Thông tin
Quiz

Các dạng bài tập VDC phương trình mặt phẳng Toán 12

Các dạng bài tập VDC phương trình mặt phẳng Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Chủ đề:

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian 143 tài liệu

Môn:

Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:

19 trang 1 năm trước

Tác giả:

Mai Nguyệt

docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Các dạng bài tập VDC phương trình mặt phẳng Toán 12

42 21 lượt tải Tải xuống

BÀI 2. PHƯƠNG TR

ÌNH MẶT PHẲNG

LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

ương tr

ình mặt phẳng

Vectơ pháp tuyến

Vectơ

0n 

ρρ

là vectơ pháp tuyến của





 nếu giá của

vuông góc với







Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Hai vectơ

,ab

ρρ

không cùng phương là cặp vectơ chỉ phương của







nếu các giá của chúng song song

hoặc nằm trên



.

Chú ý:

 Nếu

là một vectơ pháp tuyến của







thì





0kn k



cũng là vectơ pháp tuyến của





 Nếu ,ab

ρρ

là một cặp vectơ chỉ ph

ương của







thì ,nab











ρρ

là một vectơ pháp tuyến của







Phương trình tổng quát của mặt phẳng

0 Ax By Cz Dvới

222

0ABC



.

 Nếu

()



có phương trình 0Ax By Cz D thì (;; )nABC





là một vectơ pháp tuyến của

()



 Phương trình mặt phẳng

đi qua





0000

;;

xyz

và có một vectơ pháp tuyến ( ; ; )nABC



là:













000

0Ax x By y Cz z  .

Các trường hợp đặc biệt

Các hệ số

Phương trình mặt phẳng







Tính chất mặt phẳng







0D  .

0Ax By Cz







đi qua gốc tọa độ O

0A  0By Cz D





//Ox

hoặc





Ox

0B  0Ax Cz D





//Oy hoặc





Oy

0C 

0Ax By D





//Oz hoặc





Oz

0AB 0Cz D









// Oxy

hoặc









Oxy

0AC 0By D









// Oxz hoặc









Oxz

0BC 0Ax D









// Oyz

hoặc









Oyz

Nếu

()



cắt các trục toạ độ tại các điểm

( ;0;0), (0; ;0), (0; 0; )abc

với

abc



thì ta có phương trình mặt

phẳng theo đoạn chắn

(): 1

abc





Chú ý: Nếu trong phương trình ()



không chứa ẩn nào thì ()



song song hoặc chứa trục tương ứng.

2. Kh

oảng cách từ một điểm tới mặt phẳng

Trong không gian

,Oxyz

cho điểm





;;

xyz và mặt phẳng

(): 0Ax By Cz D



Khi đó khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

()



được tính theo công thức:

222

d( ,( ))

AAA

xByCzD

ABC











3. Vị trí tương đối

Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Trong không gian ,Oxyz cho hai mặt phẳng

11 11 2 2 2 2

(): 0; (): 0Ax By Cz D Ax B y C z D 





111 1

222 2

() ()

BCD





111 1

222 2

()//()

BC D





() ()





hoặc

 .

12 12 12

() () 0AA BB CC   





Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Trong không gian

,Oxyz

cho mặt phẳng và mặt cầu

(): 0Ax By Cz D



;

2222

():( )( )( )Sxa yb zc R.

Để xét vị trí của

()



và ()S ta làm như sau:

+) Nếu









,dI R



thì

()



không cắt

()S

+) Nếu









,dI R thì



 tiếp xúc





S tại .H Khi đó H được gọi là

tiếp điểm đồng thời

H là hình chiếu vuông góc của I lên







và







được gọi là

tiếp diện.

+) N

ếu









,dI R

thì







cắt





theo đường tròn có phương trình



22 2

()()

():

aybzcR

Ax By Cz D















Bán kính của





là

d[,( )]rR I



Tâm J của (C) là hình chiếu vuông góc của

I trên







4. Góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian ,Oxyz cho hai mặt phẳng

11 11

(): 0Ax By Cz D



và

22 2 2

(): 0Ax By Cz D







Góc giữa ( )



và ( )



bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ pháp tuyến , .nn







Tức là







12 12 12

222 222

111 222

cos , cos , .

AA BB CC

BC ABC







 







Chùm mặt phẳng

 Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng ()



và

()



được gọi là một chùm mặt phẳng.

 Gọi



d là giao tuyến của hai mặt phẳng

11 11

22 2 2

(): 0

Ax By Cz D













Khi

đó nếu





là mặt phẳng chứa



d thì mặt phẳng





có dạng









11 11 2 2 2 2

0mAxByCzD nAxByCzD

với

0mn





SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng

1. Phương pháp

1. Mặt phẳng





 đi qua điểm





000

;;

xyz có vectơ pháp tuyến





;;nABC

là













000

0.Ax x By y Cz z  

Mặt phẳng ( )



đi qua điểm





000

;;

xyz có cặp vectơ chỉ phương , .ab



Khi

đó một vectơ pháp tuyến của

()



là [,].nab



2. Bài tập

Bài tậ

p 1:

Cho mặt phẳng





:220.Qxy z  Viết phương trình mặt phẳng

()

song song với mặt

phẳng



,Q đồng thời cắt các trục

, Ox Oy

lần lượt tại các điểm

sao cho 22MN  .

A. (): 2 2 0Pxy z . B. (): 2 0Pxy z



.

(): 2 2 0.Pxy z  D. (): 2 2 0Pxy z



.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

()//()

nên phương trình mặt phẳng

()

có dạng

20(2).xy zD D



 

Khi

đó mặt phẳng ( )

cắt các trục ,Ox Oy lần lượt tại các điểm ( ;0;0)MD



, (0; ;0)ND.

Từ giả thiết:

2 2 2 2 2 2 (do 2).MN D D D  

Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 2 2 0Pxy z .

Chú ý:

Mặt phẳng







đi qua điểm





000

;;

xyz

và song song với mặt phẳng (): 0Ax By Cz D



thì





có phương trình là













000

0Ax x By y Cz z  

Bài tập 2:

Cho điểm (1; 2;5).M Mặt phẳng ( )

đi qua điểm

cắt trục tọa độ ,,Ox Oy Oz tại , ,

sao cho

là trực tâm tam giác

Phương trình mặt phẳng

()

là

80xyz



. B.

25300xyz

. C.

521

xyz





521

xyz



Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có

() ( ) (1)

OA BC

OA OBC BC OAM BC OM

AM BC





   







Tương tự

(2)AB OM

Từ (1) và (2) suy ra

()OM ABC hay ()OM P



Suy ra (1;2;5)OM





là vectơ pháp tuyến của ( )

Vậy phương trình mặt phẳng





là









1 2 2 5 5 0 2 5 30 0.xy z xyz         

Bài tập 3: Cho tứ diện

BCD có đỉnh (8; 14; 10); , ,

AD AB AC



 lần lượt song song với , , .Ox Oy Oz

Phương trình mặt phẳng



đi qua

(7; 16; 15)H



là trực tâm

BCD



có phương trình là

A. 2 5 100 0xyz . B. 2 5 100 0xyz



 .

71615

xy z





. D.

71615

xy z







Hướng dẫn giải

Chọn B.

Theo đề ra, ta có

()BCD đi qua (7; 16; 15),H



 nhận (1; 2; 5)HA 





là vectơ pháp tuyến. Phương trình

mặt phẳng



CD là

( 7) 2( 16) 5( 15) 0

2 5 100 0.

xy z

xyz

    

   

Vậy (

) : 2 5 100 0BCD x y z

 .

Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz lập phương trình của các mặt phẳng song song với mặt

phẳng

(): 3 0xyz



và cách

()



một khoảng bằng 3.

60; 0xyz xyz 

. B.

60xyz





60; 0xyz xyz 

. D.

60; 0xyz xyz



 

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi ( )



là mặt phẳng cần tìm. Ta có (0;0;3) ( )A





Do ( ) / /( )





nên phương trình của mặt phẳng ( )



có dạng:

0xyzm

  với 3m  .

Ta có

|3|

d((),()) 3 d(,()) 3 3



  

 

|3|3













(thỏa mãn).

Vậy phương trình của các mặt phẳng cần tìm là

60xyz

 và 0xyz.

Bài tập 5: Trong không gian ,Oxyz cho hai mặt phẳng

(): 3 2 0,(): 3 4 0Px z Qx z



  .

Mặt phẳng song song và cách đều ( )

và ( )Q có phương trình là:

A. 310xz. B. 320xz. C. 360xz



. D. 360xz.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Điểm

(; ;)

xyz

bất kỳ cách đều

()

và

() ( ;()) ( ;())QdMPdMQ





32 34

|32||34|

32 34

19 19

310.

310

xz xz

zxz





 























Vậy

thuộc (): 3 1 0.xz



Nhận thấy ()



song song với ()

và ()Q .

Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho hai điểm









1; 2;1 , 3; 4;0 AB và mặt phẳng

(): 46 0Paxbycz. Biết rằng khoảng cách từ ,

B đến mặt phẳng ( )

lần lượt bằng 6 và 3. Giá trị

của biểu thức

T abc bằng

A. 3. B. 6. C. 3. D. 6.

Hướng dẫn giải

Gọi ,HK lần lượt là hình chiếu của ,

B trên mặt phẳng ()

Theo giả thiết, ta có:

3, 6, 3AB AH BK

Do đó ,

B ở cùng phía với mặt phẳng ( )

Lại có:

BBK AK AH

Mà

BBK AH



 nên HK



Suy ra

là ba điểm thẳng hàng và

là trung điểm của

nên tọa độ

(5;6; 1)H 

Vậy mặt phẳng ( )

đi qua (5;6; 1)H



và nhận (2;2; 1)AB









là vectơ pháp tuyến nên có phương

trình là

2( 5) 2( 6) 1( 1) 0 2 2 23 0xyz xyz     

Theo bài ra, ta có

():4 4 2 46 0Pxyz   

nên

4, 4, 2abc





Vậy

6Tab



Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

1. Phương pháp

Viết phương trình mặt phẳng







tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm

Giả sử mặt cầu



có tâm I và bán kính ,

khi đó ta viết được phương trình mặt phẳng ( )



đi qua H

và có một vectơ pháp tuyến là

nIH





2. Bài tập

Bài tậ

p 1:

Trong không gian với hệ tọa độ

,Oxyz

cho mặt cầu





có phương trình

222

(1)( 2)(3)12xy z   và mặt phẳng ( ) : 2 2 3 0.Pxyz



 Viết phương trình mặt phẳng song

song với

()

và cắt ()S theo thiết diện là đường tròn ()C sao cho khối nón có đỉnh là tâm mặt cầu và

đáy là hình tròn (C) có thể tích lớn nhất.

22 20xyz

hoặc

22 80xyz

22 10xyz hoặc 22 110xyz.

22 60xyz hoặc 22 30xyz.

22 20xyz hoặc 22 20xyz.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có

()//()



nên

():2 2 0( 3).xyzd d 



Mặt cầu



S có tâm (1; 2;3),I  bán kính 23R  .

Gọi





là khối nón thỏa mãn đề bài với đường sinh

23.IM R

Đặt ( ,( )).xhdI



Khi đó bán kính đường tròn đáy hình nón là

12rx





Thể tích khối nón là



()

Vxx



với 023x .

Xét hàm số:



() 12

xxx



với

023x

Khi đó

()

đạt giá trị lớn nhất tại 2x



hay

(,( )) 2dI





Ta có

22 2

56 11

|2.1 2 ( 2) 3 |

(,( )) 2 2

56 1

22(1)









 

  





 







Chú ý:

Công thức tính thể tích hình nón:

.2 .

VhS Rh



Trong đó

là bán kính đáy, h là chiều cao.

Bài tập 2: Trong không gian ,Oxyz cho mặt cầu (S):

22 2

(1) 4xy z



  và điểm (2;2;2).A Từ

kẻ

ba tiếp tuyến

BACAD

với mặt cầu

(,,

là các tiếp điểm). Phương trình mặt phẳng





là

A. 22 10xyz. B. 22 30xyz



.

22 10xyz. D. 22 50xyz



.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có mặt cầu



S có tâm I (0;0;1) và bán kính 2R



Do ,,

BACAD là ba tiếp tuyến của mặt cầu ()S với ,,BCD là các tiếp điểm nên

AB AC AD

IB IC ID R













là trục của đường tròn ngoại tiếp



()IA BCD .

Khi đó mặt phẳng





có một vectơ pháp tuyến (2;2;1)nIA







Gọi

là tâm của đường tròn ngoại tiếp

BCD J IA





và

.IJ BJ



Ta có

IBA

vuông tại

và

JIA nên

IB IJ IA IJ IJ IA





Đặt

(; ;).

xyz

Ta có

(; ; 1); (2;2;1)IJ x y z IA



Từ

IJ IA



suy ra

8813

;;

99 9







Mặt phẳng

()BCD đi qua

8813

;;

99 9







và nhận vectơ pháp tuyến

(2;2;1)n





có phương trình:

8813

22 02250

999

xyz xyz

 

  

 

 

Bài tập 3: Trong không gian ,Oxyz cho mặt cầu





S :

222

(1)(1)(1)12xyz



   và mặt phẳng

(): 2 2 11 0.Px y z Xét điểm

di động trên ( )

và các điểm , ,

BC phân biệt di động trên





sao cho

, ,

MBMCM là các tiếp tuyến của





Mặt phẳng





luôn đi qua điểm cố định nào dưới

đây?

111

;;

422









B. (0; 1;3) . C.

;0;2











0;3; 1

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Mặt cầu



có tâm

(1;1;1) và bán kính

23R 

Xét điểm

(;;) (); (;;) ()

abc P Axyz S nên ta có hệ điều kiện:

222

(1)(1)(1)12

22110

xyz

AI AM IM

abc

















222

222222

( 1) ( 1) ( 1) 12 (1)

12 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) (2)

22110(3)

xyz

xaybzcabc

abc



     

















Lấy (1) (2) ta có:

222 2 22

(1)(1)(1) 12( )( )( )

yz xaybzc



   



222

12 ( 1) ( 1) ( 1)abc





 





(1)(1) (1) 90axbyczabc   

Vậy mặt phẳng đi qua ba tiếp điểm là:

():( 1) ( 1) ( 1) 9 0Qa xb yc zabc

Kết hợp với (3) suy ra mặt phẳng này luôn đi qua điểm cố định (0;3;-

1).

Dạng 3. Phương trình mặt phẳng đoạn chắn

1. Phương pháp

Phương trình mặt phẳng ( )



đi qua ba điểm ( ;0;0), (0; ;0)

aBb và (0;0; )Cc với 0abc  là:

xyz

abc





2. Bài tập

Bài tậ

p 1:

Trong không gian với hệ trục tọa độ ,Oxyz cho hai điểm (3;0;0), (2;2;2)MN. Mặt phẳng ( )

thay đổi qua

cắt các trục

,Oy Oz

lần lượt tại

(0; ; 0), (0; 0; )Bb C c

với

,0.bc



Hệ thức nào dưới đây

là đúng?

6bc

3( )bc b c

. C.

bc b





111

6bc



Hướng dẫn giải

Chọn D.

Mặt phẳng

()

đi qua

(3;0;0), (0; ;0), (0;0; )

Bb C c

với

,0bc



nên phương trình mặt phẳng

()

theo đoạn chắn là:

xyz



Mặt phẳng

()

đi qua

(2;2;2)N

suy ra

222 111

36bc bc





Bài tập 2: Trong không gian ,Oxyz cho điểm





1; 4; 3 .G Phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ

,,Ox Oy Oz lần lượt tại , ,

BC sao cho

là trọng tâm tứ diện

OABC

là

3129

xyz



41612

xy z





312 9780xyz. D. 4 16 12 104 0xyz



.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Giả sử (,0,0); (0,,0); (0;0;)

aBbCc.

(1; 4; 3)G

là trọng tâm tứ diện

BCD

ABCD

xxx

yyyy

OABC y

zzzz





























0004.1 4

00 0 4.4 16

000 4.3 12



 





 





 



Ta có phương trình mặt phẳng ( )

BC là: 1

41612

xy z



.

Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ .Oxyz Viết phương trình mặt phẳng





đi qua điểm

(1; 2; 3)M và cắt các trục , ,Ox Oy Oz lần lượt tại ba điểm , ,

BC khác với gốc tọa độ

sao cho biểu

thức

22 2

111

OA OB OC



có giá trị nhỏ nhất.

(): 2 14 0Px yz

. B.

(): 2 3 14 0Px y z





(): 2 3 11 0Px y z. D. (): 3 14 0Pxy z



.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Gọi H là trực tâm

BC

Ta có



() 1.

BH AC

AC OBH AC OH

OB AC





 







Chứng minh tương tự, ta có:

COH





2 .

Từ (1), (2) ta có ( )OH ABC .

Suy ra

22 2 2

111 1

OA OB OC OH

  .

Vậy để biểu thức

22 2

111

OA OB OC



đạt giá trị nhỏ nhất thì

đạt giá trị lớn nhất. Mà

OH OM



nên

đạt giá lớn nhất bằng

hay

.HM



Khi đó ( )OM ABC nên ( )

có một vectơ pháp tuyến là (1;2;3)OM 





Phương trình mặt phẳng ( )

là

1( 1) 2( 2) 3( 3) 0 2 3 14 0xyz xyz   .

Bài tập 4: Trong không gian ,Oxyz có bao nhiêu mặt phẳng qua điểm





4; 4;1M 

và chắn trên ba trục

tọa độ ,,Ox Oy Oz theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi ( ; 0;0), (0; ; 0), (0; 0; )

aBbCc với 0abc



là giao điểm của mặt phẳng ()

và các trục toạ độ. Khi

đó

()

có phương trình là

abc



Theo giả thiết ta có:

441

8, 4, 2

()

8, 4, 2

|| || ||

16, 8, 4

abc

ab c

OC OB OA

cba

ab c



































 







Vậy có ba mặt phẳng thỏa mãn.

Bài tập 5: Trong không gian với hệ toạ độ ,Oxyz cho các điểm



 

1; 0; 0 , 0;1;0 .AB

Mặt phẳng

0xaybzc đi qua các điểm ,

B đồng thời cắt tia Oz tại C sao cho tứ diện OABC có thể tích

bằng

Giá trị của

32abc là

A. 16. B. 1. C. 10. D. 6.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Mặt phẳng đi qua các điểm ,

B đồng thời cắt tia Oz tại





0;0;Ct

với 0t  có phương trình là

xyz

.

Mặt khác:

OABC

V  OA.OB.OC



.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng

110

111

xyz



.

Vậy 1, 1ab c .

Suy ra

3213.126abc .

Dạng 4. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

1. Phương pháp

Cho hai mặt phẳng:

(): 0PAxByCzD

;





:0PAxByCzD



.

i đ

ó:



()

cắt





:: : :.PABCABC









()//

BC D

BCD











()

BCD













 

() ()

() 0

PP n n nn





 

 

0.AA BB CC





Chú ý:

 Nếu

0A 

thì tương ứng





 Nếu

0B  thì tương ứng 0B



 .

 Nếu

0C  thì tương ứng 0C



 .

Ví dụ: Trong không gian với hệ trục toạ độ ,Oxyz cho hai mặt phẳng ( ) : 2 1 0xyz



và

():2 4 2 0xymz



Tìm

m để



 và





 song song với nhau.

Hướng dẫn giải

Ta có

12 1 1

()//()

24 2m



 





(vô lý vì

24 2

12 1







Vậy không tồn tại

để hai mặt phẳng













song song với nhau.

2. Bài tập

Bài tập 1:

Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho mặt phẳng





có phương trình

(1) 100mx m y z và mặt phẳng ():2 2 3 0Qxyz



.

Với giá trị nào của

m thì

()

và

()Q

vuông góc với nhau?

A. 2m  . B. 2m  . C. 1m



. D. 1m  .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

(): ( 1) 10 0Pmx m yz  có vectơ pháp tuyến

(; 1;1)nmm







():2 2 3 0Qxyz 

có vectơ pháp tuyến

(2;1; 2)n









() () 0 2 12 0 1PQnn mm m



Dạng 5. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

1. Phương pháp

Cho mặt phẳng ( ) : 0Ax By Cz D



và mặt cầu tâm ;I bán kính .

 ()



và ( )S không có điểm chung ( ,( ))dI R









()



tiếp xúc với () (,()) .SdI R



Khi đó ()



là tiếp diện.



()



và ()S cắt nhau (;( ))dI R



Khi đó





có tâm là hình chiếu của

trên







và bán kính

(;( ))rRdI



2. Bài tập

Bài tập 1:

Trong không gian ,Oxyz cho mặt cầu

222

(): 6 4 12 0Sx y z x y



 .

Mặt phẳng nào cắt





S theo một đường tròn có bán kính 3?r



A. 43 4260xyz . B. 22 120xyz



 .

345172020xyz . D. 30xyz



 .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Phương trình mặt cầu



S là

222

6 4 12 0.xyz xy

Suy ra tâm





3; 2; 0I 

và bán kính



Ta gọi khoảng cách từ tâm

I của mặt cầu tới các mặt phẳng ở các đáp án là h, khi đó để mặt phẳng cắt

mặt cầu





S theo một đường tròn có bán kính 3r



thì

25 9 4hRr



 .

Đáp án

A loại vì

|18 4 26 |





Đáp án

B loại vì

h .

Chọn đáp án

C vì 4h  .

Đáp án

D loại vì



.

Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ

,Oxyz

cho điểm





1; 2; 2I



và mặt phẳng

():2 2 5 0.Pxyz Phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng ()

theo giao tuyến là một đường

tròn có diện tích bằng

16 là

222

(2)(2)(1)36xyz.

222

(1)( 2)(2)9xy z  .

222

(1)( 2)(2)25xy z  .

222

(1)( 2)(2)16xy z  .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có

222

|2.1 2.2 2 5|

(;( )) 3

221

adIP



 



Bán kính của đường tròn giao tuyến là:

16 4







Mặt cầu tâm

cắt mặt phẳng





theo giao tuyến là một đường tròn nên ta có

222

916 25 5Rar R.

Vậy phương trình mặt cầu tâm I , bán kính



là:

222

(1)( 2)(2) 25xy z  .

Bài tập 3: Trong không gian ,Oxyz cho mặt cầu





S có phương trình

222

24620xyz xyz



 

và mặt phẳng

():4 3 12 10 0.xy z 



Tìm phương trình mặt phẳng







thỏa mãn đồng thời các điều

kiện: tiếp xúc với





S ; song song với ( )



và cắt trục

ở điểm có cao độ dương.

A. 4 3 12 78 0xy z . B. 4 3 12 26 0xy z



.

4 3 12 78 0xy z . D. 4312260xy z



.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Mặt cầu ()S có tâm (1; 2; 3),I bán kính

222

12324R



.

Vì ( ) / /( )





nên phương trình ( )



có dạng: 4 3 12 0, 10xy zd d



 .

Vì

()



tiếp xúc mặt cầu

()S

nên

(,( ))

22 2

| 4.1 3.2 12.3 |

4| 26|52

4 3 ( 12)

dR d







 

   











()



cắt trục Oz ở điểm có cao độ dương nên chọn 78d



Vậy phương trình mặt phẳng

():4 3 12 78 0xy z







Dạng 6. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

1. Phương pháp

Khoảng cách từ điểm





0000

;;

xyz

đến mặt phẳng





:0Ax By Cz D





là



000

222

xByCzD

ABC







2. Bài tập

Bài tập 1:

Trong không gian ,Oxyz khoảng cách giữa hai mặt phẳng





:22100Px y z

và



:2230Qx y z

bằng

B. 3. C.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Vì









Q nên





















,,dP Q dAQ với





P

Chọn



0;0;5

P thì



222

02.02.53

122

dAQ







Chú ý:

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng

này đến mặt phẳng kia.

Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.

Bài tập 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ

,Oxyz

cho









1; 2;3 , 3; 4; 4 .AB

Tìm tất cả các giá trị của

tham số

m sao cho khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng





:2 1 0Pxymz



 bằng độ dài đoạn

thẳng

A. 2.m  B. 2.m  C. 3.m



 D. 2.m 

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có

 

222

2; 2;1 2 2 1 3 1 .AB AB

υυυρ

Khoảng cách từ

đến mặt phẳng





là

22 2 2

|2.1 2 3 1| |3 3|

(,())

21 5

dA P

  



 

(2).

