Chủ đề tiếp tuyến và sự tiếp xúc của đồ thị hàm số ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Tài liệu gồm 69 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Phan Nhật Linh, tổng hợp lý thuyết trọng tâm, ví dụ minh họa và các dạng bài tập chủ đề tiếp tuyến và sự tiếp xúc của đồ thị hàm số ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán, có đáp án và lời giải chi tiết.

Môn:

Toán 12 3.9 K tài liệu

Thông tin:
69 trang 1 năm trước
Tác giả:
Student
Mai Nguyệt
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chủ đề tiếp tuyến và sự tiếp xúc của đồ thị hàm số ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Tài liệu gồm 69 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Phan Nhật Linh, tổng hợp lý thuyết trọng tâm, ví dụ minh họa và các dạng bài tập chủ đề tiếp tuyến và sự tiếp xúc của đồ thị hàm số ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán, có đáp án và lời giải chi tiết.

61 31 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 375 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Thông tin:

69 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
CHỦ ĐỀ 07 : TIẾP TUYẾN – SỰ TIẾP XÚC
❖ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
00
;M x y
thuộc đồ thị hàm số:
• Cho hàm số
( ) ( )
:C y f x=
và điểm
( ) ( )
00
;M x y C
. Viết phương trình tiếp tuyến với đường
cong
( )
C
tại điểm
M
.
▪ Bước 1: Tính đạo hàm
( )
'fx
. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là
.
▪ Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là:
( )( )
00
'y f x x x y= − +
.
❖ Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc
k
cho trước.
▪ Bước 1: Gọi
( )
là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.
▪ Giả sử
( )
00
;M x y
là tiếp điểm. Khi đó
0
x
thỏa mãn:
( ) ( )
0
'1=f x k
.
▪ Giải
( )
1
tìm
0
x
. Suy ra
( )
00
y f x=
.
▪ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
( )
00
y k x x y= − +
❖ Điều kiện để hai hàm số tiếp xúc
▪ Cho hai hàm số
( ) ( )
:C y f x=
và
( ) ( )
':C y g x=
. Đồ thị
( )
C
và
( )
C
tiếp xúc nhau khi chỉ
khi hệ phương trình:
( ) ( )
( ) ( )
=

=
f x g x
f x g x
có nghiệm.
LÍ THUYẾT
Chủ đề 07: TiẾP tuyến và sự tiếp xúc
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2
Lời giải
Chọn A
Tập xác định:
\1D =
. Ta có:
( )
2
2
1
y
x
=−
−
,
1x
.
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang
1y =
và đường tiệm cận đứng
1x =
.
Giả sử
( ) ( ) ( )
;1
M
M m y C m
12
1
11
M
m
y
mm
+
= = +
−−
;
( )
( )
2
2
1
ym
m
=−
−
.
Phương trình tiếp tuyến
là:
( )
( )
2
22
1
1
1
y x m
m
m
= − − + +
−
−
( )
2
2
2 1 2 1 0x m y m m + − − − + =
.
Gọi
A
là giao điểm của
và đường tiệm cận ngang. Tọa độ điểm
A
là nghiệm của hệ phương
trình:
( )
( )
2
1
22
21
1
1
1
y
xm
y x m
m
m
=
= −
= − − + +
−
−
( )
2 1;1Am−
.
Gọi
B
là giao điểm của
và đường tiệm cận đứng. Tọa độ điểm
B
là nghiệm của hệ phương
trình:
( )
( )
2
1
34
22
1
1
11
1
1
x
m
y
y x m
mm
m
m
=
+
= = +
= − − + +
−−
−
−
4
1;1
1
B
m

+

−

.
Suy ra:
( ) ( )
( )
( )
2
2 2 4
2
4 16 2
2 2 4 1 1 4
11
1
AB m m m
mm
m

= − + = − + = − +

−−

−
.
( )
( )
2
4
21
;
41
mm
dO
m
− − +
=
+−
.
( )
( )
( )
2
4
4
21
1 1 2
; . . . 1 4
2 2 1
41
OAB
mm
S d O AB m
m
m
− − +
= = − +
−
+−
2
2
21
21
11
mm
mm
mm
− − +
+−
==
−−
(vì
1m
)
22
3 4 1
11
mm
mm
= + + = + − +
−−
.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số
1m −
và
2
1m −
:
( )
2
1 2 2
1
m
m
− +
−
( )
2
4 1 4 2 2
1
m
m
+ − + +
−
.
VÍ DỤ MINH HỌA
VÍ DỤ 1: Cho hàm số
( )
1
1
x
yC
x
+
=
−
. Điểm
M
thuộc
( )
C
có hoành độ lớn hơn
1
, tiếp tuyến của
( )
C
tại
M
cắt hai tiệm cận của
( )
C
lần lượt tại
A
,
B
. Diện tích nhỏ nhất của tam giác
OAB
bằng
A.
4 2 2+
. B.
4
. C.
42
. D.
42+
.
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Vậy diện tích nhỏ nhất của tam giác
OAB
bằng
4 2 2+
khi
2
1
12
1
1
m
m
m
m
−=
= +
−
.
Lời giải
Chọn D
Gọi
32
13
;2
22
A a a a

−+


và
32
13
;2
22
B b b b

−+


với
ab
là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị
( )
C
mà tiếp tuyến tại
A
và
B
song song với nhau.
Ta có
( ) ( )
22
33
33
22
f a f b a a b b

= − = −
( )
22
2a b a b − = −
2ab + =
.
Gọi
( ) ( )
3 3 2 2
13
;2
2 4 4
ab
I a b a b
+

+ − + +


là trung điểm của đoạn
AB
.
Với
2ab+=
ta có
( )
3 4 2
86
1; 2
44
ab
ab
I
−

−
−+


hay
( )
1;1I
.
Lại có
( ) ( )
3 3 2 2
13
;
22
AB b a b a b a
− − − −


cùng phương với
( )
( )
( )
22
2; 3u a b ab a b+ + − +
.
Hay
( )
2; 2u ab−−
. Nên đường thẳng
AB
có một véc tơ pháp tuyến là
( )
2 ;2n ab+
.
Suy ra phương trình đường thẳng
AB
là
( )( ) ( )
2 1 2 1 0ab x y+ − + − =
.
Do đường thẳng
AB
đi qua
( )
5;3D
nên
( )
4 2 4 0ab+ + =
4 12 0 3ab ab + = = −
.
Thay
3ab =−
vào phương trình
AB
ta được:
2 1 0xy− + =
.
Cách 2 – trắc nghiệm: Đồ thị hàm số
( )
32
13
2
22
y x x C= − +
có điểm uốn là
( )
1;1I
.
Do đó đường thẳng
AB
đi qua
( )
5;3D
và
( )
1;1I
có phương trình là
2 1 0xy− + =
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
'
2
3
( 1)
y
x
−
=
−
,
1x
.
VÍ DỤ 3: Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( )
C
và điểm
( )
0;Aa
. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên
của
a
trong đoạn
2018;2018−
để từ điểm
A
kẻ được hai tiếp tuyến đến
( )
C
sao cho hai tiếp điểm
nằm về hai phía của trục hoành?
A.
2020
. B.
2018
. C.
2017
. D.
2019
.
VÍ DỤ 2: Cho hàm số
( )
32
13
2
22
y x x C= − +
. Xét hai điểm
( )
;
A
A a y
và
( )
;
B
B b y
phân biệt của đồ
thị
( )
C
mà tiếp tuyến tại
A
và
B
song song. Biết rằng đường thẳng
AB
đi qua. Phương trình của
đường thẳng
AB
là
A.
20xy− − =
. B.
80xy+ − =
. C.
3 4 0xy− + =
. D.
2 1 0xy− + =
.
Chủ đề 07: TiẾP tuyến và sự tiếp xúc
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 4
Phương trình đường tiếp tuyến tại điểm
0
x
:
( )
( )
0
0
2
0
0
32
1
1
x
y x x
x
x
−+
= − +
−
−
.
Tiếp tuyến tại điểm
( )
0;Aa
là:
( )( )
( )
0 0 0
2
0
3 2 1
1
x x x
a
x
+ + −
=
−
'
2
3
( 1)
y
x
−
=
−
.
( )
2
00
( 1) 2( 2) 2 0 1a x a x a − − + + + =
.
Để từ điểm
A
kẻ được 2 tiếp tuyến đến
()C
( )
1
có hai nghiệm phân biệt
( ) ( )( )
2
'
0 2 1 2 0 2a a a a + − − + −
.
Theo định lí Vi-et ta có:
12
12
2( 2)
1
2
1
a
xx
a
a
xx
a
+
+=
−
+
=
−
.
Để hai tiếp điểm nằm về hai phía trục hoành thì:
12
( ) ( ) 0y x y x
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
( 2)( 2) 2( ) 4 9 6 2
0 0 0
( 1)( 1) ( ) 1 3 3
x x x x x x a
a
x x x x x x
+ + + + + + −
− − − + + −
Mà
2018;2018a −
;
a
0;2018a
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
22y x p
=−
.
Gọi
( )
2
0 0 0
;2M x x px q−+
là tiếp điểm, tiếp tuyến với
( )
P
tại
M
có phương trình:
( )( )
22
0 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2 0y x p x x x px q x xx px q y= − − + − + − + − + =
.
Tiếp tuyến đi qua
( )
2;1A
nên:
2
00
4 4 1 0x x p q− + − + =
( )
1
.
Vì qua
( )
2;1A
luôn kẻ được tiếp tuyến đến
( )
P
nên phương trình
( )
1
luôn có nghiệm.
Do đó:
0

4 3 0pq − −
( )
2
.
( )
;M p q
thuộc miền nghiệm của bất phương trình
0ax by c+ +
nên
0ap bq c+ +
( )
3
.
Từ
( )
2
và
( )
3
suy ra
4 1 3
a b c
m= = =
−−
, điều kiện:
( )
0m
4
3
am
bm
cm
=
= −
=−
2
29T m m = − +
2
81 9 81
2
8 4 8
m

= − −


.
Vậy
T
không thể nhận giá trị bằng
11
nên ta chọn đáp án C.
VÍ DỤ 4: Cho parabol
( )
P
:
2
2y x px q= − +
. Biết rằng qua
( )
2;1A
luôn kẻ được tiếp tuyến đến
( )
P
và tập hợp tất cả các điểm
( )
;M p q
là miền nghiệm của bất phương trình
0ax by c+ +
. Biểu thức
2
32T a b c= − +
không thể nhận giá trị nào sau đây?
A.
10
. B.
9
. C.
11
. D.
2−
.
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Lời giải
Chọn D
Ta có
( ) ( )( )
0 4 0f x x m x m= − + − =
4
xm
xm
=
=−
.
Suy ra
( ) ( )
00g x f f x= =


( )
( )
4
f x m
f x m
=
=−
( )
( )
22
22
4 4 1
4 4 4 2
x x m m m
x x m m m
− + − =
− + − = −
.
Trường hợp 1: Nếu
42m m m= − =
.
Từ
suy ra
( )
( )
2
2
22
0 4 2 0
22
x
g x x x
x
=−
= − + =
=+
. Hai nghiệm này là hai nghiệm
kép của phương trình
( )
0gx=
nên đồ thị hàm số
( )
y g x=
tiếp xúc với
Ox
.
Trường hợp 2: Nếu
42m m m −
.Khi đó
không có nghiệm chung.
Để đồ thị hàm số
( )
y g x=
tiếp xúc với
Ox
( )
1
có nghiệm kép hoặc
( )
2
có nghiệm kép
( )
( )
2
2
3 4 0
5 8 0
m m VN
m m VN
− + =
− + =
. Tức không có giá trị nào của
m
thỏa mãn trong trường hợp này.
Vây
2m =
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải
Chọn D
Gọi
là đường thẳng qua
( ; 2)Aa −
và có hệ số góc là
k
.
Đường thẳng
có phương trình:
( ) 2y k x a= − −
.
Vì
là tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
nên hệ sau có nghiệm:
( )
32
2
3 2 2
36
x x k x a
k x x
− + = − −
=−
.
Suy ra
( )
( )
3 2 2
3 2 3 6 2x x x x x a− + = − − −
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 1 2 3x x x x x a − + = − −
( ) ( )
2
2
2 3 1 2 0 *
x
x a x
=
− − + =
Trường hợp
1
: Phương trình
( )
*
có nghiệm kép
2
9 6 15 0aa − − =
5
3
1
a
a
=
=−
.
VÍ DỤ 5: Cho hàm số
( )
22
44y f x x x m m= = − + −
. Có bao nhiêu giá trị m để đồ thị hàm số
( ) ( )
g x f f x=


tiếp xúc với
Ox
.
A.
3
. B.
2
. C.
4
. D.
1
.
VÍ DỤ 6: Cho hàm số
( ) ( )
32
32y f x x x C= = − +
. Và
( ; 2)Aa −
. Từ
A
kẻ được ít nhất hai tiếp tuyến
đến đồ thị
( )
C
. Gọi
S
là tập các hợp các giá trị của
a
để tổng các hệ số góc bằng
9
. Tính tổng các phần
tử trong
S
.
A.
26
. B.
2
. C.
6
. D.
26
3
.
Chủ đề 07: TiẾP tuyến và sự tiếp xúc
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 6
Với
5
3
a =
thì có hai tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại
1x =
và
2x =
có tổng hệ số góc của hai tiếp
tuyến của đồ thị
( )
C
tại
1x =
và
2x =
là:
( ) ( )
22
3.2 6.2 3.1 6.1 3− + − = −
( không thỏa mãn).
Với
1a =−
thì có hai tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại
1x =−
và
2x =
có tổng hệ số góc của hai
tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại
1x =−
và
2x =
là:
( )
( )
( )
2
2
3.2 6.2 3. 1 6.1 9− + − + =
(thỏa mãn).
Trường hợp
2
: Phương trình
( )
*
có nghiệm bằng
2
khi
2a =
khi đó phương trình
( )
*
có hai
nghiệm phân biệt là
2x =
hoặc
1
2
x =
Với
2a =
thì có hai tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại
1
2
x =
và
2x =
có tổng hệ số góc của hai tiếp
tuyến của đồ thị
( )
C
tại
1
2
x =
và
2x =
là:
( )
2
2
1 1 9
3.2 6.2 3. 6.
2 2 4


− + − = −





(không tm).
Trường hợp
3
: Phương trình
( )
*
có nghiệm khác
2
2
9 6 15 0
2
aa
a
− −
5
3
1
2
a
a
a
−
(**).
Khi đó có ba tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại
12
;xx
và
2x =
với
12
;xx
là nghiệm phương trình
( )
*
, có tổng hệ số góc của ba tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại
12
;xx
và
2x =
là:
22
1 1 2 2
3 6 3 6 9x x x x− + − =
2
1 2 1 2 1 2
3( ) 6( ) 6 9x x x x x x + − + − =
2
3 1 3 1
3 6 6 9
22
aa−−
− − =
2
27 54 45 0aa − − =
3 2 6
3
3 2 6
3
a
a
+
=
−
=
Kết hợp điều kiện (**) ta có
3 2 6
3
a
+
=
. Vậy tổng các phần tử của S bằng
26
3
.
Lời giải
Chọn B.
Gọi
42
1 14
;
33
A a a a

−


là tọa độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến tại
A
là
( )
3 4 2
4 28 1 14
:
3 3 3 3
d y a a x a a a

= − − + −


.
Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
C
và
d
là:
VÍ DỤ 7: Cho hàm số
42
1 14
33
y x x=−
có đồ thị
( )
C
. Có bao nhiêu điểm
A
thuộc
( )
C
sao cho tiếp
tuyến của
( )
C
tại
A
cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt
( )
11
;M x y
,
( )
22
;N x y
(
M
,
N
khác
A
) thỏa mãn
( )
1 2 1 2
8y y x x− = −
?
A.
1
. B.
2
. C.
0
.
D.
3
.
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
( )
4 2 3 4 2
1 28 4 28 1 14
3 3 3 3 3 3
x x a a x a a a

− = − − + −


( )
( )
( )
2
22
22
2 3 14 0
2 3 14 0 1
xa
x a x ax a
x ax a
=
− + + − =
+ + − =
Đồ thị
( )
C
cắt
d
tại
3
điểm phân biệt
Phương trình
( )
1
có hai nghiệm phân biệt khác
a
( )
2
0
7
7; 7 \
6 14 0
3
a
a



−
−


.
Theo đề bài:
( ) ( ) ( )
3
1 2 1 2 1 2 1 2
4 28
88
33
y y x x a a x x x x

− = − − − = −


3
3
4 28
81
33
2
a
a a a
a
=
− = = −
=−
.
Đối chiếu điều kiện:
1
2
a
a
=−
=−
. Vậy có
2
điểm
A
thỏa đề bài.
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Câu 1. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
32
2 2019y x x x= − + +
tại điểm có hoành độ
0
1x =−
là
A.
8 2016yx=+
. B.
8 2007yx=+
. C.
8 2014yx=+
. D.
8 2023yx=+
.
Câu 2. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
( )
2
4–y x x=
tại điểm
( )
0
1 ; 9M
là
A.
3 12yx=+
. B.
38yx=+
. C.
33yx=−
. D.
36yx=+
.
Câu 3. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
42
21y x x= + −
tại điểm có hoành độ
0
2x =−
là
A.
40 80.yx= − −
B.
40 57.yx= − −
C.
40 103yx= − +
. D.
40 25yx= − +
.
Câu 4. Cho hàm số
42
23y x x= + +
có đồ thị
( )
C
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại
( )
1 ; 6M
là
A.
82yx=−
. B.
85yx=+
. C.
88yx=−
. D.
8 14yx=+
.
Câu 5. Cho hàm số
1
2
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
()C
. Tiếp tuyến của
()C
tại điểm có tung độ bằng
4
là
A.
35yx=−
. B.
3 13yx= − +
. C.
3 13yx=+
. D.
35yx= − +
.
Câu 6. Cho hàm số
1
1
y
x
=
−
có đồ thị
()C
. Tiếp tuyến của
()C
tại điểm có tung độ bằng
1
tạo với hai
trục tọa độ
,Ox Oy
một tam giác có diện tích bằng
A.
1
. B.
1
2
. C.
9
. D.
9
2
.
Câu 7. Cho hàm số
ln( 1) lny x x= + +
có đồ thị
()C
, điểm
()MC
có tung độ bằng
ln 2
. Phương trình
tiếp tuyến của
()C
tại điểm
M
là
A.
3
3 ln 2
2
yx= − + +
. B.
33
ln2
22
yx= − +
. C.
31yx=−
. D.
31
22
yx=−
.
Câu 8. Cho hàm số
ln( 1)y x x=−
có đồ thị
()C
. Phương trình tiếp tuyến của
()C
tại giao điểm của
()C
với trục hoành là
A.
0y =
. B.
1yx=−
. C.
24yx=−
. D.
24yx=+
.
Câu 9. Cho hàm số
32
6 9 1y x x x= − + +
có đồ thị
()C
. Phương trình tiếp tuyến của
()C
tại điểm có tung
độ bằng
0
15y =−
là
A.
24 9yx=+
. B.
24 39yx=+
. C.
15y =−
. D.
24 39yx=−
.
Câu 10. Cho hàm số
32
25y x x x= − + +
có đồ thị
()C
. Trong các tiếp tuyến của
()C
, thì tiếp tuyến có
hệ số góc nhỏ nhất tiếp xúc với
()C
tại điểm có tung độ bằng
A.
1
3
. B.
151
27
. C.
113
27
. D.
5
3
.
Câu 11. Cho hàm số
2
3
log
2
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( )
C
. Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số tại giao điểm
của đồ thị
( )
C
với đường thẳng
:2dy=
là:
Bài toán về tiếp tuyến và sự tiếp xúc
DẠNG 1
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2
A.
55
4ln 2 4ln 2
yx=−
. B.
15
2
4ln 2 4ln 2
yx= + −
.
C.
5
2
4ln 2
yx= + −
. D.
55
2
4ln 2 4ln 2
yx= + −
.
Câu 12. Biết đường thẳng
2ln 4.y x m=+
là tiếp tuyến của đường cong
2
4
x
y =
khi đó giá trị tham số
m
bằng
A.
2ln 4 1−
. B.
1
hoặc 3. C.
1
. D. 1 hoặc
2ln 4 1−
.
Câu 13. Cho hàm số
32
4 3 3y x x x= − + −
có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) song song
với đường thẳng
:
2 1 0xy+ + =
?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
0
.
Câu 14. Cho hàm số
32
3 7 2y x x x= − + − +
. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc lớn nhất có phương
trình là
A.
41yx=−
. B.
41yx=+
. C.
41yx= − −
. D.
41yx= − +
.
Câu 15. Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
42
23y ax bx= + +
tại điểm
( )
2; 5A −
vuông góc với đường
thẳng
4 2019 0xy+ − =
. Tình
24ab+−
.
A.
15
. B.
23
. C.
23−
. D.
15−
.
Câu 16. Đường thẳng
ym=
tiếp xúc với đồ thị hàm số
( ) ( )
42
: 8 35C f x x x= − +
tại hai điểm phân biệt.
Tìm tung độ tiếp điểm.
A.
35−
. B. 35. C.
19−
. D. 19.
Câu 17. Cho hàm số
( )
2
1
ln 2 2
2
y x x= − −
có đồ thị
( )
C
. Số tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
của hàm số vuông
góc với đường thẳng
2yx= − +
là
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 18. Cho hàm số
xx
y e e
−
=−
có đồ thị
( )
C
. Tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
có hệ số góc nhỏ nhất là
A.
0y =
. B.
21yx=+
. C.
2yx=+
. D.
2yx=
.
Câu 19. Cho hàm số
32
3 6 1y x x x= + − +
có đồ thị
( )
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
biết
tiếp tuyến đi qua điểm
(0;1)N
.
A.
33
11
4
yx= − +
. B.
33
12
4
yx= − +
. C.
33
1
4
yx= − +
. D.
33
2
4
yx= − +
.
Câu 20. Cho hàm số
32
32y x x= − +
. Có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm
( )
1;0A
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 21. Cho hàm số
2
2
3
xx
y
x
−−
=
−
có đồ thị
( )
C
. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
đi qua điểm
( )
4;1A
?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
0
.
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Câu 22. Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
+
có đồ thị
( )
C
. Biết rằng có hai tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
đi qua điểm
( )
0;1A
. Tích hệ số góc của hai tiếp tuyến đó bằng
A.
1
. B.
1−
. C.
2−
. D.
2
.
Câu 23. Gọi
S
là tập các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số
32
99y x mx x m= + − −
tiếp xúc với trục
hoành. Tổng các phần tử của
S
bằng
A.
1
. B.
0
. C.
3
. D.
3−
.
Câu 24. Xét đồ thị
( )
C
của hàm số
3
3y x ax b= + +
với
,ab
là các số thực. Gọi
M
,
N
là hai điểm phân
biệt thuộc
( )
C
sao cho tiếp tuyến với
( )
C
tại hai điểm đó có hệ số góc bằng
3
. Biết khoảng
cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng
MN
bằng
1
. Khi đó giá trị lớn nhất của
22
ab−
bằng
A.
0
. B.
3
2
. C.
2−
. D.
2
3
−
.
Câu 25. Cho hàm số
( )
fx
thỏa mãn
(
)
22
11f x x x x+ + = − +
với
x
. Gọi
là tiếp tuyến của đồ
thị hàm số
( )
fx
tại điểm có hoành độ
0
1
2
x =
. Giả sử
cắt
Ox
tại điểm
A
và cắt
Oy
tại điểm
B
. Khi đó diện tích của tam giác
OAB
bằng
A.
1
. B.
2
. C.
4
. D.
8
.
Câu 26. Cho hàm số:
22
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( )
C
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến tại
điểm
( ) ( )
00
;M x y C
thỏa mãn phương trình
0
20x −=
là
A.
41
99
yx= − −
,
4 14yx=+
. B.
42
99
yx= − −
,
41yx=+
.
C.
41
99
yx= − −
,
41yx=+
. D.
42
99
yx= − −
,
4 14yx= − +
.
Câu 27. Cho hàm số
( ) ( )
24
41y x x x C= − +
. Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của
( )
C
với parabol
( )
2
: P y x=
là
A.
0y =
;
1y =
;
24 6yx=−
. B.
9y =
;
1y =
;
24 6yx=−
.
C.
0y =
;
5y =
;
24 63yx=−
. D.
0y =
;
1y =
;
24 63yx=−
.
Câu 28. Cho hàm số
21
1
x
y
x
−
=
+
có đồ thị là
()C
. Gọi
I
là giao điểm 2 đường tiệm cận. Gọi
( )
00
,M x y
,
0
3x −
là một điểm trên
()C
sao cho tiếp tuyến với
()C
tại
M
cắt hai đường tiệm cận lần lượt
tại
,AB
thỏa mãn
22
40AI IB+=
. Khi đó tích
00
xy
bằng
A.
1−
. B.
12−
. C.
7
. D.
12
.
Câu 29. Cho hàm số
1
()
1
x
fx
x
+
=
−
có đồ thị
( )
H
. Tìm trên
Oy
tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất
một tiếp tuyến tới
( )
H
.
A.
(0;1)M
. B.
1
(0;1)M
và
2
(0; 1)M −
.
C. Không tồn tại. D.
(0; 1)M −
.
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 4
Câu 30. Cho hàm số
21
1
x
y
x
−
=
−
có đồ thị
()C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
()C
biết tiếp tuyến này
cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại các điểm
,AB
phân biệt thỏa mãn
82.AB OB=
.
A.
1 13
99
yx= − +
và
1 25
99
yx= − +
. B.
1 25
99
yx= − +
.
C.
1 13
99
yx= − +
. D.
1 17
99
yx= − +
và
1 25
99
yx=+
.
Câu 31. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
=
+
tại điểm có hoành độ
0
x
là nghiệm của phương trình
2
16 2 8 6 2 1x x x− − = −
là
A.
31
44
yx=−
. B.
39
44
yx=−
. C.
9
2
y =
. D.
41
34
yx=−
.
Câu 32. Cho hàm số
1
2
x
y
x
−
=
−
có đồ thị
()C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
()C
tại điểm
M
có hoành
độ không nhỏ hơn
3,
biết tiếp tuyến cắt hai tia
,Ox Oy
lần lượt tại hai điểm
,AB
sao cho tam
giác
OAB
cân.
A.
5yx=−
. B.
5yx= − +
. C.
1yx=−
. D.
1yx= − +
.
Câu 33. Cho hàm số
31
1
x
y
x
−
=
−
có đồ thị
()C
. Biết
y ax b=+
là phương trình tiếp tuyến của
()C
có hệ
số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến có hoành độ tiếp điểm là số nguyên dương. Tính
2ab+
.
A.
2−
. B.
9
. C.
7
. D.
5
.
Câu 34. Cho hàm số
3
1
x
y
x
−
=
+
có đồ thị
()C
và đường thẳng
:4y x m = − +
. Tính tổng tất cả các giá trị
của
m
thỏa mãn
là tiếp tuyến của
( ).C
A.
10
. B.
3
. C.
13−
. D.
10−
.
Câu 35. Cho hàm số
( )
22
2y x x=−
có đồ thị
( )
C
. Gọi
(0; )Mb
là điểm thuộc trục
Oy
mà từ đó kẻ được
4
tiếp tuyến đến
( )
C
. Giá trị của
b
là
A.
01b
. B.
0
1
3
b
b
=
=
. C.
11b−
. D.
1
0
3
b
.
Câu 36. Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( )
C
. Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
a
để
có hai tiếp tuyến của
( )
C
qua
( )
;2Aa
với hệ số góc
1
k
,
2
k
thỏa mãn
22
1 2 1 2
10 . 0k k k k+ + =
. Tổng
các phần tử của
S
bằng
A.
7
. B.
7
2
. C.
75
2
−
. D.
55
2
−
.
Câu 37. Cho hàm số
32
34y x x= − +
có đồ thị là
( )
C
. Có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên thuộc trục
hoành sao cho từ đó có thể kẻ đến
( )
C
duy nhất một tiếp tuyến?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D. Vô số.
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Câu 38. Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị là
( )
C
. Tìm
a
để từ điểm
( )
0;Aa
có thể kẻ đến
( )
C
hai tiếp
tuyến sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục hoành.
A.
2
1
a
a
−
. B.
2
3
1
a
a
−
. C.
2
3
1
a
a
−
. D.
2
2
3
a− −
.
Câu 39. Cho hàm số
32
4y x mx x m= − + − −
có đồ thị
()
m
C
và
A
là điểm cố định có hoành độ âm của
()
m
C
. Giá trị của
m
để tiếp tuyến tại
A
của
()
m
C
vuông góc với đường phân giác góc phần tư
thứ nhất là
A.
6m =−
. B.
2m =
. C.
3m =−
. D.
7
2
m
−
=
.
Câu 40. Cho hàm số
21
22
x
y
x
−
=
−
có đồ thị
( )
C
. Gọi
( )
00
;M x y
(với
0
1x
) là điểm thuộc
( )
C
, biết tiếp
tuyến của
( )
C
tại
M
cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại
A
và
B
sao cho
8
OIB OIA
SS

=
(trong đó
O
là gốc tọa độ,
I
là giao điểm hai tiệm cận). Tính giá trị của
00
4.S x y=+
A.
8S =
. B.
17
4
S =
. C.
23
4
S =
. D.
2S =
.
Câu 41. Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( )
C
. Gọi
( )
;
AA
A x y
,
( )
;
BB
B x y
là hai điểm thuộc
( )
C
sao cho tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
,
B
song
song với nhau
( )
AB
xx
. Tiếp tuyến tại
A
cắt đường tiệm cận
ngang của
( )
C
tại
D
,
tiếp tuyến tại
B
cắt đường tiệm cận đứng
của
( )
C
tại
C
(tham khảo hình vẽ bên dưới). Chu vi tứ giác
ABCD
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
A.
16
. B.
8
.
C.
20
. D.
12
.
Câu 42. Cho hàm số
1
1
x
y
x
−
=
+
có đồ thị
( )
C
. Gọi
A
,
B
là hai điểm thuộc hai
nhánh của
( )
C
và các tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
,
B
cắt các đường tiệm
cận ngang và tiệm cận đứng của
( )
C
lần lượt tại các điểm
M
,
N
,
P
,
Q
(tham khảo hình vẽ bên dưới). Diện tích tứ giác
MN PQ
có giá trị
nhỏ nhất bằng
A.
16
. B.
32
. C.
8
.
D.
4
.
Câu 43. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số
42
23y x mx m= − +
tiếp xúc với trục
hoành tại hai điểm phân biệt?
A.
0
. B.
1
. C.
2
D. Vô số.
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 6
Câu 44. Cho hàm số
4 3 2 2 2
2
1
x x m x m x
y
x
− − +
=
+
. Có bao nhiêu giá trị của
m
để đồ thị hàm số đã cho tiếp
xúc với trục hoành?
A.
2
. B.
0
. C.
4
. D.
3
.
Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để đồ thị hàm số
e
x
ym=+
tiếp xúc với đồ thị hàm
số
( )
ln 1yx=+
.
A.
em =
. B.
1.m =
C.
em =−
. D.
1m =−
.
Câu 46. Số tiếp tuyến chung của hai đồ thị
( )
4
2
1
: 2 4
4
x
C y x= − +
và
( )
2
2
:4C y x=+
là
A. 0. B. 1. C. 4. D. 5.
Câu 47. Cho hai hàm số
2
yx=
(
1
C
) và
2
41
5
16
yx= − −
(
2
C
). Phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ
thị
( ) ( )
12
,CC
có hệ số góc dương là
A.
11
2 16
yx
−
=−
. B.
11
4 16
yx=−
. C.
11
4 16
yx
−
=−
. D.
11
2 16
yx=−
.
Câu 48. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
()y f x=
tại điểm có hoành độ
1,x =
biết
23
(1 2 ) (1 )f x x f x+ = − −
là đường thẳng nào sau đây?
A.
3 7 6 0xy− + =
. B.
7 6 0xy− − =
. C.
7 6 0xy+ + =
. D.
3 7 6 0xy+ + =
.
Câu 49. Cho hai hàm số
( )
y f x=
và
( )
y g x=
đều có đạo hàm trên và thỏa mãn
( ) ( ) ( )
3 2 2
2 2. 2 3 . 36 0f x f x x g x x− − + + + =
,
x
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại
2
o
x =
là
A.
3yx=−
. B.
24yx=−
. C.
2yx= − +
. D.
yx=
.
Câu 50. Cho hàm số
21
1
x
y
x
−
=
−
có đồ thị là
( )
C
. Gọi điểm
I
là giao của hai đường tiệm cận của
( )
C
.
M
là một điểm bất kì trên
( )
C
và tiếp tuyến của
( )
C
tại
M
cắt hai tiệm cận tại
,AB
. Biết chu
vi tam giác
IAB
có giá trị nhỏ nhất bằng
ab+
với
,ab
. Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
40ab− + =
. B.
20ab−
. C.
22
100ab+=
. D.
log 2
a
b =
.
Câu 51. Cho hàm số
42
( 1) 4y x m x m= − + +
có đồ thị
( )
m
C
. Tìm tham số
m
để
( )
m
C
tiếp xúc với đường
thẳng
( )
:3dy=
tại hai điểm phân biệt
A.
1
3
m
m
=
=
. B.
1
16
m
m
=
=
. C.
2
13
m
m
=
=
. D.
1
13
m
m
=
=
.
Câu 52. Giá trị
m
để đường thẳng
: (2 ) 2y m x = − +
cắt đồ thị
32
32( ) : y x xC =− +−
tại 3 điểm phân
biệt
(2 ; 2), ,A B C
sao cho tích các hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị
()C
tại
B
và
C
đạt giá trị
nhỏ nhất là:
A.
1m =
. B.
2m =−
. C.
2m =
. D.
1m =−
.
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Câu 53. Cho hàm số
( )
2
22
x
y x x e
−
= − − −
có đồ thị
( )
C
. Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
cắt các
trục
Ox
,
Oy
lần lượt tại
A
,
B
(với
A
,
B
khác
O
) sao cho
5
cos
26
ABO =
.
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 54. Biết rằng tồn tại duy nhất một giá trị thực của tham số
m
để đồ thị hàm số
2
6y x x m= − +
tiếp
xúc với đồ thị hàm số
2
5yx=−
. Giá trị
m
thuộc khoảng nào được cho dưới đây?
A.
( )
;6− −
. B.
( )
6;0−
. C.
( )
0; 6
. D.
( )
6;+
.
Câu 55. Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm liên tục trên
( )
0;+
thỏa mãn
( )
( )
2
4 3 ,
fx
f x x x x
x
+ = +
và
( )
12f =
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại điểm có hoành độ
2x =
là
A.
16 20yx= − −
. B.
16 20yx=−
. C.
16 20yx=+
. D.
16 20yx= − +
.
Câu 56. Cho hàm đa thức bậc bốn
( )
y f x=
có đồ thị
( )
C
. Hàm số
( )
y f x
=
có đồ thị như hình vẽ dưới
đây. Gọi đường thẳng
là tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại điểm có hoành độ bằng
1
. Hỏi
và
( )
C
có bao nhiêu điểm chung?
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Câu 57. Cho hàm số
3
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị là
( )
C
, điểm
M
thay đổi thuộc đường thẳng
: 1 2d y x=−
sao
cho qua
M
có hai tiếp tuyến của
( )
C
với hai tiếp điểm tương ứng là
A
,
B
. Biết rằng đường
thẳng
AB
luôn đi qua điểm cố định là
H
. Độ dài đoạn
OH
là
A.
34
. B.
10
. C.
29
. D.
58
.
Câu 58. Cho hàm số
( ) ( )
3
1 2 1 1y m x m x m= + − + − +
có đồ thị
( )
m
C
, biết rằng đồ thị
( )
m
C
luôn đi qua
ba điểm cố định
A
,
B
,
C
thẳng hàng. Có bao nhiêu số nguyên
m
thuộc đoạn
10;10−

để
( )
m
C
có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng chứa ba điểm
A
,
B
,
C
?
A.
19
. B.
1
. C.
20
. D.
10
.
Câu 59. Cho đồ thị
( )
32
:3C y x x=−
. Có bao nhiêu số nguyên
( )
10;10b −
để có đúng một tiếp tuyến
của
( )
C
đi qua điểm
( )
0; ?Bb
A. 2. B. 9. C. 17. D. 16.
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 8
BẢNG ĐÁP ÁN
1.D
2.D
3.B
4.A
5.B
6.D
7.B
8.C
9.A
10.B
11.D
12.C
13.A
14.D
15.D
16.D
17.B
18.D
19.C
20.A
21.B
22.A
23.B
24.D
25.B
26.D
27.D
28.B
29.B
30.A
31.A
32.B
33.D
34.D
35.D
36.C
37.B
38.C
39.C
40.A
41.D
42.A
43.B
44.D
45.D
46.D
47.D
48.C
49.D
50.A
51.D
52.D
53.B
54.D
55.B
56.B
57.D
58.C
59.C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Chọn D
Với
00
1 2015xy= − =
. Ta có
( )
2
3 4 1 1 8y x x y

= − + − =
.
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
0
1x =−
có phương trình
( )
8 1 2015yx= + +
hay
8 2023yx=+
.
Câu 2. Chọn D
Ta có
( )
2
3 2 2
8 16 3 16 164–y x x x x x y x x
= − + = += −
nên hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm
là:
( )
13y
=
.
Tiếp tuyến tại điểm
( )
0
1 ; 4M
có phương trình
( )
3 1 9yx= − +
hay
36yx=+
.
Câu 3. Chọn B
Với
00
2 23xy= − =
. Ta có
3
44y x x
=+
( )
2 40y
− = −
.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
0
2x =−
là
( )
40 2 23yx= − + +
hay
40 57yx= − −
.
Câu 4. Chọn A
Ta có
3
44y x x
=+
Với
00
1 ( ) (1) 8x y x y

= = =
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại
( )
1 ; 6M
là
( )
8 1 6yx= − +
hay
82yx=−
.
Câu 5. Chọn B
Điều kiện
2x
. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
1
4 1 4( 2) 3
2
x
x x x
x
+
= + = − =
−
(thỏa mãn)
Ta có:
2
3
(3) 3
( 2)
yy
x
−

= = −
−
.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm
3( 3) 4yx= − − +
hay
3 13yx= − +
.
Câu 6. Chọn D
Điều kiện
1x
.
Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
1
1 1 1 2
1
xx
x
= − = =
−
(thỏa mãn)
Ta có:
2
1
(2) 1
( 1)
yy
x
−

= = −
−
.
Phương trình tiếp tuyến
1( 2) 1yx= − − +
hay
3yx= − +
.
Tiếp tuyến cắt
,Ox Oy
lần lượt tại hai điểm
(3 ; 0); (0 ; 3)AB
.
Do đó diện tích tam giác
OAB
là
9
2
.
Câu 7. Chọn B
Điều kiện:
0x
.
Hoành độ tiếp điểm
M
là nghiệm phương trình
( ) ( )
ln ln 1 ln 2 , 0x x x+ + =
( )
2
20
ln ln 1 ln 2 1
0
xx
x x x
x
+ − =
+ + = =
( ) ( )
1 1 3
ln ln 1 ' ' 1
12
y x x y y
xx
= + + = + =
+
.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm
( )
3
1 ln 2
2
yx= − +
hay
33
ln2
22
yx= − +
.
Câu 8. Chọn C
Điều kiện:
1x
. Tung độ tiếp điểm bằng
0
.
Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm phương trình
ln( 1) 0 ln( 1) 0 2x x x x− = − = =
(do
1x
)
( )
' ln 1
1
x
yx
x
= − +
−
( )
' 2 2y=
.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
( )
22yx=−
hay
24yx=−
Câu 9. Chọn A
Gọi
( )
00
;M x y
là tọa độ tiếp điểm, do
0
15y =−
nên hoành độ
0
x
là nghiệm của phương trình
3 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0
15 6 9 1 15 6 9 16 0y x x x x x x= − − + + = − − + + =
0
1x = −
Ta có
2
3 12 9y x x
= − +
nên
( )
1 24y
−=
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
( )
24 1 15 24 9y x x= + − = +
.
Câu 10. Chọn B
Gọi
( )
00
;M x y
là điểm trên
( )
C
. Khi đó tiếp tuyến của
( )
C
tại
M
có hệ số góc
k
là
( )
2
22
0 0 0 0 0 0
2 1 5 1 5 5
3 2 2 3 3
3 9 3 3 3 3
k y x x x x x x
= = − + = − + + = − +
Do đó ta có
5
min
3
k =
đạt được khi
00
1 151
3 27
xy= =
.
Câu 11. Chọn D
Gọi
( )
,M a b
là giao điểm của đồ thị
( )
C
với đường thẳng
d
.
Ta có
( )
MC
( )
2
3
log , 3 2
2
a
ba
a
+
= −
−
và
( )
Md
2b=
1a=
( )
1; 2M
.
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 10
Phương trình cần là
( ) ( )
1 . 1 2y y x
= − +
.
Lại có
( )( )
5
2 3 ln 2
y
xx
=
−+
( )
5
1
4ln 2
y
=
. Vậy
55
2.
4ln 2 4ln 2
yx= + −
Câu 12. Chọn C
Đường thẳng
2ln 4.y x m=+
là tiếp tuyến của đường cong
2
4
x
y =
khi và chỉ khi hệ phương
trình
2
2
4 2ln 4.
2.4 ln 4 2ln 4
x
x
xm
=+
=
có nghiệm.
Ta có
2
2
4 2ln 4.
2.4 ln 4 2ln 4
x
x
xm
=+
=
2
4 2ln 4.
0
x
xm
x
=+
=
1m=
.
Câu 13. Chọn A
Ta có :
2
3 8 3y x x
= − +
.
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng
:
2 1 0xy+ + =
nên hệ số góc của tiếp tuyến là
2k =−
, hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
2
1
3 8 3 2
5
3
x
xx
x
=
− + = −
=
.
Với
13xy= = −
ta có phương trình tiếp tuyến là
( )
2 1 3 2 1y x y x= − − − = − −
(loại vì
trùng với đường thẳng
).
Với
5 121
3 27
xy= = −
ta có phương trình tiếp tuyến là
5 121 31
22
3 27 27
y x y x

= − − − = − −


.
Câu 14. Chọn D
Ta có:
2
3 6 7y x x
= − + −
( )
2
3 1 4 4x= − − − −
. Dấu
""=
xảy ra khi
13xy= = −
.
Do đó, tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc lớn nhất bằng
4−
và là tiếp tuyến tại điểm
( )
1 ; 3M −
.
Phương trình tiếp tuyến là
( )
4 1 3yx= − − −
41yx= − +
.
Câu 15. Chọn D
Ta có
( )
32
4 2 2 2y ax bx x ax b
= + = +
.
Đường thẳng
4 2019 0xy+ − =
có hệ số góc
1
4
k =−
.
Suy ra
( )
24f
=
( )
4 8 4 8 1a b a b + = + =
.
( )
2; 5A −
thuộc đồ thị hàm số nên
16 4 23 5 4 7a b a b+ + = − + = −
.
Ta có hệ phương trình:
8 1 2
2 4 15
4 7 15
a b a
ab
a b b

+ = =
+ − = −

+ = − =−

.
Câu 16. Chọn D
Cách 1 :
Đường thẳng
ym=
tiếp xúc với đường cong
( ) ( )
42
: 8 35C f x x x= − +
khi hệ sau có nghiệm
( )
( )
( )
42
42
3
42
8 35
8 35 1
4 16 0 2
8 13
x x m
x x m
xx
x x m
− − =
− − =


−=
− − =

.
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Từ (2)
3
0
4 16 0 2
2
x
x x x
x
=
− = =
=−
.
Với
0x =
thay vào
( )
1
ta được
35m =
.
Với
2x =
thay vào
( )
1
ta được
19m =
.
Với
2x =−
thay vào
( )
1
ta được
19m =
.
Vì đường thẳng
ym=
tiếp xúc với đồ thị
( ) ( )
42
: 8 35C f x x x= − +
tại hai điểm phân biệt, tức
là phương trình
( )
2
có 2 nghiệm kép. Thử lại, ta có
19m =
thỏa mãn.
Khi đó, tung độ tiếp điểm là
19y =
.
Cách 2:
Dựa vào dạng đồ thị của hàm trùng phương ta thấy đường thằng
ym=
(song song với trục Ox)
tiếp xúc với đồ thị hàm số
( ) ( )
42
: 8 35C f x x x= − +
chỉ có thể tại hai điểm cực tiểu hoặc điểm
cực đại. Do đường thẳng
ym=
tiếp xúc tại hai điểm phân biệt nên
ym=
đi qua hai điểm cực
tiểu.
Ta có
( )
3
0
4 16 0 2
2
x
f x x x x
x
=
= − = =
=−
.
Bảng biến thiên
Kết luận: Đường thẳng
19y =
tiếp xúc với
( )
C
tại hai điểm cực tiểu hay tung độ tiếp điểm là
19.
Câu 17. Chọn B
Xét hàm số
( ) ( )
2
1
ln 2 2
2
f x x x= − −
. Điều kiện
1x
.
Đường thẳng
2yx= − +
có hệ số góc
1
1k =−
, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là
2
1k =
.
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
( )
1fx
=
.
Ta có
( )
1fx
=
1
1
1
x
x
−=
−
2
2 0 2x x x− = =
(do điều kiện
1x
).
Vậy có
1
tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 18. Chọn D
Gọi
( )
;
aa
M a e e
−
−
là tọa độ tiếp điểm. Ta có
xx
y e e
−
=+
.
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
tại điểm
M
là
( )
aa
y a e e
−
=+
.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
22
a a a a
e e e e
−−
+ =
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi
0
aa
e e a
−
= =
.
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 12
Vậy tiếp tuyến tại điểm
( )
0;0M
có hệ số góc nhỏ nhất
2k =
.
Khi đó, phương trình tiếp tuyến cần tìm là
2yx=
.
Câu 19. Chọn C
Gọi
( )
32
0 0 0 0
; 3 6 1M x x x x+ − +
là tọa độ tiếp điểm. Ta có:
2
3 6 6y x x
= + −
.
Phương trình tiếp tuyến với
( )
C
tại
M
có dạng:
2 3 2
0 0 0 0 0 0
(3 6 6)( ) 3 6 1y x x x x x x x= + − − + + − +
.
Tiếp tuyến đi qua
(0;1)N
2 3 2
0 0 0 0 0 0
1 (3 6 6)( ) 3 6 1x x x x x x = + − − + + − +
32
0 0 0
2 3 0 0x x x + = =
hoặc
0
3
2
x =−
.
Với
0
0x =
, suy ra phương trình tiếp tuyến:
61yx= − +
.
Với
0
3
2
x =−
, suy ra phương trình tiếp tuyến:
33
1
4
yx= − +
.
Câu 20. Chọn A
Gọi
( )
32
0 0 0
; 3 2M x x x−+
là tọa độ tiếp điểm. Ta có
2
36y x x
=−
.
Phương trình tiếp tuyến với
( )
C
tại
M
có dạng:
( )
( )
2 3 2
0 0 0 0 0
3 6 3 2y x x x x x x= − − + − +
.
Tiếp tuyến đi qua
( )
1;0A
( )
( )
2 3 2
0 0 0 0 0
3 6 1 3 2 0x x x x x − − + − + =
32
0 0 0
2 6 6 2 0x x x − + − + =
0
1x=
. Vậy có duy nhất một tiếp tuyến cần tìm.
Câu 21. Chọn B
Ta có
( )
2
2
65
3
xx
y
x
−+
=
−
. Gọi
2
00
0
0
2
;
3
xx
Mx
x

−−


−

là tọa độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến với
( )
C
tại
M
có dạng:
( )
( )
22
0 0 0 0
0
2
0
0
6 5 2
3
3
x x x x
y x x
x
x
− + − −
= − +
−
−
Tiếp tuyến đi qua
( )
4;1A
( )
( )
22
0 0 0 0
0
2
0
0
6 5 2
14
3
3
x x x x
x
x
x
− + − −
= − +
−
−
0
0
2
00
0
1
3
17
5 22 17 0
5
x
x
xx
x
=

− + =
=
. Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm.
Câu 22. Chọn A
Ta có
( )
2
2
1
y
x
=
+
. Gọi
0
0
0
2
;
1
x
Mx
x



+

là tọa độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến với
( )
C
tại
M
có dạng:
( )
( )
0
0
2
0
0
2
2
1
1
x
y x x
x
x
= − +
+
+
Tiếp tuyến đi qua
( )
0;1A
( )
( )
0
0
2
0
0
2
2
1
1
1
x
x
x
x
= − +
+
+
( ) ( )
0
0
0
2
2
00
0 0 0 0
0
1
1
12
2 1 0
1 2 2 1
12
x
x
x
xx
x x x x
x
−
−
=−


− − =
+ = − + +
=+
.
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Suy ra tích hệ số góc cần tìm là:
( ) ( )
( ) ( )
22
22
1 2 . 1 2 . 1
1 2 1 1 2 1
yy

− + = =
− + + +
.
Câu 23. Chọn B
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ phương trình:
( )
( )
32
2
9 9 0 1
3 2 9 0 2
x mx x m
x mx
+ − − =
+ − =
Giải
( ) ( )( )( )
1 3 3 0x x x m − + + =
.
Với
3x =
, thay vào
( )
2
ta được
3m =−
.
Với
3x =−
, thay vào
( )
2
ta được
3m =
.
Với
xm=−
, thay vào
( )
2
ta được
3m =
.
Vậy
3;3S =−
. Khi đó tổng các phần tử của
S
bằng 0.
Câu 24. Chọn D
Giả sử
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;M x y N x y
.
Ta có
2
33y x a
=+
suy ra
22
12
3 3 3 3 3x a x a+ = + =
22
12
1x a x a+ = + =
.
Mặt khác,
3
1 1 1
3y x ax b= + +
3
1 1 1
2x ax ax b= + + +
( )
2
1 1 1
2x x a ax b= + + +
( )
1
21a x b= + +
.
Tương tự
( )
22
21y a x b= + +
.
Suy ra phương trình đường thẳng
MN
là
( )
2 1 0a x y b+ − + =
.
Giả thiết có
( )
,1d O MN =
( )
2
1
2 1 1
b
a
=
++
22
4 4 2b a a= + +
.
Vậy
2 2 2
3 4 2a b a a− = − − −
2
2 2 2
3
3 3 3
a
−
= − + −


.
Giá trị lớn nhất của
22
ab−
bằng
2
3
−
khi
2 10
,
33
ab
−
= =
.
Câu 25. Chọn B
Đặt
2
1t x x= + +
suy ra
0t
( vì
2
1xx+
với mọi
x
và
0xx+
với mọi
x
).
Ta có
(
)
(
)
22
1 1 1x x x x− + + + = −
suy ra
2
1
1xx
t
−
− + =
.
Vậy
( )
1
ft
t
−
=
với
0t
hay
( )
1
fx
x
−
=
với
0x
.
Có
( )
2
1
fx
x
=
1
4
2
f

=


suy ra tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
fx
tại điểm có hoành độ
0
1
2
x =
là đường thẳng
có phương trình:
1 1 1
44
2 2 2
y f x f x
= − + = −
.
Khi đó
cắt
Ox
tại điểm
( )
1 ; 0A
và cắt
Oy
tại điểm
( )
0 ; 4B −
nên diện tích của
OAB
là
11
. . 1 . 4 2
22
OAB
S OA OB
= = − =
.
Câu 26. Chọn D
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 14
Hàm số đã cho xác định với
1x
. Ta có:
( )
2
4
'
1
y
x
−
=
−
Gọi
( ) ( ) ( )
0 0 0
; , 1M x y C x
là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của
( )
:C
( )
( )
0
0
2
0
0
22
4
1
1
x
y x x
x
x
+
−
= − +
−
−
với
( )
( )
0
2
0
4
'
1
yx
x
−
=
−
và
0
0
0
22
1
x
y
x
+
=
−
Do
0
20x − =
0
2x =
, hay
2
2;
3
M

−


,
( )
2; 6M
.
Phương trình tiếp tuyến tại
2
2;
3
M

−


là
42
99
yx= − −
.
Phương trình tiếp tuyến tại
( )
2; 6M
là
4 14yx= − +
.
Vậy có
2
tiếp tuyến thỏa đề bài
42
99
yx= − −
,
4 14yx= − +
.
Câu 27. Chọn D
Ta có:
( )
2 4 4 3 2 3 2
4 1 4 4 ' 4 12 8y x x x x x x y x x x= − + = − + = − +
. Gọi
( ) ( )
00
;M x y C
là tiếp
điểm.
Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại
( )
00
;M x y
là
( )
( )
3 2 4 3
0 0 0 0 0 0 0
4 12 8 4 4y x x x x x x x x= − + − + − +
Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
C
và parabol :
0
4 3 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
4 4 ( 4 3) 0 1
3
x
x x x x x x x x
x
=
− + = − + = =
=
.
•
0
0x =
ta có phương trình tiếp tuyến là:
0y =
.
•
0
1x =
ta có phương trình tiếp tuyến là:
1y =
.
•
0
3x =
ta có phương trình tiếp tuyến là:
24 63yx=−
.
Câu 28. Chọn B
Ta có
( )
2
2 1 3
'
1
1
x
yy
x
x
−
= =
+
+
.
Phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại
( )
00
,M x y
là
( )
( )
0
0
2
0
0
21
3
1
1
x
y x x
x
x
−
= − +
+
+
.
Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang
2y =
là
( )
0
2 1; 2Ax+
,
0
21IA x=+
.
Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng
1x =−
là
0
0
24
1;
x
B
x

−
−


+

,
0
6
1
IB
x
=
+
.
Theo bài ra
22
40AI IB+=
( )
( )
( ) ( )
2 4 2
0 0 0
2
0
36
4 1 40 4 1 40 1 36 0
1
x x x
x
+ + = + − + + =
+
.
( )
( )
2
0
0 0 0
2
0 0 0
0
19
1 3 2; 4
1 1 0; 2
11
x
x x x
x x x
x
+=

