Các phương pháp xác định nguyên hàm – Lê Bá Bảo Toán 12

Các phương pháp xác định nguyên hàm – Lê Bá Bảo Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

54 27 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 1 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

I – TỔNG QUAN LÝ THUYẾT:

1. Nguyên hàm

a. Định nghĩa: Cho hàm số

 

xác định trên

(

là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm

số

 

được gọi là nguyên hàm của hàm số

 

trên

nếu

   

'F x f x

với mọi

xK

b. Định lí:

1) Nếu

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

trên

thì với mỗi hằng số

, hàm số

   

G x F x C

cũng là một nguyên hàm của

 

trên

2) Nếu

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

trên

thì mọi nguyên hàm của

 

trên

đều có dạng

 

F x C

, với

là một hằng số.

Do đó

 

,F x C C

là họ tất cả các nguyên hàm của

 

trên

Ký hiệu

   

df x x F x C



2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1:

 

df x x f x







và

   

d'f x x f x C



Tính chất 2:

   

ddkf x x k f x x



với

là hằng số khác

Tính chất 3:

       

d d df x g x x f x x g x x



  



  

Chú ý:

       

 

d d d d

. . ; .

f x x

f x g x x f x x g x x x

g x x









   



3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số

 

liên tục trên

đều có nguyên hàm trên

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số

sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp

 

;0u ax b a  

Nguyên hàm của hàm

số hợp

 

u u x

d0 xC



d0 uC



dx x C



du u C



NGUYÊN HÀM_CÁC PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 2 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

x x x C













 





   

ax b x ax b C







   





 





u u u C













 





lnx x C





lnx ax b C

ax b a

  





lnu u C





e x e C



ax b ax b

e x e C







e u e C



a x C





 

0, 1aa

ax b

A x C







 

0, 1aa

a u C





 

0, 1aa

dsin cosx x x C  



 

cos

sin

ax b

ax b x C



   



du usin cosuC  



dcos sinx x x C



 

sin

cos

ax b

ax b x C



  



dcos sinu u u C



tan

cos

x x C





 

tan

cos

ax b









tan

cos

u u C





cot

sin

x x C

  



 

cot

sin

ax b



  





cot

sin

u u C

  



II – PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1. Phƣơng pháp đổi biến số

Định lí 1: Nếu

   

f u du F u C



và

 

u u x

là hàm số có đạo hàm liên tục thì

 

   

 

d'f u x u x x F u x C



Hệ quả: Nếu

 

0u ax b a  

thì ta có

   

f ax b x F ax b C

   



2. Phƣơng pháp nguyên hàm từng phần

Định lí 2: Nếu hai hàm số

 

u u x

và

 

v v x

có đạo hàm liên tục trên

thì

           

d d''u x v x x u x v x u x v x x



Vì

   

' , 'v x dx dv u x dx dv

nên đẳng thức còn được viết dưới dạng:

d du v uv v u



[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 3 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

II – BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA:

Nhóm kỹ năng: MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN

Ví dụ 1: Xác định:

   

1 2 1 .x x x



3 4 2

x x x

  



 

4 3 .x x x



 

0.x 

Lời giải:

a) Ta có:

   

 

d d d

2 3 2 3

1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 .

x x x x x x x x x x x x C            

  

b) Ta có:

4 2 4 2

3 4 2 2 3

3 4 4 2ln .

x x x x x

x x x x x x C

    

        







c) Ta có, với

0x 

 

4 3 12

4 3 4 3 3 .

x x x x x x x x x x C



       







Ví dụ 2: Xác định:





 

e e x









Lời giải:

a) Ta có:

2ln 4







Nhận xét:

2 1 2 1 2

4 4 4 1 1

.16 .2

2ln4 4ln2 ln2 ln2 ln 2

x x x



   

(để phát triển đáp án trong vấn đề trắc nghiệm).

b) Ta có:

     

d d d

2 2 3 2

2 4 4 4 4 4 2 .

x x x x x x x x x x

e e x e e e x e e e x e e C          

  

c) Ta có:

 

2 4 3 5

2 2 .

x x x x

e e e e

x e e e x e C





      



Ví dụ 3: Xác định:

 

d2sin4 3cos5 1 .x x x



 

4sin 2 6cos .x x x



2sin 3 .xx



 

sin 2 cos 2 .x x x



Lời giải:

a) Ta có:

 

cos4 3sin5

2sin 4 3cos5 1 .

x x x x C      



[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 4 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

b) Ta có:

 

     

d d d

4sin 2 6cos 2 1 cos4 3 1 cos2 3cos2 2cos4 5x x x x x x x x x



       



  

3sin2 sin 4

xC   

c) Ta có:

   

4 2 2

1 cos6 1

2sin 3 2 sin 3 2 1 2cos6 cos 6

x x x x

  

    





1 1 cos12 3 cos12

1 2cos6 2cos6 .

2 2 4 4

  

     





Vậy

3 cos12 3 sin6 sin12

2sin 3 2cos6 .

4 4 4 3 48

x x x x

x x x x C



      







d) Ta có:

4 4 2

1 1 1 cos8 3 cos8

sin 2 cos 2 1 sin 4 1 . .

2 2 2 4 4

x x x



      

Vậy

 

3 cos8 3 sin8

sin 2 cos 2 .

4 4 4 32

x x x x x C



     







Ví dụ 4: Xác định:

d2sin 3 cos2 .x x x



d6sin4 sin2 .x x x



dcos5 cos2 .x x x



d8sin3 cos2 sin6 .x x x x



Lời giải:

a) Ta có:

 

cos5

2sin 3 cos2 sin sin5 cos .

x x x x x x x C     



b) Ta có:

 

3sin2 sin6

6sin 4 sin2 3 cos2 cos6 .

x x x x x x C    



c) Ta có:

 

1 sin3 sin7

cos5 cos2 cos3 cos7 .

2 6 14

x x x x x x C    



d) Ta có:

 

8sin3 cos2 sin6 4 sin sin5 sin6 4sin sin6 4sin5 sin6x x x x x x x x x x   

   

2 cos5 cos7 2 cos cos11 2cos 2cos5 2cos7 2cos11x x x x x x x x       

Vậy

 

dd8sin3 cos2 sin6 2cos 2cos5 2cos7 2cos11x x x x x x x x x   



2sin 5 2sin7 2sin11

2sin .

5 7 11

x x x

xC    

Bài tập tự luyện: Xác định các nguyên hàm sau:

   

3 1 2 1 .x x x



7 2 5

x x x

  



[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 5 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

 

4.x x x



 

0.x 





 

e e x











 

d3sin2 2cos7 1 .x x x



 

2sin 2 4cos 4 .x x x



6sin 2 .xx



10)

 

sin cos .x x x



11)

d8sin3 cos6 .x x x



12)

d10sin2 sin8 .x x x



13)

d4cos5 cos3 .x x x



14)

d16sin2 cos3 sin6 .x x x x



Nhóm kỹ năng: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ PHÂN THỨC

Nội dung:

Để tìm nguyên hàm của hàm số

()

, trong đó

( ), ( )P x Q x

là các đa thức, ta thực hiện như

- Nếu bậc của

()Px

không nhỏ hơn bậc của

()Qx

, thì ta tách phần nguyên ra, tức là biểu

biễn:

()

( ) ( )

Q x Q x



, trong đó

()Mx

là đa thức, và

()

là phân thức có bậc của

()Px

nhỏ hơn bậc của

()Qx

- Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẩu, thì ta phân tích mẫu thành tích các nhị thức bậc

nhất và các tam thức bậc hai có biệt số âm:

( ) ( ) ...( ) 4 0

Q x x a x px q p q       

- Phân tích phân thức hữu tỉ thành các phân thức đơn giản:

 

   

 

1 1 2 2

()

... ...

...

x a x px q

B x C

B x C B x C

x px q

x px q x px q



    



  







  



   

- Đồng nhất hai vế để tìm các hệ số

1 2 1

, ,..., , ,..., .

A A A B B

Cuối cùng việc tìm nguyên hàm của các phân thức hữu tỉ được đưa về nguyên hàm của đa

thức và các phân thức hữu tỉ đơn giản.

LUYỆN TẬP:

Ví dụ 1: Xác định các nguyên hàm sau:

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 6 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

a) d b) d

3 1 4 2

4 2 1

x x x

I x I x

  







Lời giải

a) Ta có:

d d d d

3 1 3( 4) 13 1

3 13 3 13ln 4

4 4 4

I x x x x x x C

x x x

  

       

  

   

b) Biểu diễn:

4 3 2

4 2 47 1 1

2 1 2 6 12 24 24 2 1

x x x x x



    



Lúc đó:

4 3 2 4 3 2

4 2 31 63 1 31 63

. ln 2 1 .

2 1 2 4 8 16 16 2 1 8 12 16 16 32

x x x x x x x x x

I x x x C





            









Ví dụ 2: Xác định các nguyên hàm sau:

a) d b) d c) d

1 2 3

2 2 2

3 1 1

4 5 6 2 3 1

I x I x I x

x x x x x

  

    

  

Lời giải

a) Ta có:

d d d d

3 1 3 ( 2) ( 2) 3 1 1 3 2

3 ln

( 2)( 2) 4 ( 2)( 2) 4 2 2 4 2

x x x

I x x x x C

x x x x x x x

     

      



      





   

b) Tương tự:

d d d d

1 1 ( 2) ( 3) 1 1 3

( 2)( 3) ( 2)( 3) 3 2 2

x x x

I x x x x C

x x x x x x x

     

      



      





   

c) Phân tích:

 

2 3 1













Hướng 1:

 

d d d

2 3 1

2 1 1

I x x x

x x x x





  









  



   



   

   



   



  

1 1 1 2 2

ln ln

1 2 1

x C C







     















Hướng 2:

     

d d d

1 1 (2 1) 2( 1)

1 2 1 1 2 1

2 3 1

I x x x

x x x x

  

  

   



  

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 7 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

1 2 1

ln 1 ln 2 1 ln

1 2 1 2 1

x x x C C

x x x

  

        



  





Nhận xét: Hướng 2 giải quyết tốt và gọn gàng hơn.

Ví dụ 3: Xác định các nguyên hàm sau:

a) d b d c) d

2 2 2

2 1 2

)

5 4 5 6 3 2

x x x x x

x x x

x x x x x x

  

     

  

Lời giải

a) Phân tích:

  

2 1 2 1

x x A B



  





     

(*)

2 1 ( 4) ( 1)

1 4 1 4

x A x B x

x x x x

   



   

Cách 1:

  

   

  

(*)

1 4 1 4

A B x A B

x x x x

   





   

   

2 1 4

4 1 3

A B A

x A B x A B

A B B

     

        



   



Cách 2: Từ

(*)

đồng nhất ta có:

2 1 ( 4) ( 1)x A x B x    

(**)

Thay

1x 

vào (**):

3 3 1.AA    

Thay

4x 

vào (**):

9 3 3.BB  

Lúc đó:

d d d

2 1 1 3 2 1 1 1

3 ln 1 3ln 4

1 4 1 4

5 4 5 4

x x x x x C

x x x x

  

           

   

   

  

Cách 3:

  

 

  

d d d d

2 1 3

2 1 2 1 2 3

1 4 1 4 1 4

x x x x

x x x x x x







   





     





   

Nhận xét: Cách giải 2, tỏ ra khoa học và tốt hơn cách 1.

Ví dụ 4: Xác định các nguyên hàm sau:

     

a) d b) d c d

2 2 2

1 2 3

3 2 2 5

)

1 3 1

x x x x

I x I x I x

x x x

  

  



  

  

Lời giải

a) Phân tích:

 

2 2 2

4 4 4

( 1)( 2)

x x x x x x

x x x

     







[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 8 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Sử dụng đồng nhất thức:

 

( 1)( 2) 1 2

x x A B C

x x x x x x



   

   

4 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)

( 1)( 2) ( 1)( 2)

x x A x x Bx x Cx x

x x x x x x

       

  

   

4 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)x x A x x Bx x Cx x x          

(*)

Thay

0x 

vào (*), ta được:

4 2 2AA  

Thay

1x 

vào (*), ta được:

44BB    

Thay

2x 

vào (*), ta được:

6 2 3CC   

Lúc đó:

4 2 4 3

2ln 4ln 1 3ln 2

I x x x x x C

x x x

    

         











b) Phân tích:

   

 

( 1)

x A B C



   







       

 

(*)

1 ( 1)( 3) ( 3) ( 1)

1 3 1 3

1 ( 1)( 3) ( 3) ( 1)

x A x x B x C x

x x x x

x A x x B x C x x

      

  

   

         

Thay

1x 

vào (*) ta được:

2 4 .

BB  

Thay

3x 

vào (*) ta được:

10 16 .

CC  

Thay

0x 

vào (*) ta được:

3 1 3

1 3 3 .

A B C A



      

Lúc đó:

   

1 3 1 1 5

ln 1 . ln 3

1 3 8 2 1 8

( 1)

I dx x x x C

x x x







         



  











c) Phân tích:

 

5 2 3 4 5

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

x A B C D E

x x x x

    



   



Sử dụng phương pháp đồng nhất thức như trên.

Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau:

1) d 2) d 3) d

2 2 2

2 2 1 2

4 9 5 4 3 2

x x x

x x x x x



    

  

        

4) d 5) d 6) d

2 6 2 6 2

2 3 1 1 2 4 3

x x x x

x x x

x x x x x x x

   

     

  

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 9 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

 

   

7) d 8) d 9) d

3 3 2

2 2 3

1 5 17 18 5

x x x x x

x x x

   







  

 

   

10) d d 12) d

3 2 5

2 2 4 2

2 1 1

11)

8 16

x x x x

x x x

  





  

Nhóm kỹ năng: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

DẠNG 1:

cos

sin

()

I f x x





, trong đó

()fx

: đa thức.

Phương pháp: Đặt

d d

d sin d chän: d

( ) ( )

sin

u f x u f x x

v x x v x x



  













Ví dụ 1: Xác định:

 

d1 sin2 .x x x



 

cos .x x x x



Lời giải

a) Đặt

d d chän

cos2

sin 2

u x u x

x x v v

    





   





Ta có:

 

   

1 cos 2 1 cos2

cos2 sin2

1 sin 2 .

2 2 2 4

x x x x

x x x x C



       



Đặt

 

d d chän

cos sin

u x x u x x

x x v v x



    





  





. Ta có:

   

 

cos sin 2 1 sin .x x x x x x x x x x    



Xét

 

d2 1 sin .x x x



Đặt

d d chän

2 1 2

sin cos

u x u x

x x v v x

    



   



Ta có:

     

dd2 1 sin 2 1 cos 2cos 2 1 cos 2sinx x x x x x x x x x C         



Vậy

   

 

cos sin 2 1 cos 2sin '.x x x x x x x x x x C      



DẠNG 2:

d( ).

I f x e x



, trong đó

()fx

: đa thức.

Phương pháp: Đặt

d d

d d chän: d

( ) ( )

u f x u f x x

v e x v e x



  













Ví dụ 2: Xác định:

 

x e x



 

x x e x



[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 10 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Lời giải

a) Đặt

d d chän

u x u x

e x v v



   





  





Ta có:

 

   

2 2 2 4

x e x e

x e x dx C



     



b) Đặt

 

d d chän

4 2 4

u x x u x x

e x v v e



    





  





. Ta có:

   

 

4 4 2 4

x x x

x x e x x x e x e x    



Xét

 

d24

x e x



. Đặt

d d chän

2 4 2

u x du x

e x v v e



   





  





Ta có:

     

dd2 4 2 4 2 2 4 2 .

x x x x x

x e x x e e x x e e C       



Vậy

   

 

4 4 2 4 2 '.

x x x x

x x e x x x e x e e C      



DẠNG 3:

()

log

I f x x





, trong đó

()fx

: đa thức.

Phương pháp: Đặt

d d

d d chän: d

( ) ( )

u x u x

v f x x v f x x



  













Ví dụ 3: Xác định:

 

d2 1 ln .x x x



 

ln .x x x x



Lời giải

a) Đặt

 

d d chän

u x du x

x x v v x x



  







    



Ta có:

 

2 1 ln ln 1 ln

x x x x x x x x x x x x C         



a) Đặt

 

d d chän

u x x u x

x x v v



   









  





Ta có:

   

 

ln ln

x x x x x x x



   





   

2 2 2

1 1 1

ln 2 1 ln ln 1 .

2 2 1 2 2 2 2

x x x x

x x x x x x x C



           









[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 11 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Bài tập tƣơng tự:

1) Xác định các nguyên hàm sau:

sinI x x x



cos2I x x x



2 cosI x x x



 

2 1 cosI x x x



 

1 sinI x x x



 

cos sinI x x x x



 

sin cosI x x x x



cos

sinxx







sin

1 cos









 

2cos 1I x x x



sin

cos





sinI x x x



sinI x x



tanI x x x



 

2 3 cosI x x x x  



cos





 

5 sinI x x x



cos2 1







2) Xác định các nguyên hàm sau:

I xe x



I x e x



 

I x e x



I e x



I x e x



I x x



 

I x x e x  



cos

.sin2

I e x x



I e x







3) Xác định các nguyên hàm sau:

lnI x x



lnI x x x



lnI x x



ln xx





 

log 3I x x



lgI x x



 

2 ln 1I x x x



 

ln 1I x x x



 

lnI x x x



 

ln 1I x x



ln d

I x x x



lnI x x x



ln x





 

ln ln x





 

1 lnI x x



 







 

ln 1I x x x



I x x













4) Xác định các nguyên hàm sau:

cos

I e x x



 

cos lnI x x



sin .ln(tan )I x x x



5 sin2

I e x x



.sin5

I e x x



 

cos .ln 1 cosI x x x



[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 12 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

sin

I e x x



 

sin ln cosI x x x



 

lnI x x x



 

cos sinI x x x x



sin cosI x x x x



( ln )I x x x



Nhóm kỹ năng: ĐỔI BIẾN

Ví dụ 1: Xác định a)

dtan .A x x



dcotB x x



Lời giải

sin

tan

cos

A x x x





Đặt

ddcos sint x t x x   

. Khi đó:

ln ln cos

A t C x C

       



cos

cot

sin

B x x x





Đặt

ddsin cost x t x x  

. Khi đó:

ln ln sin

A t C x C

    



Ví dụ 2: Xác định nguyên hàm của hàm số

 

trong các trường hợp sau:

 

1 cos

sin .

f x e x





 

sin cos .f x x x

Lời giải

 

1 cos

sin .

I f x x e x x







Đặt

dd1 cos sin .t x t x x    

Khi đó:

1 cos

t t x

I e t e C e C



       



 

d d d

3 5 2 5

sin cos sin 1 cos cos .I f x x x x x x x x x   

  

Đặt

ddcos sin .t x t x x   

Khi đó:

   

8 6 8 6

2 5 7 5

cos cos

1 C .

8 6 8 6

t t x x

I t t dt t t dt C          



Ví dụ 3: Xác định các nguyên hàm sau:

9 12

















Lời giải

 

3 2 3 2

3 3 4

9 12

2 5 2 5

A x x

x x x x





   



Đặt

 

3 2 2

2 5 3 4 .t x x t x x x     

Khi đó:

3ln 3ln 2 5 .

A t C x x C

      



[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 13 CLB Giáo viên trẻ TP Huế









Đặt

1 1 2 .t x t x t t x      

Khi đó:

 

2 2 2 2 2

B t t t t t C





     







 

2 1 5

2 1 2 .

x C C



  

     





Ví dụ 4: Xác định các nguyên hàm sau:

 

ln 1







 

ln ln ln

x x x





Lời giải

 

ln 1







Đặt

dln 1 .

t x t

   

Khi đó:

 

ln 1

A t t C C



    



 

ln ln ln

x x x





Đặt

 

ln ln .

t x t x

  

Khi đó:

 

ln ln ln ln .

I t C x C

    



Ví dụ 5: Xác định các nguyên hàm sau:









 

sin cos









Lời giải









Đặt

 

d11

t e dt e x



    

. Khi đó:

ln ln 1 .

I t C e C



        



 

sin cos









Đặt

 

ddsin cos cos sint x x t x x x    

. Khi đó:

sin cos

J C C

t x x

      





Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau:

1 cot

sin







1 3ln ln







[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 14 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

 

cos ln





cos2

sin cos .

G e x x x



sin cos .C x x x









d .









sin2

4 cos







1.E x x x



10)

cos .K x x



Nhóm kỹ năng: DÙNG VI PHÂN

Ví dụ 1: Xác định a)

dtan .I x x



dcot .I x x



Lời giải

a) Ta có:

 

cos

sin

tan ln cos .

cos cos

I x x x x C

      

  

b) Ta có:

 

sin

cos

cot ln sin .

sin sin

I x x x x C

    

  

Ví dụ 2: Xác định a)

sin









. b)

 

sin

cos cos

I e x x x



Lời giải

a) Ta có:

 

d sin

sin cos

d d sin

sin sin sin

1 2 2 1 1

ln 1 2 .

1 2 1 2 2 1 2 2

I x x x C

x x x





     

  

  

Nhận xét: So với phép đổi biến

sin12tx

thì cách dùng vi phân tỏ ra khoa học hơn.

b) Ta có:

 

d d d d d

sin sin 2 sin

1 cos2

cos cos cos cos sin

x x x

I e x x x e x x x x e x x



     

    

sin

sin2 .

e x x C   

Ví dụ 3: Xác định a)







. b)

 







Lời giải

a) Dùng kỹ thuật “thêm, bớt”, ta phân tích:

   

d d d d

1 1 1 1

x x x

x x x x

e e e

I x x x x

e e e e

  

     

   

     

ln 1 .

x e C   

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 15 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

b) Ta có:

 

   

 

1 1 .

I e e C C







       







Ví dụ 4: Xác định a)







. b)

2 3 1







Lời giải

a) Dùng kỹ thuật “thêm, bớt”, ta phân tích:

   

. d d

d . d d

2 2 2 2 2

1 1 1

1 1 1 1 1

x x x x

x x x x x x x

I x x x x

x x x x x

  

      

    

      

ln 1 .

xC   

b) Phân tích:

 

2 2 2 2

2 3 1 '

7 3 7 9 1

2 3 2 3 . .

2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1

x x x x x x x x





      

       

 

   

 

2 3 1 2 3 1

2 1 2 1

7 9 7 9 1 2

2 3 . . 2 3 .

4 4 ( 1)(2 1) 4 4 1 2 1

2 3 1 2 3 1

x x x x



   

  





        



   

   



Suy ra:

 

2 3 1

7 9 1 2

2 3 .

4 4 1 2 1

2 3 1

I x x









    

















 

d d

2 3 1

7 9 1 9

4 4 1 4 2 1

2 3 1

x x x





    





   

 

7 9 9

3 ln 2 3 1 ln 1 ln 2 1 .

4 4 4

x x x x x x C         

Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau:







ln ln 4













 

cos tan d

sin

I e x x x



sin

cos sin















sin cos

cos







.1I x x x



x e x e









[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 16 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

IV – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA:

Câu 1. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Nếu

 

là một nguyên hàm của

 

trên

 

;ab

và

là hằng số thì

   

df x x F x C



B. Mọi hàm số liên tục trên

 

;ab

đều có nguyên hàm trên

 

;ab

 

là họ nguyên hàm của

 

trên

       

; , ;a b F x f x x a b   

 

f x x f x



 

;x a b

Lời giải

Phương án C sai, vì

 

là một nguyên hàm của

 

trên chỉ kéo theo được

     

,;F x f x x a b  



Chọn đáp án C.

Câu 2. Khẳng định nào sau đây là sai?

d0 xC



(

là hằng số). B.

lnx x C





(

là hằng số).

x x C











(

là hằng số). D.

dx x C



(

là hằng số).

Lời giải

Ở phương án C, trường hợp





thì khẳng định trên sai



Chọn đáp án C.

Câu 3. Hàm số

 

cos



có nguyên hàm trên:

 

0; .













 

; 2 .











Lời giải

Ta có: Vì

 

cos



xác định và liên tục trên khoảng

;











nên hàm số có nguyên

hàm trên

;













Chọn đáp án B.

Câu 4. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số

 

3?x 

 





 

x 

 

2016.

x 



 

x 



Lời giải

Ta có:

 

   

3 1 3

x x x







     







Chọn đáp án A.

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 17 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Câu 5. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn

lại?

sin2x

và

cos .x

cos2x

và

sin .x

và



tan 2x

và

cos 2x

Lời giải

Vì

 

tan2 '

cos 2



nên phương án D đúng



Chọn đáp án D.

Câu 6. Nguyên hàm

 

của hàm số

 

sin



biết











là

 

.F x x

 

cot .

F x x



  

 

cot .F x x

 

sin 1.

F x x



  

Lời giải

Ta có:

 

cot

sin

F x x x C

   



cot

2 2 2 2 2

F C C

    



      





. Vậy

 

cot

F x x



  



Chọn đáp án B.

Câu 7. Hàm số

 

thỏa mãn

 

3 1 1





Lúc đó,

 

là

 

3 1 1

F x C

  



 

1 3 1

F x C

  



 

1 3 1

F x C

  



 

1 3 1





Lời giải

Ta có:

 

   

 

d d d

2 2 2 2

3 1 1 1

3 1 1

3 1 1 3 1 1

F x x x x

x x x x





     



   



  

1 3 1

  





Chọn đáp án C.

Câu 8. Hàm số

 

biết

 

' 3 2 1F x x x  

và đồ thị

 

y F x

cắt trục tung tại điểm có tung

độ bằng

2017

là

 

2017.F x x x  

 

cos2 2016.F x x

 

2017.F x x x x   

 

2016.F x x x x   

Lời giải

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 18 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Ta có:

 

2 3 2

3 2 1F x x x x x x x C      



Đồ thị

 

y F x

cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

2017

 

0 2017F

2017C

. Vậy

 

2017F x x x x   



Chọn đáp án C.

Câu 9. Nguyên hàm của hàm số

( ) 2 1f x x

;









là

   

2 1 2 1

f x x x x C   



. B.

   

2 1 2 1

f x x x x C   



 

f x x x C   



. D.

 

f x x x C  



Lời giải

Ta có:

     

d d d

2 1 2 1 2 1

f x x x x x x    

  

 

2 1 2 1

C x x C



     



Chọn đáp án A.

Câu 10. Hàm số

 

F x e

là một nguyên hàm của hàm số

 

f x e

 

f x x e

 



 

f x x e

Lời giải

Ta có:

 

F x e x e



Chọn đáp án B.

Câu 11. Nguyên hàm của hàm số

()

sin













là

d( ) cot

f x x x C





   







. B.

( ) cot

f x x x C





   







d( ) cot

f x x x C





  







. D.

( ) cot

f x x x C





  







Lời giải

Ta có:

ddd

( ) cot

sin sin

f x x x x x C



   

      

   

   

   



   

   

  



Chọn đáp án A.

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 19 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Câu 12. Biết một nguyên hàm của hàm số

 

2sin4f x x

là hàm số

 

thỏa mãn

 

F 

Khi đó

 

là hàm số nào sau đây?

 

cos4

Fx  

. B.

 

cos4

Fx  

 

cos4

Fx

. D.

 

2cos4 2F x x

Lời giải

Ta có:

 

cos4

2sin 4

F x x x C   



. Vì

 

F 

nên

CC    

Vậy

 

cos4

Fx  



Chọn đáp án B.

Câu 13. Giá trị

để hàm số

 

3 2 2

4 2 2 1F x mx x m x    

là một nguyên hàm của hàm số

 

12 4f x x x x  

là

1m 

. B.

0m 

. C.

1m 

. D.

2m 

Lời giải

Ta có:

   

' 12 4 2F x mx x m f x    

. Đồng nhất các hệ số tương ứng ta được:

12 12







  



  





Chọn đáp án C.

Câu 14. Tính

x



ta được kết quả

  

ln 2 2 .

x x C  

ln .





ln .







ln 2 .ln 2 .

x x C  

Lời giải

Ta có:

  

d d d

1 1 1 1 1

4 2 2

x x x



  









  

 

  

ln 2 ln 2

x x C x x C       



Chọn đáp án C.

Câu 15. Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm là

 





và

 

01f 

thì

 

có giá trị bằng

ln 2.

2ln3 1.

2ln3 1.

ln 3 1.



Lời giải

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 20 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Ta có:

   

2 1 2 1

2 1 ln 2 1

x x x

x    





 

ln1 11 1

0 CCf    

 

ln 2 1 1

f x x  

Vậy

 

l11 n3

f  



Chọn đáp án D.

Câu 16. Cho hàm số

 

sin 2

y f x



. Nếu

 

là nguyên hàm của hàm số

 

và đồ thị

 

y F x

đi qua điểm









thì

 

là

 

cot 2 3





. B.

 

cot 2 3





 

cot 2 3





 

cot 2 .

F x x

Lời giải

Ta có:

 

cot 2

sin 2

F x x x C

   



Đồ thị

 

y F x

đi qua điểm









0 cot 0

12 2 6 2

F C C





       





Vậy

 

1 3 cot 2 3

cot 2

2 2 2

F x x



   



Chọn đáp án C.

Câu 17. Kết quả

ln x



là

3ln ln





C

3ln .xC

Lời giải

Ta có:

d dlnx

ln ln

x x C

  





Chọn đáp án C.

Câu 18. Tính

d( ) sinF x x x x



ta được kết quả

( ) sin cosF x x x x C  

. B.

( ) sin cosF x x x x C  

( ) sin cosF x x x x C  

. D.

( ) sin cosF x x x x C  

Lời giải

Đặt

d d du d, sin , cosu x v x x x v x     

Ta có:

d( ) cos cos cos sinF x x x x x x x x C      





Chọn đáp án B.

Câu 19. Kết quả của

 

dln 2x x x



là

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 21 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

   

ln 2 2ln 2 .

x x x C     

 

ln 2 .

  



   

ln 2 2ln 2 .

x x x C     

 

ln 2 .

x x C   

Lời giải

Đặt

 

d d du d

ln 2 , ,

u x v x x x v

     



Ta có:

   

 

d d

2ln n

xx xx





 



   

222

ln ln

1 4 1

2 2 2 2 4 ln 2

2 2 2 2

x x x x x x C



           









   

ln 2 2ln 2

x x x C      



Chọn đáp án A.

Câu 20. Giả sử

 

là nguyên hàm của hàm số

 

21f x x

. Biết đồ thị của hàm số

 

và

 

cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Lúc đó, tọa độ các giao điểm của hai đồ thị

 

và

 

là

 

0; 1

. B.

 

3; 5

. C.

 

0; 1

và

 

3; 5

. D.

 

0; 1

và

 

3;0

Lời giải

Ta có:

   

21F x x x x x C    



Phương trình hoành độ giao điểm của

 

và

 

21x x C x   

Đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung

 

11C F x x x      

Khi đó

1 2 1 3 0

x x x x x



       







Vậy có hai giao điểm là

 

0; 1

và

 

3; 5



Chọn đáp án C.

Câu 21. Nguyên hàm của hàm số

( ) 2 3f x x

là

   

2 3 2 3

f x x x x C   



. B.

   

2 3 2 3

f x x x x C    



   

23f x x x C



   



. D.

   

2 3 2 3

f x x x x C    



Lời giải

Ta có:

 

23f x x x x



[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 22 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Đặt

d d d d

2 3 2 3 3 3t x t x t t x x t t          

Khi đó

   

2 3 2 3

f x x t t t C x x C         





Chọn đáp án D.

Câu 22. Nguyên hàm của hàm số

sin 3

()

cos3 1





là

d( ) ln cos3 1f x x x C  



. B.

( ) ln cos3 1

f x x x C   



( ) ln cos 3 1

f x x x C  



. D.

d( ) ln cos3 1f x x x C   



Lời giải

Ta có:

 

sin3

cos3 1

f x x x







Đặt

d d d d

cos3 1 3sin sin

t x t x x x x t       

Khi đó

 

1 1 1

ln ln cos3 1

3 3 3

f x x t C x C

        





Chọn đáp án B.

Câu 23. Nguyên hàm của hàm số

()





là

 

d ln 2f x x x C  



. B.

 

d 2 2ln 2f x x x x C   



 

d 2 2ln 2f x x x x C   



. D.

 

d 2 2ln 2f x x x C   



Lời giải

Ta có:

 

f x x x







Đặt

   

2 2 2 2 2t x x t x t x t t          

Khi đó

 

2 2 ln

f x x t t t C





     





  





 

2 2 ln 2 2 2ln 2x x C x x C        



Chọn đáp án C.

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 23 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Câu 24. Nguyên hàm của hàm số

()







là

   

10 1

f x x x x C   



. B.

   

d 10 1f x x x x C   



 

2 1 1

f x x C









. D.

 

f x x x C

   





Lời giải

Ta có:

 

f x x x









Đặt

d d d d

1 1 2 2t x t x t t x x t t        

Khi đó

 

d d d

.2 2 2 2 2

f x x t t t t t t C

  

     





  

   

1 1 4 1 10 1

x x x C x x C         



Chọn đáp án A.

Câu 25. Nguyên hàm của hàm số

 

cos

( ) cot sin

f x e x x

là

cos

( ) sin

f x x e x C  



. B.

cos

( ) sin

f x x e x C  



cos

( ) sin

f x x e x C  



. D.

cos

( ) sin

f x x e x C  



Lời giải

Ta có

 

d d d

cos cos

( ) cot sin sin cos

f x e x x x e x x x x   

   

cos cos

cos cos sin

e x x x e x C      





Chọn đáp án C.

V – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN:

Câu 1. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai (đánh dấu X vào ô thích hợp)?

Các cặp hàm số sau đây đều là nguyên hàm của cùng một hàm số:

Đúng Sai

 





ln 1f x x x  

và

 





 

sin

cos

f x e x

và

 

sinx

g x e

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 24 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

 

sinfx



và

 

singx



 







và

 

22g x x x  

 

f x x e

và

   

g x x e

Câu 2. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Nếu

 

là một nguyên hàm của

 

trên

 

;ab

và

là hằng số thì

   

df x x F x C



B. Mọi hàm số liên tục trên

 

;ab

đều có nguyên hàm trên

 

;ab

 

là một nguyên hàm của

 

trên

       

; , ;a b F x f x x a b   

 

f x x f x



 

;x a b

Câu 3. Khẳng định nào sau đây là sai?

       

ddf x x F x C f t t F t C    



   

f x x f x









       

ddf x x F x C f u x F u C    



   

ddkf x x k f x x



(

là hằng số).

Câu 4. Khẳng định nào sau đây là sai?

       

d d df x g x x f x x g x x



  



  

. B.

     

d d ;kf x x k f x x k





 

f x x f x



. D.

       

d d d..f x g x x f x x g x x







  

Câu 5. Khẳng định nào sau đây là sai?

d0 xC



(

là hằng số). B.

lnx x C





(

là hằng số).

x x C











(

là hằng số). D.

dx x C



(

là hằng số).

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 25 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Câu 6. Hàm số

 

có nguyên hàm trên

nếu:

 

xác định trên

 

có giá trị lớn nhất trên

 

có giá trị nhỏ nhất trên

 

liên tục trên

Câu 7. Hàm số

 

cos



có nguyên hàm trên:

 

0; .













 

; 2 .











Câu 8. Nếu

 

liên tục trên khoảng D thì:

 

không có nguyên hàm trên D. B.

 

có đúng một nguyên hàm trên D.

 

có hai nguyên hàm trên D. D.

 

có vô số nguyên hàm trên D.

Câu 9. Hàm số

 

f x x





có nguyên hàm trên:

 

;. 

 

0; .

 

;0 .



0; . 



Câu 10. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số

 

3?x 

 





 

x 

 

2016.

x 



 

x 



Câu 11. Cho hàm số

 

xác định trên

Hàm số

 

được gọi là nguyên hàm của hàm số

 

trên

nếu với mọi

,xK

ta có:

   

'.F x f x C

   

'.F x f x

   

'.f x F x

   

'.f x F x C

Câu 12. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn

lại?

sin2x

và

cos .x

sin2x

và

sin .x

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 26 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

và



tan x

và

cos x

Câu 13. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn

lại?

sin2x

và

cos .x

cos2x

và

sin .x

và



tan 2x

và

cos x

Câu 14. Nguyên hàm của hàm số

 

32f x x x  

là hàm số nào trong các hàm số sau?

 

33F x x x C  

. B.

 

F x x x C   

 

F x x C   

. D.

 

F x x C   

Câu 15. Hàm số

 

5 4 2F x x x x C   

là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

 

5 4 2f x x x  

. B.

 

15 8 2f x x x  

 

2 3 2

4 3 2

x x x

fx  

. D.

 

5 4 2f x x x  

Câu 16. Nguyên hàm của hàm số:

3y x x

  

là

 

5ln

F x x x C   

. B.

 

5ln

F x x x C   

 

5ln

F x x x C   

. D.

 

23F x x C

   

Câu 17. Nguyên hàm của hàm số

    

12f x x x  

là

 

23F x x C  

. B.

 

F x x x C   

 

F x x x C   

. D.

 

F x x x C   

Câu 18. Nguyên hàm

 

của hàm số

 

sin



biết











là

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 27 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

 

.F x x

 

cot .

F x x



  

 

cot .F x x

 

sin 1.

F x x



  

Câu 19. Nguyên hàm của hàm số

 

sin



trên khoảng

 



là

cot .xC

cot .xC

2cos

sin



2cos

sin



Câu 20. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai (đánh dấu X vào ô thích hợp)?

Các cặp hàm số sau đây đều là nguyên hàm của cùng một hàm số:

Đúng Sai

 







và

 







 

5 2sinF x x

và

 

1 cos2 .G x x

   

5F x x

và

 

10 7.G x x x  

 

cos



và

 

tan 8.G x x  

Câu 21. Hàm số

 

lnF x x

là nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên

 

0; ?



Câu 22. Nguyên hàm

 

của hàm số

 

2 2 7

  



là hàm số nào sau đây?

 

ln 5 2 2lnF x x x C

     

. B.

 

ln 5 2 2lnF x x x C

     

 

ln 5 2 2lnF x x x C

    

. D.

 

ln 5 2 2lnF x x x C

     

Câu 23. Hàm số

 

thỏa mãn

 

3 1 1





Lúc đó,

 

là

 

3 1 1

F x C

  



 

1 3 1

F x C

  



[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 28 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

 

1 3 1

F x C

  



 

1 3 1





Câu 24. Hàm số

 

biết

 

' 3 2 1F x x x  

và đồ thị

 

y F x

cắt trục tung tại điểm có tung

độ bằng

2017

là

 

2017.F x x x  

 

cos2 2016.F x x

 

2017.F x x x x   

 

2016.F x x x x   

Câu 25. Nguyên hàm của hàm số

( ) sin4f x x

là

( ) cos4

f x x x C  



. B.

( ) cos4

f x x x C



d( ) cos4f x x x C



. D.

d( ) cos4f x x x C  



Câu 26. Nguyên hàm của hàm số

( ) cos 2

f x x











là

( ) sin 2

f x x x C





  







. B.

d( ) sin 2

f x x x C





  







( ) sin 2

f x x x C





   







. D.

( ) sin 2

f x x x C





  







Câu 27. Hàm số

 

F x e

là một nguyên hàm của hàm số

 

f x e

 

f x x e

 



 

f x x e

Câu 28. Nguyên hàm của hàm số

1a)

( tnfx



là

 

d tan

f x x C



. B.

 

d 6 tan

f x x C



 

tan

f x x C



. D.

 

d 6tan

f x x C  



Câu 29. Biết

   

d .f v u F v C



Khẳng định nào sau đây đúng?

   

d4 3 4 3 .f x x F x C   



   

d4 3 4 3 .f x x F x C   



[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 29 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

   

4 3 4 3 .

f x x F x C   



   

d4 3 4 4 3 .f x x F x C   



Câu 30. Hàm số

 

,Fx

thỏa mãn điều kiện

 

'F x x



là

 

1.F x C

  

 

5ln .

F x x C  

 

5ln .

F x x C  

 

5ln .

F x x

Câu 31. Nguyên hàm của hàm số

()

sin













là

d( ) cot

f x x x C





   







. B.

( ) cot

f x x x C





   







d( ) cot

f x x x C





  







. D.

( ) cot

f x x x C





  







Câu 32. Biết một nguyên hàm của hàm số

 

2sin4f x x

là hàm số

 

thỏa mãn

 

F 

Khi đó

 

là hàm số nào sau đây?

 

cos4

Fx  

. B.

 

cos4

Fx  

 

cos4

Fx

. D.

 

2cos4 2F x x

Câu 33. Nguyên hàm của hàm số

( ) sin cosf x x x

là

d( ) sin2f x x x C



. B.

sin2

()

f x x C  



d( ) 2sin2f x x x C



. D.

sin2

()

f x x C



Câu 34. Nguyên hàm của hàm số

( ) 2sin cos3f x x x

là

cos4 cos2

( ) .

f x x C  



cos4 cos2

()

f x x C   



cos4 cos2

()

f x x C  



. D.

cos4 cos2

()

f x x C   



[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 30 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Câu 35. Nguyên hàm của hàm số

( ) 4sin2 cosf x x x

là

2cos3

( ) 2cos .

f x x x C   



2cos3

( ) 2cos .

f x x x C   



2cos3

( ) 2cos .

f x x x C  



2cos3

( ) 2cos .

f x x x C  



Câu 36. Nguyên hàm của hàm số

( ) 2sin3 sinf x x x

là

sin4 sin 2

( ) .

f x x C   



sin4 sin 2

( ) .

f x x C   



sin4 sin 2

( ) .

f x x C  



sin4 sin2

( ) .

f x x C  



Câu 37. Nguyên hàm của hàm số

( ) 4cos 3 cos2f x x x

là

2sin 5

( ) 2sin .

f x x x C   



2sin 5

( ) 2sin .

f x x x C  



2sin 5

( ) 2sin .

f x x x C  



2sin 5

( ) 2 sin .

f x x x C   



Câu 38. Nguyên hàm của hàm số

( ) sin cosf x x x

là

3 sin 4

()

4 16

f x x x C  



. B.

3 sin 4

()

4 16

f x x x C   



3 sin4

()

4 16

f x x x C  



. D.

3 sin4

()

4 16

f x x x C   



Câu 39. Nguyên hàm của hàm số

( ) sin cosf x x x

là

5 3sin 4

()

f x x x C  



. B.

5 3sin4

()

8 32

f x x x C  



5 3sin 4

()

8 32

f x x x C  



. D.

5 3sin4

()

f x x x C  



Câu 40. Nguyên hàm của hàm số

4 4 6 6

( ) sin cos sin cosf x x x x x   

là

1 sin4

()

4 16

f x x C  



. B.

1 sin 4

()

4 16

f x x x C  



1 sin4

()

4 16

f x x x C  



. D.

1 sin4

()

4 16

f x x x C  



[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 31 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Câu 41. Giá trị

để hàm số

 

3 2 2

4 2 2 1F x mx x m x    

là một nguyên hàm của hàm số

 

12 4f x x x x  

là

1m 

. B.

0m 

. C.

1m 

. D.

2m 

Câu 42. Nguyên hàm của hàm số

( ) sin .cosf x x x

là

sin

()

f x x C



. B.

sin

()

f x x C  



sin

()

f x x C



. D.

sin

()

f x x C  



Câu 43. Nguyên hàm của hàm số

()

f x e e





là

 

f x x e e C



  



. B.

 

f x x e e C



   



 

f x x e e C



  



. D.

 

f x x e e C



  



Câu 44. Cho hàm số

 

f x xe

. Giá trị

,ab

để

   

F x ax b e

là một nguyên hàm của hàm

số

 

là

1; 1.ab

1; 1.ab  

1; 1.ab  

1; 1.ab   

Câu 45. Nguyên hàm của hàm số

( ) 2 .5





là

 

5 ln 2 ln 5

f x x C













. B.

 

2 ln 2 ln 5

f x x C













 

5 ln 5 ln 2

f x x C













. D.

 

5 ln 2 ln 5

f x x C













Câu 46. Cho hàm số

 

thỏa mãn các điều kiện

 

' 2 cos2f x x

và











Khẳng

định nào sau đây sai?

 

2 sin 2 .

f x x x



  

 

2 sin2 .f x x x



  

 

0.f















Câu 47. Nguyên hàm của hàm số

 

( ) 2

f x e e





là

( ) 2

F x e x C  

. B.

( ) 2 ln

x x x

F x e e e C  

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 32 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

( ) 2

F x e C

  

. D.

( ) 2

F x e x C  

Câu 48. Nguyên hàm của hàm số

 

()

f x e e





là

()

F x C







. B.

( ) 2

F x e e x C



   

( ) 2

F x e e x C



   

. D.

()

F x x C



   

Câu 49. Tính

x 



ta được kết quả

ln 2 1 .xC  

 





ln 2 1



ln 2 1 .xC

Câu 50. Tính

x



ta được kết quả

3ln 1 3 .xC

 





2ln 1 3 .xC  

2ln 1 3 .xC

Câu 51. Tính





ta được kết quả

2 ln 1 .x x C  

2 ln 1 .x x C  

2 ln 1 .xC  

 

2 1 ln 1 .x x C  

Câu 52. Tính







ta được kết quả

4 6ln 1 .x x C  

4 6ln 1 .x x C  

4 3ln 1 .x x C  

4 ln 1 .x x C  

Câu 53. Tính







ta được kết quả

4 10ln 2 .x x C  

4 10ln 2 .x x C   

4 10ln 2 .x x C  

4 ln 2 .x x C  

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 33 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Câu 54. Biết một nguyên hàm của hàm số

 





là hàm số

 

thỏa mãn

 

20F 

Khi đó

 

là hàm số nào sau đây?

 

ln 2 1 ln 3.F x x  

 

ln 2 1 ln3.F x x  

 

2ln 2 1 ln3.F x x  

 

ln 2 1

ln 3.





Câu 55. Biết một nguyên hàm của hàm số

 







là hàm số

 

thỏa mãn

 

14F 

Khi đó

 

là hàm số nào sau đây?

 

2 5ln 1 8.F x x x    

 

2 5ln 1 8.F x x x    

 

2 5ln 1 8.F x x x   

 

2 5ln 1 8F x x x   

Câu 56. Tính





ta được kết quả

2ln 1 .

x x C   

ln 1 .

x x C   

2ln 1 .

x x C   

ln 1 .

x x C   

Câu 57. Tính

x 



ta được kết quả

  

ln 1 1 .

x x C  

ln .





ln .





ln 1 .ln 1 .

x x C  

Câu 58. Tính

xx



ta được kết quả

  

ln 1 3 .

x x C  

ln .







ln .







ln 1 .ln 3 .

x x C  

Câu 59. Tính

x



ta được kết quả

  

ln 2 2 .

x x C  

ln .





[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 34 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

ln .







ln 2 .ln 2 .

x x C  

Câu 60. Tính





ta được kết quả

  

2ln 1 2 .x x x C   

2ln .







2ln .







2ln 1 ln 2 .x x x C    

Câu 61. Tính

xx



ta được kết quả









2ln 2 1 .x x C  

 







Câu 62. Tính







ta được kết quả









2ln 4 4 .x x C   

 

2 2 4







Câu 63. Tính

xx



ta được kết quả

2ln 1 .

  



2ln 1 .

  



ln 1 .

  



2ln 1 .

  



Câu 64. Tính

2 4 5





ta được kết quả

















Câu 65. Tính

 

x 



ta được kết quả

 

2 2 1





 





[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 35 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

 



 

2 2 1



Câu 66. Biết một nguyên hàm của hàm số

 







là hàm số

 

thỏa mãn

 

21F 

Khi đó

 

là hàm số nào sau đây?

 

6 6ln 1 .F x x x x    

 

6 6ln 1 17.F x x x x     

 

6 6ln 1 17.F x x x x     

 

6 ln 1 17.F x x x x     

Câu 67. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số

 







 







 







 







 







Câu 68. Hàm số

 

7 tan

F x e x

là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

 

cos

f x e











. B.

 

cos

f x e



 

7 tan 1

f x e x  

. D.

 

cos

f x e









Câu 69. Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm là

 





và

 

01f 

thì

 

có giá trị bằng

ln 2.

2ln3 1.

2ln2 1.

2ln3 1.

Câu 70. Nguyên hàm của hàm số

()

f x e





là

 

f x x e C







. B.

 

31x

f x x e C







 

f x x e C







. D.

 

f x x e C







Câu 71. Nguyên hàm của hàm số

()





là

 

d 41f x x x C  



. B.

 

d 2 4 1f x x x C  



 

f x x C







. D.

 

d 4 4 1f x x x C   



Câu 72. Hàm số

 

thỏa mãn

 

cos

4 sin





là

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 36 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

 

sin

4 cos

f x C





 

sin

4 sin

f x C





 

4 cos

f x C





 

4 sin

f x C

  



Câu 73. Nguyên hàm của hàm số

()





là

 

d 2f x x x C   



. B.

 

d 22f x x x C   



 

d 22f x x x C  



. D.

 

d 32f x x x C   



Câu 74. Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm là

 

' 2sin2 cosf x x x

và

 

04f 

thì









có

giá trị bằng

Câu 75. Nguyên hàm của hàm số

( ) 2 5f x x

là

   

2 5 2 5

f x x x x C   



. B.

   

2 5 2 5

f x x x x C   



 

f x x x C   



. D.

 

f x x x C  



Câu 76. Nguyên hàm của hàm số

( ) 4 3f x x

là

   

4 3 4 3

f x x x x  



. B.

   

4 3 4 3

f x x x x   



   

4 3 4 3

f x x x x C    



. D.

 

f x x x C   



Câu 77. Nguyên hàm

 

của hàm số

 





biết

 

0 1,F 

là

 

2 ln 2 1

ln 2 1







 









 

2 ln 2

ln 2 1







 

1 2 1 1

ln 2 1 1 ln 2

   

  

   



   

Câu 78. Nguyên hàm của hàm số

( ) 3f x x

là

   

f x x x x C   



. B.

   

f x x x x C    



   

f x x x x  



. D.

   

f x x x C



  



[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 37 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Câu 79. Nguyên hàm của hàm số

( ) 1 3f x x

là

   

1 3 1 3

f x x x x C    



. B.

   

1 3 1 3

f x x x x C    



   

1 3 1 3

f x x x x C   



. D.

   

13f x x x C



   



Câu 80. Cho hàm số

 

sin 2

y f x



. Nếu

 

là nguyên hàm của hàm số

 

và đồ thị

 

y F x

đi qua điểm









thì

 

là

 

cot 2 3





. B.

 

cot 2 3





 

cot 2 3





 

cot 2 .

F x x

Câu 81. Nguyên hàm của hàm số

 

f x e

là

 

f x x C



 

f x x C





 

f x x C









 

f x x C



Câu 82. Hàm số

   

1 1 2016F x x x   

là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

   

1 1 C.

f x x x   

   

1 1 .

f x x x C   

   

1 1.

f x x x  

   

1 1 .f x x x C   

Câu 83. Biết một nguyên hàm của hàm số

 





là hàm số

 

thỏa mãn

 

F 

. Khi đó

 

là hàm số nào sau đây?

 

1 3 3.

F x x x   

 

1 3 3.

F x x x   

 

1 3 1.

F x x x   

 

4 1 3 .

F x x  

Câu 84. Biết

( ) 6 1F x x

là một nguyên hàm của hàm số

()





. Khi đó giá trị của

bằng

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 38 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

3

. B.

. C.

. D.

Câu 85. Tính

d( ) sinF x x x x



ta được kết quả

( ) sin cosF x x x x C  

. B.

( ) sin cosF x x x x C  

( ) sin cosF x x x x C  

. D.

( ) sin cosF x x x x C  

Câu 86. Giả sử

 

là nguyên hàm của hàm số

 

32f x x x

. Biết đồ thị của hàm số

 

và

 

cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Lúc đó, tọa độ các giao điểm của hai đồ thị

 

và

 

là

 

0; 0

. B.

 

2 2;14 10 2 ; 0;0 .

   

 

; 2 2;14 10 2 ; 2 2;14 10 2 0;0 .   

   

 

; 1 2;4 2 2 ; 1 2; 4 2 2 0;0 .   

Câu 87. Tính

lnx x x



ta được kết quả

 

2ln 2ln 1

xx x C  

. B.

 

2ln 2ln 1

xx x C  

 

2ln 2 ln 1

xx x C  

. D.

 

2ln 2ln 1

xx x C  

Câu 88. Giả sử

 

là nguyên hàm của hàm số

 

21f x x

. Biết đồ thị của hàm số

 

và

 

cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Lúc đó, tọa độ các giao điểm của hai đồ thị

 

và

 

là

 

0; 1

. B.

 

3; 5

. C.

 

0; 1

và

 

3; 5

. D.

 

0; 1

và

 

3;0

Câu 89. Tính

d( ) sin cosF x x x x x



ta được kết quả

( ) cos2 sin 2

F x x x C  

. B.

( ) sin2 cos2

F x x x C  

( ) sin 2 cos2

F x x x C  

. D.

( ) sin 2 cos 2

F x x x C



  

Câu 90. Tính

()

F x xe x



ta được kết quả

 

( ) 3 .

F x x e C  

 

( ) 3 3 .

F x x e C  

( ) .

F x e C





( ) .

F x e C





[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 39 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Câu 91. Tính

()

cos

F x x





ta được kết quả

( ) tan ln cosF x x x x C   

. B.

( ) cot ln cosF x x x x C   

( ) tan ln cosF x x x x C  

. D.

( ) cot ln cosF x x x x C   

Câu 92. Tính

( ) cosF x x x x



ta được kết quả

 

( ) 2 sin 2 cosF x x x x x C   

. B.

( ) 2 sin cos sinF x x x x x x C   

( ) sin 2 cos 2sinF x x x x x x C   

. D.

 

( ) 2 cos sinF x x x x x x C   

Câu 93. Tính

d( ) sin2F x x x x



ta được kết quả

cos2 sin2

()

x x x

F x C  

. B.

cos2 sin 2

()

x x x

F x C  

cos2 sin 2

()

x x x

F x C   

. D.

cos2 sin2

()

x x x

F x C   

Câu 94. Hàm số

( ) sin cos 2017F x x x x  

là một nguyên hàm của hàm số nào?

( ) cosf x x x

. B.

( ) sinf x x x

( ) cosf x x x

. D.

( ) sinf x x x

Câu 95. Tính

1 ln x





ta được kết quả

ln 2





1 ln( 1)

ln .



  



 

1 ln( 1) ln| | .

x x C



    

1 ln( 1)

ln 1 ln .xx





   

Câu 96. Để xác định

1x x x



theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số

phụ

1.tx

.tx

1.t x x

Câu 97. Để tính

ln x



theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ



ln .tx

 

ln .tx

 



Câu 98. Kết quả

ln x



là

3ln ln





C

3ln .xC

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 40 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Câu 99. Để tính

xe x



theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ

.tx

te

t xe

te

Câu 100. Kết quả của

xe x



là

xe C

C

eC

x e C

Câu 101. Để tính

cos x



theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ



cos .t



cos .t



Câu 102. Kết quả của

cos x



là

sin .C



sin .C



1 1 2 1

sin cos .C

  

sin .C

  

Câu 103. Để tính

sin cosx x x



theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ

cos .tx

sin .tx

cos .tx

sin cos .t x x

Câu 104. Kết quả của

sin cosx x x



là

5cos .xC

cos

C

5cos sin .x x C

cos

C

Câu 105. Kết quả của

21x x x



là

2 1 .



  







2 1 .



  







 

xC

 

x x C  

Câu 106. Để tính

cos sin







theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số

phụ

cos sin .t x x

sin cos .t x x

cos sin .t x x

cos sin .t x x

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 41 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Câu 107. Kết quả của

cos sin







là

2 cos sin .x x C  

2 cos sin .x x C

sin cos .x x C

sin cos .x x C

Câu 108. Để tính

xe x



theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, để tối ưu ta nên đặt

d d,.

u e v x x

d d,.

u x v e x

d d,.

u xe v x

d d,.

u e v x

Câu 109. Kết quả của

xe x



là

e xe C

eC

xe e C

e e C

Câu 110. Để tính

cosx xdx



theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, để tối ưu ta nên

đặt

d d, cos .u x v x x x

d d

, cos .u x v x x

d d

cos , .u x v x x

d d

cos , .u x x v x

Câu 111. Kết quả của

cosx x x



là

2 cos sin .x x x x C

2 cos sin .x x x x C

sin cos sin .x x x x x C  

sin 2 cos 2sin .x x x x x C  

Câu 112. Để tính

 

dln 2x x x



theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, để tối ưu ta

nên đặt

 

d d, ln 2 .u x v x x  

 

d dln 2 , .u x v x x  

 

d dln 2 , .u x x v x  

 

d dln 2 , .u x v x  

Câu 113. Kết quả của

 

dln 2x x x



là

   

ln 2 2ln 2 .

x x x C     

 

ln 2 .

  



   

ln 2 2ln 2 .

x x x C     

 

ln 2 .

x x C   

HẾT

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/41

| | Tải xuống

Preview text:

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
NGUYÊN HÀM_CÁC PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM
I – TỔNG QUAN LÝ THUYẾT: 1. Nguyên hàm
a. Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm
số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F'x  f x với mọi xK . b. Định lí:
1) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số
Gx  F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K .
2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x
trên K đều có dạng F x  C , với C là một hằng số.
Do đó F x  C, C  là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K . Ký hiệu f
 xdx  FxC .
2. Tính chất của nguyên hàm 
Tính chất 1:  f
 xdx  f x và f '
 xdx  f xC
Tính chất 2: kf
 xdx  k f
 xdx với k là hằng số khác 0 .
Tính chất 3:  f
 x gxdx  f 
 xdx g  xdx f x f  xdx
Chú ý:  f
 x.gxdx  f
 xd .x g  x  
dx;    dx    g x g  x . dx
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số Nguyên hàm của hàm số hợp Nguyên hàm của hàm sơ cấp
u  ax ;b a  0
số hợp u  ux 0dx  C  0du  C 
dx  x  C 
du  u  C 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 1
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG  1     1 x  1 1  d 1 x  x  C    ax  b 1 dx  . axb     u d 1 u u C   C 1 a   1  1    1    1    1 1 1 1 1
dx  ln x  C 
dx  ln ax  b  C 
du  ln u  C  x ax  b a u x axb 1 d x
e x  e  C  d axb e x  e C  ud u
e u  e  C  a x axb u x a axb 1 A a dx   C  A dx  .  C  u a a du   C  ln a a ln A ln a
a  0,a  1
a  0,a  1
a  0,a  1 cos ax  b sin d
x x   cos x  C  sin  axb   dx    C sin d
u u  cos u  C  a sin ax  b cos d
x x  sin x  C  cos  axb   dx   C cos d
u u  sinu  C  a 1 1
tan ax  b 1
dx  tan x  C  dx   C 
du  tan u  C  2 cos x 2
cos ax  b a 2 cos u 1 1
cot ax  b 1
dx   cot x  C  dx    C 
du   cot u  C  2 sin x 2
sin ax  b a 2 sin u
II – PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phƣơng pháp đổi biến số
Định lí 1: Nếu f
 udu  FuC và u  ux là hàm số có đạo hàm liên tục thì f
 uxu'xdx  FuxC 1
Hệ quả: Nếu u  ax  b a  0 thì ta có f
 axbdx  FaxbC a
2. Phƣơng pháp nguyên hàm từng phần
Định lí 2: Nếu hai hàm số u  ux và v  vx có đạo hàm liên tục trên K thì u
 xv'xdx uxvx u'
 xvxdx
Vì v'xdx  dv, u'xdx  dv nên đẳng thức còn được viết dưới dạng: d u v  uv  d v u  
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 2
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
II – BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA: Nhóm kỹ năng:
MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN
Ví dụ 1: Xác định: 4 2 2
x  3x  4x  2 a) x   1 2x   1d .x b) d . x  c)  3 4
4 x  3 x d . x x  0. x Lời giải: 4 2 x
a) Ta có: x    x  dx   2
x  x   x  dx   3 2 x  x  d 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 x 
 x  x C. 2 4 2 4 2
x  3x  4x  2  2  x 3x b) Ta có: d 3 x 
x  3x  4  dx  
 4x  2ln x     C. x  x  4 2 4 5 1 1   3 4 4x 3x 12
c) Ta có, với x  0 :  3 4 4 x  3 x d 3 4
x  4x  3x d 3 4 x    3x x  x x  C. 4 5 5   3 4
Ví dụ 2: Xác định: 2x 4x 2 e  2  e a) 2x1 4 d . x  b) x  2 x e  e  d .x c) d . x  x e Lời giải: 2x1 a) Ta có: 2x1 4 4 dx   C.  2 ln 4 2x1 2x1 2 4 4 4 x 1 x 1 Nhận xét: 4    .16 
.2 x (để phát triển đáp án trong vấn đề trắc nghiệm). 2 ln 4 4 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 3x 2 b) Ta có: x   x   d x    x 2x  
d   x 2x 3x   d x 2 2 4 4 4 4  4  2 x e e e x e e e x e e e x e e  C. 3 2x 4x 3x 5 e  2 x  e e e c) Ta có: dx 
e  e  e x   e   C   x  3x x 5 2 x d 2 x . e 3 5
Ví dụ 3: Xác định:
a) 2sin 4x  3cos 5x   1d .x b)  2 2
4 sin 2x  6 cos xd . x c) 4 2 sin 3 d x . x  d)  4 4
sin 2x  cos 2xd . x Lời giải: cos 4x 3sin 5x
a) Ta có: 2sin4x  3cos5x   1 dx     x  . C 2 5
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 3
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG b) Ta có:  2 2
4 sin 2x  6 cos xdx  2
 1cos4x31cos2xdx  
3cos2x2cos4x5dx 3sin 2x sin 4x    5x C. 2 2 2 2  1 cos6x  1 c) Ta có: 4 2 sin 3x  2 2 sin 3x  2   2 1  2 cos 6x    cos 6x  2  2 1  1 cos12x  3 cos12x  1 2 cos 6x    2cos6x    . 2  2  4 4  x  x x x Vậy 4 3 cos12 3 sin 6 sin12 2 sin 3 d x x   2cos6x  dx        C.  4 4  4 3 48 1 1 1 cos 8x 3 cos 8x d) Ta có: 4 4 2
sin 2x  cos 2x  1 sin 4x  1 .   . 2 2 2 4 4  3 cos8x  3 sin 8x Vậy  4 4
sin 2x  cos 2xdx   dx  x     C.  4 4  4 32
Ví dụ 4: Xác định: a) 2 sin 3x cos 2 d x . x  b) 6 sin 4x sin 2 d x . x  c) cos 5x cos 2 d x . x 
d) 8 sin 3x cos 2x sin 6 d x . x  Lời giải: cos 5x
a) Ta có: 2 sin 3x cos 2 d x x  
sinxsin5xdx  cosx C. 5 3sin 2x sin 6x
b) Ta có: 6 sin 4x sin 2 d x x  3 
cos2xcos6xdx    . C 2 2 1 sin 3x sin7x
c) Ta có: cos 5x cos 2 d x x  
cos3xcos7xdx    . C 2 6 14
d) Ta có: 8sin 3xcos 2xsin 6x  4sin x  sin 5xsin6x  4sin xsin6x  4sin 5xsin6x
 2cos5x cos7x 2cosx cos11x  2cosx  2cos5x 2cos7x 2cos11x .
Vậy 8sin 3xcos 2xsin 6 d x x  
2cosx2cos5x2cos7x2cos11xdx 2 sin 5x 2 sin 7x 2 sin11x  2sin x     C. 5 7 11
Bài tập tự luyện: Xác định các nguyên hàm sau: 4 2 2
x  7x  2x  5 1) 3x   1 2x   1d .x 2) d . x  2 x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 4
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 3)  3 5 4 x  x   d . x x  0. 4) 2x 1 9 d . x  2x 4x 2 e  2  e 5) 2x  3 x e  e  d .x 6) d . x  x e
7) 3sin 2x  2cos7x   1d .x 8)  2 2
2 sin 2x  4 cos 4xd . x 9) 4 6 sin 2 d x . x  10)  4 4
sin x  cos xd . x 11) 8 sin 3x cos 6 d x . x  12) 10 sin 2x sin 8 d x . x  13) 4 cos 5x cos 3 d x . x 
14) 16 sin 2xcos 3xsin 6 d x . x  Nhóm kỹ năng:
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ PHÂN THỨC Nội dung: P(x)
Để tìm nguyên hàm của hàm số , trong đó ( P ) x , ( Q )
x là các đa thức, ta thực hiện như ( Q x) sau: - Nếu bậc của (
P x) không nhỏ hơn bậc của (
Q x) , thì ta tách phần nguyên ra, tức là biểu ( P x) P (x) P (x) biễn: 1  M(x)  , trong đó (
M x) là đa thức, và 1
là phân thức có bậc của ( Q x) ( Q x) ( Q x)
P (x) nhỏ hơn bậc của ( Q x) . 1
- Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẩu, thì ta phân tích mẫu thành tích các nhị thức bậc
nhất và các tam thức bậc hai có biệt số âm: m 2 n 2 ( Q ) x  (x  )
a ...(x  px  q)
  p  4q  0
- Phân tích phân thức hữu tỉ thành các phân thức đơn giản: ( P x) A A A 1 2 m        
x  am x  px  qn    ... ... 2 2
xam 1 x a x a  B x  C B x  C B x  C 1 1 2 2 n n     n   ... n1  2 2 2 x  px      q x px q x px q 
- Đồng nhất hai vế để tìm các hệ số A , A ,..., A , B ,..., B . 1 2 m 1 n
Cuối cùng việc tìm nguyên hàm của các phân thức hữu tỉ được đưa về nguyên hàm của đa
thức và các phân thức hữu tỉ đơn giản. LUYỆN TẬP:
Ví dụ 1: Xác định các nguyên hàm sau:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 5
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 4 3x  1 x  4x  2 a) I  dx b) I  dx   1 2 x  4 2x  1 Lời giải 3x  1 3(x  4)  13 1 a) Ta có: I  dx  dx  d 3 x  13
dx  3x  13ln x  4  C     1 x  4 x  4 x  4 4 3 2 x  4x  2 x x x 47 1 1 b) Biểu diễn:      . 2x  1 2 6 12 24 24 2x  1 Lúc đó: 4 3 2 4 3 2 x  4x  2  x x x 31 63 1  x x x 31x 63 I  dx        . d  x     
ln 2x  1  C. 2 2x  1 2 4 8 16 16 2x   1  8 12 16 16 32
Ví dụ 2: Xác định các nguyên hàm sau: 3 1 1 a) I  dx b) I  dx c) I  dx    1 2 2 2 3 2 x  4 x  5x  6 2x  3x  1 Lời giải a) Ta có: 3 1
3 (x  2)  (x  2) 3  1 1  3 x  2 I  dx  3 dx  dx   dx  ln       C 1 2 x  4
(x  2)(x  2) 4
(x  2)(x  2)
4  x  2 x  2  4 x  2 b) Tương tự: 1 1
(x  2) (x  3)  1 1  x  3 I  dx  dx  dx   dx  ln       C 2 2 x  5x  6
(x  2)(x  3)
(x  2)(x  3)
 x  3 x  2  x  2 1 1 c) Phân tích:  2 2x  3x  1   2x   1 1 x     2   1    x    x   1 1 1  2 
Hướng 1: I  dx  dx   d  x    3 2 2x  3x  1       2 x 1 1 x   x 1 1 x        2    2      1 1  x  1 2x  2    dx  ln  C  ln  C x  1 1 1 2x    1  x   x   2  2 1 1
(2x  1)  2(x  1)
Hướng 2: I  dx  x  x    2x  3x  1
x 12x d 1
x 12x  d 3 2 1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 6
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG  1 2  x  1  
dx  ln x  1  ln 2x  1  C  ln    C
 x 1 2x 1 2x  1
Nhận xét: Hướng 2 giải quyết tốt và gọn gàng hơn.
Ví dụ 3: Xác định các nguyên hàm sau: 2 3 2x  1 x  x 2x  x a) dx b) dx c) dx    2 2 2 x  5x  4 x  5x  6 x  3x  2 Lời giải 2x  1 2x  1 A B a) Phân tích:    2 x  5x  4
x 1x4 x1 x4 2x  1 ( A x  4)  ( B x  1)    x   1 x  4
x 1x4 (*) 2x  1
A Bx 4  A  B Cách 1: (*)    x   1 x  4
x 1x4      
 x   A  Bx   A  B A B 2 A 1 2 1 4     4
 A  B  1 B    3
Cách 2: Từ (*) đồng nhất ta có: 2x  1  ( A x  4)  ( B x 1) (**)
Thay x  1 vào (**): 3  3
 A  A  1  .
Thay x  4 vào (**): 9  3B  B  3. Lúc đó: 2x  1 1  3 2x  1 1 1    dx   dx  3
dx   ln x  1  3ln x  4  C    2 2 x  5x  4 x  1 x  4 x  5x  4 x  1 x  4 2x  1 2x  1 2x   1  3  2 3  Cách 3: dx  x  x     x     x  5x  4
x 1x4d
x 1x4d  x  4 
x1x4 d . 2  
Nhận xét: Cách giải 2, tỏ ra khoa học và tốt hơn cách 1.
Ví dụ 4: Xác định các nguyên hàm sau: 2 2 2 x  x  4 x  1 x a) I  dx b) I  x ) I  x    1 3 2 2
x  3x  2x x 2 1 x  3d c 3 x  d 5 1 Lời giải 2 2 2 x  x  4 x  x  4 x  x  4 a) Phân tích:   3 2
x  3x  2x x 2
x  3x  2 (
x x  1)(x  2)
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 7
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 2 x  x  4 A B C
Sử dụng đồng nhất thức:     x   (
x x  1)(x  2) x x  1 x  2 2 x  x  4 (
A x  1)(x  2)  B (
x x  2)  C ( x x  1)   x  (
x x  1)(x  2) (
x x  1)(x  2) 2
 x  x  4  (
A x 1)(x  2)  B (
x x  2)  C ( x x  1) x  (*)
Thay x  0 vào (*), ta được: 4  2A  A  2
Thay x  1 vào (*), ta được: 4  B  B  4 
Thay x  2 vào (*), ta được:  6  2C  C  3 . 2 x  x  4  2 4  3  Lúc đó: I  dx   
dx  2 ln x  4 ln x  1  3ln x  2     C 1 3 2
x  3x  2x
 x x 1 x  2  2 x  1 A B C b) Phân tích:    x  2 2  
x 1 x3 x1 (x1) x3 2 2 x  1 (
A x  1)(x  3)  (
B x  3)  C(x  1)   x  2 2  
x1 x3
x 1 x3 2 2  x  1  (
A x  1)(x  3)  (
B x  3)  C(x  1)  x   (*) 1
Thay x  1 vào (*) ta được: 2  4B  B  . 2 5 Thay x  3
 vào (*) ta được: 10  16C  C  . 8 3B  C  1 3
Thay x  0 vào (*) ta được: 1  3
 A  3B C  A   . 3 8   2 3 1 5 x  1   3 1 1 5 Lúc đó: 8 2 8 I  dx   
x  ln x  1  .
 ln x  3  C   2          x 2 1 x 3 d 2 x 1 (x 1) x 3  8 2 x  1 8   2 x A B C D E c) Phân tích:      x 5 2 3 4 5
x  1 (x  1) (x  1) (x  1) (x  1) 1
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức như trên.
Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau: 3 2 2x  1 2x  x 1) dx 2) dx 3) dx    2 2 2 4x  9 x  5x  4 x  3x  2 2 2x  6 x  2x  6 x  2 4)   x x x  
x  23x  d 5) 1
x 1x2x4d 6) xx3d
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 8
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 3 3 2 x  x 1
5x  17x  18x  5 7) dx 8) x x    2 x  6x  5 x 2x d 9) 2 x 3 2 1 x  2 d 3 2 5 x  2x x  1 x  1 10)     x   dx 11) x x 2 1
x 2 x d 12) d 4 2 2 x  8x  16 1 3 Nhóm kỹ năng:
NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN sin x DẠNG 1:
I  f (x) dx 
, trong đó f (x) : đa thức. cosx u   f x  d / ( ) u   f (x d ) x
Phương pháp: Đặt dv  sin d
x x chän: v  sin d x x  
Ví dụ 1: Xác định: a) x   1sin2 d x . x b)  2 x  xcos d x . x Lời giải u
  x  1  du  dx  a) Đặt  cos 2x sin 2 d
x x  dv  chän v    2 x  1 cos 2x cos 2x x  1 cos 2x sin 2x Ta có: x       1 sin 2 d x x    dx     C.  2 2 2 4 2 u
  x  x  du  2x   1 dx Đặt  . Ta có:  2 x  x d x x   2 cos
x  xsin x  2x    1sin d x . x cos d
x x  dv  chän v  sin x u
  2x  1 du  2dx Xét 2x   1sin d x . x Đặt sin d
x x  dv  chän v    cos x
Ta có: 2x   1 sin d
x x  2x   1 cos x  2cos d x x   
2x 1cosx2sinxC. Vậy  2 x  x d x x   2 cos
x  xsin x  2x  
1 cos x  2 sin x  C '. DẠNG 2:  ( ). x I f x e dx 
, trong đó f (x) : đa thức. u   f x  d / ( ) u   f (x d ) x
Phương pháp: Đặt d x
v  e dx chän: x
v  e dx  
Ví dụ 2: Xác định: a)     2 1 x x e d . x b)  2  4  x x x e d . x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 9
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Lời giải u
  x  1  du  dx  2x 2 2 x x 2 x  1 e e x  1 x e e a) Đặt 2x 
. Ta có: x   2x     1 e dx   dx    C.  2x e
e dx  dv  chän v  2 2 2 4  2 2 u
  x  4x  du  2x  4dx b) Đặt 
. Ta có:  2   xd   2 4
 4  x  2 4 x x x e x x x e x e dx x
e dx  dv  chän x v  e u
  2x  4  du  2dx Xét 2  4 x x
e dx . Đặt  . x
e dx  dv  chän x v  e
Ta có: 2  4 xd  2  4 x  2 xd  
2 4 x 2 x x e x x e e x x e e  . C
Vậy  2   xd   2 4
 4  x 2  4 x  2 x x x e x x x e x e e  C '. ln x DẠNG 3:
I  f (x) dx 
, trong đó f (x) : đa thức. log x a  1 u   ln x  du  dx
Phương pháp: Đặt  x
dv  f(x d
) x chän: v  f (x d ) x  
Ví dụ 3: Xác định: a) 2x   1ln d x . x b) x   2 ln x  xd . x Lời giải  1 u
  ln x  du  dx a) Đặt  x . 2x 
1dx  dv  chän 2
v  x  x 2 x
Ta có:  x   d x x   2
x  x x  x  dx   2 2 1 ln ln 1
x  xln x   x C 2   u    2x x 2x 1 ln  du  dx 2   a) Đặt x x  2  x d
x x  dv  chän v   2 2 2 x 1 x 2x  1 Ta có: x ln
  2x x x  ln 2x x   d  dx  2 2 2 x  x 2 x     x  x 2 2 2 1 1 x x x 1 ln  2x  1 dx  ln 
 2x x   ln x1    C. 2 2  x  1  2 2 2 2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 10
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Bài tập tƣơng tự:
1) Xác định các nguyên hàm sau: I  x sin d x x  I  x cos 2 d x x  2 I  2x cos d x x  1 2 3 I  2x  1 cos x x  I    2 x  1 sin x x I   2
x  cos x sin x x 6  d 5  d 4   2 d x  sin x x  sin x I   2
x  sin x cos x x I  dx  I  dx  7  d 8 cos2x 9 1 cos x x sin x I  x   2 2 cos x  1 x I  dx  I  x sin d x x  10 d 11 3 cos x 12
I  sin xdx  2 I  x tan d x x  I   2
x  2x  3 cos x x 15  d 13 14 x x I  dx  I   2 x  5 sin x x I  dx  17  d 16 2 cos x 18 cos 2x  1
2) Xác định các nguyên hàm sau: x 2
I  xe dx  2 x
I  x e dx   1 x I x e x  3   2 d 1 2 x 2
I  e dx  3 x
I  x e dx   2x I d x x  4 5 6
  2 2 1 x I x x e x cos x I  e .sin 2 d x x  xln x I  e dx  7  d 8 9
3) Xác định các nguyên hàm sau: I  ln d x x  I  x ln d x x  2 I  ln d x x  1 2 3 ln d x x I  
I  log x  3 x  I  lg d x x  5 2  d 4 6 x I  2x ln  1xdx I  x ln   2 1 x x I  ln
  2x x x 9 d 8 d 7 I  ln
  2x 1 x 2 I  x ln d x x  3 2 I  x ln d x x  10 d 11 12 ln x ln ln x 2 I  dx  I  dx  I  1 ln x x  15   d 13 3 x 14 x ln x 2  x 1 I   I  x ln
  2x 1 x I   ln d x x 17   d 18 x   dx 16 2 1  x 
4) Xác định các nguyên hàm sau: x I  e cos d x x  I  cos ln x x  I  sin . x ln(tan x d ) x  2  d 1 3  5 x I e sin 2 d x x  3x I  e .sin 5 d x x  I  cos .
x ln 1 cos x x  6  d 4 5
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 11
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 2x 2 I  e sin d x x 
I  sin x ln cos x x  I  ln
  2x x x 9 d 8  d 7
I  x  cosxsin d x x 2
I  x sin x cos d x x  2 I  (x ln ) x dx  10 11 12 Nhóm kỹ năng: ĐỔI BIẾN
Ví dụ 1: Xác định a) A  tan d x . x  b) B  cot d x x  . Lời giải sin x a) A  tan d x x  dx   cosx dt
Đặt t  cos x  dt  sin d
x x . Khi đó: A  
 ln t C  ln cos x C  . t cos x b) B  cot d x x  dx   sinx dt
Đặt t  sin x  dt  cos d
x x . Khi đó: A 
 ln t C  ln sin x C  . t
Ví dụ 2: Xác định nguyên hàm của hàm số f x trong các trường hợp sau: a)   1cos x f x  e sin . x b) f x 3 5  sin xcos . x Lời giải a)    d 1cos x I f x x  e sin d x . x 
Đặt t  1 cos x  dt  sin d x . x Khi đó: t   d t 1cos x I
e t  e  C  e  . C  b) I  f  xd 3 5 x  x d x x  x    2  x 5 sin cos sin 1 cos cos d x . x
Đặt t  cos x  dt  sin d x . x t t x x
Khi đó: I   t t dt  t t  8 6 8 6 2 5 7 5 cos cos 1 dt    C   C. 8 6 8 6
Ví dụ 3: Xác định các nguyên hàm sau: 2 9x  12x x  1 a) A  d . x  b) B  d . x  3 2 x  2x  5 x  1 Lời giải 3 2 2 3x   4 9 12 x x x  a) A  dx  d . x   3 2 3 2 x  2x  5 x  2x  5 d 3 t Đặt 3 2
t  x  x   dt   2 2 5 3x  4xd . x Khi đó: 3 2 A 
 3ln t C  3ln x  2x  5 C.  t
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 12
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG x  1 b) B  d . x  x1 Đặt 2
t  x  1  t  x  1  2tdt  d . x  2t   3 1 1  t  Khi đó: B  2tdt  2 
 2t 2dt  2 2tC t  3   x 1 
2 x  1 x  5  2 x  1  2  C     C.  3  3
Ví dụ 4: Xác định các nguyên hàm sau:  x 2 ln 1 dx a) A  d . x  b) B  .  x
x ln x ln ln x Lời giải  x 2 ln 1 a) A  d . x  x 3 dx 3 t ln x  1 2  
Đặt t  ln x  1  dt 
. Khi đó: A  t dt   C   C.  x 3 3 dx
b) B   x x  x. ln ln ln 1 dt
Đặt t  ln ln x  dt  d .
x Khi đó: I 
 ln t C  ln ln  lnx C. x ln x t
Ví dụ 5: Xác định các nguyên hàm sau: x e  1 sin x  cos x a) I  d . x  b) J  . x  x x  e
sinxcosx d 2 Lời giải x e  1 a) I  d . x  x x  e dt Đặt  1 x    1 x t e dt
 e dx. Khi đó: I  
 ln t C  ln 1 x  e C.  t sin x  cos x a) J    x
sin x  cos x d . 2 dt 1 1
Đặt t  sin x  cos x  dt  cos x  sin xdx . Khi đó: J     C    C  . 2 t t sin x  cos x
Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau: 1 cot x 1 3ln x ln x 1) A  d . x  6) F  d . x  2 sin x x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 13
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG cosln x 2) B  d . x  7) cos2x G  e sin x cos d x . x  x 1 3) 2 3 C  sin x cos d x . x  8) H  d . x  2 x x  1 x x e  e sin 2x 4) D  d . x  9) I  d . x  x x e  e 2 4  cos x 5) 3 3 2 E  x x  d 1 . x  10) 4 K  cos d x . x  Nhóm kỹ năng: DÙNG VI PHÂN
Ví dụ 1: Xác định a) I  tan d x . x  b) I  cot d x . x  Lời giải d sin x cosx a) Ta có: I  tan d x x  dx  
 ln cos x C.    cos x cos x d cos x sinx b) Ta có: I  cot d x x  dx 
 ln sin x C.    sin x sin x  sin2 1 2 x
Ví dụ 2: Xác định a) I  dx  . b)   sinx I e  cos xcos d x x . 1 sin2x Lời giải 1 s 2 in2x cos d 2x 1 1sin2x 1 a) Ta có: I  dx  dx   ln   
1sin2xC. 1 sin2x 1 sin2x 2 1 sin2x 2
Nhận xét: So với phép đổi biến t  1 sin2x thì cách dùng vi phân tỏ ra khoa học hơn.  x
b) Ta có: I   sinx e  x d sin x x x  e d 2 x x  d sin x 1 cos 2 cos cos cos cos x x  e d    sinx dx  2 sin x 1 1  e
 x  sin 2x C. 2 4 dx x e dx
Ví dụ 3: Xác định a) I   . b) I   x e  1  x  e 3 1 Lời giải
a) Dùng kỹ thuật “thêm, bớt”, ta phân tích:
 xe  1 x  x e d x d e x e   1 I   dx  dx  dx  dx        x e  1 x e  1 x e  1 x e  1   ln x x e  1  C.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 14
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG  3 1 x 2 xd  3 1  e e x x x 3 b) Ta có: I   
1e  2 d1e      C   C.  x  3  3  1 1 x 1  e e 2 3 x dx 3 4x
Ví dụ 4: Xác định a) I   . b) I  d . x  2 x  1 2 2x  3x  1 Lời giải
a) Dùng kỹ thuật “thêm, bớt”, ta phân tích: 2
 2x 1 1. dxx d 2 3d . d d x x x x x x x x   1 1 I     d x x   d x x         2 2 2 2 2 x  1 x  1 x  1 x  1 2 x  1 2 x 1 2 
 ln x 1 C. 2 2 3 2 4 2x 3x x x   1' 7 3 7 9 1 b) Phân tích:  2x  3   2x  3  .  . 2 2 2 2 2x  3x  1 2x  3x  1 4 2x  3x  1
4 2x  3x  1
2x 3x / 1
2x 12x 1 7 9 
7 2x  3x  1/ 2 2 9  1 2   2x  3  .  .  2x  3  .     2 2 4 2x  3x  1 4
(x  1)(2x  1) 4 2x  3x  1
4  x 1 2x 1    
2x  3x  / 2 1 7 9  1 2    Suy ra: I  2x  3  .   d    x 2  4 2x  3x  1
4  x 1 2x 1     d 7  2
2x  3x    x   2x  3 1 d 9 1 9 2 1 dx   dx     2 4 2x  3x  1 4 x  1 4 2x 1   2 x  x 7 2 9 9 3
 ln 2x  3x 1  ln x 1  ln 2x 1  . C 4 4 4
Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau: 3x 2
ln x  ln x  4 x e dx 1) I  dx  2) I  dx  3) I   2 x  1 2x x e  2 sin2x dx 4)   sinx I e c
. osx  tanxdx 5) I  dx  6) I   x x cos2x  s 4 in2x
e  2e  3 sin2x c . osx 2 x 2 x  e  2 x x e 7) I  dx  8) 3 2
I  x . 1 x dx  9) I  dx  1 cosx 2 x e  1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 15
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
IV – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA: Câu 1.
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu F x là một nguyên hàm của f x trên a; b và C là hằng số thì f
 xdx  FxC.
B. Mọi hàm số liên tục trên a; b đều có nguyên hàm trên a; b .
C. F x là họ nguyên hàm của f x trên a b / ;
 F x  f x, x   ; a b . / D.  f
 xdx  f x, x   ;ab . Lời giải
Phương án C sai, vì F x là một nguyên hàm của f x trên chỉ kéo theo được /
F x  f x , x   ;
a b  Chọn đáp án C. Câu 2.
Khẳng định nào sau đây là sai? 1 A. 0dx  C  ( C là hằng số). B.
dx  ln x  C  ( C là hằng số). x  1  x C. x dx   C    
( C là hằng số). D. dx x C  (C là hằng số).  1 Lời giải
Ở phương án C, trường hợp   1
 thì khẳng định trên sai Chọn đáp án C. Câu 3.
Hàm số f x 1  có nguyên hàm trên: cos x         A. 0; . B.   ; . C.  ; 2 . D.  ; .    2 2   2 2  Lời giải    
Ta có: Vì f x 1 
xác định và liên tục trên khoảng   ;
 nên hàm số có nguyên cos x  2 2      hàm trên   ;
  Chọn đáp án B.  2 2  Câu 4.
Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số x  4 3 ? x 5 3 x 5 3 x 5 3 x 5 3 A.  . x B. . C.  2016. D. 1. 5 5 5 5 Lời giải x 3 / 5   4 4 Ta có: 
 x  x  3 1  x  3  Chọn đáp án A.  5   
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 16
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Câu 5.
Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại? A. sin 2x và 2 cos . x B. cos 2x và 2 sin . x 2 C. 2x e và 2 2 x e . D. tan 2x và . 2 cos 2x Lời giải 2 Vì tan 2x' 
nên phương án D đúng  Chọn đáp án D. 2 cos 2x 1     Câu 6.
Nguyên hàm F x của hàm số f x  biết F    là 2 sin x  2  2 
A. F x  . x
B. F x  cot x  . 2 
C. F x  cot . x
D. F x  sin x  1. 2 Lời giải 1
Ta có: F x 
dx   cot x  C  . 2 sin x         F
  cot C   C   
. Vậy F x  cot x 
 Chọn đáp án B.  2  2 2 2 2 2 3 1 Câu 7.
Hàm số F x thỏa mãn F 'x   
Lúc đó, F x là 3x   . 2 1 x12 A. F x 1 1    C. B. F x 1 3    C. 3x  1 x  1 x  1 3x  1 C C. F x 1 1    C. D. F x 1   . x  1 3x  1 x  1 3x  1 Lời giải   3 1 1 1
Ta có: F x    d  x  d   3x 1 d x  1  2 2 2 2    3x   1 x 1  3x1 x1 1 1  
 C  Chọn đáp án C. x  1 3x  1 Câu 8.
Hàm số F x biết F x 2 '
 3x  2x 1 và đồ thị y  F x cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2017 là A. F x 2
 x  x  2017.
B. F x  cos 2x  2016. C. F x 3 2
 x  x  x  2017. D. F x 3 2
 x  x  x  2016. Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 17
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Ta có: F x   2 x  x  d 3 2 3 2
1 x  x  x  x  C .
Đồ thị y  F x cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2017  F 0  2017
 C  2017 . Vậy Fx 3 2
 x  x  x  2017  Chọn đáp án C.  1  Câu 9.
Nguyên hàm của hàm số f ( )
x  2x  1 ; x    là  2  1 2 A. f
 xdx  2x 1 2x1C. B. f
 xdx  2x 1 2x1C. 3 3 1 1 C. f
 xdx   2x1C . D. f
 xdx  2x1C. 3 2 Lời giải 1 1
Ta có: f xdx  2x  d 1 x  2x 2 1 d 2x     1 2 1  x  32 2 1 1 
 C  2x   1
2x  1  C  Chọn đáp án A. 2 3 3 2
Câu 10. Hàm số   3 x
F x  e là một nguyên hàm của hàm số A.   3x f x  e . B.   3 2  3 x f x x e . 3 x e C. f x  . D.   3 3 x
f x  x e  1. 2 3x Lời giải / 3 3 Ta có:     x  2 '  3 x F x e
x e  Chọn đáp án B. 1
Câu 11. Nguyên hàm của hàm số f (x)  là    2 sin x     6     1    A. f (x d
) x   cot x      C . B. f (x d
) x   cot x      C .  6  6  4     1    C. f (x d
) x  cot x      C . D. f (x d
) x  cot x      C .  6  6  6  Lời giải 1 1       Ta có: f (x d ) x  dx  d x   cot x          C .       2 2  6   6  sin x  sin x       6   6 
 Chọn đáp án A.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 18
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 12. Biết một nguyên hàm của hàm số f  x  2 sin 4x là hàm số F x thỏa mãn F   3 0  . 2
Khi đó F x là hàm số nào sau đây? x x A. F x cos 4    2 . B. F x cos 4    2 . 4 2 x
C. F x cos 4   2 .
D. F x  2cos 4x  2 . 2 Lời giải cos 4x 1 3
Ta có: F x  2sin 4 d x x   C  . Vì F   3 0  nên   C   C  2 . 2 2 2 2 x Vậy F x cos 4  
 2  Chọn đáp án B. 2
Câu 13. Giá trị m để hàm số F x 3 2
 mx  x   2 4 2
m  2 x 1 là một nguyên hàm của hàm số f x 2
 12x  4x  x là A. m  1  . B. m  0 . C. m  1. D. m  2 . Lời giải
Ta có: F x 2 2 '
 12mx  4x  m  2  f x. Đồng nhất các hệ số tương ứng ta được: 1  2m  12 
 m  1  Chọn đáp án C. 2 m  2  1  1 Câu 14. Tính dx  ta được kết quả 2 4  x 1 1 2  x
A. ln 2  x2  x  C. B. ln  C. 4 4 2  x 1 2  x 1 C.  ln  C.
ln x  2 .ln x  2  . C 4 2  D. x 4 Lời giải 1 1 1  1 1  Ta có: dx  x   x     4  x
2x2 xd d 2
4 2  x 2  x  1   1
ln 2  x  ln 2  x   C  ln 2  x2  x C  Chọn đáp án C. 4 4
Câu 15. Cho hàm số y  f x có đạo hàm là f x 1 ' 
và f 0  1 thì f 1 có giá trị bằng 2x  1 1 A. ln 2. B. 2ln 3 1. C. 2ln 3  1. D. ln 3  1. 2 Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 19
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 1 1 1
Ta có: f x  dx  d  
2x 1  ln 2x1 C . 2x  1 2 2x  1 2 f 0 1
 1 ln1C  1 C  1  f x 1  ln 2x 1 1 2 2 Vậy f   1
1  ln 3  1  Chọn đáp án D. 2 1
Câu 16. Cho hàm số y  f x 
. Nếu F x là nguyên hàm của hàm số f x và đồ thị 2 sin 2x   
y  F x đi qua điểm A
; 0  thì F x là  12  x  x  A. F x cot 2 3   .
B. F x cot 2 3  . 2 2  x  C. F x cot 2 3  . D. F x 3  cot 2x  . 2 2 Lời giải 1 1
Ta có: F x 
dx   cot 2x  C  . 2 sin 2x 2       1  3
Đồ thị y  F x đi qua điểm A ; 0   0  F
  cot  C  0  C    .  12   12  2 6 2  x  Vậy F x 1 3 cot 2 3   cot 2x  
 Chọn đáp án C. 2 2 2 3 ln x Câu 17. Kết quả dx  là x 2 3 3ln x  ln x 4 ln x 4 ln x A. . B.  C. C.  C. D. 2 3ln x  . C 2 x 4x 4 Lời giải 3 4 ln x ln x Ta có: d 3 x  ln d x lnx   C  
 Chọn đáp án C. x 4
Câu 18. Tính F( ) x  x sin d x x  ta được kết quả A. ( F )
x  xsin x  cos x  C . B. ( F )
x  sin x  xcos x  C . C. ( F )
x  sin x  xcos x  C . D. ( F )
x  xsin x  cos x  C . Lời giải
Đặt u  x, dv  sin d
x x  du  dx, v  cos x . Ta có: ( F )
x  x cos x  cos d
x x  x cos x  sin x  C 
 Chọn đáp án B.
Câu 19. Kết quả của x ln
 2xdx là
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 20
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 2 2 x x x A.
ln 2  x  2ln2  x   x C. B. ln 2  x   C. 2 4 2  x 2 2 x x x C.
ln 2  x  2ln2  x   x C. D.   x 2 ln 2   x  C. 2 4 4 Lời giải 2 1 x
Đặt u  ln 2  x , dv  d x x  du  dx, v  . 2  x 2 2 2 x x Ta có: x ln
 2 xdx  nl2 x x  C  2 22  x d 1 2 x     x  x  2  x 2 2 1 4 1 ln  x2 d  x 
ln 2  x  
 2x  4ln 2  x C 2 2  2  x  2 2  2  2 x    x 2x ln 2 
 x  2ln2  xC  Chọn đáp án A. 2 4
Câu 20. Giả sử F x là nguyên hàm của hàm số f x  2x 1. Biết đồ thị của hàm số F x và
f x cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Lúc đó, tọa độ các giao điểm của hai đồ thị f x và F x là A. 0; 1  . B. 3; 5 . C. 0; 1  và 3; 5 . D. 0; 1  và 3; 0 . Lời giải
Ta có: F x   x  d 2 2
1 x  x  x  C .
Phương trình hoành độ giao điểm của F x và f x : 2
x  x  C  2x 1
Đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung  C    F x 2 1
 x  x 1. x  0 Khi đó 2 2
x  x  1  2x  1  x  3x  0  x   3
Vậy có hai giao điểm là 0; 1  và 3;5 .
 Chọn đáp án C.
Câu 21. Nguyên hàm của hàm số 3 f ( )
x  2  3x là 1 3 A. f
 xdx  23x 3 23x C. B. f
 xdx   23x 3 23x C . 4 4 2  1 C. f
 xdx    x 3 2 3  C . D. f
 xdx   23x 3 23x C . 4 Lời giải Ta có: f  xd 3 x  2  3xdx 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 21
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Đặt 3 3 2
t  2  3x  t  2  3x  3t dt   d 3 x  d 2 x  t  dt . 1 1 Khi đó f  xd 3 x   t d 4
t   t  C   
23x 3 23x C. 4 4
 Chọn đáp án D. sin 3x
Câu 22. Nguyên hàm của hàm số f (x)  là cos 3x  1 1 A. f (x d
) x  ln cos 3x  1  C  . B. f (x d
) x   ln cos 3x  1  C  . 3 1 C. f (x d
) x  ln cos 3x  1  C  . D. f (x d
) x  ln cos 3x  1  C  . 3 Lời giải sin 3x Ta có: f
 xdx  dx  . cos 3x  1 1
Đặt t  cos 3x  1  dt  3  sin d x x  sin d x x   dt 3 1 t 1 1 Khi đó f  x d dx  
  ln t C   ln cos3x 1 C  . 3 t 3 3
 Chọn đáp án B. 1
Câu 23. Nguyên hàm của hàm số f (x)  là 2  x A. f
 xdx  ln2 xC. B. f
 xdx  2 x 2ln2 xC. C. f
 xdx  2 x 2ln2 xC. D. f
 xdx  22ln2 xC . Lời giải 1 Ta có: f
 xdx  dx  . 2  x 2
Đặt t  2  x  x  t  2  x  t  2  dx  2t  2dt . 2 t  2 dt  2  Khi đó f  x   dx   2  dt  2  
tln t    C1 t  t 
 22 x ln 2 x C  2 x 2ln 2 x C . 1  
 Chọn đáp án C.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 22
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG x  1
Câu 24. Nguyên hàm của hàm số f (x)  là x  1 2 A. f
 xdx  x10 x1C. B. f
 xdx x10 x1C . 3 x  3 2 C. f
 xdx   C . D. f
 xdx  x1  C . 2x   1 x  1 x  1 Lời giải x  1 Ta có: f
 xdx  dx  . x  1 Đặt 2
t  x 1  t  x  1  2tdt  dx  dx  2tdt . 2 t  2  1  Khi đó f
 xdx  .2tdt  2   2t 2d 3 t  2 t  2t    C t  3  2  x   2 1
x  1  4 x  1  C  x  10 x 1  C . 3 3
 Chọn đáp án A.
Câu 25. Nguyên hàm của hàm số   cos ( ) x f x e
 cot xsinx là A. d cos ( ) x f x x  e  sin x C  . B. d cos ( ) x f x x   e  sin x C  . C. d cos ( ) x f x x   e  sin x C  . D. d cos ( ) x f x x  e  sin x C  . Lời giải Ta có    cosx   d cos ( ) cot sin x f x e x x x  e sin d x x  cos d x x   cos x   d  d cos cos cos x e x x x  e   sin x C   .
 Chọn đáp án C.
V – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN: Câu 1.
Mỗi khẳng định sau đúng hay sai (đánh dấu X vào ô thích hợp)?
Các cặp hàm số sau đây đều là nguyên hàm của cùng một hàm số: Đúng Sai 1 a) f x   2
ln x  1 x  và gx  . 2 1  x b)   sinx f x  e cos x và   sin x g x  e .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 23
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 2 c) f x 2 1  sin
và g x   sin . x 2 x x x  1 d) f x  và g x 2
 x  2x  2 . 2 x  2x  2 e)   1 2 x
f x  x e và       1 2 1 x g x x e . Câu 2.
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu F x là một nguyên hàm của f x trên a; b và C là hằng số thì f
 xdx  FxC.
B. Mọi hàm số liên tục trên a; b đều có nguyên hàm trên a; b .
C. F x là một nguyên hàm của f x trên a b / ;
 F x  f x, x   ; a b . / D.  f
 xdx  f x, x   ;ab . Câu 3.
Khẳng định nào sau đây là sai? A. f
 xdx  FxC  f
 tdt  FtC. / B.  f
 xdx  f x   . C. f
 xdx  FxC  f
 udx  FuC . D. kf
 xdx  k f
 xdx (k là hằng số). Câu 4.
Khẳng định nào sau đây là sai? A.  f
 x gx dx  f 
 xdx g
 xdx. B. kf xdx  k f xd ;x k    . / C.  f
 xdx  f x. D.  f
 x.gx dx  f 
 xd .x g  xdx. Câu 5.
Khẳng định nào sau đây là sai? 1 A. 0dx  C  ( C là hằng số). B.
dx  ln x  C  ( C là hằng số). x  1  x C. x dx   C     (  (  C là hằng số). D. dx
x C C là hằng số). 1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 24
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Câu 6.
Hàm số f x có nguyên hàm trên K nếu:
A. f x xác định trên K.
B. f x có giá trị lớn nhất trên K.
C. f x có giá trị nhỏ nhất trên K.
D. f x liên tục trên K. Câu 7.
Hàm số f x 1  có nguyên hàm trên: cos x         A. 0; . B.   ; . C.  ; 2 . D.  ; .    2 2   2 2  Câu 8.
Nếu f x liên tục trên khoảng D thì:
A. f x không có nguyên hàm trên D.
B. f x có đúng một nguyên hàm trên D.
C. f x có hai nguyên hàm trên D.
D. f x có vô số nguyên hàm trên D.  Câu 9. Hàm số   4 5 f x  x có nguyên hàm trên: A. ; . B. 0; . C. ; 0. D. 0;   .
Câu 10. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số x  4 3 ? x 5 3 x 5 3 A.  . x B. . 5 5 x 5 3 x 5 3 C.  2016. D. 1. 5 5
Câu 11. Cho hàm số f x xác định trên K. Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số
f x trên K nếu với mọi xK, ta có:
A. F 'x  f x C.
B. F 'x  f x.
C. f 'x  F x.
D. f 'x  F x  . C
Câu 12. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại? A. sin 2x và 2 cos . x B. sin 2x và 2 sin . x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 25
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 C. x e và x e . D. 2 tan x và . 2 2 cos x
Câu 13. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại? A. sin 2x và 2 cos . x B. cos 2x và 2 sin . x 2 C. 2x e và 2 2 x e . D. tan 2x và . 2 cos x
Câu 14. Nguyên hàm của hàm số f x 3
 x  3x  2 là hàm số nào trong các hàm số sau? x A. F x 2
 3x  3x C . B. F x 4 2 
 3x  2x C . 3 x x x x C. F x 4 2    2x C . D. F x 4 2 3    2x C . 4 2 4 2
Câu 15. Hàm số F x 3 2
 5x  4x  2x C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A. f x 2
 5x  4x  2. B. f x 2
 15x  8x  2. x x x C. f x 2 3 2 5 4    . D. f x 2
 5x  4x  2 . 4 3 2
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số: 2 5
y  x  3x  là x x 3 x 3 A. F x 3 2 
 x  5ln x C . B. F x 3 2 
 x  5ln x C . 3 2 3 2 x 3 5 C. F x 3 2 
 x  5ln x C .
D. F x  2x  3   C . 3 2 2 x
Câu 17. Nguyên hàm của hàm số f x  x   1 x  2 là x 2
A. F x  2x  3  C . B. F x 3 2 
 x  2x C . 3 3 x 3 x 2 C. F x 3 2 
 x  2x C . D. F x 3 2 
 x  2x C . 3 2 3 3 1    
Câu 18. Nguyên hàm F x của hàm số f x  biết F    là 2 sin x  2  2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 26
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 
A. F x  . x
B. F x  cot x  . 2 
C. F x  cot . x
D. F x  sin x  1. 2 1
Câu 19. Nguyên hàm của hàm số f x 
trên khoảng 0;  là 2 sin x 2 cos x 2 cos x A. cot x  . C B. cot x  . C C.   C. D.  C. 3 sin x 2 sin x
Câu 20. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai (đánh dấu X vào ô thích hợp)?
Các cặp hàm số sau đây đều là nguyên hàm của cùng một hàm số: Đúng Sai x  x  x  x  a) F x 2 2 3  và G x 2 2 9  . 2x  3 2x  3 b) F x 2
 5  2sin x và Gx  1 cos2 . x
c) F x  x  2 5 và Gx 2
 x 10x 7. 1 d) F x  và Gx 2  tan x  8. 2 cos x
Câu 21. Hàm số F x  ln x là nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên 0; ? 1 1 1 1 A. . B.  . C. . D.  . x x 2 x 2 x 2 2 7
Câu 22. Nguyên hàm F x của hàm số f x   
là hàm số nào sau đây? 2 5  2x x x A. F x 7
 ln 5  2x  2ln x  C . B. F x 7
 ln 5  2x  2ln x   C . x x C. F x 7
 ln 5  2x  2ln x  C . D. F x 7
 ln 5  2x  2ln x   C . x x 3 1
Câu 23. Hàm số F x thỏa mãn F 'x   
Lúc đó, F x là 3x   . 2 1 x12 A. F x 1 1    C. B. F x 1 3    C. 3x  1 x  1 x  1 3x  1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 27
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG C C. F x 1 1    C. D. F x 1   . x  1 3x  1 x  1 3x  1
Câu 24. Hàm số F x biết F x 2 '
 3x  2x 1 và đồ thị y  F x cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2017 là A. F x 2
 x  x  2017.
B. F x  cos 2x  2016. C. F x 3 2
 x  x  x  2017. D. F x 3 2
 x  x  x  2016.
Câu 25. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x  sin 4x là 1 1 A. f (x d
) x   cos 4x  C  . B. f (x d
) x  cos 4x  C  . 4 4 C. f (x d
) x  cos 4x  C  . D. f (x d
) x   cos 4x  C  .   
Câu 26. Nguyên hàm của hàm số f (x)  cos 2x    là  4  1       A. f (x d
) x  sin 2x      C . B. f (x d
) x  sin 2x      C . 2  4   4  1    1    C. f (x d
) x   sin 2x      C . D. f (x d
) x  sin 2x      C . 2  4  2  4 
Câu 27. Hàm số   3 x F x  e
là một nguyên hàm của hàm số A.   3 x f x  e . B.   3 2  3 x f x x e . 3 x e C. f x  . D.   3 3 x
f x  x e  1. 2 3x x
Câu 28. Nguyên hàm của hàm số 2 f (x)  1 a t n là 6 x x A. f
 xdx  tan C . B. f
 xdx  6tan C . 6 6 1 x x C. f
 xdx  tan C . D. f
 xdx  6  tan C . 6 6 6
Câu 29. Biết f
 vdu  FvC. Khẳng định nào sau đây đúng? A. f
 4x3dx  4Fx3 . C B. f
 4x3dx  F4x3 . C
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 28
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 C. f
 4x3dx  F4x3C. D. f
 4x3dx  4F4x3 . C 4
Câu 30. Hàm số F x , thỏa mãn điều kiện F x 5 '  x  là x 5 x
A. F x  1  C. B. F x 2   5ln x C. 2 x 2 x x C. F x 2   5ln x C. D. F x 2   5ln . x 2 2 1
Câu 31. Nguyên hàm của hàm số f (x)  là    2 sin x     6     1    A. f (x d
) x   cot x      C . B. f (x d
) x   cot x      C .  6  6  4     1    C. f (x d
) x  cot x      C . D. f (x d
) x  cot x      C .  6  6  6 
Câu 32. Biết một nguyên hàm của hàm số f  x  2 sin 4x là hàm số F x thỏa mãn F   3 0  . 2
Khi đó F x là hàm số nào sau đây? x x A. F x cos 4    2 . B. F x cos 4    2 . 4 2 x
C. F x cos 4   2 .
D. F x  2cos 4x  2 . 2
Câu 33. Nguyên hàm của hàm số 2 2 f ( )
x  sin x  cos x là sin 2x A. f (x d
) x  sin 2x  C  . B. f (x d ) x    C  . 2 sin 2x C. f (x d
) x  2 sin 2x  C  . D. f (x d ) x   C  . 2
Câu 34. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x  2sin xcos 3x là cos 4x cos 2x cos 4x cos 2x A. f (x d ) x   C.  B. f (x d ) x     C  . 4 2 4 2 cos 4x cos 2x cos 4x cos 2x C. f (x d ) x    C  . D. f (x d ) x     C  . 4 2 4 2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 29
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 35. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x  4sin 2xcos x là 2 cos 3x 2 cos 3x A. f (x d ) x    2cos x C.  B. f (x d ) x    2cos x C.  3 3 2 cos 3x 2 cos 3x C. f (x d ) x   2cos x C.  D. f (x d ) x   2cos x C.  3 3
Câu 36. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x  2sin 3xsin x là sin 4x sin 2x sin 4x sin 2x A. f (x d ) x    C.  B. f (x d ) x     C.  4 2 4 2 sin 4x sin 2x sin 4x sin 2x C. f (x d ) x    C.  D. f (x d ) x    C.  2 2 4 2
Câu 37. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x  4cos 3xcos 2x là 2 sin 5x 2 sin 5x A. f (x d ) x    2sin x C.  B. f (x d ) x   2sin x C.  . 5 5 2 sin 5x 2 sin 5x C. f (x d ) x   2sin x C.  D. f (x d ) x    2sin x C.  5 5
Câu 38. Nguyên hàm của hàm số 4 4 f ( )
x  sin x  cos x là 3 sin 4x 3 sin 4x A. f (x d ) x  x  C  . B. f (x d
) x   x   C  . 4 16 4 16 3 sin 4x 3 sin 4x C. f (x d ) x  x   C  . D. f (x d
) x   x   C  . 4 16 4 16
Câu 39. Nguyên hàm của hàm số 6 6 f ( )
x  sin x  cos x là 5 3sin 4x 5 3sin 4x A. f (x d ) x  x  C  . B. f (x d ) x  x   C  . 8 8 8 32 5 3sin 4x 5 3sin 4x C. f (x d ) x  x  C  . D. f (x d ) x  x   C  . 8 32 8 8
Câu 40. Nguyên hàm của hàm số 4 4 6 6 f ( )
x  sin x  cos x  sin x  cos x là 1 sin 4x 1 sin 4x A. f (x d ) x    C  . B. f (x d ) x  x  C  . 4 16 4 16 1 sin 4x 1 sin 4x C. f (x d ) x  x   C  . D. f (x d ) x  x   C  . 4 16 4 16
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 30
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 41. Giá trị m để hàm số F x 3 2
 mx  x   2 4 2
m  2 x 1 là một nguyên hàm của hàm số f x 2
 12x  4x  x là A. m  1  . B. m  0 . C. m  1. D. m  2 .
Câu 42. Nguyên hàm của hàm số 3 f ( ) x  sin . x cos x là 4 sin x 4 sin x A. f (x d ) x   C  . B. f (x d ) x    C  . 4 4 2 sin x 5 sin x C. f (x d ) x   C  . D. f (x d ) x    C  . 2 5
Câu 43. Nguyên hàm của hàm số ( ) x x f x e e   là A.   d x x
f x x  e  e  C . B.   d x x
f x x  e  e  C . C.   d x x
f x x  e  e  C . D.   d x x
f x x  e  e  C .
Câu 44. Cho hàm số   x
f x  xe . Giá trị a, b để
      x F x
ax b e là một nguyên hàm của hàm
số f x là
A. a  1; b  1. B. a  1  ; b  1.
C. a  1; b  1  . D. a  1  ; b  1  .
Câu 45. Nguyên hàm của hàm số ( ) 2 . x 5 x f x   là x  x 2  1  5  1 A. f
 xdx  .    C . B. f
 xdx  .    C .  5  ln 2  ln 5  2  ln 2  ln 5 x  x 2  1  2  1 C. f
 xdx  .    C . D. f
 xdx  .    C .  5  ln 5  ln 2  5  ln 2  ln 5   
Câu 46. Cho hàm số f x thỏa mãn các điều kiện f 'x  2  cos 2x và f    2. Khẳng  2 
định nào sau đây sai? A. f x 1
 2x  sin 2x .
B. f x  2x  sin 2x . 2    C. f 0  . D. f     0.  2 
Câu 47. Nguyên hàm của hàm số ( ) x 2 x f x e e    là A. ( )  2 x F x
e  x  C . B. ( )  2 x x  ln x F x e e e  C .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 31
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1
C. F(x)  2 x e   C . D. ( )  2 x F x
e  x  C . x e
Câu 48. Nguyên hàm của hàm số  2 ( ) x x f x e e   là 2x 2  x e  e  4 A. F(x)   C . B. 2x 2 ( )  x
F x  e  e  2x C . 2 2x 2  x e e C. 2x 2 ( )  x
F x  e  e  2x C .
D. F(x)    x C . 2 2 2 Câu 49. Tính dx  ta được kết quả 2x  1 1
A.  ln 2x  1  . C B.    C 2x   . 2 1 ln 2x  1 C.  C. D. ln 2x  1  . C 2 6 Câu 50. Tính dx  ta được kết quả 1  3x 18 A. 3ln 1 3x  . C B.   C 1  3x . 2 C. 2  ln 1 3x  . C D. 2 ln 1 3x  . C 2x  1 Câu 51. Tính dx  ta được kết quả x  1
A. 2x  ln x  1  . C
B. 2x  ln x  1  . C
C. 2  ln x  1  . C D. 2x   1 ln x  1  . C 4x  2 Câu 52. Tính dx  ta được kết quả x  1
A. 4x  6 ln x 1  . C
B. 4x  6 ln x 1  . C
C. 4x  3ln x 1  . C
D. 4x  ln x 1  . C 4x  2 Câu 53. Tính dx  ta được kết quả 2  x
A. 4x  10 ln 2  x  . C B. 4
 x 10ln 2  x  . C
C. 4x 10 ln 2  x  . C
D. 4x  ln 2  x  . C
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 32
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 54. Biết một nguyên hàm của hàm số f x  2 
là hàm số F x thỏa mãn F 2  0 . 2x  1
Khi đó F x là hàm số nào sau đây?
A. F x  ln 2x 1  ln 3.
B. F x  ln 2x 1  ln 3. x 
C. F x  2ln 2x 1  ln 3.
D. F x ln 2 1   ln 3. 2 x 
Câu 55. Biết một nguyên hàm của hàm số f x 2 3 
là hàm số F x thỏa mãn F   1  4 . 1 x
Khi đó F x là hàm số nào sau đây?
A. F x  2
 x  5ln 1 x  8.
B. F x  2
 x  5ln 1 x  8.
C. F x  2x  5ln 1 x  8.
D. F x  2x  5ln 1 x  8 2 x  1 Câu 56. Tính dx  ta được kết quả x  1 2 x 2 x A.
 x  2ln x 1 C. B.
 x  ln x 1 C. 2 2 2 x 2 x C.
 x  2ln x 1 C. D.
 x  ln x 1 C. 2 2 1 Câu 57. Tính dx  ta được kết quả 2 x  1 1 1 x  1 A. ln x   1 x   1  C. B. ln  C. 2 2 x  1 1 x  1 1 C. ln  C.
D. ln x  1 .ln x  1  C. 2 x  1 2 1 Câu 58. Tính dx  ta được kết quả 2 x  4x  3 1 1 x  3 A. ln x  
1 x  3  C. B. ln  C. 2 2 x  1 1 x  1 1 C. ln  C.
D. ln x  1 .ln x  3  . C 2 x  3 2 1 Câu 59. Tính dx  ta được kết quả 2 4  x 1 1 2  x
A. ln 2  x2  x  C. B. ln  C. 4 4 2  x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 33
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 2  x 1 C.  ln  C.
D. ln x  2 .ln x  2  . C 4 2  x 4 2 x  3x  4 Câu 60. Tính dx  ta được kết quả 2 x  3x  2 x  1
A. x  2 ln x   1 x  2  . C B. x  2 ln  C. x  2 x  2 C. x  2 ln  C.
D. x  2 ln x 1  ln x  2  . C x  1 2 Câu 61. Tính dx  ta được kết quả 2 x  2x  1 1 2 A.   C. B.   C. x  1 x  1 4 x   1 C. 2
2 ln x  2x  1  . C D.    C x  2x   . 2 2 1 2  Câu 62. Tính dx  ta được kết quả 2 x  4x  4 2 1 A.   C. B.   C. x  2 x  2 2 2x  4 C. 2 2
 ln x  4x  4  . C D.    C
x  4x  4 . 2 2 2x Câu 63. Tính dx  ta được kết quả 2 x  2x  1 2 2 A. 2 ln x  1   C. B. 2 ln x  1   C. x  1 x  1 2 1 C. ln x  1   C. D. 2 ln x  1   C. x  1 x  1 2 2x  4x  5 Câu 64. Tính dx  ta được kết quả 2 x  2x  1 3 3 A. 2x   C. B. 2   C. x  1 x  1 2 4 C. 2x   C. D. 2x   C. x  1 x  1 2 Câu 65. Tính  
x ta được kết quả 2x   d 3 1 1 1 A.   C B.   C. 2 2x  1 . 2 2x 2 1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 34
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 1 C.    C D. C. 2x   . 2 1 2 2x  12 x  x
Câu 66. Biết một nguyên hàm của hàm số f x 2 2 4 
là hàm số F x thỏa mãn F 2  1. 1 x
Khi đó F x là hàm số nào sau đây? A. F x 2
 x  6x  6ln 1 x . B. F x 2
 x  6x  6ln 1 x 17. C. F x 2
 x  6x  6ln 1 x 17. D. F x 2
 x  6x  ln 1 x 17. 2 x  2x
Câu 67. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f x   ? x  2 1 x  x  x  x  A. F x 2 1  . B. F x 2 1  . x  1 x  1 x  x  x  C. F x 2 3 3  . D. F x 2 1  . x  1 x  1
Câu 68. Hàm số    7 x F x
e  tan x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? x   x 1 A.   x e
f x  e 7   .
B. f x  7e  . 2  cos x  2 cos x   x 1 C. f x x 2
 7e  tan x 1.
D. f x  7 e    . 2  cos x 
Câu 69. Cho hàm số y  f x có đạo hàm là f x 1 ' 
và f 0  1 thì f 1 có giá trị bằng 2x  1 A. ln 2. B. 2ln 3 1. C. 2ln 2  1. D. 2ln 3  1.
Câu 70. Nguyên hàm của hàm số 6 2 ( ) x f x e   là 1 A. f  xd 3x1 x  e C . B. f  xd 3x 1 x e   C . 3 1 1 C. f  xd 6x2 x  e  C . D. f  xd 3x 1 x e   C . 3 3 1
Câu 71. Nguyên hàm của hàm số f (x)  là 4x  1 A. f
 xdx  4x1C . B. f
 xdx  2 4x1C. 4x  1 C. f
 xdx   C . D. f
 xdx  4
 4x 1 C . 2 cos x
Câu 72. Hàm số f x thỏa mãn f 'x   là 4  sin x2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 35
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG sin x x A. f x      C B. f x sin C. 4  cos x . 2 4  sin x C. f x 1   C. D. f x 1    C. 4  cos x 4  sin x 1
Câu 73. Nguyên hàm của hàm số f (x)  là 2  x A. f
 xdx   2x C . B. f
 xdx  2
 2  x C . C. f
 xdx  2 2x C. D. f
 xdx  3
 2  x C .   
Câu 74. Cho hàm số y  f x có đạo hàm là f 'x  2sin 2x  cos x và f 0  4 thì f   có  2  giá trị bằng A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.
Câu 75. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x  2x  5 là 1 2 A. f
 xdx  2x5 2x5 C . B. f
 xdx  2x5 2x5 C . 3 3 1 1 C. f
 xdx   2x5 C . D. f
 xdx  2x5 C . 3 2
Câu 76. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x  4  3x là 2 2 A. f
 xdx  43x 43x . B. f
 xdx   43x 43x . 9 3 2 2 C. f
 xdx   43x 43x C . D. f
 xdx   43x C . 9 3 x 
Câu 77. Nguyên hàm F x của hàm số f x 2 1 
biết F 0  1, là x e x 2x  ln 2  1   A. F x  B. F x 2    . x e    . ln 2 1  e  x x 2x  ln 2     C. F x  D. F x 1 2 1 1        . x e    . ln 2 1 ln 2  1  e   e  1  ln 2
Câu 78. Nguyên hàm của hàm số 3 f ( )
x  x  3 là 3 3 A. f
 xdx  x3 3 x3 C . B. f
 xdx   x3 3 x3 C . 4 4 2 2 1  C. f
 xdx  x3 3 x3 . D. f
 xdx  x2 3 C . 3 3
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 36
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 79. Nguyên hàm của hàm số 3 f ( )
x  1 3x là 1 3 A. f
 xdx   13x 3 13x C . B. f
 xdx   13x 3 13x C . 4 4 1 2  C. f
 xdx  13x 3 13x C . D. f
 xdx    x 3 1 3  C . 4 1
Câu 80. Cho hàm số y  f x 
. Nếu F x là nguyên hàm của hàm số f x và đồ thị 2 sin 2x   
y  F x đi qua điểm A
; 0  thì F x là  12  x  x  A. F x cot 2 3   .
B. F x cot 2 3  . 2 2  x  C. F x cot 2 3  . D. F x 3  cot 2x  . 2 2
Câu 81. Nguyên hàm của hàm số   3x f x  e là 3 3 x e 3 A. f
 xdx   C. B. f
 xdx   C. 2 3 2 x e 3x2 2 2e 3 2 x e C. f
 xdx   C. D. f
 xdx   C. 3x  2 3
Câu 82. Hàm số F x  x  2 1
x  1  2016 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 2 5
A. f x  x   1 x  1  C.
B. f x  x   1 x  1  C. 5 2 5
C. f x  x   1 x  1.
D. f x  x   1 x  1  . C 2
Câu 83. Biết một nguyên hàm của hàm số f x  1 
 1 là hàm số F x thỏa mãn 1 3x F   2 1 
. Khi đó F x là hàm số nào sau đây? 3 A. F x 2  x  1 3x  3. B. F x 2  x  1 3x  3. 3 3 C. F x 2  x  1 3x  1. D. F x 2  4  1 3x. 3 3 a
Câu 84. Biết F( )
x  6 1 x là một nguyên hàm của hàm số f (x) 
. Khi đó giá trị của a 1  x bằng
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 37
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 A. 3  . B. 3 . C. 6 . D. . 6
Câu 85. Tính F( ) x  x sin d x x  ta được kết quả A. ( F )
x  xsin x  cos x  C . B. ( F )
x  sin x  xcos x  C . C. ( F )
x  sin x  xcos x  C . D. ( F )
x  xsin x  cos x  C .
Câu 86. Giả sử F x là nguyên hàm của hàm số f x 2
 3x  2x . Biết đồ thị của hàm số F x
và f x cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Lúc đó, tọa độ các giao điểm của hai đồ thị f x
và F x là A. 0; 0 .
B. 2  2;14 10 2; 0;0.
C. 2  2;14 10 2; 2  2;14 10 2 ; 0;0.
D. 1 2;4  2 2; 1 2;4  2 2 ; 0;0. Câu 87. Tính 2 x ln d x x  ta được kết quả 1 1 A. 2 x  2
2 ln x  2 ln x   1  C . B. 2 x  2
2 ln x  2 ln x   1  C . 4 2 1 1 C. 2 x  2
2 ln x  2 ln x   1  C . D. 2 x  2
2 ln x  2 ln x   1  C . 4 2
Câu 88. Giả sử F x là nguyên hàm của hàm số f x  2x 1. Biết đồ thị của hàm số F x và
f x cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Lúc đó, tọa độ các giao điểm của hai đồ thị f x và F x là A. 0; 1  . B. 3; 5 . C. 0; 1  và 3; 5 . D. 0; 1  và 3; 0 .
Câu 89. Tính F( )
x  x sin x cos d x x  ta được kết quả 1 x 1 x
A. F(x)  cos 2x  sin 2x  C .
B. F(x)  sin 2x  cos 2x  C . 4 2 8 4 1 x 1  x
C. F(x)  sin 2x  cos 2x  C . D. F(x) 
sin 2x  cos 2x  C . 4 8 4 8 x Câu 90. Tính 3
F(x)  xe dx  ta được kết quả x x
A. F x  x   3 ( ) 3 e  C.
B. F x  x   3 ( ) 3 3 e  C.  3 x x  3 x x C. 3 F(x)  e  C. D. 3 F(x)  e  C. 3 3
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 38
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG x
Câu 91. Tính F(x)  dx  ta được kết quả 2 cos x A. ( F )
x  x tan x  ln cos x  C . B. ( F )
x  x cot x  ln cos x  C . C. ( F )
x  x tan x  ln cos x  C . D. ( F )
x  x cot x  ln cos x  C . Câu 92. Tính 2 F( ) x  x cos d x x  ta được kết quả A. F x   2 ( )
x  2sin x  2xcos x C . B. 2 ( F )
x  2x sin x  x cos x  sin x  C . C. 2 ( F )
x  x sin x  2x cos x  2sin x  C . D. F x   2 ( )
2x  x cos x  xsin x C
Câu 93. Tính F( ) x  x sin 2 d x x  ta được kết quả x cos 2x sin 2x x cos 2x sin 2x A. F(x)    C . B. F(x)    C . 2 4 2 4 x cos 2x sin 2x x cos 2x sin 2x C. F(x)     C . D. F(x)     C . 2 4 2 4 Câu 94. Hàm số ( F )
x  xsin x  cos x  2017 là một nguyên hàm của hàm số nào? A. f ( )
x  x cos x . B. f ( )
x  x sin x . C. f ( )
x  xcos x . D. f ( )
x  x sin x . 1  ln x Câu 95. Tính dx  ta được kết quả 2 x ln x  2 1 ln(x  1) x A.  C. B.   ln  C. x x x  1 x  1 1 ln(x  1) C. 
1ln(x1)ln|x| . C D. 
 ln x 1  ln x C. x x
Câu 96. Để xác định 2 3 3 x 1 x dx 
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ A. 3 3 t  1 x . B. 3 t  1 x . C. 2 t  x . D. 2 3 3 t  x 1 x . 3 ln x Câu 97. Để tính dx 
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ x 1  x3 ln A. t  . B. t  ln . x
C. t   x3 ln . D. t  . x x 3 ln x Câu 98. Kết quả dx  là x 2 3 3ln x  ln x 4 ln x 4 ln x A. . B.  C. C.  C. D. 2 3ln x  . C 2 x 4x 4
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 39
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 2 Câu 99. Để tính x xe dx 
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ 2 2 A. 2 t  x . B. x t  e . C. x t  xe . D. x t  e . 2
Câu 100. Kết quả của x xe dx  là 2 x 2 e 2 2 A. x xe  . C B.  C. C. x e  C. D. x x  e  . C 2 1 1 Câu 101. Để tính cos dx 
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ 2 x x 1 1 1 1 1 A. t  . B. t  . C. t  cos . D. t  cos . 2 x x x x x 1 1
Câu 102. Kết quả của cos dx  là 2 x x 1 1 A. sin  C. B.  sin  C. x x 1 1 2 1 1 1 C.  sin  cos  C. D.   sin  C. 4 3 x x x x x x Câu 103. Để tính 5 sin x cos d x x 
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ A. t  cos . x B. t  sin . x C. 5 t  cos . x
D. t  sin xcos . x
Câu 104. Kết quả của 5 sin x cos d x x  là 6 cos x A. 4 5cos x  . C B.   C. 6 6 cos x C. 4
5cos xsin x  . C D.  C. 6
Câu 105. Kết quả của 2 2x x  d 1 x  là 2  x   x  A. 2 2 x  1    C.   B. 2 2 x  1    C.   2  x  1  2  2 x  1  2 1 C. x  3 2 2 1  C. D.
 2x x 1C. 3 3 cos x  sin x Câu 106. Để tính dx 
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số cos x  sin x phụ
A. t  cos x  sin . x
B. t  sin x  cos . x
C. t  cos x  sin x.
D. t  cos x  sin x.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 40
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG cos x  sin x
Câu 107. Kết quả của dx  là cos x  sin x A. 2
 cos x  sin x  . C
B. 2 cos x  sin x  . C
C. sin x  cos x  . C
D. sin x  cos x  . C Câu 108. Để tính x xe dx 
theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, để tối ưu ta nên đặt A. x
u  e , dv  d x . x B.  , d x u x v  e d . x C. x
u  xe , dv  d . x D. x
u  e , dv  d . x
Câu 109. Kết quả của x xe dx  là 2 x A. x x e  xe  . C B. x e  C. 2 2 x C. x x xe  e  . C D. x x
e  e  C. 2 Câu 110. Để tính 2 x cos xdx 
theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, để tối ưu ta nên đặt
A. u  x, dv  xcos d x . x B. 2
u  x , dv  cos d x . x C. u  x d 2
cos , v  x d . x D. 2
u  x cos x, dv  d . x
Câu 111. Kết quả của 2 x cos d x x  là A. 2
2xcos x  x sin x  . C B. 2
2xcos x  x sin x  . C C. 2
x sin x  xcos x  sin x  . C D. 2
x sin x  2xcos x  2sin x  . C
Câu 112. Để tính x ln
 2xdx theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, để tối ưu ta nên đặt
A. u  x, dv  ln2  xd . x
B. u  ln 2  x , dv  d x . x
C. u  x ln2  x , dv  d . x
D. u  ln2  x , dv  d . x
Câu 113. Kết quả của x ln
 2xdx là 2 2 x x x A.
ln 2  x  2ln2  x   x C. B. ln 2  x   C. 2 4 2  x 2 2 x x x C.
ln 2  x  2ln2  x   x C. D.   x 2 ln 2   x  C. 2 4 4 HẾT
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 41
CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Các phương pháp xác định nguyên hàm – Lê Bá Bảo Toán 12

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Toán 12

Gắn hệ tọa độ Oxyz để giải các bài toán hình học không gian – Phương Nguyễn Toán 12

20 kĩ thuật chinh phục vận dụng cao số phức – Hoàng Xuân Nhàn Toán 12

Phân dạng bài tập và lời giải chi tiết chuyên đề Tích phân – Lưu Huy Thưởng Toán 12

Phương pháp giải các bài toán Tích phân – Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn Toán 12