Bài toán khoảng cách trong không gian – Nguyễn Tất Thu Toán 12

Bài viết này sẽ trình bày cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Quy trình tính khoảng cách là chúng ta tìm cách chuyển về khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt phẳng có giao tuyến với mặt đáy, hoặc khoảng cách từ một điểm nằm trong mặt phẳng đáy đến một mặt phẳng chứa đường cao của hình chóp. Với mô hình lăng trụ, ta chỉ cần tách phần cần tính để đưa về mô hình của hình chóp.Mời bạn đọc đón xem.

Chủ đề:

Chương 1: Khối đa diện 172 tài liệu

Môn:

Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:
23 trang 1 năm trước
Tác giả:
L
Lan Tường
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Bài toán khoảng cách trong không gian – Nguyễn Tất Thu Toán 12

Bài viết này sẽ trình bày cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Quy trình tính khoảng cách là chúng ta tìm cách chuyển về khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt phẳng có giao tuyến với mặt đáy, hoặc khoảng cách từ một điểm nằm trong mặt phẳng đáy đến một mặt phẳng chứa đường cao của hình chóp. Với mô hình lăng trụ, ta chỉ cần tách phần cần tính để đưa về mô hình của hình chóp.Mời bạn đọc đón xem.

44 22 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện 172 tài liệu

Môn: Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:

23 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Lan Tường
Nguyễn Tất Thu
1
BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
Nguyễn Tất Thu - GV Trường Chuyên Lương Thế Vinh
Bài viết này sẽ trình bày cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Quy trình tính khoảng cách là chúng ta tìm cách
chuyển về khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt phẳng có giao tuyến với mặt đáy,
hoặc khoảng cách từ một điểm nằm trong mặt phẳng đáy đến một mặt phẳng chứa đường
cao của hình chóp. Với mô hình lăng trụ, ta chỉ cần tách phần cần tính để đưa về mô hình
của hình chóp.
{ Bài toán 1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α).
Lời giải.
Để tính được khoảng từ điểm M đến mặt phẳng
(
α
)
ta có các cách sau:
1 Cách 1: Xác định hình chiếu vuông góc H của M lên (α) .
Để xác định được vị trí hình chiếu H ta có một số lưu ý sau:
Chọn
¡
β
¢
chứa điểm M và (β) ⊥(α) , rồi xác định giao tuyến ∆ =
(
α
)
∩
¡
β
¢
.
Trong
¡
β
¢
dựng MH ⊥∆ ⇒ MH ⊥
(
α
)
.
Nếu trong
(
α
)
có hai điểm A, B sao cho M A =MB thì trong
(
α
)
kẻ đường trung
trực d của đoạn AB, rồi trong mp
(
M, d
)
dựng MH ⊥ d. Khi đó MH ⊥
(
α
)
(h.3)
Thật vậy, Gọi I là trung điểm của AB. Do M A = MB nên ∆M AB cân tại M,
suy ra M I ⊥ AB ⊂
(
α
)
. Lại có AB ⊥ d ⇒ AB ⊥ mp
(
M, d
)
⇒ AB ⊥ MH.
Vậy
MH ⊥ AB
MH ⊥ d
⇒ MH ⊥
(
α
)
.
Nếu trong
(
α
)
có một điểm A và một đường thẳng d không đi qua A sao
cho M A ⊥ d thì trong
(
α
)
kẻ đường thẳng d
0
đi qua A và d
0
⊥ d, rồi trong
mp
¡
M, d
0
¢
kẻ MH ⊥ d
0
⇒ MH ⊥
(
α
)
(h. 4)
Thật vậy, do d ⊥ d
0
và d ⊥ M A ⇒ d ⊥mp
¡
M, d
0
¢
⇒ d ⊥ MH.
Lại có MH ⊥ d
0
⇒ MH ⊥ mp
¡
d, d
0
¢
≡
(
α
)
.
Nếu trong
(
α
)
có các điểm A
1
, A
2
,. .., A
n
(
n ≥3
)
mà M A
1
= M A
2
= ··· = M A
n
hoặc các đường thẳng M A
1
, M A
2
,. .., M A
n
tạo với
(
α
)
các góc bằng nhau
thì hình chiếu của M trên
(
α
)
chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác
A
1
A
2
···A
n
.
Nếu trong
(
α
)
có các điểm A
1
, A
2
,. .., A
n
(
n ≥3
)
mà các mặt phẳng
(
M A
1
A
2
)
,
(
M A
2
A
3
)
, ... ,
(
M A
n
A
1
)
tạo với (α) các góc bằng nhau thì hình chiếu
của M là tâm đường tròn nội tiếp đa giác A
1
A
2
···A
n
.
Nguyễn Tất Thu
2
Nếu tứ diện O ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và có đường cao OH
thì
1
OH
2
=
1
OA
2
+
1
OB
2
+
1
OC
2
. (∗)
2 Cách 2: Sử dụng công thức thể tích: Xét một hình chóp có M là đỉnh, đáy nằm
trong mặt phẳng (α). Khi đó: d(M,(α)) =
3V
S
d
.
3 Cách 3: Chuyển việc tính khoảng cách từ M về tính khoảng cách từ điểm N dễ
tính hơn bằng cách sử dụng các kết quả sau
Nếu MN//
(
α
)
thì d
(
M,
(
α
))
=d
(
N,
(
α
))
.
Nếu MN ∩(α) =
{
I
}
thì d(M, (α)) =
MI
N I
·d(N,(α)).
Khi sử dụng công thức chuyển điểm ta thường tìm cách chuyển về chân đường
cao, với chú ý sau
Chú ý 1.
Cho hình chóp S.A
1
A
2
···A
n
có đường cao
SH.
Kẻ A
i
E ⊥ H A
j
. Khi đó
d(A
i
,(SH A
j
)) = A
i
E.
Kẻ HF ⊥ A
i
A
j
, HK ⊥SF. Khi đó
d(H, (S A
i
A
j
)) = HK =
HF ·HS
p
HF
2
+HS
2
.
E
A
1
H
F
K
S
A
2
A
3
A
4
A
n
4 Cách 4: Gắn hệ trục tọa độ Ox yz và sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến
mặt phẳng.
Ta thường gắn hệ trục khi mô hình trong bài toán có ba cạnh xuất phát từ một
đỉnh và đôi một vuông góc.
Nguyễn Tất Thu
3
VÍ DỤ 1 (Thi thử, Sở GD và ĐT -Lạng Sơn, 2019). Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC
là tam giác đều cạnh a, S A vuông góc với mặt phẳng đáy, S A =
a
p
3
2
. Khoảng cách từ
A đến (SBC) là
A.
a
p
6
4
. B.
a
p
3
2
. C.
a
p
6
3
. D.
a
p
2
2
.
Lời giải.
Đây là bài toán tính khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến mặt bên. Ta
áp dụng cách xử lí trong chú ý (1)
Gọi M là trung điểm của BC thì AM ⊥ BC, AM =
a
p
3
2
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SM, ta có AH ⊥
(SBC). Trong tam giác vuông S AM, ta có:
1
AH
2
=
1
AS
2
+
1
AM
2
⇒ AH =
a
p
6
4
.
Vậy d(A, (SBC)) = AH =
a
p
6
4
.
S
H
M
A
B
C
Chọn đáp án A
VÍ DỤ 2 (KSCL giữa HK2 Cụm trường THPT TP Nam Định).
Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có đáy ABCD là hình
chữ nhật với AB = a, AD = a
p
3. Hình chiếu vuông góc
của A
0
lên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD.
Khoảng cách từ B
0
đến mặt phẳng (A
0
BD) là
A.
a
2
. B. a
p
3. C.
a
p
3
6
. D.
a
p
3
2
.
A
0
B
0
D
0
C
0
A
D
C
B
I
Lời giải.
Ta thấy mặt phẳng (A
0
BD) chứa đường cao A
0
I, nên ta gắn vào mô hình là hình chóp
có một mặt bên là (A
0
BD), nên ta xét hình chóp A
0
ABD. Khi đó ta tìm cách chuyển
khoảng cách từ B
0
, về khoảng cách từ A. Để có được điều này ta cần tìm giao điểm J
của AB
0
với mặt phẳng (A
0
BD). Dễ thấy J là giao điểm của AB
0
và A
0
B, hơn nữa J là
trung điểm của AB
0
. Do đó d(B
0
,(A
0
BD)) = d(A,(A
0
BD)). Để tính khoảng cách từ A đến
(A
0
BD) ta chỉ cần kẻ AH ⊥ BD thì khoảng cách đó chính là AH. Vậy ta có lời giải như
sau:
Nguyễn Tất Thu
4
Gọi I là giao điểm của AC và BD.
Dựng AH ⊥BD.
Ta có A
0
I ⊥(ABCD) mà AH ⊂(ABCD) nên A
0
I ⊥ AH.
Từ đó ta được AH ⊥(A
0
BD).
Suy ra d(B
0
,(A
0
BD)) =d(A, (A
0
BD)) = AH.
Xét ∆ ABC vuông tại A có
1
AH
2
=
1
AB
2
+
1
AD
2
⇒ AH =
s
AB
2
·AD
2
AB
2
+AD
2
=
a
p
3
2
.
Vậy d( B
0
,(A
0
BD)) =
a
p
3
2
.
A
0
B
0
D
0
C
0
A
D
C
B
I
H
Chọn đáp án D
VÍ DỤ 3.
Cho lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có tam giác ABC vuông
tại B, BA = 2a, BC = a, A A
0
= a . Trên cạnh AB lấy
M sao cho AM = 3BM. Tính khoảng cách d từ A
0
đến
¡
B
0
MC
¢
A. d =
a
p
6
48
. B. d =
2a
p
6
3
.
C. d =
a
p
6
12
. D. d =
a
p
6
18
.
M
B
0
B
A
0
A
C
0
C
Lời giải.
Vì cần tính khoảng cách từ A
0
đến mặt phẳng (B
0
CM) nên ta dựng hình chóp có một
mặt bên là 4B
0
MC. Hơn nữa BA BC, BB
0
đôi một vuông góc, nên ta xét hình chóp
B
0
BMC. Khi đó, ta chuyển khoảng cách từ A
0
về khoảng cách từ B và sử dụng công
thức (*).
Ngoài ra, vì B A BC, BB
0
đôi một vuông góc nên ta có thể gắn hệ trục tọa độ Oxyz.
Do đó ta có thể giải bài toán trên theo một trong hai hướng sau:
Hướng 1: Vì ba đường thẳng BA, BC, BB
0
đôi một vuông góc, nên ta có thể gắn
hệ trục tọa độ Oxyz, sao cho B ≡ O, A ∈ tia Ox, C ∈ tia O y và B
0
∈ tia Oz. Khi đó
B(0; 0;0), A(2a; 0;0), C(0; a; 0), B
0
(0;0; 1), A
0
(2a;0; a), C
0
(0; a; a) và M
³
a
2
;0; 0
´
. Việc còn lại
là lập phương trình mặt phẳng (B
0
CM) và sử dụng công thức tính khoảng cách.
Hướng 2:
Nguyễn Tất Thu
5
Gọi I là giao điểm của A
0
B với B
0
M, ta có
I A
0
IB
=
A
0
B
0
MB
=4,
nên
d(A
0
,(B
0
MC)) =4d(B,(B
0
MC)) =4h.
Vì B.MCB
0
là tứ diện vuông tại B, nên
1
h
2
=
1
BM
2
+
1
BC
2
+
1
B
0
B
2
=
6
a
2
⇒ h =
a
p
6
6
.
Vậy d =
2a
p
6
3
.
M
B
0
B
A
0
A
I
C
0
C
Chọn đáp án B
VÍ DỤ 4 (Đề chính thức THPTQG 2019, Mã đề 101).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa
như hình vẽ bên). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng
(S AC) bằng
A.
a
p
21
14
. B.
a
p
21
7
. C.
a
p
2
2
. D.
a
p
21
28
.
