Các dạng bài tập VDC phương trình đường thẳng Toán 12
Các dạng bài tập VDC phương trình đường thẳng Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Môn: Toán 12
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phương trình đường thẳng
Vectơ chỉ phương của đường thẳng Chú ý:
Cho đường thẳng . Vectơ u 0 gọi là vectơ chỉ phương của + Nếu u là vectơ chỉ phương của
đường thẳng nếu giá của nó song song hoặc trùng với .
thì k.u k 0 cũng là vectơ chỉ
Cho đường thẳng đi qua M x ; y ; z và có vectơ chỉ 0 0 0 phương của .
phương là u ; a ; b c .
+ Nếu đường thẳng đi qua hai điểm
A, B thì AB là một vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng có phương trình
Phương trình tham số của đường thẳng có dạng (1) thì
x x at u 0 +
;a ;bc là một vectơ chỉ
y y bt , t (1) 0 phương của . z z ct 0 + Với điểm M thì
M x at; y bt; z ct trong đó t 0 0 0
là một giá trị cụ thể tương ứng với từng điểm M.
Phương trình chính tắc Nếu a, ,
b c 0 thì phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng x x y y z z 0 0 0 2 a b c 2. Khoảng cách
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Cho đường thẳng đi qua M , có vectơ chỉ phương u và điểm M . Khi đó để tính khoảng 0
cách từ M đến ta có các cách sau: MM ,u
Cách 1: Sử dụng công thức: d M ,d 0 . u Cách 2:
+ Lập phương trình mặt phẳng P đi qua M vuông góc với .
+ Tìm giao điểm H của P với .
+ Khi đó độ dài MH là khoảng cách cần tìm. Cách 3:
+ Gọi N d , suy ra tọa độ N theo tham số t . + Tính 2 MN theo t .
+ Tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau đi qua M có vectơ chỉ phương u và đi qua M có vectơ 0 0
chỉ phương u . Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng và được tính theo các cách sau:
u,u.M M
Cách 1: Sử dụng công thức: d , 0 0 . u,u
Cách 2: Tìm đoạn vuông góc chung MN . Khi đó độ dài MN là khoảng cách cần tìm.
Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng P chứa qua và song song với . Khi đó khoảng cách
cần tìm là khoảng cách từ một điểm bất kì trên đến P .
3. Vị trí tương đối
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng x x y y z z 0 0 0 d :
đi qua M x ; y ; z có 1 0 0 0 1 a b c
vectơ chỉ phương u ; a ; b c , và 1 x x y y z z 0 0 0 d :
đi qua M x ; y ; z có 2 0 0 0 2 a b c
vectơ chỉ phương u a ;b ;c . 2
Để xét vị trí tương đối của d và d , ta sử dụng 1 2 phương pháp sau:
Phương pháp hình học a a a
Ta có thể dùng phương pháp đại số để xét vị 1 2 3 u / /u
+ d trùng d 1 2 b b b 1 2 1 2 3
trí tương đối: Dựa vào số nghiệm của hệ M d 1 2 M d 1 2
phương trình các đường thẳng.
u ,u 0
Chú ý trường hợp vô nghiệm 1 2 + d / /d 1 2
hoặc
u , M M 0
+ Nếu u ;u cùng phương thì d //d . 1 2 1 2 1 1 2
+ Nếu u ;u không cùng phương thì d ; d a a a 1 2 1 2 1 2 3 u || u 1 2 b b b chéo nhau. 1 2 3 M d 1 2 M d 1 2
u ,u 0 1 2
+ d cắt d 1 2
u ,u .M M 0 1 2 1 2
+ d chéo d u ,u .M M 0 1 2 1 2 1 2
Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
Phương pháp đại số
: Ax By Cz D 0 có vectơ pháp tuyến Xét hệ phương trình
x x at
x x at 1 0 0 n ; A ; B C
d y y
y y bt 2 0 và đường thẳng : bt đi qua 0 z z ct
z z ct 3 0 0
Ax By Cz D 0 4
M x ; y ; z có vectơ chỉ phương u a b c . d ; ; 0 0 0
Để xét vị trí tương đối của d và ta sử dụng phương
Thay (1), (2), (3) vào (4), ta được pháp sau:
A x at B y bt C z ct D 0 * 0 0 0
Phương pháp hình học u n
+) Nếu phương trình (*) vô nghiệm t thì Nếu d
thì d .
M x ; y ; z d // . 0 0 0 u n
+) Nếu phương trình (*) có nghiệm t duy Nếu d
thì d // .
M x ; y ; z
nhất thì d cắt . 0 0 0
Nếu u và n u k n k
+) Nếu phương trình (*) có vô số nghiệm t d cùng phương . d với 0
thì d .
thì d .
Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng
Nếu u .n 0 u và n d ; d
không cùng phương thì d
d và mặt phẳng ta giải phương trình (*), cắt .
sau đó thay giá trị t vào phương trình tham số
của d để tìm ; x y; z
Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu
x x at 0
có phương trình lần lượt là: d : y y bt , t và 0 z z ct 0
S x a2 y b2 z c2 2 : R .
Để xét vị trí tương đối của d và ta sử dụng phương pháp sau:
Phương pháp hình học
Phương pháp đại số
Bước 1: Tìm khoảng cách từ tâm I của S đến d .
thay x, y, z từ phương trình tham số của d vào Bước 2:
phương trình S , khi đó ta được phương trình
+ Nếu d I,d R thì d không cắt S .
bậc hai theo t . Biện luận số giao điểm của d
+ Nếu d I,d R thì d tiếp xúc S .
và S theo số nghiệm của phương trình bậc hai theo t .
+ Nếu d I,d R thì d cắt S .
Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng và
mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo t ,
sau đó thay giá trị của t vào phương trình
tham số của d để tìm ;
x y; z. 4. Góc
Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.
Góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d , d 1 2
lần lượt có các vectơ pháp tuyến là u ,u . 1 2
Góc giữa d và d bằng hoặc bù với góc giữa u và 1 2 1 u . 2 u .u
Ta có: cosd ,d cosu ,u 1 2 . 1 2 1 2 u . u 1 2
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ góc nhọn.
chỉ phương u và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến d n .