+ = = = −

+ = = = −

+=
.
Do
0
3x −
nên
0
4x =−
suy ra điểm
( )
4; 3M −
. Vậy
00
12xy =−
.
Câu 29. Chọn B
( )
=
2
: P y x
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Ta gọi
( )
0;Ma
là điểm cần tìm. Phương trình đường thẳng
d
đi qua
M
có dạng
y kx a=+
.
Đường thẳng
d
là tiếp tuyến duy nhất của
( )
( )
2
1
(1)
1
2
(2)
1
x
kx a
x
H
k
x
+
=+
−
−
=
−
có nghiệm duy nhất.
Thế
(2)
vào
(1)
ta có phương trình
( )
( )
2
12
*
1
1
x
xa
x
x
+−
=+
−
−
Điều kiện
1x
.
Ta có
( ) ( ) ( )
2
* 1 2( 1) 1 0 0 (**)a x a x a g x − − + + + = =
Yêu cầu bài toán dẫn đến phương trình
(**)
có một nghiệm
1x
.
( )
1
1
1
;1
1
2
2
;1
2
0; 1
1
0; 1
20
0
10
a
x
xa
xa
xa
a
xa
g
=
=
==
==
= = −
= = −
−
=
Vậy có hai điểm thõa mãn là
( )
1
0;1M
và
2
(0; 1)M −
.
Câu 30. Chọn A
Ta có
( )
2
1
'
1
y
x
−
=
−
. Gọi
( )
21
; , 1
1
a
M a a
a
−

−

là tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến tại
M
là
( )
2
1 2 1
()
1
1
a
y x a
a
a
−−
= − +
−
−
.
Tiếp tuyến cắt trục
Ox
tại
2
(2 2 1; 0)A a a−+
; cắt trục
Oy
tại
2
2
2 2 1
0;
( 1)
aa
B
a

−+

−

.
Tam giác
OAB
vuông tại
2 2 2
O OA OB AB + =
. Mặt khác
82.AB OB=
2 2 2
82. 9 (1)OA OB OB OA OB + = =
.
Từ
(1)
ta có
2
2
2
2
2 2 1
2 2 1 9.
4
( 1)
a
aa
aa
a
a
=−
−+
− + =
=
−
Với
2a =−
ta có phương trình tiếp tuyến là
1 13
99
yx= − +
.
Với
4a =
ta có phương trình tiếp tuyến là
1 25
.
99
yx= − +
Câu 31. Chọn A
Điều kiện
1
2
x
. Ta có
( )
2
22
16 2 8 6 2 1 16 3 2 1x x x x x− − = − = + −
( )( )
2 1 3 4 2 1 3 4 0x x x x − + − − + + =
2 1 4 3xx − = −
vì
1
2 1 3 4 0
2
x x x− + +
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 16
2
16 26 10 0
1
3
4
xx
x
x
− + =
=
. Lại có
( )
2
2
2
'.
1
xx
y
x
+
=
+
Với
1x =
1
.
2
y=
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
=
+
tại
1
1;
2
M



là
( )
3 1 3 1
1
4 2 4 4
y x y x= − + = −
.
Câu 32. Chọn B
Ta có
( )
2
1
( 2)
y f x
x
−

==
−
.
Phương trình tiếp tuyến của
()C
tại điểm
( )
00
; ( )M x y C
(
0
3x
) có dạng
( )( )
0 0 0
y f x x x y
= − +
.
Do tiếp tuyến cắt hai tia
,Ox O y
lần lượt tại hai điểm
,AB
và tam giác
OAB
cân nên tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng
yx=
.
Suy ra
( )
0
2
0
0
1
11
3
1
2
x
x
x
=
−−
=
=
−
. So điều kiện thì ta loại
0
1.x =
Với
0
3x =
ta có phương trình tiếp tuyến là
5yx= − +
.
Câu 33. Chọn D
Ta có
( )
( )
2
2
1
y f x
x
−

==
−
.
Phương trình tiếp tuyến của
()C
tại điểm
( )
00
; ( )M x y C
có dạng
( )( )
0 0 0
y f x x x y
= − +
.
Ta có
( )
( )
0
2
0
2
1
fx
x
−
=
−
đạt giá trị nhỏ nhất khi
( )
2
0
1x −
đạt giá trị nhỏ nhất mà
0
x
phải là số
nguyên dương khác 1 nên
0
2x =
thỏa mãn yêu cầu.
Suy ra phương trình tiếp tuyến là:
( )
2 2 5 2 9y x y x= − − + = − +
.
Câu 34. Chọn D
Ta có
( )
( )
2
4
1
y f x
x
−

==
+
.
Phương trình tiếp tuyến của
()C
tại điểm
( )
00
; ( )M x y C
có dạng
( )( )
0 0 0
y f x x x y
= − +
.
Đường thẳng
:4y x m = − +
là tiếp tuyến của
()C
suy ra
( )
0
0
0
0
4
2
x
fx
x
=
= −
=−
.
Với
0
0x =
ta có phương trình tiếp tuyến là
( )
4 0 3 4 3y x y x= − − + = − +
.
Với
0
2x =−
ta có phương trình tiếp tuyến là
( )
4 2 5 4 13y x y x= − + − = − −
.
Vậy có 2 giá trị
m
thỏa mãn yêu cầu là
3; 13mm= = −
suy ra tổng các giá trị
m
là
10−
.
Câu 35. Chọn D
Phương trình đường thẳng
d
qua
(0; )Mb
có hệ số góc
k
là
:d y kx b=+
.
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
d
là tiếp tuyến với
( )
C
khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
42
42
3
2
32
44
x x kx b
b x x
x x k
− = +
= − +
−=
( )
1
.
Xét hàm số:
( )
42
32g x x x= − +
.
( )
3
12 4g x x x
= − +
;
( )
0
0
1
3
x
gx
x
=
=
=
.
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số
yb=
là đường thẳng song song với trục hoành.
Qua
(0 ; )Mb
kẻ được
4
tiếp tuyến đến
( )
C
khi phương trình
( )
1
có
4
nghiệm hay đường
thẳng
yb=
cắt đồ thị hàm số
( )
gx
tại
4
điểm.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi
1
0
3
b
.
Câu 36. Chọn C
Đường thẳng
d
đi qua
( )
;2Aa
với hệ số góc
k
có phương trình
( )
2y k x a= − +
.
( )
d
tiếp xúc với
( )
C
khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
( )
( )
2
1
2
1
2
1
x
k x a
x
k
x
+
− + =
−
−
=
−
( )
( )
2
2
1
2
1
1
xa
x
x
x
−−
+
+ =
−
−
( )
2
1
6 2 3 0 1
x
x x a
− + + =
.
Có
2
tiếp tuyến của
( )
C
qua
A
suy ra phương trình
( )
1
có hai nghiệm phân biệt khác
1
0
2 2 0a

−
3
1
a
a
( )
*
.
Hệ số góc của các tiếp tuyến là
( )
1
2
1
2
1
k
x
−
=
−
,
( )
2
2
2
2
1
k
x
−
=
−
với
1
x
,
2
x
là các nghiệm của
phương trình
( )
1
. Ta có:
( ) ( )
12
22
12
11
2
11
kk
xx


+ = − +

−−

( ) ( )
( )
2
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
2 2 2
2
1
x x x x x x
x x x x

+ − − + +

=−

− − +

( )
2
2 10
1
a
a
−
=
−
.
( )( )
12
2
12
4
.
11
kk
xx
=

−−

( )
2
1 2 1 2
4
1x x x x
=

− + +

( )
2
1
1a
=
−
.
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 18
Từ giả thiết:
22
1 2 1 2
10 . 0k k k k+ + =
( ) ( )
24
2 10 10
0
11
a
aa
−
+ =
−−
32
1
2 14 22 0
a
a a a
− + =
0
75
2
a
a
=
=
.
Kết hợp với điều kiện
( )
*
ta đươc:
0a =
hoặc
75
2
a
−
=
.
Vậy tổng các phần tử của
S
bằng
75
2
−
.
Câu 37. Chọn B
Đường thẳng
()d
qua
( )
;0A a Ox
,
a
có hệ số góc
k
có phương trình là
( )
y k x a=−
.
( )
d
là tiếp tuyến duy nhất với
( )
C
khi hệ phương trình sau có duy nhất nghiệm
( )
( )
32
2
34
36
x x k x a
I
x x k
− + = −
−=
.
( )
I
( )
( )
( )
( )
2
22
32
x x x k x a
x x k
− − − = −
−=
( ) ( )
2
2 2 3 1 2 0x x a x

− − − + =

.
( ) ( )
2
20
2 3 1 2 0 *
x
x a x
−=
− − + =
.
Hệ
( )
I
có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình
( )
*
vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
2x =
Trường hợp 1: Phương trình
( )
*
vô nghiệm
5
01
3
a −
. Vì
a
nên
0
1
a
a
=
=
Trường hợp 2: Phương trình
( )
*
có nghiệm kép
2x =
0
31
2
4
a
=
−
=
1
5
3
3
a
a
a
=−
=
=
a
.
Vậy tồn tại hai điểm có tọa độ nguyên thỏa mãn là
( )
0; 0A
hoặc
( )
1;0A
.
Câu 38. Chọn C
Tập xác định:
\1D =
. Ta có
( )
2
3
1
y
x
−
=
−
.
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
tại điểm
0
0
0
2
;
1
x
Mx
x

+


−

có phương trình:
( )
( )
0
0
2
0
0
2
3
1
1
x
y x x
x
x
+
= − − +
−
−
.
Tiếp tuyến đi qua
( )
0;Aa
nên
( )
00
2
0
0
32
1
1
xx
a
x
x
+
+=
−
−
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
( )( ) ( )
0
2
0 0 0 0
1
3 2 1 1
x
x x x a x
+ + − = −
( ) ( ) ( )
0
2
00
1
1 2 2 2 0 1
x
a x a x a
− − + + + =
.
Để từ
( )
0;Aa
kẻ đến
( )
C
hai tiếp tuyến thì phương trình
( )
1
có
2
nghiệm phân biệt khác
1
.
( ) ( )( )
( ) ( )
2
10
1
' 2 1 2 0
2
1 2 2 2 0
a
a
a a a
a
a a a
−
= + − − +

−
− − + + +
.
( )
*
Gọi
12
;xx
là các nghiệm của phương trình
( )
1
.
Khi đó tọa độ các tiếp điểm là
12
12
12
22
; ; ;
11
xx
E x F x
xx
++
−−
.
Để các tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi
12
12
22
.0
11
xx
xx
++
−−
( )
( )
1 2 1 2
1 2 1 2
24
0
1
x x x x
x x x x
+ + +

− + +
( )
( )
22
2
24
11
0
22
2
1
11
a
a
aa
a
a
aa
+
+
++
−−

+
+
−+
−−
9 6 2
0 9 6 0
33
a
aa
+
+ −
−
. Kết hợp với điều kiện
( )
*
suy ra
2
3
1
a
a
−
.
Câu 39. Chọn C
Gọi
( )
00
;A x y
với
0
0x
là điểm cố định cần tìm.
32
0 0 0 0
4,y x mx x m m = − + − −
23
0 0 0 0
( 4) 0,x m x x y m − − − − =
( )
2
00
0
3
0
000
2 vì 0
40
( 2;10)
10
0
xx
x
A
y
x x y
= −
−=

−

=
− − − =
.
Ta có
2
3 2 1 ( 2) 4 13y x mx y m

= − + − − = − −
.
Phương trình tiếp tuyến của
()
m
C
tại
( 2;10)A −
là
( 4 13)( 2) 10y m x= − − + +
hay
( 4 13) 8 16 ( )y m x m= − − − −
.
Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình
:d y x=
.
Vì
4 13 1 3d m m ⊥ − − = − = −
.
Câu 40. Chọn A
Tập xác định:
\1
. Tiệm cận đứng:
( )
1
1 xd=
, tiệm cận ngang:
( )
2
1 yd=
( )
1;1I
.
Ta có
( )
2
2
22
y
x
−
=
−
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 20
Phương trình tiếp tuyến
tại điểm
( )
00
;M x y
có dạng
( )
( )
0
0
2
0
0
21
2
22
22
x
y x x
x
x
−
−
= − +
−
−
1
Ad=
0
0
1;
1
x
A
x



−

;
2
Bd=
( )
0
2 1;1Bx−
;
( )
0
2 2;0IB x=−
,
0
1
0;
1
IA
x
=


−

.
Ta có
8
OIB OIA
SS

=
11
. . .sin 8. . . .sin A
22
OI IB OIB OI IA OI=
8IB IA=
( vì
0
A 135OIB OI==
)
0
0
1
2 2 8
1
x
x
− =
−
( )
2
0
14x − =
0
3x=
(do
0
1x
)
0
5
4
y=
00
4S x y = +
5
3 4. 8
4
= + =
Câu 41. Chọn D
Tiệm cận đứng:
( )
1
1 xd=
, tiệm cận ngang:
( )
2
1 yd=
.
Gọi
1
,
2
lần lượt là tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
,
B
.
Ta có
( )
2
2
1
y
x
−
=
−
.
12
//
( ) ( )
( ) ( )
22
22
11
AB
AB
y x y x
xx
−−

= =
−−
( )
2
AB
AB
x x l
xx
=
+=
.
Đặt
A
xm=
với
1m
. Suy ra
1
;
1
m
Am
m
+

−

,
3
2;
1
m
Bm
m
−
−

−

.
Tiếp tuyến tại
A
là
1
:
( )
( )
2
21
1
1
m
y x m
m
m
−+
= − +
−
−
.
Tiếp tuyến tại
B
là
2
:
( )
( )
2
23
2
1
1
m
y x m
m
m
−−
= + − +
−
−
.
12
Dd=
( )
2 1;1Dm−
;
21
Cd=
5
1;
1
m
C
m
−

−

.
Ta có
4
2 2 ;
1
AB DC m
m
−
= = −

−

ABCD
là hình bình hành.
2
1;
1
BC m
m
−
=−

−

. Chu vi
P
hình bình hành
ABCD
bằng
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
16 4 4
2 2 4 1 1 6 1
1 1 1
P AB BC m m m
m m m


= + = − + + − + = − +

− − −

.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm
( )
2
1m −
và
( )
2
4
1m −
, ta có:
( )
( )
2
2
4
6 2 1 . 12
1
Pm
m
− =
−
. Dấu “
=
” xảy ra
( )
( )
2
2
4
1 1 2
1
mm
m
− = = −
−
.
Câu 42. Chọn A
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Tiệm cận đứng:
( )
1
1 xd=−
, tiệm cận ngang:
( )
2
1 yd=
. Ta có
( )
2
2
1
y
x
=
+
.
Xét điểm
( )
2
1;
a
A a C
a
−
−


,
0a
. Tiếp tuyến tại
A
là
1
:
( )
2
22
1
a
y x a
a
a
−
= − + +
12
Md=
( )
2 1;1Ma−
;
11
Nd=
4
1;
a
N
a
−
−


.
Xét điểm
( )
2
1;
b
B b C
b
−
−


,
0b
. Tiếp tuyến tại
B
là
2
:
( )
2
22
1
b
y x b
b
b
−
= − + +
22
Pd=
( )
2 1;1Pb−
;
11
Qd=
4
1;
b
Q
b
−
−


.
( )
2 2 ;0MP b a=−
,
44
0;NQ
ab
=−


Ta có
( )
( )
2
22
42
4
1 1 1 1
. .2 .4
22
MNPQ
a b ab
ab
MP NQ S MP NQ a b
a b ab ab
+−
−
⊥ = = − − = =
−−
.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm
2
a
và
2
b
, ta có:
2 2 2 2
2 . 2a b a b ab+ = −
( )
44
16
MNPQ
ab
S
ab
−
=
−
. Dấu “
=
” xảy ra khi và chỉ khi
ab=−
.
Câu 43. Chọn B
Tập xác định
D =
;
( )
32
4 4 4y x mx x x m
= − = −
;
2
0
0
x
y
xm
=
=
=
.
Đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị đó có
hai điểm cực trị (trong bài toán này là hai cực tiểu) thuộc trục hoành.
Khi đó ta có
( )
0
0
m
fm

=
22
0
2 3 0
m
mmm

− + =
( )
0
30
m
mm

−=
3.m=
Vậy có 1 giá trị của tham số
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 44. Chọn D
Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
( ) ( ) ( )
( )
( )
4 3 2 2 2
2
3 2 2 2 2 4 3 2 2 2
2
2
0
1
4 3 2 . 1 .2
0
1
x x m x m x
x
I
x x m x m x x x m x m x x
x
− − +
=
+
− − + + − − − +
=
+
.
Ta có
( )
( )( )
( )
( )
( )
4 3 2 2 2
2
3 2 2 2 2 4 3 2 2 2
22
22
0
1
4 3 2 1 .2
0
11
x x m x m x
x
I
x x m x m x x x m x m x x
xx
− − +
=
+
− − + + − − +
−=
++
( )
( )
4 3 2 2 2
3 2 2 2
01
4 3 2 0 2
x x m x m x
x x m x m
− − + =
− − + =
.
( )
( )
( )
22
1 1 0 0;1;x x m x x m − − =
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 22
Khi
0x =
thay vào
( )
2
suy ra
0m =
.
Khi
1x =
thay vào
( )
2
suy ra
2
11mm= =
.
Khi
xm=
thay vào
( )
2
suy ra
32
2 2 0 1, 0m m m m− = = =
.
Khi
xm=−
thay vào
( )
2
suy ra
32
2 2 0 1, 0m m m m− − = = − =
.
Vậy có ba giá trị của
m
. Chọn đáp án D
Câu 45. Chọn D
Đồ thị hàm số
e
x
ym=+
tiếp xúc với đồ thị hàm số
( )
ln 1yx=+
khi và chỉ khi hệ phương
trình sau có nghiệm
( )
( )
( )
( )
( )
( )
e ln 1
e ln 1
1
1
2
e
e ln 1
1
x
x
x
x
mx
mx
mx
x
+ = +
+ = +


=

+ = +


+
Dễ thấy rằng hàm số
e
x
y =
đồng biến trên , hàm số
1
1
y
x
=
+
nghịch biến trên khoảng
( )
1;− +
và
0x =
là nghiệm của phương trình (2) nên phương trình (2) có nghiệm duy nhất là
0x =
.
Thay
0x =
vào phương trình (1) ta được
1.m =−
Câu 46. Chọn D
Gọi phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị là
y ax b=+
, hoành độ tiếp điểm của
( ) ( )
12
,CC
lần lượt là
12
,xx
. Ta có
( )
( )
( )
( )
4
2
1
11
3
11
2
22
2
2 4 1
4
42
43
24
x
x ax b
x x a
x ax b
xa
− + = +
−=
+ = +
=
.
Từ
( )
4
ta có
2
2
a
x =
, thế vào
( )
3
suy ra
( )
2
45
4
a
b =−
.
Thế
( )
2
vào
( )
5
ta được
( )
( )
2
3
11
4
46
4
xx
b
−
=−
.
Thế
( )
2
và
( )
6
vào
( )
1
ta có
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
( )
( )
( )
2
3
4
11
2 3 2 2 2 4 2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
4
2 4 4 4 8 4 16 8 16 0
44
xx
x
x x x x x x x x x
−
− + = − + − − + + − − + − =
( )
1
2 4 2
1 1 1 1
1
0
11 24 0 3
8
x
x x x x
x
=
− + − = =
=
. Thế vào
( )
2
ta được 5 giá trị của
a
là
0a =
,
3a =
,
82a =
. Do vậy hai đồ thị có 5 tiếp tuyến chung.
Câu 47. Chọn D
Gọi
d
là phương trình tiếp tuyến chung của
( ) ( )
12
,CC
và
0
xa=
là hoành độ tiếp điểm của
d
với
( )
1
C
thì phương trình
d
là
( )( ) ( )
22
0 0 0
22y f x x x y a x a a ax a
= − + = − + = −
.
d
tiếp xúc với
( )
2
C
khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
( )
( )
22
2
41
5 2 1
16
22
5
x ax a
x
a
x
− − = −
−
=
−
Thế (2) vào (1) ta có
22
2
2
2
41
5
16
4(5 )
5
xx
x
x
x
−
− − = −
−
−
. Đặt
2
5tx=−
(ĐK:
0t
)
Ta có phương trình
22
2
2
2
41 5 5
45 80 20 0
2
16
4
9
t
tt
t t t
t
t
t
=
−−
− = + − − =
−
=
.
Do điều kiện:
0t
nên nhận
2t =
. Với
2t =
suy ra
1
1
x
x
=
=−
, thế vào (2) ta có
1
4
1
4
a
a
=
−
=
.
Do đó
( ) ( )
12
,CC
có hai tiếp tuyến chung là
11
2 16
11
2 16
yx
yx
−
=−
=−
. Vậy phương trình tiếp tuyến chung
của hai đồ thị
( ) ( )
12
,CC
có hệ số góc dương là
11
2 16
yx=−
.
Câu 48. Chọn C
Ta có:
( ) ( )
223 3
(1 2 ) (1 2) 11xf fxx fx xxf+= ++− − =−
.
Đạo hàm hai vế
( ) ( )
23
2 1 1f x f x x+ + − =
, ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2
4. 2 1 . 2 1 3 1 . 1 1f x f x f x f x

+ + − − − =
.
Cho
0x =
ta được
( ) ( ) ( ) ( )
2
4 1 . 1 3. 1 . 1 1f f f f

−=
( ) ( ) ( )
1 . 1 . 4 3 1 1f f f

− =

.
( )
1
Từ
( ) ( )
23
2 1 1f x f x x+ + − =
, cho
0x =
ta có
( ) ( )
23
1 1 0ff+=
( )
( )
10
11
f
f
=
=−
.
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 24
Nếu
( )
10f =
thì mâu thuẫn với
( )
1
, do đó
( )
11f =−
, khi đó
( ) ( ) ( )
1 1 . 4 3 1f
− + =
( )
1
1
7
f
= −
.
Phương trình tiếp tuyến
( )
1
11
7
yx= − − −
16
77
yx = − −
hay
7 6 0xy+ + =
.
Câu 49. Chọn D
3 2 2
(2 ) 2 (2 3 ) . ( ) 36 0f x f x x g x x− − + + + =
,
x
( )
1
.
Vì
( )
1
đúng
x
nên cũng đúng với
32
0 (2) 2 (2) 0x f f= − =
(2) 0
(2) 2
f
f
=
=
.
Lấy đạo hàm hai vế của
( )
1
ta có:
22
3 (2 ). '(2 ) 12 (2 3 ). (2 3 ) 2 . ( ) . ( ) 36 0 ,f x f x f x f x x g x x g x x

− − − − + + + + + =
.
Cho
0x =
2
3 (2). (2) 12 (2). (2) 36 0f f f f

− − + =
( )
2
.
Ta thấy
(2) 0f =
không thỏa mãn
( )
2
nên
(2) 2f =
, khi đó
(2) 1f
=
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại
2
o
x =
là
( )( ) ( )
2 2 2y f x f
= − +
yx=
.
Câu 50. Chọn A
Ta có
( )
2
1
1
y
x
−
=
−
. Giả sử
( ) ( ) ( )
0 0 0
; , 1M x y C x
suy ra tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm
M
có
phương trình
( )
( )
0
0
2
0
0
21
1
1
1
x
y x x
x
x
−
−
= − +
−
−
.
Vì
11
2 1 2 1
lim ,lim
11
xx
xx
xx
+−
→→
−−
= + = −
−−
nên đường thẳng
1x =
là tiệm cận đứng của
( )
C
.
Mà
21
lim 2
1
x
x
x
→
−
=
−
nên đường thẳng
2y =
là tiệm cận ngang của
( )
C
, suy ra
( )
1 ; 2I
.
Điểm
0
0
2
1;
1
x
A
x



−

là giao điểm của tiệm cận đứng và tiếp tuyến, điểm
( )
0
2 1 ; 2Bx−
là giao
điểm của tiệm cận ngang và tiếp tuyến.
Ta có chu vi của tam giác
IAB
bằng
IA IB AB++
( )
( )
2
00
2
0
0
24
2 1 4 1
1
1
xx
x
x
= + − + − +
−
−
.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
2 4 4.2 4 8IA IB AB+ + + = +
.
Đẳng thức xảy ra khi
0
0
0
0
11
2
x
x
x
=
− =
=
Vậy chu vi tam giác
IAB
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
48+
khi
( )
0 ; 1M
hoặc
( )
2 ; 3M
.
Suy ra
4, 8ab==
nên
40ab− + =
.
Câu 51. Chọn D
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
25 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Ta có
( )
m
C
tiếp xúc với đường thẳng
( )
d
tại điểm có hoành độ
0
x
khi hệ
42
00
3
00
( 1) 4 3 (1)
4 2( 1) 0 (2)
x m x m
x m x
− + + =
− + =
có nghiệm
0
x
.
Từ phương trình
0
(2) 0x=
hoặc
2
0
1
2
m
x
+
=
.
Nếu
0
0x =
thay vào (1) ta được
3
4
m =
.
-Nếu
2
0
1
2
m
x
+
=
thay vào (1) ta được
2
2
1 ( 1)
43
22
mm
m
+ +
− + =


2
1
14 13 0
13
m
mm
m
=
− + =
=
Thử lại:
Khi
3
4
m =
thì
( )
m
C
tiếp xúc với
( )
d
tại chỉ một điểm
( )
0; 3
nên
3
4
m =
không thỏa mãn yêu
cầu của bài toán.
Khi
1m =
thì
2
00
11xx= =
, suy ra
( )
m
C
tiếp xúc với
( )
d
tại hai điểm
( ) ( )
1; 3 ; 1; 3−
Khi
13m =
thì
2
00
77xx= =
, suy ra
( )
m
C
tiếp xúc với
( )
d
tại hai điểm
( ) ( )
7;3 , 7; 3−
Vậy các giá trị
m
cần tìm là
1; 13mm==
.
Câu 52. Chọn D
Ta có :
32
32y x x=− +−
;
2
36y x x
= − +
Phương trình hoành độ giao điểm của
và
()C
:
32
3 2 (2 ) 2 (1)x x m x− + − = − +
2
2 ( 2)
2 0 (2)
xy
x x m
==
− − − =
.
Đường thẳng
cắt đồ thị
()C
tại
3
điểm phân biệt
(2 ; 2), ,A B C
(1)
có 3 nghiệm phân biệt
(2)
có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
2
9
0
4 9 0
(*)
4
0
(2) (2) 2 0
0
m
m
m
m
m

+
−

−
− − −
.
Với điều kiện (*), phương trình (2) có
2
nghiệm phân biệt
B
x
và
C
x
.
Theo định lý Viet, ta có:
1
.2
BC
BC
xx
x x m
+=
= − −
.
Tích hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị
()C
tại
B
và
C
là
2 2 2 2
. ( ) ( ) ( 3 6 )( 3 6 ) 9( 2 )( 2 )
B C B C B B C C B B C C
k k f x f x x x x x x x x x

= = − + − + = − −
.
2 2 2
9 2 ( ) 4 9 ( 2) 2( 2)
B C B C B C B C
x x x x x x x x m m
= − + + = + − +
22
9 ( 1) 1 9( 1) 9 9mm

= + − = + − −

.
Dấu "=" xảy ra khi
1m =−
(thỏa điều kiện (*)). Vậy
1m =−
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 53. Chọn B
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 26
Từ
2
2
1
1 tan
os
ABO
c ABO
=+
2
2
1 26 1
tan 1 1
25 25
os
ABO
c ABO
= − = − =
.
1
tan
5
ABO =
hay
tan 5OAB =
(do
90OAB ABO+ =
).
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là
tan 5k OAB= =
.
Ta có
2
0
x
y x e
−
=
,
x
.
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
5y
=
2
5
x
xe
−
=
.
Xét hàm số
( )
2 x
g x x e
−
=
. Ta có
( )
2
( ) 2
x
g x x x e
−
=−
;
( )
0gx
=
0
2
x
x
=
=
.
( )
lim
x
gx
→−
= +
;
( )
lim 0
x
gx
→+
=
.
Bảng biến thiên:
Nhận thấy
2
4. 5e
−
nên suy ra phương trình
2
5
x
xe
−
=
có một nghiệm duy nhất.
Vậy có duy nhất một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 54. Chọn D
Đồ thị hàm số
2
6y x x m= − +
tiếp xúc với đồ thị hàm số
2
5yx=−
khi và chỉ khi hệ phương
trình sau có nghiệm
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
27 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
(
)
( )
( )
( )
22
22
22
2
56
56
1
2
26
56
5
x x x m
x x x m
x
x
x x x m
x
− = − +
− = − +

−
=−
− = − +

−
Phương trình (2) tương đương với
2
2 6 0
5
x
x
x
+ − =
−
. (3)
Xét hàm số
( )
2
26
5
x
y f x x
x
= = + −
−
xác định, liên tục trên khoảng
( )
5 ; 5−
và
( )
(
)
3
2
5
20
5
fx
x
= +
−
,
( )
5 ; 5x −
. Suy ra, hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên khoảng
( )
5 ; 5−
. Lúc đó, phương trình (3) tương đương với
( ) ( )
2 2.f x f x= =
Thay
2x =
vào phương trình (1) ta được
9m =
.
Câu 55. Chọn B
Ta có
( )
( )
( ) ( )
2 3 2
4 3 . 4 3
fx
f x x x x f x f x x x
x

+ = + + = +
.
( )
( )
( )
( )
( )
3 2 3 2 4 3
. 4 3 . 4 3 dx .x f x x x x f x x x x f x x x C
= + = + = + +
.
Vì
( ) ( )
1 2 1. 1 2 2 2 0f f C C C= = + = + =
.
Suy ra
( ) ( )
4 3 3 2
.x f x x x f x x x= + = +
.
Khi đó:
( ) ( ) ( )
2
3 2 ; 2 16; 2 12f x x x f f

= + = =
.
Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại điểm có hoành độ
2x =
là
( )
16 2 12 16 20y x y x= − + = −
.
Câu 56. Chọn B
Ta có tiếp tuyến
của
( )
C
tại
1x =
là
( )( ) ( )
1 1 1y f x f
= − +
.
Dựa vào đồ thị của hàm số
( )
fx
, ta có
( )
10f
=
.
Vậy
( )
:1yf=
.
Gọi
1
a
,
2
a
là hai nghiệm còn lại của
( )
fx
. Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên:
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 28
Dựa vào bảng biến thiên ta có
( )
:1yf=
và
( )
C
có ba điểm chung.
Câu 57. Chọn D
Gọi
( )
;1 2M m m d−
. Gọi
là đường thẳng đi qua
M
có hệ số góc là
k
, khi đó phương trình
đường thẳng
( )
: 1 2y k x m m = − + −
.
Để
là tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
thì hệ phương trình
( )
( )
2
3
12
1
4
1
x
k x m m
x
k
x
+
= − + −
−
−=
−
có nghiệm.
Thay
( )
2
4
1
k
x
=−
−
vào phương trình
( )
3
12
1
x
k x m m
x
+
= − + −
−
ta được
( )
2
2 2 2 0mx m x m+ − − − =
( )
*
.
Qua
M
kẻ được hai tiếp tuyến với
( )
C
khi và chỉ khi phương trình
( ) ( )
2
2 2 2 0g x mx m x m= + − − − =
có hai nghiệm phân biệt
1x
( ) ( )
( )
2
0
0
2 2 0
1
1 4 2 2 0
am
m
m m m
m
g m m m
=
= − + +

= + − − −
.
Gọi
( )
;
AA
A x y
,
( )
;
BB
B x y
là hai tiếp điểm, với
A
x
,
B
x
là hai nghiệm của phương trình
( )
*
.
Theo địnhlý Vi-et ta có
( )
22
2
AB
AB
m
xx
m
m
xx
m
−
+=
+
=−
.
Gọi
I
là trung điểm của đoạn thẳng
AB
thì
23
;
1
mm
I
mm
− +

−

.
Mặt khác
( )
2
;
1
BA
BA
m x x
AB x x
m
−
=−


−

một vectơ pháp tuyến của đường thẳng
AB
là
( )
2 ;1n m m=−
.
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
29 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
AB
có một vectơ pháp tuyến
( )
2 ;1n m m=−
và đi
qua điểm
23
;
1
mm
I
mm
− +

−

là
( )
2 1 7 0mx m y m+ − + − =
.
Gọi
( )
;
HH
H x y
là điểm cố định mà đường thẳng
AB
đi qua.
Khi đó,
( ) ( )
2 1 7 0 2 1 7 0
H H H H H
mx m y m m x y y+ − − + = − − + + =
với mọi
0m
và
1m
.
Suy ra
( )
2 1 0 3
3; 7
7 0 7
H H H
HH
x y x
H
yy

− − = = −
− −

+ = = −

. Vậy
( ) ( )
22
3 7 58OH = − + − =
.
Câu 58. Chọn C
Gọi
( )
;
AA
A x y
,
( )
;
BB
B x y
,
( )
;
CC
C x y
Ta có:
A
là điểm cố định mà đồ thị
( )
m
C
luôn đi qua nên
( )
,
m
A C m
( ) ( )
3
1 2 1 1,
A A A
y m x m x m m = + − + − +
( )
33
3 3 3
33
2 1 1 0,
2 1 0 2 1 0 2 1 0
1 0 2 1 2 2
A A A A A
A A A A A A
A A A A A A A A A
m x x x x y m
x x x x x x
x x y y x x x y x
− − + − + − =
− − = − − = − − =
− + − = = − − + + = +
Tương tự ta cũng chứng minh được:
2
BB
yx=+
và
2
CC
yx=+
.
Hay ba điểm
A
,
B
,
C
thuộc đường thẳng
:2yx = +
.
Ta lại có:
( ) ( )
2
3 1 2 1y m x m
= + − +
và gọi
( )
00
;M x y
là tiếp điểm
Khi đó để
( )
m
C
có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
thì phương trình
( )
1
1
o
yx
k
−
= = −
phải có nghiệm
( ) ( )
2
0
3 1 2 0 *m x m + − =
phải có nghiệm
Xét
( )
1 : * 2 0m = − =
(vô lí) nên loại
1m =−
Xét
( )
( )
2
0
2
1 : *
31
m
mx
m
− =
+
Để
( )
*
có nghiệm thì
( )
( ) )
2
0 ; 1 0;
31
m
m
m
− − +
+
So với điều kiện
m
và
10;10m −

ta được
m
và
)
10 ; 1 0;10m − −
Hay
10; 9; 8; 7 ; 6; 5; 4; 3; 2;0;1; 2; 3; 4; 5;6;7 ; 8;9;10m − − − − − − − − −
Vậy có
20
số
m
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 59. Chọn C
Gọi
( )
32
0 0 0 0
;3M x x x−
là tiếp điểm.
Tiếp tuyến
của
()C
tại
0
M
có dạng
( )
( )
2 3 2
0 0 0 0 0
3 6 3y x x x x x x= − − + −
qua
( )
( )
2 3 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0
(0; ) 3 6 0 3 2 3 (*)B b b x x x x x b x x = − − + − − = −
.
Có đúng một tiếp tuyến của
( )
C
đi qua điểm
( )
0; (*)Bb
có đúng 1 nghiệm
0
x
.
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 30
Đặt
( )
32
23g x x x=−
;
( )
2
g 6 6x x x
=−
;
( )
0
0
1
x
gx
x
=
=
=
.
Ta có bảng biến thiên của hàm
()gx
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình
( )
*
có đúng 1 nghiệm
00
11
bb
bb

−


− −

.
Vì
b
nguyên và
( )
10;10b −
, suy ra
9; 8;...; 1; 2; 3;....;9b − − −
, có 17 giá trị của
b
.
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Câu 1: Cho hàm số
( )
32
1 3 2 1y x m x mx m= + − − + +
có đồ thị
( )
m
C
, biết rằng đồ thị
( )
m
C
luôn đi
qua hai điểm cố định
,AB
. Có bao số nguyên dương
m
thuộc
2020;2020−
để
( )
m
C
có tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng
AB
?
A.
4041
. B.
2021
. C.
2019
D.
2020
.
Câu 2: Cho biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại điểm có hoành độ
1x =
là
21yx=−
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
2
21y f x=−
tại điểm có hoành độ
1x =
là
A.
43yx=−
. B.
54yx=−
. C.
87yx=−
. D.
65yx=−
.
Câu 3: Cho đồ thị
(C )
của hàm số
21
1
x
y
x
−
=
−
. Viết tất cả các phương trình tiếp tuyến của
(C )
, biết
khoảng cách từ điểm
( )
12I;
đến tiếp tuyến bằng
2
.
A.
50xy+ − =
. B.
10xy+ − =
và
50xy+ − =
.
C.
10xy+ + =
và
50xy+ + =
. D.
10xy+ − =
.
Câu 4: Cho hàm số
( )
( )
21
0
m x m
ym
xm
−−
=
+
có đồ thị
( )
m
C
. Biết rằng tồn tại duy nhất một đường
thẳng
( )
d
có phương trình
y ax b=+
sao cho
( )
m
C
luôn tiếp xúc với
( )
d
. Giá trị của
ab+
là
A.
3−
. B.
1
. C.
1−
. D.
2
.
Câu 5: Cho hàm số
( )
y f x=
xác định và có đạo hàm trên , thỏa mãn:
( ) ( )
3
1 2. 1 21 3 0f x f x x+ + + − − =


. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
y f x=
tại
điểm có hoành độ
0
1x =
.
A.
31yx=+
. B.
32yx=+
. C.
32yx=−
. D.
31yx=−
.
Câu 6: Xét điểm
M
có hoành độ là số nguyên thuộc đồ thị
( )
21
:
1
x
Cy
x
+
=
−
. Tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại điểm
M
cắt đường tiệm cận ngang của
( )
C
tại điểm
A
. Hỏi có bao nhiêu điểm
M
thỏa
điều kiện
A
cách gốc tọa độ một khoảng cách nhỏ hơn
2 10
?
A.
6
. B.
5
. C.
7
. D.
4
.
Câu 7: Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị
( )
P
như hình bên và đường thẳng
: 2 2yx = −
là tiếp tuyến
của
( )
P
tại điểm
A
. Xét hàm số
( )
( )
fx
gx
x
=
. Tính
( )
'2g
.
Bài toán về tiếp tuyến thường gặp
DẠNG 2
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2
A.
( )
1
'2
2
g =
. B.
( )
1
'2
4
g =
. C.
( )
1
'2
4
g =−
. D.
( )
1
'2
2
g =−
.
Câu 8: Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, giả sử đồ thị
( )
G
của hàm số
( )
3
ln3
x
y =
cắt trục tung tại điểm
A
và tiếp tuyến của
( )
G
tại
A
cắt trục hoành tại điểm
B
. Tính diện tích của tam giác
OAB
.
A.
0,603
. B.
0,414
C.
0,829
. D.
1,207
.
Câu 9: Cho hàm số
( )
3
3y f x x x= = −
có đồ thị
( )
C
và hàm số
( )
2
y g x x==
có đồ thị
( )
P
. Hỏi hai
đồ thị
( )
C
và
( )
P
có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến chung?
A.
1
. B.
0
. C.
3
. D.
2
.
Câu 10: Cho hàm số
1
2
x
y
x
+
=
+
có đồ thị
()C
và đường thẳng
: 2 1d y x m= − + −
(
m
là tham số thực). Gọi
12
,kk
là hệ số góc của tiếp tuyến của
()C
tại giao điểm của
d
và
()C
. Tính tích
12
.kk
.
A.
12
.2kk =
. B.
12
1
.
4
kk =
. C.
12
.4kk =
. D.
12
.3kk=
.
Câu 11: Gọi
( )
C
là đồ thị của hàm số
2
34
1
xx
y
x
−+
=
−
và
( )
P
là Parabol có phương trình
2
a 8.y x bx= + −
Biết từ điểm
kẻ được hai tiếp tuyến với
( )
C
. Gọi
12
;kk
là hệ số góc
của hai tiếp tuyến đó và gọi
I
là đỉnh của
( )
P
. Khi
( )
P
đi qua
( ) ( )
12
;0 , ;0 ,M k N k
tính bán
kính
R
của đường tròn ngoại tiếp tam giác
.IMN
A.
47
.
100
R =
B.
9
.
2
R =
C.
12
.
25
R =
D.
161
.
36
R =
Câu 12: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên và hai đường thẳng
( )
1
: y h x=
và
( )
2
: y g x=
có đồ
thị như hình vẽ dưới đây.
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Hệ số góc
k
của tiếp tuyến với đồ thị
( )
( ) ( )
( )
.
:
f x h x
Cy
gx
=
tại điểm có hoành độ
2x =
có dạng
a
k
b
=
. Khi đó
ab+
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
( )
15;25
. B.
( )
20;10−
. C.
( )
60;80
. D.
( )
30; 21−−
.
Câu 13: Gọi
S
là tập tất cả các giá trị của tham số
m
để đường thẳng
3y x m=+
tiếp xúc với đồ thị hàm
số
3
1.yx=+
Tổng tất cả các phần tử của
S
bằng
A.
0
. B.
2
. C.
1−
. D.
3
.
Câu 14: Cho
( )
fx
là hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , , , 0S f a f b f c f d f
=
. Phần tử lớn nhất trong tập hợp
S
là:
A.
( )
fa
. B.
( )
fb
. C.
( )
0f
. D.
( )
fd
.
Câu 15: Cho biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại điểm có hoành độ
1x =
là
21yx=−
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
2
21y f x=−
tại điểm có hoành độ
1x =
là
A.
43yx=−
. B.
54yx=−
. C.
87yx=−
. D.
65yx=−
.
Câu 16: Cho hàm số
42
2y x x=−
có đồ thị
( )
C
. Tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
cắt
( )
C
tại
( )
22
;B x y
với
B
khác
A
thỏa
( )
2 1 2 1
24y y x x− = − −
. Số điểm
A
thỏa mãn là
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
0
.
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 4
Câu 17: Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( )
C
và điểm
( )
0;Aa
. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của
a
trong đoạn
2018;2018−
để từ
A
kẻ được hai tiếp tuyến đến
( )
C
sao cho hai tiếp điểm nằm
về hai phía của trục hoành
A.
2019
. B.
2020
. C.
2017
. D.
2018
.
Câu 18: Cho hàm số
42
2y x x=−
có đồ thị
( )
C
. Tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
cắt
( )
C
tại
( )
22
;B x y
với
B
khác
A
thỏa
( )
2 1 2 1
24y y x x− = − −
. Số điểm
A
thỏa mãn là
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
0
.
Câu 19: Tìm điểm
M
có hoành độ âm trên đồ thị
( )
3
12
:
33
C y x x= −+
sao cho tiếp tuyến tại
M
vuông
góc với đường thẳng
12
:
33
d y x= − +
.
A.
( )
2; 4M −−
. B.
4
1;
3
M

−


. C.
( )
2;0M −
. D.
4
2;
3
M

−


.
Câu 20: Cho đa thức
( )
fx
với hệ số thực và thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
2
2 1 , .f x f x x x+ − =
Biết
tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
1x =
của đồ thị hàm số
( )
y f x=
tạo với hai trục tọa độ một
tam giác. Tính diện tích của tam giác đó?
A.
1
.
6
B.
3
2
. C.
1
3
. D.
2
3
.
Câu 21: Xét điểm
M
có hoành độ là số nguyên thuộc đồ thị
( )
21
:
1
x
Cy
x
+
=
−
. Tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại điểm
M
cắt đường tiệm cận ngang của
( )
C
tại điểm
A
. Hỏi có bao nhiêu điểm
M
thỏa
điều kiện
A
cách gốc tọa độ một khoảng cách nhỏ hơn
2 10
?
A.
6
. B.
5
. C.
7
. D.
4
.
Câu 22: Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị
( )
P
như hình bên và đường thẳng
: 2 2yx = −
là tiếp tuyến
của
( )
P
tại điểm
A
. Xét hàm số
( )
( )
fx
gx
x
=
. Tính
( )
'2g
.
A.
( )
1
'2
2
g =
. B.
( )
1
'2
4
g =
. C.
( )
1
'2
4
g =−
. D.
( )
1
'2
2
g =−
.
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Câu 23: Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, giả sử đồ thị
( )
G
của hàm số
( )
3
ln3
x
y =
cắt trục tung tại điểm
A
và tiếp tuyến của
( )
G
tại
A
cắt trục hoành tại điểm
B
. Tính diện tích của tam giác
OAB
.
A.
0,603
. B.
0,414
C.
0,829
. D.
1,207
.
Câu 24: Cho hàm số
( )
3
3y f x x x= = −
có đồ thị
( )
C
và hàm số
( )
2
y g x x==
có đồ thị
( )
P
. Hỏi hai
đồ thị
( )
C
và
( )
P
có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến chung?
A.
1
. B.
0
. C.
3
. D.
2
.
Câu 25: Cho hàm số
1
2
x
y
x
+
=
+
có đồ thị
()C
và đường thẳng
: 2 1d y x m= − + −
(
m
là tham số thực). Gọi
12
,kk
là hệ số góc của tiếp tuyến của
()C
tại giao điểm của
d
và
()C
. Tính tích
12
.kk
.
A.
12
.2kk =
. B.
12
1
.
4
kk =
. C.
12
.4kk =
. D.
12
.3kk=
.
Câu 26: Gọi
( )
C
là đồ thị của hàm số
2
34
1
xx
y
x
−+
=
−
và
( )
P
là Parabol có phương trình
2
a 8.y x bx= + −
Biết từ điểm
kẻ được hai tiếp tuyến với
( )
C
. Gọi
12
;kk
là hệ số góc
của hai tiếp tuyến đó và gọi
I
là đỉnh của
( )
P
. Khi
( )
P
đi qua
( ) ( )
12
;0 , ;0 ,M k N k
tính bán
kính
R
của đường tròn ngoại tiếp tam giác
.IMN
A.
47
.
100
R =
B.
9
.
2
R =
C.
12
.
25
R =
D.
161
.
36
R =
Câu 27: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên và hai đường thẳng
( )
1
: y h x=
và
( )
2
: y g x=
có đồ
thị như hình vẽ dưới đây.
Hệ số góc
k
của tiếp tuyến với đồ thị
( )
( ) ( )
( )
.
:
f x h x
Cy
gx
=
tại điểm có hoành độ
2x =
có dạng
a
k
b
=
. Khi đó
ab+
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
( )
15;25
. B.
( )
20;10−
. C.
( )
60;80
. D.
( )
30; 21−−
.
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 6
Câu 28: Gọi
S
là tập tất cả các giá trị của tham số
m
để đường thẳng
3y x m=+
tiếp xúc với đồ thị hàm
số
3
1.yx=+
Tổng tất cả các phần tử của
S
bằng
A.
0
. B.
2
. C.
1−
. D.
3
.
Câu 29: Cho
( )
fx
là hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , , , 0S f a f b f c f d f
=
. Phần tử lớn nhất trong tập hợp
S
là:
A.
( )
fa
. B.
( )
fb
. C.
( )
0f
. D.
( )
fd
.
Câu 30: Cho biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại điểm có hoành độ
1x =
là
21yx=−
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
2
21y f x=−
tại điểm có hoành độ
1x =
là
A.
43yx=−
. B.
54yx=−
. C.
87yx=−
. D.
65yx=−
.
Câu 31: Cho hàm số
42
2y x x=−
có đồ thị
( )
C
. Tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
cắt
( )
C
tại
( )
22
;B x y
với
B
khác
A
thỏa
( )
2 1 2 1
24y y x x− = − −
. Số điểm
A
thỏa mãn là
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
0
.
Câu 32: Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( )
C
và điểm
( )
0;Aa
. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của
a
trong đoạn
2018;2018−
để từ
A
kẻ được hai tiếp tuyến đến
( )
C
sao cho hai tiếp điểm nằm
về hai phía của trục hoành
A.
2019
. B.
2020
. C.
2017
. D.
2018
.
Câu 33: Cho hàm số
42
2y x x=−
có đồ thị
( )
C
. Tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
cắt
( )
C
tại
( )
22
;B x y
với
B
khác
A
thỏa
( )
2 1 2 1
24y y x x− = − −
. Số điểm
A
thỏa mãn là
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
0
.
Câu 34: Tìm điểm
M
có hoành độ âm trên đồ thị
( )
3
12
:
33
C y x x= −+
sao cho tiếp tuyến tại
M
vuông
góc với đường thẳng
12
:
33
d y x= − +
.
A.
( )
2; 4M −−
. B.
4
1;
3
M

−


. C.
( )
2;0M −
. D.
4
2;
3
M

−


.
Câu 35: Cho đa thức
( )
fx
với hệ số thực và thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
2
2 1 , .f x f x x x+ − =
Biết
tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
1x =
của đồ thị hàm số
( )
y f x=
tạo với hai trục tọa độ một
tam giác. Tính diện tích của tam giác đó?
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
A.
1
.
6
B.
3
2
. C.
1
3
. D.
2
3
.
Câu 36: Gọi
( )
P
là đồ thị của hàm số
2
22y x x= + +
và điểm M di chuyển trên
( )
.P
Gọi
( ) ( )
12
,dd
là
các đường thẳng qua M sao cho
( )
1
d
song song với trục tung và
( ) ( )
12
,dd
đối xứng nhau qua
tiếp tuyến của
( )
P
tại M. Biết rằng
M
di chuyển trên
( )
P
thì
( )
2
d
luôn đi qua điểm cố định
( )
;.I a b
Đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
3 2 0.ab+=
B.
0.ab+=
C.
1.an =−
D.
5 4 0.ab+=
Câu 37: Cho hàm số
1
()f x x
x
=+
. Cho điểm
( ; )M a b
sao cho có đúng hai tiếp tuyến của đồ thị hàm
số
()y f x=
đi qua M, đồng thời hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. Biết điểm M luôn thuộc
một đường tròn cố định, bán kính của đường tròn đó là
A.
2
. B.
4
. C.
1
. D.
2
.
Câu 38: Cho hàm số
( )
4 3 2
2= = − +y f x x x x
có đồ thị
( )
C
. Gọi
S
là tập chứa tất cả các giá trị thực của
tham số
a
để có đúng 2 tiếp tuyến kẻ từ
( )
;0=Aa
đến
( )
C
. Số phần tử của
S
là
A.
0
. B.
4
. C.
2
. D. Vô số.
Câu 39: Cho hàm số
( )
y f x x x x= = − +
4 3 2
2
có đồ thị
( )
C
. Gọi
S
là tập chứa tất cả các giá trị thực
của tham số
a
để có đúng
2
tiếp tuyến kẻ từ
( )
;Aa0
đến
( )
C
. Số phần tử của
S
là
A.
0
. B.
4
. C.
2
. D. vô số.
Câu 40: Gọi
m
là giá trị để đồ thị
( )
m
C
của hàm số
22
2 2 1
1
x mx m
y
x
+ + −
=
−
cắt trục hoành tại hai điểm
phân biệt và các tiếp tuyến với
( )
m
C
tại hai điểm này vuông góc với nhau. Khi đó ta có :
A.
( )
1;2m
. B.
( )
2; 1m − −
. C.
( )
0;1m
. D.
( )
1;0m−
.
Câu 41: Trên đường thẳng
: 2 1d y x=+
có bao nhiêu điểm có thể kẻ được đến đồ thị
( )
3
:
1
x
Cy
x
+
=
−
đúng một tiếp tuyến.
A.
5
. B.
4
. C.
3
. D. Vô số.
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 8
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Cho hàm số
( )
32
1 3 2 1y x m x mx m= + − − + +
có đồ thị
( )
m
C
, biết rằng đồ thị
( )
m
C
luôn đi qua
hai điểm cố định
,AB
. Có bao số nguyên dương
m
thuộc
2020;2020−
để
( )
m
C
có tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng
AB
?
A.
4041
. B.
2021
. C.
2019
D.
2020
.
Lời giải
Chọn C
Ta tìm toạ độ hai điểm cố định
,AB
.
Ta có
( )
( )
3 2 2 3 2
1 3 2 1 3 2 1 0y x m x mx m m x x x x y= + − − + + − + + − + − =
. Toạ độ hai điểm
cố định
,AB
là nghiệm hệ
( ) ( )
2
32
3 2 0 1, 1
1;1 , 2;5
2, 5
1
x x x y
AB
xy
x x y
− + = = =

==
− + =
.
Khi đó ta có:
( ) ( )
: 4 3 0 : 4 3AB x y AB y x− + + = = −
.
Hệ số góc của tiếp tuyến với
( )
m
C
tại
( )
00
;M x y
là
( ) ( )
2
0 0 0
3 2 1 3y x x x m m
= + − −
.
Vì tiếp tuyến vuông góc với
AB
nên
( )
0
.4 1yx
=−
.
Suy ra:
( )
( )
( ) ( )
22
0 0 0 0
4. 3 2 1 3 1 12 8 1 12 1 0 *x x m m x m x m+ − − = − + − − + =
Để phương trình
( )
*
có nghiệm thì
( ) ( )
2
2
6,69
4 1 12 1 12 0 16 112 4 0
0,036
m
m m m m
m
−
= − − − + +


−
Vì
2020;2020m−
và
m
+
nên
1 2020m
.
Vậy có 2019 giá trị
m
nguyên dương.
Câu 2: Cho biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại điểm có hoành độ
1x =
là
21yx=−
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
2
21y f x=−
tại điểm có hoành độ
1x =
là
A.
43yx=−
. B.
54yx=−
. C.
87yx=−
. D.
65yx=−
.
Lời giải
Chọn C
Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại
1x =
có phương trình là
21yx=−
( )
( )
12
11
f
f
=
=
.
Đặt
( )
( )
2
21g x f x=−
;
( )
( )
2
4 . 2 1g x x f x

=−
;
( ) ( )
1 4. 1 4.2 8gf

= = =
;
( ) ( )
1 1 1gf==
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
( )( ) ( )
1 1 1y g x g
= − +
( )
8 1 1yx = − +
87yx = −
.
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Câu 3: Cho đồ thị
(C )
của hàm số
21
1
x
y
x
−
=
−
. Viết tất cả các phương trình tiếp tuyến của
(C )
, biết
khoảng cách từ điểm
( )
12I;
đến tiếp tuyến bằng
2
.
A.
50xy+ − =
. B.
10xy+ − =
và
50xy+ − =
.
C.
10xy+ + =
và
50xy+ + =
. D.
10xy+ − =
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
2
1
1
y
x
−
=
−
.
Phương trình tiếp tuyến của
(C )
có dạng:
( )
( ) ( )
2
2
0
0 0 0 0
2
0
0
21
1
1 2 2 1 0
1
1
x
y x x x x y x x
x
x
−
−
= − + + − − + − =
−
−
Theo đề
( )
( )
( )
2
2
0 0 0
4
0
1 2 1 2 2 1
22
11
x x x
d I ,
x
+ − − + −
= =
+−
( ) ( ) ( )
4 2 2
0
0 0 0
0
2
1 2 1 1 0 1 1
0
x
x x x
x
=
− − − + = − =
=
.
Với
0
2x =
ta có phương trình tiếp tuyến:
( )
23yx= − − +
50xy + − =
.
Với
0
0x =
ta có phương trình tiếp tuyến:
( )
01yx= − − +
10xy + − =
.
Câu 4: Cho hàm số
( )
( )
21
0
m x m
ym
xm
−−
=
+
có đồ thị
( )
m
C
. Biết rằng tồn tại duy nhất một đường
thẳng
( )
d
có phương trình
y ax b=+
sao cho
( )
m
C
luôn tiếp xúc với
( )
d
. Giá trị của
ab+
là
A.
3−
. B.
1
. C.
1−
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( )
2
2
2m
y
xm
=
+
.
Đường thẳng
( )
d
luôn tiếp xúc với đồ thị
( )
m
C
suy ra hệ phương trình sau luôn có nghiệm với
mọi giá trị
0m
.
( )
( )
( )
( )
( )( )
2
2
2
2
2
2
2 1 2
21
m
m
a
a x m
xm
xm
m x m m
m x m
ax b
ax b
xm
xm
=
=+
+
+