A
B
C
D
S
Lời giải.
Vì tam giác S AB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, nên đường cao của
tam giác S AB là đường cao của hình chóp. Do đó, hình chiếu của S lên (ABCD) là
trung điểm H của cạnh AB. Ta chuyển khoảng cách từ B về khoảng cách từ H. Vì BH
cắt (S AC) tại A và H là trung điểm AB, nên d(B,(S AC)) = 2d(H(SAC)). Ta có lời giải
sau
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó SH ⊥
(ABCD) và SH =
a
p
3
2
(vì tam giác SAB đều
có cạnh là a).
Kẻ HK ⊥ BD tại K. Khi đó K là trung điểm
BO (vì H là trung điểm AB và AO ⊥ BD). Do
đó HK =
1
2
AO =
a
p
2
4
.
Suy ra BD ⊥(SHK).
A
B
C
O
K
D
I
H
S
Kẻ H I ⊥ SK tại I. Khi đó HI ⊥BD. Suy ra HI ⊥(SBD). Do đó H I =d
(
H, ( SBD)
)
.
Vì H là trung điểm AB nên d
(
A,(SBD)
)
=2d
(
H, ( SBD)
)
=2HI.
Nguyễn Tất Thu
6
Xét tam giác vuông SHK có đường cao HI nên
1
HI
2
=
1
SH
2
+
1
HK
2
=
4
3a
2
+
16
2a
2
⇒ HI =
a
p
21
14
.
Vậy khoảng cách từ A đến (SBD) là d
(
A,(SBD)
)
=2HI =
a
p
21
7
.
Chọn đáp án B
VÍ DỤ 5.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a.
Cạnh bên S A = 2a và vuông góc với đáy. Gọi M
là trung điểm SB. Tính khoảng cách d từ M đến
mặt phẳng
(
SCD
)
A. d =
a
p
3
12
. B. d =
a
p
3
4
.
C. d =
a
p
3
2
. D. d =
a
p
3
6
.
A
B
M
D
S
C
Lời giải.
Bài toán yêu cầu tính khoảng cách từ M đến (SCD), ta tìm cách chuyển về khoảng
cách từ A (do A là chân đường cao). Để làm điều đó, trước hết ta chuyển khoảng cách
từ M về khoảng cách từ B, rồi từ đó chuyển về khoảng cách từ A. Hoặc ta có thể tìm
giao điểm của AM với (SCD) và chuyển trực tiếp khoảng cách từ M về khoảng cách từ
A. Cụ thể ta có lời giải như sau:
Gọi E là giao điểm của AB với CD. Do BC ∥ AD và BC =
1
2
AD, nên B là trung điểm
AE. Do đó
d(M,(SCD)) =
MS
BS
d(B,(SCD)) =
MS
BS
·
BE
AE
d(A,(SCD)) =
1
4
d(A,(SCD)).
Kẻ AI ⊥ SC, ta có AC ⊥CD nên
d(A,(SCD)) = AI =
AC · AS
AC
2
+S A
2
=
2a
p
3
3
.
Vậy d(M, (SCD)) =
a
p
3
6
.
Chọn đáp án D
VÍ DỤ 6 (Đề tập huấn số 2, Sở GD và ĐT Quảng Ninh, 2019).
Nguyễn Tất Thu
7
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có AB =1,
AC = 2, A A
0
= 3 và
BAC = 120
◦
. Gọi M, N lần
lượt là các điểm trên cạnh BB
0
, CC
0
sao cho
BM =3B
0
M, CN = 2C
0
N. Tính khoảng cách từ
điểm M đến mặt phẳng (A
0
BN).
A.
9
p
138
184
. B.
3
p
138
46
.
C.
9
p
3
16
p
46
. D.
9
p
138
46
.
A
M
C
N
A
0
B
0
C
0
B
Lời giải.
Với các dữ liệu đã cho (lăng trụ đứng, tam giác ABC không có tính chất đặc biệt như
tam giác cân, đều hay vuông) nên ta có thể nghĩ đến việc tính thể tích. Trước hết ta
tính được thể tích của khối lăng trụ và ta tính được tỉ số diện tích của tam giác A
0
MB
và diện tích tam giác A
0
B
0
B, nên ta tính được tỉ số thể tích giữa hai khối chóp C
0
A
0
B
0
B
và N A
0
MB (cùng chiều cao). Hơn nữa ta cũng tính được thể tích khối chóp C
0
A
0
B
0
B
thông qua thể tích khối lăng trụ hoặc tính trực tiếp. Do đó, để tính khoảng cách từ M
đến mặt phẳng (A
0
BN) ta chỉ cần tính diện tích tam giác A
0
BN. Dựa vào các tam giác
vuông ta thấy có thể tính được độ dài các cạnh của tam giác A
0
BN, do đó ta tính được
diện tích tam giác này. Ta có lời giải như sau:
Ta có
BC
2
= AB
2
+AC
2
−2 · AB · AC cos
BAC =1
2
+2
2
−2 ·1 ·2cos120
◦
=7.
Suy ra BC =
p
7. Thể tích khối lăng trụ
V = A A
0
·
1
2
AB ·AC ·sin
BAC =
3
p
3
2
.
Suy ra
V
C
0
.A
0
B
0
B
=
1
2
V
C
0
.A
0
B
0
BA
=
1
2
·
2
3
V =
p
3
2
.
Do S
A
0
MB
=
BM
BB
0
·S
A
0
B
0
B
=
3
4
S
A
0
B
0
B
, nên
V
N.A
0
MB
=
3
4
V
C
0
A
0
B
0
B
=
3
p
3
8
.
Mặt khác
A
0
B =
p
A
0
B
02
+B
0
B
2
=
p
10, BN =
p
BC
2
+CN
2
=
p
11, A
0
N =
p
A
0
C
02
+C
0
N
2
=
p
5.
Suy ra
cos
à
BA
0
N =
A
0
B
2
+A
0
N
2
−BN
2
2A
0
B · A
0
N
=
p
2
5
⇒sin
à
BA
0
N =
p
23
5
.
Nguyễn Tất Thu
8
Suy ra S
A
0
BN
=
1
2
A
0
B · A
0
N ·sin
à
BA
0
N =
p
46
2
.
Do đó d(M,(A
0
BN)) =
3V
M.A
0
BN
S
A
0
BN
=
9
p
138
184
.
Ngoài cách làm trên, ta có thể giải bài toán trên bằng cách dựng hình chóp có mặt
(A
0
BN) chứa mặt phẳng bên của hình chóp. Vì khoảng cách từ M ta có thể chuyển về
khoảng cách từ B
0
. Do đó, ta tạo ra hình chóp có đỉnh B, đường cao BB
0
. Do đó, ta dựng
giao điểm D của BN với B
0
C
0
. Khi đó ta có hình chóp B .B
0
A
0
D là hình chóp cần tìm. Ta
có lời giải sau:
A
0
B
0
C
0
D
E
A
B
C
H
M
N
Ta có
BC
2
= AB
2
+AC
2
−2 · AB · AC cos
BAC =1
2
+2
2
−2 ·1 ·2cos120
◦
=7.
Suy ra BC =
p
7.
Ta cũng có cos
ABC =
AB
2
+BC
2
−AC
2
2 · AB ·BC
=
1
2
+
p
7
2
−2
2
2 ·1 ·
p
7
=
2
p
7
, suy ra cos
à
A
0
B
0
C
0
=
2
p
7
.
Gọi D =BN ∩B
0
C
0
, suy ra
DC
0
DB
0
=
C
0
N
BB
0
=
1
3
, nên DB
0
=
3
2
B
0
C
0
=
3
p
7
2
.
Từ đó ta có A
0
D
2
= A
0
B
02
+B
0
D
2
−2·A
0
B
0
·B
0
D cos
à
A
0
B
0
D =1
2
+
Ã
3
p
7
2
!
2
−2·1·
3
p
7
2
·
2
p
7
=
43
4
.
Suy ra A
0
D =
p
43
2
.
Kẻ B
0
E ⊥ A
0
D và B
0
H ⊥BE, suy ra B
0
H ⊥(A
0
BN). Do đó d
¡
B
0
,(A
0
BN)
¢
=B
0
H.
Từ cos
à
A
0
B
0
C
0
=
2
p
7
⇒sin
à
A
0
B
0
C
0
=
p
3
p
7
.
Do đó S
A
0
B
0
D
=
1
2
·A
0
B
0
·B
0
D ·sin
à
A
0
B
0
D =
1
2
·1 ·
3
p
7
2
·
p
3
p
7
=
3
p
3
4
.
B
0
E =
2S
A
0
B
0
D
A
0
D
=
2 ·
3
p
3
4
p
43
2
=
3
p
3
p
43
.
1
B
0
H
2
=
1
B
0
E
2
+
1
B
0
B
2
=
1
Ã
3
p
3
p
43
!
2
+
1
3
2
=
46
27
⇒B
0
H =
r
27
46
.
Nguyễn Tất Thu
9
Từ BM =3B
0
M suy ra d
¡
M, (A
0
BN)
¢
=
3
4
d
¡
B
0
,(A
0
BN)
¢
=
3
4
·B
0
H =
3
4
·
r
27
46
=
9
p
138
184
.
Chọn đáp án A
Tóm lại: Để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta thường chuyển về
Khoảng cách từ một điểm nằm trong mặt phẳng đáy đến một mặt phẳng chứa
đường cao của hình chóp.
Khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt bên của hình chóp.
Khoảng cách từ đỉnh của tứ diện vuông đến mặt đối diện.
{ Bài toán 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Tính khoảng cách giữa a và b.
Lời giải.
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các
cách sau:
1 Cách 1: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b. Khi đó d
(
a, b
)
= MN.
Chú ý 2. Nếu a ⊥ b thì ta dựng đoạn vuông góc chung của a và b như sau
Dựng mặt phẳng
(
α
)
chứa b và vuông góc với a.
Tìm giao điểm O = a ∩
(
α
)
.
Dựng OH ⊥ b.
Đoạn OH chính là đoạn vuông góc chung của a và b.
2 Cách 2: Dựng mặt phẳng (α) đi qua a và song song với b, khi đó: d(a, b) =
d(a,(α)) =d(M,(α)) với M là điểm bất kì thuộc (α).
3 Cách 3: Dựng hai mặt phẳng (α) đi qua a và song song với b, (β) đi qua b và song
song với a. Khi đó: d(a, b) =d((α), (β)).
4 Cách 4: Sử dụng phương pháp tọa độ.
Giả sử
#»
u ,
#»
v lần lượt là VTCP của a, b và M ∈ M, N ∈ b. Khi đó
d(a, b) =
¯
¯
¯
(
#»
u ∧
#»
v ) ·
# »
MN
¯
¯
¯
|
#»
u ∧
#»
v |
.
Nguyễn Tất Thu
10
VÍ DỤ 1 (KSCL, Sở GD và ĐT - Thanh Hóa, 2018).
Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có cạnh bằng
a
p
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CC
0
và BD.
A.
a
p
2
2
. B.
a
p
2
3
. C. a. D. a
p
2.
A
0
D
0
B
0
A
B
D
O
C
0
C
Lời giải.
Đây là bài toán dễ. Ta thấy CC
0
nằm trong mặt phẳng (ACC
0
A
0
) vuông góc vơi BD tại
trung điểm O của BD, nên ta có OC là đường vuông góc chung. Do đó
d[CC
0
,BD] =OC =
AC
2
=
2a
2
=a.
Chọn đáp án C
VÍ DỤ 2 (Thi thử lần I, Sở GD và ĐT Sơn La 2019).
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A
0
B
0
C
0
có tất cả các
cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và
A
0
C
0
bằng
A. a. B. a
p
2. C. 2a. D. a
p
3.
B
0
B
A
0
A
C
0
C
Lời giải.
