Các dạng toán căn bậc ba – Nguyễn Chí Thành

Tài liệu gồm 17 trang tuyển tập các bài toán về chủ đề căn bậc 3  (Chương trình Toán 9 – Tập 1) được giải chi tiết. Các dạng toán gồm có. Mời bạn đọc đón xem. Chúc bạn thành công .

Môn:

Toán 9 2.5 K tài liệu

Thông tin:
17 trang 9 tháng trước
Tác giả:
H
Hà Việt Anh
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Các dạng toán căn bậc ba – Nguyễn Chí Thành

Tài liệu gồm 17 trang tuyển tập các bài toán về chủ đề căn bậc 3  (Chương trình Toán 9 – Tập 1) được giải chi tiết. Các dạng toán gồm có. Mời bạn đọc đón xem. Chúc bạn thành công .

83 42 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba 67 tài liệu

Môn: Toán 9 2.5 K tài liệu

Thông tin:

17 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122
󰈯
󰉝󰉻󰉳󰉯󰉯
xa
3
.
󰉭󰉯󰉧󰉙󰉳󰉝
A B A B
33
A B A B
33
3
..
󰉵 0 ta có:
AA
B
B
3
3
3
󰈩󰉓󰈼
󰉼󰉴󰉺 󰉽:
aa
3
3
;
aa
3
3
󰉟󰉠 󰉽
a b a a b ab b
3 3 2 2 3
( ) 3 3
,
a b a a b ab b
3 3 2 2 3
( ) 3 3
a b a b a ab b
3 3 2 2
( )( )
,
Bài 1. 󰊁󰉪
a) 216
3
b) 729
3
c) 1331
3
d) 343
3
e) 1728
3
f)
8
27
3
HD:
a) 216
3
=
6
3
3
= 6 b) 729
3
= 9 c) 1331
3
= 11
d) 343
3
= 7 e) 1728
3
= 12 f)
8
27
3
=
2
3
Bài 2. 󰊁󰉪 sau:
a)
3
( 2 1)(3 2 2)
b)
3
(4 2 3 )( 3 1)
c)
3 3 3
64 125 216
d)
33
33
4 1 4 1
e)
33
3 3 3
9 6 4 3 2
HD:
a) 2 + 1
2 + 1
2
3
=
2 + 1
3
3
=
2 + 1
󰇜󰉼󰉴󰊁
3 1
c) 4 5 + 6 = 3
󰇜󰉨󰉟󰉠󰉽
(4 + 3
16
3
+ 3
4
3
+ 1)
4 3
16
3
+ 3
4
3
1
= 6
16
3
+ 2 = 12
2
3
+ 2
e) 3
3
3
+ 2
3
3
= 5
Bài 3. 󰊁󰉪
a)
A
33
2 5 2 5
b)
B
33
9 4 5 9 4 5
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122
c)
C
3
(2 3). 26 15 3
d)
D
33
125 125
3 9 3 9
27 27
HD:
a) Nhân vào 2 v󰉦 v󰉵󰉼󰉹c: 2=
16 + 8
5
3
+ 16 8
5
3
=
5 + 1
3
3
+
1
5
3
3
= 2
Suy ra A = 1.
Cách khác: 󰉝󰉼󰉴󰉦󰉼󰉹
3
=
2 +
5
3
+ 2
5
3
3
3
= 2 +
5 + 2
5 + 3
2 +
5

2
5
3
.
󰇡
2 +
5
3
+
2
5
3
󰇢
3
= 4 + 3
1
3
.
3
+ 34 = 0
󰇛
1
󰇜󰇛
2
+ + 4
󰇜
= 0 = 1
b) 󰉼󰉴󰊁
B 3
. Chú ý:
3
35
9 4 5
2




c)
C 1
. Chú ý:
3
26 15 3 (2 3)
d)
D 1
󰉢
a
3
125
39
27
,
b
3
125
39
27
a b ab
33
5
6,
3
. Tính
D
3
.
Bài 4. Cho
16
3
+ 54
3
+ 128
3
=
2
3
. . Tính a
HD:
16
3
+ 54
3
+ 128
3
= 2
2
3
3
2
3
+ 4
2
3
= 3
2
3
. V󰉝y a = 3.
Bài 5. Cho
3
= 5.
2
3
1 3.
4
3
. Tính a
HD:
2. 2
3
3.
2
2
3
. 1 + 3.
2
3
. 1
2
1 =
2
3
1
3
suy ra =
2
3
1
Bài 6. Bi󰉦t
1 +
3
2
+ 1
3
2
= +
3 v󰉵i x, y là các s󰉯 nguyên. Tính x+y
HD:
1 +
3
2
+ 1
3
2
= 1 +
3 +
3 1 = 2
3 suy ra x = 0; y = 2 nên x+y =2.
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122
Bài 7. Tính giá tr󰉬 bi󰉨u th󰉽c A = (3x
3
+8x
2
+2)
2009
-3
2009
bi󰉦t =
(
5+2)
17
538
3
5+
146
5
HD:
Chú ý:
17
5 38
3
=
52
3
3
=
5 2;
14 6
5 = 3
5
2
= 3
5
nên =
1
3
= 0
Bài 8. Tính: =
4
3
+ 2
3
+2
4
3
+ 2
3
+1
; =
3 +
3 +
10 + 6
3
3
; =
4+2
3
10+6
3
3
HD:
=
4
3
+ 2
3
+2
4
3
+ 2
3
+1
=
4
3
+ 2
3
+ 8
3
4
3
+ 2
3
+1
=
2
3
.󰇡
4
3
+ 2
3
+1
4
3
+ 2
3
+1
=
2
3
Chú ý :
10 + 6
3
3
=
3 + 1 =
3 + 1
=
4+2
3
3+1
=
3+1
2
3+1
=
3 + 1
Bài 9. Tính: =
1 + 2
6
3
25 + 4
6
6
.
2
6 1
3
+ 1
HD:
Ta có:
1 + 2
6
2
= 25 + 4
6 nên 1 + 2
6
3
25 + 4
6
6
= 0 = 1
Bài 10. Tính: =
7+2
5
3
4+2
3
3
HD:
=
7 + 2
5
3
4 + 2
3
3
=
1 +
2
(1 +
3)
3
= 1 +
2
Bài 11. 󰉽󰉟
92
3
3
2
3
+3
2
3
.
3
3+
108
6
=
5 + 2
3
5 2
3
HD:
9 2
3
3
2
3
= 3.
3
3
2
3
3
3
2
3
=
3
3 +
3.
2
3
+ 4
3
= 3
3 + 3
2
3
+ 3.
4
3
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122
9 2
3
3
2
3
+ 3
2
3
.
3 =
9 + 6
3.
2
3
+ 3
4
3
=
3 +
3.
2
3
2
= 3 +
3.
2
3
= 3 +
108
6
92
3
3
2
3
+3
2
3
.
3
3+
108
6
= 1 .
󰉢t =
5 + 2
3
5 2
3
. L󰉝󰉼󰉴󰉦 󰉼󰉹c = 1.
󰉝 VT=VP = 1
Bài 12. Tính:
a) 2
5
3
.
9 + 4
5
6
+ 2 +
5
3
b) 17 + 12
2
4
2
c) 56 24
5
4
d) 28 16
3
4
+ 1
e) 7 + 5
2
3
+ 7 5
2
3
HD:
a) 2
5
3
.
9 + 4
5
6
+ 2 +
5
3
=
2
5
3
.
5 + 2
2
6
+ 2 +
5
3
=
2
5
3
.
2 +
5
3
+ 2 +
5
3
= 2.
2
5
3
.
2 +
5
3
= 2
b) 17 + 12
2
4
=
3 + 2
2
2
4
=
3 + 2
2 =
2 + 1
c) 56 24
5
4
=
6 2
5
2
4
=
6 2
5 =
5 1
d) 28 16
3
4
=
4 2
3
2
4
=
4 2
3 =
3 1
e) 2 + 1
3
3
+ 1
2
3
3
= 2
Bài 13. 󰉨 󰉽
a) 6
3 + 10
3
6
3 10
3
b) 5 + 2
13
3
+ 5 2
13
3
c) 45 + 29
2
3
+ 45 29
2
3
d) 2 + 10
1
27
3
+ 2 10
1
27
3
e) 4 +
5
3
31
3
3
+ 4
5
3
31
3
3
HD: 󰉝󰉼󰉴󰉦 a) 2 b) 1 c) 6 d) 2 e) 1
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122
Bài 14. 󰉺󰉽󰉷󰉜󰉨 󰉽
a)
1
16
3
+ 12
3
+ 9
3
b)
1
2
4
+ 4
4
+ 8
4
+ 16
4
c)
1
9
3
6
3
+ 4
3
d)
1
9
3
3
3
+ 24
3
243
3
+ 375
3
HD: 󰉿󰉺
3
±
3
=
󰇛
±
󰇜󰇛
2
+
2
󰇜
a)
1
16
3
+ 12
3
+ 9
3
=
1
4
3
+ 3
3
2
=
16
3
+ 9
3
4
3
.
3
3
4
3
+ 3
3
16
3
+ 9
3
4
3
.
3
3
󰇢
2
=
16
3
+ 9
3
4
3
.
3
3
7
2
Bài 15. Cho 0 < 1 . Rút g󰉭n bi󰉨u th󰉽c sau:
=
6 4
2 .
20 + 14
2
3
+ + 3
󰇜
31
3
:
1
2
1
1
HD:
=
2
2

2 +
2
+
1
:
2
+ 1
2
1
= 4
Bài 16. 󰉬󰉨󰉽
a) =
󰇛
3+1
󰇜
+
2
󰇛
3+
󰇜
3
+1
󰉵 b) M =
x
4
2
x
8
+ 1 + 1 󰉵
HD:
a) =
3
+3
2
.+3
.
2
+
3
3
+1
= 0
b) =
8
1
2
+ 1 =
8
Bài 17. 󰉯
a) a =
3 +
368
27
3
+ 3
368
27
3
; b =
1
2
20 + 14
2
3
+ 20 14
2
3
󰉬󰉨󰉽
100
+b
3
b) a =
1
4
15
3
+ 4
15
3
; b =
1
3
󰇧
1
25+
621
2
3
25
621
2
3
󰉬󰉻 󰉨󰉽
3
+b
3
-3a-b
2
+100
HD:
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122
a)
3
= 3 +
368
27
+ 3
368
27
+ 3.
󰇧
3 +
368
27
󰇧
3
368
27
3
= 6 5 suy ra (a-1)(a
2
+a+6)
=0 nên a=1.
b =
1
2
2 +
2
3
3
+ 2
2
3
3
= 2 suy ra P = 10.
󰇜󰉼󰉴󰊁󰉝󰉼󰉴
3
= 3a+8 a
3
-3a = 8
1 3b =
25+
621
2
3
+
25
621
2
3
suy ra (1-3b)
3
= 25+3(1-3b) b
3
-b
2
= -1.
Nên P = a
3
-3a+b
3
-b
2
+100=107
Bài 18. Cho =
3 + 2
2
3
+
3 2
2
3
; =
17 + 12
2
3
+ 17 12
2
3
.
Tính giá tr󰉬 bi󰉨u th󰉽c sau: =
3
+
3
3
󰇛
+
󰇜
+ 2004
HD: 󰉝󰉼󰉴󰉦󰉼󰉹
3
= 3+ 6
3
= 3+ 34
suy ra
3
+
3
= 3
󰇛
+
󰇜
+ 40
3
+
3
3
󰇛
+
󰇜
= 40
= 40 + 2004 = 2044
Bài 19. Cho =
2
5+2.
17
538
3
4+2
3
3
. Tính giá tr󰉬 bi󰉨u th󰉽c: =
󰇛
11
10
+
9
8
+
20+99
HD:
=
2
5 + 2
.
5 2
3
3
3 + 1
2
3
=
2
5 + 2
.
5 2
3 + 1
3
= 1
suy ra P = 100.
Bài 20. 󰉭󰉨 󰉽
a) =
9 + 4
5
3
+ 2 +
5
3
.
5 2
3
b) =
+
2+
5.
94
5
2
5.
3
9+4
5
3
2
3
+
3
HD:
a) 2 +
5
3
+ 2 +
5
3
.
5 2
3
= 2
2 +
5
3
.
5 2
3
= 2
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122
b) =
+1
2
5.
3
2+
5.
3
2
3
+
3
=
+1
1
2
3
+
3
=
3
3
+1
3
2
3
+
3
+1
=
3
+1
2
3
+
3
+1
2
3
+
3
+1
=
3
1
Bài 21. 󰉭󰉨 󰉽
a) =
4
3
+
2
2
3
+
4
3
2
3
+ 
3
+
2
3
b) =
3
2
3
+
2
2
3
2
3

3
+
2
3
2
3
3
3
.
1
2
3
HD:
󰇜󰉢
3
= ;
3
= suy ra : =
4
+
2
2
+
4
2
++
2
=

2
+
2
2

2
2
2
++
2
=

2
+
2

2
++
2
2
++
2
=
2
+
2
=
2
3

3
+
2
3
󰇜󰉼󰉴󰊁
Bài 22. Cho bi󰉨u th󰉽c: =
4
5
3
296
20
10+6
3
3
.
3+1
. Tính giá tr󰉬 bi󰉨u th󰉽c: =
󰇛
5
7
2
3100+199
HD: = 2 = 200
Bài 23. 󰉨󰉽=
5
+
4
.
6
3
+
3
.
36
3
3
3
3
. Rút g󰉭n và Tính giá tr󰉬 bi󰉨u th󰉽c t󰉗i = 2.
6
3
HD:
Xét
3
3 0
3
3
6
3
.
=
3
󰇡
2
+.
6
3
+ 36
3
3
33
=
3
󰇡
2
+.
6
3
+ 36
3
3
6
=
3
󰇡
2
+.
6
3
+ 36
3
󰇡
6
3
󰇢
2
+.
6
3
+ 36
3
=
3
6
3
(1)
Xét
3
3 < 0 0 <
3
3
=
3
󰇡
2
+.
6
3
+ 36
3
3
3
3
=
2
+ .
6
3
+ 36
3
(2)
Thay = 2.
6
3
> 3
3
vào (1) suy ra =
2. 6
3
󰇢
3
2. 6
3
6
3
=
48
6
3
= 8.
36
3
Bài 24.
a) Cho >
1
8
. Tính giá tr󰉬 bi󰉨 u th󰉽c sau: =
+
+1
3
.
81
3
3
+1
3
.
81
3
3
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122
b) Cho =
2020
3
. Tính giá tr󰉬 bi󰉨u th󰉽c: =
3
3+
󰇛
2
1
󰇜
.
2
4
2
3
+
3
3
󰇛
2
1
󰇜
.
2
4
2
3
HD:
󰇜󰉝󰉼󰉴󰉦󰉼󰉹
3
= 2+ 3.
2
+ 1
3
2
.
81
3
3
3
= 2+
󰇛
1 2
󰇜
󰇛
1
󰇜󰇛
2
+ + 2
󰇜
= 0
Vì >
1
8
nên
2
+ + 2> 0 suy ra D = 1.
b) 󰉼󰉴󰊁
3
=
3
3+ 3
󰇛
󰇜󰇛
2
+ +
2
3
󰇜
= 0
= =
2020
3
2
+ +
2
3 = 0
.
Xét
2
+ +
2
3 = 0 . Ta có: 3
󰇛
4
2
󰇜
= 3
4
2020
3
< 0 . V󰉝y ==
2020
3
󰈩󰉏󰈲󰉏
Bài 1. 󰉽󰉟
9 +
80
3
+ 9
80
3
< 3
HD:
󰉢
9 +
80
3
+ 9
80
3
= 󰉝󰉼󰉴󰉦󰉰 󰉫
Bài 2. 󰉽󰉟󰇜
2
3
+ 1
.
2
3
1
3
3
= 1 b)
5
4
+1
5
4
1
=
3+2
5
4
32
5
4
4
HD:
󰇜󰉢
2
3
+ 1
.
2
3
1
3
3
= suy ra
3
=
2
3
+ 1
3
.
2
3
1
3
=
2 + 1 + 3
2
3
2
3
+ 1

.
2
3
1
3
=
=
1 +
2
3
+
4
3
.
2
3
1
= 1 suy ra a = 1.
b) 󰉢
5
4
= 󰉰 󰉨󰉦
4
= 5
Bài 3. 󰉽󰉨󰉽󰉳󰉯 
a) 20 + 14
2
3
14
2 20
3
b) 1 +
84
9
3
+ 1
84
9
3
c) 70
4901
3
+ 70 +
4901
3
󰉝󰉼󰉴󰉦
a) 4 b) 1 c) 5
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122
Bài 4. Ch󰉽ng minh các s󰉯 sau là các s󰉯 nguyên: =
2
3+
5
13+
48
6+
2
; =
1 +
48
9
3
+ 1
48
9
3
HD:
a) Ta có: A=
2
3+
5
13+
48
6+
2
=
2
3+
5
2
3+1
2
6+
2
=
2
3+
42
3
6+
2
=
2
3 + 3 1
2
6 +
2
=
2
2 +
3
6 +
2
=
2
4 + 2
3
2(
3 + 1)
= 1
󰉝󰉼󰉴󰉦 󰉻
Bài 5. Ch󰉽ng t󰉮 r󰉟ng: =
5 + 2
3
5 2
3
󰉪󰉼󰉴
3
+ 34 = 0
HD:
=
5 + 2
3
5 2
3
suy ra
3
=
5 + 2
3
5 2
3
3
3
=
5 + 2
5 2
3
5 + 2
3
.
5 2
3
.
5 + 2
3
5 2
3
3
= 4 3
3
+ 34 = 0
Bài 6. Cho =
2 +
7
61 + 46
5
3
+ 1
󰇜󰉽󰉟
4
14
2
+ 9 = 0
b) Gi󰉘 s󰉿 :
󰇛
󰇜
=
5
+ 2
4
14
3
28
2
+ 9+ 19 . Tính f(a) .
HD:
a) 61 + 46
5
3
= 1 + 2
5 nên =
2 +
5 suy ra
2
7 = 2
10 nên
󰇛
2
7
󰇜
2
= 40
4
14
2
+ 9 = 0
b)
5
+ 2
4
14
3
28
2
+ 9+ 19 =
󰇛
5
14
3
+ 9
󰇜
+ 2(
4
14
2
+ 9) + 1
Suy ra f(a) = 1
Bài 7. 󰉴󰉘n bi󰉨u th󰉽c sau: =
+1
2
3
2
3
.
5+2
6
6
++
1
HD:
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122
+ 1
2
3
2
3
.
3
2
2
6
+ +
1
=
+ 1
2
3
2
3
.
3 +
2
3
+ +
1
=
+ 1
2 + +
1
=
+ 1
󰇛
+ 1
󰇜
2
=
+ 1
Bài 8. Ch󰉽ng minh bi󰉨u th󰉽c sau không ph󰉺 thu󰉳c x: =
+
2
3
3
.
7+4
3
6

94
5
4
.
2+
5+
HD:
P =
x +
2
3
3
.
7+4
3
6
x
94
5
4
.
2+
5+
x
=
x +
2
3
3
. 2+
3
2
6
x
52
2
4
.
2+
5+
x
=
x +
2
3
3
.
2+
3
3
x
52.
2+
5+
x
=
+
1
1+
= +
1
(1+
)
1+
=
+ 1
= 1
Bài 9. 󰉽󰉨󰉽󰉺󰉳
=
8
2 +
3
:
󰇧
2 +
2
3
2 +
3
+
3
+
2
3
3
2
.
2
3
4
2
3
+ 2
3
; ±8; 0
HD:
=
2
3

4 + 2
3
+
2
3
2 +
3
:
4 + 2
3
+
2
3
2 +
3
+
2
3
3
2
.
3
2
3
+ 2
3
3
+ 2
= 2
3
+
3
= 2
Bài 10. 󰉽󰉨 󰉽󰉺 󰉳
±
2
3
=
2
2
3
. 
2
2
4
3
+

2
3
2+ 2
2
3
.
2
+
2
3


2
3
HD:
󰉢
2
3
= suy ra =
2.
2
2

2
+

2+2
.
2
+


=
=
2
󰇛

󰇜󰇛
+
󰇜
+

2
󰇛
+
󰇜
.
2
+


=
2+
󰇛

󰇜
2
2
󰇛

󰇜󰇛
+
󰇜
.
2
+


=
󰇛
+
󰇜
2
2
󰇛

󰇜󰇛
+
󰇜
.
2
+


TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122
=




= 0
Bài 11.
a) Cho hai s󰉯 a và b th󰉮a mãn: =
2
2
2
3
+2+
4
3
; =
6
2
2
3
2+
4
3
. Tính A = ab
3
a
3
b.
󰇜󰉽󰉟
0
=
20 + 14
2
3
+ 20 14
2
3
󰉪󰉻󰉼󰉴
x
3
-3x
2
+x-20=0
󰇜󰉽󰉟
0
=
+
2
+
3
3
2
+
3
3
󰉪󰉻󰉼󰉴
x
3
+3bx-2a=0
d) Ch󰉽ng minh r󰉟ng =
9 + 4
5
3
+ 9 4
5
3
󰉪󰉼󰉴
3
-3x-18=0
HD:
a) a =
2
2
2
3
+2+
4
3
=
2󰇡
4
3
2
3
4
3
2
3
󰇡2
2
3
+2+
4
3
=
2󰇡
4
3
2
3
4
3
󰇢
3
2
3
3
=
4
3
2
3
.
󰉼󰉴󰊁b =
4
3
+ 2
3
. A = ab(a-b)(a+b) = 8
16
3
4
3
b) x
0
=
2 +
2
3
3
+ 2 +
2
3
3
= 4
c) x
0
3
= 2a 3bx
0
d)
3
= 9 + 4
5 + 9 + 4
5 + 3
9 + 4
5
3
.
9 4
5
3
9 + 4
5
3
+ 9 4
5
3
= 18 + 3
Bài 12. Cho
3
+
3
+
3
=
+ +
3
. Ch󰉽ng minh r󰉟ng trong 3 s󰉯 a, b, c luôn t󰉰n t󰉗i
hai s󰉯 󰉯i nhau.
HD:
L󰉝󰉼󰉴󰉦 gi󰉘 thi󰉦󰉼󰉧 d󰉗ng:
3
+
3
3
+
3
3
+
3
= 0
Bài 13. Cho bi󰉨u th󰉽c: =
2
+
4
2
3
+
2
+
2
4
3
󰉽
2
3
=
2
3
+
2
3
HD:
󰉢
2
3
= ;
2
3
= =
3
+
2
+
3
+
2
=
󰇛
+
󰇜
.
+ =
󰇛
+
󰇜
3
Suy ra
2
=
󰇛
+
󰇜
3
2
3
= + =
2
3
+
2
3
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122
Bài 14. 󰉽󰉟 󰉦
ax by cz
3 3 3

và
x y z
1 1 1
1
thì
ax by cz a b c
2 2 2
333
3
.
HD:
󰉢
ax by cz t
3 3 3
t t t
a b c
x y z
3 3 3
,,
.
Ta có:
2
+
2
+
2
3
=
3
.
2
+
3
.
2
+
3
.
2
3
=
1
+
1
+
1
3
=
3
3
+
3
+
3
=
3
3
+
3
3
+
3
3
=
3
+
3
+
3
=
3
1
+
1
+
1
=
3
󰉝
VT VP t
3

Bài 15. 󰉽󰉠󰉽
x y z xyz x y z x y y z z x
22
2
3 3 3
3 3 3
3 3 3 3
1
3
2



HD: 󰉨 󰉭󰉼󰉹󰉦
Bài 16. 󰉽󰉟
󰉦
󰇛
+ 1
󰇜
2
3
+
2
1
3
+
󰇛
1
󰇜
2
3
= 1 thì
+ 1
3
1
3
= 2
HD:
󰉝󰉦
+ 1
3
=
1
3
thì
+ 1
3
1
3
= 0 ( vô lí) .
󰉝
+ 1
3
1
3
󰉢
+ 1
3
= ;
1
3
= suy ra
2
+ +
2
= 1
3
3
= 2
Suy ra = 2 
󰈩󰈯
󰉼󰉴
A B A B
33
Bài 1. So sánh:
a) 7 và
345
3
b)
2
3
18
3
và
3
4
12
3
c) 130
3
+ 1 và 3
12
3
1
HD:
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122
a) 7 =
343
3
<
345
3
nên 7 <
345
3
b)
2
3
18
3
=
8
27
. 18
3
= 5
1
3
3
;
3
4
12
3
=
27
64
. 12
3
= 5
1
16
3
c) 130
3
+ 1 >
125
3
+ 1 = 6 ; 3
12
3
1 =
324
3
1 <
343
3
1 = 7 1 = 6
Bài 2. So sánh:
a)
A
3
23
và
B
3
23
b)
A 33
và
B
3
3 133
c)
A
3
56
và
B
3
65
HD:
a)A= 2
3
3
=
8.3
3
=
24
3
> 23
3
nên
AB
b)
AB
c)
AB
Bài 3. So sánh:
A
33
20 14 2 20 14 2
và
B 25
HD:
Chú ý:
3
20 14 2 2 2
nên = 4 < .
Bài 4. So sánh:
a) 124
3
+ 7
3
+ 26
3
và 10 b) 29
3
+ 65
3
8
3
và 5
HD:
a) 124
3
+ 7
3
+ 26
3
<
125
3
+ 8
3
+ 27
3
= 5 + 2 + 3 = 10
b) 29
3
+ 65
3
8
3
> 27
3
+ 64
3
8
3
= 3 + 4 2 = 5
Bài 5. So sánh:
2011
3
+ 2013
3
và 2
2012
3
HD:
󰉢
2011
3
= ;
2013
3
= suy ra
2012
3
=
3
+
3
2
3
2
2012
3
=
3
+
3
2
. 8
3
=
4
󰇛
3
+
3
󰇜
3
Xét 4
󰇛
3
+
3
󰇜
󰇛
+
󰇜
3
= 3
󰇛
+
󰇜
.
󰇛
󰇜
2
> 0
4
󰇛
3
+
3
󰇜
3
> +
󰉝2
2012
3
> 2011
3
+ 2013
3
󰈩󰈪󰉎󰉆
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122
󰉼󰉴:
A B A B
3
3
Bài 1. 󰉘󰉼󰉴
a) 1000
3
64
3
27
3
= 15 b) 2
27
3
+
1
7
343
3
+ 729
3
= 2
HD:
a) 1000
3
64
3
27
3
= 15 10
3
4
3
3
3
= 15 3
3
= 15
3
= 5 x =
125.
b) 󰉼󰉴󰊁 câu a: =
1
8
Bài 2. Gi󰉘󰉼󰉴
27
󰇛
1
󰇜
3
1
3
64(1)
3
= 2
HD:
3
1
3
1
3
4
1
3
= 2 2.
1
3
= 2
1
3
= 1 x = 2.
Bài 3. 󰉘󰉼󰉴
a)
x
3
2 1 3
b)
x
3
2 3 2
c)
xx
3
11
d)
x x x
3
32
93
e)
xx
3
55
HD:
a) 󰉝󰉼󰉴󰉦󰉼󰉹 2x = 26 x = 13.
b)
x
10
3
c)
x x x0; 1; 2
d)
x 1
e)
x x x5; 4; 6
Bài 4. 󰉘󰉼󰉴
a)
xx
3
2 1 3
b)
xx
33
13 22 5
c)
xx
3
13
󰉿󰉺󰉼󰉴󰉢󰉛󰉺󰉼󰉧󰉪󰉼󰉴
a) 󰉢
2
3
= ;
+ 1 = 0. Suy ra
3
= 2;
2
= + 1 .
󰉪󰉼󰉴
+ = 3 (1)
3
2
= 3 (2)
󰉾󰇛󰇜-󰉼󰉹
3
2
+ 66 = 0
󰇛
2
+ 6
󰇜󰇛
1
󰇜
= 0 = 1 . Suy ra b=2 hay
2 = 1
+ 1 = 4
= 3
b) 󰉢
13
3
= ;
22 +
3
= Suy ra: :
+ = 5
3
+
3
= 35
󰉼󰉹c: = 14; = 5
c)
x 7
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122
Bài 5. 󰉦2
3
= (1)
3
HD:
2
3
3
=
󰇛
1
󰇜
3
2
3
= 1
2
3
1
= 1 =
1
2
3
1
Bài 6. 󰉘󰉼󰉴
HD: pt
Bài 7. 󰉘󰉼󰉴
+ 1
3
+ 7
3
= 2
󰉝󰉼󰉴󰉦󰉼󰉹 x + 1 + 7 - x + 3.
+ 1
3
.
7
3
. 2 = 8
󰇛󰉿󰉺󰇛󰇜
3
= a
3
+ b
3
+ 3ab (a+b)
Suy ra (x + 1) (7 - x) = 0 x
1
= -1; x
2
󰉝󰉼󰉴󰉪
1
= -1; x
2
= 7.
Bài 8. 󰉘󰉼󰉴
HD:
󰉢
󰉼󰉴󰉨󰉧󰉪󰉼󰉴  󰉘󰉪󰉼󰉹
󰉽󰉪󰉻󰉼󰉴
Bài 9.
󰉘󰉼󰉴 .
󰉢 󰉵 và 󰉼󰉹󰉪
.
Xét .
󰉼󰉹
y -
2
󰉾󰉪󰉻󰉼󰉴
x
= 1 và
x
= -1.
Bài 10. 󰉘󰉼󰉴 .
2
2
3
3
2 3 9 2 2 3 3 2x x x x x
3
33
2 3 0 1x x x
33
33
25 25 30x x x x
3
3 3 3
35 35y x x y
33
( ) 30
35
xy x y
xy


( ; ) (2;3) (3;2)xy
{2;3}x
8 3 8
4
17 2 1 1xx
8
4
17 xy
0y
38
21xz
4 3 4 3
11
2 33 2 ( 1) 33
y z z y
y z y y



4 3 3 2
2 ( 1) 33 ( 2)(2 5 7 17) 0y y y y y y
3 2 3
22xx
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122
󰉢 =
y
󰉵
󰉼󰉹󰉪 󰉾󰉼󰉴
󰉚     󰉪  󰉼󰉴  󰉻 󰉪  󰉼󰉹  󰉼󰉴 
.
󰉵 thì 󰉜󰉦󰉪
Còn 󰉵󰉭
và 󰉪󰉪
󰉼󰉴󰉪
Bài 11. 󰉘󰉼󰉴 
1.
2. .
HD:
1. Pt
2. 󰉝 󰉘󰉪 󰉻󰉼󰉴 󰉦󰉻
3
ta có:
Bài 12. 󰉘󰉼󰉴
2
1
3
+ =
3
2
3
.
HD:

󰉝󰉙󰉪󰉻 󰉼󰉴󰉦󰉱󰉼󰉴
󰉽
󰉝󰉪󰉙
Bài 13. 󰉘󰉼󰉴
󰉘
3 2 3
22xx
0y
23
32
2
2
xy
xy


2x 
22
( )( ) 0x y x xy y x y
xy
32
2xx
2 2 2
( )(1 ) 0x xy y x y y x x y
0y
2x 
3
2
33
23121 xxxx
3
2
3
3
2
3
1 xxxxx
1
0
01211
33
x
x
xx
1011
1
11
1
3
3
33
3
xx
x
x
xx
x
x
3
2x
2
23
3
23
22
3
3
3 3 9
3
1 2 3 2 5 3 1
25
1 2 1 4
x x x
x
x x x x
x
xx






2
2
2 2 2
33
3
33
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
xx
x x x

2
3
39
25
xx
x


33x x x
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122
 󰉼󰉴󰉼󰉴
Bài 14. 󰉘󰉼󰉴
󰉘
Bài 15. 󰉘󰉼󰉴
HD:
- Ph󰉼󰉴󰉼󰉹 󰉨󰉪
󰉝󰉼󰉴󰉪
Bài 16. 󰉘󰉼󰉴
HD:
=
2
3
=
& +
3
2
+
2
= 3
3
+
3
= 9
;
󰇜
=
󰇛
1; 2
󰇜
= 1; 6
Bài 17. 󰉘󰉼󰉴
HD:
󰉢
=
2
3
=
1
+ = 1
3
+
2
= 1
;
󰇜
=
󰇛
0; 1
󰇜
;
󰇛
1; 0
󰇜
;
󰇛
2; 3
󰇜
= 1; 2; 10
03x
32
3 3 0x x x
3
3
1 10 10 1
3 3 3 3
xx



2
2
3
3
2 3 9 2 2 3 3 2x x x x x
3
33
2 3 0 1x x x
3
3
1 2 2 1xx
3
3
3
3
1 2 2 1
2 1 1 2
xx
y x y x











3
33
3 3 3
22
3
1
12
1 2 1 2
15
2
1 2 2( )
2 0( )
15
12
2
xy
xy
xy
x y x y
xy
y x x y x y
x xy y vn
xy
xy
22
33
3
(2 ) (7 ) (7 )(2 ) 3x x x x
3
2 1 1xx
| 1/17

Tài liệu khác của Toán 9

Preview text:

TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 CĂN BẬC BA
 Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3  a .
 Mọi số a đều có duy nhất một căn bậc ba. 3  A A A B 3 A 3    B  3 A B 3 .  A 3 . B  Với B  0 ta có: 3  B 3 B
DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH 3
Phương pháp: Áp dụng công thức: 3 a3  a ; 3 a  a
và các hằng đẳng thức: a b 3  a3  a2b ab2  b3 ( ) 3 3
, a b 3  a3  a2b ab2  b3 ( ) 3 3
a3  b3  a b a2  ab b2 ( )( ) ,
a3  b3  a b a2  ab b2 ( )( )
Bài 1. Thực hiện phép tính: a) 3 216 b) 3 729 c) 3 1331 d) 3 −343 e) 3 −1728 f) 3 8 27 HD: a) 3 216 = 3 63 = 6 b) 3 729 = 9 c) 3 1331 = 11 d) 3 −343 = −7 e) 3 −1728 = −12 f) 3 8 = 2 27 3
Bài 2. Thực hiện các phép tính sau: a) 3 ( 2 1)(3  2 2) b) 3 (4  2 3)( 3 1) c) 3 3 3 6  4  125  216 3 3 d) 3    3 4 1 4   1 e) 3 3 3 9  6  43 3 3  2 HD: 3 2 3 3 a) 2 + 1 2 + 1 = 2 + 1 = 2 + 1
b) Tương tự câu a: 3 − 1 c) −4 − 5 + 6 = −3
d) Khai triển theo hằng đẳng thức: (4 + 3 3 16 + 3 3 4 + 1) − 4 − 3 3 16 + 3 3 4 − 1 = 6 3 16 + 2 = 12 3 2 + 2 e) 3 3 3 + 3 3 2 = 5
Bài 3. Thực hiện các phép tính sau: a) A 3 3  2  5  2  5 b) B 3 3  9  4 5  9  4 5
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 125 125 c) C 3  (2  3). 26 15 3 d) D 3 3  3  9   3   9  27 27 HD: 3 3
a) Nhân vào 2 vế với 2 ta được: 2𝐴 = 3 16 + 8 5 + 3 16 − 8 5 = 5 + 1 + 3 3 1 − 5 = 2 Suy ra A = 1.
Cách khác: Lập phương hai vế ta được: 𝐴3 = 3 2 + 5 + 3 3 2 − 5 3 3 3
 𝐴3 = 2 + 5 + 2 − 5 + 3 2 + 5 2 − 5 . 2 + 5 + 2 − 5  𝐴3 = 4 + 3
3 −1. 𝐴  𝐴3 + 3𝐴 − 4 = 0  𝐴 − 1) 𝐴2 + 𝐴 + 4) = 0  𝐴 = 1 3  3 5  
b) Tương tự câu a: B  3. Chú ý: 9  4 5     2  c) C 1. Chú ý: 3 26 15 3  (2  3) 125 125 5
d) D 1. Đặt a 3  3  9  , b 3  3   9 
a3  b3  6, ab  . Tính D3 . 27 27 3 Bài 4. 3 3 3 3
Cho 16 + −54 + 128 = 2. 𝑎 . Tính a HD: 3 16 + 3 −54 + 3 128 = 2 3 2 − 3 3 2 + 4 3 2 = 3 3 2 . Vậy a = 3. Bài 5. 3 3
Cho 𝑎3 = 5. 2 − 1 − 3. 4 . Tính a HD: 3 2. 3 2 − 3.
3 22. 1 + 3. 32. 12 − 1 = 32 − 1 suy ra 𝑎 = 32 − 1 2 2 Bài 6. Biết 1 + 3 +
1 − 3 = 𝑥 + 𝑦 3 với x, y là các số nguyên. Tính x+y HD: 2 2 1 + 3 +
1 − 3 = 1 + 3 + 3 − 1 = 2 3 suy ra x = 0; y = 2 nên x+y =2.
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 3 Bài 7.
Tính giá trị biểu thức A = (3x3+8x2+2)2009 -32009 biết 𝑥 = ( 5+2) 17 5−38 5+ 14−6 5 HD: 3 3 2 Chú ý: 3 17 5 − 38 =
5— 2 = 5 − 2; 14 − 6 5 = 3 − 5 = 3 − 5 nên 𝑥 = 1 ⇒ 𝐴 = 0 3 3 3 Bài 8. + 2+2 3 Tính: 𝐴 = 4
; 𝐵 = 3 + 3 + 10 + 6 3 ; 𝐶 = 4+2 3 3 4+3 2+1 3 10+6 3 HD: 3 3 3 3 3 3 2. 3 4+3 2+1 𝐴 = 4+ 2+2 = 4+ 2+ 8 = = 3 2 3 4+3 2+1 3 4+3 2+1 3 4+3 2+1 Chú ý :
3 10 + 6 3 = 3 + 1 ⇒ 𝐵 = 3 + 1 2 𝐶 = 4+2 3 = 3+1 = 3 + 1 3+1 3+1 Bài 9. 3 6 3
Tính: 𝐴 = 1 + 2 6 − 25 + 4 6 . 2 6 − 1 + 1 HD: 2
Ta có: 1 + 2 6 = 25 + 4 6 nên 3 1 + 2 6 − 6 25 + 4 6 = 0 ⇒ 𝐴 = 1 3 Bài 10. Tính: 𝐴 = 7+2 5 4+2 3− 3 HD: 3 7 + 2 5 1 + 2 𝐴 = = = 1 + 2 4 + 2 3 − 3 (1 + 3) − 3 9−2 3 3 3 +3 2 . 3 3− 2 Bài 11. 3 3 Chứng minh rằng: − 5 − 2 3+ 6 = 5 + 2 108 HD: 3 3 9 − 2 3 3 − 3 2 = 3. = 3 3 + 3. 3 2 + 3 4 = 3 3 + 3 3 2 + 3. 3 4 3 − 3 2 3 − 3 2
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 9 − 2 3 2 + 3 3 2 . 3 = 9 + 6 3. 3 2 + 3 3 4 = 3 + 3. 3 2 = 3 + 3. 3 2 = 3 + 6 108 3 − 3 2 9−2 3 3 3 +3 2 . 3 3− 2 ⇒ 3+ 6 = 1 . 108 Đặt 𝐴 =
3 5 + 2 − 3 5 − 2 . Lập phương hai vế tính được 𝐴 = 1. Vậy VT=VP = 1 Bài 12. Tính: a) 3 2 − 5. 6 9 + 4 5 + 3 2 + 5 b) 4 17 + 12 2 − 2 c) 4 56 − 24 5 d) 4 28 − 16 3 + 1 e) 3 7 + 5 2 + 3 7 − 5 2 HD: 6 2 a) 3 2 − 5. 6 9 + 4 5 + 3 2 + 5 = 3 2 − 5. 5 + 2 + 3 2 + 5 = 3 2 − 5. 3 2 + 5 + 3 2 + 5 = 2. 3 2 − 5. 3 2 + 5 = −2 4 2
b) 4 17 + 12 2 = 3 + 2 2 = 3 + 2 2 = 2 + 1 4 2
c) 4 56 − 24 5 = 6 − 2 5 = 6 − 2 5 = 5 − 1 4 2
d) 4 28 − 16 3 = 4 − 2 3 = 4 − 2 3 = 3 − 1 3 3 3 3 e) 2 + 1 + 1 − 2 = 2 Bài 13. Tính các biểu thức sau: a) 3 6 3 + 10 − 3 6 3 − 10 b) 3 5 + 2 13 + 3 5 − 2 13 3 3 c) 3 45 + 29 2 + 3 45 − 29 2 d) 2 + 10 1 + 2 − 10 1 27 27 3 3 e) 4 + 5 31 + 4 − 5 31 3 3 3 3 HD: Lập phương hai vế. a) 2 b) 1 c) 6 d) 2 e) 1
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 Bài 14.
Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau: a) 1 3 16+3 12+3 b) 1 9 4 2+4 4+4 8+4 16 c) 1 3 9−3 6+3 d) 1 4 3 9−3 3+3 24−3 243+3 375
HD: Sử dụng HĐT: 𝑎3 ± 𝑏3 = 𝑎 ± 𝑏) 𝑎2 ∓ 𝑎𝑏 + 𝑏2) 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 a) 1 + 9− 4. 3 = 16+ 9− 4. 3 3 16+3 12+3 = 1 9 3 3 3 3 3 3 3 4+3 2 = 16 3 4+ 3 16+ 9− 4. 3 7 Bài 15.
Cho 0 < 𝑎 ≠ 1 . Rút gọn biểu thức sau: 3 3 𝑎 − 1 𝐴 = 6 − 4 2 . 20 + 14 2 +
𝑎 + 3) 𝑎 − 3𝑎 − 1: − 1 2 𝑎 − 1 HD: 𝑎 − 2 𝑎 + 1
𝐴 = 2 − 2 2 + 2 + 𝑎 − 1 : = 4 2 𝑎 − 1 Bài 16.
Tính giá trị biểu thức: 3
a) 𝑃 = 𝑥 𝑥 3𝑥+1)+𝑥2 3+𝑥) − 𝑥 với x = 2018 b) M = 4 x − 2 8 x + 1 + 1 với x = 256 𝑥+1 HD: 3 3 2
𝑥 +3 𝑥 .𝑥+3 𝑥.𝑥2+𝑥3 a) 𝑃 = − 𝑥 = 0 𝑥+1 b) 𝑀 = 8 𝑥 − 1 2 + 1 = 8 𝑥 Bài 17. Cho hai số a, b: 3 3
a) a = 3 + 368 + 3 − 368 ; b = 1 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2 27 27 2
Tính giá trị biểu thức : P = 2a100 +b3 3 3 b) a = 1 3
; b = 1 1 − 25+ 621 − 25− 621 3 + 4 − 15 4− 15 3 2 2
Tính giá trị của biểu thức: P = a3+b3-3a-b2+100 HD:
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 3
a) 𝑎3 = 3 + 368 + 3 − 368 + 3𝑎. 3 + 368 3 − 368 = 6 − 5𝑎 suy ra (a-1)(a2+a+6) 27 27 27 27 =0 nên a=1. 3 3 3 3 b = 1 2 + 2 + 2 − 2 = 2 suy ra P = 10. 2
b) Tương tự câu a các em lập phương lên : a3 = 3a+8  a3-3a = 8 3 3
1 − 3b = 25+ 621 + 25− 621 suy ra (1-3b)3 = 25+3(1-3b)  b3-b2 = -1. 2 2 Nên P = a3-3a+b3-b2+100=107 Bài 18. 3 3 3 3
Cho 𝑥 = 3 + 2 2 + 3 − 2 2 ; 𝑦 = 17 + 12 2 + 17 − 12 2.
Tính giá trị biểu thức sau: 𝑃 = 𝑥3 + 𝑦3 − 3 𝑥 + 𝑦) + 2004
HD: Lập phương hai vế x và y ta được:
𝑥3 = 3𝑥 + 6 suy ra 𝑥3 + 𝑦3 = 3 𝑥 + 𝑦) + 40 ⇔ 𝑥3 + 𝑦3 − 3 𝑥 + 𝑦) = 40 𝑦3 = 3𝑦 + 34 ⇒ 𝑃 = 40 + 2004 = 2044 3 Bài 19.
Cho 𝑎 = 2− 5+2 . 17 5−38 . Tính giá trị biểu thức: 𝑃 = 𝑎11 − 𝑎10 + 𝑎9 − 𝑎8 + 4+2 3− 3 𝑎20+99 HD: 3 3 2 − 5 + 2 . 5 − 2 2 − 5 + 2 . 5 − 2 𝑎 = = = 1 2 3 + 1 − 3 3 + 1 − 3 suy ra P = 100. Bài 20.
Rút gọn các biểu thức sau: 3 a) 𝐴 =
9 + 4 5 + 3 2 + 5 . 3 5 − 2 b) 𝐵 = 𝑎+ 2+ 5. 9−4 5 3 3 2− 3 5. 9+4 5− 𝑎2+3 𝑎 HD:
a) 3 2 + 5 + 3 2 + 5 . 3 5 − 2 = 2 3 2 + 5. 3 5 − 2 = 2
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 3 3 3 𝑎+1 𝑎2+3 𝑎+1 b) 𝐵 = 𝑎+1 = 𝑎+1 = 𝑎3+13 = = − 3 𝑎 − 1 3 3 3 3 3 2− 3 5. 2+ 5.− 𝑎2+ 3 3 3 3 𝑎 −1− 𝑎2+ 𝑎 − 𝑎2+ 𝑎+1 − 𝑎2+ 𝑎+1 Bài 21. Rút gọn biểu thức: 3 3 3 3 3 3 3 3
a) 𝐴 = 𝑎4+ 𝑎2𝑏2+ 𝑏4
−2𝑎 𝑏+ 𝑎2𝑏2 + 𝑎2𝑏− 𝑎𝑏2 3 𝑎2+3 𝑎𝑏+3 b) 𝐵 = 𝑎 𝑎 𝑏2 3 𝑎2−3 𝑎𝑏 3 𝑎−3 . 1 𝑏 3 𝑎2 HD: 2 a) Đặt 3 𝑎 = 𝑥;
3 𝑏 = 𝑦 suy ra : 𝐴 = 𝑥4+𝑥2𝑦2+𝑦4 = 𝑥2+𝑦2 −𝑥2𝑦2 = 𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2 𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2 = 𝑥2 − 𝑥2+𝑥𝑦 +𝑦 2 𝑥2+𝑥𝑦 +𝑦 2 𝑥2+𝑥𝑦 +𝑦 2 𝑥𝑦 + 𝑦2 =
3 𝑎2 − 3 𝑎𝑏 + 3 𝑏2 b) Tương tự câu a, B = 1. 4 5− 3− 29−6 20 Bài 22. Cho biểu thức: 𝑥 =
. Tính giá trị biểu thức: 𝐴 = 𝑥5 − 7𝑥2 − 3 10+6 3. 3+1 3100+199 HD: 𝑥 = 2 ⇒ 𝐴 = 200 3 3 Bài 23. +𝑥3. 36 3
Cho biểu thức: = 𝑥5+𝑥4. 6
. Rút gọn và Tính giá trị biểu thức tại 𝑥 = 2. 6 𝑥3−3 −3 HD: Xét 𝑥3 − 3 ≥ 0 ⇔ 3 3 ≤ 𝑥 ≠ 3 6 . 𝑥3 𝑥2+𝑥. 3 6+3 36 𝑥3 𝑥2+𝑥. 3 6+3 36 𝑥3 𝑥2+𝑥. 3 6+3 36 𝐴 = = = = 𝑥3 𝑥3−3−3 𝑥3−6 𝑥− 3 (1) 3 6 𝑥2+𝑥. 3 6+3 36 𝑥− 6
Xét 𝑥3 − 3 < 0 ⇔ 0 ≠ 𝑥 < 3 3 𝑥3 𝑥2+𝑥. 3 6+3 36 𝐴 = = − 𝑥2 + 𝑥. 3 6 + 3 36 (2) 3−𝑥3−3 3 2.3 6 Thay 𝑥 = 2.
3 6 > 3 3 vào (1) suy ra 𝐴 = 3 2.3 6− 3 = 48 6 3 = 8. 36 6 Bài 24. 3 3
a) Cho 𝑎 > 1 . Tính giá trị biểu thức sau: 𝐷 = 𝑎 + 𝑎+1 . 8𝑎−1 − 𝑎 − 𝑎+1 . 8𝑎−1 8 3 3 3 3
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 3 3 b) Cho 𝑏 =
3 2020 . Tính giá trị biểu thức: 𝐶 = 𝑏3−3𝑏+ 𝑏2−1). 𝑏2−4 + 𝑏3−3𝑏− 𝑏2−1). 𝑏2−4 2 2 HD:
a) Lập phương hai vế ta được: 3 𝑎 + 1 2 8𝑎 − 1
𝐷3 = 2𝑎 + 3𝐷. 𝑎2 − .
⇔ 𝐷3 = 2𝑎 + 𝐷 1 − 2𝑎) ⇔ 𝐷 − 1) 𝐷2 + 𝐷 + 2𝑎) = 0 3 3
Vì 𝑎 > 1 nên 𝐷2 + 𝐷 + 2𝑎 > 0 suy ra D = 1. 8
b) Tương tự câu a. 𝐶3 = 𝑏3 − 3𝑏 + 3𝐶 ⇔ 𝐶 − 𝑏) 𝐶2 + 𝑏𝐶 + 𝑏2 − 3) = 0 3 ⇔ 𝐶 = 𝑏 = 2020 .
𝐶2 + 𝑏𝐶 + 𝑏2 − 3 = 0
Xét 𝐶2 + 𝑏𝐶 + 𝑏2 − 3 = 0 . Ta có: ∆3 4 − 𝑏2) = 3 4 − 3 2020 < 0 . Vậy 𝐶 == 3 2020
DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Bài 1. 3 3
Chứng minh rằng: 9 + 80 + 9 − 80 < 3 HD: Đặt
3 9 + 80 + 3 9 − 80 = 𝐴 . Lập phương hai vế tính A rồi chỉ ra A < 3. 3 3 4 4 4 Bài 2. 3 −1 +1
Chứng minh rằng: a) 2 + 1 . 2 = 1 b) 5 = 3+2 5 3 4 5−1 3−2 4 5 HD: 3 3 3 3 3 a) Đặt
3 2 + 1 . 2−1 = 𝑎 suy ra 𝑎3 = 3 2 + 1 . 2−1 = 2 + 1 + 3 3 2 3 2 + 1 . 2−1 = 3 3 3 = 1 + 3 2 + 3 4 . 3 2 − 1 = 1 suy ra a = 1. b) Đặt
4 5 = 𝑎 rồi khai triển hai vế. chú ý 𝑎4 = 5
Bài 3. Chứng minh các biểu thức sau là một số nguyên. 3 3
a) 3 20 + 14 2 − 3 14 2 − 20 b) 1 + 84 + 1 − 84 c) 3 70 − 4901 + 3 70 + 4901 9 9 HD: Lập phương hai vế: a) 4 b) 1 c) 5
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 2 3+ 5− 13+ 48 3 3
Bài 4. Chứng minh các số sau là các số nguyên: 𝐴 = ; 𝐵 = 1 + 48 + 1 − 48 6+ 2 9 9 HD: 2 2 3+ 5− 13+ 2 3+ 5− 2 48 3+1 2 3+ 4−2 3 a) Ta có: A= = = 6+ 2 6+ 2 6+ 2 2 2 3 + 3 − 1 2 2 + 3 2 4 + 2 3 = = = = 1 6 + 2 6 + 2 2( 3 + 1)
Lập phương hai vế của B đê tính B. Bài 5. 3 3
Chứng tỏ rằng: 𝑥 = 5 + 2 −
5 − 2 là nghiệm phương trình: 𝑥3 + 3𝑥 − 4 = 0 HD: 𝑥 = 3 5 + 2 −
3 5 − 2 suy ra 𝑥3 = 3 5 + 2 − 3 3 5 − 2 3 3 3 3
 𝑥3 = 5 + 2 − 5 − 2 − 3 5 + 2. 5 − 2. 5 + 2 − 5 − 2
 𝑥3 = 4 − 3𝑥  𝑥3 + 3𝑥 − 4 = 0 Bài 6. 3
Cho 𝑎 = 2 + 7 − 61 + 46 5 + 1
a) Chứng minh rằng: 𝑎4 − 14𝑎2 + 9 = 0
b) Giả sử : 𝑓 𝑥) = 𝑥5 + 2𝑥4 − 14𝑥3 − 28𝑥2 + 9𝑥 + 19 . Tính f(a) . HD:
a) 3 61 + 46 5 = 1 + 2 5 nên 𝑎 = 2 + 5 suy ra 𝑎2 − 7 = 2 10 nên 𝑎2 − 7)2 = 40  𝑎4 − 14𝑎2 + 9 = 0
b) 𝑥5 + 2𝑥4 − 14𝑥3 − 28𝑥2 + 9𝑥 + 19 = 𝑥5 − 14𝑥3 + 9𝑥) + 2(𝑥4 − 14𝑥2 + 9) + 1 Suy ra f(a) = 1
Bài 7. Đơn giản biểu thức sau: 𝐴 = 𝑥+1 3 6 2 3− 2. 5+2 6+𝑥+1𝑥 HD:
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 𝑥 + 1 𝑥 + 1 = 6 2 1 3 3 1 2 3 3 − 2. 3 − 2 + 𝑥 + 2 3 − 2. 3 + 2 + 𝑥 + 𝑥 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 + 1 𝑥 = 1 = = 2 + 𝑥 + 𝑥 + 1)2 𝑥 + 1 𝑥 𝑥 3 6 Bài 8. . 7+4 3−𝑥
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x: 𝑃 = 𝑥 + 2− 3 4 9−4 5. 2+ 5+ 𝑥 HD: 6 3 6 3 2 2− 3. 2+ 3 −x 3 3
P = x + 2− 3. 7+4 3−x = x + = x + 2− 3. 2+ 3−x 4 9−4 5. 2+ 5+ x 4 2 5−2 . 2+ 5+ x 5−2. 2+ 5+ x
= 𝑥 + 1−𝑥 = 𝑥 + 1− 𝑥 (1+ 𝑥) = 𝑥 + 1 − 𝑥 = 1 1+ 𝑥 1+ 𝑥
Bài 9. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 8 − 𝑥 3 𝑥2 2 3 𝑥 3 𝑥2 − 4 𝐴 = : 2 + + 3 𝑥 + . ; 𝑥 ≠ ±8; 𝑥 ≠ 0 2 + 3 𝑥 2 + 3 𝑥 3 𝑥 − 2 3 𝑥2 + 2 3𝑥 HD: 2 − 3 𝑥 4 + 2 3 𝑥 + 3 𝑥2 4 + 2 3𝑥 + 3𝑥2 3 𝑥2 3 𝑥 − 2 3 𝑥 + 2 𝐴 = : + . 2 + 3 𝑥 2 + 3 𝑥 3 𝑥 − 2 3 𝑥 3 𝑥 + 2 = 2 − 3 𝑥 + 3 𝑥 = 2 Bài 10. 3
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y 𝑥𝑦 ≠ ± 2 2 3 2. 𝑥𝑦 𝑥𝑦 − 3 2 2𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑃 = + . − 𝑥2𝑦2 − 3 4 2𝑥𝑦 + 2 3 2 𝑥𝑦 + 3 2 𝑥𝑦 − 3 2 HD: Đặt 3 2 = 𝑎 suy ra 𝑃 = 2𝑎.𝑥𝑦
+ 𝑥𝑦−𝑎 . 2𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 = 𝑥2𝑦 2−𝑎2 2𝑥𝑦 +2𝑎 𝑥𝑦 +𝑎 𝑥𝑦 −𝑎 2𝑎𝑥𝑦 𝑥𝑦 − 𝑎 2𝑥𝑦 𝑥𝑦 = + . −
𝑥𝑦 − 𝑎) 𝑥𝑦 + 𝑎) 2 𝑥𝑦 + 𝑎) 𝑥𝑦 + 𝑎 𝑥𝑦 − 𝑎
2𝑎𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 − 𝑎)2 2𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥𝑦 + 𝑎)2 2𝑥𝑦 𝑥𝑦 = . − = . −
2 𝑥𝑦 − 𝑎) 𝑥𝑦 + 𝑎) 𝑥𝑦 + 𝑎 𝑥𝑦 − 𝑎
2 𝑥𝑦 − 𝑎) 𝑥𝑦 + 𝑎) 𝑥𝑦 + 𝑎 𝑥𝑦 − 𝑎
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 𝑥𝑦 𝑥𝑦 = − = 0 𝑥𝑦 − 𝑎 𝑥𝑦 − 𝑎 Bài 11.
a) Cho hai số a và b thỏa mãn: 𝑎 = 2 2 3 2+2+ 3 ; 𝑏 = 6 4 2 3 2−2+ 3 . Tính A = ab3 – a3b. 4 b) Chứng minh rằng: 𝑥 3 3 0 = 20 + 14 2 +
20 − 14 2 là nghiệm của phương trình x3-3x2+x-20=0 c) Chứng minh rằng: 𝑥 3 3 0 = 𝑎 + 𝑎2 + 𝑏3 −
𝑎2 + 𝑏3 − 𝑎 là nghiệm của phương trình x3+3bx-2a=0 d) Chứng minh rằng 𝑥 =
3 9 + 4 5 + 3 9 − 4 5 là nghiệm phương trình x3 -3x-18=0 HD: 2 3 4−3 2 2 3 4−3 2 a) a = 2 = 3 − 3 2 . 2 3 2+2+ 3 = 4 3 3 4−3 2 2 3 2+2+ 3 4 3 4 − 3 3 = 4 2 Tương tự b =
3 4 + 3 2 . A = ab(a-b)(a+b) = 8 3 16 − 3 4 3 3 3 3 b) x0 = 2 + 2 + 2 + 2 = 4 c) x30 = 2a − 3bx0
d) 𝑥3 = 9 + 4 5 + 9 + 4 5 + 3 3 9 + 4 5. 3 9 − 4 5
3 9 + 4 5 + 3 9 − 4 5 = 18 + 3𝑥 Bài 12. 3 3 3 3
Cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 . Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c luôn tồn tại hai số đối nhau. HD:
Lập phương hai vế giả thiết đưa về dạng: 3 𝑎 + 3 𝑏
3 𝑏 + 3 𝑐 3𝑎 + 3 𝑐 = 0 Bài 13. 3 3 3 3
Cho biểu thức: 𝐴 = 𝑥2 + 𝑥4𝑦2 + 𝑦2 + 𝑥2𝑦4 . Chứng minh: 𝐴2 = 𝑥2 + 3 𝑦2 HD: Đặt 3 𝑥2 = 𝑎;
3 𝑦2 = 𝑏 ⇒ 𝐴 = 𝑎3 + 𝑎2𝑏 + 𝑏3 + 𝑎𝑏2 = 𝑎 + 𝑏). 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏)3
Suy ra 𝐴2 = 𝑎 + 𝑏)3 ⇒ 3 𝐴2 = 𝑎 + 𝑏 = 3 𝑥2 + 3 𝑦2
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 1 1 1 Bài 14.
Chứng minh rằng, nếu: ax3 by3 cz3   và    1 thì x y z
3 ax2  by2  cz2 3  a 3  b 3  c . HD: t t t
Đặt ax3 by3 cz3    t a  ,b  ,c  . x3 y3 z3 Ta có:
3 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑧2 = 3 𝑡 . 𝑥2 + 𝑡 . 𝑦2 + 𝑡 . 𝑧2 = 3 𝑡 1 + 1 + 1 = 3𝑡 𝑥3 𝑦 3 𝑧3 𝑥 𝑦 𝑧 3 3 3
3 𝑎 + 3 𝑏 + 3 𝑐 = 3 𝑡 + 3 𝑡 + 3 𝑡 = 𝑡 + 𝑡 + 𝑡 = 3 𝑡 1 + 1 + 1 = 3 𝑡 𝑥3 𝑦 3 𝑧3 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 Vậy VT VP 3   t Bài 15. Chứng minh đẳng thức:  2 2 2 
x y z 3  xyz 1 3  3 x 3  y 3
z 3 x 3
y   3 y 3
z   3 z 3  x  2 
HD: Khai triển và rút gọn ta được vế trái Bài 16. Chứng minh rằng : Nếu 3 𝑎 + 1)2 +
3 𝑎2 − 1 + 3 𝑎 − 1)2 = 1 thì 3𝑎 + 1 − 3 𝑎 − 1 = 2 HD: Nhận xét: nếu 3 𝑎 + 1 = 3 𝑎 − 1 thì
3 𝑎 + 1 − 3 𝑎 − 1 = 0 ( vô lí) . 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 1 Vậy 3 𝑎 + 1 ≠
3 𝑎 − 1. Đặt 3𝑎 + 1 = 𝑥; 3𝑎 − 1 = 𝑦 suy ra 𝑥3 − 𝑦3 = 2
Suy ra 𝑥 − 𝑦 = 2. Đpcm.
DẠNG 3: SO SÁNH HAI CĂN BẬC 3 Phương pháp: A B 3 A 3    B Bài 1. So sánh: a) 7 và 3 345 b) 2 3 18 và 3 3 12 c) 3 130 + 1 và 3 3 12 − 1 3 4 HD:
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 a) 7 = 3 343 < 3 345 nên 7 < 3 345 b) 2 3 3 3 3 3 3 18 =
8 . 18 = 5 1 ; 3 12 = 27 . 12 = 5 1 3 27 3 4 64 16 c) 3 130 + 1 > 3 125 + 1 = 6 ; 3 3 12 − 1 = 3 324 − 1 < 3 343 − 1 = 7 − 1 = 6 Bài 2. So sánh: a) A 3  2 3 và B 3  23
b) A  33 và B 3  3 133 c) A 3  5 6 và B 3  6 5 HD: a)A= 2 3 3 = 3 8.3 =
3 24 > 3 23 nên A B b) A B c) A B
Bài 3. So sánh: A 3 3
 20 14 2  20 14 2 và B  2 5 HD: Chú ý:     3 20 14 2 2
2 nên 𝐴 = 4 ⇒ 𝐴 < 𝐵. Bài 4. So sánh: a) 3 124 + 3 7 + 3 26 và 10 b) 3 29 + 3 65 − 3 8 và 5 HD: a) 3 124 + 3 7 + 3 26 <
3 125 + 3 8 + 3 27 = 5 + 2 + 3 = 10
b) 3 29 + 3 65 − 3 8 > 3 27 + 3 64 − 3 8 = 3 + 4 − 2 = 5 Bài 5. 3 3 3
