Bài toán min – max số phức có lời giải chi tiết – Lương Văn Huy Toán 12

Bài toán min – max số phức có lời giải chi tiết – Lương Văn Huy Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

94 47 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 4: Số phức

Môn: Toán 12

Thông tin:

53 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
1
BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC.
NỘI DUNG LIVE – TRỢ GIÚP KÌ THI 2018.
Tài liệu có sử dụng nguồn đề từ các trường trên toàn quốc và của quý thầy cô trong nhóm Vận
Dụng Cao.
Kỹ năng:
Phương pháp đại số.
Phương pháp hình học.
Phương pháp bđt modun.
Phương pháp casio.
Một số tính chất cần nhớ.
1. Môđun của số phức:
Số phức
z a bi
được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ
OM
được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu
2 2
z = a + bi = a + b
Tính chất
2 2
z a b zz OM
0, , 0 0
z z z z
. ' . '
z z z z
, ' 0
'
z z
z
z
' ' '
z z z z z z
. ,
kz k z k
Chú ý:
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 ( ) 4 .
z a b abi a b a b a b z z z z
.
Lưu ý:
1 2 1 2
z z z z
dấu bằng xảy ra
1 2
0
z kz k
1 2 1 2
z z z z
dấu bằng xảy ra
1 2
0
z kz k .
1 2 1 2
z z z z
dấu bằng xảy ra
1 2
0
z kz k
1 2 1 2
z z z z
dấu bằng xảy ra
1 2
0
z kz k
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 z z z z z z
2
2
z z z z
z
2.Một số quỹ tích nên nhớ
Biểu thức liên hệ
,
x y
Quỹ tích điểm M
ax 0
by c
(1)
z a bi z c di
(2)
(1)Đường thẳng
:ax 0
by c
(2) Đường trung trực đoạn AB
với
, , ,
A a b B c d
2 2
2
x a y b R
hoặc
z a bi R
Đường tròn tâm
;
I a b
, bán kính
R
2 2
2
x a y b R
hoặc
Hình tròn tâm
;
I a b
, bán kính
R
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
2
z a bi R
2 2
2 2
r x a y b R
hoặc
r z a bi R
Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường
tròn đồn tâm
;
I a b
, bán kính lần lượt là
,
r R
2
2
0
y ax bx c
c
x ay by c
Parabol
2 2
2 2
1 1
x a y c
b d
hoặc
1 1 2 2
2
z a b i z a b i a
1
Elip
2
Elip nếu
1 1 2 2
2 , , , ,
a AB A a b B a b
Đoạn AB nếu
2
a AB
2 2
2 2
1
x a y c
b d
Hypebol
Một số dạng đặc biệt cần lưu ý:
Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.
TQ1: Cho số phức
z
thỏa mãn
z a bi z
, tìm
Min
z
. Khi đó ta có
Quỹ tích điểm
M x;y
biểu diễn số phức
z
là đường trung trực đoạn
OA
với
A a;b
2 2
0
1 1
2 2
2 2
Min
z z a b
a b
z i
TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện
.
z a bi z c di
Tìm
min
z
. Ta có
Quỹ tích điểm
M x;y
biểu diễn số phức
z
là đường trung trực đoạn
AB
với
A a;b ,B c;d
2 2 2 2
2 2
,
2
Min
a b c d
z d O AB
a c b d
Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về
dạng cơ bản.
Ví dụ 1:
Cho số phức thỏa mãn điều kiện
.
z a bi z c di
Khi đó ta biến đổi
.
z a bi z c di z a bi z c di
Cho số phức thỏa mãn điều kiện
.
iz a bi z c di
Khi đó ta biến đổi
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
3
.
a bi c di
iz a bi iz c di z z z b ai z d ci
i i
Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.
TQ: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
0
z a bi R 0 z z R
. Tìm
Max Min
z , z
. Ta có
Quỹ tích điểm
M x;y
biểu diễn số phức
z
là đường tròn tâm
I a;b
bán kính
R
2 2
0
2 2
0
Max
Min
z OI R a b R z R
z OI R a b R z R
Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.
Ví dụ 1: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
a bi R
iz a bi R z
i
i
(Chia hai vế cho
i
)
z b ai R
Ví dụ 2: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
z a bi R z a bi R
(Lấy liên hợp 2 vế)
Ví dụ 3: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2 2
a bi R R
c di z a bi R z
c di
c di
c d
Hay viết gọn
1
0 1
0
0
z
R
z z z R z
z
z
(Chia cả hai vế cho
0
z
)
Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.
TQ1: (Elip chính tắc). Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
z c z c 2a, a c
Khi đó ta có
Quỹ tích điểm
M x;y
biểu diễn số phức
z
là Elip:
2
2
2 2 2
y
x
1
a a c
2 2
Max
Min
z a
z a c
TQ2: (Elip không chính tắc). Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
1 2
z z z z 2a
Thỏa mãn
1 2
2a z z
.
Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ).
Ta có
Khi đề cho Elip dạng không chính tắc
1 2 1 2
z z z z 2a, z z 2a
và
1 2
z ,z c, ci
). Tìm
Max, Min của
0
P z z
.
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
4
Đặt
1 2
2 2 2
z z 2c
b a c
Nếu
1 2
0
z z
z 0
2
Max
Min
P a
P b
(dạng chính tắc)
Nếu
1 2
0
0 1 0 2
z z
z a
2
z z k z z
1 2
Max 0
1 2
Min 0
z z
P z a
2
z z
P z a
2
Nếu
1 2
0
0 1 0 2
z z
z a
2
z z k z z
1 2
Max 0
z z
P z a
2
Nếu
0 1 0 2
z z z z
1 2
Min 0
z z
P z b
2
PHẦN I : BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT.
Dạng 1: Sử dụng tính chất của modun – bđt đại số.
Phương pháp : Xem hướng dẫn trên lớp
Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học.
Xem hướng dẫn trên lớp.
Dạng 3: Tả phí lù.
Phương pháp: Tin tưởng bạn ngồi bên cạnh
Câu 1: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện
3 2 .
z i z i
Tìm số
phức có môđun nhỏ nhất?
A.
1 2
z i
. B.
1 2
5 5
z i
. C.
1 2
5 5
z i
. D.
1 2
z i
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Cách 1: Phương pháp tự luận
Giả sử
,
z x yi x y
2 2 2
2
3 2 3 2 1 3 2 1
z i z i x y i x y i x y x y
6 9 4 4 2 1 4 8 4 0 2 1 0 2 1
y x y x y x y x y
2
2
2 2 2 2
2 1 5
2 1 5 4 1 5
5 5 5
z x y y y y y y
Suy ra
min
5
5
z khi
2 1
5 5
y x
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
5
Vậy
1 2
.
5 5
z i
Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm
Giả sử
,
z x yi x y
2 2 2
2
3 2 3 2 1 3 2 1
z i z i x y i x y i x y x y
6 9 4 4 2 1 4 8 4 0 2 1 0
y x y x y x y
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
thỏa điều kiện
3 2
z i z i
là đường thẳng
: 2 1 0
d x y
.
Phương án A:
1 2
z i
có điểm biểu diễn
1; 2
d
nên loại A.
Phương án B:
1 2
5 5
z i
có điểm biểu diễn
1 2
;
5 5
d
nên loại B.
Phương án D:
1 2
z i
có điểm biểu diễn
1;2
d
nên loại B.
Phương án C:
1 2
5 5
z i
có điểm biểu diễn
1 2
;
5 5
d
(Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng thì ta tiếp tục so sánh modun, và
nên thay luôn
z
vào dữ kiện ban đầu chứ không nên biến đổi)
Cách 3: Tính nhanh.
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức
z
là đường thẳng có phương trình
: 2 1 0
x y
.
Vậy
min
2 2
1
5
,
5
1 2
z d O
Cách 4: Công thức tính nhanh.
BT1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện
.
z a bi z
Tìm
min
z
?
2 2
0
1 1
2 2
2 2
Min
z z a b
a b
z i
BT2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện
.
z a bi z c di
Tìm
min
z
?
2 2 2 2
2 2
2
Min
a b c d
z
a c b d
Câu 2: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức
z
thỏa mãn
3 3 8
z z . Gọi
M
,
m
lần lượt giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất
.
z
Khi đó
M m
bằng
A.
4 7.
B.
4 7.
C.
7.
D.
4 5.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1 : Đại số
Gọi
z x yi
với
;
x y
.
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
6
Ta có
8 3 3 3 3 2 4
z z z z z z .
Do đó
4
M max z .
Mà
2 2
2 2
3 3 8 3 3 8 3 3 8
z z x yi x yi x y x y .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
8 1. 3 1. 3 1 1 3 3
x y x y x y x y
2 2 2 2
8 2 2 2 18 2 2 2 18 64
x y x y
2 2 2 2
7 7 7
x y x y z .
Do đó
7
M min z .
Vậy
4 7
M m
.
Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip)
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
là elip
1 2
2
2
2 2 2 2
3;0 , 0,3
8
1 4
16 7 2
4 3 7
F F
y
x
a
b a c
Do vậy
4
4 7
7
Max
Min
z a
M m
z b
Cách 3: Tổng quát
Cho số phức
z
thỏa mãn
2 ,
z c z c a a c
ta luôn có .
Tập hợp điểm biểu diễn
z
là Elip
2
2
2 2 2
1
y
x
a a c
2 2
Max
Min
z a
z a c
Câu 3: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức
z
thỏa mãn
2 3 1
z i . Giá trị lớn nhất của
1
z i
là
A.
13 2
. B.
4
. C.
6
. D.
13 1
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Cách 1: Gọi
z x yi
ta có
2 3 2 3 2 3
z i x yi i x y i
.
Theo giả thiết
2 2
2 3 1
x y nên điểm
M
biểu diễn cho số phức
z
nằm trên đường
tròn tâm
2;3
I bán kính
1
.
Ta có
2 2
1 1 1 1 1 1
z i x yi i x y i x y .
Gọi
;
M x y
và
1;1
H thì
2
2
1 1
HM x y .
M1
I
H
M2
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
7
Do
M
chạy trên đường tròn,
H
cố định nên
MH
lớn nhất khi
M
là giao của
HI
với đường
tròn.
Phương trình
2 3
:
3 2
x t
HI
y t
, giao của
HI
và đường tròn ứng với
t
thỏa mãn:
2 2
1
9 4 1
13
t t t nên
3 2 3 2
2 ;3 , 2 ;3
13 13 13 13
M M
.
Tính độ dài
MH
ta lấy kết quả
13 1
HM .
Cách 2: Cho số phức
z
thỏa mãn
2 3 1
z i . Giá trị lớn nhất của w 1
z i
Ta có
2 3 1 2 3 1 1 3 2 1 w 3 2 1
z i z i z i i i (Đường tròn tâm
3, 2 , 1
I R )
Vậy
2 2
w 3 2 1 1 13
Max
OI R
Lưu ý: Cho số phức
z
thỏa mãn
0
z a bi R , khi đó ta có quỹ tích các điểm biểu diễn số
phức
z
là đường tròn
, ,bk R
I a b ) và
2 2
2 2
Max
Min
z OI R a b R
z OI R a b R
Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi
z a bi z a bi
Câu 4: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức
z
thỏa mãn
1
z . Đặt
2
z i
A
iz
. Mệnh đề nào sau
đây đúng?
A.
1
A . B.
1
A . C.
1
A . D.
1
A .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Cách 1: Đặt Có
2 2
, , 1
a a bi a b a b (do
1
z )
2
2
2
2
2 2 1 4 2 1
2
2 2
2
a b i a b
z i
A
iz b ai
b a
Ta chứng minh
2
2
2
2
4 2 1
1
2
a b
b a
.
Thật vậy ta có
2
2
2 2
2 2 2 2
2
2
4 2 1
1 4 2 1 2 1
2
a b
a b b a a b
b a
Dấu “=” xảy ra khi
2 2
1
a b
.
Vậy
1
A .
Cách 2 : Trắc nghiệm
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
8
Chọn
1
1
2
1
1
2 34
2
1
2
17
z
z i
A A
iz
z
Câu 5: Cho số phức
z
thỏa mãn
1
z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
5
1 .
i
A
z
A.
5.
B.
4.
C.
6.
D.
8.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Ta có:
5 5 5
1 1 1 6.
i i
A
z z
z
Khi
6.
z i A
Chọn đáp án C.
Cách 2:
5
5
1 5
z i
i
A z i
z
z
Theo bài
2
1 5 5 1 5 5 1 6
Max
z z i i z i
Câu 6: Cho số phức
z
thỏa mãn
1
z . Tìm giá trị lớn nhất
max
M và giá trị nhỏ nhất
min
M của biểu
thức
2 3
1 1 .
M z z z
A.
max min
5; 1.
M M B.
max min
5; 2.
M M
C.
max min
4; 1.
M M D.
max min
4; 2.
M M
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 3
1 1 5
M z z z , khi
max
1 5 5.
z M M
Mặt khác:
3 3 3 3 3
3
1 1 1 1 1
1 1,
2 2 2
1
z z z z z
M z
z
khi
min
1 1 1.
z M M
Chọn đáp án A.
Câu 7: Cho số phức
z
thỏa
2
z . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
P
z
.
A.
3
.
4
B.
1.
C.
2
. D.
2
.
3
Hướng dẫn giải
Ta có
1 3
1 1 .
| | 2
i
P
z z
Mặt khác:
1 1
1 1 .
| | 2
i
z z
Vậy, giá trị nhỏ nhất của
P
là
1
2
, xảy ra khi
2 ;
z i
giá trị lớn nhất của
P
bằng
3
2
xảy ra khi
2 .
z i
Chọn đáp án A.
Câu 8: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 2 3
z i . Tìm môđun lớn nhất của số phức
2 .
z i
A.
26 6 17 .
B.
26 6 17.
C.
26 8 17 .
D.
26 4 17 .
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
9
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi
; ; 2 2
z x yi x y z i x y i
. Ta có:
2 2
1 2 3 1 2 9
z i x y .
Đặt
1 3sin ; 2 3cos ; 0;2 .
x t y t t
2 2 2
2 1 3sin 4 3cos 26 6 sin 4cos 26 6 17 sin ; .
z i t t t t t
max
26 6 17 2 26 6 17 2 26 6 17 3 17
z i z i
Chọn đáp án A.
Cách 2: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 2 3
z i . Tìm môđun lớn nhất của số phức
2 .
z i
Ta có
2 2
1 2 3 2 1 4 3 1 4 3 3 17
Max
z i z i i z (đáp án A)
Câu 9: Cho số phức
z
thỏa mãn
1
z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 3 1 .
P z z
A.
3 15
B.
6 5
C.
20
D.
2 20.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi
; ;
z x yi x y . Ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1;1 .
z x y y x x
Ta có:
2 2
2 2
1 3 1 1 3 1 2 1 3 2 1
P z z x y x y x x
.
Xét hàm số
2 1 3 2 1 ; 1;1 .
f x x x x Hàm số liên tục trên
1;1
và với
1;1
x ta có:
1 3 4
0 1;1 .
5
2 1 2 1
f x x
x x
Ta có:
max
4
1 2; 1 6; 2 20 2 20.
5
f f f P
Chọn đáp án D.
Cách 2: (Casio)
Từ
1
z , đặt
sin
cos
x t
z x yi
y t
Thay vào P rồi dùng mode 7 ra đáp án D
Cách 3: Hình học (Xem video live của thầy)
Câu 10: Cho số phức
z
thỏa mãn
1.
z Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
2
1 1 .
P z z z
Tính giá trị của
.
M m
.
A.
13 3
.
4
B.
39
.
4
C.
3 3.
D.
13
.
4
Hướng dẫn giải
Gọi
; ;
z x yi x y . Ta có:
1 . 1
z z z
Đặt
1
t z , ta có
0 1 1 1 2 0;2 .
z z z t
Ta có
2
2
2
1 1 1 . 2 2 .
2
t
t z z z z z z x x
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
10
Suy ra
2
2 2 2
1 . 1 2 1 2 1 3
z z z z z z z z z x x t .
Xét hàm số
2
3 , 0;2 .
f t t t t
Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra
13 13 3
max ; min 3 . .
4 4
f t f t M n
Chọn đáp án A.
Câu 11: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2
4 2 .
z z
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
3 1 3 1
.
6 6
z B.
5 1 5 1.
z
C.
6 1 6 1.
z D.
2 1 2 1
.
3 3
z
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức
,
u v u v
ta được
2 2
2
2 4 4 4 2 4 0 5 1.
z z z z z z
2 2
2 2
2 4 4 2 4 0 5 1.
z z z z z z z
Vậy,
z
nhỏ nhất là
5 1,
khi
5
z i i
và
z
lớn nhất là
5 1,
khi
5.
z i i
Chọn đáp án B.
Câu 12: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 2 2
z i . Tìm môđun lớn nhất của số phức
.
z
A.
9 4 5.
B.
11 4 5
C.
6 4 5
D.
5 6 5
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi
; ;
z x yi x y . Ta có:
2 2
1 2 2 1 2 4.
z i x y
Đặt
1 2sin ; 2 2cos ; 0;2
x t y t t .
Lúc đó:
2 2 2
2 2
1 2sin 2 2cos 9 4sin 8cos 9 4 8 sin ;
z t t t t t
2
9 4 5 sin 9 4 5; 9 4 5
z t z
max
9 4 5
z đạt được khi
5 2 5 10 4 5
.
5 5
z i
Chọn đáp án A.
Cách 2: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 2 2
z i . Tìm môđun lớn nhất của số phức
.
z
Ta có
2 2
1 2 2 1 2 2 2 5 9 4 5
Max
z i z
Câu 13: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 6 2 10
i z i . Tìm môđun lớn nhất của số phức
.
z
A.
4 5
B.
3 5.
C.
3.
D.
3 5
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi
; ;
z x yi x y .
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
11
Ta có:
2 2
6 2
1 6 2 10 1 . 10 2 4 5 2 4 5.
1
i
i z i i z z i x y
i
Đặt
2 5 sin ; 4 5 cos ; 0;2
x t y t t .
Lúc đó:
2 2 2 2
2
2 5 sin 4 5 cos 25 4 5 sin 8 5 cos 25 4 5 8 5 sin ;
z t t t t t
2
25 20sin 5;3 5
z t z
max
3 5
z đạt được khi
3 6 .
z i
Chọn đáp án B.
Cách 2: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 6 2 10
i z i . Tìm môđun lớn nhất của số phức
.
z
Ta có
6 2 10
1 6 2 10 2 4 5
1
1
i
i z i z z i
i
i
2 2
2 4 5 3 5
Max
z
Câu 14: Gọi
, z x yi x y
là số phức thỏa mãn hai điều kiện
2 2
2 2 26
z z và
3 3
2 2
z i
đạt giá trị lớn nhất. Tính tích
.
xy
A.
9
.
4
xy B.
13
.
2
xy C.
16
.
9
xy D.
9
.
2
xy
Hướng dẫn giải
Cách 1: Đặt
, .
z x iy x y
Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được
2 2
9.
x y
Đặt
3cos , 3sin .
x t y t
Thay vào điều kiện thứ hai, ta có
3 3
18 18sin 6.
4
2 2
P z i t
Dấu bằng xảy ra khi
3 3 2 3 2
sin 1 .
4 4 2 2
t t z i
Chọn đáp án D.
Câu 15: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện
2 4 2
z i z i
. Tìm môđun nhỏ nhất của số phức
2 .
z i
A.
5
B.
3 5.
C.
3 2
D.
3 2
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi
; ;
z x yi x y .
Ta có:
2 2 2
2
2 4 2 2 4 2 4 0 4 .
z i z i x y x y x y y x
Ta có:
2 2 2 2
2 2 2
2 2 6 2 12 36 2 3 18 18
z i x y x x x x x
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
12
min
2 18 3 2
z i khi
z i
Chọn đáp án C.
Cách 2:
2 4 2 2 2 6 2 4 w 2 6 w 4
z i z i z i i z i i i i
Trong đó
2
w z i
(quay về dạng bài toán 1)
Câu 16: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 2 3
z i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức
1 .
z i
A.
4.
B.
2 2.
C.
2.
D.
2.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi
; ; 1 1 1
z x yi x y z i x y i
. Ta có:
2 2
1 2 9 1 2 9
z i x y .
Đặt
1 3sin ; 2 3cos ; 0;2 .

x t y t t
2 2 2
min
1 3sin 1 3cos 10 6cos 2 2 4 1 2
z i t t t z i z i , khi
1 .
z i
Chọn đáp án C.
Cách 2: (Hình học + CT tính nhanh)
Ta có
2
1 2 3 1 3 1 1 3 2
Min
z i z i i z i
Câu 17: Biết số phức
z
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
3 4 5
z i và biểu thức
2 2
2
M z z i
đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức
.
z i
A.
2 41
z i B.
3 5.
z i
C.
5 2
z i D.
41.
z i
Hướng dẫn giải
Gọi
; ;
z x yi x y . Ta có:
2 2
3 4 5 : 3 4 5
z i C x y : tâm
3;4
I
và
5.
R
Mặt khác:
2 2 2 2
2 2
2 2 1 4 2 3 : 4 2 3 0.
M z z i x y x y x y d x y M
Do số phức
z
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên
d
và
C
có điểm chung
23
; 5 23 10 13 33
2 5
M
d I d R M M
2 2
max
4 2 30 0
5
33 5 4 41.
5
3 4 5
x y
x
M z i i z i
y
x y
Chọn đáp án D.
Câu 18: Cho số phức
,
1 2
m i
z m
m m i
. Tìm môđun lớn nhất của
.
z
A. 1. B. 0. C.
1
2
. D.2.
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
13
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2 2
max
1
1 1 ; 0.
1 2
1 1 1
m i m i
z z z z i m
m m i
m m m
Chọn đáp án A.
Câu 19: (NGUYỄN TRÃI – HD) Cho số phức
z
thỏa mãn:
2 2 1
z i . Số phức
z i
có môđun nhỏ
nhất là:
A.
5 1
B.
5 1
C.
5 2
D.
5 2
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
y
x
1
1
O
I
M
Cách 1: Gọi
z x yi
,
,
x y
.
Ta có:
2 2
2 2 1 ( 2) ( 2) 1 ( 2) ( 2) 1
z i x y i x y
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng
Oxy
biểu diễn của số phức
z
là đường tròn
( )
C
tâm
(2;2)
và bán kính
1
.
2
2
1
z i x y IM
, với
2;2
I là tâm đường tròn,
M
là điểm chạy trên đường tròn.
Khoảng cách này ngắn nhất khi
M
là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm
0;1 , 2;2
N Oy I với đường tròn (C).
min
5 1
IM IN R
Cách 2: Cho số phức
z
thỏa mãn:
2 2 1
z i . Số phức
z i
có môđun nhỏ nhất
Ta có
2 2
2 2 1 2 1 2 1 1 5 1
Min
z i z i i z i
Câu 20: Trong mặt phẳng phức
Oxy
, các số phức
z
thỏa 2 1
z i z i
. Tìm số phức
z
được
biểu diễn bởi điểm
M
sao cho
MA
ngắn nhất với
1,3
A .
A.
3
i
. B.
1 3
i
. C.
2 3
i
. D.
2 3
i
.
Hướng dẫn giải
Gọi
,
M x y
là điểm biểu diễn số phức
,
z x yi x y R
Gọi
1, 2
E là điểm biểu diễn số phức
1 2
i
Gọi
0, 1
F là điểm biểu diễn số phức
i
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
14
Ta có : 2 1
z i z i ME MF
Tập hợp điểm biểu diễn số phức
z
là đường trung
trục
: 2 0
EF x y
.
Để
MA
ngắn nhất khi
MA EF
tại
M
3,1 3
M z i
=> Đáp án A.
Câu 21: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện :
1 2 5
z i và
1
w z i
có môđun lớn nhất. Số phức
z
có môđun bằng:
A.
2 5
. B.
3 2
. C.
6
. D.
5 2
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Gọi
, 1 2 1 2
z x yi x y z i x y i
Ta có:
2 2 2 2
1 2 5 1 2 5 1 2 5
z i x y x y
Suy ra tập hợp điểm
;
M x y
biểu diễn số phức
z
thuộc đường tròn
C
tâm
1; 2
I bán
kính
5
R
Dễ thấy
O C
,
1; 1
N C
Theo đề ta có:
;
M x y C
là điểm biểu diễn cho số
phức
z
thỏa mãn:
1 1 1 1
w z i x yi i x y i
2 2
1 1 1
z i x y MN
Suy ra
1
z i
đạt giá trị lớn nhất
MN
lớn nhất
Mà
,
M N C
nên
MN
lớn nhất khi
MN
là đường kính đường tròn
C
I
là trung điểm
2
2
3; 3 3 3 3 3 3 2
MN M z i z
Câu 22: (CHU VĂN AN – HN) Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
1 2
z . Tìm giá trị lớn
nhất của
2
T z i z i
.
A.
max 8 2
. B.
max 4
T
. C.
max 4 2
. D.
max 8
T
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
2 1 1 1 1
T z i z i z i z i
.
Đặt
1
w z
. Ta có
1
w và
1 1
T w i w i
.
Đặt
.
w x y i
. Khi đó
2
2 2
2
w x y
.
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
15
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
1 1 1 1
1. 1 1 1. 1 1
1 1 1 1 1 1
2 2 2 4 4
T x y i x y i
x y x y
x y x y
x y
Vậy
max 4
T
.
Câu 23: Cho số phức
z
thỏa mãn
2 3 1
z i
. Giá trị lớn nhất của
1
z i
là
A.
13 2
. B.
4
. C.
6
. D.
13 1
.
(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN)
Lời giải
Cách 1: Đặt
,
z a bi a b , ta có
2 3 1 2 3 1.
z i a b i
2 2 2 2
2 3 1 2 3 1
a b a b
Đặt
2 sin
3 cos
a t
b t
(vì
2 2
sin cos 1
t t
). Khi đó
1 1 1 .
z i a b i
2 2
1 1
a b xét biểu thức
2 2
1 1 .
P a b
Ta có
2 2 2 2
2 2
1 1 sin 3 cos 2 sin 6sin 9 cos 4cos 4
a b t t t t t t
2 2
sin cos 13 6sin 4cos
14 6sin 4cos
t t t t
t t P
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được
2
2 2 2 2
6sin 4cos 6 4 sin cos
t t t t
2
6sin 4cos 52 6sin 4cos 52 2 13 14 2 13.
t t t t P
Vậy
2
2 2
1 1 1 14 2 13 13 1 13 1.
z i a b Chọn A.
Cách 2: Cho số phức
z
thỏa mãn
2 3 1
z i
. Giá trị lớn nhất của
1
z i
Ta có
z 2 3i 1 z 2 3i 1 z 1 i 3 2i 1
2 2
Max
z 1 i 3 2 1 13 1
Câu 24: (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 2)Cho các số phức
,
z w
thỏa mãn
2 2 4 , 1
z i z i w iz
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
w
là
A.
2
2
. B.
2 2
. C.
2
. D.
3 2
2
.
Lời giải
Cách 1: Đặt
,z a bi a b
, khi đó
2 2 2 2
z i a b i
và
4 4
z i a b i
.
Nên ta có
2 2 2
2
2 2 4 2 2
a b a b a b b a
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
16
Khi đó
2 2
2 2
1 1 1 1 1
w iz a bi i b ai w a b a a .
Dễ thấy
2
2
2
1 1 1 2 2
1 2 min .
2 2 2 2 2
w
a a a w Chọn A.
Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (dạng 1)
Câu 25: (ĐỀ THTT LẦN 5 – 2017) Cho số phức
z
thỏa mãn
4 4 10.
z z Giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của
z
lần lượt là
A.
10
và
4
B.
5
và
4
C.
4
và
3
. D.
5
và
3
.
Hướng dẫn giải.
Gọi
z x yi
,
,
x y . Theo giả thiết, ta có
4 4 10.
z z
2 2
2 2
4 4 10 4 4 10
x yi x yi x y x y
Gọi
;
M x y
,
1
4;0
F và
2
4;0
F .
Khi đó
1 2
10
MF MF nên tập hợp các
điểm
M z
là đường elip
E
.
Ta có
4
;
2 10 5
a a
và
2 2 2
9
b a c
.
Do đó, phương trình chính tắc của
E
là
2
2
1
25 9
y
x
.
Vậy
max ' 5
z OA OA và
min ' 3
z OB OB . Chọn D.
Câu 26: Trong các số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2 4 2
z i z i
. Biết rằng số phức
z x yi
,
,
x y có môđun nhỏ nhất. Tính
2 2
P x y
.
A.
10
. B.
8
P
. C.
16
. D.
26
P
.
Hướng dẫn giải.
Cách 1: Gọi
z x yi
,
,
x y . Ta có
2 4 2 2 4 2
z i z i x y i x y i
2 2 2
2
2 4 2
x y x y
2 2 2 2
4 4 8 16 4 4
x x y y x y y
4 4 16 0 4
x y y x
.
Do đó
2 2
2 2 2 2
4 2 8 16 2 2 8 2 2
z x y x x x x x .
Dấu
" "
xảy ra
2 2
x y
. Vậy
2 2
2 2 8
. Chọn B.
Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (bài tập 1)
Câu 27: Tìm giá trị lớn nhất của
z
biết rằng
z
thỏa mãn điều kiện
2 3
1 1
3 2
i
z
i
.
A.
max 1
z . B.
max 2
z . C.
max 2
z . D.
max 3
z .
Hướng dẫn giải.
Ta có
2 3
1
1 1 1 1 . 1 1
3 2
i
z iz i z z i
i i
.
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
17
Vì
0 1
i nên
1 2
max 1 1 2
z r r . Chọn B.
Câu 28: (THPT CHUYÊN KHTN – LẦN 1) Trong các số phức
z
thỏa mãn điều kiện
1 1 7 2
i z i . Tìm
max
z
.
A.
max 4
z . B.
max 3
z . C.
max 7
z . D.
max 6
z .
Hướng dẫn giải.
Ta có
1 7
1 1 7 2 1 2 3 4 1
1
i
i z i i z z i
i
.
Vì
3 4 0 5
i nên
2 2
1 2
max 1 3 4 6
z r r . Chọn D.
Câu 29: Cho số phức
z
thỏa mãn
1
z . Đặt
2
.
z i
A
iz
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1.
A B.
1.
A C.
1.
A D.
1.
A
(THPT CHUYÊN HÀ NAM)
Lời giải
Từ giả thiết, ta có
2
2 2 2 2
z i
A A iz z i A Azi z i
iz
2
2 2
2
A i
A i z Ai z
Ai
. Mà
2
1 1 2 2 .
2
A i
z A i Ai
Ai
Đặt
,
A x yi x y , khi đó
2 2 1 2
x y i y xi
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 1 2 4 4 4 1 4 4 1.
x y y x x y y x y y x y
Vậy môđun của
2 2
1.
A x y Chọn A.
Câu 30: Với hai số phức
1
z
và
2
z
thỏa mãn
1 2
8 6
z z i
và
1 2
2
z z . Tìm giá trị lớn nhất của
1 2
P z z
.
A.
5 3 5.
P B.
2 26.
P C.
4 6.
P D.
34 3 2.
(THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4)
Lời giải
Bổ đề. Cho hai số phức
1
z
và
2
z
, ta luôn có
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
z z z z z z .
Chứng minh. Sử dụng công thức
2
1 2 1 2 1 2
z z z z z z
và
2
.
z z z
. Khi đó
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2
2 2
1 1 2 2 1 2
. . . . . . . .
2 . . 2 .
z z z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z z
z z z z z z đpcm
Áp dụng
, ta được
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
4 4 3 1 1.
z z z z z z z z
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được
2 2
1 2 1 2
2 2 26.
P z z z z Chọn B.
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
18
Câu 31: Với hai số phức
1
z
và
2
z
thỏa mãn
1 2
8 6
z z i
và
1 2
2
z z . Tìm giá trị lớn nhất của
1 2
P z z
.
A.
5 3 5.
P B.
2 26.
P C.
4 6.
P D.
34 3 2.
(THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4)
Lời giải
Bổ đề. Cho hai số phức
1
z
và
2
z
, ta luôn có
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
z z z z z z .
Chứng minh. Sử dụng công thức
2
1 2 1 2 1 2
z z z z z z
và
2
.
z z z
. Khi đó
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2
2 2
1 1 2 2 1 2
. . . . . . . .
2 . . 2 .
z z z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z z
z z z z z z đpcm
Áp dụng
, ta được
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
4 4 3 1 1.
z z z z z z z z
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được
2 2
1 2 1 2
2 2 26.
P z z z z Chọn B.
Câu 32: (THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI)Cho số phức
z
thỏa mãn
2
2 5 1 2 3 1
z z z i z i
.
Tính
min| |
w
, với số phức
2 2
w z i
.
A.
3
min| |
2
w . B.
min| | 2
w
. C.
min| | 1
w
. D.
1
min| |
2
w .
Lời giải
Ta có
2 2 2
2
2 5 1 4 1 2 1 2 1 2
z z z z i z i z i
.
Khi đó, giả thiết
1 2
1 2 1 2 1 2 3 1
1 2 3 1
z i
z i z i z i z i
z i z i
TH1. Với
1 2
z i
, ta có
2 2 1 2 2 2 1 1.
w z i i i w
TH2. Với
1 2 3 1
z i z i , đặt
,
z x yi x y , ta có
2 2 2 2
1
1 2 1 3 1 2 1 3 .
2
x y i x y i x y x y y
Do đó
2
1 3 9 3
2 2 2 2 2 2
2 2 4 2
w z i x i i x i w x . Chọn A.
Câu 33: (TOÁN HỌC & TUỔI TRẺ LẦN 8)Cho số phức
z
thỏa mãn
1
3
z
z
. Tổng của giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của
z
là
A.
3.
B.
5.
C.
13.
D.
5.
Lời giải
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
19
Ta có
2
2
1 1 1 1
a z a z z z
z z z z
4 222
2
2
2 2 2
2 1
1
.
z z z zz z
z
z z z
Khi đó
2
2
4 2 2
2
4
4
. 2 1 0 ;
2 2
a a
a a
z z a z z z .
Vậy
2
2
2
4
4
max ; min 4 13.
2 2
a a
a a
z z M m a Chọn C.
Câu 34: (THPT NHÂN CHÍNH - HÀ NỘI)Xét số phức
z
thỏa mãn
10
1 2 2
i z i
z
. Mệnh đề
nào sau đây đúng?
A.
3
2
z . B.
1 3
2 2
z . C.
2
z . D.
1
2
z .
Lời giải
Cách 1. Từ giả thiết, ta có
10 10
1 2 2 1 2 2 i z i i z i
z z
10 10
2 2 2 2 1
z z i i z z i
z z
Lấy môđun hai vế của
, ta được
2 2
10
2 2 1 .
z z
z
Đặt
t z
, ta có
2 2
2 2 4 2
10
2 2 1 5 5 10 2 0 1.
t t t t t t t
t
Vậy môđun của số phức
z
bằng
1 3
1 .
2 2
z
Cách 2. Sử dụng máy tính casio ( hướng dẫn chi tiết ở câu 26) để tìm
.
z
Cách 3. Đặt
,
z a bi a b và
c z
, thay vào đẳng thức đã cho thì
2
2 2
10
10
1 2 2 1 2 2
10 10
2 2 1 0
a bi
Gt i c i i c i
a bi
c
a b
c i c
c c
Suy ra
2
2
2
10
10
2 0
2
10
10
2 1 0 1 2
a
a
c
c
c
c
b
b
c c
c
c
nên
2 2
2 2
4 2
10
10
2 1 2
a b
c c
c c
Giải ra ta có
1
mà
0
nên
1
c
hay
1
z . Do đó
1 3
.
2 2
z Chọn B.
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
20
Câu 35: (THPT CHUYÊN LÀO CAI)Xét số phức
z
và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là
,
M M
. Số phức
(4 3 )
z i
và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là
,
N N
. Biết rằng
, , ,
M M N N
là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của
4 5
z i
A.
1
.
2
B.
2
.
5
C.
1
.
2
D.
4
.
13
Lời giải
Gọi
; ' ;
M x y M x y
và
4 3 ;3 4
4 3 4 3 3 4
' 4 3 ; 3 4
N x y x y
i z x y x y i
N x y x y
Dễ thấy
' '
MM NN
vì cùng vuông góc với
Ox
nên để
' '
MM N N
là hình chữ nhật.
Khi và chỉ khi
2 2
' '
' ' 0 4 5 5 4
MM NN
MN M N x y z x xi z i x x
MN Ox
Ta có
2 2 2
min
1 1 1 1
5 4 2 9 4 5 .
2 2 2
2
x x x z i Chọn C.
Câu 36: (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI)Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
1 2.
z Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức
2 .
T z i z i
A.
max 8 2.
B.
max 4.
T
C.
max 4 2.
T
D.
max 8.
T
Lời giải
Đặt
,
z x yi x y , ta có
2
2
1 2 1 2 1 2
z x yi x y
2
2 2 2 2 2
1 2 2 1 2 2 1
x y x x y x y x
Lại có
2 1 2 1
T z i z i x y i x y i
2 2 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 4 2 5
x y x y x y y x y x y
Kết hợp với
, ta được
2 2 2 6 2 2 2 2 2 2
T x y x y x y x y
Đặt
t x y
, khi đó
2 2 6 2
T f t t t
với
1;1 .
t
Ta có
max
1 1
' ; ' 0 1 1 4
2 2 6 2
f t f t t f t f
t t
. Chọn B.
Câu 37: (ĐHNT HN) Cho số phức
z
thỏa mãn điêu kiện
1 2
z . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
2
T z i z i
A.
max 8 2
. B.
max 8
T
. C.
max 4 2
. D.
max 4
T
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
,
z x yi x y , ta có:
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
21
1 2 1 2
z x yi
2
2 2 2
1 2 2 1 *
x y x y x
Lại có:
2 1 2 1
T z i z i x y i x y i
2 2 2
2
1 2 1
x y x y
2 2 2 2
2 1 4 2 5
x y y x y x y
Kết hợp với
*
, ta được:
2 2 2 6 2 2
T x y x y
Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được
2 2
2 2
1 1 2 2 2 6 2 2 4
T x y x y
Vậy
max 4
T
.
Câu 38: Cho
w sin cos
với 0
2
thỏa mãn
2
w 1 2 w
.
Giá trị của
2018
2
26 w 3
P là
A.
2018
23 .
B.
2018
23 .
C.
2018
23 .
P i
D.
2018
29 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
2
2 2
w 1 sin cos 1 1 cos2 sin2 w 1 2 2cos2 .
i i
2 2
2 w sin cos 2
.
Từ giả thiết:
2
w 1 2 w
cos2 0
4
vì 0
2
.
2
2 2 2 2
w w w 1
2 2 2 2
i i .
Vậy
2018
23 .
Câu 39: Cho các số phức
1 2
2 , 2
z i z i
và số phức
z
thay đổi thỏa mãn
2 2
1 2
16.
z z z z Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
z
. Giá trị biểu thức
2 2
M m
bằng
A.
15
. B.
7
. C.
11
. D.
8
.
Lời giải
Chọn D.
Gọi
M
là điểm biểu diễn của
z
.
Gọi
2;1
A ,
2;1
B . Gọi
0;1
I là trung điểm
AB
.
2 2
2 2
1 2
16 16
z z z z MA MB
2
2 2 2
2 16
2
AB
MA MB MI
2
MI
Suy ra tập hợp các điểm
M
là đường tròn tâm
0;1
I bán kính
2
R
.
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
22
y
x
M
2
M
1
I
O
Ta lại có :
IM IO OM IM IO
1 3
OM
.
Do đó :
2
max
3
z M M
1
min
1
z M M
2 2
8
M m
.
Bài tương tự
Câu 40: Cho hai số phức
1 2
,
z z
thỏa mãn
1
1 2
z i và
2 1
z iz
. Tìm giá trị nhỏ nhất
m
của biểu thức
1 2
z z
?
A.
2 1
m
. B.
2 2
. C.
2
m
. D.
2 2 2
.
Lời giải
Chọn D.
Đặt
1
; ,
z a bi a b
2
z b ai
1 2
z z a b b a i
.
Nên
2 2
1 2 1
2.
z z a b b a z
Ta lại có
1 1 1
2 1 1 2
z i z i z
1
2 2
z . Suy ra
1 2 1
2. 2 2 2
z z z .
Dấu
" "
xảy ra khi
0
1 1
a b
.
Vậy
1 2
min 2 2 2
m z z .
Câu 41: Gọi số phức
; ,
z x yi x y
thỏa điều kiện
2 2
2 2 26
z z và
2 5
z i
lớn nhất.
Tính
T x y
.
A.
2 5
T . B.
2 5
T . C.
2 5
T . D.
2 5
T .
Lời giải
Chọn A.
Giả sử
; ,
z x yi x y
Ta có
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 26 2 2 26 9
z z x y x y x y .
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
23
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
là đường tròn
C
tâm là gốc tọa độ
O
, bán kính
3
R
.
Ta có
2
2
2 5 2 5
z i x y
Vì
2
2
2 5 9
nên điểm
2; 5
N thuộc đường tròn
C
.
Gọi
;
M x y
là điểm thuộc
C
, khi đó
2
3
2 5 2 5
z i x y MN
.
Suy ra
2 5
z i
lớn nhất
MN
lớn nhất
MN
là đường kính của
C
2; 5
M
Vậy
2 5
z i
.
Câu 42: Cho
1 2
,
z z
là hai số phức thỏa mãn phương trình 2 2
z i iz
, biết
1 2
1
z z Tính giá trị của
biểu thức:
1 2
P z z
.
A.
3
2
P . B.
2
. C.
2
2
P . D.
3
P .
Lời giải
Chọn D.
HD: Cách 1. Ta có:
2 2
2 2 2 2 (2 )(2 ) (2 )(2 )
z i iz z i iz z i z i iz iz
2 2
4 . 2 2 4 2 2 . 3 . 3
z z iz iz i iz iz i z z z z
2
1
. 1 1 1 1
z z z z z và
2
1
z
Chú ý:
2
2
. 2 (2 )(2 ) (2 )(2 )
a a a z i z i z i z i z i
Tập hợp điểm biểu diễn số phức
1 2
,
z z
là đường tròn tâm O
bán kính
1
.
Gọi
1 1 2 2 1 2
( ), ( ) 1
M z M z OM OM
Ta có:
1 2 1 2 2 1 1 2
1
z z OM OM M M OM M
đều
Mà
1 2 1 2
z z OM OM OM OM
với M là điểm thỏa
mãn
1 2
OM MM
là hình thoi cạnh 1
3 3
OM P .
Cách 2. Đặt
, ,
z x yi x y , ta có
2 2 (2 1)
z i x y i
và
2 2
iz y xi
.
Khi đó:
1
2 2 2 2 2 2
2
1
2 2 4 (2 1) ( 2) 1 1
1
z
z i iz x y y x x y z
z
Sử dụng công thức
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 3 3
z z z z z z z z z z . Chọn D.
Câu 43: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
1 2 4
z i . Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của 2
z i
. Tính giá trị của tổng
2 2
S M m
.
A.
82
. B.
34
. C.
68
. D.
36
.
Lời giải
Chọn C.
y
O x
M
2
M
1
M
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
24
Cách 1: (Phương pháp hình học)
Đặt số phức
z x iy
,
,
x y
có điểm biểu diễn hình học là
,
P x y
.
Ta có
2 2 2 2
1 2 1 2 4 1 2 16
z i x y x y .
Vậy tập hợp điểm
P
là đường tròn tâm
1;2
I , bán kính
4
R
.
Ta có
2 2
2 2 1
z i x y AP
, với
2; 1
A .
Vậy từ hình vẽ ta nhận thấy:
max 2
min 1
3 2 4
3 2 4
M AP AP IA R
m AP AP IA R
.
Vậy ta suy ra
2 2
2 2
3 2 4 3 2 4 68
S M m .
Cách 2: (Phương pháp đại số)
Công cụ cơ bản:
1 2 1 2 1 2
z z z z z z
, với mọi số
phức
1
z
,
2
z
. Áp dụng, ta có:
2 1 2 3 3 1 2 3 3 4 3 2 4 3 2
z i z i i z i i M
2 1 2 3 3 1 2 3 3 3 2 4 3 2 4
z i z i i z i i m
Vậy ta có
2 2
2 2
3 2 4 3 2 4 68
S M m .
Câu 44: [Phạm Minh Tuấn – Vted 15] Cho ba số phức
1 2
, ,
z z z
thỏa
1 2
6
z z và
1 2
6 2
z z . Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2 1 2
2
P z z z z z z z z z z
.
A.
30 3
. B.
36 2
. C.
50
. D.
50 2
.
Lời giải
Chọn B.
Gọi
, ,
A B M
là điểm biểu diễn số phức
1 2
, ,
z z z
, khi đó từ giả thiết ta suy ra tam giác
OAB
vuông
cân tại
O
và bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất của
2 . . .
P MA MB MO MA MO MB
.
Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát
Cho tam giác
ABC
, đặt
AB c
,
AC b
,
BC a
, khi đó ta có
. . .
1
MB MC MC MA MA MB
bc ca ab
Chứng minh: dùng bài toán kinh điển
2 2 2
2 2 2
. . .
xyc yza zxb
x MA y MB z MC
x y z
Đặt ; ;
a b c
x y z
MA MB MC
khi đó
. . .
. .
aMB MC bMC MA cMA MB
x y z
MA MB MC
và
2 2 2
. .
aMA bMB cMC
xyc yza zxb abc
MA MB MC
từ đó sử dụng
suy ra hệ thức
.
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
25
Áp dụng bài toán trên ta có
36 2
, chọn B.
Ta có thể chứng minh bài toán
trên bằng ngôn ngữ số phức.
Gọi tọa độ các điểm
, , ,
A B C M
trên mặt phẳng phức là
, , ,
u v w x
khi đó
a v w
,
b w u
,
c u v
,
MA x u
,
MB x v
,
MC x w
. Khi đó bất đẳng thức
tương đương
1
x v x w x w x u x u x v
u v u w v w v u w u w v
1
x v x w x w x u x u x v
u v u w v w v u w u w v
Mặt khác :
x v x w x w x u x u x v x v x w x w x u x u x v
u v u w v w v u w u w v u v u w v w v u w u w v
Mà
1
x v x w x w x u x u x v
u v u w v w v u w u w v
nên suy ra
.
Câu 45: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
1
z i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 3
P z i z i
A.
3
. B.
3
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B.
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
26
Gọi điểm biểu diễn của
z
là
M
. Khi đó
M
nằm trên đường tròn tâm
0; 1 , 1.
I R Gọi tọa độ các
điểm
2; 1 , 2; 3
A B do đó:
2 2 2 3 2 .
P z i z i MA MB
Gọi
1
; 1
2
K
khi đó ta có:
1
.
2
IK IM
IM IA
Vậy
IMK
và
IAM
là hai tam giác đồng dạng. Khi đó:
MA MK
.
Vậy
2
P MK MB
.
Theo bất đẳng thức tam giác:
2 2 .
P MK MB BK
Vậy
2 3.
Min P BK
Câu 46: Với hai số phức
1
z
và
2
z
thoả mãn
1 2
8 6
z z i
và
1 2
2,
z z tìm giá trị lớn nhất của
1 2
.
P z z
A.
4 6
P . B.
2 26
P . C.
5 3 5
P . D.
34 3 2
P
.
Lời giải
Chọn B.
Vì hai số phức
1
z
và
2
z
thoả mãn
1 2
8 6
z z i
và
1 2
2
z z nên
1 2
2 1
1 2
8 6
8 6
2
z i z
z i z
z z
1
2
1 2
4 3 1
4 3 1
2
z i
z i
z z
*
.
Gọi
A
,
B
lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức
1
z
và
2
z
khi đó từ
*
suy ra
,
A B
nằm
trên đường tròn
C
có tâm
4;3
I , bán kính
1
và
AB
là đường kính của đường tròn
C
.
Như vậy
1 2
P z z OA OB
.
Ta có
2 2 2
2 2 2 2
2 5 1 52
2 4
OA OB AB
OI OA OB .
Suy ra
2 2
52 2 .
OA OB OAOB
2
2 2
2 . 52 52 104
OA OB OA OB OAOB
1 2
104 2 26
P z z OA OB . Dấu bằng xảy ra khi
OA OB
.
Câu 47: Giả sử
1 2
,
z z
là hai trong số các số phức
z
thỏa mãn
2 1
iz i và
1 2
2.
z z Giá trị lớn nhất của
1 2
z z
bằng
A.
4
. B.
2 3
. C.
3 2
. D.
3.
x
y
3
4
B
O
I
1
A
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
27
Lời giải
Chọn A.
Ta có
2 1
iz i
2 1 1
i z i
2 1 1
z i .
Điểm biểu diễn
z
thuộc đường tròn tâm
1; 2
I ,
1
.
Gọi
M
,
N
là điểm biểu diễn
1
z
,
2
z
nên
2
MN
là đường kính. Dựng hình bình hành
OMNP
ta
có
1 2
2 3
z z OP .
Ta có
2
2 2
1 2 1 2
2
z z z z
2 2
1 2 1 2
z z z z
16
1 2
4
z z . Dấu bằng xảy ra khi
1 2
z z
MN OI
.
Câu 48: Cho hai số phức
z
,
thỏa mãn
1 3 2
z z i
;
z m i
với
là tham số. Giá trị của
m
để
ta luôn có
2 5
là:
A.
7
3
m
m
. B.
7
3
m
m
. C.
3 7
m
. D.
3 7
m
.
Lời giải
Chọn B.
Đặt
, ,
z a ib a b có biểu diễn hình học là điểm
;
M x y
1 3 2
z z i
1 3 2
x iy x y i
2 2 2
2
1 3 2
x y x y
2 1 6 9 4 4
x x y
2 3 0
x y
Suy ra biểu diễn của số phức
z
là đường thẳng
: 2 3 0
x y
.
Ta có:
2 5
2 5
z m i
1 2 5
x m y i
2 2
1 2 5
x m y
2 5
MI với
; 1
I m .
Mà ta có
,
MI d I
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
28
Nên
2 5
MI
, 2 5
d I
2 4
2 5
5
m
2 4 10
m
2 4 10
2 4 10
m
m
3
7
m
m
.
Câu 49: [PTNK TP HCM] Cho
z
là số phức thỏa mãn
1 2
z i . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2
2 2 3
P z i z i
A.
18
. B.
14 2 10
. C.
38 8 10
. D.
16 2 10
.
Lời giải
Chọn C.
Gọi
; , ;
z x yi x y M x y
là điểm biểu diễn số phức
z
.
Do
2 2
1 2 1 1 4
z i x y suy ra
M
thuộc đường tròn tâm
1; 1
I , bán kính
2
R
.
Đặt
2;1 , 2;3 , 0;2
A B E là trung điểm của
AB
. Khi đó
2 2
2 2 3
P z i z i
2 2 2 2
2 1 2 3
x y x y
2 2
MA MB
2
2
2
2
ME
2
2 10
ME
.
Do
E
nằm ngoài đường tròn, nên
Max
ME EI R
2 10 38 8 10
Max
P .
Cách 2 :
2 2
2 2 3
P z i z i
2 2 2 2
2 1 2 3
x y x y =
2 2
2 2 8 18
x y y
2 2
2 2 8 18 0
x y y P .
Suy ra tọa độ điểm
M
thỏa mãn
2 2
2 2
2 2 8 18 0
1 1 4
x y y P
x y
2 2
1 1 4
: 4 12 22 0
x y
x y P
Hệ có nghiệm khi
,
d I R
38 8 10
P
38 8 10 38 8 10
P
38 8 10
Max
P .
Câu 50: (CHuyên Hạ Long-lần 2-2018-Mã đề 108)Cho các số phức
1 2
2 , 2
z i z i
và số phức
z
thay
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
29
đổi thỏa mãn
2 2
1 2
16.
z z z z Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
z
. Giá
trị biểu thức
2 2
M m
bằng
A.
15
. B.
7
. C.
11
. D.
8
Lời giải:
Chọn D.
Cách 1:
Gọi số phức
z x yi
với
,x y
.
Ta có
2 2
1 2
16
z z z z
2 2
2 3 0
x y x
. Khi đó tập hợp các điểm
( , )
M x y
biểu diễn số
phức
z
là đường tròn
( )
C
có tâm
( 1,0)
I
và bán kính
2
.
Ta có
min min
| |z OM
,
max max
| |z OM
.
Đường thẳng
OI
có phương trình
0
y
.
OI
cắt
( )
C
tại 2 điểm phân biệt
,
A B
có tọa độ là nghiệm của hệ
2 2
2 3 0
0
x y x
y
(1,0); ( 3,0)
A B
.
Ta có
OA OM OB
nên
min
| |
z OA
,
max
| |
z OB
.
Khi đó
2 2
9 1 8
M m
.
Cách 2:
Gọi số phức
z x yi
với
,x y
.
Ta có
2 2
1 2
16
z z z z
2 2
2 3 0
x y x
. Khi đó tập hợp các điểm
( , )
M x y
biểu diễn số
phức
z
là đường tròn
( )
C
có tâm
( 1,0)
I
và bán kính
2
.
1 2
z
Ta có:
1 1 1
z z
min
1
z
,
1 1 3
z z
max
3
z
.
Cách 3:
Gọi số phức
z x yi
với
,x y
.
Ta có
2 2
1 2
16
z z z z
2 2
2 3 0
x y x
. Khi đó tập hợp các điểm
( , )
M x y
biểu diễn số
phức
z
là đường tròn
( )
C
có tâm
( 1,0)
I
và bán kính
2
.
Ta có
min
OM OI R
,
max
OM OI R
min
1
z
,
max
3
z
CÂU PHÁT TRIỂN
Câu 51: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2 4 5
z i . Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của
z
. Giá trị biểu thức
2 2
M m
Mn
bằng
A.
12
. B.
1
2
. C.
4
3
. D.
8
Lời giải:
Chọn C.
Gọi số phức
z x yi
với
,x y
, khi đó
2 2
| |
z x y
.
Ta có:
2 4 5
z i
2
2
2 ( 4) 5
x y
2 2
15 4( 2 )
x y x y
.
Áp dụng bđt Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
2 2
| 2 | 5( ) 5 | |
x y x y z
.
Khi đó ta có bất phương trình
2
| | 15 4 5 | |
z z
5 | | 3 5
z .
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
30
Do đó
2 2
M m
Mn
4
.
3
Câu 52: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
1 | 3 2 | 5
z i z i . Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của
2
z i
. Giá trị biểu thức
2 2
M m
bằng
A.
25
. B.
35
. C.
15
2
. D.
20
.
Lời giải:
Chọn B.
Gọi
z x yi
(với
,x y
) có điểm
( ; )
M x y
biểu diễn
z
trên mặt phẳng tọa độ.
Ta có
1 3 2 5
z i z i
2 2 2 2
1 1 3 2 5
x y x y
2 2
2 2
1 2 3 3 2 4 5
x y x y
(1).
Số phức
2 2
z i x y i
có điểm
; 2
M x y
biểu diễn
2
z i
trên mặt phẳng tọa độ.
Đặt
(1;3), (3;4)
A B
, từ (1) ta có
5
AM BM
.
Mặt khác
5
AB nên
M
thuộc đoạn
AB
. Khi đó
max
2
M z i
5
OB
,
min
2
m z i
10
OA .
Vậy
2 2
35
M m
.
Nhận xét:
- GTLN, GTNN ở câu dạng này chỉ có thể đạt được tại 2 đầu
,
A B
.
- Một sai lầm thường gặp là đánh giá
min
;
z d O AB
nhưng do góc
OAB
là góc tù nên không
tồn tại điểm
M
trên đoạn
AB
sao cho
OM AB
.
Câu 53: (Chuyên Hạ Long-lần 2-2018-Mã đề 123) Cho số phức
z
thỏa mãn
3 4 5
z i . Gọi
,
M m
lần
lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
2
P z z i
. Khi đó modun của số phức
w
M mi
A.
2 314
. B.
1258
. C.
3 137
. D.
2 309
.
Lờigiải
Chọn B.
Cách 1: Giả sử
,
z x yi x y R
ta có
3 4 5
z i
2 2
3 4 5
x y
Ta có
4 2 3
P x y
4 3 2 4 23
x y P
Ta có
2
2 2
4 3 2 4 20 3 4 100
x y x y
Suy ra
10 23 10
13 33
P
suy ra
33, 13
M m
do đó ta được
33 13
w i
vậy
w 1258
.
Cách 2: Gọi
z x yi
với
,
x y
.
Ta có:
2 2
3 4 5 3 4 5
z i x y . Suy ra, tập hợp điểm
;
M x y
biểu diễn cho số
phức
z
trên hệ tọa độ
Oxy
là đường tròn
C
tâm
3;4
I và bán kính
5
R .
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
31
Lại có:
2 2 2 2
2 2
2 2 1 0 4 2 3 0
P z z i x y x y P x y P , đây là
phương trình của đường thẳng
: 4 2 3 0
x y P
.
Ta thấy
M C
.
Điều kiện để
cắt
C
là:
23
, 5 10 23 10 13 33
2 5
P
d I R P P
.
Suy ra:
13, 33
m M
và
33 13 1258
w i w .
Cách 3:
Gọi
z x yi
với
,
x y
.
Ta có
2 2
2 2
2 1 4 2 3
P x y x y x y suy ra
4 3
2
P x
y .
Từ
2
2 2 2
4 3
3 4 5 3 4 5 3 4 5 0
2
P x
z i x y f x x .
Ta có
4 11
2 3 4 2 10 16
2
P x
f x x P x
.
0 0,2 1,6
f x x P . Suy ra
0,1 1,7
y P
.
Thay
,
x y
vừa tìm được vào
f x
ta được
2 2
0,2 1,6 3 0,1 1,7 4 5 0
P P .
Ta giải được
33
P
hoặc
13
. Đây tương ứng là GTLN và GTNN của
P
.
Vậy
33, 13
M m
. Khi đó,
1258
.
Câu 54: Biết số phức
z x yi
,
,
x y thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
4 3
z z i
và biểu thức
1 2 3
P z i z i
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
2
P x y
.
A.
61
10
P . B.
253
50
P . C.
41
5
P . D.
18
5
P .
Lời giải
Chọn A .
Theo giả thiết
4 3
z z i
4 3
x yi x y i
2 2
2 2
4 3
x y x y
2 2 2 2
8 16 6 9
x y x x y y
8 6 25 0
x y
.
Ta có
2 2 2 2
1 1 2 3
P x y x y
Xét điểm
1;1
E ;
2; 3
F và
;
M x y
. Khi đó,
P ME MF
.
Bài toán trở thành tìm điểm
: 8 6 25 0
M x y
sao cho
ME MF
đạt giá trị nhỏ nhất.
Vì
8 8 25 . 8 8 25 0
E E F F
x y x y nên hai điểm
,
E F
nằm cùng phía đối với đường thẳng
.
Gọi
E
là điểm đối xứng với
E
qua
Đường thẳng
EE
đi qua điểm
1; 1
E và có VTPT
3; 4
EE
n u nên có phương trình
3 1 4 1 0
x y
3 4 7 0
x y
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
32
Gọi
H
là giao điểm của
EE
và
. Tọa độ điểm
H
là nghiệm của hệ phương trình
3 4 7
8 6 25
x y
x y
71
25
19
50
x
y
suy ra
71 19
;
25 50
H
E
đối xứng với
E
qua
H
nên
117
25
44
25
E
E
x
y
.
Ta có
ME+MF = ME +MF E F
.
Dấu bằng xảy ra
M
là giao điểm của
E F
và đường thẳng
Đường thẳng
E F
đi qua điểm
2; 3
F và có VTPT
31;167
EE
n có phương trình
31 2 167 3 0
x y
31 +167 + 439 = 0
x y
Tọa độ điểm
M
là nghiệm của hệ phương trình
31 167 439
8 6 25
x y
x y
67
50
119
50
x
y
Vậy
61
2
10
P x y .
Câu 55: Gọi
1 2
,
z z
là 2 nghiệm của phương trình
1 2 1 2
z i z i
thỏa mãn
1 2
2
z z . Biết rằng
w
là số phức thỏa mãn
w 3 2 2
i . Tìm GTNN của biểu thức
1 2
w w
P z z
.
A.
1 3
B.
2 3
C.
2
D.
6
.
Lời giải.
Chọn D .
Giả sử
,
z x yi x y R
ta có
1 2 1 2
z i z i
0
x
suy ra tập hợp điểm biểu diễn
1 2
,
z z
là trục tung.
Giả sử
,
A B
lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho
1 2
,
z z
, ta có
1 2
2
z z
2
AB
.
Giả sử
w ,
a bi a b R
và
M
là điểm biểu diễn cho số
phức
w
, ta có
w 3 2 2
i
2 2
( 3) ( 2) 4
a b suy ra tập
hợp điểm biểu diễn
M
cho số phức
w
là đường tròn tâm
3;2
I
bán kính
2
R
.
Ta có
P MA MB
, gọi
E
là hình chiếu vuông góc của
I
lên
trục tung, ta thấy
P
nhỏ nhất khi
E
là trung điểm
AB
suy ra
6
2
MA MB , vậy
6
2. 6
MinP
Câu 56: Cho
z
là số phức thỏa
1 2
z i . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
33
2 2
2 2 3
P z i z i
A.
18
. B.
38 8 10
. C.
18 2 10
. D.
16 2 10
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
,
z x yi x y
Ta có:
2 2
1 2 1 2 1 1 4
z i x yi i x y
2 2 2 2
2 2 2 0 2 2 2
x y x y x y x y (*)
Theo bài ra:
2 2 2 2
2 2 3 2 2 3
P z i z i x yi i x yi i
2 2 2 2
2 2
2 1 2 3 2 8 18
x y x y x y y
Thay (*) vào
P
ta được:
4 12 22 4 1 12 1 38
P x y x y
Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta được
2 2
2 2 2 2
4 1 12 1 38 4 12 1 1 38 4 12 .4 38 8 10 38
x y x y
Vậy
max
8 10 38
P .
Câu 57: Giả sử
1 2
,
z z
là hai trong số các số phức
z
thỏa mãn
2 1
iz i và
1 2
2.
z z Giá trị lớn nhất của
1 2
z z
bằng
A.
4
. B.
2 3
. C.
3 2
. D.
3.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
2 1
iz i
2 1 1
i z i
2 1 1
z i .
Điểm biểu diễn
z
thuộc đường tròn tâm
1; 2
I ,
1
.
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
34
Gọi
M
,
N
là điểm biểu diễn
1
z
,
2
z
nên
2
MN
là đường kính. Dựng hình bình hành
OMNP
ta
có
1 2
2 3
z z OP .
Ta có
2
2 2
1 2 1 2
2
z z z z
2 2
1 2 1 2
z z z z
16
1 2
4
z z . Dấu bằng xảy ra khi
1 2
z z
MN OI
.
Câu 58: Xét các số phức
z a bi
,
a b thỏa mãn
2 3 2 2
z i . Tính
P a b
khi
1 6 7 2
z i z i
đạt giá trị lớn nhất.
A.
1
. B.
3
P
. C.
3
P
. D.
7
P
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
z x yi
với
,
x y .
Ta có:
2 2
2 3 2 2 2 3 8
z i x y . Suy ra, tập hợp điểm
;
M x y
biểu diễn cho số
phức
z
trên hệ tọa độ
Oxy
là đường tròn
C
tâm
2;3
I và bán kính
8
R .
Gọi
1; 6
A ,
7;2
B và
3; 2
J là trung điểm của
AB
.
Đặt
1 6 7 2
P z i z i
suy ra
2 2
2
P MA MB MA MB
. (BĐT Bunhiacopxki).
Phương trình đường trung trực
của
AB
là:
3
2
x t
y t
.
Ta có:
2
2 2 2
2
2
AB
MA MB MJ với
J
là trung điểm của
AB
.
Vì
M
chạy trên đường tròn ,
J
cố định nên
IJ .
MJ R
Do vậy
2
2 2
4 IJ
P R AB
nên
2
2
ax
4 IJ .
m
P R AB
Dấu « = » xảy ra khi
MA MB
và ba điểm
, ,
M I J
thẳng hàng. Điều này thỏa mãn nhờ
IA IB
.
Do đó:
M C
, tọa độ của
M
là nghiệm hệ:
2 2 2 2
3 3 0 4
2 2 1 5
3 7
2 3 8 5 5 8
x t x t x x
y t y t y y
t t
x y t t
Mặt khác :
4;5 2 130
M P MA MB và
0;1 2 50
M P MA MB
.
Vậy để
Max
P
thì
4;5
M Suy ra
2 3
a b
.
Câu 59: (SGD – HÀ TĨNH )Trong các số phức z thoả mãn
2 4 2
z i , gọi
1
z
và
2
z
là số phức có mô-
đun lớn nhất và nhỏ nhất. Tổng phần ảo của hai số phức
1
z
và
2
z
bằng.
A.
8
i
. B.
4
. C.
8
. D.
8
.
Lời giải
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
35
Chọn D.
Gọi
, ,
z x yi x y và
;
M x y
là điểm biểu diễn số phức
z
.
Theo giả thiết
2 4 2
z i
2 4 2
x yi i
2 2
2 4 4
x y .
Suy ra
2 2
: 2 4 4
M C x y
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
thỏa mãn
2 4 2
z i là đường tròn
C
có tâm
2;4
I bán kính
2
R
.
Đường
OI
có phương trình
2
y x
cắt đường tròn
C
tại hai điểm
10 2 5 20 4 5
;
5 5
A ,
10 2 5 20 4 5
;
5 5
B . Do
OA OB
nên điểm
A
biểu diễn số phức có môđun lớn nhất, và điểm
B
biểu diễn số phức có môđun nhỏ nhất.
Câu 60: [HKII-SỞ BẠC LIÊU-2017-2018] Xét số phức
z a bi
(
,
a b
và
0
) thỏa mãn
1
z .
Tính
2
2 4
P a b
khi
3
2
z z
đạt giá trị lớn nhất.
A.
4
P
. B.
2 2
P
. C.
2
P
. D.
2 2
P
.
Lời giải
Chọn C.
Cách 1:
Từ giả thiết có
2 2
1
a b
2 2
1 0
b a
với
1;1
a và
. 1
z z
.
Ta có
3
2
z z
2
2
1 2
. z z
z
z
2
2.
z z z
2 2
2 2 2
bi a b abi
2 2
2 2
a b b ab i
2
2
2 2
2 2
a b b ab
2
2
2 2 2
2 1 2
a b b a
2
2
2 2
2 2 1 1 2 1
a a a
3 2
2 4 4 2
a a a
Xét
3 2
4 4 2
f a a a a , với
1 1
a
.
2
12 2 4
f a a a
;
2
0 12 2 4 0
f a a a
1
1;1
2
2
1;1
3
a
a
Bảng biến thiên:
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
36
Suy ra
1;1
1 13
max
2 4
a
f a f
, đạt được khi
1
2
a ,
2
3
4
b .
Vậy
2
1
2 4 2 3 2
2
P a b
.
Cách 2:
Ta có
3
cos sin cos3 sin3
z x i x z x i x
. Vì
0
nên
sin 0
,
cos 1;1
x .
Khi đó
3
2
z z
cos3 sin3 cos sin 2
x i x x i x
cos3 cos 2 sin3 sin
x x x x i
2 2
cos3 cos 2 sin3 sin
x x x x
2 2
2 2sin2 .sin 2cos2 .sin
x x x x
2 2 2 2
4 8sin2 sin 4sin sin 2 4cos 2 sin
x x x x x x
2 2
4 16sin cos 4sin
x x x
2 2
4 16 1 4 1
t t t
3 2
16 4 16 8
t t t với
cos 1;1
t x .
Đặt
3 2
16 4 16 8
f t t t t
,
1;1
 t .
2
48 8 16 0
f t t t
1
1;1
2
2
1;1
3
t
t
Bảng biến thiên:
1;1
1
max 13
2
t
f t f
1
cos
t x
.
Khi đó:
2
2 2
1 1 3
2 2 4
a
a b
a b
.
Vậy
2
1
2 4 2 3 2
2
P a b
.
t
1
1
2
2
3
1
f t
0
0
f t
13
1
a
1
1
2
2
3
1
f a
0
0
f a
13
4
1
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
37
Nhận xét: có thể đổi câu hỏi thành tìm Min
Câu 61: Cho
1
z
,
2
z
là hai số phức thỏa mãn 2 2
z i iz
, biết
1 2
1
z z . Tính giá trị của biểu thức
1 2
P z z
A.
3
2
P . B.
2
. C.
2
2
P . D.
3
P .
Lời giải
Chọn D.
Cách 1.
+ Đặt
z x yi
,
,
x y
, ta có
2 2 2 2 1 2
z i iz x y i y xi
2 2
2 2 2 2 2 2
4 2 1 2 4 4 4 1 4 4
x y y x x y y y y x
2 2
1 2
1 1 1
x y z z z
+ Sử dụng công thức:
1 2
,
z z ta có
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 z z z z z z
Suy ra
3
P .
Cách 2.
+ Biến đổi:
2 2 2
iz i iz z i
Ta có
2 2
1 2
2 2 2 2 1 1
z i z i z i z i z z z .
+ Sử dụng công thức bình phương mô đun
2
2 2 2 2
1 2 1 1 2 1 2 2
2 ,
mz nz m z mnz z cos z z n z
Trong đó
1 2
,
z z
là góc
MON
với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
1 2
,
z z
trên mặt
phẳng phức
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
1 1 2 . . , 1 ,
2
z z z z z z z z cos z z cos z z .
Vậy
2 2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 . . , 3 3
P z z z z z z cos z z P .
Câu 62: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
1 2
z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2
T z i
z i
.
A.
max 8
2
T
. B.
max 4
T
. C.
max 4
2
T
. D.
max 8
T
Lời giải
Chọn B.
Đặt
,
z x yi x y R
, ta có
2 2
1 2 1 2 ( 1) 2
z x yi x y
2
2 2 2
1 2 2 1
x y x y x
(*)
Lại có
2 ( 1) 2 ( 1)
T z i
z i x y i x y i
2 2 2 2 2 2 2 2
( 1) ( 2) ( 1) 2 1 4 2 5
x y x y x y y x y x y
Kết hợp với (*), ta được
2 2 2 6 2 2 2( ) 2 6 2( )
T x y x y x y x y
Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
38
2( ) 2 6 2( ) 2(2( ) 2 6 2( )) 4
T x y x y x y x y .
Câu 63: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
5 1 3 3 1
z i z i z i
. Tìm giá trị lớn nhất M của biểu
thức:
2 3
z i
?
A.
10
3
M . B.
1 13
M . C.
4 5
M . D.
9
Lời giải
Chọn C.
2 2 2 2 2 2
5 ( 1) ( 1) ( 3) 3 ( 1) ( 1)
x y x y x y
2 2 2 2 2 2
5 ( 1) 10. ( 1) ( 3) ( 1) ( 1)
x y x y x y
2 2 2 2 2 2
25 ( 1) 10 ( 1) ( 3) ( 1) ( 1) 0
x y x y x y
2 2
( 1) 20 2 5
x y z i
2 3 (4 2) 4 2 2 5 2 5 4 5
P z i z i i z i i
Câu 64: Cho hai số phức
,
z
thỏa mãn
1 3 2
z z i
;
z m i
với
là tham số. Giá trị của
m
để ta luôn có
2 5
là:
A.
7
3
m
m
. B.
7
3
m
m
. C.
3 7
m
. D.
3 7
m
.
Lời giải
Chọn B.
Đặt
, ,
z a ib a b có biểu diễn hình học là điểm
;
M x y
1 3 2
z z i
1 3 2
x iy x y i
2 2 2
2
1 3 2
x y x y
2 1 6 9 4 4
x x y
2 3 0
x y
Suy ra biểu diễn của số phức
z
là đường thẳng
: 2 3 0
x y
.
Ta có:
2 5
2 5
z m i
1 2 5
x m y i
2 2
1 2 5
x m y
2 5
MI với
; 1
I m .
Mà ta có
,
MI d I
Nên
2 5
MI
, 2 5
d I
2 4
2 5
5
m
2 4 10
m
2 4 10
2 4 10
m
m
3
7
m
m
.
Câu 65: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 1
3
2
z
z i
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 4 7
P z i z i
A.
20
. B.
10
. C.
12 5
. D.
4 5
.
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
39
Lời giải
Chọn A.
Gọi
z x yi
,
,
x y .
Ta có
1 1
3
2
z
z i
2 1 3
z z i
2 2
2 2
2 1 3
x y x y
2 2
4 6 7 0
x y x y .
Lại có
2 4 7
P z i z i
2 2 2
2
1 2 4 7
x y x y
4 8 8 2 4 8 72
x y x y .
Mặt khác
2
4 8 8 2 4 8 72 5.80
x y x y
4 8 8 2 4 8 72 20
x y x y
Suy ra
20
P
.
Câu 66: Cho số phức
z a bi
(
a
,
b
là các số thực) thỏa mãn
3 4
z z i
và có môđun nhỏ nhất. giá trị
của
.
P a b
là?
A.
3
4
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
3 4
a bi a bi i
2 2
2 2
3 4
a b a b
6 8 25 0
a b
25 8
6
b
a
Mô đun của số phức
z
là:
2 2
z a b
2
2
25 8
6
b
b
2
100 2 225
36
b
15
6
Số phức
min
2
z b
3
2
a
3
P
Câu 67: Trong các số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2 4 2
z i z i
. Tìm số phức
z
có môđun nhỏ nhất.
A.
1
z i
. B.
2 2
z i
. C.
2 2
z i
. D.
3 2
i
.
Lời giải
Chọn C.
Gọi số phức
z
có dạng
z a bi
.
z
thỏa mãn
2 4 2
z i z i
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
40
2 2 2
2
2 2 2 2
2 4 2
2 4 2
4 4 8 16 4 4
4 4 16
4
a b i a b i
a b a b
a a b b a b b
a b
a b
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki.
22
2 2 2 2 2 2
16 1 1 8
a b a b z a b
2 2
z
Dấu
xảy ra
2 2 2
1 1
4
a b
a b z i
a b
Câu 68: Trong các số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2 4 2
z i z i
. Số phức
z
có mô đun bé nhất bằng
A.
3 2
B.
2
. C.
2 2
. D.
4
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
,
z x yi x y . Khi đó
2 4 2
z i z i
2 4 2
x yi i x yi i
2 2 2
2
2 4 2
x y x y
4 4 16 0
x y
4 0
x y
.
Số phức có mô đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ
O
đến đường thẳng
: 4 0
x y
.
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
41
min
4
; 2 2
2
z d O
.
Câu 69: (Đề Star Education) Cho hai số phức
1 2
;
z z
thỏa mãn
1 2
5
z z
và
1 2
1
z z
. Giá trị lớn nhất của
biểu thức
1 2
P z z
là:
A.
26.
B.
26
.
2
C.
9.
D.
1
.
2
Lời giải
Chọn A.
Ta gọi
,
M N
lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức
1 2
;
z z
.
Từ giả thiết :
1 2
5
z z
5
OM ON
5
2
OI
với
I
là trung điểm của đoạn thẳng
MN
.
1 2
1
z z
1
OM ON
1
MN
.
Ta có
2 2 2
2
2 4
OM ON MN
OI
2
2
22
2O
2
MN
IOM ON
13
1 2
P z z
OM ON
2 2 2 2 2
1 1
P OM ON
26
. Vậy
max
26.
P
Câu 70: Cho hai số phức
1 2
;
z z
thỏa mãn
1 2
5
z z
và
1 2
1
z z
. Gọi
,
M m
lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2
P z z
. Khi đó mô đun của số phức
.
M m i
là :
A.
76
. B.
76
. C.
2 10
. D.
2 11
.
Lời giải
Chọn A.
Ta gọi
,
M N
lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức
1 2
;
z z
.
Từ giả thiết :
1 2
6
z z
6
OM ON
3
OI
với
I
là trung điểm của đoạn thẳng
MN
.
1 2
2
z z
2
OM ON
2
MN
.
Ta có
2 2 2
2
2 4
OM ON MN
OI
2
2
22
2O
2
MN
IOM ON
20.
1 2
P z z
OM ON
2 2 2 2 2
1 1
P OM ON
40.
Vậy
ax 2 0 .
m 1
P M
1 2
P z z
OM ON

OM ON
 
6
.
Vậy
min 6
P m
.
Suy ra
.
M mi
40 36 76.
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
42
Câu 71: Cho số phức
z
thỏa mãn
5
. 3
2
i z
. Giá trị lớn nhất của biểu thức 4
2 5
z 11 i
P z i
là:
A.
2 5
. B.3. C.
3 5
. D.
5
2
.
Lời giải
Chọn C.
Ta gọi
( ; )
M x y
là điểm biểu diễn số phức
z
.
5
. 3
2
i z
2
2
5
3
2
x y
. Suy ra
5
( ; ) (0;3);
2
M x y C I R
Khi đó:
4
2 5
z 11 i
P z i
22 z
5
1
2
1i
z i
2
MA MB

,
với
1
;2 ; 1;5
2
A B
Ta có:
1
; 1
2
IA
; 1;2
IB
suy ra
2.
IB IA
.
Theo định lý Stewart ta có:
2 2 2
5 3 5 5
5 . 5
2 2 2
MA MB MI
2 2
2 15
MA MB
(Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ
MI MA AB

1
MA AB

1
MA MB MA
2 1
3 3
MA MB
Suy ra:
2 2 2
4 1 4
. .cos ,
9 9 9
MI MA MB MA MB MA MB
2 2
4 1 4
. .cosAMB
9 9 9
MA MB MA MB
2 2 2
2 2
4 1 4
.
9 9 9 2. .
MA MB AB
MA MB MAMB
MAMB
2 2 2
2 1 2
3 3 9
MA MB AB
2 2
2
MA MB
2 2
2
3
3
MI AB
15
)
Vậy
2
P MA MB

2. 2.
MA MB
2
2 2 2
2 1 2
MA MB
45
Câu 72: Cho hai số phức
1 2
1 3 1 3
,
2 2 2 2
i i
z z . Gọi
z
là số phức thỏa mãn
3 3 3
z i . Đặt
,
M n
lần lượt là giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2
T z z z z z
. Tính modun của số
phức
w
M ni
A.
2 21
3
B.
13
C.
3
D.
4
Lời giải
Giả sử
, ,
z x yi x y R
. Ta có
2
2
3
3 3 3 1( )
3
z i x y C
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
43
Gọi
1 3 1 3
; , ; , ;
2 2 2 2
K x y A B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
1 2
, ,
z z z
Ta tìm Max – Min của
T OK OA OB
Ta có
, ,
A B O
thuộc đường tròn
( )
C
và
ABO
đều
2 2
Min
T OA .
Gọi
K
thuộc cung
OB
. Ta có
. . .
KA OB OA BK ABOK KA KB OK
4 3
2 2.2
3
Max
T KA R T
2
2
4 3 2 21
w 2
3 3
Câu 73: Cho số phức
z
thỏa mãn
5 1 3 3 1
z i z i z i
. Tìm giá trị lớn nhất
M
của
2 3
z i
?
A.
10
3
M . B.
1 13
M . C.
4 5
M . D.
9
.
Lời giải
Chọn D
Gọi
1;3 , 1; 1 , 0;1
A B C C
là trung điểm
AB
Suy ra
2 2 2
2 2 2 2
2 10
2 4
MA MB AB
MC MA MB MC .
Mặt khác
2 2
5 1 3 3 1 5 3 10
z i z i z i MC MA MB MA MB
2 2
25 10 2 10 2 5
MC MC MC
.
Mà
2 3 2 4 2 4 2 5 4 5
z i z i i z i i MC .
Dấu “ = “ xẩy ra khi và chỉ khi
2 5
z i
.
Câu 74: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 46]
Cho số phức
z
thỏa mãn
3
1 2 1 2
2
z i z i
z i
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
P z i
.
A.
1
2
P . B.
2
. C.
3
. D.
1
3
.
Lời giải
Chọn A
Áp dụng tính chất:
2 2 2 2
1 1 1
2 2
z z z z z z
Ta có:
2 2 2
3
1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1
2
z i z i z i z i z i
z i
4 2
1
4 2 4 2 3 0 2
2
z i z i P z i
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
44
Câu 75: [2D4-4] [THPT Chuyên LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Cho hai số phức
1 2
,
z z
thỏa mãn điều kiện
1 1 1
2 2
z i z z i
và
2
10 1
z i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2
z z
?
A.
10 1
. B.
3 5 1
. C.
101 1
. D.
101 1
.
Lời giải
Chọn B.
+) Gọi
1
; ,
z a bi a b .
Nên
2
2 2
2
1 1 1
2 2 2. 1 2 2
4
a
z i z z i a b b b .
Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức
1
z
là Parabol
2
4
x
y .
+) Gọi
2
, ,
z a bi a b .
Khi đó
2 2
2
10 1 10 1 1
z i a b
Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức
2
z
là đường tròn
2 2
10 1 1
C x y tâm
10;1
I
bamns kính
1
r
.
x
y
N
I
1
M
1 2
z z
nhỏ nhất khi và chỉ khi
MN
nhỏ nhất.
Ta có:
1
MN IN IM MN IM IN IM
.
Nên
MN
nhỏ nhất khi
IM
nhỏ nhất.
Ta có:
2 2
2 2
2 2
2
5
10 1 4 4 45
4 4 2
x x
IM x x .
45 3 5
IM .
Do đó
3 5 1
MN .
Vậy
1 2 1 2
min
3 5 1 3 5 1
z z MN z z .
Câu 76: [2D4-4] Cho hai số phức
1 2
,
z z
thỏa mãn
1
1 2
z i và
2 1
z iz
. Tìm giá trị lớn nhất
m
của biểu thức
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
45
1 2
z z
A.
2 2 2
. B.
2 1
m
. C.
2 2
. D.
2
m
.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
1 2 1 1 1 1
1 . 2.
z z z iz i z z
Đặt
1
z a bi
với (
a b
) theo đề bài ta có
2 2
1 1 4
a b (*). Ta cần tìm GTLN của
2 2
2
m a b
Đặt
2 2
t a b
. Ta có:
2 2
(*) 4 2 1 2 1 2( ) 2
a a b b a b t
.
Mà
2
2 2 2 2
1 ( 1) .
a b a b
(**) nên
2
2
2 4( ) 8
t a b t
2
12 4 0
t t
6 4 2 6 4 2
Kết hợp với
2 2
0
t a b
suy ra
0 6 4 2
Suy ra
2 12 8 2 2 2 2
m t
Dấu "=" xảy ra khi (**) xảy ra khi
1 1
a b
a b
. Kết hợp (*) ta được
1
1 2 1
z i
Vậy giá trị lớn nhất của
m
bằng
2 2 2
.
Câu 77: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho hai số phức
1
z
;
2
z
thỏa mãn
1
3 5 2
z i và
2
1 2 4
iz i . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2
2 3
T iz z
.
A.
313 16
. B.
313
. C.
313 8
. D.
313 2 5
Lời giải.
Chọn A
I
2
I
1
N
M
Ta có
1
3 5 2
z i
1
2 6 10 4
iz i .
Suy ra điểm
M
biểu diễn số phức
1
2
iz
nằm trên đường tròn
1
T
có tâm
1
6; 10
I và có bán kính
là
1
4
R .
Mặt khác,
2
1 2 4
iz i
2
3 6 3 12
z i nên điểm biểu diễn số phức
2
3
z
là điểm
N
nằm
trên đường tròn
2
T
có tâm
2
6;3
I và có bán kính là
2
12
R .
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
46
Ta thấy
1 2
2 3
iz z
1 2
2 3
iz z
MN
.
T
lớn nhất khi và chỉ khi
MN
lớn nhất, khi đó bốn điểm
M
,
1
I
,
2
I
,
N
theo thứ tự thẳng hàng.
Vậy giá trị lớn nhất của
1 2 1 2
MN I I R R
313 16
.
Câu 78: Cho hai số phức
,
z w
thỏa mãn
3 2 1
1 2 2
z i
w i w i
. Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của biểu thức
P z w
.
A.
min
3 2 2
P . B.
min
P . C.
min
5 2 2
P . D.
min
3 2 2
P .
Lời giải
Chọn C.
Cách 1 :
Giả sử
z a bi
,
a b ,
w x yi
,
x y .
3 2 1
z i
2 2
3 2 1
a b (1)
1 2 2
w i w i
2 2 2 2
1 2 2 1
x y x y .
Suy ra
0
x y
.
2 2 2 2
P z w a x b y a x b x
.
Từ (1) ta có
3;2
I , bán kính
1
r
. Gọi
H
là hình chiếu của
I
trên
:
d y x
.
Đường thẳng
HI
có PTTS
3
2
x t
y t
.
3 ;2
M HI M t t
2
2 1
M C t
1
2
1
2
t
t
1 1
2 3 ;2
2 2
t M
,
5 2
2
MH
1 1
3 3 ;2
2 2
t M
,
5 2
2
MH
Vậy
min
5 2 2
P .
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
47
Cách 2 :
3 2 1
z i điều này cho thấy
M z
đang nằm trên hình tròn tâm
3;2
I bán kính bằng 1.
1 2 2
w i w i
điều này cho thấy
N w
đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường thẳng
là
trung trực của đoạn
AB
với
1; 2 , 2;1 .
A B
: 0.
x y
(Minh hoạ như hình vẽ)
O
y
x
2
1
2
3
-2
-1
B
A
I
M
N
Δ
O
y
x
2
1
2
3
-2
-1
N
M
I
.
P z w MN
min
3 2
5 2 2
, 1 .
2
2
P d I R
Câu 79: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho
1
z a bi
và
2
z c di
là
2
số phức thỏa mãn:
2
1
4
z
và
1
10
z c d . Gọi
M
là giá trị lớn nhất của biểu thức
T ac bd cd
. Hãy chọn khẳng định
đúng về
M
.
A.
11;15
M . B.
15;17
M .
C.
11;12
M . D. Không tồn tại
M
.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
2
1
1
4
10
z
z c d
2 2
4
5
a b
c d
.
Khi đó:
T ac bd cd
2 2 2 2
(5 )
a b c d c c
2
2 2
2 5 5
c c c c
.
Đặt
2 2
( ) 2 2 10 25 5
f c c c c c
.
Ta có
2
4 10
5 2
2 10 25
c
f c c
c c
2
2
2 2 10 25
2 5
2 10 25
c c
c
c c
5
2
c
Bảng biến thiên:
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
48
Dựa vào bảng biến thiên ta
có
25
5 2 13,3
4
M .
Dấu bằng xảy ra khi
2
5
2
a b
c d
.
Câu 80: Cho số phức
z
thỏa mãn
3
3
1
2
z
z
và
1
ax
M m z
z
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1;2
M . B.
7
2;
2
M
.
C.
5
1;
2
M
. D.
2
5
M M
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
3
3
3
1 1 1
3
z z z
z z
z
3
3
3
1 1 1
3
z z z
z z
z
3
3
3
1 1 1
3
z z z
z z
z
3
1 1
3 2
z z
z z
.
Mặt khác:
3 3
1 1 1 1
3 3
z z z z
z z z z
.
Suy ra:
3
1 1
3 2
z z
z z
. Đặt
1
0
t z
z
ta được:
3
3 2 0
t t
2
2 1 0
t t
2
t
.
Vậy
2
.
Câu 81: Cho số phức
z x yi
với
,
x y
là các số thực không âm thỏa mãn
3
1
1 2
z
z i
và biểu thức
2
2 2
2 2
1 1
P z z i z z z i z i
. Gọi
,
M m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
P
. Môđun của
M mi
là
A.
3
. B.
1
. C. 4. D.
2
.
c

5
2

f c
0
f c

25
5 2
4

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
49
Lời giải
Chọn B.
Ta có
3
1
1 2
z
z i
3 1 2
z z i
1
x y
.
2
2 2
2 2
1 1
P z z i z z z i z i
2 2
16 8 ( )
x y xy x y
2 2
16 8
x y xy
.
Đặt
t xy
ta có
2
1
0
4 4
x y
t .
Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
2
16 8
P t t
, với
1
0;
4
t
ta được
max
0
P ;
min
1
P Vậy
1
M mi .
Câu 82: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hai số phức
1 2
1 3 1 3
,
2 2 2 2
z i z i
.
Gọi
z
là số phức thỏa mãn
3 3 3
z i . Đặt
,
M m
lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
1 2
T z z z z z
. Tính mô đun của số phức
w
M mi
.
A.
2 21
3
. B.
13
. C.
3
. D.
4
Lời giải
Chọn A.
Giả sử
, ,
M A B
lần lượt biểu diễn số phức
1 2
, ,
z x yi z z
.
Từ giả thiết
3 3 3
z i ta có:
2 2
1 1
( )
3
3
x y .
Nên
M
thuộc đường tròn tâm
1 1
0; ,
3 3
I R
.
Ta có
T MO MA MB
.
Để
min
T
thì
M
trùng
, ,
O A B
nên
2
2
min
1 3
2 2 2
2 2
T OA .
Để
max
T
thì
max
OM và
( )
max
MA MB nên
2
OM R
và
M
nằm
chính giữa cung nhỏ
AB
và
2
0;
3
M
. Do vậy
2
2
2 1 3 2 4
2 2
2 2
3 3 3
max
T OM MA .
Vậy
2
2 2 2
4 2 21
w 2
3
3
M m .
x
y
3
2
-
1
2
1
2
M
O
1
I
A
B
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
50
Câu 83: Cho hai số phức
z
và
w
thỏa mãn các điều kiện sau:
2 2 1
max 2 2 , 2
iz i z
w i w
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
z w
.
A.
9
. B.
13
. C.
5
2
. D.
1
.
Lời giải
Chọn B.
Gọi
,
M N
lần lượt là điểm biểu diễn của
,
z w
với
;
M x y
.
Ta có
2 2 1 2 2 1
iz i z z i z
2 2 2
2
2 2 1 2 4 7 0
x y x y x y .
Do đó,
M
thuộc nửa mặt phẳng bờ
: 2 4 7 0
x y
không chứa
O
, kể cả
bờ.
Ta có
max 2 2 , 2
w i w
suy ra
2 2 2
2 , 2; 2
2
2
w i
NI I
w
NO
.
Do đó,
N
thuộc phần chung của hai hình
tròn
; 2
I và
; 2
O .
Dễ thấy hai hình tròn này tiếp xúc ngoài tại
điểm
1; 1
E . Do đó,
N .
Ta thấy
z w MN
nên
z w
nhỏ nhất khi
MN
ngắn nhất, khi đó
M
là hình chiếu của
N
trên
.
Ta có
2
2
2 1 4.1 7
13
,
2 5
2 4
d N .
Vậy
13
min
2 5
z w .
Câu 84: [CHUYÊN NGỮ LẦN 1-2018] Cho hai số phức
1 2
;
z z
thỏa mãn
1
3 5 2
z i và
2
1 2 4
iz i .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2
2 3
T iz z
.
A.
313 16
. B.
313
. C.
313 8
. D.
313 2 5
.
Lời giải
Chọn A.
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
51
Đặt
1 2
2 , 3 ; ; ;
iz a bi z c di a b c d , gọi
; , ;
A a b B c d
.
Có
1
3 5 2
z i
3 5 2
2
a bi
i
i
6 10 4
a b i
2 2
6 10 16
a b nên
A I
có tâm
6; 10
I bán kính
4
R
.
Có
2
1 2 4
iz i
. 1 2 4
3
c di
i i
3 6 12
d c i
2 2
2
6 3 12
c d nên
B J
có tâm
6; 3
J , bán kính
12
R
.
Có
1 2
2 3
T iz z
2 2
a c b d a c b d
AB
.
Do
A I
,
B J
,
313 16
IJ R R nên
Max
AB R R IJ
16 313
.
Câu 85: Xét các số phức
,( , )
z a bi a b
thỏa mãn
3 2 2.
z i Tính
a b
biết biểu thức
1 2 2 2 5
S z i z i
đạt giá trị nhỏ nhất.
A.
4 3
. B.
2 3
. C.
4 3
. D. 3.
Lời giải:
Chọn A
Giả thiết
2 2
3 2 2 ( ) :( 3) ( 2) 4
z i T a b
Gọi
( 1;2), (2;5), ( ; )
A B M a b
lần lượt là các điểm biểu diễn của
các số phức
1 2 3
1 2 , 2 5 ,
z i z i z a bi
Bài toán trở thành: Tìm
( )
M T
sao cho biểu thức
2
S MA MB
nhỏ nhất
Ta có
2 2 2 2
( 1) ( 2) 2 4 5
MA a b a b a b
2 2
2 4 4 8
a b a b
2 2
2 ( 2) ( 2) 2
a b MC
với
(2;2)
C
O
I
J
A
B
M
-1 2
5
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
52
Ta có
2 2( ) 2
MA MB MB MC BC
dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi
, ,
B M C
theo thứ tự đó thẳng
hàng.
Phương trình đường thẳng
: 2
BC x
M
là giao của của BC và
( ) (2;2 3) a b 4 3
T M .
Câu 86: Cho các số phức
1 2 3
, ,
z z z
thỏa mãn
1 2 1 2
2 2 6 2
z z z z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2
P z z z z z
.
A.
6 2 2
P B.
3 2 3
P . C.
6 2 3
P . D.
9
2 3
2
P .
Lời giải
Chọn C.
6
6
6 2
60
0
60
0
M '
A'
A
O B
M
Chọn
, ,
A B M
lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
1 2
, ,
z z z
,
Dựa vào điều kiện
1 2 1 2
2 2 6 2
z z z z
6
OA OB
,
6 2
AB
.
Suy ra ta có tam giác
OAB
vuông cân tại
O
.
Phép quay tâm
B
góc quay
0
60
ta có:
0
, 60
:
B
Q A A
M M
Do tam giác
BMM
đều
AM A M
,
BM MM
Suy ra
1 2
P z z z z z
OM AM BM OM MM A M OA
.
Dấu
" "
xảy ra khi
, , ,
O M M A
thẳng hàng.
Khi đó tam giác
OBA
có
6
OB
,
6 2
BA BA
và
0
OBA
.
Từ đó suy ra
2 2 0
2 . .cos105 6 2 3
OA OB BA OB BA .
Vậy
min 6 2 3
P .
Câu 87: Cho hai số phức
,
z
thỏa mãn
1 3 2
z z i
;
z m i
với
là tham số. Giá trị của
m
để ta luôn có
2 5
là:
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
53
A.
7
3
m
m
. B.
7
3
m
m
. C.
3 7
m
. D.
3 7
m
.
Lời giải
Chọn B.
Đặt
, ,
z a ib a b có biểu diễn hình học là điểm
;
M x y
1 3 2
z z i
1 3 2
x iy x y i
2 2 2
2
1 3 2
x y x y
2 1 6 9 4 4
x x y
2 3 0
x y
Suy ra biểu diễn của số phức
z
là đường thẳng
: 2 3 0
x y
.
Ta có:
2 5
2 5
z m i
1 2 5
x m y i
2 2
1 2 5
x m y
2 5
MI với
; 1
I m .
Mà ta có
,
MI d I
Nên
2 5
MI
, 2 5
d I
2 4
2 5
5
m
2 4 10
m
2 4 10
2 4 10
m
m
3
7
m
m
.
Câu 88: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 1
3
2
z
z i
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 4 7
P z i z i
A.
20
. B.
10
. C.
12 5
. D.
4 5
.
Lời giải
Chọn A.
Gọi
z x yi
,
,
x y .
Ta có
1 1
3
2
z
z i
2 1 3
z z i
2 2
2 2
2 1 3
x y x y
2 2
4 6 7 0
x y x y .
Lại có
2 4 7
P z i z i
2 2 2
2
1 2 4 7
x y x y
4 8 8 2 4 8 72
x y x y .
Mặt khác
2
4 8 8 2 4 8 72 5.80
x y x y
4 8 8 2 4 8 72 20
x y x y
Suy ra
20
P
.
| 1/53
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC.
NỘI DUNG LIVE – TRỢ GIÚP KÌ THI 2018.
Tài liệu có sử dụng nguồn đề từ các trường trên toàn quốc và của quý thầy cô trong nhóm Vận Dụng Cao. Kỹ năng:
Phương pháp đại số.
Phương pháp hình học.
Phương pháp bđt modun.
Phương pháp casio.
Một số tính chất cần nhớ.
1. Môđun của số phức: 
 Số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM
được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu 2 2 z = a + bi = a + b  Tính chất   2 2
z a b zz OM z  0, z   , z  0  z  0 z z  .
z z'  z . z'  
,z'  0  z z'  z z'  z z' z ' z'
kz k . z , k   2 2  Chú ý: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
z a b  2abi  (a b )  4a b a b z z  . z z . Lưu ý: 
z z z z dấu bằng xảy ra  z kz k  0 1 2   1 2 1 2 
z z z z dấu bằng xảy ra  z kz k  0 . 1 2   1 2 1 2 
z z z z dấu bằng xảy ra  z kz k  0 1 2   1 2 1 2 
z z z z dấu bằng xảy ra  z kz k  0 1 2   1 2 1 2 2 2 2 2  z zz z  2 zz 1 2 1 2  1 2  2 2 
z z z zz  
2.Một số quỹ tích nên nhớ
Biểu thức liên hệ x, y Quỹ tích điểm M
ax  by c  0 (1) (1)Đường thẳng :
 ax  by c  0
z a bi z c di (2)
(2) Đường trung trực đoạn AB
với  Aa,b , Bc,d
x a2 y b2 2     R hoặc
Đường tròn tâm I a; b , bán kính R
z a bi R
x a2 y b2 2     R hoặc
Hình tròn tâm I a; b , bán kính R 1
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
z a bi R r
x a2 y b2 2 2      R hoặc
Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường
tròn đồn tâm I a; b , bán kính lần lượt là
r z a bi R r, R 2
y ax bx c Parabol  c  0 2
x ay by   c
x a2 y c2 1 Elip   1 1 hoặc 2 2   b d
z a b i z a b i  2a
2 Elip nếu 2a AB , Aa ,b ,B a ,b 1 1   2 2  1 1 2 2
Đoạn AB nếu 2a AB
x a2 y c2 Hypebol   1 2 2 b d
Một số dạng đặc biệt cần lưu ý:
Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.
TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  z , tìm z . Khi đó ta có Min
 Quỹ tích điểm Mx; y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với Aa; b  1 1 2 2 zz a   b 0  Min  2 2   a b z   i   2 2
TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di . Tìm z . Ta có min
 Quỹ tích điểm Mx; y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với Aa; b ,Bc;d 2 2 2 2
a b c dz
d O, AB  Min
2 a c2  b d2
Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ bản. Ví dụ 1:
 Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di . Khi đó ta biến đổi
z a bi z c di z a bi z c di .
 Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz a bi z c di . Khi đó ta biến đổi 2
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 a bic di
iz a bi iz c di z   z
z b ai z d ci . i i
Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.
TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R  0  z  z  R . Tìm z , z . Ta có 0  Max Min
 Quỹ tích điểm Mx; y biểu diễn số phức z là đường tròn tâm Ia; b bán kính R 2 2  z
OI R a b R z R 0   Max 2 2  zOI R
a b R z R 0  Min
Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản. a   bi R
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  R  z   (Chia hai vế cho i ) i i  z  b  ai  R
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R  z  a  bi  R (Lấy liên hợp 2 vế)
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện    a  bi R R
c di z  a  bi  R  z    2 2 c  di c  di c  d z R Hay viết gọn 1 z z  z  R  z   (Chia cả hai vế cho z ) 0 1 z z 0 0 0
Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.
TQ1: (Elip chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  c  z  c  2a ,a  c Khi đó ta có 2 2 x y
 Quỹ tích điểm Mx; y biểu diễn số phức z là Elip:   1 2 2 2 a a  c  z   aMax  2 2  za cMin
TQ2: (Elip không chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  z  z  z  2a 1 2 Thỏa mãn 2a  z  z . 1 2
Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ). Ta có
Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z  z  z  z  2a , z  z  2a và z , z  c, ci ). Tìm 1 2  1 2  1 2
Max, Min của P  z  z . 0 3
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404  z  z   2c Đặt 1 2  2 2 2 b  a  c  z  z P  a Nếu 1 2 z   0 Max (dạng chính tắc) 0  2 P  b  Min  z  z  z  z 1 2 z    a 1 2 P  z    a Nếu 0 Max 0  2  2   z  z  k z  z  z  z 0 1  0 2   1 2 P  z   a Min 0  2   z  z z  z 1 2 z   1 2  a P  z   a Max 0 Nếu 0  2 2 z  z  k z  z  0 1  0 2  Nếu z  z  z  z 0 1 0 2 z  z 1 2 P  z   b Min 0 2
PHẦN I : BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT.
Dạng 1: Sử dụng tính chất của modun – bđt đại số.
Phương pháp : Xem hướng dẫn trên lớp
Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học.
Xem hướng dẫn trên lớp.
Dạng 3: Tả phí lù.
Phương pháp: Tin tưởng bạn ngồi bên cạnh Câu 1:
(TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  3i z  2  i . Tìm số
phức có môđun nhỏ nhất? 1 2 1 2
A. z  1  2i .
B. z    i . C. z   i . D. z  1   2i . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Chọn C.
Cách 1: Phương pháp tự luận
Giả sử z x yi x, y  
z i z   i x  y  i  x     y  i x   y  2  x  2  y  2 2 3 2 3 2 1 3 2 1
 6y  9  4x  4  2y  1  4x  8y  4  0  x  2y  1  0  x  2y  1 2
z x y   y  2 2 2 2 2  2  1 5 2
1  y  5y  4y  1  5 y     5    5 5 5 2 1 Suy ra z
khi y    x  min 5 5 5 4
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 1 2 Vậy z   i. 5 5
Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm
Giả sử z x yi x, y  
z i z   i x  y  i  x     y  i x   y  2  x  2  y  2 2 3 2 3 2 1 3 2 1
 6y  9  4x  4  2y  1  4x  8y  4  0  x  2y  1  0
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z  3i z  2  i là đường thẳng
d : x  2y  1  0 .
Phương án A: z  1  2i có điểm biểu diễn 1;  2d nên loại A. 1 2  1 2 
Phương án B: z    i có điểm biểu diễn  ;  d nên loại B. 5 5    5 5  Phương án D: z  1
  2i có điểm biểu diễn  1
 ; 2d nên loại B. 1 2  1 2  Phương án C: z  
i có điểm biểu diễn ;   d 5 5    5 5 
(Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng thì ta tiếp tục so sánh modun, và
nên thay luôn z vào dữ kiện ban đầu chứ không nên biến đổi) Cách 3: Tính nhanh.
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình  : x  2y  1  0 . 1  5 Vậy z
d O,   min 2 2 5 1  2
Cách 4: Công thức tính nhanh.
BT1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z . Tìm z ? min  1 1 2 2 zz a   b 0  Min 2 2   a b z   i   2 2
BT2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di . Tìm z ? min 2 2 2 2
a b c d zMin
a c2  b d2 2 Câu 2:
(LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  8 . Gọi M , m lần lượt giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M m bằng A. 4  7. B. 4  7. C. 7. D. 4  5. Hướng dẫn giải Chọn B. Cách 1 : Đại số
Gọi z x yi với x; y   . 5
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Ta có 8  z  3  z  3  z  3  z  3  2z z  4 .
Do đó M max z  4 . 2 2
Mà z   z  
x   yi x   yi   x   2
y  x   2 3 3 8 3 3 8 3 3  y  8 .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có x 2 yx 2 y
x 2 y x 2 2 2 2 2 2 2 8 1. 3 1. 3 1 1 3 3               y      2 2 x y     2 2 8 2 2 2 18
2 2x  2y  18  64 2 2 2 2
x y  7  x y  7  z  7 .
Do đó M min z  7 .
Vậy M m  4  7 .
Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip)  F 3;  0 , F 0, 3  1   2      2 2 x y   8 
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là elip   1 a   4 16 7  2     2 2 2 2
 b a c  4  3  7      za  4  Do vậy Max
M m  4  7 zb   7  Min Cách 3: Tổng quát
Cho số phức z thỏa mãn z c z c  2a,a c ta luôn có . 2 2 x y
Tập hợp điểm biểu diễn z là Elip   1 2 2 2 a a cz   a Max  2 2  za cMin Câu 3:
(CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1. Giá trị lớn nhất của
z  1  i là A. 13  2 . B. 4 . C. 6 . D. 13  1 . Hướng dẫn giải Chọn D
Cách 1: Gọi z x yi ta có z  2  3i x yi  2  3i x  2  y  3i . 2 2
Theo giả thiết x  2  y  3  1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường
tròn tâm I 2; 3 bán kính R  1 . M2 2 2
Ta có z  1  i x yi  1 i x  1 1 yi  x  1  y  1 . M1 I 2 2 H Gọi M  ;
x y và H  1
 ;1 thì HM  x  1  y  1 . 6
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn.
x  2  3t
Phương trình HI : 
, giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn: y  3  2  t     2 2 1 3 2 3 2
9t  4t  1  t   nên M 2  ; 3  , M 2  ; 3      . 13  13 13   13 13 
Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM  13  1.
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1. Giá trị lớn nhất của w  z  1  i
Ta có z  2  3i  1  z  2  3i  1  z 1 i  3  2i  1  w  3  2i  1 (Đường tròn tâm
I 3,2 ,R  1 ) Vậy 2 2 w
OI R  3  2  1  1  13 Max
Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn z a bi R  0 , khi đó ta có quỹ tích các điểm biểu diễn số
phức z là đường tròn I a,b , bk  R ) và 2 2  z
OI R a b RMax 2 2  zOI R
a b RMin
Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi z a bi z a bi 2z i Câu 4:
(BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn z  1. Đặt A  . Mệnh đề nào sau 2  iz đây đúng? A. A  1 . B. A  1 . C. A  1 . D. A  1 . Hướng dẫn giải Chọn A.
Cách 1: Đặt Có a a bi a b   2 2 , ,
a b  1 (do z  1 ) 2z i
2a  2b  1i
4a  2b  12 2 A    2  iz 2  b ai 2  b2 2  a
4a  2b  12 2 Ta chứng minh  1 . 2  b2 2  a
4a  2b  12 2 2 2 Thật vậy ta có 2
 1  4a  2b  1
 2  b a a b  1 2     2 2 2 2  b 2  a Dấu “=” xảy ra khi 2 2 a b  1 . Vậy A  1 .
Cách 2 : Trắc nghiệm 7
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 z  1 1 2z i Chọn A    A  1 1 2 34 z  2  iz  1 2 17 5i Câu 5:
Cho số phức z thỏa mãn z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  1  . z A. 5. B. 4. C. 6. D. 8. Hướng dẫn giải 5i 5i 5
Cách 1: Ta có: A  1   1   1 
 6. Khi z i A  6. z z z
Chọn đáp án C. 5i z  5i
Cách 2: A  1    z  5i z z Theo bài 2
z  1  z  5i  5i  1  z  5i  5  1  6 Max Câu 6:
Cho số phức z thỏa mãn z  1. Tìm giá trị lớn nhất M
và giá trị nhỏ nhất M của biểu max min thức 2 3
M z z  1  z  1 . A. M  5; M  1. B. M  5; M  2. max min max min C. M  4; M  1. D. M  4; M  2. max min max min Hướng dẫn giải 2 3
Ta có: M z z  1 z  1  5 , khi z  1  M  5  M  5. max 3 3 3 3 3 1 z 1  z 1  z
1 z  1 z Mặt khác: 3 M   1  z     1, khi 1  z 2 2 2 z  1
  M  1  M  1. min
Chọn đáp án A. z i Câu 7:
Cho số phức z thỏa z  2 . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P  . z 3 2 A. . B.1. C. 2 . D. . 4 3 Hướng dẫn giải i 1 3 i 1 1 Ta có P  1   1   . Mặt khác: 1   1   . z |z| 2 z |z| 2 1 3
Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là , xảy ra khi z  2
i; giá trị lớn nhất của P bằng xảy ra khi 2 2 z  2i.
Chọn đáp án A. Câu 8:
Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z  2i. A. 26  6 17 . B. 26  6 17 . C. 26  8 17 . D. 26  4 17 . 8
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z x yi; x  ; y    z  2i x  y  2i . Ta có:
z   i   x  2  y  2 1 2 3 1 2  9 .
Đặt x  1 3 sin t; y  2
  3 cos t; t  0; 2 .   2
z i    t2    t2 2 1 3 sin 4 3cos
 26  6 sin t  4 cost  26  6 17 sin t  ;   . 
26  6 17  z  2i  26  6 17  z  2i  26  6 17  3  17 max
Chọn đáp án A.
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z  2i.
Ta có z   i   z i 2 2 1 2 3
2  1 4i  3  z
 1  4  3  3  17 (đáp án A) Max Câu 9:
Cho số phức z thỏa mãn z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  3 1  z . A. 3 15 B. 6 5 C. 20 D. 2 20. Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z x yi; x  ; y   . Ta có: 2 2 2 2
z  1  x y  1  y  1  x x   1  ;1 .   2 2
Ta có: P   z
z    x 2  y    x 2 1 3 1 1 3 1
y  2 1  x  3 2 1  x .
Xét hàm số f x  21 x  3 2 1  x; x   1  ;1 . 
 Hàm số liên tục trên  1  ;1   và với 1 3 4 x  1
 ;1 ta có: f x  
 0  x    1;1.   x   x 5 2 1 2 1  4 
Ta có: f 1  2; f 1  6; f   2 20  P  2 20.   max  5 
Chọn đáp án D. Cách 2: (Casio) x  sin t
Từ z  1, đặt z x yi  
Thay vào P rồi dùng mode 7 ra đáp án D y  cos  t
Cách 3: Hình học (Xem video live của thầy)
Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z  1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
P z  1  z z  1 . Tính giá trị của M.m . 13 3 39 13 A. . B. . C. 3 3. D. . 4 4 4 Hướng dẫn giải
Gọi z x yi; x  ; y   . Ta có: z  1  . z z  1
Đặt t z  1 , ta có 0  z  1  z  1  z  1  2  t  0; 2 .   2 t  2 Ta có 2
t  1  z1 z   1 .
z z z z  2  2x x  . 2 9
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Suy ra z z   z z z z z z   z   x  2 2 2 2 1 . 1 2 1
 2x  1  t  3 .
Xét hàm số f t 2
t t  3 ,t  0; 2 . 
 Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra f t 13  f t 13 3 max ; min  3  M.n  . 4 4
Chọn đáp án A.
Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2
z  4  2 z . Khẳng định nào sau đây là đúng? 3  1 3  1 A.  z  .
B. 5  1  z  5  1. 6 6 2  1 2  1
C. 6  1  z  6  1. D.  z  . 3 3 Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức u v u v , ta được 2 2 2 2 z  4   z  4  4
  z z  2 z  4  0  z  5  1. 2 2 2 2
2 z z z  4  z  4  z  2 z  4  0  z  5  1.
Vậy, z nhỏ nhất là 5  1, khi z  i i 5 và z lớn nhất là 5  1, khi z i i 5.
Chọn đáp án B.
Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức . z A. 9  4 5 . B. 11 4 5 C. 6  4 5 D. 5  6 5 Hướng dẫn giải 2 2
Cách 1: Gọi z x yi; x  ; y   . Ta có: z 1  2i  2  x  1  y  2  4.
Đặt x  1 2 sin t; y  2
  2 cost; t  0; 2   . 2 2 2
Lúc đó: z    t    t    t t  2 2 1 2 sin 2 2 cos 9 4 sin 8 cos
 9  4  8 sin t  ;    2 z 9 4 5 sin t   z 9 4 5 ; 9 4 5                5  2 5 10   4 5  z
 9  4 5 đạt được khi z   i. max 5 5
Chọn đáp án A.
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức . z Ta có 2 2
z  1  2i  2  z
 1  2  2  2  5  9  4 5 Max
Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn 1  iz  6  2i  10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức . z A. 4 5 B. 3 5. C. 3. D. 3  5 Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z x yi; x  ; y   . 10
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Ta có:  i
iz   i     i 6  2 1 6 2 10 1 . z
 10  z  2  4i  5  x  22  y  42  5. Đặt 1 i
x  2  5 sin t; y  4  5 cost; t  0; 2   . Lúc đó: z    t 2    t2    t t     2  2 2 2 5 sin 4 5 cos 25 4 5 sin 8 5 cos 25 4 5 8 5
sin t  ;    2 z 25 20 sin t   z 5; 3 5            z
 3 5 đạt được khi z  3  6i. max
Chọn đáp án B.
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn 1  iz  6  2i  10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức . z   i Ta có   i 6 2 10 1
z  6  2i  10  z  
z  2  4i  5 1  i 1  i 2 2  z  2  4  5  3 5 Max 2 2
Câu 14: Gọi z x yi x, y   là số phức thỏa mãn hai điều kiện z  2  z  2  26 và 3 3 z  
i đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy. 2 2 9 13 16 9 A. xy  . B. xy  . C. xy  . D. xy  . 4 2 9 2 Hướng dẫn giải
Cách 1: Đặt z x iy x, y  . Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được 2 2 x y  9.
Đặt x  3 cost, y  3 sin t. Thay vào điều kiện thứ hai, ta có 3 3    P z  
i  18  18 sin t   6.   2 2  4     3 3 2 3 2
Dấu bằng xảy ra khi sin t   1  t    z    i.    4  4 2 2
Chọn đáp án D.
Câu 15: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  2  4i z  2i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  2i. A. 5 B. 3 5. C. 3 2 D. 3  2 Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z x yi; x  ; y   . 2 2 2
Ta có: z   i z i  x    y   2 2 4 2 2 4
x  y  2  x y  4  0  y  4  . x 2 2 2 2 Ta có: 2
z i x  y   2
x    x 2 2 2 6
 2x  12x  36  2 x  3  18  18 11
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 z  2i
 18  3 2 khi z  3  i. min
Chọn đáp án C.
Cách 2: z  2  4i z  2i  z  2i  2  6i  z  2i  4i  w  2  6i  w  4i
Trong đó w z  2i (quay về dạng bài toán 1)
Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  1  i. A. 4. B. 2 2. C. 2. D. 2. Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z x yi; x  ; y    z 1  i  x 1  y  1i . Ta có:
z   i   x  2  y  2 1 2 9 1 2  9 .
Đặt x  1 3 sin t; y  2
  3 cos t; t  0; 2 .   2
z  1  i  3sin t2  1 3cos t2  10  6 cos t  2  z  2i  4  z  1  i  2 , khi min z  1  i.
Chọn đáp án C.
Cách 2: (Hình học + CT tính nhanh)
Ta có z   i   z   i 2 1 2 3 1
i  3  z  1  i  1  3  2 Min
Câu 17: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z  3  4i  5 và biểu thức 2 2
M z  2  z i đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z i.
A. z i  2 41
B. z i  3 5.
C. z i  5 2
D. z i  41. Hướng dẫn giải 2 2
Gọi z x yi; x  ; y   . Ta có: z  3  4i  5  C : x  3  y  4  5 : tâm I 3; 4 và R  5. Mặt khác: 2 2 M z z ix 2  y
x  y 2 2 2 2 2 1           
 4x  2y  3  d : 4x  2y  3  M  0.  
Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và C có điểm chung 23  M
d I; d  R  
5  23  M  10  13  M  33 2 5
4x  2y  30  0  x  5  M  33    
z i  5  4i z i  41. max
 x  32   y  42  5 y  5  
Chọn đáp án D. m i
Câu 18: Cho số phức z
, m   . Tìm môđun lớn nhất của . z
1  mm  2i 1 A. 1. B. 0. C. . D.2. 2 12
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Hướng dẫn giải m i m i 1 Ta có: z     z   1  z
 1  z i; m  0.
1  m m  2i 2 2 2 max m  1 m  1 m  1
Chọn đáp án A.
Câu 19: (NGUYỄN TRÃI – HD) Cho số phức z thỏa mãn: z  2  2i  1. Số phức z i có môđun nhỏ nhất là: A. 5  1 B. 5  1 C. 5  2 D. 5  2 . Hướng dẫn giải Chọn A. y I 1 M O 1 x
Cách 1: Gọi z x yi , x, y   . Ta có: 2 2
z  2  2i  1  (x  2)  (y  2)i  1  (x  2)  (y  2)  1
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn của số phức z là đường tròn (C) tâm
I(2; 2) và bán kính R  1 .
z i x  y  2 2 1
IM , với I 2; 2 là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường tròn.
Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm N 0; 
1 Oy, I 2; 2 với đường tròn (C). IM
IN R  5  1 min
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn: z  2  2i  1. Số phức z i có môđun nhỏ nhất
Ta có z   i   z i 2 2 2 2 1
 2  i  1  z i
2  1  1  5  1 Min
Câu 20: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z  2i  1  z i . Tìm số phức z được
biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A1,3 . A. 3  i . B. 1  3i . C. 2  3i . D. 2   3i . Hướng dẫn giải
Gọi M x, y là điểm biểu diễn số phức z x yi x, y R Gọi E1, 2
  là điểm biểu diễn số phức 1  2i Gọi F 0, 1
  là điểm biểu diễn số phức i 13
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Ta có : z  2i  1  z i ME MF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung
trục EF : x y  2  0 .
Để MA ngắn nhất khi MA EF tại M M 3, 
1  z  3  i => Đáp án A.
Câu 21: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z  1  2i  5 và
w z  1  i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng: A. 2 5 . B. 3 2 . C. 6 . D. 5 2 . Hướng dẫn giải: Chọn B.
Gọi z x yi x, y    z 1  2i  x  1   y  2i 2 2 2 2
Ta có: z  1  2i  5  x 1  y  2  5  x 1  y  2  5
Suy ra tập hợp điểm M  ;
x y biểu diễn số phức z thuộc đường tròn C tâm I 1; 2   bán kính R  5
Dễ thấy O C , N  1  ;   1  C Theo đề ta có:
M x; yC là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:
w z  1 i x yi  1  i  x  
1  y  1i 
z   i  x  2   y  2 1 1 1  MN
Suy ra z  1 i đạt giá trị lớn nhất  MN lớn nhất
Mà M, N  C nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn C
I là trung điểm MN M     z   i z    2 2 3; 3 3 3 3 3  3 2 Câu 22:
(CHU VĂN AN – HN) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2 . Tìm giá trị lớn
nhất của T z i z  2  i .
A. maxT  8 2 . B. maxT  4 .
C. maxT  4 2 . D. maxT  8 . Hướng dẫn giải Chọn B
T z i z  2  i  z  1  1 i  z 1  1 i .
Đặt w z  1 . Ta có w  1 và T w  1 i  w  1 i . 2
Đặt w x y.i . Khi đó 2 2
w  2  x y . 14
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
T  x  1   y  1i  x  1  y  1i
 1. x  12   y  12  1.  x  12  y  12
 1  1  x 12  y 12  x 12  y 12 2 2   2 2 2
2x  2y  4  4 Vậy maxT  4 .
Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1. Giá trị lớn nhất của z 1 i là A. 13  2 . B. 4 . C. 6 . D. 13 1 .
(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN) Lời giải
Cách 1: Đặt z a bi a,b   , ta có z  2  3i  1  a  2  b  3i  1.
 a  2  b  2   a  2  b  2 2 3 1 2 3  1 
a  2  sin t Đặt  (vì  2 2
 sin t  cos t  1 ). Khi đó z  1  i  a  1  1 bi . b  3  cos  t 2 2
 a  2    b2 1 1
 xét biểu thức P  a  1  1  b . 2 2 2 2
Ta có a      b   t     t   2 2 1 1 sin 3 cos 2
 sin t  6 sin t  9  cos t  4 cos t  4   2 2
sin t  cos t  13  6 sint  4cost
 14  6 sin t  4 cos t P 2
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được  t t    2 2   2 2 6 sin 4 cos 6 4
sin t  cos t   t t 2 6 sin 4 cos
 52  6 sin t  4 cos t  52  2 13  P  14  2 13.
Vậy z   i  a      b      2 2 2 1 1 1 14 2 13 13 1
 13  1. Chọn A.
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1. Giá trị lớn nhất của z 1 i
Ta có z  2  3i  1  z  2  3i  1  z  1 i  3  2i  1 2 2  z  1  i  3  2  1  13  1 Max
Câu 24: (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 2)Cho các số phức
z, w thỏa mãn
z  2  2i z  4i , w iz 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức w là 2 3 2 A. . B. 2 2 . C. 2 . D. . 2 2 Lời giải
Cách 1: Đặt z a bi a,b   , khi đó z  2  2i a  2  b  2i và z  4i a  b  4 i . 2 2 2
Nên ta có a    b   2 2 2
a  b  4  a b  2  b  2  a 15
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 2 2
Khi đó w iz   a bi 2
i    b ai w
a  b   2 1 1 1 1 
a  a   1 . 2 2  1  1 1 2 2 Dễ thấy 2
a  a   1  2 a     w   min  .   Chọn A. w  2  2 2 2 2
Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (dạng 1) Câu 25:
(ĐỀ THTT LẦN 5 – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z  4  z  4  10. Giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của z lần lượt là A. 10 và 4 B. 5 và 4 C. 4 và 3 . D. 5 và 3 . Hướng dẫn giải.
Gọi z x yi , x, y   . Theo giả thiết, ta có z  4  z  4  10.
 x    yi  x    yi  
x  2  y  x  2 2 2 4 4 10 4
4  y  10  Gọi M  ;
x y , F  4; 0 và F 4; 0 . 2   1  
Khi đó   MF MF  10 nên tập hợp các 1 2
điểm M z là đường elip E .
Ta có c  4 ; 2a  10  a  5 và 2 2 2
b a c  9 . 2 2 x y
Do đó, phương trình chính tắc của E là   1 . 25 9
Vậy max z OA OA'  5 và min z OB OB'  3 . Chọn D.
Câu 26: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i z  2i . Biết rằng số phức z x yi ,
x, y  có môđun nhỏ nhất. Tính 2 2
P x y . A. P  10 . B. P  8 . C. P  16 . D. P  26 . Hướng dẫn giải.
Cách 1: Gọi z x yi , x, y   . Ta có z  2  4i z  2i  x  2  y  4i x  y  2i
 x  2   y  2  x  y  2 2 2 4 2 2 2 2 2
x  4x  4  y  8y  16  x y  4y  4
 4x  4y  16  0  y  4  x . 2 2 Do đó 2 2 2
z x y x    x 2 4
 2x  8x  16  2 x  2  8  2 2 .
Dấu "  " xảy ra  x  2  y  2 . Vậy 2 2
P  2  2  8 . Chọn B.
Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (bài tập 1)  2  3i
Câu 27: Tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện z  1  1 . 3  2i
A. max z  1 .
B. max z  2 .
C. max z  2 .
D. max z  3 . Hướng dẫn giải.  2  3i 1 Ta có
z  1  1   iz  1  1   i . z
 1  z   i  1 . 3  2ii 16
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Vì i  0  1 nên max z r r  1  1  2 . Chọn B. 1 2
Câu 28: (THPT CHUYÊN KHTN – LẦN 1) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
1 iz 17i  2 . Tìm max z .
A. max z  4 .
B. max z  3 .
C. max z  7 .
D. max z  6 . Hướng dẫn giải. 1  7i
Ta có 1  iz  1  7i  2  1  i z  
2  z  3  4i  1 . 1 i
Vì 3  4i  0  5 nên 2 2
max z r r  1 3  4  6 . Chọn D. 1 2 2z i
Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn z  1. Đặt A
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2  iz A. A  1. B. A  1. C. A  1. D. A  1. (THPT CHUYÊN HÀ NAM) Lời giải 2z i
Từ giả thiết, ta có A
A 2  iz  2z i  2A Azi  2z i 2  iz A i 2A i
A i z Ai   2   2 2  z  . Mà z  1 
 1  2A i Ai  2 . Ai  2 Ai  2
Đặt A x yi x, y  , khi đó   2x  2y  1i   y  2  xi
x   y  2   y  2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1
2  x  4x  4y  4y  1  x y  4y  4  x y  1. Vậy môđun của 2 2
A x y  1. Chọn A. Câu 30:
Với hai số phức z và z thỏa mãn z z  8  6i và z z  2 . Tìm giá trị lớn nhất của 1 2 1 2 1 2
P z z . 1 2
A. P  5  3 5. B. P  2 26. C. P  4 6.
D. P  34  3 2.
(THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4) Lời giải 2 2 2 2
Bổ đề. Cho hai số phức z và z , ta luôn có z zz z  2 zz  . 1 2 1 2  1 2    1 2 2 2
Chứng minh. Sử dụng công thức z zz z z z và .
z z z . Khi đó 1 2  1 2   1 2  2 2 z zz zz z
z z z z z z 1 2 1 2  1 2   1 2   1 2   1 2 
z .z z .z z .z z .z z .z z .z z .z z .z 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2
 2 z .z z .z   2 2 2 zzđpc . m 1 1 2 2 1 2 
Áp dụng  , ta được z zz z
 4  z z  4   3 2 2 2 2
 1  z z  1. 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được P z z  2 zz  2 26. Chọn B. 1 2  1 2  17
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Câu 31:
Với hai số phức z và z thỏa mãn z z  8  6i và z z  2 . Tìm giá trị lớn nhất của 1 2 1 2 1 2
P z z . 1 2
A. P  5  3 5. B. P  2 26. C. P  4 6.
D. P  34  3 2.
(THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4) Lời giải 2 2 2 2
Bổ đề. Cho hai số phức z và z , ta luôn có z zz z  2 zz  . 1 2 1 2  1 2    1 2 2 2
Chứng minh. Sử dụng công thức z zz z z z và .
z z z . Khi đó 1 2  1 2   1 2  2 2 z zz zz z
z z z z z z 1 2 1 2  1 2   1 2   1 2   1 2 
z .z z .z z .z z .z z .z z .z z .z z .z 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2
 2 z .z z .z   2 2 2 zzđpc . m 1 1 2 2 1 2 
Áp dụng  , ta được z zz z
 4  z z  4   3 2 2 2 2
 1  z z  1. 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được P z z  2 zz  2 26. Chọn B. 1 2  1 2 
Câu 32: (THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI)Cho số phức z thỏa mãn 2
z  2z  5  z  1 2iz  3i  1 .
Tính min|w|, với số phức w z  2  2i . 3 1 A. min|w| .
B. min|w| 2 .
C. min|w| 1 . D. min|w| . 2 2 Lời giải 2 2 2 Ta có 2
z  2z  5  z 1  4  z  1  2i  z  1  2iz  1 2i .
z  1  2i
Khi đó, giả thiết  z 1  2iz  1 2i  z  1 2iz  3i 1  
z  1 2i z  3i   1 
TH1. Với z  1  2i , ta có w z  2  2i  1  2i  2  2i  1  w  1.
TH2. Với z  1  2i z  3i  1  , đặt z x yi x, y   , ta có
  x   y  i x   y  i  x  2  y  2  x  2  y  2 1 1 2 1 3 1 2 1 3  y   . 2 1 3 9 3
Do đó w z  2  2i x i  2  2i x  2  i w  x  22   . Chọn A. 2 2 4 2 1
Câu 33: (TOÁN HỌC & TUỔI TRẺ LẦN 8)Cho số phức z thỏa mãn z
 3 . Tổng của giá trị lớn z
nhất và giá trị nhỏ nhất của z là A. 3. B. 5. C. 13. D. 5. Lời giải 18
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 2 1 1  1  1  Ta có 2 a z   a z   z z      z zz  z  2 2 z  z 2 4 1
z  z z 2 2  2 z  1  z    . 2 2 2 z z z 2  2  4 2 2
a a  4 a a  4
Khi đó z z . 2
a  2  1  z z   0  z   ;  .  2 2    2 2 a a  4
a a  4 Vậy 2 max z  ; min z
M m a  4  13. Chọn C. 2 2
Câu 34: (THPT NHÂN CHÍNH - HÀ NỘI)Xét số phức z thỏa mãn   i 10 1 2 z
 2  i . Mệnh đề z nào sau đây đúng? 3 1 3 1
A.z  2 . B.z
. C. z  2 . D. z  . 2 2 2 2 Lời giải 10 10
Cách 1. Từ giả thiết, ta có 1  2iz
 2  i  1  2iz  2  i z z 10  z
z i   i
z    z   10 2 2 2 2 1 i   z z 2 2 10
Lấy môđun hai vế của  , ta được    z  2  2 z 1  . z 2 2 10
Đặt t z , ta có t  2  2t  1 2   t  2 5t  5 4 2
 10  t t  2  0  t  1. t 1 3
Vậy môđun của số phức z bằng 1   z  . 2 2
Cách 2. Sử dụng máy tính casio ( hướng dẫn chi tiết ở câu 26) để tìm z .
Cách 3. Đặt z a bi a,b   và c z , thay vào đẳng thức đã cho thì 10
a bi 10
Gt  1  2ic
 2  i  1  2ic   2  i 2 a bi c a 10  b 10   c
 2  i  2c   1  0 2 2   cc   a 10  a 10 c   2  0 c  2  2 2 2 2  c  10 a b 2 2   10 Suy ra c   
nên c  2  1  2c   4 2  b 10  b 10 c c 2c   1  0 1 2c   2   cc 1 3
Giải ra ta có c   1 mà c  0 nên c  1 hay z  1. Do đó  z  . Chọn B. 2 2 19
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Câu 35: (THPT CHUYÊN LÀO CAI)Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là
M, M . Số phức (
z 4  3i) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N, N . Biết rằng
M, M, N, N là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i  5 1 2 1 4 A. . B. . C. . D. . 2 5 2 13 Lời giải
N  4x  3y; 3x  4y
Gọi M x; y  M 'x;  y và 4  3iz  4x  3y  3x  4yi   N ' 
4x  3y; 3x  4y 
Dễ thấy MM '  NN ' vì cùng vuông góc với Ox nên để MM ' N ' N là hình chữ nhật. MM '  NN '  2 2
Khi và chỉ khi MN M ' N '  x y  0  z x xi z  4i  5  x  5  x  4  MN Ox 2 2 1 2 1 1 1
Ta có x  5  x  4  2x  9    z  4i  5  . Chọn C. min 2 2 2 2
Câu 36: (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2. Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức
T z i z  2  i .
A. maxT  8 2. B. maxT  4.
C. maxT  4 2. D. maxT  8. Lời giải
Đặt z x yi x, y   , ta có z  
x   yi   x  2 2 1 2 1 2 1  y  2  x  2 2 2 2 2 2
1  y  2  x  2x  1  y  2  x y  2x  1 
Lại có T z i z  2  i x  y  
1 i x  2  y  1i
x   y  2  x  2   y  2 2 2 2 2 2 1 2 1
x y  2y  1  x y  4x  2y  5
Kết hợp với  , ta được T  2x  2y  2  6  2x  2y  2x y  2  2  2x y
Đặt t x y , khi đó T f t  2t  2  6  2t với t  1;1 .   1 1
Ta có f 't  
; f 't  0  t  1  f t
f 1  4 . Chọn B. max 2t  2 6  2t
Câu 37: (ĐHNT HN) Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện z  1  2 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
T z i z  2  i
A. maxT  8 2 .
B. maxT  8 .
C. maxT  4 2 . D. maxT  4 . Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt z x yi x, y   , ta có: 20
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
z  1  2  x  1 yi  2  x  2 2 2 2
1  y  2  x y  2x  1*
Lại có: T z i z  2  i x  y  
1 i x  2  y   1 i
x  y  2  x  2   y  2 2 1 2 1 2 2 2 2 
x y  2y  1  x y  4x  2y  5
Kết hợp với * , ta được:
T  2x  2y  2  6  2x  2y
Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được 2 2 T  2 2   
1  1   2x  2y  2 
  62x 2y  4   
Vậy maxT  4 .
Câu 38: Cho w  sin   i cos  với 0    thỏa mãn 2 w  1  2 w . 2 2018 2  
Giá trị của P  26 w   3  là   A. 2018 P  23 . B. 2018 P  23 . C. 2018 P  23 i. D. 2018 P  29 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có:      i  2 2 2 w 1 sin cos
 1  1  cos 2  i sin 2  w  1  2  2 cos 2. 2 2
2 w  sin   cos   2 .   Từ giả thiết: 2
w  1  2 w  cos 2  0    vì 0    . 4 2 2 2 2 2 2  w   i  w   i  w  1 . 2 2 2 2 Vậy 2018 P  23 . 2 2
Câu 39: Cho các số phức z  2
  i, z  2  i và số phức z thay đổi thỏa mãn z zz z  16. Gọi 1 2 1 2
M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức 2 2 M m bằng A. 15 . B. 7 . C. 11 . D. 8 . Lời giải Chọn D.
Gọi M là điểm biểu diễn của z . Gọi A2;  1 , B2; 
1 . Gọi I 0;1 là trung điểm AB . 2 2 2 2 z zz z
 16  MA MB  16 1 2 2 2 2 2 AB
MA MB  2MI   16  MI  2 2
Suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I 0;1 bán kính R  2 . 21
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 y M2 I O x M1
Ta lại có : IM IO OM IM IO  1  OM  3 . Do đó : z
 3  M M 2 max z
 1  M M 1 min 2 2
M m  8 . Bài tương tự
Câu 40: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z  1  i  2 và z iz . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức 1 2 1 2 1
z z ? 1 2 A. m  2  1 . B. m  2 2 . C. m  2 . D. m  2 2  2 . Lời giải Chọn D.
Đặt z a bi; a, b    z  b ai 1 2
z z a b b a i . 1 2     2 2 Nên z z
a b b a  2. z 1 2     1
Ta lại có 2  z  1  i z  1  i z  2 1 1 1
z  2  2 . Suy ra z z  2. z  2 2  2 . 1 1 2 1 a b Dấu "  " xảy ra khi   0 . 1 1 
Vậy m  min z z  2 2  2 . 1 2 2 2
Câu 41: Gọi số phức z x yi; x, y   thỏa điều kiện z  2  z  2  26 và z  2  5i lớn nhất.
Tính T x y . A. T  2   5 .
B. T  2  5 . C. T  2   5 .
D. T  2  5 . Lời giải Chọn A.
Giả sử z x yi; x, y   2 2 2 2 Ta có z   z    x   2
y  x   2 2 2 2 2 26 2
2  y  26  x y  9 . 22
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn C tâm là gốc tọa độ O , bán kính R  3 . Ta có z   
i  x    y  2 2 2 5 2 5 Vì   2 2 2 5
 9 nên điểm N 2; 5  thuộc đường tròn C . Gọi M  ;
x y là điểm thuộc C , khi đó z    i  x    y  2 3 2 5 2 5  MN .
Suy ra z  2  5i lớn nhất  MN lớn nhất  MN là đường kính của C  M 2; 5 Vậy z  2   5i . Câu 42:
Cho z , z là hai số phức thỏa mãn phương trình 2z i  2  iz , biết z z  1 Tính giá trị của 1 2 1 2
biểu thức: P z z . 1 2 3 2 A. P  . B. P  2 . C. P  . D. P  3 . 2 2 Lời giải Chọn D. 2 2
HD: Cách 1. Ta có: 2z i  2  iz  2z i  2  iz  (2z i)(2z i)  (2  iz)(2  iz) y 2 2  4 .
z z  2iz  2iz i  4  2iz  2iz i .
z z  3z.z  3 2  .
z z  1  z  1  z  1  z  1 và z  1 M 1 2 M 2 2 Chú ý: 2 .
a a a  2z i  (2z i)(2z i)  (2z i)(2z i)
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z , z là đường tròn tâm O 1 2 M bán kính R  1 . 1
Gọi M (z ), M (z )  OM OM  1 O x 1 1 2 2 1 2
  
Ta có: z z OM OM M M  1  OM M đều 1 2 1 2 2 1 1 2
  
Mà z z OM OM OM OM với M là điểm thỏa 1 2 1 2
mãn OM MM là hình thoi cạnh 1  OM  3  P  3 . 1 2
Cách 2. Đặt z x yi,  x, y   , ta có 2z i  2x  (2y  1)i và 2  iz  2  y xi .  z  1  Khi đó: 2 2 2 2 2 2 1
2z i  2  iz  4x  (2y  1)  (y  2)  x x y  1  z  1   z  1   2 2 2 2 2 2
Sử dụng công thức z zz z  2 zzz z
 3  z z  3 . Chọn D. 1 2 1 2  1 2  1 2 1 2
Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2i  4 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của z  2  i . Tính giá trị của tổng 2 2
S M m . A. S  82 . B. S  34 . C. S  68 . D. S  36 . Lời giải Chọn C. 23
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Cách 1: (Phương pháp hình học)
Đặt số phức z x iy , x, y   có điểm biểu diễn hình học là P x, y . 2 2 2 2
Ta có z  1  2i  x 1  y  2  4  x 1  y  2  16 .
Vậy tập hợp điểm P là đường tròn tâm I 1; 2 , bán kính R  4 . 2 2
Ta có z  2  i   x  2   y  1  AP , với A 2  ;   1 . Vậy từ hình vẽ ta nhận thấy:  M AP
AP IA R  3 2  4 max 2  . m AP
AP IA R  3 2  4  min 1 2 2 Vậy ta suy ra 2 2
S M m  3 2  4  3 2  4  68 .
Cách 2: (Phương pháp đại số)
Công cụ cơ bản: z z z z z z , với mọi số 1 2 1 2 1 2
phức z , z . Áp dụng, ta có: 1 2
z  2  i  z 1  2i  3  3i  z  1 2i  3  3i  4  3 2  M  4  3 2
z  2  i  z 1  2i  3  3i  z  1 2i  3  3i  3 2  4  m  3 2  4 2 2 Vậy ta có 2 2
S M m  3 2  4  3 2  4  68 .
Câu 44: [Phạm Minh Tuấn – Vted 15] Cho ba số phức z, z , z thỏa z z  6 và z z  6 2 . Tìm giá 1 2 1 2 1 2
trị nhỏ nhất của biểu thức
P  2 z z z zz z zz z z . 1   2   1   2  A. 30 3 . B. 36 2 . C. 50 . D. 50 2 . Lời giải Chọn B.
Gọi A, B, M là điểm biểu diễn số phức z , z , z , khi đó từ giả thiết ta suy ra tam giác OAB vuông 1 2
cân tại O và bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất của P  2M . A MB M . O MA M . O MB .
Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát
Cho tam giác ABC , đặt AB c , AC b , BC a , khi đó ta có . MB MC MC.MA . MA MB    1  bc ca ab 2 2 2
xyc yza zxb
Chứng minh: dùng bài toán kinh điển 2 2 2
x.MA y.MB  . z MC  
x y z a b c a .
MB MC bMC.MA c . MA MB Đặt x  ; y  ; z
khi đó x y z MA MB MC . MA . MB MC
aMA bMB cMC và 2 2 2
xyc yza zxb abc
từ đó sử dụng  suy ra hệ thức  . . MA . MB MC 24
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Áp dụng bài toán trên ta có P  36 2 , chọn B.
Ta có thể chứng minh bài toán  trên bằng ngôn ngữ số phức.
Gọi tọa độ các điểm A, B,C, M trên mặt phẳng phức là u, v, w, x khi đó a v w , b w u ,
c u v , MA x u , MB x v , MC x w . Khi đó bất đẳng thức  tương đương
x v x w
x w x u
x u x v    1
u v u w
v w v u
w u w v
x vx w
x wx u
x ux v     1
u vu w
v wv u
w uw v Mặt khác :
x vx w x wx u
x ux v
x vx w x wx u x ux v     
u vu w
v wv u
w uw v
u vu w v wv u w uw v
x vx w x wx u x ux v Mà    1 nên suy ra  .
u vu w v wv u w uw v
Câu 45: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P z  2  i  2 z  2  3i 4 3 A. 3 . B. 3 . C. 2 . D. . 3 Lời giải Chọn B. 25
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Gọi điểm biểu diễn của z là M . Khi đó M nằm trên đường tròn tâm I 0;  
1 , R  1. Gọi tọa độ các điểm A  2; 1  ,B 2; 3   do đó:  1  IK IM 1
P z  2  i  2 z  2  3i MA  2 .
MB Gọi K ;   1 khi đó ta có:   .  2  IM IA 2
Vậy IMK và IAM là hai tam giác đồng dạng. Khi đó: MA  2MK .
Vậy P  2  MK MB .
Theo bất đẳng thức tam giác: P  2  MK MB  2BK.
Vậy MinP  2BK  3.
Câu 46: Với hai số phức z và z thoả mãn z z  8  6i và z z  2, tìm giá trị lớn nhất của P z z . 1 2 1 2 1 2 1 2 A. P  4 6 . B. P  2 26 .
C. P  5  3 5 .
D. P  34  3 2 . Lời giải Chọn B. y A I 3 B O x 1 4
Vì hai số phức z và z thoả mãn z z  8  6i và z z  2 nên 1 2 1 2 1 2  
z  8  6i z
z  4  3i  1 1   1 2   
z  8  6i z   z  4  3i  1 * . 2   2 1
z z  2   1 2 z z  2  1 2 
Gọi A , B lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức z và z khi đó từ * suy ra A, B nằm 1 2
trên đường tròn C có tâm I 4; 3 , bán kính R  1 và AB là đường kính của đường tròn C .
Như vậy P z z OA OB . 1 2 2 2 2 OA OB AB Ta có 2 2 2 
OI OA OB   2 2 5  1  52 . 2 4 Suy ra 2 2
52  OA OB  2O .
A OB  OA OB2 2 2
OA OB  2O .
A OB  52  52  104
P z z OA OB  104  2 26 . Dấu bằng xảy ra khi OA OB . 1 2
Câu 47: Giả sử z , z là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz  2  i  1 và z z  2. Giá trị lớn nhất của 1 2 1 2
z z bằng 1 2 A. 4 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 3. 26
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Lời giải Chọn A.
Ta có iz  2  i  1  i z i 2  1  1  z i 2  1  1 .
Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I 1; 2 , R  1.
Gọi M , N là điểm biểu diễn z , z nên MN  2 là đường kính. Dựng hình bình hành OMNP ta 1 2
có z z OP  2 3 . 1 2 2 2 2 2 2
Ta có  z z  2 zzz zz z
 16  z z  4 . Dấu bằng xảy ra khi 1 2   1 2  1 2 1 2 1 2
z z MN OI . 1 2
Câu 48: Cho hai số phức z ,  thỏa mãn z  1  z  3  2i ;   z m i với m   là tham số. Giá trị của m để ta luôn có   2 5 là: m  7 m  7 A.  . B.  . C. 3   m  7 .
D. 3  m  7 . m  3  m  3   Lời giải Chọn B.
Đặt z a ib,a,b   có biểu diễn hình học là điểm M  ; x y 2 2 2
z  1  z  3  2i x  1  iy x  3   y  2i  x   2
1  y  x  3  y  2
 2x  1  6x  9  4y  4  2x y  3  0
Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng  : 2x y  3  0 .
Ta có:   2 5  z m i  2 5  x m    y  1 i  2 5
 x m2   y  2 1
 2 5  MI  2 5 với I m;   1 .
Mà ta có MI d I, 27
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 2m  4
Nên MI  2 5  d I,  2 5 
 2 5  2m  4  10 5  2  m  4  10 m  3      . 2  m  4  10  m  7 
Câu 49: [PTNK TP HCM] Cho z là số phức thỏa mãn z  1  i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2
P z  2  i z  2  3i A. 18 . B. 14  2 10 . C. 38  8 10 . D. 16  2 10 . Lời giải Chọn C.
Gọi z x yi x; y   , M  ;
x y là điểm biểu diễn số phức z . 2 2
Do z  1  i  2   x  1   y  1  4 suy ra M thuộc đường tròn tâm I 1; 1
  , bán kính R  2 . Đặt A 2
 ;1 , B2; 3 , E0; 2 là trung điểm của AB . Khi đó 2 2 2 2 2 2 2 AB
P z  2  i z  2  3i  x  2   y  1  x  2   y  3 2 2  MA MB 2  2ME  2 2  2ME  10 .
Do E nằm ngoài đường tròn, nên ME
EI R  2  10  P  38  8 10 . Max Max Cách 2 : 2 2 2 2 2 2
P z  2  i z  2  3i  x  2   y  1  x  2   y  3 = 2 2
2x  2y  8y  18 2 2
 2x  2y  8y  18  P  0 . 2 2
2x  2y  8y  18  P  0 2 2  
x  1   y  1  4
Suy ra tọa độ điểm M thỏa mãn   
x 12  y 12   4 
 : 4x  12y  22  P  0 
Hệ có nghiệm khi d I,  R P  38  8 10  38  8 10  P  38  8 10  P  38  8 10 . Max
Câu 50: (CHuyên Hạ Long-lần 2-2018-Mã đề 108)Cho các số phức z  2
  i, z  2  i và số phức z thay 1 2 28
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 2 2
đổi thỏa mãn z zz z
 16. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá 1 2 trị biểu thức 2 2 M m bằng A.15 . B. 7 . C.11 . D. 8 Lời giải: Chọn D. Cách 1:
Gọi số phức z x yi với x, y   . 2 2 Ta có z zz z  16 2 2
x y  2x  3  0 . Khi đó tập hợp các điểm M (x, y) biểu diễn số 1 2
phức z là đường tròn (C) có tâm I (1, 0) và bán kính R  2 . Ta có | z |  OM , | z |  OM . min min max max
Đường thẳng OI có phương trình y  0 . OI cắt (C) tại 2 điểm phân biệt , A B có tọa độ là nghiệm của hệ 2 2
x y  2x  3  0 
A(1, 0); B(3, 0) . y  0 
Ta có OA OM OB nên | z |  OA ,| z |  OB . min max Khi đó 2 2
M m  9 1  8 . Cách 2:
Gọi số phức z x yi với x, y   . 2 2 Ta có z zz z  16 2 2
x y  2x  3  0 . Khi đó tập hợp các điểm M (x, y) biểu diễn số 1 2
phức z là đường tròn (C) có tâm I (1, 0) và bán kính R  2 .  z 1  2
Ta có: z z 1 1  1  z
 1 , z z 1  1   3  z  3 . min max Cách 3:
Gọi số phức z x yi với x, y   . 2 2 Ta có z zz z  16 2 2
x y  2x  3  0 . Khi đó tập hợp các điểm M (x, y) biểu diễn số 1 2
phức z là đường tròn (C) có tâm I (1, 0) và bán kính R  2 . Ta có OM
OI R , OMOI Rz  1, z  3 min max min max CÂU PHÁT TRIỂN
Câu 51: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i  5 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị 2 2 M m
nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức bằng 2Mn 1 4 A.12 . B. . C. . D. 8 2 3 Lời giải: Chọn C.
Gọi số phức z x yi với x, y   , khi đó 2 2 | z | x y .
Ta có: z  2  4i  5   x  2 2 2  ( y  4)  5 2 2
x y 15  4(x  2 y) .
Áp dụng bđt Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: 2 2
| x  2 y | 5(x y )  5 | z | .
Khi đó ta có bất phương trình 2
| z | 15  4 5 | z |  5 |  z | 3 5 . 29
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 2 2 M m 4 Do đó  . 2Mn 3
Câu 52: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 i  | z  3  2i | 5 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của z  2i . Giá trị biểu thức 2 2 M m bằng 15 A. 25 . B. 35 . C. . D. 20 . 2 Lời giải: Chọn B.
Gọi z x yi (với x, y   ) có điểm M ( x; y) biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ.
Ta có z 1 i z  3  2i  5
  x  2   y  2   x  2   y  2 1 1 3 2  5
  x  2   y   2
    x  2 1 2 3 3   y  2 2  4  5     (1).
Số phức z  2i x   y  2i có điểm M  ;
x y  2 biểu diễn z  2i trên mặt phẳng tọa độ.
Đặt A(1;3), B(3; 4) , từ (1) ta có AM   BM   5 . Mặt khác AB  5 nên M  thuộc đoạn AB . Khi đó
M z  2iOB  5 , max
m z  2iOA  10 . min Vậy 2 2
M m  35 . Nhận xét:
- GTLN, GTNN ở câu dạng này chỉ có thể đạt được tại 2 đầu , A B .
- Một sai lầm thường gặp là đánh giá zd  ;
O AB nhưng do góc OAB là góc tù nên không min
tồn tại điểm M trên đoạn AB sao cho OM AB .
Câu 53: (Chuyên Hạ Long-lần 2-2018-Mã đề 123) Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  5 . Gọi M, m lần 2 2
lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z  2  z i . Khi đó modun của số phức w  M mi A. 2 314 . B. 1258 . C. 3 137 . D. 2 309 . Lờigiải Chọn B. 2 2
Cách 1: Giả sử z x yi x, y R ta có z  3  4i  5  x  3   y  4  5
Ta có P  4x  2y  3  4 x  3  2  y  4  P  23 2 2 2
Ta có 4  x  3  2 y  4
 20 x  3  y  4     100     Suy ra 1
 0  P  23  10  13  P  33 suy ra M  33, m  13 do đó ta được w  33  13i vậy w  1258 .
Cách 2: Gọi z x yi với x, y   . 2 2
Ta có: z  3  4i  5   x  3  y  4  5 . Suy ra, tập hợp điểm M  ;
x y biểu diễn cho số
phức z trên hệ tọa độ Oxy là đường tròn C tâm I 3; 4 và bán kính R  5 . 30
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 2 2 2 2
Lại có: P z
z i  x   2 2 2
2  y x  y  1  P  0  4x  2y  3  P  0 , đây là
phương trình của đường thẳng  : 4x  2y  3  P  0 .
Ta thấy M    C . 23  P
Điều kiện để  cắt C là: dI,  R   5  1
 0  23  P  10  13  P  33 . 2 5
Suy ra: m  13, M  33 và w  33  13i w  1258 . Cách 3:
Gọi z x yi với x, y   . 2 2 P  4x  3
Ta có P  x   2 2
2  y x  y  1  4x  2y  3 suy ra y  . 2 2 2 2 2
P  4x  3 
Từ z  3  4i  5  x  3  y  4  5  f x  x  3   4  5  0   .  2   P x  
Ta có f x  x   4 11 2 3  4  2
P  10x  16   .  2 
f x  0  x  0,2P  1,6 . Suy ra y  0,1P  1,7 . 2 2
Thay x, y vừa tìm được vào f x ta được 0,2P  1,6  3  0,1P  1,7  4  5  0 .
Ta giải được P  33 hoặc P  13 . Đây tương ứng là GTLN và GTNN của P .
Vậy M  33, m  13 . Khi đó,   1258 .
Câu 54: Biết số phức z x yi ,  x, y   thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z z  4  3i và biểu thức
P z  1 i z  2  3i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P x  2y . 61 253 41 18 A. P   . B. P   . C. P   . D. P   . 10 50 5 5 Lời giải Chọn A .
Theo giả thiết z z  4  3i x yi  x  4   y  3i
x y  x  2   y  2 2 2 4 3 2 2 2 2
x y x  8x  16  y  6y  9
 8x  6y  25  0 . 2 2 2 2
Ta có P  x   1  y  
1  x  2   y  3 Xét điểm E 1  ;1 ; F 2; 3   và M  ;
x y . Khi đó, P ME MF .
Bài toán trở thành tìm điểm M   : 8x  6y  25  0 sao cho ME MF đạt giá trị nhỏ nhất.
Vì 8x  8y  25 x y
nên hai điểm E, F nằm cùng phía đối với đường thẳng  . E E .8  8  25 F F   0 Gọi 
E là điểm đối xứng với E qua    Đường thẳng E
E đi qua điểm E1; 1   và có VTPT nu   nên có phương trình E E  3; 4
3x  1  4 y  1  0  3x  4y  7  0 31
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
3x  4y  7 
Gọi H là giao điểm của E
E và  . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình  8x  6y  2  5   71 x     25  71 19    suy ra H  ;  19     25 50 y      50  117 x    E  
E đối xứng với E qua H nên 25  . 44 y      E 25
Ta có ME + MF = ME+ MF EF .
Dấu bằng xảy ra  M là giao điểm của 
E F và đường thẳng   Đường thẳng 
E F đi qua điểm F 2; 3   và có VTPT n  có phương trình E E 31;167
31x  2  167 y  3  0  31x +167 y + 439 = 0  67 x  
31x  167 y  439  
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 50    8x  6y  2  5  119 y     50 61
Vậy P x  2y   . 10
Câu 55: Gọi z , z là 2 nghiệm của phương trình z  1  2i z  1  2i thỏa mãn z z  2 . Biết rằng w 1 2 1 2
là số phức thỏa mãn w  3  2i  2 . Tìm GTNN của biểu thức P  w  z  w  z . 1 2
A. 1  3 B. 2 3 C. 2 D. 6 . Lời giải. Chọn D .
Giả sử z x yi x, y R ta có z 1  2i z  1 2i x  0 suy ra tập hợp điểm biểu diễn
z , z là trục tung. 1 2
Giả sử A, B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho z , z , ta có z z  2  AB  2 . 1 2 1 2
Giả sử w  a bi a,b R và M là điểm biểu diễn cho số
phức w , ta có w  3  2i  2 2 2
 (a  3)  (b  2)  4 suy ra tập
hợp điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm I 3; 2 bán kính R  2 .
Ta có P MA MB , gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên
trục tung, ta thấy P nhỏ nhất khi E là trung điểm AB suy ra 6 6 MA MB  , vậy MinP  2.  6 2 2
Câu 56: Cho z là số phức thỏa z  1  i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 32
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 2 2
P z  2  i z  2  3i A. 18 . B. 38  8 10 . C. 18  2 10 . D. 16  2 10 . Hướng dẫn giải Chọn B
Gọi z x yi x, y   2 2
Ta có: z  1  i  2  x yi  1  i  2  x  1  y  1  4 2 2 2 2
x y  2x  2y  2  0  x y  2x  2y  2 (*) Theo bài ra: 2 2 2 2
P z  2  i z  2  3i x yi  2  i x yi  2  3i
  x  2   y  2  x  2  y  2   2 2 2 1 2 3
2 x y   8y  18
Thay (*) vào P ta được:
P  4x  12y  22  4x  1  12 y  1  38
Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta được x  y  
x 2 y 2 2 2              2 2 4 1 12 1 38 4 12 1 1 38
4  12 .4  38  8 10  38   Vậy P  8 10  38 . max
Câu 57: Giả sử z , z là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz  2  i  1 và z z  2. Giá trị lớn nhất của 1 2 1 2
z z bằng 1 2 A. 4 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 3. Lời giải Chọn A.
Ta có iz  2  i  1  i z i 2  1  1  z i 2  1  1 .
Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I 1; 2 , R  1. 33
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Gọi M , N là điểm biểu diễn z , z nên MN  2 là đường kính. Dựng hình bình hành OMNP ta 1 2
có z z OP  2 3 . 1 2 2 2 2 2 2
Ta có  z z  2 zzz zz z
 16  z z  4 . Dấu bằng xảy ra khi 1 2   1 2  1 2 1 2 1 2
z z MN OI . 1 2
Câu 58: Xét các số phức z a bi a,b   thỏa mãn z  2  3i  2 2 . Tính P  2a b khi
z  1  6i z  7  2i đạt giá trị lớn nhất. A. P  1. B. P  3 . C. P  3 .
D. P  7 . Lời giải Chọn B
Gọi z x yi với  x, y   . 2 2
Ta có: z  2  3i  2 2  x  2   y  3  8 . Suy ra, tập hợp điểm M  ;
x y biểu diễn cho số
phức z trên hệ tọa độ Oxy là đường tròn C tâm I  2
 ; 3 và bán kính R  8 . Gọi A 1  ; 6
  , B7; 2 và J 3; 2
  là trung điểm của AB .
Đặt P z  1  6i z  7  2i suy ra P MA MB   2 2
2 MA MB  . (BĐT Bunhiacopxki). x  3  t
Phương trình đường trung trực  của AB là:  . y  2    t 2 AB Ta có: 2 2 2
MA MB  2MJ
với J là trung điểm của AB . 2
Vì M chạy trên đường tròn , J cố định nên MJ  IJ  . R
Do vậy P    R2 2 2 4 IJ  AB nên P  4 R AB m IJ  2 2  . ax
Dấu « = » xảy ra khi MA MB và ba điểm M, I , J thẳng hàng. Điều này thỏa mãn nhờ IA IB .
Do đó: M    C , tọa độ của M là nghiệm hệ: x 3 t    x  3  tx  0 x  4        y  2   ty  2   t
y  1  y      5      x  
2   y  2  t    2  t  2 t  3 t  7 2 3 8 5 5  8    Mặt khác : M 0; 
1  P MA MB  2 50
M 4; 5  P MA MB  2 130 và . Vậy để P
thì M 4; 5 Suy ra 2a b  3  . Max
Câu 59: (SGD – HÀ TĨNH )Trong các số phức z thoả mãn z  2  4i  2 , gọi z và z là số phức có mô- 1 2
đun lớn nhất và nhỏ nhất. Tổng phần ảo của hai số phức z và z bằng. 1 2 A. 8i . B. 4 . C. 8  . D. 8 . Lời giải 34
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Chọn D.
Gọi z x yi, x, y   và M  ;
x y là điểm biểu diễn số phức z . 2 2
Theo giả thiết z  2  4i  2  x yi  2  4i  2  x  2   y  4  4 . 2 2
Suy ra M C :  x  2  y  4  4
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  2  4i  2 là đường tròn C có tâm
I 2; 4 bán kính R  2 .  10 2 5 20 4 5   
Đường OI có phương trình y  2x cắt đường tròn C tại hai điểm A ;  ,  5 5     10 2 5 20 4 5    B ;
 . Do OA OB nên điểm A biểu diễn số phức có môđun lớn nhất, và điểm  5 5   
B biểu diễn số phức có môđun nhỏ nhất.
Câu 60: [HKII-SỞ BẠC LIÊU-2017-2018] Xét số phức z a bi ( a, b   và b  0 ) thỏa mãn z  1. Tính 2
P  2a  4b khi 3
z z  2 đạt giá trị lớn nhất. A. P  4 .
B. P  2  2 . C. P  2 .
D. P  2  2 . Lời giải Chọn C. Cách 1: Từ giả thiết có 2 2 a b  1 2 2
b  1  a  0 với a  1;  1 và . z z  1 . 1 2 Ta có 3 z z  2 2
z . z   2 z z 2
z z  2.zbi   2 2 2
2 a b  2abi 2 2   2 2
2 a b   b  2abi   2 2 2
a b   b  2ab 2 2 
a b 2  b   a2 2 2 2 2 1 2   2a     2 2 2 1
1 a 2a  1 3 2
 2 4a a  4a  2 Xét f a 3 2
 4a a  4a  2 , với 1   a  1 .  1 a      1  ;1 f a 2
 12a  2a  4 ; f a 2
 0  12a  2a  4  0 2   2 a   1  ;1  3 Bảng biến thiên: 35
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 1 2 a 1   1 2 3
f a  0  0  13 1
f a 4  1  13 1
Suy ra max f a  f    
, đạt được khi a   , 2 3 b  . a   1;  1  2  4 2 4   Vậy 2 1
P  2a  4b  2   3  2   .  2  Cách 2: Ta có 3
z  cos x i sin x z  cos 3x i sin 3x . Vì b  0 nên sin x  0 , cos x  1;  1 . Khi đó 3
z z  2  cos 3x i sin 3x  cos x i sin x  2
 cos 3x  cos x  2  sin 3x  sin xi   x x  2   x x2 cos 3 cos 2 sin 3 sin    x x2   x x2 2 2 sin 2 .sin 2 cos 2 .sin 2 2 2 2
 4  8 sin 2x sin x  4 sin x sin 2x  4 cos 2x sin x 2 2 
4  16 sin x cos x  4 sin x    2
t t   2 4 16 1 4 1  t  3 2
 16t  4t  16t  8 với t  cos x   1  ;  1 . Đặt f t 3 2
 16t  4t  16t  8 , t   1  ;  1 .  1 t      1  ;1 f t 2
 48t  8t  16  0 2   2
t  1;1  3 Bảng biến thiên: 1 2 t 1   1 2 3
f t  0  0  13 1
f t 1 f t  1   max  f   13    t    cos x . t   1  ;  1  2  2 a 1 1 3 Khi đó: 2    a    b  . 2 2 2 2 4 a b   Vậy 2 1
P  2a  4b  2   3  2   .  2  36
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Nhận xét: có thể đổi câu hỏi thành tìm Min
Câu 61: Cho z , z là hai số phức thỏa mãn 2z i  2  iz , biết z z  1 . Tính giá trị của biểu thức 1 2 1 2
P z z 1 2 3 2 A. P  . B. P  2 . C. P  . D. P  3 . 2 2 Lời giải Chọn D. Cách 1.
+ Đặt z x yi , x, y   , ta có 2z i  2  iz  2x  2y  1 i  2  y  xi
x   y  2    y2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 2
x  4x  4y  4y  1  4  4y y x 2 2
x y  1  z  1  z z  1 1 2 2 2 2 2
+ Sử dụng công thức: z , z   ta có z zz z  2 zz 1 2 1 2  1 2  1 2 Suy ra P  3 . Cách 2.
+ Biến đổi: iz  2  i iz  2  z  2i 2 2
Ta có 2z i z  2i  2z i z  2i z  1  z z  1 . 1 2
+ Sử dụng công thức bình phương mô đun 2 2 2 mz nz
m z  2mnz z cosz , z  2 2  n z 1 2 1 1 2 1 2 2
Trong đó z , z là góc MON với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z ,z trên mặt 1 2  1 2 phẳng phức 2 2 2 1
z z  1  z z  1  zz
 2 z . z .cos z , z
 1  cos z , z  . 1 2 1 2 1 2 1 2  1 2   1 2  2 2 2 2 Vậy 2
P z z  1  zz
 2 z . z .cos z , z  3  P  3 . 1 2 1 2 1 2  1 2 
Câu 62: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T z i z  2  i .
A. maxT  8 2 . B. maxT  4 .
C. maxT  4 2 . D. maxT  8 Lời giải Chọn B.
Đặt z x yi x, y R , ta có 2 2
z  1  2  x  1  yi  2  (x  1)  y  2  x  2 2 2 2
1  y  2  x y  2x  1 (*)
Lại có T z i z  2  i x  (y  1)i x  2  (y  1)i 2 2 2 2 2 2 2 2 
x  (y  1)  (x  2)  (y  1)  x y  2y  1  x y  4x  2y  5
Kết hợp với (*), ta được T  2x  2y  2  6  2x  2y  2(x y)  2  6  2(x y)
Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có 37
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
T  2(x y)  2  6  2(x y)  2(2(x y)  2  6  2(x y))  4 .
Câu 63: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 5 z i z  1  3i  3 z  1  i . Tìm giá trị lớn nhất M của biểu
thức: z  2  3i ? 10 A. M  .
B. M  1  13 . C. M  4 5 . D. M  9 3 Lời giải Chọn C. 2 2 2 2 2 2
5 x  (y  1)  (x  1)  (y  3)  3 (x  1)  (y  1) 2 2 2 2 2 2
 5 x  (y  1)  10. (x  1)  (y  3)  (x  1)  (y  1) 2 2 2 2 2 2
 25 x  (y  1)   10 (
x  1)  (y  3)  (x  1)  (y  1)   0     2 2
x  (y  1)  20  z i  2 5
P z  2  3i z i  (4i  2)  z i  4i  2  2 5  2 5  4 5
Câu 64: Cho hai số phức z,  thỏa mãn z  1  z  3  2i ;   z m i với m   là tham số. Giá trị của
m để ta luôn có   2 5 là: m  7 m  7 A.  . B.  . C. 3   m  7 .
D. 3  m  7 . m  3  m  3   Lời giải Chọn B.
Đặt z a ib,a,b   có biểu diễn hình học là điểm M  ; x y 2 2 2
z  1  z  3  2i x  1  iy x  3   y  2i  x   2
1  y  x  3  y  2
 2x  1  6x  9  4y  4  2x y  3  0
Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng  : 2x y  3  0 .
Ta có:   2 5  z m i  2 5  x m    y  1 i  2 5
 x m2   y  2 1
 2 5  MI  2 5 với I m;   1 .
Mà ta có MI d I, 2m  4
Nên MI  2 5  d I,  2 5 
 2 5  2m  4  10 5  2  m  4  10 m  3      . 2  m  4  10  m  7  z  1 1
Câu 65: Cho số phức z thỏa mãn 
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z i  2 z  4  7i z  3i 2 A. 20 . B. 10 . C. 12 5 . D. 4 5 . 38
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Lời giải Chọn A.
Gọi z x yi ,  x, y   . z  1 1 2 2 Ta có  
2 z  1  z  3i  x   2 2 2
1  y x  y  3 z  3i 2 2 2
x y  4x  6y  7  0 . 2 2 2
Lại có P z i  2 z  4  7i 2
x   y  
1  2 x  4  y  7
 4x  8y  8  2 4
x  8y  72 .
Mặt khác  x y    x y  2 4 8 8 2 4 8 72
 5.80  4x  8y  8  2 4
x  8y  72  20 Suy ra P  20 .
Câu 66: Cho số phức z a bi ( a , b là các số thực) thỏa mãn z z  3  4i và có môđun nhỏ nhất. giá trị của P  . a b là? 3 A. . B. 4 . C. 2 . D. 3 . 4 Lời giải Chọn D. Ta có: 2 2 25  8b
a bi a bi  3  4i 2 2
a b  a  3  b  4  6a  8b  25  0  a 6
Mô đun của số phức z là: 2 b  2 100 2  225 2 2  25  8b  15
z a b 2    b 6    36 6 3 Số phức z
b  2 a
P  3 min 2
Câu 67: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i z  2i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. A. z  1   i . B. z  2   2i .
C. z  2  2i . D. 3  2i . Lời giải Chọn C.
Gọi số phức z có dạng z a bi . z thỏa mãn z  2  4i z  2i 39
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
a  2  b  4 i a  b  2i
 a  22  b  42  a  b  22 2 2 2 2 2
a  4a  4  b  8b  16  a b  4b  4
 4a  4b  16
a b  4
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki.
 a b2   2 2   2 2 a b  2 2 2 16 1 1
z a b  8 z  2 2  a b   Dấu  xảy ra  1 1
a b  2  z  2  2i a b  4 
Câu 68: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i z  2i . Số phức z có mô đun bé nhất bằng A. 3 2 B. 2 . C. 2 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C
Đặt z x yi x, y   . Khi đó z  2  4i z  2i x yi  2  4i x yi  2i
 x  2   y  2  x  y  2 2 2 4 2
 4x  4y  16  0  x y  4  0 .
Số phức có mô đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ O đến đường thẳng  : x y  4  0 . 40
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 4 z
d O;    2 2 . min 2
Câu 69: (Đề Star Education) Cho hai số phức z ; z thỏa mãn z z  5 và z z  1. Giá trị lớn nhất của 1 2 1 2 1 2
biểu thức P z z là: 1 2 26 1 A. 26. B. . C. 9. D.  . 2 2 Lời giải Chọn A.
Ta gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z ; z . 1 2   
Từ giả thiết : z z  5 5 1 2
OM ON  5  OI  2
với I là trung điểm của đoạn thẳng MN .  
z z  1  OM ON  1  MN  1 . 1 2 Ta có 2 2 2 OM ON MN 2 MN 2 OI   2 2 2
OM ON  2OI   13 2 4 2
P z z OM ON 2  P   2 2   2 2 1 1
OM ON   26 . Vậy P  26. 1 2 max Câu 70:
Cho hai số phức z ; z thỏa mãn z z  5 và z z  1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và 1 2 1 2 1 2
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z z . Khi đó mô đun của số phức 1 2 M  . m i là : A. 76 . B. 76 . C. 2 10 . D. 2 11 . Lời giải Chọn A.
Ta gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z ; z . 1 2   
Từ giả thiết : z z  6
với I là trung điểm của đoạn thẳng MN . 1 2
OM ON  6  OI  3  
z z  2  OM ON  2  MN  2 . 1 2 2 2 2 OM ON MN 2 MN Ta có 2 OI   2 2 2
OM ON  2OI   20. 2 4 2
P z z OM ON 2  P   2 2   2 2 1 1
OM ON   40. 1 2 Vậy a m x P  2 0 1  M .    
P z z OM ON OM ON  6 . 1 2
Vậy min P  6  m . Suy ra M  . m i  40  36  76. 41
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 5 Câu 71:
Cho số phức z thỏa mãn . i z  3 
. Giá trị lớn nhất của biểu thức P  2z 1 4i z 1 5i là: 2 5 A. 2 5 . B.3. C. 3 5 . D. . 2 Lời giải Chọn C.
Ta gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z . 5 5  5  . i z  3 
x   y  32 2  . Suy ra M ( ;
x y)  C I (0;3); R   2 2  2    Khi đó: 1  
P  2z 1 4i z 1 5i  2 z 
 2i z 1 5i  2 MA MB , 2  1 
với A  ; 2 ; B   1;5  2    1    
Ta có: IA   ; 1 
 ; IB  1; 2 suy ra IB  2.  IA .  2  5 3 5  5 
Theo định lý Stewart ta có: 2 2 2 5MA MB  2 2  MI
. 5   2MA MB  15 2 2  2   
(Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ
  
 1   1   2  1 
MI MA AB MA
AB MA  MB MA  MA MB 3 3 3 3 Suy ra: 4 1 4   4 1 4 2 2 2 2 2  MI MA MB M . A M . B cos M ,
A MB  MA MB M . A M . B cos AMB 9 9 9 9 9 9 2 2 2 4 1 4
MA MB AB  2 2 2 1 2  MA MB M . A MB 2 2 2    MA MB AB 9 9 9 2.M . A MB   3 3 9 2 2 2  2MA MB 2 2  3MI AB  15 ) 3   2
Vậy P  2 MA MB   2. 2.MA MB   2   2 2 2 1
2MA MB   45  3 5. 1 3i 1 3i Câu 72:
Cho hai số phức z   , z   
. Gọi z là số phức thỏa mãn 3z  3i  3 . Đặt 1 2 2 2 2 2
M,n lần lượt là giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T z z z z z . Tính modun của số 1 2
phức w  M ni 2 21 4 3 A. B. 13 C. D. 4 3 3 Lời giải 2  
Giả sử z x yi,x, y R . Ta có 2 3
3z  3i  3  x   y    1(C)  3    42
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404    
Gọi K x y 1 3 1 3 ; , A ;  , B   ;
 lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z, z , z  2 2   2 2  1 2    
Ta tìm Max – Min của T OK OA OB
Ta có A, B,O thuộc đường tròn (C) và ABO đều  T  2OA  2 . Min
Gọi K thuộc cung OB . Ta có K . A OB O . A BK A .
B OK KA KB OK 4 3
T  2KA  2.2R   T 3 Max 2  4 3  2 21 2  w     2   3  3  
Câu 73: Cho số phức z thỏa mãn 5 z i z  1  3i  3 z  1  i . Tìm giá trị lớn nhất M của z  2  3i ? 10 A. M  . B. M  1  13 . C. M  4 5 . D. M  9 . 3 Lời giải Chọn D Gọi A 1  ; 3 ,B1; 1
  ,C 0;1  C là trung điểm AB 2 2 2 MA MB AB Suy ra 2 2 2 2 MC  
MA MB  2MC  10 . 2 4 Mặt khác 2 2
5 z i z  1  3i  3 z  1 i  5MC MA  3MB  10 MA MB 2  MC   2 25
10 2MC  10  MC  2 5 .
Mà z  2  3i z i   2
  4i   z i  2
  4i MC  2 5  4 5 .
Dấu “ = “ xẩy ra khi và chỉ khi z  2   5i .
Câu 74: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 46] 3
Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i z  1  2i
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức z  2i
P z  2i . 1 1 A. P  . B. P  2 . C. 3 . D. . 2 3 Lời giải Chọn A 2 2 2 2
Áp dụng tính chất: z zz z  2 z  2 z 1 1 1 3 2 2 2 Ta có: z 1 2i z 1 2i 2  z 2i 1 z 2i 1             
 2 z  2i  1 z  2   i 4 2 1
 4 z  2i  4 z  2i  3  0  P z  2i  2 43
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Câu 75: [2D4-4] [THPT Chuyên LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Cho hai số phức z , z thỏa mãn điều kiện 1 2
2 z i z z  2i và z i  10  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức z z ? 1 1 1 2 1 2 A. 10  1 . B. 3 5  1 . C. 101  1 . D. 101  1 . Lời giải Chọn B.
+) Gọi z a bi; a, b   . 1   2 2 2 a Nên 2
2 z i z z  2i  2. a b  1  2b  2  b  . 1 1 1     4 2 x
Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z là Parabol y  . 1 4
+) Gọi z a bi, a,b   . 2   2 2
Khi đó z i  10  1  a  10  b  1  1 2     2 2
Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn C   x  10   y  1  1 tâm I 10;  1 2 bamns kính r  1 . y M I N 1 x
z z nhỏ nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất. 1 2
Ta có: MN IN IM MN IM IN IM  1 .
Nên MN nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất. 2 2 2 2 2  x   x  5 2 Ta có: 2
IM  x  10   1   4  x  4      45 . 4 4 2    
IM  45  3 5 .
Do đó MN  3 5  1 .
Vậy z z MN  3 5  1  z z  3 5  1. 1 2 1 2 min
Câu 76: [2D4-4] Cho hai số phức z , z thỏa mãn z  1  i  2 và z iz . Tìm giá trị lớn nhất m của biểu thức 1 2 1 2 1 44
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 z z 1 2
A. m  2 2  2 .
B. m  2  1 . C. m  2 2 . D. m  2 . Lời giải Chọn A.
Ta có z z z iz  1  i . z  2. z 1 2 1 1 1 1 2 2
Đặt z a bi với ( a,b   ) theo đề bài ta có a  1  b  1  4 (*). Ta cần tìm GTLN của 1 2 2
m  2 a b Đặt 2 2
t a b . Ta có: 2 2
(*)  4  a  2a  1  b  2b  1  2(a  ) b  2  t . 2
Mà a b   2 2     2 2 1
( 1) . a b (**) nên   t2 2 2  4(a  ) b  8t 2
t  12t  4  0  6  4 2  t  6  4 2 Kết hợp với 2 2
t a b  0 suy ra 0  t  6  4 2
Suy ra m  2t  12  8 2  2 2  2 a b
Dấu "=" xảy ra khi (**) xảy ra khi 
a  b . Kết hợp (*) ta được z  1   2 1  i 1    1 1 
Vậy giá trị lớn nhất của m bằng 2 2  2 .
Câu 77: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho hai số phức z ; z thỏa mãn z  3i  5  2 và 1 2 1
iz  1  2i  4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  2iz  3z . 2 1 2 A. 313  16 . B. 313 . C. 313  8 . D. 313  2 5 Lời giải. Chọn A M I N 1 I2
Ta có z  3i  5  2  2iz  6  10i  4 . 1 1
Suy ra điểm M biểu diễn số phức 2iz nằm trên đường tròn T có tâm I 6; 10  và có bán kính 1   1  1 là R  4 . 1
Mặt khác, iz  1  2i  4  3
z  6  3i  12 nên điểm biểu diễn số phức 3
z là điểm N nằm 2 2 2
trên đường tròn T có tâm I 6; 3 và có bán kính là R  12 . 2   2  2 45
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Ta thấy 2iz  3z  2iz  3  zMN . 1  2  1 2
T lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất, khi đó bốn điểm M , I , I , N theo thứ tự thẳng hàng. 1 2
Vậy giá trị lớn nhất của MN I I R R  313  16 . 1 2 1 2
z  3  2i  1 
Câu 78: Cho hai số phức z, w thỏa mãn 
. Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức
w  1  2i w  2  min   i
P z w . 3 2  2 5 2  2 3 2  2 A. P  . B. P  2  1. C. P  . D. P  . min 2 min min 2 min 2 Lời giải Chọn C. Cách 1 :
Giả sử z a bi a,b   , w x yi x, y   . 2 2
z  3  2i  1  a  3  b  2  1 (1) 2 2 2 2
w  1  2i w  2  i  x  1  y  2  x  2  y  1 .
Suy ra x y  0 . P z w
a x2 b y2
a x2 b x2           .
Từ (1) ta có I 3; 2 , bán kính r  1 . Gọi H là hình chiếu của I trên d : y  x . x  3  t
Đường thẳng HI có PTTS  . y  2   t
M HI M 3  t; 2  t  1 t   2 M C 2  2t  1    1 t     2  1 1  5  2
t  2  M 3  ; 2    , MH   2 2  2  1 1  5  2
t  3  M 3  ; 2    , MH   2 2  2 5 2  2 Vậy P  . min 2 46
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Cách 2 :
z  3  2i  1 điều này cho thấy M z đang nằm trên hình tròn tâm I 3; 2 bán kính bằng 1.
w  1  2i w  2  i điều này cho thấy N w đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường thẳng  là
trung trực của đoạn AB với A 1  ; 2   ,B2;  1 .
 : x y  0. (Minh hoạ như hình vẽ) y y M 2 2 I M I N B 1 1 -1 x -1 x O 2 3 O 2 3 N A -2 -2 Δ
P z w MN. 3  2 5 2  2 P
d I ,   R   1  . min   2 2
Câu 79: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho z a bi và z c di là 2 số phức thỏa mãn: 1 2 2 z  4 và z
c d  10 . Gọi M là giá trị lớn nhất của biểu thức T ac bd cd . Hãy chọn khẳng định 1   1 đúng về M .
A. M 11; 15 .
B. M 15;17 .
C. M 11;12 .
D. Không tồn tại M . Lời giải Chọn A. 2  z  4  2 2  1 a b  4 Ta có    .  z c d  10 c d  5  1    Khi đó:
T ac bd cd   2 2 a b  2 2
c d   ( c 5  c) 
c    c2 2 2 2 5  5c c . Đặt 2 2
f (c)  2 2c  10c  25  5c c . 4c  10 2  2 2c 10c 25     5
Ta có f c 
 5  2c  2c  5   c  2
2c  10c  25  2 2c 10c 25    2   Bảng biến thiên: 47
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
c  5  2
f c 0 
f c 25 5 2  4   Dựa vào bảng biến thiên ta 25 có M  5 2   13, 3 . 4 a b  2  Dấu bằng xảy ra khi  5 . c d   2 1 1
Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn 3 z
 2 và M max z
. Khẳng định nào sau đây đúng? 3 z z  7  A. M  1  ; 2 . B. M  2;   .  2   5  C. M  1;   . D. 2 M M  5 .  2  Lời giải Chọn C. 3 3  1  1  1  1  1   1  Ta có 3 z   z   3 z  3   z   z   3 z 3   3      z zz zz   z  3 3 3 1  1   1   1   1   z   z   3 z z   3 z   2 . 3         zz   z   z   z  3 3  1   1  1 1 Mặt khác: z   3 z   z   3 z      .  z   z z z 3 1 1 1 Suy ra: z   3 z
 2 . Đặt t z   0 ta được: z z z 3
t  3t  2  0  t  t  2 2 1  0  t  2 . Vậy M  2 . z  3
Câu 81: Cho số phức z x yi với x, y là các số thực không âm thỏa mãn  1 và biểu thức z  1  2i 2 2 2 2  2   P z z i z
z z 1 iz 1 i       
. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của    
P . Môđun của M mi là A. 3 . B. 1 . C. 4. D. 2 . 48
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Lời giải Chọn B. z  3 Ta có
 1  z  3  z  1  2i x y  1 . z  1  2i 2 2 2 2  2   P z z i z
z z 1 iz 1 i        2 2
 16x y  8xy(x y) 2 2
 16x y  8xy .     x y2 1
Đặt t xy ta có 0  t   . 4 4  1 
Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2
P  16t  8t , với t  0;  ta được P  0 ; P  1 Vậy 4  max min  
M mi  1 . 1 3 1 3
Câu 82: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hai số phức z   i, z    i . 1 2 2 2 2 2
Gọi z là số phức thỏa mãn 3z  3i  3 . Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
T z z z z z . Tính mô đun của số phức w  M mi . 1 2 2 21 4 3 A. . B. 13 . C. . D. 4 3 3 Lời giải Chọn A.
Giả sử M, A, B lần lượt biểu diễn số phức z x yi, z , z . 1 2 1 1
Từ giả thiết 3z  3i  3 ta có: 2 2 x  (y  )  . 3 3 y  1  1
Nên M thuộc đường tròn tâm I 0; , R    . M  3  3 3
Ta có T MO MA MB . 2 A B Để T
thì M trùng O, A, B nên min I 2 2 1  3    T  2OA  2     2 . min   2  2      1 1 x Để T thì OM và (MA  ) MB
nên OM  2R và M nằm O 1 max max max - 2 2   2 
chính giữa cung nhỏ AB và M  0;  . Do vậy  3  2 2 2 1  3 2    4 T
OM  2MA   2      . max   3 2  2 3    3   2  4  2 21 Vậy 2 2 2
w  M m   2    .  3 3  49
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Câu 83: Cho hai số phức z và w thỏa mãn các điều kiện sau:
iz  2i  2  z  1   .
max w  2  2i , w    2 
Tìm giá trị nhỏ nhất của z w . 9 13 5 1 A. . B. . C. . D. . 2 5 2 5 2 2 5 Lời giải Chọn B.
Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của z, w với M x; y .
Ta có iz  2i  2  z  1  z  2  2i z  1
 x  2   y  2  x  2 2 2 2 1  y  2
x  4y  7  0 .
Do đó, M thuộc nửa mặt phẳng bờ  : 2
x  4y  7  0 không chứa O , kể cả bờ.
Ta có max w  2  2i , w   2 suy ra
w  2  2i  2
NI  2 , I  2    ; 2    .  w  2 NO  2  
Do đó, N thuộc phần chung của hai hình tròn
I; 2 và O; 2.
Dễ thấy hai hình tròn này tiếp xúc ngoài tại điểm E 1;  1 . Do đó, N  1  ; 1 .
Ta thấy z w MN nên z w nhỏ nhất khi MN ngắn nhất, khi đó M là hình chiếu của N trên  . 2  1  4.1  7 13
Ta có d N,    .  2 2 2 5 2  4 13
Vậy min z w  . 2 5
Câu 84: [CHUYÊN NGỮ LẦN 1-2018] Cho hai số phức z ; z thỏa mãn z  3i  5  2 và iz  1  2i  4 . 1 2 1 2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  2iz  3z . 1 2 A. 313  16 . B. 313 . C. 313  8 . D. 313  2 5 . Lời giải Chọn A. 50
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Đặt 2iz a bi, 3
z c di a; ;
b c; d   , gọi Aa; b , Bc; d . 1 2   a bi 2 2
Có z  3i  5  2 
 3i  5  2  a  6  10  bi  4  a  6  b  10  16 nên 1 2i
A  I  có tâm I  6
 ;  10 bán kính R  4 . c di 2 2
Có iz  1  2i  4  i.
 1  2i  4  3  d  c  6 i  12  c    d   2 6 3  12 nên 2 3 
B   J có tâm J 6; 3 , bán kính  R  12 . 2 2
Có T  2iz  3z
a c  b d  a c  b d  AB . 1 2
Do A   I  , B J , IJ  313  R   R  16 nên ABR  
R IJ  16  313 . Max
Câu 85: Xét các số phức z a bi,(a,b  ) thỏa mãn z  3  2i  2. Tính a b biết biểu thức
S z  1 2i  2 z  2  5i đạt giá trị nhỏ nhất. A. 4  3 . B. 2  3 . C. 4  3 . D. 3. Lời giải: Chọn A Giả thiết 2 2
z  3  2i  2  (T) : (a  3)  (b  2)  4 B 5 Gọi ( A 1  ; 2), (
B 2; 5), M(a; )
b lần lượt là các điểm biểu diễn của M
các số phức z  1
  2i, z  2  5i, z a bi 1 2 3 I
Bài toán trở thành: Tìm M (T) sao cho biểu thức A J
S MA  2MB nhỏ nhất -1 O Ta có 2 2 2 2
MA  (a  1)  (b  2)  a b  2a  4b  5 2 2 2
 2 a b  4a  4b  8 2 2
 2 (a  2)  (b  2)  2MC với C(2; 2) 51
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
Ta có MA  2MB  2(MB MC)  2BC dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi B, M, C theo thứ tự đó thẳng hàng.
Phương trình đường thẳng BC : x  2
M là giao của của BC và (T)  M(2; 2  3)  a b  4  3 .
Câu 86: Cho các số phức z , z , z thỏa mãn
2 z  2 z z z  6 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 3 1 2 1 2
P z z z z z . 1 2 9
A. P  6 2  2
B. P  3 2  3 .
C. P  6 2  3 . D. P  2  3 . 2 Lời giải Chọn C. A ' A 600 M ' 6 2 6 M 600 O 6 B
Chọn A, B, M lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z , z , z , 1 2
Dựa vào điều kiện 2 z  2 z z z  6 2  OA OB  6 , AB  6 2 . 1 2 1 2
Suy ra ta có tam giác OAB vuông cân tại O .
Phép quay tâm B góc quay 0 60  ta có: Q : A   A  0 B,60  M M
Do tam giác  BMM đều  AM AM , BM MM
Suy ra P z z z z z OM AM BM OM MM   A M  O A . 1 2
Dấu "  " xảy ra khi O, M, M ,  A thẳng hàng. 
Khi đó tam giác OBA có OB  6 , B
A BA  6 2 và 0 OBA  105 . Từ đó suy ra 2 2 0 O
A OB B A  2O .
B BA .cos105  6 2  3 .
Vậy min P  6 2  3 .
Câu 87: Cho hai số phức z,  thỏa mãn z  1  z  3  2i ;   z m i với m   là tham số. Giá trị của m
để ta luôn có   2 5 là: 52
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 m  7 m  7 A.  . B.  . C. 3   m  7 .
D. 3  m  7 . m  3  m  3   Lời giải Chọn B.
Đặt z a ib,a,b   có biểu diễn hình học là điểm M  ; x y 2 2 2
z  1  z  3  2i x  1  iy x  3   y  2i  x   2
1  y  x  3  y  2
 2x  1  6x  9  4y  4  2x y  3  0
Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng  : 2x y  3  0 .
Ta có:   2 5  z m i  2 5  x m    y  1 i  2 5
 x m2   y  2 1
 2 5  MI  2 5 với I m;   1 .
Mà ta có MI d I, 2m  4
Nên MI  2 5  d I,  2 5 
 2 5  2m  4  10 5  2  m  4  10 m  3      . 2  m  4  10  m  7  z  1 1
Câu 88: Cho số phức z thỏa mãn 
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z i  2 z  4  7i z  3i 2 A. 20 . B. 10 . C. 12 5 . D. 4 5 . Lời giải Chọn A.
Gọi z x yi ,  x, y   . z  1 1 2 2 Ta có  
2 z  1  z  3i  x   2 2 2
1  y x  y  3 z  3i 2 2 2
x y  4x  6y  7  0 . 2 2 2
Lại có P z i  2 z  4  7i 2
x   y  
1  2 x  4  y  7
 4x  8y  8  2 4
x  8y  72 .
Mặt khác  x y    x y  2 4 8 8 2 4 8 72
 5.80  4x  8y  8  2 4
x  8y  72  20 Suy ra P  20 . 53