Mục lục bài viết 1. Delta là gì?
2. Phương trình bậc hai một ẩn
3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn 4. Hệ thức Viet
5. Tại sao phải tìm ∆?
6. Bảng tổng quát nghiệm của phương trình bậc 2
7. Các dạng bài tập cách tính delta và delta phẩy
8. Bài tập tự luyện 1. Delta là gì?
- Delta là một chữ cái trong bảng chữ Hy Lạp: Trong hệ thống chữ cái Hy Lạp,
chữ cái "Delta" được ký hiệu là Δ (đối với chữ hoa) và δ (đối với chữ thường).
Trong toán học, các chữ cái Hy Lạp thường được sử dụng để đại diện cho các
hằng số, biến số hoặc các khái niệm cụ thể.
- Delta là ký hiệu cho biệt thức trong phương trình bậc hai: Trong toán học, đặc
biệt là trong môn Toán lớp 9, ký hiệu Δ thường được sử dụng để biểu thị biệt
thức của phương trình bậc hai. Biệt thức Δ được tính bằng công thức Δ = b2 -
4ac, trong đó a, b và c là các hệ số trong phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0.
Giá trị của biệt thức Δ cho ta thông tin về số nghiệm của phương trình bậc hai:
+ Nếu Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
+ Nếu Δ = 0, phương trình có một nghiệm kép.
+ Nếu Δ < 0, phương trình không có nghiệm thực.
2. Phương trình bậc hai một ẩn
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0
Trong đó a ≠ 0, a, b là hệ số, c là hằng số.
3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn
Ta sử dụng một trong hai công thức nghiệm sau để giải phương trình bậc hai một ẩn: + Tính: ∆ = b2 – 4ac
Nếu ∆ > 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt: −𝑏+ √∆ −𝑏− √∆ x1= ; x2= 2𝑎 2𝑎
Nếu ∆ = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép: −𝑏 x1= x2 = 2𝑎
Nếu ∆ < 0 thì phương trìnhax2 + bx + c = 0 vô nghiệm: 𝑏
+ Tính : ∆′= b′2 - ac trong đó 𝑏′= ( được gọi là công thức nghiệm thu gọn) 2
Nếu ∆' > 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt: −𝑏′+ √∆′ −𝑏′− √∆′ x1= ; x2= 𝑎 𝑎
Nếu ∆' = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép: −𝑏′ x1= x2 = 𝑎
Nếu ∆' < 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm. 4. Hệ thức Viet
Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2 + bx + c = 0 (a  0) (*) có 2 nghiệm x1 và x2
Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn hệ thức sau: thì ta có Công thức Vi-et như sau: 𝑏 𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2 = − { 𝑎 𝑐 , (S2 – 4P ≥ 0) 𝑃 = 𝑥1𝑥2 = 𝑎
Hệ thức Viet dùng để giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau liên quan đến
hàm số bậc 2 và các bài toán quy về hàm số bậc 2 . Xong 3 công thức nghiệm
bên trên thì chúng ta đã có thể thoải mái làm bài tập rồi. Hãy cùng đến các bài
tập vận dụng ngay dưới đây.
Phân dạng bài tập sử dụng công thức delta, delta phẩy
Ứng với 3 công thức trên, chúng ta có các dạng bài tập tương ứng: Giải phương
trình bậc 2 một ẩn cơ bản và biện luận nghiệm phương trình bậc 2 một ẩn. Để
giải các dạng bài tập này, chúng ta cần nắm vững công thức nghiệm delta, công
thức nghiệm delta phẩy và định lý Vi-et (dùng để giải các bài toán biện luận tham số).