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng bằng
góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d của nó trên . u n Ta có: d u n . d . sin , cos ,
d u . n d SƠ ĐỒ HỆ THỐNG
Đi qua M x ; y ; z và có 0 0 0 0
vectơ chỉ phương là u ; a ; b c u Tham số: Chính tắc: Phương
x x at Nếu , a , b c 0 thì 0 trình đường
y y bt , t x x y y z z 0 0 0 0 z z ct a b c 0 ĐƯỜNG THẲNG Khoảng cách từ điểm
Hai đường thẳng d , d 1 2
M đến đường thẳng u / /u u / /u 1 2 1 2 d d ; d / /d 1 2 1 2 M MM u d M d 1 2 1 2 , d M , 0 ; Khoảng u cách d cắt d 1 2
Khoảng cách 2 đường
u ,u 0; u ,u .M M 0 1 2 1 2 1 2
thẳng chéo nhau ,
d chéo d u ,u .M M 0
u,u.M M Vị trí 1 2 1 2 1 2 d , 0 tươn
g đối Đường thẳng d và mặt phẳng Giữa hai đường thẳng
d u n ; M x y z d ; ; 0 0 0 d và d
d // u n ; M x y z d ; ; 0 0 0
cos d ,d cos u ,u 1 2 1 2
d cắt u .n 0 u n d , , d Góc Góc giữa đường thẳng không cùng phương
d và mặt phẳng
Đường thẳng d và mặt cầu S I, R
sin d, cosu ,n d
d không cắt S d I,d R d tiế
ú S d I d R
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng 1. Phương pháp
Đường thẳng d đi qua điểm M x ; y ; z và có vectơ chỉ phương a a ;a ;a có phương 1 2 3 0 0 0 0
x x a t 0 1
trình tham số là y y a t t . 0 2 z z a t 0 3
Đường thẳng d đi qua hai điểm A, B: Một vectơ chỉ phương của d là AB .
Đường thẳng d đi qua điểm M x ; y ; z và song song với đường thẳng cho trước: Vì d // 0 0 0 0
nên vectơ chỉ phương của cũng là vectơ chỉ phương của d .
Đường thẳng d đi qua điểm M x ; y ; z và vuông góc với mặt phẳng P cho trước: Vì 0 0 0 0
d P nên vectơ pháp tuyến của P cũng là vectơ chỉ phương của d .
Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng P , Q .
Cách 1: Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương
Tìm toạ độ một điểm A d bằng cách giải hệ phương trình mặt phẳng của P , Q với việc
chọn giá trị cho một ẩn.
Tìm một vectơ chỉ phương của d : ,
a n n . P Q
Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Đường thẳng d đi qua điểm M x ; y ; z và vuông góc với hai đường thẳng d ,d : Vì 0 0 0 0 1 2
d d , d d nên một vectơ chỉ phương của d là: u u ,u . 1 2 1d d2 2. Bài tập
Bài tập 1. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A2;1; 1 , B 2 ;3; 1 và C 0; 1 ;3 .
Gọi d là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt
phẳng ABC . Phương trình đường thẳng d là x 1 y 1 z 2 x 1 y z A. . B. . 1 1 1 1 1 1 x y 2 z x 1 y z C. . D. . 2 1 1 1 1 1
Hướng dẫn giải
Chọn B. Ta có AB 4;
2;2 AB 16 4 4 2 6 . AC 2; 2;
4 AC 4 4 16 2 6 . BC 2; 4
;2 BC 4 16 4 2 6 .
Vậy tam giác ABC đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm G 0;1; 1 .
Ta có AB, AC 12;12;12 121;1 ;1 .
Đường thẳng d đi qua G 0;1;
1 và có vectơ chỉ phương cùng phương với AB, AC , do đó
chọn u 1;1; 1 . x t
Phương trình đường thẳng d là y 1 t . z 1 t Với t 1
, ta có điểm A 1; 0;0d .
Vậy đường thẳng d đi qua A 1;
0;0 và có vectơ chỉ phương u 1;1; 1 .
Bài tập 2. Trong không gian Oxyz, cho hai M 1;2;3, N 3;4;5 và mặt phẳng
P: x 2y 3z 14 0 . Gọi là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng P , các điểm H,K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của ,
M N trên . Biết rằng khi MH NK thì trung điểm của HK
luôn thuộc một đường thẳng d cố định, phương trình của đường thẳng d là x t x t x t x 1 A. 13 y 2t . B. 13 y 2t . C. 13 y 2t .
D. y 13 2t . z 4 t z 4 t z 4 t z 4 t
Hướng dẫn giải Chọn A.
Gọi I là trung điểm của HK .
Do MH NK nên HMI KNI IM IN . Khi đó I thuộc mặt phẳng Q là mặt phẳng
trung trực của đoạn MN . 1
Ta có Q đi qua trung điểm của MN là điểm J 2;3;4 và nhận n MN 1;1; 1 làm vectơ 2
pháp tuyến nên có phương trình là Q : x y z 9 0 .
x y z
Mà I A P . Suy ra I d P Q 9 0
: x2y3z14 0 Tìm được 0;13; 4
d và vectơ chỉ phương của d là 1; 2 ; 1 . x t
Vậy d : y 13 2t . z 4 t
Bài tập 3. Trong không gian Oxyz. Cho điểm E 1;1;
1 , mặt cầu S 2 2 2
: x y z 4 và mặt phẳng
P: x 3y 5z 3 0 . Gọi là đường thẳng đi qua E , nằm trong P và cắt S tại hai điểm ,
A B sao cho OAB là tam giác đều. Phương trình tham số của là x 1 2t x 1 4t x 1 2t x 1 t
A. y 1 t . B. y 1 3t .
C. y 1 t .
D. y 1 t . z 1 t z 1 t z 1 t z 1 2 t
Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi u ; a ;
b c là một vectơ chỉ phương của với 2 2 2
a b c 0 . Ta có n . P 1; 3 ;5
Vì P nên u n u.n 0 a 3b 5c 0 a 3b 5c . (1) P P
Mặt cầu S có tâm O0;0;0 và bán kính R 2 .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB R 3
Ta có OAB là tam giác đều cạnh R nên OH 3 . 2
Suy ra khoảng cách từ O đến đường thẳng bằng OH 3 . u,OE Khi đó 3 u
a b2 b c2 c a2 2 2 2
3 a b c
a b c2 0 a b c 0 (2)
Thay (1) vào (2) ta được:
3b 5c b c 0 b c a 2 c .
Thay c 1 thì b 1 và a 2 .
Ta được một vectơ chỉ phương của là u 2; 1 ; 1 x 1 2t
Vậy phương trình của đường thẳng là y 1 t . z 1 t
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng bằng phương pháp tham số hóa 1. Phương pháp
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M x ; y ; z , vuông góc và cắt đường thẳng . 0 0 0 0
Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng . Khi đó H , M H u . 0 0
Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M , H . 0 Cách 2:
Gọi P là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d . Q là mặt phẳng đi qua M và 0 0
chứa d . Khi đó d P Q
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M x ; y ; z và cắt hai đường thẳng d ,d . 0 0 0 0 1 2 Cách 1:
Gọi M d d, M d d . Suy ra M , M , M thẳng hàng. Từ đó tìm được M , M 1 1 2 2 0 1 2 1 2
và suy ra phương trình đường thẳng d .
Cách 2: Gọi P là mặt phẳng đi qua M và chứa d ; Q là mặt phẳng đi qua M và chứa d . 0 1 0 2
Khi đó d P Q . Do đó một vectơ chỉ phương của d có thể chọn là u n ,n . P Q
Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng P và cắt cả hai đường thẳng d ,d : Tìm các giao điểm 1 2
A d P , B d P . Khi đó d chính là đường thẳng AB . 1 2
Đường thẳng d song song với và cắt cả hai đường thẳng d , d : Viết phương trình mặt phẳng 1 2
P song song với và chứa d , mặt phẳng Q song song với và chứa d . Khi đó 1 2
d P Q .
Đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d ,d chéo nhau: 1 2 MN d
Cách làm: Gọi M d , N d . Từ điều kiện
1 , ta tìm được M , N . Viết phương trình 1 2 MN d2
đường thẳng MN chính là đường vuông góc chung của d , d . 1 2 2. Bài tập
Bài tập 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z 1 0 và đường x 4 y 2 z 1 thẳng d :
. Phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của d trên 2 2 1
mặt phẳng P là x y 2 z 1 x y 2 z 1 A. . B. . 5 7 2 5 7 2 x y 2 z 1 x y 2 z 1 C. . D. . 5 7 2 5 7 2
Hướng dẫn giảii Chọn B.
x 4 2t
Đường thẳng d có phương trình tham số là y 2
2t t . z 1 t
Lấy điểm M d P M 4 2t; 2 2t; 1
td . Thay đổi tọa độ điểm M vào phương
trình mặt phẳng P ta được: 4 2t 2 2t 1 t 0 t 2 . Suy ra M 0;2; 1 .
Do đó d P M 0;2; 1 . Lấy A4; 2 ;
1 d . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng P .
Đường thẳng AH đi qua A4; 2; 1 và nhận n
làm vectơ chỉ phương nên AH có P 1;1; 1
x 4 t1
phương trình là y 2
t t . 1 1 z 1 t1
Suy ra H 4 t ; 2 t ; 1 t . 1 1 1
Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng P được 2 10 8 1
4 t 2 t 1 t 1 0 t H ; ; . 1 1 1 1 3 3 3 3
MH là hình chiếu của d lên mặt phẳng P , MH đi qua M 0;2; 1 và nhận 10 14 4 2 MH ; ; 5
;7;2 là vectơ chỉ phương nên có phương trình là 3 3 3 3 x y 2 z 1 . 5 7 2 x 1 y 1 z x 2 y z 3
Bài tập 2. Cho các đường thẳng d :
và đường thẳng d : . 1 1 2 1 2 1 2 2
Phương trình đường thẳng đi qua A1;0;2 , cắt d và vuông góc với d là 1 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 A. . B. . 2 2 1 4 1 1 x 1 y z 2 x 1 y z 2 C. . D. . 2 3 4 2 2 1
Hướng dẫn giải Chọn C.
Gọi I d , I 1 t, 1
2t, t AI t;2t 1;t 2 là một vectơ chỉ phương của . 1 Do u
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d và d . d 1; 2; 2 2 2 2
Suy ra AI.ud 0 t 2 2t 1 2 t 2 0 3t 6 0 t 2 . 2 x 1 y z 2 Vậy AI 2;3; 4
. Phương trình đường thẳng cần tìm là . 2 3 4
Bài tập 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 3x y 2z 0 và hai đường x 1 y 6 z x 1 y 2 z 4 thẳng d : và d :
.Đường thẳng vuông góc với P cắt cả hai 1 1 2 1 2 3 1 4
đường thẳng d và d có phương trình là 1 2 x 2 y 1 z x 5 y z 4 A. . B. . 3 1 2 3 1 2 x 2 y 8 z 1 x 1 y 2 z 2 C. . D. . 3 1 2 3 1 2
Hướng dẫn giải Chọn A. x 1 t x 1 y 6 z d :
y 6 2t , t 1 1 2 1 z t
M d M 1
t;6 2t;t . 1
x 1 3t x 1 y 2 z 4 d :
y 2 t , t 2 3 1 4 z 4 4t
N d N 1 3t ; 2 t ; 4 4t . 1
MN 2 t 3t ; 4
2t t ; 4
t 4t .
P : 3x y 2z 0 có vectơ pháp tuyến n3;1; 2 .
Đường thẳng d vuông góc với P cắt cả hai đường thẳng d tại M và cắt d tại N suy ra 1 2
2 t 3t 3k t 2
MN kn 4
2t t k t 1 4
t 4t 2 k k 1 t 2 M 1;2; 2
Do d P nên u n . d P x 1 3s
Phương trình đường thẳng d là y 2 s ; s . z 2 2 s x y z
Chọn s A 2 1 1
2;1;0 d d : . 3 1 2 x y z 2
Bài tập 4. Viết phương trình đường thẳng d qua A1;2;3 cắt đường thẳng d : và 1 2 1 1
song song với mặt phẳng P : x y z 2 0 . x 1 t x 1 t x 1 t x 1 t
A. y 2 t .
B. y 2 t .
C. y 2 t .
D. y 2 t . z 3 t z 3 z 3 z 3 t
Hướng dẫn giải Chọn C.
Do d d B B 2 ; m ;
m m 2 AB 2m 1; m 2;m 1 . 1
d song song với mặt phẳng P nên .
AB n 0 1 m m m m AB . P
2 1 1. 2 1 0 1 1; 1 ;0 x 1 t
Vậy phương trình đường thẳng y 2 t . z 3
Bài tập 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x y z 10 0 , điểm x 2 y 1 z 1
A1;3;2 và đường thẳng d :
. Tìm phương trình đường thẳng cắt P và d 2 1 1
lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN . x 6 y 1 z 3 x 6 y 1 z 3 A. . B. . 7 4 1 7 4 1 x 6 y 1 z 3 x 6 y 1 z 3 C. . D. . 7 4 1 7 4 1
Hướng dẫn giải Chọn A.
Ta có N d N 2
2t;1 t;1 t .
A là trung điểm của MN M 4 2t;5 t;3 t .
Mà M P nên tọa độ M thỏa phương trình P , ta được:
24 2t 5 t 3 t 10 0 t 2 N 6 ; 1
;3, M 8;7; 1 .
