69 trang 24 lượt tải

Bài toán VD – VDC tỉ số thể tích – Nguyễn Công Định Toán 12

48

Tài liệu gồm 69 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Công Định (giáo viên Toán trường THTP Đầm Dơi, tỉnh Cà Mau), hướng dẫn giải 57 bài tập trắc nghiệm tỉ số thể tích mức độ vận dụng – vận dụng cao (VD – VDC).Mời bạn đọc đón xem.

Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện 172 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Lan Tường

1 năm trước
Danh sách Quiz
/69
Chuyên đề
TỈ SỐ THỂ TÍCH
ÔN THI THPT QUỐC GIA
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH
Giáo viên THTP Đầm Dơi
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH
GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT ĐẦM DƠI
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
N.C.Đ
TỈ SỐ THỂ TÍCH
CHỦ ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO
DẠNG 3
TỈ SỐ THỂ TÍCH
' ' '
' ' '
. . .
A B C
ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
Đặt
; ; ; .
' ' ' '
SA SB SC SD
a b c d
SA SB SC SD
Khi đó :
' ' ' '
1. .
2. .
4
A B C D
ABCD
a c b d
V
a b c d
V abcd
Giả sử
' ' '
;;
' ' '
A M B N C P
x y z
A A B B C C
Khi đó :
' ' '.
' ' '.
.
3
A B C MNP
A B C ABC
V
x y z
V

Bài toán 1: Tỉ số thể tích hình chóp tam giác.
Bài toán 2: Tỉ số thể tích hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành.
Bài toán 3: Tỉ số thể tích hình chóp lăng trụ tam giác.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH
GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT ĐẦM DƠI
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
N.C.Đ
TỈ SỐ THỂ TÍCH
Giả sử , , , .
Khi đó
' ' ' '.
' ' ' '.
1. .
2. .
4
A B C D MNPQ
A B C D ABCD
x y z t
V
x y z t
V
1. Hai hình chóp có chung đáy thì
11
22
.
Vh
Vh
2. Hai hình chóp có chung đỉnh và hai đáy nằm trên một mặt phẳng thì
11
22
.
VS
VS
AM
x
AA
CP
y
CC
DN
z
DD
BQ
t
BB
Bài toán 4: Tỉ số thể tích hình hộp.
Kiến thức khác: Tỉ số thể tích hình chóp chung đỉnh hoặc chung đáy.

VN DNG VN DNG CAO
DNG 3
T S TH TÍCH
Câu 1. Cho hình chóp
.S ABCD
 tích là
V
. Gi
M
là trung
m ca
SB
m thuc cnh
SD
sao cho
2SP DP
. Mt phng
AMP
ct cnh
SC
ti
N
. Tính th tích ca khn
ABCDMNP
theo
V
A.
23
30
ABCDMNP
VV
. B.
19
30
ABCDMNP
VV
. C.
2
5
ABCDMNP
VV
. D.
7
30
ABCDMNP
VV
.
Câu 2. Cho hình chóp
.S ABCD

ABCD
là hình thoi cnh
a
,
o
60BAD
và
SA
vuông
góc vi mt phng
ABCD
. Góc gia hai mt phng
SBD
và
ABCD
bng
o
45
. Gi
M
i xng ca
C
qua
B
và
N
m ca
SC
. Mt phng
MND
chia khi chóp
.S ABCD
thành hai khn chnh
S
có
th tích là
1
V
, khi còn li có th tích là
2
V
(tham kho hình v bên). Tính t s
1
2
V
V
.
A.
1
2
1
5
V
V
. B.
1
2
5
3
V
V
. C.
1
2
12
7
V
V
. D.
1
2
7
5
V
V
.
Câu 3. Cho hình hp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
. Gi
12
,VV
lt là th tích khi t din
ACB D

và
khi hp
.ABCD A B C D
. T s
1
2
V
V
bng:
A.
1
.
3
B.
1
.
6
C.
1
.
2
D.
1
.
4
Câu 4. Cho hình chóp
.S ABC
có
M
,
N
,
P
  nh bi
SM MA
,
2
3
SN SB
,
1
2
SP SC
. Tính th tích khi chóp
.S MNP
bit
43SA
,
SA ABC
, tam giác
ABC
u có cnh bng
6
.
A. 3. B. 4. C. 1. D. 2.
Câu 5. Cho hình chóp
.S ABCD

ABCD
là hình bình hành. Gi
M
,
N
lt là trung
m ca các cnh
AB
,
BC
m
I
thun
SA
. Bit mt phng
MNI
chia khi
chp
.S ABCD
thành hai phn, phn chnh
S
có th tích bng
7
13
ln phn còn li.
Tính t s
IA
k
IS
?
A.
1
2
. B.
3
4
. C.
2
3
. D.
1
3
.
Câu 6. Cho lnh bng
a

       
1
S
   
6
   

2
S

2
1
S
S

A.
2
1
2
S
S
. B.
2
1
6
S
S
. C.
2
1
S
S
. D.
2
1
1
2
S
S
.
Câu 7.   
.ABC A B C
.Trên các cnh
,AA BB

l t l  m
,EF
sao cho
,AA kA E BB kB F

. Mt phng
(C )EF
chia khi tr n
bao gm khi chóp
( . )C A B FE
có th tích
1
V
và khn
(ABCEFC )
có th tích
2
V
.
Bit rng
1
2
2
7
V
V
, tìm k
A.
4k
. B.
3k
. C.
1k
. D.
2k
.
Câu 8. Cho hình chóp
.S ABCD

ABCD
là hình bình hành,
M
m ca
AD
.
Gi
S
là giao ca
SC
vi mt phng cha
BM
và song song vi
SA
. Tính t s th
tích ca hai khi chóp
.S BCDM
và
.S ABCD
.
A.
2
3
. B.
1
2
. C.
1
4
. D.
3
4
.
Câu 9. Cho khi chóp
12
. ...
n
S A A A
( vi
3n
là s i
j
B
m ca
n thng
1,
j
SA j n
. Kí hiu
12
,VV
lt là th tích ca hai khi chóp
12
. ...
n
S A A A
và
12
. ...
n
S B B B
. Tính t s
1
2
V
V
.
A.
2
. B.
4
. C.
8
. D.
2
n
.
Câu 10. Cho hình chóp
.S ABCD
      i
V
là th tích ca khi chóp
.S ABCD
và
,,M N P
lm các cnh
,,SB SD AD
. Th tích ca khi t
din
AMNP
bng
A.
1
32
V
B.
1
8
V
C.
1
4
V
D.
1
16
V
Câu 11. Cho hình chóp
.S ABCD

ABCD
là hình vuông cnh bng
a
, tâm
O
. Hình chiu
vuông góc cm
S
trên mt phng
ABCD
m
H
cn thng
AO
.
Bit mt phng
SCD
to vi m 
ABCD
mt góc
60
. Th tích khi chóp
.S ABCD
bng
A.
3
93
4
a
. B.
3
3
4
a
. C.
3
3
4
a
. D.
3
33
4
a
.
Câu 12. Cho hình chóp t giác
.S ABCD

ABCD
là hình thoi cnh
a
,
D 60BA 
và
SA
vuông góc vi mt phng
ABCD
. Góc gia hai mt phng
SBD
và
ABCD
là
45
.
Gi
M
i xng ca
C
qua
B
và
N
m
SC
. Mt phng
MND
chia khi chóp thành hai khnh
S
có th tích là
1
V
, khn còn li có th tích
2
V
. Tính t s
1
2
V
V
A.
1
2
12
7
V
V
. B.
1
2
5
3
V
V
. C.
1
2
1
5
V
V
. D.
1
2
7
5
V
V
.
Câu 13. 
.ABC A B C

3
48cm

,,M N P


,CC BC
và
BC

. 
.A MNP
.
A.
3
8.cm
B.
3
12 .cm
C.
3
24 .cm
D.
3
16
.
3
cm
Câu 14. 
.S ABC

ABC

,B
2,AC a
SA ABC
,
.SA a

G

SBC
,
mp

AG

BC
chia khi chóp
thành hai phn. Gi
V
là th tích ca khn không chnh
S
. Tính
V
.
A.
3
5
54
a
. B.
3
2
9
a
. C.
3
4
27
a
. D.
3
4
9
a
.
Câu 15. Cho hình chóp
.S ABCD
nh
a
,
SA
vuông góc v
2SA a
.
', 'BD
lt là hình chiu ca
A
lên
,SB SD
. Mt phng
''AB D
ct
SC
ti
'C
.
Th tích khi chóp
. ' ' 'S AB C D
là
A.
3
23
3
a
V
. B.
3
22
3
a
V
. C.
3
23
9
a
V
. D.
3
2
9
a
V
.
Câu 16. Cho kh tam giác
.ABC A B C
. Gi
,MN
lt thuc các cnh bên
,AA CC

sao cho
;4MA MA NC NC


. Gi
G
là trng tâm tam giác
ABC
. Hi trong bn khi
t din
,,GA B C BB MN ABB C
và
A BCN
, khi t din nào có th tích nh nht?
A. Khi
ABB C

. B. Khi
A BCN
. C. Khi
BB MN
. D. Khi
GA B C
.
Câu 17. Cho hình chóp t u
.S ABCD
. Mt phng
P
qua
A
và vuông góc
SC
ct
SB
,
SC
,
SD
lt ti
B
,
C
,
D
. Bit
C
m
SC
. Gi
1
V
,
2
V
lt là th tích
hai khi chóp
.S AB C D
và
.S ABCD
. Tính t s
1
2
V
V
.
A.
1
2
2
3
V
V
. B.
1
2
2
9
V
V
. C.
1
2
4
9
V
V
. D.
1
2
1
3
V
V
.
Câu 18. u
.S ABC
u cnh bng
a
. Gi
,MN
lt là
 m ca các cnh
,SB SC
. Bit mt phng
AMN
vuông góc vi mt phng
SBC
. Tính th tích
V
ca khi chóp
.A BCNM
.
A.
3
5
32
a
V
. B.
3
2
16
a
V
. C.
3
2
48
a
V
. D.
3
5
96
a
V
.
Câu 19. Cho khi t din
ABCD
có th tích
V
. Gi
E
,
F
,
G
l    m ca
,,BC BD CD
,và
, , ,M N P Q
l t là trng tâm ca các tam giác
,,ABC ABD
,ACD BCD
. Tính th tích ca khi t din
MNPQ
theo
.V
A.
9
V
. B.
3
V
. C.
2
9
V
. D.
27
V
.
Câu 20. Cho hình chóp tam giác
.S ABC
. Gi
M
m ca
SA
, lm
N
trên cnh
SB
sao cho
2
3
SN
SB
. Mt phng
qua
MN
và song song vi
SC
chia khi chóp
thành hai phn. Gi
1
V
là th tích ca khn chnh
A
,
2
V
là th tích ca khi
n còn li. TÍnh t s
1
2
.
V
V
A.
1
2
7
16
V
V
. B.
1
2
7
18
V
V
. C.
1
2
7
11
V
V
. D.
1
2
7
9
V
V
.
Câu 21. Cho khi chóp
.S ABCD

ABCD
là hình bình hành và có th tích bng
1
. Gi
M
,
N
lm trên các cnh
SB
,
SD
sao cho
MS MB
,
2ND NS
. Mt phng
CMN
chia khn, th tích ca phn có th tích nh 
bng
A.
2
25
. B.
1
12
. C.
3
25
. D.
5
48
.
Câu 22. Cho hình chóp
.S ABCD

ABCD
là hình bình hành. Gi
,MN


,SA SD
. Mt phng
cha
MN
và c
,SB SC
lt ti
P
và
Q
 
SP
x
SB
,
1
V
     
.S MNQP

V
    
.S ABCD

x

1
2VV
.
A.
1
2
x
. B.
1 33
4
x

. C.
1 41
4
x

. D.
2x
.
Câu 23.  ng tam giác
. ' ' 'ABC A B C
. Gi
, , ,M N P Q
m lt thuc các
cnh
', ', ', ' 'AA BB CC B C
tha mãn
1 1 1 ' 1
, , ,
' 2 ' 3 ' 4 ' ' 5
AM BN CP C Q
AA BB CC B C
. Gi
12
,VV
ln
t là th tích khi t din
MNPQ
và kh
. ' ' 'ABC A B C
. Tính t s
1
2
V
V
.
A.
1
2
11
30
V
V
. B.
1
2
11
45
V
V
. C.
1
2
19
45
V
V
. D.
1
2
22
45
V
V
.
Câu 24. Cho hình chóp
.S ABCD

ABCD
là hình bình hành. Gi
M
,
N
lt là trung
m ca các cnh
AB
,
BC
m
K
thun
SA
. Bit mt phng
MNK
chia khi
chóp
.S ABCD
thành hai phn, phn chnh
S
có th tích bng
7
13
ln phn còn li.
Tính t s
KA
t
KS
.
A.
1
2
t
. B.
3
4
t
. C.
1
3
t
. D.
2
3
t
.
Câu 25. Cho khi chóp
.S ABCD
   tích bng 1. Gi
M
là trung
m cnh
SA
  m
,EF
l    i xng ca
A
qua
B
và
D
. Mt
phng
(MEF)
ct các cnh
,SB SD
lt tm
,NP
. Th tích ca khn
ABCDMNP
bng
A.
2
3
B.
1
3
C.
3
4
D.
1
4
Câu 26. Cho hình l
. ' ' ' 'ABCD A B C D
cnh
a
. Gi
,MN
lt nm trên các cnh
''AB
và
BC
sao cho
''MA MB
và
2NB NC
. Mt phng
DMN
chia khi lp
  n. Gi
H
V
là th tích kh n ch nh
'
,
H
AV
là th tích khn còn li. T s
'
H
H
V
V
bng
A.
151
209
. B.
151
360
. C.
2348
3277
. D.
209
360
.
Câu 27. Cho khi hp ch nht
.ABCD A B C D
có th tích bng
2110
. Bit
A M MA
,
3DN ND
,
2CP C P
. Mt phng
MNP
chia khi h
khn. Th tích khn nh ng
A.
5275
6
. B.
5275
12
. C.
7385
18
. D.
8440
9
.
Câu 28. Cho khi chóp S.ABCD có th tích bn AD và
3AD BC
. Gm ca cm thuc CD sao cho ND = 3NC.
Mt phng (BMN) ct SD ti P. Th tích khi chóp AMBNP bng:
A.
3
8
B.
5
12
C.
5
16
D.
9
32
Câu 29. Cho khi chóp
.S ABCD

AB
và
CD
,
2AB CD
.
Gi
E
là mm trên cnh
SC
. Mt phng
ABE
chia khi chóp
.S ABCD
thành hai
khn có th tích bng nhau. Tính t s
SE
SC
.
A.
10 2
2
. B.
62
. C.
21
. D.
26 4
2
.
Câu 30. Cho hình chóp
.S ABC

ABC
là tam giác vuông cân ti
B
,
SA
vuông góc vi
mt 
, ABC BC a
, góc hp bi
SBC
và
ABC
là
60
. Mt phng
P
qua
A
vuông góc vi
SC
ct
,SB SC
lt ti
,DE
. Th tích khn
ABCED
là
A.
3
33
40
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
11 3
120
a
. D.
3
33
60
a
.
Câu 31. Cho khi hp ch nht
.ABCD A B C D
có th tích bng 2019. Th tích phn chung ca
hai khi
AB CD

và
A BC D

bng
A.
673
4
. B.
673
. C.
673
3
. D.
673
2
.
Câu 32. Cho hình chóp
.S ABCD
 
ABCD
là hình vuông và
SA ABCD
 ng
thng vuông góc vi
ABCD
ti
D
lm
S
tha mãn
1
2
S D SA
và
S
,
S
cùng
 i vi mt phng
ABCD
. Gi
1
V
là phn th tích chung ca hai khi chóp
.S ABCD
và
.S ABCD
. Gi
2
V
là th tích khi chóp
.S ABCD
. T s
1
2
V
V
bng
A.
4
9
. B.
7
9
. C.
7
18
. D.
1
3
.
Câu 33. Cho khi hp
.ABCD A B C D
m
M
nm trên cnh
CC
tha mãn
3CC CM
. Mt
phng
AB M
chia khi hp thành hai khn. Gi
1
V
là th tích khn
chnh
A
,
2
V
là th tích khn chnh
B
. Tính t s th tích
1
V
và
2
V
.
A.
41
13
. B.
27
7
. C.
7
20
. D.
9
4
.
Câu 34. Cho hình chóp
.S ABCD

ABCD
ng thng qua
D
và
song song vi
SA
lm
S
tha mãn
S D kSA
vi
0k
. Gi
1
V
là phn th tích
chung ca hai khi chóp
.S ABCD
và
.S ABCD
. Gi
2
V
là th tích khi chóp
.S ABCD
. T
s
1
2
V
V
bng
A.
2
2
2
21
kk
k
. B.
2
32
21
k
k
. C.
2
2
32
21
kk
k
. D.
1
k
k
.
Câu 35. u
.S ABC
. Gi
G
là trng tâm tam giác
ABC
, bit góc to bi
SG
và
SBC
bng
30
. Mt phng cha
BC
và vuông góc vi
SA
chia kh
cho thành hai phn có th tích
1
V
,
2
V

1
V
là phn th tích chm
S
. T s
1
2
V
V
bng
A.
6
. B.
1
6
. C.
6
7
. D.
7
.
Câu 36. Cho hình chóp
.S ABCD

ABCD
là hình bình hành. Trong không gian lm
S
tha mãn
'2SS BC
. Gi
1
V
là phn th tích chung ca hai khi chóp
.S ABCD
và
.S ABCD
. Gi
2
V
là th tích khi chóp
.S ABCD
. T s
1
2
V
V
bng
A.
1
9
. B.
5
9
. C.
1
2
. D.
4
9
.
Câu 37. Cho hình chóp
.S ABCD

ABCD
là hình bình hành. Trong không gian lm
S
tha mãn
SS kBC
vi
0k
.Gi
1
V
là phn th tích chung ca hai khi chóp
.S ABCD
và
.S ABCD
. Gi
2
V
là th tích khi chóp
.S ABCD
. T s
1
2
V
V
bng
A.
2
2
2
21
kk
k
. B.
2
32
21
k
k
. C.
2
2
32
21
kk
k
. D.
1
k
k
.
Câu 38. u
.S ABC
có cnh bên to vng cao mt góc
0
30
,
O
là
trng tâm tam giác
ABC
. Mu th hai
.O A B C
có
S
là tâm ca
tam giác
ABC
và cnh bên ca hình chóp
.O A B C
to vng cao mt góc
0
60
(hai hình chóp có chung chiu cao) sao cho mi cnh bên
SA
,
SB
,
SC
lt ct các
cnh bên
OA
,
OB
,
OC
. Gi
1
V
là phn th tích chung ca hai khi chóp
.S ABC
và
.O A B C
. Gi
2
V
là th tích khi chóp
.S ABC
. T s
1
2
V
V
bng
A.
9
16
. B.
1
4
. C.
27
64
. D.
9
64
.
Câu 39. u
.S ABC
,
O
là trng tâm tam giác
ABC
. Mt hình chóp tam
u th hai
.O A B C
có
S
là tâm ca tam giác
ABC
và cnh bên ca hình chóp
.O A B C
và
A B kAB

(hai hình chóp có chung chiu cao) sao cho mi cnh bên
SA
,
SB
,
SC
lt ct các cnh bên
OA
,
OB
,
OC
. Gi
1
V
là phn th tích chung ca hai
khi chóp
.S ABC
và
.O A B C
. Gi
2
V
là th tích khi chóp
.S ABC
. T s
1
2
V
V
bng
A.
32
3
( 1)
kk
k
. B.
3
3
( 1)
k
k
. C.
1
1k
. D.
1
k
k
.
Câu 40. Cho hình hp
.ABCD A B C D
. Gi
1
V
là phn th tích chung ca hai khi ca hai khi
t din
A BC D
và
AB CD
. Gi
2
V
là th tích khi hp
.ABCD A B C D
. T s
1
2
V
V
bng
A.
1
2
. B.
1
6
. C.
1
3
. D.
1
4
.
Câu 41.   
.ABC A B C
, trên các cnh
AA
,
BB
l  m
M
,
N
sao cho
3AA A M

,
3BB B N

. Mt phng
C MN
chia kh n.
Gi
1
V
là th tích ca khi chóp
.C A B NM
,
2
V
là th tích ca khn
ABCMNC
.
T s
1
2
V
V
bng:
A.
1
2
4
7
V
V
. B.
1
2
2
7
V
V
. C.
1
2
1
7
V
V
. D.
1
2
3
7
V
V
.
Câu 42.   
.ABC A B C
, trên các cnh
AA
,
BB
l  m
M
,
N
sao cho
.AA k A M

,
.BB k B N

1k
. Mt phng
C MN
chia kh 
hai phn. Gi
1
V
là th tích ca khi chóp
.C A B MN
,
2
V
là th tích ca khn
ABCMNC
. T s
1
2
V
V
bng:
A.
1
2
4
32
V
Vk
. B.
1
2
2
32
V
Vk
. C.
1
2
1
32
V
Vk
. D.
1
2
3
32
V
Vk
.
Câu 43. Cho mt ming tôn hình tròn tâm
O
, bán kính
R
. Ct b mt phn ming tôn theo
mt hình qut
OAB
và gò phn còn li thành mnh
O

(OA
trùng vi
)OB
. Gi
S
và
S
lt là din tích ca miu và
din tích ca ming tôn còn li. Tìm t s
S
S
 th tích ca kht giá tr ln
nht.
A.
2
3
. B.
1
4
. C.
1
3
. D.
6
3
.
Câu 44. Cho hình chóp
.S ABCD
i
,MN
lm ca
,SA SC
.
Mt phng
()BMN
ct
SD
ti
P
. T s
.
.
S BMPN
S ABCD
V
V
bng:
A.
.
.
1
16
S BMPN
S ABCD
V
V
. B.
.
.
1
6
S BMPN
S ABCD
V
V
. C.
.
.
1
12
S BMPN
S ABCD
V
V
. D.
.
.
1
8
S BMPN
S ABCD
V
V
.
Câu 45. 
. ' ' 'ABC A B C
có th tích bng V. Gi M, N lm ca
' ',A B AC
và
P
m thuc cnh
'CC
sao cho
2'CP C P
. Tính th tích khi t din
BMNP
theo V.
A.
2
9
V
. B.
3
V
. C.
5
24
V
. D.
4
9
V
.
Câu 46. Cho t din
SABC
có
G
là trng tâm t din, mt phng quay quanh
AG
ct các cnh
,SB SC
lt ti
,MN
. Giá tr nh nht ca t s
.
.
S AMN
S ABC
V
V
là?
A.
4
9
. B.
3
8
. C.
1
3
. D.
1
2
.
Câu 47. Cho kh
.ABC A B C
có th tích bng 1. Gi M, N lm ca
n thng AC và
BC

. Gi (P) là mt phng qua M và song song vi mt phng
()A NC
. Mt phng (P) chia kh
.ABC A B C
thành hai khn, gi (H) là
khn chnh A. Th tích ca khn (H) bng
A.
3
.
5
B.
1
.
3
C.
2
.
5
D.
1
.
2
Câu 48. 
.
ABCD A B C D

2a

M

BB
và
P

DD
sao cho
1
4
DP DD

AMP

CC

N


AMNPBCD

A.
3
2a
. B.
3
3a
. C.
3
11
3
a
. D.
3
9
4
a
.
Câu 49. Cho hình hp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có th tích bng
V
. Gi
, , , , ,M N P Q E F
lt là tâm
các hình bình hành
, ' ' ' ', ' ', ' ', ' ', ' '.ABCD A B C D ABB A BCC B CDD C DAA D
Th tích khi
nh
, , , , ,M P Q E F N
bng
A.
4
V
. B.
2
V
. C.
6
V
. D.
3
V
.
Câu 50. 
.ABCD A B C D

ABCD
là hình ch nht vi
6AB
,
3AD
,
3AC
và mt phng
AA C C

vuông góc v  t mt phng
AA C C

và
AA B B

to vi nhau góc
, tha mãn
3
tan
4
. Th tích kh  
.ABCD A B C D
bng
A.
10V
. B.
8V
. C.
12V
. D.
6V
.
Câu 51. Cho hình chóp
.S ABCD
i
K
m ca
SC
. Mt
phng qua
AK
ct các cnh
SB
,
SD
lt ti
M
và
N
. Gi
1
V
,
V
theo th t là th
tích khi chóp
.S AMKN
và khi chóp
.S ABCD
. Giá tr nh nht ca t s
1
V
V
bng
A.
1
2
. B.
2
3
. C.
1
3
. D.
3
8
.
Câu 52. Cho t diu
ABCD
có cnh bng
a
. Gi
,MN
lt là trng tâm các tam giác
,ABD ABC
và
E
i xng vi
B
qua
D
. Mt
MNE
chia khi t din
ABCD
thành hai khn chnh
A
có th tích
V
. Tính
V
.
A.
3
92
320
a
V
. B.
3
32
320
a
V
. C.
3
2
96
a
V
. D.
3
32
80
a
V
.
Câu 53. Cho hình chóp
.S ABCD
 tích là
V
. Gi
P
m
trên cnh
SC
sao cho
5.SC SP
Mt mt phng
()
qua
AP
ct hai cnh
SB
và
SD
lt ti
M
và
.N
Gi
1
V
là th tích ca khi chóp
..S AMPN
Tìm giá tr ln nht
ca
1
V
V
.
A.
1
15
. B.
1
25
. C.
3
25
. D.
2
15
.
Câu 54. Cho hình chóp
.S ABCD
có
ABCD
i xng vi
C
qua
B
.
N
m
SC
. Mt phng
MND
chia hình chóp thành hai khn (tham
kho hình v bên). Gi
1
V
là th tích khn chnh
S
và
2
V
là th tích kh
din còn li. Tính t s
1
2
V
V
?
A.
1
2
5
3
V
V
. B.
1
2
12
7
V
V
. C.
1
2
1
5
V
V
. D.
1
2
7
5
V
V
.
Câu 55. 
.ABC A B C
có th tích bng 2. Gi
,MN
lm nm trên hai
cnh
AA
và
BB
sao cho
M
m ca
AA
và
2
3
B N BB

ng thng
CM
cng thng
AC

ti
P
ng thng
CN
cng thng
BC

ti
Q
. Th tích
khn li
A MPB NQ

bng
A.
13
18
. B.
23
9
. C.
7
18
. D.
5
9
.
Q
P
M
N
C
A
B
D
S
Câu 56.      u
.ABC A B C
c  ng
a
, chiu cao bng
2a
. Mt
phng
P
qua
B
và vuông góc vi
AC
 thành hai khi. Bit th tích ca
hai khi là
1
V
và
2
V
vi
12
VV
. T s
1
2
V
V
bng
A.
1
11
. B.
1
23
. C.
1
47
. D.
1
7
.
Câu 57.

.ABC A B C
và
,MN
m lt trên cnh
,CA CB
sao cho
MN
song song vi
AB
và
CM
k
CA
. Mt phng
()MNB A

chia kh
.ABC A B C
thành hai phn có th tích
1
V
(phn chm
C
) và
2
V
sao cho
1
2
2
V
V

ca
k
là
A.
15
2
k

. B.
1
2
k
. C.
15
2
k
. D.
3
3
k
.
NG DN GII
Câu 1. Cho hình chóp
.S ABCD
 tích là
V
. Gi
M
là trung
m ca
SB
m thuc cnh
SD
sao cho
2SP DP
. Mt phng
AMP
ct cnh
SC
ti
N
. Tính th tích ca khn
ABCDMNP
theo
V
A.
23
30
ABCDMNP
VV
. B.
19
30
ABCDMNP
VV
. C.
2
5
ABCDMNP
VV
. D.
7
30
ABCDMNP
VV
.
Li gii
Chn A
Gi
O AC BD
,
I MP SO
,
N AI SC

..ABCDMNP S ABCD S AMNP
V V V
t
1
SA
a
SA

,
2
SB
b
SM

,
SC
c
SN
,
3
2
SD
d
SP

ta có
5
2
a c b d c
.
.
.
53
12
7
22
53
4 30
4.1.2. .
22
S AMNP
S ABCD
V
a b c d
V abcd
..
7 23
30 30
ABCDMNP S ABCD S AMNP
V V V V V V
.
Câu 2. Cho hình chóp
.S ABCD

ABCD
là hình thoi cnh
a
,
o
60BAD
và
SA
vuông
góc vi mt phng
ABCD
. Góc gia hai mt phng
SBD
và
ABCD
bng
o
45
. Gi
M
i xng ca
C
qua
B
và
N
m ca
SC
. Mt phng
MND
chia khi chóp
.S ABCD
thành hai khn chnh
S
có
th tích là
1
V
, khi còn li có th tích là
2
V
(tham kho hình v bên). Tính t s
1
2
V
V
.
O
I
P
N
M
D
C
B
A
S
A.
1
2
1
5
V
V
. B.
1
2
5
3
V
V
. C.
1
2
12
7
V
V
. D.
1
2
7
5
V
V
.
Li gii
Chn D
Trong tam giác
SMC
,
SB
và
MN
là hai
trung tuyn ct nhau ti trng tâm
K
2
3
SK
SB

.
BI
ng trung bình ca tam giác
MCD
I
m
AB
.
1 . . .S AID S IKN S IND
V V V V
t:
.S ABCD
VV
.
.
1
.
4
S AID
VV
;
..
2 1 1 1
. . . .
3 2 4 12
S IKN S IBC
SK SN
V V V V
SB SC
;
..
1 1 1
. . .
2 2 4
S IND S ICD
SN
V V V V
SC
1
1 1 1 7
..
4 12 4 12
V V V



1
2
2
57
.
12 5
V
VV
V
.
Câu 3. Cho hình hp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
. Gi
12
,VV
lt là th tích khi t din
ACB D

và
khi hp
.ABCD A B C D
. T s
1
2
V
V
bng:
A.
1
.
3
B.
1
.
6
C.
1
.
2
D.
1
.
4
Ligii
Chn A
Ta có
. . . . . 2
11
.
66
B ABC D ACD C B C D A A B D ABCD A B C D
V V V V V V
Suy ra
1
1 2 2 2
2
1 1 1
4. .
6 3 3
V
V V V V
V
Câu 4. Cho hình chóp
.S ABC
có
M
,
N
,
P
  nh bi
SM MA
,
2
3
SN SB
,
1
2
SP SC
. Tính th tích khi chóp
.S MNP
bit
43SA
,
SA ABC
, tam giác
ABC
u có cnh bng
6
.
A. 3. B. 4. C. 1. D. 2.
Li gii
Chn C
Ta có:
2
6 . 3
33
42
ABC
S 
.
Suy ra:
.
1 1 3 3
. .4 3. 6
3 3 2
S ABC ABC
V SAS
.
Li có:
..
.
.
1 2 1 1 6
. . . . 1
2 3 2 6 6 6
S MNP S ABC
S MNP
S ABC
VV
SM SN SP
V
V SA SB SC
.
Câu 5. Cho hình chóp
.S ABCD

ABCD
là hình bình hành. Gi
M
,
N
lt là trung
m ca các cnh
AB
,
BC
m
I
thun
SA
. Bit mt phng
MNI
chia khi
chp
.S ABCD
thành hai phn, phn chnh
S
có th tích bng
7
13
ln phn còn li.
Tính t s
IA
k
IS
?
A.
1
2
. B.
3
4
. C.
2
3
. D.
1
3
.
Li gii
Chn C
Mt phng
MNI
ct khi chóp theo thit dit
.S ABCD
VV
.
Ta có
1 1 1
4 8 8
APM
APM BMN ABC ABCD
ABCD
S
S S S S
S
.
,
,1
d I ABCD
IA k
d S ABCD SA k

.
.
.
.
,
.
, 8 1 8 1
I APM APM
I APM
S ABCD ABCD
d I ABCD
V S k k
VV
V S d S ABCD k k

.
Do
/ / / / / / ; ;MN AC IK AC IK ABCD d I ABCD d K ABCD
.
Mà
APM NCQ
SS

.
..
81
I APM K NCQ
k
V V V
k
.
K
//IH SD
(
H SD
 :
1
IH AH AI k
SD AD AS k
.
2 1 2 3 1
3 3 3 1 3 1
IH PH PA AH PA AH k k
ED PD PD PD PD AD k k

.
3
:
31
ED IH ID k
SD SD ED k
,
3
, 3 1
d E ABCD
ED k
d S ABCD SD k
.
9
8
PQD
ABCD
S
S
.
.
.
27 27
24 8 24 8
E PQD
E PQD
S ABCD
V
kk
VV
V k k

.
. . .
13 13
20 20
EIKAMNCD E PDC I APM K NQC
V V V V V V
27 13 27 13 2
8 3 1 8 1 8 1 20 2 3 1 1 5 3
k k k k k
V V V V k
k k k k k
.
Câu 6. Cho lnh bng
a

       
1
S
   
6
   

2
S

2
1
S
S

A.
2
1
2
S
S
. B.
2
1
6
S
S
. C.
2
1
S
S
. D.
2
1
1
2
S
S
.
Li gii
Hình 2
Hình 1
I
K
E
Q
P
N
M
D
A
B
C
S
A
D
S
I
P
E
H
Chn B
Ta có:
2
1
6Sa
.
Hình tr 
a

2
a
r

h l a
.
Suy ra
2
2
2π 2π. . π
2
a
S rl a a
.

2
2
2
1
66
S
a
Sa


.
Câu 7.   
.ABC A B C
.Trên các cnh
,AA BB

l t l  m
,EF
sao cho
,AA kA E BB kB F

. Mt phng
(C )EF
chia khi tr n
bao gm khi chóp
( . )C A B FE
có th tích
1
V
và khn
(ABCEFC )
có th tích
2
V
.
Bit rng
1
2
2
7
V
V
, tìm k
A.
4k
. B.
3k
. C.
1k
. D.
2k
.
Li gii
Chn B
+) Do khi chóp
.C A B FE
và khi chóp
.C A B BA
ng cao h t
C
nên
.
.
2
1
2
C A B FE
A B FE A B E
C A B BA A B BA A B A
V
SS
AE
V S S A A k
(1)
+) Do khi chóp
.C ABC
và kh
.ABC A B C
ng cao h t
C
và

ABC
nên
.
ABC.
1
3
C ABC
ABC
V
V
.
ABC.
2
3
C A B BA
ABC
V
V

(2)
T (1) và (2) suy ra
.
1
1 ABC.
ABC. ABC.
2 2 2
.
3 3 3
C A B FE
ABC
A B C A B C
V
V
VV
V k V k k
t
ABC.ABC
VV

1
21
2
.
3
2
.
3
VV
k
V V V V V
k
Mà
1
2
2
7
V
V
nên
2 2 2 2 2 2 6 2
. ( . ) (1 ) 2 6 3
3 7 3 3 7 3 7 7
V V V k k
k k k k k
Câu 8. Cho hình chóp
.S ABCD

ABCD
là hình bình hành,
M
m ca
AD
.
Gi
S
là giao ca
SC
vi mt phng cha
BM
và song song vi
SA
. Tính t s th
tích ca hai khi chóp
.S BCDM
và
.S ABCD
.
A.
2
3
. B.
1
2
. C.
1
4
. D.
3
4
.
Li gii
Chn B
Gi
G BM AC
.
1
//
2
AG AM
AM BC AGM CGB
GC BC
( ) ( )
//
( ) , //( )
SAC S BM S G
S G SA
SAC SA SA S BM
CS GC
SC AC
2
3
.

( ,( )
( ,( ))
d S ABCD S C
d S ABCD SC
2
3
.
Ta có
( , ). . ( , ).
ABM ABCD
S d M AB AB d D AB AB S
1 1 1 1
2 2 2 4
BCDM ABCD ABCD ABCD
S S S S
13
44
.
Do vy:
.
( ',( ). . ( ,( )).
BCDM ABCD
S BCDM
V d S ABCD S d S ABCD S
1 1 2 3
3 3 3 4
.
. ( ,( )).
ABCD S ABCD
d S ABCD S V
1 1 1
2 3 2
'S BCDM
SABCD
V
V
1
2
.
S'
G
M
C
A
B
D
S
Câu 9. Cho khi chóp
12
. ...
n
S A A A
( vi
3n
là s   i
j
B
m ca
n thng
1,
j
SA j n
. Kí hiu
12
,VV
lt là th tích ca hai khi chóp
12
. ...
n
S A A A
và
12
. ...
n
S B B B
. Tính t s
1
2
V
V
.
A.
2
. B.
4
. C.
8
. D.
2
n
.
Li gii
Chn C
Khi chóp
12
. ...
n
S A A A
có din tích m
12
...
n
A A A
:
1
 ng cao
1
h
Khi chóp
12
. ...
n
S B B B
có din tích m
12
...
n
B B B
:
2
 ng cao
2
h
Do mt phng
12
...
n
B B B
//
12
...
n
A A A
ct khi chóp theo thit din
12
...
n
B B B
nên ta có 2
ng dng :
1 2 1 2
... & ... .
nn
A A A B B B
11
1 2 1 3 2 1 3 1 4 3 1 1 1 1
11
22
2 2 1 2 1 3 2 1 3 1 4 3 1 1 1 1
1 2 1 3 2 1 3 1 4 3 1 1 1
1
1 1 1
. .sin . .sin ... . .sin
3
2 2 2
.
1 1 1 1
. .sin . .sin ... . .sin
3 2 2 2
2 .2 .sin 2 .2 .sin ...2 .2 .si
=
nn
nn
nn
h
A A A A B A A A A B A A A A B
Vh
Vh
h B B B B B B B B B B B B B B B
B B B B B B B B B B B B B B




1
2
1 2 2 3 2 2 3 3 4 3 1 1 2 1 2
n
2
.
. .sin . .sin ... . .sin
n
B
h
B B B B B B B B B B B B B B B h
.
=4.2 8.
Câu 10. Cho hình chóp
.S ABCD
      i
V
là th tích ca khi chóp
.S ABCD
và
,,M N P
lm các cnh
,,SB SD AD
. Th tích ca khi t
din
AMNP
bng
A.
1
32
V
B.
1
8
V
C.
1
4
V
D.
1
16
V
Li gii
Chn D
Cách 1
K
;BH SAD MI SAD
có
,
1
2
,
d M SAD
MI MS
BH BS
d B SAD
.
Ta có
1
2
ANP AND
SS

(Vì
P
m ca
AD
).
Mà
1
2
AND ASD
SS

(Vì
N
m ca
SD
).
Nên
1
4
ANP ASD
SS

.
Li có
.
1
3
M ANP ANP
V S MI

11
32
ANP
S BH
11
83
ANP
S BH
..
11
88
B SAD S BAD
VV
Mt khác
..
11
22
S BAD S ABCD
V V V
.

.
1 1 1
.
8 2 16
A MNP
V V V
.
Cách 2:
Do
// //SA NP SA MNP
,,d A MNP d S MNP
.
Nên
..A MNP S MNP
VV
(1)
Ta có
.
.
1 1 1
2 2 4
S MNP
S BDP
V
SM SN SP
V SB SD SP
..
1
4
S MNP S BDP
VV
(2)
Li có
11
24
BDP BDA ABCD
S S S


..
11
44
S BDP S ABCD
V V V
(3)
T
(1),(2),(3)
có
.
1 1 1
4 4 16
A MNP
V V V
.
Câu 11. Cho hình chóp
.S ABCD

ABCD
là hình vuông cnh bng
a
, tâm
O
. Hình chiu
vuông góc cm
S
trên mt phng
ABCD
m
H
cn thng
AO
.
Bit mt phng
SCD
to vi m 
ABCD
mt góc
60
. Th tích khi chóp
.S ABCD
bng
A.
3
93
4
a
. B.
3
3
4
a
. C.
3
3
4
a
. D.
3
33
4
a
.
Li gii
Chn B
Dng
HM CD
ti
M
.
Ta có
CD HM
CD SHM CD SM
CD SH
.

SCD ABCD CD
SCD SM CD
ABCD HM CD



nên góc gia
SCD
và
ABCD
là góc
SMH
.
Theo gi thit ta có
60SMH 
.
Mt khác ta li có
CMH
ng dng vi
CDA
nên
3 3 3
4 4 4
HM CH
HM AD a
AD CA
.
Xét
SMH
vuông ti
H
ta có
3 3 3
.tan tan60
44
a
SH HM SMH a
.
Th tích khi chóp
.S ABCD
là
23
.
1 1 3 3 3
..
3 3 4 4
S ABCD ABCD
V SH S a a a
.
Câu 12. Cho hình chóp t giác
.S ABCD

ABCD
là hình thoi cnh
a
,
D 60BA 
và
SA
vuông góc vi mt phng
ABCD
. Góc gia hai mt phng
SBD
và
ABCD
là
45
.
Gi
M
i xng ca
C
qua
B
và
N
m
SC
. Mt phng
MND
chia khi chóp thành hai khnh
S
có th tích là
1
V
, khn còn li có th tích
2
V
. Tính t s
1
2
V
V
A.
1
2
12
7
V
V
. B.
1
2
5
3
V
V
. C.
1
2
1
5
V
V
. D.
1
2
7
5
V
V
.
Li gii
Chn D
Gi
;;O AC BD F DM AB K SB MN
.

D 60BA 

ADB

K
là trng tâm
SCM
2
3
MK
MN

.
Xét:
.
..
.
2 1 1 1 1
. . . . .
3 2 2 6 6
M KFB
M KFB M NDC
M NDC
V
MK MF MB
VV
V MN MD MC
.
.
5
6
KFBNDC M NDC
VV
.
Mà:
..
2
M NDC B NDC
VV
(vì
, 2 ,d M NDC d B NDC
)

..
1
2 2.
2
N BCD S BCD
VV
, vì
1
,,
2
d N BDC d S BDC
.
1
2
S ABCD
V
2 . .
55
6 12
KFBNDC M NDC S ABCD
V V V V
.
1 . 1 .
7
12
SADFKN S ABCD S ABCD
V V V V V
1
2
7
5
V
V

.
Câu 13. 
.ABC A B C

3
48cm

,,M N P


,CC BC
và
BC

. 
.A MNP
.
A.
3
8.cm
B.
3
12 .cm
C.
3
24 .cm
D.
3
16
.
3
cm
Li gii
Chn B
Gi V là th 
.ABC A B C
.
Ta có :
1
4
',( ) ( '),( )
MNP BCC B
SS
d A MNP d A BCC B


1
4
A MNP A BCC B
VV

(1)
N
M
P
A'
C'
A
B
C
B'
Mt khác :
12
33
A BCC B A ABC
V V V V V V
(2)
T (1) và (2)
3
1 2 1 2
48 8 .
4 3 4 3
A MNP
V V cm
Câu 14. 
.S ABC

ABC

,B
2,AC a
SA ABC
,
.SA a

G

SBC
,
mp

AG

BC
chia khi chóp
thành hai phn. Gi
V
là th tích ca khn không chnh
S
. Tính
V
.
A.
3
5
54
a
. B.
3
2
9
a
. C.
3
4
27
a
. D.
3
4
9
a
.
Li gii.
Chn A
Trong mt phng
SBC
, qua
G
k ng thng song song vi
BC
ct
,SB SC
lt
ti
,MN
. Suy ra
//BC MAN
,
AG MAN
. Vì vy
MAN
.
Ta có tam giác
ABC
vuông cân ti
B
,
2AC a AB BC a
.
3
11
. . .
3 2 6
SABC
a
V SA AB BC
.
Gi
E
m ca
BC
. Ta có
2
//
3
SM SN SG
MN BC
SB SC SE
.

2 2 4
..
3 3 9
SAMN
SABC
V
SM SN
V SB SC
5
9
SABC
V
V

.
33
5 5 5
.
9 9 6 54
SABC
aa
VV
.
Cách tính khác:
Gi
H
là hình chiu vuông góc ca
A
trên
SB
. Ta chc
AH SBC
và
BMNC
là hình thang vuông ti
,BM
.

11
. . . .
32
ABMNC
V AH BM MN BC
3
1 2 1 2 2 5
. . . .
3 2 2 3 3 54
a a a a
a



.
Câu 15. Cho hình chóp
.S ABCD
nh
a
,
SA
vuông góc v
2SA a
.
', 'BD
lt là hình chiu ca
A
lên
,SB SD
. Mt phng
''AB D
ct
SC
ti
'C
.
Th tích khi chóp
. ' ' 'S AB C D
là
A.
3
23
3
a
V
. B.
3
22
3
a
V
. C.
3
23
9
a
V
. D.
3
2
9
a
V
.
Li gii
Chn D
Ta có
33
. . .
1 2 2
.
3 3 6
S ABCD ABCD S ABC S ACD
aa
SA ABCD V S SA V V
.
Có
2
2
3
''
3
''
SA a
SB SD a
SAB SAD SB SD
SB
AB AD

Gi
O AC BD
,
''H B D SO

'C AH SC
.
Ta có
' ' 2 2
''
33
SB SD SH
B D BD
SB SD SO
suy ra
H
là trng tâm ca tam giác
SAC
'1
2
SC
SC

.
Ta có
3
. ' '
. ' ' .
.
' ' 1 1 2
.
3 3 18
S AC D
S AC D S ACD
S ACD
V
SC SD a
VV
V SC SD
.
Ta có
3
. ' '
. ' ' .
.
' ' 1 1 2
.
3 3 18
S AB C
S AB C S ABC
S ABC
V
SC SB a
VV
V SC SB
.
Vy
3
. ' ' ' . ' ' . ' '
2
9
S AB C D S AB C S AC D
a
V V V
.
Câu 16. Cho kh tam giác
.ABC A B C
. Gi
,MN
lt thuc các cnh bên
,AA CC

sao cho
;4MA MA NC NC


. Gi
G
là trng tâm tam giác
ABC
. Hi trong bn khi
t din
,,GA B C BB MN ABB C
và
A BCN
, khi t din nào có th tích nh nht?
A. Khi
ABB C

. B. Khi
A BCN
. C. Khi
BB MN
. D. Khi
GA B C
.
Ligii
Chn B
Ta có
' ' '
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' ' ' ' ' '
1
3
1 1 2 1
.
2 2 3 3
1 1 2 1
.
2 2 3 3
2 2 2 4
.
5 5 3 15
GA B C ABCA B C
BB MN A BB N A BCB C ABCA B C ABCA B C
ABB C ABCB C ABCA B C ABCA B C
A BCN A BCB C ABCA B C ABCA B C
VV
V V V V V
V V V V
V V V V

 tích ca khi
A BCN
nh nht.
Câu 17. Cho hình chóp t u
.S ABCD
. Mt phng
P
qua
A
và vuông góc
SC
ct
SB
,
SC
,
SD
lt ti
B
,
C
,
D
. Bit
C
m
SC
. Gi
1
V
,
2
V
lt là th tích
hai khi chóp
.S AB C D
và
.S ABCD
. Tính t s
1
2
V
V
.
A.
1
2
2
3
V
V
. B.
1
2
2
9
V
V
. C.
1
2
4
9
V
V
. D.
1
2
1
3
V
V
.
Li gii
Chn D
Do
.S ABCD
là hình chóp t u nên hình chiu ca
S
lên mt phng
ABCD
trùng vi tâm
H
ca hình vuông
ABCD
.
C
m ca
SC
và
H
m
AC
nên
I AC SH

là trng tâm
SAC
2
3
SI SH
Ta có:
BD AC
,
BD SH
BD SAC
BD SC
//BD P
(do
P SC
)
//BD B D

( do
P SBD B D


)
G
N
M
A
C
B'
A'
B
C'
Mt khác:
P SBD B D


,
I AC P

,
I SH SBD
I B D



2
3
SB SD SI
SB SD SH

Ta có:
.
..
1
2 . .
.
1
2 1 1
2
1
3 2 3
2
S AB C D
S AB C D S AB C
S ABCD S ABC
S ABCD
V
VV
V
V V V
V
.
Câu 18. u
.S ABC
u cnh bng
a
. Gi
,MN
lt là
 m ca các cnh
,SB SC
. Bit mt phng
AMN
vuông góc vi mt phng
SBC
. Tính th tích
V
ca khi chóp
.A BCNM
.
A.
3
5
32
a
V
. B.
3
2
16
a
V
. C.
3
2
48
a
V
. D.
3
5
96
a
V
.
Li gii
Chn A
Gi
,EF
lm ca
,BC MN
. Gi H là trng tâm
ABC
.
Ta có :
SBC
cân ti
S
SF MN
.
SF MN
MN SBC AMN
SBC AMN

SF AMN
.
Ta có :
ASE
có
AF
vng cao vng trung tuyn
ASE
cân ti
A
.
3
2
a
SA AE
.
22
15
6
a
SH SA AH
,
2
3
4
ABC
a
S
.
23
1 3 3 1 15 3 5
. . .
4 4 4 3 6 4 32
SAMN SABC SAMNCB SABC
a a a
V V V V

Câu 19. Cho khi t din
ABCD
có th tích
V
. Gi
E
,
F
,
G
l    m ca
,,BC BD CD
,và
, , ,M N P Q
l t là trng tâm ca các tam giác
,,ABC ABD
,ACD BCD
. Tính th tích ca khi t din
MNPQ
theo
.V
A.
9
V
. B.
3
V
. C.
2
9
V
. D.
27
V
.
Li gii
Chn D
Do
//MNP BCD
nên:
1
, E, A,
2
d Q MNP d MNP d MNP
( Vì
2MA ME
).
Suy ra:
1
.
2
QMNP AMNP
VV
(1)
Mt khác áp dng công thc t s th tích ta có
2 2 2 8
. . . . .
3 3 3 27
AMNP
AEFG
V AM AN AP
V AE AF AG
(2)
Li có:
1
4
AEFG
ABCD
V
V
. (3)
T (1), (2), (3) ta có:
181
. . .
2 27 4 27
MNPQ ABCD
V
VV
. Vy
27
MNPQ
V
V
.
Câu 20. Cho hình chóp tam giác
.S ABC
. Gi
M
m ca
SA
, lm
N
trên cnh
SB
sao cho
2
3
SN
SB
. Mt phng
qua
MN
và song song vi
SC
chia khi chóp
thành hai phn. Gi
1
V
là th tích ca khn chnh
A
,
2
V
là th tích ca khi
n còn li. TÍnh t s
1
2
.
V
V
A.
1
2
7
16
V
V
. B.
1
2
7
18
V
V
. C.
1
2
7
11
V
V
. D.
1
2
7
9
V
V
.
Li gii
Chn C
K
// , //MQ SC NP SC
c
MNPQ
chính là mt phng
.
Ba mt phng
,,SAB ABC
giao nhau theo ba giao tuyn
,,MN AB PQ
ng quy
ti
.I
Xét trong tam giác
SAB
có
1
. . 1 1. . 1
2
MS IA NB IA
MA IB NS IB
nên
B
m ca
.IA
Các tam giác
,SAI IAC
lt có các trng tâm là
,.NP
Gi th tích khi chóp
IAMQ
là
.V
Ta có:
1
1
1 2 2 2 7 7
. . . .
2 3 3 9 9 9
IBNP
IAMQ
V
V
IB IN IP
VV
V IA IM IQ V
1
. 1 2
1
. . .2.2 2 2 2
2
ABSC
S ABC
AIMQ
V
AB AS AC
V V V V V
V AI AM AQ
2
T
1
và
2
suy ra
2
7 11
2
99
V V V V
T 
1
2
7
11
V
V
.
Câu 21. Cho khi chóp
.S ABCD

ABCD
là hình bình hành và có th tích bng
1
. Gi
M
,
N
lm trên các cnh
SB
,
SD
sao cho
MS MB
,
2ND NS
. Mt phng
CMN
chia khn, th tích ca phn có th tích nh 
bng
A.
2
25
. B.
1
12
. C.
3
25
. D.
5
48
.
Li gii
Chn D
Nhc li: Công thc tính nhanh t s th tích kh
+) Công thc 1:
P
N
Q
B
M
A
I
C
S
Mt phng
ct các cnh bên ca hình chóp
.S ABCD
i
m
, , ,M N P Q
không trùng vi
S

t
; ; z;
SM SN SP SQ
x y t
SA SB SC SD
.
Ta có
..
1 1 1 1
.
4
S MNPQ S ABCD
xyzt
VV
x y z t



và
1 1 1 1
x z y t
.
+) Công thc 2: Nu
; ; ;
SA SB SC SD
a b c d
SM SN SP SQ
Ta có
.
.
4 . . .
S MNPQ
S ABCD
V
a b c d
V a bc d
vi
a c b d
Áp dng:
*) Cách 1:Áp dng công thc 1
Ta có
11
1; ; ;
23
SC SM SP SN
x y z t
SC SB SA SD
và
1 1 1 1 1 1
1 2 3
4
z
x z y t z
.

. . .
1 1 1 1 5 5
4 48 48
S CMPN S ABCD S ABCD
xyzt
V V V
x y z t



vì
.
1
S ABCD
V
*) Cách 2
Ta có
1; 2; ; 3
SC SB SA SD
a b c d
SC SM SP SN
Có
1 2 3 4a c b d c c

.
.
1 2 4 3 10 5
4 . . . 4.1.2.4.3 96 48
S MNPQ
S ABCD
V
a b c d
V a b c d
..
55
48 48
S MNPQ S ABCD
VV
D
B
C
A
S
Q
P
N
M
Câu 22. Cho hình chóp
.S ABCD

ABCD
là hình bình hành. Gi
,MN


,SA SD
. Mt phng
cha
MN
và c
,SB SC
lt ti
P
và
Q
 
SP
x
SB
,
1
V
     
.S MNQP

V
    
.S ABCD

x

1
2VV
.
A.
1
2
x
. B.
1 33
4
x

. C.
1 41
4
x

. D.
2x
.
Li gii


//PQ BC
.

SBC SAD d

// //
//
SBC SAD d
SBC ABCD BC
d BC, d AD.
SAD ABCD AD
BC AD



,MN

,SA SD

MN / / AD, MN / / d.

//
SBC SAD d
SBC PQ
PQ / / MN PQ / / BC.
SAD MN
d MN





SBC

PQ / / BC,
SP
x
SB
SQ SP
= x.
SC SB

. . . .
.
1
. . . .
1 . . 1 . .
2 2 2 . . 2 . .
S MNQP S MNP S NQP S NQP
S MNP
S ABCD S ABCD S ABD S DCB
V V V V
V
V
SM SN SP SN SQ SP
V V V V V SA SB SD SD SC SB
2
1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 8
xx
x x x

2
2
1
1
1 33
1 2 1
4
2 2 4 0
2 8 2
1 33
4
x
V
xx
V V x x
V
x



1 33
0
4
SP
x x x
SB


S dng công thc tính nhanh t l th tích ca khi chóp t 
d
N
M
A
D
B
C
S
Q
P
Cho chóp
.S ABCD
và mt phng
ct các cnh
, , ,SA SB SC SD
ca khi chóp ti các
m
, , ,M P Q N
vi
SQ SP
= x,
SC SB
1
2
SM SN
SA SD
Thì ta có:
2
.
1
.
11
.
1 1 2
22
22
48
S MNPQ
S ABCD
xx
V
V
xx
V V x x





2
2
1
1
1 33
1 2 1
4
2 2 4 0 .
2 8 2
1 33
4
x
V
xx
V V x x
V
x



1 33
0
4
SP
x x x
SB

Câu 23.  ng tam giác
. ' ' 'ABC A B C
. Gi
, , ,M N P Q
m lt thuc các
cnh
', ', ', ' 'AA BB CC B C
tha mãn
1 1 1 ' 1
, , ,
' 2 ' 3 ' 4 ' ' 5
AM BN CP C Q
AA BB CC B C
. Gi
12
,VV
ln
t là th tích khi t din
MNPQ
và kh
. ' ' 'ABC A B C
. Tính t s
1
2
V
V
.
A.
1
2
11
30
V
V
. B.
1
2
11
45
V
V
. C.
1
2
19
45
V
V
. D.
1
2
22
45
V
V
.
Li gii
Chn B
t
,'BC a CC b
Din tích tam giác
'NPQ
là:
' ' ' ' ' ' '
11
30
NPQ BCC B NB Q PC Q BCPN
ab
S S S S S
Suy ra:
.'
'. ' '
11
30
M NPQ
A BCC B
V
V
. Tc là:
1
'. ' '
11
30
A BCC B
V
V
.
Mt khác:
'. ' ' '. . ' ' ' '. ' ' 2 2 '. ' ' 2
12
33
A BCC B A ABC ABC A B C A BCC B A BCC B
V V V V V V V V

11
2
2
11 11
2
30 45
3
VV
V
V
.
b
a
Q'
P
N
M
B'
C'
A
C
B
A'
Câu 24. Cho hình chóp
.S ABCD

ABCD
là hình bình hành. Gi
M
,
N
lt là trung
m ca các cnh
AB
,
BC
m
K
thun
SA
. Bit mt phng
MNK
chia khi
chóp
.S ABCD
thành hai phn, phn chnh
S
có th tích bng
7
13
ln phn còn li.
Tính t s
KA
t
KS
.
A.
1
2
t
. B.
3
4
t
. C.
1
3
t
. D.
2
3
t
.
Li gii
Chn D
Trong mt phng
ABCD
, kéo dài
MN
ct
DA
,
DC
lt ti
F
,
E
.
Trong mt phng
()SAD
, gi
FK SD Q
. Trong mt phng
SCD
, gi
QE SC P
.
Suy ra thit di
MNPQK
và
// // MN AC PK
.
t
,h d S ABCD
, , .
11
KA KA t t
t d K ABCD d P ABCD h
KS SA t t

Ta có:
1
3
2
FD
FA BN AD
FA
.
Áp dnh lý Menelaus cho tam giác
SAD
, suy ra
1 3 3
. . 1 .3. 1 ,
3 3 1 3 1
QS FD KA QS QS QD t t
t d Q ABCD h
QD FA KS QD QD t SD t t

Mt khác:
1 1 9
4 8 8
FAM NCE BMN ABC ABCD DEF ABCD
S S S S S S S
Suy ra th tích ca khn không chnh S là
1 3 9 1 1
. . .
3 3 1 8 1 8 1 8
QDEF KAMF PECN
t t t
V V V V h S S S
t t t



1 27 2
. . .
3 8 3 1 8 1
ABCD
tt
hS
tt






27 2
8 3 1 8 1
ABCD
tt
VV
tt





Phn th tích ca khn không chnh
S
bng
7
13
phn còn li suy ra th tích
ca khn không chnh S bng
13
20
th tích khi chóp
.S ABCD
27 2 13 2
8 3 1 8 1 20 3
tt
t
tt

.
Câu 25. Cho khi chóp
.S ABCD
   tích bng 1. Gi
M
là trung
m cnh
SA
  m
,EF
l    i xng ca
A
qua
B
và
D
. Mt
phng
(MEF)
ct các cnh
,SB SD
lt tm
,NP
. Th tích ca khn
ABCDMNP
bng
A.
2
3
B.
1
3
C.
3
4
D.
1
4
Li gii
Chn A
Ni hai m M, E ct SB ti N, nm M, F ct SD ti P
Ta có
;SAE SAF
lt có N, P là trm ca hai
ng
trung tuyn c
Vì vy
2
3
SN SP
SB SD

.
Mt khác vì
,CF BD CE BD
nên E, C, F thng hàng.
Ta có:
, . .
1 2 1 1
. . . ;
2 3 2 6
S MNC S ABC S ABCD
SM SN
V V V
SA SB
. . .
1 2 1 1
. . . .
2 3 2 6
S MPC S ADC S ABCD
SM SP
V V V
SA SD
Vì vy
. . .
1 1 1
6 6 3
S MNCP S MNC S MPC
V V V
T 
. . .
12
1.
33
ABCD MNP S ABCD S MNCP
V V V
Ch
Cách 2: Dùng công thc tính nhanh t s th tích
t
1 2 2
; ; 1; .
2 3 3
SM SN SC SP
x y z t
SA SB SC SD
Thì ta có:
..
1 1 1 1 1 1
43
S MNCP S ABCD
V xyzt V
x y z t



..
12
1.
33
ABCDMNP S ABCD S MNCP
V V V
Câu 26. Cho hình l
. ' ' ' 'ABCD A B C D
cnh
a
. Gi
,MN
lt nm trên các cnh
''AB
và
BC
sao cho
''MA MB
và
2NB NC
. Mt phng
DMN
chia khi lp
  n. Gi
H
V
là th tích kh n ch nh
'
,
H
AV
là th tích khn còn li. T s
'
H
H
V
V
bng
A.
151
209
. B.
151
360
. C.
2348
3277
. D.
209
360
.
Li gii
Chn A
Trong
' ' ' 'A B C D
k
//MF DN
suy ra
'.A MF CDN g g∽

' ' 1 5
''
2 6 6
A F A M a a
A F D F
CN CD
.
Trong
''BCC B
k
//NE DF
suy ra
'.BNE D FD g g∽

44
'
' ' 5 5 5
BE BN a a
BE B E
D D D F
.
Mt phng
DMN
ct hình l
. ' ' ' 'ABCD A B C D
theo thit di
DNEMF
vi
'
5
a
EB
và
'
6
a
AF
.
Ta có:
'
. ' ' ' . ' . ' ' .E B C D FM E D FD E DCC D E NCD
H
V V V V V
2 3 3
1 1 1 1 5 1 1 1 4 209
. . . . . . . . .
3 2 2 6 5 3 2 6 3 3 2 3 5 360
a a a a a a
a a a a a a




33
'
151
360
HH
V a V a
.
Vy
'
151
209
H
H
V
V
.
Câu 27. Cho khi hp ch nht
.ABCD A B C D
có th tích bng
2110
. Bit
A M MA
,
3DN ND
,
2CP C P
. Mt phng
MNP
chia khi h
khn. Th tích khn nh ng
A.
5275
6
. B.
5275
12
. C.
7385
18
. D.
8440
9
.
Li gii
Chn A
Gi
Q
m ca mt phng
MNP
vi
BB
.
Gi s
AM
x
AA
,
CP
y
CC
,
DN
z
DD
,
BQ
t
BB

x y z t
.
.
.
3
A B D MQN
A B D ABD
V
x z t
V

.
.
6
A B D MQN
A B C D ABCD
V
x z t
V


.
.
.
3
C B D PQN
C B D CBD
V
y z t
V

.
.
6
C B D PQN
A B C D ABCD
V
y z t
V


.
.
.
1
2
MNPQ A D C B
ABCD A D C B
V
xy
V
.
.
.
1
2
MNPQ A D C B
ABCD A D C B
V
A M C P
V AA CC






1 1 1
2 2 3




5
12
.
. D.
5 5275
.
12 6
MNPQ A D C B ABC A D C B
VV
.
Câu 28. Cho khi chóp S.ABCD có th tích bn AD và
3AD BC
. Gm ca cm thuc CD sao cho ND = 3NC.
Mt phng (BMN) ct SD ti P. Th tích khi chóp AMBNP bng:
A.
3
8
B.
5
12
C.
5
16
D.
9
32



1 AMBNP
VV
.
Ta có: BC // AD nên
33
DE ND
DE BC AD
BC NC

P

2
3
EP
EM

,
3
4
EN
EB
Ta có
.
.
1 2 3 1
. . . .
2 3 4 4
E DNP
E MAB
V
ED EP EN
V EA EM EB

. ( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))
1 1 1 1
. . . .
3 3 3 9
E NDP P DEN DEN S ABCD DNE S ABCD DNE
V d S d S d S
( , )
1 1 3 3
. . . .
2 2 4 8
AND DNE N AD
S S AD d AD h AD h
(h 

1 1 4 2 3
( ). . . . .
2 2 3 3 2
ABCD ABCD
S AD BC h AD h AD h AD h S
3 3 9
.
8 2 16
AND ABCD ABCD
S S S
. ( ,( ))
..
1 9 3 3
. . ;
9 16 16 8
3 3 3 3 3
4.
16 4 4 8 8
E NDP S ABCD ABCD AENP
E ABM A BMPC
V d S V
VV
Câu 29. Cho khi chóp
.S ABCD

AB
và
CD
,
2AB CD
.
Gi
E
là mm trên cnh
SC
. Mt phng
ABE
chia khi chóp
.S ABCD
thành hai
khn có th tích bng nhau. Tính t s
SE
SC
.
A.
10 2
2
. B.
62
. C.
21
. D.
26 4
2
.
Li gii
ChnA
Ta có:
ABE SDC Ex
Ex DC AB
AB DC

.
Gi
F Ex SD
,
, 0 1
SE
xx
SC
SF SE
x
SD SC
.
Do
ABCD

AB
và
CD
) có
2AB CD
nên
12
2 ; .
33
ACB ADC ADC ABCD ACB ABCD
S S S S S S
.
Ta có:
.
..
.
11
33
S ACD ACD
S ACD S ABCD
S ABCD ABCD
VS
VV
VS
(1)
.
..
.
22
33
S ABC ABC
S ABC S ABCD
S ABCD ABCD
VS
VV
VS
(2).
Li có:
2 2 2
.
. . .
.
1
. . .
3
S AEF
S AEF S ACD S ABCD
S ACD
V
SE SF
x V x V x V
V SC SD
(theo (1))
.
. . .
.
2
..
3
S ABE
S ABE S ABC S ABCD
S ABC
V
SE
x V xV xV
V SC
(theo (2)).
Theo bài ra mt phng
ABE
chia khi chóp
.S ABCD
thành hai khn có th
tích bng nhau nên
.
1
2
S ABEF SABCD
VV
22
. . . . .
1 1 2 1 1 2 1
.0
2 3 3 2 3 3 2
S AEF S ABE S ABCD S ABCD S ABCD
V V V x x V V x x



2 10
2
2 10
2
x
x


. Do
2 10
01
2
xx

.
Câu 30. Cho hình chóp
.S ABC

ABC
là tam giác vuông cân ti
B
,
SA
vuông góc vi
mt 
, ABC BC a
, góc hp bi
SBC
và
ABC
là
60
. Mt phng
P
qua
A
vuông góc vi
SC
ct
,SB SC
lt ti
,DE
. Th tích khn
ABCED
là
A.
3
33
40
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
11 3
120
a
. D.
3
33
60
a
.
Li gii
Chn C
Ta có
BC BA
BC SBA BC SB
BC SA

SBA
là góc gia
SBC
và
ABC
.
T 
60SBA
. Tam giác
SBA
vuông có
tan60 3SA AB a
Ta có
;
AD BC
BC SAB BC AD AD SB
AD SC
.
2 2 4
.
2 2 2 2 2 2
.
. . 9 9
. . . .
4 .5 20
S ADE
S ABC
V SA SD SE SD SB SE SC SA SA a
V SA SB SC SB SC SB SC a a
.
23
.
1 1 3
. 3 .
3 3 2 6
S ABC ABC
aa
V SA S a
.
Vy
3
.
11 11 3
.
20 120
ABCED S ABC
a
VV
.
Câu 31. Cho khi hp ch nht
.ABCD A B C D
có th tích bng 2019. Th tích phn chung ca
hai khi
AB CD

và
A BC D

bng
A.
673
4
. B.
673
. C.
673
3
. D.
673
2
.
Li gii
Chn D
Gi
E
,
F
,
G
,
H
,
I
,
J
lt là tâm ca các hình ch nht
ABCD
,
A B C D
,
''ADD A
,
BCC B

,
CDD C

,
ABB A

.
 tích khn
IGFJEH
là th tích chung ca hai khi
AB CD

và
A BC D

.
Ta có:
.
1
673
3
A BC D ABCD A B C D
VV

và
. . . .IGFJEH A BC D B JEH D IGE A GFJ C IFH
V V V V V V
.
Ta li có:
.
.
1
..
8
B JEH
B A DC
V
BJ BE BH
V BA BD BC



.
1
8
B JEH A BC D
VV


.
 c
. . . '
1
8
D IGE A GFJ C IFH A BC D
V V V V
.
Suy ra
1 673
22
IGFJEH A BC D
VV


.
Câu 32. Cho hình chóp
.S ABCD
 
ABCD
là hình vuông và
SA ABCD
 ng
thng vuông góc vi
ABCD
ti
D
lm
S
tha mãn
1
2
S D SA
và
S
,
S
cùng
 i vi mt phng
ABCD
. Gi
1
V
là phn th tích chung ca hai khi chóp
.S ABCD
và
.S ABCD
. Gi
2
V
là th tích khi chóp
.S ABCD
. T s
1
2
V
V
bng
A.
4
9
. B.
7
9
. C.
7
18
. D.
1
3
.
Li gii
Chn C
Ta có
2
1
.
3
ABCD
V SA S
,
.2
11
.
32
S ABCD ABCD
V S D S V

.
Gi
H S A SD

,
L S B SCD

 tích chung ca hai khi chóp
.S ABCD
và
.S ABCD
là th tích khi
HLCDAB
. Do
//AB CD
nên giao tuyn
HL
ca hai mt
S AB
và
SCD
phi song song vi
AB
.
1 . .HLCDAB S ABCD S HLCD
V V V V

.
11
23
S H S D S H
HA SA S A
.
. . .
.
. 1 1 1 1 1
.
. 3 3 9 9 18
S HLD
S HLD S ABD S ABCD
S ABD
V
S H S L
V V V
V SA SB

.
. . .
.
1 1 1
3 3 6
S LCD
S LCD S BCD S ABCD
S BCD
V
SL
V V V
V S B
. . . . . .
1 1 2
18 6 9
S HLCD S HLD S LCD S ABCD S ABCD S ABCD
V V V V V V
1 . . . 2
77
9 18
S ABCD S HLCD S ABCD
V V V V V
Vy
1
2
7
18
V
V
Câu 33. Cho khi hp
.ABCD A B C D
m
M
nm trên cnh
CC
tha mãn
3CC CM
. Mt
phng
AB M
chia khi hp thành hai khn. Gi
1
V
là th tích khn
chnh
A
,
2
V
là th tích khn chnh
B
. Tính t s th tích
1
V
và
2
V
.
A.
41
13
. B.
27
7
. C.
7
20
. D.
9
4
.
Li gii
Chn A
Gi
N AB M CD

AB M CDD C MN
.
Vì
//AB C D

//MN C D
1
3
CN CM
CD CC
.
t
ABB A
SS

,
,d ABB A CDD C h
,
.ABCD A B C D
VV
. Suy ra:
V hS
.
Li có:
1
2
ABB ABB A
SS
1
2
S
,
2
1
3
CMN CDC
SS



1
18
CDD C
S

1
18
S
.
Ta có:
2.CMN BAB
VV
1
, . .
3
CMN CMN BAB BAB
d CMN BAB S S S S

1 1 1 1 1
.
3 18 18 2 2
h S S S S




13
54
hS
13
54
V
12
41
54
V V V V
.Vy
1
2
41
13
V
V
.
Câu 34. Cho hình chóp
.S ABCD

ABCD
ng thng qua
D
và
song song vi
SA
lm
S
tha mãn
S D kSA
vi
0k
. Gi
1
V
là phn th tích
chung ca hai khi chóp
.S ABCD
và
.S ABCD
. Gi
2
V
là th tích khi chóp
.S ABCD
. T
s
1
2
V
V
bng
A.
2
2
2
21
kk
k
. B.
2
32
21
k
k
. C.
2
2
32
21
kk
k
. D.
1
k
k
.
Li gii
Chn C
Ta có
.
2
'
S ABCD
V
SD
k
V SA

.
Gi
H S A SD

,
L S B SCD

 tích chung ca hai khi chóp
.S ABCD
và
.S ABCD
là th tích khi
HLCDAB
. Do
//AB CD
nên giao tuyn
HL
ca hai mt
S AB
và
SCD
phi song song vi
AB
.
1 . .HLCDAB S ABCD S HLCD
V V V V

.
11
S H S D S H k S L k
k
HA SA S A k S B k


2 2 2
.
. . .
2 2 2
.
.
.
1 1 2 1
S HLD
S HLD S ABD S ABCD
S ABD
V
S H S L k k k
V V V
V SASB
k k k

.
. . .
.
1 1 2 1
S LCD
S LCD S BCD S ABCD
S BCD
V
S L k k k
V V V
V S B k k k
22
. . . . . .
22
2
21
2 1 2 1
S HLCD S HLD S LCD S ABCD S ABCD S ABCD
k k k k
V V V V V V
k
kk

2
1 . . . 2
22
3 2 3 2
2 1 2 1
S ABCD S HLCD S ABCD
k k k
V V V V V
kk


Vy
2
1
2
2
32
.
21
V
kk
V
k
Câu 35. u
.S ABC
. Gi
G
là trng tâm tam giác
ABC
, bit góc to bi
SG
và
SBC
bng
30
. Mt phng cha
BC
và vuông góc vi
SA
chia kh
cho thành hai phn có th tích
1
V
,
2
V

1
V
là phn th tích chm
S
. T s
1
2
V
V
bng
A.
6
. B.
1
6
. C.
6
7
. D.
7
.
Li gii
L
H
C
A
D
B
S
S'
Chn B
Gi
M
m
BC
,
F SA


là mt phng cha
BC
và vuông
góc
SA
,
H
là hình chiu ca
G
lên
SM
. Ta có:
SA
,
FM
nên
SA FM
.
Vì
.S ABC
u nên
SG
ng cao hình chóp ng v
ABC
và
ABC
u.
Ta có:
AM
vng trung tuyn, vu nên
AM BC
.
SG ABC
,
BC ABC
nên
SG BC
.
AM SG G
và
,AM SG SAM
.
Suy ra
BC SAM
BC GH
(vì
GH SAM
).

,
GH SM
GH BC
GH SBC
SM BC M
SM BC SBC


.
Ta li có:
SG SBC S
SH
SH SBC

là hình chiu vuông góc ca
SG
lên
SBC
.
, , 30SG SBC SG SH GSH
.
Gi s cnh cu
ABC
là
a
.
Xét tam giác
SGM
vuông ti
G
, ta có:
3
cot30 . 3
62
aa
SG GM
.
Xét tam giác
SAG
vuông ti
G
, ta có:
22
22
21
3 4 6
a a a
SA AG SG
.
Trong tam giác
SAM
, ta có:
3
.
. 3 7
22
14
21
6
aa
SG AM a
MF
SA
a
.
Xét tam giác
AFM
vuông ti
F
, ta có:
22
22
3 3 7 21
2 14 7
a a a
FA AM FM
.
Suy ra
21
61
7
1 1 1
77
21
6
a
SF FA
SA SA
a
.
Mà
.
1 . .
.
11
77
S FBC
S FBC S ABC
S ABC
V
SF
V V V
V SA
2.
6
7
S ABC
VV
(vì
. . 1 2S ABC S FBC FABC
V V V V V
).

1
2
1
6
V
V
.
Câu 36. Cho hình chóp
.S ABCD

ABCD
là hình bình hành. Trong không gian lm
S
tha mãn
'2SS BC
. Gi
1
V
là phn th tích chung ca hai khi chóp
.S ABCD
và
.S ABCD
. Gi
2
V
là th tích khi chóp
.S ABCD
. T s
1
2
V
V
bng
A.
1
9
. B.
5
9
. C.
1
2
. D.
4
9
.
Li gii
Chn D
Ta có
.2S ABCD
VV
.
Gi
H S A SD

,
L S B SC

   tích chung ca hai khi chóp
.S ABCD
và
.S ABCD
là th tích khi
HLCDAB
. Do
//AB CD
nên giao tuyn
HL
ca hai mt
S AB
và
SCD
phi song song vi
AB
.
1 . .HLCDAB S ABCD S HLCD
V V V V

.
' 2 2
2
33
S H SS S H S L
HA AD S A S B

.
. . .
.
. 4 4 2
. 9 9 9
S HLD
S HLD S ABD S ABCD
S ABD
V
S H S L
V V V
V SA SB

L
H
S'
C
A
D
B
S
.
. . .
.
2 2 1
3 3 3
S LCD
S LCD S BCD S ABCD
S BCD
V
SL
V V V
V S B
. . . . . .
2 1 5
9 3 9
S HLCD S HLD S LCD S ABCD S ABCD S ABCD
V V V V V V
1 . . . 2
44
99
S ABCD S HLCD S ABCD
V V V V V
Vy
1
2
4
9
V
V
Câu 37. Cho hình chóp
.S ABCD

ABCD
là hình bình hành. Trong không gian lm
S
tha mãn
SS kBC
vi
0k
.Gi
1
V
là phn th tích chung ca hai khi chóp
.S ABCD
và
.S ABCD
. Gi
2
V
là th tích khi chóp
.S ABCD
. T s
1
2
V
V
bng
A.
2
2
2
21
kk
k
. B.
2
32
21
k
k
. C.
2
2
32
21
kk
k
. D.
1
k
k
.
Li gii
Chn B
Ta có
.2S ABCD
VV
.
Gi
H S A SD

,
L S B SC

   tích chung ca hai khi chóp
.S ABCD
và
.S ABCD
là th tích khi
HLCDAB
. Do
//AB CD
nên giao tuyn
HL
ca hai mt
S AB
và
SCD
phi song song vi
AB
.
1 . .HLCDAB S ABCD S HLCD
V V V V

.
11
S H SS S H k S L k
k
HA AD S A k S B k


2 2 2
.
. . .
2 2 2
.
.
.
1 1 2 1
S HLD
S HLD S ABD S ABCD
S ABD
V
S H S L k k k
V V V
V SASB
k k k

.
. . .
.
1 1 2 1
S LCD
S LCD S BCD S ABCD
S BCD
V
S L k k k
V V V
V S B k k k
L
H
C
A
D
B
S
S'
22
. . . . . .
22
2
21
2 1 2 1
S HLCD S HLD S LCD S ABCD S ABCD S ABCD
k k k k
V V V V V V
k
kk

1 . . . 2
22
3 2 3 2
2 1 2 1
S ABCD S HLCD S ABCD
kk
V V V V V
kk


Vy
1
2
2
32
.
21
V
k
V
k
Câu 38. u
.S ABC
có cnh bên to vng cao mt góc
0
30
,
O
là
trng tâm tam giác
ABC
. Mu th hai
.O A B C
có
S
là tâm ca
tam giác
ABC
và cnh bên ca hình chóp
.O A B C
to vng cao mt góc
0
60
(hai hình chóp có chung chiu cao) sao cho mi cnh bên
SA
,
SB
,
SC
lt ct các
cnh bên
OA
,
OB
,
OC
. Gi
1
V
là phn th tích chung ca hai khi chóp
.S ABC
và
.O A B C
. Gi
2
V
là th tích khi chóp
.S ABC
. T s
1
2
V
V
bng
A.
9
16
. B.
1
4
. C.
27
64
. D.
9
64
.
Li gii
Chn A
C'
B'
O
A
C
B
S
A'
Gi
,,M N P
lm ca mi cnh bên
SA
,
SB
,
SC
ng vi các
cnh bên
OA
,
OB
,
OC
. Phn chung ca hai khi chóp
.S ABC
và
.O A B C
là kh
din
SMNPO
.
T gi thit ta có
//ABC A B C
mà ta có
// //MN AB A B

,
// //NP AC A C

 
//ABC MNP
,
//A B C MNP
và
MNP
u.
Xét các tam giác vuông
SMI
và
OMI
ta có
0
3
tan30
MI
SI MI
,
0
3
tan60
MI MI
OI 
suy
ra
3
SI
OI
suy ra
3
4
SI MN
SO AB

,
1
' ' 4
OI MN
OS A B

.
Suy ra
3
AB
AB

hay
2
.
.2
2
3 9 9
O A B C
O A B C
V
VV
V

33
.
2
3 27
4 64
S MNP
V
SI
V SO
33
O. O.
.2
1 1 9
4 64 64
MNP MNP
O A B C
VV
OI
V OS V
T 
1
22
27 9 9
64 64 16
OMNP SMNP
VV
V
VV
.
Câu 39. u
.S ABC
,
O
là trng tâm tam giác
ABC
. Mt hình chóp tam
u th hai
.O A B C
có
S
là tâm ca tam giác
ABC
và cnh bên ca hình chóp
.O A B C
và
A B kAB

(hai hình chóp có chung chiu cao) sao cho mi cnh bên
SA
,
SB
,
SC
lt ct các cnh bên
OA
,
OB
,
OC
. Gi
1
V
là phn th tích chung ca hai
khi chóp
.S ABC
và
.O A B C
. Gi
2
V
là th tích khi chóp
.S ABC
. T s
1
2
V
V
bng
A.
32
3
( 1)
kk
k
. B.
3
3
( 1)
k
k
. C.
1
1k
. D.
1
k
k
.
I
B'
C'
N
P
O
A
C
B
S
M
A'
Li gii
Chn A
Gi
,,M N P
lm ca mi cnh bên
SA
,
SB
,
SC
ng vi các
cnh bên
OA
,
OB
,
OC
. Phn chung ca hai khi chóp
.S ABC
và
.O A B C
là kh
din
SMNPO
.
T gi thit ta có
//ABC A B C
và
// //MN AB A B

,
// //NP AC A C

 
//ABC MNP
,
//A B C MNP
và
MNP
u.
Suy ra
AB
k
AB

hay
2
.
2
.
O A B C
V
k
V
Ta có
SI MN
SO AB
,
OS A B
OI MN

suy ra
SI A B
k
OI AB


t 
1
1
OI
SO k
,
1
SI k
SO k
.