− + −
−−

=+
=+

+
+
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
1
2
2 1 2
m
ax am
xm
m
m ax b
xm
=+
+
− − = +
+
Lấy
( )
1
trừ
( )
2
theo vế ta được:
( )
2
4
21
m
m am b
xm
− − + = −
+
( )
21
4
a m b
m
x m m
+ − −
=
+
Thay vào
( )
1
ta được:
( ) ( )
2
21
42
a m b
a
m
+ − +

=


( ) ( )
( )
2
2
2 1 8a m b am + − + =
( ) ( )( ) ( )
22
2
2 2 1 2 1 0a m b a m b − − + + + + =
( )
*
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 10
Vì đồ thị
( )
m
C
luôn tiếp xúc với đường thẳng
( )
d
nên
( )
*
luôn xảy ra với mọi giá trị
0m
( )
( )( )
( )
2
2
20
2
2 1 2 0
1
10
a
a
ba
b
b
−=
=
+ + =

=−
+=
.
Vậy
1ab+=
.
Câu 5: Cho hàm số
( )
y f x=
xác định và có đạo hàm trên , thỏa mãn:
( ) ( )
3
1 2. 1 21 3 0f x f x x+ + + − − =


. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
y f x=
tại
điểm có hoành độ
0
1x =
.
A.
31yx=+
. B.
32yx=+
. C.
32yx=−
. D.
31yx=−
.
Lời giải
Chọn C
Xét phương trình:
( ) ( )
3
1 2. 1 21 3 0f x f x x+ + + − − =


.
Từ cho
0x =
ta có:
( ) ( ) ( )
3
1 2. 1 3 0 1 3f f f+ − = =
.
Đạo hàm hai vế của ta có
( ) ( ) ( )
2
3 1 1 4 1 2 21 0f x f x f x

+ + + + − =
.
Từ cho
0x =
ta được:
( ) ( ) ( )
2
3 1 1 4 1 21 0f f f

+ − =
( ) ( ) ( )
3 1 4 1 21 0 1 3f f f
+ − = =
.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
y f x=
tại điểm có hoành độ
0
1x =
là:
( ) ( ) ( ) ( )
1 . 1 1 3. 1 1 3 2y f x f x x
= − + = − + = −
.
Câu 6: Xét điểm
M
có hoành độ là số nguyên thuộc đồ thị
( )
21
:
1
x
Cy
x
+
=
−
. Tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại điểm
M
cắt đường tiệm cận ngang của
( )
C
tại điểm
A
. Hỏi có bao nhiêu điểm
M
thỏa
điều kiện
A
cách gốc tọa độ một khoảng cách nhỏ hơn
2 10
?
A.
6
. B.
5
. C.
7
. D.
4
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
2
3
,1
1
yx
x
= −
−
.
Giả sử
( ) ( )
;M a b C
. Khi đó
21
1
a
b
a
+
=
−
với
,1aa
.
Tiếp tuyến với
( )
C
tại điểm
M
có phương trình là
( )
( )
2
3 2 1
:.
1
1
a
y x a
a
a
+
= − − +
−
−
.
Đồ thị
( )
C
có TCN là đường thẳng
:2dy=
.
Ta có
( )
2 1;2d A a = −
.
Theo bài ra ta có
( )
2
2 10 2 1 4 40OA a − +
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
2
57
4 4 35 0 ;
22
a a a

− − −


.
Do
, 1 2; 1;0;2;3a a a − −
. Vậy có 5 điểm
M
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 7: Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị
( )
P
như hình bên và đường thẳng
: 2 2yx = −
là tiếp tuyến
của
( )
P
tại điểm
A
. Xét hàm số
( )
( )
fx
gx
x
=
. Tính
( )
'2g
.
A.
( )
1
'2
2
g =
. B.
( )
1
'2
4
g =
. C.
( )
1
'2
4
g =−
. D.
( )
1
'2
2
g =−
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
( )
2
,y f x ax bx c= = + +
với
,,abc
là các số thực và
0a
.
Vì
( )
P
đi qua các điểm
( ) ( )
2;2 , 0;2AB
nên ta có hệ phương trình
( )
2 4 2 2 0
,1
22
a b c a b
cc
= + + + =


==

.
Vì đường thẳng
: 2 2yx = −
là tiếp tuyến của
( )
P
tại điểm
A
nên ta có
( ) ( )
' 2 2 4 2, 2f a b= + =
.
Từ
( )
1
và
( )
2
suy ra
1
2
2
a
b
c
=
=−
=
.
Ta có
( )
2
22y f x x x= = − +
suy ra
( )
( )
2
2 2 2
2
fx
xx
g x x
x x x
−+
= = = − +
.
Ta có
( ) ( )
2
2 2 1
' 1 ' 2 1
42
g x g
x
= − = − =
.
Câu 8: Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, giả sử đồ thị
( )
G
của hàm số
( )
3
ln3
x
y =
cắt trục tung tại điểm
A
và tiếp tuyến của
( )
G
tại
A
cắt trục hoành tại điểm
B
. Tính diện tích của tam giác
OAB
.
A.
0,603
. B.
0,414
C.
0,829
. D.
1,207
.
Lời giải
Chọn C
Cho
3
1
0 log
ln3
x y e= = =
. Khi đó
( )
3
0;logAe
.
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 12
Ta có
( )
( )
3 ln 3
1
3
ln3 2
x
x
y
==
.
Tiếp tuyến của
( )
G
tại
A
có phương trình dạng:
( )( ) ( )
3
1
0 0 0 log
2
y y x y x e
= − + = +
.
Tiếp tuyến của
( )
G
tại
A
cắt trục hoành tại điểm
B
nên
( )
3
2log ;0Be−
.
Diện tích tam giác
OAB
là:
33
11
. . .log . 2log 0,829
22
S OAOB e e= = −
.
Câu 9: Cho hàm số
( )
3
3y f x x x= = −
có đồ thị
( )
C
và hàm số
( )
2
y g x x==
có đồ thị
( )
P
. Hỏi hai
đồ thị
( )
C
và
( )
P
có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến chung?
A.
1
. B.
0
. C.
3
. D.
2
.
Lời giải
Chọn D
Gọi
( )
2
;A a a
thuộc đồ thị
( )
P
. Phương trình tiếp tuyến tại
A
có dạng
( )( )
2
y g a x a a
= − +
.
Hay
( )
22
22y a x a a ax a= − + = −
( )
d
.
Để
( )
d
là tiếp tuyến của
( )
C
thì
( )
d
và
( )
C
phải tiếp xúc với nhau.
Ta có điều kiện tiếp xúc:
( )
( )
32
2
3 2 1
3 3 2 2
x x ax a
xa
− = −
−=
.
Thế
( )
2
vào
( )
1
ta được
( )
2
2 4 2
3 2 3 3
3 3 9 18 9
3 3 3 3 3 3
24
x x x
x x x x x x x x

− − +
− = − − − = − −


4 3 2
1,82
9 8 18 9 0
0,68
x
x x x
x
− − + =
.
Vậy hai đồ thị
( )
C
và
( )
P
có tất cả hai tiếp tuyến chung.
Câu 10: Cho hàm số
1
2
x
y
x
+
=
+
có đồ thị
()C
và đường thẳng
: 2 1d y x m= − + −
(
m
là tham số thực). Gọi
12
,kk
là hệ số góc của tiếp tuyến của
()C
tại giao điểm của
d
và
()C
. Tính tích
12
.kk
.
A.
12
.2kk =
. B.
12
1
.
4
kk =
. C.
12
.4kk =
. D.
12
.3kk=
.
Lời giải
Chọn C
Xét phương trình
2
1
2 1 2 (6 ) 3 2 0( 2)(1)
2
x
x m x m x m x
x
+
= − + − + − + − = −
+
Đặt
2
( ) 2 (6 ) 3 2f x x m x m= + − + −
. Ta có
( 2) 1 0f − = −
.
2
4 12 0,m m m = + +
.
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
12
,xx
. Theo Viet ta có
12
12
6
2
32
.
2
m
xx
m
xx
−
+=
−
=
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Từ
1
2
x
y
x
+
=
+
ta có
2
1
( 2)
y
x
=
+
. Do đó ta có
12
22
12
11
;
( 2) ( 2)
kk
xx
==
++
.
12
2
22
12
1 2 1 2
11
.
( 2) ( 2)
. 2( ) 4
kk
xx
x x x x
= = =
++
+ + +
Mà
2
2
1 1 2
3 2 2 12 1
. 2( ) 4 4
2 2 4
mm
x x x x
−−

+ + + = + + =


.
Vậy
12
. 4.kk =
Chọn đáp án C.
Câu 11: Gọi
( )
C
là đồ thị của hàm số
2
34
1
xx
y
x
−+
=
−
và
( )
P
là Parabol có phương trình
2
a 8.y x bx= + −
Biết từ điểm
kẻ được hai tiếp tuyến với
( )
C
. Gọi
12
;kk
là hệ số góc
của hai tiếp tuyến đó và gọi
I
là đỉnh của
( )
P
. Khi
( )
P
đi qua
( ) ( )
12
;0 , ;0 ,M k N k
tính bán
kính
R
của đường tròn ngoại tiếp tam giác
.IMN
A.
47
.
100
R =
B.
9
.
2
R =
C.
12
.
25
R =
D.
161
.
36
R =
Lời giải
Chọn D.
Ta có
( )
2
2
3 4 2
2
11
2
1
1
xx
yx
xx
y
x
−+
= = − +
−−
= −
−
Gọi
( )
0 0 0 0
0
2
; , 2
1
Q x y y x
x
= − +
−
Giả sử phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại
Q
có dạng
( ) ( )
0 0 0
..y f x x x y
= − +
Vì tiếp tuyến đi qua
nên
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 0 0
00
2
0
0
2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
2 3 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0
2
00
01
01
1 . 4 .
22
1 1 . 4 2
1
1
2 1 2 1 . 4 3 4 1
2 1 6 7 4 4 7 4
2 9 0
2 2 10
1 10
9
2 2 10
1 10
9
2 2 10
;0
9
f x x y
xx
x
x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
xx
xk
xk
M
= − +

= − − + − +

−
−


− + = − − − + − + −
− + = − + − − + − + −
+ − =
−
= − + =
+
= − − =

−
2 2 10
, ;0
9
N

+
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 14
Vì
( )
P
đi qua
2 2 10 2 2 10
;0 , ;0
99
MN
−+
nên
2
2
2 2 10 2 2 10
80
99
18
8
2 2 10 2 2 10
80
99
ab
a
b
ab
−−
+ − =
=

=−
++
+ − =
Do đó Parabol cần tìm là
2
18 8 8.y x x= − −
Tọa độ đỉnh
2 80
;.
99
I
−



Phương trình đường thẳng
: 0.MN y =
( )
80 4 10
,;
99
d I MN MN==
,
664 664
,
99
MI NI==
( )
1 1 4 10 80 160 10
. . , . .
2 2 9 9 81
. . 161
4 36
IMN
IMN
S MN d I MN
MN MI NI
R
S
= = =
==
Câu 12: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên và hai đường thẳng
( )
1
: y h x=
và
( )
2
: y g x=
có đồ
thị như hình vẽ dưới đây.
Hệ số góc
k
của tiếp tuyến với đồ thị
( )
( ) ( )
( )
.
:
f x h x
Cy
gx
=
tại điểm có hoành độ
2x =
có dạng
a
k
b
=
. Khi đó
ab+
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
( )
15;25
. B.
( )
20;10−
. C.
( )
60;80
. D.
( )
30; 21−−
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
( ) ( )
( )
.
:
f x h x
Cy
gx
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
. . . . .f x h x f x h x g x f x h x g x
y
gx
+−


=


.
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Dựa vào đồ thị ta có
( )
23g x x=+
,
( )
6h x x= − +
và
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2; 2 7; 2 4
2 0; 2 2; 2 1
f g h
f g h
= = =
= = = −
.
Hệ số góc
k
của tiếp tuyến với đồ thị
( )
( ) ( )
( )
.
:
h x g x
Cy
fx
=
tại điểm có hoành độ
2x =
là
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 . 2 2 . 2 . 2 2 . 2 . 2
2
2
f h f h g f h g
ky
g
+−


==


30
49
−
=
.
Như vậy
30
30
49
49
a
a
k
b
b
=−
−
= =
=
19ab + =
.
Câu 13: Gọi
S
là tập tất cả các giá trị của tham số
m
để đường thẳng
3y x m=+
tiếp xúc với đồ thị hàm
số
3
1.yx=+
Tổng tất cả các phần tử của
S
bằng
A.
0
. B.
2
. C.
1−
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
Để đường thẳng
3y x m=+
tiếp xúc với đồ thị hàm số
3
1yx=+
khi và chỉ khi
3
2
13
33
x x m
x
+ = +
=
có nghiệm.
Giải hệ
3
3
2
31
1 3 1
1
3
33
1
m x x
x x m m
x
m
x
x
= − +
+ = + = −

=

=
=
=−
Vậy tổng các giá trị
m
là:
1 3 2− + =
.
Câu 14: Cho
( )
fx
là hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , , , 0S f a f b f c f d f
=
. Phần tử lớn nhất trong tập hợp
S
là:
A.
( )
fa
. B.
( )
fb
. C.
( )
0f
. D.
( )
fd
.
Lời giải
Gọi
,
lần lượt là góc tạo bởi tiếp tuyến tại
,cd
.
( )
( ) ( ) ( )
tan
tan 0
fc
f d f c f d

=
=
.
Vậy phần tử lớn nhất trong tập hợp
S
là:
( )
fd
.
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 16
Câu 15: Cho biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại điểm có hoành độ
1x =
là
21yx=−
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
2
21y f x=−
tại điểm có hoành độ
1x =
là
A.
43yx=−
. B.
54yx=−
. C.
87yx=−
. D.
65yx=−
.
Lời giải
Chọn C
Theo đề, ta có
( )
12f
=
và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
1x =
là
( ) ( ) ( )
2 1 1 2 1 2y x f x f= − + = + −
,
suy ra
( )
1 1.f =
Xét hàm số
( )
2
21y f x=−
. Ta có
( )
2
4 2 1 .y xf x

=−
Suy ra
( ) ( )
1 4 1 8.yf

==
Từ đây ta loại ba đáp án A,B, D.
Câu 16: Cho hàm số
42
2y x x=−
có đồ thị
( )
C
. Tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
cắt
( )
C
tại
( )
22
;B x y
với
B
khác
A
thỏa
( )
2 1 2 1
24y y x x− = − −
. Số điểm
A
thỏa mãn là
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
0
.
Lời giải
Chọn A
Tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
có phương trình
( ) ( )
1 1 1
.y y y x x x
− = −
Do
B
thuộc tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
nên
( )( )
2 1 1 2 1
y y y x x x
− = −
( )
21
1
21
24
yy
yx
xx
−
= = −
−
.
Do đó
1
x
là nghiệm của phương trình
33
4 4 24 6 0 2x x x x x− = − − + = = −
Từ đó suy ra có duy nhất điểm
A
thỏa mãn bài toán.
Câu 17: Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( )
C
và điểm
( )
0;Aa
. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của
a
trong đoạn
2018;2018−
để từ
A
kẻ được hai tiếp tuyến đến
( )
C
sao cho hai tiếp điểm nằm
về hai phía của trục hoành
A.
2019
. B.
2020
. C.
2017
. D.
2018
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
2
3
1
y
x
=−
−
.
Tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
qua
( )
0;Aa
là
( )
Δ :y kx a=+
.
( )
Δ
tiếp xúc với
( )
C
khi và chỉ khi hệ phương trình
( )
( )
2
2
1
*
3
1
x
kx a
x
k
x
+
=+
−
−=
−
có nghiệm.
Từ hệ
( )
*
ta có
( )
( ) ( ) ( )
2
2
23
1 2 2 2 0 **
1
1
xx
a a x a x a
x
x
+
= − + − − + + + =
−
−
.
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Yêu cầu bài toán là tìm
a
để phương trình
( )
**
có
2
nghiệm phân biệt
12
,xx
thỏa
12
12
22
.0
11
xx
xx
++
−−
.
Ta có
( )
12
12
2
1
22
1
Sx
a
a
a
P
a
x
xx
+
−
+
= + =
−
==
.
Yêu cầu bài toán tương đương
1
0
24
0
1
a
PS
PS

++
−+
11
1
3 6 0 2
2
9 6 2
3
0
33
aa
a
aa
a
a
a




+ −
−
+

−
−

.
Do
m
nguyên thuộc đoạn nên
0;2;3;4; ;2018 .m
Vậy có
2018
giá trị thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 18: Cho hàm số
42
2y x x=−
có đồ thị
( )
C
. Tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
cắt
( )
C
tại
( )
22
;B x y
với
B
khác
A
thỏa
( )
2 1 2 1
24y y x x− = − −
. Số điểm
A
thỏa mãn là
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
0
.
Lời giải
Chọn A
Tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
có phương trình
( ) ( )
1 1 1
.y y y x x x
− = −
Do
B
thuộc tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
nên
( )( )
2 1 1 2 1
y y y x x x
− = −
( )
21
1
21
24
yy
yx
xx
−
= = −
−
.
Do đó
1
x
là nghiệm của phương trình
33
4 4 24 6 0 2x x x x x− = − − + = = −
Từ đó suy ra có duy nhất điểm
A
thỏa mãn bài toán.
Câu 19: Tìm điểm
M
có hoành độ âm trên đồ thị
( )
3
12
:
33
C y x x= −+
sao cho tiếp tuyến tại
M
vuông
góc với đường thẳng
12
:
33
d y x= − +
.
A.
( )
2; 4M −−
. B.
4
1;
3
M

−


. C.
( )
2;0M −
. D.
4
2;
3
M

−


.
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng
12
:
33
d y x= − +
có hệ số góc
1
3
−
cho nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng
3
.
Gọi tọa độ của
M
là
( )
00
;M x y
thì hệ số góc của tiếp tuyến tại
M
bằng
( )
2
00
'1y x x=−
.
Từ đó ta có
0
2
0
0
2
1
2
3
x
x
x
− =
=−
=
.
Theo giả thiết, điểm
M
có hoành độ âm nên
0
2x =−
. Vậy tọa độ
( )
2;0M −
.
2018;2018−
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 18
Câu 20: Cho đa thức
( )
fx
với hệ số thực và thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
2
2 1 , .f x f x x x+ − =
Biết
tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
1x =
của đồ thị hàm số
( )
y f x=
tạo với hai trục tọa độ một
tam giác. Tính diện tích của tam giác đó?
A.
1
.
6
B.
3
2
. C.
1
3
. D.
2
3
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( ) ( ) ( )
2
2 1 , 1 .f x f x x x+ − =
Đặt
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
1 2 1 1 , 2 1 1 , 2 .t x f t f t t t f t f x x t= − − + = − − + = −
Từ và ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
21
1
( ) 2 1 .
3
2 1 1
f x f x x
f x x x
f x f x x
+ − =
= + −
− + = −
Suy ra:
24
(1) ; '(1)
33
ff==
Suy ra phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại điểm có hoành độ
1x =
là:
( )
4 2 4 2
1
3 3 3 3
y x y x= − + = −
Tiếp tuyến cắt trục hoành tại
1
;0
2
A



và cắt trục tung tại
2
0;
3
B

−


Suy ra diện tích tam giác
OAB
là:
1 1 1 2 1
. . .
2 2 2 3 6
S OAOB= = − =
.
Câu 21: Xét điểm
M
có hoành độ là số nguyên thuộc đồ thị
( )
21
:
1
x
Cy
x
+
=
−
. Tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại điểm
M
cắt đường tiệm cận ngang của
( )
C
tại điểm
A
. Hỏi có bao nhiêu điểm
M
thỏa
điều kiện
A
cách gốc tọa độ một khoảng cách nhỏ hơn
2 10
?
A.
6
. B.
5
. C.
7
. D.
4
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
2
3
,1
1
yx
x
= −
−
.
Giả sử
( ) ( )
;M a b C
. Khi đó
21
1
a
b
a
+
=
−
với
,1aa
.
Tiếp tuyến với
( )
C
tại điểm
M
có phương trình là
( )
( )
2
3 2 1
:.
1
1
a
y x a
a
a
+
= − − +
−
−
.
Đồ thị
( )
C
có TCN là đường thẳng
:2dy=
.
Ta có
( )
2 1;2d A a = −
.
Theo bài ra ta có
( )
2
2 10 2 1 4 40OA a − +
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
2
57
4 4 35 0 ;
22
a a a

− − −


.
Do
, 1 2; 1;0;2;3a a a − −
. Vậy có 5 điểm
M
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 22: Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị
( )
P
như hình bên và đường thẳng
: 2 2yx = −
là tiếp tuyến
của
( )
P
tại điểm
A
. Xét hàm số
( )
( )
fx
gx
x
=
. Tính
( )
'2g
.
A.
( )
1
'2
2
g =
. B.
( )
1
'2
4
g =
. C.
( )
1
'2
4
g =−
. D.
( )
1
'2
2
g =−
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
( )
2
,y f x ax bx c= = + +
với
,,abc
là các số thực và
0a
.
Vì
( )
P
đi qua các điểm
( ) ( )
2;2 , 0;2AB
nên ta có hệ phương trình
( )
2 4 2 2 0
,1
22
a b c a b
cc
= + + + =


==

.
Vì đường thẳng
: 2 2yx = −
là tiếp tuyến của
( )
P
tại điểm
A
nên ta có
( ) ( )
' 2 2 4 2, 2f a b= + =
.
Từ
( )
1
và
( )
2
suy ra
1
2
2
a
b
c
=
=−
=
.
Ta có
( )
2
22y f x x x= = − +
suy ra
( )
( )
2
2 2 2
2
fx
xx
g x x
x x x
−+
= = = − +
.
Ta có
( ) ( )
2
2 2 1
' 1 ' 2 1
42
g x g
x
= − = − =
.
Câu 23: Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, giả sử đồ thị
( )
G
của hàm số
( )
3
ln3
x
y =
cắt trục tung tại điểm
A
và tiếp tuyến của
( )
G
tại
A
cắt trục hoành tại điểm
B
. Tính diện tích của tam giác
OAB
.
A.
0,603
. B.
0,414
C.
0,829
. D.
1,207
.
Lời giải
Chọn C
Cho
3
1
0 log
ln3
x y e= = =
. Khi đó
( )
3
0;logAe
.
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 20
Ta có
( )
( )
3 ln 3
1
3
ln3 2
x
x
y
==
.
Tiếp tuyến của
( )
G
tại
A
có phương trình dạng:
( )( ) ( )
3
1
0 0 0 log
2
y y x y x e
= − + = +
.
Tiếp tuyến của
( )
G
tại
A
cắt trục hoành tại điểm
B
nên
( )
3
2log ;0Be−
.
Diện tích tam giác
OAB
là:
33
11
. . .log . 2log 0,829
22
S OAOB e e= = −
.
Câu 24: Cho hàm số
( )
3
3y f x x x= = −
có đồ thị
( )
C
và hàm số
( )
2
y g x x==
có đồ thị
( )
P
. Hỏi hai
đồ thị
( )
C
và
( )
P
có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến chung?
A.
1
. B.
0
. C.
3
. D.
2
.
Lời giải
Chọn D
Gọi
( )
2
;A a a
thuộc đồ thị
( )
P
. Phương trình tiếp tuyến tại
A
có dạng
( )( )
2
y g a x a a
= − +
.
Hay
( )
22
22y a x a a ax a= − + = −
( )
d
.
Để
( )
d
là tiếp tuyến của
( )
C
thì
( )
d
và
( )
C
phải tiếp xúc với nhau.
Ta có điều kiện tiếp xúc:
( )
( )
32
2
3 2 1
3 3 2 2
x x ax a
xa
− = −
−=
.
Thế
( )
2
vào
( )
1
ta được
( )
2
2 4 2
3 2 3 3
3 3 9 18 9
3 3 3 3 3 3
24
x x x
x x x x x x x x

− − +
− = − − − = − −


4 3 2
1,82
9 8 18 9 0
0,68
x
x x x
x
− − + =
.
Vậy hai đồ thị
( )
C
và
( )
P
có tất cả hai tiếp tuyến chung.
Câu 25: Cho hàm số
1
2
x
y
x
+
=
+
có đồ thị
()C
và đường thẳng
: 2 1d y x m= − + −
(
m
là tham số thực). Gọi
12
,kk
là hệ số góc của tiếp tuyến của
()C
tại giao điểm của
d
và
()C
. Tính tích
12
.kk
.
A.
12
.2kk =
. B.
12
1
.
4
kk =
. C.
12
.4kk =
. D.
12
.3kk=
.
Lời giải
Chọn C
Xét phương trình
2
1
2 1 2 (6 ) 3 2 0( 2)(1)
2
x
x m x m x m x
x
+
= − + − + − + − = −
+
Đặt
2
( ) 2 (6 ) 3 2f x x m x m= + − + −
. Ta có
( 2) 1 0f − = −
.
2
4 12 0,m m m = + +
.
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
12
,xx
. Theo Viet ta có
12
12
6
2
32
.
2
m
xx
m
xx
−
+=
−
=
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Từ
1
2
x
y
x
+
=
+
ta có
2
1
( 2)
y
x
=
+
. Do đó ta có
12
22
12
11
;
( 2) ( 2)
kk
xx
==
++
.
12
2
22
12
1 2 1 2
11
.
( 2) ( 2)
. 2( ) 4
kk
xx
x x x x
= = =
++
+ + +
Mà
2
2
1 1 2
3 2 2 12 1
. 2( ) 4 4
2 2 4
mm
x x x x
−−

+ + + = + + =


.
Vậy
12
. 4.kk =
Chọn đáp án C.
Câu 26: Gọi
( )
C
là đồ thị của hàm số
2
34
1
xx
y
x
−+
=
−
và
( )
P
là Parabol có phương trình
2
a 8.y x bx= + −
Biết từ điểm
kẻ được hai tiếp tuyến với
( )
C
. Gọi
12
;kk
là hệ số góc
của hai tiếp tuyến đó và gọi
I
là đỉnh của
( )
P
. Khi
( )
P
đi qua
( ) ( )
12
;0 , ;0 ,M k N k
tính bán
kính
R
của đường tròn ngoại tiếp tam giác
.IMN
A.
47
.
100
R =
B.
9
.
2
R =
C.
12
.
25
R =
D.
161
.
36
R =
Lời giải
Chọn D.
Ta có
( )
2
2
3 4 2
2
11
2
1
1
xx
yx
xx
y
x
−+
= = − +
−−
= −
−
Gọi
( )
0 0 0 0
0
2
; , 2
1
Q x y y x
x
= − +
−
Giả sử phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại
Q
có dạng
( ) ( )
0 0 0
..y f x x x y
= − +
Vì tiếp tuyến đi qua
nên
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 0 0
00
2
0
0
2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
2 3 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0
2
00
01
01
1 . 4 .
22
1 1 . 4 2
1
1
2 1 2 1 . 4 3 4 1
2 1 6 7 4 4 7 4
2 9 0
2 2 10
1 10
9
2 2 10
1 10
9
2 2 10
;0
9
f x x y
xx
x
x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
xx
xk
xk
M
= − +

= − − + − +

−
−


− + = − − − + − + −
− + = − + − − + − + −
+ − =
−
= − + =
+
= − − =

−
2 2 10
, ;0
9
N

+
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 22
Vì
( )
P
đi qua
2 2 10 2 2 10
;0 , ;0
99
MN
−+
nên
2
2
2 2 10 2 2 10
80
99
18
8
2 2 10 2 2 10
80
99
ab
a
b
ab
−−
+ − =
=

=−
++
+ − =
Do đó Parabol cần tìm là
2
18 8 8.y x x= − −
Tọa độ đỉnh
2 80
;.
99
I
−



Phương trình đường thẳng
: 0.MN y =
( )
80 4 10
,;
99
d I MN MN==
,
664 664
,
99
MI NI==
( )
1 1 4 10 80 160 10
. . , . .
2 2 9 9 81
. . 161
4 36
IMN
IMN
S MN d I MN
MN MI NI
R
S
= = =
==
Câu 27: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên và hai đường thẳng
( )
1
: y h x=
và
( )
2
: y g x=
có đồ
thị như hình vẽ dưới đây.
Hệ số góc
k
của tiếp tuyến với đồ thị
( )
( ) ( )
( )
.
:
f x h x
Cy
gx
=
tại điểm có hoành độ
2x =
có dạng
a
k
b
=
. Khi đó
ab+
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
( )
15;25
. B.
( )
20;10−
. C.
( )
60;80
. D.
( )
30; 21−−
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
( ) ( )
( )
.
:
f x h x
Cy
gx
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
. . . . .f x h x f x h x g x f x h x g x
y
gx
+−


=


.
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Dựa vào đồ thị ta có
( )
23g x x=+
,
( )
6h x x= − +
và
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2; 2 7; 2 4
2 0; 2 2; 2 1
f g h
f g h
= = =
= = = −
.
Hệ số góc
k
của tiếp tuyến với đồ thị
( )
( ) ( )
( )
.
:
h x g x
Cy
fx
=
tại điểm có hoành độ
2x =
là
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 . 2 2 . 2 . 2 2 . 2 . 2
2
2
f h f h g f h g
ky
g
+−


==


30
49
−
=
.
Như vậy
30
30
49
49
a
a
k
b
b
=−
−
= =
=
19ab + =
.
Câu 28: Gọi
S
là tập tất cả các giá trị của tham số
m
để đường thẳng
3y x m=+
tiếp xúc với đồ thị hàm
số
3
1.yx=+
Tổng tất cả các phần tử của
S
bằng
A.
0
. B.
2
. C.
1−
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
Để đường thẳng
3y x m=+
tiếp xúc với đồ thị hàm số
3
1yx=+
khi và chỉ khi
3
2
13
33
x x m
x
+ = +
=
có nghiệm.
Giải hệ
3
3
2
31
1 3 1
1
3
33
1
m x x
x x m m
x
m
x
x
= − +
+ = + = −

=

=
=
=−
Vậy tổng các giá trị
m
là:
1 3 2− + =
.
Câu 29: Cho
( )
fx
là hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , , , 0S f a f b f c f d f
=
. Phần tử lớn nhất trong tập hợp
S
là:
A.
( )
fa
. B.
( )
fb
. C.
( )
0f
. D.
( )
fd
.
Lời giải
Gọi
,
lần lượt là góc tạo bởi tiếp tuyến tại
,cd
.
( )
( ) ( ) ( )
tan
tan 0
fc
f d f c f d

=
=
.
Vậy phần tử lớn nhất trong tập hợp
S
là:
( )
fd
.
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 24
Câu 30: Cho biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại điểm có hoành độ
1x =
là
21yx=−
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
2
21y f x=−
tại điểm có hoành độ
1x =
là
A.
43yx=−
. B.
54yx=−
. C.
87yx=−
. D.
65yx=−
.
Lời giải
Chọn C
Theo đề, ta có
( )
12f
=
và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
1x =
là
( ) ( ) ( )
2 1 1 2 1 2y x f x f= − + = + −
,
suy ra
( )
1 1.f =
Xét hàm số
( )
2
21y f x=−
. Ta có
( )
2
4 2 1 .y xf x

=−
Suy ra
( ) ( )
1 4 1 8.yf

==
Từ đây ta loại ba đáp án A,B, D.
Câu 31: Cho hàm số
42
2y x x=−
có đồ thị
( )
C
. Tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
cắt
( )
C
tại
( )
22
;B x y
với
B
khác
A
thỏa
( )
2 1 2 1
24y y x x− = − −
. Số điểm
A
thỏa mãn là
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
0
.
Lời giải
Chọn A
Tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
có phương trình
( ) ( )
1 1 1
.y y y x x x
− = −
Do
B
thuộc tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
nên
( )( )
2 1 1 2 1
y y y x x x
− = −
( )
21
1
21
24
yy
yx
xx
−
= = −
−
.
Do đó
1
x
là nghiệm của phương trình
33
4 4 24 6 0 2x x x x x− = − − + = = −
Từ đó suy ra có duy nhất điểm
A
thỏa mãn bài toán.
Câu 32: Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( )
C
và điểm
( )
0;Aa
. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của
a
trong đoạn
2018;2018−
để từ
A
kẻ được hai tiếp tuyến đến
( )
C
sao cho hai tiếp điểm nằm
về hai phía của trục hoành
A.
2019
. B.
2020
. C.
2017
. D.
2018
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
2
3
1
y
x
=−
−
.
Tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
qua
( )
0;Aa
là
( )
Δ :y kx a=+
.
( )
Δ
tiếp xúc với
( )
C
khi và chỉ khi hệ phương trình
( )
( )
2
2
1
*
3
1
x
kx a
x
k
x
+
=+
−
−=
−
có nghiệm.
Từ hệ
( )
*
ta có
( )
( ) ( ) ( )
2
2
23
1 2 2 2 0 **
1
1
xx
a a x a x a
x
x
+
= − + − − + + + =
−
−
.
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
25 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Yêu cầu bài toán là tìm
a
để phương trình
( )
**
có
2
nghiệm phân biệt
12
,xx
thỏa
12
12
22
.0
11
xx
xx
++
−−
.
Ta có
( )
12
12
2
1
22
1
Sx
a
a
a
P
a
x
xx
+
−
+
= + =
−
==
.
Yêu cầu bài toán tương đương
1
0
24
0
1
a
PS
PS

++
−+
11
1
3 6 0 2
2
9 6 2
3
0
33
aa
a
aa
a
a
a




+ −
−
+

−
−

.
Do
m
nguyên thuộc đoạn nên
0;2;3;4; ;2018 .m
Vậy có
2018
giá trị thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 33: Cho hàm số
42
2y x x=−
có đồ thị
( )
C
. Tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
cắt
( )
C
tại
( )
22
;B x y
với
B
khác
A
thỏa
( )
2 1 2 1
24y y x x− = − −
. Số điểm
A
thỏa mãn là
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
0
.
Lời giải
Chọn A
Tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
có phương trình
( ) ( )
1 1 1
.y y y x x x
− = −
Do
B
thuộc tiếp tuyến của
( )
C
tại
A
nên
( )( )
2 1 1 2 1
y y y x x x
− = −
( )
21
1
21
24
yy
yx
xx
−
= = −
−
.
Do đó
1
x
là nghiệm của phương trình
33
4 4 24 6 0 2x x x x x− = − − + = = −
Từ đó suy ra có duy nhất điểm
A
thỏa mãn bài toán.
Câu 34: Tìm điểm
M
có hoành độ âm trên đồ thị
( )
3
12
:
33
C y x x= −+
sao cho tiếp tuyến tại
M
vuông
góc với đường thẳng
12
:
33
d y x= − +
.
A.
( )
2; 4M −−
. B.
4
1;
3
M

−


. C.
( )
2;0M −
. D.
4
2;
3
M

−


.
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng
12
:
33
d y x= − +
có hệ số góc
1
3
−
cho nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng
3
.
Gọi tọa độ của
M
là
( )
00
;M x y
thì hệ số góc của tiếp tuyến tại
M
bằng
( )
2
00
'1y x x=−
.
Từ đó ta có
0
2
0
0
2
1
2
3
x
x
x
− =
=−
=
.
Theo giả thiết, điểm
M
có hoành độ âm nên
0
2x =−
. Vậy tọa độ
( )
2;0M −
.
2018;2018−
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 26
Câu 35: Cho đa thức
( )
fx
với hệ số thực và thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
2
2 1 , .f x f x x x+ − =
Biết
tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
1x =
của đồ thị hàm số
( )
y f x=
tạo với hai trục tọa độ một
tam giác. Tính diện tích của tam giác đó?
A.
1
.
6
B.
3
2
. C.
1
3
. D.
2
3
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( ) ( ) ( )
2
2 1 , 1 .f x f x x x+ − =
Đặt
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
1 2 1 1 , 2 1 1 , 2 .t x f t f t t t f t f x x t= − − + = − − + = −
Từ và ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
21
1
( ) 2 1 .
3
2 1 1
f x f x x
f x x x
f x f x x
+ − =
= + −
− + = −
Suy ra:
24
(1) ; '(1)
33
ff==
Suy ra phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại điểm có hoành độ
1x =
là:
( )
4 2 4 2
1
3 3 3 3
y x y x= − + = −
Tiếp tuyến cắt trục hoành tại
1
;0
2
A



và cắt trục tung tại
2
0;
3
B

−


Suy ra diện tích tam giác
OAB
là:
1 1 1 2 1
. . .
2 2 2 3 6
S OAOB= = − =
.
Câu 36: Gọi
( )
P
là đồ thị của hàm số
2
22y x x= + +
và điểm M di chuyển trên
( )
.P
Gọi
( ) ( )
12
,dd
là
các đường thẳng qua M sao cho
( )
1
d
song song với trục tung và
( ) ( )
12
,dd
đối xứng nhau qua
tiếp tuyến của
( )
P
tại M. Biết rằng
M
di chuyển trên
( )
P
thì
( )
2
d
luôn đi qua điểm cố định
( )
;.I a b
Đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
3 2 0.ab+=
B.
0.ab+=
C.
1.an =−
D.
5 4 0.ab+=
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
2 2 ' 2 2.y x x y x= + + = +
Gọi
( )
2
; 2 2 ,M m m m++
phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:
( )( ) ( )
22
: 2 2 2 2 2 2 2.y m x m m m m x m = + − + + + = + − +
Ta có
( )
( )
11
2
22
: cos ;
2 2 1
m
d x m d
m
+
= =
++
Gọi
( )
( )
( )
22
2
2
2 2 1
: cos ;
2 2 1. 1
km
d y kx n d
ma
++
= + =
+ + +
( )
2
2 2 1 2 2 1k m m a + + = + +
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
27 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
( )
22
4 8 3 4 13 8
.
2 2 2 4 4
m m m m
kn
mm
+ + + +
= =
++
22
2
4 8 3 4 13 8
:
4 4 4 4
m m m m
d y x
mm
+ + + +
= +
++
Với
2
5 5 5
1
4 4 4
m
x y d
m
+
= − = =
+
luôn đi qua điểm
5
1;
4
I

−


cố định.
Câu 37: Cho hàm số
1
()f x x
x
=+
. Cho điểm
( ; )M a b
sao cho có đúng hai tiếp tuyến của đồ thị hàm
số
()y f x=
đi qua M, đồng thời hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. Biết điểm M luôn thuộc
một đường tròn cố định, bán kính của đường tròn đó là
A.
2
. B.
4
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Chọn A
Giả sử điểm
2
1
; ,( 0)
t
A t t
t

+


thuộc đồ thị hàm số
()y f x=
.
Ta có
2
2
11
( ) '( )
x
f x x f x
xx
−
= + =
Phương trình tiếp tuyến tại A của đồ thị hàm số
()y f x=
là:
22
2
11
()
tt
y x t
tt
−+
= − +
Mà tiếp tuyến này đi qua điểm M nên ta có:
22
2
2
11
( ) ( ) 2 0. (1)
tt
b a t a b t t a
tt
−+
= − + − + − =
Qua M kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị hàm số
()y f x=
, đồng thời hai tiếp tuyến đó vuông góc
với nhau nên phương trình phải có hai nghiệm phân biệt
12
,0tt
thỏa mãn
12
'( ). '( ) 1f t f t =−
hay
22
12
22
12
0
' 1 ( ) 0
11
.1
ab
a
a a b
tt
tt
= + −
−−
=−
Theo định lý Vi-et, ta có
12
12
2
.
tt
ba
a
tt
ba
+=
−
=
−
nên
22
2 2 2 2
12
1 2 1 2
22
12
11
. 1 2 ( ) 1 0
tt
t t t t
tt
−−
= − − + + =
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 ( ) 2 1 0t t t t t t − + + + =
22
2
2 2 1 0
aa
b a b a b a
− + + =
− − −
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 28
22
4.ab + =
Do
0a
nên từ
22
4ab+=
suy ra
2b
, do đó
2
1 2 .a a ab ab+
Suy ra
22
4
0
ab
ab
a
+=
Như vậy, tập hợp tất cả các điểm
( ; )M a b
thỏa mãn yêu cầu đề bài là đường tròn tâm O, bán
kính
bằng 2, bỏ đi các điểm
( ) ( )
(0;2), (0;2), 2; 2 , 2; 2 .B C D E −−
.
Câu 38: Cho hàm số
( )
4 3 2
2= = − +y f x x x x
có đồ thị
( )
C
. Gọi
S
là tập chứa tất cả các giá trị thực của
tham số
a
để có đúng 2 tiếp tuyến kẻ từ
( )
;0=Aa
đến
( )
C
. Số phần tử của
S
là
A.
0
. B.
4
. C.
2
. D. Vô số.
Lời giải
Chọn B
Gọi
là đường thẳng đi qua
( )
;0Aa
và có hệ số góc là
k
, khi đó phương trình đường thẳng
là
( )
=−y k x a
.
Do
là tiếp tuyến của
( )
C
, xét hệ phương trình
( )
( )
4 3 2
32
2 (1)
:
4 6 2 (2)
x x x k x a
I
x x x k
− + = −
− + =
Thế
( )
2
vào
( )
1
, ta có:
( )
( )
4 3 2 3 2
2 4 6 2− + = − + −x x x x x x x a
( ) ( )
2
1 3 4 1 2 0x x x a x a

− − + + =

( ) ( )
2
0
1
3 4 1 2 0 3
x
x
x a x a
=
=
− + + =
.
Do
0
0
1
x
k
x
=
=
=
, ta xét
32
0 4 6 2 0k x x x= − + =
0
1
2
1
x
x
x
=
=
=
.
Khi
0
1
x
x
=
=
,
ta thu được một phương trình tiếp tuyến là
:0y=
.
Khi
1
2
x =
phương trình tiếp tuyến là
1
:
16
y=
, tiếp tuyến không đi qua
( )
;0Aa
.
Bài toán trở thành tìm
a
để
( )
3
có 2 nghiệm phân biệt trong đó có đúng
1
nghiệm thuộc
0;1
hoặc
( )
3
có nghiệm kép khác
.
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
29 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Trường hợp 1:
( )
3
có 2 nghiệm phân biệt trong đó có đúng
1
nghiệm thuộc
0;1
( )
( )
2
4 1 4.3.2 0
0
20
1
3 4 1 2 0
aa
a
a
a
aa
= − + −


=

=
=
− + + =
.
Trường hợp 2: Phương trình
( )
3
có nghiệm kép khác
( )
( )
2
16 16 1 0
23
20
4
3 4 1 2 0
23
31
4
4 1 2 0
42
= − + =
+
=

− + +
−
=
− + +
aa
a
a
aa
a
aa
.
Vậy đáp án của bài toán là
2 3 2 3
0;1; ;
44
−+


=


S
.
Câu 39: Cho hàm số
( )
y f x x x x= = − +
4 3 2
2
có đồ thị
( )
C
. Gọi
S
là tập chứa tất cả các giá trị thực
của tham số
a
để có đúng
2
tiếp tuyến kẻ từ
( )
;Aa0
đến
( )
C
. Số phần tử của
S
là
A.
0
. B.
4
. C.
2
. D. vô số.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
y f x x x x= = − +
4 3 2
2
, suy ra
( )
y f x x x x

= = − +
32
4 6 2
.
Đường thẳng
d
đi qua
( )
;Aa0
với hệ số góc
k
có phương trình
( )
y k x a=−
.
Đường thẳng
d
là tiếp tuyến của
( )
C
khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
( ) ( )
( )
x x x k x a
x x x k
− + = −
− + =
4 3 2
32
21
4 6 2 2
Thay
( )
2
vào
( )
1
ta được
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x x x x x x a x a x a x ax
x
x x x a x a x
g x x a x a
− + = − + − − + + + − =
=

− − + + = =

= − + + =
4 3 2 3 2 4 3 2
2
2
2 4 6 2 3 4 4 6 1 2 0
0
1 3 4 1 2 0 1
3 4 1 2 0 3
Nhận xét:
xk
xk
= =
= =
00
10
và phương trình tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ
x = 0
,
x = 1
đều
có dạng
y = 0
.
Khi đó để có đúng
2
tiếp tuyến kẻ từ
( )
;Aa0
đến
( )
C
thì xảy ra 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Phương trình
( )
3
có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm hoặc bằng
0
hoặc bằng
1
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 30
( )
( )
( )
..
aa
aa
a
g
a
a
a
a
aa
g

− +
− +
=
=
=
=
=

=
− + + =
=
2
2
2
0
16 16 1 0
16 16 1 0
0
00
20
0
1
1
3 1 4 1 1 2 0
10
.
Trường hợp 2: Phương trình
( )
3
có nghiệm kép không thuộc tập hợp
;01
( )
( )
aa
a
ga
a
a
g
+
=
− + =
=

−

=
2
23
0
16 16 1 0
4
0 0 0
23
1
10
4
.
Do đó
; ; ;S

+−

=



2 3 2 3
01
44
.
Vậy tập
S
có
4
phần tử.
Câu 40: Gọi
m
là giá trị để đồ thị
( )
m
C
của hàm số
22
2 2 1
1
x mx m
y
x
+ + −
=
−
cắt trục hoành tại hai điểm
phân biệt và các tiếp tuyến với
( )
m
C
tại hai điểm này vuông góc với nhau. Khi đó ta có :
A.
( )
1;2m
. B.
( )
2; 1m − −
. C.
( )
0;1m
. D.
( )
1;0m−
.
Lời giải
Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
m
C
với trục hoành là :
( ) ( )( )
22
2 2 1 0 1 1f x x mx m x= + + − =
.
( )
m
C
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt
( )
0
10f

2
2
10
2 2 0
m
mm
− +
+
11
0
m
m
−
.
Gọi
12
,xx
là
2
nghiệm của phương trình
( )
1
, theo vi et ta có :
12
2
12
2
21
x x m
x x m
+ = −
=−
Ta có :
( )
22
2
2 2 2 1
1
x x m m
y
x
− − − +
=
−
.
Tiếp tuyến tại hai giao điểm vuông góc với nhau
( ) ( )
12
.1y x y x

= −
( )( )
( ) ( )
22
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2
2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 0x x m m x x m m x x − − − + − − − + + − − =
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
22
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 1 2 2 2 2 2 2 2 0x x x x m m x x x x x x m m − + + − + + − − + + + + =
( ) ( )( ) ( )
22
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 4 4 2 4 2 2 2 0m m m m m m m m m + − + − + + + + + =
( )
2
3 2 2 4 4 0m m m + − − =
2
6 2 4 0mm + − =
( )
( )
1
2
3
ml
m tm
=−
=
. Vậy
2
3
m =
.
Câu 41: Trên đường thẳng
: 2 1d y x=+
có bao nhiêu điểm có thể kẻ được đến đồ thị
( )
3
:
1
x
Cy
x
+
=
−
đúng một tiếp tuyến.
A.
5
. B.
4
. C.
3
. D. Vô số.
Lời giải
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
31 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chọn B
Gọi
M
d
( )
;2 1M a a+
.
Gọi
( )
00
;A x y
là tiếp điểm của tiếp tuyến
1
d
kẻ từ
M
với
( )
C
.
Phương trình tiếp tuyến
1
d
:
( )( )
0 0 0
y y x x x y
= − +
( )
( )
0
0
2
0
0
3
4
1
1
x
y x x
x
x
+
−
= − +
−
−
Vì
1
Md
nên
( )
( )
0
0
2
0
0
3
4
21
1
1
x
a a x
x
x
+
−
+ = − +
−
−
( )( ) ( ) ( )( )
2
0 0 0 0
2 1 1 4 3 1a x a x x x + − = − − + + −
,
( )
0
1x
.
( )
2
00
. 2 2 3 2 0a x a x a − + + + =
Từ
M
kẻ đến
( )
C
đúng 1 tiếp tuyến
( )
1
có đúng 1 nghiệm
0
1x
.
TH1:
0a =
( )
0
1
1
2
x=
. Suy ra
0a =
thỏa mãn.
TH2:
0a
, PT có nghiệm kép
0
1x
.
( ) ( )
( )
2
2 3 2 0
22
1
2
a a a
a
a
= + − + =
+
−
1
2
2
1
a
a
a
a
= −
=
+
−
1
2
a
a
=−
=
.
TH3:
0a
, PT có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1
( )
2
2
2 2 4 0
.1 2 2 .1 3 2 0
aa
a a a
= − + +
− + + + =
12
1
a
a
−
=
1a=
.
Kết hợp 3 trường hợp suy ra có 4 điểm
M
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 32
| 1/69

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
CHỦ ĐỀ 07 : TIẾP TUYẾN – SỰ TIẾP XÚC LÍ THUYẾT
❖ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( x ; y thuộc đồ thị hàm số: 0 0 )
• Cho hàm số (C) : y = f (x) và điểm M (x ; y C . Viết phương trình tiếp tuyến với đường 0 0 ) ( )
cong (C) tại điểm M .
▪ Bước 1: Tính đạo hàm f '( x) . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là f '( x . 0 )
▪ Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y = f '( x)( x − x + y . 0 ) 0
❖ Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước.
▪ Bước 1: Gọi () là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.
▪ Giả sử M ( x ; y là tiếp điểm. Khi đó x thỏa mãn: f '( x = k 1 . 0 ) ( ) 0 0 ) 0 ▪ Giải ( )
1 tìm x . Suy ra y = f x . 0 ( 0) 0
▪ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k ( x − x + y 0 ) 0
❖ Điều kiện để hai hàm số tiếp xúc
▪ Cho hai hàm số (C) : y = f ( x) và (C ') : y = g ( x) . Đồ thị (C) và (C) tiếp xúc nhau khi chỉ
 f (x) = g (x) khi hệ phương trình:  có nghiệm. f
 ( x) = g( x)
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: TiẾP tuyến và sự tiếp xúc VÍ D Ụ MINH HỌA x +1
VÍ DỤ 1: Cho hàm số y =
(C) . Điểm M thuộc (C) có hoành độ lớn hơn1 , tiếp tuyến của (C) x −1
tại M cắt hai tiệm cận của (C ) lần lượt tại A , B . Diện tích nhỏ nhất của tam giác OAB bằng A. 4 + 2 2 . B. 4 . C. 4 2 . D. 4 + 2 . Lời giải Chọn A 2 Tập xác định: D = \  
1 . Ta có: y = −   ( , x 1 . x − )2 1
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1 và đường tiệm cận đứng x = 1 . m +1 2 2
Giả sử M (m; y ) (C ) (m  ) 1 y = =1+ ; y(m) = − . M M m −1 m −1 (m− )2 1 Phương trình tiế 2 2
p tuyến  là: y = − x − m +1+ 2 ( ) (m− )1 m −1
x + (m − )2 2 2 1
y − m − 2m +1 = 0 .
Gọi A là giao điểm của  và đường tiệm cận ngang. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương y =1  trình:  2 2
x = 2m −1  A(2m −1; ) 1 . y = − x − m +1+ 2 ( )  (m −  ) 1 m −1
Gọi B là giao điểm của  và đường tiệm cận đứng. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương x =1  m + 3 4  4  trình:  2 2  y = =1+  B 1;1+ . y = − x − m +1+ − −    − 2 ( )  ( m 1 m −  ) m 1 m 1 1 m −1 2 2  4  2 16 2 4
Suy ra: AB = (2 − 2m) + = 4   (m − ) 1 + = m −1 + 4 . 2 ( )  m −1 (m − ) 1 m −1 2 − − + d (O ) m 2m 1 ; = . 4 + (m − )4 1 2 −m − m +  S = d O AB = m − + OAB ( ) 2 1 1 1 2 ; . . . ( )4 1 4 2 2 ( − + m − )4 m 1 4 1 2 2 −m − 2m +1 m + 2m −1 = = 2 2
(vì m  1) = m + 3 + = 4 + m −1+ . m −1 m −1 m −1 m −1 2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số m −1 và : (m − ) 2 1 +  2 2 m −1 m − 1  + (m − ) 2 4 1 +  4 + 2 2 . m −1
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  2 m −1 =
Vậy diện tích nhỏ nhất của tam giác OAB bằng 4 + 2 2 khi 
m −1  m = 1+ 2 . m 1 1 3
VÍ DỤ 2: Cho hàm số 3 2 y = x −
x + 2 (C ) . Xét hai điểm A(a ; y
và B (b; y phân biệt của đồ B ) A ) 2 2
thị (C ) mà tiếp tuyến tại A và B song song. Biết rằng đường thẳng AB đi qua. Phương trình của
đường thẳng AB là
A. x − y − 2 = 0 .
B. x + y − 8 = 0 .
C. x − 3y + 4 = 0 .
D. x − 2 y +1 = 0 . Lời giải Chọn D  1 3   1 3  Gọi 3 2 A a ; a − a + 2   và 3 2 B b ; b − b + 2 
 với a b là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị  2 2   2 2 
(C) mà tiếp tuyến tại A và B song song với nhau. 3 3
Ta có f (a) = f (b) 2 2
a − 3a = b − 3b 2 2
a − b = 2(a − b)  a + b = 2 . 2 2  a + b 1 3  Gọi I ;  ( 3 3 a + b ) − ( 2 2
a + b ) + 2 là trung điểm của đoạn AB .  2 4 4 
 8− 6ab 3(4 − 2ab) 
Với a + b = 2 ta có I 1; − + 2 hay I (1; ) 1 . 4 4    1 3 
Lại có AB b − a ;  ( 3 3
b − a ) − ( 2 2
b − a ) cùng phương với u ( ( 2 2
2; a + b + ab) − 3(a + b)) .  2 2 
Hay u (2; − 2 − ab) . Nên đường thẳng AB có một véc tơ pháp tuyến là n (2 + ab; 2) .
Suy ra phương trình đường thẳng AB là (2 + ab)( x − ) 1 + 2 ( y − ) 1 = 0 .
Do đường thẳng AB đi qua D (5;3) nên 4(2 + ab) + 4 = 0  4ab +12 = 0  ab = −3.
Thay ab = −3 vào phương trình AB ta được: x − 2 y +1 = 0 . 1 3
Cách 2 – trắc nghiệm: Đồ thị hàm số 3 2 y = x −
x + 2 (C ) có điểm uốn là I (1; ) 1 . 2 2
Do đó đường thẳng AB đi qua D (5;3) và I (1; )
1 có phương trình là x − 2 y +1 = 0 . x +
VÍ DỤ 3: Cho hàm số 2 y =
C và điểm A(0;a) . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên
x − có đồ thị ( ) 1
của a trong đoạn −2018;2018 để từ điểm A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm
nằm về hai phía của trục hoành? A. 2020 . B. 2018 . C. 2017 . D. 2019 . Lời giải Chọn D 3 − Ta có: ' y = , x  1 . 2 ( x − 1)
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: TiẾP tuyến và sự tiếp xúc − +
Phương trình đường tiếp tuyến tại điểm 3 x 2
x : y = x − x + . 2 ( 0 ) 0 0 (x − ) 1 x − 1 0 0 3x + x + 2 x −1 3 − 0 ( 0 )( 0 )
Tiếp tuyến tại điểm A(0;a) là: a = ' = ( y . 2 x − )2 1 ( x − 1) 0 2
 (a −1)x − 2(a + 2)x + a + 2 = 0 1 . 0 0 ( )
Để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C)  ( )
1 có hai nghiệm phân biệt     (a + )2 ' 0 2 − (a − )
1 (a + 2)  0  a  2 − .  2(a + 2) x + x = 1 2  Theo định lí Vi a − 1 -et ta có:  . a + 2 x x = 1 2  a − 1
Để hai tiếp điểm nằm về hai phía trục hoành thì: y(x ) y(x )  0 1 2 (x + 2)( x + 2)
x x + 2( x + x ) + 4 9a + 6 2 − 1 2 1 2 1 2   0   0   0  a  (x −1)(x −1)
x x − (x + x ) + 1 3 − 3 1 2 1 2 1 2 Mà a  201 − 8; 201  8 ; a   a 0;2018.
VÍ DỤ 4: Cho parabol ( P) : 2
y = x − 2 px + q . Biết rằng qua A(2; )
1 luôn kẻ được tiếp tuyến đến ( P)
và tập hợp tất cả các điểm M ( p;q) là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c  0 . Biểu thức 2
T = 3a − 2b + c không thể nhận giá trị nào sau đây? A. 10 . B. 9 . C. 11. D. −2 . Lời giải Chọn C
Ta có y = 2x − 2 p . Gọi M ( 2 x ; x
− 2 px + q là tiếp điểm, tiếp tuyến với (P) tại M có phương trình: 0 0 0 )
y = (2x − 2 p)( x − x ) 2 2
+ x − 2 px + q x − 2xx + 2 px − q + y = 0 . 0 0 0 0 0 0
Tiếp tuyến đi qua A(2; ) 1 nên: 2
x − 4x + 4 p − q +1 = 0 ( ) 1 . 0 0 Vì qua A(2; )
1 luôn kẻ được tiếp tuyến đến ( P) nên phương trình ( ) 1 luôn có nghiệm.
Do đó:   0  4 p − q − 3  0 (2) .
M ( p; q) thuộc miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c  0 nên ap + bq + c  0 (3) . a = 4m  Từ ( a b c
2) và (3) suy ra = =
= m , điều kiện: (m  0)   b = −m 4 1 − 3 − c = 3 − m  2 81  9  81 2  T = 2 − m + 9m = − 2 m −    . 8  4  8
Vậy T không thể nhận giá trị bằng 11 nên ta chọn đáp án C.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 4 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
VÍ DỤ 5: Cho hàm số y = f ( x) 2 2
= x − 4x + 4m − m . Có bao nhiêu giá trị m để đồ thị hàm số
g ( x) = f f ( x) 
 tiếp xúc với Ox . A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1. Lời giải Chọn D x = m
Ta có f ( x) = 0  ( x − m)( x + m − 4) = 0   . x = 4 − m
f (x) = m 2 2
x − 4x + 4m − m = m ( ) 1
Suy ra g ( x) = 0  f f  ( x) = 0      .  f
 ( x) = 4 − m 2 2
x − 4x + 4m − m = 4 − m  (2)
Trường hợp 1: Nếu m = 4 − m m = 2 . x = 2 − 2 Từ ( )
1 ;(2) suy ra g ( x) = 0  ( x − 4x + 2)2 2 = 0  
. Hai nghiệm này là hai nghiệm x = 2 + 2
kép của phương trình g ( x) = 0 nên đồ thị hàm số y = g ( x) tiếp xúc với Ox .
Trường hợp 2: Nếu m  4 − m m  2 .Khi đó ( )
1 ;(2) không có nghiệm chung.
Để đồ thị hàm số y = g ( x) tiếp xúc với Ox  ( )
1 có nghiệm kép hoặc (2) có nghiệm kép 2
m − 3m + 4 = 0 (VN )  
. Tức không có giá trị nào của m thỏa mãn trong trường hợp này. 2
m − 5m + 8 = 0  (VN )
Vây m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
VÍ DỤ 6: Cho hàm số y = f ( x) 3 2
= x − 3x + 2 (C) . Và (
A a ; − 2) . Từ A kẻ được ít nhất hai tiếp tuyến
đến đồ thị (C) . Gọi S là tập các hợp các giá trị của a để tổng các hệ số góc bằng 9 . Tính tổng các phần tử trong S . 2 6 A. 2 6 . B. 2 . C. 6 . D. . 3 Lời giải Chọn D
Gọi  là đường thẳng qua (
A a ; − 2) và có hệ số góc là k .
Đường thẳng  có phương trình: y = k(x − a) − 2 . 3 2
x −3x + 2 = k (x − a) − 2
Vì  là tiếp tuyến của đồ thị (C ) nên hệ sau có nghiệm:  . 2
k = 3x − 6x 2 Suy ra 3 2 x − x + = ( 2 3 2
3x − 6x)( x − a) − 2  ( x − 2) ( x + )
1 = ( x − 2)3x ( x − a) x = 2  2 2x −  (3a − ) 1 x + 2 = 0 (*)  5 a = Trường hợp
1: Phương trình (*) có nghiệm kép 2
 9a − 6a −15 = 0  3  . a = 1 −
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: TiẾP tuyến và sự tiếp xúc Với 5 a =
thì có hai tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại x = 1 và x = 2 có tổng hệ số góc của hai tiếp 3
tuyến của đồ thị (C) tại x = 1 và x = 2 là: ( 2 − )+( 2 3.2 6.2 3.1 − 6 ) .1 = 3 − ( không thỏa mãn).
Với a = −1 thì có hai tiếp tuyến của đồ thị (C) tại x = −1 và x = 2 có tổng hệ số góc của hai
tiếp tuyến của đồ thị ( 2
C ) tại x = −1 và x = 2 là: ( 2 3.2 − 6.2) + (3.(− ) 1 + 6. ) 1 = 9 (thỏa mãn).
Trường hợp 2 : Phương trình (*) có nghiệm bằng 2 khi a = 2 khi đó phương trình (*) có hai
nghiệm phân biệt là x = 2 hoặc 1 x = 2
Với a = 2 thì có hai tiếp tuyến của đồ thị (C) tại 1 x =
và x = 2 có tổng hệ số góc của hai tiếp 2     tuyến của đồ thị ( 1 1 9 C ) tại 1 x =
và x = 2 là: (3.2 − 6.2) 2 2 + 3. − 6.    = − (không tm). 2  2 2    4  
Trường hợp 3 : Phương trình (*) có nghiệm khác 2  5 a  2  9
a − 6a −15  0   3     (**). a  2 a  −1  a  2
Khi đó có ba tiếp tuyến của đồ thị (C) tại x ; x và x = 2 với x ; x là nghiệm phương trình (*) 1 2 1 2
, có tổng hệ số góc của ba tiếp tuyến của đồ thị (C) tại x ; x và x = 2 là: 1 2 2 2
3x − 6x + 3x − 6x = 9 2
 3(x + x ) − 6(x + x ) − 6x x = 9 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2  3 + 2 6  = 2  a 3a −1   3a −1  3 3 − 6 − 6 = 9     2
 27a − 54a − 45 = 0    2   2   3 − 2 6 a =  3 +
Kết hợp điều kiện (**) ta có 3 2 6 a =
. Vậy tổng các phần tử của S bằng 2 6 . 3 3 1 14
VÍ DỤ 7: Cho hàm số 4 2 y = x −
x có đồ thị (C ) . Có bao nhiêu điểm A thuộc (C ) sao cho tiếp 3 3
tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt M ( x ; y , N ( x ; y ( M , N khác A ) thỏa mãn 2 2 ) 1 1 )
y − y = 8 x − x ? 1 2 ( 1 2 ) A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3 . Lời giải Chọn B.   Gọi 1 14 4 2 A ; a a − a
 là tọa độ tiếp điểm.  3 3   
Phương trình tiếp tuyến tại 4 28 1 14 A là 3 d : y = a − a  (x − a) 4 2 + a − a .  3 3  3 3
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 6 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 1 28  4 28  1 14 4 2 3 x − x = a − a  ( x − a) 4 2 + a − a 3 3  3 3  3 3  =  (x − a) x a 2 ( 2 2
x + 2ax + 3a −14) = 0   2 2
x + 2ax + 3a −14 = 0  ( ) 1
Đồ thị (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt  Phương trình ( )
1 có hai nghiệm phân biệt khác a   0  7    
a  − 7; 7 \   . 2 ( ) 6a −14  0  3    
Theo đề bài: y − y = 8(x − x ) 4 28 3  a − a x − x = 8 x − x 1 2 1 2  ( 1 2 ) ( 1 2 )  3 3  a = 3 4 28  3  a −
a = 8  a = −1 . 3 3  a = 2 −  a = 1 −
Đối chiếu điều kiện: 
. Vậy có 2 điểm A thỏa đề bài. a = 2 −
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 DẠNG 1
Bài toán về tiếp tuyến và sự tiếp xúc Câu 1.
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 3 2
y = x − 2x + x + 2019 tại điểm có hoành độ x = −1 0 là
A. y = 8x + 2016 .
B. y = 8x + 2007 .
C. y = 8x + 2014 .
D. y = 8x + 2023 . Câu 2.
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x( x)2 4 –
tại điểm M 1 ; 9 là 0 ( )
A. y = 3x + 12 .
B. y = 3x + 8 .
C. y = 3x − 3 .
D. y = 3x + 6 . Câu 3.
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 4 2
y = x + 2x − 1 tại điểm có hoành độ x = −2 là 0
A. y = −40x − 80.
B. y = −40x − 57.
C. y = −40x + 103 .
D. y = −40x + 25 . Câu 4. Cho hàm số 4 2
y = x + 2x + 3 có đồ thị (C) . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M (1 ; 6) là
A. y = 8x − 2 .
B. y = 8x + 5 .
C. y = 8x − 8 .
D. y = 8x + 14 . x + 1 Câu 5. Cho hàm số y =
có đồ thị (C) . Tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 4 là x − 2
A. y = 3x − 5 .
B. y = −3x + 13 .
C. y = 3x + 13 . D. y = 3 − x + 5 . 1 Câu 6. Cho hàm số y =
có đồ thị (C) . Tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1 tạo với hai x − 1
trục tọa độ Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 1 9 A. 1 . B. . C. 9 . D. . 2 2 Câu 7.
Cho hàm số y = ln(x + 1) + ln x có đồ thị (C) , điểm M  (C) có tung độ bằng ln 2 . Phương trình
tiếp tuyến của (C) tại điểm M là 3 3 3 3 1
A. y = − x + 3 + ln 2 . B. y =
x − + ln 2 . C. y = 3x − 1 . D. y = x − . 2 2 2 2 2 Câu 8.
Cho hàm số y = x ln(x − 1) có đồ thị (C) . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành là A. y = 0 .
B. y = x − 1 .
C. y = 2x − 4 .
D. y = 2x + 4 . Câu 9. Cho hàm số 3 2
y = x − 6x + 9x + 1 có đồ thị (C) . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung
độ bằng y = −15 là 0
A. y = 24x + 9 .
B. y = 24x + 39 . C. y = −15 .
D. y = 24x − 39 . Câu 10. Cho hàm số 3 2
y = x − x + 2x + 5 có đồ thị (C) . Trong các tiếp tuyến của (C) , thì tiếp tuyến có
hệ số góc nhỏ nhất tiếp xúc với (C) tại điểm có tung độ bằng 1 151 113 5 A. . B. . C. . D. . 3 27 27 3 x + 3
Câu 11. Cho hàm số y = log
có đồ thị (C) . Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số tại giao điểm 2 2 − x
của đồ thị (C) với đường thẳng d : y = 2 là:
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc. 5 5 1 5 A. y = x − . B. y = x + 2 − . 4 ln 2 4 ln 2 4ln 2 4ln 2 5 5 5
C. y = x + 2 − . D. y = x + 2 − . 4ln 2 4ln 2 4ln 2
Câu 12. Biết đường thẳng y = 2 ln 4.x + m là tiếp tuyến của đường cong 2 4 x y =
khi đó giá trị tham số m bằng A. 2 ln 4 − 1 . B. 1 hoặc 3. C. 1 .
D. 1 hoặc 2 ln 4 − 1 . Câu 13. Cho hàm số 3 2
y = x − 4x + 3x − 3 có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) song song
với đường thẳng  : 2x + y + 1 = 0 ? A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 0 . Câu 14. Cho hàm số 3 2
y = −x + 3x − 7x + 2 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc lớn nhất có phương trình là
A. y = 4x − 1 .
B. y = 4x + 1 .
C. y = −4x − 1. D. y = 4 − x + 1 .
Câu 15. Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y = ax + bx + 23 tại điểm A(2; − 5) vuông góc với đường
thẳng x + 4y − 2019 = 0 . Tình 2a + b − 4 . A. 15 . B. 23 . C. −23 . D. −15 .
Câu 16. Đường thẳng y = m tiếp xúc với đồ thị hàm số (C) f (x) 4 2 :
= x − 8x + 35 tại hai điểm phân biệt.
Tìm tung độ tiếp điểm. A. −35 . B. 35. C. −19 . D. 19. 1 Câu 17. Cho hàm số 2 y =
x − ln (2x − 2) có đồ thị (C) . Số tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số vuông 2
góc với đường thẳng y = −x + 2 là A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Câu 18. Cho hàm số x x y e e− = −
có đồ thị (C) . Tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất là A. y = 0 .
B. y = 2x + 1 .
C. y = x + 2 .
D. y = 2x . Câu 19. Cho hàm số 3 2
y = x + 3x − 6x + 1 có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết
tiếp tuyến đi qua điểm N(0 ;1) . 33 33 33 33 A. y = − x + 11. B. y = − x + 12 . C. y = − x + 1 . D. y = − x + 2 . 4 4 4 4 Câu 20. Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 . Có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;0) A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . 2 x − x − 2
Câu 21. Cho hàm số y =
có đồ thị (C) . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm x − 3 A(4 ;1) ? A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 0 .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 2x
Câu 22. Cho hàm số y =
có đồ thị (C) . Biết rằng có hai tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm x + 1
A(0 ;1) . Tích hệ số góc của hai tiếp tuyến đó bằng A. 1 . B. 1 − . C. −2 . D. 2 .
Câu 23. Gọi S là tập các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y = x + mx − 9x − 9m tiếp xúc với trục
hoành. Tổng các phần tử của S bằng A. 1 . B. 0 . C. 3 . D. −3 .
Câu 24. Xét đồ thị (C) của hàm số 3
y = x + 3ax + b với a,b là các số thực. Gọi M , N là hai điểm phân
biệt thuộc (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại hai điểm đó có hệ số góc bằng 3 . Biết khoảng
cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng MN bằng 1 . Khi đó giá trị lớn nhất của 2 2
a − b bằng 3 2 − A. 0 . B. . C. −2 . D. . 2 3
Câu 25. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f ( 2 x + x + ) 2
1 = x − x + 1 với x
. Gọi  là tiếp tuyến của đồ 1
thị hàm số f (x) tại điểm có hoành độ x = . Giả sử  cắt Ox tại điểm A và cắt Oy tại điểm 0 2
B . Khi đó diện tích của tam giác OAB bằng A. 1 . B. 2 . C. 4 . D. 8 . 2x + 2
Câu 26. Cho hàm số: y =
có đồ thị (C) . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến tại x − 1
điểm M (x ; y C thỏa mãn phương trình x − 2 = 0 là 0 0 ) ( ) 0 4 1 4 2
A. y = − x − , y = 4x + 14 .
B. y = − x − , y = 4x + 1 . 9 9 9 9 4 1 4 2
C. y = − x − , y = 4x + 1 .
D. y = − x −
, y = −4x + 14 . 9 9 9 9 Câu 27. Cho hàm số 2
y = x ( − x) 4 4 1
+ x (C) . Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với parabol (P) 2 : y = x là
A. y = 0 ; y = 1 ; y = 24x − 6 .
B. y = 9 ; y = 1 ; y = 24x − 6 .
C. y = 0 ; y = 5 ; y = 24x − 63 .
D. y = 0 ; y = 1 ; y = 24x − 63 . 2x − 1
Câu 28. Cho hàm số y =
có đồ thị là (C) . Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận. Gọi M (x , y , 0 0 ) x + 1
x  −3 là một điểm trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M cắt hai đường tiệm cận lần lượt 0
tại A, B thỏa mãn 2 2
AI + IB = 40 . Khi đó tích x y bằng 0 0 A. 1 − . B. 12 − . C. 7 . D. 12 . x + 1
Câu 29. Cho hàm số f (x) =
có đồ thị (H ) . Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất x − 1
một tiếp tuyến tới (H ) .
A. M(0;1) .
B. M (0;1) và M (0; 1 − ) . 1 2
C. Không tồn tại.
D. M(0; −1) .
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc. 2x − 1
Câu 30. Cho hàm số y =
có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến này x − 1
cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại các điểm A, B phân biệt thỏa mãn AB = 82.OB . 1 13 1 25 1 25
A. y = − x + và y = − x + .
B. y = − x + . 9 9 9 9 9 9 1 13 1 17 1 25
C. y = − x + .
D. y = − x + và y = x + . 9 9 9 9 9 9 2 x
Câu 31. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y =
tại điểm có hoành độ x là nghiệm của phương trình x + 1 0 2
16x − 2x − 8 = 6 2x − 1 là 3 1 3 9 9 4 1 A. y = x − . B. y = x − . C. y = . D. y = x − . 4 4 4 4 2 3 4 x − 1
Câu 32. Cho hàm số y =
có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành x − 2
độ không nhỏ hơn 3, biết tiếp tuyến cắt hai tia Ox, O
y lần lượt tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân.
A. y = x − 5 .
B. y = −x + 5 .
C. y = x − 1 .
D. y = −x + 1 . 3x − 1
Câu 33. Cho hàm số y =
có đồ thị (C) . Biết y = ax + b là phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ x − 1
số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến có hoành độ tiếp điểm là số nguyên dương. Tính 2a + b . A. −2 . B. 9 . C. 7 . D. 5 . 3 − x
Câu 34. Cho hàm số y =
có đồ thị (C) và đường thẳng  : y = −4x + m . Tính tổng tất cả các giá trị x + 1
của m thỏa mãn  là tiếp tuyến của (C). A. 10 . B. 3 . C. −13 . D. −10 . Câu 35. Cho hàm số 2 y = x ( 2
x − 2) có đồ thị (C) . Gọi M(0;b) là điểm thuộc trục Oy mà từ đó kẻ được
4 tiếp tuyến đến (C) . Giá trị của b là b = 0  1
A. 0  b  1 . B. 1  . C. 1 −  b  1 . D. 0  b  . b =  3  3 x + 1
Câu 36. Cho hàm số y =
có đồ thị (C) . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số a để x − 1
có hai tiếp tuyến của (C) qua A(a; 2) với hệ số góc k , k thỏa mãn 2 2
k + k + 10k .k = 0 . Tổng 1 2 1 2 1 2
các phần tử của S bằng 7 7 − 5 5 − 5 A. 7 . B. . C. . D. . 2 2 2 Câu 37. Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 4 có đồ thị là (C) . Có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên thuộc trục
hoành sao cho từ đó có thể kẻ đến (C) duy nhất một tiếp tuyến? A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. Vô số.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 4 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 x + 2
Câu 38. Cho hàm số y =
có đồ thị là (C) . Tìm a để từ điểm A(0 ; a) có thể kẻ đến (C) hai tiếp x − 1
tuyến sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục hoành.   2  2 a  2 − a  −  a  − 2 A.  . B. 3 . C.  3 . D. 2 −  a  − . a   1   3 a  1 a   1 Câu 39. Cho hàm số 3 2
y = −x + mx − x − 4m có đồ thị (C ) và A là điểm cố định có hoành độ âm của m
(C ) . Giá trị của m để tiếp tuyến tại A của (C ) vuông góc với đường phân giác góc phần tư m m thứ nhất là 7 − A. m = −6 . B. m = 2 . C. m = −3 . D. m = . 2 2x − 1
Câu 40. Cho hàm số y =
có đồ thị (C) . Gọi M (x ; y (với x  1 ) là điểm thuộc (C) , biết tiếp 0 0 ) 2x − 2 0
tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho S = 8S
(trong đó O là gốc tọa độ, I là giao điểm hai tiệm cận). Tính giá trị của OIB OIA
S = x + 4y . 0 0 17 23 A. S = 8 . B. S = . C. S = . D. S = 2 . 4 4 x + 1
Câu 41. Cho hàm số y =
có đồ thị (C) . Gọi A(x ; y , B(x ; y B B ) A A ) x − 1
là hai điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A , B song
song với nhau (x x . Tiếp tuyến tại A cắt đường tiệm cận A B )
ngang của (C) tại D , tiếp tuyến tại B cắt đường tiệm cận đứng
của (C) tại C (tham khảo hình vẽ bên dưới). Chu vi tứ giác
ABCD đạt giá trị nhỏ nhất bằng A. 16 . B. 8 . C. 20 . D. 12 . x − 1
Câu 42. Cho hàm số y =
có đồ thị (C) . Gọi A , B là hai điểm thuộc hai x + 1
nhánh của (C) và các tiếp tuyến của (C) tại A , B cắt các đường tiệm
cận ngang và tiệm cận đứng của (C) lần lượt tại các điểm M , N , P
, Q (tham khảo hình vẽ bên dưới). Diện tích tứ giác MNPQ có giá trị nhỏ nhất bằng A. 16 . B. 32 . C. 8 . D. 4 .
Câu 43. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 4 2
y = x − 2mx + 3m tiếp xúc với trục
hoành tại hai điểm phân biệt? A. 0 . B. 1 . C. 2 D. Vô số.
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc. 4 3 2 2 2
x − x − m x + m x
Câu 44. Cho hàm số y =
. Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho tiếp 2 x + 1 xúc với trục hoành? A. 2 . B. 0 . C. 4 . D. 3 .
Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số = ex y
+ m tiếp xúc với đồ thị hàm
số y = ln (x + 1) . A. m = e . B. m = 1. C. m = e − . D. m = −1 . x
Câu 46. Số tiếp tuyến chung của hai đồ thị (C ) 4 2 : y =
− 2x + 4 và (C : y = x + 4 là 2 ) 2 1 4 A. 0. B. 1. C. 4. D. 5.
Câu 47. Cho hai hàm số 2
y = x ( C ) và 2 41 y = 5 − x −
( C ). Phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ 1 16 2
thị (C , C có hệ số góc dương là 1 ) ( 2) 1 − 1 1 1 1 − 1 1 1 A. y = x − . B. y = x − . C. y = x − . D. y = x − . 2 16 4 16 4 16 2 16
Câu 48. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm có hoành độ x = 1, biết 2 3
f (1 + 2x) = x − f (1 − x) là đường thẳng nào sau đây?
A. 3x − 7 y + 6 = 0 .
B. x − 7y − 6 = 0 .
C. x + 7y + 6 = 0 .
D. 3x + 7y + 6 = 0 .
Câu 49. Cho hai hàm số y = f (x) và y = g (x) đều có đạo hàm trên và thỏa mãn 3 f ( − x) 2 − f ( + x) 2 2 2. 2 3