Suy ra MN 14;8; 2 . 1
Đường thẳng đi qua hai điểm M và N nên có một vectơ chỉ phương u NM 7;4; 1 2 x 6 y 1 z 3 nên có phương trình là . 7 4 1
Bài tập 6. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A 3; 3; 3 thuộc mặt phẳng
:2x 2y z 15 0 và mặt cầu S x 2 y 2 z 2 : 2 3
5 100 . Đường thẳng qua A ,
nằm trên mặt phẳng cắt S tại ,
M N . Để độ dài MN lớn nhất thì phương trình đường thẳng là x 3 y 3 z 3 x 3 y 3 z 3 A. . B. . 1 4 6 16 11 10 x 3 5t x 3 y 3 z 3 C. y 3 . D. . 1 1 3 z 3 8 t
Hướng dẫn giải Chọn A.
Mặt cầu S có tâm I 2;3;5 và bán kính R 10.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n 2; 2; 1 .
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên và mặt phẳng .
IK nên phương trình đường thẳng IK đi qua I và vuông góc với mặt phẳng là
x 2 2t
y 3 2t . z 5 t
x 2 2t
y 3 2t
Tọa độ điểm K là nghiệm hệ phương trình K 2; 7;3 . z 5 t
2x 2y z 15 0
Vì nên IH IK . Do đó IH nhỏ nhất khi H trùng với K .
Để MN lớn nhất thì IH phải nhỏ nhất.
Khi đó đường thẳng cần tìm đi qua A và K . Ta có AK 1;4;6 . x 3 y 3 z 3
Đường thẳng có phương trình là: . 1 4 6
Bài tập 7. Trong không gian Oxyz, cho ABC có A2;3;3 , phương trình đường trung tuyến kẻ từ x 3 y 3 z 2 B là d :
, phương trình đường phân giác trong của góc C là 1 2 1 x 2 y 4 z 2 :
. Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là 2 1 1 A. u 2;1; 1 . B. u 1; 1 ;0. C. u 0;1; 1 . D. u 1;2; 1 .
Hướng dẫn giải Chọn C.
x 2 2t
Ta có phương trình tham số của là: y 4 t C 2 2t;4 t;2 t . z 2 t
7 t 5 t
Gọi M là trung điểm của AC nên M 2 t; ; . 2 2 7 t 5 t t 3 2 2 3 2 2
t 1 1 t 1 t
Vì M d nên t 1. 1 2 1 1 4 2 Suy ra C 4;3; 1 .
Phương trình mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với là: 2x y z 2 0 .
Gọi H là giao điểm của P và H 2;4;2 . Gọi
A là điểm đối xứng với A qua đường phân giác , suy ra H là trung điểm A A A 2;5; 1 . Do
A BC nên đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là CA 2; 2;0 2 1 ;1;0 . x 4 t
Suy ra phương trình của đường thẳng BC là y 3 t . z 1
Vì B BM BC B 2;5; 1 A .
Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là AB 0;2; 2 20;1; 1 . x 1 y 2 z
Bài tập 8. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : và hai điểm 2 1 1 A4; 2; 4, B0;0; 2
. Gọi d là đường thẳng song song và cách một khoảng bằng 5 , gần
đường thẳng AB nhất. Đường thẳng d cắt mặt phẳng Oxy tại điểm nào dưới đây? 2 14 A. 2;1;0 . B. ; ;0 . C. 3;2;0 . D. 0;0;0 . 3 3
Hướng dẫn giải Chọn D. x 4t
Phương trình tham số của đường thẳng AB có dạng: y 2 t . z 2 6 t
Để đường thẳng d thỏa mãn bài toán thì ta có hình vẽ tương ứng
Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và là MN với M 0; 5 ; 1 , N 3;1; 1 .
Để d gần đường thẳng AB nhất thì d phải đi qua điểm D nằm trên đoạn MN mà
DN d d, 5, MN 3 5 . Do đó MN 3DN D 2; 1 ; 1 .
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u . d 2; 1 ; 1
x 2 2t
Suy ra phương trình tham số của d là y 1 t z 1 t x 0
Đường thẳng d cắt Oxy tại điểm có z 1 t 0 t 1 . y 0
Vậy giao điểm của d và Oxy là 0;0;0 .
Bài tập 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng x 2 y 2 z 1 x 1 y 1 z : ; : 1 2 1 1 1 1 2 1 x y 2 z 1 x 5 y a z b : ; : 3 4 1 1 1 1 3 1
Biết không tồn tại đường thẳng nào trong không gian mà cắt được đồng thời cả bốn đường thẳng
trên. Giá trị của biểu thức T a 2b bằng A. 2. B. 3. C. 2. D. 3.
Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: // . 1 3
Gọi P là mặt phẳng chứa và P : x 2y z 3 0 . 3 1
Gọi I P I 0; 1 ;1 . 2 2
a b 22 3b 24 2
a 7b 8
Gọi J P J ; ; . 4 6 6 6 2
a b 22 3b 18 2
a 7b 14 IJ ; ; . 6 6 6
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì IJ phải cùng phương với u 1; 1 ; 1 . 1 2
a b 22 3b 18 2
a 7b 14 Suy ra
a 2b 2 . 6 6 6
Dạng 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 1. Phương pháp Cho đường thẳng
Ví dụ: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho x y x x y y z z 3 2 z 0 0 0 :
và mặt phẳng đường thẳng : và mặt phẳng a b c 2 1 1
: Ax By Cz D 0.
:3x 4y 5z 8 0.
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng Tính góc tạo bởi và .
và ta có công thức:
Hướng dẫn giải
Aa Bb Cc
có vectơ chỉ phương u 2;1; 1 . sin 2 2 2 2 2 2
A B C . a b c
có vectơ pháp tuyến n 3;4;5. Chú ý: ,
A B,C và a,b,c không đồng thời Ta có: sin , cos ,nu bằng 0. 3.2 4.1 5.1 3 . 2 2 2 2 2 2 3 4 5 . 2 1 1 2 Suy ra , 60. 2. Bài tập x 3 y 1 z 2
Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng : và mặt phẳng 1 1 4
P: x y 2z 6 0 . Biết cắt mặt phẳng P tại ,
A M thuộc sao cho AM 2 3 . Tính
khoảng cách từ M tới mặt phẳng P . A. 2 . B. 2. C. 3 . D. 3.
Hướng dẫn giải Chọn B. x 3 y 1 z 2 Đường thẳng :
có vectơ chỉ phương u 1;1;4 . 1 1 4
Mặt phẳng P : x y 2z 6 0 có vectơ chỉ phương n 1;1; 2 . u n P u n . 1 sin , cos , sin u . n 3
Suy ra d M 1 , MH . MA sin 2 3. 2 . 3
Dạng 4: Góc giữa hai đường thẳng 1. Phương pháp Cho hai đường thẳng:
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hai đường
x x y y z z thẳng 0 0 0 : 1 a b c x 1 y 2 z 3 : ; 1 x x y y z z 2 1 2 0 0 0 : 2 a b c x 3 y 1 z 2 : .
Gọi là góc giữa hai đường thẳng và 2 1 1 4 1
Tính góc giữa hai đường thẳng trên. . 2
Hướng dẫn giải aa b b cc Ta có: cos .
Vectơ chỉ phương của là u 2; 1;2 . 1 2 2 2 2 2 2
a b c . a b c 1
Vectơ chỉ phương của là u 1;1; 4 . 2 2 u .u
cos , cosu ,u 1 2 1 2 1 2 u . u 1 2 2 .11.1 2. 4
22 1 2 . 1 1 42 2 2 2 2 9 2 . 3.3 2 2
Vậy góc giữa hai đường thẳng đã cho là 45 . 2. Bài tập
Bài tập 1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng
P : x z.sin cos 0; Q : y . z cos sin 0; 0;
. Góc giữa d và trục Oz là: 2 A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến là n . P 1;0;sin
Mặt phẳng Q có vectơ pháp tuyến là n . Q 0;1;cos
d là giao tuyến của P và Q nên vectơ chỉ phương của d là: u
n ,n . d P Q sin ;cos ;1
Vectơ chỉ phương của Oz là u . Oz 0;0; 1 0.sin 0.cos 1.1 1
Suy ra cosd,Oz
d,Oz 45 . 2 2 2 2
sin cos 1 . 0 0 1 2
Vậy góc giữa d và trục Oz là 45.
Bài tập 2. Trong không gian Oxyz, d là đường thẳng đi qua điểm A1; 1
;2, song song với mặt x 1 y 1 z
phẳng P : 2x y z 3 0 , đồng thời tạo với đường thẳng : một góc lớn nhất. 1 2 2
Phương trình đường thẳng d là x 1 y 1 z 2 x 1 y 1 z 2 A. . B. . 4 5 3 4 5 3 x 1 y 1 z 2 x 1 y 1 z 2 C. . D. . 4 5 3 4 5 3
Hướng dẫn giải Chọn D.
Mặt phẳng P : 2x y z 3 0 có một vectơ pháp tuyến là n . P 2; 1 ; 1 x 1 y 1 z Đường thẳng :
có một vectơ chỉ phương là u . 1; 2;2 1 2 2
Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u . d
Do 0 d, 90 mà theo giả thiết d tạo góc lớn nhất nên d, 90 ud u .
Lại có d // P nên u
d nP . Do đó chọn ud
u , nP 4;5;3 . x 1 y 1 z 2
Vậy phương trình đường thẳng d là . 4 5 3 x 2 y 1 z 2
Bài tập 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : và mặt phẳng 4 4 3
P:2x y 2z 1 0 . Đường thẳng đi qua E 2;
1;2, song song với P có một vectơ chỉ phương u ; m ; n
1 , đồng thời tạo với d góc bé nhất. Tính 2 2
T m n . A. T 5 . B. T 4 . C. T 3. D. T 4 .
Hướng dẫn giải Chọn D.
Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến là n 2; 1
;2; đường thẳng d có vectơ chỉ phương là v 4; 4 ;3 .
// P u n 2m n 2 0 n 2m 2 . . u v 4m 4n 3 Mặt khác ta có:
cos ;d u v
m n 1. 4 4 2 2 2 2 2 3 4m 5 1 4m 52 2 1
16m 40m 25 .
415m 8m 5 . . 2 2 2
41 5m 8m 5 41 5m 8m 5 Vì
0 ,d 90 nên
,d bé nhất khi và chỉ khi
cos ,d lớn nhất. 2 2
16t 40t 25 72 t 90t
Xét hàm số f t f t . 2 5t 8t 5 2
5t 8t 52 Bảng biến thiên: 5 x 0 4 f 0 + 0 16 5 5 f 16 0 5
Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f t f 0 5. Suy ra
,d bé nhất khi m 0 n 2. Do đó 2 2
T m n 4 .
Dạng 5: Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng 1. Phương pháp
Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x 1 y 2 z 2 đường thẳng d : . 1 2 2
Tính khoảng cách từ M 2;1; 1 tới d .
Cho đường thẳng đi qua điểm Hướng dẫn giải Ta có
M x ; y ; z và có vectơ chỉ phương 0 0 0 0 A1;2; 2
d AM 3 ; 1 ; 1 , u 1;2; 2 . u ; a ;
b c . Khi đó khoảng cách từ điểm M1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:
đến được tính bởi công thức: AM;u 5 2
d M ;d M M ;u . u 3 d M , 0 1 . 1 u 2. Bài tập
Bài tập 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A1;1;
1 cho trước, nằm trong mặt
phẳng P : 2x y z 2 0 và cách điểm M 0;2;
1 một khoảng lớn nhất. x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 A. . B. . 1 3 1 1 3 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 C. . D. . 1 3 1 1 3 1
Hướng dẫn giải Chọn C.
Ta gọi B là hình chiếu của M lên đường thẳng d khi đó MB MA . Suy ra MB
MA nên đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với MA . max
Đồng thời đường thẳng d nằm trong mặt phẳng P nên ta có u M , A n . d P 1;3; 1
Bài tập 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;1;2, B 5;1; 1 và mặt cầu S 2 2 2
: x y z 6 y 12z 9 0 . Xét đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với S sao cho
khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng d là x 2 x 2
x 2 2t x 2 t
A. y 1 t
. B. y 1 4t .
C. y 1 2t .
D. y 1 4t . z 2 2 t z 2 t z 2 t z 2 t
Hướng dẫn giải Chọn C. Mặt cầu S 2 2 2
: x y z 6 y 12z 9 0 có tâm I 0;3;6 bán kính R 6 .
IA 6 R AS , IB 3 10 R nên B nằm ngoài S .
Đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với S nên d nằm trong mặt phẳng P tiếp xúc với mặt
cầu S tại A .
Mặt phẳng P đi qua A và nhận IA làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x 2y 2z 0 .
Gọi H là hình chiếu của B lên P thì tọa độ của H 4;1; 1 .
Ta có: d B;d d ;
B P BH .
Vậy khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất khi d đi qua H . Ta có u AH . d 2; 2 ; 1
x 2 2t
Suy ra phương trình đường thẳng d là: y 1 2t . z 2 t
Dạng 6: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1. Phương pháp
Trong không gian Oxyz, cho hai đường Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách
thẳng chéo nhau: có vectơ chỉ phương giữa hai đường thẳng 1
u ;a ;bc và đi qua M x ;y ;z ; có x 1 4t 0 0 0 0 2 x 1 y 2 z d :
và d : y 1
2t , t . 1 2
vectơ chỉ phương u a ;b ;c và đi qua 2 1 1 z 2 2 t
M x; y; z . 0 0 0 0
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d đi qua điểm M 1;2;0 và có 1
một vectơ chỉ phương u 2; 1 ;1 . 1
Đường thẳng d đi qua điểm N 1;1;2 và có 2
Khi đó khoảng cách giữa và được tính một vectơ chỉ phương u 4; 2 ;2 . 2 1 2
u,u.M M
Do u cùng phương với u
và M d nên 1 2 2
bởi công thức d , 0 0 . 1 2 u,u d //d . 1 2 u MN Nếu // ( , u và u cùng phương và 1 2 1 2
Suy ra d d ;d d N;d 1 . 1 2 1 u
M ) thì d , d M , 1 1 2 0 2 0 2
Ta có MN 0;1;2, u, MN 3 ; 4 ;2 . u , MN 3 2 4 2 2 1 2 174 Suy ra . u 2 2 2 6 1 1 1 174
Vậy d d ;d . 1 2 6 2. Bài tập x 1 y z
Bài tập 1. Cho phương trình mặt phẳng P : 2x y z 3 0 , đường thẳng d : và 1 2 1 điểm A0;2;
1 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A , nằm trong P sao cho khoảng cách
d và d đạt giá trị lớn nhất. x y 2 z 1 x y 2 z 1 A. . B. . 1 7 9 1 7 9 x y 2 z 1 x y 2 z 1 C. . D. . 1 7 9 1 7 9
Hướng dẫn giải Chọn A.
Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song với d . 1 x t
Phương trình của d là: y 2 2t . 1 z 1 t
Trên đường thẳng d lấy điểm B 1;0;0. 1
Gọi Q là mặt phẳng chứa d và d . 1
Ta có d d, d d d ,Q d B,Q.
Do d cố định cho nên d d, d d B,Q d B,d . 1 1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n
BH trong đó H là hình chiếu của B lên d . Q 1 2 2 1 5 2 1 Ta tìm được H ; ; nên BH ; ; n . Q 5 ;2; 1 3 3 3 3 3 3
Ta có u n ; n . d P Q 1;7; 9 x y 2 z 1
Vậy phương trình của đường thẳng d là . 1 7 9
Lưu ý : Vì đường thẳng d đi qua A nên ta có thể loại đáp án bằng cách thay tọa độ điểm A vào các
đáp án trong bài
Dạng 7: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng 1. Phương pháp
Trong không gian Oxyz, xét đường thẳng có vectơ chỉ phương là a a ;a ;a và đi qua 1 2 3
M x ; y ; z và mặt phẳng : Ax By Cz D 0 có vectơ pháp tuyến n ; A B;C . 0 0 0 0 cắt .
a n 0 Aa Ba Ca 0 . 1 2 3 a n Aa Ba Ca // . 0 0 1 2 3 . M P
Ax By Cz D 0 0 0 0 0 a n Aa Ba Ca . 0 0 1 2 3 M P
Ax By Cz D 0 0 0 0 0
a và n cùng phương a : a : a A: B :C . 1 2 3
Ta có thể biện luận vị trí tương đối dựa vào số nghiệm của phương trình đường thẳng và
mặt phẳng . 2. Bài tập x 1 y z 5
Bài tập 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và mặt 1 3 1
phẳng P : 3x 3y 2z 6 0 .
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. d cắt và không vuông góc với P .
B. d song song với P .
C. d vuông góc với P .
D. d nằm trong P .
Hướng dẫn giải Chọn A.
Đường thẳng d nhận u 1; 3 ;
1 làm một vectơ chỉ phương.
Mặt phẳng P nhận n 3; 3;
2 làm một vectơ pháp tuyến.
Do u.n 0 và hai vectơ này không cùng phương nên đường thẳng d cắt và không vuông góc với P .
Bài tập 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình x 2 y 1 z 1 d :
và mặt phẳng P x my 2 : m
1 z 7 0 với m là tham số thực. Tìm 1 1 1
m sao cho đường thẳng d song song với mặt phẳng P . m 1 A. m 1. B. m 1. C. . D. m 2 . m 2
Hướng dẫn giải Chọn B.
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u 1;1;
1 và mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến là n 2 1; ; m m 1 . m d // P 1 2 2
u n .
u n 0 1 m m 1 0 m m 2 0 m 2
Thử lại ta thấy với m 2 thì d P (loại). Vậy m 1. x 1 y 2 z 3
Bài tập 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : và mặt phẳng 2 4 1
: x y 2z 5 0, mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. d // .
B. d .
C. d cắt và không vuông góc với .
D. d .
Hướng dẫn giải Chọn B. x 1 2t
Ta có d : y 2 4t , t . z 3 t
x 1 2t 1
y 2 4t 2 Xét hệ phương trình: z 3 t 3
x y 2z 5 0 *
Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được 1 2t 2 4t 23 t 5 0 .
Phương trình này có vô số nghiệm.
Do đó, đường thẳng d nằm trong mặt phẳng .
Bài tập 4. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
P: x 2y z 1 0, Q:2x y z 2 0 x y 1 z 1 x y 2 z 1
và hai đường thẳng : , : . 1 2 2 1 2 1 1 2
Đường thẳng song song với hai mặt phẳng P,Q và cắt , tương ứng tại , H K . Độ dài 1 2 đoạn HK bằng 8 11 11 A. . B. 5 . C. 6. D. . 7 7
Hướng dẫn giải Chọn A.
Ta có u n , n . P Q 1 ; 1 ; 3
Gọi H 2t;1 t;1 2t; K ; m 2 ; m 1 2m
HK m 2t;1 m t;2 2m 2t .
Vì song song với 2 mặt phẳng P,Q nên HK ku nên m 2t 1 m t 2 2m 2 t . 1 1 3 2 3 8 11 Tính ra được m ; t . Suy ra HK . 7 7 7
Bài tập 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P 2
m m x 2
m y m 2 : 2 2 1
2 z m m 1 0 luôn chứa đường thẳng cố định khi
m thay đổi. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến là? 1 2 2 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Hướng dẫn giải
Chọn C. Ta có: 2
m m x 2
m y m 2 2 2 1
2 z m m 1 0, m 2
m 2x y
1 m2x z
1 4x y 2z 1 0, m
2x y 1 0
2x y 1 0 y z
2x z 1 0
2x z 1 0
2x y 1 0
4x y 2z 1 0 t 1 x 2 2
Vậy P luôn chứa đường thẳng cố định: y t z t 1 1
Đường thẳng đi qua A ;0;0
và có vectơ chỉ phương u ;1;1 . 2 2 , OA u 2
Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến là: d ; O . u 3
Dạng 8: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng 1. Phương pháp x x y y z z
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 0 0 0 d :
đi qua M x ; y ; z 1 0 0 0 1 a b c x x y y z z
có vectơ chỉ phương u ; a ; b c và 0 0 0 d :
đi qua M x; y; z có vectơ chỉ 2 0 0 0 1 2 a b c
phương u a ;b ;c . 2
Để xét vị trí tương đối của d và d , ta sử dụng phương pháp sau: 1 2 a a a 1 2 3 u / /u +) d trùng d 1 2 b b b . 1 2 1 2 3 M d 1 2 M d 1 2
u ,u 0 a a a 1 2 3 1 2 u / /u +) d //d 1 2 b b b . 1 2
hoặc 1 2 3
u , M M 0 M d 1 1 2 1 2 M d 1 2
u ,u 0 1 2 +) d cắt d 1 2
.
u ,u .M M 0 1 2 1 2
+)
d chéo d u ,u .M M 0 . 1 2 1 2 1 2 2. Bài tập
Bài tập 1. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x 1 y 1 z 2 x 3 y 9 z 2 d : và d : m 0 2 2 1 1 2 1 4 8 m
Tập hợp các giá trị m thỏa mãn d //d có số phần tử là: 1 2 A. 1. B. 0. C. 3. D. 2.
Hướng dẫn giải Chọn B.
Đường thẳng d đi qua A1; 1
;2 và có vectơ chỉ phương là u 1;2;1 . 1 1
Đường thẳng d đi qua B 3;9; 2
và có vectơ chỉ phương là u 2 4;8; m . 2 2
Đường thẳng d //d khi và chỉ khi u cùng phương với u và hai đường thẳng d và d không 1 2 1 2 1 2 trùng nhau. 3 1 9 1 2 2 Vì
nên B nằm trên đường thẳng d . 1 2 1 1
Do đó hai đường thẳng này luôn có điểm chung là B nên hai đường thẳng không thể song song.
Bài tập 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng x 1 y 1 z x 3 y 3 z 2 : , : 1 2 2 2 3 1 2 1
A. song song với .
B. chéo với . 1 2 1 2 C. cắt .
D. trùng với . 1 2 1 2
Hướng dẫn giải
Chọn C. 2 2 Vì
nên vectơ chỉ phương u 2; 2;3 của đường thẳng không cùng phương với 1 1 2 1
vectơ chỉ phương u 1; 2 ;1 của . 2 2
Suy ra chéo với hoặc cắt . 1 2 1 2
Lấy M 1;1;0 , N 3;3;2 . Ta có MN 2;4; 2 . 1 2
Khi đó u ,u .MN 0 . 1 2
Suy ra u ,u , MN đồng phẳng. 1 2 Vậy cắt . 1 2
Dạng 9: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu 1. Phương pháp
x x a t 1
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, 0 1
Cho đường thẳng d : y y a t 2 và 0 2
cho mặt cầu S x y z 2 2 2 : 2 25 và đường
z z a t 3 0 3 x 2 2t
mặt cầu S x a2 y b z c2 2 2 : R
thẳng d có phương trình y 2 3t z 3 2t có tâm I ; a ;
b c, bán kính R .
Chứng minh d luôn cắt S tại hai điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải
Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I của Mặt cầu S có tâm I 0;0; 2 và bán kính
mặt cầu S đến đường thẳng d là R 5 . IM .a
Đường thẳng d đi qua M 2; 2; 3 và có vectơ
h d I,d 0 a
chỉ phương là u 2;3;2 . IM ,u
Ta có h d I,d 3 . u
Bước 2: So sánh d I, d với bán kính R Vì h R nên d cắt mặt cầu S tại hai điểm của mặt cầu: phân biệt.
Nếu d I,d R thì d không cắt S .
Nếu d I,d R thì d tiếp xúc S .
Nếu d I,d R thì d cắt S tại hai điểm phân biệt ,
M N và MN vuông góc
với đường kính (bán kính) mặt cầu S .
Phương pháp đại số
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, mặt cầu
Thế (1), (2), (3) vào phương trình S và S x y z 2 2 2 :
2 17 cắt trục Oz tại hai
rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo điểm ,
A B . Tìm độ dài đoạn AB . t * .
Hướng dẫn giải
Nếu phương trình (*) vô nghiệm thì d Gọi M là giao điểm của S với trục Oz . không cắt S .
Ta có M Oz nên M 0;0;t .
Nếu phương trình (*) có một nghiệm Mà M S nên t 2 2 2 0 0 2 17
thì d tiếp xúc S . t
Nếu phương trình (*) có hai nghiệm thì t 2 2 17
2 17 t 2 17 . t 2 17
d cắt S tại hai điểm phân biệt , M N .
Suy ra tọa độ các giao điểm là A0;0; 2 17 ,
Chú ý: Để tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t
vào phương trình đường thẳng B 0;0; 2 17 d . AB 2 17 . 2. Bài tập
Bài tập 1. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A0;0; 2
và đường thẳng có phương trình x 2 y 2 z 3 là . 2 3 2
Phương trình mặt cầu tâm A , cắt tại hai điểm B và C sao cho BC 8 là
A. x 2 y 2 z 2 2 3
1 16 . B. x y z 2 2 2 2 25 .
C. x 2 2 2
2 y z 25 .
D. x y z 2 2 2 2 16 .
Hướng dẫn giải Chọn B.
Gọi S là mặt cầu tâm A0;0; 2
và có bán kính R .
Đường thẳng đi qua M 2; 2; 3
có vectơ chỉ phương u 2;3;2 .
Gọi H là trung điểm BC nên AH BC . M . A u
Ta có AH d , A . u MA 2; 2; 2 2 2 1 7 2 10 Với . MA u 7 ; 2 ;10 AH 3 . u 2;3;2 2 2 2 2 3 2
Bán kính mặt cầu S là: 2 2 2 2
R AB AH HB 3 4 5 .
Vậy phương trình mặt cầu S là: x y z 2 2 2 2 25 .
Bài tập 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S x 2 y 2 z 2 : 1 1 2 9
và điểm M 1;3;
1 . Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu đã cho luôn
thuộc một đường tròn C có tâm J a; ; b c .
Giá trị 2a b c bằng 134 116 84 62 A. . B. . C. . D. . 25 25 25 25
Hướng dẫn giải Chọn C.
Ta có mặt cầu S có tâm I 1; 1
;2 và bán kính R 3.
