Các dạng toán phương trình đường thẳng và một số bài toán liên quan Toán 12

Các dạng toán phương trình đường thẳng và một số bài toán liên quan Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

70 35 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Môn: Toán 12

Thông tin:

123 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễ
n Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
CHUYÊN
ĐỀ 23
MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI ....................................................................................................................................................... 2
Dạng 1. Xác định VTCP................................................................................................................................................. 2
Dạng 2. Xác định phương trình đường thẳng .............................................................................................................. 4
Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng cơ bản ................................................................................................. 4
Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố vuông góc ................................................................... 6
Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song .................................................................. 10
Dạng 2.4 Xác định một số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến…) ...................................... 11
Dạng 3. Một số bài toán liên quan giữa điểm với đường thẳng ............................................................................... 14
Dạng 3.1 Bài toán liên quan điểm (hình chiếu) thuộc đường, khoảng cách ............................................................... 14
Dạng 3.2 Bài toán cực trị ............................................................................................................................................ 17
Dạng 4. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt phẳng ...................................................................... 19
Dạng 4.1 Bài toán liên quan khoảng cách, góc .......................................................................................................... 19
Dạng 4.2 Bài toán phương trình mặt phẳng, giao tuyến 2 mặt phẳng ....................................................................... 20
Dạng 4.3 Bài toán giao điểm (hình chiếu, đối xứng) của đường thẳng với mặt phẳng .............................................. 22
Dạng 4.4 Bài toán cực trị ............................................................................................................................................ 25
Dạng 5. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng thẳng với đường thẳng ....................................................... 30
Dạng 6. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt cầu .......................................................................... 32
Dạng 7. Một số bài toán liên quan giữa điểm – mặt – đường – cầu ......................................................................... 32
Dạng 7.1 Bài toán tìm điểm ........................................................................................................................................ 32
Dạng 7.2 Bài toán tìm mặt phẳng ............................................................................................................................... 34
Dạng 7.3 Bài toán tìm đường thẳng ............................................................................................................................ 34
Dạng 7.4 Bài toán tìm mặt cầu .................................................................................................................................... 35
Dạng 7.5 Bài toán cực trị ............................................................................................................................................ 37
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ........................................................................................................................... 40
Dạng 1. Xác định VTCP............................................................................................................................................... 40
Dạng 2. Xác định phương trình đường thẳng ............................................................................................................ 41
Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng cơ bản ............................................................................................... 41
Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố vuông góc ................................................................. 43
Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song .................................................................. 48
Dạng 2.4 Xác định một số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến…) ...................................... 50
Dạng 3. Một số bài toán liên quan giữa điểm với đường thẳng ............................................................................... 58
Dạng 3.1 Bài toán liên quan điểm (hình chiếu) thuộc đường, khoảng cách ............................................................... 58
Dạng 3.2 Bài toán cực trị ............................................................................................................................................ 61
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
Dạng 4. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt phẳng ...................................................................... 65
Dạng 4.1 Bài toán liên quan khoảng cách, góc .......................................................................................................... 65
Dạng 4.2 Bài toán phương trình mặt phẳng, giao tuyến 2 mặt phẳng ....................................................................... 67
Dạng 4.3 Bài toán giao điểm (hình chiếu, đối xứng) của đường thẳng với mặt phẳng .............................................. 69
Dạng 4.4 Bài toán cực trị ............................................................................................................................................ 78
Dạng 5. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng thẳng với đường thẳng ....................................................... 95
Dạng 6. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt cầu .......................................................................... 97
Dạng 7. Một số bài toán liên quan giữa điểm – mặt – đường – cầu ......................................................................... 99
Dạng 7.1 Bài toán tìm điểm ........................................................................................................................................ 99
Dạng 7.2 Bài toán tìm mặt phẳng ............................................................................................................................. 102
Dạng 7.3 Bài toán tìm đường thẳng .......................................................................................................................... 104
Dạng 7.4 Bài toán tìm mặt cầu .................................................................................................................................. 106
Dạng 7.5 Bài toán cực trị .......................................................................................................................................... 112
PHẦN A. CÂU HỎI
Dạng 1. Xác định VTCP
Câu 1. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng
2
: 1 2
3
x t
d y t
z t
có một vectơ chỉ
phương là:
A.
1
1;2;3
u
B.
3
2;1;3
u
C.
4
1;2;1
u
D.
2
2;1;1
u
Câu 2. (Mã 102 - BGD - 2019) Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
1 3 2
:
2 5 3
x y z
d
. Vectơ nào dưới
đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng
d
A.
1;3; 2
u
. B.
u
. C.
2; 5;3
u
. D.
1;3;2
u
.
Câu 3. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;1;0
A
và
0;1; 2
B
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
AB
.
A.
1;1;2
d
B.
1;0; 2
a
C.
1;0;2
b
D.
1;2;2
c
Câu 4. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng
3 1 5
:
1 1 2
x y z
d
có một
vectơ chỉ phương là
A.
1
3; 1;5
u
B.
4
1; 1;2
u
C.
2
3;1;5
u
D.
3
1; 1; 2
u
Câu 5. (Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
2 1 3
: .
1 3 2
x y z
d
Vectơ nào dưới
đây là một vectơ chỉ phương của
?d
A.
4
1;3;2 .
u
B.
3
2;1;3 .
u
C.
1
2;1;2 .
u
D.
2
1; 3;2 .
u
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
Câu 6. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian
,Oxyz
cho đường thẳng
2 1
: .
1 2 1
x y z
d
Đường thẳng
d
có một vectơ chỉ phương là
A.
4
1;2;0
u
B.
2
2;1;0
u
C.
3
2;1;1
u
D.
1
1;2;1
u
Câu 7. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng
3 1 5
:
1 2 3
x y z
d
. Vectơ
nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
d
?
A.
2
(1; 2;3)
u
B.
3
(2;6; 4)
u
. C.
4
( 2; 4;6)
u
. D.
1
(3; 1;5)
u
.
Câu 8. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
2 1 3
:
1 2 1
x y z
d
. Vectơ nào
dưới đây là một vectơ chỉ phương của
d
?
A.
4
(1;2; 3)
u
. B.
3
( 1;2;1)
u
. C.
1
(2;1; 3)
u
. D.
2
(2;1;1)
u
.
Câu 9. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng
1 2 3
:
2 1 2
x y z
d
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
2; 1;2
Q
B.
1; 2; 3
M
C.
1;2;3
P
D.
2;1; 2
N
Câu 10. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
1;2;3
M
. Gọi
1
M
,
2
M
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
M
lên các trục
Ox
,
Oy
. Vectơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương
của đường thẳng
1 2
M M
?
A.
4
1;2;0
u
B.
1
0;2;0
u
C.
2
1;2;0
u
D.
3
1;0;0
u
Câu 11. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
4 3
:
1 2 3
x y z
d
. Hỏi trong các vectơ sau, đâu không phải là vectơ chỉ phương của
d
?
A.
1
1; 2;3
u
. B.
2
3; 6; 9
u
. C.
3
1; 2; 3
u
. D.
4
2;4;3
u
.
Câu 12. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, đường thẳng
nào sau đây nhận
2;1;1
u
là một vectơ chỉ phương?
A.
2 1 1
1 2 3
x y z
B.
1 2
2 1 1
x y z
C.
1 1
2 1 1
x y z
D.
2 1 1
2 1 1
x y z
Câu 13. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
1 2 1
:
2 1 2
x y z
d
nhận véc tơ
;2;u a b
làm véc tơ chỉ phương. Tính
a b
.
A.
8
. B.
8
. C.
4
. D.
4
.
Câu 14. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Trong không gian
,Oxyz
tọa độ nào sau đây là tọa độ
của một véctơ chỉ phương của đường thẳng
2 4
: 1 6 , ?
9
x t
y t t
z t
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
A.
1 1 3
; ;
3 2 4
. B.
1 1 3
; ;
3 2 4
. C.
2;1;0
. D.
4; 6;0
.
Câu 15. (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian
Oxyz
, đường
thẳng
1 2 3
:
2 1 2
x y z
d
có một vectơ chỉ phương là
A.
1
1;2;3
u
B.
2
2;1;2
u
C.
3
2; 1;2
u
D.
4
1; 2; 3
u
Câu 16. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
2 1 3
3 2 1
x y z
A.
2;1; 3
. B.
3;2;1
. C.
3; 2;1
. D.
2;1;3
.
Câu 17. (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, đường thẳng
1 3 7
:
2 4 1
x y z
d
nhận vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương?
A.
2; 4;1
. B.
2;4;1
. C.
1; 4;2
. D.
2; 4;1
.
Câu 18. (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian
O
xyz
véc tơ nào dưới đây là
một véc tơ chỉ phương của đường thẳng
d
:
1
4
3 2
x t
y
z t
,
A.
(1;4;3)
u
. B.
(1;4; 2)
u
. C.
(1;0; 2)
u
. D.
(1;0;2)
u
.
Dạng 2. Xác định phương trình đường thẳng
Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng cơ bản
Câu 19. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian tọa độ
Ox ,yz
phương trình nào dưới đây là
phương trình chính tắc của đường thẳng
1 2
: 3 ?
2
x t
d y t
z t
A.
1 2
2 3 1
x y z
B.
1 2
1 3 2
x y z
C.
1 2
2 3 2
x y z
D.
1 2
2 3 1
x y z
Câu 20. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1; 2;1
M
,
0;1; 3
N
. Phương trình đường thẳng qua hai điểm
M
,
N
là
A.
1 2 1
1 3 2
x y z
. B.
1 3 2
1 2 1
x y z
.
C.
1 3
1 3 2
x y z
. D.
1 3
1 2 1
x y z
.
Câu 21. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, phương trình tham số trục
Oz
là
A.
0
z
. B.
0
0
x
y t
z
. C.
0
0
x t
y
z
. D.
0
0
x
y
z t
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
Câu 22. Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
2;0; 1
M
và có véctơ chỉ
phương
2; 3;1
a
là
A.
4 2
6 .
2
x t
y
z t
B.
2 2
3 .
1
x t
y t
z t
C.
2 4
6 .
1 2
x t
y t
z t
D.
2 2
3 .
1
x t
y t
z t
Câu 23. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian
Oxyz
, cho
( 1;0;2)
E
và
(2;1; 5)
F
. Phương trình đường thẳng
EF
là
A.
1 2
3 1 7
x y z
B.
1 2
3 1 7
x y z
C.
1 2
1 1 3
x y z
D.
1 2
1 1 3
x y z
Câu 24. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian
Oxyz
, trục
y Oy
có phương trình là
A.
0
0
x t
y
z
B.
0
0
x
y t
z
C.
0
0
x
y
z t
D.
0
x t
y
z t
Câu 25. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
đi qua điểm
2;0; 1
M
và có một vectơ chỉ phương
4; 6;2
a
.Phương trình tham số của
là
A.
2 4
6
1 2
x t
y t
z t
. B.
2 2
3
1
x t
y t
z t
. C.
4 2
6
2
x t
y
z t
. D.
2 2
3
1
x t
y t
z t
.
Câu 26. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Trong không gian
Oxyz
, viết phương
trình đường thẳng đi qua hai điểm
1;1; 1
P
và
2;3;2
Q
A.
1 1 1
2 3 2
x y z
. B.
1 1 1
1 2 3
x y z
.
C.
1 2 3
1 1 1
x y z
. D.
2 3 2
1 2 3
x y z
.
Câu 27. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Trong không gian
Oxyz
, phương
trình đường thẳng đi qua hai điểm
1;2;3
A
và
5;4; 1
B
là
A.
5 4 1
2 1 2
x y z
. B.
1 2 3
4 2 4
x y z
.
C.
1 2 3
4 2 4
x y z
. D.
3 3 1
2 1 2
x y z
.
Câu 28. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng
Oy
có
phương trình tham số là
A.
x t
y t t
z t
. B.
0
2
0
x
y t t
z
. C.
0
0
x
y t
z t
. D.
0
0
x t
y t
z
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
Câu 29. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian
Oxyz
có đường thẳng có
phương trình tham số là
1 2
( ) : 2
3
x t
d y t
z t
. Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng
d
là
A.
1 2 3
2 1 1
x y z
B.
1 2 3
2 1 1
x y z
C.
1 2 3
2 1 1
x y z
D.
1 2 3
2 1 1
x y z
Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố vuông góc
Câu 30. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, phương trình nào dưới đây là
phương trình của đường thẳng đi qua
2; 3; 0
A
và vuông góc với mặt phẳng
: 3 5 0?
P x y z
A.
1
1 3
1
x t
y t
z t
B.
1
3
1
x t
y t
z t
C.
1 3
1 3
1
x t
y t
z t
D.
1 3
1 3
1
x t
y t
z t
Câu 31. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian
Oxyz
cho điểm
1;2;3
A
và đường thẳng
3 1 7
:
2 1 2
x y z
d
. Đường thẳng đi qua
A
, vuông góc với
d
và cắt trục
Ox
có phương trình là
A.
1 2
2
x t
y t
z t
B.
1
2 2
3 3
x t
y t
z t
C.
1 2
2
3
x t
y t
z t
D.
1
2 2
3 2
x t
y t
z t
Câu 32. (Mã 102 - BGD - 2019) Trong không gian
,Oxyz
cho các điểm
1;0;2 , 1;2;1 , 3;2;0
A B C
và
1;1;3 .
D
Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng
BCD
có phương trình là
A.
1
4 .
2 2
x t
y t
z t
B.
1
4 .
2 2
x t
y
z t
C.
2
4 4 .
4 2
x t
y t
z t
D.
1
2 4
2 2
x t
y t
z t
Câu 33. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1
3 3 2
:
1 2 1
x y z
d
;
2
5 1 2
:
3 2 1
x y z
d
và mặt phẳng
: 2 3 5 0
P x y z
. Đường
thẳng vuông góc với
P
, cắt
1
d
và
2
d
có phương trình là
A.
1 1
3 2 1
x y z
B.
2 3 1
1 2 3
x y z
C.
3 3 2
1 2 3
x y z
D.
1 1
1 2 3
x y z
Câu 34. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Trong không gian
Oxyz
, cho các điểm
1;2;0 , 2;0;2 , 2; 1;3 , 1;1;3
A B C D
. Đường thẳng đi qua
C
và vuông góc với mặt phẳng
ABD
có phương trình là
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
A.
2 4
4 3
2
x t
y t
z t
. B.
4 2
3
1 3
x t
y t
z t
. C.
2 4
2 3
2
x t
y t
z t
. D.
2 4
1 3
3
x t
y t
z t
.
Câu 35. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian
Oxyz
, cho các điểm
2; 1;0
A
,
1;2;1
B
,
3; 2;0
C
,
D
. Đường thẳng đi qua
D
và vuông góc với mặt phẳng
ABC
có phương trình là:
A.
1
1
2 3
x t
y t
z t
. B.
1
1
3 2
x t
y t
z t
. C.
1 2
x t
y t
z t
.
D.
1 2
x t
y t
z t
.
Câu 36. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
2;1;3
A
và đường thẳng
1 1 2
:
1 2 2
x y z
d
. Đường thẳng đi qua
A
, vuông góc với
d
và cắt trục
Oy
có phương trình là.
A.
2
3 4
3
x t
y t
z t
B.
2 2
1
3 3
x t
y t
z t
C.
2 2
1 3
3 2
x t
y t
z t
D.
2
3 3
2
x t
y t
z t
Câu 37. (Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian
Oxyz
cho
0;0;2 , 2;1;0 , 1;2; 1
A B C
và
2;0; 2
D
. Đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
BCD
có phương trình là
A.
3
2
1 2
x
y
z t
. B.
3 3
2 2
1
x t
y t
z t
. C.
3
2
2
x t
y t
z t
. D.
3 3
2 2
1
x t
y t
z t
.
Câu 38. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian vơi hê toa đô
Oxyz
cho điêm
1;0;2
A
va
đương thăng
d
co phương trinh:
1 1
1 1 2
x y z
. Viêt phương trinh đương thăng
đi qua
A
, vuông
goc va căt
d
.
A.
1 2
2 2 1
x y z
B.
1 2
1 3 1
x y z
C.
1 2
1 1 1
x y z
D.
1 2
1 1 1
x y z
Câu 39. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
8 4 8
(2;2;1), ( ; ; )
3 3 3
A B
.
Đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác
OAB
và vuông góc với mặt phẳng
( )OAB
có phương
trình là:
A.
2 2 5
9 9 9
1 2 2
x y z
B.
1 8 4
1 2 2
x y z
C.
1 5 11
3 3 6
1 2 2
x y z
D.
1 3 1
1 2 2
x y z
Câu 40. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
1 2
:
2 1 2
x y z
d
và
mặt phẳng
( ) : 1 0
P x y z
. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng
( )P
đồng thời cắt và vuông góc với
d
có phương trình là:
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
A.
1
4
3
x t
y t
z t
B.
3
2 4
2
x t
y t
z t
C.
3
2 4
2 3
x t
y t
z t
D.
3 2
2 6
2
x t
y t
z t
Câu 41. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian
Oxyz
cho điểm
1;1; 3
M
và hai đường thẳng
3
1 1
:
3 2 1
y
x z
,
1
:
1 3 2
y
x z
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng
đi qua
M
và vuông góc với
và
.
A.
1
1
1 3
x t
y t
z t
B.
1
3
x t
y t
z t
C.
1
1
3
x t
y t
z t
D.
1
1
3
x t
y t
z t
Câu 42. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng
1 1
:
1 2 1
x y z
và mặt
phẳng
: 2 y z 3 0
P x
. Đường thẳng nằm trong
P
đồng thời cắt và vuông góc với
có phương
trình là:
A.
1 2
1
2
x t
y t
z
B.
3
2
x
y t
z t
C.
1
1 2
2 3
x t
y t
z t
D.
1
1
2 2
x
y t
z t
Câu 43. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1
1 3
: 2
2
x t
d y t
z
,
2
2
1
:
2 1 2
y
x z
d
và mặt phẳng
: 2 2 3 0.
P x y z
Phương trình nào dưới đây
là phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của
1
d
và
P
, đồng thời vuông góc với
2
d
?
A.
2 2 13 0x y z
B.
2 2 22 0x y z
C.
2 2 13 0x y z
D.
2 2 22 0x y z
Câu 44. (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
,
cho mặt phẳng
: 2 1x y z
. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với
.
A.
1
1
:
1 1 2
x y z
d
. B.
2
1
:
1 1 1
x y z
d
. C.
3
1
:
1 1 1
x y z
d
. D.
4
2
: 0
x t
d y
z t
Câu 45. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng đi
qua điểm
1;1;1
A
và vuông góc với mặt phẳng tọa độ
Oxy
có phương trình tham số là:
A.
1
1
1
x t
y
z
. B.
1
1
1
x
y
z t
. C.
1
1
1
x t
y
z
. D.
1
1
1
x t
y t
z
.
Câu 46. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục
Oxyz
, cho điểm
1; 3; 2
M
và
mặt phẳng
: 3 2 1 0
P x y z
. Tìm phương trình đường thẳng
d
qua
M
và vuông góc với
P
.
A.
1 3 2
1 3 2
x y z
. B.
1 3 2
1 3 2
x y z
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
C.
1 3 2
x y z
. D.
1 3 2
1 3 2
x y z
.
Câu 47. (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho
1; 1; 3
A
và hai đường thẳng
1
4 2 1
: ,
1 4 2
x y z
d
2
2 1 1
:
1 1 1
x y z
d
.
Phương trình đường thẳng qua
A
, vuông góc với
1
d
và cắt
2
d
là
A.
1 1 3
2 1 3
x y z
. B.
1 1 3
4 1 4
x y z
.
C.
1 1 3
1 2 3
x y z
. D.
1 1 3
2 1 1
x y z
.
Câu 48. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho điểm
1;0;2
A
và đường thẳng
1 1
:
1 1 2
x y z
d
. Đường thẳng
đi qua
A
, vuông góc và cắt
d
có phương trình là
A.
2 1 1
:
1 1 1
x y z
. B.
1 2
:
1 1 1
x y z
.
C.
2 1 1
:
2 2 1
x y z
. D.
1 2
:
1 3 1
x y z
.
Câu 49. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1;0;1
M
và đường thẳng
1 2 3
:
1 2 3
x y z
d
. Đường thẳng đi qua
M
, vuông góc với
d
và cắt
Oz
có phương trình là
A.
1 3
0
1
x t
y
z t
. B.
1 3
0
1
x t
y
z t
. C.
1 3
1
x t
y t
z t
. D.
1 3
0
1
x t
y
z t
.
Câu 50. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
:3 0
P x y z
và đường thẳng
1 3
:
1 2 2
x y z
d
. Gọi
là đường thẳng nằm trong
P
, cắt và
vuông góc với
d
. Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của
?
A.
2 4
3 5
3 7
x t
y t
z t
. B.
3 4
5 5
4 7
x t
y t
z t
. C.
1 4
1 5
4 7
x t
y t
z t
. D.
3 4
7 5
2 7
x t
y t
z t
.
Câu 51. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
1; 1;3
A
và hai đường thẳng:
1 2
4 2 1 2 1 1
: , :
1 4 2 1 1 1
x y z x y z
d d
. Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua
A
,
vuông góc với đường thẳng
1
d
và cắt đường thẳng
2
d
.
A.
1 1 3
2 1 1
x y z
. B.
1 1 3
6 1 5
x y z
.
C.
1 1 3
6 4 1
x y z
. D.
1 1 3
2 1 3
x y z
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
Câu 52. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
3 2
2 1 3
:
x y z
d
và mặt phẳng
2 6 0
:P x y z
. Đường thẳng nằm trong
P
cắt và vuông góc với
d
có phương trình là?
A.
2 2 5
.
1 7 3
x y z
B.
2 2 5
.
1 7 3
x y z
C.
2 4 1
.
1 7 3
x y z
D.
2 4 1
.
1 7 3
x y z
Câu 53. (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 3 7 0
P x y z
và hai đường thẳng
1 2
3 2 2 1 1 2
: ; :
2 1 4 3 2 3
x y z x y z
d d
.
Đường thẳng vuông góc mặt phẳng
P
và cắt cả hai đường thẳng
1 2
;d d
có phương trình là
A.
7 6
1 2 3
x y z
B.
5 1 2
1 2 3
x y z
C.
4 3 1
1 2 3
x y z
D.
3 2 2
1 2 3
x y z
Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song
Câu 54. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
0; 1;3
A
,
1;0;1
B
,
1;1;2
C
. Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua
A
và
song song với đường thẳng
BC
?
A.
2 0
x y z
. B.
2
1
3
x t
y t
z t
.
C.
1 3
2 1 1
x y z
. D.
1 1
2 1 1
x y z
.
Câu 55. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho điểm
1; 2;3
A
và hai
mặt phẳng
: 1 0
P x y z
,
: 2 0
Q x y z
. Phương trình nào dưới đây là phương trình
đường thẳng đi qua
A
, song song với
P
và
Q
?
A.
1
2
3
x t
y
z t
B.
1
2
3
x t
y
z t
C.
1 2
2
3 2
x t
y
z t
D.
1
2
3 2
x
y
z t
Câu 56. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1; 2; 3
A
;
1; 4;1
B
và đường thẳng
2
2 3
:
1 1 2
y
x z
d
. Phương trình nào dưới đây là phương trình của
đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn
AB
và song song với
d
?
A.
1
1
1 1 2
y
x z
B.
1
1
1 1 2
y
x z
C.
1
1 1
1 1 2
y
x z
D.
2
2
1 1 2
y
x z
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
Câu 57. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho điểm
1; 3;4
M
, đường thẳng
d
có phương trình:
2 5 2
3 5 1
x y z
và mặt phẳng
P
:
2 2 0
x z
. Viết phương trình đường thẳng
qua
M
vuông góc với
d
và song song với
P
.
A.
:
1 3 4
1 1 2
x y z
. B.
:
1 3 4
1 1 2
x y z
.
C.
:
1 3 4
1 1 2
x y z
. D.
:
1 3 4
1 1 2
x y z
.
Câu 58. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian
O
xyz
, cho mặt phẳng
: 2 2 3 0
P x y z
và hai đường thẳng
1
1 1
:
3 1 1
x y z
d
;
2
2 1 3
:
1 2 1
x y z
d
. Xét các
điểm
,A B
lần lượt di động trên
1
d
và
2
d
sao cho
AB
song song với mặt phẳng
P
. Tập hợp trung điểm
của đoạn thẳng
AB
là
A. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương
9;8; 5
u
B. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương
5;9;8
u
C. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương
1; 2; 5
u
D. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương
1;5; 2
u
Câu 59. (THPT LƯƠNG VĂN CAN - LẦN 1 - 2018) Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
3; 2; 4
A
và mặt phẳng
:3 2 3 7 0
P x y z
, đường thẳng
2 4 1
:
3 2 2
x y z
d
. Phương trình nào sau đây là phương
trình đường thẳng
đi qua
A
, song song
P
và cắt đường thẳng
d
?
A.
3 11
2 54
4 47
x t
y t
z t
. B.
3 54
2 11
4 47
x t
y t
z t
. C.
3 47
2 54
4 11
x t
y t
z t
. D.
3 11
2 47
4 54
x t
y t
z t
.
Dạng 2.4 Xác định một số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến…)
Câu 60. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
1 3
: 3
5 4
x t
d y
z t
. Gọi
là
đường thẳng đi qua điểm
1; 3;5
A
và có vectơ chỉ phương
1;2; 2
u
. Đường phân giác của góc nhọn
tạo bởi
d
và
có phương trình là
A.
1 2
2 5
6 11
x t
y t
z t
B.
1 2
2 5
6 11
x t
y t
z t
C.
1 7
3 5
5
x t
y t
z t
D.
1
3
5 7
x t
y
z t
Câu 61. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
1 7
: 1 4
1
x t
d y t
z
. Gọi
là
đường thẳng đi qua điểm
1;1;1
A
và có vectơ chỉ phương
1; 2;2
u
. Đường phân giác của góc nhọn
tạo bởi
d
và
có phương trình là.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
A.
1 2
10 11
6 5
x t
y t
z t
B.
1 2
10 11
6 5
x t
y t
z t
C.
1 3
1 4
1 5
x t
y t
z t
D.
1 7
1
1 5
x t
y t
z t
Câu 62. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
1 3
: 1 4
1
x t
d y t
z
. Gọi
là
đường thẳng đi qua điểm
1;1;1
A
và có vectơ chỉ phương
2;1;2
u
. Đường phân giác của góc nhọn
tạo bởi
d
và
có phương trình là.
A.
1 27
1
1
x t
y t
z t
B.
18 19
6 7
11 10
x t
y t
z t
C.
18 19
6 7
11 10
x t
y t
z t
D.
1
1 17
1 10
x t
y t
z t
Câu 63. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
1
: 2 .
3
x t
d y t
z
Gọi
là
đường thẳng đi qua điểm
(1;2;3)
A
và có vectơ chỉ phương
(0; 7; 1).
u
Đường phân giác của góc nhọn
tạo bởi
d
và
có phương trình là
A.
1 5
2 2 .
3
x t
y t
z t
B.
1 6
2 11 .
3 8
x t
y t
z t
C.
4 5
10 12 .
2
x t
y t
z t
D.
4 5
10 12 .
2
x t
y t
z t
Câu 64. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho tam
giác
ABC
có
1;3;2 2;0;5 , ;,
0 2;1
A B C
. Viết phương trình đường trung tuyến
AM
của tam giác
ABC
.
A.
1 3 2
:
2 4 1
x y z
AM
B.
1 3 2
:
2 4 1
x y z
AM
C.
1 3 2
:
2 4 1
x y z
AM
D.
2 4 1
:
1 1 3
x y z
AM
Câu 65. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Trong không gian
Oxyz
, cho
2;0;0
A
, đường thẳng
d
đi qua
A
cắt chiều âm trục
Oy
tại điểm
B
sao cho diện tích tam giác
OAB
bằng 1.
Phương trình tham số đường thẳng
d
là
A.
1 2
0
x t
y t
z
. B.
2 2
0
x t
y t
z
. C.
2 2
0
x t
y t
z
. D.
2 2
1
x t
y t
z
.
Câu 66. (ĐÊ 04 VTED NĂM 2018-2019) Trong không gian
Oxyz
cho hai điểm
8 4 8
(2;2;1), ( ; ; )
3 3 3
A B
. Đường
phân giác trong của tam giác
OAB
có phương trình là
A.
0
x
y t
z t
B.
4x t
y t
z t
C.
14
2
5
x t
y t
z t
D.
2
14
13
x t
y t
z t
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
Câu 67. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
cho hai đường
thẳng
1
4
4
6 2
x t
d y t
z t
;
2
5 11 5
:
2 4 2
x y z
d
. Đường thẳng
d
đi qua
5; 3;5
A
cắt
1 2
;d d
lần lượt
ở
,B C
.Tính tỉ sô
AB
AC
.
A.
2
. B.
3
. C.
1
2
. D.
1
3
.
Câu 68. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho
2
điểm
1;2;3 , 2;4;4
M A
và hai mặt phẳng
: 2 1 0
P x y z
,
: 2 4 0.
Q x y z
Viết
phương trình đường thẳng
đi qua
M
, cắt
( ), ( )P Q
lần lượt tại
,B C
sao cho tam giác
ABC
cân tại
A
và nhận
AM
làm đường trung tuyến.
A.
1 2 3
1 1 1
x y z
. B.
1 2 3
2 1 1
x y z
.
C.
1 2 3
1 1 1
x y z
. D.
1 2 3
1 1 1
x y z
.
Câu 69. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa
độ Oxyz cho tam giác ABC biết
(2;1;0), (3;0;2), (4;3; 4)
A B C
. Viết phương trình đường phân giác trong
góc A.
A.
2
1
0
x
y t
z
B.
2
1
x
y
z t
C.
2
1
0
x t
y
z
D.
2
1
x t
y
z t
Câu 70. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
1 2
:
2 1 1
x y z
d
, mặt phẳng
: 2 5 0
P x y z
và
1; 1;2
A
. Đường
thẳng
cắt
d
và
P
lần lượt tại
M
và
N
sao cho
A
là trung điểm của đoạn thẳng
MN
. Một vectơ chỉ
phương của
là
A.
4; 5; 13
u
. B.
2; 3; 2
u
. C.
1; 1; 2
u
. D.
3; 5; 1
u
.
Câu 71. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hình
vuông
ABCD
biết
1;0;1
A
,
1;0; 3
B
và điểm
D
có hoành độ âm. Mặt phẳng
ABCD
đi qua gốc
tọa độ
O
. Khi đó đường thẳng
d
là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông
ABCD
có phương trình
A.
1
:
1
x
d y t
z
. B.
1
:
1
x
d y t
z
. C.
1
:
1
x
d y t
z
. D.
: 1
x t
d y
z t
.
Câu 72. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1
1 2 1
:
1 2 3
x y z
và
2
1 2 1
:
1 2 3
x y z
cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng
P
. Lập
phương trình đường phân giác
d
của góc nhọn tạo bởi
1
,
2
và nằm trong mặt phẳng
P
.
A.
1
: 2 ,
1
x
d y t
z t
. B.
1
: 2 ,
1 2
x t
d y t
z t
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
C.
1
: 2 2 ,
1
x t
d y t t
z t
. D.
1
: 2 2 ,
1
x t
d y t t
z
Câu 73. (QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Trong không gian tọa độ
Oxyz
, cho tam giác
ABC
biết
1;0; 1
A
,
2;3; 1
B
,
2;1;1
C
. Phương trình đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của
tam giác
ABC
và vuông góc với mặt phẳng
ABC
là:
A.
3 1 5
3 1 5
x y z
. B.
2
3 1 5
x y z
.
C.
1 1
1 2 2
x y z
. D.
3 2 5
3 1 5
x y z
.
Câu 74. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Trong không gian
Oxyz
, cho tam giác nhọn
ABC
có
2;2;1
H
,
8 4 8
; ;
3 3 3
K
,
O
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A
,
B
,
C
trên các cạnh
BC
,
AC
,
AB
. Đường
thẳng
d
qua
A
và vuông góc với mặt phẳng
ABC
có phương trình là
A.
4 1 1
:
1 2 2
x y z
d
. B.
8 2 2
3 3 3
:
1 2 2
x y z
d
.
C.
4 17 19
9 9 9
:
1 2 2
x y z
d
. D.
6 6
:
1 2 2
x y z
d
.
Câu 75. (CHUYÊN VINH - LẦN 2 - 2018) Trong không gian
Oxyz
, cho tam giác
ABC
có
2;3;3
A
, phương trình
đường trung tuyến kẻ từ
B
là
3 3 2
1 2 1
x y z
, phương trình đường phân giác trong của góc
C
là
2 4 2
2 1 1
x y z
. Đường thẳng
AB
có một véc-tơ chỉ phương là
A.
3
2;1; 1
u
. B.
2
1; 1;0
u
. C.
4
0;1; 1
u
. D.
1
1;2;1
u
.
Dạng 3. Một số bài toán liên quan giữa điểm với đường thẳng
Dạng 3.1 Bài toán liên quan điểm (hình chiếu) thuộc đường, khoảng cách
Câu 76. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian
Oxyz
, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
d
:
1
5
2 3
x t
y t
z t
?
A.
1;5;2
N
B.
1;1;3
Q
C.
1;1;3
M
D.
1;2;5
P
Câu 77. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Trong không gian
Oxyz
, điểm nào dưới đây thuộc đường thằng
2 1 2
:
1 1 2
x y z
d
.
A.
2; 1;2
N
B.
2;1; 2
Q
C.
2; 2;1
M
D.
1;1;2
P
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
Câu 78. (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019) Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng
2 3
: 1 4
5
x t
d y t
z t
đi qua điểm
nào sau đây?
A.
2; 1;0
M
. B.
8;9;10
M
. C.
5;5;5
M
. D.
3; 4;5
M
Câu 79. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng
1 2 3
:
2 1 2
x y z
d
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
2; 1;2
Q
B.
1; 2; 3
M
C.
1;2;3
P
D.
2;1; 2
N
Câu 80. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng
1 2
: 3
1
x t
d y t
z t
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
1;3; 1
M
. B.
3;5;3
M
. C.
3;5;3
M
. D.
1;2; 3
M
.
Câu 81. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1; 1; 2
A
,
1; 2; 3
B
và đường thẳng
1 2 1
:
1 1 2
x y z
d
. Tìm điểm
; ; M a b c
thuộc
d
sao cho
2 2
28
MA MB
, biết
0
c
.
A.
1 7 2
; ;
6 6 3
M
B.
1 7 2
; ;
6 6 3
M
C.
1; 0; 3
M
D.
2; 3; 3
M
Câu 82. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
.
Đường thẳng
1
2
x t
d y t
z t
đi qua điểm nào sau sau đây?
A.
1; 1;1
K
. B.
1;1;2
E
. C.
1;2;0
H
. D.
0;1;2
F
.
Câu 83. (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian
Oxyz
, điểm nào dưới đây thuộc đường
thẳng
1 1 2
2 1 3
x y z
?
A.
2;1; 3
Q
. B.
2; 1;3
P
. C.
1;1; 2
M
. D.
1; 1;2
N
.
Câu 84. (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian
Oxyz
, gọi
d
là đường thẳng qua
1;0;2
A
, cắt và vuông góc với đường thẳng
1
1 5
:
1 1 2
x y z
d
. Điểm nào dưới đây thuộc
d
?
A.
2; 1;1
P
. B.
0; 1;1
Q
. C.
0; 1;2
N
. D.
1; 1;1
M
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
Câu 85. (ĐÊ 04 VTED NĂM 2018-2019) Trong không gian
Oxyz
, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
1
: 5
2 3
x t
d y t
z t
?
A.
1;1; 3
Q
B.
1; 2; 5
P
C.
1; 5; 2
N
D.
1;1; 3
M
Câu 86. Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng
1 2 3
:
2 1 2
x y z
d
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
(2; 1; 2)
Q
. B.
(1; 2; 3)
M
. C.
( 1;2; 3)
P
. D.
N(2; 1; 2)
.
Câu 87. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho đường
thẳng
1 2 3
:
3 4 5
x y z
d
. Hỏi
d
đi qua điểm nào trong các điểm sau:
A.
3;4;5
C
. B.
3; 4; 5
D
. C.
1;2; 3
B
. D.
1; 2;3
A
.
Câu 88. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
3; 2;1
A
. Đường
thẳng nào sau đây đi qua
A
?
A.
3 2 1
1 1 2
x y z
. B.
3 2 1
4 2 1
x y z
.
C.
3 2 1
1 1 2
x y z
. D.
3 2 1
4 2 1
x y z
.
Câu 89. Trong không gian
Oxyz
, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
1
: 5
2 3
x t
d y t
z t
?
A.
1;1; 3
Q
B.
1; 2; 5
P
C.
1; 5; 2
N
D.
1;1; 3
M
Câu 90. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
d
có phương trình
1 2 3
3 2 4
x y z
. Điểm nào sau đây không thuộc đường
thẳng
d
?
A.
7;2;1
P
. B.
2; 4;7
Q
. C.
4;0; 1
N
. D.
1; 2;3
M
.
Câu 91. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian
Oxyz
, tọa độ hình chiếu
vuông góc của
1;0;1
M
lên đường thẳng
:
1 2 3
x y z
là
A.
2;4;6
. B.
1 1
1; ;
2 3
. C.
0;0;0
. D.
2 4 6
; ;
7 7 7
.
Câu 92. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
( 4;0;0)
M
và đường thẳng
1
: 2 3
2
x t
y t
z t
. Gọi
( ; ;c)H a b
là hình chiếu của
M
lên
. Tính a+b+c.
A.
5
. B.
1
. C.
3
. D.
7
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
Câu 93. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình
chiếu H của
1;1;1
A
lên đường thẳng
d :
1
1
x t
y t
z t
.
A.
H
4 4 1
( ; ; ).
3 3 3
B.
1;1;1 .
H
C.
(0 ; 0 ; -1).
H
D.
(1 ; 1 ; 0).
H
Câu 94. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
điểm
1;1;1
A
và đường thẳng
6 4
: 2
1 2
x t
d y t
z t
. Tìm tọa độ hình chiếu
A
của
A
trên
d
.
A.
(2;3;1)
A
. B.
( 2;3;1)
A
. C.
(2; 3;1)
A
. D.
(2; 3; 1)
A
.
Câu 95. Trong không gian
Oxyz
, cho hình thang cân
ABCD
có đáy là
AB
và
CD
. Biết
3;1; 2
A
,
1;3;2
B
,
6;3;6
C
và
; ;D a b c
với
, ,a b c
. Giá trị của
a b c
bằng
A.
3
. B.
1
. C.
3
. D.
1
.
Câu 96. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
1 2
:
2 1 1
x y z
d
và hai điểm
1;3;1
A
;
0;2; 1
B
. Gọi
; ;C m n p
là điểm thuộc đường thẳng
d
sao cho diện tích tam giác
ABC
bằng
2 2
. Giá trị của tổng
m n p
bằng
A.
1
B.
2
C.
3
D.
5
Câu 97. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
1 3 2
:
1 2 2
x y z
d
và điểm
3;2;0
A
. Điểm đối xứng của điểm
A
qua đường thẳng
d
có tọa độ là
A.
1;0;4
. B.
7;1; 1
. C.
2;1; 2
. D.
0;2; 5
.
Câu 98. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian
Oxyz
, khoảng cách từ điểm
2; 4; 1
M
tới đường thẳng
: 2
3 2
x t
y t
z t
bằng
A.
14
B.
6
C.
2 14
D.
2 6
Câu 99. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, Gọi
; ; M a b c
thuộc
đường thẳng
1 2
:
1 2 3
x y z
. Biết điểm
M
có tung độ âm và cách mặt phẳng
Oyz
một khoảng
bằng 2. Xác định giá trị
T a b c
.
A.
1T
. B.
11T
. C.
13
T
. D.
1T
.
Dạng 3.2 Bài toán cực trị
Câu 100. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
0;4; 3
A
. Xét đường thẳng
d
thay đổi,
song song với trục
Oz
và cách trục
Oz
một khoảng bằng
3
. Khi khoảng cách từ
A
đến
d
nhỏ nhất,
d
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
0;5; 3 .
Q
B.
3;0; 3 .
P
C.
0; 3; 5 .
M
D.
0;3; 5 .
N
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
Câu 101. (Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm
0;3; 2
A
. Xét đường thẳng
d
thay đổi song
song với Oz và cách Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ
A
đến
d
nhỏ nhất.
d
đi qua điểm nào
dưới đây?
A.
0;2; 5
Q
. B.
0;4; 2
M
. C.
2;0; 2
P
. D.
0; 2; 5
N
.
Câu 102. (Mã 102 - BGD - 2019) Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
0;4; 3
A
. Xét đường thẳng
d
thay đổi, song
song với trục
Oz
và cách trục
Oz
một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ
A
đến
d
lớn nhất,
d
đi qua
điểm nào dưới đây?
A.
0;3; 5
N
. B.
0; 3; 5
M
. C.
3;0; 3
P
. D.
0;11; 3
Q
.
Câu 103. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian
,Oxyz
cho điểm
0;3; 2 .
A
Xét đường thẳng
d
thay đổi,
song song với trục
Oz
và cách trục
Oz
một khoảng bằng
2.
Khi khoảng cách từ
A
đến
d
lớn nhất,
d
đi
qua điểm nào dưới đây?
A.
0;8; 5
M
. B.
0;2; 5
N
. C.
0; 2; 5
P
. D.
2;0; 3
Q
.
Câu 104. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
d
có
phương trình
1
2
x t
y t
z t
và ba điểm
6;0;0
A
,
0;3;0
B
,
0;0;4
C
. Gọi
; ;M a b c
là điểm thuộc
d
sao cho biểu thức
2 2 2
2 3
P MA MB MC
đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó
a b c
bằng
A.
3
. B.
4
. C.
1
. D.
2
.
Câu 105. (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Trong không gian
Oxyz
, cho
2
điểm
3; 2;3
A
,
1;0;5
B
và đường thẳng
1 2 3
:
1 2 2
x y z
d
. Tìm tọa độ điểm
M
trên đường thẳng
d
để
2 2
MA MB
đạt giá trị nhỏ nhất.
A.
1;2;3
M
. B.
2;0;5
M
. C.
3; 2;7
M
. D.
3;0;4
M
.
Câu 106. (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - 2018) Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
1
:
1 1 1
x y z
và
hai điểm
1;2; 5
A
,
1;0;2
B
. Biết điểm
M
thuộc
sao cho biểu thức
MA MB
đạt giá trị lớn nhất
max
T
. Khi đó,
max
T
bằng bao nhiêu?
A.
max
57
T
. B.
max
3
T
. C.
max
2 6 3
T
. D.
max
3 6
T
.
Câu 107. (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
1 2
: 1
2
x t
d y t
z t
và hai điểm
1;5;0
A
,
3;3;6
B
. Gọi
; ;M a b c
là điểm trên
d
sao cho chu vi
tam giác
MAB
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
P a b c
.
A.
1P
. B.
3
P
. C.
3
P
. D.
1P
.
Câu 108. (TT DIỆU HIỀN - CẦN THƠ - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
2 1
:
1 2 3
x y z
d
và hai điểm
2;0;3
A
,
2; 2; 3
B
. Biết điểm
0 0 0
; ;M x y z
thuộc
d
thỏa mãn
4 4
MA MB
nhỏ nhất. Tìm
0
x
.
A.
0
1
x
. B.
0
3
x
. C.
0
0
x
. D.
0
2
x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
Câu 109. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
1;0;1
A
,
3;2;1
B
,
5;3;7
C
. Gọi
; ;M a b c
là điểm thỏa mãn
MA MB
và
MB MC
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
P a b c
A.
4P
. B.
0
P
. C.
2P
. D.
5
P
.
Dạng 4. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt phẳng
Dạng 4.1 Bài toán liên quan khoảng cách, góc
Câu 110. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 2 1 0
P x y z
và đường thẳng
1 2 1
:
2 1 2
x y z
. Tính khoảng cách
d
giữa
và
P
.
A.
2
d
B.
5
3
d
C.
2
3
d
D.
1
3
d
Câu 111. (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian
Oxyz
, khoảng cách giữa đường
thẳng
1
:
1 1 2
x y z
d
và mặt phẳng
: 2 0
P x y z
bằng:
A.
2 3.
B.
3
.
3
C.
2 3
.
3
D.
3.
Câu 112. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, khoảng cách
giữa đường thẳng
2
: 5 4
2
x t
y t
z t
,
t
và mặt phẳng
: 2 2 0
P x y z
bằng
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
3
.
Câu 113. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
1
: 2 2
3
x t
d y t
z t
và mặt phẳng (P):
3 0
x y
. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
A.
0
60
B.
0
30
C.
120
o
D.
0
45
Câu 114. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 4 7 25 0
P x y z
và đường thẳng
1
1 1
:
1 2 1
x y z
d
. Gọi
1
'd
là hình chiếu vuông góc của
1
d
lên mặt phẳng
P
. Đường thẳng
2
d
nằm trên
P
tạo với
1 1
, 'd d
các góc bằng nhau,
2
d
có vectơ chỉ
phương
2
; ;u a b c
. Tính
2a b
c
.
A.
2 2
3
a b
c
. B.
2
0
a b
c
. C.
2 1
3
a b
c
. D.
2
1
a b
c
.
Câu 115. (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho hai điểm
3;1;7 , 5;5;1
A B
và mặt phẳng
:2 4 0
P x y z
. Điểm
M
thuộc
P
sao cho
35.
MA MB
Biết
M
có hoành độ nguyên, ta có
OM
bằng
A.
2 2
. B.
2 3
. C.
3 2
. D.
4
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
Câu 116. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1
1 2 1
: ,
2 2 1
x y z
d
2
: 0 .
x t
d y
z t
Mặt phẳng
P
qua
1
d
tạo với
2
d
một góc
0
45
và nhận vectơ
1; ;n b c
làm một vectơ pháp tuyến. Xác định tích
.bc
A.
4
hoặc
0.
B.
4
hoặc
0.
C.
4
. D.
4
.
Câu 117. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
O
xyz
, cho hai đường
thẳng
1
1 2 1
:
2 2 1
x y z
d
và
2
: 0
x t
d y
z t
. Mặt phẳng
P
qua
1
d
tạo với
2
d
một góc
o
45
và nhận
véctơ
1; ;n b c
làm một véctơ pháp tuyến. Xác định tích
bc
.
A.
4
hoặc
0
B.
4
hoặc
0
C.
4
D.
4
Câu 118. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN LẦN 1 NĂM 2018-2019) rong không gian
Oxyz
, cho hai đường
thẳng
1
1 2 1
:
2 2 1
x y z
d
và
2
: 0
x t
d y
z t
. Mặt phẳng
P
qua
1
d
, tạo với
2
d
một góc
45
và
nhận vectơ
1; ;n b c
làm một vec tơ pháp tuyến. Xác định tích
.b c
.
A.
4
. B.
4
. C.
4
hoặc
0
. D.
4
hoặc
0
.
Dạng 4.2 Bài toán phương trình mặt phẳng, giao tuyến 2 mặt phẳng
Câu 119. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng đi qua điểm
1;2; 2
A
và vuông
góc với đường thẳng
1 2 3
:
2 1 3
x y z
có phương trình là
A.
2 3 2 0
x y z
. B.
2 3 1 0
x y z
.
C.
2 3 2 0
x y z
. D.
3 2 5 0
x y z
.
Câu 120. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho điểm
3; 1;1
M
. Phương
trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm
M
và vuông góc với đường thẳng
2
1 3
: ?
3 2 1
y
x z
A.
3 2 8 0x y z
B.
3 2 12 0x y z
C.
3 2 12 0x y z
D.
2 3 3 0x y z
Câu 121. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian vơi hê toa đô
Oxyz
, cho đương thăng
co
phương trinh:
10 2 2
5 1 1
x y z
. Xet măt phăng
:10 2 11 0
P x y mz
,
m
la tham sô thưc. Tim tât ca cac
gia tri cua
m
đê măt phăng
P
vuông goc vơi đương thăng
.
A.
2
m
B.
52
m
C.
52
m
D.
2
m
Câu 122. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
phẳng đi qua
1; 1;2
M
và vuông góc với đường thẳng
1 2
:
2 1 3
x y z
.
A.
2 3 9 0
x y z
. B.
2 3 9 0
x y z
. C.
2 3 9 0
x y z
. D.
2 3 6x y z
.
Câu 123. (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng
1 2 3
:
2 1 2
x y z
d
. Mặt phẳng
P
vuông góc với
d
có một vectơ pháp tuyến là:
A.
n
. B.
2; 1;2
n
. C.
1;4;1
n
. D.
2;1;2
n
.
Câu 124. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian
Oxyz
, phương trình mặt
phẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng
( ) :
1 1 1
x y z
d
là:
A.
1 0
x y z
. B.
1
x y z
. C.
1
x y z
. D.
0
x y z
.
Câu 125. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng đi qua
điểm
0;1;0
A
và chứa đường thẳng
2 1 3
:
1 1 1
x y z
có phương trình là:
A.
1 0
x y z
. B.
3 2 1 0
x y z
. C.
1 0
x y z
. D.
3 2 1 0
x y z
.
Câu 126. (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
1 2 2
:
1 2 1
x y z
d
. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng
d
.
A.
: 2 1 0
T x y z
. B.
: 2 1 0
P x y z
.
C.
: 2 1 0
Q x y z
. D.
: 1 0
R x y z
.
Câu 127. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
viết phương trình
đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng
: 3 1 0
x y z
,
: 2 7 0
x y z
.
A.
2 3
2 3 7
x y z
B.
2 3
2 3 7
x y z
C.
3 10
2 3 7
x y z
D.
2 3
2 3 7
x y z
Câu 128. Đường thẳng
là giao tuyến của 2 mặt phẳng:
5 0
x z
và
2 3 0
x y z
thì có phương trình là
A.
2 1
1 3 1
x y z
B.
2 1
1 2 1
x y z
C.
2 1 3
1 1 1
x y z
D.
2 1 3
1 2 1
x y z
Câu 129. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, gọi
là mặt phẳng
chứa đường thẳng
2 3
( ) :
1 1 2
x y z
d
và vuông góc với mặt phẳng
: 2z 1 0
x y
. Hỏi giao
tuyến của
và
đi qua điểm nào?
A.
0;1;3
. B.
2;3;3
. C.
5;6;8
D.
1; 2;0
Câu 130. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Đường thẳng
là giao của hai mặt
phẳng
5 0
x z
và
2 3 0
x y z
thì có phương trình là
A.
2 1
1 3 1
x y z
. B.
2 1
1 2 1
x y z
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
C.
2 1 3
1 1 1
x y z
. D.
2 1 3
1 2 1
x y z
.
Câu 131. (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian
Oxyz
cho điểm
0; 3;1
A
và đường thẳng
1 1 3
:
3 2 1
x y z
d
. Phương trình mặt phẳng đi qua
A
và vuông góc với đường thẳng
d
là:
A.
3 2 5 0
x y z
. B.
3 2 7 0
x y z
.
C.
3 2 10 0
x y z
. D.
3 2 5 0
x y z
.
Câu 132. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
1 2
:
1 2 3
x y z
và mặt phẳng
: 3 0
P x y z
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
O
, song
song với
và vuông góc với mặt phẳng
P
là
A.
2 0
x y z
. B.
2 0
x y z
. C.
2 4 0
x y z
. D.
2 4 0
x y z
.
Dạng 4.3 Bài toán giao điểm (hình chiếu, đối xứng) của đường thẳng với mặt phẳng
Câu 133. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 5
:
1 3 1
x y z
d
và mặt phẳng
:3 3 2 6 0
P x y z
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
d
cắt và không vuông góc với
.P
B.
d
vuông góc với
.P
C.
d
song song với
.P
D.
d
nằm trong
.P
Câu 134. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
2 1
:
2 1 3
x y z
và mặt phẳng
:11 16 0
P x my nz
. Biết
P
, tính giá trị của
T m n
.
A.
2T
. B.
2T
. C.
14T
. D.
14T
.
Câu 135. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
đường thẳng
2 1
:
3 1 2
x y z
. Gọi
M
là giao điểm của
với mặt phẳng
: 2 3 2 0
P x y z
.
Tọa độ điểm
M
là
A.
2;0; 1
M
. B.
5; 1; 3
M
. C.
1;0;1
M
. D.
1;1;1
M
.
Câu 136. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian
Oxyz
, tọa độ hình chiếu
vuông góc của điểm
3;2; 1
A
lên mặt phẳng
: 0
x y z
là:
A.
2;1;1
. B.
5 2 7
; ;
3 3 3
. C.
1;1; 2
. D.
1 1 1
; ;
2 4 4
.
Câu 137. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, hình chiếu của điểm
1;0;3
M
theo phương véctơ
1; 2;1
v
trên mặt phẳng
: 2 0
P x y z
có tọa độ là
A.
2; 2; 2
. B.
1;0;1
. C.
2;2;2
. D.
1;0; 1
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
Câu 138. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian
Oxyz
, giao điểm của
mặt phẳng
: 3 5 2 0
P x y z
và đường thẳng
12 9 1
:
4 3 1
x y z
là điểm
0 0 0
; ;M x y z
.
Giá trị tổng
0 0 0
x y z
bằng
A.
1
. B.
2
. C.
5
. D.
2
.
Câu 139. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho 3 điểm
1;0;0 , 0;2;0 , 0;0;3
A B C
và Gọi
( ; ; )M a b c
là tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng . Tổng
S a b c
là:
A. -7. B. 11. C. 5. D. 6.
Câu 140. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
:6 2 35 0
P x y z
và điểm
1;3;6 .
A
Gọi
'A
là điểm đối xứng với
A
qua
P
, tính
'.OA
A.
5 3
OA
B.
46
OA
C.
186
OA
D.
3 26
OA
Câu 141. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
1 5 3
:
2 1 4
x y z
d
. Phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu vuông góc của
d
trên mặt
phẳng
3 0
x
?
A.
3
5 2
3
x
y t
z t
B.
3
6
7 4
x
y t
z t
C.
3
5
3 4
x
y t
z t
D.
3
5
3 4
x
y t
z t
Câu 142. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
: 3 0
x yP z
và đường thẳng
1 2
:
1 2 1
x y z
d
. Hình chiếu vuông góc của
d
trên
P
có
phương trình là
A.
1 1 1
1 4 5
x y z
B.
1 4 5
1 1 1
x y z
C.
1 1 1
1 4 5
x y z
D.
1 1 1
3 2 1
x y z
Câu 143. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 3 0
x y z
và đường thẳng
4 3 2
:
3 6 1
x y z
d
. Viết phương trình đường thẳng
'd
đối xứng với đường thẳng
d
qua
mặt phẳng
.
A.
5 4
11 17 2
x y z
. B.
5 4
11 17 2
x y z
.
C.
5 4
11 17 2
x y z
. D.
5 4
11 17 2
x y z
.
Câu 144. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, xác
định tọa độ điểm
M
là hình chiếu vuông góc của điểm
2;3;1
M
lên mặt phẳng
: 2 0
x y z
.
A.
5
2; ;3
2
M
. B.
1;3;5
M
. C.
5 3
;2;
2 2
M
. D.
3;1;2
M
.
: 2 .
3
x t
d y t
z t
ABC
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
Câu 145. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Trong không gian
Oxyz
, điểm
M
đối xứng với điểm
1;2;4
M
qua mặt phẳng
: 2 2 3 0
x y z
có tọa độ là
A.
3;0;0
. B.
1;1;2
. C.
1; 2; 4
. D.
2;1;2
.
Câu 146. (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1;2; 1
A
,đường thẳng
1 1 2
:
2 1 1
x y z
d
và mặt phẳng
: 2 1 0
P x y z
. Điểm
B
thuộc
mặt phẳng
P
thỏa mãn đường thẳng
AB
vuông góc và cắt đường thẳng
d
. Tọa độ điểm
B
là
A.
(6; 7;0)
B.
(3; 2; 1)
C.
( 3;8; 3)
D.
(0;3; 2)
Câu 147. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
: 3 0
x yP z
và đường thẳng
1 2
:
1 2 1
x y z
d
. Hình chiếu vuông góc của
d
trên
P
có
phương trình là
A.
1 1 1
1 4 5
x y z
B.
1 1 1
3 2 1
x y z
C.
1 1 1
1 4 5
x y z
D.
1 4 5
1 1 1
x y z
Câu 148. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Trong không gian tọa độ
O
xyz
cho đường thẳng
3 2 1
:
2 1 1
x y z
d
, mặt phẳng
( ) : 2 0
P x y z
. Gọi
M
là giao điểm của
d
và
( )P
. Gọi
là đường thẳng nằm trong
( )P
vuông góc với
d
và cách
M
một khoảng
42
. Phương trình đường thẳng
là
A.
5 2 4
2 3 1
x y z
. B.
1 1 1
2 3 1
x y z
.
C.
3 4 5
2 3 1
x y z
. D. Đáp án khác.
Câu 149. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường
thẳng
1
d
có véctơ chỉ phương
1;0; 2
u
và đi qua điểm
1; 3;2
M
,
2
3 1 4
:
1 2 3
x y z
d
.
Phương trình mặt phẳng
P
cách đều hai đường thẳng
1
d
và
2
d
có dạng
11 0
ax by cz
. Giá trị
2 3a b c
bằng
A.
42
. B.
32
. C.
11
. D.
20
.
Câu 150. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho đường
thẳng
d
và mặt phẳng
P
lần lượt có phương trình
1 2
2 1 1
x y z
và
2 8 0
x y z
, điểm
2; 1;3
A
. Phương trình đường thẳng
cắt
d
và
P
lần lượt tại
M
và
N
sao cho
A
là trung điểm của
đoạn thẳng
MN
là:
A.
1 5 5
3 4 2
x y z
B.
2 1 3
6 1 2
x y z
C.
5 3 5
6 1 2
x y z
D.
5 3 5
3 4 2
x y z
Câu 151. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
1 2 1
:
2 1 3
x y z
d
và mặt phẳng
: 3 0
P x y z
. Đường thẳng
d
là hình
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
chiếu của
d
theo phương
Ox
lên
P
,
d
nhận
; ;2019
u a b
là một vectơ chỉ phương. Xác định tổng
.a b
A.
2019
. B.
2019
. C.
2018
. D.
2020
.
Câu 152. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho
mặt phẳng
: 3 0
P x y z
và đường thẳng
1 2
:
1 2 1
x y z
d
. Hình chiếu của
d
trên
P
có
phương trình là đường thẳng
d
. Trong các điểm sau điểm nào thuộc đường thẳng
d
:
A.
2;5; 4
M
. B.
1;3; 1
P
. C.
1; 1;3
N
. D.
2;7; 6
Q
.
Câu 153. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng
: 1 2 , ,
2
x t
d y t t
z t
cắt mặt phẳng
: 3 0
P x y z
tại điểm
I
. Gọi
là đường thẳng nằm
trong mặt phẳng
P
sao cho
d
và khoảng cách từ điểm
I
đến đường thẳng
bằng
42
. Tìm tọa
độ hình chiếu
; ;M a b c
( với
a b c
) của điểm
I
trên đường thẳng
.
A.
2;5; 4
M
. B.
6; 3;0
M
. C.
5;2; 4
M
. D.
3;6;0
M
.
Câu 154. (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian
Oxyz
, cho
mặt phẳng
: 6 0
x y z
và đường thẳng
1 4
:
2 3 5
x y z
d
. Hình chiếu vuông góc của
d
trên
có phương trình là
A.
1 4 1
2 3 5
x y z
. B.
5 1
2 3 5
x y z
.
C.
5 1
2 3 5
x y z
. D.
5 1
2 3 5
x y z
.
Câu 155. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 1 0
P x y z
và đường thẳng
2 4 1
:
2 2 1
x y z
d
. Viết phương trình đường thẳng
d
là hình
chiếu vuông góc của
d
trên
P
.
A.
2 1
:
7 5 2
x y z
d
. B.
2 1
:
7 5 2
x y z
d
.
C.
2 1
:
7 5 2
x y z
d
. D.
2 1
:
7 5 2
x y z
d
.
Câu 156. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
O
xyz
, cho đường thẳng
1 2 1
:
2 1 3
x y z
d
và mặt phẳng
( ) : 3 0
P x y z
. Đường thẳng
'd
là hình chiếu của
d
theo
phương
Ox
lên
( )P
;
'd
nhận
; ;2019
u a b
làm một véctơ chỉ phương. Xác định tổng
a b
.
A.
2019
B.
2019
C.
2018
D.
2020
Dạng 4.4 Bài toán cực trị
Câu 157. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm
1;2;3 , 0;1;1 , 1;0; 2
A B C
và mặt phẳng
: 2 0
P x y z
. Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng (P)
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
sao cho giá trị của biểu thức
2 2 2
2 3
T MA MB MC
nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng
:2 2 3 0
Q x y z
?
A.
2 5
3
B.
121
54
C.
24
D.
91
54
Câu 158. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
:
2 2 1
x y z
và mặt phẳng
: 2 2 0
P x y z
. Gọi
Q
là mặt phẳng chứa
sao cho góc giữa hai
mặt phẳng
P
và
Q
là nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng
Q
là
A.
2 0
x y z
. B.
22 10 0
x y z
. C.
2 0
x y z
. D.
10 22 0
x y z
.
Câu 159. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
10; 5;8
A
,
2;1; 1
B
,
2;3;0
C
và mặt phẳng
: 2 2 9 0
P x y z
. Xét
M
là điểm thay đổi trên
P
sao cho
2 2 2
2 3
MA MB MC
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
2 2 2
2 3
MA MB MC
.
A.
54
.
B.
282
.
C.
256
.
D.
328
.
Câu 160. (TRƯƠNG THPT HOANG HOA THAM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho tứ diện
ABCD
có
1;1;6
A
,
3; 2; 4
B
,
1;2; 1
C
,
2; 2;0
D
. Điểm
; ;M a b c
thuộc đường thẳng
CD
sao cho tam giác
ABM
có chu vi nhỏ nhất. Tính
a b c
.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
0
.
Câu 161. (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho tứ diện
ABCD
có
1;1;6
A
,
3; 2; 4
B
,
1;2; 1
C
,
2; 2;0
D
. Điểm
; ;M a b c
thuộc đường thẳng
CD
sao cho
tam giác
ABM
có chu vi nhỏ nhất. Tính
.a b c
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
0
.
Câu 162. Trong không gian
Oxyz
cho mặt phẳng
: 3 0
P x y z
và ba điểm
3;1;1
A
,
7;3;9
B
và
2;2;2
C
. Điểm
; ;M a b c
trên
P
sao cho
2 3
MA MB MC
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
2 10
a b c
.
A.
62
9
. B.
27
9
. C.
46
9
. D.
43
9
.
Câu 163. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1;1;2
A
và mặt phẳng
: 1 1 0
P m x y mz
, với
m
là tham
số. Biết khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
P
lớn nhất. Khẳng định đúng trong bốn khẳng định dưới
đây là
A.
2 6
m
. B.
6
m
. C.
2 2
m
. D.
6 2
m
.
Câu 164. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
hai điểm
(1;1;1)
A
,
(2;0;1)
B
và mặt phẳng
( ) : 2 2 0.
P x y z
Viết phương trình chính tắc của đường
thẳng
d
đi qua
A
, song song với mặt phẳng
( )P
sao cho khoảng cách từ
B
đến
d
lớn nhất.
A.
1 1 1
:
3 1 2
x y z
d
. B.
2
:
2 2 2
x y z
d
.
C.
2 2
:
1 1 1
x y z
d
. D.
1 1 1
:
3 1 1
x y z
d
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
Câu 165. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Trong không gian
Oxyz
, cho 3 điểm
( 8;1;1)
A
,
(2;1;3)
B
và
(6;4;0)
C
. Một điểm
M
di động trong không gian sao cho
. . 34
MA MC MA MB
. Cho biết
MA MB
đạt giá trị lớn nhất khi điểm
M
trùng với điểm
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
. Tính tích số
0 0 0
x y z
.
A.
16.
B.
18.
C.
14.
D.
12.
Câu 166. (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho tam giác
ABC
với
2;1; 3 ,
A
1; 1;2 ,
B
3; 6; 0 ,
C
2; 2; 1 .
D
Điểm
; ;M x y z
thuộc mặt phẳng
: 2 0
P x y z
sao cho
2 2 2 2
S MA MB MC MD
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức
2 2 2
P x y z
.
A.
6P
. B.
2P
. C.
0P
. D.
2P
.
Câu 167. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
1 2
:
1 2 1
x y z
d
. Gọi
P
là mặt phẳng chứa đường thẳng
d
và tạo với mặt phẳng
: 2 2 2 0
Q x y z
một góc có số đo nhỏ nhất. Điểm
1;2;3
A
cách mặt phẳng
P
một khoảng
bằng:
A.
3
. B.
5 3
3
. C.
7 11
11
. D.
4 3
3
.
Câu 168. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;2; 3
A
,
2; 2;1
B
và mặt phẳng
:
2 2 9 0
x y z
. Gọi
M
là điểm thay đổi trên mặt
phẳng
sao cho
M
luôn nhìn đoạn
AB
dưới một góc vuông. Xác định phương trình đường thẳng
MB
khi
MB
đạt giá trị lớn nhất.
A.
2
2 2
1 2
x t
y t
z t
B.
2 2
2
1 2
x t
y t
z t
C.
2
2
1 2
x t
y
z t
D.
2
2
1
x t
y t
z
Câu 169. ----- (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Viết phương trình đường
thẳng
a
đi qua
4; 2; 1
M
, song song với mặt phẳng
( ) :3 4 12 0
x y z
và cách
2; 5; 0
A
một khoảng lớn nhất.
A.
4
2
1
x t
y t
z t
. B.
4
2
1
x t
y t
z t
. C.
1 4
1 2
1
x t
y t
z t
. D.
4
2
1
x t
y t
z t
.
Câu 170. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Đường thẳng
đi qua điểm
3;1;1
M
, nằm trong mặt phẳng
: 3 0
x y z
và tạo với đường thẳng
1
: 4 3
3 2
x
d y t
z t
một góc nhỏ nhất thì phương trình của
là
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
A.
1
2
x
y t
z t
. B.
8 5
3 4
2
x t
y t
z t
. C.
1 2
1
3 2
x t
y t
z t
. D.
1 5
1 4
3 2
x t
y t
z t
.
Câu 171. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian
Oxyz
cho
4; 2;6
A
,
2;4;2
B
,
: 2 3 7 0
M x y z
sao cho
.MA MB
nhỏ nhất. Tọa độ của
M
bằng
A.
29 58 5
; ;
13 13 13
. B.
4;3;1
. C.
1;3;4
. D.
37 56 68
; ;
3 3 3
.
Câu 172. (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1;1;1
A
và mặt
phẳng
( ) : 2 0
P x y
. Gọi
là đường thẳng đi qua
A
, song song với
( )P
và cách điểm
1;0;2
B
một khoảng ngắn nhất. Hỏi
nhận vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương ?
A.
6;3; 5
u
. B.
6; 3;5
u
. C.
6;3;5
u
. D.
6; 3; 5
u
.
Câu 173. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
,cho hai điểm
(1;0;2), (3;1; 1).
A B
và mặt phẳng
( ) : 1 0.
P x y z
Gọi
( ; ; ) ( )M a b c P
sao cho
3 2
MA MB
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
9a 3 6 .S b c
A.
4.
B.
3.
C.
2.
D.
1.
Câu 174. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho điểm
2; 1; 2
A
và đường
thẳng
d
có phương trình
1 1 1
1 1 1
x y z
. Gọi
P
là mặt phẳng đi qua điểm
A
, song song với
đường thẳng
d
và khoảng cách từ
d
tới mặt phẳng
P
là lớn nhất. Khi đó mặt phẳng
P
vuông góc
với mặt phẳng nào sau đây?
A.
6 0
x y
. B.
3 2 10 0
x y z
.
C.
2 3 1 0
x y z
. D.
3 2 0
x z
.
Câu 175. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) 2 Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, gọi
P
là mặt phẳng đi qua hai
điểm
1; 7; 8
A
,
2; 5; 9
B
sao cho khoảng cách từ điểm
7; 1; 2
M
đến
P
đạt giá trị lớn nhất.
Biết
P
có một véctơ pháp tuyến là
; ;4n a b
, khi đó giá trị của tổng
a b
là
A.
1
. B.
3
. C.
6
. D.
2
.
Câu 176. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) 3 Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
3; 1;0
A
và đường
thẳng
2 1 1
:
1 2 1
x y z
d
. Mặt phẳng
chứa
d
sao cho khoảng cách từ
A
đến
lớn nhất có
phương trình là
A.
2 0
x y z
. B.
0
x y z
.
C.
1 0
x y z
. D.
2 5 0
x y z
.
Câu 177. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) 4 Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
3;0;1
A
,
1; 1;3
B
và mặt phẳng
: 2 2 5 0
P x y z
. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng
d
đi
qua
A
, song song với mặt phẳng
P
sao cho khoảng cách từ
B
đến
d
nhỏ nhất.
A.
3 1
:
26 11 2
x y z
d
. B.
3 1
:
26 11 2
x y z
d
.
C.
3 1
:
26 11 2
x y z
d
. D.
3 1
:
26 11 2
x y z
d
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
Câu 178. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
1; 4;5 , 3;4;0 , 2; 1;0
A B C
và mặt phẳng
:3 3 2 12 0.
x y z
Gọi
; ;M a b c
thuộc
sao cho
2 2 2
3
MA MB MC
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
. S a b c
A.
3
. B.
2
. C.
2
. D.
1
.
Câu 179. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa
độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 0
P x y z
và hai điểm
3;4;1 ; 7; 4; 3
A B
. Điểm
; ; 2
M a b c a
thuộc
P
sao cho tam giác
ABM
vuông tại
M
và có diện tích nhỏ nhất. Khi đó giá
trị biểu thức
T a b c
bằng:
A.
6
T
. B.
8
T
. C.
4T
. D.
0
T
.
Câu 180. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
2;5;3
A
và đường
thẳng
1 2
:
2 1 2
x y z
d
. Gọi
P
là mặt phẳng chứa
d
sao cho khoảng cách từ
A
đến
P
là lớn
nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ
O
đến
P
bằng
A.
2
. B.
3
6
. C.
11 2
6
. D.
1
2
.
Câu 181. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;2;3 , 5; 4; 1
A B
và mặt phẳng
P
qua
Ox
sao cho
, ,
2 ,
B P A P
d d P
cắt
AB
tại
; ;I a b c
nằm giữa
AB
. Tính
a b c
A.
8
B.
6
C.
12
D.
4
Câu 182. (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian
Oxyz
cho các điểm
(1;2;0), (1; 1;3), (1; 1; 1)
A B C
và mặt phẳng
( ) :3 3 2 15 0
P x y z
. Xét
( ; ; )M a b c
thuộc mặt
phẳng
( )P
sao cho
2 2 2
2
MA MB MC
nhỏ nhất. Giá trị của
a b c
bằng
A.
3
. B.
7
. C.
2
. D.
1
.
Câu 183. (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
1 1
:
2 1 1
x y z
d
và điểm
(1;2;3)
A
. Gọi
( )P
là mặt phẳng chứa d và cách điểm A một khoảng cách
lớn nhất. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của
( )P
.
A.
(1;0;2)
n
. B.
(1;0; 2)
n
. C.
(1;1;1)
n
. D.
(1;1; 1)
n
.
Câu 184. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
3;0;1
A
,
1; 1;3
B
và mặt phẳng
: 2 2 5 0
P x y z
. Viết phương trình chính tắc của đường
thẳng
d
đi qua
A
, song song với mặt phẳng
P
sao cho khoảng cách từ
B
đến
d
nhỏ nhất.
A.
3 1
:
26 11 2
x y z
d
. B.
3 1
:
26 11 2
x y z
d
.
C.
3 1
:
26 11 2
x y z
d
. D.
3 1
:
26 11 2
x y z
d
.
Câu 185. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 4 0
P x y z
, đường thẳng
1 1 3
:
2 1 1
x y z
d
và điểm
1; 3; 1
A
thuộc mặt phẳng
P
. Gọi
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
là đường thẳng đi qua
A
, nằm trong mặt phẳng
P
và cách đường thẳng
d
một khoảng cách lớn nhất.
Gọi
; ; 1u a b
là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng
. Tính
2a b
.
A.
2 3
a b
. B.
2 0
a b
. C.
2 4
a b
. D.
2 7
a b
.
Câu 186. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho điểm
2;1;3
A
và mặt
phẳng
: 2 1 2 0
P x my m z m
,
m
là tham số. Gọi
; ;H a b c
là hình chiếu vuông góc của
điểm
A
trên
P
. Tính
a b
khi khoảng cách từ điểm
A
đến
P
lớn nhất ?
A.
1
2
a b
. B.
2
a b
. C.
0
a b
. D.
3
2
a b
.
Câu 187. (PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;1;1
A
,
1; 1;3
B
và mặt phẳng
: 2 2 0
P x y z
. Tọa độ điểm
M
thuộc mặt phẳng
P
sao cho
MA MB
nhỏ nhất là:
A.
1;0;1
M
. B.
0;0;2
M
. C.
1;2; 3
M
. D.
1;2; 1
M
.
Câu 188. (TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN 2 - 2018) Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
1; 2;1
A
,
5; 0; 1
B
,
3;1; 2
C
và mặt phẳng
:3 3 0
Q x y z
. Gọi
; ;M a b c
là điểm thuộc
Q
thỏa mãn
2 2 2
2
MA MB MC
nhỏ nhất. Tính tổng
5a b c
.
A.
11
. B.
9
. C.
15
. D.
14
.
Câu 189. (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
cho 3 điểm
1;1;1
A
,
0;1;2
B
,
2;1;4
C
và mặt phẳng
: 2 0
P x y z
. Tìm điểm
N P
sao cho
2 2 2
2
S NA NB NC
đạt giá trị nhỏ nhất.
A.
4 4
;2;
3 3
N
. B.
2;0;1
N
. C.
1 5 3
; ;
2 4 4
N
. D.
1;2;1
N
.
Dạng 5. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng thẳng với đường thẳng
Câu 190. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian vơi hê toa đô
Oxyz
, cho hai đương thăng
2 3
: 3
4 2
x t
d y t
z t
va
1
4
:
3 1 2
y
x z
d
. Phương trinh nao dươi đây la phương trinh đương thăng thuôc măt phăng chưa
d
va
d
, đông thơi cach đêu hai đương thăng đo.
A.
2
3 2
3 1 2
y
x z
B.
2
3 2
3 1 2
y
x z
.
C.
2
3 2
3 1 2
y
x z
D.
2
3 2
3 1 2
y
x z
Câu 191. (CHUYÊN TRẦN ĐẠI NGHĨA - TPHCM - HK2 - 2018) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
1
d
:
3 2
1 2 1
x y z
và
2
d
:
3 1 2
1 2 1
x y z
A.
2
3
. B.
12
5
. C.
3 2
2
. D.
3
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
Câu 192. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho hai đường
thẳng
1
1 2
:
2 1 2
x y z
d
,
2
2 1
:
2 1 2
x y z
d
. Xét vị trí tương đói của hai đường thẳng đã cho.
A. Chéo nhau B. Trùng nhau C. Song song D. Cắt nhau
Câu 193. (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian tọa độ
Oxyz
,
xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
1 2
1 1 3 3 2
: , :
2 2 3 1 2 1
x y z x y z
A.
1
song song với
2
. B.
1
chéo với
2
. C.
1
cắt
2
. D.
1
trùng với
2
.
Câu 194. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1
1 2 1
:
2 1 1
x y z
và
2
2 1 2
:
4 1 1
x y z
. Đường thẳng chứa đoạn vuông góc chung của
1
và
2
đi qua điểm nào sau đây?
A.
0; 2; 5
M
. B.
1; 1; 4
N
. C.
2;0;1
P
. D.
3;1; 4
Q
.
Câu 195. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai
đường thẳng
1 2
1
1
: ; : 2
2 1 3
x t
x y z
d d y t
z m
. Gọi
S
là tập tất cả các số
m
sao cho
1
d
và
2
d
chéo
nhau và khoảng cách giữa chúng bằng
5
19
. Tính tổng các phần tử của
S
.
A.
11
. B.
12
. C.
12
. D.
11
.
Câu 196. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
1
1 2 3
:
1 2 1
x y z
d
và điểm
1;0; 1
A
. Gọi
2
d
là đường
thẳng đi qua điểm
A
và có vectơ chỉ phương
;1;2
v a
. Giá trị của
a
sao cho đường thẳng
1
d
cắt đường
thẳng
2
d
là
A.
1
a
. B.
2
a
. C.
0
a
. D.
1
a
.
Câu 197. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian
Oxyz
cho ba đường thẳng
1
: ,
1 1 2
x y z
d
1
3 1
: ,
2 1 1
x y z
2
1 2
:
1 2 1
x y z
. Đường thẳng
vuông góc với
d
đồng
thời cắt
1 2
,
tương ứng tại
,H K
sao cho độ dài
HK
nhỏ nhất. Biết rằng
có một vectơ chỉ phương
; ;1 .
u h k
Giá trị
h k
bằng
A.
0.
B.
4.
C.
6.
D.
2.
Câu 198. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho hai đường thẳng
2
: 1 2
4 2
x t
d y t
z t
và
4 1
:
1 2 2
x y z
d
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng thuộc
mặt phẳng chứa
d
và
d
đồng thời cách đều hai đường thẳng đó.
A.
2 1 4
3 1 2
x y z
. B.
3 2 2
1 2 2
x y z
.
C.
3 2
1 2 2
x y z
. D.
3 2 2
1 2 2
x y z
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
Câu 199.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Trong không gian
Oxyz
, cho bốn đường thẳng:
1
3 1 1
:
1 2 1
x y z
d
,
2
1
:
1 2 1
x y z
d
,
3
1 1 1
:
2 1 1
x y z
d
,
4
1 1
:
1 1 1
x y z
d
. Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:
A.
0
. B.
2
. C. Vô số. D.
1
.
Câu 200. (CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai đường
thẳng
1
1
:
2 1 3
x y z
d
,
2
1
: 2
x t
d y t
z m
. Gọi
S
là tập tất cả các số
m
sao cho
1
d
và
2
d
chéo nhau và
khoảng cách giữa chúng bằng
5
19
. Tính tổng các phần tử của
S
.
A.
11
. B.
12
. C.
12
. D.
11
.
Dạng 6. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt cầu
Câu 201. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ trục
Oxyz
cho hai đường thẳng
1
1 1 1
:
2 1 2
x y z
và
2
1 1 1
:
2 2 1
x y z
. Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, đồng
thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng
1
và
2
.
A.
16
17
(đvdt). B.
4
17
(đvdt). C.
16
17
(đvdt). D.
4
17
(đvdt).
Câu 202. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
hai đường thẳng
1
2
:
4
x t
d y t
z
và
2
3 '
: '
0
x t
d y t
z
. Viết phương trình mặt cầu
S
có bán kính nhỏ nhất tiếp
xúc với cả hai đường thẳng
1
d
và
2
.d
A.
2 2 2
: 2 1 2 4.
S x y z
B.
2 2 2
: 2 1 2 16.
S x y z
C.
2 2
2
: 2 1 ( 2) 4.
S x y z
D.
2
2 2
: 2 ( 1) ( 2) 16.
S x y z
Câu 203. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục
,Oxyz
cho mặt
cầu
2 2 2
: 2 4 6 13 0
S x y z x y z
và đường thẳng
1 2 1
:
1 1 1
x y z
d
. Điểm
; ; , 0
M a b c a
nằm trên đường thẳng
d
sao cho từ
M
kẻ được ba tiếp tuyến
, ,
MA MB MC
đến
mặt cầu
S
(
, ,A B C
là các tiếp điểm) và
0
60
AMB
,
0
60
BMC
,
0
120
CMA
. Tính
3 3 3
a b c
.
A.
3 3 3
173
9
a b c
. B.
3 3 3
112
9
a b c
. C.
3 3 3
8
a b c
. D.
3 3 3
23
9
a b c
.
Dạng 7. Một số bài toán liên quan giữa điểm – mặt – đường – cầu
Dạng 7.1 Bài toán tìm điểm
Câu 204. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
1; 2; 3
I
và mặt phẳng
: 2 2 4 0
P x y z
. Mặt cầu tâm
I
tiếp xúc với
P
tại điểm
H
. Tìm tọa độ điểm
H
.
A.
1; 1; 0
H
B.
3; 0; 2
H
C.
1; 4; 4
H
D.
3; 0; 2
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
Câu 205. Trong không gian
Oxyz
, biết mặt cầu
S
có tâm
O
và tiếp xúc với mặt phẳng
2 2 9 0
:P x y z
tại điểm
; ;H a b c
. Giá trị của tổng
a b c
bằng
A.
2
. B.
1
. C.
1.
D.
2
.
Câu 206. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa
độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 2 3 0
P x y z
và mặt cầu
S
tâm
5; 3;5
I
, bán kính
2 5
R
.
Từ một điểm
A
thuộc mặt phẳng
P
kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu
S
tại
B
. Tính
OA
biết
4AB
.
A.
11
OA
. B.
5
OA
. C.
3
OA
. D.
6
OA
.
Câu 207. Trong không gian cho mặt cầu
2 2 2
9
x y z
và điểm
0 0 0
; ;M x y z
thuộc
1
: 1 2
2 3
x t
d y t
z t
. Ba
điểm
A
,
B
,
C
phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho
MA
,
MB
,
MC
là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng
mặt phẳng
ABC
đi qua
1;1;2
D
. Tổng
2 2 2
0 0 0
T x y z
bằng
A.
30
B.
26
C.
20
D. 21
Câu 208. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho hai điểm
0;0;3 , 2;0;1
A B
và mặt phẳng
: 2 2 8 0
x y z
. Hỏi có bao nhiêu điểm
C
trên mặt phẳng
sao cho tam giác
ABC
đều?
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D. Vô số.
Câu 209. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
9
x y z
và điểm
0 0 0
; ; M x y z
thuộc đường thẳng
1
: 1 2 .
2 3
x t
d y t
z t
Ba điểm
,A
,B
C
phân
biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho
,MA
,MB
MC
là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng
ABC
đi qua
1; 1; 2
D
. Tổng
2 2 2
0 0 0
T x y z
bằng
A.
30
. B.
26
. C.
20
. D.
21
.
Câu 210. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho
mặt cầu
( ) :S
2 2 2
2 2 1 0
x y z x z
và đường thẳng
2
:
1 1 1
x y z
d
. Hai mặt phẳng
( )P
,
( )P
chứa
d
và tiếp xúc với
( )S
tại
T
,
T
. Tìm tọa độ trung điểm
H
của
TT
.
A.
7 1 7
; ;
6 3 6
H
. B.
5 2 7
; ;
6 3 6
H
. C.
5 1 5
; ;
6 3 6
H
. D.
5 1 5
; ;
6 3 6
H
.
Câu 211. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hai đường thẳng
2
:
2 2
x
d y t
z t
t
,
3 1 4
:
1 1 1
x y z
và mặt phẳng
: 2 0
P x y z
. Gọi
d
,
lần lượt là hình chiếu của
d
và
lên mặt phẳng
P
. Gọi
; ;M a b c
là giao điểm của hai đường thẳng
d
và
. Biểu thức
.a b c
bằng
A.
4
. B.
5
. C.
3
. D.
6
.
,Oxyz
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34
Dạng 7.2 Bài toán tìm mặt phẳng
Câu 212. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
: 2 3 1 16
S x y z
và điểm
1; 1; 1 .
A
Xét các điểm M thuộc
S
sao cho đường
thẳng AM tiếp xúc với
.S
M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là
A.
6 8 11 0
x y
B.
6 8 11 0
x y
C.
3 4 2 0
x y
D.
3 4 2 0
x y
Câu 213. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 1 1 2 2
S x y z
và hai đường thẳng
2 1
:
1 2 1
x y z
d
;
1
:
1 1 1
x y z
.
Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với
S
, song song với
d
và
?
A.
3 0
y z
B.
1 0
x z
C.
1 0
x y
D.
1 0
x z
Câu 214. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 1 2 3 1
S x y z
, đường thẳng
6 2 2
:
3 2 2
x y z
và điểm
4;3;1
M
. Trong các mặt phẳng sau mặt phẳng nào đi qua
M
, song
song với
và tiếp xúc với mặt cầu
S
?
A.
2 2 5 22 0
x y z
. B.
2 2 13 0
x y z
.
C.
2 2 1 0
x y z
. D.
2 2 7 0
x y z
.
Câu 215. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
: 2 3 1 16
S x y z
và điểm
1; 1; 1 .
A
Xét các điểm M thuộc
S
sao cho đường
thẳng AM tiếp xúc với
.S
M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là
A.
6 8 11 0
x y
B.
6 8 11 0
x y
C.
3 4 2 0
x y
D.
3 4 2 0
x y
Câu 216. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 1 1 2 2
S x y z
và hai đường thẳng
2 1
:
1 2 1
x y z
d
;
1
:
1 1 1
x y z
.
Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với
S
, song song với
d
và
?
A.
3 0
y z
B.
1 0
x z
C.
1 0
x y
D.
1 0
x z
Câu 217. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
(P)
chứa
đường thẳng
4 4
:
3 1 4
x y z
d
và tiếp xúc với mặt cầu
2 2 2
: 3 3 1 9
S x y z
. Khi đó
P
song song với mặt phẳng nào sau đây?
A.
3x 2z 0
y
. B.
2x 2 4 0
y z
.
C.
x 0
y z
D. Đáp án khác.
Câu 218. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình
mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
2 2 2
( 1) ( 2) 6
x y z
đồng thời song song với hai đường thẳng
1
2 1
:
3 1 1
x y z
d
,
2
2 2
:
1 1 1
x y z
d
.
A.
2 3 0
2 9 0
x y z
x y z
B.
2 3 0
2 9 0
x y z
x y z
C.
2 9 0
x y z
D.
2 9 0
x y z
Dạng 7.3 Bài toán tìm đường thẳng
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35
Câu 219. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian
,Oxyz
cho điểm
2;1;3
E
, mặt phẳng
: 2 2 3 0
P x y z
và mặt cầu
2 2 2
: 3 2 5 36
S x y z
. Gọi
là đường thẳng đi
qua
E
, nằm trong mặt phẳng
P
và cắt
S
tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của
là
A.
2 9
1 9
3 8
x t
y t
z t
B.
2 5
1 3
3
x t
y t
z
C.
2
1
3
x t
y t
z
D.
2 4
1 3
3 3
x t
y t
z t
Câu 220. (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt cầu
1
S
,
2
S
có phương trình lần lượt là
2 2 2
1
: 25
S x y z
,
2
2 2
2
: 1 4
S x y z
. Một đường thẳng
d
vuông góc với véc tơ
1; 1;0
u
tiếp xúc với mặt cầu
2
S
và cắt mặt cầu
1
S
theo một đoạn thẳng
có độ dài bằng
8
. Hỏi véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của
d
?
A.
1
1;1; 3
u
B.
2
1;1; 6
u
C.
3
1;1;0
u
D.
4
1;1; 3
u
Câu 221. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa
độ
Oxyz
, cho điểm
3;3; 3
M
thuộc mặt phẳng
: 2 2 15 0
x y z
và mặt cầu
2 2 2
: 2 3 5 100
S x y z
. Đường thẳng
qua
M
, nằm trên mặt phẳng
cắt
S
tại
,A B
sao cho độ dài
AB
lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng
.
A.
3 3 3
1 1 3
x y z
. B.
3 3 3
1 4 6
x y z
.
C.
3 3 3
16 11 10
x y z
. D.
3 3 3
5 1 8
x y z
.
Dạng 7.4 Bài toán tìm mặt cầu
Câu 222. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
4;6;2
A
và
2; 2;0
B
và mặt phẳng
: 0
P x y z
. Xét đường thẳng
d
thay đổi thuộc
P
và đi qua
B
, gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
A
trên
d
. Biết rằng khi
d
thay đổi thì
H
thuộc một đường tròn cố định.
Tính bán kính
R
của đường tròn đó.
A.
3
R
B.
2R
C.
1R
D.
6
R
Câu 223. (ĐÊ 04 VTED NĂM 2018-2019) Trong không gian
Oxyz
mặt phẳng
: 2 6 3 0
P x y z
cắt trục
Oz
và đường thẳng
5 6
:
1 2 1
x y z
d
lần lượt tại
A
và
B
. Phương trình mặt cầu đường kính
AB
là:
A.
2 2 2
2 1 5 36.
x y z
B.
2 2 2
2 1 5 9.
x y z
C.
2 2 2
2 1 5 9.
x y z
D.
2 2 2
2 1 5 36.
x y z
Câu 224. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 4 6 0
S x y z x y m
(
m
là tham số) và đường thẳng
4 2
: 3
3 2
x t
y t
z t
. Biết đường thẳng
cắt mặt cầu
S
tại hai điểm phân biệt
,A B
sao cho
8
AB
. Giá
trị của
m
là
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36
A.
5
m
. B.
12
m
. C.
12
m
. D.
10
m
.
Câu 225. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
3 2
:
2 1 1
x y z
d
và hai mặt phẳng
: 2 2 0
P x y z
;
: 2 3 5 0
Q x y z
. Mặt cầu
S
có tâm
I
là giao điểm của đường thẳng
d
và mặt phẳng
P
. Mặt phẳng
Q
tiếp xúc với mặt cầu
S
. Viết phương trình mặt cầu
S
.
A.
2 2 2
: 2 4 3 1
S x y z
. B.
2 2 2
: 2 4 3 6
S x y z
.
C.
2 2 2
2
: 2 4 3
7
S x y z
. D.
2 2 2
: 2 4 4 8
S x y z
.
Câu 226. (SGD - BÌNH DƯƠNG - HK 2 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 2 9 0
P x y z
và mặt cầu
2 2 2
: 3 2 1 100
S x y z
. Mặt phẳng
P
cắt mặt
cầu
S
theo một đường tròn
C
. Tìm tọa độ tâm
K
và bán kính
r
của đường tròn
C
là
A.
3; 2;1
K
,
10
r
. B.
1;2;3
K
,
8
r
. C.
1; 2;3
K
,
8
r
. D.
1;2;3
K
,
6
r
.
Câu 227. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
2;0;0
A
,
0; 2;0
B
,
0;0; 2
C
. Gọi
D
là điểm khác
O
sao cho
DA
,
DB
,
DC
đôi một vuông góc nhau và
; ;I a b c
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
. Tính
S a b c
.
A.
4
S
B.
1
S
C.
2
S
D.
3
S
Câu 228. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
4;6;2
A
và
2; 2;0
B
và mặt phẳng
: 0
P x y z
. Xét đường thẳng
d
thay đổi thuộc
P
và đi qua
B
, gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
A
trên
d
. Biết rằng khi
d
thay đổi thì
H
thuộc một đường tròn cố định.
Tính bán kính
R
của đường tròn đó.
A.
3
R
B.
2R
C.
1R
D.
6
R
Câu 229. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian
Oxyz
, cho
:2 2 1 0
P x y z
,
0;0;4 , 3;1;2
A B
. Một mặt cầu
S
luôn đi qua
,A B
và tiếp xúc với
P
tại
C
. Biết rằng,
C
luôn
thuộc một đường tròn cố định bán kính
r
. Tính bán kính
r
của đường tròn đó.
A. Đáp án khác. B.
4
2 244651
3
r
. C.
2 244651
9
r
. D.
2024
3
r
.
Câu 230. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
hình chóp
.
S ABCD
với
1; 1;6
S
,
1;2;3
A
,
3;1;2
B
,
4;2;3
C
,
2;3;4
D
. Gọi
I
là tâm mặt
cầu
S
ngoại tiếp hình chóp. Tính khoảng cách
d
từ
I
đến mặt phẳng
SAD
.
A.
3 3
2
d
. B.
6
2
d
. C.
21
2
d
. D.
3
2
d
.
Câu 231. (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;1;1 , 2;2;1
A B
và mặt phẳng
: 2 0
P x y z
. Mặt cầu
S
thay đổi qua
,A B
và tiếp xúc với
P
tại
H
. Biết
H
chạy trên 1 đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó.
A.
3 2
. B.
2 3
. C.
3
. D.
3
2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37
Câu 232. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian
Oxyz
, xét số thực
0;1
m
và hai
mặt phẳng
: 2 2 10 0
x y z
và
: 1
1 1
x y z
m m
. Biết rằng, khi
m
thay đổi có hai mặt cầu
cố định tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt phẳng
,
. Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng
A.
6
B.
3
C.
9
D.
12
Câu 233. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
2;0;0
A
,
0; 2;0
B
,
0;0; 2
C
. Gọi
D
là điểm khác
O
sao cho
DA
,
DB
,
DC
đôi một vuông góc nhau và
; ;I a b c
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
. Tính
S a b c
.
A.
4
S
B.
1
S
C.
2
S
D.
3
S
Dạng 7.5 Bài toán cực trị
Câu 234. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho mặt phẳng
: 2 2 3 0
P x y z
và mặt cầu
2 2 2
: 2 4 2 5 0.
S x y z x y z
Giả sử
M P
và
N S
sao cho
MN
cùng phương với vectơ
1;0;1
u
và khoảng cách giữa
M
và
N
lớn nhất. Tính
.MN
A.
3
MN
B.
1 2 2
MN
C.
3 2
MN
D.
14
MN
Câu 235. (SGD&ĐT ĐỒNG THÁP - HKII - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2
2
: 1 2 4
S x y z
có tâm
I
và mặt phẳng
: 2 2 2 0
P x y z
. Tìm tọa độ điểm
M
thuộc
P
sao cho đoạn
IM
ngắn nhất.
A.
1 4 4
; ;
3 3 3
. B.
11 8 2
; ;
9 9 9
C.
1; 2;2
. D.
1; 2; 3
.
Câu 236. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho mặt phẳng
: 2 2 3 0
P x y z
và mặt cầu
2 2 2
: 2 4 2 5 0.
S x y z x y z
Giả sử
M P
và
N S
sao cho
MN
cùng phương với vectơ
1;0;1
u
và khoảng cách giữa
M
và
N
lớn nhất. Tính
.MN
A.
3
MN
B.
1 2 2
MN
C.
3 2
MN
D.
14
MN
Câu 237. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho mặt phẳng
: 2 2 3 0
P x y z
và mặt cầu
2 2 2
: 2 4 2 5 0
S x y z x y z
. Giả sử
M P
và
N S
sao cho
MN
cùng phương với vectơ
1;0;1
u
và khoảng cách giữa
M
và
N
lớn nhất. Tính
.MN
A.
3
MN
. B.
1 2 2
MN
. C.
3 2
MN
. D.
14
MN
.
Câu 238. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
( ) : 2 4 2 3 0
S x y z x y z
và mặt phẳng
( ) : 2 2 14 0
P x y z
. Điểm
M
thay đổi trên
S
, điểm
N
thay đổi trên
( )P
. Độ dài nhỏ nhất của
MN
bằng
A.
1
B.
2
C.
1
2
D.
3
2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38
Câu 239. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
S
tâm
1; 2;1
I
; bán kính
4R
và đường thẳng
1 1
:
2 2 1
x y z
d
. Mặt phẳng
P
chứa
d
và cắt mặt cầu
S
theo một đường tròn có diện tích nhỏ nhất. Hỏi trong các điểm sau điểm nào có khoảng cách đến mặt
phẳng
P
lớn nhất.
A.
0;0;0
O
. B.
3 1
1; ;
5 4
A
. C.
1; 2; 3
B
. D.
2;1;0
C
.
Câu 240. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Trong không gian
Oxyz
cho mặt phẳng
: 1 0
P y
,
đường thẳng
1
: 2
1
x
d y t
z
và hai điểm
1; 3;11
A
,
1
;0;8
2
B
. Hai điểm
M
,
N
thuộc mặt phẳng
P
sao cho
, 2
d M d
và
2
NA NB
. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn
MN
.
A.
min
1
MN
. B.
min
2
MN
. C.
min
2
2
MN
. D.
min
2
.
3
MN
Câu 241. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Ox ,yz
cho mặt cầu
2 2 2
: 1 2 1 9
S x y z
và hai điểm
4;3;1
A
,
3;1;3
B
; M là điểm thay đổi trên
S
.
Gọi
,m n
là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
2P MA MB
. Xác định
.m n
A.
64
. B.
68
. C.
60
. D.
48
.
Câu 242. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
O
xyz
cho ba điểm
8;5; 11 , 5;3; 4 , 1;2; 6
A B C
và mặt cầu
2 2 2
: 2 4 1 9
S x y z
. Gọi điểm
; ;M a b c
là điểm trên
S
sao cho
MA MB MC
đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm
a b
.
A.
6
. B.
2
. C.
4
. D. 9.
Câu 243. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2
2
( ) : 3 1 4
S x y z
và đường thẳng
1 2
: 1 ,( )
x t
d y t t
z t
. Mặt phẳng chứa
d
và cắt
( )S
theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là
A.
1 0
y z
. B.
3 5 2 0
x y z
.
C.
2 3 0
x y
. D.
3 2 4 8 0
x y z
.
Câu 244. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
(3; 2;6), (0;1;0)
A B
và mặt cầu
2 2 2
( ) :( 1) ( 2) ( 3) 25
S x y z
. Mặt phẳng
( ) : 2 0
P ax by cz
đi qua A, B và cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính
T a b c
.
A.
3
T
B.
5
T
C.
2T
D.
4T
Câu 245. (ĐÊ 04 VTED NĂM 2018-2019) Trong không gian
,Oxyz
cho mặt cầu
2 2 2
: 1 2 3 48
S x y z
Gọi
là mặt phẳng đi qua hai điểm
0;0; 4 , 2;0;0
A B
và
cắt mặt cầu
S
theo giao tuyến là đường tròn
C
. Khối nón
N
có đỉnh là tâm của
S
, đường tròn
đáy là
C
có thể tích lớn nhất bằng
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39
A.
128
3
B.
39
C.
88
3
C.
215
3
Lời giải
Chọn B
Ta có tâm cầu
1; 2;3 ; R 4 3
I
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của tâm cầu
I
lên mặt phẳng
Vậy chiều cao của khối nón
N
là
,
h d I P IH IK
, trong đó
K
là hình chiếu vuông góc của
I
lên
AB
Gọi
Q
là mặt phẳng đi qua
I
và vuông góc với ta có
: 2z 7 0
Q x
Phương trình
: 0
4 2
x t
AB y
z t
thế vào
Q
ta được
8 4 7 0 3t t t
Tọa độ
3;0;2 3
K IK
Bán kính của khối nón
2
48
r h
Vậy thể tích của khối nón
2 2 2
1 1 1
. 48 . 48 . 0;3
3 3 3
V r h h h h h h
Khảo sát
V
ta tìm được
max
39
V
Câu 246. (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong
không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho các điểm
1; 0; 0
A
,
3;2; 0
B
,
1;2; 4
C
. Gọi
M
là điểm thay
đổi sao cho đường thẳng
MA
,
MB
,
MC
hợp với mặt phẳng
ABC
các góc bằng nhau;
N
là điểm thay
đổi nằm trên mặt cầu
2 2 2
1
: 3 2 3
2
S x y z
. Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn
MN
.
A.
3 2
2
. B.
2
. C.
2
2
. D.
5
.
Câu 247. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho mặt cầu
2 2 2
: 2 1 3 9
S x y z
và hai điểm
1 ; 1 ; 3
A
,
21 ; 9 ; 13
B
. Điểm
; ; M a b c
thuộc mặt cầu
S
sao cho
2 2
3
MA MB
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức
. .T a b c
bằng
A.
3
. B.
8
. C.
6
. D.
18
.
Câu 248. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng
1 2 3
:
2 3 4
x y z
d
và mặt cầu
S
:
2 2 2
3 4 5 729
x y z
. Cho biết điểm
2; 2; 7
A
, điểm
B
thuộc giao tuyến của mặt cầu
S
và mặt phẳng
: 2 3 4 107 0
P x y z
.
Khi điểm
M
di động trên đường thẳng
d
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
MA MB
bằng
A.
5 30
. B.
27
. C.
5 29
. D.
742
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40
Câu 249. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN 1 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
1; 2; 3
A
và mặt phẳng
: 2 2 9 0
P x y z
. Đường thẳng
d
đi qua
A
và có vectơ chỉ phương
3; 4; 4
u
cắt
P
tại điểm
B
. Điểm
M
thay đổi trong
P
sao cho
M
luôn nhìn đoạn
AB
dưới góc
90
. Khi độ
dài
MB
lớn nhất, đường thẳng
MB
đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A.
3;2;7
J
. B.
3;0;15
K
. C.
2; 1;3
H
. D.
1; 2;3
I
.
Câu 250. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 1 0
P x y z
, đường thẳng
15 22 37
:
1 2 2
x y z
d
và mặt cầu
2 2 2
: 8 6 4 4 0
S x y z x y z
. Một đường thẳng
thay đổi cắt mặt cầu
S
tại hai điểm
,A B
sao cho
8
AB
. Gọi
A
,
B
là hai điểm lần lượt thuộc mặt phẳng
P
sao cho
AA
,
BB
cùng
song song với
d
. Giá trị lớn nhất của biểu thức
AA BB
là
A.
8 30 3
9
. B.
24 18 3
5
. C.
12 9 3
5
. D.
16 60 3
9
.
Câu 251. (SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
S
có tâm
1;2;3
I
và có bán kính
2r
. Xét đường thẳng
1
:
1
x t
d y mt t
z m t
,
m
là tham số thực. Giả sử
,P Q
là
mặt phẳng chứa
d
và tiếp xúc với
S
lần lượt tại
,M N
. Khi đó đoạn
MN
ngắn nhất hãy tính khoảng
cách từ điểm
1;0;4
B
đến đường thẳng
d
.
A.
5
. B.
5 3
3
. C.
4 237
21
. D.
4 273
21
.
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Dạng 1. Xác định VTCP
Câu 1. Chọn C
2
: 1 2
3
x t
d y t
z t
có một vectơ chỉ phương là
4
1;2;1
u
.
Câu 2. Chọn C
Dựa vào phương trình đường thẳng suy ra một vectơ chỉ phương của
d
là
2; 5;3
u
Câu 3. Chọn C
Ta có
1;0;2
AB

suy ra đường thẳng
AB
có VTCP là
1;0;2
b
.
Câu 4. Chọn B
Đường thẳng
3 1 5
:
1 1 2
x y z
d
có một vectơ chỉ phương là
4
1; 1;2
u
.
Câu 5. Chọn D
Đường thẳng
2 1 3
:
1 3 2
x y z
d
có một vectơ chỉ phương là
2
1; 3;2 .
u
Câu 6. Chọn D
Câu 7. Chọn A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41
Ta thấy đường thẳng d có một vectơ chỉ phương có tọa độ
2
(1; 2;3)
u
.
Câu 8. Chọn B
Một vectơ chỉ phương của
d
là:
( 1;2;1)
u
.
Câu 9. Chọn C
Câu 10. Chọn A
1
M
là hình chiếu của
M
lên trục
1
1;0;0
Ox M
.
2
M
là hình chiếu của
M
lên trục
2
0;2;0
Oy M
.
Khi đó:
1 2
1;2;0
M M
là một vectơ chỉ phương của
1 2
M M
.
Câu 11. Ta có một vectơ chỉ phương của
d
là
1
1; 2;3
u
.
2 1
3u u
,
3 1
u u
các vectơ
2 3
,u u
cũng là vectơ chỉ phương của
d
.
Không tồn tại số
k
để
4 1
.u k u
nên
4
2;4;3
u
không phải là vectơ chỉ phương của
d
.
Câu 12. Chọn C
Xét đường thẳng được cho ở câu C, có một vectơ chỉ phương là
2; 1; 1 2;1;1
(thỏa đề bài).
Câu 13. Đường thẳng
d
có một véc tơ chỉ phương là
2;1; 2
v
.
;2;u a b
làm véc tơ chỉ phương của
d
suy ra
u
và
v
cùng phương nên
4
2
4
2 1 2
a
a b
b
Câu 14. Cách 1: Từ phương trình
suy ra véctơ chỉ phương của
là
1 1 3
4; 6;9 12 ; ; .
3 2 4
u
Câu 15.
Đường thẳng
d
có một vectơ chỉ phương là
3
2; 1;2
u
.
Câu 16. Vectơ chỉ phương của đường thẳng là
3; 2; 1 1 3;2;1
u
nên
1
3; 2;1
u
cũng là
một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Câu 17. Từ phương trình chính tắc của đường thẳng
d
ta có vectơ chỉ phương là
2; 4;1
d
u
.
Câu 18. Từ phương trình tham số của đường thẳng
d
, ta suy ra một véc tơ chỉ phương của đường thẳng
d
là
(1;0; 2)
u
.
Dạng 2. Xác định phương trình đường thẳng
Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng cơ bản
Câu 19. Chọn D
Do đường thẳng
1 2
: 3
2
x t
d y t
z t
đi qua điểm
(1;0; 2)
M
và có véc tơ chỉ phương
(2;3;1)
u
nên có
phương trình chính tắc là
1 2
.
2 3 1
x y z
Câu 20.
1; 3; 2
MN
.
Đường thẳng
MN
qua
N
nhận
1; 3; 2
MN
làm vectơ chỉ phương có phương trình
1 3
1 3 2
x y z
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42
Câu 21. Trục
Oz
đi qua gốc tọa độ
0;0;0
O
và nhận vectơ đơn vị
0;0;1
k
làm vectơ chỉ phương nên có
phương trình tham số
0
0
x
y
z t
.
Câu 22. Theo lý thuyết về dường thẳng trong không gian Oxyz, ta có phương trình tham số của đường thẳng đi qua
điểm
0 0 0
; ;M x y z
và có véctơ chỉ phương
1 2 3
; ;a a a a
là
0 1
0 2
0 3
, .
x x a t
y y a t t
z z a t
Do đó, đáp án D đúng.
Câu 23. Chọn B
Ta có:
(3;1; 7)
EF
. Đường thẳng
EF
đi qua điểm
( 1;0;2)
E
và có VTCP
(3;1; 7)
u EF
có
phương trình:
1 2
3 1 7
x y z
.
Câu 24. Chọn B
Trục
y Oy
là giao của mặt phẳng
Oxy
và
yOz
nên có phương trình là
0
0
x
y t
z
Câu 25.
4; 6;2 2 2; 3;1
a
\
Do đó đường thẳng
có một vectơ chỉ phương là
2; 3;1
u
. Vậy phương trình tham số của
đi qua
2;0; 1
M
và có một vectơ chỉ phương là
2; 3;1
u
là:
2 2
3
1
x t
y t
z t
.
Câu 26. Ta có
1;2;3
PQ
. Gọi
d
là đường thẳng đi qua hai điểm
,P Q
Khi đó
d
có một vec tơ chỉ phương là
1;2;3
d
u PQ
Phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
1;1; 1
P
là
1 1 1
:
1 2 3
x y z
d
.
Câu 27. Ta có
4;2; 4
AB
. Suy ra
AB
cùng phương với
2; 1;2
u
.
Phương trình đường thẳng
AB
đi qua
5;4; 1
B
nhận
2; 1;2
u
làm vectơ chỉ phương là:
5 4 1
, 1
2 1 2
x y z
. Do đó loại A, C.
Có tọa độ
1; 2; 3
C
không thỏa mãn phương trình
1
nên phương án B.
Lại có tọa độ
3;3;1
D
thỏa mãn phương trình
1
nên phương trình đường thẳng
AB
cũng được viết
là:
3 3 1
2 1 2
x y z
.
Câu 28. Đường thẳng
Oy
đi qua điểm
0 ; 2 ; 0
A
và nhận vectơ đơn vị
0; 1; 0
j
làm vectơ chỉ phương nên
có phương trình tham số là
0 0. 0
2 1. 2
0 0. 0
x t x
y t t y t t
z t z
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43
Câu 29. Chọn A
Đường thẳng
d
đi qua điểm
(1;2; 3)
M
nhận véc tơ
2; 1;1
u
nên có phương trình dạng chính tắc là
1 2 3
2 1 1
x y z
Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố vuông góc
Câu 30. Chọn B
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là
1; 3; 1
u
nên suy ra chỉ đáp án A hoặc B đúng. Thử tọa độ
điểm
2; 3; 0
A
vào ta thấy đáp án B thỏa mãn
Câu 31. Chọn C
Gọi
là đường thẳng cần tìm.
Gọi
M Ox
. Suy ra
;0;0
M a
.
1; 2; 3
AM a
.
d
có VTCP:
2;1; 2
d
u
.
Vì
d
nên
. 0
d
AM u
2 2 2 6 0
a
1
a
.
Vậy
qua
1;0;0
M
và có VTCP
2; 2; 3 2;2;3
AM
nên
có phương trình:
1 2
2
3
x t
y t
z t
.
Câu 32. Chọn C
Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng
BCD
nhận vectơ pháp tuyến của
BCD
là vectơ
chỉ phương
Ta có
2;0; 1 , 0; 1; 2
BC BD
 
; 1; 4; 2
d BCD
u n BC BD
  
Khi đó ta loại đáp án A và B
Thay điểm
1;0;2
A
vào phương trình ở phương án C ta có
1 2 1
0 4 4 1
2 4 2 1
t t
t t
t t
.
Suy ra đường thẳng có phương trình tham số ở phương án C đi qua điểm
A
nên C là phương án đúng
Câu 33. Chọn D
Phương trình
1
1 1
1
3
: 3 2
2
x t
d y t
z t
và
2
2 2
2
5 3
: 1 2
2
x t
d y t
z t
.
Gọi đường thẳng cần tìm là
.
Giả sử đường thẳng
cắt đường thẳng
1
d
và
2
d
lần lượt tại
A
,
B
.
Gọi
1 1 1
3 ;3 2 ; 2
A t t t
,
2 2 2
5 3 ; 1 2 ;2
B t t t
.
2 1 2 1 2 1
2 3 ; 4 2 2 ;4
AB t t t t t t
.
Vectơ pháp tuyến của
P
là
1;2;3
n
.
Do
AB
và
n
cùng phương nên
2 1 2 1 2 1
2 3 4 2 2 4
1 2 3
t t t t t t
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44
2 1 2 1
2 1 2 1
2 3 4 2 2
1 2
4 2 2 4
2 3
t t t t
t t t t
1
2
2
1
t
t
. Do đó
1; 1;0
A
,
B
.
Phương trình đường thẳng
đi qua
1; 1;0
A
và có vectơ chỉ phương
1;2;3
n
là
1 1
1 2 3
x y z
.
Câu 34. Chọn A
1; 2;2
0; 1;3
AB
AD
4; 3; 1
AB AD
Đường thẳng qua
2; 1;3
C
và vuông góc với mặt phẳng
ABD
có phương trình
2 4
1 3
3
x t
y t
z t
Điểm
2; 4;2
E
thuộc đường thẳng trên, suy ra đường thẳng cần tìm trùng với đường thẳng có
phương trình
2 4
4 3
2
x t
y t
z t
Chọn đáp án đúng là đáp án C
Câu 35. Chọn C
Ta có
1;3;1
AB
;
1; 1;0
AC
;
,
ABC
n AB AC
1;1; 2
.
Đường thẳng đi qua
D
và vuông góc với mặt phẳng
ABC
nên có véc tơ chỉ phương là
1;1; 2
ABC
n
,
phương trình tham số là:
1
1
3 2
x t
y t
z t
.
Câu 36. Chọn A
Gọi đường thẳng cần tìm là
1 1 2
:
1 2 2
x y z
d
có VTCP
1; 2;2
u
.
Gọi
0; ;0
M m Oy
, ta có
2; 1; 3
AM m
Do
d
. 0
AM u
2 2 1 6 0
m
3
m
Ta có
có VTCP
2; 4; 3
AM
nên có phương trình
2
3 4
3
x t
y t
z t
.
Câu 37. Chọn B
Gọi
d
là đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
.BCD
Ta có
1;1; 1 ; 0; 1; 2
BC BD

.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 45
Mặt phẳng
BCD
có vec tơ pháp tuyến là
, 3;2; 1 .
BCD
n BD BC
Gọi
d
u
là vec tơ chỉ phương của đường thẳng
d
.
Vì
d BCD
nên
3;2; 1
BCD
d
u n
.
Đáp A và C có VTCP
3;2; 1
d
u
nên loại B và
D.
Ta thấy điểm
0;0;2
A
thuộc đáp án C nên loại A.
Câu 38.
Lơi giai
Chọn D
Cách 1:
Đương thăng
1 1
:
1 1 2
x y z
d
co véc tơ chi phương
1;1;2
u
Goi
P
la măt phăng qua điêm
A
va vuông goc vơi đương thăng
d
, nên nhân véc tơ chi phương cua
d
la vecto phap tuyên
:1 1 2 2 0 2 5 0
P x y z x y z
Goi
B
la giao điêm cua măt phăng
P
va đương thăng
1 ; ; 1 2
d B t t t
Vì
1 2 1 2 5 0 1 2;1;1
B P t t t t B
Ta co đương thăng
đi qua
A
va nhân vecto
1;1; 1
AB
la véc tơ chi phương có dạng
1 2
:
1 1 1
x y z
.
Cách 2:
Gọi
1 ; ; 1 2
d B B t t t
; ; 3 2
AB t t t
, Đường thẳng
d
có VTCP là
1;1;2
d
u
Vì
d
nên
. 0 2 3 2 0 1
d d
AB u AB u t t t t
Suy ra
1;1; 1
AB
.Ta co đương thăng
đi qua
1;0;2
A
va nhân véc tơ
1;1; 1
AB
la véc tơ
chi phương có dạng
1 2
:
1 1 1
x y z
.
Câu 39. Chọn D
Ta có:
; 4; 8;8
OA OB
Gọi
d
là đường thẳng thỏa mãn khi đó
d
có VTCP
1; 2;2
u
Ta có
3, 4, 5
OA OB AB
. Gọi
( ; ; )I x y z
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
OAB
Áp dụng hệ thức
. . . 0
OB IA OA IB AB IO
1
4.( ) 3.( ) 5. 0 4 3 0;1;1
12
OA OI OB OI IO OI OA OB I
  
Suy ra
: 1 2
1 2
x t
d y t
z t
cho
1
đi qua điểm
( 1;3; 1)
M
Do đó
d
đi qua
( 1;3; 1)
M
có VTCP
(1; 2;2)
u
nên đường thẳng có phương trình
1 3 1
1 2 2
x y z
Câu 40. Chọn C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 46
d
:
1 2
2 2
x t
y t
z t
Gọi
là đường thẳng nằm trong
( )P
vuông góc với
d
.
; ( 1;4;3)
d P
u u n
Gọi A là giao điểm của
d
và
( )P
. Tọa độ A là nghiệm của phương trình:
( 1 2 ) ( t) ( 2 2 t) 1 0 t 2 (3; 2;2)
t A
Phương trình
qua
(3; 2;2)
A
có vtcp
u ( 1;4;3)
có dạng:
3
2 4
2 3
x t
y t
z t
Câu 41. Chọn D
+) VTCP của
,
lần lượt là
3; 2;1
u
và
1; 3; 2
v
;
, 7;7; 7
u v
+) Vì
d
vuông góc với
và
nên
1;1;1
d
u
.
+)
d
đi qua
1;1; 3
M
nên
1
: 1
3
x t
d y t
z t
.
Câu 42. Chọn D
Ta có
1 1
:
1 2 1
x y z
: 1 2
1
x t
y t
z t
Gọi
M P
;2 1; 1
M M t t t
2 2 1 1 3 0
M P t t t
4 4 0 1t t
1;1;2
M
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
P
là
1; 2; 1
n
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng
là
1;2;1
u
Đường thẳng
d
nằm trong mặt phẳng
P
đồng thời cắt và vuông góc với
Đường thẳng
d
nhận
1
, 0; 1;2
2
n u
làm véc tơ chỉ phương và
1;1;2
M d
Phương trình đường thẳng
1
: 1
2 2
x
d y t
z t
Câu 43. Chọn C
Tọa độ giao điểm của
1
d
và
P
là
4; 1; 2
A
Mặt phẳng cần tìm đi qua
A
và nhận
2
2; 1; 2
u
làm VTCP có phương trình
2 2 13 0.x y z
Câu 44. Chọn A
Gọi VTCP của đường thẳng cần tìm là
1 2 3
; ;a a a a
với
2 2 2
1 2 3
0
a a a
.
Đường thẳng vuông góc với
a
cùng phương
n
1 2 3
1 1 2
a a a
Chọn
1
1
a
thì
2
1
a
và
3
2
a
.
Câu 45.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 47
. Đường thẳng
d
vuông góc với mặt phẳng tọa độ
Oxy
nên nhận
0;0;1
k
làm vectơ chỉ phương. Mặt khác
d
đi qua
1;1;1
A
nên:
Đường thẳng
d
có phương trình là:
1
1
1
x
y
z t
.
Câu 46.
Lời giai
Chon B
Mặt phẳng
P
có VTPT là
1; 3;2
n
.
Vì
d
vuông góc với
P
nên
d
nhận
1; 3;2
n
là VTCP.
Đường thẳng
d
qua
M
và nhận
1; 3;2
n
là VTCP có phương trình:
1 3 2
1 3 2
x y z
.
Câu 47. Gọi
d
là đường thẳng qua
A
và
d
cắt
2
d
tại
K
. Khi đó
2 ; 1 ; 1
K t t t
.
Ta có
1 ; ; 2
AK t t t

.
Đường
1
AK d
1
. 0
AK u

, với
1
1; 4; 2
u
là một vectơ chỉ phương của
1
d
.
Do đó
1 4 2 4 0 1t t t t
, suy ra
2; 1; 1
AK

.
Vậy phương trình đường thẳng
1 1 3
:
2 1 1
x y z
d
.
Câu 48. Gọi giao điểm của
và
d
là
1; ;2 1
B t t t
. Khi đó
, , 2 3
u AB t t t
.
Vì đường thẳng
vuông góc với đường thẳng
d
có
1,1,2
d
u
thì:
2 2 3 0 1 1,1, 1
t t t t u
.
Phương trình đường thẳng
thỏa mãn yêu cầu bài toán là
2 1 1
:
1 1 1
x y z
Câu 49. Đường thẳng
d
có một vectơ chỉ phương là
1;2;3
u
.
Gọi
là đường thẳng đi qua
M
, vuông góc với
d
và cắt
Oz
.
Gọi
0;0;
N t Oz
1;0; 1
MN t
.
. 0
d MN u

4
3
t
1
1;0;
3
MN
. Khi đó
MN
cùng phương với
1
3;0;1
u
Đường thẳng
đi qua điểm
1;0;1
M
và có một vectơ chỉ phương
3;0;1
nên có phương
Câu 50. Chon B
Do
nằm trong nằm trong
P
và vuông góc với
d
nên
có véctơ chỉ phương là
, 4; 5; 7
d
P
u n u

Gọi
A d
thì
1;0; 3
A P d A
Vậy phương trình tham số của
là
1 4
0 5
3 7
x t
y t
z t
hay
3 4
5 5
4 7
x t
y t
z t
Câu 51. Ta có:
1
1;4; 2
d
u
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 48
2
2 1 1
:
1 1 1
x y z
d
nên phương trình tham số của
2
2
: 1
1
x t
d y t t
z t
Gọi đường thẳng
d
cắt đường thẳng
2
d
tại
2 ; 1 ;1
M t t t
Ta có:
1 ; ; 2
AM t t t
Đường thẳng
d
đi qua
;A M
nên vectơ chỉ phương
1 ; ; 2
d
u t t t
Theo đề bài
d
vuông góc
1
d
1 1
. 0 1. 1 4 2 2 0 1
d d d d
u u u u t t t t
2; 1; 1
d
u
Phương trình đường thẳng
d
đi qua
1; 1;3
A
và có
2; 1; 1
d
u
có dạng:
1 1 3
2 1 1
x y z
.
Câu 52.
1 1 2; ; ,
P
n
2 1 3; ;
d
u
, Gọi
I d P
,
2 3 2 3
; ;
I d I t t t
I P
2 3 2 2 3 6 0
t t t
1t
2 2 5; ;
I
Gọi
là đường thẳng cần tìm.
Theo giả thiết
d
P
u u
u n
1 7 3, ; ;
P d
u n u
Và đường thẳng
đi qua điểm
I
. Vậy
:
2 2 5
.
1 7 3
x y z
Câu 53. Gọi
là đường thẳng cần tìm
1
d M
nên
3 2 ; 2 ; 2 4M t t t
2
d N
nên
1 3 ; 1 2 ;2 3N u u u
2 3 2 ;1 2 ;4 3 4MN u t u t u t
Ta có
MN
cùng phương với
P
n
Nên
2 3 2 1 2 4 3 4
1 2 3
u t u t u t
ta giải hệ phương trình tìm được
2
1
u
t
Khi đó tọa độ điểm
5; 1;2
M
và VTCP
2; 4 6 2 1;2;3
MN
Phương trình tham số
là
5 1 2
1 2 3
x y z
Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song
Câu 54. Chọn C
Đường thẳng
đi qua
A
và song song
BC
nhận
2;1;1
BC
làm vectơ chỉ phương
Phương trình chính tắc của đường thẳng
:
1 3
2 1 1
x y z
.
Chú ý: Đáp án A không nhận được, vì đó là phương trình tham số của đường thẳng cần tìm, chứ không
phải phương trình chính tắc.
Câu 55. Chọn A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 49
Ta có
1;1;1
1; 1;1
P
Q
n
n
và
, 2;0; 2
P Q
n n
. Vì đường thẳng
d
song song với hai mặt phẳng
P
và
Q
, nên
d
có véctơ chỉ phương
1;0; 1
u
.
Đường thẳng
d
đi qua
1; 2;3
A
nên có phương trình:
1
2
3
x t
y
z t
Câu 56. Chọn B
Trung điểm của
AB
là
0;1; 1
I
2
2 3
:
1 1 2
y
x z
d
có VTCP là
1; 1; 2
u
nên đường thẳng
cần tìm cũng có VTCP
1; 1; 2
u
.
Suy ra phương trình đường thẳng
1
1
: .
1 1 2
y
x x
Câu 57. Ta có
(3; 5; 1)
d
u
là véc tơ chỉ phương của
d
.
( )
2;0;1
P
n
là véc tơ pháp tuyến của
P
.
, 5; 5;10
d
p
u n
.
Do
vuông góc với
d
và song song với
P
nên
1;1; 2
u
là véctơ chỉ phương của
.
Khi đó, phương trình của
là
1 3 4
1 1 2
x y z
.
Câu 58. Chọn A
1
3 ;1 ; 1
A d A a a a
;
2
2 ;1 2 ; 3
B d B b b b
.
2 3 ; 2 ; 2
AB b a b a b a
;
2; 1;2
P
n
.
Do
//
AB P
nên
2
. 0
3
P
AB n a b
.
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng
AB
là
3 2 2 2 4
; ;
2 2 2
a b b a a b
I
hay
3 8 5
1 ;1 ; 2
2 6 6
I b b b
Suy ra tập hợp trung điểm của đoạn thẳng
AB
là một đường thẳng có vectơ chỉ phương
9;8; 5
u
.
Câu 59. Gọi
3; 2; 3
P
n
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
P
.
Đường thẳng
d
đi qua điểm
2; 4;1
M
và có vectơ chỉ phương
3; 2; 2
d
u
.
Giả sử
d M
nên
2 3 ; 4 2 ;1 2M t t t
khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng
là
3 1; 2 6;2 5
u AM t t t
.
Ta có
. 0
P P
AM n AM n
nên
6
3 3 1 2 2 6 3 2 5 0
7
t t t t
.
Suy ra
11 54 47
; ;
7 7 7
AM
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 50
Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng
có tọa độ là
11; 54; 47
do đó phương trình đường thẳng
cần tìm là
3 11
2 54
4 47
x t
y t
z t
.
Dạng 2.4 Xác định một số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến…)
Câu 60. Chọn B
Ta có điểm
1; 3;5A
thuộc đường thẳng
d
, nên
1; 3;5A
là giao điểm của
d
và
.
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng
d
là
3;0; 4
v
. Ta xét:
1
1
.
u u
u
1
1;2; 2
3
1 2 2
; ;
3 3 3
;
1
1
.
v v
v
1
3;0; 4
5
3 4
;0;
5 5
.
Nhận thấy
1 1
. 0
u v
, nên góc tạo bởi hai vectơ
1
u
,
1
v
là góc nhọn tạo bởi
d
và
.
Ta có
1 1
w
u v
4 10 22
; ;
15 15 15
15
2; 5;11
2
là vectơ chỉ phương của đường phân giác của
góc nhọn tạo bởi
d
và
hay đường phân giác của góc nhọn tạo bởi
d
và
có vectơ chỉ phương là
1
w 2; 5;11
. Do đó có phương trình:
1 2
2 5
6 11
x t
y t
z t
.
Câu 61. Chọn B
Phương trình
1 '
: 1 2 '
1 2 '
x t
y t
z t
.
Ta có
1;1;1d A
. Lấy
4;5;1I d
3;4;0 5AI AI
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 51
Gọi
1 ';1 2 ';1 2 'M t t t
sao cho
AM AI
.
Khi đó
5
'
3
3 ' 5
5
'
3
t
t
t
.
Với
5
'
3
t
8 7 13
; ;
3 3 3
M
5 10 10 15
; ;
3 3 3 3
AM AM
.
Khi đó
0
1
cos 90
3
IAM IAM
trong trường hợp này
0
; 90
d
( loại)
Với
5
'
3
t
2 13 7
; ;
3 3 3
N
5 10 10 15
; ;
3 3 3 3
AN AN
.
Khi đó
0
1
cos 90
3
IAN IAM
trong trường hợp này
0
; 90
d
(thỏa mãn)
Gọi
H
là trung điểm của
5 14 2 1
; ; 2;11; 5
3 3 3 3
NI H AH
.
Khi đó đường phân giác của góc nhọn tạo bởi
d
và
đi qua
5 14 2
; ;
3 3 3
H
hoặc
1;1;1
A
và nhận làm
2;11; 5
u
VTCP
phương trình phân giác là
1 2
10 11
6 5
x t
y t
z t
.
Câu 62. Chọn B
A d
Phương trình tham số của đường thẳng
1 2
: 1 1
1 2
x t
y t
z t
.
Chọn điểm
1;2;3 , 3
B AB
.
Gọi
C d
thỏa mãn
AC AB
14 17
; ;1
5 5
C
hoặc
4 7
; ;1
5 5
C
Kiểm tra được điểm
4 7
; ;1
5 5
C
thỏa mãn
BAC
là góc nhọn.
Trung điểm của
BC
là
9 3
; ;2
10 10
I
.Đường phân giác cần tìm là
AI
có vectơ chỉ phương là
19;7; 10
u
có phương trình là
1 19
1 7
1 10
x t
y t
z t
. Tọa độ điểm của đáp án B thuộc
AI
.
Câu 63. Chọn C
Đường thẳng
d
đi qua
(1;2;3)
A
và có VTCP
(1;1;0)
a
.
Ta có
. 1.0 1.( 7) 0.( 1) 7 0 ( , ) 90 .
a u a u
Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi
d
và
có VTCP:
1
5;12;1 // 5;12;1
5 2
u a
b
u a
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 52
Phương trình đường thẳng cần tìm là
4 5
10 12 .
2
x t
y t
z t
Câu 64. Chọn A
Gọi
; ;M x y z
là trung điểm
BC
. Khi đó
1; 1;3
M
Ta có
2; 4;1
AM vtcpu
PTĐT
1 3 2
:
2 4 1
x y z
AM
Câu 65. Gọi
0; ;0B b
là giao điểm của
d
với trục
Oy
. (Điều kiện
0
b
)
Ta có
2
OA
và tam giác
OAB
vuông tại
O
nên
1
. 1 1
2
OAB
S OAOB OB
Suy ra
0; 1;0
B
. Ta có
2; 1;0
AB
là một vec tơ chỉ phương của
d
.
Và đường thẳng
d
đi qua điểm
2;0;0
A
nên
2 2
0
x t
y t
z
.
Câu 66. Chọn A
Ta có:
4 4 1 3 3
. . . .
4 4
64 16 64
9 9 9
3 8
2 x
4 3
0
3 4 12
2
4 3 7
12
3 8
1
7
4 3
OA
EA EB EB EB BE
OB
x
x
y y y
z
z z
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 53
12 12
0; ; (0;1;1)
7 7
O
:
0
:
OE u
qua
VTCP u
x
y t
z t
Câu 67.
1
4 ; 4 ;6 2B d B t t t
. PT tham số của
2
5 2
: 11 4
5 2
x s
d y s
z s
.
2
5 2 ;11 4s;5 2C d C s s
. Khi đó:
(1 ; 1 ;2 1); (2s;4s 14;2s)
AB t t t AC
.
Do
, ,A B C
thẳng hàng
,AB AC

cùng phương
:
k AB k AC
1 2 2
1 4 14 3
2 1 2 1
2
t ks t
t ks k s
t ks
k
. Do đó:
1 1
.
2 2
AB
AB AC
AC
Câu 68. Điểm
B
thuộc mặt
( )P
nên
2 1; ;B c b b c
vì
1;2;3
M
là trung điểm
BC
nên
3 2 ;4 ;6
C c b b c
. Do
C
thuộc mặt
(Q)
nên
3 7 0 3 7
c c c b
. Khi đó
(5 15; ;3 7)
B b b b
,
( 5 17;4 ;13 3 )C b b b
.
( 10 32; 2 4; 6 20)
BC b b b
.
ABC
cân tại
A
nên
. 0 20 60 0 3 (0;3;2) .
BC AM b b B
Đường thẳng
đi qua
(1;2;3)
M
và
(0;3;2)
B
có phương trình là
1 2 3
1 1 1
x y z
.
Câu 69. Chọn C
Ta có
1; 1; 2
AB
và
2; 2; 4
AC
.
Gọi
M
là trung điểm
AC
, ta có
3; 2; 2
M
,
1; 1; 2
AM
.
Do đó
ABM
cân tại
A
. Gọi
K
là điểm thỏa mãn
2; 0; 0
AK AM AB

. Khi đó
AK
là tia
phân giác trong góc
BAC
.
Vậy phương trình đường phân giác trong góc
BAC
là
2
1 ,
0
x t
y t
z
.
K
C
M
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 54
Câu 70.
Ta có
1 2
1 2
:
2 1 1
2
x t
x y z
d y t
z t
. Do đó
M d
1 2 ; ;2
M t t t
.
Vì
1; 1;2
A
là trung điểm
MN
3 2 ; 2 ;2
N t t t
.
Mặt khác
N P
3 2 2 2 2 5 0
t t t
2 3;2;4
t M
2;3; 2
AM

là một
vectơ chỉ phương của
.
Câu 71. Ta có
0;0; 4 4 0;0;1
AB
. Hay
AB
có véc-tơ chỉ phương
0;0;1
k
.
Mặt phẳng
ABCD
có một véc-tơ pháp tuyến:
; 0;4;0 4 0;1;0
OA OB
, hay
0;1;0
j
là một
véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng
ABCD
.
Vì
AD AB
AD ABCD
nên
AD k
AD j
. Đường thẳng
AD
có véc-tơ chỉ phương là
; 1;0;0
j k
.
Phương trình đường thẳng
AD
là:
1
0
1
x t
y
z
.
Do đó
1 ;0;1
D t
.
Mặt khác
2
2 2
4
0 1 1 4
4
t
AD AB t
t
.
Vì điểm
D
có hoành độ âm nên
3;0;1
D
.
Vì tâm
I
của hình vuông
ABCD
là trung điểm
BD
, nên
1;0; 1
I
.
Đường thẳng
d
là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông
ABCD
có véc-tơ pháp tuyến là
0;1;0
j
, nên
phương trình đường thẳng
d
là:
1
:
1
x
d y t
z
.
Câu 72. Nhận thấy
1;2; 1
A
là giao điểm của
1
và
2
.
1
có VTCP là
1
1;2;3
u
2
có VTCP là
2
1;2; 3
u
.
1 2
; 12;6;0 6 2; 1;0
u u
.
Phương trình mặt phẳng
P
:
2 4 0
x y
.
Gọi
; ;u a b c
là VTCP của
d
cần tìm.
d
P
M
N
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 55
Ta có
d
nằm trong mặt phẳng
P
chứa hai đường thẳng
1
,
2
1 2
;u u u
2 0
a b
2b a
Lại có
d
là phân giác của
1
,
2
1 2
cos , cos ,
d d
2 2 2 2 2 2
2 3 2 3
. 14 . 14
a b c a b c
a b c a b c
2 3 2 3
2 3 2 3
a b c a b c
a b c a b c
0 1
2 0 2
c
a b
.
Xét
1
,
0
c
,
2b a
,2 ,0 1;2;0
u a a
.
1
: 2 2 ,
1
x t
d y t t
z
.
1
1.1 2.2
70
cos ;
14
14. 5
d
1
; 53 18'
d
.
Xét
2
:
2 0
0
2
a b
a b
b a
0;0; 0;0;1
u c c
1
: 2 ,
1
x
d y t
z t
.
1
3
3
cos ,
14.1 14
d
1
, 36 42'
d
.
Do
d
là đường phân giác của góc nhọn nên
1
, 45
d
.
Vậy đường thẳng
d
cần tìm là
1
: 2 ,
1
x
d y t
z t
.
Nhận xét: Có thể làm đơn giản hơn bằng cách: ta thấy
1
1;2;3
u
;
2
1;2; 3
u
là hai véc tơ có độ dài
bằng nhau và
1 2 1 2
. 0 , 90
u u u u
. Vậy
1 2
u u
chính là véc tơ chỉ phương của
d
.
Câu 73. Ta có:
1;3;0
AB
;
4; 2;2
BC
,
3;1;2
AC
2
10
AB
,
2
24
BC
,
2
14
AC
ABC
vuông tại
A
.
Tâm
I
của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của
BC
0;2;0
I
.
Đường thẳng
d
cần tìm đi qua
0;2;0
I
và nhận vectơ
1
,
2
u AB AC
3; 1;5
làm véc tơ chỉ
phương. Phương trình chính tắc của đường thẳng
d
là:
3 1 5
3 1 5
x y z
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 56
Câu 74.
Ta có tứ giác
BOKC
là tứ giác nội tiếp đường tròn ( vì có hai góc vuông
K
,
O
cùng nhìn
BC
dưới một
góc vuông) suy ra
1
OKB OCB
Ta có tứ giác
KDHC
là tứ giác nội tiếp đường tròn ( vì có hai góc vuông
K
,
H
cùng nhìn
DC
dưới một
góc vuông) suy ra
2
DKH OCB
Từ
1
và
2
suy ra
DKH OKB
do đó
BK
là đường phân giác trong của góc
OKH
và
AC
là đường
phân giác ngoài của góc
OKH
.
Tương tự ta chứng minh được
OC
là đường phân giác trong của góc
KOH
và
AB
là đường phân giác
ngoài của góc
KOH
.
Ta có
4
OK
;
3
OH
;
5
KH
.
Gọi
I
,
J
lần lượt là chân đường phân giác ngoài của góc
OKH
và
KOH
.
Ta có
I AC HO
ta có
4
5
IO KO
IH KH
4
5
IO IH
8; 8; 4
I
.
Ta có
J AB KH
ta có
4
3
JK OK
JH OH
4
16;4; 4
3
JK JH J
.
Đường thẳng
IK
qua
I
nhận
16 28 20 4
; ; 4;7;5
3 3 3 3
IK
làm vec tơ chỉ phương có phương trình
8 4
: 8 7
4 5
x t
IK y t
z t
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 57
Đường thẳng
OJ
qua
O
nhận
16;4; 4 4 4;1; 1
OJ
làm vec tơ chỉ phương có phương trình
4
:
x t
OJ y t
z t
Khi đó
A IK OJ
, giải hệ ta tìm được
4; 1;1
A
.
Ta có
4;7;5
IA
và
24;12;0
IJ
, ta tính
, 60;120; 120 60 1; 2;2
IA IJ
.
Khi đó đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với mặt phẳng
ABC
có véc tơ chỉ phương
1; 2;2
u
nên có phương trình
4 1 1
1 2 2
x y z
.
Nhận xét:
 Mấu chốt của bài toán trên là chứng minh trực tâm
D
của tam giác
ABC
là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác
OHK
. Khi đó, ta tìm tọa độ điểm
D
dựa vào tính chất quen thuộc sau: “Cho tam giác
ABC
với
I
là tâm đường tròn nội tiếp, ta có
. . . 0
a IA b IB c IC
, với
a BC
,
b CA
,
c AB
”. Sau khi tìm được
D
, ta tìm được
A
với chú ý rằng
A DH
và
OA DA
.
Ta cũng có thể tìm ngay tọa độ điểm
A
bằng cách chứng minh
A
là tâm đường tròn bàng tiếp góc
H
của tam giác
OHK
. Khi đó, ta tìm tọa độ điểm
D
dựa vào tính chất quen thuộc sau: “Cho tam giác
ABC
với
J
là tâm đường tròn bàng tiếp góc
A
, ta có
. . . 0
a JA b JB c JC

, với
a BC
,
b CA
,
c AB
”.
Câu 75. Phương trình tham số của đường phân giác trong góc
C
là
2 2
: 4
2
x t
CD y t
z t
.
Gọi
2 2 ;4 ;2
C t t t
, suy ra tọa độ trung điểm
M
của
AC
là
7 5
2 ; ;
2 2
t t
M t
. Vì
M BM
nên:
7 5
3 2
2 3
2 2
1 2 1
t t
t
1 1 1
1
1 4 2
t t t
t
.
Do đó
4;3;1
C
.
Phương trình mặt phẳng
P
đi qua
A
và vuông góc
CD
là
2. 2 1. 3 1. 3 0
x y z
hay
2 2 0
x y z
.
Tọa độ giao điểm
H
của
P
và
CD
là nghiệm
; ;x y z
của hệ
2 2
4
2
2 2 0
x t
y t
z t
x y z
2 2
4
2
2 2 2 4 2 2 0
x t
y t
z t
t t t
2
4
2
0
x
y
z
t
2;4;2
H
.
Gọi
A
là điểm đối xứng với
A
qua đường phân giác
CD
, suy ra
H
là trung điểm
AA
, bởi vậy:
2 2.2 2 2
2 2.4 3 5
2 2.2 3 1
A H A
A H A
A H A
x x x
y y y
x z z
2;5;1
A
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 58
Do
A BC
nên đường thẳng
BC
có véc-tơ chỉ phương là
2;2;0 2 1;1;0
CA
, nên phương
trình đường thẳng
BC
là
4
3
1
x t
y t
z
.
Vì
B BM BC
nên tọa độ
B
là nghiệm
; ;x y z
của hệ
4
2
3
5
1
1
3 3
2
1
1 2
x t
x
y t
y
z
z
x y
t
2;5;1
B A
.
Đường thẳng
AB
có một véc-tơ chỉ phương là
0;2; 2 2 0;1; 1
AB
; hay
4
0;1; 1
u
là một
véc-tơ chỉ của phương đường thẳng
AB
.
Dạng 3. Một số bài toán liên quan giữa điểm với đường thẳng
Dạng 3.1 Bài toán liên quan điểm (hình chiếu) thuộc đường, khoảng cách
Câu 76. Chọn A
Cách 1. Dựa vào lý thuyết: Nếu
d
qua
0 0 0
; ;z
M x y
, có véc tơ chỉ phương
; ;
u a b c
thì phương trình
đường thẳng
d
là:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
, ta chọn đáp án
B.
Cách 2. Thay tọa độ các điểm
M
vào phương trình đường thẳng
d
, ta có:
1 1 0
2 5 3
5 2 3 1
t t
t t
t t
(Vô lý). Loại đáp án A.
Thay tọa độ các điểm
N
vào phương trình đường thẳng
d
, ta có:
1 1
5 5 0
2 2 3
t
t t
t
. Nhận đáp án B.
Câu 77. Chọn B
Đường thằng
2 1 2
:
1 1 2
x y z
d
đi qua điểm
2;1; 2
.
Câu 78. Chọn A
Ta thấy với
0t
ta được
2; 1;0
d
M
Câu 79. Chọn C.
Câu 80. Với
2
t
, ta có
1 2 2 3
3 2 5
1 2 3
x
y
z
.
Vậy
3;5;3
M d
.
Câu 81. Chọn A
Ta có :
M d
nên
: 1 ; 2 ; 1 2t M t t t
.Đk :
1
1 2 0 *
2
t t
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 59
2 2
28
MA MB
2 2 2 2 2 2
3 1 2 2 2 2 28
t t t t t t
2
12 2 10 0
t t
1
5
/
6
t L
t T m
Với
5
6
t
, ta có
1 7 2
; ;
6 6 3
M
.
Câu 82. Thay tọa độ của
1; 1;1
K
vào PTTS của
d
ta được
1 1
1 1 2 :
1 2 1
t t
t t
t t
không tồn tại t.
Do đó,
.K d
Thay tọa độ của
1;1;2
E
vào PTTS của
d
ta được
1 1
1 1 0 :
2 2 0
t t
t t
t t
không tồn tại t.
Do đó,
.E d
Thay tọa độ của
1;2;0
H
vào PTTS của
d
ta được
1 1
2 1 1:
0 2 2
t t
t t
t t
không tồn tại t.
Do đó,
.H d
Thay tọa độ của
0;1;2
F
vào PTTS của
d
ta được
0 0
1 1 0 0.
2 2 0
t t
t t t
t t
Câu 83. Xét điểm
1; 1;2
N
ta có
1 1 1 1 2 2
2 1 3
nên điểm
1; 1; 2
N
thuộc đường thẳng đã cho.
Câu 84. Phương trình tham số đường thẳng
1
1
:
5 2
x t
d y t t
z t
, với vectơ chỉ phương
1;1; 2
u
.
Giả sử đường thẳng
d
cắt đường thẳng
1
d
tại
B
. Khi đó
1 ; ;5 2
B t t t
.
; ;3 2
AB t t t
Vì đường thẳng
d
vuông góc với đường thẳng
1
d
nên
1
. 0
AB d ABu
3 2 2 0 1 t t t t
.
Khi đó
2;1;3
B
.
Phương trình đường thẳng
d
đi qua
1;0;2
A
và có vectơ chỉ phương
1;1;1
AB
là:
1 2
1 1 1
x y z
.
Nhận thấy
0; 1;1
Q d
.
Câu 85. Chọn C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 60
Với
1
0 5 1; 5; 2
2
x
t y N d
z
.
Câu 86. Đáp án A nhầm vectơ chỉ phương.
Đáp án B nhầm dấu tọa độ điểm.
Đáp án D nhầm vectơ chỉ phương.
Câu 87. Chọn D
Đường thẳng
1 2 3
:
3 4 5
x y z
d
đi qua điểm
1; 2;3
A
.
Câu 88. Xét đáp án A. Thay tọa độ điểm
3; 2;1
A
vào phương trình đường thẳng ta được
0 0 0
1 1 2
đúng. Suy ra đường thẳng
3 2 1
1 1 2
x y z
đi qua điểm
3; 2;1
A
.
Câu 89. Chọn C
Với
1
0 5 1; 5; 2
2
x
t y N d
z
.
Câu 90. Thay tọa độ điểm
7;2;1
P
vào phương trình đường thẳng
d
ta có
7 1 2 2 1 3
3 2 4
nên điểm
7;2;1
P d
.
Câu 91. Đường thẳng
có vtcp
1;2;3
u
và có phương trình tham số là:
2
3
x t
y t t
z t
.
Gọi
;2 ;3N t t t
là hình chiếu vuông góc của
M
lên
, khi đó:
2 2 4 6
. 0 ( 1) (2 0).2 (3 1).3 0 14 4 0 ; ; .
7 7 7 7
MN u t t t t t N
Câu 92. Chọn B
Gọi
H
là hình chiếu của
M
lên
nên tọa độ của H có dạng
(1 ; 2 3 ; 2 ) H t t t
và
MH u
11 3 5 22
. 0 14 11 0 ( ; ; ) 1
14 14 14 14
MH u t t H a b c
Câu 93. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
u = (1 ; 1 ; 1).
Do
H(1+ t ; 1+ t ; t)
H d
.
Ta có:
= (t ; t ;t -1).
AH
Do H là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d nên suy ra
1 4 4
. = 0 t + t + t -1 = 0 t = ( ; ;1).
3 3 3
AH u AH u H
Câu 94. Ta có
A d
nên gọi
6 4 ; 2 ; 1 2A t t t
;
5 4 ; 3 ; 2 2AA t t t
;
đường thẳng
d
có vectơ chỉ phương
4; 1;2
u
.
. 0 5 4 . 4 3 . 1 2 2 .2 0 1AA d AA u t t t t
.
2; 3;1
A
.
Vậy
2; 3;1
A
.
Câu 95. Phương trình đường thẳng
d
qua
6;3;6
C
và song song với đường thẳng
AB
là
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 61
6 3 6
2 1 2
x y z
Điểm
D
thuộc đường thẳng
d
nên gọi tọa độ
D
là
6 2 ;3 ;6 2D t t t
.
Tứ giác
ABCD
là hình thang cân nên ta có:
AD BC
2
8 12 0
t t
2
6
t
t
.
Với
2
t
1
2;1;2
D
, tứ giác là hình bình hành nên loại.
Với
6
t
2
6; 3; 6
D
thỏa mãn, nên
6 3 6 3
.
Câu 96. Chọn C
Phương trình tham số của đường thẳng
1 2
:
2
x t
d y t
z t
Vì
1 2
: 1 2 ;
2
x t
C d y t c t t
z t
Ta có
1; 1; 2 ; 1 2 ; ;2
AB AC t t t
, 3 7; 3 1;3 3
AB AC t t t
Diện tích tam giác
ABC
là
2
1 1
, 27 54 59
2 2
ABC
S AB AC t t
2
1
2 2 27 54 59 2 2
2
ABC
S t t
1t
1;1;1
C
3
m n p
Câu 97. Gọi
P
là mặt phẳng đi qua
A
và vuông góc với đường thẳng
d
. Phương trình của mặt phẳng
P
là:
1 3 2 2 2 0 0
x y z
2 2 7 0
x y z
.
Gọi
H
là hình chiếu của
A
lên đường thẳng
d
, khi đó
H d P
Suy ra
1 ; 3 2 ; 2 2H d H t t t
, mặt khác
H P
1 6 4 4 4 7 0
t t t
2
t
. Vậy
1;1;2
H
.
Gọi
A
là điểm đối xứng với
A
qua đường thẳng
d
, khi đó
H
là trung điểm của
AA
suy ra
1;0;4
A
.
Câu 98. Chọn C
Đường thẳng
đi qua
0;2;3
N
, có véc tơ chỉ phương
1; 1;2
u
2;6;4 ; , 16;8; 4
MN MN u
.
,
336
, 2 14.
6
MN u
d M
u
Câu 99.
; 1 2 ; 2 3M M t t t
.
Ta có
2 1 2 5
; 2
2 1 2 2
t t
d M Oyz t
t t
.
Suy ra
2
t
. Do đó
2; 3; 8
M
.
Vậy
2; 3; 8 13
a b c T a b c
.
Dạng 3.2 Bài toán cực trị
Câu 100. Chọn D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 62
Đường thẳng
d
thay đổi, song song với trục
Oz
và cách trục
Oz
một khoảng bằng
3
nên
d
nằm trên
mặt trụ tròn xoay có trục là
Oz
và bán kính bằng
3
.
Gọi
I
là hình chiếu của
A
lên
Oy
, khoảng cách từ
A
đến
d
nhỏ nhất khi
d
đi qua giao điểm của
Oy
với mặt trụ là điểm
0;3;0
I
nên
d
đi qua điểm
N
.
Câu 101. Chọn A
Vì
d
song song với Oz và cách Oz một khoảng bằng 2 nên
d
thuộc mặt trụ trục Oz và bán kính bằng 2.
Có
0;0; 2
H
là hình chiếu vuông góc của
0;3; 2
A
trên Oz.
Có
0;3;0 3
HA HA

nên A nằm ngoài mặt trụ.
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với Oz. M là hình chiếu vuông góc của A trên
d
Gọi K là giao điểm của AH và mặt trụ (
K
nằm giữa A và H).
Dễ thấy
; ; ; 1
d A d AM AK AK AH d A d
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
M K
.
Khi đó ta có:
0
2
0;2; 2 : 2 ( )
3
2
x
HK HA K d y t R
z t
 
Với
3
t
ta thấy
d
đi qua điểm
Q
.
Câu 102. Chọn B
Vì
d
thay đổi, song song với trục
Oz
và cách trục
Oz
một khoảng bằng 3 nên
d
là đường sinh của hình
trụ có trục là
Oz
và có bán kính đáy
3
r
.
Gọi
A
là hình chiếu của
A
lên trục
Oz
0;0; 3
A
và
4AA
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 63
Gọi
là hình chiếu của
A
lên
d
.
AH
lớn nhất khi
A
,
A
,
H
thẳng hàng và
4 3 7
AH AA A H AA r
.
Khi đó
7
4
AH AA
7
; 4; 3 0; 4;0
4
x y z
0
3
3
x
y
z
0; 3; 3
H
.
Vậy
d
qua
0; 3; 3
H
có vectơ chỉ phương
0;0;1
k
nên có phương trình
0
3
3
x
y
z t
suy ra
d
đi qua điểm
0; 3; 5
M
.
Câu 103. Chọn C
Do đường thẳng
/ /d Oz
nên
d
nằm trên mặt trụ có trục là
Oz
và bán kính trụ là
2.
R
Gọi
H
là hình chiếu của
A
trên trục
Oz
, suy ra tọa độ
0;0; 2 .
H
Do đó
,
3.
A Oz
d AH
Gọi
B
là điểm thuộc đường thẳng
AH
sao cho
3
5
AH AB
0; 2; 2 .
B
Vậy
max
, 5
d A d d
là đường thẳng đi qua
B
và song song với
.Oz
Phương trình tham số của
0
: 2 .
2
x
d y
z t
Kết luận:
d
đi qua điểm
0; 2; 5 .
P
Câu 104. Vì
M d
nên giả sử
1 ;2 ;M t t t
.
Ta có:
2 2 2 2 2 2
3 14 29; 3 4 2; 3 10 21
MA t t MB t t MC t t
2
2 2 2 2
2 3 18 36 96 18 1 78 78
P MA MB MC t t t
Do đó
2 2 2
2 3
P MA MB MC
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
1
t
, khi đó:
2;1;1 4
M a b c
.
Câu 105. Gọi
I
là trung điểm của
AB
, ta có
2; 1;4
I
.
Khi đó:
2 2
2 2
MA MB MA MB
2 2
MI IA MI IB
2 2 2
2 2 .
MI IA IB MI IA IB
2 2 2
2MI IA IB
2
6
MI
.
Do đó
2 2
MA MB
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
MI
có độ dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ
khi
M
là hình chiếu vuông góc của
I
trên đường thẳng
d
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 64
Phương trình mặt phẳng
P
đi qua
I
và vuông góc với đường thẳng
d
là
1. 2 2. 1 2. 4 0
x y y
hay
: 2 2 12 0
P x y z
.
Phương trình tham số của đường thẳng
d
là:
1
2 2
3 2
x t
y t
z t
.
Tọa độ điểm
M
cần tìm là nghiệm
; ;x y z
của hệ phương trình:
1
2 2
3 2
2 2 12 0
x t
y t
z t
x y z
2
0
5
1
x
y
z
t
. Vậy
2;0;5
M
.
Câu 106. Do
M
thuộc
nên
;1 ;M t t t
.
Khi đó
2
2
3 6 27 3 1 24
MA t t t
,
2
3 6
MB t
.
Do đó
2
2
3 1 24 3 6
MA MB t t
.
Xét hai véc tơ
3 1 ; 24
u t
và
3 ; 6
v t
.
Ta có
3
u v u v
nên
max
3
T
.
Dấu bằng xảy ra khi
3 1 ; 24
u t
và
3 ; 6
v t
ngược hướng hay
1t
.
Câu 107.
1 2 ;1 ;2M d M t t t
.
Chu vi tam giác
MAB
là:
AM BM AB
. Vì
AB const
nên chu vi nhỏ nhất khi
AM BM
nhỏ nhất.
2 2; 4;2AM t t t
,
2 4; 2;2 6
BM t t t
.
2 2
2 2
2 2
9 20 9 36 56 3 2 5 6 3 2 5
AM BM t t t t t
Đặt
3 ;2 5 , 6 3 ;2 5 6;4 5
u t v t u v
.
Áp dụng bất đẳng thức vectơ:
u v u v
. Dấu bằng xảy ra khi
u
,
v
cùng hướng.
Ta có:
2
2
6 4 5 2 29
AM BM u v u v
. Do đó
AM BM
nhỏ nhất khi
tồn tại số
k
dương sao cho
u kv
3 6 3
2 5 2 5
t k t
k
1
1
t
k
. Khi đó
1;0;2
M
.
Vậy
1 0 2 3
P a b c
.
Câu 108. Gọi
I
là trung điểm của
AB
. Khi đó ta có
2 2
2 2
2
4 4 2 2 2 2 2 2
4 4
4 2 2 4 2 2
2
4 2
4 2 2 2 4
2 . 2 2
2 4
4 2 2
4 8
3 7
2 3 2
4 4 10
AB AB
MA MB MA MB MA MB MI MI
AB AB
MI MI AB MI MI AB
AB AB
MI MI AB MI AB
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 65
Do đó,
4 4
MA MB
đạt GTNN khi
MI
nhỏ nhất
M
là hình chiếu vuông góc của
I
lên
d
.
Điểm
2; 1;0
I
. Lấy
2 ; 1 2 ;3 d
M t t t
.
;2 ;3IM t t t
. 0 4 9 0 0
d d
IM u IM u t t t t
Suy ra
M I
.
Vậy
0
2
x
Câu 109. Gọi
I
là trung điểm của
AB
, suy ra
1;1;1
I
;
4;2;0
AB
.
Phương trình mặt phẳng trung trực của
AB
:
: 2 3 0
x y
.
Vì
2.3 1.2 3 . 2.5 1.3 3 50 0
nên
B
,
C
nằm về một phía so với
, suy ra
A
,
C
nằm về
hai phía so với
.
Điểm
M
thỏa mãn
MA MB
khi
M
. Khi đó
MB MC MA MC AC
.
MB MC
nhỏ nhất bằng
AC
khi
M AC
.
Phương trình đường thẳng
AC
:
1 2
1 2
x t
y t
z t
, do đó tọa độ điểm
M
là nghiệm của hệ phương trình
1 2
1 2
2 3 0
x t
y t
z t
x y
1
1
1
3
t
x
y
z
. Do đó
1;1;3
M
,
5
a b c
.
Dạng 4. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt phẳng
Dạng 4.1 Bài toán liên quan khoảng cách, góc
Câu 110. Chọn A
( )P
có vecto pháp tuyến
(2; 2; 1)
n
và đường thẳng
có vecto chỉ phương
(2;1; 2)
u
thỏa mãn
. 0n u
nên
//( )P
hoặc
( )P
.
Do đó: lấy
(1; 2;1)A
ta có:
2.1 2.( 2) 1 1
( ( )) ( ;( )) 2
4 4 1
d P d A P
.
Câu 111. Đường thẳng
d
qua
1;0;0
M
và có vec-tơ chỉ phương
1;1; 2
a
.
Mặt phẳng
P
có vec-tơ pháp tuyến
1;1;1
n
.
Ta có:
. 1.1 1.1 2.1 0
/ / .
a n
d P
M P
2 2 2
1 0 0 2
, , 3.
1 1 1
d d P d M P
Câu 112. Xét phương trình
2 2 5 4 2 2 0 0 3 0
t t t t
.
Phương trình này vô nghiệm nên
//
P
.
Chọn
2;5;2M
.
Khi đó:
2
2 2
2.2 5 2.2
, , 1.
2 1 2
d P d M P
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 66
Câu 113. Chọn A.
Đường thẳng
d
có véc tơ chỉ phương là
1;2;1
u
Mặt phẳng
P
có véc tơ pháp tuyến là
1; 1;0
n
Gọi
là góc giữa Đường thẳng
d
và Mặt phẳng
P
. Khi đó ta có
2 2
2 2 2 2
.
1.1 2. 1 1.0
3 3
sin
2
2 3
1 2 1 . 1 1 0
u n
u n
Do đó
0
60
Câu 114. Cách 1:
Gọi
1 1
, 'Q d d
khi đó
Q
có vectơ pháp tuyến
1
, 5;5;15
Q
P
n n u
.
Đường thẳng
1
'd
có vectơ chỉ phương
1 1
' , 22;11; 11
P
u n u
hay một vecto chỉ phương khác
2;1; 1
u
.
Vì
2 2
. 0 4 7 0 7 4 ; ;7 4
p
n u a b c c b a u a b b a
.
Ta lại có
1 2 1 2 1 2 1 2
; '; cos , cos ',d d d d u u u u
2 4 7 2 4 7 5 5 6 6 0
a b a b a b a b a b a b a b a b
Chọn
2
1 1, 3 1
a b
a b c
c
.
Cách 2:
Gọi
1 1
, 'Q d d
khi đó
P Q
. Các đường thẳng nằm trong
P
mà vuông góc với
Q
thì vuông
góc với tất cả các đường thẳng trong
Q
hay chúng cùng tạo với
1 1
, 'd d
các góc
90
. Do đó, các đường
thẳng này thỏa mãn yêu cầu đề bài. Chúng có vectơ chỉ phương
2
1;1;3 1
Q
a b
u n
c
.
Câu 115. * Ta có :
2;4; 6 2 1;2; 3
AB

Gọi
4;3;4
I
là trung điểm của
AB
Phương trình mặt phẳng trung trực
Q
của
AB
là :
4 2 3 3 4 0
x y z
2 3 2 0
x y z
Gọi
d P Q
. Đường thẳng
d
có
1
vpcp là
, 1;1;1
P Q
u n n
 
và đi qua điểm
2;0;0
N
,
có phương trình là
2
:
x t
d y t
z t
* Gọi
:
M P MA MB
. Khi đó
d
M
và
2 ; ;M t t t
Theo giả thiết, ta có :
35
MA
2 2 2
5 1 7 35
t t t
2
3 26 40 0
t t
20
3
2 0;2;2
t
t M
Vậy
2 2
OM
Câu 116. Ta có vectơ chỉ phương của
1 2
, d d
lần lượt là
1
2; 2; 1
u
và
2
1;0; 1
u
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 67
Mặt phẳng
P
qua
1 1
. 0 2 2 0. 1
d n u b c
2
2 2 2
2
2 2
2
. 1
2
sin , sin 45 1 1 2 0. 2
. 2
1. 2
u n c
d P c b c b c
u n
b c
Từ
1
và
2
2 . 4.
2
b
b c
c
Câu 117. Đường thẳng
1
d
và
2
d
có véctơ chỉ phương lần lượt là
1
2; 2; 1
u
và
2
1;0; 1
u
.
Mặt phẳng
P
có véctơ pháp tuyến là
1; ;n b c
.
Từ giả thiết ta có:
1
o
2
2
.
sin 45
| | .| |
u n
u n
u n
1
2 2 2 2 2 2
. 0
1.1 0. ( 1). 2
2
1 0 ( 1) . 1
u n
b c
b c
2
2
2 2
2 2
2 2 0
2 2
2 2
2
2
2 0
1 1
1 1
b c
b c
b c
b
c
b c
c b c
c b c
Vậy
. 4
b c
.
Câu 118.
1 2
2; 2; 1 , 1;0; 1
u u
lần lượt là vectơ chỉ phương của
1 2
,d d
. Theo bài ra ta có
1
2 2
. 0
cos ; sin ;
n u
n u d P
2 2
2.1 2 1 0
1.1 0. 1
1
2
1 . 2
b c
b c
b c
2
2 2
2 2
1 1
c b
c b c
2
2
b
c
.
Dạng 4.2 Bài toán phương trình mặt phẳng, giao tuyến 2 mặt phẳng
Câu 119. Chọn A
Mặt phẳng qua
1;2; 2
A
và nhận
2;1;3
u
làm VTPT
Vậy phương trình của mặt phẳng là:
2 1 2 3 2 0
x y z
2 3 2 0
x y z
.
Câu 120. Chọn C
Mặt phẳng cần tìm đi qua
3; 1;1
M
và nhận VTCP của
là
3; 2;1
u
làm VTPT nên có
phương trình:
3 2 12 0.x y z
Câu 121. Chọn A
Đương thăng
10 2 2
:
5 1 1
x y z
co vectơ chi phương
5;1;1
u
Măt phăng
:10 2 11 0
P x y mz
co vectơ phap tuyên
10;2;n m
Đê măt phăng
P
vuông goc vơi đương thăng
thi
u
phai cùng phương vơi
n
5 1 1
2
10 2
m
m
.
Câu 122. Mặt phẳng
P
vuông góc với
nên
P
nhận vtcp của
là
2; 1;3
u
làm vtpt
Phương trình mặt phẳng
P
là:
2 1 1 1 3 2 0
x y z
hay
2 3 9 0
x y z
.
Câu 123. Ta có: Đường thẳng
1 2 3
:
2 1 2
x y z
d
có vectơ chỉ phương là
2; 1;2
d
a
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 68
Vì
P d
nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
P
là
( )P
n
=
2; 1;2
d
a
Câu 124. Mặt phẳng
( )P
vuông góc với đường thẳng
( ) :
1 1 1
x y z
d
nên nhận véc tơ chỉ phương
1;1;1
d
u
làm
véc tơ pháp tuyến, suy ra phương trình mặt phẳng
( )P
có dạng:
0
x y z D
, mặt khác
( )P
đi qua
gốc tọa độ nên
0
D
.
Vậy phương trình
( )P
là:
0
x y z
.
Câu 125. Ta lấy điểm
2;0;3
2;1;3 , 3;1; 2
1; 1;1
AM
M n AM u
vtcpu
Mặt phẳng cần tìm qua
0;1;0
A
và nhận
3;1; 2
n
làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là:
3. 0 1. 1 2. 0 0 3 2 1 0
x y z x y z
.
Câu 126. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng.
Đường thẳng
d
có một vectơ chỉ phương là
1 ; 2 ; 1
u
.
Mặt phẳng
T
có một vectơ pháp tuyến là
1 ; 1 ; 2
T
n
. Do
1 2 1
1 1 2
nên
u
không cùng phương
với
T
n
. Do đó
d
không vuông góc với
T
.
Mặt phẳng
P
có một vectơ pháp tuyến là
1 ; -2 ; 1
P
n
. Do
1 2 1
1 2 1
nên
u
cùng phương với
P
n
. Do đó
d
vuông góc với
P
.
Mặt phẳng
Q
có một vectơ pháp tuyến là
1 ; -2 ; -1
Q
n
. Do
1 2 1
1 2 1
nên
u
không cùng
phương với
Q
n
. Do đó
d
không vuông góc với
Q
.
Mặt phẳng
R
có một vectơ pháp tuyến là
1 ; 1 ; 1
R
n
. Do
1 2 1
1 1 1
nên
u
không cùng phương
với
R
n
. Do đó
d
không vuông góc với
R
.
Câu 127. Chọn D
Tọa độ các điểm thuộc giao tuyến
d
của hai mặt phẳng thỏa mãn hệ phương trình:
3 1 0
2 7 0
x y z
x y z
.
Với
0
y
1 2
2;0;3
2 7 3
x z x
A d
x z z
Với
10 0
3 0;3;10
2 10 10
x z x
y B d
x z z
.
Vậy đường thẳng
d
đi qua
2;0;3
A
và nhận
2;3;7
AB
làm vecto chỉ phương có phương trình
chính tắc là:
2 3
2 3 7
x y z
.
Câu 128. Chọn C
: 5 0
P x z
có 1 vtpt
1
1;0;1
n
: 2 3 0
Q x y z
có 1 vtpt
2
1; 2; 1
n
Gọi
là giao tuyến của 2 mặt phẳng thì
có 1 vtcp
1 2
, 2;2; 2
u n n
.
Câu 129.
(1;1;2)
d
u
là một VTCP của đường thẳng d
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 69
(1;1; 2)
n
là một VTPT của
; ( 4;4;0)
d
n u n
(2;3;0)A d A
Phương trình mặt phẳng
( ) : 4( 2) 4( 3) 0( 0) 0 4x 4 4 0 1 0
x y z y x y
.
Giả sử
( ; ; )M x y z
. Khi đó tọa độ M thỏa mãn hệ
x- 1 0
2z 1 0
y
x y
Thay các đáp án vào hệ trên ta thấy
(2;3;3)
M
thỏa mãn. Chọn đáp án B
Câu 130.
: 5 0
P x z
có vectơ pháp tuyến
1
1;0;1
n
.
: 2 3 0
Q x y z
có vectơ pháp tuyến
2
1; 2; 1
n
.
Ta có:
1 2
, 2;2; 2
n n
.
Gọi
u
là một vectơ chỉ phương của
, thì
1
u n
và
2
u n
.
Suy ra
u
cùng phương với
1 2
,n n
. Chọn
1;1; 1
u
.
Lấy
2;1;3
M
thuộc mặt phẳng
P
và
Q
.
Đường thẳng
đi qua
2;1;3
M
có một véctơ chỉ phương
1;1; 1
u
.
Vậy phương trình
là:
2 1 3
1 1 1
x y z
.
Câu 131. Chọn véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là:
3; 2;1
d
n u
. Mặt khác mặt phẳng này đi qua
A
nên có phương trình là:
3 0 2 3 1 0
3 2 7 0
x y z
x y z
.
Câu 132.
có VTCP
1;2; 3
u
và
P
có VTPT là
1; 1;1
n
.
qua
O
và nhận
; 1;2;1
n u n
Suy ra
: 2 0
x y z
.
Dạng 4.3 Bài toán giao điểm (hình chiếu, đối xứng) của đường thẳng với mặt phẳng
Câu 133. Chọn A
Đường thẳng
d
có vtcp
1; 3; 1
u
Mặt phẳng
P
có vtpt
3; 3;2
n
Ta có
. 3 9 2 10 0
u n
nên loại trường hợp
/ /
d P
và
d P
.
Lại có
u
và
n
không cùng phương nên loại trường hợp
d P
.
Vậy
d
cắt và không vuông góc với
.P
Câu 134. Cách 1: Lấy
0;2; 1
2;3;2
A
B
Mà
P
A P
B P
2 16 0
10
11. 2 3 2 16 0
4
m n
m
m n
n
14
T m n
.
Cách 2: Đường thẳng
đi qua
0;2; 1
A
có VTCP
2;1;3
u
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 70
Mặt phẳng
P
có VTPT
11; ;n m n
.
0
A P
P
n.u
2 16 0 10
22 3 0 4
m n m
m n n
.
14
T m n
.
Câu 135. Tọa độ của điểm
M
là nghiệm của hệ:
2
3 1
1
1 2
2 3 2 0
x y
y z
x y z
3 2
2 1
2 3 2
x y
y z
x y z
1
1
1
x
y
z
Vậy
1;1;1
M
.
Câu 136. Gọi
H
là hình chiếu của
3;2; 1
A
lên mặt phẳng
: 0
x y z
. Khi đó:
AH
nhận
1;1;1
n
là
vectơ chỉ phương suy ra phương trình
3 2 1
:
1 1 1
x y z
AH
.
Do
3 ; 2 ; 1
H AH H t t t
.
Do
4 5 2 7
3 2 1 0 ; ;
3 3 3 3
H t t t t H
.
Câu 137.
Đường thẳng
d
đi qua
1;0;3
M
, có véctơ chỉ phương
1; 2;1
v
có phương trình tham số là
1
2
3
x t
y t
z t
.
Gọi
M
là hình chiếu của điểm
1;0;3
M
theo phương véctơ
1; 2;1
v
trên mặt phẳng
: 2 0
P x y z
.
M d P
tọa độ
M
là nghiệm của hệ phương trình:
1 1 2
2 2 2
2;2;2
3 3 2
2 0 1 2 3 2 0 1
x t x t x
y t y t y
M
z t z t z
x y z t t t t
.
Câu 138.
12 4 ;9 3 ;1
M M t t t
.
3 12 4 5 9 3 1 2 0 3
M P t t t t
.
0 0 0
0;0; 2 2
M x y z
.
d
P
M'
M
v
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 71
Câu 139. Mặt phẳng
( )ABC
qua các điểm
1;0;0 , 0;2;0 , 0;0;3
A B C
nằm trên các trục
Ox
,
Oy
,
Oz
có
phương trình là:
1
1 2 3
x y z
.
Điểm
( ; ; )M a b c
là tọa độ giao điểm của của d và mặt phẳng .
Suy ra
2 3
1 6
1 2 3
t t t
t
suy ra
6
8
9
a
b
c
.
Vậy
6 8 9 11.
S
Câu 140. Chọn C
+
A
đối xứng với
A
qua
P
nên
AA
vuông góc với
P
+Suy ra phương trình đường thẳng
AA
:
1 6
3 2
6
x t
y t
z t
+Gọi
H
là giao điểm của
AA
và mặt phẳng
P
1 6 ;3 2t;6 t
H t
+ Do
H
thuộc
P
6 1 6 2 3 2 1 6 35 0
t t t
41 41 0 1 5;1;7
t t H
+
A
đối xứng với
A
qua
P
nên
H
là trung điểm của
AA
2
2 2
11; 1;8 11 1 8 186
A OA
Câu 141. Chọn B
Cách 1: Đường thẳng
d
đi qua điểm
0
(1; 5;3)
M
và có VTCP
2; 1;4
d
u
Gọi
Q
là mặt phẳng chứa
d
và vuông góc với
: 3 0
P x
.
Suy ra mặt phẳng
Q
đi qua điểm
0
(1; 5;3)
M
và có VTPT là
; 0;4;1
P d
n u
: 4 17 0
Q y z
.
Phương trình hình chiếu vuông góc của
d
trên mặt phẳng
P
là
4 17 0
3 0
y z
x
hay
3
6
7 4
x
y t
z t
Cách 2: Ta có
1 2 ; 5 ;3 4M d M t t t
. Gọi
M
là hình chiếu của
M
trên
: 3 0
P x
.
Suy ra
3; 5 ;3 4M t t
. Suy ra
3
: 5
3 4
x
d y t
z t
So sánh với các phương án, ta chọn D là đáp án đúng.
Câu 142. Chọn A
Gọi
M
là giao điểm của
d
với
P
.
Tọa độ của
M
là nghiệm của hệ:
3 1
3 0
2 1 1
1 2
2 1
1 2 1
x y z x
x y z
x y y
x y z
x z z
1;1;1
M
Lấy điểm
0; 1;2
N d
.
Một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng
P
là:
1;1;1
n
.
ABC
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 72
Gọi
là đường thẳng đi qua
N
và nhận
1;1;1
n
làm vec tơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng
1 2
:
1 1 1
x y z
Gọi
N
là giao điểm của
với
P
.
Tọa độ của
N
là nghiệm của hệ:
2
3
3
3 0
1
1
1 2
3
2
1 1 1
8
3
x
x y z
x y z
x y y
x y z
x z
z
2 1 8
; ;
3 3 3
N
1 4 5 1
; ; 1; 4; 5
3 3 3 3
MN u
Đường thẳng cần tìm đi qua điểm
1;1;1
M
và nhận
1;4; 5
u
làm vec tơ chỉ phương nên có phương
trinh
1 1 1
1 4 5
x y z
.
Câu 143. Mặt phẳng
: 2 3 0
x y z
có vectơ pháp tuyến
2;1;1
n
.
Gọi tọa độ giao điểm của
d
và
là
I
thì
22;39;8
I
.
Lấy
4;3;2
A d
. Gọi
là đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
.
Suy ra phương trình đường thẳng
là
4 2
3
2
x t
y t
z t
Gọi
H
là hình chiếu của
A
lên
thì
H
2;4;3
H
.
'A
đối xứng với
A
qua
H
là trung điểm
'AA
' 0;5;4
A
.
Đường thẳng
'd
đối xứng với đường thẳng
d
qua mặt phẳng
'd
đi qua điểm
, 'I A
có vectơ chỉ
phương
' 22; 34; 4 2 11; 17; 2
A I
có phương trình là:
5 4
11 17 2
x y z
.
Câu 144. Chọn C
Gọi
là đường thẳng qua
M
và vuông góc với
.
Phương trình tham số của
là:
2
3 2
1
x t
y t
z t
. Ta có
M
.
Xét phương trình:
2 2 3 2 1 0
t t t
1
2
t
.
Vậy
5 3
;2;
2 2
M
.
Câu 145. Mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến là
2;1;2
n
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 73
MM
vuông góc với mặt phẳng
nên đường thẳng
MM
nhận
2;1;2
n
làm vectơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng
MM
là:
1 2
2
4 2
x t
y t
z t
.
Gọi
H
là giao điểm của đường thẳng
MM
và mặt phẳng
.
H MM
1 2 ;2 ;4 2H t t t
.
H
2 1 2 2 2 4 2 3 0
t t t
9 9 0
t
1
t
1;1;2
H
.
M
đối xứng với điểm
M
qua mặt phẳng
nên
H
là trung điểm của
MM
3;0;0
M
.
Câu 146. Chọn D
Ta gọi
AB
cắt
d
tại điểm
1 2 ; 1 ;2
M m m m d
2 ; 3;3
AM m m m
, theo yêu cầu bài toán
AB
vuông góc
d
, ta có
. 0 2.2 3 3 0 1 (2; 2;2)
d
AM u m m m m AM
Đường thẳng
AB
đi qua
A
nhận
1
1; 1;1
2
u AM
là VTCP, ta có phương trình
AB
là
1 2 1
:
1 1 1
x y z
AB
. Gọi
1 ;2 ; 1
B t t t AB
Lại có điểm
( ) 1 2 2( 1 ) 1 0 1
B P t t t t
. Vậy
(0;3; 2)
B
.
Câu 147. Chọn C
Gọi
M
là giao điểm của
d
với
P
.
Tọa độ của
M
là nghiệm của hệ:
3 1
3 0
2 1 1
1 2
2 1
1 2 1
x y z x
x y z
x y y
x y z
x z z
1;1;1
M
Lấy điểm
0; 1;2
N d
.
Một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng
P
là:
1;1;1
n
.
Gọi
là đường thẳng đi qua
N
và nhận
1;1;1
n
làm vec tơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng
1 2
:
1 1 1
x y z
Gọi
N
là giao điểm của
với
P
.
Tọa độ của
N
là nghiệm của hệ:
2
3
3
3 0
1
1
1 2
3
2
1 1 1
8
3
x
x y z
x y z
x y y
x y z
x z
z
2 1 8
; ;
3 3 3
N
1 4 5 1
; ; 1;4; 5
3 3 3 3
MN u
Đường thẳng cần tìm đi qua điểm
1;1;1
M
và nhận
1;4; 5
u
làm vec tơ chỉ phương nên có phương
trinh
1 1 1
1 4 5
x y z
.
Câu 148. Chọn D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 74
Gọi
( )M d P
. Suy ra
(3 2 ; 2 ; 1 ); ( ) 1 (1; 3;0)
M d M t t t M P t M
( )P
có véc tơ pháp tuyến là
(1;1;1)
P
n
.
d
có véc tơ chỉ phương
(2;1; 1)
d
a
.
có véc tơ chỉ phương
, (2; 3;1)
d P
a a n
. Gọi
( ; ; )N x y z
là hình chiếu vuông góc của
M
trên
, khi đó
( 1; 3; )MN x y z
.
Ta có
2 2 2
2 3 11 0
( ) 2 0
( 1) ( 3) 42
42
MN a x y z
N P x y z
x y z
MN
.
Giải hệ ta tìm được
(5; 2; 5)
N
và
( 3; 4;5)
N
.
Với
(5; 2; 5)
N
, ta có
5 2 5
:
2 3 1
x y z
.
Với
( 3; 4;5)
N
, ta có
3 4 5
:
2 3 1
x y z
.
Câu 149. Đường thẳng
2
d
có véctơ chỉ phương
1; 2;3
v
và đi qua điểm
3;1; 4
N
Ta có:
, 4;5;2 0
v u
;
4;4; 6
MN
;
, . 16 20 12 8 0
v u MN
1
d
và
2
d
chéo nhau.
Mặt phẳng
P
cách đều hai đường thẳng
1
d
và
2
d
nên
P
nhận
, 4;5;2
v u
làm một vectơ pháp
tuyến và đi qua trung điểm
1; 1; 1
I
của đoạn
MN
Suy ra phương trình của
P
:
4 1 5 1 2 1 0 4 5 2 11 0
x y z x y z
4; 5; 2
a b c
2 3 20
a b c
.
Câu 150. Đường thẳng
d
có phương trình tham số:
1 2
2
x t
y t
z t
Điểm
M
thuộc đường thẳng
d
nên
1 2 ; ;2
M t t t
.
Điểm
A
là trung điểm của
MN
nên:
2; 1;3
2 5 2
2 2 5 2 ; 2 ;4
2 4
N A M
N A M
N A M
A
x x x t
y y y t N t t t
z z z t
Mặt khác điểm
N P
nên:
5 2 2 8 2 8 0 3
t t t t
Suy ra:
5;3;5
M
.
Đường thẳng
có véc tơ chỉ phương
3;4;2
AM
và đi qua điểm
5;3;5
M
nên có phương trình:
5 3 5
3 4 2
x y z
Câu 151.
n
Q
Q
P
d
x
O
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 75
Chọn
1;2; 1 ; 2;1;3 ; , 0;3; 1 .
d
A d u u i
Ta thấy
; . 7 0
d
u i OA d
và
Ox
chéo nhau.
Gọi
Q
là mặt phẳng chứa
d
và song song với
.Ox
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Q
là
; 0;3; 1 .
Q d
n u i
Hình chiếu
d
của
d
trên mặt phẳng
P
là đường giao tuyến giữa hai mặt phẳng
P
và
.Q
d
có một vectơ chỉ phương là
; 4;1;3 673 ; 2692;673;2019
Q P Q P
n n u n n
cũng là
một vectơ chỉ phương.
Vậy
2019.
a b
Câu 152. Gọi
A d P
. Vì
: 1 2 ; 1 2 ;2
2
x t
A d y t A t t t
z t
.
Mặt khác
1 2 2 3 0 1A P t t t t
. Vậy
1;1;1
A
.
Lấy
0; 1;2
B d
. Gọi
là đường thẳng qua
B
và vuông góc
P
.
Thì
: 1
2
x t
y t
z t
. Gọi
C
là hình chiếu của
B
lên
P
.
Suy ra
; 1 ;2
C C t t t
.
Mặt khác
2
1 2 3 0
3
C P t t t t
. Vậy
2 1 8
; ;
3 3 3
C
.
Lúc này
d
qua
1;1;1
A
và có một vectơ chỉ phương là
1 4 5
; ;
3 3 3
AC
. Hay
d
nhận
1;4; 5
u
làm một vectơ chỉ phương.
Suy ra
1
: 1 4
1 5
x s
d y s
z s
. Vậy điểm thuộc đường thẳng
d
là
2;5; 4
M
.
Câu 153.
P
có véctơ pháp tuyến
1;1;1
n
và
d
có véctơ chỉ phương
1;2; 1
u
.
1;1;1
I d P I
.
Vì
;P d
có véctơ chỉ phương
, 3;2;1
u n u
.
M
là hình chiếu của
I
trên
nên
M
thuộc mặt phẳng
Q
đi qua
I
và vuông góc với
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 76
Mặt phẳng
Q
nhận
3;2;1
u
làm véctơ pháp tuyến nên ta có phương trình của
: 3 1 2 1 1 1 0 3 2 0
Q x y z x y z
.
Gọi
1 1
d P Q d
có véctơ chỉ phương
, 1;4; 5
v u n
và
1
d
đi qua
I
, phương trình của
1
1
: 1 4
1 5
x t
d y t
z t
.
Mặt khác
1
M M P M d
.
Giả sử
1 ;1 4 ;1 5 ;4 ; 5M t t t IM t t t
.
Ta có:
2 2 2
42 16 25 42 1
IM t t t t
.
+) Với
1 2;5; 4
t M
.
+) Với
1 0; 3;6
t M
.
Vì
; ;M a b c
( với
a b c
) nên
2;5; 4
M
.
Cách 2: Vì
; ;M a b c
là hình chiếu vuông góc của
I
lên
.
Khi đó ta có
2 2 2
2 2 2
3 0
3 0
3 1 2 1 1 0 3 2 0
42
1 1 1 42
1 1 1 42
M P
a b c
a b c
IM u a b c a b c
IM
a b c
a b c
2 2 2 2 2 2
4 3 4 3
3 0 5 6
1 1 1 42 1 1 1 42
a b b a
a b c c a
a b c a b c
0
3
6
2
5
4
a
b
c
a
b
c
Vì
; ;M a b c
( với
a b c
) nên
2;5; 4
M
.
Câu 154. Mặt phẳng
: 1 0
x y z
có vectơ pháp tuyến
1;1; 1
n
.
Đường thẳng
1 4
:
2 3 5
x y z
d
có vectơ chỉ phương
2;3;5
u
.
Vì
. 1.2 1.3 1 .5 0
n u
nên
/ /d
.
Gọi
'd
là hình chiếu vuông góc của
d
trên
'/ /d d
.
Lấy
1; 4;0
A d
. Gọi
là đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
.
Suy ra phương trình đường thẳng
là
1
4
x t
y t
z t
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 77
Gọi
'A
là hình chiếu của
A
lên
thì
'A
' 0; 5;1
A
.
Đường thẳng
'd
là đường thẳng đi qua
' 0; 5;1
A
, có vectơ chỉ phương
2;3;5
u
có phương trình là
5 1
2 3 5
x y z
.
Câu 155. Chọn B.
+) Phương trình tham số của
2 2
: 4 2
1
x t
d y t
z t
,
t R
. Gọi
2 2 ;4 2 ; 1
M t t t
là giao điểm của
d
và
P
2 2 4 2 1 1 0
t t t
2t
2;0;1
M
.
+) Mặt phẳng
P
có 1 vector pháp tuyến là
1;1; 1
P
n
. Điểm
0;2;0
N
d
.
Gọi
là đường thẳng qua
0;2;0
N
và vuông góc với mặt phẳng
P
nhận vector
1;1; 1
P
n
làm vector chỉ phương. Suy ra phương trình của
là:
0 2 0
: : 2
1 1 1
x c
x y z
y c
z c
,
c R
. Gọi
;2 ;M c c c
là giao điểm của
với
mặt phẳng
P
1
2 1 0
3
c c c c
1 5 1
; ;
3 3 3
M
.
+)
7 5 2
; ;
3 3 3
MM
, đường thẳng
d
là hình chiếu vuông góc của
d
trên mặt phẳng
P
nên
d
chính là đường thẳng
'MM
, suy ra
d
đi qua
2;0;1
M
và nhận vector
3 7; 5;2
u MM
làm
vector chỉ phương nên phương trình của
d
là:
2 1
:
7 5 2
x y z
d
.
d'
d
P
M
N
M'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 78
Câu 156.
Mặt phẳng
P
có véctơ pháp tuyến
1;1;1
P
n
.
Đường thẳng
d
có véctơ chỉ phương là
2;1;3
d
u
, đường thẳng chứa trục
Ox
có có véctơ chỉ
phương
1;0;0
i
.
Gọi
Q
là mặt phẳng chứa đường thẳng
d
và song song (hoặc chứa) trục
Ox
.
Khi đó
Q
có véctơ pháp tuyến
, 0;3; 1
d
Q
n u i
.
Đường thẳng
'd
chính là giao tuyến của
P
và
Q
.
Vectơ chỉ phương của
'd
là
1
, 4;1;3
P Q
u n n
.
Suy ra:
2692;673;2019u
cũng là chỉ phương của
'd
.
Ta có:
2692 673 2019a b
.
Dạng 4.4 Bài toán cực trị
Câu 157. Chọn D
Gọi
; ;I a b c
là điểm thỏa mãn
2 3 0IA IB IC
.
Ta có
1 ;2 ;3 , ;1 ;1 , 1 ; ; 2IA a b c IB a b c IC a b c
2
3
1 2 3 3 0 6 4
2
2 3 0 2 2 2 3 0 6 4
3
3 2 2 6 3 0 6 1
1
6
a
a a a a
IA IB IC b b b b b
c c c c
c
2 2 1
; ;
3 3 6
I
.
Ta chứng minh được
2 2 2 2
6 2 3T MI IA IB IC
. Do đó T đạt GTNN khi
MI
đạt GTNN
M là
hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P).
Ta có
2
3
2
:
3
1
6
x t
MI y t
z t
,
2 2 1 19 19
; ; , 3 0
3 3 6 6 18
M MI M t t t M P t t
7 7 22
3
7 7 11 91
9 18 9
; ; ;
18 18 9 3 54
M d M Q
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 79
Câu 158.
Đường thẳng
:
2 2 1
x y z
được viết lại dưới dạng tham số
2
: 2
x t
y t
z t
Xét hệ phương trình
2 0
2 0
0
2 2 0 0
x t t
y t x
z t y
x y z z
. Do đó
cắt
P
tại điểm
0;0;0 O
A
.
Lại có
và
P
không vuông góc nhau nên ta đi chứng minh góc nhỏ nhất giữa
P
và
Q
là góc giữa
và
P
. Thật vậy trên
lấy
B
khác
A
, kẻ
BH
vuông góc với
P
tại
H
và
BK
vuông góc
d
tại
K
(
d
là giao tuyến của
P
và
Q
) tại
K
. Khi đó góc giữa
Q
và
P
là góc
BKH
.
HA HK
tan tan
BH BH
BKH BAH
HK HA
, 90
4
, arcsin
9
tan tan
BKH BAH
BKH BAH P
BKH BAH
Đẳng thức xảy ra
.K A d
Do đó, góc giữa hai mặt phẳng
P
và
Q
là nhỏ nhất khi và chỉ khi
Q
chứa
và cắt
P
theo
một giao tuyến vuông góc
.
*)Viết phương trình của
Q
Đường thẳng
có vectơ chỉ phương
1
2;2;1
u
,
P
có vectơ pháp tuyến
1
1;2; 2
n
nên
d
có
vectơ chỉ phương
2 1 1
, 6;5;2
u u n
.
Q
chứa
và d nên nhận
2 2 1
; 1;10; 22
n u u
làm vectơ pháp tuyến.
Vậy mặt phẳng
Q
đi qua
0;0;0
A
và nhận
2
1;10; 22
n
làm vectơ pháp tuyến nên có phương
trình
10 22 0
x y z
.
Câu 159. Gọi
; ;I x y z
là điểm thỏa mãn
2 3 0
IA IB IC
.
Ta có
10 ; 5 ;8
IA x y z
,
2 ;1 ; 1
IB x y z
,
2 ;3 ;
IC x y z
.
d
Q
P
Δ
A
H
B
K
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 80
Khi đó,
10 2 2 3 2 0
5 2 1 3 3 0
8 2 1 3 0
x x x
y y y
z z z
0
1
1
x
y
z
0;1;1
I
.
Với điểm
M
thay đổi trên
P
, ta có
2 2 2
2 3
MA MB MC
2 2 2
2 3
MI IA MI IB MI IC
2 2 2 2
6 2 3 2 2 3
MI IA IB IC MI IA IB IC
2 2 2 2
6 2 3
MI IA IB IC
(Vì
2 3 0
IA IB IC
).
Ta lại có
2 2 2
2 3
IA IB IC
185 2.8 3.9
228
.
Do đó,
2 2 2
2 3
MA MB MC
đạt giá trị nhỏ nhất
MI
đạt giá trị nhỏ nhất
M
là hình chiếu vuông góc của
I
trên
P
.
Khi đó,
, 3
MI d I P
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của
2 2 2
2 3
MA MB MC
bằng
2
6 228
MI
6.9 228
282
.
Giá trị nhỏ nhất của
2 2 2
2 3
MA MB MC
đạt được khi và chỉ khi
M
là hình chiếu vuông góc của
I
trên
P
.
Lưu ý thêm cách tìm điểm
M
như sau:
Gọi
là đường thẳng qua
I
và vuông góc với
P
. Phương trình của
:
1 2
1 2
x t
y t
z t
.
Ta có
M P
. Xét phương trình
2 1 2 2 1 2 9 0
t t t
9 9 0
t
1t
1;3; 1
M
.
Câu 160.
Gọi
ABM
C
là chu vi của tam giác
ABM
.
2; 3; 10
AB
113
AB
2; 3; 10
AB
,
1; 4;1
CD
. 2 12 10 0
AB CD
AB CD
.
Gọi
P
là mặt phẳng chứa đường thẳng
AB
và vuông góc với đường thẳng
CD
.
H
là giao điểm của
P
và đường thẳng
CD
.
Phương trình mặt phẳng
P
qua
1;1;6
A
có véc tơ pháp tuyến
1; 4;1
CD
là:
4 1 0
x y z
.
Phương trình đường thẳng
CD
:
1
2 4
1
x t
y t
z t
.
A
B
H
D
C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 81
1 ;2 4 ; 1
H CD H t t t
.
1 4 2 4 1 1 0
H P t t t
1
2
t
3 1
;0;
2 2
H
.
Với
M CD
, ta có
AM AH
BM BH
AM BM AH BH
.
113
ABM
C AB AM BM AH BH
,
M CD
.
Suy ra
113
ABM
minC AH BH
, đạt được
M H
3 1
;0;
2 2
M
.
Vậy
1a b c
.
Câu 161. Ta có
ABM
C AM BM AB
mà
AB
không đổi suy ra
ABM
C
nhỏ nhất khi
AM BM
nhỏ nhất.
Ta có
2; 3; 10 ,
AB
1; 4;1
CD
.
Xét
. 0
AB CD AB CD
. Gọi
qua
AB
và vuông góc với
CD
.
đi qua
1;1;6
A
và nhận
1; 4;1
CD
làm véc tơ pháp tuyến.
Suy ra
có phương trình là:
4 1 0.
x y z
Vì điểm
M
thuộc
CD
sao cho
AM BM
nhỏ nhất nên
M CD
.
:
4 1 0
x y z
,
CD
có phương trình:
1
2 4
1
x t
y t
z t
M CD
3 1
;0;
2 2
M
3 1
0 1
2 2
a b c
.
Câu 162. + Gọi
; ;I x y z
là điểm thỏa mãn
2 3 0
IA IB IC
.
Ta có
3 ;1 ;1
7 ;3 ;9
2 ;2 ;2
IA x y z
IB x y z
IC x y z
.
+
23 6 0
2 3 0 13 6 0
25 6 0
x
IA IB IC y
z
23
6
13
6
25
6
x
y
z
23 13 25
; ;
6 6 6
I
.
2 3 6 2 3 6 6MA MB MC MI IA IB IC MI MI
.
2 3
MA MB MC
đạt giá trị nhỏ nhất
M
là hình chiếu của
I
lên mặt phẳng
P
.
+ Gọi đường thẳng
d
đi qua
I
và vuông góc
P
.
Ta có
d
đi qua
23 13 25
; ;
6 6 6
I
và nhận
1;1;1
p
n
làm véc tơ chỉ phương.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 82
Suy ra phương trình
23
6
13
:
6
25
6
x t
d y t
z t
.
23 13 25
; ;
6 6 6
M d M t t t
M P
23 13 25
3 0
6 6 6
t t t
43
18
t
13 2 16
; ;
9 9 9
M
.
Do đó
13
9
2
9
16
9
a
b
c
62
2 10
9
a b c
.
Câu 163. Cách 1:
Ta có
2
2
2
2
1 1 2 1 3 1
;
2 1
1 1
m m m
d A P
m m
m m
.
Xét
2
2
2
2
1
3 1 5 3 1
0
3
2 1
2 1
5
m m m
m
f m f m
m m
m m
m
.
Vậy
14
max ;
3
d A P
khi
5 2;6
m
.
Cách 2:
Ta đi tìm đối tượng cố định của mặt phẳng
P
:
: 1 1 0 1 0
P m x y mz x z m x y
.
Với mọi
m
mặt phẳng
P
luôn đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
0
1 0
x z
x y
tức luôn đi
qua đường thẳng
: 1
x t
d y t
z t
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 83
Gọi
;1 ; 1; ; 2
H t t t d AH t t t
. Để khoảng cách từ
A
đến
P
lớn nhất thì
AH P AH
cùng phương với VTPT của
P
là
1;1;
P
n m m
, suy ra:
1
1
1 2
3
2
1 1
5 2;6
t
mt t t
t t t
mt t
m m
m
.
Câu 164.
Gọi
( ')P
chứa
A
và song song
( )P
suy ra
( ') : 2 4 0
P x y z
.
Ta thấy
( ')B P
do đó
( , )d B d
đạt giá trị lớn nhất là
.AB
Khi đó
d
vuông góc với
AB
và
d
vuông góc với giá của
n
là VTPT của
( )P
.
Suy ra một VTCP của
d
là
, (2;2; 2)
u n AB
.
Kết hợp với điểm
A
thuộc
d
nên ta chọn đáp án C.
Câu 165. Gọi
( ; ; )M a b c
.
Ta có
. . 34 34 . 34
MA MC MAMB MA MC MB MA BC
Mặt khác
( 8 ;1 ;1 )MA a b c

,
(4;3; 3)
BC
Suy ra
4( 8 ) 3(1 ) 3(1 ) 34 4 3 3 66 0
a b c a b c
.
Vậy
( )M P
có phương trình
4 3 3 66 0
x y z
.
Ký hiệu
( ) ( ; ; ) 4 3 3 66
f M f x y z x y z
, với
( ; ; )M x y z
Ta có
( ). ( ) ( 4( 8) 3.1 3.1 66)(( 4.2 3.1 3.3 66) ( 34).( 6
8) 2312 0
f A f B
Suy ra điểm
( 8;1;1)
A
và điểm
(2;1;3)
B
nằm về cùng 1 phía so với mặt phẳng
( )P
.
Khi đó
MA MB AB
(tính chất 3 cạnh của tam giác) suy ra
MA MB
đạt giá trị lớn nhất khi
, ,M A B
thẳng hàng và
M
nằm ngoài đoạn thẳng
AB
hay
M
là giao điểm của đường thẳng
AB
với
( )P
.
Đường thẳng
AB
có véc tơ chỉ phương
(10;0;2)
AB
và qua điểm
(2;1;3)
B
nên có phương trình
2 5
1
3
x t
y
z t
.
Suy ra
4(2 5 ) 3.1 3(3 ) 66 0 17 68 4
t t t t
.
Vậy
( 18;1; 1)
M
hay
0 0 0
18.
x y z
Câu 166. Với mọi điểm
I
ta có
2 2 2
2 2 2
2 2
S NA NB NC NI IA NI IB NI IC
     
2 2 2 2
4 2 2 2
NI NI IA IB IC IA IB IC
   
Chọn điểm
I
sao cho
2 0IA IB IC
  
2 0 4 0IA IB IC IA AB AC
     
Suy ra tọa độ điểm
I
là
0;1;2
I
.
d
P'
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 84
Khi đó
2 2 2 2
4 2S NI IA IB IC
, do đó
S
nhỏ nhất khi
N
là hình chiếu của
I
lên mặt phẳng
P
.
Phương trình đường thẳng đi qua
I
và vuông góc với mặt phẳng
P
là
0
1
2
x t
y t
z t
Tọa độ điểm
;1 ;2N t t t P
1 2 2 0 1t t t t
1;2;1N
.
Câu 167. Chọn A
1 2
:
1 2 1
x y z
d
có VTCP
1; 2; 1u
.
: 2 2 2 0Q x y z
có VTPT
2; 1; 2n
.
Gọi
là góc tạo bởi
d
và
Q
, ta có
6
sin cos ,
3
u n
.
Từ hình vẽ, ta có
,d P MBH
và
,P Q MCH
.
Ta thấy
6
sin
3
MH MH
MCH
MC MB
.
Vậy góc
,P Q MCH
nhỏ nhất khi
6
sin
3
MCH
hay
3
cos
3
MCH
*Viết phương trình mặt phẳng (P)
-CÁCH 1:
Mặt phẳng
: 0P Ax By Cz D
Ta có
2 2 2
2 0
. 0
2 2
3
3
cos ,
3
3
3
Q
Q
A B C
n u
A B C
n n
A B C
2
2 2
2 2
2
2
6 6 12 0 1
3 3 2
A B C
A B C
B C BC
B B C B C
Nếu
0B
suy ra
0A C
loại.
Nếu
0B
từ
1
suy ra
2
2 1 0 1
C C C
C B
B B B
suy ra
A B
.
Mặt phẳng
: 0P Bx By Bz D
đi qua điểm
0; 1;2N d
suy ra
3D B
.
Vậy phương trình mặt phẳng
: 3 0P x y z
. Suy ra
; 3d A P
.
-CÁCH 2
M
H
B
C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 85
Gọi
( ) ( )P Q
thì góc giữa
( )P
và
( )Q
nhỏ nhất khi và chỉ khi
d
. Do đó, mặt phẳng (P) thỏa đề
bài là mặt phẳng chứa
d
và cắt (Q) theo giao tuyến
sao cho
d
.
(Q)
d
nhận
u
d Q
u ,n
làm vec tơ chỉ phương.
(Q)
chứa
d
và
(P)
qua
0 1 2
M( ; - ; ) d
và nhận
6 6 6
d
n u ,u ( ; ; )
làm vectơ
pháp tuyến
3 0 (P) : x y z .
Vậy
; 3
d A P
.
Câu 168. Chọn C
Ta có:
2. 2 2. 2 1 9 0
B
.
Gọi
H
là hình chiếu của
A
trên
thì
AH MB
,
AM MB
MH MB
MB BH
. Dấu bằng xảy ra khi
M H
, lúc đó
M
là hình chiếu của
A
trên
.
Gọi
; ;H x y z
,
1; 2; 3
AH x y z
.
Ta có hệ phương trình
2 2 9 0
1 2 3
2 2 1
x y z
x y z
2 2 9
1
2 5
x y z
x y
x z
3
2
1
x
y
z
3; 2; 1
M
1;0;2
MB
2
: 2
1 2
x t
MB y
z t
.
Câu 169.
6; 7;1
AM
, vectơ pháp tuyến của
là
(3; 4;1)
n
.
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
A
trên
a
.
; 86
d A a AH AM
;d A a
lớn nhất khi
H M
.
Khi đó
a
là đường thẳng đi qua
M
, song song với
và vuông góc với
AM
.
Gọi
u
là vectơ chỉ phương của
a
u n
u AM
;
, 3; 3; 3 3 1;1;1
AM n
.
Chọn
1;1;1
u
. Đáp án D thỏa mãn.
----------------------------------------
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 86
Câu 170.
Đường thẳng
d
có vectơ chỉ phương là
0;3; 2u
.
Mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến là
1;1; 1n
.
Vì
. 0.1 3.1 2 . 1 5 0u n
nên
d
cắt
.
Gọi
1
d
là đường thẳng đi qua
M
và
1
d
//
d
, suy ra
1
d
có phương trình:
3
1 3
1 2
x
y t
z t
.
Lấy
1
3;4; 1N d
. Gọi
K
,
H
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
N
trên mặt phẳng
và đường
thẳng
.
Ta có:
,d NMH
và
sin .
NH NK
NMH
MN MN
Do vậy
,d
nhỏ nhất khi
K H
hay
là đường thẳng
MK
.
Đường thẳng
NK
có phương trình:
3
4
1
x t
y t
z t
.
Tọa độ điểm
K
ứng với
t
là nghiệm của phương trình:
5
3 4 1 3 0
3
t t t t
. Suy ra
4 7 2
; ;
3 3 3
K
.
Câu 171.
Gọi
I
là trung điểm
3;1;4AB I
. Gọi
H
là hình chiếu của
I
xuống mặt phẳng
.
Ta có
2 2 2 2
. . .MA MB MI IA MI IB MI MI IA IB IA MI IA

