Các dạng bài tập VDC số phức Toán 12

Các dạng bài tập VDC số phức Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

16 8 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC

BÀ

I 1&2. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA SỐ PHỨC

LÝ THU

YẾ

I. KHÁI NIỆM VỀ SỐ PHỨC

Số phức

Định nghĩa

o số phức

z có dạng: zabivới ,



ab , trong đó

gọi là phần thực của

gọi là phần ảo của

gọi là

đơn vị ảo thỏa mãn

1i .

Đặc biệt:

Tập hợp các số phức, kí hiệu là



Số phức

z là số thực nếu

0b

Số phức

z là số thuần ảo nếu

0a

Số phức

00 0 zi

vừa là số thực, vừa là số ảo (còn gọi là

số thuần ảo).

Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của số phức z , kí hiệu z , là



zabi.

Môđun của số phứ

Môđun của số phức z , kí hiệu là

zab.

2. Hai số phức bằng

nhau

Định nghĩa

Hai số phức

111

zabi và

222

zabi được gọi là bằng

Bài tập:



zi

;

+) 2





zi;

,cos,

312





ziw iui

,… là

các số thuần ảo.

Bài tập

+) Số phức

zi có số phức

liên hợp là

zi;

+) Số phức

zi

có số phức liên

hợp là



zi.

Nhận xét: Mỗi số thực có số phức

liên hợp là chính nó.

Bài tập:

Số phức



zi

có môđun

2 1229









Bài tập:

Số phức



zabi bằng 0 khi và

chỉ khi











nhau khi và

chỉ khi











3. Biểu diễn hình học của số phức

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , mỗi số phức ; ,



zabiab

được biểu diễn bởi điểm ( ; )

ab . Ngược lại, mỗi điểm

(;)

ab biểu diễn duy nhất một số phức là



zabi

hay



z .

Nhận xét:



OM z ;

+) Nếu

,zz có các điểm biểu diễn

lần lượt là

M thì

12 1 2





Mzz.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

là phần thực của số phức z

b là phần ảo của số phức

Số phức liên hợp của

zabi

zab



là điểm biểu diễn của

số phức

Độ dài đoạn OM là môđun

số phức

là điểm biểu diễn của số phức z

Đại số

(

 là tập hợp

số phức)

Số phức

liên hợp

Môđun số

phức

Hình

học

SỐ PHỨC



zabi





,;1



ab i

II. CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC

1. Phép cộng số phức

Định nghĩa

Tổng của hai số phức





,,,,zabiz abiabab

 

   

là số phức





.zz aa bbi

 



Tính chất

Với mọi , ,zz z



 ta có:

Tính chất kết hợp:









;zz z z z z

 



Tính chất giao hoán:

;zz z z







Cộng với 0:

00 ;zzz









0.zz zz   

2. Phép trừ số phức

Hiệu của hai số phức





,,,,:zabiz abiabab

 

   













.zz z z aa bbi



   

3. Phép nhân số phức

Định nghĩa

Tích của hai số phức





,,,,zabiz abiabab

 

   

là

số phức





.zz aa bb ab a b i

 

 

Tính chất

Với mọi , ,zz z



 ta có:

• Tính chất giao hoán: ;zz z z





• Tính chất kết hợp:









;zz z z z z

 



• Nhân với 1:

1. .1 ;zz z

• Tính c

hất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:





.zz z zz zz

  



4. Phép chia cho số phức khác 0

Số nghịch đảo của số phức 0z  kí hiệu là



là số phức

thỏa mãn

1,zz



 , hay

.zz





Thương của phép chia số phức



cho số phức

khác

Bài tập:









54 32 82.iii



 

Bài tập:





có số đối là

zi

Bài tập:









54 32 26.iii



 

Bài tập:

















54 32 158 1210 232.ii i i



 

Chú ý:

• Ta có thể thực hiện phép cộng và phép nhân

các số phức theo các quy tắc như phép toán

cộng và nhân các số thực.

° Các hằng đẳng thức của các số thực cũng

đúng đối với các số phức.

Bài tập:

   

42 22.zzizizi    

Bài tập:

32zi



 có số phức nghịch đảo là



11 32

.3 2 .

13 13 13



Bài tập:

kí hiêu là

zzz



















54 32

54 722 7 22

3 2 3 2 3 2 13 13 13

iii







SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Phép cộng số phức

Tổng của hai số phức zabi





và





,, ,zabiabab

 

 

là số phức





.zz aa bbi







Phép trừ số phức

Hiệu của hai số phức

zabi





và





,, ,zabiabab

 

  là số

phức









.zz aa bbi

 

  

Phép nhân số phức

Tích của hai số phức zabi





và





,, ,zabiabab

 

  là số

phức





.zz aa bb ab a b i

 

 

Phép chia số phức khác 0

Số nghịch đảo của số phức 0z



kí hiệu là



là số

phức thỏa mãn

1zz





hay

.zz





Thương của phép chia số phức z



cho số phức

0z 

, kí

hiệu là

zzz







Tính chất phép cộng số phức

Với mọi ,,zz z





 ta có









;zz z z z z

 



;zz z z







00 ;

zzz













0.zz zz





Tính chất phép nhân số phức

Với mọi ,,zz z





 ta có

;

zz z z













;zz z z z z

 



1. .1

;

zz z





.zz z zz zz

  



CÁC

PHÉP TOÁN

VỚI SỐ PHỨC

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Thực hiện các phép toán của số phức, tìm phần thực phần ảo

1. Phương pháp giải

Cho hai số phức

zabi

và

zabi







trong đó , , ,

aba b



 . Khi đó:







'' ;zz aa bbi















'' ;zz aa bbi



  







;zz aa bb ab a b i

 

 



zzz





Bài tập:

Hai số phức

37, 43ziz i



 có









34 73 74;zz i i



 









34 73 110;zz i i 

















3.4 7 .3 3.3 4. 7 33 19 ;zz i i 











37 43

937

43.43 25 25

zii







2. Bài tập

Bài tậ

p 1:

Tất cả các số phức z thỏa mãn





231 73ziizi



 là

zi B.

42.zi

zi D.

42.zi

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có:

  

231 73 2 10 42.

ziizi iz z zi

     



Bài tập 2: Cho số phức





,zabiab  thỏa mãn 13 0zizi



 . Giá trị của 3Sa b là

S  B. 3.S  C. 3.S



 D.

S 

Hướng dẫn giả

Chọn B.

Ta có 13 0zizi  





13 0

ab abi

bab







   





























 















Bài tập 3. Tính

 

        

23 20

C1 1i 1i 1i ... 1i

Hướng dẫn giải

Áp dụng công th

ức của cấp số nhân:

Ta có:

 





         



 







23 20

21 21

C1 1i 1i 1i ... 1i u.

11i 11i

1. .

11i

Ta có



 



     

21 20 10

10 10 10

1i 2i

1i 1i .1i 2i .1i 2 1i 2 i.2

Do đó:









10 10

12 i.2

C212i.

Bài tập 4. Tính tổng

   

2 3 2012

S i 2i 3i ... 2012.i .

A. 1006 1006i B. 1006 1006i C. 1006 1006i



 D. 1006 1006i

Hướng dẫn giải

Chọn D

Cá

ch 1.

Ta có

  

2 3 4 2013

iS i 2i 3i ... 2012i

     

2 3 2012 2013

S iS i i i ... i 2012.i

Dãy số

2 3 2012

i, i , i , ...,i

là một cấp số nhân có công bội



và có 2012 số hạng, suy ra:



  



2012

2 3 2012

i i i ... i i. 0

đó:



    



2013

2012i

S iS 2012.i 2012i S 1006 1006i

Cách 2. Dãy số

22012

1,x,x ,...,x là một cấp số nhân gồm 2013 số hạng và có công bội bằng x.

Xét

x1,x0 ta có:





   



2013

2 3 2012

1 x x x ... x 1

Lấy đạo hàm

hai vế của (1) ta được:





  



2013 2012

2 2011

2012.x 2013x 1

1 2x 3x ... 2012x 2

Nhâ

n hai vế của (2) cho x ta được:





 



2014 2013

2 3 2012

2012.x 2013x x

x 2x 3x ... 2012x 3

Thay

xi

vào (3) ta được:







    



2014 2013

2 2 2012

2012i 2013i i

S i 2i 3i ... 2012i

Với

 

2014 2013

i1,ii

Vậy







2012 2012i

S 1006 1006i.

Bài tập 5. Cho 



hai số phức liên hiệp thỏa mãn







R và  23. Tính  .

3 C. 2

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt    xiy xiy với x, y R.

Không giảm tính tổng quát, ta coi

y0.

Vì

 23

nên

2iy 2 3 y 3.





hai số phức liên hợp nên



., mà















do đó 

. Nhưng ta có



   

33 2 2 3

x3xy 3xyyi

nên 

khi và chỉ khi







   

23 22 2

3x y y 0 y 3x y 0 x 1.

Vậy

    

xy 132.

Bài tập 6. Tìm c biết a,b và c các số nguyên dương thỏa mãn:



 

c a bi 107i.

A. 400 B. 312 C. 198 D. 123

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có







     

32 23

c a bi 107i a 3ab i 3a b b 107 .

Nên c là số nguyên dương thì

 

3a b b 107 0.

Hay





3a b 107.

Vì



a, b Z và 107 là số nguyên tố nên xảy ra:

 

22 2

11450

107; 3a b 1 a Z

(loại).

 

22 2

1; 3a b 107 a 36 a 6 (thỏa mãn). Vậy nên   

323 2

c a 3ab 6 3.6.1 198.

Bài tập 7. Cho số phức z có phần ảo bằng 164 và với số nguyên dương n thỏa mãn 



4i.

Tìm

n14

n149

697

789

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt

z x 164i

ta có:





    















zx164i

4i 4i x 164i 656 4 x n i

zn x164in

x656

n 697.

xn41

Vậy gi

á trị cần tìm của n là 697.

Bài tập 8. Cho số phức z thỏa mãn











13i

.Tìm mô đun của số phức

ziz

A. 2 B. 3

Hướng dẫn giải

Chọn A

Từ z ta phải suy ra được z và thay vào biểu thức



ziz rồi tìm môđun:











 



13i 13i1i

1313

1i 2 2 2

Suy ra:

 

 

1313 1313

zii.zi

22 22

Do đó:

 ziz1i ziz 2.

Dùng

MTCT:

Bước 1:

Lưu



13i







Bước 2: Tính AiA

Lời bình: Nhận thấy rằng với số phức



zabi bất kì ta đều có

 

 ziz 1iab

hay



 





ziz

ab ,z

. Về phương diện hình học thì



ziz

luôn nằm trên trục Ox khi biểu diễn

trong mặt phẳng phức.

Bài tập 9. Tìm số thực m biết:









1mm2i

và





( trong đó i là đơn vị ảo)









































Định hướng:

Quan sát thấy z cho ở dạng thương hai số phức. Vì Vậy cần phải đơn giản z bằng

cách nhân liên hiện ở mẫu. Từ

zz

. Thay z và z vào





ta tìm được m

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:

















2222

22 2

22222

im1m 2mi m1m 2mi1m 2m

1mm2i

1m 4m 1m

m1 m i1 m

mi mi

1m 1m 1m 1m

 



 



 





 



Như vậy:



 

2m m 1 1 1 1

zz m2 m2 m 2m m0

22 2







           











Bài tập 10. Tìm phần thực của số phức:







z1i,n thỏa mãn phương trình:

 

 

log n 3 log n 9 3 .

A. 6 B. 8 C. 8 D. 9

Hướng dẫn giải

Chọn C

Điều kiện: n3,n

Phương trình

 









   

44 4

logn3 logn9 3 logn3n9 3







 

n3n9 4 n 6n90 n7do:n3

 



      





723

z 1 i 1 i. 1 i 1 i.2i 1 i. 8i 8 8i

Vậy phần thự

c của số phức z là 8.

Bài tập 11. Cho số phức











m3i

. Tìm m, biết số phức



wz có môđun bằng 9.









































Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có

 

  

    

 



 

22 2

m96mi m9 m9

wz 3m iw 9 9m 9

2i 2 2



42 2 2

m18m819m918m9m3

Vậy gi

á trị cần tìm là

m3

Bài tập 12. Cho số phức











z,m

1mm2i

. Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn

tại m để

z1 k

















Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

 





 

im 1 1mi

zz1

im mi

imim









  















1mi

m2m2

z1 z1 k

m2m2

Xé

hàm số









m2m2

Ta có











ʹʹ

2m m 1

fm fm 0 m .

Lập bảng biến thiên ta có min













15 35

 Yêu cầu bài toán



 

35 35 51

222

Vậy





là giá trị phải tìm.

Dạng 2. Tìm số phức liên hợp, tính môđun số phức

1. Phương pháp giải



Số phức zabi có zabi và

.zab

Chú ý:

Nếu zabi thì

Bài tập: Số phức liên hợp của số phức









23 32zii  là

A. 12 5 .zi



 B. 12 5 .zi 

2a; . .zz zza b  

C. 12 5 .zi



 D. 12 5 .zi

Hướng dẫn giải

Ta có









23 32 65 6 125ziiii i





12 5 .zi 

Chọn D.

2. Bài tập mẫu

Bài tậ

p 1:

Cho số phức ,zabi với ,ab là các số thực thỏa mãn





24,abi iabi i   với i là đơn vị ảo. Môđun của

1 zz





 là

A. 229.



 B. 13.



 C.

229.





13.





Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có



24 2

24 .

21 3

ab a

abi iabi i

ba b

 



   









Suy ra

23.zi





Do đó

1215.zz i



 

Vậy

 

2 15 229



  

Bài tập 2: Cho số phức z thỏa mãn







Môđun của số phức .wizz



 là

A. 42.w  B. 2.w  C. 32.w  D. 22.w 

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có:

12.















12 . 12 12 33.ziwii i i      



331832.w 

Bài tập 3: Cho

,zz là các số phức thỏa mãn

1zz



 và

26.zz

Giá trị của biểu thức

zz

là

2.P 

3.P 

3.P



1.P 

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Đặt

11111

;, ,zabiab 

22222

;, .zabiab 

Suy ra

22 22

11 22

1ab ab

và

12 1212

26.. .

zz aabb



  

Ta có





12 12 12

22 2zz aa bbi  





22 22

12 12 12 11 22 1212

2222 .

zz aa bb ab ab aabb       

Suy ra

22.Pzz

Dạng 3. Bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức

Bài tập 1: Cho , ,

BC lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức





43,12 ,iii

Số phức

có điểm biểu diễn D sao cho

BCD là hình bình hành là

A. 64.zi  B. 63.zi  C. 65.zi



 D. 42.zi

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có

là điểm biểu diễn của số phức 43i nên





4; 3 .A



là điểm biểu diễn của số phức





12 2ii i nên





2;1 .B 

C là điểm biểu diễn của số phức

 nên





0; 1 .C



Điều kiện để

BCD là hình bình hành là

DBC



 



6; 5 6 5 .

DACB D CAB

xxxx x xxx

Dzi

yyyy y yyy

 



 



 



Bài tập 2: Cho tam giác

BC có ba đỉnh , ,

BC lần lượt là điểm biểu diễn hình học của các số

phức

12 3

2, 16, 8.ziz izi   Số phức

z có điểm biểu diễn hình học là trọng tâm của tam

giác

BC . Mệnh đề nào sau đây đúng?

32.zi B.

5.z





13 12 .zi D.

32.zi





Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có:













2; 1 , 1;6 , 8;1 .ABC

Gọi

G là trọng tâm tam giác .





3; 2 3 2 3 2 .Gzizi

Bài tập 3: Cho các số phức

,zz thoả mãn

1212

3, 4, 5zz zz



. Gọi ,

B lần lượt là các

điểm biểu diễn số phức

,zz trên mặt phẳng toạ độ. Diện tích S của OAB



(với O là gốc toạ độ)

là

52.S 

6.S 

S 

12.S 

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có:

3,zOA

4,zOB

5zz AB





OAB

vuông tại

(vì

22 2

OA OB AB

)

..3.46.

OAB

SOAOB



 

Dạng 4. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài tập 1: Có bao nhiêu số phức

thỏa mãn

zi z

ziz



 











A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Đặt





,, .zxyixy 

Ta có hệ phương trình:





222

xy x y

xy xy



 







 





Do đó

1zi

nên có một số phức thỏa mãn.

Bài tập 2: Có bao nhiêu số phức z thỏa điều kiện .2zz z



 và 2?z



A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có:

.2 242.zz z z z z 

Suy ra điểm

biểu diễn số phức z là giao của hai đường tròn





:4Cx y





và

 

:4 4.Cx y

Vì

12 1 2

II R R (

,II là tâm của các đường tròn









,CC

) nên





và





tiếp xúc nhau).

Suy ra: Có một số phức z thỏa mãn yêu cầu.

Bài tập 3: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn









627?zz i i iz   

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Nhận xét: Từ giả thiết, ứng với mỗi z cho ta duy nhất một số phức .z

Đặt

0,za a  , khi đó ta có









627zz i i iz   









627az i i iz





76a2aiz aii 









76a2aiz ai 









76a2aiz ai 

 

7 1 36a 2aa a



  











432 32

14a 13a 4a 4 0 1 13a 4 0.aaa    

Hàm số









13a 0fa a a  có bảng biến thiên:

Đường thẳng

4y  cắt đồ thị hàm số





a tại hai điểm nên phương trình

13a 4 0a  có

hai nghiệm khác 1 (do





10f  ). Thay giá trị môđun của

vào giả thiết ta được 3 số phức thỏa

mãn điều kiện.

Bài tập 4: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức

thỏa

mãn





21 10zm i và

123?ziz i   

A. 40. B. 41. C. 165. D. 164.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Giả sử





,zxyixy  và





xy là điểm biểu diễn số phức .z

Ta có:

 

2 1 10 2 1 100zm i zm i



2 1 1 100.xm y  





Khi đó điểm biểu diễn số phức

nằm trên đường tròn





C có tâm





21;1,Im bán kính 10.R



Lại có

 

12311 23ziz i x yi x yi           

  

22 2 2

11 23 2x8110.xyx y y    

Khi đó điểm biểu diễn số phức

cũng nằm trên đường thẳng

:2 8 11 0xy





Có đúng hai số phức

thỏa mãn nếu đường thẳng



cắt đường tròn





C tại 2 điểm phân biệt.

Tức là







22 1 8 11

5 20 17 5 20 17

,10 10 .

dI m





     



Vậy có

41 giá trị nguyên của

m để có đúng hai số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập 5: Cho hai số phức

z và

z thỏa mãn

1212

3, 4, 37.zz zz Hỏi có bao nhiêu

số

mà

zabi



Hướng dẫn giải

Chọn B.

Đặt





,,,,.z x yiz c di xycd   Ta có:

39;zxy  

416;zcd  

2222

37 2 2 37 6.z z x y c d xc yd xc yd   

Lại có:

22 22

xyi xcyd ycxd

ibi

z cdicd cd

 

  

 

Suy ra





Mà

22 22 2 2

3992733

41616648

ab ab b a b

 

Vậy có

hai số phức

thỏa mãn.

Bài tập 6: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z

thỏa mãn

.1zz và 3zim-+=. Số phần tử của S là

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Dễ thấy

0.m 

Đặt

;,zabiab 

ta có hệ phương trình.



abm















Phương trình

1ablà đường tròn tâm ,O bán kính 1



Phương trình







31abm là đường tròn tâm





3; 1 ,I



bán kính

m .

Có duy

nhất số phức thỏa mãn đề bài

 Hệ phương trình



abm















có nghiệm duy nhất



Hai đường tròn này tiếp túc với nhau

112

OI m m













(thỏa mãn

0m 

Vậy, có hai số thực thỏa mãn.

Bài tập 7: Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1z



và





Hướng dẫn giải

Chọn D.

Đặt





,, .zabiab 

Ta có

22 22

11.zab ab



221.

abi abi

zz z z

zzz





    

Ta có hệ:

22 1





















hoặc



































hoặc

















Suy ra



1 3 1 3 31 31

; ; ;; ;;; ; .

22 22 22 22



  



  

  



  



  



Vậy có 8 cặp số



;ab do đó có 8 số phức thỏa mãn.

Dạng 5: Bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phức

1. Phương pháp giải

Sử dụng các định nghĩa, tính chất hình học đã biết.

Cho trước các điểm cố định





1212

,,; 2 0IFF FF cc





Tập hợp các điểm

thoả mãn





0MI R R



 là

đường tròn tâm

bán kính .

Tập hợp các điểm

thoả mãn



FMF aac 

là elip có hai tiêu điểm là

,.FF

Tập hợp các điểm

thoả mãn

FMF



là đường

Bài tập:

Trên mặt phẳng Oxy tập hợp các điểm

biểu diễn số phức z thoả mãn

25 4zi



 là đường tròn tâm





2;5 ,I  bán kính

2.R 

trung trực của đoạn thẳng

.FF

2. Bài tập

Bài tậ

p 1

: Xét các số phức z thỏa mãn







68 .zzi là số thực. Biết

rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của

z là một đường tròn, có tâm



;Iabvà bán kính

Giá trị

abR

bằng

A. 6. B. 4. C. 12. D. 24.

Chú ý:

Trong mặt phẳng Oxy ,



aybR



  là

phương trình đường tròn

có tâm





;Iabvà bán

kính

0R  .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Đặt





,.zxyixy 

Vì







 

68 . 6 8zzixyiyxi  





là số thực nên

 

6803425.xx yy x y   

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của

z là đường tròn có tâm





3; 4 ,I



bán kính 5.R 

Vậy

4.abR 

Bài tập 2: Cho số phức

thỏa mãn

3310zz





. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức

là

A. Một parabol.

Một đường tròn.

Một elip.

Một hypebol.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi



,zxyixy 

thì









3 3 10 3 3 10(*)zz xyixyi       

Gọi

là điểm biểu diễn số phức z và các điểm









3; 0 , 3; 0 .FF Dễ thấy

62FF c

Khi đó:

3 3 10 10 2 .zz MFMF a    

Vậy tập hợp các điểm

biểu diễn số phức z là elip có hai tiêu điểm

,FF, độ dài trục lớn là

210a 

Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn 10z



và



68 12 .wizi  Tập hợp các điểm biểu

diễn số phức

là đường tròn có tâm là





3; 4 .I  B.





3; 4 .I C.





1; 2 .I







6;8 .I

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có



68 12wizi 



34 68wiiz  



34 6 8wi z  









3 4 10.10 3 4 100wi wi   

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức

w là đường tròn





có tâm





3; 4 .I



Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ

,Oxy

tập hợp các điểm biểu biễn các số phức

thỏa mãn 12 12zizi   là đường thẳng có phương trình

A. 210.xy B. 20.xy

20.xy D. 210.xy

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Đặt





,.zxyixy zxyi  

Gọi



;

xy là điểm biểu diễn của số phức .z

Ta có:

12 12zizi  

12 12

yi i z yi i 

















12 12

yix yi 

   

22 22

12 12

yx y

22 22

21 4 4 21 4 4xx yy xx yy

20.xy 

Vậy tập hợp các điểm biểu biễn các số phức

z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng có phương

trình là

20.xy

Bàitập5.GiảsửM(z)làđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễnsốphứcz.Tậphợpnhững

điểmM(z)thỏamãnđiều

2z izlà

Đường

thẳng

4x 2y 3 0 B. Đườngthẳng 4x 2 y 3 0





A. Đườngthẳng

x2y30 D. Đườngthẳng x9y30





Hướngdẫngiải

ChọnA

Cá

h1.Đặt



zxyi;x,y . 

làsốphứcđãchovà





Mx;y

làđiểmbiểudiễncủaztrong

mặtphẳngphức

Tacó

   

z2 iz x2 yi x y1i x2 y x y1          

4x 2 y 3 0

.VậytậphợpđiểmMcầntìmlàđườngthẳng

4x 2y 3 0







Cách2.







z2 iz z 2 iz* 



Đặt



zxyi;x,y .  là số phứcđã cho và





Mx;ylàđiểm biểu diễn của z trong mặt

phẳngphức,ĐiểmAbiểudiễnsố‐2tức





A2;0

vàđiểmBbiểudiễnsốphứcitức





B0;1



Khiđó



*MAMB. Vậy tập hợpđiểm M cần tìm làđường trung tực của AB:

4x 2y 3 0.

Bàitập6.Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện

z2i z1i

là

A. Đường

thẳng xy30 B. Đườngthẳng x2y30





A. Đườngthẳng

x2y30 D. Đườngthẳng xy10





Hướngdẫngiải

ChọnD

Giảsử

zxyi(x,y ) 

,điểm





Mx;y

biểudiễnz.Theobàiratacó:

 

222

x y2i x1 y1i x y2 x1 y1

4y 4 2x 2y 2 x y 1 0

      



SuyraMthuộcđườngthẳngcóphươngtrình

xy10



.

Vậytậphợpđiểmbiểudiễncácsốphứczlàđườngthẳngcóphươngtrình

xy10.

Bàitập7.Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện

 

51 iz 3 2i 1 7iz i là

A. Đường

thẳng B. Đường

tròn

Đường

elip D. Đư

ờng

Parabol

Hướngdẫngiải

ChọnA

Nhậnthấy

51 i 5 2 1 7i 

Tacó

 

51 iz 3 2i 1 7iz i 



32i i

51 i .z 1 7i.z

55i 17i

32i i 1 1 7 1

zz zizi

55i 17i 10 2 50 50



   





     



VậytậphợpMlàđườngtrungtrựcAB,với

11 7 1

A;,B;

10 2 50 50









.

Bàitập8.Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện

zz3 4 là

A. Haiđuờngthẳng



,



B. Haiđuờngthẳng



 ,



A. Haiđuờngthẳng



,



D. Haiđuờngthẳng



 ,



Hướngdẫngiải

ChọnA

Đặt



zxyi,x,y 

Lúcđó:

zz3 4 xyixyi3 4 2x3 4 4x 12x916

4x 12x 7 0

        

















VậytậphợpđiểmMlàhaiđườngthẳng

x= ; x



 songsongvớitrụctung.

Bàitập9.Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện

zz1i 2là

A. Haiđuờngthẳng

13 13

y;y





B. Haiđuờngthẳng

13 13

y;y





A. Haiđuờngthẳng

15 13

y;y





D. Haiđuờngthẳng

15 13

y;y





Hướngdẫngiải

ChọnB

Đặt



zxyi,x,y 

Lúcđó:







zz1i 2 xyixyi1i 2 1 2y1i 2

1 2y 1 2 1 4y 4y 1 4 4y 4y 2 0

2y 2y 1 0

     

    





















VậytậphợpđiểmMlàhaiđườngthẳng

13 13

y;y





songsongvớitrụchoành.

Bàitập10.Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện

2z 1 z z 2là

A. Haiđuờngthẳng

x0

,

y0

. B. Haiđuờngthẳng



,

y2

C. Haiđuờngthẳng

x0 ,x2 .

D. Haiđuờngthẳng



, y2 .

Hướngdẫngiải

ChọnC

Gọi



Mx;y

làđiểmbiểudiễnsốphức

zxyi





,





x, y

thỏa

2z1 zz2







  

222

2 x yi 1 x yi x yi 2 2 x 1 yi 2 2yi

2x1 y 2 2y x 2x0







 









Vậytậphợpcác

điểmMcầntìmlàhaiđườngthẳng



, x2



 .

Bàitập11.Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện

z1i 2 là

Đuờng

thẳng

xy20

B. Đườngtròn



x1 y1 4



 

ườngthẳng

xy20

D. Đư

ờng tròn tâm



I1; 1  và bán kính

R2.





Hướngdẫngiải

ChọnD

Xéthệthức:

z1i 2 Đặt





zxyi,x,y  .

Khiđó:

 

22 22

(1) x 1 y 1 2 x 1 y 1 4

Vậy,tậphợpnhữngđiểmM(z)thỏamãnhệthức(1)làđườngtròntâm



I1; 1 vàbán

kính

R2. 

Bàitập12.Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện





là

A. Đuờng

tròn

18 9

xy y 0

 

B. Đườngtròn

18 9

xy y 0





C. Đường

tròn

18 9

xy y 0

 

D. Đư

ờng tròn tâm

I0;







 và bán kính



Hướngdẫngiải

ChọnB

Đặt



zxyi,x,y . 

Tacó

z189

3z3z1xy y 0

z1 8 8

      



Vậy,tậphợpnhữngđiểmM(z)thỏamãnhệthức(1)làđ

ờngtròntâm

I0;







vàbán

kính



Bàitập13.Tậphợpcác

điểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện

z32i 2z12i   là

A. Đuờng

tròn

248

xy x y 0

333

  

B. Đườngtròn

248

xy x y 0

333





C. Đường

tròn

248

xy x y 0

333

  

248

xy x y 0

333





Hướngdẫngiải

ChọnC

Đặt



zxyi;x,y .  

Tacó:

z32i 2z12i  

   

22 2

x3 y2i 2x1 2y2i x3 y2 2x1 2y2

3x 3y 2x 4y 8 0

         



Suy ra: Tập hợp cácđiểm biểu diễn z là phương trìnhđường tròn (C):

248

xy x y 0

333

  

.

Bàitập14.Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện



zi 1iz  là

A. Đuờng

tròn



xy12 

B. Đườngtròn



xy12





C. Đ

ường

tròn



x1 y1 2 D.



x1 y1 2



 

Hướngdẫngiải

ChọnA

Gọi



Mx;ylàđiểmbiểudiễncủasốphức





zxyi;x,y .  

Suyra

   

222

zi x y1 1iz 1ixyi xy xy       

Nê

n

   

222 2

zi 1iz x y1 xy xy x y1 2            

VậytậphợpđiểmMlàđườngtròn





xy12





.

Bàitập15.Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện

z4i z4i 10là

A. Đuờng

elip

916



 B. Đuờngelip

16 9



 

C. Đuờng

elip



 D. Đuờngelip



 

Hướngdẫngiải

ChọnA

Xéthệthức:

z4i z4i 10

Đặt



zxyi,x,y 

.Lúcđó

 

(4) x y 4 x y 4 10 1

916



VậytậphợpđiểmMlàđư

ờngelipcóhaitiêuđi ểmlà

F (0;4);F ( 0; 4)



vàđộdàitrụclớnlà

16.

Bàitập16.Tậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngtọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãnđiều

kiện

z2 z2 5

là

Đuờng

trò

n B. Đuờng

elip

C. Đuờngparabol D. Đuờngthẳng

Hướngdẫngiải

ChọnB

Đặt



zxyi;x,y . 



Tacó:

z2 z2 5

    

x 2 yi x 2 yi 5 x 2 y x 2 y 5 1    

Xét

 

A 2;0 ; B 2;0 ;I x; y IA IB 5

VậytậphợpđiểmbiểudiễnsốphứczchínhlàtậphợpcácđiểmIthỏamãn

IA IB 5,đó

chínhlàmộtelipcótiêucự

AB IA IB 5

c2;a

222



 

Bàitập17.Tậphợpcác

điểmtrênmặtphẳngt ọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãn

điềukiện

2z z2là

A. Tậphợpcácđi

ể

mlànửamặtphẳngở

ênphảitrụctung

B. Tậphợpcácđi

ể

mlànửamặtphẳngở

êntráitrụctung

C. Tậphợpcácđi

ể

mlànửamặtphẳngphíatrêntrụchoành

D. Tậphợpcácđi

ể

mlànửamặtphẳngphíadướitrụchoành

Hướngdẫngiải

ChọnA

Xéthệthực:



2z z21

.Đặt





zxyi,x,y 

.

Khiđó:

(3) 8x 0

TậphợpnhữngđiểmM(z)thỏamãnđiềukiện(1)lànửamặtphẳngởbênphảitrụctung,

tứccácđiểm



x,y

mà x0

Bàitập18.Tậphợpcác

điểmtrênmặtphẳngt ọađộbiểudiễncácsốphứczthỏamãn

điềukiện

1z1i2

là

A. Tậphợpcácđiểmlàhìnhtròncótâm





I1; 1



,bánkính2

B. Tậphợpcácđiểmlàhìnhvànhkhăncótâmtại





A1;1vàcácbánkínhlớnvànhỏl ần

lượtlà

2; 1 

C. Tậphợpcácđiểmlàhìnhtròncótâm





I1; 1



,bánkính1

D. Tậphợpcácđiểmlàhìnhvànhkhăncótâmtại







I1; 1vàcácbánkínhlớnvànhỏlần

lượtlà

2; 1



Hướngdẫngiải

Chọn18B

Xéthệthực:



1z1i22 .Đặt





zxyi,x,y  .

Khiđó:

    

21x1 y14    

Vậy tập hợp nhữngđiểm M(z

) thỏa mãnđiều kiện (2) là hình vành khăn có tâm tại 



A1;1vàcácbánkínhlớnvànhỏlầnlượtlà2; 1

Bàitập19.Tìmtấtcảcác

điểmcủamặtphẳngphứcbiểudiễncácsốphứczsaocho



làsốthực.

A. Tậphợpđi

ể

mg

ồ

mhaitrụctọađộ

B. Tậphợpđi

ể

mlàtrụchoành

C. Tậphợpđiểmgồmhaitrụctọađộbỏđiđiểm

A(0;1)

D. Tậphợpđiểmlàtrụctu

ng,

bỏđi

A(0;1)

Hướngdẫngiải

ChọnC

Đặt



zxyi,x,y . 

Tacó:









xy11y xy1x1yi

x1y



   













làsốthực



xy 1 x1 y 0 xy 0.

Mặtkhá

c:



xy10 

cảmặtphẳngphứcbỏđiđiểm





0;1

Tómlại:



























ycbt .

x,y 0;1

Vậycácđiểmcủamặtphẳngphứccầntìmgồmhaitrụctọa

độbỏđiđiểm

A(0;1)

Bàitập14.Tìmtậphợpcác

điểmbiểudiễnsốphứczsaocho

z23i







làmộtsốthuần

ảo.

Đường

tròntâm





I1;1

bánkính

R5

B. Đườngtròn

tâm



I1;1

bánkínhR5 trừđihaiđiểm



 

A0;1;B 2; 3

C. Đườngtròntâm



I1;1bánkính



D. Đường

tròntâm





I1;1

bánkính



trừđihaiđiểm









A0;1;B 2; 3



Hướngdẫngiải

ChọnB

Đặt



zxyi,x,y 

Tacó:

 









x2 y3ix y1i

xy2x2y322xy1i

z23i

xy1 xy1



   

 





 



 

u làsốthuầnảo



 

x1 y1 5

xy2x2y30

x, y 0; 1

2x y 1 0

x, y 2; 3





 

























 





Vậytậphợpđiểm

z làđườngtròntâm





I1;1



bánkính

R5

trừđihaiđiểm

 

A0;1;B 2; 3 .

Bài tập 21. Tìmtập hợp cácđiểm biểu diễn số phức

zxyi





 thỏa mãnđiều kiện

xy1

là

A. Bacạnhcủatamgiác

B. B

ố

ncạnhcủahìnhvuông

C. B

ố

ncạnhcủahìnhchữnhật

D. B

ố

ncạnhcủahìnhthoi

Hướngdẫngiải

ChọnB

GọiMlàđiểmbiểudiễnsốphứcz.

Tacó:

xy1 khi x0,y0

xy1

xy1khi x0,y0

xy1 khi x0,y0



  



  







   



   



VậytậphợpđiểmMlà4cạnhcủahìnhvuôn

g.

Bàitập22.TrongmặtphẳngtọađộOxy,tìmtậphợpđiểmbiểudiễncácsốphứczthỏa

mãn

zi zi





làsốthuầnảo.

A. Đường

tròntâm

I;0









bánkính



B. Đườngtròn

tâm

I;0









bánkính



trừđihaiđiểm





1; 0 .

C. Đườngtròntâm

I;0









bánkính



D. Đường

tròntâm

I;0









bánkính



trừđihaiđiểm





0;1 .

Hướngdẫngiải

ChọnB

Giảsử

zxyi

vàđiểmbiểudiễnsốphứczlà





Mx;y.

Tacó:









2x y 2x 2x 1i

2z z z i z z 2i

zi zi

zzz1 x1 y



  



 



  

zi zi





làsốthuầnảo



 

2x y 2x 0

x1 y 0

x;y 1;0



































VậytậphợpđiểmMlàđườngtr

òn













bỏđiđiểm





1; 0 .

Bàitập23.Tìmquỹ tíchcácđi

ể

mtrênmặt phẳngphứcbi

ể

udiễnchos

ố

phức wiz1



 ,

biếtzlàsốphứcthỏamãn:



z2i1 8 .

Đường

tròn

   

C:x 3 y 1 4

B. Đườngtròn

   

C:x 3 y 1 2



ườngtròn

   

C:x 3 y 1 4

D. Đường

tròn

   

C:x 3 y 1 4

Hướngdẫngiải

ChọnC

Tacó

zz nên

 



z2i1 2 z2i1 2 *    

Đặt

wxyi



Talạicó

wiz1 ziiw z ii.w  .(*)trởthành:

 

22 22

iw 3i 1 2 y 1 x 3 2 y 1 x 3 4      

Vậy quỹ tích cácđiểm biểu diễn w

 trên mặt phẳng phức làđường tròn

   

C:x 3 y 1 4.

Bàitập24.TrongmặtphẳngtọađộOxy,tìmtậphợpđiểmbiểudiễnsốphứcwthỏamãn:

wz2i

,biếtzlàsốphứcthỏa

z12i 1





.

A. Đường

tròntâm





I1;2bánkính R2

B. Đườngtròn

tâm



I2;1bánkínhR2



C. Đường

tròntâm



I1;1bánkínhR1



D. Đường

tròntâm





I3;3

,bánkínhR1



Hướngdẫngiải

ChọnD

Gọi



wxyix,y Mx;y   làđiểmbiểudiễnchosốwtrênhệtrụcOxy.







 

zw2ix2 y1i zx2 1yi

z12i 1 x3 3yi 1 x3 y3 1

 

        

Vây

tậphợpđiểmbiểudiễnsốphứcwlàmộtđườngtròntâm





I3;3,bánkínhR1 .

Bài tập 25. Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm tập hợp cácđiểm M biểu diễn s ố phức



w12iz3 biếtzlàsốphứcthỏamãn: z2 5



 .

A. Đườngtròntâm





I1;2

bánkính

R5

B. Đườngtròn

tâm



I2;1bánkínhR5



C. Đường

tròntâm



I1;4bánkính R55 .

D. Đườngtròntâm





I1;3

,bánkính



Hướngdẫngiải

ChọnC

Theogiảthiết:



a1 b4i

z2 5 5 a1 b4i 512i

12i

 

    



   

22 22

a1 b4 55 a1 b4 125 

VậytậphợpđiểmMthỏamãnđ

ềbàilàđườngtròntâm





I1;4bánkínhR55 .

Bàitập26.Tìmtậphợpcácđiểmbiểudiễnsốphức





zʹ 1i3z2





với z1 2.

A. Hìnhtròntâm



I3;3 ,R4 .

B. Đường

tròn

tâm





I3;3

,R4 .

C. Hìnhtròntâm



I1; 4

bánkính



D. Đườngtròntâm





I1;3,bánkínhR5



Hướngdẫngiải

ChọnA

Giảsửtacó



zabia,b

zʹ xyix,y



 





 









Khiđó:

 









zʹ 1i3z2xyi1i3abi2xyiab32ba3    

xy32

xab32

yba3 3xy23











 







 











Theobàiratacó:



xy32 3xy23

z1 2 a1 b 4 1 4



 

      









xy36 3xy23 64 4x 4y 24x83y160

xy6x23y40 x3 y 3 16

        

   

Vậyquỹtíchcác

điểmbiểudiễnsốphứcz’làhìnhtròntâm





I3;3

,R4 .

Bàitập27.Tìmtậphợpcácđiểmbiểudiễntrongmặtphẳngphức



w1i3z2 

biết

rằngsốphứczthỏamãn

z1 2.

A. Hìnhtròntâm



I3;3

,R4 .

B. Đường

tròn

tâm





I3;3bánkính



C. Đ

ường

tròntâm



I3; 3

bánkínhR4



D. Hìnhtròntâm



I3; 3

bánkínhR4.



Hướngdẫngiải

ChọnD

Đặt



zabi,a,b  và





wxyi,x,y 

Tacó:

 

z1 2 a1 b 4*   

Từ

 







   

22 2

w 1 i3z 2 x yi 1 i3 a bi 2

x3a1b3

xab32

y33a1b

y3ab

x3 y3 4a1 b 16Do(*)

   





 







 









     





Vậytậphợpcác

điểmcầntìmlàhìnhtròntâm





I3; 3

bánkínhR4.



Bàitập28.Tìmtậ

phợpcácđiểmbiểudiễnsốphức

zʹ 2z 3 i





với

3z i zz 9.

A. Hìnhtròntâm



I3;3

,R4 .

B. Đường

tròn

tâm





I3;3bánkính R4



C. Đườngtròntâm



I3; 3

bánkính



D. Hìnhtròntâm

I3;









,



Giải

ChọnD

Giảsửtacó



zabia,b

zʹ xyix,y



 





 









Khiđó



x2a3

zʹ 2x 3 i x yi 2a 3 2 b 1 i

y2b1















   

















Theobàiratacó:



22222

3z i zz 9 9a 3b 1 a b 9 4a 4b 3b 4 0          

 

22 2

3773

x3 y1 y1 40 x3 y

2416



      





Vậyquỹtíchcác

điểmbiểudiễnsốphứcz’làhìnhtròntâm

I3;









,



Bàitập29.Chocác

sốphức

thỏamãn



.Biếtrằngtậphợpcácđiểmbiểudiễncácsố

phức

(3 4 )wizi làmộtđườngtròn.Tínhbánkínhrcủađườngtrònđó.

A. r

4. B. r5. C. r20. D. r22.

Hướngdẫngiải

ChọnC

Gọi

wabi ,tacó





(1)(34)

(1)

(3 4 )

34 916

ab i i

ab i

wabi izi z

 



    





(3 4 4) (3 4 3)

344(343)

25 25 25

ab ba

  

 

 

Mà

z =4nên

22222

(3 4 4) (3 4 3) 100 2 399ab ba ab b 

Theogiảthiết,tậphợpcácđiểmbiểudiễncácsốphức

(3 4 )wizi



làmộtđườngtròn

nêntacó

22 2 2

2 399 ( 1) 400 400 20ab b a b r     



BÀ

I 3. PHƯƠNG

TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

LÍ THUYẾT

Căn bậ

c hai của một phức

Định n

ghĩa

Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn



zw được gọi là

một căn bậc hai của

Tìm căn bậc hai của số phức w



w là số thực.

+ Nếu

0w thì w có hai căn bậc hai là



iw và

iw

+ Nếu 0w thì w có hai căn bậc hai là w và  w



wabi



, ab

0b

Nếu zxiy là căn bậc hai của w thì







iy a bi

Do đó ta có hệ ph

ương trình:













Mỗi nghiệm của hệ phương trình cho ta một căn bậc hai

của w

2. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực

Xét

phương trình

0az bz c





,,c ; 0



ab a

Ta có

4 bac

 Nếu 0 thì phương trình có nghiệm thực



 Nếu

0

thì phương trình có hai nghiệm thực phân

biệt:

 



;

 



 Nếu

0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân

biệt:

 



;

 



Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực

Phương trình bậc hai

0ax bx c







a có hai nghiệm

Nhận x

+) Số 0 có đúng một căn bậc hai

là 0

+) Mỗi số phức khác 0 có hai căn

bậc hai là hai số đối nhau (khác

Chú ý:

Mọi phương trình bậc n:

01 1

... 0





  

Az Az A z A

luôn có n nghiệm phức (không

nhất thiết phân biệt) với n nguyên

dương.

phân biệt

(thực hoặc phức) thì

















Sxx

Pxx

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Giải phương trình. Tính toán biểu thức nghiệm

1. Phương pháp giải

Cho phương trình:

0az bz c





,,c ; 0ab a

 Giải pương trìn

h bậc hai với hệ số thực

 Áp d

ụng các phép toán trên tập số phức

để biến đổi biểu th

ức

Ví dụ: Xét phương trình

250zz

a) Giải phương trình trên tập số phức

Tín

zz

Hướng dẫn giải

a) Ta có:



'15 4 2    i

Phương trìn

h có hai nghiệm là:



zi

;



zi

b) Ta có

22 22 zz

Suy ra

22 22 42  zz

2. Bài tậ

Bài tập 1.

Trong các số sau, số nào là nghiệm của phương trình



zz





z ?

 i





 i

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

1zz



z

11 3 1 3

2. .

24 4 2 4



  





zz z

13 13

22 2

13 13

22 2





 









 





Bài tập 2. Phương trình

0zazb





,  ab có nghiệm phức là 34



i . Giá trị của ab bằng

A. 31 B. 5 C. 19 D. 29

Hướng dẫn giải

Chọn C

Chú ý

Nếu

z là

Cách 1: Do

34zi

là nghiệm của phương trình



zazb

nên ta có:

   

34 34 0 3 7 4 24 0 ia ib ab a i

370 6

4240 25

 







 



ab a

Do đó

19ab

Cách 2: Vì

34zi

là nghiệm của phương trình



zazb nên

34zi cũng là nghiệm của phương trình đã cho

Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình trên ta có













zz a

zz b











34 34























iia

iib

nghiệm của phương

trình bậc hai với hệ

số thực thì

z cũng

là nghiệm của

phương trình

Bài tập 3. Gọi

z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình

6340



zz . Giá trị của

2zi là

A. 17 B. 17 C. 217 D. 37

Hướng dẫn giải

Chọn A

ra có



'255  i

. Phương trình có hai nghiệm là



zi

;



zi

Do đó

35 2 14 17        zizii

Bài tập 4. Gọi

là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình

250



zz

Tọa độ điểm biểu diễn số phức

74 i

trên mặt phẳng phức là





3; 2P B.



1; 2N C.





3; 2



Q D.



1; 2M

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

250













Theo yêu cầu của bài toán ta chọn



zi. Khi đó:









74 12

74 74

12 1 2





 



Vậy điểm biểu diễn của số phức là





3; 2P

Bài tập 5. Gọi

là hai nghiệm phức của phương trình

450



zz

. Giá trị của biểu thức



2019 2019

11zz bằng

1009

2 B.

1010

2 C. 0 D.

1010

2

Hướng dẫn giả

Chọn D

Xét phương trình



450 2 1







 









zz z

Khi

đó ta có:

 

2019 2019 2019 2019

1111zz ii













1009 1009

1.1 1.1   ii ii

 

1009 1009

1.2 1.2  ii i i

   











505

1009 1010

2 1010 1010

211 2 .22 iiiii

Dạng 2: Định lí Vi-ét và ứng dụng

1. Phương pháp giải

Định lí Vi-ét: Cho phương trình:

0az bz c ; ,,cab  ; 0a



có hai nghiệm phức

z ,

z thì

















Ví dụ: Phương trình

4240zz có hai

nghiệm phức

nên

4zz



 ;

.24zz



Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn:



2. Bài tập

Bài tậ

p 1:

Gọi

là hai nghiệm phức của phương trình

250zz





. Giá trị của biểu thức

zz bằng

A. 14 B. –9 C. –6 D. 7

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi

là nghiệm của phương trình

250zz





Theo định lí Vi-ét ta có:











Suy ra



22 2

12 12 12

222.56zz zz zz    

Bài tập 2:

Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là 12i



? Chúng ta có thể giải từng

230zz B.

250zz

250zz

230zz

Hướng dẫn giải

Chọn C

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau nên

phương trình bậc hai có nghiệm

12i thì nghiệm còn lại là 12i



Khi đó tổng và tích của hai nghiệm lần lượt là 2; 5

Vậy số phức

12i

là nghiệm của phương trình

250zz





phương trình:

230zz



12zi 

12zi

12zi

250zz



14zi 

12zi





12zi



 

250zz



14zi 





12zi





230zz



12zi 

12zi

12zi

Bài tập 3: Kí hiệu

z ,

z là nghiệm phức của phương trình

2430zz



. Tính giá trị biểu thức





12 1 2

zz i z z

A. 1

 B.

P  C. 3P  D.

P 

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có

z ,

z là hai nghiệm của phương trình

2430zz





Theo định lý Vi-ét ta có















Ta có

  

12 1 2

333 5

22 2

222 2

Pzzizz i i



 





Bài tập 4: Gọi

z ,

z là hai nghiệm phức của phương trình

Cách khác:

Ta có:

470zz

. Giá tị của



bằng

A. –20 B. 20

14 7 D. 28 7

Hướng dẫn giải

Chọn A

Theo định lý Vi-ét ta có











Suy ra









33 2 2

12 121122

zz zzzzzz   







12 12 12

3zz zz zz  





4. 4 3.7 20

470zz







23zi 















Do đó:











23 23ii 





Bài tập 5: Gọi

và

là hai nghiệm phức của phương trình

32270zz





. Giá trị của

12 21

zz z z bằng

A. 2 B. 6 C. 36 D. 6

Hướng dẫn giải

Chọn A

Áp dụng định lý Vi-ét, ta có

zz

và

.9zz



Mà

12 12 12

.93zz zz zz  

Do đó



12 21 1 2 1 2

.3 .3 3 3. 2

zz z z z z z z

Bài tập 6: Cho số thực 2a  và gọi

z ,

z là hai nghiệm phức của phương trình

20zza.

Mệnh đề nào sau đây

sai?

zz là số thực B.



là số ảo



là số ảo



là số thực

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

. Đáp án A đúng

Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm là số phức liên hợp. Gọi

zxyi ;

,xy





là

một nghiệm, nghiệm còn lại là

zxyi

Suy ra

2zz yi là số ảo. Đáp án B đúng



12 12

1212

2 1 12 12

zz zz

z z zz zz a







   



Vậy C l

à đáp án sai và D đúng

Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Phương pháp giải

 Nắm vững cách giải phương trình bậc

hai với hệ số thực trên tập số phức

 Nắm vững cách giải một số ph

ương trình

quy về bậc hai, hệ phương trình đại số

bậc cao;…

Ví dụ:

Giải phương trình:

60zz

trên tập

số phức.

Hướng dẫn giải

Đặt



, ta có phương trình:





  









Với



ta có

33zz





Với



 ta có

22zzi  

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm



 ; 2zi

2. Bài tậpmẫu

Bài tậ

p 1:

Tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình

2320zz



 là

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

2320

















 







 













Khi đó, tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình đã cho bằng

22 32

ii   

Bài tập 2: Kí hiệu

z ,

z là bốn nghiệm phức của phương trình

450zz



. Giá trị của

2222

1234

zzzz bằng

A. 225 B. 12 C. 0 D. 25

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

450















 















Phương trình có b

ốn nghiệm lần lượt là:





5zi ,

5zi

Do đ

ó:









2222

1234

11 5 5 12zzzz  

Bài tập 3: Gọi

z ,

z là các nghiệm phức của phương trình









4120zz zz



.

Giá trị của biểu thức

2222

1234

Sz z z z

là

18S 

16S 

17S



15S 

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:









4120zz zz 

Đặt

tz z

, ta có

4120















Suy ra:

123







































Suy ra



1231 23

12 17

22 2 2

  

 

     

  

 

  

 

  

Bài tập 4: Gọi

z ,

z là hai nghiệm của phương trình



 . Khi đó

zz bằng

A. 1 B. 4 C. 8 D. 2

Hướng dẫn giải

Chọn A

Điều kiện: 0z 

Ta c

444

zzz

zz z



  





115 115

22 22

115 115

22 22

zizi



   



 



   





Vậy

115115

22 22

zz i i  

Bài tập 5: Cho số thực a, biết rằng phương trình

10zaz



 có bốn nghiệm

z ,

z thỏa

mãn

















2222

1234

4444441zzzz. Tìm a













































Hướng dẫn giải

Chọn B

Nhận xét:

   

42 22zzizizi    

Đặt





1fx z az , ta có:



2222

1234

4444 2. 2 2.2

zzzz zizififi















42 42

16 4 1 16 4 1 17 4iai iai a 

Theo giả thiết, ta có



17 4 441

















Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn

2018 2017

11 10 10 11 0ziziz



. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

23z

01z

12z



z

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có



2017

2017 2017

11 10 11 10

iz iz

zzi izz z

zi zi



   



Đặt

zabi





có









100 220 121

11 10 10 11 100

11 10

11 10 11 10

121 220 100

121 11 10

ab b

ia bi b a

zi abi i

ab b

 

 



 



 



Đặt

tz





0t  ta có phương trình

2017

100 220 121

121 220 100







Nếu

11tVT ; 1VP 

Nếu

11tVT ; 1VP 

Nếu

11tz 

BÀI 4. CỰC TRỊ SỐ PH

ỨC

LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

c bất đẳng thức thường dùng

a. Cho các số phức

,zz

ta có:

1212

zz zz (1).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

121

0, , 0,

zkkzkz







  





12 1 2

zz z z  (2).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

121

0, , 0,

zkkzkz







  





b. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Cho các số thực

,,,abx y ta có:









222 2

ax by a b x y  

Đẳng t

hức xảy ra khi và chỉ khi

ay bx .

2. Một số kết quả đã biết

Cho hai điểm ,

B cố định. Với điểm

bất kỳ luôn có bất đẳng thức tam giác:

AMB AB, dấu “=” xảy ra



nằm giữa hai điểm ,

B .

AMB AB

, dấu “=” xảy ra



nằm giữa hai điểm ,

M .

b. Cho hai điểm ,

B nằm cùng phía đối với đường thẳng d và

là điểm di động trên d . Ta có:

AMB AB

, dấu “=” xảy ra  Ba điểm , ,

MB thẳng hàng.

+) Gọi



là điểm đối xứng với

qua d , khi đó ta có

AMB MA MB AB



 

, dấu “=” xảy ra



Ba điểm



thẳng hàng.

c. Cho hai điểm ,

B nằm khác phía đối với đường thẳng d và

là điểm di động trên d . Ta có:

AMB AB, dấu “=” xảy ra

 nằm giữa hai điểm ,

B .

+) Gọi



là điểm đối xứng với

qua d , khi đó ta có

AMB MA MB AB



 

, dấu “=” xảy ra



Ba điểm



thẳng hàng.

d. Cho đoạn thẳng

Q và điểm

không thuộc

Q ,

là điểm di động trên đoạn thẳng

Q , khi đó





max max ,

MAPAQ . Để tìm giá trị nhỏ nhất của

M ta xét các trường hợp sau:

+) Nếu hình chiếu vuông góc

H của

trên đường thẳng

Q nằm trên đoạn

Q thì min

MAH



+) Nếu hình chiếu vuông góc

H của

trên đường thẳng

Q không nằm trên đoạn

Q thì





min min ;

MAPAQ .

e. Cho đường thẳng  và điểm

không nằm trên



. Điểm

trên



có khoảng cách đến

nhỏ nhất

chính là hình chiếu vuông góc của

trên



f. Cho ,

y là các tọa độ của các điểm thuộc miền đa giác

...

AA. Khi đó giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của

biểu thức

Faxby ( ,ab là hai số thực đã cho không đồng thời bằng 0 ) đạt được tại một trong các

đỉnh của miền đa giác.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Với các số thực ,,,abx y ta có









222 2

ax by a b x y   .

Dấu “=” xảy ra khi



B. CÁC

DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Phương pháp hình học

1. Phương pháp giải

Vi dụ:

Cho số phức

thỏa mãn









2 zz izz  . Giá trị nhỏ nhất của 3zi



bằng

A. 3. B.

C. 2 3 . D. 2.

Hướng dẫn giải

Bước 1:

Chuyển đổi ngôn ngữ bài toán số phức

Giả sử





,zxyixy  zxyi . Khi đó

Bất đẳng thức tam giác

12 1 2

zz z z. Dấu “=” xảy ra khi





0zkzk.

12 1 2

zz z z

. Dấu. “=” xảy ra khi





0zkzk

12 1 2

zz z z  . Dấu. “=” xảy ra khi



0zkzk

12 1 2

zz z z

Dấu “=” xảy ra khi



0zkzk

Các bất đẳng thức

thường dùng

ngôn ngữ hình học.











2224zz izz yi xi y x



  

Gọ









;;0;3Mxy A



lần lượt là điểm biểu diễn

cho số phức

;3zi



thì

3ziMA

Bước 2: Sử dụng một số kết quả đã biết để giải

bài toán hình học.

Parabol



có đỉnh tại điểm



0;0O

, trục đối

xứng là đường thẳng



. Hơn nữa, điểm

thuộc trục đối xứng của parabol, nên ta có:

3MA OA. Suy ra, min 3MA  khi



Bước 3:

Kết luận cho bài toán số phức.

Vậy

min 3 3zi



 , khi 0z



. Chọn A.

2. Bài

tập mẫu

Bài tậ

p 1:

Cho số phức z thỏa mãn

34 1zi 

. Môđun lớn nhất của

số phức

bằng

A. 7. B. 6.

5. D. 4.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi









;,3;4Mxy I

là các điểm biểu diễn lần lượt cho các số phức

;3 4

zi . Từ giả thiết 34 1 1zi MI  .

Tập hợp các điểm

biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường

tròn tâm



3; 4I , bán kính

1r 

Mặt khác

zOM . Mà OM đạt giá trị lớn nhất bằng OI r



, khi

là giao điểm của đường thẳng

với đường tròn tâm





3; 4I , bán

Nhận xét:

OI r OM z OI r





kính

1r  . Hay

18 24

;







Do đó,

max 5 1 6zOIr

, khi

18 24

zi

Bài tập 2:

Trong các số phức z thỏa mãn

24 2zizi





, số phức

z có môđun nhỏ nhất là

A. 22zi . B. 1zi.

22zi . D. 1zi.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt



,zxyixy  . Khi đó 24 2zizi  

40xy







d .

Vậy tập hợp điểm

biểu diễn số phức z là đường thẳng d .

Do đó

zOM nhỏ nhất khi

là hình chiếu của O trên d .

Suy ra



2; 2M hay 22zi .

Nhận xét: Trong tất cả các đoạn

thẳng kẻ từ điểm O đến đường

thẳng

, đoạn vuông góc

ngắn nhất.

Bài tập 3: Cho số phức

thỏa mãn 3310zz . Giá trị nhỏ

nhất của

z là

A. 3. B. 4.

5. D. 6.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Cách 1:

Gọi









3; 0 , 3; 0FF , có trung điểm là





0;0O . Điểm

biểu diễn

số phức

z .

Theo công thức trung tuyến thì

22 2

1212

FMF FF

zOM



 .

Ta có





MF MF



 .

Đẳng thức xảy ra khi







4;0

50 36

min 4

4;0

MF MF





















Khi

4zi hoặc 4zi .

Với mọi số thực

,ab ta có bất

đẳng thức:







Cách 2:.

Gọi









3; 0 , 3; 0FF

 

;;,Mxy xy

lần lượt là các điểm biểu

diễn các số phức

3; 3; z .

Ta có

26 3FF c c. Theo giả thiết ta có

10MF MF



 , tập

hợp điểm

là đường elip có trục lớn 210 5aa



 ; trục bé

22 22598bac

Mặt khác

OM z nhỏ nhất bằng 4 khi 4zi



hoặc 4zi



 .

Vậy giá trị nhỏ nhất của

bằng 4.

Với mọi điểm

nằm trên elip,

đoạn

ngắn nhất là đoạn nối

với giao điểm của trục bé với

elip.

Bài tập 4: Xét số phức

thỏa mãn 4310zi zi



. Tổng giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

là

Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi









0; 1 , 0;1AB , đoạn thẳng

B có trung điểm





0;0O . Điểm

biểu diễn số phức z .

Theo công thức trung tuyến

222

AMB AB

zOM



 .

Theo giả thiết

4310MA MB. Đặt

10 4

MA a MB



  .

Khi đó

10 7

416

261076

377

MA MB AB a a



  .

Ta có



222

58 36

10 4

MA MB a









 







36 24 576

58 058

77 49

aa 

nên

260

81 9

49 7

MA MB





















Đẳng thức

1z 

khi

24 7

25 25

zi 

. Đẳng thức



khi



Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

z là

Bài tập 5:

Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn

2242zz

Trong mặt phẳng tọa độ gọi

N là điểm biểu diễn số phức z và

Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác

OMN là

A. 1. B. 2 .

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt





,zxyixy 

zxyi .

Gọi









2;0 , 2;0FF ,









;, ;

xy N x y



lần lượt là các điểm biểu

diễn các số phức

2; 2; ;zz

Do ,

N là điểm biểu diễn số phức z và z nên suy ra ,

N đối xứng

nhau qua

Ox .

Khi đó

OMN

Sxy





Ta có

24 2FF c c. Theo giả thiết ta có

42MF MF,

tập hợp điểm

thỏa điều kiện trên là elip có trục lớn

242 22aa ; trục bé

22 2844bac 2b .

Nên elip có phương trình



E 

Do đó

22 22

12. 22

84 84

OMN

xy xy

Sxy



     .

Đẳng thức xảy ra khi















Bài tập 6: Cho số phức

thỏa mãn

2zi z i





. Giá trị nhỏ nhất

của





142

iz i 

là

A. 1. B.

3. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi





,zxyixy  ;



;

xylà điểm biểu diễn số phức

Ta có

2zi z i 









121

yix yi   



222

121xy x y   10xy







Ta có





142

iz i 



123

iz zi



   





23 12

yMA, với





3;1A 



min min

311

22,2 3

PMAdA



   



Đẳng thức xảy ra khi

là hình chiếu vuông góc của

trên đường

thẳng  hay

35 3 5

;

22 2 2









Bài tập 7:

Cho hai số phức

,zzthỏa mãn

6zz



 và

2zz



 .

Gọi ,

m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

zz

. Khi đó môđun của số phức



là

A. 76 . B. 76.

210. D. 211.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta gọi ,

B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức

,zz.

Từ giả thiết

6zz 63OA OB OI



với

là trung

điểm của đoạn thẳng

B .

2zz 22OA OB AB



Ta có

22 2

220

OA OB OI  

zz









222 2 2

11 40OA OB P OA OB  .

Vậy

max 2 10

M.

Mặt khác,

zz

6OA OB OA OB



Vậy

min 6

m

Suy ra

40 36 76Mmi  .

Bài tập 8:

Cho số phức z thỏa mãn 2135ziz i



  . Giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

zi

bằng

A. 1. B.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi



;

xylà điểm biểu diễn số phức z ; gọi









2; 1 , 1;3AB là

điểm biểu diễn số phức

2;13ii . Ta có



Từ giả thiết

2135ziz i  

 

22 2 2

21 135xy xy      

AMB MAMB AB MA MB AB .

Suy ra , ,

AB thẳng hàng (

nằm giữa

và

). Do đó quỹ tích

điểm

là tia

t ngược hướng với tia

zi

 

14xy

, với





1; 4C 

MC

Ta có





3; 4AB 



phương trình đường thẳng : 4 3 5 0AB x y



 .







413.45

CH d C AB

 

 





11 3 4 1CB



    .

Do đó

min

PCHkhi H là giao điểm của đường thẳng

B và

đường thẳng đi qua điểm

C và vuông góc với

Dạng 2: Phương pháp đại số

1. Phương pháp giải

Các bất đẳng thức thường dùng:

1. Cho các số phức

,zz

ta có:

1212

zz zz (1)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

121

0, , 0,

zkkzkz







  





12 1 2

zz z z 

.(2)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

121

0, , 0,

zkkzkz







  





2. Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

Cho các số thực

,,,abx y

ta có









222 2

ax by a b x y  

Đẳng t

hức xảy ra khi và chỉ khi

ay bx .

2. Bài tập

Bài tậ

p 1:

Cho số phức







3,za a ia   . Giá trị của

để

khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức

z đến gốc tọa độ là nhỏ nhất

bằng

a  . B.

a  .

1a  . D. 2a  .

Hướng dẫn giải

Chọn A



3932

222

zaa a



 





Đẳng thức xảy ra khi

a 

. Hay

zi

Nhận xét: Lời giải có sử

dụng đánh giá

0,xx

Bài tập 2: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 24 2zizi



,

số phức

z có môđun nhỏ nhất là

A. 12zi . B. 1zi  .

C. 22zi . D. 1zi  .

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi





,zabiab 

24 2zizi  













24 2 40abiabiab   

  

4422822zbbiz bb b          .

Suy ra

min 2 2 2 2 2 2zbazi 

Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn







, biết



 đạt giá

trị nhỏ nhất. Giá trị của

bằng

A. 2 . B.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi









2,zabiz iab   .







122430234zziab a b    

   

22 2

52 5512025

zibb b       

Suy ra

min 5 2 5

zi zi







   









Vậy

z  .

Bài tập 4:

Cho hai số phức

,zz thỏa mãn

34zz i



 và

5zz

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

zz

là

A. 5. B. 53.

12 5 . D. 52.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có





22 2 2

222

12 1212

253450zz zz zz.

Nhận xét: Lời giải sử dụng

bất đẳng thức Cauchy –

Schwarz.

Sử dụng b

ất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có





12 1 2

25052zz z z    .

Gọi

,;,,,zxyizabiabxy  

Đẳng t

hức xảy ra khi và chỉ khi

zz i







































và

















. Hay

71 17

;

22 22

zizi  .

Thay

,zz

vào giả thiết thỏa mãn.

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức

zz bằng

Bài tập 5:

Cho số phức

thỏa mãn 1z  . Giá trị lớn nhất của biểu

thức

131

zz 

bằng

A. 210. B. 65.

315. D. 2 5 .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có











22 22

1 3 1 1 20 1 2 10Pzzz  

Đẳng thức xảy ra khi













 



 



 



 









Vậy

max 2 10P 

Nhận xét:

Lời giải sử dụng

bất đẳng thức Cauchy –

Schwarz.

Bài tập 6:

Cho số phức z thỏa mãn

12 2zi 

. Giá trị lớn nhất của

3zi bằng

A. 6. B. 7.

8. D. 9.

Nhận xét: Lời giải sử dụng

bất đẳng thức

1212

zz zz



.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có 3zi









12 43 12 43 7zi izi i 

Đẳng thức xảy ra khi





12 43, 0

13 16

12 2

zikik

   



 



 





Vậy giá trị lớn nhất của

3zi bằng 7.

Bài tập 7:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

34 4zi





. Gọi

và

m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun số phức z . Giá trị của

bằng

A. 9. B. 10.

11. D. 12.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có









34 34 34 34 459zz i iz i i M .

Đẳng thức xảy ra khi



34 34, 0

27 36

34 4

zikik







   







 











Mặt khác









34 34 34 34 45 1zz i i z i i m           .

Đẳng thức xảy ra khi



34 34, 0

34 4

zikik







   







 













Nhận xét: Lời giải sử dụng

bất đẳng thức

1212

zz zz





và

12 12

zz zz



.

Bài tập 8: Cho số phức z thỏa mãn





42zzzi  . Giá trị nhỏ

nhất của

zi

bằng

A. 2. B. 2 .

1. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có





42zzzi 













22 2zizi zzi   

Chú ý: Với mọi số phức

,zz :

12 1 2

..zz z z .

2. 2 . 2zizizzi   

zzi

zaia

zzi

 















 











Do đó



min 1 1

zi ii

zi ai i a









   



Bài tập 9: Tìm số phức

thỏa mãn







12zzi là số thực và z đạt

giá trị nhỏ nhất.

zi

. B.

zi 

zi  . D.

zi .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi ; ,zabiab  .

Ta có







12zzi













12 22aab b ab i





Do đó







12zzi là số thực 220 22ab b a

Khi

đó



4425

22 5

555

za a a



  





Đẳng thức xảy ra khi

















min



















. Vậy

zi

Bài tập 10:

Cho số phức

thỏa mãn điều kiện 12z  . Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức

2Tziz i



  .

A. max 8 2T  . B. max 4T  .

max 4 2T  . D. max 8T  .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Đặt





,zxyixy 

, ta có



12 1 2 1 2zxyixy       



222

12 21

yxyx

(*).

Lại có

2Tziz i









121

yix yi   

22 22

21 425xy y xy xy

Kết hợp với (*) ta được

 

222 622 2 2 62Txy xy xy xy         

Đặt

Txy, khi đó





22 62Tft t t với





1; 3t  .

Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số

Ta có

 

'; 01

22 62

tftt



 



Mà













1 4, 1 22, 3 22ff f 

. Vậy









max 1 4ft f



 .

Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có



22 62 11.84Tt t.

Đẳng thức xảy ra khi

1t  .

Bài tập 11:

Cho số phức z thỏa mãn



. Gọi

và m lần lượt là

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

11zzz



. Khi đó giá trị

của

m bằng

A. 5. B. 6.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Đặt





,zabiab 

và

1tz

. Khi đó



11 1 22

tz z z zz aa



   

Ta có







222 22

12 11 21z z a b abi a bi a b a b a i  



 



22 2

22 2 2

22121121aa b a a a a a  

21 1at

111zzztt   (với 02t , do



Xét hàm số



1ft t t  với





0; 2t 

Trường hợp 1:





0;1 1 1

tftttttf



  





và có

 

011ff nên









0;1

max

min 1















Trường hợp 2:















1; 2 1 1, 2 1 0, 1; 2tftttttfttt



  

Do đó hà

m số luôn đồng biến trên



1; 2 













 

1;2

max 2 5

min 1 1

ft f















Vậy











0;2

max 5

min 1

Mft

mft

















Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/57

| | Tải xuống

Preview text:

CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC
BÀI 1&2. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA SỐ PHỨC A. LÝ THUYẾT
I. KHÁI NIỆM VỀ SỐ PHỨC 1. Số phức Bài tập: Định nghĩa 2
+) z  5  i   ;
Cho số phức z có dạng: z  a  bi với a,b   , trong đó 7
a gọi là phần thực của z , b gọi là phần ảo của z , i gọi là +) z   2  i   ; đơn vị ảo thỏa mãn 2 i  1  . 4 
+) z  i, w  cos
i,u  i ,… là 3 12 Đặc biệt: các số thuần ảo.
Tập hợp các số phức, kí hiệu là  .
Số phức z là số thực nếu b  0 .
Số phức z là số thuần ảo nếu a  0 .
Số phức z  0  0i  0 vừa là số thực, vừa là số ảo (còn gọi là số thuần ảo). Bài tập
Số phức liên hợp 2
Số phức liên hợp của số phức z , kí hiệu z , là z  a  bi . +) Số phức z 
5  i có số phức 7 2
liên hợp là z  5  i ; 7 4
+) Số phức z  i có số phức liên 3 4
hợp là z   i . 3
Nhận xét: Mỗi số thực có số phức
liên hợp là chính nó.
Môđun của số phức Bài tập: 2
Môđun của số phức z , kí hiệu là 2 2
z  a  b .
Số phức z  5  i có môđun 7 2  2  1229 2 z  5       7  7
2. Hai số phức bằng nhau Bài tập: Định nghĩa
Số phức z  a  bi bằng 0 khi và
Hai số phức z  a  b i và z  a  b i được gọi là bằng 1 1 1 2 2 2 a  0
chỉ khi b  0 a  a hay z  0 . nhau khi và chỉ khi 1 2  . b   b 1 2 Nhận xét:
3. Biểu diễn hình học của số phức
+) OM  z ;
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , mỗi số phức ;
z  a  bi a,b   +) Nếu z , z có các điểm biểu diễn 1 2
được biểu diễn bởi điểm ( M ;
a b) . Ngược lại, mỗi điểm lần lượt là M ,M thì 1 2 M ( ;
a b) biểu diễn duy nhất một số phức là z  a  bi .
M M  z  z . 1 2 1 2
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
a là phần thực của số phức z
b là phần ảo của số phức z
Số phức liên hợp của z Đại số 2 2
z  a  b
z  a  bi (  là tập hợp số phức) Số phức Môđun số SỐ PHỨC liên hợp phức
z  a  bi  2 a,b  ;  i    1
M  là điểm biểu diễn của
Độ dài đoạn OM là môđun số phức z số phức z Hình học
M là điểm biểu diễn của số phức z
II. CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC
1. Phép cộng số phức Bài tập: Định nghĩa
5 4i 3 2i  8 2 .i
Tổng của hai số phức z  a  bi, z  a  b i a,b,a ,b 
là số phức z  z  a  a  b  b .i Tính chất Với mọi ,
z z , z   ta có: Bài tập: 2 2
Tính chất kết hợp:  z  z  z  z   z  z ;
z  5  i có số đối là z  5   .i 7 7
Tính chất giao hoán: z  z  z  z;
Cộng với 0: z  0  0  z  z;
z  z  z  z  0.
2. Phép trừ số phức Bài tập:
Hiệu của hai số phức z  a  bi, z  a  b i a, ,
b a ,b  :
5 4i3 2i  2  6 .i
z  z  z  z  a  a  b  b .i
3. Phép nhân số phức Bài tập: Định nghĩa
5 4i3 2i  158 1210i  23 2 .i
Tích của hai số phức z  a  bi, z  a  b i a,b, a ,b  là
số phức zz  aa  bb  ab  a b   .i Tính chất Chú ý: Với mọi ,
z z , z   ta có:
• Ta có thể thực hiện phép cộng và phép nhân
• Tính chất giao hoán: zz  z z  ;
các số phức theo các quy tắc như phép toán
• Tính chất kết hợp:  zz z  z  z z ;
cộng và nhân các số thực.
• Nhân với 1: 1.z  z.1  z;
° Các hằng đẳng thức của các số thực cũng
• Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: đúng đối với các số phức.
z  z  z   zz  zz .
Bài tập: z   z   i2 2 2 4 2
 z  2iz  2i.
4. Phép chia cho số phức khác 0
Số nghịch đảo của số phức z  0 kí hiệu là 1 z , là số phức Bài tập:
z  3  2i có số phức nghịch đảo là  1 thỏa mãn 1 zz  1, , hay 1 z  z. 2 z 1 1    i 3 2 . 3 2   .i z 13 13 13
Thương của phép chia số phức z cho số phức z khác 0, Bài tập: z  5  4i
5 4i3 2i  z z 7  22i 7 22 kí hiêu là 1  z z  .     .i 2 z z 3  2i
3 2i3 2i 13 13 13
Phép cộng số phức
Tính chất phép cộng số phức
Tổng của hai số phức z  a  bi
Với mọi z, z , z  ta có
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
và z  a  b i a,b,a ,b 
z  z  z  z z z ;
z  z  z  z;
là số phức z  z  a  a  b  b .i
z  0  0  z  z;
z  z  z  z  0.
Phép trừ số phức
Hiệu của hai số phức z  a  bi CÁC
và z  a  b i a, ,
b a ,b  là số PHÉP TOÁN VỚI SỐ PHỨC
phức z  z  a  a  b  b .i
Tính chất phép nhân số phức
Với mọi z, z , z  ta có   
Phép nhân số phức zz z z;
Tích của hai số phức z  a  bi
zz z  zz z ;
và z  a  b i a, ,
b a ,b  là số
1.z  z.1  z;
phức zz  aa  bb  ab  a b   .i
z  z  z   zz  zz .
Phép chia số phức khác 0
Số nghịch đảo của số phức z  0 kí hiệu là 1 z là số  1 phức thỏa mãn 1 zz  1 hay 1 z  z. 2 z
Thương của phép chia số phức z cho số phức z  0 , kí z   z z hiệu là 1  z z  . 2 z z
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Thực hiện các phép toán của số phức, tìm phần thực phần ảo
1. Phương pháp giải
Cho hai số phức z  a  bi và z  a  b i , Bài tập: trong đó ,
a b, a ,b  . Khi đó:
Hai số phức z  3  7i, z  4  3i có 1 2 
z  z '  a  a ' b  bi;
z  z  3  4  7
  3 i  7  4i; 1 2     
z  z '  a  a '  b  bi;
z  z  3  4  7   3 i  1  10i; 1 2     
zz  aa  bb  ab  a b  i; z z  3.4  7  .3  3.3  4. 7 
i  33 19i; 1 2          z
3  7i 4  3i 9 37 1     z z z  .     .i 2 z z z
4  3i . 4  3i 25 25 2     2. Bài tập
Bài tập 1: Tất cả các số phức z thỏa mãn 2z  31 i  iz  7  3i là 8 4 8 4 A. z   .i
B. z  4  2 .i C. z   .i
D. z  4  2 .i 5 5 5 5
Hướng dẫn giải Chọn D.
Ta có: z    i  iz   i    i 10 2 3 1 7 3 2
z  10  z 
 z  4  2 .i 2  i
Bài tập 2: Cho số phức z  a  bi a,b   thỏa mãn z 1 3i  z i  0 . Giá trị của S  a  3b là 7 7 A. S   . B. S  3. C. S  3.  D. S  . 3 3
Hướng dẫn giải Chọn B.
Ta có z 1 3i  z i  0 a     a 1  1 0 2 2
b  3  a  b i  0   2 2 b
  3  a  b a  1  a  1    b 3       4  S  3.   b   b  32 2  1 b  3
Bài tập 3. Tính         2    3     20 C 1 1 i 1 i 1 i ... 1 i Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức của cấp số nhân: Ta có:    2  3  20 1  21            q C 1 1 i 1 i 1 i ... 1 i u . 1 1  q 1  1  i21 1  1  i21  1. . 1  1  i  i Ta có: 1 i2  2i
 1 i21  1 i20 .1 i  2i10 .1 i   10 2 1  i   10 2  10 i.2 1  10 2  10 Do đó:  i.2 C   10 2  1 10 2 i. i
Bài tập 4. Tính tổng   2  3   2012 S i 2i 3i ... 2012.i . A. 10  06  1006i B. 1006  1006i C. 1  006  1006i D. 1006  1006i Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1.
Ta có  2  3  4   2013 iS i 2i 3i ... 2012i  
  2  3   2012  2013 S iS i i i ... i 2012.i Dãy số 2 3 2012 i, i , i , ...,i
là một cấp số nhân có công bội q  i và có 2012 số hạng, suy ra: 1  2012  2  3   2012  i i i i ... i i.  0 1  i  Do đó:    2013     2012i S iS 2012.i 2012i S  1006  1006i 1  i Cách 2. Dãy số 2 2012 1,x,x ,...,x
là một cấp số nhân gồm 2013 số hạng và có công bội bằng x. 1  2013 Xét x
x  1, x  0 ta có: 1  x  2 x  3 x  ...  2012 x  1 1  x
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được: 2013 2012.x  2012 2013x    2   2011  1 1 2x 3x ... 2012x 2 1 x2
Nhân hai vế của (2) cho x ta được: 2014 2012.x  2013 2013x   2  3   2012  x x 2x 3x ... 2012x 3 1 x2
Thay x  i vào (3) ta được: 2014 2012i  2013 2013i    2  2   2012  i S i 2i 3i ... 2012i 1i2 Với 2014   2013 i 1, i  i 2012  Vậy  2012i S  1006  1006i. 2i 
Bài tập 5. Cho , hai số phức liên hiệp thỏa mãn
R và     2 3. Tính  . 2 A. 3 B. 3 C. 2 D. 5 Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt   x  iy    x  iy với x,yR.
Không giảm tính tổng quát, ta coi y  0.
Vì     2 3 nên 2iy  2 3  y  3.  3
Do , hai số phức liên hợp nên   .  , mà 
  do đó 3  . Nhưng ta có 2 2 3  3  2   2  3 x 3xy
3x y y i nên 3  khi và chỉ khi 2  3    2  2    2 3x y y 0 y 3x y 0 x  1. Vậy   2  2 x y  1  3  2.
Bài tập 6. Tìm c biết a,b và c các số nguyên dương thỏa mãn:    3 c a bi  107i. A. 400 B. 312 C. 198 D. 123 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có    3   3  2   2  3 c a bi 107i a 3ab
i 3a b b  107. Nên c là số nguyên dương thì 2  3
3a b b  107  0. Hay  2  2 b 3a b   107. Vì 
a, b  Z và 107 là số nguyên tố nên xảy ra:  11450 b  2 107; 3a  2 b  1  2 a  Z (loại). 3   2  2   2 b 1; 3a b 107
a  36  a  6 (thỏa mãn). Vậy nên  3  2  3  2 c a 3ab 6 3.6.1  198.
Bài tập 7. Cho số phức z có phần ảo bằng 164 và với số nguyên dương n thỏa mãn z  4i. Tìm z  n n. A. n  14 B. n  149 C. 697 D. 789 Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt z  x  164i ta có: z x    164i 4i
 4i  x  164i  656  4x  ni z  n x  164i  n x    656   n  x  n  697.  41
Vậy giá trị cần tìm của n là 697. 1 3i
Bài tập 8. Cho số phức z thỏa mãn z 
.Tìm mô đun của số phức z  iz 1  i A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 Hướng dẫn giải Chọn A
Từ z ta phải suy ra được z và thay vào biểu thức z  iz rồi tìm môđun:
1 3i 1 3i1i 1 3 1     3 z i 1  i 2 2 2 1  3 1  3 1  3 1  Suy ra:      3 z i i.z i 2 2 2 2
Do đó: z  iz  1  i  z  iz  2 . Dùng MTCT: 1 3i Bước 1: Lưu  A 1  i
Bước 2: Tính A  iA
Lời bình: Nhận thấy rằng với số phức z  a  bi bất kì ta đều có z  iz  1 ia  b hay z  iz z   iz
a  b  , z   . Về phương diện hình học thì
luôn nằm trên trục Ox khi biểu diễn 1  i 1  i trong mặt phẳng phức. i  
Bài tập 9. Tìm số thực m biết:  m z và  2 m zz
( trong đó i là đơn vị ảo) 1  m m  2i 2          A. m 1  B. m 0  C. m 0  D. m 2  m   1 m  1   m   1 m   1
Định hướng: Quan sát thấy z cho ở dạng thương hai số phức. Vì Vậy cần phải đơn giản z bằng 
cách nhân liên hiện ở mẫu. Từ z  z . Thay z và z vào  2 m zz ta tìm được m 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có:  i  m 2 1  m  2mi m 2 1  m   2m  i 2 2 1  m  2m i m  z    1  m m  2i 1m 2 4m 1m 2 2 2 2 m  2 1  m   i 2 1  m  m i m i        z   2 2 2 2 2 2 1  m 1  m 1  m 1  m 1 m Như vậy: 2 2  m m  1 1        1 1   zz m 2    m  2 3 2 m 0       2    m  1 m 2m m 0 2 2 2 2 1 m 2 m 1
Bài tập 10. Tìm phần thực của số phức:    n z 1 i
,n   thỏa mãn phương trình:
log n  3  log n  9  3 . 4 4 A. 6 B. 8  C. 8 D. 9 Hướng dẫn giải Chọn C
Điều kiện: n  3,n 
Phương trình log n  3  log n  9  3  log n  3n  9  3 4 4 4
      3  2 n 3 n 9 4
n  6n  9  0  n  7 do:n  3
 7    23           3 z 1 i 1 i . 1 i 1 i . 2i
 1 i.8i  8    8i
Vậy phần thực của số phức z là 8. m 
Bài tập 11. Cho số phức  3i z
m . Tìm m, biết số phức  2 w z có môđun bằng 9. 1  i          A. m 1  B. m 3  C. m 3  D. m 3  m   1 m  1   m   1 m  3   Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: 2 2 m  9   2 6mi m    2 9 m    2         2   9 w z 3m i w 9 9m   9      2i  2   2   1 4 m  2 18m  81  9  2 m  9  18  2 m  9  m  3 2
Vậy giá trị cần tìm là m  3 i 
Bài tập 12. Cho số phức  m z
. Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn 1 m m 2i ,m     tại m để z  1  k     A. 5 1 k  B. 5 2 k  C.  5 1 k D. 5 2 k  2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C i  m 1 1  m  Ta có      i z z 1  2 i  mi  2 m i  m m  i k  1  m  0 2 i m  2m  2  z  1    z  1  k   2 m  2m   2 m  2 m i 1   2 k  2 m  1 2
Xét hàm số   m  2m   2 f m 2 m  1 2 m m 1 ʹ  2    1  Ta có:   
 ʹf m  0  m  5 f m  . 2 2   2 m 1 1  5 3 
Lập bảng biến thiên ta có min         5 f m    2  2 3  5 3  5 5 
 Yêu cầu bài toán 2     1 k k 2 2 2  Vậy  5 1 k là giá trị phải tìm. 2
Dạng 2. Tìm số phức liên hợp, tính môđun số phức
1. Phương pháp giải
 Số phức z  a  bi có z  a  bi và Bài tập: Số phức liên hợp của số phức
z  2  3i3  2i 2 2
z  a  b . là Chú ý: Nếu
z  a  bi thì A. z  12  5 .i B. z  12   5 .i 2 2
z  z  2a; z.z  a  b . C. z  12   5 .i
D. z  12  5 .i
Hướng dẫn giải
Ta có z    i  i 2 2 3
3 2  6  5i  6i  12  5i
 z  12  5 .i Chọn D. 2. Bài tập mẫu
Bài tập 1: Cho số phức z  a  bi, với a,b là các số thực thỏa mãn
a  bi  2i a  bi  4  i, với i là đơn vị ảo. Môđun của 2
 1 z  z là A.   229. B.   13. C.   229. D.   13.
Hướng dẫn giải Chọn A
a  b   a 
Ta có a  bi  i a  bi 2 4 2 2  4  i    
. Suy ra z  2  3 .i
b  2a  1 b   3  Do đó 2
 1 z  z  2
 15 .i Vậy    2   2 2 15  229 1 3i
Bài tập 2: Cho số phức z thỏa mãn z 
. Môđun của số phức w  .iz  z là 1 i A. w  4 2. B. w  2. C. w  3 2. D. w  2 2.
Hướng dẫn giải Chọn C. 1 3i Ta có: z   1   2 .i 1 i
 z  1 2i  w  .i 1   2i   1   2i  3   3 .i
 w   2   2 3 3  18  3 2.
Bài tập 3: Cho z , z là các số phức thỏa mãn z  z  1 và z  2z  6. 1 2 1 2 1 2
Giá trị của biểu thức P  2z  z là 1 2 A. P  2. B. P  3. C. P  3. D. P  1.
Hướng dẫn giải Chọn A.
Đặt z  a  b i;a ,b  , z  a  b i; a ,b  .  1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1  Suy ra 2 2 2 2
a  b  a  b  1 và z  2z  6  a .a  b .b  . 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 4
Ta có: 2z  z  2a  a  2b  b i 1 2 1 2  1 2
 2z  z  2a  a 2  2b  b 2  2  1 2 2
a  b   . 2 2
a  b  a a  b b 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2   1 2 1 2  4
Suy ra P  2z  z  2. 1 2
Dạng 3. Bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức Bài tập 1: Cho ,
A B,C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 4  3i,1 1
2ii, . Số phức i
có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình bình hành là
A. z  6  4 .i
B. z  6  3 .i
C. z  6  5 .i
D. z  4  2 .i
Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có
A là điểm biểu diễn của số phức 4  3i nên A4; 3  .
B là điểm biểu diễn của số phức 1 2ii  2
  i nên B  2;   1 . 1
C là điểm biểu diễn của số phức  i  nên C 0;  1 . i  
Điều kiện để ABCD là hình bình hành là AD  BC
x  x  x  x
x  x  x  x  6 D A C B D C A B      D 6; 5
   z  6 5 .i
y  y  y  y
y  y  y  y  5   D A C B  D C A B
Bài tập 2: Cho tam giác ABC có ba đỉnh ,
A B,C lần lượt là điểm biểu diễn hình học của các số
phức z  2  i, z  1
  6i, z  8  .i Số phức z có điểm biểu diễn hình học là trọng tâm của tam 1 2 3 4
giác ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. z  3  2 .i B. z  5. 4 4
C.  z 2 1312 .i
D. z  3  2 .i 4 4
Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có: A2;  1 , B  1  ;6,C 8;  1 .
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
 G 3;2  z  3 2i  z  3 2 .i 4 4
Bài tập 3: Cho các số phức z , z thoả mãn z  3, z  4, z  z  5 . Gọi ,
A B lần lượt là các 1 2 1 2 1 2
điểm biểu diễn số phức z , z trên mặt phẳng toạ độ. Diện tích S của OAB (với O là gốc toạ độ) 1 2 là 25 A. S  5 2. B. S  6. C. S  . D. S  12. 2
Hướng dẫn giải Chọn B.
Ta có: z  OA  3, z  OB  4, z  z  AB  5 1 2 1 2  OA 
B vuông tại O (vì 2 2 2
OA  OB  AB ) 1 1  S  O . A OB  .3.4  6. OAB  2 2
Dạng 4. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
 z  i  z 1 
Bài tập 1: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn  ?
 z  2i  z  A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dẫn giải Chọn A.
Đặt z  x  yi, x, y  . x    y  2 1   x  2 2 2 1  y
Ta có hệ phương trình: 
 x  y 1. x    y  22 2 2 2  x  y
Do đó z  1 i nên có một số phức thỏa mãn.
Bài tập 2: Có bao nhiêu số phức z thỏa điều kiện .
z z  z  2 và z  2? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: 2 .
z z  z  2  z  z  2  z  4  2.
Suy ra điểm M biểu diễn số phức z là giao của hai đường tròn C  2 2 : x  y  4 1
và C  :  x  42 2  y  4. 2
Vì I I  R  R ( I , I là tâm của các đường tròn C , C ) nên C và C tiếp xúc nhau). 2  1  1   2  1 2 1 2 1 2
Suy ra: Có một số phức z thỏa mãn yêu cầu.
Bài tập 3: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z  z  6  i  2i  7  i z ? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Hướng dẫn giải Chọn B.
Nhận xét: Từ giả thiết, ứng với mỗi z cho ta duy nhất một số phức z.
Đặt z  a  0, a   , khi đó ta có
z  z  6  i  2i  7  i z
 a z  6  i  2i  7  i z
 a  7  i z  6a  ai  2i
 a  7  i z  6a  a  2i
 a  7  i z  6a  a  2i
 a  2   a   a  3 2 2 7 1 36a 2   4 3 2  a   
   a   3 2 14a 13a 4a 4 0
1 a 13a  4  0.
Hàm số f a 3 2
 a 13a a  0 có bảng biến thiên: Đường thẳng 4
y   cắt đồ thị hàm số f a tại hai điểm nên phương trình 3 2
a 13a  4  0 có
hai nghiệm khác 1 (do f  
1  0 ). Thay giá trị môđun của z vào giả thiết ta được 3 số phức thỏa mãn điều kiện.
Bài tập 4: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa
mãn z  2m  
1  i  10 và z 1 i  z  2  3i ? A. 40. B. 41. C. 165. D. 164.
Hướng dẫn giải Chọn B.
Giả sử z  x  yi  x, y   và M  x, y là điểm biểu diễn số phức z.
Ta có: z   m    i 
 z   m   2 2 1 10 2 1  i  100  x    m   2    y  2 2 1 1  100.
Khi đó điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn C có tâm I 2m 1; 
1 , bán kính R  10.
Lại có z   i  z   i   x     y   2
i   x      y 2 1 2 3 1 1 2 3 i
 x  2   y  2  x  2    y2 1 1 2 3
 2x  8y 11  0.
Khi đó điểm biểu diễn số phức z cũng nằm trên đường thẳng  : 2x  8y 11  0
Có đúng hai số phức z thỏa mãn nếu đường thẳng  cắt đường tròn C tại 2 điểm phân biệt. 2 2m 1  8 11 5  20 17 5  20 17
Tức là d I,    10   10   m  . 2 2 2  8 4 4
Vậy có 41 giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập 5: Cho hai số phức z và z thỏa mãn z  3, z  4, z  z  37. Hỏi có bao nhiêu 1 2 1 2 1 2 z số z mà 1 z   a  bi ? z2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dẫn giải Chọn B.
Đặt z  x  yi, z  c  di x, y, c, d   . Ta có: 1 2   2 2
z  3  x  y  9; 1 2 2
z  4  c  d  16; 2 2 2 2 2
z  z  37  x  y  c  d  2xc  2yd  37  xc  yd  6.  1 2 Lại có: z x  yi xc  yd yc  xd 3 3 1   
i    b .i Suy ra a   . 2 2 2 2 z c  di c  d c  d 8 8 2 z z 3 9 9 27 3 3 Mà 1 1 2 2 2 2 2 2 
  a  b  a  b   b   a   b   z z 4 16 16 64 8 2 2
Vậy có hai số phức z thỏa mãn.
Bài tập 6: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z
thỏa mãn z.z  1 và z - 3 + i = m . Số phần tử của S là A. 2. B. 4. C. 1. D. 3.
Hướng dẫn giải Chọn A.
Dễ thấy m  0.
Đặt z  a  bi;a,b   ta có hệ phương trình. 2 2 a  b 1 a 3  2 b 2 2 1  m Phương trình 2 2
a  b  1 là đường tròn tâm O, bán kính R  1 . 2
Phương trình a    b  2 2 3
1  m là đường tròn tâm I  3; 
1 , bán kính R  m .
Có duy nhất số phức thỏa mãn đề bài 2 2 a  b 1   Hệ phương trình  có nghiệm duy nhất  a  3  2 b 2 2 1  m
 Hai đường tròn này tiếp túc với nhau m  1
 OI  m 1  m 1  2  
(thỏa mãn m  0 ). m  3
Vậy, có hai số thực thỏa mãn. z z
Bài tập 7: Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  1 và   1. z z A. 3. B. 4. C. 6. D. 8.
Hướng dẫn giải Chọn D.
Đặt z  a  bi,a,b  . Ta có 2 2 2 2
z  a  b  1  a  b  1. 
a bi2 a bi2 2 2 z z z z 2 2   
 2a  2b 1. 2 z z . z z z 2 2 2 2 2 2 a  b 1 a  b 1 a  b 1    Ta có hệ:    hoặc  2 2 1 1 2 2 2a  2b  1 a  b   2 2   a  b     2  2  3  1 2 a  2  a   4    4  hoặc  . 1 3 2 b   2    b  4  4          Suy ra a b 1 3 1 3 3 1 3 1 ;    ; ;  ; ; ;  ;  ;  .  2 2   2 2   2 2   2 2          
Vậy có 8 cặp số a;b do đó có 8 số phức thỏa mãn.
Dạng 5: Bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phức
1. Phương pháp giải
Sử dụng các định nghĩa, tính chất hình học đã biết. Bài tập:
Cho trước các điểm cố định I, F , F ; F F  2c c  0 Trên mặt phẳng Oxy tập hợp các điểm 1 2 1 2  
Tập hợp các điểm M thoả mãn MI  R R  0 là biểu diễn số phức z thoả mãn
z  2  5i  4 là đường tròn tâm
đường tròn tâm I bán kính . R Tập hợp các điểm M thoả mãn I  2;
 5, bán kính R  2.
MF  MF  2a a  c 1 2  
là elip có hai tiêu điểm là F , F . 1 2
Tập hợp các điểm M thoả mãn MF  MF là đường 1 2
trung trực của đoạn thẳng F F . 1 2 2. Bài tập
Bài tập 1: Xét các số phức z thỏa mãn  z  68 z.i là số thực. Biết Chú ý:
Trong mặt phẳng Oxy ,
rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, có tâm
I a;b và bán kính .
R Giá trị a  b  R bằng   2   2 2 x a y b  R là A. 6. B. 4. C. 12. D. 24.
phương trình đường tròn
có tâm I a;b và bán kính R  0 .
Hướng dẫn giải Chọn B.
Đặt z  x  yi  x, y  .
Vì  z  68 z.i  x  6  yi  y 8  xi     là số thực nên
x  x    y  y      x  2   y  2 6 8 0 3 4  25.
Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là đường tròn có tâm I 3; 4
 , bán kính R  5.
Vậy a  b  R  4.
Bài tập 2: Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  10 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là A. Một parabol.
B. Một đường tròn. C. Một elip. D. Một hypebol.
Hướng dẫn giải Chọn C.
Gọi z  x  yi  x, y   thì z  3  z  3 10   x  3  yi   x  3  yi 10(*)
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z và các điểm F 3;0 , F 3
 ;0 . Dễ thấy F F  6  2c 1   2   1 2
Khi đó: z  3  z  3  10  MF  MF  10  2 . a 1 2
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là elip có hai tiêu điểm F , F , độ dài trục lớn là 1 2 2a  10
Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn z  10 và w    i z    i2 6 8 1 2
. Tập hợp các điểm biểu
diễn số phức w là đường tròn có tâm là A. I  3;  4  . B. I 3;4. C. I 1; 2  . D. I 6;8.
Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có
w    i z    i2 6 8 1 2  w   3
  4i  6 8i z
 w    i 2 2 3 4  6  8 z  w   3
  4i 10.10  w  3   4i 100
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn C có tâm I  3;  4  .
Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z
thỏa mãn z 1 2i  z 1 2i là đường thẳng có phương trình
A. x  2y 1  0.
B. x  2 y  0.
C. x  2 y  0.
D. x  2y 1  0.
Hướng dẫn giải Chọn C.
Đặt z  x  yi  x, y    z  x  y .i Gọi M  ;
x y là điểm biểu diễn của số phức z.
Ta có: z 1 2i  z 1 2i
 x  yi 1 2i  z  yi 1 2i  x  
1   y  2i   x  
1  2  yi
 x  2   y  2  x  2    y2 1 2 1 2 2 2 2 2
 x  2x 1 y  4y  4  x  2x 1 y  4y  4
 x  2y  0.
Vậy tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng có phương
trình là x  2y  0.
Bài tập 5. Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tập hợp những
điểm M(z) thỏa mãn điều 2  z  i  z là
A. Đường thẳng 4x  2y  3  0
B. Đường thẳng 4x  2y  3  0
A. Đường thẳng x  2y  3  0
D. Đường thẳng x  9y  3  0 Hướng dẫn giải Chọn A
Cách 1. Đặt z  x  yi;x,y. là số phức đã cho và Mx; y là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức 2 2
Ta có        
         2 2 z 2 i z x 2 yi x y 1 i x 2  y  x  y 1
 4x  2y  3  0 . Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường thẳng 4x  2y  3  0
Cách 2. z  2  i  z  z   2    i  z *
Đặt z  x  yi;x,y . là số phức đã cho và Mx; y là điểm biểu diễn của z trong mặt
phẳng phức, Điểm A biểu diễn số ‐2 tức A 2
 ;0và điểm B biểu diễn số phức i tức B0;1
Khi đó *  MA  MB . Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường trung tực của AB: 4x  2y  3  0 .
Bài tập 6. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  2i  z  1  i là
A. Đường thẳng x  y  3  0
B. Đường thẳng x  2y  3  0
A. Đường thẳng x  2y  3  0
D. Đường thẳng x  y  1  0 Hướng dẫn giải Chọn D
Giả sử z  x  yi (x,y  ) , điểm Mx; y biểu diễn z. Theo bài ra ta có:
            