Khi đó IM 5 R M nằm ngoài mặt cầu. x 1
Phương trình đường thẳng MI là x 1 4t . z 23t Tâm J ; a ;
b c nằm trên MI nên J 1; 1
4t;2 3t . Xét M
HI vuông tại H có 2 2
MI 5; IH 3 MH MI HI 4 . M 1;3; 1 Mặt khác MJ 4
4t2 33t2 . J 1; 1
4t;2 3t 16 2
MJ.MI MH MJ 5
t2 t2 256 4 4 3 2 25 9 t 369 2 25
25t 50t 0 . 25 41 t 25 11 23 139 73 Suy ra J 1; ; hoặc J 1; ; . 25 25 25 25 11 23 9 +) Với J 1; ;
thì IJ IM (nhận). 25 25 5 139 73 41 +) Với J 1; ; thì IJ IM (loại). 25 25 5 11 23 84 Vậy J 1; ;
nên 2a b c . 25 25 25
Bài tập 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S có phương trình là x 4 y 4 z 4
x 2 y 2 z 2 14 1 2 3
và đường thẳng d có phương trình . Gọi 3 3 2 2
A x ; y ; z , x 0 là điểm nằm trên đường thẳng d sao cho từ A kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt 0 0 0 0
cầu S có các tiếp điểm ,
B C, D sao cho ABCD là tứ diện đều.
Giá trị của biểu thức P x y z là 0 0 0 A. 6. B. 16. C. 12. D. 8.
Hướng dẫn giải Chọn C.
I là tâm mặt cầu thì I 1;2;3 .
Gọi O là giao điểm của mặt phẳng BCD và đoạn AI . 14
Vì theo giả thiết AB AC AD và IB IC ID nên AI 3
vuông góc với mặt phẳng BCD tại O . Khi đó O là tâm đường tròn
ngoại tiếp BCD . 14
Đặt AI x x . 3 14 Ta có 2 2 2
AB AI IB x 3 2 14 14 14 2 2 2 IB . IO IA OI
OB IB IO 3x 3 3x 2 2 2 2
BD OB OD 2 . OB .
OD cos120 3OB 14 196
BD 3OB BD 3OB 3. 2 3 9x
Do ABCD là tứ diện đều nên 14 14 196 14 196 2 2
AB BD x 3 x 14 2 2 3 3 9x 3 3x 14 2 x 4 2 3x 56x 196 0 3 x 14 . 2 x 14
A d nên A4 3t;4 2t;4 t . Suy ra AI
t 2 t 2 t 2 14 4 3 1 4 2 2 4 3 14 t 0 A4;4;4 t 1 1 . t 2 A 2; 0;2
Do x 0 nên điểm A có tọa độ A4;4;4 . 0 Suy ra P 12 .
Bài tập 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm ,
P Q, R lần lượt di động trên ba trục 1 1 1 1
tọa độ Ox,Oy,Oz (không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho . Biết mặt phẳng 2 2 2 OP OQ OR 8
PQR luôn tiếp xúc với mặt cầu S cố định. Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua 1 3 M ; ;0
và cắt S tại hai điểm ,
A B phân biệt. Diện tích lớn nhất của AOB là 2 2 A. 15 . B. 5 . C. 17 . D. 7 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng PQR . 1 1 1 1 1 1 Dễ thấy OH 2 2 . 2 2 2 2 2 OH OP OQ OR OH 8
Khi đó PQR luôn tiếp xúc với mặt cầu S tâm O , bán kính R 2 2 . 1 3 Ta có OM
0 1 R nên điểm M nằm trong mặt cầu S . 4 4 1
Gọi I là trung điểm của AB , do OAB cân tại O nên S OI.AB . OAB 2
Đặt OI x . Vì OI OM nên 0 x 1 và 2
AB 2 8 x . 1 Ta có 2 2 2 4 S .2 x
8 x x 8 x 8x x . OAB 2
Xét hàm số f x 2 4
8x x , 0 x 1.
Vì f x x 2
4 4 x 0 với mọi x0;
1 nên f x f 1 7 .
Suy ra diện tích của OAB lớn nhất bằng 7 đạt được khi M là trung điểm của AB .
Dạng 10: Một số bài toán cực trị
Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M 2;2;
1 , A1;2;3 và x 1 y 5 z đường thẳng d :
. Tìm một vectơ chỉ phương u của đường thẳng đi qua M , 2 2 1
vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất.
A. u 2;2;
1 . B. u 1;7; 1 .
C. u 1;0;2 .
D. u 3;4; 4 .
Hướng dẫn giải Chọn C.
Xét P là mặt phẳng qua M và P d .
Mặt phẳng P qua M 2;2;
1 và có vectơ pháp tuyến
n u 2;2;
1 nên có phương trình: 2x 2y z 9 0 . P d
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên P và .
Khi đó AK AH const nên AK đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi K H .
Đường thẳng AH đi qua A1;2; 3
và có vectơ chỉ phương u 2;2;
1 nên AH có phương d x 1 2t
trình tham số là y 2 2t .
z 3t
Vì H AH nên H 1 2t;2 2t; 3 t .
Lại H P nên 21 2t 22 2t 3
t 9 0 t 2 H 3 ; 2 ; 1 .
Vậy u HM . 1;0;2
Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S có phương trình 2 2 2
x y z 4x 2y 2z 3 0 và điểm A5;3;2 . Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A
và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt , M N .
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S AM 4AN . A. S 30 . B. S 20 . C. S
5 34 9 . D. S 34 3. min min min min
Hướng dẫn giải Chọn C.
Mặt cầu S có tâm I 2; 1 ; 1 , bán kính R 2 2 2 2 1 1 3 3.
Ta có: AI 2 2 2 2 5 1 3 1 2
34 R nên A nằm ngoài mặt cầu S .
Ta lại có: S AM 4AN .
Đặt AM x, x 34 3; 34 3 . 25 Mà 2 2
AM .AN AI R 34 9 25 AN . AM Do đó: 100 S f x x
với x 34 3; 34 3 x . 2 100 x 100
Ta có: f x 1
0 với x 34 3; 34 3 2 x x . Do đó: min
f x f 34 3 5 34 9 . 343; 343 Dấu “=” xảy ra ,
A M , N, I thẳng hàng và AM 34 3; AN 34 3.
Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A9;6;1
1 , B 5;7;2 và điểm M di động trên
mặt cầu S x 2 y 2 z 2 : 1 2 3 36 .
Giá trị nhỏ nhất của AM 2MB bằng A. 105 . B. 2 26 . C. 2 29 . D. 102 .
Hướng dẫn giải Chọn C.
Mặt cầu S x 2 y 2 z 2 : 1 2
3 36 có tâm I 1;2;3 và bán kính R 6 .
Ta có IA 12 2R .
Gọi E là giao điểm của IA và mặt cầu S suy ra E là trung điểm của IA nên E 5;4;7 .
Gọi F là trung điểm của IE suy ra F 3;3;5 . IF IM 1 Xét M IF và A IM có AIM chung và . IM IA 2 MA AI Suy ra M IF# A IM c.g.c
2 MA 2MF . MF MI
Do đó AM 2MB 2MF MB 2BF 2 29 (theo bất đẳng thức tam giác).
Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm FB và mặt cầu S .