5. Tại sao phải tìm ∆?
Ta xét phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 𝑏
⇔ a (x2 + x) + c = 0 (rút hệ số a làm nhân tử chung) 𝑎 𝑏 𝑏 2 𝑏 2 ⇔ a[𝑥2 + 2
𝑥 + ( ) − ( ) ] + 𝑐 = 0 (thêm bớt các hệ số để xuất hiện 2𝑎 2𝑎 2𝑎 hằng đẳng thức) 𝑏 2 𝑏2 ⇔ a(𝑥 + ) −
+ 𝑐 = 0 (biến đổi hằng đẳng thức) 2𝑎 4𝑎 𝑏 2 𝑏2 ⇔ a(𝑥 + ) = − 𝑐 (chuyển vế) 2𝑎 4𝑎 𝑏 2 𝑏2−4𝑎𝑐 ⇔ a(𝑥 + ) = (quy đồng mẫu thức) 2𝑎 4𝑎 𝑏 2 ⇔ 4a2 . (𝑥 +
) = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 (1) (nhân chéo do a ≠ 0) 2𝑎
Vế phải của phương trình (1) chính là △ mà chúng ta vẫn hay tính khi giải
phương trình bậc hai. Vì 4a2 > 0 với mọi a ≠ 0 và ≥0 nên vế trái luôn dương. Do
đó chúng ta mới phải biện luận nghiệm của b2 – 4ac.
Biện luận nghiệm của biểu thức
+ Với b2 – 4ac < 0, vì vế trái của phương trình (1) lớn hơn bằng 0, vế phải của
phương trình (1) nhỏ hơn 0 nên phương trình (1) vô nghiệm.
+ Với b2 – 4ac = 0, phương trình trên trở thành: 𝑏 2 𝑏 4𝑎2 (𝑥 + ) = 0 ⇔ 𝑥 = − 2𝑎 2𝑎
Phương trình đã cho có nghiệm kép 𝑏 𝑥1 = 𝑥2 = − 2𝑎
+ Với b2 – 4ac > 0, phương trình trên trở thành: 𝑏 2 4𝑎2 (𝑥 + ) = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑏 2𝑎 (𝑥 + ) = √𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝑏 2 ⇔ [2𝑎 (𝑥 + )] = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ⇔[ 2𝑎 2𝑎 𝑏 2𝑎 (𝑥 + ) = −√𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑏 √𝑏2−4𝑎𝑐 −𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐 𝑥 + = 𝑥 = ⇔[ 2𝑎 2𝑎 ⇔ [ 2𝑎 𝑏 √𝑏2−4𝑎𝑐
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐 + = − 𝑥 = 2𝑎 2𝑎 2𝑎
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt −𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐 𝑥1 = và 𝑥 2𝑎 2 = 2𝑎
Trên đây là toàn bộ cách chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc
hai. Nhận thấy rằng b2 – 4ac là mấu chốt của việc xét điều kiện có nghiệm của
phương trình bậc hai. Nên các nhà toán học đã đặt ∆ = b2 – 4ac nhằm giúp việc
xét điều kiện có nghiệm trở nên dễ dàng hơn, đồng thời giảm thiểu việc sai sót
khi tính toán nghiệm của phương trình.
6. Bảng tổng quát nghiệm của phương trình bậc 2
Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Trường hợp
Công thức nghiệm thu gọn (áp nghiệm dụng khi hệ số
Công thức nghiệm ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 b chẵn) 𝑏
∆ = 𝑏′2 − 𝑎𝑐 với 𝑏′ = 2 Phương trình vô nghiệm Δ<0 Δ′<0 Phương trình có
Δ=0. Phương trình có nghiệm Δ′=0. Phương trình có −𝑏 −𝑏′ nghiệm kép kép:𝑥1 = 𝑥2 = nghiệm kép: 𝑥 2𝑎 1 = 𝑥2 = 𝑎
Δ>0. Phương trình có hai Phương trình có −𝑏+√∆
hai nghiệm phân nghiệm phân biệt: 𝑥1 = ;
Δ′>0. Phương trình có hai 2𝑎 biệt −𝑏−√∆ 𝑥 nghiệm phân biệt: 2 = 2𝑎
7. Các dạng bài tập cách tính delta và delta phẩy
Bài 1: Xác định a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình: a) 4𝑥2 + 4𝑥 + 1 = 0
b) 13852𝑥2 − 14𝑥 + 1 = 0 Lời giải: 4𝑥2 + 4𝑥 + 1 = 0 Ta có: a=4, b′=2, c =1 Suy ra Δ′=22−4.1=0
Do đó phương trình có nghiệm kép: −2 1 𝑥1 = 𝑥2 = = − 4 2
13852𝑥2 − 14𝑥 + 1 = 0
Ta có: a=13852, b′=−7, c=1
Suy ra Δ′=(−7)2−13852.1=−13803<0
Do đó phương trình vô nghiệm.
Bài 2: Giải các phương trình dưới đây: a, x2 - 5x + 4 = 0 b, 6x2 + x + 5 = 0 c, 16x2 - 40x + 25 = 0 d, x2 - 10x + 21 = 0 e, x2 - 2x - 8 = 0 f, 4x2 - 5x + 1 = 0 g, x2 + 3x + 16 = 0 h, 2x2 + 2x + 1 = 0
Nhận xét: đây là dạng toán điển hình trong chuỗi bài tập liên quan đến phương
trình bậc hai, sử dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để giải
các phương trình bậc hai. Lời giải: a, x2 - 5x + 4 = 0
(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)
Ta có: ∆ = b2 – 4ac = (-5)2 - 4.1.4 = 25 - 16 = 9 > 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: −𝑏+ 5+3 −𝑏− 5−3 𝑥 √∆ √∆ 1 = = = 4 và 𝑥 = = 1 2𝑎 2 2 = 2𝑎 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 4} b, 6x2 + x + 5 = 0
(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm)
Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 12 - 4.6.5 = 1 - 120 = - 119 < 0
Phương trình đã cho vô nghiệm.
Vậy phương trình vô nghiệm. c, 16x2 - 40x + 25 = 0
(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆' và nhận thấy ∆' =
0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép)
Ta có: ∆' = b'2 – ac = (-20)2 - 16.25 = 400 - 400 = 0
Phương trình đã cho có nghiệm kép: −𝑏′ 20 5 𝑥1 = 𝑥2 = = = 𝑎 16 4
Vậy tập nghiệm của phương trình là: 5 S= { } 4 d, x2 - 10x + 21 = 0
(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆' và nhận thấy ∆' >
0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)
Ta có: ∆' = b'2 – ac = (-5)2 - 1.21 = 25 - 21 = 4 > 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:
−𝑏′+√∆′ 1+3
−𝑏′−√∆′ 1−3 𝑥1 = = = 4 và 𝑥 = = −2 𝑎 1 2 = 𝑎 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2; 4} f, 4x2 - 5x + 1 = 0
(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)
Ta có: ∆ = b2 – 4ac = (-5)2 - 4.4.1 = 25 - 16 = 9 > 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 1 𝑥1 = 1 và 𝑥2 = 4
Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 𝑆 = { ; 1} 4 g, x2 + 3x + 16 = 0
(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm)
Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 32 - 4.1.16 = 9 - 64 = -55 < 0
Phương trình đã cho vô nghiệm
Vậy phương trình vô nghiệm. h, 2𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0
(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆' và nhận thấy ∆' <
0 nên phương trình đã cho có vô nghiệm)
Ta có: ∆= 𝑏′2 − 4𝑎𝑐 = 12 − 4.2.1 = 1 − 8 = −7 < 0
Phương trình đã cho vô nghiệm.
