30 trang 46 lượt tải

Bài toán viết phương trình mặt phẳng Toán 12

92

Bài toán viết phương trình mặt phẳng Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian 143 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 năm trước
Danh sách Quiz
/30
CHỦ ĐỀ 15: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết vectơ pháp tuyến
Một số cách xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng hay gặp:
( )
P
đi qua ba điểm phân biệt A, B, C thì có véc tơ pháp tuyến
;
P
n AB AC

=

  
( )
P
đi qua điểm A và song song với
( )
Q
thì ta chọn cho
PQ
nn=
 
( )
P
vuông góc với hai mặt phăng phân biệt
( ), ( )
αβ
thì
;
P
P
P
nn
n nn
nn
⊥

→ =

⊥
 
  
 
α
αβ
β
( )
P
song song với hai véc tơ
;
ab

thì
;
P
P
P
na
n ab
nb
⊥

→ =

⊥



( )
P
đi qua điểm A,B và vuông góc với
thì
;
P
P
P
n AB
n AB n
nn
⊥

→ =

⊥
 
  
 
α
α
( )
P
song song với hai đường thẳng
12
;dd
thì
1
12
2
;
Pd
P dd
Pd
nu
n uu
nu
⊥

→ =

⊥
 
  
 
( )
P
chứa đường thẳng d và vuông góc mặt phẳng
( )
α
thì
;
Pd
n un

=

  
α
( )
P
chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng
∆
thì
;
Pd
n uu
∆

=

  
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi
qua điểm
( )
3; 1;1M −
và vuông góc với đường thẳng
123
:?
3 21
xy z−+−
∆==
−
A.
3 2 12 0x yz− +− =
B.
3 2 80x yz+ +−=
C.
2 3 30xyz− + +=
D.
3 2 12 0x yz− ++ =
Lời giải
Gọi
( )
P
là mặt phẳng cần tìm ta có:
(
) ( )
()
3; 2;1 .
P
P nu
∆
⊥∆⇒ = = −
 
Phương trình mặt phẳng
( )
P
qua
( )
3; 1; 1M −
và có VTPT
( )
3; 2;1
n −
là:
( ) ( ) ( ) ( )
:3 3 –2 1 1 1 0Px y z− ++ −=
hay
3 2 –12 0x yz−+ =
. Chọn A.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho 3 điểm
( )
1; 0; 2A −
;
( )
1;2;4B −
và
( )
2; 0;1C
. Phương
trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC là:
A.
3 2 3 –3 0
xyz
−− =
B.
3 2 3 30
xyz
− − +=
C.
3 2 3 –9 0xyz−− =
D.
3 2 3 90xyz− − +=
Lời giải
Gọi
( )
P
là mặt phẳng cần tìm thì
( )
3;2;3
P
n BC
= = −−
 
Mặt phẳng
( )
P
qua
( )
1; 0; 2A −
và có VTPT
(3; 2; 3) ( ) : 3 2 3 9 0
P
n Pxyz
= −− ⇒ − − −=

. Chọn C.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm M
(
)
3;1;2
M −−
và mặt phẳng
( )
:3 2 4 0xy z−+ +=
α
. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với
( )
α
?
A.
3 2 60xy z−+ −=
B.
3 2 14 0
xy z
+− − =
C.
3 2 60xy z−+ +=
D.
3 2 14 0
xy z+− + =
Lời giải
Gọi
( )
P
là mặt phẳng cần tìm ta có:
( ) ( ) ( )
() ()
/ / 3; 1; 2 .
P
P nn⇒==−
 
α
α
Mặt phẳng
(
)
P
qua
( )
3;1;2M −−
và có VTPT là
(P)
(3; 1; 2)n
= −

có phương trình là:
3 2 60xy z−+ −=
.
Chọn A
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho mặt cầu
( )
2 22
: 6 4 2 50
Sx y z x y z+ + − + − +=
và
đường thẳng
2 31
:.
11 5
xyz
d
−++
= =
−
Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
vuông góc với đường thẳng d và đi
qua tâm của mặt cầu
( )
S
.
A.
( )
:3 2 6 0P x yz− +−=
. B.
( )
: 5 40Pxy z+− −=
.
C.
( )
: 5 40Pxy z+− +=
. D.
( )
:3 2 6 0P x yz− ++=
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 22
: 3 2 19Sx y z S− ++ +− =⇒
có tâm
( )
3; 2;1I −
và bán kính
3R =
VTCP của d là
( )
1;1; 5u = −
. Mặt phẳng
( )
P
qua I và nhận
u
làm VTPT.
Phương trình
( )
P
là:
(
)
:1( 3) 1( 2) 5( 1) 0
xz
P y
−+ + − −=
hay
( )
4: 5xy zP +− +
. Chọn C.
Ví dụ 5: Cho hai đường thẳng
12
13
12
2;:
2 12
2
xt
xy z
d y td
z
= +
−+
=−+ = =
−
=
và mặt phẳng
( )
:2 2 3 0P x yz+−=
.
Phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của
1
d
và
( )
P
, đồng thời vuông góc với
2
d
là
A.
2 2 22 0xy z−+ + =
B.
2 2 13 0xy z−+ + =
C.
2 2 13 0xy z−+ − =
D.
2 2 22 0.xy z++ − =
Lời giải
Gọi giao điểm của
1
d
và
( )
P
là
( )
1
1 3 ; 2 ;2 .Mttd+ −+ ∈
Do
( )
2 6 4 2 6 0 1 ( 4; 1; 2)MP t t t M∈ ⇒+ −+ −= ⇔=⇒ −
Mặt phẳng
( )
Q
cần tìm có:
( )
2
()
2; 1; 2
Qd
nu= = −
 
Do đó phương trình mặt phẳng
( )
Q
là:
2 2 13 0xy z−+ − =
. Chọn C.
Ví dụ 6: Phương trình mặt phẳng qua
( )
1; 0; 4A −
và vuông góc đồng thời với cả 2 mặt phẳng
( )
: 20Pxyz++−=
và
( )
:2 4 2 0Q xy z−− +=
là:
A.
0.yz+=
B.
2 3 0.xy z−− +=
C.
2 2 3 0.xy z+− −=
D.
2 3 0.x yz− ++=
Lời giải
Ta có :
( )
(
)
(
)
( )
1;1;1 ; 2; 1; 4
PQ
nn= = −
 
Do
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
; ( 3;6; 3) 3(1; 2;1).
P
PQ
Q
nn
P
n nn
Q
nn
⊥
⊥


⇒ ⇒= =− −=− −


⊥
⊥

 

α
α
Khi đó
( )
α
qua
( )
1; 0; 4A −
và có VTPT
(
)
( ) : 2 30
1; 2; 1 x yz⇒ − ++− =
α
. Chọn D.
Ví dụ 7:
Phương trình mặt phẳng qua
( )
1; 2; 0A
vuông góc với
( )
:0Pxy+=
và song song với đường
thẳng
11
:
2 43
x yz
d
−+
= =
−−
là:
A.
2 2 5 0.xyz+ − −=
B.
2 1 0.xy z− + +=
C.
2 1 0.xy z
− + −=
D.
1 0.xyz− ++=
Lời giải
Ta có :
(
)
(
)
(
)
1;1; 0 ; 2; 4; 3
d
P
nu= = −−
 
Do
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
; 3; 3; 6 3(1; 1; 2)
//
P
d
P
d
nn
P
n nu
d
nu
⊥
⊥


⇒ ⇒= =− −=− −


⊥

 

α
α
Khi đó
( )
α
qua
( )
1; 2; 0A
và có VTPT
( ) ( )
1; 1; :2 2 10xy z− => − + +=
α
. Chọn B.
Ví dụ 8: Phương trình mặt phẳng đi qua gốc toạ độ và song song với cả 2 đường thẳng
1
1
:
111
xy z
d
−
= =
và
2
11
:
31 3
x yz
d
+−
= =
−
là:
A.
2 0.x yz+ −=
B.
3 2 0.xyz−+=
C.
0.xy
+=
D.
0.yz
+=
Lời giải
Ta có :
( )
( )
( )
( )
12
12
1;1;1 ; 1; 3; 2
dd
uu uu= = = = −
 
Do
( )
( )
( )
1
1
12
2
2
; 2; 6; 4 2(1; 3; 2).
//d
d
nu
n uu
nu
⊥
⊥


⇒ ⇒= = − = −


⊥



α
α
Khi đó
( )
α
qua
( )
0; 0; 0O
và có VTPT
( ) ( )
1; 3; 2 : 3 2 0.xyz−+− ⇒=
α
Chọn B.
Ví dụ 9:
Phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm
( )
2; 4;1
A
và
( )
5; 7; 1B −
và vuông góc với mặt
phẳng
(
)
: 3 2 10
Px y z
− + +=
là:
A.
2 1 0.xyz− −+=
B.
2 2 0.x yz− −−=
C.
2 3 11 0.yz+−=
D.
2 0.xyz++−=
Lời giải
Ta có:
( )
( )
( )
3; 3; 2 ; 0; 8; 12 4(0; 2; 3)
P
AB n AB n

= − ⇒= = −− =−

  
Mặt phẳng
( )
α
cần tìm đi qua
( )
2; 4;1A
và có VTPT
( )
0; 2;3 : 1 .( 0) 2 31n yz+−⇒ =
α
Chọn C.
Ví dụ 10: Cho đường thẳng
12
:
12 3
xy z+−
∆==
−−
và mặt phẳng
( )
: 3 0.Pxyz−+−=
Phương trình mặt
phẳng đi qua O, song song với
∆
và vuông góc với mặt phẳng
( )
P
là
A.
2 0.
x yz+ +=
B.
2 0.
x yz− +=
C.
2 4 0.x yz+ +−=
D.
2 4 0.x yz− ++=
Lời giải
Gọi mặt phẳng cần tìm là
( )
Q
ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
; (1; 2; 1)
//
QP
PQ
n nu
Q
∆
⊥

⇒= =

∆
  
( )
: 2 0.Qx yz⇒ + +=
Chọn A.
Ví dụ 11: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
1; 0; 1 .M −
Mặt phẳng
( )
α
đi qua M và chứa trục
Ox
có
phương trình là
A.
0.xz+=
B.
1 0.
yz++=
C.
0.y =
D.
0.xyz++=
Lời giải
Mặt phẳng
( )
α
nhận
;
Ox
OM u


 
là một VTPT.
Mà
( )
1; 0; 1
; ( 0; 1; 0 ).
(1;0;0)
Ox
Ox
OM
OM u
u
= −

⇒=−

=

 

Kết hợp với
( )
α
đi qua
(
) ( )
(1; 0; 1) : 0 0 0.M yy−⇒ −−=⇔=
α
Chọn C.
Ví dụ 12:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
cho các điểm
( ) ( )
0;1;1 , 2;5; 1 .AB
−
Tìm phương trình
mặt phẳng
(
)
P
qua A, B và song song với trục hoành.
A.
( )
: 2 0.Pyz+−=
B.
( )
: 2 3 0.
Py z
+ −=
C.
( )
: 3 2 0.Py z
+ +=
D.
( )
: 2 0.Pxyz+−−=
Lời giải
Ta có
(2; 4; 2)AB = −

và
( )
( )
1;0;0
Ox
u =

suy ra
( ) ( )
( )
; (0; 2; 4) 0;1; 2 .
Ox P
AB u n

= −− ⇒ =

  
Phương trình mặt phẳng
( )
P
đi qua A và có
( )
P
n

là
1 2( 1) 0 2 3 0y z yz−+ − = ⇔ + − =
.Chọn C.
Ví dụ 13: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
( )
: 2 0,P x yz+ −−=
( )
: 3 12 0xyQ +−=
và đường thẳng
1 21
:.
3 12
xy z
d
−++
= =
−
Viết phương trình mặt phẳng
( )
R
chứa đường
thẳng d và giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
P
,
( )
Q
.
A.
( )
:5 7 1 0.R xy z+ − −=
B.
( )
: 2 2 0.Rx yz+ −+=
C.
( )
: 2 0.Rx yz+ −=
D.
( )
:15 11 17 10 0.Rxyz+ − −=
Lời giải
VTPT của mặt phẳng
(
)
P
là
( )
1
1;1; 1 ,n = −

VTPT của mặt phẳng
( )
Q
là
( )
2
1; 3; 0n =

.
Gọi
( )
' () .dPQ
= ∩
Khi đó vtcp của
'd
là
( )
12
; 3; 1; 2
u nn

= = −


cũng là vtcp của
// ' d dd⇒
(1; 2; 1) ; (0; 4; 2) '.A dB d−−∈ ∈
Ta có:
( 1; 6; 3).AB −

VTPT của
( )
R
là:
( )
; 15;11; 17
n AB u

= = −


Phương trình mặt phẳng
( )
R
là:
( ) ( ) ( )
:15 0 11 4 1) 20( 7Rx y z−−+ − −=
hay
( )
:15 11 17 10 0.Rxyz+ − −=
Chọn D.
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách
- Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là
( )
;;
P
n abc=

,
222
0abc
++≠
- Mặt phẳng
( )
P
chứa đường thẳng d nên
( )
P
đi qua
( )
0 00
;;Mx yz d∈
và vuông góc với vectơ chỉ
phương của d
Khi đó ta có
(
)
( )
(
) (
)
( )
0 00
:
.0 ;
Qd
P ax x by y cz z
n u a f bc
−+ −+ −
=⇔=
 
- Từ các dữ kiện về góc, khoảng cách ta được một phương trình đẳng cấp bậc hai theo các ẩn a, b,
c. Thay
( )
;a f bc=
vào phương trình này, giải ra được
.b mc=
hoặc
.b nc=
Chọn cho
1c =
, từ đó tìm được các giá trị tương ứng của a và b
⇒
phương trình mặt phẳng
( )
P
cần lập.
Chú ý: Phương trình đẳng cấp bậc hai là phương trình có dạng
2
22
0 0.
xx x
Ax Bxy Cy A B C t x t y
yy y
 
+ + =⇔ + +=⇒ =⇔=
 
 
Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng
( )
: 2 50x yzα + −+=
;
( )
:4 2 3 0xyβ − +=
.
Lập
( )
P
vuông góc với cả hai mặt phẳng đã cho đồng thời khoảng cách từ điểm
( )
3;1;1A
đến
( )
P
bằng
8
30
Lời giải
Ta có:
( )
( )
( ) ( )
(
) (
)
( ) (
)
(
)
( )
( )
;
P
P
P
nn
P
n nn
P
nn
α
αβ
β
⊥
⊥α


⇒ ⇒=


⊥β
⊥
 
  
 
, trong đó
(
)
(
)
1; 2; 1
n
α
= −

;
(
)
(
)
4; 2; 0n
β
= −

(
)
(
) (
)
2; 4; 10 2 1; 2;5
P
n⇒ =−−− =−

⇒
Phương trình mặt phẳng
( )
P
có dạng:
25 0x y zD+ ++=
Lại có:
( )
( )
2
325
88
; 10 8
18
30 1 4 25 30
D
D
dAP D
D
= −
+++
= ⇔ = ⇔+=⇔
= −
++
Do đó
( )
: 2 5 20Px y z+ + −=
hoặc
(
)
: 2 5 18 0Px y z+ +−=
Ví dụ 2:
Lập phương trình
( )
P
đi qua
( )
1; 1; 0A −
,
( )
2;1;1B −−
sao cho khoảng cách từ
(
)
2; 1; 3M −
đến
( )
P
bằng
2
3
Lời giải
Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là
( )
( )
;;
P
n abc=

,
222
0
abc++≠
Ta có:
( )
1; 0; 1
AB −

, do
( )
P
chứa AB nên
(
)
.0 0
P
AB
n ac a c=⇔−=⇔ =
 
Khi đó:
( ) ( ) ( )
:1 1 0P a x b y az−+ ++ =
Ta có:
( )
( )
2 22 2 2
22 22
323
21
; 92 4 2
33
22
aba b
dM P b a b b a a b
ab ab
−+ +
= =⇔ =⇔ = + ⇔ = ⇔=±
++
• Với
2ab=
chọn
( )
1 2 :2 2 1 0b a c P xy z=⇒ = = ⇒ + + −=
• Với
2ab
= −
chọn
( )
1 2 :2 2 3 0b a c P xy z=−⇒ = = ⇒ + + − =
Ví dụ 3: Lập phương trình
( )
P
chứa
12
:
11 2
x yz
d
++
= =
−
sao cho khoảng cách từ
( )
3;1;1A −
đến
( )
P
bằng
2
3
Lời giải
Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là
( )
( )
;;
P
n abc=

,
222
0abc++≠
Mặt phẳng
( )
P
chứa
d
nên
( )
. 0 20 2
d
P
n u ab c b ca=⇔+− =⇒= −
 
( )
P
đi qua điểm
( ) ( ) ( ) ( )
1; 0; 2 : 1 2 0P a x by c z− ⇒ ++ + + =
( )
( )
( )
222 2 2 2
22
2 3 22 3 35
2
;
3
245
2
ab c a ca c a c
dAP
abc a acc
a ca c
−++ −+−+ −+
= = = =
++ − +
+−+
( )
( )
2
22
42 4 5 33 5a ac c a c⇔ −+ = −
22
19 74 55 0
19 55
ac
a ac c
ac
=
⇔−+=⇔
=
• Với
ac=
chọn
( )
1 1 : 30ac b Pxyz==⇒=⇒ +++=
• Với
19 55ac=
chọn
(
)
55; 19 17 : 55 17 19 93 0a c b Pxyz= = ⇒=− ⇒ − + + =
Ví dụ 4: Cho
21
:
1 31
xyz−+
∆==
−
;
( )
:2 3 0P xyz
+−+=
Lập
( )
//Q ∆
;
( ) ( )
QP⊥
đồng thời khoảng cách từ
( )
1; 2; 0A
đến
( )
P
bằng
7
30
Lời giải
Ta có:
( )
( )
2; 1; 1
P
n
= −

;
(
)
1; 3; 1
u
∆
= −

Do
( )
//Q ∆
và
( ) ( )
QP⊥
(
)
( )
( )
; 2;1; 5
QP
n nu
∆

⇒= =

  
Phương trình mặt phẳng
( )
Q
có dạng:
25 0xy zD
++ + =
Lại có:
( )
( )
3
4
77
; 47
11
30 4 1 25 30
D
D
dAP D
D
=
+
= ⇔ = ⇔ +=⇔
= −
++
Suy ra phương trình mặt phẳng
( )
Q
là:
( )
:2 5 3 0Q xy z
++ +=
hoặc
( )
: 2 5 11 0Q xy z
++ − =
Ví dụ 5: Lập phương trình
( )
P
đi qua
( )
1; 2; 1A −
, vuông góc với mặt phẳng
( )
xOy
đồng thời khoảng cách
từ điểm
(
)
1;1; 3B −
đến
( )
P
bằng
3
5
Lời giải
Giả sự mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là
( )
( )
;;
P
n abc=

,
222
0abc++≠
Mặt phẳng
(
)
P
vuông góc với mặt phẳng
( )
:0xOy z =
nên
( ) ( )
.00
P xOy
nn c
=⇔=
 
( )
P
đi qua điểm
(
)
1; 2; 1A −
( ) ( )
( )
: 1 20P ax by⇒ ++ − =
( )
( )
( )
( )
2
22 2 2
22
2
2
3
; 5 2 9 11 20 4 0
11 2
5
ab
ab
dB P a b a b a a b
ab
ab
=
−
= = ⇔ −= +⇔ − − =⇔
= −
+
• Với
2ab=
chọn
( )
12:20b a P xy=⇒=⇒ +=
• Với
11 2ab
= −
chọn
( )
2 11 : 2 11 24 0a b Px y=⇒=− ⇒ − + =
Ví dụ 6: Cho
2
: 12
xt
dy t
zt
= +
= −
= −
và các điểm
( )
1;1; 2A
,
( )
3;1; 1B
−
Lập
( )
P
chứa d sao cho khoảng cách từ A đến
( )
P
bằng hai lần khoảng cách từ B tới
( )
P
Lời giải
Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là
( )
( )
;;
P
n abc=

,
222
0abc++≠
Mặt phẳng
( )
P
chứa d nên
(
)
.0 2 0 2
d
P
nu abc cab
=⇔− −=⇒=−
 
( )
P
đi qua điểm
( )
2; 1; 0
M
( ) ( ) ( )
:2 1 0P a x b y cz⇒ − + −+ =
Lại có:
( )
( )
( )
( )
222 222
2
; 2 ; 2 2 22
a c ac
dAP dBP ac ac
abc abc
−+ −
= ⇒ = ⇔− = −
++ ++
222 0
2 22 34
ac ac a
ac ac a c
−=− =

⇔⇔

− =−+ =

• Với
0a =
chọn
( )
1 2 :20b c Py z=⇒ =−⇒ − =
• Với
34
ac=
chọn
(
)
1 17
4 3 :4 3 0
2 22
y
a c b Px z=⇒=⇒= ⇒ + + − =
hay
( )
:8 6 17 0P xy z+− − =
Ví dụ 7: Cho
11
:
2 12
xy z
d
−+
= =
−−
và các điểm
( )
1;2;2A
,
( )
4; 3; 0B
Lập
( )
P
chứa d sao cho khoảng cách từ A tới
( )
P
bằng khoảng cách từ B tới
( )
P
Lời giải
Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là
( )
( )
;;
P
n abc
=

,
222
0abc++≠
Mặt phẳng
(
)
P
chứa d nên
( )
. 02 2022
d
P
n u ab c c ab=⇔ −− =⇒ = −
 
( )
P
đi qua điểm
( )
1; 1; 0M −
( ) ( ) ( )
:1 1 0P a x b y cz⇒ −+ ++ =
Lại có:
( )
( )
(
)
( )
222 222
32 34
; ; 32 34
bc ab
dAP dBP bc ab
abc abc
++
= ⇒ = ⇔+=+
++ ++
2234 2
32 34 22 34
22 34 5 6
abab a b
bab ab ab ab
ab ab a b
+=+ =−

⇔+−=+⇔+=+⇔ ⇒

+ =−− =−

• Với
2ab= −
chọn
( )
5
1 2; : 4 2 5 10 0
2
b a c Pxyz
=−⇒ = = ⇒ − + − =
• Với
56ab= −
chọn
( )
17
6 5; :12 10 17 22 0
2
a b c Pxyz=⇒=− = ⇒ − + − =
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
1;1; 0M
và hai đường thẳng
1
1 31
:
1 11
xyz
d
−−−
= =
−
;
2
132
:
12 3
xyz
d
−+−
= =
−
. Viết phương trình mặt phẳng
(
)
P
song song với
1
d
và
2
d
đồng thời cách M một khoảng bằng
6
Lời giải
Vì
( )
12
// ;P dd
nên
( )
P
có cặp VTCP là:
( )
( )
( )
( )
1
12
2
1; 1; 1
; 1; 2; 1
1; 2; 3
P
u
n uu
u
= −

⇒= =

=−−



Phương trình mặt phẳng
( )
P
có dạng:
20x yzD+ ++ =
Lại có:
( )
( )
( )
( )
1
2
: 2 30
3
3
;6 6
9
: 2 90
6
P x yz
D
D
dM P
D
P x yz
+ ++=
=
+
=⇔=⇔ ⇒
= −
+ +−=
Lấy
( )
1
1; 3; 1Kd∈
và
( )
2
1; 3; 2Nd−∈
thử vào các phương trình
( )
1
và
( )
2
ta có
( )
1
NP∈
nên
( )
21
dP⊂
Suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là:
( )
2
: 2 90P x yz+ +−=
Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
22 2
:1 1 22
Sx y z+ +− ++ =
và hai
đường thẳng
21
:
12 1
x yz
d
−−
= =
−
,
1
:
11 1
xyz−
∆==
−
. Phương trình nào dưới đây là phương trình của một
mặt phẳng tiếp xúc với
( )
S
, song song với d và
∆
?
A.
30yz++=
B.
10xz++=
C.
0xyz++=
D.
10xz+−=
Lời giải
Các VTCP của d và
∆
là:
(
)
1
1; 2; 1u
−

,
( )
2
1;1; 1u
−

⇒
VTPT của mặt phẳng cần tìm là:
( ) ( )
12
; 1; 0; 1 1 1; 0;1n uu

= =− −=−


Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là:
0xzm++ =
. Ta có:
22
5
12
2
1
11
m
m
m
=
−− +
= ⇔
=
+
. Chọn B
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
P
nhận
( )
3;4;5n = −−
là vectơ
pháp tuyến và
( )
P
tiếp xúc với mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 22
: 2 1 18Sx y z− ++ +− =
. Phương trình mặt phẳng
( )
P
là:
A.
3 4 5 15 0xyz− −−=
hoặc
3 4 5 25 0xyz− −−=
B.
3 4 5 15 0xyz−−+=
hoặc
3 4 5 25 0xyz− −−=
C.
3 4 5 15 0xyz− −−=
hoặc
345250xyz− −+=
D.
3 4 5 15 0
xyz−−+=
hoặc
345250xyz− −+=
Lời giải
Phương trình mặt phẳng
( )
P
có dạng
345 0x y zm− − +=
Xét mặt cầu
( ) ( ) ( )
(
) (
)
2 22
: 2 1 1 8 2; 1;1Sx y z I− ++ +− =⇒ −
và bán kính
22
R =
Khoảng cách từ tâm I đến
( )
P
là
5
52
m
d
+
=
mà
15
5
2 2 5 20
25
52
m
m
dR m
m
=
+
=⇒ = ⇔ += ⇔
= −
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là
3 4 5 15 0xyz
−−+=
hoặc
3 4 5 25 0xyz− −−=
. Chọn B
Ví dụ 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
11
:
2 21
xyz
d
++
= =
−
và mặt cầu có
phương trình
(
)
2 22
: 2 4 2 30Sx y z x y z+ + − + − −=
. Viết phương trình mặt phẳng
(
)
P
vuông góc với d,
( )
P
tiếp xúc với
( )
S
đồng thời
( )
P
cắt trục
Oz
tại điểm có cao độ dương
A.
2 2 20x yz
− ++=
B.
2 2 16 0x yz− +− =
C.
2 2 10 0x yz
− +− =
D.
2 2 50
x yz− +−=
Lời giải
VTCP của d là
( )
2; 2;1u −
. Mặt phẳng
( )
P
nhận
u
làm VTPT. Phương trình
( )
P
là:
( ) ( )
( )
: 2 2 0 0;0; 0P x y z m P Oz m m
− ++ =⇒ ∩ = − ⇒ <
Ta có:
(
) ( ) ( ) ( )
( )
2 22
:1 2 19Sx y z S− ++ +− =⇒
có tâm
( )
1; 2; 1I −
và bán kính
3R =
Vì
( )
P
tiếp xúc với
(
)
S
nên
( )
( )
( )
( )
2
22
2.1 2. 2 1
2
;3
16
2 21
m
m
dI P R
m
− − ++
=
=⇔=⇔
= −
+− +
Vì
( )
P
cắt trục
Oz
tại điểm có cao độ dương nên
( )
16 : 2 2 16 0m P x yz=− ⇒ − +− =
. Chọn B
Ví dụ 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho 4 điểm
( )
1; 2; 1A
,
( )
2; 1; 3B −
,
( )
2; 1; 1C −
và
( )
0; 3;1D
. Mặt phẳng
( )
P
đi qua A, B và khoảng cách từ C đến
( )
P
bằng khoảng cách từ D đến mặt phẳng
( )
P
và C và D nằm ở 2 phía đối với mặt phẳng
( )
P
có phương trình là
A.
2 3 50xz+ −=
B.
2 3 50yz+ −=
C.
2 3 50xy z−+ −=
D.
2 3 50xy+ −=
Lời giải
Trung điểm của CD là
( )
1;1;1I
do
( )
( )
( )
( )
;;dC P dD P=
mà C, D nằm ở 2 phía đối với mặt phẳng
( )
P
nên
( )
IP∈
. Khi đó mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng
( )
ABI
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
0; 1; 0 ; 3; 1; 2 ; 2;0; 3 : 2 3 5 0AI AB AB AI ABI x z

− −− ⇒ =− − ⇒ + −=

   
. Chọn A
Ví dụ 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
: 2 30Pxy z+− +=
. Viết phương
trình mặt phẳng
(
)
Q
song song với
Oz
và vuông góc với mặt phẳng
( )
P
sao cho khoảng cách giữa trục
Oz
và mặt phẳng
( )
Q
bằng
22
A.
( )
: 40
Qxy
−+=
B.
( )
: 40Qxy−−=
C.
( )
: 20Qxy−−=
D. Cả A và B
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
1;1; 2 , 0; 0; 1
P Oz
nu
−=
 
. Do mặt
( )
Q
song song với
Oz
và vuông góc với mặt phẳng
( )
P
nên ta
có:
( )
; 1; 1; 0
Q P Oz
n nu

= = −

  
⇒
PT mặt phẳng
( )
Q
có dạng:
0xyd
−+=
Do
( ) ( )
( )
( )
( )
// ; ; 2 2 4
2
d
Oz Q d Oz Q d O Q d⇒ = = = ⇔=±
• Với
( )
4 : 40
d Qxy=⇒ −+=
• Với
( )
4 : 40d Qxy
=−⇒ − − =
Vậy
( )
: 40
Qxy−+=
hoặc
( )
: 40Qxy−−=
là các mặt phẳng cần tìm. CHọn D
Ví dụ 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
S
có phương trình
2 22
2 6 4 20xyz xyz+ + − + − −=
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
song song với đường thẳng
3
:
162
xy z
d
−
= =
, vuông góc với mặt phẳng
( )
: 4 50
x yz+ +−=
α
và tiếp xúc với
( )
S
A.
2 2 30xy z−+ +=
B.
2 2 21 0xy z−+ − =
C.
2 2 21 0xy z−+ − =
D. Cả A và B
Lời giải
Mặt cầu
( )
S
có tâm
(
)
1; 3; 2I −
và bán kính
1942 4R = +++ =
VTPT của mặt phẳng
( )
P
là:
( )
( )
( )
; 2; 1; 2
d
P
n nu

= = −

  
α
Suy ra phương trình mặt phẳng
( )
P
có dạng:
22 0xy zD−+ + =
Do
( )
P
tiếp xúc với
( )
S
nên
( )
( )
3
9
;4
21
414
D
D
dI P R
D
=
+
=⇔=⇔
= −
++
Do đó
( )
:2 2 3 0P xy z−+ +=
hoặc
( )
: 2 2 21 0P xy z
−+ − =
tuy nhiên mặt phẳng
2 2 30
xy z−+ +=
chứa đường thẳng d nên bị loại. Chọn B
Ví dụ 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho các điểm
( )
1; 2; 0A
,
( )
2; 0;1A
và mặt phẳng
( )
:2 2 3 0P xy z−+ −=
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
Q
đi qua 2 điểm A và B và tạo với mặt phẳng
(
)
P
một góc
ϕ
sao cho
1
cos
5
=
ϕ
Lời giải
Ta có:
( )
1; 2; 1AB = −

. Gọi VTPT của mặt phẳng
( )
Q
là:
( )
;;
Q
n abc=

( )
222
0abc
++>
Khi đó:
( )
.0 2 0 2 1
Q
AB n a b c a b c=⇔− +=⇔= −
 
Phương trình mặt phẳng
( )
Q
là:
( ) ( )
1 20ax by z
−+ − +=
Ta có:
(
) ( )
( )
222
22
1
cos ;
5
9.
ab c
PQ
abc
−+
= =
++
( )
2
Thế
( )
1
vào
( )
2
ta có:
( )
22 2
2
22
0
1
5542
2
5
2
c
b
b b bc c
cb
bc b c
=
=⇔=−+⇔
=
− ++
• Với
0c =
chọn
( )
1 2 :2 4 0b a Q xy
=⇒=⇒ +−=
• Với
2cb
=
chọn
(
)
1 2 0 : 2 20b c a Qy z
=⇒=⇒=⇒ + −=
Vậy
(
)
:2 4 0Q xy+−=
;
( )
: 2 20Qy z+ −=
là các mặt phẳng cần tìm
Ví dụ 16:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;4;3A
−−−
;
( )
2;1;6
B −−
và mặt
phẳng
( )
: 2 30
Px yz+ +−=
. Gọi
( )
Q
là mặt phẳng chứa AB và tạo với mặt phẳng
( )
P
một góc
α
thỏa
mãn
3
cos
6
=
α
. Khoảng cách từ O đến
( )
Q
có thể bằng
A.
3
2
B.
5
3
C.
2
D.
22
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
3; 3; 3 3 1; 1; 1AB = −= −

;
( )
( )
1; 2; 1
P
n =

Gọi
(
)
( )
;;
Q
n abc

(
)
222
0
abc++>
là VTPT của
( )
Q
Do
( )
Q
chứa AB nên
(
)
.0 0
Q
n AB abc ab c=⇒+−=⇔+=
 
Lại có:
(
) ( )
( )
( ) (
)
( )
222
2
3
cos ; cos ;
6
.6
PQ
a bc
PQ nn
abc
++
= =
++
 
( ) ( ) ( )
2 22
222 22
22 22a bc a b c a bab a b ab⇔ ++ =++⇔ +++ =+++
( )
2
2 22 2
2 2 3 2 2 2 6 22 16 0
38
ab
a b a ab b a ab b
ab
= −
⇔ + =++⇔+ + =⇔
= −
• Với
ab= −
chọn
(
) (
)
( )
3
1; 1 0 : 3 0 ;
2
a b c Q x y dO Q= =−⇒=⇒ −−=⇒ =
• Với
38ab= −
chọn
( )
(
)
(
)
11
8; 3 5 : 8 3 5 11 0 ;
72
a b c Qxyz dOQ
= =−⇒ = ⇒ − + + = ⇒ =
.
Chọn A
Ví dụ 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho 2 đường thẳng có phương trình
1
111
:
1 13
xyz
d
−+−
= =
−
và
2
:
1 21
xyz
d = =
−
. Gọi
( )
Q
là mặt phẳng chứa
1
d
và tạo với
2
d
góc
0
30=
α
.
Khoảng cách từ O đến
( )
Q
có thể bằng
A.
6
2
d
=
B.
6
3
d =
C.
6
6
d =
D.
6
4
d
=
Lời giải
Ta có:
(
)
( )
1
1
1; 1; 3
d
uu
= −

;
(
)
2
1; 2; 1u
−

;
1
d
đi qua điểm
( )
1; 1; 1M −
Gọi
( )
( )
;;
Q
n abc

( )
222
0abc++>
là VTPT của
(
)
Q
Do
( )
Q
chứa
1
d
nên
( )
1
. 0 30 3
Q
n u ab c b a c=⇒−+ =⇔ =+

Lại có:
( )
( )
0
2
222
2
sin sin 30 cos ;
6.
Q
a bc
nu
abc
−+
= = =
++

α
( )
( )
( )
2
22
2
22
26
1
4 5 6 2 6 10
2
6. 3
a a cc
a c a ac c
a ac c
−−+
⇔ =⇔ + = ++
++ +
22
2
8 4 40 0
25
ac
a ac c
ac
= −
⇔−− =⇔
=
• Với
2ac
= −
chọn
( )
0
26
2 1 1 :2 2 0
3
6
a c b Q xyz d= ⇒ =−⇒ =−⇒ − − − = ⇒ = =
• Với
25ac
=
chọn
( )
0
26
5 2 11 : 2 11 2 4 0
15
a c b Qx yz d=⇒=⇒= ⇒ + + +=⇒ =
. Chọn B.
Dạng 3: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Ví dụ 1: Cho điểm
( )
3;0;0A
và điểm
( )
0; 2; 1 .M −
Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua A, M sao cho
( )
α
cắt các trục
Oy
,
Oz
lần lượt tại các điểm B, C sao cho
1
,
2
OABC
V =
với O là gốc tọa độ.
Lời giải
Giả sử mặt phẳng
( )
α
cắt các trục
Oy
;
Oz
lần lượt tại
( )
0; ; 0Bb
và
( )
0; 0;Cc
Phương trình mặt phẳng
(
)
ABC
là:
1
3
xyz
bc
++=
( )
0bc ≠
Do
( )
α
đi qua điểm
(
)
0; 2; 1M −
nên
21 1 2 2
11
2
bb
c
bc c b b b
−
− =⇒ = −= ⇒ =
−
Lại có:
1 11
. . .3 1
6 62
OABC
V OA OB OC bc bc
= = =⇔=
Khi đó:
2
2
21
.1
2
2
2
b bb
b
b
b
b
bb
=−=
=⇔⇔
= −
−
= −
Với
( )
11 : 1
311
xyz
bc=⇒=⇒ + +=
α
Với
( )
1
2 : 21
2 32
xy
bc z
−
=−⇒ = ⇒ − − =
α
Ví dụ 2: Cho điểm
( )
1;0;0A −
và mặt phẳng
( )
: 2 20
Px y+ +=
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua
A
,
vuông góc với
( )
P
và cắt các trục
Oy
,
Oz
lần lượt tại các điểm B, C sao cho
3
2
ABC
S =
Lời giải
Giả sử mặt phẳng
( )
α
cắt các trục
Oy
,
Oz
lần lượt tại
( )
0; ; 0Bb
và
( )
0; 0;Cc
Phương trình mặt phẳng
( )
ABC
là:
1
1
x yz
bc
++=
−
( )
0bc ≠
Do
( ) ( )
( )
2
. 01 0 2
ABC
P
ABC P n n b
b
⊥ ⇒ = ⇒− + = ⇒ =
 
Khi đó:
( ) ( )
2
2
1 5 43
1; 2; 0 ; 1; 0; ; 1 1
2 22
ABC
c
AB AC c S AB AC c c
+

⇒ = = = ⇔ =⇔=±

   
Suy ra
( )
:1
21
yz
ABC x−+ ± =
Ví dụ 3: Cho mặt phẳng
( )
:2 5 0P xyz−+−=
. Viết phương trình
( )
Q
chứa đường
( ) ( )
P xOy∆= ∩
và
cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho
125
36
OABC
V =
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
: 0 : 5 2 1; 2; 0
0
xt
xOy z y t u
z
∆
=
= ⇒∆ =− + ⇒ =
=

Do
( )
Q
chứa đường thẳng
(
)
Q
∆⇒
qua điểm
( )
0; 5;0
−
Giả sử
(
)
:1
5
xyz
Q
ac
+ +=
−
( )
;0
ac≠
( )
1 11
;;
5
Q
n
ac

⇒=−



Ta có:
(
)
12 5
.0 0
52
Q
nu a
a
∆
=⇒−=⇒=
 
Lại có:
( )
1 125 1 5 125 5 2 3
.5. : 1
6 36 6 2 36 3 5 5 5
OABC
y
V abc c c ABC x z= = ⇒ = ⇒=±⇒ − ± =
Hay
2 3 50xy z−± −=
Ví dụ 4:
Cho hai điểm
( )
1; 2; 1
M
,
( )
1; 0; 1N −−
. Viết
( )
P
đi qua M, N và cắt các trục
Ox
,
Oy
theo tứ tự
tại A, B (khác O) sao cho
3
AM BN
=
Lời giải
Gọi
(
)
;0;0Aa
,
( )
0; ; 0
Bb
và
( )
0; 0; cC
là giao điểm của
( )
P
với các trục tọa độ
Phương trình mặt phẳng
( )
P
là:
1
xyz
abc
++=
( )
0abc ≠
Do
( )
P
đi qua các điểm
( )
1; 2; 1M
,
( )
1; 0; 1N −−
121 11
11
11
1
11 2
1
12
abc ac
ac
b
ac b

++= +=−

+=−

⇒ ⇒⇒

−

=
−= =


Lại có:
( )
( )
2
22 2
3 3 1 4131 1 9AM BN AM BN a b

= ⇔ = ⇔ − ++= + + =

( )
( )
2
3
3
4
14
1
10
ac
a
a loai
c
−
=⇒=
⇔− =⇔
=−⇒ =
Khi đó
(
)
4
:1
31 3
xy z
P +− =
hay
( )
: 3 4 30Px y z+ − −=
Ví dụ 5: Cho hai điểm
( )
1; 9; 4M
. Viết
( )
P
đi qua M và cắt các trục tọa độ theo thứ thự tại A, B, C (khác
O) sao cho
8. 12. 16 37.OA OB OC= +=
, với
0; 0; 0
A BC
xyz>><
Lời giải
Gọi
( )
;0;0Aa
,
( )
0; ; 0Bb
và
( )
0; 0; cC
với
0; 0; 0abc
>><
Khi đó phương trình mặt phẳng
( )
ABC
là:
1
xyz
abc
++=
Do
( ) ( )
194
1; 9; 4 1M ABC
abc
∈ ⇒++=
Mặt khác
;;OA a a OB b b OC c c= = = = = = −
do
0; b 0; c 0a >><
Do
8. 12. 16 37. 8 12 16 37OA OB OC a b c= += ⇒= +=−
Ta có:
(
)
2
5
1 9 4 35 4
8 12 16 37 1 1
8 16 8
7
2
12 37
a
a
ab c
a
a loai
a aa
a
=
−
= + =− ⇒+ + =⇔ =⇔
−
= −
−
−
Với
( )
2
37
5 :1
40
5 2 40
37
b
xy
a Pz
c
=
=⇒ ⇒ +− =
−
=
hay
( )
:8 20 37 40 0Px y z+ − −=
Ví dụ 6:
Phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm
( )
3;0;0A
và
( )
0; 6; 0B
cắt trục
Oz
tai C sao cho thể tích
tứ diện
.O ABC
bằng 12 là:
A.
1
364
xyz
++=
B.
1
364
xyz
+−=
C.
1
362
xyz
++=
D. Cả A và B đều đúng
Lời giải
Giả sử
( )
0; 0;Cc
ta có phương trình mặt phẳng
( )
ABC
là:
1
36
xyz
c
++=
Ta có
,,OA OB OC
đôi một vuông góc nên
11
. . .3.6. 12 4
66
OABC
V OA OB OC c c= = = ⇔=±
.
Chọn D
Ví dụ 7: Gọi A, B, C là giao điểm của mặt phẳng
( )
:1
yz
Px
bc
++=
( )
0bc ≠
với các trục tọa độ. Diện tích
tam giác
ABC
bằng:
A.
22
2
b c bc++
B.
2
bc
C.
2 2 22
2
b c bc++
D.
6
bc
Lời giải
Ta có:
(
) ( ) ( )
1; 0; 0 ; 0; ; 0 ; 0; 0;A Bb C c
.
( ) ( )
1; ; 0 ; 1; 0;AB b AC c=−=−
 
Khi đó:
( )
2 2 22
11
; ;;
22 2
ABC
b c bc
S AB AC bc c b
++

= = =

 
. Chọn C
Ví dụ 8: Trong không gian tọa độ
Oxyz
, cho các điểm
(
)
2; 0; 0A
và
( )
1;1;1H
. Viết phương trình mặt
phẳng
( )
P
đi qua A, H sao cho
( )
P
cắt các tia
Oy
,
Oz
lần lượt tại B, C sao cho diện tích tam giác ABC
bằng
46
A.
( )
: 2 2 20Px y z+ + −=
B.
( )
:2 2 4 0P x yz+ +−=
C.
( )
:2 2 4 0P xy z++ −=
D.
( )
:2 4 0P xyz
++−=
Lời giải
Gọi
( )
0; ; 0Bb
và
( )
0; 0;Cc
(điều kiện
,0bc
>
) suy ra
( )
:1
2
xyz
P
bc
++=
Vì
( )
HP∈
nên
11 1
2
bc
+=
(
) ( ) ( )
222
22 2 2
11
; 2 2 4 6 4 4 384
22
ABC
S AB AC bc c b b c b c

= = + + = ⇔ ++=

 
Đặt
( )
( )
22
2
8; 16
8
4
4 2 384 6; 12
16
vu
uv
u bc bc
bc
v u v u v loai
v bc bc
=
= =
=+ +=

⇒ ⇔ ⇒ ⇔==

+ − = =−=−
= =

Vậy phương trình mặt phẳng
( )
P
là
1
244
xyz
++=
hay
2 40
xyz++−=
. Chọn D
Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
( )
;0;0
Aa
,
( )
0; ; 0
Bb
và
( )
0; 0;
Cc
với
,, 0abc
>
. Biết rằng
( )
ABC
đi qua điểm
123
;;
777
M



và tiếp xúc với mặt cầu
( ) (
) ( ) (
)
2 22
72
:1 2 3
7
Sx y z
−+−+−=
. Tính giá trị
222
111
abc
++
A. 14 B.
1
7
C. 7 D.
7
2
Lời giải
Phương trình mặt phẳng
( )
ABC
là
1
xyz
abc
++=
. Vì
( )
123
7M ABC
abc
∈ ⇒++=
Xét mặt cầu
( )
( ) (
) ( )
2 22
72
:1 2 3
7
Sx y z−+−+−=
có tâm
( )
1; 2; 3I
, bán kính
6 14
7
R =
Khoảng cách từ
( )
I mp ABC →
là
( )
( )
222 222
123
1
6
;
111 111
abc
d I ABC
abc abc
++−
= =
++ ++
Vì mặt cầu
( )
S
tiếp xúc với
( )
mp ABC
( ) ( )
( )
222
1117
;
2
mp ABC d I ABC R
abc
⇒ =⇒++=
. Chọn D
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2; 1; 2M
,
( )
3; 1; 4N −
và mặt
phẳng
( )
:2 3 4 0P xy z−+ −=
. Khi đó mặt phẳng
(
)
Q
đi qua hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng
( )
P
có phương trình là
A.
2 50
xy+−=
B.
2 2 10
xy z− − +=
C.
4 3 10xy z
− − −=
D.
30yz+−=
Câu 2: Trong không gian với hệtọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng d có phương trình là
21
83 5
xy z
−+
= =
−
.
Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
vuông góc với đường thẳng d biết mặt phẳng
(
)
P
đi qua điểm
( )
0; 8;1M −
.
A.
( )
:8 3 5 19 0Pxyz−−+=
B.
( )
:835270Pxyz−−−=
C.
( )
:8 3 5 19 0Pxyz−−−=
D.
( )
: 8 3 5 19 0P xyz−−−−=
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
: 2 5 15 0
Q xy z−+ − =
và điểm
( )
1; 2; 3E −
.
Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
qua E và song song với
(
)
Q
A.
( )
: 2 3 15 0Px y z
+ −+=
B.
( )
: 2 3 15 0Px y z+ −−=
C.
( )
: 2 5 15 0P xy z−+ + =
D.
(
)
: 2 5 15 0P xy z−+ − =
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
0: 23Q xyz+−+=
. Phương trình mặt
phẳng
( )
P
chứa trục
Oy
và vuông góc với mặt phẳng
( )
Q
là:
A.
20xz−=
. B.
20
xy z++ =
. C.
20xz+=
. D.
0xz+=
.
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, phương trình mặt phẳng
( )
P
đi qua điểm
( )
2; 1; 2A −
, song
song với trục
Oy
và vuông góc với mặt phẳng
( )
:2 3 9 0Q xy z
−+ −=
là
A.
3220xz− −=
B.
3240
xz− −=
. C.
2 20xz− −=
. D.
2 20xz− +=
.
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
3;1;5A −−
,
(
)
0; 0; 1
B −
và hai mặt phẳng
( )
1
:32270Q xyz− + +=
,
( )
2
:5 4 3 1 0Q xyz− + +=
. Gọi
( )
P
là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với hai mặt
phẳng
( )
1
Q
và
( )
2
Q
. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
( )
P
bằng:
A. 4 B. 5 C. 6 D. 3
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
0; 0;1A
và hai mặt phẳng
( )
1
: 30Q xy
+−=
,
( )
2
:2 5 0Q xz−−=
. Gọi
( )
P
là mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng
( )
1
Q
và
( )
2
Q
và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
( )
P
bằng
2
6
. Phương trình mặt phẳng
( )
P
là:
A.
2 40
2 30
xy z
xy z
−+ −=
−+ +=
B.
2 10
2 30
xy z
xy z
− + −=
−+ −=
C.
20
2 30
xy z
xy z
−+ =
−+ −=
D.
20
2 40
xy z
xy z
−+ =
−+ −=
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
0; 1; 4A −
,
( )
1; 0; 2B −
và mặt phẳng
( )
: 30Qxz++=
. Gọi
( )
P
là mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng
( )
Q
. Khoảng cách từ gốc
tọa độ đến mặt phẳng
( )
P
bằng:
A.
3
B.
5
C.
23
D.
33
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
1;0;0A
và mặt phẳng
( )
2: 50xQ yz+ +−=
.
Gọi
( )
P
là mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng
( )
Q
. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng
( )
P
bằng:
A.
7
3
B.
1
2
C.
5
2
D.
4
3
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, gọi
( )
P
là mặt phẳng đi qua
( )
1; 2; 3G
và cắt
Ox
,
Oy
,
Oz
lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm cùa tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng
( )
P
là
A.
18 3 2 8 0
xyz+ + −=
. B.
60xyz++−=
.
C.
18 3 2 18 0
xyz++−=
. D.
6 3 2 18 0xyz++−=
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, gọi
( )
P
là mặt phẳng đi qua
( )
1; 2; 3G
và cắt
Ox
,
Oy
,
Oz
lần lượt tại A, B, C sao cho G là trực tâm cùa tam giác ABC. Khoảng cách từ điểm
( )
1;0;0M
đến mặt
phẳng
( )
P
là:
A.
13
14
B.
4
14
C.
5
6
D.
14
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, gọi
( )
α
là mặt phẳng đi qua các hình chiếu của
( )
5; 4; 3A
lên các trục tọa độ. Phương trình của mặt phẳng
( )
α
là
A.
12 15 20 60 0
xyz+ + −=
. B.
12 15 20 60 0
xyz+ + +=
.
C.
0
543
xyz
++=
D.
60 0
543
xyz
++− =
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, mặt phẳng
( )
α
đi qua điểm
( )
5; 4; 3M
và cắt các tia
Ox
,
Oy
,
Oz
tại các điểm A, B, C sao cho
OA OB OC= =
có phương trình là
A.
12 0xyz
++− =
. B.
0xy z++ =
. C.
30xyz+++=
. D.
0xyz−+=
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, gọi
( )
α
là mặt phẳng đi qua điểm
( )
1;1;1M
và cắt các tia
Ox
,
Oy
,
Oz
tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện
OABC
có giá trị nhỏ nhất. Phương trình của
(
)
α
là:
A.
3 0.xyz++−=
B.
2 30
xyz
+−+=
. C.
2 30xy−−=
. D.
30xyz−+−=
.
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, gọi
( )
P
là mặt phẳng đi qua
( )
1;1;1M
và cắt các tia
Ox
,
Oy
,
Oz
lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích của khối tứ diện
OABC
là nhỏ nhất. Phương trình mặt
phẳng
( )
P
là
A.
20xyz++−=
. B.
10xyz+ +−=
. C.
10xyz+ ++=
. D.
30xyz++−=
.
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, gọi
( )
P là mặt phẳng đi qua
( )
2; 1; 2M
và cắt các tia
Ox
,
Oy
,
Oz
lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích của khối tứ diện
OABC
là nhỏ nhất. Phương trình mặt
phẳng
( )
P
là
A.
2 2 30x yz+ −−=
. B.
2 2 30x yz+ +−=
. C.
50xyz++−=
. D.
2 40x yz+ +−=
.
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, gọi
( )
P
là mặt phẳng đi qua
( )
2; 1; 4M
và cắt các tia
Ox
,
Oy
,
Oz
lần lượt tại A, B, C. Thể tích của khối tứ diện
OABC
nhỏ nhất bằng:
A. 34 B. 32 C. 36 D. 35
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, gọi
( )
P
là mặt phẳng đi qua
(
)
1;1; 2
M
và cắt các tia
Ox
,
Oy
,
Oz
lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích của khối tứ diện
OABC
là nhỏ nhất. Khoảng cách từ điểm
( )
0; 0; 2N
đến mặt phẳng
( )
P
bằng:
A. 1 B. 2 C. 4 D. 3
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, gọi
( )
P
là mặt phẳng đi qua
( )
2; 2;1M
và cắt
Ox
,
Oy
,
Oz
lần lượt tại A, B, C sao cho
22OA OB OC
= =
. Phương trình mặt phẳng
(
)
P
là
A.
2 2 10x yz− +−=
. B.
2 2 80xyz+ + −=
. C.
10xyz− −+=
D.
220xz−=
.
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
1; 2; 3M −−
. Gọi
1
M
,
2
M
,
3
M
lần lượt là điểm
đối xứng của M qua các mặt phẳng
( )
Oxy
,
( )
Oxz
,
( )
Oyz
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
123
MMM
A.
6 2 3 60xyz+ + +=
B.
6 2 3 60xyz− + +=
C.
63260xyz− + +=
D.
63260xyz− − +=
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
(
)
1; 2; 3H
−
. Tìm phương trình mặt phẳng
( )
α
cắt
các trục tọa độ
Ox
,
Oy
,
Oz
lần lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC
A.
( )
: 2 3 14 0x yzα + −−=
B.
(
)
: 2 3 40xyzα + − +=
C.
( )
: 6 3 2 18 0xyzα +−−=
D.
( )
:6 3 2 8 0xyzα + − +=
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, gọi
( )
P
là mặt phẳng đi qua
( )
1; 4; 9M
và cắt các tia
Ox
,
Oy
,
Oz
tại A, B, C sao cho
OA OB OC++
đạt giá trị nhỏ nhất. Mặt phẳng
( )
P
đi qua điểm nào trong
các điểm sau đây?
A.
( )
12; 0; 0M
B.
( )
0; 6; 0M
C.
( )
0;12; 0M
D.
( )
0; 0; 6M
Câu 23: Mặt phẳng (a) đi qua điểm
( )
4; 3;12M −
và chắn trên tia
Oz
một đoạn dài gấp đôi các đoạn chắn
trên các tia
Ox
,
Oy
có phương trình là:
A.
2 14 0xy z++ + =
B.
2 2 14 0x yz+ ++ =
.
C.
2 2 14 0x yz+ +− =
. D.
2 14 0xy z
++ − =
.
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
( )
1;0;0M
,
( )
0; 2; 0N
,
( )
3; 0; 4P
. Điểm Q
nằm trên mặt phẳng
()Oyz
sao cho QP vuông góc với mặt phẳng
( )
MNP
. Tọa độ điểm Q là:
A.
3 11
0; ;
22

−


B.
( )
0; 3; 4−
C.
3 11
0; ;
22

−


D.
3 11
0; ;
22



Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
(
)
2; 0; 0A
,
( )
0; 3; 0
B
,
( )
0; 0; 3C
,
( )
1; 1; 2D −
. Gọi H là
chân đường vuông góc kẻ từ D của tứ diện
DABC
. Viết phương trình mặt phẳng
(
)
ADH
?
A.
3 2 2 60
xyz+ + −=
. B.
20xy−−=
C.
6 8 12 0
x yz− −− =
D.
7 5 14 0
x yz− + −+ =
.
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, mặt phẳng
( )
: 27 0P ax by cz++− =
qua hai điểm
( )
3; 2;1
A
,
(
)
3; 5; 2
B −
và vuông góc với mặt phẳng
( )
:3 4 0Q xyz+++=
. Tính tổng
S abc=++
A.
2S = −
B.
2S =
C.
4S
= −
D.
12S = −
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, phương trình mặt phẳng qua
( )
2; 1; 2M −
và chứa giao
tuyến của hai mặt phẳng
( )
: 2 40xy zα +− −=
,
( )
:2 3 1 0xy zβ − + +=
là
A.
3 40xz−−=
B.
8 5 50xy z−+ −=
C.
2 6 12 0xyz−+ − − =
D.
2 30xy z−+ +=
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, mặt phẳng
( )
P
song song với mặt phẳng
( )
: 40Qxyz++−=
và cách
( )
1; 0; 3M
một khoảng bằng
3
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
A.
40xyz++−=
và
80xyz++−=
B.
60xyz++−=
và
10xyz+ +−=
C.
10 0xyz
++− =
D.
10xyz+ +−=
và
70xyz++−=
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho 5 điểm
( )
3;0;0A
,
( )
0; 3; 0B
,
( )
0; 0; 3C
,
( )
1;1;1D
và
( )
1; 2; 3
E
. Hỏi từ 5 điểm này tạo được tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3 điểm trong 5 điểm đó?
A. 5 mặt phẳng B. 10 mặt phẳng C. 12 mặt phẳng D. 7 mặt phẳng
Câu 30: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2; 1; 3A −
,
( )
1; 2; 1E
và
( )
:2 7 0xyP z++−=
. Nếu C là
điểm trên
( )
P
sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng thì tổng hoành độ và tung độ của C nhận giá trị nào sau
đây?
A. 1 B. 3 C.
2−
D. 2
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Ta có:
( )
( )
( )
1; 2; 2
; 4; 1; 3
2; 1; 3
QP
P
MN
n MN n
n
= −

⇒= =−

= −

  

Mà
( )
Q
qua M
(
)
(
)
(
) (
)
:42 1324 310
Q x y z xy z
⇒ − − − − − ⇔ − − −=
. Chọn C
Câu 2:
( )
P
qua
(
)
0; 8;1M
−
và nhận
( )
8;3;5
d
u = −−

là một VTPT
(
)
( ) ( )
:83 85 10 835190Px y z xyz⇒ − +− −=⇔−−−=
. Chọn C
Câu 3:
( )
P
qua
( )
1; 2; 3E −
và nhận
( )
2; 1; 5
Q
n = −

là một VTPT
( ) ( )
( )
( )
: 2 1 2 5 3 0 2 5 15 0
P x y z xy z⇒ −− − + + =⇔ −+ + =
. Chọn C
Câu 4: Trục
Oy
( )
0; 1; 0
Oy
u⇒=

và
( )
( )
( )
: 2 3 0 2; 1; 1
Q
Q xyz n+−+=⇒ = −

Ta có
(
)
( ) ( )
(
) ( )
( )
; 1; 0; 2
Oy
PQ
Oy P
n un
PQ
⊂

⇒= =

⊥
  
Phương trình mặt phẳng
( )
P
là
20xz
+=
. Chọn C
Câu 5: Trục
Oy
( )
0; 1; 0
Oy
u⇒=

và
( )
( )
( )
: 2 3 9 0 2; 1; 3
Q
Q xy z n−+ −=⇒ = −

Ta có
( )
(
) ( )
( ) (
)
( )
/ / Oy
; 3; 0; 2
Oy
PQ
P
n un
PQ

⇒= = −

⊥
  
Phương trình mặt phẳng
( )
P
là
3220xz− −=
. Chọn A
Câu 6:
( )
( )
1
3; 2; 2
Q
n = −

,
(
)
( )
2
5; 4; 3
Q
n = −

và
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
12
1
2
; 2; 1; 2
P QQ
PQ
n nn
PQ
⊥

⇒= = −

⊥
  
Phương trình mặt phẳng
( )
P
qua A, có
(
)
( )
2; 1; 2
P
n = −

là
( ) ( )
2 3 1 2 5 0 2 2 10 0x y z xy z− ++− + =⇔ +− − =
Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
( )
P
bằng
( )
(
)
( ) ( )
( )
2
22
2 . 1 10
;4
21 2
dB P
− −−
= =
+ +−
. Chọn A
Câu 7:
( ) ( )
12
; 1;1; 2 : 2 0
P QQ
n nn Pxy zm

= =− − ⇒ −+ + =

  
Mà
( )
( )
0
2
22
;
4
6 66
m
m
dAP
m
=
+
=⇒=⇒
= −
. Chọn D
Câu 8:
( ) ( ) ( )
1; 1; 2 , 1;1;1 : 0
PQ
AB n AB n P x y z m

= − ⇒ = =− ⇒ −−+ =

   
Mà (P) qua
( )
0; 1; 4 0 1 ( 4) 0 3 ( ) : 3 0A m m Pxyz= ⇒ −−− + = ⇔ =− ⇒ − − − =
Ta có
( )
(
)
222
0003
3
,3
3
111
dO P
−−−
= = =
++
. Chọn A
Câu 9: Do
( )
P
là mặt phẳng qua
( )
1;0;0A
và song song với
( )
Q
nên
(
)
: 2 10Px yz
+ +−=
Khi đó
( )
( )
( )
2
22
0 2.0 0 1
1
,
2
1 21
dO P
+ +−
= =
++
. Chọn B
Câu 10: Phương trình mặt phẳng
( )
:1
xyz
P
abc
++=
với
( )
;0;0Aa
,
( )
0; ; 0Bb
,
( )
0; 0;Cc
.
Do
(
)
1; 2; 3G
là trọng tâm của
ABC∆
nên
3
a =
,
6
b =
,
9
c =
( )
: 1 6 3 2 18 0
369
xyz
P xyz⇒ ++=⇔ + + − =
. Chọn D
Câu 11: Do OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và G là trực tâm của
ABC∆
Nên
( ) ( )
1; 2; 3OG ABC OG⊥ ⇒=

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
P
Phương trình mặt phẳng
( )
P
là
( ) (
) (
)
1 1 2 2 3 3 0 2 3 14 0x x z xyz
−+ −+ −=⇔+ +−=
Khoảng cách từ điểm
(
)
1;0;0M
đến mặt phẳng
( )
P
là
( )
( )
222
1 14
13
;
14
123
dM P
−
= =
++
. Chọn A
Câu 12:
(
)
α
sẽ đi qua các điểm
( )
5;0;0M
,
( )
0; 4; 0N
,
( )
0; 0; 3C
Phương trình đonạ chắn
( )
: 1 12 15 20 60 0
543
xyz
xyz⇒α + + = ⇔ + + − =
. Chọn A
Câu 13:
( )
;0;0Aa
,
(
)
0; ; 0Ba
,
(
)
0; 0;
Ca
(
)
0
a >
Phương trình đoạn chắn
1
xyz
xyza
aaa
⇒++=⇔++=
Mà
( )
α
qua
( )
( )
5; 4;3 5 4 3 12 : 12 0M a xyz
⇒=++= ⇒α ++− =
. Chọn A
Câu 14: Giả sử
( )
;0;0Aa
,
( )
0; ; 0Bb
,
( )
0; 0;Cc
( )
, ,c 0ab
>
Ta có
1 11 1 1
. . . ..
3 32 6 6
OABC OBC
V OA S OA OB OC OA OB OC abc
= = = =
Phương trình đoạn chắn
( )
:1
xyz
abc
⇒α + + =
Mà
( )
α
qua
( )
3
1 1 1 3 1 27 9
1;1;1 1 27
6 62
OABC
M abc V abc
abc
abc
⇒= + + ≥ ⇒ ≥ ⇒ = ≥ =
Dấu “=” xảy ra
1111
3
3
abc
abc
⇔ ===⇔===
Khi đó
(
)
: 1 30
333
xyz
xyzα + + =⇔++−=
. Chọn A
Câu 15: Gọi
( )
;0;0Aa
,
( )
0; ; 0Bb
,
( )
0; 0;Cc
với
, ,c 0ab
>
Phương trình mặt phẳng
( )
P là
1
xyz
abc
++=
Ta có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau nên
.
11
. . ..
6 66
O ABC
abc
V OA OB OC a b c= = =
Vì
( ) ( )
111
1;1;1 1MP
abc
∈ ⇒++=
Theo bất đẳng thức Cosi, có
3
111 1
3 27
abc
a b c abc
++≥ ⇔ ≥
Khi đó
.
27 9
6 62
O ABC
abc
V
= ≥=
. Dấu = xảy ra khi
3abc= = =
Suy ra
( )
: 30
Pxyz++−=
. Chọn D
Câu 16: Gọi
( )
;0;0Aa
,
(
)
0; ; 0Bb
,
( )
0; 0;Cc
với
, ,c 0ab >
Phương trình mặt phẳng
( )
P
là
1
xyz
abc
++=
Ta có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau nên
.
11
. . ..
6 66
O ABC
abc
V OA OB OC a b c= = =
Vì
(
)
( )
212
2; 1; 2 1MP
abc
∈ ⇒++=
Theo bất đẳng thức Cosi, có
3
212 4
3 108abc
a b c abc
++≥ ⇔ ≥
Khi đó
.
108
18
66
O ABC
abc
V =≥=
Dấu = xảy ra khi
2ab c= =
. Suy ra
( )
: 2 60Px yz+ +−=
. Chọn D
Câu 17: Gọi
( )
;0;0Aa
,
(
)
0; ; 0
Bb
,
(
)
0; 0;Cc
với
, ,c 0ab >
Phương trình mặt phẳng
( )
P
là
1
xyz
abc
++=
Ta có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau nên
.
11
. . ..
6 66
O ABC
abc
V OA OB OC a b c= = =
Mà
( ) ( )
214
2; 1; 4 1MP
abc
∈ ⇒++=
Theo bất đẳng thức Cosi, có
3
214 8
3 216abc
a b c abc
++≥ ⇔ ≥
Khi đó
{
}
..
216
36 min 36
66
O ABC O ABC
abc
VV=≥=⇒ =
. Chọn C
Câu 18: Gọi
( )
;0;0Aa
,
( )
0; ; 0Bb
,
( )
0; 0;Cc
với
, ,c 0ab
>
Phương trình mặt phẳng
( )
P là
1
xyz
abc
++=
Ta có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau nên
.
11
. . ..
6 66
O ABC
abc
V OA OB OC a b c= = =
Mà
( ) ( )
112
1;1; 2 1MP
abc
∈ ⇒++=
Theo bất đẳng thức Cosi, có
3
.
112 2 54
3 54 9
66
O ABC
abc
abc V
a b c abc
++≥ ⇔ ≥ ⇒ = ≥ =
Dấu = xảy ra khi
( ) ( )
( )
3
: 2 60 ; 1
6
ab
P x y z dN P
c
= =
⇒ ++ −=⇒ =
=
. Chọn A
Câu 19: Gọi
( )
;0;0Aa
,
( )
0; ; 0
Bb
,
( )
0; 0;Cc
với
, ,c 0ab >
Phương trình mặt phẳng
( )
P
là
1
xyz
abc
++=
. Ta có
( ) ( )
221
2; 2;1 1MP
abc
∈ ⇒++=
Mà
2
2
22
2
2
2
ab
ab
a
OA OB OC b c
ac
ac
=
=
= = ⇔ ⇔ ⇔==

=
=
Khi đó
(
)
242 8
1 1 8 4 : 1 2 2 80
844
xyz
a bc P x y z
aaa a
+ + =⇔ =⇔ =⇒==⇒ + + =⇔+ + −=
. Chọn B
Câu 20: Tọa độ các điểm
1
M
,
2
M
,
3
M
lần lượt là
(
)
1
1; 2; 3
M −
,
( )
2
1;2;3M −−−
,
(
)
3
1; 2; 3
M −
Ta có
( )
12
0; 4; 6MM = −−

,
( )
13
2; 0; 6MM = −

Khi đó
(
)
( ) (
)
123
12 13
; 24; 12;8 4 6; 3; 2
MM M
n MM MM

= =−=−

  
Phương trình mặt phẳng
( )
123
MMM
là
( ) ( ) ( )
6 13 2 2 3 0xy z+− −+ −=
hay
63260
xyz− + +=
. Chọn C
Câu 21: Do A, B, C lần lượt thuộc các trục
Ox
,
Oy
,
Oz
Nên ta có
OA OB OC⊥⊥
Khi đó
( )
OC OAB⊥
nên
AB OC⊥
( )
1
Do H là trực tâm tam giác ABC
CH AB⇒⊥
( )
2
Từ
( )
1
và
( )
2
( )
AB OCH AB OH⇒⊥ ⇒⊥
Tương tự ta có:
( )
BC OH OH ABC⊥⇒⊥
( )
( )
1; 2; 3
ABC
n OH⇒= −
 
Phương trình mặt phẳng
( )
α
qua
( )
1; 2; 3H −
có VTPT là
( )
1; 2; 3n = −
là:
2 3 14 0x yz+ −−=
. Chọn A
Câu 22: Gọi
( )
;0;0Aa
,
(
)
0; ; 0Bb
,
( )
0; 0;Cc
là các điểm lần lượt thuộc các tia
Ox
,
Oy
,
Oz
với
, ,c 0ab >
. Phương trình mặt phẳng
( )
ABC
theo đoạn chắn là
1
xyz
abc
++=
Do mặt phẳng
( )
P
đi qua
( )
1; 4; 9M
nên
149
1
abc
++=
Khi đó
OA OB OC a b c+ + =++
Mặt khác theo BĐT Bunhiacopsky ta có:
( ) ( )
2
149
1 2 3 36
abc
abc

++ + + ≥ ++ =


Dấu bằng xảy ra
22
2
4 9 23
b c bc
aa
⇔ = = ⇒= =
Mà
( )
149 123
1 1 6; 12; 18 : 1
6 12 18
xy z
ab c P
abc aaa
++=⇒++=⇒= = = ⇒ + + =
Do đó
( )
P
đi qua điểm
( )
0;12; 0M
. Chọn C
Câu 23: Giả sử mặt phẳng
( )
α
cắt các tia
Ox
,
Oy
,
Oz
lần lượt tại các điểm
( )
;0;0Am
,
( )
0; ; 0Bn
,
( )
0; 0;Cp
với
,, 0mn p>
thì phương trình mặt phẳng
( )
α
là
1
xyz
mn p
++=
Theo bài ra ta có:
4 3 12
1
mn p
−+ =
và
4 3 12 14
2 2 1 1 14
22
pmn p
pp
pp
= = ⇒ − + =⇔ =⇔=
Do đó
( )
( )
14, 7 : 1 : 2 2 14 0
7 7 14
xy z
p mn x yz= = = ⇒α + + = ⇒α + + − =
. Chọn C
Câu 24: Gọi
( ) ( )
0; ; 3; ; 4Q b c QP b c⇒ =−−

Lại có
( )
1; 2; 0MN = −

;
(
)
2; 0; 4MP
=

, do QP vuông góc với mặt phẳng
( )
QP MN
MNP
QP MP
⊥
⇒
⊥
 
 
3
. 0 32 0
2
6 16 4 0 11
.0
2
b
QP MN b
c
QP MP
c
= −
= −− =

⇔⇔ ⇔

+−=
=
=
 
 
. Chọn A
Câu 25: Phương trình mặt phẳng
( )
ABC
theo đoạn chắn là
1
233
xyz
++=
hay
3 2 2 60xyz+ + −=
Ta có:
(
)
( )
3;2;2
ABC
n =

;
( )
1; 1; 2
AD =−−

Mặt phẳng
( )
ADH
có vectơ pháp tuyến là
n
thì
( )
ABC
n AD
nn
n DH
⊥
⇒⊥
⊥



Khi đó
( )
( ) ( )
; 6; 8;1 6; 8; 1
ABC
n AD n

= =− =− −−

 
Mặt phẳng
( )
ADH
qua
( )
2; 0; 0A
và có VTPT là
( ) ( )
6;8;1 :6 8 12 0
n ADH x y z−− ⇒ − −− =
. Chọn C
Câu 26:
( )
6; 3;1
AB = −

;
(
)
( )
3;1;1
Q
n
=

Do
(
)
P
chứa AB và vuông góc với
(
)
Q
nên
( )
(
)
( )
( )
(
)
(
)
; 2; 9; 15
P
PQ
PQ
n AB
n AB n
nn
⊥

⇒= = −

⊥
 
  
 
Phương trình mặt phẳng
( )
P
:
(
)
( )
( )
2 3 9 2 15 1 0
xy z
−+ −− −=
hay
2 9 15 9 0xy z+ − −=
Suy ra
( )
6
: 6 27 45 27 0 27 12
45
a
P x y z b abc
c
=
+ − − =⇒ = ⇒++=−
= −
. Chọn D
Câu 27: Gọi
( ) ( )
d =α∩β
Cho
( )
41
0 1; 3; 0
213
xy x
z Ad
xy y
+= =

=⇒ ⇔⇒ ∈

−=− =

Cho
( )
2 4 10
0 0;10;3
31 3
yz y
x Bd
yz z
−= =

=⇒ ⇔⇒ ∈

−+ =− =

Mặt phẳng cần tìm đi qua 3 điểm A, B, M ta có:
( )
1;2;2MA = −

;
( )
2;9;5MB = −

Do đó
( )
( ) ( )
; 8; 1; 5 8; 1; 5
ABM
n MA MB

= =− −=− −

  
Phương trình mặt phẳng
( )
ABM
là:
8 5 50xy z
−+ −=
. Chọn B
Câu 28: Phương trình mặt phẳng
( )
P
có dạng:
0xyzD+++ =
Do
( )
( )
222
1
4
; 3 3 43
7
111
D
D
dM P D
D
= −
+
= ⇔ = ⇔ +=⇔
= −
++
Vậy phương trình mặt phẳng
( )
P
là:
10
xyz+ +−=
và
70xyz++−=
. Chọn D
Câu 29: Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng đi qua 3 điểm
( )
3;0;0A
,
( )
0; 3; 0B
,
( )
0; 0; 3C
là:
1
333
xyz
++=
hay
30xyz++−=
Do đó điểm
( )
D ABC∈
,
( )
E ABC∉
⇒
từ 5 điểm A, B, C, D, E
Chọn 2 điểm thuộc mặt phẳng
( )
ABCD
và điểm E ra có
2
4
6C =
mặt phẳng
Cộng thêm mặt phẳng
( )
ABCD
suy ra có tổng cộng 7 mặt phẳng được tạo thành từ 5 điểm trên. Chọn D
Câu 30: Gọi
( ) ( )
;;C abc P∈
ta có:
2 70abc++−=
( )
2
Mặt khác
( )
2; 1; 3AC a b c
=− −+

;
( )
1;1; 4AB = −

Do A, B, C thẳng hàng nên
213
.
11 4
a bc
AC k AB
− −+
=⇔==
−
 
( )
1
Từ
( )
1
và
( )
2
ta có:
1
3
2 70
8
3
213
3
11 4
11
3
a
abc
b ab
a bc
c
=
++−=

⇔ = ⇒+=

− −+
= =

−
=
. Chọn B

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

CHỦ ĐỀ 15: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết vectơ pháp tuyến
Một số cách xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng hay gặp:   
 (P) đi qua ba điểm phân biệt A, B, C thì có véc tơ pháp tuyến n = AB ACP ;    
 (P) đi qua điểm A và song song với (Q) thì ta chọn cho n = n P Q   n ⊥ n   
 (P) vuông góc với hai mặt phăng phân biệt (α),(β ) thì P
 α  →n = n α n P ; β n n   ⊥  P β     n ⊥ a   
 (P) song song với hai véc tơ a;b thì P   
→n = a bP ; n b   ⊥ P   n ⊥ AB   
 (P) đi qua điểm A,B và vuông góc với (α) thì P   
→n = AB n P ; α n n   ⊥ P α   n ⊥ u   
 (P) song song với hai đường thẳng d ;d thì P d1
  
→n = u u P d ; 1 2 1 d 2 n u   ⊥ P d 2   
 (P) chứa đường thẳng d và vuông góc mặt phẳng (α ) thì n = u n P d ;  α    
 (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng ∆ thì n = u u P d ; ∆  
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (3; 1; − + − − ) 1 x y z
và vuông góc với đường thẳng 1 2 3 ∆ : = = ? 3 2 − 1
A. 3x − 2y + z −12 = 0 B. 3x + 2y + z −8 = 0
C. x − 2y + 3z + 3 = 0
D. 3x − 2y + z +12 = 0 Lời giải  
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm ta có: (P) ⊥ ∆ ⇒ n = u = − P ∆ 3; 2;1 . ( ) ( ) 
Phương trình mặt phẳng (P) qua M (3; 1; − ) 1 và có VTPT n(3; 2 − ; ) 1 là:
(P):3(x −3) – 2( y + )1+1(z − )1 = 0 hay 3x − 2y + z –12 = 0 . Chọn A.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A(1;0; 2 − ) ; B( 1 − ;2;4) và C (2;0; ) 1 . Phương
trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC là:
A. 3x − 2y − 3z – 3 = 0 B. 3x − 2y − 3z + 3 = 0
C. 3x − 2y − 3z – 9 = 0 D. 3x − 2y − 3z + 9 = 0 Lời giải  
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm thì n = BC = − − P (3; 2; 3) 
Mặt phẳng (P) qua A(1;0; 2 − ) và có VTPT n = − − ⇒ P
x − y − z − = . Chọn C. P (3; 2; 3) ( ) :3 2 3 9 0
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M M (3; 1 − ; 2 − ) và mặt phẳng
(α ):3x − y + 2z + 4 = 0. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với (α )?
A. 3x − y + 2z − 6 = 0
B. 3x + y − 2z −14 = 0
C. 3x − y + 2z + 6 = 0
D. 3x + y − 2z +14 = 0 Lời giải  
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm ta có: (P) / / (α ) ⇒ n = n = − P α 3; 1;2 . ( ) ( ) ( ) 
Mặt phẳng (P) qua M (3; 1 − ; 2
− ) và có VTPT là n = (3; 1;
− 2) có phương trình là: 3x − y + 2z − 6 = 0 . (P) Chọn A
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z − 6x + 4y − 2z + 5 = 0 và đường thẳng
x − 2 y + 3 z +1 d : = =
. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d và đi 1 1 5 −
qua tâm của mặt cầu (S ).
A. (P) :3x − 2y + z − 6 = 0 .
B. (P) : x + y −5z − 4 = 0 .
C. (P) : x + y −5z + 4 = 0.
D. (P) :3x − 2y + z + 6 = 0 Lời giải
Ta có: (S ) (x − )2 + ( y + )2 + (z − )2 : 3 2
1 = 9 ⇒ (S ) có tâm I (3; 2 − ; ) 1 và bán kính R = 3  
VTCP của d là u = (1;1; 5
− ) . Mặt phẳng (P) qua I và nhận u làm VTPT.
Phương trình (P) là: (P) :1(x −3) +1(y + 2) −5(z −1) = 0 hay (P) : x + y −5z + 4. Chọn C.x = 1+ 3t
Ví dụ 5: Cho hai đường thẳng  x −1 y + 2  = 2 − + ; : z d y t d =
= và mặt phẳng(P) : 2x + 2y − 3z = 0 . 1 2 2 1 − 2 z =  2
Phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của d và (P) , đồng thời vuông góc với d là 1 2
A. 2x − y + 2z + 22 = 0 B. 2x − y + 2z +13 = 0
C. 2x − y + 2z −13 = 0 D. 2x + y + 2z − 22 = 0. Lời giải
Gọi giao điểm của d và (P) là M (1+ 3t; 2
− + t;2)∈d . 1 1
Do M ∈(P) ⇒ 2 + 6t − 4 + 2t − 6 = 0 ⇔ t =1⇒ M (4; 1; − 2)  
Mặt phẳng (Q) cần tìm có: n = u = − Q d 2; 1;2 ( ) ( ) 2
Do đó phương trình mặt phẳng (Q) là: 2x − y + 2z −13 = 0 . Chọn C.
Ví dụ 6: Phương trình mặt phẳng qua A(1;0; 4
− ) và vuông góc đồng thời với cả 2 mặt phẳng
(P): x + y + z − 2 = 0 và (Q):2x − y − 4z + 2 = 0là:
A. y + z = 0.
B. x − y − 2z + 3 = 0.
C. 2x + y − 2z − 3 = 0.
D. x − 2y + z + 3 = 0. Lời giải   Ta có : n = (1;1; ) 1 ;n = (2; 1; − 4 P Q ) ( ) ( )   (
 α ) ⊥ (P) n ⊥ n    Do  (P) 
⇒   ⇒ =   (  α ) ( = − − = − − Q) n  (n n P) ; (Q) ( 3;6; 3) 3(1; 2;1). n  ⊥ ⊥  ( n Q)
Khi đó(α) qua A(1;0; 4 − ) và có VTPT (1; 2 − ; )
1 ⇒ (α ) : x − 2y + z + 3 = 0 . Chọn D.
Ví dụ 7: Phương trình mặt phẳng qua A(1;2;0) vuông góc với (P) : x + y = 0 và song song với đường thẳng x −1 y z +1 d : = = là: 2 4 − 3 −
A. x + 2y − 2z − 5 = 0.
B. x − y + 2z +1 = 0.
C. x − y + 2z −1 = 0.
D. x − y + z +1 = 0. Lời giải   Ta có : n = u = − − P (1;1;0); d (2; 4; 3) ( ) (  
 α ) ⊥ (P) n ⊥ n    Do (P)  ⇒  ⇒  
n = n ;u  = − − = − −  P d ( 3;3; 6) (  α ) ( ) 3(1; 1;2) / /d n u   ⊥ d
Khi đó(α) qua A(1;2;0) và có VTPT(1; 1;
− 2) => (α ) : x − y + 2z +1 = 0. Chọn B.
Ví dụ 8: Phương trình mặt phẳng đi qua gốc toạ độ và song song với cả 2 đường thẳng x y 1 : z d − = = và 1 1 1 1 x +1 y z −1 d : = = là: 2 3 − 1 3
A. x + 2y − z = 0.
B. x − 3y + 2z = 0.
C. x + y = 0.
D. y + z = 0. Lời giải    
Ta có : u = u = 1;1;1 ;u = u = 1; 3 − ;2 1 d ( ) 2 d ( ) ( 1) ( 2) (    α ) ⊥ d n ⊥ u    Do 1 1 
⇒   ⇒ n = u ;u  = 2; 6; − 4 = 2(1; 3 − ;2). 1 2 ( ) (  α ) / / d   2 n ⊥ u2
Khi đó(α) qua O(0;0;0) và có VTPT(1; 3
− ;2) ⇒ (α ) : x − 3y + 2z = 0. Chọn B.
Ví dụ 9: Phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm A(2;4; ) 1 và B(5;7;− ) 1 và vuông góc với mặt
phẳng(P) : x −3y + 2z +1 = 0 là:
A. 2x − y − z +1 = 0.
B. x − 2y − z − 2 = 0.
C. 2y + 3z −11 = 0.
D. x + y + z − 2 = 0. Lời giải     Ta có: AB = (3;3; 2
− ) ⇒ n = A ; B n  = (0; 8 − ; 1 − 2)  ( ) = 4 − (0;2;3) P  
Mặt phẳng(α) cần tìm đi qua A(2;4; )
1 và có VTPT n(0;2;3) ⇒ (α) : 2y + 3z −11= 0. Chọn C.
Ví dụ 10: Cho đường thẳng x +1 y − 2 ∆ : z = =
và mặt phẳng(P) : x − y + z −3 = 0. Phương trình mặt 1 − 2 3 −
phẳng đi qua O, song song với ∆ và vuông góc với mặt phẳng (P) là
A. x + 2y + z = 0.
B. x − 2y + z = 0.
C. x + 2y + z − 4 = 0.
D. x − 2y + z + 4 = 0. Lời giải (
 P) ⊥ (Q)   
Gọi mặt phẳng cần tìm là (Q) ta có:  ⇒ =   ( =  Q  ) (
n )  (n );u∆ (1;2;1) / / Q P  ∆
⇒ (Q) : x + 2y + z = 0. Chọn A.
Ví dụ 11: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1;0;− )
1 . Mặt phẳng (α) đi qua M và chứa trục Ox có phương trình là
A. x + z = 0.
B. y + z +1 = 0. C. y = 0. D.
x + y + z = 0. Lời giải  
Mặt phẳng(α) nhận OM;u  là một VTPT. Ox    OM  = (1;0;− ) 1   Mà  ⇒  
OM ;u  = (0; 1; − 0). u  (1;0;0) Ox   = Ox
Kết hợp với (α) đi qua M (1;0; 1
− ) ⇒ (α ) : −( y − 0) = 0 ⇔ y = 0.Chọn C.
Ví dụ 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A(0;1; ) 1 , B(2;5;− ) 1 . Tìm phương trình
mặt phẳng (P) qua A, B và song song với trục hoành.
A. (P) : y + z − 2 = 0.
B. (P) : y + 2z −3 = 0.
C. (P) : y + 3z + 2 = 0. D. (P) : x + y − z − 2 = 0. Lời giải      Ta có AB = (2;4; 2 − ) và u = (1;0;0 suy ra A ; B u  = (0; 2; − 4 − ) ⇒ n =  Ox P (0;1;2). Ox ) ( ) ( ) ( ) 
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và có (n là y −1+ 2(z −1) = 0 ⇔ y + 2z −3 = 0.Chọn C. P)
Ví dụ 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P) : x + y − z − 2 = 0,
(Q): x +3y −12 = 0 và đường thẳng x −1 y + 2 z +1 d : = =
. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa đường 3 1 − 2
thẳng d và giao tuyến của hai mặt phẳng (P) ,(Q) .
A. (R) :5x + y − 7z −1= 0.
B. (R) : x + 2y − z + 2 = 0.
C. (R) : x + 2y − z = 0.
D. (R) :15x +11y −17z −10 = 0. Lời giải  
VTPT của mặt phẳng (P) là n = 1;1; 1
− , VTPT của mặt phẳng (Q) là n = 1;3;0 . 2 ( ) 1 ( )   
Gọi d ' = (P) ∩(Q). Khi đó vtcp của d ' là u = n ;n  = 3; 1;
− 2 cũng là vtcp của d ⇒ d / /d ' 1 2 ( )   ( A 1; 2; − 1
− )∈ d; B(0;4;2)∈ d '.     Ta có: AB( 1
− ;6;3). VTPT của (R) là: n = A ; B u = (15;11; 17 − )  
Phương trình mặt phẳng (R) là:
(R) :15(x − 0) +11( y − 4) −17(z − 2) = 0 hay (R) :15x +11y −17z −10 = 0. Chọn D.
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách 
- Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là n = a b c , 2 2 2
a + b + c ≠ 0 P ( ; ; )
- Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d nên (P) đi qua M (x ; y ; z ∈d và vuông góc với vectơ chỉ 0 0 0 ) phương của d (  P
 ) : a ( x − x + b y − y + c z − z 0 ) ( 0 ) ( 0 )
Khi đó ta có  
n u = ⇔ a = f b cQ. d 0 ( ; )
- Từ các dữ kiện về góc, khoảng cách ta được một phương trình đẳng cấp bậc hai theo các ẩn a, b,
c. Thay a = f ( ;
b c) vào phương trình này, giải ra được b = .
m c hoặc b = . n c
Chọn cho c =1, từ đó tìm được các giá trị tương ứng của a và b ⇒ phương trình mặt phẳng (P) cần lập.
Chú ý: Phương trình đẳng cấp bậc hai là phương trình có dạng 2 2 2     + + = 0 x x ⇔ + + = 0 x Ax Bxy Cy A B C ⇒ = t ⇔ x =     t.y y   y y
Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng (α) : x + 2y − z + 5 = 0 ; (β) : 4x − 2y + 3 = 0 .
Lập (P) vuông góc với cả hai mặt phẳng đã cho đồng thời khoảng cách từ điểm A(3;1 ) ;1 đến (P) bằng 8 30 Lời giải   (
 P) ⊥ (α) n ⊥ n      Ta có:  (P) (α) 
⇒   ⇒ =   n = − ; n = − β (4; 2;0) α (1;2; ) ( , trong đó 1  P ( ) ( )  ) ( ) ( n n α n P)  ( ); (β)  ⊥ β  (n ⊥ n P) (β)  ⇒ n = ( 2; − 4; − 1 − 0) = 2
− (1;2;5 ⇒ Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x + 2y + 5z + D = 0 P ) ( ) 8 3+ 2 + 5 + DD = − Lại có: d ( ; A (P)) 8 2 = ⇔ = ⇔ D +10 = 8 ⇔ 30 1+ 4 + 25 30  D = 18 −
Do đó (P) : x + 2y + 5z − 2 = 0 hoặc (P) : x + 2y + 5z −18 = 0
Ví dụ 2: Lập phương trình (P) đi qua A(1; 1; − 0), B(2; 1 − ;− )
1 sao cho khoảng cách từ M ( 2 − ;1;3) đến (P) bằng 2 3 Lời giải 
Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là n = ( ; a ; b c , 2 2 2
a + b + c ≠ 0 P ) ( )    Ta có: AB(1;0;− )
1 , do (P) chứa AB nên (n ).AB = 0 ⇔ a −c = 0 ⇔ a = c P
Khi đó: (P) : a(x − ) 1 + b( y + ) 1 + az = 0 3
− a + 2b + 3a b
Ta có: d (M;(P)) 2 1 2 2 2 2 2 = = ⇔
= ⇔ 9b = 2a + b ⇔ 4b = a ⇔ a = 2 ± b 2 2 2 2 2a + b 3 2a + b 3
• Với a = 2b chọn b =1⇒ a = 2 = c ⇒ (P) : 2x + y + 2z −1 = 0 • Với a = 2
− b chọn b = 1
− ⇒ a = 2 = c ⇒ (P) : 2x + y + 2z − 3 = 0
Ví dụ 3: Lập phương trình (P) chứa x +1 y z + 2 d : = =
sao cho khoảng cách từ A( 3 − ;1 ) ;1 đến (P) bằng 1 1 2 − 2 3 Lời giải 
Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là n = ( ; a ; b c , 2 2 2
a + b + c ≠ 0 P ) ( )  
Mặt phẳng (P) chứa d nên (n u = ⇔ a +b − c = ⇒ b = c − a P). d 0 2 0 2
(P) đi qua điểm ( 1;
− 0;2) ⇒ (P) : a(x + )
1 + by + c(z + 2) = 0 − + + − + − + − +
d ( A (P)) 2a b 3c
2a 2c a 3c 3a 5c 2 ; = = = = 2 2 2 2 a + b + c
a + (2c − a)2 2 2 2 + c
2a − 4ac + 5c 3 ⇔ ( 2 2
4 2a − 4ac + 5c ) = 3(3a −5c)2 a = c 2 2
⇔ 19a − 74ac + 55c = 0 ⇔ 19   a = 55c
• Với a = c chọn a = c =1⇒ b =1⇒ (P) : x + y + z + 3 = 0
• Với 19a = 55c chọn a = 55;c =19 ⇒ b = 17
− ⇒ (P) :55x −17y +19z + 93 = 0 Ví dụ 4: Cho x − 2 y +1 ∆ : z = =
; (P) : 2x + y − z + 3 = 0 1 3 1 −
Lập (Q) / /∆ ; (Q) ⊥ (P) đồng thời khoảng cách từ A(1;2;0) đến (P) bằng 7 30 Lời giải   Ta có: n = (2;1;− ) ( ) 1 ; u = − ∆ (1;3; )1 P   
Do (Q) / /∆ và (Q) ⊥ (P) ⇒ n = n ;u  = ∆ (2;1;5 QP ) ( ) ( ) 
Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: 2x + y + 5z + D = 0 7 4 + DD = Lại có: d ( ; A (P)) 7 3 = ⇔ = ⇔ D + 4 = 7 ⇔ 30 4 +1+ 25 30  D = 11 −
Suy ra phương trình mặt phẳng (Q) là: (Q) : 2x + y + 5z + 3 = 0 hoặc (Q) : 2x + y + 5z −11 = 0
Ví dụ 5: Lập phương trình (P) đi qua A( 1; − 2; )
1 , vuông góc với mặt phẳng (xOy) đồng thời khoảng cách từ điểm B(1;1; 3
− ) đến (P) bằng 3 5 Lời giải 
Giả sự mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là n = ( ; a ; b c , 2 2 2
a + b + c ≠ 0 P ) ( )
 
Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (xOy) : z = 0 nên (n ). (n ) = 0 ⇔ c = 0 P xOy
(P) đi qua điểm A( 1; − 2; )
1 ⇒ (P) : a(x + )
1 + b( y − 2) = 0 −  = d (B (P)) 2a b 3 a b ; = =
⇔ 5(2a − b)2 = 9( 2 2 2 a + b ) 2 2
⇔ 11a − 20a − 4b = 0 ⇔  2 2 a + b 5 11  a = 2 − b
• Với a = 2b chọn b =1⇒ a = 2 ⇒ (P) : 2x + y = 0 • Với 11a = 2
− b chọn a = 2 ⇒ b = 11
− ⇒ (P) : 2x −11y + 24 = 0 x = 2 + t
Ví dụ 6: Cho d : y =1− 2t và các điểm A(1;1;2) , B(3;1;− ) 1 z = t− 
Lập (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng hai lần khoảng cách từ B tới (P) Lời giải 
Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là n = ( ; a ; b c , 2 2 2
a + b + c ≠ 0 P ) ( )  
Mặt phẳng (P) chứa d nên (n u = ⇔ a − b −c = ⇒ c = a − b P). d 0 2 0 2
(P) đi qua điểm M (2;1;0) ⇒ (P):a(x − 2)+b( y − )1+ cz = 0 −a + 2c a − c Lại có: d ( ;
A (P)) = 2d ( ; B (P)) ⇒ = 2
⇔ a − 2c = 2a − 2c 2 2 2 2 2 2 a + b + c a + b + c
a − 2c = 2a − 2ca = 0 ⇔ ⇔  a 2c 2a 2c  − = − + 3a = 4c
• Với a = 0 chọn b =1⇒ c = 2
− ⇒ (P) : y − 2z = 0
• Với 3a = 4c chọn 1
a = ⇒ c = ⇒ b = ⇒ (P) y 17 4 3 : 4x + + 3z − = 0 2 2 2
hay (P) :8x + y − 6z −17 = 0 Ví dụ 7: Cho x 1 y 1 : z d − + = =
và các điểm A(1;2;2) , B(4;3;0) 2 1 − 2 −
Lập (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới (P) bằng khoảng cách từ B tới (P) Lời giải 
Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là n = ( ; a ; b c , 2 2 2
a + b + c ≠ 0 P ) ( )  
Mặt phẳng (P) chứa d nên (n u = ⇔ a −b − c = ⇒ c = a −b P). d 0 2 2 0 2 2
(P) đi qua điểm M (1; 1;
− 0) ⇒ (P) : a(x − ) 1 + b( y + ) 1 + cz = 0 3b + 2c 3a + 4b Lại có: d ( ;
A (P)) = d ( ; B (P)) ⇒ =
⇔ 3b + 2c = 3a + 4b 2 2 2 2 2 2 a + b + c a + b + c
2a + 2b = 3a + 4ba = 2 − b
⇔ 3b + 2a − b = 3a + 4b ⇔ 2a + 2b = 3a + 4b ⇔ ⇒  2a 2b 3a 4b  + = − − 5a = 6 − b • Với a = 2 − b chọn 5 b = 1
− ⇒ a = 2;c = ⇒ (P) : 4x − 2y + 5z −10 = 0 2 • Với 5a = 6 − b chọn 17 a = 6 ⇒ b = 5 − ;c =
⇒ (P) :12x −10y +17z − 22 = 0 2
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;1;0) và hai đường thẳng
x −1 y − 3 z −1 d : − + − = = ;
x 1 y 3 z 2 d : = =
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d và 1 1 1 − 1 2 1 − 2 3 1
d đồng thời cách M một khoảng bằng 6 2 Lời giải  u  = 1; 1; −  1 1 ( )   
Vì (P) / /d ;d nên (P) có cặp VTCP là: 
⇒ n = u ;u  = 1;2;1 1 2 ( ) 1 2 u  1;2; 3 P   = − −  2 ( ) ( )
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x + 2y + z + D = 0 3+ DD = 3
P : x + 2y + z + 3 = 0
Lại có: d (M;(P)) ( 1) = 6 ⇔ = 6 ⇔ ⇒   6 D = 9 −
(P : x + 2y + z −9 = 0 2 ) Lấy K (1;3; )
1 ∈d và N (1; 3
− ;2)∈d thử vào các phương trình ( )
1 và (2) ta có N ∈(P nên d ⊂ P 2 ( 1) 1 ) 1 2
Suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là: (P : x + 2y + z −9 = 0 2 )
Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) (x + )2 + ( y − )2 + (z + )2 : 1 1 2 = 2 và hai đường thẳng x − 2 y z −1 d : = = , x y z −1 ∆ : = =
. Phương trình nào dưới đây là phương trình của một 1 2 1 − 1 1 1 −
mặt phẳng tiếp xúc với (S ), song song với d và ∆ ?
A. y + z + 3 = 0
B. x + z +1 = 0
C. x + y + z = 0
D. x + z −1 = 0 Lời giải  
Các VTCP của d và ∆ là: u 1;2; 1 − , u 1;1; 1
− ⇒ VTPT của mặt phẳng cần tìm là: 2 ( ) 1 ( )   
n = u ;u  = 1; − 0; 1 − = 1 − 1;0;1 1 2 ( ) ( )   1 − − 2 + mm = 5
Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là: x + z + m = 0 . Ta có: = 2 ⇔  . Chọn B 2 2 1 +1 m = 1 
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) nhận n = (3; 4 − ; 5 − ) là vectơ
pháp tuyến và (P) tiếp xúc với mặt cầu (S ) (x − )2 + ( y + )2 + (z − )2 : 2 1
1 = 8 . Phương trình mặt phẳng (P) là:
A. 3x − 4y − 5z −15 = 0 hoặc 3x − 4y − 5z − 25 = 0
B. 3x − 4y − 5z +15 = 0 hoặc 3x − 4y − 5z − 25 = 0
C. 3x − 4y − 5z −15 = 0 hoặc 3x − 4y − 5z + 25 = 0
D. 3x − 4y − 5z +15 = 0 hoặc 3x − 4y − 5z + 25 = 0 Lời giải
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng 3x − 4y −5z + m = 0
Xét mặt cầu (S ) (x − )2 + ( y + )2 + (z − )2 : 2 1 1 = 8 ⇒ I (2; 1; − )
1 và bán kính R = 2 2 m + 5 m + 5 m =15
Khoảng cách từ tâm I đến (P) là d = mà d = R ⇒
= 2 2 ⇔ m + 5 = 20 ⇔ 5 2 5 2  m = 25 −
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 3x − 4y − 5z +15 = 0 hoặc 3x − 4y − 5z − 25 = 0 . Chọn B
Ví dụ 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x 1 y 1 : z d + + = = và mặt cầu có 2 2 − 1 phương trình (S ) 2 2 2
: x + y + z − 2x + 4y − 2z − 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với d,
(P) tiếp xúc với (S) đồng thời (P) cắt trục Oz tại điểm có cao độ dương
A. 2x − 2y + z + 2 = 0
B. 2x − 2y + z −16 = 0
C. 2x − 2y + z −10 = 0 D. 2x − 2y + z − 5 = 0 Lời giải  
VTCP của d là u (2; 2; − )
1 . Mặt phẳng (P) nhận u làm VTPT. Phương trình (P) là:
(P):2x − 2y + z + m = 0 ⇒ (P)∩Oz = (0;0;−m) ⇒ m < 0
Ta có: (S ) (x − )2 + ( y + )2 + (z − )2 : 1 2
1 = 9 ⇒ (S ) có tâm I (1; 2 − ; ) 1 và bán kính R = 3 2.1− 2. 2 − +1+ mm = 2
Vì (P) tiếp xúc với (S ) nên d (I;(P)) ( ) = R ⇔ = 3 ⇔  2 + (− )2 2 + m = 16 2 2 1 −
Vì (P) cắt trục Oz tại điểm có cao độ dương nên m = 16
− ⇒ (P) : 2x − 2y + z −16 = 0 . Chọn B
Ví dụ 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A(1;2; ) 1 , B( 2 − ;1;3) , C (2; 1; − ) 1 và D(0;3; )
1 . Mặt phẳng (P) đi qua A, B và khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến mặt phẳng
(P) và C và D nằm ở 2 phía đối với mặt phẳng (P) có phương trình là
A. 2x + 3z − 5 = 0
B. 2y + 3z − 5 = 0
C. 2x − y + 3z − 5 = 0
D. 2x + 3y − 5 = 0 Lời giải
Trung điểm của CD là I (1;1; )
1 do d (C;(P)) = d ( ;
D (P)) mà C, D nằm ở 2 phía đối với mặt phẳng (P)
nên I ∈(P). Khi đó mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng ( ABI )     Ta có AI (0; 1 − ;0); AB( 3 − ; 1 − ;2) ⇒ A ; B AI  = ( 2; − 0; 3
− ) ⇒ ( ABI ) : 2x + 3z − 5 = 0   . Chọn A
Ví dụ 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x + y − 2z + 3 = 0 . Viết phương
trình mặt phẳng (Q) song song với Oz và vuông góc với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách giữa trục
Oz và mặt phẳng (Q) bằng 2 2
A. (Q) : x − y + 4 = 0
B. (Q) : x − y − 4 = 0
C. (Q) : x − y − 2 = 0 D. Cả A và B Lời giải   Ta có: n − u =
. Do mặt (Q) song song với Oz và vuông góc với mặt phẳng (P) nên ta P (1;1; 2) , Oz (0;0; )1   
có: n = n u  = −
⇒ PT mặt phẳng (Q) có dạng: x − y + d = 0 Q P ; Oz (1; 1;0)   d
Do Oz / / (Q) ⇒ d (Oz;(Q)) = d ( ; O (Q)) = = 2 2 ⇔ d = 4 ± 2
• Với d = 4 ⇒ (Q) : x − y + 4 = 0 • Với d = 4
− ⇒ (Q) : x − y − 4 = 0
Vậy (Q) : x − y + 4 = 0 hoặc (Q) : x − y − 4 = 0 là các mặt phẳng cần tìm. CHọn D
Ví dụ 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) có phương trình 2 2 2
x + y + z − 2x + 6y − 4z − 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với đường thẳng x y 3 : z d − =
= , vuông góc với mặt phẳng (α ) : x + 4y + z − 5 = 0 và tiếp xúc với (S ) 1 6 2
A. 2x − y + 2z + 3 = 0
B. 2x − y + 2z − 21 = 0
C. 2x − y + 2z − 21 = 0 D. Cả A và B Lời giải
Mặt cầu (S ) có tâm I (1; 3
− ;2) và bán kính R = 1+ 9 + 4 + 2 = 4   
VTPT của mặt phẳng (P) là: n = n α ; u  = − P d (2; 1;2) ( )  ( ) 
Suy ra phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 2x − y + 2z + D = 0 9 + DD =
Do (P) tiếp xúc với (S ) nên d (I;(P)) 3 = R ⇔ = 4 ⇔ 4 +1+ 4  D = 21 −
Do đó (P) : 2x − y + 2z + 3 = 0 hoặc (P) : 2x − y + 2z − 21 = 0 tuy nhiên mặt phẳng 2x − y + 2z + 3 = 0
chứa đường thẳng d nên bị loại. Chọn B
Ví dụ 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A(1;2;0) , A(2;0; ) 1 và mặt phẳng
(P):2x−y+2z−3=0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua 2 điểm A và B và tạo với mặt phẳng (P) một góc ϕ sao cho 1 cosϕ = 5 Lời giải   Ta có: AB = (1; 2 − ; )
1 . Gọi VTPT của mặt phẳng (Q) là: n = a b c ( 2 2 2
a + b + c > 0) Q ( ; ; )   Khi đó: A .
B n = ⇔ a − b + c = ⇔ a = b − c Q 0 2 0 2 ( )1
Phương trình mặt phẳng (Q) là: a(x − )
1 + b( y − 2) + z = 0
2a − b + 2c Ta có: ((P) (Q)) 1 cos ; = = (2) 2 2 2
9. a + b + c 5 b 1 c = 0 Thế ( ) 1 vào (2) ta có: 2 2 2 =
⇔ 5b = 5b − 4bc + 2c ⇔ (  2 − )2 2 2 + + 5 c = 2b b c b c
• Với c = 0 chọn b =1⇒ a = 2 ⇒ (Q) : 2x + y − 4 = 0
• Với c = 2b chọn b =1⇒ c = 2 ⇒ a = 0 ⇒ (Q) : y + 2z − 2 = 0
Vậy (Q) : 2x + y − 4 = 0 ; (Q) : y + 2z − 2 = 0 là các mặt phẳng cần tìm
Ví dụ 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A( 1 − ; 4 − ; 3 − ); B(2; 1 − ; 6 − ) và mặt
phẳng (P) : x + 2y + z −3 = 0 . Gọi (Q) là mặt phẳng chứa AB và tạo với mặt phẳng (P) một góc α thỏa mãn 3 cosα =
. Khoảng cách từ O đến (Q) có thể bằng 6 A. 3 B. 5 C. 2 D. 2 2 2 3 Lời giải   Ta có: AB = (3;3; 3 − ) = 3(1;1;− ) 1 ; n = (1;2; ) ( ) 1 P  Gọi n (a; ; b c ( 2 2 2
a + b + c > 0) là VTPT của (Q) Q ) ( )  
Do (Q) chứa AB nên (n ).AB = 0 ⇒ a +b −c = 0 ⇔ a +b = c Q  
a + 2b + c Lại có: ((P) (Q)) = (n ;n = P Q ) 3 cos ; cos ( ) ( ) 2 2 2
a + b + c . 6 6
⇔ (a + b + c)2 2 2 2
= a + b + c ⇔ (a + b + a + b)2 2 2 2 2 2 2
= a + b + (a + b)2 ⇔ (  = − a + b)2 a b 2 2 2 2 2 2 3
= 2a + 2ab + 2b ⇔ 6a + 22ab +16b = 0 ⇔  3a = 8 − b • Với a = b
− chọn a = b = − ⇒ c = ⇒ (Q) x − y − = ⇒ d (O (Q)) 3 1; 1 0 : 3 0 ; = 2 • Với 3a = 8
− b chọn a = b = − ⇒ c = ⇒ (Q) x − y + z + = ⇒ d (O (Q)) 11 8; 3 5 :8 3 5 11 0 ; = . 7 2 Chọn A
Ví dụ 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 2 đường thẳng có phương trình
x −1 y +1 z −1 d : = = và : x y z d =
= . Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và tạo với d góc 0 α = 30 . 1 1 1 − 3 2 1 2 − 1 1 2
Khoảng cách từ O đến (Q) có thể bằng A. 6 d = B. 6 d = C. 6 d = D. 6 d = 2 3 6 4 Lời giải   
Ta có: u = u 1; 1; − 3 ; u 1; 2
− ;1 ; d đi qua điểm M (1; 1; − ) 1 2 ( ) d 1 ( ) ( 1) 1  Gọi n (a; ; b c ( 2 2 2
a + b + c > 0) là VTPT của (Q) Q ) ( ) 
Do (Q) chứa d nên n .u = 0 ⇒ a −b + 3c = 0 ⇔ b = a + 3c 1 (Q) 1  
a − 2b + c Lại có: 0
sinα = sin 30 = cos(n ;u = Q 2 ) ( ) 2 2 2
6. a + b + c
a − 2a − 6c + c 1 ⇔
= ⇔ 4(a + 5c)2 = 6( 2 2
2a + 6ac +10c ) 2
a + (a + c)2 2 2 6. 3 + ca = 2 − c 2 2
⇔ 8a − 4ac − 40c = 0 ⇔  2a = 5c • Với a = 2
− c chọn a = ⇒ c = − ⇒ b = − ⇒ (Q) 2 6 2 1 1
: 2x − y − z − 2 = 0 ⇒ d = = 0 6 3
• Với 2a = 5c chọn a = ⇒ c = ⇒ b = ⇒ (Q) 2 6 5 2 11
: 2x +11y + 2z + 4 = 0 ⇒ d = . Chọn B. 0 15
Dạng 3: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Ví dụ 1: Cho điểm A(3;0;0) và điểm M (0;2;− )
1 .Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, M sao cho
(α) cắt các trục Oy , Oz lần lượt tại các điểm B, C sao cho 1 V =
với O là gốc tọa độ. OABC , 2 Lời giải
Giả sử mặt phẳng (α) cắt các trục Oy ; Oz lần lượt tại B(0; ;
b 0) và C (0;0;c)
Phương trình mặt phẳng ( ABC) là: x y z + + = 1 (bc ≠ 0) 3 b c
Do (α) đi qua điểm M (0;2;− ) 1 nên 2 1 1 2 2 − = 1⇒ = −1 − b b = ⇒ c = b c c b b 2 − b Lại có: 1 1 1 V = OAOB OC = bc = ⇔ bc = OABC . . .3 1 6 6 2 2 bb = 2 − bb =1 Khi đó: . b =1 ⇔  ⇔ 2 2 − bb = b − 2  b = 2 −
Với =1⇒ =1⇒ (α ) : x y z b c + + = 1 3 1 1 Với 1 2 − = − ⇒ = ⇒ (α ) : x y b c − − 2z =1 2 3 2
Ví dụ 2: Cho điểm A( 1
− ;0;0) và mặt phẳng (P) : x + 2y + 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A,
vuông góc với (P) và cắt các trục Oy , Oz lần lượt tại các điểm B, C sao cho 3 S = ABC 2 Lời giải
Giả sử mặt phẳng (α) cắt các trục Oy , Oz lần lượt tại B(0; ;
b 0) và C (0;0;c)
Phương trình mặt phẳng ( ABC) là: x y z + + =1 (bc ≠ 0) 1 − b c  
Do ( ABC) ⊥ (P) 2 ⇒ n
n = ⇒ − + = ⇒ b = ABC . (P) 0 1 0 2 b 2    
Khi đó: AB(1;2;0); AC (1;0;c) 1 5c + 4 3 2 ⇒ S = AB AC =
= ⇔ c = ⇔ c = ± ABC ; 1 1 2   2 2 Suy ra ( ): y z
ABC −x + ± =1 2 1
Ví dụ 3: Cho mặt phẳng (P) : 2x − y + z −5 = 0 . Viết phương trình (Q) chứa đường ∆ = (P) ∩(xOy) và
cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho 125 V = OABC 36 Lời giảix = t 
Ta có: (xOy) : z 0 :  = ⇒ ∆ y = 5 − + 2t ⇒ u = ∆ (1;2;0) z =  0
Do (Q) chứa đường thẳng ∆ ⇒ (Q) qua điểm (0; 5; − 0)  Giả sử ( ) : x y z Q + + = 1 ( ; a c ≠ 0)  1 1 1 n  ; ;  ⇒ = − a 5 − c (Q) a 5 c      Ta có: 1 2 5 ( n u = ⇒ − = ⇒ = ∆ a Q). 0 0 a 5 2 Lại có: 1 125 1 5 125 5 y V = abc = ⇒ c =
⇒ c = ± ⇒ ABC x − ± z = OABC ( ) 2 3 .5. : 1 6 36 6 2 36 3 5 5 5
Hay 2x − y ± 3z − 5 = 0
Ví dụ 4: Cho hai điểm M (1;2; ) 1 , N ( 1; − 0;− )
1 . Viết (P) đi qua M, N và cắt các trục Ox , Oy theo tứ tự
tại A, B (khác O) sao cho AM = 3BN Lời giải Gọi A( ;0 a ;0) , B(0; ;
b 0) và C (0;0;c) là giao điểm của (P) với các trục tọa độ
Phương trình mặt phẳng (P) là: x y z + + = 1 (abc ≠ 0) a b c 1 2 1 1 1 + + = 1 + = 1 − 1 1 a b c a c  + = 1 −
Do (P) đi qua các điểm M (1;2; ) 1 , N ( 1; − 0;− ) 1 ⇒  ⇒  ⇒ a c 1 − 1 2  − =1  = 2 b  =1  a c b Lại có: 2 2 AM =
BN ⇔ AM = BN ⇔ (a − )2 + + = ( 2 3 3 1 4 1 3 1+ b + ) 1  = 9   3 − a = 3 ⇒ c =  ⇔ (a − )2 4 1 = 4 ⇔   1 a = 1 − ⇒ = 0(loai)  c Khi đó ( ) x y 4 : z P + −
= 1 hay (P) : x + 3y − 4z − 3 = 0 3 1 3
Ví dụ 5: Cho hai điểm M (1;9;4) . Viết (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ theo thứ thự tại A, B, C (khác
O) sao cho 8.OA =12.OB +16 = 37.OC , với x > y > z < A 0; B 0; C 0 Lời giải Gọi A( ;0 a ;0) , B(0; ;
b 0) và C (0;0;c) với a > 0;b > 0;c < 0
Khi đó phương trình mặt phẳng ( ABC) là: x y z + + = 1 a b c Do M ( )∈( ABC) 1 9 4 1;9;4 ⇒ + + = 1 a b c
Mặt khác OA = a = ; a OB = b = ;
b OC = c = −c do a > 0;b > 0;c < 0
Do 8.OA =12.OB +16 = 37.OC ⇒ 8a =12b +16 = 37 − c 1 9 4 35 − 4aa = 5
Ta có: 8a =12b +16 = 37 − c ⇒ + + = 1 ⇔ = 1 ⇔ 2 a 8a 16 8 a − 2a  − a = 7 − −  (loai) a 12 37 b  = 2 Với  x y a = ⇒  40 − ⇒ (P) 37 5 : + −
z =1hay (P) :8x + 20y − 37z − 40 = 0 c = 5 2 40  37
Ví dụ 6: Phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm A(3;0;0) và B(0;6;0) cắt trục Oz tai C sao cho thể tích tứ diện . O ABC bằng 12 là: A. x y z + + = 1 B. x y z + − = 1 C. x y z + + = 1
D. Cả A và B đều đúng 3 6 4 3 6 4 3 6 2 Lời giải
Giả sử C (0;0;c) ta có phương trình mặt phẳng ( ABC) là: x y z + + = 1 3 6 c Ta có ,
OA OB,OC đôi một vuông góc nên 1 1 V = OAOB OC = c = ⇔ c = ± . OABC . . .3.6. 12 4 6 6 Chọn D
Ví dụ 7: Gọi A, B, C là giao điểm của mặt phẳng ( ) : y z
P x + + =1 (bc ≠ 0) với các trục tọa độ. Diện tích b c tam giác ABC bằng: 2 2 2 2 2 2
A. b + c + bc B. bc
C. b + c + b c D. bc 2 2 2 6 Lời giải  
Ta có: A(1;0;0); B(0; ;
b 0);C (0;0;c). AB = ( 1; − ; b 0); AC = ( 1; − 0;c) 2 2 2 2   Khi đó: 1 1 b c b c S = AB AC = bc c b + +   = . Chọn C ABC ; ( ; ; ) 2   2 2
Ví dụ 8: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho các điểm A(2;0;0) và H (1;1; )
1 . Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua A, H sao cho (P) cắt các tia Oy , Oz lần lượt tại B, C sao cho diện tích tam giác ABC bằng 4 6
A. (P) : x + 2y + 2z − 2 = 0
B. (P) : 2x + 2y + z − 4 = 0
C. (P) : 2x + y + 2z − 4 = 0
D. (P) : 2x + y + z − 4 = 0 Lời giải Gọi B(0; ;
b 0) và C (0;0;c) (điều kiện ,
b c > 0 ) suy ra ( ) : x y z P + + = 1 2 b c
Vì H ∈(P) nên 1 1 1 + = b c 2 1   1 S = AB AC =
bc + c + b =
⇔ b c + b + c = ABC ; ( )2 (2 )2 (2 )2 2 2 2 2 4 6 4 4 384 2   2 u  = b + cv = 2u  u = 8;v =16 b  + c = 8 Đặt  ⇒  ⇔  ⇒  ⇔ b = c = 4 2 v = bcv + 4 
( 2u −2v) = 384 u = 6 − ;v = 12 −  (loai) bc  = 16
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x y z
+ + = 1 hay 2x + y + z − 4 = 0 . Chọn D 2 4 4
Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A( ;0 a ;0) , B(0; ;
b 0) và C (0;0;c) với
a,b,c > 0 . Biết rằng ( ABC) đi qua điểm 1 2 3 M  ; ;  
và tiếp xúc với mặt cầu 7 7 7   
(S) (x − )2 +( y − )2 +(z − )2 72 : 1 2 3 = . Tính giá trị 1 1 1 + + 7 2 2 2 a b c A. 14 B. 1 C. 7 D. 7 7 2 Lời giải
Phương trình mặt phẳng ( ABC) là x y z
+ + = 1. Vì M ∈( ABC) 1 2 3 ⇒ + + = 7 a b c a b c
Xét mặt cầu (S ) (x − )2 + ( y − )2 + (z − )2 72 : 1 2 3 =
có tâm I (1;2;3) , bán kính 6 14 R = 7 7 1 2 3 + + −1
Khoảng cách từ I 
→mp( ABC) là d (I ( ABC)) a b c 6 ; = = 1 1 1 1 1 1 + + + + 2 2 2 2 2 2 a b c a b c
Vì mặt cầu (S ) tiếp xúc với mp( ABC) mp( ABC) ⇒ d (I ( ABC)) 1 1 1 7 ; = R ⇒ + + = . Chọn D 2 2 2 a b c 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M (2;1;2) , N (3; 1; − 4) và mặt
phẳng(P) : 2x − y + 3z − 4 = 0 . Khi đó mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng
(P) có phương trình là
A. 2x + y − 5 = 0
B. 2x − y − 2z +1 = 0
C. 4x − y − 3z −1 = 0
D. y + z − 3 = 0
Câu 2: Trong không gian với hệtọa độ − +
Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình là x y 2 z 1 = = . 8 − 3 5
Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d biết mặt phẳng (P) đi qua điểm M (0; 8; − ) 1 .
A. (P) :8x −3y −5z +19 = 0
B. (P) :8x −3y −5z − 27 = 0
C. (P) :8x −3y −5z −19 = 0 D. (P) : 8
− x − 3y − 5z −19 = 0
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (Q) : 2x − y + 5z −15 = 0 và điểm E (1;2; 3 − ).
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua E và song song với (Q)
A. (P) : x + 2y −3z +15 = 0
B. (P) : x + 2y −3z −15 = 0
C. (P) : 2x − y + 5z +15 = 0
D. (P) : 2x − y + 5z −15 = 0
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng(Q) : 2x + y − z + 3 = 0 . Phương trình mặt
phẳng (P) chứa trục Oy và vuông góc với mặt phẳng (Q) là:
A. x − 2z = 0.
B. x + y + 2z = 0 .
C. x + 2z = 0.
D. x + z = 0.
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; 1; − 2) , song
song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng (Q) : 2x − y + 3z −9 = 0 là
A. 3x − 2z − 2 = 0
B. 3x − 2z − 4 = 0 .
C. x − 2z − 2 = 0 .
D. x − 2z + 2 = 0 .
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; 1 − ; 5 − ), B(0;0;− ) 1 và hai mặt phẳng
(Q :3x − 2y + 2z + 7 = 0 , (Q :5x − 4y +3z +1= 0. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với hai mặt 2 ) 1 )
phẳng (Q và (Q . Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P) bằng: 2 ) 1 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 3
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;0; ) 1 và hai mặt phẳng
(Q : x + y −3 = 0 ,(Q :2x − z −5 = 0. Gọi (P)là mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng (Q và (Q 2 ) 1 ) 2 ) 1 )
và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 2 . Phương trình mặt phẳng (P) là: 6
x − y + 2z − 4 = 0
x − y + 2z −1 = 0 A.B.
x − y + 2z + 3 = 0
x − y + 2z − 3 = 0
x − y + 2z = 0
x − y + 2z = 0 C.D.
x − y + 2z − 3 = 0
x − y + 2z − 4 = 0
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;1; 4 − ) , B(1;0; 2 − ) và mặt phẳng
(Q): x + z +3 = 0 . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q) . Khoảng cách từ gốc
tọa độ đến mặt phẳng (P) bằng: A. 3 B. 5 C. 2 3 D. 3 3
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;0;0) và mặt phẳng (Q) : x + 2y + z −5 = 0 .
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (Q) . Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) bằng: A. 7 B. 1 C. 5 D. 4 3 2 2 3
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng đi qua G(1;2;3) và cắt Ox , Oy , Oz
lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm cùa tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là
A. 18x + 3y + 2z −8 = 0 .
B. x + y + z − 6 = 0 .
C. 18x + 3y + 2z −18 = 0 .
D. 6x + 3y + 2z −18 = 0
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng đi qua G(1;2;3) và cắt Ox , Oy , Oz
lần lượt tại A, B, C sao cho G là trực tâm cùa tam giác ABC. Khoảng cách từ điểm M (1;0;0) đến mặt phẳng (P) là: A. 13 B. 4 C. 5 D. 14 14 14 6
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi (α) là mặt phẳng đi qua các hình chiếu của A(5;4;3)
lên các trục tọa độ. Phương trình của mặt phẳng (α) là
A. 12x +15y + 20z − 60 = 0 .
B. 12x +15y + 20z + 60 = 0 . C. x y z + + = 0 D. x y z + + − 60 = 0 5 4 3 5 4 3
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng (α) đi qua điểm M (5;4;3) và cắt các tia
Ox , Oy , Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC có phương trình là
A. x + y + z −12 = 0 .
B. x + y + 0 z = .
C. x + y + z + 3 = 0 .
D. x − y + z = 0
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi (α) là mặt phẳng đi qua điểm M (1;1; ) 1 và cắt các tia
Ox , Oy , Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất. Phương trình của (α) là:
A. x + y + z − 3 = 0.
B. 2x + y − z + 3 = 0 .
C. 2x − y − 3 = 0 .
D. x − y + z − 3 = 0.
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng đi qua M (1;1; ) 1 và cắt các tia
Ox , Oy , Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích của khối tứ diện OABC là nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng (P) là
A. x + y + z − 2 = 0.
B. x + y + z −1 = 0 .
C. x + y + z +1 = 0.
D. x + y + z − 3 = 0 .
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng đi qua M (2;1;2) và cắt các tia
Ox , Oy , Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích của khối tứ diện OABC là nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng (P) là
A. 2x + 2y − z − 3 = 0 .
B. 2x + 2y + z − 3 = 0 .
C. x + y + z − 5 = 0 .
D. x + 2y + z − 4 = 0 .
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng đi qua M (2;1;4) và cắt các tia
Ox , Oy , Oz lần lượt tại A, B, C. Thể tích của khối tứ diện OABC nhỏ nhất bằng: A. 34 B. 32 C. 36 D. 35
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng đi qua M (1;1;2) và cắt các tia
Ox , Oy , Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích của khối tứ diện OABC là nhỏ nhất. Khoảng cách từ điểm
N (0;0;2) đến mặt phẳng (P) bằng: A. 1 B. 2 C. 4 D. 3
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng đi qua M (2;2; )
1 và cắt Ox , Oy , Oz
lần lượt tại A, B, C sao cho OA = 2OB = 2OC . Phương trình mặt phẳng (P) là
A. 2x − 2y + z −1 = 0.
B. x + 2y + 2z −8 = 0 .
C. x − y − z +1 = 0
D. 2x − 2z = 0.
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 1; − 2; 3
− ) . Gọi M , M , M lần lượt là điểm 1 2 3
đối xứng của M qua các mặt phẳng (Oxy), (Oxz) , (Oyz) . Viết phương trình mặt phẳng (M M M 1 2 3 )
A. 6x + 2y + 3z + 6 = 0
B. 6x − 2y + 3z + 6 = 0
C. 6x − 3y + 2z + 6 = 0
D. 6x − 3y − 2z + 6 = 0
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm H (1;2; 3
− ) . Tìm phương trình mặt phẳng (α) cắt
các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC
A. (α) : x + 2y −3z −14 = 0
B. (α) : x + 2y −3z + 4 = 0
C. (α) : 6x + 3y − 2z −18 = 0
D. (α) : 6x + 3y − 2z +8 = 0
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng đi qua M (1;4;9) và cắt các tia
Ox , Oy , Oz tại A, B, C sao cho OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ nhất. Mặt phẳng (P) đi qua điểm nào trong các điểm sau đây? A. M (12;0;0) B. M (0;6;0) C. M (0;12;0) D. M (0;0;6)
Câu 23: Mặt phẳng (a) đi qua điểm M (4; 3
− ;12) và chắn trên tia Oz một đoạn dài gấp đôi các đoạn chắn
trên các tia Ox , Oy có phương trình là:
A. x + y + 2z +14 = 0
B. 2x + 2y + z +14 = 0 .
C. 2x + 2y + z −14 = 0.
D. x + y + 2z −14 = 0.
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M (1;0;0) , N (0;2;0) , P(3;0;4) . Điểm Q
nằm trên mặt phẳng (Oyz) sao cho QP vuông góc với mặt phẳng (MNP) . Tọa độ điểm Q là: A.  3 11 0; ;  −      B. (0; 3 − ;4) C. 3 11 0; ;− D. 3 11 0; ; 2 2       2 2   2 2 
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(2;0;0) , B(0;3;0) , C (0;0;3), D(1; 1; − 2) . Gọi H là
chân đường vuông góc kẻ từ D của tứ diện DABC . Viết phương trình mặt phẳng ( ADH ) ?
A. 3x + 2y + 2z − 6 = 0 .
B. x − y − 2 = 0
C. 6x −8y − z −12 = 0 D. 7
− x + 5y − z +14 = 0 .
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng (P) : ax + by + cz − 27 = 0 qua hai điểm A(3;2; ) 1 , B( 3
− ;5;2) và vuông góc với mặt phẳng (Q) :3x + y + z + 4 = 0 . Tính tổng S = a + b + c A. S = 2 − B. S = 2 C. S = 4 − D. S = 12 −
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng qua M (2;1; 2 − ) và chứa giao
tuyến của hai mặt phẳng (α) : x + y − 2z − 4 = 0 , (β) : 2x − y + 3z +1 = 0 là
A. 3x − z − 4 = 0
B. 8x − y + 5z − 5 = 0
C. −x + 2y − 6z −12 = 0 D. x − y + 2z + 3 = 0
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng
(Q): x + y + z − 4 = 0 và cách M (1;0;3) một khoảng bằng 3 . Viết phương trình mặt phẳng (P)
A. x + y + z − 4 = 0 và x + y + z −8 = 0
B. x + y + z − 6 = 0 và x + y + z −1 = 0
C. x + y + z −10 = 0
D. x + y + z −1 = 0 và x + y + z − 7 = 0
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 5 điểm A(3;0;0) , B(0;3;0) , C (0;0;3), D(1;1; ) 1 và
E (1;2;3). Hỏi từ 5 điểm này tạo được tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3 điểm trong 5 điểm đó? A. 5 mặt phẳng B. 10 mặt phẳng C. 12 mặt phẳng D. 7 mặt phẳng
Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2;1; 3 − ) , E (1;2; )
1 và (P) : 2x + y + z − 7 = 0 . Nếu C là
điểm trên (P) sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng thì tổng hoành độ và tung độ của C nhận giá trị nào sau đây? A. 1 B. 3 C. 2 − D. 2
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN  MN = (1; 2 −  ;2)   
Câu 1: Ta có: 
⇒ n = MN n  = − Q ; P ( 4;1;3) n   = −  P (2; 1;3)
Mà (Q) qua M ⇒ (Q) : 4(x − 2) −( y − )
1 − 3(z − 2) ⇔ 4x − y −3z −1 = 0 . Chọn C 
Câu 2: (P) qua M (0; 8; − ) 1 và nhận u = − − là một VTPT d (8; 3; 5)
⇒ (P) :8x − 3( y + 8) − 5(z − )
1 = 0 ⇔ 8x − 3y − 5z −19 = 0 . Chọn C 
Câu 3: (P) qua E (1;2; 3 − ) và nhận n = − là một VTPT Q (2; 1;5)
⇒ (P) : 2(x − )
1 − ( y − 2) + 5(z + 3) = 0 ⇔ 2x − y + 5z +15 = 0 . Chọn C  
Câu 4: Trục Oy ⇒ u =
và (Q) : 2x + y − z + 3 = 0 ⇒ n = − Q (2;1; ) 1 Oy (0;1;0) ( ) Oy  ⊂  (P)    Ta có 
⇒ n = u n  = P Oy ;  Q (1;0;2) (  P  ) (Q) ( ) ( )  ⊥
Phương trình mặt phẳng (P) là x + 2z = 0. Chọn C  
Câu 5: Trục Oy ⇒ u =
và (Q) : 2x − y + 3z −9 = 0 ⇒ n = (2; 1; − 3 Q ) Oy (0;1;0) ( ) (  P) / / Oy    Ta có 
⇒ n = u n  = − P Oy ;  Q (3;0; 2) (  P  ) (Q) ( ) ( )  ⊥
Phương trình mặt phẳng (P) là 3x − 2z − 2 = 0 . Chọn A   (
 P) ⊥ (Q1) 
 
Câu 6: n = (3; 2 − ;2 , n = (5; 4 − ;3 và 
⇒ n = n ;n  = (2;1; 2 − PQ Q ) Q ) Q ) ( 1) ( 2) (  P  ) (Q  ⊥ 2 ) ( ) ( 1) ( 2) 
Phương trình mặt phẳng (P) qua A, có n = (2;1; 2 − là P ) ( )
2(x −3) + y +1− 2(z + 5) = 0 ⇔ 2x + y − 2z −10 = 0 2 − . 1 − −10
Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P) bằng d ( ; B (P)) ( ) ( ) = = 4. Chọn A 2 2 2 +1 + ( 2 − )2   
Câu 7: n = n n  = −
− ⇒ P x − y + z + m = P Q ; Q ( 1;1; 2) ( ): 2 0  1 2  2 m + 2 m = Mà d ( ; A (P)) 2 0 = ⇒ = ⇒ . Chọn D 6 6 6  m = 4 −    
Câu 8: AB = (1; 1;
− 2) ⇒ n = AB n  = −
⇒ P x − y − z + m = P , Q ( 1;1; )1 ( ): 0  
Mà (P) qua A = (0;1;4) ⇒ 0 −1− ( 4
− ) + m = 0 ⇔ m = 3
− ⇒ (P) : x − y − z − 3 = 0 0 − 0 − 0 − 3
Ta có d (O (P)) 3 , = = = 3 . Chọn A 2 2 2 1 +1 +1 3
Câu 9: Do (P) là mặt phẳng qua A(1;0;0) và song song với (Q) nên (P) : x + 2y + z −1= 0 0 + 2.0 + 0 −1
Khi đó d (O (P)) 1 , = = . Chọn B + ( )2 2 2 2 1 2 +1
Câu 10: Phương trình mặt phẳng ( ) : x y z P + + = 1 với A( ;0 a ;0) , B(0; ;
b 0) , C (0;0;c) . a b c
Do G (1;2;3) là trọng tâm của A
∆ BC nên a = 3, b = 6, c = 9 ⇒ ( ) : x y z P
+ + = 1 ⇔ 6x + 3y + 2z −18 = 0 . Chọn D 3 6 9
Câu 11: Do OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và G là trực tâm của A ∆ BC 
Nên OG ⊥ ( ABC) ⇒ OG = (1;2;3) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Phương trình mặt phẳng (P) là 1(x − )
1 + 2(x − 2) + 3(z −3) = 0 ⇔ x + 2y + 3z −14 = 0 1−14
Khoảng cách từ điểm M (1;0;0) đến mặt phẳng (P) là d (M (P)) 13 ; = = . Chọn A 2 2 2 1 + 2 + 3 14
Câu 12: (α) sẽ đi qua các điểm M (5;0;0), N (0;4;0) , C (0;0;3)
Phương trình đonạ chắn ⇒ (α) : x y z
+ + = 1 ⇔ 12x +15y + 20z − 60 = 0 . Chọn A 5 4 3 Câu 13: A( ;0
a ;0) , B(0;a;0) , C (0;0;a) (a > 0)
Phương trình đoạn chắn x y z
⇒ + + = 1 ⇔ x + y + z = a a a a
Mà (α) qua M (5;4;3) ⇒ a = 5 + 4 + 3 =12 ⇒ (α) : x + y + z −12 = 0 . Chọn A
Câu 14: Giả sử A( ;0 a ;0) , B(0; ;
b 0) , C (0;0;c) (a,b,c > 0) Ta có 1 1 1 1 1 V = OA S
= OA OB OC = OAOB OC = abc OABC . OBC . . . . 3 3 2 6 6
Phương trình đoạn chắn ⇒ (α) : x y z + + = 1 a b c Mà (α) qua M ( ) 1 1 1 3 1 27 9 1;1;1 ⇒1 = + + ≥
⇒ abc ≥ 27 ⇒ V = abc ≥ = 3 OABC a b c abc 6 6 2 Dấu “=” xảy ra 1 1 1 1
⇔ = = = ⇔ a = b = c = 3 a b c 3 Khi đó (α) : x y z
+ + = 1 ⇔ x + y + z − 3 = 0 . Chọn A 3 3 3
Câu 15: Gọi A( ;0 a ;0) , B(0; ;
b 0) , C (0;0;c) với a,b,c > 0
Phương trình mặt phẳng (P) là x y z + + = 1 a b c
Ta có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau nên 1 1 abc V
= OAOB OC = a b c = O ABC . . . . . 6 6 6 Vì M ( )∈(P) 1 1 1 1;1;1 ⇒ + + = 1 a b c
Theo bất đẳng thức Cosi, có 1 1 1 1 + + ≥ 3 3 ⇔ abc ≥ 27 a b c abc Khi đó abc 27 9 V = ≥
= . Dấu = xảy ra khi a = b = c = 3 O.ABC 6 6 2
Suy ra (P) : x + y + z −3 = 0 . Chọn D
Câu 16: Gọi A( ;0 a ;0) , B(0; ;
b 0) , C (0;0;c) với a,b,c > 0
Phương trình mặt phẳng (P) là x y z + + = 1 a b c
Ta có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau nên 1 1 abc V
= OAOB OC = a b c = O ABC . . . . . 6 6 6 Vì M ( )∈(P) 2 1 2 2;1;2 ⇒ + + = 1 a b c
Theo bất đẳng thức Cosi, có 2 1 2 4 + + ≥ 3 3 ⇔ abc ≥108 a b c abc Khi đó abc 108 V = ≥ = O ABC 18 . 6 6
Dấu = xảy ra khi a = b = 2c . Suy ra (P) : x + 2y + z − 6 = 0 . Chọn D
Câu 17: Gọi A( ;0 a ;0) , B(0; ;
b 0) , C (0;0;c) với a,b,c > 0
Phương trình mặt phẳng (P) là x y z + + = 1 a b c
Ta có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau nên 1 1 abc V
= OAOB OC = a b c = O ABC . . . . . 6 6 6 Mà M ( )∈(P) 2 1 4 2;1;4 ⇒ + + = 1 a b c
Theo bất đẳng thức Cosi, có 2 1 4 8 + + ≥ 3 3 ⇔ abc ≥ 216 a b c abc Khi đó abc 216 V = ≥ = ⇒ V = . Chọn C O ABC 36 min O ABC 36 . { . } 6 6
Câu 18: Gọi A( ;0 a ;0) , B(0; ;
b 0) , C (0;0;c) với a,b,c > 0
Phương trình mặt phẳng (P) là x y z + + = 1 a b c
Ta có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau nên 1 1 abc V
= OAOB OC = a b c = O ABC . . . . . 6 6 6 Mà M ( )∈(P) 1 1 2 1;1;2 ⇒ + + = 1 a b c
Theo bất đẳng thức Cosi, có 1 1 2 2 abc 54 + + ≥ 3 3
⇔ abc ≥ 54 ⇒ V = ≥ = O ABC 9 . a b c abc 6 6 a = b = 3 Dấu = xảy ra khi 
⇒ (P) : x + y + 2z − 6 = 0 ⇒ d (N;(P)) =1. Chọn A c = 6
Câu 19: Gọi A( ;0 a ;0) , B(0; ;
b 0) , C (0;0;c) với a,b,c > 0
Phương trình mặt phẳng (P) là x y z + + = 1. Ta có M ( )∈(P) 2 2 1 2;2;1 ⇒ + + = 1 a b c a b c  a = 2 ba = 2b Mà = 2 = 2 a OA OB OC ⇔  ⇔  ⇔ b = c =  a = 2 c  a = 2c 2 Khi đó 2 4 2 8
+ + = 1 ⇔ =1 ⇔ = 8 ⇒ = = 4 ⇒ ( ) : x y z a b c P
+ + = 1 ⇔ x + 2y + 2z −8 = 0 . Chọn B a a a a 8 4 4
Câu 20: Tọa độ các điểm M , M , M lần lượt là M 1; − 2;3 , M 1 − ; 2 − ; 3 − , M 1;2; 3 − 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 2 3   Ta có M M = 0; 4; − 6 − , M M = 2;0; 6 − 1 3 ( ) 1 2 ( ) 
  Khi đó n
= M M ;M M  = 24; 1 − 2;8 = 4 6; 3 − ;2 M M M 1 2 1 3 ( ) ( ) ( 1 2 3)  
Phương trình mặt phẳng (M M M là 6(x + )
1 − 3( y − 2) + 2(z −3) = 0 hay 6x −3y + 2z + 6 = 0 . Chọn C 1 2 3 )
Câu 21: Do A, B, C lần lượt thuộc các trục Ox , Oy , Oz
Nên ta có OA ⊥ OB ⊥ OC
Khi đó OC ⊥ (OAB) nên AB ⊥ OC ( ) 1
Do H là trực tâm tam giác ABC ⇒ CH ⊥ AB (2) Từ ( )
1 và (2) ⇒ AB ⊥ (OCH ) ⇒ AB ⊥ OH
Tương tự ta có: BC ⊥ OH ⇒ OH ⊥ ( ABC)
  ⇒ n = OH (1;2; 3 − ABC ) ( ) 
Phương trình mặt phẳng (α) qua H (1;2; 3
− ) có VTPT là n = (1;2; 3
− ) là: x + 2y − 3z −14 = 0. Chọn A
Câu 22: Gọi A( ;0 a ;0) , B(0; ;
b 0) , C (0;0;c) là các điểm lần lượt thuộc các tia Ox , Oy , Oz với
a,b,c > 0 . Phương trình mặt phẳng ( ABC) theo đoạn chắn là x y z + + = 1 a b c
Do mặt phẳng (P) đi qua M (1;4;9) nên 1 4 9 + + =1 a b c
Khi đó OA + OB + OC = a + b + c
Mặt khác theo BĐT Bunhiacopsky ta có: (a b c) 1 4 9  + + + + ≥ (1+ 2 + 3)2 =   36  a b c  2 2 Dấu bằng xảy ra 2 b c b c ⇔ a = = ⇒ a = = 4 9 2 3 Mà 1 4 9 1 2 3
+ + = 1⇒ + + =1⇒ = 6; =12; =18 ⇒ ( ) : x y z a b c P + + =1 a b c a a a 6 12 18
Do đó (P) đi qua điểm M (0;12;0) . Chọn C
Câu 23: Giả sử mặt phẳng (α) cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A( ;0 m ;0) , B(0; ; n 0) ,
C (0;0; p) với , m ,
n p > 0 thì phương trình mặt phẳng (α) là x y z + + = 1 m n p Theo bài ra ta có: 4 3 12 − + = 1và 4 3 12 14
p = 2m = 2n ⇒ − + = 1 ⇔ = 1 ⇔ p =14 m n p p p p p 2 2
Do đó =14, = = 7 ⇒ (α) : x y z p m n + +
= 1⇒ (α) : 2x + 2y + z −14 = 0. Chọn C 7 7 14 
Câu 24: Gọi Q(0; ;
b c) ⇒ QP = (3;− ; b 4 − c)      ⊥ Lại có MN = ( 1;
− 2;0); MP = (2;0;4) , do QP vuông góc với mặt phẳng ( ) QP MN
MNP ⇒   Q  P ⊥ MP  3    . = 0  3 − − 2 = 0 b QP MN b = −  2
⇔   ⇔  ⇔  . Chọn A Q  . P MP = 0 6 +16 − 4c = 0 11 c =  2
Câu 25: Phương trình mặt phẳng ( ABC) theo đoạn chắn là x y z
+ + = 1 hay 3x + 2y + 2z − 6 = 0 2 3 3   Ta có: n = (3;2;2 ; AD = ( 1; − 1; − 2) ABC ) ( )    n ⊥ AD  
Mặt phẳng ( ADH ) có vectơ pháp tuyến là n thì   ⇒ n ⊥ (n ABC) n ⊥ DH
 
Khi đó n = A ; D n  = ( 6 − ;8; ) 1 = −(6; 8; − − )  ( ) 1 ABC  
Mặt phẳng ( ADH ) qua A(2;0;0) và có VTPT là n(6; 8 − ;− )
1 ⇒ ( ADH ) : 6x −8y − z −12 = 0 . Chọn C  
Câu 26: AB = ( 6 − ;3; ) 1 ; n = (3;1 ) ( ) ;1 Q   n ⊥ AB   
Do (P) chứa AB và vuông góc với (Q) nên  (P)
  ⇒ n = A ; B n  = − PQ (2;9; 15) ( ) ( )   (n ⊥ n P) (Q)
Phương trình mặt phẳng (P) : 2(x −3) + 9( y − 2) −15(z − )
1 = 0 hay 2x + 9y −15z − 9 = 0 a = 6
Suy ra (P) : 6x 27y 45z 27 0 b  + − −
= ⇒  = 27 ⇒ a + b + c = 12 − . Chọn D c = 45 − 
Câu 27: Gọi d = (α) ∩(β) x + y = 4 x =1 Cho z = 0 ⇒  ⇔ 
⇒ A(1;3;0)∈d 2x − y = 1 − y = 3 y − 2z = 4 y =10 Cho x = 0 ⇒  ⇔ 
⇒ B(0;10;3)∈d
− y + 3z = 1 − z = 3  
Mặt phẳng cần tìm đi qua 3 điểm A, B, M ta có: MA = ( 1 − ;2;2); MB = ( 2; − 9;5)    Do đó n =  ; MA MB = ( 8 − ;1; 5 − ) = −(8; 1; − 5 ABM ) ( )  
Phương trình mặt phẳng ( ABM ) là: 8x − y + 5z −5 = 0 . Chọn B
Câu 28: Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x + y + z + D = 0 4 + DD = 1 −
Do d (M;(P)) = 3 ⇔
= 3 ⇔ D + 4 = 3 ⇔  2 2 2 1 +1 +1 D = 7 −
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: x + y + z −1 = 0 và x + y + z − 7 = 0. Chọn D
Câu 29: Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng đi qua 3 điểm A(3;0;0) , B(0;3;0) , C (0;0;3) là: x y z
+ + = 1 hay x + y + z − 3 = 0 3 3 3
Do đó điểm D ∈( ABC) , E ∉( ABC) ⇒ từ 5 điểm A, B, C, D, E
Chọn 2 điểm thuộc mặt phẳng ( ABCD) và điểm E ra có 2 C = 6 mặt phẳng 4
Cộng thêm mặt phẳng ( ABCD) suy ra có tổng cộng 7 mặt phẳng được tạo thành từ 5 điểm trên. Chọn D
Câu 30: Gọi C ( ; a ;
b c)∈(P) ta có: 2a + b + c − 7 = 0 (2)  
Mặt khác AC = (a − 2;b −1;c + 3) ; AB = ( 1; − 1;4)  
Do A, B, C thẳng hàng nên
a 2 b 1 c 3 AC k.AB − − + = ⇔ = = ( ) 1 1 − 1 4  1 a =  3
2a + b + c − 7 = 0  Từ ( ) 1 và (2) ta có:   8
a − 2 b −1 c + 3 ⇔ b  =
⇒ a + b = 3. Chọn B = = 3  1 1 4   −  11 c =  3
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1

Tài liệu liên quan: