Bàn về một cách tiếp cận khác cho bài toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM
Trao đổi kinh nghiệm dạy học theo định
hướng tiếp cận năng lực người học
Bàn về một cách tiếp cận khác cho bài toán tính góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng Ths. HOÀNG MINH QUÂN
GV Trường THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội
Trong chương trình toán THPT, các bài toán về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng tuy
không mới. Song, nó vẫn mang tính thời sự trong các bài kiểm tra định kì, các kì thi học sinh
giỏi, kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông hằng năm. Bài viết sau đây khai thác một hướng tiếp
cận khác cho bài toán tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
1. Kiến thức cơ bản
1.1. Định nghĩa
Cho đường thẳng a và mặt phẳng   . Góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a của nó
trên mặt phẳng   được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng   .
1.2. Các xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng    Cách 1:
Bước 1. Tìm O  a    . a A
Bước 2. Lấy A a và dựng AH    tại H .
Khi đó a    a a  , ,  AOH . a'   O H 
Bước 3. Tính số đo của góc AOH
 Chú ý: 0   ,
a    90
 Cách 2: Tính gián tiếp theo một trong hai hướng sau:
Hướng 1: Chọn một đường thẳng d // a mà góc giữa d và   có thể tính được.
Từ đó ta có: a,      d,   
Hướng 2: Chọn một mặt phẳng   //   mà góc giữa a và   có thể tính được.
Từ đó ta có: a,      a,   
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM
Tuy nhiên việc xác định hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng không phải lúc nào cũng
thuận lợi. Chính vì vậy, việc đưa ra một cách tiếp cận khác là sử dụng khoảng cách để tính góc giữa
đường thẳng với mặt phẳng nhằm khắc phục khó khăn đó.
1.3. Định hướng tiếp cận
Cho đường thẳng a và mặt phẳng   . Để tính góc  giữa đường thẳng a và mặt phẳng
  , ta tiếp cận thông qua ý tưởng đơn giản khác như sau : a A
Bước 1: Tìm O  a    . d  , A   a' 
Bước 2: Tính sin   O H OA
Cách tiếp cận này thích hợp cho học sinh nắm chắc việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Sau đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh hoạ với lời giải theo hướng tiếp cận sử dụng
khoảng cách để tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng 2. Ví dụ minh họa
2.1. Áp dụng cho các bài toán khối chóp. Câu 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA   ABCD . Gọi G là trọng
tâm tam giác ACD , I là trung điểm của SB . Biết độ dài các đoạn SA  a , AB  a 3 , 3a AD 
. Góc giữa đường thẳng IG và mặt phẳng SCD bằng 2 3 3 3 3 A. arcsin . B. arcsin . C. arcsin . D. arcsin . 4 13 13 16 16 Lời giải Chọn A S H I A D G B C
Có SB  2a nên tam giác SAI đều cạnh a . BI BG
Gọi H là trung điểm của SI thì 
nên IG // HD , hay IG,SCD  HD,SCD BH BD a 3 3a Có AH  , AD 
và tam giác AHD vuông tại A , suy ra HD  a 3 2 2 1 1 1 1 Vì HS 
BS nên d  H ,SCD  d  B,SCD  d  ,
A SCD  d 4 4 4 4
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 1 1 1 1 4 13 3a a Mà       d 
 d  H SCD 3 ,  2 2 2 2 2 2 d SA AD a 9a 9a 13 4 13
d  H,SCD 3a 3
Suy ra sin  HD,SCD    . HD 4 13.a 3 4 13 Câu 2:
Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a và SA  a 2 .
