Bất đẳng thức là gì? Các bất đẳng thức thường gặp
1. Bất đẳng thức là gì?
- Các mệnh đề có dạng "a > b" hoặc "a < b" được gọi là bất đẳng thức
Ví dụ: 22 < 24 là bất đẳng thức
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
- Nếu mệnh đề "a < b => c < d" đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a c < d
Ví dụ: a < b và b < c => a < c (tính chất bắc cầu)
a < b, c tùy ý => a+c < b+c (tính chất cộng hai vế bất đẳng thức với một số)
- Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng
thức tương đương với nhau và viết là a < b ⇔ c < d
3. Tính chất của bất đẳng thức
Khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính
chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau:
* Chú ý: Ta còn gặp các mệnh đề dạng a b hoặc a
b. Các mệnh đề dạng này cũng được
gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt. Các tính chất nêu
trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt.
4. Các bất đẳng thức thường gặp
4.1. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cosy) * Định lí:
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng. * Hệ quả:
- Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
- Nếu x,y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y
- Nếu x,y cùng dương có có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y
4.2. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
4.3. Bất đẳng thức Bunhi-a-cop-xki - Dấu = xảy ra khi ⇔ -
Dấu bằng xảu ra khi và chỉ khi:
với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng
5. Câu hỏi ôn tập 5.1. Trắc nghiệm
Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?
A. a < b và c < d => a - c < b - d
B. a > b và c > d => a - c > b - d
C. a > b và c > d => a - d > b - c
D. a > b > 0 và c > d > 0 -> a - c > b - d
Câu 2. Cho số thức x> 2. Biểu thức nào luôn nhận giá trị nhỏ nhất trong các biểu thức sau: A. B. C. D. Đáp án đúng là B
Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: g(x) = x^2 + 3|x| với x thuộc R A. -9/4 B. -3/2 C. 0 D. 3/2 Đáp án đúng là C
Câu 4. Nếu a, b và c là các số bất kỳ và a> b thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. ac > bc B. a^2 > b^2 C. a + c > b + c D. c -a > c - b Đáp án đúng là C
Câu 5. Cho biết hai số thức a và b có tổng bằng 3. Khẳng định nào sau đây là đúng về tích
của hai số a và b?
A. Có giá trị nhỏ nhất là 9/4
B. Có giá trị lớn nhất là 9/4
C. Có giá trị lớn nhất là 3/2
D. Không có giá trị lớn nhất Đáp án đúng là B
Câu 6. Nếu m, n là các số thực thỏa mãn m> 0 và n
thì bất đnagử thức nào sau đây luôn đúng? A. m > - n B. n - m < 0 C. - m > - n D. m - n < 0 Đáp án đúng là B
Câu 7. Nấu a> b và c> d thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. B. a-c > b - d C. ac> bd D. a + c > b + d Đáp án đúng là D
Câu 8. Cho hai số thực a và b sao cho a > b. Bất đẳng thức nào sau đây không đúng? A. b - a < 0 B. -2a + 3 < -2b + 3 C. a^4 > b^4 D. a - 2 > b - 2 Đáp án đúng là C
Câu 9. Tìm số lớn nhất, nhỏ nhất trong các số sau: A. Số nhỏ nhất là , số lớn nhất là B. Số nhỏ nhất là , số lớn nhất là 4 C. Số nhỏ nhất là , số lớn nhất là D. Số nhỏ nhất là , số lớn nhất là Đáp án đúng là D
Câu 10. Cho hai số thực dương a, y thỏa mãn
. Giá trị nhỏ nhất và
giá trị lớn nhất của biểu thức P = xy lần lượt là? A. 1/2 và 1 B. 0 và 1 C. 1/4 và 1 D. 1 và 2
Câu 11. Cho ba số thực dương a, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = bằng? A. 12 B. 3 C. 5 D. 11/2
Câu 12. Cho hai số thực a và y thỏa mãn 2x + 3y = 7. Giá trị lớn nhát của biểu thức P = x +
y + xy bằng bao nhiêu? A. 3 B. 5 C. 6 D. 2
Câu 13. Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì?
A. Hình vuông có diện tích nhỏ nhất
B. Hình vuông có diện tích lớn nhất
C. Không xác định được hình có diện tích lớn nhất D. Cả A, B và C đều sai Đáp án đúng là B
Câu 14. Cho f(x) = x - x^2. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. f(x) có giá trị nhỏ nhất bằng 1/4
B. f(x) có giá trị lớn nhất bằng 1/2
C. f(x) có giá trị nhỏ nhất bằng -1/4
D. f(x) có giá trị lớn nhất bằng 1/4 Đáp án đúng là D
Câu 15. Cho x và y là hai số thực bất kỳ thỏa mãn xy = 2. Giá trị nhỏ nhất của A = x^2 + y^2 A. 2 B. 1 C. 0 D. 4 Đáp án đúng là D
Câu 16. Cho biểu thức P = với a
0. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đúng?
A. Giá trị nhỏ nhất của P là 1/4
B. Giá trị lớn nhất của P là 1/4
C. Giá trị lớn nhất của P là 1/2
D. P đạt giá trị lớn nhất tại a = 1/4 Đáp án đúng là B
Câu 17. Cho ba số a, b và c thỏa mãn đồng thời: a + b - c > 0 ; b + c - a > 0 và c + a - b > 0.
Để ba số a, b và c là ba cạnh của một tam giác thì cần thêm điều kiện gì? A. Cần có cả a, b, c 0
B. Cần có cả a, b, c > 0
C. Chỉ cần một trong ba số a, b, c dương
D. Không cần thêm điều kiện gì Đáp án đúng là B
Câu 18. Cho a, b > 0. Chứng minh:
. Một học sinh làm như sau: Cách làm trên: A. Sai từ I B. Sai từ II C. Sai từ III
D. Cả I, II, III đều đúng Đáp án đúng là D 5.2. Tự luận
Bài 1. Chứng minh rằng với a, b là hai số dương ta có: Hướng dẫn giải
áp dụng bất đẳng thức cosy cho 2 số dương a,b ⇔ a + b (1)
Áp dụng bất đẳng thức cosy cho 2 số dương 1/a, 1/b: ⇔ Từ (1) và (2) suy ra:
Bài 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
a. Chứng minh (b-c)^2 < a^2
b. Từ đó suy ra a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + ac + bc) Hướng dẫn giải
a. Xét (b-c)^2 - a^2 = (b - c + a) (b - c - a) Theo đề bài, ta có:
a + b > c => a + b - c > 0
a + c > b => a + c - b > 0 ⇔ - (a + c - b) < 0 ⇔ - a - c + b < 0
⇔ (b - c + a) (b - c - a) < 0 => (b - c)^2 - a^2 < 0 => (b-c)^2 < a^2 b. (b-c)^2 < a^2 (c-a)^2 < b^2 (a-b)^2 < c^2
Cộng 3 biểu thức, ta được:
(b - c)^2 + (c-a)^2 +(a-b)^2 < a^2 + b^2 + c^2
⇔ b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ac + a^2 + a^2 -2ab + b^2 - a^2 -b^2-c^2 < 0
⇔ b^2 + c^2 + a^2 - 2bc - 2ac - 2ab < 0
⇔ a^2 + b^2 + c^2 < 2ab + 2ac + 2bc
⇔ a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + ac + bc)