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 3: Cho phương trình 𝑥2 − 6𝑥 + 𝑚2 − 4𝑚 = 0 (1)
a, Tìm m để phương trình có nghiệm x = 1
b, Tìm m để phương trình có nghiệm kép
c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Nhận xét: đây là một dạng toán giúp các bạn học sinh ôn tập được kiến thức về
cách tính công thức nghiệm của phương trình bậc hai cũng như ghi nhớ được
các trường hợp nghiệm của phương trình bậc hai. Lời giải:
a, x = 1 là nghiệm của phương trình (1). Suy ra thay x = 1 vào phương trình (1) có:
12 − 6.1 + 𝑚2 − 4𝑚 = 0 ⇔ 𝑚2 − 4𝑚 − 5 = 0 (2) Xét phương trình (2)
Có ∆′= 𝑏′2 − 𝑎𝑐 = (−2)2 − 1. (−5) = 9 > 0
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt 𝑚1 = 5 và 𝑚2 = −1
Vậy với m = 5 hoặc m = -1 thì x = 1 là nghiệm của phương trình (1)
b, Xét phương trình (1) có:
∆′= 𝑏′2 − 𝑎𝑐 = (−3)2 − 1. (𝑚2 − 4𝑚) = −𝑚2 + 4𝑚 + 9
Để phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi ∆′= 0
⇔−𝑚2 + 4𝑚 + 9 = 0 (2)
Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình (2) có 𝑚 = 2 ± √13
Vậy với 𝑚 = 2 ± √13 thì phương trình (1) có nghiệm kép
c, Xét phương trình (1) có:
∆′= 𝑏′2 − 𝑎𝑐 = (−3)2 − 1. (𝑚2 − 4𝑚) = −𝑚2 + 4𝑚 + 9
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆′> 0
⇔ −𝑚2 + 4𝑚 + 9 > 0
⇔ 2 − √13 < 𝑚 < 2 + √13
Vậy với 2 − √13 < 𝑚 < 2 + √13 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. 8. Bài tập tự luyện
Bài 1: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b:
(a+1) x² – 2 (a + b)x + (b- 1) = 0
Bài 2: Cho phương trình x² – 2(m+1)x + m² + m +1 = 0
Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm
Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x1, x2 hãy tính theo m
Bài 3: Giả sử phương trình bậc hai x² + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm dương.
Chứng minh rằng a² + b² là một hợp số.
Bài 4: Cho phương trình (2m – 1)x² – 2(m + 4 )x +5m + 2 = 0 (m #½)
Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
Khi phương trình có nghiệm x1, x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.
Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.
Bài 5: Cho phương trình x² – 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương
trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 – x2 = 4.
Bài 6: Cho phương trình bậc hai: 2x² + (2m – 1)x +m – 1 =0
Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó.
Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn -1 < x1 < x2 < 1
Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hãy lập một hệ
thức giữa x1, x2 không có m
Bài 7: Cho f(x) = x² – 2(m +2)x+ 6m +1
Chứng minh rằng pt f(x) = 0 luôn nghiệm với mọi m.
Đặt x = t + 2; tình f(x) theo t. Từ đó tìm điều kiện của m để phương trình f(x) =
0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2.
Bài 8: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx +c thỏa mãn điều kiện Ι f(x)Ι =< 1
với mọi x ∈ { -1; 1}. Tìm GTNN của biểu thức A= 4a² + 3b².
Bài 9: Cho phương trình (x²)² – 13 x² + m = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình:
a. Có bốn nghiệm phân biệt.
b. Có ba nghiệm phân biệt.
c. Có hai nghiệm phân biệt. d. Có một nghiệm e. Vô nghiệm. Bài 10;
Xác định a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình: 1. 4x2 + 4x + 1 = 0 2. 13852x2 -14x + 1 = 0
Document Outline

• Mục lục bài viết
• 1. Delta là gì?
• 2. Phương trình bậc hai một ẩn
• 3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn
• 4. Hệ thức Viet
• 5. Tại sao phải tìm ∆?
• 6. Bảng tổng quát nghiệm của phương trình bậc 2
• 7. Các dạng bài tập cách tính delta và delta phẩy
• 8. Bài tập tự luyện
• 1. Delta là gì? (1)
• 2. Phương trình bậc hai một ẩn (1)
• 3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn (1)
• 4. Hệ thức Viet (1)
• 5. Tại sao phải tìm ∆? (1)
• 6. Bảng tổng quát nghiệm của phương trình bậc 2 (1)
• 7. Các dạng bài tập cách tính delta và delta phẩy (1)
• 8. Bài tập tự luyện (1)