 2
M
S
H
O
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 9
Lấy (2) chia (1) ta được:
2
S
6R
V

c. Áp dng BĐT Cauchy cho ba số:
xx
, ,2R x
22
3
23
3
2
xx
2R x
xx
22
. . 2R x
2 2 3
x 8R
2R x
4 27
1 32 R
V x 2R x
3 81








Vy
3
32 R
maxV
81
. Dấu “=” xảy ra khi:
x 4R
2R x x
23
d 6. Tìm nh nón th tích nh nht ngoi tiếp hình cu n nh R cho trước. So
sánh din tích toàn phn và th tích ca hình nón vi din tích và th tích ca hình cu.
Gii
Gi r là bán kính ca đường tròn đáy, h là chiều cao và V là th tích ca hình nón.
2
1
V r h
3

Hai tam giác SCA và SDO đồng dng cho:
22
2 2 2 2 2
222
2
AC SA r r h
DO SO R h R
r r h r h r
R
h R h R R
2 2 2
2
h R hR
r
h 2R
h h 2R

Suy ra:
22
2
1 1 h R
V r h
3 3 h 2R
Ta có:
2 2 2 2 2
h h 4R 4R 4R
h 2R
h 2R h 2R h 2R

2
4R
h 2R 4R
h 2R
Áp dng bất đẳng thc Cauchy, ta có:
22
4R 4R
h 2R h 2R 4R
h 2R h 2R

Vy:
2
h
8R
h 2R
. Dấu “=” xảy ra khi:
2
4R
h 2R h 2R 2R h 4R
h 2R
r
R
D
S
C
A
B
O
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 10
Suy ra:
3
8R
V
3
3
8R
minV
3
khi
h 4R
r R 2
Din tích toàn phn ca hình nón là:
2 2 2 2 2
S rSA r R 2 2R 16R 2 R 8 R
Vậy lúc đó diện tích toàn phn th tích của hình nón đều gấp đôi diện tích th tích
ca hình cu.
II. CÂU HI VÀ BÀI TP TRC NGHIM
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vuông cnh a, cnh bên
SB b
và tam
giác SAC cân ti S. Trên cnh AB ly mt điểm M vi
AM x 0 x a
. Mt phng
qua M song song vi AC SB ct BC, SB, SA lần lượt ti N, P, Q. Xác định x để
MNPQ
S
ln nht.
A.
a
B.
a
4
C.
a
2
D.
a
3
Phân tích: Trước hết ta phải xác định được MNPQ là hình ch nht
mp / /SB
mp / /AC
nên MNPQ là hìnhnh hành.
AC SO ( ACS caân)
AC BD (ñöôøng cheùo hình vuoâng)

AC mp SBD
AC SB
, mà
MQ/ /SB
MN MQ
Vy MNPQ là hình ch nht.
ng dn gii
Ta có: MN // AC
BM a x
MN .AC .a 2 a x 2
BA a
SAB
có: MQ // SB
AM bx
MQ .SB
AB a
MNPQ
b2
S MN.MQ a x x
a
(đvdt)
Ta có:

2
a x x
a
a x x a x x
24
MNPQ
S
ln nht khi và ch khi
a x x
a
x
2

.
a
b
O
N
P
Q
B
A
D
C
S
M
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 11
Vy chọn đáp án C.
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vuông cnh a, cnh n
SA a
và
SBD
cân ti S. Trên AB, AD lần lượt ly M, N sao cho
AM AN
k 0 k 1
AB AD
. Mt
phng
qua MN song song vi SA ct SD, SC, SB ti P, Q, R. Tính k để
MNPQR
S
ln
nht.
A.
1
k
2
B.
5
k
3
C.
1
k
3
D.
2
k
3
ng dn gii
Ta có: MNPQR là hp hai hình thang vuông bằng nhau MIQR và NIQP, trong đó:
MR // IQ // NP (cùng song song vi SA), và MN // BD.
Ta có:
MNPQR MIQR
2
2 k a
2ka
IQ ; MR 1 k a; MI
22
S 2S IQ MR .MI
2k 4 3k a
(ñvdt)
4
MNPQR
2
S max k
3

.
Vy chọn đáp án D.
Câu 3. Trên nửa đường tròn đường nh
AB 2R
, lấy điểm C tùy ý. K
CH AB
(H
thuc AB). Gọi I điểm gia ca CH. Trên mt nửa đường thng It vuông c ti I vi
mt phng (ABC) lấy điểm S sao cho góc
ASB 90
. Đt
AH x
. Vi giá tr nào ca x t
SABC
V
đạt giá tr ln nht.
A.
R
x
2
B.
R
x
2
C.
x 2R
D.
xR
ng dn gii
Ta có:
ABC
1
V S .SI
3
, trong đó:
ABC
11
S AB.CH 2R AH.BH R x 2R x
22
33
SI CH x 2R x .
22
Vy:
3x 2R x
1 R 3
V R x 2R x . x 2R x
3 2 6
V ln nht khi
x 2R x
ln nht.
O'
Q
I
P
R
N
O
B
A
D
C
S
M
I
H
B
A
C
S
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 12
Biết
2
2
x 2R x
x 2R x R
2


. Dấu “=” xảy ra
x 2R x x R
Vy, th tích t din SABC ln nht khi
xR
3
max
R3
V
6
(đvtt)
Vy chọn đáp án D.
Câu 4. Cho hình chóp đềucnhn và cạnh đáy đều bng a. Cho điểm
M SA
sao cho
din tích
MBD
nh nht. Tìm giá tr nh nht
MBD
.
A.
3a
4
B.
a
2
C.
2a
4
D.
a
4
ng dn gii
Gi S là din tích
MBD
.
11
S BD.MO a 2.MO 1
22
minS
xy ra
minMO
xy ra
Nhưng
minMO d O,SA OH

Vì t diện đều nên
O AB CD
thì SO là đường cao.
SOA
vuông ti O (2)
Trong đó:
22
2 2 2
a2
OA
2
2a 2a a 2
SO SA OA a
4 4 2
2
SOA
vuông cân ti O
2 a 2 2 a
OH OA. .
2 2 2 2
1
1 a 2a
minS .a 2.
2 2 4
xảy ra khi H là trung điểm SA (ycbt)
Vy chọn đáp án C.
Câu 5. Cho t din ABCD có cnh
AB x
, các cnh còn li bng a.
Câu 5.1. Tính din tích toàn phn ca t din theo a, x.
A.

2 2 2
a 3 x 4a x
B.

2 2 2
a 3 4a x
C.

2 2 2
a 3 2x 4a x
D.

2 2 2
a 3 x 4a x
ng dn gii
Gọi H là trung điểm AB theo tính cht tam giác cân
CH AB
DH AB

Ta có:
AB x;DA DB DC AC BC a
a
a
O
C
D
A
B
S
H
M
a
x
a
a
a
a
I
O
H
A
C
B
D
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 13
Nên:
ADC BCD (do hai tam giaùc ñeàu caïnh a)
DAB CAB
2
ADC BCD
a3
S S 1
4
Ta có:
2
2 2 2 2 2 2 2
DAB CAB
x 1 1 1
CH AC AH a 4a x S D CH.AB x 4a x 2
4 2 2 4
T (1) và (2)
2 2 2
tp
1
S a 3 x 4a x
2



Vy chọn đáp án A.
Câu 5.2. Vi giá tr nào ca x thì th tích
ABCD
V
đạt giá tr ln nht.
A.
3a
4
B.
a6
2
C.
5a
4
D.
3a
4
ng dn gii
Gi O là hình chiếu ca D xung mt phng (ABC)
Do
AD DB DC a OA OB OC
DO
là trc đường tròn ngoi tiếp
ABC
.
DO hin nhiên là đường cao t din DABC.Gọi I là trung điểm DC. Ta có:
DH HC DHC
cân
HI DC
Khi đó:
22
2 2 2 2 2
x a 1
HI HC IC a 3a x
4 4 2
T:
DHC
1 1 HI.DC
S DO.HC HI.DC DO
2 2 HC
22
22
22
22
1
3a x .a
a 3a x
2
DO
1
4a x
4a x
2
Vy
2 2 2 2
ABCD ABC
22
1 1 a 3a x x 4a x
V SO.S . .
3 3 4
4a x


22
ABCD
1
V ax 3a x
12
(ycbt);
0 x a 3
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
ABCD
x 3a x
a x a
V 3a x .
144 144 2











2
2 4 3
a 9a a
.3
144 4 8
3
ABCD
a
V4
8

Du đẳng thc trong (3) và (4) xy ra
2 2 2
a6
x 3a x x
2
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 14
Vy
3
ABCD
a
max V
8
tương ứng
a6
x
2
(ycbt).
Vy chọn đáp án B.
Câu 6. Cho t din ABCD có
AB CD 2x
và bn cnh còn lại có độ dài bng 1.
Câu 6.1. Tính din tích toàn phn ca t din.
A.
2
2x. 1 x
B.
2
2x. 1 x
C.
2
2x. x 1
D.
2
x. 1 x
ng dn gii
Nhn thy bn mt ca t din là bn tam giác bng nhau.
TP ACD
S 4S 2AI.CD
, với I là trung điểm ca CD
2 2 2 2
2
ID x
AI AD ID 1 x
AI 1 x (do 0 x 1)

Vy
2
TP
S 2x. 1 x
Vy chọn đáp án B.
Câu 6.2. Xác định x để din tích toàn phn đạt giá tr ln nht.
A.
1
2
B.
6
2
C.
5
4
D.
3
4
ng dn gii
TP
S0
nên
TP
S
đt giá tr ln nht khi ch khi
2
TP
S
đt giá tr ln nht,
2 2 2
TP
S 4x 1 x
Nhưng
2
2
x0
0 x 1
1 x 0

Bất đẳng thc Cauchy
2
22
2 2 2
TP
x 1 x 1
x 1 x S 1 1
24





Đẳng thc xy ra
22
1
x 1 x x
2
(vì
x0
)
Vy
TP
0 x 1
1
maxS S 1
2





(ycbt)
Vy chọn đáp án A.
Câu 7. Cho t din ABCD
2
AB CD 2x 0 x
2




AC AD BC BD 1
. Gi
I, J lần lượt là trung điểm ca các cnh AB và CD. Tìm x để th tích t din ABCD ln nht
1
2x
1
2x
1
1
I
B
D
C
A
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 15
A.
1
3
B.
3
3
C.
5
2
D.
3
4
ng dn gii
Nhn xét: Ta có:
DI AB
AB ICD AB IJ
CI AB

. Tương t:
CD IJ
. Vậy IJ đoạn
vuông góc chung ca AB và CD (đpcm)
Ta có:
2 2 2
IJ ID DJ 1 2x
Din tích
2
ICD
1
ICD : S IJ.CD x 1 2x
2
Khi đó:
ABCD AICD IBCD ICD
1
V V V S . AI IB
3
22
ABCD
2
V x V x 1 2x
3
(ycbt)
Áp dụng BĐT Cauchy:
3
2 2 2
2 2 2 2
ABCD
4 4 x x 1 2x
V x .x .x 1 2x
9 9 3
23
V1
27





Du đẳng thc xy ra trong (1) khi và ch khi:
2 2 2
3
x x 1 2x x
3
Vy
ABCD
23
max V
27
xy ra khi và ch khi
3
x
3
(ycbt)
Câu 8. Một hình nón tròn xoay có bán nh đáy R đưng cao h
hR
. mt phng
đi qua đỉnh ca nh nón ct hình nón theo tiết din din tích ln nht. Tính din tích
thiết din
A.
22
hR
B.
22
5
hR
2
C.
22
3
hR
2
D.
22
1
hR
2
ng dn gii
Gi s mt phẳng đi qua đnh C ca hình nón ct hình nón theo
thiết din CAB. Thế t CAB là mt tam giác cân vi
CA CB
.
Gọi O là tâm hình tròn đáy và H là trung đim ca AB.
CO ABC
CH: ñöôøng xieân
OH: laø hình chieáu
AB OH AB CH
1
2x
1
1
1
2x
I
J
B
D
C
A
H
D
A
O
C
B
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 16
Đặt:
1
x AH AB
2

thì din tích S ca
CAB
là:
1
S AB.CH x.CH
2

Nhưng:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
CH CO OH CO OA AH h R x
2 2 2
S S x x h R x
Điu kiện xác định AB:
2x 2R x R
Đặt
22
t x ; x 0;R 0 t R

2 2 2 2 2 2 2
S x h R x g t t h R t
Ta viết:
2 2 2
g t t h R t
; vi
2
0 t R
Theo đề:
hR
, thì
22
S g t 0 t R
đạt giá tr ln nht khi:
22
1
t h R
2

.
22
1
maxS h R
2
tương ứng
22
hR
x
2
.
Vy chọn đáp án D.
Chú ý: Nếu đề bài cho
hR
, t
22
S g t 0 t R
đạt giá tr ln nht khi
2
tR
. Vy
S đạt giá tr ln nht khi
xR
(AB là một đường kính đáy), và ta có:
maxS Rh
.
Câu 9. Cho mt hình nón tròn xoay cao
15cm
, bán kính đáy bng
6cm
. Tìm chiu cao h
và bán kính đáy r ca hình trdin tích toàn phn ln nht ni tiếp trong hình n đó.
A.
r 5cm,h 2,5cm
B.
r 5cm,h 5cm
C.
r 5cm,h 2cm
D.
r 2cm,h 5cm
ng dn gii
Gi r h ln lượt bán kính đáy và chiều cao ca hình tr din tích toàn phn S ln
nht ni tiếp trong hình nón, ta có điều kin:
2
6 r 0
S 2 r 2 rh 1
15 h 0

Gi (SAB) là thiết diện qua đỉnh S ca hình n tâm O, đáy
là H.
SH 15cm
AH 6cm
r SH h r 15 h
AH SH 6 15

2 15 h
r2
5
30 5r
h3
2
Thế (3) vào (1) ta có:
b
H
r
15
h
S
B
A
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 17
22
30 5r
S S x 2 r 2 r 3 r 30 r 4
2


S' x 6 r 30 6 r 5 0 r 5 S 5 75
Bng biến thiên:
Da vào bng biến thiên
maxS 75
tương ứng
r5
.
Thay
r5
vào (3) và (4) ta được:
h 2,5
(cm)
Vy chọn đáp án A.
Câu 10. Trong các hình nón tròn xoay cùng din tích toàn phn bng
. Tính th tích
hình nón ln nht?
A.
2
9
B.
2
12
C.
2
2
D.
2
3
ng dn gii
Xét
2
tp
S R R
( là chiều dài đường sinh)
2
2
1 R 1
1 R R R
RR
Lúc đó:
2
2 2 2 2 2 2
11
V R .h R R R R R
3 3 3 R


2
2 2 2 2 2
2
2
2 2 2 2 2
2 2 2
1
V R 2 R 1 2R V R 1 2R
3 3 9
R
2R 1 2R
V .2R 1 2R . 1
18 18 2 72
.2
V2
12
72






Đẳng thc trong (1) hoc (2) xy ra
22
2R 1 2R
2
11
RR
42
Vy:
2
maxV
12
tương ứng
13
R;
22
Vy chọn đáp án B.
-
+
0
75
π
5
+
-
6
0
S'
r
S
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 18
Câu 11. Trên cnh AD ca hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M vi
AM x 0 x a
, trên nửa đường thng Ax vuông góc ti A vi mt phng ca hình
vuông, người ta lấy điểm S vi
SA y y 0
. Vi gi thiết
2 2 2
x y a
, tìm giá tr ln
nht ca th tích hình chóp S.ABCM.
A.
2
3a
42
B.
2
3a
12
C.
2
2a
2
D.
2
3a
8
ng dn gii
Xét
2 2 2 2 2
x y a y a x
22
SABCM
a
V V x a a x
6
Ta có
maxV
xy ra
2
max 3V
xy ra.
2
2
a
3V x a x a x a 3a 3x 1
36
Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 s không âm, ta có:
4
1
2
2
4
2 6 6
22
x a x a x a 3a 3x
a
3V
36 4
a 3 81a 3a 3
V . a V a 2
36.3 2 36.3.16 64 8








Du đẳng thc trong (2) xy ra
a
a x 3a 3x x
2
Do đó khi M là trung điểm AD thì th tích
SABCM
V
cực đại và
2
3a
maxV
8
Vy chọn đáp án D.
Câu 12. Cho tam giác đều OAB cnh bng
a0
. Trên đường thẳng (d) đi qua O vuông
góc vi mt phng (OAB) lấy điểm M vi
OM x
. Gi E, F lần lượt các hình chiếu
vuông c ca A lên MB, OB. Đường thng EF ct d ti N. Xác định x để th tích t din
ABMN là nh nht.
A.
3a
2
B.
3a
4
C.
a2
2
D.
3a
5
ng dn gii
Để ý:
AF MBO MNB
AF
là chiu cao hình chóp A.BMN.
ABMN MNB
11
V AF.S AF.BO.MN
36
a
x
y
x
O
D
A
B
C
S
M
x
a
E
O
B
F
A
N
M
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 19
Trong đó:
a3
AF
2
BO a
MN MO ON x ON
Do đó:
ABMN
min V min x ON
Mt khác, ta có:
NOF BOM
2
NO OF a
OM.NO BO.OF x.ON const
BO OM 2
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
2
a
x ON 2 a 2 *
2
Du đẳng thc trong (*) xy ra
a2
x ON
2
a2
min x ON a 2 x ON
2
Vy th tích t din ABMN nh nht khi và ch khi:
a2
x
2
.
Vy chọn đáp án C.
Câu 13. Trong mt phng (P) cho hình vuông ABCD vi
AB 2a
. Trên mt phng cha
BC và vuông góc vi (P) lấy điểm E sao cho
EBC
tam giác đều; điểm I nằm trên đon
BC, đặt:
BI x
. O trung điểm ca AE.
Câu 13.1. Tính độ dài OI theo a và x.
A.

22
x ax 2a
B.

22
x ax 2a
C.

22
x ax 2a
D.

22
x ax 2a
ng dn gii
Định lý đường trung tuyến cho:
2 2 2
2
2AI 2EI AE
OI
4

Vi
22
22
2 2 2 2 2 2 2
EF 3a
AF 5a
AE AF EF 8a , AI 4a x
22
OI x ax 2a
Vy chọn đáp án B.
Câu 13. 2. Tìm x để độ dài OI ln nht.
A.
a
2
B.
2a
C.
a
D.
a
5
Câu 13.3. Tìm x để độ dài OI bé nht.
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 20
A.
a
2
B.
2a
C.
a
D.
a
5
ng dn gii
Ta viết:
2 2 2
OI f x x ax 2a ; x 0;2a

a
f' x 2x a 0 x
2
Da vào bng biến thiên, ta có:
2
0 x 2a
2
0 x 2a
max f x f 2a 2a
a a 7
min f x f
22











0 x 2a
0 x 2a
max OI S 2a 2a
a a 7
min OI S
22







Câu 14. Cho t din ABCD có
AB CD 2x
và 4 cnh còn lại đều độ dài bng 1.
Xác định x để din tích toàn phần đạt giá tr ln nht.
A.
1
2
B.
2
2
C.
2
D.
2
5
ng dn gii
Nhn thy các mt ca t din là các tam giác bng nhau.
Suy ra, din tích toàn phn ca t din là:
tp ACD
S 4S 2AI.CD 1
Với AI là đường cao ca
CAD
cân ti A, ta có:
1
2 2 2
tp
AI 1 x ; 0 x 1 S 2.2x 1 x 4x 1 x ; 0 x 1
Nhn thy:
2
2
tp
max S max x 1 x



22
max 16x 1 x
Áp dụng BĐT Cauchy:
2
22
2 2 2
tp
x 1 x
S 16x 1 x 16. 4 2
2





1
2x
2x
1
1
1
I
C
A
B
D
x
2a
O
F
A
B
C
D
E
I
(2a)
2
(a
2
)
2
+
0
a
7
2
2
-
a
2
+
-
2a
0
f'(x)
x
f(x)
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 21
Du đẳng thc trong (2) xy ra
22
2
x 1 x x
2
Vy vi
2
x
2
thì din tích toàn phn ca t diện đạt gtr ln nht là
tp
maxS 2
Vy chọn đáp án B.
Câu 15. Cho t din ABCD sao cho
AB 2x, CD 2y
và 4 cnh còn lại đều có độ dài bng
1. Xác định x và y để din tích toàn phần đạt giá tr ln nht.
A.

1
xy
2
B.

2
xy
2
C.
x y 1
D.

1
xy
3
ng dn gii
Gi M, N lần lượt là trung điểm ca AB, CD.
Ta có:
ABD
cân ti D.
2 2 2
DM AD AM 1 x
Tương tự:
2
AN 1 y
. Lúc đó:
2
ABC ABD
1
S S AB.DM x 1 x
2
Hoàn toàn tương t:
2
BCD ACD
S S y 1 y
Vy din tích toàn phn
tp
S
ca t din là:
22
tp ABC ABD BCD ACD
S S S S S 2 x 1 x y 1 y



Áp dụng BĐT Schwart, ta có:
2 2 2 2 2 2
tp tp
S 2 x 1 x y 1 y x 1 x y 1 y S 2 1
Du đẳng thc trong (1) xy ra
2
2
x 1 x
2
xy
2
y 1 y


Vy
tp
2
maxS 2 x y
2
Vy chọn đáp án B.
Câu 16. Cho t din SABC cnh SA vuông c vi mt phng (ABC), nh din cnh SB
nh din vuông. Biết
SB a 2
, góc
BSC
4
, c
ASB 
;
0
2


. Vi giá tr nào
ca
thì
SABC
V
ln nht.
A.
3
B.
6
C.
2
D.
4
ng dn gii
1
2y
2x
1
1
1
N
C
A
B
D
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 22
Th tích t din SABC là:
SABC SAB
SABC
1
V BC.S
3
1
V a 2SA.AB
6

Vi chú ý:
AB
sin AB a 2 sin
SB
SA
cos SA a 2 cos
SB
Khi đó:
3
SABC
1 a 2
V a 2.a 2 sin .a 2 cos sin2
66
Vy:
SABC
max V sin2 1
4
.
Vy chọn đáp án D.
Câu 17. Cho tam din ba mt vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz ln lượt ly các điểm A, B, C.
Gi s A, B, C thay đổi nhưng luôn có:
OA OB OC AB BC AC k
không đổi.
Hãy xác định giá tr ln nht ca th tích t din OABC.
A.



3
1k
6
3 3 2
B.



3
1k
6
3 3 2
C.



3
1k
6
3 3 3
D.




3
1k
6
3 3 2
ng dn gii
Ta có:
OA OB OC AB BC AC k
2 2 2 2 2 2
a b c a b b c a c k
Vi
a 0, b 0, c 0
.
Áp dụng BĐT Cauchy:
3
22
22
22
a b c 3 abc 1
a b 2ab 2
b c 2bc 3
a c 2ac 4
Ly:
2 3 4
và áp dụng BĐT Cauchy ta có:
2 2 2 2 2 2
3
a b b c a c 2ab 2bc 2ac 3 2. abc 5
Th tích hình chóp:
SABC SABC
1
V abc 6V abc
6
Tương tự:
15
và li áp dng BĐT Cauchy, ta có:
a
2
α
45
°
A
C
S
B
c
a
b
O
C
A
B
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 23
15
3
3
SABC
3
SABC
k 3 3 2 abc k 3 3 2 6.V 6
1k
V7
6
3 3 2




Du đẳng thc trong (7) xảy ra khi đồng thi (5) và (6) xy ra
a b c
.
Vy
3
SABC
1k
max V
6
3 3 2



khi
a b c
Vy chọn đáp án A.
Câu 18. Cho nh vuông ABCD cnh a, m O. Gi S mt điểm ngoài mt phng
(ABCD) sao cho
SB SD
. Gi M điểm tùy ý trên AO vi
AM x
. Mt phng
qua
M song song vi SA BD ct SO, SB, AB ti N, P, Q. Cho
SA a
. Tính x để din tích
MNPQ ln nht.
A.
a2
2
B.
a2
4
C.
a2
3
D.
a2
5
ng dn gii
Nhn xét: T giác MNPQ là hình ch nht. Tht vy
SB SD
Hai tam giác SBC và SDC bng nhau.
Gọi I trung điểm ca SC, ta có:
IB ID BID
cân ti I
IO BD
IO SA SA BD
Mp BD
ct hai mt phng (ABO) và (SBO) theo hai giao tuyến:
MQ NP OB∥∥
.
Mp SA
ct hai mt phng (SAO) và (SAB) theo hai giao tuyến:
MN PQ SA∥∥
.
Vy MNPQ là hình bình hành.
Biết rng
SA OB
MNPQ
là hình ch nht.
Ta có:
MNPQ
S MQ.MN
Biết tam giác AMQ vuông cân ti M
MQ MA x
a2
x
NM OM NM a 2 2x
2
NM
SA OA a
a 2 2
2
Vy
MNPQ
S x a x 2
(vi
a2
0x
2

)
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số
x2
a x 2
Ta có:
2
2
x 2 a x 2 a
x 2 a x 2
24





a
P
N
Q
O
I
C
A
D
A
B
M
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 24
Vy
22
x a x 2
a a 2
28
42

2
MNPQ
a2
S
8

Du “=” xảy ra khi
a a 2
x 2 a x 2 x
4
22
M là trung điểm ca AO.
Vy chọn đáp án B.
Câu 19. Cho tam din Oxyz có các góc
xOy yOz zOx
. Trên Ox, Oy, Oz ln lượt ly
A, B, C sao cho
OA OB OC x
. Tính
để din tích xung quanh ln nht.
A.
2
B.
4
C.
3
D.
4
ng dn gii
xOy yOz zOx
OA OB OC x
OAB OBC OAC
AB BC CA
Gi H là tâm ca đường tròn ngoi tiếp tam giác ABC
OH là trc ca tam giác ABC.
Ta có:
2
xq OBC
3
S 3S x sin
2
2
xq
3
maxS x
2
khi
sin 1
2
.
Vy chọn đáp án A.
Câu 20. Hình chóp t giác SABCD cnh
SA x,x 0, 3
, tt c các cnh còn lại độ
dài 1. Xác định x để hình chóp có th tích ln nht.
A.
3
3
B.
3
4
C.
3
2
D.
3
5
ng dn gii
D thy hai tam giác SBD và CBD bng nhau (c.c.c)
OS OC
OS OC OA

ASC
vuông ti S.
ABCD
1
S AC.BD
2
ASC
vuông cho
2
AC x 1
COD
vuông ti O cho:
x
x
x
α
2
H
M
A
C
B
O
x
H
O
B
D
A
S
C
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 25
22
22
x 1 3 x
OD CD OC 1
42

Vy
22
ABCD
1
S 3 x . x 1
2
SB SC SD 1 SH
là trc ca tam giác BCD
SH AC
Tam giác ASC vuông cho:
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 x 1
1
SH SC SA x x
2
x
SH
x1
Ta có:
22
2
x 3 x
x 3 x
V
66

Áp dụng BĐT Cauchy:
22
22
x 3 x 3
x 3 x
62

Vy
max
1
V
4
khi
22
3
x 3 x x
2
. Vy chọn đáp án C.
Câu 21. Trong các hình tr din tích toàn phần không đổi
2
2a
. Tìm th tích hình tr
ln nht.
A.
3
3a
3
B.
3
3a
5
C.
3
3a
2
D.
3
2a
33
ng dn gii
Gi x, y lần lượt là bán kính đáy và chiều cao ca hình tr. Theo gi thiết ta có:
2 2 2 2
2 x 2 xy 2 a x xy a 1
Th tích hình tr là:
2
V x y
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số:
2
xy xy
x , ,
22
, ta có:
4 2 4 2 4 2
3
2 2 6 2
33
xy xy x y x y x y
2a
x 3 a 3 a 27 x y
2 2 4 4 4
33
Vy
3
2a
V
33
. Suy ra
3
2a
maxV
33
. Dấu “=” xảy ra khi
2
2
a3
x
xy
a
3
x
23
2a 3
y
3
Vy chọn đáp án D.
Câu 22. Trong các hình tr din tích xung quanh cng din tích một đáy không đổi
2
2a
. Tìm th tích hình tr ln nht.
A.
3
3
B.
3
4
C.
3
2 6 a
9
D.
3
5
ng dn gii
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 26
Nếunh tr h một đáy, ta có:
2 2 2 2
x 2 xy 2 a x 2xy 2a
Th tích ca hình tr:
2
V x y
Áp dng bất đẳng thc Cauchy cho ba s:
2
x ,xy,xy
. Ta có:

2 4 2 2 4 2
33
3 3 3
6 4 2 2 2
3
x xy xy 3 x y 2a 3 x y
2 2a 2 6a 2 6 a
8a 27x y x y x y V
99
33
2 6 a
maxV
9
Du “=” xảy ra khi:
2
2
2a 2
x xy x y a
33
Vy chọn đáp án C.
Câu 23. Trong tt c các hình tr cùng th tích V, nh din tích toàn phn hình tr nh
nht.
A.
2
3
V
3
4
B.
2
3
V
3
5
C.
2
3
V
3
9
D.
2
3
V
3
7
ng dn gii
Gi x, y lần lượt là bán kính đáy và chiều cao ca hình tr.
Ta có:
2
S 2 x 2 xy
2
V x y
Áp dng bất đẳng thc Cauchy cho ba s:
2
xy xy
x , ,
22
Ta có:
3
2
2
xy xy
x
xy xy
22
x . .
2 2 3







3
4 2 2
x y x xy
43









3
2 2 2
3
3
2
S
2
V 27 V V
S S 3
27 4 4
4
Du “=” xảy ra khi:
2
V
x
xy
V
2
x
22
V
y2
2
Vy chọn đáp án A.
Câu 24. Trong tt c nh nón cùng din tích toàn phn
2
a
, tìm hình n th tích
ln nht.
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 27
A.
3
2
maxV a
11
B.
3
2
maxV a
12
C.
3
2
maxV a
13
D.
3
2
maxV a
3
ng dn gii
Gi
x,y
lần lượt là chiu cao, bán kính đáy ca hình nón, ta có:
2 2 2 2
2
y y x y a 1
1
V y x 2
3

T (1) ta có:
2 2 2 2
y. x y a y






4
2 2 2 4 2 2 4
2
22
4
22
ya
ya
a
y x y a 2a y y
y
x 2a
1x
Va
3
x 2a
Biết:
2 2 2
2
x 2a 2a
x 2 2a 2 2a
xx
(BĐT Cauchy)
22
x1
2 2a
x 2a

Suy ra
3
2
Va
12
Vy:
3
2
maxV a
12
. Dấu “=” xảy ra khi:
2
x a 2
2a
x
a
x
y
2

Vy chọn đáp án C.
Câu 25. Trong tt c hình nón có độ dài đưng sinh là a , tìm hình nón có th tích ln nht.
A.
3
a3
MaxV
27
B.
3
2
maxV a
2
C.
3
3
maxV a
23
D.
3
2
maxV a
13
ng dn gii
Gi x, y lần lượt là bánnh đáy và chiều cao ca hình nón, ta có:
22
2
x y a
V x y


Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số:
22
xx
, ,y
22
, ta có:

22
2 4 2 2 4 2
33
63
4 2 2
33
xx
y 3 x y a 3 x y
22
aa
x y x y
27
33
a 3 a 3
V MaxV
27 27
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 28
Du “=” xảy ra khi:
22
2
2
xa
xa
3
y
23
a
y
3
Vy chọn đáp án A.
Câu 26. Tìm hình nón th tích nh nht ngoi tiếp mt hình tr bán nh r chiu
cao h.
A.
2
rh
minV
5
B.
2
rh
minV
3
C.
2
rh
minV
4
D.
2
rh
minV
2
ng dn gii
Gi x, y là bán kính và chiu cao ca hình nón ngoi tiếp.
Th tích hình n là:
2
1
V x y
3

Các tam giác SOE và SID đồng dng cho :
y y h
hx
y
x r x r
3
1 hx
V
3 x r
Xét biu thc:
2
2
2 3 2
r x r
x r 1 1 1 r
.1
3 2 x
r x r
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số:
r r 2r
, , 2
x x x



Ta có:
3
r r 2r
2
r r 2r 8
x x x
. . 2
x x x 3 27









2
32
r r 4 x 27r
1
x x 27 x r 4
Vy:
32
32
x r 4 x 27r
x r 4
x 27r
22
r h r h
V minV
44

Du “=” xảy ra khi:
r r 3r
2 1 x
x x 2



Vy chọn đáp án C.
Câu 27. Cho mt hình nón tròn xoay đỉnh S, thiết din qua trc mt tam giác đều cnh
2R. Người ta cho mt hình cu ni tiếp vi mt bên ca hình nón. Tính bán kính hình
cầu để phn th tích chung ca hình nón và hình cu ln nht.
A.
R3
2
B.
R3
3
C.
R2
2
D.
R
2
ng dn gii
x
r
h
y
B
A
O
E
F
S
D
C
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 29
Gi s mt cu tâm O tiếp xúc trong vi mt bên ca hình nón.
Th tích ca phn chung ca hình cầu và hình nón được cho bi công thc:
2
1
V CD 3x CD
3
Biết rng:
CD SC DS SC SO OD SC OD SO
R 3 x 2x R 3 x
Vy
2
1
V R 3 x 4x R 3
3
Gọi E là trung điểm ca SB, tiếp đim M phi thuc đoạn EB.
R SM 2R
R 3 2R 3
x
33

R 3 x 0
R3
2x 0
3

Áp dng bất đẳng thc Cauchy cho ba s:
R 3 x,R 3 x
R3
2x 0
2

ta có:
3
R3
2R 3 2x 2x
R3
2
R 3 x R 3 x 2x
23










2
3
1 3 3
R 3 x 4x R 3 R
38
Suy ra:
33
33
V R maxV R
44

Du “=” xảy ra khi:
R3
R 3 x 2x
2
R 3 R 3 R 3
x CD SC x R 3
2 2 2
Vy
CD x
. Tâm O ca mt cu tng với trung điểm C ca cnh AB.
Vy chọn đáp án A.
D
R
30
°
E
S
M
C
A
B
O
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 30
Để s dng file word, quý thầy cô vui lòng đóng góp chút kinh phí đ tạo đng lc cho tác gi
ra đời những chuyên đề khác hay hơn
STT
TÊN TÀI LIU
GIÁ
MÃ S
1
KĨ THUẬT GII NHANH TRC NGHIM S PHC_123
Tặng 6 đề word thi th THPT Quc gia 2017
(có đáp án và lời gii chi tiết) 1-6}
60K
SO PHUC_123
2
CH ĐỀ 1_KHỐI ĐA DIỆN {26 Trang}
Tặng 5 đề word thi th THPT Quc gia 2017
(có đáp án và lời gii chi tiết) 7-11}
50K
HHKG_KDD
3
CH ĐỀ 2_TH TÍCH KHI CHÓP {59 Trang}
Tặng 10 đề word thi th THPT Quc gia 2017
(có đáp án và lời gii chi tiết) 12-21}
110
K
HHKG_TTKC
4
CH ĐỀ 3_TH TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ {34 Trang}
Tặng 5 đề word thi th THPT Quc gia 2017
(có đáp án và lời gii chi tiết) 22-26}
70K
HHKG_TTLT
5
CH ĐỀ 456_NÓN TR CU {56 Trang}
Tng 10 đề word thi th THPT Quc gia 2017
(có đáp án và lời gii chi tiết) 27-36}
110
K
HHKG_NTC
6
CH ĐỀ 7_KHONG CÁCH {68 Trang}
Tng 12 đề word thi th THPT Quc gia 2017
(có đáp án và lời gii chi tiết) 37-49}
130
K
HHKG_KC
7
CH ĐỀ 8_GÓC {21 Trang}
Tng 5 đề word thi th THPT Quc gia 2017
(có đáp án và lời gii chi tiết) 50-54}
50K
HHKG_GOC
8
CH ĐỀ 9_CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN CÁC
KHI LNG NHAU {29 Trang}
Tng 8 đề word thi th THPT Quc gia 2017
(có đáp án và lời gii chi tiết) 55-63}
80k
HHKG_CT
ng dn thanh toán
Quý thy thanh toán cho mình qua ngân hàng. Sau khi chuyn khon, mình s lp tc gi tài
liu cho quý thy cô.
Nếu trong ngày mà thầy cô chưa nhận được thì vui lòng gọi điện trc tiếp cho mình.
Thầy cư. SĐT: 01234332133
NGÂN HÀNG
TÊN TÀI KHON
TRN ĐÌNH CƯ
TRẦN ĐÌNH CƯ
TRẦN ĐÌNH CƯ
S TÀI KHON
4010205025243
0161000381524
55110000232924
CHI NHÁNH
THA THIÊN HU
THA THIÊN HU
THA THIÊN HU
Ni dung: H và tên_email_ma tai liu
BÀI TOÁN CC TR HÌNH HC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHI LNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyn thi THPT Quc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 31
Ví d: Nguyn Th B_nguyenthib@gmail.com_HHKG_TTKC
Lưu ý:
Thy cô đọc k file PDF trước khi mua, tài liu mua ch dùng vi mục đích cá nhân, không đưc
bán li hoc chia s cho người khác.
CHÚC QUÝ THY CÔ DY TT VÀ THÀNH CÔNG TRONG S NGHIP TRỒNG NGƯI
| 1/31

Preview text:

BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU T
hs. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 1
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU
Trong quá trình tìm kiếm lời giải nhiều bài toán hình học, sẽ rất có lợi nếu chúng ta xem xét các
phần tử biên, phần tử giới hạn nào đó, tức là phần tử mà tại đó mỗi đại lượng hình học có thể nhận
giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất, chẳng hạn như cạnh lớn nhất, cạnh nhỏ nhất của một tam
giác; góc lớn nhất hoặc góc nhỏ nhất của một đa giác v.v…
Những tính chất của các phần tử biên, phần tử giới hạn nhiều khi giúp chúng ta tìm được lời giải
thu gọn của bài toán.
Phương pháp tiếp cận như vậy tới lời giải bài toán được gọi là nguyên tắc cực hạn.
Như vậy bài toán cực trị hình học là cần thiết trong không gian, nó thường xuất hiện ở những câu
hỏi khó trong phần thi trắc nghiệm THPT Quốc gia. PHƯƠNG PHÁP
Cơ sở của phương pháp cần kết hợp giữa các quan điểm tìm cực trị như sau:
1. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC THÔNG DỤNG
Bất đẳng thức Cauchy cho các biến đại lượng không âm.
fx  Ax Bx  2 Ax.Bx  const; x   D 1   2    
g x  Ax.Bx A x Bx     const; x   D 2   2    Nếu x
  , để đẳng thức trong (1) hoặc (2) xảy ra  Ax  0  Bx0  0 D
minf x  f x0   x D    (ycbt) max g x  g x0   x D 
Bất đẳng thức Schwartz cho các biến đại lượng tùy ý.
px  a x.x  bx.x   2 a x 2  b x  2  x 2
  x  const; x  D 3    
q x  a x  b x  x   x  a    
  xx  bxx 2 2 2 2 2   const; x  D  4 Nếu x
  , để đẳng thức trong (3) hoặc (4) xảy ra: 0 D  maxp x  p x a x0  bx0     0    (ycbt)    x  x  x D   0 0 min q x q x0   x D 
2. SỬ DỤNG TÍNH BỊ CHẶN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC
hx  sin ux.cos ux  1 ; sin ux  0  1 nếu x        0 D :    max h x h x0  1 cos u x  1 x D  0
3. SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ LẬP BẢNG BIẾN THIÊN
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 2
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU
4. SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN LÝ HÌNH HỌC CỰC HẠN
MH laø ñöôøng vuoâng goùc M  MA laø ñöôøng xieân
 minMA  MH  A  H  HA laø hình chieáu H A
Từ ý nghĩa đường kính là dây cung dài nhất của đường tròn, ta có:
Hệ quả: M ở trên đường tròn (AB) đường kính AB; với O là tâm C M
thì: maxd M; AB  CO  MH  CO; CO  AB  
Khoảng cách ngắn nhất giữa hai đường thẳng là độ dài đường
vuông góc chung của hai đường thẳng đó. A O H B
Xác định điểm M trên đường thẳng (d) để MA MBmin
Đây là bài toán Bất đẳng thức  , cần phân biệt các trường hợp:
o A, B ở khác bên so với (d): A MA  MB  AB M M0 (d) min MA  MB  AB  töông öùng: M  M   0 AB d B
o A, B ở cùng bên so với (d): A
Dựng A’ đối xứng với A qua (d).
Lúc đó: A’ và B ở khác bên so với (d), nên trở về B trường hợp trên: M (d) I M0
MA  MB  AB  MA' MB'  AB
min MA  MB  minMA' MB  AB  A' töông öùng: M  M   0 A'B d
Kết luận: Vậy trong mọi trường hợp ta xác định được M thỏa mãn ycbt.
Xác định điểm M trên đường thẳng (d) để MA MB max
Tương tự, cần phân biệt hai trường hợp: A
o A, B ở cùng bên so với (d) MA  MB  AB B  max MA  MB  AB M M0 (d) tương ứng M    0 M AB d
o A, B ở khác bên so với (d)
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 3
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU
MA  MB  MA' MB  AB
Với A’ là hình đối xứng của điểm A qua (d), thì A’ và B ở cùng A phía với (d). M M0 (d)
max MA  MB  max MA' MB  AB töông öùng M  M   0 A'B d B A'
Kết luận: Vậy trong mọi trường hợp ta đã xác định điểm M thỏa ycbt.
I. MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1. Cho một hình nón cụt tròn xoay có chiều cao h, các bán kính đáy là r và R r  R .
Tìm kích thước của hình trụ tròn xoay có cùng trục đối xứng, nội tiếp trong hình nón cụt
đó và có thể tích lớn nhất. Giải r  x  R
Gọi x là bán kính, z là chiều cao của hình trụ. Ta có:  0  z   h
Giả sử rằng hình trụ nội tiếp trong hình nón cụt như thiết diện qua trục như hình bên.
Thiết diện này cắt hình nón theo hình thang cân AA’B’B, cắt hình trụ theo hình chữ nhật HKNM. SO' O' A' r   S SO OA R SO' r SO'    SO  SO' R  r OO' A' O' B' rh rh Rh  SO'  , SO   h  R  r R  r R  r M NO1 h 1 O M S 1 O x SO2 OA S 1 O     x  z OA SO OA SO SO R SO  z Mà S     A H O K B 1 O SO z x SO r 2 R R  2
Thể tích V hình trụ là: V  V x 2  x  z  .SO  z z 2 SO    2   R V x SO z 2SO.z z 2  2  2   SO    2   R V x  3z  2 2SO.z  2 SO z 0 z h 2      SO
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 4
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU    2 R  2 2 R SO V' x 3z 4SO.z SO 3 z z SO 2   2              2 SO SO  3  
     SO     Rh Rh V' x 0 z z SO z 3 z 3 R  r   R  r Bảng biến thiên: Rh Rh x 0 3(R-r) (R-r) h V'(x) + 0 - 0 + 0 CĐ CĐ CT  Rh Rh z     max y  3R  r x 3  z  h  x   r Rh r 2
Để ý rằng: 0  z  h , ta có: z     3R  r h R 3 Kết luận: r 2   Rh
: Thể tích của hình trụ lớn nhất khi hình trụ có kích thước bán kính đáy: x  , R 3 3 Rh chiều cao: z  . 3R  r 2 r  
 1: hình trụ có thể tích lớn nhất khi hình trụ có kích thước bán kính đáy: x  r và 3 R chiều cao z  h .
Ví dụ 2. Cho nửa hình cầu bán kính r và một nửa hình nón xoay ngoại tiếp với nửa hình
cầu (mặt đáy của hai hình nằm trong cùng một mặt phẳng). Gọi góc đỉnh của nón là 2 . 12
a) Với góc  nào thì diện tích toàn phần của hình nón bằng
diện tích toàn phần của 5 nửa hình cầu.
b) Với góc  nào thì hình nón có thể tích nhỏ nhất. Hướng dẫn giải
a. Gọi (SAB) là một tiết diện qua đỉnh S và tâm H của hình nón S
ngoại tiếp với nửa hình cầu bán kính r, ta có: α 1 HI  r, AHI  ASH  ASB   2 HI r  AH   cos  cos  I r AH r HI r α  A B SA   ; SH   H sin  cos  sin  sin  sin 
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 5
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU Gọi tp tp Sc ; S và n n
V theo thứ tự là diện tích toàn phần của nửa hình cầu, hình nón và thể
tích của hình nón, ta có: tp 2 2 2  S       c r 2 r 3 r 2 tp 2 r r r  S         n AH AH.SA . 2 cos  cos  cos  sin  2    tp 12 tp r sin 1 12 Vì 2 S     n Sc .3 r 3 5 sin   sin  5 3
 36sin   31sin   5  0    5  1   36 sin 1 sin   sin       0  6  6  5 1  sin    sin  6 6 
(vì  là một nửa góc ở đỉnh của hình nón     0 ) 2 12
Tương ứng diện tích toàn phần của hình nón bằng
diện tích toàn phần của nửa mặt 5 cầu (ycbt). 1 1 r r b. Ta có: V  V  2 2     n n AH .SH . 2 3 3 cos  sin  1 3 1 1 3 1      n V r r 2 3 3 cos  sin  3 sin   sin  2 1 3sin  cos   cos  Do đó: V '  V ' 3   n n r 3 sinsin 2 3  3  3  cos   sin   sin           V ' 3 3 3   n r sinsin 2 3   
Khi  biến thiên trong khoảng 0;  thì   2  n V ' 0     3 sin   1 trong đó 1 . 3 Ta có bảng biến thiên:
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 6
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU π α 0 α1 2 Vn' - 0 + Vn πr3 3 2 Do đó hàm     n
V   đạt cực tiểu tại . 1 3 3
Vậy với  xác định bởi sin  
thì hình nón có thể tích nhỏ nhất 3 V  r  . (ycbt). 3 n 2
Ví dụ 3. Cho khối tứ diện ABCD, biết BCD là một tam giác đều cạnh a và có tâm là điểm
O. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nhận đường tròn (BCD) làm một đường tròn lớn. Xác
định vị trí của đỉnh A trên mặt cầu ấy để thể tích tứ diện ABCD lớn nhất. Giải
Để ý đường tròn (BCD) là một đường tròn lớn của mặt cầu A
ngoại tiếp tứ diện ABCD và có O là tâm của tam giác BCD
cạnh a, nên tâm O của tam giác BCD cũng chính là tâm của
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. a 3  OA  OB  3 B D H
Từ đó diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: c O 2   a 2 a 3 4 2 S        C c 4 OA 4 a  3  3  
Gọi AH là đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh A xuống mặt đáy (BCD). H
 OAH  90   AH  OA
Và tính được thể tích của khối tứ diện ABCD bằng: 1 1  1 a 3  V  S    ABCD.AH . .a .AH 3 3  2 3    2 2 3.a 3.a  .AH  .OA 1 12 12
Dấu đẳng thức trong (1) xảy ra  H  O (hình chóp A. BCD đều) 2 3.a  max V  .OA (ycbt). 12
Ví dụ 4. Trong tất cả các lăng trụ tam giác đều có cùng diện tích toàn phần S, tìm các cạnh
bên và cạnh đáy của lăng trụ có thể tích lớn nhất. Giải
Gọi x là cạnh đáy và h là cạnh bên của lăng trụ.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 7
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU 2 2 x 3 x 3
Ta có diện tích toàn phần của lăng trụ: S  2.  3xh   3xh 4 2 2 x 3
Ta có thể tích của lăng trụ là: V  h 4 2 x 3 3xh 3xh
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số:   2 2 2 2 2 2 2 x 3 3xh 3xh x 3.9x .h Ta có: 3    3 2 2 2 8 4 2 4 2 4  S  3 9 3x .h 3  3 S  9 3x h 27.  3 S  3 2 9 3. x h 8 8 2 2 2  x 3h  2 2S S  S 2S V 4 4 4 4.9 3 18 3 S 2S Vậy max V  4 18 3  2S a    2 x 2S 3 x 3 3xh S  3 3 3 Dấu “=” xảy ra khi:     2 2 3  1 2S 3 h   .  3 3
Ví dụ 5. Cho mặt cầu tâm O bán kính R. Một hình nón nội tiếp trong hình cầu có chiều cao là x 0  x  2R .
a. Tính thể tích V, diện tích xung quanh S của hình nón.
b. Tìm hệ thức liên hệ giữa V, S, R độc lập đối với x.
c. Với giá trị nào của x thì V lớn nhất? Giải
a. Gọi r là bán kính đường tròn đáy của hình nón. S
r  OM  OH  R  x  R2 2 2 2 2 2 2
r  2Rx  x  x 2R  x O 1 1 Thể tích của hình nón: 2 2 V  r  x  x  2R  x 3 3 H
Diện tích xung quanh của hình nón: S  r  SM M Biết 2 2 2 SM  SH  HM  x   x 2R   x  2Rx 1 b. Ta có: 2 V  x  2R  x   1 3      2 2 2 S
x 2R 2R x  S  2 Rx 2R  x 2
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 8
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU 2 S
Lấy (2) chia (1) ta được:  6 R  V x x
c. Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số: , , 2R  x 2 2 3  x x     2R   x x x     2 2 . . 2R x    2 2  3      2 x    3 8R 2R x  4 27 1      3  2 32 R V x 2R x  3 81 3 32 R  x 4R Vậy max V  . Dấu “=” xảy ra khi:  2R  x  x  81 2 3
Ví dụ 6. Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp hình cầu bán kính R cho trước. So
sánh diện tích toàn phần và thể tích của hình nón với diện tích và thể tích của hình cầu. Giải
Gọi r là bán kính của đường tròn đáy, h là chiều cao và V là thể tích của hình nón. 1 2 V  r  h S 3
Hai tam giác SCA và SDO đồng dạng cho: 2 2 AC SA r r  h    D DO SO R h  R R 2  2 2 2 2 r r  h r  h  r    O 2 R hR2 hR2 2  R A r C B 2 2 2 2 h R hR r   h h  2R h  2R 2 2 1 1 h  R Suy ra: 2 V  r  h  3 3 h  2R 2 2 2 2 2 h h  4R  4R 4R Ta có:   h  2R      2 4R h 2R   4R h  2R h  2R h  2R h  2R
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 2       2 4R 4R h 2R h 2R  4R h  2R h  2R 2 h 2 4R Vậy:  8R h  2R 
 h  2R  2R  h  4R h  . Dấu “=” xảy ra khi: 2R h  2R
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 9
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU 3 8 R  Suy ra: V  3 3 8 R  min V  khi h  4R và r  R 2 3
Diện tích toàn phần của hình nón là: 2 2 2 2 2 S  r  SA  r   R  2 2R  16R  2 R   8 R 
Vậy lúc đó diện tích toàn phần và thể tích của hình nón đều gấp đôi diện tích và thể tích của hình cầu.
II. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SB  b và tam
giác SAC cân tại S. Trên cạnh AB lấy một điểm M với AM  x 0  x  a  . Mặt phẳng 
qua M song song với AC và SB cắt BC, SB, SA lần lượt tại N, P, Q. Xác định x để SMNPQ lớn nhất. A. a a a a B. C. D. 4 2 3
Phân tích: Trước hết ta phải xác định được MNPQ là hình chữ nhật
Vì mp / /SB và mp / /AC nên MNPQ là hình bình hành. AC  SO ( A  CS caân)   AC  mpSBD
AC BD (ñöôøng cheùo hình vuoâng)  
 AC  SB , mà MQ / /SB  MN  MQ
Vậy MNPQ là hình chữ nhật. Hướng dẫn giải Ta có: MN // AC S BM a  x  MN  .AC  .a 2  a  x 2 BA a S  AB có: MQ // SB Q b P AM bx  MQ  .SB  A AB a D b 2 M a S    O MNPQ MN.MQ a xx (đvdt) a B N C Ta có:    2 a x x      a a x x  a  xx 2 4  S   a  
MNPQ lớn nhất khi và chỉ khi a x x x . 2
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 10
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU
Vậy chọn đáp án C.
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA  a và AM AN S
 BD cân tại S. Trên AB, AD lần lượt lấy M, N sao cho   k 0  k   1 . Mặt AB AD
phẳng  qua MN song song với SA cắt SD, SC, SB tại P, Q, R. Tính k để SMNPQR lớn nhất. A.  1 k B.  5 k C.  1 k D.  2 k 2 3 3 3 Hướng dẫn giải
Ta có: MNPQR là hợp hai hình thang vuông bằng nhau MIQR và NIQP, trong đó:
MR // IQ // NP (cùng song song với SA), và MN // BD. Ta có:  S 2  ka      2ka IQ ; MR 1 k a; MI  Q 2 2 P R M S NPQR  2 M S IQR  IQ  MR.MI O' A D 2k 4 3k 2 a N  (ñvdt) I 4 M O 2 B S   C MNPQR max k . 3
Vậy chọn đáp án D.
Câu 3. Trên nửa đường tròn đường kính AB  2R , lấy điểm C tùy ý. Kẻ CH  AB (H
thuộc AB). Gọi I là điểm giữa của CH. Trên một nửa đường thẳng It vuông góc tại I với
mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho góc ASB  90 . Đặt AH  x . Với giá trị nào của x thì S
V ABC đạt giá trị lớn nhất. C. x  2R D. x  R A.  R x B.  R x 2 2 Hướng dẫn giải 1 S Ta có: V  S A  BC.SI , trong đó: 3 1 1 S
 AB.CH  2R AH.BH  R x2R  ABC x 2 2 3 3 H SI  CH  x2R  x. B A 2 2 I 3x 2R  x 1 R 3 Vậy: V  R x2R  x   .  x 2R  x C 3 2 6
V lớn nhất khi x2R  x lớn nhất.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 11
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU 2  x  2R  x  Biết x2R  x 2    
R . Dấu “=” xảy ra  x  2R  x  x  R  2  3 R 3
Vậy, thể tích tứ diện SABC lớn nhất khi x  R và  m V ax (đvtt) 6
Vậy chọn đáp án D.
Câu 4. Cho hình chóp đều có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Cho điểm MSA sao cho diện tích M
 BD nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất M  BD. 3a a a A. B. 2a C. D. 4 2 4 4 Hướng dẫn giải Gọi S là diện tích M  BD. S 1 1  S  BD.MO  a 2.MO 1 2 2 M
 minS xảy ra  minMO xảy ra a H
Nhưng min MO  d O,SA  OH   A
Vì tứ diện đều nên O  AB CD thì SO là đường cao. Da S  OA vuông tại O (2) OC B a 2 OA   2 Trong đó:  2 2  2 2 2 2a 2a a 2 SO  SA  OA  a     4 4 2 2  2 a 2 2 a SO 
A vuông cân tại O  OH  OA.  .  2 2 2 2  1 1 a 2a minS  .a 2. 
xảy ra khi H là trung điểm SA (ycbt) 2 2 4
Vậy chọn đáp án C.
Câu 5. Cho tứ diện ABCD có cạnh AB  x , các cạnh còn lại bằng a.
Câu 5.1. Tính diện tích toàn phần của tứ diện theo a, x. A. 2  2  2 a 3 x 4a x B. 2  2  2 a 3 4a x C. 2  2  2 a 3 2x 4a x D. 2  2  2 a 3 x 4a x Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm AB theo tính chất tam giác cân D CH  AB   DH   AB a a I
Ta có: AB  x; DA  DB  DC  AC  BC  a a a A C
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 12 x O H a B
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU  A  DC  B
 CD (do hai tam giaùc ñeàu caïnh a) Nên:   D  AB  C  AB 2 a 3  S   ADC SBCD  1 4 Ta có: 2 CH  2 AC  2 AH  2 a  x  1 2 4a  2 x  S  D  1 CH.AB  1 2 x 4a  2 DAB CAB x 2 4 2 2 4 1   Từ (1) và (2) 2 2 2  S     tp a 3 x 4a x  2  
Vậy chọn đáp án A.
Câu 5.2. Với giá trị nào của x thì thể tích A
V BCD đạt giá trị lớn nhất. 3a a 6 5a 3a A. B. C. D. 4 2 4 4 Hướng dẫn giải
Gọi O là hình chiếu của D xuống mặt phẳng (ABC)
Do AD  DB  DC  a  OA  OB  OC  DO là trục đường tròn ngoại tiếp A  BC.
DO hiển nhiên là đường cao tứ diện DABC.Gọi I là trung điểm DC. Ta có: DH  HC  D  HC cân  HI  DC 2 2 x a 1 Khi đó: 2 2 2 2 2 HI  HC  IC  a    3a  x 4 4 2 1 2 2  1 1 HI.DC 3a x .a 2 2 a 3a  x Từ: S     2    DHC DO.HC HI.DC DO DO 2 2 HC 1 2 2 2 2 4a  x 4a  x 2 2 2 2 2 1 1 a 3a  x x 4a  x Vậy   A V BCD SO. A S BC . . 3 3 2 2 4 4a  x 1 2 2      A V BCD ax 3a x (ycbt); 0 x a 3 12
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:     2   2 4  3  a 9a a V  3a x  x 3a x a x a  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2   .    3 ABCD . 144 144  2     144 4 8     3 a   A V BCD 4 8
Dấu đẳng thức trong (3) và (4) xảy ra 2 2 2 a 6  x  3a  x  x  2
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 13
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU a a 6 Vậy max V  3   ABCD tương ứng x (ycbt). 8 2
Vậy chọn đáp án B.
Câu 6. Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2x và bốn cạnh còn lại có độ dài bằng 1.
Câu 6.1. Tính diện tích toàn phần của tứ diện. A.  2 2x. 1 x B.  2 2x. 1 x C. 2 2x. x  1 D.  2 x. 1 x Hướng dẫn giải
Nhận thấy bốn mặt của tứ diện là bốn tam giác bằng nhau. A  S  
, với I là trung điểm của CD TP 4SACD 2AI.CD  ID  x  2 2 2 2 2x 1 AI  AD  ID  1   x 1   2
AI  1 x (do 0  x  1) 1 D B Vậy 2 S   2x TP 2x. 1 x 1 I
Vậy chọn đáp án B. C
Câu 6.2. Xác định x để diện tích toàn phần đạt giá trị lớn nhất. 1 3 A. 6 5 B. C. D. 2 2 4 4 Hướng dẫn giải Vì S  nên S
đạt giá trị lớn nhất, mà TP 0 S
đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 2 TP TP 2 2 S  4x  2  TP 1 x   2 x  0 Nhưng 0  x  1   2 1    x  0 2  2 2 x  1 x  1 Bất đẳng thức Cauchy 2  x  2 1 x  2      S  TP 1 1  2  4   Đẳng thức xảy ra 2 2 1  x  1 x  x  (vì x  0 ) 2  1  Vậy max S   TP S   1 (ycbt) 0x 1   2 
Vậy chọn đáp án A.  2 
Câu 7. Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2x  0  x   
và AC  AD  BC  BD  1. Gọi 2   
I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Tìm x để thể tích tứ diện ABCD lớn nhất
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 14
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU 1 A. 3 5 3 B. C. D. 3 3 2 4 Hướng dẫn giải DI  AB
Nhận xét: Ta có: 
 AB  ICD  AB  IJ . Tương tự: CD  IJ . Vậy IJ là đoạn CI   AB
vuông góc chung của AB và CD (đpcm) Ta có: 2 2 2 IJ  ID  DJ  1 2x 1 A Diện tích 2 IC  D : S    ICD IJ.CD x 1 2x 2 1 Khi đó:     A V BCD A V ICD I V BCD SICD.AI IB 3 I 1 1 2x  Vx 2 2 2    A V BCD x 1 2x (ycbt) 3 1 D Áp dụng BĐT Cauchy: B 3 2x    4      2 2 2     2 2 2 2 4 x x 1 2x 1 J V x .x .x 1 2x    9 9  3    C 2 3   A V BCD  1 27
Dấu đẳng thức xảy ra trong (1) khi và chỉ khi: 2 2 2 3 x  x  1 2x  x  3 2 3 3 Vậy max   A V BCD  xảy ra khi và chỉ khi x (ycbt) 27 3
Câu 8. Một hình nón tròn xoay có bán kính đáy R và đường cao h h  R . Có mặt phẳng
đi qua đỉnh của hình nón cắt hình nón theo tiết diện có diện tích lớn nhất. Tính diện tích thiết diện A. 2  2 h R 5 3 1 B.  2 h  2 R  C.  2 h  2 R  D.  2 h  2 R  2 2 2 Hướng dẫn giải
Giả sử mặt phẳng đi qua đỉnh C của hình nón cắt hình nón theo C
thiết diện CAB. Thế thì CAB là một tam giác cân với CA  CB .
Gọi O là tâm hình tròn đáy và H là trung điểm của AB. CH : ñöôøng xieân CO  ABC   OH : laø hình chieáu Mà AB  OH  AB  CH O A D H B
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 15
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU 1 Đặt: x  AH  AB thì diện tích S của C  AB là: 2 1 S  AB.CH  x.CH 2 Nhưng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
CH  CO  OH  CO  OA  AH  h  R  x     2 2 2 S S x  x h  R  x
Điều kiện xác định AB: 2x  2R  x  R Đặt 2 2 t  x ; x
 0;R  0  t  R   2 2    2 2 2       2 2 S x h R x g t t h  R  t Ta viết:   2     2 2 g t t h  R t ; với 2 0  t  R 1
Theo đề: h  R , thì 2     2 S g t
0  t  R  đạt giá trị lớn nhất khi: t   2 2 h  R . 2 1 2 2   h R max S   2 2
h  R  tương ứng x  . 2 2
Vậy chọn đáp án D.
Chú ý: Nếu đề bài cho h  R , thì 2     2 S g t
0  t  R  đạt giá trị lớn nhất khi 2 t  R . Vậy
S đạt giá trị lớn nhất khi x  R (AB là một đường kính đáy), và ta có: maxS  Rh .
Câu 9. Cho một hình nón tròn xoay cao 15cm , bán kính đáy bằng 6cm . Tìm chiều cao h
và bán kính đáy r của hình trụ có diện tích toàn phần lớn nhất nội tiếp trong hình nón đó.
A. r  5cm,h  2,5cm
B. r  5cm,h  5cm
C. r  5cm,h  2cm
D. r  2cm,h  5cm Hướng dẫn giải
Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ có diện tích toàn phần S lớn 6  r  0
nhất nội tiếp trong hình nón, ta có điều kiện: 2   S  2 r   2 r  h  1 15  h   0
Gọi (SAB) là thiết diện qua đỉnh S của hình nón có tâm O, đáy S là H.  SH  15cm r r SH  h r 15  h AH  6cm và    AH SH 6 15 15h 2 15  h r  2  5   A H  30  5r B h  3  b 2 Thế (3) vào (1) ta có:
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 16
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU  30  5r  S  Sx 2 2  2 r   2 r   3  r   30 r    4  2   S'x  6  r   30  6
 r  5  0  r  5  S5  75 Bảng biến thiên: r 0 5 6 S' + + 0 - - 75π S
Dựa vào bảng biến thiên  maxS  75 tương ứng r  5 .
Thay r  5 vào (3) và (4) ta được: h  2,5 (cm)
Vậy chọn đáp án A.
Câu 10. Trong các hình nón tròn xoay cùng có diện tích toàn phần bằng  . Tính thể tích hình nón lớn nhất?  2  2  2  2 A. B. C. D. 9 12 2 3 Hướng dẫn giải Xét 2 S      
( là chiều dài đường sinh) tp R R 2  2 1 R 1  1  R  R     R R R Lúc đó: 2 1     2 2 2 2 2 1 2 V  R  .h  R  R  R  R    R 3 3 3  R  2    2 1 2 2 2  V  R  2  R 1 2R  V  R  2 1  2R 2  3 R 3 9       2 2 2   2 2    2  2 2 2 2R 1 2R V .2R 1 2R  .   1 18 18  2  72    .  2 V   2 72 12
Đẳng thức trong (1) hoặc (2) xảy ra 2 2  2R  1 2R 2 1 1  R   R  4 2  2 1 3 Vậy: max V  tương ứng R  ;  12 2 2
Vậy chọn đáp án B.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 17
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU
Câu 11. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với
AM  x 0  x  a , và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc tại A với mặt phẳng của hình
vuông, người ta lấy điểm S với SA  y y  0 . Với giả thiết 2 2 2
x  y  a , tìm giá trị lớn
nhất của thể tích hình chóp S.ABCM. 2 3a 2 3a 2 2a 2 3a A. B. C. D. 42 12 2 8 Hướng dẫn giải Xét 2  2  2   2  2 x y a y a x    a V V xa 2 a  2 SABCM x 6 x Ta có max V xảy ra   2 max 3V  xảy ra. S 2 Mà 2 a 3V 
xax ax a3a 3x 1 36 y
Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số không âm, ta có:   x M A D
a x  a  x  a  x  a  3a  3x 4 1 2  2  3V    36  4   O 4 2 6 6   B C 2 a 3 81a 3a 3 2  a V  . a    V    a 2 36.3  2  36.3.16 64 8 a
Dấu đẳng thức trong (2) xảy ra  a  x  3a  3x  x  2 2 3a
Do đó khi M là trung điểm AD thì thể tích max V  S V cực đại và ABCM 8
Vậy chọn đáp án D.
Câu 12. Cho tam giác đều OAB có cạnh bằng a  0 . Trên đường thẳng (d) đi qua O vuông
góc với mặt phẳng (OAB) lấy điểm M với OM  x . Gọi E, F lần lượt là các hình chiếu
vuông góc của A lên MB, OB. Đường thẳng EF cắt d tại N. Xác định x để thể tích tứ diện ABMN là nhỏ nhất. 3a 3a a 2 3a A. B. C. D. 2 4 2 5 Hướng dẫn giải
Để ý: AF  MBO  MNB A
 AF là chiều cao hình chóp A.BMN. 1 1    a A V BMN AF.SMNB AF.BO.MN 3 6 N O x F M E
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. S
B ĐT: 01234332133 Page 18
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU  a 3 AF   2  Trong đó: BO  a MN  MO ON  x ON   Do đó: min    A V BMN  min x ON Mặt khác, ta có: N  OF∽ B  OM 2 NO OF a  
 OM.NO  BO.OF  x.ON   const BO OM 2 2 a
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: x  ON  2  a 2 * 2 a 2
Dấu đẳng thức trong (*) xảy ra  x  ON  2      a 2
min x ON  a 2  x  ON  2 a 2
Vậy thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất khi và chỉ khi: x  . 2
Vậy chọn đáp án C.
Câu 13. Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD với AB  2a . Trên mặt phẳng chứa
BC và vuông góc với (P) lấy điểm E sao cho EBC 
là tam giác đều; điểm I nằm trên đoạn
BC, đặt: BI  x . O là trung điểm của AE.
Câu 13.1. Tính độ dài OI theo a và x. A. 2   2 x ax 2a B. 2   2 x ax 2a C. 2   2 x ax 2a D. 2   2 x ax 2a Hướng dẫn giải
Định lý đường trung tuyến cho: 2 2 2   2 2AI 2EI AE OI  4  2 2 EF  3a  Với 2 2 AF  5a 2 2  OI  x ax  2a  2 2 2 2 2 2 2
AE  AF  EF  8a , AI  4a  x 
Vậy chọn đáp án B.
Câu 13. 2. Tìm x để độ dài OI lớn nhất. a B. 2a C. a a A. D. 2 5
Câu 13.3. Tìm x để độ dài OI bé nhất.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 19
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU a B. 2a C. a a A. D. 2 5 Hướng dẫn giải Ta viết: 2    2 2 OI f x  x  ax  2a ; x  0;2a         a f ' x 2x a  0  x 
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 2 E O a x -∞ 0 2a 2 +∞ B f'(x) - 0 + x A (2a)2 (a 2)2 F I f(x) a 7  2 C 2 2a D
 max fx  f2a  2a2 
 max OI  S2a  2a 0x2a  0x2a  2          a  a 7  a a 7 min f x  f       min OI  S          0x2a  2  2    0 x 2a   2  2
Câu 14. Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2x và 4 cạnh còn lại đều có độ dài bằng 1.
Xác định x để diện tích toàn phần đạt giá trị lớn nhất. 1 C. 2 2 A. 2 B. D. 2 2 5 Hướng dẫn giải
Nhận thấy các mặt của tứ diện là các tam giác bằng nhau.
Suy ra, diện tích toàn phần của tứ diện là: S   tp 4SACD 2AI.CD   1
Với AI là đường cao của C  AD cân tại A, ta có:  1 AI  1 2 x ; 0  x   1 S  2.2x 1 2 x  4x 1 2 tp x ; 0  x  1 Nhận thấy: A   maxS  2 2     tp max x 1 x    1 2x    2 2 max 16x 1 x  1 B 1 Áp dụng BĐT Cauchy: D 1 I     2x  16x 1x  2 2 2 2 2 2 x 1 x S     C tp 16. 4 2  2   
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 20
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU
Dấu đẳng thức trong (2) xảy ra 2 2 2  x  1 x  x  2 2 Vậy với x 
thì diện tích toàn phần của tứ diện đạt giá trị lớn nhất là max S  2 2 tp
Vậy chọn đáp án B.
Câu 15. Cho tứ diện ABCD sao cho AB  2x, CD  2y và 4 cạnh còn lại đều có độ dài bằng
1. Xác định x và y để diện tích toàn phần đạt giá trị lớn nhất.
C. x  y  1 A.   1 x y B.   2 x y D.   1 x y 2 2 3 Hướng dẫn giải
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. A Ta có: A  BD cân tại D. 1 2x 2 2 2
 DM  AD  AM  1 x Tương tự: 2 AN  1  y . Lúc đó: B 1 D 1 1 2 S     1 N ABC SABD AB.DM x 1 x 2 2y C Hoàn toàn tương tự: 2 S    BCD SACD y 1 y
Vậy diện tích toàn phần S của tứ diện là: tp  2 2  S          tp SABC SABD SBCD SACD 2 x 1 x y 1 y   
Áp dụng BĐT Schwart, ta có: 2 2  2 2 2 2 Stp 2 x 1 x y 1 y x 1 x    y 1 y             S  tp 2 1   2 x  1 x 2
Dấu đẳng thức trong (1) xảy ra    x  y  2 2 y  1 y  2 Vậy max S     tp 2 x y 2
Vậy chọn đáp án B.
Câu 16. Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nhị diện cạnh SB    
là nhị diện vuông. Biết SB  a 2 , góc BSC 
, góc ASB   ; 0      . Với giá trị nào 4  2  của  thì S V ABC lớn nhất.     A. B. C. D. 3 6 2 4 Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 21
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU
Thể tích tứ diện SABC là: S 1  S V ABC BC.SSAB α 45° 3 1   S V ABC a 2SA.AB a 2 6 C A  AB sin    AB  a 2 sin   Với chú ý: SB  SA  B cos    SA  a 2 cos  SB 3 1 a 2 Khi đó:      S V ABC a 2.a 2 sin .a 2 cos sin 2 6 6  Vậy: max       S V ABC  sin 2 1 . 4
Vậy chọn đáp án D.
Câu 17. Cho tam diện ba mặt vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C.
Giả sử A, B, C thay đổi nhưng luôn có:
OA  OB  OC  AB  BC  AC  k không đổi.
Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC.  3 3 3 3 1 k 1  k  1  k  1  k  A.   B.   C.   D.   6  3  3 2  6  3  3 2  6  3  3 3  6  3  3 2  Hướng dẫn giải
Ta có: OA  OB  OC  AB  BC  AC  k 2 2 2 2 2 2
 a  b  c  a  b  b  c  a  c  k A
Với a  0, b  0, c  0 . Áp dụng BĐT Cauchy: a 3  a  b  c  3 abc 1 2 2  O c a  b  2ab 2 C b 2 2  b  c  2bc 3 2 2  a  c  2ac 4 B
Lấy: 2  3  4 và áp dụng BĐT Cauchy ta có: 2 2 2 2 2 2 3
a  b  b  c  a  c  2ab  2bc  2ac  3 2. abc 5 1 Thể tích hình chóp:    S V ABC abc 6 S V ABC abc 6 Tương tự:  
1  5 và lại áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 22
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU  15
 k  3 3 23 abc  k  3 3 2 3 6. SA V BC 6 3 1  k    SA V BC   7 6  3  3 2 
Dấu đẳng thức trong (7) xảy ra khi đồng thời (5) và (6) xảy ra  a  b  c . 3 1  k  Vậy max  khi   S V ABC    a b c 6  3  3 2 
Vậy chọn đáp án A.
Câu 18. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng
(ABCD) sao cho SB  SD . Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM  x . Mặt phẳng  qua
M song song với SA và BD cắt SO, SB, AB tại N, P, Q. Cho SA  a . Tính x để diện tích MNPQ lớn nhất. a 2 a 2 a 2 a 2 A. B. C. D. 2 4 3 5 Hướng dẫn giải
Nhận xét: Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Thật vậy
Vì SB  SD  Hai tam giác SBC và SDC bằng nhau.
Gọi I là trung điểm của SC, ta có: IB  ID  B
 ID cân tại I IO  BD Mà IO S ∥ A  SA  BD Mp B
∥ D   cắt hai mặt phẳng (ABO) và (SBO) theo hai giao tuyến: MQ N ∥ P O ∥ B . Mp S
∥ A   cắt hai mặt phẳng (SAO) và (SAB) theo hai giao tuyến: MN P ∥ Q S ∥ A .
Vậy MNPQ là hình bình hành. A
Biết rằng SA  OB  MNPQ là hình chữ nhật. Ta có: S  MNPQ MQ.MN N
Biết tam giác AMQ vuông cân tại M  MQ  MA  x P I A D a 2  x NM OM NM a 2  2x M Và 2     NM  Q O a SA OA a a 2 2 2 C B a 2 Vậy S   0  x  MNPQ x a x 2  (với ) 2
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số x 2 và a  x 2      Ta có:    2 2 x 2 a x 2 a x 2 a x 2      2  4  
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 23
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU xa  x 2  2 2 a a 2 2 a 2 Vậy    S  2 MNPQ 4 2 8 8 a a 2
Dấu “=” xảy ra khi x 2  a  x 2  x  
 M là trung điểm của AO. 2 2 4
Vậy chọn đáp án B.
Câu 19. Cho tam diện Oxyz có các góc xOy  yOz  zOx   . Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy
A, B, C sao cho OA  OB  OC  x . Tính  để diện tích xung quanh lớn nhất.     A. B. C. D. 2 4 3 4 Hướng dẫn giải
xOy  yOz  zOx   Vì  OA  OB  OC  x  O  AB  O  BC  O  AC O  AB  BC  CA
Gọi H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC α x 2
 OH là trục của tam giác ABC. x 3 x Ta có: 2 S    xq 3SOBC x sin 2 A C 3  H M 2 max S       xq x khi sin 1 . 2 2 B
Vậy chọn đáp án A.
Câu 20. Hình chóp tứ giác SABCD có cạnh SA  x,x 0, 3, tất cả các cạnh còn lại có độ
dài 1. Xác định x để hình chóp có thể tích lớn nhất. 3 3 3 3 A. B. C. D. 3 4 2 5 Hướng dẫn giải
Dễ thấy hai tam giác SBD và CBD bằng nhau (c.c.c)  OS  OC  OS  OC  OA S  A  SC vuông tại S. 1 x S  ABCD AC.BD 2 A  SC vuông cho 2 AC  x  1 A D C  OD vuông tại O cho: O H B C
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 24
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU 2 2   2 2 x 1 3 x OD  CD  OC  1  4 2 1 Vậy 2 2 S    ABCD 3 x . x 1 2
Vì SB  SC  SD  1  SH là trục của tam giác BCD  SH  AC 2 1 1 1 1 1 x  1 x Tam giác ASC vuông cho:       SH  2 2 2 2 2 SH SC SA 1 x x 2 x  1 2   2 2 x 3  x x 3 x  Ta có: V   6 6   Áp dụng BĐT Cauchy:    2 2 2 2 x 3 x 3 x 3 x   6 2 1 Vậy      m V ax khi 2 2 3 x 3 x x
. Vậy chọn đáp án C. 4 2
Câu 21. Trong các hình trụ có diện tích toàn phần không đổi 2 2 a
 . Tìm thể tích hình trụ lớn nhất.  3 3a  3 3a  3 3a  3 2 a A. B. C. D. 3 5 2 3 3 Hướng dẫn giải
Gọi x, y lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Theo giả thiết ta có: 2 2 2 2 2 x   2 x  y  2 a   x  xy  a  1 Thể tích hình trụ là: 2 V  x  y
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số: 2 xy xy x , , , ta có: 2 2 4 2 4 2 4 2 3 2  xy  xy  x y x y x y 3  2  3  6   2  2a x 3 a 3 a 27 x y 2 2 4 4 4 3 3  a 3 3 x  2 a  3 2 a  2 xy a  Vậy V  . Suy ra max V  . Dấu “=” xảy ra khi 2 3 x     3 3 3 3 2 3  2a 3 y   3
Vậy chọn đáp án D.
Câu 22. Trong các hình trụ có diện tích xung quanh cộng diện tích một đáy không đổi là 2 2 a
 . Tìm thể tích hình trụ lớn nhất. 3 3  3 2 6 a 3 A. B. C. D. 3 4 9 5 Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 25
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU
Nếu hình trụ hở một đáy, ta có: 2 2 2 2 x   2 x  y  2 a   x  2xy  2a
Thể tích của hình trụ: 2 V  x  y
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số: 2 x , xy, xy . Ta có: 2 x  xy  xy  3 4 2 3 x y  2 2a  3 4 2 3 x y 3 3 2 2a 2 6a 2 6 3  6  4 2  2   2    a 8a 27x y x y x y V 3 3 9 9 2 6 3   a max V 9 2 Dấu “=” xảy ra khi: 2 2a 2 x  xy   x  y  a 3 3
Vậy chọn đáp án C.
Câu 23. Trong tất cả các hình trụ có cùng thể tích V, tính diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất.  2  2  2  2 A. 3 V 3 B. 3 V 3 C. 3 V 3 D. 3 V 3 4 5 9 7 Hướng dẫn giải
Gọi x, y lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Ta có: 2 S  2 x   2 x  y và 2 V  x  y
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số: 2 xy xy x , , 2 2 Ta có: 3   2 xy xy  x   3 xy xy  4 2  2 x y x  xy  2 2 2 x . .        2 2  3      4 3      S 3 2   V  2  27 2 V  2    3    3 V S S 3 42 27 4 4  V x  xy V  2 Dấu “=” xảy ra khi: 2 x     2 2  V y  2  2
Vậy chọn đáp án A.
Câu 24. Trong tất cả hình nón có cùng diện tích toàn phần  2
a , tìm hình nón có thể tích lớn nhất.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 26
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU  2  2  2  2 A. max V  3 a B. max V  3 a C. max V  3 a D. max V  3 a 11 12 13 3 Hướng dẫn giải
Gọi x, y lần lượt là chiều cao, bán kính đáy của hình nón, ta có:  2 2 2 2 y   y  x  y  a  1   1 2 V  y  x 2  3 Từ (1) ta có: 2 2 2 2 y. x  y  a  y y  y  a  a y  2 x y     4 2 2 4  4 2 2   a  2a y  2 y y  a     2 x  2 2a  1  4 x V a 2 3 x  2 2a 2 2 2 x  2a 2a x 1 Biết: 2  x 
 2 2a  2 2a (BĐT Cauchy)   x x 2 2 x  2a 2 2a  2 Suy ra 3 V  a 12    2 2 x a 2 2a  Vậy: 3 max V 
a . Dấu “=” xảy ra khi: x    12 a x y   2
Vậy chọn đáp án C.
Câu 25. Trong tất cả hình nón có độ dài đường sinh là a , tìm hình nón có thể tích lớn nhất.  3 a 3  2  3  2 A. MaxV  B. max V  3 a C. max V  3 a D. max V  3 a 27 2 23 13 Hướng dẫn giải  2 2  x  y  a
Gọi x, y lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón, ta có:  2 V  x   y 2 2 x x
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số: , , y , ta có: 2 2 2 2 x  x  2 y  3 4 2 3 x y  2 a  3 4 2 3 x y 2 2 6 3  4 2  a  2  a x y x y 27 3 3  3 a 3  3     a 3 V MaxV 27 27
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 27
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU  2   2 2 x a x a  Dấu “=” xảy ra khi: 2 3  y    2 3 a y   3
Vậy chọn đáp án A.
Câu 26. Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp một hình trụ có bán kính r và chiều cao h.  2 r h  2 r h  2 r h  2 r h A. min V  B. min V  C. min V  D. min V  5 3 4 2 Hướng dẫn giải
Gọi x, y là bán kính và chiều cao của hình nón ngoại tiếp. 1 Thể tích hình nón là: 2 V  x  y S 3
Các tam giác SOE và SID đồng dạng cho : y y  h hx 3   1 hx y   V   r x r x  r 3 x  r D C 2 h x  r 1 r x  r 2 1  1   r  Xét biểu thức:  .  1     y 2 3 2 3 r x r  2   x  x r r  2r 
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số: , , 2    E A O B F x x  x  3  r r 2r       2  r r 2r  8 Ta có: x x x . . 2       x x  x   3  27      r 2  r  3 2  1  4  x  27r      x   x  27 x  r 4 3 2 x  r 4 x 27r 2 2 r  h r  h Vậy:     V   min V  3 2 x 27r x  r 4 4 4 r  r  3r Dấu “=” xảy ra khi:  2 1  x    x  x  2
Vậy chọn đáp án C.
Câu 27. Cho một hình nón tròn xoay đỉnh S, thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh
là 2R. Người ta cho một hình cầu nội tiếp với mặt bên của hình nón. Tính bán kính hình
cầu để phần thể tích chung của hình nón và hình cầu lớn nhất. R 3 R 3 R 2 R A. B. C. D. 2 3 2 2 Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 28
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU
Giả sử mặt cầu tâm O tiếp xúc trong với mặt bên của hình nón.
Thể tích của phần chung của hình cầu và hình nón được cho bởi công thức: 1 2 V  C  D 3x CD 3 S
Biết rằng: CD  SC  DS  SC  SO  OD  SC  OD  SO 30°
 R 3  x  2x  R 3  x D 2 1 E
Vậy V  R 3 x 4x R 3  M 3 R
Gọi E là trung điểm của SB, tiếp điểm M phải thuộc đoạn EB. O  R 3 2R 3 A C B R  SM  2R và  x  3 3  R 3 R 3  x  0 và 2x   0 3 R 3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số: R 3  x,R 3  x và 2x   0 ta có: 2 3  R 3         2R 3  2x  2x   R 3      2 R 3 x R 3 x 2x   2   3       
1 R 3 x2 4xR 3 3 3 3  R 3 8  3  3 Suy ra: 3 3 V  R  max V  R 4 4 R 3
Dấu “=” xảy ra khi: R 3  x  2x  2   R 3      R 3  R 3 x CD SC x R 3 2 2 2
Vậy CD  x . Tâm O của mặt cầu trùng với trung điểm C của cạnh AB.
Vậy chọn đáp án A.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 29
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU
Để sử dụng file word, quý thầy cô vui lòng đóng góp chút kinh phí để tạo động lực cho tác giả
ra đời những chuyên đề khác hay hơn STT TÊN TÀI LIỆU GIÁ MÃ SỐ 1
KĨ THUẬT GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC_123 60K SO PHUC_123
Tặng 6 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 1-6} 2
CHỦ ĐỀ 1_KHỐI ĐA DIỆN {26 Trang} 50K HHKG_KDD
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 7-11} 3
CHỦ ĐỀ 2_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP {59 Trang} 110 HHKG_TTKC
Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 K
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 12-21} 4
CHỦ ĐỀ 3_THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ {34 Trang} 70K HHKG_TTLT
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 22-26} 5
CHỦ ĐỀ 456_NÓN TRỤ CẦU {56 Trang} 110 HHKG_NTC
Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 K
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 27-36} 6
CHỦ ĐỀ 7_KHOẢNG CÁCH {68 Trang} 130 HHKG_KC
Tặng 12 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 K
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 37-49} 7
CHỦ ĐỀ 8_GÓC {21 Trang} 50K HHKG_GOC
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 50-54} 8
CHỦ ĐỀ 9_CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC 80k HHKG_CT
KHỐI LỒNG NHAU {29 Trang}
Tặng 8 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 55-63}
Hướng dẫn thanh toán
Quý thầy cô thanh toán cho mình qua ngân hàng. Sau khi chuyển khoản, mình sẽ lập tức gửi tài liệu cho quý thầy cô.
Nếu trong ngày mà thầy cô chưa nhận được thì vui lòng gọi điện trực tiếp cho mình.
Thầy cư. SĐT: 01234332133 NGÂN HÀNG TÊN TÀI KHOẢN TRẦN ĐÌNH CƯ TRẦN ĐÌNH CƯ TRẦN ĐÌNH CƯ SỐ TÀI KHOẢN 4010205025243 0161000381524 55110000232924 CHI NHÁNH THỪA THIÊN HUẾ THỪA THIÊN HUẾ THỪA THIÊN HUẾ
Nội dung: Họ và tên_email_ma tai liệu
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 30
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU
Ví dụ: Nguyễn Thị B_nguyenthib@gmail.com_HHKG_TTKC Lưu ý:
Thầy cô đọc kỹ file PDF trước khi mua, tài liệu mua chỉ dùng với mục đích cá nhân, không được
bán lại hoặc chia sẻ cho người khác.

CHÚC QUÝ THẦY CÔ DẠY TỐT VÀ THÀNH CÔNG TRONG SỰ NGHIỆP TRỒNG NGƯỜI
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 31