Các dạng toán và bài tập số phức có lời giải chi tiết – Nguyễn Bảo Vương Toán 12
Các dạng toán và bài tập số phức có lời giải chi tiết – Nguyễn Bảo Vương Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Preview text:
Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 SỐ PHỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Định nghĩa số phức. Xét Hai phần tử và bằng nhau . : Phép cộng : Phép nhân: Định nghĩa. Tập
, cùng với phép cộng và phép nhân ở trên gọi là tập số phức . Phần tử gọi là một số phức.
2. Tính chất phép cộng. Giao hoán: Kết hợp:
Tồn tại phần tử không: Mọi số có số đối: Phép trừ:
3. Tính chất phép nhân. Giao hoán: Kết hợp:
Tồn tại phần tử đơn vị:
Mọi số khác có số nghịch đảo : Giả sử , để tìm . Ta có: . Giải hệ cho ta Vậy, Phép chia: với
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 1 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 4. Định lý. Số phức bất kì
được biểu diễn duy nhất dạng , , trong đó Hệ thức
, được suy từ định nghĩa phép nhân: . Biểu diễn
gọi là dạng đại số của số phức . Do đó: . : phần thực của ,
: phần ảo của . Đơn vị ảo là . Tổng số phức: . Hiệu số phức: . Tích số phức: .
5. Lũy thừa đơn vị ảo : , , ,
…, bằng quy nạp ta được: , , , , Do đó:
6. Số phức liên hợp: Cho , số phức
gọi là số phức liên hợp của . Thật vậy, ( đpcm ). . Thật vậy, ( đpcm ). là số thực không âm. Thật vậy, ( đpcm ). Thật vậy, ( đpcm ). Thật vậy, ( đpcm ). Thật vậy, tức là ( đpcm ). Thật vậy, ( đpcm ). , Thật vậy, , Do đó , ( đpcm ).
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 2 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
8. Môđun của số phức Số
gọi là môđun của số phức
9. Biểu diễn hình học của số phức Mỗi số phức
được biểu diễn một điểm hay véc tơ
trên mặt phẳng phức.Ta viết: hoặc . 10. Tính chất i. Gọi . Khi đó: đối xứng với qua ; đối xứng với qua . ii. Gọi
lần lượt là biểu diễn của hai số phức . Khi đó: là biểu diễn của . iii. Cho . Khi đó: là biểu diễn của và .
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Dạng 1. Các phép tính về số phức và các bài toán định tính. Phương pháp:
Dạng 1: Các phép tính về số phức.
Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa số phức.
Dạng 2: Số phức và thuộc tính của nó.
Tìm phần thực và phần ảo:
, suy ra phần thực , phần ảo
Biểu diễn hình học của số phức:
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1 Xác định phần thực và phần ảo của các số phức : 3 4i
1. z i 2 i3 i 2. z 4 i 2
3. 1 i 1 i z 8 i 1 2i z Ví dụ 2
1. Tìm môđun của số phức z, biết rằng: 1 2i z 3 8i
2. Tìm các số thực b, c để phương trình 2
z bz c 0 nhận số phức z 1 i làm 1 nghiệm. 3 2
Ví dụ 3. Tìm số phức z thỏa mãn:
3 2 2 z z . z z 1 4i z zz z Ví dụ 4. 2
1. Tìm phần ảo của số phức z , biết : z 2 i 1 2i . 3 1 i 3
2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . 1 i Ví dụ 5.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 3 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
1. Tìm phần ảo của số phức z , biết 2 z 3z 1 2i
2. Tìm phần thực của số phức z , biết 2 z 1 i z 1 2i
Ví dụ 6. Tìm số phức z thỏa mãn: 9 z 2i
1. z 3i 1 iz và z
là số thuần ảo. 2. z z 2 2i và là số ảo. z z 2 z 1 z 3i
Ví dụ 7. Tìm số phức z thỏa mãn: 1 và 1 z i z i 2012 2012
Ví dụ 8.1.7 Cho số phức z x yi; x, y thỏa mãn 3
z 18 26i . Tính T z 2 4 z
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1. 1. Cho 2 số phức z
z z 1 , z z 3 . Tính z z 1 , z thỏa mãn 2 1 2 1 2 1 2
2. Tìm các số thực x, y sao cho :
a. z z' , biết rằng: z 2x 3 3y 1i , z' 2y 1 3x 7i . 3
b. x 2y4 i 3x yx 2i 47 20i . x yi 1 3 c. i . 3 yi 2 2 3 xyi x y 2i d. và là ( phức ) liên hợp. 1 2i3 1 2i3 3. 0 0
Cho z cos18 cos 72 i . Tính z .
4. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức : 33 1 i
10 1 z 1 i 2 3i 2 3i 1 i i
5. Thực hiện các phép tính : 21
9 10 A 1 i 1 i 8 13 1 1 i B 1 i i 13 5 6 7 18 i 1 i
M i i i ... i
2 3 2010 N 1 1 i 1 i 1 i ... 1 i
6. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức :
a. z 2 3i3 2i 2 2
c. z 1 i 1 i 1 2i b. z 3 2 i 1 i 3 2i d. 4) z 4 3i 7. Cho 2
z 2x 3x 1 x
1 y 3i với x,y là các số thực Tìm x, y sao cho: a. z là số thực.
b. z là thuần ảo và z 4 c. z 6 5i
8. Thực hiện các phép tính : 2009 2 i3 2 i3 1 3 3i A B 2 i3 2 i3 2 3i 2 2009 2 3 2010 C i i ... i
D 1 i 1 i ... 1 i
9. Cho số phức z (1 2x)(1 x) (2 x)(2y 1)i
Trong đó x, y là các số thực. Tìm x, y sao cho a. z là số thực
b. z là số thuần ảo và z 1 c. z 20 15i .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 4 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
10. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: 2 (1 2i) a. z b. 3 3
z (2 i) (3 2i) 3 i (3 i)(1 2i) c. z d. 2 4 2i z (1 3i)(2 i) 2 (3 2i) 1 3i
11. Tìm modun của số phức z biết: 2 3 2i (2 3i)
a. (1 2z)(3 4i) 29 22i b. z 2i 3 2i z c. (1 2i)(2 i)
d. (2 i)(3z 1) (z 2)(4 5i) . 2 (2 3i) Bài 2
1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức : 2 1 i
2 iz 8 i 1 2iz Đề thi Cao đẳng năm 2009. z z 2. Chứng minh nếu 1 z z2 1, z thì 1 2 là số thực. 1z2 1 1 1 z z2
3. Tìm số phức z thỏa mãn z 2 i 1 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 2 đơn vị.
4. Tìm số phức z thỏa mãn z 1z 2i là số thực và z 1 5 .
5. Tìm số phức z thỏa mãn z.z 3z z 5 6i . 6. Tính z biết:
a. 2 3i 1 z 2i 1 z 1 z 1 3i 2 b. 2i 3 c. z 2 3z 2 i 1
7. Tìm số phức z biết :
a. 4z (3i 1)z 25 21i b. 2 3z 2(z) 0 4i 2 6i
Bài 3 Xét các điểm A, B,C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số
, 1 i1 2i , . i 1 3 i
1. Chứng minh ABC là tam giác vuông cân
2. Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho ABCD là hình vuông.
Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A và B là hai điểm lần lượt biểu diễn 2 nghiệm phức của phương trình: 2
z 6z 18 0 . Chứng minh rằng tam giác OAB vuông cân.
Bài 5 Chứng minh rằng: 2010 2010 1. 1 i 1 i là một số thực 2009 2009 2. 3i 1 3i 1 là số thuần ảo.
Bài 6 Cho u, v là biểu diễn của hai số phức 1 3i và 3 2i
1. 3u 2v ; 5u 3v biểu diễn những số phức nào?
2. Gọi x là biểu diễn của số phức 6 4i . Hãy phân tích x qua u, v .
Bài 7 Gọi A1,A2 ,A3 ,A lần lượt là biểu diễn hình học của các số phức 4 z . 1 1 3i, z2 3 2i, z3 5 i, z4 4 5i
1. Tính độ dài các đoạn A1A2 , A1A3 , A1A 4
2. Tìm số phức có biểu diễn là điểm M sao cho A1A2A4M là hình bình hành. Bài 9.
1. Tìm phần thực của số phức n z 1 i
, n N thỏa mãn phương trình: log 4 n 3 log4 n 9 3 iz 1 3iz 2
2. Tìm phần ảo của số phức z , biết z 1 i Bài 10.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 5 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 1
1. Gọi z là nghiệm của phương trình 2
z 2z 2 0 . Tính giá trị của biểu thức 2012 Q z . 2012 z
2. Tính z , biết 2z 11+i z 11 i 2 2i.
Đề thi Đại học Khối A – năm 2011
Bài 11 Tìm số phức z thỏa mãn: z 1 i
1. z 2i z 1 i và là một số thuần ảo. z 2i
2. z 5 và phần thực của z bằng 2 lần phần ảo của nó. 3. 3
z z 4. z 2 và 2
z là số thuần ảo. Đề thi Đại học Khối D ,2010
Bài 12 Tìm số phức z thỏa mãn: 4 z 200 1. z 0 2 1 7i z 5 i 3 2. z
1 0 Đề thi Đại học Khối B – năm 2011 z
3. z (2 3i)z 1 9i Đề thi Đại học Khối D – năm 2011 2 4. 2 z z z
Bài 13 Tìm số phức z thỏa mãn:
2 z i z z 2i z 2i z 2. 1. z i z 1 z z2 2 2 2 z 2 1 z 2 i 4. z 2i 10 3.
z 1z i 5 z.z 25 1 z i 1 z 2z i 5. 6. 1 i 1 i z i 1 2 7. 2 z z 8z 44 8. 3 z z Bài 14 z z 1. Nếu 1 z z2 1, 1 z z2 1 thì 1 2 T là số thực. 1 1 z z2 z 1 z2 z2 z3 z3 z1 z z z z z z 2. Nếu 1
z z2 z3 r thì T là số thực và 1 2 2 3 3 1 r với 1 z z2z3 1 z z2 z3 z . 1 z2 z3 0 z 1 3. Số phức w
là số thuần ảo z 1 . z 1 Bài 15.
Cho , là hai số phức liên hợp thoả mãn
R và 2 3. Tính . 2 Bài 16. Tính 1 z z2 , 1 z z2 , 1 z .z2 , 1 z 2z2 , 1 2z z2 biết: 1. z 1 5 6i, z2 1 3i 2. z1 2 3i, z2 3 4i 1 3 1 2 3. z 1 i, z2 i 4. z 3 2i,z 2 i 2 2 3 3 1 2
Bài 17. Cho các số phức z . Tính : 1 1 2i, z2 2 3i, z 1 i 1. z 1 z2 z2 2. z1z2 z2z3 z3 1 z 3. 1 z z2z 3
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 6 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 z z z 2 2 z z 4. 2 2 2 1 2 1 2 1 z z2 z3 5. 3 6. z 2 2 2 z3 1 z z 2 z3
Bài 18. Tìm số phức z thỏa mãn:
1. z 5 7i 2 i 2. 2 3i z 5 i z
3. z(2 3i) 4 5i 4. 3 2i 1 3i 2 i 1 3i 5. z
6. 2z(1 i) 2iz(1 i) 4i 1 i 2 i 1 3 1 Bài 19. Cho z i . Hãy tính: 3 2 2 ; z; z ; z ; 1 z z . 2 2 z
Bài 20. Gọi A, B,C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z , . 1 3 2i, z2 2 3i z3 5 4i
1. Chứng minh A, B,C là ba đỉnh của tam giác. Tính chu vi tam giác đó.
2. Gọi D là điểm biểu diễn của số phức z . Tìm z để ABCD là hình bình hành.
3. Gọi E là điểm biểu diễn của số phức z' . Tìm z' sao cho tam giác AEB vuông cân tại E .
Dạng 2. Biểu diễn hình học của số phức và ứng dụng .
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1.Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z i 1 i z
Ví dụ 2.2.7 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z 2 i z
Ví dụ 3.2.7 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z 2 z 2 5
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
Bài 1: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: 2 z là số ảo.
Bài 2: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: 1. 2 2 z z
2. 2 z i z z 2i
Bài 3: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức:
1. z' 1 3iz 2 , trong đó z là số phức thỏa mãn z 1 2 .
2. z i z i 4
3. z 4 z 4 10
Bài 4: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức:
1. z i z 2 3i
3. z 3 4i 2
2. 2z 3 5i 2
4. z 4 3i z 3 2i 10
Bài 5: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa:
1. z 4 3i là số thực
2. z 1 2i 1
3. z 3i z 2 i
4. z 4 3i z 3 2i 2
5. 5 4i 3z 1
6. z 1 i z 2 3i 2 .
Bài 6: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa 2z i z 2i 3 1. có phần thực bằng 3 2.
là một số thực dương. z 2i z 3 i
Bài 7: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
1. Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.
2. Phần thực của z thuộc đoạn [ 2; 1] .
3. Phần thực của z thuộc đoạn [ 2;
1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3] .
4. z 2 5. 2 z 3 6. z 1 2i 2 1
7. 2 z i z z 2i 8. 1 z 2 và phần ảo lớn hơn hoặc bằng . 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 7 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Dạng 3. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai Phương pháp:
1. Định nghĩa: Cho số phức . Mỗi số phức thỏa
gọi là căn bậc hai của . Xét số thực
(vì có căn bậc hai là ). Nếu
thì có hai căn bậc hai là và . Nếu
thì có hai căn bậc hai là và . Đặc biệt : có hai căn bậc hai là và
( là số thực khác 0) có hai căn bậc hai là .
2. Cách tìm căn bậc hai của số phức Với
. Để tìm căn bậc hai của ta gọi Từ
giải hệ này, ta được .
3. Phương trình bậc hai với hệ số phức
Là phương trình có dạng: , trong đó là các số phức .
a. Cách giải: Xét biệt thức
và là một căn bậc hai của Nếu
phương trình có nghiệm kép: Nếu
phương trình có hai nghiệm phân biệt . b. Định lí viét Gọi
là hai nghiệm của phương trình :
. Khi đó, ta có hệ thức sau: .
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1.Trên tập số phức, tìm m để phương trình bậc hai 2
z mz i 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4 i .
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức: 1. 2 z 2z 17 0 2. 2
z (2i 1)z 1 5i 0 4z 3 7i 2 2 3. z 2i 4. 2
25 5z 2 425z 6 0 z i
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức: 1. 3 2
z (2 2i)z (5 4i)z 10i 0 biết phương trình có nghiệm thuần ảo 3 z i 2. 4 3 2
z 2z z 2z 1 0 3. 8 z 1 78y 16x 11y x 20 x 7 2 2 2 2 x y x y
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: ; 78x 11x 16y y 15 y 1 2 2 x y 2 2 x y 3 12 10x 1 3 x 1 2 5x y 3x y
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình: ; 3 12 y 1 1 y 1 6 5x y 3x y
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 8 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Ví dụ 6. Cho số phức z thoả mãn điều kiện 10 9 11z
10iz 10iz 11 0. Chứng minh rằng z 1.
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
Bài 1: Tìm căn bậc hai của số phức:
1. z 8 6i 2. z 33 56i 3. z 1 4i 3 4. z 5 12i
Bài 2: Tìm căn bậc hai của các số phức sau: 5 1. 3i 2 3 i 3. 5 1 2i 4 2. 1 i
Bài 3: Giải phương trình sau trên : 4z 3 7i 1. 2
z 1 3i z 2 2i 0 2.
z 2i Đề thi Cao đẳng năm 2009 z i 4 z 200 3. z
0 4. 3 2 z
3 1 2i z 3 8i z 2i 5 0 2 z 1 7i
Bài 4: Giải phương trình sau trên : 1. 2
z 1 5iz 8 i 0 2. 2
z 3 4i z 5i 1 0 3. 2
z 3 2iz 5 5i 0 4. 2
z 81 i z 63 16i 0 5. 2
1 i z 21 2iz 4 0 6. 2 z 2i
1 z 1 5i 0
Bài 5: Giải phương trình sau trên : 1. 3 2 z
2 1 i z 5 4iz 10 0 2. 3 2 z
4 5i z 42 5iz 40i 0 3. 3 2 z
3 2 i z 25 9iz 30i 0 2 z 1
Bài 6: Giải phương trình: z 2
, biết z 3 4i là 1 nghiệm của phương trình. z 7 2 2 1 z z2 5 2i 1
Bài 7: Giải phương hệ trình sau trên : 1 z z2 4 i 2 3x y 1 x 3 3x 1 2 2 2 x y x y
Bài 8: Giải hệ phương trình: , x 3y 1 y 0 7y 1 4 2 2 2 x y x y Bài 9:
1. Tìm các số thực a, b để: 3 2 2
2z 9z 14z 5 (2z 1)(z az b) rồi giải phương trình sau trên C: 3 2
2z 9z 14z 5 0 .
2. Tìm các số thực a, b để : 4 2 2 2
z 4z 16z 16 (z 2z 4)(z az b)
rồi giải phương trình sau trên C: 4 2
z 4z 16z 16 0 . Bài 10:
1. Tìm tất cả cá giá trị thực của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thực: 3 2
z (3 i)z 3z (m i) 0 .
2. Biết phương trình 2
1 i x i x 1 i 0 không có nghiệm thực. Tìm những giá trị có thể có của .
Bài 11: Giải các hệ sau trên tập số phức z 1 1 z z2 1 z z2 9 2i 1. 2. 2 2 z z 1 z z2 11 2i 1. z z Dạng 4.
Phương trình quy về bậc hai
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 9 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän 2
Bài 1: Giải phương trình sau trên : 4 3 z z z z 1 0 2
Bài 2: Giải phương trình: 1. 4 2 z 2 i z 2i 0 2. 4 3 2
2z 7z 9z 7z 2 0 3. 4 3 2 4z 6 10i z
15i 8 z 6 10i z 4 0
4. 4 3 2 z 3 i z
4 3i z 23 i z 4 0 2 2 5. 2
25 5z 2 425z 6 0
Bài 3: Giải phương trình: 4 4 2
1. z 4 z 6 82 2 2. 2
z 1 z 3 0 4 4 3. 2
z 1 16z 1
4. z z 2z
1 z 3 10
Bài 4: Gọi z1,z2 ,z3 ,z là các nghiệm phức của phương trình 4 4 z 1 1 2 2 2 2 . Tính P z1 1 z2 1 z3 1z4 1 . 2z i
Dạng 5. Dạng lượng giác của số phức Phương pháp:
Công thức De – Moivre: Có thể nói công thức
De – Moivre là một trong những công thức thú vị và là nền
tảng cho một loạt công thức quan trọng khác sa
u này như phép luỹ thừa, khai căn số phức, công thức Euler. Công thức 1:
Công thức 2 : Số phức ta có: Với và góc
được gọi là argument của z, ký hiệ u là
. Ngược với phép luỹ thừa ta có phép khai căn
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác . Từ đó hãy viết dạng đại số của 2012 z 1. z 2 2i
2. z 6 2i 3. z 1 cos i sin 8 8 Ví dụ 2. Gọi 2
. Tính giá trị biểu thức 1 z , z là 2
2 nghiệm của phương trình: z 1 31 iz 4i 0 2012 2012 Q 1 z z2 1
Ví dụ 3.Tìm số phức z sao cho 5 z và
là hai số phức liên hợp. 2 z 1
Ví dụ 4. Giải phương trình cos x cos 2x cos 3x . 2 1
Ví dụ 5. Giải phương trình : cos x cos 3x cos 5x cos 7x cos 9x . 2
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 10 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Bài 1 : 12 12
1. Tính A 1 i 1 i 3 1 i 3
2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . 1 i
Đề thi Đại học Khối B – năm 2011 4 4 z z 3. Cho số phức z
z z z z 0 . Tính 1 2 A 1 , z thỏa mãn 2 1 2 1 2 z 2 1 z 2 1 3i
4. Cho số phức z thỏa mãn z
. Tìm môđun của số phức z iz 1 i
Đề thi Đại học Khối A – năm 2010 Bài 2 :
1. Tính giá trị biểu thức S C 3C 3 C ... 1k 0 2 2 4 2k 1004 2008 1006 2010 2010 2010 2010 C2010 ... 3 C2010 3 C2010
2. Rút gọn biểu thức:
A cos x cos 2x cos 3x ... cos nx B sin x sin 2x sin 3x ... sin nx
Bài 3 : Tính tích phân 2 4 s in5x cos 5x 2. J dx 1. I dx sin x cos x 0 0
Bài 4 : Cho dãy số un xác định bởi u u bị chặn. 1 1, u2 0, un 2 un 1 u n
. Chứng minh n n
Bài 5 : Viết các số phức sau dưới dạng đại số 2012 1 i 1. z 2. 40 19 z (1 i) 1 3i 1 3i 1 z z2 z3 1
Bài 6 : Cho ba số phức z 1 , z2 , z thoả mãn hệ: 3 z z z . 1 2 3 1 z 2 z3 1 z
Tính giá trị của biểu thức T 1
az bz2 cz3 với a,b,c .
Bài 7 : Viết dạng lượng giác của các số phức sau: 1. z 3 3i 2. z 2 cos i sin 6 6 3. z cos i sin 4. z sin i cos 9 9 7 7 7 8 1 3i 3 i 5. z 1 sin i cos 6. z 8 8 9 1 i
Bài 8 : Viết các số phức sau dưới dạng đại số. 9 (1 3) 1. z 1 3i 2. 11 z (1 i) 3. z 5 (1 i) 10 5 (1 i) ( 3 i) 34 20 (1 2i) (1 i) 4. z 2i 5. z 10 ( 1 3i) 22 ( 3 i)
Bài 9 : Tìm số phức z ở dạng lượng giác biết rằng: 5
1. z 2 và một argument của 1 i z là . 12
2. zz 9 và một argument của 1 3i z là . 4
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 11 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 1 z 2 3. z và một argument của là . 4 3 i 3 3 z 1 i 4 3 3i 4. z và một argument của là . 16 1 3 3i 12
Bài 10 : Tìm các số nguyên dương n để số phức sau là số thực? số ảo? n n n 13 3 9i 7 17i 59 11 3i 1. 2. 3. 12 3i 2n 2 3i2n 3 3 2i
Bài 11 : Tìm số phức z thoả mãn: 1 1. 4 z và
là hai số phức liên hợp của nhau. 3 z 32 2. 3 z và
là hai số phức liên hợp. 2 z
Dạng 6. Cực trị của số phức
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1. Cho số phức z thỏa mãn: z 4 3i 3 . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất.
Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z i m
Ví dụ 3.6.7 Cho số phức z , m . 1 m m 2i 1 1. Tìm m để z.z 2
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn tại m để z 1 k
Ví dụ 4. Tìm số phức z thỏa mãn: z 2i có một acgumen bằng một acgumen của z 2 cộng với . Tìm giá trị lớn 4
nhất của biểu thức T z 1 z i
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
Bài 1: Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn: z 1 5i z 3 4i 1 1. 1 2. log 1 1 z 3 i 3 z 3 4i 3 2
Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn:
1. z 1 2i 2 . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất.
2. z 2 4i z 2i . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất. Bài 3:
1. Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Chứng minh rằng: 3 2
1 1 z 1 z z 5 2 2 2 2 2. Chứng minh: 1 z z2 1 z z2 2 1 z z2 2
3. Chứng minh rằng với mỗi số phức z , có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy ra: z 1 hoặc 2 z 1 1 . 2 1 1
4. Cho số phức z 0 thỏa mãn 3 z 2 . Chứng minh: z 2 3 z z
Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời thỏa 2 điều kiện: z z 4 3i và biểu thức A z 1 i z 2 3i có giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: Cho hai số phức z và 1 z . Chứng minh rằng: 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 12 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2 2 2 2 1. 1 z z2 1 z z2 2 1 z z2 2 2 2 2 2. 1 1 z z2 1 z z2 1 1 z z2 1 z z2 3. 1 z z2 1 z z2 1 z z2 .
Bài 6: Cho số phức z thỏa z 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: z 5i A 2 3
B z z 1 z 1 z
Bài 7: Cho số phức thoả mãn z 1 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của: A 1 z 3 1 z 2
B 1 z 1 z z
Bài 8: Cho số phức thoả mãn z 2 2i 1. Tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z .
Bài 9: Cho các số phức a, b,c . Đặt a b m, a b n với mn 0 . Chứng mỉnh rằng: mn max ac b , bc a . 2 2 m n
1ii. Baøi taäp traéc nghieäm töï luyeän C. P 6 2i. D. P 6 2.
Vấn đề 1. PHẦN THỰC – PHẦN ẢO
Câu 5. Kí hiệu a , b lần lượt là phần thực và phần ảo của số
Câu 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z 3 2i.
phức z i 1i . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i.
A. a 1, b i.
B. a 1, b 1.
B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2.
C. a 1, b 1.
D. a 1, b i .
C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i.
Câu 6. Tính tổng T của phần thực và phần ảo của số phức
D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2. z i2 2 3 .
Câu 2. Cho số phức z a bi a; b . Tìm phần thực và A. T 11 .
B. T 11 6 2 .
phần ảo của số phức 2 z . C. T 7 6 2 . D. T 7 .
A. Phần thực bằng 2 2
a b và phần ảo bằng 2 2 2a b .
Câu 7. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
B. Phần thực bằng 2 2
a b và phần ảo bằng 2a . b
z i i3 4 3 1 .
C. Phần thực bằng a b và phần ảo bằng 2 2 a b .
A. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 5i .
D. Phần thực bằng a b và phần ảo bằng ab .
B. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 7 i .
Câu 3. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Số phức nào dưới C. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 5 . đây là số thuần ảo?
D. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 5i . A. z 2 3i.
B. z 3i.
Câu 8. Tìm các giá trị của tham số thực m để số phức C. z 2.
D. z 3 i. z 2 m 1 m
1 i là số thuần ảo.
Câu 4. Kí hiệu a , b là phần thực và phần ảo của số phức 3 2 2i A. m 1. B. m 1 . C. m 1 . D. m 0. . Tính P . ab
A. P 6 2i. B. P 6 2.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 13 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Câu 9. Tìm các giá trị của tham số thực x, y để số phức Câu 16. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017). Tìm tất cả các số x y
x yi i
z x iy2 2x iy 5 thực ; sao cho 2 1 1 2 là số thực.
A. x 1 và y 0 . B. x 1 . A. x 0; y 2 . B. x 2; y 2 .
C. x 1 hoặc y 0 . D. x 1 .
C. x 2; y 2 .
D. x 2; y 2 .
Câu 10. Cho số phức z a bi . Khi 3
z là một số thực, khẳng Câu 17. Tìm tất cả các số thực
x, y thỏa mãn
định nào sau đây là đúng ? 2
x y 2 y 4i 2i .
A. b 0 và a bất kì hoặc 2 2 b 3a .
A. x; y 3;
3 hoặc x; y 3; 3 .
B. b 3a .
B. x; y 3;
3 hoặc x; y 3; 3 . C. 2 2 b 5a .
D. a 0 và b bất kì hoặc 2 2 b a .
C. x; y
3; 3 hoặc x;y 3; 3.
Vấn đề 2. HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU
D. x; y 3;
3 hoặc x; y 3; 3 .
Câu 11. Cho hai số phức
z a bi a;b và 1
Câu 18. Cho hai số phức z a bi a;b và z 3 4i . 1
z 2017 2018i . Biết z z , tính tổng S a 2 . b 2 2 1 2 Biết 2
z z , tính P . ab 1 2
A. S 1. B. S 4035. C. S 2019.
D. S 2016.
A. P 168. B. P 600. C. P 31. D. P 12.
Câu 12. Cho hai số phức z 2x 3 3y 1 i và
Câu 19. Cho số phức z x iy thỏa mãn 2
z 8 6i .
z ' 3x y
1 i . Khi z z ' , chọn khẳng định đúng trong Mệnh đề nào sau đây là sai? các khẳng định sau: 4 2
x 8x 9 0 5 5 4 2 2
x y 8
A. x ; y 0 .
B. x ; y . A. . B. 3 . 3 3 3 xy 3 y x
C. x 3; y 1 .
D. x 1; y 3 . x 1 x 1 C. hoặc . D. 2 2 x y 2xy 8 6i .
Câu 13. Biết rằng có duy nhất một cặp số thực x; y thỏa mãn y 3 y 3
x yx yi 5 3i . Tính S x y. Câu 20. Với x, y là hai số thực thỏa mãn A. S 5. B. S 3 . C. S 4 . D. S 6 .
x i y i3 3 5 1 2
9 14i . Tính giá trị của biểu thức P 2x 3 . y
Câu 14. Tìm tất cả các số thực
x; y thỏa mãn
x yi y i2 2 1 2 3 7i. 205 353 172 94 A. P . B. P . C. P . D. P . 109 61 61 109
A. x 1; y 1 .
B. x 1; y 1 .
Vấn đề 3. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC SỐ PHỨC C. x 1 ; y 1. D. x 1 ; y 1 .
Câu 21. Điểm biểu diễn số phức z 2 3i có tọa độ là: Câu 15. Cho hai số thực x, y thỏa
mãn A. 2; 3. B. 2;3. C. 2;3. D. 2; 3.
2x 3 1 2 yi 22 i 3yi x . Tính giá trị của biểu thức 2
P x 3xy y .
Câu 22. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho số phức
z 1 2i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức
A. P 13 . B. P 3
. C. P 11 . D. P 1 2 .
w iz trên mặt phẳng tọa độ?
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 14 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
A. Q 1;2. B. N 2; 1 .
C. M 1;2 D. P 2; 1 .
Câu 27. Trong mặt phẳng tọa độ, y
điểm M là điểm biểu diễn của số Q E Câu 24. Trong mặt
phức z (như hình vẽ bên). Điểm y M x
phẳng tọa độ (hình vẽ A
nào trong hình vẽ là điểm biểu 4 O bên), số phức
diễn của số phức 2z ? B 3 N P
z 3 4i được biểu
A. Điểm N . B. Điểm Q.
diễn bởi điểm nào trong các điểm ,
A B, C , D ? x
C. Điểm E. D. Điểm P. -4 O 1 3 A. Điểm A . B. Điểm B . -3
Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A4;0 và C C. Điểm C . -4 B D 0;
3 . Điểm C thỏa mãn điều kiện OC OA OB . Khi D. Điểm D .
đó, số phức được biểu diễn bởi điểm C là: Câu 25. (ĐỀ CHÍNH A. z 3 4i . B. z 4 3i .
THỨC 2016 – 2017) Số y
z i . z i . phức nào dưới đây có C. 3 4 D. 4 3 M 1
điểm biểu diễn trên mặt
Câu 29. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z 1 6i và
phẳng tọa độ là điểm M x như hình vẽ ?
B là điểm biểu diễn của số phức z '
1 6i . Mệnh đề nào -2 O sau đây là đúng?
A. z 2 i. 4
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành.
B. z 1 2i. 2
B. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục tung. C. z 2 i. 3
C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O .
D. z 1 2i.
D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y x . 1
Câu 30. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z 2 5i và B
là điểm biểu diễn của số phức z ' 2
5i . Mệnh đề nào sau
Câu 26. Giả sử M , N , P, Q được y đây là đúng?
cho ở hình vẽ bên là điểm biểu diễn N 2 M
của các số phức z , z , z , z trên
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành. 1 2 3 4
mặt phẳng tọa độ. Khẳng định nào -1 1 x
B. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục tung. sau đây là đúng? O
C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O .
A. Điểm M là điểm biểu diễn số
phức z 2 i. 1 P -2 Q
D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y x .
B. Điểm Q là điểm biểu diễn số
Câu 31. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z 4 7i và B
phức z 1 2i. 4
là điểm biểu diễn của số phức z ' 4
7i . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
C. Điểm N là điểm biểu diễn số
phức z 2 i. 2
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành.
D. Điểm P là điểm biểu diễn số
B. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục tung. phức z 1 2i. 3
C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O .
D.Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y x .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 15 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Câu 32. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z 3 2i và B Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ, ba điểm ,
A B, C lần lượt
là điểm biểu diễn của số phức z ' 2 3i . Mệnh đề nào sau đây biểu diễn cho ba số phức z 1i , z 1i và 2 2 1 là đúng?
z a i a . Tìm a để tam giác ABC vuông tại B . 3
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành.
A. a 3 . B. a 2 . C. a 3 . D. a 4 .
B. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục tung.
Câu 39. Cho các số phức z , z , z có điểm biểu diễn trên mặt
C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O . 1 2 3
phẳng tọa độ là ba đỉnh của tam giác đều có phương trình đường
D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y x . 2 2
tròn ngoại tiếp x 2017 y 2018 1. Tổng phần thực
và phần ảo của số phức w z z z bằng: 1 2 3
Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của các số
phức z 3 bi với b luôn nằm trên đường có phương A. 1. B. 1. C. 3. D. 3.
trình nào trong các phương trình sau:
Câu 40. Cho tam giác ABC có ba đỉnh ,
A B, C lần lượt là A. x 3 . B. y 3 .
C. y x .
D. y x 3 . biểu diễn hình học của các số phức
z 2 i, z 1
6i, z 8 i . Số phức z có điểm biểu
Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ, cho số phức 2
z a a i với 1 2 3 4
diễn hình học là trọng tâm của tam giác ABC . Mệnh đề nào sau
a . Khi đó điểm biểu diễn số phức z nằm trên trên đường đây là đúng?
có phương trình nào trong các phương trình sau: A. z 5.
B. z 32i. A. Parabol 2 x y . B. Parabol 2 y x . 4 4
B. Đường thẳng y 2x . D. Parabol 2 y x . C. z 2 13 12i. D. z 3 2i. 4 4
Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm ,
A B, M lần
Vấn đề 4. PHÉP CỘNG – PHÉP TRỪ HAI SỐ PHỨC
lượt là điểm biểu diễn của các số phức 4
, 4i, x 3i . Với giá Câu 41. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hai số phức
trị thực nào của x thì ,
A B, M thẳng hàng?
z 57i và z 2 3i. Tìm số phức z z z . 1 2 1 2 A. x 1 . B. x 1 . C. x 2 . D. x 2 .
A. z 7 4i.
B. z 2 5i.
Câu 36. Xét các điểm ,
A B, C trong mặt phẳng tọa độ theo thứ C. z 2 5i.
D. z 310i.
tự biểu diễn lần lượt các số phức z 2 2i , z 3 i và 1 2 z 2i
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 42. Tìm số phức w z
2z , biết rằng z 1 2i và 1 2 1 3 z 2 3i . 2 A. Ba điểm ,
A B, C thẳng hàng. A. w 3 4i . B. w 3 8i .
B. Tam giác ABC đều.
C. w 3i .
D. w 5 8i .
C. Tam giác ABC cân tại A .
Câu 43. Cho hai số phức z 1 2i và z 2 3i . Xác định
D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân. 1 2
phần ảo a của số phức z 3z 2z . 1 2 Câu 37. Gọi ,
A B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số A. a 11 . B. a 12 . C. a 1 . D. a 1 2 . phức z 1
3i; z 3
2i; z 4 i . Mệnh đề nào sau 1 2 3 đây là đúng?
Câu 44. Cho hai số phức z 1 2i và z 3
i . Tìm điểm 1 2 A. Ba điểm ,
A B, C thẳng hàng.
biểu diễn số phức z z z trên mặt phẳng tọa độ. 1 2
B. Tam giác ABC đều.
A. M 2;5.
B. N 4; 3 .
C. Tam giác ABC cân tại B .
C. P 2; 1 .
D. Q 1;7.
D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 16 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Câu 45. Gọi A3 ;1 , y
Câu 51. Tìm số phức liên hợp z của số phức z a bi . Q P B 2;
3 lần lượt là điểm biểu 4 A. z a bi .
B. z b ai . 3 N
diễn các số phức z và z . 1 2 M 2
Trong hình vẽ bên điểm nào C. z a bi . D. z a bi . trong các điểm x
M , N , P, Q
Câu 52. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho số phức biểu diễn số -1 O 5
z 3 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . phức z , biết rằng
z z z . 1 2
A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i. A. M . B. N .
B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2. C. P. D. Q.
C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i.
Vấn đề 5. NHÂN HAI SỐ PHỨC
D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 .
Câu 46. Cho hai số phức z 2017 i và z 2 2016i . 1 2
Câu 53. Cho số phức z 1 2i . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm
Tìm số phức z z .z .
nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức liên hợp của số phức 1 2 z .
A. z 2017 4066274i .
B. z 2018 4066274i . A. M 1;2 . B. M 1;2 . 2 1
C. z 2018 4066274i .
D. z 2016 4066274i . C. M 1; 1 . D. M 1;2 . 4 3 Câu 47. Kí hiệu ,
a b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức
z 2z z với z 3 4i và z i
. Tính tổng S a b 2. 1 2 1 2
Câu 54. Tìm số phức liên hợp của số phức z i 3i 1 .
A. S 1.
B. S 4.
C. S 0.
D. S 16.
A. z 3i . B. z 3
i . C. z 3 i . D. z 3 i .
Câu 48. Phân tích z 27 i về dạng tích của hai số phức. Mệnh đề Câu 55. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho số phức nào sau đây là đúng?
z 2 5i. Tìm số phức w iz z .
A. z 3 i8 3i .
B. z 3i 8 3i .
A. w 7 3i. B. w 3 3i. 1 1
C. w 3 7i. D. w 7 7i. C. z
3i83i .
D. z 3 i8 3i . 2 2
Câu 56. Cho hai số phức z 3 4i, z 4 3i . Mệnh đề nào 1 2
Câu 49. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – N 2 y M sau đây là đúng?
2017) Cho số phức z thỏa mãn
1iz 3i. Hỏi điểm biểu
A. z z .
B. z z . C. z i.z . D. z i.z . x 1 2 1 2 1 2 1 2
diễn của z là điểm nào trong các -1 O 1
điểm M , N , P, Q ở hình bên ?
Câu 57. Cho số phức z 0 và là một số thuần ảo. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Điểm P. B. Điểm Q. P -2 Q
A. z i.z .
B. z i.z . C. z z .
D. z z . C. Điểm M . D. Điểm N .
Câu 58. Cho số phức z 0 và z z . Gọi , A B lần lượt là
Câu 50. Cho hai số phức z m 3i và z ' 2 m
1 i . Tìm điểm biểu diễn của số phức z và z . Mệnh đề nào sau đây là
các giá trị của tham số thực m để z.z ' là số thực. đúng ?
A. m 2 hoặc m 3 . B. m 2 hoặc m 3 . A. ,
A B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O .
C. m 1 hoặc m 6 . D. m 1 hoặc m 6 . B. ,
A B đối xứng nhau qua trục hoành.
Vấn đề 6. SỐ PHỨC LIÊN HỢP C. ,
A B đối xứng nhau qua trục tung.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 17 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 D. ,
A B đối xứng nhau qua đường thẳng y x . A. P 2 . B. P 1 . C. P 1. D. P 2 .
z a bi a;b thỏa
Câu 59. Cho số phức z tùy ý và hai số phức 2 2 z z , Câu 68. Cho số phức
1iz 3i
z.z i z z
. Hỏi khẳng định nào dưới đây là đúng? z 2 6i . Tính T b a . A. ,
là các số thực. B. ,
là các số thuần ảo. A. T 5 . B. T 8
. C. T 1. D. T 1 .
C. là số thực, là số thuần ảo.
Câu 69. Cho số phức z thỏa mãn 1iz 2iz 5 3i . Tìm
số phức w z 2z .
D. là số thuần ảo, là số thực.
A. w 6 i . B. w 6 i .
Câu 60. Cho số phức z 5 3i . Tìm phần thực a của số phức
z z 2 1 .
C. w 6 i . D. w 6 i .
Câu 70. Gọi S là tổng phần thực và phần ảo của số phức A. a 22. B. a 22. C. a 33. D. a 33. 3
w z i , biết z thỏa mãn z 2 4i 2 iiz . Mệnh đề 2
Câu 61. Cho số phức z thỏa z i 2 1 2i . Tìm phần nào sau đây đúng?
ảo b của số phức z . A. S 46.
B. S 36 . C. S 56 . D. S 1 . A. b 2 . B. b 2 .
C. b 2 . D. b 2 .
Vấn đề 7. MÔ ĐUN CỦA SỐ PHỨC Câu 71. Gọi
M là điểm biểu diễn của số phức
Câu 62. Cho hai số phức z 4 3i 1i3 và z 7 i . 1 2
z a bi a; b trong mặt phẳng tọa độ. Mệnh đề nào sau
Tìm phần thực a của số phức w 2z z . 1 2 đây đúng? A. a 9 . B. a 2 . C. a 18 .
D. a 74 .
A. OM z . B. 2 2
OM a b .
Câu 63. Cho số phức z thỏa mãn z 2.z 6 3i . Tìm phần
ảo b của số phức z. C. OM a b . D. 2 2 OM a b . A. b 3 . B. b 3
. C. b 3i . D. b 2 .
Câu 72. Gọi M , N lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức
z , z trong mặt phẳng tọa độ. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 2
Câu 64. Cho số phức z a bi a; b thỏa mãn
iz 2z 1i. Tính S a . b
A. z z OM ON .
B. z z MN . 1 2 1 2
A. S 4. B. S 4. C. S 2. D. S 2.
C. z z OM MN .
D. z z OM MN . 1 2 1 2
Câu 65. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z.z 10z z và
z có phần ảo bằng ba lần phần thực?
Câu 73. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. 0 . B. 2 . C. 1 . D. 3 .
A. Hai số phức z và z có z z 0 thì các điểm biểu 1 2 1 2
diễn z và z trên mặt phẳng tọa độ cùng nằm trên đường tròn 1 2 Câu 66. Cho số phức
z a bi a; b
thỏa có tâm là gốc tọa độ.
1iz 2z 32i. Tính P a . b
B. Phần thực và phần ảo của số phức z bằng nhau thì điểm
biểu diễn của số phức z nằm trên đường phân giác của góc 1 1 A. P . B. P 1. C. P 1.
D. P .
phần tư thứ nhất và thứ ba. 2 2
C. Cho hai số phức ,
u v và hai số phức liên hợp u, v thì
Câu 67. Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i z 1 9i . Gọi uv u.v . ,
a b là phần thực và phần ảo của z . Tính P . ab
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 18 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
z a bi a; b 1
Câu 81. Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm M 2; 3 . Mệnh đề
D. Cho hai số phức và thì
z c di c; d 2 nào sau đây là sai?
z .z ac bd ad bc i . 1 2
A. Điểm M biểu diễn cho số phức có môđun bằng 11 . 2
Câu 74. Cho số phức 2
z z z
với z là số thuần ảo. Mệnh 1 1 1
B. Điểm M biểu diễn cho số phức z mà có z 2 3i . đề nào sau đây đúng?
C. Điểm M biểu diễn cho số phức z 2 3i .
A. z là số thực âm. B. z 0 .
D. Điểm M biểu diễn cho số phức có phần ảo bằng 2 .
C. z là số thực dương. D. z 0 .
Câu 82. Tính môđun của số phức z , biết z 4 3i 1 i .
Câu 75. Cho số phức z. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2 A. 2 z 2 z . B. 2 z z .
A. z 25 2 .B. z 7 2 .C. z 5 2 . D. z 2 .
Câu 83. Gọi M là điểm biểu 2 2 y C. 2 z 2 z . D. 2 z z .
diễn của số phức z , biết tập
hợp các điểm M là phần tô
Câu 76. Cho số phức z thỏa mãn z z. Mệnh đề nào sau đây đậm ở hình bên (không kể x là đúng?
biên). Mệnh đề nào sau đây O 1 2 đúng :
A. z là số thực không âm. A. z 1.
B. z là số thực âm.
B. 1 z 2.
C. z là số thuần ảo có phần ảo dương.
D. z là số thuần ảo có phần ảo âm.
C. 1 z 2.
Câu 77. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho số phức D. 1 z 2.
z 2 i . Tính z .
A. z 3 .
B. z 5 .
C. z 2 . D. z 5 .
Câu 84. Gọi M là điểm biểu
diễn của số phức z , biết tập
Câu 78. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho hai số phức z 1i 1
hợp các điểm M là phần tô
và z 2 3i. Tính môđun của số phức z z . 2 1 2
đậm ở hình bên (kể cả biên).
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. z z 13.
B. z z 5. 1 2 1 2
A. 1 z 2 và phần ảo
C. z z 1.
D. z z 5. 1 1 2 1 2 lớn hơn . 2
Câu 79. Cho hai số phức z 1i và z 2 3i . Tính môđun 1 2
B. 1 z 2 và phần ảo
của số phức z z . 1 2 1 lớn hơn .
A. z z 17.
B. z z 15. 2 1 2 1 2
C. 1 z 2 và phần ảo
C. z z 2 13.
D. z z 13 2. 1 2 1 2 1 nhỏ hơn .
Câu 80. Tính môđun của số phức z , biết z thỏa mãn 2
iz 3 4i.
D. 1 z 2 và phần ảo A. z 5. B. z 3. C. z 4. D. z 5 2.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 19 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 1
z , z Tính diện tích S của tam giác OAB với O là gốc tọa không lớn hơn . 1 2 2 độ.
Câu 85. Một hình vuông tâm là gốc tọa độ O , các cạnh song 25
A. S 12. B. S 6.
C. S 5 2. D. S .
song với các trục tọa độ và có độ dài bằng 4 . Hãy xác định điều 2
kiện của a và b để điểm biểu diễn số phức z a bi nằm
trên đường chéo của hình vuông.
Câu 90. Tập hợp các điểm biểu y
diễn hình học của số phức z là
A. a b 2.
B. a b 2.
đường thẳng như hình vẽ. 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của z . x
C. a b 2.
D. a b 2. O 1 A. z 2. min
Câu 86. Gọi M là điểm biểu
diễn của số phức z , biết tập B. z 1. min
hợp các điểm M là phần tô
đậm ở hình bên (kể cả biên). C. z 2. min
Mệnh đề nào sau đây đúng ? 1
A. z có phần ảo không nhỏ D. z . min hơn phần thực. 2
B. z có phần thực không
Câu 91. Tính môđun của số phức w i2 1
z , biết số phức z
nhỏ hơn phần ảo và có môđun có môđun bằng m . không lớn hơn 3.
A. w 4m . B. w 2m . C. w
2m . D. w m .
C. z có phần thực bằng phần ảo.
Câu 92. Tìm phần ảo b của số phức z m 3m 2i ( m là
D. z có môđun lớn hơn 3.
tham số thực âm), biết z thỏa y z
Câu 87. Cho ba điểm ,
A B, C lần lượt biểu diễn ba số phức mãn 2 . A
z , z , z với z z và z z . Biết z z z và 1 2 3 3 1 3 2 1 2 3 6 z z 0. A. b 0. B. b .
Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 2 5 O x
A. Tam giác ABC vuông tại C . 8 C
C. b . D. b 2. 5
B. Tam giác ABC đều. B
C. Tam giác ABC vuông cân tại C .
D. Tam giác ABC cân tại C .
Câu 93. Cho số phức z thỏa 2z 31iz 1 9i .Tìm phần
Câu 88. Xét ba điểm ,
A B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự
ảo b của số phức z .
biểu diễn ba số phức phân biệt z , z , z thỏa mãn 1 2 3
z z z và z z z 0 . Mệnh đề nào sau đây là b b b b 1 2 3 1 2 3 A. 2. B. 3 . C. 2 . D. 3 . đúng?
Câu 94. Tính môđun của số phức z , biết z thỏa mãn
A. Tam giác ABC vuông.
B. Tam giác ABC vuông cân.
12iz 2 3iz 6 2i .
C. Tam giác ABC đều.
D. Tam giác ABC có góc A. z 4. B. z 2.
C. z 10. D. z 10. 0 120 .
Câu 95. Cho số phức z thỏa mãn 5z 3 i 2 5i z .
Câu 89. Cho các số phức z , z thỏa mãn z 3, z 4 và 1 2 1 2
z z 5. Gọi ,
A B lần lượt là điểm biểu diển các số phức Tính P i z 2 3 1 . 1 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 20 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
A. P 144. B. P 3 2. C. P 12. D. P 0 .
Câu 105. Tính tổng các phần thực của các số phức z thỏa mãn
z 1 1 và 1 iz i có phần ảo bằng 1.
Câu 96. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho số phức
z a bi a; b thỏa mãn
z 1 3i z i 0 . Tính A. 2. B. 1. C. 3. D. 0 . S a 3 . b Câu 106. Cho hai số phức z , z thỏa mãn 1 2 7 7
z z z z 1. Tính z z . A. S . B. S 5. C. S 5. D. S . 1 2 1 2 1 2 3 3 3
Câu 97. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho số phức z A. 3. B. 2 3. C. 3. D. . 2
thỏa mãn z 3 5 và z 2i z 2 2i . Tính z .
Câu 107. Cho z , z là hai số phức thỏa mãn 2z i 2 iz , 1 2
A. z 17 . B. z 17 . C. z 10 . D. z 10 .
biết z z 1 . Tính giá trị của biểu thức P z z . 1 2 1 2
Câu 98. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho số phức z 3 2 thỏa mãn
z 5 và z 3 z 310i . Tìm số phức A. P . B. P 2. C. P . D. P 3. 2 2
w z 4 3i.
Câu 108. Cho z , z là hai số phức thỏa mãn z 6, z 8 1 2 1 2 A. w 3 8i.
B. w 1 3i.
và z z 2 13. Tính giá trị của biểu thức P 2z 3z . 1 2 1 2 C. w 1 7i. D. w 4 8i.
A. P 1008. B. P 12 7. C. P 36. D. P 5 13.
Câu 99. Hỏi có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 1 2 và 2
z là số thuần ảo?
Câu 109. Cho số phức z a bi a; b thỏa mãn điều kiện 2
z 4 2 z . Đặt P 2 2
8 b a 12. Mệnh đề nào A. 0. B. 4. C. Vô số. D. 3. dưới đây đúng?
Câu 100. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Có bao nhiêu số
phức z thỏa mãn z 2 i 2 2 và z 2
1 là số thuần ảo? A. P z 2 2 .
B. P z 2 2 4 . A. 0. B. 4. C. 3. D. 2.
C. P z 2 4 .
D. P z 2 2 2 .
Câu 101. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2
z z z ?
Câu 110. Cho số phức z a bi a; b . Mệnh đề nào sau A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. đây là đúng?
Câu 102. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 2 i 2 và A. z 2 a b . B. z 2 a b .
z i là số thực?
C. z 2 a b . D. z 2a b . A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2
Câu 103. Cho số phức z thỏa mãn zz 1 và z 1 2 . Tính Câu 111. Xét số phức z thỏa mãn z 1 i z 21i .
tổng phần thực và phần ảo của z .
Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 0. B. 1. C. 1. D. 2. A. z 2. B. z 4 2. Câu 104. Có bao nhiêu số phức
z thỏa mãn C. 3 2 z 4 2. D. 2 z 3 2. 2 2
z 2zz z
8 và z z 2 ?
Câu 112. Xét số phức z thỏa mãn 2 z 1 3 z i 2 2. A. 2. B. 1. C. 3. D. Vô số.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 21 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 1 3 1 3 Câu 120. Tìm các số thực x, y thỏa mãn A. z . B. z 2. C.
z 2. D. z . 2 2 2 2
x 32i y12i2 65i . 2 3i
Câu 113. Tìm môđun của số phức z biết
z 4 1i z 4 3z i .
A. x 6; y 5 .
B. x 12; y 10 . 1
C. x 13; y 2
. D. x 2; y 13 . A. z 1. B. z 4. C. z 2. D. z . 2
Câu 121. Tìm phần ảo b của số phức 2
z , biết i 1 1 z .
Câu 114. Cho các số phức z , z thỏa mãn z 2, z 2. 1 2 1 2 z
Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z , iz sao 1 2 1 1 cho 0
MON 45 với O là gốc tọa độ. Tính giá trị biểu thức A. b 1. B. b 1. C. b . D. b . 2 2 2 2
P z 4z . 1 2 1 1 1
Câu 122. Tìm môđun của số phức z , biết i. 2
A. P 4 5. B. P 5. C. P 5. D. P 4. z 2 2 Câu 115. Cho ba số phức
z , z , z thỏa mãn 1 2 1 2 3 A. 4 z . B. z . C. 4
z 2. D. z 2. 2 2
z z z z z z z z z 1 . Tính giá trị của 1 2 3 1 2 3 1 2 3 biểu thức 2017 2017 2017 P z z z . 1 2 3
Câu 123. Cho số phức z 2 2 3i . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai ? A. P 2017. B. P 6051. C. P 0. D. P 1. 1 1 3
Vấn đề 8. PHÉP CHIA SỐ PHỨC A. 3 z 64 . B. i . z 8 8 1
Câu 116. Tìm phần ảo b của số phức z . C. z i2 3 .
D. z 2 2 3i . 3 2i 2 2 2 3
Câu 124. Cho ba số phức z , z , z phân biệt thỏa mãn A. b . B. b . C. b
i. D. b . 1 2 3 13 13 13 13 1 1 1
z z z 3 và
. Biết z , z , z lần lượt 1 2 3 z z z 1 2 3 1 2 3 2
Câu 117. Tìm số phức liên hợp z của số phức z .
được biểu diễn bởi các điểm ,
A B, C trên mặt phẳng tọa độ. 1 i 3
Tính góc ACB ? 1 3 A. z i .
B. z 1 i 3 . A. 60 . B. 90 . C. 120. D. 150. 2 2
Câu 125. Cho số phức z thỏa 1 3 y
C. z 1i 3 . D. z i .
mãn z 1 và điểm A trong 2 2 M A
hình vẽ bên là điểm biểu diễn
1 của z . Biết rằng trong hình vẽ Câu 118. Kí hiệu ,
a b là phần thực và phần ảo của số phức
z bên, điểm biểu diễn của số phức x N
với z 5 3i . Tính tổng S a . b 1 w
là một trong bốn điểm O 1 z 1 1
M , N , P, Q . Khi đó điểm biểu A. S 2. B. S . C. S 2. D. S . 17 17
diễn của số phức w là: P Q 1
A. Điểm M . B. Điểm Q.
Câu 119. Tìm phần ảo b của số phức w
z z với 2i
C. Điểm N . D.Điểm P.
z 5 3i . A. b 0. B. b 6 . C. b 3
i . D. b 3 .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 22 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Câu 126. Cho số phức z
A. Góc phần tư thứ I.
B. Góc phần tư thứ II. y 1 thỏa mãn z và điểm 2 N M
C. Góc phần tư thứ III.
D. Góc phần tư thứ IV.
A trong hình vẽ bên là điểm
biểu diễn của z . Biết rằng 1i 1i
trong hình vẽ bên, điểm biểu Câu x
130. Cho số phức z . Mệnh đề nào sau đây A 1i 1 i 1 -2 O 2
diễn của số phức w là là đúng? z một trong bốn điểm A. z .
M , N , P, Q . Khi đó điểm P Q
biểu diễn của số phức w là:
B. z có số phức liên hợp khác 0 .
A. Điểm M . B.Điểm Q.
C. Môđun của z bằng 1 .
C. Điểm N . D.Điểm P.
D. z có phần thực và phần ảo đều khác 0 .
Câu 127. Cho số phức z thỏa
Câu 131. Cho số phức z thỏa mãn 1i z 1 5i 0 . Tính y Q 2
A z.z . mãn z và điểm A 2
trong hình vẽ bên là điểm biểu A. A 13 . B. A 13 . A
diễn của z . Biết rằng trong M x
hình vẽ bên, điểm biểu diễn O
C. A 1 13 .
D. A 1 13 . 1 N của số phức w là một iz Câu 132. Cho số phức z thỏa mãn
trong bốn điểm M , N , P, Q . 21 2i
2 iz
7 8i . Kí hiệu ,
a b lần lượt là phần P
Khi đó điểm biểu diễn của số 1 i phức w là
thực và phần ảo của số phức w z 1 i . Tính 2 2
P a b .
A. Điểm Q . B. Điểm M . A. P 13 . B. P 5 . C. P 25 . D. P 7 .
C. Điểm N . D. Điểm P .
Câu 133. Cho số phức z thỏa mãn i z i 2 1 2 5 1 . Tổng
Câu 128. Cho số phức z thỏa
bình phương phần thực và phần ảo của số phức w z iz y M
mãn z 1 và điểm A trong bằng:
hình vẽ bên là điểm biểu diễn A. 2. B. 4. C. 6. D. 8. N A
của z . Biết rằng trong hình vẽ
bên, điểm biểu diễn của số phức x 1i
Câu 134. Cho số phức z thỏa mãn
1i . Điểm M 1 O w
là một trong bốn điểm z 1 iz P
biểu diễn của số phức 3
w z 1 trên mặt phẳng tọa độ có tọa
M , N , P, Q . Khi đó điểm biểu độ là:
diễn của số phức w là Q
A. M 2;3 . B. M 2; 3 .
A. Điểm M . B. Điểm N .
C. M 3;2 .
D. M 3;2 .
C. Điểm P . D. Điểm Q .
z 2z 3i z
Câu 129. Gọi M là điểm biểu diễn số phức
, Câu 135. Cho số phức z thỏa mãn z 2 . Tính môđun 2 z 2 1 2i
trong đó z là số phức thỏa mãn 2 i z i 3 z . Gọi N của số phức 2 w z z .
là điểm trong mặt phẳng sao cho góc lượng giác Ox,ON 2 A. w 10 B. w 4
C. w 13 D. w 2 10 .
, trong đó Ox,OM là góc lượng giác tạo thành khi quay
tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong góc phần tư nào?
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 23 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Câu 136. Cho số phức z thỏa mãn 1 2i z 3 i . Tính Câu 143. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Có bao nhiêu số z 4 2
P z z 1 .
phức z thỏa mãn z 3i 13 và là số thuần ảo? z 2 A. P 1. B. P 13. C. P 3. D. P 10. A. Vô số. B. 2. C. 0. D. 1. z 1
Câu 137. Cho số phức z thỏa mãn
z 3i .Khẳng Câu 144. Cho số phức z thỏa mãn i 4 3 4 z 8 . Trên 1i 2 z
định nào sau đâu đúng?
mặt phẳng tọa độ, gọi d là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm
A. Số phức z có phần thực bằng 0.
biểu diễn số phức z . Mệnh đề nào sau đây đúng?
B. Số phức z có phần ảo bé hơn 0. 9 1 5 1 1 9 A. d . B.
d . C. 0 d . D. d . 4 4 4 4 2 4
C. Số phức z có phần thực lớn hơn phần ảo.
Câu 145. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho số phức z
D. Số phức z có phần thực bé hơn phần ảo.
thỏa mãn i 10 1 2 z
2 i . Mệnh đề nào dưới đây z
Câu 138. Cho số phức z a bi a; b thỏa mãn đúng? 2 z 2z i a 2iz
0 . Tính tỷ số P . z 1i b 3 A. z 2. B. z 2. 2 3 3 A. P 5
. B. P . C. P . D. P 5 . 5 5 1 1 3 C. z . D. z . 2 2 2
Câu 139. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực m để số phức
Vấn đề 9. LŨY THỪA ĐƠN VỊ ẢO
m 1 2m 1 i z
là số thực. Tính tổng T của các phần tử 1 mi
Câu 146. Mệnh đề nào sau đây là đúng? trong S. A. 2016 i i . B. 2017 i 1 .
A. T 15. B. T 3 . C. T 1
. D. T 2 3 . C. 2018 i 1 . D. 2019 i i .
Câu 140. Tìm các giá trị của tham số thực m để bình phương số m 9i 3 4i phức z là số thực.
Câu147. Điểm M biểu diễn số phức z có tọa độ là: 2017 1i i A. m 9 . B. m 9 . C. m 9
. D. m 3.
A. M 3; 4. B. M 3;4. C. M 4;
3 . D. M 4;3. i m
Câu 141. Cho số phức z
trong đó m là tham Câu 148. Thu gọn biểu thức P
i i 2017 1 5 1 3 ta được
mm i, 1 2
số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao A. 2017 P 2 . B. 2017 P 2 i . 1 cho z i
. Hỏi tập S có tất cả bao nhiêu phần tử 2 C. 2017 P 2 i . D. 2017 P 2 i. nguyên?
Câu 149. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 1. B. 5. C. 2. D. 3. A. i4 1 4 . B. i 4 1 4i .
Câu 142. Hỏi có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 1 và z 1 C. i8 1 16 . D. i8 1 16 . là số thuần ảo? z 1
Câu 150. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 1. B. 4. C. 2. D. Vô số.
A. i 2018 2009 1 2 i .
B. i 2018 2009 1 2 i .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 24 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2017
C. i2018 2009 1 2 .
D. i 2018 2009 1 2 . 1i
Câu 157. Cho số phức z . Tính 7 15
P z.z .z . 1i
Câu 151. Tìm số phức liên hợp z của số phức z i 15 1 .
A. P i
. B. P 1.
C. P i . D. P 1 . A. z 128 128i .
B. z i . 5 1i Câu 158. Cho số phức z . Tính
C. z 128 128i .
D. z 128 128i . 1i 5 6 7 8
S z z z z .
Câu 152. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z i7 2 2 . A. S 0 . B. S 1 . C. S 3 . D. S 4 .
A. Phần thực bằng 14 và phần ảo bằng 14 . 16 8 1i 1i
Câu 159. Tìm phần ảo b của số phức z .
B. Phần thực bằng 7 2 và phần ảo bằng 7 2 . 1 i 1i
C. Phần thực bằng 10 2 và phần ảo bằng 10 2 . A. b 1
. B. b 2 . C. b 1 . D. b 0 .
D. Phần thực bằng 10 2 và phần ảo bằng 10 2 . 8 2i
Câu 160. Cho số phức z thỏa mãn i z . Gọi , a b lần 1 i Câu 153. Tìm phần ảo b của số phức
lượt là phần thực và phần ảo của số phức w 2 iz . Tính
w i i2 i3 i2018 1 1 1 1 ... 1 . S a . b A. 1009 b 2 1 . B. 2019 b 2 1 .
A. S 16 . B. S 16 . C. S 32 . D. S 48 . C. 1009 b 2 . D. 1009 b 2 1 .
Câu 161. Có bao nhiêu số nguyên n sao cho 4 n i là một số
Câu 154. Thu gọn số phức 5 6 7 18
w i i i ... i có dạng nguyên?
a bi . Tính tổng S a . b A. 2. B. 3. C. 4. D. Vô số. A. S 0. B. 10 S 2 1.
Câu 162. Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương thuộc đoạn C. S 1 . D. 10 S 2 . m 2 6i 1;50 để z là số thuần ảo? 3i 1i
Câu 155. Cho số phức z
. Tìm phần thực và phần ảo của 1 i A. 24. B. 25. C. 26. D. 50 . số phức 2017 z . Câu 163. Cho số phức z thỏa mãn
A. Phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 0 . 2z
1 2 i 3 i z 2i . Tìm phần thực a của số phức 9 z .
B. Phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 1 . A. a 1. B. a 16 . C. a 1 .
D. a 16 .
C. Phần thực bằng 0 và phần ảo bằng i .
D. Phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 1 .
Câu 164. Cho số phức z thỏa mãn z i i i 2015 2 3 1 1 .
Tìm phần ảo b của số phức w z 2 3i . 2024 i
Câu 156. Tính giá trị của biểu thức P . 1i A. 2015 b 2 . B. 1007 b 2 . C. b 0 . D. 1007 b 2 . 1 1
Câu 165. Cho số phức tùy ý z 1 . A. P . B. P . 2024 2 1012 2 2017 2 i i Xét các số phức 2
z z và 1 1 z 1 C. P . D. P . 2024 2 1012 2 3 z z
z z2 . Khi đó: z 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 25 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
A. là số thực, là số thực. B. là số thực, là số ảo.
Câu 174. Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương 1 trình 2
z 4z 20 0 . Tính giá trị biểu thức 3
A z 16i.
C. là số ảo, là số ảo.
D. là số ảo, là số thực. 1 A. A 0 . B. A 88 .
C. A 32 . D. A 32 .
Vấn đề 10. PHƯƠNG VỚI HỆ SỐ THỰC
Câu 175. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Phương trình nào
Câu 166. Giải phương trình 2
z z 1 0 trên tập số phức.
dưới đây nhận hai số phức 1 2i và 1 2i là nghiệm? 3 1 A. z i .
B. z 3 i . A. 2
z 2z 3 0 . B. 2
z 2z 3 0 . 2 2 C. 2
z 2z 3 0 . D. 2
z 2z 3 0 . 1 3
C. z 1 3i . D. z i . 2 2
Câu 176. Biết hai số phức có tổng bằng 3 và tích bằng 4 . Tổng
môđun của hai số phức đó bằng:
Câu 167. Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 1 2 2
z 4z 5 0 . Tìm phần thực a của số phức 2 2
w z z . A. 7 . B. 4 . C. 10 . D. 12 . 1 2 A. a 0 . B. a 8 . C. a 16 . D. a 6 .
Câu 177. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Kí hiệu z , z là 1 2
hai nghiệm phức của phương trình 2
z 4 0 . Gọi M , N lần
Câu 168. Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 1 2
lượt là điểm biểu diển của z , z trên mặt phẳng tọa độ. Tính 1 2 2
z z 1 0 . Tính giá trị biểu thức P z z . 1 2
T OM ON với O là gốc tọa độ. A. P 2. B. P 1. C. P 3. D. P 4 .
A. T 2 . B. T 2 . C. T 8 . D. 4 .
Câu 169. Gọi z và z là hai nghiệm phức của phương trình Câu 178. Kí hiệu z là nghiệm phức có phần ảo dương của 1 2 0 2 2 2
z 2z 10 0 . Tính giá trị biểu thức P z z . phương trình 2
4 z 16z 17 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm 1 2
nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w iz ? 0
A. P 2 10 . B. P 20 . 1 1
A. M ;2 . B. M ;2 . 1 2 C. P 40 . D. P 10 . 2 2
Câu 170. Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 1 1 1 2 C. M ;1 .
D. M ;1 . 3 4 2 4 4
z 7z 15 0 . Tính giá trị biểu thức P z z z z . 1 2 1 2
Câu 179. Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình
A. P 22. B. P 15. C. P 7. D. P 8. 1 2 2
2z 3z 4 0. Hỏi điểm nào trong các điểm M , N , P, Q
Câu 171. Kí hiệu z , z là các nghiệm phức của phương trình 1 2 1 1
dưới đây là điểm biểu diển của số phức w iz z ? 1 2 2
2z 4 z 3 0. Tính giá trị biểu thức P z z i z z . z z 1 2 1 2 1 2 5 7 3 3 3 3 M 2; . N ;2. P ;2. Q ;2 . A. P . B. P . C. P 1. D. P 3. A. B. C. D. 2 2 2 2 4 4
Câu 172. Cho z , z là hai số phức thỏa mãn 2
z 4z 5 0 . Câu 180. Cho hai số thực b, c thỏa mãn c 0 và 2 b c 0. 1 2 A B 2017 2017 Kí hiệu
, là hai điểm của mặt phẳng tọa độ biểu diễn hai
Tính giá trị biểu thức P z 1 z 1 . 1 2
nghiệm phức của phương trình 2
z 2bz c 0. Tìm điều kiện O A. P 0 . B. 1008 P 2 . C. 1009 P 2 . D. P 2 .
của b và c để tam giác OAB là tam giác vuông tại . A. 2
c 2b . B. 2 b c.
C. b c. D. 2 b 2c.
Câu 173. Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 1 2 2
z 2z 2 0 . Tính giá trị biểu thức 2016 2016 P z z . 1 2
Câu 181. Tìm tham số thực
m để phương trình 2
z 2 mz 2 0 nhận số phức z 1i làm một nghiệm. A. 1009 P 2 . B. 1008 P 2 . C. P 2 . D. P 0 .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 26 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 A. m 6. B. m 4. C. m 2. D. m 2. 2
Câu 188. Cho phương trình 2
z z 2 4
3 z 4z 40 0. Gọi
z , z , z và z là bốn nghiệm phức của phương trình đã cho.
Câu 182. Biết phương trình 2
z mz n 0 (với , m n là các 1 2 3 4 2 2 2 2
tham số thực) có một nghiệm là z 1 i . Tính môđun của số Tính P z z z z . 1 2 3 4
phức w m ni .
A. P 42. B. P 34. C. P 16. D. P 24. A. 8 . B. 4 . C. 2 2 . D. 16 .
Câu 189. Gọi z , z , z , z là các nghiệm phức của phương 1 2 3 4
Câu 183. Biết phương trình 2
z az b 0 (với , a b là tham 4 z 1
số thực) có một nghiệm phức là z 1 2i . Tính tổng trình 1 . Tính giá trị của biểu thức 2z i S a . b P 2 z 1 2 z 1 2 z 1 2 z 1 . 1 2 3 4 A. S 0 . B. S 4 . C. S 3
. D. S 3 . 1 15 17 A. P . B. P . C. P . D. P 425.
Câu 184. Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết rằng w i 2 9 9
và 2w 1 là hai nghiệm của phương trình 2
z az b 0.
Tính tổng S a . b
Câu 190. Cho phương trình 4 2
4 z mz 4 0 trong tập số 1 5 1 5
phức và m là tham số thực. Gọi z , z , z , z là bốn nghiệm A. S . B. S .
C. S .
D. S . 1 2 3 4 3 9 3 9
của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của m để
2z 4 2z 4 2z 4 2z 4 324 . 1 2 3 4
Câu 185. Cho số phức w, biết rằng z w 2i và 1
z 2w 3 là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ 2
A. m 1 hoặc m 35 . B. m 1 hoặc m 35 .
số thực. Tính T z z . 1 2 C. m 1 hoặc m 35 .
D. m 1 hoặc m 35 . 2 97
A. T 2 13. B. T .
Vấn đề 11. TẬP HỢP CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ 3 PHỨC 2 85
C. T 4 13. D. T .
Câu 191. Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số 3
phức z có phần thực bằng 2 là đường thẳng có phương trình:
Câu 186. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Kí hiệu z , z , z và 1 2 3
A. x 2 . B. x 2 . C. x 1 . D. x 1 .
z là bốn nghiệm phức của phương trình 4 2
z z 12 0. 4
Câu 192. Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn số
Tính tổng T z z z z . 1 2 3 4
phức z thỏa mãn điều kiện z z2 2 0 là:
A. T 4.
B. T 2 3. A. Trục hoành.
C. T 4 2 3.
D. T 2 2 3.
B. Trục hoành và trục tung.
Câu 187. Kí hiệu z , z , z và z là bốn nghiệm phức của 1 2 3 4
C. Đường phân giác góc phần tư thứ nhất và thứ ba. phương trình 4 2
6x 19x 15 0. Tính tổng
D. Các đường phân giác của các gốc tọa độ. 1 1 1 1 T . z z z z 1 2 3 4
Câu 193. Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm M x; y 1
biểu diễn của số phức z x yi x; y thỏa mãn A. T i. B. T 2 2. 2
z 1 3i z 2 i là: C. T 0. D. T 2.
A. Đường tròn tâm O bán kính R 1.
B. Đường tròn đường kính AB với A1;3 và B 2;1 .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 27 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A1;3 và Câu 197. Số phức z thỏa mãn điều kiện nào sau đây thì có tập
hợp các điểm biểu diễn của nó trên mặt phẳng tọa độ là đường B 2;1 . tròn tâm I 0;
1 , bán kính R 2 ?
D. Đường thẳng vuông góc với đoạn AB tại A với A1; 3 , B 2; 1 z i z . A. 2. B. 1 2.
C. z 1 2.
D. z i 2.
Câu 194. Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm M x; y z i
biểu diễn của số phức z x yi x; y thỏa mãn
là Câu 198. Xét các số phức z x yi x; y có tập hợp z i số thực là:
điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đường tròn có phương 2 2
trình C : x
1 y 2 4 . Tìm tập hợp các điểm biểu
A. Đường tròn C 2 2
: x y 1 0 nhưng bỏ hai điểm 0;
1 diễn của số phức w z z 2i . và 0; 1 . A. Đường thẳng. B. Đoạn thẳng.
B. Parabol P 2 : y x . C. Điểm. D. Đường tròn. C. Trục hoành.
Câu 199. Gọi z và z là các nghiệm của phương trình 1 2
D. Trục tung bỏ điểm biểu diễn số phức z i . 2
z 4 z 9 0 . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn
của z , z và số phức w x yi x; y trên mặt phẳng 1 2
Câu 195. Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn số tọa độ. Khi đó tập hợp điểm P trên mặt phẳng phức để tam giác 2
phức z thỏa mãn điều kiện z 3z 3z 0 là:
MNP vuông tại P là:
A. Đường tròn có tâm I 3
;0 , bán kính R 3 .
A. Đường thẳng có phương trình 2 2
x 2x y 1 0
B. Đường tròn có tâm I 3;0 , bán kính R 3 .
B. Là đường tròn có phương trình x 2 2 2 y 5.
C. Đường tròn có tâm I 3
;0 , bán kính R 9 .
C. Là đường tròn có phương trình x 2 2 2 y 5 nhưng
không chứa M , N .
D. Đường tròn có tâm I 3;0 , bán kính R 0 .
D. Là đường tròn có phương trình 2 2
x 2x y 1 0
Câu 196. Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn số nhưng không chứa M, N .
phức z thỏa mãn điều kiện 2 zz i là số thuần ảo là:
Câu 200. Trong mặt phẳng tọa độ, cho số phức z thỏa mãn điều 1 5
kiện z 3 4i 2 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức
A. Đường tròn có tâm I 1 ; R . 2 , bán kính 2
w 2z 1i là hình tròn có diện tích S bằng:
B. Đường thẳng nối hai điểm A2;0 và B 0 ;1 . A. S 19 .
B. S 12 .
C. S 16 .
D. S 25 . 1 5
Câu 201. Cho z, w là các số phức thỏa mãn z 1, z w 1 .
C. Đường tròn có tâm I 1 ; R nhưng bỏ đi 2 , bán kính 2
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w . A2;0 hai điểm .
A. Hình tròn C 2 2 : x y 4. B0; 1
B. Đường tròn C 2 2
: x y 4.
D. Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A2;0 và B 0 ;1 .
C. Hình tròn C x 2 2 : 1 y 4.
D. Đường tròn C x 2 2 : 1 y 4.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 28 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Câu 202. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn Câu 208. Tính tích môđun của tất cả các số phức z thỏa mãn
z i z i 4 là:
2z 1 z 1 i , đồng thời điểm biểu diễn z trên mặt phẳng
tọa độ thuộc đường tròn tâm I 1
;1 , bán kính R 5. 2 2 x y 2 2 x y
A. Elip E :
1. B. Elip E: 1. 4 3 3 4 A. 5. B. 3. C. 3 5. D. 1. 2 2 x y
C. Elip E : 4.
Câu 209. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 3 6i 5 4 3
và 1 2i z 112i 15 ?
D. Hình tròn tâm I 0; 1 , bkính R 4. A. 0 . B. 1. C. 2. D. Vô số.
Câu 203. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho các số phức z
thỏa mãn z 4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số Câu 210. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Gọi S là tập hợp
tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức
phức w 3 4i z i là một đường tròn. Tính bán kính r của z z z z i m đường tròn đó. thỏa mãn điều kiện . 1 và 3 . Tìm số phần tử của S . A. r 4 . B. r 5 . C. r 20 . D. r 22 . A. 2. B. 4. C. 1. D. 3.
Câu 204. Cho các số phức z thỏa mãn z 1 2 . Biết rằng tập
Vấn đề 12. BÀI TOÁN MIN - MAX TRONG SỐ
hợp các điểm biểu diễn các số phức w 1 3iz 2 là một PHỨC
đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
Câu 211. Biết số phức z x yi x; y thỏa mãn điều A. r 2. B. r 4. C. r 8. D. r 16.
kiện z 2 4i z 2i đồng thời có môđun nhỏ nhất. Tính
Câu 205. Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn giá trị biểu thức 2 2
M x y .
iz 1 2i 4 là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn đó. A. M 8 . B. M 10 . C. M 16 . D. M 26 . A. I 2 ;1 .
B. I 2;
1 . C. I 1;2. D. I 1
;2. Câu 212. Cho các số phức z, w thỏa mãn z 22i z 4i
và w iz 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P w là:
Câu 206. Cho các số phức z thỏa mãn z 1 3. Biết rằng tập
hợp các điểm biểu diễn các số phức w với 3 2i w iz 2 là 2 A. P . B. P 2 2. min min
một đường tròn. Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của đường 2 tròn đó. 3 2 C. P 2. D. P . 8 1 3 min min 2 A. I ; , r . B. I 2 ; 3 , r 13. 13 13 13
Câu 213. Cho các số phức z 1 3i , z 53i . Tìm điểm 1 2 4 7 3 2 1 C. I ; , r .
M x; y biểu diễn số phức z , biết rằng trong mặt phẳng tọa độ
D. I ; , r 3. 3 13 13 13 3 2
điểm M nằm trên đường thẳng d : x 2 y 1 0 và môđun số
Câu 207. Cho các số phức z thỏa mãn 2
z m 2m 5 , với phức w 3z z
2z đạt giá trị nhỏ nhất. 3 2 1
m là tham số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số 3 4 1 3 3 1
phức w 3 4i z 2i là một đường tròn. Bán kính nhỏ nhất A. M ; . B. C. M ; . D. M ; . 5 5 5 5 5 5
của đường tròn đó bằng:
Câu 214. Cho số phức z thỏa mãn z 1i z 3i . Tính A. 4 . B. 5 . C. 20 . D. 22 . 1 môđun lớn nhất w
của số phức w . max z
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 29 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 7 5 2 5
Câu 220. Xét các số phức z , z thỏa mãn điều kiện 1 2 A. w . B. w . max 10 max 7
z 2 4i 5 . Gọi z , z lần lượt là các số phức có môđun 1 2
nhỏ nhất và môđun lớn nhất. Tính w z z . 4 5 9 5 1 2 C. w . D. w . max 7 max 10
A. w 4 8i.
B. w 1 2i.
Câu 215. Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm C. w 36i.
D. w 4 8i.
biểu diễn là M , M '. Số phức z 4 3i và số phức liên hợp
của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N , N '. Biết rằng Câu 221. Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện
MM ' N ' N là một hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1i z 17i 2 . Gọi ,
m M lần lượt là giá trị nhỏ nhất
P z 4i 5 .
và giá trị lớn nhất của biểu thức P z . Tính S M . m 5 2 A. P . B. P . A. S 10. B. S 2. C. S 24. D. S 4. min min 34 5
Câu 222. Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện 1 4 2 3i C. P . D. P . min min z 1 1 . Gọi ,
m M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá 2 13 3 2i
trị lớn nhất của biểu thức P z . Tính S 2020 M . m Câu 216. Cho số phức z thỏa mãn 2
z 2z 5 z 1 2iz 3i
1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A. S 2022. B. S 2016. C. S 2018. D. S 2014.
P w , với w z 2 2i .
Câu 223. Xét các số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 . Giá trị 3 1
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 i lần lượt A. P . B. P 2. C. P 1. D. P . min 2 min min min 2 là:
Câu 217. Cho hai số phức z , z thỏa mãn z 2i 3 và 1 2 1
A. 13 2 và 13 2 .
B. 13 1 và 13 1 .
z 2 2i z 2 4i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 C. 6 và 4 .
D. 13 4 và 13 4 .
P z z bằng: 1 2
Câu 224. Cho số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và A. P 1. B. P 2 . C. P 3. D. P 4. z w
là số thực. Tìm giá trị lớn nhất P của biểu thức 2 2 z max 2 2
Câu 218. Cho số phức z thỏa mãn z 2 z i 1 và số 1 1 1
P z 1i .
phức z thỏa mãn z 4 i 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2
P z z . A. P 2. B. P 2 2. 1 2 max max 2 5 C. P 2. D. P 8. max max A. P . B. P 5. min 5 min
Câu 225. Xét các số phức z thỏa mãn z 2 . Biểu thức 3 5 C. P 2 5. D. P . z i min min P
đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất lần lượt tại z 5 z 1
và z . Tìm phần ảo a của số phức w z z . 2 1 2
Câu 219. Biết số phức z x yi x; y thỏa mãn đồng thời các điều kiện
z 3 4i 5 và biểu thức A. a 4. B. a 4. C. a 0. D. a 1. 2 2
P z 2 z i đạt giá trị lớn nhất. Tính z .
Câu 226. Cho các số phức z và z thỏa mãn z 4 1 và 1 2 1
iz 2 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức 2 min
A. z 33 . B. z 50 .
C. z 10 . D. z 5 2 .
P z 2z . 1 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 30 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 A. P
2 5 2. B. P 4 2 3.
Câu 233. Xét số phức z thỏa mãn z 1 . Gọi M , m lần lượt min min
là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức C. P
4 2. D. P 4 2 3. 3 min min
P z 3z z z z . Tính môđun của w M mi.
Câu 227. Gọi T là tập hợp các số phức z thỏa mãn z i 3 3 5 3 17 A. w . B. w .
và z 1 5 . Gọi z , z T lần lượt là các số phức có mođun 1 2 4 4
nhỏ nhất và lớn nhất. Tìm số phức w z 2z . 1 2 15 3 13 C. w . D. w .
A. w 12 2i . B. w 2 12i . 4 4
C. w 6 4i .
D. w 12 4i .
Câu 234. Cho các số phức z thỏa mãn z 1 . Gọi M , m lần
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 228. Cho số phức z thỏa mãn z 4 z 4 10 . Giá trị P z 1 2 z 1 . Khi đó:
lớn nhất và nhỏ nhất của z lần lượt là:
A. M 3 5, m 2.
B. M 3 5, m 4. A. 10 và 4. B. 5 và 4. C. 4 và 3. D. 5 và 3.
C. M 2 5, m 2.
D. M 2 10, m 2. 4i
Câu 229. Cho số phức z thỏa mãn z
2 . Gọi M và m z
Câu 235. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2. Tìm
lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của |z |. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T z i z 2i . S M . m A. T 8 2. B. T 4.
A. S 2 5. B. S 2. C. S 5. D. S 13 . max max
Câu 230. Cho số phức z thỏa mãn z 1 .Tìm giá trị lớn nhất C. T 4 2. D. T 8. max max
của T z 1 2 z 1 .
Câu 236. Xét số phức z , z thỏa mãn z z 1 và 1 2 1 2 A. T 2 5. B. T 2 10. z z
3. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị 1 2 max max M
nhỏ nhất của biểu thức P z z . Tính . C. T 3 5. D. T 3 2. 1 2 m max max
Câu 231. Xét số phức z thỏa mãn z 1 . Gọi M , m lần lượt M M M M A. 3. B. 2. C. 5. D. 2. m m m m
là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
P z 1 1 z . Tính S M . m
Câu 237. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét các số phức z
thỏa mãn z 2 i z 4 7i 6 2. Gọi ,
m M lần lượt là
A. S 2 2.
B. S 2 2.
giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i . Tính
C. S 2 2. D. S 2.
P m M .
Câu 232. Xét số phức z thỏa mãn z 1 . Gọi M , m lần lượt 5 2 2 73
A. P 13 73 . B. P . 2
là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 2
P z z 1 z 1 . Tính P . 5 2 73 2 m 1
C. P 5 2 2 73 . D. P . 2 5 5 3 13 A. P . B. P . C. P . D. P . Câu 238. Xét số phức z thỏa mãn 4 26 4 16
z 3 2i z 3 i 3 5. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 2 z 13i .
A. M 17 5, m 3 2.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 31 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
B. M 26 2 5, m 3 2. A. M 4. B. M 2.
C. M 11. D. M 5.
C. M 26 2 5, m 2.
Câu 245. Cho số phức z, w khác 0 và thỏa mãn z
z w 2 z w . Tìm phần thực a của số phức u .
D. M 17 5, m 2. w Câu 239. Xét số phức z thỏa mãn 1 1 1
A. a . B. a . C. a 1. D. a .
z 2 3i z 6 i 2 17. Gọi M , m lần lượt là giá trị 8 4 8 lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức Câu 246. Cho hai số phức z , z thỏa
P z 1 2i z 2 i . 1 2 1 1 2
z 0, z 0, z z 0 và . Tính giá trị 1 2 1 2 z z z z
A. M 3 2, m 0.
B. M 3 2, m 2. 1 2 1 2 z biểu thức 1 P .
C. M 3 2, m 5 2 2 5. z2
D. M 2, m 5 2 2 5. 2 3 2
A. P 2 3. B. P . C. P . D. P . 3 2 2 Câu 240. Xét số phức z thỏa mãn
z 2 2i z 13i 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của biển Câu 247. Cho hai số phức z , z thỏa mãn điều kiện 1 2
thức P z 1 i .
z z z z 1. Tính giá trị của biểu thức 1 2 1 2 2 2 z z 9 1 2 P . A. P . B. P 3. min min z z 34 2 1
A. P 1 i. B. P 1
i. C. P 1i. D. P 1. C. P 13. D. P 4. min min
Câu 248. Cho số phức z 0 sao cho z không phải là số thực
Vấn đề 13. TỔNG HỢP z và w
là số thực. Tính giá trị của biểu thức 2 1 z
Câu 241. Nếu số phức z thỏa mãn z 1 và z 1 thì phần z 1 P . thực của bằng: 2 1 z 1 z 1 1 1 1 1 A. . B. . C. 2. D. 1. A. P . B. P . C. P 2. D. P . 2 2 5 2 3
Câu 242. Cho số phức z thỏa mãn z 1 và z 1 . Xác định Câu 249. Cho các số phức
z , z , z thỏa mãn 1 2 3 z 1
z z z 1 và z z z a . Tính giá trị biểu thức 1 2 3 1 2 3
phần thực a của số phức w . z 1
P z z z z z z theo a . 1 2 2 3 3 1 A. a 0. B. a 1. C. a 1. D. a 2. A. 2
P 3a . B. P 3a .
C. P a . D. 2 P a .
Câu 243. Cho hai số phức z , z thỏa mãn z z 1 và 1 2 1 2
Câu 250. Cho ba số phức z, z , z thỏa mãn điều kiện 2 3 z z
1 z z 0 . Tìm phần ảo a của số phức 1 2 w .
z z z 1 và z z z 0 . Tính giá trị biểu thức 1 2 1 2 3 1 2 3 1 z z 1 2 2 2 2
A z z z . 1 2 3 A. a 0. B. a 1. C. a 1. D. a 2. A. A 1 . B. A 0 . C. A 1
. D. A 2 .
Câu 244. Cho hai số phức z , z thỏa mãn z 2, z 1 và 1 2 1 2 1
2z 3z 4 . Tính giá trị của biểu thức M z 2z .
Câu 251. Cho số phức z thỏa mãn z z 1 . Tính 1 2 1 2 z
môđun số phức w z 1 .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 32 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
A. w 5. B. w 5. C. w 1. D. w 3.
Câu 254. Cho hai số phức z , z thỏa mãn z 3 , z 2 1 2 1 2
được biểu diễn trong mặt phẳng phức lần lượt là các điểm M , N .
Câu 252. Cho hai số phức z , z thỏa mãn z z 1 và 1 2 1 2
Biết góc tạo bởi giữa hai vectơ OM và ON bằng 0 30 . Tính giá trị
3z 4z 1 . Tính môđun của số phức z 3z 4z . 1 2 1 2 z z của biểu thức 1 2 A . z z 1 2 A. z 5 2. B. z 7. 7 3 1 C. z 4 3. D. z 2 3. A. A 1.
B. A 13. C. A . D. A . 2 13
Câu 253. Cho số phức z có z 2018 và w là số phức thỏa Câu 255. Cho số phức z thỏa mãn z 5 . Kí hiệu M , m lần 1 1 1
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức mãn
. Tính môđun của số phức w . z w z w 3 5 1
2i z z . Tính P M m . A. w 1. B. w 2017. A. P 250.
B. P 250 137. C. w 2018. D. w 2019. C. P 6250. D. P 625.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 33 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 SỐ PHỨC
Dạng 1. Các phép tính về số phức và các bài toán định tính.
Ví dụ 1.Xác định phần thực và phần ảo của các số phức : 3 4i
1. z i 2 i3 i 2. z 4 i 2
3. 1 i 1 i z 8 i 1 2i z Lời giải.
1. 2
2 z i 2 i 3 i 2i i 3 i 2i 1 3 i 7i 2i 3 7i 2 1 3 1 7i
Vậy z có phần thực a 1 , phần ảo b 7 . 3 4i 3 4i4 i 2 12 13i 4i 2. z 4 i 4 i4 i 2 16 i 12 13i 4 1 16 13i 16 13 i 16 1 17 17 17 16 13
Vậy z có phần thực a , phần ảo b . 17 17 2 2
3. 1 i 2i 1 i 2 i 2i2 i 2 4i 8 i
Giả thiết 2 4i z 8 i 1 2i z 1 2i z 8 i z 2 3i 1 2i
Vậy z có phần thực là a 2 và phần ảo b 3 . Ví dụ 2.
1. Tìm môđun của số phức z, biết rằng: 1 2i z 3 8i
2. Tìm các số thực b, c để phương trình 2
z bz c 0 nhận số phức z 1 i làm 1 nghiệm. Lời giải. 3 8i 3 8i1 2i
1. 1 2i z 3 8i z 1 2i 1 2i1 2i 2 3 6i 8i 16i 1 9 2i 1 9 2 z z i 2 2 1 2 5 5 5 2 2 19 2 19 2 73 365 Do đó: z i 5 5 5 5 5 5
2. z 1 i là 1 nghiệm của phương trình 2 z bz c 0 nên: 2 1 i
b1 i c 0 b c b 2i 0 b c 0 b 2
Theo điều kiện bằng nhau của hai số phức thì: b 2 0 c 2
Vậy, các số thực cần tìm là b 2 và c 2 . Ví dụ 3. 3 2
Tìm số phức z thỏa mãn:
3 2 2 z z . z z 1 4i z zz z
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 1 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Lời giải 2 2 2 Đẳng thức cho : 2 2 2 2 z z z z.z z 1 4i z z.z z 2 2 z z 4abi , 2 2 2 2 z z.z z 3a b Khi đó: 2 2 2 2 2 3a b 4abi 1 4i 3a b z 1 i,z 1 i
Vậy, số phức cần tìm là: z 1 i,z 1 i Ví dụ 4. 2
1. Tìm phần ảo của số phức z , biết : z 2 i 1 2i . 3 1 i 3
2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . 1 i Lời giải
1. Ta có: 2 z 1 2 2i 1
2i 1 2i 2 2i 4i 5 2i z 5 2i .
Vậy phần ảo của z bằng 2 . 2 3 1 3i 3 9i 3 3i 4 2. z 2 2i 2 3 1 i 1 3i 3i i
Vậy phần thực của z là 2 và phần ảo của z là 2 . Ví dụ 5.
1. Tìm phần ảo của số phức z , biết 2 z 3z 1 2i
2. Tìm phần thực của số phức z , biết 2 z 1 i z 1 2i Lời giải.
1. Đặt z a bi z a bi , a,b 2 2
Ta có: z 3z 1 2i a bi 3a bi 1 2i 4a 2bi 1 4i 4 3 4a 3 a 4a 2bi 3 4i 4 2 b 4 b 2 3 Vậy, z 2i , phần ảo bằng 2 4
2. z a bi z a bi . Từ giả thiết, suy ra 2 a bi 1 i a bi 1 2i
a bi a ai bi b 1 4i 4 b 2b ai 3 4i b 3 b 3 2b a 4 a 10
Vậy, z 10 3i , phần thực bằng 10
Ví dụ 6. Tìm số phức z thỏa mãn: 9 z 2i
1. z 3i 1 iz và z
là số thuần ảo. 2. z z 2 2i và là số ảo. z z 2 Lời giải.
1. Đặt z a bi
a, b . Khi đó z 3i 1 iz tương đương với
a b 3i 1 ia bi a b 3i 1 b ai
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 2 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2 2 2 2
a b 3 1 b a b 2 . 9 9 3 a 5a 2 2a 26i 9 a 2i Khi đó z a 2i a 2i
và là số thuần ảo khi và chỉ khi 3 a 5a 0 2 2 z a 2i a 4 a 4 hay a 0, a 5 .
Vậy các số phức cần tìm là z 2i, z 5 2i, z 5 2i .
2. Đặt z a bi
a, b . Khi đó z z 2 2i tương đương với 2 2
a bi a 2 b 2i tức 2 2
a b a 2 b 2 b 2 a 1 z 2i a b 2i
a b 2i a 2 bi Ta có: z 2 a 2 bi a 22 2 b
a a 2 bb 2 a 2b 2 ab
a a 2 bb 2
i là số ảo khi và chỉ khi 0 2 a 22 b a 22 2 2 b a 22 2 b
Từ 1 và 2 suy ra a 0, b 2 tức ta tìm được z 2i z 1 z 3i
Ví dụ 7.Tìm số phức z thỏa mãn: 1 và 1 z i z i Lời giải. Cách 1:
Giả sử z a bi , a,b .
z 1 1 z 1 z i a 1 bi a b 1i hay z i 2 2 2 2 a 1 b a b 1 tức a b z 3i Lại có:
1 z 3i z i a b 3i a b 1i hay z i 2 2 2 2 a b 3 a b 1 b 1 a 1
Vậy, số phức cần tìm là z 1 i Cách 2: z z
Với 2 số phức z và z' z' 0 , ta luôn có: z' z' z 1 Ta có:
1 z 1 z i . Gọi A và B là 2 điểm biểu diễn các số 1 và i tức là A 1; 0 , B0; 1 . Với giả z i
thiết: z 1 z i MA MB , ở đây M M z là điểm biểu diễn số phức z . Như vậy, M nằm trên đường
trung trực của AB M nằm trên đường thẳng y x a z 3i Lại có:
1 z 3i z i MA MB tức là M nằm trên trung trực của AB , nghĩa là điểm M nằm z i
trên đường thẳng y 1 b .
Từ a và b suy ra M nằm trên đường thẳng y x và y 1 tức M1; 1 z 1 i . 2012 2012
Ví dụ 8. Cho số phức z x yi; x, y thỏa mãn 3
z 18 26i . Tính T z 2 4 z Lời giải. 3 2 3 3 2 2 3 x 3xy 18 z x 3xy 3x y y i 18 26i 2 3 3x y y 26
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 3 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Do x y 0 không là nghiệm hệ, đặt y tx 3 x 2 1 3t 18 Khi đó ta có: 3t 1 2 3t 12t 13 0 3 x 3 3t t 26 Khi 1 t
thì x 3, y 1 , thỏa mãn 3 Khi 2
3t 12t 13 0 thì x, y . Vậy số phức cần tìm là: z 3 i 2012 2012 2012 2012 Vậy, 1007 T z 2 4 z 1 i 1 i 2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. 1. Cho 2 số phức z z 1 z z 1 z , z 2 thỏa mãn 1 2 , 1 z z2 3 . Tính 1 2
2. Tìm các số thực x, y sao cho :
a. z z' , biết rằng: z 2x 3 3y 1 i , z' 2y 1 3x 7i . 3
b. x 2y4 i 3x yx 2i 47 20i . x yi 1 3 c. i . 3 yi 2 2 3 xyi x y 2i d. và là ( phức ) liên hợp. 1 2i3 1 2i3 3. 0 0
Cho z cos18 cos72 i . Tính z .
4. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức : 33 1 i
10 1 z 1 i 2 3i 2 3i 1 i i
5. Thực hiện các phép tính : 21
9 10 A 1 i 1 i 8 13 1 1 i B 1 i i 13 5 6 7 18 i 1 i
M i i i ... i
2 3 2010 N 1 1 i 1 i 1 i ... 1 i
6. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức :
a. z 2 3i3 2i 2 2
c. z 1 i 1 i 1 2i b. z 3 2 i 1 i 3 2i d. 4) z 4 3i 7. Cho 2
z 2x 3x 1 x 1y 3i với x,y là các số thực Tìm x, y sao cho: a. z là số thực.
b. z là thuần ảo và z 4 c. z 6 5i
8. Thực hiện các phép tính : 2009 2 i3 2 i3 1 3 3i A B 2 i3 2 i3 2 3i 2 2009 2 3 2010 C i i ... i
D 1 i 1 i ... 1 i
9. Cho số phức z (1 2x)(1 x) (2 x)(2y 1)i
Trong đó x, y là các số thực. Tìm x, y sao cho a. z là số thực
b. z là số thuần ảo và z 1 c. z 2 0 15i .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 4 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
10. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: 2 (1 2i) a. z b. 3 3
z (2 i) (3 2i) 3 i (3 i)(1 2i) c. z d. 2 4 2i z (1 3i)(2 i) 2 (3 2i) 1 3i
11. Tìm modun của số phức z biết: 2 3 2i (2 3i)
a. (1 2z)(3 4i) 29 22i b. z 2i 3 2i z c. (1 2i)(2 i)
d. (2 i)(3z 1) (z 2)(4 5i) . 2 (2 3i) Bài 2
1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức : 2 1 i
2 iz 8 i 1 2iz Đề thi Cao đẳng năm 2009. z z 2. Chứng minh nếu 1 z z2 1, z1z2 1 thì 1 2 là số thực. 1 1 z z2
3. Tìm số phức z thỏa mãn z 2 i 1 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 2 đơn vị.
4. Tìm số phức z thỏa mãn z 1z 2i là số thực và z 1 5 .
5. Tìm số phức z thỏa mãn z.z 3z z 5 6i . 6. Tính z biết:
a. 2 3i 1 z 2i 1 z 1 z 1 3i 2 b. 2i 3 c. z 2 3z 2 i 1
7. Tìm số phức z biết :
a. 4z (3i 1)z 25 21i b. 2 3z 2(z) 0 4i 2 6i
Bài 3 Xét các điểm A, B,C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số
, 1 i1 2i , . i 1 3 i
1. Chứng minh ABC là tam giác vuông cân
2. Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho ABCD là hình vuông.
Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A và B là hai điểm lần lượt biểu diễn 2 nghiệm phức của phương trình: 2
z 6z 18 0 . Chứng minh rằng tam giác OAB vuông cân.
Bài 5 Chứng minh rằng: 2010 2010 1. 1 i 1 i là một số thực 2009 2009 2. 3i 1 3i 1 là số thuần ảo.
Bài 6 Cho u,v là biểu diễn của hai số phức 1 3i và 3 2i
1. 3u 2v ; 5u 3v biểu diễn những số phức nào?
2. Gọi x là biểu diễn của số phức 6 4i . Hãy phân tích x qua u, v .
Bài 7 Gọi A1,A2 ,A3 ,A4 lần lượt là biểu diễn hình học của các số phức
z1 1 3i, z2 3 2i, z3 5 i, z4 4 5i .
1. Tính độ dài các đoạn A1A2 , A1A3 , A1A4
2. Tìm số phức có biểu diễn là điểm M sao cho A1A2A4M là hình bình hành. Bài 9.
1. Tìm phần thực của số phức n z 1 i
, n N thỏa mãn phương trình: log4 n 3 log4 n 9 3
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 5 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 iz 1 3i z 2
2. Tìm phần ảo của số phức z , biết z 1 i Bài 10. 1
1. Gọi z là nghiệm của phương trình 2
z 2z 2 0 . Tính giá trị của biểu thức 2012 Q z . 2012 z
2. Tính z , biết 2z 11+i z 11 i 2 2i.
Đề thi Đại học Khối A – năm 2011
Bài 11 Tìm số phức z thỏa mãn: z 1 i
1. z 2i z 1 i và là một số thuần ảo. z 2i
2. z 5 và phần thực của z bằng 2 lần phần ảo của nó. 3. 3
z z 4. z 2 và 2
z là số thuần ảo. Đề thi Đại học Khối D ,2010
Bài 12 Tìm số phức z thỏa mãn: 4 z 200 1. z 0 2 1 7i z 5 i 3 2. z
1 0 Đề thi Đại học Khối B – năm 2011 z
3. z (2 3i)z 1 9i Đề thi Đại học Khối D – năm 2011 2 4. 2 z z z
Bài 13 Tìm số phức z thỏa mãn:
2 z i z z 2i z 2i z 2. 1. z i z 1 z z2 2 2 2 z 2 1 z 2 i z 2i 10 4. 3.
z 1z i 5 z.z 25 1 z i 1 z 2z i 5. 6. 1 i 1 i z i 1 2 7. 2 z z 8z 44 8. 3 z z Bài 14 z z 1. Nếu 1 z z2 1, 1 z z2 1 thì 1 2 T là số thực. 1 1 z z2
z1 z2 z2 z3 z3 z1 z z z z z z 2. Nếu 1 z z2 z3 r thì T là số thực và 1 2 2 3 3 1 r với 1 z z2z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 0 . z 1 3. Số phức w
là số thuần ảo z 1. z 1 Bài 15.
Cho , là hai số phức liên hợp thoả mãn
R và 2 3. Tính . 2 Bài 16. Tính z 1
z2 , z1 z2 , z1.z2 , z1 2z2 , 2z1 z2 biết:
1. z1 5 6i, z2 1 3i
2. z1 2 3i, z2 3 4i 1 3 1 2 3. z 4. 1 i, z2 i z 3 2i,z 2 i 2 2 3 3 1 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 6 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Bài 17. Cho các số phức z1 1 2i,z2 2 3i,z 1 i . Tính : 1. z1 z2 z2
2. z1z2 z2z3 z3 1 z 3. z1z2z3 z z z 2 2 z z 4. 2 2 2 z 1 2 1 2 1 z2 z3 5. 3 6. z 2 2 2 z3 z1 z 2 z3
Bài 18. Tìm số phức z thỏa mãn:
1. z 5 7i 2 i 2. 2 3i z 5 i z
3. z(2 3i) 4 5i 4. 3 2i 1 3i 2 i 1 3i 5. z
6. 2z(1 i) 2iz(1 i) 4i 1 i 2 i 1 3 1 Bài 19. Cho z i . Hãy tính: 3 2 2 ; z; z ; z ; 1 z z . 2 2 z
Bài 20. Gọi A, B,C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 3 2i, z2 2 3i , z3 5 4i .
1. Chứng minh A, B,C là ba đỉnh của tam giác. Tính chu vi tam giác đó.
2. Gọi D là điểm biểu diễn của số phức z . Tìm z để ABCD là hình bình hành.
3. Gọi E là điểm biểu diễn của số phức z' . Tìm z' sao cho tam giác AEB vuông cân tại E . Bài 1:
1. Đặt z1 a1 b1i, z2 a2 b2i 2 2 2 2 a 1 1 b a2 b2 1
Từ giả thiết ta có hệ: 2 a b a b 1 2 2 1 1 2 2 1 a a2 1 b b2 3 2x 3 2y 1 x y 2 x 2 2. a. z z' . 3y 1 3x 7 x y 2 y 0 Vậy x 2, y 0 . b. Ta có: 3 4 i 52 47.i nên suy ra: 3 x 2y 4 i
3x yx 2i x 2y52 47i 3x yx 2i 2
3x xy 52x 104y 41x 96yi 3
x 2y4 i 3x yx 2i 47 20i 20 41x 2 3x xy 52x 104y 47 y 96 41x 96y 20 2 329x 708x 2432 0 608 x x 4 329 hoặc 23 . 1529 y y 12 2632 x yi 1 3 1 3 c. i x yi i 3 yi 3 yi 2 2 2 2 3 3 y 3 x yi y i 2 2 2 2 3 3 x y 3 x 1 y 2 2 x 3 2 . y 3 y 3 y y 3 2 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 7 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 3 xyi x y 2i 3 xyi x y 2i d. 1 2i3 1 2i3 1 2i3 1 2i3 x y 3 x 1, y 2 . xy 2 x 2, y 1 3. 0 Dễ thấy 0 0 0 cos72 cos 90 18 s in18 . 1 3 2 2 0 0 0 0 0 0 z cos18 cos72 i cos18 s in18 i z cos18 s in18 1 5. z
i nên z 1 , số phức liên 2 2 1 3 hiệp: z i . 2 2 2 2 3 2 1 3 1 3 1 3 z z z i i i 1 2 2 2 2 2 2 1 i 4. Ta có: i ; 2 1 i 2i 5 33 z i 2i 13 i 13 32i 1 i
Phần thực của z bằng 13 , phần ảo của z bằng 3 2 .
Chú ý. Khi gặp các bài toán yêu cầu tính n
z với n là số tự nhiên khá lớn thì ta đi tính các lũy thừa nhỏ hơn để tìm quy luật của n z . 9 10
5. a. A 1 i 1 i 2 2 1 i 1 2i i 2i 4 2 9 2
4 2 1 i 1 i 1 i 2i 1 i
16 i 1 i 161 i 5 2 2 10 2 5 2 2 1 i 1 2i i 2i 1 i 1 i 2i 32 i i 32i
Vậy A 161 i 32i 16 16i 161 i . 21 8 1 1 i b. B 1 i 13 i 13 i 1 i 2 2 1 i 1 2i i 2i 4 2 8 2 4 2 2 1 i 1 i 2i 16 i 16 1 16 1 1 1 1 2 6 6 13 12 2 i i .i i .i 1 i i 13 i i 2 i 1 1 1 13 i i i i i 21 1 i 1 i2 2 1 2i i 2i 10 1 i 21 10 i
i 2i .i 1 .i i 1 i 1 i1 i 2 1 i 1 1 1 i 2 Vậy B 16 i 14 . i c. 5 6 7 18 5 2 3 13 M i i i ... i
i 1 i i i ... i Dễ thấy 2 3 13
1 i i i ... i
là tổng của cấp số nhân có 14 số hạng, trong đó số hạng đầu tiên u 1 1 , công bội q i . 7 2 7 4 2 14 14 1 i i i i 1 1 5 1 q 5 1 i M i .u 5 5 i . i .1 i. .2 1 i .1. 1 q 1 i 1 i 1 i1 i 2 1 i
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 8 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 1.i 1 M .2 i 1 . 2 2 3 2010
d. N 1 1 i 1 i 1 i ... 1 i .
Dễ thấy tổng trên là tổng của cấp số nhân có 2011 số hạng , trong đó số hạng đầu tiên u 1 1 , công bội q 1 i . 1 q 1 1 i2011 1 1 i2011 2011 N u 1 1. . 1 q 1 1 i i 1005 2 2011 2 1005 2 1 i 1 2i i 2i 1 i 1 i 1 i 2i 1 i 502 2011 1005 2 1005 2 1005 1 i 2 i i 1 i 2 i i 2 i 1 . 2011 1 q 1005 i 2 2 1005 1005 i 1 1 2 i 1 1 2 i 1 1006 N u1 1. i 2 1 q 1 1 i 2 i i
6. a. Ta có z 6 4i 9i 6 12 5i
phần thực của z bằng 12 , phần ảo của z bằng 5 . 1 2i3 2i 1 8i 1 8i 1 8 b. Ta có: z i .
3 2i3 2i 3 2i2 2 13 13 13 1 8
Phần thực của z bằng , phần ảo của z bằng . 13 13 c. Ta có: 2 2
z 1 2i i 1 2i i 4i
Phần thực của z bằng 0 , phần ảo của z bằng 4 . d. Ta có: 3 3 2 2 3 2 i
2 3.2 .i 3.2.i i 2 11i
13 9i4 3i 79 3 3 2 i
1 i 13 9i z i 4 3i4 3i 25 25 79 3
Phần thực của z bằng
, phần ảo của z bằng . 25 25 x 1
7. a. Ta có z là số thực x 1y 3 0 . y 3 Với x 1 z 0 Với 2
y 3 z 2x 3x 1 2 1 2x 3x 1 0 x
b. Ta có z là thuần ảo 2 x 1 y 3 0 y 3 1 1
Khi đó: z y 3i z y 3 2 2
z 4 y 3 8 y 11; y 5 . 1 1 x x Vậy 2 hoặc
2 là những cặp cần tìm . y 11 y 3 2 2 2x 3x 1 6 2x 3x 5 0
c. Ta có: z 6 5i
x 1y 3 5 x 1y 3 5
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 9 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 5 x 1 x 2 5 1 hoặc . y 3 19 x 1 2 y 3
8a. Ta có: 3 2 i 2 11i ; 3 2 i 2 11i 2 11i 2 11i 4 2 A i . 2 11i 2 11i 22i 11 1 3 3i b. Đặt 2 z 1 3i z 2 1 3i 2 3i 3 2
z z .z 2 1 3i1 3i 8 669 2009 3 2 669 . 2008 B z z .z ( 8) 2 1 3i 2 1 3i
c. Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân, ta có: 2009 1 i 1 i C i i i . 1 i 1 i
d. Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân, ta có: 2010 2010 1 1 i 1 i 1 D 1 i 1 i 1 i 1 i . 1 i 1 i 2 2010 1005 Mà 1005 1004 1005 1 i 2i 1 i 2i 2 .i .i 2 .i
1005 1005 1005 D i i 1 2 i 1 1 i 2 i 2 2 . 1
9. a. z là số thực (2 x)(2y 1) 0 x 2 hoặc y . 2 1
b. z là số thuần ảo khi (1 2x)(1 x) 0 x 1, x 2 2 2
z 1 (2 x) (2y 1) 1 (*) * 2 x 1
(*) (2y 1) 1 y 0, y 1 1 4 3 7 * 2 x (*) (2y 1) y , y 2 25 10 10
Vậy có bốn cặp (x;y) thỏa yêu cầu bài toán: 1 3 1 7 (x; y) ( 1 ; 1 ), ( 1 ; 0), ; , ; . 2 10 2 10 (1 x)(1 2x) 20 c. Ta có: z 20 18i (2y 1)(2 x) 15 2 7 2x x 21 0 x x 3 2 15 1 . y y 1 11 y 2(x 2) 2 2 1 4i 4 3 4i (3 4i)(3 i) 13 9i 10. a.Ta có z 3 i 3 i 10 10 13 9
Vậy phần thực của z bằng: , phần ảo . 10 10 b. Ta có: 3 3 2 2 3
(2 i) 2 3.2 .i 3.2.i i 2 11i 3 3 2 2 3
(3 2i) 3 3.3 .2i 3.3.(2i) (2i) 9 46i Suy ra z 11 35i .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 10 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Vậy phần thức của z bằng: 11; phần ảo bằng: 3 5 .
c. Ta có (3 i)(1 2i) 5 5i ; 2 (3 2i) 5 12i (5 5i)(5 12i) 85 35i 10 10i Suy ra z 15 5i 16 6i 2 2 5 12 169 10 85 35
Vậy phần thực của z bằng: ; phần ảo bằng: . 169 169 (4 2i)(1 3i)
c. Ta có: z (1 3i)(3 4i) 10
Vậy phần thực của z bằng: 16 ; phần ảo bằng: 6 . 29 22i 13 9i
11. a.Ta có: 2z 1 z 3 i . Suy ra 2 2 z 3 1 10 . 3 4i 3 4i 2 3 2i 5 12i (3 2i) 5 12i b. Ta có: z 2i 1 z 2i 3 2i 5 12i 5 12i z 1 2i z 5 . c. Ta có: z ( 5
12i)5i 60 25i z 65
d. Ta có: (6 3i)z 2 i (4 5i)z 8 10i 6 9i 3 15 3 26
(2 2i)z 6 9i z i Suy ra z 2 2i 4 4 4 Bài 2 8 i
1. Biến đổi về dạng: z 2 3i 1 2i 2 1 1
2. Dễ dàng chứng minh được z 1. 1 z z1 1, z , 1 z2 1 z z2 1 1 1 z z2 1 z z2 1 z z2 A là số thực. 1 1 1 z .z 1 z z 1 2 1 2 1 1 z z2 3. z a bi 2 2 z 2 i 1 a 2 b 1 1 2 2 b b 1 1 suy ra b a 2 b a 2 b a 2
4. 2 2
z 1 z 2i a b a 2b 2a b 2i là số thực, suy ra 2a b 2 0 1 . 2 2 z 1 5 a 1 b 5 2 .
Từ 1 và 2 suy ra a; b 0; 2 ,2; 2 2 2 a b 5
5. Từ giả thiết dẫn đến kết quả 2 2
a b 6bi 5 6i suy ra 6b 6 6. a. Ta có: 2 3 4i 3 1
(2i 1) 3 4i z i 1 3i 2 2 2 2 3 1 10 z . 2 2 2 z 1 b. Ta có:
2i 3 z 1 2i 3z 2 2 2i z 7 4i z 2 7 4i 11 3 130 z i z . 2 2i 4 4 4
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 11 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 z 1 3i 2 c. Ta có:
i 1z 1 2 3i3z 2 3z 2 i 1 6554 3 7i 77 25
z 7 8i 3 7i z i z . 7 8i 113 113 113
7. a.Đặt z x yi (3i 1)z (3i 1)(x yi) x 3y (3x y)i
4z (3i 1)z 5x 3y (3x 3y)i 5x 3y 25 x 2 Từ đó suy ra 3x 3y 21 y 5 Vậy z 2 5i . b. Đặt 2 2 2 z x yi z x y 2xyi Suy ra 2 2 2 3z 2 z
3x 2x 2y (3y 4xy)i 2 2 3x 2x 2y 0 (1) Nên ta có: 3y 4xy 0 (2) 3
Từ (2) suy ra : x hoặc y 0 4 2 3
y 0 3x 2x 0 x 0, x 2 3 27 3 6 2 x y y . 4 8 4 3 3 3 6
Vậy có bốn số phức thỏa yêu cầu bài toán: z 0,z ,z i . 2 4 4 Bài 3 4i 4i i 1 Ta có: 2 2i A2; 2 2 i 1 i 1
1 i1 2i 3 i B3; 1 2 6i 2 6i3 i 2i C0; 2 2 2 3 i 3 i BA BC
1. Dễ thấy:
nên ABC là tam giác vuông cân tại B . BA.BC 0
2. Gọi D là đỉnh thứ 4 của hình vuông ABCD D1; 1 Vậy, số phức z 1
i được biểu diễn bởi điểm D Bài 4 2 2 2 z 6z 18 0 z 3
9i z 3 3i hoặc z 3 3i
Trong mặt phẳng tọa độ số phức z 3 3i có biểu diễn là A3; 3
, số phức z 3 3i có biểu diễn là B3; 3 . O
AB có OA OB 3 2 và OA.OB 0 , suy ra đpcm. Bài 5
1. Đặt z 1 i z 1 i 2010 2010 2010 Và z 1 i 2010 2010 1 z 1 z z z 1 i
1 i2010 1 i2010 1 z z1 là số thực đpcm.
2. Đặt z 3i 1 z 1 3i 2009 2009 2009 Và z 3i 1 2009 2009 1 z 1 z z z 1 3i
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 12 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2009 2009 2009 2009 3i 1 3i 1 3i 1 1 3i 1 z 1
z là số thuần ảo đpcm. Bài 6
1. Ta có: u 1; 3 , v 3; 2
Suy ra: 3u 2v 9; 3 là biểu diễn của số phức 9 3i 5u 3v 4
; 21 là biểu diễn của số phức 4 21i . 24 m m 3n 6
2. Ta có: x 6; 4 . Giả sử 11 x m.u n.v . 3m 2n 4 14 n 11 24 14 Vậy x u v . 11 11 Bài 7 1. Ta có: A 1A2 1 z z2 4 i 17 1 A A3 z1 z3 4 2 1 A A4 z1 z4 13
2. Gọi z là số phức cần tìm. Ki đó: A1M và A2A4 lần lượt là biểu diễn của các số phức z 1 z và z4 z2
A1A2A4M là hình bình hành A1M A2A4 z 1 z z4 z2 z 1
z z4 z2 8 6i . Bài 9.
1. Điều kiện: n 3, n Phương trình log 4 n 3 log4 n 9 3
log4 n 3n 9 3 3 2
n 3 n 9 4 n 6n 9 0 n 7 do : n 3 3 7 2 3 z 1 i 1 i . 1 i 1 i . 2i 1 i. 8 i 8 8i
Vậy phần thực của số phức z là 8 .
2. Đặt z a bi z a bi , a,b
i a bi 1 3ia bi 2 2
a b , quy đồng mẫu số rồi rút gọn ta được: 2 2 3a 3b
a 5b i 2 a b , hai số 1 i 2 2 2 2 3a 3b 2 a b 2 5b
2b 3b 35b 0
phức bằng nhau khi và chỉ khi a 5b 0 a 5b 45 a b26b 9 0 a 0 26 (nhận) hoặc
(không thỏa a b 0 ) a 5b b 0 9 b 26
Vậy, số phức cần tìm là z 0 Bài 10:
1. Phương trình cho biến đổi 2 z 1 1 và ta cũng có 2
z 2 z 1 , suy ra 2 2 4 z 2 z 1 4 z 1 4 1 4
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 13 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 503 1 503 1 503 2012 4 1 16 1 Q z z 4 2012 z 503 4 z 503 503 4 4
2. Giả sử z a bi a, b
Ta có : 2z 11 i z 11 i 2 2i 21 iz 1 iz 2
21 ia bi 1 ia bi 2 1 a 3a 3b 2
3a 3b a b 3 1 1 2 i 2 z a b 0 1 9 9 3 b 3 Bài 11 z 2i a b 2i
1. Giả sử z a bi , a,b z 1 i a 1 1 bi
2 2 2 2 z 2i z 1 i a b 2 a 1 1 b a 3b 1 0 z 1 i a 1 b 1 i a a
1 b 2b 1 a 2b 3 b 2
i là số thuần ảo khi và chỉ khi z 2i a 2 bi a 2 b2 a 2 b2 2 2
2 a a 1
b 2 b 1 0 4b 3b 1 0 b 1 ,a 2 a 3b 1 0 Ta có hệ: 2 1 7 4b 3b 1 0 b ,a 4 4 7 1
Vậy, có 2 số phức cần tìm z 2 i và z i 4 4
2. Giả sử z a bi,a,b ,thì 2 2 z a b . 2 2 z 5 a b 5 2b2 2 b 5 Ta có : a 2b a 2b a 2b a 2 a 2 hoặc . b 1 b 1
Vậy có hai số phức cần tìm: z 2 i, z 2 i .
3. Giả sử z a bi,a, b z a bi Dễ thấy, 3 3 3 2 2 3 z a bi
a 3a bi 3ab b i 3 2 a 3ab a 1 Do đó 3 z z 2 3 3a b b b 2 tb3 3tb 2 b tb
Đặt a tb, t . Hệ trở thành: 2 suy ra t t 1 0 t 0, t 1 hoặc t 1. 3tb2 3 b b b
TH1: Khi t 0 a 0 thay vào 2 ta được 3
b b b 0 hoặc b 1 hoặc b 1 . TH2: Khi t 1
a b thay vào 2 ta được 3 2b b b 0
Vậy, số phức thỏa mãn bài toán: z 0, z i, z i 2
4. Cách 1: Giả thiết 2 z là số thuần ảo nên 2 2
z z 0 z z 2 2 z 0
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 14 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 z z 2 2 2 2
. Mặt khác cũng từ z z 0 z z 2 2 z 0 z z 2
z z 2i hoặc z z 2 i .
Do đó ta có các số phức thỏa mãn là : z i 1, z 1
i, z 1 i, z 1 i . Cách 2: Đặt 2 2 2
z a bi z a b 2abi và 2 2 z a b 2 2 2 a b 0 a 1 Từ giả thiết suy ra 2 2 2 a b 2 b 1
Vậy các số phức cần tìm: z i 1, z 1
i, z 1 i, z 1 i . Bài 12 4 4 4 2 z z .z z 200 1. 2 2 z z và 4 28i 2 4 2 2 z z .z z 1 7i
Phương trình cho tương đương : 2
z z 4 28i 0 có 2 7 8i z 3 4i hoặc z 4 2i
2. Gọi z x yi với x, y 5 i 3 2 2 z
1 0 zz 5 i 3 z 0 x y x 5 3 yi 0 z 2 2 x y x 5 0 x 1 x 2 hay 3 y 0 y 3 y 3
Vậy z 1 3i hay z 2 3i .
3. Giả sử z a bi a, b
Khi đó z 2 3i 1 9i a bi 2 3ia bi 1 9i a 3b 1 a 2
a 3b 3b 3ai 1 9i 3b 3a 9 b 1 Vậy z 2 i
4. Giả sử z a bi a, b 2 2 2 2 2 2 2 2 2
z z z (a ib) a b a ib a b 2abi a b a bi a 0 a 0 2 a 2 b b 0 b 0 2 2 2 2 a b a a b b 0 2 1 4b 1 a b 2ab 1 2 a 1 2 a 1 b 2 2 1 1 1 1
Vậy có 3 số phức thỏa bài toán là : z 0, z i, z i 2 2 2 2 Bài 13 2 2 a b 1 i 2b 2 i 4b a 0
1. Hệ cho trở thành: 4abi 2 2 a.4b 8
2. Gọi z x yi x,y . z 2i z x y 2i x yi Ta có z i z 1 x y 1i x 1 yi
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 15 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 x y 22 2 2 2 x y y 1 z 1 i .
2 2 2 2 x 1 x y 1 x 1 y
3. Đặt z x i.y z 2 i x 2 y 1 i
2 2 |z 2 i | x 2 y 1 và 2 2 z.z x y
x 22 y 2 1 10 2x y 10
Từ giả thiết, ta có: 2 2 2 2 x y 25 x y 25 y 10 2x x 3 x 5 hoặc . 2 x 8x 15 y 4 y 0
Vậy z 3 4i và z 5 là các số cần tìm. z 2 z 2
4. Gọi z x yi. Ta có: 1 1 z 2i z 2i
z 2 z 2i x 2 yi x y 2i 2 2 2 2 x 2 y x y 2 x y .
Mặt khác: z 1z i 5 z 1 z i 5
x 1 yi x yi i 5 2 2 2 2 x 1 y x y 1 5
Mà x y nên x 1 y 1 , do đó ta có: 2 2 x 1
x 5 x 2; x 1. Vậy: z 2 2i; z 1 i.
5. Giả sử z x yi,x, y z x yi 1 z 2z i 2z i 1 z
1 i i2z i 2iz 1 2 z 2iz 0 1 i 1 i 1 i
2 x yi 2ix yi 0 2 x 2y y 2xi 0 2 x 2 x 2y 0 3 2 2 z i . y 2x 0 4 3 3 y 3
6. Giả sử z x yi,x,y z x yi . z i 1 x yi i 1 x y 2 2 1 1 z i 1 2 x yi i 1 2 x 2 1 1 y2 4 x y 2 1 1 x y 2 2 2 1 1 x 2 1 y 2 1 4 x 2 2 1 x 3 x y 2 2 1 1 x 1 z 1 i . y 1 x 1 7. Gọi 2 2 2
z x yi z x y 2xy.i , 2 2
|z| x y và z x y.i . Nên : 2 2 2 2 2
z z 8z 44 x y 8x x y 2xy 8y.i 44
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 16 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2 2 2 2 2 2 2 2
x y 8x x y 44
x y 8x x y 44 2xy 8y 0 2y x 4 0 y 0 y 0 TH1: 2 9 257 x 8x|x| 44 x 11 ; x 2 x 4 x 4 TH2: 2 2 y 3 y 16 y 4 9 257 Vậy z 11 ; z ; z 4 3i . 2
8. Cách 1: Giả sử z x yi,x,y z x yi . 3 3 3 2 2 3 z z x yi x yi x 3xy 3x y y i x yi x 2 2 3 2 x 3y x x 3xy x 2 3 3x y y y y 2 2 3x y y x 0
x 0, y 0 z 0 2 2 x 3y 1 0 2
x 0, y 1 z i y 0 2
x 1, y 0 z 1 2 2 3x y 1 0
Vậy phương trình cho có 5 nghiệm z 0,z i,z 1 . 2 4 2 2 2 Cách 2: 3 3
z z z.z z.z z z z z z 1 0 2 z 0 2 z 1 0 2
Khi z 0 thì z 0 , do đó z 0 là một nghiệm của phương trình 3 z z .
Khi z 1 0 z 0 nên phương trình 3 3 z z z.z z.z hay 4 z z.z 1 2 2 2 z 1 0 z 1 z 1 z 1 0 . 2 z i z 1 0
Vậy phương trình cho có 5 nghiệm z 0,z i,z 1 . Bài 14 1 1. Ta có 2 z i .zi |zi | 1 zi , i 1, 2 zi 1 1 1 z z2 1 z z2 1 z z2 1 z z2 T T 1 1 z z 1 z .z z z 1 2 1 2 1 2 1 1 z z2 Vậy T là số thực. 2. Ta có: 2 2 2 2 2 2 r r r r r r 1 z z2 z2 z3 z3 z1 z 1 z2 z 2 z3 z 3 z1 T 2 2 2 1 z .z2.z3 r r r z1 z2 z3
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 17 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
z1 z2 z2 z3 z3 z1 T T là số thực. 1 z z2z3 4 4 4 r r r z z z z z z z z z z z z Đặt 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 A A 2 2 2 1 z z2 z3 r r r z1 z2 z3 2 r 1 z z2 z3 2 2 A A.A r | A| | A| r . 1 z z2 z2z3 z3z1
3. Ta thấy với z 0 bài toán không thỏa mãn 2 Với z 0 z.z z . z 1 1 z
Ta có w là số thuần ảo w w z 1 z 1
2 z 1 z 1
1 z z 1 z.z 1 z 1 z 1 .
Bài 15. Đặt x iy x iy với x, y R.
Không giảm tính tổng quát, ta coi y 0.
Vì 2 3 nên 2iy 2 3 y 3. 3
Do , là hai số phức liên hợp nên . R , mà R do đó 3 R. Nhưng ta có 2 2 3 3 2 2 3 x 3xy 3x y y i nên 3 R khi và chỉ khi 2 3 2 2 2 3x y y 0 y 3x y 0 x 1. Vậy 2 2
x y 1 3 2. Bài 16. 1. z z 2z 7; 1 z2 4 9i; 1 z z2 6 3i; z
1.z2 23 9i ; 1 2 2 1 z z2 9 15i
2. z1 z2 5 7i; z 1 z2 1 i; z
1.z2 6 17i ; z 1 2z2 41; 2 1 z z2 7 10i . 5 13 1 5 5 5 2 4 11 3. z ; z 2z ; . 1 z2 i; z1 z2 i; 1 z .z2 i 2z z i 6 6 6 6 6 6 1 2 6 1 2 3 3
4. z1 z2 3 2 i; 1 z z2 3 2 3i; 2 1
z z2 2 3 2 3i ; z1.z2 2 6 3 2 2 i ; z1 2z2 27 4 6 .Bài 17. 1. 1 6i 2. 4 10i 3. 8 14i 371 147 152 72 4. 2 7 8i 5. i 6. i 130 130 221 221 Bài 18. 23 2 1. z 7 8i
2. z 7 4i 3. z i 13 13 22 4 2 2
4. z 9 7i 5. z i 6. z i 25 25 3 3 Bài 19. 1 1 3 1 3 1. i 2. z i 3. 2 1 3 z i z 2 2 2 2 2 2 4. 3 z 1 5. 2
1 z z 1 3i
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 18 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Bài 20. Ta có A(3; 2), B(2; 3) , C(5; 4) 1. Ta có: AB ( 1 ; 5
), AC (2; 2), BC (3;7) A, B,C là ba đỉnh của tam giác.
Chu vi tam giác: AB BC CA 26 2 2 58 .
2. ABCD là hình bình hành AB DC D(6; 9) AE.BE 0
3. Đặt z' a bi E(a; b) . Tam giác AEB vuông cân tại E 2 2 AE BE
Từ đó ta tìm được hai điểm E: E1(0;0), E2(5; 1 ) .
Dạng 2. Biểu diễn hình học của số phức và ứng dụng .
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện:
z i 1 i z Lời giải.
Gọi Mx; y là điểm biểu diễn của số phức z x y.i x, y Suy ra 2 2 z i x y 1
2 2 1 i z 1 i x yi x y x y 2 2 2 Nên 2 z i
1 i z x y 1 x y x y 2 2 x y 1 2 .
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn: 2 2 x y 1 2 .
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z 2 i z Lời giải.
Cách 1: Đặt z a bi, a,b là số phức đã cho và Mx; y là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức. 2 2
Ta có: z 2 i z x 2 yi x y 1i 2 2 x 2
y x y 1 4x 2y 3 0 .
Vậy, tập hợp điểm M cần tìm là đường thẳng 4x 2y 3 0 .
Cách 2: z 2 i z z 2
z i
Đặt z a bi, a,b là số phức đã cho và Mx; y là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức, điểm A biểu diễn số 2 tức A 2
; 0 và điểm B biểu diễn số phức i tức B0; 1
Khi đó MA MB
Vậy, tập hợp điểm M cần tìm là đường trung trực của AB : 4x 2y 3 0 .
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện:
z 2 z 2 5 Lời giải.
Đặt z a bi, a,b là số phức đã cho và Mx; y là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức. 2 2
Ta có: z 2 z 2 5 a 2 bi a 2 bi 5 hay 2 2 a 2 b a 2 b 5 1 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2 b a 2 b 5 a 2 b a 2 b 2 2 2 2 8a a 2 b a 2 b 2 5
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 19 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
a 22 b a 22 2 2 b 5
Từ 1 , 2 ta có hệ: 2 2 2 2 8a a 2 b a 2 b 5 2 2 5 4a 25 2 2 5 4a a 2 2 b , a a 2 b 2 5 8 2 5 2 2 2 5 4a 2 2 5 4a 25 a 2 b a 2 b , a 2 5 2 5 8 2 9a 2 9 25 25 b , a 25 4 8 8
Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức là elip có phương trình 2 2 x y 1 25 9 4 4
Cách 2 : Đặt z a bi, a,b là số phức đã cho và Mx; y là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức.
Trong mặt phẳng phức, xét các điểm 1 F 2; 0 , 2 F 2;0 2 2 2
Ta có: MF 2 a b a 2 2 1 b z 2
MF 2 a2 b2 a 22 2 1 b z 2
Giả thiết z 2 z 2 5 M 1 F 2 MF 5 Vì M 1 F M 2 F 1 F 2
F , nên tập hợp điểm M là 1 elip. 2 2 2 2a 5 4a 25 x y Ta có: E : 1 2 2c 4 25 9 4b 9 4 4
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: 2 z là số ảo.
Bài 2: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: 1. 2 2 z z
2. 2 z i z z 2i
Bài 3: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức:
1. z' 1 3iz 2 , trong đó z là số phức thỏa mãn z 1 2 .
2. z i z i 4
3. z 4 z 4 10
Bài 4: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức:
1. z i z 2 3i
3. z 3 4i 2
2. 2z 3 5i 2
4. z 4 3i z 3 2i 10
Bài 5: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa:
1. z 4 3i là số thực
2. z 1 2i 1
3. z 3i z 2 i
4. z 4 3i z 3 2i 2
5. 5 4i 3z 1
6. z 1 i z 2 3i 2 .
Bài 6: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa 2z i z 2i 3 1. có phần thực bằng 3 2.
là một số thực dương. z 2i z 3 i
Bài 7: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
1. Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 20 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
2. Phần thực của z thuộc đoạn [ 2 ;1] .
3. Phần thực của z thuộc đoạn [ 2
;1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3] .
4. z 2 5. 2 z 3 6. z 1 2i 2 1
7. 2 z i z z 2i 8. 1 z 2 và phần ảo lớn hơn hoặc bằng . 2 Bài 1:
Đặt z a bi, a,b là số phức đã cho và Mx; y là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức. 2 2 2 2 z x yi x y 2yi Vì 2 z là số ảo nên 2 2 x y 0 y x
Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức là đường thẳng có phương trình : y x Bài 2:
1. x 0 hoặc y 0 2. 2 x 4y Bài 3: 1 3iz' 1 3i
1. z' 1 3iz 2 z 4 2
Từ z 1 2 1 3iz' 6 2 3i 8
Đặt z' a bi , a,b , khi ấy ta tìm được 2 2 a 3 b 3 16
Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức là đường tròn có phương trình 2 2 x 3 y 3 16 .
2. a b 1i a b 1i 4 . Đặt 1 F 0; 1 , 2 F 0;1 , M 1 F M 2 F 2 1 F 2 F 2 2 x y
Tập hợp điểm M là elip E : 1 4 3 2 2 x y
3. Tập hợp điểm M là elip E : 1 25 9 Bài 4:
1. Gọi A, B lần lượt là biểu diễn của các số phức A 0;1 , B 2 ; 3 1 z i , z2 2 3i
Khi đó: z i z 2 3i z 1 z z z2 MA MB
Vậy quỹ tích của M là đường trung trực đoạn AB . 3 5 3 5
2. Gọi E là điểm biểu diễn của số phức z 1 i E ; 2 2 2 2
Khi đó: 2z 3 5i 2 2z 2 1 z 2 z 1 z 1 EM 1
Vậy quỹ tích của M là hình gồm đường tròn tâm E bán kính R 1 và miền trong của nó.
3.Đặt z x yi x,y ; z 3 4i x 3 y 4i . 2 2
Từ giả thiết, ta có: x 3 y 4 2
2 2 x 3 y 4 4 .
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I 3; 4 bán kính R 2 .
4. Gọi E,F lần lượt là biểu diễn hình học của các số phức z1 4 3i , z 2 3 2i E 4; 3 , F3; 2 EF 5 2 .
Khi đó: z 4 3i z 3 2i 10 ME MF 10
Vậy quỹ tích của M là Elip có hai tiêu điểm E,F và độ dài trục lớn bằng 5 .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 21 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Bài 5:
1. Gọi N là điểm biểu diễn của số phức 4 3i N( 4 ; 3 )
z 4 3i là số thực MN song song với Ox
Quỹ tích của M là đường thẳng đi qua N và song song với Ox , đó là đường thẳng y 3 . y x O y=-3 -3
2. Gọi I là điểm biểu diễn của số phức z1 1 2i I(1; 2) .
Khi đó: |z 1 2i| 1 | z 1 z | 1 IM 1
Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính R 1 . y I 2 x -1 O
3. Gọi A, B lần lượt là biểu diễn của các số phức z 1 3 i , z2 2 i A(0; 3), B( 2;1)
Khi đó: z 3i z 2 i | z 1 z | | z z2 | MA MB
Vậy quỹ tích của M là đường trung trực đoạn AB có phương trình là: x 2y 1 0 . y B 1 x 1 -2 O A
4. Gọi E,F lần lượt là biểu diễn hình học của các số phức z1 4 3i , z2 3 2i E( 4 ; 3
), F(3; 2) EF 2 .
Khi đó: |z 4 3i||z 3 2i| 2 ME MF 2
Vậy quỹ tích của M là Elip có hai tiêu điểm E,F và độ dài trục lớn bằng 1 . 5 4 5 4
5. Gọi E là điểm biểu diễn của số phức z 1 i E( ; ) 3 3 3 3 1 1
Khi đó: 5 4i 3z 1 | 3z 3z 1 | 1 |z z1| EM 3 3
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 22 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 1
Vậy quỹ tích của M là hình gồm đường tròn tâm E bán kính R và miền trong của nó. 3
6. Gọi E,F là điểm biểu diễn của các số phức z1 1
i, z2 2 3i E( 1 ; 1),F(2; 3)
Khi đó: z 1 i z 2 3i 2 ME MF 2
Vậy tập hợp điểm M là hypebol có hai tiêu điểm E, F. Bài 6:
2z i 2x (2y 1)i
1.Gọi M(x; y) z x yi z 2i x (y 2)i 2z i
[2x (2y 1)i][x (y 2)i] a bi 2 2 z 2i x (y 2) 2 2 2 2x (2y 1)(y 2) 2x 2y 5y 2 Với a 2 2 2 2 x (y 2) x y 4y 4 2 2 2 2 x 0
a 3 2x 2y 5y 2 3(x y 4y 4) (với ) y 2 2 2 2 17 2 249
x y 17y 10 0 x (y ) 2 4 17 249
Vậy tập hợp M là đường tròn tâm I(0; ), R . 2 2
2. Gọi A, B là điểm biểu diễn của hai số phức z1 3 2i , z
2 2 i , suy ra A( 3; 2), B( 2; 1) . z 2i 3 AM Khi đó:
k 0 (k ) k MA k.MB z 3 i BM Suy ra M thuộc tia AB . Bài 7: x
1. Quỹ tích là đường thẳng y 2
2. Quỹ tích là phần mặt phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng x 2; x 1
3. Quỹ tích là miền tron và biên của hình chữ nhật được giới hạn bởi các đường: x 2
; x 1; y 1; y 3 .
4. Quỹ tích là hình tròn tâm O(0;0) bán kính R 2
5. Quỹ tích là phần mặt phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm O(0;0) và có bán kính R1 2;R2 3 .
6. Quỹ tích là hình tròn tâm I(1; 2 ) bán kính R 2 2 x
7. Qũy tích là parabol: y . 4 1 1
8. Quỹ tích là phần mặt phẳng nằm trên đường thẳng y
(tính cả đường thẳng y
) và được giới hạn bởi 2 2
hai đường tròn đồng tâm O(0;0) lần lượt có bán kính R1 1; R2 2 .
Dạng 3. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
Ví dụ 1. Trên tập số phức, tìm m để phương trình bậc hai 2
z mz i 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4 i . Lời giải. Gọi 1
z , z2 là 2 nghiệm của phương trình đã cho và m a bi với a,b .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 23 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2 2 a b 0 Theo bài toán, ta có: 2 2 z m 1 i 1 z2 4i suy ra 2 m 2i , dẫn tới hệ: hoặc m 1 i . 2ab 2
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức: 1. 2 z 2z 17 0 2. 2
z (2i 1)z 1 5i 0 4z 3 7i 2 2 3. z 2i 4. 2
25 5z 2 425z 6 0 z i Lời giải. 2 2 1. Ta có: 2 2 z 2z 1 16 z 1
16i 4i nên phương trình đã cho có hai nghiệm phức :
z1 1 4i; z2 1 4i . 2. Ta có: 2 2
(2i 1) 4(1 5i) 7 24i (3 4i)
3 4i là một căn bậc hai của .
Vậy phương trình có hai nghiệm: z1 i 1; z2 2 3i .
3. Điều kiện: z i
Phương trình 4z 3 7i (z i)(z 2i) 2
z (4 3i)z 1 7i 0 Ta có: 2 2
(4 3i) 4(1 7i) 3 4i (2 i)
phương trình có hai nghiệm : z1 3 i; z2 1 2i .
Kết hợp điều kiện, ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm
z1 3 i; z2 1 2i . 4. Phương trình 2 2 2
(25z 10) (50iz 12i) 0 2 2
(25z 50iz 10 12i)(25z 50iz 10 12i) 0 2 2 2 25z 50iz 10 12i 0 ( 5z 5i) 35 12i (1 6i) 2 2 2
25z 50iz 10 12i 0 ( 5z 5i) 35 12i (1 6i) 1 11i 1 i 1 11i 1 i hoặc 1 z ; z2 z ; z 5 5 3 4 5 5
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức: 1. 3 2
z (2 2i)z (5 4i)z 10i 0 biết phương trình có nghiệm thuần ảo 3 z i 2. 4 3 2
z 2z z 2z 1 0 3. 8 z 1 Lời giải.
1. Giả sử z xi là một nghiệm của phương trình . Khi đó, ta có: 3 2
x i (2 2i)x (5 4i)xi 10i 0 2 3 2 ( 2
x 4x) (x 2x 5x 10)i 0 2 2 x 4x 0
x 2 x 2i là một nghiệm của phương trình. Nên ta biến đổi phương trình đã 3 2
x 2x 5x 10 0 cho về dạng: z 2i 2 z 2i
(z 2i)(z 2z 5) 0 . 2 z 2z 5 0 z 1 2i
2. Vì z 0 không là nghiệm của phương trình nên 1 1 Phương trình 2 z 2(z ) 1 0 2 z z
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 24 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 1 2 1
(z ) 2(z ) 3 0 z z 1 Đặt Z z , ta có: 2 Z 1 Z 2Z 3 0 . z Z 3 1 1 3i 2 Z 1 z 1
z z 1 0 z z 2 2 3 5
Z 3 z 3z 1 0 z . 2 z i Z 2 3. Đặt Z , ta có: 3 2
Z 8 (Z 2)(Z 2Z 4) 0 z 1 Z 1 3i z i Z 2
2 z i 2z 2 z 2 i z 1 z i 5 3 2 3 Z 1 3i 1 3i z i . z 1 7 7 z i 5 3 2 3 Z 1 3i 1 3i z i . z 1 7 7 78y 16x 11y x 20 x 7 2 2 2 2 x y x y
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: ; 78x 11x 16y y 15 y 1 2 2 x y 2 2 x y Lời giải. 1 x yi
Xét số phức z x yi với x, y , suy ra . 2 2 z x y 78y x 20 1 2 2 x y 1. Hệ suy ra . Lấy
1 2 vế theo vế, ta được: 78x y i 15i 2 2 2 x y 78y 78x x y i 20 15i 3 . 2 2 2 2 x y x y x yi 78i
Phương trình 3 viết lại x yi 78i. 20 15i hay z 20 15i
4 do , quy đồng mẫu số 2 2 x y z
phương trình 4 và rút gọn ta được: 2
z 54 3i z 78i 0
5 , phương trình 5 có biệt số 2 16 9i nên
có nghiệm z 2 3i hoặc z 18 12i .
Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 2; 3 ,18;12 . 16x 11y 11x 16y 2. Hệ suy ra x i y 7 i 2 2 2 2 x y x y x iy x iy 16 11i x iy 16 11i 7 i 2 z 7 i z
7 i z 16 11i 0 , phương trình này có 2 2 2 2 x y x y z
hai nghiệm: z 2 3i,z 5 2i , hệ có nghiệm: x; y 2; 3 hoặc x; y 5; 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 25 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 3 12 10x 1 3 x 1 2 5x y 3x y
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình: ; 3 12 y 1 1 y 1 6 5x y 3x y Lời giải. 3 3 u 1 2 2 u v 2
1. Đặt u 5x , v y với u,v 0 , hệ cho có dạng: 3 v 1 1 2 2 u v 1 u vi Đặt z u iv 2 2 z u v 3 3 3 Hệ suy ra u 1 iv 1 i 2 2 2 2 u v u v 2 u iv 3 3 3 2 2i u iv 3 i z 2 2 u v 2 z 2 2
2z 3 2 2i z 6 0 , phương trình này có: 2 34 12 2i 2 6i suy ra có nghiệm 2 2i z 2 2i, z . 2 2 2i 2 1 Do u,v 0 nên chọn z do đó u ,v 1 x , y 1 2 2 10
Vậy, hệ cho có nghiệm 1 x; y ;1 10 2. Cách 1: 12 u 1 2 3 2 2 u v
Đặt u 3x , v y với u,v 0 , hệ cho có dạng: 12 v 1 6 2 2 u v 1 u vi Đặt z u iv 2 2 z u v 12 12 Hệ suy ra u 1 iv 1 2 3 6 2 2 2 2 u v u v u iv 12 u iv 12 2 3 6i z 2 3 6i 2 2 u v z 2
z 2 3 3i z 12 0 , phương trình này có: 2 6 6 3i 3 3 i suy ra có nghiệm
z 3 3 3 3i, z 3 3 3 3 i
Do u,v 0 nên chọn u 3 3,v 3 3 , do đó x; y 4 2 3;12 6 3
Vậy, hệ cho có nghiệm x; y 4 2 3;12 6 3
Cách 2: Điều kiện: x 0, y 0
Nhân phương trình đầu cho 3 , phương trình sau cho số ảo i , rồi cộng 2 vế ta được 12 3x yi
3x yi 2 3 6i y 3x
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 26 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 12
Đặt z 3x yi , phương trình trở thành: z
2 3 6i , phương trình này tương đương với z 2
z 2 3 6iz 12 0 z 3 3 3 3i x 4 2 3 Với 3x 3 3 z 3 3 3 3i y 3 3 y 12 6 3
Ví dụ 6.Cho số phức z thoả mãn điều kiện 10 9 11z
10iz 10iz 11 0. Chứng minh rằng z 1. Lời giải. 10 9 9 11z
10iz 10iz 11 0 z 11z 10i 11 10iz hay: 9 11 10iz z (1) 11z 10i
Đặt z x yi với x, y R . Từ (1) suy ra: 2 10 2 2 x y 2 9 11 220y 11 10iz z 11z 10i 2 11 2 2 x y 2 10 220y 21 21(1 x y ) 2 2 2 1 z 18 Suy ra z 1 2 2 2 2 2 2 11 (x y ) 100 220y 11 (x y ) 100 220y 21 1 z 18 2 2 2 z 1 1 z 0 2 2 2 11 (x y ) 100 220y 2 2 2 z 1
0 z 1 z 1 .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm căn bậc hai của số phức:
1. z 8 6i 2. z 33 56i 3. z 1 4i 3 4. z 5 12i
Bài 2: Tìm căn bậc hai của các số phức sau: 5 1. 3i 2 3 i 3. 5 1 2i 4 2. 1 i
Bài 3: Giải phương trình sau trên : 4z 3 7i 1. 2
z 1 3i z 2 2i 0 2.
z 2i Đề thi Cao đẳng năm 2009 z i 4 z 200 3. z
0 4. 3 2 z
3 1 2i z 3 8i z 2i 5 0 2 1 7i z
Bài 4: Giải phương trình sau trên : 1. 2
z 1 5i z 8 i 0 2. 2
z 3 4i z 5i 1 0 3. 2
z 3 2i z 5 5i 0 4. 2
z 8 1 i z 63 16i 0 5. 2
1 i z 2 1 2i z 4 0 6. 2
z 2i 1 z 1 5i 0
Bài 5: Giải phương trình sau trên : 1. 3 2 z
2 1 i z 5 4i z 10 0 2. 3 2 z
4 5i z 42 5i z 40i 0 3. 3 2 z
3 2 i z 25 9i z 30i 0 2 z 1
Bài 6: Giải phương trình: z 2
, biết z 3 4i là 1 nghiệm của phương trình. z 7
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 27 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2 2 1 z z2 5 2i 1
Bài 7: Giải phương hệ trình sau trên : 1 z z2 4 i 2 3x y 1 x 3 3x 1 2 2 2 x y x y
Bài 8: Giải hệ phương trình: , x 3y 1 y 0 7y 1 4 2 2 2 x y x y Bài 9:
1. Tìm các số thực a, b để: 3 2 2
2z 9z 14z 5 (2z 1)(z az b) rồi giải phương trình sau trên C: 3 2
2z 9z 14z 5 0 .
2. Tìm các số thực a, b để : 4 2 2 2
z 4z 16z 16 (z 2z 4)(z az b)
rồi giải phương trình sau trên C: 4 2
z 4z 16z 16 0 . Bài 10:
1. Tìm tất cả cá giá trị thực của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thực: 3 2
z (3 i)z 3z (m i) 0 .
2. Biết phương trình 2
1 i x i x 1 i 0 không có nghiệm thực. Tìm những giá trị có thể có của .
Bài 11: Giải các hệ sau trên tập số phức z 1 1 z z2 1 z z2 9 2i 1. 2. 2 2 z z 1 z z2 11 2i 1. z z Bài 1:
1. Xét số phức: x iy x,y ,
là căn bậc hai của số phức z 8 6i khi và chỉ khi 2 8 6i 2 2 2 2 2 x y 8 x y 8 x 9 x 3 x 3 hoặc 2 2 2 2xy 6 y 1 x y 10 y 1 y 1
Vậy, z 8 6i có 2 căn bậc 2 là 3
i hoặc 3 i
2. Xét số phức: x iy x,y ,
là căn bậc hai của số phức z 33 56i khi và chỉ khi 2 33 56i 2 2 2 2 2 x y 33 x y 33 x 49 x 7 x 7 hoặc 2 2 2 2xy 56 y 4 x y 65 y 16 y 4
Vậy, z 33 56i có 2 căn bậc 2 là 7 4i hoặc 7 4i
3. Xét số phức: x iy x,y ,
là căn bậc hai của số phức z 1 4i 3 khi và chỉ khi 2 1 4i 3 2 2 2 2 x y 1 x y 1 1 2xy 4 3 xy 2 3 2 2 3
Với x 0 thì phương trình 2 suy ra y
, rồi thay vào 1 , ta được: x 2 2 12 4 2 x 4 x 1
x x 12 0 x 3 2 2 x x 3
Với x 3 y 2 3 2i Với x 3 y 2 3 2i
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 28 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
4. Xét số phức: x iy x,y ,
là căn bậc hai của số phức z 5
12i khi và chỉ khi 2 x iy 5 12i 2 2
x y 2ixy 5 12i 2 2 2 2 2 x y 5 x y 5 x 4 x 2 2 2 2 2xy 12 y 3 x y 13 y 9 x 2 x 2
Vì x, y cùng dấu nên chọn hoặc . y 3 y 3 Vậy, z 5
12i có 2 căn bậc 2 là 2
3i hoặc 2 3i Bài 2: 5
1. Gỉa sử z x yi, x, y là căn bậc hai của số phức 3i 4 2 2 5 2 5 2 2 5 x y
z 3i x y 2xy.i 3i 4 4 4 2xy 3 3 3 y y 3 x 1 y 2x 2x 2x 3 . 2 9 5 2 9 5 4 2 y x x 4x 5x 9 0 2 2 2 4 4 4x 4x 5 3 3
Vậy 3i có hai căn bậc hai là : 1 i và 1 i . 4 2 2 2 3 i 2. Ta có:
7 i . Gỉa sử z x yi, x, y là căn bậc hai của số phức 7 i 1 i 2 2 2 2 2 x y 7
z 7 i x y 2xy.i 7 i 2xy 1 3 3 y y 3 x 1 y 2x 2x 2x 3 . 2 9 5 2 9 5 4 2 y x x 4x 5x 9 0 2 2 2 4 4 4x 4x 3 3
Vậy 7 i có hai căn bậc hai là: 1 i và 1 i . 2 2 3. Ta có: 5 1 2i 41 38.i .
Gỉa sử z x yi, x, y là căn bậc hai của số phức 41 38.i 2 2 2 2 2 x y 41
z 41 38.i x y 2xy.i 41 38.i 2xy 38 41 25 5 x 2 . 25 5 41 y 2 41 25 5 25 5 41 Vậy 5 1 2i
có hai căn bậc hai là i . 2 2
Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên như sau: 5 2
Ta có: 1 2i 1 2i 1 2i 3 4i 1 2i (*)
Do đó ta chỉ cần tìm hai căn bậc hai của 1 2i rồi thay vào (*) và thực hiện phép nhân. Bài 3:
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 29 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
1. Ta có: 2 2 1 3i
8 8i 1 6i 9i 8 8i 2i
Gọi x yi, x,y là một căn bậc hai của tức là 2 2 2 2 2 x y 0 x y 1
x y 2xyi 2i 1 i 2xy 2 x y 1
Kết luận phương trình có các nghiệm là: z1 1 i, z2 2i
2. Điều kiện: z i
Phương trình cho tương đương với: 4z 3 7i z iz 2i hay 2
z 4 3i z 1 7i 0
Cách 1: phương trình này có biệt số 3 4i 2 2 i 4i 4 i 2
z 1 2i hoặc z 3 i
Cách 2: Gọi x yi x,y là căn bậc hai của , khi đó 2 x yi 3 4i hay 2 2
x y 2xyi 3 4i suy ra 2 2 x y 3
x; y 2; 1 , 2 ; 1 2xy 4
z 1 2i hoặc z 3 i
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm z 1 2i hoặc z 3 i 4 2 4 z 2 200 2001 7i 3. Ta có: 2 z .z z z và 4 28i 2 z 1 7i 1 7i1 7i 2
Phương trình đã cho tương đương với z z 4 28i 0 , phương trình này có biệt số 2 15 112i 7 8i
Khi đó phương trình có nghiệm z 3 4i hoặc z 4 2i
Với z 3 4i suy ra z 3 4i Với z 4 2i suy ra z 4 2i
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm z 4
2i hoặc z 3 4i
4. Phương trình cho viết thành: 2 z 1 z 21 3i z 2i 5 0 z 1 2
z 2 1 3i z 2i 5 0
Phương trình có 2 '
1 2i nên có 2 nghiệm z i, z 2 5i
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm z 1 hoặc z i, z 2 5i Bài 4: 2 2
1. Vì 1 5i 48 i 8 6i 3 i nên z1 1 2i hoặc z2 2 3i 2. Vì 2 2 3 4i 4 4i i i 2
nên z1 2 3i hoặc z2 1 i . 3. z 1 3i , z 2 i 4. Vì 2 63 16i
1 8i nên z1 5 12i hoặc z2 3 4i . 5. z 2i , z 1 i 2 2
6. Ta có: 2i 1 41 5i 7
24i 3 4i
3 4i là một căn bậc hai của .
Vậy phương trình có hai nghiệm: z1 i 1; z2 2 3i . Bài 5: 1. z 2i, z 1 2i, z 1 2i 2. z 5i, z 2 5i, z 2 5i
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 30 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 3. z 3i, z 3 i, z 3 i
Bài 6: z 3 4i, z 3 4i, z 9 2 2 z z 5 2i z z 4 i Bài 7: 1 2 1 2 z z 4 i z z 5 5i 1 2 1 2 z 2 3
1 , z2 là nghiệm của phương trình: z 4 iz 5 5i 0 Ta có: 2 2 2 5 12i 4 2.2.3i 3 i 2 3i
Phương trình 3 có nghiệm z 1 2i hoặc z 3 i z 1 2i z 3 i
Vậy, hệ phương trình cho có nghiệm: 1 hoặc 1 z 2 3 i z 2 1 2i Bài 8: 1 x yi 1. 2 2
x y 0 , đặt z x iy . 2 2 z x y 3x y x 3y
Từ hệ phương trình cho suy ra x i y 3 2 2 2 2 x y x y 3x yi x yi 3 i x iy i 3 z 3 hay 2 z 3z 3 i 0. 2 2 2 2 z x y x y
Phương trình này có nghiệm z 2 i; z 1 i
Do đó hệ cho có nghiệm x; y 2;1 hoặc x; y 1; 1.
2. x 0, y 0 . Đặt u x , v y với u,v 0 . 1 2 u 1 2 2 u v 3 1 u vi Hệ cho có dạng: , đặt z u iv . 1 2 2 4 2 z u v v 1 2 2 u v 7 u iv 2 4 2 1 2 4 2
Từ hệ phương trình cho suy ra u iv i z i 2 2 4 2 z i z 1 0 , 2 2 u v 3 7 z 3 7 3 7 2 4 1 2 2 2 1 2 2 2
phương trình này có 2 2i nên có nghiệm z i 2i 2 i 21 3 7 21 3 21 7 1 2 2 2 1 2 2 2 z i 2i 2 i 3 7 21 3 21 7 1 2 2 2 Hệ cho có nghiệm 1 2 2 2 x; y ; 2 hoặc ; 2 . 3 21 7 3 21 7 Bài 9: 1. 3 2 2
2z 9z 14z 5 (2z 1)(z 4z 5) 3 2 1
2z 9z 14z 5 0 z ; z 2 i . 2 2. 4 2 2 2
z 4z 16z 16 (z 2z 4)(z 2z 4) 4 2
z 4z 16z 16 0 z 1 5; z 1 3i . Bài 10:
1. z là nghiệm thực của phương trình 3 2 z 3z 3z m 0 m 1; m 5 . 2 z 1 0
2. Nếu phương trình có một nghiệm thực r thì:
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 31 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
2 2 2 1 i r i r 1 i 0 r
r 1 i r r 0 2 2 2 r r 1 0 r r 1 0 r r 1 0 1 Từ phương trình 2 ta có: 2 r r 0
r r 1 0
1r 1 0 2 *) Nếu 1 thì từ 1 suy ra 2
r r 1 0 , phương trình này không có nghiệm thực. *) Nếu r 1 thì từ
1 suy ra 1 1 0 2.
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm thực khi và chỉ khi 2. Bài 11: 1. Đặt S 1 z z2 ;P z1z2 . S P 9 2i S 2 i S 4 i Ta có hệ : hoặc . 2 S 2P 1 1 2i P 7 i P 13 3i 7 3 3 7
Từ đó ta tìm được các nghiệm là (z 1; z2 ) i; i , i; i . 2 2 2 2
2. Vì z 1 nên đặt z cos x i sin x,x [0; 2 ) . Ta có 2 2
z cos 2x i sin 2x, z cos 2x i sin 2x nên 2 2 2 2 z z z z z z 1 2 cos 2x 2 z z zz z 2 1 1 k cos 2x 1 cos 4x x ,k . 4 2 6 2 Vì x [0; 2 ) nên các nghiệm x là 2 5 7 x 1 ,x2 , x3 ,x4 , x5 , 6 3 3 6 6 4 5 11 x 6 , x7 , x8 3 3 6
Vậy zk cos xk isin xk ,k {1; 2;...;8}.
Dạng 4. Phương trình quy về bậc hai
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 2
Bài 1: Giải phương trình sau trên : 4 3 z z z z 1 0 2
Bài 2: Giải phương trình: 1. 4 2 z 2 i z 2i 0 2. 4 3 2
2z 7z 9z 7z 2 0 3. 4 3 2 4z 6 10i z
15i 8 z 6 10i z 4 0
4. 4 3 2 z 3 i z
4 3i z 2 3 i z 4 0 2 2 5. 2
25 5z 2 425z 6 0
Bài 3: Giải phương trình: 4 4 2
1. z 4 z 6 82 2 2. 2
z 1 z 3 0 4 4 3. 2
z 1 16z 1
4. zz 2z
1 z 3 10
Bài 4: Gọi z1,z2 ,z3 ,z4 là các nghiệm phức của phương trình 4 z 1 1 2 2 2 2 . Tính P 1 z 1 z2 1z3 1 z4 1 . 2z i
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 32 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Bài 1: Vì z 0 không là nghiệm phương trình, nên chia cả 2 vế phương trình đã cho với 2 z , ta được phương 2 1 1 5 trình: z z 0 z z 2 2 2 1 1 3i 1 3i
Đặt t z , phương trình trở thành: 2 5 t t 0 2 1 9 t t t t hoặc z 2 4 4 2 2 2 1 3i t 2 1 3i 1 1 3i 1 1 Với t tức z 2
2z 1 3i z 2 0 z 1 i hoặc z i . 2 z 2 2 2 1 3i 1 1 3i 1 1 Với t tức z 2
2z 1 3i z 2 0 z 1 i hoặc z i . 2 z 2 2 2 1 1 1 1
Vậy, phương trình cho có 4 nghiệm z 1 i, z 1 i, z i, z i . 2 2 2 2 Bài 2: 2 1. 2
t 2 i t 2i 0 , 2
t z t 2 hoặc t i . Suy ra: z i 2,z 1 i 2
2. Nhận thấy z 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế phương trình cho 2 z ta được: 2 1 1 2 z 7 z 9 0 2 z z 2 1 5 1 i 3 1
2t 7t 5 0, t z t 1 hoặc t z , z 2, z . z 2 2 2 1 1 1 1 3. 2 4 z 6 10i z
15i 8 0 z 2, z , z 2i, z i 2 z z 2 2 4 2 4. 2 z 3 i z 4 3i 0 2 z z 2 2
5. Phương trình 2
25z 10 50iz 12i 0 2 2 25z
50iz 10 12i 25z 50iz 10 12i 0
25z 50iz 10 12i 0 5z 5i2 3
5 12i 1 6i2 2 2 25z 50iz 10 12i 0 5z 5i2 35 12i 1 6i2 1 11i 1 i 1 z ; z2 5 5 . 1 11i 1 i z3 ; z4 5 5 Bài 3: 4 6 1. 4 2
t 6t 40 0, t z z 5 2 2 t 4 hoặc 2 t i 10 z 3 , z 7 , z 5 i 10 2 2 2. 2 2 z 1 i z 3 3. z 1,
z 2i 1, z 2i 1,z 3 4. 2 2 z 2z z 2z 3 0 4 4
Bài 4: Ta có phương trình f z 2z i z 1 0
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 33 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 f z 15z 1
z z z2 z z3 z z4 f i .f i 2 Vì z 1 1 1 z i 1 z i P 225 4 4 4 Mà 4
f i i i 1 5; f i 3i i 1 85 17 Vậy P . 9
Dạng 5. Dạng lượng giác của số phức
Ví dụ 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác . Từ đó hãy viết dạng đại số của 2012 z 1. z 2 2i
2. z 6 2i
3. z 1 cos i sin 8 8 Lời giải. 2 2 r ( 2 ) 2 2 2 r 2 2 2 1
1. Ta có: sin 3 2 2 2 4 1 cos 2 3 3 Vậy z 2 2 cos i sin . 4 4 2012 2012 2012 3 3 3018 z (2 2) cos i sin 2
cos 503 isin 503 3018 2 4 4 Vậy 2012 3018 z 2 . 3 1
2. Ta có: z 2 2 i 2 2 cos i sin 2 2 6 6 2012 3018 10 06 10 06 3018 2 2 z 2 cos i sin 2 cos i sin 3 3 3 3 1 3 3018 3017 2 i 2 ( 1 3i) . 2 2 3. Ta có: 2 z 2 sin 2i sin cos 2 sin sin i cos 16 16 16 16 16 16 7 7 2 sin cos i sin 16 16 16 2012 2012 2012 7 7 z 2 sin cos i sin 16 16 16 2012 3521 3521 2 sin cos i sin 16 4 4 2012 2012 2 2 2 sin cos i sin 2 sin i . 16 4 4 16 2 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 34 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Ví dụ 2. Gọi 2 1
z , z2 là 2 nghiệm của phương trình: z 1 31 iz 4i 0 . Tính giá trị biểu thức 2012 2012 Q 1 z z2 Lời giải. Phương trình: 2
z 1 31 iz 4i 0 có biệt số 2i4 2 3 2 Dễ thấy 2 4 2 3 3 1 , 2 2i i 1 . Khi đó 3 1i 1
Suy ra phương trình cho có 2 nghiệm z1 3 i, z2 1 i 3 Mặt khác 1 z 3 i 2 cos i sin , 6 6 1 z 3 i 2 cos i sin . 3 3 Khi đó : 2012 2012 2012 2012 2012 Q 2 cos i sin cos i sin 6 6 3 3 2012 1 3 1 3 2012 Q 2 i i 2 2 2 2 2 1
Ví dụ 3. Tìm số phức z sao cho 5 z và
là hai số phức liên hợp. 2 z Lời giải. 5 5
z r (cos 5 i sin 5 ) 1 1 cos 2 i sin 2 1 cos 2 i sin 2 2 2 . z
r cos 2 i sin 2 2 r 2 r 1 1 Do đó 5 z và
là hai số phức liên hợp khi và chỉ khi 5 z . 2 z 2 z 1 Hay là: 5 r cos 5 i sin 5 cos 2 i sin 2 2 r 5 1 r 1 r k2 k2 2 k z cos i sin r k2 3 3 5 2 k2 3 Vì [0; 2 ) nên k {0;1; 2}. k2 k2
Vậy số phức cần tìm là z cos i sin với k {0;1; 2}. 3 3 1
Ví dụ 4. Giải phương trình cos x cos 2x cos 3x . 2 Lời giải. 2 4 6 z 1 z 1 z 1
Đặt z cos x i sin x thế thì cos x ,cos 2x ,cos 3x 2 3 2z 2z 2z 2 4 6 z 1 z 1 z 1 1
Phương trình cho trở thành: 2 3 2z 2 2z 2z 6 5 4 3 2
z z z z z z 1 0 *
Vì z 1 không là nghiệm phương trình, nên z 1 ta có: 6 5 4 3 2 7 * z 1 z z z z z z 1 0 z 1 0
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 35 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 k2 k2 Hay 7
z 1 cos i sin nên z cos i sin
với k 0; 6. Vì z 1 nên không nhận giá trị 7 7 k 3. 3
Vậy, phương trình cho có nghiệm: x m2, x m2 7 7 5 9 11 13 x m2, x m2, x m2, x m2 với m . 7 7 7 7 1
Ví dụ 5. Giải phương trình : cos x cos 3x cos 5x cos7x cos 9x . 2 Lời giải. Ta có cos x 1
không là nghiệm của phương trình.
Đặt z cos x i sin x với x 0; 2 . Ta có 1 z 1, z cos x i sin x và: 1 n n
2 cos x z z , 2 cos nx z z
Vậy phương trình đã cho trở thành: 1 3 1 5 1 7 1 9 1 z z z z z 1 3 5 7 9 z z z z z 2 4 18 9 20 11 9
1 z z ... z z z 1 z z
11 9 11 9 z 1 z 1 0 z 1,z 1 k2 k2 Nếu 9 z 1 thì 9
z cos 0 i sin 0 nên z cos i sin , k 0; 8 . 9 9 k2 Vì x 0; 2 và z 1 nên x , k 1; 8. 9 k2
Do đó nghiệm của phương trình đã cho là x
2mk 1; 8 ,m 9 Nếu 11 z 1 thì 11 z
cos i sin nên: k2 k2 z cos i sin , k 0;10 . 11 11 k2 Vì x 0; 2 và z 1 nên x , k 0; 9. 11 k2
Suy ra nghiệm cần tìm là x
2mk 0; 9 ,m . 11 k2
Vậy các nghiệm của phương trình là: x
2mk 1; 8 ,m và 9 k2 x
2mk 0; 9 ,m . 11
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 : 12 12
1. Tính A 1 i 1 i 3 1 i 3
2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . 1 i
Đề thi Đại học Khối B – năm 2011 4 4 z z 3. Cho số phức z z z z 0 1 2 1 z , z2 thỏa mãn 1 2 1 2 . Tính A z 2 z 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 36 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2 1 3i
4. Cho số phức z thỏa mãn z
. Tìm môđun của số phức z iz 1 i
Đề thi Đại học Khối A – năm 2010 Bài 2 :
1. Tính giá trị biểu thức S C 3C 3 C ... 1k 0 2 2 4 2k 1004 2008 1006 2010 2010 2010 2010 C2010 ... 3 C2010 3 C2010
2. Rút gọn biểu thức:
A cos x cos 2x cos 3x ... cos nx B sin x sin 2x sin 3x ... sin nx
Bài 3 : Tính tích phân 2 4 s in5x cos 5x 2. J dx 1. I dx sin x cos x 0 0
Bài 4 : Cho dãy số un xác định bởi u u 1 1, u 2 0, u n 2 un 1 u n
. Chứng minh n bị chặn. n
Bài 5 : Viết các số phức sau dưới dạng đại số 2012 1 i 1. z 2. 40 19 z (1 i) 1 3i 1 3i z1 z2 z3 1
Bài 6 : Cho ba số phức z1,z2 ,z3 thoả mãn hệ: z z z . 1 2 3 1 z 2 z3 z1
Tính giá trị của biểu thức T 1 az bz2 cz3 với a,b,c .
Bài 7 : Viết dạng lượng giác của các số phức sau: 1. z 3 3i 2. z 2 cos i sin 6 6 3. z cos i sin 4. z sin i cos 9 9 7 7 7 8 1 3i 3 i 5. z 1 sin i cos 6. z 8 8 1 i9
Bài 8 : Viết các số phức sau dưới dạng đại số. 9 (1 3) 1. z 1 3i 2. 11 z (1 i) 3. z 5 (1 i) 10 5 (1 i) ( 3 i) 34 20 (1 2i) (1 i) 4. z 2i 5. z 10 ( 1 3i) 22 ( 3 i)
Bài 9 : Tìm số phức z ở dạng lượng giác biết rằng: 5
1. z 2 và một argument của 1 i z là . 12
2. zz 9 và một argument của 1 3i z là . 4 1 z 2 3. z và một argument của là . 4 3 i 3 3 z 1 i 4 3 3i 4. z và một argument của là . 16 1 3 3i 12
Bài 10 : Tìm các số nguyên dương n để số phức sau là số thực? số ảo? n n n 13 3 9i 7 17i 5 9 11 3i 1. 2. 3. 12 3i 2n 2 3i2n 3 3 2i
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 37 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Bài 11 : Tìm số phức z thoả mãn: 1 1. 4 z và
là hai số phức liên hợp của nhau. 3 z 32 2. 3 z và
là hai số phức liên hợp. 2 z Bài 1: 1 1 1. 1 i 2 i 2 cos i sin ,1 i 2 cos i sin 2 2 4 4 4 4 12 12 12 12 12
A 1 i 1 i 2 cos i sin cos i sin 4 4 4 4 64 2cos 3 1 28 3 2 cos i sin 3 3 cos i sin 2. z 8 3 3 2 cos i sin cos i sin 4 4 4 4 3 3 2 2 cos i sin 2 2 cos i sin 2 2i 4 4 4 4
Vậy phần thực của z là 2 và phần ảo của z là 2 . z
3. Đặt 1 w và w a bi
a, b , khi đó z z z z 0 z w z z w z 0 tương z 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 3
đương với w 1 w 1 tức 2 2 2 2 a 1
b a b 1 hay a , b . 2 2 4 1 3 1 4 4 * Với w i cos i sin . Ta có 4 4 4 w cos i sin và cos i sin . Do đó 2 2 3 3 3 3 w 3 3 4 A 2 cos 1 . 3 1 3 * Với w
i , tương tự ta cũng có A 1 . 2 2 4. Cách 1: 3 1 1
Ta có: z 1 3i 1 i 2 3
1 3 3i 3.1.3i 3 3i 1 i 2 2 1
1 3 3i 9 3 3i1 i 4 1 i iz 4 4i . 2 Do đó z iz 4
4i 4i 4 8 1 i 8 2 .
Cách 2: Ta có 1 3i 2 cos i sin 3 3 3
1 3i 8cos isin 8 8 8 1 i z 4 4i 1 i 2
z iz 4 4i i 4 4i 81 i z iz 8 2 . Bài 2 : 2010 2010 1 1. 1 i 3 1 i 3 0 2 2 4 C 1k k 2k 1004 2008 1005 2010 2010 3C2010 3 C2010 ... 3 C ... 3 C 3 C 2 2010 2010 2010
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 38 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2010 2010 1 i 3 1 i 3 2010 2010 2010 2010 -2010 -2010 2 cos sin 2 cos sin 3 3 3 3
2. 1 A iB 1 cos x i sin x cos 2x i sin 2x ... cos nx i sin nx 2 n 1 cos x i sin x cos x i sin x ... cos x i sin x n1 1 cos x i sin x
1 cosn 1 x i sin n 1 x 1 cos x i sin x 1 cos x i sin x 2 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 2 sin x 2i sin x cos x sin x sin x i cos x 2 2 2 2 2 2 . 2 x x x x x x 2 sin 2i sin cos sin sin i cos 2 2 2 2 2 2 n 1 n 1 x x n 1 sin x i cos x sin i cos sin x 2 2 2 2 2 . x 1 sin 2 n 1 n 1x nx n 1 nx sin x sin .cos sin x.sin nx nx 2 2 2 2 2 . cos i sin i x 2 2 x x sin sin sin 2 2 2
So sánh phần thực và phần ảo 2 vế ta thu được kết quả: n 1x nx n 1 nx sin .cos sin x.sin 2 2 A 1 , 2 2 B x x sin sin 2 2 Bài 3 : Để ý 5 cos 5x i sin 5x cos x i sin x 1. Suy ra 5 3 2 4
cos 5x cos x 10 cos x sin x 5 cos x sin x 2. Suy ra 4 3 2 5
s in5x 5sin x.cos x 10 sin x cos x sin x
Bài 4 : Phương trình đặc trưng của dãy số đã cho 2
x x 1 0 có 2 nghiệm phức là x , 1 cos i sin 3 3 n n x , nên n u 1 A.cos B.sin , n . Vì nên có 2 cos i sin u 1, u 0 3 3 n 1 2 3 3 A B 3 A 1 1 u 1 A.cos B.sin 1 3 3 2 2 tức . 2 3 2 u A B 3 B 0 0 A.cos B.sin 0 3 3 3 2 2 2 n 3 n n 3 n 3 Suy ra u 2 n cos .sin , n . Vậy, u cos .sin 1 , n
tức un bị 3 3 3 n 3 3 3 3 chặn. Bài 5 :
1. Ta có: 1 i 2 cos( ) i sin( )
và 1 3i 2 cos( ) i sin( ) 4 4 6 6 1 i 1 cos( ) i sin( ) 1 3i 2 12 12
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 39 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2012 1 i 1 503 503 cos( ) i sin( ) 1006 1 3i 2 3 3 1 1 3 1 3 i i . 1006 1007 1007 2 2 2 2 2
2. Ta có: 1 i 2 cos i sin 19 9 3 3 (1 i) 2 2 cos i sin 4 4 4 4 1 3i 2 cos i sin 40 40 2 2 (1 3i) 2 cos( ) i sin( ) 3 3 3 3 49 3 3 2 2 z 2 2 cos i sin cos( ) i sin( ) 4 4 3 3 49 48 2 2 cos i sin 2 3 1( 3 1)i . 12 12 z z z Bài 6 : Vì 1 2 1 z z2 z3 1 nên 3
1, do đó có thể đặt: z2 z3 z1 1 z z2 cos x i sin x, cos y i sin y z2 z3 z z z Suy ra 3 3 2 .
cos x y i sin x y. z1 z2 z1 z z z
cos x cos y cosx y 1 Mà 1 2 3 1 nên . z2 z3 z1
sin x sin y sinx y 0
Ta có 0 sin x sin y sin x y x y x y x y x y 2 sin cos 2 sin cos 2 2 2 2 x y x y x y x y x y 2 sin cos cos 4 sin sin sin 2 2 2 2 2 2
Suy ra hoặc x k2 hoặc y k2 hoặc x y k2, do đó hai trong ba số z1,z2 ,z3 bằng nhau. Giả sử z1 z2 2 z z z z z thì 1 3 1 3 0 hay ta có 3
1 z iz . z 3 1 3 z1 z3 1 z z 1 Do đó: a 1 z bz2 cz3 a 1 z b 1 z ic 1 z 2 2 1 z a b ic a b c
Vậy T nhận một trong ba giá trị sau: 2 2 a b c hoặc 2 2 b c a hoặc 2 2 c a b . Bài 7 : 3 3 5 5 1. z 3 2 cos i sin 2. z 2 cos i sin 4 4 6 6 5 5 3. z cos i sin 4. z cos i sin 9 9 14 14 5 5 5. z cos sin cos i sin 6. 21 11 11 z 2 cos i sin 16 16 16 16 12 12 Bài 8 : 10 1. 10 9 z 2 cos i sin 2 1 i 3 3 3
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 40 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 11 11 1 2 1 2. z cos i sin ( 1 i) 1 i 64 4 4 64 9
2 cos(3) i sin(3) 3. z 64(1 i) 5 5 4 2 cos i sin 4 4 4. z 1 5. 22 z 2 Bài 9 : 7 7
1. z 2 cos i sin 2. z 3 cos i sin 6 6 12 12 1 5 5 3 3. z cos i sin 4. z cos i sin . 2 6 6 16 Bài 10 : 1. n n n n z 3 i 2 cos i sin 6 6
z n 6k,z \ n 2 6k,k .
2. n n n n z 1 i 2 cos i sin 4 4
z n 4k,z \ n 2 4k,k . 3. n n 4n 4n z 1 3i 2 cos i sin 3 3
z n 3k,k . Không tồn tại n để z là số ảo. Bài 11 :
1. z 1 cos 0 i sin 0 2k 2k 2. zk 2cos i sin , k 0;1; 2; 3; 4 5 5
Dạng 6. Cực trị của số phức
Ví dụ 1. Cho số phức z thỏa mãn: z 4 3i 3 . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất. Lời giải.
Đặt z a bi
a, b . Khi đó z 4 3i 3 a4 b3 i 3
a42 b32 9 . Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn bài toán nằm trên đường tròn C tâm I 4; 3
và bán kính R 3
z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm M C và gần O nhất .
Khi đó M là giao điểm của C và đường thẳng OI , với M là giao điểm gần O hơn và 2 2 OI 4 3 5 Kẻ MH Ox . MH OM OI R 5 3 2 6
Theo định lí talet, ta có: MH 3 OI 5 5 5 5 OH OM 4 Lại có: OH 2 OI 5 4 6
Vậy, số phức cần tìm là z i 5 5
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 41 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Lời giải.
Cách 1: áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có
|z||3 4i| z 3 4i 4 4
|3 4i| z 4|3 4i| 1 z 9 . 3 4 z 1 z i min z 1 5 5 27 36 z 9 z i max z 9 . 5 5
Cách 2: Đặt z x iy z 3 4i x 3 y 4i Nên từ giả thiết 2 2
(x 3) (y 4) 16 2 2
x y 2(3x 4y) 9 0 (*) 2 Do 2 2 2 2 2 2 3x 4y 25 x y
5 x y 3x 4y 5 x y 2 2 2 2
x y 10 x y 9 0 Nên từ (*) ta có: 2 2 2 2
x y 10 x y 9 0 2 2
1 x y 9 1 z 9 .
Tương tự như trên: min z 1 và max z 9 .
Chú ý: Ta có thể giải bài toán theo cách sau 2 2
Từ x 3 y 4 16 0; 2 sao cho: x 3 4 sin ; y 4 4 cos . Khi đó: 2 2 2 z (3 4 sin ) 4 4 cos
41 8 3sin 4 cos 2
Do 5 3sin 4 cos 5 1 z 81 1 z 9 . i m
Ví dụ 3. Cho số phức z , m . 1 m m 2i 1 1. Tìm m để z.z 2
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn tại m để z 1 k Lời giải. m i 2 1 m 2mi m i m i 1. z 1 m m 2i
1 m 2mi 1 m 2 2 2 2 2mi m 1 m 1 2 2 m 1 1 z.z 2 2 2 m 1 m 1 m 1 1 1 1 Mà z.z tức hay 2
m 1 2 m 1 . 2 2 m 1 2 i m 1 1 m i 2. Ta có: z z 1 2 2 i 2mi m i m m i 2 1 m i m 2m 2 z 1 2 m i m 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 42 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 k 0 2 m 2m 2 2
z 1 k m 2m 2 . Xét hàm số f m 2 2 k m 1 2 m 1 2 2 m m 1 Ta có: f 'm 1 5 f ' m 0 m . 2 m 12 2
Lập bảng biến thiên ta có 1 5 3 5 min f m f 2 2 Yêu cầu bài toán 2 3 5 3 5 5 1 k k 2 2 2 5 1 Vậy k là giá trị phải tìm. 2
Bài toán còn có thể mở rộng : 1
2. Tìm số phức z có môđun lớn nhất.
1. Tìm m để z i 4
Ví dụ 4. Tìm số phức z thỏa mãn: z 2i có một acgumen bằng một acgumen của z 2 cộng với . Tìm giá 4
trị lớn nhất của biểu thức T z 1 z i Lời giải. Đặt z a bi
a, b . Khi đó z 2i có một acgumen bằng một acgumen của z 2 cộng với nên 4 z 2i r cos i sin với r 0 . z 2 4 4 a
b 2i aa 2 bb 2 a 2b 2 ab z 2i i z 2 a 2 bi a 22 b a 22 2 2 b
a a 2 bb 2 a 2b 2 ab Suy ra 0 a 22 b a 22 2 2 b 2 2 a b 2 a 22 2 b 0 a b 2 0
Ta có: T z 1 z i a 1 bi a b 1i 2 2 2 2 a 1 b a b 1
3 2a 3 2b do
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân, ta được: 2 2 2 T 2 6 2a 2b 2 6 2 a b 20
Suy ra T 2 5 , đẳng thức xảy ra khi a b 1
Vậy, giá trị lớn nhất của T là 2 5 , đạt khi z 1 i CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn:
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 43 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 z 1 5i z 3 4i 1 1. 1 2. log 1 1 z 3 i 3 z 3 4i 3 2
Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn:
1. z 1 2i 2 . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất.
2. z 2 4i z 2i . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất. Bài 3:
1. Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Chứng minh rằng: 3 2
1 1 z 1 z z 5 2 2 2 2 2. Chứng minh: z 1 z2 1 z z2 2 z1 z2 2
3. Chứng minh rằng với mỗi số phức z , có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy ra: z 1 hoặc 2 2 z 1 1 . 1 1
4. Cho số phức z 0 thỏa mãn 3 z 2 . Chứng minh: z 2 3 z z
Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời thỏa 2 điều kiện: z z 4 3i và biểu thức A z 1 i z 2 3i có giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: Cho hai số phức z1 và z2 . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1. 1 z z2 1 z z2 2 1 z z2 2 2 2 2 2. 1 1 z z2 1 z z2 1 1 z z2 1 z z2 3. z 1 z2 z1 z2 1 z z2 .
Bài 6: Cho số phức z thỏa z 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: z 5i A 2 3
B z z 1 z 1 z
Bài 7: Cho số phức thoả mãn z 1 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của: A 1 z 3 1 z 2
B 1 z 1 z z
Bài 8: Cho số phức thoả mãn z 2 2i 1. Tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z .
Bài 9: Cho các số phức a, b,c . Đặt a b m, a b n với mn 0 . Chứng mỉnh rằng: mn max ac b , bc a . 2 2 m n Bài 1:
1. Gọi z a bi, a,b là số phức cần tìm và a 3, b 1
a 1 b 5i
a 1 b 5i a 3 b 1i Ta có: 1
1 , rút gọn đẳng thức ta được: a 3b 4 , từ
a 3 b 1i
a 32 b 2 1 đây tìm được 2 2 8 a b 5 a 3b 4 2 10 2 6 Vậy, min z khi z i b 5 a 5 5 3
2. Gọi z a bi, a,b là số phức cần tìm. z 3 4i 1 1 Giả thiết
z 3 4i 5 a 3 b 4i 5 3 z 3 4i 3 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 44 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Do đó tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thoả mãn là đường tròn tâm I 3; 4 bán kính R 5 . z 3 4i 1
Khi đó số phức z thoả mãn log
là số phức có môđun lớn nhất thì điểm biểu diễn của z là 1 1 3 z 3 4i 3 2
điểm đối xứng với O0;0 qua I3; 4
N đối xứng với O qua I có toạ độ là N6; 8
Vậy, số phức z cần tìm là z 6 8i Bài 2: 2 2
1. Đặt z a bi
a, b . Khi đó z 1 2i 2 a 1 b 2 4 2 2
Vậy, tập hợp điểm M là đường tròn: x 1 y 2 4 có tâm I1; 2 .
Đường thẳng OI có phương trình: y 2x .
z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm M C và gần O nhất , điểm đó chỉ là 1 trong 2 giao điểm đường thẳng OI với C . 2 4 z 1 2 i 5 5
2. Giả thiết suy ra: b a 4
Tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z là đường thẳng b a 4 Mặt khác 2 2 2 z a b 2 a 2 8 2 2 . z
2 2 khi x; y 2; 2 z 2 2i . min Bài 3: 3 2 1. Ta có: 3 2
1 z 1 z z 1 z 1 z z 5
Do z 1 1 z 1 z 2 1 Và 3 3 3 1 z 0 1 z 1 z 2 3 1 z 3 2 3 1 3 1 3
1 z 1 z z 1 z 1 z 1 z 1 z 2 2 1 3 3 1 z 1 z 1 . 2 2
2. Dễ dàng chứng minh được: z.z z 2 2 1 z z2 1 z z2 1 z z2 1 z z2 1 z z2 1 z z2 2 2 2 2 z z z z z z z z z z z z 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 z1 z2 2
3. Giả sử ta có đồng thời z 1 và 2 z 1 1 2 2 2 1 1 a b Ta có: 2
, cộng vế theo vế suy ra đpcm. 1 a b 2 2 2 2 2 4a b 1 4. Với 2 số phức z z z z 1 z , z2 ta luôn có: 1 2 1 2 3 1 1 1 Từ 3 z z 3 z 3 z z z
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 45 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 3 1 1 1 1 Suy ra 3 z z 3 z 2 3 z 3 z z z z 1 Đặt m z , ta được 3
m 3m 2 0 m 2 đpcm z
Bài 4: Đặt z x yi, x,y
z z 4 3i 8x 6y 25 0 . Tập hợp điểm Mx; y biểu diễn số phức z là đường thẳng 8x 6y 25 0 .
2 2 2 2 A z 1 i z 2 3i A x 1 y 1 x 2 y 3 Xét E 1 ; 1 , F2; 3 và Mx; y
Bài toán trở thành : Tìm điểm M thuộc đường thẳng 8x 6y 25 0 sao cho ME MF nhỏ nhất. Bài 5: 2 2 1.Ta có: z 1 z2 1 z z2 (z1 z2 )(z1 z2 ) (z1 z2)( 1 z z2 ) (z1 z2 )( 1 z z2 ) (z1 z2 )( 1 z z2 ) 2 2 2(z 1 1 z z2z2 ) 2 1 z z2 2 2.Ta có 2 1 1 z z2 1 z z2 (1 1 z z2 )(1 1 z z2 ) (z1 z2 )( 1 z z2 ) (1 1 z z2 )(1 1 z z2 ) ( 1 z z2)( 1 z z2 ) 2 2 2 2 1 1 z z2 1 z z2 (1) 2 2 2 2 2 Mặt khác: 1 1 z z2 1 z z2 1 2 1 z z2 1 z z2 1 z 2 1 z z2 z2 . 2 2 2 2 Vì 2 2 1 z z2 1 z z2 nên (1 1 z z2 ) ( z1 z2 ) 1 z1 z2 z1 z2 (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
3. Gọi M, N,P lần lượt là biểu diễn hình học của 1 z , z2 và z1 z2 OM 1 z , ON z2 và PO 1 z z2 y P Ta có: 1 z z2 OP OM MP OM ON 1 z z2 N M 1 z z2 OM ON OM MP OP 1 z z2 . O x Bài 6: 5i 1.Ta có: A 1 z 5i 5i 5i Mà 4 1 1
1 6 4 A 6 . z z z
khi z i A 4 , suy ra min A 4
khi z i A 6 , suy ra max A 6 . 2 3
2. Ta có: B z z 1 z 1 5
Đẳng thức xảy ra khi z 1 . Vậy max B 5 . 3 3 3 1 z 1 z 1 z 3 3 1 z 1 z Mặt khác: 3 B 1 z 1 . 1 z 2 2 2
Đẳng thức xảy ra khi z 1 . Vậy min B 1 .
Đặt z x yi với x, y . Vì z 1 nên 2 2 y 1 x và x 1 ;1 .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 46 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Bài 7: 1.Ta có: 2 2 2 1 z 1 x y 2 1 x , 2 1 z 1 x y 2 1 x Do đó 1 z 3 1 z 2 1 x 3 2 1 x f x
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: f x 2 1 x 3 2 1 x với x 1 ;1 .
Hàm số liên tục trên x 1 ;1 và với x 1 ;1 thì: 1 3 f x , 4 f x 0 x 2 1 x 2 1 x 5 Mà 4 f 1 2,f 1 6,f 2 10 nên: 5 4 3
max A 2 10 khi z i z 1 5 5 min A 2 khi z 1 z 1 2. Vì 2 2 1 z z 2x x i 2x 1 y nên 2 2 2 2 2 1 z z 2x x y 2x 1 2 2 2 2x 1 x y 2x 1 Vậy nên 2
B 1 z 1 z z 21 x 2x 1 . Đặt g x
2 1 x 2x 1 với x 1 ;1 . Xét hai trường hợp: 1
Trường hợp 1: Xét x ;1 thì g x 2 1 x 2x 1 2 1 1 Ta có g x 2 0 x ;1 nên: 2 2 1 x 1 max g x g 1
3, min g x g 3 . 1 1 2 ;1 ;1 2 2 1
Trường hợp 2: Xét x 1 ; thì g x 2 1 x 2x 1 2 1 7 Vì g x
2 0,g x 0 x và: 8 2 1 x 7 13 1 g 1 3,g ,g 3 8 4 2 7 13 Nên max g x g
và không tồn tại giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. 1 8 4 1; 2
So sánh hai trường hợp, ta có: 13 7 15 max B khi z i z 1 4 8 8 1 3 min B 3 khi z i . z 1 2 2
Bài 8: Đặt z x yi với x, y . Vì z 2 2i 1 nên:
2 x 2 y 2 i 1 x 2 y 22 1.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 47 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Vì thế có thể đổi biến x 2 cos t, y 2 sin t với 0 t 2 . 2 2 Khi đó: 2 2
x y cos t 2 sin t 2
9 4sin t cos t 9 4 2 sin t 4 Mà 1
sin t 1 nên 2 2
9 4 2 x y 9 4 2 , do đó: 4
9 4 2 z 9 4 2 2 2 1 z 2 2 1 7 2 2 z 2 2 1 khi t hay x 2 , y 2 . 4 2 2 2 2
Vậy min z 2 2 1 đạt được khi z 2 i 2 . 2 2 3 2 2 z 2 2 1 khi t hay x 2 , y 2 . 4 2 2 2 2
Vậy max z 2 2 1 đạt được khi z 2 i 2 . 2 2 b . ac b a . bc a
Bài 9: Ta có: max ac b , a bc a b 2 2 abc b abc a 2 2 2 2 abc a (abc b ) a b mn a b a b a b a b 2 2 2 2 2 Mà 2 2 a b 2 a b
a b a b m n mn
max ac b , bc a đpcm. 2 2 m n
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Chọn D. 2 2 Câu 2. Ta có 2
z a bi 2
a abi bi 2 2
a abi b 2 2 2 2
a b 2abi. Chọn B.
Câu 3. Số phức thuần ảo là số phức có phần thực bằng 0. Chọn B.
Câu 4. Số phức 3 2 2i có phần thực a 3, phần ảo b 2 2 .
Vậy P ab 6 2 . Chọn D. a 1
Câu 5. Ta có z i 1i 2
i i i 1 1i . Chọn B. b 1 2 2 2
Câu 6. Ta có z 2 3i 2 2. 2.3i 3i 2 6 2i 9 7 6 2i.
Suy ra T 7 6 2. Chọn C.
Câu 7. Ta có z i 2 3 4 3
13i 3i i 4 3i 13i 3i 25i . Chọn C.
Câu 8. Để z là số thuần ảo 2
m 1 0 m 1. Chọn C.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 48 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2 m 1 0
Sai lầm thường hợp là: '' z là số thuần ảo m 1. m 1 0 2
Câu 9. Ta có z x iy 2x iy 5 2 2
x 2ixy y 2x 2iy 5 2 2
x y 2x
5 2xy yi. y
Để z là số thực xy y 0 2 0 . Chọn C. x 1 Câu 10. Ta có 3 3 2 2 3
z a a bi ab b i 3 2
a ab 2 3 3 3 3
3a b b i b 0 Để 3 z là số thực 2 3
3a b b 0 b 2 2
3a b 0 . Chọn A. 2 2 b 3a a 2017
Câu 11. Ta có z z a bi 2017 2018i
S a 2b 2019. 1 2 b 2018 Chọn C.
x x x
Câu 12. Ta có z z x y i x y 2 3 3 3 ' 2 3 3 1 3 1 i . 3
y 1 y 1 y 1 Chọn C.
x y
Câu 13. Ta có x yx yi i x y x y 5 0 5 3 5 3 i 0
x y 3 0 x 4
S x y 4 1 5. Chọn A. y 1 2 3y 3
Câu 14. Ta có 2x yi y 12i 3 7i 3
y 2x 5yi 37i 2
x 5y 7 x 1 . Chọn A. y 1
Câu 15. Ta có 2x 3 1 2 yi 22 i 3yi x 2
x 3 4 x x 1 2x
3 1 2 yi 4 x 3y 2i . 1 2y 3 y 2 y 3 Suy ra 2
P x 3xy y 1 3.1.3 3 13. Chọn A. 2 2 x 1 1 x 0 x 0 Câu 16. Ta có 2
x 1 yi 1 2i . Chọn A. y 2 y 2 y 2 2
x y 0 y 3 Câu 17. Ta có 2
x y 2 y 4i 2i . 2y 4 2 2 x 3
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 49 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Vậy x; y 3;
3 hoặc x; y 3; 3 . Chọn C.
Câu 18. Ta có z z
a bi 34i2 2
a bi 924i 16 a bi 7 24i 1 2 a 7
P ab 168. Chọn A. b 24 Câu 19. Ta có 2 2 2
z x iy
z x y 2xyi. 2 2
x y 8 Theo đề bài, ta có 2 z 8 6i 2 2
x y 2xyi 8 6i 2 xy 6 x 1 x 1 hoặc . Chọn D. y 3 y 3 3
Câu 20. Ta có x 3 5i y 1 2i 9 14i x 3 5i y 11
2i 9 14i 172 x
x y x y 3x 11y 9 61 3 11 5 2
i 9 14i . 5
x 2y 14 3 y 61 172 3 353
Vậy P 2x 3y 2. 3. . Chọn B. 61 61 61 x 2
Câu 21. Gọi A là điểm biểu diễn số phức, suy ra A . Vậy A2; 3 . Chọn C. y 3 A
Câu 22. Ta có w iz i i 2 1
2 i 2i i 2 2 i .
Vậy điểm biểu diễn số phức w có tọa độ 2 ;1 . Chọn B.
Câu 23. Ta thấy M 3; 4 là điểm biểu diễn của số phức z 3 4i .
Vậy số phức z có Phần thực bằng 3 , phần ảo bằng 4 . Chọn C.
Câu 24. Số phức z 3 4i biểu diễn điểm có tọa độ là 3;4 , đây chính là điểm D. Chọn D. x 2
Câu 25. Ta thấy điểm M có M
nên là điểm biểu diễn của số phức z 2 i. y 1 M Chọn C.
Câu 26. Dựa vào hình vẽ ta thấy
Điểm M là điểm biểu diễn số phức z 1 2i. 1
Điểm Q là điểm biểu diễn số phức z 1 2i. 4
Điểm N là điểm biểu diễn số phức z 1 2i. 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 50 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Điểm P là điểm biểu diễn số phức z 1 2i. 3 Chọn D.
Câu 27. Gọi z x yi x; y và M x; y là điểm biểu diễn của số phức z . x 0
Dựa vào hình vẽ ta thấy M nằm ở góc phần tư thứ nhất nên . y 0
Ta có 2z 2x yi 2x 2 yi
điểm biểu diễn của số phức 2z có hoành độ và tung độ cũng dương nên ở góc phần tư
thứ nhất. Đó là điểm E. Chọn C.
Câu 28. Ta có A4;0 OA 4;0 và B 0;
3 OB 0; 3 .
Do đó OC OA OB 4; 3 C 4;
3 z 4 3i là số phức biểu diễn điểm C . Chọn B.
Câu 29. Số phức z 1
6i có điểm biểu diễn là A suy ra A1;6. Số phức z ' 1
6i có điểm biểu diễn là B suy ra B 1;6. x x Do đó A B
nên A và B đối xứng nhau qua trục hoành. Chọn A. y y A B
Câu 30. Số phức z 2 5i có điểm biểu diễn là A suy ra A2; 5 . Số phức z 2
5i có điểm biểu diễn là B suy ra B 2; 5 . x x Do đó A B
nên A và B đối xứng nhau qua trục tung. Chọn B. y y A B
Câu 31. Số phức z 4 7i có điểm biểu diễn là A suy ra A4;7 .
Số phức z ' 4 7i có điểm biểu diễn là B suy ra B 4;7 .
x x 0 Do đó A B
nên A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O . Chọn C. y y 0 A B
Câu 32. Số phức z 3 2i có điểm biểu diễn là A suy ra A3;2 .
Số phức z ' 2 3i có điểm biểu diễn là B suy ra B 2; 3 . x y Ta thấy A B
nên hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y x . y x A B Chọn D. x 3
Câu 33. Tập hợp các điểm biểu diễn của các số phức z 3 bi với b có dạng .
Do đó các điểm này luôn nằm y , b b
trên đường x 3 . Chọn A.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 51 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Câu 35. Theo bài ra, ta có A4;0, B 0; 4 và M x;3
Suy ra AB 4;4 và AM x 4; 3 . x 4 3 Để ba điểm ,
A B, M thẳng hàng
x 1 . Chọn B. 4 4
Câu 36. Từ giả thiết, suy ra A2;2, B 3 ;1 , C 0;2 . 1 3 Suy ra AB 1; 3 và BC 3 ; 1 . Vì nên , A ,
B C không thẳng hàng. 3 1
AB.BC 0 Ta có ABC
vuông cân tại B . Chọn D.
AB BC 10
Câu 37. Từ giả thiết, suy ra A1;
3 , B 3;2, C 4; 1 . 2 5 Suy ra AB 2 ; 5 và AC 5; 2 . Vì nên , A ,
B C không thẳng hàng. 5 2
AB.AC 2 .5 5 . 2 0 Ta có ABC
vuông cân tại A . Chọn D.
AB AC 29
Câu 38. Số phức z 1i 2 2i . 2
Từ giả thiết, ta có A1
;1 , B 0;2, C a;
1 . Suy ra AB 1;
1 và BC a; 3 . Yêu cầu bài toán .
AB BC 0 a
3 0 a 3 . Chọn A.
Câu 39. Đường tròn có tâm I 2017;2018 biểu diễn số phức z 20 17 2018i . Gọi , A ,
B C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z , z , z . 1 2 3
Ta có OA OB OC 3OG 3OI (do tam giác ABC đều nên trọng tâm G I ).
Suy ra z z z 3 2017 2018i 6051 6054i . 1 2 3
Vậy số phức w z z z 6051 6054i . Chọn C. 1 2 3 A2; 1
Câu 40. Từ giả thiết, ta có B 1;6
G 3;2 z 3 2i z 32i. Chọn D. 4 4 C8 ;1
Câu 41. Ta có z z z 5 7i 2 3i 5 2 7 3 i 7 4i . Chọn A. 1 2
Câu 42. Ta có w z 2z 1 2i 2 2 3i 1 2
1 2i4 6i 1 42 6i 3 8i . Chọn B.
Câu 43. Ta có z 3z 2z 3 1 2i 2 2 3i 1 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 52 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
3 6i4 6i 3 46 6i 112i.
Vậy z 3z 2z có phần ảo bằng a 12 . Chọn B. 1 2
Câu 44. Ta có z z z 1 2i 3 i 1 3 2 1 i 2 i. 1 2
Vậy điểm biểu diễn số phức z là P 2; 1 . Chọn C.
Câu 45. Từ giả thiết, suy ra z 3 i và z 2 3i . 1 2
Ta có z z z
z z z 2 3i 3 i 2 3 31 i 1 2i. 1 2 2 1
Vậy điểm biểu diễn số phức z có tọa độ là 1;2. Chọn A.
Câu 46. Ta có z z .z 2017 i2 2016i 2
2017.2 2017.2016i 2i 2016i 1 2
4034 4066272i 2i 2016 4034 20164066272i 2i 20184066274i. Chọn C. Cách 2. Dùng CASIO a 8
Câu 47. Ta có 2z z 2 3 4i i 8 6i
S a b 2 0. Chọn C. 1 2 b 6
Câu 48. Xét đáp án A, ta có z 3 i 8 3i 2117i (loại).
Xét đáp án B, ta có z 3i 8 3i 27 i : thỏa mãn. Chọn B.
Câu 49. Gọi z x yi x; y .
Khi đó 1 i z 3i
1ix yi 3i x yi xi y 3i
x yx y x y 3 x 1
i 3i Q1; 2 . Chọn B. x y 1 y 2
Câu 50. Ta có z z m i m i m i mm i m 2 . ' 3 2 1 2 6 1 3 1 i
m 2 5 3
m m 6i . m 2
Để z.z ' là số thực 2
m m 6 0 . Chọn A. m 3
Câu 51. Với z a bi suy ra số phức liên hợp là z a bi . Chọn D.
Câu 52. Từ z 32i , suy ra z 3 2i .
Vậy phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 . Chọn D.
Câu 53. Ta có z 1 2i
z 1 2i
điểm biểu diễn của số phức liên hợp của số phức z là M 1;2 . Chọn A. 1
Câu 54. Ta có z i i 2 3
1 3i i 3 i , suy ra z 3
i. Chọn D.
Câu 55. Ta có z 2 5i. Suy ra z 2 5i .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 53 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Khi đó w iz z i i 2 2
5 2 5i 2i 5i 2 5i 2i 5 2 5i 3 3i. Chọn B.
Câu 56. Ta có i.z i 4 3i 2
4i 3i 3 4i z
z i.z . Chọn D. 2 1 1 2
Câu 57. Theo bài ra, ta đặt z ki k 0 , suy ra z ki z z z . Chọn D.
Câu 58. Đặt z x yi 2 2 x; y ,
x y 0. suy ra z x yi .
Khi đó Ax; y, B x; y lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z và z . Suy ra ,
A B đối xứng nhau qua trục hoành. Chọn B.
Câu 59. Đặt z a bi a;b
z a bi.
z z 2 a bi2 abi2 2 2 2 2 a b Ta có .
z.z iz z a biabii a bi abi 2 2
a b 2b Do đó ,
là các số thực. Chọn A.
Câu 60. Ta có z 5 3i
z 5 3i . 2 2
Suy ra 1 z z 15 3i 5 3i 6 3i 16 30i 22 33i . Chọn B. 2
Câu 61. Ta có z i
i 2 2 1 2
i 2 2i 21 2i 1 2 2i1 2i 2
1 2i 2 2i 4i 5 2i .
Suy ra z 5 2i . Do đó, phần ảo của số phức z bằng 2 . Chọn C.
Câu 62. Ta có z 4 3i 2 3
1 3i 3i i
4 3i 13i 3 i 2 5i . 1
Suy ra z .z 2 5i 7 i 9 37i
z .z 9 37i. 1 2 1 2
Do đó w 29 37i 1874i . Chọn C.
Câu 63. Đặt z a bi ;
a b , suy ra z a bi . a a
Theo giả thiết, ta có a bi a bi 3 6 2 2
6 3i 3a bi 6 3i . b 3 b 3 Chọn A.
Câu 64. Ta có iz 2z 1i i a bi 2a bi 1i b
ai 2a 2 2b 2i b 2a 2 2
a b 2 a 2
S ab 4. Chọn A. a 2b 2 a 2b 2 b 2
Câu 65. Đặt z a bi a; b , suy ra z a bi . Từ z z
z z
a bia bi
a biabi 2 2 . 10 10
a b 20 . a 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 54 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Hơn nữa, số phức z có phần ảo bằng ba lần phần thực nên b 3a . 2 2 2 a
b 20a a 2 a 0 Từ 1 và 2 , ta có hoặc . b 3a b 6 b 0
Vậy có 2 số phức cần tìm là: z 2 6i và z 0 . Chọn B.
Câu 66.. Ta có z a bi
z a bi.
Từ 1 iz 2z 3 2i
1ia bi 2a bi 3 2i 1 a
a bi a b a b 2 2 3 3 2i
P a b 1. Chọn C. 3 a b 3 3 b 2
Câu 67. Đặt z a bi a; b , suy ra z a bi .
Theo giả thiết, ta có a bi 2 3ia bi 19i a
b a b a 3b 1 a 2 3 3
3 i 1 9i
P ab 2. Chọn D. 3
a 3b 9 b 1
Câu 68. Ta có z a bi
z a bi.
Theo giả thiết, ta có 1ia bi3ia bi 2 6i
a b b 4a 2b 2 0 a 2 4 2 2 6 2 i 0
T b a 1 . Chọn C. 6 2b 0 b 3
Câu 69. Đặt z a bi a; b , suy ra z a bi .
Theo giả thiết, ta có 1i a bi 2i a bi 5 3i a 3b
5 a b 3i 0 a 3b 5 0 a 2
z 2 i z 2 i. a b 3 0 b 1
Vậy w z 2z 2 i 22 i 6 i . Chọn A.
Câu 70. Đặt z x yi x; y , suy ra iz i x yi y xi
iz y xi.
Theo giả thiết, ta có x yi 2 4i 2 iy xi
x y i y xy x x 2 2 y x x 2 2 4 2 2 i
z 2 3i.
y 4 y 2x y 3
Khi đó w z i i 3 3 2 3
i 46 10i . Chọn C.
Câu 71. Điểm M biểu diễn số phức z a bi a; b nên có tọa độ M a;b . Ta có 2 2
OM a b z . Chọn A.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 55 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Câu 72. Giả sử z a bi a; b và z x yi x; y . 2 1
Khi đó M a;b và N x; y . 2 2
Suy ra z z a x b y i a x b y . 1 2 2 2
Lại có MN MN a x b y . Vậy z z MN . Chọn B. 1 2
Câu 73. Chọn D. Vì z .z a bi c di ac bd ad bc i 1 2
z .z ac bd ad bc i . 1 2 z . m i2 2 2 2 2
m .i m 1
Câu 74. Gọi z .
m i m . 1 2 2 2 2
z 0 m m z m 1 1 2 Khi đó 2 2 2
z z z m
m 0 . Chọn B. 1 1
Câu 75. Giả sử z a bi a; b
z a b abi
z a b 2 a b a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 a b . 2 2 Lại có 2 2 2 2
z a b
z a b . Do đó 2 z
z . Chọn B.
Câu 76. Ta có z z . Mà z 0 nên z là số thực không âm. Chọn A. Câu 77. Ta có 2 2
z 2 1 5 . Chọn D.
Câu 78. Ta có z z 3 2i . Suy ra z z 3 2 13 . Chọn A. 1 2 2 2 1 2
Câu 79. Ta có z z 1 4i
z z 17 . Chọn A. 1 2 1 2 3 4i 3 4i 3 4i 5
Câu 80. Ta có iz 3 4i z z 5. Chọn A. i i i 1
Cách 2. Lấy môđun hai vế, ta được iz 3 4i i . z 5 1. z 5 z 5.
Câu 81. Chọn D. Vì điểm M 2;
3 biểu diễn cho số phức u 2 3i có phần thực bằng
2 , phần ảo bằng 3 và môđun u 2 2 2 3 11 . z z
Câu 82. Lấy môđun hai vế, ta được z 4 3i 1 i
z 4 3i . 1i 5. 2. Chọn C.
Câu 83. Do quỹ tích biểu diễn các điểm của số phức z nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R 1 nhưng nằm trong đường
tròn tâm O bán kính R 2 . Chọn C.
Câu 84. Chọn D.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 56 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Câu 85. Vì điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường chéo của hình vuông nên a b
2 a 2 , 2 b 2 và .
Vậy điều kiện là a b 2 . Chọn C. a b
Câu 86. Gọi z x yi x; y và M x; y biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ. 2 2 2 2 x y 9
x y 3 z 3 Từ hình vẽ ta có . Chọn B. y x y x y x
Câu 87. Giả sử z z z . R 1 2 3 Khi đó , A ,
B C nằm trên đường tròn O; R .
Do z z 0 nên hai điểm ,
A B đối xứng nhau qua O. Như vậy điểm C nằm trên đường tròn đường kính AB (bỏ đi hai 1 2
điểm A và B ) hay tam giác ABC vuông tại C . Chọn A.
Câu 89. Từ giả thiết, ta có OA 3, OB 4 và AB 5 . Ta có 2 2 2
OA OB AB
OAB vuông tại O. 1 1 Vậy S . OA OB
.3.4 6 . Chọn B. 2 2
Câu 90. đi qua hai điểm 1;0 và 0
;1 nên có phương trình : x y 1 0 . 1 1 Khi đó z
d O, . Chọn D. min 2 2 1 1 2
Câu 91. Lấy môđun hai vế của w i 2 1 z , ta được
w i2 z i2 1 1
. z 2i . z 2.m . Chọn B.
Câu 92. Theo giả thiết, ta có z
m m 2 2 2 3 2 2 m m 3m 22 0 2 2
4 10m 12m 0 . m 6 / 5 6 6 8
Vì m là tham số thực âm nên ta chọn m
, suy ra z i . Chọn C. 5 5 5
Câu 93. Đặt z a bi a; b , suy ra z a bi .
Theo giả thiết, ta có 2a bi31ia bi 19i
a b a b 5a 3b 1 a 2 5 3 3
i 1 9i
z 2 3i. Chọn D. 3 a b 9 b 3
Câu 94. Đặt z a bi a; b , suy ra z a bi .
Theo giả thiết, ta có 1 2ia bi2 3ia bi 6 2i
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 57 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
a b a b 3a b 6 a 1 3 5
i 6 2i . 5 a b 2 b 3
Suy ra z 1 3i z 10. Chọn C.
Câu 95. Đặt z a bi a; b , suy ra z a bi .
Theo giả thiết, ta có 5a bi 3i 2
5ia bi
5a 35b
1 i 2a 5b 5a 2bi 5
a 3 2a 5b 7
a 5b 3 0 a 1 . 5
b 1 2b 5a 5
a 3b 1 0 b 2
Suy ra z 1 2i , suy ra i z 2 3 1
12i . Vậy P i z 2 3 1 12
i 12 . Chọn C.
Câu 96. Theo giả thiết, ta có 2 2
a bi 1 3i a b i 0 a 1 0 a 1 a 1 2 2
b a b 3 i 0 2 2 2 b a b 3 0
b 1 b 3 a 1 a 1 4
S a 3b 5. Chọn B. 2
b 1 b 3 b 3
Câu 97. Gọi z a bi a; b . Ta có z
a bi a 2 2 3 5 3 5 3 b 25. 1
z 2i z 2 2i
a bi 2i a bi 2 2i
a b 2 a 2 b 2 a a 2 2 2 2 2 2 2 a 1 . 2 Thay 2 vào 1 , ta được 2 2
16 b 25 b 9 .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 58 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Vậy 2 2 2
z a b 1 9 10. Chọn C.
Câu 98. Gọi z x yi x; y . Ta có 2 2 z 5
x y 25. 1
z 3 z 310i
x yi 3 x yi 310i
x 2 y x 2 y 2 2 3 3 10 y 5. 2 Thay 2 vào 1 , ta được 2
x 0 x 0.
Vậy z 5i
w z 4 3i 4 8i. Chọn D.
Câu 99. Gọi z x yi x; y . Ta có z
x yi x 2 2 1 2 1 2 1 y 4. 1
z x yi2 2 2 2
x y 2xyi là số thuần ảo 2 2 x y 0 . 2 1 7 1 7 2 2 x y x 1 y 4 2 2 Giải hệ gồm
1 và 2 , ta được . 2 2 x y 0 1 7 1 7 x y 2 2
Do đó có 4 số phức thỏa mãn. Chọn B.
Câu 100. Gọi z x yi x; y . Ta có 2 2
z 2 i 2 2
x yi 2i 2 2 x 2 y 1 8. 2 2 2
z x yi x 2 1 1
1 y 2x
1 yi là số thuần ảo nên x 2 2 1 y 0.
x 22 y 2 1 8 x 0 x 1 3 x 1 3 Giải hệ ta được hoặc hoặc . x 2 2 1 y 0 y 1 y 2 3 y 2 3
Do đó có 3 số phức thỏa mãn. Chọn C.
Câu 101. Giả sử z a bi a; b
z a bi.
Theo giả thiết, ta có a bia bi a bi2 2 2
2bi a b 2abi a b a b 0 2 2 a b 0 2 2
a b 2ab 2bi 0 a b
a b 1 . 2
ab 2b 0 2
ab 2b 0 a 1;b 1
Vậy có 3 số phức thỏa mãn là z 0 , z 1 i và z 1i . Chọn C.
Câu 102. Giả sử z a bi a; b
z a bi.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 59 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2 2
● z 2 i 2
a bi 2 i 2 a 2 b 1 4. 1
● z i a bi i a b
1 i là số thực b 1 0 b 1 . 2
a 22 b 2 1 4 a22 4 a 0a 4 Từ 1 và 2 , ta có . b 1 b 1 b 1
Vậy có hai số phức cần tìm là z i
; z 4 i . Chọn C.
Câu 103. Giả sử z a bi a; b
z a bi. ● zz
a bia bi 2 2 1
1 a b 1. 1 ● z
a bi a 2 2 1 2 1 2 1 b 4. 2 2 2 a b 1 a 1 Giải hệ
1 và 2 , ta được
a b 1. Chọn C. a 2 2 1 b 4 b 0
Câu 104. Giả sử z a bi a; b
z a bi. 2 2 2 2
● z zz z 2 2 2 8
4 a b 8 (do 2 2 z z
z.z a b ).
● z z 2
a bi a bi 2 2a 2 a 1. 2 2
4 a b 8 a 1
Từ đó ta có hệ phương trình . Chọn A. b 1 a 1
Câu 105. Giả sử z a bi a; b
z a bi. ● z
a bi a 2 2 1 1 1 1 1 b 1. 1
● 1 iz i 1ia b
1 i a b 1a b 1 i có phần ảo bằng 1
a b 1 1 . 2 a 2 2 1 b 1 a 2 a 1 Từ 1 và 2 , ta có hoặc . Chọn C. b 0 a b 1 1 b 1 2 2 2 2
Câu 106. Áp dụng công thức z z z z 2 z z 1 2 1 2 1 2 2 z z 2 2 2 z z 2 z z 3
z z 3. Chọn A. 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 107. Gọi z x yi x; y .
Ta có 2z i 2 iz
2x 2y
1 i 2 y xi
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 60 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 z 1
4x 2y 2 1 2 y2 1 2 2 2 2
x x y 1 z 1 . z 1 2 2 2 2 2
Áp dụng công thức z z z z 2 z z 1 2 1 2 1 2 2 z z 2 2 2 z z 2 z z 3
z z 3. Chọn D. 1 2 1 2 1 2 1 2
z 6 z z 36 1 1 1 Câu 108. Ta có và z z 2 13 z z z z 52 1 2 1 2 1 2
z 8 z z 64 2 2 2
z z z z z z z z 52 36 64 z z z z 52 z z z z 48. 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Khi đó 2
P 2z 3z 2z 3z
4z z 9z z 6 z z z z 1008 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
P 12 7. Chọn B.
Câu 109. Từ z a bi a b 2 2 2 2 2 2 ;
z a b 2abi z 4 a b 4 2abi. Khi đó 2 z z 2 2 4 2
a b 4 2abi 2 a bi
a b 2 2 2 2 2 a b 2 2 4 4 4 a b
b a a b a b 2 2 4 2 2 2 2 2 2 8 16 4
16 4 z z .
Suy ra P b a
z z z 2 4 2 2 2 2 8 12 4 4 2 . Chọn D.
Câu 110. Ta luôn có bất đẳng thức a b 2 2 2
0 a b 2 ab a; b . Cộng hai vế cho 2 2
a b , ta được 2 2 2 2
2a 2b a b 2 ab
a b a b 2 2 2 2 2 2
2 a b a b z 2 a b . Chọn B.
Câu 111. Từ giả thiết, ta có 2 2
z z i z 2 2i z z 2 z 2 i. 2
Lấy môđun hai vế, ta được 2
z z 2 z 2. 2 2 2 Mặt khác 2 z
z và đặt t z 0 , khi đó trở thành 2
t t 2 t 2 2
t 2 loaïi 4 2 2 4 2 t t 4t 4 t 4t 4 t 2t 8 0 t 2. 2 t 4 Vậy z 2
2 z 3 2. Chọn D.
Câu 112. Sử dụng bất đẳng thức u v u v , ta có
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 61 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
2 2 2 z 1 3 z i 2 z 1 z i z i
2 z 1z i z i
2 i 1 z i 2 2 z i .
Suy ra z i 0 z i 0 z i
z 1 . Chọn D.
Câu 113. Từ giả thiết, ta có z 4 z i z 4i 3zi z 1 3i z 4 z 4i.
Lấy môđun hai vế, ta được z 1 3i z 4 z 4i z
i z 2 z 2 z
z 2 z 2 . 1 3 4 4 10 4 4 2
z z 2 z 2 2 2 10 4 4
8 z 32 z 4
z 2. Chọn C.
Câu 114. Ta chọn z 2
M 2;0 là điểm biểu diễn của số phức z . 1 1 0 MON 45 Nhật thấy chọn iz 1 i (hình vẽ) 2 iz z 2 2 2
Từ iz 1i
z 1i. 2 2 z 2 Thay 1
vào P và bấm máy, ta được P 4 5. z 1i 2 Chọn A.
Câu 115. Ta tư duy để chọn được ba số phức z , z , z thỏa mãn điều kiện. Đó là các số phức z 1, z i, z i . 1 2 3 1 2 3
Thay vào P và ta được P 1. Chọn D.
Để ý những số phức có môđun bằng 1 hay dùng là 1 3 2 2
z 1, z i , z i, z i. 2 2 2 2 1 3 2i 32i 3 2 Câu 116. Ta có i . Chọn A. 3 2i
32i32i 13 13 13 21i 3 2 2 2i 3 1 3
Câu 117. Ta có z i . 1 i 3
1i 31i 3 4 2 2 1 3 Suy ra z i . Chọn A. 2 2
Câu 118. Ta có z 53i , suy ra z 5 3i .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 62 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 1 1 53i 53i 53i 5 3 Do đó i z 5 3i
53i53i 2 259i 34 34 34 5 a 34 1
S a b . Chọn B. 3 17 b 34
Câu 119. Ta có z 5 3i
z 5 3i. 1 1 1 Vậy
z z
53i53i 6 i 3 3 0i. Chọn A. 2i 2i 2i x 32i 2
x 3 2i2 3i Câu 120. Ta có
y12i 65i
y14i 4 65i 2 3i 13
xi y i i y x y 3y 6 x 13 3 4 6 5 3 4
i 6 5i . x 4 y 5 y 2
Vậy x 13; y 2
thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. 1 1 1 1
Câu 121. Ta có 1 i 2 2 z z
z i . z 1i 2 2 1 Do đó phần ảo của 2
z là . Chọn D. 2 1 1 1 1i 2
Câu 122. Từ giả thiết, ta có 2 i z 1i. . 2 z 2 2 2 1 i 2 2
Lấy môđun hai vế và chú ý 2
z z , ta được 4
z 2 z 2. Chọn C.
Câu 123. Dựa vào các đáp án, ta có các nhận xét cụ thể sau:
● z 2 2 3.i
z 2 2 3.i nên D đúng. 2 ● 3 i CASIO
= 2 2 3i nên C đúng. CASIO 1 1 1 3 ● = i nên B đúng. z 2 2 3.i 8 8
Từ đây, các đáp án B, C, D đều đúng suy ra A sai. Chọn A. 3
Hoặc có thể làm trực tiếp 3
z 2 2 3i CASIO = 64 64.
Câu 124. Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z , N là điểm biểu diễn của số phức z ( z là số phức liên hợp của z ). Khi đó
M và N đối xứng nhau qua Ox.
Gọi A ', B ', C ' lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z , z , z . 1 2 3 1 1 1 z z z Từ giả thiết 1 2 3
z z z (do z z z 3 ). 2 2 2 1 2 3 z z z 1 2 3 1 2 3 z z z 1 2 3
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 63 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Suy ra OA OB ' OC '
OA 'C ' B ' là hình bình hành.
Mà OA OB ' OC '
OA 'C ' B ' là hình thoi với 0
A 'C ' B ' 120 . Vậy 0
ACB 120 (do ACB và A 'C ' B ' đối xứng qua Ox ). Chọn C. 2 2
x y 1
Câu 125. Gọi z x yi x; y . Từ giả thiết, ta có . x 0; y 0 1 1 x yi Ta có w
x yi z . 2 2 z x yi x y
Vì hai số phức z và z có điểm biểu diễn đối xứng qua trục hoành nên ta chọn điểm Q thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. 1 2 2 x y
Câu 126. Gọi z x yi x; y . Từ giả thiết, ta có 4 .
x 0; y 0 1 1 x yi Ta có w
4x yi 4z suy ra điểm biểu diễn số phức w là điểm Q . Chọn B. 2 2 z x yi x y 1 2 2 x y
Câu 127. Gọi z x yi x; y . Từ giả thiết, ta có 2 .
x 0; y 0 1 i i
i x yi y xi Ta có w iz z x yi
x yix yi 2 y 2xi. 2 2 x y
Vì x 0, y 0 nên điểm biểu diễn số phức w có tọa độ là 2 y;2x (đều có hoành độ và tung độ âm). Đồng thời 2 2
w 2 x y 2 2 z . Suy ra điểm biểu diễn của số phức w nằm trong góc phần tư thứ III và cách gốc tọa độ O một khoảng bằng 2O .
A Quan sát hình vẽ ta thấy có điểm P thỏa mãn. Chọn D. 2 2
x y 1
Câu 128. Gọi z x yi x; y . Từ giả thiết, ta có . x 0; y 0 1 i i
i x yi y xi Ta có w iz z x yi
x yix yi y xi. 2 2 x y
Vì x 0, y 0 nên điểm biểu diễn số phức w có tọa độ là y; x (đều có hoành độ và tung độ âm). Đồng thời
w y2 x
2 1 z . Suy ra điểm biểu diễn của số phức w nằm trong góc phần tư thứ III và cách gốc tọa độ O một khoảng bằng O .
A Quan sát hình vẽ ta thấy có điểm P thỏa mãn. Chọn C.
Câu 129. Ta có 2 i z i 3 z
z 1i. 5 1 5 1 1 Suy ra w i
M ; tan . 4 4 4 4 5
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 64 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2 2 tan 5 1 tan 12 Khi đó sin 2 0; cos 2
0 . Chọn A. 2 2 1 tan 13 1 tan 13 i2 i2 1 1 2i 2 i
Câu 130. Ta có z .Chọn A.
i i i i i i i i 0 1 1 1 1 1 1 1 1
Câu 131. Ta có 1i z 1 5i 0 1 – i z 1 – 5i 15i
i i 2 1 5 1 1 4i 5i z i
i i 3 2i. 1 1 1 2 2 2 2
Vậy A z.z z
3 2 13. Chọn B. 21 2i 21 2i
Câu 132. Ta có 2 i z
7 8i 2 iz 7 8i 1i 1 i i 4 7i 2
z 4 7i z
z 3 2i . 2 i a 4
Suy ra w z 1 i 4 3i
P 16 9 25. Chọn C. b 3 i2 2 5 1 10i 10i 1 2i
Câu 133. Ta có 1 2iz 51i z 4 2i. 1 2i 1 2i 5
Suy ra w z iz 4 2i i 4 2i 2 2i .
Vậy số phức w có phần thực bằng 2 , phần ảo bằng 2 . Suy ra 2 2
2 2 8 . Chọn D. 1i 1i Câu 134. Ta có
1i z 1 z 1 i z 1 i. z 1 1 i 3 3 Suy ra 3
w z 1 1i 1
1i 1 32i M 3; 2 . Chọn C. z Câu 135. Ta có
z 2 z z 12i 212i. 1 1 2i
Đặt z a bi a; b , suy ra z a bi . Do đó 1
a bi a bi12i 2 4i a b 2a 2b 2 a 2 2
2 2ai 2 4i
z 2 i. 2 a 4 b 1 2 Suy ra 2
w z z i i 2 2 2 2 1 3i
w 1 3 10 . Chọn A. 3 i
3i12i 55i
Câu 136. Ta có 1 2i z 3 i z 1i . 1 2i 5 5 4 2 4 2
Suy ra z 2 . Vậy P z z 1 2 2 1 4 2 1 3 . Chọn C.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 65 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Câu 137. Đặt z a bi a; b , suy ra z a bi . a bi 1
a bi1i 1 Theo giả thiết, ta có
a bi 3 i
a bi 3 i 1 i 2 2 2
a b a bi 2a 3 2 b 1 i a
b 2a 3 a 4 . Chọn C. 2 2 a b 2 b 1 b 1 2 z 2z i z.z
2z i1i Câu 138. Ta có 2iz 0 2iz z i z
i i 0 1 1 1
z 2iz z i1i 0 a bi 2i a bia bi i1i 0 1 a a 3
a b a 2a 3b 1 0 3 2 3 1 3 1 i 0 . Vậy . Chọn B. 3 a 1 0 5 b 5 b 9
m12m
1 i .1 mi 2 2 2
m 3m 1 m m 2
Câu 139. Ta có z i. 2 2 2 1 m 1 m 1 m m 1
Để z là số thực 2
m m 2 0 T 1 2 1. Chọn C. m 2 2 m 9i m 9i2 2 m 81 18mi Câu 140. Giả sử 2 w z 1i 1i2 2 i 2 m mi i m 2 m 2 81 18 .2 36 2 81 i m 81 9 m i. 2i.2i 4 2 2 m 81 Để 2
w z là số thực 2
0 m 81 0 m 9 . Chọn C. 2 i m i m i m 1
Câu 141. Ta có z
1 m m 2i 2 2 i 2 . m i m
i m2 i m 1 mi z i i . i m i m mi mi m 1 Khi đó 2 2 z i
m 1 2 m m 1 2 i m i m m 1 2 1 1 m m m 1; 0;1 . Chọn D. 2 1
Câu 142. Ta có z.z z 1 z . z z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 Ta có
là số thuần ảo khi và chỉ khi 0 0 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 66 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 1 1 z 1 z 1 1 z z 1 1 z z 0 0 0 : luôn đúng z 1. Chọn D. z 1 1 z 1 1 z z 1 z 1 1 z z
Câu 143. Điều kiện để có nghĩa là z 2.
Đặt z x yi x; y . z 2 z i
x y 2 2 2 2 3 13 3
13 x y 6y 4. 1 2 2 z x yi
x y 2x 2 yi 2 2
x y 2x là số thuần ảo 0 z 2
x 2 yi 2
x 22 y x 22 2 2 y x 2 2 y 2 2
x y 2x 0. 2 x 2 ; y 0 loaïi 2 2
x y 6y 4 Giải hệ gồm
1 và 2 , ta được . 1 3 2 2
x y 2x 0 x ; y 5 5 1 3
Vậy có một số phức z i thỏa mãn bài toán. Chọn D. 5 5 4 4
Câu 144. Ta có 3 4i z
8 34iz 8 . . z z
Lấy môđun hai vế, ta được i 4 1 1 3 4 z 8
3 4i . z 4 2 5 z 4 2 z z z 2
z z 2 5 4 2
1 5 z 8 z 4 0 z 2. 1 9
Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z 2 2
d OM x y z 2 ; . 2 4 Chọn D. 10 10
Câu 145. Biến đổi ta được 1 2i z
2 i z 22 z 1 i . z z 2 2 10 2 2 10
Lấy môđun hai vế, ta được z 2 2 z 1
z 2 2 z 1 . 2 2 z z 2 2 10
Đặt t z 0 , ta được phương trình t 2 2t 1 t 1 2 t 1 3 z 1
z . Chọn D. 2 2 4k i 1
4k 1 4k i
i .i 1.i i
Câu 146. Áp dụng công thức . 4k 2 4 k 2 i i .i 1. 1 1 4k3 4 k 3 2 i
i .i 1.i 1. i 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 67 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Do đó ta lấy số mũ chia cho 4 để được số dư bao nhiêu thì ứng với công thức trên. Chọn C. 3 4i 3 4i 3 4i
Câu 147. Ta có z 4 3i M 4; 3 . Chọn D. 2017 504.4 1 i i i
Câu 148. Ta có P i2017 2017 2017 2017 2 2 .i 2 i. Chọn C.
1i4 2i2 2 4i 4
Câu 149. Ta có i2 1 2i , suy ra . Chọn D.
1i8 42 16 2018 1009
Câu 150. Ta có i2 1
2i , suy ra i i 1009 1009 1009 252.4 1 1009 1 2 2 .i 2 .i 2 i . Chọn A. 7 15 2 7
Câu 151. Ta có z 1 i 1 i
.1 i 2i .1 i 7 7
2 .i .1i 1 28. i
.1i 128128i .
Suy ra z 128 128i . Chọn C. 7 7 6
Câu 152. Ta có z i 7 i 7 2 2 2 . 1
2 .1i .1i . 3 6 2 3
Mà i i i 3 1 1 2 8 i 8i. Vậy 7 z i i 10 i i 10 i 10 10 2 .8 . 1 2 1 2 1
2 2 i. Chọn D.
Câu 153. Dễ thấy tổng trên là tổng của cấp số nhân có 2019 số hạng, trong đó số hạng đầu tiên u 1 , công bội q 1 i . 1 1 q 11i2019 11i2019 2019
Do đó w u . 1. . 1 1 q 11i i Ta có i2 2 1
1 2i i 2i . 1009 2019 2 1009 Suy ra 1 i 1i
.1i 2i 1i 1009 1009 2 .i .1 i . 1009 2 .i.1i 1009 2 . 1 i 11 i 2019 1 2 .1 i 1009 1009 i. 1 2 . 1i Vậy 1009 w 2 1009 2 1 i .Chọn D. i i 1 Câu 154. Ta có 5 w i 2 3 13
i i i i i 2 3 13 1 ...
. 1 i i i ... i . Dễ thấy 2 3 13
T 1 i i i ... i là tổng của cấp số nhân có 14 số hạng, trong đó số hạng đầu tiên u 1 , công bội q i . 1 14 14 1 q 1i 11 21i Do đó T u 1. 1i . 1 1 q 1i 1i 11
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 68 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 a
Vậy w i i 1 1 1 i
S a b 0. Chọn A. b 1 1i i2 1
Câu 155. Ta có z i . 1i 11 2017 2017 504.4 1 Suy ra 2017 z i 1 .i i . Chọn B. i i 1 i 1i Câu 156. Ta có . 1i 11 2 1012 i 1i 1i 1 i2 2024 2i1012 2024 2024 1012 2 1 Suy ra . 2024 2024 2024 2024 1012 1 i 2 2 2 2 2 2 Chọn B. 2017 1i i2 1 1i Câu 157. Ta có i . Suy ra 2017 z i i . 1i 11 1i Do đó 7 15 23 23 3 z.z .z
z i i i . Chọn A. 5 1i i2 1 1i Câu 158. Ta có i . Suy ra 5 z i i . 1i 11 1i Suy ra 5 6 7 8 5 6 7 8
z z z z i i i i i 1i 1 0. Chọn A. 1i i2 1 1i i2 1 Câu 159. Ta có i và i . 1i 11 1 i 11 16 8 1i 1i 8 Suy ra 16 z
i i 11 2. 1 i 1i
Vậy số phức z có phần ảo bằng 0 . Chọn D. 2i 2i 1i 8 4 2i 8 2 4 Câu 160. Ta có 1i , suy ra
1i 1i 2i 16 . 1i 2 1i 8 2i 16 Do đó i z
i z 16 z
z 16i z 16i . 1i i a
Suy ra w i z i 16 2 2
16i 16 32i
S 48 . Chọn D. b 32 4
Câu 161. Ta có n i 4 3 2 2 3 4 4 2
n n i n i ni i n n 3 4 6 4 6 1
4n 4ni .
Để n i4 3
4n 4n 0 n 0 hoặc n 1 . Chọn B. m 2 6i 2 6i Câu 162. Ta có 2i z 2m. m i . Ta có nhận xét sau : 3i 3i
● 2m với mọi m nguyên dương.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 69 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 ● m
i khi m chẵn, m
i khi m lẻ.
Mà đoạn 1;50 có 25 giá trị nguyên lẻ. Chọn B.
Câu 163. Gọi z a bi ;
a b , suy ra z a bi .
Từ giả thiết, ta có 2a bi
1 2 i 3 ia bi 2i
4a 2b 42a 4b 2i 3a b 2a 3b 6i
4a 2b 4 3a b 2 a b 2 a 1 .
2a 4b 2 a 3b 6 3
a 7b 4 b 1 4 9 2 4
Suy ra z 1 i nên 9
z 1 i 1 i 1 i
1i2i 16 16i. Chọn B. i2015 2015 1
Câu 164. Ta có z 2 3i 1i 1 i
z 2 3i . 1i 1008 1 i 1i 1i2 2015 2016 2i1008 1008 1008 2 .i Hay 1007 w 2 . Chọn C. 1i 2 2 2 2
Câu 165. Gọi z a bi a; b , suy ra z a bi. Ta có 2017 2 2 2 i i i i ● 2 z z 2 z z 2
z z z 1 z 1
a bi2 a bi2 2 2 2 2 a
2abi b a 2abi b 4 abi là số ảo. 3 2 z z z z 1 z 1 2 2 2 ● z z
z z zz
1 z z 2
z z zz z 1 z 1 2 2
a b abi a 2 2
a b abi 2 2 2 2 2
2 a a b
là số thực. Chọn D.
Câu 166. Biệt số 2 1 4 3 3i . 1 3i 1 3
Do đó phương trình có hai nghiệm phức là z i . Chọn D. 2 2 2
Câu 167. Biệt số 2 16 20 4 2i . 4 2i 4 2i
Do đó phương trình có hai nghiệm phức: z
2 i và z 2 i . 1 2 2 2 2 2 Suy ra 2 2
w z z 2 i
2 i 34i 3 4i 6. Chọn D. 1 2
Câu 168. Ta có 2 2 1 4.1.1 3 3i .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 70 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 1 3i z 1 2
Phương trình có hai nghiệm phức
P z z 2. Chọn A. 1 2 1 3i z 2 2 2 2 z 1 3i z Câu 169. Ta có 2
z 2z 10 0 z 1 3i 1 . z 1 3i z 2 2 2 2 2 2 2 2 Suy ra P z z 2 1 3 1 3
10 10 20 . Chọn B. 1 2
z z 7
Câu 170. Theo định lí Viet, ta có 1 2 P 7 15 8. Chọn D. z .z 15 1 2
z z 2 1 2
Câu 171. Theo định lí Viet, ta có 3 . z .z 1 2 2 2 3 3 5
Khi đó P z z i z z 2 2i
2 . Chọn A. 1 2 1 2 2 2 2
Câu 172. Biệt số 2 16 20 4 2i . 4 2i 4 2i
Do đó phương trình có hai nghiệm phức: z
2 i và z 2 i . 1 2 2 2 1008 1008 2017 2017 2 2
Suy ra P 1i 1i
1i. 1i
1i 1i 1008 1008
1i . i
1 i i 1i 1008 . 1i 1008 1009 2 2 2 .2 2 . Chọn C.
Câu 173. Biệt số 2 4 8 4 2i . 2 2i 2 2i
Do đó phương trình có hai nghiệm phức: z
1i và z 1i . 1 2 2 2 1008 2016 2 1008 1008 Suy ra 2016 z 1i 1i 2i 2 1008 1008 1008 .i 2 .1 2 1 ; 1008 2016 2 1008 2016 z 1i 1i 2i 1008 1008 1008 1008 2 .i 2 .1 2 2 . Vậy 2016 2016 1008 1008 1009 P z z 2 2 2 . Chọn A. 1 2
Câu 174. Biệt số
i i2 2 ' 4 20 16 16 4 .
Do đó phương trình có hai nghiệm phức: z 2
4i và z 2 4i .
Do z là nghiệm phức có phần ảo âm nên ta chọn z 2 4i . 1 1
Suy ra A z 16i 2 4i3 3
16i 88. Chọn B. 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 71 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 S
1 2i1 2i 2 Câu 175. Ta có P
i i . 1 2 1 2 3
Suy ra phương trình cần tìm là 2 2
z Sz P 0 z 2z 3 0. Chọn C.
Câu 176. Hai số phức cần tìm là nghiệm của phương trình 2
z 3z 4 0 . Biệt số 2 9 16 7 7i . 3 7i 3 7 3 7i 3 7
Suy ra hai số phức đó là z i và z i . 1 2 2 2 2 2 2 2 9 7 9 7
Vậy z z 4. Chọn B. 2 2 4 4 4 4
z 2i z Câu 177. Ta có 2 1 z 4 0 .
z 2i z 2
Suy ra M 0;2, N 0;2 nên T OM ON 2 2 4. Chọn D.
Câu 178. Xét phương trình 2
4 z 16z 17 0 có 2 64 4.17 4 2i . 8 2i 1 8 2i 1
Phương trình có hai nghiệm phức: z
2 i và z 2 i . 1 4 2 2 4 2 1
Do z là nghiệm phức có phần ảo dương nên ta chọn z 2 i . 0 0 2 1 1
Khi đó w iz 2i . Vậy điểm biểu diễn w iz là M ;2 . Chọn B. 0 2 0 2 1 1 z z Câu 179. Ta có 1 2 w iz z iz z . 1 2 1 2 z z z z 1 2 1 2 3 z z
Do z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2 1 2
2z 3z 4 0 2 . 1 2 z z 2 1 2 1 1 z z 3 Vậy 1 2 w iz z
iz z 2i. Chọn C. 1 2 1 2 z z z z 4 1 2 1 2
Câu 180. Theo định lí Viet, ta có 2 2 OA z 1
z z 2b 1 2 2 2 và OB z .
z .z c 2 1 2 2
AB z z
z z 2 z z 2 2 2
4z z 4b 4c 1 2 1 2 1 2 1 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 72 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2 2 2 2 z z z z
4b 4 b c 2 2 Do đó 1 2 1 2 2 2 z z
2b 2 b c . 1 2 2 2
Để tam giác OAB vuông tại 2 2 2
O OA OB AB 2 2
b b c 2 2 2 2 2 2 2b 2 b c 4 b c b b c
c 2b 0. Chọn A. 2 2
b c b 2
Câu 181. Thay z 1i vào phương trình, ta được 1i 2 m1i 2 0 4 m 0 2
12i i 2 2i m mi 2 0 4 mm 4i 0 m 4. m 4 0 Chọn B. 2
Câu 182. Thay z 1 i vào phương trình, ta được 1 i m1 i n 0
i m mi n m nm m n 0 m 2 2 0 2 i 0 . m 2 0 n 2 Suy ra w 2
2i nên w 2 2 2
2 2 2 . Chọn C. 2
Câu 183. Thay z 1 2i vào phương trình, ta được 1 2i a1 2i b 0
a b a a b 3 0 a 2 3 2 4 i 0
S a b 3 . Chọn D. 2 a 4 0 b 5
Câu 184. Giả sử w x yi x; y .
Do w i và 2w 1 là hai nghiệm của phương trình 2
z az b 0 nên suy ra w i và 2w 1 là hai số phức liên hợp. x 1 2
x 1 x
Suy ra 2w 1 w i w i
2x yi1 x yi i 1 . 2
y y 1 y 3 2 w
i 1 i 1 3
Suy ra w 1 i . 3 2 2
w11 i 3 a 2 w
i 2w 1 a 5
Theo định lý Viet, ta có Chọn D. a b w i 2w 13 . 1 b b 9 9
Câu 185. Giả sử w x yi x; y .
Do z w 2i và z 2w 3 là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực nên z w 2i và z 2w 3 là 1 2 1 2 hai số phức liên hợp.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 73 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Suy ra z z w 2i 2w 3 w 2i 2w 3
x yi 2i 2 x yi 3 1 2 4 x 3 z 3 i 1 x 2x 3 2 3 2 97
2 w 3 i
T z z . 1 2 y 2 2 y y 3 4 3 z 3 3 i 2 3 Chọn B. 2 z 4 z 2 Câu 186. Ta có 4 2 z z 12 0 . 2 z 3 z i 3
Do đó T z z z z 4 2 3. Chọn C. 1 2 3 4 2 2x 3
Câu 186. Phương trình 4 2 6x 19x 15 0 2 2x 3 2 3x 5 0 . 2 3x 5 2 3 3i i 6 2 2 x x x 2 2 2 2 2 3 3 T 0. Chọn C. 2 5 2 5i i 15 i 6 i 6 i 15 i 15 2 x x x 3 3 3
Câu 188. Xem là phương trình bậc hai, với ẩn 2
z 4z và có 2
9 160 169 13 . 313 2 z 4z 5
z 4z 5 0 z 22 2 1 2 Do đó phương trình . 2 3 13
z 4z 8 0 z 22 2 12 z 4z 8 2 2 2 z 2 i z 2 i z ● z 2 1 z 2 2 1 i . z 2 i
z 2i z 2
z 22 3 z ● z 22 3 12 z 2 2 3 .
z 2 2 3 z 4 2 2 2 2 Khi đó P z z z z 42. Chọn A. 1 2 3 4 4 z 1 4 4 4 4 Câu 189. Ta có
1 z 1
2z i 2z i z 1 0. 2z i f i 5 4 4
Đặt f z 2z i z 1 . f i 85 Mặt khác
f z 0 có bốn nghiệm z , z , z , z và hệ số của bậc cao nhất trong đa thức
f z bằng 1 2 3 4 15
f z 15z z z z z z z z . 1 2 3 4 f i f i Nhận thấy rằng 2
z 1 z i
z i nên z 1 z 1 z 1 z 1 . 1 2 3 4 2 2 2 2 1 1 1 15 15
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 74 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 5 85 17 . . Chọn C. 15 15 9 Câu 190. Đặt 2
t z , phương trình trở thành 2
4t mt 4 0 có hai nghiệm t , t . 1 2 m t t Ta có 1 2 4
. Do vai trò bình đẳng, giả sử ta có 2 2 z z t , 2 2 z z t . 1 2 1 3 4 2 t .t 1 1 2 2 2
Yêu cầu bài toán t 4 t 4
324 t t 4 t t 16 324 1 2 1 2 1 2 2 m m m 172 17 18 1 2 18 . Chọn C. m 17 18 m 35
Cách 2. Đặt f z 4z z z z z z z z . 1 2 3 4 f 2i f 2 i Do 2
z 4 z 2i
z 2i nên z 4 z 4 z 4 z 4 . . * 1 2 3 4 2 2 2 2 1 1 1 4 4 4 2
Mà f 2i f 2
i 42i m2i 4 684m . m2 68 4 m 1 Vậy * 324 . 4.4 m 35
Câu 191. Số phức z có phần thực bằng 2 nên có dạng z 2 bi b . x 2
Do đó các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ thỏa mãn , b . y b
Tập hợp các điểm này luôn nằm trên đường x 2 cố định. Chọn B.
Câu 192. Đặt z x yi x; y , suy ra z x yi . 2 2
Theo giả thiết, ta có x yi x yi 0 y x 2 2
x y xyi 2 2
x y xyi 2 2 2 2 0
2 x y 0 . y x
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là các đường phân giác của các gốc tọa độ có phương trình y x , y x . Chọn D.
Câu 193. Theo bài ra, ta có x 1 y
3 i x 2 y 1 i
x 2 y 2 x 2 y 2 1 3 2 1 2 2 2 2
x y 2x 6y 10 x y 4x 2y 5 6x 8y 5 0 .
Phương trình đường trung trực của AB là: 6x 8y 5 0 .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 75 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Vậy tập hợp các điểm M x; y biểu diễn số phức z và thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng trung trực của đoạn AB với A 1; 3 , B 2; 1 . Chọn C. z i x y 1 i x y 1 i . x y 1 i Câu 194. Ta có z i
x y 1 i
x y
1 i . x y 1 i 2 2 x y 1 2x .i.
x y 2 1
x y 2 2 2 1 z i 2 x 0 2x x 0 Để
là số thực khi và chỉ khi 0 . z i 2
x y 2 2 1
x y 2 1 0 y 1
Vậy tập hợp điểm M x; y cần tìm là trục tung bỏ điểm biểu diễn số phức z i . Chọn D.
Câu 195. Gọi z x yi x; y , suy ra z x yi . 2
Theo giả thiết, ta có x yi 3x yi 3x yi 0
x y x x 2 2 2 2 6 0 3 y 9.
Vậy tập hợp các số phức z là đường tròn tâm I 3
;0 , bán kính R 3 . Chọn A.
Câu 196. Gọi z x yi x; y , suy ra z x yi .
Khi đó 2 zz i 2x yi. x yii
x yi x yi 2 2 2 . 1
x y 2x yx 2 y 2i. 2 2 1 5
Để 2 zz i là số thuần ảo 2 2
x y 2x y 0 x 1 y . 2 4 1 5
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 1 ; R . Chọn A. 2 , bán kính 2
Câu 197. Đặt z x yi x; y và M x; y là điểm biểu diễn của số phức z .
Để M nằm trên đường tròn tâm I 0;
1 , bán kính R
x y 2 2 2 2 1 2
x y 2 2 1
2 z i 2 . Chọn D.
Câu 198. Ta có w z z 2i 2x 2i.
Vì z x yi thuộc đường tròn C x 2 1 4 1 x 3 2 2x 6. w
2x 2i Từ đó ta có
tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đoạn thẳng có hai đầu mút là tọa độ các điểm 2 2x 6
2;2 và 6;2. Chọn B.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 76 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 M z i 2; 5 2 5 Câu 199. Ta có 2 1
z 4z 9 0 M N. z 2 i 5 N 2; 5 2
MP x 2; y 5
Điểm P biểu diễn số phức w x yi
P x; y , suy ra . NP
x 2;y 5
Để tam giác MNP vuông tại P thì MP.NP 0
x 2 y y x 2 y x 2 2 2 2 5 5 0 2 5 0 2 y 5. *
Đẳng thức * là phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông MNP. P M
Để ba điểm M , N , P tạo thành một tam giác thì . P N
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức P là đường tròn có phương trình x 2 2
2 y 5 nhưng không chứa M , N . Chọn C.
Câu 200. Đặt w x yi x; y .
Từ giả thiết, ta có x yi 2z 1i
2z x 1y 1 i.
Lại có z 3 4i 2 2 . z 3 4i 4 2z 6 8i 4
x y i i x y i x 2 y 2 1 1 6 8 4 7 9 4 7 9 16.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn bán kính R 4 S 16 . Chọn C. w 1 i w 7 9i
Cách 2. Ta có w 2z 1i z
z 3 4i . 2 2 w 7 9i w 7 9i Suy ra
z 3 4i
2 w 7 9i 4. 2 2
Câu 201. Đặt z a bi a,b và w x yi x, y . 2 2 z 1 a b 1 Theo bài ra, ta có z w 1
x a2 y b2 1 2 2 2 2 a b 1 a b 1 2 2 . 2 2 x y x y 2
ax by ax by 2 2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 2 2 2 2 2 2 ax by a b x y x y . 2 2 2 x y Suy ra 2 2 2 2
x y x y 4 . 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 77 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là hình tròn C 2 2
: x y 4. Chọn A.
Câu 202. Gọi z x yi x; y . 2 2 Ta có 2
z i z i
x y 2 4 1
x y 1 4
x y 2 2 1 4
x y 2 1
4 x y 2 2 2 1
x y 2
1 16 x y 2
1 8 x y 2 2 2 2 1 2 2 2 2
x y 2 x y 1 16 2 x y 1 16 1 1 16 y 4 y 4 2. 2
x y 2 2 1 y 4 2 2 2 2
4x 3y 12 x y 1 3 3 4
Tập hợp các điểm thỏa mãn 3 đều thỏa mãn 1 và 2 . 2 2 x y
Vậy tập hợp những điểm M là elip E : 1. Chọn B. 3 4
Câu 203. Gọi w a bi a; b .
a b 1 i
a b
1 i 3 4i
Ta có w a bi 3 4i z i z 2 3 4i 9 16i 3a 4b 4
3b 4a 3
a b 2 b a 2 3 4 4 3 4 3 z .i z . 25 25 25 2 2
Mà z 4 nên a b b a 2 2 2 3 4 4 3 4 3
100 a b 2b 399
a b 2 2 2 1 20 . Chọn C.
Cách 2. Ta có w 3 4iz i w i 3 4i z.
Lấy môđun hai vế, ta được w i 3 4i z 3 4i . z 5.4 20.
Câu 204. Ta có w 1 3iz 2w 1 3iz 1 3 3i
w 3 3i 1 3iz 1 .
Lấy môđun hai vế, ta được w 3 3i 1 3i . . Chọn B. z 1 2.2 4 2 2 12i
Câu 205. Ta có iz 1 2i 4 i z
4 i z 2 i 4 i . z 2 i 4 i
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 78 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
z 2 i 4 . Đẳng thức này chứng tỏ tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 2;
1 , bán kính R 4 . Chọn B. i
Câu 206. Ta có i 2 2 3 6 4 3
2 w iz 2 w z w i z i 3 2i 3 2i 13 13 13 13 2 3 w
iz 4 7 4 7 2 3 1 i
w i
iz 1 . 13 13 13 13 13 13 13 13 4 7 2 3 3
Lấy môđun, hai vế ta được w i i . . z 1 13 13 13 13 13
3 1 13 4 7 3
Vậy tập hợp các số phức w thuộc đường tròn tâm I ; , bán kính r . 13 13 13 Chọn C.
Câu 207. Từ giả thiết, ta có w 2i 3 4i z .
Lấy môđun hai vế w i
i z m m m 2 2 2 3 4 . 5. 2 5 5 1 4 20. Chọn C.
Câu 208. Đặt z x yi x; y và M x; y là điểm biểu diễn của số phức z .
2z 1 z 1i 2x 12 .
y i x 1 y 1 .i
x 2 y x 2 y 2 2 2 2 2 1 4 1 1
3x 3y 6x 2y 1 0. 1 2 2
Lại có M C x y 2 2 : 1
1 5 x y 2x 2 y 3 0. 2 2 2 3
x 3y 6x 2y 1 0 x 0 x 2 Từ
1 và 2 , ta có hệ hoặc . 2 2
x y 2x 2y3 0 y 1 y 1
Vậy có hai số phức thỏa mãn điều kiện của bài toán là z i và z 2 i . 1 2
Do đó z . z i . 2 i 5. Chọn A. 1 2
Câu 209. Gọi M là điểm biểu diễn số phức z .
M thỏa mãn phương trình z 36i 5 nên M thuộc đường tròn tâm A3;6, bán kính R 5 . i Ta có i 1 12 15 1
2 z 112i 15 z
z 52i 3 5 1 2i 1 2i
M thuộc đường tròn tâm B5;2 , bán kính R ' 3 5 . 2 2
Nhận thấy AB 5
3 2 6 2 5 R ' . R
Vậy hai đường tròn tiếp xúc trong tại M , hay chỉ có một số phức z . Chọn B.
Nhận xét. Bài toán không quá khó nhưng cách suy luận rất hay.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 79 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Câu 210. Đặt z x yi x; y . 2 2 z.z 1
x y 1. C 1
Đường tròn C tâm I 0;0 , bán kính R 1 . 1 1 1 2 2 z
i m x
yi i m x y 2 3 3 3 1 m . C 2 Đường tròn C tâm I 3; 1
, bán kính R m m 0 . 2 2 2
Để tồn tại duy nhất một số phức z thì C tiếp xúc với C . 2 1
TH1: C và C
tiếp xúc ngoài, ta được I I R R 2 m 1 m 1 (thỏa). 2 1 1 2 1 2 m 3
TH2: C và C
tiếp xúc trong, ta được I I R R 2 m 1 . 2 1 1 2 1 2 m 1 loaïi Chọn A. 2 2 2
Câu 211. Ta có z i z i
x y 2 2 4 2 2 4
x y 2 2 2 2 2
x y 4x 8y 20 x y 4 y 4
y 4 x . 2 2 Khi đó 2 2 2
z x y x x 2 4
2x 8x 16 2x 2 8 2 2.
Vậy môđun nhỏ nhất của z là 2 2. Xảy ra x y 2
M 8. Chọn A.
Câu 212. Đặt z x yi x; y . 2 2 2
Ta có z i z i
x y 2 2 2 4 2 2
x y 4
x 2 y 2 x y 2 2 2 2 4
y 2 x .
Khi đó w iz 1 i x yi 1 ix y 1 ix 2 x 1 x 1 xi. 2 2 1 1 2
Suy ra w x 2
1 x 2x . Chọn A. 2 2 2
Câu 213. Vì M d
M 2y 1; y .
Điểm M biểu diễn số phức z , suy ra z 2 y 1 yi x; y . 3 3
Ta có w 3z z 2z 3 2 y 1 yi 5 3i 2 1 3i 6 y 3y 3 i. 3 2 1 2 2 2
Suy ra w y y 2
y y 2 6 3 3 3 4 1
3 5y 2y 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 80 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2 1 4 2 6 3 5.y 3. . 5 5 5 5 1 3 3 1
Dấu " " xảy ra y x M ; . Chọn D. 5 5 5 5
Câu 214. Gọi z x yi x; y . 2 2 2
Ta có z 1i z 3i , suy ra x y 2 1 1
x y 3
2x 4 y 7 0 .
Suy ra tập hợp các số phức z thuộc đường thẳng : 2x 4 y 7 0 . 7 7 5 1 2 5 Ta có z
d O; w . Chọn B. min max 2 2 10 z 7 2 4 min Câu 216. Ta có 2
z 2z 5 z 1 2iz 3i 1
z 2 z i z i z 2 i2 1 4 1 2 3 1 1 2
z 1 2i z 3i 1
z 1 2i 0 (1)
z 1 2iz 1 2i
z 1 2i z 3i 1
z i z i . 1 2 3 1 (2) Từ
1 z 1 2i w 1
P w 1.
Xét 2 . Gọi z x yi x; y . 2 2 2 2 1
Ta có z 1 2i z 3i 1 x
1 y 2 x 1 y 3 y . 2 2 1 3 2 3 3
Khi đó w x i 2 2i x 2 i
P w x 2 1. 2 2 2 2 Vậy P 1. Chọn C. min
Câu 217. Đặt z x y i và z x y i với x , x , y , y . 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
● z 2i 3 x y 22 2 9 tập hợp các số
phức z là đường tròn 1 1 1 1
C x y 2 2 : 2 9 .
● z 2 2i z 2 4i 2 2
x 22 y 22 x 22 y 42 2 2 2 2
y 3 0
tập hợp các số phức z là đường thẳng
d : y 3 . 2 2 2 2
Ta có P z z x x y y đây chính là khoảng cách từ điểm 1 2 2 1 2 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 81 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
B x ; y d đến điểm Ax ; y C . Do đó z z
AB . Dựa vào hình vẽ ta tìm được AB 2 khi 1 1 2 2 2 1 min min min A0; 1 , B 0; 3 . Chọn B.
Nhận xét. Ở bài này đường thẳng và đường tròn có vị trí đặc biệt nên vẽ hình sẽ nhận ra ngay được hai điểm A & B , nếu không
thì viết phương trình đường thẳng qua tâm của C và vuông góc với d , sau đó tìm giao điểm với C và d rồi loại điểm.
Câu 218. Gọi z x yi x; y . Ta có 2 2 z
z i x 2 y x y 2 2 2 2 1 2 1 1
2x y 1 0 .
Suy ra tập hợp các số phức z là đường thẳng : 2x y 1 0. 1
z 4 i 5
x 4y 1 i 5
x 2 y 2 4 1 5 . 2 2
Suy ra tập hợp các số phức z là đường tròn C : x 4 y
1 5 có tâm I 4
;1 và bán kính R 5. 2
Khi đó biểu thức P z z là khoảng cách từ một điểm thuộc đến một điểm thuộc C . 1 2 8 3 5 Từ đó suy ra P
MN d I , R 5 . Chọn D. min 5 5 2 2
Câu 219. Vì z 3 4i 5 x
3 y 4 5.
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn C có tâm I 3; 4 và bán kính R 5 . 2 2 2 2
Ta có P x yi x y i x 2 2 2 1 2
y x y 1 .
4x 2y 3 4x 2y 3 P 0. Ta tìm P sao cho đường thẳng
: 4x 2y 3 P 0 và đường tròn C có điểm chung 12 8 3 P d I , R
5 23 P 10 13 P 33. 20
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 82 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
4x 2y 30 0 x 5 Do đó P
33 . Dấu " " xảy ra . max
x 32 y42 5 y 5 Vậy z 2 2 5 5 5 2 . Chọn D.
Câu 220. Gọi z x yi x; y . 2 2
Ta có z 2 4i 5 x 2 y 4 5.
Suy ra tập hợp các số phức z , z là đường tròn C có tâm I 2; 4 , bán kính 1 2 R 5 .
Phương trình đường thẳng OI là y 2x .
Gọi M , N lần lượt là hai điểm biểu diễn của số phức
z , z . Khi đó tọa độ điểm 1 2 y 2x M , N là nghiệm của hệ phương trình
x 22 y 42 5 x 1 y 2 z 1 2i 1
w 4 8i. Chọn A. x 3 z 3 6i 2 y 6 i
Câu 221. Ta biến đổi i 1 7 1
z 17i 2 1 i z 2 1 i
2. z 3 4i 2 z 3 4i 1. *
Đẳng thức * chứng tỏ tập các số phức z là đường tròn tâm I 3; 4 , bán kính R 1 .
P OI R 51 4 m 4 Khi đó min S 2. Chọn B. P
OI R 5 1 6 M 6 max 2 3i 2 3i Câu 222. Ta có i nên
z 1 1 iz 1 1 3 2i 3 2i 1 i . z
1 z i 1 . Đẳng thức này chứng tỏ tập các số phức z là đường tròn tâm I 0;
1 , bán kính R 1 . i
P OI R 11 0 m 0 Khi đó min S 2018. Chọn C. P
OI R 11 2 M 2 max
Câu 223. Gọi z x yi x; y và M là điểm biểu diễn số phức z. 2 2
Từ giả thiết, ta có x 2 y 3i 1
x 2 y 3 1.
Khi đó tập hợp các điểm M thuộc đường tròn tâm I 2;
3 , bán kính R 1.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 83 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Ta có P z 1 i z 1 i z 1i . Đặt A1 ;1 P MA .
P AI R 13 1 min Vậy . Chọn B. P
AI R 13 1 max
Cách Đại số: Ta có P z 1 i z 1 i z 1i .
Theo giả thiết: 1 z 2 3i z 1i 32i z 1i 3 2i P 13
Suy ra 1 P 13
1 P 13 1 13 1 P 13 1.
Câu 224. Vì z không là số thực nên z z 0 . z z z Ta có w w . 2 2 2 2 z 2 z 2 z z z
Vì w là số thực nên w w 2 2 2 z 2 z loaïi z z
z 2 z z 2 z 0
2z z z.z z z 2 2 2
z 2 z 2. z.z 2
Suy ra tập các số phức z là đường tròn tâm O 0;0, bán kính R 2 . Đặt A1 ;1
P MA với M là điểm biểu diễn của số phức z . Vậy P
AO R 2 2 2 2. Chọn B. max z i i 1 1
Câu 225. Biến đổi P 1 i i . z z z z 1 1 z ' 1 Đặt z ' , khi đó 2 . z
P z'i 2 1 1
tập hợp các số phức z ' là hình tròn tâm O 0;0, bán kính R (trừ tâm O ). 2
Xét 2. Đặt A 0;1
P MA với M là điểm biểu diễn của số phức z ' .
Dựa vào hình vẽ ta thấy 1 1 1
P AM khi z ' i z 2 i min 1 z 2 2 2 i z 1
w 0 0i. Chọn C. 3 1 1 z 2i 2 P
AM khi z ' i z 2i max 2 2 2 z
Câu 226. Đặt z 2 z
P z 2z z 2z z z . 3 2 1 2 1 2 1 3 1 Từ z 2
z z z , thay vào iz 2 1 ta được 3 2 2 3 2 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 84 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 1
iz 2 1 iz 4 2 z 4i 2. 3 3 3 2 Gọi ,
A B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z , z . 1 3
● z 4 1
A đường tròn tâm I 4;0, R 1. 1 1
● z 4i 2
B đường tròn tâm J 0,4, R 2. 3 2
P IJ R R 4 2 3 min 1 2
Khi đó P z z AB . Chọn B. 1 3
P IJ R R 4 2 3 max 1 2 iz 2 2 Cách 2. Biến đổi 2 iz 2 1
1 z 1 z 2i 1 2z 4i 2 . 2 2 2 2 i i
Ta có P z 2z z 4 2z 4i 4 4i 1 2 1 2
2z 4i 4 4i z 4 2 1
4 4i 2z 4i z 4 4 2 3. 2 1
Câu 227. Giả sử z a bi a,b . Ta có 2 2
● z a 2
b a 2 2 1 1 5 1 b 5 .
tập hợp các số phức nằm trong hoặc trên đường tròn tâm A1;0 bán kính R 5 . 2 2 ● 2
z i a b 2
a b 2 1 3 1 3 .
tập hợp các cố phức nằm ngoài hoặc trên đường tròn tâm B 0;
1 bán kính R ' 3 . z
z 0 2i
Dựa vào hình vẽ ta thấy min 1 z
z 6 0i max 2
z 2z 12 2i . Chọn A. 1 2
Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức z z
z z z z . 1 2 1 2 1 2 1 2 3 z i z i 2 z Ta có
2 z 6.
z 1 z 1 5 z 6
Dấu ' ' thứ nhất xảy ra khi z i 3 , kết hợp với z 1 5 ta được hệ 1
z i 3 1
z 1 5z 2i . 1 1 z 2 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 85 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 z 1 5 2
Tương tự cho dấu ' ' thứ hai, ta được z 6 z 6
z 2z 12 2i . 2 2 1 2
z i 3 2
Câu 228. Giả sử z x yi x; y .
Ta có 10 z 4 z 4 z 4 z 4 2z z 5 .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có z z
2 z 2 z 2 100 4 .1 4 .1 4 4 .2
a 2 b a 2 2 2 2 2 4 4
b 50 a b 9
z 3 . Chọn D.
Cách 2. Giả sử z x yi x; y . 2 2
Từ giả thiết, ta có x 2
y x 2 4 4 y 10 . *
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , gọi M x; y và F 4;0 , F 4;0 thì * có dạng MF MF 2.5 . Vậy tợp hợp 2 1 1 2
điểm M x; y biểu diễn số phức z là một Elip có độ dài trục lớn a 5 , tiêu cự F F 8
c 4 . Suy ra độ dài trục bé 1 2 2 2
b a c 3 .
Khi đó ta luôn có b OM a hay 3 z 5 .
Câu 229. Áp dụng bất đẳng thức z z
z z , ta có 1 2 1 2 2 2 4 4i z 4 z 2 z 4 0 z 1 5 z z 2 2 2 . 2 z z z
z 2 z 4 0 z 1 5 M 1 5 Vậy
S 2 5. Chọn A. m 1 5
Câu 230. Gọi z x yi x; y và M x; y là điểm biểu diễn số phức z. Gọi A 1
;0, B1;0. Ta có 2 2 z 1
x yi 1 x y 1.
Suy ra M thuộc đường tròn đường kính AB nên 2 2 2
MA MB AB 4.
Khi đó T MA MB 2 2 2 2 2 1 2
MA MB 5.4 2 5 . Chọn A.
Cách 2. Phương pháp hàm số (bạn đọc tìm hiểu rõ hơn ở các bài sau)
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 86 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2 2 a b 1 2
Câu 231. Với z a bi a, b , ta có z.z z 1 , a b 1 ; 1 . 1 z z 1 1
Do đó biến đổi P , ta được P z z
z 1 z z 1 z z z 1 z z
a a 2 b a a 2 2 2 2 1 2
1 1a 2 a 2a 1 .
Khảo sát hàm f a 2 a 2a 1 trên đoạn 1;
1 , ta được 2 f a 2.
Suy ra m 2, M 2
S 2 2. Chọn A. 2 2 a b 1 2
Câu 232. Với z a bi a, b , ta có z.z z 1 , a b 1 ; 1 . 1 z z 1 1
Do đó biến đổi P , ta được P z z 1
z 1 z 1 z 1 z 1 z z 1 z z
a a 2 b a a 2 2 2 2 1 1 2 1
1 1 a 2a 1 2a 1 .
Khảo sát hàm f a 2a 1 2a 1 trên đoạn 1; 1 , ta được f a 13 3 . 4 13 13
Suy ra m 3, M P . Chọn D. 4 16 2 2 a b 1 2
Câu 233. Với z a bi a, b , ta có z.z z 1 , a b 1 ; 1 . 1 z z 4 2 z 3z 1 1
Do đó biến đổi P , ta được 3
P z 3z z z z z z z 1 1 4 2 2 2 2
z 3z 1 z z z z 3
z z z 3 z z 2 2 z z 2 1 z
1 z z z z 2 2 2
1 z z 4a 1 2a 4a 2 a 1. z 3
Khảo sát hàm f a 2
4a 2 a 1 trên đoạn 1; 1 , ta được
f a 3. 4
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 87 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 3 9 3 17 Suy ra m , M 3 w 9 . Chọn B. 4 16 4
Câu 235. Đặt z x yi x; y . Ta có z
x yi x 2 2 1 2 1 1 y 2 x 2 2 2 2 2 2
1 y 2 x 2x 1 y 2 x y 2x 1.
Khi đó T z i z 2 i x y
1 i x 2 y 1 i
x y 2 x 2 y 2 2 2 2 2 2 1 2 1
x y 2y 1 x y 4x 2y 5
2x 2 y 2 6 2x 2 y 2x y 2 62x y.
Đặt t x y , khi đó T f t 2t 2 6 2t với t 1 ;3.
Xét hàm f t 2t 2 6 2t trên 1;3 , ta được f t f 1 4 . Chọn B. max
Câu 236. Đặt z x 0, z y 0 suy ra biểu thức P z z x y. 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2
Áp dụng công thức z z z z 2 z z z z 5 1 2 1 2 1 2 1 2 0 x 5 2 2 2 2 2
x y 5 y 5 x
P x 5 x . 2 y 5 x
Khảo sát hàm f x 2
x 5 x trên đoạn 0; 5
, ta được 5 f x 10 . M 10 M Suy ra 2 . Chọn D. 5 m m
Câu 237. Gọi z x yi x; y và M x; y là điểm biểu diễn của số phức z. Gọi A
2;1 , B 4,7 , suy ra AB 6 2.
Từ giả thiết, ta có z 2 i z 4 7i 6 2 MA MB AB suy ra M nằm trên đoạn thẳng AB có phương trình
x y 3 0.
Suy ra M x; x
3 với x 2; 4. 2 2
Ta có z 1 i x 1 y
1 i x 1 y 1
x 2 x 2 2 1 4
2x 6x 17 . 25
Khảo sát hàm f x 2
2x 6x 17 trên đoạn 2;4 , ta được
f x 73 . 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 88 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 5 2 5 2 m 5 2 2 73 Suy ra
z 1i 73 2 P . Chọn B. 2 2 M 73
Câu 238. Gọi z x yi x; y và M x; y là điểm biểu diễn của số phức z.
Gọi A3;2, B 3; 1 , suy ra AB 3 5.
Từ giả thiết, ta có z 3 2i z 3 i 3 5 MA MB AB suy ra M nằm trên đoạn thẳng AB có phương trình
x 2 y 1 0.
Suy ra M 1 2 y; y với y 1;2.
z 2 x 2 yi x 22 y 32y2 2 2 y Ta có .
z 13i x 1y
3 i x 2 1 y 2 3
4 y y 2 2 3 Khi đó 2 2
P z 2 z 1 3i 5 y 12 y 9 5 y 6 y 9 .
Khảo sát hàm f y 2 2
5y 12 y 9 5y 6 y 9 trên đoạn 1 ;2 , ta được min f
y f 1 3 2 1 ;2 . Chọn B. max
f y f 1 26 2 5 1 ;2
Câu 239. Gọi z x yi x; y và M x; y là điểm biểu diễn của số phức z. Gọi A2; 3 , B
6;1 , suy ra AB 2 17.
Từ giả thiết, ta có z 2 3i z 6 i 2 17 MA MB AB suy ra M thuộc đoạn thẳng AB có phương trình
x 4 y 10 0.
Suy ra M 10 4 y; y với y 1;3.
z 12i x 1y2i x 2
1 y 22 11 4 y2 y 22 Ta có .
z 2 i x 2 y
1 i x 22 y 2 1
84 y2 y 2 1 Khi đó 2 2
P z 1 2i z 2 i
17 y 92 y 125 17 y 62 y 65 .
Khảo sát hàm f y 2 2
17 y 92 y 125 17 y 62 y 65 trên đoạn 1;3 , ta được m
in f y f 2 0 1;3 . Chọn A. m
ax f y f 3 3 2 1;3
Câu 240. Gọi z x yi x; y và M x; y là điểm biểu diễn của số phức z.
Gọi A2;2, B 1 ; 3 , suy ra AB 34.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 89 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
Từ giả thiết, ta có z 2 2i z 13i 34 MA MB AB , suy ra M thuộc tia AB và M nằm ngoài đoạn AB và
M có thể trùng B .
Phương trình đường thẳng AB : 5x 3y 4 0 . 4 5x
Từ đó suy ra M x; với x 1 . 3 2 2 2 2 4 5x
Khi đó P z 1 i x 1 y
1 i x 1 y 1 x 1 1 . 3 2 2 4 5x
Khảo sát hàm f x x 1 1 trên ; , ta được 1 3
min f x f 1 4 . Chọn D. ; 1
Câu 241. Đặt z a bi a,b . Từ 2 2 z 1
a b 1. 1 1 1 1 a bi 1 a bi Ta có 1 z
1a bi 1 a bi
1a bi1a bi 1a2 2 b 1 a bi .
1a2 b 1a2 2 2 b 1 1 a Suy ra phần thực của bằng . 1 z 1a2 2 b 1 a 1 a 1 a 1 Ta có . Chọn A. 1a2 2 2 2 b
1 2a a 1 a 21 a 2 1 1 1
Cách 2. Chọn z 1 thỏa mãn z 1 và z 1 . Khi đó z . 1 1 1 2
Câu 242. Đặt z a bi a,b . Từ 2 2 z 1
a b 1. z 1 a 1 bi
a 1bia 1bi 2 2
a b 1 2bi 2 bi Ta có z a bi
a bia bi . 1 1 1 1 a 2 1 b a 2 2 2 1 b z 1
Do đó phần thực của số phức bằng 0. Chọn A. z 1 z 1
Cách 2. Chọn z 1 thỏa mãn z 1 và z 1 . Khi đó w 0. z 1 1 1 1 z 1 z z z z z z z Câu 243. Do 1
z z 1 . Ta có 1 2 1 2 1 2 w w . 1 2 1 1 1 z .z z z 1 z 1 2 1 2 1 2 z z z 2 1 2
Vì w w nên w là số thực hay phần ảo của w bằng 0 . Chọn A.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 90 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 z z
Cách 2. Chọn z z 1 thỏa z z 1 và 1 z z 0 . Khi đó 1 2 w 1. 1 2 1 2 1 2 1 z z 1 2
Câu 244. Chọn z 1 thỏa mãn z 1 . 2 2
Bây giờ ta chọn z sao cho thỏa z 2 và 2z 3 4 . 1 1 1 3 2 2 a a b 4 4
Đặt z a bi a,b . Từ trên ta có hệ . 1 2a 2 2 3 4b 16 55 b 4 3 55 Khi đó ta có z
i, z 1
M 11. Chọn C 1 2 4 4
Câu 245. Gọi u a bi a;b . z z 1 u w w 2
Từ giả thiết, suy ra z w z w z 1 u 1 1 w w w 1 2 2 a b 4 a 2 3 3 1 2 1 a
12a a . Chọn D. a 2 4 4 8 2 1 b 1 z 1 1
Cách 2. Chọn w 1 . Ta cần chọn số phức z x yi x; y sao cho 1 z 2 x 2 2 1 y 1 1 z 1 x u
x yi yi. 1 2 2 8 w 8 x y 4 1 1 2 1 z 2z
Câu 246. Từ giả thiết 2 1 z z z z z z z z 1 2 1 2 1 2 1 2 z z z z z z
z .z 2z 1 1 1 1 1 2 . 1 2 1 2 2 1 z z z 2 2 2 z Đặt 1 t
, ta được phương trình t t 1 1 2t z2 1 1 t i 2 2 2 2
2t 2t 1 0 t . Chọn D. 1 1 2 t i 2 2 1 1 2 1i 2
Cách 2. Chọn z i z P . 2 1 z i z i 2 2 1 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 91 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2 2 2 z z z z Câu 247. Ta có 1 2 1 2 P
2. 1 z z z z 2 1 2 1 z z z z z z Mà 1 2 1 2 2 1
z z z z . 2 2 2 1 2 2 1 z z 2 1 z z 2 1 2
Theo giả thiết: 1 z z
z z . z z z z . z z 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 z z
z z z z
z z z z 1. 3 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 Từ 1 , 2 và 3 suy ra P 1. Chọn D.
Cách 2. Chọn z 1 , còn z chọn sao cho thỏa mãn z 1 và z z 1 . 1 2 2 1 2
Ta chọn như sau: Đặt z a bi . 2 ● 2 2 z 1
a b 1 . 2
● z z 1
z 1 1 a 1 bi 1 a 2 2 1 b 1. 1 2 2 1 a 2 1 3 Từ đó giải hệ z i . 2 3 2 2 b 2 1 3
Thay z 1 và z
i vào P và bấm máy. 1 2 2 2 1 3 1 3
Hoặc ta cũng có thể chọn z i và z i . 1 2 2 2 2 2
Câu 248. Đặt z a bi a;b . Do z b 0. Suy ra 2 2
z a b 2abi. a bi 2 2
1 a b 2abi z a bi Khi đó 2 2 2 1 z
1 a b 2abi
1a b 2 2ab2 2 2 3 2 3 2
a ab a
b a b b 3 2 .i
b a b b 0
1a b 2 2ab 1a b 2 2 2ab2 2 2 2 2 b 0 loaïi z 1 1 2 2
a b 1 z 1. Vậy P . Chọn B. 2 2 2 1
b a 0 1 z 11 2 z 1 z 1
Cách 2. Chọn w z 2 1
0 z 1 z 1 P . 2 2 1 z 2 1 z 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 92 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 z z z 1 1 2 3
Câu 249. Do z z z 1 1 2 3 1 1 1 z , z , z . 1 2 3 z z z 1 2 3
z z z z z z 1 1 1 Áp dụng, ta được 1 2 2 3 3 1
P z z z z z z
z z z 1 2 2 3 3 1 1 2 3 z z z z z z 1 2 3 1 2 3
z z z z z z . a Chọn C. 1 2 3 1 2 3
Cách trắc nghiệm. Chọn trường hợp đặc biệt z z z 1 thỏa z z z 1 . 1 2 3 1 2 3
Khi đó z z z 3 và P z z z z z z 3 . Vậy P . a 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 1 1
Câu 250. Từ giả thiết z z z 1 z , z , z . 1 2 3 1 2 3 z z z 1 2 3 2 Ta có 2 2 2
A z z z z z z
2 z z z z z z 2 z z z z z z 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 2z z z
z z z z z z . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 z z z 1 2 3
Mà z z z 0
z z z 0 , suy ra A 0. Chọn B. 1 2 3 1 2 3 1 3 1 3
Cách 2. Chọn z 1, z i, z
i thỏa mãn các điều kiện bài toán. 1 2 3 2 2 2 2
Câu 251. Đặt z x yi x; y . 1 2 2 z 1 x y 1 x 1 2 Ta có z z 1 . z
z z 1
x y x 2 2 2 2 1 y 3 2 y 4 9 3
Khi đó w z 1 x 2 2 1 y 3 . Chọn D. 4 4
Cách 2. Từ giả thiết, suy ra z z 1 1. 2 2 2 2
Áp dụng công thức z z z z 2 z z , ta có 1 2 1 2 1 2 z 2z 2 2 z 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 3.
Câu 252. Đặt w 3z và w 4z .Từ giả thiết, ta có w 3, w 4 và w w 1. 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2
Áp dụng công thức w w w w 2 w w , ta có 1 2 1 2 1 2 2 w w 2 2 2 w w 2 w w
x 2 9 16 1 49 1 2 1 2 1 2
w w 7 hay z 7. Chọn B. 1 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 93 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 z w z w2 1 1 1 1 zw
Câu 253. Từ giả thiết 0 z w z w zw z w
zw z w 0 2 2 2 1 3 1 3 1 i 3w 2 2 2 2 2 2 z w zw 0 z zw w w 0 z w w
z w Từ 4 4 2 4 2 2 2 2 1 i 3w 1 i 3
z w z . w 2 2 2 2 1 i 3
Lấy môđun hai vế, ta được z
. w 1. w w w z 2018. Chọn C. 2 2
Cách 2. Chọn z 1028 thỏa mãn z 2018 . 1 1 1 Khi đó ta có
giải phương trình tìm w . 2018 w 2018 w
Câu 254. Dựng hình bình hành OMPN trong mặt phẳng phức.
z z OP 1 2 Khi đó .
z z MN 1 2 2 2 0
z z z z 2 z z cos30 13 1 2 1 2 1 2 Ta có 2 2 0
z z z z 2 z z cos150 1 1 2 1 2 1 2 z z z z 1 2 1 2 13 . Chọn B. z z z z 1 2 1 2
z a b i
M a ;b OM a ;b 1 1 1 1 1 1 1 Cách 2. Giả sử .
z a b i N a ,b 2 2 2 2 2 ON a ;b 2 2 Theo giả thiết, ta có 2 2 a b 3 a a b b 1 1
và cosOM ,ON 0 1 2 1 2 cos30
a a b b 3. 2 2 1 2 1 2 a b 4 2 2 2 2 2 2 a b a b 1 1 2 2 z z
a a b b i
a a 2 b b 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Vậy 1 2 A z z
a a b b i
a a 2 b b 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2
a b 2 2 a b 2 a a b b 1 1 2 2 1 2 1 2 3 4 2.3 13. 2 2
a b 2 2 3 4 2.3 a b 2 a a b b 1 1 2 2 1 2 1 2
Câu 255. Ta xét H i 3 5 3
z z z i 2 z i 2 1 2 . 1 2 125. 1 2 z . Xét 2
T z 1 2i . Sử dụng bất đẳng thức z z
z z z z , ta được 1 2 1 2 1 2 2 2
z i z i 2 1 2 1 2
z 1 2i
25 5 T 25 5.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 94 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018
M 12525 5
Từ đó suy ra 12525 5 H 12525 5 m 125 25 5
P M m 6250. Chọn C.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 95
Document Outline
- SỐ PHỨC
- ĐÁP ÁN SỐ PHỨC