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SD và BO . Gọi là góc giữa đường thẳng MN
và mặt phẳng SCD thì giá trị sin bằng 3 3 2 3 4 3 3 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Lời giải Chọn A S M A D N O B C a 6 Ta có: S
 BD là tam giác đều nên 
SDB  60 và SO  2 2 2 2 a 9a a 2 3a 2 1 7a Suy ra 2 2 2
MN  MD  ND  2M . D ND cos 60    2. . .  2 8 2 4 2 8 a 14  MN  4 3
Mặt khác d  N,SCD  d O,SCD 2 1 1 1 1 2 2 2 14 Mà        2
d O,SCD 2 2 2 2 2 2 2 OC OD OS a a 3a 3a 2 3a a 42 3a 42 2
 d O,SCD 
 d O,SCD 
 d  N,SCD  14 14 28
d  N,SCD 3a 42 4 3 3  sin   .  . MN 28 a 14 7 Câu 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, 
BAC  60 , SA  a . Tam giác SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABCD . Gọi  là
góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng SCD . Khi đó sin bằng 2 3 6 6 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 3 Lời giải Chọn C
Gọi M là trung điểm của AB . Vì tam giác SAB là tam giác đều nên SM  AB .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 
 SAB   ABCD  Ta có: 
 SAB   ABCD  AB  SM   ABCD .
SM  AB, SM  SAB  S B B C d(B,(SCD)) S H M SCD A D
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng SCD . Suy ra BH  SCD .
Suy ra HS là hình chiếu vuông góc của BS lên mặt phẳng SCD , do đó:
SB SCD   SB SH    , ,  BSH . d BH B, SCD  Ta có:    sin  sin BSH   . SB SB
Do BM // SCD a 3 a 3 . SM .d SM .d M ,CD B,CD 6 2 2 a  d  d    
B,SCD
M ,SCD 2 2 2 2 2 2 4 SM  d SM  d M ,CD B,CD  a 3   a 3       2 2     6a d BH B; SCD  6 Vậy    sin  sin BSH   4   . SB SB a 4
2.2. Áp dụng cho các bài toán khối lăng trụ. Câu 4:
Cho hình lập phương ABC . D A B  C  D
  có cạnh bằng a . Góc giữa đường thẳng AD và
mặt phẳng  ABD bằng 5 6 2 3 A. arcsin . B. arcsin . C. arcsin . D. arcsin . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B A' D' B' C' I D A O B C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM
+ Do AD / /BC nên góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng  A' BD bằng góc giữa
đường thẳng BC ' và mặt phẳng  A' BD . 1 1 1 1 3
+ Do AA' BD là tứ diện vuông nên     2 d  ,
A  A' BD 2 2 2 2 AA' AB AD a   a d ,
A  ABD  . 3
+ Gọi  là góc giữa đường thẳng BC ' và mặt phẳng  ABD . 2a
d C , ABD 2d  ,
A  ABD 3 6 Ta có sin     . BC BC a 2 3 Câu 5:
Cho hình lăng trụ đều AB . C A B  C
  có cạnh đáy bằng a , AA  a 3 . Giá trị sin của góc
giữa đường thẳng BC và mặt phẳng  ABC  bằng 15 5 15 65 A. . B. . C. . D. . 10 10 5 10 Lời giải Chọn A A' C' B' H A C M B
Gọi  là góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng  ABC  .
d C , ABC  d  ,
A  ABC  Ta có: sin  
(vì AC   ABC   O với O là trung điểm C B  C B  AC ).
Gọi M là trung điểm của BC , H là hình chiếu của A lên AM .
AM  BC  BC  AAM  hay BC  AH . AA  BC 
Mặt khác AH  AM nên AH   ABC  hay d  ;
A  ABC   AH . a 3 AA .AM a 15 AM  ; AH   ; 2 2 C B
  BB  B C    2a . 2 2 2 5 AA  AM 15  sin   . 10 Câu 6:
Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A B  C  D
  có AB  1, AD  2, AA  3 .   là mặt phẳng di
động đi qua B và song song với A C
  . Gọi  là góc giữa   với đường thẳng CD .
Giá trị lớn nhất của sin bằng
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 7 2 3 10 3 5 A. . B. 1 . C. . D. . 10 10 7 Lời giải Chọn A A' D' B' C' d A D K H B C
Ta có: CD // BA  CD ,      BA,   . Do   // A C
  nên   chứa đường thẳng d qua B và song song với A C   . d d A;   A;d   sin   . A B  A B  2 2 AB 
AA  AB  10 . Dựng A H 
 d tại H  AH  d .  A;d   d  AA Ta có 
 d   AHA  AH  d .
d  AH 
Kẻ BK  AC tại K 2 5 7 5 AH 7 2
 AH  BK  2 2  AH  AH  AA   sin   . 5 5 AB 10
Dấu “ =” xảy ra khi    AH . 7 2 Vậy max sin   . 10
2.3. Bài tập tự luyện Câu 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  2a, BC  . a Cạnh
bên SD  a và SD vuông góc với mặt phẳng đáy. Sin của góc tạo bởi đường
thẳng SB và mặt phẳng SAC  bằng 5 3 6 6 30 A. . B. . C. . D. . 9 3 9 15 Câu 2:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA  AB  a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC
. Tang góc tạo bởi đường thẳng DM với mặt phẳng SAB bằng? 13 15 26 A. tan  . B. tan  . C. tan  . D. tan  3 . 13 5 13 Câu 3:
Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD có cạnh đáy bằng a , tâm O . Gọi M và N lần lượt
là trung điểm của SA và BC . Biết rằng góc giữa MN và  ABCD bằng 60 , cosin góc
giữa MN và mặt phẳng SBD bằng
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 41 5 2 5 2 41 A. . B. . C. . D. . 41 5 5 41 Câu 4:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi O là tâm của đáy, E là
trung điểm cạnh AD . Gọi  là góc giữa đường thẳng CD và mặt phẳng SBE . Biết a SO  thì sin bằng 2 1 3 2 1 A. . B. . C. . D. . 2 6 2 3 6 Câu 5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB  2a , BC  a , 
ABC  120 . Cạnh bên SD  a 3 và SD vuông góc với mặt phẳng đáy. Giá trị sin của
góc tạo bởi SB và mặt phẳng SAC  bằng 3 3 3 1 A. . B. . C. . D. . 7 4 4 4 Câu 6:
Cho hình hộp chữ nhật ABCDA B  C  D
  có đáy ABCD là hình vuông. Giá trị lớn nhất của
góc tạo bởi BD với mặt phẳng  BDC bằng 1 1 1 1 A. arcsin . B. arcsin . C. arcsin . D. arcsin . 3 3 2 3 3 2 Câu 7:
Cho hình hộp ABCD.AB C  D
  có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB  ;
a AD  2a ; I
là trọng tâm tam giác  AC D
  . Gọi  là góc giữa đường thẳng ID và mặt phẳng  ICB , biết A B
  a 3 . Giá trị của sin bằng 9 6 6 23 A. . B. . C. . D. . 253 11 2 253 11 Câu 8:
Cho hình lăng trụ đứng AB .
C A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác cân tại C , AB  2a và  0
ACB  120 . Biết AA'  a . Gọi I là trung điểm AB thì sin của góc giữa đường thẳng
IA ' và mặt phẳng C ' AB bằng 2 2 2 5 2 15 A. B. C. D. 4 2 3 3 Câu 9:
Cho lăng trụ tam giác đều AB . C A B  C
  , gọi I là trung điểm A' B' . Gọi  là góc tạo bởi
AC ' và  BIC ' . Biết AA'  a; AB  2a thì giá trị cos bằng 15 10 3 2 A. . B. . C. . D. 5 5 5 5
Câu 10: Cho lăng trụ tam giác ABC có 
AB  a, BC  2a, ABC  60 . Hình chiếu vuông góc của
A ' lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA' tạo
với mặt phẳng  ABC  bằng 60. Sin của góc tạo bởi AA' và mặt phẳng  A ' BC  bằng 9 9 7 9 A. . B. . C. . D. . 5 41 4 51 4 51 7 41
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc