Các dạng bài tập VDC khái niệm số phức và các phép toán của số phức Toán 12

Các dạng bài tập VDC khái niệm số phức và các phép toán của số phức Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

18 9 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC

BÀ

I 1&2. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA SỐ PHỨC

LÝ THU

YẾ

I. KHÁI NIỆM VỀ SỐ PHỨC

Số phức

Định nghĩa

o số phức

z có dạng: zabivới ,



ab , trong đó

gọi là phần thực của

gọi là phần ảo của

gọi là

đơn vị ảo thỏa mãn

1i .

Đặc biệt:

Tập hợp các số phức, kí hiệu là



Số phức

z là số thực nếu

0b

Số phức

z là số thuần ảo nếu

0a

Số phức

00 0 zi

vừa là số thực, vừa là số ảo (còn gọi là

số thuần ảo).

Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của số phức z , kí hiệu z , là



zabi.

Môđun của số phứ

Môđun của số phức z , kí hiệu là

zab.

2. Hai số phức bằng

nhau

Định nghĩa

Hai số phức

111

zabi và

222

zabi được gọi là bằng

Bài tập:



zi

;

+) 2





zi;

,cos,

312





ziw iui

,… là

các số thuần ảo.

Bài tập

+) Số phức

zi có số phức

liên hợp là

zi;

+) Số phức

zi

có số phức liên

hợp là



zi.

Nhận xét: Mỗi số thực có số phức

liên hợp là chính nó.

Bài tập:

Số phức



zi

có môđun

2 1229









Bài tập:

Số phức



zabi bằng 0 khi và

chỉ khi











nhau khi và

chỉ khi











3. Biểu diễn hình học của số phức

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , mỗi số phức ; ,



zabiab

được biểu diễn bởi điểm ( ; )

ab . Ngược lại, mỗi điểm

(;)

ab biểu diễn duy nhất một số phức là



zabi

hay



z .

Nhận xét:



OM z ;

+) Nếu

,zz có các điểm biểu diễn

lần lượt là

M thì

12 1 2





Mzz.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

là phần thực của số phức z

b là phần ảo của số phức

Số phức liên hợp của

zabi

zab



là điểm biểu diễn của

số phức

Độ dài đoạn OM là môđun

số phức

là điểm biểu diễn của số phức z

Đại số

(

 là tập hợp

số phức)

Số phức

liên hợp

Môđun số

phức

Hình

học

SỐ PHỨC



zabi





,;1



ab i

II. CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC

1. Phép cộng số phức

Định nghĩa

Tổng của hai số phức





,,,,zabiz abiabab

 

   

là số phức





.zz aa bbi

 



Tính chất

Với mọi , ,zz z



 ta có:

Tính chất kết hợp:









;zz z z z z

 



Tính chất giao hoán:

;zz z z







Cộng với 0:

00 ;zzz









0.zz zz   

2. Phép trừ số phức

Hiệu của hai số phức





,,,,:zabiz abiabab

 

   













.zz z z aa bbi



   

3. Phép nhân số phức

Định nghĩa

Tích của hai số phức





,,,,zabiz abiabab

 

   

là

số phức





.zz aa bb ab a b i

 

 

Tính chất

Với mọi , ,zz z



 ta có:

• Tính chất giao hoán: ;zz z z





• Tính chất kết hợp:









;zz z z z z

 



• Nhân với 1:

1. .1 ;zz z

• Tính c

hất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:





.zz z zz zz

  



4. Phép chia cho số phức khác 0

Số nghịch đảo của số phức 0z  kí hiệu là



là số phức

thỏa mãn

1,zz



 , hay

.zz





Thương của phép chia số phức



cho số phức

khác

Bài tập:









54 32 82.iii



 

Bài tập:





có số đối là

zi

Bài tập:









54 32 26.iii



 

Bài tập:

















54 32 158 1210 232.ii i i



 

Chú ý:

• Ta có thể thực hiện phép cộng và phép nhân

các số phức theo các quy tắc như phép toán

cộng và nhân các số thực.

° Các hằng đẳng thức của các số thực cũng

đúng đối với các số phức.

Bài tập:

   

42 22.zzizizi    

Bài tập:

32zi



 có số phức nghịch đảo là



11 32

.3 2 .

13 13 13



Bài tập:

kí hiêu là

zzz



















54 32

54 722 7 22

3 2 3 2 3 2 13 13 13

iii







SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Phép cộng số phức

Tổng của hai số phức zabi





và





,, ,zabiabab

 

 

là số phức





.zz aa bbi







Phép trừ số phức

Hiệu của hai số phức

zabi





và





,, ,zabiabab

 

  là số

phức









.zz aa bbi

 

  

Phép nhân số phức

Tích của hai số phức zabi





và





,, ,zabiabab

 

  là số

phức





.zz aa bb ab a b i

 

 

Phép chia số phức khác 0

Số nghịch đảo của số phức 0z



kí hiệu là



là số

phức thỏa mãn

1zz





hay

.zz





Thương của phép chia số phức z



cho số phức

0z 

, kí

hiệu là

zzz







Tính chất phép cộng số phức

Với mọi ,,zz z





 ta có









;zz z z z z

 



;zz z z







00 ;

zzz













0.zz zz





Tính chất phép nhân số phức

Với mọi ,,zz z





 ta có

;

zz z z













;zz z z z z

 



1. .1

;

zz z





.zz z zz zz

  



CÁC

PHÉP TOÁN

VỚI SỐ PHỨC

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Thực hiện các phép toán của số phức, tìm phần thực phần ảo

1. Phương pháp giải

Cho hai số phức

zabi

và

zabi







trong đó , , ,

aba b



 . Khi đó:







'' ;zz aa bbi















'' ;zz aa bbi



  







;zz aa bb ab a b i

 

 



zzz





Bài tập:

Hai số phức

37, 43ziz i



 có









34 73 74;zz i i



 









34 73 110;zz i i 

















3.4 7 .3 3.3 4. 7 33 19 ;zz i i 











37 43

937

43.43 25 25

zii







2. Bài tập

Bài tậ

p 1:

Tất cả các số phức z thỏa mãn





231 73ziizi



 là

zi B.

42.zi

zi D.

42.zi

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có:

  

231 73 2 10 42.

ziizi iz z zi

     



Bài tập 2: Cho số phức





,zabiab  thỏa mãn 13 0zizi



 . Giá trị của 3Sa b là

S  B. 3.S  C. 3.S



 D.

S 

Hướng dẫn giả

Chọn B.

Ta có 13 0zizi  





13 0

ab abi

bab







   





























 















Bài tập 3. Tính

 

        

23 20

C1 1i 1i 1i ... 1i

Hướng dẫn giải

Áp dụng công th

ức của cấp số nhân:

Ta có:

 





         



 







23 20

21 21

C1 1i 1i 1i ... 1i u.

11i 11i

1. .

11i

Ta có



 



     

21 20 10

10 10 10

1i 2i

1i 1i .1i 2i .1i 2 1i 2 i.2

Do đó:









10 10

12 i.2

C212i.

Bài tập 4. Tính tổng

   

2 3 2012

S i 2i 3i ... 2012.i .

A. 1006 1006i B. 1006 1006i C. 1006 1006i



 D. 1006 1006i

Hướng dẫn giải

Chọn D

Cá

ch 1.

Ta có

  

2 3 4 2013

iS i 2i 3i ... 2012i

     

2 3 2012 2013

S iS i i i ... i 2012.i

Dãy số

2 3 2012

i, i , i , ...,i

là một cấp số nhân có công bội



và có 2012 số hạng, suy ra:



  



2012

2 3 2012

i i i ... i i. 0

đó:



    



2013

2012i

S iS 2012.i 2012i S 1006 1006i

Cách 2. Dãy số

22012

1,x,x ,...,x là một cấp số nhân gồm 2013 số hạng và có công bội bằng x.

Xét

x1,x0 ta có:





   



2013

2 3 2012

1 x x x ... x 1

Lấy đạo hàm

hai vế của (1) ta được:





  



2013 2012

2 2011

2012.x 2013x 1

1 2x 3x ... 2012x 2

Nhâ

n hai vế của (2) cho x ta được:





 



2014 2013

2 3 2012

2012.x 2013x x

x 2x 3x ... 2012x 3

Thay

xi

vào (3) ta được:







    



2014 2013

2 2 2012

2012i 2013i i

S i 2i 3i ... 2012i

Với

 

2014 2013

i1,ii

Vậy







2012 2012i

S 1006 1006i.

Bài tập 5. Cho 



hai số phức liên hiệp thỏa mãn







R và  23. Tính  .

3 C. 2

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt    xiy xiy với x, y R.

Không giảm tính tổng quát, ta coi

y0.

Vì

 23

nên

2iy 2 3 y 3.





hai số phức liên hợp nên



., mà















do đó 

. Nhưng ta có



   

33 2 2 3

x3xy 3xyyi

nên 

khi và chỉ khi







   

23 22 2

3x y y 0 y 3x y 0 x 1.

Vậy

    

xy 132.

Bài tập 6. Tìm c biết a,b và c các số nguyên dương thỏa mãn:



 

c a bi 107i.

A. 400 B. 312 C. 198 D. 123

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có







     

32 23

c a bi 107i a 3ab i 3a b b 107 .

Nên c là số nguyên dương thì

 

3a b b 107 0.

Hay





3a b 107.

Vì



a, b Z và 107 là số nguyên tố nên xảy ra:

 

22 2

11450

107; 3a b 1 a Z

(loại).

 

22 2

1; 3a b 107 a 36 a 6 (thỏa mãn). Vậy nên   

323 2

c a 3ab 6 3.6.1 198.

Bài tập 7. Cho số phức z có phần ảo bằng 164 và với số nguyên dương n thỏa mãn 



4i.

Tìm

n14

n149

697

789

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt

z x 164i

ta có:





    















zx164i

4i 4i x 164i 656 4 x n i

zn x164in

x656

n 697.

xn41

Vậy gi

á trị cần tìm của n là 697.

Bài tập 8. Cho số phức z thỏa mãn











13i

.Tìm mô đun của số phức

ziz

A. 2 B. 3

Hướng dẫn giải

Chọn A

Từ z ta phải suy ra được z và thay vào biểu thức



ziz rồi tìm môđun:











 



13i 13i1i

1313

1i 2 2 2

Suy ra:

 

 

1313 1313

zii.zi

22 22

Do đó:

 ziz1i ziz 2.

Dùng

MTCT:

Bước 1:

Lưu



13i







Bước 2: Tính AiA

Lời bình: Nhận thấy rằng với số phức



zabi bất kì ta đều có

 

 ziz 1iab

hay



 





ziz

ab ,z

. Về phương diện hình học thì



ziz

luôn nằm trên trục Ox khi biểu diễn

trong mặt phẳng phức.

Bài tập 9. Tìm số thực m biết:









1mm2i

và





( trong đó i là đơn vị ảo)









































Định hướng:

Quan sát thấy z cho ở dạng thương hai số phức. Vì Vậy cần phải đơn giản z bằng

cách nhân liên hiện ở mẫu. Từ

zz

. Thay z và z vào





ta tìm được m

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:

















2222

22 2

22222

im1m 2mi m1m 2mi1m 2m

1mm2i

1m 4m 1m

m1 m i1 m

mi mi

1m 1m 1m 1m

 



 



 





 



Như vậy:



 

2m m 1 1 1 1

zz m2 m2 m 2m m0

22 2







           











Bài tập 10. Tìm phần thực của số phức:







z1i,n thỏa mãn phương trình:

 

 

log n 3 log n 9 3 .

A. 6 B. 8 C. 8 D. 9

Hướng dẫn giải

Chọn C

Điều kiện: n3,n

Phương trình

 









   

44 4

logn3 logn9 3 logn3n9 3







 

n3n9 4 n 6n90 n7do:n3

 



      





723

z 1 i 1 i. 1 i 1 i.2i 1 i. 8i 8 8i

Vậy phần thự

c của số phức z là 8.

Bài tập 11. Cho số phức











m3i

. Tìm m, biết số phức



wz có môđun bằng 9.









































Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có

 

  

    

 



 

22 2

m96mi m9 m9

wz 3m iw 9 9m 9

2i 2 2



42 2 2

m18m819m918m9m3

Vậy gi

á trị cần tìm là

m3

Bài tập 12. Cho số phức











z,m

1mm2i

. Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn

tại m để

z1 k

















Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

 





 

im 1 1mi

zz1

im mi

imim









  















1mi

m2m2

z1 z1 k

m2m2

Xé

hàm số









m2m2

Ta có











ʹʹ

2m m 1

fm fm 0 m .

Lập bảng biến thiên ta có min













15 35

 Yêu cầu bài toán



 

35 35 51

222

Vậy





là giá trị phải tìm.

Dạng 2. Tìm số phức liên hợp, tính môđun số phức

1. Phương pháp giải



Số phức zabi có zabi và

.zab

Chú ý:

Nếu zabi thì

Bài tập: Số phức liên hợp của số phức









23 32zii  là

A. 12 5 .zi



 B. 12 5 .zi 

2a; . .zz zza b  

C. 12 5 .zi



 D. 12 5 .zi

Hướng dẫn giải

Ta có









23 32 65 6 125ziiii i





12 5 .zi 

Chọn D.

2. Bài tập mẫu

Bài tậ

p 1:

Cho số phức ,zabi với ,ab là các số thực thỏa mãn





24,abi iabi i   với i là đơn vị ảo. Môđun của

1 zz





 là

A. 229.



 B. 13.



 C.

229.





13.





Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có



24 2

24 .

21 3

ab a

abi iabi i

ba b

 



   









Suy ra

23.zi





Do đó

1215.zz i



 

Vậy

 

2 15 229



  

Bài tập 2: Cho số phức z thỏa mãn







Môđun của số phức .wizz



 là

A. 42.w  B. 2.w  C. 32.w  D. 22.w 

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có:

12.















12 . 12 12 33.ziwii i i      



331832.w 

Bài tập 3: Cho

,zz là các số phức thỏa mãn

1zz



 và

26.zz

Giá trị của biểu thức

zz

là

2.P 

3.P 

3.P



1.P 

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Đặt

11111

;, ,zabiab 

22222

;, .zabiab 

Suy ra

22 22

11 22

1ab ab

và

12 1212

26.. .

zz aabb



  

Ta có





12 12 12

22 2zz aa bbi  





22 22

12 12 12 11 22 1212

2222 .

zz aa bb ab ab aabb       

Suy ra

22.Pzz

Dạng 3. Bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức

Bài tập 1: Cho , ,

BC lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức





43,12 ,iii

Số phức

có điểm biểu diễn D sao cho

BCD là hình bình hành là

A. 64.zi  B. 63.zi  C. 65.zi



 D. 42.zi

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có

là điểm biểu diễn của số phức 43i nên





4; 3 .A



là điểm biểu diễn của số phức





12 2ii i nên





2;1 .B 

C là điểm biểu diễn của số phức

 nên





0; 1 .C



Điều kiện để

BCD là hình bình hành là

DBC



 



6; 5 6 5 .

DACB D CAB

xxxx x xxx

Dzi

yyyy y yyy

 



 



 



Bài tập 2: Cho tam giác

BC có ba đỉnh , ,

BC lần lượt là điểm biểu diễn hình học của các số

phức

12 3

2, 16, 8.ziz izi   Số phức

z có điểm biểu diễn hình học là trọng tâm của tam

giác

BC . Mệnh đề nào sau đây đúng?

32.zi B.

5.z





13 12 .zi D.

32.zi





Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có:













2; 1 , 1;6 , 8;1 .ABC

Gọi

G là trọng tâm tam giác .





3; 2 3 2 3 2 .Gzizi

Bài tập 3: Cho các số phức

,zz thoả mãn

1212

3, 4, 5zz zz



. Gọi ,

B lần lượt là các

điểm biểu diễn số phức

,zz trên mặt phẳng toạ độ. Diện tích S của OAB



(với O là gốc toạ độ)

là

52.S 

6.S 

S 

12.S 

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có:

3,zOA

4,zOB

5zz AB





OAB

vuông tại

(vì

22 2

OA OB AB

)

..3.46.

OAB

SOAOB



 

Dạng 4. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài tập 1: Có bao nhiêu số phức

thỏa mãn

zi z

ziz



 











A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Đặt





,, .zxyixy 

Ta có hệ phương trình:





222

xy x y

xy xy



 







 





Do đó

1zi

nên có một số phức thỏa mãn.

Bài tập 2: Có bao nhiêu số phức z thỏa điều kiện .2zz z



 và 2?z



A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có:

.2 242.zz z z z z 

Suy ra điểm

biểu diễn số phức z là giao của hai đường tròn





:4Cx y





và

 

:4 4.Cx y

Vì

12 1 2

II R R (

,II là tâm của các đường tròn









,CC

) nên





và





tiếp xúc nhau).

Suy ra: Có một số phức z thỏa mãn yêu cầu.

Bài tập 3: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn









627?zz i i iz   

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Nhận xét: Từ giả thiết, ứng với mỗi z cho ta duy nhất một số phức .z

Đặt

0,za a  , khi đó ta có









627zz i i iz   









627az i i iz





76a2aiz aii 









76a2aiz ai 









76a2aiz ai 

 

7 1 36a 2aa a



  











432 32

14a 13a 4a 4 0 1 13a 4 0.aaa    

Hàm số









13a 0fa a a  có bảng biến thiên:

Đường thẳng

4y  cắt đồ thị hàm số





a tại hai điểm nên phương trình

13a 4 0a  có

hai nghiệm khác 1 (do





10f  ). Thay giá trị môđun của

vào giả thiết ta được 3 số phức thỏa

mãn điều kiện.

Bài tập 4: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức

thỏa

mãn





21 10zm i và

123?ziz i   

A. 40. B. 41. C. 165. D. 164.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Giả sử





,zxyixy  và





xy là điểm biểu diễn số phức .z

Ta có:

 

2 1 10 2 1 100zm i zm i



2 1 1 100.xm y  





Khi đó điểm biểu diễn số phức

nằm trên đường tròn





C có tâm





21;1,Im bán kính 10.R



Lại có

 

12311 23ziz i x yi x yi           

  

22 2 2

11 23 2x8110.xyx y y    

Khi đó điểm biểu diễn số phức

cũng nằm trên đường thẳng

:2 8 11 0xy





Có đúng hai số phức

thỏa mãn nếu đường thẳng



cắt đường tròn





C tại 2 điểm phân biệt.

Tức là







22 1 8 11

5 20 17 5 20 17

,10 10 .

dI m





     



Vậy có

41 giá trị nguyên của

m để có đúng hai số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập 5: Cho hai số phức

z và

z thỏa mãn

1212

3, 4, 37.zz zz Hỏi có bao nhiêu

số

mà

zabi



Hướng dẫn giải

Chọn B.

Đặt





,,,,.z x yiz c di xycd   Ta có:

39;zxy  

416;zcd  

2222

37 2 2 37 6.z z x y c d xc yd xc yd   

Lại có:

22 22

xyi xcyd ycxd

ibi

z cdicd cd

 

  

 

Suy ra





Mà

22 22 2 2

3992733

41616648

ab ab b a b

 

Vậy có

hai số phức

thỏa mãn.

Bài tập 6: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z

thỏa mãn

.1zz và 3zim-+=. Số phần tử của S là

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Dễ thấy

0.m 

Đặt

;,zabiab 

ta có hệ phương trình.



abm















Phương trình

1ablà đường tròn tâm ,O bán kính 1



Phương trình







31abm là đường tròn tâm





3; 1 ,I



bán kính

m .

Có duy

nhất số phức thỏa mãn đề bài

 Hệ phương trình



abm















có nghiệm duy nhất



Hai đường tròn này tiếp túc với nhau

112

OI m m













(thỏa mãn

0m 

Vậy, có hai số thực thỏa mãn.

Bài tập 7: Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1z



và





Hướng dẫn giải

Chọn D.

Đặt





,, .zabiab 

Ta có

22 22

11.zab ab



221.

abi abi

zz z z

zzz





    

Ta có hệ:

22 1





















hoặc



































hoặc

















Suy ra



1 3 1 3 31 31

; ; ;; ;;; ; .

22 22 22 22



  



  

  



  



  



Vậy có 8 cặp số



;ab do đó có 8 số phức thỏa mãn.

Dạng 5: Bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phức

1. Phương pháp giải

Sử dụng các định nghĩa, tính chất hình học đã biết.

Cho trước các điểm cố định





1212

,,; 2 0IFF FF cc





Tập hợp các điểm

thoả mãn





0MI R R



 là

đường tròn tâm

bán kính .

Tập hợp các điểm

thoả mãn



FMF aac 

là elip có hai tiêu điểm là

,.FF

Tập hợp các điểm

thoả mãn

FMF



là đường

Bài tập:

Trên mặt phẳng Oxy tập hợp các điểm

biểu diễn số phức z thoả mãn

25 4zi



 là đường tròn tâm





2;5 ,I  bán kính

2.R 

trung trực của đoạn thẳng

.FF

2. Bài tập

Bài tậ

p 1

: Xét các số phức z thỏa mãn







68 .zzi là số thực. Biết

rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của

z là một đường tròn, có tâm



;Iabvà bán kính

Giá trị

abR

bằng

A. 6. B. 4. C. 12. D. 24.

Chú ý:

Trong mặt phẳng Oxy ,



aybR



  là

phương trình đường tròn

có tâm





;Iabvà bán

kính

0R  .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Đặt





,.zxyixy 

Vì







 

68 . 6 8zzixyiyxi  





là số thực nên

 

6803425.xx yy x y   

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của

z là đường tròn có tâm





3; 4 ,I



bán kính 5.R 

Vậy

4.abR 

Bài tập 2: Cho số phức

thỏa mãn

3310zz





. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức

là

A. Một parabol.

Một đường tròn.

Một elip.

Một hypebol.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi



,zxyixy 

thì









3 3 10 3 3 10(*)zz xyixyi       

Gọi

là điểm biểu diễn số phức z và các điểm









3; 0 , 3; 0 .FF Dễ thấy

62FF c

Khi đó:

3 3 10 10 2 .zz MFMF a    

Vậy tập hợp các điểm

biểu diễn số phức z là elip có hai tiêu điểm

,FF, độ dài trục lớn là

210a 

Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn 10z



và



68 12 .wizi  Tập hợp các điểm biểu

diễn số phức

là đường tròn có tâm là





3; 4 .I  B.





3; 4 .I C.





1; 2 .I







6;8 .I

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có



68 12wizi 



34 68wiiz  



34 6 8wi z  









3 4 10.10 3 4 100wi wi   

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức

w là đường tròn





có tâm





3; 4 .I



Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ

,Oxy

tập hợp các điểm biểu biễn các số phức

thỏa mãn 12 12zizi   là đường thẳng có phương trình

A. 210.xy B. 20.xy

20.xy D. 210.xy

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Đặt





,.zxyixy zxyi  

Gọi



;

xy là điểm biểu diễn của số phức .z

Ta có:

12 12zizi  

12 12

yi i z yi i 

















12 12

yix yi 

   

22 22

12 12

yx y

22 22

21 4 4 21 4 4xx yy xx yy

20.xy 

Vậy tập hợp các điểm biểu biễn các số phức

z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng có phương

trình là

20.xy

Bàitập5.GiảsửM(z)làđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễnsốphứcz.Tậphợpnhững

điểmM(z)thỏamãnđiều

2z izlà

Đường

thẳng

4x 2y 3 0 B. Đườngthẳng 4x 2 y 3 0





A. Đườngthẳng

x2y30 D. Đườngthẳng x9y30





Hướngdẫngiải

ChọnA

Cá

h1.Đặt



zxyi;x,y . 

làsốphứcđãchovà





Mx;y

làđiểmbiểudiễncủaztrong

mặtphẳngphức

Tacó

   

z2 iz x2 yi x y1i x2 y x y1          

4x 2 y 3 0

.VậytậphợpđiểmMcầntìmlàđườngthẳng

4x 2y 3 0







Cách2.







z2 iz z 2 iz* 



Đặt



zxyi;x,y .  là số phứcđã cho và





Mx;ylàđiểm biểu diễn của z trong mặt

phẳngphức,ĐiểmAbiểudiễnsố‐2tức





A2;0

vàđiểmBbiểudiễnsốphứcitức





B0;1



Khiđó



*MAMB. Vậy tập hợpđiểm M cần tìm làđường trung tực của AB:

4x 2y 3 0.

Bàitập6.Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện

z2i z1i

là

A. Đường

thẳng xy30 B. Đườngthẳng x2y30





A. Đườngthẳng

x2y30 D. Đườngthẳng xy10





Hướngdẫngiải

ChọnD

Giảsử

zxyi(x,y ) 

,điểm





Mx;y

biểudiễnz.Theobàiratacó:

 

222

x y2i x1 y1i x y2 x1 y1

4y 4 2x 2y 2 x y 1 0

      



SuyraMthuộcđườngthẳngcóphươngtrình

xy10



.

Vậytậphợpđiểmbiểudiễncácsốphứczlàđườngthẳngcóphươngtrình

xy10.

Bàitập7.Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện

 

51 iz 3 2i 1 7iz i là

A. Đường

thẳng B. Đường

tròn

Đường

elip D. Đư

ờng

Parabol

Hướngdẫngiải

ChọnA

Nhậnthấy

51 i 5 2 1 7i 

Tacó

 

51 iz 3 2i 1 7iz i 



32i i

51 i .z 1 7i.z

55i 17i

32i i 1 1 7 1

zz zizi

55i 17i 10 2 50 50



   





     



VậytậphợpMlàđườngtrungtrựcAB,với

11 7 1

A;,B;

10 2 50 50









.

Bàitập8.Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện

zz3 4 là

A. Haiđuờngthẳng



,



B. Haiđuờngthẳng



 ,



A. Haiđuờngthẳng



,



D. Haiđuờngthẳng



 ,



Hướngdẫngiải

ChọnA

Đặt



zxyi,x,y 

Lúcđó:

zz3 4 xyixyi3 4 2x3 4 4x 12x916

4x 12x 7 0

        

















VậytậphợpđiểmMlàhaiđườngthẳng

x= ; x



 songsongvớitrụctung.

Bàitập9.Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện

zz1i 2là

A. Haiđuờngthẳng

13 13

y;y





B. Haiđuờngthẳng

13 13

y;y





A. Haiđuờngthẳng

15 13

y;y





D. Haiđuờngthẳng

15 13

y;y





Hướngdẫngiải

ChọnB

Đặt



zxyi,x,y 

Lúcđó:







zz1i 2 xyixyi1i 2 1 2y1i 2

1 2y 1 2 1 4y 4y 1 4 4y 4y 2 0

2y 2y 1 0

     

    





















VậytậphợpđiểmMlàhaiđườngthẳng

13 13

y;y





songsongvớitrụchoành.

Bàitập10.Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện

2z 1 z z 2là

A. Haiđuờngthẳng

x0

,

y0

. B. Haiđuờngthẳng



,

y2

C. Haiđuờngthẳng

x0 ,x2 .

D. Haiđuờngthẳng



, y2 .

Hướngdẫngiải

ChọnC

Gọi



Mx;y

làđiểmbiểudiễnsốphức

zxyi





,





x, y

thỏa

2z1 zz2







  

222

2 x yi 1 x yi x yi 2 2 x 1 yi 2 2yi

2x1 y 2 2y x 2x0







 









Vậytậphợpcác

điểmMcầntìmlàhaiđườngthẳng



, x2



 .

Bàitập11.Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện

z1i 2 là

Đuờng

thẳng

xy20

B. Đườngtròn



x1 y1 4



 

ườngthẳng

xy20

D. Đư

ờng tròn tâm



I1; 1  và bán kính

R2.





Hướngdẫngiải

ChọnD

Xéthệthức:

z1i 2 Đặt





zxyi,x,y  .

Khiđó:

 

22 22

(1) x 1 y 1 2 x 1 y 1 4

Vậy,tậphợpnhữngđiểmM(z)thỏamãnhệthức(1)làđườngtròntâm



I1; 1 vàbán

kính

R2. 

Bàitập12.Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện





là

A. Đuờng

tròn

18 9

xy y 0

 

B. Đườngtròn

18 9

xy y 0





C. Đường

tròn

18 9

xy y 0

 

D. Đư

ờng tròn tâm

I0;







 và bán kính



Hướngdẫngiải

ChọnB

Đặt



zxyi,x,y . 

Tacó

z189

3z3z1xy y 0

z1 8 8

      



Vậy,tậphợpnhữngđiểmM(z)thỏamãnhệthức(1)làđ

ờngtròntâm

I0;







vàbán

kính



Bàitập13.Tậphợpcác

điểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện

z32i 2z12i   là

A. Đuờng

tròn

248

xy x y 0

333

  

B. Đườngtròn

248

xy x y 0

333





C. Đường

tròn

248

xy x y 0

333

  

248

xy x y 0

333





Hướngdẫngiải

ChọnC

Đặt



zxyi;x,y .  

Tacó:

z32i 2z12i  

   

22 2

x3 y2i 2x1 2y2i x3 y2 2x1 2y2

3x 3y 2x 4y 8 0

         



Suy ra: Tập hợp cácđiểm biểu diễn z là phương trìnhđường tròn (C):

248

xy x y 0

333

  

.

Bàitập14.Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện



zi 1iz  là

A. Đuờng

tròn



xy12 

B. Đườngtròn



xy12





C. Đ

ường

tròn



x1 y1 2 D.



x1 y1 2



 

Hướngdẫngiải

ChọnA

Gọi



Mx;ylàđiểmbiểudiễncủasốphức





zxyi;x,y .  

Suyra

   

222

zi x y1 1iz 1ixyi xy xy       

Nê

n

   

222 2

zi 1iz x y1 xy xy x y1 2            

VậytậphợpđiểmMlàđườngtròn





xy12





.

Bàitập15.Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện

z4i z4i 10là

A. Đuờng

elip

916



 B. Đuờngelip

16 9



 

C. Đuờng

elip



 D. Đuờngelip



 

Hướngdẫngiải

ChọnA

Xéthệthức:

z4i z4i 10

Đặt



zxyi,x,y 

.Lúcđó

 

(4) x y 4 x y 4 10 1

916



VậytậphợpđiểmMlàđư

ờngelipcóhaitiêuđi ểmlà

F (0;4);F ( 0; 4)



vàđộdàitrụclớnlà

16.

Bàitập16.Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện

z2 z2 5

là

Đuờng

trò

n B. Đuờng

elip

C. Đuờngparabol D. Đuờngthẳng

Hướngdẫngiải

ChọnB

Đặt



zxyi;x,y . 



Tacó:

z2 z2 5

    

x 2 yi x 2 yi 5 x 2 y x 2 y 5 1    

Xét

 

A 2;0 ; B 2;0 ;I x; y IA IB 5

VậytậphợpđiểmbiểudiễnsốphứczchínhlàtậphợpcácđiểmIthỏamãn

IA IB 5,đó

chínhlàmộtelipcótiêucự

AB IA IB 5

c2;a

222



 

Bàitập17.Tậphợpcác

điểmtrênmặtphẳngt ọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãn

điềukiện

2z z2là

A. Tậphợpcácđi

ể

mlànửamặtphẳngở

ênphảitrụctung

B. Tậphợpcácđi

ể

mlànửamặtphẳngở

êntráitrụctung

C. Tậphợpcácđi

ể

mlànửamặtphẳngphíatrêntrụchoành

D. Tậphợpcácđi

ể

mlànửamặtphẳngphíadướitrụchoành

Hướngdẫngiải

ChọnA

Xéthệthực:



2z z21

.Đặt





zxyi,x,y 

.

Khiđó:

(3) 8x 0

TậphợpnhữngđiểmM(z)thỏamãnđiềukiện(1)lànửamặtphẳngởbênphảitrụctung,

tứccácđiểm



x,y

mà x0

Bàitập18.Tậphợpcác

điểmtrênmặtphẳngt ọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãn

điềukiện

1z1i2

là

A. Tậphợpcácđiểmlàhìnhtròncótâm





I1; 1



,bánkính2

B. Tậphợpcácđiểmlàhìnhvànhkhăncótâmtại





A1;1vàcácbánkínhlớnvànhỏl ần

lượtlà

2; 1 

C. Tậphợpcácđiểmlàhìnhtròncótâm





I1; 1



,bánkính1

D. Tậphợpcácđiểmlàhìnhvànhkhăncótâmtại







I1; 1vàcácbánkínhlớnvànhỏlần

lượtlà

2; 1



Hướngdẫngiải

Chọn18B

Xéthệthực:



1z1i22 .Đặt





zxyi,x,y  .

Khiđó:

    

21x1 y14    

Vậy tập hợp nhữngđiểm M(z

) thỏa mãnđiều kiện (2) là hình vành khăn có tâm tại 



A1;1vàcácbánkínhlớnvànhỏlầnlượtlà2; 1

Bàitập19.Tìmtấtcảcác

điểmcủamặtphẳngphứcbiểudiễncácsốphứczsaocho



làsốthực.

A. Tậphợpđi

ể

mg

ồ

mhaitrụctọađộ

B. Tậphợpđi

ể

mlàtrụchoành

C. Tậphợpđiểmgồmhaitrụctọađộbỏđiđiểm

A(0;1)

D. Tậphợpđiểmlàtrụctu

ng,

bỏđi

A(0;1)

Hướngdẫngiải

ChọnC

Đặt



zxyi,x,y . 

Tacó:









xy11y xy1x1yi

x1y



   













làsốthực



xy 1 x1 y 0 xy 0.

Mặtkhá

c:



xy10 

cảmặtphẳngphứcbỏđiđiểm





0;1

Tómlại:



























ycbt .

x,y 0;1

Vậycácđiểmcủamặtphẳngphứccầntìmgồmhaitrụctọa

độbỏđiđiểm

A(0;1)

Bàitập14.Tìmtậphợpcác

điểmbiểudiễnsốphứczsaocho

z23i







làmộtsốthuần

ảo.

Đường

tròntâm





I1;1

bánkính

R5

B. Đườngtròn

tâm



I1;1

bánkínhR5 trừđihaiđiểm



 

A0;1;B 2; 3

C. Đườngtròntâm



I1;1bánkính



D. Đường

tròntâm





I1;1

bánkính



trừđihaiđiểm









A0;1;B 2; 3



Hướngdẫngiải

ChọnB

Đặt



zxyi,x,y 

Tacó:

 









x2 y3ix y1i

xy2x2y322xy1i

z23i

xy1 xy1



   

 





 



 

u làsốthuầnảo



 

x1 y1 5

xy2x2y30

x, y 0; 1

2x y 1 0

x, y 2; 3





 

























 





Vậytậphợpđiểm

z làđườngtròntâm





I1;1



bánkính

R5

trừđihaiđiểm

 

A0;1;B 2; 3 .

Bài tập 21. Tìmtập hợp cácđiểm biểu diễn số phức

zxyi





 thỏa mãnđiều kiện

xy1

là

A. Bacạnhcủatamgiác

B. B

ố

ncạnhcủahìnhvuông

C. B

ố

ncạnhcủahìnhchữnhật

D. B

ố

ncạnhcủahìnhthoi

Hướngdẫngiải

ChọnB

GọiMlàđiểmbiểudiễnsốphứcz.

Tacó:

xy1 khi x0,y0

xy1

xy1khi x0,y0

xy1 khi x0,y0



  



  







   



   



VậytậphợpđiểmMlà4cạnhcủahìnhvuôn

g.

Bàitập22.TrongmặtphẳngtọađộOxy,tìmtậphợpđiểmbiểudiễncácsốphứczthỏa

mãn

zi zi





làsốthuầnảo.

A. Đường

tròntâm

I;0









bánkính



B. Đườngtròn

tâm

I;0









bánkính



trừđihaiđiểm





1; 0 .

C. Đườngtròntâm

I;0









bánkính



D. Đường

tròntâm

I;0









bánkính



trừđihaiđiểm





0;1 .

Hướngdẫngiải

ChọnB

Giảsử

zxyi

vàđiểmbiểudiễnsốphứczlà





Mx;y.

Tacó:









2x y 2x 2x 1i

2z z z i z z 2i

zi zi

zzz1 x1 y



  



 



  

zi zi





làsốthuầnảo



 

2x y 2x 0

x1 y 0

x;y 1;0



































VậytậphợpđiểmMlàđườngtr

òn













bỏđiđiểm





1; 0 .

Bàitập23.Tìmquỹ tíchcácđi

ể

mtrênmặt phẳngphứcbi

ể

udiễnchos

ố

phức wiz1



 ,

biếtzlàsốphứcthỏamãn:



z2i1 8 .

Đường

tròn

   

C:x 3 y 1 4

B. Đườngtròn

   

C:x 3 y 1 2



ườngtròn

   

C:x 3 y 1 4

D. Đường

tròn

   

C:x 3 y 1 4

Hướngdẫngiải

ChọnC

Tacó

zz nên

 



z2i1 2 z2i1 2 *    

Đặt

wxyi



Talạicó

wiz1 ziiw z ii.w  .(*)trởthành:

 

22 22

iw 3i 1 2 y 1 x 3 2 y 1 x 3 4      

Vậy quỹ tích cácđiểm biểu diễn w

 trên mặt phẳng phức làđường tròn

   

C:x 3 y 1 4.

Bàitập24.TrongmặtphẳngtọađộOxy,tìmtậphợpđiểmbiểudiễnsốphứcwthỏamãn:

wz2i

,biếtzlàsốphứcthỏa

z12i 1





.

A. Đường

tròntâm





I1;2bánkính R2

B. Đườngtròn

tâm



I2;1bánkínhR2



C. Đường

tròntâm



I1;1bánkínhR1



D. Đường

tròntâm





I3;3

,bánkínhR1



Hướngdẫngiải

ChọnD

Gọi



wxyix,y Mx;y   làđiểmbiểudiễnchosốwtrênhệtrụcOxy.







 

zw2ix2 y1i zx2 1yi

z12i 1 x3 3yi 1 x3 y3 1

 

        

Vây

tậphợpđiểmbiểudiễnsốphứcwlàmộtđườngtròntâm





I3;3,bánkínhR1 .

Bài tập 25. Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm tập hợp cácđiểm M biểu diễn s ố phức



w12iz3 biếtzlàsốphứcthỏamãn: z2 5



 .

A. Đườngtròntâm





I1;2

bánkính

R5

B. Đườngtròn

tâm



I2;1bánkínhR5



C. Đường

tròntâm



I1;4bánkính R55 .

D. Đườngtròntâm





I1;3

,bánkính



Hướngdẫngiải

ChọnC

Theogiảthiết:



a1 b4i

z2 5 5 a1 b4i 512i

12i

 

    



   

22 22

a1 b4 55 a1 b4 125 

VậytậphợpđiểmMthỏamãnđ

ềbàilàđườngtròntâm





I1;4bánkínhR55 .

Bàitập26.Tìmtậphợpcácđiểmbiểudiễnsốphức





zʹ 1i3z2





với z1 2.

A. Hìnhtròntâm



I3;3 ,R4 .

B. Đường

tròn

tâm





I3;3

,R4 .

C. Hìnhtròntâm



I1; 4

bánkính



D. Đườngtròntâm





I1;3,bánkínhR5



Hướngdẫngiải

ChọnA

Giảsửtacó



zabia,b

zʹ xyix,y



 





 









Khiđó:

 









zʹ 1i3z2xyi1i3abi2xyiab32ba3    

xy32

xab32

yba3 3xy23











 







 











Theobàiratacó:



xy32 3xy23

z1 2 a1 b 4 1 4



 

      









xy36 3xy23 64 4x 4y 24x83y160

xy6x23y40 x3 y 3 16

        

   

Vậyquỹtíchcác

điểmbiểudiễnsốphứcz’làhìnhtròntâm





I3;3

,R4 .

Bàitập27.Tìmtậphợpcácđiểmbiểudiễntrongmặtphẳngphức



w1i3z2 

biết

rằngsốphứczthỏamãn

z1 2.

A. Hìnhtròntâm



I3;3

,R4 .

B. Đường

tròn

tâm





I3;3bánkính



C. Đ

ường

tròntâm



I3; 3

bánkínhR4



D. Hìnhtròntâm



I3; 3

bánkínhR4.



Hướngdẫngiải

ChọnD

Đặt



zabi,a,b  và





wxyi,x,y 

Tacó:

 

z1 2 a1 b 4*   

Từ

 







   

22 2

w 1 i3z 2 x yi 1 i3 a bi 2

x3a1b3

xab32

y33a1b

y3ab

x3 y3 4a1 b 16Do(*)

   





 







 









     





Vậytậphợpcác

điểmcầntìmlàhìnhtròntâm





I3; 3

bánkínhR4.



Bàitập28.Tìmtậ

phợpcácđiểmbiểudiễnsốphức

zʹ 2z 3 i





với

3z i zz 9.

A. Hìnhtròntâm



I3;3

,R4 .

B. Đường

tròn

tâm





I3;3bánkính R4



C. Đườngtròntâm



I3; 3

bánkính



D. Hìnhtròntâm

I3;









,



Giải

ChọnD

Giảsửtacó



zabia,b

zʹ xyix,y



 





 









Khiđó



x2a3

zʹ 2x 3 i x yi 2a 3 2 b 1 i

y2b1















   

















Theobàiratacó:



22222

3z i zz 9 9a 3b 1 a b 9 4a 4b 3b 4 0          

 

22 2

3773

x3 y1 y1 40 x3 y

2416



      





Vậyquỹtíchcác

điểmbiểudiễnsốphứcz’làhìnhtròntâm

I3;









,



Bàitập29.Chocác

sốphức

thỏamãn



.Biếtrằngtậphợpcácđiểmbiểudiễncácsố

phức

(3 4 )wizi làmộtđườngtròn.Tínhbánkínhrcủađườngtrònđó.

A. r

4. B. r5. C. r20. D. r22.

Hướngdẫngiải

ChọnC

Gọi

wabi ,tacó





(1)(34)

(1)

(3 4 )

34 916

ab i i

ab i

wabi izi z

 



    





(3 4 4) (3 4 3)

344(343)

25 25 25

ab ba

  

 

 

Mà

z =4nên

22222

(3 4 4) (3 4 3) 100 2 399ab ba ab b 

Theogiảthiết,tậphợpcácđiểmbiểudiễncácsốphức

(3 4 )wizi



làmộtđườngtròn

nêntacó

22 2 2

2 399 ( 1) 400 400 20ab b a b r     



Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/32

| | Tải xuống

Preview text:

CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC
BÀI 1&2. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA SỐ PHỨC A. LÝ THUYẾT
I. KHÁI NIỆM VỀ SỐ PHỨC 1. Số phức Bài tập: Định nghĩa 2
+) z  5  i   ;
Cho số phức z có dạng: z  a  bi với a,b   , trong đó 7
a gọi là phần thực của z , b gọi là phần ảo của z , i gọi là +) z   2  i   ; đơn vị ảo thỏa mãn 2 i  1  . 4 
+) z  i, w  cos
i,u  i ,… là 3 12 Đặc biệt: các số thuần ảo.
Tập hợp các số phức, kí hiệu là  .
Số phức z là số thực nếu b  0 .
Số phức z là số thuần ảo nếu a  0 .
Số phức z  0  0i  0 vừa là số thực, vừa là số ảo (còn gọi là số thuần ảo). Bài tập
Số phức liên hợp 2
Số phức liên hợp của số phức z , kí hiệu z , là z  a  bi . +) Số phức z 
5  i có số phức 7 2
liên hợp là z  5  i ; 7 4
+) Số phức z  i có số phức liên 3 4
hợp là z   i . 3
Nhận xét: Mỗi số thực có số phức
liên hợp là chính nó.
Môđun của số phức Bài tập: 2
Môđun của số phức z , kí hiệu là 2 2
z  a  b .
Số phức z  5  i có môđun 7 2  2  1229 2 z  5       7  7
2. Hai số phức bằng nhau Bài tập: Định nghĩa
Số phức z  a  bi bằng 0 khi và
Hai số phức z  a  b i và z  a  b i được gọi là bằng 1 1 1 2 2 2 a  0
chỉ khi b  0 a  a hay z  0 . nhau khi và chỉ khi 1 2  . b   b 1 2 Nhận xét:
3. Biểu diễn hình học của số phức
+) OM  z ;
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , mỗi số phức ;
z  a  bi a,b   +) Nếu z , z có các điểm biểu diễn 1 2
được biểu diễn bởi điểm ( M ;
a b) . Ngược lại, mỗi điểm lần lượt là M ,M thì 1 2 M ( ;
a b) biểu diễn duy nhất một số phức là z  a  bi .
M M  z  z . 1 2 1 2
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
a là phần thực của số phức z
b là phần ảo của số phức z
Số phức liên hợp của z Đại số 2 2
z  a  b
z  a  bi (  là tập hợp số phức) Số phức Môđun số SỐ PHỨC liên hợp phức
z  a  bi  2 a,b  ;  i    1
M  là điểm biểu diễn của
Độ dài đoạn OM là môđun số phức z số phức z Hình học
M là điểm biểu diễn của số phức z
II. CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC
1. Phép cộng số phức Bài tập: Định nghĩa
5 4i 3 2i  8 2 .i
Tổng của hai số phức z  a  bi, z  a  b i a,b,a ,b 
là số phức z  z  a  a  b  b .i Tính chất Với mọi ,
z z , z   ta có: Bài tập: 2 2
Tính chất kết hợp:  z  z  z  z   z  z ;
z  5  i có số đối là z  5   .i 7 7
Tính chất giao hoán: z  z  z  z;
Cộng với 0: z  0  0  z  z;
z  z  z  z  0.
2. Phép trừ số phức Bài tập:
Hiệu của hai số phức z  a  bi, z  a  b i a, ,
b a ,b  :
5 4i3 2i  2  6 .i
z  z  z  z  a  a  b  b .i
3. Phép nhân số phức Bài tập: Định nghĩa
5 4i3 2i  158 1210i  23 2 .i
Tích của hai số phức z  a  bi, z  a  b i a,b, a ,b  là
số phức zz  aa  bb  ab  a b   .i Tính chất Chú ý: Với mọi ,
z z , z   ta có:
• Ta có thể thực hiện phép cộng và phép nhân
• Tính chất giao hoán: zz  z z  ;
các số phức theo các quy tắc như phép toán
• Tính chất kết hợp:  zz z  z  z z ;
cộng và nhân các số thực.
• Nhân với 1: 1.z  z.1  z;
° Các hằng đẳng thức của các số thực cũng
• Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: đúng đối với các số phức.
z  z  z   zz  zz .
Bài tập: z   z   i2 2 2 4 2
 z  2iz  2i.
4. Phép chia cho số phức khác 0
Số nghịch đảo của số phức z  0 kí hiệu là 1 z , là số phức Bài tập:
z  3  2i có số phức nghịch đảo là  1 thỏa mãn 1 zz  1, , hay 1 z  z. 2 z 1 1    i 3 2 . 3 2   .i z 13 13 13
Thương của phép chia số phức z cho số phức z khác 0, Bài tập: z  5  4i
5 4i3 2i  z z 7  22i 7 22 kí hiêu là 1  z z  .     .i 2 z z 3  2i
3 2i3 2i 13 13 13
Phép cộng số phức
Tính chất phép cộng số phức
Tổng của hai số phức z  a  bi
Với mọi z, z , z  ta có
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
và z  a  b i a,b,a ,b 
z  z  z  z z z ;
z  z  z  z;
là số phức z  z  a  a  b  b .i
z  0  0  z  z;
z  z  z  z  0.
Phép trừ số phức
Hiệu của hai số phức z  a  bi CÁC
và z  a  b i a, ,
b a ,b  là số PHÉP TOÁN VỚI SỐ PHỨC
phức z  z  a  a  b  b .i
Tính chất phép nhân số phức
Với mọi z, z , z  ta có   
Phép nhân số phức zz z z;
Tích của hai số phức z  a  bi
zz z  zz z ;
và z  a  b i a, ,
b a ,b  là số
1.z  z.1  z;
phức zz  aa  bb  ab  a b   .i
z  z  z   zz  zz .
Phép chia số phức khác 0
Số nghịch đảo của số phức z  0 kí hiệu là 1 z là số  1 phức thỏa mãn 1 zz  1 hay 1 z  z. 2 z
Thương của phép chia số phức z cho số phức z  0 , kí z   z z hiệu là 1  z z  . 2 z z
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Thực hiện các phép toán của số phức, tìm phần thực phần ảo
1. Phương pháp giải
Cho hai số phức z  a  bi và z  a  b i , Bài tập: trong đó ,
a b, a ,b  . Khi đó:
Hai số phức z  3  7i, z  4  3i có 1 2 
z  z '  a  a ' b  bi;
z  z  3  4  7
  3 i  7  4i; 1 2     
z  z '  a  a '  b  bi;
z  z  3  4  7   3 i  1  10i; 1 2     
zz  aa  bb  ab  a b  i; z z  3.4  7  .3  3.3  4. 7 
i  33 19i; 1 2          z
3  7i 4  3i 9 37 1     z z z  .     .i 2 z z z
4  3i . 4  3i 25 25 2     2. Bài tập
Bài tập 1: Tất cả các số phức z thỏa mãn 2z  31 i  iz  7  3i là 8 4 8 4 A. z   .i
B. z  4  2 .i C. z   .i
D. z  4  2 .i 5 5 5 5
Hướng dẫn giải Chọn D.
Ta có: z    i  iz   i    i 10 2 3 1 7 3 2
z  10  z 
 z  4  2 .i 2  i
Bài tập 2: Cho số phức z  a  bi a,b   thỏa mãn z 1 3i  z i  0 . Giá trị của S  a  3b là 7 7 A. S   . B. S  3. C. S  3.  D. S  . 3 3
Hướng dẫn giải Chọn B.
Ta có z 1 3i  z i  0 a     a 1  1 0 2 2
b  3  a  b i  0   2 2 b
  3  a  b a  1  a  1    b 3       4  S  3.   b   b  32 2  1 b  3
Bài tập 3. Tính         2    3     20 C 1 1 i 1 i 1 i ... 1 i Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức của cấp số nhân: Ta có:    2  3  20 1  21            q C 1 1 i 1 i 1 i ... 1 i u . 1 1  q 1  1  i21 1  1  i21  1. . 1  1  i  i Ta có: 1 i2  2i
 1 i21  1 i20 .1 i  2i10 .1 i   10 2 1  i   10 2  10 i.2 1  10 2  10 Do đó:  i.2 C   10 2  1 10 2 i. i
Bài tập 4. Tính tổng   2  3   2012 S i 2i 3i ... 2012.i . A. 10  06  1006i B. 1006  1006i C. 1  006  1006i D. 1006  1006i Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1.
Ta có  2  3  4   2013 iS i 2i 3i ... 2012i  
  2  3   2012  2013 S iS i i i ... i 2012.i Dãy số 2 3 2012 i, i , i , ...,i
là một cấp số nhân có công bội q  i và có 2012 số hạng, suy ra: 1  2012  2  3   2012  i i i i ... i i.  0 1  i  Do đó:    2013     2012i S iS 2012.i 2012i S  1006  1006i 1  i Cách 2. Dãy số 2 2012 1,x,x ,...,x
là một cấp số nhân gồm 2013 số hạng và có công bội bằng x. 1  2013 Xét x
x  1, x  0 ta có: 1  x  2 x  3 x  ...  2012 x  1 1  x
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được: 2013 2012.x  2012 2013x    2   2011  1 1 2x 3x ... 2012x 2 1 x2
Nhân hai vế của (2) cho x ta được: 2014 2012.x  2013 2013x   2  3   2012  x x 2x 3x ... 2012x 3 1 x2
Thay x  i vào (3) ta được: 2014 2012i  2013 2013i    2  2   2012  i S i 2i 3i ... 2012i 1i2 Với 2014   2013 i 1, i  i 2012  Vậy  2012i S  1006  1006i. 2i 
Bài tập 5. Cho , hai số phức liên hiệp thỏa mãn
R và     2 3. Tính  . 2 A. 3 B. 3 C. 2 D. 5 Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt   x  iy    x  iy với x,yR.
Không giảm tính tổng quát, ta coi y  0.
Vì     2 3 nên 2iy  2 3  y  3.  3
Do , hai số phức liên hợp nên   .  , mà 
  do đó 3  . Nhưng ta có 2 2 3  3  2   2  3 x 3xy
3x y y i nên 3  khi và chỉ khi 2  3    2  2    2 3x y y 0 y 3x y 0 x  1. Vậy   2  2 x y  1  3  2.
Bài tập 6. Tìm c biết a,b và c các số nguyên dương thỏa mãn:    3 c a bi  107i. A. 400 B. 312 C. 198 D. 123 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có    3   3  2   2  3 c a bi 107i a 3ab
i 3a b b  107. Nên c là số nguyên dương thì 2  3
3a b b  107  0. Hay  2  2 b 3a b   107. Vì 
a, b  Z và 107 là số nguyên tố nên xảy ra:  11450 b  2 107; 3a  2 b  1  2 a  Z (loại). 3   2  2   2 b 1; 3a b 107
a  36  a  6 (thỏa mãn). Vậy nên  3  2  3  2 c a 3ab 6 3.6.1  198.
Bài tập 7. Cho số phức z có phần ảo bằng 164 và với số nguyên dương n thỏa mãn z  4i. Tìm z  n n. A. n  14 B. n  149 C. 697 D. 789 Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt z  x  164i ta có: z x    164i 4i
 4i  x  164i  656  4x  ni z  n x  164i  n x    656   n  x  n  697.  41
Vậy giá trị cần tìm của n là 697. 1 3i
Bài tập 8. Cho số phức z thỏa mãn z 
.Tìm mô đun của số phức z  iz 1  i A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 Hướng dẫn giải Chọn A
Từ z ta phải suy ra được z và thay vào biểu thức z  iz rồi tìm môđun:
1 3i 1 3i1i 1 3 1     3 z i 1  i 2 2 2 1  3 1  3 1  3 1  Suy ra:      3 z i i.z i 2 2 2 2
Do đó: z  iz  1  i  z  iz  2 . Dùng MTCT: 1 3i Bước 1: Lưu  A 1  i
Bước 2: Tính A  iA
Lời bình: Nhận thấy rằng với số phức z  a  bi bất kì ta đều có z  iz  1 ia  b hay z  iz z   iz
a  b  , z   . Về phương diện hình học thì
luôn nằm trên trục Ox khi biểu diễn 1  i 1  i trong mặt phẳng phức. i  
Bài tập 9. Tìm số thực m biết:  m z và  2 m zz
( trong đó i là đơn vị ảo) 1  m m  2i 2          A. m 1  B. m 0  C. m 0  D. m 2  m   1 m  1   m   1 m   1
Định hướng: Quan sát thấy z cho ở dạng thương hai số phức. Vì Vậy cần phải đơn giản z bằng 
cách nhân liên hiện ở mẫu. Từ z  z . Thay z và z vào  2 m zz ta tìm được m 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có:  i  m 2 1  m  2mi m 2 1  m   2m  i 2 2 1  m  2m i m  z    1  m m  2i 1m 2 4m 1m 2 2 2 2 m  2 1  m   i 2 1  m  m i m i        z   2 2 2 2 2 2 1  m 1  m 1  m 1  m 1 m Như vậy: 2 2  m m  1 1        1 1   zz m 2    m  2 3 2 m 0       2    m  1 m 2m m 0 2 2 2 2 1 m 2 m 1
Bài tập 10. Tìm phần thực của số phức:    n z 1 i
,n   thỏa mãn phương trình:
log n  3  log n  9  3 . 4 4 A. 6 B. 8  C. 8 D. 9 Hướng dẫn giải Chọn C
Điều kiện: n  3,n 
Phương trình log n  3  log n  9  3  log n  3n  9  3 4 4 4
      3  2 n 3 n 9 4
n  6n  9  0  n  7 do:n  3
 7    23           3 z 1 i 1 i . 1 i 1 i . 2i
 1 i.8i  8    8i
Vậy phần thực của số phức z là 8. m 
Bài tập 11. Cho số phức  3i z
m . Tìm m, biết số phức  2 w z có môđun bằng 9. 1  i          A. m 1  B. m 3  C. m 3  D. m 3  m   1 m  1   m   1 m  3   Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: 2 2 m  9   2 6mi m    2 9 m    2         2   9 w z 3m i w 9 9m   9      2i  2   2   1 4 m  2 18m  81  9  2 m  9  18  2 m  9  m  3 2
Vậy giá trị cần tìm là m  3 i 
Bài tập 12. Cho số phức  m z
. Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn 1 m m 2i ,m     tại m để z  1  k     A. 5 1 k  B. 5 2 k  C.  5 1 k D. 5 2 k  2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C i  m 1 1  m  Ta có      i z z 1  2 i  mi  2 m i  m m  i k  1  m  0 2 i m  2m  2  z  1    z  1  k   2 m  2m   2 m  2 m i 1   2 k  2 m  1 2
Xét hàm số   m  2m   2 f m 2 m  1 2 m m 1 ʹ  2    1  Ta có:   
 ʹf m  0  m  5 f m  . 2 2   2 m 1 1  5 3 
Lập bảng biến thiên ta có min         5 f m    2  2 3  5 3  5 5 
 Yêu cầu bài toán 2     1 k k 2 2 2  Vậy  5 1 k là giá trị phải tìm. 2
Dạng 2. Tìm số phức liên hợp, tính môđun số phức
1. Phương pháp giải
 Số phức z  a  bi có z  a  bi và Bài tập: Số phức liên hợp của số phức
z  2  3i3  2i 2 2
z  a  b . là Chú ý: Nếu
z  a  bi thì A. z  12  5 .i B. z  12   5 .i 2 2
z  z  2a; z.z  a  b . C. z  12   5 .i
D. z  12  5 .i
Hướng dẫn giải
Ta có z    i  i 2 2 3
3 2  6  5i  6i  12  5i
 z  12  5 .i Chọn D. 2. Bài tập mẫu
Bài tập 1: Cho số phức z  a  bi, với a,b là các số thực thỏa mãn
a  bi  2i a  bi  4  i, với i là đơn vị ảo. Môđun của 2
 1 z  z là A.   229. B.   13. C.   229. D.   13.
Hướng dẫn giải Chọn A
a  b   a 
Ta có a  bi  i a  bi 2 4 2 2  4  i    
. Suy ra z  2  3 .i
b  2a  1 b   3  Do đó 2
 1 z  z  2
 15 .i Vậy    2   2 2 15  229 1 3i
Bài tập 2: Cho số phức z thỏa mãn z 
. Môđun của số phức w  .iz  z là 1 i A. w  4 2. B. w  2. C. w  3 2. D. w  2 2.
Hướng dẫn giải Chọn C. 1 3i Ta có: z   1   2 .i 1 i
 z  1 2i  w  .i 1   2i   1   2i  3   3 .i
 w   2   2 3 3  18  3 2.
Bài tập 3: Cho z , z là các số phức thỏa mãn z  z  1 và z  2z  6. 1 2 1 2 1 2
Giá trị của biểu thức P  2z  z là 1 2 A. P  2. B. P  3. C. P  3. D. P  1.
Hướng dẫn giải Chọn A.
Đặt z  a  b i;a ,b  , z  a  b i; a ,b  .  1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1  Suy ra 2 2 2 2
a  b  a  b  1 và z  2z  6  a .a  b .b  . 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 4
Ta có: 2z  z  2a  a  2b  b i 1 2 1 2  1 2
 2z  z  2a  a 2  2b  b 2  2  1 2 2
a  b   . 2 2
a  b  a a  b b 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2   1 2 1 2  4
Suy ra P  2z  z  2. 1 2
Dạng 3. Bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức Bài tập 1: Cho ,
A B,C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 4  3i,1 1
2ii, . Số phức i
có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình bình hành là
A. z  6  4 .i
B. z  6  3 .i
C. z  6  5 .i
D. z  4  2 .i
Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có
A là điểm biểu diễn của số phức 4  3i nên A4; 3  .
B là điểm biểu diễn của số phức 1 2ii  2
  i nên B  2;   1 . 1
C là điểm biểu diễn của số phức  i  nên C 0;  1 . i  
Điều kiện để ABCD là hình bình hành là AD  BC
x  x  x  x
x  x  x  x  6 D A C B D C A B      D 6; 5
   z  6 5 .i
y  y  y  y
y  y  y  y  5   D A C B  D C A B
Bài tập 2: Cho tam giác ABC có ba đỉnh ,
A B,C lần lượt là điểm biểu diễn hình học của các số
phức z  2  i, z  1
  6i, z  8  .i Số phức z có điểm biểu diễn hình học là trọng tâm của tam 1 2 3 4
giác ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. z  3  2 .i B. z  5. 4 4
C.  z 2 1312 .i
D. z  3  2 .i 4 4
Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có: A2;  1 , B  1  ;6,C 8;  1 .
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
 G 3;2  z  3 2i  z  3 2 .i 4 4
Bài tập 3: Cho các số phức z , z thoả mãn z  3, z  4, z  z  5 . Gọi ,
A B lần lượt là các 1 2 1 2 1 2
điểm biểu diễn số phức z , z trên mặt phẳng toạ độ. Diện tích S của OAB (với O là gốc toạ độ) 1 2 là 25 A. S  5 2. B. S  6. C. S  . D. S  12. 2
Hướng dẫn giải Chọn B.
Ta có: z  OA  3, z  OB  4, z  z  AB  5 1 2 1 2  OA 
B vuông tại O (vì 2 2 2
OA  OB  AB ) 1 1  S  O . A OB  .3.4  6. OAB  2 2
Dạng 4. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
 z  i  z 1 
Bài tập 1: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn  ?
 z  2i  z  A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dẫn giải Chọn A.
Đặt z  x  yi, x, y  . x    y  2 1   x  2 2 2 1  y
Ta có hệ phương trình: 
 x  y 1. x    y  22 2 2 2  x  y
Do đó z  1 i nên có một số phức thỏa mãn.
Bài tập 2: Có bao nhiêu số phức z thỏa điều kiện .
z z  z  2 và z  2? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: 2 .
z z  z  2  z  z  2  z  4  2.
Suy ra điểm M biểu diễn số phức z là giao của hai đường tròn C  2 2 : x  y  4 1
và C  :  x  42 2  y  4. 2
Vì I I  R  R ( I , I là tâm của các đường tròn C , C ) nên C và C tiếp xúc nhau). 2  1  1   2  1 2 1 2 1 2
Suy ra: Có một số phức z thỏa mãn yêu cầu.
Bài tập 3: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z  z  6  i  2i  7  i z ? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Hướng dẫn giải Chọn B.
Nhận xét: Từ giả thiết, ứng với mỗi z cho ta duy nhất một số phức z.
Đặt z  a  0, a   , khi đó ta có
z  z  6  i  2i  7  i z
 a z  6  i  2i  7  i z
 a  7  i z  6a  ai  2i
 a  7  i z  6a  a  2i
 a  7  i z  6a  a  2i
 a  2   a   a  3 2 2 7 1 36a 2   4 3 2  a   
   a   3 2 14a 13a 4a 4 0
1 a 13a  4  0.
Hàm số f a 3 2
 a 13a a  0 có bảng biến thiên: Đường thẳng 4
y   cắt đồ thị hàm số f a tại hai điểm nên phương trình 3 2
a 13a  4  0 có
hai nghiệm khác 1 (do f  
1  0 ). Thay giá trị môđun của z vào giả thiết ta được 3 số phức thỏa mãn điều kiện.
Bài tập 4: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa
mãn z  2m  
1  i  10 và z 1 i  z  2  3i ? A. 40. B. 41. C. 165. D. 164.
Hướng dẫn giải Chọn B.
Giả sử z  x  yi  x, y   và M  x, y là điểm biểu diễn số phức z.
Ta có: z   m    i 
 z   m   2 2 1 10 2 1  i  100  x    m   2    y  2 2 1 1  100.
Khi đó điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn C có tâm I 2m 1; 
1 , bán kính R  10.
Lại có z   i  z   i   x     y   2
i   x      y 2 1 2 3 1 1 2 3 i
 x  2   y  2  x  2    y2 1 1 2 3
 2x  8y 11  0.
Khi đó điểm biểu diễn số phức z cũng nằm trên đường thẳng  : 2x  8y 11  0
Có đúng hai số phức z thỏa mãn nếu đường thẳng  cắt đường tròn C tại 2 điểm phân biệt. 2 2m 1  8 11 5  20 17 5  20 17
Tức là d I,    10   10   m  . 2 2 2  8 4 4
Vậy có 41 giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập 5: Cho hai số phức z và z thỏa mãn z  3, z  4, z  z  37. Hỏi có bao nhiêu 1 2 1 2 1 2 z số z mà 1 z   a  bi ? z2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dẫn giải Chọn B.
Đặt z  x  yi, z  c  di x, y, c, d   . Ta có: 1 2   2 2
z  3  x  y  9; 1 2 2
z  4  c  d  16; 2 2 2 2 2
z  z  37  x  y  c  d  2xc  2yd  37  xc  yd  6.  1 2 Lại có: z x  yi xc  yd yc  xd 3 3 1   
i    b .i Suy ra a   . 2 2 2 2 z c  di c  d c  d 8 8 2 z z 3 9 9 27 3 3 Mà 1 1 2 2 2 2 2 2 
  a  b  a  b   b   a   b   z z 4 16 16 64 8 2 2
Vậy có hai số phức z thỏa mãn.
Bài tập 6: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z
thỏa mãn z.z  1 và z - 3 + i = m . Số phần tử của S là A. 2. B. 4. C. 1. D. 3.
Hướng dẫn giải Chọn A.
Dễ thấy m  0.
Đặt z  a  bi;a,b   ta có hệ phương trình. 2 2 a  b 1 a 3  2 b 2 2 1  m Phương trình 2 2
a  b  1 là đường tròn tâm O, bán kính R  1 . 2
Phương trình a    b  2 2 3
1  m là đường tròn tâm I  3; 
1 , bán kính R  m .
Có duy nhất số phức thỏa mãn đề bài 2 2 a  b 1   Hệ phương trình  có nghiệm duy nhất  a  3  2 b 2 2 1  m
 Hai đường tròn này tiếp túc với nhau m  1
 OI  m 1  m 1  2  
(thỏa mãn m  0 ). m  3
Vậy, có hai số thực thỏa mãn. z z
Bài tập 7: Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  1 và   1. z z A. 3. B. 4. C. 6. D. 8.
Hướng dẫn giải Chọn D.
Đặt z  a  bi,a,b  . Ta có 2 2 2 2
z  a  b  1  a  b  1. 
a bi2 a bi2 2 2 z z z z 2 2   
 2a  2b 1. 2 z z . z z z 2 2 2 2 2 2 a  b 1 a  b 1 a  b 1    Ta có hệ:    hoặc  2 2 1 1 2 2 2a  2b  1 a  b   2 2   a  b     2  2  3  1 2 a  2  a   4    4  hoặc  . 1 3 2 b   2    b  4  4          Suy ra a b 1 3 1 3 3 1 3 1 ;    ; ;  ; ; ;  ;  ;  .  2 2   2 2   2 2   2 2          
Vậy có 8 cặp số a;b do đó có 8 số phức thỏa mãn.
Dạng 5: Bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phức
1. Phương pháp giải
Sử dụng các định nghĩa, tính chất hình học đã biết. Bài tập:
Cho trước các điểm cố định I, F , F ; F F  2c c  0 Trên mặt phẳng Oxy tập hợp các điểm 1 2 1 2  
Tập hợp các điểm M thoả mãn MI  R R  0 là biểu diễn số phức z thoả mãn
z  2  5i  4 là đường tròn tâm
đường tròn tâm I bán kính . R Tập hợp các điểm M thoả mãn I  2;
 5, bán kính R  2.
MF  MF  2a a  c 1 2  
là elip có hai tiêu điểm là F , F . 1 2
Tập hợp các điểm M thoả mãn MF  MF là đường 1 2
trung trực của đoạn thẳng F F . 1 2 2. Bài tập
Bài tập 1: Xét các số phức z thỏa mãn  z  68 z.i là số thực. Biết Chú ý:
Trong mặt phẳng Oxy ,
rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, có tâm
I a;b và bán kính .
R Giá trị a  b  R bằng   2   2 2 x a y b  R là A. 6. B. 4. C. 12. D. 24.
phương trình đường tròn
có tâm I a;b và bán kính R  0 .
Hướng dẫn giải Chọn B.
Đặt z  x  yi  x, y  .
Vì  z  68 z.i  x  6  yi  y 8  xi     là số thực nên
x  x    y  y      x  2   y  2 6 8 0 3 4  25.
Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là đường tròn có tâm I 3; 4
 , bán kính R  5.
Vậy a  b  R  4.
Bài tập 2: Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  10 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là A. Một parabol.
B. Một đường tròn. C. Một elip. D. Một hypebol.
Hướng dẫn giải Chọn C.
Gọi z  x  yi  x, y   thì z  3  z  3 10   x  3  yi   x  3  yi 10(*)
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z và các điểm F 3;0 , F 3
 ;0 . Dễ thấy F F  6  2c 1   2   1 2
Khi đó: z  3  z  3  10  MF  MF  10  2 . a 1 2
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là elip có hai tiêu điểm F , F , độ dài trục lớn là 1 2 2a  10
Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn z  10 và w    i z    i2 6 8 1 2
. Tập hợp các điểm biểu
diễn số phức w là đường tròn có tâm là A. I  3;  4  . B. I 3;4. C. I 1; 2  . D. I 6;8.
Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có
w    i z    i2 6 8 1 2  w   3
  4i  6 8i z
 w    i 2 2 3 4  6  8 z  w   3
  4i 10.10  w  3   4i 100
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn C có tâm I  3;  4  .
Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z
thỏa mãn z 1 2i  z 1 2i là đường thẳng có phương trình
A. x  2y 1  0.
B. x  2 y  0.
C. x  2 y  0.
D. x  2y 1  0.
Hướng dẫn giải Chọn C.
Đặt z  x  yi  x, y    z  x  y .i Gọi M  ;
x y là điểm biểu diễn của số phức z.
Ta có: z 1 2i  z 1 2i
 x  yi 1 2i  z  yi 1 2i  x  
1   y  2i   x  
1  2  yi
 x  2   y  2  x  2    y2 1 2 1 2 2 2 2 2
 x  2x 1 y  4y  4  x  2x 1 y  4y  4
 x  2y  0.
Vậy tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng có phương
trình là x  2y  0.
Bài tập 5. Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tập hợp những
điểm M(z) thỏa mãn điều 2  z  i  z là
A. Đường thẳng 4x  2y  3  0
B. Đường thẳng 4x  2y  3  0
A. Đường thẳng x  2y  3  0
D. Đường thẳng x  9y  3  0 Hướng dẫn giải Chọn A
Cách 1. Đặt z  x  yi;x,y. là số phức đã cho và Mx; y là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức 2 2
Ta có        
         2 2 z 2 i z x 2 yi x y 1 i x 2  y  x  y 1
 4x  2y  3  0 . Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường thẳng 4x  2y  3  0
Cách 2. z  2  i  z  z   2    i  z *
Đặt z  x  yi;x,y . là số phức đã cho và Mx; y là điểm biểu diễn của z trong mặt
phẳng phức, Điểm A biểu diễn số ‐2 tức A 2
 ;0và điểm B biểu diễn số phức i tức B0;1
Khi đó *  MA  MB . Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường trung tực của AB: 4x  2y  3  0 .
Bài tập 6. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  2i  z  1  i là
A. Đường thẳng x  y  3  0
B. Đường thẳng x  2y  3  0
A. Đường thẳng x  2y  3  0
D. Đường thẳng x  y  1  0 Hướng dẫn giải Chọn D
Giả sử z  x  yi (x,y  ) , điểm Mx; y biểu diễn z. Theo bài ra ta có:
            
   2    2    2 2 x y 2 i x 1 y 1 i x y 2 x 1 y 1
 4y  4  2x  2y  2  x  y  1  0
Suy ra M thuộc đường thẳng có phương trình x  y  1  0 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường thẳng có phương trình x  y  1  0 .
Bài tập 7. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện 5 1  iz  3  2i  1  7iz  i là A. Đường thẳng B. Đường tròn A. Đường elip D. Đường Parabol Hướng dẫn giải Chọn A
Nhận thấy 5 1  i  5 2  1  7i
Ta có 5 1  iz  3  2i  1  7iz  i     3  2i i 5 1 i . z   1  7i . z  5  5i 1  7i 3  2i i 1 1 7 1  z   z   z   i  z   i 5  5i 1  7i 10 2 50 50  1 1   7 1 
Vậy tập hợp M là đường trung trực AB, với A   ;  ,B ;  .  10 2   50 50 
Bài tập 8. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  z  3  4 là 1 7 1 7
A. Hai đuờng thẳng x  , x  
B. Hai đuờng thẳng x   , x   2 2 2 2 1 7 1 7
A. Hai đuờng thẳng x  , x 
D. Hai đuờng thẳng x   , x  2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A
Đặt z  x  yi,x,y Lúc đó: 2
z  z  3  4  x  yi  x  yi  3  4  2x  3  4  4x  12x  9  16  1 x   2 2
 4x  12x  7  0   7 x    2 1 7
Vậy tập hợp điểm M là hai đường thẳng x= ; x   song song với trục tung. 2 2
Bài tập 9. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  z  1  i  2 là 1  3 1  3 1  3 1  3
A. Hai đuờng thẳng y  ; y 
B. Hai đuờng thẳng y  ; y  2 2 2 2 1  5 1  3 1  5 1  3
A. Hai đuờng thẳng y  ; y 
D. Hai đuờng thẳng y  ; y  2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt z  x  yi,x,y Lúc đó:
z  z  1  i  2  x  yi  x  yi  1  i  2  1  2y  1i  2  1  2y 12 2 2
 2  1 4y  4y  1  4  4y  4y  2  0  1  3 y  2       2 2y 2y 1 0  1  3 y   2 1  3 1  3
Vậy tập hợp điểm M là hai đường thẳng y  ; y 
song song với trục hoành. 2 2
Bài tập 10. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện 2 z  1  z  z  2 là
A. Hai đuờng thẳng x  0 , y  0 .
B. Hai đuờng thẳng x  0 , y  2  .
C. Hai đuờng thẳng x  0 , x  2  .
D. Hai đuờng thẳng x  2 , y  2  . Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi Mx; y là điểm biểu diễn số phức z  x  yi , x,y thỏa 2 z  1  z  z  2
 2 x  yi  1  x  yi  x  yi  2  2 x  1 yi  2   2yi 
  2    2  2   2 2 x 0 2 x 1 y 2 2y
 x  2x  0  x  2  
Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là hai đường thẳng x  0 , x  2  .
Bài tập 11. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  1  i  2 là
A. Đuờng thẳng x  y  2  0 2 2
B. Đường tròn x  1  y  1  4
C. Đường thẳng x  y  2  0
D. Đường tròn tâm I1; 1   và bán kính R  2. Hướng dẫn giải Chọn D
Xét hệ thức: z  1  i  2 Đặt z  x  yi,x,y   . 2 2 2 2
Khi đó: (1)  x  1  y  1  2  x  1  y  1  4
Vậy, tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn hệ thức (1) là đường tròn tâm I1; 1 và bán kính R  2.
Bài tập 12. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều z kiện  3 là z  1 A. Đuờng tròn 2 2 18 9 x  y  y   0 B. Đường tròn 2 2 18 9 x  y  y   0 8 8 8 8   C. Đường tròn 2 2 18 9 9 x  y  y   0
D. Đường tròn tâm I0;  và bán kính 8 8  8  1 R  . 8 Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt z  x  yi, x,y . Ta có z 2 2 18 9
 3  z  3 z  1  x  y  y   0 z  1 8 8  9 
Vậy, tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn hệ thức (1) là đường tròn tâm I0;  và bán  8  3 kính R  . 8
Bài tập 13. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  3  2i  2z  1  2i là A. Đuờng tròn 2 2 2 4 8 x  y  x  y   0 B. Đường tròn 2 2 2 4 8 x  y  x  y   0 3 3 3 3 3 3 C. Đường tròn 2 2 2 4 8 x  y  x  y   0 D. 2 2 2 4 8 x  y  x  y   0 3 3 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt z  x  yi;x,y .
Ta có: z  3  2i  2z  1  2i
 x  3  y  2i  2x  1  2y  2i  x  32  y  22  2x  1  2y  22 2 2
 3x  3y  2x  4y  8  0
Suy ra: Tập hợp các điểm biểu diễn z là phương trình đường tròn (C): 2 2 2 4 8 x  y  x  y   0 . 3 3 3
Bài tập 14. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  i  1  iz là A. Đuờng tròn    2 2 x y 1  2 B. Đường tròn    2 2 x y 1  2 2 2 2 2
C. Đường tròn x  1  y  1  2
D. x  1  y  1  2 Hướng dẫn giải Chọn A
Gọi Mx; y là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi;x,y . 2 2 2 Suy ra 2
z  i  x  y  1  1  iz  1  ix  yi  x  y  x  y 2 2 2 2 Nên      2 
            2 z i 1 i z x y 1 x y x y  x  y  1  2
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn    2 2 x y 1  2 .
Bài tập 15. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  4i  z  4i  10 là 2 2 x y 2 2 x y A. Đuờng elip   1 B. Đuờng elip   1 9 16 16 9 2 2 x y 2 2 x y C. Đuờng elip   1 D. Đuờng elip   1 4 3 9 4 Hướng dẫn giải Chọn A z  4i  z  4i  10 Xét hệ thức:
z  x  yi, x,y   Đặt . Lúc đó
(4)  x  y  42  x  y  4 2 2 2 2 2 x y  10    1 9 16
Vậy tập hợp điểm M là đường elip có hai tiêu điểm là F (0; 4);F (0; 4)
 và độ dài trục lớn là 1 2 16.
Bài tập 16. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  2  z  2  5 là A. Đuờng tròn B. Đuờng elip C. Đuờng parabol D. Đuờng thẳng Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt z  x  yi;x,y  .
Ta có: z  2  z  2  5               2     2 2 2 x 2 yi x 2 yi 5 x 2 y x 2  y  5 1 Xét A2;0; B 2
 ;0;Ix;y  IA  IB  5
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z chính là tập hợp các điểm I thỏa mãn IA  IB  5 , đó AB IA  IB 5
chính là một elip có tiêu cự c   2;a   2 2 2
Bài tập 17. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện 2  z  z  2 là
A. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung
B. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên trái trục tung
C. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành
D. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía dưới trục hoành Hướng dẫn giải Chọn A
Xét hệ thực: 2  z  z  2 1 . Đặt z  x  yi, x,y  . Khi đó: (3)  8x  0
Tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện (1) là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung,
tức các điểm x,y mà x  0
Bài tập 18. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện 1  z  1  i  2 là
A. Tập hợp các điểm là hình tròn có tâm I1; 1   , bán kính 2
B. Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại A1; 
1 và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2; 1
C. Tập hợp các điểm là hình tròn có tâm I1; 1   , bán kính 1
D. Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại I1; 
1 và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2; 1 Hướng dẫn giải Chọn 18 B
Xét hệ thực: 1  z  1  i  2 2 . Đặt z  x  yi, x,y   .
Khi đó:       2    2 2 1 x 1 y 1  4
Vậy tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện (2) là hình vành khăn có tâm tại A1; 
1 và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2; 1 z  i
Bài tập 19. Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho zi là số thực.
A. Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độ
B. Tập hợp điểm là trục hoành
C. Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độ bỏ đi điểm A(0;1)
D. Tập hợp điểm là trục tung, bỏ đi A(0;1) Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt z  x  yi,x,y.
x  y  11  y  x
 y  1  x1   y i z i  Ta có:  z  i x  1  y2 2
z  i là số thực  xy 1  x1 y  0  xy  0. z  i Mặt khác:    2 2 x y 1
 0  cả mặt phẳng phức bỏ đi điểm 0;  1 x  0 
Tóm lại: ycbt  y  0
. Vậy các điểm của mặt phẳng phức cần tìm gồm hai trục tọa x,y   0; 1 độ bỏ đi điểm A(0;1) z  2  3i
Bài tập 14. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u  là một số thuần z  i ảo.
A. Đường tròn tâm I 1  ; 1   bán kính R  5
B. Đường tròn tâm I 1  ; 1
  bán kính R  5 trừ đi hai điểm A0;1; B 2  ; 3   .
C. Đường tròn tâm I1;1 bán kính R  5
D. Đường tròn tâm I1;1 bán kính R  5 trừ đi hai điểm A0;1; B 2  ; 3   . Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt z  x  yi,x,y Ta có:    x  2 z 2 3i   y  3ix    y 1 2 2 i
x  y  2x  2y  3  2  2x  y 1i u    z  i x  y  12 x  y  12 2 2
x 12 y 12  5  2 2 
x  y  2x  2y  3  0 
u là số thuần ảo       x,y   0;1 2x  y  1  0      x,y     2  ; 3  
Vậy tập hợp điểm z là đường tròn tâm I 1  ; 1
  bán kính R  5 trừ đi hai điểm A0;1; B 2  ; 3   .
Bài tập 21. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z  x  yi thỏa mãn điều kiện x  y  1 là
A. Ba cạnh của tam giác
B. Bốn cạnh của hình vuông
C. Bốn cạnh của hình chữ nhật
D. Bốn cạnh của hình thoi Hướng dẫn giải Chọn B
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. x  y 1 kh i x  0,y  0  x  y  1 kh i x  0,y  0
Ta có: x  y  1  x  y 1 kh i x  0,y  0 
x  y  1 kh i x  0,y  0
Vậy tập hợp điểm M là 4 cạnh của hình vuông.
Bài tập 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa z  i z  i mãn  là số thuần ảo. z  1 z  1  1  1
A. Đường tròn tâm I   ; 0  bán kính R   2  2  1  1
B. Đường tròn tâm I  
; 0  bán kính R  trừ đi hai điểm  1;  0 .  2  2  1  1
C. Đường tròn tâm I   ; 0  bán kính R   2  4  1  1
D. Đường tròn tâm I  
; 0  bán kính R  trừ đi hai điểm 0;1 .  2  4 Hướng dẫn giải Chọn B
Giả sử z  x  yi và điểm biểu diễn số phức z là Mx; y . 2 2 z  z  z  i       z  i z  i z z 2i 2 2 2 x y  2x 2x 1i Ta có:    2 z  1 z  1 z  z  z  1 x 12 2  y  2  x y  2 2 2  1     1 z  i z  i 2x 0 2       x  y là số thuần ảo     2  4 z  1 z  1 x 1  2 2  y  0 x;y     1  ;0 2  1  1
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn 2 x   y    bỏ đi điểm  1;  0 .  2  4
Bài tập 23. Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức w  iz  1 ,
biết z là số phức thỏa mãn:    3 z 2i 1  8 .
A. Đường tròn     2    2 C : x 3 y 1  4
B. Đường tròn     2    2 C : x 3 y 1  2
C. Đường tròn     2    2 C : x 3 y 1  4
D. Đường tròn     2    2 C : x 3 y 1  4 Hướng dẫn giải Chọn C 3 3 Ta có 3 z  z nên     3 z 2i 1
 2  z  2i 1  2 * Đặt w  x  yi
Ta lại có w  iz  1  z  i  iw  z  i  i.w . (*) trở thành:
      2    2     2    2 iw 3i 1 2 y 1 x 3 2 y 1 x 3  4
Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn w trên mặt phẳng phức là đường tròn
    2   2 C : x 3 y 1  4 .
Bài tập 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn:
w  z  2  i , biết z là số phức thỏa z  1  2i  1 .
A. Đường tròn tâm I1; 2 bán kính R  2
B. Đường tròn tâm I2;1 bán kính R  2
C. Đường tròn tâm I1;1 bán kính R  1
D. Đường tròn tâm I3;3 , bán kính R  1 . Hướng dẫn giải Chọn D
Gọi w  x  yi x,y   Mx; y là điểm biểu diễn cho số w trên hệ trục Oxy.
z  w  2  i  x  2  y  1i  z  x  2  1  yi
z  1  2i  1  x  3  3  yi  1  x  32  y  32  1
Vây tập hợp điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn tâm I3; 3 , bán kính R  1 .
Bài tập 25. Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức
w  1  2iz  3 biết z là số phức thỏa mãn: z  2  5 .
A. Đường tròn tâm I1; 2 bán kính R  5
B. Đường tròn tâm I2;1 bán kính R  5
C. Đường tròn tâm I1; 4 bán kính R  5 5 .
D. Đường tròn tâm I1;3 , bán kính R  5 . Hướng dẫn giải Chọn C a  1  b  4i
Theo giả thiết: z  2  5 
 5  a  1  b  4i  5 1 2i 1  2i
   2    2 
   2    2 a 1 b 4 5 5 a 1 b 4  125
Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn đề bài là đường tròn tâm I1; 4 bán kính R  5 5 .
Bài tập 26. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức zʹ  1 i 3z  2 với z  1  2 .
A. Hình tròn tâm I 3  ; 3  , R  4 .
B. Đường tròn tâm I 3  ; 3  , R  4 .
C. Hình tròn tâm I1; 4   bán kính R  5 .
D. Đường tròn tâm I1;3 , bán kính R  5 . Hướng dẫn giải Chọn A z  a  bi a,b   Giả sử ta có  zʹ  x  yi x,y    Khi đó:
zʹ  1 i 3z  2  x  yi  1 i 3a  bi  2  x  yi  a  b 3  2  b  a 3  x  y 3  2  a   x  a  b 3  2  4     y  b  a 3  3x  y  2 3 b   4 Theo bài ra ta có: 2 2               2 2 x y 3 2 3x y 2 3 z 1 2 a 1  b  4    1     4  4   4     
 x  y 3  62   3x  y  2 32 2 2
 64  4x  4y  24x  8 3y  16  0
 x  y  6x  2 3y  4  0  x  3  y  32 2 2 2  16
Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z’ là hình tròn tâm I 3  ; 3  , R  4 .
Bài tập 27. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức w  1 i 3z  2 biết
rằng số phức z thỏa mãn z  1  2.
A. Hình tròn tâm I 3  ; 3  , R  4 .
B. Đường tròn tâm I3;3 bán kính R  4
C. Đường tròn tâm I3; 3 bán kính R  4 .
D. Hình tròn tâm I3; 3 bán kính R  4. Hướng dẫn giải Chọn D
Đặt z  a  bi,a,b và w  x  yi,x,y 2
Ta có:       2 z 1 2 a 1  b  4 * Từ
w  1 i 3z  2  x  yi  1 i 3a  bi  2
x  a  b 3  2 x  3  a 1 b 3     y  3a  b y  3  3  a 1 b   
 x  32  y  32  4 a 12 2  b  16 Do (*)  
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn tâm I3; 3 bán kính R  4. 2
Bài tập 28. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức zʹ  2z  3  i với 3z  i  zz  9 .
A. Hình tròn tâm I 3  ; 3  , R  4 .
B. Đường tròn tâm I3;3 bán kính R  4
C. Đường tròn tâm I3; 3 bán kính R  4 .  7  73
D. Hình tròn tâm I 3;    , R   4  4 Giải Chọn D z  a  bi a,b   Giả sử ta có  zʹ  x  yi x,y     x  3 a  x  2a  3  Khi đó     
        2 zʹ 2x 3 i x yi 2a 3 2b 1 i     y  2b   1 y  1 b   2 Theo bài ra ta có: 2        2 2 2 2 2 2 3z i zz 9 9a 3b 1
 a  b  9  4a  4b  3b  4  0 2
   2    2 3
         2  7  73 x 3 y 1 y 1 4 0 x 3  y     2  4  16  7  73
Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z’ là hình tròn tâm I 3;    , R   4  4
Bài tập 29. Cho các số phức z thỏa mãn z  4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số
phức w  (3  4i)z  i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r  4. B. r  5. C. r  20. D. r  22. Hướng dẫn giải Chọn C
a  (b 1)i
a  (b 1)i(3 4i)
Gọi w  a  bi , ta có w  a  bi  (3  4i)z  i  z   2 3  4i 9 16i 2 2
3a  4b  4 (3b  4a  3)
(3a  4b  4)  (3b  4a  3)   .i  z  25 25 25 Mà z = 4 nên 2 2 2 2 2
 (3a  4b  4)  (3b  4a  3) 100  a  b  2b  399
Theo giả thiết, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  (3  4i)z  i là một đường tròn nên ta có 2 2 2 2
a  b  2b  399  a  (b 1)  400  r  400  20

Các dạng bài tập VDC khái niệm số phức và các phép toán của số phức Toán 12

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Chuyên đề Số phức – Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn Toán 12

Các dạng bài tập cơ bản về Số phức – Đặng Việt Hùng Toán 12

600 câu hỏi trắc nghiệm chuyên đề số phức – Nhóm Toán

Bài tập trắc nghiệm chuyên đề số phức – Đặng Việt Đông Toán 12

4 đề trắc nghiệm chuyên đề số phức – Bùi Thế Việt Toán 12