Cát tuyến là gì? Cát tuyến của đường tròn là gì? Toán lớp 9
1. Định nghĩa về cát tuyến
+ Cát tuyến là gì? Cát tuyến là một từ Hán - Việt. Trong đó “Cát” nghĩa là cắt, còn “tuyến”
có nghĩa là đường thẳng. Bởi vậy, cát tuyến chính là một đường thẳng cắt các đường
khác (đường thẳng, đường tròn, đường cong,…)
+ Theo khái niệm trong sách giáo khoa bộ môn toán, thì cát tuyến chính là một đường
thẳng cắt một đường thẳng khác. Cát tuyến của đường tròn chính là 1 đường thẳng cắt
đường tròn đó tại hai điểm phân biệt. Cát tuyến của 2 đường thẳng là 1 đường thẳng cắt
2 đường thẳng trên. Một vài trường hợp đặc biệt đó chính là cát tuyến đi qua tâm đường tròn.
+ Ứng dụng đường cát tuyến hình tròn
Đường cát tuyến hình tròn có thể được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ,
tam giác đồng dạng, đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp. Một số ví dụ về ứng dụng đường cát tuyến hình tròn là:
- Tính chiều cao của một ngọn núi khi biết góc nhìn từ hai điểm cách nhau một khoảng xác định.
- Tính bán kính của một đường tròn khi biết hai cát tuyến của nó và khoảng cách giữa
hai điểm giao của chúng với đường tròn.
- Tính diện tích của một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn khi biết các cạnh của nó
và các góc tạo bởi các cát tuyến của chúng.
- Tính chiều dài của một cung tròn khi biết hai tiếp tuyến và một cát tuyến của nó
2. Tính chất của cát tuyến là gì toán 9?
Cho 1 đường tròn tâm O với 2 đường thẳng là AB và CD, ta có:
 Nếu 2 đường thẳng chứa các dây AB và CD của 1 đường tròn cắt nhau tại điểm M thì MA.MB = MC.MD
 Đảo lại, nếu 2 đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm M và MA.MB = MC.MD thì
4 điểm A, B, C, D cũng sẽ thuộc cùng 1 đường tròn
 Nếu MC là tiếp tuyến, MAB là cát tuyến thì MC^2 = MA x MB = MO^2 – R^2
 Từ điểm K nằm bên ngoài đường tròn, ta kẻ lần lượt các tiếp tuyến KA, KB và cát
tuyến KCD. Có H là trung điểm của CD thì 5 điểm K, H, A, B, O cùng nằm trên 1 trung điểm.
 Từ điểm K nằm ngoài đường tròn, ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB với cát tuyến KCD
đến đường tròn thì AC/AD = BC/BD. Ta có góc KAC = góc ADK => AC/AD = KC/KA.
3. Bài tập về cát tuyến đường tròn
Bài tập 1: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) hãy vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm
O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O). Ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D. a) CM: MA.MA = MC.MD.
b) Gọi I là trung điểm của CD. CMR: M, A, O, I, B cùng nằm trên 1 đường tròn.
c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh rằng CHOD nội tiếp và AB là đường phân giác của góc CHD.
d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). CM: A, B, K thẳng hàng Lời giải:
a) +) Có MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) (giả thiết)
→ góc MAC = góc MDA → △ MAC ~ △ MDA (g.g) →
MAMD=MCMA (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) → MA2 = MC.MD (đpcm)
b) +) Có I là trung điểm của CD (giả thiết)
→ Góc MIO = 900 = góc MAO = MBO
→ 4 điểm M, A, O, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO.
c) +) Có MA ⊥ OA, OM ⊥ AB tại H → MH. MO = MA2 = MC. MD →
MAMD=MCMA → △ MHC ~ △ MDC → góc MHC = góc MDO
→ Tứ giác HCDO nội tiếp đường tròn
→ Góc OHD = góc OCD = góc ODC = góc MHC
→ 900 - góc MHC = 900 - góc OHD → góc CHB = góc BHD
→ HB là phân giác của góc CHD.
d) +) Có KC và KD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại K của đường tròn (O)
→ Tứ giác KCOD nội tiếp đường tròn (hay 4 điểm K, C, O, D cùng thuộc một đường tròn)
mà tứ giác HODC nội tiếp đường tròn (chứng minh trên) (hay 4 điểm H, O, D, C cùng
thuộc một đường tròn)
→ 5 điểm K, C, H, O, D cùng thuộc một đường tròn
→ HK là phân giác của góc CHD (do KC = KD)
→ 3 điểm A, B, K thẳng hàng.
Bài tập 2. Cho 2 đường thẳng song song a, b và một đường cát tuyến c. Hai tia phân
giác của cặp góc trong cùng phía cắt nhau tại điểm I. Chứng minh điểm I cách đều 3 đường thẳng a, b và c.         Bài giải
Gọi 3 điểm A, B, C lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ điểm I đến a, b, c.
Xét hai góc trong cùng phía CEA và CFB ta có:
Do I nằm trên tia phân giác của góc CEA nên IA = IC (1)
Do I nằm trên tia phân giác của góc CFB nên IC = IB (2)
Từ (1) và (2) => IA = IB = IC
=> I cách đều đường thẳng a, b và c.
Bài tập 2: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là các
tiếp điểm) và cát tuyến AED đến đường tròn (O) (E; D thuộc (O), E nằm giữa A; D).
a) Chứng minh: BD. CE = BE. CD
b) Gọi H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh tứ giác OHED là tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh: HC2 = HD. HE và góc BDH = góc CDA.