37 trang 21 lượt tải

Bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Toán 12

Tài liệu gồm 37 trang được biên soạn bởi tập thể quý thầy, cô giáo Nhóm Word Và Biên Soạn Tài Liệu Môn Toán THPT, hướng dẫn giải bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.Mời bạn đọc đón xem.

Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện 172 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Tác giả:

Lan Tường

1 năm trước

Danh sách Quiz

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 410

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng

Khoảng cách giữa một điểm và một mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó tới hình chiếu vuông góc của

nó lên mặt phẳng đó.

 

,d M MM





 với



là hình chiếu vuông góc của

lên mặt phẳng

 



1.1. Khoảng cách từ điểm M bất kì đến mặt phẳng

 



có chứa đường cao của hình chóp (lăng

trụ…)

Phương pháp:

Bước 1: Quy khoảng cách từ điểm M về điểm A thuộc mp đáy.

Bước 2: Tìm giao tuyến của mp đáy với mp

 



Bước 3: Từ

dựng

vuông góc với giao tuyến tại

. Khi đó

 

;AH d A





* Công thức tính tỉ lệ khoảng cách:

 

d M,mp P

d A,mp P

1.2. Khoảng cách từ hình chiếu vuông góc

của đỉnh S đến mp bên

 



Phương pháp:

Bước 1: Tìm giao tuyến của

 



với mp đáy.

Bước 2: Từ A dựng AH vuông góc với giao tuyến tại H .

Bước 3: Nối SH , dựng

vuông góc SH tại

. Khi đó

 

;AK d A



 .

1.3. Khoảng cách từ điểm bất kì đến mp bên.

BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 411

Phương pháp: Quy khoảng cách từ điểm đó đến mp bên về khoảng cách từ điểm là hình chiếu của đỉnh S

đến mp bên.

2. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên

đường thẳng này tới mặt phẳng kia.

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này tới mặt

phẳng kia.

4. Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

4.1. Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

a b

a A b B

   





     



 

,d a b AB 

4.2. Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cách 1:Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và

mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại.

   

 

, ,d a b d a



 .Với

 

/ /













 Cách 2:Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt

chứa hai đường thẳng đó.

     

 

, ,d a b d

 

 . Với

 

   

/ /





 













NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 412

Cách 3: Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.

BÀI TẬP MẪU

Cho hình chóp

.S ABCD

có đáy là hình thang,

2AB a

AD DC CB a  

vuông góc với

mặt phẳng đáy và 3SA a (minh họa như hình bên dưới). Gọi

là trung điểm của

Khoảng cách giữa hai đường thẳng

và DM bằng

3 3

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và

bằng khoảng cách từ đường thẳng

đến

mặt phẳng

 

SBC .

B2: Tính khoảng cách từ DM đến mặt phẳng

 

SBC

thông qua khoảng cách từ điểm A

đến

 

SBC .

B3: Tính và kết luận

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn A

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 413

Do M là trung điểm của AB

BM AM AB a AD BC CD      

 nên tứ giác ADCM

;

BCDM là hình thoi.

     

 

/ / / / , , ,DM BC DM SBC d DM SB d DM SBC d M SBC     .

Mặt khác

 

d M SBC

AM SBC B

d A SBC

    

 

, , 1

d M SBC d A SBC 

Xét tam giác

ABC

, có đường trung tuyến

CM AB ABC   vuông tại

C AC BC 

Trong tam giác vuông

SAC

dựng

AH SC

Lại có:

 

BC AC

BC SAC BC AH

BC SA do SA ABC







   



 





Suy ra:

   

 

, .AH SBC AH d A SBC  

Xét tam giác vuông

ABC

tại

có

2 2

3AC AB BC a  

Tam giác SAC vuông tại

nên ta có:

2 2 2

1 1 1

AH AS AC

 

 

2 2 2 2

. 3 . 3 3 3

2 2

9 3

AS AC a a a a

AH d A SBC

AS AC a a

     

 

Từ

 

d M SBC  .

Vậy

   

 

, ,

d DM SB d M SBC 

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 414

Bài tập tương tự và phát triển:

Câu 37.1: Cho hình chóp

.S ABCD

có đáy là hình chữ nhật có

2 ; 3AB a AD a 

. Hình chiếu vuông góc

của S lên

 

ABCD là

thuộc

sao cho

2HB HA

. Tính khoảng cách từ

đến

 

SHC .

9 97

a . B.

2 85

a . C.

. D.

Lời giải

Chọn A

Dựng

DK HC

tại K.

Ta có

   

 

;

DK HC

DK SHC DK d D SHC

DK SH





   







 

2 2

4 97

3 .

3 3

HC BH BC a a

 

    

 

 

Khi đó

1 1

2 2

HDC ABCD

S S DK HC



 

ABCD

 

6 9 97

 

Câu 37.2: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

, , 3AB a AC a  . Tam giác

SBC

đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách

từ B đến mặt phẳng

 

SAC .

d 

.d a

2 39

d 

Lời giải

Chọn C

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 415

Gọi

là trung điểm của BC , suy ra

 

SH BC SH ABC  

Gọi

là trung điểm AC , suy ra HK AC .

Kẻ HE SK

 

.E SK

Khi đó

 

2 2

. 2 39

, 2 , 2 2.

SH HK a

d B SAC d H SAC HE

SH HK

   



Câu 37.3: Cho hình chóp

.S ABCD

có đáy

ABCD

là hình thoi cạnh a . Tam giác

ABC

đều, hình chiếu

vuông góc

của đỉnh S trên mặt phẳng

 

ABCD

trùng với trọng tâm của tam giác ABC .

Đường thẳng

hợp với mặt phẳng

 

ABCD góc

30

. Tính khoảng cách

từ B đến mặt

phẳng

 

SCD theo a .

2 21

d 

.d a

3d a

Lời giải

Chọn B

Ta có:

 

, , , .

d B SCD d H SCD d H SCD

 

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 416

Trong





SHC

,kẻ





HK SC .

Ta có:

HC AB HC CD

  

. Lại có:





SH ABCD SH CD

   .

Suy ra:









CD SHC CD HK  

Từ









1 , 2















HK SCD d H SCD HK

   .

+ Theo bài ra ta có:

 



 



SD,HD =

SD, ABCD = = SDH 30



và



SH = HD.tan SDH =

Tam giác vuông

SHC

, có

2 2

. 2 21

SH HC a

SH HC

 



Vậy

 

3 21

2 7

d B SCD HK 

Câu 37.4: Cho hình chóp

S ABCD

có





SA a SA ABCD

  , đáy

ABCD

là hình vuông. Gọi

M N

lần

lượt là trung điểm của ,

AD DC

, góc giữa





SBM

và mặt đáy là



.Tính khoảng cách từ

đến mặt phẳng





SBM

Lời giải

Chọn C

+ Ta có :

















, ,

AM DM d D SBM d A SBM

   .

+ Gọi

là giao điểm của

và

Ta có :

 



1 1

. .

ABM DAN c g c B A

    

. Mà









0 0

1 1 1 1

90 90

B M A M     .

Vậy

BM AN



Khi đó:

 

BM AN

BM SAN BM SH

BM SA





   







Trong





SAH

, dựng

AI SH



45°

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 417

Lại có:

 

BM SAN BM AI   . Suy ra:

   

 

,AI SBM d A SBM AI   .

+ Ta có :

   

 



 



, , 45

BM SBM ABCD

BM SH SBM ABCD SH AN SHA

BM AN

 



     









Suy ra :

SAH

vuông cân tại A có

2SA AH a SH a   

1 2

2 2

AI SH   . Vậy

 

d D SBM AI  .

Câu 37.5: Cho hình chóp

.S ABCD

có đáy là hình thang vuông tại A và B , , 2AB BC a AD a   .

 

SA ABCD

và SA a

Tính khoảng cách giữa

và SB ?

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

Trong

 

SAB

, dựng AH SB .

Vì

 

AD SA

AD SAB AD AH

AD AB





   







Khi đó:

 

,d AD SB AH .

Xét tam giác

SAB

vuông tại A có

2 2

. 2

SA AB a

SA AB

 



Câu 37.6: Cho hình hộp chữ nhật

1 1 1 1

.ABCD A B C D có

2 , 4AA a AD a  . Gọi M là trung điểm

.AD

Khoảng cách giữa hai đường thẳng

1 1

A B và

C M bằng bao nhiêu?

A. 3 .a B. 2 2.a C. 2.a D. 2 .a

Lời giải

Chọn B

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 418

Ta có

1 1 1 1

//A B C D suy ra

   

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

, , ,d A B C M d A B C D M d A C D M 

Vì

2 , 4AA a AD a  và M là trung điểm AD nên

1 1

A M D M , suy ra

 

1 1 1

A M C D M

 

1 1 1 1

, 2 2d A C D M A M a  

Câu 37.7: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Cạnh bên 2SA a và

vuông góc với mặt đáy

 

ABCD . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh

và

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và

C. 2 .a D.

Lờigiải

Chọn A

+ Gọi

.E HK AC 

 

/ / / /HK BD HK SBD .

   

 

, , , ,

d HK SD d HK SBD d E SBD d A SBD    .

+ Kẻ AF SO . Lại có:

 

BD SA

BD SAC BD AF

BD AC





   







Suy ra:

   

 

, .AF SBD d A SBD AF  

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 419

+Xét tam giác vuông SAO có:

2 2

SA.AO 2a

AF = = .

SA + AO

Vậy

 

2 3

d HK SD AF 

Câu 37.8: Cho hình lập phương .ABCD A B C D

   

cạnh bằng .a Khoảng cách giữa hai đường thẳng



và A B

 

bằng bao nhiêu ?

A. 2a . B.

. C.

. D.

Lờigiải

Chọn B

Ta có

 

' ' '

' ' ' '

A B A A

A B ADD A

A B A D





 







Gọi H là giao điểm của 'AD với 'A D

' 'A H AD 

Khi đó:

 

' '

' '; ' '

' ' ' 2

A H AD

d A B AD A H

A H A B





  







Câu 37.9: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật tâm Gọi là

trung điểm của cạnh là trung điểm đoạn Hình chiếu vuông góc của điểm lên

mặt phẳng trùng với điểm Biết góc tạo bởi đường thẳng với mặt phẳng

bằng 45. Khoảng cách giữa hai đường thẳng theo là:

A. . B.

. C.

. D.

Lờigiải

Chọn D

S ABCD

ABCD

, , 2 .

I AB a AD a

 

và

AB N





ABCD





ABCD

và

MN SD

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 420

   

/ / / / , ( ,( )) ( ,( ))MN AD MN SAD d MN SD d MN SAD d N SAD    .

Kẻ

     

,NE AD SN AD AD SNE SAD SNE SE      

Kẻ

 

( ) , ,( )NH SE NH SAD d N SAD d MN SAD NH     

Ta có :

 



; 45 .SB ABCD SBN  

Xét

2 2

4 4 2 2

a a a a

BN BM NM SN      

Do .

Câu 37.10:Cho tứ diện OABC trong đó , , OA OB OC đôi một vuông góc với nhau, .OA OB OC a  

Gọi I là trung điểm

.BC

Khoảng cách giữa

và AI OC

bằng bao nhiêu?

A. a. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Gọi J là trung điểmOB

 

// //IJ OC OC AIJ 

BMN

 

2 2

. 6

2 2

a a

NE NS a

NE NS

  



NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 421

Suy ra:

   

 

, , ,d AI OC d OC AIJ d O AIJ  .

Kẻ OH vuông góc AJ tại

Ta có:

 

OC OA

OC OAB OC OH IJ OH

OC OB





     







Khi đó:

   

 

OH AJ

OH AIJ

OH I

d O AIJ OH





  









Vì AOJ vuông tại O , có OH là đường cao.

Suy ra:

2 2 2

OA OJ a

OA OJ

  



 



 

 

.Vậy

 

, .

Od AI H

OC 

Câu 37.11: Cho hình chóp

.S ABCD

có

 

SA ABCD , đáy

ABCD

là hình vuông cạnh bằng10 cm . Biết

10 5 cmSC 

. Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của ,SA CD .Tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng chéo nhau BD và

3 5 cm

. B.

5 cm

. C.5cm . D. 10 cm .

Lờigiải

Chọn B

+ Gọi P là trung điểm

và

E NP AC 

Khi đó:

 

/ / / /PN BD BD MNP .

Suy ra:

   

 

, , , ,

d BD MN d BD MNP d O MNP d A MNP  

+ Kẻ AK ME .

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 422

Lại có:

 

BD SA

BD SAC BD AK PN AK

BD AC





     







Suy ra:

   

 

, .AK MNP d A MNP AK  

+ Xét tam giác vuông SAC có:

2 2

10 3SA SC AC   5 3MA  .

Tam giác vuông

MAE

, có

3 15 2

10 3;

4 2

SA AE AC   .

Suy ra:

 

2 2

3 5 cm

MA AE

 



. Vậy

   

, 5 cm

d BD MN AK  .

Câu 37.12: Cho hình chóp

.S ABCD

có

 

SA ABCD , đáy

ABCD

là hình chữ nhật. Biết

, 5AB a AC a 

, góc giữa

và mặt đáy là

30

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau AB và

bằng.

2 13

. B.

2 21

. C.

2 39

. D.

Lời giải

Chọn A

Cách 1:

+ Chọn mặt phẳng

 

SAD .

Ta có:

 

AB SA do SA ABCD

AB SAD

AB AD



 



 









+ Chiếu SC trên

 

SAD

Ta có:

 

CD SA do SA ABCD

CD SAD

CD AD



 



 









NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 423



là hình chiếu của

trên





SAD

+ Dựng

AH SD H

 

+ Dựng hình chữ nhật

AHKP

với ,

K SC P AB

 

Khi đó:

là đoạn vuông góc chung của

và

PK AH



+ Tính

. Ta có:

Góc giữa

và mặt đáy là



SBA  .

Xét tam giác

SAB

vuông tại

có:

.tan 30

SA AB  .

Xét tam giác

ABC

vuông tại

có

2 2

BC AC AB a

  

AD BC a

  

Xét

SAD



vuông tại A:

 

2 2 2

. 2 13

SA AD a

SA AD

  



 



 

 

Vậy đoạn vuông góc chung của

và

là

2 13

PK AH  .

Cách 2:

























/ / / / , , ,

AB CD AB SCD d AB SC d AB SCD d A SCD

   

+ Kẻ

AH SD



. Chứng minh





AH SCD



. Từ đó suy ra:









d A SCD AH



+ Tính

(như cách 1)

Câu 37.13: Cho hình hộp đứng .

ABCD A B C D

   

có đáy

ABCD

là hình thoi cạnh

, cạnh bên

AA a





và

AD BA

 



.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng



và



. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 424

+ Gọi E là điểm đối xứng với B



qua B .

Khi đó:

AA BE



là hình bìn1h hành

 

/ / / /A B AE A B AD E

  

 

Suy ra

   

 

, , ,d A B AD d A B AD E d B AD E

    

  .

+ Gọi I AC BD  .

Khi đó:

 

AI BD

AI DD B B

AI DD do DD ABCD







 

 



 

 





   

AD E DD B B D E

   

  

Trong

 

mp DD B B

 

, kẻ BH D E



 .

Suy ra :

   

 

,BH AD E d B AD E BH

 

   .

+ Tính BH .

Xét tam giác

ABA



vuông tại

có

 

2 2

2 2 6BA AB AA a a a

 

     .

Vì

 

/ /AD BA BA BC AD BC A BC

       

     vuông cân tại B .

2 3 3A C a AI a

 

    .

Xét tam giác ABI vuông tại I có :

 

2 2

2 3BI AB AI a a a    

Xét

IBE

vuông tại

có : 2,BE AA a BI a



   .

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 425

 

2 2 2

1 1 1 . . 2 6

BI BE a a a

BH BI BE

BI BE

a a

      



Câu 37.14: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, gọi

là trung điểm của

. Tam

giác SAB

cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

 

ABCD

, biết 2 5SD a ,

SC tạo với mặt đáy

 

ABCD một góc 60. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng

và SA .

. B.

. C.

2 15

. D.

3 5

Lờigiải

Chọn C

+ Dựng hình bình hành

AMDI

. Khi đó :

 

/ / / /MD AI MD SAI

   

 

, , ,d MD AI d MD SAI d M SAI   .

+ Dựng MH AI

và

 

1MK SH .

Ta có:

 

   

AI MH

AI SMH AI MK

AI SM do SM ABCD







   



 





Từ

 

và

 

suy ra :

   

 

,MK SAI d M SAI MK  

+ Ta có:

 

SM ABCD

MC là hình chiếu của SC trên

 

ABCD

nên

 



 



, 60SC ABCD SCM   .

+ Xét tam giác vuông

SMC

và

SMD

có:

 

2 2

.tan 60 3SM SD MD MC    .

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 426

Mặt khác : MC MD ( ABCD là hình vuông).

Suy ra :

 

2 2 2

3 3 5SD MC MC MC a MD     

15SM a  .

+ Đặt

 

0 2MA x x AD x   

Xét tam giác

MAD

vuông tại

có

 

2 2 2 2

5 2MA MD AD x a x x a      

Lại có: MAH AID 

∽

. 2

AD MA a

  

Khi đó:

2 2 2

1 1 1 2 15

MK MH SM

   

Câu 37.15: Cho hình chóp

.S ABCD

có đáy là hình vuông

ABCD

tâm

cạnh a . Các cạnh bên

2SA SB SC SD a   

. Tính khoảng cách giữa AD và SB ?

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn C

+ Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của ,AD BC .Trong

 

mp SMN

, kẻ OH SN .

+ Ta có:

 

/ / / /AD BC AD SBC .

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 427

   

 

, , , 2 ,d AD SB d AD SBC d M SBC d O SBC   

+ Vì

2SA SB SC SD a   

suy ra các tam giác ,SAC SBD  là các tam giác cân tại S .

Khi đó:

   

SO AC

SO ABCD SO BC

SO BD





   







Mặt khác:

   

, / / 2BC MN BC AB AB MN  .

Từ

 

1 và

 

2 suy ra:

BC OH

Ta có:

   

 

BC OH

OH SBC d O SBC OH

SN OH





   







+ Xét tam giác vuông

SOA

có:

2 2 2

2 6

2 2

a a

SO SA OA a

 

    

 

 

Xét tam giác vuông

SON

có:

2 2

. 6

2 7

ON SO a

ON SO

 



Vậy

 

, 2

d AD SB OH 

Câu 37.16: Cho hình chóp .S ABC . Tam giác ABC vuông tại

, , 2BC a AC a  , tam giác SAB đều.

Hình chiếu của S lên mặt phẳng

 

ABC trùng với trung điểm M của AC . Khoảng cách

giữa

và

là?

. B.

2 11

. C.

2 66

. D.

Lời giải

Chọn C

+ Dựng hình bình hành

ABCD

.Ta có:

     

 

/ / / / , , , 2 ,BC AD BC SAD d BC SA d BC SAD d C SAD d M SAD     .

+ Gọi

là trung điểm của AD . Dựng

 

MH SN H SN 



90ABC   ABCD

là hình chữ nhật

MN AD 

Lại có:

 

SM AD do SM ABC  nên

 

AD SMN

AD MH 

Khi đó:

   

 

AD MH

MH SAD d M SAD MH

SN MH





   







+ Tam giác

ABC

vuông tại B , , 2BC a AC a  3AB a SA   (vì tam giác

SAB

đều) .

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 428

Tam giác SAM vuông tại

,có :

3, 2

SA a AM AC a SM a    

Xét tam giác

SMN

vuông tại M có

1 3

2 2

SM a MN AB   .

 

2 2 2

. 66

SM MN a

SM MN

   



 



 

 

Vậy

 

2 66

d BC SA  .

Câu 37.17: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại

và

với

, 2AD DC a AB a   . Hai mặt phẳng

 

SAB

và

 

SAD

cùng vuông góc với đáy. Góc giữa

và mặt đáy bằng 60. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

. B. 2a . C. 2a . D.

2 15

Lời giải

Chọn A

+ Hai mặt phẳng

 

SAB

và

 

SAD

cùng vuông góc với đáy

 

SA ABCD 

Khi đó:

 



 



SC, ABCD SC, AC = 60= = SCA 

và

SA= AC.tan60 = a 6

Gọi

là trung điểm

, suy ra ADCM là hình vuông nên CM AD a  .

Xét tam giác ABC , ta có trung tuyến

CM a AB 

nên tam giác ABC vuông tại C .

+ Dựng hình chữ nhật

ACBE

. Ta có:

 

/ / / /AC BE AC SBE .

Suy ra:

   

 

, , ,d AC SB d AC SBE d A SBE 

+ Kẻ

 

1AK SE .

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 429

Ta có:

   

BE SA

BE SAE BE AK

BE AE





   







Từ

       

 

1 , 2 ,AK SBE d A SBE AK   

+ Xét tam giác vuông

SAE

có:

   

2 2 2 2

. 6. 2 6

6 2

SA AE a a a

SA AE

a a

  



Câu 37.18: Cho hình chóp

.S ABCD

có đáy

ABCD

là hình thang vuông tại A và B với

, 2AB BC a AD a   . Hai mặt phẳng

 

SAC và

 

SBD cùng vuông góc với đáy. Góc giữa

 

SAB và mặt đáy bằng60. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

2 3

. B.

2 3

. C.

. D.

3 3

Lờigiải

Chọn A

+ Gọi

H AC BD 

BH BD  .

Hai mặt phẳng

 

SAC

và

 

SBD

cùng vuông góc với đáy

 

SH ABCD 

Gọi

là trung điểm của AD

ABCD

là hình vuông cạnh a và

 

/ / / /BO CD CD SBO .

Suy ra:

   

 

, , , 3 ,d CD SB d CD SBO d D SBO d H SBO  

+ Gọi I AC BO  .

Trong

 

SAC

, kẻ HK SI .

Lại có:

 

BO AC

BO SAC BO HK

BO SH





   







Suy ra:

   

 

,HK SBO d H SBO HK  

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 430

+ Trong

 

ABCD kẻ HM AB M  .

Dễ dàng chứng minh được :

 

AB SHM AB SM  

Khi đó, góc giữa

 

SAB

và mặt đáy là

 



, 60SM HM SMH 

Xét tam giác vuông

SHM

có:

1 2 2a 3

.tan 60

3 3 3

MH AD SH MH    

Xét tam giác

SHI

vuông tại H có:

1 1 2 2 3

;

3 6 6 3

a a

IH IC AC SH   

Suy ra:

2 2

. 2 3

IH SH a

IH SH

 



Câu 37.19: Cho hình chóp

.S ABCD

có đáy

ABCD

là hình thoi cạnh a . Góc



60ABC  

và

2SD a

.Hình chiếu vuông góc của

lên

 

ABCD là điểm H thuộc đoạn BD sao cho

3HD HB

Gọi

là trung điểm của cạnh SD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SB .

. B.

. C.

. D.

Lờigiải

Chọn B

+ Từ giả thiết có tam giác ABC đều cạnh a .

Gọi

O AC BD BO BD a     

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 431

3 3 3

4 4

HD BD   . Suy ra:

2 2

2 2 2 2

27 5 5

16 16 4

a a a

SH SD HD a SH      

2 2

2 2 2

5 3 2

16 16 2

a a a

SB SH HB SB     

Ta có:

 

BD AC

AC SBD AC OM

AC SH





   







Diện tích tam giác

MAC

là :

1 1 1 2 2

. . .

2 4 4 2 8

MAC

a a

S OM AC SB AC a



   

     

 

/ / / / , , , ,SB OM SB MAC d SB CM d SB MAC d B MAC d D MAC    

Ta có:

 

. .

1 1 1 1 1 15

, . . , .

3 3 2 2 4 96

M ACD ACD ABCD S ABCD

V d M ACD S d S ABCD S V



    .

Mặt khác:

 

, .

M ACD MAC

V d D MAC S





 

M ACD

MAC

d D MAC



    .

Câu 37.20: Cho hình lập phương

.ABCD A B C D

   

cạnh a . Gọi K là trung điểm của DD



. Tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng

và A D



. B.

. C.

. D.

Lờigiải

Chọn A

Gọi

là trung điểm của



thì

 

/ / / /A M CK CK A DM

 



NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 432

   

 

, , ,

K A DM

A DM

d CK A D d CK A DM d K A DM



  

   

Ta có:

. . .

1 1 1

. .

3 2 12

K A DM M KA D B KA D

V V V B A A D KD a

   

   

Hạ DH A M



 . Do

 

AD ABB A

 

 nên

 

AD A M A M AHD A M AH

  

     .

Vì

. 2S

AMA ABB A

a a

AH A M S a AH

A M

  



     



Do đó:

2 2 2

3 1 3

. .

2 4

A MD

DH AD AH S DH A M a



     

Vậy

 

K A DM

A DM

V a

d CK A D



  

Câu 37.21: Cho hình chóp tứ giác .S ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh 2AD a ,

 

SA ABCD và

SA a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng

và SD bằng

. B.

. C.

2 5

. D. 6a .

Lờigiải

Chọn C

Trong tam giác SAD kẻ đường cao AH ta có

Dễ thấy AH chính là đường vuông góc chung của AB và SD .

. .AD AS AH SD

.AD AS

 

 

2 . 2 5

a a a

a a

 



Vậy

 

2 5

d AB SD AH  .

Câu 37.22: Cho tứ diện

OABC

có

đôi một vuông góc với nhau và

OA a

2OB OC a 

. Gọi M là trung điểm của cạnh

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

bằng

. B.

2 5

. C.

. D.

Lời giải

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 433

Chọn D

Ta có được

 

OA OBC .

Trong mặt phẳng

 

OBC , dựng điểm E sao cho OMCE

là hình bình hành thì OMCE cũng là

hình vuông (do OBC là tam giác vuông cân tại O ).

Lại có:

CE OE

CE OA











 

CE AOE  .

Kẻ OH AE tại

thì

 

OH AEC .

Vì

 

//OM AEC nên

   

 

, ,d AC OM d O ACE OH 

2 2 2 2

. . 2 6

OA OE a a a

OA OE a a

  

 

Câu 37.23: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD

là hình vuông với đường chéo 2AC a , SA

vuông góc với mặt phẳng

 

ABCD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

là

. B.

. C. 2a . D. 3a .

Lời giải

Chọn C

Ta có

DA SA

DA AB











 

DA SAB  .

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 434

Mặt khác

 

CD SAB

CD AB











 

//CD SAB .

Từ đó suy ra khoảng cách giữa SB và CD bằng khoảng cách giữa

 

SAB và CD và bằng .DA

Tứ giác ABCD là hình vuông với đường chéo 2AC a suy ra 2DA a .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là

2.a

Câu 37.24: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có đáy bằng 2a , SA tạo với đáy một góc 30. Tính

theo a khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và CD .

2 10

d  . B.

3 14

d  . C.

4 5

d  . D.

2 15

d  .

Lời giải

Chọn A

Gọi O AC BD  . Ta có

1 1

2 2 2.

2 2

OA AC a a  

Vì

tạo với đáy một góc

30

nên



30SAO   . Do đó: tan 30

 

.tan 30SO AO  

1 6

2. .

a 

Mặt khác,

   

 

, ,d d SA CD d CD SAB 

 

, 2 ,d C SAB d O SAB  .

Gọi I , J lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên AB , SI . Ta có .OI a

Xét tam giác SOI :

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 3 5

2 2OJ OI SO a a a

    

OJ 

OJ  .

Vậy

2 10

d  .

Câu 37.25: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh .a Tam giác SAB đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

 

.ABCD Khoảng cách giữa hai đường thẳng

và SD là

. B.

. C.

. D.

Lờigiải

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 435

Chọn B

Gọi M , H lần lượt là trung điểm của AB , .SA

Khi đó

SM AB

mà

   

SAB ABCD

 

SM ABCD  .

Tam giác

SAB

đều nên

BH SA

Mà

 

AD SAB AD BH  .

Do đó

 

BH SAD .

Mặt khác ta có

 

//BC SAD

   

 

, ,d BC SD d BC SAD 

 

,d B SAD BH  .

Do đó

 

d BC SD BH  .

Câu 37.26: Cho hình chóp

.S ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông tại B ,

AB a

, cạnh bên

vuông góc với đáy và

2SA a

. Gọi

là trung điểm của

. Khoảng cách giữa đường

thẳng

và đường thẳng

bằng bao nhiêu?

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 436

Gọi I là trung điểm của

, ta có //EI BC nên

   

 

, ,d BC SE d BC SEI

 

,d B SEI

 

,d A SEI AK  (hình vẽ).

Trong tam giác vuông

SAE

ta có

2 2

.AS AE

AS AE





 



Câu 37.27: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật 2AD a . Cạnh bên 2SA a và

vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD .

A. 2a . B. 2a . C. a . D.

Lời giải

Chọn B

Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh

. Ta có

AB AD

AB SD











 

AB SAD  AB AH  .

Suy ra AH là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AB và SD . Do đó

 

,d AB SD AH .

SAD

vuông cân tại A có AH là đường cao nên H là trung điểm của

, suy ra

1 2 2

2 2

AH SD a  

Vậy

 

, 2d AB SD a .

Câu 37.28: Cho hình lăng trụ tam giác đều

.ABC A B C

  

có

AB a

2AA a





. Tính khoảng cách giữa

hai đường thẳng AB



và

A C



. B.

2 5

. C. 5a . D.

2 17

Lời giải

Chọn D

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 437

Gọi I là giao điểm của AB



và A B



; H là trung điểm của

Ta có IH là đường trung bình trong tam giác A BC



nên //IH A C



   

 

, ,d AB A C d A C AB H

   



 

,d C AB H





 

,d B AB H





Ta có

AH BB

AH BC













 

AH BCC B

 

 

Từ B kẻ BL B H



 ; mà

 

BL BCC B

 

 nên BL AH .Suy ra

 

BL AB H





Tam giác BB H



vuông tại B có 2BB a



 và

BH 



và có BL là đường cao nên

2 2 2

1 1 1

BL BB BH

 



2 2

1 4

4a a

 



2 17

BL  . Vậy

 

2 17

d AB A C

 

 .

Câu 37.29: Cho lăng trụ đứng

.ABC A B C

  

có tất cả các cạnh đều bằng

. Khoảng cách giữa hai

đường thẳng

và AA



bằng

2 5

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

Gọi H là trung điểm

, vì

ABC

là tam giác đều nên

AH BC

Mặt khác AH BB



 . Do đó

 

AH BCC B

 



 

,d A BCC B AH

 

  3a .

Ta có //AA BB

 

 

//AA BCC B

  



NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 438

   

 

, ,d AA BC d AA BCC B

  

 

 

,d A BCC B AH

 

  3a .

Câu 37.30: Cho hình hộp chữ nhật

.ABCD A B C D

   

có đáy ABCD là hình vuông cạnh

2AA a





. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và



. B.

. C.

. D.

2 5

Lời giải

Chọn D

+ Ta có

   

// , //BD B D B D CD B BD CD B

       

 



 

,d CD BD



 

,d D CD B

 

 .

+ Gọi I DC D C

 

 

 

I DC CD B

  

  

mà I là trung điểm của DC



 

, ,d D CD B d C CD B

    

  .

+ Vì A B C D

   

là hình vuông tâm O



cạnh 2a C O a

 

 

2 2

5CO CC C O a

   

   

Ta có diện tích

1 1

. 5.2 5

2 2

C B D

S CO B D a a a

  



  

  

+ Ta

'. ' ' . ' ' 'C CD B C C B D

V V

. .

CC CB CD





 

1 2

2 .2

6 3

a a a 

 

. ' ' '

' '

3 2 5

, .

C C B D

CB D

V a

d C CB D



  

   

Câu 37.31: Cho lăng trụ .ABC A B C

  

có các mặt bên là những hình vuông cạnh

. Tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng A C



và



. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

a 2

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 439

+ Gọi ,D E lần lượt là trung điểm của BC và B C

 

. Khi đó ta có // ; //AD A E B D CE

 

   

//CA E ADB

 



     

 

, , ,d AB A C d ADB CEA d B CEA

     

  

+ Do B C

 

cắt mặt phẳng

 

CA E



tại E là trung điểm của B C

 

nên có

 

, ,d B CA E d C CA E

   

 .

+ Do

A B C

  



đều có E là trung điểm của

B C

 

nên

A E B C

  



. Mặt khác các mặt bên của

lăng trụ là hình vuông nên .ABC A B C

  

là lăng trụ đứng A E CC

 

 

 

A E CC E

 

 

   

CA E CC E

 

  mà

   

CA E CC E CE

 

   từ



hạ đường vuông góc xuống CE tại

H thì

 

,C H d C CA E

  

 .

+ Xét tam giác vuông tại

CC E



tại



có

2 2 2

. 5

;

2 5

a CC C E a

CC a C E C H

CC C E a

 

  

     

 



Vậy

 

d AB A C

 



Câu 37.32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, //AB CD . Tam giác ABC vuông tại A ,

,AB a 2 ,BC a 2SA SB SC a   . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và

SC.

d  . B.

2 7

d  . C.

2 21

d  . D.

2 3

d  .

Lời giải

Chọn C

Gọi H là trung điểm của BC , do ABC vuông tại A AH HB HC   , mặt khác lại có

SA SB SC 

 

SH ABCD  . Kẻ

 

/ / ,HE AC E CD

Do ABCD là hình thang



// , 90 , //AB CD BAC HE AC CD HE    , CD SH

 

CD SHE 

   

SCD SHE 

hay

   

SDE SHE Từ H hạ HI CE

 

,HI d H SCD 

Ta có 2, 2SB SC a BC a SH a     ;

2 2

1 1 3

2 2 2

HE AC BC AB   

AB=a

BC=CD=2a

SA=SB=SC=a

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 440

Suy ra

2 2 2

. 21

SH HE a

SH HE

  



 



 

 

Ta có

 

/ / ,AB CD CD SCD

 

//AB SCD

   

 

, , , 2 ,d AB SC d AB SCD d B SCD d H SCD   

Vậy

 

2 21

d AB SC  .

Câu 37.33: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi , M N lần lượt là trung

điểm của AB và AD , H là giao điểm của

và DM . Biết

vuông góc mặt phẳng

 

ABCD và 3SH a . Khoảng cách giữa đường thẳng DM và

là

. B.

. C.

3 57

. D.

2 57

Lời giải

Chọn D

Ta có:

 

ADM DCN c g c     .



90 90

o o

ADM DCN ADM CDM DCN CDM DHC DM NC           .

Ta có:

 

CN DM

DM SNC

SH DM





 







Kẻ

 

HK SC K SC  .

Mặt khác HK DM vì

 

DM SNC .

HK

là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng DM và

 

;d SC DM HK  .

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 441

DC HC CN HC

   .

2 2

2 2 2

2 5

DC a a

DN DC

  



 



 

 

Xét tam giác SHC vuông tại H:

 

2 2 2

2 5

. 2 57

2 5

SH HC a

SH HC

  



 



 

 

Vậy khoảng cách giữa

và DM bằng

2 57

Câu 37.34: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có 2 , 4AB a SA a  . Khoảng cách giữa hai đường

thẳng AC và SD bằng.

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Gọi

 

O AC BD SO ABCD    .

Ta có

 

AC BD

AC SBD

AC SO





 







Kẻ

OH SD

OH AC





 







OH là đoạn vuông góc chung của ,AC SD .

Ta có

2 2

2, 14OD a SO SD OD a   

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 4 7

14 2a 7 2

OH OS OD a a

        . Vậy

 

;

d AC SD  .

Câu 37.35: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a ; 2SO a .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD bằng

. B.

2 3

. C.

. D.

Lời giải

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 442

Chọn C

Gọi

 

O AC BD SO ABCD    .

Ta có

 

AC BD

AC SBD

AC SO





 







Kẻ

OH SD

OH AC





 







OH là đoạn vuông góc chung của ,AC SD .

Ta có

2 , 2

AB a BD a OD SO a     

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 9 2

4a 4 3

OH OS OD a a

        .

Vậy

 

;

d AC SD  .

Câu 37.36: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a ;

 

;SO a SO ABCD  .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng

và SC bằng

. B.

. C.

2 3

. D.

2 5

Lời giải

Chọn D

Gọi

,M N

lần lượt là trung điểm

, ;AB CD H

là hình chiếu của O lên SN .

Vì / /AB CD nên

   

 

; ; ; 2 ;d AB SC d AB SCD d M SCD d O SCD   .

Ta có

 

CD SO

CD SON CD OH

CD ON





   







NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 443

Khi đó

   

 

;

OH CD

OH SCD d O SCD OH

OH SN





   







Tam giác SON vuông tại O

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 4 5 5

OH OS ON a a a

       

Vậy

 

2 5

; 2

d AB SC OH 

Câu 37.37: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh

, SA vuông góc với mặt

phẳng ( )ABC , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( )ABC bằng

. Khoảng cách giữa

hai đường thẳng AC và SB bằng

. B.

. C. 2a . D.

Lời giải

Chọn B

Ta có ( )SA ABC , nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( )ABC là

60SBA 

Lấy điểm D sao cho tứ giác ACBD là hình bình hành. Khi đó

/ / / / ( ) ( , ) ( , ( )) ( , ( ))AC BD AC SBD d AC SB d AC SBD d A SBD   

Kẻ ,( )AK BD K BD  ( ) ( ) ( )BD SAK SAK SBD    ; ( ) ( ) .SAK SBD SK 

Kẻ , ( ) ( ) ( ,( ))AH SK H SK AH SBD d A SBD AH      .

Tam giác ABD đều nên AK là đường trung tuyến

.sin 60

AK AB   .

.tan 60 3SA AB a  .

Trong tam giác SAK ta có

2 2 2 2 2 2

1 1 1 4 1 5 3 15

3 3 3 5

a a

AH AK SA a a a

       

( , ( ))

d A SBD AH   .

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 444

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng

Câu 37.38: Cho hình chóp

.S ABC

có tam giác

ABC

là tam giác vuông tại A ,

3AC a ,



30ABC  . Góc giữa

và mặt phẳng

ABC

bằng

60

. Cạnh bên

vuông góc với đáy.

Khoảng cách từ A đến

 

SBC bằng

. B.

. C.

2 3

. D.

Lời giải

Chọn D

Dựng

AM BC

AH SM

. Ta có

 

AM BC

BC SAM

SA BC





 







AH BC 

và

AH SM

 

AH SBC  .

Do đó

 

,d A SBC AH .

Tam giác

SAC

vuông tại A .tan 60 3. 3 3SA AC a a     .

SAC BAC  

(g – c – g)

3SA BA a  

Tam giác

ABC

vuông tại A

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 4

9 3 9AM AB AC a a a

     

Tam giác

SAM

vuông tại

2 2 2

1 1 1

AH SA AM

  

2 2 2 2

1 1 4 5

9 9 9AH a a a

   

AH 

SỬ DỤNG PP TỌA ĐỘ ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH

Câu 37.39: Cho hình lập phương .ABCD A B C D

   

có cạnh bằng

. Gọi K là trung điểm của DD



Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK , A D



. B.

. C.

. D.

Lời giải

a 3

30°

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 445

Chọn D

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó:

 

0;0;A a



 

;0;0D a ;

 

; ;0C a a ,

 

;0;D a a



suy ra ; 0;

K a

 

 

 

Ta có:

 

;0;A D a a



 



, 0; ';

CK a

 

 

 

 



, 0;0;

 



 

 



Suy ra

2 2

, ; ;

A D CK a a

 

 



   

 

 

 

 

Vậy

 

, .

A D CK DK

d A D CK

A D CK

 



 



 

 



 

  

 

Câu 37.40: Cho hình lập phương .ABCD A B C D

   

cạnh a . Gọi

, N lần lượt là trung điểm của BC

và



. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và

A. 3a . B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Khi đó,

 

;0; B a a ,

 

0; ;D a a , ; ;

M a a

 

 

 

, 0; ;

N a

 

 

 

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 446





; ;0

BD a a

 



, ; ;

2 2

a a

MN a

 

  

 

 



0; ;0

 



 

 



, ; ;

2 2 2

a a a

BD MN

 

 

  

 

 

 

 

;

, .

BD MN BM

 

 

 

  

 

, .

BD MN BM

d BD MN

BD MN

 

 



 

 

  

 

4 2

a a



 .

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

Preview text:

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020
BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng
Khoảng cách giữa một điểm và một mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó tới hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng đó.
d M ,   MM  với M  là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng   .
1.1. Khoảng cách từ điểm M bất kì đến mặt phẳng   có chứa đường cao của hình chóp (lăng trụ…) Phương pháp:
Bước 1: Quy khoảng cách từ điểm M về điểm A thuộc mp đáy.
Bước 2: Tìm giao tuyến của mp đáy với mp  
Bước 3: Từ A dựng AH vuông góc với giao tuyến tại H . Khi đó AH  d  ; A  
d M,mp  P MO
* Công thức tính tỉ lệ khoảng cách: =
d  A,mp  P AO d M A d A P K P O H O H K M
1.2. Khoảng cách từ hình chiếu vuông góc A của đỉnh S đến mp bên   Phương pháp:
Bước 1: Tìm giao tuyến của   với mp đáy.
Bước 2: Từ A dựng AH vuông góc với giao tuyến tại H .
Bước 3: Nối SH , dựng AK vuông góc SH tại K . Khi đó AK  d  ;
A   .
1.3. Khoảng cách từ điểm bất kì đến mp bên. Trang 410
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020
Phương pháp: Quy khoảng cách từ điểm đó đến mp bên về khoảng cách từ điểm là hình chiếu của đỉnh S đến mp bên.
2. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên
đường thẳng này tới mặt phẳng kia.
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này tới mặt phẳng kia.
4. Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau
4.1. Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó
  a,   b 
 d a,b  AB   a  ,
A   b  B 
4.2. Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cách 1:Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và
mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại.       b
d a, b  d a,   .Với  . a / /    
 Cách 2:Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt
chứa hai đường thẳng đó. 
    a 
d a, b  d  ,   . Với 
    b . 
   / /   Trang 411
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020
Cách 3: Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. BÀI TẬP MẪU
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB  2a , AD  DC  CB  a , SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và SA  3a (minh họa như hình bên dưới). Gọi M là trung điểm của AB .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng S M A B D C 3a 3a 3 3a 3 3a A. B. C. D. 4 2 13 13
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng khoảng cách từ đường thẳng DM đến
mặt phẳng SBC .
B2: Tính khoảng cách từ DM đến mặt phẳng SBC thông qua khoảng cách từ điểm A SBC . đến  
B3: Tính và kết luận
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A Trang 412
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 S H M A B D C 1
Do M là trung điểm của AB  BM  AM 
AB  a  AD  BC  CD 2
 nên tứ giác ADCM ; BCDM là hình thoi.
 DM / / BC  DM / / SBC   d  DM , SB  d DM ,SBC   d M ,SBC  .
d M ,SBC  BM 1
Mặt khác AM  SBC   B   
d  A,SBC  BA 2  d  1
M ,SBC   d  A,SBC    1 2 1
Xét tam giác ABC , có đường trung tuyến CM  AB  A
 BC vuông tại C  AC  BC 2
Trong tam giác vuông SAC dựng AH  SC . BC  AC  Lại có: 
 BC  SAC   BC  AH .
BC  SA do SA    ABCD 
Suy ra: AH  SBC   AH  d  , A SBC .
Xét tam giác vuông ABC tại C có 2 2 AC 
AB  BC  a 3 1 1 1
Tam giác SAC vuông tại A nên ta có:   2 2 2 AH AS AC AS.AC 3 . a 3a 3a       3a AH
d A, SBC   2 2 2 2 2 2 AS  AC 9a  3a a Từ  
1  d M SBC  3 ,  . 4 a
Vậy d  DM SB  d M SBC  3 , ,  . 4 Trang 413
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020
Bài tập tương tự và phát triển:
Câu 37.1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB  2a; AD  3a . Hình chiếu vuông góc
của S lên  ABCD là H thuộc AB sao cho HB  2HA . Tính khoảng cách từ D đến SHC  . 9 97 2 85 a 85 a 97 A. a . B. a . C. . D. . 97 11 11 97 Lời giải Chọn A
Dựng DK  HC tại K. DK  HC Ta có 
 DK   SHC   DK  d D;SHC  . DK  SH  2  4a  97 HC  BH  BC     3a2 2 2  . a  3  3 1 1 S 2 6a 9 97 Khi đó S  S  DK.HC ABCD  DK    . a HDC 2 ABCD 2 HC 97a 97 3
Câu 37.2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB  a, AC  a 3 . Tam giác
SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng SAC . a 39 2a 39 a 3 A. d  . B. d  . a C. d  . D. d  . 13 13 2 Lời giải Chọn C Trang 414
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 S E B A K H C
Gọi H là trung điểm của BC , suy ra SH  BC  SH   ABC  .
Gọi K là trung điểm AC , suy ra HK  AC .
Kẻ HE  SK  E  SK . SH.HK 2a 39
Khi đó d  B,SAC   2d  H, SAC   2HE  2.  . 2 2 13 SH  HK
Câu 37.3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Tam giác ABC đều, hình chiếu
vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng  ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABC .
Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng  ABCD góc 30 . Tính khoảng cách d từ B đến mặt
phẳng SCD theo a . 2a 21 a 21 A. d  . B. d  .
C. d  a.
D. d  a 3 . 21 7 Lời giải Chọn B S K A D O H B C BD 3 Ta có: d  ,
B SCD 
d H ,SCD  d  H,SCD. HD 2 Trang 415
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020
Trong SHC  ,kẻ HK  SC   1 .
Ta có: HC  AB  HC  CD . Lại có: SH   ABCD  SH  CD .
Suy ra: CD   SHC   CD  HK 2 . Từ  
1 ,2  HK  SCD  d  H , SCD  HK .
+ Theo bài ra ta có: SD, ABCD  =    
SD,HD = SDH = 30 và  2a SH = HD.tan SDH = . 3 SH.HC 2a 21
Tam giác vuông SHC , có HK   . 2 2 21 SH  HC a
Vậy d  B SCD 3 21 ,  HK  . 2 7
Câu 37.4: Cho hình chóp S.ABCD có SA  a, SA   ABCD, đáy ABCD là hình vuông. Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của A ,
D DC , góc giữa SBM  và mặt đáy là 45 .Tính khoảng cách từ D
đến mặt phẳng SBM  ? a 2 a 2 a 3 A. B. a 2 C. D. 3 2 2 Lời giải Chọn C S A M D I 1 1 H 45° M A D N H N 1 B C B C
+ Ta có : AM  DM  d  D,SBM   d  ,
A SBM  .
+ Gọi H là giao điểm của BM và AN .   0  
Ta có : ABM  DAN  . c g.c  
 B  A . Mà 0
B  M  90  A  M  90 . 1 1 1 1 1 1
Vậy BM  AN . BM  AN Khi đó: 
 BM  SAN   BM  SH . BM  SA 
Trong SAH  , dựng AI  SH . Trang 416
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020
Lại có: BM  SAN  BM  AI . Suy ra: AI  SBM   d  ,
A SBM   AI .
BM  SBM    ABCD 
+ Ta có : BM  SH
 SBM   ABCD   SH AN   , ,  SHA  45 BM  AN 
Suy ra : SAH vuông cân tại A có SA  AH  a  SH  a 2 . 1 a 2 a  AI  SH 
. Vậy d D SBM  2 ,  AI  . 2 2 2
Câu 37.5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AB  BC  a, AD  2a .
SA   ABCD và SA  a
. Tính khoảng cách giữa AD và SB ? a 2 a a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 2 Lời giải Chọn D
Trong SAB , dựng AH  SB .  AD  SA Vì 
 AD   SAB  AD  AH . AD  AB 
Khi đó: d  AD, SB  AH . S . A AB a 2
Xét tam giác SAB vuông tại A có AH   . 2 2 2 SA  AB
Câu 37.6: Cho hình hộp chữ nhật ABC .
D A B C D có AA  2a, AD  4a . Gọi M là trung điểm A . D 1 1 1 1 1
Khoảng cách giữa hai đường thẳng A B và C M bằng bao nhiêu? 1 1 1 A. 3 . a B. 2a 2. C. a 2. D. 2 . a Lời giải Chọn B Trang 417
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020
Ta có A B //C D suy ra 1 1 1 1
d  A B , C M  d A B , C D M  d A , C D M 1 1 1   1 1  1 1   1  1 1 
Vì AA  2a, AD  4a và M là trung điểm AD nên A M  D M , suy ra A M  C D M 1  1 1  1 1 1
 d  A , C D M  A M  2a 2 . 1  1 1  1
Câu 37.7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Cạnh bên SA  2a và
vuông góc với mặt đáy  ABCD . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD .
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD . a 2a a A. . B. . C. 2 . a D. . 3 3 2 Lờigiải Chọn A S F A D E O K B H C
+ Gọi E  HK  AC. Do HK / /BD  HK / / SBD . 1
 d  HK, SD  d  HK,SBD  d  E,SBD  d  ,
A SBD . 2 BD  SA
+ Kẻ AF  SO . Lại có:  BD  
SAC  BD  AF . BD  AC 
Suy ra: AF  SBD  d  ,
A SBD  AF. Trang 418
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 SA.AO 2a 1 a
+Xét tam giác vuông SAO có: AF = =
. Vậy d  HK, SD  AF  . 2 2 3 SA + AO 2 3
Câu 37.8: Cho hình lập phương ABC . D AB C  D   cạnh bằng .
a Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD
và AB bằng bao nhiêu ? a 2 a 3 a 3 A. a 2 . B. . C. . D. . 2 3 2 Lờigiải Chọn B
 A' B '  A' A Ta có  A' B '  
 ADD ' A' .
A' B '  A' D ' 
Gọi H là giao điểm của AD ' với A ' D  A ' H  AD ' .
 A' H  AD ' a 2 Khi đó:
 d  A' B '; AD '  A' H   .
A' H  A' B ' 2 
Câu 37.9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I , AB  a, AD  2 . a Gọi M là
trung điểm của cạnh AB và N là trung điểm đoạn MI. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên
mặt phẳng  ABCD trùng với điểm N. Biết góc tạo bởi đường thẳng SB với mặt phẳng
 ABCD bằng 45. Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SD theo a là: a 6 a 6 a 6 A. a 6 . B. . C. . D. . 2 3 6 Lờigiải Chọn D Trang 419
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020
Do MN / / AD  MN / / SAD  d MN, SD  d (MN, (SAD))  d (N, (SAD)) . Kẻ NE  A ,
D SN  AD  AD  SNE    SAD  SNE   SE .
Kẻ NH  SE  NH  (SAD)  d  N,SAD  d  MN,(SAD)  NH .
Ta có : SB  ABCD   ;  SBN  45. 2 2 a a a 2 a 2 Xét 2 2 B
 MN  BN  BM  NM     SN  . 4 4 2 2 a a 2 . NE.NS a 6 2 2 Do NH    . 2 2 NE  NS a 3 6 2
Câu 37.10:Cho tứ diện OABC trong đó ,
OA OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA  OB  OC  . a
Gọi I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa AI và OC bằng bao nhiêu? a a 3 a A. a. B. . C. . D. . 5 2 2 Lời giải Chọn B
Gọi J là trung điểm OB  IJ / /OC  OC //  AIJ  . Trang 420
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020
Suy ra: d  AI, OC   d OC, AIJ   d  ,
O  AIJ  .
Kẻ OH vuông góc AJ tại H . O  C  OA Ta có: 
 OC  OAB  OC  OH  IJ  OH . OC  OB  O  H  AJ Khi đó: 
 OH   AIJ   d  ,
O  AIJ   OH . OH  IJ  Vì A
 OJ vuông tại O , có OH là đường cao. a . a O . A OJ a a 5 Suy ra: 2 OH   
.Vậy d  AI, OC   OH  . 2 2 2 OA  OJ 5  a 5 2  a     2 
Câu 37.11: Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng10 cm . Biết
SC  10 5 cm . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của S ,
A CD .Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau BD và MN . A. 3 5 cm . B. 5 cm . C. 5 cm . D. 10 cm . Lờigiải Chọn B S M K D A O N E B P C
+ Gọi P là trung điểm BC và E  NP  AC .
Khi đó: PN / / BD  BD / /  MNP . 1
Suy ra: d  B ,
D MN   d  BD,MNP  d O,MNP  d  ,
A MNP . 3
+ Kẻ AK  ME . Trang 421
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 BD  SA Lại có: 
 BD  SAC   BD  AK  PN  AK . BD  AC 
Suy ra: AK  MNP  d  ,
A MNP  AK.
+ Xét tam giác vuông SAC có: 2 2
SA  SC  AC  10 3  MA  5 3 . 3 15 2
Tam giác vuông MAE , có SA  10 3; AE  AC  . 4 2 M . A AE 1 Suy ra: AK 
 3 5 cm . Vậy d  BD, MN   AK  5 cm . 2 2 MA  AE 3
Câu 37.12: Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết
AB  a, AC  a 5 , góc giữa SB và mặt đáy là 30 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau AB và SC bằng. 2a 13 2a 21 2a 39 a 13 A. . B. . C. . D. . 13 7 13 13 Lời giải Chọn A Cách 1:
+ Chọn mặt phẳng SAD . 
 AB  SA do SA   ABCD Ta có: 
 AB  SAD  AB  AD 
+ Chiếu SC trên SAD . C 
 D  SA do SA   ABCD Ta có: 
 CD  SAD C  D  AD  Trang 422
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020
 SD là hình chiếu của SC trên SAD.
+ Dựng AH  SD  H .
+ Dựng hình chữ nhật AHKP với K  SC, P  AB .
Khi đó: PK là đoạn vuông góc chung của AB và SC và PK  AH .
+ Tính AH . Ta có:
Góc giữa SB và mặt đáy là 0 30  0  SBA  30 . a 3
Xét tam giác SAB vuông tại A có: 0 SA  A . B tan 30  . 3
Xét tam giác ABC vuông tại B có 2 2 BC 
AC  AB  2a  AD  BC  2a . a 3 .2a S . A AD 2a 13
Xét SAD vuông tại A: 3 AH    . 2 2 2 13 SA  AD  a 3     2a 2 3   2a 13
Vậy đoạn vuông góc chung của AB và SC là PK  AH  . 13 Cách 2:
+ AB / /CD  AB / /  SCD  d  AB, SC   d  AB,SCD  d  ,
A  SCD .
+ Kẻ AH  SD . Chứng minh AH  SCD . Từ đó suy ra: d  ,
A SCD  AH .
+ Tính AH (như cách 1)
Câu 37.13: Cho hình hộp đứng ABC . D A B  C  D
  có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a , cạnh bên AA  a 2
và AD  BA .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BA . a 2 a 6 a 6 A. . B. . C. a . D. . 3 3 2 Lời giải Chọn B Trang 423
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020
+ Gọi E là điểm đối xứng với B qua B .
Khi đó: AABE là hình bìn1h hành  AB / / AE  A B  / /  AD E   .
Suy ra d  AB, AD  d  AB, AD E
   d B, AD E   .
+ Gọi I  AC  BD .  AI  BD  Khi đó: 
 AI   DD B  B  
AI  DD do DD    ABCD    AD E     DD B  B    D E 
Trong mp  DD B  B
  , kẻ BH  D E  .
Suy ra : BH   AD E
   d B, AD E    BH . + Tính BH .
Xét tam giác ABA vuông tại A có BA 
AB  AA   a  a 2 2 2 2 2 2  a 6 .
Vì AD  BA  BA  BC  AD / /BC  A  B
 C vuông cân tại B .  A C
   2a 3  AI  a 3 .
Xét tam giác ABI vuông tại I có : BI 
AB  AI   a  a 2 2 2 2 2 3  a . Xét I
 BE vuông tại B có : BE  AA  a 2, BI  a . Trang 424
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 1 1 1 BI.BE . a a 2 a 6     BH    . 2 2 2 2 2 BH BI BE BI  BE a  a 2 2 3 2
Câu 37.14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, gọi M là trung điểm của AB . Tam
giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy  ABCD , biết SD  2a 5 ,
SC tạo với mặt đáy  ABCD một góc 60 . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SA . a 15 a 5 2a 15 3a 5 A. . B. . C. . D. . 79 79 79 79 Lờigiải Chọn C
+ Dựng hình bình hành AMDI . Khi đó : MD / / AI  MD / / SAI  .
 d  MD, AI   d  MD,SAI   d M ,SAI  .
+ Dựng MH  AI và MK  SH   1 .  AI  MH  Ta có: 
 AI  SMH   AI  MK 2 .
AI  SM do SM    ABCD  Từ  
1 và 2 suy ra : MK  SAI   d M ,SAI   MK . + Ta có:
SM   ABCD  MC là hình chiếu của SC trên  ABCD nên SC  ABCD     ,  SCM  60 .
+ Xét tam giác vuông SMC và SMD có: 2 2
SM  SD  MD  MC. tan 60 3 . Trang 425
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020
Mặt khác : MC  MD ( ABCD là hình vuông). Suy ra :   2 2 2
3  SD  MC  3MC  MC  a 5  MD  SM  a 15 .
+ Đặt MA  x  x  0  AD  2x . 2 2
Xét tam giác MAD vuông tại A có 2 2 2 2
MA  MD  AD  x  a 5   2x  x  a . . AD MA 2a Lại có: M
 AH ∽ A
 ID  MH   . AI 5 1 1 1 2a 15 Khi đó:    MK  . 2 2 2 MK MH SM 79
Câu 37.15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a . Các cạnh bên
SA  SB  SC  SD  a 2 . Tính khoảng cách giữa AD và SB ? a 7 a 42 a 6 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 6 7 2 Lời giải Chọn C
+ Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC .Trong mp SMN  , kẻ OH  SN .
+ Ta có: AD / / BC  AD / / SBC  . Trang 426
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020
 d  AD, SB  d  AD,SBC   d M ,SBC   2d O,SBC 
+ Vì SA  SB  SC  SD  a 2 suy ra các tam giác SAC, S
 BD là các tam giác cân tại S . SO  AC Khi đó: 
 SO   ABCD  SO  BC   1 . SO  BD 
Mặt khác: BC  MN  BC  AB, AB / /MN  2 . Từ  
1 và 2 suy ra: BC  OH . BC  OH Ta có: 
 OH  SBC   d  ,
O  SBC   OH . SN  OH  2  a 2  a 6
+ Xét tam giác vuông SOA có: 2 2 2 SO  SA  OA  2a     .  2  2   ON.SO a 6
Xét tam giác vuông SON có: OH   . 2 2 ON  SO 2 7 a 6 Vậy d  ,
AD SB  2OH  . 7
Câu 37.16: Cho hình chóp S.ABC . Tam giác ABC vuông tại B , BC  a, AC  2a , tam giác SAB đều.
Hình chiếu của S lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm M của AC . Khoảng cách
giữa SA và BC là? a 66 2a 11 2a 66 a 11 A. . B. . C. . D. . 11 11 11 11 Lời giải Chọn C
+ Dựng hình bình hành ABCD .Ta có:
BC / / AD  BC / / SAD  d  BC, SA  d  BC, SAD  d C,SAD  2d M ,SAD .
+ Gọi N là trung điểm của AD . Dựng MH  SN  H  SN  . Do 
ABC  90  ABCD là hình chữ nhật  MN  AD .
Lại có: SM  AD do SM   ABC  nên AD  SMN   AD  MH .  AD  MH Khi đó: 
 MH  SAD  d M , SAD  MH . SN  MH 
+ Tam giác ABC vuông tại B , BC  a, AC  2a  AB  a 3  SA (vì tam giác SAB đều) . Trang 427
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 1
Tam giác SAM vuông tại M ,có : SA  a 3, AM 
AC  a  SM  a 2 . 2 1 a 3
Xét tam giác SMN vuông tại M có SM  a 2, MN  AB  . 2 2 a 3 a 2. SM .MN a 66 2  MH    2 2 2 11 SM  MN    a 2 a 3 2    2   2a 66
Vậy d  BC, SA  . 11
Câu 37.17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với
AD  DC  a, AB  2a . Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy. Góc giữa
SC và mặt đáy bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB . a 6 2a 15 A. . B. 2a . C. a 2 . D. . 2 5 Lời giải Chọn A S K E M A B D C
+ Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy SA   ABCD . Khi đó:    =     SC, ABCD
SC, AC = SCA = 60 và SA= AC.tan60= a 6 .
Gọi M là trung điểm AB , suy ra ADCM là hình vuông nên CM  AD  a . 1
Xét tam giác ABC , ta có trung tuyến CM  a 
AB nên tam giác ABC vuông tại C . 2
+ Dựng hình chữ nhật ACBE . Ta có: AC / /BE  AC / /  SBE  .
Suy ra: d  AC, SB  d  AC, SBE   d  ,
A SBE  .
+ Kẻ AK  SE   1 . Trang 428
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 BE  SA Ta có: 
 BE  SAE  BE  AK 2 . BE  AE  Từ  
1 ,2  AK  SBE   d  ,
A SBE   AK . S . A AE a 6.a 2 a 6
+ Xét tam giác vuông SAE có: AK    . 2 2 SA  AE
a 2 a 2 2 6 2
Câu 37.18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với
AB  BC  a, AD  2a . Hai mặt phẳng SAC  và SBD cùng vuông góc với đáy. Góc giữa
SAB và mặt đáy bằng60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB . 2a 3 2a 3 a 3 3a 3 A. . B. . C. . D. . 5 15 15 5 Lờigiải Chọn A 1
+ Gọi H  AC  BD  BH  BD . 3
Hai mặt phẳng  SAC  và  SBD cùng vuông góc với đáy SH   ABCD .
Gọi O là trung điểm của AD  ABCD là hình vuông cạnh a và BO / /CD  CD / / SBO . Suy ra: d C ,
D SB  d CD,SBO  d  D,SBO  3d H,SBO .
+ Gọi I  AC  BO .
Trong SAC , kẻ HK  SI . BO  AC Lại có: 
 BO  SAC   BO  HK . BO  SH 
Suy ra: HK  SBO  d  H, SBO  HK . Trang 429
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020
+ Trong  ABCD kẻ HM  AB  M .
Dễ dàng chứng minh được : AB  SHM   AB  SM .
Khi đó, góc giữa SAB và mặt đáy là SM HM    0 ,  SMH  60 . 1 2a 2a 3
Xét tam giác vuông SHM có: 0 MH  AD 
 SH  MH . tan 60  3 3 3 1 1 a 2 2a 3
Xét tam giác SHI vuông tại H có: IH  IC  AC  ; SH  . 3 6 6 3 IH .SH 2a 3 Suy ra: HK   . 2 2 5 IH  SH
Câu 37.19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Góc 
ABC  60 và SD  a 2
.Hình chiếu vuông góc của S lên  ABCD là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD  3HB .
Gọi M là trung điểm của cạnh SD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SB . a 3 a 30 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 40 8 8 4 Lờigiải Chọn B
+ Từ giả thiết có tam giác ABC đều cạnh a . a 3
Gọi O  AC  BD  BO 
 BD  a 3 . 2 Trang 430
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 3 3a 3  HD  BD  . Suy ra: 4 4 2 2 27a 5a a 5 2 2 2 2
SH  SD  HD  2a    SH  . 16 16 4 2 2 5a 3a a 2 2 2 2
SB  SH  HB    SB  . 16 16 2 BD  AC Ta có: 
 AC  SBD  AC  OM . AC  SH  2 1 1 1 a 2 a 2
Diện tích tam giác MAC là : S  OM .AC  S . B AC  .a  . M  AC 2 4 4 2 8
SB / /OM  SB / / MAC   d SB,CM   d SB,MAC   d B,MAC   d D,MAC  . 3 1 1 1 1 1 a 15 Ta có: V 
d M , ACD .S
 . d S, ABCD . S  V  . M .ACD    ACD    ABCD S . 3 3 2 2 4 ABCD 96 1 Mặt khác: V 
d D, MAC .S . M . ACD    3 M  AC 3 a 15 3.  d  3V a 30 D MAC  M .ACD 96 ,    . 2 S a MAC 2 8 8
Câu 37.20: Cho hình lập phương ABC . D A B  C  D
  cạnh a . Gọi K là trung điểm của DD . Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng CK và A D  . a a a a A. . B. . C. . D. . 3 5 4 2 Lờigiải Chọn A
Gọi M là trung điểm của BB thì AM / /CK  CK / /  ADM  . Trang 431
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 3V
 d CK , AD  d CK, ADM   d K,  ADM 
K . ADM  . SADM 1 1 1 Ta có: 3 V  V  V  B A
 . AD .KD  a . K .A D  M M .KAD
B.KAD 3 2 12
Hạ DH  AM . Do AD   ABB A
  nên AD  A M 
 AM   AHD  AM  AH . 2 a 2a Vì 2
AH .AM  2S  S  a  AH   . AMA ABB A   AM 5 3a 1 3 Do đó: 2 2 2 DH  AD  AH   S 
DH.AM  a . AMD 5 2 4 3 a 3. 3V a
Vậy d CK AD K .ADM 12 ,    . S 3 2 3 ADM a 4 Câu 37.21:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AD  2a , SA   ABCD và
SA  a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng a 3 a 6 2a 5 A. . B. . C. . D. a 6 . 3 4 5 Lờigiải Chọn C S H A D B C
Trong tam giác SAD kẻ đường cao AH ta có
Dễ thấy AH chính là đường vuông góc chung của AB và SD . A . D AS 2 . a a 2a 5 A .
D AS  AH .SD  AH    . SD  a2 2 5 2  a 2a 5
Vậy d  AB, SD  AH  . 5 Câu 37.22:
Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và OA  a ,
OB  OC  2a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng a 2 2a 5 a 6 A. . B. . C. a . D. . 2 5 3 Lời giải Trang 432
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Chọn D A H E C O M B
Ta có được OA  OBC  .
Trong mặt phẳng OBC  , dựng điểm E sao cho OMCE là hình bình hành thì OMCE cũng là
hình vuông (do OBC là tam giác vuông cân tại O ). C  E  OE Lại có: 
 CE   AOE  . CE  OA 
Kẻ OH  AE tại H thì OH   AEC  . O . A OE . a a 2 a 6
Vì OM //  AEC  nên d  AC ,OM   d O , ACE   OH    . 2 2 2 2 3 OA  OE a  2a Câu 37.23:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với đường chéo AC  2a , SA
vuông góc với mặt phẳng  ABCD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là a a A. . B. . C. a 2 . D. a 3 . 3 2 Lời giải Chọn C S A D B C DA  SA Ta có 
 DA  SAB . DA  AB  Trang 433
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 C 
 D   SAB  Mặt khác 
 CD // SAB . C  D // AB 
Từ đó suy ra khoảng cách giữa SB và CD bằng khoảng cách giữa  SAB và CD và bằng D . A
Tứ giác ABCD là hình vuông với đường chéo AC  2a suy ra DA  2a .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là a 2. Câu 37.24:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy bằng 2a , SA tạo với đáy một góc 30 . Tính
theo a khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và CD . 2 10a 3 14a 4 5a 2 15a A. d  . B. d  . C. d  . D. d  . 5 5 5 5 Lời giải Chọn A 1 1
Gọi O  AC  BD . Ta có OA  AC  2a 2  a 2. 2 2  SO
Vì SA tạo với đáy một góc 30 nên SAO  30 . Do đó: tan 30   SO  A . O tan 30 AO 1 a 6  a 2.  . 3 3
Mặt khác, d  d S ,
A CD   d CD,SAB  d C,SAB  2d O,SAB .
Gọi I , J lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên AB , SI . Ta có OI  . a 1 1 1 1 3 5 2 2a a 10 Xét tam giác SOI :      2  OJ   OJ  . 2 2 2 2 2 2 OJ OI SO a 2a 2a 5 5 2 10a Vậy d  . 5 Câu 37.25:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh .
a Tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABCD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD là a 3 a 3 a 2 A. a . B. . C. . D. . 2 3 2 Lờigiải Trang 434
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Chọn B S H A a D M B C
Gọi M , H lần lượt là trung điểm của AB , S . A
Khi đó SM  AB mà SAB   ABCD  SM   ABCD .
Tam giác SAB đều nên BH  SA .
Mà AD  SAB  AD  BH .
Do đó BH  SAD .
Mặt khác ta có BC // SAD  d  BC, SD  d  BC,SAD  d  B, SAD  BH . a 3
Do đó d  BC, SD  BH  . 2 Câu 37.26:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  a , cạnh bên SA
vuông góc với đáy và SA  a 2 . Gọi E là trung điểm của AB . Khoảng cách giữa đường
thẳng SE và đường thẳng BC bằng bao nhiêu? a 3 a 3 a a 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3 Lời giải Chọn D S K E A B I C Trang 435
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020
Gọi I là trung điểm của AC , ta có EI // BC nên d  BC, SE   d  BC,SEI   d  B,SEI   d  ,
A SEI   AK (hình vẽ). a a 2. AS.AE a 2
Trong tam giác vuông SAE ta có AK  2   . 2 2 AS  AE 2 3 a 2 2a  4 Câu 37.27:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AD  2a . Cạnh bên SA  2a và
vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD . 2a A. 2a . B. a 2 . C. a . D. . 5 Lời giải Chọn B S H A D B C
Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh SD . Ta có  AB  AD 
 AB   SAD  AB  AH . AB  SD 
Suy ra AH là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AB và SD . Do đó
d  AB, SD  AH . S
 AD vuông cân tại A có AH là đường cao nên H là trung điểm của SD , suy ra 1 2a 2 AH  SD   a 2 . 2 2
Vậy d  AB, SD  a 2 . Câu 37.28:
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.AB C
  có AB  a , AA  2a . Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng AB và AC . a 3 2 5 2 17 A. . B. a . C. a 5 . D. a . 2 5 17 Lời giải Chọn D Trang 436
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 A' C' B' I L A C H B
Gọi I là giao điểm của AB và AB ; H là trung điểm của BC .
Ta có IH là đường trung bình trong tam giác ABC nên IH // AC .
d  AB , AC   d  AC, AB H
   d C, AB H
   d B, AB H    AH  BB Ta có 
 AH   BCC B   AH  BC 
Từ B kẻ BL  B H 
; mà BL   BCC B
  nên BL  AH .Suy ra BL   AB H   AC a Tam giác BB H 
vuông tại B có BB  2a và BH  
và có BL là đường cao nên 2 2 1 1 1 1 4 17 2a 17 2a 17       BL 
. Vậy d  AB , AC   . 2 2 2 BL BB BH 2 2 4a a 2 4a 17 17 Câu 37.29:
Cho lăng trụ đứng ABC.AB C
  có tất cả các cạnh đều bằng 2a . Khoảng cách giữa hai
đường thẳng BC và AA bằng 2a 5 2a a 3 A. . B. . C. . D. a 3 . 3 5 2 Lời giải Chọn D
Gọi H là trung điểm BC , vì ABC là tam giác đều nên AH  BC .
Mặt khác AH  BB . Do đó AH   BCC B    d  , A  BCC B
   AH  a 3 .
Ta có AA // BB  AA //  BCC B   Trang 437
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020
 d  AA , BC   d  AA , BCC B    d  , A  BCC B
   AH  a 3 . Câu 37.30:
Cho hình hộp chữ nhật ABC . D AB C  D
  có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 ,
AA  2a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CD . a 5 2a 5 A. 2a . B. a 2 . C. . D. . 5 5 Lời giải Chọn D B a 2 C a 2 A D 2a I B' C' O' A' D'
+ Ta có BD //B D  , B D    CD B
   BD// CD B  
 d CD , BD  d  D,CD B   . + Gọi
I  DC  D C 
 I  DC  CD B   mà I là trung điểm của DC  d  , D CD B
   d C ,CD B   . + Vì AB C  D
  là hình vuông tâm O cạnh a 2  C O    a 2 2
 CO  CC  C O    a 5 1 1 Ta có diện tích 2 S  CO .B D   
a 5.2a  a 5 . C B  D   2 2 1 1 2 + Ta V  V  CC . . CB CD  a 22 3 .2a  a
C '.CD' B '
C.C ' B ' D' 6 6 3 2 3 3. a  d  3V 2a 5 C CB D  
C .C ' B ' D' 3 ,    . 2 S a CB D 5 5 ' ' Câu 37.31:
Cho lăng trụ ABC.A B  C
  có các mặt bên là những hình vuông cạnh a . Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng A C  và AB . a 3 a 5 a 3 a 5 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 5 Lời giải Chọn D A C D B H A' C' E B' Trang 438
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020
+ Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC và B C
  . Khi đó ta có AD // AE; B D  // CE  CA E
  //  ADB  d  AB , AC   d  ADB,CEA  d B ,CEA + Do B C
  cắt mặt phẳng CAE  tại E là trung điểm của B C   nên có
d  B ,CAE  d C ,CAE . + Do AB C
  đều có E là trung điểm của B C
  nên AE  B C
  . Mặt khác các mặt bên của
lăng trụ là hình vuông nên ABC.A B  C
  là lăng trụ đứng  AE  CC  AE  CC E  
 CAE   CC E   mà CA E    CC E
   CE  từ C hạ đường vuông góc xuống CE tại H thì C H 
 d C ,CAE .
+ Xét tam giác vuông tại CC E  tại C có a .a a CC .C E  a 5 2 CC  ; a C E    C H     . 2 2 2 2    5 CC C E a 2  a 4 a 5
Vậy d  AB , A C    . 5 Câu 37.32:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB // CD . Tam giác ABC vuông tại A ,
AB  a, BC  2a, SA  SB  SC  a 2 . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SC. a 21 2a 7 2a 21 2a 3 A. d  . B. d  . C. d  . D. d  . 7 7 7 7 Lời giải Chọn C S AB=a BC=CD=2a I SA=SB=SC=a 2 D C E H A B
Gọi H là trung điểm của BC , do A
 BC vuông tại A  AH  HB  HC , mặt khác lại có
SA  SB  SC  SH   ABCD . Kẻ HE / / AC, E CD Do ABCD là hình thang 
AB// CD, BAC  90 ,
 HE // AC  CD  HE , CD  SH
 CD   SHE   SCD   SHE  hay SDE   SHE   Từ H hạ HI  CE
 HI  d  H,SCD 1 1 a 3
Ta có SB  SC  a 2, BC  2a  SH  a ; 2 2 HE  AC  BC  AB  2 2 2 Trang 439
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 a 3 . a SH.HE a 21 Suy ra 2 HI    2 2 2 7 SH  HE  a 3  2 a    2   Ta có AB / /C ,
D CD  SCD  AB// SCD
 d  AB, SC   d  AB, SCD  d B,SCD  2d H ,SCD 2a 21
Vậy d  AB, SC   . 7 Câu 37.33:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của AB và AD , H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuông góc mặt phẳng
 ABCD và SH  a 3 . Khoảng cách giữa đường thẳng DM và SC là a 57 a 57 3a 57 2a 57 A. . B. . C. . D. . 19 38 38 19 Lời giải Chọn D Ta có: A  DM  D
 CN c  g  c .       o         90   90o ADM DCN ADM CDM DCN CDM DHC  DM  NC . CN  DM  Ta có:
  DM   SNC  . SH  DM 
Kẻ HK  SC K  SC  .
Mặt khác HK  DM vì DM  SNC  .
 HK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng DM và SC .
 d SC; DM   HK . Trang 440
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 2 DC 2
DC  HC.CN  HC  . CN 2 2 DC a 2a 5    . 2 2 2 5 DN  DC  a  2  a    2  2a 5 a 3. SH.HC 2a 57
Xét tam giác SHC vuông tại H: 5 HK    . 2 2 2 19 SH  HC    a 2 2a 5 3    5   2a 57
Vậy khoảng cách giữa SC và DM bằng . 19 Câu 37.34:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB  2a, SA  4a . Khoảng cách giữa hai đường
thẳng AC và SD bằng. 14a 7a 14a 7a A. . B. . C. . D. . 2 2 4 2 Lời giải Chọn B S H A D O B C
Gọi O  AC  BD  SO   ABCD .  AC  BD Ta có 
 AC  SBD . AC  SO  O  H  SD
Kẻ OH  SD  
 OH là đoạn vuông góc chung của AC, SD . OH  AC  Ta có 2 2
OD  a 2, SO 
SD  OD  a 14 1 1 1 1 1 4 a 7 a 7        OH 
. Vậy d  AC; SD  . 2 2 2 2 2 2 OH OS OD 14a 2a 7a 2 2 Câu 37.35:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a ; SO  2a .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD bằng a 3 2a 3 2a 4a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Trang 441
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Chọn C S H A D O B C
Gọi O  AC  BD  SO   ABCD .  AC  BD Ta có 
 AC  SBD . AC  SO  O  H  SD
Kẻ OH  SD  
 OH là đoạn vuông góc chung của AC, SD . OH  AC  a 2
Ta có AB  a  BD  a 2  OD  , SO  2a 2 1 1 1 1 2 9 2a        OH  . 2 2 2 2 2 2 OH OS OD 4a a 4a 3 2a
Vậy d  AC; SD  . 3 Câu 37.36:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a ; SO  a; SO   ABCD .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng a 3 a 5 2a 3 2a 5 A. . B. . C. . D. . 15 5 15 5 Lời giải Chọn D
Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB,CD; H là hình chiếu của O lên SN .
Vì AB / /CD nên d  AB; SC   d  AB; SCD  d M ;SCD  2d O;SCD . C  D  SO Ta có 
 CD  SON   CD  OH . CD  ON  Trang 442
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 O  H  CD Khi đó 
 OH  SCD  d O;SCD  OH . OH  SN  1 1 1 1 4 5 a 5
Tam giác SON vuông tại O        OH  2 2 2 2 2 2 OH OS ON a a a 5 2a 5 Vậy d  A ;
B SC   2OH  . 5 Câu 37.37:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt
phẳng ( ABC) , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC) bằng 0 60 . Khoảng cách giữa
hai đường thẳng AC và SB bằng a 2 a 15 a 7 A. . B. . C. 2a . D. . 2 5 7 Lời giải Chọn B S H A C D B K
Ta có SA  ( ABC) , nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC) là 0 SBA  60 .
Lấy điểm D sao cho tứ giác ACBD là hình bình hành. Khi đó
AC / / BD  AC / / (SBD)  d ( AC, SB)  d ( AC, (SBD))  d ( , A (SBD)) .
Kẻ AK  BD, (K  BD)  BD  (SAK )  (SAK )  (SBD) ; (SAK )  (SBD)  SK.
Kẻ AH  SK , (H  SK )  AH  (SBD)  d ( ,
A (SBD))  AH . a 3
Tam giác ABD đều nên AK là đường trung tuyến 0  AK  A . B sin 60  . 2 0 SA  A .
B tan 60  a 3 . 1 1 1 4 1 5 a 3 a 15
Trong tam giác SAK ta có       AH   . 2 2 2 2 2 2 AH AK SA 3a 3a 3a 5 5 a 15  d ( ,
A (SBD))  AH  . 5 Trang 443
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 a 15
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng . 5 Câu 37.38:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC là tam giác vuông tại A , AC  a 3 , 
ABC  30 . Góc giữa SC và mặt phẳng ABC bằng 60 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy.
Khoảng cách từ A đến SBC  bằng a 6 a 3 2a 3 3a A. . B. . C. . D. . 35 35 35 5 Lời giải Chọn D S H a 3 600 A C M 30° B
Dựng AM  BC , AH  SM . Ta có AM  BC
  BC   SAM   AH  BC và AH  SM  AH   SBC  . SA  BC  Do đó d  ,
A SBC   AH .
Tam giác SAC vuông tại A  SA  AC.tan 60  a 3. 3  3a .
SAC  BAC (g – c – g)  SA  BA  3a . 1 1 1 1 1 4
Tam giác ABC vuông tại A       . 2 2 2 2 2 2 AM AB AC 9a 3a 9a 1 1 1 1 1 4 5 3a
Tam giác SAM vuông tại A         AH  . 2 2 2 AH SA AM 2 2 2 2 AH 9a 9a 9a 5
SỬ DỤNG PP TỌA ĐỘ ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH Câu 37.39:
Cho hình lập phương ABC . D A B  C  D
  có cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm của DD .
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK , AD . 3a 2a a A. a . B. . C. . D. . 8 5 3 Lời giải Trang 444
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Chọn D z B' C' A' D' y K C B A D x
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó:  a 
A0; 0;a , D a;0; 0 ; C a;a;0 , Da;0; a suy ra K ; a 0;   .  2     a    a 
Ta có: AD   ;
a 0;  a  , CK  0; a ';   , DK  0;0;   .  2   2  2    a  Suy ra 2 2
 AD,CK   a ;  ;  a   .   2  
    A D  ,CK  .DK   a
Vậy d  AD,CK      .    3 A D,CK   Câu 37.40:
Cho hình lập phương ABC . D A B  C  D
  cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC
và DD . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BD . 3a 3a 3a A. 3a . B. . C. . D. . 2 3 6 Lời giải Chọn D
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.  a   a 
Khi đó, B a ;0; a , D 0; a ; a , M a; ;a   , N 0; a ;   .  2   2  Trang 445
NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020    a a    a 
BD  a ; a ;0 , MN  a ; ;    , BM  0; ;0   .  2 2   2     a a a  2
   a
BD, MN    ;  ; 
 ; BD, MN  .BM   .    2 2 2    4
  
BD, MN  .BM   2 a a 3 a 3
d  BD, MN      :  . BD, MN  4 2 6   Trang 446

Bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Toán 12

Tài liệu liên quan:

Bảng khối đa diện đều | Toán 12

Lăng trụ đều là gì? Lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều là gì? | Toán 12

Chuyên Đề Thể Tích Khối Đa Diện Có Yếu Tố Góc Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Có Đáp Án Và Lời Giải

10 Đề Trắc Nghiệm Ôn Tập Chương Khối Đa Diện Hình 12 Có Đáp Án

TOP 600 bài tập chọn lọc khối tròn xoay – Lê Minh Tâm Toán 12