Các dạng bài tập VDC cực trị số phức Toán 12

BÀI 4. CỰC TRỊ SỐ PHỨC
A. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Các bất đẳng thức thường dùng
a. Cho các số phức z , z ta có: 1 2
+) z  z  z  z (1). 1 2 1 2 z  0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1  . z  0, k
  , k  0, z  kz   1 2 1
+) z  z  z  z (2). 1 2 1 2 z  0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1  . z  0, k
  , k  0, z  kz   1 2 1
b. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
Cho các số thực a, , b x, y ta có:    2 2   2 2 ax by a b x  y 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay  bx .
2. Một số kết quả đã biết a. Cho hai điểm ,
A B cố định. Với điểm M bất kỳ luôn có bất đẳng thức tam giác:
+) MA  MB  AB , dấu “=” xảy ra  M nằm giữa hai điểm , A B .
+) MA  MB  AB , dấu “=” xảy ra  B nằm giữa hai điểm , A M . b. Cho hai điểm ,
A B nằm cùng phía đối với đường thẳng d và M là điểm di động trên d . Ta có:
+) MA  MB  AB , dấu “=” xảy ra  Ba điểm ,
A M , B thẳng hàng.
+) Gọi A là điểm đối xứng với A qua d , khi đó ta có
MA  MB  MA  MB  AB , dấu “=” xảy ra  Ba điểm A , M , B thẳng hàng. c. Cho hai điểm ,
A B nằm khác phía đối với đường thẳng d và M là điểm di động trên d . Ta có:
+) MA  MB  AB , dấu “=” xảy ra  M nằm giữa hai điểm , A B .
+) Gọi A là điểm đối xứng với A qua d , khi đó ta có
MA  MB  MA  MB  AB , dấu “=” xảy ra  Ba điểm A , M , B thẳng hàng.
d. Cho đoạn thẳng PQ và điểm A không thuộc PQ , M là điểm di động trên đoạn thẳng PQ , khi đó
max AM  maxAP, A 
Q . Để tìm giá trị nhỏ nhất của AM ta xét các trường hợp sau:
+) Nếu hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng PQ nằm trên đoạn PQ thì min AM  AH .
+) Nếu hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng PQ không nằm trên đoạn PQ thì
min AM  minAP; A  Q .
e. Cho đường thẳng  và điểm A không nằm trên  . Điểm M trên  có khoảng cách đến A nhỏ nhất
chính là hình chiếu vuông góc của A trên  . f. Cho ,
x y là các tọa độ của các điểm thuộc miền đa giác A A ...A . Khi đó giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của 1 2 n
biểu thức F  ax  by ( a,b là hai số thực đã cho không đồng thời bằng 0 ) đạt được tại một trong các
đỉnh của miền đa giác.
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
Với các số thực a, , b x, y ta có    2 2   2 2 ax by a b x  y  . a b Dấu “=” xảy ra khi  . x y
Các bất đẳng thức thường dùng
Bất đẳng thức tam giác
z  z  z  z . Dấu “=” xảy ra khi z  kz k  0 . 1 2   1 2 1 2
z  z  z  z . Dấu. “=” xảy ra khi z  kz k  0 . 1 2   1 2 1 2
z  z  z  z . Dấu. “=” xảy ra khi z  kz k  0 . 1 2   1 2 1 2 z z z
z Dấu “=” xảy ra khi z  kz k  0 . 1 2   1 2 1 2
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phương pháp hình học
1. Phương pháp giải
Vi dụ: Cho số phức z thỏa mãn       2 2 z z
i z z . Giá trị nhỏ nhất của z  3i bằng A. 3. B. 3 . C. 2 3 . D. 2. Hướng dẫn giải
Bước 1: Chuyển đổi ngôn ngữ bài toán số phức Giả sử z  x  yix, y   z  x  yi . Khi đó sang ngôn ngữ hình học.
z z iz z2   yi 2 2 2 2 2
 4x i  y  x . Gọi M  ;
x y; A0;3 lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z; 3
 i thì z  3i  MA .
Bước 2: Sử dụng một số kết quả đã biết để giải bài toán hình học. Parabol 2
y  x có đỉnh tại điểm O 0;0 , trục đối
xứng là đường thẳng x  0 . Hơn nữa, điểm A
thuộc trục đối xứng của parabol, nên ta có:
MA  OA  3. Suy ra, min MA  3 khi M  O .
Bước 3: Kết luận cho bài toán số phức.
Vậy min z  3i  3 , khi z  0 . Chọn A. 2. Bài tập mẫu
Bài tập 1: Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  1. Môđun lớn nhất của Nhận xét: số phức z bằng
OI  r  OM  z  OI  r A. 7. B. 6. C. 5. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn B Gọi M  ;
x y, I 3;4 là các điểm biểu diễn lần lượt cho các số phức
z;3  4i . Từ giả thiết z  3  4i  1  MI  1.
Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường
tròn tâm I 3;4 , bán kính r 1.
Mặt khác z  OM . Mà OM đạt giá trị lớn nhất bằng OI  r , khi
M là giao điểm của đường thẳng OM với đường tròn tâm I 3;4 , bán 18 24 
kính r  1. Hay M ;   .  5 5  18 24
Do đó, max z  OI  r  5 1  6 , khi z   i . 5 5
Bài tập 2: Trong các số phức z thỏa mãn z  2  4i  z  2i , số phức Nhận xét: Trong tất cả các đoạn
z có môđun nhỏ nhất là
thẳng kẻ từ điểm O đến đường
thẳng d , đoạn vuông góc OM
A. z  2  2i .
B. z  1 i . ngắn nhất.
C. z  2  2i .
D. z  1 i . Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt z  x  yi  x, y   . Khi đó z  2  4i  z  2i  x  y  4  0 d .
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng d .
Do đó z  OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O trên d .
Suy ra M 2;2 hay z  2  2i .
Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  10 . Giá trị nhỏ nhất của z là A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1:
Gọi F 3;0 , F 3;0 , có trung điểm là O 0;0 . Điểm M biểu diễn 1   2   số phức z .
Với mọi số thực a,b ta có bất 2 2 2 MF  MF F F
Theo công thức trung tuyến thì 2 2 1 2 1 2 z  OM   . a  b 2 2  2 2 4
đẳng thức: a  b  2 MF  MF 1 2 2 2 2 2 2
Ta có MF  MF   50 . 1 2 2 Đẳng thức xảy ra khi MF  MF M 4;  0 1 2   50 36     min z    4 , MF  MF  10  M 4;0 2 4 1 2   
Khi z  4i hoặc z  4  i . Cách 2:.
Gọi F 3;0 , F 3;0 , M  ;
x y; x, y   lần lượt là các điểm biểu
Với mọi điểm M nằm trên elip, 1   2   diễn các số phức 3;  3; z .
đoạn OM ngắn nhất là đoạn nối
O với giao điểm của trục bé với
Ta có F F  2c  6  c  3 . Theo giả thiết ta có MF  MF  10 , tập 1 2 1 2 elip.
hợp điểm M là đường elip có trục lớn 2a  10  a  5 ; trục bé 2 2
2b  2 a  c  2 25  9  8 .
Mặt khác OM  z nhỏ nhất bằng 4 khi z  4i hoặc z  4  i .
Vậy giá trị nhỏ nhất của z bằng 4.
Bài tập 4: Xét số phức z thỏa mãn 4 z  i  3 z  i  10 . Tổng giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z là 60 58 A. . B. . 49 49 18 16 C. . D. . 7 7 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi A0;  1 , B 0; 
1 , đoạn thẳng AB có trung điểm O 0;0 . Điểm
M biểu diễn số phức z . 2 2 2 MA  MB AB
Theo công thức trung tuyến 2 2 z  OM   . 2 4 10  4a
Theo giả thiết 4MA  3MB  10 . Đặt MA  a  MB  . 3 Khi đó 10  7a 4 16 MA  MB   AB  2  6
  10  7a  6   a  . 3 7 7 2 10  4a  5a  8  36 2 2 2  2
Ta có MA  MB  a     .  3  9 36 24 576 Do   5a  8 
 0  5a 82  nên 7 7 49 2 2
MA  MB  4  z  1    260   . 2 2 2 81 9 MA  MB    z   z   49  49 7 24 7 9 9
Đẳng thức z  1khi z   
i . Đẳng thức z  khi z  i . 25 25 7 7 16
Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z là . 7
Bài tập 5: Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn z  2  z  2  4 2 .
Trong mặt phẳng tọa độ gọi M , N là điểm biểu diễn số phức z và z .
Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN là A. 1. B. 2 . C. 4 2 . D. 2 2 . Hướng dẫn giải Chọn D
Đặt z  x  yi  x, y    z  x  yi .
Gọi F 2;0 , F 2;0 , M  ; x y, N  ;
x  y lần lượt là các điểm biểu 1   2   diễn các số phức 2;  2; z; z . Do ,
M N là điểm biểu diễn số phức z và z nên suy ra M , N đối xứng nhau qua Ox . Khi đó S  xy . OMN 
Ta có F F  2c  4  c  2 . Theo giả thiết ta có MF  MF  4 2 , 1 2 1 2
tập hợp điểm M thỏa điều kiện trên là elip có trục lớn
2a  4 2  a  2 2 ; trục bé 2 2
2b  2 a  c  2 8  4  4  b  2 . 2 2 x y
Nên elip có phương trình E :  1 . 8 4 2 2 2 2 x y x y xy Do đó 1    2 .   S  xy  2 2 . 8 4 8 4 2 2 OMN  x  2 
Đẳng thức xảy ra khi  . y  2
Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn z  i  z  2  i . Giá trị nhỏ nhất
của P  i  
1 z  4  2i là 3 A. 1. B. . 2 3 2 C. 3. D. . 2 Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi z  x  yi  x, y   ; M  ;
x y là điểm biểu diễn số phức z .
Ta có z  i  z  2  i  x   y  
1 i  x  2   y   1 i
 x   y  2  x  2   y  2 2 1 2 1
 x  y 1  0  . 4  2i
Ta có P  i  
1 z  4  2i  i  
1 z      2 z 3i i 1 
x  2  y  2 2 3
1  2MA , với A  3;  1 . 3 11
 P  2MA  2d , A   2  3. min min   2 2 1 1
Đẳng thức xảy ra khi M là hình chiếu vuông góc của A trên đường  3 5  3 5 thẳng  hay M ;  z   i   .  2 2  2 2
Bài tập 7: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z  z  6 và z  z  2 . 1 2 1 2 1 2 Gọi ,
M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  z  z . Khi đó môđun của số phức M  mi là 1 2 A. 76 . B. 76. C. 2 10 . D. 2 11 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta gọi ,
A B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z , z . 1 2   
Từ giả thiết z  z  6  OA  OB  6  OI  3 với I là trung 1 2
điểm của đoạn thẳng AB .  
z  z  2  OA  OB  2  AB  2 . 1 2 2 AB Ta có 2 2 2
OA  OB  2OI   20. 2
P  z  z 2
 OA  OB  P   2 2   2 2 1 1
OA  OB   40. 1 2
Vậy max P  2 10  M .    
Mặt khác, P  z  z  OA  OB  OA  OB  6 . 1 2
Vậy min P  6  m .
Suy ra M  mi  40  36  76 .
Bài tập 8: Cho số phức z thỏa mãn z  2  i  z 1 3i  5 . Giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  z 1 4i bằng 3 A. 1. B. . 5 1 C. . D. 2 . 5 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi M  ;
x y là điểm biểu diễn số phức z ; gọi A2;  1 , B  1  ;3 là
điểm biểu diễn số phức 2  i; 1
  3i . Ta có AB  5 .
Từ giả thiết z  2  i  z 1 3i  5
 x  2   y  2  x  2   y  2 2 1 1 3  5
 MA  MB  5  MA  MB  AB  MA  MB  AB . Suy ra M , ,
A B thẳng hàng ( B nằm giữa M và A ). Do đó quỹ tích
điểm M là tia Bt ngược hướng với tia BA .
P  z 1 4i   x  2   y  2 1 4 , với C  1;
 4  P  MC .  Ta có AB   3;
 4phương trình đường thẳng :
AB 4x  3y  5  0 .   
CH  d C AB 4  1 3.4 5 3 , 
 , CB    2    2 1 1 3 4 1 . 2 2 4  3 5 3
Do đó min P  CH  khi H là giao điểm của đường thẳng AB và 5
đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với AB .
Dạng 2: Phương pháp đại số
1. Phương pháp giải
Các bất đẳng thức thường dùng:
1. Cho các số phức z , z ta có: 1 2
a. z  z  z  z (1) 1 2 1 2 z  0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 z  0, k
  , k  0, z  kz   1 2 1
b. z  z  z  z .(2) 1 2 1 2 z  0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 z  0, k
  , k  0, z  kz   1 2 1
2. Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
Cho các số thực a, , b x, y ta có    2 2   2 2 ax by a b x  y 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay  bx . 2. Bài tập
Bài tập 1: Cho số phức z  a  a  3i,a   . Giá trị của a để
Nhận xét: Lời giải có sử
khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức z đến gốc tọa độ là nhỏ nhất dụng đánh giá 2 bằng x  0, x    3 1 A. a  . B. a  . 2 2 C. a  1. D. a  2 . Hướng dẫn giải Chọn A 2  
z  a  a  32 3 9 3 2 2  2 a      .  2  2 2 3 3 3
Đẳng thức xảy ra khi a  . Hay z   i . 2 2 2
Bài tập 2: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i ,
số phức z có môđun nhỏ nhất là
A. z  1 2i .
B. z  1 i .
C. z  2  2i .
D. z  1 i . Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi z  a  bi a,b   .
z  2  4i  z  2i  a  2  b  4i  a  b  2i  a  b  4  0 .
 z    b  bi  z    b2  b  b  2 2 4 4 2 2  8  2 2 .
Suy ra min z  2 2  b  2  a  2  z  2  2i . z 1 3
Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn
1, biết z   5i đạt giá z  2i 2
trị nhỏ nhất. Giá trị của z bằng 2 A. 2 . B. . 2 5 17 C. . D. . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C.
Gọi z  a  bi  z  2ia,b   .
z 1 1  z 1  z 2i  2a 4b3  0  2a 3  4b z  2i 3
 z   5i  2b2  b 52  5b  2 1  20  2 5 2  1 3 a  1
Suy ra min z   5i  2 5  
2  z   i 2 2 b  1 5 Vậy z  . 2
Bài tập 4: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z  z  3  4i và
Nhận xét: Lời giải sử dụng 1 2 1 2
z  z  5 . Giá trị lớn nhất của biểu thức z  z là
bất đẳng thức Cauchy – 1 2 1 2 Schwarz. A. 5. B. 5 3 . C. 12 5 . D. 5 2 . Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có 2 2 2 z  z  2 2 2 2 2
 z  z  z  z  5  3  4  50 . 1 2 1 2 1 2
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có
z  z  2 2 2 z  z  50  5 2 . 1 2 1 2 
Gọi z  x  yi, z  a  bi;a, , b x, y   1 2
z  z  3  4i 1 2
 z  z  5  1 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  2 2 z  z  25  1 2  z  z  1 2  7  1 x   a   2    2 7 1 1 7  và 
. Hay z   i; z   i . 1 1 2  7 2 2 2 2 y      b  2  2
Thay z , z vào giả thiết thỏa mãn. 1 2
Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức z  z bằng 5 2 . 1 2
Bài tập 5: Cho số phức z thỏa mãn z  1. Giá trị lớn nhất của biểu
Nhận xét: Lời giải sử dụng
bất đẳng thức Cauchy –
thức P  1 z  3 1 z bằng Schwarz. A. 2 10 . B. 6 5 . C. 3 15 . D. 2 5 . Hướng dẫn giải Chọn A.
Ta có P     2 2
 z   z    2 2 2 2 1 3 1 1 20 1  z   2 10 Đẳng thức xảy ra khi  4 2 2  z  1 x  y 1 x       5 4 3  1 z   5  
 z    i x . 2 2 1 z  x  y 1  0 3 5 5    3 2 y     5 Vậy max P  2 10 .
Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i  2 . Giá trị lớn nhất của
Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức
z  3  i bằng
z  z  z  z . 1 2 1 2 A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. Hướng dẫn giải Chọn B.
Ta có z  3  i   z 1 2i  4  3i  z 1 2i  4  3i  7 .
z 1 2i  k 
43i,k  0 13 16
Đẳng thức xảy ra khi   z   i .
 z 1 2i  2 5 5 
Vậy giá trị lớn nhất của z  3  i bằng 7.
Bài tập 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  4i  4 . Gọi M và Nhận xét: Lời giải sử dụng
m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun số phức z . Giá trị của bất đẳng thức M .m bằng
z  z  z  z và 1 2 1 2 A. 9. B. 10.
z  z  z  z . 1 2 1 2 C. 11. D. 12. Hướng dẫn giải Chọn A.
Ta có z   z  3 4i  3 4i  z  3  4i  3  4i  4  5  9  M .  4   3  4   3 4 ,  0 k z i k i k   Đẳng thức xảy ra khi 5    .
 z  3 4i  4 27 36  z   i  5 5 Mặt khác
z   z  3 4i  3 4i  z  3 4i  3 4i  4  5 1  m .  4   3  4   3 4 ,  0 k z i k i k    Đẳng thức xảy ra khi 5   
 z  3 4i  4 3 4  z   i  5 5
Bài tập 8: Cho số phức z thỏa mãn 2
z  4  z  z  2i . Giá trị nhỏ
Chú ý: Với mọi số phức z , z :
nhất của z  i bằng 1 2
z .z  z . z . 1 2 1 2 A. 2. B. 2 . 1 C. 1. D. . 2 Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có 2
z  4  z  z  2i   z  2i z  2i  z  z  2i
 z  2i . z  2i  z . z  2i
 z  2i  0 z  2  i z  2  i      
 z  z  2i
z  z  2i  
z  a  i, a  
 z  i  2  i  i 1 Do đó   min z 1  1.
 z  i  a  i 2
 i  a  4  2 
Bài tập 9: Tìm số phức z thỏa mãn  z  
1 z  2i là số thực và z đạt giá trị nhỏ nhất. 4 2 4 2
A. z   i . B. z    i . 5 5 5 5 4 2 4 2
C. z    i .
D. z   i . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi ;
z  a  bi a,b   . Ta có  z  
1 z  2i  a  
1 a  b2  b 
 2a  b  2i Do đó  z  
1 z  2i là số thực  2a  b  2  0  b  2  2a 2  4  4 2 5
Khi đó z  a  2  2a2 2  5 a      .  5  5 5  4 a   Đẳng thức xảy ra khi 5  2 b    5  4 a  2 5  5 4 2 min z   
. Vậy z   i . 5 2 5 5 b    5
Bài tập 10: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1  2 . Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức T  z  i  z  2  i .
A. max T  8 2 . B. max T  4 .
C. max T  4 2 . D. max T  8 . Hướng dẫn giải Chọn B.
Đặt z  x  yi  x, y   , ta có z  
 x   yi   x  2 2 1 2 1 2 1  y  2  x  2 2 2 2
1  y  2  x  y  2x 1 (*). Lại có
T  z  i  z  2  i  x   y  
1 i  x  2   y   1 i 2 2 2 2
 x  y  2y 1  x  y  4x  2y  5
Kết hợp với (*) ta được
T  2x  2 y  2  6  2x  2y  2 x  y  2  6  2 x  y
Đặt T  x  y , khi đó T  f t  2t  2  6  2t với t  1;  3 .
Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số 1 1
Ta có f 't  
; f t  0  t 1. 2t  2 6  2t Mà f   1  4, f  
1  2 2, f 3  2 2 . Vậy max f t  f   1  4 .
Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có
T  2t  2  6  2t  1  1 .8  4 .
Đẳng thức xảy ra khi t  1 .
Bài tập 11: Cho số phức z thỏa mãn z  1. Gọi M và m lần lượt là
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2
z 1  z  z 1 . Khi đó giá trị
của M  m bằng A. 5. B. 6. 5 9 C. . D. . 4 4 Hướng dẫn giải Chọn B.
Đặt z  a  bi a,b   và t  z 1 . Khi đó     t  t z 1 z   2 2 2 2
1  z 1 z  z  2  2a  a  . 2 Ta có 2 2 2 2
z  z   a  b  abi  a  bi   a   2 1 2 1
1 b   a  b2a   1 i
  a  a2  b  a  2  a  a  2    a  a  2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2
 2a 1  t 1 2 2
 z 1  z  z 1  t  t 1 (với 0  t  2 , do 2 a  1).
Xét hàm số f t 2
 t  t 1 với t 0;2 .  1  5
Trường hợp 1: t 0;  1  f t 2 2
 t 1 t  t
  t 1  f     2  4  f t 5 max  
và có f 0  f   1  1 nên 0; 1 4  .
min f t 1  0; 1 Trường hợp 2:
t    f t 2 2 1; 2
 t  t 1  t  t 1, f t  2t 1  0, t  1;2
max f t  f 2  5  1;2
Do đó hàm số luôn đồng biến trên 1;2   . min f 
t  f  1 1  1;2
M  max f t  5  0;2 Vậy     . m  f  t M m 6 min 1  0;2