Chủ đề số phức ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán
Chủ đề số phức ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Preview text:
Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 DẠNG 1
Xác định các yếu tố cơ bản, biểu diễn hình học số phức
1. Phần thực, phần ảo của số phức, số phức liên hợp
• Số phức có dạng z = a + bi ( 2
a,b R,i = − )
1 . Phần thực của z là a , phần ảo của z là b và i được
gọi là đơn vị ảo.
• Số phức liên hợp của z là z = a + bi = a − bi . 2 2
z.z = a + b
Tổng và tích của z và z luôn là một số thực. 1 z z z z 1 1 2 1 2 . z .z z .z 1 2 1 2 . z z . z z2 2 • Lưu ý: 4n ; 4n 1 ; 4n 2 ; 4n i i i i i 3 1 1 i ; với n N .
2. Hai số phức bằng nhau a = a
• Cho hai số phức z = a + b i , z = a + b i (a ,a ,b ,b R . Khi đó: 1 2 z = z 1 2 2 2 ) 1 1 1 2 2 2 1 2 b = b 1 2
3. Biểu diễn hình học của số phức, môđun của số phức
• Biễu diễn hình học của số phức.
▪ Số phức z = a + bi (a,b R) được biểu diễn bởi điểm M (a;b) trong mặt phẳng tọa độ.
▪ z và z được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua trục Ox .
• Mô đun của số phức.
▪ Mô đun của số phức z là 2 2 z = OM = a + b . ▪ Ta có : z = .
z z ; z = z .
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức I. PHẦN ĐỀ BÀI Câu 1:
Cho số phức z = 1− 2i . Tìm phần ảo của số phức z . A. 2. B. −2 . C. 1 − . D. 1. Câu 2:
Tìm các số thực x, y thỏa mãn (3 − 2i)( x − yi) − 4(1− i) = (2 + i)( x + yi)
A. x = 3, y = −1.
B. x = −3, y = −1.
C. x = −1, y = 3 .
D. x = 3, y = 1. z = 2 + i z = 1− 3i 2
w = z − z Câu 3: Cho hai số phức 1 , 2
. Tính mô-đun của số phức 1 2 .
A. w = 7 .
B. w = 5 . C. w = 19 . D. w = 53 . Câu 4:
Cho số phức z thỏa mãn 2z = i ( z + 3). Tính z . 3 5
A. z = 5 . B. z = . C. z = 5 . D. z = 10 . 2 Câu 5:
Cho số phức z thỏa mãn z + 2z = 6 + 2 .
i Điểm biểu diễn số phức z có tọa độ là A. (2; −2) .
B. (−2; −2) . C. (2; 2) . D. (−2; 2) . Câu 6:
Tìm mô đun của số phức z , biết z − (2 + 3i) z = 1 − 7 + 9i .
A. z = 26 . B. z = 17 .
C. z = 29 . D. z = 5 . Câu 7:
Tìm tất cả các số thực x, y để hai số phức 2 5 2 11
z = 9 y − 4 −10xi , z = 8 y + 20i là hai số phức 1 2
liên hợp của nhau. x = 2 x = 2 x = 2 − x = 2 − A. . B. . C. . D. . y = 2 y = 2 y = 2 y = 2 z −1 =1 z −i Câu 8:
Biết số phức z thỏa mãn.
. Số phức z bằng: z − 3i = 1 z + i
A. z = 1+ i .
B. z = 1− i . C. z = 1 − − i . D. z = 1 − + i Câu 9:
Tính môđun của số phức z , biết: (1− 2i) z + 2 − i = 1 − 2 .i 1 A. 5 . B. 7 . C. . D. 2 2. 2 a bi
Câu 10: Nếu z = a + bi (a,b ) có số phức nghịch đảo 1 z− − = thì 4 A. 2 2 a + b = 2 . B. 2 2
a + b = 4 . C. 2 2
a + b = 8 . D. 2 2 a + b = 16 .
Câu 11: Cho số phức z = a + bi với a, b
thỏa mãn z − 3 + i = z i . Giá trị của a + b bằng A. −1 . B. 7 . C. 5 . D. 12 . i + 2
Câu 12: Cho i là đơn vị ảo. Nghiệm của phương trình 3z + i −1 = i − là 2 2 3 2 3 2 2 2 3 A. − .i B. + .i C. − − . i D. − + .i 15 5 15 5 15 5 15 5
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 2 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 2
Câu 13: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2
z − 2018z = 2019 z ? A. Vô số. B. 2 . C. 1. D. 0 . 2
Câu 14: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2
z − 2018z = 2019 z ? A. Vô số. B. 2 . C. 1. D. 0 .
Câu 15: Cho hai số phức z = 3 − 4i và z = (2 + m) + mi (m ) thỏa mãn z = iz . Tổng tất cả các giá
trị của m bằng 46 A. 1 − . B. . C. 0 . D. −2 . 2
Câu 16: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: z = 1 và 2 z + 4 = 2 3 . A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 17: Cho số phức z = a + bi (a,b ) thỏa mãn z + 2iz = 3 + 3i . Tính giá trị biểu thức:
P = (a + i)2019 + (b − i)2019 . A. 1010 −2 . B. 1009 −2 . C. 1011 −2 . D. 1008 −2 .
Câu 18: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + i +1 = z − 2i và z = 1 A. 0. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 19: Tìm hai số thực x và y thỏa mãn (3x + 2 yi) + (3 − i) = 4x − 3i với i là đơn vị ảo. 2
A. x = 3; y = −1. B. x = ; y = −1.
C. x = 3; y = −3 .
D. x = −3; y = −1. 3
Câu 20: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2
z + 2 z = 0 . A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3 . 2
Câu 21: Với mọi số thuần ảo z , số 2
z + z là
A. số thực dương. B. số thực âm. C. số 0.
D. số thuần ảo khác 0.
Câu 22: Cho số phức z = 10 − 2i . Phần thực và phần ảo của số phức z là:
A. Phần thực bằng −10 và phần ảo bằng −2i . B. Phần thực bằng −10 và phần ảo bằng −2 .
C. Phần thực bằng 10 và phần ảo bằng 2 .
D. Phần thực bằng 10 và phần ảo bằng 2i . (2−3i)(4−i)
Câu 23: Cho số phức z =
. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng Oxy 3 + 2i . A. (1; 4) . B. (−1; 4) .
C. (−1; − 4) . D. (1; − 4) .
Câu 24: Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn z − 2z = 7
− + 3i + z . Tính mô-đun của số phức 2
=1− z + z bằng A. = 37 . B. = 457 . C. = 425 . D. = 445 .
Câu 25: Cho số phức z = a + bi (a,b ) thỏa mãn 2 z + 3iz = 4 − z . Tính S = ab .
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức 3 3 3 3 A. S = . B. S = − . C. S = . D. S = − . 2 2 4 4
Câu 26: Cho số phức z = a + bi ( ,
a b , a 0) thỏa .
z z −12 z + ( z − z ) =13+10i . Tính S = a + b . A. S = 7 .
B. S = 17 . C. S = 17 − . D. S = 5.
Câu 27: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2 z
= 2 z + z + 4 và z −1− i = z − 3 + 3i ? A. 4 . B. 3 . C. 1 . D. 2 .
Câu 28: Cho hai số phức z và w khác 0 thoả mãn z + 3w = 5 w và z − 2wi = z − 2w − 2wi . Phần thực z của số phức bằng w A. 1. B. 3 − . C. 1 − . D. 3. 2 2
Câu 29: Cho số phức z thoả mãn 2 z +1 = z − i . Tính môđun của số phức z + 2 + i . A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 2 . ( z − )1(1+iz)
Câu 30: Số phức z = a + bi , a, b
là nghiệm của phương trình = i . Tổng 2 2
T = a + b 1 z − z bằng A. 4 . B. 4 − 2 3 . C. 3 + 2 2 . D. 3 .
Câu 31: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m sao cho tồn tại 2 số phức phân biệt z , z thỏa mãn 1 2
đồng thời các phương trình z −1 = z − i và z + 2m = m +1. Tổng tất cả các phần tử của S là A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3 .
Câu 32: Gọi S là tập hợp tất cả các số m sao cho tồn tại đúng một số phức z thỏa mãn đồng thời các
phương trình z + 2 + i = z +1 và 2
2 z − 3 + 2i = m − 5m + 9 . Tích tất cả các phần tử của S là A. 6 . B. 5 . C. 2 . D. 3 .
Câu 33: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m sao cho tồn tại 2 số phức phân biệt z , z thỏa mãn 1 2
đồng thời các phương trình (3 + 4i) z + 25 = 20 và z + m + 2i = 5 . Số các phần tử của S là A. 8 . B. 7 . C. 6 . D. 5 .
Câu 34: Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + (2 − 3i) = 2 là đường tròn
có phương trình nào sau đây? 2 2 + − − + = 2 2 + − + + = A. x y 4x 6 y 9 0 . B. x y
4x 6 y 11 0 . C. 2 2
x + y − 4x − 6 y +11 = 0 . D. 2 2
x + y + 4x − 6 y + 9 = 0 .
Câu 35: Tìm số phức z biết rằng điểm biểu diễn của z nằm trên đường tròn có tâm O, bán kính bằng 5 và
nằm trên đường thẳng d : x − 2 y + 5 = 0 . A. z = 3 − 4 . i B. z = 3 + 4 . i C. z = 4 + 3 . i D. z = 4 − 3 . i
Câu 36: Cho số thực x, y thỏa mãn (2x + yi) + (3 − 2i)( x + y) = 1, với i là đơn vị ảo là
A. x = 1, y = −2 .
B. x = 2, y = −1 .
C. x = −1, y = 2 .
D. x = −2, y = 1
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 4 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Câu 37: Cho số phức z = m + + ( 2 3
m − m − 6)i với m . Gọi ( P) là tập hợp các điểm biểu diễn số
phức z trong mặt phẳng tọa độ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P) và trục hoành bằng 125 17 55 A. . B. . C. 1. D. . 6 6 6
Câu 38: Cho các số phức z thỏa mãn z +1 = 2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
w = (1+ i 8) z + i là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó là A. 9 . B. 36 . C. 6 . D. 3 .
Câu 39: Gọi z , z là hai trong các số phức thỏa mãn z − 1 + 2i = 5 và z − z = 8 . Tìm mô đun của số 1 2 1 2
phức w = z + z − 2 + 4i . 1 2
A. w = 6 .
B. w = 10 .
C. w = 16 . D. w = 13 .
Câu 40: Cho số phức z thoả mãn z −1 1 và z − z có phần ảo không âm. Tập hợp các điểm biểu diễn số
phức z là một miền phẳng. Tính diện tích S của miền phẳng này 1
A. S = . B. S = 2 . C. S = . D. S = 1 . 2
Câu 41: Cho số phức 3
z = m + (m − m)i, với m là tham số thực thay đổi. Tập hơp tất cả các điểm biểu diễn
số phức z là đường cong (C) .Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. 1 1 3 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 2
Câu 42: Phần gạch trong hình vẽ dưới là hình biểu diễn của tập các số phức thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
A. 6 z 8 .
B. 2 z + 4 + 4i 4 . C. 2 z − 4 − 4i 4 . D. 4 z − 4 − 4i 16 . z + 2
Câu 43: Xét số phức z thỏa mãn
là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z + i
z là một đường tròn, tâm I của đường tròn có tọa độ là 3 1 1 A. I 1; . B. I 1; − − . C. I (2; ) 1 . D. I ;1 . 2 2 2
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Câu 44: Gọi z , z là hai trong các số phức z thỏa mãn z − 3 + 5i = 5 và z − z = 6 . Tìm môđun của số 1 2 1 2
phức = z + z − 6 +10i . 1 2 A. = 10 . B. = 32 . C. = 16 . D. = 8 .
Câu 45: Xét các số phức z thỏa mãn ( z + 2i)( z + 2) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn
số phức w = (1+ i) z + 2019 − 2019i là một đường tròn, bán kính đường tròn là A. 2 . B. 1 . C. 2019 2 . D. 4 .
Câu 46: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi hình (H ) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức |
z + 2 − i | 2
z thỏa mãn điều kiện
. Tính diện tích (S ) của hình phẳng (H ) x + y +1 0 1 1
A. S = 4 . B. S = . C. S = . D. S = 2 . 4 2
Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn: z + 2 − i = 3 . Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) biểu
diễn số phức = 1+ z là
A. Đường tròn tâm I (−2; )
1 bán kính R = 3.
B. Đường tròn tâm I (2; − )
1 bán kính R = 3.
C. Đường tròn tâm I ( 1 − ;− ) 1 bán kính R = 9.
D. Đường tròn tâm I ( 1 − ;− ) 1 bán kính R = 3.
Câu 48: Cho z , z là hai số phức thỏa mãn điều kiện | z− 5 − 3i |= 5 đồng thời| z − z |= 8 . Tập hợp các 1 2 1 2
điểm biểu diễn số phức w = z + z trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình 1 2 A. 2 2
(x −10) + ( y − 6) = 36 . B. 2 2
(x −10) + ( y − 6) = 16 . 5 3 5 3 9 C. 2 2
(x − ) + ( y − ) = 9 . D. 2 2
(x − ) + ( y − ) = . 2 2 2 2 4
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 6 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
II. PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn A
Ta có z = 1− 2i z = 1+ 2i .
Vậy z có phần ảo b = 2 . Câu 2: Chọn A Có:
(3− 2i)(x − yi)− 4(1−i) = (2+i)(x + yi) 3x − 2y − 4+( 2
− x − 3y + 4)i = 2x − y + (x + 2y)i 3
x − 2y − 4 = 2x − y x − y = 4 x = 3
. Vậy khẳng định đúng là A 2
− x − 3y + 4 = x + 2y 3 − x − 5y = 4 − y = 1 − Câu 3: Chọn D 2 Ta có: 2
w = z − z = 2 + i
− 1− 3i = 2 + 7i . 1 2 ( ) ( ) 2 2 w = 2 + 7 = 53 . Câu 4: Chọn C
Đặt z = a + bi (a;b ) , suy ra z = a − bi . Thay vào đẳng thức 2z = i (z + 3) ta có: ( = =
a + bi) = i (a − bi + ) a + bi = b + (a + ) 2a b a 1 2 3 2 2 3 i . 2b = a + 3 b = 2
Vậy z = 1+ 2i , suy ra 2 2 z = 1 + 2 = 5 . Câu 5: Chọn A
Gọi số phức z = x + yi với x, y . Theo bài ra ta có
(x + yi)+ (x − yi) x = 2 2
= 6 + 2i 3x − yi = 6 + 2i . y = 2 −
Vậy điểm biểu diễn số phức z có tọa độ là (2; 2 − ). Câu 6: Chọn C
Gọi z = a + bi, (a,b ) . Suy ra z = a − bi .
Ta có z − (2 + 3i) z = 1
− 7 + 9i (a + bi) −(2 + 3i)(a −bi) = 17 − + 9i − − = − = a b a 2
a + bi − 2a + 2bi − 3ai − 3b = −17 + 3 17 9i 3 − a + 3b = 9 b = 5
Suy ra z = 2 + 5i . Do đó z = 29 . Câu 7: Chọn C Ta có: 2 5 2 11 2 2
z = z 9 y − 4 −10xi = 8y − 20i 9 y − 4 −10xi = 8 y + 20i 1 2 2 2 9 y − 4 = 8y x = 2 − = − x 2 . Vậy: . 1 − 0x = 20 y = 2 y = 2 Câu 8: Chọn B Giả sử 2
z = a + bi, a, b , i = 1 − .
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức Ta có: z −1 =1 z −i z −1 = z − i (a − )2
1 + b = a + (b − )2 2 2 1 2 − a + 2b = 0 a = b = z − 3 i
z − 3i = z + i a + (b − ) 1 2 = a + (b + )2 2 2 8 b − 8 = 0 3 1 = 1 z +i
Do đó z = 1+ i z = 1− i Câu 9: Chọn A 2 − −11i 2 − −11i 1+ 2i Ta có: (1− 2i) ( )( ) z + 2 − i = 1 − 2i z = = = − i 1 − 2i 1 + ( 2 − ) 4 3 2 2 z = + (− )2 2 3 4 = 5 .
Câu 10: Chọn B a bi a − bi a − bi Ta có: 1 z− − = 1 = 1 =
(a + bi)(a −bi) = 4 2 2 a + b = 4 . 4 z 4 a + bi 4
Câu 11: Chọn B Ta có: 2 2
z − 3 + i = z i a + bi − 3 + i =
a + b .i a − + (b + )i = ( 2 2 3 1
a + b )i a − 3 = 0 a = 3
. Vậy a + b = 3 + 4 = 7 . 2 2
b +1 = a + b b = 4
Câu 12: Chọn A i + 2 (i + 2)( i − − 2)
Ta có: 3z + i −1 =
3z + i −1 = i − 2 5 3 − − 4i 2 − 9i 2 3 3z =
− i +1 3z = z = − .i 5 5 15 5
Câu 13: Chọn B
Đặt z = a + bi (a,b ) . 2 2
a −b − 2018a = 2019( 2 2 + 2 a b (1) 2 )
Ta có z − 2018z = 2019 z .
2ab − 2018b = 0 ( 2) b = 0 Từ (2) ta được . a =1009 a = 0
Thay b = 0 vào (1) ta được 2 2
− 018a = 2018a . a = 1 −
Do đó trường hợp này ta có 2 số phức thỏa yêu cầu là z = 0; z = −1.
Thay a = 1009 vào (1) ta được 2 2018.1009.1010 −
= 2020b vô nghiệm do b .
Vậy có 2 số phức z thỏa mãn.
Câu 14: Chọn B
Đặt z = a + bi (a,b ) . 2 2
a −b − 2018a = 2019( 2 2 + 2 a b (1) 2 )
Ta có z − 2018z = 2019 z .
2ab − 2018b = 0 ( 2)
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 8 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 b = 0 Từ (2) ta được . a =1009 a = 0
Thay b = 0 vào (1) ta được 2 2
− 018a = 2018a . a = 1 −
Do đó trường hợp này ta có 2 số phức thỏa yêu cầu là z = 0; z = −1.
Thay a = 1009 vào (1) ta được 2 2018.1009.1010 −
= 2020b vô nghiệm do b .
Vậy có 2 số phức z thỏa mãn.
Câu 15: Chọn D −2 + 46 m = 2
Ta có: z = iz = i . z ( + m)2 2 2 + m = 5 2
2m + 4m − 21 = 0 . −2 − 46 m = 2
Tổng tất cả các giá trị của m là −2 .
Câu 16: Chọn D
Gọi số phức z = a + bi ( a , b ). Ta có 2 2 2
z + 4 = a − b + 4 + 2abi .
Từ giả thiết, ta suy ra: 2 2 a + b =1 2 2 a + b =1 ( 2 a − b + 4 2 2 2 2 )2 2 2 2 2 + 4a b = 12 (a +b ) +8a −8b = 4 − 3 13 a = ;b = 4 4 3 3 13 2 = + = = = − 2 2 a a ;b a b 1 16 4 4 . 2 2 8
a −8b = 5 − 13 2 3 13 b = a = − ;b = 16 4 4 3 13 a = − ;b = − 4 4
Vậy có 4 số phức z thỏa mãn bài toán.
Câu 17: Chọn A
Ta có: z + 2i z = 3 + 3i a + bi + 2i (a − bi) = 3 + 3i a + 2b + (2a + b)i = 3 + 3i a + 2b = 3 a = 1 . 2a + b = 3 b = 1
P = (a + i) + (b − i) = (1+ i) + (1− i)
= (1+ i)(1+ i) 1009
+ (1− i)(1− i) 1009 2019 2019 2019 2019 2 2
= (1+ i)(2i)1009 + (1− i)(−2i)1009 1009 = 2 (1+ i) 1009 i − 2 (1− i)i 1009 = 2 ( 2 2
i + i − i + i ) 1009 = 2 (−2) 1010 = −2 .
Câu 18: Chọn B
Gọi z = a + bi (a,b ) z = a − bi . Ta có:
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức b = 1 −
z + i +1 = z − 2i ( a + )2 1 + (b + )2 1 = a + (b + 2)2 2 a = b +1 a = 0 z = i − z =1 a + b =1 ( b + )2 2 2 2 1 + b = 1 b = 0 z =1 a =1
Vậy có 2 số phức z = −i và z = 1 thỏa mãn.
Câu 19: Chọn A
Ta có (3x + 2 yi) + (3 − i) = 4x − 3i (3x + 3 − 4x) + (2 y −1+ 3)i = 0 (3 − x) + (2 y + 2)i = 0 3− x = 0 = x 3 . 2y + 2 = 0 y = 1 −
Câu 20: Chọn D
Gọi z = a + bi , (a,b ) Khi đó 2 z + 2 z = 0 2 2 2 2
a − b + 2 a + b + 2abi = 0 a = 0 a = 0 b = 0 2 2 − + + = − + = 2 2 2 2 b 2 b 0 a b 2 a b 0 a = 0 . 2ab = 0 b = 0 b = 2 2 2 + = a = 0 a 2 a 0 b = 2 −
Vậy có 3 số phức z cần tìm.
Câu 21: Chọn C 2
Ta có z = bi (b ) 2
z + z = (bi) 2 2 +b = 0 .
Câu 22: Chọn C
Số phức z = 10 + 2i nên phần thực bằng 10 phần ảo bằng 2.
Câu 23: Chọn C (2−3i)(4−i) (8−3)−(2+12)i 5−14i (5−14i)(3−2i) Ta có z = = = = 3 + 2i 3 + 2i 3 + 2i (3+ 2i)(3−2i) (15−28)−(10+ 42)i = 1 − 3 − 52i = = −1− 4i . 9 + 4 13
Vậy điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy là M ( 1 − ;− 4) .
Câu 24: Chọn B
Đặt z = a + bi,(a ,b ) . Ta có: z − 2z = 7 − + 3i + z 2 2
a + b − 2(a − bi) = 7
− + 3i + a + bi + − + =
a + b − a + + (b − ) 2 2 2 2 a b 3a 7 0 3 7 3 i = 0 b −3 = 0
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 10 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 7 a 7 3 a 3 a = 4( N ) 2
a +9 = 3a −7 = b 3 2 2
a + 9 = 9a − 42a + 49 5 . b = 3 a = (L) a = 4 b = 3 4 b = 3 Vậy 2
z = 4 + 3i = 1− z + z = 4 + 21i = 457 .
Câu 25: Chọn D Cách 1
Ta có: 2 z + 3iz = 4 − z 2 2
2 a + b + 3i (a + bi) = 4 − (a + bi) . ( 2 2
2 a + b − b 3 ) + a 3i = (4 − a) − bi . 1 a = 2 2 + − = − = − 2 a b b 3 4 a b a 3 b = −a 3 2 2 2 = − + + = − a = 1 3 2 3 3 4 − a a b a a a a 3 b = − 2 . Vậy 3 S = − . 4 Cách 2
2 z + 3iz = 4 − z ( 3i + )
1 z = 4 − 2 z . Lấy môđun 2 vế ta có: ( − = i + ) 4 2 z 2 z 3
1 z = 4 − 2 z 4 − 2 z = 2 z z = 1
4 − 2 z = −2 z 4 − 2 z 1 3 z = = − i . Vậy 3 S = − . 3i +1 2 2 4
Câu 26: Chọn B
Ta có z = a + bi ( ,
a b , a 0). Khi đó phương trình ban đầu trở thành 2 2 2 2 + − + = 2 2 2 2 a b 12 a b 13
a + b −12 a + b + 2bi = 13 +10i 2b =10 2 2
a +b =13 a =12
. Vậy S = a + b = 17. b = 5 b = 5
Câu 27: Chọn B
Gọi z = a + bi, a, b R . Khi đó theo giả thiết ta có hệ.
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức 2 a − 4 2 2 2
a + b = 2 2a + 4 a + = 4 a + 4 2 (a − )2 1 + (b − )2 1
= (a − 3)2 + (b + 3)2 a − 4 b = 2 a = 0, b = − 2 2 5
a −8a =16 a 24 2 a = , = − 4 b a b = 5 5 2 8 14
a = − ,b = − 5 5
Vậy có 3 số phức z thỏa mãn.
Câu 28: Chọn A Đặ z t
= a + bi, với a,b R . Theo giả thiết ta có: w z + 3w z = 5 + 3 = 5 w w z − 2wi
z − 2w − 2wi z z = − 2i = − 2 − 2i w w w w 2 2 2 2 (
a + 3) + b = 25
(a + 3) + b = 25 a =1 . 2 2 2 2
a + (b − 2) = (a − 2) + (b − 2) 4a − 4 = 0 b = 3 z
Vậy phần thực của số phức bằng 1. w
Câu 29: Chọn D 2 2
Gọi z = x + yi ( x, y ) . Ta có: 2 z +1 = z − i 2 2
2 x + yi +1 = x + yi − i 2 2 2 2
2 (x +1) + y = x + (y −1) 2 2
x + 4x + y + 2y +1 = 0 2 2
(x + 2) + ( y +1) = 4 Do đó 2 2
z + 2 + i = (x + 2) + ( y +1) = 4 = 2 .
Câu 30: Chọn C
Cách 1: Điều kiện: z 1, z 0 ( z − )1(1+iz)
( z − )1(1+iz)z (1+iz) = z 2 i = i
= i z + z i = ( z + ) 1 i 1 2 − z +1 z − z 1 z a = 0 a − bi + ( 2 2
a + b )i = ( 2 2 a + b + ) 1 i 2
b − b = b +1(*) 2 2 2 2 b
− + a + b = a + b +1 (*) Với 2
b 0 b = 1 b = 1 − z = i . (*) Với 2
b 0 b − 2b −1 = 0 b = 1+ 2 z = (1+ 2)i .
Vậy T = a + b = + ( + )2 2 2 2 0 1 2 = 3+ 2 2 .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 12 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Cách 2:
Điều kiện: z 1, z 0 ( z − )1(1+iz)
( z − )1(1+iz)z (1+iz) = z 2 i = i
= i z + z i = ( z + ) 1 i 1 2 − z +1 z − z 1 z z = ( 2
− z + z + )1i .
Lấy môđun hai vế ta được: 2
z = − z + z +1 2 2 z = ( 2 − z + z + )2 1 z = 1+ 2 2 2
a + b = z = 3+ 2 2. 2
− z = − z + z +1
Câu 31: Chọn D
Ta có z + 2m = m +1 0
Trường hợp 1: m +1 = 0 z + 2m = 0 z = 2 − m = 2 .
Trường hợp 2: m +1 0
Đặt z = x + yi
z −1 = z − i x − y = 0 ( ) 1 Ta có
z + 2m = m +1 ( x + 2m )2 + y = (m + )2 2 1 (2)
Xét trong hệ tọa độ Oxy , là phương trình đường thẳng d : x − y = 0 , là phương trình đường tròn (C) tâm I ( 2 − ;
m 0) , bán kính R = m +1
Yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi hệ phương trình, có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
đường thẳng d cắt đường tròn (C ) tại hai điểm phân biệt ( m d I , d ) 2 2 2 =
m +1 2m m + 2m +1 2
m − 2m −1 0 1− 2 m 1+ 2 2
Kết hợp với m + 1 0 và m
m S = 0;1; 2
Vậy tổng các phần tử của tập S bằng 3.
Câu 32: Chọn A Ta có 2
m − 5m + 9 0 luôn đúng với mọi m .
Đặt z = x + yi
x + y + 2 = 0 ( ) 1
z + 2 + i = z +1 Ta có 2 1 2
2 z − 3 + 2i = m − 5m + 9 (
x − 3)2 + ( y + 2)2 = ( 2
m − 5m + 9) (2) 2
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Xét trong hệ tọa độ Oxy , là phương trình đường thẳng d : x + y + 2 = 0 , là phương trình đường 1
tròn (C ) tâm I (3; −2) , bán kính R = ( 2 m − 5m + 9) 2
Yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi hệ phương trình, có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường
thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C ) ( = d ) 3 1 m d I , = = ( 2 2 m − 5m + 9) 2
m − 5m + 6 = 0 S = 2; 3 2 2 m = 3
Vậy tích các phần tử của tập S bằng 6.
Câu 33: Chọn D
Ta có (3 + 4i) z + 25 = 10 z + 3 − 4i = 2
tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn là đường tròn tâm I (−3;4) , bán kính R = 2
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + m + 2i = 5 là đường tròn tâm J (− ; m 2 − ) , bán kính R = 5 .
Yêu cầu bài toán xảy ra khi hai đường tròn ( I; 2),( J;5) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
IJ (m − )2 + (m − )2 3 7 9 3 36 49 3 13
− 13 m − 3 13 3 − 13 m 3 + 13 mà m m S = 0;1;2;3;4;5; 6
số các phần từ của S là 7.
Câu 34: Chọn D
Gọi z = x + yi ( x, y ) . 2 2
Ta có z + (2 − 3i) = 2 ( x + 2) + ( y − 3)i = 2 ( x + 2) + ( y − 3) = 2
(x + )2 + ( y − )2 2 2 2 3
= 4 x + y + 4x − 6y + 9 = 0 .
Câu 35: Chọn A
x − 2y + 5 = 0 x = 3
Giả sử z = x + yi, x, y
. Khi đó x, y là nghiệm của hệ pt: . 2 2 x + y = 25 y = 4
Suy ra: z = 3 + 4i .
Câu 36: Chọn C ( + − = = −
x + yi) + ( − i)( x + y) = x + y − − ( x + y) 5x 3y 1 0 x 1 2 3 2 1 5 3 1 2 i = 0 ( − x + y) . 2 = 0 y = 2
Câu 37: Chọn A
Gọi M ( x; y ) ( ; x y
) là điểm biểu diễn số phức z . Từ bài ra ta có: x = m + 3 m = x − 3 m = x − 3 2 2
y = m − m − 6 y =
(x −3) −(x −3) 2 − 6
y = x − 7x + 6
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 14 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Vậy ( P) là một Parabol có phương trình: 2
y = x − 7x + 6 .
Hoành độ giao điểm của (P) và trục hoành là nghiệm của phương trình: x =1 2
x − 7x + 6 = 0 x = 6 6 125
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P) và trục hoành bằng: 2 S =
x − 7x + 6dx = . 6 1
Câu 38: Chọn C
Gọi w = x + yi ( x, y ) Theo đề bài ta có:
w = (1+ i 8) z + i w − i = (1+ i 8) z w − i = (1+ i 8)(z + ) 1 − (1+ i 8)
w − i +1+ i 8 = (1+i 8)(z + ) 1 ( x + )
1 + ( y −1+ 8)i = (1+ i 8)( z + ) 1
(x + ) + ( y − + )2 =
+ ( )2 (x + ) +( y − + )2 2 2 2 1 1 8 1 8 .2 1 1 8 = 36
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (1+ i 8) z + i là một đường tròn có bán kính r = 6.
Câu 39: Chọn A Gọi ,
A B lần lượt là điểm biểu diễn số phức z , z . Gọi E là trung điểm của AB . 1 2
Do z − 1 + 2i = 5 nên ,
A B thuộc đường tròn tâm I (1; −2) , bán kính R = 5 . Gọi C là điểm biểu
diễn số phức w ta có OC = OA + OB − 2OI = 2OE − 2OI = 2IE . 2 2
w = 2IE = 2 IB − EB = 2 25 − 16 = 6 .
Câu 40: Chọn C
Đặt z = x + yi (x , y ) theo giả thiết ta có z − z = (x + yi) − (x − yi) = 2yi và
x + yi − ( x − )2 2 1 1 1 + y 1 . 2 y 0 y 0
15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là nửa hình tròn tâm I (1;0) , R = 1 . 2 Vì vậy R S = = . 2 2
Câu 41: Chọn A
Đặt z = x + yi(x, y ) . x = m Ta có: 3
z = m + (m − m)i 3
x + yi = m + (m − m)i 3
y = x − x . 3
y = m − m
Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường cong (C) có dạng: 3
y = x − x . x = 0 Phương trình hoành độ giao điểm: 3
x − x = 0 x = 1 . x = 1 −
Diện tích phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và trục hoành: 0 1 1 1 1 3 3 S =
(x − x)dx − (x − x) = + = 4 4 2 1 − 0
Câu 42: Chọn C
Dễ thấy điểm I (4; 4) là tâm của hai đường tròn. Đườ 2 2
ng tròn nhỏ có phương trình là: ( x − 4) + ( y − 4) = 4 .
Đường tròn to có phương trình là: ( x − )2 + ( y − )2 4 4 =16 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn đề bài là 2 z − 4 − 4i 4 .
Câu 43: Chọn B
Đặt z = x + yi , với x , y . z + 2 x + yi + 2
(x + 2)+ yi (x+ 2)+ yi.x− ( y + ) 1 i Ta có = = = z + i
x + yi + i x + ( y + ) 2 2 1 i x + ( y +1)
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 16 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
x ( x + 2) + y ( y + )
1 − ( x + 2)( y + ) 2 2 1 − xy i
x + y + 2x + y x + 2 y + 2 = = − i . 2 2 2 2 2 2 x + ( y +1) x + ( y +1) x + ( y +1) z + 2 2 2
x + y + 2x + y Số phức là số thuần ảo = 0 z + i 2 2 x + ( y + 1) 2 1
x + y + 2x + y = 0 ( x + )2 1 5 2 2 1 + y + = . Vậy tâm I 1; − − . 2 4 2
Câu 44: Chọn D
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z − 3 + 5i = 5 là đường tròn (C) tâm I (3;−5) bán kính R = 5 .
Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z , z suy ra M , N nằm trên đường tròn (C) 1 2
. Gọi H là trung điểm của MN suy ra IH ⊥ MN Do 2 2
z − z = 6 MN = 6 MH = NH = 3 IH = IM − MH = 4 . 1 2
= z + z − 6 +10i = z − 3 − 5i + z − 3 − 5i = IM + IN = 2IH = 2IH = 8. 1 2 1 ( ) 2 ( )
Câu 45: Chọn A
Gọi số phức z = a + bi , (a,b ) . Ta có:
(z + 2i)(z + 2) = a + (b + 2)i(a + 2) −bi = a
(a + 2) + b(b + 2) +
(a + 2)(b + 2) − abi . ( 2 2
z + 2i)( z + 2) là số thuần ảo nên a (a + 2) + b(b + 2) = 0 (a + ) 1 + (b + ) 1 = 2 .
Gọi số phức w = x + yi , ( x, y ) .
Ta có x + yi = (1 + i) z + 2019 − 2019i = (1 + i) (a + bi) + 2019 − 2019i x + y =
x = a − b + 2019 a
x + yi = a − b + 2019 + (a + b − 2019)i 2 .
y = a + b − 2019 y − x + 2.2019 b = 2
17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức 2 2 x + y
y − x + 2.2019
Khi đó (a + )2 + (b + )2 1 1 = 2 +1 + +1 = 2 2 2 2 2
x + y − 4038x + 4042y + 8160789 = 0 .
Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có bán kính 2 2 R = 2019 + 2021 − 8160789 = 2 .
Câu 46: Chọn D Gọi 2
z = x + yi (x, y ; i = −1) . Theo đề bài, ta có: 2 2
| z + 2 − i | 2 |
x + yi + 2 − i | 2 |
(x + 2) + ( y − )
1 i | 2 ( x + 2) + ( y − ) 1 2
(x + )2 + ( y − )2 2 1
4 . Đây là hình tròn tâm I (−2; ) 1 , bán kính R = 2 .
Ta lại có, x + y +1 0 y −x −1 . Đây là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng y = −x −1 và
chứa gốc tọa độ O (0;0) .
Vì đường thẳng y = −x −1đi qua tâm I (−2; )
1 của hình tròn nên phần diện tích cần tính bằng
một nửa diện tích của hình tròn.
Diện tích của hình tròn là: 2 2
S = .R = .2 = 4 . 1 1
Diện tích cần tính là: S = .S = .4 = 2 . 1 2 2
Câu 47: Chọn D
Đặt = x + y i ( x, y ) M ( x; y) là điểm biểu diễn của số phức .
Ta có: = 1+ z z = −1 z = ( x − )
1 + y i z = ( x − ) 1 − y i . 2 2
Do z + 2 − i = 3 (x −1) − y i + 2 − i = 3 ( x + ) 1 − ( y + )
1 i = 3 ( x + ) 1 + ( y + ) 1 = 9 .
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm I ( 1 − ;− )
1 và bán kính R = 3 .
Câu 48: Chọn A
Đặt z = x + yi . Khi đó 2 2 | z− 5 − 3i |= 5 |
x− 5 + (y− 3)i |= 5 (x − 5) + ( y − 3) = 25 (C)
Gọi A, B lần lượt là 2 điểm biểu diễn số phức z , z 1 2
A, B thuộc đường tròn (C) có tâm I, bán kính R = 5 và | z − z |= 8 AB = 8 1 2
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 18 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 +
Gọi H là điểm biểu diễn số phức z z AB 1 2 w =
H là trung điểm AB AH = = 4 2 2
Xét tam giác AIH vuông tại H có AH = 4, AI = 5 nên 2 2 2 2 IH =
IA − AH = 5 − 4 = 3
H thuộc đường tròn (C ) có tâm I, bán kính R = 3
Gọi M là điểm biểu diễn số phức w = z + z OM = 2OH 1 2
M là ảnh của H qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2 với O là gốc tọa độ
Từ và tập hợp M là đường tròn (C )
là ảnh của (C ) phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2 a = 2.5 =10
Giả sử đường tròn (C )
có tâm J và bán kính R b = 2.3 = 6 R = 2.R = 6
Phương trình đường tròn (C ) là 2 2
(x −10) + ( y − 6) = 36
19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 DẠNG 2
Bài toán quy về giải PT, HPT và điểm biểu diễn số phức I. PHẦN ĐỀ BÀI Câu 1:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z − (6 + 8i) = 2 và z.z = 64 . A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 1. Câu 2:
Cho số thực x, y thỏa mãn (2x − y) i+ y(1− 2 i) = 3 + 7 i với i là đơn vị ảo. Giá trị của 2 x − xy bằng A. 30. B. 40. C. 10. D. 20. Câu 3:
Cho số phức z thỏa mãn 3z + (1+ i)z = 1− 5i . Tìm mô đun của z
A. z = 5 . B. z = 5 . C. z = 13 . D. z = 10 . Câu 4:
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( + i)2 1 2
z + z = 4i − 20 . Tìm z .
A. z = 25 .
B. z = 7 . C. z = 4 . D. z = 5 . Câu 5:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn (1+ i) z + (2 − i) z = 13 + 2i ? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Câu 6:
Cho số phức z thỏa mãn: z (1− 2i) + z.i = 15 + i . Tìm môđun của số phức z ?
A. z = 5 .
B. z = 4 .
C. z = 2 5 . D. z = 2 3 . Câu 7:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện .
z z + z = 2 và z = 2 ? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. 2 Câu 8:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z − 2 + 3i = z +1− i và z + 2( z + z) = 5 ? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 4 . Câu 9:
Cho số phức z = a + bi (a,b ) thỏa (2 + 3i) z + 2z = 16 + 3 .
i Tính giá trị biểu thức P = 3a + . b
A. P = −11. B. P = 17 .
C. P = −1. D. P = 1 .
Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn (3 + i).z − .
i z = 7 − 6i . Môđun của số phức z bằng A. 25 . B. 2 5 . C. 5 . D. 5 .
Câu 11: Cho số phức z thoả mãn z (1 + 2i) − z (2 − 3i) = 4
− +12i . Tìm toạ độ điểm M biểu diễn số phức z . A. M (3; ) 1 . B. M (3; − ) 1 . C. M ( 1 − ;3) . D. M (1;3) .
Câu 12: Cho số phức z thoả mãn (1+ 3i) z − 3z = 5
− + 7i . Điểm nào sau đây trong các điểm M , N, P,Q
biểu diễn cho số phức z ?
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức A. Điểm M .
B. Điểm N .
C. Điểm P . D. Điểm Q .
Câu 13: Cho số phức z thoả mãn (2i + 3) z − (1 − i) z = 2
− + 8i . Khoảng cách từ điểm biểu diễn cho số
phức z trên mặt phẳng toạ độ Oxy đến điểm M (1; 2) bằng A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 14: Cho các số thực a,b thỏa mãn i 2
(a − 5) − 7i = b +
(a +3)i, với i là đơn vị ảo. Tính a−b A. 2 . B. 6 . C. 12 . D. 3 .
Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn z − 2z = 7
− + 3i + z . Tính z . 13 25
A. z = 5 .
B. z = 3 . C. z = . D. z = . 4 4
Câu 16: Tính mô đun của số phức z thỏa mãn z (1+ 2i) + z (1− i) + 4 − i = 0 với i là đơn vị ảo. A. 6 . B. 5 . C. 2 . D. 3 .
Câu 17: Tìm tập hợp T gồm tất cả các số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z = 2 và 2 z là số thuần ảo. A. T = 1
− − i;1− ;i 1 − + ;1 i + i .
B. T = 1− i;1+ i . C. T = 1 − + i . D. T = 1 − − i .
Câu 18: Cho số phức z = a + bi (a,b ) thỏa mãn (1+ i) z + 2z = 3 + 2i . Tính P = a + b . 1 1
A. P = 1 . B. P = − . C. P = . D. P = −1. 2 2
Câu 19: Cho số phức z = a + bi (a, b ) thỏa mãn z + 1 + 3i − z i = 0 . Tính S = 2a + 3b .
A. S = −6 .
B. S = 6 .
C. S = −5 . D. S = 5 .
Câu 20: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn điều kiện 4
z = z . Số phần tử của z là A. 7 . B. 6 . C. 5 . D. 4 . 5 2a + b
Câu 21: Cho số phức z = a + bi (a,b ; a,b 0) thỏa mãn z + 4z = − 2 2i z . Tính S = . 3 2a − b
A. S = −2 2 − 3 .
B. S = 2 2 − 2 .
C. S = 2 − 2 2 .
D. S = 2 2 + 3 .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 2 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Câu 22: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z (z − 2 + 3i) + 4i = (4 + 5i) . z A. 1. B. 2. C. 4. D. 3.
Câu 23: Giả sử z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2 i z z 1 2i z 1 3i và 1 2 z z 1. Tính M 2z 3z . 1 2 1 2 A. M 19 . B. M 19 . C. M 25 . D. M 5 .
Câu 24: Tìm mô đun của số phức số z biết (2z − )
1 (1+ i) + ( z + )
1 (1− i) = 2 − 2i . 1 2 2 1 A. . B. . C. . D. . 9 3 9 3 2
Câu 25: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z = z + z + z − z và 2
z là số thuần ảo. A. 4. B. 2. C. 3. D. 5.
Câu 26: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 3 z + z + 2 z − z = 12 và z + 2 − i
3 = z − 4 + i ? A. 1. B. 4. C. 3. D. 2. 2 z − 2z + 4
Câu 27: Cho số phức z không phải là số thực và
là số thực. Có bao nhiêu số phức z thỏa 2 z + 2z + 4 mãn 2
z + z + z − z = z ? A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 8 .
Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn z = 5 và z + 3 = z + 3 −10i . Tìm số phức w = z − 4 + 3i .
A. w = −3 + 8i .
B. w = 1+ 3i .
C. w = −1+ 7i .
D. w = −4 + 8i .
Câu 29: Cho các số phức z thỏa mãn hai điều kiện z = 2 và 2
z là số thuần ảo. Tổng bình phương
phần thực của tất cả các số phức z đó bằng A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . 2
Câu 30: Có bao nhiêu số phức 2019
z thỏa mãn z − 1 + z − z i + ( z + z)i = 1? A. 4. B. 2. C. 1. D. 3.
Câu 31: Trong các số phức z thỏa mãn z + 4 − 3i + z − 8 − 5i = 2 38 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
z − 2 − 4i . 1 5 A. . B. . C. 2 . D. 1. 2 2
Câu 32: Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 2 z −1 = z − z + 2 là hình gồm:
A. hai đường thẳng.
B. hai đường tròn.
C. một đường tròn.
D. một đường thẳng. 2
Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn 3z + i .
z z + 9 . Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn = z +1− i 2 2 2 5 73 2 5 73
A. Hình tròn ( x − ) 1 + y + .
B. Đường tròn ( x − ) 1 + y + . 8 64 8 64
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức 2 2 2 2
C. Đường tròn ( x − ) 1
+ ( y + 3) 9 .
D. Hình tròn ( x − ) 1 + ( y + 3) 9 .
Câu 34: Biết phương trình 4 3 2
x + ax + bx + cx + d = 0 , (a, , b c, d ) nhận z = 1
− + i và z =1+ 2i là 1 2
nghiệm. Tính a + b + c + d . A. 10 . B. 9 . C. 7 − . D. 0 .
Câu 35: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng 4 số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện 2
z + z + z − z = z và z = m .
A. 2; 2 2. B. 2; 2 2 . C. 2 . D. (2;2 2 ).
Câu 36: Cho các số phức z thỏa mãn 2020 z − 2i
= z −1+ 2i . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w = 2z −1+ 4i trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Khoảng cách từ I (2; − 3) đến đường thẳng đó bằng 10 3 18 5 10 5 18 13 A. . B. . C. . D. . 3 5 5 13
Câu 37: Hình phẳng giới hạn bởi tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z − 3 + z + 3 = 10 có diện tích bằng A. 12 . B. 20 . C. 15 . D. 25 .
Câu 38: Cho số phức z có z = 2 . Biết tập hợp biểu diễn các số phức w = 3 + i − (3 − 4i) z là một đường
tròn, bán kính đường tròn đó bằng A. 5 2 . B. 5 5 . C. 10 . D. 2 5 .
Câu 39: Cho số phức z thỏa mãn ( z + i) z = 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 3 5 1 5 7 A. z . B. z . C. z . D. z . 2 2 2 2 2 2 2
Câu 40: Cho số phức z = m + + ( 2 3 m − )
1 i ,với m là tham số thực thay đổi. Tập hợp các điểm biểu diễn
số phức z thuộc đường cong (C) . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. 2 8 1 4 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 41: Cho hai số phức z , z khác 0 , thỏa mãn 2 2
z + z = z z . M , N lần lượt là hai điểm biểu diễn số 1 2 1 2 1 2
phức z , z trên mặt phẳng Oxy . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 2
A. Tam giác OMN nhọn và không đều.
B. Tam giác OMN đều.
C. Tam giác OMN tù.
D. Tam giác OMN vuông.
Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 + 3i 3. Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp điểm biểu
diễn số phức w = 2z +1− i là hình tròn có diện tích
A. S = 25 .
B. S = 16 . C. S = 9 . D. S = 36 .
Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn ( z +1− 3i)( z +1+ 3i) = 25 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn của số phức
z là một đường tròn có tâm I (a;b) và bán kính c . Tổng a + b + c bằng
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 4 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 A. 9. B. 3. C. 2. D. 7.
Câu 44: Cho các số phức z , z thỏa mãn phương trình z − 2 − 3i = 5 và z − z = 6 . Biết rằng tập hợp 1 2 1 2
các điểm biểu diễn số phức w = z + z là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. 1 2
A. R = 8 .
B. R = 4 .
C. R = 2 2 . D. R = 2 .
Câu 45: Cho các số phức 2020
z thỏa mãn z − 2i
= z −1+ 2i . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w = 2z − 1 + 4i trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Khoảng cách từ I (2; − 3) đến đường thẳng đó bằng 18 5 18 13 10 3 10 5 A. . B. . C. . D. . 5 13 3 5
Câu 46: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 3 + 4i 2 . Trong mặt phẳng Oxy tập hợp các điểm biểu
diễn số phức w = 2z +1− i là hình tròn có diện tích là
A. S = 25 .
B. S = 9 . C. S = 12 . D. S = 16 .
Câu 47: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại 4 số phức z thỏa mãn
z + z + z − z = 2 và z ( z + 2) − ( z + z) − m là số thuần ảo. Tổng các phần tử của S là. 2 +1 3 1 A. 2 +1. B. . C. . D. . 2 2 2
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
II. PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BẢNG ĐÁP ÁN 1. D 2. B 3. D 4. D 5.D 6.A 7.C 8.C 9.C 10..C 11.B 12.B 13.A 14.B 15.A 16.B 17.A 18.D 19.A 20.C 21.A 22.A 23.A 24.B 25.D 26.D 27.C 28.C 29.B 30.D 31.D 32.A 33.A 34.B 35.A 36.C 37.B 38.C 39.A 40.C 41.B 42.D 43.D 44.A 45.D 46.D 47.C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn D
Gọi z = x + yi ( x, y ) . z − (6 +8i) = 2 (
x −6)2 + ( y −8)2 = 4 ( ) 1 Khi đó: 2 2 z.z = 64 x + y = 64 (2)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì: ( )
1 là phương trình của đường tròn (C
có tâm I (6;8) , bán kính R = 2 . 1 ) 1
(2) là phương trình của đường tròn(C có tâm O(0;0), bán kính R = 8. 2 ) 2 Vì 2 2 OI =
6 + 8 = 10 = R + R nên đường tròn (C và (C tiếp xúc ngoài nhau như hình vẽ. 2 ) 1 ) 1 2
Suy ra hệ phương trình ( )
1 , (2) có nghiệm duy nhất.
Vậy có đúng 1 số phức thỏa mãn ycbt.
Chú ý: Ta có thể tìm nghiệm của hệ phương trình ( ) 1 , (2) như sau: 24 = 2 2 x
x + y −12x + 96 −16y = 0 3
x + 4y − 40 = 0 5 24 32 Hệ ( ) 1 , (2) z = + i . 2 2 2 2
x + y − 64 = 0
x + y − 64 = 0 32 5 5 y = 5 Câu 2: Chọn B y − 3 = 0 y = 3
Ta có (2x − y) i+ y(1− 2 i) = 3 + 7 i y − 3 + (2x − 3y − 7)i = 0 .
2x − 3y − 7 = 0 x = 8 2
x − xy = 40. Câu 3: Chọn D
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 6 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Gọi z = a + bi z = a − bi
3z + (1+ i)z = 1− 5i 3(a − bi) + (1+ i)(a + bi) = 1− 5i
3a − 3bi + a + bi + ai − b = 1− 5i (4a − b) + (a − 2b)i =1− 5i 4a − b = 1 a = 1
z = 1+ 3i z = 10 a − 2b = 5 − b = 3 Câu 4: Chọn D
Gọi z = a + bi với a, b . 2
Ta có (1+ 2i) z + z = 4i − 20 (1+ 4i − 4)(a + bi) + a − bi = 4i − 20 3
− a − 4b + a = 2 − 0 a = 4
z = 4 + 3i z = 5.
4a − 3b − b = 4 b = 3 Câu 5: Chọn D
Gọi z = x + yi ( x ; y ) , khi đó ta có:
(1+i) z +(2−i) z =13+ 2i (1+i)(x + yi)+(2−i)(x − yi) =13+ 2i
x − y + (x + y)i + 2x − y − (x + 2y)i =13+ 2i 3x − 2y − yi =13+ 2i 3 x − 2y =13 x = 3
. Vậy z = 3 − 2i . −y = 2 y = 2 − Câu 6: Chọn A
Đặt z = a + bi , (a,b ) , ta có:
z (1 − 2i) + z.i = 15 + i (a + bi)(1− 2i) + (a − bi).i = 15 + i
a − 2ai + bi + 2b + ai + b = 15 + i (a + 3b) + (b − a)i = 15 + i a + 3b = 15 a = 3
z = 3 + 4i z = 5. b − a = 1 b = 4 Câu 7: Chọn C Cách 1: Lưu ý: 2
z.z = z . Đặt z = x + yi ( x, y ) . 2 2
x + y + x + yi = 2
(x + 4) + yi = 2 ( x + 4)2 2 + y = 4 (C1 ) Theo đề ta có 2 2 2 2 2 2 x + y = 2 x + y = 4 x + y = 4 (C2 )
Số số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là số giao điểm của hai đường tròn (C và (C . 2 ) 1 )
Đường tròn (C có tâm I 4
− ;0 , bán kính R = 2 , đường tròn (C có tâm I 0;0 , bán 2 ( ) 2 ) 1 ( ) 1 ) 1 kính R = 2 . 2
Kiểm tra thấy I I = R + R . Vậy hai đường tròn tiếp xúc ngoài, số giao điểm là 1. 1 2 1 2 Cách 2: Ta có: .
z z + z = 2 z . z + 1 = 2 z + 1 = 1 z + 1 = 1 z = 2
Vậy số phức z thỏa mãn 2 phương trình
Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z z +1 = 1
thì A là giao điểm của đường tròn (C tâm O (0;0) , bán kính R = 2 và đường tròn (C tâm 2 ) 1 )
I (−1;0) , bán kính R = 1.
Mặt khác ta có OI = 1 = R − R (C và (C tiếp xúc trong, vậy số giao điểm là 1. 2 ) 1 )
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức Câu 8: Chọn C Cách 1.
Đặt z = x + yi ( x , y ). Ta có 2 2 2 2
z − 2 + 3i = z +1− i ( x − 2) + ( y + 3) = ( x + ) 1 + ( y − ) 1 x −
6x − 8 y −11 = 6 11 0 y = . 8 2
z + 2( z + z) = 5 2 2
x + y + 2(x + yi + x − yi) = 5 2 2
x + y + 4x − 5 = 0 . 2 − Thay vào, ta đượ 6x 11 c 2 x + + 4x − 5 = 0 2
100x +124x −199 = 0 8 −31+ 4 371 x = 50 . −31− 4 371 x = 50 3 − 1+ 4 371 − + − + − + Với x = 92 3 371 y = 31 4 371 92 3 371 z = + i . 50 50 50 50 3 − 1− 4 371 − − − − − − Với x = 92 3 371 y = 31 4 371 92 3 371 z = + i . 50 50 50 50
Vậy có hai số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Cách 2.
Từ và suy ra số các số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng số giao điểm của đường thẳng
: 6x −8y −11 = 0 với đường tròn (C) 2 2
: x + y + 4x − 5 = 0 .
Đường tròn (C) có tâm I (−2;0) và bán kính R = 3 . 1 − 2 −11 23
Ta có d ( I, ) = =
R nên cắt (C) tại hai điểm phân biệt. 2 2 6 + 8 10
Do đó, có hai số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 9: Chọn C
Ta có: (2 + 3i) z + 2z = 16 + 3i (2 + 3i)(a + bi) + 2(a − bi) = 16 + 3i ( = a − b) a 1 4 3
+ 3ai =16 + 3i
. Vậy P = 3a + b = 1. − b = 4 −
Câu 10: Chọn C
Đặt z = x + yi ( ; x y
) z = x − yi .
Khi đó (3 + i).z − .iz = 7 − 6i (3+ i)( x + yi) − i ( x − yi) = 7 − 6i (3x − 2y) + 3yi = 7 − 6i . 3 x − 2y = 7 = x 1
z = 1− 2i . Vậy z = + (− )2 2 1 2 = 5 . 3 y = 6 − y = 2 −
Câu 11: Chọn B
Giả sử z = a + bi (a,b ) . Suy ra z = a − bi .
Khi đó: z (1+ 2i) − z (2 − 3i) = 4 − +12i
(a + bi)(1+ 2i) − (a − bi)(2 − 3i) = 4
− +12i −a + b + (5a + 3b)i = 4 − +12i
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 8 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 −a + b = 4 − a = 3 . 5 a + 3b = 12 b = 1 −
Do đó điểm M biểu diễn số phức z có toạ độ là (3;− ) 1 .
Câu 12: Chọn B
Giả sử z = a + bi (a,b ) . Suy ra z = a − bi .
Khi đó: (1+ 3i) z − 3z = 5
− + 7i (1+ 3i)(a + bi) − 3(a − bi) = 5 − + 7i − − = − = a b a 2
− a − 3b + (3a + 4b)i = 5 − + 2 3 5 1 7i . 3 a + 4b = 7 b = 1
Do đó điểm biểu diễn cho số phức z có toạ độ là (1; )
1 là điểm N trên hình vẽ.
Câu 13: Chọn A
Giả sử z = a + bi (a,b ) . Suy ra z = a − bi .
Khi đó: (2i + 3) z − (1− i) z = 2
− + 8i (2i + 3)(a + bi) − (1− i)(a − bi) = 2 − + 8i − = − = a b a
2a − b + (3a + 4b)i = 2 − + 2 2 0 8i . 3 a + 4b = 8 b = 2
Do đó điểm N biểu diễn cho số phức z có toạ độ là (0;2) .
Ta có khoảng cách cần tìm là MN = 1 .
Câu 14: Chọn B i 2
(a − 5) − 7i = b +
(a +3)i 7+ 2(a −5)i = b+(a +3)i b = 7 b = 7 − = − = a + = (a− ) a b 13 7 6. 3 2 5 a =13
Câu 15: Chọn A
Gọi z = a + bi , (a,b ) . + − = − +
− z = − + i + z a + b − (a −bi) 2 2 2 2 a b 2a 7 a z 2 7 3 2 = 7
− + 3i + a + bi 2b = 3+ b b = 3 b = 3 a = 4 3 a − 7 0
z = 4 + 3i z = 5 . 2
a + 9 = 3a − 7 b = a + 9 = (3a −7) 3 2 2
Câu 16: Chọn B
Giả sử: z = x + yi , x, y .
Ta có: z (1+ 2i) + z (1− i) + 4 − i = 0
(x + yi)(1+ 2i)+(x − yi)(1−i)+ 4−i = 0 ( x − y + = y = 2
2x − 3y + 4) + ( x − ) 1 i = 2 3 4 0 0 z 1 2i z 5 . x −1 = 0 x =1
Câu 17: Chọn A
Đặt z = x + yi (x, y ) z = ( x + yi)2 2 2 2
= x − y − 2xyi . Khi đó z = 2 2 2
x + y = 2 ; 2
z là số thuần ảo nên ta có 2 2 x − y = 0 .
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức x = 1, y = 1 2 2 x + y = 2 2 x =1 x = 1 x = 1, y = 1 − Từ đó ta có hệ . 2 2
x − y = 0 2 2
x − y = 0 2 y =1
x = −1, y =1
x = −1, y = 1 −
Câu 18: Chọn D
Ta có: (1+ i) z + 2z = 3 + 2i (1+ i)(a + bi) + 2(a − bi) = 3 + 2i 3 a − b = 3
a + bi + ia − b + 2a − 2bi = 3 + 2i a − b = 2 1 a = 2
. Vậy P = a + b = −1. 3 b = − 2
Câu 19: Chọn A
Ta có z + 1 + 3i − z i = 0 (a + ) + ( 2 2 1
b + 3 − a + b )i = 0. a +1 = 0 a = −1 . 2 2 2 b
+ 3− a + b = 0 1+ b = b + 3 ( ) * − b 3 − a = −1 ( ) b 3 4 * 4 b = − . Vậy
4 S = 2a + 3b = −6 . 1 + b = (b +3)2 2 b = − 3 b = − 3 3
Câu 20: Chọn C z = 0 3 Ta có: 4 z = 4
z z = z z ( z − ) 1 = 0
; z = 0 z = 0 . z = 1 z = 1 − z =1 z = 1 4
z = 1 ( 2z − )( 2 1 z + ) 1 = 0 S có 5 phần tử. z = i z = i −
Câu 21: Chọn A
Đặt z = a + bi (a,b R; a,b 0) , ta có 5 5 2 2
(a + bi) + 4(a − bi) = ( − 2 2i). a + b 2 2 2 2 5a − 3bi =
a + b − 2 2(a + b )i 3 3 5 2 2 5a = a + b (1) 3
. Từ đó suy ra a 0 , b 0 . 2 2 3 − b = 2
− 2(a + b ) (2) + Chia cho được 2 2 2
b = 2 2a 0 S = = 2 − 2 − 3. 2 − 2 2
Câu 22: Chọn A
Đặt t = z (t 0) .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 10 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Ta có: ( z − 2 + 3i)t + 4i = (4 + 5i)z z(t − 4 − 5i) = 2t − (3t + 4)i
Lấy môđun 2 vế ta được: 2 2 2
z(t − 4 − 5i) = 2t − (3t + 4)i t (t − 4) + 25 = 4t + (3t + 4) t 0 t 0 2 t ( 2 (t − 4) + 25) = ( 2 2 4t + (3t + 4) ) 4 3 2 t
− 8t + 28t − 24t −16 = 0 t 0 t = 2 3 2
(t − 2)(t − 6t +16t + 8) = 0 Với t = 2 ,ta có:
2(z − 2 + 3i) + 4i = (4 + 5i)z 2[x − 2 + ( y + 3)i] + 4i = (4 + 5i)(x + yi) 2x − 4y = 4 − x = 2
2(x − 2) + (2 y + 10) = 4x − 5y + (5x + 4 y) z = 2 5 x + 2y = 10 y = 0
Vậy có duy nhất 1 số phức z thỏa yêu cầu.
Câu 23: Chọn A 2 i z z 1 2i z 1 3i z 2 z 1 z 2 i 10 2 2 4 2 2 z 2 z 1 z 2 10 5 z 5 z 10 0 z 1 z 1 Gọi z a b i, z a b i . 1 1 1 2 2 2 Ta có: 2 2 2 2 z z 1 a b a b 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 Ta có: z z 1 a a b b 1 a a b b 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 Ta có: M 2z 3z 2a 3a 2b 3b i 2a 3a 2b 3b 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 a b 12 a a b b 9 a b 19 . Vậy Chọn A 1 1 1 2 1 2 2 2
Câu 24: Chọn B Ta có (2z − )
1 (1+ i) + ( z + )
1 (1− i) = 2 − 2i 2z (1+ i) −1− i + (1− i) z +1− i = 2 − 2i .
2z (1+ i) = 2 − (1− i) z ( ) 1 .
Đặt z = a + bi với a ; b .
Ta có: 2z (1+ i) = 2(a + bi)(1+ i) = 2a − 2b + (2a + 2b)i .
2 − (1− i) z = 2 − (1− i)(a − bi) = 2 − a + b + (a + b)i . 1 a =
a − b = − a + b 3 a − 3b = 2 Do đó 3 ( ) 2 2 2 1
2a + 2b = a + b a + b = 0 1 . b = − 3 2 2 1 1 1 1 2 Vậy z = − i z = + − = . 3 3 3 3 3
Câu 25: Chọn D
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Giả sử z = a + bi ; (a,b ) , khi đó ta có 2 2 2
z = a − b + 2abi là số thuần ảo khi và chỉ khi 2 2 a = b a = b ( ) 1
Khi đó z = a − bi suy ra z + z = 2 a , z − z = 2 b . 2 Ta có 2
z = z = 2 ab nên kết hợp với giả thiết suy ra ab = a + b (2) a = b = 2 a = b = −2 a = b 2 a = 2 a a = b = 2 Kết hợp ( ) 1 và (2) ta được hệ
a = −b = 2
ab = a + b a = b a = b = 0 a = −b = 2 − a = b = 0
Vậy có 5 số phức thỏa mãn.
Câu 26: Chọn D
Đặt z = a + bi z = a − bi
3 z + z + 2 z − z = 12 3 a 2 + 2 b 2 i = 12 Từ giả thiết ta có z + 2 − i 3 = z − 4 + i
(a + 2) + (b − 3)i = (a − 4) + (1− b) i 3 a + 2 b = 6 3 a + 2 b = 6 1 2 2 2 2 ,( )
(a + 2) + (b − 3) = (a − 4) + (1 −b) a 3 −b = 1 8 a = a 3 + b 2 = 6 8 5 Trường hợp 1: 9
a 0,b 0 thì ( ) 1 z = + i a 3 −b = 1 5 9 3 b = 3 4 a 3 − b 2 = 6 a = −
Trường hợp 2: a 0,b 0 thì (1) 3 , a 3 −b = 1 b = −5 8 − a 3 + b 2 = 6 a =
Trường hợp 3: a 0,b 0 thì (1) 3 , a 3 −b = 1 b = 7 4 a = − − a 3 − b 2 = 6 4 7 Trường hợp 4: 9
a 0,b 0 thì ( ) 1 z = − − i a 3 −b = 1 7 9 3 b = − 3
Vậy có 2 số phức thỏa mãn 2 z − 2z + 4
Câu 27: Cho số phức z không phải là số thực và
là số thực. Có bao nhiêu số phức z thỏa 2 z + 2z + 4 mãn 2
z + z + z − z = z ? A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 8 . Lời giải Chọn B Cách 1.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 12 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 2 z − 2z + 4 Ta có là số thực nên 2 z + 2z + 4 2 2 z − 2z + 4 z − 2z + 4 = ( 2 z − z + )( 2 z + z + ) = ( 2 z + z + )( 2 2 4 2 4 2 4 z − 2z + 4) 2 2 z + 2z + 4 z + 2z + 4 2 2 2 4z .z − 4 .
z z −16z +16z = 0 z ( z − z ) − 4( z − z ) = 0 ( 2
z − 4)(z − z ) = 2
0 z = 4 vì z − z 0 ( ) 1
Đặt z = a + bi với b 0 , a 2
z + z + z − z = z
2 a + 2 b = 4 (2) a = 0 2 2 a + b = 4 a . b = 0 a = 0 b = 2 Từ ( ) 1 và (2) ta có . a + b = 2 a + b = 2 b = 2 a = 0 b = −2 Cách 2.
Đặt z = a + bi với a,b . Do z là số thực nên b 0 2 2 ( 2 2
a − b − 2a + 4) z − 2z + 4
(a +bi) − 2(a +bi) + 4
+ (2ab − 2b)i = = 2 z + 2z + 4
(a +bi)2 + 2(a +bi) + 4 ( 2 2
a − b + 2a + 4) + (2ab + 2b)i 2
z − 2z + 4 là số thực nên phần ảo bằng 0 2 z + 2z + 4 −( 2 2
a − b − a + )( ab + b) + ( ab − b)( 2 2 2 4 2 2 2 2
a − b + 2a + 4) = 0 b( 2 2 4 a + b − 4) = 0 2 2
a + b = 4 do b 0 . 2
Mặt khác z + z + z − z = z 2 2
2a + 2b = a + b ( + ) 2 2 2 a
b = a + b (a + ab + b ) = (a + b )2 2 2 2 2 4 2 a = Thay ( )
1 vào (2) ta có 4(4 + 2 ab ) = 16 ab = 0 0
mà b 0 nên nhận a = 0 b = 0
Với a = 0 ta được b = 2 nên z = 2i
Câu 28: Chọn D
Gọi z = x + yi ( x, y ) . Ta có 2 2 z = 5 x + yi = 5 x + y = 25
z + 3 = z + 3 −10i
x + 3 + yi = x + 3 + ( y −10)i ( x + 3
)2 + y = (x +3)2 +( y −10)2 2 2 2 2 2 x + y = 25 x = 25− 5 = 0 x = 0
. Suy ra z = 5i . 20y =100 y = 5 y = 5
Từ đó ta có w = z − 4 + 3i = −4 + 3i + 5i = −4 + 8i .
Câu 29: Chọn B
Đặt z = x + yi ( x, y ) .
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Ta có: z = ( x + yi)2 2 2 2
= x − y + 2xyi là số thuần ảo khi 2 2
x − y = 0 x = y . Mặt khác: 2 2 2 2 z = 2
x + y = 2 x + y = 2 . x =1 y = 1 x = 1 − x = y x = y y =1 Suy ra: . 2 2 2 x + y = 2 y = 1 x =1 y = 1 − x = 1 − y = 1 −
Vậy tổng bình phương phần thực bằng 4.
Câu 30: Chọn D
Giả sử z = a + bi , (a,b ) z = a − bi .
Ta có: z − 1 = a − 1 + bi , z − z = 2bi , z + z = 2a . = ( )1009 2019 2 i i i = (− )1009 1 i = i − . Do đó 2 z −
+ z − z i + (z + z) 2019 1 i = 1
( (a − ) +b )2 2 + ( b)2 2 1 2
.i + 2a ( i − ) = 1 ( 2 a − )2 2 1 + b = 1 2 2
a − 2a + b = 0
2 b − 2 b = 0 (a − )2 2 1
+ b + 2 b i − 2ai = 1
2 b − 2a = 0 a = b a = b a = 0 = b 0 b = 0 = a 1
b = 1
. Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán. b = 1 a = b a =1 b = −1
Câu 31: Chọn D
z = x + yi M (x; y) z = 4 − + 3i F 4 − ;3 + 1 1 ( ) z z Gọi . Ta thấy: 1 2 z =
A là trung điểm của F F . 0 1 2
z = 8 + 5i F 8;5 2 2 2 ( )
z = 2+ 4i A 2;4 0 ( )
Theo giả thiết, ta có: z + 4 − 3i + z − 8 − 5i = 2 38 MF + MF = 2 38 . 1 2
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 14 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 2 38 a = = 38 2 z − z
Suy ra, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip ( E ) có: 1 2 c = = 37 . 2 2 2 b = a − c = 1
Ta có: z − 2 − 4i = MA . Vì A là tâm Elip và M di chuyển trên Elip nên min AM = b = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của z − 2 − 4i bằng 1.
Câu 32: Chọn A
Đặt z = x + yi với x, y .
Số phức z có điểm biểu diễn M ( x; y) .
Ta có 2 z −1 = z − z + 2 2 x + yi −1 = x + yi − ( x − yi) + 2 (x − )2 2 2 2 1 + y = 4 + 4y x = 0 4(x − )2 2 2 2
1 + 4 y = 4 + 4 y 4x − 8x = 0 . x = 2
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là hai đường thẳng có phương trình x = 0 và x = 2 .
Câu 33: Chọn A Gọi = x + i,
y ( x, y ) . Theo đề bài ta có = z +1− i z = (x − ) 1 + ( y + )
1 i z = ( x − ) 1 − ( y + ) 1 i Từ đó ta có: 2 3z + i . z z + 9
(x − ) −( y + ) +
(x − )2 +( y + )2 3 1 1 i i 1 1 + 9 2 ( 2 5 73
x − ) − ( y + ) 2 ( x − )2 + ( y + )2 3 1 3 2 i 1 1 + 9 ( x − ) 1 + y + 8 64 2 2 5 73
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là hình tròn ( x − ) 1 + y + . 8 64
Câu 34: Chọn B Xét phương trình 4 3 2
x + ax + bx + cx + d = 0 ( )
1 , (a,b, c, d ).
Nhận thấy: Nếu z là nghiệm của ( )
1 thì z cũng là nghiệm của ( ) 1 . Do đó, ( )
1 có bốn nghiệm z = 1
− + i , z =1+ 2i , z = z = 1
− − i , z = z =1− 2i . 1 2 3 1 4 2 z + z = 2 − z + z = 2 1 3 2 4 Mà và . z .z = 2 z .z = 3 1 3 2 4 Do đó 4 3 2
x + ax + bx + cx + d = ( 2 x + x + )( 2 2 2 x − 2x + 3) 4 3 2 4 2
x + ax + bx + cx + d = x + x + 2x + 6 .
Suy ra a = 0 , b = 1, c = 2 , d = 6 hay a + b + c + d = 9 . Câu 35: Chọn A
15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Giả sử z = x + yi ( x, y ) . Khi đó 2 2 2
z + z + z − z = z 2 2
2 x + 2 y = x + y ( x − ) 1 + ( y − ) 1 = 2 (x − )2 1 + ( y − )2 1
= 2 khi x 0, y 0 (x + )2 1 + ( y + )2 1
= 2 khi x 0, y 0 . (x − )2 1 + ( y + )2 1
= 2 khi x 0, y 0 (x + )2 1 + ( y − )2 1
= 2 khi x 0, y 0 2 2 2
z = m x + y = m , (m 0) .
Điều kiện cần và đủ để có đúng 4 số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện 2
z + z + z − z = z và z = m là đường tròn (C) 2 2 2
: x + y = m có đúng 4 điểm chung với cả 4 phần đường tròn trên.
Dựa vào đồ thị ta thấy có hai trường hợp thỏa mãn đó là m = 2 hoặc m = 2 2 .
Câu 36: Chọn C
Đặt w = a + bi ; a,bR + − a 1 b 4
a + bi = 2z −1+ 4i z = + i 2 2 2020 z − 2i
= z −1+ 2i hay 2 2 2 2 a +1 b − 4 a +1 b − 4
z − 2 = z −1 + 2i − 2 + = −1 + + 2 2 2 2 2
(a − 3)2 + (b − 4)2 = (a − )2 2
1 + b a + 2b − 6 = 0
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường thẳng (d ) : x + 2y − 6 = 0 2 − 2.3 − 6 10 5
Khoảng cách từ I(2; 3) đến (d ) là: = . 1+ 4 5
Câu 37: Chọn B
Gọi M ( x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi , ( x, y ) .
Gọi A(3;0) , B (−3;0) lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z = 3 và z = −3 . Khi đó 1 2 AB = 6 .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 16 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
z − 3 + z + 3 = 10 MA + MB = 10 AB .
Do đó quỹ tích của điểm M là đường Elip có bán trục lớn a = 5 , nửa tiêu cự c = 3 và bán trục nhỏ là b = 4 .
Vậy diện tích hình Elip là S = ab = 20 .
Câu 38: Chọn C
Gọi số phức w = x + yi ( x, y ) .
Ta có: w = 3 + i − (3 − 4i) z w − 3 − i = ( 3
− + 4i) z w− 3− i = (−3+ 4i) z w− 3− i =10
(x − )2 + ( y − )2 = (x − )2 + ( y − )2 3 1 10 3 1 =100 .
Vậy tập hợp biểu diễn các số phức w là một đường tròn có bán kính bằng 10 .
Câu 39: Chọn A
Gọi z = m 0 . Khi đó ( z + i) z = 2 được viết lại thành (m + i) z = 2 . Lấy module 2 vế ta có
m = m =
m + i . z = 2 m m +1 = 2 m (m + ) 2 1 1 2 2 2 4 2
1 = 2 m + m − 2 = 0 2 m = 2 − (VN)
Do m 0 nên ta có m = 1, suy ra z = 1. Vậy 1 3 z . 2 2
Câu 40: Chọn D
Xét z = x + yi với x, y . x = m + 3 x − 3 = m
Mà z = m + + ( 2 3 m − ) 1 i 2 y = m −1 y = (x −3)2 2
−1 = x − 6x + 8
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc đường cong (C ) : 2
y = x − 6x + 8 x = 2
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox . 2
x − 6x + 8 = 0 x = 4
Diện tích giới hạn bởi (C ) và trục hoành là: 4 4 4 3 x 4 2 S =
x − 6x + 8 dx = −
( 2x −6x+8)dx 2
= − −3x +8x = 3 3 2 2 2
Câu 41: Chọn B Cách 1 2 2
z + z = z z ( z − z = − 2
z z z − z = z . z 2
MN = OM.ON ( ) 1 1 2 )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Lại có: 2 2
z + z = z z 2 z = z z − 2 z
z = z . z − z 2
OM = ON.MN (2) 1 2 ( 1 2 ) 1 2 1 2 1 2 1 2 Tương tự ta có: 2
ON = OM .MN (3) 2 Từ ( OM ON 2) và (3) ta có: =
OM = ON . (4) 2 ON OM
17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức Từ ( ) 1 và (4) ta có: 2 2
MN = OM MN = OM .
Từ đó suy ra: OM = ON = MN . Vậy OMN đều. Cách 2 2 1 3 Ta có 2 2 2 2 2
z + z = z z z − z z + z = 0 z − z + z = 0 . 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 4 1 3 z = + i z 1 2 1 3 1 3 2 2
z − z −
iz z − z + iz = 0 ( ) 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 3
z = − i z 1 2 2 2 1 3
z − z = − + i z 1 2 2 2 2
z − z = z MN = ON . (2) 1 2 2 1 3
z − z = − − iz 1 2 2 2 2 Cũng từ ( )
1 ta suy ra z = z OM = ON . (3) 1 2
Từ (2) và (3) suy ra OMN đều. Cách 3
Chọn z = 1+ 3i và z = 1 − + 3i . 1 2 2 2 Ta có 2 2
z + z = 1+ 3i + 1
− + 3i = 4 và z z = 1+ 3i 1 − + 3i = 4 1 2 ( )( ) 1 2 ( ) ( ) Suy ra 2 2
z + z = z z nên hai số phức z , z thỏa mãn yêu cầu đề bài. 1 2 1 2 1 2
Khi đó M (1; 3) và N ( 1
− ; 3) , ta có OM = ON = MN = 2. Vậy OMN đều.
Câu 42: Chọn D
Gọi M ( x; y) là điểm biểu diễn cho số phức w .
Ta có w = 2( z − 2 + 3i) + 4 − 6i +1− i w − 5 + 7i = 2( z − 2 + 3i) . Khi đó 2 2
w − 5 + 7i = 2 z − 2 + 3i 6 ( x − 5) + ( y + 7) 36 .
tập hợp các điểm M trên mặt phẳng Oxy là hình tròn tâm I (5;−7) bán kính R = 6 .
Vậy diện tích hình tròn là 2
S = R = 36 .
Câu 43: Chọn D
Giả sử z = x + yi với x , y .
Ta có ( z +1− 3i)( z +1+ 3i) = 25 ( x + )
1 + ( y − 3)i ( x + )
1 − ( y − 3)i = 25
(x + )2 + ( y − )2 1 3 = 25 .
Tập các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (−1;3), bán kính bằng 5 .
Vậy a + b + c = −1+ 3 + 5 = 7 .
Câu 44: Chọn A
Giả sử A , B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z , z trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Theo giả 1 2 thiết ta có
A , B thuộc đường tròn tâm I (2;3) , bán kính r = 5 và AB = 6 .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 18 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 z + z w
Gọi M là trung điểm của AB khi đó M cũng là điểm biểu diễn số phức 1 2 u = = . 2 2 2 AB Lại có 2 2 2 2
IM = IA − AM = r − =16 IM = 4 . 2
Vậy M thuộc đường tròn tâm I (2;3) bán kính r ' = 4 .
Suy ra các điểm biểu diễn số phức w = z + z = 2u là một đường tròn bán kính R = 2r = 8 1 2
Câu 45: Chọn D
Giả sử z = a + bi ( ; a b
) và w = x + yi ( ;x y ) . Ta có 2020 z − 2i
= z −1+ 2i a + bi − (i )1010 2 2
= a − bi −1+ 2i
(a − )2 + b = (a − )2 + ( − b)2 2 2 1 2
2a − 4b +1 = 0( ) 1 .
Theo giả thiết: w = 2z − 1 + 4i x + yi = 2(a − bi) −1 + 4i x + yi = 2a −1 + (4 − 2b)i . x + 1 = a x = 2a −1 2 (2) . y = 4 − 2b 4 − y b = 2 x + 1 4 − y Thay (2) vào ( ) 1 ta được: 2. − 4.
+1 = 0 x + 2y − 6 = 0() . 2 2
Vậy: d ( I ) 10 5 , = . 5
Câu 46: Chọn D w − (1− i) w − (1− i) w − 7 + 9i
w = 2z +1− i = z
− 3+ 4i = z − 3+ 4i = z − 3+ 4i 2 2 2 w − 7 + 9i = z − 3+ 4i 2 w − (7 − 9i) Ta được
= z − 3+ 4i 2 w − (7 − 9i) 4 . 2
Do đó tập hợp điểm biểu diễn biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I (7; 9
− ) , bán kính bằng 4 .
Vậy diện tích hình tròn là S = 16 .
Câu 47: Chọn C
Đặt z = x + yi,( x, y ) .
z + z + z − z = 2 2x + 2 yi = 2 x + y = 1.
Đặt z = z (z + ) −(z + z) 2 2
− m = z + z − z − m .
z là số thuần ảo nên có phần thực bằng 0. Tức là: 2 2
x + y = m .
Tập hợp các điểm M ( x; y ) thỏa mãn là hình vuông tâm là gốc tọa
19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức Để có 4 cặp số ( ;
x y ) thỏa mãn đồng thời và thì phải là một đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp 2 1
hình vuông nói trên. Tức là m 0 và m = 1 hoặc m =
m = 1 hoặc m = 2 2 3
Vậy tổng các phần tử của S là . 2
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 20 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 DẠNG 3
Các phép toán số phức Câu 1:
Cho số phức z = 1+ 2i . Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức w = 2z + z . A. 3. B. 5. C. 1. D. 2. Câu 2:
Trên tập số phức, cho biểu thức A = (a − bi)(1− i) ( a, b là số thực). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. A = a + b − (a + b) .
i B. A = −a + b + (b − a) .i
C. A = a − b − (a − b) .
i D. A = a − b − (a + b) .i 2 2 Câu 3:
Kí hiệu z , z là hai nghiệm của phương trình 2
z − 4z + 5 = 0 . Giá trị của z + z bằng 1 2 1 2 A. 6 . B. 10 . C. 2 5 . D. 4 . Câu 4:
Tìm các số thực x , y thỏa mãn 2x −1+ ( y − 2)i = 1+ i với i là đơn vị ảo.
A. x = 1; y = 1 .
B. x = 1; y = 2 .
C. x = 1; y = 3 .
D. x = −1; y = 3 . Câu 5:
Tìm số phức z biết 4z + 5z = 27 − 7i .
A. z = −3 + 7i .
B. z = −3 − 7i .
C. z = 3 − 7i .
D. z = 3 + 7i . 3i Câu 6: Cho số phức z =
− i . Môđun của số phức z là 3 + i 370 10 −3 1 A. . B. . C. 10 . D. + i . 10 10 10 10 2 Câu 7:
Cho z = 2 + 4i, z =3−5i . Xác định phần thực của w = z .z 1 2 1 2 A. −120 . B. −32 . C. 88 . D. −152 . Câu 8:
Cho các số thực x , y thỏa mãn 4 (3i − 2) = 4x + 2 yi . Tính giá trị của P = x + y .
A. P = 4 .
B. P = 7 .
C. P = −1. D. P = 8 . z − ( z)2 2 Câu 9: Cho w =
với z là số phức tùy ý cho trước với phần thực và phần ảo khác 0. Mệnh đề 1+ z.z nào dưới đây đúng?
A. w là số ảo.
B. w = −1.
C. w = 1 .
D. w là số thực.
Câu 10: Các số thực x , y thỏa mãn đẳng thức x (3 + 5i) − y (1+ 2i) = 9 +16i trong đó 2 i = −1 . Giá trị
của biểu thức T = x − y là A. 3 . B. 5 . C. 0 . D. 1.
Câu 11: Biết phương trình 2
z + bz + c = 0 (b , c ) có một nghiệm phức là z = 1+ 2i . Khi đó. 1
A. b + c = 2 .
B. b + c = 3 .
C. b + c = 1.
D. b + c = 7 .
z + z + z = 0 1 2 3
Câu 12: Cho ba số phức z ; z ; z thỏa mãn . Tính 1 2 3 2 2
z = z = z = 1 2 3 3
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức 2 2 2 A = z + z
+ z + z + z + z 1 2 2 3 3 1 2 2 8 3 A. . B. 2 2 . C. . D. . 3 3 8
Câu 13: Kí hiệu z ; z là hai nghiệm phức của phương trình 2
3z − z +1 = 0 . Tính P = z + z . 1 2 1 2 14 2 3 2 3 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 3 3 3 3
Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn phương trình (3 + 2i) z + (2 − i)2 = +
4 i . Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức z . A. M (−1; ) 1 . B. M ( 1 − ;− ) 1 . C. M (1; ) 1 . D. M (1; − ) 1 .
Câu 15: Tìm số phức z thỏa mãn z + (2 + i)z = 3 − 5i .
A. z = 2 + 3i .
B. z = −2 + 3i .
C. z = 2 − 3i .
D. z = −2 − 3i . 2
Câu 16: Cho số phức z = (1+ i) (1+ 2i). Số phức z có phần ảo là A. 2i . B. 4 . C. 2 . D. −4 . 3
Câu 17: Cho số phức z 1 thỏa mãn z = 1 . Tính ( 2018 − z + z )( 2018 1 1+ z − z ). A. 1.
B. Đáp số khác. C. 4. D. 2.
Câu 18: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z + i 5 + z − i 5 = 6 , biết z có môđun bằng 5 ? A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 0 .
Câu 19: Cho hai số phức z , w thỏa mãn z + w = 17 , z + 2w = 58 và z − 2w = 5 2 . Giá trị của
biểu thức P = z.w + z.w bằng A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . 5
Câu 20: Tính tổng phần thực của tất cả các số phức z 0 thỏa mãn z + i = 7 − z . z A. 2 . B. −2 . C. 3 − . D. 3 . z
Câu 21: Cho hai số phức z , z khác 0 thỏa mãn 1 là số thuần ảo và z − z = 10 . Giá trị lớn nhất của 1 2 1 2 z2
z + z bằng 1 2 A. 10 . B. 10 2 . C. 10 3 . D. 20 .
Câu 22: Cho các số phức 2021
z thỏa mãn 2iz − 2i
= 3z −1 và z = 1. Điểm biểu diễn cho số phức z có hoành độ bằng A. −4 . B. 4 . C. 1 − . D. 1.
Câu 23: Tìm số phức z thỏa mãn z + 2 − 3i = 2z .
A. z = 2 + i .
B. z = 2 − i .
C. z = 3 − 2i .
D. z = 3 + i .
Câu 24: Môđun của số phức z thỏa mãn z −1 = 5 và 17 ( z + z) − 5 . z z = 0 bằng
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 2 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 A. 53 . B. 34 . C. 29 và 13 . D. 29 .
Câu 25: Cho số phức u , v thỏa mãn: u = v = 10 và 3u − 4v = 2019 . Ta có 4u + 3v là A. 2890 . B. 2981 . C. 2891 . D. 2982 . Câu 26: Cho khai triển ( 3+ x)2019 2 3 2019
= a + a x + a x + a x +...+ a x . Hãy tính tổng 0 1 2 3 2019
S = a − a + a −a + ... + a − a . 0 2 4 6 2016 2018 A. 0 . B. 2019 2 . C. ( )1009 3 . D. 1009 2 .
Câu 27: Biết rằng a ; b là các số thực thỏa mãn a + bi = ( + i)2017 1 3
. Giá trị của a + b bằng: A. ( + ) 672 1 3 .8 . B. ( + ) 671 1 3 .8 . C. ( − ) 672 3 1 .8 . D. ( − ) 671 3 1 .8 .
Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn z + z + z − z = 4 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
P = z − 2 − 2i . Đặt A = M + n . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. A 4;3 3 ).
B. A ( 34;6) .
C. A (2 7; 33) . D. A(6; 42 ) .
Câu 29: Cho các số phức z , z thỏa mãn z = 6 và z = 2 . Gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn 1 2 1 2
của các số phức z và iz . Biết MON = 60 . Tính 2 2
T = z + 9z . 1 2 1 2 A. T = 36 2 .
B. T = 36 3 . C. 24 3 . D. 18.
Câu 30: Xét các số phức z thỏa mãn (2 − z) (z + i) là số thuần ảo. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của
z trong mặt phẳng tọa độ là 1 5
A. Đường tròn có tâm I 1; , bán kính R = . 2 2 1 5
B. Đường tròn có tâm I 1; , bán kính R =
nhưng bỏ đi hai điểm A(2;0) , B (0; ) 1 . 2 2 1 5
C. Đường tròn có tâm I 1 − ;− , bán kính R = . 2 2
D. Đường tròn có tâm I (2; ) 1 , bán kính R = 5 . − + i
Câu 31: Cho số phức z thỏa mãn ( + i) 2 14 3 z =
+1−3i . Khẳng định nào sau đây đúng? z 3 13 7 11 3 A. z 2 . B. z 4 . C. z . D. 1 z . 2 4 4 5 2
Câu 32: Cho các số phức z , z thỏa mãn z = z =
3 và z − z = 2. Môđun z + z bằng 1 2 1 2 1 2 1 2 A. 2 . B. 3 . C. 2 . D. 2 2 .
Câu 33: Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z có phần thực và phần ảo là các số nguyên thỏa mãn hai
điều kiện: z − 3 − 4i 2 và z + z z − z . Số phần tử của tập S là A. 11. B. 12 . C. 13 . D. 10 .
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.D 3.B 4.C 5.D 6.B 7.D 8.A 9.A 10.B 11.B 12.C 13.D 14.C 15.C 16.C 17.C 18.B 19.B 20.D 21.B 22.C 23.A 24.B 25.B 26.A 27.A 28.B 29.B 30.A 31.C 32.D 33.D
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn B
Ta có z = 1+ 2i z = 1− 2i , khi đó w = 2z + z = 2(1+ 2i) + (1− 2i) = 3 + 2i .
Phần thực của số phức w là 3, phần ảo của số phức w là 2.
Tổng phần thực và phần ảo là: 3 + 2 = 5 . Câu 2: Chọn D
A = (a − bi) ( − i) 2 1
= a − ai − bi + bi = (a − b) − (a + b)i . Câu 3: Chọn B z = 2 + i 2 2 Ta có 2 1
z − 4z + 5 = 0 nên z + z = 10 . z = 2 − i 1 2 2 Câu 4: Chọn C x − = x =
Ta có x − + ( y − ) 2 1 1 1 2 1
2 i = 1+ i . y − 2 =1 y = 3 Câu 5: Chọn D
Giả sử z = a + bi (a, b R) , khi đó 4(a + bi) + 5(a − bi) = 27 − 7i 9a − bi = 27 − 7i 9a = 27 a = 3
z = 3 + 7i . −b = 7 − b = 7 Câu 6: Chọn B 3i 1 3 − i 3 1 9 1 10 Ta có: z = − i z = = z = + i z = + = 3 + i 3 + i 10 10 10 100 100 10 Câu 7: Chọn D 2 2
Ta có z = 3+ 5i z
= −16+ 30i w= z .z = 2 + 4i 1
− 6+ 30i = −152− 4i . 1 2 ( )( ) 2 2
Vậy phần thực của w là −152 . Câu 8: Chọn A x = − x = 2 −
Ta có 4 (3i − 2) = 4x + 2 yi −8 +12i = 4x + 4 8 2 yi
P = x + y = 4 . 2y =12 y = 6 Câu 9: Chọn A
Gọi số phức z = x + yi , ( x, y ) z = x − yi .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 4 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 z − ( z)2 2
(x + yi)2 −(x − yi)2 2 2 2 2
x + 2xyi − y − x + 2xyi + y 4xy Ta có: w = = = = i . 1+ z.z 2 2 1+ x + y 2 2 1+ x + y 2 2 1+ x + y
Vậy w là số ảo.
Câu 10: Chọn B
Ta có x (3 + 5i) − y (1+ 2i) = 9 +16i (3 x − y − 9) + (5 x − 2 y −16)i = 0 3
x − y − 9 = 0 x = 2
. Suy ra T = x − y = 5 . 5
x − 2y −16 = 0 y = 3 −
Câu 11: Chọn B Vì phương trình 2
z + bz + c = 0 nhận z = 1+ 2i là nghiệm nên ta có: 1 ( + i)2 1 2
+ b(1+ 2i) + c = 0 3
− + 4i + b + 2bi + c = 0 ( + − = + =
b + c − ) + ( b + ) b c 3 0 b c 3 3 2 4 i = 0 2b + 4 = 0 b = 2 −
Câu 12: Chọn C
z + z = −z 1 2 3
z + z + z = 0 z + z = −z . 1 2 3 1 3 2
z + z = −z 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 A = z + z
+ z + z + z + z = −z + −z + −z = z + z + z = 3. = . 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 3 3
Câu 13: Chọn D Cách 1: 1 1 1 11 Ta có 2 2 2
3z − z +1 = 0 z − z + = 0 z − = − 3 3 6 36 1 11 z = + i 1 2 11 2 6 6 z − = i . 6 36 1 11 z = − i 6 6 2 2 2 2 Khi đó 1 11 1 11 2 3 P = + + + − = . 6 6 6 6 3 Cách 2:
Theo tính chất phương trình bậc 2 với hệ số thực, ta có z ; z là hai số phức liên hợp nên 1 2 2 2 1 3 2 3
z .z = z = z . Mà z .z = suy ra z = z =
. Vậy P = z + z = . 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3
Câu 14: Chọn C Ta có phương trình: 2
(3 + 2i)z + (2 − i) = 4 + i
( + i) z = −( − i)2 3 2 2 + 4 + i ( 1+ 5i
3 + 2i) z = 1+ 5i z = z =1+ i . 3 + 2i
Vậy điểm M biểu diễn số phức z có tọa độ là M (1; ) 1 .
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Câu 15: Chọn C
Gọi z = a + bi (a;b ) , theo đề bài ta có:
a + bi + (2 + i) (a − bi) = 3 + 5i a + bi + 2a + b + ai − 2bi = 3 + 5i 3 a + b = 3 a = 2
3a + b + ai − bi = 3 + 5i
. Vậy z = 2 − 3i . a − b = 5 b = 3 −
Câu 16: Chọn C 2
Ta có z = (1+ i) (1+ 2i) = 2i (1+ 2i) = 4 − + 2 .i
Do đó phần ảo của z là 2.
Câu 17: Chọn C
Ta có: z = z = (z )672 3 2018 3 2 2 1 .z = z 3
z = ( z − )( 2 1 1 z + z + )
1 = 0 , mà z 1 nên 2 z + z +1 = 0 Do đó, ( 2018 − z + z )( 2018 + z − z ) = ( 2 − z + z )( 2 1 1 1 1+ z − z ) = ( 2
+ z + z − z)( 2 2 1 2
1+ z + z − 2z ) = − z ( 2 − z ) 3 2 . 2 = 4z = 4 .
Câu 18: Chọn B
Gọi z = a + bi với a , b
. Ta có hệ phương trình sau:
z + i 5 + z − i 5 = 6 a +
(b+ 5)i + a+(b− 5)i = 6 z = 5 a + bi = 5
a + (b + 5)2 + a + (b − 5)2 2 2 = 2 2 2 2 6
a + b + 2 5b + 5 + a + b − 2 5b + 5 = 6 2 2 + = + = 2 2 a b 5 a b 5
10 + 2 5b + 10 − 2 5b = 6 , 2 2 a + b = 5 16 2 = 2 a 2 2
20+ 2 100− 20b = 36 100− 20b = 8 1 00 − 20b = 64 5 2 2 2 2 2 2 a + b = 5 a + b = 5 a + b = 5 9 2 b = 5 4 a = 5 4 4 4 4 4 a = − a = a = a = − a = − 5 5 5 5 5 . 3 3 3 3 3 b = b = b = − b = b = − 5 5 5 5 5 3 b = − 5
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 6 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 4 3 4 3
Kết hợp với điều kiện ta có bốn số phức cần tìm là: z = + i , z = − i , 5 5 5 5 4 3 4 3 z = − + i , z = − − i . 5 5 5 5
Câu 19: Chọn B 2
Ta có z = z.z , az + bz = a z + bz nên 1 2 1 2 z + 2w = 2
58 z + 2w = 58 ( z + 2w)( z + 2w) = 58 2 2 z + 2 . z w + 2 . z w + 4 w = 2 2
58 z + 2P + 4 w = 58 .
Tương tự z − 2w = 2 2
5 2 z − 2P + 4 w = 50 . 2 2
z + 2P + 4 w = 58 Khi đó
4P = 8 P = 2 . 2 2
z − 2P + 4 w = 50
Câu 20: Chọn D 5 5 Ta có: z + i = 7 − z
. Chia hai vế cho i ta được: z + = 7 − i + zi . z z 5 5 25
Hay z (1− i) = 7 − i −
z (1− i) = −7i − 2 z = 49 + z z ( z )2 2 z = 25 (t/m)
Bình phương 2 vế, ta đượ 2 25 c: 2 z = 49 + 4 2
2 z − 49 z − 25 = 0 . 2 1 z 2 z = − (kt/m) 2 5
Do z 0 nên z = 5 . Thế z = 5 vào đề bài ta được: z + i = 7 − z (z + ) 1 i = 7 − z . 5 Đặt z x
yi , với x, y .
Thế vào ta được: ( x + yi + )
1 i = 7 − x − yi − y + ( x + )
1 i = 7 − x − yi
−y = 7 − x − = = x y 7 x 3 . x +1 = −y x + y = 1 − y = 4 − Dễ thấy số phức 3
4i thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy tổng phần thực của các số phức cần tìm là 3 .
Câu 21: Chọn B Cách 1: z z
Vì 1 là số thuần ảo nên 1 = ai z = aiz . 1 2 z z 2 2 10
Ta có z − z = 10 aiz − z = 10 z ai −1 = 10 2 z
1+ a = 10 z = . 1 2 2 2 2 2 2 2 1+ a
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức 10 a
Từ z = aiz z = aiz = . 1 2 1 2 2 1+ a 2 10 a 10(1+ a ) 10 (1+ ) 1 (1+ a ) Do đó 10 z + z = + = 10 2 . 1 2 2 2 1+ a 1+ a 2 1+ a 2 1+ a
Đẳng thức xảy ra a = 1 z = iz . Vậy max ( z + z =10 2 . 1 2 ) 1 2 Cách 2:
Đặt z = a + b i , z = a + b i . Gọi A , B z , z . 1 1 1 2 2 2
lần lượt là điểm biểu diễn của 1 2
A(a ;b , B(a ;b OA(a ;b ,OB a ;b . 1 1 ) ( 2 2) 2 2 ) 1 1 ) z z .z ( + − 1 1 2 1 1 ) ( 2 2 ) =
= a b i a b i là số thuần ảo a a + b b = 0 O .
A OB = 0 OAB 2 2 1 2 1 2 vuông z2 z z 2 2 tại O .
z − z = AB = 10 . 1 2
z + z = OA + OB ( 2 2 OA + OB ).( 2 2 1 +1 ) 2 = 2AB =10 2 . 1 2
Đẳng thức xảy ra OA = OB . Vậy max ( z + z =10 2 . 1 2 )
Câu 22: Chọn C
Giả sử z = a + bi ( ; a b ) . 1010 Ta có 2021 2iz − 2i
= 3z −1 i (a + bi) − ( 2 2 2 i )
i = 3(a − bi) −1 ( 2 2
2a − 2)i − 2b = (3a − ) 1 − 3bi ( a − ) 2 + b = ( a − ) 2 2 2 4 3 1 + 9b ( 2 2
5 a + b ) + 2a − 3 = 0 ( ) 1 . Mặt khác: z = 1 2 2
a + b = 1(2) . Thay vào được 5.1+ 2a − 3 = 0 a = 1 − .
Câu 23: Chọn A
Đặt z = x + yi ( x , y ), suy ra z = x − yi .
Ta có z + 2 − 3i = 2z ( x + 2) + ( y − 3)i = 2x − 2 yi . x + 2 = 2x x = 2
Đồng nhất hệ số ta có
. Vậy số phức z = 2 + i . y − 3 = 2 − y y =1
Câu 24: Chọn B
Đặt z = a + bi (a;b R) z −1 = 5 2 2 2 ( a − ) 2 1 + b = 25 (a +b )−2a−24 = 0 Ta có 17 2 2 2 2
( z + z) − 5z.z = 0 17. 2a − 5 (a +b ) = 0 17. 2a − 5 (a +b ) = 0 5 ( 2 2
a + b ) − 2a − 24 = 0 34 a + 5( 2 − a − 24) = 0 a = 5 5 2 2 ( 2 2 a + b ) 17 .2a − 5 = + = ( 2 2 a + b ) = 0 17.2a a b 34 Suy ra 2 2
z = a + b = 34 .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 8 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Câu 25: Chọn B 2
Ta có 3u − 4v = 2019 3u − 4v = 2019 (3u − 4v)(3u − 4v) = 2019 ( 481
u − v)( u − v) =
(u)2 − (uv +uv)+ (v)2 3 4 3 4 2019 9 12 16
= 2019 . Suy ra uv + uv = . 12 Tương tự như trên ta có
u + v = ( u + v)( u + v) = ( u + v)( u + v) = (u)2 + (uv + uv) + (v)2 2 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 16 12 9 = 2981.
Do đó: 4u + 3v = 2981 .
Câu 26: Chọn A
Với mọi k , ta có: 4k k k + k + k + i = 1 + + , 4k 1 i = i , 4k 2 i + = 1 − , 4k 3 i = −i và ( i − )4 =1, ( i − )4 1 = i − , ( i − )4 2 = 1 − , ( i − )4 3 = i
Xét khai triển ( 3 + x)2019 2 3 2019
= a + a x + a x + a x +...+ a x 0 1 2 3 2019
Thay x = i ta được: ( 3 + i)2019 = a + a i − a − a i + a + a i − a −...− a − a i 0 1 2 3 4 5 6 2018 2019
= (a − a + a −......− a
+ a − a + a −......− a i 0 2 4 2018 ) ( 1 3 5 2019 ) 2019 2019 Mà ( 3 + i) 2019 2019 2019 2019 = 2 cos + .isin = 2 cos + .isin = 0 + i 6 6 6 6
Suy ra a − a + a − a + ... − a = 0 0 2 4 6 2018
Câu 27: Chọn A 1 3 Ta có: 1+ 3i = 2 + i = 2 cos + .isin 2 2 3 3 ( + 2017 2017 i) 2017 2017 2017 1 3 = 2 cos + .isin 2017 = 2 cos + .isin 3 3 3 3 672 a = 8 2016 = 2 .2. cos + .isin 672 = 8 (1+ 3i) 672 672 = 8 + 8 3i . 3 3 672 b = 8 3
a + b = ( + ) 672 1 3 8 .
Câu 28: Chọn B
Giả sử z = x + yi ( x, y ) . Khi đó
x + y = 2 khi x 0, y 0
x + y = −2 khi x 0, y 0
z + z + z − z = 4 2 x + 2 y = 4 x + y = 2
x − y = 2 khi x 0, y 0
−x + y = 2 khi x 0, y 0
Hình biểu diễn hệ nói trên là hình vuông ABCD như trong hình vẽ
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Khi đó P = z − 2 − 2i = EM với E (2;2) và M ( x; y) .
Dễ thấy m = min P = d (E; AB) = EH = 2; M = max P = ED = 20 .
Do đó M + m = 2 + 20 ( 34;6) .
Câu 29: Chọn B
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z và iz , gọi 1 2
E, F lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức 3iz và −3iz . 2 2 Theo bài ra ta có:
z = 6 nên tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính R = 6 , gọi là đường tròn (C ; 1 ) 1
z = 2 iz = i . z = 2 do đó tập hợp các điểm N biểu diễn số phức iz thuộc đường tròn 2 2 2 2
tâm O , bán kính r
2 , gọi là đường tròn (C . 2 ) Lại thấy : 3iz 6 và 3iz
6 suy ra các điểm E , F thuộc đường tròn (C . 1 ) 2 2
Hơn nữa: 3iz và −3iz là các số phức đối nên EF là một đường kính của (C . 1 ) 2 2
Mặt khác : OE = 3ON nên N nằm giữa O và E MOE = 60 , suy ra tam giác MOE là tam
giác đều cạnh bằng 6 và tam giác MEF vuông tại M .
Khi đó : T = z + 9z = z − (3iz )2 2 2 2
= z − 3iz . z + 3iz = ME.MF . 1 2 1 2 1 2 1 2
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 10 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 2 6 . 3
Nhận thấy: ME.MF = 2.S = 4.S = 4.
= 36 3 . Vậy T = 36 3 . M EF M OE 4
Câu 30: Chọn A
Gọi z = x + yi , ( x; y ) .
Ta có ( − z) (z + i) = ( − x − yi)( x − yi + i) 2 2 2 2
= −x − y + 2x + y − (x + 2y − 2)i .
Các số phức z thỏa mãn (2 − z)(z + i) là số thuần ảo khi 2 2
−x − y + 2x + y = 0 2 2 1 5 Hay ( x − ) 1 + y − = . 2 4
Suy ra tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ là đường tròn có tâm 1 5 I 1; , bán kính R = . 2 2
Câu 31: Chọn C
Phân tích: Nếu đặt z = x + yi ( ;
x y ) thì thấy khối lượng tính toán lớn và đi đến một phương
trình rất phức tạp. Nghĩ đến phép lấy mô đun hai vế của một biểu thức số phức là phép suy rA. 2 − +14i
Ta có: (3 + i) z =
+1− 3i (z 0) z( 3 z − )
1 + (3 + z )i) = 2 − +14i . z
Sau khi lấy mô đun hai vế ta được một phương trình theo ẩn z 0 .
z ( z − ) + ( + z )i = − + i z ( z − )2 + ( + z )2 . 3 1 3 2 14 . 3 1 3 =10 2 . 2 z = 4 z = 2 4 2
z + z − 20 = 0 . 2 = − z = 2 − (L) z 5 (L) 6 8
Thử lại z = 2 ta được z =
+ i thỏa yêu cầu bài toán. 5 5
Câu 32: Chọn D Cách 1:
Gọi các số phức z = a + b i, z = a + b i (a ,b , a , b ) . 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
Ta có: z − z = a − a
+ b − b i z + z = a + a + b + b i 1 2 ( 1 2 ) ( 1 2 ) 1 2 ( 1 2 ) ( 1 2 ) ; . Ta có: 2 2 2 2 z = a + b = 3 a + b = 3 2 2 2 2 z =
a + b = 3 a + b = 3 1 1 1 1 1 ; 2 2 2 2 2 . z − z = 2
(a − a )2 + (b − b )2 = 2 1 2 1 2 1 2 2 2 (a − a + b − b = 4 2 2 2 2
a + b + a + b − 2a a − 2b b = 4 2a a + 2b b = 2 1 2 ) ( 1 2 ) . 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Do đó: z + z = a + a + b + b 2 2 2 2
= a + b + a + b + 2a a + 2b b = 8 = 2 2 1 2 ( 1 2 )2 ( 1 2 )2 1 1 2 2 1 2 1 2 .
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức Cách 2: 2 z − z
= (z − z )(z − z ) 2 2 = z + z
− z z + z z = 4 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 1 2 2 1) 2 z + z
= (z + z )(z + z ) 2 2
= z + z + z z + z z = 8 z + z = 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 Cách 3: Gọi ,
A B lần lượt là điểm biểu diễn 2 số phức z , z . Khi đó tam giác OAB cân có 1 2 OA = OB =
3, AB = 2 . Gọi I là trung điểm của AB . Khi đó OI là đường cao của tam giác OAB ; 2 2 OI = OA − AI
= 2 ; z + z = 2 OI = 2 2 . 1 2 Cách 4: Gọi ,
A B lần lượt là điểm biểu diễn 2 số phức z , z . Khi đó tam giác OAB có 1 2 OA = OB = 3, AB = 2 ; 2 2 2
T = z + z = OA + OB T = OA + OB + 2O . A OB . 1 2
OA + OB − AB
OA + OB − AB
Mà OA OB = OA OB (OA OB) 2 2 2 2 2 2 . . .cos , = O . A O . B = = 1. 2O . A OB 2 Vậy 2
T = 8 T = 2 2 . Cách 5: 2 2 2 2 Ta có z + z + z − z = 2 z + 2 z . 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2
T = z + z = 2 z + 2 z − z − z = 2.3 + 2.3 − 4 = 8 . 1 2 1 2 1 2 T = 2 2 .
Cách 6: Chọn đại diện z = 3 1 3 2 6 Chọn z + z = 3 + + i = 2 2 1 2 . 3 2 6 3 3 z = + i 2 3 3 Cách 7:
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 12 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Gọi ,
A B lần lượt là điểm biểu diễn 2 số phức z , z . Khi đó tam giác OAB có 1 2 OA = OB =
3, AB = 2 . Gọi I là trung điểm của AB . 2 2 2 OA + OB AB
Ta có T = z + z = OA + OB = 2 OI = 2OI = 2 − = 2 2 . 1 2 2 4
Cách 8: Tính nhanh. 2 2 Tổng quát 2 2 2 2 mz + nz
= m z + n z + mn( 2 2
z + z − z − z 1 2 1 2 1 2 1 2 ) 2 2 2 2 2 2 Vậy 2 T = z + z
= z + z + z + z − z − z = 8 T = 2 2 1 2 1 2 ( 1 2 1 2 ) .
Câu 33: Chọn D
Gọi z = a + bi (a,b ) là số phức thỏa mãn bài toán. a, b ( 2 2
a − )2 + (b − )2 3 4 2 (
a −3) +(b − 4) 4 1 a 5 Ta có . Suy ra . 2a 2b a b 2 b 6 a b Bảng giá trị thỏa mãn a 1 2 3 4 b 4 3 4 5 3 4 5 6 4 5
Vậy tập S có tất cả 10 phần tử.
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 DẠNG 4 Phép chia số phức I. PHẦN ĐỀ BÀI i − 2z Câu 1:
Cho số phức z thỏa mãn (1+ i) z − (2 − i) z = 3 . Môđun của số phức w = là? 1− i 122 3 10 45 122 A. . B. . C. . D. . 5 2 4 2 2 3 2017 − Câu 2:
Cho số phức z = 1+ 2i + 3i + 4i + ... + 2018i
có phần thực là a và phần ảo là b . Tính b a . A. 1. B. 1 − . C. 1010 . D. −2017 . Câu 3:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z ( z − 5 − i) + 2i = (6 − i) z ? A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 2 . Câu 4:
Cho số phức z = 1− 2i . Điểm biểu diễn của số phức w = iz trên mặt phẳng tọa độ là: A. Q (1; 2) . B. N (2; ) 1 .
C. M (1; − 2) . D. P (−2; ) 1 . Câu 5:
Cho số phức z thỏa mãn 2
2 z = z + 4 . Tìm giá trị lớn nhất của z . A. 1+ 5 . B. 1+ 3 5 . C. 3 + 5 . D. 6 + 13 . Câu 6:
Cho số phức z thỏa mãn (2 + i) z + 8 − i = 5 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một đường
tròn tâm I có tọa độ là: A. I (3; 2 − ).
B. I (−3; 2) . C. I (−8; ) 1 . D. I (8; − ) 1 . Câu 7:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn
z + 2 − i + z − 4 − i = 10 . A. 15 . B. 12 . C. 20 . D. Đáp án khác. Câu 8:
Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z +1− 2i = z − 2 + i là một đường thẳng có phương trình
A. x + 3y = 0 .
B. 3x − y = 0 .
C. x − y = 0 .
D. x + y = 0 . Câu 9:
Cho số phức z thỏa mãn: ( + i) z + ( − i)2 3 2 2
= 4 + i . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 0 .
Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z −1 = 2 ; w = (1+ 3i) z + 2 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w
là một đường tròn, bán kính của đường tròn đó bằng A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 2 .
Câu 11: Xét các số phức z thỏa mãn (z − 4i)(z + 2) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm
biểu diễn của z là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm của đường tròn đó. A. (−1; −2) . B. (−1; 2) . C. (1; 2) . D. (1; −2) .
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Câu 12: Xét các số phức z thỏa mãn ( z + 2i)( z + 2) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm
biểu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. (1; ) 1 − . B. (1 ) ;1 . C. (−1; ) 1 . D. (−1; − ) 1 . 2 3
Câu 13: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + z i −1− i = 0 ? 4 A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 . z − 2
Câu 14: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z −1+ i = 10 và
là số thuần ảo. z − 4 A. 4. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 15: Tính tổng của tất cả các giá trị của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thoả mãn đồng thời z = m và 2
z − 4m + 3mi = m . A. 4 . B. 6 . C. 9 . D. 10 . m + 1
Câu 16: Cho số phức z = m
. Tìm các giá trị của m để | z − i | 1.
1 + m (2i − ) ,( ) 1 A. 0 . B. 1. C. 4 . D. vô số.
Câu 17: Hai điểm N , M trong hình vẽ bên dưới lần lượt là điểm biểu diễn số phức z , z . 1 2
Biết ON = 2OM = 2 5 . Giá trị của 2 2 z + z bằng 1 2 A. 5 13 . B. 5 37 . C. 5 21 . D. 5 11 .
Câu 18: Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z −1 = 2. Biết rằng tập hợp các số phức w = (1+ 3 i) z + 2
là đường tròn có bán kính bằng R. Tính R.
A. R = 8 .
B. R = 2 . C. R = 16 . D. R = 4 .
Câu 19: Trong mặt phẳng Oxy , gọi là hình biểu diễn tập hợp các số phức z thỏa mãn 7z − z 10 . Diện
tích của hình bằng 5 25 7 A. . B. . C. . D. 5 . 2 12 2
Câu 20: Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện ( z +1− i)( z − i) là số thực. Biết rằng tập hợp các điểm
biểu diễn hình học của z là một đường thẳng. Hệ số góc của đường thẳng đó là A. −1. B. 1. C. 2 − . D. 2 .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 2 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn z −1+ 3i = 3 2 . Biết rằng số phức w = ( 2019 1− i
)(z +3i)+2019 có tập
hợp các điểm biểu diễn thuộc đường tròn (C ) . Diện tích S của hình tròn (C ) bằng A. 18 . B. 36 . C. 9 . D. 12 .
Câu 22: Cho số phức z có mô đun bằng 2 2 . Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn
các số phức w = (1− i)(z + )
1 − i là đường tròn có tâm I , bán kính R . Tổng a + b + R bằng: A. 5. B. 7. C. 1. D. 3.
Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z = 3. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z + i là một
đường tròn. Tìm tọa độ tâm của đường tròn đó. A. (0; ) 1 . B. (0; − ) 1 . C. (−1;0) . D. (1;0) . z −1+ i
Câu 24: Xét các số phức z thỏa mãn (
là số thực. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức
z + z )i +1 z w = là parabol có đỉnh 2 1 3 1 1 1 3 1 1 A. I ; − . B. I − ; . C. I ; − . D. I − ; . 4 4 2 2 2 2 4 4 z
Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn z −1+ 2i = 2 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = trong mặt 1− i
phẳng toạ độ Oxy là đường tròn có tâm là 1 3 1 3 3 1 3 1 A. I ; − . B. I − ; . C. I − ; − . D. I ; . 2 2 2 2 2 2 2 2
Câu 26: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi ( H ) là tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức z z + z 12 thỏa mãn
. Diện tích của hình phẳng ( H ) là
z − 4 − 3i 2 2 A. 4 − 4 . B. 8 − 8 . C. 2 − 4 . D. 8 − 4 .
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
II. PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.C 3..B 4.B 5.A 6.C 7.C 8.B 9.D 10.C 11.B 12.D 13.A 14.D 15.D 16.A 17.A 18.D 19.C 20.C 21.B 22.D 23.A 24.A 25.B 26.C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn B
Gọi z = a + bi z = a − bi , ta có (1+ i)(a + bi) − (2 − i)(a − bi) = 3 2
a + bi + ai + bi − ( 2
2a − 2bi − ai + bi ) = 3 −a − 3 + (2a + 3b)i = 0 −a − 3 = 0 a = 3 − z = 3 − + 2i 2a + 3b = 0 b = 2 i − 2( 3 − + 2i) Khi đó 9 3 3 10 w = = + i w = . 1− i 2 2 2 Câu 2: Chọn A Ta có: 2 3 2017
z = 1+ 2i + 3i + 4i + ... + 2018i 2 3 2017 2018
iz =1i + 2i + 3i +...+ 2017i + 2018i 1− i 2 2017 2018
z − iz = 1+ i + i + ...+ i − 2018i (1−i) 2018 2018 z = − 2018i 1− i 1009 1009 Mà 2018 i = ( 2i ) = (− ) 1 = 1 − . Do đó, ( −i) 2 1 z =
+ 2018 z =1009 +1010i 1− i
Vậy a = 1009, b = 1010 hay b − a = 1. Câu 3: Chọn B
Ta có: z ( z − 5 − i) + 2i = (6 − i) z z z − 5 z − z i + 2i = 6z − iz
z ( z − 6 + i) = 5 z + ( z − 2)i (*).
Mô đun hai vế của biểu thức ta được:
z ( z − + i) = z + ( z − ) 2 6 5
2 i z z − 6 + i =
25 z + ( z − 2)2 z ( z − )2 2 6
+1 = 25 z + ( z − 2)2 (* )
* . Đặt z = t , t 0 . Phương trình trở 2 2
thành: t (t − ) 2 6
+1 = 25t + (t − 2) .
Bình phương hai vế ta được:
t (t − 6)2 +1 = 25t + (t − 2)2 2 2 2
t ( 2t −12t + 36 + ) 2 1 = 25t + ( 2 t − 4t + 4) 4 3 2
t −12t +11t + 4t − 4 = 0 (t − ) 1 ( 3 2
t −11t + 4) = 0 t = 1 t −1 = 0 t 10, 967 .Suy ra 3 2
t −11t + 4 = 0 t 0,621 t −0,588
Kết hợp với điều kiện t 0 ta có 3 giá trị của t thỏa mãn.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 4 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
5t + (t − 2)i
Từ suy ra, ứng với mỗi z = t sẽ có một số phức z = thỏa mãn đề bài. t − 6 + i
Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 4: Chọn B
w = iz = i (1− 2i) = 2 + i .
Vậy điểm biểu diễn của số phức w là N (2; ) 1 . Câu 5: Chọn A
Cách 1: Đặt: z = x + yi ( ; x y ) . 2 Ta có: 2 2 2 z = z + 4 2 2 x + y = ( 2 2 2
x − y + 4) + (2xy)
(x + y ) = (x − y + )2 2 2 2 2 2 2 4 4
+ 4x y (x + y )2 2 2 2 2
+ 4x −12y +16 = 0 −(x + y )2 2 2 + ( 2 2 x + y ) 2 12 −16 =16x 0 2 2
6 − 2 5 x + y 6 + 2 5 2 2
z = x + y 6 + 2 5 =1+ 5 .
Vậy giá trị lớn nhất của z là 1+ 5 khi z = (1+ 5)i .
Cách 2: Áp dụng bắt đẳng thức trong số phức ta có:
z + z z − 2 2 z 2 2
z + 4 z − 4
− = z − 4 = z − 4 khi z 2 1 2 1 2 Theo đề ta có: 2 2 2
2 z = z + 4 z − 4 z − 4 2
2 z z − 2
4 z − 2 z − 4 0 1− 5 z 1+ 5
Vậy giá trị lớn nhất của z là 1+ 5 . Câu 6: Chọn B
Giả sử số phức z = x + yi , x, y − i Ta có: ( + i) 8 5 2
z + 8 − i = 5 z + =
z + 3− 2i = 5 2 + i 2 + i
Giả sử số phức z = x + yi , x, y 2 2
Ta có: z + 3 − 2i = 5 ( x + 3) + ( y − 2) = 5 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (−3;2) , bán kính: R = 5 Câu 7: Chọn C
Gọi M ( x; y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi ( x, y ).
Ta có: z + 2 − i + z − 4 − i = 10 x + 2 + ( y − )
1 i + x − 4 + ( y − ) 1 i = 10.
(x + )2 + ( y − )2 + (x − )2 + ( y − )2 2 1 4 1 =10
Đặt A(− ) B( ) AB = ( + )2 2 2;1 , 4;1 4 2 + 0 = 6.
Khi đó phương trình trở thành: MA + MB = 10.
Khi đó tập hợp những điểm M thỏa mãn phương trình là một elip với. Độ dài trục lớn 10 2a = 10 a = = 5. Tiêu cự 6
2c = AB = 6 c = = 3. 2 2
Độ dài trục bé 2b với 2 2 2 2 2
b = a − c = 5 − 3 = 16 b = 4.
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn
z + 2 − i + z − 4 − i = 10 là diện tích Elip trên: S = ab = 4.5 = 20 . Câu 8: Chọn B
Gọi số phức z thỏa mãn đề bài là z = x + yi ( x, y ) .
Từ giả thiết z +1− 2i = z − 2 + i suy ra x +1+ ( y − 2)i = x − 2 + (1− y)i . 2 2 2 2 Suy ra: ( x + )
1 + ( y − 2) = ( x − 2) + ( y − ) 1
6x − 2y = 0 3x − y = 0 .
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường thẳng có phương trình 3x − y = 0 . Câu 9: Chọn D
Gọi số phức z = a + bi (a,b ) .
Ta có ( + i) z + ( − i)2 3 2 2
= 4 + i ( + i)(a + bi) = + i − ( − i)2 3 2 4 2 .
3a − 2b + (2a + 3b)i = 4 + i −3+ 4i 3a − 2b + (2a + 3b)i =1+ 5i . 3 a − 2b =1 a = 1
a − b = 0 . 2a + 3b = 5 b =1
Vậy hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là 0 . Cách 2: (
4 + i − (2 − i)2
+ i) z + ( −i)2 3 2 2 = 4 + i z = =1+ i . 3 + 2i
Phần thực a = 1, phần ảo b = 1 a − b = 0 .
Câu 10: Chọn C Cách 1.
Giả sử w = a + bi với a, b . a − 3 + − + (b− 3 2 )i a bi
Ta có a + bi = (1+ 3i) z + 2 z = z −1 = . 1+ 3i 1+ 3i
a − 3 + (b − 3)i
(a − ) + (b− )2 2 3 3 Ta có z −1 = 2 = 2 = 2 1+ 3i 2
(a − ) + (b − )2 2 3 3 =16 .
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn ( x − ) + ( y − )2 2 3 3 =16 .
Suy ra bán kính của đường tròn đó là 4 . Cách 2.
Ta có w − 2 = (1+ 3i) z w − 2 −1− 3i = (1+ 3i)( z − ) 1 .
Suy ra w − 3 − 3i = (1+ 3i)( z − )
1 w − (3+ 3i) = 1+ 3i . z −1 w − (3+ 3i) = 4 .
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm I (3; 3), bán kính R = 4 .
Câu 11: Chọn B
Gọi z = x + yi ( x, y ) .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 6 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Ta có ( z − 4i)( z + 2) = x +
( y − 4)i
( x + 2) − yi = x
(x + 2)+ y( y − 4)+(x + 2)( y − 4)i − xyi
Theo yêu cầu bài toán ta có x ( x + ) + y ( y − ) 2 2 2
4 = 0 x + y + 2x − 4 y = 0 .
Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn có tâm I ( 1 − ;2), R = 5 .
Câu 12: Chọn D
Gọi z = x + yi , x, y .
Ta có ( z + 2i)( z + 2) = ( x + yi + 2i)( x − yi + 2) = x + ( y + 2)i ( x + 2) − yi
= x(x + 2) + y( y + 2) + (x + 2)( y + 2)− xyi . ( 2 2
z + 2i)( z + 2) là số thuần ảo x( x + 2) + y ( y + 2) = 0 ( x + ) 1 + ( y + ) 1 = 2 .
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm I ( 1 − ;− ) 1 .
Câu 13: Chọn A Biến đổi 2 3 3 z + z i −1− i = 0 2 z = 1+ − z i
. Lấy môđun hai vế ta có: 4 4 2 3 2 2 9 3 2 4 4 2 z = + − z z = + − z + z z − z + = ( 2 z ) 2 5 1 1 16 40 25 0 0 z = 4 16 2 4 3 1 Thay vào 2 z = 1+ − z i
z =1− i . 4 2
Câu 14: Chọn D
Đặt z = a +bi( a;b ) . Điều kiện z = 4 .
z −1 + i = 10 (C ):(a − )2 1 + (b + )2
1 =10 có tâm I 1; − 1 và bán kính R = 10 . 1 ( ) 1 1
z − 2 a − 2 +bi
(a−2+bi)(a−4−bi) = =
là số thuần ảo khi (a − )(a − ) 2 2 4 + b = 0 .
z − 4 a − 4 +bi (a−4)2 2 +b
Do đó, (C ) :(a − 3)2 2
+b =1 có tâm I 3;0 và bán kính R =1. 2 ( ) 2 2 2 Ta có, I I = 3−1 + 0 − 1 −
= 5 R + R nên (C cắt (C tại hai điểm phân biệt. 1 ) 2 ) 1 2 ( ) ( ( ))2 1 2 Vì z = 4 + 0i (
C C nên có duy nhất số phức thỏa yêu cầu bài. 1 ) ( 2)
Câu 15: Chọn D
Đặt z = x + yi ( x, y ) . Ta có điểm biểu diễn z là M ( x; y) .
Với m = 0 , ta có z = 0 , thoả mãn yêu cầu bài toán.
Với m 0 , ta có:
z = m M thuộc đường tròn (C tâm I (0;0) , bán kính R = m 1 )
z − m + mi = m ( x − m)2 + ( y + m)2 2 4 4 3 4 3 = m
M thuộc đường tròn (C tâm I(4 ; m 3 − m), bán kính 2 R = m . 2 )
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Có duy nhất một số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi (C và (C tiếp xúc nhau 2 ) 1 ) 2
5m = m + m
II = R + R m = 4 2
5m = m − m . = − II R R m = 6 m 0
Kết hợp với m = 0 , suy ra m 0; 4;
6 . Vậy tổng tất cả các giá trị của m là 10 .
Câu 16: Chọn A m +1
m +1− (1− m)i + 2m
3m +1− (1− m)i z = z − i = = . 1+ m (2i − ) 1 (1−m)+ 2mi 1− m + 2mi
3m +1− (1− m)i 2 2 2 2
Ta có: | z − i | 1 (3m + )
1 + (1− m) (1− m) + (2m) ( . − m) 1 1 + 2mi − ( m + ) 1 (5m + ) 1 1 0 m 1 − ; . 5
Vậy không tồn tại m
thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 17: Chọn A ON = z = 2 5 1
Từ giả thiết ta có: OM = z = 5 2 MON = 120 2 2
z − z = MN = OM + ON − 2OM.ON.cos MON = 35 1 2 z1 = 2 z Khi đó 2 . z z − z 1 1 2 −1 = = 7 z z 2 2 2 2 2 2 z a + b = 4 a + b = 4 a = 1 −
Đặt 1 = a + bi 2 2 z
(a −1) + b = 7 2 − a + 5 = 7 b = 3 2 2 z 2 z 1 2 2 1
= −1 3i z + z = z
+1 = 5 −1 3i +1 = 5 −1 2 3i = 5 13 . 1 2 2 ( ) 2 z z 2 2
Câu 18: Chọn D
w = (1+ 3 i) z + 2 w = (1+ 3i)(z − ) 1 + 3 + 3i
w − 3− 3i = (1+ 3i)(z − )
1 w − 3 − 3i = 4 (*) .
Đặt w = x + yi ( x, y ) thì: (*) x − 3+ i ( y − 3) = 4 (x − ) + ( y − )2 2 3 3 =16 .
Vậy tập hợp các số phức w là đường tròn tâm I (3; 3), bán kính R = 4 .
Câu 19: Chọn B
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 8 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Đặt
z = x + yi (x, y )
z = x − yi . Từ: 7z − z 10 2 2 x y 2 2
36x + 64y 100 + 1. 100 100 36 64 2 2
Do đó: là hình Elip: x y + = 10 5
1 có trục lớn và trục bé lần lượt 2a = ; 2b = . 2 2 5 5 3 2 3 4 5 5 25
Theo công thức tính diện tích Elip ta có: S = ab = . = . 3 4 12
Câu 20: Chọn C
Gọi z = x + yi , ( x; y ) .
Ta có ( z + − i)( z − i) = ( x + yi + − i)( x − yi − i) = ( 2 2 1 1
x + x + y − )
1 − (2x + y + ) 1 i .
Số phức ( z +1− i)( z − i) là số thực khi 2x + y +1 = 0
Suy ra tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ là đường thẳng có phương
trình 2x + y +1 = 0 y = −2x −1. Do đó hệ số góc của đường thẳng là 2 − .
Câu 21: Chọn B
Ta có: z −1+ 3i = 3 2 z −1+ 3i = 3 2 z −1− 3i = 3 2 . Mà w = ( 2019 1− i
)(z+3i)+2019 =(1+i)( z−1−3i)+(1+6i))+2019
hay w = (1+ i)( z −1− 3i) + 2014 + 7i w − 2014 − 7i = (1+ i)( z −1− 3i) .
Suy ra: w − 2014 − 7i = (1+ i)( z −1− 3i) w − 2014 − 7i = 1+ i z −1− 3i = 2.3 2 = 6
w − 2014 − 7i = 6 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn (C ) có tâm I (2014;7) và bán kính R = 6 .
Suy ra diện tích S của hình tròn (C ) bằng: 2
S = R = 36 .
Câu 22: Chọn D
Gọi w = x + yi ( x , y ) . Theo bài ra ta có: w − 1 + 2i (x − ) 1 + ( y + 2)i (x − ) 1 + ( y + 2)i (x − ) 1 + ( y + 2)i z = z = z = 2 2 = . 1 − i 1 − i 1 − i 1 − i
(x − )2 + ( y + )2 1 2 2 2 2 2 = (x − ) 1 + ( y + 2) =16 2
Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w là đường tròn có tâm I và bán kính R = 4.
Vậy tổng a + b + R = 3
Câu 23: Chọn A
Giả sử w = x + yi ( x, y )
Ta có w = z + i z = w − i
Mà z = 3 z = 3 w − i = 3 x + ( y − )i = x + ( y − )2 2 1 3 1 = 9.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I (0; ) 1 , bán kính r = 3.
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Câu 24: Chọn A z −1+ i
(2x − )1 +(2y + ) 1 i
Gọi w = x + yi , ( x , y ) z = 2w = 2x + 2 yi ( = là số thực
z + z )i +1 1+ 4xi ( 1 2x − ) 1 + (2 y + ) 1 i
(1− 4xi) là số thực 2
− 8x + 4x + 2y +1 = 0 2
y = 4x − 2x − 2 1 3
Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w là parabol có đỉnh I ; − . 4 4
Câu 25: Chọn B z Ta có: w =
z = (1−i)w 1− i + Khi đó: i
z −1+ 2i = 2 z −1− 2i = 2 ( − i) w − − i = ( − i) 1 2 1 1 2 2 1 . w − = 2 1− i 1+ 2i 1 3
1− i . w −
= 2 w − − + i = 2 . 1− i 2 2 1 3
Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm I − ;
, bán kính R = 2 . 2 2
Câu 26: Chọn C y A I 3 M D B x 6 O 4 Cách 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức z = x + yi là điể
m M ( x; y) . x 6 z + z 12 2x 12 Ta có x 6 − . 2 2
z − 4 − 3i 2 2 ( x − 4 ) + ( y −3) 8 ( x −4 )2 +( y −3)2 8
Hình phẳng ( H ) là hình tô đậm trên hình vẽ.
Ta có IA = IB = 2 2 , ID = 2 và 2 2
AB = 2 AD = 2 IA − ID = 4 , suy ra AIB = . 2 1
Gọi S là diện tích hình quạt AIB . Ta có 2 S = R = 2 . 1 1 4 1
Diện tích tam giác AIB là S = I . A IB = 4 . 2 2
Vậy diện tích hình phẳng ( H ) là S
= S − S = 2 − 4 . (H ) 1 2 Cách 2:
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 10 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Hình phẳng ( H ) được biểu thị là phần tô màu trên hình vẽ, là hình giới hạn bởi đường tròn (C )
có tâm I (4;3) , bán kính R = 2 2 và đường thẳng x = 6 . 2 2 2 2
Ta có ( x − 4) + ( y − 3) = 8 ( y − 3) = 8 − ( x − 4) y = − (x − )2 3 8 4 .
(C) cắt đường thẳng y = 3 tại 2 điểm có tọa độ (4 2 2;3)
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = + − ( x − )2 3 8 4
, y = 3 , x = 6 , 0 4+2 2 S = 2.S = 2. ( 2 8 − x − 4 dx 2, 2831. H 0 ) x = 4 + 2 2 . Ta có ( ) ( ) 6
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 DẠNG 4
Phương trình bậc hai hệ số thực I. PHẦN ĐỀ BÀI Câu 1:
Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
2z − z + 7 = 0 . Tính S = z .z + z .z . 1 2 1 2 2 1 1 27 7 A. . B. . C. 2 . D. . 2 4 2 Câu 2:
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1+ 2i và 1− 2i làm nghiệm? A. 2
z + 2z + 3 = 0 . B. 2
z − 2z − 3 = 0 . C. 2
z − 2z + 3 = 0 . D. 2
z + 2z − 3 = 0 . Câu 3:
Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2020 z + 2z + 2
= 0 . Giá trị của z + z bằng 1 2 1 2 A. 2021 2 . B. 1011 2 . C. 2020 2 . D. 1010 2 . 1 3 Câu 4: Cho số phức z i
. Phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z làm nghiệm là 2 2 A. 2 z z 2 0 . B. 2 2z z 2 0 . C. 2 z z 1 0 . D. 2 z z 1 0 . Câu 5: Biết phương trình 2
z + mz + n = 0 có một nghiệm là z = 1+ i . Tính môđun của số phức
z = m + ni . A. 2 2 . B. 4 . C. 16 . D. 8 . Câu 6:
Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
2z + 3z + 3 = 0 . Giá trị của biểu thức 2 2 z + z 1 2 1 2 bằng 3 9 − 9 − A. . B. . C. 3 . D. . 18 8 4 Câu 7: Cho phương trình 2
z + bz + c = 0 có hai nghiệm z ; z thỏa mãn z − z = 4 + 2i . Gọi A , B là 1 2 2 1
điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình 2
z − 2bz + 4c = 0 . Tính độ dài đoạn AB . A. 8 5 . B. 2 5 . C. 4 5 . D. 5 . Câu 8:
Kí hiệu n là số các giá trị của tham số a sao cho phương trình 2 z + az + 3 = 0
, có hai nghiệm phức z , z thỏa mãn 2 2
z + z = −5 . Tìm n . 1 2 1 2
A. n = 0 . B. n = 1 .
C. n = 2 . D. n = 3 . 1 1 Câu 9:
Ký hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
2z − 4z + 9 = 0 . Tính P = + . 1 2 z z 1 2 9 4 9 4 A. P = − . B. P = . C. P = . D. P = − . 4 9 4 9
Câu 10: Phương trình 2
z + az + b = 0 ; với a, b là các tham số thực nhận số phức 1+ i là một nghiệm.
Tính a − b ? A. −2 . B. − 4 . C. 4 . D. 0 .
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức 1
Câu 11: Biết rằng hai số phức z , z thỏa mãn z − 3 − 4i = 1 và z − 3 − 4i =
. Số phức z có phần 1 2 1 2 2
thực là a và phần ảo là b thỏa mãn 3a − 2b = 12 . Giá trị nhỏ nhất của P = z − z + z − 2z + 2 1 2 bằng: 9945 9945 A. P = .
B. P = 5 − 2 3 . C. P = .
D. P = 5 + 2 5 . 11 13
Câu 12: Gọi z và z là hai nghiệm phức của phương trình 2
3z − 2z + 27 = 0 . Giá trị của z z + z z 1 2 1 2 2 1 bằng A. 2 . B. 6 . C. 3 6 . D. 6 . 2 2
Câu 13: Gọi z , z là 2 nghiệm phức của phương trình 2
4z − 8z + 5 = 0 . Giá trị của biểu thức z + z 1 2 1 2 là 5 3 A. 2 . B. 5 . C. D. . 2 2
Câu 14: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
2z − 6z +17 = 0 . Giá trị của z − z bằng 1 2 1 2 34 A. 34 . B. 3 . C. . D. 5 . 2
Câu 15: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z − 4z + 5 = 0 . Giá trị của biểu thức 1 2 (z − )2019 1 + (z − )2019 1 bằng 1 2 1009 1010 1010 A. 2 . B. 2 . C. 0 . D. −2 .
Câu 16: Có bao nhiêu giá trị dương của số thực a sao cho phương trình 2 2
z + 3z + a − 2a = 0 có
nghiệm phức z thỏa z = 3 . 0 0 A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. 4 .
Câu 17: Trong các số phức z thỏa mãn z −1 + i = z + 1 − 2i , số phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là 3 3 3 3 A. . B. . C. − . D. − . 10 5 5 10
Câu 18: Cho z , z là các nghiệm phức của phương trình 2
2z − 4z +11 = 0 . Tính giá trị biểu thức 1 2 2 2 z + z 1 2 P = ( z + z )2 1 2 9 11 11 9 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4
Câu 19: Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + z + z − z = 4 và z − 2 − 2i = 3 2. A. 7 . B. 3 . C. 2 . D. 5 .
Câu 20: Tổng môđun các nghiệm phức của phương trình 2
z + 4z + 5 = 0 bằng A. 5 . B. 3 . C. 2 5 . D. 2 3 .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 2 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Câu 21: Gọi S là tổng các giá trị thực của m để phương trình 2
9z + 6z +1− m = 0 có nghiệm phức thỏa
mãn z = 1. Tính S . A. 20 . B. 12 . C. 14 . D. 8 . 2 2
Câu 22: Cho số phức z thoả mãn z − 3 − 4i = 5 và biểu thức P = z + 2 − z − i đạt giá trị lớn nhất. Tính z + i A. 61 . B. 41 . C. 5 3 . D. 3 5 .
Câu 23: Cho hai số phức z , w thỏa mãn z − 3 2 =
2 , w − 4 2i = 2 2 . Biết rằng z − w đạt giá trị
nhỏ nhất khi z = z , w = w . Tính 3z − w . 0 0 0 0 A. 2 2 . B. 4 2 . C. 1. D. 6 2 .
Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn 3 z + z + 2 z − z 12 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của z − 4 + 3i . Giá trị của M .m bằng A. 28. B. 24. C. 26. D. 20.
Câu 25: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z − 3i + 5 = 2 và iz −1+ 2i = 4 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu 1 2 1 2
thức T = 2iz + 3z 1 z A. 313 . B. 313 + 8 . C. 313 +16 . D. 313 + 2 5 .
Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn 2 2 z iz 2 z z i
1 . Giá trị nhỏ nhất của z 2 i là 1 A. 2 2 . B. 2 . C. 2 . D. 5 . 2
Câu 27: Cho hai số phức z , z thoả mãn z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 và iz −1+ 2i = 1 . Tìm giá trị nhỏ 1 2 1 1 2
nhất của biểu thức T = z + z . 1 2 A. 2 −1. B. 2 +1. C. 2 2 +1. D. 2 2 −1. Câu 28: Gọi z z − + − − + =
1 và 2 là hai nghiệm phức của phương trình ( z i)2 3 4z 4i 25 0. Tính giá trị của 2 2
biểu thức A = z + z . 1 2 A. A = 50.
B. A = 70.
C. A = 13. D. A = 8.
Câu 29: Gọi S là tập tất cả các nghiệm phức của phương trình 4 3 2
z − 2iz + (i −1)z + 2z − i = 0 . Tổng các
phần tử của S bằng A. 1. B. 1+ i . C. i . D. 2i . Câu 30: Kí hiệu
z ; z ; z ; z là bốn nghiệm phức của phương trình 1 2 3 4
( 2z − z+ )( 2z + z+ )− z( 2 + 2z ) 2 3 6 3 3 9
+ z = 0 . Giá trị của biểu thức z + z + z + z bằng 1 2 3 4
A. 2 3 (1+ 2 ) . B. 2 .
C. 2 2 (1+ 2 ) . D. 2 3 (1+ 3) . 1 3 6
Câu 31: Cho số phức z, w khác 0 thỏa mãn z + w 0 và + =
. Khi đó z bằng: z w z + w w 1 1 A. 3. B. . C. 3 . D. . 3 3
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
II. PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.C. 9.B 10.B 11.C 12.A 13.C 14.D 15.D 16.B 17.D 18.B 19.B 20.C 21.B 22.A 23.D 24.B 25.C 26.B 27.D 28.B 29.C 30.C 31.D
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn B Vì phương trình 2
2z − z + 7 = 0 có hệ số thực và 0 nên z = z và z = z . 1 2 2 1 2
Do đó: S = z .z + z .z = z + z = (z + z )2 1 7 27 2 2 − 2z .z = − 2. = . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 Câu 2: Chọn C
Đặt z = 1+ 2i và z = 1− 2i . 1 2
z + z = 1+ 2i + 1− 2i = 2 1 2 ( ) ( ) Ta có:
z , z là nghiệm của phương trình 2
z − 2z + 3 = 0 . 1 2
z .z = 1+ 2i 1− 2i = 3 1 2 ( )( ) Câu 3: Chọn B 2020 z .z = 2 1 2 2 2
Nhận xét: z = z . Ta có: z = z , mặt khác 0 202 z
= z .z = z .z = 2 nên 1010 z = 2 . 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 z = z 1 2 Vậy 1010 1 1 0 1 z + z = 2.2 = 2 . 1 2 Câu 4: Chọn D 1 3 1 3 S z z 1 Ta có: z i z i . 2 2 2 2 P . z z 1
Theo Vi-et ta có z và z là nghiệm của phương trình 2 2 z S.z P 0 z z 1 0 . Câu 5: Chọn A
Vì z = 1+ i là nghiệm của phương trình 2
z + mz + n = 0 nên: ( + = = −
+ i)2 + m( + i) + n = m + n + ( + m) m n 0 m 2 1 1 0 2 i = 0 . 2 + m = 0 n = 2 2 2
z = m + n = 2 2 . Câu 6: Chọn D 3 21 3 21
Cách 1: Phương trình 2
2z + 3z + 3 = 0 có hai nghiệm z = − + i; z = − − i 1 2 4 4 4 4 2 2 Suy ra biểu thức 3 21 3 21 9 2 2 z + z = − + i + − − i = − 1 2 4 4 4 4 4
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 4 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 − 3 z + z = 1 2
Cách 2: Áp dụng định lý Viet cho phương trình: 2
2z + 3z + 3 = 0 . Ta có: 2 3 z .z = 1 2 2 2 − −
Biểu thức z + z = ( z + z )2 3 3 9 2 2 − 2z .z = − 2. = . 1 2 1 2 1 2 2 2 4 Câu 7: Chọn C Phương trình 2
z + bz + c = 0 có hai nghiệm z ; z nên z + z = b − ; z z = c . 1 2 1 2 1 2 2 2
z − 2bz + 4c = 0 z + 2z ( z + z + 4z z = 0 1 2 ) 1 2 = − ( z 2z z + 2z z + 2z = 0 1 . Suy ra AB = 2
− z + 2z = 2 −z + z = 4 5 . 1 ) ( 2 ) z = 2 − z 1 2 1 2 2 Câu 8: Chọn C
z + z = −a
Ta có z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z + az + 3 = 0 1 2 . 1 2 z z = 3 1 2 a =
Khi đó z + z = (z + z )2 2 2 2 − 2z z = 5 − a −1 = 1 0 . 1 2 1 2 1 2 a = 1 −
Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn n = 2 . Câu 9: Chọn B 9 1 1 z + z 4
Ta có z + z = 2, z .z = . Do đó 1 2 P = + = = . 1 2 1 2 2 z z z .z 9 1 2 1 2
Câu 10: Chọn B Cách 1: 2
z + az + b = 0 ( ) 1 . Phương trình ( )
1 nhận z = 1+ i là nghiệm. Thay z = 1+ i vào ( ) 1 ta được: ( + = = − + a b a 2 i)2 1
+ a (1+ i) + b = 0 2i + a + ai + b = 0 (a + b) + (a + 2)i = 0 0 . a + 2 = 0 b = 2
Vậy a − b = − 4 .
Câu 11: Chọn C
Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z suy ra A thuộc đường tròn (C) tâm I (3;4) , bán kính 1 R = 1 .
Gọi A là điểm đối xứng của A qua đường thẳng d . 1 z − 3 − 4i =
2z − 6 −8i =1. 2 2 2
Gọi B là điểm biểu diễn của số phức 2z suy ra B thuộc đường tròn (C tâm J (6;8) bán kính 1 ) 2 R = 1. 1
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z suy ra M thuộc đường thẳng d : 3x − 2y −12 = 0 .
Ta có: điểm I , J cùng phía so với đường thẳng d và đường thẳng d không có điểm chung với
đường tròn (C) và đường tròn (C . 1 )
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức J I B A d H M A' K
Gọi (C là đường tròn tâm K đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d . 2 )
Khi đó điểm K đối xứng với điểm I qua đường thẳng d . Ta tìm được 105 8 9945 K ; , JK = . 13 13 13
Khi đó: P = z − z + z − 2z + 2 = MA + MB + 2 = MA'+ MB + 2 A' B + 2 1 2 9945 Suy ra P
= A' B + 2 = JK −1−1+ 2 = JK = . min 13
Câu 12: Chọn A 2 Ta có: z + z =
và z .z = 9 . Mặt khác: z = z = z z = z .z = 9 = 3 . 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 Do đó 2
z z + z z = z .3 + z .3 = 3 z + z = 3. = 2 . 1 2 2 1 1 2 ( 1 2 ) 3
Câu 13: Chọn C 1 1 2 2 5 Ta có z = 1 + i, z = 1 − i nên ta có z + z = . 1 2 2 2 1 2 2
Câu 14: Chọn D 3 5 z = + i 2 2 Ta có: 2
2z − 6z +17 = 0 3 5 z = − i 2 2 Do đó: 3 5 3 5 z − z = + i −
− i = 5i = 5 . 1 2 2 2 2 2
Câu 15: Chọn D z = 2 + i Xét phương trình 2
z − 4z + 5 = 0 ( z − 2)2 1 = −1 z = 2 − i 2
Khi đó ta có: ( z − )2019 1 + (z − )2019 1
= (1+ i)2019 + (1− i)2019 1 2
= ( + i) (( + i) )1009 + ( −i) (( −i) )1009 2 2 1 . 1 1 . 1
= ( + i) ( i)1009 + ( − i) (− i)1009 1 . 2 1 . 2
= ( i)1009 (( + i) − ( − i)) = ( i)1010 1010 2 1 1 2 = 2 − .
Câu 16: Chọn B Phương trình 2 2
z + 3z + a − 2a = 0 có 2 = 4
− a + 8a + 3 .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 6 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Xét 2 trường hợp: 2 − 7 2 + 7 Trường hợp 1. 2 0 4
− a + 8a + 3 0 a . 2 2
Khi đó, phương trình có nghiệm z thì z . 0 0 z = 3 Theo đề bài: 0 z = 3 . 0 z = − 3 0 a = 0
z = − 3 , thay vào phương trình ta được 2 a − 2a . 0 a = 2
z = 3 , thay vào phương trình ta được 2
a − 2a + 6 = 0 . 0
Kết hợp điều kiện a 0 và điều kiện suy ra a = 2 . 2 − 7 a 2 Trường hợp 2. 2
0 −4a + 8a + 3 0 . 2 + 7 a 2
Khi đó, phương trình có nghiệm phức z thì z cũng là một nghiệm của phương trình. 0 0 = − 2 a 1 Ta có 2 2 2 z .z = − = − − − = 0 a 2a z a 2a a 2a 3 0 . 0 0 a = 3
Kết hợp điều kiện a 0 và điều kiện suy ra a = 3 .
Vậy có 2 giá trị a dương thỏa mãn là a = 2 ; a = 3 .
Câu 17: Chọn D
Gọi z = x + yi , ( x, y ) được biểu diễn bởi điểm M ( x; y).
z −1 + i = z + 1 − 2i ( x − ) 1 + ( y + ) 1 i = ( x + )
1 − ( y + 2)i
(x − )2 + ( y + )2 = (x + )2 + ( y + )2 3 1 1 1 2
4x + 2y + 3 = 0 y = 2 − x − . 2 Cách 1: 2 2 3 9 3 9 3 5 2 2 2 2 z = x + y = x + 2 − x −
= 5x + 6x + = 5 x + + , x . 2 4 5 20 10 3 5 3 3 Suy ra min z =
khi x = − ; y = − . 10 5 10
Vậy phần ảo của số phức z có mô đun nhỏ nhất là 3 − . 10 Cách 2:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng
d : 4x + 2 y + 3 = 0 .
Ta có z = OM . z nhỏ nhất OM nhỏ nhất M là hình chiếu của O trên d .
Phương trình đường thẳng OM đi qua O và vuông góc với d là: x − 2y = 0 .
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức 3 x = −
4x + 2y + 3 = 0 Tọa độ của 5 M
là nghiệm của hệ phương trình: x − 2y = 0 3 y = − 10 3 3 3 3 M − ; − . Hay z = − − i . 5 10 5 10
Vậy phần ảo của số phức z có mô đun nhỏ nhất là 3 − . 10
Nhận xét: Ta có thể tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z như sau:
z −1 + i = z + 1 − 2i z − (1− i) = z − (−1− 2i) (*)
Gọi M biểu diễn số phức z , điểm A(1;− )
1 biểu diễn số phức 1 − i , điểm B ( 1; − − 2) biểu diễn
số phức −1 − 2i .
Khi đó (*) MA = MB . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của đoạn
thẳng AB có phương trình d : 4x + 2y + 3 = 0 .
Câu 18: Chọn B Cách 1. 3 2 z = 1+ i 2 2
2z − 4z +11 = 0 . 3 2 z = 1− i 2 2 2 3 2 3 − 2 2 2 1 + + 1 + 11 11 2 2 2 2 + z + z 11 1 2 2 2 P = = = = ( . z + z )2 2 + + − 4 4 1 2 2 3 2i 2 3 2i 2 Cách 2. 3 2 11 z = 1+ i 2. 11 11 2 2 2 2
2z − 4z +11 = 0 . 2 z = z
= z .z = z .z =
; z + z = 2 P = = . 1 2 1 1 1 2 1 2 2 3 2 2 2 4 z = 1− i 2
Câu 19: Chọn B Cách 1:
Với z = a + bi z + z + z − z = 4 2a + 2b = 4 a + b = 2. Khi đó 2 2
z − 2 − 2i = 3 2 (a − 2) + (b − 2) = 18. Vậy ta có hệ
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 8 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
a + b = 2(a,b 0)( ) 1
−a + b = 2(a 0,b 0)(2) a + b = 2
a − b = 2(a 0,b 0)(3) 2 2
(a − 2) + (b − 2) = 18
−a −b = 2(a 0,b 0) (4) 2 2
(a − 2) + (b − 2) = 18 (*)
a = 2 − b(a,b 0) a = 2 − b
(a,b 0) Từ ( ) 1 , (*) ta có hệ
b = 1+ 2 2 a = 1− 2 2 (l) . b + (b − 2)2 2 = 18 b =1− 2 2 (l)
a = b − 2(a 0,b 0)
a = b − 2(a 0,b 0) Từ (2),(*) ta có hệ
b = 3 + 2 2 a = 1+ 2 2 l . 2 2 ( ) ( b − 4 ) + (b − 2) =18
b = 3 − 2 2 a = 1− 2 2
a = b + 2(a 0,b 0)
a = b + 2(a 0,b 0) Từ (3),(*) ta có hệ b = 1+ 2 2 l . 2 ( ) 2 b + (b − 2) =18
b = 1− 2 2 a = 3 − 2 2 a = b − − 2
(a 0,b 0) a = b
− − 2(a 0,b 0) Từ (4),(*) ta có hệ ( . b + 4 )2 + (b − 2)2 =18 b = 1 − a = −1
Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Cách 2:
Với z = x + yi ; x, y
z + z + z − z = 4 x + y = 2 . Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z là 4 cạnh hình vuông ABCD . z − − i =
(x − )2 + ( y − )2 2 2 3 2 2 2
= 18 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn
tâm I (2; 2), R = 3 2 . 8 6 4 A 2 I M 15 10 5 5 10 15 D B N P 2 C 4
Dựa vào hình vẽ, ta thấy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán tương ứng với 3 điểm biểu diễn
M , N , P . 6
Câu 20: Chọn C z = 2 − + i 2
z + 4z + 5 = 0 . z = 2 − − i
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức Vậy tổng môđun
các nghiệm phức của phương trình 2
z + 4z + 5 = 0 bằng: 2 − + i + 2 − − i = 2 5 .
Câu 21: Chọn B Ta có: 2
9z + 6z +1− m = 0 (*) .
Trường hợp 1: (*) có nghiệm thực 0 9 − 9(1− m) 0 m 1. z =1 z = 1 . z = 1 −
z = 1 m = 16 .
z = −1 m = 4 .
Trường hợp 2: (*) có nghiệm phức z = a + bi (b 0) 0 9 − 9(1− m) 0 m 1.
Nếu z là một nghiệm của phương trình 2
9z + 6z +1− m = 0 thì z cũng là một nghiệm của phương trình 2
9z + 6z +1− m = 0 . c − m Ta có 2 1
z = 1 z = 1 . z z = 1 =1 =1 m = 8 − . a 9
Vậy tổng các giá trị thực của m bằng 12 .
Câu 22: Chọn A
Gọi z = x + yi với x, y . 2 2
Vì z − 3 − 4i = 5 ( x − 3) + ( y − 4) = 5 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm I (3; 4) , bán kính R = 5 . 2 2 2 2 Ta có P = z +
− z − i = (x + ) 2 2 2 2
+ y − x − ( y − ) 1 = 4x + 2y + 3
= 4x −12 + 2y −8 + 23 = 4(x −3) + 2( y − 4) + 23.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4 số: 4, x − 3, 2, y − 4 ta có: P −
= (x − ) + ( y − ) +
(x − )2 +( y − )2 23 4 3 2 4 16 4. 3 4 =10 P 33
x − 3 y − 4 = − = − = 2x 4 y 10 x 5 MaxP = 33 khi 4 2
z +1 = 5 + 6i = 61 . 4x + 2y = 30 y = 5 4x + 2y = 30
Câu 23: Chọn D Ta có: + z − 3 2 =
2 , suy ra tập hợp điểm biểu diễn M biểu diễn số phức z là đường tròn
có tâm I (3 2 ;0) , bán kính r = 2 .
w − 4 2i = 2 2 , suy ra tập hợp điểm biểu diễn N biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm
J (0;4 2 ) , bán kính R = 2 2 .
Ta có min z − w = min MN .
IJ = 5 2; IM = r =
2; NJ = R = 2 2 .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 10 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Mặt khác IM + MN + NJ IJ MN IJ − IM − NJ hay MN 5 2 − 2 − 2 2 = 2 2 .
Suy ra min MN = 2 2 khi I , M , N , J thẳng hàng và M , N nằm giữa I , J . Cách 1: Khi đó ta có: 1 3
3z − w = 3OM − ON và IN = 3 2 IM = IJ ; IN = IJ . 0 0 5 5 3 1 3
Mặt khác ON = OI + IN = OI +
IJ ; 3OM = 3(OI + IM ) = 3 OI + IJ = 3OI + IJ . 5 5 5 3 3
Suy ra 3z − w = 3OM − ON = 3OI + IJ − OI + IJ = 2OI = 6 2 . 0 0 5 5
Cách 2:
Ta có IN = 3IM 3IM − IN = 0 .
Do đó 3z − w = 3OM − ON = 3 OI + IM − OI + IN = 2OI = 2.OI = 2.3 2 = 6 2. 0 0 ( ) ( )
Cách 3: 12 2 x = IM 1 M 5 12 2 4 2 IM = IJ IM = IJ z = + i . 0 IJ 5 5 5 4 2 y = M 5 6 2 x = IN 3 N 5 6 2 12 2 IN = IJ IN = IJ w = + i . 0 IJ 5 5 5 12 2 y = N 5
Suy ra 3z − w = 6 2 = 6 2 . 0 0
Câu 24: Chọn B
Đặt z = x + yi, ( ;
x y R ) , P ( x ; y) là điểm biểu diễn của số phức z .
Ta có 3 z + z + 2 z − z 12 3 2x + 2 2 yi 12 3 x + 2 y 6 ( ) 1 .
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Khi x 0; y 0 , ta có ( )
1 3x + 2 y 6 .
Khi x 0; y 0 , ta có ( ) 1 3
− x − 2y 6 .
Khi x 0; y 0 , ta có ( ) 1 3
− x + 2y 6 .
Khi x 0; y 0 , ta có ( )
1 3x − 2 y 6 .
Suy ra quỹ tích điểm P là hình thoi ABCD cùng miền trong của nó.
+) z − 4 + 3i = EP với E (4;− 3) là điểm biều diễn của số phức z = 4 − 3i . 1
Từ hình vẽ ta có m = min EP = d (E,CD) . Đường thẳng 12 CD có
phương trình 3x − 2 y − 6 = 0 , suy ra m = . 13
max EP = max EA, EB , EC, E D .
Lại có EA = 16 + 36 = 52 , EB = 9 + 36 = 3 5 , EC = 4 , ED = 9 + 4 = 13 .
Do đó M = EA = 52 . Vậy M .m = 24 .
Câu 25: Chọn C
Ta có z − 3i + 5 = 2 2iz + 6 +10i = 4 1 1 1 ( )
iz −1+ 2i = 4 3
− z − 6 − 3i =12 2 2 ( 2) ( )
Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2iz , B là điểm biểu diễn số phức −3z 1 2 Từ ( )
1 và (2) suy ra điểm A nằm trên đường tròn tâm I 6 − ; 10 −
, bán kính R = 4 , điểm B 1 ( ) 1
nằm trên đường tròn tâm I 6;3 , bán kính R = 12 2 ( ) 2 Ta có 2 2
T = 2iz + 3z = AB I I + R + R = 12 +13 + 4 +12 = 313 +16 1 z 1 2 1 2 Vậy maxT = 313 +16.
Câu 26: Chọn B Ta có 2 2 z iz 2 z z i 1 2 2 2 2
z + iz − 2i = z + z − i − i
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 12 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
(z −i)(z + 2i) = (z −i)(z + i + ) 1
z − i . z + 2i = z − i . z + i +1 z − i = 0 ( )1 .
z + 2i = z + i +1 (2)
Giải phương trình (1) : Ta có z = i z − 2 + i = 2i − 2 = 2 2 (*) . Giải phương trình (2) : Đặt
z = x + yi, ( x, y ) , ta có
z + i = z + i +
x + ( y + )2 = ( x + )2 + ( y + )2 2 2 1 2 1 1 y = x −1
Khi đó z − + i = ( x − )2 + ( y + )2 = (x − )2 + x = (x − )2 2 2 2 1 2 2 1 + 2 2 x = 1
Từ (*) và (**) ta có min z − 2 + i = 2 . Dấu " = " xảy ra khi hay z = 1. y = 0
Câu 27: Chọn D
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z và A(−2; )
1 ; B (4;7) lần lượt là hai điểm biểu diễn hai số 1
phức −2 + i , 4 + 7i . Ta có AB = 6 2 . Phương trình đường thẳng AB là d : x − y + 3 = 0 .
z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 MA + MB = 6 2 MA + MB = AB . Do đó tập hợp các điểm 1 1
biểu diễn số phức z là đoạn thẳng AB . 1
iz −1+ 2i = 1 iz −1+ 2i i = 1 −z − 2 − i = 1 . 2 2 2
Gọi N là điểm biểu diễn số phức −z và I (2; )
1 là điểm biểu diễn số phức 2 + i . Ta có IN = 1 2
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức −z là đường tròn (C ) có phương trình: 2
(x − )2 +( y − )2 2 1 = 1 .
d (I, AB) = 2 2 1, suy ra AB không cắt đường tròn.
Gọi K là hình chiếu của I (2; )
1 lên AB . Dễ thấy K nằm trên đoạn thẳng AB .
Gọi H là giao điểm của đoạn IK với đường tròn (C ) .
Ta có z + z = MN KH = d I , AB − R = 2 2 −1 1 2 ( ) .
Suy ra min z + z = 2 2 −1. 1 2
Câu 28: Chọn B
Có ( z − + i)2 3
− 4z − 4i + 25 = 0 z +i − 2 (
) 3 − 4(z + i) + 25 = 2
0 (z + i) −10(z + i) + 34 = 0
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
z + i = 5 + 3i = + z 5 2i 1
z + i = 5 − 3i z = 5 − 4i 2 2 2 A = z + 2 2 z
= 5 + 2i + 5 − 4i = 70. 1 2
Câu 29: Chọn C Ta có: 4 3 2
z − 2iz + (i −1)z + 2z − i = 0 z = i ( z − i = 0 2 2 z − i)2 ( 2
. z + i) = 0 z = − i 2 2
z + i = 0 z = i − 2 2 2 2 z = − + i 2 2 2 2 2 2
Khi đó, tập các nghiệm phức của phương trình đã cho: S = ;i − + i; − i 2 2 2 2 2 2 2 2
Tổng các phần tử của S bằng: i + − + i + − i = i . 2 2 2 2
Câu 30: Chọn A Ta có ( 2 z − z + )( 2
z + z + ) − z ( 2 9 + 2z ) 2 3 6 3 3 + z = 0 2 2 2 2
z − (9+ 2z ) z + (z −3z + 6)(z +3z +3) = 0 2
2z + 9 − 6z + 3 2 = = − + = ( z z z 2 9 + 2z ) 3 6
2 − 4(z −3z +6)(z +3z +3) = (6z −3)2 2 2 2 . 2
2z + 9 + 6z − 3 2 z = = z + 3z + 3 2 Với 2 2
z = z − 3z + 6 z − 4z + 6 = 0 .
Phương trình có hai nghiệm z = 2 + 2i và z = 2 − 2i 1 2 Với 2 2
z = z + 3z + 3 z + 2z + 3 = 0 .
Phương trình có hai nghiệm là z = 1
− − 2i và z = 1 − + 2i f 3 4
Vậy z + z + z + z = 2 + 2i + 2 − 2i + 1 − − 2i + 1 − + 2i = 2 3 1+ 2 . 1 2 3 4 ( )
Câu 31: Chọn D
Với hai số phức z, w khác 0 thỏa mãn z + w 0 , ta có: 1 3 6 w + 3z 6 + = =
(w + 3z)( z + w) 2 2
= 6zw 3z − 2zw + w = 0 z w z + w zw z + w z 1 2 = − 2 i z z w 3 3 3 − 2. +1 = 0 w w z 1 2 = + i w 3 3 2 2 z 1 2 1 Suy ra = + = . w 3 3 3
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 14 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 DẠNG 6
Cực trị số phức I. PHẦN ĐỀ BÀI 2z + i Câu 1:
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P =
với z là số phức z M
khác 0 và thỏa mãn z 2 . Tính tỉ số . m M M 4 M 5 M A. = 3. B. = . C. = . D. = 2 . m m 3 m 3 m Câu 2:
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − i = z − 2 + 3i , số phức z có môđun nhỏ nhất. Phần 0
ảo của z là 0 2 4 3 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 4 Câu 3:
Cho tất cả các số phức z = x + i,
y ( x, y ) thỏa mãn z + 2i −1 = z + i . Biết z được biểu diễn
bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A(1;3) . Tìm P = 2x + 3y . A. 9. B. 11. C. 3 − . D. 5. Câu 4:
Cho số phức z thỏa mãn z = 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
P = z +1 + z − z +1 . Tính M .m . 13 3 39 13 A. . B. . C. 3 3 . D. . 4 4 4 Câu 5:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z = a + ( 2
a − 2a + 2 i và N là điểm biểu diễn số phức z 1 ) 2
biết z − 2 − i = z − 6 − i . Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn MN . 2 2 6 5 A. 2 5 . B. . C. 1. D. 5. 5 (1+i) z Câu 6:
Cho số phức z và w biết chúng đồng thời thỏa mãn hai điều kiện: + 2 =1 = . 1− và w iz i
Tìm giá trị lớn nhất của M = z − w
A. M = 3 3 . B. M = 3 .
C. M = 3 2 . D. 2 3 . Câu 7:
Cho số phức z thỏa mãn 2
z − 2iz = 2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P = iz +1 bằng A. 2 . B. 3 . C. 3 . D. 2 . Câu 8:
Với ai số phức z , z thỏa mãn z + z = 8 + 6i và z − z = 2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 1 2 1 2
P = z + z là: 1 2 A. 5 + 3 5 . B. 2 26 . C. 4 6 . D. 34 + 3 2 .
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức Câu 9:
Xét tập hợp S các số phức z = x + yi ( x, y ) thoả mãn điều kiện 3z − z = (1+ i)(2 + 2i) .
Biểu thức Q = z − z (2 − x) đạt giá trị lớn nhất là M và đạt được tại z = x + y i . Tính giá trị 0 0 0 2
T = M .x y . 0 0 9 3 9 3 9 3 9 3 A. T = − . B. T = . C. T = . D. T = − . 2 4 2 4
Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn 2
z − 2z + 5 = ( z −1+ 2i)( z + 3i − )
1 . Tính min w , với w = z − 2 + 2i . 1 3 A. min w = .
B. min w = 1. C. min w = . D. min w = 2 . 2 2
Câu 11: Xét các số phức z thỏa mãn z − 2 − i = 1 . Gọi m, M là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của z . Giá
trị M + m bằng: A. 3 . B. 2 . C. 1+ 2 5 . D. 2 5 . 2 1
Câu 12: Xét các số phức z thỏa mãn z = 1, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 z + z + bằng 2 2 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 8 16 4
Câu 13: Cho hai số phức z ; z thỏa mãn z z và 2 2
z − 5z z + 4z
= 0 . Gọi M , N lần lượt là điểm 1 2 1 2 1 1 2 2
biểu diễn của số phức z z2 thỏa mãn diện tích tam giác OMN bằng 12. Giá trị nhỏ nhất của 1,
biểu thức P = 2z − z là 1 2 14 6 A. 14 3 . B. 21 2 . C. . D. 7 6 . 3
Câu 14: Cho số phức z có z = 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2
P = z − z + z + z +1 là 13 11 A. . B. 3 . C. 3 . D. . 4 4
Câu 15: Xét số phức + = − + z thỏa mãn ( i) 10 1 2 z 2 .
i Mệnh đề nào dưới đây đúng? z 3 1 1 3 A. z 2.
B. z 2. C. z . D. z . 2 2 2 2
Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 4i = z − 2i và biểu thức iz + 2 − i đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm
phần ảo của số phức z . 2 5 3 5 A. . B. − . C. − . D. . 2 2 2 2
Câu 17: Xét các số phức z thỏa mãn z −1− 3i = 2 . Số phức z mà z −1 nhỏ nhất là
A. z = 1+ 5i .
B. z = 1+ i .
C. z = 1+ 3i .
D. z = 1− i . z
Câu 18: Cho các số phức z và w thỏa mãn (2 + i) z =
+1− i . Tìm giá trị lớn nhất của T = w +1− i w .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 2 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 4 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. 2 . 3 3 3 z
Câu 19: Cho số phức z và w thỏa mãn (1+ i) z =
+ 2 − i . Tính giá trị lớn nhất của T = w − 2i w 5 5 A. + 5 2 . B. . C. + 5 . D. 5 3 3 3 z
Câu 20: Cho số phức z và w thỏa mãn (3 + 2i) z =
+1− i . Tính giá trị lớn nhất của T = w iw −1+ 3i 2 5 A. + 2 11 . B. + 5 10 . C. . D. + 13 3 5 2 5
Câu 21: Cho z là số phức thỏa mãn z = z + 2i . Giá trị nhỏ nhất của z −1+ 2i + z +1+ 3i là A. 5 2 . B. 13 . C. 29 . D. 5 .
Câu 22: Cho z , z là các số phức khác 0 thỏa mãn z z = 9 z z . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu 1 2 1 1 2 2
diễn các số phức z và z . Biết tam giác OMN có diện tích bằng 6 , giá trị nhỏ nhất của z + z 1 2 1 2 bằng A. 8 . B. 6 . C. 4 2 . D. 3 2 . z + 2 − i
Câu 23: Các số phức z , z thỏa mãn 1 w =
là số thực và 4z + 8 +13i = 4 . Giá trị nhỏ nhất 1 2 ( 2 z + z i +1 1 1 )
của biểu thức P = z + z bằng 1 2 21 37 37 − 4 A. . B. . C. 0. D. . 16 4 4 z
Câu 24: Cho các số phức z và w thỏa mãn (3 − i) z =
+1− i . Tìm giá trị lớn nhất T = w + i . w −1 2 3 2 1 A. . B. . C. 2 . D. . 2 2 2
Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2 = z + 2i . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức a + b 17
A = z −1− 2i + z − 3 − 4i + z − 5 − 6i được viết dạng
với a , b là số hữu tỉ. Giá trị của 2
3a − b bằng A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3 .
Câu 26: Trong các số phức z thoả mãn z − 3 − 4i = 2 có hai số phức z , z thỏa mãn z − z = 1. Giá trị 1 2 1 2 2 2 nhỏ nhất của z − z bằng 1 2 A. −10 .
B. −4 − 3 5 . C. 5 − . D. −6 − 2 5 .
Câu 27: Cho số phức z = a + bi , (a,b ) thỏa mãn 2z + 2 − 3i = 1. Khi biểu thức P = 2 z + 2 + z − 3
đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của a − b bằng A. 3 − . B. 2 . C. −2 . D. 3 .
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn z −1− 2i + z − 4 − 6i = 9 , giá trị lớn nhất của z −10 −14i là A. 17 . B. 20 . C. 15 . D. 12 .
Câu 29: Xét các số phức z, w thỏa mãn z = 2, iw − 2 + 5i = 1.Giá trị nhỏ nhất của 2
z − wz − 4 bằng A. 4. B. 2 ( 29 − 3). C. 8.
D. 2( 29 − 5). 3 5
Câu 30: Cho các số phức z, w thỏa mãn w + i =
và 5w = (2 + i)(z − 4) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 5
thức P = z − 2i + z − 6 − 2i . A. 7. B. 2 53 . C. 2 58 D. 4 13 .
Câu 31: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z + 2 + 3i = 5 z + 2 + 3i = 3 . Gọi m là giá trị lớn nhất của 1 2 1 2 0 z + 2 + 3i phần thực số phức 1 . Tìm m . 0 z + 2 + 3i 2 3 81 A. m = . B. m = . C. m = 3 . D. m = 5 . 0 5 0 25 0 0
m = max z ; n = min z
Câu 32: Cho số phức z thỏa mãn (1+ i) z + 2 + (1+ i) z − 2 = 4 2 . Gọi và số 2018 w
phức w = m + ni . Tính A. 1009 4 . B. 1009 5 . C. 1009 6 . D. 1009 2 .
Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn (1+ i) z +1− 3i = 3 2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức
P = z + 2 + i + 6 z − 2 − 3i bằng A. 5 6 . B. 15 (1+ 6 ) . C. 6 5 . D. 10 + 3 15 . Câu 34: Hai số phức z , w thay đổi nhưng luôn thỏa mãn đẳng thức ( z + i 1+ i) 2019 2019 2 z − 2iz −1 =
+ 2 − 2i . Giá trị lớn nhất của w là w 2019 2 2019 2 A. . B. . C. 2019 . D. Đáp án khác. 4 2
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 4 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
II. PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.C 3.A 4.A 5.B 6.C 7.C 8.B 9.D 10.B 11.D 12.B 13.D 14.A 15.D 16.D 17.B 18.A. 19.A 20.B 21.B 22.A 23.D 24.B 25.C 26.A 27.A 28.A 29.C 30.C 31.D 32.C 33.C 34.A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn C 2z + i 2z + i 2z − i 2z + i 1 1 3 5 Ta có P = = P 2 − P 2 + P . z z z z z z 2 2 M 5 Vậy = . m 3 Câu 2: Chọn C
Giả sử z = x + yi, x, y . 0 ( )
Ta có: z − i = z − 2 + 3i x + ( y − )
1 i = ( x − 2) + (− y + ) 3 i
x + ( y − )2 = (x − )2 + (− y + )2 2 1 2 3
y = −x + 3. 2 z = x + y = x + (−x + 3)2 3 9 3 2 2 2 2
= 2x − 6x + 9 = 2 x − + . 0 2 2 2 3 3 3 3 3 3 Vậy z = khi và chỉ khi x =
y = z = + i , suy ra phần ảo của z bằng . 0 min 0 0 2 2 2 2 2 2 Câu 3: Chọn A
Gọi M ( x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + i,
y ( x, y ) .
Ta có: z + 2i −1 = z + i x + i
y + 2i −1 = x + i y + i (x − )
1 + ( y + 2)i = x + ( y + ) 1 i
(x − )2 + ( y + )2 = x + ( y + )2 2 1 2 1
x − y − 2 = 0 .
Dễ thấy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng: x − y − 2 = 0 M ( ; x x − 2)
MA = ( x −1; x− 5) MA = ( x − ) + ( x − ) = x − x + = (x − )2 2 2 2 1 5 2 12 26 2 3 2 + 8 8 Suy ra: MA
= 8 khi x 2 − 3 2 = 0 x = 3 y =1. Vậy P = 2x + 3y = 2.3+ 3.1 = 9 min Câu 4: Chọn A
Giả sử z = x + yi , ( x, y R) . Do z = 1 2 2 x + y =1 2 2
x + y = 1. Suy ra x, y 1 − ; 1 . 2 Ta có .
z z = z = 1. Thay vào P ta được:
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức 2
P = z +1 + z − z + z.z = z +1 + z (z −1+ z) = z +1 + z . z + z −1 = z +1 + z + z −1 = (x + )2 2
1 + y + 2x −1 = 2x + 2 + 2x −1 .
Xét hàm số y = f ( x) = 2x + 2 + 2x −1 1
2x + 2 − 2x +1 khi 1 − x 2
Ta có y = f ( x) = . 1
2x + 2 + 2x −1 khi x 1 2 1 1
− 2 khi −1 x + f ( x) 2x 2 2 = 1 1 + 2 khi x 1 2x + 2 2 1 − 1 1 x − 1 x 2 7 f ( x) 2 ' = 0 x = − 1 − 1 8 2 = 0 + = 2x 2 2x + 2 2
Bảng biến thiên của hàm số f ( x) trên 1 − ; 1 7 1 x 1 1 8 2 y' + 0 + 13 3 y 4 3 3
m = min f (x) = 3 − 1;1 13 3 Suy ra . Vậy M .m = . M = f ( x) 14 max = 4 − 1;1 3 Câu 5: Chọn B
Gọi M ( x; y). Từ điều kiện z = a + ( 2
a − 2a + 2 i suy ra M thuộc parabol ( P) 2
: y = x − 2x + 2 1 )
Gọi N ( x; y) . Từ điều kiện z − 2 − i = z − 6 − i suy ra N thuộc đường thẳng d : 2x − y −8 = 0 2 2 .
Gọi là tiếp tuyến của (P) mà song song với d : 2x − y −8 = 0 .
Gọi M ( x ; y là tiếp điểm mà tại đó tiếp tuyến // d . Ta có y = 2x − 2 . o o )
Do // d nên y( x ) = 2 2x − 2 = 2 x = 2 suy ra y = 2 . o o o o
Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = y( x ).( x − x ) + y y = 2(x − 2) + 2 y = 2x − 2 . o o o Khi đó:
min MN = d ( , d ) = d ( ; A d ) với A . Chọn A(1;0) ta có: 2.1− 0 − 8 6 5 min MN = = + (− )2 2 5 2 1
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 6 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 6: Chọn C Cách 1. (1+i) z
(1+i) z + 2(1−i) Ta có: + 2 =1
=1 (1+ i) z + 2(1−i) = 1− i 1− i 1− i
(1+ i) z + 2(1− i) = 2 . Mặt khác:
(1+i) z − 2(1−i) (1+i) z + 2(1−i) = 2 (1+i) z 2(1−i) + 2
2 z 3 2 . Khi đó: M = z − w = z − iz = (1−i) z = 2 z 3 2 . Cách 2. y 3 2 1 1 − O 1 x (1+i) z +
(1+ i)z + 2(1− i) 2 = 1
=1 (1+ i)z + 2(1− i) = 1− i 1− i 1− i
(1+ i)z + 2(1− i) = 2 ( ) 1
Đặt z = x + yi thay vào ( )
1 ta được (1+ i) (x + yi) + 2(1− i) = 2
(x − y + )2 2 2
+ (x + y − 2) = 2 2 2
x + (y − 2) = 1.
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z trên hệ trục tọa độ là đường tròn tâm I (0; 2) bán kính R = 1 .
Khi đó: 1 z 3 M = z − w = z − iz = (1− i) z = 2 z 3 2 . Câu 7: Chọn C 2 2 Ta có: 2 2 2
2 = z − 2iz = z − 2iz + i +1 = ( z − i) +1 ( z − i) −1.
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức 2
z − i 3 z − i 3 .
P = iz +1 = i ( z − i) = z − i 3 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 . Câu 8: Chọn B
Đặt z = a + bi, z = c + di, a, , b c, d . 1 2 ( ) a + c = 8
Ta có: z + z = 8 + 6i nên a + bi + c + di = 8 + 6i . 1 2 b + d = 6
Do đó (a + c)2 + (b + d )2 2 2 2 2
=100 a + b + c + d =100 − 2ac − 2bd ( ) 1 . Vì z − z = 2 nên ta có: 1 2
a + bi − c − di =
(a − c)2 + (b − d )2 2 2 2 2 2
= 4 a + b + c + d = 4 + 2ac + 2bd (2). Cộng và ta được: ( 2 2 2 2
2 a + b + c + d ) = 104 .
Áp dụng bất đẳng thức ( + ) ( + )2 2 2 2 x y x y ta có:
P = ( a +b + c + d )2 2 2 2 2 2 ( 2 2 2 2
2 a + b + c + d ) = 104 . Do đó P 2 26 .
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 2 26 . Câu 9: Chọn D
Ta có 3z − z = (1+ i)(2 + 2i) 3x + 3yi − x + yi = 4 2x + 4 yi = 4 2 2 x + 4 y = 4 2 2 y = 4 − x ( 2 − x 2) .
Khi đó Q = z − z (2 − x) Q = yi ( − x) = y ( − x) 2 2 2 2 2
= 4 − x (2 − x) .
Xét hàm số f x = ( − x) 2 ( ) 2
4 − x với x 2 − ;2 . 2 2x − 2x − 4 x = 1 − f ( x) = ; f ( x) = 0 . 2 4 − x x = 2 Ta có bảng biến thiên
Nên Max f (x) = 3 3 = f ( 1 − ) . x 2 − ;2 3 9 3
Vậy M = 3 3 ; x = −1 ; 2 y = T = − . 0 0 4 4
Câu 10: Chọn B
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 8 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 2 Ta có 2
z − 2z + 5 = ( z −1+ 2i)( z + 3i − ) 1 ( z − ) 1
+ 4 = (z −1+ 2i)(z + 3i − ) 1
(z −1+ 2i)(z −1− 2i) = (z −1+ 2i)(z + 3i − )
1 z −1+ 2i z −1− 2i = z −1+ 2i z + 3i −1
z −1+ 2i = 0
z −1− 2i = z + 3i −1
Trường hợp 1: z −1+ 2i = 0 z = 1− 2i w = z − 2 + 2i = 1− 2i − 2 + 2i = 1 − w = 1
Trường hợp 2: z −1− 2i = z + 3i −1 ( z − 2 + 2i) +1− 4i = (z − 2 + 2i) +1+ i
w +1− 4i = w +1+ i
Gọi w = x + yi ( ; x y ) 2 2 2 2 3 thì ( x + )
1 + ( y − 4) = ( x + ) 1 + ( y + ) 1 y = . 2 2 Khi đó 3 3 3 2 2 2 w = x + y = x +
. Đẳng thức xảy ra x = 0 . Suy ra: min w = 2 2 2
Từ và suy ra min w = 1.
Câu 11: Chọn D
Ta có: z = ( z − 2 − i) + (2 + i) .
Áp dụng bất đẳng thức z − z z + z z + z ta có: 1 2 1 2 1 2
z − 2 − i − 2 + i z z − 2 − i + 2 + i 1− 5 z 1+ 5 5 −1 z 1+ 5
Vậy m = 5 −1, M = 5 +1 , do đó M + m = 2 5 .
Câu 12: Chọn B
Theo đề z = 1. Đặt z = cos x + i sin x ( x ) . Suy ra z = ( x + i x)4 4 cos sin
= cos 4x + i sin 4x . 2 2 Khi đó 1 1 4 z + z +
= cos 4x + cos x + +
(sin 4x + sin x)i 2 2 2 1 = 9 cos 4x + cos x + +
(sin 4x +sin x)2 = +cos4x + 2cos3x +cos x 2 4 9 4 3 2
= + 8cos x + 8cos x −8cos x − 5cos x +1 4 9
= + f (t) . Với f (t) 4 3 2
= 8t + 8t −8t − 5t +1, t 1 − ;1 . 4 9 9 1 − + 11 1 + min f t = + f = . 1 − ;1 ( ) 4 4 4 8
Câu 13: Chọn D Vì 2 2
z − 5z z + 4z
= 0 ( z z suy ra z = 4z P = 7z 1 2 ) 1 1 2 2 1 2 2 1 1 Mặt khác S
= OM.ON.sin MON 12 = 2
z z sin MON z sin MON = 6 . O MN 2 2 1 2 2 6 P = 7z = 7
. Nên P = 7z nhỏ nhất khi sin MON lớn nhất sin MON = 1 . 2 2 sin MON
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức Khi đó P = 7 6 .
Câu 14: Chọn A
Giả sử z = x + yi ( x , y ) . Theo giả thiết ta có 2 2 x + y = 1. Ta có: 2 2
P = z − z + z + z + = z ( z − ) 2 2 2 1
1 + z + z +1 = z . z −1 + z + z +1 = z −1 + z + z +1 .
z − = x + yi − = ( x − )2 2 2 2 1 1 1 + y =
x + y − 2x +1 = 2 − 2x . 2 2 2 2
z + z +1 = x − y + 2xyi + x + yi +1 = 2x + x + y (2x + ) 1 i
z + z + = x ( x + )2 + y ( x + )2 = ( x + )2 2 2 2 ( 2 2 1 2 1 2 1 2 1
x + y ) = 2x +1 . Suy ra P =
2 − 2x + 2x +1 . Xét hàm số f ( x) = 2 − 2x + 2x +1 trên đoạn 1 − ; 1 . 1 Trên 1 − ;− ; f ( x) =
− x − x − f (x) 1 1 2 2 2 1 = − − 2 0, x 1 − ;− . 2 2 − 2x 2 1
Mặt khác hàm số f ( x) = 2 − 2x − 2x −1 liên tục trên 1 − ;− . 2 Do đó hàm số 1 nghịch biến trên 1 − ;−
f ( x) f (− ) 1 1 = 3, x 1 − ;− . 2 2
max f (x) = 3. 1 x 1; − − 2 1 Trên − ;1 2 f ( x) =
− x + x + f (x) 1 = − + f (x) 1 7 2 2 2 1 2
= 0 2 − 2x = x = . 2 − 2x 2 8 1 7 13 13 Có: f − = 3 ; f = ; f ( )
1 = 3 max f ( x) = . 2 8 4 1 4 x − ;1 2 13 13
Từ và max f ( x) = hay P = . max x 1 − ; 1 4 4
Câu 15: Chọn D Ta có: ( + i) 10 1 2 z =
− 2 + .i ( z + )+i( z − ) 10 2 2 1 = lấy môđun hai vế z z 10 ( =
z + )2 + ( z − )2 1 3 2 2 1 z =1 ; . z 2 2
Câu 16: Chọn D
Gọi z = a + bi (a,b ) . Khi đó:
z − − i = z − i (a − )2 + (b − )2 2 2 4 2 2 4
= a + (b − 2)2 a = 4−b .
iz + − i = ( − b)2 + (a − )2 = ( − b)2 + ( − b)2 2 2 2 1 2 3 = 2b −10b +13 2 5 1 2 = 2 b − + . 2 2 2
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 10 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 2 5 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của iz + 2 − i là khi b = ; a = . 2 2 2
Câu 17: Chọn B
Gọi z = x + yi , x, y
. Khi đó M ( x; y) là điểm biểu diễn của số phức z . 2 2
Theo bài ra ta có z −1− 3i = 2 ( x − ) 1 + ( y − 3) = 4 .
Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I (1; 3) bán kính R = 2 .
Khi đó z − = ( x − )2 2 1 1 + y = I M với I(1; 0) .
z −1 nhỏ nhất khi I M
ngắn nhất hay I , M , I thẳng hàng, M nằm giữa I và I .
Phương trình đường thẳng II là x = 1 .
Tọa độ giao điểm của đường thẳng II với đường tròn tâm I bán kính R = 2 là M 1; 1 và 1 ( )
M 1; 5 . Thử lại ta thấy M 1; 1 thỏa mãn. Vậy z = 1+ i . 1 ( ) 1 ( )
Câu 18: Chọn A Cách 1 z z
Ta có: (2 + i) z =
+1− i (2 z − ) 1 + ( z + ) 1 i = w w z z ( z 2 2 2 z − ) 1 + ( z + ) 1 i = (2 z − ) 1 + ( z + ) 1 = 2
5 z − 2 z + 2 = . w w w 2
Vì 5 z − 2 z + 2 0 z
z 0. Đặt t = z (t 0). 2 1 5t − 2t + 2 2 2 2 1 1 9 3 Ta có: = = 5 − + = 2 − + t 2 0 w . w t 2 t t t 2 2 2 3
Khi đó: T = w +1− i w + 1− 2 i + 4 2 2 = . 3 3
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
w = k (1− i) (k , k 0) 2 2
Dấu đẳng thức xảy ra w = k 2 = 1 k = 1 1 w = − i . 3 3 3 3 3 z = 2 4 2 Vậy max T = . 3 Cách 2 z z
Ta có: (2 + i) z =
+1− i (2 z − ) 1 + ( z + ) 1 i = w w z z ( z 2 2 2 z − ) 1 + ( z + ) 1 i = (2 z − ) 1 + ( z + ) 1 = 2
5 z − 2 z + 2 = . w w w 2
Vì 5 z − 2 z + 2 0 z
z 0. Đặt t = z (t 0). 2 1 5t − 2t + 2 2 2 2 1 1 9 3 Ta có: = = 5 − + = 2 − + t 2 0 w . w t 2 t t t 2 2 2 3 2
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w là hình tròn tâm O (0; 0) , bán kính R = . 3
Khi đó: T = w +1− i = MI
Dễ thấy điểm I (0; 2) nằm ngoài đường tròn tâm C (O; R) , suy ra T = MI đạt giá trị lớn nhất 5 6 + 5
khi và chỉ khi T = MI = IO + R = 2 + = 4 2 . Vậy max T = . 3 3 3
Câu 19: Chọn A Cách 1 z z 2 2 z Ta có:
(1+i) z = − 2+i z − 2+( z + )1i = ( z −2) +( z + )1 = w w w 2 z
2 z − 2 z + 5 = w Đánh giá: 2
2 z − 2 z + 5 0, z
z 0. Đặt t = z (t 0) 2 2 1 2t − 2t + 5 2 5 1 1 9 3 5 Ta có: = = 2 − + = 5 − + w 2 w t t t t 5 5 5 3 Khi đó ta có: 5
w − 2i w + 2 − i + 2 3
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 12 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
w = k (−2i),(k k 0) 5 5 5
Dấu đẳng thức xảy ra w = = 2k k = 5 w = − i 3 3 6 2 z = 5 5 Vậy: MaxT = + 2 . 3 Cách 2 z z 2 2 z Ta có:
(1+i) z = − 2+i z − 2+( z + )1i = ( z −2) +( z + )1 = w w w 2 z
2 z − 2 z + 5 = w Đánh giá: 2
2 z − 2 z + 5 0, z
z 0. Đặt t = z (t 0) 2 2 1 2t − 2t + 5 2 5 1 1 9 3 5 Ta có: = = 2 − + = 5 − + w 2 w t t t t 5 5 5 3 5
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w là hình tròn tâm O (0; 0) , bán kính R = . 3
Khi đó: T = w − 2i = MI
Dễ thấy điểm I (0; 2) nằm ngoài đường tròn tâm C (O; R) , suy ra T = MI đạt giá trị lớn nhất 5
khi và chỉ khi T = MI = IO + R = 2 + . 3 5 Vậy max T = 2 + . 3
Câu 20: Chọn B z z Ta có: (3+ 2i) z =
+1− i 3 z −1+ (2 z + ) 1 i = iw −1+ 3i iw −1+ 3i z ( 2
z − )2 + ( z + )2 z 3 1 2 1 =
13 z − 2 z + 2 =
i (w + 3 + i) w + 3 + i Đánh giá: 2
13 z − 2 z + 2 0, z
z 0. Đặt t = z (t 0) 2 2 1 13t − 2t + 2 2 2 1 1 25 5 2 Ta có: = = 13 − + = 2 − +
w + 3 + i 2 w + 3 + i t t t t 2 2 2 5 Khi đó ta có: 2
w = w + 3 + i + ( 3
− − i) w + 3+ i + 3 − − i + 10 5
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
w + 3 + i = k ( 3
− − i),(k ,k 0) 2 2 1
Dấu đẳng thức xảy ra w + 3 + i = = k 10 k = 5 5 5 5 z = 2 1 w + + i = (− −i) 3 1 3 3 w = − + 3 − +1 i 5 5 5 5 5 5 2 Vậy: MaxT = + 10 5
Câu 21: Chọn B
Đặt z = a + bi (a, b ) .
Ta có: z = z + i
a + b = a + (b + )2 2 2 2 2 2
4b + 4 = 0 b = −1 z = a − i . 2 2
Xét: z −1+ 2i + z +1+ 3i = a −1+ i + a +1+ 2i = ( − a) 2 + + ( + a) 2 1 1 1 + 2 . Áp dụng BĐT Mincôpxki:
( −a)2 + + ( + a)2 + ( − a + + a)2 +( + )2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 = 4 + 9 = 13 .
Suy ra: z −1+ 2i + z +1+ 3i đạt GTNN là 13 khi ( − a) 1 2 1 =1+ a a = . 3
Nhận xét: Bài toán trên có thể được giải quyết bằng cách đưa về bài toán hình học phẳng.
Câu 22: Chọn A
Từ giả thiết: z z = 9 z z ( ) 1 1 1 2 2
Lấy mođun hai vế ta được: 2 2 z
= 9 z z = 3 z . 1 2 1 2
Thay z = 3 z vào ( )
1 ta được z = 3z . 1 2 1 2
Gọi z = a + bi (a,b ) z = 3a + 3bi , z = a − bi . 2 1 2
Điểm M (3a;3b) , N (a;− b) 1 S = 3
− ab − 3ab = 3 a b . OMN 2 Mà S = 6 nên a b = 2 và 2 2
z + z = 4a + 4bi = 4 a + b 4 2 a b = 8 . OMN 1 2
Suy ra min z + z = 8 . 1 2
Lưu ý công thức tính diện tích tam giác OAB với OA = (a ;a , OB = (b ;b là 1 2 ) 1 2 ) 1 S = a b − a b . OAB 1 2 2 1 2
Câu 23: Chọn D
Đặt z = x + yi , ( x, y ) , ta có 1
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 14 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 z + 2 − i
(x + 2) +( y − ) 1 i
x + 2 + 2x ( y − )
1 + y −1− 2x (x + 2)i w = ( 1 = = . z + z ) 2 i +1 1+ 2xi 1+ 4x 1 1
Vì w là số thực nên y − − x ( x + ) 2 1 2
2 = 0 y = 2x + 4x +1. 2 13 + + i = + + i = ( x + )2 13 4z 8 13 4 z 2 1 2 + y + =1. 2 2 4 4
P = z + z = z − −z 1 2 1 ( 2 )
Gọi M là điểm biểu diễn của z thì điểm M thuộc parabol ( P) 2
: y = 2x + 4x +1 . 1 2 2 13
Gọi N là điểm biểu diễn của z thì điểm N thuộc đường tròn (C ) : ( x + 2) + y + =1 2 4 2 2 13
Gọi N là điểm biểu diễn của −z thì điểm N thuộc đường tròn (C : x − 2 + y − =1 1 ) ( ) 1 2 1 4
Phương trình tiếp tuyến 2
của ( P) tại T ( x , 2x + 4x +1 , ( x 1 − là 0 ) 0 0 0 )
y = (4x + 4)( x − x ) 2
+ 2x + 4x +1 (4x + 4 x − y − 2x +1= 0 . 0 ) 2 0 0 0 0 0 Khi đó: 13 P MN
T là hình chiếu vuông góc của I lên , với I 2, là tâm (C 1 ) min ( 1) min 4 9
IT cùng phương với VTPT n = − + − = + − , với 2 IT x 2, 2x 4x , n (4x 4, 1 0 ) 0 0 0 4 ( 1 1 7 4x + 4) 9 2 2x + 4x − = 2 − x 3 2
8x + 24x + 8x −11 = 0 x = T , 0 0 0 0 4 0 0 0 0 2 2 2 37 37 − 4 Vậy P = IT − R = −1 = . min 4 4
Câu 24: Chọn B
Điều kiện: w 1.
15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức z z z
Ta có: (3 − i) z =
+1− i (3−i) z −1+ i = w = + . w −1 w −1
( z − )+( − z ) 1 3 1 1 i z z Vậy
T = w + i = ( + + + +
z − ) + ( − z ) 1 i i
( z − )+( − z ) 1 i 3 1 1 3 1 1 i z + 2 . 2 10 z − 8 z + 2 Đặ t
t t = z điều kiện: t 0 . Xét hàm số f (t ) = + 2 . 2 10t − 8t + 2 − + f (t ) 4t 2 = ( ; f (t ) 1 = 0 t = . 2 10t − 8t + 2) 2 10t − 8t + 2 2 Bảng biến thiên: 1 3 2
Dựa vào bảng biến thiên ta có T = w + i max f (t ) = f = . 0;+) 2 2
Câu 25: Chọn C
Gọi z = x + yi với x , y
. Ta có: z + 2 = z + 2i ( 2 2
x + yi) + 2 = ( x + yi) + 2i
(x + 2) + yi = x + ( y + 2)i (x + ) 2 2 2
+ y = x + ( y + 2)
x = y hay z = x + xi
Khi đó ta có: A = ( x − )
1 + ( x − 2)i + ( x − 3) + ( x − 4)i + ( x − 5) + ( x − 6)i
= (x − )2 + (x − )2 + (x − )2 + (x − )2 + (x − )2 + (x − )2 1 2 3 4 5 6 2 2 2
= 2x − 6x + 5 + 2x −14x + 25 + 2x − 22x + 61 2 2 2 2 2 3 1 11 1 7 1 = 2. x − + + − x + + 2 x − + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 11 1 1 7 1 + 1 1 2 17 2. x − + − x + + + 2 x − + 2. 17 + = . 2 2 2 2 2 2 2 2 3 11 x − = − x 2 2 7 Dấu bằng xảy ra khi x = . 7 2 x − = 0 2 1+ 2 17 Vậy: min A =
. Suy ra a = 1 , b = 2 nên 3a − b = 1 . 2
Câu 26: Chọn A
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 16 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 (
a − 3)2 + (b − 4)2 = 4 ( ) 1
z = a + bi Đặt 1 ( 2 2 a, , b c, d ) . Theo đề ta có: (
c − 3) + (d − 4) = 4 (2)
z = c + di 2 (
a − c)2 + (b − d )2 = 1 (3) Khi lấy – theo vế có 2 2 2 2
a + b − c − d = 6 (a − c) + 8(b − d ).
Kết hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và sử dụng ta có: 2 2 z
− z = a + b − c − d = 6(a − c) +8(b − d ) − (6 +8 )(a −c)2 + (b − d )2 2 2 2 2 2 2 = −10. 1 2 (
a −3)2 + (b − 4)2 = 4
(c−3)2 +(d −4)2 =4
Vậy giá trị nhỏ nhất của 2 2 z
− z là −10 khi 2 2 . 1 2
(a −c) +(b − d ) =1
a − c b − d = = k 0 6 8 27 − 4 15 144 +12 15 z = + i 1 10 40 33 − 4 15 176 +12 15 z = + i 2 10 40
Tồn tại 2 cặp số phức thỏa mãn là: . 27 + 4 15 144 −12 15 z = + i 1 10 40 33 + 4 15 176 −12 15 z = + i 2 10 40
Câu 27: Chọn A Theo giả thiết có:
2(a + bi) + 2 − 3i = 1 (2a + 2) + (2b − 3)i = 1 ( a + )2 2 2 2 + (2b − 3) =1. 2 3 1 2
(a +1) + b − = (*) 2 4 Cách 1: 2 ( 3 1 *) 2 2
a + b = −3− 2a + 3b . Từ (*) suy ra b − 1 b 2. 2 4
Khi đó biến đổi và sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được: 2 2 2 2
P = 2 z + 2 + z − 3 = 2 (a + 2) + b + (a − 3) + b 2 2 2 2
= 2 a + b + 4a + 4 + a + b − 6a + 9 = 2 ( 3
− − 2a + 3b) + 4a + 4 + ( 3
− − 2a + 3b) + 9 − 6a = 2 2a + 3b +1 + 8 − a + 3b + 6 = 8a +12b + 4 + 8
− a + 3b + 6 (1+1)(8a +12b + 4 − 8a + 3b + 6)
= 2(15b +10) 2(15.2 +10) = 4 5. 8
a +12b + 4 = 8 − a + 3b + 6 a = 1 −
Dấu “ = ” xảy ra khi . b = 2 b = 2
17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Suy ra MaxP = 4 5 khi a = −1, b = 2 . Vậy a − b = −3. Cách 2:
Gọi M (a;b) là điểm biểu diễn hình học của số phức z . 3 1
Từ (*) suy ra M thuộc đường tròn (C ) có tâm I 1 − ; bán kính R = . 2 2 Gọi A( 2
− ; 0),B(3; 0) và H ( 1 − ; 0) .
Khi đó P = 2MA + MB và HB = 4 − HA . 2
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được: 2
P = ( MA + MB) ( + )( 2 2 2
1 1 4MA + MB ) . 2 2 2 2 Ta có: 2 2
4MA + MB = 4MA + MB = 4(MH + HA) + (MH + HB) = ( 2 2
MH + MH HA + HA ) + ( 2 2 4 8 .
MH + 2MH.HB + HB ) 2
= MH + MH ( HA+ HB)+( 2 2 5 2 4 HA + HB ) 2 = + ( 2 2 5MH HA + HB ) . Do các điểm H , ,
A B cố định và P 0 nên P lớn nhất khi MH là lớn nhất
M là giao điểm của đường thẳng IH với đường tròn (C) ( I nằm giữa M và H ).
Dễ dàng tìm được M ( 1
− ; 2) hay a = −1; b = 2 . Vậy a − b = −3.
Câu 28: Chọn A Cách 1: + Đặt w 5 8i z = + . 3 − 4i 2 w 3 w 3 25 25
Ta có z −1− 2i + z − 4 − 6i = + + 2i +
− − 2i = 9 w + + w − = 45 . 3 − 4i 2 3 − 4i 2 2 2
Đặt w = x + yi và gọi M ( x; y) là điểm biểu diễn w . Khi đó tập hợp điểm M là elip có phương x y 56 trình là ( E ) 2 2 : + = 1. Suy ra 2 2 y = 350 − x ( ) 1 . 2 45 350 81 2 2 w 15 1 125 1 125 Mặt khác ta có 2
T = z −10 −14i = − −10i = w − = x − + y . 3 − 4i 2 5 2 5 2 2 1 125 56 1 25 17025 Suy ra 2 2 T = x − + 350 − x = x −125x + . 5 2 81 5 81 4 Từ ( ) 45 45 25 17025 1 ta có − x
. Xét hàm số f ( x) 2 = x −125x + trên đoạn 45 45 − ; . 2 2 81 4 2 2
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 18 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 f ( x) 50 =
x −125 . Xét f ( x) 405 45 45 = 0 x = − ; . 81 2 2 2 45 45 Ta có f − = 7225 ; f =1600 . 2 2
Vậy giá trị lớn nhất của T bằng 1 45 f − =17 . 5 2 Cách 2:
Ta có z −10 −14i z −1− 2i + 9
− −12i = z −1− 2i +15 .
Ta có z −10 −14i z − 4 − 6i + 6
− −8i = z − 4 − 6i +10 .
Suy ra 2 z −10 −14i 9 +15 +10 = 34 z −10 −14i 17 . Dấu ' = ' xảy ra khi 1 2 z = −
+ i . Vậy max z −10 −14i =17 . 5 5 Cách 3:
Gọi M ( x; y) là điểm biểu diễn số phức z . Gọi F 1;2 và F 4;6 . Suy ra MF + MF = 9. 2 ( ) 1 ( ) 1 2
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn z là Elip và có F F = 5 . 1 2
Ta có P = z −10 −14i = MA với A(10;14) . F F = 5 1 2
Ta có F A = 9;12 , F F = 3; 4 F A = 3F F F , A , F thẳng hàng và có F A = 15 . 1 2 ( ) 1 ( ) 1 1 2 1 2 1 F A =10 2
Ta có MA MF + F A 7 +10 = 17 . Dấu ' = ' xảy ra khi M , F , F thẳng hàng và 2 2 1 2
MF + F F = MF . 1 1 2 2
Câu 29: Chọn C
Ta có: iw − 2 + 5i = 1 w + 5 + 2i = 1; z = 2 . z z = 4 2 2 x + y = 4
Đặt: z = x + iy, w = a + ;
ib ( x, y, a,b ) . Khi đó: ( a + 5 )2 +(b + 2)2 =1 4 Ta có: 2
z − wz − 4 = z z − w −
= 2 (z − z)− w z Gọi ,
A B lần lượt là điểm biểu diễn z − z và w .
Dẫn đến: A(0; 2 y) với 2
− y 2 , B thuộc đường tròn có tâm I ( 5 − ; 2
− ) và có bán kính R =1. d I B A
19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức Khi đó: 2
z − wz − 4 = 2 AB . Ta có: AB
= d I,d − R = 4 min ( )
Giá trị nhỏ nhất của 2
z − wz − 4 = 8. Nhận xét:
Ta xem bài toán trên gồm 3 giả thiết: z = 2 . z z = 4
iw − 2 + 5i = 1 w + 5 + 2i = 1 2
z − wz − 4 = 2 z − w − z (*)
Việc đầu tiên, ta rút gọn các giả thiết của bài toán.
Từ (*) , ta gọi A là điểm biểu diễn của z − z , B là điểm biểu diễn của w .
Bài toán trở thành tìm độ dài AB nhỏ nhất.
Câu 30: Chọn C Cách 1.
Ta có 5w = (2 + i)(z − 4) 5w + 5i = 5i + (2 + i)(z − 4) 5 w + i = (2 + i)z − 8 + i .
Đặt z = x + yi với x, y ta được (2 + i)(x + yi) − 8 + i = 3 5
2x − y −8 + (x + 2y +1)i = 3 5 2 2
(2x − y −8) + (x + 2y +1) = 45 2 2 2 2
4x + y + 64 − 4xy − 32x +16y + x + 4y +1+ 4xy + 2x + 4y = 45 2 2
5x + 5y − 30x + 20y + 20 = 0 2 2
(x − 3) + (y + 2) = 9 x = 3sin + 3 Đặt . Khi đó y = 3cos − 2 2 2 2 2 P =
x + ( y − 2) + (x − 6) + ( y − 2) = 18sin − 24 cos + 34 + 1 − 8sin − 24cos + 34
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Copsky ta có 2 2 P 1 +1 . 4 − 8cos + 68 2 58 18sin − 24cos + 34 18 − sin − 24cos + 34 = cos = 1 − Dấu bằng xảy ra khi 1 1 . sin = 0 cos = 1 −
Suy ra max P = 2 58 khi z = 3 − 5i . Cách 2.
Ta có 5w = (2 + i)(z − 4) 5w + 5i = 5i + (2 + i)(z − 4) 5 w + i = (2 + i)z − 8 + i . 8 − i
5 w + i = 2 + i z −
3 5 = 5 z − (3− 2i) z − (3− 2i) = 3. 2 + i
Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (3;−2) và bán kính R = 3 .
Gọi M ( x; y) là điểm biểu diễn số phức z ;
A(0; 2) là điểm biểu diễn số phức z = 2i ; 1
B (6; 2) là điểm biểu diễn số phức z = 6 + 2i . 2
E (3; 2) là trung điểm của đoạn thẳng AB .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 20 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 2
Ta có P = MA + MB 2
P = (MA + MB) ( 2 2 MA + MB ) 2 2 2 = 4ME + AB .
Khi đó P đạt giá trị lớn nhất khi ME đạt giá trị lớn nhất hay ME = R + IE . Vậy P = 4(R + IE)2 2 + AB = 2 58 max 7x − 3x I E x = 3 M 4 x = 3 khi MI =
ME 7MI − 3ME = 0 M . 7 7 y − 3y y = 5 − I E y = M M 4
Câu 31: Chọn D 2 2 = = +
w = z + 2 + 3i = a + bi w 3 a b 1 Đặt 1 1 với a, , b c, d
, theo giả thiết ta có: .
w = z + 2 + 3i = c + di 3 2 2 2 2
w = = c + d 2 5 z + 2 + 3i w
(a + bi)(c − di) ac + bd + (bc − ad )i 1 1 = = = . 2 2 z + 2 + 3i w c + d 9 2 2 25 w 25(ac + bd )
Phần thực của số phức 1 là . w 9 2 2 2 9 9
Ta có (ac + bd ) ( 2 2 a + b )( 2 2
c + d ) (ac + bd ) 9.
ac + bd . 25 5 25(ac + bd ) w
5 . Dấu " = " xảy ra khi ad = bc hay 1 là số thực và w = 5 w = 3. 9 1 2 w2 Vậy m = 5 . 0
Câu 32: Chọn C
Gọi z = x + yi ( x, y ) .
Ta có (1 + i) z + 2 + (1+ i) z − 2 = 4 2
(1+ i) z + (1+ i)(1− i) + (1+ i) z − (1+ i)(1− i) = 4 2
(1+ i)(z +1− i) + (1+ i)(z −1+ i) = 4 2 1+ i z +1− i + 1+ i z −1+ i = 4 2
z + − i + z − + i = (x + )2 + ( y − )2 + (x − )2 + ( y + )2 1 1 4 1 1 1 1 = 4(*) . Gọi M ( ; x y ), F 1 − ;1 , F 1; 1
− . Ta có MF + MF = 4 . 1 ( ) 2 ( ) 1 2
21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Do đó tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z là một Elip có hai tiêu điểm là F , F ; tiêu cự 1 2 1 bằng F F =
2 ; độ dài trục lớn bằng MF + MF = 4 ; một nửa độ dài trục bé bằng 2 . 1 2 1 2 2
Ta có m = max z = 2 ; n = min z = 2 w = + i w = w = ( )2018 2018 1009 2 2 6 6 = 6 .
Câu 33: Chọn C
Ta có (1+ i) z +1− 3i = 3 2 z −1− 2i = 3 nên tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là
đường tròn tâm I (1; 2) , bán kính R = 3 .
Đặt a = z −1− 2i,b = 1+ i . 2 2 2 2
z + 2 + i = a + 3b = a + 9 b + 3 ( .ab+ .ab) Ta có 2 2 2 2
z − 2 − 3i = a − b = a + b − ( .ab+ .ab) 2 2 2 2 2 2
z + 2 + i + 3 z − 2 − 3i = a + 3b + 3 a − b = 4 a +12 b = 60 .
Khi đó P = a + b +
a − b ( + )( 2 2 3 2. 3 1 2
a + 3b + 3 a − b ) = 6 5 .
Câu 34: Chọn A 2 2
Ta có: z − i = z + i nên 2
z − 2iz −1 = z − i = z + i . + 2 2019 2019 + 2019 z i z i 2 ( )
Như vậy: (1+ i) z − 2iz −1 =
+ 2 − 2i (1+ i) z + i = + 2 − 2i w w + + 2 2019( z i) ( z i 1+ i) 2
z + i + 2i − 2 =
z + i − 2 + ( 2 z + i + 2) 2019( ) i = . w w
Điều kiện: w 0 suy ra z + i 0 hay z + i 0 . 2019 z + i
Đặt t = z + i ,t 0 ta có 2 t − 2 + ( 2 t + 2) ( ) i =
. Lấy môđun hai vế ta được: w ( z + i t t − 2) 2019 2 + (t + 2)2 =
(t − 2)2 + (t + 2)2 2019 2 2 2 2 = w w 2019t 2019t 2019t 2019 2 w = w = w w . ( 2 2t 4
t − )2 + (t + )2 4 2 2 2t + 8 2 2 2009 2 Vậy max w = khi 4 4
2t = 8 t = 4 t = 2 z − i = 2 . 4
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 22 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 DẠNG 7
Số phức trong đề thi của BGD&ĐT I. PHẦN ĐỀ BÀI Câu 1:
Cho hai số phức z = 3 + 2i và w = 1− 4i . Số phức z + w bằng
A. 4 + 2i .
B. 4 − 2i .
C. −2 − 6i . D. 2 + 6i . = + = − Câu 2:
Cho hai số phức z 1 2i và w 3 4i . Số phức z + w bằng
A. 2 − 6i .
B. 4 + 2i .
C. 4 − 2i . D. −2 + 6i . = + = − Câu 3:
Cho hai số phức z 5 2i và w 1 4i . Số phức z + w bằng:
A. 6 + 2i .
B. 4 + 6i .
C. 6 − 2i .
D. −4 − 6i . = + = − Câu 4:
Cho hai số phức z 4 2i và w 3 4i . Số phức z + w bằng
A. 1 + 6i .
B. 7 − 2i .
C. 7 + 2i . D. −1− 6i . Câu 5:
Cho hai số phức z = 3 + i và w = 2 + 3i . Số phức z − w bằng
A. 1+ 4i . B. 1− 2i .
C. 5 + 4i . D. 5 − 2i . Câu 6:
Cho hai số phức z = 3 − 2i
z = 2 + i . Số phức z − z bằng 1 và 2 1 2
A. −1+ 3i .
B. −1− 3i .
C. 1 + 3i . D. 1 − 3i . z = 1− 3i z = 3 + i z − z Câu 7: Cho hai số phức 1 và 2 . Số phức 1 2 bằng
A. −2 − 4i .
B. 2 − 4i .
C. −2 + 4i . D. 2 + 4i . Câu 8:
Cho hai số phức z = 1+ 2i và z = 4 − i . Số phức z − z bằng 1 2 1 2
A. 3 + 3i .
B. −3 − 3i .
C. −3 + 3i . D. 3 − 3i . Câu 9:
Cho hai số phức z = 3 + 2i và z = 1− i . Số phức z − z bằng 1 2 1 2
A. 2 − 3i .
B. −2 + 3i .
C. −2 − 2i . D. 2 + 3i . z = 1− 3i z = 3 + i z + z
Câu 10: Cho hai số phức 1 và 2 . Số phức 1 2 bằng A. 4 − 2i . B. −4 + 2i . C. 4 + 2i .
D. −4 − 2i .
Câu 11: Cho hai số phức z = 1− 2i và z = 2 + i . Số phức z + z bằng 1 2 1 2 A. 3 + i . B. −3 − i . C. 3 − i . D. −3 + i .
Câu 12: Cho hai số phức z = 3 + 2i và z = 2 − i . Số phức z + z bằng 1 2 1 2 A. 5 − i . B. 5 + i . C. −5 − i . D. −5+ i .
Câu 13: Cho hai số phức z = 3 − 2i và z = 2 + i . Số phức z + z bằng 1 2 1 2 A. 5+ i . B. −5+ i . C. 5− i . D. −5− i .
Câu 14: Tìm số phức z thỏa mãn z + 2 − 3i = 3 − 2i .
A. z = 1− 5i .
B. z = 1+ i .
C. z = 5 − 5i .
D. z = 1− i . z = 4 − 3i z = 7 + 3i
z = z − z
Câu 15: Cho hai số phức 1 và 2 . Tìm số phức 1 2 . A. z = 11
B. z = 3 + 6i
C. z = −1−10i
D. z = −3 − 6i z = 5 − 7i z = 2 + 3i z = z + z
Câu 16: Cho hai số phức 1 và 2 . Tìm số phức 1 2 .
A. z = 7 − 4i
B. z = 2 + 5i C. z = 2 − + 5i
D. z = 3 − 10i
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Câu 17: Cho số phức z = −3 + 2i , số phức (1− i) z bằng.
A. −1− 5i
B. 5 − i
C. 1 − 5i D. −5 + i
Câu 18: Cho số phức z 2 i , số phức 2 3i z bằng A. 1 8i . B. 7 4i . C. 7 4i . D. 1 8i .
Câu 19: Cho số phức z = 1 − 2i , số phức (2 + 3i) z bằng
A. 4 − 7i .
B. −4 + 7i .
C. 8 + i . D. −8 + i .
Câu 20: Tìm hai số thực x và y thỏa mãn (3x + 2 yi) + (2 + i) = 2x − 3i với i là đơn vị ảo.
A. x = −2; y = −2 .
B. x = −2; y = −1.
C. x = 2; y = −2 .
D. x = 2; y = 1 − z = 1+ i z = 2 − 3i z + z .
Câu 21: Cho hai số phức 1 và 2
. Tính môđun của số phức 1 2
A. z + z = 13 .
B. z + z = 5 .
C. z + z = 1.
D. z + z = 5 . 1 2 1 2 1 2 1 2 = + = +
Câu 22: Cho số phức z 2 5 .
i Tìm số phức w iz z
A. w = 7 − 3i .
B. w = −3 − 3i . C. w = 3 + 7 . i
D. w = −7 − 7i
Câu 23: Cho số phức z thỏa (2 − i)z + 3 +16i = 2(z + i) . Môđun của z bằng A. 5 . B. 13 . C. 13 . D. 5 .
Câu 24: Cho số phức z thỏa (2 + i)z − 4(z − i) = 8
− +19i . Môđun của z bằng A. 13 . B. 5 . C. 13 . D. 5 .
Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn 3( z − i) − (2 + 3i) z = 7 −16i . Môđun của số phức z bằng A. 5 . B. 5 . C. 3 . D. 3 .
Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn 3( z + i) − (2 − i) z = 3+10i . Mô đun của z bằng A. 3 . B. 5 . C. 5 . D. 3 .
Câu 27: Tìm hai số thực x và y thỏa mãn (2x − 3yi) + (1− 3i) = x + 6i với i là đơn vị ảo.
A. x = −1; y = −3
B. x = −1; y = −1
C. x = 1; y = −1
D. x = 1; y = −3
Câu 28: Tìm tất cả các số thực x , y sao cho 2 x −1+ yi = 1 − + 2 .i
A. x = − 2, y = 2. B. x = 2, y = 2.
C. x = 0, y = 2. D. x = 2, y = −2.
Câu 29: Tính môđun của số phức z thỏa mãn z (2 − i) +13i = 1. 5 34 34 A. z = 34 B. z = 34 C. z = D. z = 3 3
z = a + bi (a,b )
(1+i) z + 2z = 3+ 2 .i
Câu 30: Cho số phức thỏa mãn
Tính P = a + b . 1 1 A. P = B. P = 1 C. P = −1 D. P = − 2 2
Câu 31: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z =
2 và ( z + 2i)( z − 2) là số thuần ảo?
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 2 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 4 .
Câu 32: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2
z = 2 z + z + 4 và z −1− i = z − 3 + 3i ? A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3 .
Câu 33: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z ( z − 6 − i) + 2i = (7 − i) z ? A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4
Câu 34: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z ( z − 4 − i) + 2i = (5 − i) z ? A. 2 B. 3 C. 1 D. 4
Câu 35: Cho số phức z = a + bi (a,b ) thỏa mãn z + 2 + i − z (1+ i) = 0 và z 1. Tính P = a + b . A. P = −1 B. P = −5 C. P = 3 D. P = 7
Câu 36: Cho số phức z thỏa mãn | z |= 5 và | z + 3 | |
= z + 3 −10i | . Tìm số phức w = z − 4 + 3 .i
A. w = −3 + 8 . i B. w = 1+ 3 . i C. w = −1+ 7 . i
D. w = −4 + 8 . i z
Câu 37: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + 3i = 13 và z + là số thuần ảo? 2 A. Vô số. B. 2. C. 0. D. 1.
Câu 38: Cho số phức z = a + bi (a, b ) thoả mãn z + 2 + i = z . Tính S = 4a + b . A. S = 4 B. S = 2 C. S = −2 D. S = −4
Câu 39: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | z + 2 − i |= 2 2 và ( z − )2 1 là số thuần ảo? A. 0 B. 4 C. 3 D. 2
Câu 40: Cho số phức z = a + bi (a, b
) thỏa mãn z + 1 + 3i − z i = 0 . Tính S = a + 3b 7 7 A. S =
B. S = −5
C. S = 5 D. S = − 3 3 z
Câu 41: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z − 3i = 5 và z − là số thuần ảo? 4 A. 0 B. Vô số C. 1 D. 2
Câu 42: Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z − i = 5 và 2
z là số thuần ảo? A. 2 B. 3 C. 4 D. 0
Câu 43: Xét số phức z thỏa mãn ( + i) 10 1 2 z =
− 2 + .i Mệnh đề nào dưới đây đúng? z 3 1 1 3 A. z 2. B. z 2. C. z . D. z . 2 2 2 2
Câu 44: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z ( z − 5 − i) + 2i = (6 − i) z ? A. 1 B. 3 C. 4 D. 2
Câu 45: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z ( z − 3 − i) + 2i = (4 − i) z ? A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4
Câu 46: Xét các số phức z thỏa mãn ( z − 2i)( z + 2) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 4
Câu 47: Cho các số phức z thỏa mãn z = 4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
w = (3 + 4i)z + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r = 4 . B. r = 5 . C. r = 20 .
D. r = 22 .
Câu 48: Cho số phức z thỏa mãn z =
2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn của số 5 + iz
phức w thỏa mãn w =
là một đường tròn có bán kính bằng 1+ z A. 52 . B. 2 13 . C. 2 11 . D. 44 .
Câu 49: Cho số phức z thỏa mãn z =
2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn của số 2 + iz
phức w thỏa mãn w = 1+ là một đường tròn có bán kính bằng z A. 10 . B. 2 . C. 2 . D. 10 .
Câu 50: Xét các số phức z thỏa mãn z = 2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức 3 + iz w =
là một đường tròn có bán kính bằng 1+ z A. 2 3 . B. 12 . C. 20 . D. 2 5 .
Câu 51: Xét các số phức z thỏa mãn z =
2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn của các + số phức 4 iz w =
là một đường tròn có bán kính bằng 1+ z A. 34. B. 26. C. 34. D. 26.
Câu 52: Xét các số phức z thỏa mãn ( z + i)( z + 2) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các
điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 5 5 3 A. 1 B. C. D. 4 2 2
Câu 53: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z + z + 3 = 0 . Khi đó z + z bằng 1 2 1 2 A. 3 . B. 2 3 C. 3 . D. 6 .
Câu 54: (Đề TNTHPT 2020 - mã đề 103) Gọi z và z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z − z + 2 = 0 1 2
. Khi đó z + z bằng 1 2 A. 2. B. 4. C. 2 2 . D. 2 .
Câu 55: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z − z + 3 = 0 . Khi đó z + z bằng 1 2 1 2 A. 3 . B. 2 3 . C. 6 . D. 3 .
Câu 56: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2 z 2z 5 0 . Môđun của số phức 0 z i bằng 0
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 4 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 A. 2. B. 2 . C. 10 . D. 10 .
Câu 57: Ký hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z − 3z + 5 = 0 . Giá trị của z + z bằng 1 2 1 2 A. 2 5 . B. 5 . C. 3 . D. 10 .
Câu 58: Gọi z và z là hai nghiệm phức của phương trình 2
4z − 4z + 3 = 0 . Giá trị của biểu thức z + z 1 2 1 2 bằng: A. 3 2 B. 2 3 C. 3 D. 3
Câu 59: Kí hiệu z , z là hai nghiệm của phương trình 2
z + 4 = 0 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diển của 1 2
z , z trên mặt phẳng tọa độ. Tính T = OM + ON với O là gốc tọa độ. 1 2 A. T = 2 . B. T = 2 . C. T = 8 . D. 4 . 1 1
Câu 60: Ký hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z − z + 6 = 0 Tính = + . 1 2 P z z 1 2 1 1 1 A. P = . B. P = . C. P = − . D. P = 6 . 6 12 6
Câu 61: Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
3z − z +1 = 0 . Tính P = z + z . 1 2 1 2 3 2 3 2 14 A. P = B. P = C. P = D. P = 3 3 3 3
Câu 62: Kí hiệu z ; z là hai nghiệm của phương trình 2
z + z +1 = 0 . Tính 2 2
P = z + z + z z . 1 2 1 2 1 2
A. P = 1
B. P = 2
C. P = −1 D. P = 0
Câu 63: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z − 4z + 5 = 0 . Giá trị của 2 2 z + z bằng 1 2 1 2 A. 6 . B. 8 . C. 16 . D. 26 .
Câu 64: Gọi z , z là 2 nghiệm phức của phương trình 2 z − z + = . Giá trị của 2 2 z + z 1 2 6 14 0 1 2 bằng: A. 36. B. 8. C. 28. D. 18.
Câu 65: Gọi z , z − + = . Giá trị 2 2 z + z bằng 1
2 là hai nghiệm phức phương trình 2 z 6z 10 0 1 2 A. 16. B. 56. C. 20. D. 26.
Câu 66: (Đề minh họa BGD&ĐT năm 20016-20017) Kí hiệu z , z , z và z là bốn nghiệm phức của 1 2 3 4 phương trình 4 2
z − z −12 = 0 . Tính tổngT = z + z + z + z . 1 2 3 4
A. T = 4 B. T = 2 3 C. T = 4 + 2 3 D. T = 2 + 2 3
Câu 67: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2
z − 4z + 13 = 0 . Trên mặt phẳng tọa 0
độ, điểm biểu diễn số phức 1 − z là 0
A. M (3; − 3) .
B. P (−1;3) .
C. Q (1;3) . D. N ( 1; − − 3).
Câu 68: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2
z + 4z +13 = 0 . Trên mặt phẳng tọa 0
độ, điểm biểu diễn số phức 1− z là 0 A. P( 1 − ; 3 − ) .
B. M (−1; 3) .
C. N (3; −3) . D. Q(3;3) .
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Câu 69: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2
z + 6z +13 = 0 . Trên mặt phẳng tọa 0
độ, điểm biểu diễn số phức 1− z là 0 A. N ( 2 − ;2) . B. M (4; 2) .
C. P (4; −2) .
D. Q (2; −2) .
Câu 70: Kí hiệu z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2
4z −16z +17 = 0 . Trên mặt phẳng 0
tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = iz ? 0 1 1 1 1 A. M ; 2 . B. M − ;2 . C. M − ;1 . D. M ;1 . 1 2 2 2 3 4 4 4
Câu 71: Xét hai số phức z , z thỏa mãn z = 1, z = 2 và z − z =
3 . Giá trị lớn nhất của 3z + z − 5i 1 2 1 2 1 2 1 2 bằng A. 5 − 19 . B. 5 + 19 . C. 5 − + 2 19 . D. 5 + 2 19 .
Câu 72: Xét số phức z = a + bi (a,b ) thỏa mãn z − 4 − 3i = 5 . Tính P = a + b khi
z +1− 3i + z −1+ i đạt giá trị lớn nhất.
A. P = 10
B. P = 4
C. P = 6
D. P = 8
Câu 73: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn
z.z = 1 và z − 3 + i = m . Tìm số phần tử của S . A. 2 . B. 4. C. 1. D. 3.
Câu 74: Xét số phức z thỏa mãn z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá
trị lớn nhất của z −1+ i . Tính P = m + M . 5 2 + 2 73
A. P = 13 + 73 B. P = 2 5 2 + 73
C. P = 5 2 + 73 D. P = 2
Câu 75: Xét các số phức z, w thỏa mãn z = 1 và w = 2 . Khi z + iw + 6 + 8i đạt giá trị nhỏ nhất z − w bằng 29 221 A. . B. . C. 3 . D. 5 . 5 5
Câu 76: Xét các số phức z, w thỏa mãn z = 1 và w = 2 . Khi z + iw − 6 + 8i đạt giá trị nhỏ nhất, z − w bằng? 29 221 A. 3 . B. . C. 5 . D. . 5 5
Câu 77: Xét các số phức z, w thỏa mãn z = 1 và w = 2 . Khi z + iw + 6 + 8i đạt giá trị nhỏ nhất z − w bằng 29 221 A. . B. . C. 3 . D. 5 . 5 5
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 6 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Câu 78: Xét các số phức z, w thỏa mãn z = 1 và w = 2 . Khi z + iw − 6 − 8i đạt giá trị nhỏ nhất, z − w bằng 221 29 A. . B. 5 . C. 3 . D. . 5 5
Câu 79: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2
z = z − z và ( z + )( z + i) 2 2 2
= z − 2i ? A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1 .
Câu 80: Cho các số phức z , z , z thỏa mãn z = z = 2 z = 2 và 3z z = 4z z + z . Gọi , A B, C 1 2 3 ( 1 2 ) 1 2 3 1 2 3
lần lượt là các điểm biểu diễn của z , z , z trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác ABC bằng 1 2 3 7 3 7 7 3 7 A. . B. . C. . D. . 4 4 2 2
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
I. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1:
Cho hai số phức z = 3 + 2i và w = 1− 4i . Số phức z + w bằng
A. 4 + 2i .
B. 4 − 2i .
C. −2 − 6i . D. 2 + 6i .
Lời giải Chọn B
Ta có: z + w = 3 + 2i +1− 4i = 4 − 2i . = + = − Câu 2:
Cho hai số phức z 1 2i và w 3 4i . Số phức z + w bằng
A. 2 − 6i .
B. 4 + 2i .
C. 4 − 2i . D. −2 + 6i .
Lời giải Chọn C
z + w = 1+ 2i + 3 − 4i = 4 − 2i . = + = − Câu 3:
Cho hai số phức z 5 2i và w 1 4i . Số phức z + w bằng:
A. 6 + 2i .
B. 4 + 6i .
C. 6 − 2i .
D. −4 − 6i .
Lời giải Chọn C
z + w = 5 + 2i +1− 4i = (5 +1) + (2 − 4)i = 6 − 2i . = + = − Câu 4:
Cho hai số phức z 4 2i và w 3 4i . Số phức z + w bằng
A. 1 + 6i .
B. 7 − 2i .
C. 7 + 2i . D. −1− 6i .
Lời giải Chọn B
Ta có: z + w = 4 + 2i + 3 − 4i = 7 − 2i . Câu 5:
Cho hai số phức z = 3 + i và w = 2 + 3i . Số phức z − w bằng
A. 1+ 4i . B. 1− 2i .
C. 5 + 4i . D. 5 − 2i .
Lời giải Chọn B
z − w = (3 + i) − (2 + 3i) = 1− 2i Câu 6:
Cho hai số phức z = 3 − 2i
z = 2 + i . Số phức z − z bằng 1 và 2 1 2
A. −1+ 3i .
B. −1− 3i .
C. 1 + 3i . D. 1 − 3i .
Lời giải Chọn D Ta có
z − z = 3 − 2i − (2 + i) = 1− 3i . 1 2 z = 1− 3i z = 3 + i z − z Câu 7:
(Đề TNTHPT 2020 - mã đề 103) Cho hai số phức 1 và 2 . Số phức 1 2 bằng
A. −2 − 4i .
B. 2 − 4i .
C. −2 + 4i . D. 2 + 4i .
Lời giải Chọn A
z − z = 1− 3i − 3 + i = 2 − − 4i . 1 2 ( ) Câu 8:
Cho hai số phức z = 1+ 2i và z = 4 − i . Số phức z − z bằng 1 2 1 2
A. 3 + 3i .
B. −3 − 3i .
C. −3 + 3i . D. 3 − 3i .
Lời giải Chọn C
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 8 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Ta có z − z = 1+ 2i − 4 − i = 3 − + 3i 1 2 ( ) Câu 9:
(Đề tốt nghiệp THPT đợt 2 năm 2020 - mã đề 101) Cho hai số phức z = 3 + 2i và z = 1− i . Số 1 2
phức z − z bằng 1 2
A. 2 − 3i .
B. −2 + 3i .
C. −2 − 2i . D. 2 + 3i .
Lời giải Chọn D
Ta có z − z = 3 + 2i − 1− i = 2 + 3i . 1 2 ( ) z = 1− 3i z = 3 + i z + z
Câu 10: Cho hai số phức 1 và 2 . Số phức 1 2 bằng A. 4 − 2i . B. −4 + 2i . C. 4 + 2i .
D. −4 − 2i .
Lời giải Chọn A
Ta có z + z = 1− 3i + 3 + i = 4 − 2i . 1 2
Vậy z + z = 4 − 2i . 1 2
Câu 11: Cho hai số phức z = 1− 2i và z = 2 + i . Số phức z + z bằng 1 2 1 2 A. 3 + i . B. −3 − i . C. 3 − i . D. −3 + i .
Lời giải Chọn C
Ta có: z + z = 1− 2i + 2 + i = 1+ 2 + 2
− i + i = 3− i . 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )
Câu 12: Cho hai số phức z = 3 + 2i và z = 2 − i . Số phức z + z bằng 1 2 1 2 A. 5 − i . B. 5 + i . C. −5 − i . D. −5+ i .
Lời giải Chọn B
Áp dụng phép cộng số phức ta có z + z = 5 + i . 1 2
Câu 13: Cho hai số phức z = 3 − 2i và z = 2 + i . Số phức z + z bằng 1 2 1 2 A. 5+ i . B. −5+ i . C. 5− i . D. −5− i .
Lời giải Chọn C
Ta có: z = 3 − 2i ; z = 2 + i . 1 2
z + z = (3+ 2) + (−2 + ) 1 i = 5 − i . 1 2
Câu 14: Tìm số phức z thỏa mãn z + 2 − 3i = 3 − 2i .
A. z = 1− 5i .
B. z = 1+ i .
C. z = 5 − 5i .
D. z = 1− i .
Lời giải Chọn B
z + 2 − 3i = 3 − 2i z = 3 − 2i − 2 + 3i = 1+ i . z = 4 − 3i z = 7 + 3i
z = z − z
Câu 15: Cho hai số phức 1 và 2 . Tìm số phức 1 2 . A. z = 11
B. z = 3 + 6i
C. z = −1−10i
D. z = −3 − 6i
Lời giải Chọn D
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Ta có z = z − z = (4 − 3i) − (7 + 3i) = −3 − 6i . 1 2 z = 5 − 7i z = 2 + 3i z = z + z
Câu 16: Cho hai số phức 1 và 2 . Tìm số phức 1 2 .
A. z = 7 − 4i
B. z = 2 + 5i C. z = 2 − + 5i
D. z = 3 − 10i
Lời giải Chọn A
z = z + z = 5+ 2 + 7
− + 3 i = 7− 4i 1 2 ( ) ( )
Câu 17: Cho số phức z = −3 + 2i , số phức (1− i) z bằng.
A. −1− 5i
B. 5 − i
C. 1 − 5i D. −5 + i
Lời giải Chọn D
Ta có: (1− i) z = (1− i)( 3 − − 2i) = 5 − + i
Câu 18: Cho số phức z 2 i , số phức 2 3i z bằng A. 1 8i . B. 7 4i . C. 7 4i . D. 1 8i .
Lời giải Chọn C Ta có: 2 3i z 2 3i 2 i 7 4i .
Câu 19: (Đề tốt nghiệp THPT đợt 2 năm 2020 - mã đề 101) Cho số phức z = 1 − 2i , số phức (2 + 3i) z bằng
A. 4 − 7i .
B. −4 + 7i .
C. 8 + i . D. −8 + i .
Lời giải Chọn B
Ta có: z = 1 − 2i z = 1+ 2i ( + i) z = ( + i)( + i) 2 2 3 2 3 1 2
= 2 + 3i + 4i + 6i = 4 − + 7i .
Vậy (2 + 3i) z = 4 − + 7i .
Câu 20: Tìm hai số thực x và y thỏa mãn (3x + 2 yi) + (2 + i) = 2x − 3i với i là đơn vị ảo.
A. x = −2; y = −2 .
B. x = −2; y = −1.
C. x = 2; y = −2 .
D. x = 2; y = 1 −
Lời giải Chọn A
Ta có: (3x + 2 yi) + (2 + i) = 2x − 3i
3x + 2 + (2y + ) 1 = 2x − 3i 3 x + 2 = 2x x = 2 − . 2y +1 = 3 − y = 2 − z = 1+ i z = 2 − 3i z + z .
Câu 21: Cho hai số phức 1 và 2
. Tính môđun của số phức 1 2
A. z + z = 13 .
B. z + z = 5 .
C. z + z = 1.
D. z + z = 5 . 1 2 1 2 1 2 1 2
Lời giải Chọn A
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 10 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
z + z = 1+ i + 2 − 3i = 3 − 2i nên ta có: z + z = 3 − 2i = 3 + 2 − = 13 . 1 2 ( )2 2 1 2 ( ) = + = +
Câu 22: Cho số phức z 2 5 .
i Tìm số phức w iz z
A. w = 7 − 3i .
B. w = −3 − 3i . C. w = 3 + 7 . i
D. w = −7 − 7i
Lời giải Chọn B
Ta có w = iz + z = i(2 + 5i) + (2 − 5i) = 2i − 5 + 2 − 5i = 3 − − 3i
Câu 23: Cho số phức z thỏa (2 − i)z + 3 +16i = 2(z + i) . Môđun của z bằng A. 5 . B. 13 . C. 13 . D. 5 .
Lời giải Chọn C
Gọi z = x + yi với (x, y ) .
Khi đó: (2 − i)z + 3 +16i = 2(z + i) ( y + 3) + (−x + 2 y +16)i = (2 − 2 y)i . y + 3 = 0 x = 2
z = 2 − 3i z = 13 .
−x + 2y +16 = 2 − 2y y = 3 −
Câu 24: Cho số phức z thỏa (2 + i)z − 4(z − i) = 8
− +19i . Môđun của z bằng A. 13 . B. 5 . C. 13 . D. 5 .
Lời giải Chọn C
Gọi z = x + yi với (x, y ) .
Khi đó: (2 + i)z − 4(z − i) = 8 − +19i 2
− x − y + (x + 6y + 4)i = 8 − +19i . 2 − x − y = 8 − x = 3
z = 3+ 2i z = 13 x + 6y =15 y = 2
Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn 3( z − i) − (2 + 3i) z = 7 −16i . Môđun của số phức z bằng A. 5 . B. 5 . C. 3 . D. 3 .
Lời giải Chọn A
Gọi z = x + yi với x, y . Ta có
3( z − i) − (2 + 3i) z = 7 −16i
3( x − yi − i) − (2 + 3i)(x + yi) = 7 −16i 3x − 3yi − 3i − 2x − 2yi − 3xi + 3y = 7 −16i ( + = + = =
x + y) − ( x + y + ) x 3y 7 x 3y 7 x 1 3 3 5
3 i = 7 −16i 3
x + 5y + 3 =16 3 x + 5y =13 y = 2 .
Do đó z = 1+ 2i . Vậy z = 5 .
Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn 3( z + i) − (2 − i) z = 3+10i . Mô đun của z bằng A. 3 . B. 5 . C. 5 . D. 3 .
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Lời giải Chọn C
Gọi z = x + yi ( x, y ) z = x − yi .
Ta có 3( z + i) − (2 − i) z = 3+10i 3( x − yi) − (2 − i)( x + yi) = 3+ 7i − = = x y x 2
x − y + ( x − 5y)i = 3 + 3 7i .
x − 5y = 7 y = 1 −
Suy ra z = 2 − i . Vậy z = 5 .
Câu 27: Tìm hai số thực x và y thỏa mãn (2x − 3yi) + (1− 3i) = x + 6i với i là đơn vị ảo.
A. x = −1; y = −3
B. x = −1; y = −1
C. x = 1; y = −1
D. x = 1; y = −3
Lời giải Chọn A x +1 = 0 x = 1 −
Ta có (2x − 3yi) + (1− 3i) = x + 6i x +1+ ( 3
− y − 9)i = 0 . 3 − y − 9 = 0 y = 3 −
Câu 28: Tìm tất cả các số thực x , y sao cho 2 x −1+ yi = 1 − + 2 .i
A. x = − 2, y = 2. B. x = 2, y = 2.
C. x = 0, y = 2. D. x = 2, y = −2.
Lời giải Chọn C 2 − = − x = 0 2 x 1 1 x −1+ yi = 1 − + 2i . y = 2 y = 2
Câu 29: Tính môđun của số phức z thỏa mãn z (2 − i) +13i = 1. 5 34 34 A. z = 34 B. z = 34 C. z = D. z = 3 3
Lời giải Chọn A 1−13i (1−13i)(2+i)
z (2 − i) +13i = 1 z = z = = − − z = + − = i ( −i)( + . ( )2 2 3 5 34. i) z 3 5i 2 2 2
z = a + bi (a,b )
(1+i) z + 2z = 3+ 2 .i
Câu 30: Cho số phức thỏa mãn
Tính P = a + b . 1 1 A. P = B. P = 1 C. P = −1 D. P = − 2 2
Lời giải Chọn C
(1+i) z + 2z = 3+ 2 .i( )
1 . Ta có: z = a + bi z = a − . bi Thay vào ( )
1 ta được (1+ i)(a + bi) + 2(a − bi) = 3 + 2i
(a − b)i + (3a − b) = 3+ 2i (a − b)i + (3a − b) = 3+ 2i
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 12 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 1 a = a − b = 2 2 P = 1. − 3 a − b = 3 3 b = − 2
Câu 31: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z =
2 và ( z + 2i)( z − 2) là số thuần ảo? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 4 .
Lời giải Chọn C
Đặt z = x + yi ( x, y ) . Theo đề ta có: +) 2 2 2 2 z = 2 x + y =
2 x + y = 2 . ( ) 1 2
+) ( z + 2i)( z − 2) = zz − 2z + 2zi − 4i = z − 2( x + yi) + 2(x − yi)i − 4i = ( )2 2
− 2x − 2yi + 2xi + 2y − 4i = (2 − 2x + 2y) + (2x − 2y − 4)i .
Vì ( z + 2i)( z − 2) là số thuần ảo nên 2 − 2x + 2y = 0 y = x −1.
Thay y = x −1 vào ( ) 1 , ta được: 1− 3 x = x + ( x − )2 2 2 2 1
= 2 2x − 2x −1 = 0 . 1+ 3 x = 2 − − − + − +
Vậy có hai số phức thỏa để là 1 3 1 3 1 3 1 3 z = + i và z = + i . 2 2 2 2
Câu 32: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2
z = 2 z + z + 4 và z −1− i = z − 3 + 3i ? A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3 .
Lời giải Chọn D Đặt
z = a + bi (a,b ) . Khi đó ta có hệ phương trình 2 2
a + b = 4 a + 4 (a − )2 1 + (b − )2 1
= (a − 3)2 + (b + 3)2 2 2 2 2
a + b = 4 a + 4
a +b = 4 a + 4 2 2 2 2
a + b − 2a − 2b + 2 = a + b − 6a + 6b +18
4a = 8b +16 ( b + )2 2 + = + + a = 2b + 4 2 4 b 4 2b 4 4 2 = + 5
b +16b +12 = 8b +16 a 2b 4
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức a = 2b + 4 a = 2b + 4 2 2 5
b +16b +12 = 8b +16 5
b + 8b − 4 = 0 b 2 − b 2 − 2 2 5
b +16b +12 = 8 − b −16 5
b + 24b + 28 = 0 b 2 − b 2 − a = 2b + 4 a = 2b + 4 2 b = hoaëc b = −2 2 5 b = 5 b −2 . b = −2 14 b = − hoaëc b = −2 14 5 b = − 5 b −2 24 2 8 14
Vậy có 3 số phức z = 2 − i, z = + i, z = − −
i thỏa mãn yêu cầu bài toán. 1 2 3 5 5 5 5
Câu 33: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z ( z − 6 − i) + 2i = (7 − i) z ? A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4
Lời giải Chọn B
Đặt z = a 0, a , khi đó ta có
z ( z − 6 − i) + 2i = (7 − i) z
a ( z − 6 − i) + 2i = (7 − i) z
(a − 7 + i) z = 6a + ai − 2i
(a − 7 + i) z = 6a + (a − 2)i (a − 7 + i) z = 6a + (a − 2)i
(a − )2 + a = a + (a − )2 2 2 7 1 36 2 4 3 2
a −14a +13a + 4a − 4 = 0 ( − ) a = a 1 ( 1 3 2
a −13a + 4) = 0 3 2
a −12a + 4 = 0
Xét hàm số f (a) 3 2
= a −13a (a 0) , có bảng biến thiên là
Đường thẳng y = −4 cắt đồ thị hàm số f (a) tại hai điểm nên phương trình 3 2
a −12a + 4 = 0 có
hai nghiệm khác 1. Mỗi giá trị của a cho ta một số phức z .
Vậy có 3 số phức thỏa mãn điều kiện.
Câu 34: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z ( z − 4 − i) + 2i = (5 − i) z ? A. 2 B. 3 C. 1 D. 4
Lời giải Chọn B
Ta có z ( z − 4 − i) + 2i = (5 − i) z
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 14 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
z z − 4 z − z i + 2i = (5 − i) z z ( z − 5 + i) = 4 z + ( z − 2)i .
Lấy module 2 vế ta được z
( z )2 +1 ( z )2 +( z )2 2 5 4 2 z ( z 5)2 +1 − = − −
= (4 z )2 + ( z − 2)2 ( ) 1 .
Đặt t = z , t 0 . Phương trình ( ) 1 trở thành
t (t − )2 1 = ( t )2 (t )2 2 5 4 2 2
t ( 2t −10t + 26) 2 + − +
= 17t − 4t + 4 4 3 2
t −10t + 9t + 4t − 4 = 0 (t − )( 3 2
1 t − 9t + 4) = 0 t = 1 (n) t = 1 t 8,95 (n) . 3 2
t − 9t + 4 = 0 t 0, 69 (n) t 0 − ,64 (l) 4
− t + (2 − t)i
Ứng với mỗi giá trị t 0 , với z = 5 − i −
suy ra có một số phức z thỏa mãn. t
Câu 35: Cho số phức z = a + bi (a,b ) thỏa mãn z + 2 + i − z (1+ i) = 0 và z 1. Tính P = a + b . A. P = −1 B. P = −5 C. P = 3 D. P = 7
Lời giải Chọn D 2 2
Ta có: z + 2 + i − z (1+ i) = 0 a + bi + 2 + i − a + b (1+ i) = 0
a + 2− a +b = 0 1 2 2
a + 2 − a + b + ( 2 2
b +1− a + b ) 2 2 ( ) i = 0 2 2 b
+1− a + b = 0 (2) Lấy ( )
1 trừ (2) ta được: a − b +1 = 0 b = a +1. Thế vào ( ) 1 ta được: 2
a + 2 − a + (a + )2 2 1
= 0 a + 2 = 2a + 2a +1 a 2 − a 2 − a −2 a = 3 (tm) 2 2 2
a + 4a + 4 = 2a + 2a +1
a − 2a − 3 = 0 a = 1 − (tm)
Với a = 3 b = 4 ; a = −1 b = 0 . a = 3
Vì z 1 z = 3 + 4i
P = a + b = 3+ 4 = 7 . b = 4
Câu 36: Cho số phức z thỏa mãn | z |= 5 và | z + 3 | |
= z + 3 −10i | . Tìm số phức w = z − 4 + 3 .i
A. w = −3 + 8 . i B. w = 1+ 3 . i C. w = −1+ 7 . i
D. w = −4 + 8 . i
Lời giải Chọn D
z = x + yi, (x, y ) . Theo đề bài ta có 2 2 x + y = 25 và 2 2 2 2
(x + 3) + y = (x + 3) + ( y −10) .
Giải hệ phương trình trên ta được x = 0; y = 5 . Vậy z = 5i . Từ đó ta có w = −4 + 8i
15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức z
Câu 37: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + 3i = 13 và là số thuần ảo? z + 2 A. Vô số. B. 2. C. 0. D. 1.
Lời giải Chọn D Đặt 2 2
z = x + yi, z + 3i = 13 x + y + 6 y = 4. (1) 2 2 z x + yi
x + y + 2x 2 yi = = +
là số thuần ảo khi và chỉ khi: 2 2 2 2 z + 2 (x + 2) + yi (x + 2) + y (x + 2) + y 2 2
x + y + 2x 2 2
= 0 x + y + 2x = 0 (2) 2 2 (x + 2) + y
Lấy (1) − (2) : 3y − x = 2 x = 3y − 2 thay vào (1) : y = 0 x = 2 − 2 2 2
(3y − 2) + y + 6 y = 4 5 y − 3y = 0 3 1 . y = x = − 5 5
Thử lại thấy z = −2 không thỏa điều kiện. 1 3
Vậy có 1 số phức z = − + i . 5 5
Câu 38: Cho số phức z = a + bi (a, b ) thoả mãn z + 2 + i = z . Tính S = 4a + b . A. S = 4 B. S = 2 C. S = −2 D. S = −4
Lời giải Chọn D
a + = a +b
Ta có z + + i = z (a + ) + (b + ) 2 2 2 2 2 (1) 2 2
1 i = a + b b +1= 0 (2) a + 2 0 3 −
Từ ta có: b = −1. Thay vào: 2
a +1 = a + 2 a = 2 2
a +1 = (a + 2) 4
Vậy S = 4a + b = −4
Câu 39: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | z + 2 − i |= 2 2 và ( z − )2 1 là số thuần ảo? A. 0 B. 4 C. 3 D. 2
Lời giải Chọn C 2 2
Gọi số phức z = x + yi ( x, y ) , vì ( z − ) 1 = (x − ) 2
1 − y + 2( x − ) 1 yi
là số thuần ảo nên theo ( x + 2 )2 + ( y − )2 1 = 8 (1)
đề bài ta có hệ phương trình: ( x − )2 2 1 = y (2)
Từ (2) suy ra: y = (x −1) 2 2
Với y = x −1, thay vào (1) , ta được: ( x + 2) + ( x − 2) 2
= 8 x = 0 x = 0.
Suy ra: z = −i .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 16 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Với y = −(x −1) , thay vào (1) , ta được:
(x + 2)2 +(−x)2 2
= 8 2x + 4x − 4 = 0 x = 1 − 3. Suy ra: z = ( 1
− + 3)+(2− 3)i ; z = ( 1 − − 3)+(2+ 3)i
Vậy có 3 số phức thỏa mãn.
Câu 40: Cho số phức z = a + bi (a, b
) thỏa mãn z + 1 + 3i − z i = 0 . Tính S = a + 3b 7 7 A. S =
B. S = −5
C. S = 5 D. S = − 3 3
Lời giải Chọn B 2 2
z+ + i − z i = a + bi + + i − a + b i = a + + ( 2 2 1 3 0 1 3 0 1
b + 3− a + b )i = 0 a = 1 − a = −1 a = 1 − a+1= 0 a = 1 − b −3
b −3 4 2 2 2
b+ 3− a + b = 0
b +1 = b+ 3 = − b + = (b+ ) b 2 2 4 3 1 3 b = − 3 4 −
S= a + 3b = 1 − + 3. = 5 − 3 z
Câu 41: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z − 3i = 5 và z − là số thuần ảo? 4 A. 0 B. Vô số C. 1 D. 2
Lời giải Chọn C z− 3i = 5 a+ (b− ) 3 i = 5 a + (b − )2 2 3 = 5 z a + bi
(a+ bi)(a− 4− bi) lµsè thuÇn¶o lµsè thuÇn¶o z− lµsè thuÇn¶o 4 a− 4+ bi
(a− 4+ bi )(a− 4− bi ) a + (b − )2 3 = 25 2 a + 2 2 b − 6b = 16
a − 4a+ b − 4bi 2 a + 2 2 2 b − 4a = 0 lµsè thuÇn¶o 2 (a− ) 2 + a 4;b b 0 4 2a − b = 8 16 3 a = 13 16 24 2 1
3a − 68a+ 64 = 0 z = − i a 4;b 0 b = − 24 13 13 13
17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức 2a − b = 8 a− b = 3 4 6 16 2a 8 2 2 2 − 2
a + b − 4a = 0 a + − 4a = 0 3 a 4;b 0
a 4;b 0
Vậy có 1 số phức thỏa YCBT.
Câu 42: Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z − i = 5 và 2
z là số thuần ảo? A. 2 B. 3 C. 4 D. 0
Lời giải Chọn C Giả sử 2 2 2
z = a + bi z = a − b + 2abi
Vì z − i = 5 và 2
z là số thuần ảo ta có hệ phương trình a = b a = b = 4 2 2 2 2
a +(b −1) = 25
b + (b −1) = 25 a = b = −3 . 2 2 a − b = 0 a = − b b = −a = 4 2 2
b +(b−1) = 25 b = −a = −3
Câu 43: Xét số phức z thỏa mãn ( + i) 10 1 2 z =
− 2 + .i Mệnh đề nào dưới đây đúng? z 3 1 1 3 A. z 2. B. z 2. C. z . D. z . 2 2 2 2
Lời giải Chọn D − 1 Ta có 1 z = z. 2 z Vậy ( + i) 10 1 2 z = − 2 + i z
( z + ) + ( z − ) 10 10 2 2 1 i =
.z z + 2 + 2 z −1 i = .z 2 ( ) ( ) 2 z z (
z + )2 + ( z − )2 10 2 10 2 2 1 = . z =
. Đặt z = a 0. 4 2 z z 2 ( a =
a + 2)2 + (2a − )2 10 1 4 2 1 =
a + a − 2 = 0
a =1 z =1. 2 2 a a = 2 −
Câu 44: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z ( z − 5 − i) + 2i = (6 − i) z ? A. 1 B. 3 C. 4 D. 2
Lời giải Chọn B
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 18 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Ta có z ( z − 5 − i) + 2i = (6 − i) z ( z − 6 + i) z = 5 z + ( z − 2)i ( ) 1
Lây môđun hai vế của ( ) 1 ta có: ( 2 z − )2 6
+1. z = 25 z + ( z − 2)2
Bình phương và rút gọn ta được: 4 3 2 3 2
z −12 z +11 z + 4 z − 4 = 0 ( z − )
1 ( z −11 z + 4) = 0 z = 1 z = 1 z =10,9667... 3 2
z −11 z + 4 = 0 z = 0, 62... z = 0 − ,587...
Do z 0 , nên ta có z = 1, z = 10, 9667..., z = 0, 62... . Thay vào ( )
1 ta có 3 số phức thỏa mãn đề bài.
Câu 45: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z ( z − 3 − i) + 2i = (4 − i) z ? A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4
Lời giải Chọn B
z ( z − 3 − i) + 2i = (4 − i) z ( z − 4 + i) z = 3 z + ( z − 2)i (*) ( z − )2 2 4
+1. z = 9 z + ( z − 2)2 (1). Đặt 2 2
m = z 0 ta có ( ) ( m − ) + ) 2 2 1 4
1 .m = 9m + (m − 2) 4 3 2
m − 8m + 7m + 4m − 4 = 0 m = 1 m = 1 m 6, 91638 ( m − )( 3 2
1 m − 7m + 4) = 0 . 3 2
m − 7m + 4 = 0 m 0.80344 m 0.71 − 982 (L)
3m + (m − 2)i
Từ (*) ta suy ra ứng với mỗi z = m sẽ có một số phức z = thỏa mãn đề bài. m − 4 + i
Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 46: Xét các số phức z thỏa mãn ( z − 2i)( z + 2) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả
các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 4
Lời giải Chọn B
Gọi z = a + bi , a,b
Ta có: ( z − i)( z + ) = (a − bi − i)(a + bi + ) 2 2 2 2 2
2 = a + 2a + b + 2b − 2 (a + b + 2)i 2 2
Vì ( z − 2i)( z + 2) là số thuần ảo nên ta có 2 2
a + 2a + b + 2b = 0 (a + ) 1 + (b + ) 1 = 2 .
Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 2 .
19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Câu 47: Cho các số phức z thỏa mãn z = 4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
w = (3 + 4i)z + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r = 4 . B. r = 5 . C. r = 20 .
D. r = 22 .
Lời giải Chọn C
Giả sử z = a + bi ; w = x + yi ;(a,b, x, y )
Theo đề w = (3+ 4i) z + i x + yi = (3+ 4i)(a + bi) + i + = ( = − = −
a − b) + ( b + a + ) x 3a 4b x 3a 4b x yi 3 4 3 4 1 i Ta có
y = 3b + 4a +1
y −1 = 3b + 4a
x + ( y − )2 = ( a − b)2 + ( a + b)2 2 2 2 = a + b = ( 2 2 1 3 4 4 3 25 25 25 a + b ) Mà 2 2
z = 4 a + b = 16 . Vậy x + ( y − )2 2 1 = 25.16 = 400
Bán kính đường tròn là r = 400 = 20 .
Câu 48: Cho số phức z thỏa mãn z =
2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn của số 5 + iz
phức w thỏa mãn w = 1+ là một đường tròn có bán kính bằng z A. 52 . B. 2 13 . C. 2 11 . D. 44 .
Lời giải Chọn B 5 + iz Ta có w =
w(1+ z) = 5 + iz z (w − i) = −w + 5 . 1+ z
Lấy mô đun hai vế ta được 2. w − i = −w + 5 Giả sử 2 2 2
w = x + yi , với x, y ta có 2
2 x + ( y − )
1 = (5 − x) + (− y) 2 2
x + y +10x − 4y − 23 = 0 .
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w đường tròn có bán kính R = 2 13 .
Câu 49: Cho số phức z thỏa mãn z = 2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn của số 2 + iz
phức w thỏa mãn w = 1+ là một đường tròn có bán kính bằng z A. 10 . B. 2 . C. 2 . D. 10 .
Lời giải Chọn D 2 + iz Ta có w =
w(1+ z) = 2 + iz z (w − i) = −w + 2. 1+ z
Lấy mô đun hai vế ta được 2. w − i = −w + 2
Giả sử w = x + yi , với x, y ta có x + ( y − )2 = ( − x)2 + (−y)2 2 2 1 2 2 2
x + y + 4x − 4y − 2 = 0 .
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w đường tròn có bán kính R = 10 .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 20 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Câu 50: Xét các số phức z thỏa mãn z = 2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức 3 + iz w =
là một đường tròn có bán kính bằng 1+ z A. 2 3 . B. 12 . C. 20 . D. 2 5 .
Lời giải Chọn D 3 + iz w − Ta có w = (
w 1+ z) = 3 + iz w + wz = 3 + iz w − 3 = (i − 3 ) w z z = 1+ z i − w
Khi đó đặt w = x + yi (x, y ) ta được w − x + yi − 3 (x − 3) + yi z = 3 2 = 2 = 2 = 2 i − w
i − (x + yi) −x + (1− y)i ( 2 2 2 2 x − )2 2 2 2 3
+ y = 2 x + (1− y) + − + = + − + x y 6x 9 2x 2 y 4 y 2
x + y + x − y − = (x + )2 + ( y − )2 2 2 6 4 7 0 3 2 = 20
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn có bán kính R = 2 5 .
Câu 51: Xét các số phức z thỏa mãn z =
2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn của các + số phức 4 iz w =
là một đường tròn có bán kính bằng 1+ z A. 34. B. 26. C. 34. D. 26.
Lời giải Chọn A 4 + iz Ta có w =
w(1+ z) = 4 + iz z (w − i) = 4 − w 2 w − i = 4 − w 1+ z
Đặt w = x + yi ( x, y ) 2 2 2 2
Ta có 2. x + ( y − )
1 = ( x − 4) + y ( 2 2
x + y − y + ) 2 2 2 2
1 = x − 8x +16 + y
x + y + x − y −
= (x + )2 + ( y − )2 2 2 8 4 14 0 4 2 = 34
Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức w là đường tròn có bán kính bằng 34
Câu 52: Xét các số phức z thỏa mãn ( z + i)( z + 2) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các
điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 5 5 3 A. 1 B. C. D. 4 2 2
Lời giải Chọn C
Đặt z = x + yi ( x, y ) .
(z +i)(z +2) = x+(1− y)i(x+2)+ yi
là số thuần ảo x ( x + 2) + y ( y − ) 1 = 0 2 2
x + y + 2x − y = 0 .
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có tâm 1 5 I 1 − ; , R = . 2 2
21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Câu 53: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z + z + 3 = 0 . Khi đó z + z bằng 1 2 1 2 A. 3 . B. 2 3 C. 3 . D. 6 .
Lời giải Chọn B Ta có 2 z + z + 3 = 1 11 0 z = −
i . Suy ra z + z = 2 3 2 2 1 2
Câu 54: (Đề TNTHPT 2020 - mã đề 103) Gọi z và z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z − z + 2 = 0 1 2
. Khi đó z + z bằng 1 2 A. 2. B. 4. C. 2 2 . D. 2 .
Lời giải
Trankimnhung201275@gmail.com Chọn C 1+ i 7 z = 1 2 Ta có: 2 z − z + 2 = 0 . 1− i 7 z = 2 2 2 2 Do đó: 1 7 z + z = 2 +
= 2 2 ,( vì z = z ). 1 2 1 2 2 2
Câu 55: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z − z + 3 = 0 . Khi đó z + z bằng 1 2 1 2 A. 3 . B. 2 3 . C. 6 . D. 3 .
Lời giải Chọn B 1 11 z = z = − i 1 2 2 Ta có: 2
z − z + 3 = 0 . 1 11 z = z = + i 2 2 2 2 2 2 2 1 11 1 11 Suy ra z + z = + − + + = 2 3 . 1 2 2 2 2 2
Câu 56: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2 z 2z 5 0 . Môđun của số phức 0 z i bằng 0 A. 2. B. 2 . C. 10 . D. 10 .
Lời giải Chọn B Xét phương trình: 2 z 2z 5 0 có ' 4 0
Phương trình có hai nghiệm phức z 1 2i và z 1 2i
z là nghiệm phức có phần ảo âm nên z 1 2i nên z i 1 i z i 2 . 0 0 0 0
Câu 57: Ký hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z − 3z + 5 = 0 . Giá trị của z + z bằng 1 2 1 2 A. 2 5 . B. 5 . C. 3 . D. 10 .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 22 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Lời giải Chọn A 3 + i 11 z = Phương trình 2 2
z − 3z + 5 = 0 . 3 − i 11 z = 2 2 2 2 2 Do đó 3 11 3 11 z + z = + + + − = 2 5 . 1 2 2 2 2 2
Câu 58: Gọi z và z là hai nghiệm phức của phương trình 2
4z − 4z + 3 = 0 . Giá trị của biểu thức z + z 1 2 1 2 bằng: A. 3 2 B. 2 3 C. 3 D. 3 Lời giải Chọn D 1 2 z = + i 1 Xét phương trình 2 2 2
4z − 4z + 3 = 0 ta có hai nghiệm là: 1 2 z = − i 2 2 2 3 z = z = z + z = 3 1 2 2 1 2
Câu 59: Kí hiệu z , z là hai nghiệm của phương trình 2
z + 4 = 0 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diển của 1 2
z , z trên mặt phẳng tọa độ. Tính T = OM + ON với O là gốc tọa độ. 1 2 A. T = 2 . B. T = 2 . C. T = 8 . D. 4 .
Lời giải Chon D. z = 2 − i Ta có: 2 1 z + 4 = 0 Z = 2i 2 Suy ra M (0; 2
− ); N (0;2) nên T = OM + ON = (− )2 2 2 + 2 = 4 . 1 1
Câu 60: Ký hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z − z + 6 = 0 Tính = + . 1 2 P z z 1 2 1 1 1 A. P = . B. P = . C. P = − . D. P = 6 . 6 12 6
Lời giải Chọn A 1 23 z = + i 2 2 1 1 1 Ta có 2
z − z + 6 = 0 suy ra = + = . P 1 23 z z 6 z = + i 1 2 2 2
Câu 61: Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
3z − z +1 = 0 . Tính P = z + z . 1 2 1 2
23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức 3 2 3 2 14 A. P = B. P = C. P = D. P = 3 3 3 3
Lời giải Chọn B Xét phương trình 2
3z − z +1 = 0 có = (− )2 1 − 4.3.1 = 1 − 1 0 .
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt 1+ i 11 1 11 1− i 11 1 11 z = = + ; i z = = − i 1 6 6 6 2 6 6 6 Suy ra 2 2 2 2 1 11 1 11 3 3
P = z + z = 1 11 1 11 + i + − i = + + + − = + 1 2 6 6 6 6 6 6 6 6 3 3 2 3 = 3
Câu 62: Kí hiệu z ; z là hai nghiệm của phương trình 2
z + z +1 = 0 . Tính 2 2
P = z + z + z z . 1 2 1 2 1 2
A. P = 1
B. P = 2
C. P = −1 D. P = 0
Lời giải Chọn D Cách 1 1 3 z = − + i 2 2 2
z + z +1 = 0 1 3 z = − − i 2 2 2 2 1 3 1 3 1 3 1 3 2 2
P = z + z + z z = − + i + − − i + − + i − − i = 0 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Cách 2: Theo định lí Vi-et: z + z = 1 − ; z .z = 1. 1 2 1 2
Khi đó P = z + z + z z = ( z + z )2 2 2 2
− 2z z + z z = 1 −1 = 0 . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 63: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z − 4z + 5 = 0 . Giá trị của 2 2 z + z bằng 1 2 1 2 A. 6 . B. 8 . C. 16 . D. 26 .
Lời giải Chọn A
z + z = ( z + z )2 2 2 − 2z z =16 −10 = 6 1 2 1 2 1 2
Câu 64: Gọi z , z là 2 nghiệm phức của phương trình 2 z − z + = . Giá trị của 2 2 z + z 1 2 6 14 0 1 2 bằng: A. 36. B. 8. C. 28. D. 18.
Lời giải Chọn B 2 2 6 14 Ta có: 2 2
z + z = z + z − 2z z = − 2 = 8 . 1 2 ( 1 2 ) 1 2 1 1
Câu 65: Gọi z , z − + = . Giá trị 2 2 z + z bằng 1
2 là hai nghiệm phức phương trình 2 z 6z 10 0 1 2
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 24 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 A. 16. B. 56. C. 20. D. 26.
Lời giải Chọn A
Theo định lý Vi-ét ta có z + z = 6, z .z = 10 1 2 1 2 .
Suy ra z + z = ( z + z )2 2 2 2
− 2z z = 6 − 20 = 16 . 1 2 1 2 1 2
Câu 66: (Đề minh họa BGD&ĐT năm 20016-20017) Kí hiệu z , z , z và z là bốn nghiệm phức của 1 2 3 4 phương trình 4 2
z − z −12 = 0 . Tính tổngT = z + z + z + z . 1 2 3 4
A. T = 4 B. T = 2 3 C. T = 4 + 2 3 D. T = 2 + 2 3
Lời giải Chọn C 2 z = 3 − z = i 3 4 2
z − z −12 = 0 2 z = 4 z = 2
T = z + z + z + z = i 3 + i 3 + 2 − + 2 = 2 3 + 4 1 2 3 4
Câu 67: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2
z − 4z + 13 = 0 . Trên mặt phẳng tọa 0
độ, điểm biểu diễn số phức 1 − z là 0
A. M (3; − 3) .
B. P (−1;3) .
C. Q (1;3) . D. N ( 1; − − 3).
Lời giải Chọn D z = 2 + 3i 2
z − 4z + 13 = 0 z = 2 − 3i
Vậy z = 2 + 3i . 0
1 − z = 1 − 2 + 3i = 1 − − 3i . 0 ( )
Suy ra điểm biểu diễn số phức 1 − z là N ( 1; − − 3). 0
Câu 68: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2
z + 4z +13 = 0 . Trên mặt phẳng tọa 0
độ, điểm biểu diễn số phức 1− z là 0 A. P( 1 − ; 3 − ) .
B. M (−1; 3) .
C. N (3; −3) . D. Q(3;3) .
Lời giải Chọn C Ta có: 2
z + 4z +13 = 0 z = −2 3i . Do đó z = 2
− + 3i 1− z = 3− 3i . 0 0
Vậy điểm biểu diễn là N (3; −3) .
Câu 69: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2
z + 6z +13 = 0 . Trên mặt phẳng tọa 0
độ, điểm biểu diễn số phức 1− z là 0 A. N ( 2 − ;2) . B. M (4; 2) .
C. P (4; −2) .
D. Q (2; −2) .
Lời giải Chọn C
25 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức z = 3 − + 2i Ta có 2
z + 6z +13 = 0
z = −3+ 2i . z = 3 − − 2i 0 1− z =1− 3
− + 2i = 4 − 2i . 0 ( )
Vậy điểm biểu diễn số phức 1− z là P (4;−2). 0
Câu 70: Kí hiệu z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2
4z −16z +17 = 0 . Trên mặt phẳng 0
tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = iz ? 0 1 1 1 1 A. M ; 2 . B. M − ;2 . C. M − ;1 . D. M ;1 . 1 2 2 2 3 4 4 4
Lời giải Chọn B Xét phương trình 2
4z −16z +17 = 0 có = − = − = ( )2 64 4.17 4 2i . 8 − 2i 1 8 + 2i 1
Phương trình có hai nghiệm z = = 2 − i, z = = 2 + i . 1 2 4 2 4 2 1
Do z là nghiệm phức có phần ảo dương nên z = 2 + i . 0 0 2 1
Ta có w = iz = − + 2i . 0 2 1
Vậy điểm biểu diễn w = iz là M − ;2 . 0 2 2
Câu 71: Xét hai số phức z , z thỏa mãn z = 1, z = 2 và z − z =
3 . Giá trị lớn nhất của 3z + z − 5i 1 2 1 2 1 2 1 2 bằng A. 5 − 19 . B. 5 + 19 . C. 5 − + 2 19 . D. 5 + 2 19 .
Lời giải Chọn B
Gọi A( x ; y , B x ; y là điểm biểu diễn lần lượt cho số phức z , z . 1 1 ) ( 2 2 ) 1 2
Có OA = 1;OB = 2 và z − z = OA − OB = BA = AB = 3 . 1 2
Suy ra tam giác OAB vuông tại A .
Gọi C (0;−5) là điểm biểu diễn cho số phức −5i . Ta có: 2 2 2
P = 3z + z − 5i = 3OA + OB + OC = 4OA + AB + OC 1 2 ( )2
= ( OA+ AB)2 + ( OA+ AB) 2 4 2 4 .OC + OC +) ( OA + AB)2 2 2 4
=16OA + AB =19 . +) 2 OC = 25 .
+) 2 (4OA + AB).OC 2 4OA + AB . OC = 2. 19.5 =10 19 .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 26 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Từ đó: P + + = ( + )2 2 19 10 19 25 19 5 P 19 + 5 .
Vậy giá trị lớn nhất của P = 19 + 5
Câu 72: Xét số phức z = a + bi (a,b ) thỏa mãn z − 4 − 3i = 5 . Tính P = a + b khi
z +1− 3i + z −1+ i đạt giá trị lớn nhất.
A. P = 10
B. P = 4
C. P = 6
D. P = 8 Lời giải Chọn A
Goi M (a;b) là điểm biểu diễn của số phức z.
Theo giả thiết ta có: z − − i =
(a − )2 + (b − )2 4 3 5 4 3
= 5 Tập hợp điểm biểu diễn số phức
z là đường tròn tâm I (4;3) bán kính R = 5 A (−1;3) Gọi:
( − ) Q = z +1− 3i + z −1+ i = MA + MB B 1; 1
Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường tròn tại D Ta có: 2 2 2
Q = MA + MB + 2M . A MB 2 2 2 2 2
Q MA + MB + MA + MB = ( 2 2 2 MA + MB ) 2 2 2 2 MA + MB AB AB
Vì ME là trung tuyến trong MAB 2 2 2 2 ME = −
MA + MB = 2ME + 2 4 2 2 AB 2 2 2 2
Q 22ME +
= 4ME + AB . Mặt khác ME DE = EI + ID = 2 5 + 5 = 3 5 2 Q ( )2 2 4. 3 5 + 20 = 200 MA = MB
Q 10 2 Q =10 2 max M D 4 = 2(x − 4) x = 6 EI = 2 D D ID
M (6;4) P = a + b =10 2 = 2( y − 3) y = 4 D D 2 2
Cách 2:Đặt z = a + .
bi Theo giả thiết ta có: (a − 4) + (b − 5) = 5.
a − 4 = 5 sint Đặt . Khi đó: b − 3 = 5 cost
Q = z + − i + z − + i = (a + )2 + (b − )2 + (a − )2 + (b + )2 1 3 1 1 3 1 1
27 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức = ( t + )2 + t + ( t + )2 + ( t + )2 2 5 sin 5 5cos 5 sin 3 5 cos 4
= 30 +10 5 sin t + 30 + 2 5 (3sin t + 4cost)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có: Q
2 (60 + 8 5 (2sin t + cost)) 2(60 + 8 5. 5 ) = 200 =10 2
Q 10 2 Q =10 2 max 2 sin t = 5 a = 6 Dấu bằng xảy ra khi
P = a + b = 10. 1 b = 4 cos t = 5
Câu 73: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn
z.z = 1 và z − 3 + i = m . Tìm số phần tử của S . A. 2 . B. 4. C. 1. D. 3.
Lời giải Chọn A 2 2
x + y =1(1)
Gọi z = x + yi (x, y ) ,ta có hệ 2 2 2
(x − 3) + (y +1) = m (m 0)
Ta thấy m = 0 z =
3 − i không thỏa mãn z.z = 1 suy ra m 0 .
Xét trong hệ tọa độ Oxy tập hợp các điểm thỏa mãn (1) là đường tròn (C có O (0;0) , R = 1, tập 1 ) 1
hợp các điểm thỏa mãn (2) là đường tròn (C tâm I ( 3;− )
1 , R = m , ta thấy OI = 2 R suy ra 2 ) 2 1
I nằm ngoài (C . 1 )
Để có duy nhất số phức z thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với (C , (C tiếp xúc 2 ) 1 )
ngoài và tiếp xúc trong, điều điều này xảy ra khi OI = R + R m +1 = 2 m = 1 hoặc 1 2
R = R + OI m = 1+ 2 = 3 . 2 1 Câu 74:
Xét số phức z thỏa mãn z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2. Gọi
m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z −1+ i . Tính P = m + M . 5 2 + 2 73
A. P = 13 + 73 B. P = 2
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 28 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 5 2 + 73
C. P = 5 2 + 73 D. P = 2 Lời giải Chọn B 8 D 6 4 A 2 H E 5 N 2
Gọi A là điểm biểu diễn số phức z , E ( 2 − )
;1 , F (4;7) và N (1; − ) 1 .
Từ AE + A F = z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 và EF = 6 2 nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF . + Gọi 3 3 5 2 2 73
H là hình chiếu của N lên EF , ta có H − ;
. Suy ra P = NH + NF = . 2 2 2
Câu 75: Xét các số phức z, w thỏa mãn z = 1 và w = 2 . Khi z + iw + 6 + 8i đạt giá trị nhỏ nhất z − w bằng 29 221 A. . B. . C. 3 . D. 5 . 5 5
Lời giải Chọn B
Ta có z + iw + 6 + 8i 6 + 8i − z − iw = 10 −1− 2 = 7 . 3 4 3 4 z = − − i z = − − i
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 5 5 5 5 . 6 8 8 6 i w i = − − w = + i 5 5 5 5 Khi đó 221 z − w = . 5
Câu 76: Xét các số phức z, w thỏa mãn z = 1 và w = 2 . Khi z + iw − 6 + 8i đạt giá trị nhỏ nhất, z − w bằng? 29 221 A. 3 . B. . C. 5 . D. . 5 5
Lời giải
29 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức Chọn D
Theo BĐT modun số phức, ta có:
z + iw z + iw = z + w = 3 . Ta lại có:
z + iw − 6 + 8i = ( 6 − + 8i) − −
( z + iw) 6 − + 8i − − (z+iw) = 6
− + 8i − z + iw 10 − 3 = 7 .
z = k.iw
Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi: − + i = m
(z+iw) k 0,m 0. 6 8 . 1 = . k z k iw = 1 = k.2
Lấy modun 2 vế, ta được: 2 . 1 − + = − + 0 = − .3 m 10 6 8i . m z iw − m = 3 3 4 z = − i 5 5 221 z − w = . . 8 − 6 5 w = + i 5 5
Câu 77: Xét các số phức z, w thỏa mãn z = 1 và w = 2 . Khi z + iw + 6 + 8i đạt giá trị nhỏ nhất z − w bằng 29 221 A. . B. . C. 3 . D. 5 . 5 5
Lời giải Chọn B
Ta có z + iw + 6 + 8i 6 + 8i − z − iw = 10 −1− 2 = 7 3 4 3 4 z = − − i z = − − i
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 5 5 5 5 6 8 8 6 i w i = − − w = + i 5 5 5 5 221
Khi đó z − w = 5
Câu 78: Xét các số phức z, w thỏa mãn z = 1 và w = 2 . Khi z + iw − 6 − 8i đạt giá trị nhỏ nhất, z − w bằng 221 29 A. . B. 5 . C. 3 . D. . 5 5
Lời giải Chọn D Ta có:
w = 2 iw = 2
z + iw z + iw = 3
P = z + iw − 6 − 8i 6
− −8i − z + iw =10 − 3 = 7 .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 30 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 1 k = 2 = ( ) 10 3 4 h = − z = + . , 0 i z k iw k 3 5 5 Suy ra: P = min 7 khi . 6 − − 8i = .
h ( z + iw),(h 0) 3 4 8 6 z = + i w = + i 5 5 5 5 8 6 w = − i 5 5 3 4 8 6 29 Vậy z − w = + i − + i = . 5 5 5 5 5
Câu 79: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2
z = z − z và ( z + )( z + i) 2 2 2
= z − 2i ? A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1 . Lời giải Chọn A
Gọi z = a + bi với a;b Ta có: 2 2 2
z = z − z a + b = 2 b ( ) *
Mặt khác ( z + ) (z + i) 2 2 2 = z − 2i (* ) *
Vì z + 2i = z − 2i nên z + 2i = z − 2i .
z − 2i = 0 z = 2i Nên từ (**) .
z + 2 = z − 2i
Với z − 2i = 0 z = 2i ( thoả mãn (*)
Với z + = z − i (a + )2 + b = a + (b − )2 2 2 2 2 2 2 a = b
− thay vào (*) ta được: b = 0 a = 0 z = 0 2 2 2
b + b = 2 b b = b b = 1 a = 1
− z = −1+ i . b = 1 − a =1 z =1− i
Vậy có tất cả 4 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 80: Cho các số phức z , z , z thỏa mãn z = z = 2 z = 2 và 3z z = 4z z + z . Gọi , A B, C 1 2 3 ( 1 2 ) 1 2 3 1 2 3
lần lượt là các điểm biểu diễn của z , z , z trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác ABC bằng 1 2 3 7 3 7 7 3 7 A. . B. . C. . D. . 4 4 2 2 Lời giải Chọn A Ta có 3z z = 4z z + z
3z z = 4z z + z
3z z = 4z z − −z 1 2 3 ( 1 2 ) 1 2 3 ( 1 2 ) 1 2 3 ( 1 ( 2 )) z − −z = 3 . 1 ( 2 )
31 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Lấy D đối xứng với B qua O , suy ra D biểu diễn (−z . 2 )
Ta có z − −z = 3 AD = 3. 1 ( 2 )
ABD có trung tuyến 1 AO =
BD nên ABD vuông tại A 2 2
AB = BD − AD = 7 . 2 + 3z z = 4z z + z
z 3z − 4z = 4z z 1 ( 2 3 ) 1 2 3 ( 1 2 ) 2 3
z 3z − 4z = 4z z 1 2 3 2 3
3z − 4z = 4 3OB − 4OC = 4 2 2
9OB +16OC − 24O .
B OC.cos BOC = 16 2 3 3 cos BOC = . 4 Áp dụng định lí cosin cho BOC ta có: 3 2 2
BC = OB + OC − 2O . B OC.cos BOC = 4 + 1 − 4. = 2 . 4
Tương tựta tính được AC = 2 . 7 Vậy S = . ABC 4
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 32 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 DẠNG 8
Một số bài toán số phức chọn lọc I. PHẦN ĐỀ BÀI Câu 1:
[Số Phức 2023] Xét các số phức z = a + bi (a,b ) thỏa mãn | z − 3 + 2i |= 5 . Tính P = a − b
khi | z − 3 − 3i | + | z − 7 − i | đạt giá trị lớn nhất. A. 8 B. 6 C. 4 D. 10 Câu 2:
[Số Phức 2023] Trong tập các số phức, phương trình 2
z − 6z + m = 0, m ( ) 1 . Gọi m là một 0
giá trị m để phương trình ( )
1 có hai nghiệm phân biệt z , z thoả mãn z .z = z .z . Hỏi trong 1 2 1 1 2 2
khoảng (0;20) có bao nhiêu giá trị m ? 0 A. 10 B. 12 C. 11 D. 13 Câu 3:
[Số Phức 2023] Xét các số phức z và w thỏa mãn | z | |
= w |=1 và | z + w |= 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P |
= zw + 2i(z + )
w − 4 | bằng 3 2 1+ 5 2 A. . B. . C. 5 − 2 2 . D. 5 . 2 4 Câu 4:
[Số Phức 2023] Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z z |
= z + z | . Xét
các số phức z , z S sao cho z − z = 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 1 2
P = z − 3i + z + 3i bằng 1 2 A. 2. B. 1+ 3 . C. 2 3 . D. 20 − 8 3 . Câu 5:
[Số Phức 2023] Biết phương trình 2 2
z + mz + m − 2 = 0 ( m là tham số thực) có hai nghiệm
phức z , z . Gọi ,
A B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z , z và z = i . Có bao nhiêu 1 2 1 2 0
giá trị của tham số m để diện tích tam giác ABC bằng 1? A. 2. B. 3. C. 4. D. 6. Câu 6:
[Số Phức 2023] Cho số phức z thoả mãn iz.z + (1+ 2i)z − (1− 2i)z − 4i = 0 . Giá trị lớn nhất của
P = z +1+ 2 i + z + 4 − i gần số nào nhất sau đây? A. 7,4. B. 4,6. C. 4,2. D. 7,7. Câu 7:
[Số Phức 2023] Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z − 2mz + 6m − 5 = 0(m là tham số
thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa 1 2
mãn z z = z z ? 1 1 2 2 A. 5. B. 3. C. 6. D. 4. Câu 8:
[Số Phức 2023] Xét hai số phức z , z thỏa mãn các điều kiện z = 2, z = 3, z + z = 5 . 1 2 1 2 1 2
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3z − z −10 + 5i + 2 bằng 1 2
B. 10 3 − 2 5 . B. 3 5 − 1 . C. 2 + 2 5 . D. 8 − 2 5 .
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức w Câu 9:
[Số Phức 2023] Có tất cả bao nhiêu số phức w thỏa mãn điều kiện 2ww = 1 và là số thuần 2 w ảo? A. 4 . B. 6 . C. 3 . D. 2 .
Câu 10: [Số Phức 2023] Cho hai số phức z và w thay đổi thỏa mãn các điều kiện z +1+ i = z và
w − 3 − 4i = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z − w −1− i .
A. min P = 3 2 −1 .
B. min P = 3 2 .
C. min P = 5 2 .
D. min P = 5 2 −1.
Câu 11: [Số Phức 2023] Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z −1+ 3i = 2 và số phức w = (1− 2i) z . Biết
rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn (C) trong mặt phẳng (Oxy) . Tìm
bán kính R của đường tròn (C ) .
A. R = 5 .
B. R = 10 .
C. R = 6 . D. R = 2 5 .
Câu 12: [Số Phức 2023] Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho iz.z + (1+ 2i)z − (1− 2i)z − 4i = 0 w
và T là tập hợp tất cả các số phức w có phần thực khác 0 sao cho
là số thực. Xét các số w + 6i − − phức w z w z
z , z S và w T thỏa mãn z − z = 2 5 và 1 1 =
. Khi w − z w − z đạt 1 2 1 2 z − z 1 1 z − z 2 1 2
giá trị nhỏ nhất thì w − z + w − z bằng 1 1 A. 3 . B. 2 3 . C. 3 3 . D. −4 3 .
Câu 13: [Số Phức 2023] Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z + 2mz − m +12 = 0 ( m là tham
số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z , z 1 2
thỏa mãn z + z = 2 z − z ? 1 2 1 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 14: [Số Phức 2023] Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z − 2mz + 3m +10 = 0 ( m là tham
số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm z , z không phải 1 2
số thực thỏa mãn z + z 8 ? 1 2 A. 1 B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 15: [Số Phức 2023] Cho số phức z và số phức w = (z − i)(z + i) + 2z − 3i thỏa mãn 2022 2023 w − i − i
w −1 = 0 . Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 T |
= z − 3 + i | + | z +1− 3i | bằng
m + n 5 với m, n . Tính P = . m n .
A. P = 124 .
B. P = 876 .
C. P = 416 .
D. P = 104 .
Câu 16: [Số Phức 2023] Giả sử z ; z là hai trong các số phức z thỏa mãn (z − 6)(8 − .
i z ) là số thực. Biết 1 2
rằng z − z = 6 . Giá trị nhỏ nhất của z + 3z bằng 1 2 1 2 A. −5 + 73 . B. 5 − 21 . C. 20 − 2 73 .
D. 20 − 4 21 .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 2 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Câu 17: [Số Phức 2023] Cho các số phức z , w thỏa mãn z = 2 , w − 3 + 2i = 1 khi đó 2 z − 2zw − 4
đạt giá trị lớn nhất bằng A. 16 . B. 24 . C. 4 + 4 13 . D. 20 .
Câu 18: [Số Phức 2023] Cho số phức z = x + yi,( x, y ) thỏa mãn z + z − 2 + 3 z − z + 4i 6 và
z −1− i z + 3 + i . Gọi M , m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = 2x + 3y + 5 . Khi
đó M + m bằng: 17 33 13 22 A. . B. . C. − . D. . 5 5 5 5 1
Câu 19: [Số Phức 2023] Trên tập hợp số phức, xét phương trình 2
z − m +1z − ( 2
m − 5m − 6) = 0(m là 4
tham số thực). Có bao nhiêu số nguyên m [ 10
− ;10] đề phương trình trên có hai nghiệm phức
z , z thỏa mãn z + z z − z ? 1 2 1 2 1 2 A. 11. B. 10. C. 8. D. 9.
Câu 20: [Số Phức 2023] Cho M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z , z , z thỏa mãn điều 1 2 3
kiện 5z + 9 − 3i = 5 z , z − 2 = z − 3 − i , z +1 + z − 3 = 4 . Khi M , N , P không thẳng hàng, 1 1 2 2 3 3
giá trị nhỏ nhất của nửa chu vi p của tam giác MNP là 10 5 6 5 9 10 5 11 A. . B. . C. . D. . 9 5 10 13
Câu 21: [Số Phức 2023] Cho hai số phức z, w thỏa mãn z + w = 10 , 2z + w = 17 và
z − 3w = 146 . Tính giá trị của biểu thức P = z.w + z.w .
A. P = −14 .
B. P = 14 .
C. P = 16 . D. P = −8 .
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
I. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1:
[Số Phức 2023] Xét các số phức z = a + bi (a,b ) thỏa mãn | z − 3 + 2i |= 5 . Tính P = a − b
khi | z − 3 − 3i | + | z − 7 − i | đạt giá trị lớn nhất. A. 8 B. 6 C. 4 D. 10 Lời giải Chọn B 2 2 − + 2 2 a 3 b 2
Ta có | z − 3 + 2i |= 5 (a − 3) + (b + 2) = 5 + =1 . 5 5
a − 3 = sint a = 5sint +3 Đặt 5 (*) b + 2
= cost b = 5 cost − 2 5 2 2 2 2 Đặt T |
= z − 3− 3i | + | z − 7 − i |= (a −3) + (b −3) + (a − 7) + (b − ) 1 Thay (*) vào ta có: T = t + ( t − )2 + ( t − )2 + ( t − )2 2 5sin 5 cos 5 5 sin 4 5 cos 3
= 30 −10 5 cost + 30 −8 5 sin t − 6 5 cost
2(60−8 5sint −16 5 cost) = 260 −8 5 (sint + 2cost)
Mà − 5 sin t + 2 cos t 5 T 2 (60 −8 5.(− 5) =10 2 Suy ra T =10 2 khi: max −2 cos t = 3
0 −10 5 cost = 30 −8 5 sin t −6 5 cost
4sin t − 2cost = 0 5 a = 2 . s
in t + 2cost = − 5 si
n t + 2cost = − 5 1 − b = 4 − sin t = 5
Vậy P = a − b = 6 . Câu 2:
[Số Phức 2023] Trong tập các số phức, phương trình 2
z − 6z + m = 0, m ( ) 1 . Gọi m là một 0
giá trị m để phương trình ( )
1 có hai nghiệm phân biệt z , z thoả mãn z .z = z .z . Hỏi trong 1 2 1 1 2 2
khoảng (0;20) có bao nhiêu giá trị m ? 0 A. 10 B. 12 C. 11 D. 13 Lời giải Chọn A
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 4 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Để phương trình ( ) 1
có hai nghiệm phân biệt z , z
thoả mãn z . z = z . z thì 1 2 1 1 2 2 2
0 6 − 4m 0 m 9
z .z = z .z z .z = z .z luoâ n ñuù ng 1 1 2 2 1 2 2 1 ( ) 2
0 6 − 4m 0 m 9 m 9. z = z L 1 2 ( ) 2 2
z .z = z .z z = z 1 1 2 2 1 2
z = −z z + z = 0 3 = 0 L 1 2 1 2 ( )
Mà trong khoảng (0;20) và m nên có 10 giá trị m thoả mãn. 0 0 Câu 3:
[Số Phức 2023] Xét các số phức z và w thỏa mãn | z | |
= w |=1 và | z + w |= 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P |
= zw + 2i(z + )
w − 4 | bằng 3 2 1+ 5 2 A. . B. . C. 5 − 2 2 . D. 5 . 2 4 Lời giải Chọn A Gọi ,
A B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z, w , khi đó với | z + w |=
2 ta luôn có OAB là
tam giác vuông tại O với OAOB = 0 , khi đó ta luôn có z w là số thuần ảo tức z w = ki(k ) Khi đó w ki 2 2 P |
= zw + 2i(z + ) w − 4 |= ki + 2i
+ w − 4 = kiw + 2i(kiw + )
w − 4 = kiw − 2kw + 2iw − 4 w w ki 2 | z + w |= + w | = ( w ki +1) | |
= w | k +1 = 2 k = 1 w Đặt
w = a + bi(a, b ) khi đó ta có: 2 2 2
P = w + (2i − 2)w − 4 = w + (2 + 2i)w + 4i = (w +1+ i) + 2i
Đặt u = w +1+ i w = u −1− i | w | |
= u −1− i |= 1, khi đó ta suy ra (đặt trước z = 1 − − i ) 0 2 2
P = u + 2i = u + z
= (u + z )(u + z ) 4 |
= u | + z + (u z + z u )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 − 2 u z 0 0 0 0 0 0 0 | = u | 4 − | u | 4
+ + (u z + z u )2 4 2 0 0
Mà (u + z )(u + z ) 2 2 2 2
= u + z =1 u z + z u = 1− | u | − z = − | u | −1 o o 0 o o o 9 1 9 9 3 2 Suy ra | = u | 4 − | u | 4 + + (| u | + ) 2 2 2 4 2 2 4 2 2 1 = 2 | u | 2 − | u | 5 + = 2 | u | − + P 2 2 2 2 2 Câu 4:
[Số Phức 2023] Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z z |
= z + z | . Xét
các số phức z , z S sao cho z − z = 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 1 2
P = z − 3i + z + 3i bằng 1 2 A. 2. B. 1+ 3 . C. 2 3 . D. 20 − 8 3 . Lời giải Chọn A
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
Đặt z = a + bi; a,b . 2 2
a + b = 2a Ta có: 2 2 . z z |
= z + z | a + b = 2 | a | . 2 2 a + b = 2 − a Gọi ,
A B lần lượt là hai điểm biểu diễn của số phức z , z . 1 2
z − z = 1 AB = 1. 1 2
Khi đó: P = z − 3i + z + 3i = CA + CB , với C(0; 3) 1 2
P I C − R + I C − R = 2; v?i I (−1;0), I (1;0), R = 1. min 1 2 1 2 Dấu " = " xảy ra vì I I ,
A B lần lượt là trung điểm CI , CI và 1 2 AB = =1 (thỏa mãn) 1 2 2 Câu 5:
[Số Phức 2023] Biết phương trình 2 2
z + mz + m − 2 = 0 ( m là tham số thực) có hai nghiệm
phức z , z . Gọi ,
A B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z , z và z = i . Có bao nhiêu 1 2 1 2 0
giá trị của tham số m để diện tích tam giác ABC bằng 1? A. 2. B. 3. C. 4. D. 6. Lời giải Chọn C Ta có: 2 = m − ( 2 m − ) 2 4 2 = 3 − m + 8 2 − 6 2 6 TH1: 2 0 3 − m + 8 0 m
. Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực phân 3 3
biệt là z , z . 1 2 2 2 Vì ,
A B Ox nên AB = z − z =
(z − z ) = (z + z ) 2 − 4z z = 3 − m + 8 . 1 2 1 2 1 2 1 2
Mặc khác, ta có C(0;1) d (C; AB) = 1 . 2 1 3 − m + 8 2 3 S
= AB d(C; AB) = =1 m = (n) ABC 2 2 3 2 6 m 3 TH2: 2
0 −3m + 8 0
. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp là −2 6 m 3 −m + i | | z = . 1,2 2
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 6 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Ta có: 2 2
AB = z − z | = i | | |= 3
− m + 8 = 3m −8 và C(0;1) . 1 2
Phương trình đường thẳng m | m | AB là x +
= 0 nên d(C; AB) = . 2 2 m = 2 2 1 | m | 3m − 8 Do đó, S
= AB d(C; AB) = =1 ABC 2 3 2 4 m = i(l) 3
Vậy có 4 giá trị thực của tham số m thỏa mãn đề bài. Câu 6:
[Số Phức 2023] Cho số phức z thoả mãn iz.z + (1+ 2i)z − (1− 2i)z − 4i = 0 . Giá trị lớn nhất của
P = z +1+ 2 i + z + 4 − i gần số nào nhất sau đây? A. 7,4. B. 4,6. C. 4,2. D. 7,7. Lời giải.
Giả sử z = x + yi, (x, y ) . Ta có .
iz z + (1+ 2i)z − (1− 2i)z − 4i = 0 i(x + yi)(x − yi) + (1+ 2i)(x + yi) − (1− 2i)(x − yi) − 4i = 0 i( 2 2 x + y ) 2 2
+ (x − 2y) + (2x + y)i − (x − 2y) − ( 2
− x − y)i − 4i = 0 x + y + 4x + 2y − 4 = 0.
Suy ra, tập hợp các số phức z có điểm biểu diễn thuộc đường tròn (C) có tâm I (−2; −1) , bán kính R = 3 . Lại có P |
= z +1+ 2i | + | z + 4 − i | |
= (x +1) + (y + 2)i | + | (x + 4) + (y −1)i | 2 2 2 2
= x + y + 2x + 4y + 5 + x + y + 8x − 2y +17
Kết hợp với (2) ta được P = 9 − 2(x − y) + 21+ 4(x − y) .
Đặt t = x − y thì P = f (t) = 9 − 2t + 21+ 4t với 21 9 t − ; . 4 2
Khảo sát hàm số f (t) hoăc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta được 21 21 3 26 P = 9 − 2t + 2 + 2t (1+ 2) 9 + = 7,65. 2 2 2 − − Dấu bằng xảy ra khi 5 t =
, từ đó có thể tính được 7 217 17 217 z = + i . 4 8 8 Câu 7:
[Số Phức 2023] Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z − 2mz + 6m − 5 = 0(m là tham số
thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa 1 2
mãn z z = z z ? 1 1 2 2 A. 5. B. 3. C. 6. D. 4. Lời giải. Ta có 2
= m − 6m + 5 .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt nên xảy ra hai trường hợp:
- Nếu 0 m ( ;
− 1) (5;+) thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt z , z và 1 2
z = z ; z = z nên 1 1 2 2
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
z = z (ko thoai mãn), 2 2 1 2
z z = z z z = z 1 1 2 2 1 2
z = −z z + z = 0 m = 0. 1 2 1 2
- Nếu 0 m (1;5) , thì phương trình có hai nghiệm phức là hai số phức liên hợp.
Khi đó z = z ; z = z nên z z = z z z z = z z luôn đúng với m (1;5) . 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
Vầy có 4 giá trị nguyên của m thoả mãn bài toán. Câu 8:
[Số Phức 2023] Xét hai số phức z , z thỏa mãn các điều kiện z = 2, z = 3, z + z = 5 . 1 2 1 2 1 2
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3z − z −10 + 5i + 2 bằng 1 2
B. 10 3 − 2 5 . B. 3 5 − 1 . C. 2 + 2 5 . D. 8 − 2 5 . Lời giải Chọn C
Gọi z = a + bi, z = c + di, a,b,c, d . 1 2 ( ) Ta có: 2 2 2 2 z = 2
a + b = 2 a + b = 4 . 1 2 2 2 2 z = 3
c + d = 3 c + d = 3 . 2
z + z = 5 (a + c)2 + (b + d )2 = 5 (a + c)2 + (b + d )2 = 5 ac + bd = −1. 1 2 Suy ra:
3z − z = (3a − c)2 + (3b − d )2 = 9( 2 2 a + b ) + ( 2 2 c + d
− 6 ac + bd = 3 5 . 1 2 ) ( ) Khi đó:
P = 3z − z −10 + 5i + 2 = 3z − z + 1 − 0 + 5i + 2 1
− 0 + 5i − 3z − z + 2 = 2 + 2 5 . 1 2 ( 1 2 ) ( ) 1 2 w Câu 9:
[Số Phức 2023] Có tất cả bao nhiêu số phức w thỏa mãn điều kiện 2ww = 1 và là số thuần 2 w ảo? A. 4 . B. 6 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn B
Gọi số phức w = x + yi, x , y . Điều kiện: 2
w 0 w 0 . Từ giả thiết 2 1 1 2 2 2ww = 1 w = x + y = ( ) * . 2 2 w w (x + yi)3 3 3 2 2 3 − − Mặt khác: x 3xy 3x y y = = = + i . w w .w
(x + y )2 (x + y )2 (x + y )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 w 3 2 x − 3xy x = 0 Đề
là số thuần ảo khi và chỉ khi 3 2
x − 3xy . 2 2 2 2 w ( 2 2 + ) x = 3y x y 2
Với x = 0 y =
, suy ra tồn tại hai số phức. 2
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 8 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 1 2 Với 2 2
x = 3y thay vào (*) ta được: 2 4 y = y =
, với mỗi giá trị của y tồn tại hai giá trị 2 4
của x , do đó có 4 cặp ( ; x y ) .
Vậy có tất cả 6 số phức w thỏa mãn bài toán.
Câu 10: [Số Phức 2023] Cho hai số phức z và w thay đổi thỏa mãn các điều kiện z +1+ i = z và
w − 3 − 4i = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z − w −1− i .
A. min P = 3 2 −1 .
B. min P = 3 2 .
C. min P = 5 2 .
D. min P = 5 2 −1. Lời giải Chọn A
Gọi số phức z = x + yi có điểm biểu diễn là M ( x; y) thì M nằm trên đường thẳng
: x + y +1 = 0 hay x = − y −1
Ta có P = z − w −1− i = ( z − 4 − 5i) − (w − 3 − 4i) z − 4 − 5i − w − 3 − 4i P
(x − )2 +( y − )2 − = ( y + )2 +( y − )2 2 4 5 1 5 5
−1 = 2y + 50 −1 5 2 −1
Câu 11: [Số Phức 2023] Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z −1+ 3i = 2 và số phức w = (1− 2i) z . Biết
rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn (C) trong mặt phẳng (Oxy) . Tìm
bán kính R của đường tròn (C ) .
A. R = 5 .
B. R = 10 .
C. R = 6 . D. R = 2 5 . Lời giải Chọn D
Ta có: w = (1− 2i) z = (1− 2i)( z + ( 1
− + 3i)) −(1− 2i)( 1 − + 3i)
w = (1− 2i)(z + ( 1
− + 3i)) −(5+ 5i)
w + (5+ 5i) = (1− 2i)(z −1+ 3i) w+ (5+ 5i) = (1− 2i)(z −1+ 3i) = 1− 2i z −1+ 3i
w + (5 + 5i) = 2 5
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn (C) có bán kính R = 2 5 .
Câu 12: [Số Phức 2023] Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho iz.z + (1+ 2i)z − (1− 2i)z − 4i = 0 w
và T là tập hợp tất cả các số phức w có phần thực khác 0 sao cho
là số thực. Xét các số w + 6i − − phức w z w z
z , z S và w T thỏa mãn z − z = 2 5 và 1 1 =
. Khi w − z w − z đạt 1 2 1 2 z − z 1 1 z − z 2 1 2
giá trị nhỏ nhất thì w − z + w − z bằng 1 1 A. 3 . B. 2 3 . C. 3 3 . D. −4 3 . Lời giải Chon D
Giả sử z = x + yi, (x, y ) . Ta có
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
iz.z + (1+ 2i)z − (1− 2i)z − 4i = 0
i(x + yi)(x − yi) + (1+ 2i)(x + yi) − (1− 2i)(x − yi) − 4i = 0 i ( 2 2
x + y ) + (x − 2y) + (2x + y)i − (x − 2y) − ( 2
− x − y)i − 4i = 0 2 2
x + y + 4x + 2y − 4 = 0
Suy ra S là tập hợp các số phức có điểm biểu diễn thuộc đường tròn (C) có tâm I (−2; −1) , bán kính R = 3 .
Giả sử w = a + bi, (a,b ; a 0) . Ta có 2 2 w a + bi
(a + bi)[a + (b − 6)i]
a − b + 6b 2ab − 6a = = = + i 2 2 2 2 2 2 w + 6i
a + (6 − b)i a + (b − 6) a + (6 − b) a + (6 − ) b − Do đó w 2ab 6a
là số thực khi và chỉ khi = 0 b = 3. w + 6i 2 2 a + (6 − b)
Suy ra T là tập hợp các số phức có điểm biểu diễn thuộc đường thẳng : y = 3 . w − z w − z
Xét các số phức z , z S và w T thỏa mãn z − z = 5 và 1 1 = . 1 2 1 2 z − z z − z 2 1 2 1
Giả sử z = x + y i, z = x + y i x , y , x , y
và w = x + 3i, (x , x 0) . 1 1 1 2 2 2 ( 1 1 2 2 )
Gọi M , M , M lần lượt là các điểm biểu diễn của z , z và w . 1 2 1 2
Khi đó, M , M (C) và M , đồng thời w − z . w − z = MM MM . 1 2 1 1 1 2 w − z w − z
Do z − z = 2 5 nên M M = 2 5 và do 1 1 =
nên ba điểm M , M , M thẳng 1 2 1 2 z − z 1 2 z − z1 2 1 2 hàng. Suy ra 2 2
MM MM = IM − R . 1 2 Vì vậy 2 2
w − z w − z = IM − R . 1 1
Do đó, w − z w − z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi IM đạt giá trị nhỏ nhất. Lúc đó, M là 1 1
hình chiếu vuông góc của I trên và M = ( 2 − ;3) .
Gọi H là trung điểm của M M , ta có 2 2 2 2 IH =
IM − M H = 3 − ( 5) = 2 . 1 2 1 1
Vì bốn điểm M , M , M , H thẳng hàng nên MIH vuông tại H suy ra 1 2 2 2 2 2 MH =
IM − IH = 4 − 2 = 2 3 và do đó,
w − z + w − z = MM + MM = MH − HM + MH + HM = 2MH = 4 3. 1 1 1 2 1 2
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 10 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Câu 13: [Số Phức 2023] Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z + 2mz − m +12 = 0 ( m là tham
số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z , z 1 2
thỏa mãn z + z = 2 z − z ? 1 2 1 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Phương trình đã cho có 2
= m + m −12. m 4 − Trường hợp 1: 2
0 m + m −12 0 . m 3
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm thực z , z phân biệt. 1 2 Do đó, z + z = 2 z − z ( z + z = 2 z − z 1 2 ) ( 1 2 )2 2 1 2 1 2 2 2 2 2
z + z + 2 z z = 2 ( 2 2
z + z − 2z z
(z + z − 2z z + 2 z z = 2 z + z − 4z z 1 2 ) 1 2 1 2 ( 1 2) 1 2 1 2 1 2 1 2 ) 1 2
(z + z )2 − 6z z − 2 z z = 0 2
4m − 6(−m +12) − 2 | −m +12 |= 0(*) Nếu m −4 hoặc 1 2 1 2 1 2 m = 6 − 3 m 12 thì 2 2
(*) 4m − 8(−m +12) = 0 m + 2m − 24 = 0 . m = 4 Nếu m 12 thì 2 2
(*) 4m − 4(−m +12) = 0 m + m −12 = 0 (không thỏa mãn). Trường hợp 2: 2
0 m + m −12 0 −4 m 3.
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt z , z là hai số phức liên hợp: 1 2 2 2
−m + i −m − m +12 và − m − i −m − m +12.
Do đó, z + z = 2 z − z 1 2 1 2 2 m + ( 2 −m − m + ) 2 2 2
12 = 2 −m − m +12 −m +12 = −m − m +12 m = 0 (thỏa mãn)
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn đề bài.
Câu 14: [Số Phức 2023] Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z − 2mz + 3m +10 = 0 ( m là tham
số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm z , z không phải 1 2
số thực thỏa mãn z + z 8 ? 1 2 A. 1 B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Ta có: 2
z − 2mz + 3m +10 = 0(*) thì 2
= m − 3m −10 .
Điều kiện 0 −2 m 5 .
Phương trình (*) khi đó có 2 nghiệm 2 z
= m i m − 3m −10 . 1,2 Do đó 10
z + z 8 2 z 8 z 4 3m +10 4 − m 2 . 1 2 1 1 3
Kết hợp điều kiện −2 m 5 , suy ra −2 m 2
Vậy các giá trị nguyên của thỏa mãn là: m {−1;0;1; 2} .
Câu 15: [Số Phức 2023] Cho số phức z và số phức w = (z − i)(z + i) + 2z − 3i thỏa mãn 2022 2023 w − i − i
w −1 = 0 . Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 T |
= z − 3 + i | + | z +1− 3i | bằng
m + n 5 với m, n . Tính P = . m n .
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức
A. P = 124 .
B. P = 876 .
C. P = 416 .
D. P = 104 . Lời giải
Gọi w = x + yi với x, y . Hệ thức 2022 2023 2 w − i − i w −1 = 0 | w +1|= i − w + i | w +1| | = i
− | .| w − i | 2 2 2 2 | w +1| | = w − i | | x + yi +1| |
= x − yi − i | (x +1) + y = x + (y +1) x = y
số phức w có phần thực bằng phần ảo.
Gọi z = a + bi với a,b . 2 2 2
w = (z − i)(z + i) + 2z − 3i |
= z | +i(z − z ) +1+ 2z − 3i = a + b + i(2bi) +1+ 2(a + bi) − 3i = ( 2 2
a + b + 2a − 2b + ) 1 + (2b − 3)i Suy ra: ( 2 2
a + b + a − b + ) 2 2 2 2
1 = (2b − 3) (a +1) + (b − 2) = 1 (1).
Suy ra quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C) có tâm I (−1; 2) và bán kính R = 1 . Biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 T |
= z − 3 + i | + | z +1− 3i | |
= z − 3 + i | + | z +1+ 3i | |
= z − 3 + i | + | z +1+ 3i | = MA + MB ,
với điểm M biểu diễn số phức z và nằm trên đường tròn (C) có tâm I (−1; 2) và bán kính R = 1 và điểm ( A 3; 1 − ), B( 1 − ; 3 − ) 2 AB Ta có 2 2 2
T = MA + MB = 2MK +
(với K là trung điểm của đoạn AB ) 2
Có K (1; −2) và AB = 2 5 suy ra 2 2 2
T = MA + MB = 2MK +10 Suy ra T MK
K là hình chiếu vuông góc của M trên AB M , I, K thẳng hàng và I max max
nằm giữa M , K .
Mặt khác ta có IM = (a +1;b − 2), IK = (2; 4 − ) IK = 2 5 . 1 − 5 2 5 5 2 5 Suy ra IM = IK M 1 − − ; 2 + a = 1 − − ;b = 2 + . 2 5 5 5 5 5 Vậy 2 T
= 2(2 5 +1) +10 = 52 + 8 5 m = 52;n = 8 P = . m n = 416 . max
Câu 16: [Số Phức 2023] Giả sử z ; z là hai trong các số phức z thỏa mãn (z − 6)(8 − .
i z ) là số thực. Biết 1 2
rằng z − z = 6 . Giá trị nhỏ nhất của z + 3z bằng 1 2 1 2
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 12 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 A. −5 + 73 . B. 5 − 21 . C. 20 − 2 73 .
D. 20 − 4 21 . Lời giải
Đặt z = x + yi với x; y . Gọi ;
A B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z ; z . 1 2
Ta có: z − z = 6 AB = 6 . 1 2
Và (z − 6)(8 − i z) = (x + yi − 6)(8 − xi − y) = [(x − 6) + yi][(8 − y) − xi]
= [(x − 6)(8 − y) + xy] +[(8 − y) y − (x − 6)x]i = 8x + 6y − 48 − ( 2 2
x + y − 6x − 8 y )i
Theo giả thiết (z − 6)(8 − .iz ) là số thực nên 2 2
x + y − 6x − 8 y = 0 Do đó 2 2 ;
A B (C) : x + y − 6x − 8 y = 0 là đường tròn tâm I (3; 4) , bán kính R = 5 .
Xét điểm M thỏa mãn MA + 3MB = 0 MO + OA + 3MO + 3OB = 0 OA + 3OB = 4OM .
Gọi H là trung điểm AB, khi đó: 2 2 2
HI = R − HB = 16 , 2 3 73 2 2 2 IM = HI + HM = 4 + = . 2 2 Suy ra: Điểm 73
M thuộc đường tròn (C tâm I (3; 4) , bán kính R = . 1 ) 1 2 Ta có: z + 3z | = OA + 3OB | | = 4OM |= 4OM 1 2 73 z + 3z 4OM
= 4 OI − R = 45 − = 20 − 2 73. 1 2 min 1 min 2 Vậy z + 3z = 20 − 2 73 . 1 2 min
Câu 17: [Số Phức 2023] Cho các số phức z , w thỏa mãn z = 2 , w − 3 + 2i = 1 khi đó 2 z − 2zw − 4
đạt giá trị lớn nhất bằng A. 16 . B. 24 . C. 4 + 4 13 . D. 20 . Lời giải Chọn B 2 Ta có 2 2 2
T = z − 2zw − 4 = z − 2zw − z
= z − 2zw − z.z = z . z − z − 2w = 2 z − z − 2w
Gọi z = x + yi z − z = 2yi .
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức Vì z = 2 nên 4 − 2y 4 . Gọi 2 2
w = x + y i
= 2w 2w − 6 + 4i = 2 w − 6 + 4i = 2 (x− 6) + ( y+ 4) = 4 .
Gọi A là điểm biểu diễn của z − z A thuộc trục Oy với 4 − y 4 . A
Gọi B là điểm biểu diễn của 2w B thuộc đường tròn tâm I (6; 4
− ) ; bán kính R = 2 .
Khi đó T = 2AB . Ta có hình vẽ: Ta có T = 2AB
= 2 IA + R = 24 với A(0;4) . max max ( )
Câu 18: [Số Phức 2023] Cho số phức z = x + yi,( x, y ) thỏa mãn z + z − 2 + 3 z − z + 4i 6 và
z −1− i z + 3 + i . Gọi M , m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = 2x + 3y + 5 . Khi
đó M + m bằng: 17 33 13 22 A. . B. . C. − . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn D
+) z + z − 2 + 3 z − z + 4i 6 2x − 2 + 3 2yi + 4i 6 x −1 + 3 y + 2 3
x + 3y + 2 0
khi x 1, y −2
x − 3y −10 0
khi x 1, y 2 −
x − 3y − 4 0
khi x 1, y 2 −
x +3y +8 0 khi x 1, y −2
+) z −1− i z + 3+ i (x − ) 1 + ( y − )
1 i ( x + 3) + ( y + ) 1 i
(x − )2 + ( y − )2 (x + )2 + ( y + )2 1 1 3 1
−8x − 4y − 8 0 2x + y + 2 0
+) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là ngũ giác ABCDE (như hình vẽ).
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P = 2x + 3y + 5 đạt được tại hai đỉnh của ngũ giác ABCDE
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 14 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 y d d1 1 x d3 d: 2x + y + 2 = 0 d2 A B d4 C d x + 3y + 2 = 0 1: d2: x + 3y + 8 = 0 Δ E D d3: x - 3y - 4 = 0 d x - 3y - 10 = 0 4: Δ: 2x + 3y = 0
+) Biểu thức P = 2x + 3y + 5 đạt giá trị lớn nhất là M = P
= 7 khi x = 4, y = −2 (tại C ). max Biểu thức 13 2 14
P = 2x + 3y + 5 đạt giá trị nhỏ nhất là m = P = − khi x = , y = − (tại E ). min 5 5 5 22 Suy ra M + m = . 5 1
Câu 19: [Số Phức 2023] Trên tập hợp số phức, xét phương trình 2
z − m +1z − ( 2
m − 5m − 6) = 0(m là 4
tham số thực). Có bao nhiêu số nguyên m [ 10
− ;10] đề phương trình trên có hai nghiệm phức
z , z thỏa mãn z + z z − z ? 1 2 1 2 1 2 A. 11. B. 10. C. 8. D. 9. Lời giải Điều kiện 2
m +1 0 m 1.
− = m − 4m − 5 + m 5 Trường hợp 2
1: 0 m − 4m − 5 0
phương trình có 2 nghiệm thực z , z m 1 − 1 2 Theo định lý Viet 1 z z = − ( 2
m − 5m − 6 . 1 2 ) 4 2 2
z + z z − z z + z
z − z 4z z 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 −( m 6 2 m − 5m − 6) 2
0 m − 5m − 6 0 m 1− Do m và m [ 10
− ;10] nên số giá trị m thỏa mãn là (10 − 6) +1+1 = 6 . + Trường hợp 2
2 : 0 m − 4m − 5 0 −1 m 5 .
phương trình có 2 nghiệm phức z , z 1 2
15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức 2 2 2
z + z z − z z + z z − z
m +1 m − 4m − 5 1 2 1 2 1 2 1 2 m 6 2
m − 5m − 6 0 m −1 2
m − 3m − 4 0 1 − m 4 Do m , 1
− m 5 và m [ 10
− ;10] nên số giá trị m thỏa mãn là m = 0, m = 1, m = 2, m = 3 .
Vậy có 10 giá trị của m .
Câu 20: [Số Phức 2023] Cho M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z , z , z thỏa mãn điều 1 2 3
kiện 5z + 9 − 3i = 5 z , z − 2 = z − 3 − i , z +1 + z − 3 = 4 . Khi M , N , P không thẳng hàng, 1 1 2 2 3 3
giá trị nhỏ nhất của nửa chu vi p của tam giác MNP là 10 5 6 5 9 10 5 11 A. . B. . C. . D. . 9 5 10 13 Lời giải
Trong mặt phẳng Oxy , gọi ( A 1
− ;0), B(0;3),C(3;0) và M , N, P lần lượt là các điểm biểu diễn số
phức z , z , z . Ta có 1 2 3
Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng AB . 1
Tập hợp điểm N biểu diễn số phức z là đường thẳng BC . 2
z +1 + z − 3 = 4 PA + PC = AC Tập hợp điểm P biểu diễn số phức z là đoạn AC . 3 3 3 + + Khi đó MN NP PM p = . 2
Gọi P , P lần lượt đối xứng với P qua AB, BC . Ta có MP = MP , NP = NP . 1 2 1 2
Khi đó MN + NP + PM = PM + MN + NP PP . 1 2 1 2
Ta thấy PBP = PBA + ABC + CBP = PBA + ABC + PBC = 2ABC . 1 2 1 AB AC AC sin BCA 2 5 Theo đinh lí Sin: = sin ABC = = sin BCA sin ABC AB 5
Gọi H là trung điểm của PP , khi đó 1 2 2 5 4 5 4 5 12 5
P P = 2P H = 2BP sin P BH = 2BP sin ABC = 2BP = BP BO = . 1 2 2 2 2 5 5 5 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của 6 5 p là . 5
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 16 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Câu 21: [Số Phức 2023] Cho hai số phức z, w thỏa mãn z + w = 10 , 2z + w = 17 và
z − 3w = 146 . Tính giá trị của biểu thức P = z.w + z.w .
A. P = −14 .
B. P = 14 .
C. P = 16 . D. P = −8 . Lời giải Chọn D
Gọi z = a + bi và w = x + yi với a,b, x, y . Theo đề ta có: 2 2
z + w = 10 (a + x) + (b + y) = 10 2 2 2 2
a + 2ax + x + b + 2by + y = 10 (1) 2 2
2z + w = 17 (2a + x) + (2b + y) = 17 2 2 2 2
4a + 4ax + x + 4b + 4by + y = 17 (2) 2 2
z − 3w = 146 (a − 3x) + (b − 3y) = 146 2 2 2 2
a − 6ax + 9x + b − 6by + 9y = 146 (3)
Lấy 35.(1) − 8.(2) − 3.(3) vế theo vế ta được:
56.ax + 56.by = −224 ax + by = 4 − Ta có P = . z w + .w z
= (a + bi).( x − yi) + (a − bi).( x + yi) = 2.ax + 2.by = 8 − Cách 2: z + w = 2
10 z + w = 10 ( z + w)( z + w) =10 ( 2 2
z + w )( z + w) =10 z + P + w = 10 ( ) 1 Tương tự 2 2
2z + w = 17 4 z + 2P + w = 17 (2) 2 2
z − 3w = 146 z − 3P + 9 w = 146 (3) 2 z = 5 Từ ( )
1 , (2),(3) P = 8 − . 2 w = 13 Vậy P = −8 .
17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Document Outline
- Dạng 1. Cơ bản về số phức
- Dạng 2. Bài toán quy về giải PT, hệ PT và điểm biểu diễn số phức
- Dạng 3. Các phép toán số phức
- Dạng 4. Phép chia số phức
- Dạng 5. Phương trình bậc hai hệ số thực
- Dạng 6. Cực trị số phức
- Dạng 7. Số phức trong đề thi của BGD_ĐT
- Dạng 8. Một số bài toán số phức chọn lọc