26 trang 28 lượt tải

Bài toán tìm điểm trên đồ thị hàm số Toán 12

56

Tài liệu gồm 26 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề tìm điểm trên đồ thị hàm số, có đáp án và lời giải chi tiết; hỗ trợ học sinh lớp 12 trong quá trình học tập chương trình Toán 12 phần Giải tích chương 1.

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 375 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 năm trước
Danh sách Quiz
/26
CHỦ ĐỀ 9: BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ
Dạng 1: Tìm điểm M liên quan đến yếu tố độ dài, khoảng cách
Điểm M thuộc đồ thị hàm số
( ) ( )
( )
00
;
= ⇒y fx Mx fx
.
Khoảng cách từ điểm M đến trục
Ox
bằng:
( ) ( )
0
;
=d M Ox f x
.
Khoảng cách từ điểm M đến trục
Oy
bằng:
( )
0
; =
d M Oy x
.
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng
:0
∆ + +=ax by c
là:
( )
(
)
00
22
.
;
++
∆=
+
ax b f x C
dM
ab
.
Khoảng cách giữa hai điểm MN bằng
( ) ( )
22
− +−
MN MN
xx yy
.
Ví dụ 1: Cho hàm số:
( )
2
1
+
=
−
x
yC
x
. Tìm điểm M thuộc
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng
= −yx
bằng
2
.
Lời giải
Gọi
(
)
( )
2
; , 1.
1
+

∈≠

−

a
Ma C a
a
Khoảng cách từ M đến đường thẳng
= −yx
là:
2
2
1
2 22 1
2
+
+
−
= = ⇔ += −
a
a
a
d aa
( )
( )
2
2
2
0 0; 2
2 40
20
2 2; 0
20
=⇒−
− +=
⇔ ⇔+=⇔
=−⇒ −
+=
aM
aa
aa
aM
aa
Vậy tọa độ điểm M cần tìm là
(
)
0; 2−
M
hoặc
( )
2; 0
−M
.
Ví dụ 2: Cho hàm số
( )
21
1
+
=
−
x
yC
x
. Gọi M là điểm nằm trên đồ thị
( )
C
và
,
HK
tương ứng là hình chiếu
vuông góc của M trên các trục
Ox
và
Oy
. Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn tứ giác
MHOK
có diện tích
bằng 2.
A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.
Lời giải
Gọi
( )( )
21
;1
1
+

∈≠

−

a
Ma C a
a
. Tứ giác
MHOK
là hình chữ nhật.
Ta có:
( ) ( )
. ;. ;
= =
MHOK
S MH MK d M O x d M Oy
22
2
22
1
2 2 2 2 20
212
.2
2
11
2 2 2 2 3 20
2

=
+= − −+=
++
===⇔ ⇔⇔

−−
+=− + + −=

= −
a
aa a aa
a aa
a
aa
aa a a a
a
Vậy
1
;4
2



M
hoặc
( )
2:1
−
M
. Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hàm số
( )
1
1
−−
=
−
x
yC
x
. Có bao nhiêu điểm
( )
∈MC
để khoảng cách từ M đến đường thẳng
: 21
∆=−
yx
bằng
3
5
.
A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.
Lời giải
Gọi
( )
( )
1
;1
1
−−

∈≠

−

a
Ma C a
a
. Ta có:
( )
1
21
3
1
:2 1 0 ;
55
+
+−
−
∆ − −= ⇒ ∆= =
a
a
a
x y dM
22
2
22
1
2 2 23 3 2 5 50
2 2 23 1
2
2 2 2 3 3 2 10
1
a
aa a aa
aa a
a a a aa
a

=
− += − − +=
⇔ − + = −⇔ ⇔ ⇔

− + =− + + −=

= −
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.
Ví dụ 4: Cho hàm số
3
21=−+yx x
. Tìm tất cả các điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M
đến trục tung bằng 1.
A.
( )
1; 0M
hoặc
(
)
1; 2
−
M
. B.
( )
0;1M
hoặc
(
)
2; 1
−
M
.
C.
( )
1; 0M
. D.
( )
2; 1
−
M
.
Lời giải
Khoảng cách từ M đến trục tung bằng 1, suy ra
( )
(
)
1; 0
10
1; 2
12
=⇒=
⇒
−
=−⇒ =
MM
MM
M
xy
M
xy
Chọn A.
Ví dụ 5: Cho hàm số
3
3= −yx x
có đồ thị
và điểm
( )
1; 3−K
. Biết điểm
( )
;M xy
trên
( )
C
thỏa mãn
1≥−
M
x
và độ dài
KM
nhỏ nhất. Tìm phương trình đường thẳng
OM
.
A.
2.=yx
B.
.= −yx
C.
3.=yx
D.
2.= −yx
Lời giải
Điểm
( ) (
)
( )
3
; ;3∈⇒ −
M xy C M xx x
với
1≥−x
.
Ta có
( )
( )
( )
2
2
33
1; 33 1 33KM x x x KM x x x=− −+⇒ = −+ −+
. Đặt
( ) ( )
( )
2
2
3
1 3 3.=−+ −+fx x x x
Xét hàm số
( )
fx
trên đoạn
[
)
1;− +∞
, ta có
( ) ( )
( )( )
23
2 1 6 1 3 3 ; 1.
′
= − + − − + ∀ ≥−fx x x x x x
Phương trình
( ) ( ) ( )
( )
( )
3
0 1.1 3 1 3 3 0 1

′
=⇔ − + + − + =⇔=


gx
fx x x x x x
vì
( )
0; 1.≥ ∀ ≥−gx x
Giá trị nhỏ nhất của
( )
fx
bằng 1. Dấu
""=
xảy ra khi
( ) ( )
1 1; 2 : 2 .=⇒ −⇒ =−x M OM y x
Chọn D.
Ví dụ 6: Cho hàm số
( )
21
1
−
=
+
x
yC
x
. Tổng khoảng cách từ một điểm M trên
(
)
C
đến hai đường tiệm cận
đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
A.
2 3.
B.
2.
C.
4.
D.
4 3.
Lời giải
Gọi điểm
( )
21
;
1
−

∈

+

a
Ma C
a
. Hai đường tiệm cận của
( )
C
là
1
= −x
và
2.=y
Suy ra khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng
( )
( )
1
2
,1 1
.
3
,2
1
= =−=+
= = =
+
d dMx a
d dMy
a
Khi đó tổng khoảng cách sẽ bằng
12
33
1 2 1 . 2 3.
11
= + = ++ ≥ + =
++
dd d a a
aa
Chọn A.
Ví dụ 7: Tìm tất cả những điểm thuộc trục hoành cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
32
32=−+yx x
.
A.
( )
1; 0 .−M
B.
( )
1; 0 .M
C.
( )
2; 0 .M
D.
( )
1; 0 .M
Lời giải
Ta có:
(
) ( )
2
02
3 6 0 0; 2 ; 2; 2
22
=⇒=
′
= −=⇔ ⇒ −
=⇒=−
xy
yxx A B
xy
. Gọi
( )
;0Mt
Khi đó
( ) ( )
2
2 22
4 2 4 1 1; 0= ⇔ += − +⇔=⇒MA MB t t t M
.
Chọn D.
Ví dụ 8: Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số
2
1
+
=
−
x
y
x
mà khoảng cách từ M đến trục
Oy
bằng hai
lần khoảng cách từ M đến trục
Ox
?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải
Gọi
( )
2
;1
1
+

≠∈

−

a
Ma a
a
đồ thị hàm số đã cho.
Ta có:
( ) ( )
2
; ;;
1
+
= =
−
a
d M Oy a d M Ox
a
Theo giả thiết ta có:
2
2
2
2
2 3 20
21
1
2 2;
2
12
2 20
2
1
+
=
− −=
+
−
= ⇔ ⇔ ⇔= =−
+
−
− +−=
= −
−
a
a
aa
a
a
a aa
a
a
aa
a
a
Vậy có 2 điểm
(
)
2; 4A
và
1
;1
2

−−


B
. Chọn C.
Ví dụ 9: Tìm trên đồ thị hàm số
21
1
+
=
−
x
y
x
những điểm
M
sao cho khoảng cách từ
M
đến tiệm cận đứng
bằng ba lần khoảng cách từ
M
đến tiệm cận ngang của đồ thị.
A.
7
4;
5

−


M
hoặc
(
)
2;5M
. B.
( )
4;3M
hoặc
( )
2;1 .−M
C.
( )
4;3M
hoặc
( )
2;5 .M
D.
7
4;
5

−


M
hoặc
( )
2;1−M
.
Lời giải
Tiệm cận đứng:
1=
x
. Tiệm cận ngang
2=y
. Gọi
21
;
1
+


−

a
Ma
a
Khi đó:
( ) (
)
21 3
; 2 , ; 1.
11
a
d M TCN d M TCD a
aa
+
= −= =−
−−
Theo bài ra ta có:
( )
( )
( )
2
4 4; 3
3
1 3. 1 9 .
2 2;1
1
= ⇒
−= ⇔ − =⇔
=−⇒ −
−
aM
aa
aM
a
Chọn B.
Ví dụ 10: Giả sử đường thẳng
: ,0= >d x aa
cắt đồ thị hàm số
21
1
+
=
−
x
y
x
tại một điểm duy nhất, biết
khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng 1; ký hiệu
( )
00
;xy
là tọa độ của điểm
đó. Tìm
0
y
.
A.
0
1.= −y
B.
0
5.=y
C.
0
1.
=y
D.
0
2.=y
Lời giải
Gọi
( )
21
;0
1
+

>

−

a
Ma a
a
là điểm cần tìm. TCĐ của đồ thị hàm số đã cho là:
1=x
Khi đó
( )
0
0
21
; 1 1 11 2 5
1
>
+
= = ⇔ − = → = ⇒ = =
−
a
a
dMx a a y
a
.
Chọn B.
Ví dụ 11: Cho hàm số
( )
1
2
+
=
−
x
yC
x
. Gọi
M
là điểm thuộc
( )
C
sao cho tích khoảng cách từ điểm
M
đến
trục
Ox
và đến đường tiệm cận ngang bằng 6. Tổng hoành độ các điểm
M
thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng
A.
1.−
B.
9
.
2
C.
8.
D.
4.
Lời giải
Gọi
( )
1
;2
2
+

≠

−

a
Ma a
a
. TCĐ:
2=
x
và TCN:
1=y
a) Ta có:
( )
1
1
;
2
+
= =
−
a
d M Ox d
a
;
( )
2
13
; :1 1
22
+
= = −= =
−−
a
d M TCN y d
aa
Theo bài ra ta có:
( )
( )
( )
(
)
( )
2
2
12
2
2
2
1
2
1 1; 2
2
31
2 9 70
6
77
1
;3
2 7 90
2
2
22
2
a
aM
a
a
aa
dd
a
aM
aa
a
a
+
=
=⇒ −
−
+
− +=
==⇔⇔ ⇔

+
= ⇒
− +=
−

= −

−
Vậy
( )
1; 2−M
hoặc
7
;3
2



M
là các điểm cần tìm. Chọn B.
Dạng 2: Tìm 2 điểm liên quan đến yếu tố đối xứng, yếu tố khoảng cách.
Tìm 2 điểm đối xứng:
Gọi
( )
( )
;Aaf a
và
( )
(
)
;
Bbf b
( )
≠ab
là hai điểm thuộc đồ thị hàm số
( )
=y fx
.
Hai điểm
,AB
đối xứng qua
(
)
( ) (
)
2
;.
2
+=α
αβ ⇔
+=β
ab
I
fa fb
Hai điểm
,AB
đối xứng qua trục tung
( ) ( )
.
= −
⇔
=
ab
fa fb
Tìm 2 điểm
,
AB
thuộc 2 nhánh của đồ thị sao cho độ dài
ngắn nhất
Bài toán: Cho hàm số
(
)
+
=
+
ax b
yC
cx d
. Tìm 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị
( )
C
sao cho
min
AB
.
Cách giải: Ta phân tích:
= +
+
ak
y
c cx d
trong đó
−
=
d
y
c
là tiệm cận đứng của (C)
Gọi
( ) ( )
11 2 2
;, ;Ax y Bx y
lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của
(
)
C
ta có:
12
<− <
d
xx
c
Đặt
( ) ( ) ( )
1
22
2
1 2 12 1 2
2
.
, ,0
.
= −
−−
α
= −α = +β α β> ⇒ ⇒ = − + −
= +
α
ak
y
dd
cc
x x AB x x y y
ak
cc
y
cc
( )
( )
( )
2
22
22
2
22
11 1
1.
.
kk
cc


= α+β + + = α+β +



αβ
αβ


Do
( )
2
4α +β ≥ αβ
và
( ) ( )
22
22
22
1 11
1 . 2 . 2.
.
..
+≥ =
αβ
αβ αβ
k
kk
c cc
Do đó
2
8
1
4 . .2 .
.
≥ αβ =
αβ
kk
AB
cc
. Dấu bằng xảy ra
1
.1
α=β
⇔
=
αβ
k
c
Ví dụ 1: Cho hàm số
(
)
32
3 43
=− −+yx x x C
.
a) Tìm 2 điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ
.O
b) Tìm tọa độ 2 điểm A và B đối xứng nhau qua trục
.Oy
Lời giải
a) Gọi
( )
;A ab
và
( )
;−−B ab
là 2 điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ
( )
0; 0O
.
Vì
,
AB
đều thuộc đồ thị
( )
C
nên ta có:
( ) ( ) ( )
32
32
3 43
3 43
=− −+
−=− − − − − +
ba a a
ba a a
32 32
32 2
1; 3
3 43 3 43
1; 3
3 43 0 6 6
= = −

=− −+ =− −+
⇔ ⇔⇔

=−=
−=− − + + =− +

ab
ba a a ba a a
ab
ba a a a
Vậy 2 điểm
,AB
cần tìm là:
(
) ( )
1; 3 : 1; 3−−AB
hoặc ngược lại.
b) Gọi
( )
;A ab
và
( )
;
−B ab
là 2 điểm đối xứng nhau qua trục
Oy
.
Vì
,AB
đều thuộc đồ thị
( )
C
nên ta có:
(
) ( ) ( )
32
32
3 43
3 43
=− −+
=− −− −−+
ba a a
ba a a
( )
32 32
32 3
0
3 43 3 43
2; 9
3 4 3 02 8
2; 9
==⇒≡

=− −+ =− −+
⇔ ⇔ ⇔= =−

=−− + + = −

=−=−
a b A B loai
ba a a ba a a
ab
baa a aa
ab
Vậy 2 điểm
,
AB
cần tìm là:
( ) ( )
2; 9 ; 2; 9− −−AB
hoặc ngược lại.
Ví dụ 2: Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm
,AB
thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số
3
22
−
=
−
x
y
x
sao cho
AB
ngắn nhất.
Lời giải
Ta có:
( )
1
2 22
3 11
2
22 22 2 1
−−
−
= = = −
−− −
x
x
y
xx x
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là
1.=x
Gọi
( )
( )
11 2 2
;, ;Ax y Bx y
lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của
( )
C
ta có:
12
1<<xx
Đặt
( )
( ) ( )
1
22
2
1 2 12 12
2
11
2
1, 1 , 0
11
2
= +
=− =+ >⇒ ⇒ = − + −
= +
y
a
x a x b a b AB x x y y
y
b
( ) ( )
(
)
2
22
2
11 1
1.


=+++ =+ +





ab ab
ab
ab
Ta có:
( )
2
2
22 22
4
2
4 . 8 2 2.
1 12
12
+≥
⇒ ≥ =⇒≥
+≥ =
a b ab
AB ab AB
ab
ab ab ab
Dấu
""=
xảy ra
31
1 0; , 2; .
1
22
1
=

⇔ ⇔==⇒ −

=

ab
ab A B
ab
Ví dụ 3: Tìm trên đồ thị hàm số
3
32yx x
=−+ +
hai điểm mà chúng đối xứng nhau qua tâm
( )
1; 3−I
.
A.
( )
0; 2
và
( )
2; 4 .−
B.
( )
1; 0−
và
( )
1; 6 .−
C.
( )
1; 4
và
( )
3; 2 .−
D. Không tồn tại.
Lời giải
Gọi
( ) ( )
( )
33
; 3 2; ; 3 2−+ + −+ + ≠Aa a a Bb b b a b
là 2 điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho và đối xứng nhau
qua điểm
( )
1; 3−I
.
Ta có:
(
)
(
)
1
33
33
1
2
22
32
3 2 3 22 6
+=−
+= =−
⇔

−++ +=
− + +− + += =
ab
ab x
a b ab
aa bb y
( ) (
)
3
33
2
2 2 0; 2
8 0 2; 0
38
+=−
+=− +=− = =−

⇔ ⇔ ⇔⇔

+=− = =− =
+ − +=−

ab
ab ab a b
a b ab a b
ab abab
Vậy
(
)
0; 2
và
( )
2; 4−
là cặp điểm cần tìm. Chọn A.
Ví dụ 4: Tìm trên đồ thị hàm số
3
2
11
3
33
=−++−
x
y xx
hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng nhau qua
trục tung.
A.
16
3;
3

−


hoặc
16
3; .
3

−−


B.
16
3;
3



hoặc
16
3; .
3

−


C.
16
;3
3



hoặc
16
;3 .
3

−


D. Không tồn tại.
Lời giải
Gọi
3
2
11
;3
33

−
++−


a
Aa a a
và
( )
3
2
11
;3
33

−
++− ≠


b
Bb b b a b
là 2 điểm thuộc đồ thị và chúng đối
xứng nhau qua trục tung.
Khi đó:
3 3 33
2 2 22
11 11 11 11
3 3 33
33333333
=−=−


⇔

−− −
++−= ++− ++−= +−−


ab ab
a b aa
aa bb aa aa
3
0
2
60
3
3
= −
= −

⇔⇔
=

−
−=

= ±
ab
ab
a
a
a
a
Với
00=⇒=⇒ ≡
a b AB
(loại).
Với
16 16
3 3 3; ; 3;
33

=±⇒ = ⇒ −


abAB
. Chọn B.
Ví dụ 5: Tìm trên đồ thị hàm số
2
42=−+ +yx x
hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng với nhau qua trục
tung.
A. Không tồn tại. B.
( )
2; 2A
và
( )
2; 2−B
.
C.
( )
1; 1−−A
và
( )
1; 1 .−B
D.
( )
3; 13−A
và
( )
3; 13 .−−B
Lời giải
Gọi hai điểm thỏa mãn đề bài là
( )
( )
;
0.
;
= −
⇒ ⇒≠

=
AA
AB
A
BB
AB
Ax y
xx
x
Bx y
yy
Khi đó ta có
( ) ( )
( )
2
2
4 2 4 24 4 0.− + +=−− + − +⇔ =− ⇔ =
AA A A A A A
xx x x x x x L
Suy ra không tồn tại hai điểm thỏa mãn đề bài. Chọn A.
Ví dụ 6: Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị
( )
36
:
1
+
=
+
x
Cy
x
các điểm
,AB
để độ dài
AB
đạt giá trị nhỏ nhất,
giá trị nhỏ nhất đó bằng:
A.
2 5.
B.
2 2.
C.
2 6.
D.
3 2.
Lời giải
Ta có:
( )
3 13
36 3
3
11 1
++
+
= = = +
++ +
x
x
y
xx x
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là
1.= −x
Gọi
( ) ( )
11 2 2
;, ;Ax y Bx y
lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của
( )
C
ta có:
12
1<− <xx
Đặt
(
) (
) ( )
1
22
2
1 2 12 1 2
2
3
3
1, 1 , 0
3
3
= −
=−− =−+ > ⇒ ⇒ = − + −
= +
y
a
x a x b a b AB x x y y
y
b
( ) ( )
( )
2
22
2
11 9
91


=++ + =+ +





ab ab
ab
ab
.
Ta có:
( )
2
2
22 22
4
6
4 . 24 2 6.
9 96
12
+≥
⇒ ≥ =⇒≥
+≥ =
a b ab
AB ab AB
ab
ab ab ab
Dấu bằng xảy ra
3
9
1
=
⇔ ⇔==
=
ab
ab
ab
. Chọn C.
Dạng 3: Bài toán tìm điểm kết hợp bài toán tương giao và tiếp tuyến
Bài toán 1: Tìm hai điểm
( )
( )
;Aaf a
và
( )
(
)
;
Bbf b
( )
≠ab
thuộc đồ thị hàm số
(
)
( )
=y fx C
sao
cho tiếp tuyến tại
A
và
B
của
( )
C
song song với nhau và
,AB
thỏa mãn điều kiện
K
.
Cách giải: Giải hệ phương trình
( ) ( )
′′
=fa fb
và điều kiện
K
.
Bài toán 2: Tìm hai điểm
,AB
thuộc đồ thị hàm số
( ) ( )
=y fx C
sao cho
⊥∆AB
(hoặc
//∆
AB
) và
,AB
thỏa mãn điều kiện
K
.
Cách giải:
Dựa vào giả thiết
⊥∆AB
hoặc
//∆AB
ta viết phương trình đường thẳng
AB
theo một tham số
m
nào đó.
Viết phương trình hoành độ giao điểm của
AB
và đồ thị
( )
C
.
Dựa vào điều kiện
K
để tìm giá trị của tham số
m
.
Ví dụ 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
4 41=+ ++yx x x
tại điểm
( )
3; 2−−A
cắt đồ thị tại điểm thứ hai
là
B
. Điểm
B
có tọa độ
A.
( )
1;10 .B
B.
( )
2;1 .−B
C.
( )
2;33 .B
D.
( )
1; 0 .−B
Lời giải
Ta có:
( )
2
3 84 37
′′
= + +⇒ − =yxx y
PTTT tại điểm
( )
3; 2−−A
là:
( )
7 3 2 7 19= + −= +
yx x
(d)
Phương trình hoành độ tiếp điểm của đồ thị và tiếp tuyến
d
là:
32
4 4 1 7 19+ + += +xxx x
(
) ( )
2
32
3 20 .
2 33
=−⇒ =−
⇔+ −=⇔
=⇒=
xy
xx
xy
Vậy
( )
2;33B
. Chọn C.
Ví dụ 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
1= − ++yx x x
tại điểm
A
cắt đồ thị tại điểm thứ hai là
( )
1; 2−−B
. Điểm
A
có tọa độ
A.
( )
2;5 .
A
B.
( )
1; 4 .−−A
C.
( )
0;1 .A
D.
( )
1; 2 .A
Lời giải
Ta có:
2
3 21
′
= −+
yx x
, gọi
( )
32
;1− ++Aaa a a
Phương trình tiếp tuyến tại
A
là:
( )
( )
2 32
3 21 1= − + − + − ++y a a xa a a a
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và tiếp tuyến là:
( )
(
)
32 2 32
13 21 1− + += − + − + − + +
x x x a a xa a a a
(
)
(
)
(
)( ) ( )
( )
(
)
22 2
3 21⇔− ++ −− ++−= − + −
xax xaa xaxa xa a a xa
( )
( )
22 2
13 2 1 0⇔ − + + − − +− + − =
xax xaa xa a a
( )
(
)
22
20
⇔ − + − −+ =
x a x xa a x a
( ) ( )
2
210
21
= ⇒
⇔ − + −=⇔
=−+
xa A
xa x a
xa
Do
( )
1 2 1 1 1 1; 2=−⇔− +=−⇔ =⇒
B
x a aA
. Chọn D.
Ví dụ 3:
Điểm
M
thuộc đồ thị hàm số
(
)
32
: 32
=−+ +Cy x x
mà tiếp tuyến của
(
)
C
tại đó có hệ số góc
lớn nhất, có tọa độ là
A.
(
)
0; 2 .
M
B.
( )
1; 6 .
−
M
C.
( )
1; 4 .M
D.
( )
2; 6 .M
Lời giải
Ta có:
( )
2
2
3 6 3 1 33
′
= =− + =− − +≤ky x x x
Tiếp tuyến của
(
)
C
có hệ số góc lớn nhất là 3 khi hoành độ tiếp điểm là
1=x
Khi đó
( )
1; 4M
. Chọn C.
Ví dụ 4: Cho hàm số
( )
22
1
+
=
−
x
yC
x
. Gọi
,AB
là 2 điểm phân biệt trên
sao cho tiếp tuyến tại A và B
song song với nhau và
42=AB
. Tính
.= +T OA OB
A.
5.=T
B.
6.=
T
C.
7.
=T
D.
8.=
T
Lời giải
Gọi
(
)
44
;2 , ;2 , 1,
11

+ + ≠≠

−−

A a B b ab a b
ab
. Do tiếp tuyến tại
,AB
song song với nhau nên ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
22
11
44
2.
11
11
−= −
′′
= ⇔ = ⇔ ⇒+=
−=−
−−
a bl
ya yb a b
ab
ab
Ta có:
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
(
)
2
22 2
2
2 22
16
9 16
11
11
11

−
=−+ =−+ =−+

−−+ −
−−




ab
AB ab ab ab
ab a b ab
ab
( )
( )
( )
( )
2
22
16 16
4 1 41 1 .
11


=+− + =− +


−−


a b ab ab
ab ab
Đặt
1= −t ab
ta có:
2
2
16 16
4 1 32 8 4 3
3
+=

+ = ⇔+ = ⇔ = ⇒ =−⇒

= −

ab
t t t ab
ab
tt
13
34
=−⇒ =
⇔
=⇒=
ab
ab
Vậy
( ) ( )
1; 0 , 3; 4−AB
hoặc ngược lại suy ra
6=+=T OA OB
. Chọn B.
Ví dụ 6: Cho hàm số
(
)
2
1
−+
=
−
x
yC
x
. Gọi
,AB
là 2 điểm phân biệt trên
sao cho tiếp tuyến tại A và B
song song với nhau và tam giác
OAB
vuông tại
O
. Tính độ dài
AB
A.
4.=AB
B.
2.=AB
C.
2 2.
=
AB
D.
2.=
AB
Lời giải
Gọi
22
; ,;
11
−+ −+


−−

ab
Aa Bb
ab
. Do tiếp tuyến tại
,AB
song song với nhau nên ta có:
( ) ( )
( )
(
)
22
11
11
2
11
11
−= −
−−
′′
= ⇔ = ⇔ ⇒+=
−=−
−−
ab
ya yb a b
ab
ab
Mặt khác
∆
OAB
vuông tại
O
nên:
( )( )
( )( )
22
.0
11
ab
OA OB ab
ab
−−
=+=
−−
( )
( )
0, 2
42
0 00
2, 0
11
= =
− ++
⇔+ =⇔+ =⇔=⇔
= =
−++ −
ab
a b ab
ab
ab ab ab
ab
ab a b ab
Vậy 2 điểm cần tìm là
(
) (
)
2; 0 , 0; 2 2 2−⇒ =
A B AB
. Chọn C.
Ví dụ 7: Cho hàm số
( )
3
43=−+yx x C
. Gọi
,AB
là 2 điểm phân biệt trên
( )
C
sao cho tiếp tuyến tại
A
và
B
có cùng hệ số góc và đường thẳng đi qua
,
AB
vuông góc với đường thẳng
: 5 70+ −=dx y
. Tính độ
dài
AB
A.
8.=AB
B.
12.=
AB
C.
6 2.=AB
D.
6 26.=
AB
Lời giải
Gọi
( ) ( )
33
; 4 3, ; 4 3−+ −+A aa a B bb b
( )
≠ab
.
Ta có:
( ) (
)
( )
22
33
=
′′
= ⇔=⇔
= −
a bl
ya yb a b
ab
+) Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
33 2 2
;4 ; 4ABbab a ba babab baa− −− − =− − ++−
,
( )
5;1
d
u −
Do đó chọn
( )
( )
2
22 22
1; 4 . 0 5 4 0 9
AB AB d
u b ab a u u b ab a a b ab= ++−⇒ =⇔−+++−=⇔+ −=
2
3, 3
9
3; 3
= = −
⇔=⇔
=−=
ab
a
ab
Vậy
( ) ( )
3;18 , 3; 12−−AB
hoặc ngược lại suy ra
6 26=AB
. Chọn D.
Ví dụ 8: Cho hàm số
3
3= −yx x
có đồ thị
. Xét điểm
M
thuộc
( )
C
. Tiếp tuyến của
tại
M
cắt
( )
C
tại điểm thứ hai
(
)
≠
NM N
thỏa mãn
3+=−
MN
xx
. Hoành độ điểm
M
là
A.
3.
B.
1.
−
C.
1.
D.
3.
−
Lời giải
Vì
( )
(
)
3
;3∈⇒ −
M C M mm m
. Ta có
( )
22
3 3 3 3.
′′
= − → = −y x ym m
Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại
M
là
( ) ( ) ( )
.
′
−= −y ym y m x m
(
)
( )
( )
(
)
32 2 3
333 33 3
⇔−+= −−⇔= −−+−ym m m xm y m xm m m
(d).
Hoành độ giao điểm của
(
)
d
và
( )
C
là nghiệm phương trình
(
)
( )
32 3
33 3 3
−= − −+−x x m xm m m
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
33 2 2 2 2
3 33 3 33⇔−− −= − −⇔− ++ − −= − −x m xm m xm xmx mxm xm m xm
( )( )
2 22 2 2
0
.
20
33 3 2 2
=
−= = =

⇔ ⇔⇔ ⇔

− +=
++−= − +− =−

xm
xm xm xm
xmx m
x mx m m x mx m x m
Suy ra
2 3 3.
2
=
→ + = − = − = − ⇔ =
= −
M
MN
N
xm
x x mm m m
xm
Vậy
3
=
M
x
. Chọn A.
Ví dụ 9: Cho hàm số
( )
23
1
+
=
−
x
yC
x
. Gọi
,AB
là 2 điểm phân biệt trên
( )
C
sao cho
,AB
đối xứng nhau
qua đường thẳng
: 5 11 0+ −=
dx y
. Tính tổng tung độ
+
AB
yy
A.
3.+=
AB
yy
B.
2.+=
AB
yy
C.
4.
+=−
AB
yy
D.
4.+=
AB
yy
Lời giải
Viết lại phương trình đường thẳng
1 11
:
55
dy x=−+
Vì
( )
⊥
AB d
nên phương trình đường thẳng
AB
có dạng:
5= +y xm
Phương trình hoành độ giao điểm của
AB
và
( )
C
là:
(
) ( )
2
1
23
5
5 7 30
1
≠
+
= +⇔
= + − − −=
−
x
x
xm
gx x m x m
x
Để
AB
cắt
tại 2 điểm phân biệt
( )
0⇔=gx
có 2 nghiệm phân biệt khác
( )
( ) ( )
2
50
10
0
7 12 3 0
−≠
≠
⇔⇔

∆>
− + +>
g
I
mm
(*).
Khi đó gọi
( ) ( )
11 2 2
;5 , ;5++Ax x m Bx x m
. Theo định lý Viet ta có:
12
12
7
5
3
5
−
+=
−−
=
m
xx
m
xx
Trung điểm
I
của
AB
:
( )
12
12
5
;
22
+

+
+


xx
xx
Im
hay
(
)
77
;
10 2
−+

∈


mm
Id
7 5 35
11 3
10 2
mm
m
−+
⇒ + =⇔=−
Với
( ) ( ) ( )
3 0; 3 , 2; 7 4=− ⇒ − ⇒+=
AB
m tm A B y y
. Chọn D.
Ví dụ 10: Cho hàm số
( )
1
2
x
yC
x
−
=
+
và 2 điểm
,CD
thuộc đường thẳng
:4
dy x= −
. Gọi 2 điểm
,AB
là hai điểm phân biệt nằm trên
( )
C
sao cho tứ giác
ABCD
là hình chữ nhật có đường chéo bằng
5
2
. Độ
dài
AB
khi đó thỏa mãn
A.
1.AB <
B.
3
1.
2
AB<<
C.
35
.
22
AB<<
D.
5
.
2
AB >
Lời giải
Do
//AB CD
nên phương trình đường thẳng
:AB y x m= +
( )
4m ≠
PT hoành độ giao điểm của
AB
và
( )
C
là:
( ) ( )
2
2
1
1 2 10
2
x
x
xm
gx x m x m
x
≠−
−
=+⇔
= + + + +=
+
( )
2
20
30
0
6 30
g
mm
−≠
≠
⇔⇔

∆>
− −>
Khi đó gọi
( ) ( )
11 2 2
; ,B ;Ax x m x x m++
ta có:
12
12
1
21
xx m
xx m
+ =−−
= +
Ta có:
( ) ( )
(
)
22
22
1 2 1 2 12
2 2 4 2 63AB x x x x x x m m

= − = + − = −−

,
( )
4
;
2
m
AD d AB CD
+
= =
( ) ( )
( )
2
22
22 2 2
1 2 1 2 12
8 16
2 2 4 2 63
2
mm
AB AD AC x x x x x x m m
++

+ = = − = + − = − −+

( )
2
1
5 25
82
21
22
5
m
mm
m loai
= −
= − += ⇔
=
Với
( ) ( )
( ) ( )
1
1
1 1; 0 , 1; 2
1
1 1; 2 , 1; 0
x AB
m
xAB
=⇒ −−
=−⇒
=−⇒ − −
Kết luận: Vậy 2 điểm thỏa mãn ycbt là:
( )
( )
1; 0 , 1; 2 2 2AB
−− ⇒ =
. Chọn D.
Ví dụ 11: [Đề thị THPT Quốc gia 2018] Cho hàm số
2
2
x
y
x
−
=
+
có đồ thị
( )
C
. Gọi
I
là giao điểm của
hai tiệm cận của
( )
C
. Xét tam giác đều
ABI
có hai đỉnh
,AB
thuộc
( )
C
, đoạn thẳng
AB
có độ dài bằng
A.
2.
B.
4.
C.
2 2.
D.
2 3.
Lời giải
Giao điểm của 2 đường tiệm cận là
( )
2;1I −
là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Hàm số đã cho là hàm đồng biến, có 2 trục đối xứng là 2 đường phân giác của các đường tiệm cận có
phương trình là
yx
=
và
yx= −
.
Do tính chất đối xứng nên
::AB d y x AB y x m⊥ =−⇒ = +
Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
C
và
là:
( ) ( )
2
2
2
1 2 20
2
x
x
xm
gx x m x m
x
≠−
−
=+⇔
= + + + +=
+
Điều kiện để
cắt
( )
C
tại 2 điểm phân biệt là:
( ) ( )
( )
2
1 42 2 0
20
mm
g
∆= + − + >
−≠
Khi đó gọi là
( ) ( )
11 2 2
; ;;Ax x m Bx x m++
, theo Viet ta có:
12
12
1
22
xx m
xx m
+ =−−
= +
Tam giác
ABC
luôn cân tại
I
suy ra nó đều khi
( )
33
;
22
IH AB d I AB AB=⇔=
( )
( ) ( )
( )
22 2
2
1 2 1 2 12
3
3
2 3 3 4 3 2 18 8
2
2
m
x x m x x xx m m m
−

⇔ = − ⇔ − = + − = + +− −

( )
22
6 15 2 6 7 4mm AB mm⇔ − =⇒ = − −=
. Chọn B.
Dạng 4: Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số
Tìm điểm cố định:
Gọi
( )
00
;Mxy
là điểm cố định mà đồ thị hàm số
( )
y fx=
luôn đi qua.
Khi đó
( )
00
y fx=
biến đổi phương trình về dạng
(
) ( )
00 00
.; ;0
mgxy hxy

+=

Giải hệ phương trình
( )
( )
00
00
;0
;0
gx y
hx y
=
⇒
=
Tọa độ điểm M.
Tìm điểm có tọa độ nguyên:
Điểm
( ) ( ) ( )
;:M xy C y f x∈=
có tọa độ nguyên nếu tọa độ điểm
( )
;M xy
thỏa mãn
( )
y fx
x
y
=
∈
∈
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )
42
:1C y x mx m= + −−
. Tọa độ các điểm cố định thuộc đồ thị
( )
C
là
A.
( )
1; 0−
và
( )
1; 0 .
B.
(
)
1; 0
và
( )
0;1 .
C.
( )
2;1−
và
( )
2;3 .−
D.
( )
2;1
và
( )
0;1 .
Lời giải
Gọi
( )
00
;Mxy
là tọa độ điểm cố định của
( )
C
ta có:
(
)
42
00 0
1
y x mx m m
= + − − ∀∈
( )
( )
2
0
00
2 42
0
0 00
42 2
00
00 0
1
1; 0
10
1 10
1; 0
10 0
x
xy
x
mx x y m
xy
xy y
= ±
=−=

−=
⇔ − + − −= ∀∈ ⇔ ⇔ ⇔

= =
− −= =

Vậy tọa
độ các điểm cố định thuộc đồ thị
( )
C
là
( )
1; 0−
và
( )
1; 0
. Chọn A.
Ví dụ 2: Gọi các điểm
,
MN
là các điểm cố định mà đồ thị hàm số
( )
32
3 31y x mx mx C=− +−
luôn đi
qua. Tính độ dài
MN
.
A.
1.MN
=
B.
2.MN =
C.
2.MN =
D.
4.MN =
Lời giải
Gọi
( )
00
;
Mx y
là tọa độ điểm cố định thuộc
( )
C
ta có:
( )
32
00 0 0
3 31y x mx mx m= − + −∀∈
( )
( )
2
00
23
00
00 0 0
3
00
00
1; 0
0
3 10
0; 1
1
xy
xx
mx x y x m
xy
yx
= =
−=
⇔ − + +− = ∀ ∈ ⇔ ⇔
= = −
+=
Vậy
( ) (
)
1; 0 , 0; 1 2
M N MN−⇒ =
. Chọn B.
Ví dụ 3: Cho hàm số
( ) ( )
32
3 2 12y mx mx m x C= − + −+
. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cố
định của đồ thị hàm số đã cho là
A.
2 2.yx
=−+
B.
2 2.yx= +
C.
2 2.yx=−−
D.
2 1.yx=−−
Lời giải
Gọi
( )
00
;
Mx y
là tọa độ điểm cố định thuộc
(
)
C
ta có:
( ) ( )
32
00 0 0
3 21 2y mx mx m x m= − + − + ∀∈
( )
( ) ( )
32
32
00 0
00 0 0 0
00
320
32 22 0 *
22
xx x
mx x x x y m
yx
−+=
⇔ − + − +− = ∀∈ ⇔
=−+
Như vậy đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định là nghiệm của hệ phương trình (*) và 3 điểm này đều
thuộc đường thẳng
22yx=−+
. Chọn A.
Ví dụ 4: Biết rằng đồ thị hàm số
42
1= + −−
y x mx m
luôn đi qua hai điểm cố định A và B. Tính độ dài
đoạn thẳng
.AB
A.
2 2.AB =
B.
2.AB
=
C.
1.AB
=
D.
4.AB =
Lời giải
Gọi
( )
00
;Mxy
là tọa độ điểm cố định thuộc
( )
C
ta có:
( )
42
00 0
1y x mx m m= + − − ∀∈
( )
( )
2
00
24
0
0 00
4
00
00
1, 0
10
1 10
1, 0
10
= =
−=
⇔ − + −− = ∀ ∈ ⇔ ⇔
=−=
−− =
xy
x
mx x y m
xy
xy
Khi đó
( ) ( )
1; 0 , 1; 0 2A B AB−⇒=
. Chọn B.
Ví dụ 5: Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số
( )
22
:
1
−
=
+
x
Cy
x
mà tọa độ là số nguyên?
A.
2.
B.
4.
C.
5.
D.
6.
Lời giải
Ta có:
( )
2 14
22 4
2
11 1
+−
−
= = = −
++ +
x
x
y
xx x
Điểm có tọa độ nguyên khi
∈x
và
1
+=
x
Ư
( ) { }
4 1;2;4=±±±
Khi đó có 6 điểm có tọa độ nguyên thuộc
( )
22
:
1
−
=
+
x
Cy
x
. Chọn D.
Ví dụ 6: Gọi
,MN
là hai điểm thuộc đồ thị hàm số
( )
32
1
+
=
+
x
yC
x
sao cho tọa độ của chúng là những số
nguyên. Tính độ dài
MN
A.
2 2.=MN
B.
2.=MN
C.
2.=
MN
D.
4.=
MN
Lời giải
Ta có:
(
)
3 11
32 1
3
11 1
x
x
y
xx x
+−
+
= = = −
++ +
Điểm có tọa độ nguyên khi
∈
x
và
1+=x
Ư
( ) { }
11 2
11
11 0
+=− =−

=±⇒ ⇒

+= =

xx
xx
Khi đó có 2 điểm có tọa độ nguyên thuộc
(
)
22
:
1
−
=
+
x
Cy
x
là
( ) ( )
2; 4 , 0; 2−MN
Khi đó
22
=MN
. Chọn A.
Ví dụ 7: Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số
( )
2
5 15
:
3
++
=
+
xx
Cy
x
mà tọa độ là số nguyên?
A.
6.
B.
7.
C.
5.
D.
8.
Lời giải
Ta có:
22
5 15 3 2 6 9 9
2
33 3
+ + + + ++
= = =++
++ +
x x x xx
yx
xx x
Điểm có tọa độ nguyên khi
∈
x
và
3+=x
Ư
( )
{ }
4
6
2
9 1;3;9
0
12
6
= −
= −
= −
=±±± ⇒
=
= −
=
x
x
x
x
x
x
Từ đó suy ra có 6 điểm có tọa độ là số nguyên thuộc
( )
C
. Chọn A.
Ví dụ 8: Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số
37
21
+
=
−
x
y
x
mà tọa độ là số nguyên?
A.
3.
B.
1.
C.
2.
D.
4.
Lời giải
Ta có:
( )
3 2 1 17
3 7 6 14 17
23
21 21 21 21
−+
++
= ⇒= = =+
− −− −
x
xx
yy
x xx x
Điểm có tọa độ nguyên khi
∈x
và
21x
−=
Ư
( ) { }
17 1; 17=±±
Suy ra
2 1 17 8 1
21 1 0 7
2 1 1 1 10
2 1 17 9 2
−=− =−⇒ =


−=− = ⇒ =−

⇒⇒

−= =⇒ =

−= = ⇒ =

x xy
x xy
x xy
x xy
Có 4 điểm có tọa độ là số nguyên. Chọn D.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Biết
( ) ( )
0; , ;1A y Bx
thuộc đồ thị hàm số
32
1=+−
yx x
khi đó giá trị
+xy
là
A.
1.−
B.
0.
C.
1.
D.
2.
Câu 2: Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số
42
21=−−yx x
?
A.
( )
1; 2 .
−
B.
(
)
2; 7 .
C.
( )
0; 1 .−
D.
(
)
1; 2 .−
Câu 3: Đồ thị hàm số
2
21= + −+
y x mx m
(
m
là tham số) luôn đi qua điểm
M
cố định có tọa độ là
A.
13
;.
22



M
B.
( )
1; 0 .
−M
C.
15
;.
24



M
D.
( )
0;1 .M
Câu 4: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số nào sau đây cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất?
A.
21
.
3
−
=
+
x
y
x
B.
1
.
1
−
=
+
x
y
x
C.
32
2 3 2.=−−yx x
D.
3
32yx x=−+ −
Câu 5: Trên đồ thị hàm số
21
34
−
=
+
x
y
x
có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên?
A.
1.
B.
2.
C.
0.
D.
4.
Câu 6: Trên đồ thị hàm số
25
31
−
=
−
x
y
x
có bao nhiêu điểm có tọa độ là các số nguyên?
A.
4.
B. Vô số. C.
2.
D.
0.
Câu 7: Trên đồ thị
( )
C
của hàm số
10
1
+
=
+
x
y
x
có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên?
A.
4.
B.
2.
C.
10.
D.
6.
Câu 8: Đồ thị của hàm số
32
3=− ++
y x x mx m
(
m
là tham số) luôn đi qua một điểm
M
cố định có tọa độ
là
A.
( )
1; 4 .M −−
B.
( )
1; 4 .−M
C.
( )
1; 2 .−M
D.
( )
1; 2 .−M
Câu 9: Tìm tọa độ điểm
M
có hoành độ dương thuộc đồ thị
của hàm số
2
2
+
=
−
x
y
x
sao cho khoảng
cách từ
M
đến hai đường tiệm cận của đồ thị
( )
C
đạt giá trị nhỏ nhất.
A.
( )
1; 3 .−M
B.
( )
3; 5 .M
C.
( )
0; 1 .−M
D.
( )
4;3 .M
Câu 10: Số điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số
2
2 3 10
2
++
=
+
xx
y
x
là:
A.
16.
B.
12.
C.
10.
D.
8.
Câu 11: Biết đồ thị
( )
m
C
của hàm số
42
2018= − ++y x mx m
luôn luôn đi qua hai điểm
M
và
N
cố định
khi
m
thay đổi. Tọa độ trung điểm
I
của đoạn thẳng
MN
là
A.
( )
1;2018 .I
B.
( )
0;1 .I
C.
( )
0; 2018 .I
D.
( )
0; 2019 .I
Câu 12: Số điểm cố định của đồ thị hàm số
( ) ( )
32
3 21 33=+− − − −−yx m x m x m
là
A.
2.
B.
1.
C.
4.
D. 3.
Câu 13: Đồ thị hàm số nào dưới đây có tâm đối xứng là điểm
( )
1; 2−I
?
A.
23
.
24
−
=
+
x
y
x
B.
32
2 6 1.= − ++y x xx
C.
32
2 6 1.
=− + +−y x xx
D.
22
.
1
−
=
−
x
y
x
Câu 14: Cho hàm số
13
3
−
=
−
x
y
x
có đồ thị là
. Điểm
M
nằm trên đồ thị
( )
C
sao cho khoảng cách từ
M
đếm tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ
M
đến tiệm đến tiệm cận ngang của
( )
C
. Khoảng cách từ
M
đến tâm đối xứng của
( )
C
bằng
A.
3 2.
B.
2 5.
C.
4.
D.
5.
Câu 15: Số điểm trên đồ thị hàm số
21
1
+
=
−
x
y
x
có tọa độ nguyên là:
A.
5.
B.
3.
C.
4.
D.
2.
Câu 16: Cho đồ thị
( )
C
của hàm số
22
1
+
=
−
x
y
x
. Tọa độ điểm
M
nằm trên
sao cho tổng khoảng cách
từ
M
đến hai tiệm cận của
( )
C
nhỏ nhất là
A.
( )
1; 0−
M
hoặc
( )
3; 4 .M
B.
( )
1; 0−M
hoặc
( )
0; 2 .−M
C.
( )
2; 6M
hoặc
( )
3; 4 .M
D.
( )
0; 2−M
hoặc
( )
2; 6M
.
Câu 17: Gọi
( )
;M ab
là điểm trên đồ thị hàm số
21
2
+
=
+
x
y
x
mà có khoảng cách đến đường thẳng
: 36= +dy x
nhỏ nhất. Khi đó
A.
2 1.+=
ab
B.
2.+=ab
C.
2.+=−ab
D.
2 3.+=ab
Câu 18:
A
và
B
là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số
2
=
−
x
y
x
. Khi đó độ dài đoạn
AB
ngắn nhất bằng
A. 1. B. 2. C. 4. D. 8.
Câu 19: Tọa độ điểm
M
thuộc đồ thị hàm số
31
1
+
=
−
x
y
x
cách đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số một
khoảng bằng 1 là
A.
( ) ( )
0; 1 ; 2; 7 .−−
B.
( ) ( )
1;0 ; 2;7 .−
C.
( ) ( )
0;1 ; 2; 7 .−
D.
( ) ( )
0; 1 ; 2; 7 .−
Câu 20: Cho hàm số
2
1
−
=
+
x
y
x
có đồ thị
. Gọi
I
là giao điểm của hai tiệm cận của
( )
C
. Xét tam giác
đều
ABI
có hai đỉnh
,
AB
thuộc
(
)
C
, đoạn thẳng
AB
có độ dài bằng
A.
2 3.
B.
2 2.
C.
3.
D.
6.
Câu 21: Điểm thuộc đường thẳng
: 10− −=
dx y
cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
32
32=−+yx x
là:
A.
( )
1; 0 .
B.
( )
2;1 .
C.
( )
1; 2 .−
D.
( )
0; 1 .−
Câu 22: Họ parabol
( )
( ) ( )
2
: 23 2 0= − − +− ≠
m
P y mx m x m m
luôn tiếp xúc với đường thẳng
d
cố định
khi
m
thay đổi. Đường thẳng
d
đó đi qua điểm nào dưới đây?
A.
( )
0; 2 .−
B.
( )
0; 2 .
C.
( )
1; 8 .
D.
( )
1; 8 .−
Câu 23: Gọi
,MN
là hai điểm di động trên đồ thị
của hàm số
32
34=− + −+y x xx
sao cho tiếp tuyến
của
( )
C
tại
M
và
N
luôn song song với nhau. Khi đó đường thẳng
MN
luôn đi qua điểm cố định nào dưới
đây?
A.
( )
1; 5 .−
B.
( )
1; 5 .−
C.
( )
1; 5 .−−
D.
( )
1; 5 .
Câu 24: Hai điểm
;MN
lần lượt thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số
31
3
−
=
−
x
y
x
. Khi đó độ dài đoạn thẳng
MN
ngắn nhất bằng:
A.
8 2.
B.
2017.
C.
8.
D.
4.
Câu 25:
,AB
là hai điểm di động và thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị
21
2
−
=
+
x
y
x
. Khi đó khoảng cách
AB
bé nhất là?
A.
10.
B.
2 10.
C.
5.
D.
2 5.
Câu 26: Cho hàm số
1
1
+
=
−
x
y
x
có đồ thị là
( )
C
. Gọi
( )
;
MM
Mx y
là một điểm bất kỳ trên
( )
C
. Khi tổng
khoảng cách từ
M
đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất, tính tổng
+
MM
xy
.
A.
2 2 1.−
B.
1.
C.
2 2 2.−
D.
2 2.−
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Ta có
32
11
0
1 11
=−=

⇔ ⇒+=

=+− =−

yx
xy
xx y
. Chọn B.
Câu 2: Ta có
( ) ( )
2; 7
∉
C
. Chọn B.
Câu 3: Ta có
( )
22
2 1 1 21= + − += ++ − ⇒y x mx m x m x
điểm cố định là
15
;
24



. Chọn C.
Câu 4: Hàm số
21
3
−
=
+
x
y
x
có tâm đối xứng là
( )
3; 2 13− ⇒=d
Hàm số
1
1
−
=
+
x
y
x
có tâm đối xứng là
(
)
1; 1 2
−− ⇒ =d
Hàm số
32
232=−−yx x
có
2
15
6 6 " 12 6; " 0
22
′
= − ⇒ = − =⇔=⇒=−y x xy x y x y
nên có tâm đối xứng là
1 5 26
;
22 2

− ⇒=


d
Hàm số
3
32=−+ −
yx x
có
2
3 3 " 6 ; " 0 0 2 5.
′
=− +⇒ =− = ⇔ = ⇒ =−⇒ =y x y xy x y d
chọn A.
Câu 5:
( )
2 11
34
3 4 11 5 1
2 1 1 11
33
2
3 41 1 3
34 34 3 34
+−
+ =− =−⇒ =

−

== =−⇒ ⇔


+ = =−⇒ =−
++ +


x
x xy
x
y
x xy
xx x
.
Chọn B.
Câu 6:
( )
2 13
31
31 1 0 5
2 5 1 13
33
2.
3 1 13 4 1
31 31 3 31
−−
−=− = ⇒ =

−

== =−⇒ ⇔


−=− =−⇒ =
−− −


x
x xy
x
y
x xy
xx x
Chọn C.
Câu 7:
11
10 9
1 13
11
19
+=±
+
= =+ ⇔ +=±
++
+=±
x
x
yx
xx
x
. Chọn D.
Câu 8:
( )
32 32
3 31=−++=−+ +⇒yx xmxmx xmx
điểm cố định là
( )
1; 4−−
. Chọn A.
Câu 9: Tiệm cận đứng
1
:2=dx
, tiệm cận ngang
2
:1
=dy
. Giả sử
2
;
2
+


−

a
Ma
a
Ta có
( ) ( )
12
44
, , 2 2 2. 4
22
+ =−+ ≥ − =
−−
dMd d Md a a
aa
Xảy ra khi
( )
( )
2
0
4
2 24
2
43
=
−= ⇔ − =⇔
−
=⇒=
al
aa
a
ay
. Chọn D.
Câu 10: Ta có
2
21
22
23
2 3 10 12
21
24
22
26
2 12
+=±
+=±
+=±
++
= = −+ ⇒
+=±
++
+=±
+=±
x
x
x
xx
yx
x
xx
x
x
. Chọn B.
Câu 11:
( )
( )
42 4 2
1 2019
2018 2018 1 0; 2019
1 2019
=⇒=
= − ++ = + − −⇒ ⇒
=−⇒ =
xy
y x mx m x m x I
xy
. Chọn D.
Câu 12:
( ) (
)
( )
3 2 32 2
3 2 1 3 3 3 3 23= + − − − − −= − +−+ − −y x m x m x m x x x mx x
Điểm cố định khi
2
1
2 30
3
= −
− −=⇔
=
x
xx
x
. Chọn A.
Câu 13: Với hàm số
32
26 1
= − ++y x xx
ta có
2
6 12 1 " 12 12
′
= − +⇒ = −yx x y x
Ta có
(
)
" 0 1 2 1; 2= ⇔ =⇒ =−⇒ −y xy I
là tâm đối xứng. chọn B.
Câu 14: Tiệm cận đứng
1
:3=
dx
, tiệm cận ngang
2
:3=dy
. Giả sử
13
;
3
−


−

a
Ma
a
Ta có
( )
( )
12
8
, 3, ,
3
=−=
−
dMd a dMd
a
Mà
( ) (
) (
)
(
)
(
)
2
12
7 7;5
16
, 2 , 3 3 16
1 1; 1
3
= ⇒
= ⇔−= ⇔ − = ⇔
=−⇒ −
−
aM
dMd dMd a a
aM
a
Tâm đối xứng là
( )
3; 3 2 5⇒=d
. Chọn B.
Câu 15: Ta có
11
21 3
2
13
11
−=±
+
= =+⇒
−=±
−−
x
x
y
x
xx
. Chọn C.
Câu 16: Gọi
( )
22
;1
1
+

≠

−

a
Ma a
a
thuộc đồ thị
(
)
C
.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
1=x
và tiệm cận ngang
2=y
.
Ta có:
( ) ( )
22 4
; 1 1, ; 2 2
11
+
==− = = −=
−−
a
dMx a dMy
aa
Tổng khoảng cách từ
M
đến hai đường tiệm cận là:
44
1 2 1 . 4.
11
= −+ ≥ − =
−−
da a
aa
Dấu bằng xảy ra
( )
( )
( )
2
3; 4
3
4
1 14
1; 0
1
1
=
⇔ −= ⇔ − =⇔ ⇒
−
= −
−
M
a
aa
M
a
a
. Chọn A.
Câu 17: Gọi
(
)
21
;2
2
a
Ma a
a
+

≠−

+

thuộc đồ thị
( )
C
.
Khoảng cách từ
M
đến
: 36dy x= +
là:
( )
( )
2
2
21
36
2
; :3 6 0
31
a
a
a
dMd x y
+
−+
+
−+= =
+−
( )
1 2 43 1 3
.3 6 3 2 2
22
10 10
a
aa
aa
+−
= +− = + + −
++
Ta có:
( ) (
)
2
33
3 2 4.3 2 . 36
22
aa
aa

++ ≥ + =

++

(Bất đẳng thức
( )
2
4x y xy+≥
)
Do đó
( )
(
)
( )
3
32 6
3
2
32 6
3
2
32 6
2
a
a
a
a
a
a
++ ≥
+
+ + ≥⇒
+
+ + ≤−
+
Suy ra
( )
min
34
3 2 24 .
2
10
ad
a
+ + −≥⇒ =
+
Dấu bằng xảy ra
( )
2
35
1
2 21 2
11
2
ab
a a ab
ab
a
=−⇒ =
⇔+= ⇔ + =⇒ ⇒+=
=−⇒ =
+
. Chọn B.
Câu 18: Ta có:
( )
22
2
1
22 2
x
x
y
xx x
−+
= = = +
−− −
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là
2x =
.
Gọi
( ) (
)
11 2 2
;, ;Ax y Bx y
lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của
( )
C
ta có:
12
2xx<<
Đặt
( )
( ) ( )
1
22
2
1 2 12 12
2
2
1
2, 2 , 0
2
1
y
a
x a x b a b AB x x y y
y
b
= −
=− =+ >⇒ ⇒ = − + −
= +
( )
(
)
( )
2
22
2
11 4
4 1.ab ab
ab
ab


=++ + =+ +





Ta có:
(
)
2
2
22 22
4
4
4 . 16 4.
4 44
12
a b ab
AB ab AB
ab
ab ab ab
+≥
⇒ ≥ =⇒≥
+≥ =
Dấu bằng xảy ra
2
2
1
ab
ab
ab
=
⇔ ⇔==
=
. Chọn C.
Câu 19: Gọi
( )
31
;1
1
a
Ma a
a
+

≠

−

thuộc đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
:1x∆=
.
Ta có:
( )
(
)
( )
2;7
2
; 11
0
0;1
M
a
dM a
a
M
=
∆= − = ⇔ ⇒
=
. Chọn D.
Câu 20: Giao điểm của 2 đường tiệm cận là
(
)
1;1I −
là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Hàm số đã cho là hàm đồng biến, có 2 trục đối xứng là 2 đường phân giác của các đường tiệm cận có
phương trình là
yx
=
và
yx= −
.
Do tính chất đối xứng nên
::
AB d y x AB y x m⊥ =−⇒ = +
Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
C
và
là:
(
)
2
1
2
20
1
x
x
xm
g x x mx m
x
≠−
−
=+⇔
= + + +=
+
Điều kiện để
cắt
( )
C
tại 2 điểm phân biệt là:
( )
( )
( )
2
4 20
*
1 30
mm
g
∆= − + >
−=≠
Khi đó gọi
( ) ( )
11 2 2
; ;B ;Ax x m x x m++
, theo Viet ta có:
12
12
2
xx m
xx m
+=−
= +
Tam giác
ABC
luôn cân tại
I
suy ra nó đều khi
( )
33
;
22
IH AB d I AB AB=⇔=
( ) ( ) ( )
( )
22 2
2
1 2 1 2 12
2
3
2 2 3 4 3 48
2
2
m
x x m x x xx m m
−

⇔ = − ⇔− = + − = −−

( )
22
4 14 2 4 8 2 3mm AB mm⇔ − =⇒ = − −=
. Chọn A.
Câu 21: Xét hàm số
32
32
yx x=−+
ta có:
( )
(
)
2
0; 2
0
3 60
2
2; 2
A
x
yx x
x
B
=
′
= −=⇔ ⇒
=
−
là hai điểm cực trị
của đồ thị hàm số
32
32yx x=−+
Gọi
( )
( )
( ) ( )
2
2
22
22
3
;1 2 692 25
21
MA t t
M t t d MA MB t t t t
MB t t
= +−
−∈⇒ ⇒ = ⇔ − += − +
= − ++
( )
4 4 1 1; 0t tM⇔ = ⇔=⇒
. Chọn A.
Câu 22: Giả sử
( )
( ) ( )
2
: 23 2 0
m
P y mx m x m m= − − +− ≠
luôn tiếp xúc với đường thẳng
:d y ax b
= +
Khi đó hệ phương trình
( )
( )
2
23 2
223
mx m x m ax b
mx m a
− − + −= +
− −=
đúng vói mọi
m
.
Xét phương trình
( )
2 2 6 2 26mx m a m x a− +=⇔ − +=
đúng với mọi
1
.
6
x
m
a
=
⇔
=
Thế vào phương trình đầu của hệ ta được:
( )
2 3 2 6 2.m m m bb− − + −=+⇒=−
Vậy họ parabol đã cho luôn tiếp xúc với đường thẳng
: 62dy x= −
tại điểm
( )
1; 4
.
Khi đó
d
đi qua điểm
( )
0; 2−
. Chọn A.
Câu 23: Gọi
( ) (
)
( )
32 32
; 3 4, ; 3 4 .Ma a a a Nb b b b a b− + −+ − + −+ ≠
Tiếp tuyến tại
M
và
N
song song với nhau khi
( ) (
) (
)
22
3 6 13 6 1ya yb a b a a b b
′′
= ≠ ⇔− + − = + −
( ) (
)(
)
( )
( )
(
) ( )
22
3 3 6 03 6 03 20*
a b ab abab ab abab⇔ − − −=⇔ − +− −=⇔ − +−=
Do
( )
*2a b ab≠⇒ ⇔+=
Suy ra
( )
( )
( )
33 22
38
MN
y y a b a b ab
+ =− + + + −++
(
)
(
) (
) (
)
( )
2
2 2 22 2 2 22
3 2 8 2 3( ) 6 6 10a b a ab b a b a ab b a b a b=−+ −++ +−+=− −++ ++=++=
( )
22
1; 5
10 2
MN U
MN U
xx x
U
yy y
+==
⇒⇒
+==
luôn là trung điểm của
MN
.
Tính chất: Gọi
,N
M
là hai điểm di động trên đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
32
0y ax bx cx d a= + ++ ≠
sao
cho tiếp tuyến của
( )
C
tại
M
và
N
luôn song song với nhau thì
MN
luôn đi qua điểm uốn. Chọn D.
Câu 24: Ta có:
( )
3 38
31 8
3
33 3
x
x
y
xx x
−+
−
= = = +
−− −
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là
3.x =
Đặt
( ) ( )
( )
1
22
2
1 2 12 12
2
8
3
3, 3 , 0
8
3
y
a
x a x b a b MN x x y y
y
b
= −
=− =+ >⇒ ⇒ = − + −
= +
(
)
( )
( )
2
22
2
1 1 64
64 1 .ab ab
ab
ab


=++ + =+ +





Ta có:
( )
2
2
22 22
4
16
4 . 64 8.
64 64 16
12
a b ab
AB ab AB
ab
ab ab ab
+≥
⇒ ≥ =⇒≥
+≥ =
Dấu bằng xảy ra
22
8
1
ab
ab
ab
=
⇔ ⇔==
=
. Chọn C.
Câu 25:
( )
2 25
21 5
2
22 2
x
x
y
xx x
+−
−
= = = −
++ +
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là
2x =
.

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

CHỦ ĐỀ 9: BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ
Dạng 1: Tìm điểm M liên quan đến yếu tố độ dài, khoảng cách
Điểm M thuộc đồ thị hàm số y = f (x) ⇒ M (x ; f x . 0 ( 0))
 Khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng: d (M ;Ox) = f ( x . 0 )
 Khoảng cách từ điểm M đến trục Oy bằng: d (M ;Oy) = x . 0 ax + . b f x + C
 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 là: d (M ;∆) 0 ( 0) = . 2 2 a + b
 Khoảng cách giữa hai điểm MN bằng ( x x )2 ( y y )2 − + − . M N M N
Ví dụ 1: Cho hàm số: x + 2 y =
(C) . Tìm điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng x −1
y = −x bằng 2 . Lời giải Gọi  a + 2 M ;  a ∈(C),(a ≠   ) 1 .  a −1  a + 2 a +
Khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x là: a −1 2 d =
= 2 ⇔ a + 2 = 2 a −1 2 2
a − 2a + 4 = 0
a = 0 ⇒ M 0; 2 − 2 ( ) ⇔ 
⇔ a + 2a = 0 ⇔ 2 a + 2a = 0 a = 2 − ⇒  M ( 2; − 0)
Vậy tọa độ điểm M cần tìm là M (0; 2 − ) hoặc M ( 2; − 0).
Ví dụ 2: Cho hàm số 2x +1 y =
(C). Gọi M là điểm nằm trên đồ thị (C) và H,K tương ứng là hình chiếu x −1
vuông góc của M trên các trục Ox và Oy . Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn tứ giác MHOK có diện tích bằng 2. A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải Gọi  2a +1 M ;  a ∈(C)(a ≠   )
1 . Tứ giác MHOK là hình chữ nhật.  a −1  Ta có: S
= MH.MK = d M Ox d M Oy MHOK ( ; ). ( ; )  1 2 2 2 2a +1 2a + a
2a + a = 2a − 2
2a − a + 2 = 0 a = a . 2  = = = ⇔  ⇔  ⇔ 2 2 2 a −1 a −1 2a + a = 2 − a + 2
2a + 3a − 2 = 0  a = 2 − Vậy  1 M ;4  hoặc M ( 2 − ) :1 . Chọn C. 2   
Ví dụ 3: Cho hàm số −x −1 y =
(C). Có bao nhiêu điểm M ∈(C) để khoảng cách từ M đến đường thẳng x −1
∆ : y = 2x −1 bằng 3 . 5 A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải a +1 2a + −1 Gọi  −a −1 M ;  a ∈(C)(a ≠ a −1 3   )
1 . Ta có: ∆ : 2x − y −1 = 0 ⇒ d (M;∆) = =  a −1  5 5 2 2  1
a − a + = a −  a − a + = a = 2 2 2 2 3 3 2 5 5 0
2a 2a 2 3 a 1  ⇔ − + = − ⇔  ⇔  ⇔ 2 2 2
2a − 2a + 2 = 3 − a + 3
2a + a −1 = 0  a = 1 −
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. Ví dụ 4: Cho hàm số 3
y = x − 2x +1. Tìm tất cả các điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến trục tung bằng 1.
A. M (1;0) hoặc M ( 1; − 2) . B. M (0; ) 1 hoặc M (2; ) 1 − . C. M (1;0). D. M (2; ) 1 − . Lời giảix = y M M 1⇒ = M 0  (1;0)
Khoảng cách từ M đến trục tung bằng 1, suy ra ⇒  x = y M M 1 − ⇒ =  M 2   ( 1; − 2) Chọn A. Ví dụ 5: Cho hàm số 3
y = x − 3x có đồ thị (C) và điểm K (1; 3
− ). Biết điểm M ( ;
x y) trên (C) thỏa mãn x ≥ 1
− và độ dài KM nhỏ nhất. Tìm phương trình đường thẳng OM . M
A. y = 2 .x
B. y = − .x
C. y = 3 .x D. y = 2 − . x Lời giải
Điểm M (x y)∈(C) ⇒ M ( 3 ; ;
x x − 3x) với x ≥ 1 − . Ta có KM = ( 3
x − x − x + ) ⇒ KM = (x − )2 + ( 3 1; 3 3 1
x − 3x + 3)2 . Đặt f (x) = (x − )2 + ( 3 1
x − 3x + 3)2 .
Xét hàm số f (x) trên đoạn [ 1;
− +∞), ta có f ′(x) = (x − ) + ( 2 x − )( 3 2 1 6
1 x − 3x + 3);∀x ≥ 1. −
Phương trình f ′(x) = ⇔ (x − )  + (x + )  ( 3 0 1 . 1 3
1 x − 3x + 3) = 0 ⇔ x =1 
vì g (x) ≥ 0;∀x ≥ 1 − .
 g(x)
Giá trị nhỏ nhất của f (x) bằng 1. Dấu" = " xảy ra khi x =1⇒ M (1; 2
− ) ⇒ (OM ) : y = 2 − . x Chọn D.
Ví dụ 6: Cho hàm số 2x −1 y =
(C). Tổng khoảng cách từ một điểm M trên (C) đến hai đường tiệm cận x +1
đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? A. 2 3. B. 2. C. 4. D. 4 3. Lời giải
Gọi điểm  2a −1 M a; ∈ 
 (C) . Hai đường tiệm cận của (C) là x = 1 − và y = 2.  a +1 
d = d M , x = 1 − = a +1 1 ( )
Suy ra khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng  3 .
d = d M , y = 2 =  2 ( ) a+1 
Khi đó tổng khoảng cách sẽ bằng 3 3
d = d + d = a +1 + ≥ 2 a +1 . = 2 3. 1 2 a +1 a +1 Chọn A.
Ví dụ 7: Tìm tất cả những điểm thuộc trục hoành cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2
y = x − 3x + 2. A. M ( 1; − 0). B. M (1;0). C. M (2;0). D. M (1;0). Lời giải
x = 0 ⇒ y = 2 Ta có: 2
y′ = 3x − 6x = 0 ⇔
⇒ A(0;2); B(2; 2 − 
) . Gọi M (t;0)
x = 2 ⇒ y = 2 − Khi đó 2 2 2
MA = MB ⇔ t + 4 = (t − 2)2 + 4 ⇔ t =1⇒ M (1;0) . Chọn D.
Ví dụ 8: Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số x + 2 y =
mà khoảng cách từ M đến trục Oy bằng hai x −1
lần khoảng cách từ M đến trục Ox ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Gọi  a + 2 M ;  a (a ≠ ) 1 ∈ 
đồ thị hàm số đã cho.  a −1 
Ta có: d (M Oy) = a d (M Ox) a + 2 ; ; ; = a −1 a + 2 = 2a 2  a + a −
a − a − = Theo giả thiết ta có: 2 1 2 3 2 0 1 = 2 a ⇔  ⇔ 
⇔ a = 2;a = − 2 a −1 a +  2  2
− a + a − 2 = 0 2 = 2 −  aa −1
Vậy có 2 điểm A(2;4) và  1 B ; 1 − −  . Chọn C. 2   
Ví dụ 9: Tìm trên đồ thị hàm số 2x +1 y =
những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng x −1
bằng ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ thị. A.  7 M 4;  −  hoặc M (2;5).
B. M (4;3) hoặc M ( 2; − ) 1 . 5   
C. M (4;3) hoặc M (2;5). D.  7 M 4;  −  hoặc M ( 2; − ) 1 . 5    Lời giải Tiệm cận đứng:  a +
x =1. Tiệm cận ngang y = 2 . Gọi 2 1 M ;   aa 1  − 
Khi đó: d (M TCN ) 2a +1 3 ; = − 2 =
,d (M;TCD) = a −1 . a −1 a −1 3 a = ⇒ M 4;3
Theo bài ra ta có: a −1 = 3. ⇔ (a − )2 4 ( ) 1 = 9 ⇔ a −1 a = − ⇒  M (− ). 2 2;1 Chọn B.
Ví dụ 10: Giả sử đường thẳng x +
d : x = a,a > 0 cắt đồ thị hàm số 2 1 y =
tại một điểm duy nhất, biết x −1
khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng 1; ký hiệu (x ; y là tọa độ của điểm 0 0 ) đó. Tìm y . 0 A. y = 1. − B. y = 5. C. y =1. D. y = 2. 0 0 0 0 Lời giải Gọi  2a +1 M ;  a (a >  
0) là điểm cần tìm. TCĐ của đồ thị hàm số đã cho là: x =1  a −1 
Khi đó d (M x = ) a>0 2a +1 ;
1 =1 ⇔ a −1 =1→a = 2 ⇒ y = = 5 . 0 a −1 Chọn B.
Ví dụ 11: Cho hàm số x +1 y =
(C). Gọi M là điểm thuộc (C) sao cho tích khoảng cách từ điểm M đến x − 2
trục Ox và đến đường tiệm cận ngang bằng 6. Tổng hoành độ các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng A. 1. − B. 9 . C. 8. D. 4. 2 Lời giải Gọi  a +1 M ;  a (a ≠  
2) . TCĐ: x = 2 và TCN: y =1  a − 2  a) Ta có: a +
d (M Ox) a +1 ; =
= d ; d (M TCN y = ) 1 3 ; : 1 = −1 = = d 1 a − 2 2 a − 2 a − 2  a +1 = 2  a = ⇒ M − 3(a + ) 1 (a − 2)2 1 1; 2 2 ( )  − + = Theo bài ra ta có:  2a 9a 7 0 d d = = 6  ⇔ ⇔  ⇔ 1 2 (   a − 2)2  2 7 7 a +1
2a − 7a + 9 = 0
a = ⇒ M  ;3  = 2  −  (a − )2  2  2 2  Vậy M (1; 2 − ) hoặc  7 M ;3 
là các điểm cần tìm. Chọn B. 2   
Dạng 2: Tìm 2 điểm liên quan đến yếu tố đối xứng, yếu tố khoảng cách.
Tìm 2 điểm đối xứng: Gọi A( ;
a f (a)) và B( ;
b f (b)) (a ≠ b) là hai điểm thuộc đồ thị hàm số y = f (x) . a + b = 2α  Hai điểm ,
A B đối xứng qua I ( ; α β) ⇔ 
f (a) + f (b) . = 2β  a = −b  Hai điểm ,
A B đối xứng qua trục tung ⇔  f (a) =  f (b).  Tìm 2 điểm ,
A B thuộc 2 nhánh của đồ thị sao cho độ dài AB ngắn nhất Bài toán: Cho hàm số ax + = b y
(C). Tìm 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) sao cho AB . cx + d min
Cách giải: Ta phân tích: = a + k y trong đó − = d y
là tiệm cận đứng của (C) c cx + d c
Gọi A(x ; y , B x ; y lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C) ta có: < − d x < x 1 1 ) ( 2 2) 1 2 c
y = a − k  1 Đặt − x = d − α, −
x = d + β(α,β > 0)  c .cα 2 ⇒ 
⇒ AB = x − x + y − y 1 2 ( 1 2)2 ( 1 2)2 c c
y = a + k 2  c .cα 2 2  2 
= (α + β)2 k  1 1  k 1 + + = α + β    1+ .  2 ( )2 2 c  α β   c  ( . α β)2  2 2 k k k Do (α +β)2 ≥ 4αβ và 1 1 1 1+ . ≥ 2 . = 2 . 2 c ( . α β)2 2 c ( . α β)2 c . α β α = β k 1 8 k Do đó 2 AB ≥ 4 . α .2 β . = . Dấu bằng xảy ra  ⇔ k c .  α β c 1 . = 1   c αβ
Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x − 4x + 3 (C) .
a) Tìm 2 điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ . O
b) Tìm tọa độ 2 điểm A và B đối xứng nhau qua trục . Oy Lời giải
a) Gọi A(a;b) và B(− ;
a −b) là 2 điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O(0;0) . 3 2
b = a − 3a − 4a +  3 Vì ,
A B đều thuộc đồ thị (C) nên ta có:  −b = 
(−a)3 −3(−a)2 − 4(−a)+3 3 2 3 2
b = a − 3a − 4a + 3
b = a − 3a − 4a + 3 a =1;b = 3 − ⇔  ⇔  ⇔ 3 2 2
−b = −a − 3a + 4a + 3 0 = 6 − a + 6  a = 1; − b = 3 Vậy 2 điểm ,
A B cần tìm là: A(1; 3 − ) : B( 1; − 3) hoặc ngược lại.
b) Gọi A(a;b) và B(− ;
a b) là 2 điểm đối xứng nhau qua trục Oy . 3 2
b = a − 3a − 4a +  3 Vì ,
A B đều thuộc đồ thị (C) nên ta có:  b = 
(−a)3 −3(−a)2 − 4(−a)+3
a = b = 0 ⇒ A ≡ B (loai) 3 2 3 2
b = a − 3a − 4a + 3
b = a − 3a − 4a + 3  ⇔  ⇔  ⇔ a = 2;b = 9 − 3 2 3 b a 3a 4a 3 0 2a 8  = − − + + = − aa = 2; − b = 9 −  Vậy 2 điểm ,
A B cần tìm là: A(2; 9 − ); B( 2; − 9 − ) hoặc ngược lại.
Ví dụ 2: Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm , x −
A B thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số 3 y = sao cho AB 2x − 2 ngắn nhất. Lời giải 1 (2x−2)−2 Ta có: x − 3 2 1 1 y = = = − 2x − 2 2x − 2 2 x −1
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x =1.
Gọi A(x ; y , B x ; y lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C) ta có: x <1< x 1 1 ) ( 2 2) 1 2  1 1 y = +  1
Đặt x =1− a, x =1+ b (a,b > 0)  2 a 2 ⇒ 
⇒ AB = x − x + y − y 1 2 ( 1 2)2 ( 1 2)2 1 1 y = + 2  2 b 2   (a b)2  1 1  = + + + = (a + b)2 1 1+    . a b  (ab)2      (
a + b)2 ≥ 4ab Ta có:  2 2  ⇒ AB ≥ 4a . b = 8 ⇒ AB ≥ 2 2. 1 1 2 1  + ≥ 2 = ab 2 2 2 2  a b a b aba = b Dấu " = " xảy ra   3   1  ⇔  1
⇔ a = b =1⇒ A0; , B2;− . =  1  2   2  ab
Ví dụ 3: Tìm trên đồ thị hàm số 3
y = −x + 3x + 2 hai điểm mà chúng đối xứng nhau qua tâm I ( 1; − 3). A. (0;2) và ( 2; − 4). B. ( 1; − 0) và ( 1; − 6). C. (1;4) và ( 3 − ;2). D. Không tồn tại. Lời giải Gọi A( 3
a −a + a + ) B( 3 ; 3 2 ; ;
b −b + 3b + 2) (a ≠ b) là 2 điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho và đối xứng nhau qua điểm I ( 1; − 3).
a + b = 2x = 2 − a + b = 2 − Ta có: 1   ⇔ 3 3
−a + 3a + 2 − b + 3b + 2 = 2y =  6 − a +b +  3 a + b = 2 1  ( 3 3 ) ( ) a + b = 2 − a + b = 2 −  a + b = 2 − a = 0;b = 2 − ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ 3 3 a b 8 (  a + 
b)3 − 3ab(a + b) = 8 − ab 0  + = − = a = 2; − b = 0 Vậy (0;2) và ( 2;
− 4) là cặp điểm cần tìm. Chọn A. 3
Ví dụ 4: Tìm trên đồ thị hàm số x 2 11 y = −
+ x + 3x − hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng nhau qua 3 3 trục tung. A.  16 3;  −        hoặc 16 3 − ;−  . B. 16 3; hoặc 16 3 −  ; . 3      3   3   3  C. 16 ;3    hoặc 16 −  ;3. D. Không tồn tại. 3     3  Lời giải 3  −a  3  −b  Gọi 2 11 Aa; + a + 3a − và 2 11 B ; b
+ b + 3b −  (a ≠ b) là 2 điểm thuộc đồ thị và chúng đối 3 3     3 3  xứng nhau qua trục tung. a = −ba = −b Khi đó:   3 3 3 3 −a − ⇔ b  2 11 2 11 −a 2 11 a 2 11 + a + 3a − = + b + 3b − + a +  3a − = + a − 3a −  3 3 3 3  3 3 3 3 a = −ba = −b   3 ⇔  2 − ⇔ a a = 0 −  6a = 0  3  a = 3 ±
Với a = 0 ⇒ b = 0 ⇒ A ≡ B (loại). Với  16   16 a 3 b 3 
A 3; ;B 3;  = ± ⇒ = ⇒ −  . Chọn B. 3 3     
Ví dụ 5: Tìm trên đồ thị hàm số 2
y = −x + 4x + 2 hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng với nhau qua trục tung. A. Không tồn tại.
B. A(2;2) và B( 2; − 2). C. A( 1; − − ) 1 và B(1;− ) 1 . D. A(3; 1 − 3) và B( 3 − ; 1 − 3). Lời giải A(x y x x A; A )  = −
Gọi hai điểm thỏa mãn đề bài là  A B xAB ( x y y y B B ) ⇒  ⇒ ≠ 0. ; =  A B Khi đó ta có 2
−x + 4x + 2 = −(−x )2 + 4(−x ) + 2 ⇔ 4x = 4
− x ⇔ x = L A A A A A A A 0( ).
Suy ra không tồn tại hai điểm thỏa mãn đề bài. Chọn A.
Ví dụ 6: Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C) 3x + 6 : y = các điểm ,
A B để độ dài AB đạt giá trị nhỏ nhất, x +1
giá trị nhỏ nhất đó bằng: A. 2 5. B. 2 2. C. 2 6. D. 3 2. Lời giải 3x + 6 3(x + ) 1 + 3 Ta có: 3 y = = = 3+ x +1 x +1 x +1
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = 1. −
Gọi A(x ; y , B x ; y lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C) ta có: x < 1 − < x 1 1 ) ( 2 2) 1 2  3 y = 3−  1 Đặt x = 1 − − a, x = 1
− + b (a,b > 0)  a 2 ⇒ 
⇒ AB = x − x + y − y 1 2 ( 1 2)2 ( 1 2)2 3 y = 3+ 2  b 2   (a b)2  1 1  = + + + = (a + b)2 9 9 1+    . a b  (ab)2      (
a + b)2 ≥ 4ab Ta có:  2 6  ⇒ AB ≥ 4a . b = 24 ⇒ AB ≥ 2 6. 9 9 6 1  + ≥ 2 = ab 2 2 2 2  a b a b aba = b Dấu bằng xảy ra  ⇔  9
⇔ a = b = 3. Chọn C. =  1 ab
Dạng 3: Bài toán tìm điểm kết hợp bài toán tương giao và tiếp tuyến
Bài toán 1: Tìm hai điểm A( ;
a f (a)) và B( ;
b f (b)) (a ≠ b) thuộc đồ thị hàm số y = f (x) (C) sao
cho tiếp tuyến tại A và B của (C) song song với nhau và ,
A B thỏa mãn điều kiện K .
Cách giải: Giải hệ phương trình f ′(a) = f ′(b) và điều kiện K .
Bài toán 2: Tìm hai điểm ,
A B thuộc đồ thị hàm số y = f (x) (C) sao cho AB ⊥ ∆ (hoặc AB / /∆ ) và ,
A B thỏa mãn điều kiện K . Cách giải:
 Dựa vào giả thiết AB ⊥ ∆ hoặc AB / /∆ ta viết phương trình đường thẳng AB theo một tham số m nào đó.
 Viết phương trình hoành độ giao điểm của AB và đồ thị (C) .
 Dựa vào điều kiện K để tìm giá trị của tham số m .
Ví dụ 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x + 4x + 4x +1 tại điểm A( 3 − ; 2
− ) cắt đồ thị tại điểm thứ hai
là B . Điểm B có tọa độ A. B(1;10). B. B( 2; − ) 1 .
C. B(2;33). D. B( 1; − 0). Lời giải Ta có: 2
y′ = 3x + 8x + 4 ⇒ y′( 3 − ) = 7 PTTT tại điểm A( 3 − ; 2
− ) là: y = 7(x + 3) − 2 = 7x +19 (d)
Phương trình hoành độ tiếp điểm của đồ thị và tiếp tuyến d là: 3 2
x + 4x + 4x +1 = 7x +19 x y
⇔ (x + )2 (x − )  = 3 − ⇒ = 2 − 3 2 = 0 ⇔ 
. Vậy B(2;33) . Chọn C.
x = 2 ⇒ y = 33
Ví dụ 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x − x + x +1 tại điểm A cắt đồ thị tại điểm thứ hai là B( 1; − 2
− ) . Điểm A có tọa độ A. A(2;5). B. A( 1; − 4 − ). C. A(0; ) 1 . D. A(1;2). Lời giải Ta có: 2
y′ = 3x − 2x +1, gọi A( 3 2
a;a − a + a + ) 1
Phương trình tiếp tuyến tại A là: y = ( 2
a − a + )(x − a) 3 2 3 2 1
+ a − a + a +1
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và tiếp tuyến là: 3 2
x − x + x + = ( 2
a − a + )(x − a) 3 2 1 3 2 1
+ a − a + a +1 ⇔ (x − a)( 2 2
x + xa + a ) −(x − a)(x + a) + (x − a) = ( 2 3a − 2a + ) 1 (x − a) ⇔ (x − a)( 2 2 2
x + xa + a − x − a +1− 3a + 2a − ) 1 = 0 ⇔ (x − a)( 2 2
x + xa − 2a − x + a) = 0 x a A ⇔ (x − a)2 (  = ⇒ x + 2a − ) 1 = 0 ⇔  x = 2 − a +1 Do x = 1 − ⇔ 2 − a +1 = 1
− ⇔ a =1⇒ A . Chọn D. B (1;2)
Ví dụ 3: Điểm M thuộc đồ thị hàm số (C) 3 2
: y = −x + 3x + 2 mà tiếp tuyến của (C) tại đó có hệ số góc
lớn nhất, có tọa độ là A. M (0;2). B. M ( 1; − 6). C. M (1;4). D. M (2;6). Lời giải Ta có: 2 k = y′ = 3 − x + 6x = 3 − (x − )2 1 + 3 ≤ 3
Tiếp tuyến của (C) có hệ số góc lớn nhất là 3 khi hoành độ tiếp điểm là x =1
Khi đó M (1;4) . Chọn C.
Ví dụ 4: Cho hàm số 2x + 2 y = (C) . Gọi ,
A B là 2 điểm phân biệt trên (C) sao cho tiếp tuyến tại A và B x −1
song song với nhau và AB = 4 2 . Tính T = OA + . OB A. T = 5. B. T = 6.
C. T = 7. D. T = 8. Lời giải Gọi  4   4 A a;2 , B ;2  + b +
(a,b ≠1,a ≠    
b) . Do tiếp tuyến tại ,
A B song song với nhau nên ta có:  a −1  b −1 ′( ) a b l
y a = y′(b) 4 4  −1 = −1 ( ) ⇔ = ⇔ ⇒ a + b =  2. (a − )2 1 (b − )2 1
a −1 = 1− b 2 16 a −     b Ta có: 2
AB = (a − b)2 ( ) 9 16 + = a − b 1  +  = a − b 1  +  2 ( )2 2 ( )2 (a − ) 1 (b − ) 1  
(ab − a −b + ) 1   (ab − )2 1           = (a + b)2 16 16 − 4  ab 1  +  = 4 1− ab 1  + . 2 ( )    (ab− )1   (ab − )2 1       16  16 a + b = 2
Đặt t =1− ab ta có: 4t 1+ =  32 ⇔ t +
= 8 ⇔ t = 4 ⇒ ab = 3 − ⇒ 2   t tab = 3 − a = 1 − ⇒ b = 3 ⇔ 
a = 3 ⇒ b = 4 Vậy A( 1;
− 0), B(3;4) hoặc ngược lại suy ra T = OA + OB = 6 . Chọn B.
Ví dụ 6: Cho hàm số −x + 2 y = (C). Gọi ,
A B là 2 điểm phân biệt trên (C) sao cho tiếp tuyến tại A và B x −1
song song với nhau và tam giác OAB vuông tại O . Tính độ dài AB A. AB = 4. B. AB = 2. C. AB = 2 2. D. AB = 2. Lời giải
Gọi  −a + 2   −b + 2 A ; a , B  ;   b . Do tiếp tuyến tại ,
A B song song với nhau nên ta có:  a 1   b 1  − −  a b
y′(a) = y′(b) 1 − 1 −  −1 = −1 ⇔ = ⇔ ⇒ a + b =  2 (a − )2 1 (b − )2 1
a −1 = 1− b (2− a)(2−b)
Mặt khác ∆OAB vuông tại O nên: . OAOB = ab + ( =
a − )(b − ) 0 1 1
4 − 2(a + b) + ab aba = 0,b = 2 ⇔ ab + ab ab
ab − (a + b) = 0 ⇔ + = 0 ⇔ = 0 ⇔ +1 ab −1  a = 2,b = 0
Vậy 2 điểm cần tìm là A(2;0), B(0; 2
− ) ⇒ AB = 2 2 . Chọn C.
Ví dụ 7: Cho hàm số 3
y = x − 4x + 3(C). Gọi ,
A B là 2 điểm phân biệt trên (C) sao cho tiếp tuyến tại A
và B có cùng hệ số góc và đường thẳng đi qua ,
A B vuông góc với đường thẳng d : x + 5y − 7 = 0 . Tính độ dài AB A. AB = 8. B. AB =12. C. AB = 6 2. D. AB = 6 26. Lời giải Gọi A( 3
a a − a + ) B( 3 ; 4 3 , ;
b b − 4b + 3) (a ≠ b). a = b l
Ta có: y′(a) = y′(b) 2 2 ( )
⇔ 3a = 3b ⇔  a = −b +) Ta có: AB( 3 3
b − a b − a − (b − a)) = (b − a (b − a)( 2 2 ; 4 ;
b + ba + a − 4) , u − d ( 5; ) 1
Do đó chọn u = b + ab + a − ⇒ u u = ⇔ − + b + ab + a − = ⇔ a + b − ab = AB ( 2 2 ) 2 2 1; 4 AB . d 0 5 4 0 ( )2 9 a = 3,b = 3 − 2 ⇔ a = 9 ⇔  a = 3 − ;b = 3
Vậy A(3;18), B( 3 − ; 1
− 2) hoặc ngược lại suy ra AB = 6 26 . Chọn D.
Ví dụ 8: Cho hàm số 3
y = x − 3x có đồ thị (C). Xét điểm M thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt
(C) tại điểm thứ hai N (M ≠N) thỏa mãn x +x = 3−. Hoành độ điểm M là M N A. 3. B. 1. − C. 1. D. 3. − Lời giải
Vì M ∈(C) ⇒ M ( 3 ;
m m − 3m) . Ta có 2
y′ = x −  → y′(m) 2 3 3 = 3m − 3.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y − y(m) = y′(m).(x − m) 3
⇔ y − m + m = ( 2
m − )(x − m) ⇔ y = ( 2
m − )(x − m) 3 3 3 3 3 3
+ m − 3m (d).
Hoành độ giao điểm của (d ) và (C) là nghiệm phương trình 3 x − x = ( 2
m − )(x − m) 3 3 3 3 + m − 3m 3 3
⇔ x − m − (x − m) = ( 2
m − )(x − m) ⇔ (x − m)( 2 2
x + mx + m ) − (x − m) = ( 2 3 3 3 3
3m − 3)(x − m) x − m = 0 x = mx = mx = m ⇔ ⇔ ⇔ ⇔     . 2 2 2 2 2
x + mx + m − 3 = 3m − 3
x + mx − 2m
( x − m)( x + 2m) = 0 x = 2 − mx = m Suy ra  M 
→ x + x = m − m m m M N 2 = − = 3 − ⇔ = 3. x = m N 2 − 
Vậy x = . Chọn A. M 3
Ví dụ 9: Cho hàm số 2x + 3 y = (C). Gọi ,
A B là 2 điểm phân biệt trên (C) sao cho ,
A B đối xứng nhau x −1
qua đường thẳng d : x + 5y −11 = 0. Tính tổng tung độ y + y A B
A. y + y =
B. y + y =
C. y + y =
D. y + y = A B 4. A B 4. − A B 2. A B 3. Lời giải
Viết lại phương trình đường thẳng 1 11
d : y = − x + 5 5
Vì AB ⊥ (d ) nên phương trình đường thẳng AB có dạng: y = 5x + m
Phương trình hoành độ giao điểm của AB và (C) là: 2x + 3 x ≠ 1 = 5x + m ⇔ x −1  g ( x) 2
= 5x + (m − 7) x − m − 3 = 0
Để AB cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ g (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác g ( ) 1 ≠ 0  5 − ≠ 0  I ⇔  ⇔ (*).  0 (  ∆ >  m − 7  )2 +12(m +3) > 0  7 − x + x = m  1 2
Khi đó gọi A(x ;5x + m , B x ;5x + m . Theo định lý Viet ta có:  5 1 1 ) ( 2 2 )  −m − 3 x x = 1 2  5
x + x 5(x + x   7 − m m + 7 1 2 1 2 )
Trung điểm I của AB : I   ; + m hay I ; ∈   (d ) 2 2     10 2  7 − m 5m + 35 ⇒ + = 11 ⇔ m = 3 − 10 2 Với m = 3
− (tm) ⇒ A(0; 3
− ), B(2;7) ⇒ y + y = . Chọn D. A B 4 x −1
Ví dụ 10: Cho hàm số y =
(C) và 2 điểm C,D thuộc đường thẳng d : y = x − 4. Gọi 2 điểm , A B x + 2 5
là hai điểm phân biệt nằm trên (C) sao cho tứ giác ABCD là hình chữ nhật có đường chéo bằng . Độ 2
dài AB khi đó thỏa mãn 3 3 5 5 A. AB < 1.
B. 1 < AB < .
C. < AB < . D. AB > . 2 2 2 2 Lời giải
Do AB / /CD nên phương trình đường thẳng AB : y = x + m (m ≠ 4) x −1 x ≠ 2 −
PT hoành độ giao điểm của AB và (C) là: = x + m ⇔ x + 2  g  ( x) 2 = x + (m + ) 1 x + 2m +1 = 0 g ( 2 − ) ≠ 0 3  ≠ 0 ⇔  ⇔  2 ∆ > 0
m − 6m − 3 > 0
x + x = −m −1
Khi đó gọi A(x ; x + m ,B x ; x + m 1 1 ) ( 2 2 ) ta có: 1 2  x x = 2m +  1 1 2 m + Ta có: 2
AB = 2(x − x )2 = 2(x + x )2 − 4x x  = 2( 2
m − 6m − 3 AD = d AB CD = 1 2 1 2 1 2 )   , ( ) 4 ; 2 2 2 2
AB + AD = AC = (x − x ) = (x + x ) − x x  = ( 2 m + 8m +16 2 2 4
2 m − 6m − 3 + 1 2 1 2 1 2 ) 2 2 2   2 m = 1 − 5 2 25 m 8m 2  = − + = ⇔ 21 2 2 m = (loai)  5
x =1⇒ A 1;0 , B 1; − 2 − 1 ( ) ( ) Với m = 1 − ⇒  x = 1 − ⇒ A 1; − 2 − , B 1;0  1 ( ) ( )
Kết luận: Vậy 2 điểm thỏa mãn ycbt là: (1;0),( 1; − 2
− ) ⇒ AB = 2 2 . Chọn D. x − 2
Ví dụ 11: [Đề thị THPT Quốc gia 2018] Cho hàm số y =
có đồ thị (C) . Gọi I là giao điểm của x + 2
hai tiệm cận của (C) . Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh ,
A B thuộc (C) , đoạn thẳng AB có độ dài bằng A. 2. B. 4. C. 2 2. D. 2 3. Lời giải
Giao điểm của 2 đường tiệm cận là I ( 2; − )
1 là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Hàm số đã cho là hàm đồng biến, có 2 trục đối xứng là 2 đường phân giác của các đường tiệm cận có
phương trình là y = x và y = −x .
Do tính chất đối xứng nên AB ⊥ d : y = −x ⇒ AB : y = x + m
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và AB là: x − 2 x ≠ 2 − = x + m ⇔ x + 2  g  ( x) 2 = x + (m + ) 1 x + 2m + 2 = 0 ∆ = (m + )2 1 − 4(2m + 2) > 0
Điều kiện để AB cắt (C) tại 2 điểm phân biệt là:  g  ( 2 − ) ≠ 0
x + x = −m −1
Khi đó gọi là A(x ; x + m ;B x ; x + m 1 1 ) ( 2 2 ), theo Viet ta có: 1 2  x x = 2m +  2 1 2 3 3
Tam giác ABC luôn cân tại I suy ra nó đều khi IH =
AB ⇔ d (I; AB) = AB 2 2 m − 3 3 ⇔ =
2(x − x )2 ⇔ (m − 3)2 = 3(x + x )2 − 4x x  = 3( 2
m + 2m +1− 8m − 8 1 2 1 2 1 2 ) 2 2   2
⇔ m − m = ⇒ AB = ( 2 6 15
2 m − 6m − 7) = 4. Chọn B.
Dạng 4: Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số
Tìm điểm cố định:
Gọi M (x ; y y = f x 0
0 ) là điểm cố định mà đồ thị hàm số ( ) luôn đi qua. Khi đó y = f x .
m g x ; y  + h x ; y = 0 0
( 0) biến đổi phương trình về dạng  ( 0 0 ) ( 0 0)
g (x ; y =  0 0 0 )
Giải hệ phương trình  ⇒ Tọa độ điểm M. h  ( x ; y = 0 0 0 )
Tìm điểm có tọa độ nguyên:
y = f (x)  Điểm M ( ;
x y)∈(C) : y = f (x) có tọa độ nguyên nếu tọa độ điểm M ( ;
x y) thỏa mãn x∈ y∈  
Ví dụ 1: Cho hàm số (C) 4 2
: y = x + mx − m −1. Tọa độ các điểm cố định thuộc đồ thị (C) là A. ( 1; − 0) và (1;0). B. (1;0) và (0; ) 1 . C. ( 2; − ) 1 và ( 2; − 3). D. (2; ) 1 và (0; ) 1 . Lời giải
Gọi M (x ; y C 4 2
y = x + mx − m −1 m ∀ ∈ 0
0 ) là tọa độ điểm cố định của ( ) ta có: 0 0 0 ( )  − =  = ±  = − = ⇔ m( x 1 0 x 1 x 1; y 0 2
x −1 + x − y −1 = 0 m ∀ ∈  ⇔  ⇔  ⇔ Vậy tọa 0 ) 2 4 2 0 0 ( ) 0 0 0 0 4 2 2
x − y −1 = 0 y = 0  x = 1; y = 0 0 0 0 0 0
độ các điểm cố định thuộc đồ thị (C) là ( 1;
− 0) và (1;0). Chọn A.
Ví dụ 2: Gọi các điểm M , N là các điểm cố định mà đồ thị hàm số 3 2
y = x − 3mx + 3mx −1(C) luôn đi
qua. Tính độ dài MN . A. MN = 1. B. MN = 2.
C. MN = 2. D. MN = 4. Lời giải
Gọi M (x ; y C 3 2
y = x − 3mx + 3mx −1 m ∀ ∈ 0
0 ) là tọa độ điểm cố định thuộc ( ) ta có: 0 0 0 0 ( ) x − x = x = y = ⇔ 3m( 0 1; 0 2
x − x + y +1− x = 0 m ∀ ∈  ⇔  ⇔ 0 0 ) 2 3 0 0 ( ) 0 0 0 0 3 y +1 = x  x = 0; y = 1 − 0 0 0 0
Vậy M (1;0), N (0;− )
1 ⇒ MN = 2 . Chọn B.
Ví dụ 3: Cho hàm số 3 2
y = mx − 3mx + 2(m − )
1 x + 2(C). Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cố
định của đồ thị hàm số đã cho là A. y = 2 − x + 2.
B. y = 2x + 2. C. y = 2 − x − 2. D. y = 2 − x −1. Lời giải
Gọi M (x ; y C 3 2
y = mx − 3mx + 2 m −1 x + 2 m ∀ ∈ 0
0 ) là tọa độ điểm cố định thuộc ( ) ta có: 0 0 0 ( ) 0 ( ) 
⇔ m(x − 3x + 2x ) 3 2 3 2
− 2x + 2 − y = 0 ( m ∀ ∈ )
x − 3x + 2x = 0 0 0 0 ⇔  * 0 0 0 0 0 ( ) y = 2 − x +  2 0 0
Như vậy đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định là nghiệm của hệ phương trình (*) và 3 điểm này đều
thuộc đường thẳng y = 2
− x + 2. Chọn A.
Ví dụ 4: Biết rằng đồ thị hàm số 4 2
y = x + mx − m −1 luôn đi qua hai điểm cố định A và B. Tính độ dài đoạn thẳng . AB
A. AB = 2 2. B. AB = 2. C. AB = 1. D. AB = 4. Lời giải
Gọi M (x ; y C 4 2
y = x + mx − m −1 m ∀ ∈ 0
0 ) là tọa độ điểm cố định thuộc ( ) ta có: 0 0 0 ( ) x x y ⇔ m(  −1 = 0  = 1, = 0 2
x −1 + x −1− y = 0 ∀m∈  ⇔  ⇔ 0 ) 2 40 0 ( ) 0 0 0 4 x −  1− y = 0 x =  1, − y = 0 0 0 0 0
Khi đó A(1;0), B( 1;
− 0) ⇒ AB = 2. Chọn B.
Ví dụ 5: Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số (C) 2x − 2 : y =
mà tọa độ là số nguyên? x +1 A. 2. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải 2x − 2 2(x + ) 1 − 4 Ta có: 4 y = = = 2 − x +1 x +1 x +1
Điểm có tọa độ nguyên khi x∈ và x +1= Ư(4) = { 1 ± ; 2 ± ;± } 4
Khi đó có 6 điểm có tọa độ nguyên thuộc (C) 2x − 2 : y = . Chọn D. x +1 Ví dụ 6: Gọi x +
M , N là hai điểm thuộc đồ thị hàm số 3 2 y =
(C) sao cho tọa độ của chúng là những số x +1
nguyên. Tính độ dài MN
A. MN = 2 2. B. MN = 2. C. MN = 2. D. MN = 4. Lời giải 3x + 2 3(x + ) 1 −1 Ta có: 1 y = = = 3− x +1 x +1 x +1 x + = − x = −
Điểm có tọa độ nguyên khi x∈ và x +1= Ư( ) = {± } 1 1 2 1 1 ⇒ ⇒  x 1 1  + = x = 0
Khi đó có 2 điểm có tọa độ nguyên thuộc (C) 2x − 2 : y = là M ( 2; − 4), N (0;2) x +1
Khi đó MN = 2 2 . Chọn A. 2
Ví dụ 7: Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số (C) x + 5x +15 : y =
mà tọa độ là số nguyên? x + 3 A. 6. B. 7. C. 5. D. 8. Lời giải 2 2 Ta có:
x + 5x +15 x + 3x + 2x + 6 + 9 9 y = = = x + 2 + x + 3 x + 3 x + 3 x = 4 − x = 6 −  x = 2 −
Điểm có tọa độ nguyên khi x∈ và x + 3 = Ư(9) = { 1 ± ; 3 ± ;± } 9 ⇒  x = 0  x = 12 −  x = 6
Từ đó suy ra có 6 điểm có tọa độ là số nguyên thuộc (C). Chọn A.
Ví dụ 8: Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số 3x + 7 y =
mà tọa độ là số nguyên? 2x −1 A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải 3x + 7
6x +14 3(2x − ) 1 +17 Ta có: 17 y = ⇒ 2y = = = 3+ 2x −1 2x −1 2x −1 2x −1
Điểm có tọa độ nguyên khi x∈ và 2x −1= Ư(17) = { 1 ± ;± } 17 2x −1 = 17 − x = 8 − ⇒ y =1 2x 1 1  − = − x = 0 ⇒ y = 7 − Suy ra  ⇒ 
⇒ Có 4 điểm có tọa độ là số nguyên. Chọn D. 2x −1 =1 x =1⇒ y =10  2x 1 17  − =
x = 9 ⇒ y = 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Biết A(0; y), B( ; x )
1 thuộc đồ thị hàm số 3 2
y = x + x −1 khi đó giá trị x + y là A. 1. − B. 0. C. 1. D. 2.
Câu 2: Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số 4 2
y = x − 2x −1? A. ( 1; − 2). B. (2;7). C. (0;− ) 1 . D. (1; 2 − ).
Câu 3: Đồ thị hàm số 2
y = x + 2mx − m +1 ( m là tham số) luôn đi qua điểm M cố định có tọa độ là A.  1 3 M ;     . B. M ( 1; − 0). C. 1 5 M  ; . D. M (0; ) 1 .  2 2   2 4 
Câu 4: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số nào sau đây cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất? A. 2x −1 y − = . B. 1 = x y . C. 3 2
y = 2x − 3x − 2. D. 3
y = −x + 3x − 2 x + 3 1+ x
Câu 5: Trên đồ thị hàm số 2x −1 y =
có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên? 3x + 4 A. 1. B. 2. C. 0. D. 4.
Câu 6: Trên đồ thị hàm số 2x − 5 y =
có bao nhiêu điểm có tọa độ là các số nguyên? 3x −1 A. 4. B. Vô số. C. 2. D. 0.
Câu 7: Trên đồ thị (C) của hàm số x +10 y =
có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên? x +1 A. 4. B. 2. C. 10. D. 6.
Câu 8: Đồ thị của hàm số 3 2
y = x − 3x + mx + m ( m là tham số) luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ là A. M ( 1; − 4 − ). B. M (1; 4 − ). C. M ( 1; − 2). D. M (1; 2 − ).
Câu 9: Tìm tọa độ điểm x +
M có hoành độ dương thuộc đồ thị (C) của hàm số 2 y = sao cho khoảng x − 2
cách từ M đến hai đường tiệm cận của đồ thị (C) đạt giá trị nhỏ nhất. A. M (1; 3 − ). B. M (3;5). C. M (0;− ) 1 . D. M (4;3). 2
Câu 10: Số điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số 2x + 3x +10 y = là: x + 2 A. 16. B. 12. C. 10. D. 8.
Câu 11: Biết đồ thị (C của hàm số 4 2
y = x − mx + m + 2018 luôn luôn đi qua hai điểm M và N cố định m )
khi m thay đổi. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là A. I (1;2018). B. I (0; ) 1 . C. I (0;2018). D. I (0;2019).
Câu 12: Số điểm cố định của đồ thị hàm số 3
y = x + (m − ) 2
3 x − (2m − )
1 x − 3m − 3 là A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.
Câu 13: Đồ thị hàm số nào dưới đây có tâm đối xứng là điểm I (1; 2 − ) ? A. 2x − 3 y = . B. 3 2
y = 2x − 6x + x +1. 2x + 4 C. 3 2 y − = 2
− x + 6x + x −1. D. 2 2 = x y . 1− x Câu 14: Cho hàm số 1− 3 = x y
có đồ thị là (C). Điểm M nằm trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M 3− x
đếm tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm đến tiệm cận ngang của (C). Khoảng cách từ
M đến tâm đối xứng của (C) bằng A. 3 2. B. 2 5. C. 4. D. 5.
Câu 15: Số điểm trên đồ thị hàm số 2x +1 y = có tọa độ nguyên là: x −1 A. 5. B. 3. C. 4. D. 2.
Câu 16: Cho đồ thị (C) của hàm số 2x + 2 y =
. Tọa độ điểm M nằm trên (C) sao cho tổng khoảng cách x −1
từ M đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất là A. M ( 1; − 0) hoặc M (3;4). B. M ( 1; − 0) hoặc M (0; 2 − ).
C. M (2;6) hoặc M (3;4). D. M (0; 2 − ) hoặc M (2;6) .
Câu 17: Gọi M (a;b) là điểm trên đồ thị hàm số 2x +1 y =
mà có khoảng cách đến đường thẳng x + 2
d : y = 3x + 6 nhỏ nhất. Khi đó
A. a + 2b =1.
B. a + b = 2.
C. a + b = 2. −
D. a + 2b = 3.
Câu 18: A và B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số = x y . Khi đó độ dài đoạn x − 2
AB ngắn nhất bằng A. 1. B. 2. C. 4. D. 8.
Câu 19: Tọa độ điểm x +
M thuộc đồ thị hàm số 3 1 y =
cách đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số một x −1 khoảng bằng 1 là A. (0;− ) 1 ;( 2; − 7). B. ( 1 − ;0);(2;7). C. (0; ) 1 ;(2; 7 − ). D. (0;− ) 1 ;(2;7). Câu 20: Cho hàm số x − 2 y =
có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Xét tam giác x +1
đều ABI có hai đỉnh ,
A B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng A. 2 3. B. 2 2. C. 3. D. 6.
Câu 21: Điểm thuộc đường thẳng d : x − y −1 = 0 cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 là: A. (1;0). B. (2; ) 1 . C. ( 1; − 2). D. (0;− ) 1 .
Câu 22: Họ parabol (P ) 2
: y = mx − 2(m −3) x + m − 2 (m ≠ luôn tiếp xúc với đường thẳng d cố định m 0)
khi m thay đổi. Đường thẳng d đó đi qua điểm nào dưới đây? A. (0; 2 − ). B. (0;2). C. (1;8). D. (1; 8 − ).
Câu 23: Gọi M , N là hai điểm di động trên đồ thị (C) của hàm số 3 2
y = −x + 3x − x + 4 sao cho tiếp tuyến
của (C) tại M và N luôn song song với nhau. Khi đó đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây? A. ( 1; − 5). B. (1; 5 − ). C. ( 1; − 5 − ). D. (1;5). Câu 24: Hai điểm x −
M ; N lần lượt thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số 3 1 y =
. Khi đó độ dài đoạn thẳng x − 3
MN ngắn nhất bằng: A. 8 2. B. 2017. C. 8. D. 4. Câu 25: , x −
A B là hai điểm di động và thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị 2 1 y = . Khi đó khoảng cách x + 2 AB bé nhất là? A. 10. B. 2 10. C. 5. D. 2 5. Câu 26: Cho hàm số x +1 y =
có đồ thị là (C). Gọi M (x y là một điểm bất kỳ trên (C). Khi tổng M ; M ) x −1
khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất, tính tổng x + y . M M A. 2 2 −1. B. 1. C. 2 − 2 2. D. 2 − 2.
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN y = 1 − x =1 Câu 1: Ta có  ⇔ 
⇒ x + y = 0 . Chọn B. 3 2 1  = x + x −1 y = 1 −
Câu 2: Ta có (2;7)∉(C). Chọn B. Câu 3: Ta có 2 2
y = x + 2mx − m +1 = x +1+ m(2x − )
1 ⇒ điểm cố định là  1 5 ;   . Chọn C. 2 4    Câu 4: Hàm số 2x −1 y =
có tâm đối xứng là ( 3 − ;2) ⇒ d = 13 x + 3 Hàm số 1− = x y
có tâm đối xứng là ( 1; − − ) 1 ⇒ d = 2 1+ x Hàm số 3 2
y = 2x − 3x − 2 có 2 1 5
y′ = 6x − 6x ⇒ y" =12x − 6; y" = 0 ⇔ x = ⇒ y = − nên có tâm đối xứng là 2 2  1 5  26 ;− ⇒ d =  2 2    2 Hàm số 3
y = −x + 3x − 2 có 2 y′ = 3
− x + 3 ⇒ y" = 6 − ;
x y" = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 2
− ⇒ d = 5. chọn A. 2 ( x+ ) 11 3 4 2x −1 − 3 3 1  11  3x + 4 = 11 − x = 5 − ⇒ y =1 Câu 5: y = = = 2 − ⇒ ⇔ . 3x + 4 3x + 4 3  3x + 4    3x 4 1  + = x = 1 − ⇒ y = 3 − Chọn B. 2 ( x− ) 13 3 1 2x − 5 − 3 3 1  13  3x −1 = 1 −
x = 0 ⇒ y = 5 Câu 6: y = = = 2 − ⇒ ⇔     . 3x −1 3x −1 3  3x −1 3x −1 = 13 − x = 4 − ⇒ y =1 Chọn C. x +1 = 1 ± Câu 7: x +10 9 y 1  = = + ⇔ x +1 = 3 ± . Chọn D. x 1 x 1  + + x +1 = 9 ±  Câu 8: 3 2 3 2
y = x − 3x + mx + m = x − 3x + m(x + )
1 ⇒ điểm cố định là ( 1; − 4 − ). Chọn A.
Câu 9: Tiệm cận đứng d : xa +
= 2 , tiệm cận ngang d : y =1. Giả sử 2 M  ;  a 1 2  a 2  −  Ta có d ( 4 4
M ,d + d M ,d = a − 2 + ≥ 2 a − 2 . = 4 1 ) ( 2 ) a − 2 a − 2 a = l Xảy ra khi 4 a − 2 = ⇔ (a − 2)2 0( ) = 4 ⇔ . Chọn D. a 2  −
a = 4 ⇒ y = 3 x + 2 = 1 ± x + 2 = 2 ±  2 2x + 3x +10 12 x + 2 = 3 ±
Câu 10: Ta có y = = 2x −1+ ⇒ . Chọn B. x + 2 x + 2 x+2 = 4 ±  x + 2 = 6 ±  x + 2 = 12 ±
x =1⇒ y = 2019 Câu 11: 4 2 4
y = x − mx + m + 2018 = x + 2018 − m( 2 x − ) 1 ⇒ ⇒ 
I (0;2019). Chọn D. x = 1 − ⇒ y = 2019 Câu 12: 3
y = x + (m − ) 2 x − ( m − ) 3 2
x − m − = x − x + x − + m( 2 3 2 1 3 3 3 3 x − 2x − 3) x = 1 − Điểm cố định khi 2
x − 2x − 3 = 0 ⇔  . Chọn A.x = 3
Câu 13: Với hàm số 3 2
y = 2x − 6x + x +1 ta có 2
y′ = 6x −12x +1⇒ y" =12x −12
Ta có y" = 0 ⇔ x =1⇒ y = 2 − ⇒ I (1; 2
− ) là tâm đối xứng. chọn B.
Câu 14: Tiệm cận đứng d : x  −
= 3, tiệm cận ngang d : y = 3. Giả sử 1 3a M  ;  a 1 2  3  − a  Ta có d ( 8
M ,d = a − 3 ,d M ,d = 1 ) ( 2 ) a − 3 16
a = 7 ⇒ M 7;5
Mà d (M ,d = 2d M ,d ⇔ a −3 = ⇔ a − 3 =16 ⇔ 1 ) ( 2 ) ( )2 ( ) a − 3 a = 1 − ⇒  M ( 1; − ) 1
Tâm đối xứng là (3;3) ⇒ d = 2 5 . Chọn B. 2x +1 3 x −1 = 1 ±
Câu 15: Ta có y = = 2 + ⇒ . Chọn C. x −1 x −1  x −1 = 3 ±
Câu 16: Gọi  2a + 2 M ;  a (a ≠   )
1 thuộc đồ thị (C).  a −1 
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =1 và tiệm cận ngang y = 2 .
Ta có: d (M x = ) = a − d (M y = ) 2a + 2 4 ; 1 1 , ; 2 = − 2 = a −1 a −1
Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là: 4 4 d = a −1 + ≥ 2 a −1 . = 4. a −1 a −1 4 a = 3 M 3;4
Dấu bằng xảy ra ⇔ a −1 = ⇔ (a − )2 ( ) 1 = 4 ⇔ ⇒ . Chọn A. a −1  a = 1  − M ( 1; − 0)  2a +1
Câu 17: Gọi M ; a  (a ≠ 2 −  
) thuộc đồ thị (C).  a + 2  2a +1 3a − + 6
Khoảng cách từ M đến d : y = 3x + 6 là: d (M d x − y + = ) a + 2 ; : 3 6 0 = 2 3 + (− )2 1 1 2a + 4 − 3 1 = a + − = (a + ) 3 . 3 6 3 2 + − 2 10 a + 2 10 a + 2 2  3  3 Ta có: 3(a + 2) + ≥ 4.3(a + 2). = 36 
(Bất đẳng thức (x + y)2 ≥ 4xy )  a 2 +  a + 2  (a + ) 3 3 2 + ≥ 6 3  Do đó (a + ) a + 2 3 2 + ≥ 6 ⇒  a + 2 3(a + 2) 3 + ≤ 6 −  a + 2 3 4 Suy ra 3(a + 2) + − 2 ≥ 4 ⇒ d = . min a + 2 10 1
a = − ⇒ b =
Dấu bằng xảy ra ⇔ a + 2 = ⇔ (a + 2)2 3 5 = 1⇒ ⇒ a + b =  2 . Chọn B. a + 2 a = 1 − ⇒ b =1 x (x − 2) + 2 2
Câu 18: Ta có: y = = = 1+ x − 2 x − 2 x − 2
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = 2 .
Gọi A(x ; y , B x ; y C x < 2 < x 1 1 )
( 2 2) lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của ( ) ta có: 1 2  2 y =1−  1 
Đặt x = 2 − a, x = 2 + b (a,b > 0) a 2 ⇒ 
⇒ AB = x − x + y − y 1 2 ( 1 2)2 ( 1 2)2 2 y =1+ 2  b 2   (a b)2  1 1  = + + + = (a + b)2 4 4 1+    . a b  (ab)2      (
a + b)2 ≥ 4ab  4 Ta có: 2  ⇒ AB ≥ 4a . b = 16 ⇒ AB ≥ 4. 4 4 4 1  + ≥ 2 = ab 2 2 2 2  a b a b aba = b
Dấu bằng xảy ra ⇔  2
⇔ a = b = 2 . Chọn C. = 1 ab  3a +1
Câu 19: Gọi M ; a  (a ≠   )
1 thuộc đồ thị hàm số.  a −1 
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là ∆ : x = 1. a = 2 M (2;7)
Ta có: d (M ;∆) = a −1 =1 ⇔ ⇒   . Chọn D. a = 0 M  (0; ) 1
Câu 20: Giao điểm của 2 đường tiệm cận là I ( 1; − )
1 là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Hàm số đã cho là hàm đồng biến, có 2 trục đối xứng là 2 đường phân giác của các đường tiệm cận có
phương trình là y = x và y = −x .
Do tính chất đối xứng nên AB ⊥ d : y = −x ⇒ AB : y = x + m x − 2 x ≠ 1 −
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và AB là: = x + m ⇔ x +1  g  ( x) 2
= x + mx + m + 2 = 0 2
∆ = m − 4(m + 2) > 0
Điều kiện để AB cắt (C) tại 2 điểm phân biệt là:  (*) g  (− ) 1 = 3 ≠ 0
x + x = −m
Khi đó gọi A(x ; x + m ;B x ; x + m 1 1 ) ( 2 2 ), theo Viet ta có: 1 2  x x = m +  2 1 2 3 3
Tam giác ABC luôn cân tại I suy ra nó đều khi IH =
AB ⇔ d (I; AB) = AB 2 2 m − 2 3 ⇔ =
2(x − x )2 ⇔ (m − 2)2 = 3(x + x )2 − 4x x  = 3( 2 m − 4m − 8 1 2 1 2 1 2 ) 2 2   2 ⇔ m − m = ⇒ AB = ( 2 4 14
2 m − 4m −8) = 2 3 . Chọn A.x = 0 A(0;2)
Câu 21: Xét hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 ta có: 2
y′ = 3x − 6x = 0 ⇔ ⇒   là hai điểm cực trị x = 2 B  (2; 2 − ) của đồ thị hàm số 3 2
y = x − 3x + 2  2 MA = t +  (t −3)2
Gọi M (t;t − ) 2 2 1 ∈ d ⇒ 
⇒ MA = MB ⇔ 2t − 6t + 9 = 2t − 2t + 5
MB = (t − 2)2 + (t + )2 1 
⇔ 4t = 4 ⇔ t =1⇒ M (1;0). Chọn A.
Câu 22: Giả sử (P
y = mx − m − x + m −
m ≠ luôn tiếp xúc với đường thẳng m ) 2 : 2( 3) 2 ( 0)
d : y = ax + b 2
mx − 2(m −3) x + m − 2 = ax + b
Khi đó hệ phương trình  đúng vói mọi m . 2mx − 2  (m −3) = ax = 1
Xét phương trình 2mx − 2m + 6 = a ⇔ m(2x − 2) + 6 = a đúng với mọi m ⇔  . a = 6
Thế vào phương trình đầu của hệ ta được: m − 2(m − 3) + m − 2 = 6 + b ⇒ b = 2. −
Vậy họ parabol đã cho luôn tiếp xúc với đường thẳng d : y = 6x − 2 tại điểm (1;4) .
Khi đó d đi qua điểm (0; 2 − ) . Chọn A.
Câu 23: Gọi M ( 3 2
a −a + a − a + ) N ( 3 2 ; 3 4 , ; b b
− + 3b − b + 4) (a ≠ b).
Tiếp tuyến tại M và N song song với nhau khi
y′(a) = y′(b) (a ≠ b) 2 2 ⇔ 3
− a + 6a −1 = 3b + 6b −1 2 2
⇔ 3a − 3b − 6(a − b) = 0 ⇔ 3(a − b)(a + b) − 6(a − b) = 0 ⇔ 3(a − b)(a + b − 2) = 0 (*)
Do a ≠ b ⇒ (*) ⇔ a + b = 2
Suy ra y + y = − a + b + a + b − a + b + M N ( 3 3) ( 2 2 3 ) ( ) 8 = −(a + b)( 2 2
a − ab + b ) + ( 2 2
a + b ) − + = − ( 2 2
a − ab + b ) 2 2 3 2 8 2
+ 3(a + b ) + 6 = (a + b)2 + 6 =10
x + x = = x M N 2 2 U ⇒ 
⇒ U (1;5) luôn là trung điểm của MN . y + y = =  y M N 10 2 U
Tính chất: Gọi M , N là hai điểm di động trên đồ thị (C) của hàm số 3 2
y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) sao
cho tiếp tuyến của (C) tại M và N luôn song song với nhau thì MN luôn đi qua điểm uốn. Chọn D.
3x −1 3(x − 3) + 8 8
Câu 24: Ta có: y = = = 3 + x − 3 x − 3 x − 3
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = 3.  8 y = 3 −  1
Đặt x = 3 − a, x = 3 + b (a,b > 0)  a 2 ⇒ 
⇒ MN = x − x + y − y 1 2 ( 1 2)2 ( 1 2)2 8 y = 3+ 2  b 2   (a b)2  1 1  = + + + = (a + b)2 64 64 1+    . a b  (ab)2      (
a + b)2 ≥ 4ab  16 Ta có: 2  ⇒ AB ≥ 4a . b = 64 ⇒ AB ≥ 8. 64 64 16 1  + ≥ 2 = ab 2 2 2 2  a b a b aba = b
Dấu bằng xảy ra ⇔  8
⇔ a = b = 2 2 . Chọn C. =  1 ab
2x −1 2(x + 2) − 5 5 Câu 25: y = = = 2 − x + 2 x + 2 x + 2
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = 2 .
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1

Tài liệu liên quan: