Bài toán tìm hình chiếu của điểm trên mặt phẳng tọa độ Toán 12
Bài toán tìm hình chiếu của điểm trên mặt phẳng tọa độ Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian 144 tài liệu
Môn: Toán 12 4.3 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
BÀI TOÁN TÌM HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Cho điểm M x; y; z :
+ Hình chiếu của điểm M trên Ox là M ; x 0;0 . 1
+ Hình chiều của điểm M trên Oy là M 0; y; 0 . 2
+ Hình chiếu của điểm M trên Oz là M 0; 0; z . 3
+ Hình chiếu của điểm M trên Oxy là M ; x y; 0 . 4
+ Hình chiếu của điểm M trên Oyz là M 0; y; z . 5
+ Hình chiếu của điểm M trên Ozx là M x; 0; z 6
Tìm hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng
+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với .
+ Hình chiếu H của điểm A là giao điểm của đường thẳng d và .
Tìm hình chiếu d của đường thẳng d trên mặt phẳng . * Cách 1
- Nếu đường thẳng d song song với thì d //d
+ Lấy điểm M thuộc đường thẳng d và tìm hình chiếu M của điểm M trên .
+ Đường thẳng d đi qua M và song song với đường thẳng d .
- Nếu đường thẳng d cắt tại M
+ Lấy điểm N thuộc đường thẳng d và tìm hình chiếu N của N trên .
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm là M và N . * Cách 2
+ Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với .
+ Khi đó đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Tìm hình chiếu A của A trên đường thẳng d . * Cách 1:
+ Viết phương trình mặt phẳng P chứa A và vuông góc với d .
+ Hình chiếu A là giao điểm của d và P . * Cách 2: Trang 117
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
+ Tìm tọa độ điểm A theo tham số t A d .
+ Lập phương trình AA .u 0 . Giải phương trình tìm t suy ra tọa độ điểm A. d
Tìm điểm M đối xứng với M qua P :
+ Tìm hình chiếu H của M trên P (khi đó H là trung điểm MM ).
+ Áp dụng công thức tính tọa độ trung điểm suy ra tọa độ điểm M . BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 2; 2
;1 trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là A. 2; 0 ;1 . B. 2; 2 ; 0 . C. 0; 2 ; 1 . D. 0; 0;1 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xác định hình chiếu của điểm trong không gian trên mặt phẳng tọa độ. 2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Xác định các tọa độ của điểm M .
B2: Viết kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B
Hình chiếu vuông góc của điểm M 2; 2
;1 trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là 2; 2 ; 0
Bài tập tương tự và phát triển:
Câu 1.1: Hình chiếu vuông góc của điểm A2;3;
1 trên mặt phẳng Oyz là điểm
A. M 2; 0;0 .
B. N 0; 3; 1 .
C. P 0;3; 1 . D. Q 2 ;3; 1 . Lời giải Chọn C
Hình chiếu vuông góc của điểm A2;3;
1 trên mặt phẳng Oyz là điểm P 0;3; 1
Câu 1.2: Hình chiếu vuông góc của điểm A3;1;
1 trên mặt phẳng Oxz là điểm
A. A 3; 0; 1 .
B. A0;1; 0 .
C. A3;1 ;1 .
D. A0;1; 1 . Lời giải Chọn A
Hình chiếu vuông góc của điểm A3;1;
1 trên mặt phẳng Oxz là điểm A3; 0; 1 .
Câu 1.3: Hình chiếu vuông góc của điểm A5; 4
;3 trên trục Ox là điểm
A. A 5; 4; 0 .
B. A5;0; 0 .
C. A5; 4; 3 .
D. A 5; 4; 3 . Trang 118
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Lời giải Chọn B
Hình chiếu vuông góc của điểm A5; 4
;3 trên trục Ox là điểm A5;0;0
Câu 1.4: Hình chiếu vuông góc của điểm A 3;5;8 trên trục Oy là điểm
A. A 3; 0;8 .
B. A 3;5; 8 .
C. A0;5;8 .
D. A0;5; 0 . Lời giải Chọn D
Hình chiếu vuông góc của điểm A 3;5;8 trên trục Oy là điểm A0;5; 0 .
Câu 1.5: Hình chiếu vuông góc của điểm A 3
; 5;7 trên trục Oz là điểm
A. A3; 5;0 . B. A 5 ; 5; 7 .
C. A0;0;7 .
D. A 0;0; 7 . Lời giải Chọn C
Hình chiếu vuông góc của điểm A 3
; 5;7 trên trục Oz là điểm A0;0;7 .
Câu 1.6: Hình chiếu của điểm M 1; 2; 4 trên mặt phẳng : 3x 2y z 11 0 có hoành độ bằng A. 2. B. 4 . C. 2 . D. 1 . Lời giải Chọn C
Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với : 3x 2 y z 11 0 .
Vì d nên u n . 3;2; 1 d x 1 3t
Suy ra phương trình đường thẳng d là y 2 2t . z 4 t
Gọi M là hình chiếu của M trên mặt phẳng khi đó M d tọa độ điểm M x 1 3t x 1 3t
y 2 2t y 2 2t
thỏa mãn hệ phương trình z 4 t z 4 t 3
x 2 y z 11 0 3
1 3t 22 2t 4 t 11 0 x 2 y 0
M 2; 0;5 . z 5 t 1
Câu 1.7: Tìm hình chiếu của điểm M 2;0
;1 trên mặt phẳng : x y z 0 .
A. M 1; 1;0 .
B. M 3;1; 2 .
C. M 2;0 ;1 .
D. M 4; 2;3 . Lời giải Chọn A
Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với : x y z 0 . Trang 119
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Vì d nên u n . 1;1; 1 d x 2 t
Suy ra phương trình đường thẳng d là y t . z 1 t
Gọi M là hình chiếu của M trên mặt phẳng khi đó M d tọa độ điểm M x 2 t x 2 t x 1 y t y t y 1
thỏa mãn hệ phương trình
M 1;1; 0 . z 1 t z 1 t z 0
x y z 0
2 t t 1 t 0 t 1
x 1 2t
Câu 1.8: Hình chiếu d của đường thẳng d : y 3 t trên mặt phẳng Oxy có phương trình là z 1 2t x 1 2t x 1 4t x 1 2t
x 3 2t
A. y 3 t .
B. y 2 2t .
C. y 3 t .
D. y 3 t . z 0 z 0 z 0 z 0 Lời giải Chọn C x 1 2t
Phương trình đường thẳng d là y 3 t . z 0 x 1 y 2 z
Câu 1.9: Tìm phương trình hình chiếu d của đường thẳng d :
trên mặt phẳng Oyz . 2 1 2 x 0 x 0 x 0 x 0
A. y 2 t .
B. y 3 t .
C. y 1 t .
D. y 2 t . z 2t z 1 2t z 2t z 2t Lời giải Chọn D x 1 2t
Phương trình tham số của đường thẳng d là y 2 t . z 2t x 0
Phương trình đường thẳng d là y 2 t . z 2t x 2 t
Câu 1.10: Hình chiếu d của đường thẳng d : y 3 t trên mặt phẳng Oxz là z 2t Trang 120
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 x 4 t x 2 t x 4 t x 3 t A. y 0 . B. y 0 . C. y 0 . D. y 0 . z 3 2t z 4 2t z 4 2t z 4 2t Lời giải Chọn C x 2 t
Phương trình đường thẳng d là y 0 . z 2t x 4 t
Chọn t 2 A 4; 0; 4 do đó phương trình đường thẳng d còn có dạng: t 0 .
z 4 2t x 3 y 1 z 1
Câu 1.11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và mặt phẳng 3 1 1
P : x z 4 0 . Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d
lên mặt phẳng P .
x 3 3t
x 3 t x 3 t
x 3 t
A. y 1 t .
B. y 1 t . C. y 1 .
D. y 1 2t .
z 1 t z 1 t z 1 t z 1 t Lời giải Chọn C
x 3 3t
Cách 1 : Ta có phương trình tham số của đường thẳng d : y 1 t đi qua điểm M 3;1; 1 z 1 t
và có vectơ chỉ phương u 3;1; 1 . d
Vì điểm M 3;1;
1 P nên M d P .
Gọi điểm O 0; 0; 0 d và K là hình chiếu của O trên P .
Gọi đường thẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng P suy ra đường thẳng nhận
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P làm vectơ chỉ phương u . 1;0; 1 x t '
Phương trình đường thẳng là y 0 . z t '
Khi đó K P . x t ' t ' 2 y 0 x 2
K 2; 0; 2 . z t ' y 0
x z 4 0 z 2 Trang 121
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng P là đường thẳng MK .
Véctơ chỉ phương MK 1;1; 1 1 1;1 ;1 .
x 3 t
Phương trình đường thẳng MK là y 1 t . z 1 t
Cách 2 : Gọi Q là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với Q . Q P n n Q P
nên Q có một vectơ pháp tuyến là n
n ,u . Q P d 1; 2; 1 Q d n u Q d
Lấy điểm O 0; 0;0 d O Q .
Mặt phẳng Q đi qua điểm O và có vectơ pháp tuyến n 1; 2; 1 có phương trình là
x 2 y z 0 .
Gọi d là hình chiếu của d trên P d P Q nên d có một vectơ chỉ phương là 1 u n , n . d P Q 1;1; 1 2 M P
x z 4 0
Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng d M M . M Q
x 2 y z 0 M M M z 1 0 y 1
Chọn x 3 ta được M M M 3;1; 1 . 2 y z 3 z 1 M M M
Đường thẳng d đi qua điểm M 3;1;
1 và có vectơ chỉ phương là u 1;1; 1 có phương trình x 3 t
là y 1 t . z 1 t x 12 y 9 z 1
Câu 1.12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : , và mặt thẳng 4 3 1
P: 3x 5y z 2 0 . Gọi d ' là hình chiếu của d lên P.Phương trình tham số của d ' là x 62t x 62t x 62t x 62t A. y 2 5t .
B. y 25t .
C. y 25t .
D. y 25t .
z 2 61t z 2 61t z 2 61t z 2 61t Lời giải Chọn A Cách 1:
Gọi A d P
A d A 12 4a;9 3a;1 a
A P a 3 A0;0; 2
d đi qua điểm B 12;9; 1 Trang 122
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Gọi H là hình chiếu của B lên P
P có vectơ pháp tuyến n 3;5; 1 P
BH đi qua B 12;9;
1 và có vectơ chỉ phương a
n 3;5; 1 BH P
x 12 3t
BH : y 9 5t z 1 t
H BH H 12 3t;9 5t;1 t 78 186 15 113
H P t H ; ; 35 35 7 35
186 15 183 3 AH ; ; . 62;25;6 1 35 7 35 35
d ' đi qua A0;0; 2 và có vectơ chỉ phương a 62; 2 5;61 d ' x 62t
Vậy phương trình tham số của d ' là y 2 5t
z 2 61t Cách 2:
Gọi Q chứa d và vuông góc với P
d đi qua điểm B 12;9;
1 và có vectơ chỉ phương a 4;3 ;1 d
P có vectơ pháp tuyến n 3;5; 1 P
Q qua B 12;9;
1 có vectơ pháp tuyến n a , n 8 ;7;1 1 Q d P
Q :8x 7 y 11z 22 0
d ' là giao tuyến của Q và P
Tìm một điểm thuộc d ' , bằng cách cho y 0 3
x z 2 x 0 Ta có hệ
M 0; 0; 2 d ' 8x 11z 22 y 2
d ' đi qua điểm M 0; 0; 2 và có vectơ chỉ phương a n ; n 62; 25;6 1 d P Q x 62t
Vậy phương trình tham số của d ' là y 2 5t .
z 2 61t Trang 123
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 x 1 t
Câu 1.13: Cho đường thẳng d : y 2 2t và mặt phẳng P : x y z 1 0 . Đường thẳng d là hình z 1 t
chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng P có phương trình x 1 t x t x t x 1 t A. y 1 2t .
B. y 3 2t .
C. y 3 2t .
D. y 2 2t . z 1 t z 2 t z 2 t z 2 t Lời giải Chọn C
Vectơ chỉ phương của d là u (1;2; 1) P là n (1; 1;1) . d
và vectơ pháp tuyến của P
Gọi Q là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với P . Khi đó Q có vectơ pháp tuyến n u , n 1;0; 1 . Q d P Lấy A1; 2;
1 d A Q.
Mặt phẳng Q đi qua A1; 2;
1 và có vectơ pháp tuyến n 1; 0; 1 nên có phương trình là
x z 2 0 .
Đường thẳng d là hình chiếu của d trên P nên d là giao tuyến của hai mặt phẳng P và
Q nên có vectơ chỉ phương là u n ,n 1; 2 ;1 . d P Q M P
x y z 1 0
Lấy M d M M M . M Q
x z 2 0 M M
y z 1 0 y 3 Chọn x 0 ta có M M M
M 0 3;2 . z 2 0 z 2 M M
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0; 3; 2
và có vectơ chỉ phương u 1; 2 ;1 là x t t 3 2t .
z 2 t x 1 y 1 z
Câu 1.14: Hình chiếu của điểm A2; 1
;8 trên đường thẳng d : có hoành độ bằng 2 1 2 A. 5. B. 3 . C. 5 . D. 0. Lời giải Chọn A Cách 1:
x 1 2t
Phương trình tham số của d : y 1 t . z 2t
Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d hình chiếu A của A trên d là giao
của d và P . Trang 124
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Vì d P nên mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến là n u phương P 2; 1;2 d
tình mặt phẳng P là: 2x y 2z 21 0 . x 1 2t x 5
y 1 t y 3
A d P tọa độ điểm A thỏa mãn hệ
A5; 3; 4 . z 2t z 4
2x y 2z 21 0 t 2 Cách 2:
x 1 2t
Phương trình tham số của d : y 1 t . z 2t
Gọi A là hình chiếu của A trên d A d A 1 2t;1 t; 2t .
u 2; 1; 2 , AA 2t 1; t ; 2t 8 . d
AA d AA .u 0 2 2t
1 t 2 2t 8 0 t 2 A5; 3; 4 . d x 1 y 2 z
Câu 1.15: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng :
. Gọi H a; ;
b c là hình chiếu của 2 1 2
điểm A2; 3;
1 lên đường thẳng . Tính a b c . A. 0. B. 1. C. 1. D. 3. Lời giải Chọn A
x 1 2t
Phương trình tham số của : y 2 t . z 2t
H là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng H H 1 2t; 2 t; 2t . u
; AH 2t 3;1 t; 2t 1 . 2; 1; 2
Vì H là hình chiếu của A trên nên AH AH u AH.u 0 d d
2 2t 3 11 t 22t
1 0 t 1 H 1; 3; 2 . Suy ra a 1;b 3 ; c 2 .
Vậy a b c 0 .
x 1 2t
Câu 1.16: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y t
và mặt phẳng P : x 2 y 1 0 . Tìm z 2 t
hình chiếu của đường thẳng d trên P . 19 19 3 1 x 2t x 2t x 2t x 2t 5 5 5 5 2 12 4 2
A. y t . B. y t .
C. y t .
D. y t . 5 5 5 5 z t z 1 t z 2 t z 1 t Lời giải Trang 125
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Chọn C
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u 2; 1
;1 và mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến là n 1;2;0. n u Ta có:
d // P .
M 1;0; 2 d nhng M P
Do đó, nếu d là hình chiếu của d trên P thì d //d.
Gọi M là hình chiếu của M 1;0; 2 trên P M d .
Gọi là đường thẳng đi qua M và vuông góc với P M P .
Vì P nên có một vectơ chỉ phương là u n 1; 2;0 . P
Phương trình đường thẳng đi qua M 1; 0; 2 và có vectơ chỉ phương u 1; 2; 0 là : x 1 t
: y 2t . z 2
M P tọa độ điểm M thỏa mãn hệ : 3 x x 1 t x 1 t 5 4 y 2t y 2t y 3 4 5 M ; ; 2 . z 2 z 2 5 5 z 2
x 2y 1 0
1 t 2.2t 1 0 2 t 5 3 x 2t 5 3 4 4
Hình chiếu d song song với d và đi qua M ; ; 2
có phương trình là y t . 5 5 5 z 2 t x 1 t
Câu 1.17: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 2 và mặt phẳng z t
P : x 2 y z 1 0 . Tìm hình chiếu của đường thẳng d trên P . 1 1 1 1 x t x t x t x t 3 3 3 3 2 2 2 2 A. y . B. y . C. y .
D. y t . 3 3 3 3 2 2 2 2 z t z t z t z t 3 3 3 3 Lời giải Chọn B
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u 1; 0
;1 và mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến là Trang 126
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
n 1;2; 1 . n u Ta có:
d // P .
M 1;2;0 d nhng M P
Do đó, nếu d là hình chiếu của d trên P thì d //d.
Gọi M là hình chiếu của M 1; 2;0 trên P M d .
Gọi là đường thẳng đi qua M và vuông góc với P M P .
Vì P nên có một vectơ chỉ phương là u n . P 1;2; 1 x 1 t
Phương trình đường thẳng đi qua M và có vectơ chỉ phương u 1; 2;
1 là : y 2 2t . z t
M P tọa độ điểm M thỏa mãn hệ : 1 x 3 x 1 t x 1 t 2 y
y 2 2t y 2 2t 3 1 2 2 M ; ; . z t z t 2 3 3 3 z
x 2y z 1 0 1 t 2
2 2t t 1 0 3 2 t 3 1 x t 3 1 2 2 2
Hình chiếu d song song với d và đi qua M ; ;
có phương trình là y . 3 3 3 3 2 z t 3
Câu 1.18: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có A1;0; 0 , B 0;1; 0 , C 0; 0; 1 , D 2 ;1; 1 . Gọi H ; a ;
b c là chân đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện. Tính 2a b c . A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. Lời giải Chọn C
Phương trình mặt phẳng ABC : x y z 1 0 .
Gọi là đường thẳng đi qua D và vuông góc với ABC có một vectơ chỉ phương là u n . ABC 1;1; 1
Đường thẳng đi qua D 2 ;1;
1 và có vectơ chỉ phương u 1;1; 1 thì có phương trình x 2 t
là: y 1 t .
z 1 t Trang 127
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
H là hình chiếu của D trên ABC H ABC tọa độ điểm H thỏa mãn hệ
x 2 t
x 2 t x 1 y 1 t y 1 t y 2 phương trình: H 1 ; 2;0 z 1 t z 1 t z 0
x y z 1 0
2 t 1 t 1 t 1 0 t 1 a 1
;b 2; c 0 . Vậy 2a b c 0 .
Câu 1.19: Trong không gian Oxyz , cho A2;3;
1 , B 0; 1; 2 , C 1;0;3 . Gọi H là chân đường cao hạ
từ đỉnh A của tam giác ABC . Hoành độ điểm H là A. 1. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn D
Đường thẳng đi qua B;C có vectơ chỉ phương u BC 1;1; 1 .
Đường thẳng BC đi qua B 0; 1; 2 và có vectơ chỉ phương u BC 1;1; 1 Phương trình x t
đường thẳng BC là y 1 t . z 2 t
Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC H là hình chiếu của A trên
đường thẳng BC H t; 1
t; 2 t AH t 2;t 4;t 3 .
Vì AH BC AH.BC 0 3t 3 0 t 1 H 1;0; 3 .
Câu 1.20: Gọi M a; ;
b c là điểm đối xứng của điểm M 2;1;3 qua mặt phẳng P : x y z 1 0 . Tính
a b c . A. 4 . B. 3. C. 4. D. 1. Lời giải Chọn C
Gọi H là hình chiếu của M trên P H là trung điểm của MM .
Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với P H d P . x 2 t
d P u n
d : y 1 t . P 1; 1; 1 d z 3 t x 2 t x 2 t y 1 t y 1 t
H d P tọa độ điểm H thỏa mãn hệ z 3 t z 3 t
x y z 1 0 2 t
1 t 3 t 1 0 x 1 y 2 H 1; 2; 2 . z 2 t 1 Trang 128
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
2x x x x 0 H M M M
Vì H là trung điểm MM 2y y y y 3 a 0;b 3;c 1. H M M M 2z z z z 1 H M M M
Vậy a b c 4 . Trang 129