.
Do
IA
không đổi nên
.MA MB
nhỏ nhất khi
MI
nhỏ nhất
MI IH M H
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 87
Gọi
là đường thẳng đi qua
I
và vuông góc với mặt phẳng
. Khi đó
nhận
1;2; 3
n
làm
vectơ chỉ phương. Do đó
có phương trình
3
1 2
4 3
x t
y t
z t
.
3 ;1 2 ;4 3H H t t t
.
3 2 1 2 3 4 3 7 0
H t t t
1 4;3;1
t H
.
Vậy
4;3;1
M
.
Câu 172. Gọi
( )Q
chứa
và song song với
( )P
. Suy ra
( )Q
có phương trình:
1 2( 1) 0 2 3 0
x y x y
.
Khi đó
min
;
d B BH
với
H
là hình chiếu của
B
lên mặt phẳng
( )Q
.
Đường thẳng
BH
đi qua
B
, vuông góc với mặt phẳng
( )Q
có phương trình
1
2 ,
2
x t
y t t
z
.
Tọa độ giao điểm
H
của đường thẳng
BH
và mặt phẳng
( )Q
là nghiệm của hệ:
1
2
2
2 3 0
x t
y t
z
x y
. Giải hệ trên ta được
1 8
; ;2
5 5
H
.
Do đó
là đường thẳng
AH
có
6 3
; ; 1
5 5
AH
.
Suy ra
6; 3; 5
u
cũng là một vecto chỉ phương của
.
Câu 173. Gọi
( ; ; )I m n p
là điểm thỏa mãn:
3 2 0.
IA IB
Ta có
(1 ; ;2 ); (3 ;1 ; 1 ).IA m n p IB m n p
3(1 ) 2(3 ) 0 3
3 2 0 3( ) 2(1 ) 0 2 ( 3; 2;8).
3(2 ) 2( 1 ) 0 8
m m m
IA IB n n n I
p p p
Ta có
3 2 3( ) 2( ) .MA MB MI IA MI IB MI MI
Khi đó,
3 2
MA MB
đạt giá trị nhỏ nhất,
( )M P
MI
nhỏ nhất,
( )M P
M
là hình chiếu vuông góc của
I
trên
( ).P
Gọi
là đường thẳng qua
I
và vuông góc với
( ).P
Khi đó
nhận vectơ pháp tuyến của
( )P
là
(1;1;1)
n
làm vecto chỉ phương
3
: 2 .
8
x t
y t
z t
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 88
Tọa độ
M
là nghiệm của hệ
11
3
11
3
2
8
3
9a 3 6 3.
8 8
3
22
3
1 0
22
2
3
3
3
a
x t
x
y t
b S b c
z t
y
x y z
c
z
t
Câu 174.
Gọi
H
là hình chiếu của
A
lên đường thẳng
d
. Ta suy ra
1;1;1
H
.
Gọi
P
là mặt phẳng đi qua điểm
A
và
P
song song với đường thẳng
d
. Gọi
K
là hình chiếu của
H
lên mặt phẳng
P
. Do
// d P
nên ta có
, ,
d d P d H P HK
.
Ta luôn có bất đẳng thức
HK HA
. Như vậy khoảng cách từ
d
đến
P
lớn nhất bằng
AH
. Và khi
đó
P
nhận
1;2;3
AH

làm vectơ pháp tuyến.
Do
P
đi qua
2; 1; 2
A
nên ta có phương trình của
P
là:
2 3 10 0
x y z
.
Do đó
P
vuông góc với mặt phẳng có phương trình:
3 2 0
x z
.
Câu 175. Phương trình tham số của đường thẳng
AB
là
1
7 2
8
x t
y t
z t
.
Gọi
H
,
K
lần lượt là hình chiếu của
M
trên
P
và đường thẳng
AB
.
Ta tìm được điểm
3; 3; 10
K
. Ta luôn có bất đẳng thức
,
d M P MH MK
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
H K
. Khi đó
4; 2; 8 2 2;1;4
MH
.
Mặt phẳng
P
có một vectơ pháp tuyến là
2;1;4
n
. Vậy ta có
3
a b
.
Câu 176. Gọi
,H K
lần lượt là hình chiếu của
A
lên
và
d
. Khi đó ta có
AH AK
.
Vì
H d
nên
2 ; 1 2 ;1
H t t t
1 ;2 ;1
AH t t t
.
Do
AH d
nên ta có
1 2.2 1 0t t t
1
3
t
. Khi đó
2 2 2
; ;
3 3 3
AH
.
Khoảng cách từ
A
đến
lớn nhất khi và chỉ khi
AH AK
. Do đó
có vectơ pháp tuyến là
1;1; 1
n
. Vậy
:
1 2 1 1 1 1 0
x y z
0
x y z
.
Vẫn là đánh giá bất đẳng thức
AH AK
nói trên, nhưng bài toán sau đây lại phát biểu hơi khác một
chút.
d
P
A
K
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 89
Câu 177.
Ta thấy rằng
d
đi qua
A
và
d
song song với
P
nên
d
luôn nằm trong mặt phẳng
Q
qua
A
và
// Q P
. Như vậy bây giờ ta chuyển về xét trong mặt phẳng
Q
để thay thế cho
P
. Ta lập được
phương trình mặt phẳng
: 2 2 1 0
Q x y z
.
Gọi
,H K
lần lượt là hình chiếu của
B
lên
Q
và
d
. Ta tìm được
1 11 7
; ;
9 9 9
H
. Ta luôn có được bất
đẳng thức
;
d B d BK BH
nên khoảng cách từ
B
đến
d
bé nhất bằng
BH
.
Đường thẳng
d
bây giờ đi qua
,A H
nên có phương trình
3 1
26 11 2
x y z
.
Câu 178. Chọn A
Gọi điểm
; ;I x y z
thỏa mãn
3 0.
IA IB IC
Mà
1 ;4 ;5 1 ;4 ;5
3 ;4 ; 3 ;4 ;
2 ; 1 ; 3 6 3 ; 3 3 ; 3
IA x y z IA x y z
IB x y z IB x y z
IC x y z IC x y z
3 10 5 ;5 5 ;5 5
IA IB IC x y z
Do đó:
2
3 0 1 2;1;1 .
1
x
IA IB IC y I
z
Mặt khác:
2 2 2
2 2 2
3 3

MA MB MC MI IA MI IB MI IC
2 2 2 2
0
5 2. . 3 3

MI MI IA IB IC IA IB IC
Vì
, , ,I A B C
cố định nên
2 2 2
3
IA IB IC
không đổi
Do đó:
2 2 2
3
MA MB MC
nhỏ nhất
2
MI
nhỏ nhất
MI
nhỏ nhất
M
là hình chiếu của
I
trên mặt phẳng
.
Phương trình đường thẳng
d
qua
I
và vuông góc với mặt phẳng
là:
2 1 1
.
3 3 2
x y z
d
Q
P
B
H
K
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 90
Gọi
.
M d
Tọa độ của
M
là nghiệm của hệ phương trình:
7
2
3 6 3 3
2 1 1
1 7 1
2 4 3 3 ; ;0 .
3 3 2
2 2 2
3 3 2 12 0
3 3 2 12 0
0
x
x y
x y z
x z y M
x y z
x y z
z
Vậy
7 1
, , 0 3.
2 2
a b c S a b c
Câu 179. Chọn D
Ta có:
1
.
2
ABM
S AB MH
với
H
là hình chiếu vuông góc của
M
lên AB.
Do
AB
không đổi nên
ABM
S
nhỏ nhất khi
MH
nhỏ nhất.
4; 8; 4
. 0 //( )
1;1; 1
P
P
AB
AB n AB P
n
MH
nhỏ nhất khi
M
nằm trên giao tuyến của mặt phẳng
Q
và
P
;
với
Q
là mặt phẳng chứa
AB
và vuông góc với mp
P
.
4; 8; 4
3;0;3
1;1; 1
Q
P
AB
n
n
phương trình mp
Q
là
4 0
x z
.
M
nằm trên giao tuyến của mặt phẳng
Q
và
P
nên tọa độ
M
là nghiệm của hệ phương trình
4 0
2 2 ;2 2 ;4
2 0
4
x t
x z
y t M t t t
x y z
z t
với
2t
.
Ta có
3; 2 2 ;3 ; 7;6 2 ;7
AM t t t BM t t t
.
Tam giác
ABM
vuông tại
M
nên
. 0 3 7 2 2 6 2 3 7 0
AM BM t t t t t t
3
3 7 2 3 1 0 3 3 5 0
5
3
t n
t t t t t t
t l
.
+
3 3; 4;1 3 4 1 0
t M a b c
.
Câu 180. Gọi
; ;n a b c
là một vectơ pháp tuyến của
P
, với
2 2 2
0
a b c
.
Điểm
1;0;2
M d M P
.
Phương trình của
: 2 0
P ax by cz a c
.
Một vectơ chỉ phương của
d
là
2;1;2 . 0 2 2 0
u n u nu a b c
.
2 2 2 2
2 2
| 5 | 9 | |
2 2 ,
4
a b c a c
b a c d A P
a b c
a c a c
.
Ta có
2
2
2 2 2 2
2
2
a c
a c a c a c
với
, .
a c
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 91
Suy ra:
2
2 2 2
2 2
9
4 4 .
2 2
a c
a c a c a c a c
Do đó
2
2 2
2
9 | | 9 | | 9 | | 2
, 3 2.
3| |
9
4
2
a c a c a c
d A P
a c
a c a c
a c
, 3 2
4
a c
Max d A P
b a
. Chọn
1 4.
a c b
Phương trình
1
: 4 3 0 , .
2
P x y z d O P
Câu 181. Do mặt phẳng
P
qua
Ox
nên phương trình mặt phẳng
P
có dạng
0
by cz
2 2
0
b c
, ,
2 2 2 2
4 4 6
4 2 3
2 2.
4 4 6
8 7 0
0
B P A P
b c b c
b c b c
d d
b c b c
b c b c
b c
c
Trường hợp 1:
8 7 0
b c
chọn
7; 8
b c
khi đó
:7 8 0
P y z
Xét
, 7 8f y z y z
Thay tọa độ
,A B
vào ta được
7.2 8.3 7. 4 8. 1 0
suy ra
,A B
nằm cùng phía so với
P
(loại)
Trường hợp 2:
0
c
suy ra phương trình
: 0
P y
Thay tọa độ
,A B
vào ta được
2. 4 0
suy ra
,A B
nằm khác phía so với
P
. Do đó đường thẳng
AB
cắt
P
tại
I
nằm giữa
AB
Phương trình tham số của đường thẳng
AB
:
1 4
2 6
3 4
x t
y t t
z t
Tọa độ điểm
I
là nghiệm hệ phương trình
1
3
1 4
7
2 6
7 5
;0;
3
3 4
3 3
0
0
5
3
t
x t
y t
x
I
z t
y
y
z
Vậy
7 5
0 4
3 3
a b c
Câu 182.
Gọi
I
là điểm thỏa mãn:
2 0 2(
0
) ( ) ( )IA IC IB OA OI OC OI OB OI
2
1;2; 2
2
OA OC OB
OI I
Ta có
2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 4 .MA MA MI IA MI IA MI IA
2
2 2 2
2
2 .MB MB MI IB MI IB MI IB
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 92
2
2 2 2
2
2 .MC MC MI IC MI IC MI IC
Suy ra
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
MA MB MC MI IA IC IB MI IA IC IB
Suy ra
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
MA MB MC MI IA IC IB
. Do I cố định nên
2 2 2
2
IA IC IB
không
đổi. Vậy
2 2 2
2
MA MB MC
nhỏ nhất
MI
nhỏ nhất
MI
nhỏ nhất
M
là hình chiếu của I
trên (P).
Đường thẳng
qua
1; 2; 2
I
và vuông góc với
P
là:
1 3
2 3
2 2
x t
y t
z t
Suy ra tọa độ điểm
M
là nghiệm của hệ
1 3 4
2 3 1
4; 1;0
2 2 0
3 3 2 15 0 1
x t x
y t y
M
z t z
x y z t
Suy ra
3
a b c
Câu 183.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d, gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên
( )P
. Do
đó khoảng cách từ A đến
( )P
là:
;( ) .d A P AK
Ta có
2 1
:
1
x t
d y t
z t
. Vì
H d
nên
2 1; ; 1
H t t t
.
2 2; 2; 2
AH t t t
, VTCP của đường thẳng d là
2;1;1
d
u
.
. 0 2( 2 t 2) t 2 t 2 0 0
d d
AH u AH u t
.
Do đó
1;0;1
H
và
2; 2; 2 2 3
AH AH
(không đổi).
Vì
AK AH
( đường vuông góc luôn ngắn hơn đường xiên) nên
AK
lớn nhất khi
AK AH
hay
K H
.
Ta có
( 2; 2; 2) 2(1;1;1)
AK AH
. Vậy, một vec tơ pháp tuyến của
( )P
là
(1;1;1)
n
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 93
Câu 184.
Gọi mặt phẳng
Q
là mặt phẳng đi qua
A
và song song với mặt phẳng
P
. Khi đó phương trình của mặt
phẳng
Q
là
1 3 2 0 2 1 0
x y z
2 2 1 0
x y z
.
Gọi
H
là hình chiếu của điểm
B
lên mặt phẳng
Q
, khi đó đường thẳng
BH
đi qua
1; 1;3
B
và nhận
1; 2;2
Q
n
làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là
1
1 2
3 2
x t
y t
z t
.
Vì
H BH Q
H BH
1 ; 1 2 ;3 2H t t t
và
H Q
nên ta có
1 2 1 2 2 3 2 1 0
t t t
10
9
t
1 11 7
; ;
9 9 9
H
.
26 11 2
; ;
9 9 9
AH
1
26;11; 2
9
.
Gọi
K
là hình chiếu của
B
lên đường thẳng
d
, khi đó
Ta có
;
d B d BK BH
nên khoảng cách từ
B
đến
d
nhỏ nhất khi
BK BH
, do đó đường thẳng
d
đi qua
A
và có vectơ chỉ phương
26;11; 2
u
có phương trình chính tắc:
3 1
:
26 11 2
x y z
d
.
Câu 185.
Đường thẳng
d
đi qua
1; 1; 3
M
và có véc tơ chỉ phương
1
2; 1; 1
u
.
Nhận xét rằng,
A d
và
7; 3; 1
d P I
.
Gọi
Q
là mặt phẳng chứa
d
và song song với
. Khi đó
, , ,
d d d Q d A Q
.
Gọi
H
,
K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A
lên
Q
và
d
. Ta có
AH AK
.
Do đó,
,d d
lớn nhất
,
d A Q
lớn nhất
max
AH
H K
. Suy ra
AH
chính là đoạn
vuông góc chung của
d
và
.
d
d
(Q)
(P)
A
I
A
K
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 94
Mặt phẳng
R
chứa
A
và
d
có véc tơ pháp tuyến là
1
,
R
n AM u
2; 4; 8
.
Mặt phẳng
Q
chứa
d
và vuông góc với
R
nên có véc tơ pháp tuyến là
1
,
Q R
n n u
12; 18; 6
.
Đường thẳng
chứa trong mặt phẳng
P
và song song với mặt phẳng
Q
nên có véc tơ chỉ phương là
,
P R
u n n
66; 42; 6
6 11; 7; 1
.
Suy ra,
11; 7
a b
. Vậy
2 3
a b
.
Câu 186.
2 1 2 0 2 1 2 0
x my m z m m y z x z
(*)
Phương trình (*) có nghiệm với
m
2 1 0
2 0
y z
x z
.
Suy ra
P
luôn đi qua đường thẳng
2
: 1 2
x t
d y t
z t
.
2 ;1 2 ;K d K t t t
,
; 2 ; 3
AK t t t
Đường thẳng
d
có VTCP
1; 2;1
u
1 3 1
. 0 4 3 0 ;0;
2 2 2
AK u t t t t K
Ta có
AH AK
max
AH AK
H K
.
Vậy
3
2
a b
.
Câu 187. Vì
1 2.1 1 2 1 2. 1 3 2 0
nên
A
và
B
nằm về hai phía so với
P
. Do đó
MA MB AB
nên
MA MB
nhỏ nhất bằng
AB
khi
M AB P
.
Phương trình đường thẳng
AB
:
1
1
1
x t
y t
z t
, tọa độ điểm
M
là nghiệm của hệ phương trình
1
1
1
2 2 0
x t
y t
z t
x y z
1
1
1
1 2 1 1 2 0
x t
y t
z t
t t t
0
0
2
1
x
y
z
t
. Vậy
0;0;2
M
.
Câu 188. Gọi
E
là điểm thỏa mãn
2 0
EA EB EC
3;0;1
E
.
Ta có:
2 2 2
2
S MA MB MC
2 2 2
2
MA MB MC
2 2 2
2
ME EA ME EB ME EC
2 2 2 2
4 2
ME EA EB EC
.
Vì
2 2 2
2
EA EB EC
không đổi nên
S
nhỏ nhất khi và chỉ khi
ME
nhỏ nhất.
M
là hình chiếu vuông góc của
E
lên
Q
.
Phương trình đường thẳng
:ME
3 3
1
x t
y t
z t
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 95
Tọa độ điểm
M
là nghiệm của hệ phương trình:
3 3
1
3 3 0
x t
y t
z t
x y z
0
1
2
1
x
y
z
t
.
0; 1;2
M
0
a
,
1
b
,
2
c
.
5 0 1 5.2
a b c
9
.
Câu 189. Với mọi điểm
I
ta có
2 2 2
2 2 2
2 2
S NA NB NC NI IA NI IB NI IC
2 2 2 2
4 2 2 2
NI NI IA IB IC IA IB IC
Chọn điểm
I
sao cho
2 0
IA IB IC
2 0 4 0
IA IB IC IA AB AC
Suy ra tọa độ điểm
I
là:
0;1;2
I
.
Khi đó
2 2 2 2
4 2
S NI IA IB IC
, do đó
S
nhỏ nhất khi
N
là hình chiếu của
I
lên mặt phẳng
P
.
Phương trình đường thẳng đi qua
I
và vuông góc với mặt phẳng
P
là:
0
1
2
x t
y t
z t
Tọa độ điểm
;1 ;2
N t t t P
1 2 2 0 1
t t t t
1;2;1
N
.
Dạng 5. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng thẳng với đường thẳng
Câu 190. Chon D
Ta thây hai đương thăng
d
va
d
co cung vectơ chi phương hay
/ /d d
Vây đương thăng cân tim co vectơ chi phương la
3;1; 2
u
va đi qua trung điêm
3; 2; 2
I
cua
AB
vơi
2; 3; 4
A d
va
4; 1; 0
B d
Vây phương trinh đương thăng cân tim la
2
3 2
3 1 2
y
x z
.
Câu 191.
1
d
qua
0;3;2
M
có vtcp
1;2;1
u
,
2
d
qua
3; 1;2
N
có vtcp
1; 2;1
v
.
, 4;0; 4
u v
,
3; 4;0
MN
.
1 2
,d d d
, .
,
u v MN
u v
12 3 2
2
4 2
.
Câu 192. Chọn C
1
1 2
:
2 1 2
x y z
d
1
2;1; 2
u
;
2
2 1
:
2 1 2
x y z
d
2
2; 1;2
u
1 2 1 2 1 2
/ /
u u d d d d
Điểm
1
1;0; 2 d
M
;
2
M d
nên
1 2
/ /d d
Câu 193. Vì
2 2
1 2
nên vectơ chỉ phương
1
2;2;3
u
của đường thẳng
1
không cùng phương với vectơ chỉ
phương
2
1; 2;1
u
của
2
. Tức là
1
chéo với
2
hoặc
1
cắt
2
.
Lấy
1
1; 1;0M
,
2
3;3; 2N
. Ta có:
2;4; 2
MN

.
Khi đó:
1 2
; . 0
u u MN
. Suy ra
1 2
, ,
u u MN
đồng phẳng.
Vậy
1
cắt
2
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 96
Câu 194. Gọi
1 2 ; 2 ;1
A t t t
và
2 4 ;1 ; 2
B t t t
là hai điểm lần lượt thuộc
1
và
2
.
1 2 4 ;3 ; 3
AB t t t t t t
.
1
có VTCP
2;1;1
u
;
2
có VTCP
4;1; 1
u
.
AB
là đoạn vuông góc chung của
1
và
2
. 0
. 0
AB u
AB u
2 1 2 4 3 3 0
6 8 2 1
8 18 10 1
4 1 2 4 3 3 0
t t t t t t
t t t
t t t
t t t t t t
Suy ra
1; 1;2
A
và
1;1; 3
AB
.
Phương trình đường thẳng chứa đoạn vuông góc chung của
1
và
2
là:
1
1
1
1
1
2 3
x t
y t
z t
.
Chỉ có điểm
3;1; 4
Q
có tọa độ thỏa mãn phương trình.
Câu 195.
1
d
đi qua điểm
1;0;0
M
, có vectơ chỉ phương
1
2;1;3
u
.
2
d
đi qua điểm
1;2;N m
, có vectơ chỉ phương
2
1;1;0
u
.
1 2
, 3;3;1
u u
;
0;2;MN m
.
1
d
và
2
d
chéo nhau khi và chỉ khi
1 2
, . 0 6
u u MN m
.
Mặt khác
1 2
5
,
19
d d d
1 2
1 2
, .
5
,
19
u u MN
u u
6
5
19 19
m
1
11
m
m
.
Khi đó tổng các phần tử của
m
là
12
.
Câu 196. Phương trình tham số của đường thẳng
1
d
là:
1
2 2
3
x t
y t
z t
.
Phương trình tham số đường thẳng
2
d
qua điểm
A
và có vectơ chỉ phương
;1;2
v a
là:
2
1
: 0
1 2
x at
d y t
z t
1
d
nhận
1; 2;1
u
làm vectơ chỉ phương và
2
d
nhận
;1;2
v a
làm vectơ chỉ phương
Đường thẳng
1
d
cắt đường thẳng
2
d
khi và chỉ khi hệ phương trình
1 1
2 2 0
3 1 2
t at
t t
t t
có đúng một nghiệm.
Ta có:
1 1 0 0 0
2 2 0 2 2 2 2
3 1 2 2 4 0 .2 0 0
t at t at t t
t t t t t t
t t t t a a
Vậy
0
a
.
Câu 197. Chọn A
1
3 2 ; ;1
H H t t t
.
2
1 ;2 2 ;K K m m m
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 97
Ta có
2 2;2 2; 1
HK m t m t m t
.
Đường thẳng
d
có một VTCP là
1;1; 2
d
u
.
d
. 0
d
u HK
2 0 2 4; 2; 3 .
m t m t HK t t
Ta có
2 2 2 2
2
4 2 3 2 1 27 27,
HK t t t t
27,
minHK
đạt được khi
1
t
.
Khi đó ta có
3; 3; 3
HK
, suy ra
1;1;1 1 0.
u h k h k
Câu 198.
d
đi qua
2;1;4
A
và có véc tơ chỉ phương
1
1;2; 2
u
.
d
đi qua
4; 1;0
B
có véc tơ chỉ phương
2
1; 2;2
u
.
Ta có
1 2
u u
và
2 4 1 1 4
1 2 2
nên
//d d
.
Đường thẳng
thuộc mặt phẳng chứa
d
và
d
đồng thời cách đều hai đường thẳng đó khi và chỉ khi
// //
, ,
d d
d d d d
hay
qua trung điểm
3;0;2
I
và có một véc tơ chỉ phương là
1; 2;2
u
.
Khi đó phương trình của
:
3 2
1 2 2
x y z
.
Câu 199.
Đường thẳng
1
d
đi qua điểm
1
3; 1; 1
M
và có một véctơ chỉ phương là
1
1; 2;1
u
.
Đường thẳng
2
d
đi qua điểm
2
0;0;1
M
và có một véctơ chỉ phương là
2
1; 2;1
u
.
Do
2
1
u u
và
1 1
M d
nên hai đường thẳng
1
d
và
2
d
song song với nhau.
Ta có
1 2
3;1;2
M M
,
1
1 2
, 5; 5; 5
u M M
5 1;1;1;
Gọi
là mặt phẳng chứa
1
d
và
2
d
khi đó
có một véctơ pháp tuyến là
1;1;1
n
. Phương trình
mặt phẳng
là
1 0
x y z
.
Gọi
3
A d
thì
1; 1;1
A
. Gọi
4
B d
thì
1;2;0
B
.
Do
2;3; 1
AB
không cùng phương với
1
1; 2;1
u
nên đường thẳng
AB
cắt hai đường thẳng
1
d
và
2
d
.
Câu 200. Đường thẳng
1
d
đi qua điểm
1
1;0;0
M
và có VTCP
1
2;1;3
u
.
Đường thẳng
2
d
đi qua điểm
2
1;2;M m
và có VTCP
2
1;1;0
u
.
Ta có:
1 2
0;2;M M m
;
1 2
, 3;3;1
u u
. Do đó
1 2 1 2
, 6
u u M M m
.
Điều kiện cần và đủ để
1
d
và
2
d
chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng
5
19
là
6
5
19 19
m
6 5
m
6 5
6 5
m
m
1
11
m
m
.
Vậy
1; 11
S
. Do đó tổng các phần tử của
S
là
1 11 12
.
Dạng 6. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt cầu
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 98
Câu 201. Gọi
;A B
là hai điểm thuộc lần lượt
1
và
2
sao cho
AB
là đoạn thẳng vuông góc chung giữa 2 đường.
Gọi
M
là trung điểm
AB
. Dễ có mặt cầu tâm
M
bán kính
2
AB
R
tiếp xúc với hai đường thẳng
1
và
2
là mặt cầu có bán kính bé nhất.
Ta có tọa độ theo tham số của
;A B
lần lượt là:
1 1 1
(2 1; 1;2 1)
A t t t
và
2 2 2
(2 1;2 1; 1)
B t t t
2 1 2 1 2 1
(2 2 2;2 2; 2 2)
AB t t t t t t
.
Có
1
(2;1;2)
u
và
2
(2;2;1)
u
lần lươt là 2 vectơ chỉ phương của
1
và
2
nên
1
2
AB u
AB u
2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
(2 2 2).2 (2 2).1 ( 2 2).2 0
(2 2 2).2 (2 2).2 ( 2 2).1 0
t t t t t t
t t t t t t
.
1
2 1
2 1
2
10
8 9 10 0
17
9 8 10 0 10
17
t
t t
t t
t
3 7 3
( ; ; )
17 17 17
A
;
3 3 7
B( ; ; )
17 17 17
6 4 4
( ; ; )
17 17 17
AB
.
2 2 2
( 6) 4 4
1 17
.
2 2 17 17
AB
R
.
Diện tích mặt cầu cần tính là
2
2
1 4
4 . 4. .
17
17
S R
(đvdt).
Câu 202. Đường thẳng
1
d
có vectơ chỉ phương
1
(2;1;0)
u
.
Đường thẳng
2
d
có vectơ chỉ phương
2
( 1;1;0)
u
.
Để phương trình mặt cầu
S
có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng
1
d
và
2
d
khi và chỉ khi:
Tâm mặt cầu
S
nằm trên đoạn thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng
1
d
và
2
d
, đồng thời là trung
điểm của đoạn thẳng vuông góc chung.
Gọi điểm
2 ; ;4M t t
thuộc
1
d
; gọi điểm
(3 '; ';0)N t t
thuộc
2
d
với
MN
là đoạn vuông góc chung của
1
d
và
2
d
.
Ta có
3 ' 2 ; ' ; 4
MN t t t t
.
MN
là đoạn thẳng vuông góc chung
1
2
. 0
. 0
MN u
MN u
2. 3 2 0
1 . 3 2 0
t t t t
t t t t
5 6 1
2 3 1
t t t
t t t
(2;1;4)
(2;1;0)
M
N
.
Gọi điểm
I
là tâm mặt cầu
S
, do đó điểm
I
là trung điểm
MN
.
2;1;2
I
2
R IM IN
.
Suy ra mặt cầu
S
:
2 2 2
2 1 2 4
x y z
.
Câu 203. Chọn B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 99
Mặt cầu
S
có tâm
1;2; 3
I
và bán kính
2
2 2
1 2 3 13 3 3
R
Gọi
C
là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng
ABC
và mặt cầu
S
.
Đặt
MA MB MC x
khi đó
; 2; 3AB x BC x CA x
do đó tam giác
ABC
vuông tại
B
nên
trung điểm
H
của
AC
là tâm đường tròn
C
và
, ,H I M
thẳng hàng.
Vì
0
120
AMC
nên tam giác
AIC
đều do đó
3
x R
3
x
suy ra
2 2 6
IM AM x
.
Lại có
M d
nên
1 ; 2 ;1 , 1
M t t t t
mà
6
IM
nên
2 2 2
2 4 4 36
t t t
2
3 4 0
t t
0
4
3
t
t
.
Mà a > 0 nên
4
3
t
suy ra
1 2 7
; ;
3 3 3
H
nên
3 3 3
112
9
a b c
.
Dạng 7. Một số bài toán liên quan giữa điểm – mặt – đường – cầu
Dạng 7.1 Bài toán tìm điểm
Câu 204. Chọn D
Tọa độ điểm
H
là hình chiếu của điểm
I
trên mặt phẳng
P
.
Phương trình đường thẳng
d
qua
I
và vuông góc với mặt phẳng
P
là:
1 2
2 2
3
x t
y t
z t
.
Tọa độ điểm
H
là giao điểm của
d
và
P
, ta có:
2 1 2 2 2 2 3 4 0 1t t t t
Vậy
3; 0; 2
H
.
Câu 205.
1 2 2; ;
P
n
là véc tơ chỉ phương của đường thẳng
OH
2
2
:
x t
OH y t
z t
2 2; ;H t t t
H P
2 2 2 2 9 0
. .t t t
1t
1 2 2; ;
H
1a b c
Câu 206. Chọn A
Khoảng cách từ điểm I đến mp(P) là:
2 2 2
5 2.( 3) 2.5 3
;( ) 6
1 ( 2) 2
d I P
.
AB
tiếp xúc với
( )S
tại
B
nên tam giác
AIB
vuông tại B, do đó ta có:
2
2 2 2 2 2
2 5 4 6 ;( )IA IB AB R AB d I P
A
là hình chiếu của I lên (P)
H
M
A
I
C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 100
Đường thẳng IA đi qua
5; 3;5
I
có VTCP
( )
1; 2;2
P
u n
có phương trình
5
3 2
5 2
x t
y t
z t
Có
( )A IA P
5 2( 3 2 ) 2(5 2 ) 3 0 2 (3;1;1)
t t t t A
11
OA
.
Câu 207. Chọn B
Mặt cầu
S
có tâm
0;0;0
O
và bán kính
R
. Gọi
0 0 0
1 ;1 2 ;2 3
M t t t d
.
Gỉa sử
; ;
T x y z S
là một tiếp điểm của tiếp tuyến
MT
với mặt cầu
S
. Khi đó
2 2 2
OT MT OM
2 2 2
2 2 2
0 0 0 0 0 0
9 1 1 2 2 3 1 1 2 2 3
x t y t z t t t t
0 0 0
1 1 2 2 3 9 0
t x t t z
.
Suy ra phương trình mặt phẳng
ABC
có dạng
0 0 0
1 1 2 2 3 9 0
t x t y t z
Do
1;1;2
D ABC
nên
0 0
1 1 2 2. 2 3 9 0
t t t
0
1
t
0; 1;5
M
.
Vậy
2
2 2
0 1 5 26
T
.
Câu 208. Gọi
P
mặt phẳng trung trực của
AB
, khi đó phương trình của
P
là:
1 0
x z
.
Ta có
1; 0;1 , 2; 1; 2
P
n n
 
nên
, 1;0; 1
P
n n
.
Gọi
d
là giao tuyến của mặt phẳng
P
với mặt phẳng
. Chọn
1; 0; 1
d
u

và điểm
1;10;0
M d
nên phương trình tham số của
d
là:
1
10
x t
y
z t
.
Do tam giác ABC đều nên
CA CB
hay
C
thuộc mặt phẳng trung trực của
AB
mà
C
nên
C P d
suy ra tọa độ
C
có dạng
1 ;10;C t t
.
Do
ABC
đều nên
AC AB
, thay tọa độ các điểm ta có:
2 2 2 2 2 2
1 0 10 0 3 2 0 0 0 1 3
t t
2
4 51 0 *
t t
Do phương trình
*
vô nghiệm nên không tồn tại điểm
C
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 209. Mặt cầu
1
:S
2 2 2
9
x y z
có tâm
0; 0; 0
O
, bán kính
1
3
R
.
M d
1 ; 1 2 ; 2 3M a a a
.
Do
,MA
,MB
MC
là những tiếp tuyến tại
,A
,B
C
với mặt cầu
1
S
.
Suy ra
2 2 2 2
9
MA MB MC OM
.
Khi đó
,A
,B
C
2
S
có tâm là
M
, bán kính
2
2
9
R OM
.
Ta có phương trình
2
:S
2 2 2
2
1 2 1 2 3 9
x a y a z a OM
.
2
:S
2 2 2
2 1 2 2 1 2 2 3 9 0
x y z a x a y a z
.
Mặt khác theo giả thiết
,A
,B
C
cùng thuộc mặt cầu
1
S
.
Suy ra tọa độ
,A
,B
C
thỏa mãn hệ:
2 2 2
2 2 2
9 0
2 1 2 2 1 2 2 3 9 0
x y z
x y z a x a y a z
.
Do đó phương trình mặt phẳng
ABC
là:
2 1 2 2 1 2 2 3 18 0
a x a y a z
.
D ABC
2 1 2 2 1 4 2 3 18 0
a a a
1
a
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 101
Với
1
a
, ta có
0; 1;5
M
. Khi đó
2 2 2
0 0 0
26
T x y z
.
Câu 210.
Mặt cầu
( )S
tâm
(1;0; 1)
I
, bán kính
2 2 2
1 0 ( 1) 1 1
R
.
Gọi
K
là hình chiếu vuông góc của
I
lên
d
.
K d
nên ta có thể giả sử
( ; 2 ; )K t t t
( 1;2 ; 1)
IK t t t
,
(1;1; 1)
d
u
là một véctơ chỉ phương của đường thẳng
d
IK d
. 0 1 2 1 0
d
IK u t t t
0t
.
(0;2;0)
K
ITK
vuông tại
T
có
TH
là đường cao nên
2
.IT IH IK
.
1
6
IH
6
IK
1
6
IH IK
. Giả sử
( ; ; )H x y z
1
1 .( 1)
6
1
0 .2
6
1
1 .1
6
x
y
z
5
6
1
3
5
6
x
y
z
Vậy
5 1 5
; ;
6 3 6
H
Câu 211. Do
d
là hình chiếu của
d
lên mặt phẳng
P
khi đó
d
là giao tuyến của mặt phẳng
P
và mặt phẳng
chứa
d
và vuông góc với mặt phẳng
P
.
một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng
là
, 3;2; 1
d P
n u n
.
Phương trình mặt phẳng
đi qua
2;0;2
A
và có một vec tơ pháp tuyến
3;2; 1
n
là
3 2 4 0
x y z
.
Do
là hình chiếu của
lên mặt phẳng
P
khi đó
là giao tuyến của mặt phẳng
P
và mặt phẳng
chứa
và vuông góc với mặt phẳng
P
.
một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng
là
, 0; 2; 2
P
n u n
.
Phương trình mặt phẳng
đi qua
3;1;4
B
và có một vec tơ pháp tuyến
0; 2; 2
n
là
5 0
y z
.
Tọa độ điểm
M
là nghiệm của hệ phương trình
2 0 1
3 2 4 0 2
5 0 3
x y z x
x y z y
y z z
.
Vậy
1;2;3
M
. 1 2.3 5
a b c
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 102
Dạng 7.2 Bài toán tìm mặt phẳng
Câu 212. Chọn C
S
có tâm
2;3; 1 ;
I
bán kính
4R
1; 1; 1 3; 4;0
A IA
, tính được
5
IA
.
Mặt phẳng cố định đi qua điểm H là hình chiếu của M xuống IA và nhận
3; 4;0
IA
làm vectơ pháp
tuyến.
Do hai tam giác MHI và AMI đồng dạng nên tính được
2
2
16
.
5
IM
IM IH IA IH
IA
, từ đó tính được
16
25
IH IA
tìm được
2 11
; ; 1
25 25
H
Mặt phẳng cần tìm có phương trình là:
2 11
3 4 0 3 4 2 0.
25 25
x y x y
Câu 213. Chọn B
Mặt cầu
S
có tâm
1;1 2
I
;
2
R
.
Véctơ chỉ phương của
d
:
1;2; 1
d
u
. Véctơ chỉ phương của
:
1;1; 1
u
.
Gọi
P
là mặt phẳng cần viết phương trình.
Ta có
, 1;0; 1
d
u u
nên chọn một véctơ pháp tuyến của
P
là
1;0;1
n
.
Mặt phẳng
P
có phương trình tổng quát dạng:
0
x z D
.
Do
P
tiếp xúc với
S
nên
1 2
; 2
2
D
d I P R
5
3 2
1
D
D
D
.
Chọn
P
:
1 0
x z
.
Câu 214. Cách 1:
Gọi
2 ; ;n a b c
là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
P
cần lập,
2 2 2
0
a b c
.
Đường thẳng
có vectơ chỉ phương là
3;2;2
u
.
Mặt phẳng
P
song song với
nên ta có
. 0 6 2 2 0
n u a b c
3
c a b
.
Mặt phẳng
P
đi qua
M
và có vectơ pháp tuyến
n
nên phương trình có dạng:
2 4 3 3 1 0
a x b y a b z
2 3 11 2 0
ax by a b z a b
*
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 103
Mặt cầu
S
có tâm
1;2;3
I
và bán kính
1R
.
Mặt phẳng
P
tiếp xúc với mặt cầu
S
2
2 2
3
, 1 1
4 3
b
d I P
a b a b
2 2
2 2
3
1 3 13 2 6
13 2 6
b
b a b ab
a b ab
.
2 2 2 2 2
9 13 2 6 13 6 7 0
b a b ab a ab b
13 7 0
13 7
a b
a b a b
a b
.
Với
a b
, chọn
1, 1
a b
, thay vào
*
ta được pt
1
: 2 2 13 0
P x y z
.
Ta có
6;2;2N
. Dễ thấy
1
N P
, suy ra
1
: 2 2 13 0
P x y z
song song với
.
Với
13 7a b
, chọn
7, 13
a b
, thay vào
*
ta được pt
2
:14 13 34 51 0
P x y z
.
Ta có
6;2;2N
, dễ thấy
2
N P
, suy ra
2
:14 13 34 51 0
P x y z
song song với
.
Vậy chọn B.
Cách 2: ( Trắc nghiệm)
Gọi
P
là mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán và có vectơ pháp tuyến là
n
.
Vì
P
đi qua
4;3;1
M
nên phương án A, C bị loại.
Đường thẳng
có vectơ chỉ phương
3;2;2
u
.
P
song song với đường thẳng
nên
. 0
n u
. Do
đó phương án D bị loại.
Vậy phương án B là phương án thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 215. Chọn C
S
có tâm
2;3; 1 ;
I
bán kính
4R
1; 1; 1 3; 4;0
A IA
, tính được
5
IA
.
Mặt phẳng cố định đi qua điểm H là hình chiếu của M xuống IA và nhận
3; 4;0
IA
làm vectơ pháp
tuyến.
Do hai tam giác MHI và AMI đồng dạng nên tính được
2
2
16
.
5
IM
IM IH IA IH
IA
, từ đó tính được
16
25
IH IA
tìm được
2 11
; ; 1
25 25
H
Mặt phẳng cần tìm có phương trình là:
2 11
3 4 0 3 4 2 0.
25 25
x y x y
Câu 216. Chọn B
Mặt cầu
S
có tâm
1;1 2
I
;
2
R
.
Véctơ chỉ phương của
d
:
1;2; 1
d
u
. Véctơ chỉ phương của
:
1;1; 1
u
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 104
Gọi
P
là mặt phẳng cần viết phương trình.
Ta có
, 1;0; 1
d
u u
nên chọn một véctơ pháp tuyến của
P
là
1;0;1
n
.
Mặt phẳng
P
có phương trình tổng quát dạng:
0
x z D
.
Do
P
tiếp xúc với
S
nên
1 2
; 2
2
D
d I P R
5
3 2
1
D
D
D
.
Chọn
P
:
1 0
x z
.
Câu 217. Chọn D
Véc tơ chỉ phương của
d
là
3;1; 4
u
, véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
P
là
n
.
Mặt cầu
S
có tâm
3; 3;1
I
và bán kính
3
R
.
Vì
P
chứa
d
nên
. 0
u n
và
P
tiếp xúc với
S
nên
; 3
d I P
.
Ta chỉ xét phương trình
. 0
u n
. Lấy hai điểm nằm trên đường thẳng
d
là
4;0; 4
M
và
1; 1;0
N
.
Ta nhận thấy:
4;0; 4
M
và
1; 1;0
N
không thỏa mãn đáp án
; ;A B C
.
Vây, đáp án là
D
.
Câu 218. Chọn B
Đường thẳng
1
d
có vtcp
1
3; 1; 1
u
, đường thẳng
2
d
có vtcp
2
1;1; 1
u
. Gọi
n
là vtpt của mặt phẳng
cần tìm. Do
song song với hai đường thẳng
1 2
,d d
nên
1
n u
và
2
n u
, từ đó ta chọn
1 2
, 2;2;4
n u u
. Suy ra
: 2 0x y z c
.
Mặt cầu
S
có tâm
1;0; 2
I
, bán kính
6
R
.
tiếp xúc với
3 6 9
3
; 6 6
3 6 3
6
c c
c
S d I
c c
.
Dạng 7.3 Bài toán tìm đường thẳng
Câu 219. Chọn C
Ta có tâm và bán kính mặt cầu
S
là
3;2;5 ; 6
I R
1 1 4 6
IE R
Gọi
là đường thẳng đi qua
E
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
I
lên
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 105
Dây cung càng nhỏ khi khoảng cách từ tâm tới đường thẳng
càng lớn
Ta có
,
d I IH IE
Vậy dây cung nhỏ nhất khi đường thẳng
vuông góc với
1; 1;; 2
IE
Dựa vào các đáp án ta thấy trong các vecto chỉ phương
1
9;9;8
u
3
5;3;0
u
3
1; 1;0
u
4
4;3; 3
u
Thì chỉ có
3
. 0
u IE
Nhận xét: ta hoàn toàn có thể viết được pt đường thẳng
bằng cách viết pt mặt phẳng
Q
đi qua
E
nhận
1; 1;; 2
IE
làm một vecto pháp tuyến, khi đó
P Q
Câu 220. Mặt cầu
1
S
có tâm
0;0;0
O
, bán kính
1
5
R
.
Mặt cầu
2
S
có tâm
0;0;1
I
, bán kính
2
2
R
.
Có
1 2
1
OI R R
nên
2
S
nằm trong mặt cầu
1
S
.
Giả sử
d
tiếp xúc với
2
S
tại
H
và cắt mặt cầu
1
S
tại
M
,
N
. Gọi
K
là trung điểm
MN
.
Khi đó
2
2
IH R
và
OH OK
.
Theo giả thiết
8 4
MN MK
2 2 2 2
1
5 4 3
OK R MK
.
Có
1OI
,
2IH
OK OI IH OH OK
. Do đó
OH OK
, suy ra
H K
, tức
d
vuông
góc với đường thẳng
OI
.
(
S
2
)
(
S
1
)
M
N
H
O
I
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 106
Đường thẳng
d
cần tìm vuông góc với véc tơ
1; 1;0
u
và vuông góc với
0;0;1
OI
nên có véc
tơ chỉ phương
3
, 1;1;0
u OI u
.
Câu 221. Ta có: Mặt cầu
S
có tâm
2;3;5
I
, bán kính
10
R
.
2
2 2
2.2 2.3 5 15
, 6
2 2 1
d I R
;S C H r
,
H
là hình chiếu của
I
lên
.
Gọi
1
là đường thẳng qua
I
và vuông góc với
1
có VTCP là
1
2; 2;1
u
.
PTTS
1
2 2
: 3 2
5
x t
y t
z t
. Tọa độ
H
là nghiệm của hệ:
2 2
3 2
5
2 2 15 0
x t
y t
z t
x y z
2
7
3
x
y
z
2;7;3
H
.
Ta có
AB
có độ dài lớn nhất
AB
là đường kính của
C
MH
.
Đường thẳng
MH
đi qua
3;3; 3
M
và có VTCP
1; 4;6
MH

.
Suy ra phương trình
3 3 3
: .
1 4 6
x y z
Dạng 7.4 Bài toán tìm mặt cầu
Câu 222. Chọn D
Gọi
I
là trung điểm của
AB
3;2;1
I
3 2 1
; 2 3
3
d I P
Gọi
S
là mặt cầu có tâm
3;2;1
I
và bán kính
3 2
2
AB
R
Ta có
H S
. Mặt khác
H P
nên
H C S P
Bán kính của đường tròn
C
là
2 2
2
2
; 3 2 2 3 6
R R d I P
.
Câu 223. Chọn B
0;0;3
P Oz A
Tọa độ của
B
là nghiệm của hệ phương trình:
2 6 3 0 4
2 6 3 0
2 10 0 2 4; 2;7 .
5 6
2 12 0 7
1 2 1
x y z x
x y z
x y y B
x y z
y z z
Gọi
I
là trung điểm của
2; 1;5 4 1 4 3.
AB I IA
Phương trình mặt cầu đường kính
AB
là:
2 2 2
2 1 5 9.
x y z
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 107
Câu 224.
Gọi
H
là trung điểm đoạn thẳng
, 4
AB IH AB HA
.
Mặt cầu
S
có tâm
2 ; 3 ; 0
I
, bán kính
13 , 13
R m m
.
Đường thẳng
đi qua
4 ; 3 ; 3
M
và có 1 véc tơ chỉ phương
2 ; 1 ; 2
u
.
Ta có:
,
6 ; 0 ; 3 , 3; 6 ; 6 , 3
IM u
IM IM u IH d I
u
.
Ta có:
2 2 2 2 2
13 3 4 12
R IH HA m m
.
Câu 225. Chọn C
Ta có:
I d
2 ;3 ;2
I t t t
.
: 2 2 3 2 2 0 1 2;4;3
I P P t t t t I
Q
tiếp xúc với
S
nên
2
,
7
R d I Q
.
Vậy
2 2 2
2
: 2 4 3
7
S x y z
.
Câu 226.
Mặt cầu
S
có tâm
3; 2;1
I
;
10
R
.
Khoảng cách từ
I
đến
P
là
6 4 1 9
; 6
3
IK d I P
.
Đường thẳng qua
3; 2;1
I
vuông góc với
P
có phương trình tham số là
3 2
2 2
1
x t
y t
z t
khi đó Tọa độ
tâm
K
là nghiệm của hệ phương trình
3 2
2 2
1;2;3
1
2 2 9 0
x t
y t
K
z t
x y z
.
R
B
I
A
H
M
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 108
Bán kính:
2 2
100 36 8
r R IK
.
Câu 227. Chọn B
Gọi
d
là trục của
ABC
, ta có
: 2 0
ABC x y z
.
Do
ABC
đều nên
d
đi qua trọng tâm
2 2 2
; ;
3 3 3
G
và có VTCP
(1;1;1)
u
, suy ra
2
3
2
:
3
2
3
x t
d y t
z t
.
Ta thấy
DAB DBC DCA
, suy ra
DA DB DC D d
nên giả sử
2 2 2
; ;
3 3 3
D t t t
.
Ta có
4 2 2 2 4 2 2 2 4
; ; ; ; ; ; ; ;
3 3 3 3 3 3 3 3 3
AD t t t BD t t t CD t t t
 
Có
2 4 4 4
; ;
. 0
3 3 3 3
2
. 0
0;0;0 ( )
3
t D
AD BD
AD CD
t D loai
.
Ta có
2 2 2
; ;
3 3 3
I d I t t t
, do tứ diện
ABCD
nội tiếp mặt cầu tâm
I
nên
1 1 1 1
; ; 1
3 3 3 3
IA ID t I S
.
Câu 228. Chọn D
Gọi
I
là trung điểm của
AB
3;2;1
I
3 2 1
; 2 3
3
d I P
Gọi
S
là mặt cầu có tâm
3;2;1
I
và bán kính
3 2
2
AB
R
Ta có
H S
. Mặt khác
H P
nên
H C S P
d
A
D
C
M
B
I
G
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 109
Bán kính của đường tròn
C
là
2 2
2
2
; 3 2 2 3 6
R R d I P
.
Câu 229. Cách 1:
Ta có
3;1; 2
AB
là véc tơ chỉ phương của đường thẳng
AB
.
Phương trình tham số của đường thẳng AB là
3
4 2
x t
y t
z t
.
Giả sử
AB
cắt
P
tại
3 ; ;4 2T t t t
. Do
T
7
:2 2 1 0
3
P x y z t
.
Khi đó
7 26 7 14 7 14 10 20 10 14
7; ; ; 7; ; ; 10; ;
3 3 3 3 3 3 3 3
T TA TA TB TB
.
Ta có
2
980 14 5
.
9 3
TC TATB TC
.
Điểm
C
thuộc mặt phẳng
P
và cách điểm
T
cố định một khoảng
14 5
3
.
Vậy
C
luôn thuộc một đường tròn cố định bán kính
r
14 5
3
.
Cách 2:
Ta có
,
7
; 14
, 10
d A P
TA
AB
TB d B P
.
Giả sử
AB
cắt
P
tại
T
. Suy ra A nằm giữa B và
T
( vì
,A B
cùng phía so với
P
).
Khi đó ta có
7
14
14
3
10 14
3
7
10
T
TB TA
TA TB
A
TB
2
980 14 5
.
9 3
TC TATB TC
Câu 230. Chọn B
Ta có:
2; 1; 1
AB
,
1;1;1
AD
và
2; 1; 1
DC
.
Ta thấy:
. 2.1 1.1 1.1 0
AB AD
và
AB DC
nên tứ giác
ABCD
là hình chữ nhật.
Gọi
M
là trung điểm của
AC
. Ta có:
5
;2;3
2
M
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 110
Gọi
d
là đường thẳng đi qua
M
và vuông góc với mặt phẳng
ABCD
.
Ta có:
, 0; 3;3
AB AD
.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng
d
là:
0; 1;1
u
.
Phương trình tham số của đường thẳng
d
là:
5
2
2
3
x
y t
z t
.
Ta có:
0;3; 3
SA
. Ta thấy
SA
cùng phương với
u
nên suy ra
SA ABCD
.
Gọi
N
là trung điểm của
SA
, ta có:
1 9
1; ;
2 2
N
.
Do
; ;I x y z
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABCD
nên
5
;2 ;3
2
.
I t t
I d
NI d
NI u
Mà:
3 3 3
; ;
2 2 2
NI t t
. Suy ra:
3 3 3 5 1 9
. 0 0 ; ;
2 2 2 2 2 2
NI u t t t I
.
Ta có:
, 6; 3; 3
SA AD
.
Một vectơ pháp tuyến của
SAD
là:
1
, 2; 1; 1
6
n SA AD
.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
SAD
là:
2 1 2 3 0
x y z
2 3 0
x y z
.
Vậy
5 1 9
2. 3
6
2 2 2
,
2
4 1 1
d I SAD
.
Câu 231. Có
(1;1;1), (2;2;1)
A B
Phương trình AB:
1
1
1
x t
y t
z
Gọi
K
là giao điểm của
AB
và
P
1; 1;1
K
Có Mặt cầu
S
tiếp xúc với
P
tại
H
.
HK
là tiếp tuyến của
S
2
. 12 2 3
KH KA KB KH
không đổi
Biết
H
chạy trên 1 đường tròn bán kính
2 3
không đổi
Câu 232. Chọn C
Gọi
; ;I a b c
là tâm mặt cầu.
Theo giả thiết ta có
, ,R d I d I
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 111
Mà
2
2
1
1
,
1 1
1
1
a b
c
m m
d I
m
m
Ta có
2
2
2
2
1 1 1 1 1 1
1 2 . 1
1 1
1
1 1 1 1
2 . 1 1(do 0;1
1 1 1
m m m m m
m
m
m m m m m m
Nên
2 2
2
2 2 2
2 2 2
2
2
1 1 1
1
1
1
1
1
1 1 0 1
1 1 0 2
a m bm cm m m m
m m
R
m m
a am bm cm cm m m
R
m m
R Rm Rm a am bm cm cm m m
R Rm Rm a am bm cm cm m m
m R c m a b c R R a
m R c m b c a R R a
Xét (1) do mặt cầu tiếp xúc với tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt phẳng
,
với mọi
0;1
m
nên pt
(1) nghiệm đúng với mọi
0;1
m
.
1 0
1 0 ; ;1
0 1
R c a R
a b c R b R I R R R
R a c R
.
Mà
2 2 1 10
3
, 3 12
6( )
3
R R R
R
R d I R R R
R l
Xét (2) tương tự ta được
1 0
1 0 ; ; 1
0 1
R c a R
b c a R b R I R R R
R a c R
Mà
2 2 1 10
6
, 3 12
3( )
3
R R R
R
R d I R R R
R l
.
Vậy
1 2
9
R R
.
Câu 233. Chọn B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 112
Gọi
d
là trục của
ABC
, ta có
: 2 0
ABC x y z
.
Do
ABC
đều nên
d
đi qua trọng tâm
2 2 2
; ;
3 3 3
G
và có VTCP
(1;1;1)
u
, suy ra
2
3
2
:
3
2
3
x t
d y t
z t
.
Ta thấy
DAB DBC DCA
, suy ra
DA DB DC D d
nên giả sử
2 2 2
; ;
3 3 3
D t t t
.
Ta có
4 2 2 2 4 2 2 2 4
; ; ; ; ; ; ; ;
3 3 3 3 3 3 3 3 3
AD t t t BD t t t CD t t t
 
Có
2 4 4 4
; ;
. 0
3 3 3 3
2
. 0
0;0;0 ( )
3
t D
AD BD
AD CD
t D loai
.
Ta có
2 2 2
; ;
3 3 3
I d I t t t
, do tứ diện
ABCD
nội tiếp mặt cầu tâm
I
nên
1 1 1 1
; ; 1
3 3 3 3
IA ID t I S
.
Dạng 7.5 Bài toán cực trị
Câu 234. Chọn C
d
A
D
C
M
B
I
G
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 113
Mặt phẳng có vtpt
1; 2; 2
n
. Mặt cầu
S
có tâm
1; 2; 1
I
và bán kính
1r
. Nhận thấy
rằng góc giữa
u
và
n
bằng
ο
45
. Vì
; 2 1
d I P r
nên
P
không cắt
S
.
Gọi
H
là hình chiếu của
N
lên
P
thì
ο
45NMH
và
ο
2
sin 45
NH
MN NH
nên
MN
lớn nhất
khi và chỉ khi
NH
lớn nhất. Điều này xảy ra khi
N N
và
H H
với
N
là giao điểm của đường
thẳng
d
qua
I
, vuông góc
P
và
H
là hình chiếu của
I
lên
.P
Lúc đó
max
; 3
NH N H r d I P
và
max
max
ο
3 2
sin 45
NH
MN
.
Câu 235. Ta có tâm
1; 2;0
I
và bán kính
R 2
.
Khoảng cách từ
I
đến mặt phẳng
P
ngắn nhất khi
M
là hình chiếu của
I
lên mặt phẳng
P
.
Đường thẳng đi qua
I
và vuông góc với mặt phẳng
P
có phương trình tham số là
1 2
2
2
x t
y t
z t
. Khi đó
tọa độ của
M
là nghiệm của hệ phương trình
1 2
2
2
2 2 2 0
x t
y t
z t
x y z
1 2
2
2
2 1 2 2 2 2 2 0
x t
y t
z t
t t t
1
3
4
3
4
3
2
3
x
y
z
t
.
Câu 236. Chọn C
P
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 114
Mặt phẳng có vtpt
1; 2; 2
n
. Mặt cầu
S
có tâm
1; 2; 1
I
và bán kính
1r
. Nhận thấy
rằng góc giữa
u
và
n
bằng
ο
45
. Vì
; 2 1
d I P r
nên
P
không cắt
S
.
Gọi
H
là hình chiếu của
N
lên
P
thì
ο
45NMH
và
ο
2
sin 45
NH
MN NH
nên
MN
lớn nhất
khi và chỉ khi
NH
lớn nhất. Điều này xảy ra khi
N N
và
H H
với
N
là giao điểm của đường
thẳng
d
qua
I
, vuông góc
P
và
H
là hình chiếu của
I
lên
.P
Lúc đó
max
; 3
NH N H r d I P
và
max
max
ο
3 2
sin 45
NH
MN
.
Câu 237.
S
có tâm
1;2;1
I
và bán kính
1R
. Ta có:
2 2 2
1 2.2 2.1 3
d , 2
1 2 2
I P R
.
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
N
trên mặt phẳng
P
và
là góc giữa
MN
và
NH
.
Vì
MN
cùng phương với
u
nên góc
có số đo không đổi,
HNM
.
Có
1
.cos .
cos
HN MN MN HN
nên
MN
lớn nhất
HN
lớn nhất
, 3
HN d I P R
.
Có
1
cos cos ,
2
P
u n
nên
1
3 2
cos
MN HN
.
Câu 238.
Lời giai
P
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 115
Mặt cầu
( )S
có tâm
(1; 2; 1)
I
, bán kính
3
R
;
;( ) 4
d I P R
mặt cầu
( )S
và mặt phẳng
( )P
không có điểm chung.
Dựng
( ),( ( ))IH P H P
. Ta có:
MN
nhỏ nhất khi
M
là giao điểm của đoạn
IH
với
( )S
và
N H
.
Phương trình đường thẳng
IH
:
1 2
2 ;
1 2
x t
y t t
z t
Điểm
1 2 ; 2 ; 1 2 ( )M t t t S
nên
2 2 2
1 2 1 9
x y z
2 2 2
2 2 9 1
t t t t
. Khi đó
1 2
3; 3;1 , 1; 1; 3
M M
.
Thử lại:
1
;( ) 1
d M P
;
2
;( ) 7 4
d M P IH
(loại).
Vậy
min
1
MN MH
khi
11 10 5
3; 3;1 ; N ; ;
3 3 3
M
.
Câu 239. Gọi
2 ;1 2 ; 1
H t t t
là hình chiếu của
I
lên đường thẳng
d
.
Ta có:
2 4 1 5
. 0 2 2 1 2 3 2 2 0 ; ;
3 3 3 3
d
IH u t t t t H
.
Vì
10 4
IH R
d
cắt mặt cầu
S
tại
2
điểm phân biệt.
Mặt phẳng
Q
bất kì chứa
d
luôn cắt
S
theo một đường tròn bán kính
r
.
Khi đó
2 2 2 2 2
, , 16 10 6
r R d I Q R d I d
.
Do vậy mặt phẳng
P
chứa
d
cắt mặt cầu theo một đường tròn có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi
, ,d I P d I d
hay mặt phẳng
P
đi qua
H
nhận
1 5 8
; ;
3 3 3
IH
làm vectơ pháp tuyến, do đó
P
có phương trình
5 8 13 0
x y z
.
Khi đó điểm
0;0;0
O
có khoảng cách đến
P
lớn nhất.
Câu 240. Gọi
1;2 ;1I d P I t
2 1 0 1 1;1;1
I P t t I
Ta có
d P M
thuộc đường tròn tâm
1
1;1;1 , 2
I R
.
P
M
I
H
N
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 116
2
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
1
; ; 1 ; 3 y;11 ; ; ;8
2
1
2 1 3 11 4 8
2
3 3 3 6 6 42 126 0
2 2 14 42 0
N x y z NA x z NB x y z
NA NB x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
Vậy
2
1;1;7 ; 3
N S J R
và
: 1
J P y
Nên
N
thuộc đường tròn tâm
2
1;1;7 ; 3
J R
Ta có
1 2 min 1 2
IJ 6 IJ 1
R R MN R R
Câu 241. Xét điểm I sao cho:
2 0.
IA IB
Giả sử
; ; ,I x y z
ta có:
4 ;3 ;1 , 3 ;1 ;3 .IA x y z IB x y z
Do đó:
2 4 3
2 0 2 3 1 5;5; 1 .
2 1 3
x x
IA IB y y I
z z
Do đó:
2 2
2P MA MB
2 2
2
MI IA MI IB
2 2 2 2
2 2 4 . 2 .MI IA MI IA MI IB MI IB
  
2 2 2
2 2 2
MI IA IB MI IA IB

2 2 2
2 2 2
MI IA IB MI IA IB
2 2 2
2 .MI IA IB
Do I cố định nên
2 2
,IA IB
không đổi. Vậy
P
lớn nhất (nhỏ nhất)
2
MI
lớn nhất (nhỏ nhất).
MI
lớn nhất (nhỏ nhất)
M
là giao điểm của đường thẳng IK (với
1;2; 1
K
là tâm của mặt cầu (S)) với
mặt cầu (S).
Ta có: MI đi qua
5;5; 1
I
và có vectơ chỉ phương là
4;3;0 .
KI
Phương trình của MI là:
1 4
2 3
1.
x t
y t
z
Tọa độ điểm M cần tìm ứng với giá trị t là nghiệm của phương trình:
2 2 2
2
3
5
1 4 1 2 3 2 1 1 9 25 9
3
.
5
t
t t t
t
Với
1 1
3 17 19
; ; 1 2 (min).
5 5 5
t M M I
Với
1 2
3 7 1
; ; 1 8 (max).
5 5 5
t M M I
Vậy
max
min
48
60.
12
m P
m n
n P
Câu 242. Gọi
N
là điểm thỏa mãn
0
NA NB NC
, suy ra
2;0;1
N
.
Khi đó:
MA MB MC MN NA MN NB MN NC NA NB NC MN MN
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 117
Suy ra
MA MB MC
nhỏ nhất khi
MN
nhỏ nhất. Mặt cầu
S
có tâm
2;4; 1
I
, suy ra:
4;4; 2 2;2; 1
NI
. Phương trình
2 2
4 2
1
x t
NI y t
z t
. Thay phương trình NI vào phương trình
S
ta được:
2 2 2
2
1
2 2 9 1
1
t
t t t t
t
.
Suy ra
NI
cắt
S
tại hai điểm phân biệt
1 2
3;6; 2 , 0;2;0
N N
.
Vì
1 2
NN NN
nên MN nhỏ nhất khi và chỉ khi
2
M N
. Vậy
0;2;0
M
là điểm cần tìm.
Suy ra:
2.
a b
Câu 243. Mặt cầu
S
có tâm
3;1;0
I
và bán kính
2R
.
Gọi
H
là hình chiếu của
I
trên
d
.
1 2 ; 1 ;H d H t t t
;
2 2 ; 2 ;IH t t t

.
Véctơ chỉ phương của
d
là
2;1; 1
d
u
.
. 0
d
IH u

2 2 2 1 2 0
t t t
1t
. Suy ra
3;0; 1
H
2
IH
.
Gọi
P
là mặt phẳng chứa đường thẳng
d
và cắt mặt cầu
S
theo đường tròn có bán kính
r
. Ta có
2 2
2
, 4 ,r R d I P d I P
.
Mà
, 2
d I P IH
nên
2
2
2
4 , 4 4 2 2
r d I P IH
.
Suy ra
2
min r
, đạt được khi
IH P
.
Khi đó mặt phẳng
P
đi qua
3;0; 1
H
nhận
0; 1; 1
IH

làm một véctơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng
P
là:
0 3 1 0 1 1 0
x y z
1 0
y z
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 118
Câu 244.
Mặt cầu
S
có tâm
1; 2;3 ,
I
bán kính
5.
R
Mặt phẳng
P
có vec-tơ pháp tuyến
; ;
P
n a b c
Theo giả thiết
0;1;0 : 2 0 2.
B P b b
Ta có:
3;3; 6
AB
cùng phương với
1; 1;2
u
.
Phương trình đường thẳng
: 1
2
x t
AB y t
z t
Gọi
r
là bán kính đường tròn giao tuyến.
K
là hình chiếu vuông góc của
I
lên đường thẳng
,AB
H
là
hình chiếu vuông góc của
I
lên
P
Ta có:
;1 ;2 1; 1;2 3
K AB K t t t IK t t t
. 0 1 0; 2; 1
IK AB AB IK t IK
.
2 2 2 2
, 25 , 25
r R d I P d I P IH
.
Ta có:
min max
r IH
.
Mà
max
IH IK IH IK H K P IK
P
n
và
IK
cùng phương.
0 0
0
. 2 1
1
1
P
a a
a
n k IK b k k
c
c k c
0 2 1 3.
t a b c
Câu 245. Chọn C
Ta có:
(2;2;0), (-2; 2;4) . 0 ABC
AB AC AB AC
suy ra vuông tại .
Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng . Ta có:
H
I
K
A
B
H
B
A
C
M
ABC
A
H
M
ABC
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 119
Theo giả thiết
Do đó: nên là tâm đường tròn ngoại tiếp .
Suy ra: là trung điểm của
.
Ta có: , Chọn vecto chỉ phương của đường thẳng là .
Phương trình đường thẳng có dạng:
Mặt cầu có tâm và bán kính .
Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng .
Ta có:
Do nên , ta được: . Khi đó: và
Do IK > R nên đường thẳng MH không cắt mặt cầu.
Ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn bằng
Câu 247. Gọi điểm
I
thỏa mãn
3 0 6 ; 3 ; 1
IA IB I
.
Khi đó
2 2
2 2 2 2 2
3 3 4 3 2 . 3
MA MB MI IA MI IB MI IA IB MI IA IB
2 2 2
4 3
MI IA IB
.
Do
2 2
3
IA IB
không đổi vì ba điểm
; ;A B I
cố định nên
2 2
3
MA MB
đạt giá trị nhỏ nhất khi
MI
nhỏ
nhất. Khi đó
M
là giao điểm của đường thẳng
IJ
với mặt cầu
S
, (
2 ; 1 ; 3
J
là tâm của mặt cầu
S
).
, ,
, ,
, ,
MA ABC MA HA MAH
MB ABC MB HB MBH
MC ABC MC HC MCH
. .MAH MBH MCH MAH MBH MCH g c g
HA HB HC
H
ABC
H
BC
1;2;2
H
, 8; 8;8
AB AC
MH
1; 1;1
MH
u
MH
1
2 ,
2
x t
y t t
z t
( )S
3;2;3
I
2
2
R
N
M
I
1 ;2 ;2
K t t t
I
MH
2; ; 1 , 1; 1;1
MH
IK t t t u
IK MH
MH
IK u
1t
2;1;3
K
2
IK
2
,
2
MN d I MH IN IK IN
MN
2
.
2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 120
Ta có phương trình đường thẳng
IJ
là
2 2
1
3 2
x t
y t
z t
1
2
4; 2 ; 1
0 ; 0 ; 5
M
IJ S
M
.
Kiểm tra
1 2
3 9IM IM
nên
1
4;2;1M
là điểm cần tìm. Vậy
. . 8T a b c
.
Câu 248.
Mặt cầu
S
có tâm
3; 4; 5I
và bán kính
27R
.
Đường thẳng
d
có 1 véc-tơ chỉ phương là
2;3;4u d P
.
Gọi
K
là giao điểm của mặt phẳng
P
và đường thẳng
d
. Vì
I d
nên
K
là tâm của đường tròn giao
tuyến và
KB d
.
Ta có
1;2; 2 3IA IA
và
. 0IAu IA d
.
Ta tính được
2 2 2
2. 3 3. 4 4 5 107
d , 5 29
2 3 4
IK I P
và
2 2
2KB R IK
.
Do
M
di động trên đường thẳng
d
(trục của đường tròn giao tuyến) và
B
thuộc đường tròn giao tuyến
nên biểu thức
MA MB
nhỏ nhất khi và chỉ khi
M AB d
.
Khi đó, ta có
3
2
MI IA
MK KB
và
5 29MI MK IK
.
Suy ra
3 29MI
,
2 29MK
.
Ta có
2 2
3 30AM IA MI
2
2 30
3
BM AM
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của
MA MB
là
3 30 2 30 5 30AM BM
.
Cách 2:
Ta có
S
có tâm
3; 4; 5I
,
bán kính
27R
.
d
M
K
I
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 121
Dễ thấy
d
đi qua
3; 4; 5
I
và vuông góc với
P
.
P
cắt
S
theo đường tròn có bán kính
2r
.
1 2 ;2 3 ;3 4M d M t t t
.
Ta có
2 2
.T MA MB MA MH r
Lại có
29 87
( ;( )) 29 3 29
29
t
MH d M P t
.
Suy ra
2
2
29 116 125 29 3 4
T t t t
2 2
9 4
29 2 29 3 .
29 29
t t
Xét
3
2;
29
u t
,
2
3 ;
29
v t
5
5;
29
u v
.
Do đó
29 29 5 50
T u v u v
.
Câu 249.
- Đường thẳng
d
đi qua
A
và có vectơ chỉ phương
3; 4; 4
u
có phương trình là:
1 2 3
3 4 4
x y z
giao điểm của
d
và
P
là
2; 2;1
B
.
- Do
M
luôn nhìn đoạn
AB
dưới góc
90
nên
M
nằm trên mặt cầu
S
đường kính
AB
.
Gọi
E
là trung điểm của
AB
1
;0; 1
2
E
2
41
4
AE
2 2 2
: 2 9 0
S x y z x z
.
- Lại do
M P
nên
M
nằm trên đường tròn giao tuyến của mặt phẳng
P
và mặt cầu
S
, gọi là
đường tròn
C
.
- Mặt khác
B
là điểm cố định trên đường tròn
C
nên độ dài
MB
lớn nhất khi
MB
là đường kính của
đường tròn
C
.
- Gọi
F
là tâm của
C
F
là hình chiếu vuông góc của
E
trên
P
.
Đường thẳng
EF
nhận vectơ pháp tuyến
2;2; 1
n
của
P
làm vectơ pháp tuyến
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 122
1
1
2
:
2 2 1
x
y z
EF
5
; 2;0
2
F
(là giao điểm của
P
và
EF
).
- Vì
MB
là đường kính của
C
nên
3; 2; 1M
1;0;2MB
là vectơ chỉ phương của đường
thẳng
MB
phương trình đường thẳng
MB
là:
2
2
1 2
x t
y
z t
t
- Trong các điểm đã cho ở các đáp án A, B, C, D chỉ có điểm
1; 2;3I
(đáp án D) thuộc đường thẳng
MB
.
Câu 250.
Mặt cầu
S
có tâm
4;3; 2I
và bán kính
5R
.
Gọi
H
là trung điểm của
AB
thì
IH AB
và
3IH
nên
H
thuộc mặt cầu
S
tâm
I
bán kính
3R
.
Gọi
M
là trung điểm của
A B
thì
2AA BB HM
,
M
nằm trên mặt phẳng
P
.
Mặt khác ta có
4
;
3
d I P R
nên
P
cắt mặt cầu
S
và
5
sin ; sin
3 3
d P
. Gọi
K
là
hình chiếu của
H
lên
P
thì
.sinHK HM
.
Vậy để
AA BB
lớn nhất thì
HK
lớn nhất
HK
đi qua
I
nên
max
4 4 3 3
; 3
3 3
HK R d I P
.
Vậy
AA BB
lớn nhất bằng
4 3 3 3 3 24 18 3
2 .
5 5
3
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 123
Câu 251.
Mặt phẳng thiết diện đi qua tâm
, ,I M N
cắt đường thẳng
d
tại
, ,
H IH d d I d IH
.
Ta có
.
2 2.
MH MI
MN MK
IH
2 2
.
2.
IH r r
IH
2 2
4 4 4 4IH x
f x
IH x
với
2
x IH
.
Ta có
2 2
4
0, 2
4
f x x
x x
, suy ra hàm số đồng biến trên
2;

.
Do đó
min min
MN IH
. Ta có
1; ; 1 , 1;0;0
d
u m m A d
, suy ra
,
,
d
d
u IA
d I d
u
2
2
25 20 17
2 2 2
m m
m m
.
Xét hàm số
2
2
25 20 17
2 2 2
m m
f m
m m
có bảng biến thiên là
Suy ra
min
IH
khi
1
5
m
. Đường thẳng
d
có phương trình là
1
1
:
5
4
5
x t
d y t t
z t
.
Khoảng cách
,
416 4 273
,
21
42
d
d
AB u
d B d
u
.
| 1/123
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 CHUYÊN
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐỀ 23 MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI ....................................................................................................................................................... 2
Dạng 1. Xác định VTCP................................................................................................................................................. 2
Dạng 2. Xác định phương trình đường thẳng .............................................................................................................. 4
Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng cơ bản ................................................................................................. 4
Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố vuông góc ................................................................... 6
Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song .................................................................. 10
Dạng 2.4 Xác định một số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến…) ...................................... 11
Dạng 3. Một số bài toán liên quan giữa điểm với đường thẳng ............................................................................... 14
Dạng 3.1 Bài toán liên quan điểm (hình chiếu) thuộc đường, khoảng cách ............................................................... 14
Dạng 3.2 Bài toán cực trị ............................................................................................................................................ 17
Dạng 4. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt phẳng ...................................................................... 19
Dạng 4.1 Bài toán liên quan khoảng cách, góc .......................................................................................................... 19
Dạng 4.2 Bài toán phương trình mặt phẳng, giao tuyến 2 mặt phẳng ....................................................................... 20
Dạng 4.3 Bài toán giao điểm (hình chiếu, đối xứng) của đường thẳng với mặt phẳng .............................................. 22
Dạng 4.4 Bài toán cực trị ............................................................................................................................................ 25
Dạng 5. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng thẳng với đường thẳng ....................................................... 30
Dạng 6. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt cầu .......................................................................... 32
Dạng 7. Một số bài toán liên quan giữa điểm – mặt – đường – cầu ......................................................................... 32
Dạng 7.1 Bài toán tìm điểm ........................................................................................................................................ 32
Dạng 7.2 Bài toán tìm mặt phẳng ............................................................................................................................... 34
Dạng 7.3 Bài toán tìm đường thẳng ............................................................................................................................ 34
Dạng 7.4 Bài toán tìm mặt cầu .................................................................................................................................... 35
Dạng 7.5 Bài toán cực trị ............................................................................................................................................ 37
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ........................................................................................................................... 40
Dạng 1. Xác định VTCP............................................................................................................................................... 40
Dạng 2. Xác định phương trình đường thẳng ............................................................................................................ 41
Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng cơ bản ............................................................................................... 41
Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố vuông góc ................................................................. 43
Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song .................................................................. 48
Dạng 2.4 Xác định một số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến…) ...................................... 50
Dạng 3. Một số bài toán liên quan giữa điểm với đường thẳng ............................................................................... 58
Dạng 3.1 Bài toán liên quan điểm (hình chiếu) thuộc đường, khoảng cách ............................................................... 58
Dạng 3.2 Bài toán cực trị ............................................................................................................................................ 61
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Dạng 4. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt phẳng ...................................................................... 65
Dạng 4.1 Bài toán liên quan khoảng cách, góc .......................................................................................................... 65
Dạng 4.2 Bài toán phương trình mặt phẳng, giao tuyến 2 mặt phẳng ....................................................................... 67
Dạng 4.3 Bài toán giao điểm (hình chiếu, đối xứng) của đường thẳng với mặt phẳng .............................................. 69
Dạng 4.4 Bài toán cực trị ............................................................................................................................................ 78
Dạng 5. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng thẳng với đường thẳng ....................................................... 95
Dạng 6. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt cầu .......................................................................... 97
Dạng 7. Một số bài toán liên quan giữa điểm – mặt – đường – cầu ......................................................................... 99
Dạng 7.1 Bài toán tìm điểm ........................................................................................................................................ 99
Dạng 7.2 Bài toán tìm mặt phẳng ............................................................................................................................. 102
Dạng 7.3 Bài toán tìm đường thẳng .......................................................................................................................... 104
Dạng 7.4 Bài toán tìm mặt cầu .................................................................................................................................. 106
Dạng 7.5 Bài toán cực trị .......................................................................................................................................... 112 PHẦN A. CÂU HỎI
Dạng 1. Xác định VTCP x  2  t
Câu 1. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , đường thẳng d :  y  1 2t có một vectơ chỉ z  3 t  phương là:     A. u  1; 2;3 B. u  2;1; 3 C. u  1  ; 2;1 D. u  2;1;1 2   4   3   1   x 1 y  3 z  2
Câu 2. (Mã 102 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :   . Vectơ nào dưới 2 5 3
đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng d    
A. u  1;3; 2 . B. u  2;5;3 .
C. u  2;  5;  3 . D. u  1;3;2 .
Câu 3. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1; 0 và
B 0;1; 2 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB .    
A. d  1;1; 2 B. a   1  ; 0; 2  
C. b  1; 0; 2 D. c  1; 2; 2 x  3 y 1 z  5
Câu 4. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , đường thẳng d :   có một 1 1 2 vectơ chỉ phương là     A. u  3; 1;5 B. u  1; 1; 2 C. u  3  ;1;5
D. u  1; 1;  2 3   2   4   1   x  2 y 1 z  3
Câu 5. (Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :   . Vectơ nào dưới 1 3 2
đây là một vectơ chỉ phương của d ?     A. u  1;3; 2 . B. u  2;1;3 . C. u  2;1; 2 . D. u  1;  3; 2 . 2   1   3   4  
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x  2 y 1 z
Câu 6. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :   . 1  2 1
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là     A. u4   1  ;2;  0 B. u  2;1; 0 C. u3  2;1;  1 D. u1   1  ;2;  1 2   x  3 y  1 z  5
Câu 7. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :   . Vectơ 1 2 3
nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d ?     A. u  (1; 2  ;3) B. u  (2; 6; 4)  . C. u  ( 2  ; 4  ;6) . D. u  (3; 1  ;5) . 2 3 4 1 x  2 y 1 z  3
Câu 8. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :   . Vectơ nào 1 2 1
dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ?    
A. u  (1; 2; 3) . B. u  ( 1  ; 2;1) . C. u  (2;1; 3  ) . D. u  (2;1;1) . 4 3 1 2
Câu 9. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng x 1 y  2 z  3 d :  
đi qua điểm nào dưới đây? 2 1  2 A. Q 2; 1  ; 2 B. M  1  ; 2  ; 3   C. P 1; 2;  3 D. N  2  ;1; 2  
Câu 10. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1; 2;3 . Gọi M , M 1 2
lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox , Oy . Vectơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương
của đường thẳng M M ? 1 2     A. u  1; 2; 0 B. u  0; 2; 0 C. u  1; 2; 0 D. u  1; 0; 0 3   2   1   4  
Câu 11. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x y  4 z  3 d :  
. Hỏi trong các vectơ sau, đâu không phải là vectơ chỉ phương của d ? 1  2 3     A. u  1; 2; 3 .
B. u  3; 6; 9 .
C. u  1; 2; 3 . D. u  2; 4; 3 . 4   3   2   1  
Câu 12. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng 
nào sau đây nhận u  2;1 
;1 là một vectơ chỉ phương? x  2 y 1 z 1 x y 1  z  2 A.   B.   1 2 3 2 1 1  x 1 y 1 z x  2 y 1 z 1 C.   D.   2  1 1 2 1  1
Câu 13. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ trục tọa độ x 1 y  2 z 1 
Oxyz , cho đường thẳng d :  
nhận véc tơ u a; 2;b làm véc tơ chỉ phương. Tính a b 2 1 2 . A. 8 . B. 8 . C. 4 . D. 4 .
Câu 14. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, tọa độ nào sau đây là tọa độ
x  2  4t
của một véctơ chỉ phương của đường thẳng  :  y  1 6t ,t  ?  z  9t
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  1 1 3   1 1 3  A. ; ;   . B. ; ;   . C. 2;1; 0 . D. 4;  6; 0 .  3 2 4   3 2 4 
Câu 15. (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , đường x 1 y  2 z  3 thẳng d :  
có một vectơ chỉ phương là 2 1 2     A. u  1; 2;3 B. u  2;1; 2 C. u  2; 1  ; 2
D. u  1; 2; 3 4   3   2   1  
Câu 16. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng x  2 y 1 z  3   3 2 1 A.  2  ;1; 3   . B. 3; 2  ;1 . C. 3; 2  ;1 . D. 2;1;3 .
Câu 17. (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng x  1 y  3 z  7 d  :  
nhận vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương? 2 4 1 A. 2; 4  ;1 . B. 2; 4  ;1 . C. 1; 4;2 . D. 2; 4  ;1 .
Câu 18. (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz véc tơ nào dưới đây là x  1 t
một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d :  y  4 , z  3 2t      A. u  (1; 4;3) . B. u  (1; 4; 2  ) . C. u  (1; 0; 2  ) . D. u  (1; 0; 2) .
Dạng 2. Xác định phương trình đường thẳng
Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng cơ bản
Câu 19. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là x  1 2t
phương trình chính tắc của đường thẳng d :  y  3t ? z  2   tx 1 y z  2 x 1 y z  2 x 1 y z  2 x 1 y z  2 A.   B.   C.   D.   2 3 1 1 3 2  2 3 2  2 3 1
Câu 20. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M 1;  2;  1
, N 0; 1; 3 . Phương trình đường thẳng qua hai điểm M , N là x 1 y  2 z 1 x 1 y  3 z  2 A.   . B.   . 1  3 2 1 2  1 x y 1 z  3 x y 1 z  3 C.   . D.   . 1  3 2 1 2  1
Câu 21. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz , phương trình tham số trục Oz là x  0 x tx  0    A. z  0 .
B.  y t . C.  y  0 . D.  y  0 . z  0    z  0  z t
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 22. Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 2;0;   1 và có véctơ chỉ  phương a  2; 3   ;1 là
x  4  2tx  2   2tx  2   4t
x  2  2t     A.  y   6 .
B.  y  3t .
C.  y   6t .
D.  y  3t . z  2 t     z  1 tz  1 2tz  1   tOxyz E(1; 0; 2)
Câu 23. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian , cho và
F (2;1; 5) . Phương trình đường thẳng EF là x 1 y z  2 x 1 y z  2 A.   B.   3 1 7  3 1 7  x 1 y z  2 x 1 y z  2 C.   D.   1 1 3  1 1 3
Câu 24. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , trục y O
y có phương trình là  x tx  0  x  0  x t     A.  y  0 B.  y t C.  y  0 D.  y  0  z  0     z  0  z tz t
Câu 25. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  đi qua điểm M 2;0;  
1 và có một vectơ chỉ phương  a  4; 6
 ; 2 .Phương trình tham số của  là x  2   4t
x  2  2t
x  4  2tx  2   2t     A.  y  6t . B.  y  3  t . C.  y  6  . D.  y  3t . z 1 2t     z  1   tz  2  tz  1 t
Câu 26. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Trong không gian Oxyz , viết phương
trình đường thẳng đi qua hai điểm P 1;1;   1 và Q 2;3; 2 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 A.   . B.   . 2 3 2 1 2 3 x 1 y  2 z  3 x  2 y  3 z  2 C.   . D.   . 1 1 1  1 2 3
Câu 27. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , phương
trình đường thẳng đi qua hai điểm A1;2;3 và B 5; 4;   1 là x  5 y  4 z 1 x 1 y  2 z  3 A.   . B.   . 2 1 2 4 2 4 x 1 y  2 z  3 x  3 y  3 z 1 C.   . D.   . 4 2 4 2 1 2
Câu 28. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian Oxyz , đường thẳng Oy có phương trình tham số là x tx  0 x  0 x t    
A.  y t t   .
B.  y  2  t t   . C.  y  0t   .
D.  y  0t   . z t     z  0  z tz  0 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 29. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian Oxyz có đường thẳng có x  1 2t
phương trình tham số là (d ) :  y  2  t . Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng d là z  3   tx 1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3 A.   B.   2 1 1 2 1 1 x 1 y  2 z  3 x  1 y  2 z  3 C.   D.   2 1 1 2 1 1
Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố vuông góc
Câu 30. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là
phương trình của đường thẳng đi qua A 2; 3; 0 và vuông góc với mặt phẳng P : x  3y z  5  0 ? x  1  tx  1  t
x  1  3t
x  1  3t    
A. y  1  3t B. y  3t
C. y  1  3t
D. y  1  3t z  1     t z  1   t z  1   t z  1   t
Câu 31. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz cho điểm A1; 2;  3 và đường thẳng x  3 y 1 z  7 d :  
. Đường thẳng đi qua A , vuông góc với d và cắt trục Ox có phương trình là 2 1 2 x  1   2tx  1 tx  1   2tx  1 t     A.  y  2  t
B.  y  2  2t C.  y  2t
D.  y  2  2t z t     z  3  3tz  3tz  3  2t
Câu 32. (Mã 102 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1;0;  2 , B1; 2  ;1 , C 3; 2;  0 và D1;1;  3 .
Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng BCD có phương trình là x 1t     x  1 tx  2  tx 1t         A.  y  4t .          B. y 4 . C. y 4 4t . D. y 2 4t         z  2  2t 
z  2  2t 
z  4  2t  z  22t 
Câu 33. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng x  3 y  3 z  2 x  5 y 1 z  2 d :   ; d :  
và mặt phẳng  P : x  2y  3z  5  0 . Đường 1 1  2  1 2 3  2 1
thẳng vuông góc với  P , cắt d và d có phương trình là 1 2 x 1 y 1 z x  2 y  3 z 1 A.   B.   3 2 1 1 2 3 x  3 y  3 z  2 x 1 y 1 z C.   D.   1 2 3 1 2 3 Câu 34. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho các điểm
A1;2;0, B2;0;2,C 2; 1
 ;3, D1;1;3 . Đường thẳng đi qua C và vuông góc với mặt phẳng
ABD có phương trình là
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x  2   4t
x  4  2tx  2   4t
x  2  4t     A.  y  4   3t .
B.  y  3  t . C.  y  2   3t .
D.  y  1 3t . z  2  t     z  1 3tz  2  tz  3  t
Câu 35. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho các điểm A2;1;0 , B 1; 2 
;1 , C 3; 2;0 , D1;1; 
3 . Đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng  ABC có phương trình là: x  1 tx  1 tx tx t    
A.  y  1 t .
B.  y  1 t . C.  y t . D.  y t . z  2   3     t z  3  2  t z  1   2  t z  1 2  t
Câu 36. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A2;1;  3 và đường thẳng x  1 y  1 z  2 d :  
. Đường thẳng đi qua A , vuông góc với d và cắt trục Oy có phương trình là. 1 2 2 x  2t
x  2  2t
x  2  2tx  2t     A.  y  3   4t
B.  y  1  t
C.  y  1  3t D.  y  3   3t z  3t     z  3  3tz  3  2tz  2t
Câu 37. (Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz cho A0;0; 2  , B 2;1;0 ,C 1; 2;   1 và D 2;0; 2
. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với  BCD có phương trình là x  3
x  3  3tx  3t
x  3  3t     A.  y  2 .
B.  y  2  2t . C.  y  2t . D.  y  2   2t . z  1   2t     z  1 tz  2  tz  1 t
Câu 38. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A1;0; 2 và x 1 y z 1
đường thẳng d có phương trình:  
. Viết phương trình đường thẳng  đi qua A , vuông 1 1 2 góc và cắt d . x 1 y z  2 x 1 y z  2 x 1 y z  2 x 1 y z  2 A.   B.   C.   D.   2 2 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 8 4 8
Câu 39. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (
A 2; 2;1), B( ; ; ) . 3 3 3
Đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác O AB và vuông góc với mặt phẳng (OA ) B có phương trình là: 2 2 5 x y z x  1 y  8 z  4 A. 9 9 9   B.   1 2 2 1 2 2 1 5 11 x y z x  1 y  3 z  1 C. 3 3 6   D.   1 2 2 1 2 2 x 1 y z  2
Câu 40. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :   và 2 1 2
mặt phẳng (P) : x y z 1  0 . Đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt và vuông góc với
d có phương trình là:
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x  1   tx  3  tx  3  t
x  3  2t     A.  y  4  t
B.  y  2  4t
C.  y  2  4t
D.  y  2  6t z  3  t     z  2  tz  2  3tz  2  t
Câu 41. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian Oxyz cho điểm M 1;1; 3 và hai đường thẳng x  1 y  3 z  1 x  1 y z  :   ,  :  
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng 3 2 1 1 3 2
đi qua M và vuông góc với  và  .
x  1  tx  t
x  1  t
x  1  t    
A. y  1  t
B. y  1 t
C. y  1  t
D. y  1  t z  1     3t z  3   t z  3   t z  3   t x y  1 z  1
Câu 42. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  :   và mặt 1 2 1
phẳng  P : x  2 y z 3  0 . Đường thẳng nằm trong  P đồng thời cắt và vuông góc với  có phương trình là:
x  1  2tx  3 x  1  tx  1    
A.  y  1  t
B.  y  t
C.  y  1 2t
D.  y  1  t z  2     z  2tz  2  3tz  2  2t
Câu 43. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
x  1  3tx  1 y  2 z d : y 2 t , d :  
và mặt phẳng P : 2x  2y  3z  0. Phương trình nào dưới đây 1     2  2 1 2 z   2
là phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của d và P , đồng thời vuông góc với d ? 1 2
A. 2x y  2z  13  0 B. 2x y  2z  22  0
C. 2x y  2z  13  0 D. 2x y  2z  22  0
Câu 44. (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,
cho mặt phẳng   : x y  2z  1 . Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với   .  x  2t x y  1 z x y  1 z x y 1 z  A. d :   . B. d :   . C. d :  
. D. d :  y  0 1 1 1  2 2 1 1  1  3 1 1  1  4 z  t
Câu 45. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A1;1 
;1 và vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxy có phương trình tham số là: x  1 tx  1 x  1 tx  1 t     A.  y  1 . B.  y  1 . C.  y  1 .
D.  y  1 t . z 1     z  1 tz  1  z  1 
Câu 46. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm M 1;  3; 2 và
mặt phẳng  P : x  3y  2z 1  0 . Tìm phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với  P . x 1 y  3 z  2 x 1 y  3 z  2 A.   . B.   . 1 3 2 1 3 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x y z x 1 y  3 z  2 C.   . D.   . 1 3 2 1 3 2
Câu 47. (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ x  4 y  2 z 1 x  2 y 1 z 1 Oxyz cho A1; 1  ; 
3 và hai đường thẳng d :   , d :   . 1 1 4 2  2 1 1  1
Phương trình đường thẳng qua A , vuông góc với d và cắt d là 1 2 x  1 y  1 z  3 x  1 y  1 z  3 A.   . B.   . 2 1 3 4 1 4 x  1 y  1 z  3 x  1 y  1 z  3 C.   . D.   . 1 2 3 2 1 1
Câu 48. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1;0;2 x 1 y z 1
và đường thẳng d :  
. Đường thẳng  đi qua A , vuông góc và cắt d có phương trình là 1 1 2 x  2 y 1 z 1 x 1 y z  2 A.  :   . B.  :   . 1 1 1  1 1 1 x  2 y 1 z 1 x 1 y z  2 C.  :   . D.  :   . 2 2 1 1 3  1
Câu 49. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm x 1 y  2 z  3 M 1;0; 
1 và đường thẳng d :  
. Đường thẳng đi qua M , vuông góc với d và cắt 1 2 3
Oz có phương trình là x  1 3tx  1 3tx  1 3tx  1 3t     A.  y  0 . B.  y  0 . C.  y t . D.  y  0 . z 1 t     z  1 tz  1 tz  1 t
Câu 50. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x 1 y z  3
P : 3x y z  0 và đường thẳng d :  
. Gọi  là đường thẳng nằm trong  P , cắt và 1 2  2
vuông góc với d . Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của  ? x  2   4tx  3   4tx  1 4tx  3   4t    
A.  y  3  5t .
B.  y  5  5t .
C.  y  1 5t .
D.  y  7  5t .
z  3  7t     z  4  7tz  4   7tz  2  7t
Câu 51. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1; 1
 ;3 và hai đường thẳng: x  4 y  2 z 1 x  2 y 1 z 1 d :   , d :  
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A , 1 2 1 4 2  1 1 1
vuông góc với đường thẳng d và cắt đường thẳng d . 1 2 x 1 y 1 z  3 x 1 y 1 z  3 A.   . B.   . 2 1 1 6 1 5 x 1 y 1 z  3 x 1 y 1 z  3 C.   . D.   . 6 4 1 2 1 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x y  3 z  2
Câu 52. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  
và mặt phẳng  P : x y  2z  6  0 2 1 3
. Đường thẳng nằm trong  P  cắt và vuông góc với d có phương trình là? x  2 y  2 z  5 x  2 y  2 z  5 A.   . B.   . 1 7 3 1 7 3 x  2 y  4 z  1 x  2 y  4 z 1 C.   . D.   . 1 7 3 1 7 3
Câu 53. (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  x  3 y  2 z  2 x 1 y 1 z  2
P : x  2y  3z  7  0 và hai đường thẳng d :   ; d :   . 1 2 2 1 4 3 2 3
Đường thẳng vuông góc mặt phẳng  P và cắt cả hai đường thẳng d ; d có phương trình là 1 2 x  7 y z  6 x  5 y 1 z  2 A.   B.   1 2 3 1 2 3 x  4 y  3 z 1 x  3 y  2 z  2 C.   D.   1 2 3 1 2 3
Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song
Câu 54. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A0; 1  ;  3 , B 1;0;  1 , C  1
 ;1; 2 . Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và
song song với đường thẳng BC ? x  2  t
A. x  2 y z  0 . B.  y  1   t . z  3 tx y 1 z  3 x 1 y z 1 C.   . D.   . 2  1 1 2 1 1
Câu 55. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A1; 2  ;3 và hai
mặt phẳng  P : x y z 1  0 , Q : x y z  2  0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình
đường thẳng đi qua A , song song với  P và Q ? x  1 tx  1   tx  1 2tx  1     A.  y  2  B.  y  2 C.  y  2  D.  y  2  z  3 t     z  3   tz  3  2tz  3  2t
Câu 56. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 3 ; x  2 y  2 z  3
B 1; 4;1 và đường thẳng d :  
. Phương trình nào dưới đây là phương trình của 1 1 2
đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn AB và song song với d ? x y  1 z  1 x y  1 z  1 A.   B.   1 1 2 1 1 2 x  1 y  1 z  1 x y  2 z  2 C.   D.   1 1 2 1 1 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 57. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ toạ độ x  2 y  5 z  2
Oxyz , cho điểm M 1;  3; 4 , đường thẳng d có phương trình:  
và mặt phẳng  P 3 5  1 
: 2x z  2  0 . Viết phương trình đường thẳng  qua M vuông góc với d và song song với  P . x 1 y  3 z  4 x 1 y  3 z  4 A.  :   . B.  :   . 1 1  2  1  1  2  x 1 y  3 z  4 x 1 y  3 z  4 C.  :   . D.  :   . 1 1 2  1 1  2
Câu 58. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  x y 1 z 1 x  2 y 1 z  3
P : 2x y  2z  3  0 và hai đường thẳng d :   ; d :   . Xét các 1 3 1 1 2 1 2 1 điểm ,
A B lần lượt di động trên d và d sao cho AB song song với mặt phẳng  P . Tập hợp trung điểm 1 2
của đoạn thẳng AB là 
A. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương u   9  ;8; 5   
B. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương u   5  ;9;8 
C. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương u  1; 2  ; 5   
D. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương u  1;5; 2  
Câu 59. (THPT LƯƠNG VĂN CAN - LẦN 1 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A3; 2  ;   4 và mặt phẳng x  2 y  4 z 1
P : 3x  2y  3z  7  0 , đường thẳng d :  
. Phương trình nào sau đây là phương 3 2 2
trình đường thẳng  đi qua A , song song  P và cắt đường thẳng d ?
x  3 11t
x  3  54t
x  3  47t
x  3 11t    
A.  y  2  54t .
B.  y  2 11t .
C.  y  2  54t .
D. y  2  47t . z  4   47t     z  4   47t
z  4  11tz  4   54t
Dạng 2.4 Xác định một số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến…) x  1 3t
Câu 60. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  3  . Gọi  là z  5  4  t
đường thẳng đi qua điểm A1; 3
 ;5 và có vectơ chỉ phương u 1; 2; 2
  . Đường phân giác của góc nhọn
tạo bởi d và  có phương trình là x  1   2tx  1   2tx  1 7tx  1 t    
A.  y  2  5t
B.  y  2  5t C.  y  3   5t D.  y  3  z  6 11     t z  6  11  t z  5   t z  5  7  t
x  1  7t
Câu 61. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  1  4t . Gọi  là z  1  
đường thẳng đi qua điểm A1;1; 
1 và có vectơ chỉ phương u  1; 2; 2 . Đường phân giác của góc nhọn
tạo bởi d và  có phương trình là.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x  1   2tx  1   2tx  1   3t
x  1  7t     A.  y  1  0 11t B.  y  1  0 11t
C.  y  1 4t
D.  y  1  t z  6   5t     z  6  5tz  1 5tz  1  5t  x  1 3t
Câu 62. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  1 4t . Gọi  là z 1  
đường thẳng đi qua điểm A1;1; 
1 và có vectơ chỉ phương u  2;1; 2 . Đường phân giác của góc nhọn
tạo bởi d và  có phương trình là. x 1 27tx  18  19tx  18  19tx  1 t    
A. y  1 t
B.  y  6  7t
C.  y  6  7t
D.  y  117t z 1t     z  1110tz  11  10tz  1 10t  x  1 t
Câu 63. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  2  t . Gọi  là z  3  
đường thẳng đi qua điểm (
A 1; 2;3) và có vectơ chỉ phương u  (0; 7  ; 1
 ). Đường phân giác của góc nhọn
tạo bởi d và  có phương trình là x  1 5tx  1 6t
x  4  5t
x  4  5t    
A.  y  2  2t .
B.  y  2 11t .
C.  y  10 12t .
D.  y  10 12t . z  3 t     z  3  8tz  2  tz  2  t
Câu 64. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam
giác ABC có A 1
 ;3; 2, B 2;0;5, C  ; 0 2  ; 
1 . Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC . x  1 y  3 z  2 x 1 y  3 z  2 A. AM :   B. AM :   2 4  1 2 4  1 x 1 y  3 z  2 x  2 y  4 z  1 C. AM :   D. AM :   2 4 1 1 1  3
Câu 65. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Trong không gian Oxyz , cho A2;0;0
, đường thẳng d đi qua A cắt chiều âm trục Oy tại điểm B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 1.
Phương trình tham số đường thẳng d là x  1 2t
x  2  2t
x  2  2t
x  2  2t     A.  y t . B.  y t  . C.  y t  . D.  y t . z  0     z  0  z  0  z  1  8 4 8
Câu 66. (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz cho hai điểm ( A 2; 2;1), B( ; ; ) . Đường 3 3 3
phân giác trong của tam giác OAB có phương trình là x  0 x  4tx  14tx  2t     A.  y t B.  y t
C.  y  2t
D.  y  14t z t     z t   z  5  tz  13t
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 67. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường
x  4  tx  5 y 11 z  5
thẳng d y  4  t ; d :  
. Đường thẳng d đi qua A5; 3;5 cắt d ; d lần lượt 1 2 1 2  2 4 2 z  6  2tAB
ở B,C .Tính tỉ sô . AC 1 1 A. 2 . B. 3 . C. . D. . 2 3
Câu 68. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
2 điểm M 1;2;3 , A2;4;4 và hai mặt phẳng  P : x y  2z  1  0 , Q  : x  2 y z  4  0. Viết
phương trình đường thẳng  đi qua M , cắt (P), (Q) lần lượt tại ,
B C sao cho tam giác ABC cân tại A
và nhận AM làm đường trung tuyến. x 1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3 A.   . B.   . 1 1  1  2 1  1 x 1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3 C.   . D.   . 1 1  1 1  1  1 Câu 69.
(CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa
độ Oxyz cho tam giác ABC biết (
A 2;1; 0), B(3; 0; 2), C(4;3; 4) . Viết phương trình đường phân giác trong góc A. x  2 x  2 x  2  tx  2  t    
A.  y  1 t B.  y  1 C.  y  1 D.  y  1  z  0     z tz  0  z t
Câu 70. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ x 1 y z  2
Oxyz , cho đường thẳng d :  
, mặt phẳng  P : x y  2z  5  0 và A1; 1; 2 . Đường 2 1 1
thẳng  cắt d và  P lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Một vectơ chỉ phương của  là    
A. u  4; 5;  1  3 .
B. u  2; 3; 2 .
C. u  1;  1; 2 .
D. u  3; 5;  1 .
Câu 71. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình
vuông ABCD biết A1; 0  ;1 , B 1;0; 3
  và điểm D có hoành độ âm. Mặt phẳng  ABCD đi qua gốc
tọa độ O . Khi đó đường thẳng d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có phương trình x  1  x  1 x  1  x t    
A. d :  y t .
B. d :  y t .
C. d :  y t .
D. d :  y  1. z  1     z  1  z  1  z t
Câu 72. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng x 1 y  2 z 1 x 1 y  2 z 1  :   và  :  
cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng  P . Lập 1 1 2 3 2 1 2 3
phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi  ,  và nằm trong mặt phẳng  P . 1 2 x  1 x  1   t  
A. d : y  2 , t   .
B. d : y  2 , t   .
z  1 t   z  1   2t
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x  1   tx  1   t  
C. d : y  2  2t ,t   .
D. d : y  2  2t ,t   z  1   t   z  1  
Câu 73. (QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC
biết A1; 0;   1 , B 2;3;   1 , C 2;1; 
1 . Phương trình đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của
tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng  ABC  là: x  3 y 1 z  5 x y  2 z A.   . B.   . 3 1 5 3 1 5 x 1 y z 1 x  3 y  2 z  5 C.   . D.   . 1 2 2 3 1 5
Câu 74. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho tam giác nhọn ABC có H 2; 2  ;1  8 4 8  , K  ; ; 
 , O lần lượt là hình chiếu vuông góc của A , B , C trên các cạnh BC , AC , AB . Đường  3 3 3 
thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng  ABC  có phương trình là 8 2 2 x y z x  4 y 1 z 1 A. d :   . B. 3 3 3 d :   . 1 2 2 1 2  2 4 17 19 x y z x y  6 z  6 C. 9 9 9 d :   . D. d :   . 1 2 2 1 2 2
Câu 75. (CHUYÊN VINH - LẦN 2 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A2;3;3 , phương trình x  3 y  3 z  2
đường trung tuyến kẻ từ B là  
, phương trình đường phân giác trong của góc C là 1 2 1 x  2 y  4 z  2  
. Đường thẳng AB có một véc-tơ chỉ phương là 2 1 1    
A. u3  2;1;   1 . B. u2  1; 1  ; 0 .
C. u4  0;1;   1 . D. u1  1; 2  ;1 .
Dạng 3. Một số bài toán liên quan giữa điểm với đường thẳng
Dạng 3.1 Bài toán liên quan điểm (hình chiếu) thuộc đường, khoảng cách
Câu 76. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d : x  1 t
y  5  t ?
z  2  3t  A. N 1;5; 2 B. Q  1  ;1;3 C. M 1;1;3 D. P 1; 2;5
Câu 77. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thằng x  2 y 1 z  2 d :   . 1 1 2 A. N 2; 1  ; 2 B. Q  2  ;1; 2   C. M  2  ; 2   ;1 D. P 1;1; 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
x  2  3td :  y  1   4tOxyz z  5t
Câu 78. (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019) Trong không gian , đường thẳng  đi qua điểm nào sau đây? M 2; 1  ; 0 M 8;9;10 M 5;5;5 M 3; 4  ;5 A. . B. . C. . D.
Câu 79. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng x 1 y  2 z  3 d :  
đi qua điểm nào dưới đây? 2 1  2 A. Q 2; 1  ; 2 B. M  1  ; 2  ; 3   C. P 1; 2;  3 D. N  2  ;1; 2  
Câu 80. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , đường thẳng x  1 2t
d :  y  3  t đi qua điểm nào dưới đây? z 1 t  A. M 1;3;   1 . B. M  3  ;5;3 . C. M 3;5;3 . D. M 1; 2; 3   .
Câu 81. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1; 1; 2 , x 1 y  2 z 1
B 1; 2; 3 và đường thẳng d :  
. Tìm điểm M a; ;
b c  thuộc d sao cho 1 1 2 2 2
MA MB  28 , biết c  0 .  1 7 2   1 7 2  A. M ; ;    B. M  ;  ;     6 6 3   6 6 3 
C. M 1; 0;  3 D. M 2; 3; 3
Câu 82. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . x t
Đường thẳng d y  1 t đi qua điểm nào sau sau đây? z  2  t  A. K 1; 1   ;1 . B. E 1;1; 2 . C. H 1;2;0 . D. F 0;1; 2 .
Câu 83. (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường x 1 y 1 z  2 thẳng   ? 2 1 3
A. Q 2;1; 3 . B. P 2; 1;3 .
C. M 1;1;2 . D. N 1;1;2 .
Câu 84. (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , gọi d là đường thẳng qua A1;0; 2 x  1 y z  5
, cắt và vuông góc với đường thẳng d :  
. Điểm nào dưới đây thuộc d ? 1 1 1 2 A. P 2; 1;  1 . B. Q 0; 1  ;1 .
C. N 0; 1; 2 . D. M  1  ; 1  ;1 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 85. (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng x  1 t
d :  y  5  t ? z  2  3  t A. Q  1  ; 1; 3 B. P 1; 2; 5 C. N 1; 5; 2 D. M 1;1; 3 x 1 y 2 z 3
Câu 86. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d :  
đi qua điểm nào dưới đây? 2 1  2  A. ( Q 2; 1  ; 2  ) . B. M (1; 2  ; 3  ) . C. ( P 1  ;2; 3  ) . D. N(2; 1  ; 2  ) .
Câu 87. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường x 1 y  2 z  3 thẳng d :  
. Hỏi d đi qua điểm nào trong các điểm sau: 3 4  5  A. C 3; 4;5 .
B. D 3;  4;  5 . C. B  1  ; 2;  3 . D. A1;  2;3 .
Câu 88. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A3; 2  ;  1 . Đường
thẳng nào sau đây đi qua A ? x  3 y  2 z  1 x  3 y  2 z  1 A.   . B.   . 1 1 2 4 2  1  x  3 y  2 z 1 x  3 y  2 z 1 C.   . D.   . 1 1 2 4 2  1  x  1 t
Câu 89. Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d :  y  5  t ? z  2  3  t A. Q  1  ; 1; 3 B. P 1; 2; 5 C. N 1; 5; 2 D. M 1;1; 3
Câu 90. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ x 1 y  2 z  3
Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình  
. Điểm nào sau đây không thuộc đường 3 2 4 thẳng d ? A. P 7;2;  1 . B. Q  2  ;  4; 7 . C. N 4;0;   1 .
D. M 1;  2;3 .
Câu 91. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , tọa độ hình chiếu x y z
vuông góc của M 1;0 
;1 lên đường thẳng  :   là 1 2 3  1 1   2 4 6  A. 2; 4;6 . B. 1; ;   . C. 0; 0;0 . D. ; ;   .  2 3   7 7 7 
Câu 92. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm x  1 tM ( 4
 ;0;0) và đường thẳng  : y  2
  3t . Gọi H ( ; a ;
b c) là hình chiếu của M lên . Tính a+b+c. z  2   t A. 5 . B. 1  . C. 3  . D. 7 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 93. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình x  1  t
chiếu H của A1;1; 
1 lên đường thẳng d : y  1  t  . z t  4 4 1 A. H ( ; ; ). B. H 1;1;  1 . C. H (0 ; 0 ; - 1). D. H (1 ; 1 ; 0). 3 3 3
Câu 94. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
x  6  4t  điểm A1;1; 
1 và đường thẳng d  :  y  2  t . Tìm tọa độ hình chiếu A của A trên d  . z  1   2t  A. A (  2;3;1) . B. A (  2;3;1) . C. A (  2;  3;1) . D. A (  2;  3; 1) .
Câu 95. Trong không gian Oxyz , cho hình thang cân ABCD có đáy là AB và CD . Biết A3;1;  2 , B  1;  3; 2 , C  6
 ;3; 6 và D a;b;c với a ,b , c. Giá trị của a b c bằng A. 3  . B. 1. C. 3 . D. 1  .
Câu 96. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng x 1 y z  2 d :  
và hai điểm A1;3  ;1 ; B 0; 2;   1 . Gọi C  ; m ;
n p là điểm thuộc đường thẳng 2 1 1
d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2 2 . Giá trị của tổng m n p bằng A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 x 1 y  3 z  2
Câu 97. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :   1 2 2
và điểm A3; 2;0 . Điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là A.  1  ; 0; 4 . B. 7;1;   1 . C. 2;1;  2 . D. 0; 2;  5 .
Câu 98. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ điểm x tM 2; 4  ;  
1 tới đường thẳng  :  y  2  t bằng z  3 2t  A. 14 B. 6 C. 2 14 D. 2 6
Câu 99. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , Gọi M  ; a ; b c thuộc x y 1 z  2 đường thẳng  :  
. Biết điểm M có tung độ âm và cách mặt phẳng Oyz một khoảng 1 2 3
bằng 2. Xác định giá trị T a b c . A. T  1 . B. T  11. C. T  13 . D. T  1.
Dạng 3.2 Bài toán cực trị
Câu 100. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A0; 4; 3
  . Xét đường thẳng d thay đổi,
song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3 . Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d
đi qua điểm nào dưới đây? A. Q 0;5; 3  . B. P  3  ;0; 3  . C. M 0; 3  ; 5  . D. N 0;3; 5  .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 101. (Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A 0;3;2. Xét đường thẳng d thay đổi song
song với Oz và cách Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất. d đi qua điểm nào dưới đây? A. Q0;2;  5 . B. M 0;4;2. C. P  2  ;0;2. D. N 0;2;  5 .
Câu 102. (Mã 102 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A0; 4;  3 . Xét đường thẳng d thay đổi, song
song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. N 0;3; 5 .
B. M 0;  3;  5 .
C. P 3; 0;  3 .
D. Q 0;11;  3 .
Câu 103. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A0;3;  2. Xét đường thẳng d thay đổi,
song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi
qua điểm nào dưới đây?
A. M 0;8;  5 .
B. N 0; 2;  5 .
C. P 0;  2;  5 . D. Q  2  ;0;  3 .
Câu 104. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d có x  1 t
phương trình  y  2  t và ba điểm A6;0;0 , B0;3;0 , C 0;0;4 . Gọi M  ; a ;
b c là điểm thuộc d z t   sao cho biểu thức 2 2 2
P MA  2MB  3MC đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó a b c bằng A. 3  . B. 4 . C. 1. D. 2 .
Câu 105. (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A3; 2  ;3 , x 1 y  2 z  3
B 1;0;5 và đường thẳng d :  
. Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d để 1 2 2 2 2
MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. A. M 1; 2;3 . B. M 2; 0;5 . C. M 3; 2;7 . D. M 3;0; 4 . x y 1 z
Câu 106. (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  :   và 1 1 1 hai điểm A1; 2; 5   , B  1
 ; 0; 2 . Biết điểm M thuộc  sao cho biểu thức MA MB đạt giá trị lớn nhất T . Khi đó, T bằng bao nhiêu? max max A. T  57 . B. T  3 . C. T  2 6  3 . D. T  3 6 . max max max max
Câu 107. (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
x  1 2t  
d  :  y  1 t
và hai điểm A1;5; 0 , B 3;3;6 . Gọi M  ; a ;
b c là điểm trên d  sao cho chu vi z  2t
tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P a b c . A. P  1 . B. P  3 . C. P  3 . D. P  1  .
Câu 108. (TT DIỆU HIỀN - CẦN THƠ - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x  2 y 1 z d :  
và hai điểm A2;0;3 , B 2; 2; 3 . Biết điểm M x ; y ; z thuộc d thỏa mãn 0 0 0  1 2 3 4 4
MA MB nhỏ nhất. Tìm x . 0 A. x  1. B. x  3 . C. x  0 . D. x  2 . 0 0 0 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 109. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1  ;0  ;1 , B 3; 2  ;1 ,
C 5;3;7 . Gọi M  ; a ;
b c là điểm thỏa mãn MA MB và MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
P a b c A. P  4 . B. P  0 . C. P  2 . D. P  5 .
Dạng 4. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt phẳng
Dạng 4.1 Bài toán liên quan khoảng cách, góc
Câu 110. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x 1 y  2 z 1
P : 2x  2y z 1  0 và đường thẳng  :  
. Tính khoảng cách d giữa  và  P . 2 1 2 5 2 1 A. d  2 B. d  C. d  D. d  3 3 3
Câu 111. (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa đường x 1 y z thẳng d :  
và mặt phẳng  P : x y z  2  0 bằng: 1 1 2 3 2 3 A. 2 3. B. . C. . D. 3. 3 3
Câu 112. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , khoảng cách x  2  t
giữa đường thẳng  :  y  5  4t , t   và mặt phẳng  P : 2x y  2z  0 bằng z  2t  A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 .
Câu 113. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng  x  1 t
d :  y  2  2t và mặt phẳng (P): x y  3  0 . Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).  z  3 t  A. 0 60 B. 0 30 C. 120o D. 0 45
Câu 114. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x 1 y z 1
P : 4x  7 y z  25  0 và đường thẳng d :  
. Gọi d ' là hình chiếu vuông góc của d 1 1 2 1  1 1
lên mặt phẳng  P . Đường thẳng d nằm trên  P tạo với d , d ' các góc bằng nhau, d có vectơ chỉ 2 1 1 2  a  2b phương u a; ; b c . Tính . 2   c a  2b 2 a  2b a  2b 1 a  2b A.  . B.  0 . C.  . D.  1. c 3 c c 3 c
Câu 115. (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A3;1;7, B 5;5 
;1 và mặt phẳng  P :2x y z  4  0 . Điểm M thuộc  P sao cho
MA MB  35. Biết M có hoành độ nguyên, ta có OM bằng A. 2 2 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 4 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 116. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzx t x 1 y  2 z 1 
, cho hai đường thẳng d :  
, d :  y  0 . Mặt phẳng P qua d tạo với d một góc 1 2 2 1 2 1 2 z  t   0
45 và nhận vectơ n  1; ;
b c làm một vectơ pháp tuyến. Xác định tích bc. A. 4 hoặc 0. B. 4 hoặc 0. C. 4 . D. 4 .
Câu 117. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường x t x 1 y  2 z 1  thẳng d :  
và d :  y  0 . Mặt phẳng  P qua d tạo với d một góc o 45 và nhận 1 2 2 1 2 1 2 z t   
véctơ n 1;b;c làm một véctơ pháp tuyến. Xác định tích bc . A. 4 hoặc 0 B. 4 hoặc 0 C. 4 D. 4
Câu 118. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN LẦN 1 NĂM 2018-2019) rong không gian Oxyz , cho hai đường  x t x  1 y  2 z  1  thẳng d :  
và d :  y  0 . Mặt phẳng  P qua d , tạo với d một góc 45 và 1 2 2  1  2 1 2  z  t   nhận vectơ n 1; ;
b c làm một vec tơ pháp tuyến. Xác định tích . b c . A. 4  . B. 4 . C. 4 hoặc 0 . D. 4 hoặc 0 .
Dạng 4.2 Bài toán phương trình mặt phẳng, giao tuyến 2 mặt phẳng
Câu 119. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A1; 2; 2   và vuông x 1 y  2 z  3
góc với đường thẳng  :   có phương trình là 2 1 3
A. 2x y  3z  2  0 .
B. x  2 y  3z  1  0 .
C. 2x y  3z  2  0 .
D. 3x  2 y z  5  0 .
Câu 120. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M 3; 1;1 . Phương
trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng x  1 y  2 z  3  :   ? 3 2 1
A. 3x  2y z  8  0
B. 3x  2y z  12  0
C. 3x  2y z  12  0 D. x  2y  3z  3  0
Câu 121. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  có phương trình: x 10 y  2 z  2  
. Xét mặt phẳng  P :10x  2 y mz 11  0 , m là tham số thực. Tìm tất cả các 5 1 1
giá trị của m để mặt phẳng  P vuông góc với đường thẳng  . A. m  2 B. m  5  2 C. m  52 D. m  2 
Câu 122. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x 1 y  2 z
phẳng đi qua M 1; 1
 ; 2 và vuông góc với đường thẳng  :   . 2 1 3
A. 2x y  3z  9  0 .
B. 2x y  3z  9  0 . C. 2x y  3z  9  0 . D. 2x y  3z  6 .
Câu 123. (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng x 1 y  2 z  3 d :  
. Mặt phẳng  P vuông góc với d có một vectơ pháp tuyến là: 2 1  2    
A. n  1; 2;3 . B. n  2; 1  ; 2 . C. n  1; 4  ;1 .
D. n  2;1; 2 .
Câu 124. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , phương trình mặt x y z
phẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng (d ) :   là: 1 1 1
A. x y z 1  0 .
B. x y z  1.
C. x y z  1.
D. x y z  0 .
Câu 125. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua x  2 y 1 z  3
điểm A0;1;0 và chứa đường thẳng  :   có phương trình là: 1 1 1
A. x y z 1  0 .
B. 3x y  2z 1  0 . C. x y z 1  0 .
D. 3x y  2z 1  0 .
Câu 126. (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng x 1 y  2 z  2 d :  
. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng d . 1 2 1
A. T  : x y  2z 1  0 .
B.  P : x  2y z 1  0.
C. Q : x  2y z 1  0 .
D.  R : x y z 1  0.
Câu 127. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình
đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng  : x  3y z 1  0 ,  : 2x y z  7  0 . x  2 y z  3 x  2 y z  3 A.   B.   2 3 7 2 3 7 x y  3 z 10 x  2 y z  3 C.   D.   2 3 7 2  3 7
Câu 128. Đường thẳng  là giao tuyến của 2 mặt phẳng: x z  5  0 và x  2 y z  3  0 thì có phương trình là x  2 y 1 z x  2 y 1 z A.   B.   1 3 1  1 2 1  x  2 y 1 z  3 x  2 y 1 z  3 C.   D.   1 1 1  1 2 1 
Câu 129. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi   là mặt phẳng x  2 y  3 z
chứa đường thẳng (d ) :  
và vuông góc với mặt phẳng   : x y  2z 1  0 . Hỏi giao 1 1 2
tuyến của   và   đi qua điểm nào? A. 0;1;3 . B. 2;3;3 . C. 5; 6;8 D. 1; 2; 0
Câu 130. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Đường thẳng  là giao của hai mặt
phẳng x z  5  0 và x  2 y z  3  0 thì có phương trình là x  2 y 1 z x  2 y 1 z A.   . B.   . 1 3 1 1 2 1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x  2 y 1 z  3 x  2 y 1 z  3 C.   . D.   . 1 1 1 1 2 1
Câu 131. (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz cho điểm A 0;  3;1  x 1 y 1 z  3
và đường thẳng d :  
. Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng 3 2 1 d là:
A. 3x  2 y z  5  0 .
B. 3x  2 y z  7  0 .
C. 3x  2 y z 10  0 . D. 3x  2 y z  5  0 .
Câu 132. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x 1 y  2 z  :  
và mặt phẳng  P : x y z  3  0 . Phương trình mặt phẳng   đi qua O , song 1 2 3 
song với  và vuông góc với mặt phẳng  P là
A. x  2 y z  0 .
B. x  2 y z  0 .
C. x  2 y z  4  0 . D. x  2 y z  4  0 .
Dạng 4.3 Bài toán giao điểm (hình chiếu, đối xứng) của đường thẳng với mặt phẳng
Câu 133. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x 1 y z  5 d :  
và mặt phẳng  P :3x 3y  2z  6  0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1  3 1
A. d cắt và không vuông góc với  P.
B. d vuông góc với  P.
C. d song song với  P. D. d nằm trong  P.
Câu 134. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x y  2 z 1  :  
và mặt phẳng  P :11x my nz 16  0 . Biết    P , tính giá trị của 2  1 3
T m n . A. T  2 . B. T  2  . C. T  14 . D. T  14  .
Câu 135. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho x  2 y z  1 đường thẳng  :  
. Gọi M là giao điểm của  với mặt phẳng  P : x  2 y  3z  2  0 . 3  1 2
Tọa độ điểm M là A. M 2;0;   1 .
B. M 5; 1;  3 . C. M 1;0  ;1 . D. M  1  ;1;  1 .
Câu 136. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , tọa độ hình chiếu
vuông góc của điểm A3; 2;  
1 lên mặt phẳng   : x y z  0 là:  5 2 7   1 1 1  A.  2  ;1;  1 . B. ; ;    . C. 1;1; 2   . D. ; ;   .  3 3 3   2 4 4 
Câu 137. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz
, hình chiếu của điểm M 1; 0;3 theo phương véctơ v  1; 2;1 trên mặt phẳng  P : x y z  2  0 có tọa độ là A. 2; 2; 2 . B. 1;0  ;1 . C. 2; 2; 2 . D. 1;0;  1  .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 138. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , giao điểm của x 12 y  9 z 1
mặt phẳng  P : 3x  5 y z  2  0 và đường thẳng  :  
là điểm M x ; y ; z . 0 0 0  4 3 1
Giá trị tổng x y z bằng 0 0 0 A. 1. B. 2 . C. 5 . D. 2 .  x  t
Câu 139. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A1;0;0, B 0; 2;0 , C 0;0;3 và d : y  2  t . Gọi  z  3   t
M (a; b; c) là tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng  ABC . Tổng S a b c là: A. -7. B. 11. C. 5. D. 6.
Câu 140. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
P : 6x  2y z  35  0 và điểm A 1
 ;3; 6. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua  P , tính OA'. A. OA  5 3 B. OA  46 C. OA  186 D. OA  3 26
Câu 141. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x 1 y  5 z  3 d :  
. Phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt 2 1  4
phẳng x  3  0 ? x  3  x  3  x  3  x  3     
A.  y  5  2t B.  y  6   t C.  y  5   t D.  y  5   t z  3 t     z  7  4t
z  3  4tz  3  4t
Câu 142. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng x y 1 z  2
P : x y z  3  0 và đường thẳng d :  
. Hình chiếu vuông góc của d trên  P có 1 2 1  phương trình là x 1 y 1 z 1 x 1 y  4 z  5 A.   B.   1 4 5  1 1 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 C.   D.   1  4  5 3 2  1 
Câu 143. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   : 2x y z  3  0 và đường thẳng x  4 y 3 z  2 d :  
. Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d qua 3 6  1  mặt phẳng   . x y  5 z  4 x y 5 z  4 A.   . B.   . 11 17  2  11 1  7 2  x y 5 z  4 x y 5 z  4 C.   . D.   . 11 1  7 2  11 1  7 2
Câu 144. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xác
định tọa độ điểm M  là hình chiếu vuông góc của điểm M 2;3; 
1 lên mặt phẳng   : x  2 y z  0 .  5   5 3  A. M  2; ;3   . B. M 1;3;5 . C. M  ; 2;   . D. M 3;1; 2 .  2   2 2 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 145. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , điểm M
đối xứng với điểm M 1; 2; 4 qua mặt phẳng   : 2x y  2z  3  0 có tọa độ là A.  3  ; 0;0 . B.  1  ;1; 2 . C.  1  ; 2  ; 4   . D. 2;1; 2 .
Câu 146. (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm x 1 y  1 z  2 A1;2; 
1 ,đường thẳng d :  
và mặt phẳng  P : x y  2z 1  0 . Điểm B thuộc 2 1 1
mặt phẳng  P thỏa mãn đường thẳng AB vuông góc và cắt đường thẳng d . Tọa độ điểm B là A. (6; 7; 0) B. (3; 2; 1) C. (3;8; 3) D. (0; 3; 2)
Câu 147. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng x y 1 z  2
P : x y z  3  0 và đường thẳng d :  
. Hình chiếu vuông góc của d trên  P  có 1 2 1  phương trình là x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 A.   B.   1  4  5 3 2  1  x 1 y 1 z 1 x 1 y  4 z  5 C.   D.   1 4 5  1 1 1
Câu 148. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng x  3 y  2 z 1 d :  
, mặt phẳng (P) : x y z  2  0 . Gọi M là giao điểm của d và (P) . Gọi  2 1 1
là đường thẳng nằm trong (P) vuông góc với d và cách M một khoảng 42 . Phương trình đường thẳng  là x  5 y  2 z  4 x 1 y 1 z 1 A.   . B.   . 2 3 1 2 3  1 x  3 y  4 z  5 C.   . D. Đáp án khác. 2 3  1
Câu 149. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường  x  3 y 1 z  4
thẳng d có véctơ chỉ phương u  1; 0;2 và đi qua điểm M 1; 3  ;2, d :   . 1 2 1 2 3
Phương trình mặt phẳng P cách đều hai đường thẳng d và d có dạng ax by cz 11 0 . Giá trị 1 2
a  2b  3c bằng A. 4  2. B. 32 . C. 11. D. 20 .
Câu 150. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường x 1 y z  2
thẳng d và mặt phẳng P lần lượt có phương trình  
và x y 2z 8  0 , điểm 2 1 1 A2; 1  ; 
3 . Phương trình đường thẳng  cắt d và P lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của
đoạn thẳng MN là: x 1 y  5 z 5 x  2 y 1 z 3 A.   B.   3 4 2 6 1 2 x 5 y 3 z 5 x 5 y 3 z 5 C.   D.   6 1 2 3 4 2
Câu 151. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz x 1 y  2 z 1
, cho đường thẳng d :  
và mặt phẳng  P : x y z  3  0 . Đường thẳng d là hình 2 1 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
chiếu của d theo phương Ox lên  P , d nhận u   ; a ;
b 2019 là một vectơ chỉ phương. Xác định tổng a b. A. 2019 . B. 2019 . C. 2018 . D. 2  020 .
Câu 152. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x y 1 z  2
mặt phẳng  P: x y z  3  0 và đường thẳng d :  
. Hình chiếu của d trên  P có 1 2 1 
phương trình là đường thẳng d  . Trong các điểm sau điểm nào thuộc đường thẳng d  :
A. M 2;5;  4 . B. P 1;3;   1 . C. N 1; 1;3 .
D. Q 2;7;  6 .
Câu 153. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng x td :  y  1
  2t , t  , cắt mặt phẳng  P : x y z  3  0 tại điểm I . Gọi  là đường thẳng nằm z  2  t
trong mặt phẳng  P sao cho   d và khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng  bằng 42 . Tìm tọa
độ hình chiếu M a; ;
b c ( với a b c ) của điểm I trên đường thẳng  . A. M 2;5; 4   . B. M 6; 3  ; 0 . C. M 5; 2; 4   . D. M  3  ; 6; 0 .
Câu 154. (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , cho
mặt phẳng   : x y z  6  0 và đường thẳng x 1  y  4 z d : 
 . Hình chiếu vuông góc của d trên  có phương trình là 2 3 5 x 1 y  4 z 1  x y  5 z 1  A.   . B.   . 2 3 5 2 3 5 x  5 y z 1  x y 5 z 1  C.   . D.   . 2 3 5 2 3 5
Câu 155. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x  2 y  4 z 1
P : x y z 1  0 và đường thẳng d :  
. Viết phương trình đường thẳng d  là hình 2 2  1
chiếu vuông góc của d trên  P . x  2 y z 1 x  2 y z 1 A. d  :   . B. d  :   . 7 5  2 7 5  2 x  2 y z 1 x  2 y z 1 C. d  :   . D. d  :   . 7 5 2 7 5 2
Câu 156. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x 1 y  2 z 1 d :  
và mặt phẳng (P) : x y z  3  0 . Đường thẳng d ' là hình chiếu của d theo 2 1 3 
phương Ox lên (P) ; d ' nhận u a ;b; 2019 làm một véctơ chỉ phương. Xác định tổng a b . A. 2019 B. 2  019 C. 2018 D. 2  020
Dạng 4.4 Bài toán cực trị
Câu 157. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm
A1; 2;3, B 0;1 
;1 ,C 1;0; 2 và mặt phẳng  P : x y z  2  0 . Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng (P)
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
sao cho giá trị của biểu thức 2 2 2
T MA  2MB  3MC nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng
Q :2x y  2z 30 ? 2 5 121 91 A. B. C. 24 D. 3 54 54
Câu 158. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng x y z  :  
và mặt phẳng  P : x  2 y  2z  0 . Gọi Q  là mặt phẳng chứa  sao cho góc giữa hai 2 2 1
mặt phẳng  P và Q  là nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng Q  là
A. x  2 y z  0 .
B. x  22 y  10z  0 . C. x  2 y z  0 .
D. x  10 y  22z  0 . A 1  0; 5
 ;8 B2;1;  1
Câu 159. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm , C 2;3;0
P : x  2y  2z  9  0 P , và mặt phẳng
. Xét M là điểm thay đổi trên sao cho 2 2 2
MA  2MB  3MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 2 2 2
MA  2MB  3MC . A. 54 . B. 282 . C. 256 . D. 328 .
Câu 160. (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho tứ diện ABCD có A1;1;6 , B  3
 ;  2;  4 , C 1; 2;  
1 , D 2;  2;0 . Điểm M a; ; b c
thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. Tính a b c . A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 .
Câu 161. (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có A 1  ;1; 6 , B  3  ; 2  ; 4
  , C 1; 2;   1 , D 2; 2
 ; 0 . Điểm M  ; a ;
b c thuộc đường thẳng CD sao cho
tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. Tính a b  . c A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 .
Câu 162. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng  P :x y z  3  0 và ba điểm A3;1;  1 , B 7;3;9 và   
C 2; 2;2 . Điểm M a; ;
b c trên  P sao cho MA  2MB  3MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
2a 10b c . 62 27 46 43 A. . B. . C. . D. . 9 9 9 9
Câu 163. Trong không gian Oxyz , cho điểm A1;1; 2 và mặt phẳng  P :m  
1 x y mz 1  0 , với m là tham
số. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P lớn nhất. Khẳng định đúng trong bốn khẳng định dưới đây là A. 2  m  6 . B. m  6 . C. 2   m  2 . D. 6   m  2 .
Câu 164. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm (
A 1;1;1) , B(2; 0;1) và mặt phẳng (P) :x y  2z  2  0. Viết phương trình chính tắc của đường
thẳng d đi qua A , song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ B đến d lớn nhất. x 1 y 1 z 1 x y z  2 A. d :   . B. d :   . 3 1 2  2 2 2  x  2 y  2 z x 1 y 1 z 1 C. d :   . D. d :   . 1 1 1  3 1  1 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 165. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm ( A 8;1;1) ,
   
B(2;1;3) và C(6; 4; 0) . Một điểm M di động trong không gian sao cho M . A MC M .
A MB  34 . Cho biết
MA MB đạt giá trị lớn nhất khi điểm M trùng với điểm M (x ; y ; z ) . Tính tích số x y z . 0 0 0 0 0 0 0 A. 16. B. 18. C. 14. D. 12.
Câu 166. (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho tam giác ABC với A2;1;3, B 1;1;2, C 3;6;0, D 2; 2; 
1 . Điểm M x;y;z
thuộc mặt phẳng P : x y z  2  0 2 2 2 2
sao cho S MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức  2  2  2 P x y z . A. P  6 . B. P  2 . C. P  0 . D. P  2  .
Câu 167. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x y 1 2  z d :  
. Gọi  P  là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng 1 2  1
Q : 2x y  2z  2  0 một góc có số đo nhỏ nhất. Điểm A1; 2;3 cách mặt phẳng  P một khoảng bằng: 5 3 7 11 4 3 A. 3 . B. . C. . D. . 3 11 3
Câu 168. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1; 2; 3   , B  2  ; 2  
;1 và mặt phẳng  : 2x  2 y z  9  0 . Gọi M là điểm thay đổi trên mặt
phẳng  sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Xác định phương trình đường thẳng MB
khi MB đạt giá trị lớn nhất.  x  2   tx  2   2tx  2   tx  2   t     A.  y  2   2t B.  y  2   t C.  y  2  D.  y  2   t z 1 2t     z  1 2tz  1 2tz  1 
Câu 169. ----- (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Viết phương trình đường
thẳng a đi qua M 4;  2 ; 
1 , song song với mặt phẳng () : 3x  4 y z 12  0 và cách A 2; 5; 0 một khoảng lớn nhất. x  4  tx  4  tx  1 4t
x  4  t     A.  y  2   t . B.  y  2   t .
C.  y  1 2t . D.  y  2   t . z 1 t     z  1   tz  1   tz  1 t
Câu 170. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Đường thẳng  đi qua điểm M 3;1 
;1 , nằm trong mặt phẳng x  1  
  : x y z  3  0 và tạo với đường thẳng d :  y  4  3t một góc nhỏ nhất thì phương trình của 
z  3 2t  là
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x  1
x  8  5t
x  1 2t
x  1 5t     A.  y t   . B.  y  3   4t .
C.  y  1 t .
D.  y  1 4t . z  2t     z  2  t 
z  3  2t 
z  3  2t 
Câu 171. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz cho   A4; 2
 ;6 , B 2; 4; 2 , M  : x  2y  3z  7  0 sao cho M .
A MB nhỏ nhất. Tọa độ của M bằng  29 58 5   37 56 68  A. ; ;   . B. 4;3  ;1 . C. 1;3; 4 . D. ; ;   .  13 13 13   3 3 3 
Câu 172. (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian Oxyz , cho điểm A1;1;  1 và mặt
phẳng (P) : x  2 y  0 . Gọi  là đường thẳng đi qua A , song song với (P) và cách điểm B 1;0;2
một khoảng ngắn nhất. Hỏi  nhận vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương ?    
A. u  6;3; 5 .
B. u  6; 3;5 . C. u  6;3;5 .
D. u  6; 3; 5 .
Câu 173. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai điểm (
A 1; 0; 2), B(3;1; 1  ). và mặt phẳng  
(P) : x y z 1  0. Gọi M ( ; a ;
b c)  (P) sao cho 3MA  2MB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
S  9a  3b  6 . c A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 174. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A2; 1  ; 2   và đường x 1 y 1 z 1
thẳng d  có phương trình  
. Gọi  P là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với 1 1 1
đường thẳng d  và khoảng cách từ d tới mặt phẳng  P là lớn nhất. Khi đó mặt phẳng  P vuông góc
với mặt phẳng nào sau đây?
A. x y  6  0 .
B. x  3y  2z 10  0 .
C. x  2 y  3z 1  0 .
D. 3x z  2  0 .
Câu 175. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi  P là mặt phẳng đi qua hai
điểm A1; 7; 8 , B 2; 5  ; 9
  sao cho khoảng cách từ điểm M 7; 1
 ; 2 đến  P đạt giá trị lớn nhất. 
Biết  P có một véctơ pháp tuyến là n   ; a ;
b 4 , khi đó giá trị của tổng a b là A. 1. B. 3 . C. 6 . D. 2 .
Câu 176. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A3; 1;  0 và đường x  2 y 1 z 1 thẳng d :  
. Mặt phẳng   chứa d sao cho khoảng cách từ A đến   lớn nhất có 1  2 1 phương trình là
A. x y z  2  0 .
B. x y z  0 .
C. x y z  1  0 .
D. x  2 y z  5  0 .
Câu 177. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A3;0;  1 ,
B 1;1;3 và mặt phẳng  P : x  2 y  2z  5  0 . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi
qua A , song song với mặt phẳng  P sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. x  3 y z  1 x  3 y z  1 A. d :   . B. d :   . 26 11 2 26 11 2 x  3 y z  1 x  3 y z  1 C. d :   . D. d :   . 26 11 2 26  11 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 178. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm
A 1; 4;5, B 3; 4; 0, C 2; 1; 0 và mặt phẳng   : 3x  3y  2z 12  0. Gọi M a; ;
b c thuộc   sao cho 2 2 2
MA MB  3MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S a b  . c A. 3 . B. 2 . C. 2 . D. 1.
Câu 179. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa
P :x y z  2  0 A3; 4  ;1 ; B 7; 4  ; 3  
độ Oxyz , cho mặt phẳng và hai điểm . Điểm M  ; a ;
b ca  2 P thuộc
sao cho tam giác ABM vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất. Khi đó giá
trị biểu thức T a b c bằng: A. T  6 . B. T  8. C. T  4 . D. T  0 .
Câu 180. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A2;5;3 và đường x 1 y z  2 thẳng d :  
. Gọi  P là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ A đến  P là lớn 2 1 2
nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến  P bằng 3 11 2 1 A. 2 . B. . C. . D. . 6 6 2
Câu 181. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm
A1; 2;3, B 5; 4  ;  
1 và mặt phẳng  P qua Ox sao cho d  2d
, P cắt AB tại I  ; a ; b c B,P  A,P
nằm giữa AB . Tính a b c A. 8 B. 6 C. 12 D. 4
Câu 182. (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz cho các điểm (
A 1; 2; 0), B(1; 1;3),C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P) : 3x  3y  2z 15  0 . Xét M (a; ; b c) thuộc mặt phẳng (P) sao cho 2 2 2
2MA MB MC nhỏ nhất. Giá trị của a b c bằng A. 3 . B. 7 . C. 2 . D. 1.
Câu 183. (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng x 1 y z 1 d :   và điểm (
A 1; 2;3) . Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và cách điểm A một khoảng cách 2 1 1
lớn nhất. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P) .     A. n  (1; 0; 2) .
B. n  (1; 0; 2) . C. n  (1;1;1) . D. n  (1;1; 1) .
Câu 184. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3  ;0; 
1 , B 1;1;3 và mặt phẳng  P : x  2 y  2z  5  0 . Viết phương trình chính tắc của đường
thẳng d đi qua A , song song với mặt phẳng  P sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. x  3 y z  1 x  3 y z  1 A. d :   . B. d :   . 26 11 2 26 11 2 x  3 y z  1 x  3 y z  1 C. d :   . D. d :   . 26 11 2 26  11 2
Câu 185. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x 1 y 1 z  3
P : x y  4z  0 , đường thẳng d :  
và điểm A1; 3; 
1 thuộc mặt phẳng  P . Gọi 2 1 1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
 là đường thẳng đi qua A , nằm trong mặt phẳng  P và cách đường thẳng d một khoảng cách lớn nhất. 
Gọi u  a; ; b
1 là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng  . Tính a  2b .
A. a  2b  3 .
B. a  2b  0 .
C. a  2b  4 .
D. a  2b  7 .
Câu 186. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A2;1;3 và mặt
phẳng  P : x my  2m  
1 z m  2  0 , m là tham số. Gọi H  ; a ;
b c là hình chiếu vuông góc của
điểm A trên  P . Tính a b khi khoảng cách từ điểm A đến  P lớn nhất ? 1 3
A. a b   .
B. a b  2 .
C. a b  0 . D. a b  . 2 2
Câu 187. (PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1;1;  1 , B  1
 ; 1;3 và mặt phẳng  P : x  2 y z  2  0 . Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng  P sao cho
MA MB nhỏ nhất là: A. M 1; 0  ;1 . B. M 0;0; 2 . C. M 1; 2; 3   . D. M  1  ; 2;   1 .
Câu 188. (TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN 2 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A1;  2;  1 , B 5; 0;   1
, C 3;1; 2 và mặt phẳng Q : 3x y z  3  0 . Gọi M  ; a ;
b c là điểm thuộc Q thỏa mãn 2 2 2
MA MB  2MC nhỏ nhất. Tính tổng a b  5c . A. 11. B. 9 . C. 15 . D. 14 .
Câu 189. (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A1;1 
;1 , B 0;1; 2 , C  2
 ;1; 4 và mặt phẳng  P : x y z  2  0 . Tìm điểm N  P sao cho 2 2 2
S  2NA NB NC đạt giá trị nhỏ nhất.  4 4   1 5 3  A. N  ; 2;   . B. N  2  ; 0;  1 . C. N  ; ;   . D. N 1; 2;  1 .  3 3   2 4 4 
Dạng 5. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng thẳng với đường thẳng
x  2  3t
Câu 190. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : y  3  t z  4   2t x  4 y  1 z và  d :  
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa 3 1 2 d và 
d , đồng thời cách đều hai đường thẳng đó. x  3 y  2 z  2 x  3 y  2 z  2 A.   B.   . 3 1 2 3 1 2 x  3 y  2 z  2 x  3 y  2 z  2 C.   D.   3 1 2 3 1 2
Câu 191. (CHUYÊN TRẦN ĐẠI NGHĨA - TPHCM - HK2 - 2018) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d : 1 x y  3 z  2 x  3 y 1 z  2   và d :   1 2 1 2 1 2  1 2 12 3 2 A. . B. . C. . D. 3 . 3 5 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 192. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường x 1 y z  2 x  2 y 1 z thẳng d :   , d :  
. Xét vị trí tương đói của hai đường thẳng đã cho. 1 2 1 2  2 2 1 2 A. Chéo nhau B. Trùng nhau C. Song song D. Cắt nhau
Câu 193. (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian tọa độ Oxyz ,
xét vị trí tương đối của hai đường thẳng x 1 y  1 z x  3 y  3 z  2  :   ,  :   1 2 2 2 3 1 2 1
A.  song song với  . B.  chéo với  . C.  cắt  . D.  trùng với  . 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 194. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng x 1 y  2 z1 x  2 y 1 z 2  :   và  :  
. Đường thẳng chứa đoạn vuông góc chung của  1 2 1 1 2 4 1 1 1
và  đi qua điểm nào sau đây? 2 A. M 0; 2  ; 5   . B. N 1; 1  ; 4   . C. P 2; 0  ;1 . D. Q 3;1; 4   .
Câu 195. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai
x  1  t x  1 y z  đường thẳng d :  
; d :  y  2  t . Gọi S là tập tất cả các số m sao cho d và d chéo 1 2 2 1 3 1 2  z m  5
nhau và khoảng cách giữa chúng bằng
. Tính tổng các phần tử của S . 19 A. 1  1 . B. 12 . C. 1  2 . D. 11. x 1 y  2 z  3
Câu 196. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  
và điểm A 1; 0;  
1 . Gọi d là đường 1 1 2  1 2 
thẳng đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương v  a;1; 2 . Giá trị của a sao cho đường thẳng d cắt đường 1 thẳng d là 2 A. a  1  . B. a  2 . C. a  0 . D. a  1.
Câu 197. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz cho ba đường thẳng x y z 1 x  3 y z 1 x 1 y  2 z d :   ,  :   ,  :  
. Đường thẳng  vuông góc với d đồng 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1
thời cắt  ,  tương ứng tại H , K sao cho độ dài HK nhỏ nhất. Biết rằng  có một vectơ chỉ phương 1 2 u ;hk
;1 . Giá trị h k bằng A. 0. B. 4. C. 6. D. 2  .
Câu 198. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng x  2  tx  4 y 1 z
d :  y  1 2t và d :  
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng thuộc  1 2  2 z  4  2t
mặt phẳng chứa d và d  đồng thời cách đều hai đường thẳng đó. x  2 y 1 z  4 x  3 y  2 z  2 A.   . B.   . 3 1 2  1 2  2 x  3 y z  2 x  3 y  2 z  2 C.   . D.   . 1 2  2 1 2 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 199. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho bốn đường thẳng: x  3 y 1 z 1 x y z 1 x 1 y 1 z 1 x y 1 z 1 d :   , d :   , d :   , d :   4  3  2  1  1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1  1
. Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là: A. 0 . B. 2 . C. Vô số. D. 1.
Câu 200. (CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường x  1 t x 1 y z  thẳng d :  
, d :  y  2  t . Gọi S là tập tất cả các số m sao cho d và d chéo nhau và 1 2 1 3 2 1 2 z m  5
khoảng cách giữa chúng bằng
. Tính tổng các phần tử của S . 19 A. 11. B. 12 . C. 12 . D. 11.
Dạng 6. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt cầu
Câu 201. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng x  1 y  1 z  1 x 1 y 1 z 1  :   và  :  
. Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, đồng 1 2 1 2 2 2 2 1
thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng  và  . 1 2 16 4 16 4 A.  (đvdt). B.  (đvdt). C.  (đvdt). D.  (đvdt). 17 17 17 17
Câu 202. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho x  2t
x  3  t '  
hai đường thẳng d :  y t và d :  y t '
. Viết phương trình mặt cầu  S  có bán kính nhỏ nhất tiếp 1 2 z  4   z  0 
xúc với cả hai đường thẳng d và d . 1 2 2 2 2 2 2 2
A.  S  :  x  2   y   1
  z  2  4.
B.  S  :  x  2   y   1
  z  2  16. 2 2
C.  S   x     y   2 : 2 1  (z  2)  4.
D.  S   x  2 2 2 : 2
 ( y  1)  (z  2)  16.
Câu 203. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt x  1 y  2 z 1 cầu  S  2 2 2
: x y z  2x  4 y  6z 13  0 và đường thẳng d :   . Điểm 1 1 1 M  ; a ;
b c,a  0 nằm trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến M , A MB, MC đến   
mặt cầu  S  ( ,
A B, C là các tiếp điểm) và 0 AMB  60 , 0 BMC  60 , 0 CMA  120 . Tính 3 3 3
a b c . 173 112 23 A. 3 3 3
a b c  . B. 3 3 3
a b c  . C. 3 3 3
a b c  8 . D. 3 3 3
a b c  . 9 9 9
Dạng 7. Một số bài toán liên quan giữa điểm – mặt – đường – cầu
Dạng 7.1 Bài toán tìm điểm
Câu 204. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I 1; 2; 3 và mặt phẳng
P : 2x  2y z  4  0 . Mặt cầu tâm I tiếp xúc với P tại điểm H . Tìm tọa độ điểm H . A. H 1; 1; 0
B. H 3; 0; 2 C. H 1; 4; 4 D. H 3; 0; 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 205. Trong không gian Oxyz , biết mặt cầu  S có tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng  P : x  2 y  2z  9  0 tại điểm H  ; a ;
b c . Giá trị của tổng a b c bằng A. 2 . B. 1  . C. 1. D. 2  .
Câu 206. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa
độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : x  2 y  2z  3  0 và mặt cầu  S  tâm I 5; 3
 ;5 , bán kính R  2 5 .
Từ một điểm A thuộc mặt phẳng  P kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu  S  tại B . Tính OA biết AB  4 . A. OA  11 . B. OA  5 . C. OA  3 . D. OA  6 . x  1 t
Câu 207. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2
x y z  9 và điểm M x ; y ; z thuộc d :  y  1 2t . Ba 0 0 0 
z  2  3t
điểm A , B , C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA , MB , MC là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng
mặt phẳng  ABC  đi qua D 1;1; 2 . Tổng 2 2 2
T x y z bằng 0 0 0 A. 30 B. 26 C. 20 D. 21
Câu 208. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm
A 0; 0;3, B 2; 0; 
1 và mặt phẳng   : 2x y  2z  8  0 . Hỏi có bao nhiêu điểm C trên mặt phẳng
  sao cho tam giác ABC đều? A. 2 . B. 1. C. 0 . D. Vô số.
Câu 209. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x  1 t 2 2 2 
x y z  9 và điểm M x ; y ; z thuộc đường thẳng d :  y  1 2t . Ba điểm ,
A B, C phân 0 0 0 
z  2  3t
biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho M ,
A MB, MC là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng  ABC
đi qua D 1; 1; 2 . Tổng 2 2 2
T x y z bằng 0 0 0 A. 30 . B. 26 . C. 20 . D. 21 .
Câu 210. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho x y  2 z mặt cầu 2 2 2
(S ) : x y z  2x  2z 1  0 và đường thẳng d :  
. Hai mặt phẳng ( P ) , 1 1 1 
( P) chứa d và tiếp xúc với (S ) tại T , T . Tìm tọa độ trung điểm H của TT  .  7 1 7   5 2 7   5 1 5   5 1 5  A. H  ; ;   . B. H ; ;    . C. H ; ;    . D. H  ; ;   .  6 3 6   6 3 6   6 3 6   6 3 6  x  2  
Câu 211. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hai đường thẳng d :  y tt   ,
z  2  2tx  3 y 1 z  4  :  
và mặt phẳng  P : x y z  2  0 . Gọi d , 
 lần lượt là hình chiếu của d 1 1 1
và  lên mặt phẳng  P . Gọi M a; ;
b c là giao điểm của hai đường thẳng d và 
 . Biểu thức a  . b c bằng A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 6 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Dạng 7.2 Bài toán tìm mặt phẳng Câu 212. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
S   x  2   y  2   z  2 : 2 3 1
 16 và điểm A 1  ; 1  ;  
1 . Xét các điểm M thuộc S  sao cho đường
thẳng AM tiếp xúc với  S . M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là
A. 6x  8 y 11  0
B. 6x  8 y 11  0
C. 3x  4 y  2  0
D. 3x  4 y  2  0
Câu 213. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu x  2 y z 1 x y z 1
S   x  2   y  2   z  2 : 1 1 2
 2 và hai đường thẳng d :   ;  :   . 1 2 1 1 1 1
Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với  S  , song song với d và  ?
A. y z  3  0
B. x z 1  0
C. x y  1  0
D. x z 1  0 2 2 2
Câu 214. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  
1   y  2   z  3  1 , đường thẳng x  6 y  2 z  2  :  
và điểm M 4;3 
;1 . Trong các mặt phẳng sau mặt phẳng nào đi qua M , song 3 2 2
song với  và tiếp xúc với mặt cầu  S  ?
A. 2x  2 y  5z  22  0 . B. 2x y  2z 13  0 .
C. 2x y  2z 1  0 .
D. 2x y  2z  7  0 . Câu 215. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
S   x  2   y  2   z  2 : 2 3 1
 16 và điểm A 1  ; 1  ;  
1 . Xét các điểm M thuộc S  sao cho đường
thẳng AM tiếp xúc với  S . M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là
A. 6x  8 y 11  0
B. 6x  8 y 11  0
C. 3x  4 y  2  0
D. 3x  4 y  2  0
Câu 216. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu x  2 y z 1 x y z 1
S   x  2   y  2   z  2 : 1 1 2
 2 và hai đường thẳng d :   ;  :   . 1 2 1 1 1 1
Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với  S  , song song với d và  ?
A. y z  3  0
B. x z 1  0
C. x y  1  0
D. x z 1  0
Câu 217. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) chứa x  4 y z  4 2 2 2 đường thẳng d :  
và tiếp xúc với mặt cầu  S  :  x  3   y  3   z   1  9 . Khi đó 3 1 4
P song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. 3x  y  2z  0 . B. 2
 x  2 y z  4  0 .
C. x  y z  0 D. Đáp án khác.
Câu 218. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình
mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu 2 2 2
(x 1)  y  (z  2)  6 đồng thời song song với hai đường thẳng x  2 y 1 z x y  2 z  2 d :   , d :   . 1 3 1  1 2 1 1 1
x y  2z  3  0
x y  2z  3  0 A.  B. 
C. x y  2z  9  0
D. x y  2z  9  0
x y  2z  9  0 
x y  2z  9  0 
Dạng 7.3 Bài toán tìm đường thẳng
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 219. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm E 2;1;3 , mặt phẳng  2 2 2
P  : 2x  2 y z  3  0 và mặt cầu S  :  x  3   y  2   z  5  36 . Gọi  là đường thẳng đi
qua E , nằm trong mặt phẳng  P  và cắt S  tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của  là
x  2  9t
x  2  5tx  2  t
x  2  4t    
A.  y  1 9t
B.  y  1 3t
C.  y  1 t
D.  y  1 3t z  3 8t     z  3  z  3  z  3  3t  SS2  1 
Câu 220. (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu ,
S : x y z  25 S : x y z 1  4 2   2 2 2 1  2 2 2
có phương trình lần lượt là ,
. Một đường thẳng d u  1; 1  ;0 SS1  2  vuông góc với véc tơ
tiếp xúc với mặt cầu và cắt mặt cầu theo một đoạn thẳng
có độ dài bằng 8 . Hỏi véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của d ?     A. u  1;1; 3 B. u  1;1; 6 C. u  1;1; 0 D. u  1;1;  3 4   3   2   1  
Câu 221. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa
độ Oxyz , cho điểm M  3
 ;3;  3 thuộc mặt phẳng   : 2x  2 y z 15  0 và mặt cầu
S   x  2   y  2   z  2 : 2 3 5
 100 . Đường thẳng  qua M , nằm trên mặt phẳng   cắt S  tại ,
A B sao cho độ dài AB lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng  . x  3 y  3 z  3 x  3 y  3 z  3 A.   . B.   . 1 1 3 1 4 6 x  3 y  3 z  3 x  3 y  3 z  3 C.   . D.   . 16 11 10 5 1 8
Dạng 7.4 Bài toán tìm mặt cầu
Câu 222. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A4;6; 2 và
B2; 2;0 và mặt phẳng  P : x y z  0 . Xét đường thẳng d thay đổi thuộc  P và đi qua B , gọi
H là hình chiếu vuông góc của A trên d . Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định.
Tính bán kính R của đường tròn đó. A. R  3 B. R  2 C. R  1 D. R  6
Câu 223. (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz mặt phẳng  P  : 2x  6 y z  3  0 cắt trục Oz x  5 y z  6
và đường thẳng d :  
lần lượt tại A và B . Phương trình mặt cầu đường kính AB là: 1 2 1  2 2 2 2 2 2
A.  x  2   y  
1   z  5  36.
B.  x  2   y  
1   z  5  9. 2 2 2 2 2 2
C.  x  2   y  
1   z  5  9.
D.  x  2   y  
1   z  5  36.
Câu 224. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  2 2 2
: x y z  4x  6 y m  0 ( m là tham số) và đường thẳng
x  4  2t
 :  y  3  t . Biết đường thẳng  cắt mặt cầu S  tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB  8 . Giá
z  3  2t  trị của m là
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 A. m  5 . B. m  12 . C. m  12 . D. m  10  .
Câu 225. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng x y  3 z  2 d  :  
và hai mặt phẳng  P : x  2 y  2z  0 ; Q : x  2 y  3z  5  0 . Mặt cầu  S  2 1 1
có tâm I là giao điểm của đường thẳng d  và mặt phẳng  P . Mặt phẳng Q tiếp xúc với mặt cầu  S
. Viết phương trình mặt cầu  S  . 2 2 2 2 2 2
A.  S  :  x  2   y  4   z  3  1.
B.  S  :  x  2   y  4   z  3  6 . 2 2 2 2 2 2 2
C.  S  :  x  2   y  4   z  3  .
D.  S  :  x  2   y  4   z  4  8 . 7
Câu 226. (SGD - BÌNH DƯƠNG - HK 2 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  2 2 2
P : 2x  2 y z  9  0 và mặt cầu S  :  x  3   y  2   z   1
 100 . Mặt phẳng  P cắt mặt
cầu  S  theo một đường tròn C  . Tìm tọa độ tâm K và bán kính r của đường tròn C  là A. K 3; 2; 
1 , r  10 . B. K 1; 2;3 , r  8 . C. K 1; 2
 ;3 , r  8 . D. K 1; 2;3 , r  6 .
Câu 227. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 2  ; 0; 0 , B 0; 2
 ; 0 , C 0;0; 2
  . Gọi D là điểm khác O sao cho DA , DB , DC đôi một vuông góc nhau và
I a;b; c là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Tính S a b c . A. S  4  B. S  1  C. S  2  D. S  3 
Câu 228. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A4;6; 2 và
B2; 2;0 và mặt phẳng  P : x y z  0 . Xét đường thẳng d thay đổi thuộc  P và đi qua B , gọi
H là hình chiếu vuông góc của A trên d . Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định.
Tính bán kính R của đường tròn đó. A. R  3 B. R  2 C. R  1 D. R  6
Câu 229. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian Oxyz , cho  P :2x y  2z  1  0 ,
A0;0;4, B 3;1;2 . Một mặt cầu S  luôn đi qua ,
A B và tiếp xúc với  P tại C . Biết rằng, C luôn
thuộc một đường tròn cố định bán kính r . Tính bán kính r của đường tròn đó. 4 2 244651 2 244651 2024 A. Đáp án khác. B. r  . C. r  . D. r  . 3 9 3
Câu 230. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
S 1; 1;6 A1; 2;3 B 3;1;2 C 4;2;3 D2;3;4
hình chóp S.ABCD với , , , ,
. Gọi I là tâm mặt S  SAD cầu
ngoại tiếp hình chóp. Tính khoảng cách d từ I đến mặt phẳng . 3 3 6 21 3 A. d  . B. d  . C. d  . D. d  . 2 2 2 2
Câu 231. (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1;1  ;1 , B 2;2; 
1 và mặt phẳng  P : x y  2z  0 . Mặt cầu S  thay đổi qua ,
A B và tiếp xúc với
P tại H . Biết H chạy trên 1 đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó. 3 A. 3 2 . B. 2 3 . C. 3 . D. 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 232. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , xét số thực m  0  ;1 và hai x y z
mặt phẳng  : 2x y  2z 10  0 và  :  
 1. Biết rằng, khi m thay đổi có hai mặt cầu m 1 m 1
cố định tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt phẳng , . Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng A. 6 B. 3 C. 9 D. 12
Câu 233. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 2  ; 0; 0 , B 0; 2
 ; 0 , C 0;0; 2
  . Gọi D là điểm khác O sao cho DA , DB , DC đôi một vuông góc nhau và
I a;b; c là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Tính S a b c . A. S  4  B. S  1  C. S  2  D. S  3 
Dạng 7.5 Bài toán cực trị
Câu 234. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : x  2y  2z  3  0 và mặt cầu S  2 2 2
: x y z  2x  4 y  2z  5  0. Giả sử M   P và  
N  S  sao cho MN cùng phương với vectơ u 1;0 
;1 và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN. A. MN  3 B. MN  1 2 2 C. MN  3 2 D. MN  14
Câu 235. (SGD&ĐT ĐỒNG THÁP - HKII - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
S   x  2   y  2 2 : 1 2
z  4 có tâm I và mặt phẳng  P : 2x y  2z  2  0 . Tìm tọa độ điểm M
thuộc  P sao cho đoạn IM ngắn nhất.  1 4 4   11 8 2  A.  ;  ;    . B.  ;  ;    C. 1; 2  ; 2 . D. 1; 2  ; 3   .  3 3 3   9 9 9 
Câu 236. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : x  2y  2z  3  0 và mặt cầu S  2 2 2
: x y z  2x  4 y  2z  5  0. Giả sử M   P và  
N  S  sao cho MN cùng phương với vectơ u 1;0 
;1 và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN. A. MN  3 B. MN  1 2 2 C. MN  3 2 D. MN  14
Câu 237. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : x  2y  2z  3  0 và mặt cầu S  2 2 2
: x y z  2x  4 y  2z  5  0 . Giả sử M  P và  
N  S  sao cho MN cùng phương với vectơ u  1;0 
;1 và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN. A. MN  3. B. MN  1 2 2 . C. MN  3 2 . D. MN  14 .
Câu 238. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2
(S) : x y z  2x  4 y  2z  3  0 và mặt phẳng (P) : 2x y  2z 14  0 . Điểm M thay đổi trên
S  , điểm N thay đổi trên (P) . Độ dài nhỏ nhất của MN bằng 1 3 A. 1 B. 2 C. D. 2 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 239. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S  tâm x y 1 z 1 I 1; 2 
;1 ; bán kính R  4 và đường thẳng d :  
. Mặt phẳng  P chứa d và cắt mặt cầu 2 2  1 
S  theo một đường tròn có diện tích nhỏ nhất. Hỏi trong các điểm sau điểm nào có khoảng cách đến mặt
phẳng  P lớn nhất.  3 1  A. O 0;0;0 . B. A 1; ;    .
C. B 1; 2; 3 . D. C 2;1;0 .  5 4 
Câu 240. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng  P : y 1  0 , x  1   1 
đường thẳng d :  y  2  t và hai điểm A 1  ; 3  ;1  1 , B ; 0;8 
 . Hai điểm M , N thuộc mặt phẳng   2  z  1 
P sao cho d M ,d   2 và NA  2NB . Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MN . 2 2 A. MN  1 . B. MN  2 . C. MN  . D. MN  . min min min 2 min 3
Câu 241. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
S   x  2   y  2   z  2 : 1 2 1
 9 và hai điểm A4;3 
;1 , B 3;1;3 ; M là điểm thay đổi trên  S  .
Gọi m, n là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P  2MA MB . Xác định m n. A. 64 . B. 68 . C. 60 . D. 48 .
Câu 242. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm 2 2 2 A8;5; 1   1 , B 5;3; 4  ,C 1;2; 6
  và mặt cầu S  :  x  2   y  4   z   1  9 . Gọi điểm
   M  ; a ;
b c là điểm trên S  sao cho MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm a b . A. 6 . B. 2 . C. 4 . D. 9.
Câu 243. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x  1 2tS
x  2   y  2 2 ( ) : 3 1
z  4 và đường thẳng d :  y  1
  t , (t  ) . Mặt phẳng chứa d và cắt (S) z t  
theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là
A. y z  1  0 .
B. x  3y  5z  2  0 .
C. x  2 y  3  0 .
D. 3x  2 y  4z  8  0 .
Câu 244. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (3
A ; 2; 6), B(0;1; 0) và mặt cầu 2 2 2
(S) : (x 1)  ( y  2)  (z  3)  25 . Mặt phẳng
(P) : ax by cz  2  0 đi qua A, B và cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính
T a b c . A. T  3 B. T  5 C. T  2 D. T  4 Câu 245. (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
S   x  2   y  2   z  2 : 1 2 3
 48 Gọi   là mặt phẳng đi qua hai điểm A0;0; 4, B 2;0;0 và   SC cắt mặt cầu
theo giao tuyến là đường tròn
. Khối nón  N  có đỉnh là tâm của S  , đường tròn
đáy là C  có thể tích lớn nhất bằng
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 128 88 215 A. B. 39 C. C. 3 3 3 Lời giải Chọn B
Ta có tâm cầu I 1; 2;3; R  4 3
Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm cầu I lên mặt phẳng  
Vậy chiều cao của khối nón  N  là h d I , P  IH IK , trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên AB
Gọi Q  là mặt phẳng đi qua I và vuông góc với ta có Q  : x  2z  7  0 x t
Phương trình AB : y  0
thế vào Q  ta được t  8  4t  7  0  t  3 z  4   2t
Tọa độ K 3;0; 2  IK  3 2
Bán kính của khối nón r  48  h 1 1 1 2 2 2
Vậy thể tích của khối nón V
r .h   48 h .h   48 h .h h  0;  3 3 3 3
Khảo sát V ta tìm được V  39 max Câu 246.
(THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong
không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A1;0;  0 , B 3;2; 
0 , C 1;2;4. Gọi M là điểm thay
đổi sao cho đường thẳng MA , MB , MC hợp với mặt phẳng ABC  các góc bằng nhau; N là điểm thay 2 2 2 1
đổi nằm trên mặt cầu S  : x  
3  y  2  z  
3  . Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn 2 MN . 3 2 2 A. . B. 2 . C. . D. 5 . 2 2 Câu 247. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho mặt cầu
S   x  2   y  2   z  2 : 2 1 3  9 A 1 ; 1 ; 3 B 21 ; 9 ; 13 và hai điểm , . Điểm
M a ; b ; c S  thuộc mặt cầu sao cho 2 2
3MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức T  . a . b c bằng A. 3 . B. 8 . C. 6 . D. 18 .
Câu 248. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng x 1 y  2 z  3 2 2 2 d :  
và mặt cầu  S  :  x  3   y  4   z  5  729 . Cho biết điểm 2 3 4 A 2  ; 2  ; 7
  , điểm B thuộc giao tuyến của mặt cầu S  và mặt phẳng  P : 2x  3y  4z 107  0 .
Khi điểm M di động trên đường thẳng d giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB bằng A. 5 30 . B. 2 7 . C. 5 29 . D. 742 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 249. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN 1 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1; 2;  3 
và mặt phẳng  P : 2x  2y z  9  0 . Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u  3; 4;  4
cắt  P tại điểm B . Điểm M thay đổi trong  P sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90 . Khi độ
dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau? A. J  3  ; 2; 7 . B. K 3;0;15 . C. H  2  ; 1;3 . D. I 1; 2  ;3 .
Câu 250. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x 15 y  22 z  37
P : x y z 1  0 , đường thẳng d  :   và mặt cầu 1 2 2 S  2 2 2
: x y z  8x  6 y  4z  4  0 . Một đường thẳng  thay đổi cắt mặt cầu S  tại hai điểm ,
A B sao cho AB  8 . Gọi A , B là hai điểm lần lượt thuộc mặt phẳng  P sao cho AA , BB cùng
song song với d  . Giá trị lớn nhất của biểu thức AA  BB là 8  30 3 24 18 3 12  9 3 16  60 3 A. . B. . C. . D. . 9 5 5 9
Câu 251. (SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I 1; 2;3 x  1 t
và có bán kính r  2 . Xét đường thẳng d :  y  mt
t   , m là tham số thực. Giả sử  P,Q là
z  m   1 t
mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với  S  lần lượt tại M , N . Khi đó đoạn MN ngắn nhất hãy tính khoảng
cách từ điểm B 1;0; 4 đến đường thẳng d . 5 3 4 237 4 273 A. 5 . B. . C. . D. . 3 21 21
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Dạng 1. Xác định VTCP Câu 1. Chọn C x  2  t  
d :  y  1 2t có một vectơ chỉ phương là u  1  ; 2;1 . 4   z  3 t  Câu 2. Chọn C 
Dựa vào phương trình đường thẳng suy ra một vectơ chỉ phương của d là u  2;  5;  3 Câu 3. Chọn C  
Ta có AB  1; 0; 2 suy ra đường thẳng AB có VTCP là b  1; 0; 2 . Câu 4. Chọn B x  3 y 1 z  5  Đường thẳng d :  
có một vectơ chỉ phương là u  1; 1; 2 . 4   1 1 2 Câu 5. Chọn D x  2 y 1 z  3  Đường thẳng d :  
có một vectơ chỉ phương là u  1;  3; 2 . 2   1 3 2 Câu 6. Chọn D Câu 7. Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 
Ta thấy đường thẳng d có một vectơ chỉ phương có tọa độ u  (1; 2  ;3) . 2 Câu 8. Chọn B 
Một vectơ chỉ phương của d là: u  ( 1  ; 2;1) . Câu 9. Chọn C Câu 10. Chọn A
M là hình chiếu của M lên trục Ox M 1; 0; 0 . 1   1
M là hình chiếu của M lên trục Oy M 0; 2; 0 . 2   2 
Khi đó: M M  1; 2; 0 là một vectơ chỉ phương của M M . 1 2   1 2 
Câu 11. Ta có một vectơ chỉ phương của d là u  1; 2; 3 . 1         u  3
u , u  u  các vectơ u , u cũng là vectơ chỉ phương của d . 2 1 3 1 2 3   
Không tồn tại số k để u k.u nên u  2; 4; 3 không phải là vectơ chỉ phương của d . 4   4 1 Câu 12. Chọn C
Xét đường thẳng được cho ở câu C, có một vectơ chỉ phương là  2  ; 1  ;   1  2;1  ;1 (thỏa đề bài). 
Câu 13. Đường thẳng d có một véc tơ chỉ phương là v 2;1; 2 .    a 2 ba  4
u a; 2;b làm véc tơ chỉ phương của d suy ra u và v cùng phương nên     2 1 2 b  4    1 1 3 
Câu 14. Cách 1: Từ phương trình  suy ra véctơ chỉ phương của  là u  4;  6;9  12 ; ; .    3 2 4  
Câu 15. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u  2; 1  ; 2 . 3    
Câu 16. Vectơ chỉ phương của đường thẳng là u  3; 2;   1  13; 2; 
1 nên u  3; 2;1 cũng là 1  
một vectơ chỉ phương của đường thẳng. 
Câu 17. Từ phương trình chính tắc của đường thẳng d ta có vectơ chỉ phương là ud  2; 4;  1 .
Câu 18. Từ phương trình tham số của đường thẳng d , ta suy ra một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là u  (1;0; 2  ) .
Dạng 2. Xác định phương trình đường thẳng
Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng cơ bản Câu 19. Chọn D x  1 2t  
Do đường thẳng d :  y  3t
đi qua điểm M (1; 0; 2) 
và có véc tơ chỉ phương u (2; 3;1) nên có z  2   tx 1 y z  2
phương trình chính tắc là   . 2 3 1 
Câu 20. MN  1; 3; 2 . 
Đường thẳng MN qua N nhận MN  1; 3; 2 làm vectơ chỉ phương có phương trình x y 1 z  3   . 1  3 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 21. Trục Oz đi qua gốc tọa độ O 0;0;0 và nhận vectơ đơn vị k  0; 0; 
1 làm vectơ chỉ phương nên có x  0 
phương trình tham số  y  0 . z t
Câu 22. Theo lý thuyết về dường thẳng trong không gian Oxyz, ta có phương trình tham số của đường thẳng đi qua
x x a t  0 1 
điểm M x ; y ; z và có véctơ chỉ phương a  a ; a ; a là  y y a t , t   . 0 2   1 2 3  0 0 0 
z z a t  0 3 Do đó, đáp án D đúng. Câu 23. Chọn B    Ta có: EF  (3;1; 7
 ) . Đường thẳng EF đi qua điểm E(1; 0; 2) và có VTCP u EF  (3;1; 7  ) có x 1 y z  2 phương trình:   . 3 1 7  Câu 24. Chọn B x  0  Trục y O
y là giao của mặt phẳng Oxy và  yOz nên có phương trình là  y t z  0   Câu 25. a  4; 6  ; 2  22; 3  ;  1 \ 
Do đó đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là u  2; 3  ; 
1 . Vậy phương trình tham số của  đi qua 
x  2  2tM 2;0;  
1 và có một vectơ chỉ phương là u  2; 3  ;  1 là: y  3  t . z  1   t  
Câu 26. Ta có PQ  1; 2;3 . Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm P, Q  
Khi đó d có một vec tơ chỉ phương là ud PQ  1; 2;3 x 1 y 1 z 1
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm P 1;1;   1 là d :   . 1 2 3   
Câu 27. Ta có AB 4; 2; 4 . Suy ra AB cùng phương với u 2; 1; 2 . 
Phương trình đường thẳng AB đi qua B 5; 4;  
1 nhận u 2; 1; 2 làm vectơ chỉ phương là: x  5 y  4 z 1   ,   1 . Do đó loại A, C. 2  1  2 Có tọa độ C  1  ; 2  ; 3
  không thỏa mãn phương trình   1 nên phương án B.
Lại có tọa độ D 3;3; 
1 thỏa mãn phương trình  
1 nên phương trình đường thẳng AB cũng được viết x  3 y  3 z 1 là:   . 2 1 2 
Câu 28. Đường thẳng Oy đi qua điểm A0 ; 2 ; 0 và nhận vectơ đơn vị j  0; 1; 0 làm vectơ chỉ phương nên
x  0  0.tx  0  
có phương trình tham số là  y  2 1.t t     y  2  t t   . z 0 0.t    z  0  
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 29. Chọn A 
Đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2; 3) nhận véc tơ u  2; 1  
;1 nên có phương trình dạng chính tắc là x 1 y  2 z  3   2 1 1
Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố vuông góc Câu 30. Chọn B 
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là u  1; 3; 1 nên suy ra chỉ đáp án A hoặc B đúng. Thử tọa độ
điểm A 2; 3; 0 vào ta thấy đáp án B thỏa mãn Câu 31. Chọn C
Gọi  là đường thẳng cần tìm.
Gọi M    Ox . Suy ra M  ; a 0; 0 . 
AM  a 1; 2; 3   . 
d có VTCP: u  2;1; 2  . d   
Vì   d nên AM .u  0  2a  2  2  6  0  a  1  . d  Vậy  qua M  1
 ; 0;0 và có VTCP AM  2; 2; 3  2; 2;3 nên  có phương trình: x  1   2t   y  2t . z  3t  Câu 32. Chọn C
Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng BCD nhận vectơ pháp tuyến của BCDlà vectơ chỉ phương  
Ta có BC  2; 0; 
1 , BD  0;1; 2  
   u n
BC; BD  1;4;2 d BCD     
Khi đó ta loại đáp án A và B 1   2 t t   1    
Thay điểm A1; 0; 
2 vào phương trình ở phương án C ta có 0
  4  4t t   1   .   2  4  2t t   1  
Suy ra đường thẳng có phương trình tham số ở phương án C đi qua điểm A nên C là phương án đúng Câu 33. Chọn D x  3  t
x  5  3t 1 2  
Phương trình d : y  3 2t d : y  1   2t 1 1 và 2 2 . z  2   t   z  2  t 1  2
Gọi đường thẳng cần tìm là .
Giả sử đường thẳng  cắt đường thẳng d và d lần lượt tại A , B . 1 2
Gọi A3  t ;3 2t ; 2
  t , B 5  3t ; 1
  2t ; 2  t . 2 2 2  1 1 1  
AB  2  3t t ; 4  2t  2t ; 4  t t . 2 1 2 1 2 1  
Vectơ pháp tuyến của  P là n  1; 2;  3 .   2  3t t 4
  2t  2t 4  t t
Do AB và n cùng phương nên 2 1 2 1 2 1   . 1 2 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
2  3t t 4
  2t  2t 2 1 2 1    1 2 t   2  1    . Do đó A1; 1  ;0 , B 2; 1  ;3 . 4
  2t  2t 4  t t t  1 2 1 2 1    2   2 3 
Phương trình đường thẳng  đi qua A1; 1
 ;0 và có vectơ chỉ phương n  1;2;  3 là x 1 y 1 z   . 1 2 3 Câu 34. Chọn A  AB  1;2;2  AD  0;1;3  
AB AD   4  ; 3  ;  1
Đường thẳng qua C 2; 1
 ;3 và vuông góc với mặt phẳng  ABD có phương trình
x  2  4t   y  1   3t z  3  t  Điểm E  2  ; 4
 ;2 thuộc đường thẳng trên, suy ra đường thẳng cần tìm trùng với đường thẳng có x  2   4t
phương trình  y  4   3t z  2  t
Chọn đáp án đúng là đáp án C Câu 35. Chọn C      Ta có AB   1;  3 
;1 ; AC  1; 1;0 ; n
  AB, AC   1;1; 2 .  ABC   
Đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng  ABC nên có véc tơ chỉ phương là n  1;1; 2 , ABC    x  1 t
phương trình tham số là:  y  1 t . z  3   2t  Câu 36. Chọn A
Gọi đường thẳng cần tìm là  x  1 y  1 z  2  d :  
có VTCP u  1;  2; 2 . 1 2 2  Gọi M 0; ;
m 0  Oy , ta có AM  2; m 1;  3  
Do   d AM .u  0  2   2m  
1  6  0  m  3   x  2t
Ta có  có VTCP AM  2;  4;  3 nên có phương trình  y  3   4t . z  3t  Câu 37. Chọn B
Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với  BCD.  
Ta có BC  1;1;  
1 ; BD  0; 1;  2 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489   
Mặt phẳng  BCD có vec tơ pháp tuyến là n    BCDBD , BC  3; 2;   1 .   
Gọi ud là vec tơ chỉ phương của đường thẳng d .  
Vì d   BCD nên u nBCD   . d 3; 2;  1 
Đáp A và C có VTCP u  3; 2;   1 nên loại B và d D.
Ta thấy điểm A0;0; 2  thuộc đáp án C nên loại A. Câu 38. Lời giải Chọn D Cách 1: x 1 y z 1  Đường thẳng d :  
có véc tơ chỉ phương u  1;1; 2 1 1 2
Gọi  P là mặt phẳng qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d , nên nhận véc tơ chỉ phương của d
là vecto pháp tuyến  P :1 x  
1  y  2 z  2  0  x y  2z  5  0
Gọi B là giao điểm của mặt phẳng  P và đường thẳng d B 1 t;t;1 2t
Vì B   P  1 t   t  2 1
  2t   5  0  t  1 B 2;1;  1 
Ta có đường thẳng  đi qua A và nhận vecto AB  1;1;  
1 là véc tơ chỉ phương có dạng x 1 y z  2  :   . 1 1 1 Cách 2:
Gọi d    B B 1 t;t; 1   2t   
AB  t;t; 3  2t  , Đường thẳng d có VTCP là u d 1;1;2    
Vì d   nên AB u  .
AB u  0  t t  2 t t d d  3   2   0   1  
Suy ra AB  1;1;  
1 .Ta có đường thẳng  đi qua A1;0; 2 và nhận véc tơ AB  1;1;   1 là véc tơ x 1 y z  2
chỉ phương có dạng  :   . 1 1 1
Câu 39. Chọn D   Ta có: O  ; A OB  4; 8  ;8   
Gọi d là đường thẳng thỏa mãn khi đó d có VTCP u  1; 2; 2
Ta có OA  3, OB  4, AB  5 . Gọi I ( ; x ;
y z) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB    
Áp dụng hệ thức O . B IA O . A IB A . B IO  0        1  
 4.(OA OI )  3.(OB OI )  5.IO  0  OI
4OA  3OB  I 0;1;  1 12 x t
Suy ra d :  y  1 2t cho t  1  d đi qua điểm M ( 1  ;3; 1  ) z  1 2t  
Do đó d đi qua M ( 1  ;3; 1
 ) có VTCP u  (1; 2
 ;2) nên đường thẳng có phương trình x  1 y  3 z  1   1 2 2 Câu 40. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 45
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x  1   2t
d :  y t  z  2   2t
Gọi  là đường thẳng nằm trong (P) vuông góc với d .   
u  u ; n   (1; 4;3)  d P  
Gọi A là giao điểm của d và (P) . Tọa độ A là nghiệm của phương trình:
(1  2t)  ( t)  (2  2 t) 1  0  t  2  ( A 3; 2; 2)  x  3  t  Phương trình  qua (3
A ; 2; 2) có vtcp u  ( 1
 ; 4;3) có dạng:  y  2  4t
z  2  3t  Câu 41. Chọn D    
+) VTCP của ,  lần lượt là u  3; 2;1 và v  1; 3; 2 ; u , v     7; 7; 7  
+) Vì d vuông góc với  và  nên u  1;1;1 . d
x  1  t
+) d đi qua M 1;1; 3 nên d : y  1  t . z  3   t Câu 42. Chọn D x t x y  1 z  1  Ta có  :     :  y  1   2t 1 2 1 z  1 t
Gọi M     P  M    M t; 2t 1;t   1
M   P  t  22t   1  t  
1  3  0  4  4t  0  t  1  M 1;1;2 
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P là n  1; 2;   1 
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng  là u  1; 2  ;1
Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  P đồng thời cắt và vuông góc với  1  
 Đường thẳng d nhận
n, u  0; 1;2 làm véc tơ chỉ phương và M 1;1; 2  d 2   x  1 
 Phương trình đường thẳng d :  y  1  t
z  2  2t  Câu 43. Chọn C
Tọa độ giao điểm của d và P là A 4; 1; 2 1 
Mặt phẳng cần tìm đi qua A và nhận u 2; 1; 2 làm VTCP có phương trình 2x y  2z  13  0. 2    Câu 44. Chọn A 
Gọi VTCP của đường thẳng cần tìm là a  a ;a ;a với 2 2 2
a a a  0 . 1 2 3  1 2 3   a a a
Đường thẳng vuông góc với    a cùng phương n 1 2 3    1 1  2
Chọn a  1 thì a  1 và a  2 . 1 2 3 Câu 45.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 46
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxy nên nhận k  0;0 
;1 làm vectơ chỉ phương. Mặt khác d đi qua A1;1  ;1 nên: x  1 
 Đường thẳng d có phương trình là:  y  1 . z 1 t  Câu 46. Lời giải Chọn B 
Mặt phẳng  P có VTPT là n  1;  3; 2 . 
Vì d vuông góc với  P nên d nhận n  1;  3; 2 là VTCP.  x 1 y  3 z  2
Đường thẳng d qua M và nhận n  1;  3; 2 là VTCP có phương trình:   . 1 3 2
Câu 47. Gọi d là đường thẳng qua A và d cắt d tại K . Khi đó K 2  t; 1
 t; 1t. 2 
Ta có AK  1 t;  t; t  2 .   
Đường AK d AK .u  0 , với u  1; 4;  
2 là một vectơ chỉ phương của d . 1 1 1 1 
Do đó 1 t  4t  2t  4  0  t 1, suy ra AK  2; 1;   1 . x 1 y 1 z 3
Vậy phương trình đường thẳng d :   . 2 1 1  
Câu 48. Gọi giao điểm của  và d là B t 1;t; 2t  
1 . Khi đó u AB   . 
t,t, 2t 3 
Vì đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d có u  1,1, 2 thì: d  
t t  2 2t  3  0  t  1  u   .  1,1,  1 x  2 y 1 z 1
Phương trình đường thẳng  thỏa mãn yêu cầu bài toán là  :   1 1 1  
Câu 49. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u  1;2;3 .
Gọi  là đường thẳng đi qua M , vuông góc với d và cắt Oz . 
Gọi N 0;0;t     Oz MN  1;0;t   1 .   4    1  
  d MN.u  0  t   MN  1;0; 
 . Khi đó MN cùng phương với u  3;0;1 1   3  3 
Đường thẳng  đi qua điểm M 1;0; 
1 và có một vectơ chỉ phương  3  ; 0;  1 nên có phương Câu 50. Chọn B
Do  nằm trong nằm trong  P và vuông góc với d nên  có véctơ chỉ phương là   
u  n ,u      P 4; 5; 7 d     
Gọi A    d thì A   P  d A1;0; 3   x  1 4tx  3   4t  
Vậy phương trình tham số của  là  y  0  5t hay  y  5  5t z  3   7t   z  4  7t  
Câu 51. Ta có: ud  1; 4; 2 1  
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 47
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x  2  t x  2 y 1 z 1  d :  
nên phương trình tham số của d :  y  1 t t   2   2 1 1  1 z 1 t
Gọi đường thẳng d cắt đường thẳng d tại M 2  t; 1
  t;1 t  2 
Ta có: AM  1 t; t;t  2 
Đường thẳng d đi qua ;
A M nên vectơ chỉ phương ud  1 t; t;t  2    
Theo đề bài d vuông góc d ud ud ud .ud  0  1. 1 t  4 t  2 t  2  0  t  1 1 1       1 
ud  2; 1;   1 
Phương trình đường thẳng d đi qua A1; 1
 ;3 và có ud  2; 1  ;   1 có dạng: x 1 y 1 z  3   . 2 1 1   Câu 52. n  1; 1  ; 2, u  
, Gọi I d   P , I d I 2 ; t 3  ; t 2  3td 2 1 ; ; 3 P
I   P   2t  3  t  22  3t  6  0  t  1  I 2;2;5
Gọi  là đường thẳng cần tìm.   u u     Theo giả thiết  d 
  u  n ,u    P d 1;7;3   u n   P x  2 y  2 z  5
Và đường thẳng  đi qua điểm I . Vậy  :   . 1 7 3
Câu 53. Gọi  là đường thẳng cần tìm
  d M nên M  3   2t; 2   t; 2   4t  1
  d N nên N  1   3u; 1
  2u; 2  3u  2 
MN  2  3u  2t;1 2u t; 4  3u  4t   
Ta có MN cùng phương với nP 2  3u  2t 1 2u t 4  3u  4tu  2 Nên  
ta giải hệ phương trình tìm được  1 2 3 t  1  
Khi đó tọa độ điểm M  5  ; 1
 ; 2 và VTCP MN  2; 4  6  2  1; 2;3 x  5 y 1 z  2
Phương trình tham số  là   1 2 3
Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song Câu 54. Chọn C 
Đường thẳng  đi qua A và song song BC nhận BC  2;1  ;1 làm vectơ chỉ phương x y 1 z  3
 Phương trình chính tắc của đường thẳng  :   . 2  1 1
Chú ý: Đáp án A không nhận được, vì đó là phương trình tham số của đường thẳng cần tìm, chứ không
phải phương trình chính tắc. Câu 55. Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 48
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  nP 1;1  ;1      Ta có   và n , n   2;0; 2 
. Vì đường thẳng d song song với hai mặt phẳng  PP Qn          Q 1; 1  ;1    
và Q , nên d có véctơ chỉ phương u  1;0;   1 . x  1 t
Đường thẳng d đi qua A1; 2
 ;3 nên có phương trình:  y  2  z  3 t  Câu 56. Chọn B
Trung điểm của AB là I 0;1; 1 x  2 y  2 z  3   d :  
có VTCP là u 1; 1; 2 nên đường thẳng  cần tìm cũng có VTCP u1; 1; 2 1 1 2 . x y  1 x  1
Suy ra phương trình đường thẳng  :   . 1 1 2 
Câu 57. Ta có u  (3;  5; 1) là véc tơ chỉ phương của d . d
n  2;0;1 là véc tơ pháp tuyến của P. ( P )    u  , n    5  ;  5;10 . d p      
Do  vuông góc với d và song song với  P nên u  1;1;  2 là véctơ chỉ phương của  . x 1 y  3 z  4
Khi đó, phương trình của  là   . 1 1 2  Câu 58. Chọn A
Ad A 3 ;1 a  ; a 1
  a ; B d B 2  ;1 b  2 ; b 3   b . 2   1    
AB  2  b  3 ;
a 2b a;b  2  a ; n  2; 1  ; 2 . P    2
Do AB//  P nên .
AB n  0  a b . P 3
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là
 3a  2  b 2  2b a 4
  a b   3 8 5  I ; ;   hay I 1 ;1 b  ; b 2   b    2 2 2   2 6 6 
Suy ra tập hợp trung điểm của đoạn thẳng AB là một đường thẳng có vectơ chỉ phương u   9  ;8; 5   .  Câu 59. Gọi n  3; 
 2;3 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P . P    
Đường thẳng d đi qua điểm M 2;   4; 
1 và có vectơ chỉ phương u  3;   2; 2  . d
Giả sử   d M nên M 2  3t; 4  2t;1 2t  khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng  là   u AM      . 
3t 1; 2t 6;2t 5     6 Ta có AM nAM .n
 0 nên 33t   1  2 2
t  6  32t  5  0  t  . P P 7
 11 54 47  Suy ra AM  ;   ;     7 7 7 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 49
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng  có tọa độ là 11;   54; 47
  do đó phương trình đường thẳng
x  3 11t
cần tìm là  y  2  54t . z  4   47t
Dạng 2.4 Xác định một số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến…) Câu 60. Chọn B Ta có điểm A1; 3
 ;5 thuộc đường thẳng d , nên A1; 3
 ;5 là giao điểm của d và  . 
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là v  3  ; 0; 4 . Ta xét:  1  1  1 2 2  u   .u  1;2;2  ; ;  ; 1   u 3  3 3 3   1  1  3 4  v   .v   3
 ; 0; 4   ;0;  . 1   v 5  5 5     
Nhận thấy u .v  0 , nên góc tạo bởi hai vectơ u , v là góc nhọn tạo bởi d và  . 1 1 1 1
    4 10 22  15
Ta có w  u v   ; ;    2;5;1 
1 là vectơ chỉ phương của đường phân giác của 1 1    15 15 15  2
góc nhọn tạo bởi d và  hay đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và  có vectơ chỉ phương là  x  1   2t  w  2; 5
 ;11 . Do đó có phương trình:  y  2  5t . 1   z  6  11  t Câu 61. Chọn B
x  1  t ' 
Phương trình  :  y  1 2t ' .
z  1 2t '  
Ta có d    A1;1  ;1 . Lấy I 4;5 
;1  d AI  3; 4;0  AI  5 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 50
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Gọi M 1  t ';1  2t ';1 2t '   sao cho AM AI .  5 t '   3
Khi đó 3 t '  5   . 5 t '    3 5  8 7 13 
  5 10 10  15 Với t '   M ;  ;    AM  ; ;  AM    . 3  3 3 3   3 3 3  3  1  Khi đó 0 cos IAM  
IAM  90  trong trường hợp này d  0 ;  90 ( loại) 3 5  2 13 7     5 10 10  15 Với t '    N  ; ;    AN   ; ;   AN    . 3  3 3 3   3 3 3  3  1  Khi đó 0 cos IAN
IAM  90  trong trường hợp này d  0 ;  90 (thỏa mãn) 3  5 14 2    1
Gọi H là trung điểm của NI H ; ;  AH    2;11;5 .  3 3 3  3  5 14 2 
Khi đó đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và  đi qua H ; ;   hoặc A1;1;  1  3 3 3   x  1   2t
và nhận làm u  2;11; 5 VTCP  phương trình phân giác là  y  10   11t .
z  6  5t  Câu 62. Chọn B A d   x  1 2t
Phương trình tham số của đường thẳng  :  y  11t . z 1 2t  Chọn điểm B  1
 ; 2;3  , AB  3 .  14 17   4 7 
Gọi C d thỏa mãn AC AB C ; ;1   hoặc C  ;  ;1    5 5   5 5   4 7 
Kiểm tra được điểm C  ;  ;1 
 thỏa mãn BAC là góc nhọn.  5 5   9 3 
Trung điểm của BC là I  ; ; 2 
 .Đường phân giác cần tìm là AI có vectơ chỉ phương là  10 10   x  119t
u  19;7; 10 có phương trình là  y  1 7t . Tọa độ điểm của đáp án B thuộc AI . z 110t  Câu 63. Chọn C 
Đường thẳng d đi qua (
A 1; 2;3) và có VTCP a  (1;1;0) .     Ta có a.u 1.0 1.( 7) 0.( 1) 7 0 (a, u) 90 .               u a 1
Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và  có VTCP: b       5;12  ;1 // 5;12;  1 . u a 5 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 51
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
x  4  5t
Phương trình đường thẳng cần tìm là  y  10 12t . z  2  t  Câu 64. Chọn A Gọi M  ;
x y; z  là trung điểm BC . Khi đó M 1; 1  ;3  
Ta có AM vtcpu  2;4;  1 x  1 y  3 z  2 PTĐT AM :   2 4  1
Câu 65. Gọi B 0; ;
b 0 là giao điểm của d với trục Oy . (Điều kiện b  0 ) 1
Ta có OA  2 và tam giác OAB vuông tại O nên SO .
A OB  1 OB  1 OAB 2  Suy ra B 0; 1
 ; 0 . Ta có AB  2; 1;0 là một vec tơ chỉ phương của d .
x  2  2t
Và đường thẳng d đi qua điểm A2;0;0 nên  y t  . z  0  Câu 66. Chọn A Ta có:  OA  4  4 1  3  3  EA   .EB  
.EB   .EB  .BE OB 64 16 64 4 4   9 9 9  3  8  2 x x        4  3  x  0    3  4   12  2  y y      y  4  3  7     12 3  8  1 zz z         7 4   3 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 52
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489    12 12  OE  0; ;  u  (0;1;1)    7 7  x  0 qua O    : 
   : y t VTCP u  z t
x  5  2s
Câu 67. B d B 4  t; 4  t; 6  2t . PT tham số của d : y  11  4s . 1   2 
z  5  2s   
C d C 5  2s;11  4 s;5  2s . Khi đó: AB  (1  t; 1
  t;2t  1); AC  (2s;4s 14;2s) . 2      Do ,
A B,C thẳng hàng  AB, AC cùng phương  k   : AB k AC
t  1  2kst  2     1  AB 1
 t 1  4ks 14k  s  3  . Do đó: AB AC   .  2 AC 2 2t 1 2ks    1  k   2
Câu 68. Điểm B thuộc mặt (P) nên B 2c b  1; ;
b c vì M 1;2;3
là trung điểm BC nên
C 3  2c b;4  ;
b 6  c . Do C thuộc mặt (Q) nên 3c c  7  0  c  3b  7 . Khi đó  B(5b 15; ;
b 3b  7) , C( 5  b 17;4  ; b 13  3 ) b . BC ( 1  0b  32; 2  b  4; 6
b  20) . ABC cân tại A  
nên BC.AM  0  20b  60  0  b  3  B(0;3;2) . Đường thẳng  đi qua M (1;2;3) và B(0;3;2) x 1 y  2 z  3 có phương trình là   . 1 1  1 Câu 69. Chọn C A M B C K  
Ta có AB  1; 1; 2 và AC  2; 2;  4 . 
Gọi M là trung điểm AC , ta có M 3; 2;  2 , AM  1; 1;  2 .
  
Do đó ABM cân tại A . Gọi K là điểm thỏa mãn AK AM AB  2; 0; 0 . Khi đó AK là tia 
phân giác trong góc BAC . x  2  t  
Vậy phương trình đường phân giác trong góc BAC là  y  1 , t   .  z  0 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 53
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 d M A N P Câu 70. x  1   2t x 1 y z  2  Ta có d :     y t
. Do đó M d M 1 2t ;t ; 2  t  . 2 1 1 z  2  t
Vì A 1; 1; 2 là trung điểm MN N 3  2t ;  2  t ; 2  t  . 
Mặt khác N   P  3  2t  2  t  22  t   5  0  t  2  M 3; 2; 4  AM  2;3; 2 là một
vectơ chỉ phương của  .  
Câu 71. Ta có AB  0; 0; 4  4  0;0 
;1 . Hay AB có véc-tơ chỉ phương k  0;0  ;1 .   
Mặt phẳng  ABCD có một véc-tơ pháp tuyến:  ;
OA OB  0; 4;0  40;1;0 j  0;1; 0   , hay   là một
véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng  ABCD .    AD AB    AD k   Vì  nên 
 . Đường thẳng AD có véc-tơ chỉ phương là  j; k   1;0;0 . AD      ABCD   AD j  x  1 t
Phương trình đường thẳng AD là:  y  0 . z  1 
Do đó D 1 t; 0  ;1 . t  4
Mặt khác AD AB
t  0  1 2 2 2 1  4   . t  4  
Vì điểm D có hoành độ âm nên D 3; 0  ;1 .
Vì tâm I của hình vuông ABCD là trung điểm BD , nên I   1  ; 0;   1 . 
Đường thẳng d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có véc-tơ pháp tuyến là j  0;1; 0 , nên x  1  
phương trình đường thẳng d là: d :  y t . z  1 
Câu 72. Nhận thấy A 1  ; 2;  
1 là giao điểm của  và  . 1 2 
 có VTCP là u  1; 2;3 1   1 
 có VTCP là u  1; 2;  3 . 2   2  
u ;u   12;6;0  6 2; 1;0 . 1 2      
Phương trình mặt phẳng  P : 2x y  4  0 .  Gọi u   ; a ;
b c là VTCP của d cần tìm.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 54
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489   
Ta có d nằm trong mặt phẳng  P chứa hai đường thẳng  ,   u  u ;u  1 2 1 2  
 2a b  0  b  2a
Lại có d là phân giác của  ,  1 2
a  2b  3c
a  2b  3c
 cos d,   cos d,    1   2  2 2 2 2 2 2
a b c . 14
a b c . 14
a  2b  3c a  2b  3cc  0   1     .
a  2b  3c  a  2b  3c
a  2b  0  2   x  1   t  Xét  
1 , c  0 , b  2a u  a, 2a, 0  1; 2;0 .  d : y  2  2t ,t   . z  1   1.1 2.2 70 cos  ; d     ; d  53 1  8' . 1  1  14. 5 14 x  
a  2b  0  1  Xét 2 : 
a b  0  u  0;0;c  c 0;0 
;1  d : y  2 , t   . b  2a  z  1   t  3  3 cos  , d     , d  36 4  2 ' . 1  1  14.1 14
Do d là đường phân giác của góc nhọn nên  , d  45 . 1  x  1  
Vậy đường thẳng d cần tìm là d : y  2 ,t   . z  1   t   
Nhận xét: Có thể làm đơn giản hơn bằng cách: ta thấy u  1; 2;3 ; u  1; 2;  3 là hai véc tơ có độ dài 2   1        
bằng nhau và u .u  0  u , u
 90 . Vậy u u chính là véc tơ chỉ phương của d . 1 2  1 2  1 2    
Câu 73. Ta có: AB  1;3; 0 ; BC   4
 ; 2; 2 , AC  3;1; 2 2  AB  10 , 2 BC  24 , 2
AC  14  ABC vuông tại A .
Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của BC I 0; 2; 0 .  1  
Đường thẳng d cần tìm đi qua I 0; 2; 0 và nhận vectơ u
AB, AC   3;1;5 làm véc tơ chỉ 2   x  3 y 1 z  5
phương. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:   . 3 1 5
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 55
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 74.
Ta có tứ giác BOKC là tứ giác nội tiếp đường tròn ( vì có hai góc vuông K , O cùng nhìn BC dưới một  
góc vuông) suy ra OKB OCB   1
Ta có tứ giác KDHC là tứ giác nội tiếp đường tròn ( vì có hai góc vuông K , H cùng nhìn DC dưới một  
góc vuông) suy ra DKH OCB 2    Từ  
1 và 2 suy ra DKH OKB do đó BK là đường phân giác trong của góc OKH và AC là đường 
phân giác ngoài của góc OKH . 
Tương tự ta chứng minh được OC là đường phân giác trong của góc KOH và AB là đường phân giác 
ngoài của góc KOH .
Ta có OK  4 ; OH  3 ; KH  5 .  
Gọi I , J lần lượt là chân đường phân giác ngoài của góc OKH và KOH . IO KO 4  4 
Ta có I AC HO ta có    IO
IH I 8;  8;  4 . IH KH 5 5 JK OK 4  4 
Ta có J AB KH ta có    JK
JH J 16; 4;  4 . JH OH 3 3  16 28 20  4
Đường thẳng IK qua I nhận IK  ; ;   
4;7;5 làm vec tơ chỉ phương có phương trình  3 3 3  3
x  8  4t  
IK  :  y  8   7t
z  4  5t
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 56
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 
Đường thẳng OJ qua O nhận OJ  16; 4;  4  44;1;  
1 làm vec tơ chỉ phương có phương trình x  4t  
OJ  :  y t z t   
Khi đó A IK OJ , giải hệ ta tìm được A 4  ; 1   ;1 .    
Ta có IA  4;7;5 và IJ  24;12;0 , ta tính I ,
A IJ   60;120; 120  601;  2; 2   . 
Khi đó đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng  ABC  có véc tơ chỉ phương u  1; 2; 2 x  4 y 1 z 1 nên có phương trình   . 1 2 2 Nhận xét:
Mấu chốt của bài toán trên là chứng minh trực tâm D của tam giác ABC là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác OHK . Khi đó, ta tìm tọa độ điểm D dựa vào tính chất quen thuộc sau: “Cho tam giác ABC với I    
là tâm đường tròn nội tiếp, ta có . a IA  . b IB  .
c IC  0 , với a BC , b CA , c AB ”. Sau khi tìm được
D , ta tìm được A với chú ý rằng A DH và OA DA .
Ta cũng có thể tìm ngay tọa độ điểm A bằng cách chứng minh A là tâm đường tròn bàng tiếp góc H
của tam giác OHK . Khi đó, ta tìm tọa độ điểm D dựa vào tính chất quen thuộc sau: “Cho tam giác ABC    
với J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , ta có  . a JA  . b JB  .
c JC  0 , với a BC , b CA , c AB ”.
x  2  2t
Câu 75. Phương trình tham số của đường phân giác trong góc C là CD :  y  4  t . z  2  t  
7  t 5  t
Gọi C  2  2t; 4  t; 2  t  , suy ra tọa độ trung điểm M của AC là M  2  t; ;   . Vì  2 2  M BM nên:  7  t   5  t   3  2 2 t  3        2   2  t 1 1 t 1 t       t  1. 1  2 1  1 4 2
Do đó C  4;3  ;1 .
Phương trình mặt phẳng  P đi qua A và vuông góc CD là
2. x  2 1. y  3 1. z  3  0 hay 2x y z  2  0 .
Tọa độ giao điểm H của  P và CD là nghiệm  ;
x y; z  của hệ
x  2  2t
x  2  2tx  2   
y  4  t y  4  t   y  4       H 2; 4; 2 . z  2  tz  2  tz  2 
2x y z  2  0 
22  2t  4  t  2  t  2  0   t  0 
Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường phân giác CD , suy ra H là trung điểm AA , bởi vậy:
x  2x x  2.2  2  2 AH A
y  2 y y  2.4  3  5  A 2;5  ;1 . AH A
x  2z z  2.2  3 1  AH A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 57
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 
Do A  BC nên đường thẳng BC có véc-tơ chỉ phương là CA  2; 2; 0  2 1;1; 0 , nên phương x  4  t
trình đường thẳng BC là  y  3  t . z  1 
Vì B BM BC nên tọa độ B là nghiệm  ;
x y; z  của hệ x  4  tx  2  y  3 t     y  5 z  1    B 2;5  ;1  A . z  1   x  3 y  3    1 t   2    1 2  
Đường thẳng AB có một véc-tơ chỉ phương là AB  0; 2; 2    20;1;  
1 ; hay u4  0;1;   1 là một
véc-tơ chỉ của phương đường thẳng AB .
Dạng 3. Một số bài toán liên quan giữa điểm với đường thẳng
Dạng 3.1 Bài toán liên quan điểm (hình chiếu) thuộc đường, khoảng cách Câu 76. Chọn A 
Cách 1. Dựa vào lý thuyết: Nếu d qua M x ; y ; z
, có véc tơ chỉ phương u a; ;
b c thì phương trình 0 0 0 
x x at 0 
đường thẳng d là:  y y bt , ta chọn đáp án 0
z z ct  0 B.
Cách 2. Thay tọa độ các điểm M vào phương trình đường thẳng d , ta có: 1   1 t t   0  
2  5  t t   3
 (Vô lý). Loại đáp án A. 5  2 3t t     1  
Thay tọa độ các điểm N vào phương trình đường thẳng d , ta có: 1   1 t 5
  5  t t  0 . Nhận đáp án B. 2  2  3t  Câu 77. Chọn B x  2 y 1 z  2 Đường thằng d :   đi qua điểm  2  ;1; 2   . 1 1 2 Câu 78. Chọn A M 2; 1  ; 0  d
Ta thấy với t  0 ta được Câu 79. Chọn C.
x  1 2 2  3  Câu 80. Với t  2
 , ta có  y  3   2    5 . z 1 2    3  Vậy M  3  ;5;3  d . Câu 81. Chọn A 1
Ta có : M d nên t
   : M 1 t; 2  t; 1 2t  .Đk :1 2t  0 t  * 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 58
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 2
MA MB  28
 t 2    t 2    t 2    t 2  t 2    t 2 3 1 2 2 2 2  28 t   1 L 2
 12t  2t 10  0   5
t   T / m  6 5  1 7 2  Với t   , ta có M ; ;    . 6  6 6 3  1   t t   1  
Câu 82. Thay tọa độ của K 1; 1  
;1 vào PTTS của d ta được 1  1 t t
  2 : không tồn tại t. 1  2 t t     1   
Do đó, K d. 1   t t   1  
Thay tọa độ của E 1;1; 2 vào PTTS của d ta được 1
  1 t t
  0 : không tồn tại t. 2 2 t t     0  
Do đó, E d. 1   tt  1  
Thay tọa độ của H 1;2;0 vào PTTS của d ta được 2  1 t  t  1 : không tồn tại t. 0 2 t    t  2  
Do đó, H d. 0  t t   0  
Thay tọa độ của F 0;1; 2 vào PTTS của d ta được 1
  1 t t   0  t  0. 2 2 t t     0   11 11 2  2
Câu 83. Xét điểm N 1;1;2 ta có   nên điểm N 1; 1  ; 2
  thuộc đường thẳng đã cho. 2 1 3 x  1  t  
Câu 84. Phương trình tham số đường thẳng d :  y t
t   , với vectơ chỉ phương u  1;1;  2 . 1   z  5  2  t
Giả sử đường thẳng d cắt đường thẳng d tại B . Khi đó B 1  t ;t ;5  2t  . 1 
AB  t;t;3  2t   
Vì đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d nên AB d A . B u  0 1 1
t t  3  2t 2
   0  t  1. Khi đó B 2;1;  3 . 
Phương trình đường thẳng d đi qua A1;0; 2 và có vectơ chỉ phương AB  1;1  ;1 là: x  1 y z  2   . 1 1 1
Nhận thấy Q 0; 1  ;1  d . Câu 85. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 59
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x  1 
Với t  0   y  5  N 1; 5; 2  d . z  2 
Câu 86. Đáp án A nhầm vectơ chỉ phương.
Đáp án B nhầm dấu tọa độ điểm.
Đáp án D nhầm vectơ chỉ phương. Câu 87. Chọn D x 1 y  2 z  3 Đường thẳng d :  
đi qua điểm A1;  2;3 . 3 4  5  Câu 88. Xét đáp án
A. Thay tọa độ điểm A3; 2  ; 
1 vào phương trình đường thẳng ta được 0 0 0 x  3 y  2 z  1  
đúng. Suy ra đường thẳng  
đi qua điểm A3; 2  ;  1 . 1 1 2 1 1 2 Câu 89. Chọn C x  1 
Với t  0   y  5  N 1; 5; 2  d . z  2  7 1 2  2 1  3
Câu 90. Thay tọa độ điểm P 7 ; 2 
;1 vào phương trình đường thẳng d ta có   nên điểm 3 2 4 P 7; 2  ;1  d .  x t  
Câu 91. Đường thẳng  có vtcp u  1; 2 ;3 và có phương trình tham số là:  y  2t t   .  z  3t
Gọi N t ; 2t ;3t    là hình chiếu vuông góc của M lên  , khi đó:   2  2 4 6 
MN.u  0  (t 1)  (2t  0).2  (3t 1).3  0  14t  4  0  t   N ; ; .   7  7 7 7  Câu 92. Chọn B  
Gọi H là hình chiếu của M lên  nên tọa độ của H có dạng H (1 t; 2   3t; 2
t) và MH u    11 3 5 22 
MH .u  0  14t  11  0  t   H ( ; ;
)  a b c  1   14 14 14 14 
Câu 93. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u = (1 ; 1 ; 1).Do H d  H(1 + t ; 1 + t ; t) . 
Ta có: AH = (t ; t ; t - 1). Do H là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d nên suy ra     1 4 4
AH u AH .u = 0  t + t + t - 1 = 0  t =  H ( ; ;1). 3 3 3 
Câu 94. Ta có Ad  nên gọi A 6  4t ; 2  t ;1 2t  ; AA  5  4t ;  3  t ;  2  2t  ; 
đường thẳng d  có vectơ chỉ phương u   4  ; 1; 2 .  
AA  d   AA .u  0  5 4t. 4     3   t.  1   2
  2t.2  0  t 1.  A2; 3  ;1 .
Vậy A2; 3  ;1 .
Câu 95. Phương trình đường thẳng d qua C  6
 ;3; 6 và song song với đường thẳng AB là
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 60
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x  6 y  3 z  6   2  1 2
Điểm D thuộc đường thẳng d nên gọi tọa độ D là D  6
  2t ;3  t ; 6  2t  .
Tứ giác ABCD là hình thang cân nên ta có:   t   2 AD BC 2
t  8t  12  0   . t   6 
Với t   2  D 2
 ;1; 2 , tứ giác là hình bình hành nên loại. 1  
Với t   6  D 6;  3;  6 thỏa mãn, nên 6  3  6  3  . 2   Câu 96. Chọn C x  1   2t
Phương trình tham số của đường thẳng d :  y tz  2  t
x  1 2t
Vì C d :  y tc  1
  2t;t  z  2  t     
Ta có AB  1; 1; 2; AC   1
  2t;t; 2  t    AB, AC  3t  7; 3t 1;3t  3   1   1
Diện tích tam giác ABC là 2 S
AB, AC  
27t  54t  59 ABC 2   2 1 2 S  2 2 
27t  54t  59  2 2  t  1  C 1;1 
;1  m n p  3 ABC 2
Câu 97. Gọi  P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d . Phương trình của mặt phẳng  P là:
1 x  3  2 y  2  2 z  0  0  x  2 y  2z  7  0 .
Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d , khi đó H d   P
Suy ra H d H  1
  t;  3  2t;  2  2t  , mặt khác H  P  1 t  6  4t  4  4t  7  0
t  2 . Vậy H 1;1; 2 .
Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d , khi đó H là trung điểm của AA suy ra A 1  ; 0; 4 . Câu 98. Chọn C 
Đường thẳng  đi qua N 0; 2;3 , có véc tơ chỉ phương u  1; 1; 2    MN   2
 ; 6; 4; MN,u  16;8; 4     .   MN,u   336
d M ,      2 14. u 6
Câu 99. M    M t; 1 2t;  2  3t  .
t  2  1 2t  5
Ta có d M ;Oyz  t  2   . t  2
  1 2t  2 
Suy ra t  2 . Do đó M  2  ;  3;  8 .
Vậy a  2; b  3; c  8  T a b c  13 .
Dạng 3.2 Bài toán cực trị Câu 100. Chọn D
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 61
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3 nên d nằm trên
mặt trụ tròn xoay có trục là Oz và bán kính bằng 3 .
Gọi I là hình chiếu của A lên Oy , khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất khi d đi qua giao điểm của Oy
với mặt trụ là điểm I 0;3;0 nên d đi qua điểm N 0;3; 5   . Câu 101. Chọn A
Vì d song song với Oz và cách Oz một khoảng bằng 2 nên d thuộc mặt trụ trục Oz và bán kính bằng 2.
Có H 0;0 ;2 là hình chiếu vuông góc của A 0;3;2 trên Oz. 
Có HA 0;3;0  HA  3 nên A nằm ngoài mặt trụ.
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với Oz. M là hình chiếu vuông góc của A trên d
Gọi K là giao điểm của AH và mặt trụ ( K nằm giữa A và H).
Dễ thấy d A;d  AM AK ; AK AH d A;d   1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M K . x  0    2  Khi đó ta có: HK
HA K 0;2;2  d : y  2 (t R ) 3 z  2   t  Với t  3
 ta thấy d đi qua điểm Q . Câu 102. Chọn B
Vì d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3 nên d là đường sinh của hình
trụ có trục là Oz và có bán kính đáy r  3 .
Gọi A là hình chiếu của A lên trục Oz A0;0;  3 và AA  4 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 62
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Gọi H x ; y ; z  là hình chiếu của A lên d .
AH lớn nhất khi A , A , H thẳng hàng và AH AA  A H
AA  r  4  3  7 .  x  0 7  7  Khi đó AH
AA   x ; y  4; z  3  0; 4;0   y  3
  H 0;  3; 3   . 4 4 z  3   x  0 
Vậy d qua H 0;  3; 3
  có vectơ chỉ phương k  0;0 
;1 nên có phương trình  y  3 suy ra d z  3   t
đi qua điểm M 0;  3;  5 . Câu 103. Chọn C
Do đường thẳng d / /Oz nên d nằm trên mặt trụ có trục là Oz và bán kính trụ là R  2.
Gọi H là hình chiếu của A trên trục Oz , suy ra tọa độ H 0;0;  2. Do đó dAH  3.  A,Oz  3 
Gọi B là điểm thuộc đường thẳng AH sao cho AH AB 5
B 0; 2; 2. Vậy d  , A d
 5  d là đường thẳng đi qua B và song song với O . z max x  0 
Phương trình tham số của d :  y  2  .
z  2  t
Kết luận: d đi qua điểm P 0;  2;  5.
Câu 104. Vì M d nên giả sử M 1 t;2  t; t   . Ta có: 2 2 2 2 2 2
MA  3t 14t  29; MB  3t  4t  2; MC  3t 10t  21
P MA MB MC t t   t  2 2 2 2 2 2 3 18 36 96 18 1  78  78 Do đó 2 2 2
P MA  2MB  3MC đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi t  1  , khi đó: M 2;1; 
1  a b c  4 .
Câu 105. Gọi I là trung điểm của AB , ta có I  2; 1  ; 4 .       2 2 2 2 Khi đó: 2 2
MA MB MA MB  MI IA  MI IB   
   2 2 2
 2MI IA IB  2MI.IA IB 2 2 2
 2MI IA IB 2  MI  6 . Do đó 2 2
MA MB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI có độ dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ
khi M là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 63
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Phương trình mặt phẳng  P đi qua I và vuông góc với đường thẳng d là
1. x  2  2. y  
1  2. y  4  0 hay  P : x  2 y  2z 12  0 . x  1 t
Phương trình tham số của đường thẳng d là:  y  2  2t .
z  3  2t
Tọa độ điểm M cần tìm là nghiệm  ;
x y; z  của hệ phương trình: x  1 tx  2  
y  2  2ty  0   
. Vậy M 2; 0;5 . z  3  2tz  5 
x  2 y  2z 12  0  t   1 
Câu 106. Do M thuộc  nên M t;1 t;t  . Khi đó MA t t     t2 2 3 6 27 3 1  24 , 2
MB  3t  6 .
Do đó MA MB    t 2 2 3 1  24  3t  6 .  
Xét hai véc tơ u   3 1 t; 24 và v   3t; 6  .    
Ta có u v u v  3 nên T  3 . max  
Dấu bằng xảy ra khi u   3 1 t; 24  và v   3t; 6  ngược hướng hay t  1.
Câu 107. M d M 1 2t;1 t; 2t  .
Chu vi tam giác MAB là: AM BM AB . Vì AB const nên chu vi nhỏ nhất khi
AM BM  nhỏ nhất.  
AM 2t  2; t  4; 2t  , BM 2t  4; t  2; 2t  6 . 2 2 AM BM t   t t    t 2       t2 2 2 9 20 9 36 56 3 2 5 6 3  2 5    
Đặt u  3t;2 5 , v  6  3t;2 5  u v  6;4 5 .      
Áp dụng bất đẳng thức vectơ: u v u v . Dấu bằng xảy ra khi u , v cùng hướng.    
Ta có: AM BM u v u v     2 2 6 4 5
 2 29 . Do đó  AM BM  nhỏ nhất khi   3  t k  6  3tt   1
tồn tại số k dương sao cho u k v    
. Khi đó M 1;0; 2 . 2 5  2 5kk  1 
Vậy P a b c  1 0  2  3 .
Câu 108. Gọi I là trung điểm của AB . Khi đó ta có 2 2 2 2    
MA MB  MA MB 2 AB AB 4 4 2 2 2 2 2 2
 2MA .MB  2MI   2 MI      2 4     4 4 AB AB 4 2 2 4 2 2
 4MI  2MI AB
 2MI MI AB  4 8 2 4 2 AB  3AB  7 4 2 2 2 4
 2MI  3MI AB   2 MI   AB   4 4 10  
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 64
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Do đó, 4 4
MA MB đạt GTNN khi MI nhỏ nhất  M là hình chiếu vuông góc của I lên d . 
Điểm I 2; 1;0 . Lấy M 2  t; 1
  2t;3t   d . IM  t; 2t;3t     
IM u IM .u  0  t  4t  9t  0  t  0 d d
Suy ra M I . Vậy x  2 0 
Câu 109. Gọi I là trung điểm của AB , suy ra I 1;1 
;1 ; AB  4; 2;0 .
Phương trình mặt phẳng trung trực của AB :   : 2x y  3  0 .
Vì 2.3 1.2  3. 2.5 1.3  3  50  0 nên B , C nằm về một phía so với   , suy ra A , C nằm về
hai phía so với   .
Điểm M thỏa mãn MA MB khi M    . Khi đó MB MC MA MC AC .
MB MC nhỏ nhất bằng AC khi M AC    . x  1   2t
Phương trình đường thẳng AC :  y t
, do đó tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình z 1 2t
x  1 2t t   1    y tx  1   
. Do đó M 1;1;3 , a b c  5 . z  1 2ty  1 
2x y  3  0  z  3 
Dạng 4. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt phẳng
Dạng 4.1 Bài toán liên quan khoảng cách, góc Câu 110. Chọn A    
(P) có vecto pháp tuyến (
n 2; 2; 1) và đường thẳng  có vecto chỉ phương ( u 2;1; 2) thỏa mãn . n u  0
nên  //(P) hoặc   (P) . 2.1  2.( 2  )  1  1 Do đó: lấy (
A 1; 2;1)   ta có: ( d (  P))  ( d A;(P))   2 . 4  4  1 
Câu 111. Đường thẳng d qua M 1;0;0 và có vec-tơ chỉ phương a  1;1; 2 . 
Mặt phẳng  P có vec-tơ pháp tuyến n  1;1  ;1 .     .
a n  1.11.1 2.1  0 Ta có: 
d / /  P. M    P  1 0  0  2
d d, P  d M , P   3. 2 2 2 1 1 1
Câu 112. Xét phương trình 22  t   5  4t   22  t   0  0t  3  0 .
Phương trình này vô nghiệm nên  //  P .
Chọn M 2;5; 2   . Khi đó: 2.2  5  2.2
d , P  d M , P   1. 2   2 2 2 1  2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 65
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 113. Chọn A. 
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là u   1  ; 2  ;1 
Mặt phẳng  P có véc tơ pháp tuyến là n  1; 1  ; 0
Gọi  là góc giữa Đường thẳng d và Mặt phẳng  P . Khi đó ta có   . u n 1.1   2.  1 1.0 3 3 sin        u n  2
1  2 1 . 1   2 2 2 2 2 2 3 2 1  0 Do đó 0   60 Câu 114. Cách 1:   
Gọi Q  d , d ' khi đó Q có vectơ pháp tuyến n    Q n , u  5;5;15 . P 1   1 1      
Đường thẳng d ' có vectơ chỉ phương u '  n , u   22;11; 11 hay một vecto chỉ phương khác 1 P 1   1  
u  2;1; 1.   
Vì n .u  0  4a  7b c  0  c  7b  4a u a; ;
b 7b  4a . p 2 2      
Ta lại có d ; dd '; d  cos u ,u  cos u ',u 1 2   1 2   1 2   1 2 
a  2b  4a  7b  2a b  4a  7b  5a  5b  6a  6b a b  0  a b a  2b
Chọn a  1  b  1, c  3   1. c Cách 2:
Gọi Q  d , d ' khi đó  P  Q . Các đường thẳng nằm trong  P mà vuông góc với Q thì vuông 1 1 
góc với tất cả các đường thẳng trong Q hay chúng cùng tạo với d , d ' các góc 90 . Do đó, các đường 1 1   a  2b
thẳng này thỏa mãn yêu cầu đề bài. Chúng có vectơ chỉ phương u n 1;1;3   1 . Q c 
Câu 115. * Ta có : AB  2; 4; 6  21; 2; 3  
Gọi I 4;3; 4 là trung điểm của AB
Phương trình mặt phẳng trung trực Q của AB là :  x  4  2 y  3  3 z  4  0
x  2 y  3z  2  0   
Gọi d   P  Q . Đường thẳng d có 1 vpcp là un , n   
và đi qua điểm N  2  ; 0; 0 , P Q 1;1  ;1       x  2   t
có phương trình là d :  y tz t
* Gọi M   P : MA MB . Khi đó M  d và M  2
  t;t;t  2 2 2
Theo giả thiết, ta có : MA
35  t  5  t  
1  t  7  35  20 t  2
 3t  26t  40  0   3 
t  2  M 0; 2; 2  Vậy OM  2 2  
Câu 116. Ta có vectơ chỉ phương của d , d lần lượt là u  2; 2  ; 1  và u  1; 0; 1  . 2   1   1 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 66
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  
Mặt phẳng  P qua d  .
n u  0  2  2b c  0. 1 1 1     u .n 1 c  2
sin d , P 2 2 2 2     sin 45  
 1 c b c 1  b  2c  0. 2 2   2 2 u . n 2 2 b c 1. 2 b   2 Từ   1 và 2    . b c  4  . c  2    
Câu 117. Đường thẳng d và d có véctơ chỉ phương lần lượt là u  2; 2  ; 1  và u  1; 0; 1  . 2   1   1 2 
Mặt phẳng  P có véctơ pháp tuyến là n  1;b;c .     u   n u  .n  0 1 1      Từ giả thiết ta có:  u .n   1.1 0.b  ( 1  ).c 2 2 o    sin 45   | u | . | n |  2 2 2 2 2 2  2 2
1  0  (1) . 1  b c  
2  2b c  0
2b c  2  
2b c  2 b   2         2 2
1 c  1 b c  1 c  2 2 2 2  1 b c b  2c  0 c  2      Vậy . b c  4  .  
Câu 118. u  2;  2;  1 , u  1; 0;  1 lần lượt là vectơ chỉ phương của d , d . Theo bài ra ta có 1   2   1 2  
2.1  2 b    1 c  0  . n u  0
c  2  2b 1      
  1.1  0.b    1 c 1   cos 
n;u  sin d ; P  c  2 2 2 1
 1  b c 2   2      2 2 
1  b c . 2 2 b  2   . c  2  
Dạng 4.2 Bài toán phương trình mặt phẳng, giao tuyến 2 mặt phẳng Câu 119. Chọn A 
Mặt phẳng qua A1; 2; 2
  và nhận u  làm VTPT  2;1;3
Vậy phương trình của mặt phẳng là: 2 x  
1   y  2  3 z  2  0
 2x y  3z  2  0 . Câu 120. Chọn C 
Mặt phẳng cần tìm đi qua M 3; 1;1 và nhận VTCP của  là u  3; 2;1 làm VTPT nên có   
phương trình: 3x  2y z  12  0. Câu 121. Chọn A x 10 y  2 z  2  Đường thẳng  :  
có vectơ chỉ phương u  5;1;  1 5 1 1 
Mặt phẳng  P :10x  2 y mz 11  0 có vectơ pháp tuyến n  10;2;m  
Để mặt phẳng  P vuông góc với đường thẳng  thì u phải cùng phương với n 5 1 1     m  2 . 10 2 m 
Câu 122. Mặt phẳng  P vuông góc với  nên  P nhận vtcp của  là u  làm vtpt   2 ; 1; 3
 Phương trình mặt phẳng  P là: 2 x   1   1 y  
1  3 z  2  0 hay 2x y  3z  9  0 . x 1 y  2 z  3 
Câu 123. Ta có: Đường thẳng d :  
có vectơ chỉ phương là a  2; 1; 2 d  2 1  2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 67
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  
Vì  P  d nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P là n = a  2; 1; 2 d  ( P) x y z 
Câu 124. Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d ) :
  nên nhận véc tơ chỉ phương u 1;1  ;1 làm 1 1 1 d
véc tơ pháp tuyến, suy ra phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x y z D  0 , mặt khác (P) đi qua
gốc tọa độ nên D  0 .
Vậy phương trình (P) là: x y z  0 .   AM   2;0;3   
Câu 125. Ta lấy điểm M 2;1;3     
n   AM ,u     3;1; 2 vtcp u       1;    1;1    
Mặt phẳng cần tìm qua A0;1;0 và nhận n  3;1; 2 làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là:
3. x  0 1. y  
1  2. z  0  0  3x y  2z 1  0 .
Câu 126. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. 
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u  1 ;  2 ;  1 .  1 2 1 
Mặt phẳng T  có một vectơ pháp tuyến là n  1 ; 1 ; 2 . Do  
nên u không cùng phương T  1 1 2 
với n . Do đó d không vuông góc với T  . T  1 2 1 
Mặt phẳng  P có một vectơ pháp tuyến là n  1 ; -2 ;  1 . Do 
 nên u cùng phương với P 1 2 1 
n . Do đó d vuông góc với  P . P   1 2  1
Mặt phẳng Q có một vectơ pháp tuyến là n  1 ; -2 ; -  1 . Do   nên u không cùng Q 1 2  1  
phương với n . Do đó d  không vuông góc với Q . Q   1 2 1
Mặt phẳng  R có một vectơ pháp tuyến là n  1 ; 1 ;  1 . Do  
nên u không cùng phương R 1 1 1 
với n . Do đó d  không vuông góc với  R . R Câu 127. Chọn D
x  3y z 1  0
Tọa độ các điểm thuộc giao tuyến d của hai mặt phẳng thỏa mãn hệ phương trình:  .
2x y z  7  0 
x z  1 x  2 Với y  0    
A2;0;3  d 2x z  7 z  3   x z  1  0 x  0 Với y  3    
B 0;3;10  d . 2x z  10 z  10   
Vậy đường thẳng d đi qua A2;0;3 và nhận AB  2;3;7 làm vecto chỉ phương có phương trình x  2 y z  3 chính tắc là:   . 2  3 7 Câu 128. Chọn C 
P : x z  5  0 có 1 vtpt n  1;0;1 1   
Q : x  2y z  3  0 có 1 vtpt n  1;2; 1  2     
Gọi  là giao tuyến của 2 mặt phẳng thì  có 1 vtcp u  n , n   2; 2; 2 . 1 2     
Câu 129. u (1;1; 2) là một VTCP của đường thẳng d d
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 68
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 
n (1;1; 2) là một VTPT của      
n  u ; n   ( 4  ; 4; 0)  d    (
A 2;3; 0)  d A   
Phương trình mặt phẳng ( ) : 4(x  2)  4( y  3)  0(z  0)  0  4x  4 y  4  0  x y 1  0 .  x-y 1  0
Giả sử M (x; y; z)        . Khi đó tọa độ M thỏa mãn hệ 
x y  2z 1  0 
Thay các đáp án vào hệ trên ta thấy M (2;3;3) thỏa mãn. Chọn đáp án B 
Câu 130.  P : x z  5  0 có vectơ pháp tuyến n  1; 0;1 . 1   
Q : x  2y z  3  0 có vectơ pháp tuyến n  1; 2;1 . 2    
Ta có: n , n   2; 2;  2 . 1 2         
Gọi u là một vectơ chỉ phương của  , thì u n và u n . 1 2    
Suy ra u cùng phương với n , n  . Chọn u  1;1;   1 . 1 2  
Lấy M 2;1;3 thuộc mặt phẳng  P và Q . 
Đường thẳng  đi qua M 2;1;3 có một véctơ chỉ phương u  1;1;   1 . x  2 y 1 z  3
Vậy phương trình  là:   . 1 1 1  
Câu 131. Chọn véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là: n u  3;  2 
;1 . Mặt khác mặt phẳng này đi qua A d nên có phương trình là:
3 x  0  2 y  3   z   1  0 .
 3x  2 y z  7  0  
Câu 132.  có VTCP u  1; 2; 3 và  P có VTPT là n  1; 1  ;1 .   
  qua O và nhận n   u;n  1;2  ;1  
Suy ra   : x  2 y z  0 .
Dạng 4.3 Bài toán giao điểm (hình chiếu, đối xứng) của đường thẳng với mặt phẳng Câu 133. Chọn A 
Đường thẳng d có vtcp u 1;  3;   1 
Mặt phẳng  P có vtpt n 3;  3; 2  
Ta có u.n  3  9  2 10  0 nên loại trường hợp d / /  P và d  P .  
Lại có u và n không cùng phương nên loại trường hợp d   P .
Vậy d cắt và không vuông góc với  P.  A  0; 2;   1   Câu 134. Cách 1: Lấy 
B 2;3; 2      A   P
2m n 16  0  m  10
Mà    P       B    P  11. 
2  3m  2n 16  0 n  4  
T m n  14 . 
Cách 2: Đường thẳng  đi qua A0; 2;   1 có VTCP u   2  ;1;3 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 69
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Mặt phẳng  P có VTPT n  11; ; m n .  A   P
2m n 16  0 m  10
   P        . n.u  0 
22  m  3n  0 n  4  
T m n  14 .  x  2 y   3  1 
x  3y  2 x  1   y z  1  
Câu 135. Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ:  
 2y z  1   y  1 1 2 
x  2y  3z  2  z  1
x  2 y  3z  2  0     Vậy M  1  ;1;  1 . 
Câu 136. Gọi H là hình chiếu của A3; 2;  
1 lên mặt phẳng   : x y z  0 . Khi đó: AH nhận n1;1;  1 là x  3 y  2 z  1
vectơ chỉ phương suy ra phương trình AH :   . 1 1 1
Do H AH H 3  t; 2  t; 1 t  . 4  5 2 7 
Do H     3  t  2  t 1  t  0  t    H ; ;    . 3  3 3 3  d v M M' P Câu 137. 
Đường thẳng d đi qua M 1; 0;3 , có véctơ chỉ phương v  1; 2;1 có phương trình tham số là
x  1 t   y  2t .  z  3   t
Gọi M  là hình chiếu của điểm M 1; 0;3 theo phương véctơ v  1; 2;1 trên mặt phẳng
P : x y z  2  0 .
M   d  P tọa độ M  là nghiệm của hệ phương trình:
x  1  t
x  1  tx  2     y  2ty  2ty  2     
M 2; 2; 2 . z  3  t z  3  t z  2   
x y z  2  0
1 t  2t  3  t  2  0 t  1   
Câu 138. M    M 12  4t;9  3t;1 t  .
M   P  312  4t   59  3t   1 t   2  0  t  3 .
M 0;0; 2  x y z  2 . 0 0 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 70
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Câu 139. Mặt phẳng ( ABC) qua các điểm A1;0;0, B 0; 2;0 , C 0;0;3 nằm trên các trục Ox , Oy , Oz có x y z phương trình là:    1. 1 2 3
Điểm M (a; b; c) là tọa độ giao điểm của của d và mặt phẳng  ABC . a  6  t 2  t 3  t  Suy ra  
 1  t  6 suy ra b  8 . 1 2 3 c  9  Vậy S  6   8  9  11. Câu 140. Chọn C
+ A đối xứng với A qua  P nên AA vuông góc với  P x  1   6t
+Suy ra phương trình đường thẳng AA :  y  3  2t z  6  t
+Gọi H là giao điểm của AA và mặt phẳng  P  H  1
  6t;3  2 t;6  t 
+ Do H thuộc  P  6 1
  6t   23  2t 16  t   35  0  41t  41  0  t  1 H 5;1;7
+ A đối xứng với A qua  P nên H là trung điểm của AA  A    OA    2 2 2 11; 1;8 11 1  8  186 Câu 141. Chọn B 
Cách 1: Đường thẳng d đi qua điểm M (1; 5
 ;3) và có VTCP u  2; 1  ; 4 d  0
Gọi Q là mặt phẳng chứa d và vuông góc với  P : x  3  0 .  
Suy ra mặt phẳng Q đi qua điểm M (1; 5
 ;3) và có VTPT là n ;u P d  0;4;  1 0
 Q : 4y z 17  0 .
Phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng  P là x  3 
4 y z 17  0   hay  y  6   t x  3  0 
z  7  4t
Cách 2: Ta có M d M 1 2t; 5
  t;3  4t  . Gọi M là hình chiếu của M trên  P : x  3  0 . x  3   Suy ra M  3  ; 5
  t;3  4t  . Suy ra d :  y  5   t z  3 4t
So sánh với các phương án, ta chọn D là đáp án đúng. Câu 142. Chọn A
Gọi M là giao điểm của d với  P .
x y z  3  0
x y z  3 x  1   
Tọa độ của M là nghiệm của hệ:  x y 1
z  2  2x y  1
  y  1  M 1;1  ;1       1 2 1  x z  2 z  1   Lấy điểm N 0; 1  ; 2  d . 
Một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P là: n  1;1  ;1 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 71
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Gọi  là đường thẳng đi qua N và nhận n  1;1 
;1 làm vec tơ chỉ phương. x y 1 z  2
Phương trình đường thẳng  :   1 1 1
Gọi N  là giao điểm của  với  P .  2 x   3
x y z  3  0
x y z  3     1  2 1 8 
Tọa độ của N  là nghiệm của hệ:  x y 1
z  2  x y  1
  y   N  ;  ;     3     3 3 3   1 1 1 x z  2    8 z    3   1 4 5  1  MN    ;  ;   u   1; 4;5  3 3 3  3 
Đường thẳng cần tìm đi qua điểm M 1;1; 
1 và nhận u  1; 4; 5
  làm vec tơ chỉ phương nên có phương x 1 y 1 z 1 trinh   . 1 4 5  
Câu 143. Mặt phẳng   : 2x y z  3  0 có vectơ pháp tuyến n 2;1  ;1 .
Gọi tọa độ giao điểm của d và   là I thì I  2  2;39;8 . Lấy A 4
 ;3; 2  d . Gọi  là đường thẳng đi qua A và vuông góc với   . x  4   2t
Suy ra phương trình đường thẳng  là  y  3  tz  2  t
Gọi H là hình chiếu của A lên   thì H       H  2  ; 4;3 .
A ' đối xứng với A qua    H là trung điểm AA'  A'0;5; 4 .
Đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d qua mặt phẳng    d ' đi qua điểm I , A ' có vectơ chỉ  x y 5 z  4
phương A ' I  22; 34; 4    211; 17 
; 2 có phương trình là:   . 11 1  7 2  Câu 144. Chọn C
Gọi  là đường thẳng qua M và vuông góc với   . x  2  t
 Phương trình tham số của  là:  y  3  2t . Ta có M       . z 1 t  1
Xét phương trình: 2  t  23  2t  1 t  0  t  . 2  5 3  Vậy M  ; 2;   .  2 2  
Câu 145. Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến là n  2;1; 2 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 72
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
MM  vuông góc với mặt phẳng   nên đường thẳng MM nhận n  2;1; 2 làm vectơ chỉ phương. x  1 2t
Phương trình đường thẳng MM  là:  y  2  t .
z  4  2t
Gọi H là giao điểm của đường thẳng MM  và mặt phẳng   .
H MM   H 1 2t;2  t;4  2t  .
H    21 2t  2  t  24  2t   3  0  9t  9  0  t  1   H  1  ;1; 2 .
M  đối xứng với điểm M qua mặt phẳng   nên H là trung điểm của MM   M  3  ;0;0 . Câu 146. Chọn D
Ta gọi AB cắt d tại điểm M 1 2 ; m 1   ;
m 2  m  d  AM 2 ;
m m  3;3  m , theo yêu cầu bài toán AB vuông góc d , ta có   
AM .u  0  2.2m m  3  m  3  0  m  1 AM  (2; 2  ; 2) d 1  
Đường thẳng AB đi qua A nhận u AM  1; 1; 
1 là VTCP, ta có phương trình AB là 2 x 1 y  2 z  1 AB :  
. Gọi B 1 t; 2  t; 1
  t  AB 1 1 1
Lại có điểm B  (P)  1  t  2  t  2(1 t) 1  0  t  1. Vậy B(0; 3; 2) . Câu 147. Chọn C
Gọi M là giao điểm của d với  P  .
x y z  3  0
x y z  3 x  1   
Tọa độ của M là nghiệm của hệ:  x y 1
z  2  2x y  1
  y  1  M 1;1;  1       1 2 1 x z  2 z  1  
Lấy điểm N 0; 1; 2  d . 
Một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  là: n  1;1  ;1 . 
Gọi  là đường thẳng đi qua N và nhận n  1;1 
;1 làm vec tơ chỉ phương. x y 1 z  2
Phương trình đường thẳng  :   1 1 1
Gọi N  là giao điểm của  với  P  .  2 x   3
x y z  3  0
x y z  3     1  2 1 8 
Tọa độ của N  là nghiệm của hệ:  x y 1
z  2  x y  1
  y   N  ;  ;     3     3 3 3   1 1 1 x z  2    8 z    3   1 4 5  1  MN    ;  ;   u   1;4;5  3 3 3  3 
Đường thẳng cần tìm đi qua điểm M 1;1; 
1 và nhận u  1; 4; 5
  làm vec tơ chỉ phương nên có phương x 1 y 1 z 1 trinh   . 1 4 5  Câu 148. Chọn D
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 73
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Gọi M d  (P) . Suy ra M d M (3  2t; 2
  t; 1 t); M  (P)  t  1  M (1; 3  ; 0)  
(P) có véc tơ pháp tuyến là n  (1;1;1) . d có véc tơ chỉ phương a  (2;1; 1) .  có véc tơ chỉ phương P d   
a  a , n   . Gọi N ( ;
x y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên  , khi đó   (2; 3;1) d P
MN  (x 1; y  3; z) .   MN a
2x  3y z 11  0   
Ta có N  (P)
 x y z  2  0 .   2 2 2
(x 1)  ( y  3)  z  42 MN  42  
Giải hệ ta tìm được N (5; 2; 5  ) và N ( 3  ; 4;5) . x  5 y  2 z  5 Với N (5; 2; 5  ) , ta có  :   . 2 3 1 x  3 y  4 z  5 Với N ( 3  ; 4;5) , ta có  :   . 2 3 1 
Câu 149. Đường thẳng d có véctơ chỉ phương v  1;2; 
3 và đi qua điểm N  3  ;1;  4 2       
Ta có: v, u  4;5; 2  0  
; MN  4; 4;6 ; v,u .MN  16  20 12  8  0  
d và d chéo nhau. 1 2  
Mặt phẳng P cách đều hai đường thẳng d và d nên P nhận v, u  4;5; 2 làm một vectơ pháp 1 2  
tuyến và đi qua trung điểm I  1  ; 1  ;  1 của đoạn MN
Suy ra phương trình của P : 4x   1  5 y   1  2z  
1  0  4x  5 y  2z 11 0
a  4;b  5;c  2  a  2b  3c  20 .
x  1 2t 
Câu 150. Đường thẳng d có phương trình tham số:  y t
z  2t 
Điểm M thuộc đường thẳng d nên M  1
  2t;t;2 t.
Điểm A là trung điểm của MN nên: A2;1;  3
x  2x x  52t N A M 
y  2y y  2t N t  t t N A M 5 2 ; 2 ;4 
z  2z z  4t  N A M
Mặt khác điểm N  P nên: 5  2t  2  t  8  2t  8  0  t  3 Suy ra: M 5;3;  5 . 
Đường thẳng  có véc tơ chỉ phương AM 3; 4; 2 và đi qua điểm M 5;3;  5 nên có phương trình: x 5 y 3 z 5   3 4 2 nQ O Q d P Câu 151. x
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 74
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489   
Chọn A 1; 2;  
1  d ;u  2;1;3; u, i   0;3;   1 . d     
Ta thấy u ; i  .OA  7  0  d và Ox chéo nhau. d  
Gọi Q là mặt phẳng chứa d và song song với O . x   
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Q là n  u ;i   0;3;   1 . Q d  
Hình chiếu d  của d trên mặt phẳng  P là đường giao tuyến giữa hai mặt phẳng  P và Q.     
d  có một vectơ chỉ phương là n ; n   4;1;3  u  673 n ; n   2692;673; 2019 cũng là Q P Q P      một vectơ chỉ phương.
Vậy a b  2019. x t
Câu 152. Gọi A d   P . Vì Ad :  y  1
  2t At ; 1 2t ; 2  t  . z  2  t
Mặt khác A   P  t 1 2t  2  t  3  0  t  1. Vậy A1;1  ;1 .
Lấy B 0; 1; 2  d . Gọi  là đường thẳng qua B và vuông góc  P . x t 
Thì  :  y  1 t . Gọi C là hình chiếu của B lên  P .
z  2  t 
Suy ra C    C t; 1 t; 2  t . 2  2 1 8 
Mặt khác C   P  t 1 t  2  t  3  0  t  . Vậy C ; ;   . 3  3 3 3 
  1 4 5 
Lúc này d  qua A1;1 
;1 và có một vectơ chỉ phương là AC  ; ;   . Hay d nhận  3 3 3 
u  1;4;5 làm một vectơ chỉ phương. x  1 s
Suy ra d  :  y  1 4s . Vậy điểm thuộc đường thẳng d là M 2;5;  4 . z  1 5s  Câu 153.  
P có véctơ pháp tuyến n  1;1 
;1 và d có véctơ chỉ phương u  1; 2;  
1 . I d   P  I 1;1  ;1 .   
Vì    P;   d   có véctơ chỉ phương u   , n u   3;2  ;1   .
M là hình chiếu của I trên  nên M thuộc mặt phẳng Q đi qua I và vuông góc với  .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 75
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 
Mặt phẳng Q nhận u    3  ; 2 
;1 làm véctơ pháp tuyến nên ta có phương trình của Q : 3   x   1  2 y   1 1 z  
1  0  3x  2 y z  0 .   
Gọi d P Q d có véctơ chỉ phương v  u , n   1;4; 5
  và d đi qua I , phương trình của 1     1   1 x  1 t
d :  y  1 4t . 1 z 1 5t
Mặt khác M    M   P  M d . 1 
Giả sử M 1 t;1 4t;1 5t   IM  t; 4t; 5t  . Ta có: 2 2 2
IM  42  t 16t  25t  42  t  1  .
+) Với t  1  M 2;5; 4   . +) Với t  1   M 0; 3  ; 6 . Vì M a; ;
b c ( với a b c ) nên M 2;5; 4   .
Cách 2: Vì M a; ;
b c là hình chiếu vuông góc của I lên  . Khi đó ta có
M   P a b c 3 0     
a b c  3  0        IM u  3a   1  2b   1  c  
1  0  3a  2b c  0    2 2 2 IM  42   a   2 1  b  2 1  c  2 1  42 a    1  b   1  c   1  42   4a b 3 b     4a  3    
 a b c  3  0  c  5  a  6   a   2 1  b  2 1  c  2 1  42 a    2 1  b  2 1  c  2 1  42  a  0 b   3    c  6    a  2 b   5   c  4   Vì M a; ;
b c ( với a b c ) nên M 2;5; 4   . 
Câu 154. Mặt phẳng   : x y z 1  0 có vectơ pháp tuyến n 1;1;   1 . x 1  y  4 z  Đường thẳng d : 
 có vectơ chỉ phương u 2;3;5 . 2 3 5   Vì .
n u  1.2 1.3   
1 .5  0 nên d / /   .
Gọi d ' là hình chiếu vuông góc của d trên    d '/ /d . Lấy A1; 4
 ;0  d . Gọi  là đường thẳng đi qua A và vuông góc với   . x  1 t
Suy ra phương trình đường thẳng  là  y  4  t . z  t
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 76
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Gọi A ' là hình chiếu của A lên   thì A'       A'0; 5  ;  1 . 
Đường thẳng d ' là đường thẳng đi qua A'0; 5  ; 
1 , có vectơ chỉ phương u 2;3;5 có phương trình là x y  5 z 1    . 2 3 5 Câu 155. Chọn B. d N M M' d' Px  2   2t
+) Phương trình tham số của d :  y  4  2t , t R . Gọi M   2
  2t; 4  2t; 1
  t  là giao điểm của
z  1 t
d và  P   2
  2t   4  2t    1
  t  1  0  t  2  M  2;0  ;1 . 
+) Mặt phẳng  P có 1 vector pháp tuyến là n  1;1;  
1 . Điểm N  0; 2;0  d . P
Gọi  là đường thẳng qua N 0; 2;0 và vuông góc với mặt phẳng  P   nhận vector  n  1;1;  
1 làm vector chỉ phương. Suy ra phương trình của  là: Px c x  0 y  2 z  0     :  
  :  y  2  c , c R . Gọi M    ; c 2  ; c c
  là giao điểm của  với 1 1 1  z  c  1  1 5 1 
mặt phẳng  P  c  2  c  c 1  0  c    M   ; ;   . 3  3 3 3 
  7 5 2  +) MM    ; ;  
 , đường thẳng d  là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng  P nên d   3 3 3   
chính là đường thẳng MM ' , suy ra d  đi qua M 2;0 
;1 và nhận vector u  3  MM   7; 5  ; 2 làm
vector chỉ phương nên phương trình của d  là: x  2 y z 1 d :   . 7 5  2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 77
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 156. 
 Mặt phẳng  P có véctơ pháp tuyến n  . P 1;1  ;1   
Đường thẳng d có véctơ chỉ phương là u  2;1;3 , đường thẳng chứa trục Ox có có véctơ chỉ d  
phương i  1;0;0 .
 Gọi Q là mặt phẳng chứa đường thẳng d và song song (hoặc chứa) trục Ox .   
Khi đó Q có véctơ pháp tuyến n
 u , i    . Q d 0;3;  1    
 Đường thẳng d ' chính là giao tuyến của  P và Q .   
 Vectơ chỉ phương của d ' là u  n , n   4  ;1;3 . 1 P Q          Suy ra: u  2
 692; 673; 2019 cũng là chỉ phương của d ' .
Ta có: a b  2  692  673  20  19 .
Dạng 4.4 Bài toán cực trị Câu 157. Chọn D     Gọi I  ; a ;
b c là điểm thỏa mãn IA  2IB  3IC  0 .    Ta có IA1 ; a 2  ;
b 3  c, IB  ; a 1 ;
b 1 c, IC 1 ; a  ;
b  2  c  2 a   3 1
  a  2a  3 3a  0 6a  4         2  2 2 1 
IA  2IB  3IC  0  2 b  2  2b 3b  0
 6b  4  b   I ; ;    . 3  3 3 6  3 
c 2 2c 6 3c 0 6c 1             1 c     6 Ta chứng minh được 2 2 2 2
T  6MI IA  2IB  3IC . Do đó T đạt GTNN khi MI đạt GTNNM là
hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P).  2 x   t  3   2  2 2 1  19 19
Ta có MI : y   t , M MI M t  ;t  ;t
, M  P 3t   0  t     3   3 3 6  6 18  1 z    t   6 7 7 22     3  7 7 11   M  ;  ;   d  9 18 9 91
M ;Q     .  18 18 9  3 54
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 78
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Q Δ B H K A d P Câu 158. x  2t x y z  Đường thẳng  :  
được viết lại dưới dạng tham số  :  y  2t 2 2 1 z t  x  2tt  0    y  2tx  0 Xét hệ phương trình   
. Do đó  cắt  P tại điểm A0; 0;0  O . z t y  0  
x  2 y  2z  0 z  0  
Lại có  và  P không vuông góc nhau nên ta đi chứng minh góc nhỏ nhất giữa  P và Q  là góc giữa
 và  P . Thật vậy trên  lấy B khác A , kẻ BH vuông góc với  P tại H và BK vuông góc d tại 
K ( d là giao tuyến của  P và Q  ) tại K . Khi đó góc giữa Q  và  P là góc BKH .  BH BH
HA HK  tan BKH    tan BAH HK HA    
BKH , BAH  90      4 
BKH BAH  ,   P  arcsin      9
tan BKH  tan BAH
Đẳng thức xảy ra  K A    d .
Do đó, góc giữa hai mặt phẳng  P và Q  là nhỏ nhất khi và chỉ khi Q  chứa  và cắt  P theo
một giao tuyến vuông góc  .
*)Viết phương trình của Q   
Đường thẳng  có vectơ chỉ phương u  2; 2;1 ,  P có vectơ pháp tuyến n  1; 2; 2  nên d có 1   1      vectơ chỉ phương uu , n    6; 5; 2 . 2 1 1       
Q chứa  và d nên nhận nu ;u  
 1;10; 22 làm vectơ pháp tuyến. 2 2 1     
Vậy mặt phẳng Q đi qua A0; 0; 0 và nhận n  1;10; 2
 2 làm vectơ pháp tuyến nên có phương 2  
trình x  10 y  22z  0 .     Câu 159. Gọi I  ; x ;
y z là điểm thỏa mãn IA  2IB  3IC  0 .   
Ta có IA  10  x; 5  y;8  z  , IB  2  x;1 y; 1 z  , IC  2  x;3  y; z .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 79
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489   1
 0  x  22  x  32  x  0 x  0   Khi đó,   5
  y  21 y  33  y  0   y  1  I 0;1  ;1 .    8  z   2 1
  z   3z  0 z  1  
Với điểm M thay đổi trên  P , ta có       2 2 2 2 2 2
MA  2MB  3MC  MI IA  2MI IB  3MI IC     2 2 2 2
 6MI IA  2IB  3IC  2MI IA  2IB  3IC     2 2 2 2
 6MI IA  2IB  3IC (Vì IA  2IB  3IC  0 ). Ta lại có 2 2 2
IA  2IB  3IC  185  2.8  3.9  228 . Do đó, 2 2 2
MA  2MB  3MC đạt giá trị nhỏ nhất  MI đạt giá trị nhỏ nhất
M là hình chiếu vuông góc của I trên  P .
Khi đó, MI d I, P  3 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của 2 2 2
MA  2MB  3MC bằng 2
6MI  228  6.9  228  282 . Giá trị nhỏ nhất của 2 2 2
MA  2MB  3MC đạt được khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I trên  P .
Lưu ý thêm cách tìm điểm M như sau: x t
Gọi  là đường thẳng qua I và vuông góc với  P . Phương trình của  :  y  1 2t . z  1 2t
Ta có M     P . Xét phương trình
t  21 2t  21 2t  9  0  9t  9  0  t  1  M 1;3;  1 . C D A H Câu 160. B Gọi C
là chu vi của tam giác ABM . ABM  AB   2
 ;  3; 10  AB  113     AB   2
 ;  3; 10 , CD  1;  4;  1  A . B CD  2
 12 10  0  AB CD .
Gọi  P là mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với đường thẳng CD .
H là giao điểm của  P và đường thẳng CD . 
Phương trình mặt phẳng  P qua A1;1; 6 có véc tơ pháp tuyến CD  1;  4;  1 là:
x  4 y z 1  0 . x  1 t
Phương trình đường thẳng CD :  y  2  4t .
z  1 t
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 80
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
H CD H 1 t; 2  4t; 1 t  . 1  3 1 
H   P  1 t  42  4t  1 t 1  0  t   H ; 0;    . 2  2 2   AM AH Với M   CD , ta có 
AM BM AH BH . BM BHC
AB AM BM  113  AH BH , M   CD . ABM  3 1  Suy ra minC
 113  AH BH , đạt được M H M ; 0;  . ABM    2 2 
Vậy a b c  1. Câu 161. Ta có C
AM BM AB mà AB không đổi suy ra C
nhỏ nhất khi AM BM nhỏ nhất. ABM ABM  
Ta có AB  2; 3; 10, CD  1; 4   ;1 .   Xét A .
B CD  0  AB CD . Gọi   qua AB và vuông góc với CD . 
  đi qua A 1
 ;1; 6 và nhận CD  1; 4  
;1 làm véc tơ pháp tuyến.
Suy ra   có phương trình là: x  4 y z 1  0.
Vì điểm M thuộc CD sao cho AM BM nhỏ nhất nên M CD    . x  1 t  
  : x  4y z 1  0 , CD có phương trình:  y  2  4t z  1   t   3 1  3 1
M CD     M ; 0; 
  a b c   0   1 .  2 2  2 2    
Câu 162. + Gọi I  ;
x y; z  là điểm thỏa mãn IA  2IB  3IC  0 .  IA  3  ;
x 1 y ;1 z   
Ta có IB  7  x;3  y;9  z  .  IC  
2  x;2  y;2  z   23 x   6 23  6x  0        13  23 13 25 
+ IA  2IB  3IC  0  13 
 6 y  0   y   I ; ;   .  6  6 6 6  25  6z  0    25 z    6        
MA  2MB  3MC  6MI  IA  2IB  3IC  6MI  6MI .   
MA  2MB  3MC đạt giá trị nhỏ nhất  M là hình chiếu của I lên mặt phẳng  P .
+ Gọi đường thẳng d  đi qua I và vuông góc  P .   23 13 25 
Ta có d  đi qua I ; ; 
 và nhận n  1;1 
;1 làm véc tơ chỉ phương. p  6 6 6 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 81
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  23 x   t  6   13
Suy ra phương trình  d  :  y   t . 6   25 z   t   6  23 13 25 
M  d   Mt;  t ;  t    6 6 6  23 13 25 43  13 2  16 
M  P   t   t
t  3  0  t   M ; ;   . 6 6 6 18  9 9 9   13 a   9   2  62 Do đó b  
 2a 10b c  . 9  9  16 c    9 Câu 163. Cách 1:
m 11 2m 1 3m  2 1 Ta có d  ;
A P   . 2  2 2 2m m m m      1 1 1  1 3m  2 1
5  m3m   1 m
Xét f m 
f m   0    3 . 2  2 m m   1 2  2 m m  2 1 m  5  Vậy
d A P 14 max ; 
khi m  5  2;6 . 3 Cách 2:
Ta đi tìm đối tượng cố định của mặt phẳng  P :
P :m  
1 x y mz 1  0   x zm x y 1  0 . x z  0
Với mọi m   mặt phẳng  P luôn đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng  tức luôn đi
x y 1  0  x t
qua đường thẳng d  : y  1 t . z t  
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 82
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 
Gọi H t;1 t; t
  d   AH  t 1;t;  t  2 . Để khoảng cách từ A đến  P lớn nhất thì  
AH   P  AH cùng phương với VTPT của  P là nP  m 1;1; m , suy ra:  1 t 1 t t   2
mt t t 1 t          3 . m 1 1 m mt t   2  m  52;6  B d A P' Câu 164.
Gọi (P ') chứa A và song song (P) suy ra (P ') :x y  2z  4  0 .
Ta thấy B  (P ') do đó d (B, d ) đạt giá trị lớn nhất là A . B
Khi đó d vuông góc với AB và d vuông góc với giá của n là VTPT của (P) .   
Suy ra một VTCP của d là u  n, AB  (2; 2; 2)   .
Kết hợp với điểm A thuộc d nên ta chọn đáp án C.
Câu 165. Gọi M  ( ; a ; b c) .
   
     Ta có M . A MC M .
A MB  34  MAMC MB  34  M . A BC  34  
Mặt khác MA  (8  a;1  ;
b 1 c) , BC  (4; 3; 3) Suy ra 4( 8   a)  3(1 )
b  3(1 c)  34  4
a  3b  3c  66  0 . Vậy M ( ) P có phương trình 4
x  3y  3z  66  0 .
Ký hiệu f (M )  f ( ;
x y; z)  4x  3y  3z  66 , với M (x; y; z) Ta có f ( ).
A f (B)  (4(8)  3.1  3.1  66)((4.2  3.1 3.3  66)  (34).(68)  2312  0 Suy ra điểm (
A 8;1;1) và điểm B(2;1;3) nằm về cùng 1 phía so với mặt phẳng (P) .
Khi đó MA MB AB (tính chất 3 cạnh của tam giác) suy ra MA MB đạt giá trị lớn nhất khi M , ,
A B thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn thẳng AB hay M là giao điểm của đường thẳng AB với (P) . 
Đường thẳng AB có véc tơ chỉ phương AB  (10; 0; 2) và qua điểm B(2;1; 3) nên có phương trình
x  2  5t   y  1 . z  3  t  Suy ra 4
 (2  5t)  3.1 3(3  t)  66  0  1
 7t  68  t  4  . Vậy M ( 1  8;1; 1
 ) hay x y z  18. 0 0 0
Câu 166. Với mọi điểm I ta có      
S NA NB NC  NI I 2
A  NI IB2  NI IC 2 2 2 2 2 2     2
NI NI IA IB IC  2 2 2 4 2 2
 2IA IB IC    
Chọn điểm I sao cho 2IA IB IC  0        
2IA IB IC  0  4IA AB AC  0 Suy ra tọa độ điểm I là I 0;1;2 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 83
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 2 2 2
Khi đó S  4NI  2IA IB IC , do đó S nhỏ nhất khi N là hình chiếu của I lên mặt phẳng P. x   0 t 
Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng P là y   1  tz   2  t 
Tọa độ điểm N t;1  t;2  t  P   t 1  t  2  t  2  0  t  1
  N 1;2;  1 . Câu 167. Chọn A M H B C x y 1 2  zd :   có VTCP u  1; 2  ;   1 . 1 2  1 
Q : 2x y  2z  2  0 có VTPT n  2; 1  ; 2   .  
Gọi  là góc tạo bởi d và Q , ta có   u n 6 sin cos ,  . 3
Từ hình vẽ, ta có d P  ,
MBH và  P Q  ,  MCH .  MH MH 6 Ta thấy sin MCH    . MC MB 3  6  3
Vậy góc  P Q  ,
MCH nhỏ nhất khi sin MCH  hay cos MCH  3 3
*Viết phương trình mặt phẳng (P) -CÁCH 1:
Mặt phẳng  P : Ax By Cz D  0   n .u  0
A  2B C  0 Q   Ta có    
 2A B  2C 3 n n     Q  3 cos ,   2 2 2 3  3
3 A B C
A  2B C
A  2B C       3B  3  2B C2 2 2 2 2  B C
6B  6C 12BC  0    1  
Nếu B  0 suy ra A C  0 loại. 2  C C C
Nếu B  0 từ   1 suy ra  2 1  0   1
  C  B  
suy ra A B .  B B B
Mặt phẳng  P : Bx By Bz D  0 đi qua điểm N 0; 1; 2  d suy ra D  3B .
Vậy phương trình mặt phẳng  P : x y z  3  0 . Suy ra d  ;
A P  3 . -CÁCH 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 84
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Gọi   (P)  (Q) thì góc giữa (P) và (Q) nhỏ nhất khi và chỉ khi   d . Do đó, mặt phẳng (P) thỏa đề
bài là mặt phẳng chứa d và cắt (Q) theo giao tuyến  sao cho   d .    (Q)       u  u ,n     d nhận 
d Q  làm vec tơ chỉ phương.    (Q) M(0; 1
- ; 2) d
n  u ,u   (6; 6; 6)
chứa d và   (P) qua và nhận  d   làm vectơ
(P) : x y z 3  0 . d  ;
A P  3 pháp tuyến Vậy . Câu 168. Chọn C Ta có: 2. 2    2. 2
  1 9  0  B  .
Gọi H là hình chiếu của A trên  thì AH MB , AM MB MH MB
MB BH . Dấu bằng xảy ra khi M H , lúc đó M là hình chiếu của A trên  .  Gọi H  ;
x y; z  , AH   x 1; y  2; z  3 .
2x  2 y z  9  0
2x  2 y z  9  x  3    
Ta có hệ phương trình  x 1 y  2
z  3  x y  1    y  2        2 2 1  x  2z  5   z  1    x  2   t   M  3  ; 2  ;  
1  MB  1;0; 2  MB :  y  2  . z 1 2t   
Câu 169. AM  6 ;  7 ; 
1 , vectơ pháp tuyến của   là n  (3;  4;1) .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên a .
d A;a  AH AM  86  d A; a lớn nhất khi H M .
Khi đó a là đường thẳng đi qua M , song song với   và vuông góc với AM .    u      n
Gọi u là vectơ chỉ phương của a  
 ;  AM ,n   3  ;  3;   3  3  1;1;  1   . u   AM  
Chọn u  1;1;  1 . Đáp án D thỏa mãn.
----------------------------------------
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 85
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 170. 
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u  0;3;  2 . 
Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến là n  1;1;   1 .   Vì .
u n  0.1 3.1  2  . 
1  5  0 nên d cắt   . x  3 
Gọi d là đường thẳng đi qua M và d // d , suy ra d có phương trình:  y  1 3t . 1 1 1 z 1 2t
Lấy N 3; 4;  
1  d . Gọi K , H lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng   và đường 1 thẳng  .  NH NK Ta có: d    ,
NMH và sin NMH   . MN MN Do vậy d   ,
nhỏ nhất khi K H hay  là đường thẳng MK . x  3  t
Đường thẳng NK có phương trình:  y  4  t . z  1   t
Tọa độ điểm K ứng với t là nghiệm của phương trình: 5  4 7 2  
3  t   4  t   1 t   3  0  t   . Suy ra K ; ;   . 3  3 3 3  Câu 171.
Gọi I là trung điểm AB I 3;1; 4 . Gọi H là hình chiếu của I xuống mặt phẳng   .      
  
Ta có MA MB  MI IA MI IB 2
MI MI IA IB 2 2 2 . . .
IA MI IA .  
Do IA không đổi nên M .
A MB nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất  MI IH M H .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 86
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 
Gọi  là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng   . Khi đó  nhận n   làm  1;2; 3   x  3  t
vectơ chỉ phương. Do đó  có phương trình  y  1 2t .
z  4  3t
H    H 3  t;1 2t; 4  3t  .
H    3  t   21 2t   34  3t   7  0  t  1  H 4;3  ;1 . Vậy M 4;3  ;1 .
Câu 172. Gọi (Q) chứa  và song song với (P) . Suy ra (Q) có phương trình:
x  1  2( y  1)  0  x  2 y  3  0 .
Khi đó d B; 
BH với H là hình chiếu của B lên mặt phẳng (Q) . min x  1   t
Đường thẳng BH đi qua B , vuông góc với mặt phẳng (Q) có phương trình  y  2t ,t . z  2 
Tọa độ giao điểm H của đường thẳng BH và mặt phẳng (Q) là nghiệm của hệ: x  1   t   y  2t  1 8  
. Giải hệ trên ta được H  ; ; 2   . z  2   5 5 
x  2 y  3  0    6 3 
Do đó  là đường thẳng AH có AH  ;  ; 1    .  5 5  
Suy ra u  6; 3; 5 cũng là một vecto chỉ phương của  .    Câu 173. Gọi I ( ; m ;
n p) là điểm thỏa mãn: 3IA  2IB  0.   Ta có IA  (1 ; m  ;
n 2  p); IB  (3  ; m 1 ; n 1   p). 3  (1 ) m  2(3  ) m  0 m  3      
3IA  2IB  0  3  ( )
n  2(1 n)  0  n  2   I ( 3  ; 2  ;8). 3
 (2 p) 2( 1 p) 0       p  8         
Ta có 3MA  2MB  3(MI I )
A  2(MI IB)  MI MI.  
Khi đó, 3MA  2MB đạt giá trị nhỏ nhất, M  (P)  MI nhỏ nhất, M  (P)
M là hình chiếu vuông góc của I trên (P).
Gọi  là đường thẳng qua I và vuông góc với (P). Khi đó  nhận vectơ pháp tuyến của (P) là  x  3   t
n  (1;1;1) làm vecto chỉ phương   : y  2   t . z  8  t
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 87
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  2 t    3  11  a   x  3   t 11  3   x     y  2   t  3  8
Tọa độ M là nghiệm của hệ     b   
S  9a  3b  6c  3. z  8  t 8 3   y   
x y z 1  0  3  22  c   22   3 z   3 H d P A K Câu 174.
Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d . Ta suy ra H 1;1  ;1 .
Gọi  P là mặt phẳng đi qua điểm A và  P song song với đường thẳng d . Gọi K là hình chiếu của
H lên mặt phẳng  P . Do d //  P nên ta có d d, P  d H , P  HK .
Ta luôn có bất đẳng thức HK HA . Như vậy khoảng cách từ d  đến  P lớn nhất bằng AH . Và khi 
đó  P nhận AH  1; 2;3 làm vectơ pháp tuyến.
Do  P đi qua A2; 1; 2
  nên ta có phương trình của  P là: x  2 y  3z 10  0 .
Do đó  P vuông góc với mặt phẳng có phương trình: 3x z  2  0 . x  1 t
Câu 175. Phương trình tham số của đường thẳng AB là  y  7  2t .
z  8  t
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của M trên  P và đường thẳng AB .
Ta tìm được điểm K 3; 3; 10 . Ta luôn có bất đẳng thức d M , P  MH MK . 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi H K . Khi đó MH   4
 ; 2; 8  22;1; 4 . 
Mặt phẳng  P có một vectơ pháp tuyến là n  2;1; 4 . Vậy ta có a b  3 .
Câu 176. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên   và d . Khi đó ta có AH AK . 
Vì H d nên H 2  t ; 1
  2t ;1 t   AH  1 t ; 2t ;1 t  . 1   2 2 2 
Do AH d nên ta có  1 t   2.2t 1 t  0  t   . Khi đó AH   ;  ;   . 3  3 3 3 
Khoảng cách từ A đến   lớn nhất khi và chỉ khi AH AK . Do đó   có vectơ pháp tuyến là
n 1;1; 1. Vậy : 1x21y 11z 1 0  xyz  0.
Vẫn là đánh giá bất đẳng thức AH AK nói trên, nhưng bài toán sau đây lại phát biểu hơi khác một chút.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 88
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 B d H K Q P Câu 177.
Ta thấy rằng d đi qua A và d song song với  P nên d luôn nằm trong mặt phẳng Q qua A và
Q // P . Như vậy bây giờ ta chuyển về xét trong mặt phẳng Q để thay thế cho  P . Ta lập được
phương trình mặt phẳng Q : x  2 y  2z 1  0 .  1 11 7 
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của B lên Q và d . Ta tìm được H  ; ; 
 . Ta luôn có được bất  9 9 9  đẳng thức d  ;
B d   BK BH nên khoảng cách từ B đến d bé nhất bằng BH . x  3 y z 1
Đường thẳng d bây giờ đi qua ,
A H nên có phương trình   . 26 11 2  Câu 178. Chọn A    
Gọi điểm I x; y; z  thỏa mãn IA IB  3IC  0.   IA  1 ;
x 4  y;5  z  IA  1 ;
x 4  y;5  z     
Mà IB  3  ;
x 4  y; z   IB  3  ;
x 4  y; z     IC  2  ; x 1   ; y z  3IC  6  3 ; x 3   3 ; y 3    z      
IA IB  3IC  10  5 ;
x 5  5y;5  5z    2     x
Do đó: IA IB  3IC  0   y  1  I 2;1  ;1 . z  1        2 2 2 Mặt khác: 2 2 2
MA MB  3MC  MI IA  MI IB  3MI IC      2 2 2 2
 5MI  2.MI. IA IB  3   
IC   IA IB  3IC     0  Vì I , , A , B C cố định nên 2 2 2
IA IB  3IC không đổi 2 2 2 2
Do đó: MA MB  3MC nhỏ nhất  MI nhỏ nhất  MI nhỏ nhất   
M là hình chiếu của I trên mặt phẳng .  
Phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng là: x  2 y 1 z 1   . 3 3  2 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 89
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
M   d   . Gọi
Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:  7 x   2  x  2 y 1 z 1  3
x  6  3y  3       1  7 1   3 3 2   2
x  4  3z  3
  y    M ;  ; 0 .   2  2 2  3
x 3y 2z 12 0  3
x 3y 2z 12 0           z  0   7 1 a
,b   , c  0  S a b c  3. Vậy 2 2 Câu 179. Chọn D 1 Ta có: SA .
B MH với H là hình chiếu vuông góc của M lên AB. ABM 2
Do AB không đổi nên S
nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất. ABM   AB  4; 8  ; 4        A .
B n  0  AB //(P) Pn    P 1;1;  1
MH nhỏ nhất khi M nằm trên giao tuyến của mặt phẳng Q và  P ;
với Q là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp  P .   AB  4; 8  ; 4       n
 phương trình mp Q là x z  4  0 . Q 3;0;3 n    P 1;1;  1
M nằm trên giao tuyến của mặt phẳng Q và  P nên tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình x t
x z  4  0  
  y  2  2t M t; 2  2t; 4  t với t  2 .
x y z  2  0  z  4  t   
Ta có AM  t  3; 2
  2t;3  t ; BM  t  7;6  2t;7  t  .
Tam giác ABM vuông tại M nên
 
AM .BM  0  t  3t  7   2
  2t 6  2t   3  t 7  t   0
t  3 n
t 3t 7 2t 3t  1 0
t 33t 5 0              5 . t  l  3
+ t  3  M 3; 4  
;1  a b c  3  4 1  0 . 
Câu 180. Gọi n   ; a ;
b c là một vectơ pháp tuyến của  P , với 2 2 2
a b c  0 .
Điểm M 1;0; 2  d M  P .
Phương trình của  P : ax by cz  a  2c  0 .     
Một vectơ chỉ phương của d là u  2;1; 2  n u  .
n u  0  2a b  2c  0 .
| a  5b c | 9 | a c |
b   2a  2c  d  ,
A P   . 2 2 2
a b c
a c  4 a c2 2 2 a c
Ta có a c  a c   2 2 2 2 2 2 2 
a c với a  , c  .  2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 90
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 a c 9 2 2  2 2 2 2
Suy ra: a c  4 a c 
 4 a c  a c . 2 2 9 | a c | 9 | a c | 9 | a c | 2 Do đó d  ,
A P     3 2.
a c  4a c2 2 2 9 3 | a c | a c2 2 a cMax d  ,
A P  3 2  
. Chọn a c  1  b  4. b  4a
Phương trình  Px y z    d O P 1 : 4 3 0 ,  . 2
Câu 181. Do mặt phẳng  P qua Ox nên phương trình mặt phẳng  P có dạng by cz  0  2 2
b c  0 4  b c 2b  3c  4
b c  4b  6c d  2d   2.  B,P  A,P  2 2 2 2 4
b c  4  b  6c b c b c  8
b  7c  0  c  0 
Trường hợp 1: 8b  7c  0 chọn b  7; c  8 khi đó  P : 7 y  8z  0
Xét f y, z  7 y  8z Thay tọa độ ,
A B vào ta được 7.2  8.37. 4    8.  1   0 suy ra ,
A B nằm cùng phía so với  P (loại)
Trường hợp 2: c  0 suy ra phương trình  P : y  0 Thay tọa độ ,
A B vào ta được 2. 4    0 suy ra ,
A B nằm khác phía so với  P . Do đó đường thẳng
AB cắt  P tại I nằm giữa AB x  1 4t
Phương trình tham số của đường thẳng AB :  y  2  6t t   z  3 4t
Tọa độ điểm I là nghiệm hệ phương trình  1 t   3 x  1 4t   7  y 2 6t    x   7 5     3  I ; 0;   z  3  4t  3 3    y  0  y  0   5 z    3 7 5
Vậy a b c   0   4 3
3          
Câu 182. Gọi I là điểm thỏa mãn: 2IA IC IB  0  2(OA OI )  (OC OI )  (OB OI )  0
   
2OA OC OBOI   I 1; 2; 2 2        2 2 2 Ta có 2
2MA  2MA  2MI IA2  2MI  2IA  4MI.IA        2
MB MB  MI IB2 2 2 2
MI IB  2MI.IB
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 91
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489        2
MC MC  MI IC2 2 2 2
MI IC  2MI.IC
    Suy ra 2 2 2 2 2 2 2
2MA MB MC  2MI  2IA IC IB  2MI 2IA IC IB Suy ra 2 2 2 2 2 2 2
2MA MB MC  2MI  2IA IC IB . Do I cố định nên 2 2 2
2IA IC IB không đổi. Vậy 2 2 2
2MA MB MC nhỏ nhất  MI nhỏ nhất  MI nhỏ nhất  M là hình chiếu của I trên (P). x  1 3t
 Đường thẳng  qua I 1; 2; 2
  và vuông góc với  P là:  y  2  3t z  2   2t  x  1 3tx  4  
y  2  3ty  1
Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của hệ     M 4; 1  ; 0 z  2   2t z  0   3
x  3y  2z 15  0 t   1  
Suy ra a b c  3 Câu 183.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d, gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên (P) . Do
đó khoảng cách từ A đến (P) là: d  ;
A (P)  AK.
x  2t 1 
Ta có d :  y t
. Vì H d nên H  2
t 1;t;t   1 . z t 1    AH  2
t  2;t  2;t  2 , VTCP của đường thẳng d là u 2;1  ;1 . d    
AH u AH.u  0  2(  2
 t 2)  t 2  t 2  0  t  0 . d d  Do đó H  1  ; 0  ;1 và AH  2
 ; 2; 2  AH  2 3 (không đổi).
Vì AK AH ( đường vuông góc luôn ngắn hơn đường xiên) nên AK lớn nhất khi AK AH hay K H .   
Ta có AK AH  (2; 2
 ; 2)  2(1;1;1) . Vậy, một vec tơ pháp tuyến của (P) là n  (1;1;1) .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 92
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 184.
Gọi mặt phẳng Q là mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng  P . Khi đó phương trình của mặt phẳng Q là 
1 x  3  2 y  0  2 z  
1  0  x  2 y  2z  1  0 .
Gọi H là hình chiếu của điểm B lên mặt phẳng Q , khi đó đường thẳng BH đi qua B 1;1;3 và nhận x  1  t   n
 1; 2;2 làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là  y  1  2t . Q   
z  3  2t  Vì
H BH  Q  H BH H 1  t;1  2t;3  2t  và H  Q nên ta có 10  1 11 7   1  t   2 1
  2t   23  2t  1  0  t    H  ; ;   . 9  9 9 9 
  26 11 2  1  AH  ; ;    26;11; 2 .  9 9 9  9
Gọi K là hình chiếu của B lên đường thẳng d , khi đó Ta có d  ;
B d   BK BH nên khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất khi BK BH , do đó đường thẳng d x  3 y z  1
đi qua A và có vectơ chỉ phương u  26;11; 2 có phương trình chính tắc: d :   . 26 11 2 d A d I H A K (P) (Q) Câu 185. 
Đường thẳng d đi qua M 1; 1; 3 và có véc tơ chỉ phương u  2; 1; 1 . 1  
Nhận xét rằng, A d và d   P  I  7  ; 3;   1 .
Gọi Q là mặt phẳng chứa d và song song với  . Khi đó d , d   d ,Q  d  , A Q .
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Q và d . Ta có AH AK .
Do đó, d , d  lớn nhất  d  ,
A Q lớn nhất  AH
H K . Suy ra AH chính là đoạn max
vuông góc chung của d và . 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 93
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489   
Mặt phẳng  R chứa A và d có véc tơ pháp tuyến là n
  AM , u    2  ; 4; 8 . R 1 
   
Mặt phẳng Q chứa d và vuông góc với  R nên có véc tơ pháp tuyến là n
 n ,u   12; 18;  6 Q  R 1   .
Đường thẳng  chứa trong mặt phẳng  P và song song với mặt phẳng Q nên có véc tơ chỉ phương là   
u  n , n
  66;  42; 6  611;  7;  1 .  P R  
Suy ra, a  11; b  7
 . Vậy a  2b  3 .
Câu 186. x my  2m  
1 z m  2  0  m y  2z  
1  x z  2  0 (*)
y  2z 1  0
Phương trình (*) có nghiệm với m    .
x z  2  0  x  2  t
Suy ra  P luôn đi qua đường thẳng d :  y  1 2t . z t  
K d K 2  t;1 2t;t  , AK t;  2t;t  3 
Đường thẳng d có VTCP u  1  ;  2  ;1   1  3 1 
AK.u  0  t  4t t  3  0  t   K ; 0;   2  2 2 
Ta có AH AK AH
AK H K . max 3
Vậy a b  . 2
Câu 187. Vì 1 2.11 2  1   2. 
1  3  2  0 nên A và B nằm về hai phía so với  P . Do đó
MA MB AB nên MA MB nhỏ nhất bằng AB khi M AB   P . x  1 t
Phương trình đường thẳng AB :  y  1 t , tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình z 1 t  x  1 tx  1 tx  0     y  1 t y  1 t   y  0     
. Vậy M 0;0; 2 . z  1 tz  1 tz  2 
x  2 y z  2  0  1
  t  21 t 1 t  2  0   t  1     
Câu 188. Gọi E là điểm thỏa mãn EA EB  2EC  0  E 3; 0  ;1 .    2 2 2 Ta có: 2 2 2
S MA MB  2MC MA MB  2MC      
 ME EA2  ME EB2  ME EC2 2 2 2 2 2
 4ME EA EB  2EC . Vì 2 2 2
EA EB  2EC không đổi nên S nhỏ nhất khi và chỉ khi ME nhỏ nhất.
M là hình chiếu vuông góc của E lên Q .
x  3  3t
Phương trình đường thẳng ME :  y t . z 1 t
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 94
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
x  3  3tx  0    y ty  1
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:    . z  1 tz  2  3
x y z  3  0  t   1   M 0; 1
 ; 2  a  0 , b  1  , c  2 .
a b  5c  0 1 5.2  9 .
Câu 189. Với mọi điểm I ta có      
S NA NB NC   NI IA2   NI IB2   NI IC 2 2 2 2 2 2
    2
NI NI IA IB IC 2 2 2 4 2 2
 2IA IB IC
   
Chọn điểm I sao cho 2IA IB IC  0
   
   
2IA IB IC  0  4IA AB AC  0 Suy ra tọa độ điểm I là: I 0;1; 2 . Khi đó 2 2 2 2
S  4NI  2IA IB IC , do đó S nhỏ nhất khi N là hình chiếu của I lên mặt phẳng  P . x  0  t
Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng  P là:  y  1 t z  2   t
Tọa độ điểm N t;1 t; 2  t   P  t 1 t  2  t  2  0  t  1   N  1  ; 2  ;1 .
Dạng 5. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng thẳng với đường thẳng Câu 190. Chọn D
Ta thấy hai đường thẳng d và 
d có cùng véctơ chỉ phương hay d / /d 
Vậy đường thẳng cần tìm có véctơ chỉ phương là u  3;1; 2 và đi qua trung điểm I 3; 2; 2 của
AB với A 2; 3; 4 d và B4; 1; 0  dx  3 y  2 z  2
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là   . 3 1 2  
Câu 191. d qua M 0;3; 2 có vtcp u  1; 2 
;1 , d qua N 3; 1
 ; 2 có vtcp v  1; 2   ;1 . 1 2   
u,v  4;0; 4
  , MN  3; 4;0 .   
u,v.MN 12 3 2
d d , d      . 1 2  u,v 4 2 2 Câu 192. Chọn C x 1 y z  2  x  2 y 1 z  d :  
u  2;1; 2 ; d :  
u  2; 1; 2 2   1   1 2 1 2  2 2 1 2   u u
d / /d d d 1 2 1 2 1 2 Điểm M 1;0; 2
  d ; M d nên d / /d 1 2 1 2 2 2  Câu 193. Vì 
nên vectơ chỉ phương u  2; 2; 3 của đường thẳng  không cùng phương với vectơ chỉ 1   1  2  1 
phương u  1; 2;1 của  . Tức là  chéo với  hoặc  cắt  . 2   2 1 2 1 2  Lấy M 1; 1
 ; 0   , N 3;3; 2
    . Ta có: MN  2; 4; 2 . 1 2
  
  
Khi đó: u ;u  .MN  0 . Suy ra u , u , MN đồng phẳng. 1 2   1 2 Vậy  cắt  . 1 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 95
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 194. Gọi A 1   2t; 2
  t;1 t  và B 2   4t ;  1 t ; 2
  t là hai điểm lần lượt thuộc  và  . 1 2   
AB  1 2t  4t ;3 t t ; 3 t t .  có VTCP u  2;1; 
1 ;  có VTCP u  4;1;   1 . 1 2    A . B u  0
AB là đoạn vuông góc chung của  và     1 2  A . B u  0  2   1
  2t  4t  3 t t   3
  t t  0
6t  8t  2 t  1       4 
1 2t  4t  3 t t  3 t t  0
8t 18t  10 t  1     Suy ra A1; 1
 ; 2 và AB  1;1;   3 . x  1 t1 
Phương trình đường thẳng chứa đoạn vuông góc chung của  và  là: y  1   t . 1 2 1 z 2 3t  1
Chỉ có điểm Q 3;1; 4
  có tọa độ thỏa mãn phương trình. 
Câu 195. d đi qua điểm M 1;0;0 , có vectơ chỉ phương u  2;1;3 . 1   1 
d đi qua điểm N 1; 2; m , có vectơ chỉ phương u  1;1;0 . 2   2   
u ,u  3;3;1 ; MN  0;2;m . 1 2      
d và d chéo nhau khi và chỉ khi u ,u .MN  0  m  6 . 1 2  1 2    5
u ,u .MN 1 2  5 m  6 5 m  1
Mặt khác d d , d         . 1 2   19 u ,u 19 19 19 m  11 1 2  
Khi đó tổng các phần tử của m là 1  2 . x  1 t
Câu 196. Phương trình tham số của đường thẳng d là:  y  2  2t . 1 z  3  t  
Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm A và có vectơ chỉ phương v  a;1; 2 là: 2
x  1 at 
d :  y  0  t 2 z  1   2t   
d nhận u  1; 2 
;1 làm vectơ chỉ phương và d nhận v  a;1; 2 làm vectơ chỉ phương 1 2 1
  t  1 at 
Đường thẳng d cắt đường thẳng d khi và chỉ khi hệ phương trình 2  2t  0  t có đúng một nghiệm. 1 2 3
  t  1 2t  Ta có: 1
  t  1 att   at  0 t   0 t   0    
2  2t  0  t   2
t t  2  t   2  t   2  3   t  1   2t t   2t  4 0  .2 a  0    a  0     Vậy a  0 . Câu 197. Chọn A
H    H 3  2t;t;1 t . 1  
K    K 1 ; m 2  2 ; m m . 2  
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 96
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 
Ta có HK  m  2t  2; 2m t  2; m t   1 . 
Đường thẳng d có một VTCP là u  1;1; 2  . d    
  d u .HK  0  m t  2  0  m t  2  HK  t  4;t  2; 3. d 2 2 2 2 Ta có 2 HK   t
  4  t  2  3  2t   1  27  27, t     minHK
27 , đạt được khi t  1  .  
Khi đó ta có HK  3; 3; 3
  , suy ra u 1;1 
;1  h k  1  h k  0. 
Câu 198. d đi qua A2;1; 4 và có véc tơ chỉ phương u  1; 2; 2  . 1   
d  đi qua B 4; 1;0 có véc tơ chỉ phương u  1; 2; 2 . 2     2  4 11 4 Ta có u u  và  
nên d //d  . 1 2 1 2 2
Đường thẳng  thuộc mặt phẳng chứa d và d  đồng thời cách đều hai đường thẳng đó khi và chỉ khi //d //d   
hay  qua trung điểm I 3;0; 2 và có một véc tơ chỉ phương là u  1; 2; 2 . d
 , d   d  , d  x  3 y z  2
Khi đó phương trình của  :   . 1 2  2 
Câu 199. Đường thẳng d đi qua điểm M  3; 1; 1 và có một véctơ chỉ phương là u  1; 2;1 . 1   1   1 
Đường thẳng d đi qua điểm M  0; 0;1 và có một véctơ chỉ phương là u  1; 2;1 . 2   2   2  
Do u u2 và M d nên hai đường thẳng d và d song song với nhau. 1 1 1 1 2   
Ta có M M  3;1; 2 , u  1, M M  5  ; 5  ; 5   5  1;1;1; 1 2   1 2     
Gọi   là mặt phẳng chứa d và d khi đó   có một véctơ pháp tuyến là n  1;1  ;1 . Phương trình 1 2
mặt phẳng   là x y z 1  0 .
Gọi A d   thì A1; 1 
;1 . Gọi B d   thì B 1; 2;0 . 4   3    
Do AB  2;3;  
1 không cùng phương với u  1; 2;1 nên đường thẳng AB cắt hai đường thẳng d 1   1 và d . 2 
Câu 200. Đường thẳng d đi qua điểm M  1; 0; 0 và có VTCP u  2;1;3 . 1   1   1 
Đường thẳng d đi qua điểm M  1; 2; m và có VTCP u  1;1; 0 . 2   2   2    
Ta có: M M  0; 2; m ; u , u   3;3;1 . Do đó u ,u M M m  6 . 1 2  1 2   1 2     1 2 5
Điều kiện cần và đủ để d và d chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng là 1 2 19 m  6 5 m  6  5 m  1  
m  6  5     . 19 19 m  6  5  m  11   Vậy S   1  ;  
11 . Do đó tổng các phần tử của S là 1     11  12  .
Dạng 6. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt cầu
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 97
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 201. Gọi ;
A B là hai điểm thuộc lần lượt  và  sao cho AB là đoạn thẳng vuông góc chung giữa 2 đường. 1 2 AB
Gọi M là trung điểm AB . Dễ có mặt cầu tâm M bán kính R
tiếp xúc với hai đường thẳng  và 2 1
 là mặt cầu có bán kính bé nhất. 2
Ta có tọa độ theo tham số của ; A B lần lượt là:  (
A 2t  1;t  1; 2t  1) và B(2t  1; 2t  1;t  1)  AB(2t  2t  2; 2t t  2;t  2t  2) . 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1       AB u
Có u (2;1; 2) và u (2; 2;1) lần lươt là 2 vectơ chỉ phương của  và  nên 1   1 2 1 2   AB u  2
(2t  2t  2).2  (2t t  2).1  (t  2t  2).2  0 2 1 2 1 2 1   .
(2t  2t  2).2  (2t t  2).2  (t  2t  2).1  0  2 1 2 1 2 1  10 t  1 8
t  9t  10  0   2 1  17 3 7  3 3  3  7 6  4 4      ( A ; ; ) ; B( ; ; ) AB( ; ; ) .
9t  8t  10  0 10  17 17 17 17 17 17 17 17 17 2 1 t  2   17 2 2 2 AB 1 (6)  4  4 17 R   .  . 2 2 17 17 1 4
Diện tích mặt cầu cần tính là 2
S  4 .R  4. .  (đvdt). 2 17 17 
Câu 202. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u  (2;1; 0) . 1 1 
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u  ( 1  ;1; 0) . 2 2
Để phương trình mặt cầu  S  có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng d và d 1 2 khi và chỉ khi:
Tâm mặt cầu  S  nằm trên đoạn thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng d và d , đồng thời là trung 1 2
điểm của đoạn thẳng vuông góc chung.
Gọi điểm M 2t;t; 4 thuộc d ; gọi điểm N (3  t ';t '; 0) thuộc d với MN là đoạn vuông góc chung của 1 2 d và d . 1 2 
Ta có MN  3  t ' 2t;t ' t; 4   .    MN.u  0 2.
 3  t  2t   t  t  0
MN là đoạn thẳng vuông góc chung 1
     MN.u  0    
1 .3  t  2t   t  t  0 2  t    5t  6 t   1 M (2;1; 4)       .
2t  t  3 t  1   N (2;1; 0) 
Gọi điểm I là tâm mặt cầu  S  , do đó điểm I là trung điểm MN .
I 2;1; 2  R IM IN  2 . 2 2 2
Suy ra mặt cầu  S  :  x  2   y   1
  z  2  4 . Câu 203. Chọn B
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 98
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 A H I M C
Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2; 3
  và bán kính R     2 2 2 1 2 3 13  3 3
Gọi C  là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng  ABC và mặt cầu  S  .
Đặt MA MB MC x khi đó AB  ;
x BC x 2;CA x 3 do đó tam giác ABC vuông tại B nên
trung điểm H của AC là tâm đường tròn C  và H , I , M thẳng hàng.  Vì 0
AMC 120 nên tam giác AIC đều do đó x 3  R x  3 suy ra IM  2AM  2x  6 . 2 2 2
Lại có M d nên M  1   t; 2
  t;1 t ,t  
1 mà IM  6 nên t  2  t  4  t  4  36 t  0 2
 3t  4t  0   4 . t   3 4  1 2 7  112 Mà a > 0 nên t  suy ra H ;  ;   nên 3 3 3
a b c  . 3  3 3 3  9
Dạng 7. Một số bài toán liên quan giữa điểm – mặt – đường – cầu
Dạng 7.1 Bài toán tìm điểm Câu 204. Chọn D
Tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng P .
x  1  2t
Phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng P là: y  2  2t . z  3   t
Tọa độ điểm H là giao điểm của d và P , ta có:
2 1  2t  2 2  2t  3  t  4  0  t  1
Vậy H 3; 0; 2 .  x t  Câu 205. n  
là véc tơ chỉ phương của đường thẳng OH OH : y   2t P 1; 2;2 z  2t   H  ; t 2 ; t 2t
H   P  t  2.2t  2.2t  9  0  t  1  H  1
 ; 2; 2  a b c  1 Câu 206. Chọn A 5  2.( 3  )  2.5  3
Khoảng cách từ điểm I đến mp(P) là: d I;(P)   6 . 2 2 2 1  ( 2)   2
AB tiếp xúc với (S ) tại B nên tam giác AIB vuông tại B, do đó ta có: IA IB AB R AB   2 2 2 2 2 2 2 5
 4  6  d I;(P)  A là hình chiếu của I lên (P)
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 99
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489   x  5  t
Đường thẳng IA đi qua I 5; 3
 ;5 có VTCP u n  1; 2
 ; 2 có phương trình  y  3  2t ( P)  
z  5  2t
Có A IA  (P)  5  t  2(3  2t)  2(5  2t)  3  0  t  2  (3
A ;1;1)  OA  11 . Câu 207. Chọn B
Mặt cầu  S  có tâm O 0;0; 0 và bán kính R . Gọi M 1 t ;1 2t ; 2  3t d . 0 0 0  Gỉa sử T  ;
x y; z  S  là một tiếp điểm của tiếp tuyến MT với mặt cầu S  . Khi đó 2 2 2
OT MT OM
 9   x  1 t  2
   y  1 2t  2      
z  2  3t 2  1 t 2  1 2t 2  2  3t 2 0 0 0 0 0 0
 1 t x  1 2t  2  3t z  9  0 . 0   0   0 
Suy ra phương trình mặt phẳng  ABC  có dạng 1 t x  1 2t y  2  3t z  9  0 0   0   0 
Do D 1;1; 2   ABC  nên 1 t 1 2t  2. 2  3t  9  0  t  1   M 0; 1  ;5 . 0 0   0 Vậy T    2 2 2 0 1  5  26 .
Câu 208. Gọi  P mặt phẳng trung trực của AB , khi đó phương trình của  P là: x z  1  0 .    
Ta có n  1; 0;1 , n  
nên n , n    . P  1;0;  1  2; 1; 2 P    
Gọi d là giao tuyến của mặt phẳng  P với mặt phẳng   . Chọn u  1; 0; 1 d
x  1  t
và điểm M 1;10; 0  d nên phương trình tham số của d là:  y  10 .  z  t
Do tam giác ABC đều nên CA CB hay C thuộc mặt phẳng trung trực của AB mà C    nên
C   P      d suy ra tọa độ C có dạng C 1 t;10; t  .
Do ABC đều nên AC AB , thay tọa độ các điểm ta có:
  t  2  
 2  t  2    2    2    2 1 0 10 0 3 2 0 0 0 1 3 2
t  4t  51  0 *
Do phương trình * vô nghiệm nên không tồn tại điểm C thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 209. Mặt cầu S : 2 2 2
x y z  9 có tâm O 0; 0; 0 , bán kính R  3 . 1  1
M d M 1 a ; 1 2a ; 2  3a . Do M ,
A MB, MC là những tiếp tuyến tại ,
A B, C với mặt cầu  S . 1  Suy ra 2 2 2 2
MA MB MC OM  9 . Khi đó ,
A B, C  S có tâm là M , bán kính 2
R OM  9 . 2  2 2 2 2
Ta có phương trình  S :  x  a     y   a     z    a 2 1 2 1 2 3  OM  9 . 2    S : 2 2 2
x y z  2 a  
1 x  22a  
1 y  2 2  3az  9  0 . 2 
Mặt khác theo giả thiết ,
A B, C cùng thuộc mặt cầu  S . 1  2 2 2
x y z  9  0  Suy ra tọa độ ,
A B, C thỏa mãn hệ:  . 2 2 2
x y z  2  a  
1 x  2 2a  
1 y  22  3az  9  0 
Do đó phương trình mặt phẳng  ABC  là: 2a  
1 x  2 2a  
1 y  2 2  3az 18  0 .
D  ABC  2a   1  22a  
1  4 2  3a 18  0  a  1  .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 100
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Với a  1  , ta có M 0 ; 1  ;5 . Khi đó 2 2 2
T x y z  26 . 0 0 0 Câu 210.
Mặt cầu (S ) tâm I (1; 0; 1) , bán kính 2 2 2 R  1  0  ( 1  ) 1  1.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên d .
K d nên ta có thể giả sử K (t; 2  t; t )  
IK  (t 1; 2  t; t
 1) , u  (1;1; 1
 ) là một véctơ chỉ phương của đường thẳng d d  
IK d IK.u  0  t 1 2  t t 1  0  t  0 .  K (0; 2; 0) d I
TK vuông tại T có TH là đường cao nên 2
IT IH .IK . 1  1   IH
IK  6  IH IK . Giả sử H (x; y; z) 6 6  1  5 x 1  .( 1  )  x  6  6    1  1  5 1 5  
  y  0  .2   y  Vậy H ; ;   6  3   6 3 6   1  5  z 1  .1  z    6  6
Câu 211. Do d là hình chiếu của d lên mặt phẳng  P khi đó d là giao tuyến của mặt phẳng  P và mặt phẳng
  chứa d và vuông góc với mặt phẳng P .   
 một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng   là nu  , n     .  d P  3;2;  1     
Phương trình mặt phẳng   đi qua A2;0; 2 và có một vec tơ pháp tuyến n    là   3;2;  1  
3x  2 y z  4  0 . Do 
 là hình chiếu của  lên mặt phẳng  P khi đó 
 là giao tuyến của mặt phẳng  P và mặt phẳng
  chứa  và vuông góc với mặt phẳng P .   
 một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng   là n
 u , n     .   0; 2; 2 P      
Phương trình mặt phẳng   đi qua B 3;1;4 và có một vec tơ pháp tuyến n    là  0; 2; 2  
y z  5  0 .
x y z  2  0 x  1   
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 3
x  2 y z  4  0   y  2 .  y z 5 0     z  3  
Vậy M 1;2;3  a  . b c  1   2.3  5 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 101
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Dạng 7.2 Bài toán tìm mặt phẳng Câu 212. Chọn C
S  có tâm I 2;3;  1 ; bán kính R  4  A 1  ; 1;   1  IA   3  ; 4
 ; 0 , tính được IA  5 . 
Mặt phẳng cố định đi qua điểm H là hình chiếu của M xuống IA và nhận IA  3; 4;0 làm vectơ pháp tuyến. 2 IM 16
Do hai tam giác MHI và AMI đồng dạng nên tính được 2
IM IH.IA IH   , từ đó tính được IA 5  16   2 11  IH
IA tìm được H ; ; 1    25  25 25   2   11 
Mặt phẳng cần tìm có phương trình là: 3 x   4 y
 0  3x  4 y  2  0.      25   25  Câu 213. Chọn B
Mặt cầu  S  có tâm I  1
 ;1 2 ; R  2 .  
Véctơ chỉ phương của d : ud  1; 2;  
1 . Véctơ chỉ phương của  : u  1;1;   1 .
Gọi  P là mặt phẳng cần viết phương trình.    Ta có u   d , u    1  ;0;   1 P  
nên chọn một véctơ pháp tuyến của   là n  1; 0  ;1 .
Mặt phẳng  P có phương trình tổng quát dạng: x z D  0 . 1   2  D
Do  P tiếp xúc với  S  nên d I; P  R   2 2 D  5
D  3  2   . D  1 
Chọn  P : x z 1  0 . Câu 214. Cách 1:  Gọi n  2 ; a ;
b c là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng  P cần lập, 2 2 2
a b c  0 . 
Đường thẳng  có vectơ chỉ phương là u  3; 2; 2 .  
Mặt phẳng  P song song với  nên ta có . n u  0  6
a  2b  2c  0  c  3a b . 
Mặt phẳng  P đi qua M và có vectơ pháp tuyến n nên phương trình có dạng:
2a x  4  by  3  3a b z  
1  0  2ax by  3a bz 11a  2b  0 *
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 102
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2;3 và bán kính R  1 . 3 b
Mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu  S   d I , P  1   1
4a b  3a b2 2 2 3 b 2 2 
 1  3 b  13a  2b  6ab . 2 2
13a  2b  6aba b 2 2 2 2 2
 9b  13a  2b  6ab  13a  6ab  7b  0  a b 13a  7b  0   . 13a  7  b
Với a b , chọn a  1, b  1 , thay vào * ta được pt  P : 2x y  2z 13  0 . 1 
Ta có N 6; 2; 2   . Dễ thấy N  P , suy ra  P : 2x y  2z 13  0 song song với  . 1  1  Với 13a  7
b , chọn a  7, b  1
 3 , thay vào * ta được pt  P :14x 13y  34z  51  0 . 2 
Ta có N 6; 2; 2   , dễ thấy N  P , suy ra  P :14x 13y  34z  51  0 song song với  . 2  2  Vậy chọn B. Cách 2: ( Trắc nghiệm) 
Gọi  P là mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán và có vectơ pháp tuyến là n .
Vì  P đi qua M 4;3 
;1 nên phương án A, C bị loại.   
Đường thẳng  có vectơ chỉ phương u  3; 2; 2 .  P song song với đường thẳng  nên . n u  0 . Do
đó phương án D bị loại.
Vậy phương án B là phương án thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 215. Chọn C
S  có tâm I 2;3;  1 ; bán kính R  4  A 1  ; 1;   1  IA   3  ; 4
 ; 0 , tính được IA  5 . 
Mặt phẳng cố định đi qua điểm H là hình chiếu của M xuống IA và nhận IA  3; 4;0 làm vectơ pháp tuyến. 2 IM 16
Do hai tam giác MHI và AMI đồng dạng nên tính được 2
IM IH.IA IH   , từ đó tính được IA 5  16   2 11  IH
IA tìm được H ; ; 1    25  25 25   2   11 
Mặt phẳng cần tìm có phương trình là: 3 x   4 y
 0  3x  4 y  2  0.      25   25  Câu 216. Chọn B
Mặt cầu  S  có tâm I  1
 ;1 2 ; R  2 .  
Véctơ chỉ phương của d : ud  1; 2;  
1 . Véctơ chỉ phương của  : u  1;1;   1 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 103
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Gọi  P là mặt phẳng cần viết phương trình.    Ta có u   d , u    1  ;0;   1 P  
nên chọn một véctơ pháp tuyến của   là n  1; 0  ;1 .
Mặt phẳng  P có phương trình tổng quát dạng: x z D  0 . 1   2  D
Do  P tiếp xúc với  S  nên d I; P  R   2 2 D  5
D  3  2   . D  1 
Chọn  P : x z 1  0 . Câu 217. Chọn D  
Véc tơ chỉ phương của d là u  3;1; 4
  , véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P là n .
Mặt cầu S  có tâm I 3; 3  
;1 và bán kính R  3 .  
Vì  P chứa d nên .
u n  0 và  P tiếp xúc với S  nên d I; P  3.  
Ta chỉ xét phương trình .
u n  0 . Lấy hai điểm nằm trên đường thẳng d là M 4;0; 4   và N 1; 1  ;0 .
Ta nhận thấy: M 4;0; 4   và N 1; 1
 ;0 không thỏa mãn đáp án ; A ; B C .
Vây, đáp án là D . Câu 218. Chọn B   
Đường thẳng d có vtcp u 3; 1; 1 , đường thẳng d có vtcp u 1;1; 1 . Gọi n là vtpt của mặt phẳng 2   1   1 2    
 cần tìm. Do  song song với hai đường thẳng d , d nên n u và n u , từ đó ta chọn 1 2 1 2   
n  u ,u   2; 2; 4 . Suy ra  : x y  2z c  0 . 1 2    
Mặt cầu  S  có tâm I 1;0;  2 , bán kính R  6 . c  3 c  3 6 c  9
 tiếp xúc với S   d I; 6   6     . 6 c  3  6 c   3  
Dạng 7.3 Bài toán tìm đường thẳng Câu 219. Chọn C
Ta có tâm và bán kính mặt cầu S  là I 3; 2;5; R  6
IE  11 4  6  R
Gọi  là đường thẳng đi qua E
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 104
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Dây cung càng nhỏ khi khoảng cách từ tâm tới đường thẳng  càng lớn
Ta có d I ,    IH IE 
Vậy dây cung nhỏ nhất khi đường thẳng  vuông góc với IE   1  ; 1  ;; 2     
Dựa vào các đáp án ta thấy trong các vecto chỉ phương u  9;9;8 u  5  ;3;0 u  1; 1  ;0 3   3   1    u  4;3; 3  4    
Thì chỉ có u .IE  0 3
Nhận xét: ta hoàn toàn có thể viết được pt đường thẳng  bằng cách viết pt mặt phẳng Q đi qua E  nhận IE   1  ; 1  ;; 2
  làm một vecto pháp tuyến, khi đó    P  Q
Câu 220. Mặt cầu  S có tâm O 0;0;0 , bán kính R  5 . 1  1
Mặt cầu  S có tâm I 0;0 
;1 , bán kính R  2 . 2  2
Có OI  1  R R nên  S nằm trong mặt cầu  S . 1  2  1 2 N H M (S2) I O (S1)
Giả sử d tiếp xúc với  S tại H và cắt mặt cầu  S tại M , N . Gọi K là trung điểm MN . 1  2 
Khi đó IH R  2 và OH OK . 2
Theo giả thiết MN  8  MK  4 2 2 2 2  OK
R MK  5  4  3 . 1
Có OI  1, IH  2  OK OI IH OH OK . Do đó OH OK , suy ra H K , tức d vuông
góc với đường thẳng OI .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 105
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  
Đường thẳng d cần tìm vuông góc với véc tơ u  1; 1
 ;0 và vuông góc với OI  0;0  ;1 nên có véc   
tơ chỉ phương u  OI , u   1;1; 0 . 3    
Câu 221. Ta có: Mặt cầu S  có tâm I 2;3;5 , bán kính R  10 . 2.2  2.3  5 15
d I,  
 6  R     S   C H ; r  , H là hình chiếu của I lên   . 2   2  2 2 2 1 
Gọi  là đường thẳng qua I và vuông góc với     có VTCP là u   .  2; 2;  1 1 1 1
x  2  2t
x  2  2t   x  2 
y  3  2t
 PTTS  :  y  3  2t . Tọa độ H là nghiệm của hệ:   y  7 1   z  5  t z  5  t  z  3   
2x  2 y z  15  0 
H 2; 7 ;3 .
Ta có AB có độ dài lớn nhất  AB là đường kính của C     MH . 
Đường thẳng MH đi qua M  3
 ;3;  3 và có VTCP MH  1; 4; 6 . x  3 y  3 z  3 Suy ra phương trình  :   . 1 4 6
Dạng 7.4 Bài toán tìm mặt cầu Câu 222. Chọn D
Gọi I là trung điểm của AB I 3; 2;  1 3  2 1
d I; P   2 3 3 AB
Gọi  S  là mặt cầu có tâm I 3; 2; 
1 và bán kính R   3 2 2
Ta có H  S  . Mặt khác H  P nên H C   S   P 2 2 2
Bán kính của đường tròn C là R   R 2
d I;P  3 2   2 3  6 . Câu 223. Chọn B
P  Oz A0;0;3
Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình:
2x  6 y z  3  0
2x  6 y z  3  0 x  4       
2x y 10  0   y  2   B x y z 4;2;7. 5 6
Gọi I là trung điểm của       1 2 1
y  2z 12  0 z  7  
AB I 2; 1;5  IA  4 1 4  3. 2 2 2
Phương trình mặt cầu đường kính AB là:  x  2   y  
1   z  5  9.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 106
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 M A H B R I Câu 224.
Gọi H là trung điểm đoạn thẳng AB IH AB , HA  4 .
Mặt cầu  S  có tâm I  2
 ; 3 ; 0 , bán kính R  13  m , m  13 . 
Đường thẳng  đi qua M 4 ; 3 ; 3 và có 1 véc tơ chỉ phương u  2 ; 1 ; 2 .       IM , u  
Ta có: IM  6 ; 0 ; 3  IM , u   3
 ;  6 ; 6  IH d I ,     3   . u Ta có: 2 2 2 2 2
R IH HA  13  m  3  4  m  1  2 . Câu 225. Chọn C
Ta có: I d   I 2t;3  t; 2  t  .
I   P   P : 2t  23  t   22  t   0  t  1  I 2; 4;3
Q tiếp xúc với S  nên R d I Q 2 ,  . 7 2 2 2 2
Vậy  S  :  x  2   y  4   z  3  . 7 Câu 226.
 Mặt cầu  S  có tâm I 3; 2   ;1 ; R  10 . 6  4 1 9
 Khoảng cách từ I đến  P là IK d I; P   6 . 3
x  3  2t
 Đường thẳng qua I 3; 2  
;1 vuông góc với  P có phương trình tham số là  y  2  2t khi đó Tọa độ z 1 t  x  3  2t
y  2  2t
tâm K là nghiệm của hệ phương trình 
K 1; 2;3 . z  1 t
2x  2 y z  9  0 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 107
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  Bán kính: 2 2 r
R IK  100  36  8 . Câu 227. Chọn B A d G I D B M C
Gọi d là trục của A
BC , ta có  ABC  : x y z  2  0 .  2 x    t  3   2 2 2    2 Do A
BC đều nên d đi qua trọng tâm G  ;  ;  
 và có VTCP u  (1;1;1) , suy ra d :  y    t  3 3 3  3   2 z    t   3 . Ta thấy DAB DBC DCA , suy ra
DA DB DC Dd nên giả sử  2 2 2  D   t;   t;   t   .  3 3 3    4 2 2    2 4 2    2 2 4  Ta có AD   t;   t; 
t ; BD    t;  t; 
t ; CD    t;   t;  t        3 3 3   3 3 3   3 3 3   2  4 4 4    t    D  ;  ;    A . D BD  0    3  3 3 3 
Có     .  A . D CD  0  2  t
D 0;0;0 (loai)   3  2 2 2 
Ta có I d I   t;   t;   t
 , do tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm I nên  3 3 3  1  1 1 1 
IA ID t   I  ;  ;   S  1   . 3  3 3 3  Câu 228. Chọn D
Gọi I là trung điểm của AB I 3; 2;  1 3  2 1
d I; P   2 3 3 AB
Gọi  S  là mặt cầu có tâm I 3; 2; 
1 và bán kính R   3 2 2
Ta có H  S  . Mặt khác H  P nên H C   S   P
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 108
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 2 2
Bán kính của đường tròn C là R   R 2
d I;P  3 2   2 3  6 . Câu 229. Cách 1: 
Ta có AB 3;1; 2 là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB .  x  3t
Phương trình tham số của đường thẳng AB là  y t .
z  4  2t  7 
Giả sử AB cắt  P tại T 3t;t; 4  2t . Do T   P :2x y  2z 1  0  t  . 3 Khi đó    7 26   7 14  7 14  10 20  10 14 T 7; ; ; TA 7; ;  TA  ; TB 10; ;  TB        .  3 3   3 3  3  3 3  3 980 14 5 Ta có 2 TC T . A TB   TC  . 9 3 14 5
Điểm C thuộc mặt phẳng  P và cách điểm T cố định một khoảng . 3 14 5
Vậy C luôn thuộc một đường tròn cố định bán kính r  . 3 Cách 2: TA d  , A P 7 Ta có   ; AB  14 . TB
d B,P 10
Giả sử AB cắt  P tại T . Suy ra A nằm giữa B và T ( vì ,
A B cùng phía so với  P ). Khi đó ta có  7 14 T
B TA  14 TA     3 980 14 5 2  7    TC T . A TB   TC TA TB   10 14 9 3  10 TB    3
Câu 230. Chọn B   
Ta có: AB  2; 1;   1 , AD  1;1 
;1 và DC  2; 1;  1 .     Ta thấy: A .
B AD  2.11.11.1  0 và AB DC nên tứ giác ABCD là hình chữ nhật.  5 
Gọi M là trung điểm của AC . Ta có: M ; 2;3   .  2 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 109
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng  ABCD .  
Ta có:  AB , AD  0;  3;3   . 
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: u  0; 1  ;1 .  5 x   2 
Phương trình tham số của đường thẳng d là:  y  2  t . z  3  t     
Ta có: SA  0;3;  3 . Ta thấy SA cùng phương với u nên suy ra SA   ABCD .  1 9 
Gọi N là trung điểm của SA , ta có: N 1; ;   .  2 2    5  I d I
; 2  t ;3  t   
Do I x ; y ; z  là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD nên     2 . NI d    NI u    3 3 3    3 3 3  5 1 9  Mà: NI  ;  t ;   t
 . Suy ra: NI .u  0  t   t   0  t   I ; ;   .  2 2 2  2 2 2  2 2 2   
Ta có: SA, AD  6;  3;  3   . 1   
Một vectơ pháp tuyến của  SAD là: n
SA, AD  2;1;  1 . 6  
Phương trình tổng quát của mặt phẳng  SAD là: 2 x  
1   y  2   z  3  0  2x y z  3  0 . 5 1 9 2.    3 2 2 2 6
Vậy d I ,SAD   . 4 11 2
x  1  t  Câu 231. Có (
A 1;1;1), B(2; 2;1)  Phương trình AB:  y  1  tz  1 
Gọi K là giao điểm của AB và  P  K 1; 1;  1
Có Mặt cầu S  tiếp xúc với  P tại H .
HK là tiếp tuyến của S     2 KH  .
KA KB  12  KH  2 3 không đổi
 Biết H chạy trên 1 đường tròn bán kính 2 3 không đổi Câu 232. Chọn C Gọi I  ; a ;
b c là tâm mặt cầu.
Theo giả thiết ta có R d I,  d I, .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 110
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 a b   c 1 m 1 m
Mà d I,  1 1  1 2 m 1 m2 Ta có 2 1 1  1 1  1 1  1    2 . 1 2   m 1 m2  m 1 m m 1 m 2  1  1 1 1     2 . 1  1(do m  0  ;1 m 1 mm 1 m m 1 m   Nên
a 1 m  bm cm1 m  m 1 mm 1 mR  1 1 m 1 m 2 2
a am bm cm cm m mR  2 m m 1 2 2 2
R Rm Rm a am bm cm cm m m   2 2 2
R Rm Rm a am bm cm cm m m  2
m R c  
1  m a b c R  
1  R a  0   1   2
m R c  
1  m b c a R  
1  R a  02 
Xét (1) do mặt cầu tiếp xúc với tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt phẳng , với mọi m 0  ;1 nên pt
(1) nghiệm đúng với mọi m  0  ;1 .
R c 1  0 a R  
 a b c R 1  0  b   RI  ; R ;1 R R . R a 0    c  1 R  
2R R  2 1 R 10 R  3
Mà R d I,  R
 3R  12  R   3 R  6(  l) 
Xét (2) tương tự ta được
R c 1  0 a  R    b
  c a R 1  0  b
  R I   ; R  ; R R   1 R a 0    c R 1   2
R R  21 R 10 R  6
Mà R d I,  R
 3R  12  R   . 3 R  3  (l) 
Vậy R R  9 . 1 2 Câu 233. Chọn B
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 111
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 A d G I D B M C
Gọi d là trục của A
BC , ta có  ABC  : x y z  2  0 .  2 x    t  3   2 2 2    2 Do A
BC đều nên d đi qua trọng tâm G  ;  ;  
 và có VTCP u  (1;1;1) , suy ra d :  y    t  3 3 3  3   2 z    t   3 . Ta thấy DAB DBC DCA , suy ra
DA DB DC Dd nên giả sử  2 2 2  D   t;   t;   t   .  3 3 3    4 2 2    2 4 2    2 2 4  Ta có AD   t;   t; 
t ; BD    t;  t; 
t ; CD    t;   t;  t        3 3 3   3 3 3   3 3 3   2  4 4 4    t    D  ;  ;    A . D BD  0    3  3 3 3 
Có     .  A . D CD  0  2  t
D 0;0;0 (loai)   3  2 2 2 
Ta có I d I   t;   t;   t
 , do tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm I nên  3 3 3  1  1 1 1 
IA ID t   I  ;  ;   S  1   . 3  3 3 3 
Dạng 7.5 Bài toán cực trị Câu 234. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 112
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Mặt phẳng P có vtpt n  1;  2; 2 . Mặt cầu S có tâm I 1; 2; 1 và bán kính r  1 . Nhận thấy  
rằng góc giữa u và n bằng ο
45 . Vì d I; P  2  1  r nên P không cắt S .  NH
Gọi H là hình chiếu của N lên P thì ο
NMH  45 và MN
NH 2 nên MN lớn nhất ο sin 45
khi và chỉ khi NH lớn nhất. Điều này xảy ra khi N N và H H với N là giao điểm của đường
thẳng d qua I , vuông góc P và H  là hình chiếu của I lên P. NH Lúc đó NHN H
   r d I; P  3 và max MN   3 2 . max    max ο sin 45
Câu 235. Ta có tâm I 1; 2
 ; 0 và bán kính R  2 .
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng  P ngắn nhất khi M là hình chiếu của I lên mặt phẳng  P . x  1 2t
Đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng  P có phương trình tham số là  y  2  t . Khi đó z  2t
tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình  1 x    3  x  1 2tx  1 2t 4    y  
y  2  t y  2   t   3      . z  2t z  2t   4 z  
2x y  2z  2  0 
21 2t  2  t   22t   2  0   3  2 t     3 Câu 236. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 113
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Mặt phẳng P có vtpt n  1;  2; 2 . Mặt cầu S có tâm I 1; 2; 1 và bán kính r  1 . Nhận thấy  
rằng góc giữa u và n bằng ο
45 . Vì d I; P  2  1  r nên P không cắt S .  NH
Gọi H là hình chiếu của N lên P thì ο
NMH  45 và MN
NH 2 nên MN lớn nhất ο sin 45
khi và chỉ khi NH lớn nhất. Điều này xảy ra khi N N và H H với N là giao điểm của đường
thẳng d qua I , vuông góc P và H  là hình chiếu của I lên P. NH Lúc đó NHN H
   r d I; P  3 và max MN   3 2 . max    max ο sin 45 1 2.2  2.1 3
Câu 237.  S  có tâm I  1  ; 2 
;1 và bán kính R 1. Ta có: d  I, P   2  R . 2 2 2 1  2  2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng  P và  là góc giữa MN và NH .   
Vì MN cùng phương với u nên góc  có số đo không đổi,   HNM . 1
Có HN MN.cos  MN
.HN nên MN lớn nhất  HN lớn nhất  cos
HN d I, P  R  3.   1 Có   u n  nên MN HN  3 2 . P  1 cos cos , 2 cos Câu 238. Lời giải
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 114
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 I M P H N
Mặt cầu (S ) có tâm I (1; 2; 1) , bán kính R  3 ; d I;(P)  4  R  mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P) không có điểm chung.
Dựng IH  (P), (H  (P)) . Ta có: MN nhỏ nhất khi M là giao điểm của đoạn IH với (S ) và N H . x  1 2t
Phương trình đường thẳng IH :  y  2
  t ;t   z  1   2t  2 2 2
Điểm M 1 2t; 2   t; 1
  2t   (S) nên  x  
1   y  2   z   1  9
  t 2   t  2   t 2 2 2  9  t  1  . Khi đó M 3; 3  ;1 , M 1  ; 1  ; 3  . 1   2  
Thử lại: d M ;(P)  1; d M ;(P)  7  IH  4 (loại). 2  1   11 10 5  Vậy MN
MH  1 khi M 3; 3   ;1 ; N ;  ; . min    3 3 3 
Câu 239. Gọi H 2t;1 2t; 1 t  là hình chiếu của I lên đường thẳng d .   2  4 1 5 
Ta có: IH .u  0  2 t  
t    t   t   H   . d 2  1 2 3 2   2  0 ; ;   3  3 3 3 
Vì IH  10  4  R d cắt mặt cầu S  tại 2 điểm phân biệt.
Mặt phẳng Q bất kì chứa d luôn cắt  S  theo một đường tròn bán kính r . Khi đó 2 2 2
r R d I Q 2 2 ,
R d I, d   16 10  6 .
Do vậy mặt phẳng  P chứa d cắt mặt cầu theo một đường tròn có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi   1 5 8 
d I, P  d I, d  hay mặt phẳng  P đi qua H nhận IH  ; ;  
 làm vectơ pháp tuyến, do đó  3 3 3 
P có phương trình x  5y 8z 13  0 .
Khi đó điểm O 0;0;0 có khoảng cách đến  P lớn nhất.
Câu 240. Gọi I d   P  I 1; 2  t  ;1
I   P  2  t 1  0  t  1  I 1;1  ;1
Ta có d   P  M thuộc đường tròn tâm I 1;1;  1 , R  2 . 1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 115
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489    1  N  ;
x y; z   NA1  ; x 3
  y;11  z ; NB  ;
x y;8  z    2  2  1   
NA  2NB  1  x2  3  y2  11  z 2  4   xy    8  z2 2   2    2 2 2
 3x  3y  3z  6x  6 y  42z  126  0 2 2 2
x y z  2x  2 y  14z  42  0
Vậy N S J 1;1;7; R  3 và J   P : y  1 2 
Nên N thuộc đường tròn tâm J 1;1;7; R  3 2
Ta có IJ  6  R R MN
 IJ  R R  1 1 2 min 1 2   
Câu 241. Xét điểm I sao cho: 2IA IB  0. Giả sử I  ; x ; y z, ta có:   IA4  ;
x 3  y;1 z , IB 3  ;
x 1 y;3  z .
24  x  3  x    
Do đó: 2IA IB  0  23  y  1 y I 5;5;   1 .
21 z  3 z      2 2 Do đó: 2 2
P  2MA MB  2 MI IA  MI IB         2 2
MI IA MI IA   2 2 2 2 4 .
MI IB  2MI.IB      
   2 2 2
MI  2IA IB  2MI 2IA IB 2 2 2
MI  2IA IB  2MI 2IA IB 2 2 2
MI  2IA IB . Do I cố định nên 2 2
IA , IB không đổi. Vậy P lớn nhất (nhỏ nhất) 2
MI lớn nhất (nhỏ nhất).  MI
lớn nhất (nhỏ nhất)  M là giao điểm của đường thẳng IK (với K 1; 2;  
1 là tâm của mặt cầu (S)) với mặt cầu (S). 
Ta có: MI đi qua I 5;5;  
1 và có vectơ chỉ phương là KI 4;3;0. x  1 4t
Phương trình của MI là:  y  2  3t z  1.  
Tọa độ điểm M cần tìm ứng với giá trị t là nghiệm của phương trình:  3 t  
  t  2    t  2    2 2 5 1 4 1 2 3 2 1 1
 9  25t  9   3 t   .  5 3  17 19  Với t   M ;
; 1  M I  2 (min). 1   1 5  5 5  3  7 1  m P  48 max Với t    M
 ; ; 1  M I  8 (max). Vậy 
m n  60. 1   2 5  5 5  n P  12   min
   
Câu 242. Gọi N là điểm thỏa mãn NA NB NC  0 , suy ra N  2  ;0;  1 . Khi đó:
        
   
MA MB MC  MN NA  MN NB  MN NC   NA NB NC  MN MN .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 116
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
  
Suy ra MA MB MC nhỏ nhất khi MN nhỏ nhất. Mặt cầu  S  có tâm I 2;4;  1 , suy ra:
x  2  2t  
NI  4; 4; 2  2; 2;  
1 . Phương trình NI   y  4  2t . Thay phương trình NI vào phương trình
z  1 t   t  1  2 2 2
S  ta được: 2t   2t    t   2
 9  t  1   . t  1  
Suy ra NI cắt  S  tại hai điểm phân biệt N 3;6; 2  , N 0; 2;0 . 1   2  
Vì NN NN nên MN nhỏ nhất khi và chỉ khi M N . Vậy M 0; 2;0 là điểm cần tìm. 1 2 2
Suy ra: a b  2.
Câu 243. Mặt cầu  S  có tâm I 3;1;0 và bán kính R  2 .
Gọi H là hình chiếu của I trên d . 
H d H 1 2t; 1   t; t
  ; IH  2  2t; 2  t; t  . 
Véctơ chỉ phương của d là u  2;1;   1 . d  
IH .u  0  2 2
  2t  1 2
  t   t  0  t  1 . Suy ra H 3;0;  1  IH  2 . d
Gọi  P là mặt phẳng chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu  S  theo đường tròn có bán kính r . Ta có r R  d  2 2 2
I , P  4  d I, P     . 2
Mà d I , P  IH  2 nên r
 d I P 2 4 ,
  4  IH  4     22  2 . Suy ra min r
2 , đạt được khi IH   P . 
Khi đó mặt phẳng  P đi qua H 3;0;  
1 nhận IH  0; 1; 
1 làm một véctơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng  P là: 0 x  3 1 y  0 1 z  
1  0  y z 1  0 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 117
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 I B H K A Câu 244.
Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2;3 , bán kính R  5. 
Mặt phẳng  P có vec-tơ pháp tuyến n   ; a ; b c P
Theo giả thiết B 0;1;0   P : b  2  0  b  2.  
Ta có: AB  3;3; 6 cùng phương với u  1; 1  ; 2 . x t
Phương trình đường thẳng AB :  y  1 t z  2t
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến. K là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng AB, H là
hình chiếu vuông góc của I lên  P 
Ta có: K AB K t;1 t; 2t   IK  t 1; t 1; 2t  3    IK AB  .
AB IK  0  t  1  IK  0; 2  ;   1 . 2 2 r
R d I P 2 
d I P 2 , 25 ,  25  IH . Ta có: rIH . min max  
Mà IH IK IH
IK H K P IK n và IK cùng phương. max   Pa  0 a  0     a  0
n k.IK b
  2k  k  1  
t a b c  0  2 1  3. Pc 1    c  k c  1   Câu 245. Chọn C M B A H C    
Ta có: AB  (2; 2; 0), AC  (-2; 2; 4)  . AB AC  0  A  BC suy ra A
BC vuông tại A .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng  ABC  . Ta có:
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 118
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 M ,
A ABC   M , A HA   MAH
MB, ABC  MB, HB   MBH
MC, ABC  MC, HC   MCH   
Theo giả thiết MAH MBH MCH  MAH  MBH  MCH g. . c g
Do đó: HA HB HC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .
Suy ra: H là trung điểm của BC H 1;2; 2 .   
Ta có:  AB, AC   8; 8;8 , Chọn vecto chỉ phương của đường thẳng MH là u   MH 1; 1  ;1 .   x  1 t
Phương trình đường thẳng MH có dạng:  y  2  t ,t   z  2  t  2
Mặt cầu (S ) có tâm I 3; 2;3 và bán kính R  . 2 I N M
Gọi K 1 t; 2  t; 2  t  là hình chiếu vuông góc của điểm I trên đường thẳng MH .  
Ta có: IK  t  2; t  ;t   1 ,u   MH 1; 1  ;1  
Do IK MH nên IK.u
 0 , ta được: t  1. Khi đó: K 2;1;3 và IK  2 MH
Do IK > R nên đường thẳng MH không cắt mặt cầu. 2
Ta có: MN d I , MH   IN IK IN  2 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN bằng .    2
Câu 247. Gọi điểm I thỏa mãn 3IA IB  0  I 6 ; 3 ;   1 .        2 2 Khi đó 2 2
MA MB  MI IA  MI IB 2 2 2 3 3
 4MI  3IA IB  2MI.3IA IB 2 2 2
 4MI  3IA IB . Do 2 2
3IA IB không đổi vì ba điểm ; A ; B I cố định nên 2 2
3MA MB đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ
nhất. Khi đó M là giao điểm của đường thẳng IJ với mặt cầu S  , ( J 2 ; 1 ; 3 là tâm của mặt cầu S  ).
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 119
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
x  2  2t  M 4; 2 ; 1 1  
Ta có phương trình đường thẳng IJ là  y  1 t IJ  S    .  M 0 ; 0 ; 5  2   z  3  2t
Kiểm tra IM IM 3  9 nên M
4; 2;1 là điểm cần tìm. Vậy T  . a . b c  8 . 1   1 2   d A I M K B Câu 248.
Mặt cầu  S  có tâm I  3  ; 4  ; 5
  và bán kính R  27 . 
Đường thẳng d có 1 véc-tơ chỉ phương là u  2;3; 4  d   P .
Gọi K là giao điểm của mặt phẳng  P và đường thẳng d . Vì I d nên K là tâm của đường tròn giao
tuyến và KB d .   
Ta có IA  1; 2; 2
   IA  3 và .
IA u  0  IA d . 2. 3    3. 4    4 5   107
Ta tính được IK  d  I, P   5 29 và 2 2 KB
R IK  2 . 2 2 2 2  3  4
Do M di động trên đường thẳng d (trục của đường tròn giao tuyến) và B thuộc đường tròn giao tuyến
nên biểu thức MA MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M AB d . MI IA 3 Khi đó, ta có  
và MI MK IK  5 29 . MK KB 2
Suy ra MI  3 29 , MK  2 29 . 2 Ta có 2 2
AM IA MI  3 30  BM AM  2 30 . 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của MA MB là AM BM  3 30  2 30  5 30 . Cách 2:
Ta có  S  có tâm I  3  ; 4  ; 5
  , bán kính R  27 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 120
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489
Dễ thấy d đi qua I  3  ; 4  ; 5
  và vuông góc với  P .
P cắt S  theo đường tròn có bán kính r  2 .
M d M 1 2t;2  3t;3 4t  . 2 2
Ta có T MA MB MA MH r . 29t  87
Lại có MH d (M ; (P))   29t  3 29 . 29 2 9 2 4 Suy ra T t t   t  2 2 29 116 125 29 3
 4  29 t  2 
 29 t  3  . 29 29   3    2     5 
Xét u t  2; 
 , v  3  t; 
  u v  5;   .  29   29   29      Do đó T
29  u v   29 u v  5 50 . Câu 249. 
- Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u  3; 4;  4 có phương trình là: x 1 y  2 z  3  
 giao điểm của d và  P là B  2; 2  ;1 . 3 4 4
- Do M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90 nên M nằm trên mặt cầu  S  đường kính AB .  1  41
Gọi E là trung điểm của AB E   ; 0; 1  2    AE   2  4  S  2 2 2
: x y z x  2z  9  0 .
- Lại do M   P nên M nằm trên đường tròn giao tuyến của mặt phẳng  P và mặt cầu  S  , gọi là
đường tròn C  .
- Mặt khác B là điểm cố định trên đường tròn C  nên độ dài MB lớn nhất khi MB là đường kính của
đường tròn C  .
- Gọi F là tâm của C   F là hình chiếu vuông góc của E trên  P . 
Đường thẳng EF nhận vectơ pháp tuyến n  2; 2;  
1 của  P làm vectơ pháp tuyến
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 121
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 x y z 1 2  5   EF :    F   ; 2  ; 0 
 (là giao điểm của  P và EF ). 2 2 1   2  
- Vì MB là đường kính của C  nên M   3  ; 2  ;  
1  MB  1;0; 2 là vectơ chỉ phương của đường
thẳng MB  phương trình đường thẳng MB là: x  2   t   y  2  t   z  1 2t
- Trong các điểm đã cho ở các đáp án A, B, C, D chỉ có điểm I  1  ; 2
 ;3 (đáp án D) thuộc đường thẳng MB . Câu 250.
Mặt cầu  S  có tâm I 4;3; 2
  và bán kính R  5 .
Gọi H là trung điểm của AB thì IH AB và IH  3 nên H thuộc mặt cầu  S tâm I bán kính R  3 .
Gọi M là trung điểm của AB thì AA  BB  2HM , M nằm trên mặt phẳng  P .
Mặt khác ta có d I P 4 ; 
R nên  P cắt mặt cầu S  và d P 5 sin ;  sin  . Gọi K là 3 3 3
hình chiếu của H lên  P thì HK HM .sin  .
Vậy để AA  BB lớn nhất thì HK lớn nhất 4 4  3 3
HK đi qua I nên HK
R  d I; P  3   . max    3 3  4  3 3  3 3 24 18 3
Vậy AA  BB lớn nhất bằng 2  .  .  3  5 5  
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 122
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 251.
Mặt phẳng thiết diện đi qua tâm I , M , N cắt đường thẳng d tại H IH d, d I , d   IH . MH .MI 2 2
IH r .r 2 2 4 IH  4 4 x  4
Ta có MN  2MK  2.  2.  
f x với x IH  2 IH IH IH x . 4
Ta có f  x   0, x
  2 , suy ra hàm số đồng biến trên 2;  . 2 2 x x  4    ud , IA   Do đó MNIH
. Ta có ud  1;  ; m m  
1 , A1;0;0  d , suy ra d I , d    min min ud 2
25m  20m 17 . 2 2m  2m  2 2
25m  20m 17
Xét hàm số f m  có bảng biến thiên là 2 2m  2m  2  x  1 t  1  1 Suy ra IH khi m
. Đường thẳng d có phương trình là d :  y   t t   . min 5 5   4 z   t   5    AB,u d   416 4 273
Khoảng cách d B, d      . ud 42 21
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 123