33
3
.
3
2
1
( 1)
S MNP
V
SI k k
V SO k
k
C'
B'
O
A
C
B
S
A'
I
B'
C'
N
P
O
A
C
B
S
M
A'
33
2
..
3
.2
1
1
( 1)
O MNP O MNP
O A B C
VV
OI k
V OS k V
k
T 
32
1
3
22
( 1)
OMNP SMNP
VV
V
kk
VV
k

.
Câu 40. Cho hình hp
.ABCD A B C D
. Gi
1
V
là phn th tích chung ca hai khi ca hai khi
t din
A BC D
và
AB CD
. Gi
2
V
là th tích khi hp
.ABCD A B C D
. T s
1
2
V
V
bng
A.
1
2
. B.
1
6
. C.
1
3
. D.
1
4
.
Li gii
Chn B
Gi
O
,
O
,
, , ,M N P Q
lt là tâm ca các hình ch nht
ABCD
,
A B C D
,
A B BA

,
BB C C

,
CC D D

,
AA D D

.
Ta có phn chung ca hai khi t din
A BC D
và
AB CD
là bát din
OMNPQO
.
Gi
, , ,M N P Q
lm ca
, , ,AB BC CD DA
. Ta có
C
D
B
C'
A
B'
D'
A'
N'
M'
P'
Q'
N
M
Q
P
O'
O
C
D
B
C'
A
B'
D'
A'
1
4. .
1
8
2
MNPQ M N P Q ABCB AM Q BM N CN P DP Q
ABCB ABCB ABCB
ABCB ABCB
ABCB
S S S S S S S
S S S
SS
S


Ngoài ra, chiu cao ca khi chóp
.O MNPQ
V
bng
1
2
chiu cao ca khi hp
.ABCD A B C D
.
Suy ra
.
1
22
2
1 1 1 1
2. . . .
2 3 2 6
O MNPQ
V
V
VV
Câu 41.   
.ABC A B C
, trên các cnh
AA
,
BB
l  m
M
,
N
sao cho
3AA A M

,
3BB B N

. Mt phng
C MN
chia kh n.
Gi
1
V
là th tích ca khi chóp
.C A B NM
,
2
V
là th tích ca khn
ABCMNC
.
T s
1
2
V
V
bng:
A.
1
2
4
7
V
V
. B.
1
2
2
7
V
V
. C.
1
2
1
7
V
V
. D.
1
2
3
7
V
V
.
Li gii
Chn B
t
.ABC A B C
VV
. Lm
E
trên
'CC
sao cho
3CC C E

.
Suy ra
1
3
A M B N C E
A A B B C C
//MNE ABC
.
Ta có:
..
1
3
C MNE A B C MNE
VV
 ng cao)
N'
P'
Q'
M'
C
B
D
A
1.
2
3
A B C MNE
VV

.
Mt khác:
.
1
3
A B C MNE
VV
  l ng cao bng
,
1
3
,
d M A B C
MA
AA
d A A B C

) .
Suy ra
1
2 1 2
.
3 3 9
V V V
2
27
99
V V V V
1
2
2
7
V
V

.
Câu 42.   
.ABC A B C
, trên các cnh
AA
,
BB
l  m
M
,
N
sao cho
.AA k A M

,
.BB k B N

1k
. Mt phng
C MN
chia kh 
hai phn. Gi
1
V
là th tích ca khi chóp
.C A B MN
,
2
V
là th tích ca khn
ABCMNC
. T s
1
2
V
V
bng:
A.
1
2
4
32
V
Vk
. B.
1
2
2
32
V
Vk
. C.
1
2
1
32
V
Vk
. D.
1
2
3
32
V
Vk
.
Li gii
Chn B
t
.ABC A B C
VV
. Lm
E
trên
CC
sao cho
.CC k C E

.
Suy ra
1A M B N C E
A A B B C C k
//MNE ABC
.
Ta có:
..
1
3
C MNE A B C MNE
VV
 ng cao)
1.
2
3
A B C MNE
VV

.
Mt khác:
.
1
A B C MNE
VV
k
  l ng cao bng
,
1
,
d M A B C
MA
AA k
d A A B C

).
Suy ra
1
2 1 2
.
33
V V V
kk

2
2 3 2
33
k
V V V V
kk
1
2
2
32
V
Vk

.
Câu 43. Cho mt ming tôn hình tròn tâm
O
, bán kính
R
. Ct b mt phn ming tôn theo
mt hình qut
OAB
và gò phn còn li thành mnh
O

(OA
trùng vi
)OB
. Gi
S
và
S
lt là din tích ca miu và
din tích ca ming tôn còn li. Tìm t s
S
S
 th tích ca kht giá tr ln
nht.
A.
2
3
. B.
1
4
. C.
1
3
. D.
6
3
.
Li gii
Chn D
Ta có, din tích ca miu là
2
S R
.
Gi góc tâm ca mnh tôn còn li là
0
0 0 0
0 360

.
Din tích phn tôn còn li là:
2
.
360
S R
.
Vy
360
S
S
.
Mnh
O

.2 .
360 180
RRC


.
      nh
O
là
360
R
R
và chiu cao
22
OH OA AH
22
RR

2
2
22
. 360
360 360
R R
R



.
Th tích ca khnh
O
là
2
222
1
. . . 360
3 360 36
..
0
1
.
3
R
R OH
R
V




3
3
2 2 2
. .3
3.36
60
0
R

.
Xét hàm s
2 2 2
. 360f
vi
0 360
.
Ta có
3
22
22
2 . 360
360
f
22
22
2.360 3
360

.
0
0 120 6 0
120 6
360f Do


.
Bng bin thiên:
Vy
0;360
max 120 6ff
V
max khi và ch khi
6
120 6
3
S
S
.
Câu 44. Cho hình chóp
.S ABCD
i
,MN
lm ca
,SA SC
.
Mt phng
()BMN
ct
SD
ti
P
. T s
.
.
S BMPN
S ABCD
V
V
bng:
A.
.
.
1
16
S BMPN
S ABCD
V
V
. B.
.
.
1
6
S BMPN
S ABCD
V
V
. C.
.
.
1
12
S BMPN
S ABCD
V
V
. D.
.
.
1
8
S BMPN
S ABCD
V
V
.
Li gii
Chn B
Ta có
,MN
m ca
,SA SC
nên
1
2
SM SN
SA SC

.
Cách 1: Áp dnh lý Menelaus cho
SOD
ta có :
11
1 2 1 1
23
PS BD IO PS PS SP
PD BO IS PD PD SD
.
Cách 2: K
//OH BP
, ta có
O
m ca
BD
nên
H
m ca
PD
.
Ta có
//OH IP
mà
I
m ca
SO
nên
P
m ca
SH
.
Suy ra
SP PH HD
1
3
SP
SD

.
Theo công thc t s th tích ta có :
..
..
2
1 1 1
.
2 2 3 6
S BMPN S BMP
S ABCD S BAD
VV
SM SP
V V SA SD
Câu 45. 
. ' ' 'ABC A B C
có th tích bng V. Gi M, N lm ca
' ',A B AC
và
P
m thuc cnh
'CC
sao cho
2'CP C P
. Tính th tích khi t din
BMNP
theo V.
A.
2
9
V
. B.
3
V
. C.
5
24
V
. D.
4
9
V
.
Li gii
Chn A
Gi
B
là din tích tam giác
ABC
,
h
 dng cao c , suy ra
.V B h
. Gi
Q
m
AB
,
G
là trng tâm tam giác
ABC
. Gi
1
V
là th tích
khi chóp
BMNP
,
2
V
là th tích khi chóp
MBNE
vi
E QC MP
.
Ta có
2
3
PE CE PC
ME QF MQ
do
// PC MQ
và
2PC PC
nên
2
3
PC PC
MQ CC

.
Ta có
1
12
2
11
33
V
MP
VV
V ME
.
Do
28
,2
33
GC QC CE QC GE GC CE QC
.
Ta li có
2
1
.
3
BNE
V S h
. Ta tính din tích tam giác
BNE
theo din tích tam giác
ABC
ta
có
88
33
BNE BGE NGE NQC BQC QBNC
S S S S S S
.
Mà
13
.
44
AQN
QBCN ABC
ABC
S
AQ AN
SS
S AB AC

8
2
3
BNE QBNC
S S B
.
Nên
2
1 1 2
. .2 .
3 3 3
BNE
V
V S h B h
12
12
39
V
VV
.
Câu 46. Cho t din
SABC
có
G
là trng tâm t din, mt phng quay quanh
AG
ct các cnh
,SB SC
lt ti
,MN
. Giá tr nh nht ca t s
.
.
S AMN
S ABC
V
V
là?
A.
4
9
. B.
3
8
. C.
1
3
. D.
1
2
.
Li gii
Chn A
Gi
,,E F G
lm
,,BC SA EF
suy ra
G
là trng tâm t din
SABC
.
m
I
m ca
AG
và
SE
. Qua
I
dng thng ct các cnh
,SB SC
ln
t ti
,MN
. Suy ra
AMN
là mt phng quay quanh
AG
tha mãn yêu cu bài toán.
K
// , GK SE K SA
suy ra
K
m
FS
.
3
4
KG AK
SI AS
. Mà
12
23
KG SI
SE SE
.
Cách 1:
K
// , // BP MN CQ MN
;
, P Q SE
.
Ta có:
;
SM SI SN SI
SB SP SC SQ
.
BEP CEQ
E
m
PQ
2 SP SQ SE
 ng hp
P Q E
).
Ta có:
2
22
.
2
2
.
4
. . 1. .
9
4



AM GM
S AMN
S ABC
V
SA SM SN SI SI SI SI SI
V SA SB SC SP SQ SE SE
SP SQ
.
Du
""
xy ra khi và ch khi
SP SQ SE
. Hay
// P Q E MN BC
.
Vy t s nh nht là
4
9
. Chn A
Cách 2:
Ta chc
3
SB SC
SM SN
.
Tht vy, qua
I
k ng thng lt song song
,SB SC
ct
,SC SB
ng
ti
,DL
.
Ta có:
3
3
. 3.

SB DB
SB IQ NI SB NI
IQ DI
IQ SM NM SM NM
IQ NI
SM NM
,
1
.
Li có:
3
3
. 3.

SC LC
SC IP MI SC MI
IP LI
IP MI
IP SN MN SN MN
SN MN
,
2
.
T
1
và
2
ta có:
33



SB SC NI MI
SM SN NM MN
.
t
;
SB SC
xy
SM SN
. Suy ra
3xy
.
Ta có:
.
2
.
1 1 4
..
9
4
AM GM
S AMN
S ABC
V
SA SM SN
V SA SB SC xy
xy
.
Du
""
xy ra khi và ch khi
3
//
2
x y MN BC
.
Vy t s nh nht là
4
9
. Chn A
Câu 47. Cho kh
.ABC A B C
có th tích bng 1. Gi M, N lm ca
n thng AC và
BC

. Gi (P) là mt phng qua M và song song vi mt phng
()A NC
. Mt phng (P) chia kh
.ABC A B C
thành hai khn, gi (H) là
khn chnh A. Th tích ca khn (H) bng
A.
3
.
5
B.
1
.
3
C.
2
.
5
D.
1
.
2
Li gii
Chn D
Gi kh
.ABC A B C
có th tích bng
V
- Mt phng (P) qua M và song song vi mt phng
()A NC
nên mt phng (P) ct các
mt phng
( ),( ' ' ')ABC A B C
l t theo các giao tuyn
,ME GF
(
( , ' ', ' ')E BC G A B F B C
cùng song song
AN
- Mt phng (P) ct các mt phng
( ' ' ),( ' ' )AA C C BB C C
lt theo các giao tuyn
MI
( ')I AA
song song
'AC
,EF
song song
.CN
ng thng
, , ' 'MI FG A C
ng quy
ti
,K
ng thng
, , 'MI EF CC
ng quy ti
.J
- Mt phng (P) chia kh
.ABC A B C
thành hai khn, gi (T) là kh
din không chnh A. Th tích ca khn (T) bng
1 . ' . . 'J C FK J CEM I A GK
V V V V
''
1 1 1 9 1 1 1
. ' . . '
3 3 3 16 48 24 2
C FK CEM A GK
S JC S JC S IA V V V V
Câu 48. 
.
ABCD A B C D

2a

M

BB
và
P

DD
sao cho
1
4
DP DD

AMP

CC

N


AMNPBCD

A.
3
2a
. B.
3
3a
. C.
3
11
3
a
. D.
3
9
4
a
.
Li gii
Chn B
I
A
B
C
A'
B'
C'
N
M
E
F
G
K
J

O
,
O

ABCD
và
A B C D
.


BDD B

K OO MP
.


ACC A

N AK CC

N CC AMP
.
Ta có
1
2
OK DP BM
13
2 2 4



aa
a

3
2
2

a
CN OK
.

1
.
2

BMNC
S BM CN BC
2
1 3 5
.2
2 2 2



aa
aa
.

.A BMNC
là:
.
1
..
3
A BMNC BMNC
V S AB
23
1 5 5
. .2
3 2 3

aa
a
.

DPNC
là:
1
.
2

DPNC
S DP CN CD
2
13
.2 2
2 2 2



aa
aa
.

.A DPNC
là:
.
1
..
3
A DPNC DPNC
V S AD
3
2
14
.2 .2
33

a
aa
.

AMNPBCD

..

A BMNC A DPNC
V V V
33
3
54
3
33
aa
a
.



, , ,
AA BB CC DD

, , ,M N P Q

có
.
.
11
42
ABCD MNPQ
ABCD A B C D
V
AM BN CP DQ AM CP
V AA BB CC DD AA CC
và
AM CP BN DQ
AA CC BB DD
.

N
K
O'
O
P
M
C'
D'
B'
C
A
D
B
A'

.
1
2





ABCDMNP
ABCD A B C D
V
BM DP
V BB DD
1 1 1 3
2 2 4 8



và
AA CN BM DP
AA CC BB DD

.
ABCD A B C D
là
3
3
28V a a
.
Suy ra
3
3
ABCDMNP
Va
.
Câu 49. Cho hình hp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có th tích bng
V
. Gi
, , , , ,M N P Q E F
lt là tâm
các hình bình hành
, ' ' ' ', ' ', ' ', ' ', ' '.ABCD A B C D ABB A BCC B CDD C DAA D
Th tích khi
nh
, , , , ,M P Q E F N
bng
A.
4
V
. B.
2
V
. C.
6
V
. D.
3
V
.
Li gii
Chn C
Gi
h
là chiu cao ca hình hp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
.
ABCD
V h S
.
Thn
MPQEFN
là mt bát din nên
.
1 1 1
2. 2. . . . . . .
3 2 3
MPQEFN N PQEF PQEF PQEF
V V h S h S
Li có:
PQEF
là hình bình hành và có
11
;
22
PQ EF AC QE PF BD
nên
1
.
2
PQEF ABCD
SS

1 1 1 1
. . . . . . .
3 3 2 6 6
MPQEFN PQEF ABCD ABCD
V
V h S h S h S
B
B'
C
C'
A
D
D'
A'
M
N
P
Câu 50. 
.ABCD A B C D

ABCD
là hình ch nht vi
6AB
,
3AD
,
3AC
và mt phng
AA C C

vuông góc v  t mt phng
AA C C

và
AA B B

to vi nhau góc
, tha mãn
3
tan
4
. Th tích kh  
.ABCD A B C D
bng
A.
10V
. B.
8V
. C.
12V
. D.
6V
.
Li gii
Chn B
Gi
M
m ca
AA
.
Ta có
22
6 3 3AC AB BC A C

AA C
cân ti
C
.
Dng
A E AC
, do
AA C C

vuông góc v
A E ABCD
.
Ly
F AB
sao cho
FE AC
, mà
FE A E
nên
FE ACC A

, suy ra
FE AA
.
Dng
EG AA
mà
FE AA
nên
FG AA
a mt phng
'AA C C
và
AA B B

là góc
EGF
.
Ta có
34
tan
43
EF
EGF EG EF
EG
, mà
3
tan 2
6
EF BC
EAF EA EF
EA AB
.
T 
4
22
3
sin 2 2
3
2
EF
GE MC
GAE MC
AE AC
EF
.
22
9 8 1 2.AM AC MC AA
Ta có
2 2 4 2
sin
3 2 3
A E A E
GAE A E
AA

.
Vy th tích kh
.ABCD A B C D
là
42
. . . 6. 3 8
3
V A E AB BC
.
Câu 51. Cho hình chóp
.S ABCD
i
K
m ca
SC
. Mt
phng qua
AK
ct các cnh
SB
,
SD
lt ti
M
và
N
. Gi
1
V
,
V
theo th t là th
tích khi chóp
.S AMKN
và khi chóp
.S ABCD
. Giá tr nh nht ca t s
1
V
V
bng
A.
1
2
. B.
2
3
. C.
1
3
. D.
3
8
.
Li gii
M
C
B
C'
D'
A
D
A'
B'
E
F
G
Chn C
t
1
SA
a
SA

,
SB
b
SM
,
2
SC
c
SK

,
SD
d
SN
, có
3ac
.
Áp dng công thc tính nhanh t l th tích:
.
1
.
4
S AMKN
S ABCD
V
V
a b c d
V V abcd

, vi
a c b d
.
Suy ra:
3bd

1
2
6 3 3 1
8 4 3
4
2
V
V bd bd
bd



, du bng xy ra khi
3
2
bd
.
Vy giá tr nh nht ca t s
1
V
V
bng
1
3
khi
3
2
SB SD
SM SN

.
Chứng minh bài toán:
Cho hình chóp
.S ABCD
m
A
,
B
,
C
,
D
lt
nm trên các cnh
SA
,
SB
,
SC
,
SD
t
SA
a
SA
,
SB
b
SB
,
SC
c
SC
,
SD
d
SD
.
Chng minh rng: :
.
.
4
S A B C D
S ABCD
V
a b c d
V abcd
và
a c b d
.
Li gii
Ta có:
ABCD
là hình bình hành nên:
..
22
ABCD ABD S ABCD S ABD
S S V V
.

.
. . .
.
1 1 1
. . . .
2
S A B D
S A B D S ABD S ABCD
S ABD
V
SA SB SD
V V V
V SA SB SD abd abd abd
.
.
. . .
.
1 1 1
. . . .
2
S B C D
S B C D S BCD S ABCD
S BCD
V
SB SC SD
V V V
V SB SC SD bcd bcd bcd
.
Suy ra:
.
. . . . .
11
..
2 2 2
S ABCD
S A B C D S A B D S B C D S ABCD S ABCD
a c V
V V V V V
abd bcd abcd
1
.
Ch 
.
.
2
S ABCD
S A B C D
b d V
V
abcd
2
.
T
1
và
2
suy ra:
a c b d
.
K
N
M
D
C
B
A
S
D
B
C
A
S
B'
D'
A'
C'
. . .
.
2
2 4 4
S ABCD S ABCD S ABCD
S A B C D
b d V b d V a b c d V
V
abcd abcd abcd
.
Vy:
.
.
4
S A B C D
S ABCD
V
a b c d
V abcd
.
Câu 52. Cho t diu
ABCD
có cnh bng
a
. Gi
,MN
lt là trng tâm các tam giác
,ABD ABC
và
E
i xng vi
B
qua
D
. Mt
MNE
chia khi t din
ABCD
thành hai khn chnh
A
có th tích
V
. Tính
V
.
A.
3
92
320
a
V
. B.
3
32
320
a
V
. C.
3
2
96
a
V
. D.
3
32
80
a
V
.
Li gii
Chn A
Gi
, HK
lm ca
, BD BC
và
. I EM AB
Áp dnh lí
Menelaus cho tam giác
AHB
c
3 2 3
. . 1 2. . 1
4 3 5
AM HE BI BI BI
AI AB
MH EB IA IA IA
32
53
AI AN
AB AK
ng thng
IN
và
BC
ct nhau, gm là
F
.
Gi
. P EM AD
Vì
//MN CD
nên áp dnh lí v giao tuyn ca ba mt phng
Ta có
.// //PQ EF CD
Áp dnh lí Menelaus cho tam giác
ADB
c
12
. . 1 . . 1 3.
23
AP DE BI AP AP
PD EB IA PD PD
Có
ABCD
là t diu cnh bng
3
2
12
ABCD
a
aV
3
3 3 3 27 27 27 2
. . . . . .
4 4 5 80 80 80 12
APQI
APQI ABCD
ABCD
V
AP AQ AI a
VV
V AD AC AB
Vy
3
92
320
APQI
a
V
.
Câu 53. Cho hình chóp
.S ABCD
 tích là
V
. Gi
P
m
trên cnh
SC
sao cho
5.SC SP
Mt mt phng
()
qua
AP
ct hai cnh
SB
và
SD
lt ti
M
và
.N
Gi
1
V
là th tích ca khi chóp
..S AMPN
Tìm giá tr ln nht
ca
1
V
V
.
A.
1
15
. B.
1
25
. C.
3
25
. D.
2
15
.
Li gii
Chn C
Ta có
1
V
V
.
.
S AMPN
S ABCD
V
V
..
.
S APN S APM
S ABCD
VV
V
..
..
22
S APN S APM
S ACD S ABC
VV
VV

1
..
2
SP SN SP SM
SC SD SC SB




1
10
SN SM
SD SB




t
SM
a
SB
,
SN
b
SD
,
0 , 1ab
.
Gi
O
ng chéo ca hình bình hành
ABCD
.
Trong mt phng
SAC
,
AP SO I
.
Xét tam giác
SOC
có
. . 1
PS AC IO
PC AO IS
2
IO
IS

1
3
SI
SO

.
Xét tam giác
SBD
có
.
SMN
SBD
S
SM SN
S SB SD
.ab
.
Mt khác,
SMN SMI SNI
SBD SBD
S S S
SS
22
SMI SNI
SBO SDO
SS
SS

1
..
2
SM SI SN SI
SB SO SD SO




1
6
ab
Vy,
1
6
a b ab
, do
1
6
a
không tho mãn h thc nên
61
a
b
a
, do
01b
nên
01
61
a
a

1
5
a
. T 
1
1
10
V
ab
V

1
10 6 1
a
a
a




vi
1
1
5
a
.
Xét hàm s
61
x
y f x x
x
vi
1
;1
5
x



.
2
1
1
61
y
x

,
0y

2
6 1 1x 
0l
1
3
x
x
. Ta có
16
55
f



,
12
33
f



,
6
1
5
f
. Vy
1
;1
5
6
max 1
5
x
f x f




.
T  ln nht ca
1
V
V
bng
3
25
khi
M
trùng
B
hoc
N
trùng
D
.
Cách 2:
t
1
SA
a
SA

;
SB
b
SM
;
5
SC
c
SP

;
SD
d
SN
.
* Ta có
a c b d
1 5 6b d d b
.
*
.
2
.
1 5 6 3 1
.
4 4.1. .5. 6 5 6
S AMPN
S ABCD
V
a b c d b b
V abcd b b b b
.
* Xét
2
31
. ; 1;5
56
f b b
bb


(do
b
,
1d
).
2
2
3 2 6
.
5
6
b
fb
bb



;
03f b b
.
Bng bin thiên:
b
1
3
5
fb
0
fb
3
25
3
25
1
15
Kt lun: Giá tr ln nht ca
1
3
25
V
V
.
Câu 54. Cho hình chóp
.S ABCD
có
ABCD
i xng vi
C
qua
B
.
N
m
SC
. Mt phng
MND
chia hình chóp thành hai khn (tham
kho hình v bên). Gi
1
V
là th tích khn chnh
S
và
2
V
là th tích kh
din còn li. Tính t s
1
2
V
V
?
A.
1
2
5
3
V
V
. B.
1
2
12
7
V
V
. C.
1
2
1
5
V
V
. D.
1
2
7
5
V
V
.
Li gii
Chn D
Ta có
1 . . .S ADQ S PQD S DNP
V V V V
.
Mà
.
.
1
. , .
1
3
1
4
. , .
3
AQD
S ADQ
S ABCD
ABCD
d S ABCD S
V
V
d S ABCD S

.
Và
.
.
..
..
S PQD
S BQD
V
SP SQ SD SP
V SB SQ SD SB

.
Áp dnh lí Menelaus cho tam giác
SBC
vi cát tuyn
MPN
ta có:
.PS.NC
12
.PB.NS
MB PS
MC PB
suy ra
2
3
SP
SB
Q
P
M
N
C
A
B
D
S
Suy ra
.
.
2
3
S PQD
S BQD
V
V
mà
.B
.
1
. , .
1
3
1
4
. , .
3
BQD
S DQ
S ABCD
ABCD
d S ABCD S
V
V
d S ABCD S

nên
.
.
1
6
S PQD
S ABCD
V
V
.
Ta li có:
.
.
. . 1
. . 3
S PND
S BCD
V
SP SN SD
V SB SC SD

mà
.
.
1
. , .
1
3
1
2
. , .
3
BCD
S BCD
S ABCD
ABCD
d S ABCD S
V
V
d S ABCD S

.
Suy ra
.
.
1
6
S PND
S ABCD
V
V
.
Vy
1.
7
12
S ABCD
VV
suy ra
1
2
7
5
V
V
Câu 55. 
.ABC A B C
có th tích bng 2. Gi
,MN
lm nm trên hai
cnh
AA
và
BB
sao cho
M
m ca
AA
và
2
3
B N BB

ng thng
CM
cng thng
AC

ti
P
ng thng
CN
cng thng
BC

ti
Q
. Th tích
khn li
A MPB NQ

bng
A.
13
18
. B.
23
9
. C.
7
18
. D.
5
9
.
Li gii
Chn D
Ta có:
. .g 2PA M CAM g c PA A C C P C A
.
22
3
33
QB B N
QB QC QC B C
QC C C


Ta có:
11
. .sin .2 .3 .sin 3
22
C PQ C A B
S C P C Q C C A B C C S
Suy ra:
.
. . .
.
3 3. 2
C C PQ C PQ
C C PQ C C A B ABC A B C
C C A B C A B
VS
V V V
VS

Mt khác:
.
.
.ABC
12
1
13 13
23
3 3 18 9
A B C MNC
A B C MNC
ABC
A M B N C C
V
A A B B C C
V
V
P
M
Q
A
C
B
C'
B'
A'
N
Ta có:
..
13 5
2
99
A MPB NQ C C PQ A B C MNC
V V V
. Chn D
Câu 56.      u
.ABC A B C
c  ng
a
, chiu cao bng
2a
. Mt
phng
P
qua
B
và vuông góc vi
AC
 thành hai khi. Bit th tích ca
hai khi là
1
V
và
2
V
vi
12
VV
. T s
1
2
V
V
bng
A.
1
11
. B.
1
23
. C.
1
47
. D.
1
7
.
Li gii
Chn C
Gi
E
,
I
,
K
lm
AC

,
AC
và
AB

.
Ta có:
1B E ACC A B E A C
Trong
ABC

: t
B
k
B H A C

ti
H
.
Trong
AA C C

: gi
F HE AA

.
Ta li có
2
B H A C
B HF A C A C B F
B E A C


T
1
và
2
suy ra tam giác
B EF
là thit din c
.ABC A B C
khi ct bi
mt phng
P
.
Tam giác
CA B

cân ti
C
, ta có
19
19
2
5 2 5
a
a
CK A B a
CK A B B H A C B H
AC
a

Tam giác
'B HC
vuông ti
H
, ta có
22
9 9 1
10 4
25
a
CH B C B H CH CA A H HI
11
48
A F A H A F
HA F HIE
IE IH A A
.

.
. . . .
.
1 1 1 1 1
. . .
16 16 16 3 48
A B EF
A B EF A B C A ABC A B C ABC A B C
A B C A
V
A B A E A F
V V V V
V A B A C A A

.
Nên
11
.2
11
48 47
ABC A B C
VV
VV
.
Câu 57.

.ABC A B C
và
,MN
m lt trên cnh
,CA CB
sao cho
MN
song song vi
AB
và
CM
k
CA
. Mt phng
()MNB A

chia kh
.ABC A B C
thành hai phn có th tích
1
V
(phn chm
C
) và
2
V
sao cho
1
2
2
V
V

ca
k
là
A.
15
2
k

. B.
1
2
k
. C.
15
2
k
. D.
3
3
k
.
Li gii
Chn A
+ Vì ba mt phng
( ),( ),( )MNB A ACC A BCC B
t ct nhau theo ba giao tuyn
phân bit
,,A M B N CC
và
,A M CC

không song song nên
,,A M B N CC
ng qui ti
S
.
Ta có
CM MN MN SM SN SC
k
CA AB A B SA SB SC
+ T 
33
. . 1 . .
1
S MNC S A B C MNC A B C S A B C
V k V V V k V
.
+ Mt khác
.
. ' ' '
3
3
31
ABC A B C
S A B C
SC SC
V
CC
k
V SC SC

.
.
31
ABC A B C
S A B C
V
V
k

Suy ra
2
.
3
.
1
1.
1
3 1 3
ABC A B C
ABC A B C
k k V
V
Vk
k

.
+ Vì
1
2
2
V
V
nên
2
2
1.
2 1 2 1 5
1 0 ( 0)
3 3 3 2
ABC A B C
kk
V V k k k k
.
Vy
15
2
k

.

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

NGUYỄN CÔNG ĐỊNH Giáo viên THTP Đầm Dơi Chuyên đề TỈ SỐ THỂ TÍCH ÔN THI THPT QUỐC GIA
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
CHỦ ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO DẠNG 3 TỈ SỐ THỂ TÍCH
Bài toán 1: Tỉ số thể tích hình chóp tam giác. V
SA' SB ' SC ' I
A' B 'C '  . . . Ơ V SA SB SC ABC M D Ầ Đ NHỊ
Bài toán 2: Tỉ số thể tích hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành. Đ G THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ SA SB SC SD Đặt  ; a  ; b  ; cd. N SA' SB ' SC ' SD ' Ễ Y TRƯ Khi đó : GU N
1. a c b d. N V
a b c d
A' B 'C ' D ' 2.  . V 4abcd ABCD ÁO VIÊ GI
Bài toán 3: Tỉ số thể tích hình chóp lăng trụ tam giác. Giả sử A ' M B ' N C ' P  ; xy;  z A' A B ' B C 'C Khi đó : V
x y z
A' B 'C '.MNP  . V 3
A' B 'C '. ABC TỈ SỐ THỂ TÍCH 1
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Bài toán 4: Tỉ số thể tích hình hộp. AM C PD NB Q  Giả sử  x ,  y ,  z ,  t . AACCDDBB Khi đó
1. x y z t. V   
A' B 'C ' D '. x y z t 2. MNPQ  . V 4
A' B 'C ' D '. ABCD Kiến th
ức khác: Tỉ số thể tích hình chóp chung đỉnh hoặc chung đáy. I Ơ V h
1. Hai hình chóp có chung đáy thì 1 1  . M D V h 2 2 Ầ V S Đ
2. Hai hình chóp có chung đỉnh và hai đáy nằm trên một mặt phẳng thì 1 1  . NH V S 2 2 Ị Đ G THPT N.C.Đ N NG CÔ Ờ N Ễ Y TRƯ GU N N ÁO VIÊ GI TỈ SỐ THỂ TÍCH 2
CHỦ ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO DẠNG 3 TỈ SỐ THỂ TÍCH Câu 1.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi M là trung
điểm của SB . P là điểm thuộc cạnh SD sao cho SP  2DP . Mặt phẳng  AMP cắt cạnh
SC tại N . Tính thể tích của khối đa diện ABCDMNP theo V 23 19 2 7 A. VV . B. VV . C. VV . D. VV . ABCDMNP 30 ABCDMNP 30 ABCDMNP 5 ABCDMNP 30 Câu 2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , o
BAD  60 và SA vuông
góc với mặt phẳng  ABCD . Góc giữa hai mặt phẳng SBD và  ABCD bằng o 45 . Gọi
M là điểm đối xứng của C qua B và N là trung điểm của SC . Mặt phẳng MND
chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có V
thể tích là V , khối còn lại có thể tích là V (tham khảo hình vẽ bên). Tính tỉ số 1 . 1 2 V2 V 1 V 5 V 12 V 7 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V 5 V 3 V 7 V 5 2 2 2 2 Câu 3. Cho hình hộp AB .
CD A ' B 'C ' D ' . Gọi V , V lần lượt là thể tích khối tứ diện ACB D   và 1 2 V khối hộp AB . CD A BCD   . Tỉ số 1 bằng: V2 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 6 2 4 2 Câu 4.
Cho hình chóp S.ABC có M , N , P được xác định bởi SM MA , SN SB , 3 1 SP  
SC . Tính thể tích khối chóp S.MNP biết SA  4 3 , SA   ABC , tam giác ABC 2
đều có cạnh bằng 6 . A. 3. B. 4. C. 1. D. 2. Câu 5.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB , BC . Điểm I thuộc đoạn SA . Biết mặt phẳng MNI  chia khối 7
chọp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng lần phần còn lại. 13 IA Tính tỉ số k  ? IS 1 3 2 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 3 3 Câu 6.
Cho lập phương có cạnh bằng a và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai
mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S là tổng diện tích 6 mặt của hình lập 1 S
phương, S là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số 2 bằng 2 S1 SSS S 1 A. 2  . B. 2  . C. 2   . D. 2  . S 2 S 6 S S 2 1 1 1 1 Câu 7.
Cho lăng trụ ABC.A BC
 .Trên các cạnh AA , BB lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AA  kA E
 , BB  kB F
 . Mặt phẳng (C EF) chia khối trụ đã cho thành hai khối đa diện
bao gồm khối chóp (C .A BF
E) có thể tích V và khối đa diện (ABCEFC ) có thế tích V . 1 2 V 2 Biết rằng 1  , tìm k V 7 2 A. k  4 .
B. k  3.
C. k  1. D. k  2 . Câu 8.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của AD .
Gọi S là giao của SC với mặt phẳng chứa BM và song song với SA . Tính tỉ số thể
tích của hai khối chóp S .BCDM và S.ABCD . 2 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 4 Câu 9.
Cho khối chóp S.A A ...A ( với n  3 là số nguyên dương). Gọi B là trung điểm của 1 2 n j
đoạn thẳng SA j 1,n . Kí hiệu V ,V lần lượt là thể tích của hai khối chóp S.A A ...A j  1 2 1 2 n V
và S.B B ...B . Tính tỉ số 1 . 1 2 n V2 A. 2 . B. 4 . C. 8 . D. 2n .
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi V là thể tích của khối chóp
S.ABCD và M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SB, S ,
D AD . Thể tích của khối tứ
diện AMNP bằng 1 1 1 1 A. V B. V C. V D. V 32 8 4 16
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , tâm O . Hình chiếu
vuông góc của điểm S trên mặt phẳng  ABCD là trung điểm H của đoạn thẳng AO .
Biết mặt phẳng SCD tạo với mặt đáy  ABCD một góc 60 . Thể tích khối chóp S.ABCD bằng 9 3 3 3 3 3 A. 3 a . B. 3 a . C. 3 a . D. 3 a . 4 4 4 4
Câu 12. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đáy ABCD là hình thoi cạnh a , D BA  60 và SA
vuông góc với mặt phẳng  ABCD . Góc giữa hai mặt phẳng SBD và  ABCD là 45 .
Gọi M là điểm đối xứng của C qua B và N là trung điểm SC . Mặt phẳng MND
chia khối chóp thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện có đỉnh S có thể tích là V1 V
, khối đa diện còn lại có thể tích V . Tính tỉ số 1 2 V2 V 12 V 5 V 1 V 7 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V 7 V 3 V 5 V 5 2 2 2 2
Câu 13. Cho hình lăng trụ AB . C A BC
  có thể tích bằng 3
48cm . Gọi M , N, P theo thứ tự là trung
điểm các cạnh CC , BC  và B C
  . Tính thể tích của khối chóp A .MNP . 16 A. 3 8cm . B. 3 12cm . C. 3 24cm . D. 3 cm . 3
Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC
vu ng c n ở B, AC a 2, SA   ABC , SA  . a
Gọi G là trọng t m của SBC
, mp   đi qua AG
và song song với BC chia khối chóp
thành hai phần. Gọi V là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S . Tính V . 3 5a 3 2a 3 4a 3 4a A. . B. . C. . D. . 54 9 27 9
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vu ng cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA a 2
. B ', D ' lần lượt là hình chiếu của A lên S ,
B SD . Mặt phẳng  AB ' D ' cắt SC tại C ' .
Thể tích khối chóp S.AB 'C ' D ' là 3 2a 3 3 2a 2 3 2a 3 3 a 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 9 9
Câu 16. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A BC
 . Gọi M , N lần lượt thuộc các cạnh bên AA ,CC
sao cho MA MA ; NC  4NC . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Hỏi trong bốn khối tứ diện GA BC  , BB MN, ABB C   và A B
CN , khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất? A. Khối ABB C   . B. Khối A BCN . C. Khối BB MN . D. Khối GA BC   .
Câu 17. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Mặt phẳng P qua A và vuông góc SC cắt SB ,
SC , SD lần lượt tại B , C , D . Biết C là trung điểm SC . Gọi V , V lần lượt là thể tích 1 2 V
hai khối chóp S.AB CD
  và S.ABCD . Tính tỉ số 1 . V2 V 2 V 2 V 4 V 1 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V 3 V 9 V 9 V 3 2 2 2 2
Câu 18. Cho hình chóp đều S.ABC , có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của các cạnh SB, SC . Biết mặt phẳng  AMN  vuông góc với mặt phẳng
SBC. Tính thể tích V của khối chóp .ABCNM . 3 5a 3 2a 3 2a 3 5a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 32 16 48 96
Câu 19. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi E , F , G lần lượt là trung điểm của
BC, BD,CD ,và M , N, P,Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD, AC ,
D BCD . Tính thể tích của khối tứ diện MNPQ theo V . V V 2V V A. . B. . C. . D. . 9 3 9 27
Câu 20. Cho hình chóp tam giác S.ABC . Gọi M là trung điểm của SA , lấy điểm N trên cạnh SN 2 SB sao cho
 . Mặt phẳng   qua MN và song song với SC chia khối chóp SB 3
thành hai phần. Gọi V là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh A , V là thể tích của khối 1 2 V
đa diện còn lại. TÍnh tỉ số 1 . V2 V 7 V 7 V 7 V 7 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V 16 V 18 V 11 V 9 2 2 2 2
Câu 21. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Gọi M ,
N lần lượt là các điểm trên các cạnh SB , SD sao cho MS MB , ND  2NS . Mặt phẳng
CMN chia khối chóp đã cho thành hai phần, thể tích của phần có thể tích nhỏ hơn bằng 2 1 3 5 A. . B. . C. . D. . 25 12 25 48
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh ,
SA SD . Mặt phẳng   chứa MN và cắt các tia SB, SC
lần lượt tại P và SP Q . Đặt
x , V là thể tích của khối chóp S.MNQP SB 1
và V là thể tích khối chóp
S.ABCD . Tìm x để V  2V . 1 1 1   33 1   41 A. x  . B. x  . C. x  . D. x  2 . 2 4 4
Câu 23. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A' B 'C ' . Gọi M , N, ,
P Q là các điểm lần lượt thuộc các AM 1 BN 1 CP 1 C 'Q 1
cạnh AA', BB ',CC ', B 'C ' thỏa mãn  ,  ,  ,
 . Gọi V ,V lần AA ' 2 BB ' 3 CC ' 4 B 'C ' 5 1 2 V
lượt là thể tích khối tứ diện MNPQ và khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' . Tính tỷ số 1 . 2 V V 11 V 11 V 19 V 22 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . 2 V 30 2 V 45 2 V 45 2 V 45
Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB , BC . Điểm K thuộc đoạn SA . Biết mặt phẳng MNK  chia khối 7
chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng lần phần còn lại. 13 KA Tính tỉ số t  . KS 1 3 1 2 A. t  . B. t  . C. t  . D. t  . 2 4 3 3
Câu 25. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, thể tích bằng 1. Gọi M là trung
điểm cạnh SA ; các điểm E, F lần lượt là điểm đối xứng của A qua B và D . Mặt
phẳng (MEF) cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại các điểm N, P . Thể tích của khối đa diện ABCDMNP bằng 2 1 3 1 A. B. C. D. 3 3 4 4
Câu 26. Cho hình lập phương AB .
CD A ' B 'C ' D ' cạnh a . Gọi M , N lần lượt nằm trên các cạnh
A ' B ' và BC sao cho MA'  MB ' và NB  2NC . Mặt phẳng DMN  chia khối lập
phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi  V
là thể tích khối đa diện chứa đỉnh H   V H  , AV
là thể tích khối đa diện còn lại. Tỉ số bằng H '  V H ' 151 151 2348 209 A. . B. . C. . D. . 209 360 3277 360
Câu 27. Cho khối hộp chữ nhật AB . CD AB CD
  có thể tích bằng 2110 . Biết AM MA ,
DN  3ND , CP  2C P
 như hình vẽ. Mặt phẳng MNP chia khối hộp đã cho thành hai
khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng 5275 5275 7385 8440 A. . B. . C. . D. . 6 12 18 9
Câu 28. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 1, đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD và
AD  3BC . Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm thuộc CD sao cho ND = 3NC.
Mặt phẳng (BMN) cắt SD tại P. Thể tích khối chóp AMBNP bằng: 3 5 5 9 A. 8 B. 12 C. 16 D. 32
Câu 29. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang với hai đáy là AB và CD , AB  2CD .
Gọi E là một điểm trên cạnh SC . Mặt phẳng  ABE chia khối chóp S.ABCD thành hai SE
khối đa diện có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số . SC 10  2 26  4 A. . B. 6  2 . C. 2 1. D. . 2 2
Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , SA vuông góc với
mặt đáy  ABC, BC a , góc hợp bởi SBC và  ABC là 60 . Mặt phẳng P qua A
vuông góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại D, E . Thể tích khối đa diện ABCED là 3 3 3a 3 3a 3 11 3a 3 3 3a A. . B. . C. . D. . 40 6 120 60
Câu 31. Cho khối hộp chữ nhật AB . CD AB CD
  có thể tích bằng 2019. Thể tích phần chung của hai khối AB CD   và ABC D  bằng 673 673 673 A. . B. 673 . C. . D. . 4 3 2
Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA   ABCD . Trên đường 1
thẳng vuông góc với  ABCD tại D lấy điểm S thỏa mãn S D
  SA và S , S ở cùng 2
phía đối với mặt phẳng  ABCD . Gọi 1
V là phần thể tích chung của hai khối chóp V
S.ABCD và S .ABCD . Gọi 2
V là thể tích khối chóp S.ABCD . Tỉ số 1 bằng 2 V 4 7 7 1 A. . B. . C. . D. . 9 9 18 3
Câu 33. Cho khối hộp AB . CD A BCD
  , điểm M nằm trên cạnh CC thỏa mãn CC  3CM . Mặt phẳng  AB M
  chia khối hộp thành hai khối đa diện. Gọi V là thể tích khối đa diện 1
chứa đỉnh A , V là thể tích khối đa diện chứa đỉnh B . Tính tỉ số thể tích V và V . 2 1 2 41 27 7 9 A. . B. . C. . D. . 13 7 20 4
Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên đường thẳng qua D và
song song với SA lấy điểm S thỏa mãn S D
  kSA với k  0 . Gọi 1
V là phần thể tích
chung của hai khối chóp S.ABCD và S .ABCD . Gọi 2
V là thể tích khối chóp S.ABCD . Tỉ V số 1 bằng 2 V 2 2k k 3k  2 2 3k  2k k A. . B. . C. . D. . 2 2 k  2 1 2 k  2 1 2 k   1 k  1
Câu 35. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , biết góc tạo bởi
SG và SBC bằng 30 . Mặt phẳng chứa BC và vuông góc với SA chia khối chóp đã V
cho thành hai phần có thể tích V , V trong đó V là phần thể tích chứa điểm S . Tỉ số 1 1 2 1 V2 bằng 1 6 A. 6 . B. . C. . D. 7 . 6 7
Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trong không gian lấy điểm
S thỏa mãn SS '  2BC . Gọi 1
V là phần thể tích chung của hai khối chóp S.ABCD và V
S .ABCD . Gọi 2
V là thể tích khối chóp S.ABCD . Tỉ số 1 bằng 2 V 1 5 1 4 A. . B. . C. . D. . 9 9 2 9
Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trong không gian lấy điểm
S thỏa mãn SS  k BC với k  0 .Gọi 1
V là phần thể tích chung của hai khối chóp V
S.ABCD và S .ABCD . Gọi 2
V là thể tích khối chóp S.ABCD . Tỉ số 1 bằng 2 V 2 2k k 3k  2 2 3k  2k k A. . B. . C. . D. . 2 2 k  2 1 2 k  2 1 2 k   1 k  1
Câu 38. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên tạo với đường cao một góc 0 30 , O là
trọng tâm tam giác ABC . Một hình chóp tam giác đều thứ hai . O A BC
  có S là tâm của
tam giác AB C
  và cạnh bên của hình chóp . O A BC
  tạo với đường cao một góc 0 60
(hai hình chóp có chung chiều cao) sao cho mỗi cạnh bên SA , SB , SC lần lượt cắt các
cạnh bên OA , OB , OC . Gọi 1
V là phần thể tích chung của hai khối chóp S.ABC và V . O A BC   . Gọi 2
V là thể tích khối chóp S.ABC . Tỉ số 1 bằng 2 V 9 1 27 9 A. . B. . C. . D. . 16 4 64 64
Câu 39. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC , O là trọng tâm tam giác ABC . Một hình chóp tam giác đều thứ hai . O A BC
  có S là tâm của tam giác AB C
  và cạnh bên của hình chóp . O A BC   và A B
   kAB (hai hình chóp có chung chiều cao) sao cho mỗi cạnh bên SA ,
SB , SC lần lượt cắt các cạnh bên OA , OB , OC . Gọi 1
V là phần thể tích chung của hai V
khối chóp S.ABC và . O A BC   . Gọi 2
V là thể tích khối chóp S.ABC . Tỉ số 1 bằng 2 V 3 2 k k 3 k 1 k A. . B. . C. . D. . 3 (k 1) 3 (k 1) k  1 k  1
Câu 40. Cho hình hộp AB . CD A B C D . Gọi 1
V là phần thể tích chung của hai khối của hai khối V
tứ diện A BC D và AB CD . Gọi 2
V là thể tích khối hộp AB .
CD A B C D . Tỉ số 1 bằng 2 V 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 6 3 4
Câu 41. Cho lăng trụ ABC.A BC
 , trên các cạnh AA , BB lấy các điểm M , N sao cho AA  3A M
 , BB  3B N
 . Mặt phẳng C M
N  chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần.
Gọi V là thể tích của khối chóp C .AB NM
, V là thể tích của khối đa diện ABCMNC . 1 2 V Tỉ số 1 bằng: V2 V 4 V 2 V 1 V 3 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V 7 V 7 V 7 V 7 2 2 2 2
Câu 42. Cho lăng trụ ABC.A BC
 , trên các cạnh AA , BB lấy các điểm M , N sao cho
AA  k.A M
, BB  k.B N  k  
1 . Mặt phẳng C M
N  chia khối lăng trụ đã cho thành
hai phần. Gọi V là thể tích của khối chóp C .AB M
N , V là thể tích của khối đa diện 1 2 V
ABCMNC . Tỉ số 1 bằng: V2 V 4 V 2 V 1 V 3 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V 3k  2 V 3k  2 V 3k  2 V 3k  2 2 2 2 2
Câu 43. Cho một miếng tôn hình tròn tâm O , bán kính R . Cắt bỏ một phần miếng tôn theo
một hình quạt OAB và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh O kh ng có đáy (OA
trùng với OB) . Gọi S và S lần lượt là diện tích của miếng t n hình tròn ban đầu và S
diện tích của miếng tôn còn lại. Tìm tỉ số
để thể tích của khối nón đạt giá trị lớn S nhất. 2 1 1 6 A. . B. . C. . D. . 3 4 3 3
Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của , SA SC . V
Mặt phẳng (BMN) cắt SD tại P . Tỉ số S.BMPN bằng: VS.ABCD V 1 V 1 V 1 V 1
A. S.BMPN  .
B. S.BMPN  .
C. S.BMPN  .
D. S.BMPN  . V 16 V 6 V 12 V 8 S .ABCD S .ABCD S .ABCD S .ABCD
Câu 45. Cho hình lăng trụ AB .
C A' B 'C ' có thể tích bằng V. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
A' B ', AC và P là điểm thuộc cạnh CC ' sao cho CP  2C ' P . Tính thể tích khối tứ diện BMNP theo V. 2V V 5V 4V A. . B. . C. . D. . 9 3 24 9
Câu 46. Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG cắt các cạnh V
SB, SC lần lượt tại M , N . Giá trị nhỏ nhất của tỉ số S.AMN là? VS.ABC 4 3 1 1 A. . B. . C. . D. . 9 8 3 2
Câu 47. Cho khối lăng trụ ABC.A BC
 có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
các đoạn thẳng AC và B C
 . Gọi (P) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng ( A N
C) . Mặt phẳng (P) chia khối lăng trụ ABC.A BC
  thành hai khối đa diện, gọi (H) là
khối đa diện chứa đỉnh A. Thể tích của khối đa diện (H) bằng 3 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 5 3 5 2
Câu 48. Cho hình lập phương AB . CD
A BCD cạnh 2a . Gọi M là trung điểm của BB và P 1
thuộc cạnh DD sao cho DP
DD . Biết mặt phẳng  AMP cắt CC tại N , thể tích 4
của khối đa diện AMNPBCD bằng 3 11a 3 A. 3 9a 2a . B. 3 3a . C. . D. . 3 4
Câu 49. Cho hình hộp AB .
CD A ' B 'C ' D ' có thể tích bằng V . Gọi M, N, , P ,
Q E, F lần lượt là tâm
các hình bình hành ABC ,
D A' B 'C ' D ', ABB ' A', BCC ' B ',CDD 'C ', DAA' D '. Thể tích khối
đa diện có các đỉnh M , , P ,
Q E, F, N bằng V V V V A. . B. . C. . D. . 4 2 6 3
Câu 50. Cho lăng trụ AB . CD AB CD
  có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  6 , AD  3 ,
AC  3 và mặt phẳng  AA CC
  vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng  AA CC   và  3 AA BB
  tạo với nhau góc  , thỏa mãn tan  . Thể tích khối lăng trụ 4 AB . CD AB CD   bằng A. V  10 .
B. V  8 .
C. V  12 . D. V  6 .
Câu 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC . Mặt
phẳng qua AK cắt các cạnh SB , SD lần lượt tại M và N . Gọi V , V theo thứ tự là thể 1 V
tích khối chóp S.AMKN và khối chóp S.ABCD . Giá trị nhỏ nhất của tỉ số 1 bằng V 1 2 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 8
Câu 52. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trọng tâm các tam giác AB ,
D ABC và E là điểm đối xứng với B qua D . Mặt MNE chia khối tứ diện ABCD
thành hai khối đa diện trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V . 3 9 2a 3 3 2a 3 2a 3 3 2a A. V . B. V  . C. V  . D. V  . 320 320 96 80
Câu 53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi P là điểm
trên cạnh SC sao cho SC  5 .
SP Một mặt phẳng ( ) qua AP cắt hai cạnh SB và SD
lần lượt tại M và N. Gọi V là thể tích của khối chóp S.AMPN. Tìm giá trị lớn nhất 1 V của 1 . V 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 15 25 25 15
Câu 54. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, M là điểm đối xứng với C qua B
. N là trung điểm SC . Mặt phẳng MND chia hình chóp thành hai khối đa diện (tham
khảo hình vẻ bên). Gọi V là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S và V là thẻ tích khối đa 1 2 V
diện còn lại. Tính tỉ số 1 ? V2 S N P A D Q M B C V 5 V 12 V 1 V 7 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V 3 V 7 V 5 V 5 2 2 2 2
Câu 55. Cho lăng trụ ABC.A BC
  có thể tích bằng 2. Gọi M , N lần lượt là hai điểm nằm trên hai 2
cạnh AA và BB sao cho M là trung điểm của AA và B N
  BB . Đường thẳng CM 3
cắt đường thẳng AC tại P và đướng thẳng CN cắt đường thẳng B C
  tại Q . Thể tích
khối đa diện lồi A MPB NQ bằng 13 23 7 5 A. . B. . C. . D. . 18 9 18 9
Câu 56. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A BC
  cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2a . Mặt
phẳng P qua B và vuông góc với AC chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của V
hai khối là V và V với V V . Tỉ số 1 bằng 1 2 1 2 V2 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 11 23 47 7
Câu 57. Cho hình lăng trụ ABC.A BC
 và M , N là hai điểm lần lượt trên cạnh C , A CB sao cho CM
MN song song với AB và
k . Mặt phẳng (MNB A
 ) chia khối lăng trụ ABC.A BC   CA V
thành hai phần có thể tích V (phần chứa điểm C ) và V  2 . Khi đó giá trị 1 2 sao cho 1 V2 của k là 1   5 1 1 5 3 A. k  . B. k  . C. k  . D. k  . 2 2 2 3 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi M là trung
điểm của SB . P là điểm thuộc cạnh SD sao cho SP  2DP . Mặt phẳng  AMP cắt cạnh
SC tại N . Tính thể tích của khối đa diện ABCDMNP theo V 23 19 2 7 A. VV . B. VV . C. VV . D. VV . ABCDMNP 30 ABCDMNP 30 ABCDMNP 5 ABCDMNP 30 Lời giải Chọn A S N M I P A D O C B
Gọi O AC BD , I MP SO , N AI SC Khi đó V   ABCDMNP S V .ABCD S V .AMNP SA SB SC SD 3 Đặt a   1 ,b   2 , c  , d   ta có SA SM SN SP 2 5
a c b d c  . 2 5 3 1 2      S V . a b c d 7 AMNP 2 2    V 4abcd 5 3 S. 30 ABCD 4.1.2. . 2 2 7 23  V      ABCDMNP S V .ABCD S V .AMNP V V V . 30 30 Câu 2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , o
BAD  60 và SA vuông
góc với mặt phẳng  ABCD . Góc giữa hai mặt phẳng SBD và  ABCD bằng o 45 . Gọi
M là điểm đối xứng của C qua B và N là trung điểm của SC . Mặt phẳng MND
chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có V
thể tích là V , khối còn lại có thể tích là V (tham khảo hình vẽ bên). Tính tỉ số 1 . 1 2 V2 V 1 V 5 V 12 V 7 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V 5 V 3 V 7 V 5 2 2 2 2 Lời giải Chọn D
Trong tam giác SMC , SB và MN là hai
trung tuyến cắt nhau tại trọng tâm K SK 2   . SB 3
BI là đường trung bình của tam giác MCD
I là trung điểm AB . V VVV 1 S .AID S .IKN S .IND 1 Đặt:VV .V  .V ; S. ABCD S . AID 4 SK SN 2 1 1 1 V  . .V  . . V V ; S .IKN S .IBC SB SC 3 2 4 12 SN 1 1 1 V  .V  . V  .V S .IND S .ICD SC 2 2 4  1 1 1  7  5 V 7 V    .V  .V 1  V  .V   . 1    4 12 4  12 2 12 V 5 2 Câu 3. Cho hình hộp AB .
CD A ' B 'C ' D ' . Gọi V , V lần lượt là thể tích khối tứ diện ACB D   và 1 2 V khối hộp AB . CD A BCD   . Tỉ số 1 bằng: V2 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 6 2 4 Lờigiải Chọn A 1 1 Ta có V       V V    V    V     V . B . ABC D . ACD C.B C D . A A B D ABCD. A B C D 2 6 6 1 1 V 1 Suy ra 1
V V  4. V V   . 1 2 2 2 6 3 V 3 2 2 Câu 4.
Cho hình chóp S.ABC có M , N , P được xác định bởi SM MA , SN SB , 3 1 SP  
SC . Tính thể tích khối chóp S.MNP biết SA  4 3 , SA   ABC , tam giác ABC 2
đều có cạnh bằng 6 . A. 3. B. 4. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn C  2 6 . 3 3 3 Ta có: S   . ABC 4 2 1 1 3 3 Suy ra: VS . A S  .4 3.  6 . S . ABC 3 ABC 3 2 V SM SN SP 1 2 1 1 V 6 Lại có: S.MNP S .  . .  . . ABC   V   1. S . V SA SB SC 2 3 2 6 MNP 6 6 S . ABC Câu 5.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB , BC . Điểm I thuộc đoạn SA . Biết mặt phẳng MNI  chia khối 7
chọp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng lần phần còn lại. 13 IA Tính tỉ số k  ? IS 1 3 2 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 3 3 Lời giải Chọn C S E S I K E I D P A M B N C P A D H Q Hình 2 Hình 1
Mặt phẳng MNI  cắt khối chóp theo thiết diện như hình 1. Đặt VV . S. ABCD 1 1 S 1 Ta có APM SSSS    . APM BMN  4 ABC 8 ABCD S 8 ABCD
d I, ABCD IA k  
d S, ABCD SA k  . 1 V S d
I,ABCD k k I . APM APM   .  VV V S d S ABCD k k  . S ABCD ABCD  ,  8  I . 1 APM 8 1 .  
Do MN / / AC IK / / AC IK / /  ABCD  d I; ABCD  d K; ABCD . k Mà SS .  VVV . APM NCQ I . APM K .NCQ 8k   1 IH AH AI k
Kẻ IH / /SD ( H SD ) như hình 2. Ta có :    SD AD AS k  . 1 IH PH PA AH PA 2 AH 1 2k 3k  1         . ED PD PD PD PD 3AD 3 3k   1 3k   1 ED IH ID 3k
d E, ABCD   ED 3k :     SD SD ED 3k  1
d S, ABCD SD 3k  . 1 S V PQD 9  E.PQD 27k 27k   VV . S 8 E. V 24k  8 PQD 24k  8 ABCD S. ABCD 13 13 VV VVVV EIKAMNCD E .PDC I . APM K . 20 NQC 20 27k k k 13 27k k 13 2  V V V V     k  . 83k   1 8k   1 8k   1 20 2 3k   1 k  1 5 3 Câu 6.
Cho lập phương có cạnh bằng a và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai
mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S là tổng diện tích 6 mặt của hình lập 1 S
phương, S là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số 2 bằng 2 S1 SSS S 1 A. 2  . B. 2  . C. 2   . D. 2  . S 2 S 6 S S 2 1 1 1 1 Lời giải Chọn B Ta có: 2 S  6a . 1
Hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương cạnh a
a có bán kính đáy r
và chiều cao bằng h l a . 2 a Suy ra 2
S  2πrl  2π. .a  πa . 2 2 2 Sa  Do đó 2   . 2 S 6a 6 1 Câu 7.
Cho lăng trụ ABC.A BC
 .Trên các cạnh AA , BB lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AA  kA E
 , BB  kB F
 . Mặt phẳng (C EF) chia khối trụ đã cho thành hai khối đa diện
bao gồm khối chóp (C .A BF
E) có thể tích V và khối đa diện (ABCEFC ) có thế tích V . 1 2 V 2 Biết rằng 1  , tìm k V 7 2 A. k  4 .
B. k  3.
C. k  1. D. k  2 . Lời giải Chọn B
+) Do khối chóp C .AB FE
và khối chóp C .AB BA
có chung đường cao hạ từ C nên V     S   2S   A E 1 C . A B FE A B FE A B E     V  (1)    S   2S   A A k C . A B BA A B BA A B A
+) Do khối chóp C .ABC và khối lăng trụ ABC.A BC
  có chung đường cao hạ từ C và đáy là V  1 V    2
ABC nên C .ABC C .A B BA   (2) V    3 V    3 ABC. A B C ABC. A B C V    2 V 2 2
Từ (1) và (2) suy ra C .A B FE 1     V  .V 1 ABC.    V    3k V    3k 3 A B C k ABC. A B C ABC. A B C  2 V  .V  1  3k
+) Đặt V V Khi đó  ABC.A BC   2 V
 V V V  .V 2 1  3k V 2 Mà 1  nên V 7 2 2 2 2 2 2 2 6 2 .V  (V  .V )   (1 ) 
  2k  6  k  3 3k 7 3k 3k 7 3k 7k 7 Câu 8.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của AD .
Gọi S là giao của SC với mặt phẳng chứa BM và song song với SA . Tính tỉ số thể
tích của hai khối chóp S .BCDM và S.ABCD . 2 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 4 Lời giải Chọn B S S' D A M G B C AG AM 1 Gọi G BM
AC . AM //BC AGM CGB     GC BC 2 (SAC) (S BM ) S G S C GC 2 S G//SA . (SAC) , SA SA//(S BM ) SC AC 3
d (S , ( ABCD) S C 2 Do đó: .
d (S, ( ABCD)) SC 3 1 1 1 1 Ta có S
d (M , AB).AB
. d (D, AB).AB S ABM ABCD 2 2 2 4 1 3 S S S S . BCDM ABCD ABCD ABCD 4 4 1 1 2 3 Do vậy: V
d (S ', ( ABCD).S
. d (S, ( ABCD)). S S .BCDM BCDM ABCD 3 3 3 4 1 1 1 V 1
. d (S, ( ABCD)).S V S ' BCDM . ABCD S . ABCD 2 3 2 V 2 SABCD Câu 9.
Cho khối chóp S.A A ...A ( với n  3 là số nguyên dương). Gọi B là trung điểm của 1 2 n j
đoạn thẳng SA j 1,n . Kí hiệu V ,V lần lượt là thể tích của hai khối chóp S.A A ...A j  1 2 1 2 n V
và S.B B ...B . Tính tỉ số 1 . 1 2 n V2 A. 2 . B. 4 . C. 8 . D. 2n . Lời giải Chọn C
Khối chóp S.A A ...A có diện tích mặt đáy A A ...A :  , độ dài đường cao h 1 2 n 1 2 n 1 1
Khối chóp S.B B ...B có diện tích mặt đáy B B ...B :  , độ dài đường cao h 1 2 n 1 2 n 2 2
Do mặt phẳng B B ...B //  A A ...A cắt khối chóp theo thiết diện B B ...B nên ta có 2 1 2 n  1 2 n  1 2 n
đáy là 2 đa giác đồng dạng : A A ...A & B B ...B . 1 2 n 1 2 n 1 1 1 1  h
A A .A A .sin B
A A .A A .sin B ... A A .A A .sin B 1 1 1 2 1 3  2  1 3 1 4  3 1 n 1  1 n  1 V h 1 3 2 2 2 1   . V 1 1 1 1 h 2  h
B B .B B .sin  B   B B .B B .sin B   ... B B .B B .sin B nn   2 2 2 1 2 1 3 2 1 3 1 4 3 1 1 1 1 3 2 2 2 .
2B B .2B B .sin B
 2B B .2B B .sin B ...2B B .2B B .sin B 2h 1  1 2 1 3  2  1 3 1 4  3 1 n 1  1 = n 2 .
B B .B B .sin B
B B .B B .sin B ...B B .B B .sin B h 1 2 2 3  2  2 3 3 4  3 n 1 1 2  1 2 =4.2  8.
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi V là thể tích của khối chóp
S.ABCD và M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SB, S ,
D AD . Thể tích của khối tứ
diện AMNP bằng 1 1 1 1 A. V B. V C. V D. V 32 8 4 16 Lời giải Chọn D Cách 1
d M ,SAD MI MS 1
Kẻ BH  SAD; MI  SAD có    .
d B,SAD BH BS 2 1 Ta có SS
(Vì P là trung điểm của AD ). ANP   2 AND 1 Mà SS
(Vì N là trung điểm của SD ). AND   2 ASD 1 Nên SS . ANP  4 ASD 1 1 1 Lại có VS  1 1 MI   S  1 1 BH   SBH VV M . ANP    3 ANP 3 ANP 2 8 3 ANP B.SAD S . 8 8 BAD 1 1 Mặt khác VVV . S .BAD S . 2 ABCD 2 1 1 1 Do đó V  . V V . . A MNP 8 2 16 Cách 2:
Do SA// NP SA// MNP  d  ,
A MNP  d S,MNP . Nên VV . A MNP S .MNP (1) V SM SN SP 1 1 1 1 Ta có S.MNP        VV (2) V SB SD SP 2 2 4 S .MNP S . 4 BDP S .BDP 1 1 1 1 Lại có SSSVVV (3) BDP  2 BDA 4 ABCD S .BDP S . 4 ABCD 4 1 1 1
Từ (1), (2), (3) có V   V V . . A MNP 4 4 16
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , tâm O . Hình chiếu
vuông góc của điểm S trên mặt phẳng  ABCD là trung điểm H của đoạn thẳng AO .
Biết mặt phẳng SCD tạo với mặt đáy  ABCD một góc 60 . Thể tích khối chóp S.ABCD bằng 9 3 3 3 3 3 A. 3 a . B. 3 a . C. 3 a . D. 3 a . 4 4 4 4 Lời giải Chọn B
Dựng HM CD tại M . CD HM Ta có 
CD  SHM   CD SM . CD SH
SCD  ABCD  CD  Khi đó 
SCD  SM CD
nên góc giữa SCD và  ABCD là góc SMH .   ABCD
  HM CD
Theo giả thiết ta có SMH  60 .
Mặt khác ta lại có CM
H đồng dạng với CDA nên HM CH 3 3 3 
  HM AD a . AD CA 4 4 4 3a 3 3
Xét SMH vuông tại H ta có SH HM .tan SMH  tan 60  a . 4 4 1 1 3 3 3
Thể tích khối chóp S.ABCD là 2 3 VSH.S  . a a a . S . ABCD 3 ABCD 3 4 4
Câu 12. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đáy ABCD là hình thoi cạnh a , D BA  60 và SA
vuông góc với mặt phẳng  ABCD . Góc giữa hai mặt phẳng SBD và  ABCD là 45 .
Gọi M là điểm đối xứng của C qua B và N là trung điểm SC . Mặt phẳng MND
chia khối chóp thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện có đỉnh S có thể tích là V1 V
, khối đa diện còn lại có thể tích V . Tính tỉ số 1 2 V2 V 12 V 5 V 1 V 7 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V 7 V 3 V 5 V 5 2 2 2 2 Lời giải Chọn D
Gọi O AC B ;
D F DM A ;
B K SB MN . Ta có: D BA
 60 nên tam giác ADB là tam giác đều . MK 2
K là trọng tâm SCM   . MN 3 V MK MF MB 2 1 1 1 1 Xét: M.KFB  . .  . .   V  .V . M .KFB M . V MN MD MC 3 2 2 6 6 NDC M .NDC 5  VV . KFBNDC M . 6 NDC Mà: V  2V
d M , NDC   2d  ,
B NDC) M .NDC B.NDC (vì   1 1 1 à: 2V  2. V
, vì d N,BDC   d S,BDC   V N .BCD S . 2 BCD 2 . 2 S ABCD 5 5  V VVV . 2 KFBNDC M .NDC S . 6 12 ABCD 7  V VVV V 1 SADFKN S . ABCD 1 S . 12 ABCD V 7 1   . V 5 2
Câu 13. Cho hình lăng trụ AB . C A BC
  có thể tích bằng 3
48cm . Gọi M , N, P theo thứ tự là trung
điểm các cạnh CC , BC  và B C
  . Tính thể tích của khối chóp A .MNP . 16 A. 3 8cm . B. 3 12cm . C. 3 24cm . D. 3 cm . 3 Lời giải Chọn B A' C'
Gọi V là thể tích lăng trụ AB . C A BC   . Ta có : P  1 SS B' MNP    4 BCC B Md
  A',(MNP)  d (A'),(BCC B  ) 1  V   V A MNP    (1) 4 A BCC B A C N B 1 2 Mặt khác : V         V V V V V A BCC B A ABC (2) 3 3 1 2 1 2 Từ (1) và (2) 3  V        V 48 8cm . A MNP 4 3 4 3
Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC
vu ng c n ở B, AC a 2, SA   ABC , SA  . a
Gọi G là trọng t m của SBC
, mp   đi qua AG
và song song với BC chia khối chóp
thành hai phần. Gọi V là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S . Tính V . 3 5a 3 2a 3 4a 3 4a A. . B. . C. . D. . 54 9 27 9 Lời giải. Chọn A
Trong mặt phẳng SBC , qua G kẻ đường thẳng song song với BC cắt SB, SC lần lượt
tại M , N . Suy ra BC// MAN  , AG  MAN  . Vì vậy MAN     .
Ta có tam giác ABC vuông cân tại B , AC a 2  AB BC a . 3 1 1 aVS . A .A . B BC  . SABC 3 2 6 SM SN SG 2
Gọi E là trung điểm của BC . Ta có MN //BC     . SB SC SE 3 V SM SN 2 2 4 V Khi đó: SAMN  .  .  5   . V SB SC 3 3 9 V 9 SABC SABC 3 3 5 5 a 5aV V  .  . 9 SABC 9 6 54 Cách tính khác:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB . Ta chứng minh được AH  SBC và
BMNC là hình thang vuông tại B, M . 1 1 3
1 a 2 1 a 2  2a  5a Khi đó V
 .AH. .BM. MN BC  . . . .  a  . ABMNC     3 2 3 2 2 3  3  54
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vu ng cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA a 2
. B ', D ' lần lượt là hình chiếu của A lên S ,
B SD . Mặt phẳng  AB ' D ' cắt SC tại C ' .
Thể tích khối chóp S.AB 'C ' D ' là 3 2a 3 3 2a 2 3 2a 3 3 a 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 9 9 Lời giải Chọn D 1 a 2 a 2
Ta có SA   ABCD 3 3  VS .SA   VV  . S . ABCD ABCD S .ABC S . 3 3 ACD 6 2
SB SD a 3 SA 2a Có SAB SAD  
SB '  SD '  
AB '  AD ' SB 3
Gọi O AC BD , H B ' D ' SO . Khi đó C '  AH SC . SB ' SD ' 2 SH 2 Ta có 
  B ' D ' BD
 suy ra H là trọng tâm của tam giác SAC SB SD 3 SO 3 SC ' 1   . SC 2 3 V SC ' SD ' 1 1 a 2
Ta có S.AC'D'  .  VV  .
S .AC ' D ' S . V SC SD 3 3 ACD 18 S .ACD 3 V SC ' SB ' 1 1 a 2
Ta có S.AB'C'  .  VV  .
S .AB 'C ' S . V SC SB 3 3 ABC 18 S .ABC 3 a 2 Vậy VVV  .
S . AB 'C ' D '
S. AB 'C '
S. AC ' D' 9
Câu 16. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A BC
 . Gọi M , N lần lượt thuộc các cạnh bên AA ,CC
sao cho MA MA ; NC  4NC . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Hỏi trong bốn khối tứ diện GA BC  , BB MN, ABB C   và A B
CN , khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất? A. Khối ABB C   . B. Khối A BCN . C. Khối BB MN . D. Khối GA BC   . Lờigiải Chọn B B' A' C' N M B A G C Ta có 1 V     V GA B C
ABCA' B 'C ' 3 1 1 2 1 V      V V . V V BB MN A' BB ' N
A' BCB 'C '
ABCA' B 'C '
ABCA' B 'C ' 2 2 3 3 1 1 2 1 V      V . V V ABB C ABCB 'C '
ABCA' B 'C '
ABCA' B 'C ' 2 2 3 3 2 2 2 4 VV  . VV A' BCN
A' BCB 'C '
ABCA' B 'C '
ABCA' B 'C ' 5 5 3 15
Do đó thể tích của khối A BCN nhỏ nhất.
Câu 17. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Mặt phẳng P qua A và vuông góc SC cắt SB ,
SC , SD lần lượt tại B , C , D . Biết C là trung điểm SC . Gọi V , V lần lượt là thể tích 1 2 V
hai khối chóp S.AB CD
  và S.ABCD . Tính tỉ số 1 . V2 V 2 V 2 V 4 V 1 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V 3 V 9 V 9 V 3 2 2 2 2 Lời giải Chọn D
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên hình chiếu của S lên mặt phẳng  ABCD
trùng với tâm H của hình vuông ABCD .
C là trung điểm của SC và H là trung điểm AC nên I AC  SH là trọng tâm SAC  2  SI SH 3 Ta có:
BD AC , BD SH BD  SAC  BD SC
BD// P (do P  SC )  BD//B D
  ( do PSBD  B D  ) Mặt khác:
PSBD  B D
 , I AC  P , I SH  SBD  I B D   Do đó: SBSDSI 2    SB SD SH 3 Ta có:
1 VS.ABCD V V      V   2 1 1 1 S . AB C D 2 S .AB C       . V V 1 V 3 2 3 2 S . ABCD S . ABC VS. 2 ABCD
Câu 18. Cho hình chóp đều S.ABC , có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của các cạnh SB, SC . Biết mặt phẳng  AMN  vuông góc với mặt phẳng
SBC. Tính thể tích V của khối chóp .ABCNM . 3 5a 3 2a 3 2a 3 5a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 32 16 48 96 Lời giải Chọn A
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, MN . Gọi H là trọng tâm ABC . Ta có : SBC
cân tại S SF MN .  SF MN
MN  SBC  AMN   SF   AMN  .   SBC    AMN  Ta có : AS
E có AF vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến  A
SE cân tại A . a 3
SA AE  . 2 a 15 2 a 3 2 2 SH SA AH  , S   . 6 ABC 4 2 3 1 3 3 1 a 15 a 3 a 5 VVVV  . . .  (đvtt). SAMN 4 SABC SAMNCB 4 SABC 4 3 6 4 32
Câu 19. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi E , F , G lần lượt là trung điểm của
BC, BD,CD ,và M , N, P,Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD, AC ,
D BCD . Tính thể tích của khối tứ diện MNPQ theo V . V V 2V V A. . B. . C. . D. . 9 3 9 27 Lời giải Chọn D 1
Do MNP // BCD nên: d Q,MNP  d E,MNP  d A,MNP ( Vì MA  2ME ). 2 1 Suy ra: VV . (1) QMNP 2 AMNP V AM AN AP 2 2 2 8
Mặt khác áp dụng công thức tỷ số thể tích ta có AMNP  . .  . .  . (2) V AE AF AG 3 3 3 27 AEFG V 1 Lại có: AEFG  . (3) V 4 ABCD 1 8 1 V V
Từ (1), (2), (3) ta có: V  . . .V  . Vậy V  . MNPQ 2 27 4 ABCD 27 MNPQ 27
Câu 20. Cho hình chóp tam giác S.ABC . Gọi M là trung điểm của SA , lấy điểm N trên cạnh SN 2 SB sao cho
 . Mặt phẳng   qua MN và song song với SC chia khối chóp SB 3
thành hai phần. Gọi V là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh A , V là thể tích của khối 1 2 V
đa diện còn lại. TÍnh tỉ số 1 . V2 V 7 V 7 V 7 V 7 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V 16 V 18 V 11 V 9 2 2 2 2 Lời giải Chọn C S M N Q A C P B I
Kẻ MQ//SC, NP//SC ta được MNPQ chính là mặt phẳng   .
Ba mặt phẳng  ,SAB, ABC giao nhau theo ba giao tuyến MN, AB, PQ đồng quy tại I. MS IA NB IA 1
Xét trong tam giác SAB có . .  1  1. .
 1 nên B là trung điểm của . IA MA IB NS IB 2
Các tam giác SAI, IAC lần lượt có các trọng tâm là N, . P
Gọi thể tích khối chóp IAMQ là V . V IB IN IP 1 2 2 2 V 7 7 Ta có: IBNP 1  . .  . .  
  V V   1 1 V IA IM IQ 2 3 3 9 V 9 9 IAMQ V AB AS AC 1 ABSC  . .  .2.2  2 V
 2V V V  2V 2 S . ABC 1 2 V AI AM AQ 2 AIMQ 7 11 Từ  
1 và 2 suy ra V  2V V V 2 9 9 V 7 Từ đó suy ra 1  . V 11 2
Câu 21. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Gọi M ,
N lần lượt là các điểm trên các cạnh SB , SD sao cho MS MB , ND  2NS . Mặt phẳng
CMN chia khối chóp đã cho thành hai phần, thể tích của phần có thể tích nhỏ hơn bằng 2 1 3 5 A. . B. . C. . D. . 25 12 25 48 Lời giải Chọn D
Nhắc lại: Công thức tính nhanh tỉ số thể tích khối chóp có đáy là hình bình hành +) Công thức 1: S M Q N P D A B C
Mặt phẳng   cắt các cạnh bên của hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tại
các điểm M , N, P, Q không trùng với S như hình vẽ SM SN SP SQ Đặt  ; xy;  z;  t . SA SB SC SD xyzt  1 1 1 1  1 1 1 1 Ta có V     V . và    . S .MNPQ   S. 4 ABCDx y z t x z y t SA SB SC SD
+) Công thức 2: Nếu  ; a  ; b  ; cd SM SN SP SQ V
a b c d
Ta có S.MNPQ
với a c b d V 4 . a . b . c d S .ABCD Áp dụng:
*) Cách 1:Áp dụng công thức 1 SC SM 1 SP SN 1 Ta có x   1; y   ; z  ; t   SC SB 2 SA SD 3 1 1 1 1 1 1 và 
   1  2  3  z  . x z y t z 4 xyzt  1 1 1 1  5 5 Khi đó V     VV  vì V 1 S.CMPN   S.ABCD S . 4  x y z t  48 ABCD 48 S.ABCD
*) Cách 2: Áp dụng c ng thức 2 SC SB SA SD Ta có a   1; b   2; c  ; d   3 SC SM SP SN
Có a c b d  1 c  2  3  c  4 V       S MNPQ a b c d 1 2 4 3 10 5 5 5 Khi đó .      VVV 4 . a . b . c d 4.1.2.4.3 96 48 S .MNPQ S . 48 ABCD 48 S .ABCD
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh ,
SA SD . Mặt phẳng   chứa MN và cắt các tia SB, SC
lần lượt tại P và SP Q . Đặt
x , V là thể tích của khối chóp S.MNQP SB 1
và V là thể tích khối chóp
S.ABCD . Tìm x để V  2V . 1 1 1   33 1   41 A. x  . B. x  . C. x  . D. x  2 . 2 4 4 Lời giải C ọ d S M N A D P Q B C
Ta chứng minh PQ / /BC . 
SBC SAD  d  
SBC  ABCD  BC
Giải s SBC SAD  d khi đó ta có:      
d //BC, d //AD. SAD ABCD AD  BC / / AD
M , N lần lượt là trung điểm các cạnh ,
SA SD nên ta có MN / / AD, MN / / d.
SBC SAD  d  
SBC    PQ Ta lại có:        PQ / / MN PQ / / BC. SADMN  d / /MN SP SQ SP
t tam giác SBC có PQ / / BC,    x = x. SB SC SB V V VV V V S.MNQP S .MNP S .NQP S .NQP
1 SM .SN.SP 1 SN.S . Q SP 1 S.MNP         V V V 2V 2V 2 S . A S . B SD 2 S . D SC.SB S.ABCD S .ABCD S .ABD S .DCB 2 1 1 1 1 1 x  2x
    x    xx   2 2 2 2 2 8  1   33 x  2 V 1 x  2x 1 4 Theo bài ra: 1 2 V  2V   
  2x x  4  0   1 V 2 8 2  1   33 x   4 SP 1   33 Mà
x x  0  x   SB 4 C
S dụng công thức tính nhanh tỉ lệ thể tích của khối chóp tứ giác như sau:
Cho chóp S.ABCD và mặt phẳng   cắt các cạnh S ,
A SB, SC, SD của khối chóp tại các SQ SP SM SN 1 điểm M , , P , Q N với  = x,    SC SB SA SD 2 1 1 . x x   2 V V    S MNPQ 1 1 x 2x Thì ta có: . 1 2 2     2  2     V V 4  x x  8 S . ABCD  1   33 x  2 V 1 x  2x 1 Theo bài ra: 1 2 4 V  2V   
  2x x  4  0   . 1 V 2 8 2  1   33 x   4 SP 1   33 Mà
x x  0  x SB 4
Câu 23. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A' B 'C ' . Gọi M , N, ,
P Q là các điểm lần lượt thuộc các AM 1 BN 1 CP 1 C 'Q 1
cạnh AA', BB ',CC ', B 'C ' thỏa mãn  ,  ,  ,
 . Gọi V ,V lần AA ' 2 BB ' 3 CC ' 4 B 'C ' 5 1 2 V
lượt là thể tích khối tứ diện MNPQ và khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' . Tính tỷ số 1 . 2 V V 11 V 11 V 19 V 22 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . 2 V 30 2 V 45 2 V 45 2 V 45 Lời giải Chọn B C' A' Q' B' b M P A C N a B
Đặt BC a,CC '  b 11ab
Diện tích tam giác NPQ ' là: S      NPQ '
SBCC 'B' SNB'Q' SPC'Q' SBCPN  30 M V .NPQ' 11 V 11 Suy ra:  . Tức là: 1  .
VA'.BCC'B' 30 V '. ' ' 30 A BCC B 1 2 Mặt khác: V       
A'.BCC ' B '
VA'.ABC VABC.A'B'C '
VA'.BCC 'B' 2 V 2 V
VA'.BCC 'B' 2 V 3 3 V 11 V 11 Do đó: 1 1    . 2 30 2 V 45 2 V 3
Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB , BC . Điểm K thuộc đoạn SA . Biết mặt phẳng MNK  chia khối 7
chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng lần phần còn lại. 13 KA Tính tỉ số t  . KS 1 3 1 2 A. t  . B. t  . C. t  . D. t  . 2 4 3 3 Lời giải Chọn D
Trong mặt phẳng  ABCD , kéo dài MN cắt DA , DC lần lượt tại F , E .
Trong mặt phẳng (SAD) , gọi FK SD Q . Trong mặt phẳng SCD , gọi QE SC P .
Suy ra thiết diện là ngũ giác MNPQK và MN // AC // PK .
Đặt h d S, ABCD KA KA t      t t
d K ,  ABCD  d P, ABCD  .h KS SA t 1 t  1 1 FD
Ta có: FA BN AD   3. 2 FA
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SAD , suy ra QS FD KA QS QS 1 QD 3t   t     
d Q ABCD 3t . . 1 .3. 1 ,  h QD FA KS QD QD 3t SD 3t 1 3t 1 1 1 9 Mặt khác: SSSSSSS FAM NCE BMN 4 ABC 8 ABCD DEF 8 ABCD
Suy ra thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S là 1  3t 9 t 1 t 1  V VVV  . h S  . S  . S QDEF KAMF PECN   3  3t 1 8 t 1 8 t 1 8  1  27t 2t   .     t
 t  . .hS 3 8 3 1 8 1 ABCD       27t 2t   V    V  83t  1 8t  1 ABCD      7
Phần thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S bằng
phần còn lại suy ra thể tích 13 13
của khối đa diện không chứa đỉnh S bằng
thể tích khối chóp S.ABCD 20 27t 2t 13 2     t  . 83t   1 8t   1 20 3
Câu 25. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, thể tích bằng 1. Gọi M là trung
điểm cạnh SA ; các điểm E, F lần lượt là điểm đối xứng của A qua B và D . Mặt
phẳng (MEF) cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại các điểm N, P . Thể tích của khối đa diện ABCDMNP bằng 2 1 3 1 A. B. C. D. 3 3 4 4 Lời giải Chọn A
Nối hai điểm M, E cắt SB tại N, nối hai điểm M, F cắt SD tại P Ta có SAE; S
AF lần lượt có N, P là trọng t m vì N, P tương ứng là giao điểm của hai đường
trung tuyến của các tam giác đó. SN SP 2 Vì vậy   . SB SD 3 Mặt khác vì CF B ,
D CE BD nên E, C, F thẳng hàng. Ta có: SM SN 1 2 1 1 V  . V  . . V  ; S ,MNC S . ABC S . SA SB 2 3 2 ABCD 6 SM SP 1 2 1 1 V  . .V  . . VS .MPC S . ADC S . SA SD 2 3 2 ABCD 6 1 1 1 Vì vậy VVV    S .MNCP S.MNC S. MPC 6 6 3 1 2 Từ đó, ta có VVV  1  . ABCD.MNP S . ABCD S .MNCP 3 3 Chọ đ p A.
Cách 2: Dùng công thức tính nhanh tỷ số thể tích SM 1 SN 2 SC SP 2 Đặt x   ; y   ; z   1;t   . SA 2 SB 3 SC SD 3 Thì ta có: 1  1 1 1 1 1 1 2 Vxyzt    V   VVV  1  . S .MNCP   S. 4 ABCDx y z t  3 ABCDMNP S . ABCD S .MNCP 3 3
Câu 26. Cho hình lập phương AB .
CD A ' B 'C ' D ' cạnh a . Gọi M , N lần lượt nằm trên các cạnh
A ' B ' và BC sao cho MA'  MB ' và NB  2NC . Mặt phẳng DMN  chia khối lập
phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi  V
là thể tích khối đa diện chứa đỉnh H   V H  , AV
là thể tích khối đa diện còn lại. Tỉ số bằng H '  V H ' 151 151 2348 209 A. . B. . C. . D. . 209 360 3277 360 Lời giải Chọn A
Trong  A' B 'C ' D' kẻ MF / /DN suy ra A  'MF ∽ C
DN g.g do đó A' F A ' M 1 a 5a
  A' F   D ' F  . CN CD 2 6 6
Trong BCC ' B ' kẻ NE / /DF suy ra BNE ∽ D
 'FD g.g do đó BE BN 4 4a a    BE   B ' E  . D ' D D ' F 5 5 5
Mặt phẳng DMN  cắt hình lập phương AB .
CD A ' B 'C ' D ' theo thiết diện là ngũ giác a a
DNEMF với EB '  và A' F  . 5 6
Ta có: V VVVV ' 
E.B ' C ' D ' FM E.D ' FD
E.DCC ' D ' E.NCD H 1  1 a a a 1 1 5a 1 1 1 a 4a 209 2 3 3  a  . .  . . a .a a  . . a .  a .   3  2 2 6  5 3 2 6 3 3 2 3 5 360 151 Khi đó: 3 3  Va Va . H  H ' 360  V H 151 Vậy  .  V 209 H '
Câu 27. Cho khối hộp chữ nhật AB . CD AB CD
  có thể tích bằng 2110 . Biết AM MA ,
DN  3ND , CP  2C P
 như hình vẽ. Mặt phẳng MNP chia khối hộp đã cho thành hai
khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng 5275 5275 7385 8440 A. . B. . C. . D. . 6 12 18 9 Lời giải Chọn A
Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng MNP với BB . AM C PD NB Q  Giả s  xyzt    . AA , CC
, DD , BB . Khi đó x y z t V   V   A BD  .MQN x z t     x z t A B D .MQN   . V    3 V     6 A B D .ABD A B C D .ABCD V   V   C BD  .PQN y z t     y z t C B D .PQN   . V    3 V     6 C B D .CBD A B C D .ABCD VMNPQ.A DCB   1 
 x y . V     2 ABCD.A D C B V       MNPQ.A DCB   1 A M C P   1 1 1 5        . V        2 AA CC  2  2 3  12 ABCD.A D C B 5 5275  V       .V . MNPQ. A D C B ABCD.     12 A D C B 6
Câu 28. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 1, đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD và
AD  3BC . Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm thuộc CD sao cho ND = 3NC.
Mặt phẳng (BMN) cắt SD tại P. Thể tích khối chóp AMBNP bằng: 3 5 5 9 A. 8 B. 12 C. 16 D. 32 Lời giải C ọ A
Gọi E là giao điểm của BN và AD. Đặt V V 1 AMBNP . DE ND Ta có: BC // AD nên 
 3  DE  3BC AD BC NCEP 2 EN 3
D là trung điểm của AE  P là trọng t m của tam giác SAE    EM 3 , EB 4 V ED EP EN E DNP 1 2 3 1 Ta có .  . .  . .  V EA EM EB 2 3 4 4 E.MAB 1 1 1 1 Mặt khác, Vd .S  . d .Sd .S E.NDP (P,(DEN )) DEN (S,(ABCD)) DNE (S,(ABCD)) 3 3 3 9 DNE 1 1 3 3 SS  .AD.d
AD. h AD.h AND DNE (N ,AD) 2 2 4 8
(h là đường cao của hình thang) 1 1 4 2 3 Ta lại có: S
 (AD BC).h  . AD.h AD.h AD.h S ABCD 2 2 3 3 2 ABCD 3 3 9  S  . SS AND
8 2 ABCD 16 ABCD 1 9 3 3  Vd . .S   V  ; E.NDP (S,( ABCD)) 9 16 ABCD 16 AENP 8 3 3 3 3 3 V  4.   V    E.ABM A. 16 4 BMPC 4 8 8
Câu 29. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang với hai đáy là AB và CD , AB  2CD .
Gọi E là một điểm trên cạnh SC . Mặt phẳng  ABE chia khối chóp S.ABCD thành hai SE
khối đa diện có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số . SC 10  2 26  4 A. . B. 6  2 . C. 2 1. D. . 2 2 Lời giải ChọnA
 ABE SDC  Ex Ta có:   Ex DC AB . AB DC SE SF SE
Gọi F Ex SD ,
x,0  x   1    x . SC SD SC
Do ABCD là hình thang (đáy AB và CD ) có AB  2CD nên 1 2 S  2SSS ; SS . . ACB ADC ADC  3 ABCD ACB 3 ABCD Ta có: V S 1 1 S .ACD ACD    VV (1) S .ACD S . V S 3 3 ABCD S . ABCD ABCD V S 2 2 S . ABC ABC    VV (2). S . ABC S . V S 3 3 ABCD S . ABCD ABCD V SE SF 1 Lại có: S.AEF 2 2 2  .  x Vx .Vx .V (theo (1)) S .AEF S .ACD S . V SC SD 3 ABCD S . ACD V SE 2 S . ABE   x V  . x V  . x V (theo (2)). S . ABE S . ABC S . V SC 3 ABCD S . ABC
Theo bài ra mặt phẳng  ABE chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện có thể 1
tích bằng nhau nên VV S . ABEF 2 SABCD 1  1 2  1 1 2 1 2 2  VVVx x .VV
x x   0 S . AEF S . ABE S .ABCD   S.ABCD S . 2  3 3  2 ABCD 3 3 2  2   10 x  2   2   10
. Do 0  x  1  x  .  2   10 2 x   2
Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , SA vuông góc với
mặt đáy  ABC, BC a , góc hợp bởi SBC và  ABC là 60 . Mặt phẳng P qua A
vuông góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại D, E . Thể tích khối đa diện ABCED là 3 3 3a 3 3a 3 11 3a 3 3 3a A. . B. . C. . D. . 40 6 120 60 Lời giải Chọn C BC BA Ta có 
BC  SBA  BC SB . Do đó góc SBA
là góc giữa SBC và BC SAABC. Từ đó suy ra S
BA  60 . Tam giác SBA vuông có SA AB tan60  a 3  AD BC
Ta có BC  SAB  BC AD;   AD SB . AD SC 2 2 4 V SA SD SE S . D SB SE.SC SA SA 9a 9 S. ADE  . .  .  .   . 2 2 2 2 2 2 V SA SB SC SB SC SB SC 4a .5a 20 S. ABC 2 3 1 1 a 3a VS . A S  3 . a  . S . ABC 3 ABC 3 2 6 3 11 11 3a Vậy V  .V  . ABCED S . 20 ABC 120
Câu 31. Cho khối hộp chữ nhật AB . CD AB CD
  có thể tích bằng 2019. Thể tích phần chung của hai khối AB CD   và ABC D  bằng 673 673 673 A. . B. 673 . C. . D. . 4 3 2 Lời giải Chọn D
Gọi E , F , G , H , I , J lần lượt là tâm của các hình chữ nhật ABCD , A BCD
  , ADD ' A', BCC B  , CDD C   , ABB A   .
Khi đó thể tích khối đa diện IGFJEH là thể tích chung của hai khối AB C
D và ABC D  . 1 Ta có: V          V     673 và V V   V V V V . A BC D ABCD.  3 A B C D IGFJEH A BC D B.JEH D.IGE A .GFJ C .IFH V BJ BE BH 1 1
Ta lại có: B.JEH  . .   VV   . V   B.JEH A BC D   BA BD BC 8 8 B. A DC 1
Tương tự ta cũng chứng minh được VV    V V . D.IGE A .GFJ C .IFH A '  8 BC D 1 673 Suy ra VV  . IGFJEH   2 A BC D 2
Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA   ABCD . Trên đường 1
thẳng vuông góc với  ABCD tại D lấy điểm S thỏa mãn S D
  SA và S , S ở cùng 2
phía đối với mặt phẳng  ABCD . Gọi 1
V là phần thể tích chung của hai khối chóp V
S.ABCD và S .ABCD . Gọi 2
V là thể tích khối chóp S.ABCD . Tỉ số 1 bằng 2 V 4 7 7 1 A. . B. . C. . D. . 9 9 18 3 Lời giải Chọn C 1 1 1 Ta có     2 V . SA S ABCD , S V . S . ABCD D S ABCD 2 V . 3 3 2 Gọi H S A
  SD , L S B
 SCD khi đó thể tích chung của hai khối chóp S.ABCD và
S .ABCD là thể tích khối HLCDAB . Do AB / /CD nên giao tuyến HL của hai mặt
S AB và SCD phải song song với AB .    1 V H V LCDAB S V .ABCD S V .HLCD . S HS D  1 S H  1     HA SA 2 S A  3   S V . S H.S L 1 1 1 1 1 HLD   .     S V .HLD S V .ABD S V .ABCD S V . S . A SB 3 3 9 9 18 ABDS V . S L 1 1 1 LCD      S V .LCD S V .BCD S V .ABCDS V . S B 3 3 6 BCD 1 1 2      S V .HLCD S V .HLD S V .LCD S V .ABCD S V .ABCD S V .ABCD 18 6 9 7 7      1 V S V .ABCD S V .HLCD S V .ABCD 2 V 9 18 V 7 Vậy 1  2 V 18
Câu 33. Cho khối hộp AB . CD A BCD
  , điểm M nằm trên cạnh CC thỏa mãn CC  3CM . Mặt phẳng  AB M
  chia khối hộp thành hai khối đa diện. Gọi V là thể tích khối đa diện 1
chứa đỉnh A , V là thể tích khối đa diện chứa đỉnh B . Tính tỉ số thể tích V và V . 2 1 2 41 27 7 9 A. . B. . C. . D. . 13 7 20 4 Lời giải Chọn A
Gọi N   AB M
 CD   AB M  CDD C    MN . CN CM 1 Vì AB//C D   MN //C D     CD CC . 3 Đặt Sd ABB A   , CDD C         S ,     h, V     V . Suy ra: V hS . ABB A ABCD.A B C D 2 1  1  1 Lại có: S  1    1   S S , S S   S S . ABB      2 ABB A 2 CMN  3 CDC  18 CDD C 18 1 Ta có: V V
d CMN ,BAB.SS .S   S   2 CMN .BAB 3 CMN CMN BAB BAB 1  1 1 1 1   13 13 41 V 41 h S S. S S     hS
V V V V V .Vậy 1  . 3 18 18 2 2   54 54 1 2 54 V 13 2
Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên đường thẳng qua D và
song song với SA lấy điểm S thỏa mãn S D
  kSA với k  0 . Gọi 1
V là phần thể tích
chung của hai khối chóp S.ABCD và S .ABCD . Gọi 2
V là thể tích khối chóp S.ABCD . Tỉ V số 1 bằng 2 V 2 2k k 3k  2 2 3k  2k k A. . B. . C. . D. . 2 2 k  2 1 2 k  2 1 2 k   1 k  1 Lời giải Chọn C S S' H L A D B C V S ' D
Ta có S .ABCD   k . 2 V SA Gọi H S A
  SD , L S B
 SCD khi đó thể tích chung của hai khối chóp S.ABCD và
S .ABCD là thể tích khối HLCDAB . Do AB / /CD nên giao tuyến HL của hai mặt
S AB và SCD phải song song với AB .    1 V H V LCDAB S V .ABCD S V .HLCD . S HS DS Hk S Lk   k     HA SA S Ak 1 S Bk 1 2 2 2   S V . S H. HLD S L k k k      S V HLD S V ABD S V ABCD V S . S ABD A SBk   . 1 k   . 1 2 k   . 2 2 2 . 1  S V .LCD S L k k k      S V .LCD S V .BCD V V      BCD S B k k
k S .ABCD S . 1 1 2 1 2 2 k k 2k k      S V .HLCD S V .HLD S V .LCD V V V   S .ABCD S ABCD SABCD 2k k    . 1 2 1 2k   . 2 2 1 2 3k  2 3k  2k      1 V S V .ABCD S V .HLCD S V ABCD V 2k   . 1 2 k   2 2 2 1 2 V 3k  2k Vậy 1  . V 2 k  2 2 1
Câu 35. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , biết góc tạo bởi
SG và SBC bằng 30 . Mặt phẳng chứa BC và vuông góc với SA chia khối chóp đã V
cho thành hai phần có thể tích V , V trong đó V là phần thể tích chứa điểm S . Tỉ số 1 1 2 1 V2 bằng 1 6 A. 6 . B. . C. . D. 7 . 6 7 Lời giải Chọn B
Gọi M là trung điểm BC , F SA   , trong đó   là mặt phẳng chứa BC và vuông
góc SA , H là hình chiếu của G lên SM . Ta có: SA    , FM    nên SA FM .
Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SG là đường cao hình chóp ứng với đáy
ABC và ABC là tam giác đều. Ta có:
AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao trong tam giác đều nên AM BC .
SG   ABCBC   ABC ,
nên SG BC .
AM SG G và AM, SG  SAM  .
Suy ra BC  SAM   BC GH (vì GH  SAM  ). GH SMGH BC  Do đó: 
GH  SBC .
SM BC M  SM , BC   SBC SG   SBC  S Ta lại có: 
là hình chiếu vuông góc của SG lên SBC .       SH SH SBC
 SG,SBC  SG,SH  GSH  30.
Giả s cạnh của tam giác đều ABC là a . a 3 a
Xét tam giác SGM vuông tại G , ta có: SG GM cot 30  . 3  . 6 2 2 2 a a a 21
Xét tam giác SAG vuông tại G , ta có: 2 2 SA AG SG    . 3 4 6 a a 3 . SG.AM 3a 7
Trong tam giác SAM , ta có: 2 2 MF    . SA a 21 14 6 2 2
a 3   3a 7  a 21
Xét tam giác AFM vuông tại F , ta có: 2 2 FA
AM FM            2 14 7     . a 21 SF FA 6 1 Suy ra 7  1  1  1  . SA SA a 21 7 7 6 V SF 1 1 Mà S.FBC    V VV 1 S .FBC S . V SA 7 7 ABC S . ABC 6  V V (vì VVVV V ). 2 . 7 S ABC S. ABC S.FBC FABC 1 2 V 1 Do đó 1  . V 6 2
Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trong không gian lấy điểm
S thỏa mãn SS '  2BC . Gọi 1
V là phần thể tích chung của hai khối chóp S.ABCD và V
S .ABCD . Gọi 2
V là thể tích khối chóp S.ABCD . Tỉ số 1 bằng 2 V 1 5 1 4 A. . B. . C. . D. . 9 9 2 9 Lời giải Chọn D S S' H A D L B C Ta có S V .  ABCD 2 V . Gọi H S A
  SD , L S B
  SC khi đó thể tích chung của hai khối chóp S.ABCD và
S .ABCD là thể tích khối HLCDAB . Do AB // CD nên giao tuyến HL của hai mặt
S AB và SCD phải song song với AB .    1 V H V LCDAB S V .ABCD S V .HLCD . S HSS ' S H  2 S L  2   2     HA AD S A  3 S B  3   S V . S H.S L 4 4 2 HLD      S V .HLD S V .ABD S V .ABCD S V . S . A SB 9 9 9 ABDS V . S L 2 2 1 LCD      S V .LCD S V .BCD S V .ABCDS V . S B 3 3 3 BCD 2 1 5      S V .HLCD S V .HLD S V .LCD S V .ABCD S V .ABCD S V .ABCD 9 3 9 4 4      1 V S V .ABCD S V .HLCD S V .ABCD 2 V 9 9 V 4 Vậy 1  2 V 9
Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trong không gian lấy điểm
S thỏa mãn SS  k BC với k  0 .Gọi 1
V là phần thể tích chung của hai khối chóp V
S.ABCD và S .ABCD . Gọi 2
V là thể tích khối chóp S.ABCD . Tỉ số 1 bằng 2 V 2 2k k 3k  2 2 3k  2k k A. . B. . C. . D. . 2 2 k  2 1 2 k  2 1 2 k   1 k  1 Lời giải Chọn B S S' H L A D B C Ta có S V .  ABCD 2 V . Gọi H S A
  SD , L S B
  SC khi đó thể tích chung của hai khối chóp S.ABCD và
S .ABCD là thể tích khối HLCDAB . Do AB // CD nên giao tuyến HL của hai mặt
S AB và SCD phải song song với AB .    1 V H V LCDAB S V .ABCD S V .HLCD . S HSSS Hk S Lk   k     HA AD S Ak 1 S Bk 1 2 2 2   S V . S H. HLD S L k k k      S V HLD S V ABD S V ABCD V S . S ABD A SBk   . 1 k   . 1 2 k   . 2 2 2 . 1  S V .LCD S L k k k      S V .LCD S V .BCD V V      BCD S B k k
k S .ABCD S . 1 1 2 1 2 2 k k 2k k      S V .HLCD S V .HLD S V .LCD V V V   S .ABCD S ABCD SABCD 2k k    . 1 2 1 2k   . 2 2 1 3k  2 3k  2      1 V S V .ABCD S V .HLCD S V ABCD V 2 k   . 1 2 k   2 2 2 1 V 3k  2 Vậy 1  . V 2 k  2 2 1
Câu 38. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên tạo với đường cao một góc 0 30 , O là
trọng tâm tam giác ABC . Một hình chóp tam giác đều thứ hai . O A BC
  có S là tâm của
tam giác AB C
  và cạnh bên của hình chóp . O A BC
  tạo với đường cao một góc 0 60
(hai hình chóp có chung chiều cao) sao cho mỗi cạnh bên SA , SB , SC lần lượt cắt các
cạnh bên OA , OB , OC . Gọi 1
V là phần thể tích chung của hai khối chóp S.ABC và V . O A BC   . Gọi 2
V là thể tích khối chóp S.ABC . Tỉ số 1 bằng 2 V 9 1 27 9 A. . B. . C. . D. . 16 4 64 64 A' C' S B' A C O B Lời giải Chọn A A' C' S B' M P I N A C O B
Gọi M , N, P lần lượt là giao điểm của mỗi cạnh bên SA , SB , SC tương ứng với các
cạnh bên OA , OB , OC . Phần chung của hai khối chóp S.ABC và . O A BC   là khối đa diện SMNPO .
Từ giả thiết ta có  ABC //  A BC
 mà ta có MN // AB // A B
  , NP // AC // A C   do đó
ABC // MNP, A BC
  // MNPvà MNP đều. MI MI MI
Xét các tam giác vuông SMI và OMI ta có SI
MI 3 , OI   suy 0 tan 30 0 tan 60 3 SI SI MN 3 OI MN 1 ra  3 suy ra   ,   . OI SO AB 4 OS A ' B ' 4 ABV    Suy ra  3 hay . O A B C 2  3  9 V  .    9 O A B C 2 V AB 2 V 3 3 VSI   3  27
Do đó S.MNP        2 VSO   4  64 3 3     O V . OI 1 1 MNP O V . 9 MNP          V .     OS   4  64 O A B C 2 V 64 V VV 27 9 9 Từ đó 1 OMNP SMNP     . 2 V 2 V 64 64 16
Câu 39. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC , O là trọng tâm tam giác ABC . Một hình chóp tam giác đều thứ hai . O A BC
  có S là tâm của tam giác AB C
  và cạnh bên của hình chóp . O A BC   và A B
   kAB (hai hình chóp có chung chiều cao) sao cho mỗi cạnh bên SA ,
SB , SC lần lượt cắt các cạnh bên OA , OB , OC . Gọi 1
V là phần thể tích chung của hai V
khối chóp S.ABC và . O A BC   . Gọi 2
V là thể tích khối chóp S.ABC . Tỉ số 1 bằng 2 V 3 2 k k 3 k 1 k A. . B. . C. . D. . 3 (k 1) 3 (k 1) k  1 k  1 A' C' S B' A C O B Lời giải Chọn A A' C' S B' M P I N A C O B
Gọi M , N, P lần lượt là giao điểm của mỗi cạnh bên SA , SB , SC tương ứng với các
cạnh bên OA , OB , OC . Phần chung của hai khối chóp S.ABC và . O A BC   là khối đa diện SMNPO .
Từ giả thiết ta có  ABC //  A BC
  và MN // AB // A B
  , NP // AC // A C   do đó
ABC // MNP, A BC
  // MNPvà  MNP đều. ABV    Suy ra  k hay . O A B C 2  k . AB 2 V SI MN OS ABSI ABOI 1 SI k Ta có  ,  suy ra   k từ đó  ,  . SO AB OI MN OI AB SO k 1 SO k 1 3 3 3 VSI   k k
Do đó S.MNP        3     2 V SO k 1  (k 1) 3 3 2 V     . OI 1 O MNP O V .MNP k         3 V     .    OS k 1 O A B C  2 V (k 1) 3 2 V VV k k Từ đó 1 OMNP SMNP   . 3 2 V 2 V (k 1)
Câu 40. Cho hình hộp AB . CD A B C D . Gọi 1
V là phần thể tích chung của hai khối của hai khối V
tứ diện A BC D và AB CD . Gọi 2
V là thể tích khối hộp AB .
CD A B C D . Tỉ số 1 bằng 2 V 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 6 3 4 A D B C A' D' B' C' Lời giải Chọn B A Q' D M' O P' N' B Q C P M A' D' N O' B' C'
Gọi O , O , M , N, ,
P Q lần lượt là tâm của các hình chữ nhật ABCD , A BCD
  , AB BA  , BB CC  , CC DD  , AAD D  .
Ta có phần chung của hai khối tứ diện A BC D và AB CD là bát diện OMNPQO .
Gọi M , N , P ,Q lần lượt là trung điểm của A , B BC,C , D DA . Ta có S     MNPQ SM NPQ   SABCB SAM Q   SBM N   CN S P   SDP Q     SABCB SABCB SABCB 1 S  4. . ABCB SABCB 1 8   S 2 ABCB A Q' D M' P' B N' C 1
Ngoài ra, chiều cao của khối chóp V . O MNPQ bằng chiều cao của khối hộp 2 AB . CD A B C D . V 2 O V MNPQ 1 1 1 1 Suy ra . 1   2. . .  . 2 V 2 V 2 3 2 6
Câu 41. Cho lăng trụ ABC.A BC
 , trên các cạnh AA , BB lấy các điểm M , N sao cho AA  3A M
 , BB  3B N
 . Mặt phẳng C M
N  chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần.
Gọi V là thể tích của khối chóp C .AB NM
, V là thể tích của khối đa diện ABCMNC . 1 2 V Tỉ số 1 bằng: V2 V 4 V 2 V 1 V 3 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V 7 V 7 V 7 V 7 2 2 2 2 Lời giải Chọn B Đặt V V
. Lấy điểm E trên CC ' sao cho CC  3C E  .
ABC.AB C   A MB NC E  1 Suy ra   
MNE // ABC . A AB BC C      3 1 Ta có: V   V C .MNE A BC  .
(chóp và lăng trụ có chung đáy và đường cao) 3 MNE 2  V V . 1   . 3 A B C MNE 1
Mặt khác: V   
V (hai lăng trụ có chung đáy và tỉ lệ đường cao bằng A B C .MNE 3
d M , AB C   MA 1   ) . d  , A A BC   AA 3 2 1 2 2 7 V 2
Suy ra V  . V V V V V V 1   . 1 3 3 9 2 9 9 V 7 2
Câu 42. Cho lăng trụ ABC.A BC
 , trên các cạnh AA , BB lấy các điểm M , N sao cho
AA  k.A M
, BB  k.B N  k  
1 . Mặt phẳng C M
N  chia khối lăng trụ đã cho thành
hai phần. Gọi V là thể tích của khối chóp C .AB M
N , V là thể tích của khối đa diện 1 2 V
ABCMNC . Tỉ số 1 bằng: V2 V 4 V 2 V 1 V 3 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V 3k  2 V 3k  2 V 3k  2 V 3k  2 2 2 2 2 Lời giải Chọn B Đặt V V
. Lấy điểm E trên CC sao cho CC  k.C E  .
ABC.AB C   AM B NC E  1 Suy ra   
MNE // ABC . AA B BC C      k 1 Ta có: V   V C .MNE A BC  .
(chóp và lăng trụ có chung đáy, đường cao) 3 MNE 2  V V 1   . . 3 A B C MNE 1
Mặt khác: V     V A B C .MNE
(hai lăng trụ có chung đáy và tỉ lệ đường cao bằng k
d M , A BC   MA 1   ). d  ,
A AB C   AAk 2 1 2 2 3k  2 V 2
Suy ra V  . V
V V V V V 1   1 . 3 k 3k 2 3k 3k V 3k  2 2
Câu 43. Cho một miếng tôn hình tròn tâm O , bán kính R . Cắt bỏ một phần miếng tôn theo
một hình quạt OAB và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh O kh ng có đáy (OA
trùng với OB) . Gọi S và S lần lượt là diện tích của miếng t n hình tròn ban đầu và S
diện tích của miếng tôn còn lại. Tìm tỉ số
để thể tích của khối nón đạt giá trị lớn S nhất. 2 1 1 6 A. . B. . C. . D. . 3 4 3 3 Lời giải Chọn D
Ta có, diện tích của miếng t n ban đầu là 2 S   R .
Gọi góc ở tâm của mảnh tôn còn lại là 0   0 0 0 0    360  .  
Diện tích phần tôn còn lại là: 2 S  . R . 360 S  Vậy  . S 360  
Mặt khác, x t hình nón đỉnh O có chu vi đáy là C  .2 R  . R . 360 180   R
Bán kính đáy của hình nón đỉnh O là R  và chiều cao 2 2
OH OA AH 360 2   R R 2 2  R R 2 2 2  R   . 360     .  360  360 2  1 1  R R
Thể tích của khối nón đỉnh O là 2 2 2
V  . R .OH  . . . . 360    3 3  360  360 3  R 2 2 2  . . 360   . 3 3.360
Xét hàm số f   2 2 2
  . 360  với 0    360 .    2 2 2.360  3  Ta có f   3 2 2  2. 360    . 2 2 360  2 2 360      f   0  0  
  120 6 Do 0    360.    12  0 6 Bảng biến thiên: S 6
Vậy max f    f 120 6  V max khi và chỉ khi  120 6    . 0;360 S 3
Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của , SA SC . V
Mặt phẳng (BMN) cắt SD tại P . Tỉ số S.BMPN bằng: VS.ABCD V 1 V 1 V 1 V 1
A. S.BMPN  .
B. S.BMPN  .
C. S.BMPN  .
D. S.BMPN  . V 16 V 6 V 12 V 8 S .ABCD S .ABCD S .ABCD S .ABCD Lời giải Chọn B SM SN 1
Ta có M , N là trung điểm của , SA SC nên   . SA SC 2
Cách 1: Áp dụng định lý Menelaus cho SOD ta có : PS BD IO PS PS 1 SP 1    1  21  1    . PD BO IS PD PD 2 SD 3
Cách 2: Kẻ OH // BP , ta có O là trung điểm của BD nên H là trung điểm của PD .
Ta có OH // IP mà I là trung điểm của SO nên P là trung điểm của SH . SP
Suy ra SP PH  1 HD   . SD 3 V 2V SM SP 1 1 1
Theo công thức tỉ số thể tích ta có : S.BMPN S .BMP       . V 2V SA SD 2 3 6 S .ABCD S .BAD
Câu 45. Cho hình lăng trụ AB .
C A' B 'C ' có thể tích bằng V. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
A' B ', AC và P là điểm thuộc cạnh CC ' sao cho CP  2C ' P . Tính thể tích khối tứ diện BMNP theo V. 2V V 5V 4V A. . B. . C. . D. . 9 3 24 9 Lời giải Chọn A
Gọi B là diện tích tam giác ABC , h là độ dại đường cao của hình lăng trụ, suy ra V  .
B h . Gọi Q là trung điểm AB , G là trọng tâm tam giác ABC . Gọi V là thể tích 1
khối chóp BMNP , V là thể tích khối chóp MBNE với E QC MP . 2 PE CE PC 2 PC PC 2 Ta có  
 do PC // MQ và PC  2PC nên   ME QF MQ 3 MQ CC . 3 V MP 1 1 Ta có 1 
  V V . 1 2 V ME 3 3 2 2 8
Do GC QC,CE  2QC GE GC CE QC . 3 3 1
Ta lại có V S
.h . Ta tính diện tích tam giác BNE theo diện tích tam giác ABC ta 2 3 BNE 8 8 có SSSSSS . BNE BGE NGENQC BQC  3 3 QBNC S 8 AQN AQ AN 1 3 Mà  .   SS do đó SS  2B . BNE QBNC S AB AC 4 QBCN 4 ABC 3 ABC 1 1 2V 1 2V Nên V S .h  .2 . B h   V V  . 2 3 BNE 3 3 1 2 3 9
Câu 46. Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG cắt các cạnh V
SB, SC lần lượt tại M , N . Giá trị nhỏ nhất của tỉ số S.AMN là? VS.ABC 4 3 1 1 A. . B. . C. . D. . 9 8 3 2 Lời giải Chọn A
Gọi E, F,G lần lượt là trung điểm BC, S ,
A EF suy ra G là trọng tâm tứ diện SABC .
Điểm I là giao điểm của AG và SE . Qua I dựng đường thẳng cắt các cạnh SB, SC lần
lượt tại M , N . Suy ra  AMN  là mặt phẳng quay quanh AG thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Kẻ GK // SE,K SA suy ra K là trung điểm FS . KG AK 3    KG 1 SI 2 . Mà    . SI AS 4 SE 2 SE 3 Cách 1:
Kẻ BP // MN,CQ // MN ;  ,
P Q SE . SM SI SN SI Ta có:  ;  . SB SP SC SQ
 BEP  CEQ E là trung điểm PQ SP SQ  2SE (đúng cả trong trường hợp
P Q E ). 2 2 2 AM GM V SA SM SN SI SI SI SI SI S AMN   4 Ta có: .  . . 1. .     . V SA SB SC SP SQ SP SQ SE SE S ABC      2 2   9 . 4
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi SP SQ SE . Hay P Q E MN // BC . 4
Vậy tỉ số nhỏ nhất là . Chọn A 9 Cách 2: SB SC Ta chứng minh được   3. SM SN
Thật vậy, qua I kẻ các đường thẳng lần lượt song song SB, SC cắt SC, SB tương ứng tại D, L . SB DB    3 IQ DISB IQ NI SB 3NI Ta có:   .  3.   ,   1 . IQ NI   IQ SM NM SM NMSM NMSC LC    3 IP LISC IP MI SC 3MI Lại có:   .  3.   , 2 . IP MI   IP SN MN SN MN SN MN  SB SCNI MI  Từ   1 và 2 ta có:   3   3   . SM SNNM MN SB SC Đặt x  ; y
. Suy ra x y  3 . SM SN V SA SM SN 1 AM GM 1 4
Ta có: S.AMN  . .    . V SA SB SC xy S ABCx y2 9 . 4 3
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x y   MN // BC . 2 4
Vậy tỉ số nhỏ nhất là . Chọn A 9
Câu 47. Cho khối lăng trụ ABC.A BC
 có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
các đoạn thẳng AC và B C
 . Gọi (P) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng ( A N
C) . Mặt phẳng (P) chia khối lăng trụ ABC.A BC
  thành hai khối đa diện, gọi (H) là
khối đa diện chứa đỉnh A. Thể tích của khối đa diện (H) bằng 3 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 5 3 5 2 Lời giải Chọn D K A' G B' F N C' I A B M E C J
Gọi khối lăng trụ ABC.A BC
 có thể tích bằng V
- Mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng (A N
C) nên mặt phẳng (P) cắt các mặt phẳng
( ABC), ( A' B 'C ') lần lượt theo các giao tuyến ME,GF (
(E BC,G A' B ', F B 'C ') cùng song song AN
- Mặt phẳng (P) cắt các mặt phẳng (AA'C 'C), (BB 'C 'C) lần lượt theo các giao tuyến MI
(I AA') song song A'C , EF song song CN. Ba đường thẳng MI, FG, A'C ' đồng quy
tại K , ba đường thẳng MI, EF,CC ' đồng quy tại J.
- Mặt phẳng (P) chia khối lăng trụ ABC.A BC
  thành hai khối đa diện, gọi (T) là khối đa
diện không chứa đỉnh A. Thể tích của khối đa diện (T) bằng V VVV 1 J .C ' FK J .CEM I . A'GK 1 1 1 9 1 1 1  S .JC ' S .JC S .IA'  V V V V C  'FK CEM A  ' 3 3 3 GK 16 48 24 2
Câu 48. Cho hình lập phương AB . CD
A BCD cạnh 2a . Gọi M là trung điểm của BB và P 1
thuộc cạnh DD sao cho DP
DD . Biết mặt phẳng  AMP cắt CC tại N , thể tích 4
của khối đa diện AMNPBCD bằng 3 11a 3 A. 3 9a 2a . B. 3 3a . C. . D. . 3 4 Lời giải Chọn B A D O P B C K M A' D' N O' B' C'
Gọi O , O lần lượt là t m hai hình vu ng ABCD và 
A BCD .
Trong mặt phẳng BD D
B  : gọi K OO  MP .
Trong mặt phẳng  ACC 
A  : gọi N AK CC . Khi đó N CC  AMP . 1 1  a  3a 3
Ta có OK   DP BM   a     . Do đó  2  a CN OK . 2 2  2  4 2 1 2 1  3a  5a
Diện tích hình thang $BMNC$ là: S
 BM CN BC a  .2a  . BMNC .   2 2  2  2 1 2 3 1 5a 5a Thể tích khối chóp . A BMNC là: V  .S .AB  . .2a  . . A BMNC 3 BMNC 3 2 3 1 1  a 3a
Diện tích hình thang DPNC là: S
 DP CN CD 2   .2a  2a . DPNC .   2 2  2 2  1 3 1 4 Thể tích khối chóp . A DPNC là: V  .S .AD 2  .2 .2  a a a . . A DPNC 3 DPNC 3 3 3 3 5a 4a
Thể tích khối đa diện AMNPBCD bằng: V VV 3    3a . . A BMNC . A DPNC 3 3
C ú ý: Cô g t ứ tí a
Cho mặt phẳng   cắt các cạnh AA ,BB , CC , DD lần lượt tại M ,N,P,Q . Khi đó, ta VABCD MNPQ 1  AM BN CP DQ  1  AM CP  có .           V AA BB CC DD AA CC ABCD A B C D              4 2  . AM CP BN DQ và     . AA CCBBDDÁp dụ g A D P B C M A' D' N B' C' V 1 BM DP 1  1 1  3 ABCDMNP   Áp dụng, ta có          V BB DD 2  2 4  8 ABCD A B C D        2  . AA CN BM DP và     AA CCBBDD
Thể tích khối lập phương AB . CD
A BCD là V   a3 3 2  8a . Suy ra 3 V  3a . ABCDMNP
Câu 49. Cho hình hộp AB .
CD A ' B 'C ' D ' có thể tích bằng V . Gọi M, N, , P ,
Q E, F lần lượt là tâm
các hình bình hành ABC ,
D A' B 'C ' D ', ABB ' A', BCC ' B ',CDD 'C ', DAA' D '. Thể tích khối
đa diện có các đỉnh M , , P ,
Q E, F, N bằng V V V V A. . B. . C. . D. . 4 2 6 3 Lời giải Chọn C
Gọi h là chiều cao của hình hộp AB .
CD A ' B 'C ' D '  V  . h S . ABCD
Thấy hình đa diện MPQEFN là một bát diện nên 1 1 1 V  2.V  2. . . . h S  . . h S . MPQEFN N .PQEF 3 2 PQEF 3 PQEF 1 1
Lại có: PQEF là hình bình hành và có PQ EF
AC; QE PF BD nên 2 2 1 1 1 1 1 V SS . Do đó: V  . h S  . . h .S  . . h S  . PQEF 2 ABCD MPQEFN 3 PQEF 3 2 ABCD 6 ABCD 6
Câu 50. Cho lăng trụ AB . CD AB CD
  có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  6 , AD  3 ,
AC  3 và mặt phẳng  AA CC
  vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng  AA CC   và  3 AA BB
  tạo với nhau góc  , thỏa mãn tan  . Thể tích khối lăng trụ 4 AB . CD AB CD   bằng A. V  10 .
B. V  8 .
C. V  12 . D. V  6 . Lời giải Chọn B B' C' D' A' M F G C B A E D
Gọi M là trung điểm của AA . Ta có 2 2 AC
AB BC  6  3  3  A C
 . Do đó tam giác AAC cân tại C .
Dựng AE AC , do  AA CC
  vuông góc với đáy nên A E    ABCD .
Lấy F AB sao cho FE AC , mà FE AE nên FE   ACC A
  , suy ra FE AA .
Dựng EG AA mà FE AA nên FG AA . Do đó góc giữa mặt phẳng  AA C  'C và AA BB   là góc EGF . EF 3 4 EF BC 3 Ta có tan EGF
  EG EF , mà tan EAF   
EA  2EF . EG 4 3 EA AB 6 4 EF GE 2 2 MC Từ đó suy ra 3 sin GAE      MC  2 2 . AE 2EF 3 AC 2 2 AM
AC MC  9  8  1 AA  2. 2 2 A EA E  4 2 Ta có sin GAE     AE  3 AA . 2 3 4 2
Vậy thể tích khối lăng trụ AB . CD AB CD
  là V A E  .A . B BC  . 6. 3  8 . 3
Câu 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC . Mặt
phẳng qua AK cắt các cạnh SB , SD lần lượt tại M và N . Gọi V , V theo thứ tự là thể 1 V
tích khối chóp S.AMKN và khối chóp S.ABCD . Giá trị nhỏ nhất của tỉ số 1 bằng V 1 2 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 8 Lời giải Chọn C S N K A D M C B SA SB SC SD Đặt a   1, b  , c   2 , d
, có a c  3. SA SM SK SN V V
a b c d
Áp dụng công thức tính nhanh tỉ lệ thể tích: 1 S . AMKN  
, với a c b d . V V 4abcd S . ABCD V 6 3 3 1 3
Suy ra: b d  3 . Khi đó 1   
 , dấu bằng xảy ra khi b d  . 2 V 8bd 4bdb d  3 2 4    2  V 1 SB SD 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của tỉ số 1 bằng khi   . V 3 SM SN 2
Chứng minh bài toán:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Các điểm A , B , C , D lần lượt SA SB SC SD
nằm trên các cạnh SA , SB , SC , SD . Đặt a b c d SA , SB , SC , SD . V        a b c d
Chứng minh rằng: : S.A B C D
và a c b d . V 4abcd S .ABCD Lời giải S A' D' B' C' A D B C
Ta có: ABCD là hình bình hành nên: S  2SV  2V . ABCD ABD S.ABCD S.ABD V       SA SB SD 1 1 1
Khi đó: S.A B D  . .   V      .V .V . S . A B D S . ABD S . V SA SB SD abd abd 2 ABCD abd S .ABD V       SB SC SD 1 1 1 S .B C D  . .   V      .V .V . S .B C D S .BCD S . V SB SC SD bcd bcd 2 ABCD bcd S .BCD 1 1
a cV Suy ra: S . V         
V    V    .V . ABCD V   1 . S . A B C D S .A B D S .B C D S .ABCD S . 2abd 2 ABCD bcd 2abcd
b d V
Chứng minh tương tự như trên ta cũng có: S . ABCD V  2 . S . A BCD   2abcd Từ  
1 và 2 suy ra: a c b d .
b dV 2 b d V
a b c d V S . ABCD   S.ABCD   S.ABCD V    . S . A BCD   2abcd 4abcd 4abcd V        a b c d
Vậy: S.A B C D  . V 4abcd S .ABCD
Câu 52. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trọng tâm các tam giác AB ,
D ABC và E là điểm đối xứng với B qua D . Mặt MNE chia khối tứ diện ABCD
thành hai khối đa diện trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V . 3 9 2a 3 3 2a 3 2a 3 3 2a A. V . B. V  . C. V  . D. V  . 320 320 96 80 Lời giải Chọn A
Gọi H , K lần lượt là trung điểm của BD, BC và I EM A .
B Áp dụng định lí
Menelaus cho tam giác AHB ta được AM HE BI 3 BI BI 2 3 . . 1  2. . 1 
  AI AB MH EB IA 4 IA IA 3 5 AI 3 AN 2  
  Hai đường thẳng IN và BC cắt nhau, gọi giao điểm là F . AB 5 AK 3
Gọi P EM AD. Vì MN //CD nên áp dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng
Ta có PQ//EF //C . D
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ADB ta được AP DE BI AP 1 2 AP . . 1  . . 1   3. PD EB IA PD 2 3 PD 3 a 2
Có ABCD là tứ diện đều cạnh bằng a VABCD 12 3 VAPQI AP AQ AI 3 3 3 27 27 27 a 2  . .  . .  VV  . . V AD AC AB 4 4 5 80 APQI 80 ABCD 80 12 ABCD 3 9 2a Vậy V  . APQI 320
Câu 53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi P là điểm
trên cạnh SC sao cho SC  5 .
SP Một mặt phẳng ( ) qua AP cắt hai cạnh SB và SD
lần lượt tại M và N. Gọi V là thể tích của khối chóp S.AMPN. Tìm giá trị lớn nhất 1 V của 1 . V 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 15 25 25 15 Lời giải Chọn C V V VV V VSP SN SP SM  Ta có 1 S . AMPNS . APN S .APMS . APN S . APM   1  .  .   V V V 2V 2V 2  SC SD SC SB S . ABCD S . ABCD S . ACD S . ABC 1  SN SM    SM SN   . Đặt a  , b
, 0  a,b  1. 10  SD SB SB SD
Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD .
Trong mặt phẳng SAC , AP SO I . PS AC IO IO SI
Xét tam giác SOC có . . 1   1 2   . PC AO IS IS SO 3 S SM SN
Xét tam giác SBD có SMN  .  . a b . S SB SD SBD S SS S SSM SI SN SI  1 Mặt khác, SMN SMI SNISMI SNI   1  .  . 
  a bS S 2S 2S 2  SB SO SD SO  6 SBD SBD SBO SDO 1 1 a
Vậy, a b  ab , do a  không thoả mãn hệ thức nên b   b  nên 6 6 6a  , do 0 1 1 a 1 V 1  a  1 0 
1  a  . Từ đó, 1  a  1 b  a    với  a  1. 6a 1 5 V 10 10  6a 1  5 x 1  1
Xét hàm số y f x  x x  ;1   . y 1
, y  0   x  2 6 1  1 6x  với 1 5  6x  2 1 x  0l    1  6  1  2 6 1  . Ta có f    , f    , f   6 1 
. Vậy max f x  f   1  . x  1    5  5  3  3 5 x 5  ;1   3 5  V 3
Từ đó, giá trị lớn nhất của 1 bằng
khi M trùng B hoặc N trùng D . V 25 Cách 2: SA SB SC SD * Đặt a   1; b  ; c   5 ; d  . SA SM SP SN
* Ta có a c b d  1 5  b d d  6  b . V
a b c d
1 b  5  6  b 3 1 * S.AMPN    V 4abcd 4.1. . b 5.  b b   . b S ABCD 6  . 2 5 6 . 3 1
* Xét f b  . ;b  1;5 d  ). 2   5 b   (do b , 1 6b   f b 3 2b 6   .
; f b  0  b  3. 5  b   6b2 2 Bảng biến thiên: b 1 3 5 f b  0  3 3 25 25 f b 1 15 V 3
Kết luận: Giá trị lớn nhất của 1  . V 25
Câu 54. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, M là điểm đối xứng với C qua B
. N là trung điểm SC . Mặt phẳng MND chia hình chóp thành hai khối đa diện (tham
khảo hình vẻ bên). Gọi V là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S và V là thẻ tích khối đa 1 2 V
diện còn lại. Tính tỉ số 1 ? V2 S N P A D Q M B C V 5 V 12 V 1 V 7 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V 3 V 7 V 5 V 5 2 2 2 2 Lời giải Chọn D Ta có V VVV . 1 S.ADQ S.PQD S.DNP
1 .d S,ABCD.S AQD VS ADQ 1 Mà . 3   . V 1 4 S . ABCD
.d S, ABCD.S 3 ABCD VS PQD S . P S . Q SD SP Và .   . V S . B S . Q SD SB S.BQD
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SBC với cát tuyến MPN ta có: M . B PS. NC PSSP 2 1   2 suy ra  MC.PB. NS PB SB 3
1 .d S,ABCD.S V BQD V V S DQ 1 S PQD 1 S PQD 2 Suy ra .  mà .B 3   nên .  . V 3 V 1 4 V 6 S .BQD S . ABCD
.d S, ABCD.S S.ABCD 3 ABCD
1 .d S,ABCD.S V S . P SN.SD 1 BCD V 1
Ta lại có: S.PND   mà S.BCD 3   . V S . B SC.SD 3 V 1 2 S .BCD S . ABCD
.d S, ABCD.S 3 ABCD V 1
Suy ra S.PND  . V 6 S .ABCD 7 V 7 Vậy V V suy ra 1  1 . 12 S ABCD V 5 2
Câu 55. Cho lăng trụ ABC.A BC
  có thể tích bằng 2. Gọi M , N lần lượt là hai điểm nằm trên hai 2
cạnh AA và BB sao cho M là trung điểm của AA và B N
  BB . Đường thẳng CM 3
cắt đường thẳng AC tại P và đướng thẳng CN cắt đường thẳng B C
  tại Q . Thể tích
khối đa diện lồi A MPB NQ bằng 13 23 7 5 A. . B. . C. . D. . 18 9 18 9 Lời giải Chọn D P A' C' B' M Q N A C B Ta có: PA M   CAM g. .
c g  PA  A C    C P   2C A   . QBB N  2 2 
  QB  QC  QC  3B C   QCC C  3 3 1 1 Ta có: S             C . P C . Q sin C
.2C A .3B C .sin C 3S C PQ    2 2 C A B VS  Suy ra: C.C PQ C PQ   3 V     3.V    V    2 C.C PQ C.C A B ABC.A B C V    S C.C A B C AB   Mặt khác: AM B NC C  1 2    1 V       13 13 A B C .MNC A A B B C C 2 3     VA BC  . V    3 3 18 MNC 9 A B C .ABC 13 5 Ta có: V        VV    2 . Chọn D A MPB NQ C.C PQ A B C .MNC 9 9
Câu 56. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A BC
  cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2a . Mặt
phẳng P qua B và vuông góc với AC chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của V
hai khối là V và V với V V . Tỉ số 1 bằng 1 2 1 2 V2 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 11 23 47 7 Lời giải Chọn C
Gọi E , I , K lần lượt là trung điểm AC , AC và AB . Ta có: B E   ACC A    B E   A C   1 Trong  A BC
  : từ B kẻ B H   A C  tại H . Trong  AA CC
  : gọi F HE AA . B H   A C  Ta lại có   B H
F   A C   A C   B F  2 B E   A C  Từ  
1 và 2 suy ra tam giác B E
F là thiết diện của lăng trụ ABC.A BC   khi cắt bởi
mặt phẳng P . a 19 a CK A B   a 19
Tam giác CAB cân tại C , ta có 2
CK AB  B H
  AC B H     AC a 5 2 5
Tam giác B ' HC vuông tại H , ta có 9a 9 1 2 2 CH B C   B H    CH CA  A H   HI 2 5 10 4 A FA H  1 A F  1 HAF HIE      IE IH 4 A A  . 8 V       A B A E A F 1 1 1 1 1
Khi đó A .B EF  . .   V      V    . V    V A .B EF A .B C A ABC.A B C ABC.    V      .    A B A C A A 16 16 16 3 48 A B C A .B C A V 1 V 1 Nên 1 1    . V    48 V 47 ABC. A B C 2
Câu 57. Cho hình lăng trụ ABC.A BC
 và M , N là hai điểm lần lượt trên cạnh C , A CB sao cho CM
MN song song với AB và
k . Mặt phẳng (MNB A
 ) chia khối lăng trụ ABC.A BC   CA V
thành hai phần có thể tích V (phần chứa điểm C ) và V  2 . Khi đó giá trị 1 2 sao cho 1 V2 của k là 1   5 1 1 5 3 A. k  . B. k  . C. k  . D. k  . 2 2 2 3 Lời giải Chọn A
+ Vì ba mặt phẳng (MNB A  ),(ACC A  ),(BCC B
 ) đ i một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt A M  , B N
 ,CC và A M
 ,CC không song song nên A M  , B N
 ,CC đồng qui tại S . CM MN MN SM SN SC Ta có k       CA AB A B   SASBSC + Từ đó 3 Vk V        V V    k V . MNC S A B C MNC A B C  3 1 S . . 1 .
S.ABC V       3CC 3SC SC V
+ Mặt khác ABC.A B C    31 kABC.A BCV       V SCSCS .A B C 31 k
S.A' B 'C '
k k 1 .V V    3     2  ABC.ABC
Suy ra V  1 k ABC.A B C  1 31 . k  3 V 2 2 k k 1 2 1   5 + Vì 1  2 2 nên V V             k k 1 0 k (k 0) . V 1 ABC. 3 A B C 3 3 2 2 1   5 Vậy k . 2

Tài liệu liên quan: