Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến sự tương giao của đồ thị hàm số Toán 12
Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến sự tương giao của đồ thị hàm số Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Môn: Toán 12
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN
BÀI TOÁN XÉT SỰ TƯƠNG GIAO
CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ N H ÓM T O
Dạng 1: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f (x) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có ÁN
dạng f (x) = a. , f (u(x)) = a . V D –
Dạng 2: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f (x) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có VDC
dạng f (x) = g (m) , f (u(x)) = g (m) .
Dạng 3: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f (x) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có
dạng f (x) = f (m) , f (u(x)) = f (m) .
Dạng 4: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f (x) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có
dạng f ( x ) = a; f (x) = a; f ( u(x) ) = a; f (u(x)) = a....
Dạng 5: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f (x) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có
dạng f ( x ) = g (m); f (x) = g (m); f ( u(x) ) = g (m); f (u(x)) = g (m)....
Dạng 6: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f (x) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có NH
dạng f (x) = g (x); f (u(x)) = g (v(x)) . ÓM T
Dạng 7: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f (x) , xét các bài toán liên quan đến phương trình, OÁN
bất phương trình chứa f '(x); f ' (x)... . V D
Dạng 8: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f '(x) , xét các bài toán liên quan đến phương trình – V
có dạng f (x) = 0; f (u(x)) = 0; f (x) = g (x); f (u(x)) = g (v(x)) ... . DC
Dạng 9: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f '(x) , xét các bài toán liên quan đến phương trình
có dạng f (x) = m; f (u(x)) = m; f (x) = g (m); f (u(x)) = g (m) ...
Dạng 10: Biết số nghiệm của phương trình f (x) = 0 , xét các bài toán liên quan đến phương trình
có chứa f '(x); f ' (x)... .
Dạng 11: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f (x) , xét các bài toán liên quan đến BẤT
PHƯƠNG TRÌNH có dạng f (x) ≥ g (x); f (u(x)) ≥ g (x) (>,<,≤)... có thể có tham số.
Dạng 12: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f '(x) , xét các bài toán liên quan đến BẤT
PHƯƠNG TRÌNH có dạng f (x) ≥ g (x); f (u(x)) ≥ g (x) (>,<,≤)... có thể có tham số.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN
XÉT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ (PHẦN 1. Từ dạng 1 đến dạng 4)
Dạng 1: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f (x) , xét các bài toán liên quan đến N H ÓM
phương trình có dạng f (x) = a. , f (u(x)) = a . T = O
Câu 1. Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ. ÁN V D – VDC
Số nghiệm thuộc khoảng (0;π ) của phương trình f (sin x) = 4 − là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C N H ÓM T OÁN V D – VDC sin x = α ∈( 1; − 0)
Xét phương trình: f (sin x) = 4 − ⇔ sin x = β ∈ (0 ) ;1
Vì x∈(0;π ) ⇒ sin x∈(0 ]
;1 . Suy ra với x ∈(0;π ) thì f (sin x) = 4
− ⇔ sin x = β ∈(0; ) 1 . Vậy
phương trình đã cho có 2 nghiệm x∈(0;π )(thỏa mãn). Vậy chọn C.
Câu 2. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T π π = − O Phương trình f ( x) 13 cos
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng ; ? ÁN 3 2 2 V A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 4 . D Lời giải – V Chọn C DC
Đặt t = cosx , π π x ; ∈ − ⇒ t ∈ (0; ]1. 2 2 Phương trình f ( x) 13 cos =
trở thành f (t) 13 = 3 3
Dựa vào bảng biến thiên trên ta có phương trình f (t) 13 =
có đúng một nghiệm t ∈(0; ) 1 3
Với một nghiệm t ∈(0; )
1 , thay vào phép đặt ta được phương trình cosx = t có hai nghiệm
phân biệt thuộc thuộc khoảng π π ; − . 2 2 Vậy phương trình π π f ( x) 13 cos =
có hai nghiệm phân biệt thuộc thuộc khoảng ; − . 3 2 2 N H
Câu 3. Cho hàm số y = f (x) xác định trên \{ }
0 có bảng biến thiên như sau ÓM T OÁN V D – V DC
Số nghiệm của phương trình 2 f (3x −5) − 7 = 0 là A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Lời giải Chọn C
f ( x − ) − = ⇔ f ( x − ) 7 2 3 5 7 0 3 5 = . 2
Đặt t = 3x − 5 , phương trình trở thành f (t) 7 = . 2
Với mỗi nghiệm t thì có một nghiệm t 5 x + =
nên số nghiệm t của phương trình f (t) 7 = 3 2
bằng số nghiệm của phương trình 2 f (3x −5) − 7 = 0 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f (x) suy ra phương trình f (t) 7 = có 3 nghiệm 2
phân biệt nên phương trình 2 f (3x −5) − 7 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. N H
Câu 4. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên thỏa mãn điều kiện lim f (x) = lim f (x) = −∞ và có x→−∞ x→+∞ ÓM
đồ thị như hình dưới đây T OÁN V D – VDC
Với giả thiết, phương trình f ( 3
1− x + x ) = acó nghiệm. Giả sử khi tham số a thay đổi, phương trình đã
cho có nhiều nhất m nghiệm và có ít nhất n nghiệm. Giá trị của m + n bằng A. 4 . B. 6 . C. 3. D. 5. Lời giải N Chọn C H ÓM
Dễ thấy điều kiện của phương trình đã cho là x ≥ 0 . T OÁN Đặt 3
t =1− x + x ( ) 1 ⇒ t ∈( ; −∞ 1] . V D
Dễ thấy phương trình ( )
1 luôn có nghiệm duy nhất t ∀ ∈( ; −∞ 1] . – VDC
Phương trình đã cho có dạng: f (t) = a (2),t ≤1.
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số nghiệm của (2).
Đồ thị hàm số y = f (t),t ≤1 có dạng:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D – VDC Do đó:
(2) vô nghiệm khi a >1. (2) có hai nghiệm khi 3 − ≤ a <1.
(2) có nghiệm duy nhất khi a =1 hoặc a < 3 − .
Vậy m = 2,n =1⇒ m + n = 3 .
Câu 5. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Gọi m là số nghiệm của
phương trình f ( f (x)) =1. Khẳng định nào sau đây là đúng? N H ÓM T OÁN V D –
A. m = 6.
B. m = 7 .
C. m = 5.
D. m = 9. VDC Lời giải Chọn B
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao x = x ∈ 1; − 0 1 ( )
Ta có: f (x) =1 ⇔ x = x ∈ 0;1 2 ( ) . x = x > 2 3 N H ÓM
f (x) = x 1 1 ( ) T
Suy ra: f ( f (x)) =1 ⇔ f (x) = x 2 2 ( ) . O ÁN f ( x) = x 3 3 ( ) V D
+) Xét (1): f (x) = x ∈ 1; − 0 1 (
) , ta có đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại 3 – 1 VDC
điểm phân biệt nên phương trình ( )
1 có 3 nghiệm phân biệt.
+) Xét (2) : f (x) = x ∈ 0;1 2
( ), ta có đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại 3 2
điểm phân biệt nên phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt.
+) Xét (3) : f (x) = x > 2 3
, ta có đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại 1 điểm 3
nên phương trình (3) có 1 nghiệm.
Do các nghiệm không trùng nhau nên tổng số nghiệm là: m = 3+ 3+1 = 7 .
Câu 6. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ sau. N H ÓM T OÁN V D – V DC
Số nghiệm của phương trình f (2sin x) = 1 trên đoạn [0;2π ] là A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Lời giải Chọn C
Đặt t = 2sin x , t ∈[ 2; − 2].
Xét phương trình f (t) = 1, dựa vào đồ thị ta thấy
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 6
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao t = 3 − (l) t = 2 − (n) sin x = 1 x − = − f (t) 2sin 2 1 = ⇔ ⇔ ⇔ . t = 1 − (n) 1 2sin x = 1 − sin x = − 2 N t = 5 (l) H ÓM π 3π T Với sin x = 1
− ⇔ x = − + k2π , x ∈[0;2π ] ⇒ x = . O 2 2 ÁN V π D x = − + k2π 1 3 π π –
Với sin x = − ⇔ , x ∈[ π ] 5 0;2 ⇒ x = , 4 . V 2 4π 3 3 DC x = + k2π 3
Vậy phương trình có 3 nghiệm
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. N
Phương trình f ( f (x)) = 0 có bao nhiêu nghiệm. H ÓM A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. T O Lời giải. ÁN V Chọn D D – VDC y=c y=b y=a
x = a (a∈( 2; − − ) 1 )
Phương trình f (x) = 0 có ba nghiệm phân biệt là: x = b (b∈(0; ) 1 ) x = c (c ( ∈ 1;2))
Các phương trình f (x) = a, f (x) = ,
b f (x) = c đều có 3 nghiệm phân biệt.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm phân biệt.
Câu 8. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. y N H 3 ÓM T -1 OÁN 1 x -1 V D – VDC
Số nghiệm của phương trình 3 f (x) − 4 = 0 là A. 1. B. 3. C. 0 . D. 2 . Lời giải Chọn B
Ta có f (x) − = ⇔ f (x) 4 3 4 0 = ( ) 1 . 3 Phương trình ( )
1 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng 4
y = . Số nghiệm của ( )
1 chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số. 3 y N 3 H 4 ÓM y = 3 T -1 O 1 x ÁN -1 V D – V
Dựa vào đồ thị của hai hàm số y = f (x) 4
, y = ta thấy hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt DC 3 nên phương trình ( )
1 có 3 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 9. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm thực của phương trình 2 f (x) −3 = 0 là
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao A. 2 . B. 4 . C. 3. D. 1. Lời giải
Phương trình 2 f (x) −3 = 0 ⇔ f (x) 3 = . N 2 H ÓM
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) với đường T OÁN thẳng 3 y = . 2 V D
Từ bảng biến thiên suy ra số nghiệm thực của phương trình 2 f (x) −3 = 0 là 2 . – VDC
Câu 10. Cho hàm số f (x) liên tục trên có đồ thị y = f (x) như hình vẽ bên. Phương trình
f (2 − f (x)) = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt. A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. Lời giải N Chọn B H ÓM Theo đồ thị: T x = a ( 2 − < a < − ) 1
2 − f (x) = a
f (x) = 2 − a ( ) 1 O ÁN
f (x) = 0 ⇔ x = b (0 < b < ) 1
⇒ f (2 − f (x)) = 0 ⇔ 2 − f (x) = b ⇔ f (x) = 2 − b (2) V x c (1 c 2) 2 f (x) c = < < − = f
( x) = 2 − c (3) D – = − = −
Nghiệm của phương trình (1); (2); (3) là giao điểm của đường thẳng y 2 a ; y 2 b ; VDC
y = 2 − c với đồ thị hàm số f (x) . a ∈( 2 − ; )
1 ⇒ 2 − a ∈(3;4) suy ra phương trình (1) có đúng 1 nghiệm. b ∈(0; )
1 ⇒ 2 − b ∈(1;2) suy ra phương trình (2) có đúng 1 nghiệm.
c∈(1;2) ⇒ 2 − c∈(0; )
1 suy ra phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt.
Kết luận: Có tất cả 5 nghiệm phân biệt.
Câu 11. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 9
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2 f (x) + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt? A. 4 . B. 5. C. 2 . D. 6 . Lời giải N H ÓM Chọn B T −m O
Ta có: 2 f (x) + m = 0 ⇔ f (x) = (*). ÁN 2 V −m D
Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng (d ): y = cắt đồ thị hàm số 2 – V −m DC
y = f (x) tại 4 điểm phân biệt ⇔ 2 − < <1 ⇔ 2 − < m < 4 . 2
Do m∈ nên m∈{−1; 0; 1; 2; 3}. Chọn B.
Câu 12. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm của phương trình f f (cos 2x) = 0 ? A. 1 điểm. B. 3 điểm. C. 4 điểm. D. Vô số. N H Lời giải ÓM ChọnC T OÁN
Dựa vào đồ thị ta thấy khi x ∈[ 1; − ] 1 thì y ∈[0; ] 1 . V D
Do đó nếu đặt t = cos 2x thì t ∈[ 1; − ]
1 , khi đó f (cos 2x) ∈[0; ] 1 . – VDC
f (cos 2x) = 0
Dựa vào đồ thị, ta có f f (cos 2x) = 0 ⇔
f (cos 2x) = a (a < − ) 1 (loaïi) .
f (cos2x) = b (b > )1 (loaïi) cos 2x = 0
Phương trình f (cos 2x) = 0 ⇔ cos2x = a (a < − ) 1 (loaïi)
cos2x = b (b > ) 1 (loaïi) π π
⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = + k (k ∈ ). 4 2
Vậy phương trình đã cho có 4 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Câu 13. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây N H ÓM T OÁN V D – V DC
Tìm số nghiệm thực của phương trình f ( 2
−x + 4x − 3) = 2. − A. 1 B. 3. C. 4 . D. 5. Lời giải ChọnA Ta có 2
−x + 4x − 3 xác định khi 1 ≤ x ≤ 3. Từ đồ thị của hàm số, ta có 2
−x + 4x − 3 = a < 0(loaïi) f ( 2 −x + 4x − 3) 2 = 2
− ⇔ −x + 4x − 3 = 1 . 2
−x + 4x − 3 = b ∈ (2;3) N H ÓM • 2
−x + 4x − 3 = 1 ⇔ x = 2. T O • 2 2 2
−x + 4x − 3 = b ⇔ x − 4x + 3 + b = 0 có ÁN 2 2
∆′ = 4 − 3 + b = 1− b < 0, b ∀ ∈ 2;3 . V ( ) ( ) D – 2 V
Vậy phương trình f ( −x + 4x −3) = 2 − có đúng 1 nghiệm. DC
Câu 14. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các
giá trị thực của tham số m để phương trình 2 f (2 sin x + )
1 = m có nghiệm thuộc khoảng (0;π ) là y 4 3 − 1 − O 1 3 x A. [0;4) . B. (0;4) . C. (1; ) 3 . D. [0;8) . Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 11
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Chọn D
Đặt t = 2 sin x +1. Với x ∈(0;π ) thì t ∈(1; ] 3 .
Do đó phương trình 2 f (2 sin x + )
1 = m có nghiệm thuộc khoảng (0;π ) khi và chỉ khi N H m ÓM
phương trình f (t) = có nghiệm thuộc nửa khoảng (1; ] 3 . 2 T OÁN
Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số m là m ∈[0;4) ⇔ m∈[0;8) . 2 V D –
Câu 15. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các VDC
giá trị thực của tham số m để phương trình f ( 2
2 − x ) = m có nghiệm là: y 2 x 2 − O - 2 2 2 A. − 2 ; 2 . B. (0;2) . C. ( 2; − 2) . D. [0;2] . Lời giải Chọn D N ∈ − H
Điều kiện của phương trình: x 2 ; 2 . ÓM T Đặt 2
t = 2 − x . Với x ∈ − 2 ; 2 t ∈ O thì 0; 2 . ÁN V
Do đó phương trình f ( 2
2 − x ) = m có nghiệm khi và chỉ khi phương trình f (t) = m có D – V nghiệm thuộc đoạn 0; 2 . DC
Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số m là m ∈[0;2].
Câu 16. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình 3 f (x) − 5 = 0 là A. 4. B. 2 . C. 0. D. 3.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 12
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Lời giải Chọn A N
Ta có 3 f (x) − 5 = 0 ⇔ 3 f (x) = 5 ⇔ f (x) 5 = . H 3 ÓM T
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị y = f (x) và đường thẳng 5 y = . O 3 ÁN V = D
Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng 5
y = cắt đồ thị y f (x) tại 4 điểm phân biệt. 3 – VDC
Vậy phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt.
Câu 17. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ sau.
Số nghiệm của phương trình 2 2 2
[f (x +1)] − f (x +1) − 2 = 0 là: A. 1. B. 4. C. 3. D. 5. Lời giải N H Chọn B ÓM T Đặt 2
t = x +1 ⇒ t ≥ 1. O ÁN
Ta thấy ứng với t = 1 cho ta một giá trị của x và ứng với mỗi giá trị t > 1 cho ta hai giá trị của V x . D – V 2 f (t) = 1 − DC
Phương trình đã cho trở thành: f (t) − f (t)− 2 = 0 ⇔ . = f (t) 2
Từ đồ thị hàm số y = f (t) trên [1;+∞) suy ra phương trình f (t) = 1
− có 1 nghiệm t = 2 và
phương trình f (t) = 2 có 1 nghiệm t > 2 do đó phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Câu 18. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m [ 0; −1 0
1 ] để phương trình f ( 3 2 x − x + ) 2 3
2 = m − 3m có nghiệm thuộc nửa khoảng [1;3).
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D A. 21. B. 5. C. 6 . D. 4 . – Lời giải VDC Chọn D Đặt 3 2
t = x − 3x + 2 . Vì 1≤ x < 3 ⇒ 2 − ≤ t < 2. Phương trình f ( 3 2 x − x + ) 2
= m − m ⇔ f (t) 2 3 2 3
= m − 3m với t ∈[ 2; − 2) . 2
m −3m + 2 ≥ 0
Phương trình có nghiệm thuộc nửa khoảng [1;3) 2 ⇔ 2
− ≤ m − 3m < 4 ⇔ . 2
m − 3m − 4 < 0 1 − < m ≤1 ⇔ 2 ≤ m < 4 Vậy trên đoạn [ 0; −1 0
1 ] có 4 giá trị nguyên thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 19. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. N H ÓM T OÁN V D
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f (x) = 2 là: – VDC A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Lời giải Chọn C
Số nghiệm của phương trình f (x) = 2 là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và đường
thẳng y = 2. Dựa vào đồ thị ta thấy số giao điểm là 3.
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 20. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f ( f (x)) = 3 − có
tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 14
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T A. 0. B. 1. C. 2. D. 3 OÁN Lời giải V Chọn C D – V
Từ đồ thị ta có f ( f (x)) = 3
− ⇔ f (x) = 1 − . DC
Cũng từ đồ thị ta thấy ta có đồ thị hàm số y = f (x) cắt đường thẳng y = 1 − tại hai điểm phân
biệt nên phương trình f (x) = 1
− có hai nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Câu 21. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. y 2 2 -2 -1 O 1 x N H ÓM -2 T O y = f(x) ÁN V D
Phương trình f ( f (x)) = 2 có bao nhiêu nghiệm? – VDC A. 3 B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải Chọn C
Dựa vào đồ thị của hàm số ta có: = −
f ( f (x)) f (x) 2 = 2 ⇔ . f ( x) = 1
Số nghiệm của các phương trình f (x) = 2
− và f (x) =1 lần lượt là số giao điểm đồ thị hàm số
y = f (x) và các đường thẳng y = 2, − y =1.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Dựa vào đồ thị ta có f (x) = 2
− có hai nghiệm phân biệt x = 1;
− x = 2 và f (x) =1 có ba 1 2
nghiêm x = a; x = ;
b x = c sao cho -2 < a < -1 < b < 1 < c < 2 . 3 4 5 = N
Vậy phương trình f ( f (x)) 2 có 5 nghiệm phân biệt. H ÓM
Câu 22. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá T 2 O
trị thực của tham số m để phương trình f (x + 2x − 2) = 3m +1 có nghiệm thuộc khoảng ÁN V [0; ]1.. D – VDC A. [0;4] . B. [ 1; − 0]. C. [0; ] 1 . D. 1 ;1 − 3 Lời giải Chọn.D. Đặt 2
t = x + 2x − 2 . Với x ∈[0; ] 1 ⇒ t ∈[ 2; − ] 1 . N H Phương trình 2
f x + 2x − 2 = 3m +1 có nghiệm thuộc đoạn [0; ]
1 khi và chỉ khi phương trình ÓM ( ) T
f (t) = 3m +1 có nghiệm thuộc [− ] 1
2;1 ⇔ 0 ≤ 3m +1≤ 4 ⇔ − ≤ m ≤1. O 3 ÁN V
Câu 23. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau D – VDC
Số nghiệm phương trình f (x) − 2020 = 0 là A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3 Lời giải Chọn C
Ta có f (x) − 2020 = 0 ⇔ f (x) = 2020 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 16
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số y = f (x) cắt đường thẳng y = 2020 tại 1 điểm nên
phương trình đã cho có 1 nghiệm.
Câu 24. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên dưới N H y ÓM T 2 OÁN V D - 2 1 2 – 0 x VDC -2
Số nghiệm của phương trình 2 f (x) − 7 = 0 là: A. 4 . B. 2 . C. 0 . D. 3. Lời giải Chọn B
2 f (x) − 7 = 0 ⇔ f (x) 7 = . 2 N H
Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng 7
y = cắt nhau tại hai điểm phân biệt. ÓM 2 2 f x − 7 = 0 T Vậy phương trình ( )
có 2 nghiệm phân biệt. OÁN
Câu 25. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau V D – VDC
Số nghiệm của phương trình f (x) +1 = 0 là? A. 1. B. 3. C. 0 . D. 2 . Lời giải
Phương trình f (x) +1 = 0 ⇔ f (x) = 1 − .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình vô nghiệm Chọn C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 17
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Câu 26. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ N H ÓM T O ÁN V
Phương trình f (1−3x) = 6 có bao nhiêu nghiệm âm? D – A. 1. B. 3. C. 0 . D. 2 . VDC Lời giải 2 1 − 3 = 1 x x = −
Xét g (x) = f (1−3x) ⇒ g′(x) = 3
− f (1− 3x) = 0 3 ⇔ ⇔ . 1 − 3x = 3 2 x = − 3 Bảng biến thiên N H ÓM T O
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f (1−3x) = 6 có một nghiệm âm. ÁN V Chọn A. D – = + + + + V
Câu 27. Đồ thị hàm số ( ) 4 3 2 f x
ax bx cx dx e có dạng như hình vẽ sau. DC
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 18
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D – VDC
Phương trình a( f x )4 + b( f x )3 + c( f x )2 ( ) ( )
( ) + df (x) + e = 0 (*) có số nghiệm là A. 2. B. 6. C. 12. D. 16. Hướng dẫn giải Chọn C. N H ÓM T OÁN V D – VDC
Ta thấy đồ thị y = f (x) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt nên phương trình f (x) = 0 có 4
nghiệm phân biệt: x ∈ −1,5;−1 x ∈ 1; − 0
− ,5 x ∈ 0;0,5 x ∈ 1,5;2 1 ( ), 2 ( ), 3 ( ) , 4 ( ) .
Kẻ đường thẳng y = m.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 19
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Với m = x ∈ −1,5;−1 = 1 (
) có 2 giao điểm nên phương trình f (x) x có 2 nghiệm. 1
Với m = x ∈ 1; − 0 − ,5 = 2 (
) có 4 giao điểm nên phương trình f (x) x có 4 nghiệm. 2 N H
Với m = x ∈ 0;0,5 = 3 (
) có 4 giao điểm nên phương trình f (x) x có 4 nghiệm. 3 ÓM T
Với m = x ∈ 1,5;2 = 4 (
) có 2 giao điểm nên phương trình f (x) x có 2 nghiệm. 4 OÁN
Vậy phương trình (*) có 12 nghiệm. V D –
Câu 28. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình bên. VDC
Số nghiệm phân biệt của phương trình f ( f (x)) =1 là A. 7 . B. 8 . C. 9 . D. 6 . Lời giải N Chọn A. H ÓM t = a ( 2 − < a < − ) 1 T O
Đặt f (x) = t , khi đó f (t) = 1 ⇔ t = 0 . ÁN
t = b (1< b < 2) V D –
f (x) = a ( 2 − < a < − ) 1 V DC Khi đó ta có f (x) = 0 .
f (x) = b (1< b < 2)
Dựa vào đồ thị ta có phương trình f (x) = a có 1 nghiệm, phương trình f (x) = 0 có 3
nghiệm, phương trình f (x) = b có 3 nghiệm. Và các nghiệm này không trùng nhau.
Vậy phương trình f ( f (x)) =1 có 7 nghiệm.
Câu 29. Cho hàm số f (x) liên tục trên có đồ thị y = f (x) như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của
phương trình (2 + (ex f f ) =1 là
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 20
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. V Lời giải D Chọn B – V Ta có: DC Theo đồ thị : x + = − f ( + f ( f x ) 2 (e ) 1 2 e = 1 ⇔ 2 + f
(ex ) = a,(2 < a < 3) N ex = 1 H 2 + f (ex ) = 1
− ⇔ f (ex ) = 3 − ⇔ ⇔ x = 0 ÓM ex = b < 1 − (L) T ex = c < 1 − (L) O ÁN
2 + f (ex ) = a ⇔ f (ex ) = a − 2,(0 < a − 2 < )
1 ⇔ ex = d < 0(L) ⇔ x = lnt V x = > D e t 2 –
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. VDC
Câu 30. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các
giá trị thực của tham số m để phương trình (ex f
) = m có nghiệm thuộc khoảng (0;ln2).
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 21
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T O 1 ÁN V D – VDC A. ( 3 − ;0) . B. ( 3 − ;3) . C. (0;3). D. [ 3 − ;0] Lời giải Chọn A Đặt ex
t = . Với x ∈(0;ln 2) ⇒ t ∈(1;2) Phương trình (ex f
) = m có nghiệm thuộc khoảng (0;ln2) khi và chỉ khi phương trình
f (t) = m có nghiệm thuộc khoảng (1;2) ⇔ 3 − < m < 0 .