   2    2    2 2 x y 2 i x 1 y 1 i x y 2 x 1 y 1
 4y  4  2x  2y  2  x  y  1  0
Suy ra M thuộc đường thẳng có phương trình x  y  1  0 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường thẳng có phương trình x  y  1  0 .
Bài tập 7. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện 5 1  iz  3  2i  1  7iz  i là A. Đường thẳng B. Đường tròn A. Đường elip D. Đường Parabol Hướng dẫn giải Chọn A
Nhận thấy 5 1  i  5 2  1  7i
Ta có 5 1  iz  3  2i  1  7iz  i     3  2i i 5 1 i . z   1  7i . z  5  5i 1  7i 3  2i i 1 1 7 1  z   z   z   i  z   i 5  5i 1  7i 10 2 50 50  1 1   7 1 
Vậy tập hợp M là đường trung trực AB, với A   ;  ,B ;  .  10 2   50 50 
Bài tập 8. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  z  3  4 là 1 7 1 7
A. Hai đuờng thẳng x  , x  
B. Hai đuờng thẳng x   , x   2 2 2 2 1 7 1 7
A. Hai đuờng thẳng x  , x 
D. Hai đuờng thẳng x   , x  2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A
Đặt z  x  yi,x,y Lúc đó: 2
z  z  3  4  x  yi  x  yi  3  4  2x  3  4  4x  12x  9  16  1 x   2 2
 4x  12x  7  0   7 x    2 1 7
Vậy tập hợp điểm M là hai đường thẳng x= ; x   song song với trục tung. 2 2
Bài tập 9. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  z  1  i  2 là 1  3 1  3 1  3 1  3
A. Hai đuờng thẳng y  ; y 
B. Hai đuờng thẳng y  ; y  2 2 2 2 1  5 1  3 1  5 1  3
A. Hai đuờng thẳng y  ; y 
D. Hai đuờng thẳng y  ; y  2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt z  x  yi,x,y Lúc đó:
z  z  1  i  2  x  yi  x  yi  1  i  2  1  2y  1i  2  1  2y 12 2 2
 2  1 4y  4y  1  4  4y  4y  2  0  1  3 y  2       2 2y 2y 1 0  1  3 y   2 1  3 1  3
Vậy tập hợp điểm M là hai đường thẳng y  ; y 
song song với trục hoành. 2 2
Bài tập 10. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện 2 z  1  z  z  2 là
A. Hai đuờng thẳng x  0 , y  0 .
B. Hai đuờng thẳng x  0 , y  2  .
C. Hai đuờng thẳng x  0 , x  2  .
D. Hai đuờng thẳng x  2 , y  2  . Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi Mx; y là điểm biểu diễn số phức z  x  yi , x,y thỏa 2 z  1  z  z  2
 2 x  yi  1  x  yi  x  yi  2  2 x  1 yi  2   2yi 
  2    2  2   2 2 x 0 2 x 1 y 2 2y
 x  2x  0  x  2  
Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là hai đường thẳng x  0 , x  2  .
Bài tập 11. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  1  i  2 là
A. Đuờng thẳng x  y  2  0 2 2
B. Đường tròn x  1  y  1  4
C. Đường thẳng x  y  2  0
D. Đường tròn tâm I1; 1   và bán kính R  2. Hướng dẫn giải Chọn D
Xét hệ thức: z  1  i  2 Đặt z  x  yi,x,y   . 2 2 2 2
Khi đó: (1)  x  1  y  1  2  x  1  y  1  4
Vậy, tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn hệ thức (1) là đường tròn tâm I1; 1 và bán kính R  2.
Bài tập 12. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều z kiện  3 là z  1 A. Đuờng tròn 2 2 18 9 x  y  y   0 B. Đường tròn 2 2 18 9 x  y  y   0 8 8 8 8   C. Đường tròn 2 2 18 9 9 x  y  y   0
D. Đường tròn tâm I0;  và bán kính 8 8  8  1 R  . 8 Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt z  x  yi, x,y . Ta có z 2 2 18 9
 3  z  3 z  1  x  y  y   0 z  1 8 8  9 
Vậy, tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn hệ thức (1) là đường tròn tâm I0;  và bán  8  3 kính R  . 8
Bài tập 13. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  3  2i  2z  1  2i là A. Đuờng tròn 2 2 2 4 8 x  y  x  y   0 B. Đường tròn 2 2 2 4 8 x  y  x  y   0 3 3 3 3 3 3 C. Đường tròn 2 2 2 4 8 x  y  x  y   0 D. 2 2 2 4 8 x  y  x  y   0 3 3 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt z  x  yi;x,y .
Ta có: z  3  2i  2z  1  2i
 x  3  y  2i  2x  1  2y  2i  x  32  y  22  2x  1  2y  22 2 2
 3x  3y  2x  4y  8  0
Suy ra: Tập hợp các điểm biểu diễn z là phương trình đường tròn (C): 2 2 2 4 8 x  y  x  y   0 . 3 3 3
Bài tập 14. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  i  1  iz là A. Đuờng tròn    2 2 x y 1  2 B. Đường tròn    2 2 x y 1  2 2 2 2 2
C. Đường tròn x  1  y  1  2
D. x  1  y  1  2 Hướng dẫn giải Chọn A
Gọi Mx; y là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi;x,y . 2 2 2 Suy ra 2
z  i  x  y  1  1  iz  1  ix  yi  x  y  x  y 2 2 2 2 Nên      2 
            2 z i 1 i z x y 1 x y x y  x  y  1  2
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn    2 2 x y 1  2 .
Bài tập 15. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  4i  z  4i  10 là 2 2 x y 2 2 x y A. Đuờng elip   1 B. Đuờng elip   1 9 16 16 9 2 2 x y 2 2 x y C. Đuờng elip   1 D. Đuờng elip   1 4 3 9 4 Hướng dẫn giải Chọn A z  4i  z  4i  10 Xét hệ thức:
z  x  yi, x,y   Đặt . Lúc đó
(4)  x  y  42  x  y  4 2 2 2 2 2 x y  10    1 9 16
Vậy tập hợp điểm M là đường elip có hai tiêu điểm là F (0; 4);F (0; 4)
 và độ dài trục lớn là 1 2 16.
Bài tập 16. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  2  z  2  5 là A. Đuờng tròn B. Đuờng elip C. Đuờng parabol D. Đuờng thẳng Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt z  x  yi;x,y  .
Ta có: z  2  z  2  5               2     2 2 2 x 2 yi x 2 yi 5 x 2 y x 2  y  5 1 Xét A2;0; B 2
 ;0;Ix;y  IA  IB  5
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z chính là tập hợp các điểm I thỏa mãn IA  IB  5 , đó AB IA  IB 5
chính là một elip có tiêu cự c   2;a   2 2 2
Bài tập 17. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện 2  z  z  2 là
A. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung
B. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên trái trục tung
C. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành
D. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía dưới trục hoành Hướng dẫn giải Chọn A
Xét hệ thực: 2  z  z  2 1 . Đặt z  x  yi, x,y  . Khi đó: (3)  8x  0
Tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện (1) là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung,
tức các điểm x,y mà x  0
Bài tập 18. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện 1  z  1  i  2 là
A. Tập hợp các điểm là hình tròn có tâm I1; 1   , bán kính 2
B. Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại A1; 
1 và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2; 1
C. Tập hợp các điểm là hình tròn có tâm I1; 1   , bán kính 1
D. Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại I1; 
1 và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2; 1 Hướng dẫn giải Chọn 18 B
Xét hệ thực: 1  z  1  i  2 2 . Đặt z  x  yi, x,y   .
Khi đó:       2    2 2 1 x 1 y 1  4
Vậy tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện (2) là hình vành khăn có tâm tại A1; 
1 và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2; 1 z  i
Bài tập 19. Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho zi là số thực.
A. Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độ
B. Tập hợp điểm là trục hoành
C. Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độ bỏ đi điểm A(0;1)
D. Tập hợp điểm là trục tung, bỏ đi A(0;1) Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt z  x  yi,x,y.
x  y  11  y  x
 y  1  x1   y i z i  Ta có:  z  i x  1  y2 2
z  i là số thực  xy 1  x1 y  0  xy  0. z  i Mặt khác:    2 2 x y 1
 0  cả mặt phẳng phức bỏ đi điểm 0;  1 x  0 
Tóm lại: ycbt  y  0
. Vậy các điểm của mặt phẳng phức cần tìm gồm hai trục tọa x,y   0; 1 độ bỏ đi điểm A(0;1) z  2  3i
Bài tập 14. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u  là một số thuần z  i ảo.
A. Đường tròn tâm I 1  ; 1   bán kính R  5
B. Đường tròn tâm I 1  ; 1
  bán kính R  5 trừ đi hai điểm A0;1; B 2  ; 3   .
C. Đường tròn tâm I1;1 bán kính R  5
D. Đường tròn tâm I1;1 bán kính R  5 trừ đi hai điểm A0;1; B 2  ; 3   . Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt z  x  yi,x,y Ta có:    x  2 z 2 3i   y  3ix    y 1 2 2 i
x  y  2x  2y  3  2  2x  y 1i u    z  i x  y  12 x  y  12 2 2
x 12 y 12  5  2 2 
x  y  2x  2y  3  0 
u là số thuần ảo       x,y   0;1 2x  y  1  0      x,y     2  ; 3  
Vậy tập hợp điểm z là đường tròn tâm I 1  ; 1
  bán kính R  5 trừ đi hai điểm A0;1; B 2  ; 3   .
Bài tập 21. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z  x  yi thỏa mãn điều kiện x  y  1 là
A. Ba cạnh của tam giác
B. Bốn cạnh của hình vuông
C. Bốn cạnh của hình chữ nhật
D. Bốn cạnh của hình thoi Hướng dẫn giải Chọn B
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. x  y 1 kh i x  0,y  0  x  y  1 kh i x  0,y  0
Ta có: x  y  1  x  y 1 kh i x  0,y  0 
x  y  1 kh i x  0,y  0
Vậy tập hợp điểm M là 4 cạnh của hình vuông.
Bài tập 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa z  i z  i mãn  là số thuần ảo. z  1 z  1  1  1
A. Đường tròn tâm I   ; 0  bán kính R   2  2  1  1
B. Đường tròn tâm I  
; 0  bán kính R  trừ đi hai điểm  1;  0 .  2  2  1  1
C. Đường tròn tâm I   ; 0  bán kính R   2  4  1  1
D. Đường tròn tâm I  
; 0  bán kính R  trừ đi hai điểm 0;1 .  2  4 Hướng dẫn giải Chọn B
Giả sử z  x  yi và điểm biểu diễn số phức z là Mx; y . 2 2 z  z  z  i       z  i z  i z z 2i 2 2 2 x y  2x 2x 1i Ta có:    2 z  1 z  1 z  z  z  1 x 12 2  y  2  x y  2 2 2  1     1 z  i z  i 2x 0 2       x  y là số thuần ảo     2  4 z  1 z  1 x 1  2 2  y  0 x;y     1  ;0 2  1  1
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn 2 x   y    bỏ đi điểm  1;  0 .  2  4
Bài tập 23. Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức w  iz  1 ,
biết z là số phức thỏa mãn:    3 z 2i 1  8 .
A. Đường tròn     2    2 C : x 3 y 1  4
B. Đường tròn     2    2 C : x 3 y 1  2
C. Đường tròn     2    2 C : x 3 y 1  4
D. Đường tròn     2    2 C : x 3 y 1  4 Hướng dẫn giải Chọn C 3 3 Ta có 3 z  z nên     3 z 2i 1
 2  z  2i 1  2 * Đặt w  x  yi
Ta lại có w  iz  1  z  i  iw  z  i  i.w . (*) trở thành:
      2    2     2    2 iw 3i 1 2 y 1 x 3 2 y 1 x 3  4
Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn w trên mặt phẳng phức là đường tròn
    2   2 C : x 3 y 1  4 .
Bài tập 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn:
w  z  2  i , biết z là số phức thỏa z  1  2i  1 .
A. Đường tròn tâm I1; 2 bán kính R  2
B. Đường tròn tâm I2;1 bán kính R  2
C. Đường tròn tâm I1;1 bán kính R  1
D. Đường tròn tâm I3;3 , bán kính R  1 . Hướng dẫn giải Chọn D
Gọi w  x  yi x,y   Mx; y là điểm biểu diễn cho số w trên hệ trục Oxy.
z  w  2  i  x  2  y  1i  z  x  2  1  yi
z  1  2i  1  x  3  3  yi  1  x  32  y  32  1
Vây tập hợp điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn tâm I3; 3 , bán kính R  1 .
Bài tập 25. Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức
w  1  2iz  3 biết z là số phức thỏa mãn: z  2  5 .
A. Đường tròn tâm I1; 2 bán kính R  5
B. Đường tròn tâm I2;1 bán kính R  5
C. Đường tròn tâm I1; 4 bán kính R  5 5 .
D. Đường tròn tâm I1;3 , bán kính R  5 . Hướng dẫn giải Chọn C a  1  b  4i
Theo giả thiết: z  2  5 
 5  a  1  b  4i  5 1 2i 1  2i
   2    2 
   2    2 a 1 b 4 5 5 a 1 b 4  125
Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn đề bài là đường tròn tâm I1; 4 bán kính R  5 5 .
Bài tập 26. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức zʹ  1 i 3z  2 với z  1  2 .
A. Hình tròn tâm I 3  ; 3  , R  4 .
B. Đường tròn tâm I 3  ; 3  , R  4 .
C. Hình tròn tâm I1; 4   bán kính R  5 .
D. Đường tròn tâm I1;3 , bán kính R  5 . Hướng dẫn giải Chọn A z  a  bi a,b   Giả sử ta có  zʹ  x  yi x,y    Khi đó:
zʹ  1 i 3z  2  x  yi  1 i 3a  bi  2  x  yi  a  b 3  2  b  a 3  x  y 3  2  a   x  a  b 3  2  4     y  b  a 3  3x  y  2 3 b   4 Theo bài ra ta có: 2 2               2 2 x y 3 2 3x y 2 3 z 1 2 a 1  b  4    1     4  4   4     
 x  y 3  62   3x  y  2 32 2 2
 64  4x  4y  24x  8 3y  16  0
 x  y  6x  2 3y  4  0  x  3  y  32 2 2 2  16
Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z’ là hình tròn tâm I 3  ; 3  , R  4 .
Bài tập 27. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức w  1 i 3z  2 biết
rằng số phức z thỏa mãn z  1  2.
A. Hình tròn tâm I 3  ; 3  , R  4 .
B. Đường tròn tâm I3;3 bán kính R  4
C. Đường tròn tâm I3; 3 bán kính R  4 .
D. Hình tròn tâm I3; 3 bán kính R  4. Hướng dẫn giải Chọn D
Đặt z  a  bi,a,b và w  x  yi,x,y 2
Ta có:       2 z 1 2 a 1  b  4 * Từ
w  1 i 3z  2  x  yi  1 i 3a  bi  2
x  a  b 3  2 x  3  a 1 b 3     y  3a  b y  3  3  a 1 b   
 x  32  y  32  4 a 12 2  b  16 Do (*)  
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn tâm I3; 3 bán kính R  4. 2
Bài tập 28. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức zʹ  2z  3  i với 3z  i  zz  9 .
A. Hình tròn tâm I 3  ; 3  , R  4 .
B. Đường tròn tâm I3;3 bán kính R  4
C. Đường tròn tâm I3; 3 bán kính R  4 .  7  73
D. Hình tròn tâm I 3;    , R   4  4 Giải Chọn D z  a  bi a,b   Giả sử ta có  zʹ  x  yi x,y     x  3 a  x  2a  3  Khi đó     
        2 zʹ 2x 3 i x yi 2a 3 2b 1 i     y  2b   1 y  1 b   2 Theo bài ra ta có: 2        2 2 2 2 2 2 3z i zz 9 9a 3b 1
 a  b  9  4a  4b  3b  4  0 2
   2    2 3
         2  7  73 x 3 y 1 y 1 4 0 x 3  y     2  4  16  7  73
Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z’ là hình tròn tâm I 3;    , R   4  4
Bài tập 29. Cho các số phức z thỏa mãn z  4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số
phức w  (3  4i)z  i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r  4. B. r  5. C. r  20. D. r  22. Hướng dẫn giải Chọn C
a  (b 1)i
a  (b 1)i(3 4i)
Gọi w  a  bi , ta có w  a  bi  (3  4i)z  i  z   2 3  4i 9 16i 2 2
3a  4b  4 (3b  4a  3)
(3a  4b  4)  (3b  4a  3)   .i  z  25 25 25 Mà z = 4 nên 2 2 2 2 2
 (3a  4b  4)  (3b  4a  3) 100  a  b  2b  399
Theo giả thiết, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  (3  4i)z  i là một đường tròn nên ta có 2 2 2 2
a  b  2b  399  a  (b 1)  400  r  400  20
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC A. LÍ THUYẾT
1. Căn bậc hai của một phức Định nghĩa
Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn 2
z  w được gọi là
một căn bậc hai của w
Tìm căn bậc hai của số phức w Nhận xét:  w là số thực.
+) Số 0 có đúng một căn bậc hai
+ Nếu w  0 thì w có hai căn bậc hai là i w và là 0
+) Mỗi số phức khác 0 có hai căn i w
bậc hai là hai số đối nhau (khác
+ Nếu w  0 thì w có hai căn bậc hai là w và  w 0)
 w  a  bi a,b , b  0
Nếu z  x  iy là căn bậc hai của w thì  x iy2   a  bi 2 2
x  y  a
Do đó ta có hệ phương trình: 2xy b
Mỗi nghiệm của hệ phương trình cho ta một căn bậc hai Chú ý: của w
Mọi phương trình bậc n:
2. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực n n 1  A z  A z
... A z  A  0 0 1 n 1  n Xét phương trình 2
az  bz  c  0 a, , b c  ;  a  0
luôn có n nghiệm phức (không Ta có 2
  b  4ac
nhất thiết phân biệt) với n nguyên
 Nếu   0 thì phương trình có nghiệm thực   b x dương. 2a
 Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:        b x ;  b x 1 2a 2 2a
 Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: b  i  b  i  x  ; x  1 2a 2 2a
Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình bậc hai 2
ax  bx  c  0 a  0 có hai nghiệm
phân biệt x , x (thực hoặc phức) thì 1 2
S  x  x   b  1 2  a     c P x x 1 2  a
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Giải phương trình. Tính toán biểu thức nghiệm
1. Phương pháp giải
Ví dụ: Xét phương trình 2
z  2z  5  0 Cho phương trình:
a) Giải phương trình trên tập số phức 2
az  bz  c  0 a,b,c ;  a  0 b) Tính z  z 1 2
 Giải pương trình bậc hai với hệ số thực
Hướng dẫn giải
 Áp dụng các phép toán trên tập số phức a) Ta có:        i2 ' 1 5 4 2
để biến đổi biểu thức
Phương trình có hai nghiệm là:
z  2  2i ; z  2  2i 1 2 b) Ta có 2 2
z  z  2  2  2 2 1 2
Suy ra z  z  2 2  2 2  4 2 1 2 2. Bài tậ
Bài tập 1. Trong các số sau, số nào là nghiệm của phương trình 2
z 1  z  z  ? 1 3i 1 3 1 3 1 2i A. B. C. D. 2 2 2 2
Hướng dẫn giải Chọn A 2 2 1 1 3  1  3i Ta có 2
z 1  z  z  2  z  2. . z     z     2 4 4  2  4  1 3i  1 3i z   z  2 2 2      1  3i  1 3i z   z   2 2  2
Bài tập 2. Phương trình 2
z  az  b  0 a,b  có nghiệm phức là 3  4i . Giá trị của a  b bằng A. 31 B. 5 C. 19 D. 29
Hướng dẫn giải Chọn C
Chú ý: Nếu z là 0
Cách 1: Do z  3  4i là nghiệm của phương trình 2
z  az  b  0 nên ta có: nghiệm của phương   i2 3 4
 a3 4i  b  0  3a  b  7  4a  24i  0 trình bậc hai với hệ
số thực thì z cũng 3
 a  b  7  0 a  6  0     4a  24  0 b  25 là nghiệm của
Do đó a  b  19 phương trình
Cách 2: Vì z  3  4i là nghiệm của phương trình 2
z  az  b  0 nên 1
z  3  4i cũng là nghiệm của phương trình đã cho 2
z  z  a
Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình trên ta có 1 2 z .z   b 1 2   3 4 
i  3  4i  a a  6   a b       
3  4i3  4i 19  b b  25
Bài tập 3. Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2
z  6z  34  0 . Giá trị của 0
z  2  i là 0 A. 17 B. 17 C. 2 17 D. 37
Hướng dẫn giải Chọn A ra có      i2 ' 25 5
. Phương trình có hai nghiệm là z  3
  5i ; z  3   5i Do đó z  3
  5i  z  2  i  1   4i  17 0 0
Bài tập 4. Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2
z  2z  5  0 1 7  4i
Tọa độ điểm biểu diễn số phức
trên mặt phẳng phức là z1 A. P 3;2
B. N 1;2
C. Q 3;2 D. M 1;2
Hướng dẫn giải Chọn A z 1 2i Ta có 2
z  2z  5  0  z 12i
Theo yêu cầu của bài toán ta chọn z  1 2i . Khi đó: 1 7  4i 7  4i
7  4i1 2i    3  2i 2 2 z 1 2i 1  2 1
Vậy điểm biểu diễn của số phức là P 3;2
Bài tập 5. Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  4z  5  0 . Giá trị của biểu thức 1 2 z  2019 1  z  2019 1 bằng 1 2 A. 1009 2 B. 1010 2 C. 0 D. 1010 2
Hướng dẫn giải Chọn D z  2  i Xét phương trình 2
z  4z  5  0   z  22 1  1   z  2  i 2
Khi đó ta có:  z  2019 1  z  2019 1
 1 i2019  1i2019 1 2
   i  i 1009  i  i 1009 2 2 1 . 1 1 . 1
   i  i1009    i  i1009 1 . 2 1 . 2
  i1009   i  i   i1010   2i 505 1010 1010 2 1 1 2 .2  2 
Dạng 2: Định lí Vi-ét và ứng dụng
1. Phương pháp giải
Ví dụ: Phương trình 2
z  4z  24  0 có hai
Định lí Vi-ét: Cho phương trình:
nghiệm phức z , z nên 1 2 2
az  bz  c  0 ; a, ,
b c   ; a  0
z  z  4 ; z .z  24 1 2 1 2  b z  z    b 1 2 
Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn: z  z 
có hai nghiệm phức z , z thì a 1 2 a 1 2  c z .z  1 2  a 2. Bài tập
Bài tập 1: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  2z  5  0 . Giá trị của biểu thức 1 2 2 2 z  z bằng 1 2 A. 14 B. –9 C. –6 D. 7
Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi z , z là nghiệm của phương trình 2
z  2z  5  0 1 2 z  z  2
Theo định lí Vi-ét ta có: 1 2 z .z  5  1 2
Suy ra z  z   z  z 2 2 2 2
 2z z  2  2.5  6  1 2 1 2 1 2
Bài tập 2: Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là 1 2i ?
Chúng ta có thể giải từng A. 2
z  2z  3  0 B. 2
z  2z  5  0 phương trình: C. 2
z  2z  5  0 D. 2
z  2z  3  0 +) 2
z  2z  3  0
Hướng dẫn giải  z  2 2 1  2i Chọn C
 z 1  i 2
Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau nên  z 1i 2
phương trình bậc hai có nghiệm 1 2i thì nghiệm còn lại là 1 2i
Khi đó tổng và tích của hai nghiệm lần lượt là 2; 5 +) 2
z  2z  5  0
Vậy số phức 1 2i là nghiệm của phương trình 2
z  2z  5  0  z  2 2 1  4i  z 1  2  i
 z  1 2i +) 2
z  2z  5  0  z  2 2 1  4i  z 1  2  i
 z 1 2i +) 2
z  2z  3  0  z  2 2 1  2i
 z 1  i 2
 z  1 i 2
Bài tập 3: Kí hiệu z , z là nghiệm phức của phương trình 2
2z  4z  3  0 . Tính giá trị biểu thức 1 2
P  z z  i z  z 1 2  1 2 7 5 A. P  1 B. P  C. P  3 D. P  2 2
Hướng dẫn giải Chọn D
Ta có z , z là hai nghiệm của phương trình 2
2z  4z  3  0 1 2 z  z  2  1 2 
Theo định lý Vi-ét ta có  3 z .z   1 2  2 2 3 3  3  5
Ta có P  z z  i  z  z    i  2     2i      2  2  1 2 1 2 2 2  2  2
Bài tập 4: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình Cách khác: 1 2 Ta có: 2
z  4z  7  0 . Giá tị của 3 3
P  z  z bằng 2
z  4z  7  0 1 2 A. –20 B. 20  z  2 2 2  3i C. 14 7 D. 28 7
z  2  3i 1
Hướng dẫn giải
 z  2 3i  2 Chọn A Do đó: z  z  4
Theo định lý Vi-ét ta có 1 2  3 3 z  z z .z  7  1 2 1 2
 2  3i3 2  3i3 Suy ra 3 3
z  z   z  z  2 2
z  z z  z 1 2 1 2 1 1 2 2   20 
 z  z  z  z 2 3z z 1 2 1 2 1 2    2 4. 4  3.7  20 
Bài tập 5: Gọi z và z là hai nghiệm phức của phương trình 2
3z  2z  27  0 . Giá trị của 1 2
z z  z z bằng 1 2 2 1 A. 2 B. 6 C. 3 6 D. 6
Hướng dẫn giải Chọn A 2
Áp dụng định lý Vi-ét, ta có z  z  và z .z  9 1 2 3 1 2 Mà z  z  z z 
z .z  9  3 1 2 1 2 1 2 2
Do đó z z  z z  z .3  z .3  3 z  z  3.  2 1 2 2 1 1 2  1 2 3
Bài tập 6: Cho số thực a  2 và gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  2z  a  0 . 1 2
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. z  z là số thực
B. z  z là số ảo 1 2 1 2 z z z z C. 1 2  là số ảo D. 1 2  là số thực z z z z 2 1 2 1
Hướng dẫn giải Chọn C b
Ta có z  z    2 . Đáp án A đúng 1 2 a
Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm là số phức liên hợp. Gọi z  x  yi ; x, y   là 1
một nghiệm, nghiệm còn lại là z  x  yi 2
Suy ra z  z  2yi là số ảo. Đáp án B đúng 1 2 z z z  z z  z  2z z 4  2a 1 2 1 2  2 2 2 1 2 1 2       z z z .z z .z a 2 1 1 2 1 2
Vậy C là đáp án sai và D đúng
Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai
1. Phương pháp giải
Ví dụ: Giải phương trình: 4 2
z  z  6  0 trên tập
 Nắm vững cách giải phương trình bậc số phức.
hai với hệ số thực trên tập số phức
Hướng dẫn giải
 Nắm vững cách giải một số phương trình Đặt 2
z  t , ta có phương trình:
quy về bậc hai, hệ phương trình đại số t  3 2 bậc cao;…
t  t  6  0  t  2 Với t  3 ta có 2
z  3  z   3 Với t  2  ta có 2 z  2
  z  i 2
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm
z   3 ; z  i 2 2. Bài tậpmẫu
Bài tập 1: Tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình 4 2
2z  3z  2  0 là A. 3 2 B. 5 2 C. 2 5 D. 2 3
Hướng dẫn giải Chọn A z  2  z   2 2 z  2  Ta có: 4 2 2z 3z 2 0       2 1 1  2 2     . z  i z i  2  2 2   2 z   i  2
Khi đó, tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình đã cho bằng 2 2 2   2  i   i  3 2 2 2
Bài tập 2: Kí hiệu z , z , z , z là bốn nghiệm phức của phương trình 4 2
z  4z  5  0 . Giá trị của 1 2 3 4 2 2 2 2 z  z
 z  z bằng 1 2 3 4 A. 2  2 5 B. 12 C. 0 D. 2  5
Hướng dẫn giải Chọn B z 1  2 z 1 z  1  Ta có: 4 2 z 4z 5 0        2 z  5   z  5i 
z   5i
Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là: z  1, z  1  , z  i
 5 , z  i 5 1 2 3 4 2 2 Do đó: 2 2 2 2 2 2 z  z  z  z 1 1  5  5 12 1 2 3 4     2
Bài tập 3: Gọi z , z , z , z là các nghiệm phức của phương trình  2
z  z   2
4 z  z 12  0 . 1 2 3 4
Giá trị của biểu thức 2 2 2 2
S  z  z
 z  z là 1 2 3 4 A. S  18 B. S  16 C. S  17 D. S  15
Hướng dẫn giải Chọn C 2 Ta có:  2
z  z   2
4 z  z 12  0 t  2 Đặt 2
t  z  z , ta có 2
t  4t 12  0  t  6 z 1 1 z  2  2  2
z  z  2  0  Suy ra: 1   i 23   z  2 3
z  z  6  0  2  1   i 23 z  4  2 2 2 2 2  1   23   1   23 
Suy ra S  1   2  2 2                   17 2 2 2  2          4 z
Bài tập 4: Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình  z  4
 . Khi đó z  z bằng 1 2 2 z 1 2 A. 1 B. 4 C. 8 D. 2
Hướng dẫn giải Chọn A
Điều kiện: z  0 2 4 2 2 z  z   z.z  Ta có:  z  4      z  4      z  4  2 z  z  z      1 15  1 15 z    i z    i 2 2 2 2 2
 z  z  4  0      1 15  1 15 z    i z    i  2 2  2 2 1 15 1 15
Vậy z  z    i   i  1   1 1 2 2 2 2 2
Bài tập 5: Cho số thực a, biết rằng phương trình 4 2
z  az 1  0 có bốn nghiệm z , z , z , z thỏa 1 2 3 4 mãn  2 z  4 2 z  4 2 z  4 2
z  4  441. Tìm a 1 2 3 4  a 1 a  1  a  1  a  1 A.  19 B.  C.  D.   19 19 19 a   a  a   a   2  2  2  2
Hướng dẫn giải Chọn B
Nhận xét: z   z   i2 2 2 4 2
 z  2iz  2i
Đặt f  x 4 2
 z  az 1, ta có:
z 4z 4z 4z 4 4
  z  2i  z  i  f  i f i k  4 2 2 2 2 . 2 2 . 2 1 2 3 4  k      k 1  k 1 
  i  ai   i  ai      a2 4 2 4 2 16 4 1 16 4 1 17 4 a  1 
Theo giả thiết, ta có 17 4a2 441     19 a   2
Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn 2018 2017 11z 10iz
10iz 11  0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3
A. 2  z  3 B. 0  z  1 C. 1  z  2 D.  z  2 2
Hướng dẫn giải Chọn D 1110iz 1110iz Ta có z 11z 10i 2017 2017 2017
 1110iz  z   z  11z 10i 11z 10i Đặt
z  a  bi có 1110iz
1110i a  bi 10b  2 2 11 100a 100 2 2
a  b   220b 121    11z 10i 11a  bi 2 10i
121a  11b 102 121 2 2
a  b   220b 100 2
100t  220b 121
Đặt t  z t  0 ta có phương trình 2017 t  2
121t  220b 100
Nếu t  1  VT  1; VP  1
Nếu t  1  VT  1; VP  1
Nếu t  1  z  1
BÀI 4. CỰC TRỊ SỐ PHỨC
A. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Các bất đẳng thức thường dùng
a. Cho các số phức z , z ta có: 1 2
+) z  z  z  z (1). 1 2 1 2 z  0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1  . z  0, k
  , k  0, z  kz   1 2 1
+) z  z  z  z (2). 1 2 1 2 z  0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1  . z  0, k
  , k  0, z  kz   1 2 1
b. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
Cho các số thực a, , b x, y ta có:    2 2   2 2 ax by a b x  y 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay  bx .
2. Một số kết quả đã biết a. Cho hai điểm ,
A B cố định. Với điểm M bất kỳ luôn có bất đẳng thức tam giác:
+) MA  MB  AB , dấu “=” xảy ra  M nằm giữa hai điểm , A B .
+) MA  MB  AB , dấu “=” xảy ra  B nằm giữa hai điểm , A M . b. Cho hai điểm ,
A B nằm cùng phía đối với đường thẳng d và M là điểm di động trên d . Ta có:
+) MA  MB  AB , dấu “=” xảy ra  Ba điểm ,
A M , B thẳng hàng.
+) Gọi A là điểm đối xứng với A qua d , khi đó ta có
MA  MB  MA  MB  AB , dấu “=” xảy ra  Ba điểm A , M , B thẳng hàng. c. Cho hai điểm ,
A B nằm khác phía đối với đường thẳng d và M là điểm di động trên d . Ta có:
+) MA  MB  AB , dấu “=” xảy ra  M nằm giữa hai điểm , A B .
+) Gọi A là điểm đối xứng với A qua d , khi đó ta có
MA  MB  MA  MB  AB , dấu “=” xảy ra  Ba điểm A , M , B thẳng hàng.
d. Cho đoạn thẳng PQ và điểm A không thuộc PQ , M là điểm di động trên đoạn thẳng PQ , khi đó
max AM  maxAP, A 
Q . Để tìm giá trị nhỏ nhất của AM ta xét các trường hợp sau:
+) Nếu hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng PQ nằm trên đoạn PQ thì min AM  AH .
+) Nếu hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng PQ không nằm trên đoạn PQ thì
min AM  minAP; A  Q .
e. Cho đường thẳng  và điểm A không nằm trên  . Điểm M trên  có khoảng cách đến A nhỏ nhất
chính là hình chiếu vuông góc của A trên  . f. Cho ,
x y là các tọa độ của các điểm thuộc miền đa giác A A ...A . Khi đó giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của 1 2 n
biểu thức F  ax  by ( a,b là hai số thực đã cho không đồng thời bằng 0 ) đạt được tại một trong các
đỉnh của miền đa giác.
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
Với các số thực a, , b x, y ta có    2 2   2 2 ax by a b x  y  . a b Dấu “=” xảy ra khi  . x y
Các bất đẳng thức thường dùng
Bất đẳng thức tam giác
z  z  z  z . Dấu “=” xảy ra khi z  kz k  0 . 1 2   1 2 1 2
z  z  z  z . Dấu. “=” xảy ra khi z  kz k  0 . 1 2   1 2 1 2
z  z  z  z . Dấu. “=” xảy ra khi z  kz k  0 . 1 2   1 2 1 2 z z z
z Dấu “=” xảy ra khi z  kz k  0 . 1 2   1 2 1 2
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phương pháp hình học
1. Phương pháp giải
Vi dụ: Cho số phức z thỏa mãn       2 2 z z
i z z . Giá trị nhỏ nhất của z  3i bằng A. 3. B. 3 . C. 2 3 . D. 2. Hướng dẫn giải
Bước 1: Chuyển đổi ngôn ngữ bài toán số phức Giả sử z  x  yix, y   z  x  yi . Khi đó sang ngôn ngữ hình học.
z z iz z2   yi 2 2 2 2 2
 4x i  y  x . Gọi M  ;
x y; A0;3 lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z; 3
 i thì z  3i  MA .
Bước 2: Sử dụng một số kết quả đã biết để giải bài toán hình học. Parabol 2
y  x có đỉnh tại điểm O 0;0 , trục đối
xứng là đường thẳng x  0 . Hơn nữa, điểm A
thuộc trục đối xứng của parabol, nên ta có:
MA  OA  3. Suy ra, min MA  3 khi M  O .
Bước 3: Kết luận cho bài toán số phức.
Vậy min z  3i  3 , khi z  0 . Chọn A. 2. Bài tập mẫu
Bài tập 1: Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  1. Môđun lớn nhất của Nhận xét: số phức z bằng
OI  r  OM  z  OI  r A. 7. B. 6. C. 5. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn B Gọi M  ;
x y, I 3;4 là các điểm biểu diễn lần lượt cho các số phức
z;3  4i . Từ giả thiết z  3  4i  1  MI  1.
Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường
tròn tâm I 3;4 , bán kính r 1.
Mặt khác z  OM . Mà OM đạt giá trị lớn nhất bằng OI  r , khi
M là giao điểm của đường thẳng OM với đường tròn tâm I 3;4 , bán 18 24 
kính r  1. Hay M ;   .  5 5  18 24
Do đó, max z  OI  r  5 1  6 , khi z   i . 5 5
Bài tập 2: Trong các số phức z thỏa mãn z  2  4i  z  2i , số phức Nhận xét: Trong tất cả các đoạn
z có môđun nhỏ nhất là
thẳng kẻ từ điểm O đến đường
thẳng d , đoạn vuông góc OM
A. z  2  2i .
B. z  1 i . ngắn nhất.
C. z  2  2i .
D. z  1 i . Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt z  x  yi  x, y   . Khi đó z  2  4i  z  2i  x  y  4  0 d .
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng d .
Do đó z  OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O trên d .
Suy ra M 2;2 hay z  2  2i .
Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  10 . Giá trị nhỏ nhất của z là A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1:
Gọi F 3;0 , F 3;0 , có trung điểm là O 0;0 . Điểm M biểu diễn 1   2   số phức z .
Với mọi số thực a,b ta có bất 2 2 2 MF  MF F F
Theo công thức trung tuyến thì 2 2 1 2 1 2 z  OM   . a  b 2 2  2 2 4
đẳng thức: a  b  2 MF  MF 1 2 2 2 2 2 2
Ta có MF  MF   50 . 1 2 2 Đẳng thức xảy ra khi MF  MF M 4;  0 1 2   50 36     min z    4 , MF  MF  10  M 4;0 2 4 1 2   
Khi z  4i hoặc z  4  i . Cách 2:.
Gọi F 3;0 , F 3;0 , M  ;
x y; x, y   lần lượt là các điểm biểu
Với mọi điểm M nằm trên elip, 1   2   diễn các số phức 3;  3; z .
đoạn OM ngắn nhất là đoạn nối
O với giao điểm của trục bé với
Ta có F F  2c  6  c  3 . Theo giả thiết ta có MF  MF  10 , tập 1 2 1 2 elip.
hợp điểm M là đường elip có trục lớn 2a  10  a  5 ; trục bé 2 2
2b  2 a  c  2 25  9  8 .
Mặt khác OM  z nhỏ nhất bằng 4 khi z  4i hoặc z  4  i .
Vậy giá trị nhỏ nhất của z bằng 4.
Bài tập 4: Xét số phức z thỏa mãn 4 z  i  3 z  i  10 . Tổng giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z là 60 58 A. . B. . 49 49 18 16 C. . D. . 7 7 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi A0;  1 , B 0; 
1 , đoạn thẳng AB có trung điểm O 0;0 . Điểm
M biểu diễn số phức z . 2 2 2 MA  MB AB
Theo công thức trung tuyến 2 2 z  OM   . 2 4 10  4a
Theo giả thiết 4MA  3MB  10 . Đặt MA  a  MB  . 3 Khi đó 10  7a 4 16 MA  MB   AB  2  6
  10  7a  6   a  . 3 7 7 2 10  4a  5a  8  36 2 2 2  2
Ta có MA  MB  a     .  3  9 36 24 576 Do   5a  8 
 0  5a 82  nên 7 7 49 2 2
MA  MB  4  z  1    260   . 2 2 2 81 9 MA  MB    z   z   49  49 7 24 7 9 9
Đẳng thức z  1khi z   
i . Đẳng thức z  khi z  i . 25 25 7 7 16
Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z là . 7
Bài tập 5: Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn z  2  z  2  4 2 .
Trong mặt phẳng tọa độ gọi M , N là điểm biểu diễn số phức z và z .
Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN là A. 1. B. 2 . C. 4 2 . D. 2 2 . Hướng dẫn giải Chọn D
Đặt z  x  yi  x, y    z  x  yi .
Gọi F 2;0 , F 2;0 , M  ; x y, N  ;
x  y lần lượt là các điểm biểu 1   2   diễn các số phức 2;  2; z; z . Do ,
M N là điểm biểu diễn số phức z và z nên suy ra M , N đối xứng nhau qua Ox . Khi đó S  xy . OMN 
Ta có F F  2c  4  c  2 . Theo giả thiết ta có MF  MF  4 2 , 1 2 1 2
tập hợp điểm M thỏa điều kiện trên là elip có trục lớn
2a  4 2  a  2 2 ; trục bé 2 2
2b  2 a  c  2 8  4  4  b  2 . 2 2 x y
Nên elip có phương trình E :  1 . 8 4 2 2 2 2 x y x y xy Do đó 1    2 .   S  xy  2 2 . 8 4 8 4 2 2 OMN  x  2 
Đẳng thức xảy ra khi  . y  2
Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn z  i  z  2  i . Giá trị nhỏ nhất
của P  i  
1 z  4  2i là 3 A. 1. B. . 2 3 2 C. 3. D. . 2 Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi z  x  yi  x, y   ; M  ;
x y là điểm biểu diễn số phức z .
Ta có z  i  z  2  i  x   y  
1 i  x  2   y   1 i
 x   y  2  x  2   y  2 2 1 2 1
 x  y 1  0  . 4  2i
Ta có P  i  
1 z  4  2i  i  
1 z      2 z 3i i 1 
x  2  y  2 2 3
1  2MA , với A  3;  1 . 3 11
 P  2MA  2d , A   2  3. min min   2 2 1 1
Đẳng thức xảy ra khi M là hình chiếu vuông góc của A trên đường  3 5  3 5 thẳng  hay M ;  z   i   .  2 2  2 2
Bài tập 7: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z  z  6 và z  z  2 . 1 2 1 2 1 2 Gọi ,
M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  z  z . Khi đó môđun của số phức M  mi là 1 2 A. 76 . B. 76. C. 2 10 . D. 2 11 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta gọi ,
A B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z , z . 1 2   
Từ giả thiết z  z  6  OA  OB  6  OI  3 với I là trung 1 2
điểm của đoạn thẳng AB .  
z  z  2  OA  OB  2  AB  2 . 1 2 2 AB Ta có 2 2 2
OA  OB  2OI   20. 2
P  z  z 2
 OA  OB  P   2 2   2 2 1 1
OA  OB   40. 1 2
Vậy max P  2 10  M .    
Mặt khác, P  z  z  OA  OB  OA  OB  6 . 1 2
Vậy min P  6  m .
Suy ra M  mi  40  36  76 .
Bài tập 8: Cho số phức z thỏa mãn z  2  i  z 1 3i  5 . Giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  z 1 4i bằng 3 A. 1. B. . 5 1 C. . D. 2 . 5 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi M  ;
x y là điểm biểu diễn số phức z ; gọi A2;  1 , B  1  ;3 là
điểm biểu diễn số phức 2  i; 1
  3i . Ta có AB  5 .
Từ giả thiết z  2  i  z 1 3i  5
 x  2   y  2  x  2   y  2 2 1 1 3  5
 MA  MB  5  MA  MB  AB  MA  MB  AB . Suy ra M , ,
A B thẳng hàng ( B nằm giữa M và A ). Do đó quỹ tích
điểm M là tia Bt ngược hướng với tia BA .
P  z 1 4i   x  2   y  2 1 4 , với C  1;
 4  P  MC .  Ta có AB   3;
 4phương trình đường thẳng :
AB 4x  3y  5  0 .   
CH  d C AB 4  1 3.4 5 3 , 
 , CB    2    2 1 1 3 4 1 . 2 2 4  3 5 3
Do đó min P  CH  khi H là giao điểm của đường thẳng AB và 5
đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với AB .
Dạng 2: Phương pháp đại số
1. Phương pháp giải
Các bất đẳng thức thường dùng:
1. Cho các số phức z , z ta có: 1 2
a. z  z  z  z (1) 1 2 1 2 z  0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 z  0, k
  , k  0, z  kz   1 2 1
b. z  z  z  z .(2) 1 2 1 2 z  0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 z  0, k
  , k  0, z  kz   1 2 1
2. Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
Cho các số thực a, , b x, y ta có    2 2   2 2 ax by a b x  y 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay  bx . 2. Bài tập
Bài tập 1: Cho số phức z  a  a  3i,a   . Giá trị của a để
Nhận xét: Lời giải có sử
khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức z đến gốc tọa độ là nhỏ nhất dụng đánh giá 2 bằng x  0, x    3 1 A. a  . B. a  . 2 2 C. a  1. D. a  2 . Hướng dẫn giải Chọn A 2  
z  a  a  32 3 9 3 2 2  2 a      .  2  2 2 3 3 3
Đẳng thức xảy ra khi a  . Hay z   i . 2 2 2
Bài tập 2: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i ,
số phức z có môđun nhỏ nhất là
A. z  1 2i .
B. z  1 i .
C. z  2  2i .
D. z  1 i . Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi z  a  bi a,b   .
z  2  4i  z  2i  a  2  b  4i  a  b  2i  a  b  4  0 .
 z    b  bi  z    b2  b  b  2 2 4 4 2 2  8  2 2 .
Suy ra min z  2 2  b  2  a  2  z  2  2i . z 1 3
Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn
1, biết z   5i đạt giá z  2i 2
trị nhỏ nhất. Giá trị của z bằng 2 A. 2 . B. . 2 5 17 C. . D. . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C.
Gọi z  a  bi  z  2ia,b   .
z 1 1  z 1  z 2i  2a 4b3  0  2a 3  4b z  2i 3
 z   5i  2b2  b 52  5b  2 1  20  2 5 2  1 3 a  1
Suy ra min z   5i  2 5  
2  z   i 2 2 b  1 5 Vậy z  . 2
Bài tập 4: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z  z  3  4i và
Nhận xét: Lời giải sử dụng 1 2 1 2
z  z  5 . Giá trị lớn nhất của biểu thức z  z là
bất đẳng thức Cauchy – 1 2 1 2 Schwarz. A. 5. B. 5 3 . C. 12 5 . D. 5 2 . Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có 2 2 2 z  z  2 2 2 2 2
 z  z  z  z  5  3  4  50 . 1 2 1 2 1 2
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có
z  z  2 2 2 z  z  50  5 2 . 1 2 1 2 
Gọi z  x  yi, z  a  bi;a, , b x, y   1 2
z  z  3  4i 1 2
 z  z  5  1 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  2 2 z  z  25  1 2  z  z  1 2  7  1 x   a   2    2 7 1 1 7  và 
. Hay z   i; z   i . 1 1 2  7 2 2 2 2 y      b  2  2
Thay z , z vào giả thiết thỏa mãn. 1 2
Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức z  z bằng 5 2 . 1 2
Bài tập 5: Cho số phức z thỏa mãn z  1. Giá trị lớn nhất của biểu
Nhận xét: Lời giải sử dụng
bất đẳng thức Cauchy –
thức P  1 z  3 1 z bằng Schwarz. A. 2 10 . B. 6 5 . C. 3 15 . D. 2 5 . Hướng dẫn giải Chọn A.
Ta có P     2 2
 z   z    2 2 2 2 1 3 1 1 20 1  z   2 10 Đẳng thức xảy ra khi  4 2 2  z  1 x  y 1 x       5 4 3  1 z   5  
 z    i x . 2 2 1 z  x  y 1  0 3 5 5    3 2 y     5 Vậy max P  2 10 .
Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i  2 . Giá trị lớn nhất của
Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức
z  3  i bằng
z  z  z  z . 1 2 1 2 A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. Hướng dẫn giải Chọn B.
Ta có z  3  i   z 1 2i  4  3i  z 1 2i  4  3i  7 .
z 1 2i  k 
43i,k  0 13 16
Đẳng thức xảy ra khi   z   i .
 z 1 2i  2 5 5 
Vậy giá trị lớn nhất của z  3  i bằng 7.
Bài tập 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  4i  4 . Gọi M và Nhận xét: Lời giải sử dụng
m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun số phức z . Giá trị của bất đẳng thức M .m bằng
z  z  z  z và 1 2 1 2 A. 9. B. 10.
z  z  z  z . 1 2 1 2 C. 11. D. 12. Hướng dẫn giải Chọn A.
Ta có z   z  3 4i  3 4i  z  3  4i  3  4i  4  5  9  M .  4   3  4   3 4 ,  0 k z i k i k   Đẳng thức xảy ra khi 5    .
 z  3 4i  4 27 36  z   i  5 5 Mặt khác
z   z  3 4i  3 4i  z  3 4i  3 4i  4  5 1  m .  4   3  4   3 4 ,  0 k z i k i k    Đẳng thức xảy ra khi 5   
 z  3 4i  4 3 4  z   i  5 5
Bài tập 8: Cho số phức z thỏa mãn 2
z  4  z  z  2i . Giá trị nhỏ
Chú ý: Với mọi số phức z , z :
nhất của z  i bằng 1 2
z .z  z . z . 1 2 1 2 A. 2. B. 2 . 1 C. 1. D. . 2 Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có 2
z  4  z  z  2i   z  2i z  2i  z  z  2i
 z  2i . z  2i  z . z  2i
 z  2i  0 z  2  i z  2  i      
 z  z  2i
z  z  2i  
z  a  i, a  
 z  i  2  i  i 1 Do đó   min z 1  1.
 z  i  a  i 2
 i  a  4  2 
Bài tập 9: Tìm số phức z thỏa mãn  z  
1 z  2i là số thực và z đạt giá trị nhỏ nhất. 4 2 4 2
A. z   i . B. z    i . 5 5 5 5 4 2 4 2
C. z    i .
D. z   i . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi ;
z  a  bi a,b   . Ta có  z  
1 z  2i  a  
1 a  b2  b 
 2a  b  2i Do đó  z  
1 z  2i là số thực  2a  b  2  0  b  2  2a 2  4  4 2 5
Khi đó z  a  2  2a2 2  5 a      .  5  5 5  4 a   Đẳng thức xảy ra khi 5  2 b    5  4 a  2 5  5 4 2 min z   
. Vậy z   i . 5 2 5 5 b    5
Bài tập 10: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1  2 . Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức T  z  i  z  2  i .
A. max T  8 2 . B. max T  4 .
C. max T  4 2 . D. max T  8 . Hướng dẫn giải Chọn B.
Đặt z  x  yi  x, y   , ta có z  
 x   yi   x  2 2 1 2 1 2 1  y  2  x  2 2 2 2
1  y  2  x  y  2x 1 (*). Lại có
T  z  i  z  2  i  x   y  
1 i  x  2   y   1 i 2 2 2 2
 x  y  2y 1  x  y  4x  2y  5
Kết hợp với (*) ta được
T  2x  2 y  2  6  2x  2y  2 x  y  2  6  2 x  y
Đặt T  x  y , khi đó T  f t  2t  2  6  2t với t  1;  3 .
Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số 1 1
Ta có f 't  
; f t  0  t 1. 2t  2 6  2t Mà f   1  4, f  
1  2 2, f 3  2 2 . Vậy max f t  f   1  4 .
Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có
T  2t  2  6  2t  1  1 .8  4 .
Đẳng thức xảy ra khi t  1 .
Bài tập 11: Cho số phức z thỏa mãn z  1. Gọi M và m lần lượt là
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2
z 1  z  z 1 . Khi đó giá trị
của M  m bằng A. 5. B. 6. 5 9 C. . D. . 4 4 Hướng dẫn giải Chọn B.
Đặt z  a  bi a,b   và t  z 1 . Khi đó     t  t z 1 z   2 2 2 2
1  z 1 z  z  2  2a  a  . 2 Ta có 2 2 2 2
z  z   a  b  abi  a  bi   a   2 1 2 1
1 b   a  b2a   1 i
  a  a2  b  a  2  a  a  2    a  a  2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2
 2a 1  t 1 2 2
 z 1  z  z 1  t  t 1 (với 0  t  2 , do 2 a  1).
Xét hàm số f t 2
 t  t 1 với t 0;2 .  1  5
Trường hợp 1: t 0;  1  f t 2 2
 t 1 t  t
  t 1  f     2  4  f t 5 max  
và có f 0  f   1  1 nên 0; 1 4  .
min f t 1  0; 1 Trường hợp 2:
t    f t 2 2 1; 2
 t  t 1  t  t 1, f t  2t 1  0, t  1;2
max f t  f 2  5  1;2
Do đó hàm số luôn đồng biến trên 1;2   . min f 
t  f  1 1  1;2
M  max f t  5  0;2 Vậy     . m  f  t M m 6 min 1  0;2

Các dạng bài tập VDC số phức Toán 12

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Chuyên đề Số phức – Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn Toán 12

Các dạng bài tập cơ bản về Số phức – Đặng Việt Hùng Toán 12

600 câu hỏi trắc nghiệm chuyên đề số phức – Nhóm Toán

Bài tập trắc nghiệm chuyên đề số phức – Đặng Việt Đông Toán 12

4 đề trắc nghiệm chuyên đề số phức – Bùi Thế Việt Toán 12