Ta thấy hai đường thẳng AB và A
0
C
0
nằm trong hai mặt phẳng đáy, nên khoảng cách
giữa chúng bằng khoảng cách giữa hai đáy, nên ta có lời giải như sau:
Ta thấy AB ⊂(ABC); A
0
C
0
⊂
¡
A
0
B
0
C
0
¢
. Mà (ABC) ∥
¡
A
0
B
0
C
0
¢
.
Nên d
¡
AB; A
0
C
0
¢
=d
¡
(ABC);
¡
A
0
B
0
C
0
¢¢
= A A
0
=a.
Chọn đáp án A
VÍ DỤ 3 (Tập huấn, Sở GD và ĐT lần 1, 2019). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là
tam giác đều cạnh a và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường
thẳng S A và BC bằng
A.
a
p
2
2
. B.
a
p
3
4
. C. a. D.
a
p
3
2
.
Ta thấy S A ⊥(ABC) nên khoảng cách giữa S A và BC là đoạn AM, với M là hình chiếu
Nguyễn Tất Thu
11
của A lên BC. Ta có lời giải sau:
Lời giải.
Gọi M là trung điểm cạnh BC, suy ra AM ⊥ BC (1) do 4ABC
đều và AM =
a
p
3
2
.
Vì S A ⊥(ABC) ⇒ S A ⊥ AM (2).
Từ (1) và (2) suy ra d(S A, BC) = AM =
a
p
3
2
.
S
A
C
M
B
Chọn đáp án D
VÍ DỤ 4.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a, S A ⊥ (ABCD), S A = a. Tính khoảng cách giữa
hai đường chéo nhau SC và BD.
A.
a
3
. B. a
p
6. C.
a
p
6
. D.
a
p
3
2
.
B
A
D
S
C
Ta nhận thấy BD ⊥(S AC) nên khoảng cách giữa hai đường thẳng là độ dài đoạn OK,
trong đó O là trung điểm BD, K là hình chiếu của O lên SC.
Lời giải.
Do BD ⊥ AC và BD ⊥ S A nên BD ⊥ (S AC). Suy ra
BD ⊥ SC.
Trong mặt phẳng (S AC) gọi K là hình chiếu của O
lên SC. Khi đó d(BD, SC) =OK.
Gọi H là trung điểm của SC. Xét tam giác HOC ta
có:
1
OK
2
=
1
OH
2
+
1
OC
2
=
4
a
2
+
2
a
2
=
6
a
2
⇒OK =
a
p
6
.
S
A
B
C
O
D
K
H
Chọn đáp án C
VÍ DỤ 5 (Thi thử L2, THPT Ngô Quyền-Hải Phòng, 2019).
Nguyễn Tất Thu
12
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A
0
B
0
C
0
có AB = a, A A
0
=
2a. Khoảng cách giữa AB
0
và CC
0
bằng
A.
2a
p
5
5
. B. a. C. a
p
3. D.
a
p
3
2
.
B
A
A
0
B
0
C
0
C
Ta thấy AB
0
nằm trong mặt phẳng (ABB
0
A
0
) song song với CC
0
. Do đó khoảng cách
giữa AB
0
và CC
0
chính bằng khoảng cách từ C đến (ABB
0
A
0
).
Lời giải.
Do CC
0
∥(A A
0
B
0
B) nên
d(AB
0
,CC
0
) =d(CC
0
,(A A
0
B
0
B)) =d(C,(A A
0
B
0
B)).
Gọi H là trung điểm của AB.
Do 4ABC đều nên CH ⊥ AB (1).
Mặt khác, A A
0
⊥(ABC) nên CH ⊥ A A
0
(2).
Từ (1) và (2) suy ra CH ⊥(A A
0
B
0
B).
Vậy d( C,(A A
0
B
0
B)) =CH =
a
p
3
2
.
A
A
0
B
C
C
0
B
0
H
Chọn đáp án D
VÍ DỤ 6 (Đề thi thử lần 4 ĐHSP Hà Nội-2019). Cho khối chóp S.ABC có ( S AB) ⊥
(ABC), (S AC) ⊥ (ABC), S A = a, AB = AC = 2a, BC = 2a
p
2. Gọi M là trung điểm của
BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC bằng
A.
a
2
. B.
a
p
2
. C. a. D. a
p
2.
Từ giả thiết ta có S A là đường cao của hình chóp. Ta dựng một mặt phẳng chứa đường
này và song song với đường kia. Ta ưu tiên dựng mặt phẳng song song với đường thẳng
nằm trong mặt phẳng đáy, tức là dựng mặt phẳng chứa SM và song song với AC. Do
M là trung điểm của BC và cần dựng song song nên ta nghĩ đến dựng đường trung
bình của tam giác ABC. Do đó, ta dựng I alf trung điểm AB. Khi đó, AC ∥ (SMI),
nên d(AC, SM) = d(AC,(SMI)) =d(A,(SM I)). Đến đây ta có bài toán quen thuộc là tính
khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên.
Lời giải.
Nguyễn Tất Thu
13
Gọi I là trung điểm AB, khi đó MI ∥ AC ⇒ AC ∥(SI M).
Do đó d(SM; AC) =d(AC;(SM I)) =d(A; (SMI)).
Kẻ AK ⊥ SI. Khi đó, ta chứng minh được AK ⊥(SM I).
Nên d(A;(SM I)) = AK =
a
p
2
(do 4SAB vuông cân tại A
có AK đường cao).
S
A
I
B
C
M
K
Chọn đáp án B
VÍ DỤ 7 (Thi thử, Sở GD và ĐT -Lạng Sơn, 2019).
Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
cạnh a . Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của AC và B
0
C
0
. Khoảng
cách giữa hai đường thẳng MN và B
0
D
0
bằng
A. a
p
5. B.
a
p
5
5
. C. 3a. D.
a
3
.
B
A
D
M
A
0
B
0
C
0
D
0
N
C
Với mô hình đã cho là hình lập phương, ta có thể gắng hệ trục tọa độ Oxyz để giải bài
toán. Ta chọn hệ trục Ox yz sao cho A ≡ O, B ∈ tia Ox, D ∈ tia O y, A
0
∈ tia Oz. Khi đó,
ta sẽ xác định được tọa độ các điểm còn lại.
Ngoài cách trên, ta có thể giải bằng cách dựng mặt phẳng chứa M N song song với
B
0
D
0
. Do N là trung điểm B
0
C
0
, nên ta dựng mặt phẳng (MNP) với P là trung điểm
C
0
D
0
. Khi đó d(B
0
D
0
, NM) = d(B
0
D
0
,(MNP)) = d(O,(MNP)) với O là trung điểm B
0
D
0
. Ta
chọn O vì ta có MO ⊥(A
0
B
0
C
0
D
0
). Vậy ta có thể giải bài toán theo hai cách sau:
Lời giải.
Cách 1: Gắn hệ trục tọa độ Ox yz sao cho A ≡O, B ∈ tia Ox, D ∈ tia O y, A
0
∈ tia Oz và
ta chọn a =2. Khi đó B
0
(2;0; 2), D
0
(0;2; 2), M(1; 1;0), N(2;1;2). Suy ra
# »
MN =(1; 0;2),
# »
B
0
D
0
=(−2;2;0),
# »
B
0
M =(−1;1;−2).
Do đó
# »
MN ∧
# »
B
0
D
0
=(−4;−4;2),
³
# »
MN ∧
# »
B
0
D
0
´
·
# »
B
0
M =−4.
Suy ra
d(MN, B
0
D
0
) =
|
³
# »
MN ∧
# »
B
0
D
0
´
·
# »
B
0
M|
|
# »
MN ∧
# »
B
0
D
0
|
=
2
3
=
a
3
.
Cách 2:
Nguyễn Tất Thu
14
Gọi O, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh
B
0
D
0
,BC
0
,C
0
D
0
. Vì B
0
D
0
∥ NP nên
d(B
0
D
0
, MN) =d(B
0
D
0
,(MNP)) =d(O, (MNP)).
Tứ diện O.MNP có OM,ON, OP đôi một vuông góc,
do đó
1
d(O,(MNP))
2
=
1
OM
2
+
1
ON
2
+
1
OP
2
⇒d(O,(MNP)) =
a
3
. Vậy d(B
0
D
0
, MN) =
a
3
.
C
D
P
A
0
B
0
D
0
N
O
A
C
0
B
M
Chọn đáp án D
VÍ DỤ 8 (Hàm Rồng - Thanh Hóa,lần 2 - 2019).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a. Cạnh bên S A vuông góc với đáy ABCD. Góc
giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 45
◦
. Gọi E là trung
điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng DE và SC.
A.
a
p
5
19
. B.
a
p
38
5
. C.
a
p
5
5
. D.
a
p
38
19
.
B
A
D
S
C
E
Với bài toán này, ta có thể giải theo hai cách sau:
Cách 1: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz với A(0; 0;0), B(a; 0;0), D(0; a;0) và S ∈ tia Oz. Khi đó
ta sẽ tìm được tọa độ các đỉnh còn lại.
Cách 2: Ta dựng mặt phăng chứa SC song song với DE. Để làm điều đó, ta dựng hình
bình hành DECF. Khi đó khoảng cách cần tính chính bằng khoảng cách từ D đến
(SCF) và ta chuyển về khoảng cách từ A đến (SCF). Cách 1 bạn đọc tự làm, lời giải
dưới đây là theo cách thứ hai.
Lời giải.
Dựng hình bình hành CEDF,
ta có: DE ∥CF ⇒ DE ∥(SCF)
Do đó d(DE, SC) =d(D,(SCF)).
Lại có AD ∩(SCF) = F nên
d(D, (SCF))
d(A,(SCF))
=
FD
F A
=
1
3
.
Suy ra d(DE, SC) =
1
3
d(,(SCF)).
A
B
H
S
F
K
E
C
D
Ta có SA ⊥(ABCD) nên (SC,(ABCD)) =(SC, AC) =
SC A =45
◦
.
⇒SA = AC tan
SC A =a
p
2.
Kẻ AK ⊥CF tại K, AH ⊥ SK tại H.
Nguyễn Tất Thu
15
Khi đó d(A,(SCF)) = AH.
Ta có
CF =DE =
p
DC
2
+CE
2
=
a
p
5
2
, S
4ACF
=
1
2
CD · AF =
1
2
AK ·CF.
Suy ra AK =
AF ·CD
CF
=
3a
p
5
5
.
Xét 4S AK có
1
AH
2
=
1
AS
2
+
1
AK
2
⇒ AH =
3a
p
38
19
.
Vậy d(DE, SC) =
1
3
d(A,(SCF)) =
1
3
AH =
a
p
38
19
.
Chọn đáp án D
VÍ DỤ 9 (Thi thử lần 1, THPT Văn Giang - Hưng Yên, 2019).
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều
cạnh a, góc giữa SC và mp(ABC) là 45
◦
. Hình
chiếu của S lên mp(ABC) là điểm H thuộc AB
sao cho H A = 2HB. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng S A và BC.
A.
a
p
210
45
. B.
a
p
210
20
.
C.
a
p
210
15
. D.
a
p
210
30
.
A
C
S
B
H
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng S A và BC ta dựng mặt phẳng chứa S A
và song song với BC. Để làm điều đó, ta dựng hình bình hành ABCD. Khi đó khoảng
cách cần tính chính bằng khoảng cách B đến (S AD) và ta chuyển về khoảng cách từ
H.
Lời giải.
Dựng hình bình hành ABCD, khi đó ABCD là
hình thoi cạnh a và BC ∥ AD ⇒ BC ∥(S AD).
Do đó
d
(
S A; BC
)
=d
[
BC;(S AD)
]
=d
[
B; ( S AD)
]
.
Từ
BA
H A
=
3
2
⇒d
[
B; ( S AD)
]
=
3
2
d
[
H; ( S AD)
]
.
Ta có SH ⊥(ABC) nên suy ra
á
(
SC;(ABC)
)
=
á
(
SC; HC
)
=
SCH.
Suy ra
SCH =45
◦
.
S
B
H
A
C
I
D
K
HC
2
= HB
2
+BC
2
−2HB ·BC ·cos
HBC =
³
a
3
´
2
+a
2
−2 ·
a
3
·a cos60
◦
=
7a
2
9
⇒ HC =
a
p
7
3
.
Nguyễn Tất Thu
16
Tam giác SHC vuông tại H và
SCH = 45
◦
nên tam giác SHC vuông cân tại H. Từ đó
ta có SH = HC =
a
p
7
3
.
Kẻ HK ⊥ AD tại K ⇒
H AK =60
◦
. Do đó
HK = H A ·sin
H AK =
2a
3
·sin60
◦
=
a
p
3
3
.
Kẻ H I ⊥ SK tại K, suy ra HI ⊥(SAD) ta có
d
[
H; ( S AD)
]
= HI =
HK ·HS
p
HK
2
+HS
2
=
a
p
210
30
.
Vậy d
(
S A; BC
)
=
3
2
d
[
H; ( S AD)
]
=
3
2
HI =
3
2
·
a
p
210
30
=
p
210
20
.
Chọn đáp án B
A. BÀI TẬP
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có S A vuông góc với (ABCD), ABCD là hình thang vuông
có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC, đồng thời đường cao AB =BC =a. Biết S A =a
p
3, khi đó
khoảng cách từ đỉnh B đến đường thẳng SC là
A.
a
p
10
5
. B.
2a
p
5
5
. C. a
p
10. D. 2a.
Câu 2. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy 4ABC đều cạnh a tâm O. Hình chiếu của C
0
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của 4ABC. Cạnh bên CC
0
tạo với mặt phẳng đáy
(ABC) một góc 60
◦
. Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng A
0
B
0
.
A.
7a
4
. B.
a
2
. C.
a
p
7
2
. D.
7a
2
.
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, biết S A ⊥(ABC) và AB =2a,
AC =3a, S A =4a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC).
A. d =
12a
p
61
61
. B. d =
2a
p
11
. C. d =
a
p
43
12
. D. d =
6a
p
29
29
.
Câu 4. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a > 0. Khi đó khoảng cách từ đỉnh
A đến mặt phẳng (BCD) bằng
A.
a
p
2
3
. B.
a
p
6
3
. C.
a
p
3
3
. D.
a
p
8
3
.
Câu 5. Cho tứ diện ABCD có các tam giác ABC, DBC vuông cân và nằm trong hai mặt
phẳng vuông góc với nhau. AB = AC =DB =DC =2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng
(ACD).
A.
2a
p
6
3
. B.
a
p
6
3
. C. a
p
6. D.
a
p
6
2
.
Câu 6.
Nguyễn Tất Thu
17
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
S A ⊥
(
ABCD
)
và S A = a
p
3. Khi đó khoảng cách từ điểm B
đến mặt phẳng
(
S AC
)
bằng
A. d
(
B,
(
S AC
))
=a. B. d
(
B,
(
S AC
))
=a
p
2.
C. d
(
B,
(
S AC
))
=2a. D. d
(
B,
(
S AC
))
=
a
p
2
.
A
B
C
D
S
Câu 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và tất cả các
cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm đoạn OA. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng
(SCD).
A.
a
p
6
6
. B.
a
p
6
2
. C.
a
p
6
4
. D. a
p
6.
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác S AB đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc mặt phẳng đáy. Biết SD =2a
p
3 và góc tạo bởi đường thẳng SC
và mặt phẳng (ABCD) bằng 30
◦
. Tính khoảng cách h từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
A. h =
a
p
13
3
. B. h =
2a
p
66
11
. C. h =
2a
p
13
3
. D. h =
4a
p
66
11
.
Câu 9.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh 2a, tâm O, SO = a (tham khảo hình vẽ bên).
Khoảng cách từ O đến mặt phẳng
(
SCD
)
bằng
A.
p
5a
5
. B.
p
2a
2
. C.
p
6a
3
. D.
p
3a.
A
B
C
D
S
O
Câu 10. Khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B và AB = a, S A ⊥ (ABC). Góc
giữa cạnh bên SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60
◦
. Khi đó khoảng cách từ A đến (SBC) là
A. a
p
3. B.
a
p
2
2
. C.
a
p
3
3
. D.
a
p
3
2
.
Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt
phẳng đáy bằng 60
◦
. Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng
(
ABCD
)
.
A.
a
p
3
2
. B. a. C.
a
p
6
2
. D. a
p
2.
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a
p
3. Cạnh
bên S A vuông góc với đáy và S A = 2a. Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng
(SBD).
A. d =
2a
p
5
. B. d =
2a
p
57
19
. C. d =
a
p
57
19
. D. d =
a
p
5
2
.
Câu 13. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có AB =2 a, AD = a, A A
0
= a
p
3. Gọi M là
trung điểm cạnh AB. Tính khoảng cách h từ điểm D đến mặt phẳng (B
0
MC).
A. h =
a
p
21
. B. h =
a
p
21
14
. C. h =
3a
p
21
7
. D. h =
2a
p
21
7
.
Nguyễn Tất Thu
18
Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có S A = a, AB =3a. Khoảng cách từ S đến mặt
phẳng (ABC) bằng
A.
a
p
7
2
. B. a. C.
a
2
. D.
a
p
3
2
.
Câu 15.
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại
B có AB =B C = a, tam giác S AC đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) (tham khảo hình
vẽ bên). Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng
A.
a
p
21
14
. B. 2a. C.
a
p
42
7
. D.
a
p
42
14
.
A
B
C
S
Câu 16.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ
nhật cạnh AB = a, AD = a
p
2, cạnh bên S A vuông góc với
mặt phẳng (ABCD), góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng
60
◦
. Gọi M là trung điểm của cạnh SB (tham khảo hình vẽ).
Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (ABCD) bằng
A.
a
2
. B.
3a
2
. C. 2a
p
3. D. a
p
3.
D
C
M
B
S
A
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (SBD) là a
p
6. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
A.
a
p
6
3
. B.
a
p
6
2
. C. 2
p
6a. D. a
p
6.
Câu 18.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông,
đường chéo AC = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng
đáy (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng SB và CD.
A. a
p
2. B.
a
p
3
. C.
a
p
2
. D. a
p
3.
S
A
B
D
C
Câu 19.
Nguyễn Tất Thu
19
Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có cạnh bằng a (tham
khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB
0
và
A
0
C
0
bằng
A.
p
3a. B. a. C.
p
2a
2
. D.
p
2a.
A
B
C
D
B
0
C
0
D
0
A
0
Câu 20. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB
và CD.
A. d(AB,CD) =
3a
2
. B. d(AB, CD) = a. C. d(AB, CD) =
a
p
3
2
. D. d(AB, CD) =
a
p
2
2
.
Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên S A vuông
góc với đáy, I là trung điểm của AC, H là hình chiếu của I trên SC. Kí hiệu d(a, b) là khoảng
cách giữa hai đường thẳng a và b. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. d(BI, SC) = I H. B. d(AB, SC) =BH. C. d(SB, AC) = AB. D. d(S A, BC) = AB.
Câu 22.
Cho hình lăng trụ đều ABC.A
0
B
0
C
0
có tất cả các cạnh bằng a. Gọi
M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AM và B
0
C.
A.
a
p
2
2
. B.
a
p
2
4
. C. a. D. a
p
2.
A
A
0
C
C
0
B
0
B
M
Câu 23.
Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có cạnh bằng a như hình
bên. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A A
0
và B
0
D
0
.
A. a. B.
a
p
2
2
. C.
a
2
. D. a
p
2.
A
B
A
0
B
0
C
D
C
0
D
0
O
Câu 24. Cho lăng trụ đều ABC.A
0
B
0
C
0
có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách giữa hai
đường thẳng AC và BB
0
bằng
A.
2a
p
5
. B.
p
5a
3
. C.
a
p
5
. D.
p
3a
2
.
Câu 25. Cho khối chóp S.ABCD có S A ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4,
biết S A =3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AD là
A.
4
5
. B.
12
5
. C.
6
5
. D. 4.
Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, S A vuông
góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng
Nguyễn Tất Thu
20
A. 2a. B. a
p
3. C. a. D. a
p
5.
Câu 27. Cho lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a.
Gọi M, N, P lầ lượt là trung điểm của AC, CC
0
, A
0
B và H là hình chiếu của A lên BC. Tính
khoảng cách giữa MP và N H.
A.
a
p
3
4
. B. a
p
6. C.
a
p
3
2
. D. a.
Câu 28. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và
CD bằng
A.
3a
2
. B. a. C.
a
p
3
2
. D.
a
p
2
2
.
Câu 29. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BB
0
là
A.
p
2
2
a. B. a. C.
p
2a. D.
p
3
2
a.
Câu 30. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách giữa
hai đường thẳng AC và SB là
A.
a
p
3
2
. B. a. C.
a
2
. D.
a
p
2
2
.
Câu 31. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của
S trên mặt phẳng
(
ABC
)
trùng với trung điểm của BC. Cho S A hợp với đáy một góc 30
◦
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng
A.
a
p
3
2
. B.
a
p
2
3
. C.
2a
p
3
3
. D.
a
p
3
4
.
Câu 32. Cho hình hộp đứng ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc
ABC =120
◦
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A
0
C và BB
0
.
A.
a
p
3
2
. B. a
p
3. C.
a
2
. D.
a
p
3
.
Câu 33. Cho tứ diện O ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OB =
a
2
, OA =
2OB, OC =2O A. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OB và AC bằng bao nhiêu?
A.
a
p
3
. B.
3a
2
p
5
. C.
2a
p
5
. D.
2a
p
3
.
Câu 34.
Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có cạnh bằng 1 (tham khảo
hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng A A
0
và BD bằng
A.
1
2
. B. 1.
C.
p
2. D.
p
2
2
.
A
B
C
D
A
0
B
0
C
0
D
0
Câu 35. Cho hình lăng trụ đều ABC.A
0
B
0
C
0
có tất cả các cạnh đều bằng a . M là trung điểm
của A A
0
. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng MB
0
và BC.
A. a. B.
a
2
. C.
a
p
6
3
. D.
a
p
3
2
.
Nguyễn Tất Thu
21
Câu 36. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a. Biết tam giác
S AB có
ABS =60
◦
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính khoảng cách d từ
điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a.
A. d =
a
p
21
7
. B. d =3
p
3. C. d =2 a
p
3. D. d =
a
p
3
2
.
Câu 37.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a.
Gọi I là trung điểm của AB. Biết hình chiếu của S lên mặt
phẳng (ABC) là trung điểm của C I, góc giữa S A và mặt đáy
bằng 60
◦
(tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai
đường thẳng S A và CI bằng
A.
a
p
57
19
. B.
a
p
7
4
. C.
a
p
21
5
. D.
a
p
42
8
.
S
A
C
B
H
I
Câu 38. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A ⊥ (ABC), góc giữa
đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60
◦
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AC và SB.
A.
a
p
2
2
. B.
a
p
15
5
. C. 2a. D.
a
p
7
7
.
Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác S AB đều, góc giữa
(SCD) và (ABCD) bằng 60
◦
. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết hình chiếu vuông góc
của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) nằm trong hình vuông ABCD. Tính theo a khoảng cách
giữa hai đường thẳng SM và AC.
A.
5a
p
3
3
. B.
a
p
5
5
. C.
2a
p
5
5
. D.
2a
p
15
3
.
Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P)
cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?
A. 4 mặt phẳng . B. 5 mặt phẳng. C. 1 mặt phẳng. D. 2 mặt phẳng.
Câu 41. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
SBA =
SC A = 90
◦
, góc giữa đường thẳng S A và mặt phẳng (ABC) bằng 60
◦
. Tính theo a
khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
A.
6a
7
. B.
2a
7
. C.
2a
p
57
. D.
6a
p
57
.
Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, S A vuông góc với mặt
phẳng đáy. Biết S A =2
p
2a, AB =a, BC =2a. Khoảng cách giữa BD và SC bằng
A.
2
p
7a
7
. B.
p
7a
7
. C.
p
7a. D.
p
6a
5
.
Câu 43. Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có cạnh bằng a . Khoảng cách từ điểm D đến
mặt phẳng
¡
AD
0
B
0
¢
bằng
A.
a
p
3
3
. B.
a
p
2
2
. C.
a
p
6
6
. D. a.
Nguyễn Tất Thu
22
Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 1. Tam giác S AB đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy
(
ABCD
)
. Tính khoảng cách từ A đến
(
SCD
)
.
A. 1. B.
p
21
7
. C.
2
p
3
3
. D.
p
2.
Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác S AB đều, góc giữa
(SCD) và (ABCD) bằng 60
◦
. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết hình chiếu vuông góc
của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) nằm trong hình vuông ABCD. Tính theo a khoảng cách
giữa hai đường thẳng SM và AC.
A.
a
p
5
5
. B.
5a
p
3
3
. C.
2a
p
5
5
. D.
2a
p
15
3
.
Câu 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh AB =2a
p
3, góc
BAD bằng
120
◦
. Hai mặt phẳng S AB và S AD cùng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và
(ABCD) bằng 45
◦
. Tính khoảng cách h từ O đến mặt phẳng (SBC).
A. h =
a
p
3
2
. B. h =
3a
p
2
4
. C. h =
a
p
2
3
. D. h =3a.
Câu 47. Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
BC và AD. Tính khoảng cách d giữa hai mặt phẳng (AI A
0
) và (C JC
0
).
A. d =2a
r
5
2
. B. d =2a
p
5. C. d =
a
p
5
5
. D. d =
3a
p
5
5
.
Câu 48.
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A
0
B
0
C
0
có
AB = a, A A
0
= b. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của A A
0
,BB
0
(tham khảo hình vẽ bên). Tính
khoảng cách của hai đường thẳng B
0
M và CN.
A. d(B
0
M, CN) =
p
3ab
p
12a
2
+4b
2
.
B. d(B
0
M, CN) =
p
3ab
p
4a
2
+12b
2
.
C. d(B
0
M, CN) =
a
2
.
D. d(B
0
M, CN) =
a
p
3
2
.
A
A
0
M
B
C
B
0
C
0
N
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. Cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC = 10
p
5. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của S A
và CD. Tính khoảng cách d giữa BD và MN.
A. d =3
p
5. B. d =
p
5. C. d =5. D. d =10.
Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Đường thẳng SD tạo với đáy
ABCD một góc 60
◦
. Gọi M là trung điểm AB. Biết MD =
3a
p
5
2
, mặt phẳng (SDM) và mặt
phẳng (SAC) cùng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SM
theo a.
A.
a
p
5
4
. B.
3a
p
5
4
. C.
a
p
15
4
. D.
3a
p
15
4
.
Nguyễn Tất Thu
23
ĐÁP ÁN
1. B 2. C 3. A 4. B 5. A 6. D 7. C 8. B 9. B 10. D
11. C 12. B 13. D 14. B 15. C 16. B 17. D 18. A 19. C 20. D
21. D 22. B 23. B 24. D 25. B 26. C 27. A 28. D 29. B 30. C
31. D 32. C 33. C 34. D 35. D 36. A 37. C 38. B 39. B 40. B
41. A 42. A 43. A 44. B 45. A 46. B 47. C 48. A 49. B 50. D
| 1/23

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

1
BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
Nguyễn Tất Thu - GV Trường Chuyên Lương Thế Vinh
Bài viết này sẽ trình bày cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Quy trình tính khoảng cách là chúng ta tìm cách
chuyển về khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt phẳng có giao tuyến với mặt đáy,
hoặc khoảng cách từ một điểm nằm trong mặt phẳng đáy đến một mặt phẳng chứa đường
cao của hình chóp. Với mô hình lăng trụ, ta chỉ cần tách phần cần tính để đưa về mô hình của hình chóp.
{ Bài toán 1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α). Lời giải.
Để tính được khoảng từ điểm M đến mặt phẳng (α) ta có các cách sau:
1 Cách 1: Xác định hình chiếu vuông góc H của M lên (α) .
Để xác định được vị trí hình chiếu H ta có một số lưu ý sau: Thu
Chọn ¡β¢ chứa điểm M và (β) ⊥ (α) , rồi xác định giao tuyến ∆ = (α) ∩ ¡β¢ . ất T
Trong ¡β¢ dựng MH ⊥ ∆ ⇒ MH ⊥ (α).
Nếu trong (α) có hai điểm A,B sao cho M A = MB thì trong (α) kẻ đường trung ễn
trực d của đoạn AB, rồi trong mp (M, d) dựng MH ⊥ d. Khi đó MH ⊥ (α) (h.3)
Thật vậy, Gọi I là trung điểm của AB. Do M A = MB nên ∆M AB cân tại M, Nguy
suy ra M I ⊥ AB ⊂ (α). Lại có AB ⊥ d ⇒ AB ⊥ mp (M, d) ⇒ AB ⊥ MH. MH  ⊥ AB Vậy ⇒ MH ⊥ (α). M H ⊥ d
Nếu trong (α) có một điểm A và một đường thẳng d không đi qua A sao
cho M A ⊥ d thì trong (α) kẻ đường thẳng d0 đi qua A và d0 ⊥ d, rồi trong
m p ¡M, d0¢ kẻ MH ⊥ d0 ⇒ MH ⊥ (α) (h. 4)
Thật vậy, do d ⊥ d0 và d ⊥ M A ⇒ d ⊥ mp ¡M, d0¢ ⇒ d ⊥ MH.
Lại có MH ⊥ d0 ⇒ MH ⊥ mp ¡d, d0¢ ≡ (α).
Nếu trong (α) có các điểm A1, A2,..., An (n ≥ 3) mà M A1 = M A2 = ··· = M An
hoặc các đường thẳng M A1, M A2,..., M An tạo với (α) các góc bằng nhau
thì hình chiếu của M trên (α) chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác A1 A2 ··· An.
Nếu trong (α) có các điểm A1, A2,..., An (n ≥ 3) mà các mặt phẳng
(M A1 A2) , (M A2 A3) , . . . , (M An A1) tạo với (α) các góc bằng nhau thì hình chiếu
của M là tâm đường tròn nội tiếp đa giác A1 A2 ··· An. 2
Nếu tứ diện O ABC có O A, OB, OC đôi một vuông góc và có đường cao OH thì 1 1 1 1 = + + . (∗) OH2 O A2 OB2 OC2
2 Cách 2: Sử dụng công thức thể tích: Xét một hình chóp có M là đỉnh, đáy nằm 3V
trong mặt phẳng (α). Khi đó: d(M,(α)) = . Sd
3 Cách 3: Chuyển việc tính khoảng cách từ M về tính khoảng cách từ điểm N dễ
tính hơn bằng cách sử dụng các kết quả sau
Nếu MN//(α) thì d(M,(α)) = d(N,(α)). M I
Nếu MN ∩ (α) = {I} thì d(M,(α)) =
· d(N, (α)). N I
Khi sử dụng công thức chuyển điểm ta thường tìm cách chuyển về chân đường cao, với chú ý sau Chú ý 1. Nguy Cho hình chóp S.A S
1 A2 · · · An có đường cao SH. ễn
Kẻ AiE ⊥ H A j. Khi đó T A ất d(A n i, (S H A j )) = A i E. A1 K E Thu H Kẻ HF ⊥ A A
i A j , H K ⊥ SF . Khi đó F 4 HF · HS A2 A3
d(H, (S Ai A j)) = HK = p . HF2 + HS2
4 Cách 4: Gắn hệ trục tọa độ Ox yz và sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Ta thường gắn hệ trục khi mô hình trong bài toán có ba cạnh xuất phát từ một
đỉnh và đôi một vuông góc. 3
VÍ DỤ 1 (Thi thử, Sở GD và ĐT -Lạng Sơn, 2019). Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC p a 3
là tam giác đều cạnh a, S A vuông góc với mặt phẳng đáy, S A = . Khoảng cách từ 2 A đến (SBC) là p p p p a 6 a 3 a 6 a 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 2 Lời giải.
Đây là bài toán tính khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến mặt bên. Ta
áp dụng cách xử lí trong chú ý (1) p S a 3
Gọi M là trung điểm của BC thì AM ⊥ BC, AM = . 2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SM, ta có AH ⊥
(SBC). Trong tam giác vuông S AM, ta có: p H 1 1 1 a 6 = + ⇒ AH = . AH2 AS2 AM2 4 p A C a 6 Vậy d(A, (SBC)) = AH = . M 4 B Chọn đáp án A Thu ất T ễn Nguy
VÍ DỤ 2 (KSCL giữa HK2 Cụm trường THPT TP Nam Định).
Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD là hình A0 B0 p
chữ nhật với AB = a, AD = a 3. Hình chiếu vuông góc D0 C0
của A0 lên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD.
Khoảng cách từ B0 đến mặt phẳng (A0BD) là p p a p a 3 a 3 A. . B. a 3. C. . D. . A 2 6 2 B I D C Lời giải.
Ta thấy mặt phẳng (A0BD) chứa đường cao A0I, nên ta gắn vào mô hình là hình chóp
có một mặt bên là (A0BD), nên ta xét hình chóp A0 ABD. Khi đó ta tìm cách chuyển
khoảng cách từ B0, về khoảng cách từ A. Để có được điều này ta cần tìm giao điểm J
của AB0 với mặt phẳng (A0BD). Dễ thấy J là giao điểm của AB0 và A0B, hơn nữa J là
trung điểm của AB0. Do đó d(B0, (A0BD)) = d(A,(A0BD)). Để tính khoảng cách từ A đến
(A0BD) ta chỉ cần kẻ AH ⊥ BD thì khoảng cách đó chính là AH. Vậy ta có lời giải như sau: 4
Gọi I là giao điểm của AC và BD. A0 B0 Dựng AH ⊥ BD. D0 C0
Ta có A0I ⊥ (ABCD) mà AH ⊂ (ABCD) nên A0I ⊥ AH.
Từ đó ta được AH ⊥ (A0BD).
Suy ra d(B0, (A0BD)) = d(A,(A0BD)) = AH. A B Xét ∆ABC vuông tại A có I s p H 1 1 1 AB2 · AD2 a 3 D C = + ⇒ AH = = . AH2 AB2 AD2 AB2 + AD2 2 p a 3 Vậy d(B0, (A0BD)) = . 2 Chọn đáp án D Nguy VÍ DỤ 3. ễn
Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có tam giác ABC vuông A0 C0 T
tại B, BA = 2a, BC = a, A A0 = a. Trên cạnh AB lấy ất
M sao cho AM = 3BM. Tính khoảng cách d từ A0 đến B0 ¡ Thu B0MC¢ p p a 6 2a 6 A. d = . B. d = . 48 3 p p A C a 6 a 6 C. d = . D. d = . 12 18 M B Lời giải.
Vì cần tính khoảng cách từ A0 đến mặt phẳng (B0CM) nên ta dựng hình chóp có một
mặt bên là 4B0MC. Hơn nữa BA BC, BB0 đôi một vuông góc, nên ta xét hình chóp
B0BMC. Khi đó, ta chuyển khoảng cách từ A0 về khoảng cách từ B và sử dụng công thức (*).
Ngoài ra, vì BA BC, BB0 đôi một vuông góc nên ta có thể gắn hệ trục tọa độ Ox yz.
Do đó ta có thể giải bài toán trên theo một trong hai hướng sau:
Hướng 1: Vì ba đường thẳng BA, BC, BB0 đôi một vuông góc, nên ta có thể gắn
hệ trục tọa độ Ox yz, sao cho B ≡ O, A ∈ tia Ox, C ∈ tia O y và B0 ∈ tia Oz. Khi đó ³ a ´
B(0; 0; 0), A(2a; 0; 0), C(0; a; 0), B0(0; 0; 1), A0(2a; 0; a), C0(0; a; a) và M ; 0; 0 . Việc còn lại 2
là lập phương trình mặt phẳng (B0CM) và sử dụng công thức tính khoảng cách. Hướng 2: 5 I A0 A0B0
Gọi I là giao điểm của A0B với B0M, ta có = = 4, A0 C0 IB MB nên
d(A0, (B0MC)) = 4d(B,(B0MC)) = 4h. B0
Vì B.MCB0 là tứ diện vuông tại B, nên p 1 1 1 1 6 a 6 A C = + + = ⇒ h = . h2 BM2 BC2 B0B2 a2 6 I p M 2a 6 Vậy d = . 3 B Chọn đáp án B
VÍ DỤ 4 (Đề chính thức THPTQG 2019, Mã đề 101).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh S
a, mặt bên (S AB) là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa Thu
như hình vẽ bên). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ất (S AC) bằng p p p p D T a 21 a 21 a 2 a 21 A A. . B. . C. . D. . 14 7 2 28 ễn B C Lời giải.
Vì tam giác S AB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, nên đường cao của Nguy
tam giác S AB là đường cao của hình chóp. Do đó, hình chiếu của S lên (ABCD) là
trung điểm H của cạnh AB. Ta chuyển khoảng cách từ B về khoảng cách từ H. Vì BH
cắt (S AC) tại A và H là trung điểm AB, nên d(B, (S AC)) = 2d(H(S AC)). Ta có lời giải sau
Gọi O là giao điểm của AC và BD. S
Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó SH ⊥ p a 3 (ABCD) và SH = (vì tam giác S AB đều 2 có cạnh là a).
Kẻ HK ⊥ BD tại K. Khi đó K là trung điểm
BO (vì H là trung điểm AB và AO ⊥ BD). Do p I D 1 a 2 A đó HK = AO = . 2 4 H Suy ra BD ⊥ (SHK). O K B C
Kẻ H I ⊥ SK tại I. Khi đó HI ⊥ BD. Suy ra HI ⊥ (SBD). Do đó HI = d(H,(SBD)).
Vì H là trung điểm AB nên d (A, (SBD)) = 2d(H,(SBD)) = 2HI. 6
Xét tam giác vuông SHK có đường cao H I nên p 1 1 1 4 16 a 21 = + = + ⇒ H I = . H I2 SH2 HK 2 3a2 2a2 14 p a 21
Vậy khoảng cách từ A đến (SBD) là d (A, (SBD)) = 2HI = . 7 Chọn đáp án B VÍ DỤ 5.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình S
thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a.
Cạnh bên S A = 2a và vuông góc với đáy. Gọi M
là trung điểm SB. Tính khoảng cách d từ M đến M mặt phẳng (SCD) p p A D Nguy a 3 a 3 A. d = . B. d = . 12 4 p p a 3 a 3 C. B d = . D. d = . 2 6 C ễn Lời giải.
Bài toán yêu cầu tính khoảng cách từ M đến (SCD), ta tìm cách chuyển về khoảng T ất
cách từ A (do A là chân đường cao). Để làm điều đó, trước hết ta chuyển khoảng cách
từ M về khoảng cách từ B, rồi từ đó chuyển về khoảng cách từ A. Hoặc ta có thể tìm Thu
giao điểm của AM với (SCD) và chuyển trực tiếp khoảng cách từ M về khoảng cách từ
A. Cụ thể ta có lời giải như sau: 1
Gọi E là giao điểm của AB với CD. Do BC ∥ AD và BC = AD, nên B là trung điểm 2 AE. Do đó MS MS BE 1 d(M, (SCD)) = d(B, (SCD)) = · d(A, (SCD)) = d(A,(SCD)). BS BS AE 4
Kẻ AI ⊥ SC, ta có AC ⊥ CD nên p AC · AS 2a 3 d(A, (SCD)) = AI = = . AC2 + S A2 3 p a 3 Vậy d(M, (SCD)) = . 6 Chọn đáp án D
VÍ DỤ 6 (Đề tập huấn số 2, Sở GD và ĐT Quảng Ninh, 2019). 7
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có AB = 1, A0 C0 AC = 2, A A0 = 3 và
B AC = 120◦. Gọi M, N lần
lượt là các điểm trên cạnh BB0, CC0 sao cho B0 N
BM = 3B0M, CN = 2C0N. Tính khoảng cách từ
điểm M đến mặt phẳng (A0BN). M p p 9 138 3 138 A. . B. . 184 46 p p 9 3 9 138 A C C. p . D. . 16 46 46 B Lời giải.
Với các dữ liệu đã cho (lăng trụ đứng, tam giác ABC không có tính chất đặc biệt như
tam giác cân, đều hay vuông) nên ta có thể nghĩ đến việc tính thể tích. Trước hết ta
tính được thể tích của khối lăng trụ và ta tính được tỉ số diện tích của tam giác A0MB
và diện tích tam giác A0B0B, nên ta tính được tỉ số thể tích giữa hai khối chóp C0 A0B0B
và N A0MB (cùng chiều cao). Hơn nữa ta cũng tính được thể tích khối chóp C0 A0B0B
thông qua thể tích khối lăng trụ hoặc tính trực tiếp. Do đó, để tính khoảng cách từ M Thu
đến mặt phẳng (A0BN) ta chỉ cần tính diện tích tam giác A0BN. Dựa vào các tam giác ất
vuông ta thấy có thể tính được độ dài các cạnh của tam giác A0BN, do đó ta tính được T
diện tích tam giác này. Ta có lời giải như sau: ễn Ta có
BC2 = AB2 + AC2 − 2 · AB · AC cos
B AC = 12 + 22 − 2 · 1 · 2cos120◦ = 7. p Nguy
Suy ra BC = 7. Thể tích khối lăng trụ p 1 3 3 V = A A0 · AB · AC · sin B AC = . 2 2 Suy ra p 1 1 2 3
VC0.A0B0B = VC0.A0B0BA = · V = . 2 2 3 2 BM 3 Do SA0MB = · SA0B0B = SA0B0B, nên BB0 4 p 3 3 3 VN.A0MB = VC0A0B0B = . 4 8 Mặt khác p p p p p p A0B = A0B02 + B0B2 = 10, BN = BC2 + CN2 = 11, A0N = A0C02 + C0N2 = 5. Suy ra p p A0B2 + A0N2 − BN2 2 23 cos à B A0N = = ⇒ sin à B A0N = . 2A0B · A0N 5 5 8 p 1 46
Suy ra SA0BN = A0B · A0N · sin à B A0N = . 2 2 p 3V 9 138 Do đó M.A0BN d(M, (A0BN)) = = . SA0BN 184
Ngoài cách làm trên, ta có thể giải bài toán trên bằng cách dựng hình chóp có mặt
(A0BN) chứa mặt phẳng bên của hình chóp. Vì khoảng cách từ M ta có thể chuyển về
khoảng cách từ B0. Do đó, ta tạo ra hình chóp có đỉnh B, đường cao BB0. Do đó, ta dựng
giao điểm D của BN với B0C0. Khi đó ta có hình chóp B.B0 A0D là hình chóp cần tìm. Ta có lời giải sau: E A0 D C0 B0 H N M A Nguy C B ễn Ta có T
BC2 = AB2 + AC2 − 2 · AB · AC cos
B AC = 12 + 22 − 2 · 1 · 2cos120◦ = 7. ất p Suy ra BC = 7. Thu p 2 AB2 + BC2 − AC2 12 + 7 − 22 2 2 Ta cũng có cos ABC = = p = p , suy ra cos à A0B0C0 = p . 2 · AB · BC 2 · 1 · 7 7 7 p DC0 C0N 1 3 3 7 Gọi D = BN ∩ B0C0, suy ra = = , nên DB0 = B0C0 = . DB0 BB0 3 2 2 Ã p !2 p 3 7 3 7 2 43
Từ đó ta có A0D2 = A0B02 +B0D2 −2· A0B0 ·B0D cos à A0B0D = 12 + −2·1· · p = . 2 2 7 4 p43 Suy ra A0D = . 2
Kẻ B0E ⊥ A0D và B0H ⊥ BE, suy ra B0H ⊥ (A0BN). Do đó d¡B0,(A0BN)¢ = B0H. p 2 3 Từ cos à A0B0C0 = p ⇒ sin à A0B0C0 = p . 7 7 p p p 1 1 3 7 3 3 3
Do đó SA0B0D = · A0B0 · B0D · sin à A0B0D = · 1 · · p = . 2 2 2 7 4 p 3 3 2 p 2S · A0B0D 4 3 3 B0E = = p = p . A0D 43 43 2 1 1 1 1 1 46 r 27 = + = + = ⇒ B0H = . B0H2 B0E2 B0B2 Ã p !2 3 3 32 27 46 p43 9 p 3 3 3 r 27 9 138
Từ BM = 3B0M suy ra d¡M,(A0BN)¢ = d¡B0,(A0BN)¢ = · B0H = · = . 4 4 4 46 184 Chọn đáp án A
Tóm lại: Để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta thường chuyển về
Khoảng cách từ một điểm nằm trong mặt phẳng đáy đến một mặt phẳng chứa
đường cao của hình chóp.
Khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt bên của hình chóp.
Khoảng cách từ đỉnh của tứ diện vuông đến mặt đối diện.
{ Bài toán 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Tính khoảng cách giữa a và b. Lời giải. Thu
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau: ất T
1 Cách 1: Dựng đoạn vuông góc chung M N của a và b. Khi đó d (a, b) = MN. ễn
Chú ý 2. Nếu a ⊥ b thì ta dựng đoạn vuông góc chung của a và b như sau
Dựng mặt phẳng (α) chứa b và vuông góc với a. Nguy
Tìm giao điểm O = a ∩ (α).
Dựng OH ⊥ b.
Đoạn OH chính là đoạn vuông góc chung của a và b.
2 Cách 2: Dựng mặt phẳng (α) đi qua a và song song với b, khi đó: d(a, b) =
d(a, (α)) = d(M,(α)) với M là điểm bất kì thuộc (α).
3 Cách 3: Dựng hai mặt phẳng (α) đi qua a và song song với b, (β) đi qua b và song
song với a. Khi đó: d(a, b) = d((α),(β)).
4 Cách 4: Sử dụng phương pháp tọa độ. Giả sử #» #»
u , v lần lượt là VTCP của a, b và M ∈ M, N ∈ b. Khi đó ¯ #» #» # »¯ ¯( u ∧ v ) · M N¯ ¯ ¯ d(a, b) = #» #» . | u ∧ v | 10
VÍ DỤ 1 (KSCL, Sở GD và ĐT - Thanh Hóa, 2018).
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh bằng B0 p C0
a 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CC0 A0 D0 và BD. p p a 2 a 2 p A. . B. . C. a. D. a 2. 2 3 C B O A D Lời giải.
Đây là bài toán dễ. Ta thấy CC0 nằm trong mặt phẳng (ACC0 A0) vuông góc vơi BD tại
trung điểm O của BD, nên ta có OC là đường vuông góc chung. Do đó AC 2a d[CC0, BD] = OC = = = a. 2 2 Chọn đáp án C Nguy
VÍ DỤ 2 (Thi thử lần I, Sở GD và ĐT Sơn La 2019). ễn
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có tất cả các A0 C0
cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và T ất A0C0 bằng B0 p p A. a. B. a 2. C. 2a. D. a 3. Thu A C B Lời giải.
Ta thấy hai đường thẳng AB và A0C0 nằm trong hai mặt phẳng đáy, nên khoảng cách
giữa chúng bằng khoảng cách giữa hai đáy, nên ta có lời giải như sau:
Ta thấy AB ⊂ (ABC); A0C0 ⊂ ¡A0B0C0¢. Mà (ABC) ∥ ¡A0B0C0¢.
Nên d ¡AB; A0C0¢ = d¡(ABC);¡A0B0C0¢¢ = A A0 = a. Chọn đáp án A
VÍ DỤ 3 (Tập huấn, Sở GD và ĐT lần 1, 2019). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là
tam giác đều cạnh a và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng S A và BC bằng p p p a 2 a 3 a 3 A. . B. . C. a. D. . 2 4 2
Ta thấy S A ⊥ (ABC) nên khoảng cách giữa S A và BC là đoạn AM, với M là hình chiếu 11
của A lên BC. Ta có lời giải sau: Lời giải.
Gọi M là trung điểm cạnh BC, suy ra AM ⊥ BC (1) do 4ABC S p a 3 đều và AM = . 2
Vì S A ⊥ (ABC) ⇒ S A ⊥ AM (2). p a 3
Từ (1) và (2) suy ra d(S A, BC) = AM = . 2 A C M B Chọn đáp án D VÍ DỤ 4.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông S
cạnh a, S A ⊥ (ABCD), S A = a. Tính khoảng cách giữa Thu
hai đường chéo nhau SC và BD. p a p a a 3 ất A. . B. a 6. C. p . D. . 3 2 A D T 6 ễn B C
Ta nhận thấy BD ⊥ (S AC) nên khoảng cách giữa hai đường thẳng là độ dài đoạn OK, Nguy
trong đó O là trung điểm BD, K là hình chiếu của O lên SC. Lời giải.
Do BD ⊥ AC và BD ⊥ S A nên BD ⊥ (S AC). Suy ra S BD ⊥ SC.
Trong mặt phẳng (S AC) gọi K là hình chiếu của O
lên SC. Khi đó d(BD, SC) = OK. H
Gọi H là trung điểm của SC. Xét tam giác HOC ta D có: A K 1 1 1 4 2 6 a O = + = + = ⇒ OK = p . OK 2 OH2 OC2 a2 a2 a2 6 B C Chọn đáp án C
VÍ DỤ 5 (Thi thử L2, THPT Ngô Quyền-Hải Phòng, 2019). 12
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có AB = a, A A0 = A0 C0
2a. Khoảng cách giữa AB0 và CC0 bằng p p B0 2a 5 p a 3 A. . B. a. C. a 3. D. . 5 2 A C B
Ta thấy AB0 nằm trong mặt phẳng (ABB0 A0) song song với CC0. Do đó khoảng cách
giữa AB0 và CC0 chính bằng khoảng cách từ C đến (ABB0 A0). Lời giải. Do CC0 ∥ (A A0B0B) nên A0 C0
d(AB0, CC0) = d(CC0,(A A0B0B)) = d(C,(A A0B0B)).
Gọi H là trung điểm của AB. B0
Do 4ABC đều nên CH ⊥ AB (1).
Mặt khác, A A0 ⊥ (ABC) nên CH ⊥ A A0 (2). Nguy
Từ (1) và (2) suy ra CH ⊥ (A A0B0B). A C p a 3 Vậy d(C, (A A0B0B)) = CH = . H 2 ễn B Chọn đáp án D T ất Thu
VÍ DỤ 6 (Đề thi thử lần 4 ĐHSP Hà Nội-2019). Cho khối chóp S.ABC có (S AB) ⊥ p
(ABC), (S AC) ⊥ (ABC), S A = a, AB = AC = 2a, BC = 2a 2. Gọi M là trung điểm của
BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC bằng a a p A. . B. p . C. a. D. a 2. 2 2
Từ giả thiết ta có S A là đường cao của hình chóp. Ta dựng một mặt phẳng chứa đường
này và song song với đường kia. Ta ưu tiên dựng mặt phẳng song song với đường thẳng
nằm trong mặt phẳng đáy, tức là dựng mặt phẳng chứa SM và song song với AC. Do
M là trung điểm của BC và cần dựng song song nên ta nghĩ đến dựng đường trung
bình của tam giác ABC. Do đó, ta dựng I alf trung điểm AB. Khi đó, AC ∥ (SMI),
nên d(AC, SM) = d(AC,(SMI)) = d(A,(SMI)). Đến đây ta có bài toán quen thuộc là tính
khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên. Lời giải. 13
Gọi I là trung điểm AB, khi đó M I ∥ AC ⇒ AC ∥ (SI M). S
Do đó d(SM; AC) = d(AC;(SMI)) = d(A;(SMI)).
Kẻ AK ⊥ SI. Khi đó, ta chứng minh được AK ⊥ (SMI). K a
Nên d(A; (SM I)) = AK = p (do 4S AB vuông cân tại A 2 A C có AK đường cao). I M B Chọn đáp án B
VÍ DỤ 7 (Thi thử, Sở GD và ĐT -Lạng Sơn, 2019).
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a . Gọi A0 D0
M, N lần lượt là trung điểm của AC và B0C0. Khoảng
cách giữa hai đường thẳng MN và B0D0 bằng p B0 N C0 p a 5 a A. a 5. B. . C. 3a. D. . Thu 5 3 A D M ất T B C ễn
Với mô hình đã cho là hình lập phương, ta có thể gắng hệ trục tọa độ Ox yz để giải bài
toán. Ta chọn hệ trục Ox yz sao cho A ≡ O, B ∈ tia Ox, D ∈ tia O y, A0 ∈ tia Oz. Khi đó,
ta sẽ xác định được tọa độ các điểm còn lại. Nguy
Ngoài cách trên, ta có thể giải bằng cách dựng mặt phẳng chứa MN song song với
B0D0. Do N là trung điểm B0C0, nên ta dựng mặt phẳng (M NP) với P là trung điểm
C0D0. Khi đó d(B0D0, N M) = d(B0D0,(MNP)) = d(O,(MNP)) với O là trung điểm B0D0. Ta
chọn O vì ta có MO ⊥ (A0B0C0D0). Vậy ta có thể giải bài toán theo hai cách sau: Lời giải.
Cách 1: Gắn hệ trục tọa độ Ox yz sao cho A ≡ O, B ∈ tia Ox, D ∈ tia O y, A0 ∈ tia Oz và
ta chọn a = 2. Khi đó B0(2;0;2), D0(0;2;2), M(1;1;0), N(2;1;2). Suy ra # » # » # »
M N = (1;0;2), B0D0 = (−2;2;0), B0M = (−1;1;−2). Do đó # » # » ³ # » # » # »
M N ∧ B0D0 = (−4;−4;2), MN ∧ B0D0´ · B0M = −4. Suy ra ³ # » # »´ # » | MN ∧ B0D0 · B0M| 2 a d(M N, B0D0) = # » # » = = . |MN ∧ B0D0| 3 3 Cách 2: 14
Gọi O, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh D C
B0D0, BC0, C0D0. Vì B0D0 ∥ NP nên M A B
d(B0D0, M N) = d(B0D0,(MNP)) = d(O,(MNP)).
Tứ diện O.MNP có OM, ON, OP đôi một vuông góc, do đó P C0 D0 1 1 1 1 = + + O N d(O, (M N P))2 OM2 ON2 OP2 A0 B0 a a
⇒ d(O, (MNP)) = . Vậy d(B0D0, MN) = . 3 3 Chọn đáp án D
VÍ DỤ 8 (Hàm Rồng - Thanh Hóa,lần 2 - 2019).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông S
cạnh a. Cạnh bên S A vuông góc với đáy ABCD. Góc Nguy
giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 45◦. Gọi E là trung
điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường A D ễn thẳng DE và SC. p p p p a 5 a 38 a 5 a 38 A. . B. . C. . D. . T 19 5 5 19 ất B E C
Với bài toán này, ta có thể giải theo hai cách sau: Thu
Cách 1: Gắn hệ trục tọa độ Ox yz với A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0) và S ∈ tia Oz. Khi đó
ta sẽ tìm được tọa độ các đỉnh còn lại.
Cách 2: Ta dựng mặt phăng chứa SC song song với DE. Để làm điều đó, ta dựng hình
bình hành DECF. Khi đó khoảng cách cần tính chính bằng khoảng cách từ D đến
(SCF) và ta chuyển về khoảng cách từ A đến (SCF). Cách 1 bạn đọc tự làm, lời giải
dưới đây là theo cách thứ hai. Lời giải. Dựng hình bình hành CEDF, S
ta có: DE ∥ CF ⇒ DE ∥ (SCF)
Do đó d(DE, SC) = d(D,(SCF)). d(D, (SCF)) F D 1 H Lại có AD ∩(SCF) = F nên = = . d(A, (SCF)) F A 3 A F 1 D Suy ra d(DE, SC) = d(,(SCF)). K 3 B E C
Ta có S A ⊥ (ABCD) nên (SC,(ABCD)) = (SC, AC) = SC A = 45◦. p ⇒ S A = AC tan SC A = a 2.
Kẻ AK ⊥ CF tại K, AH ⊥ SK tại H. 15 Khi đó d(A, (SCF)) = AH. Ta có p p a 5 1 1 CF = DE = DC2 + CE2 = , S CD · AF = AK · CF. 2 4ACF = 2 2 p AF · CD 3a 5 Suy ra AK = = . CF 5 p 1 1 1 3a 38 Xét 4S AK có = + ⇒ AH = . AH2 AS2 AK 2 19 p 1 1 a 38
Vậy d(DE, SC) = d(A,(SCF)) = AH = . 3 3 19 Chọn đáp án D
VÍ DỤ 9 (Thi thử lần 1, THPT Văn Giang - Hưng Yên, 2019).
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều
cạnh a, góc giữa SC và mp(ABC) là 45◦. Hình S
chiếu của S lên mp(ABC) là điểm H thuộc AB
sao cho H A = 2HB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng S A và BC. p p a 210 a 210 Thu A. . B. . A C 45 20 p p ất a 210 a 210 C. . D. . T 15 30 H ễn B
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng S A và BC ta dựng mặt phẳng chứa S A
và song song với BC. Để làm điều đó, ta dựng hình bình hành ABCD. Khi đó khoảng Nguy
cách cần tính chính bằng khoảng cách B đến (S AD) và ta chuyển về khoảng cách từ H. Lời giải.
Dựng hình bình hành ABCD, khi đó ABCD là S
hình thoi cạnh a và BC ∥ AD ⇒ BC ∥ (S AD). Do đó I
d (S A; BC) = d[BC;(S AD)] = d[B;(S AD)]. K B A 3 3 A Từ =
⇒ d [B; (S AD)] = d [H; (S AD)]. H A 2 2 H D
Ta có SH ⊥ (ABC) nên suy ra B (S á C; (ABC)) = ( á SC; HC) = SCH. C Suy ra SCH = 45◦. p ³ a ´2 a 7a2 a 7
HC2 = HB2 + BC2 − 2HB · BC · cos HBC = + a2 − 2 · · a cos 60◦ = ⇒ HC = . 3 3 9 3 16
Tam giác SHC vuông tại H và
SCH = 45◦ nên tam giác SHC vuông cân tại H. Từ đó p a 7 ta có SH = HC = . 3 Kẻ HK ⊥ AD tại K ⇒ H AK = 60◦. Do đó p 2a a 3 HK = H A · sin H AK = · sin 60◦ = . 3 3
Kẻ H I ⊥ SK tại K, suy ra HI ⊥ (S AD) ta có p HK · HS a 210 d [H; (S AD)] = H I = p = . HK 2 + HS2 30 p p 3 3 3 a 210 210
Vậy d (S A; BC) = d[H;(S AD)] = HI = · = . 2 2 2 30 20 Chọn đáp án B A. BÀI TẬP Nguy
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có S A vuông góc với (ABCD), ABCD là hình thang vuông p
có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC, đồng thời đường cao AB = BC = a. Biết S A = a 3, khi đó ễn
khoảng cách từ đỉnh B đến đường thẳng SC là p p a 10 2a 5 p T A. . B. . C. a 10. D. 2a. 5 5 ất
Câu 2. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy 4ABC đều cạnh a tâm O. Hình chiếu của C0 Thu
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của 4ABC. Cạnh bên CC0 tạo với mặt phẳng đáy
(ABC) một góc 60◦. Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng A0B0. p 7a a a 7 7a A. . B. . C. . D. . 4 2 2 2
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, biết S A ⊥ (ABC) và AB = 2a,
AC = 3a, S A = 4a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC). p p p 12a 61 2a a 43 6a 29 A. d = . B. d = p . C. d = . D. d = . 61 11 12 29
Câu 4. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a > 0. Khi đó khoảng cách từ đỉnh
A đến mặt phẳng (BCD) bằng p p p p a 2 a 6 a 3 a 8 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 5. Cho tứ diện ABCD có các tam giác ABC, DBC vuông cân và nằm trong hai mặt
phẳng vuông góc với nhau. AB = AC = DB = DC = 2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD). p p p 2a 6 a 6 p a 6 A. . B. . C. a 6. D. . 3 3 2 Câu 6. 17
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S p
S A ⊥ (ABCD) và S A = a 3. Khi đó khoảng cách từ điểm B
đến mặt phẳng (S AC) bằng p A. d (B, (S AC)) = a. B. d (B, (S AC)) = a 2. a C. d (B, (S AC)) = 2a. D. d (B, (S AC)) = p . 2 A D B C
Câu 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và tất cả các
cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm đoạn O A. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD). p p p a 6 a 6 a 6 p A. . B. . C. . D. a 6. 6 2 4
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác S AB đều và nằm p
trong mặt phẳng vuông góc mặt phẳng đáy. Biết SD = 2a 3 và góc tạo bởi đường thẳng SC
và mặt phẳng (ABCD) bằng 30◦. Tính khoảng cách h từ điểm B đến mặt phẳng (S AC). p p p p a 13 2a 66 2a 13 4a 66 A. h = . B. h = . C. h = . D. h = . 3 11 3 11 Thu Câu 9.
ất Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình S
T vuông cạnh 2a, tâm O,SO = a (tham khảo hình vẽ bên).
ễn Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) bằng p p p 5a 2a 6a p A. . B. . C. . D. 3a. 5 2 3 A D Nguy O B C
Câu 10. Khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B và AB = a, S A ⊥ (ABC). Góc
giữa cạnh bên SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60◦. Khi đó khoảng cách từ A đến (SBC) là p p p p a 2 a 3 a 3 A. a 3. B. . C. . D. . 2 3 2
Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt
phẳng đáy bằng 60◦. Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD). p p a 3 a 6 p A. . B. a. C. . D. a 2. 2 2 p
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a 3. Cạnh
bên S A vuông góc với đáy và S A = 2a. Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng (SBD). p p p 2a 2a 57 a 57 a 5 A. d = p . B. d = . C. d = . D. d = . 5 19 19 2 p
Câu 13. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = 2a, AD = a, A A0 = a 3. Gọi M là
trung điểm cạnh AB. Tính khoảng cách h từ điểm D đến mặt phẳng (B0MC). p p p a a 21 3a 21 2a 21 A. h = p . B. h = . C. h = . D. h = . 21 14 7 7 18
Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có S A = a, AB = 3a. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng p p a 7 a a 3 A. . B. a. C. . D. . 2 2 2 Câu 15.
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại S
B có AB = BC = a, tam giác S AC đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) (tham khảo hình
vẽ bên). Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng p p p A a 21 a 42 a 42 A. . B. 2a. C. . D. . 14 7 14 B C Câu 16. Nguy
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ S p
nhật cạnh AB = a, AD = a 2, cạnh bên S A vuông góc với ễn
mặt phẳng (ABCD), góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng M T
60◦. Gọi M là trung điểm của cạnh SB (tham khảo hình vẽ). ất
Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (ABCD) bằng A B a 3a p p A 3 3 Thu . . B. . C. 2a . D. a . 2 2 D C
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, khoảng cách từ A đến mặt p
phẳng (SBD) là a 6. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD). p p a 6 a 6 p p A. . B. . C. 2 6a. D. a 6. 3 2 Câu 18.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, S
đường chéo AC = 2a và S A vuông góc với mặt phẳng
đáy (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng SB và CD. p a a p A. a 2. B. p . C. p . D. a 3. A D 3 2 B C Câu 19. 19
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh bằng a (tham A D
khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB0 và B C A0C0 bằng p p 2a p A. 3a. B. a. C. . D. 2a. 2 A0 D0 B0 C0
Câu 20. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD. p p 3a a 3 a 2 A. d(AB, CD) = . B. d(AB, CD) = a. C. d(AB, CD) = . D. d(AB, CD) = . 2 2 2
Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên S A vuông
góc với đáy, I là trung điểm của AC, H là hình chiếu của I trên SC. Kí hiệu d(a, b) là khoảng
cách giữa hai đường thẳng a và b. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. d(BI, SC) = IH. B. d(AB, SC) = BH. C. d(SB, AC) = AB. D. d(S A, BC) = AB. Câu 22.
Thu Cho hình lăng trụ đều ABC.A0B0C0 có tất cả các cạnh bằng a. Gọi A0 C0
M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ất B0 T AM và B0C. p p a 2 a 2 p A. . B. . C. a. D. a 2. ễn 2 4 A C M Nguy B Câu 23.
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh bằng a như hình A D
bên. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A A0 và B0D0. p B C a 2 a p A. a. B. . C. . D. a 2. 2 2 A0 D0 O B0 C0
Câu 24. Cho lăng trụ đều ABC.A0B0C0 có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách giữa hai
đường thẳng AC và BB0 bằngp p 2a 5a a 3a A. p . B. . C. p . D. . 5 3 5 2
Câu 25. Cho khối chóp S.ABCD có S A ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4,
biết S A = 3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AD là 4 12 6 A. . B. . C. . D. 4. 5 5 5
Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, S A vuông
góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng S A và BC bằng 20 p p A. 2a. B. a 3. C. a. D. a 5.
Câu 27. Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a.
Gọi M, N, P lầ lượt là trung điểm của AC, CC0, A0B và H là hình chiếu của A lên BC. Tính
khoảng cách giữa MP và N H. p p a 3 p a 3 A. . B. a 6. C. . D. a. 4 2
Câu 28. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng p p 3a a 3 a 2 A. . B. a. C. . D. . 2 2 2
Câu 29. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BB0 là p p 2 p 3 A. a. B. a. C. 2a. D. a. 2 2
Câu 30. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách giữa
hai đường thẳng AC và SB là p p Nguy a 3 a a 2 A. . B. a. C. . D. . 2 2 2
Câu 31. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của ễn
S trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Cho S A hợp với đáy một góc 30◦. T
Khoảng cách giữa hai đường thẳng S A và BC bằng p p p p ất a 3 a 2 2a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 4 Thu
Câu 32. Cho hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc
ABC = 120◦. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A0C và BB0. p a 3 p a a A. . B. a 3. C. . D. p . 2 2 3 a
Câu 33. Cho tứ diện O ABC có O A, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OB = , OA = 2
2OB, OC = 2OA. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OB và AC bằng bao nhiêu? a 3a 2a 2a A. p . B. p . C. p . D. p . 3 2 5 5 3 Câu 34.
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh bằng 1 (tham khảo B0 C0
hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng A A0 và BD bằng 1 A0 D0 A. . B. 1. 2 p p 2 B C C. 2. D. . 2 A D
Câu 35. Cho hình lăng trụ đều ABC.A0B0C0 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm
của A A0. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng MB0 và BC. p p a a 6 a 3 A. a. B. . C. . D. . 2 3 2 21
Câu 36. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a. Biết tam giác S AB có
ABS = 60◦ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính khoảng cách d từ
điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a. p p a 21 p p a 3 A. d = . B. d = 3 3. C. d = 2a 3. D. d = . 7 2 Câu 37.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a. S
Gọi I là trung điểm của AB. Biết hình chiếu của S lên mặt
phẳng (ABC) là trung điểm của CI, góc giữa S A và mặt đáy
bằng 60◦ (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai
đường thẳng S A và CI bằng A C p p p p a 57 a 7 a 21 a 42 H A. . B. . C. . D. . I 19 4 5 8 B
Câu 38. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A ⊥ (ABC), góc giữa
đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60◦. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB. p p p a 2 a 15 a 7 Thu A. . B. . C. 2a. D. . 2 5 7
ất Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc giữa
T (SCD) và (ABCD) bằng 60◦. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết hình chiếu vuông góc
ễn của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) nằm trong hình vuông ABCD. Tính theo a khoảng cách
giữa hai đường thẳng SM và AC. p p p p 5a 3 a 5 2a 5 2a 15 A. . B. . C. . D. . Nguy 3 5 5 3
Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P)
cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy? A. 4 mặt phẳng . B. 5 mặt phẳng. C. 1 mặt phẳng. D. 2 mặt phẳng.
Câu 41. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SB A =
SC A = 90◦, góc giữa đường thẳng S A và mặt phẳng (ABC) bằng 60◦. Tính theo a
khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC. 6a 2a 2a 6a A. . B. . C. p . D. p . 7 7 57 57
Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, S A vuông góc với mặt p
phẳng đáy. Biết S A = 2 2a, AB = a, BC = 2a. Khoảng cách giữa BD và SC bằng p p p 2 7a 7a p 6a A. . B. . C. 7a. D. . 7 7 5
Câu 43. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ¡AD0B0¢ bằng p p p a 3 a 2 a 6 A. . B. . C. . D. a. 3 2 6 22
Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 1. Tam giác S AB đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách từ A đến (SCD). p p 21 2 3 p A. 1. B. . C. . D. 2. 7 3
Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác S AB đều, góc giữa
(SCD) và (ABCD) bằng 60◦. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết hình chiếu vuông góc
của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) nằm trong hình vuông ABCD. Tính theo a khoảng cách
giữa hai đường thẳng SM và AC. p p p p a 5 5a 3 2a 5 2a 15 A. . B. . C. . D. . 5 3 5 3 p
Câu 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh AB = 2a 3, góc B AD bằng
120◦. Hai mặt phẳng S AB và S AD cùng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và
(ABCD) bằng 45◦. Tính khoảng cách h từ O đến mặt phẳng (SBC). p p p a 3 3a 2 a 2 A. h = . B. h = . C. h = . D. h = 3a. 2 4 3
Câu 47. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
BC và AD. Tính khoảng cách d giữa hai mặt phẳng (A I A0) và (C JC0). Nguy p p r 5 p a 5 3a 5 A. d = 2a . B. d = 2a 5. C. d = . D. d = . 2 5 5 Câu 48. ễn
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có A C T
AB = a, A A0 = b. Gọi M, N lần lượt là trung B ất
điểm của A A0, BB0 (tham khảo hình vẽ bên). Tính Thu
khoảng cách của hai đường thẳng B0M và CN. p3ab A. d(B0M, CN) = p . M 12a2 + 4b2 p3ab N B. d(B0M, CN) = p . 4a2 + 12b2 a C. d(B0M, CN) = . 2p a 3 D. d(B0M, CN) = . A0 2 C0 B0
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. Cạnh bên S A p
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC = 10 5. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của S A
và CD. Tính khoảng cách d giữa BD và MN. p p A. d = 3 5. B. d = 5. C. d = 5. D. d = 10.
Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Đường thẳng SD tạo với đáy p 3a 5
ABCD một góc 60◦. Gọi M là trung điểm AB. Biết MD =
, mặt phẳng (SDM) và mặt 2
phẳng (S AC) cùng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SM theo a. p p p p a 5 3a 5 a 15 3a 15 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 23 ĐÁP ÁN 1. B 2. C 3. A 4. B 5. A 6. D 7. C 8. B 9. B 10. D 11. C 12. B 13. D 14. B 15. C 16. B 17. D 18. A 19. C 20. D 21. D 22. B 23. B 24. D 25. B 26. C 27. A 28. D 29. B 30. C 31. D 32. C 33. C 34. D 35. D 36. A 37. C 38. B 39. B 40. B 41. A 42. A 43. A 44. B 45. A 46. B 47. C 48. A 49. B 50. D Thu ất T ễn Nguy