Câu 31. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị N
nguyên của m để phương trình f (2log x = m có nghiệm duy nhất trên 1 ;2 . 2 ) H 2 ÓM T OÁN V D – VDC A. 9. B. 6 . C. 5. D. 4 Lời giải Chọn.B
Đặt t = 2log x , 1 x ;2 ∈ ⇒ t ∈[ 2 −
;2). Với mỗi t ∈[ 2;
− 2) thì phương trình 2log x = t có 2 2 2
một nghiệm duy nhất trên 1 ;2 . 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 22
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Phương trình f (2log x = m có nghiệm duy nhất thuộc đoạn 1 ;2 khi và chỉ khi phương 2 ) 2 − ≤ m ≤
trình f (t) = m có nghiệm duy nhất thuộc [− ) 2 2 2;2 ⇔ m = 6 N H ÓM
⇒ có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn. T O
Câu 32. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây ÁN V D – VDC
Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình ( x f e ) 2 8
= m −1 có hai nghiệm thực phân biệt là A. 5. B. 4 . C. 7 . D. 6 . Lời giải Chọn A 2 Đặt x
t = e (t > 0) phương trình trở thành f (t) 2
= m − ⇔ f (t) m −1 8 1 = ( ) 1 . N 8 H ÓM
với t > 0 cho ta duy nhất một nghiệm x = ln t . Vậy phương trình có đúng hai nghiệm thực phân
biệt khi và chỉ khi (1) có đúng hai nghiệm t > 0. T O
Từ đồ thị ta suy ra phương trình (1) có đúng hai nghiệm t > 0 khi và chỉ khi: ÁN 2 m −1 V 1 − < < 1 ⇔ 3 − < m < 3. D 8 –
Vậy có 5 số nguyên thỏa mãn. VDC
Dạng 2: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f (x) , xét các bài toán liên quan đến
phương trình có dạng f (x) = g (m) , f (u(x)) = g (m) .
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau x ∞ 1 0 1 + ∞ y' 0 + 0 0 + + ∞ + ∞ 2 y 1 1
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f (x) − m = 0 có 4 nghiệm phân biệt
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao A. m∈(1;2]. B. m∈[1;2). C. m∈(1;2). D. m∈[1;2] . Fece: Chính Nguyễn Lời giải Chọn C. N H
Phương trình f (x) − m = 0 ⇔ f (x) = m (∗) . ÓM
Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) , phương trình (∗) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ 1< m < 2 . T O = − ÁN
Câu 2. Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục trên đoạn [ 2;2] và có đồ thị là đường cong trong hình V vẽ sau. D – VDC
Tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f (x) = m có 3 nghiệm phân biệt trên đoạn [ 2; − 2] là
A. m∈(2;+∞) . B. m∈[ 2; − 2] . C. m∈( 2; − 3) . D. m∈( 2; − 2) . Face: Hà Dũng Lời giải N H ÓM Chọn D. T
Số nghiệm của phương trình f (x) = m bằng số điểm chung của đồ thị hàm số y = f (x) (hình OÁN
vẽ) và đường thẳng y = m. V D
Nhìn vào đồ thị ta thấy để phương trình có 3nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m∈( 2; − 2) . – VDC
Câu 3. Cho hàm số y f(x) xác định trên \ 1;
1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của thàm số m sao cho phương trình f x m có ba nghiệm thực phân biệt. A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Chọn D
Căn cứ bảng biến thiên ta thấy:
Phương trình f x m có ba nghiệm phân biệt khi 2 − < m < 2 N H ÓM
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn ycbt. T O
Câu 4. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây ÁN V D – VDC
Số các giá trị nguyên của tham số m không vượt quá 5 để phương trình f (π x ) 2 m −1 − = 0 8
có hai nghiệm phân biệt là A. 5. B. 4 . C. 7 . D. 6. N
Fece: Chính Nguyễn HÓM Lời giải T Chọn A OÁN 2 x m −1 V f (π ) − = 0 ( ) 1 . D 8 – V 2 DC Đặt x − t m 1
= π . Điều kiện t > 0. (1) trở thành f (t) = ( 2) . 8
Vì với mỗi nghiệm t > 0 của phương trình (2) cho đúng một nghiệm x = log t của phương π
trình (1) nên (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có đúng hai nghiệm phân biệt trên 2
(0;+∞). Dựa vào đồ thị ta thấy điều này xảy ra khi và chỉ khi m −1 1 − < < 1. 8 m∈ m∈ m 5 ≤ ⇔ m ≤ 5
⇔ m 2;1;0;1; 2 . 2 m −1 3 − < m < 3 1 − < < 1 8
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 25
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Câu 5. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên \{ }
1 và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. y N 2 H ÓM 1 O 1 2 x T OÁN = V
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f (log x m có nghiệm thuộc 2 ) D khoảng (1;+ ∞) là – VDC A. (1;+ ∞) . B. (0 ) ;1 . C. [0;+∞) . D. \{ } 1 . Face: Điểm Đàm Lời giải Chọn C
Đặt t = log x . Với x ∈(1;+ ∞) thì t ∈(0;+ ∞) . 2
Do đó phương trình f (log x = m có nghiệm thuộc khoảng (1;+ ∞) khi và chỉ khi phương 2 )
trình f (t) = m có nghiệm thuộc khoảng (0;+ ∞).
Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số m là m∈[0;+∞) .
Câu 6. Hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau. N H ÓM T OÁN V D –
f (x + ) = m
Số các giá trị nguyên của m để phương trình 3 1
có 4 nghiệm phân biệt là VDC A. 15. B. 7 . C. 17 . D. 8 .
Face: Nguyễn Văn Sang Lời giải Chọn A Đặt 3
t = x +1, phương trình 3
f (x +1) = m trở thành f (t) = m . Do 3
y = x +1 là hàm số đồng
biến nên ta có bảng biến thiên hàm số y = f (t) cũng là
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 26
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Để phương trình 3
f (x +1) = m có 4 nghiệm phân biệt thì 9
− < m < 7 . Do đó có 15 giá trị
nguyên của m thỏa mãn.
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây: N H ÓM T OÁN V D – VDC
Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m nhỏ hơn 100 để phương trình f ( 2 x ) 2
− m + 2020 = 0 có đúng hai nghiệm phân biệt là A. 55. B. 56. C. 54. D. 99.
Face : Hoàng Ngọc Hùng Lời giải Chọn A Đặt 2
t = x ,t ≥ 0 . Phương trình đã cho trở thành f (t) 2 = m − 2020 ( ) 1
Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt khi phương trình ( ) 1 có đúng 1 nghiệm dương. m ≥ 2021
Từ đồ thị hàm số y = f (x) ta có 2 2
m − 2020 ≥1 ⇔ m ≥ 2021 ⇔ . m ≤ − 2021 N H
Do m nguyên dương và nhỏ hơn 100 nên m∈{45;46;47,..., }
99 . Vậy có 55 số thỏa mãn. ÓM T
Câu 8. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có bảng biến thiên của y ' như hình vẽ. OÁN V D – VDC
Tìm m để phương trình f (x + 2) = m + x có nghiệm x ∈[ 1; − 2].
A. f (4) − 2 < m < f (1) +1.
B. f (4) − 2 ≤ m ≤ f (1) +1.
C. m ≤ f (1) +1. D. 5 − ≤ m ≤ 1 − .
Face : Hoàng Ngọc Hùng Lời giải Chọn B
Ta có f (x + 2) = m + x ⇔ m = f (x + 2) − x Với x ∈[ 1;
− 2]thì x + 2∈[1;4]
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Từ bảng biến thiên ta thấy f '(x + 2)∈[ 5; − − ]
1 nên f '(x + 2) < 0 x ∀ ∈[ 1; − 2] suy ra hàm số
y = f (x + 2) nghịch biến trên ( 1;
− 2) ⇒ f (4)≤ f (x + 2) ≤ f (1), x ∀ ∈[ 1 − ;2]. N Mặt khác ta có ⇒ 2
− ≤ −x ≤1, x ∀ ∈[ 1 − ;2] . H ÓM
Từ đó f (4) − 2 ≤ f (x + 2) − x ≤ f (1) +1 x ∀ ∈[ 1; − 2] . T OÁN
Để phương trình f (x + 2) = m + x có nghiệm x ∈[ 1;
− 2] điều kiện m là V
f (4) − 2 ≤ m ≤ f (1) +1. D – V
Câu 9. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Có tất cả bao DC 2
nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình f (x − 4x + 5) +1 = m có nghiệm ? N H ÓM A. 5 . B. 6 . C. 4 . D. Vô số. T
Face: Trần Quốc Đại OÁN Lời giải V D Chọn A – VDC Đặt 2
t = x − 4x + 5 suy ra t ≥ 1 , ta có phương trình f (t) = m −1
Dựa vào đồ thị phương trình f (t) = m −1 có nghiệm t ≥ 1 khi và chỉ khi
m −1 ≤ 4 ⇔ m ≤ 5 Suy ra có 5 giá trị nguyên của m .
Câu 10. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Có tất cả bao
nhiêu giá trị nguyên của m∈( 10
− ;10) để phương trình f ( 2
x − 4x + 5) = f (m) có nghiệm ?
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D – VDC A. 17 . B. 16 . C. 18 . D. Vô số.
Face: Trần Quốc Đại Lời giải Chọn A Đặt 2
t = x − 4x + 5 suy ra t ≥ 1 , ta có phương trình f (t) = f (m)
Dựa vào đồ thị phương trình f (t) = f (m) có nghiệm t ≥ 1 khi và chỉ khi ≤ − f (m) m 2 ≥ 4 ⇔
. Suy ra các giá trị nguyên của m∈( 10 − ;10) là 9 − ≤ m ≤ 2 − ∨ 1 ≤ m ≤ 9 m ≥ 1 N H ÓM Vậy có 17 số nguyên T
Câu 11. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. OÁN V D – VDC
Tìm các giá trị thực của m để phương trình f (cos x) = m có nghiệm thuộc khoảng π π ; − : 2 2 A. m∈[ 1; − 3) . B. m∈( 1; − ) 1 . C. m∈[ 1; − ) 1 . D. m∈( 1; − 3). Face: Bích Nguyễn Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Chọn C Đặt π π
t = cos x , do x ; ∈ − ⇒ t ∈(0; ]
1 . Phương trình trở thành f (t) = m 2 2 N H π π ÓM
Phương trình f (cos x) = m có nghiệm thuộc khoảng − ;
khi và chỉ khi phương trình 2 2 T O
f (t) = m có nghiệm t ∈(0; ]
1 ⇔ Đường thẳng y = m có điểm chung với đồ thị hàm số f (t) ÁN trên nửa khoảng (0; ] 1 . V D – −
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có giá trị cần tìm của m là m∈[ 1; ) 1 . VDC
Câu 12. Giả sử tồn tại hàm số y = f (x) xác định trên \{± }
1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có
bảng biến thiên như sau:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của thàm số 1
m sao cho phương trình
f x m có nghiệm. x A. 2; 1 . B. 2;1 . C. ; . N D. 2;. H ÓM Lời giải T Chọn B OÁN V t 2 Đặt 1
t x Khi đó:
. Căn cứ bảng biến thiên ta thấy: D x t 2 – VDC
Phương trình f t m có nghiệm khi 2 − ≤ m <1.
Câu 13. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để phương trình f ( 2
x − 2x) = m có đúng 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn 3 7 ; − ? 2 2 A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 30
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Lời giải Chọn B N Đặt 2
t = x − 2x, với 3 7 x ∈ − ; thì 21 t ∈ 1; − . H 2 2 4 ÓM T OÁN − x 3 7 1 V 2 2 D t (′x) – − 0 + V DC 21 21 t(x) 4 4 1 −
Dựa vào BBT ta thấy: với mỗi 21 t 1; ∈ −
sẽ cho hai nghiệm x và với t = 1 − sẽ cho một 4 nghiệm .x
Do đó phương trình f ( 2
x − 2x) = m có đúng
4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 3 7 − ; 2 2
⇔ f (t) = m có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc 21 1; − . 4 N 2 < m < 4 H ÓM
Dựa vào đồ thị ta có f (t) = m với 21 t ∈ 1; −
có đúng 2 nghiệm phân biệt ⇔ m = 5 . 4 m = f (4) T OÁN
Vì m nguyên nên m = 3,m = 5. Vậy chọn đáp án B. V D
Câu 14. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá – V 3 2 2 DC
trị thực của tham số m để phương trình f (x −3x + 2) = m −3m có nghiệm thuộc nửa khoảng [1;3) là A. [ 1; − ) 1 ∪(2;4].
B. (1; 2) ∪[4; + ∞). C. ( ; −∞ − ] 1 ∪(2;4) . D. ( 1; − ] 1 ∪[2;4). Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 31
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Chọn D Đặt 3 2
t = x − 3x + 2 . Vì 1≤ x < 3 ⇒ 2 − ≤ t < 2. Phương trình f ( 3 2 x − x + ) 2
= m − m ⇔ f (t) 2 3 2 3
= m − 3m với t ∈[ 2; − 2) . N H 2 ÓM
m −3m + 2 ≥ 0 1 − < m ≤1 Phương trình có nghiệm 2 ⇔ 2
− ≤ m − 3m < 4 ⇔ ⇔ . 2 − − < ≤ < T m 3m 4 0 2 m 4 OÁN
Câu 15. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. V D – VDC
Tồn tại bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f (sin x) = m có đúng hai
nghiệm thuộc khoảng (0;π ) ? N H A. 7 . B. 6 . C. 5. D. 4 . ÓM Lời giải T Chọn D OÁN
Đặt t = sin x(x∈(0;π ) ⇒ 0 < t ≤ ) 1 . V D
Nhận xét: với mỗi giá trị t thỏa mãn 0 < t <1 cho tương ứng hai giá trị x và (π − x thuộc 0 ) 0 – V khoảng (0;π ) . DC
Phương trình f (sin x) = m có đúng hai nghiệm thuộc khoảng (0;π )
⇔ Phương trình f (t) = m có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng (0; ) 1 ⇔ 7 − < m < 2
− . Mà: m∈ ⇒ m∈{ 3 − ; 4 − ; 5 − ;− } 6 .
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m để phương trình f (sin x) = m có đúng hai nghiệm thuộc khoảng (0;π ) .
Câu 16. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình vẽ dưới đây:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 32
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D
Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình f (x) = f (m) có đúng 2 nghiệm? – VDC A. 4. B. 3. C. 3. D. 1. Lời giải Chọn A f (m) = −1
Dựa vào đồ thị hàm số thì phương trình f (x) = f (m) có đúng 2 nghiệm ⇔ (1). f (m) = 3 f (x) = −1
Số giá trị m thỏa mãn (1) chính là số nghiệm x của hệ (2). f (x) = 3 N H ÓM T OÁN V D
Lại dựa vào đồ thị thì đường thẳng y = 3 cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt, – V
đường thẳng y = −1 cũng cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt, 4 điểm này có hoành DC
độ khác nhau nên hệ (2) có 4 giá trị x thỏa mãn. Vậy có 4 giá trị của tham số m thỏa mãn bài toán.
Dạng 3: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f (x) , xét các bài toán liên quan đến
phương trình có dạng f (x) = f (m) , f (u(x)) = f (m) .
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) có liên tục trên đoạn [ 2;
− 4] và có đồ thị như hình sau
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 33
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D – VDC
Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình f (3 − x) = f (m) có hai nghiệm thuộc đoạn [ 1; − 5] . A. 2 . B. 3. C. 5. D. 0 . Lời giải Chọn A
Đặt t = 3 − x . Với x ∈[ 1;
− 5] ta suy ra t ∈[ 2; − 4].
Khi đó, mỗi t ∈[ 2;
− 4] cho ta một x ∈[ 1; − 5]. N H ÓM
Do đó phương trình f (3 − x) = f (m) có hai nghiệm thuộc đoạn [ 1;
− 5] khi và chỉ khi phương T
trình f (t) = f (m) (*) có hai nghiệm thuộc đoạn [ 2; − 4]. OÁN
Từ đồ thị của hàm số f (x) , ta suy ra phương trình (*) có hai nghiệm khi và chỉ khi: V D – f m = 3 − 1 ( ) ( ) V . DC 2 < f (m) < 4 (2)
Mặt khác, từ đồ thị của hàm số f (x) , ta suy ra f (− ) 1 = f ( ) 1 = f (4) = 2 và = − f (x) x 2 = 3 − ⇔ . x = 2 m = − Do đó ( ) 2 1 ⇔ . m = 2 Trên khoảng ( 2;
− 0) hàm số f (x) đồng biến, suy ra
2 < f (m) < 4 ⇔ f (− )
1 < f (m) < f (0) ⇔ 1 − < m < 0 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 34
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Trên khoảng (0;2) hàm số f (x) nghịch biến, suy ra
2 < f (m) < 4 ⇔ f ( )
1 < f (m) < f (0) ⇔ 0 < m < 1. N H − < m < ⇔ ÓM Do đó ( ) 1 0 2 . 0 < m < 1 T O
Suy ra tập hợp các giá trị m cần tìm là ( 1 − ;0) ∪ (0; ) 1 ∪{ 2; − } 2 . ÁN V D
Vì m ∈ nên m ∈{ 2; − } 2 . – VDC
Vậy có hai số nguyên thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Câu 2. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f (1− 2sin x) = f ( m )có nghiệm thực? A. 6. B. 7. C. 4. D. 5. Lời giải N H ÓM Chọn B Ta có: − ≤ − x ≤ x ∀ ∈ . T 1 1 2sin 3, O
Do đó: f (1− 2sin x) = f ( m )có nghiệm 2
− ≤ f ( m ) ≤ 2 ⇔ 1
− ≤ m ≤ 3 ⇔ m ≤ 3 ÁN V ⇔ 3 − ≤ m ≤ 3. D
Mà m∈ ⇒ m∈{ 3 − ; 2; − 1 − ;0;1;2; }
3 ⇒ có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán. – VDC
Câu 3. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f (1+ sin x) = f (m) có nghiệm
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 35
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao A. m∈{ 1; − 0;1; } 2 . B. m∈{0;1; } 2 . C. m∈∅ . D. m∈{0 } ;1 . Lời giải. Chọn A. N H ÓM
Xét phương trình f (1+ sin x) = f (m) (*). T − O * Với m = 1: ÁN V
Từ đồ thị hàm số ta thấy f (− ) 1 = 3 − . D – π V
Do đó (*) ⇔ f (1+ sin x) = 3
− ⇔ 1+ sin x = 2 ⇔ sin x =1 ⇔ x = + k2π . DC 2 Suy ra m = 1
− thỏa yêu cầu bài toán. * Với m ≠ 1 − :
Đặt t =1+ sin x , 0 ≤ t ≤ 2 .
(*) ⇔ f (t) = f (m) .
Dựa vào đồ thị hàm số thì hàm số f (t) nghịch biến với t ∈[0;2].
Do đó f (t) = f (m) ⇔ t = m ⇔ m∈[0;2] .
Vì m∈ nên m∈{0;1; } 2 . N H ÓM Vậy m∈{ 1; − 0;1; } 2 . T O = 6 2 − = ÁN
Câu 4. Cho đồ thị hàm số y f (x) như hình vẽ. Để phương trình f ( 1 x ) f (m) có nghiệm thì V
điều kiện của tham số m là m∈[a;b]. Hỏi điểm A( ;
a b) thuộc đường tròn nào sau đây? D – VDC
A. (x − )2 + ( y − )2 3 1 = 2 .
B. (x − )2 + ( y − )2 1 1 =1. C. 2 x + ( y − )2 1 =1.
D. (x − )2 + ( y + )2 3 1 = 20 Lời giải Chọn B Đặt 6 2
t = 1− x . Vì x∈[ 1 − ] ;1 ⇒ t ∈[0 ] ;1 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 36
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Khi đó f (6 2
1− x ) = f (m) ⇒ f (t) = f (m)(*)
Dựa vào đồ thị thấy hàm số f (t) nghịch biến với t ∈[0; ] 1 . N H ⇔ = ⇒ ≤ ≤ ÓM Do đó phương trình (*) t m
0 m 1 vì t ∈[0; ] 1 . T 6 2 O
Để phương trình f ( 1− x ) = f (m) có nghiệm thì điều kiện của tham số m là m∈[0; ]1. ÁN V 2 2 2 2 D
Tọa độ điểm A(0; ) 1 , ta có: (0 − ) 1 + (1− )
1 =1 ⇒ A∈(C) :(x − ) 1 + ( y − ) 1 =1. – VDC
Câu 5. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ: N H 2 ÓM
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( 8+ 4x −4x − )1 = f (m) có T nghiệm thuộc ( 1; − ) 1 ? OÁN A. 5. B. 7 . C. 3. D. 4 . V D Lời giải – V Chọn D. DC Xét trên ( 1; − ) 1 , hàm số
y = f (x) nghịch biến nên phương trình f ( 2
+ x − x − ) = f (m) 2 8 4 4 1
⇔ 8 + 4x − 4x = m +1 m +1≥ 0 ⇔ 2 8
+ 4x − 4x = (m + )2 1
Để yêu cầu bài toán được thỏa, ta tìm các giá trị thực m ≥ 1
− sao cho đồ thị hàm số 2
y = 8 + 4x − 4x cắt đường thẳng y = (m + )2
1 tại ít nhất một điểm có hoành độ 1 − < x <1.
Lập bảng biến thiên của hàm số 2
y = 8 + 4x − 4x trên ( 1; − ) 1
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 37
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao x 1 − 1 1 2 y ' + 0 - 2
y = 8 + 4x − 4x 9 N H 0 8 ÓM T OÁN m ≥ 1 − V Như vậy ta phải có ⇔ 1
− ≤ m ≤ 2 , m∈ suy ra m∈{ 1; − 0;1; } 2 . D 0 < (m + )2 1 ≤ 9 – VDC
Câu 6. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có bảng biến thiên:
Tính tổng các giá trị nguyên dương của m để phương trình f ( x −1 + 2) = f ( 3− m + 2) có nghiệm. A. 2 − . B. 6 . C. 8 . D. 4 . Lời giải N H Chọn B ÓM T
Đặt t = x −1 + 2 ≥ 2 thì phương trình f ( x −1 + 2) = f ( 3− m + 2) ( )1 trở thành OÁN
f (t) = f ( 3− m + 2) (2) với t ≥ 2. V D –
Để phương trình (2) có nghiệm thì đường thẳng có phương trình y = f ( 3− m + 2) phải cắt VDC
đồ thị hàm số y = f (t) tại ít nhất một điểm với mọi t ≥ 2 ⇔ 1
− < f ( 3− m + 2) ≤ 2 ⇔ m ≤ 3.
Vì m nguyên dương nên m∈{1; 2 }
; 3 ⇒ tổng các giá trị nguyên dương của m thỏa mãn bài toán là 1+ 2 + 3 = 6 .
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên có đồ thị như hình vẽ.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 38
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D – V DC
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f (6sin x +8cos x) = f (m(m + ) 1 ) có nghiệm thực. A. 5. B. 2 . C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn D
Nhận thấy hàm số y = f (x) là hàm số đồng biến trên
f (6sin x + 8cos x) = f (m(m + )
1 ) ⇔ 6sin x + 8cos x = m(m + ) 1 .
Đặt y = 6sin x + 8cos x . Có: 2 2 2 6 + 8 ≥ y ⇔ 10 − ≤ y ≤ 10 . N H ÓM
Vậy phương trình có nghiệm ⇔ 10 − ≤ m(m + ) 1 ≤10 T 2 O
m + m −10 ≤ 0 − − − + ÁN ⇔ 1 41 1 41 ⇔ ≤ m ≤ . 2
m + m +10 ≥ 0 2 2 V D –
Vì m∈ ⇒ m∈{ 3 − ; 1; − 1; − 0;1; }
2 . Vậy có 6 số nguyên thỏa yêu cầu bài toán. VDC
Câu 8. Cho hàm số y = f (x) là hàm bậc 4 có đồ thị như hình vẽ
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 39
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈[ 5; − 5] để phương trình
f ( 2x + x + ) = f ( 2 2 10 m + )
1 có hai nghiệm phân biệt? N A. 8 . B. 6 . C. 9. D. 7 . H ÓM Lời giải T Chọn B. OÁN Đặt 2
t = x + 2x +10 ⇒ t = (x + )2 1 + 9 ⇒ t ≥ 3. V D Với t = 3
x = − . Ta có f ( 2 m + ) 1 = f (3) 2
⇒ m +1 = 3 ⇔ m = ± 2 – thì 1 (loại). VDC
Với t > 3 mỗi giá trị t sẽ có 2 giá trị x tương ứng.
Do đó f ( 2x + x + ) = f ( 2 2 10 m + )
1 ⇔ f (t) = f ( 2 m + ) 1 với t ≥ 3
Để phương trình f ( 2x + x + ) = f ( 2 2 10 m + )
1 có 2 nghiệm phân biệt thì đường thẳng f ( 2 m + )
1 cắt đồ thị y = f (t) tại 1 điểm duy nhất có hoành độ t > 3 . m = ± 2 f ( 2 m + ) 1 = 2 2 m +1 = 5
Từ đồ thị y = f (x) ta có ⇒ ⇒ m > 5 f ( 2 m + ) 1 < 1 − 2 . m +1 > 6 m < − 5
Do m∈ và m∈[ 5; − 5] ⇒ m = { 5 − ; 4 − ; 3 − ;3;4; }
5 . Có 6 giá trị m thỏa mãn. 4 2 N
Câu 9. Cho hàm số y = f (x) = ax + bx + c ( 0
a ≠ ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. H ÓM y T O x ÁN -1 1 O 3 V D – VDC -3
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: f ( (4− x)(x −2)) = f (m) có nghiệm? A. ( ) ;1 −∞ . B. [ 1; − ] 1 . C. [0; ] 1 . D. ( 1; − +∞) . Lời giải Chọn B
Đặt t 4xx2 t 0 .
4 xx2
Với x 2;4 theo bất đẳng thức Côsi ta có: 4xx2 1 . 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 40
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
t 0; 1, x
2;43 f t 0 3 f 4xx20
f 4xx2 f (m) có nghiệm khi và chỉ khi: 3 f (m)0 1m1. N H ÓM
Câu 10. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị T
nguyên của tham số m để phương trình f (2sin x − cos x) = f (m) có nghiệm x∈. OÁN V x − ∞ + ∞ D – V y’ + DC y + ∞ − ∞ A. 3. B. 4 . C. 5. D. 6 . Lời giải Chọn C
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f (x) đồng biến trên
nên f (2sin x − cos x) = f (m) ⇔ 2sin x − cos x = m
Phương trình 2sinx− cosx = m có nghiệm 2 ⇔ + (− )2 2 2 2
1 ≥ m ⇔ m ≤ 5 ⇔ − 5 ≤ m ≤ 5 . N ± ± H Vậy m∈{ 2; 1; } 0 . ÓM
Câu 11. Cho f (x) là một hàm số liên tục trên đoạn [ 2; − 9], biết f (− )
1 = f (2) = f (9) = 3 và f (x) TO
có bảng biến thiên như sau: ÁN V D – VDC
Tìm m để phương trình f (x) = f (m) có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ 2; − 9]. A. m ∈( 2 − ;9] \ (( 1; − 2) ∪{ } 6 ). B. m ∈[ 2 − ;9] \ (( 1; − 2) ∪{ } 6 ). C. m ∈( 2; − 9] \ { } 6 . D. m∈[ 2; − 9] \ { 2; − } 6 . Lời giải Chọn A
Phương trình f (x) = f (m) có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ 2; − 9] khi 4
− < f (m) ≤ 3. Trên ( 2;
− 0), hàm số f ( x) đồng biến và f (− ) 1 = 3 nên 4
− < f (m) ≤ 3 ⇔ 2 − < m ≤ 1. −
Trên (0;6), hàm số f (x) nghịch biến và f (2) = 3 nên 4
− < f (m) ≤ 3 ⇔ 6 > m ≥ 2.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 41
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Trên ( 6;9), hàm số f (x) đồng biến và f (9) = 3 nên 4
− < f (m) ≤ 3 ⇔ 6 < m ≤ 9.
Vậy điều kiện của m là: m∈( 2; − − ]
1 ∪[2;6)∪(6;9] ⇔ m∈( 2; − 9] \ (( 1 − ;2) ∪{ } 6 ).
Câu 12. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. N y H ÓM 3 T OÁN 1 O V D -2 -1 1 2 x – VDC
Số giá trị nguyên dương của m để phương trình f ( 2
x − x +1) = f (m) có nghiệm là : A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3. Lời giải Chọn C
Xét hàm số u (x) 2 = x − x +1 2 Ta có ( ) x x +1 ' = 1 − x u x − = > 0, 2 2 x +1 x +1 N Bảng biến thiên H ÓM x −∞ +∞ T u '(x) + OÁN 0 V u (x) −∞ D – 2 V
Do đó f (x − x +1) ≤ 3 với mọi x∈. DC
YCBT ⇔ f (m) ≤ 3 ⇔ m ≤ 2 .
Vì m nguyên dương nên m∈{1; } 2
Câu 13. Cho hàm số f (x) liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 42
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Tập hợp các giá trị dương của tham số m để phương trình f f (x) 1 2 + = f (m) có 9 2 nghiệm là: N A. (0; ) 1 . B. 1 ;0 . C. 1 0; . D. (0; ] 1 . H 2 2 ÓM Lời giải T OÁN Chọn C V 1 D t − 2 2t −1 –
Đặt t = f (x) 1 2
+ , suy ra f (x) = = V 2 2 4 DC
Phương trình viết lại: f (t) = f (m ) ( ) 1
Số nghiệm phương trình (1) bằng số giao điểm của đường đồ thị hàm số f (t) và đường thẳng
y = f (m)
Xét phương trình f (x) 2t −1 = 4 2t −1 < 0 Nếu 4 −
thì phương trình f (x) 2t 1 = có một nghiệm. 2t − 1 > 4 − 4 4 N H 2t −1 ÓM = 0 4 t − T Nếu
thì phương trình f (x) 2 1 = có hai nghiệm 2t − 1 4 O = 4 − ÁN 4 V D t − − < < t − = – Nếu 2 1 4
0 thì phương trình f (x) 2 1 có ba nghiệm 4 4 VDC
Từ bảng biến thiên của hàm số f (x) ta suy ra phương trình f (t) = f (m ) có nhiều nhất ba nghiệm.
Suy ra phương trình f f (x) 1 2 + =
f (m) có 9 nghiệm 2
⇔ f (t) = f (m) có ba nghiệm thỏa 2t −1 4 − < < 0 4
⇔ f (t) = f (m) có ba nghiệm thỏa 15 1 − < t < 2 2
⇔ − < f (m) 25 4 < − 8
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 43
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Do m > 0 nên ta cho chọn 1 ⇔ 0 < m < . 2
Dạng 4: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f (x) , xét các bài toán liên quan đến N H
phương trình có dạng f ( x ) = a; f (x) = a; f ( u(x) ) = a; f (u(x)) = a.... ÓM T
Câu 1. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình OÁN f ( 3 x − x) 3 3 = là V 2 D – VDC A. 8. B. 4 . C. 7 . D. 3. Lời giải Chọn A
f ( 3x − x) 3 3 =
Phương trình f ( 3x − x) 3 2 3 = ⇔ . 2
f ( 3x −3x) 3 = − N 2 H ÓM y T OÁN 3 2 y = V 2 D – a4 V -2 a1 O a 2 a x DC 2 3 -1 - 3 y = 2 3
x − 3x = a , 2 − < a < 0 1 ( 1 ) * Phương trình f ( 3 x − 3x) 3 3
= ⇔ x − 3x = a , 0 < a < 2 . 2 ( 2 ) 2 3
x − 3x = a , a > 2 3 ( 3 ) * Phương trình f ( 3 x − 3x) 3 3
= − ⇔ x − 3x = a , a < 2 − . 4 ( 4 ) 2 Đồ thị hàm số 3
y = x − 3x có dạng như hình vẽ sau:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 44
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao y y = a 2 3 N H ÓM y = a2 T OÁN -1 O 1 x V D y = a – 1 -2 VDC y = a 4
Dựa vào đồ thị trên ta có: - Phương trình 3
x − 3x = a có 3 nghiệm phân biệt. 1 - Phương trình 3
x − 3x = a có 3 nghiệm phân biệt. 2 - Phương trình 3
x − 3x = a có 1 nghiệm. 3 - Phương trình 3
x − 3x = a có 1 nghiệm. 4
Vậy phương trình f ( 3 x − x) 3
3 = có 8 nghiệm phân biệt. 2 N H ÓM
Câu 2. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình T 4 2
f x − 2x = 2 là O ( ) ÁN V D – VDC A. 8. B. 9. C. 7 . D. 10. Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 45
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Chọn A f ( 4 2 x − 2x ) = 2 Phương trình f ( 4 2
x − 2x ) = 2 ⇔ . f ( 4 2 x − 2x ) = 2 − N H ÓM T OÁN V D – VDC 4 2
x − 2x = b,( 1 − < b < 0) * Phương trình f ( 4 2 x − 2x ) 4 2
= 2 ⇔ x − 2x = c,(0 < c < ) 1 . 4 2 N
x − 2x = d,(2 < d < 3) H ÓM * Phương trình f ( 4 2 x − x ) 4 2 2 = 2
− ⇔ x − 2x = a,( 2 − < a < − ) 1 . T OÁN Đồ thị hàm số 4 2
y = x − 2x như hình vẽ sau: V D – VDC
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 46
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Dựa vào đồ thị trên ta có: - Phương trình 4 2
x − 2x = a,( 2 − < a < − ) 1 không có nghiệm thực. 4 2 N
- Phương trình x − 2x = b,( 1
− < b < 0) có 4 nghiệm thực phân biệt. H ÓM - Phương trình 4 2
x − 2x = c,(0 < c < )
1 có 2 nghiệm thực phân biệt. T O 4 2 ÁN
- Phương trình x − 2x = d,(2 < d < 3) có 2 nghiệm thực phân biệt. V D
Vậy phương trình f ( 4 2
x − 2x ) = 2 có 8 nghiệm thực phân biệt. – VDC
Câu 3. Cho hàm số trùng phương y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thuộc 0;2của
phương trình f cos 2x 1 bằng A. 4 . B. 6 . C. 3. D. 8 . N H ÓM Lời giải T OÁN Chọn D V cos 2x = 0 D –
f (cos 2x) =1
cos 2x = a >1 (VN ) cos 2x = 0 V
Ta có f cos 2x 1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin 4x = 0 DC f (cos 2x) = 1 −
cos 2x = b < 1 − (VN ) sin 2x = 0 cos2x = 1 ±
Phương trình sin 4x 0 có 8 nghiệm thuộc 0;2.
Câu 4. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 47
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao 4
Số nghiệm thực của phương trình f ( 3 x − 3x) = là 3 A. 3. B. 8 . C. 7 . D. 4 . N Lời giải H ÓM Chọn B T 3 4 O
Xét phương trình: f (x − 3x) = ÁN 3 ( ) 1 . V Đặt 3
t = x − 3x , ta có: 2
t′ = 3x − 3 ; t′ = 0 ⇔ x = 1 ± . D Bảng biến thiên: – VDC Phương trình ( )
1 trở thành f (t) 4 = với t ∈ . 3
Từ đồ thị hàm số y = f (x) ban đầu, ta suy ra đồ thị hàm số y = f (t) như sau: N H ÓM T OÁN V D – VDC
Suy ra phương trình f (t) 4
= có các nghiệm t < 2
− < t < t < 2 < t . 3 1 2 3 4
Từ bảng biến thiên ban đầu ta có: +) 3
x − 3x = t có 1 nghiệm x . 1 1 +) 3
x − 3x = t có 1 nghiệm x . 4 2 +) 3
x − 3x = t có 3 nghiệm x , x , x . 2 3 3 5 +) 3
x − 3x = t có 3 nghiệm x , x , x . 3 6 7 8
Vậy phương trình f ( 3 x − x) 4 3 = có 8 nghiệm. 3
Câu 5. Cho đồ thị của hàm số y = f (x) như hình vẽ:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 48
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D –
Tìm số nghiệm phương trình f (x) 3 = . V 2 DC A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải Chọn D Cách 1:
Đồ thị hàm y = f (x) gồm 2 phần: + Phần đồ thị y = f (
x) nằm trên Ox (Kể cả giao điểm trên trục Ox )
+ Phần đồ thị lấy đối xứng qua Ox của đồ thị y = f (
x) nằm dưới Ox
Từ đó ta có đồ thị của của hàm số y = f (x) . y 6 5 N H 4 ÓM 3 T 2 OÁN 1 x V D -2 -1 1 2 -1 – V -2 DC
Từ đồ thị của hàm số y = f (x) nên f (x) 3 = có 6 nghiệm. 2 Cách 2: f (x) 3 = − (*) f (x) 3 = 2 ⇔ 2 f (x) 3 = (**) 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 49
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao y 6 5 N 4 H ÓM 3 3 y = T 2 2 OÁN 1 x V D -2 -1 1 2 – -1 VDC -2 3 y = − 2 Dựa vào đồ thị trên:
-Phương trình f (x) 3 = − : có 4 nghiệm 2
-Phương trình f (x) 3 = : có 2 nghiệm 2 Vậy f (x) 3 = có 6 nghiệm. 2
Câu 6. Đồ thị hàm số 3 2 y = 2
− x + 9x −12x + 4 như hình vẽ. Phương trình 3 2 9
2 x − 9x +12 x − = 0 có N 2 H ÓM
bao nhiêu nghiệm phân biệt? y T 4 OÁN V D – VDC 1 2 O x 1 − A. 3. B. 4 . C. 6 . D. 8 . Lời giải Chọn C Xét phương trình 3 2 9
2 x − 9x +12 x − = 0 2 3 2 17 ⇔ 2
− x + 9x −12x + 4 = (*) 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 50
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2 y = 2
− x + 9x − 2x + 4 và đường thẳng 17 y = 2 N
Hình vẽ dưới là đồ thị hàm số 3 2 y = 2
− x + 9x − 2x + 4 (C). Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy H ÓM đường thẳng 17 y =
cắt đồ thị (C ) tại 6 nghiệm phân biệt. T 2 O y ÁN 4 V D – VDC 2 − 1 − 1 2 O x 1 −
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên N H
Số nghiệm của phương trình f ( 2 x − 2x − ) 1 = 4 là ÓM A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 8 . T O Lời giải ÁN V Chọn D D – − Đặt 2
t = x − 2x −1, t ≥ 2 . Khi đó, phương trình thành f (t) = 4. VDC
Từ bảng biến thiên của hàm số y = f (x) suy ra phương trình f (x) = 0 có 4 nghiệm
x , x , x , x thỏa mãn x < 2
− < x < 0 < x < 2 < x . Ta có bảng biến thiên hàm số y = f (x) 1 2 3 4 1 2 3 4 là:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 51
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình f (t) = 4 có 6 nghiệm phân biệt t ,t ,t ,t ,t ,t thỏa 1 2 3 4 5 6
mãn t < x < t < 2
− < t < x < 0 < x < t < 2 < t < x < t . 1 1 2 3 2 3 4 5 4 6 Xét hàm số 2
y = x − 2x −1 có y′ = 2x − 2 = 0 ⇔ x =1. Ta có bảng biến thiên N H ÓM T OÁN V D – VDC
Từ bảng biến thiên trên có phương trình 2
x − 2x −1 = t và 2
x − 2x −1 = t vô nghiệm. 1 2 Mỗi phương trình 2
x − 2x −1 = t với t ∈{t ,t ,t ,t có hai nghiệm phân biệt và các nghiệm này 3 4 5 6} đều phân biệt.
Vậy phương trình f ( 2 x − 2x − )
1 = 4 có 8 nghiệm phân biệt.
Câu 8. Cho hàm số = ( ) ax + b y f x =
có đồ thị như hình vẽ bên. cx + d N H ÓM T OÁN V
Tất cả các giá trị của m để phương trình f ( x ) = mcó hai nghiệm phân biệt là D – V
A. 0 < m <1 và m>1. B. m ≥ 2 và m≤1.
C. m > 2 và m<1.
D. 0 < m <1. DC Lời giải Chọn C
Số nghiệm của phương trình f ( x ) = m(1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và
đường thẳng y = m.
Hàm số y = f ( x ) là hàm số chẵn nên nhận Oy làm trục đối xứng.
Đồ thị hàm số y = f ( x ) gồm 2 phần:
+ Phần 1: Đồ thị hàm số y = f (x) với x ≥ 0 .
+ Phần 2: Lấy đối xứng đồ thị hàm số y = f (x) với x ≥ 0 qua trục Oy .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 52
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì đường thảng y = m cắt đồ thị y = f ( x ) tại 2 V D
điểm phân biệt. Từ đồ thị ta có m > 2; m<1 – V 3 2 = = + + + ∈ ≠ DC
Câu 9. Cho hàm số y f (x) ax bx cx d, (
a,b,c,d ,
a 0) , có bảng biến thiên như hình sau
Phương trình f (x) = 3 có bao nhiêu nghiệm dương phân biệt? A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Lời giải N H ÓM Chọn D T y 1 − + y 1 O Ta có: y(0) ( ) ( ) = = 2. ÁN 2 V D
Bảng biến thiên của hàm số y = f (x) là: – VDC
Từ bảng biến thiên ta có: Phương trình f (x) = 3 có duy nhất 1 nghiệm dương.
Câu 10. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) như hình vẽ bên. Phương trình f (x + ) 3 1 = có bao 2
nhiêu nghiệm âm phân biệt?
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 53
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T O ÁN A. 3. B. 4 . C. 5. D. 6 . V D Lời giải – Chọn D VDC
Đồ thị (C của hàm số y = f (x + )
1 vẽ được bằng cách tịnh tuyến đồ thị (C) sang trái 1 đơn 1 )
vị ta được đồ thị như hình vẽ bên dưới
Đồ thị (C của hàm số y = f (x + ) 1 vẽ được bằng cách 2 )
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C nằm phía trên trục hoành và những điểm trên trục hoành ta 1 )
được đồ thị (C . 3 ) N H ÓM
+ Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị (C nằm phía dưới trục hoành ta được đồ thị (C . 4 ) 1 ) T
+ Khi đó (C = C ∪ C có đồ thị như hình vẽ dưới 2 ) ( 3) ( 4) OÁN V D – VDC
Từ đồ thị (C dễ thấy phương trình f (x + ) 3
1 = có 4 nghiệm âm phân biệt. 2 ) 2
Câu 11. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 54
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN
Phương trình f (1−3x) +1 = 3 có bao nhiêu nghiệm? V D – A. 4 . B. 3. C. 6 . D. 5. V Lời giải DC Chọn A
Cách 1: Dựa vào BBT của đồ thị hàm số y = f (x) ta có số nghiệm của phương trình
f (x) = m , m là tham số như sau: m < 3 − +/ Nếu
phương trình có 1 nghiệm duy nhất. m > 5 m = 3 − +/ Nếu
phương trình có 2 nghiệm phân biệt. m = 5 +/ Nếu 3
− < m < 5 phương trình có 3 nghiệm phân biệt. N H
f (1− 3x) +1 = 3
f (1− 3x) = 2 ÓM
Ta có phương trình f (1−3x) +1 = 3 ⇔ . f ( ⇔ 1− 3x) +1= 3 −
f (1− 3x) = 4 − T OÁN 1 − 3x = a1 V 1 −3x = a2 D
Từ kết quả trên ta suy ra
(a < f α < a < 1
− < a < 3 < a ; f α = f 3 = 3) − 4 ( ) 1 2 3 ( ) ( ) – 1 − 3x = a3 V DC 1− 3x = a4
Vậy phương trình f (1−3x) +1 = 3có 4 nghiệm phân biệt x = 1 − ⇒ f (− ) 1 = 5
Cách 2 : Dựa vào BBT ta có: f ′(x) = 0 ⇔ x = 3 ⇒ f (3) = 3 −
Xét hàm số g (x) = f (1−3x) +1.Ta có: 2 1 = − 3x = 1 − x g′(x) = 3
− f ′(1− 3x) . Suy ra g′(x) = 0 ⇔ f ′(1−3x) = 0 ⇔ 3 ⇔ . 1 − 3x = 3 2 x = − 3
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 55
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao 2 g = f (− )1+1= 2 6; g − = f (3) +1 = 2 − . 3 3
Mặt khác f ′(x) < 0 ⇔ 1
− < x < 3. Do đó N H 2 2 ÓM
f ′(1−3x) < 0 ⇔ 1
− < 1− 3x < 3 ⇔ 2 − < 3
− x < 2 ⇔ − < x < 3 3 T O 2 2 ÁN
Suy ra: g′(x) = 3
− f ′(1− 3x) > 0 ⇔ − < x < nên ta có bảng biến thiên như sau 3 3 V D – VDC
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình f (1−3x) +1 = 3 có 4 nghiệm. N H
Câu 12. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ ÓM T OÁN V D – VDC
Hỏi phương trình f (x + 2017) − 2018 = 2019 có bao nhiêu nghiệm? A. 6 . B. 2 . C. 4 . D. 3. Lời giải Chọn C
Xét đồ thị hàm số y = f (x + 2017) − 2018 có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f (x)
song song với trục Ox sang trái 2017 đơn vị, rồi sau đó tịnh tiến song song với trục Oy xuống dưới 2018 đơn vị.
Ta được bảng biến thiên của hàm số y = g (x) = f (x + 2017) − 2018 như sau
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 56
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T O ÁN = + − V
Khi đó đồ thị hàm số y
f (x 2017) 2018 gồm hai phần: D –
+ Phần đồ thị của hàm số y = g (x) = f (x + 2017) − 2018 nằm phía trên trục hoành. VDC
+ Và phần đối xứng của đồ thị y = g (x) = f (x + 2017) − 2018 nằm phía dưới trục hoành.
Do đó ta có được bảng biến thiên của hàm số y = g (x) như sau N
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình f (x + 2017) − 2018 = 2019 có 4 nghiệm. H ÓM T
Câu 13. Cho hàm số y = f (x) xác định trên và có đồ thị như hình bên. Hỏi phương trình OÁN f ( x − ) 1
2 = − có bao nhiêu nghiệm? V 2 D y – V 3 DC x 1 -1 O -1 A. 4 . B. 0 . C. 6 . D. 2 . Lời giải Chọn A
+ Trước tiên tịnh tiến đồ thị sang phải 2 đơn vị để được đồ thị hàm số y = f (x − 2). (C 1 )
+ Tiếp theo xóa bỏ phần đồ thị phía bên trái đường thẳng x = 2 .
+ Cuối cùng lấy đối xứng phần đồ thị còn lại ở trên qua đường thẳng x = 2 . Ta được toàn bộ
phần đồ thị của hàm số y = f ( x − 2 ). (hình vẽ bên dưới) (C 2 )
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 57
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao y
y f x 2 y
y f x 2 3 1 N x x O 3 O 3 H 1 2 ÓM -1 -1 1 y 2 T OÁN
+ Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x − 2 ), ta thấy đường thẳng 1
y = − cắt đồ thị hàm số V 2 D = − = − –
y f ( x 2 ) tại 4 điểm phân biệt
→ phương trình f ( x − ) 1 2
có 4 nghiệm phân biệt. 2 VDC
Câu 14. Cho hàm số y = f (x) xác định trên và và có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình f ( 2
x − 2x) = 3 là A. 3. B. 4 . C. 2 . D. 5. Lời giải Chọn C N H 2 ÓM
f (x − 2x) = 3 Ta có f ( 2
x − 2x) = 3 ⇔ 2 T
f (x − 2x) = 3 − OÁN
Dựa vào đồ thị ta thấy: V D 2 2 2 –
+ Phương trình f (x − 2x) = 3 ( )
1 ⇔ x − 2x = a(a > )
1 ⇔ x − 2x − a = 0 . Vì ∆ =1+ a > 0 nên VDC phương trình ( )
1 có 2 nghiệm phân biệt. + Phương trình f ( 2
x − x) = − ( ) 2
⇔ x − x = b(b < − ) 2 2 3 2 2
1 ⇔ x − 2x − b = 0 . Vì
∆ =1+ b < 0nên phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy số nghiệm của phương trình f ( 2
x − 2x) = 3 là 2 .
Câu 15. Cho hàm số f (x) 3 2
= ax + bx + cx + d (a, b, c, d ∈ ) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá
trị thực của tham số m đề phương trình 2 f ( x ) + m = 0 có đúng 4 nghiệm thực phân biệt.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 58
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D – A. 3 − < m <1. B. 1 − < m < 3. C. 2 − < m < 6 . D. 6 − < m < 2 . VDC Lời giải Chọn D Ta có: 2 −
f ( x )+ m=0 ⇔ ( )= m f x . 2
f ( x ) là hàm chẵn nên đồ thị như hình bên: N H ÓM T O ÁN V
Từ đồ thị ta có phương trình 2 f ( x )+ m=0 có 4 nghiệm thực phân biệt khi: D – V −m DC 1 − <
< 3 ⇔ − 6< m < 2 . 2
Câu 16. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Số giá trị nguyên của m để phương trình f ( x − 2 ) = m có nghiệm trên đoạn [ 1, − 5] là. A. 3. B. 5. C. 4 . D. 2 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 59
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Lời giải Chọn C Ta có 1 − ≤ x ≤ 5 ⇒ 3
− ≤ x − 2 ≤ 3 ⇒ 0 ≤ x − 2 ≤ 3 N H ÓM Do đó x ∀ ∈[ 1;
− 5] , 0 ≤ x − 2 ≤ 3. T OÁN
Đặt t = x − 2 với t ∈[0; ]
3 . Xét hàm số y = f (t) liên tục trên [0; ] 3 . V D
Dựa vào đồ thị ta thấy max f (t) = 5 , min f (t) = 2 ⇒ max f ( x − 2 ) = 5,min f ( x − 2 ) = 2 0;3 1; − 5 1; − 5 – [0 ] ;3 [ ] [ ] [ ] VDC
Suy ra pt f ( x − 2 ) = m có nghiệm trên đoạn [ 1,
− 5] khi 2 ≤ m ≤ 5 . (CÒN TIẾP PHẦN 2) N H ÓM T OÁN V D – VDC
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 60
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN
XÉT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ (PHẦN 2: DẠNG 5-8) N H ÓM T
Dạng 5: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f (x) , xét các bài toán liên quan đến OÁN
phương trình có dạng f ( x ) = g (m); f (x) = g (m); f ( u(x) ) = g (m); f (u(x)) = g (m).... VD
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. – VDC
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình (2 sin ) m f x f = có đúng 12 2
nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ π − ;2π ]? A. 3. B. 4. C. 2. D. 5. Lời giải N Chọn C H ÓM
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = g (x) = 2 sin x trên đoạn [ π − ;2π ] T OÁN VD – VDC Phương trình (2 sin ) m f x f =
có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ π − ;2π ]khi và chỉ 2 khi phương trình ( ) m f t f =
có 2 nghiệm phân biệt t ∈(0;2) . 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) suy ra phương trình ( ) m f t f = có 2 nghiệm phân biệt 2 m N 0 < < 2 H m 2 0 < m < 4 ÓM
t ∈(0;2) khi và chỉ khi 27 f − < < 0 ⇔ ⇔ . 16 2 m 3 m ≠ 3 ≠ T 2 2 OÁN
Do m nguyên nên m∈{1; }
2 . Vậy có 2 giá trị của m thoả mãn bài toán. V D – y = f x Câu 2. Cho hàm số
( ) có đồ thị như sau. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương VDC
trình f ( x ) = m có hai nghiệm dương phân biệt. N H ÓM T O A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3. ÁN Lời giải VD – ChọnC VDC
Ta có đồ thị hàm số y = f ( x )
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D – VDC m = 0
Dựa vào đồ thị, phương trình f ( x ) = m có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi . m = 2
Câu 3. Cho hàm hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới N H ÓM T OÁN VD
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( 2 x + )
1 = m có 6 nghiệm phân – V biệt. DC A. 12. B. 198. C. 6 . D. 190. Lời giải Chọn C Đặt 2
t = x +1, điều kiện t ≥1, từ đó phương trình trở thành f (t) = m , t ≥1.
Do t ≥1nên ta xét bảng biến thiên của hàm y = f (t) trên [1;+∞) như sau:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D –
Bảng biến thiên của hàm số y = f (t) trên [1;+∞) là VDC
Cứ mỗi nghiệm t >1 cho được hai nghiệm x , do vậy để phương trình f ( 2 x + ) 1 = m
có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình f (t) = m cần có 3 nghiệm t >1. Dựa bảng biến thiên N
của hàm y = f (t) ở trên ta có điều kiện 3 < m <10 , mặt khác m nguyên nên H ÓM m∈{4;5;6;7;8; } 9 . T O
Vậy có 6 giá trị nguyên m thỏa mãn bài toán. ÁN VD
Câu 4. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.Phương trình f (x) 2
+ 4 = m − 3m + 2 có – V
4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi tham số m thỏa mãn điều kiện nào dưới đây? DC
A. 0 ≤ m ≤ 4 .
B. 0 < m < 4 . − + − + C. 3 17 3 17 m∈ ;1 ∪ 2; . D. 3 17 3 17 m∈ ; . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Xét hàm số g (x) = f (x) + 4 .
Đồ thị hàm số g (x) = f (x) + 4 có được bằng cách: N H ÓM
Tịnh tiến đề thị hàm số f ( x) lên trên 4 đơn vị ta được f ( x) + 4 . T OÁN
Lấy đối xứng phần phía dưới Ox của đồ thị hàm số f ( x) + 4 qua Ox, ta được đồ thị hàm V
số g (x) = f (x) + 4 . D – VDC
Phương trình f (x) 2
+ 4 = m − 3m + 2 có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng 2
y = m − 3m + 2 cắt đồ thị hàm số g (x) = f (x) + 4 tại 4 điểm phân biệt. Từ đồ thị hàm
số g (x) = f (x) + 4 , ta suy ra phương trình f (x) 2
+ 4 = m − 3m + 2 có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 2
0 < m − 3m + 2 < 4 m∈(−∞ ) ;1 ∪(2;+ ∞) 2 − + > N m 3m 2 0 ⇔ ⇔ − + . H 2 3 17 3 17
m − 3m + 2 < 4 m∈ ; ÓM 2 2 T OÁN 3− 17 3+ 17 ⇔ m∈ ;1 ∪2; . V 2 2 D – V
Câu 5. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau: DC
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f (x + 2017) − 2018 = m có đúng 4 nghiệm phân biệt? A. 4034 . B. 4035 . C. 4036 . D. 4037 . Chọn B
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Xét hàm số y = f (x + 2017) − 2018 có đồ thị bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f (x) sang
trái 2017 đơn vị, sau đó tịnh xuống dưới 2018 đơn vị. Ta được bảng biến thiên của hàm số
y = g(x) = f (x + 2017) − 2018 như sau: N H ÓM T OÁN V D – VDC
Khi đó đồ thị hàm số y = f (x + 2017) − 2018 gồm hai phần:
+ Phần 1: Giữ nguyên toàn bộ phần đồ thị hàm số y = g(x) nằm phía trên trục hoành.
+ Phần 2: Lấy đối xứng phần phía dưới trục hoành của đồ thị hàm số y = g(x) qua0x .
Vậy ta có bảng biến thiên của hàm số y = g(x) như sau: N HÓM
Từ bảng biến thiên ta có để phương trình f (x + 2017) − 2018 = m có 4 nghiệm phân biệt khi và T
chỉ khi 0 < m < 4036 mà m∈ Z nên có 4035 giá trị m cần tìm. Chọn đáp án B OÁN
Câu 6. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. VD – VDC 2
3x + 2x + 3
Tìm tất cả các giá trị m để phương trình f = m có nghiệm. 2 2x + 2 A. 4 − ≤ m ≤ 2 − B. m > 4 −
C. 2 < m < 4
D. 2 ≤ m ≤ 4 Lời giải Chọn D
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 6
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thi của hàm y = f (x) là N H ÓM T OÁN V D 2 2 3x + 2x + 3 4 − x + 4 x = 1 − – Đặt t = ⇒ t′ = ; t′ = 0 ⇔ . 2 2 V + 2 2x 2 2x + 2 x = 1 DC ( )
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy x∈ ⇔ t ∈[1;2]. 2
3x + 2x + 3
Vậy phương trhhh f
= m có nghiệm khi và chỉ khi phương trình f (t) = m có 2 + 2x 2
nghiệm t ∈[1;2] ⇔ 2 ≤ m ≤ 4 .
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) xác định trên \{ }
0 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến N thiên như sau: H ÓM x −∞ 0 2 +∞ T y ' − − + O 2 3 +∞ ÁN y VD −∞ 2 − – V
Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình f ( x ) = m có 4 nghiệm phân biệt. DC A. 5. B. 2. C. 4. D. 0. Lời giải Chọn C
Từ bảng biến thiên của hàm số y = f (x) ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) như sau:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN
Suy ra phương trình f ( x ) = m có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 2
− < m < 3 mà VD
m∈ ⇒ m∈{ 1, − 0,1, }
2 . Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. – VDC
Câu 8. Cho hàm số y = f (x) xác định trên \{ }
0 và có bảng biến thiên như hình vẽ. Số giá trị
nguyên của m để phương trình f (2x −3) − m = 0 có đúng 2 nghiệm phân biệt là A. 2. B. 1. C. 4. D. 3. Lời giải Chọn A
Đặt 2x − 3 = t phương trình đã cho trở thành f (t) − m = 0 ⇔ f (t) = m . (*) N H ÓM
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (t) và đường T
thẳng y = m song song hoặc trùng với trục hoành. OÁN
Từ bảng biến thiên đã cho ta vẽ được bảng biến thiên của hàm số y = f (t) . VD – VDC
Do hàm số t = 2x − 3 đồng biến trên nên số nghiệm t của phương trình (*) bằng số nghiệm
x của phương trình đã cho.
Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có 2 nghiệm ⇔ 0 < m < 3 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Với m∈ suy ra m∈{1; } 2 .
Câu 9. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi phương NH 2 − = ÓM
trình f ( x 2x ) 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm? T y O 3 ÁN V 2 − D 1 – 1 − O 2 x V 1 − DC A. 9. B. 7 . C. 6 . D. 8 . Lời giải Chọn B N H ÓM T O ÁN
+ Ta có đồ thị hàm số y = f ( x ) có được bằng cách giữ nguyên phần đồ thị hàm VD
y = f (x) nằm bên phải trục Ox và đối xứng của chính phần đồ thị này qua Ox . Sau đó giữ – V
nguyên phần đồ thị phía trên Ox và lấy đối xứng của phần đồ thị phía dưới Ox qua Ox . Như DC
vậy đồ thị hàm số y = f ( x ) như hình vẽ.
Từ phương trình f ( 2x − 2x ) =1Đặt 2
t = x − 2x ta được f ( t ) =1
Khi đó dựa vào đồ thị ta nhận thấy đồ thị hàm số y = f ( t ) cắt đường thẳng y =1 tại 5 điểm là t = a ∈ 2 − ;1 ,t = 1,
− t = 0,t =1,t = b∈ 1;2 1 ( ) 2 3 4 5 ( ) Với 2
t = x − 2x
Ta có t′ = 2x − 2 ⇒ t′ = 0 ⇔ x =1. Ta có bảng biến thiên
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 9
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao x −∞ 1 +∞ y′ N – 0 + H ÓM +∞ +∞ y T O 1 − ÁN V D t = a ∈ 2 − ;1 ,t = 1,
− t = 0,t =1,t = b∈ 1;2 1 ( ) 2 3 4 5 ( ) – V
Dựa vào bảng biến thiên ta có DC 2
x − 2x = a ∈( 2; − − ) 1 vô nghiệm. 2 x − 2x = 1
− có đúng 1 nghiệm x . 2
x − 2x = 0 có đúng 2 nghiệm x . 2
x − 2x =1 có đúng 2 nghiệm x . 2
x − 2x = b có đúng 2 nghiệm x .
Câu 10. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên dưới. N H ÓM T OÁN VD – VDC
Tìm m để phương trình f ( 2x − 2x ) = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn 3 7 ; − ? 2 2
A. 2 < m < 3 hoặc f (4) < m < 5.
B. 2 < m ≤ 3 hoặc f (4) < m < 5.
C. 2 ≤ m < 3 hoặc f (4) < m < 5.
D. 2 < m < 3 hoặc f (4) < m ≤ 5. Lời giải Chọn C Đặt 2
t = x − 2x , với 3 7 x ; ∈ − . 2 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Ta thấy hàm số u (x) 2
= x − 2x liên tục trên đoạn 3 7 ; −
và u′ = 2x − 2; u′(x) = 0 ⇔ x = 1. 2 2 N Bảng biến thiên: H ÓM T OÁN V D – VDC
Nhận xétrằng vớit = 0 hoặc 21 1 < t ≤ thì phương trình 2
t = x − 2x có 2 nghiệm phân biệt; 4
vớit = 1thì phương trình 2
t = x − 2x có 3 nghiệm phân biệt; với mỗit ∈(0; ) 1 thì phương trình 2
t = x − 2x có 4 nghiệm phân biệt. N H ÓM Với 2
t = x − 2x phương trình f ( 2x − 2x ) = m thành f (t) 21 = , m t ∈ 0; 4 T OÁN
Dựa vào đồ thị f ta biện luận số nghiệm của phương trình f (t) 21 = , m t ∈ 0; trong các V 4 D – trường hợp sau VDC TH1: m = 2
f (t) = 2 ⇔ t = 1. Khi đó phương trình f ( 2x − 2x ) = m có 3 nghiệm phân biệt. TH2: 2 < m < 3
t = a ∈(0; ) f (t) 1 = m ⇔
. Khi đó phương trình f ( 2x − 2x ) = m có 6 nghiệm phân biệt. t = b ∈ (1;3) TH3: m = 3 = f (t) t 0 = m ⇔
. Khi đó phương trình f ( 2x − 2x ) = m có 4 nghiệm phân biệt. t = b ∈ (1;3)
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 11
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
TH4: 3 < m < f (4)
f (t) = m ⇔ t = a ∈(1;4) . Khi đó phương trình f ( 2x − 2x ) = m có 2 nghiệm phân biệt. N H ÓM TH5: m = f (4) T OÁN = f (t) t 4 = m ⇔
. Khi đó phương trình f ( 2x − 2x ) = m có 4 nghiệm phân biệt. V t = b ∈ (1;4) D – V
TH6: f (4) < m < 5 DC
f (t) = m có 3 nghiệm phân biệt thuộc (1;5). Khi đó phương trình f ( 2x − 2x ) = m có 6 nghiệm phân biệt. TH7: m = 5
f (t) = m có 2 nghiệm phân biệt thuộc (1;5). Khi đó phương trình f ( 2x − 2x ) = m có 4 nghiệm phân biệt. TH8: 21 5 m f < < 4
f (t) = m có 1 nghiệm thuộc 21 1;
. Khi đó phương trình f ( 2x − 2x ) = m có 2 nghiệm 4 N phân biệt. H ÓM
Vậy phương trình f ( 2x
− 2x ) = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn 3 7 − ; khi T 2 2 OÁN
và chỉ khi 2 < m < 3 hoặc f (4) < m < 5. VD
Câu 11. Cho đồ thị hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m – VDC
để phương trình f ( x + m ) = m có 4 nghiệm phân biệt là? A. 0 . B. Vô số. C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 12
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Ta có đồ thị hàm số y = f ( x ) như sau: N H ÓM T OÁN V D – VDC
Đồ thị hàm số y = f ( x + m ) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) dọc theo trục
Ox nên số nghiệm của phương trình f ( x + m ) = m bằng số nghiệm của phương trình
f ( x ) = m .
Do đó, phương trình f ( x + m ) = m có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị của hàm số 3 =
y = f ( x ) cắt đường thẳng y = m tại 4 điểm phân biệt m ⇔ 4 . m = 1 −
Vì m nguyên nên m = 1 − . Câu 12. Cho hàm số 3
y = x − 3x +1có đồ thị hàm số như hình bên. Sử dụng đồ thị hàm số đã cho, tìm
số-giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 2 2 x − x x + = (m − ) 2 3 8 6 ( 1) 1 (x +1) có NH nghiệm. ÓM T OÁN VD – VDC A. 2 B. 0 C. 3. D. 1. Lời giải Chọn C 3 3 Phương trình x x 2x 2 8 − 6 = −1 ⇔ − 3 x m +1 = m . 2 2 2 2 x +1 x +1 x +1 x +1 Đặt 2x t = ≥ 0 . Ta có 2 2 x x +1≥ 2x suy ra 0 ≤
≤ 1 Do đó 0 ≤ t ≤1. 2 x +1 2 x +1
Phương trình trở thành 3t − 3t +1 = m (*).
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số 3
y = x − 3x +1 (chỉ xét với x∈[0; ]
1 ) và đường thẳng y = m. N H
Dựa vào đồ thị, ta thấy để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có ÓM nghiệm thuộc đoạn [0; ] 1 khi và chỉ khi 1 − ≤ m ≤1. T OÁN
Như vậy có 3giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán đã cho. V
Câu 13. Cho đồ thị của hàm số y = f (x) như hình vẽ: D – y VDC 6 5 4 3 2 1 x -2 -1 1 2 3 4 -1 -2
Tìm các giá trị của m để phương trình f ( x ) = m có 6 nghiệm phân biệt. A. m∈∅ .
B. 0 < m <1 hoặc m > 4 . C. m = 0. D. 0 < m < 4 . Lời giải N Chọn D H Đồ thị hàm = gồm 2 phần: ÓM y f ( x ) T + Phần đồ thị y = f (
x) nằm bên phảitung (Kể cả giao điểm trên trục tung), bỏ phần bên trái OÁN trục tung. V
+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung. D
Từ đó ta có đồ thị của của hàm số y = f ( x ) – V y DC 6 5 4 3 2 1 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2
Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) nên f ( x ) = m có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 < m < 4 .
Câu 14. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình dưới. Phương trình f ( x − ) 2
2 = m − 4m có
4 nghiệm phân biệt khi nào?
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 14
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D
A. m > 5 hoặc m < 0 . B. 1
− < m < 0 hoặc 4 < m < 5 . – − < m < .
m < − hoặc m >1. C. 2 1 D. 2 VDC Lời giải Chọn B
Đồ thị hàm số f ( x − 2) được suy từ đồ thị hàm số f (x) như sau:
- Tịnh tiến đồ thị hàm số f (x) sang phải 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số f (x − 2) .
- Giữ nguyên phần bên phải trục tung. Bỏ phần bên trái trục tung, lấy đối xứng phẩn bên phải trục tung qua trục tung.
Ta có bảng biến thiên hàm số f ( x − 2): N H ÓM T O ÁN V
Số nghiệm của phương trình f ( x − ) 2
2 = m − 4m là số giao điểm của đồ thị hàm số f ( x − 2) D – và đường thẳng 2
y = m − 4m . Do đó phương trình f x − = m − m có 4 nghiệm phân biệt V ( ) 2 2 4 DC khi và chỉ khi 2
0 < m − 4m < 5 . m > 4 2
m − 4m > 0 1 − < m < 0 ⇔ ⇔ m < 0 ⇔ . 2
m − 4m < 5 4 < m < 5 1 − < m < 5 Vậy 1
− < m < 0 hoặc 4 < m < 5 thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 15. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T O
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f (x) + m = 0 có 5 nghiệm phân ÁN biệt là V D A. ( 2; − − ] 1 . B. [ 1; − 2) . C. ( 2; − − ) 1 . D. ( 2; − ) 1 . – VDC Lời giải: Chọn A
Gọi x ; x ; x lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và trục hoành. Từ bảng biến 1 2 3
thiên của hàm số y = f (x) .Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f (x)
Khi đó phương trình f (x) + m = 0 có 5 nghiệm khi phương trình f (x) = −m có 5 nghiệm hay NH
đồ thị hàm số y = f (x) và y = −m cắt nhau tại 5 điểm phân biệt ÓM T
Do vậy 1≤ −m < 2 ⇔ 2 − < m ≤ 1
− . Chọn đáp án A OÁN
Dạng 6: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f (x) , xét các bài toán liên quan đến VD
phương trình có dạng f (x) = g (x); f (u(x)) = g (v(x)) . – VDC
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) xác định trên [0;+∞) và có BBT như hình vẽ x 0 +∞ y' + y +∞ 2 3
Hỏi phương trình f (x) = f (3)( 5− x + 4− x) có bao nhiêu nghiệm? A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3. Lời giải Chọn C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 16
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 4 f (x) f x Phương trình ban đầu ⇔
= f (3) . Đặt g (x) ( ) = N
5 − x + 4 − x
5 − x + 4 − x H ÓM 1 1 T
f '(x)( 5− x + 4− x)+ f (x). + O
2 5 − x 2 4 − x = > ∀ ∈ ÁN Ta có g '(x) ( x
5 − x + 4 − x ) 0, 0;4 2 ( ) V D –
Sau đây là BBT của hàm số g (x) trên đoạn 0;4 [ ] VDC x 0 4 g'(x) + g(x) f(4) 2( 15- 12)
Vậy phương trình g (x) = f (3) có đúng một nghiệm.
Câu 2. Cho hàm số f (x) có đồ thị như hình vẽ. Đặt g(x) = f ( f (x) −1) . Tìm số nghiệm của g '(x) = 0 . N H ÓM T OÁN VD – VDC A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 Lời giải Chọn C
Xét g '(x) = f '(x). f '( f (x) −1) f '(x) = 0 (1)
Ta có: g '(x) = 0 ⇔
f '( f (x) −1) = 0 (2)
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 17
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
x = a, a ∈( 1, − 0)
Từ (1): f '(x) 0 = ⇔ x =1 x = , b b∈ (1,2) N H ÓM
f (x) −1 = a, a ∈( 1, − 0)
f (x) = a +1, a +1 > 0 T
Từ (2): f '( f (x) 1) 0
− = ⇒ f (x) −1 =1 ⇒ f (x) = 2 O ÁN
f (x) −1 = b, b∈ (1,2)
f (x) = b +1, 1< b +1< 3 V D
Dựa vào đồ thị suy ra: (1) có 3 nghiệm phân biệt – VDC
(2) Ta xét lần lượt đường thẳng: y = a +1 cắt đồ thị f (x) tại 2 điểm phân biệt
y = 2 cắt đồ thị f (x) tại 2 điểm phân biệt
y = b +1 cắt đồ thị f (x) tại 2 điểm phân biệt
Nên (2) có 6 nghiệm phân biệt
Vậy phương trình g '(x) = 0 có 9 nghiệm phân biệt
Câu 3. Cho hàm số y f x có liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Tìm số nghiệm của phương trình f 3 x x 3
x x 2 3 3 3 13 x 3 2 3x 2 1 . N H ÓM T O ÁN V A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. D Lời giải – VDC Chọn C f 3 x x 3
x x 2 3 3 3 13 x 3 2 3x 2 1 f 3 x x 6 4 2 3
3 x 6x 9x 3x 9x 2
f x xx x2 3 3 3 3 3
3 x 3x2 Đặt 3
t x 3x ta có phương trình f t 2
t 3t 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 18
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V x 0 D – 3 t 0
x 3x 0 2 x 3 V
Dựa vào đồ thị thì f t t 3t 2 DC 3 t 2 x 3x 2 x 2 x 1
Vậy phương trình có 5 nghiệm.
Câu 4. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [1; ]
3 và có bảng biến thiên như hình dưới
Hỏi phương trình f (x ) 5 1 − − =
có bao nhiêu nghiệma trên [2;4] ? 2 x − 6x +12 N H ÓM A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3. T Lời giải OÁN Chọn C VD 5 − 2 – Do 2
x − 6x +12 > 0, x
∀ ∈ nên f (x − ) 1 =
⇔ x − 6x +12 f x −1 = 5 − . 2 ( ) ( ) V x − 6x +12 DC 2 2
Đặt g (x) = (x − 6x +12) f (x − )
1 ⇒ g′(x) = (2x − 6) f (x − )
1 + (x − 6x +12) f ′(x) . Xét trên [2;4] ta có: f (x − ) 1 < 0 1 ≤ x −1≤ 2 2x − 6 ≤ 0 Với x∈[2; ]
3 thì 2x − 6 ≤ 0 ⇒ ⇒ ′ > ∀ ∈ . f ′ ( x − )
g (x) 0, x [2; ] 3 1 > 0 2
x − 6x +12 > 0 2
x − 6x +12 > 0
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 19
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao f (x − ) 1 < 0 2 < x −1≤ 3 2x − 6 > 0
Với x∈(3;4] thì 2x − 6 > 0 ⇒
⇒ g′ x < 0, x ∀ ∈ 3;4 . N f ′ ( x − ) ( ) ( ] 1 < 0 2 H
x − 6x +12 > 0 2 ÓM
x − 6x +12 > 0 T O
Tính: g (2) = (4 −12 +12) f ( ) 1 = 20
− , g (3) = (9 −18 +12) f (2) = 3 − , ÁN
g (4) = (16 − 24 +12) f (3) = 8 − . V D –
Lập bảng biến thiên của y = g (x) trên [2;4] : VDC
Dựa vào BBT trên suy ra trên [2;4] phương trình ( 2
x − 6x +12) f (x − ) 1 = 5 − có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 5. Cho hàm số y f x liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f 1 f x 0 có
tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? N H ÓM T OÁN VD – VDC A. 5. B. 4 . C. 7 . D. 6 . Lời giải Chọn C 1
− f (x) = m ( 2 − < m < − ) 1
f (x) =1− m
Từ đồ thị hàm số ta có f (1− f (x)) = 0 ⇔ 1
− f ( x) = n (0 < n < )1
⇔ f (x) =1− n . 1 − f (x) = p (1< p < 2) f ( x) =1− p +) Do 2 − < m < 1
− ⇒ 2 <1− m < 3 ⇒ phương trình f (x) =1− m có 1 nghiệm x . 1
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 20
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
+) Do 0 < n <1 ⇒ 0 <1− n <1 ⇒ phương trình f (x) =1− n có 3 nghiệm x , x , x . 2 3 4
+) Do 1< p < 2 ⇒ 1
− <1− p < 0 ⇒ phương trình f (x) =1− p có 3 nghiệm x , x , x . 5 6 7 N H ÓM T OÁN V D – VDC
Dễ thấy 7 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có đúng 7 nghiệm phân biệt.
Câu 6. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau N H
Số nghiệm của phương trình f (x) 2
− x + 2x −1 = 0 là ÓM T A. vô số. B. 0 . C. 2 . D. 1. OÁN Lời giải VD Chọn D – V 2 − + − = ⇔ = − DC
f (x) x 2x 1 0
f (x) (x )2 1 .
Với x >1 thì f (x) < 0 nên phương trình vô nghiệm.
Với x <1 ta có g (x) = f (x) 2
− x + 2x −1. Ta có g′(x) = f ′(x) − 2x + 2 > 0 nên hàm số g (x)
đồng biến và liên tục trên ( ) ;1 −∞ .
Lại có: lim g (x) = ;
−∞ lim g (x) = +∞ nên phương trình có 1 nghiệm duy nhất trên ( ) ;1 −∞ . x x 1− →−∞ →
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập các giá trị nguyên
của m để cho phương trình f (sin x) = 3sin x + m có nghiệm thuộc khoảng (0;π ) . Tổng các phần tử của S bằng : A. - 5. B. - 8. C. -10. D. -6.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 21
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D – V Lời giải DC Chọn C
Đặt t = sin x , do x∈(0;π ) ⇒ sin x∈(0; ] 1 ⇒ t ∈(0; ]
1 . PT đã cho trở thành f (t) = 3t + m
⇔ f (t) − 3t = m (*)
Đặt g(t) = f (t) − 3t. Ta có: ' '
g (t) = f (t) − 3 (1)
Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x), ta có: t ∀ ∈( ] '
0;1 : f (t) < 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: t ∀ ∈( ] '
0;1 : g (t) < 0.
Do đó hàm số g(t) nghịch biến trên khoảng (0; ) 1 . N
PT (*) có nghiệm t ∈(0; ]
1 ⇔ min g(t) ≤ m < max g(t) ⇔ g(1) ≤ m < g(0) H [0 ] ;1 [0 ] ;1 ÓM ⇔ − ≤ < ⇔ − ≤ < T f (1) 3 m f (0) 4 m 1. OÁN
Vậy m nguyên là: m = 4 − ; 3 − ; 2 − ; 1 − ;0 ⇒ S = 1 − 0. VD
Câu 8. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ: – VDC
Số nghiệm của phương trình f ( 2 x ) = 0 là A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Lời giải Chọn C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 22
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Đặt 2
t = x (t ≥ 0) . Phương trình f ( 2
x ) = 0 trở thành f (t) = 0 (t ≥ 0) N H ÓM t =
Dựa vào đồ thị hàm số f ta thấy phương trình f (t) = (t ≥ ) 0 0 0 ⇔ T t = a > 1 OÁN 2 x = 0 x = 0 V Từ đó ta có ⇔ D 2 x = a > 1 x = ± a – VDC
Vậy phương trình f ( 2
x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 9. Cho hàm số y = f (x) xác định trên có đồ thị như hình vẽ y 3 O 1 x - 2 2 -1 N H ÓM
Tìm số nghiệm của phương trình f (x) 2 2
− x − 2x = 0 . T O A. 4. B. 3. C. 2. D. 0. ÁN Lời giải VD Chọn A – VDC 2 + ( ) 2 2 − − 2 = 0 ⇔ ( ) x f x x x f x = + . x 2 2 + Xét hàm số ( ) x g x = + x . 2 2
+ Vẽ đồ thị hàm số = ( ), = ( ) x y f x y g x = + x 2
trên cùng hệ trục tọa độ ta có:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
y=g(x) y 3 N H ÓM T OÁN O 1 x V -1 D - 2 – 2 VDC -1 y=f(x)
+ Dựa vào đồ thị ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 10. Cho đồ thị hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm số nghiệm của phương trình
f (x) = x . y 1 O 1 x N H ÓM T A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 OÁN Lời giải V Chọn D D – V
Số nghiệm của phương trình f (x) = x bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và DC y = x . y 1 O 1 x
Dựa và hình vẽ suy ra phương trình f (x) = x có 3 nghiệm.
Câu 11. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [1; ]
3 và có bảng biến thiên như sau
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM m T
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f (x + ) 1 = có nghiệm trên 2 O x − 4x + 5 ÁN khoảng (1;2) . V D A. 10. B. 4. C. 5. D. 0. – Lời giải VDC Chọn B Vì 2
x − 4x + 5 = (x − 2)2 +1> 0 x ∀ nên ( + ) 1 m f x = ⇔ ( 2
x − 4x + 5 f x +1 = m . 2 ) ( ) x − 4x + 5
Đặt h(x) = ( 2
x − 4x + 5) f (x + ) 1 , với x∈(1;2) .
Ta có h′(x) = ( 2
x − 4x + 5) f ′(x + )
1 + (2x − 4) f (x + ) 1 .
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f (x) ta có x
∀ ∈(1;2) ⇒ x +1∈(2;3) ⇒ f ′(x + ) 1 ≤ 0
và 2x − 4 < 0, x
∀ ∈(1;2) ; f (x + )
1 ≥ 3 > 0, x +1∈(2;3). Do đó h′(x) < 0, x ∀ ∈(1;2) .
Bảng biến thiên của hàm số y = h(x) trên khoảng (1;2) . N H ÓM T OÁN VD – VDC
Khi đó phương trình h(x) = m có nghiệm x∈(1;2) khi và chỉ khi h(2) < m < h( ) 1
⇔ 1. f (3) < m < 2 f (2) ⇔ 3 < m < 8. Do đó có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dạng 7: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f (x) , xét các bài toán liên quan đến
phương trình, bất phương trình chứa f '(x); f ' (x)....
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 25
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Câu 1. Biết rằng đồ thị hàm số 4 3 2
y = f (x) = ax + bx + cx + dx + e , (a,b,c,d,e∈ ; a ≠ 0, 0 b ≠ ) cắt
trục hoành Ox tại 4 điểm phân biệt. Khi đó đồ thị hàm số g (x) = ( f ′(x))2 − f ′′(x). f (x) cắt NH
trục hoành Ox tại bao nhiêu giao điểm? ÓM A. 6. B. 0. C. 4. D. 2. T Lời giải OÁN Chọn B V D
Ta có g (x) = ( f ′(x))2 − f ′′(x). f (x) – VDC Đồ thị hàm số 4 3 2
y = f (x) = ax + bx + cx + dx + e cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt nên
phương trình f (x) = a(x − x x − x x − x x − x , với x i = là các nghiệm. i , 1,2,3,4 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) Suy ra f ′(x) = [
a (x − x x − x x − x + x − x x − x x − x 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 4 )
+ (x − x x − x x − x + x − x x − x x − x ] 1 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) f ′(x) 1 1 1 1 f ′(x) ′ ′ ⇒ = + + + 1 1 1 1 ⇒ = + + +
f (x) x − x x − x x − x x − x f ( x) x x x x x x x x − − − − 1 2 3 4 1 2 3 4
f ′′(x) f (x) −( f ′(x))2 2 2 2 2
1 1 1 1 ⇔ = − + + + 2 f (x) x − x x − x x − x x − x 1 2 3 4
Nếu x = x với i =1,2,3,4 thì f (x) = 0 , f ′(x) ≠ 0 ⇒ ′′( ) ( ) < ( ′( ))2 f x f x f x . i Nếu x ≠ x i ∀ = thì 1 > 0, 2
f (x) > 0 . Suy ra f ′′(x) f (x) − ( f ′(x))2 . < 0 i ( 1,2,3,4) N (x − xi )2 H ÓM
⇔ f ′′(x) f (x) < ( f ′(x))2 .
. Vậy phương trình ( f ′(x))2 − f ′′(x). f (x) = 0 vô nghiệm hay T
phương trình g (x) = 0 vô nghiệm. Do đó, số giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là 0 . OÁNV
Câu 2. Cho hàm số ( ) 3 2
f x = ax + bx + cx + d có đồ thị là hình vẽ dưới đây. D – VDC
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng ( 2020 − ;2020) để bất phương trình f (x) 2 ' 2
− x − x < m có nghiệm? A. 2020. B. 2019. C. 2022. D. 2018. Lời giải Chọn B
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 26
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Đặt g (x) = f (x) 2 ' 2
− x − x Ta có tập xác định của hàm số y = g(x) là D =[ 2; − 0]
Từ đồ thị ta thấy trên khoảng ( 2;
− 0) hàm số y = f (x) đồng biến và hàm số đạt cực đại tại N
x = 0 , đạt cực tiểu tại x = 2 − . H ÓM
f '(x) ≥ 0 x ∀ ∈[ 2; − 0]
g (x) ≥ 0 x ∀ ∈[ 2; − 0] Suy ra ⇒
⇒ min g (x) = 0 T f ' ( 2 − ) = f '(0) = 0 g ( 2 − ) = g(0) = 0 [ 2 − ;0] OÁN
Vậy bất phương trình f (x) 2 ' 2
− x − x < m có nghiệm ⇔ m > min g (x) ⇔ m > 0 V [ 2 − ;0] D Kết hợp m∈( 2020 −
;2020) suy ra có 2019 số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán. Đáp án B – VDC
Câu 3. Cho hàm số f (x)có bảng biến thiên Đặt ( ) 1 g x f x = +
. Bất phương trình g '(x) < 0 có tập nghiệm là x A. ( ; −∞ − ) 1 ∪(0; ) 1 B. ( 2; − 0) . C. (0;2) . D. ( 1; − 0) ∪(1;+∞) Lời giải Chọn D N H 1 1 ÓM
Ta có g′(x) = 1− f ′ x + . 2 x x T OÁN 1 1− = 0 x = 1 ± 2 x V
⇒ g′(x) = 0 ⇔ ⇔ D 1 1 x + ∈{ 2; − 0; } 2 – f ′ x + = 0 x V x DC Với 1 x + = 2 − ⇒ (x + )2 1 = 0 ⇔ x = 1 − ( nghiệm bội chẵn). x Với 1
x + = 2 ⇒ (x − )2
1 = 0 ⇔ x = 1 ( nghiệm bội chẵn). x Với 1
x + = 0 ⇒ phương trình vô nghiệm.( 1; − 0) ∪(1;+∞) x Nhận xét với 1 1
x > 0 ⇒ x + ≥ 2 ⇒ f x ′ + < 0 . x x Với 1 1
x < 0 ⇒ x + ≤ 2 − ⇒ f x ′ + > 0. x x
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Ta có bảng xét dấu N H ÓM T
Từ bảng xét dấu suy ra bất phương trình g '(x) < 0 có tập nghiệm là ( 1; − 0) ∪(1;+∞) . OÁN = V
Câu 4. Cho hàm số bậc ba y f (x) có đồ thị như hình vẽ. D – VDC
Tìm số nghiệm tối đa của phương trình f '(x) = m với m là tham số thực. A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 7 . Lời giải N H ÓM Chọn B T
Từ đồ thị hàm số y = f (x) ta suy ra: OÁN V
+ f '(x) = 0 có hai nghiệm là x = 0; x = 2 D – V + Hệ số của 3
x trong biểu thức của hàm số y = f (x) mang dấu dương DC
Do đó đồ thị hàm số y = f '(x) phải có dạng:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Suy ra đồ thị hàm số y = f '(x) có dạng: N H ÓM T OÁN V D – VDC
Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng y = m có tối đa 4 điểm chung với đồ thị hàm số y = f '(x) nên
phương trình có tối đa 4 nghiệm.
Câu 5. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (′x) có đồ thị như hình vẽ. N H ÓM T OÁN 3 x 2 V
Cho hàm số g(x) = f (x) −
+ x − x + 2, phương trình g '(x) = 0 có số nghiệm là? D 3 – V A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 DC Lời giải Chọn C
Ta có hàm số g(x) xác định trên và 2
g (′x) = f (′x) − (x −1) do đó số nghiệm của phương
trình g (′x) = 0 bằng số giao điểm của hai đồ thị y = f (′x) và 2 y = (x −1) .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D – VDC x = 0
Từ đồ thị suy ra g (x) 0 ′ = ⇔ x =1
. Vậy phương trình g '(x) = 0 có 3 nghiệm. Đáp án x = 2 C.
Câu 6. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên tập R và có đồ thị như hình bên. Đặt g (x) = f ( f (x)) . Xác
đinh số nghiệm của phương trình g '(x) = 0 . N H ÓM T OÁN V D – A. 5. B. 6. C. 8. D. 10. VDC Lời giải Chọn C
Ta có g '(x) = ( f ( f (x)))' = f '(x). f '( f (x)) nên: x = 0 f ' x 0 = x = 2 g '(x) 0
f '(x). f '( f (x)) ( ) 0 = ⇔ = ⇔ ⇔ f '
( f ( x)) = 0
f (x) = 0 ( ) 1 f ( x) = 2 (2)
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 30
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D – VDC
PT (1) có ba nghiệm khác 0 và 2
PT (2) có ba nghiệm khác 0 và 2
Vậy số nghiệm của phương trình g '(x) = 0 là 8 nghiệm. Câu 7. Cho hàm số = ( ) 4 3 2
y f x = ax + bx + cx + dx + e ,(a ≠ 0) có đồ thị như hình vẽ. Biết 2 b − < f ′′ − < 1 −
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [ 8 − ;2019] để phương 4a
trình f ′′(x) f ′′
( x) − m = 0
có bốn nghiệm phân biệt? N H ÓM T OÁN VD – VDC A. 2022 . B. 2020 . C. 2019 . D. 2021. Lời giải Chọn B
Từ đồ thị suy ra a > 0 và hàm số y = f (x) có 3 điểm cực trị là 0, x , x . Do vậy, phương trình 1 2
y′ = 0 có 3 nghiệm phân biệt là 0, x , x . 1 2
Ta có y′ = f ′(x) 3 2
= 4ax + 3bx + 2cx + d ⇒ y′′ = f ′′(x) 2
=12ax + 6bx + 2c .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 31
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Đồ thị hàm số y′ = f ′(x) có dạng sau: N H ÓM T OÁN V D – VDC
Từ đồ thị hàm số y′ = f ′(x) suy ra phương trình f ′′(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x , x nên 3 4
đồ thị hàm số y′′ = f ′′(x) là một parabol có dạng sau: N H ÓM T O
f ′′(x) = 0 ÁN
Ta có f ′′(x) f ′′
( x) − m = 0 ⇔ . ′′ V f ( x) = m D – V
Phương trình f ′′(x) f ′′
( x) − m = 0
có bốn nghiệm phân biệt ⇔ phương trình f ′′(x) = m có DC
hai nghiệm phân biệt khác x , x ⇔ parabol y′ = f ′ (x) cắt đường thẳng = tại hai điểm 3 4 y m
phân biệt có hoành độ khác x , x . 3 4
Tung độ đỉnh của parabol y′ = f ′ (x) là b f ′ −
nên phương trình f ′′(x) = m có hai 4a nghiệm phân biệt b ⇔ m > f ′ − ,(m ≠ b 0) mà 2 − < f ′′ − < 1 −
và m nguyên thuộc 4a 4a [ 8 − ;2019] nên 1
− ≤ m ≤ 2019,(m ≠ 0)
Vậy có 2020 giá trị của m thỏa mãn bài toán.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 32
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Câu 8. Cho hàm đa thức bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình bên dưới. Hỏi phương trình
f ′( f (x)) = 0 có bao nhiêu nghiệm? N H ÓM T OÁN V D – VDC A. 4 . B. 5. C. 3. D. 6 . Lời giải Chọn B Đặt ( ) 3 2
f x = ax + bx + cx + d . f ′(x) 2
= 3ax + 2bx + c .
Dựa vào đồ thị ta có: f (− ) 1 = 3
−a + b − c + d = 3 a =1 N H f ( ) 1 = 1 −
a + b + c + d = 1 − b = 0 ÓM ⇔ ⇔ . f ′(− ) 1 = 0
3a − 2b + c = 0 c = 3 − T f ′ ( ) 1 = 0 3
a + 2b + c = 0 d =1 OÁN V Suy ra f (x) 3 = x − 3x +1. D – V Ta có DC 3 = − − + = − f ′( f x 1 x 3x 1 1 ( ) f (x)) ( ) 1 = 0 ⇔ ⇔ . f ( x) 3 = 1
x − 3x +1 = 1 (2)
Dựa vào độ thị hàm số ta suy ra phương trình ( )
1 có 2 nghiệm và phương trình (2) có 3
nghiệm. Các nghiệm của 2 phương trình này không trùng nhau. Do đó phương trình
f ′( f (x)) = 0 có 5 nghiệm.
Dạng 8: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f '(x) , xét các bài toán liên quan đến
phương trình có dạng f (x) = 0; f (u(x)) = 0; f (x) = g (x); f (u(x)) = g (v(x)) ....
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 33
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Câu 1. Cho hàm số 5 4 3 2
f (x) = ax + bx + cx + dx + ex − m với a,b,c,d, ,
e m∈ . Hàm số y = f '(x) có
đồ thị như hình vẽ (đồ thị của y = f '(x) cắt Ox tại 4 điểm có hoành độ 3 − ; −1; 0,5 và 2 ). = − N
Hỏi phương trình f (x)
m có mấy nghiệm phân biệt. H ÓM T OÁN V D – VDC A. 3. B. 1. C. 5. D. 4 . Lời giải Chọn C Từ đồ thị ta có
f x = a(x + )(x + )( x − )(x − ) = a( 4 3 2 '( ) 3 1 2 1 2
2x + 3x −12x − 7x + 6). f (x) a ∫ ( 4 3 2
2x 3x 12x 7x 6) 2 5 3 4 3 7 2 dx a x x 4x ⇒ = + − − + = + − − x +6x − m . 5 4 2 Giải phương trình : N H ÓM x = 0 2 5 3 4 3 7 2 T
f (x) = −m ⇔ x + x − 4x − x + 6x = 0 ⇔ 2 . 4 3 3 2 7 5 4 2
x + x − 4x − x + 6 = 0 (1) O 5 4 2 ÁN VD
Ta thấy phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khác 0 . – V
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm phân biệt. DC
Câu 2. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên , f (3) < 0 và đồ thị hàm số y = f ′(x) được
cho như hình vẽ bên dưới
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 34
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Phương trình f (x) = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3. N Lời giải H Chọn A ÓM
Từ đồ thị hàm số đã cho, ta có bảng biết thiên của hàm số y = f (x) : T OÁN V D – VDC
Qua BBT và f (3) < 0 ta thấy phương trình f (x) = 0 vô nghiệm.
Câu 3. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị f ′(x) như hình vẽ, biết f (a) = 0 . Phương
trình f (x) = 0 có bao nhiêu nghiệm? N H A. 4 . B. 3. C. 2 . D. 1. ÓM Lời giải T Chọn B O b ÁN
Xét S = f ′ x dx = b f x = f b − f a a . 1 ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) V a D c – c
S = − f ′ x dx = − f x = f b − V f c b . 2 ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) DC b
Vì S < S ⇒ f b − f a < f b − f c ⇒ f a > f c . 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Dựa vào đồ thị của hàm số f ′(x) , ta có bảng biến thiên của hàm f (x) như sau: x a b c f ′(x) − 0 + 0 − 0 + f (b) f (a) f (x) f (c)
Vì f (a) = 0 do đó từ bảng biến thiên ta có phương trình f (x) = 0 có đúng 3 nghiệm.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 35
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Câu 4. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 3 − ; ]
3 và đồ thị hàm số y = f ′(x) như x +
hình vẽ bên. Biết f ( )
1 = 6 và g (x) = f (x) ( )2 1 −
. Kết luận nào sau đây là đúng? N 2 H ÓM T OÁN V D – VDC
A. Phương trình g (x) = 0 có đúng hai nghiệm thuộc [ 3 − ; ] 3 .
B. Phương trình g (x) = 0 có đúng một nghiệm thuộc [ 3 − ; ] 3 .
C. Phương trình g (x) = 0 không có nghiệm thuộc [ 3 − ; ] 3 .
D. Phương trình g (x) = 0 có đúng ba nghiệm thuộc [ 3 − ; ] 3 . Lời giải Chọn B
Ta có: g′(x) = f ′(x) − (x + ) 1 .
Ta thấy đường thẳng y = x +1 là đường thẳng đi qua các điểm ( 3 − ; 2 − ),(1;2),(3;4). Do f ( ) 1 = 6 ⇒ g ( ) 1 = 4. Từ hình vẽ ta thấy: N 1 H ⇒ f ( ) 1 − f (− ) 3 > 6 ⇒ f (− ) 3 < 0 ⇒ g (− ) 3 = f (− ) 3 − 2 < 0 ÓM f ′ ∫ (x)dx > 6 . 3 − T 3 O ′ ⇒ f ( ) 3 − f ( ) 1 > 6 ⇒ f ( ) 3 > 8 ⇒ g ( ) 3 = f ( ) 3 − 8 > 0 ÁN
∫ f (x)dx > 2 . 1 VD
Từ đồ thị hàm số y = f ′(x) và đường thẳng y = x +1 cùng với các kết quả trên ta có bảng biến – VDC thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta có phương trình g (x) = 0 có đúng một nghiệm thuộc [ 3 − ; ] 3 . Câu 5. Cho hàm số ( ) 3 2
y= f x = a.x + b.x + c.x + d với a,b,c,d ∈ , có đồ thị y= f ' (x) như hình dưới đây
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 36
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Biết f (0) = 0 . Khi đó số nghiệm của phương trình f ( 2
x − x) = 0 là: A. 2. B. 4. N H C. 3. D. 6. ÓM Lời giải: T O Chọn B ÁN V
*Cách 1: Từ đồ thị ta có BBT sau: D – VDC x =
Từ BBT ta có f (x) 0 = 0 ⇔ x = a > 2 2 x − x = 0 1 Do đó f ( 2 x − x) ( ) = 0 ⇔ 2
x − x = a (2) x = 0 N Ta có (1) ⇔ H x = 1 ÓM T O (2) 2
⇔ x − x − a = 0, có ∆ =1+ 4a > 0, a
∀ > 2 nên (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ÁN và 1 VD 2 –
Vậy PT f (x − x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt. VDC x =
*Cách 2: Từ đồ thị ta có f ' (x) 0 = 0 ⇔ x = 2 Đặt ( ) = ( 2 g x f x − x)
Ta có g' (x) = f ( 2
x − x)' = ( x − ) f ' ( 2 2 1 x − x) 2x −1 = 0 g' (x) 1 0 = ⇔ ⇔ ∈ − f ' ( x 1;0; 1 ; ;2 2 x x) 0 2 − = BBT:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 37
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D
Từ BBT ta thấy phương trình g (x) = f ( 2
x − x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt. – VDC
*Cách 3: Từ GT ta có f ' (x) 2
= 3ax + 2bx + c . Từ đồ thị ta có f ' (0) = 0 ⇒ c = 0;
f ' (2) = 0 ⇒12a + 4b + c = 0 ⇒ 3a + b = 0 (1) 1 Lại có f ' ( ) 1 = 1
− nên 3a + 2b =−1 (2) Từ (1), (2) ta có a = ; b = 1 − 3 x
Do đó f ' (x) = x − x ⇒ f (x) = ∫(x − x) 3 2 2 2 2 2 dx = − x + C 3 3 x
Lại có f (0) = 0 ⇒ C = 0 do đó f (x) 2 = − x 3 3 x x = 0 2 N
Ta có f (x) = 0 ⇔ − x = 0 ⇔ H 3 x = 3 ÓM T x = 0;x =1 O x − x = 0 ÁN Khi đó f (x x) 2 2 0 − = ⇔ ⇔ có 4 nghiệm. 2 1± 13 V x − x = 3 x = D 2 – VDC
Câu 6. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Phương trình f ( 2 4x − x ) 1 3 2
= − x + 3x −8x + 3 có bao nhiêu nghiệm thực trên khoảng (0;4) ? 3 A. 2. B. 3. C. 4. D. 6. Lời giải Chọn A
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 38
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
g (x) = f ( 2 4x − x ) 1 3 2
+ x − 3x + 8x − 3 3 N
g′(x) = ( − x) f ′( 2 x − x ) 2 4 2 4
+ x − 6x + 8 = ( − x) f ′ ( 2 2 2
4x − x ) + 4 − x H . ÓM 2 T
Với x∈(0;4) thì 4 − x > 0; 2
0 < 4x − x ≤ 4 nên f ′(4x − x ) ≥ 0. OÁN Suy ra f ′( 2 2
4x − x ) + 4 − x > 0 , x ∀ ∈ 0;4 . V ( ) D – Bảng biến thiên VDC
g ( ) = f ( ) 11 26 7 2 2 4 + =
; g(0) = f (0) − 3 = 6
− ; g(4) = f (0) + = − . 3 3 3 3
Suy ra phương trình f ( 2 4x − x ) 1 3 2
= − x + 3x −8x + 3 có hai nghiệm thực trên khoảng (0;4) . 3 N H
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên có đồ thị hàm số y = f ′(x) như hình bên. Biết ÓM
f (a) > 0 , hỏi đồ thị hàm số y = f (x) có thể cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm? T OÁN VD – VDC A. 4 điểm. B. 2 điểm. C. 1 điểm. D. 3 điểm. Lời giải Chọn B .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 39
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao c Theo hình vẽ ta có: ' f
∫ (x)dx = f (c)− f (a) < 0 ⇔ f (c) < f (a). a N H
Từ đó, ta có thể lập được bảng biến thiên như sau: ÓM T OÁN V D – . VDC
Vậy đồ thị hàm số y = f (x) có thể cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm.
Câu 8. Cho hàm số bậc y = f (x) thỏa mãn f (− )
1 = f (3) = 0 , f ( ) 1 = 1
− và đồ thị của hàm số
y = f ′(x) có dạng như hình dưới đây. Phương trình ( f (x))3 = f ( ) 1 có bao nhiêu nghiệm thực N H ÓM T A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . OÁN Lời giải VD Chọn C – V
Từ đồ thị và giả thiết, ta có bảng biến thiên của y = f (x) : DC x −∞ 1 − 1 3 +∞ f ′(x) + 0 − 0 + 0 − f (x) 0 0 f ( ) 1 ′ Xét hàm số = ( ( ))3 y
f x ta có y′ = ( f (x))3) = 3 f ( x) 2 . f ′ (x).
Ta có bảng biến thiên của hàm số = ( ( ))3 y f x :
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 40
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao x −∞ 1 − 1 3 +∞ f ′( x) + 0 − 0 + 0 − N H f ( x) − − − − ÓM 2 T 2. f
( x) . f ′ (x) + − + − OÁN = ( ( ))3 y f x V 0 0 D – V ( f ( ) DC )3 1 Do ( f ( ))3 1 = f ( ) 1 = 1 −
Vậy phương trình ( f (x))3 = f ( ) 1 có 3 nghiệm phân biệt
Câu 9. Cho hàm số ( ) 3 2
f x = ax + bx + cx + d (a,b,c,d ∈). Đồ thị hàm số f ′(x) như sau: N H ÓM và 2018 f ( )
1 = 2019 f (0) . Hỏi tập nghiệm của phương trình f (x) = f ′(x) có số phần tử là? TOÁN A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3. V Lời giải D – Chọn B VDC Ta có f ′(x) 2
= 3ax + 2bx + c
Dựa vào đồ thị ta có f ′(x) = a(x + )(x − ) = a( 2 3 2
1 3 x + x − 2)và a ≠ 0 Suy ra f (x) 3 3 2 a x x 6x = + − + d 2 7a
Theo đề bài 2018 f ( ) 1 = 2019 f (0) 2018 d ⇔ − + =
2019d ⇔ d = 7063 − a . 2
Vậy ta có f (x) = f ′(x) 3 3 2 a x x 6x ⇔ + −
− 7063a = 3a( 2 x + x − 2) 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 41
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao 3 3 2
⇔ x − x − 9x − 7057 = 0 . Vậy phương trình có 1 nghiệm. 2 N
Câu 10. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đạo hàm là hàm số y = f ′(x) với đồ thị như hình vẽ sau đây: HÓM y T O 1 − ÁN 2 − O x V D – 3 − V DC
Biết rằng đồ thị hàm số y = f (x) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm. Hỏi
phương trình f ( x −3) = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 4 . B. 1 . C. 2 . D. 3. Lời giải
Dựa vào dữ kiện của bài toán ta có bảng biến thiên của hàm số y = f (x) như sau: N H
Suy ra phương trình f (x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 2
− và x = x với x ∈ 0;+ ∞ . 0 ( ) ÓM 0 T − = − = = ± O x 3 2 x 1 x 1 ÁN
Do đó f ( x −3) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ . x − 3 = x x = 3 + x x = ± (3+ x0) 0 0 VD –
Vậy phương trình f ( x −3) = 0 có 4 nghiệm phân biệt. VDC
(CÒN TIẾP PHẦN CUỐI)
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 42
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN
XÉT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ (PHẦN CUỐI: TỪ DẠNG 9-12)
Dạng 9: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f '(x) , xét các bài toán liên quan đến
phương trình có dạng f (x) = m; f (u(x)) = m; f (x) = g (m); f (u(x)) = g (m) ... N H ÓM
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ bên. Tìm điều kiện của m đề T
phương trình f (x) = m có nghiệm x∈[ 2; − 6] ? O y ÁN V D 4 – VDC 2 3 − 2 − 1 − O 1 2 3 4 5 6 7 x 2 − A. f ( 2
− ) ≤ m ≤ f (0) . B. f ( 2
− ) ≤ m ≤ f (5).
C. f (5) ≤ m ≤ f (6) . D. f (0) ≤ m ≤ f (2) . Lời giải Chọn B. y 4 2 N S S 1 3 H ÓM 3 − 2 − 1 − O 1 2 3 4 5 S 6 4 7 x T S2 O 2 − ÁN V D
Gọi S , S , S , S lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ′(x) với – 1 2 3 4 V và trục hoành. DC Quan sát hình vẽ, ta có 0 2 0 0 f ′
∫ (x)dx > − f ′
∫ (x)dx ⇔ f (x) > f (x) 2 − 2 2 − 0
⇔ f (0) − f ( 2
− ) > f (0) − f (2) ⇔ f ( 2 − ) < f (2) 2 5 0 5 − f ′
∫ (x)dx < f ′
∫ (x)dx ⇔ f (x) < f (x) 2 2 0 2
⇔ f (0) − f (2) < f (5) − f (2) ⇔ f (0) < f (5) 5 6 5 5 f ′
∫ (x)dx > − f ′
∫ (x)dx ⇔ f (x) > f (x) 2 6 2 5
⇔ f (5) − f (2) > f (5) − f (6) ⇔ f (2) < f (6) Ta có bảng biến thiên
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao x 2 − 0 2 5 6 f ′(x) 0 + 0 − 0 + 0 − 0 f (5) N H f (0) f (6) ÓM f (x) f (2) T O f ( 2 − ) ÁN
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán ⇔ f ( 2
− ) ≤ m ≤ f (5) . V D
Câu 2. Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f (′x) có bảng biến thiên như sau: – VDC
Phương trình f (x) − cosπ x − 2m = 0 có nghiệm x ∈ khi và chỉ khi o (2;3) A. 1 f ( ) 1
2 ≤ m ≤ f (3). B. 1 f ( ) 1
3 < m < f (2) . 2 2 2 2 C. 1 f ( ) 1
2 < m < f (3). D. 1 f ( ) 1
3 ≤ m ≤ f (2). 2 2 2 2 Lời giải Chọn C
Ta có: 2m = f (x) − cosπ x
Xét hàm số g(x) = f (x) − cosπ x, x ∀ ∈(2;3).
Ta có g (′x) = f (′x) +π sinπ x .
Do (2;3) ⊂ (1;4) nên từ bảng biến thiên ta thấy f ′(x) > 0, x ∀ ∈(2;3) . N H
Mặt khác x∈(2;3) ⇒ π x∈(2π;3π ) ⇒ sinπ x > 0 . ÓM
Vậy g (′x) = f (′x) +π sinπ x > 0, x ∀ ∈(2;3). T O
Bảng biến thiên của hàm số g(x) ÁN
Câu 3. Cho f (x) là hàm số đa thức bậc 5, có f ( )
1 = 0 và đồ thị hàm số y = f ′(x) đối xứng qua VD
đường thẳng x =1 như hình dưới đây. – VDC
Biết phương trình f (x + )
1 = m có nghiệm x [ ∈ 1; − ] 1 khi và chỉ khi m [ ∈ ;
a b]. Khi đó a + b bằng A. 1 − . B. 1 . C. 1 . D. 0 . 5 5 3 Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Chọn D
Từ đồ thị (C) đã cho của hàm số y = f ′(x) ta suy ra được đồ thị (C’) của hàm số y = f ′(x + ) 1
bằng cách tịnh tiến (C) sang trái 1 đơn vị. Khi đó (C’) đối xứng qua trục Oy và do nó là đồ thị
hàm đa thức bậc 4, nên (C’) là đồ thị hàm số trùng phương dạng 4 2
y = ax +bx + c . Ta có (C’) NH lần ÓM
lượt đi qua các điểm (0;− )
1 ; (2; 3) ; ( −1; −3) nên lập hệ giải ra ta được 4 2
y = x − 3x −1. T 5 O Suy ra 4 2
f '(x +1) = x − 3x −1 từ đó f (x + ) x 3 1 =
− x − x + C . Lại có f ( ) 1 = 0 nên C = 0 . ÁN 5 V 5 x 3 D Vậy f (x + ) 1 = − x − x . 5 – 5 V 4 2 x 3 DC
Ta thấy f '(x +1) = x − 3x −1<0 x ∀ [ ∈ 1; − ]
1 nên hàm số f (x + ) 1 = g(x) =
− x − x nghịch 5 biến trên đoạn [ 1; − ]
1 . Do đó phương trình f (x + )
1 = m có nghiệm x [ ∈ 1; − ] 1 khi và chỉ khi m [ ∈ g(1); g( 1) − ] hay 9 9 m ; ∈ − suy ra 9 9
a = − ; b = ⇒ a + b = 0. 5 5 5 5 Vậy g ( ) 1 < m < g ⇔ f + π < m < f + π ⇔ f ( ) 1 2 2 (3) (2) sin 2 2 (3) sin 3
2 < m < f (3). 2 2
Câu 4. Cho hàm số ( ) 4 3 2
h x = mx + nx + px + qx ( , m , n p,q ∈) = ′
.Hàm số y h (x) có đồ thị như hình vẽ bên N H ÓM T OÁN VD – VDC
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình ( ) 2
h x = m + m có hai ngiệm phân biệt? A. 2 . B. 10. C. 71. D. 2022 . Lời giải Chọn B
Dựa vào đồ thị có h′(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên m ≠ 0 và m < 0 Ta có h′(x) 3 2
= 4mx + 3nx + 2 px + .
q Mặt khác dựa vào đồ thị y = h′(x) suy ra h (x) m(x ) 5 x ( x ) 3 13 2 1 15 4 1 3 4m x x x ′ = + − − = − − + . 4 4 2 4
Đồng nhất hệ số ta có: 13m n = −
, p = −m , q =15 . m 3 Xét phương trình ( ) 2 4 3 2 2
h x = m + m ⇔ mx + nx + px + qx = m + m
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao 4 13 3 2 ⇔ x −
x − x +15x = m +1. Đặt f (x) 4 13 3 2 = x −
x − x +15x . 3 3 Bảng biến thiên: N H ÓM T OÁN V D
Dựa vào bảng biến thiên ta có để phương trình ( ) 2
h x = m + m có 2 nghiệm phân biệt thì – V − 35 − DC
TH 1: 32 < m +1< 0 ⇔ < m < 1 − ⇒ m ∈{ 1
− 1;−10;− 9;− 8;− 7;− 6;− 5;− 4;− 3;− } 2 . 3 3 TH 2: 8575 7807 m + 1 > ⇔ m >
( loại vì m < 0 ). Vậy ta có 10 giá trị m thỏa mãn. 768 768
Câu 5. Cho hàm số y f (x) 4 3 2 =
= ax + bx + cx + dx + e với (a, ,
b c,d,e∈) . Biết hàm số y = f ′(x)
có đồ thị như hình vẽ, đạt cực trị tại điểm O(0;0) và cắt truc hoành tại A(3;0) . Có bao nhiêu
giá trị nguyên của m trên [ 5;
− 5] để phương trình f ( 2
−x + 2x + m) = e có bốn nghiệm phân biệt. y 1 3 O 1 N 2 x H ÓM A. 0. B. 2. C. 5. D. 7. T O Lời giải ÁN Chọn B V
Quan sát đồ thị f '(x) như hình vẽ. Ta thấy rằng đây là hàm bậc 3 qua 0 không đổi dấu và D –
qua 3 đổi dấu 1 lần. Nên suy ra V f (x) 2 '
= k.x (x −3) (k < 0) (vì lim f (x) = −∞ nên k < 0 ) DC x→+∞ − Do f '(2) 1 =1⇒ 4 − k =1 ⇔ k = → f '(x) 1 3 3 2 = − x + x . 4 4 4 Suy ra f (x) 1 − 4 1 3 1 3 1 x x e x x 1 = + + = − − + . e 16 4 4 4
Mà theo đề ta có phương trình
f (−x + x + m) = e ⇔ (−x + x + m) 2
3 −x + x + m 2 2 2 2 2 −1 = 0 4 2
−x + 2x + m = 0 ( )1 ⇔ 2
−x + 2x + m − 4 = 0 (2)
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Để phương trình f ( 2
−x + 2x + m) = e có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) và (2) lần ∆ =1+ m > 0
lượt có 2 nghiệm phân biệt 1 ⇒ ⇔ m > 3. ∆ =1+ m − 4 > 0 2 N m∈ H ⇒ m∈ ÓM Mà
Vậy có 2 giá trị nguyên m∈[−
m thoả mãn bài toán. ] {4; } 5 . 5;5 T 4 3 2 O
y = f (x) = ax + bx + cx + dx + ,e (a,b,c,d,e∈ ; a ≠ 0) ÁN Câu 6. Cho hàm số
có đạo hàm trên thỏa V f (− ) = − f ( ) f (4)
y = f '(x) mãn 1 2 , 1 =3, = 3 − và có đồ thị như hình vẽ sau: D – VDC
Phương trình f (x) − m + 2019 = 0 có 1 nghiệm khi A. m = 2016 . B. m = 2017 . C. m = 2018. D. m = 2019 Lời giải Chọn A.
Từ đồ thị hàm số y = f ′(x) và giả thiết ta có bảng biến thiên: N H ÓM T OÁN VD –
Ta có f (x) − m + 2019 = 0 ⇔ f (x) = m − 2019 (*) . VDC
Qua bảng biến thiên ta thấy để phương trình (*) có 1 nghiệm thì m − 2019 = 3 − ⇔ m = 2016 . f (x) 4 3 2
(a,b,c,d,m∈,a ≠ 0)
y = f ′(x) Câu 7. Cho hàm số
= ax + bx + cx + dx + m . Hàm số có đồ
thị như hình vẽ dưới đây
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Phương trình f (x) = m có bao nhiêu nghiệm? A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn C N H 5 ′ ÓM
Từ đồ thị hàm số có f (x) == 4a(x + 3) x + (x − ) 3 2
1 = 4ax +13ax − 2ax − 15a . 4 T 13 O ⇒ f (x) 4 3 2
= ax + ax − ax −15ax + m . ÁN 3 V f (x) 4 13 3 2 = m ⇔ ax +
ax − ax −15ax + m = m 4 13 3 2
⇔ ax + ax − ax −15ax = 0 D 3 3 – = V x 0 DC 3 13 2 5 ⇔ + − − = ⇔ = . x x x x 15 0 x 3 3 x = 3 −
Vậy phương trình f (x) = m có 3 nghiệm. Câu 8. Cho hàm số
f 0 3; f 1 0; f 2 3 y f x
f (x) thỏa mãn 3 f 0; . Hàm số liên 2
tục trên và có đồ thị như sau: N H ÓM T OÁN VD – V DC Với m 0;
3 số nghiệm thực của phương trình f 2x 3 m; (m là tham số thực), là A. 3 B. 4 C. 6 . D. 5. Lời giải Chọn C
Từ đồ thị của hàm số y f xta có bảng biến thiên sau:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 6
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
f t m Đặt 2
t x 3 t 3, ta có phương trình
* có 3 nghiệm phân biệt, hơn nữa m 0; 3 do 3 f 3
0; f 2 3 nên phương trình
* có 3 nghiệm phân biệt t ,t ,t ;2(thỏa N 2 1 2 3 2 H ÓM
mãn điều kiện) suy ra mỗi phương trình 2 3 i t x 3 ; it ;2;i 1,2,3. đều có 2 nghiệm T 2 O 2 ÁN
phân biệt. Vậy phương trình f x
3 m có tất cả 6 nghiệm phân biệt với m 0; 3 V
y = f x xác định và có đạo hàm trên
y = f ′ x có đồ thị như D
Câu 9. Cho đồ thị hàm số ( ) . Hàm số ( ) – 2 =
hình vẽ. Số nghiệm nhiều nhất của phương trình f (x ) m (m là tham số thực) là? VDC A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 Lời giải
Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số y= f′(x) ta có bảng biến thiên của đồ thị hàm số y= f (x)như sau: N H ÓM T OÁN VD
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình f (x) = m có tối đa hai nghiệm dương, do đó phương – 2 = V
trình f (x ) m có tối đa 4 nghiệm. DC y = f (x)
f (0) + f (5) = 2 f (3) Câu 10. Cho hàm số liên tục trên ,
và có bảng biến thiên của hàm số
y = f ′(x) như sau: x −∞ 1 − x 0 x 3 x 4 +∞ 1 2 3 f ′(x) 0 0 0 0
Tập nghiệm của phương trình f ( 2 x − )
1 = f (3) có bao nhiêu phần tử? A. 4 . B. 5. C. 6 . D. 7 . Lời giải Chọn A
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Từ BBT của hàm số y = f ′(x) suy ra dấu của f ′(x) và có BBT của hàm số y = f (x) như sau: x −∞ 1 − 0 3 4 +∞ f ′(x) − 0 + 0 + 0 − 0 + N H f (3) ÓM f (x) f (− ) 1 f (0) f (4) T OÁN
Lại có f (0) + f (5) = 2 f (3), mà f (0) < f (3) nên f (5) > f (3) . V 2 x −1 = 3 D
Mặt khác với mọi x∈ ta có 2 x −1≥ 1 − , do đó f ( 2 x − ) 1 = f (3) ⇔ 2 – x −1 = a (4 < a < 5) VDC x = 2 ± ⇔
. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. x = ± a +1
Dạng 10: Biết số nghiệm của phương trình f (x) = 0 , xét các bài toán liên quan đến
phương trình có chứa f '(x); f ' (x)....
Câu 1. Cho hàm số y f xx 2 x x 2 x 2 1
4 x 9. Hỏi phương trình 'fx 0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Lời giải Chọn D Ta có:
f xx 2 x x 2 x 2 x 3 x x 4 2 x x 7 5 3 1 4 9 13
36 x 14x 49x 36x N ' f x 6 4 2
7x 70x 147x 36 H ÓM Đặt 2
t x ,t 0 T OÁN
Xét hàm gt 3 2
7t 70t 147t 36 VD Do phương trình ' g t 2
21t 140t 147 0 có 2 nghiệm dương phân biệt và – V
gCD.gCT 0, g036 0 nên gt 0 có 3 nghiệm dương phân biệt. DC
Do đó 'f x 0 có 6 nghiệm phân biệt.
Câu 2. Cho f (x) là một hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình dưới đây.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Tập nghiệm của phương trình f ′ ( x) 2 = f
(x).f ′′(x) có số phần tử là A. 1. B. 2. C. 6. D. 0. Lời giải N Chọn A H
Xét phương trình f ′ ( x) 2 = f
(x).f ′′(x) ( )1 ÓM = < < T
Do f (x) 0 có ba nghiệm x , x , x x x
x và f '(x = 0 suy ra x là một nghiệm của 3 ) 1 2 2 ( 1 2 3 ) 3 O (1) ÁN
Ta có f (x) = a(x − x )(x − x )(x − x )2 , a ≠ 0 1 2 3 ( ) V D ′ ′ ′ – f x 1 1 2
Với x ≠ x ⇒ 1 ⇔ = 0 ⇔ + + = 0 3 ( ) ( ) V f ( x) x − x x − x x − x DC 1 2 3 1 1 2 ⇔ − − − = 0 vô nghiệm.
(x − x )2 (x − x )2 (x − x )2 1 2 3
Vậy, phương trình (1) có đúng một nghiệm x = x .3
Câu 3. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị là đường cong trơn (không bị gãy khúc),
hình vẽ bên. Gọi hàm g (x) = f f ( x).
Hỏi phương trình g′( x) = 0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt? N H ÓM A. 10. B. 12. C. 8. D. 14. T O Lờigiải ÁN VD – VDC
g (x) = f f (x)
⇒ g (′x) = f (′x). f ′ f ( x) .
g (′x) = 0 ⇔ f (′x). f ′ f ( x) = 0
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 9
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao x = x ∈ 2; − −1 1 ( ) x = 0 x = x ∈ 1;2 2 ( ) N ′ = x = 2 H f (x) 0 ⇔ ÓM ⇔ . f ′ f
f (x) = x ∈ 2;
− −1 ⇔ x = x < 2 − 1 ( ) ( x) = 0 3 T
f (x) = 0 ⇔ x∈{ 2; − 0; } 2 O ÁN
f (x) = x ∈ 1;2 ⇔ x∈ x ;x ;x ,x < x < x < 0 < 2 < x 2 ( ) { 4 5 6} 3 4 5 6 V = ⇔ ∈ < < < < < D f (x) 2 x
{x ;x ;x ,x x x x x x 7 8 9} 4 7 8 5 6 9 – ′
Kết luận phương trình g (x) = 0 V
có 12 nghiệm phân biệt. DC
Câu 4. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ bên.
Đặt g(x) = f f (x)
. Tìm số nghiệm của phương trình g′( x) = 0 . N A. 8 . B. 2 C. 4 . D. 6 . H ÓM Lời giải Chọn A T
Ta có: g (′x) = f ′(x). f ′ f ( x) O . ÁN f (′x) = 0 (1) V
g′(x) = 0 ⇔ f ′(x). f ′ f ( x) = 0 ⇔ . D f ′
[ f (x)] = 0 (2) – = ′ = V
Dựa vào đồ thị của hàm số y f (x) có hai điểm cực trị nên f (x) 0 (1) có hai nghiệm DC
phân biệt x = 0 ; x với 2 < x < 3. 1 2 2
f (x) = x = 0
PT (2) : f ′[ f (x)] 1 = 0 ⇔ .
f (x) = x ; 2 < x < 3 2 2
Dựa vào đồ thị của hàm số y = f (x) thì f (x) = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Kẻ đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số =
tại ba diểm phân biệt nên phương 2 y f (x)
trình f (x) = x có ba nghiệm phân biệt. 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D – VDC
Nên phương trình (2) có 6 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình g′(x) = 0 có tất cả 8 nghiệm phân biệt.
Câu 5. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ bên. N H ÓM Đặt f (x) f (x) g(x) = 2 − 3
. Tìm số nghiệm của phương trình g′(x) = 0 . T O A. 5. B. 3. C. 2. D. 6. ÁN Lời giải V Chọn A D Ta có f (x) f (x) f (x) f (x)
g (′x) = f (′x)2
ln 2 − f (′x)3
ln 3 = f (′x) 2 ln 2 − 3 ln 3 – . VDC f (′x) = 0 f (′x) = 0 f (′x) = 0 g′(x) f (x) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ . f (x) f (x) 2 ln 3 2 ln 2 = 3 ln 3 = f (x) ln 3 = log ≈ 1 − ,1358 2 3 ln 2 ln 2 3
Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) có hai điểm cực trị nên f (′x) = 0 có hai nghiệm phân biệt. Kẻ đường thẳng ln 3 y = log ≈ 1
− ,1358 cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại ba điểm phân biệt nên 2 ln 2 3 phương trình ln 3 f (x) = log
có ba nghiệm phân biệt. 2 ln 2 3
Vậy phương trình g (′x) = 0 có 5 nghiệm thực phân biệt.
Câu 6. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên , f (x) có đồ thị (C) như hình dưới đây, trong đó ,
A B là các điểm cực đại của (C), các tiếp tuyến của (C) tại các tiếp điểm thuộc cung AB
đều không song song với hai đường thẳng đường thẳng y = 2x , y = 2 − x ,
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 11
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
lim f '(x) = +∞, lim f '(x) = −∞ . Xét phương trình f ( f '(x) + )
1 = 0 (*), khẳng định nào sau x→−∞ x→+∞ đây đúng? N H ÓM T OÁN V D – VDC
A. (*) có đúng hai nghiệm.
B. (*) có đúng ba nghiệm.
C. (*) có ít nhất hai nghiệm.
D. (*) có đúng ba nghiệm. Lời giải Chọn C
Dựa vào đồ thị ta thấy f (x) = 0 có ba nghiệm trong đó có một nghiệm dương là 3. f '(x) = 2
Do f '(x) +1≥1 nên f ( f '(x) + )
1 = 0 ⇔ f '(x) +1 = 3 . Tức . f ' ( x) = 2 −
Gọi x x lần lượt là hoành độ của ,
A B . Do f '(x) liên tục nên ta có: A , B f ' ( x = A ) 0 + ⇒ x
∃ ∈ −∞ x sao cho f '(x = 2. 1 ) lim f '(x) ; 1 ( A ) = +∞ x→−∞ f ' ( x = B ) 0 + ⇒ x
∃ ∈ x +∞ sao cho f '(x = 2 − . 2 ) lim f '(x) B ; 2 ( ) = −∞ x→+∞ N H
+ Các tiếp tuyến của (C) tại các tiếp điểm thuộc cung AB đều không song song với hai đường ÓM
f '(x) ≠ 2 T
thẳng đường thẳng y = 2x , y = 2 − x chứng tỏ x
∀ ∈[x ; x ] . O f ' ( x) ≠ 2 A B − ÁN
Tóm lại, (*) có ít nhất hai nghiệm. VD
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ: – VDC
Tìm số nghiệm của phương trình g′(x) = 0 , biết g (x) 3 = f (x) 2 − f (x) + 8. A. 13. B. 15. C. 17 . D. 19. Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 12
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Chọn B
Ta có g′(x) = f ′(x) 2 3.
. f (x) − 2. f ′(x). f (x) =0 f ′(x) = 0 N H ⇔ f (x) = 0 ÓM 2 T f ( x) = 3 OÁN
Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) ta được V
+ Phương trình f ′(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt là 1 − ;0;1 D –
+ Phương trình f (x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt VDC
+ Phương trình f (x) 2
= có 8 nghiệm phân biệt (để tìm nghiệm phương trình f (x) 2 = ta kẻ 3 3 đường thẳng 2
y = , thấy đường thẳng 2
y = cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại 8 điểm phân biệt ) 3 3
Vậy phương trình có tất cả 15 nghiệm phân biệt.
Câu 8. Cho hàm số ( ) ax + b f x =
,(ac ≠ 0;ad − bc ≠ 0;a,b,c,d ∈). Tìm số nghiệm của phương cx + d
trình g '(x) = 0 , biết g (x) f (x) 3 f (x) = e − e . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải: Đáp án A. −
Tập xác định g (x) : \ d D = c −
Ta có: g '(x) = f '(x) f (x) e
− 3 f '(x) 3f (x) e có TXĐ: \ d D = c N f '(x) = 0 ( ) 1 H f x 3 f x ÓM
Phương trình g '(x) = 0 ⇔ f '(x) ( ) e − 3 f '(x) ( ) e = 0 ⇔ f (x) 3 f (x) e − 3e = 0 (2) T +) Giải (1) vô nghiệm OÁN f (x) e = 0 (3) +) Giải (2): (2) ⇔ V 2 f (x) D 1 − 3e = 0 (4) – f x 1 V ( ) e = (5) DC
Ta có (3) vô nghiệm. PT(4) 3 f (x) 1 e = − (VN) 3
Từ (5) ta có f (x) 1 = ln
Dựa vào dạng đồ thị của f (x) ta có PT chỉ có 1 nghiệm 3
Câu 9. Cho hàm số f (x) = x(x − )
1 (x − 2)(x −3)(x − 4)(x −5)(x − 6)(x − 7) . Hỏi đồ thị hàm số
y = f ′(x) cắt trục hoành tại tất cả bao nhiêu điểm phân biệt? A. 1. B. 6 . C. 0 . D. 7 . Lời giải Chọn D
Ta có f (x) = 0 có các nghiệm: 0;1;2;3;4;5;6;7 .
Áp dụng định lý Lagrange lần lượt trên các đoạn: [0; ] 1 ;[1;2];[2; ] 3 ;[3;4];[4;5];[5;6];[6;7].
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Chẳng hạn xét trên đoạn [0; ]
1 thì tồn tại x sao cho: 1 −
f ′(x ) f ( ) 1 f (0) =
⇔ f ′(x = f 1 − f 0 = 0. Suy ra x = x là một nghiệm của phương 1 ) ( ) ( ) 1 1− 0 1 N
trình f ′(x) = 0. H ÓM
Làm tương tự vậy các khoảng còn lại ta suy ra f ′(x) = 0 có 7 nghiệm phân biệt hay đồ thị hàm T
số y = f ′(x) cắt trục hoành tại 7 điểm phân biệt. O 3 2 ÁN
Câu 10. Cho hàm số f (x) = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) . Biết phương trình f (x) = 0 có hai nghiệm ' V
phân biệt x ; x . Số nào sau đây là nghiệm của phương trình f (x) = 1 2 0 D x − x – + A. x x B. 1 2 . V 1 2 2 DC x + x C. 1 2 .
D. x − x . 2 1 2 Lời giải Chọn C
Vì hàm số y = f (x) là hàm bậc 3 và phương trình f (x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x ; x 1 2
nên đồ thị hàm số y = f (x) tiếp xúc với trục hoành, tức là trong 2 nghiệm x ; x có 1 nghiệm 1 2
kép. Không mất tính tổng quát giả sử nghiệm kép là x . 2
Khi đó ta có: f (x) = a(x − x )(x − x )2 1 2
⇒ f '(x) = (x − x 2x − x − x 2 ) ( 1 2 ) x = x2 f '(x) 0 = ⇔ x + x 1 2 x = 2 x + x ' N
.Vì x ; x phân biệt nên 1 2 =
là nghiệm của phương trình f (x) = . Ta chọn B. 1 2 x 0 H 2 ÓM
Câu 11. Cho hàm số = ( ) 4 2
y f x = ax + bx + c có đồ thị như hình vẽ và thỏa mãn đẳng thức T sau: f (x + )
1 − f (x) = 2x(2x + ) 1 (x + ) 1 . Cho hàm số ( ) 2
g x = mx + nx + p và OÁN
f (x) = g ( 2 x − )
1 . Tìm nghiệm của phương trình g′(x) = 0 . VD – VDC A. 1 − . B. 2 − . − . D. 4 − . 2 C. 14 Lời giải Chọn C
Với x = 0 thì f ( ) 1 = f (0) .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 14
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Vì f ( )
1 = f (0) và đồ thị hàm số = ( ) 4 2
y f x = ax + bx + c đi qua (0; ) 1 − , (2;1 ) 1 nên ta có hệ phương trình: f ( ) 1 = f (0)
a + b + c = c a =1 N f (0) = 1 − ⇔ c = 1 − ⇔ b = 1 − . H ÓM f (2) = 11 16
a + 4b + c = 11 c = 1 − T Vậy f (x) 4 2 = x − x −1. O 2 ÁN
Ta có f (x) = g ( 2 x − ) 4 2
⇔ x − x − = m( 2 x − ) + n( 2 1 1 1 x − ) 1 + p V 4 2 4
⇔ x − x − = mx + (− m + n) 2 1 2
x + (m − n + p) D – m = 1 m = 1 V DC ⇔ 2 − m + n = 1 − ⇔ n =1
m − n + p = 1 − p = 1 − Do đó g (x) 2 = x + x −1. g′( x) 1
= 0 ⇔ 2x +1 = 0 ⇔ x = − . 2 Vậy 1 x = − . 2 Câu 12. Cho hàm số 3 2
f (x) = x + ax + bx + c . Nếu phương trình f (x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt thi
phương trình f (x) f (x) = f ′(x) 2 2 . "
có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 4 . C. 3. D. 2 . Lời giải Chọn B
Giả sử f (x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt là x , x , x . 1 2 3 N
Xét g (x) = f (x) f (x) − f ′(x) 2 2 . " H ÓM
⇒ g′(x) = 2 f ′
( x). f "( x) + f ( x). f ''( x) − 2 f ′
(x) f "(x) = 2 f (x).f ''(x) = 6 f (x). T x = x1 O ÁN
Khi đó g′(x) = 0 ⇔ x = x 2 V x = x3 D – Ta có bảng biến thiên VDC
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình g (x) = 0 có nhiều nhất 4 nghiệm.
Câu 13. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) trên khoảng ( ;
−∞ +∞) . Đồ thị của hàm số y = f (x) như hình vẽ
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao y 1 − 1 O x N 1 − H ÓM T ' O 2 2 ÁN
Tìm số nghiệm của phương trình ( f (x ) ) = 0 V A. 3. B. 4 . C. 2 . D. 5. D Lời giải – V Chọn A. DC Ta có f ( 2x ) 2 = 0 ( x = 1 ± x = 0 2 2
f ( x ) )' 2 2 = ⇔ x f ( 2 x ) f ′( 2 0 4 . .
x ) = 0 ⇔ f ′( 2x) = 0 ⇔ x = 1,
± x = 0 ⇔ x =1 . x = 0 x = 1 x = 0 −
Suy ra phương trình 3 nghiệm.
Câu 14. Biết rằng hàm số f (x) có đồ thị được cho như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm của phương trình ( f f ( ' 2 x − ) 1 ) = 0. y O 2 x N 4 − H ÓM A. 5. B. 3. C. 9. D. 8 . T Lời giải OÁN Chọn C. ' ' V 2
f f x − 2 2 2
f f x − = ⇔ x f ′ x −
f ′ f x − D Ta có ( ( )1) = 0, ( ( )1) 0 2 . ( )1. ( )1 = 0 ; – V x = 0 DC x = 0 x = 0 x = 1 ± x = 0 2 x −1= 0 x = 1 ± x ⇔ f ( 2 x ) = ± 3 ′ − = 2 1 0 ⇔ x −1 = 2 ⇔ ⇔ x = ± 3 2 x f ′ f ( − 1 = 0 2 x − ) 1 = 0 f ( 2 x − ) 1 = 0 2
x −1 = a ∈(2;+∞ x a a ) = ± +1, +1∈(3;+∞) f ( 2 x − ) 1 = 2 2 x −1 = b∈ x b a ( ;a+∞) = ± +1,b+1∈ ( +1;+∞) .
Vậy phương trình có 9 nghiệm.
Dạng 11: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f (x) , xét các bài toán liên quan đến BẤT
PHƯƠNG TRÌNH có dạng f (x) ≥ g (x); f (u(x)) ≥ g (x) (>,<,≤)... có thể có tham số. 1. Lý thuyết:
Loại 1: Không chứa tham số (đề thường yêu cầu về tập nghiệm của bất phương trình) Phương pháp giải:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 16
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
- Chuyển bất phương trình về f (x) g(x) 1 vế và lập bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiến của hàm số y f '(x) và xét dấu của hàm số y g '(x)
Lưu ý: 1) Hàm số y f (x); y g(x) cùng đồng biến(nghịch biến) trên K thì hàm số
y f (x) g(x) đồng biến(nghịch biến) trên K N H
2) Nếu hàm số y f (x) đồng biến(nghịch biến) trên K thì: ÓM + Hàm số n
y f (x) đồng biến(nghịch biến) trên K T O 1 ÁN + Hàm số y
với f (x) 0 nghịch biến(đồng biến) trên K f (x) V D
+ Hàm số y f (x) nghịch biến(đồng biến) trên K –
Dựa vào đồ thị hàm số y f (x) và vẽ đồ thị của hàm số y g(x)để kết luận nghiệm. VDC
- Đặt t u(x) , xác định điều kiện của biến t. Biến đổi f (u(x)) g(x) thành f (t) h(t)
sau đó làm tương tự như trên.
Loại 2: Chứa tham số (đề thường yêu cầu tìm điều kiện của m để bất phương trình có nghiệm
hoặc có nghiệm với x )
Cô lập tham số m biến đổi đưa về dạng
f (x,m) 0,x K g(x) h(m),x K Min g(x) h(m) K
f (x,m) 0,x K g(x) h(m),x K Max g(x) h(m) K
f (x,m) 0 có nghiệm trên K f (x,m) 0 g(x) h(m),x K Max g(x) h(m) K
f (x,m) 0 có nghiệm trên K f (x,m) 0 g(x) h(m),x K Min g(x) h(m) K
Chú ý: Đối với các bất phương trình f (x,m) 0, f (x,m) 0 làm tương tự tuy nhiên ở bước
cuối nếu Max g(x),Min g(x) đạt tại x K thì ta kết luận dấu , . Nếu K K 0
Max g(x),Min g(x) đạt tại x K thì ta kết luận dấu <,>. K K 0 2. Bài tập: N H
y = f x có bảng biến thiên như sau ÓM Câu 1. Cho hàm số ( ) T OÁN VD – V x DC
Tập nghiệm của phương trình là f (x) 2 3 ≥ 3e − 6 là A. ( 2019 − ;0). B. ( 1; − +∞) C. [ 1; − ] 1 D. 1 đáp án khác Lời giải Chọn D Ta có: ( ) 2 x ≥ − ⇔ ( ) 2 3 3 6 x f x e
f x − e + 2 ≥ 0 . Đặt = ( ) 2 ( ) x g x
f x − e + 2 . Ta thấy = ( ) 2 '( ) ' − 2 x g x f x xe
Dựa vào bản biến thiên của hàm số y = f (x) x = − + và hàm số 2 y e
2 ta được, Bảng biến thiên hàm số = ( ) 2 ( ) x g x f x − e + 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 17
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V x D
Dựa vào bảng biến thiên trên của hàm số g x = f (x) 2 ( )
− e + 2 . Ta thấy x ∀ ∈( 1; − ) 1 . hàm số – x V
g x = f (x) 2 ( )
− e + 2 < 0 .Vậy các đáp án A, B, C đều có các khoản tại đó hàm số âm nên DC
không thể là nghiệm của phương trình ( ) 2 x
f x − e + 2 ≥ 0 . Vậy đáp án là D.
Câu 2. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên: x – ∞ 1 3 + ∞ y’ + 0 − 0 + y + ∞ -2
Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình f ( x −1+ )1 ≤ m có nghiệm? A. m ≥1 B. m ≥ 2 − . C. m ≥ 4. D. m ≥ 0 . Lời giải Chọn B N H
Đặt t(x) = x −1 +1, , t ≥1. ÓM
Bất phương trình trở thành f (t) ≤ m (t ≥1) (*). Bất phương trình (*) có nghiệm với t ≥1 thì T
min f (t) ≤ m . Dựa vào BBT ta thấy min f (t) = 2 − ⇒ m ≥ 2 − . O [1;+∞) [1;+∞) ÁN
Câu 3. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ VD – VDC
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình f (x) + ( 2
− f (x)) f (x) ≤ ( 2 9.6 4 .9
−m + 5m) f (x) .4 đúng với x ∀ ∈ là A. 10. B. 4 . C. 5. D. 9. Lời giải Chọn A Ta có bất phương trình f (x) + ( 2
− f (x)) f(x) ≤ ( 2 9.6 4 .9
−m + 5m) f(x) .4
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 18
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao f (x) 2 f (x) 3 ⇔ 9. + ( 2
4 − f (x)) 3 2 ≤ −m + 5m (1). 2 2 f (x) 2 f (x)
+Từ đồ thị suy ra f (x) 3 2, x 9. ≤ − ∀ ⇒ ≤ 4, x ∀ 3 và ( 2 4 − f (x)) ≤ 0, x ∀ N 2 2 H f (x) 2 f (x) ÓM +Suy ra 3 ( 2 f (x)) 3 9. 4 + − ≤ 4, x ∀
⇒ Maxg (x) = 4 . T 2 2 O
+ Bất phương trình (1) nghiệm đúng x ∀ ∈
−m + m ≥ ⇔ ≤ m ≤ . Vậy có 4 giá trị ÁN ⇔ 2 5 4 1 4
m nguyên m∈{1;2;3 } ;4 . Vậy 1+ 2 + 3+ 4 =10. V D
y = f x = −x + x − > – Câu 4. Cho hàm số ( ) 3 2 3
4 có bảng biến thiên dưới đây. Biết rằng với m α thì bất VDC phương trình ( 2 − x )( 2 4
3 − 4 − x ) < m +6 luôn đúng với mọi m. Hãy cho biết kết luận nào sau đây đúng?
A. α là số nguyên âm. B. α là số nguyên dương.
C. α là số hữu tỉ dương.
D. α là số vô tỉ. Lời giải. Chọn A. Đặt 2
t = 4 − x ; 0 ≤ t ≤ 2
Khi đó bất phương trình trên trở thành 3 2
−t + 3t − 4 < m + 2 (*) Để ( 2 − x )( 2 4
3 − 4 − x ) < m +6 luôn đúng với mọi m thì (*) luôn đúng với mọi t∈0;2
Tức là f (t) < m + 2 luôn đúng với mọi t∈0;2
⇔ m + 2 > max f (t) ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > 2 − t ∈ 0;2 N H
Câu 5. Cho hàm số y = f (x) 3 2
= x − 3x + 2 có đồ thị như hình vẽ. Hãy cho biết tập nghiệm của bất ÓM
phương trình f (x) ≥ 2 − ? T O A. S = 1; − +∞ . B. S = 1; − +∞ .
C. S = 0;+∞ . D. S = 2; − +∞ . ÁN ( ) ) ( ) ) V y D Lời giải. – 2 Chọn B. VDC
Nhìn vào đồ thị dễ dàng thấy những điểm có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1 − đều có tung độ x lớn hơn hoặc bằng 2 − . Chọn đáp án B. -1 2
Câu 6. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên và có đồ thị hàm số như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị 3
của m để bất phương trình 1 2x f f
1m 0 có nghiệm là: 2 x 1 -2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 19
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao A. m 2 B. 1 m 2 C. m1 D. m5 Lời giải Chọn A.
Nhìn vào đồ thị ta thấy: N
x 1;1 2 f x 2 H ÓM
x 2;2 2 f x 2 T O 2 x 2x ÁN Ta có: 1 1 1 2 2 x 1 x 1 V D 2x 1 2 2;2 x f f f f 1 0;2 – 2 x 1 2 x 1 VDC 1 2x 1 2 1 0 x f f m f f 1 m 2 x 1 2 x 1
Nên bpt có nghiệm khi và chỉ khi m≤2.
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [ 1; − ]
3 và có đồ thị như hình vẽ. y 32 1 2 1 − 3 x 2 − N H
Bất phương trình f (x) + x +1 + 7 − x ≥ m có nghiệm thuộc [ 1; − ] 3 khi và chỉ khi ÓM A. m ≤ 7. B. m ≥ 7 .
C. m ≤ 2 2 − 2 .
D. m ≥ 2 2 − 2 . T Lời giải OÁN Chọn A 2 2 V
Ta có: x +1 + 7 − x ≤ (1 +1 )(x +1+ 7 − x) = 4 . D –
Dấu ' = ' xảy ra khi 1+ x = 7 − x ⇔ x = 3 . VDC
Ta có : max f (x) = f (3) = 3. [ 1 − ; ] 3
Do đó bất phương trình f (x) + x +1 + 7 − x ≥ m có nghiệm thuộc [ 1; − ] 3 khi và chỉ khi
m ≤ max ( f (x) + x +1 + 7 − x) = 4 +3 = 7 . Vậy m ≤ 7. [ 1 − ; ] 3
Câu 8. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. Biết trên ( ; −∞ 3 − ) ∪(2;+∞) thì
f ′(x) > 0.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 20
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D
Số nghiệm nguyên thuộc ( 10
− ;10) của bất phương trình f (x)( 2 x − x − ) 3 2
6 > −x + 2x + 5x − 6 – V là DC A. 9. B. 10. C. 8 . D. 7 . Lời giải Chọn C Ta có f (x)( 2 x − x − ) 3 2
> −x + x + x − ⇔ f (x) + x − ( 2 6 2 5 6
1 x − x − 6) > 0 N + Trường hợp 1 : H 2 − − > ÓM x x 6 0 x < 2 − ∨ x > 3 ⇔
⇔ − < < − ∨ > f ( x) 3 x 2 x 3 + x −1 > 0 3 − < x < 1 − ∨ x > 2 T O + Trường hợp 2 : ÁN 2
x − x − 6 < 0 2 − < x < 3 V ⇔ ⇔ 1 − < x < 2 D f
( x) + x −1 < 0 x < 3 − ∨ 1 − < x < 2 – V
+ Từ hai trường hợp trên ta được các nghiệm nguyên thuộc ( 10 − ;10)là {0;1;4;5;6;7;8; } 9 . DC
Câu 9. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên .
Đồ thị hàm số y = f ( x) như hình dưới và
g (x) = −x −1. Tập nào sau đây là nghiệm của bất phương trình f (x) > g (x). A. ( 3 − ; ) 1 . B. ( ;
−∞ − 3) ∪(1;3) . C. ( ; −∞ − 3). D. (1;3). Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 21
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Chọn B
Ta có số nghiệm của phương trình f (x) = g (x) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f (x) và đường thẳng d : y = −x −1 (như hình vẽ bên dưới). N H ÓM T OÁN V D – V DC x = 3 −
Dựa vào đồ thị suy ra phương trình f (x) g (x) 0 − = ⇔ x =1 x = 3
Yêu cầu bài toán ⇔ tìm các giá trị của x để đồ thị của hàm số f (x) nằm phía trên đường
thẳng y = −x −1.
Đối chiếu các đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn.
Câu 10. Cho hàm số y = f (x) có BBT như sau: N H 2 ÓM
Bất phương trình (x + )
1 . f (x) ≥ m nghiệm đúng với mọi x trên ( 1; − 2) là T A.m >15 B.m ≤15 C.m ≤ 2 D.m > 2 O Lời giải ÁN Chọn C V 2 2 D
Đặt: g(x) = (x + )
1 . f (x) ⇒ g'(x) = 2 x. f (x) + (x + ) 1 . f '(x) – Với 1
− < x < 0 ⇒ g '(x) < 0 VDC
Với 0 < x < 2 ⇒ g '(x) > 0 g(0)=2;g(-1)=8;g(2)=15 Suy ra x ∀ ∈( 1;
− 2) ⇒ 2 ≤ g(x) <15
Yêu cầu bài toán ta được ( ) ≥ m ⇔ 2 ≥ m min g x [ 1 − ;2]
Câu 11. Cho hàm số y = f (x) 3
= x − 3x có ĐTHS như hình vẽ
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 22
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao y N -2 1 2 x H ÓM T O ÁN V
f (x) − x D Bất phương trình
≤ có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc đoạn[ 6; − 8] – f ( x ) 0 VDC A. 8. B. 10. C. 7. D. 9. Lời giải ChọnC
Ta giải các phương trình hoành độ giao điểm sau: x = 0 f (x) = 0 ⇔ 3
x − 3x = 0 ⇔ x = ± 3 = f (x) 3 x 0
− x = 0 ⇔ x − 4x = 0 ⇔ x = 2 ± = f ( x ) x 0 = 0 ⇔ x = 2 ±
Ta chia hai trường hợp và căn cứ vào đồ thị: y y N H ÓM -2 1 2 x -2 1 2 x T OÁN V D
ĐTHS f ( x ) Tương giao giữa đths f (x) và đường thẳng y = x – V 2 − ≤ x ≤ 0 DC f
( x) − x ≥ 0 Th1: ⇔ x ≥ 2
⇔ − 3 < x < 0 ⇒ x = 1 − f ( x ) < 0
− 3 < x < 3, x ≠ 0 x ≤ 2 − f
( x) − x ≤ 0 0 ≤ x ≤ 2 x ≤ 2 − ⇒ x∈{ 6 − ; 5 − ; 4 − ; 3 − ;− } 2 Th2: ⇔ ⇔ ⇔ f ( x ) > 0 x < − 3
3 < x ≤ 2 ⇒ x = 2 x > 3
Vậy bất phương trình trên có 7 nghiệm nguyên thuộc [ 6; − 8]
Câu 12. Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: x −∞ -1 1 3 +∞ f '(x) − 0 + 0 + 0 −
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Tìm 1
m để bất phương trình 2
m − f (x + 4) 3
− x ≥ 0 có nghiệm trên đoạn [ 5 − ; ] 1 3 A. 47 m ≤ B. 47 3 < m < . 64 64 2 N H C. m ≤ 5
− hoặc m ≥ 5 D. 1 − ≤ m ≤1. ÓM Lời giải T ChọnC O 2 1 3 ÁN
BPT ⇔ m ≥ f (x + 4) + x 3 V 1 D
Đặt g (x) = f (x + 4) 3 + x 3 – 2 V
Yêu cầu bài toán ⇔ m ≥ min g (x), x ∀ ∈[ 5; − − ] 1 DC
Ta có: g (x) = f (x + ) 2 ' ' 4 + x Vì 5 − ≤ x ≤ 1 − nên 1 − ≤ x + 4 ≤ 3
Từ đó và quan sát bảng xét dấu thấy: f '(x + 4) ≥ 0
Suy ra g (x) = f (x + ) 2 ' ' 4 + x ≥ 0, x ∀ ∈[ 5 − ;− ] 1 x 5 − 1 − g (x) g (− ) 1 g ( 5 − )
⇒ min g (x) = g ( 5 − ) = 25 [ 5; − − ] 1 Vậy 2
m ≥ 25 ⇔ m ≥ 5 hoặc m ≤ 5 − .
Câu 13. Cho hố số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 10
− ;10] để bất phương trình f (m) ≥ f ( 2 − x ) 1 3 2 20 4 + x − x + có nghiệm. 3 3 N H ÓM T OÁN VD – VDC A. 9 B. 10. C. 11. D. 12. Lời giải Chọn D
Xét hàm số h(x) = f ( 2 − x ) 1 3 2 20 4 + x − x + . 3 3
* Tập xác định: D = [ 2; − 2] . .x f '( 2 4 x ) f ' ( 2 4 x − − 2 ) * h'(x) x 2x x 2 x = − + − = − + − 2 2 4 x 4 x − −
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
2 − x ≥ 0, x ∀ ∈ [ 2 − ;2] Nx:
và y = f (x) đồng biến trên ( 1; − + ∞) nên 2
4 − x ≥ 0, x ∀ ∈ [ 2 − ;2] f '( 2 4 − x ) N H + 2 − x > 0 2 ÓM 4 − x
* Suy ra bảng biến thiên của hàm số y = h(x) trên D = [ 2; − 2] . T OÁN V D – VDC
* Yêu cầu bài toán f (m) ≥ min h(x) = 3 [ 2; − 2] m = 3 −
* Từ đồ thị y = f (x) suy ra f (m) ≥ min h(x) = 3 ⇔ kết hợp m∈[ 10 − ;10] và m [ 2; − 2] m ≥ 0
nguyên nên có 12 giá trị của m. Câu 14. Cho hố số 3 2
y = x − 3x có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham
số m thuộc đoạn [ 10
− ;10] để bất phương trình ( x + + − x)3 2 1 2
− 6 2 + x − x − 9 ≤ m có nghiệm. N H ÓM T OÁN V A. 12 B. 13. C. 14. D. 15. D Lời giải – Chọn D VDC * ĐKXĐ: 1 − ≤ x ≤ 2
* Đặt t = x +1 + 2 − x . Với 1
− ≤ x ≤ 2 thì 3 ≤ t ≤ 6 * Ta có 2 2 2 2
t = 3+ 2 2 + x − x ⇒ 2 2 + x − x = t − 3
* Bất phương trình đã cho trở thành 3 2
m ≥ t − 3t = f (t), t ∈ 3; 6 .
* Bảng biến thiên của hàm số f (t) trên đoạn 3; 6 là
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 25
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
* Yêu cầu bài toán m ≥ min f (t) = 4 − 3; 6 * m ≥ 4
− kết hợp m∈[ 10
− ;10] và m nguyên nên có 15 giá trị của m. N
Câu 15. Cho hố số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Số các nghiệm nguyên của bất phương trình H 2 2 ÓM
(x −4)(x +2x) ≤ 0 là. 3 2 T f
( x) + 3 f ( x) + f (x)+3 OÁN V D – VDC A. 1 B. 2 . C. 3. D. 4 . Lời giải Chọn B * Ta có f ( x) 3 + f ( x) 2 + f
(x)+ = ( f (x)+ )( f (x) 2 3 3 3 + )1 và
f (x) + = ⇔ a(x − )2 (x + )2 3 0 2
2 = 0, (với a > 0,a ∈ )
x(x − 2)(x + 2)2 x N
* Do đó bất phương trình đã cho ⇔ ≤ 0 ⇔
≤ 0 ⇔ 0 ≤ x < 2 2 2 H
(x − 2) (x + 2) x − 2 ÓM
* Kết hợp điều kiện nghiệm nguyên nên có x∈{0 } ;1 . T OÁN
Câu 16. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. VD – VDC
Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình f (x) − x +1≥ 0 . A. S = [ 1; − ]1∪[2;+ ∞ ).
B. S = (−∞;− ] 1 ∪[1;2] . C. S = [0; ]
1 ∪[2;+ ∞ ). D. S = (−∞;0]∪[1;2]. Lời giải Chọn A
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 26
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Ta có bất phương trình f (x) − x +1≥ 0 ⇔ f (x) ≥ x −1 nên nếu vẽ đường thẳng ∆ : y = x −1
trên cùng hệ trục với đồ thị hàm số y = f (x) thì tập nghiệm S của bất phương trình đã cho là
tập hợp hoành độ các điểm sao cho đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía trên đường thẳng ∆ . N H ÓM T OÁN V D – VDC
Dựa vào đồ thị ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = [ 1; − ]1∪[2;+ ∞ ).
Câu 17. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên.
Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình ( 2 2
mx + m 5 − x + 2m + )1 f (x) ≥ 0 nghiệm
đúng với mọi x∈[ 2; − 2] ? A. 1 . B. 3. C. 0 . D. 2 . Lời giải Đặt g (x) 2 2
= mx + m 5 − x + 2m +1. N H ÓM
Từ đồ thị của y = f (x) ta thấy f (x) đổi dấu khi qua x = 1 nên suy ra g (x) cũng phải đổi T
dấu khi qua x = 1. Mặt khác g (x) liên tục nên g (x) = 0 có nghiệm x =1. O
Kiểm tra: Với m = −1. Ta có ÁN + 2 1 x V
g (x). f (x) = (−x + 5− x − )1 f (x) = (1− x) +1 f (x) D 2 2 + 5 − x – V 2 1+ x 3+ x + 5 − x DC Nhận xét: +1 = > 0, x ∀ [ 2; − 2]. 2 2 2 + 5 − x 2 + 5 − x
Khi đó quan sát đồ thị f (x), ta thấy:
+ TH1: với x∈[1;2] thì f (x) ≤ 0 nên(1− x). f (x) ≥ 0. + TH2: với x∈[ 2; − ]
1 thì f (x) ≥ 0 nên(1− x) f (x) ≥ 0.
Do đó trong cả hai trường hợp ta luôn có g (x). f (x) ≥ 0 , x ∀ ∈[ 2; − 2].
Câu 18. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình dưới đây
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D – V DC
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình f (x) 2 2
+ x > 4x + m nghiệm
đúng với mọi x∈( 1; − 3) . A. m < 3 − B. m < 10 − . C. m < 2 − . D. m < 5 . Lời giải Chọn B 2
BPT đã cho nghiệm đúng với với x∈( 1; − 3) ⇔ ( ) x 4x m f x − + + > đúng x ∀ ∈( 1; − 3) 2 2
−x + 4x + m ⇔ < 3 − , x ∀ ∈( 1; − 3) 2
⇔ −x + 4x + m + 6 < 0, x ∀ ∈( 1; − 3) 22
⇔ m < x − 4x − 6, x ∀ ∈( 1; − 3)
Xét hàm số h(x) 2
= x − 4x − 6 với x ∈( 1; − 3)
h′(x) = 2x − 4 ⇒ h′(x) = 0 ⇔ x = 2 .
Ta có bảng biến thiên sau: N H ÓM T OÁN VD – V
Từ BBT suy ra m < min h(x) ⇔ m < 1 − 0. DC ( 1 − ;3)
Câu 19. Cho đồ thị (C) của hàm số y = f (x) như hình vẽ dưới đây
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để bất phương trình ( ) m f x ≤ có nghiệm trên 2 x − 2x + 6 [0; ]3? N A. 9 B. 10. C. 5. D. 4 . H Lời giải ÓM Chọn A T ( ) m f x ≤ có nghiệm trên [0; ] 3 ⇔ m ≥ ( 2
x − 2x + 6). f (x) có nghiệm x∈[0; ] 3 O 2 x − 2x + 6 ÁN
Xét hàm số g (x) = ( 2
x − 2x + 6). f (x) với x∈[0; ] 3 . V D Ta có g (x) 2
= x − 2x + 6 . f (x) ≤ 9.1 = 9, x ∀ ∈[0; ]
3 (dấu bằng xảy ra khi x = 3). – V
⇒ min g (x) = 9 − . DC [0; ] 3
Do đó bất phương trình đã cho có nghiệm trên [0; ] 3 ⇔ m ≥ 9 − .
Vì m nguyên âm nên 9 − ≤ m ≤ 1
− ⇒ có 9 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dạng 12: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f '(x) , xét các bài toán liên quan đến BẤT
PHƯƠNG TRÌNH có dạng f (x) ≥ g (x); f (u(x)) ≥ g (x) (>,<,≤)... có thể có tham số.
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên . Hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình dưới đây. N H ÓM T O ÁN
Bất phương trình f (x) 3 2 3
≤ x − 3x + m đúng với mọi x ∈( 1; − 3) khi và chỉ khi VD
A. m > 3 f (3).
B. m ≥ 3 f (3) .
C. m > 3 f (− )
1 + 4. D. m ≥ 3 f (− ) 1 + 4 . – V Chọn D DC Ta có: f (x) 3 2 3 2 3
≤ x − 3x + m ⇔ 3 f (x) − x + 3x ≤ m với mọi x ∈( 1; − 3) . Xét 3 2
g(x) = 3 f (x) − x + 3x với x ∈( 1; − 3) . Khi đó: 2 2
g (′x) = 3 f (′x) − 3x + 6x = 3 f (′x) − x + 2x .
Nghiệm của phương trình g (′x) = 0 là hoành độ giao điểm của đồ thị y = f (′x) và parabol 2
y = x − 2x .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D – VDC
Phương trình g (′x) = 0 có ba nghiệm x = 1;
− x = 3; x =1 trên đoạn [ 1; − ]3.
lim g (x) = lim 3 f (x) 3 2
− x + 3x = 3 f (− ) 1 + 4 ; x 1+ x 1+ →− →−
lim g (x) = lim 3 f (x) 3 2
− x + 3x = 3 f (3) . x 3− x 3− → →
Ta có bảng biến thiên sau: x 1 − 1 3 g (′x) 0 - 0 3 f (− ) 1 + 4
g(x) 3f (3) N H ÓM Bất phương trình f (x) 3 2 3
≤ x − 3x + m đúng với mọi x ∈( 1; − 3) khi và chỉ khi T ⇔ ≥ − + O
m ≥ g (x), x ∀ ∈( 1; − 3) m 3 f ( 1) 4 . ÁN V
Câu 2. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên thoả mãn f (2) = f ( 2
− ) = 0 và đồ thị hàm số D –
y = f ′(x) có hình dạng như hình vẽ bên dưới. VDC
Bất phương trình f (x) + 2m −1 ≤ 0 đúng với mọi số thực x khi và chỉ khi
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 30
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao A. 1 m < . B. 1 m ≤ . C. 1 m ≥ . D. 1 m > . 2 2 2 2 Lời giải
Từ đồ thị hàm số y = f ′(x) và giả thiết ta có BBT của hàm số y = f (x) như sau: N H ÓM T OÁN V D
Ta có f (x) + 2m −1 ≤ 0 ⇔ 1− 2m ≥ f (x) (*). –
⇔ 1− 2m ≥ max f x V
Bất phương trình [*] đúng với mọi số thực x ( ) . DC
Câu 3. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên và có đồ
thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ bên dưới N H 3 π ÓM
Để hàm số y = f (2x − 6x + 3) đồng biến với mọi x > m (m∈) thì ≥ sin b m , trong đó c T * a, ,
b c∈ . c > 2b . Tổng bằng S = 2a + 3b − c bằng OÁN A. 9 − . B. 7 . C. 5. D. 2 − . V Lời giải D
Đặt g (x) = f ( 3
2x − 6x + 3). Ta có g′(x) = ( 2 x − ) f ′( 3 6 1
2x − 6x + 3) . – V 2 − ≥ 2 DC x 1 0 x −1≥ 0 3 f ′
(2x − 6x + 3) ≥ 0 3
2x − 6x + 3 ≥ 5
Hàm số y = g (x) đồng biến khi g′(x) ≥ 0 ⇒ ⇒ . 2 x −1< 0 2 x −1 < 0 3 − + < f ′ ( 3
2x − 6x + 3) < 0 2x 6x 3 5 2 x −1≥ 0 2 x −1≥ 0 3
2x − 6x + 3 ≥ 5 3
2x − 6x − 2 ≥ 0 ⇒ ⇒ ⇒ x ∈(−∞, 1 − ,53) ∪( 1 − ; 0 − ,35) ∪(1;1,88) . 2 x −1 < 0 2 x −1 > 0 3
2x − 6x + 3 < 5 3
2x − 6x − 2 < 0
Ta thấy x ≈1,88 là nghiệm lớn nhất. Để hàm số y = f ( 3
2x − 6x + 3) đồng biến với mọi
x > m (m∈) thì m ≥ x ≈1,88 . Ta sẽ tìm cách giải cụ thể giá trị x ≈1,88 là nghiệm của 3
2x − 6x − 2 = 0 bằng phương pháp đổi biến lượng giác.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 31
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao Đặt x = 2cost 3 1 π π
⇒ 8cos t − 6cost −1 = 0 ⇒ cos3t = 2 ⇒ t = ± + k , với t ∈[0;2π ] 2 9 3 ta được π π π t − = hoặc 17 t = . Do đó 17 b 25 2cos = si a n π = 2sin π (không thỏa mãn đk) 9 9 9 c 18 N π b H hoặc 7
2cos = asin π = 2sin π a = 2,b = 7;c =18 ⇒ S = 7 (thỏa mãn). ÓM 9 c 18 1 T
⇔ 1− 2m ≥ 0 ⇔ m ≤ ⇒ Chọn B. O 2 ÁN Câu 4.
y = f x liên tục trên
y = f ′ x có đồ thị như hình vẽ V Cho hàm số ( ) và hàm số ( ) D – VDC f (x)−m f (x)−m Bất phương trình ( ) 2 + 5 − 2 + 27m f x ≥
nghiệm đúng với x∈( 2; − 3)mọi khi 27
A. f (3) ≤ m ≤ f (3) +1. B. f ( 2
− ) +1≤ m ≤ f (3). C. f ( 2
− ) − 2 ≤ m ≤ f (3).
D. f (3) ≤ m ≤ f ( 2 − ) − 2. N Lời giải H ÓM Ta có với x∈( 2;
− 3) thì f ′(x) < 0 Ta có f (3) < f (x) < f ( 2 − ) , x ∀ ∈( 2; − 3) . T O
f (3) − 2m < f (x) − m < f ( 2 − ) − m
t = f x − m ⇒ f (3) − m < t < f ( 2 − ) − m ÁN Đặt ( ) f (x)−m V f (x) 2
+ 5 −m − 2 + 27m f x −m − D Ta có f (x) ≥ ( ) f (x) 2 + 5
m − 2 − 27( f (x) − m) ≤ 0 – 27 VDC
2t + 5t − 27t − 2 ≤ 0 .Vế trái chỉ có 2 nghiệm t = 0;t = 2 Xét dấu
f (3) − m ≥ 0
Ta có 0 ≤ t ≤ 2 ⇒ ⇒ f ( 2
− ) − 2 ≤ m ≤ f (3) ⇒ Chọn C. f ( 2 − ) − m ≤ 2
Câu 5. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên . Hàm số y = f ′(x) có đồ thị như sau:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 32
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T Bất phương trình > − + đúng với mọi khi và chỉ khi O f (x) 2 x 2x m x ∈(1;2) ÁN
A. m ≤ f (2).
B. m < f ( ) 1 −1.
C. m ≥ f (2) −1.
D. m ≥ f ( ) 1 +1. V Lời giải: D – Chọn A 2 V Ta có: f (x) 2
> x − 2x + m , x
∀ ∈(1;2) ⇒ g (x) = f (x) − x + 2x > , m x ∀ ∈( 1;2) DC ′ < f x
Ta có: g′(x) = f ′(x) − 2x + 2 < 0 , x ∀ ∈(1;2) do x ∀ ∈( ) ( ) 0 1;2 ⇒ 2x − 2 > 0
Vậy ta có: min g (x) = g (2) = f (2) ≥ m . x ( ∈ 1;2)
Câu 6. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như sau Bất phương trình ( ) 2 x
f x < e + m đúng với mọi x ∈( 1; − )1 khi và chỉ khi
A. m ≥ f (0) −1.
B. m > f (− ) 1 − e .
C. m > f (0) −1.
D. m ≥ f (− ) 1 − e . N Lời giải H Chọn A ÓM Đặt ( ) 2 ex g x = T 2 x O Do x ∈[0 ) ;1 x ∀ ∈( 1 − ) ;1 nên g (x) 2 0 = e ≥ e =1 ÁN
Ta có max f (x) = f (0) , min g (x) = g (0) =1 V x ( ∈ 1 − ; ) 1 x ( ∈ 1 − ; ) 1 D – Bất phơng trình ( ) 2 x
f x < e + m đúng với mọi x ∈( 1; − )1 ⇔ ( ) 2 − ex f x < m , V 2 DC x ∀ ∈( 1; −
)1 ⇔ m ≥ max f (x)−ex = f (0)−1 x ( ∈ 1 − ; ) 1 .
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) . Hàm số y = f ′(x) có bảng biến thiên như sau Bất phương trình ( ) cos π > 2 x f x
+ 3m đúng với mọi x 0; ∈ khi và chỉ khi 2 A. 1 m ≤ 1
f (0) − 2 .
B. m < f (0)− 2 . 3 3
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 33
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao C. 1 π π m ≤ f − 1 . D. 1 m < f − 1 . 3 2 3 2 Lời giải Chọn A N H > x f x + π x ⇔ − > π ÓM Ta có ( ) cos 2 3m ∀x∈0; f (x) cos 2 3m ∀x∈ . 2 0; 2 T x π O
Xét hàm g (x) = f (x) cos − 2 trên 0; . ÁN 2 x V
Ta có g′(x) = f ′(x) cos + 2 sin .xln 2 D π π cos x π –
Vì f ′(x) ≥1 ∀x∈0; ; sin x > 0 ∀x∈0; ⇒ 2 sin .
x ln 2 > 0 ∀x∈ nên ta suy ra 0; V 2 2 2 DC x π
g′(x) = f ′(x) cos
+ 2 sin .xln 2 > 0 ∀x∈0; . 2
Vậy ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có bất phương trình ( ) cos π > 2 x f x
+ 3m đúng với mọi x 0; ∈ khi và 2
chỉ khi g (0) ≥ 3m ⇔ 3m ≤ f (0) − 2 1 ⇔ m ≤ f (0) − 2 3 . N
Câu 8. Cho hàm số f (x) liên tục trên . Hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ H ÓM T OÁN VD – VDC
Bất phương trình f ( x) 2
2sin − 2sin x < m đúng với mọi x∈(0;π) khi và chỉ khi
A. m > f ( ) 1 1 − .
B. m ≥ f ( ) 1 1 − .
C. m ≥ f ( ) 1 0 − .
D. m > f ( ) 1 0 − . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A Ta có: f ( x) 2
2sin − 2sin x < m ( ) 1
Đặt 2sin x = t , do x∈(0;π ) nên t ∈(0;2].
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 34
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao 2
Với t ∈(0;2] thì ( ) 1 trở thành: ( ) t
f t − < m , t
∀ ∈(0;2] ⇔ m > max g (t), với 2 t ( ∈ 0;2] 2 ( ) = ( ) t g t f t − . N 2 H ÓM T OÁN V D – VDC t = 0
Ta có g′(t) = f ′(t) −t . Từ đồ thị ta có: g (t) = 0 ⇔ f (t) = t ′ ′ ⇔ t =1 . t = 2 Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có khi m >
g ( ) ⇔ m > f ( ) 1 max 1
1 − thì bất phương trình t ( ∈ 0;2] 2 N H f ( x) 2
2sin − 2sin x < m đúng với mọi x∈(0;π). ÓM
Cô Hương Bùi T O
Câu 9. Cho hàm số y = f (x) . Hàm số y = f ′(x) có bảng biến thiên như sau ÁN V x D ∞ 3 1 + ∞ – V + ∞ 0 DC f'(x) 3 ∞
Bất phương trình f (x) < ln x + m đúng với mọi 1 x ;1 ∈ khi và chỉ khi 3 A. 1 m f > + ln 3.
B. m < f ( ) 1 . C. 1 m f ≥ +
ln 3. D. m ≥ f ( ) 1 . 3 3 Lời giải Chọn C
Điều kiện x > 0 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 35
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
f (x) < ln x + m 1 , x ;1 ∀ ∈ 1
⇔ m > f (x) − ln x , x ∀ ∈ ;1 . 3 3
Đặt g (x) = f (x) − ln x ⇒ ′( ) = ′( ) 1 g x f x − . N x H 1 ÓM Xét trên đoạn 1 ;1
ta có: f ′(x) ≤ 0 và − < 0 ⇒ g′(x) < 0 . 3 x T O ⇒ 1 1 ÁN
Hàm số g (x) nghịch biến trên đoạn 1;1 ⇒ g >
g ( x) , x ∀ ∈ ;1 . 3 3 3 V 1 1 1 D
Vậy m > f (x) − ln x , x
∀ ∈ ;1 ⇒ m ≥ g = f + ln 3. – 3 3 3 VDC
Câu 10. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và hàm số y = f (′x) có đồ thị như hình vẽ.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 1 9 2 − f ( 3
− x −8) ≥ x +16x − m đúng 3 2 N H với mọi x∈[ 2; − 0] : ÓM T A. 1 m ≤ f ( 2) − −14 . B. 1 40 m ≤ f ( 4) − − . O 3 3 3 ÁN C. 1 m ≥ f ( 2) − − 4 . D. 1 40 m ≥ f ( 4) − − . V 3 3 3 D Lời giải – V Chọn D DC
Bất phương trình đã cho tương đương với: 1 9 2 f ( 3
− x −8) + x +16x ≤ m đúng với mọi x ∈[ 2; − 0] 3 2 Xét hàm số 1 9 2
g(x) = f ( 3
− x −8) + x +16x với x ∈[ 2; − 0] . Ta có: 3 2
g (′x) = − f (′ 3
− x −8) + 9x +16
g (′x) = 0 ⇔ − f (′ 3
− x −8) + 9x +16 = 0 ⇔ f (′ 3
− x −8) = 9x +16 (1) Đặt t = 3
− x −8 thì phương trình (1) trở thành: f (′t) = 3 − t −8 (2)
Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của ĐTHS y = f (′t) và đường thẳng y = 3 − t −8 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 36
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D – V 4 − DC t = 4 − 3 − x −8 = 4 − x =
Từ đồ thị ta được: (2) ⇔ ⇔ ⇔ 3 t = 2 − 3 − x −8 = 2 − x = 2 − Bảng biến thiên: N H ÓM
Từ bảng biến thiên suy ra: T 1 9 O Bất phương trình 2 f ( 3
− x −8) + x +16x ≤ m đúng với mọi x ∈[ 2; − 0] khi và chỉ khi: ÁN 3 2 V 1 40 ≤ ⇔ ≥ − − D
max g(x) m m f ( 4) . [ 2 − ;0] 3 3 – V = ′ DC
Câu 11. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị của hàm số y f (x) như hình vẽ. π π
Tìm m để bất phương trình 4 f ( 5sin x) ≥ 5sin 2x +10x + m thỏa mãn x ; ∀ ∈ − ? 2 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 37
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao A. m f ( ) 1 4 1 4 10arcsin ≤ − + .
B. m ≤ f (− ) 1 4 1 + 4 −10arcsin − . 5 5 C. m f ( ) 2 4 2 4 10arcsin ≤ − + .
D. m ≤ f ( ) 2 4 2 + 4 −10arcsin . N 5 5 H ÓM Lời giải T Chọn B O
Ta có 4 f ( 5sin x) ≥ 5sin 2x +10x + m ⇔ m ≤ 4 f ( 5sin x)−5sin 2x −10x ÁN π π V
Xét hàm số g (x) = 4 f ( 5sin x)−5sin 2x −10x trên ; − ta có D 2 2 – V g′(x) = x f ′( x)− x − = x f ′( x) 2 4 5 cos . 5 sin 10cos 2 10 4 5 cos . 5 sin − 20cos x DC = ′ − 4 5 cos x f ( 5 sin x) 5 cos x π π Do x ; ∈ − nên 2
cos x = 1− sin x > 0 2 2
Khi đó g′(x) = ⇔ f ′( x) = x ⇔ f ′( x) 2 0 5 sin 5 cos 5 sin = 5 − 5sin x .
Đặt t = 5 sin x ta được f ′(t) 2 = 5 − t Xét hàm số 2
y = 5 − x có đồ thị là nửa đường tròn tâm O bán kính 5 nằm phía trên trục hoành. N H ÓM T OÁN V
Dựa vào đồ thị suy ra f ′(t) 2
= 5 − t ⇔ t ∈{ 1; − 1; } 2 D – 1 V x = arcsin − = 1 x DC 5 5 sin x = 1 − 1 5 sin x 1 x arcsin ⇔ = ⇔ = = 2 x 5 5 sin x = 2 2 x arcsin = = 3 x 5 π π
Ta có bảng biến thiên của g (x) trên ; − là: 2 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 38
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao N H ÓM T OÁN V D Ta có g ( 1 x 4 f 1 4 10arcsin = − + − − và g ( 2 x 4 f 2 4 10arcsin = − + . 3 ) ( ) 1 ) ( ) – 5 5 VDC
Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f ′(x) trục hoành và hai đường thẳng x = 1,
− x = 2 . Dựa vào đồ thị ta thấy diện tích hình (H ) lớn hơn 4. 2
Vì f (2) − f (− ) 1 = f ′
∫ (x)dx = S (H ) nên f (2) > f (− )1+ 4 1 − Do đó g ( 2 2 x 4 f 2 4 10 arcsin 4 f 1 12 10arcsin = − + > − + + > 3 ) ( ) ( ) g ( 1 x ) 5 5 π π
Vậy để m ≤ g (x) với x ; ∀ ∈ − 1
thì m ≤ g (x = 4 f 1 − + 4 −10arcsin − . 1 ) ( ) 2 2 5
Câu 12. Cho hàm số y = f (x) . Hàm số y = f ′(x) có bảng biến thiên như sau N H ÓM T OÁN V
Bất phương trình ( x ) 2x
f e < e + m nghiệm đúng với mọi x∈(ln 2;ln 4) khi và chỉ khi D –
A. m ≥ f (2) − 4 .
B. m ≥ f (2) −16 .
C. m > f (2) − 4.
D. m > f (2) −16 . VDC Lời giải Chon A Ta có ( x ) 2x
f e < e + m nghiệm đúng với mọi x∈(ln 2;ln 4) khi và chỉ khi > ( x ) 2x
m f e − e , x ∀ ∈(ln 2;ln 4). (*) Đặt x
t = e ⇒ t ∈(2;4)
Bất phương trình (*) trở thành : m > f (t) 2 − t , t ∀ ∈(2;4) Xét hàm số ( ) = ( ) 2 g t
f t − t trên (2;4)
Ta có g′(t) = f ′(t) − 2t < 0 ( do f ′(t) < 4, t ∀ ∈(2;4)) Vậy ( ) = ( ) 2 g t
f t − t nghịch biến trên (2;4)
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 39
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
Suy ra : g (t) < g (2) = f (2) − 4
Do đó để thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có m ≥ f (2) − 4 N
Câu 13. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên . Hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình dưới đây. H ÓM T OÁN V D – VDC
Bất phương trình f (x) 3 2 3
≤ x − 3x + m đúng với mọi x ∈( 1; − 3) khi và chỉ khi
A. m > 3 f (3).
B. m ≥ 3 f (3) .
C. m > 3 f (− )
1 + 4. D. m ≥ 3 f (− ) 1 + 4 . Chọn D Ta có: f (x) 3 2 3 2 3
≤ x − 3x + m ⇔ 3 f (x) − x + 3x ≤ m với mọi x ∈( 1; − 3) . Xét 3 2
g(x) = 3 f (x) − x + 3x với x ∈( 1; − 3) . Khi đó: 2 2
g (′x) = 3 f (′x) − 3x + 6x = 3 f (′x) − x + 2x . N
Nghiệm của phương trình g (′x) = 0 là hoành độ giao điểm của đồ thị y = f (′x) và parabol H 2 ÓM
y = x − 2x . T OÁN VD – VDC
Phương trình g (′x) = 0 có ba nghiệm x = 1;
− x = 3; x =1 trên đoạn [ 1; − ]3.
lim g (x) = lim 3 f (x) 3 2
− x + 3x = 3 f (− ) 1 + 4 ; x 1+ x 1+ →− →−
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 40
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao
lim g (x) = lim 3 f (x) 3 2
− x + 3x = 3 f (3) . x 3− x 3− → →
Ta có bảng biến thiên sau: N x 1 − 1 3 H
g (′x) 0 - 0 - 0 ÓM 3 f (− ) 1 + 4 T g(x) O 3 f (3) ÁN V D Bất phương trình f (x) 3 2 3
≤ x − 3x + m đúng với mọi x ∈( 1; − 3) khi và chỉ khi – V
m ≥ g (x), x ∀ ∈( 1;
− 3) ⇔ m ≥ 3 f ( 1) − + 4 . DC N H ÓM T OÁN VD – VDC
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 41
Document Outline
- HÀM-ẨN-LIÊN-QUAN-ĐẾN-BÀI-TOÁN-TƯƠNG-GIAO-ĐỒ-THỊ-P1
- A. 0. B. 1. C. 2. D. 3
- Câu 8. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên.
- Tất cả các giá trị của m để phương trìnhcó hai nghiệm phân biệt là
- Lời giải
- Chọn C
- HÀM-ẨN-LIÊN-QUAN-ĐẾN-BÀI-TOÁN-TƯƠNG-GIAO-ĐỒ-THỊ-P2
- CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN
- Lời giải
- Chọn C
- Ta có bảng biến thiên của hàm số trên đoạn
- Lời giải
- ChọnC
- Ta có đồ thị hàm số
- Lời giải
- Chọn C
- Bảng biến thiên của hàm số trên là
- Lời giải
- Chọn C
- Chọn B
- Lời giải
- Chọn D
- Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thi của hàm là
- Lời giải
- Chọn C
- Lời giải
- Chọn A
- Lời giải
- Chọn B
- Từ phương trình Đặt ta được
- Dựa vào bảng biến thiên ta có
- Lời giải
- Chọn C
- TH1:
- TH2:
- TH3:
- TH4:
- TH5:
- TH6:
- TH7:
- TH8:
- Lời giải
- Chọn C
- Lời giải
- Chọn C
- Lời giải
- Chọn D
- Từ đó ta có đồ thị của của hàm số
- Lời giải
- Chọn B
- Lời giải:
- Chọn A
- Do vậy . Chọn đáp án A
- Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm?
- Lời giải
- Chọn C
- Điều kiện:
- Sau đây là BBT của hàm số trên đoạn
- Lời giải
- Chọn C
- Xét
- Dựa vào đồ thị suy ra: (1) có 3 nghiệm phân biệt
- Lời giải
- Chọn C
- Đặt ta có phương trình
- Dựa vào đồ thị thì
- Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệma trên ?
- Lời giải
- Chọn C
- Lời giải
- Chọn C
- Số nghiệm của phương trình là
- Lời giải
- Chọn D
- Lời giải
- Chọn C
- Đặt Ta có:
- Vậy m nguyên là:
- Số nghiệm của phương trình là
- Lời giải
- Chọn C
- Lời giải
- Chọn A
- Lời giải
- Chọn D
- Lời giải
- Chọn B
- Lời giải
- Chọn B
- Ta có
- Suy ra
- Lời giải
- Chọn B
- Suy ra
- Đặt . Bất phương trình có tập nghiệm là
- Lời giải
- Chọn D
- Ta có
- Với phương trình vô nghiệm.
- Lời giải
- Chọn B
- + có hai nghiệm là
- Lời giải
- Chọn C
- Lời giải
- Chọn C
- PT (1) có ba nghiệm khác 0 và 2
- Lời giải
- Chọn B
- Lời giải
- Chọn B
- Lời giải
- Chọn C
- Từ đồ thị ta có
- Phương trình có bao nhiêu nghiệm?
- Lời giải
- Chọn A
- Lời giải
- Chọn B
- Xét
- Vì
- Lời giải
- Chọn B
- Ta có:
- Do
- Lời giải:
- Chọn B
- Từ BBT ta có
- *Cách 2: Từ đồ thị ta có
- BBT:
- Lại có nên (2) Từ (1), (2) ta có
- Lời giải
- Chọn A
- Lời giải
- Chọn B
- Lời giải
- Chọn C
- Do
- Lời giải
- Chọn B
- Ta có
- Suy ra
- Vậy ta có
- Lời giải
- HÀM-ẨN-LIÊN-QUAN-ĐẾN-BÀI-TOÁN-TƯƠNG-GIAO-ĐỒ-THỊ-P3