Vì



|3 3|

(,()) 3 95 9( 1) 2

AB d A P m m m







Bài tập 3: Trong không gian

,Oxyz

cho tứ diện

BCD với





1; 2;1 ,A 





2;1;3 ,B 

(3;2;2), (1;1;1)CD

. Độ dài chiều cao

của tứ diện bằng

314

414

314

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có (1; 1;2), (2;0;1) [ ; ] ( 1;3;2)AB AC AB AC   

  

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

()

Vậy phương trình mặt phẳng

()

là

1( 1) 3( 2) 2( 1) 0 3 2 7 0xy z xyz  .

Độ dài chiều cao DH của tứ diện

BCD

là khoảng cách từ D đến ( )

BC .

Suy ra

222

| 1.1 3.1 2.1 7 | 3 14

(,( ))

(1) 3 2

DH d D ABC

  

 



Bài tập 4: Trong không gian tọa độ

,Oxyz

cho điểm





;;

abc

với

,, 0.abc



Xét





là mặt phẳng thay

đổi đi qua điểm

. Khoảng cách lớn nhất từ điểm O đến mặt phẳng ()

bằng

222

abc. B.

222

2 abc. C.

222

3 abc



 . D.

222

4 abc.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi

là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng





Khi đó

222

(,())dOP OHOA abc.

Dạng 7. Góc giữa hai mặt phẳng

1. Phương pháp

Cho hai mặt phẳng



, có phương trình:







11 1 1

22 22

:0.

Ax By Cz D





Góc giữa



,

bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ pháp tuyến

,.nn

ρυυρ



•





cos ,



υρ υυρ

12 12 12

222222

111 222

AA BB CC

BC ABC





 

Chú ý:



•





0,90.

 

2. Bài tập

Bổ

sung

Dạng 8. Một số bài toán cực trị

Bài tập 1: Trong không gian ,Oxyz cho ba điểm













1;1; 1 , 1; 2; 0 , 3; 1; 2AB C và

là điểm thuộc

mặt phẳng





:2 2 7 0.xy z

Tính giá trị nhỏ nhất của

357.

MA MB MC

υυυρ υυυρ υυυυρ

min

20.P  B.

min

5.P  C.

min

25.P



min

27.P 

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi điểm





;;Ixyz sao cho 357 0.IA IB IC 

υυρυυρυυρρ

Khi đó













  



31 5 1 7 3 0

31 5 2 7 1 0 20 23;20; 11.

31 50 7 2 0

xxx

yy y y I

zzz

 







    







  



Xét













357 3 5 7 .

MA MB MC MI IA MI IB MI IC    

υυυρ υυυρ υυυυρ υυυρυυρυυυρυυρ υυυρυυρ





357 .

IIAIBICMIMI   

υυυρυυρυυρυυρ υυυρ

min

khi

I ngắn nhất hay

là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng





.

Khi đó:













min

2. 23 20 2. 11 7

, 27.

212

PdI



 

 

Bài tập 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ ,Oxyz cho hai điểm









3;5; 5 , 5; 3; 7AB  và mặt

phẳng

(): 0.Pxyz Tìm toạ độ điểm

trên mặt phẳng ()

sao cho

AMB

lớn nhất.

A. ( 2;1;1)M  . B. (2; 1;1)M  . C. (6; 18;12)M



. D. (6;18;12)M  .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi I thỏa mãn

20.IA IB





Khi đó

2( ) 0 2 (13; 11;19).IO OA IO OB OI OB OA I    

     



Ta có



















22 2 2

22 22 2

22 2 2.

AMBMAMBMIIAMIIBMIIAIB  



   

AMB

lớn nhất khi

nhỏ nhất. Khi đó

là hình chiếu vuông góc của

lên

()

Ta tìm được

(6; 18;12)M 

Bài tập 3: Trong không gian ,Oxyz cho các điểm ( ;0; 0), (0; ; 0), (0; 0; )

mNnPp không trùng với gốc

tọa độ và thỏa mãn

22 2

3mn p . Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng





NP bằng

B. 3. C.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Do , ,

NP không trùng với gốc tọa độ nên 0, 0, 0mn p



.

Phương trình mặt phẳng ( )

NP là:

111

110

xyz

mn p m n p



   .

Suy ra

22 2

(,( ))

111

dO MNP

mn p





Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương

22 2

,,mn p và ba số dương

ta có:

22 2 222

3mn p mnp  và

22 2 222

111 1

mn p mnp

  .

Suy ra



22 2

111

9mn p

mn p



   







22 2

111

39do 3mn p

mn p



      





22 2 22 2

22 2

111 111 1 1

111 3

mn p mn p

mn p

  



Vậy

(,( )) .

dO MNP  Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

22 2

1mn p



.

Vậy giá trị lớn nhất của khoảng cách từ

O đến mặt phẳng





là

Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ

,Oxyz

cho mặt phẳng

(): 2 2 3 0Px y z





và mặt cầu

222

(): 2 4 2 5 0.Sx y z x y z

Giả sử

()



và

()NS



sao cho





cùng phương với vectơ

(1; 0;1)u 



và khoảng cách giữa

và N lớn nhất. Tính .

3MN 

. B.

122MN 

. C.

32MN 

. D.

14MN 

Hướng dẫn giải

Chọn C.



S có tâm

(1;2;1)I 

và bán kính



Ta có:

222

|12.2 2.13|

(,( )) 2

122

dI P R

  





Gọi H là hình chiếu vuông góc của

N trên mặt phẳng





và



là góc giữa

N và .NH

Vì

υυυυρ

cùng phương với



nên góc



có số đo không đổi.

NH

vuông tại H có

•

HNM nên

.cos .

cos

HN MN MN HN



Do đó

N lớn nhất  HN lớn nhất (,( )) 3.HN d I P R





Có

cos cos( , )

un







nên

cos

MN HN



Bài tập 5: Trong không gian với hệ toạ độ

,Oxyz

gọi





:30Paxbycz



 (với

,,abc

là các số

nguyên không đồng thời bằng 0) là mặt phẳng đi qua hai điểm









0; 1; 2 , 1;1; 3MN và không đi qua

điểm

(0;0;2).H

Biết rằng khoảng cách từ

đến mặt phẳng

()

đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của tổng

2312Ta b c  

bằng

A. 16 . B. 8. C. 12. D. 16.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi

là hình chiếu của H lên ( ),

E là hình chiếu của H lên .

Ta có

(;())dH P HK và (; ) ,d H MN HE HK HE



 (không đổi).

Vậy ( ;( ))dH P lớn nhất khi ,

E với E là hình chiếu của H lên

Suy ra

117

;;

333









Vậy mặt phẳng ( )

cần tìm là mặt phẳng nhận

111

;;

333



 









làm vectơ pháp tuyến và đi qua

có phương tr

nh là

30xyz  .

Suy ra

















Vậy 16T  .

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/19

| | Tải xuống

Preview text:

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phương trình mặt phẳng Vectơ pháp tuyến ρ ρ ρ
Vectơ n  0 là vectơ pháp tuyến của  nếu giá của n vuông góc với .
Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ρ ρ
Hai vectơ a,b không cùng phương là cặp vectơ chỉ phương của  nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên . Chú ý: ρ ρ
 Nếu n là một vectơ pháp tuyến của  thì knk  0 cũng là vectơ pháp tuyến của . ρ ρ ρ ρ ρ  Nếu ,
a b là một cặp vectơ chỉ phương của  thì n  a,b 
 là một vectơ pháp tuyến của .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Ax  By  Cz  D  0 với 2 2 2
A  B  C  0 .  
Nếu ( ) có phương trình Ax  By  Cz  D  0 thì n  ( ; A ;
B C) là một vectơ pháp tuyến của ( ) .  
Phương trình mặt phẳng đi qua M x ; y ; z và có một vectơ pháp tuyến ( n  ; A ; B C) là: 0  0 0 0 
A x  x  B y  y  C z  z  0 . 0   0   0 
Các trường hợp đặc biệt Các hệ số
Phương trình mặt phẳng  Tính chất mặt phẳng  D  0 .
Ax  By  Cz  0
 đi qua gốc tọa độ O A  0
By  Cz  D  0
 / / Ox hoặc   Ox B  0
Ax  Cz  D  0
 / /Oy hoặc   Oy C  0
Ax  By  D  0
 / /Oz hoặc   Oz A  B  0 Cz  D  0
 / /Oxy hoặc
  Oxy A  C  0 By  D  0
 / /Oxz hoặc
  Oxz B  C  0 Ax  D  0
 / /Oyz hoặc   Oyz
Nếu ( ) cắt các trục toạ độ tại các điểm ( ; a 0;0),(0; ;
b 0),(0;0;c) với abc  0 thì ta có phương trình mặt x y z
phẳng theo đoạn chắn ( ) :    1. a b c
Chú ý: Nếu trong phương trình ( ) không chứa ẩn nào thì ( ) song song hoặc chứa trục tương ứng.
2. Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho điểm A x ; y ; z và mặt phẳng A A A 
( ) : Ax  By  Cz  D  0 .
Khi đó khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng () được tính theo công thức:
Ax  By  Cz  D d( , A ( )) A A A  2 2 2
A  B  C
3. Vị trí tương đối
Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
( ) : A x  B y  C z  D  0; ( ) : A x  B y  C z  D  0 1 1 1 1 2 2 2 2 A B C D +) 1 1 1 1 ( )  ( )     . A B C D 2 2 2 2 A B C D +) 1 1 1 1 ( ) / /( )     . A B C D 2 2 2 2 A B B C +) 1 1 ( )  ( )   hoặc 1 1  . A B B C 2 2 2 2
+) ( )  ( )  A A  B B  C C  0 . 1 2 1 2 1 2
Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng và mặt cầu
( ) : Ax  By  Cz  D  0 ; 2 2 2 2
(S) : (x  a)  ( y  b)  (z  c)  R .
Để xét vị trí của ( ) và (S) ta làm như sau:
+) Nếu d I,   R thì () không cắt (S) .
+) Nếu d I,  R thì  tiếp xúc S  tại H. Khi đó H được gọi là
tiếp điểm đồng thời H là hình chiếu vuông góc của I lên  và 
được gọi là tiếp diện.
+) Nếu d I,  R thì  cắt S  theo đường tròn có phương trình
 x  a  y b  z c2 2 2 2 ( ) ( )  R
(C) : AxByCzD0.
Bán kính của C là 2 2
r  R  d [I,( )] .
Tâm J của (C) là hình chiếu vuông góc của I trên  .
4. Góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
( ) : A x  B y  C z  D  0 và ( ) : A x  B y  C z  D  0 . 1 1 1 1 2 2 2 2  
Góc giữa () và ( ) bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ pháp tuyến , n n .   Tức là     n n  
A A  B B  C C cos ,   1 2 1 2 1 2
 cos n , n     . 2 2 2 2 2 2 n  n  
A  B  C  A  B  C 1 1 1 2 2 2 Chùm mặt phẳng
 Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng ()
và ( ) được gọi là một chùm mặt phẳng.
 Gọi d  là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) : A x  B y  C z  D  0 1 1 1 1
( ) : A x  B y  C z  D  0 2 2 2 2
Khi đó nếu P là mặt phẳng chứa d  thì mặt phẳng P có dạng
m  A x  B y  C z  D  n A x  B y  C z  D  0 với 2 2 m  n  0 1 1 1 1   2 2 2 2 
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng 1. Phương pháp ρ
1. Mặt phẳng  đi qua điểm M  x ; y ; z có vectơ pháp tuyến n   ; A ; B C  là 0 0 0 
A x  x  B y  y  C z  z  0. 0   0   0    2.
Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M  x ; y ; z có cặp vectơ chỉ phương , a b. Khi 0 0 0    
đó một vectơ pháp tuyến của ( ) là n  [a,b]. 2. Bài tập
Bài tập 1: Cho mặt phẳng Q : x  y  2z  2  0. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt
phẳng Q, đồng thời cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M , N sao cho MN  2 2 .
A. (P) : x  y  2z  2  0 .
B. (P) : x  y  2z  0 .
C. (P) : x  y  2z  2  0.
D. (P) : x  y  2z  2  0 .
Hướng dẫn giải Chọn A.
(P) / /(Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng x  y  2z  D  0 (D  2  ).
Khi đó mặt phẳng (P) cắt các trục ,
Ox Oy lần lượt tại các điểm ( M  ; D 0;0) , ( N 0; ; D 0) . Từ giả thiết: 2
MN  2 2  2D  2 2  D  2 (do 2) D   .
Vậy phương trình mặt phẳng (P) : x  y  2z  2  0 .
Chú ý: Mặt phẳng  đi qua điểm M  x ; y ; z và song song với mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 0 0 0 
thì  có phương trình là
A x  x  B y  y  C z  z  0 0   0   0 
Bài tập 2: Cho điểm (
M 1;2;5). Mặt phẳng (P) đi qua điểm M cắt trục tọa độ Ox,Oy,Oz tại , A B,C
sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là x y z x y z
A. x  y  z  8  0 . B. x  2y  5z  30  0 . C.    0 . D.   1. 5 2 1 5 2 1
Hướng dẫn giải Chọn B. OA  BC 
Ta có OA  (OBC) 
  BC  (OAM )  BC  OM (1) AM  BC
Tương tự AB  OM (2) .
Từ (1) và (2) suy ra OM  (ABC) hay OM  (P) . 
Suy ra OM  (1;2;5) là vectơ pháp tuyến của (P) .
Vậy phương trình mặt phẳng P là
x 1 2 y  2  5 z  5  0  x  2y  5z  30  0.
Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có đỉnh ( A 8; 14  ; 10); 
AD, AB, AC lần lượt song song với , Ox Oy,Oz.
Phương trình mặt phẳng BCD đi qua H (7; 1  6; 1
 5) là trực tâm BC 
D có phương trình là
A. x  2y  5z 100  0 .
B. x  2y  5z 100  0 . x y z x y z C.    0 . D.   1. 7 1  6 1  5 7 1  6 1  5
Hướng dẫn giải Chọn B. 
Theo đề ra, ta có (BCD) đi qua H (7; 1  6; 1
 5), nhận HA  (1;2;5) là vectơ pháp tuyến. Phương trình
mặt phẳng BCD là
(x  7)  2( y 16)  5(z 15)  0
 x  2y  5z 100  0.
Vậy (BCD) : x  2y  5z 100  0 .
Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình của các mặt phẳng song song với mặt
phẳng ( ) : x  y  z  3  0 và cách ( ) một khoảng bằng 3 .
A. x  y  z  6  0; x  y  z  0 .
B. x  y  z  6  0 .
C. x  y  z  6  0; x  y  z  0 .
D. x  y  z  6  0; x  y  z  0 .
Hướng dẫn giải Chọn A.
Gọi ( ) là mặt phẳng cần tìm. Ta có ( A 0;0;3)  ( ) .
Do ( ) / /( ) nên phương trình của mặt phẳng ( ) có dạng:
x  y  z  m  0 với m  3 . | m  3 |
Ta có d(( ),( ))  3  d( , A ( ))  3   3 . 3 m  6 |
 m  3| 3   (thỏa mãn). m  0
Vậy phương trình của các mặt phẳng cần tìm là
x  y  z  6  0 và x  y  z  0 .
Bài tập 5: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
(P) : x  3z  2  0,(Q) : x  3z  4  0 .
Mặt phẳng song song và cách đều (P) và (Q) có phương trình là:
A. x  3z 1  0 .
B. x  3z  2  0 .
C. x  3z  6  0 .
D. x  3z  6  0 .
Hướng dẫn giải Chọn A. Điểm M ( ;
x y; z) bất kỳ cách đều (P) và (Q)  d(M ;(P))  d(M ;(Q))
| x  3z  2 | | x  3z  4 |
x  3z  2  x  3z  4     1 9 1 9
x  3z  2  x  3z  4 2  4  
 x  3z 1  0. 
x  3z 1  0
Vậy M thuộc ( ) : x  3z 1  0. Nhận thấy () song song với (P) và (Q) .
Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;2; 
1 , B 3;4;0 và mặt phẳng
(P) : ax  by  cz  46  0 . Biết rằng khoảng cách từ ,
A B đến mặt phẳng (P) lần lượt bằng 6 và 3. Giá trị
của biểu thức T  a  b  c bằng A. 3. B. 6. C. 3. D. 6.
Hướng dẫn giải
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của ,
A B trên mặt phẳng (P) .
Theo giả thiết, ta có: AB  3, AH  6, BK  3. Do đó ,
A B ở cùng phía với mặt phẳng (P) .
Lại có: AB  BK  AK  AH. Mà AB  BK  AH nên H  K . Suy ra ,
A B, H là ba điểm thẳng hàng và B là trung điểm của AH nên tọa độ H (5;6; 1  ) . 
Vậy mặt phẳng (P) đi qua H (5;6; 1  ) và nhận ( AB  2; 2; 1
 ) là vectơ pháp tuyến nên có phương
trình là 2(x  5)  2( y  6) 1(z 1)  0  2x  2y  z  23  0
Theo bài ra, ta có (P) : 4
 x  4y  2z  46  0 nên a  4,  b  4,  c  2 .
Vậy T  a  b  c  6  .
Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu 1. Phương pháp
Viết phương trình mặt phẳng  tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H.
Giả sử mặt cầu S  có tâm I và bán kính R, khi đó ta viết được phương trình mặt phẳng () đi qua H  
và có một vectơ pháp tuyến là n  IH . 2. Bài tập
Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S  có phương trình 2 2 2
(x 1)  ( y  2)  (z  3)  12 và mặt phẳng (P) : 2x  2 y  z  3  0. Viết phương trình mặt phẳng song
song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh là tâm mặt cầu và
đáy là hình tròn (C) có thể tích lớn nhất.
A. 2x  2y  z  2  0 hoặc 2x  2y  z  8  0 .
B. 2x  2y  z 1  0 hoặc 2x  2y  z 11  0 .
C. 2x  2y  z  6  0 hoặc 2x  2y  z  3  0 .
D. 2x  2y  z  2  0 hoặc 2x  2y  z  2  0 .
Hướng dẫn giải Chọn B
Ta có ( ) / /(P) nên ( ) : 2x  2y  z  d  0 (d  3  ).
Mặt cầu S  có tâm I(1; 2
 ;3), bán kính R  2 3 .
Gọi H  là khối nón thỏa mãn đề bài với đường sinh IM  R  2 3. Đặt (
x  h  d I, ( )). Khi đó bán kính đường tròn đáy hình nón là 2
r  12  x . 1
Thể tích khối nón là V  
 x x với 0  x  2 3 . H  2 12 ( )  3 1
Xét hàm số: f (x)    2
12  x  x với 0  x  2 3 . 3
Khi đó f (x) đạt giá trị lớn nhất tại x  2 hay d(I,( ))  2 . | 2.1 2( 2  )  3  d | d  5  6 d 11
Ta có d(I,( ))  2   2     . 2 2 2 2  2  ( 1  ) d  5  6   d  1  .
Chú ý: Công thức tính thể tích hình nón: 1 1
V  hS  .2 . R h 3 3
Trong đó R là bán kính đáy, h là chiều cao.
Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): 2 2 2
x  y  (z 1)  4 và điểm (
A 2; 2; 2). Từ A kẻ
ba tiếp tuyến AB, AC, AD với mặt cầu (B,C, D là các tiếp điểm). Phương trình mặt phẳng BCD là
A. 2x  2y  z 1  0 .
B. 2x  2y  z  3  0 .
C. 2x  2y  z 1  0 .
D. 2x  2y  z  5  0 .
Hướng dẫn giải Chọn D.
Ta có mặt cầu S  có tâm I (0;0;1) và bán kính R  2 .
Do AB, AC, AD là ba tiếp tuyến của mặt cầu (S) với B,C, D là các tiếp điểm nên
AB  AC  AD 
 IA là trục của đường tròn ngoại tiếp B . CD
IB  IC  ID  R
 IA  (BCD) .  
Khi đó mặt phẳng BCD có một vectơ pháp tuyến (
n  IA  2; 2;1) .
Gọi J là tâm của đường tròn ngoại tiếp BCD 
 J  IA và IJ  BJ. Ta có IBA 
vuông tại B và BJ  IA nên 2   2 IB 4 4
IB  IJ.IA  IJ 
  IJ  IA . IA 3 9   Đặt J ( ;
x y; z). Ta có IJ  ( ;
x y; z 1); IA  (2; 2;1) .  4   8 8 13 
Từ IJ  IA suy ra J ; ;   . 9  9 9 9   8 8 13  
Mặt phẳng (BCD) đi qua J ; ; 
 và nhận vectơ pháp tuyến n  (2;2;1) có phương trình:  9 9 9   8   8   13  2 x   2 y   z 
 0  2x  2y  z  5  0       .  9   9   9 
Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S  : 2 2 2
(x 1)  ( y 1)  (z 1)  12 và mặt phẳng
(P) : x  2y  2z 11  0. Xét điểm M di động trên (P) và các điểm ,
A B,C phân biệt di động trên S 
sao cho AM , BM ,CM là các tiếp tuyến của S . Mặt phẳng  ABC luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây?  1 1 1   3  A. ; ;    . B. (0; 1  ;3) . C. ;0;2   . D. 0;3;  1  .  4 2 2   2 
Hướng dẫn giải Chọn D.
Mặt cầu S  có tâm I (1;1;1) và bán kính R  2 3 . Xét điểm M ( ; a ; b c)  (P); ( A ;
x y; z)  (S) nên ta có hệ điều kiện: 2 2 2
(x 1)  (y 1)  (z 1) 12  2 2 2
AI  AM  IM
a  2b  2c 11 0  2 2 2
(x 1)  (y 1)  (z 1) 12 (1)  2 2 2 2 2 2  12
  (x  a)  (y  b)  (z  c)  (a 1)  (b 1)  (c 1) (2)
a  2b  2c 11 0 (3)  Lấy (1)  (2) ta có: 2 2 2 2 2 2
(x 1)  ( y 1)  (z 1)  1
 2  (x  a)  (y  b)  (z  c)    2 2 2
 12  (a 1)  (b 1)  (c 1)   
 (a 1)x  (b 1)y  (c 1)z  a  b  c  9  0
Vậy mặt phẳng đi qua ba tiếp điểm là:
(Q) : (a 1)x  (b 1) y  (c 1)z  a  b  c  9  0
Kết hợp với (3) suy ra mặt phẳng này luôn đi qua điểm cố định (0;3;-1).
Dạng 3. Phương trình mặt phẳng đoạn chắn 1. Phương pháp
Phương trình mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm ( A ; a 0;0), B(0; ;
b 0) và C(0;0;c) với abc  0 là: x y z   1. a b c 2. Bài tập
Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm (
M 3;0;0), N (2;2; 2) . Mặt phẳng (P)
thay đổi qua M , N cắt các trục Oy,Oz lần lượt tại B(0; ;
b 0),C(0;0;c) với ,
b c  0. Hệ thức nào dưới đây là đúng? 1 1 1
A. b  c  6 .
B. bc  3(b  c) .
C. bc  b  c . D.   . b c 6
Hướng dẫn giải Chọn D.
Mặt phẳng (P) đi qua M (3;0;0), B(0; ;
b 0),C(0;0;c) với ,
b c  0 nên phương trình mặt phẳng (P) x y z
theo đoạn chắn là:    1 3 b c 2 2 2 1 1 1
Mặt phẳng (P) đi qua N (2;2;2) suy ra    1    . 3 b c b c 6
Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm G 1;4;3. Phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ
Ox,Oy,Oz lần lượt tại ,
A B,C sao cho G là trọng tâm tứ diện OABC là x y z x y z A.   1. B.   1. 3 12 9 4 16 12
C. 3x 12y  9z  78  0 .
D. 4x 16y 12z 104  0 .
Hướng dẫn giải Chọn B. Giả sử (
A a,0, 0); B(0, ,
b 0);C(0;0;c) . 
x  x  x  x A B C D x   G 4  
y  y  y  y
G(1;4;3) là trọng tâm tứ diện A B C D
OABC  y  G 4  
z  z  z  z A B C D x   G  4
0  a  0  0  4.1 a  4  
 0  0  b  0  4.4  b   16 . 0 0 0 c 4.3      c  12   x y z
Ta có phương trình mặt phẳng (ABC) là:   1. 4 16 12
Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ .
Oxyz Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm
M (1;2;3) và cắt các trục ,
Ox Oy,Oz lần lượt tại ba điểm ,
A B,C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu 1 1 1 thức   có giá trị nhỏ nhất. 2 2 2 OA OB OC
A. (P) : x  2y  z 14  0 .
B. (P) : x  2y  3z 14  0 .
C. (P) : x  2y  3z 11  0 .
D. (P) : x  y  3z 14  0 .
Hướng dẫn giải Chọn B.
Gọi H là trực tâm ABC. BH  AC Ta có 
 AC  (OBH )  AC  OH   1 . OB   AC
Chứng minh tương tự, ta có: BC  OH 2 .
Từ (1), (2) ta có OH  (ABC) . 1 1 1 1 Suy ra    . 2 2 2 2 OA OB OC OH 1 1 1 Vậy để biểu thức  
đạt giá trị nhỏ nhất thì OH đạt giá trị lớn nhất. Mà OH  OM 2 2 2 OA OB OC
nên OH đạt giá lớn nhất bằng OM hay H  M .  Khi đó (
OM  ABC) nên (P) có một vectơ pháp tuyến là OM  (1;2;3) .
Phương trình mặt phẳng (P) là
1(x 1)  2( y  2)  3(z  3)  0  x  2y  3z 14  0 .
Bài tập 4: Trong không gian Oxyz, có bao nhiêu mặt phẳng qua điểm M 4; 4;   1 và chắn trên ba trục 1
tọa độ Ox,Oy,Oz theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng ? 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi ( A ; a 0;0), B(0; ;
b 0),C(0;0;c) với abc  0 là giao điểm của mặt phẳng (P) và các trục toạ độ. Khi x y z
đó (P) có phương trình là    1. a b c Theo giả thiết ta có:   4 4 1 M  (P)   1 a  8,  b  4  ,c  2    a b c   1 1  
 a  8,b  4  ,c  2  OC OB OA 1 1     2 4 |
 c | | b | | a |
a 16,b  8  ,c  4   2 4  
Vậy có ba mặt phẳng thỏa mãn.
Bài tập 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A1;0;0, B0;1;0. Mặt phẳng
x  ay  bz  c  0 đi qua các điểm ,
A B đồng thời cắt tia Oz tại C sao cho tứ diện OABC có thể tích 1
bằng . Giá trị của a  3b  2c là 6 A. 16. B. 1. C. 10. D. 6.
Hướng dẫn giải Chọn D.
Mặt phẳng đi qua các điểm ,
A B đồng thời cắt tia Oz tại C 0;0;t với t  0 có phương trình là x y z   1. 1 1 t 1 1 1 Mặt khác: V
  . OA.OB.OC   t  1. OABC 6 6 6 x y z
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng    1  x  y  z 1  0 . 1 1 1 Vậy 1
a  b  ,c  1  .
Suy ra a  3b  2c  1 3.1 2  6 .
Dạng 4. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng 1. Phương pháp Cho hai mặt phẳng:
(P) : Ax  By  Cz  D  0 ;
P: Ax  B y C z  D  0 . Khi đó:
 (P) cắt P  A: B :C  A: B:C .  A B C D
(P) / / P     . A B C D  A B C D
(P)  P     . A B C D     
(P)   P  n  n  n n  0 . (P) P (P) P
 AA  BB  CC  0. Chú ý:
 Nếu A  0 thì tương ứng A  0 .
 Nếu B  0 thì tương ứng B  0 .
 Nếu C  0 thì tương ứng C  0 .
Ví dụ: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : x  2y  z 1  0 và
( ) : 2x  4y  mz  2  0 .
Tìm m để  và  song song với nhau.
Hướng dẫn giải 1 2 1  1  Ta có ( ) / /( )     2 4 m 2  2 4 2 (vô lý vì   ). 1 2 1 
Vậy không tồn tại m để hai mặt phẳng , song song với nhau. 2. Bài tập
Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P có phương trình
mx  (m 1) y  z 10  0 và mặt phẳng (Q) : 2x  y  2z  3  0 .
Với giá trị nào của m thì (P) và (Q) vuông góc với nhau? A. m  2  . B. m  2 . C. m  1. D. m  1  .
Hướng dẫn giải Chọn C. 
(P) : mx  (m 1) y  z 10  0 có vectơ pháp tuyến n  ( ; m m 1;1) . 1 
(Q) : 2x  y  2z  3  0 có vectơ pháp tuyến n  (2;1; 2  ) . 2  
(P)  (Q)  n  n  0  2m  m 1 2  0  m  1. 1 2
Dạng 5. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng 1. Phương pháp
Cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 và mặt cầu tâm I; bán kính . R
 () và (S) không có điểm chung  d(I,())  R .
 () tiếp xúc với (S)  d(I,())  .
R Khi đó () là tiếp diện.
 () và (S) cắt nhau  d(I;())  R .
Khi đó O có tâm là hình chiếu của I trên  và bán kính 2 2
r  R  d (I;( )) . 2. Bài tập
Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2
(S) : x  y  z  6x  4y 12  0 .
Mặt phẳng nào cắt S  theo một đường tròn có bán kính r  3?
A. 4x  3y  z  4 26  0 .
B. 2x  2y  z 12  0 .
C. 3x  4y  5z 17  20 2  0 .
D. x  y  z  3  0 .
Hướng dẫn giải Chọn C.
Phương trình mặt cầu S  là 2 2 2
x  y  z  6x  4y 12  0. Suy ra tâm I 3; 2
 ;0 và bán kính R  5.
Ta gọi khoảng cách từ tâm I của mặt cầu tới các mặt phẳng ở các đáp án là h, khi đó để mặt phẳng cắt
mặt cầu S  theo một đường tròn có bán kính r  3 thì 2 2
h  R  r  25  9  4 . |18  4 26 |
Đáp án A loại vì h   4 . 26 14
Đáp án B loại vì h   4 . 3
Chọn đáp án C vì h  4 . 1 3
Đáp án D loại vì h   4 . 3
Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 1;2; 2   và mặt phẳng
(P) : 2x  2y  z  5  0. Phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường
tròn có diện tích bằng 16 là A. 2 2 2
(x  2)  ( y  2)  (z 1)  36 . B. 2 2 2
(x 1)  ( y  2)  (z  2)  9 . C. 2 2 2
(x 1)  ( y  2)  (z  2)  25 . D. 2 2 2
(x 1)  ( y  2)  (z  2)  16 .
Hướng dẫn giải Chọn C. | 2.1 2.2  2  5 |
Ta có a  d(I;(P))   3 . 2 2 2 2  2 1 S
Bán kính của đường tròn giao tuyến là: r   16  4 . 
Mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng P theo giao tuyến là một đường tròn nên ta có 2 2 2
R  a  r  9 16  25  R  5 .
Vậy phương trình mặt cầu tâm I , bán kính R  5 là: 2 2 2
(x 1)  ( y  2)  (z  2)  25.
Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S  có phương trình 2 2 2
x  y  z  2x  4 y  6z  2  0
và mặt phẳng ( ) : 4x  3y 12z 10  0. Tìm phương trình mặt phẳng  thỏa mãn đồng thời các điều
kiện: tiếp xúc với S  ; song song với () và cắt trục Oz ở điểm có cao độ dương.
A. 4x  3y 12z  78  0 .
B. 4x  3y 12z  26  0 .
C. 4x  3y 12z  78  0 .
D. 4x  3y 12z  26  0 .
Hướng dẫn giải Chọn C.
Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3), bán kính 2 2 2
R  1  2  3  2  4 .
Vì ( ) / /( ) nên phương trình ( ) có dạng: 4x  3y 12z  d  0, d  10 .
Vì ( ) tiếp xúc mặt cầu (S) nên
| 4.1 3.2 12.3  d | d  26  d  R   4 |
 d  26 | 52  (I ,( . ))  2 2 2    d  78 4 3 ( 12)
Do ( ) cắt trục Oz ở điểm có cao độ dương nên chọn d  78 .
Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 4x  3y 12z  78  0 .
Dạng 6. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng 1. Phương pháp
Khoảng cách từ điểm M x ; y ; z đến mặt phẳng  : Ax  By  Cz  D  0 là 0  0 0 0  
Ax  By  Cz  D d M , 0 0 0  . 0 2 2 2
A  B  C 2. Bài tập
Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng P : x  2y  2z 10  0 và
Q: x  2y  2z 3  0 bằng 4 8 7 A. . B. 3. C. . D. . 3 3 3
Hướng dẫn giải Chọn D.
Vì P / / Q nên d P,Q  d  ,
A Q với AP. 0  2.0  2.5  3 7
Chọn A0;0;5P thì d  AQ   . 2 2 2 1  2  2 3
Chú ý: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng
này đến mặt phẳng kia.
Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
Bài tập 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho A1;2;3, B3;4;4. Tìm tất cả các giá trị của
tham số m sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P : 2x  y  mz 1  0 bằng độ dài đoạn thẳng A . B A. m  2. B. m  2.  C. m  3.  D. m  2. 
Hướng dẫn giải Chọn A. υυυρ Ta có AB    2 2 2
2; 2;1  AB  2  2 1  3   1 .
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng P là
| 2.1 2  m 3 1| | 3m  3 | d ( , A (P))   (2). 2 2 2 2 2 1  m 5  m | 3m  3 | Vì AB  d( , A (P))  3   9 2 5  m  2
 9(m 1)  m  2 . 2 5  m
Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A  1;2;  1 , B  2;1;3,
C  (3; 2;2), D  (1;1;1) . Độ dài chiều cao DH của tứ diện bằng 3 14 14 4 14 3 14 A. . B. . C. . D. . 14 14 7 7
Hướng dẫn giải Chọn A.     Ta có AB  (1; 1
 ;2), AC  (2;0;1)  [AB; AC]  ( 1
 ;3;2) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) .
Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là 1(
 x 1)  3(y  2)  2(z 1)  0  x  3y  2z  7  0 .
Độ dài chiều cao DH của tứ diện ABCD là khoảng cách từ D đến (ABC) . | 1.1   3.1 2.1 7 | 3 14
Suy ra DH  d(D, (ABC))   . 2 2 2 ( 1  )  3  2 14
Bài tập 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm Aa; ;
b c với a, ,
b c  0. Xét P là mặt phẳng thay
đổi đi qua điểm A . Khoảng cách lớn nhất từ điểm O đến mặt phẳng (P) bằng A. 2 2 2
a  b  c . B. 2 2 2
2 a  b  c . C. 2 2 2
3 a  b  c . D. 2 2 2
4 a  b  c .
Hướng dẫn giải Chọn A.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng P . Khi đó 2 2 2
d (O,(P))  OH  OA  a  b  c .
Dạng 7. Góc giữa hai mặt phẳng 1. Phương pháp
Cho hai mặt phẳng , có phương trình:
: A x  B y C z  D  0 1 1 1 1
: A x  B y C z  D  0. 2 2 2 2 υρ υυρ
Góc giữa , bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ pháp tuyến n , n . 1 2 υρ υυρ n .n
A A  B B  C C cos , •   1 2  υρ υυρ 1 2 1 2 1 2  . n . n 2 2 2 2 2 2
A  B  C . A  B  C 1 2 1 1 1 2 2 2
Chú ý: 0o  ,  •   90 .o     2. Bài tập Bổ sung sau
Dạng 8. Một số bài toán cực trị
Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1;1;  1 , B  1
 ;2;0,C 3;1;2 và M là điểm thuộc
mặt phẳng  : 2x  y  2z  7  0. υυυρ υυυρ υυυυρ
Tính giá trị nhỏ nhất của P  3MA  5MB  7MC .
A. P  20. B. P  5. C. P  25. D. P  27. min min min min
Hướng dẫn giải Chọn D. υυρ υυρ υυρ ρ Gọi điểm I  ;
x y; z sao cho 3IA  5IB  7IC  0. 3
 1 x  5 1
  x  73 x  0 x  23    Khi đó 3
 1 y  52  y  7 1
  y  0  y  20  I  2  3;20; 1   1 .  
31 z  50  z  72  z  0 z  11    υυυρ υυυρ υυυυρ υυυρ υυρ υυυρ υυρ υυυρ υυρ
Xét P  3MA  5MB  7MC  3MI  IA  5MI  IB  7MI  IC . υυυρ υυρ υυρ υυρ υυυρ
 MI  3IA 5IB  7IC  MI  MI.
P khi MI ngắn nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng . min 2. 23   20  2. 11   7
Khi đó: P  d I,    27. min        2   2 2 2 1  2
Bài tập 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 3  ;5;5,B 5; 3;7 và mặt
phẳng (P) : x  y  z  0. Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho 2 2
MA  2MB lớn nhất. A. ( M 2  ;1;1) . B. (2 M ; 1  ;1) . C. ( M 6; 18  ;12) . D. M ( 6  ;18;12) .
Hướng dẫn giải Chọn C.   
Gọi I thỏa mãn IA  2IB  0.        
Khi đó IO  OA  2(IO  OB)  0  OI  2OB  OA  I (13; 11  ;19).  2  2   2   2 Ta có 2 2
MA  MB  MA  MB  MI  IA  MI  IB 2  MI   2 2 2 2 2 IA  2IB . 2 2
MA  2MB lớn nhất khi MI nhỏ nhất. Khi đó I là hình chiếu vuông góc của M lên (P) .
Ta tìm được M (6; 18  ;12) .
Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho các điểm M ( ; m 0;0), N(0; ;
n 0), P(0;0; p) không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn 2 2 2
m  n  p  3 . Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP bằng 1 1 1 A. . B. 3 . C. . D. . 3 3 27
Hướng dẫn giải Chọn C. Do ,
M N, P không trùng với gốc tọa độ nên m  0, n  0, p  0 . x y z 1 1 1
Phương trình mặt phẳng (MNP) là:    1  x  y  z 1  0 . m n p m n p 1
Suy ra d (O, (MNP))  . 1 1 1   2 2 2 m n p 1 1 1
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương 2 2 2
m , n , p và ba số dương , ta có: 2 m 2 2 n p 1 1 1 1 2 2 2 3 2 2 2
m  n  p  3 m n p và    33 . 2 2 2 2 2 2 m n p m n p  1 1 1  Suy ra  2 2 2
m  n  p     9  2 2 2   m n p   1 1 1   3    9    2 2 2
do m  n  p  3 2 2 2   m n p  1 1 1 1 1 1 1 1     3     3   2 2 2 2 2 2 m n p m n p 1 1 1 3   2 2 2 m n p 1
Vậy d (O,(MNP)) 
. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 2 2 2
m  n  p  1. 3 1
Vậy giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP là . 3
Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x  2y  2z  3  0 và mặt cầu  2 2 2
(S) : x  y  z  2x  4 y  2z  5  0. Giả sử M  (P) và N (S) sao cho MN cùng phương với vectơ
u  (1;0;1) và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN. A. MN  3.
B. MN  1 2 2 . C. MN  3 2 . D. MN  14 .
Hướng dẫn giải Chọn C.
S có tâm I( 1
 ;2;1) và bán kính R 1. | 1   2.2  2.1 3 |
Ta có: d (I,(P))   2  R . 2 2 2 1  2  2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng P và  là góc giữa MN và NH. υυυυρ 
Vì MN cùng phương với u nên góc  có số đo không đổi.  1
MNH vuông tại H có •
  HNM nên HN  MN.cos  MN  .HN cos
Do đó MN lớn nhất  HN lớn nhất  HN  d(I,(P))  R  3.   1 1
Có cos  cos(u, n )  nên MN  HN  3 2 . P 2 cos
Bài tập 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi P : ax  by  cz  3  0 (với a,b,c là các số
nguyên không đồng thời bằng 0) là mặt phẳng đi qua hai điểm M 0;1;2, N 1;1;3 và không đi qua
điểm H (0;0; 2). Biết rằng khoảng cách từ H đến mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của tổng
T  a  2b  3c 12 bằng A. 16 . B. 8. C. 12. D. 16.
Hướng dẫn giải Chọn D.
Gọi K là hình chiếu của H lên (P), E là hình chiếu của H lên MN.
Ta có d(H;(P))  HK và d(H; MN)  HE, HK  HE (không đổi). Vậy (
d H;(P)) lớn nhất khi K  E, với E là hình chiếu của H lên MN .  1  1  7  Suy ra E ; ;   .  3 3 3    1 1 1 
Vậy mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng nhận HE   ;  ; 
 làm vectơ pháp tuyến và đi qua M  3 3 3 
có phương trình là x  y  z  3  0 . a  1   Suy ra b  1  . c 1 
Vậy T  16 .