Các phương pháp xác định nguyên hàm – Lê Bá Bảo Toán 12
Các phương pháp xác định nguyên hàm – Lê Bá Bảo Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Môn: Toán 12
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
NGUYÊN HÀM_CÁC PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM
I – TỔNG QUAN LÝ THUYẾT: 1. Nguyên hàm
a. Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm
số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F'x f x với mọi xK . b. Định lí:
1) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số
Gx F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K .
2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x
trên K đều có dạng F x C , với C là một hằng số.
Do đó F x C, C là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K . Ký hiệu f
xdx FxC .
2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1: f
xdx f x và f '
xdx f xC
Tính chất 2: kf
xdx k f
xdx với k là hằng số khác 0 .
Tính chất 3: f
x gxdx f
xdx g xdx f x f xdx
Chú ý: f
x.gxdx f
xd .x g x
dx; dx g x g x . dx
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số Nguyên hàm của hàm số hợp Nguyên hàm của hàm sơ cấp
u ax ;b a 0
số hợp u ux 0dx C 0du C
dx x C
du u C
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 1
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 1 x 1 1 d 1 x x C ax b 1 dx . axb u d 1 u u C C 1 a 1 1 1 1 1 1 1 1 1
dx ln x C
dx ln ax b C
du ln u C x ax b a u x axb 1 d x
e x e C d axb e x e C ud u
e u e C a x axb u x a axb 1 A a dx C A dx . C u a a du C ln a a ln A ln a
a 0,a 1
a 0,a 1
a 0,a 1 cos ax b sin d
x x cos x C sin axb dx C sin d
u u cos u C a sin ax b cos d
x x sin x C cos axb dx C cos d
u u sinu C a 1 1
tan ax b 1
dx tan x C dx C
du tan u C 2 cos x 2
cos ax b a 2 cos u 1 1
cot ax b 1
dx cot x C dx C
du cot u C 2 sin x 2
sin ax b a 2 sin u
II – PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phƣơng pháp đổi biến số
Định lí 1: Nếu f
udu FuC và u ux là hàm số có đạo hàm liên tục thì f
uxu'xdx FuxC 1
Hệ quả: Nếu u ax b a 0 thì ta có f
axbdx FaxbC a
2. Phƣơng pháp nguyên hàm từng phần
Định lí 2: Nếu hai hàm số u ux và v vx có đạo hàm liên tục trên K thì u
xv'xdx uxvx u'
xvxdx
Vì v'xdx dv, u'xdx dv nên đẳng thức còn được viết dưới dạng: d u v uv d v u
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 2
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
II – BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA: Nhóm kỹ năng:
MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN
Ví dụ 1: Xác định: 4 2 2
x 3x 4x 2 a) x 1 2x 1d .x b) d . x c) 3 4
4 x 3 x d . x x 0. x Lời giải: 4 2 x
a) Ta có: x x dx 2
x x x dx 3 2 x x d 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 x
x x C. 2 4 2 4 2
x 3x 4x 2 2 x 3x b) Ta có: d 3 x
x 3x 4 dx
4x 2ln x C. x x 4 2 4 5 1 1 3 4 4x 3x 12
c) Ta có, với x 0 : 3 4 4 x 3 x d 3 4
x 4x 3x d 3 4 x 3x x x x C. 4 5 5 3 4
Ví dụ 2: Xác định: 2x 4x 2 e 2 e a) 2x1 4 d . x b) x 2 x e e d .x c) d . x x e Lời giải: 2x1 a) Ta có: 2x1 4 4 dx C. 2 ln 4 2x1 2x1 2 4 4 4 x 1 x 1 Nhận xét: 4 .16
.2 x (để phát triển đáp án trong vấn đề trắc nghiệm). 2 ln 4 4 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 3x 2 b) Ta có: x x d x x 2x
d x 2x 3x d x 2 2 4 4 4 4 4 2 x e e e x e e e x e e e x e e C. 3 2x 4x 3x 5 e 2 x e e e c) Ta có: dx
e e e x e C x 3x x 5 2 x d 2 x . e 3 5
Ví dụ 3: Xác định:
a) 2sin 4x 3cos 5x 1d .x b) 2 2
4 sin 2x 6 cos xd . x c) 4 2 sin 3 d x . x d) 4 4
sin 2x cos 2xd . x Lời giải: cos 4x 3sin 5x
a) Ta có: 2sin4x 3cos5x 1 dx x . C 2 5
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 3
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG b) Ta có: 2 2
4 sin 2x 6 cos xdx 2
1cos4x31cos2xdx
3cos2x2cos4x5dx 3sin 2x sin 4x 5x C. 2 2 2 2 1 cos6x 1 c) Ta có: 4 2 sin 3x 2 2 sin 3x 2 2 1 2 cos 6x cos 6x 2 2 1 1 cos12x 3 cos12x 1 2 cos 6x 2cos6x . 2 2 4 4 x x x x Vậy 4 3 cos12 3 sin 6 sin12 2 sin 3 d x x 2cos6x dx C. 4 4 4 3 48 1 1 1 cos 8x 3 cos 8x d) Ta có: 4 4 2
sin 2x cos 2x 1 sin 4x 1 . . 2 2 2 4 4 3 cos8x 3 sin 8x Vậy 4 4
sin 2x cos 2xdx dx x C. 4 4 4 32
Ví dụ 4: Xác định: a) 2 sin 3x cos 2 d x . x b) 6 sin 4x sin 2 d x . x c) cos 5x cos 2 d x . x
d) 8 sin 3x cos 2x sin 6 d x . x Lời giải: cos 5x
a) Ta có: 2 sin 3x cos 2 d x x
sinxsin5xdx cosx C. 5 3sin 2x sin 6x
b) Ta có: 6 sin 4x sin 2 d x x 3
cos2xcos6xdx . C 2 2 1 sin 3x sin7x
c) Ta có: cos 5x cos 2 d x x
cos3xcos7xdx . C 2 6 14
d) Ta có: 8sin 3xcos 2xsin 6x 4sin x sin 5xsin6x 4sin xsin6x 4sin 5xsin6x
2cos5x cos7x 2cosx cos11x 2cosx 2cos5x 2cos7x 2cos11x .
Vậy 8sin 3xcos 2xsin 6 d x x
2cosx2cos5x2cos7x2cos11xdx 2 sin 5x 2 sin 7x 2 sin11x 2sin x C. 5 7 11
Bài tập tự luyện: Xác định các nguyên hàm sau: 4 2 2
x 7x 2x 5 1) 3x 1 2x 1d .x 2) d . x 2 x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 4
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 3) 3 5 4 x x d . x x 0. 4) 2x 1 9 d . x 2x 4x 2 e 2 e 5) 2x 3 x e e d .x 6) d . x x e
7) 3sin 2x 2cos7x 1d .x 8) 2 2
2 sin 2x 4 cos 4xd . x 9) 4 6 sin 2 d x . x 10) 4 4
sin x cos xd . x 11) 8 sin 3x cos 6 d x . x 12) 10 sin 2x sin 8 d x . x 13) 4 cos 5x cos 3 d x . x
14) 16 sin 2xcos 3xsin 6 d x . x Nhóm kỹ năng:
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ PHÂN THỨC Nội dung: P(x)
Để tìm nguyên hàm của hàm số , trong đó ( P ) x , ( Q )
x là các đa thức, ta thực hiện như ( Q x) sau: - Nếu bậc của (
P x) không nhỏ hơn bậc của (
Q x) , thì ta tách phần nguyên ra, tức là biểu ( P x) P (x) P (x) biễn: 1 M(x) , trong đó (
M x) là đa thức, và 1
là phân thức có bậc của ( Q x) ( Q x) ( Q x)
P (x) nhỏ hơn bậc của ( Q x) . 1
- Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẩu, thì ta phân tích mẫu thành tích các nhị thức bậc
nhất và các tam thức bậc hai có biệt số âm: m 2 n 2 ( Q ) x (x )
a ...(x px q)
p 4q 0
- Phân tích phân thức hữu tỉ thành các phân thức đơn giản: ( P x) A A A 1 2 m
x am x px qn ... ... 2 2
xam 1 x a x a B x C B x C B x C 1 1 2 2 n n n ... n1 2 2 2 x px q x px q x px q
- Đồng nhất hai vế để tìm các hệ số A , A ,..., A , B ,..., B . 1 2 m 1 n
Cuối cùng việc tìm nguyên hàm của các phân thức hữu tỉ được đưa về nguyên hàm của đa
thức và các phân thức hữu tỉ đơn giản. LUYỆN TẬP:
Ví dụ 1: Xác định các nguyên hàm sau:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 5
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 4 3x 1 x 4x 2 a) I dx b) I dx 1 2 x 4 2x 1 Lời giải 3x 1 3(x 4) 13 1 a) Ta có: I dx dx d 3 x 13
dx 3x 13ln x 4 C 1 x 4 x 4 x 4 4 3 2 x 4x 2 x x x 47 1 1 b) Biểu diễn: . 2x 1 2 6 12 24 24 2x 1 Lúc đó: 4 3 2 4 3 2 x 4x 2 x x x 31 63 1 x x x 31x 63 I dx . d x
ln 2x 1 C. 2 2x 1 2 4 8 16 16 2x 1 8 12 16 16 32
Ví dụ 2: Xác định các nguyên hàm sau: 3 1 1 a) I dx b) I dx c) I dx 1 2 2 2 3 2 x 4 x 5x 6 2x 3x 1 Lời giải a) Ta có: 3 1
3 (x 2) (x 2) 3 1 1 3 x 2 I dx 3 dx dx dx ln C 1 2 x 4
(x 2)(x 2) 4
(x 2)(x 2)
4 x 2 x 2 4 x 2 b) Tương tự: 1 1
(x 2) (x 3) 1 1 x 3 I dx dx dx dx ln C 2 2 x 5x 6
(x 2)(x 3)
(x 2)(x 3)
x 3 x 2 x 2 1 1 c) Phân tích: 2 2x 3x 1 2x 1 1 x 2 1 x x 1 1 1 2
Hướng 1: I dx dx d x 3 2 2x 3x 1 2 x 1 1 x x 1 1 x 2 2 1 1 x 1 2x 2 dx ln C ln C x 1 1 1 2x 1 x x 2 2 1 1
(2x 1) 2(x 1)
Hướng 2: I dx x x 2x 3x 1
x 12x d 1
x 12x d 3 2 1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 6
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 2 x 1
dx ln x 1 ln 2x 1 C ln C
x 1 2x 1 2x 1
Nhận xét: Hướng 2 giải quyết tốt và gọn gàng hơn.
Ví dụ 3: Xác định các nguyên hàm sau: 2 3 2x 1 x x 2x x a) dx b) dx c) dx 2 2 2 x 5x 4 x 5x 6 x 3x 2 Lời giải 2x 1 2x 1 A B a) Phân tích: 2 x 5x 4
x 1x4 x1 x4 2x 1 ( A x 4) ( B x 1) x 1 x 4
x 1x4 (*) 2x 1
A Bx 4 A B Cách 1: (*) x 1 x 4
x 1x4
x A Bx A B A B 2 A 1 2 1 4 4
A B 1 B 3
Cách 2: Từ (*) đồng nhất ta có: 2x 1 ( A x 4) ( B x 1) (**)
Thay x 1 vào (**): 3 3
A A 1 .
Thay x 4 vào (**): 9 3B B 3. Lúc đó: 2x 1 1 3 2x 1 1 1 dx dx 3
dx ln x 1 3ln x 4 C 2 2 x 5x 4 x 1 x 4 x 5x 4 x 1 x 4 2x 1 2x 1 2x 1 3 2 3 Cách 3: dx x x x x 5x 4
x 1x4d
x 1x4d x 4
x1x4 d . 2
Nhận xét: Cách giải 2, tỏ ra khoa học và tốt hơn cách 1.
Ví dụ 4: Xác định các nguyên hàm sau: 2 2 2 x x 4 x 1 x a) I dx b) I x ) I x 1 3 2 2
x 3x 2x x 2 1 x 3d c 3 x d 5 1 Lời giải 2 2 2 x x 4 x x 4 x x 4 a) Phân tích: 3 2
x 3x 2x x 2
x 3x 2 (
x x 1)(x 2)
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 7
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 2 x x 4 A B C
Sử dụng đồng nhất thức: x (
x x 1)(x 2) x x 1 x 2 2 x x 4 (
A x 1)(x 2) B (
x x 2) C ( x x 1) x (
x x 1)(x 2) (
x x 1)(x 2) 2
x x 4 (
A x 1)(x 2) B (
x x 2) C ( x x 1) x (*)
Thay x 0 vào (*), ta được: 4 2A A 2
Thay x 1 vào (*), ta được: 4 B B 4
Thay x 2 vào (*), ta được: 6 2C C 3 . 2 x x 4 2 4 3 Lúc đó: I dx
dx 2 ln x 4 ln x 1 3ln x 2 C 1 3 2
x 3x 2x
x x 1 x 2 2 x 1 A B C b) Phân tích: x 2 2
x 1 x3 x1 (x1) x3 2 2 x 1 (
A x 1)(x 3) (
B x 3) C(x 1) x 2 2
x1 x3
x 1 x3 2 2 x 1 (
A x 1)(x 3) (
B x 3) C(x 1) x (*) 1
Thay x 1 vào (*) ta được: 2 4B B . 2 5 Thay x 3
vào (*) ta được: 10 16C C . 8 3B C 1 3
Thay x 0 vào (*) ta được: 1 3
A 3B C A . 3 8 2 3 1 5 x 1 3 1 1 5 Lúc đó: 8 2 8 I dx
x ln x 1 .
ln x 3 C 2 x 2 1 x 3 d 2 x 1 (x 1) x 3 8 2 x 1 8 2 x A B C D E c) Phân tích: x 5 2 3 4 5
x 1 (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) 1
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức như trên.
Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau: 3 2 2x 1 2x x 1) dx 2) dx 3) dx 2 2 2 4x 9 x 5x 4 x 3x 2 2 2x 6 x 2x 6 x 2 4) x x x
x 23x d 5) 1
x 1x2x4d 6) xx3d
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 8
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 3 3 2 x x 1
5x 17x 18x 5 7) dx 8) x x 2 x 6x 5 x 2x d 9) 2 x 3 2 1 x 2 d 3 2 5 x 2x x 1 x 1 10) x dx 11) x x 2 1
x 2 x d 12) d 4 2 2 x 8x 16 1 3 Nhóm kỹ năng:
NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN sin x DẠNG 1:
I f (x) dx
, trong đó f (x) : đa thức. cosx u f x d / ( ) u f (x d ) x
Phương pháp: Đặt dv sin d
x x chän: v sin d x x
Ví dụ 1: Xác định: a) x 1sin2 d x . x b) 2 x xcos d x . x Lời giải u
x 1 du dx a) Đặt cos 2x sin 2 d
x x dv chän v 2 x 1 cos 2x cos 2x x 1 cos 2x sin 2x Ta có: x 1 sin 2 d x x dx C. 2 2 2 4 2 u
x x du 2x 1 dx Đặt . Ta có: 2 x x d x x 2 cos
x xsin x 2x 1sin d x . x cos d
x x dv chän v sin x u
2x 1 du 2dx Xét 2x 1sin d x . x Đặt sin d
x x dv chän v cos x
Ta có: 2x 1 sin d
x x 2x 1 cos x 2cos d x x
2x 1cosx2sinxC. Vậy 2 x x d x x 2 cos
x xsin x 2x
1 cos x 2 sin x C '. DẠNG 2: ( ). x I f x e dx
, trong đó f (x) : đa thức. u f x d / ( ) u f (x d ) x
Phương pháp: Đặt d x
v e dx chän: x
v e dx
Ví dụ 2: Xác định: a) 2 1 x x e d . x b) 2 4 x x x e d . x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 9
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Lời giải u
x 1 du dx 2x 2 2 x x 2 x 1 e e x 1 x e e a) Đặt 2x
. Ta có: x 2x 1 e dx dx C. 2x e
e dx dv chän v 2 2 2 4 2 2 u
x 4x du 2x 4dx b) Đặt
. Ta có: 2 xd 2 4
4 x 2 4 x x x e x x x e x e dx x
e dx dv chän x v e u
2x 4 du 2dx Xét 2 4 x x
e dx . Đặt . x
e dx dv chän x v e
Ta có: 2 4 xd 2 4 x 2 xd
2 4 x 2 x x e x x e e x x e e . C
Vậy 2 xd 2 4
4 x 2 4 x 2 x x x e x x x e x e e C '. ln x DẠNG 3:
I f (x) dx
, trong đó f (x) : đa thức. log x a 1 u ln x du dx
Phương pháp: Đặt x
dv f(x d
) x chän: v f (x d ) x
Ví dụ 3: Xác định: a) 2x 1ln d x . x b) x 2 ln x xd . x Lời giải 1 u
ln x du dx a) Đặt x . 2x
1dx dv chän 2
v x x 2 x
Ta có: x d x x 2
x x x x dx 2 2 1 ln ln 1
x xln x x C 2 u 2x x 2x 1 ln du dx 2 a) Đặt x x 2 x d
x x dv chän v 2 2 2 x 1 x 2x 1 Ta có: x ln
2x x x ln 2x x d dx 2 2 2 x x 2 x x x 2 2 2 1 1 x x x 1 ln 2x 1 dx ln
2x x ln x1 C. 2 2 x 1 2 2 2 2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 10
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Bài tập tƣơng tự:
1) Xác định các nguyên hàm sau: I x sin d x x I x cos 2 d x x 2 I 2x cos d x x 1 2 3 I 2x 1 cos x x I 2 x 1 sin x x I 2
x cos x sin x x 6 d 5 d 4 2 d x sin x x sin x I 2
x sin x cos x x I dx I dx 7 d 8 cos2x 9 1 cos x x sin x I x 2 2 cos x 1 x I dx I x sin d x x 10 d 11 3 cos x 12
I sin xdx 2 I x tan d x x I 2
x 2x 3 cos x x 15 d 13 14 x x I dx I 2 x 5 sin x x I dx 17 d 16 2 cos x 18 cos 2x 1
2) Xác định các nguyên hàm sau: x 2
I xe dx 2 x
I x e dx 1 x I x e x 3 2 d 1 2 x 2
I e dx 3 x
I x e dx 2x I d x x 4 5 6
2 2 1 x I x x e x cos x I e .sin 2 d x x xln x I e dx 7 d 8 9
3) Xác định các nguyên hàm sau: I ln d x x I x ln d x x 2 I ln d x x 1 2 3 ln d x x I
I log x 3 x I lg d x x 5 2 d 4 6 x I 2x ln 1xdx I x ln 2 1 x x I ln
2x x x 9 d 8 d 7 I ln
2x 1 x 2 I x ln d x x 3 2 I x ln d x x 10 d 11 12 ln x ln ln x 2 I dx I dx I 1 ln x x 15 d 13 3 x 14 x ln x 2 x 1 I I x ln
2x 1 x I ln d x x 17 d 18 x dx 16 2 1 x
4) Xác định các nguyên hàm sau: x I e cos d x x I cos ln x x I sin . x ln(tan x d ) x 2 d 1 3 5 x I e sin 2 d x x 3x I e .sin 5 d x x I cos .
x ln 1 cos x x 6 d 4 5
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 11
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 2x 2 I e sin d x x
I sin x ln cos x x I ln
2x x x 9 d 8 d 7
I x cosxsin d x x 2
I x sin x cos d x x 2 I (x ln ) x dx 10 11 12 Nhóm kỹ năng: ĐỔI BIẾN
Ví dụ 1: Xác định a) A tan d x . x b) B cot d x x . Lời giải sin x a) A tan d x x dx cosx dt
Đặt t cos x dt sin d
x x . Khi đó: A
ln t C ln cos x C . t cos x b) B cot d x x dx sinx dt
Đặt t sin x dt cos d
x x . Khi đó: A
ln t C ln sin x C . t
Ví dụ 2: Xác định nguyên hàm của hàm số f x trong các trường hợp sau: a) 1cos x f x e sin . x b) f x 3 5 sin xcos . x Lời giải a) d 1cos x I f x x e sin d x . x
Đặt t 1 cos x dt sin d x . x Khi đó: t d t 1cos x I
e t e C e . C b) I f xd 3 5 x x d x x x 2 x 5 sin cos sin 1 cos cos d x . x
Đặt t cos x dt sin d x . x t t x x
Khi đó: I t t dt t t 8 6 8 6 2 5 7 5 cos cos 1 dt C C. 8 6 8 6
Ví dụ 3: Xác định các nguyên hàm sau: 2 9x 12x x 1 a) A d . x b) B d . x 3 2 x 2x 5 x 1 Lời giải 3 2 2 3x 4 9 12 x x x a) A dx d . x 3 2 3 2 x 2x 5 x 2x 5 d 3 t Đặt 3 2
t x x dt 2 2 5 3x 4xd . x Khi đó: 3 2 A
3ln t C 3ln x 2x 5 C. t
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 12
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG x 1 b) B d . x x1 Đặt 2
t x 1 t x 1 2tdt d . x 2t 3 1 1 t Khi đó: B 2tdt 2
2t 2dt 2 2tC t 3 x 1
2 x 1 x 5 2 x 1 2 C C. 3 3
Ví dụ 4: Xác định các nguyên hàm sau: x 2 ln 1 dx a) A d . x b) B . x
x ln x ln ln x Lời giải x 2 ln 1 a) A d . x x 3 dx 3 t ln x 1 2
Đặt t ln x 1 dt
. Khi đó: A t dt C C. x 3 3 dx
b) B x x x. ln ln ln 1 dt
Đặt t ln ln x dt d .
x Khi đó: I
ln t C ln ln lnx C. x ln x t
Ví dụ 5: Xác định các nguyên hàm sau: x e 1 sin x cos x a) I d . x b) J . x x x e
sinxcosx d 2 Lời giải x e 1 a) I d . x x x e dt Đặt 1 x 1 x t e dt
e dx. Khi đó: I
ln t C ln 1 x e C. t sin x cos x a) J x
sin x cos x d . 2 dt 1 1
Đặt t sin x cos x dt cos x sin xdx . Khi đó: J C C . 2 t t sin x cos x
Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau: 1 cot x 1 3ln x ln x 1) A d . x 6) F d . x 2 sin x x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 13
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG cosln x 2) B d . x 7) cos2x G e sin x cos d x . x x 1 3) 2 3 C sin x cos d x . x 8) H d . x 2 x x 1 x x e e sin 2x 4) D d . x 9) I d . x x x e e 2 4 cos x 5) 3 3 2 E x x d 1 . x 10) 4 K cos d x . x Nhóm kỹ năng: DÙNG VI PHÂN
Ví dụ 1: Xác định a) I tan d x . x b) I cot d x . x Lời giải d sin x cosx a) Ta có: I tan d x x dx
ln cos x C. cos x cos x d cos x sinx b) Ta có: I cot d x x dx
ln sin x C. sin x sin x sin2 1 2 x
Ví dụ 2: Xác định a) I dx . b) sinx I e cos xcos d x x . 1 sin2x Lời giải 1 s 2 in2x cos d 2x 1 1sin2x 1 a) Ta có: I dx dx ln
1sin2xC. 1 sin2x 1 sin2x 2 1 sin2x 2
Nhận xét: So với phép đổi biến t 1 sin2x thì cách dùng vi phân tỏ ra khoa học hơn. x
b) Ta có: I sinx e x d sin x x x e d 2 x x d sin x 1 cos 2 cos cos cos cos x x e d sinx dx 2 sin x 1 1 e
x sin 2x C. 2 4 dx x e dx
Ví dụ 3: Xác định a) I . b) I x e 1 x e 3 1 Lời giải
a) Dùng kỹ thuật “thêm, bớt”, ta phân tích:
xe 1 x x e d x d e x e 1 I dx dx dx dx x e 1 x e 1 x e 1 x e 1 ln x x e 1 C.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 14
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 3 1 x 2 xd 3 1 e e x x x 3 b) Ta có: I
1e 2 d1e C C. x 3 3 1 1 x 1 e e 2 3 x dx 3 4x
Ví dụ 4: Xác định a) I . b) I d . x 2 x 1 2 2x 3x 1 Lời giải
a) Dùng kỹ thuật “thêm, bớt”, ta phân tích: 2
2x 1 1. dxx d 2 3d . d d x x x x x x x x 1 1 I d x x d x x 2 2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 2
ln x 1 C. 2 2 3 2 4 2x 3x x x 1' 7 3 7 9 1 b) Phân tích: 2x 3 2x 3 . . 2 2 2 2 2x 3x 1 2x 3x 1 4 2x 3x 1
4 2x 3x 1
2x 3x / 1
2x 12x 1 7 9
7 2x 3x 1/ 2 2 9 1 2 2x 3 . . 2x 3 . 2 2 4 2x 3x 1 4
(x 1)(2x 1) 4 2x 3x 1
4 x 1 2x 1
2x 3x / 2 1 7 9 1 2 Suy ra: I 2x 3 . d x 2 4 2x 3x 1
4 x 1 2x 1 d 7 2
2x 3x x 2x 3 1 d 9 1 9 2 1 dx dx 2 4 2x 3x 1 4 x 1 4 2x 1 2 x x 7 2 9 9 3
ln 2x 3x 1 ln x 1 ln 2x 1 . C 4 4 4
Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau: 3x 2
ln x ln x 4 x e dx 1) I dx 2) I dx 3) I 2 x 1 2x x e 2 sin2x dx 4) sinx I e c
. osx tanxdx 5) I dx 6) I x x cos2x s 4 in2x
e 2e 3 sin2x c . osx 2 x 2 x e 2 x x e 7) I dx 8) 3 2
I x . 1 x dx 9) I dx 1 cosx 2 x e 1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 15
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
IV – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA: Câu 1.
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu F x là một nguyên hàm của f x trên a; b và C là hằng số thì f
xdx FxC.
B. Mọi hàm số liên tục trên a; b đều có nguyên hàm trên a; b .
C. F x là họ nguyên hàm của f x trên a b / ;
F x f x, x ; a b . / D. f
xdx f x, x ;ab . Lời giải
Phương án C sai, vì F x là một nguyên hàm của f x trên chỉ kéo theo được /
F x f x , x ;
a b Chọn đáp án C. Câu 2.
Khẳng định nào sau đây là sai? 1 A. 0dx C ( C là hằng số). B.
dx ln x C ( C là hằng số). x 1 x C. x dx C
( C là hằng số). D. dx x C (C là hằng số). 1 Lời giải
Ở phương án C, trường hợp 1
thì khẳng định trên sai Chọn đáp án C. Câu 3.
Hàm số f x 1 có nguyên hàm trên: cos x A. 0; . B. ; . C. ; 2 . D. ; . 2 2 2 2 Lời giải
Ta có: Vì f x 1
xác định và liên tục trên khoảng ;
nên hàm số có nguyên cos x 2 2 hàm trên ;
Chọn đáp án B. 2 2 Câu 4.
Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số x 4 3 ? x 5 3 x 5 3 x 5 3 x 5 3 A. . x B. . C. 2016. D. 1. 5 5 5 5 Lời giải x 3 / 5 4 4 Ta có:
x x 3 1 x 3 Chọn đáp án A. 5
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 16
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Câu 5.
Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại? A. sin 2x và 2 cos . x B. cos 2x và 2 sin . x 2 C. 2x e và 2 2 x e . D. tan 2x và . 2 cos 2x Lời giải 2 Vì tan 2x'
nên phương án D đúng Chọn đáp án D. 2 cos 2x 1 Câu 6.
Nguyên hàm F x của hàm số f x biết F là 2 sin x 2 2
A. F x . x
B. F x cot x . 2
C. F x cot . x
D. F x sin x 1. 2 Lời giải 1
Ta có: F x
dx cot x C . 2 sin x F
cot C C
. Vậy F x cot x
Chọn đáp án B. 2 2 2 2 2 2 3 1 Câu 7.
Hàm số F x thỏa mãn F 'x
Lúc đó, F x là 3x . 2 1 x12 A. F x 1 1 C. B. F x 1 3 C. 3x 1 x 1 x 1 3x 1 C C. F x 1 1 C. D. F x 1 . x 1 3x 1 x 1 3x 1 Lời giải 3 1 1 1
Ta có: F x d x d 3x 1 d x 1 2 2 2 2 3x 1 x 1 3x1 x1 1 1
C Chọn đáp án C. x 1 3x 1 Câu 8.
Hàm số F x biết F x 2 '
3x 2x 1 và đồ thị y F x cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2017 là A. F x 2
x x 2017.
B. F x cos 2x 2016. C. F x 3 2
x x x 2017. D. F x 3 2
x x x 2016. Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 17
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Ta có: F x 2 x x d 3 2 3 2
1 x x x x C .
Đồ thị y F x cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2017 F 0 2017
C 2017 . Vậy Fx 3 2
x x x 2017 Chọn đáp án C. 1 Câu 9.
Nguyên hàm của hàm số f ( )
x 2x 1 ; x là 2 1 2 A. f
xdx 2x 1 2x1C. B. f
xdx 2x 1 2x1C. 3 3 1 1 C. f
xdx 2x1C . D. f
xdx 2x1C. 3 2 Lời giải 1 1
Ta có: f xdx 2x d 1 x 2x 2 1 d 2x 1 2 1 x 32 2 1 1
C 2x 1
2x 1 C Chọn đáp án A. 2 3 3 2
Câu 10. Hàm số 3 x
F x e là một nguyên hàm của hàm số A. 3x f x e . B. 3 2 3 x f x x e . 3 x e C. f x . D. 3 3 x
f x x e 1. 2 3x Lời giải / 3 3 Ta có: x 2 ' 3 x F x e
x e Chọn đáp án B. 1
Câu 11. Nguyên hàm của hàm số f (x) là 2 sin x 6 1 A. f (x d
) x cot x C . B. f (x d
) x cot x C . 6 6 4 1 C. f (x d
) x cot x C . D. f (x d
) x cot x C . 6 6 6 Lời giải 1 1 Ta có: f (x d ) x dx d x cot x C . 2 2 6 6 sin x sin x 6 6
Chọn đáp án A.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 18
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 12. Biết một nguyên hàm của hàm số f x 2 sin 4x là hàm số F x thỏa mãn F 3 0 . 2
Khi đó F x là hàm số nào sau đây? x x A. F x cos 4 2 . B. F x cos 4 2 . 4 2 x
C. F x cos 4 2 .
D. F x 2cos 4x 2 . 2 Lời giải cos 4x 1 3
Ta có: F x 2sin 4 d x x C . Vì F 3 0 nên C C 2 . 2 2 2 2 x Vậy F x cos 4
2 Chọn đáp án B. 2
Câu 13. Giá trị m để hàm số F x 3 2
mx x 2 4 2
m 2 x 1 là một nguyên hàm của hàm số f x 2
12x 4x x là A. m 1 . B. m 0 . C. m 1. D. m 2 . Lời giải
Ta có: F x 2 2 '
12mx 4x m 2 f x. Đồng nhất các hệ số tương ứng ta được: 1 2m 12
m 1 Chọn đáp án C. 2 m 2 1 1 Câu 14. Tính dx ta được kết quả 2 4 x 1 1 2 x
A. ln 2 x2 x C. B. ln C. 4 4 2 x 1 2 x 1 C. ln C.
ln x 2 .ln x 2 . C 4 2 D. x 4 Lời giải 1 1 1 1 1 Ta có: dx x x 4 x
2x2 xd d 2
4 2 x 2 x 1 1
ln 2 x ln 2 x C ln 2 x2 x C Chọn đáp án C. 4 4
Câu 15. Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x 1 '
và f 0 1 thì f 1 có giá trị bằng 2x 1 1 A. ln 2. B. 2ln 3 1. C. 2ln 3 1. D. ln 3 1. 2 Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 19
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 1 1 1
Ta có: f x dx d
2x 1 ln 2x1 C . 2x 1 2 2x 1 2 f 0 1
1 ln1C 1 C 1 f x 1 ln 2x 1 1 2 2 Vậy f 1
1 ln 3 1 Chọn đáp án D. 2 1
Câu 16. Cho hàm số y f x
. Nếu F x là nguyên hàm của hàm số f x và đồ thị 2 sin 2x
y F x đi qua điểm A
; 0 thì F x là 12 x x A. F x cot 2 3 .
B. F x cot 2 3 . 2 2 x C. F x cot 2 3 . D. F x 3 cot 2x . 2 2 Lời giải 1 1
Ta có: F x
dx cot 2x C . 2 sin 2x 2 1 3
Đồ thị y F x đi qua điểm A ; 0 0 F
cot C 0 C . 12 12 2 6 2 x Vậy F x 1 3 cot 2 3 cot 2x
Chọn đáp án C. 2 2 2 3 ln x Câu 17. Kết quả dx là x 2 3 3ln x ln x 4 ln x 4 ln x A. . B. C. C. C. D. 2 3ln x . C 2 x 4x 4 Lời giải 3 4 ln x ln x Ta có: d 3 x ln d x lnx C
Chọn đáp án C. x 4
Câu 18. Tính F( ) x x sin d x x ta được kết quả A. ( F )
x xsin x cos x C . B. ( F )
x sin x xcos x C . C. ( F )
x sin x xcos x C . D. ( F )
x xsin x cos x C . Lời giải
Đặt u x, dv sin d
x x du dx, v cos x . Ta có: ( F )
x x cos x cos d
x x x cos x sin x C
Chọn đáp án B.
Câu 19. Kết quả của x ln
2xdx là
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 20
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 2 2 x x x A.
ln 2 x 2ln2 x x C. B. ln 2 x C. 2 4 2 x 2 2 x x x C.
ln 2 x 2ln2 x x C. D. x 2 ln 2 x C. 2 4 4 Lời giải 2 1 x
Đặt u ln 2 x , dv d x x du dx, v . 2 x 2 2 2 x x Ta có: x ln
2 xdx nl2 x x C 2 22 x d 1 2 x x x 2 x 2 2 1 4 1 ln x2 d x
ln 2 x
2x 4ln 2 x C 2 2 2 x 2 2 2 2 x x 2x ln 2
x 2ln2 xC Chọn đáp án A. 2 4
Câu 20. Giả sử F x là nguyên hàm của hàm số f x 2x 1. Biết đồ thị của hàm số F x và
f x cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Lúc đó, tọa độ các giao điểm của hai đồ thị f x và F x là A. 0; 1 . B. 3; 5 . C. 0; 1 và 3; 5 . D. 0; 1 và 3; 0 . Lời giải
Ta có: F x x d 2 2
1 x x x C .
Phương trình hoành độ giao điểm của F x và f x : 2
x x C 2x 1
Đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung C F x 2 1
x x 1. x 0 Khi đó 2 2
x x 1 2x 1 x 3x 0 x 3
Vậy có hai giao điểm là 0; 1 và 3;5 .
Chọn đáp án C.
Câu 21. Nguyên hàm của hàm số 3 f ( )
x 2 3x là 1 3 A. f
xdx 23x 3 23x C. B. f
xdx 23x 3 23x C . 4 4 2 1 C. f
xdx x 3 2 3 C . D. f
xdx 23x 3 23x C . 4 Lời giải Ta có: f xd 3 x 2 3xdx
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 21
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Đặt 3 3 2
t 2 3x t 2 3x 3t dt d 3 x d 2 x t dt . 1 1 Khi đó f xd 3 x t d 4
t t C
23x 3 23x C. 4 4
Chọn đáp án D. sin 3x
Câu 22. Nguyên hàm của hàm số f (x) là cos 3x 1 1 A. f (x d
) x ln cos 3x 1 C . B. f (x d
) x ln cos 3x 1 C . 3 1 C. f (x d
) x ln cos 3x 1 C . D. f (x d
) x ln cos 3x 1 C . 3 Lời giải sin 3x Ta có: f
xdx dx . cos 3x 1 1
Đặt t cos 3x 1 dt 3 sin d x x sin d x x dt 3 1 t 1 1 Khi đó f x d dx
ln t C ln cos3x 1 C . 3 t 3 3
Chọn đáp án B. 1
Câu 23. Nguyên hàm của hàm số f (x) là 2 x A. f
xdx ln2 xC. B. f
xdx 2 x 2ln2 xC. C. f
xdx 2 x 2ln2 xC. D. f
xdx 22ln2 xC . Lời giải 1 Ta có: f
xdx dx . 2 x 2
Đặt t 2 x x t 2 x t 2 dx 2t 2dt . 2 t 2 dt 2 Khi đó f x dx 2 dt 2
tln t C1 t t
22 x ln 2 x C 2 x 2ln 2 x C . 1
Chọn đáp án C.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 22
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG x 1
Câu 24. Nguyên hàm của hàm số f (x) là x 1 2 A. f
xdx x10 x1C. B. f
xdx x10 x1C . 3 x 3 2 C. f
xdx C . D. f
xdx x1 C . 2x 1 x 1 x 1 Lời giải x 1 Ta có: f
xdx dx . x 1 Đặt 2
t x 1 t x 1 2tdt dx dx 2tdt . 2 t 2 1 Khi đó f
xdx .2tdt 2 2t 2d 3 t 2 t 2t C t 3 2 x 2 1
x 1 4 x 1 C x 10 x 1 C . 3 3
Chọn đáp án A.
Câu 25. Nguyên hàm của hàm số cos ( ) x f x e
cot xsinx là A. d cos ( ) x f x x e sin x C . B. d cos ( ) x f x x e sin x C . C. d cos ( ) x f x x e sin x C . D. d cos ( ) x f x x e sin x C . Lời giải Ta có cosx d cos ( ) cot sin x f x e x x x e sin d x x cos d x x cos x d d cos cos cos x e x x x e sin x C .
Chọn đáp án C.
V – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN: Câu 1.
Mỗi khẳng định sau đúng hay sai (đánh dấu X vào ô thích hợp)?
Các cặp hàm số sau đây đều là nguyên hàm của cùng một hàm số: Đúng Sai 1 a) f x 2
ln x 1 x và gx . 2 1 x b) sinx f x e cos x và sin x g x e .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 23
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 2 c) f x 2 1 sin
và g x sin . x 2 x x x 1 d) f x và g x 2
x 2x 2 . 2 x 2x 2 e) 1 2 x
f x x e và 1 2 1 x g x x e . Câu 2.
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu F x là một nguyên hàm của f x trên a; b và C là hằng số thì f
xdx FxC.
B. Mọi hàm số liên tục trên a; b đều có nguyên hàm trên a; b .
C. F x là một nguyên hàm của f x trên a b / ;
F x f x, x ; a b . / D. f
xdx f x, x ;ab . Câu 3.
Khẳng định nào sau đây là sai? A. f
xdx FxC f
tdt FtC. / B. f
xdx f x . C. f
xdx FxC f
udx FuC . D. kf
xdx k f
xdx (k là hằng số). Câu 4.
Khẳng định nào sau đây là sai? A. f
x gx dx f
xdx g
xdx. B. kf xdx k f xd ;x k . / C. f
xdx f x. D. f
x.gx dx f
xd .x g xdx. Câu 5.
Khẳng định nào sau đây là sai? 1 A. 0dx C ( C là hằng số). B.
dx ln x C ( C là hằng số). x 1 x C. x dx C ( ( C là hằng số). D. dx
x C C là hằng số). 1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 24
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Câu 6.
Hàm số f x có nguyên hàm trên K nếu:
A. f x xác định trên K.
B. f x có giá trị lớn nhất trên K.
C. f x có giá trị nhỏ nhất trên K.
D. f x liên tục trên K. Câu 7.
Hàm số f x 1 có nguyên hàm trên: cos x A. 0; . B. ; . C. ; 2 . D. ; . 2 2 2 2 Câu 8.
Nếu f x liên tục trên khoảng D thì:
A. f x không có nguyên hàm trên D.
B. f x có đúng một nguyên hàm trên D.
C. f x có hai nguyên hàm trên D.
D. f x có vô số nguyên hàm trên D. Câu 9. Hàm số 4 5 f x x có nguyên hàm trên: A. ; . B. 0; . C. ; 0. D. 0; .
Câu 10. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số x 4 3 ? x 5 3 x 5 3 A. . x B. . 5 5 x 5 3 x 5 3 C. 2016. D. 1. 5 5
Câu 11. Cho hàm số f x xác định trên K. Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số
f x trên K nếu với mọi xK, ta có:
A. F 'x f x C.
B. F 'x f x.
C. f 'x F x.
D. f 'x F x . C
Câu 12. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại? A. sin 2x và 2 cos . x B. sin 2x và 2 sin . x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 25
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 C. x e và x e . D. 2 tan x và . 2 2 cos x
Câu 13. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại? A. sin 2x và 2 cos . x B. cos 2x và 2 sin . x 2 C. 2x e và 2 2 x e . D. tan 2x và . 2 cos x
Câu 14. Nguyên hàm của hàm số f x 3
x 3x 2 là hàm số nào trong các hàm số sau? x A. F x 2
3x 3x C . B. F x 4 2
3x 2x C . 3 x x x x C. F x 4 2 2x C . D. F x 4 2 3 2x C . 4 2 4 2
Câu 15. Hàm số F x 3 2
5x 4x 2x C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A. f x 2
5x 4x 2. B. f x 2
15x 8x 2. x x x C. f x 2 3 2 5 4 . D. f x 2
5x 4x 2 . 4 3 2
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số: 2 5
y x 3x là x x 3 x 3 A. F x 3 2
x 5ln x C . B. F x 3 2
x 5ln x C . 3 2 3 2 x 3 5 C. F x 3 2
x 5ln x C .
D. F x 2x 3 C . 3 2 2 x
Câu 17. Nguyên hàm của hàm số f x x 1 x 2 là x 2
A. F x 2x 3 C . B. F x 3 2
x 2x C . 3 3 x 3 x 2 C. F x 3 2
x 2x C . D. F x 3 2
x 2x C . 3 2 3 3 1
Câu 18. Nguyên hàm F x của hàm số f x biết F là 2 sin x 2 2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 26
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
A. F x . x
B. F x cot x . 2
C. F x cot . x
D. F x sin x 1. 2 1
Câu 19. Nguyên hàm của hàm số f x
trên khoảng 0; là 2 sin x 2 cos x 2 cos x A. cot x . C B. cot x . C C. C. D. C. 3 sin x 2 sin x
Câu 20. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai (đánh dấu X vào ô thích hợp)?
Các cặp hàm số sau đây đều là nguyên hàm của cùng một hàm số: Đúng Sai x x x x a) F x 2 2 3 và G x 2 2 9 . 2x 3 2x 3 b) F x 2
5 2sin x và Gx 1 cos2 . x
c) F x x 2 5 và Gx 2
x 10x 7. 1 d) F x và Gx 2 tan x 8. 2 cos x
Câu 21. Hàm số F x ln x là nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên 0; ? 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . x x 2 x 2 x 2 2 7
Câu 22. Nguyên hàm F x của hàm số f x
là hàm số nào sau đây? 2 5 2x x x A. F x 7
ln 5 2x 2ln x C . B. F x 7
ln 5 2x 2ln x C . x x C. F x 7
ln 5 2x 2ln x C . D. F x 7
ln 5 2x 2ln x C . x x 3 1
Câu 23. Hàm số F x thỏa mãn F 'x
Lúc đó, F x là 3x . 2 1 x12 A. F x 1 1 C. B. F x 1 3 C. 3x 1 x 1 x 1 3x 1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 27
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG C C. F x 1 1 C. D. F x 1 . x 1 3x 1 x 1 3x 1
Câu 24. Hàm số F x biết F x 2 '
3x 2x 1 và đồ thị y F x cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2017 là A. F x 2
x x 2017.
B. F x cos 2x 2016. C. F x 3 2
x x x 2017. D. F x 3 2
x x x 2016.
Câu 25. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x sin 4x là 1 1 A. f (x d
) x cos 4x C . B. f (x d
) x cos 4x C . 4 4 C. f (x d
) x cos 4x C . D. f (x d
) x cos 4x C .
Câu 26. Nguyên hàm của hàm số f (x) cos 2x là 4 1 A. f (x d
) x sin 2x C . B. f (x d
) x sin 2x C . 2 4 4 1 1 C. f (x d
) x sin 2x C . D. f (x d
) x sin 2x C . 2 4 2 4
Câu 27. Hàm số 3 x F x e
là một nguyên hàm của hàm số A. 3 x f x e . B. 3 2 3 x f x x e . 3 x e C. f x . D. 3 3 x
f x x e 1. 2 3x x
Câu 28. Nguyên hàm của hàm số 2 f (x) 1 a t n là 6 x x A. f
xdx tan C . B. f
xdx 6tan C . 6 6 1 x x C. f
xdx tan C . D. f
xdx 6 tan C . 6 6 6
Câu 29. Biết f
vdu FvC. Khẳng định nào sau đây đúng? A. f
4x3dx 4Fx3 . C B. f
4x3dx F4x3 . C
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 28
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 C. f
4x3dx F4x3C. D. f
4x3dx 4F4x3 . C 4
Câu 30. Hàm số F x , thỏa mãn điều kiện F x 5 ' x là x 5 x
A. F x 1 C. B. F x 2 5ln x C. 2 x 2 x x C. F x 2 5ln x C. D. F x 2 5ln . x 2 2 1
Câu 31. Nguyên hàm của hàm số f (x) là 2 sin x 6 1 A. f (x d
) x cot x C . B. f (x d
) x cot x C . 6 6 4 1 C. f (x d
) x cot x C . D. f (x d
) x cot x C . 6 6 6
Câu 32. Biết một nguyên hàm của hàm số f x 2 sin 4x là hàm số F x thỏa mãn F 3 0 . 2
Khi đó F x là hàm số nào sau đây? x x A. F x cos 4 2 . B. F x cos 4 2 . 4 2 x
C. F x cos 4 2 .
D. F x 2cos 4x 2 . 2
Câu 33. Nguyên hàm của hàm số 2 2 f ( )
x sin x cos x là sin 2x A. f (x d
) x sin 2x C . B. f (x d ) x C . 2 sin 2x C. f (x d
) x 2 sin 2x C . D. f (x d ) x C . 2
Câu 34. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x 2sin xcos 3x là cos 4x cos 2x cos 4x cos 2x A. f (x d ) x C. B. f (x d ) x C . 4 2 4 2 cos 4x cos 2x cos 4x cos 2x C. f (x d ) x C . D. f (x d ) x C . 4 2 4 2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 29
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 35. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x 4sin 2xcos x là 2 cos 3x 2 cos 3x A. f (x d ) x 2cos x C. B. f (x d ) x 2cos x C. 3 3 2 cos 3x 2 cos 3x C. f (x d ) x 2cos x C. D. f (x d ) x 2cos x C. 3 3
Câu 36. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x 2sin 3xsin x là sin 4x sin 2x sin 4x sin 2x A. f (x d ) x C. B. f (x d ) x C. 4 2 4 2 sin 4x sin 2x sin 4x sin 2x C. f (x d ) x C. D. f (x d ) x C. 2 2 4 2
Câu 37. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x 4cos 3xcos 2x là 2 sin 5x 2 sin 5x A. f (x d ) x 2sin x C. B. f (x d ) x 2sin x C. . 5 5 2 sin 5x 2 sin 5x C. f (x d ) x 2sin x C. D. f (x d ) x 2sin x C. 5 5
Câu 38. Nguyên hàm của hàm số 4 4 f ( )
x sin x cos x là 3 sin 4x 3 sin 4x A. f (x d ) x x C . B. f (x d
) x x C . 4 16 4 16 3 sin 4x 3 sin 4x C. f (x d ) x x C . D. f (x d
) x x C . 4 16 4 16
Câu 39. Nguyên hàm của hàm số 6 6 f ( )
x sin x cos x là 5 3sin 4x 5 3sin 4x A. f (x d ) x x C . B. f (x d ) x x C . 8 8 8 32 5 3sin 4x 5 3sin 4x C. f (x d ) x x C . D. f (x d ) x x C . 8 32 8 8
Câu 40. Nguyên hàm của hàm số 4 4 6 6 f ( )
x sin x cos x sin x cos x là 1 sin 4x 1 sin 4x A. f (x d ) x C . B. f (x d ) x x C . 4 16 4 16 1 sin 4x 1 sin 4x C. f (x d ) x x C . D. f (x d ) x x C . 4 16 4 16
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 30
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 41. Giá trị m để hàm số F x 3 2
mx x 2 4 2
m 2 x 1 là một nguyên hàm của hàm số f x 2
12x 4x x là A. m 1 . B. m 0 . C. m 1. D. m 2 .
Câu 42. Nguyên hàm của hàm số 3 f ( ) x sin . x cos x là 4 sin x 4 sin x A. f (x d ) x C . B. f (x d ) x C . 4 4 2 sin x 5 sin x C. f (x d ) x C . D. f (x d ) x C . 2 5
Câu 43. Nguyên hàm của hàm số ( ) x x f x e e là A. d x x
f x x e e C . B. d x x
f x x e e C . C. d x x
f x x e e C . D. d x x
f x x e e C .
Câu 44. Cho hàm số x
f x xe . Giá trị a, b để
x F x
ax b e là một nguyên hàm của hàm
số f x là
A. a 1; b 1. B. a 1 ; b 1.
C. a 1; b 1 . D. a 1 ; b 1 .
Câu 45. Nguyên hàm của hàm số ( ) 2 . x 5 x f x là x x 2 1 5 1 A. f
xdx . C . B. f
xdx . C . 5 ln 2 ln 5 2 ln 2 ln 5 x x 2 1 2 1 C. f
xdx . C . D. f
xdx . C . 5 ln 5 ln 2 5 ln 2 ln 5
Câu 46. Cho hàm số f x thỏa mãn các điều kiện f 'x 2 cos 2x và f 2. Khẳng 2
định nào sau đây sai? A. f x 1
2x sin 2x .
B. f x 2x sin 2x . 2 C. f 0 . D. f 0. 2
Câu 47. Nguyên hàm của hàm số ( ) x 2 x f x e e là A. ( ) 2 x F x
e x C . B. ( ) 2 x x ln x F x e e e C .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 31
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1
C. F(x) 2 x e C . D. ( ) 2 x F x
e x C . x e
Câu 48. Nguyên hàm của hàm số 2 ( ) x x f x e e là 2x 2 x e e 4 A. F(x) C . B. 2x 2 ( ) x
F x e e 2x C . 2 2x 2 x e e C. 2x 2 ( ) x
F x e e 2x C .
D. F(x) x C . 2 2 2 Câu 49. Tính dx ta được kết quả 2x 1 1
A. ln 2x 1 . C B. C 2x . 2 1 ln 2x 1 C. C. D. ln 2x 1 . C 2 6 Câu 50. Tính dx ta được kết quả 1 3x 18 A. 3ln 1 3x . C B. C 1 3x . 2 C. 2 ln 1 3x . C D. 2 ln 1 3x . C 2x 1 Câu 51. Tính dx ta được kết quả x 1
A. 2x ln x 1 . C
B. 2x ln x 1 . C
C. 2 ln x 1 . C D. 2x 1 ln x 1 . C 4x 2 Câu 52. Tính dx ta được kết quả x 1
A. 4x 6 ln x 1 . C
B. 4x 6 ln x 1 . C
C. 4x 3ln x 1 . C
D. 4x ln x 1 . C 4x 2 Câu 53. Tính dx ta được kết quả 2 x
A. 4x 10 ln 2 x . C B. 4
x 10ln 2 x . C
C. 4x 10 ln 2 x . C
D. 4x ln 2 x . C
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 32
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 54. Biết một nguyên hàm của hàm số f x 2
là hàm số F x thỏa mãn F 2 0 . 2x 1
Khi đó F x là hàm số nào sau đây?
A. F x ln 2x 1 ln 3.
B. F x ln 2x 1 ln 3. x
C. F x 2ln 2x 1 ln 3.
D. F x ln 2 1 ln 3. 2 x
Câu 55. Biết một nguyên hàm của hàm số f x 2 3
là hàm số F x thỏa mãn F 1 4 . 1 x
Khi đó F x là hàm số nào sau đây?
A. F x 2
x 5ln 1 x 8.
B. F x 2
x 5ln 1 x 8.
C. F x 2x 5ln 1 x 8.
D. F x 2x 5ln 1 x 8 2 x 1 Câu 56. Tính dx ta được kết quả x 1 2 x 2 x A.
x 2ln x 1 C. B.
x ln x 1 C. 2 2 2 x 2 x C.
x 2ln x 1 C. D.
x ln x 1 C. 2 2 1 Câu 57. Tính dx ta được kết quả 2 x 1 1 1 x 1 A. ln x 1 x 1 C. B. ln C. 2 2 x 1 1 x 1 1 C. ln C.
D. ln x 1 .ln x 1 C. 2 x 1 2 1 Câu 58. Tính dx ta được kết quả 2 x 4x 3 1 1 x 3 A. ln x
1 x 3 C. B. ln C. 2 2 x 1 1 x 1 1 C. ln C.
D. ln x 1 .ln x 3 . C 2 x 3 2 1 Câu 59. Tính dx ta được kết quả 2 4 x 1 1 2 x
A. ln 2 x2 x C. B. ln C. 4 4 2 x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 33
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 2 x 1 C. ln C.
D. ln x 2 .ln x 2 . C 4 2 x 4 2 x 3x 4 Câu 60. Tính dx ta được kết quả 2 x 3x 2 x 1
A. x 2 ln x 1 x 2 . C B. x 2 ln C. x 2 x 2 C. x 2 ln C.
D. x 2 ln x 1 ln x 2 . C x 1 2 Câu 61. Tính dx ta được kết quả 2 x 2x 1 1 2 A. C. B. C. x 1 x 1 4 x 1 C. 2
2 ln x 2x 1 . C D. C x 2x . 2 2 1 2 Câu 62. Tính dx ta được kết quả 2 x 4x 4 2 1 A. C. B. C. x 2 x 2 2 2x 4 C. 2 2
ln x 4x 4 . C D. C
x 4x 4 . 2 2 2x Câu 63. Tính dx ta được kết quả 2 x 2x 1 2 2 A. 2 ln x 1 C. B. 2 ln x 1 C. x 1 x 1 2 1 C. ln x 1 C. D. 2 ln x 1 C. x 1 x 1 2 2x 4x 5 Câu 64. Tính dx ta được kết quả 2 x 2x 1 3 3 A. 2x C. B. 2 C. x 1 x 1 2 4 C. 2x C. D. 2x C. x 1 x 1 2 Câu 65. Tính
x ta được kết quả 2x d 3 1 1 1 A. C B. C. 2 2x 1 . 2 2x 2 1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 34
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 1 C. C D. C. 2x . 2 1 2 2x 12 x x
Câu 66. Biết một nguyên hàm của hàm số f x 2 2 4
là hàm số F x thỏa mãn F 2 1. 1 x
Khi đó F x là hàm số nào sau đây? A. F x 2
x 6x 6ln 1 x . B. F x 2
x 6x 6ln 1 x 17. C. F x 2
x 6x 6ln 1 x 17. D. F x 2
x 6x ln 1 x 17. 2 x 2x
Câu 67. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f x ? x 2 1 x x x x A. F x 2 1 . B. F x 2 1 . x 1 x 1 x x x C. F x 2 3 3 . D. F x 2 1 . x 1 x 1
Câu 68. Hàm số 7 x F x
e tan x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? x x 1 A. x e
f x e 7 .
B. f x 7e . 2 cos x 2 cos x x 1 C. f x x 2
7e tan x 1.
D. f x 7 e . 2 cos x
Câu 69. Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x 1 '
và f 0 1 thì f 1 có giá trị bằng 2x 1 A. ln 2. B. 2ln 3 1. C. 2ln 2 1. D. 2ln 3 1.
Câu 70. Nguyên hàm của hàm số 6 2 ( ) x f x e là 1 A. f xd 3x1 x e C . B. f xd 3x 1 x e C . 3 1 1 C. f xd 6x2 x e C . D. f xd 3x 1 x e C . 3 3 1
Câu 71. Nguyên hàm của hàm số f (x) là 4x 1 A. f
xdx 4x1C . B. f
xdx 2 4x1C. 4x 1 C. f
xdx C . D. f
xdx 4
4x 1 C . 2 cos x
Câu 72. Hàm số f x thỏa mãn f 'x là 4 sin x2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 35
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG sin x x A. f x C B. f x sin C. 4 cos x . 2 4 sin x C. f x 1 C. D. f x 1 C. 4 cos x 4 sin x 1
Câu 73. Nguyên hàm của hàm số f (x) là 2 x A. f
xdx 2x C . B. f
xdx 2
2 x C . C. f
xdx 2 2x C. D. f
xdx 3
2 x C .
Câu 74. Cho hàm số y f x có đạo hàm là f 'x 2sin 2x cos x và f 0 4 thì f có 2 giá trị bằng A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.
Câu 75. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x 2x 5 là 1 2 A. f
xdx 2x5 2x5 C . B. f
xdx 2x5 2x5 C . 3 3 1 1 C. f
xdx 2x5 C . D. f
xdx 2x5 C . 3 2
Câu 76. Nguyên hàm của hàm số f ( )
x 4 3x là 2 2 A. f
xdx 43x 43x . B. f
xdx 43x 43x . 9 3 2 2 C. f
xdx 43x 43x C . D. f
xdx 43x C . 9 3 x
Câu 77. Nguyên hàm F x của hàm số f x 2 1
biết F 0 1, là x e x 2x ln 2 1 A. F x B. F x 2 . x e . ln 2 1 e x x 2x ln 2 C. F x D. F x 1 2 1 1 . x e . ln 2 1 ln 2 1 e e 1 ln 2
Câu 78. Nguyên hàm của hàm số 3 f ( )
x x 3 là 3 3 A. f
xdx x3 3 x3 C . B. f
xdx x3 3 x3 C . 4 4 2 2 1 C. f
xdx x3 3 x3 . D. f
xdx x2 3 C . 3 3
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 36
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 79. Nguyên hàm của hàm số 3 f ( )
x 1 3x là 1 3 A. f
xdx 13x 3 13x C . B. f
xdx 13x 3 13x C . 4 4 1 2 C. f
xdx 13x 3 13x C . D. f
xdx x 3 1 3 C . 4 1
Câu 80. Cho hàm số y f x
. Nếu F x là nguyên hàm của hàm số f x và đồ thị 2 sin 2x
y F x đi qua điểm A
; 0 thì F x là 12 x x A. F x cot 2 3 .
B. F x cot 2 3 . 2 2 x C. F x cot 2 3 . D. F x 3 cot 2x . 2 2
Câu 81. Nguyên hàm của hàm số 3x f x e là 3 3 x e 3 A. f
xdx C. B. f
xdx C. 2 3 2 x e 3x2 2 2e 3 2 x e C. f
xdx C. D. f
xdx C. 3x 2 3
Câu 82. Hàm số F x x 2 1
x 1 2016 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 2 5
A. f x x 1 x 1 C.
B. f x x 1 x 1 C. 5 2 5
C. f x x 1 x 1.
D. f x x 1 x 1 . C 2
Câu 83. Biết một nguyên hàm của hàm số f x 1
1 là hàm số F x thỏa mãn 1 3x F 2 1
. Khi đó F x là hàm số nào sau đây? 3 A. F x 2 x 1 3x 3. B. F x 2 x 1 3x 3. 3 3 C. F x 2 x 1 3x 1. D. F x 2 4 1 3x. 3 3 a
Câu 84. Biết F( )
x 6 1 x là một nguyên hàm của hàm số f (x)
. Khi đó giá trị của a 1 x bằng
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 37
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 A. 3 . B. 3 . C. 6 . D. . 6
Câu 85. Tính F( ) x x sin d x x ta được kết quả A. ( F )
x xsin x cos x C . B. ( F )
x sin x xcos x C . C. ( F )
x sin x xcos x C . D. ( F )
x xsin x cos x C .
Câu 86. Giả sử F x là nguyên hàm của hàm số f x 2
3x 2x . Biết đồ thị của hàm số F x
và f x cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Lúc đó, tọa độ các giao điểm của hai đồ thị f x
và F x là A. 0; 0 .
B. 2 2;14 10 2; 0;0.
C. 2 2;14 10 2; 2 2;14 10 2 ; 0;0.
D. 1 2;4 2 2; 1 2;4 2 2 ; 0;0. Câu 87. Tính 2 x ln d x x ta được kết quả 1 1 A. 2 x 2
2 ln x 2 ln x 1 C . B. 2 x 2
2 ln x 2 ln x 1 C . 4 2 1 1 C. 2 x 2
2 ln x 2 ln x 1 C . D. 2 x 2
2 ln x 2 ln x 1 C . 4 2
Câu 88. Giả sử F x là nguyên hàm của hàm số f x 2x 1. Biết đồ thị của hàm số F x và
f x cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Lúc đó, tọa độ các giao điểm của hai đồ thị f x và F x là A. 0; 1 . B. 3; 5 . C. 0; 1 và 3; 5 . D. 0; 1 và 3; 0 .
Câu 89. Tính F( )
x x sin x cos d x x ta được kết quả 1 x 1 x
A. F(x) cos 2x sin 2x C .
B. F(x) sin 2x cos 2x C . 4 2 8 4 1 x 1 x
C. F(x) sin 2x cos 2x C . D. F(x)
sin 2x cos 2x C . 4 8 4 8 x Câu 90. Tính 3
F(x) xe dx ta được kết quả x x
A. F x x 3 ( ) 3 e C.
B. F x x 3 ( ) 3 3 e C. 3 x x 3 x x C. 3 F(x) e C. D. 3 F(x) e C. 3 3
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 38
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG x
Câu 91. Tính F(x) dx ta được kết quả 2 cos x A. ( F )
x x tan x ln cos x C . B. ( F )
x x cot x ln cos x C . C. ( F )
x x tan x ln cos x C . D. ( F )
x x cot x ln cos x C . Câu 92. Tính 2 F( ) x x cos d x x ta được kết quả A. F x 2 ( )
x 2sin x 2xcos x C . B. 2 ( F )
x 2x sin x x cos x sin x C . C. 2 ( F )
x x sin x 2x cos x 2sin x C . D. F x 2 ( )
2x x cos x xsin x C
Câu 93. Tính F( ) x x sin 2 d x x ta được kết quả x cos 2x sin 2x x cos 2x sin 2x A. F(x) C . B. F(x) C . 2 4 2 4 x cos 2x sin 2x x cos 2x sin 2x C. F(x) C . D. F(x) C . 2 4 2 4 Câu 94. Hàm số ( F )
x xsin x cos x 2017 là một nguyên hàm của hàm số nào? A. f ( )
x x cos x . B. f ( )
x x sin x . C. f ( )
x xcos x . D. f ( )
x x sin x . 1 ln x Câu 95. Tính dx ta được kết quả 2 x ln x 2 1 ln(x 1) x A. C. B. ln C. x x x 1 x 1 1 ln(x 1) C.
1ln(x1)ln|x| . C D.
ln x 1 ln x C. x x
Câu 96. Để xác định 2 3 3 x 1 x dx
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ A. 3 3 t 1 x . B. 3 t 1 x . C. 2 t x . D. 2 3 3 t x 1 x . 3 ln x Câu 97. Để tính dx
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ x 1 x3 ln A. t . B. t ln . x
C. t x3 ln . D. t . x x 3 ln x Câu 98. Kết quả dx là x 2 3 3ln x ln x 4 ln x 4 ln x A. . B. C. C. C. D. 2 3ln x . C 2 x 4x 4
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 39
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 2 Câu 99. Để tính x xe dx
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ 2 2 A. 2 t x . B. x t e . C. x t xe . D. x t e . 2
Câu 100. Kết quả của x xe dx là 2 x 2 e 2 2 A. x xe . C B. C. C. x e C. D. x x e . C 2 1 1 Câu 101. Để tính cos dx
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ 2 x x 1 1 1 1 1 A. t . B. t . C. t cos . D. t cos . 2 x x x x x 1 1
Câu 102. Kết quả của cos dx là 2 x x 1 1 A. sin C. B. sin C. x x 1 1 2 1 1 1 C. sin cos C. D. sin C. 4 3 x x x x x x Câu 103. Để tính 5 sin x cos d x x
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ A. t cos . x B. t sin . x C. 5 t cos . x
D. t sin xcos . x
Câu 104. Kết quả của 5 sin x cos d x x là 6 cos x A. 4 5cos x . C B. C. 6 6 cos x C. 4
5cos xsin x . C D. C. 6
Câu 105. Kết quả của 2 2x x d 1 x là 2 x x A. 2 2 x 1 C. B. 2 2 x 1 C. 2 x 1 2 2 x 1 2 1 C. x 3 2 2 1 C. D.
2x x 1C. 3 3 cos x sin x Câu 106. Để tính dx
theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số cos x sin x phụ
A. t cos x sin . x
B. t sin x cos . x
C. t cos x sin x.
D. t cos x sin x.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 40
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG cos x sin x
Câu 107. Kết quả của dx là cos x sin x A. 2
cos x sin x . C
B. 2 cos x sin x . C
C. sin x cos x . C
D. sin x cos x . C Câu 108. Để tính x xe dx
theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, để tối ưu ta nên đặt A. x
u e , dv d x . x B. , d x u x v e d . x C. x
u xe , dv d . x D. x
u e , dv d . x
Câu 109. Kết quả của x xe dx là 2 x A. x x e xe . C B. x e C. 2 2 x C. x x xe e . C D. x x
e e C. 2 Câu 110. Để tính 2 x cos xdx
theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, để tối ưu ta nên đặt
A. u x, dv xcos d x . x B. 2
u x , dv cos d x . x C. u x d 2
cos , v x d . x D. 2
u x cos x, dv d . x
Câu 111. Kết quả của 2 x cos d x x là A. 2
2xcos x x sin x . C B. 2
2xcos x x sin x . C C. 2
x sin x xcos x sin x . C D. 2
x sin x 2xcos x 2sin x . C
Câu 112. Để tính x ln
2xdx theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, để tối ưu ta nên đặt
A. u x, dv ln2 xd . x
B. u ln 2 x , dv d x . x
C. u x ln2 x , dv d . x
D. u ln2 x , dv d . x
Câu 113. Kết quả của x ln
2xdx là 2 2 x x x A.
ln 2 x 2ln2 x x C. B. ln 2 x C. 2 4 2 x 2 2 x x x C.
ln 2 x 2ln2 x x C. D. x 2 ln 2 x C. 2 4 4 HẾT
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 41
CLB Giáo viên trẻ TP Huế