So sánh: 2011 + 2013 và 2 2012 HD: Đặt 3 3 2011 = 𝑎; 3 2013 = 𝑏 suy ra 3 2012 = 𝑎3+𝑏3 2 3 𝑎3 + 𝑏3 2 3 2012 = . 8 = 3 4 𝑎3 + 𝑏3) 2
Xét 4 𝑎3 + 𝑏3) − 𝑎 + 𝑏)3 = 3 𝑎 + 𝑏). 𝑎 − 𝑏)2 > 0 ⇒
3 4 𝑎3 + 𝑏3) > 𝑎 + 𝑏 Vậy 2 3 2012 > 3 2011 + 3 2013
DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 Phương pháp:
3 A B A B3
Bài 1. Giải phương trình:
a) 3 1000𝑥 − 3 64𝑥 − 3 27𝑥 = 15 b) 2
3 27𝑥 + 1 3 −343𝑥 + 3 −729𝑥 = 2 7 HD:
a) 3 1000𝑥 − 3 64𝑥 − 3 27𝑥 = 15  10 3 𝑥 − 4 3 𝑥 − 3 3 𝑥 = 15  3 3 𝑥 = 15  3 𝑥 = 5  x = 125.
b) Tương tự câu a: 𝑥 = − 18 Bài 2. 3 3
Giải phương trình: 27 𝑥 − 1) −
𝑥 − 1 − 3 64(𝑥 − 1) = −2 HD: 3
3 𝑥 − 1 − 3 𝑥 − 1 − 4 3 𝑥 − 1 = −2  −2. 3 𝑥 − 1 = −2  3 𝑥 − 1 = 1  x = 2.
Bài 3. Giải các phương trình sau: a) 3 2x 1  3 b) 3 2  3x  2 
c) 3 x 1 1  x d) 3 x3  x2 9  x  3
e) 3 5 x x  5 HD:
a) Lập phương hai vế ta được: 2x+1 = 27  2x = 26  x = 13. b) x 10 
c) x  0; x 1; x  2 d) x  1  e) x  5  ; x  4  ; x  6  3
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a) 3 x  2  x 1  3 b) 3  x 3 13  22  x  5
c) 3 x 1  x  3
HD: Sử dụng phương pháp đặt 2 ẩn phụ, đưa về hệ phương trình. a) Đặt:
3 𝑥 − 2 = 𝑎; 𝑥 + 1 = 𝑏 ≥ 0. Suy ra 𝑎3 = 𝑥 − 2; 𝑏2 = 𝑥 + 1 . 𝑎 + 𝑏 = 3 (1) Ta có hệ phương trình:
. Từ 1) suy ra b=3-a. Thay vào 2 ta được: 𝑎3 − 𝑏2 = −3 (2)
𝑎3 − 𝑎2 + 6𝑎 − 6 = 0 ⇔ 𝑎2 + 6) 𝑎 − 1) = 0 ⇔ 𝑎 = 1 . Suy ra b=2 hay 𝑥 − 2 = 1 ⇔ 𝑥 = 3 𝑥 + 1 = 4 b) Đặt: 3 13 − 𝑥 = 𝑎 ; 3 22 + 𝑥 = 𝑏 Suy ra: :
𝑎 + 𝑏 = 5 ta tìm được: 𝑥 = −14; 𝑦 = 5 𝑎3 + 𝑏3 = 35 c) x  7
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122
Bài 5. Tìm x Biết: 2𝑥3 = (𝑥 − 1)3 HD: 3 1 3 2𝑥 = 𝑥 − 1)3 ⇔ 3 2𝑥 = 𝑥 − 1 ⇔ 𝑥
3 2 − 1 = −1 ⇔ 𝑥 = − 32 − 1
Bài 6. Giải phương trình sau : 3
2  3 9x x  2  2x  3 3xx  22 2 3
HD: pt   x   x3 3 3 2 3  0  x 1 Bài 7. 3 3
Giải phương trình: 𝑥 + 1 + 7 − 𝑥 = 2
Lập phương hai vế ta được: x + 1 + 7 - x + 3. 3 𝑥 + 1. 3 7 − 𝑥 . 2 = 8
sử dụng hđt: a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a+b)
Suy ra (x + 1) (7 - x) = 0  x1 = -1; x2 = 7 . Vậy phương trình có có 2 nghiệm x1 = -1; x2 = 7.
Bài 8. Giải phương trình: 3 3 3 3 x 25  x x  25  x  30   HD: Đặt 3 3 3 3
y  35  x x y  35
xy(x y)  30 
Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: 
, giải hệ này ta tìm được 3 3
x y  35 ( ;
x y)  (2;3)  (3;2) . Tức là nghiệm của phương trình là x {2;3}
Bài 9. Giải phương trình 4 8 3 8
17  x  2x 1  1. HD: Đặt 4 8
17  x y với y  0 và 3 8
2x 1  z . Khi đó ta được hệ y z 1 z y 1    . 4 3 4 3
2y z  33
2y  (y 1)  33 Xét 4 3 3 2
2y  ( y 1)  33  ( y  2)(2y  5y  7 y 17)  0 .
Suy ra được y - 2 = 0. Từ đó nghiệm của phương trình là x = 1 và x = -1. Bài 10. Giải phương trình 3 2 3
x  2  2  x .
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 2 3    HD: Đặt x y 2 3 2 3
x  2  2  x = y với y  0 . Khi đó ta được hệ  và từ phương trình ban 3 2
x  2  y
đầu ta có x   2 . Xét hiệu hai phương trình của hệ ta được phương trình 2 2
(x y)(x xy y x y)  0 .
Với x  y thì 3 2
x   x  2 , dẫn đến vô nghiệm. Còn 2 2 2
x xy y x y  ( y x)(1 x)  y  0 với mọi y  0 và x   2 . Do đó hệ vô nghiệm hay
phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 11. Giải các phương trình: 1. 3 3 3 2 x 1  x  2  1 x  3x  2 2. 3 3 2 3 3 2 x 1  x x x x . HD: x
1. Pt  3 x 1   1 3 x  2   1   0 0  x  1
2. Nhận xét: x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của pt cho 3 𝑥 ta có: x  1  x 1  3 3  x  1 3  x 1  1 3 3 x   1  0  x  1   xx  Bài 12. 3 3
Giải phương trình: 𝑥2 − 1 + 𝑥 = 𝑥3 − 2 . HD: Đk 3 x  2
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình :    x
  x  3 x  3x  9 3 3  2 2 3 
x 1  2  x  3 
x  2  5   x  3 1      3  x  2 3 2 3 2 x 2 5 1  2 x 1  4     2   Ta chứng minh : x 3 x 3 x 3x 9 1 1  2   3 x   3 1  2 x 1  4 3   3 x 1  2 2 2 2 2 1  3 x 2 5
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3 Bài 13. Giải phương trình : 3  x x 3  x Giải:
TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122
Đk: 0  x  3 khi đó pt đ cho tương đương : 3 2
x  3x x  3  0 3 3  1  10 10 1  x    x     3  3 3 3 Bài 14. Giải phương trình sau : 3
2  3 9x x  2  2x  3 3xx  22 2 3
Giải : pt   x   x3 3 3 2 3  0  x 1 Bài 15. Giải phương trình: 3 x   3 1 2 2x 1 HD: 3 x  1  3 2 2x 1
y  3 2x 1  3 y  1  2x
- Phương trình được chuyển thành hệ  x yx y  1  3   3 x  1  2y  3 x  1  2y
x 1  2y  1 5      x y  3 3 3  2 2 
y 1  2x
x y  2(x y)
x xy y  2   0(vn)  2 
 3x   y  1 x y  5 1 2  2
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm. Bài 16. Giải phương trình: 2 2 3 3 3
(2  x)  (7  x)  (7  x)(2  x)  3 HD: 𝑢 =
3 2 − 𝑥 ⇒ 𝑢2 + 𝑣2 − 𝑢𝑣 = 3 ⇒ 𝑢;𝑣) = 1;2) ⇒ 𝑥 = 1;−6 𝑣 = 3 & + 𝑥 𝑢3 + 𝑣3 = 9 Bài 17.
Giải phương trình: 3 2 x 1 x 1 HD: 3
Đặt 𝑢 = 2 − 𝑥 ⇒ 𝑢 + 𝑣 = 1 ⇒ 𝑢; 𝑣) = 0; 1); 1; 0); −2; 3) ⇒ 𝑥 = 1; 2; 10 𝑣 = 𝑥 − 1 𝑢3 + 𝑣2 = 1