+ x .g(x) + 36x = 0 , x  . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = f (x) tại x = 2 là o
A. y = −3x .
B. y = 2x − 4 .
C. y = −x + 2 .
D. y = x . 2x − 1
Câu 50. Cho hàm số y =
có đồ thị là (C) . Gọi điểm I là giao của hai đường tiệm cận của (C) . x − 1
M là một điểm bất kì trên (C) và tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận tại A,B . Biết chu
vi tam giác IAB có giá trị nhỏ nhất bằng a + b với a, b
. Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a − b + 4 = 0 .
B. 2a − b  0 . C. 2 2
a + b = 100 . D. log b = 2 . a Câu 51. Cho hàm số 4 2
y = x − (m + 1)x + 4m có đồ thị (C . Tìm tham số m để (C tiếp xúc với đường m ) m )
thẳng (d) : y = 3 tại hai điểm phân biệt m = 1 m = 1 m = 2 m = 1 A.  . B.  . C.  . D.  . m =  3 m =  16 m =  13 m =  13
Câu 52. Giá trị m để đường thẳng  : y = (
m 2 − x) + 2 cắt đồ thị 3 2
(C) : y = −x + 3x − 2 tại 3 điểm phân biệt (
A 2 ; 2), B,C sao cho tích các hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại B và C đạt giá trị nhỏ nhất là: A. m = 1. B. m = −2 . C. m = 2 . D. m = −1 .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 6 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 53. Cho hàm số ( 2 2 2) x y x x e− = − − −
có đồ thị (C) . Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị (C) cắt các 5
trục Ox , Oy lần lượt tại A , B (với A , B khác O ) sao cho cos ABO = . 26 A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .
Câu 54. Biết rằng tồn tại duy nhất một giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 2
y = x − 6x + m tiếp
xúc với đồ thị hàm số 2
y = 5 − x . Giá trị m thuộc khoảng nào được cho dưới đây? A. (− ; − 6) . B. (−6 ; 0) . C. (0;6) . D. (6 ; + ) . Câu 55. Cho hàm số y = f (x) có
đạo hàm liên tục trên (0;+ ) thỏa mãn
f (x) f (x) 2 +
= 4x + 3x, x  
và f (1) = 2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số x
y = f (x) tại điểm có hoành độ x = 2 là
A. y = −16x − 20 . B. y = 16x − 20 . C. y = 16x + 20 . D. y = −16x + 20 .
Câu 56. Cho hàm đa thức bậc bốn y = f (x) có đồ thị (C) . Hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ dưới
đây. Gọi đường thẳng  là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. Hỏi  và
(C) có bao nhiêu điểm chung? A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 4 . x + 3
Câu 57. Cho hàm số y =
có đồ thị là (C) , điểm M thay đổi thuộc đường thẳng d : y = 1− 2x sao x − 1
cho qua M có hai tiếp tuyến của (C) với hai tiếp điểm tương ứng là A , B . Biết rằng đường
thẳng AB luôn đi qua điểm cố định là H . Độ dài đoạn OH là A. 34 . B. 10 . C. 29 . D. 58 .
Câu 58. Cho hàm số y = (m + ) 3
1 x − (2m + 1) x − m + 1 có đồ thị (C , biết rằng đồ thị (C luôn đi qua m ) m )
ba điểm cố định A , B , C thẳng hàng. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn  1 − 0;10   để
(C có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng chứa ba điểm A , B, C ? m ) A. 19 . B. 1 . C. 20 . D. 10 .
Câu 59. Cho đồ thị (C) 3 2
: y = x − 3x . Có bao nhiêu số nguyên b  ( 10
− ;10) để có đúng một tiếp tuyến
của (C) đi qua điểm B(0;b)? A. 2. B. 9. C. 17. D. 16.
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc. BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.D 3.B 4.A 5.B 6.D 7.B 8.C 9.A 10.B 11.D 12.C 13.A 14.D 15.D 16.D 17.B 18.D 19.C 20.A 21.B 22.A 23.B 24.D 25.B 26.D 27.D 28.B 29.B 30.A 31.A 32.B 33.D 34.D 35.D 36.C 37.B 38.C 39.C 40.A 41.D 42.A 43.B 44.D 45.D 46.D 47.D 48.C 49.D 50.A 51.D 52.D 53.B 54.D 55.B 56.B 57.D 58.C 59.C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Chọn D Với x = 1
−  y = 2015. Ta có 2
y = 3x − 4x + 1  y(−1) = 8 . 0 0
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 có phương trình y = 8(x + )
1 + 2015 hay y = 8x + 2023 0 . Câu 2. Chọn D
Ta có y = x(4 – x)2 3 2 2
= x − 8x + 16x y = 3x −16x + 16 nên hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là: y(1) = 3 .
Tiếp tuyến tại điểm M 1 ; 4 có phương trình y = 3(x − 1) + 9 hay y = 3x + 6 . 0 ( ) Câu 3. Chọn B Với x = 2
−  y = 23 . Ta có 3
y = 4x + 4x y( 2 − ) = 4 − 0 . 0 0
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −2 là y = 40
− (x + 2) + 23 hay y = −40x − 57 0 . Câu 4. Chọn A Ta có 3
y = 4x + 4x
Với x = 1  y (
x ) = y (1) = 8 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M(1 ; 6) là 0 0
y = 8(x − 1) + 6 hay y = 8x − 2 . Câu 5. Chọn B
Điều kiện x  2 . Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
x + 1 = 4  x+1 = 4(x−2)  x = 3 (thỏa mãn) x − 2 3 − Ta có: y =  y (3) = 3 − . 2 (x − 2)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = 3
− (x − 3) + 4 hay y = −3x + 13 . Câu 6. Chọn D
Điều kiện x  1 .
Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 8 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
1 = 1 x−1 = 1  x = 2 (thỏa mãn) x − 1 1 − Ta có: y =  y (2) = 1 − . 2 (x − 1)
Phương trình tiếp tuyến y = 1
− (x − 2) + 1 hay y = −x + 3 .
Tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại hai điểm ( A 3 ; 0); ( B 0 ; 3) . Do đó diệ 9
n tích tam giác OAB là . 2 Câu 7. Chọn B
Điều kiện: x  0 .
Hoành độ tiếp điểm M là nghiệm phương trình ln x + ln (x + ) 1 = ln 2 ,(x  0)  + − = x + (x+ ) 2 x x 2 0 ln ln 1 = ln 2    x = 1 x  0 1 1 3
y = ln x + ln (x + ) 1  y' = +  y'(1) = . x x + 1 2 Phương trình tiế 3 3 3
p tuyến cần tìm y = (x − ) 1 + ln 2 hay y = x − + ln 2 . 2 2 2 Câu 8. Chọn C
Điều kiện: x  1 . Tung độ tiếp điểm bằng 0 .
Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm phương trình
x ln(x − 1) = 0  ln(x − 1) = 0  x = 2 (do x  1 ) x y' = ln (x − ) 1 +  y'(2) = 2 . x − 1
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2(x − 2) hay y = 2x − 4 Câu 9. Chọn A
Gọi M (x ; y là tọa độ tiếp điểm, do y = −15 nên hoành độ x là nghiệm của phương trình 0 0 ) 0 0 3 2 3 2 y = 1
− 5  x − 6x + 9x + 1 = 1
− 5  x − 6x + 9x + 16 = 0  x = 1 − 0 0 0 0 0 0 0 0 Ta có 2
y = 3x − 12x + 9 nên y( 1 − ) = 24
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 24(x +1) −15 = 24x + 9 .
Câu 10. Chọn B
Gọi M (x ; y là điểm trên (C) . Khi đó tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k là 0 0 ) 2    
k = y(x ) 2 2 2 1 5 1 5 5
= 3x − 2x + 2 = 3 x − x + + = 3 x − +      0 0 0 0 0 0  3 9  3  3  3 3 Do đó ta có 5 1 151 min k =
đạt được khi x =  y = . 3 0 0 3 27
Câu 11. Chọn D
Gọi M (a,b) là giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng d . a + 3
Ta có M  (C)  b = log , 3
−  a  2 và M  (d)  b = 2  a = 1  M(1;2) . 2 ( ) 2 − a
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc.
Phương trình cần là y = y(1).(x −1) + 2 . 5 5 5 Lại có y = (  y( ) 5 1 = . Vậy y = x + 2 − .
2 − x)(x + 3)ln 2 4ln 2 4 ln 2 4 ln 2
Câu 12. Chọn C
Đường thẳng y = 2ln 4.x + m là tiếp tuyến của đường cong 2 4 x y =
khi và chỉ khi hệ phương 2
4 x = 2ln4.x + m trình  có nghiệm. 2 2.4 x ln4 = 2ln4 2
4 x = 2ln4.x + m 2
4 x = 2ln4.x + m Ta có     m = 1. 2 2.4 x ln4 = 2ln4  x = 0
Câu 13. Chọn A Ta có : 2
y = 3x − 8x + 3 .
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng  : 2x + y + 1 = 0 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = −2 x = 1 , hoành độ 
tiếp điểm là nghiệm của phương trình 2
3x − 8x + 3 = −2  5  . x =  3
Với x = 1  y = −3 ta có phương trình tiếp tuyến là y = 2 − (x − ) 1 − 3  y = 2 − x −1 (loại vì
trùng với đường thẳng  ). 5 121  5  121 31 Với x =  y = −
ta có phương trình tiếp tuyến là y = 2 − x − −  y = 2 − x −   . 3 27  3  27 27
Câu 14. Chọn D Ta có: 2 y = 3
− x + 6x − 7 = − (x − )2 3 1 − 4  4
− . Dấu " = " xảy ra khi x = 1  y = −3 .
Do đó, tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc lớn nhất bằng −4 và là tiếp tuyến tại điểm M (1 ; − 3) .
Phương trình tiếp tuyến là y = 4 − (x − ) 1 − 3  y = 4 − x + 1 .
Câu 15. Chọn D Ta có 3
y = ax + bx = x( 2 4 2 2 2ax + b) . Đườ 1
ng thẳng x + 4y − 2019 = 0 có hệ số góc k = − . 4
Suy ra f (2) = 4  4(8a + b) = 4  8a + b = 1 .
A(2; − 5) thuộc đồ thị hàm số nên 16a + 4b + 23 = 5
−  4a + b = 7 − . 8a + b = 1 a = 2
Ta có hệ phương trình:   
2a + b − 4 = 1 − 5. 4a + b = 7 − b = −   15
Câu 16. Chọn D Cách 1 :
Đường thẳng y = m tiếp xúc với đường cong (C) f (x) 4 2 :
= x − 8x + 35 khi hệ sau có nghiệm 4 2  4 2
x − 8x − 35 = m
x − 8x − 35 =   m (1) (    .
x − 8x −13  ) 3 4 2 = m 4x −16x = 0  (2)
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 10 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 x = 0  Từ (2) 3
 4x −16x = 0  x = 2  . x = 2 − 
Với x = 0 thay vào ( ) 1 ta được m = 35 .
Với x = 2 thay vào ( ) 1 ta được m = 19 .
Với x = −2 thay vào ( ) 1 ta được m = 19 .
Vì đường thẳng y = m tiếp xúc với đồ thị (C) f (x) 4 2 :
= x − 8x + 35 tại hai điểm phân biệt, tức
là phương trình (2) có 2 nghiệm kép. Thử lại, ta có m = 19 thỏa mãn.
Khi đó, tung độ tiếp điểm là y = 19 . Cách 2:
Dựa vào dạng đồ thị của hàm trùng phương ta thấy đường thằng y = m (song song với trục Ox)
tiếp xúc với đồ thị hàm số (C) f (x) 4 2 :
= x − 8x + 35 chỉ có thể tại hai điểm cực tiểu hoặc điểm
cực đại. Do đường thẳng y = m tiếp xúc tại hai điểm phân biệt nên y = m đi qua hai điểm cực tiểu. x = 0  Ta có f (x) 3
= 4x −16x = 0  x = 2  . x = 2 −  Bảng biến thiên
Kết luận: Đường thẳng y = 19 tiếp xúc với (C) tại hai điểm cực tiểu hay tung độ tiếp điểm là 19.
Câu 17. Chọn B 1
Xét hàm số f (x) 2
= x − ln(2x − 2) . Điều kiện x  1 . 2
Đường thẳng y = −x + 2 có hệ số góc k = −1 , suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k = 1 . 1 2
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình f (x) = 1.
Ta có f (x) = 1 1 x − = 1 2
x − 2x = 0  x = 2 (do điều kiện x  1 ). x − 1
Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 18. Chọn D Gọi ( ; a a M a e e− −
) là tọa độ tiếp điểm. Ta có x x y e e−  = + .
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M là ( ) a a y a e e−  = + .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi: a −a +  2 a −a e e e e = 2 .
Dấu đẳng thức xảy ra khi a −a e = ea = 0 .
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc.
Vậy tiếp tuyến tại điểm M (0 ;0) có hệ số góc nhỏ nhất k = 2 .
Khi đó, phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2x .
Câu 19. Chọn C Gọi M ( 3 2
x ; x + 3x − 6x + 1 là tọa độ tiếp điểm. Ta có: 2
y = 3x + 6x − 6 . 0 0 0 0 )
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M có dạng: 2 3 2
y = (3x + 6x − 6)(x − x ) + x + 3x − 6x + 1 . 0 0 0 0 0 0 Tiếp tuyến đi qua N(0 ;1) 2 3 2
 1 = (3x + 6x − 6)(−x ) + x + 3x − 6x + 1 0 0 0 0 0 0 3 2  3
2x + 3x = 0  x = 0 hoặc x = − . 0 0 0 0 2
Với x = 0 , suy ra phương trình tiếp tuyến: y = 6 − x + 1 . 0 3 33
Với x = − , suy ra phương trình tiếp tuyến: y = − x + 1 . 0 2 4
Câu 20. Chọn A Gọi M ( 3 2
x ; x − 3x + 2 là tọa độ tiếp điểm. Ta có 2
y = 3x − 6x . 0 0 0 )
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M có dạng: y = ( 2
3x − 6x )(x − x ) 3 2
+ x − 3x + 2 . 0 0 0 0 0
Tiếp tuyến đi qua A(1;0)  ( 2
3x − 6x )(1− x ) 3 2
+ x − 3x + 2 = 0 0 0 0 0 0 3 2  2
− x + 6x − 6x + 2 = 0  x = 1. Vậy có duy nhất một tiếp tuyến cần tìm. 0 0 0 0
Câu 21. Chọn B 2 x − 6x + 5 2 
x − x − 2  Ta có y = 0 0 (
. Gọi M x ;
 là tọa độ tiếp điểm. 0   x − 3)2 x − 3  0  2 2 − + − − Phương trình x 6x 5 x x 2
tiếp tuyến với (C) tại M có dạng: 0 0 y = x − x + 2 ( 0 ) 0 0 (x ) x − − 3 3 0 0 2 2 x − 6x + 5 x − x − 2
Tiếp tuyến đi qua A (4 ;1) 0 0  1 = 4 − x + 2 ( 0 ) 0 0 (x ) x − − 3 3 0 0 x = 1 0 x  3 0    
. Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm. 2 17
5x − 22x + 17 = 0   x = 0 0 0  5
Câu 22. Chọn A 2  2x  Ta có y = ( . Gọi 0 M x ;  
là tọa độ tiếp điểm. 0  x + )2 1 x + 1  0  Phương trình tiế 2 2x
p tuyến với (C) tại M có dạng: y = x − x + 2 ( 0 ) 0 (x ) x + + 1 1 0 0 2 2x
Tiếp tuyến đi qua A (0 ;1)  1 = −x + 2 ( 0 ) 0 (x ) x + + 1 1 0 0 x  −1    −  = − 0 x 1 x 1 2 0 0  (     .
x + 1 = −2x + 2x x + 1
x − 2x −1 = 0    = + 0 )2 0 0 ( 0 ) 2 0 0 x 1 2  0
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 12 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 2 2
Suy ra tích hệ số góc cần tìm là: y(1− 2 ).y(1+ 2 ) = ( = . 1 − 2 + 1) . 1 2 (1+ 2 +1)2
Câu 23. Chọn B 3 2
x + mx − 9x − 9m = 0 (1)
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ phương trình:  2 3x + 2mx − 9 =  0  (2) Giải ( )
1  (x − 3)(x + 3)(x + m) = 0 .
Với x = 3 , thay vào (2) ta được m = −3 .
Với x = −3 , thay vào (2) ta được m = 3 . Với x = m
− , thay vào (2) ta được m = 3 . Vậy S =  3; − 
3 . Khi đó tổng các phần tử của S bằng 0.
Câu 24. Chọn D
Giả sử M (x ; y ,N x ; y . 1 1 ) ( 2 2) Ta có 2
y = 3x + 3a suy ra 2 2
3x + 3a = 3x + 3a = 3  2 2
x + a = x + a = 1. 1 2 1 2 Mặt khác, 3
y = x + 3ax + b 3
= x + ax + 2ax + b = x ( 2
x + a + 2ax + b = (2a + 1) x + b . 1 1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1
Tương tự y = 2a + 1 x + b . 2 ( ) 2
Suy ra phương trình đường thẳng MN là (2a +1)x − y + b = 0 . b
Giả thiết có d(O, MN ) = 1  = 1  2 2
b = 4a + 4a + 2 . (2a+1)2 +1 2  2  2 2 − Vậy 2 2 2
a − b = −3a − 4a − 2 = 3 − a + −    .  3  3 3 2 − 2 − 10
Giá trị lớn nhất của 2 2 a − b bằng khi a = ,b =  . 3 3 3
Câu 25. Chọn B Đặt 2
t = x + x + 1 suy ra t  0 ( vì 2
x + 1  x với mọi x và x + x  0 với mọi x ). − Ta có ( 2 x − x + )( 2 1 x + x + 1) = 1 − suy ra 2 1 x − x + 1 = . t − − Vậy ( ) 1 f t = với t  0 hay ( ) 1 f x = với x  0 . t x 1  1  Có f (x) =  f  =
  4 suy ra tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) tại điểm có hoành độ 2 x  2  1      x =
là đường thẳng  có phương trình: 1 1 1 y = f x − + f = 4x −      4 . 0 2  2  2   2 
Khi đó  cắt Ox tại điểm A(1 ; 0) và cắt Oy tại điểm B(0 ; − 4) nên diện tích của OAB là 1 1 S = .O . A OB = 1 . 4 − = 2 . OAB 2 2
Câu 26. Chọn D
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc. 4 −
Hàm số đã cho xác định với x  1 . Ta có: y' = ( x − )2 1
Gọi M (x ; y C , x  1 là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) : 0 0 ) ( ) ( 0 ) 4 − 2x + 2 4 − 2x + 2 y = x − x + với y'(x = và 0 y = 0 ) 2 ( 0 ) 0 ( 2 0 x ) x − − 1 1 (x −1 x − 1 0 ) 0 0 0  2 
Do x − 2 = 0  x = 2 , hay M  2; − , M (2; 6) . 0 0   3    Phương trình tiế 2 4 2 p tuyến tại M 2; − 
 là y = − x − .  3  9 9
Phương trình tiếp tuyến tại M (2;6) là y = −4x + 14 . 4 2
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài y = − x −
, y = −4x + 14 . 9 9
Câu 27. Chọn D Ta có: 2
y = x ( − x) 4 4 3 2 3 2 4 1
+ x = x − 4x + 4x y' = 4x −12x + 8x . Gọi M(x ; y C là tiếp 0 0 ) ( ) điểm.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(x ; y là y = ( 3 2
4x − 12x + 8x
x − x + x − 4x + 4x 0 0 0 ) ( 0 ) 4 3 0 0 ) 0 0 0
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và parabol (P) y = 2 : x : x = 0 0  4 3 2 2 2 2
x − 4x + 4x = x x (x − 4x + 3) = 0  x = 1 . 0 0 0 0 0 0 0  0 x = 3  0
• x = 0 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 0 . 0
• x = 1 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 1 . 0
• x = 3 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 24x − 63 . 0
Câu 28. Chọn B 2x − 1 3 Ta có y =  y' = . x + 1 (x+ )2 1 − Phương trình tiế 3 2x 1
p tuyến tiếp xúc với đồ thị tại M (x , y là y = x − x + . 2 ( 0 ) 0 0 0 ) (x ) x + + 1 1 0 0
Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang y = 2 là A(2x +1;2 , IA = 2 x +1 . 0 ) 0  −  Giao điể 2x 4 6
m của tiếp tuyến với tiệm cận đứng x = −1 là 0 B 1; −   , IB = . x  +  x + 1 0  0 2 36 4 2 Theo bài ra 2 2
AI + IB = 40  4(x + 1 +
= 40  4 x + 1 − 40 x + 1 + 36 = 0 . 0 ) 2 ( 0 ) ( 0 ) (x +1 0 )
(x +1)2 = 9 x +1 = 3  x = 2; x = 4 − 0 0 0 0      . (   x + )2 x + 1 = 1  x = 0; x = 2 1 = 1 −  0  0 0 0
Do x  −3 nên x = −4 suy ra điểm M ( 4
− ;3) . Vậy x y = 12 − . 0 0 0 0 Câu 29. Chọn B
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 14 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Ta gọi M (0; a) là điểm cần tìm. Phương trình đường thẳng d đi qua M có dạng y = kx + a .  x + 1 = kx+  a (1)  x − 1
Đường thẳng d là tiếp tuyến duy nhất của (H)   −2 có nghiệm duy nhất.  = ( k x − 1) (2) 2 x + 1 2 −
Thế (2) vào (1) ta có phương trình = x + a * 2 ( ) x − 1 (x− )1
Điều kiện x  1 .
Ta có ( )  (a − ) 2 *
1 x − 2(a + 1)x + a + 1 = 0  g (x) = 0 (**)
Yêu cầu bài toán dẫn đến phương trình (**) có một nghiệm x  1 . a = 1  1   1 x =  x = ; a = 1  1  2 2 x = ; a = 1       2   a  1
x = 0; a = 1 −    
x = 0;a = 1 −  = 0  2 −  0   g  (1)  0
Vậy có hai điểm thõa mãn là M 0;1 và M (0; 1 − ) . 1 ( ) 2
Câu 30. Chọn A 1 −  2a − 1  Ta có y' =  ( . Gọi M a;  ,(a )1 là tiếp điểm. x − )2 1  a − 1  − − Phương trình tiế 1 2a 1
p tuyến tại M là y = − + ( . a ) (x a) 2 a − − 1 1 2 
2a − 2a + 1 
Tiếp tuyến cắt trục Ox tại 2 (
A 2a − 2a + 1; 0) ; cắt trục Oy tại B0;  . 2 (a −  1) 
Tam giác OAB vuông tại 2 2 2
O OA + OB = AB . Mặt khác AB = 82.OB 2 2 2
OA + OB = 82.OB OA = 9OB (1) . 2 2a − 2a + 1 a = 2 − Từ (1) ta có 2
2a − 2a + 1 = 9.   2 (a − 1) a = 4 1 13
Với a = −2 ta có phương trình tiếp tuyến là y = − x + . 9 9 1 25
Với a = 4 ta có phương trình tiếp tuyến là y = − x + . 9 9 Câu 31. Chọn A Điề 1 u kiện x  . Ta có x − x − = x −  x = ( + x − )2 2 2 16 2 8 6 2 1 16 3 2 1 2  ( 1
2x − 1 + 3 − 4x)( 2x −1 + 3 + 4x) = 0  2x −1 = 4x − 3 vì 2x −1 + 3 + 4x  0 x   2
15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc. 2 16
x − 26x +10 = 0  2 +  x 2x   x = 1 3 . Lại có y' = . x  (x+ )2  1 4 2 x  1  Với x = 1 1  y =
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = M 1;  là 2 x + tại 1  2  3 y = (x− ) 1 3 1 1 +  y = x − . 4 2 4 4
Câu 32. Chọn B 1 −
Ta có y = f (x) = . 2 (x − 2)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x ; y ( C) ( x  3 ) có dạng 0 0 ) 0
y = f (x x − x + y . 0 ) ( 0 ) 0
Do tiếp tuyến cắt hai tia Ox, O
y lần lượt tại hai điểm A, B và tam giác OAB cân nên tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng y = x . 1 − −1 x = 1 Suy ra 0 =  ( 
. So điều kiện thì ta loại x = 1. 0 x 2)2 1 x = − 3  0 0
Với x = 3 ta có phương trình tiếp tuyến là y = −x + 5 . 0
Câu 33. Chọn D 2 −
Ta có y = f (x) = ( . x − )2 1
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x ; y ( C) có dạng y = f (x x − x + y . 0 ) ( 0 ) 0 0 ) 0 2 − Ta có f (x = x − 1 0 ) (
đạt giá trị nhỏ nhất khi (
)2 đạt giá trị nhỏ nhất mà x phải là số 0 0 x − )2 1 0
nguyên dương khác 1 nên x = 2 thỏa mãn yêu cầu. 0
Suy ra phương trình tiếp tuyến là: y = 2
− (x − 2) + 5  y = 2 − x + 9 .
Câu 34. Chọn D 4 −
Ta có y = f (x) = ( . x + )2 1
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x ; y ( C) có dạng y = f (x x − x + y . 0 ) ( 0 ) 0 0 ) 0  = Đườ x 0
ng thẳng  : y = −4x + m là tiếp tuyến của (C) suy ra f (x ) 0 = 4 −   . 0 x = 2 −  0
Với x = 0 ta có phương trình tiếp tuyến là y = 4
− (x − 0) + 3  y = 4 − x + 3 . 0
Với x = −2 ta có phương trình tiếp tuyến là y = 4
− (x + 2) − 5  y = 4 − x − 13 . 0
Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu là m = 3; m
= −13 suy ra tổng các giá trị m là −10 .
Câu 35. Chọn D
Phương trình đường thẳng d qua M(0; b) có hệ số góc k là d : y = kx + b .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 16 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
d là tiếp tuyến với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 4 2
x − 2x = kx + b 4 2   b = 3 − x + 2x ( ) 1 . 3
4x − 4x = k
Xét hàm số: g (x) 4 2 = 3 − x + 2x . x = 0  g(x) 3 = 12
− x + 4x ; g(x) = 0  1  . x =   3 Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số y = b là đường thẳng song song với trục hoành.
Qua M(0 ; b) kẻ được 4 tiếp tuyến đến (C) khi phương trình ( )
1 có 4 nghiệm hay đường
thẳng y = b cắt đồ thị hàm số g (x) tại 4 điểm. 1
Dựa vào bảng biến thiên suy ra yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi 0  b  . 3
Câu 36. Chọn C
Đường thẳng d đi qua A(a; 2) với hệ số góc k có phương trình y = k(x − a) + 2 .
(d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:  +
k (x − a) x 1 + 2 =   x − 1 2 − (x − a) x + 1 x   1  −  + =  2 2  .  2
x − 6x + 2a + 3 =  0  ( ) k = (x )2 x − − 1 1 1  (x −1)2
Có 2 tiếp tuyến của (C) qua A suy ra phương trình ( )
1 có hai nghiệm phân biệt khác 1     0    a 3    (*) . 2a − 2   0 a   1 2 − 2 −
Hệ số góc của các tiếp tuyến là k = k = 1 ( , 2
với x , x là các nghiệm của 2 1 2 x − )2 1 (x −1 2 ) 1 phương trình ( ) 1 . Ta có:   2   1 1
(x + x −2x x −2 x + x +2 2a−10 1 2 ) 1 2 ( 1 2) k + k = 2 −  +  = 2 −   = . 1 2 ( 2 x 1)2 (x 1)2  − −    
(x x −x −x +1 a −1 1 2 1 2 ) 1 2   ( )2 4 4 1 k .k = = = . 1 2  (a− )2
(x − 1)(x − 1) 2 
x x − x + x +1 1 1 2   ( ) 2 1 2 1 2 
17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc. 2a −10 10 Từ giả thiết: 2 2
k + k + 10k .k = 0  + = 0 1 2 1 2 (a− )2 1 (a− )4 1 a = 0 a  1      7  5 . 3 2
2a −14a + 22a = 0 a =  2 7 − 5
Kết hợp với điều kiện (*) ta đươc: a = 0 hoặc a = . 2 7 − 5
Vậy tổng các phần tử của S bằng . 2
Câu 37. Chọn B
Đường thẳng (d) qua A(a;0)Ox , a  có hệ số góc k có phương trình là y = k(x − a) .
(d)là tiếp tuyến duy nhất với (C) khi hệ phương trình sau có duy nhất nghiệm 3 2
x −3x + 4 = k(x−a)  (I). 2
3x −6x = k (x − )( 2
2 x − x − 2) = k (x −  a) ( 2 I )  
 (x − 2)2x − 
(3a−1)x+2 = 0  . 3x  (x − 2) = kx − 2 = 0   . 2 2x −  (3a− )1x+2 =  0 (*)
Hệ (I ) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 2  = Trườ a 0
ng hợp 1: Phương trình (*) vô nghiệm  5   0  1
−  a  . Vì a  nên  3 a =  1 a = −1  = 0   Trườ  5
ng hợp 2: Phương trình (  
* ) có nghiệm kép x = 2  3a − 1  a =  a   . =  2   3  4 a =  3
Vậy tồn tại hai điểm có tọa độ nguyên thỏa mãn là A (0 ; 0) hoặc A(1; 0) .
Câu 38. Chọn C 3 − Tập xác định:  D =  \  1 . Ta có y = ( . x − )2 1  +  Phương trình tiế x 2
p tuyến với đồ thị (C) tại điểm 0 M x ;   có phương trình: 0 x 1  −  0  3 x + 2 y = − x − x + . 2 ( 0 ) 0 (x ) x − − 1 1 0 0 3x x + 2 Tiếp tuyến đi qua 0 0 A (0 ; a) nên + = ( x ) a 2 x − − 1 1 0 0
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 18 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 x  1  x   1 0   0   . 3x + (a−  ) 2
1 x − 2 a + 2 x + a + 2 =  0 1 0 ( ) 0 ( ) 
(x + 2)(x −1) = a(x −1)2 0 0 0 0
Để từ A(0; a) kẻ đến (C) hai tiếp tuyến thì phương trình ( )
1 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 . a −1  0    = (  
a + )2 − (a − )(a + ) a 1 ' 2 1 2  0   . (*) (  −   a −  )− (a+ ) a 2 1 2 2 + a + 2  0 
Gọi x ; x là các nghiệm của phương trình ( ) 1 . 1 2  +   +  Khi đó tọa độ x 2 x 2 các tiếp điểm là 1 2 Ex ; ; F x ;  . 1 2 x − 1 x −    1 1 2  x + 2 x + 2
Để các tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi 1 2 .  0 x − 1 x − 1 1 2 a + 2 2(a + 2) + 2 + 4
x x + 2 x + x + 4 − − 1 2 ( 1 2)   a 1 a 1 0   0
x x − x + x + 1 a + 2 2(a + 2) 1 2 ( 1 2) − + 1 a − 1 a − 1  2 9a + 6 2   −   a
0  9a + 6  0  a  −
. Kết hợp với điều kiện (*) suy ra  3 . 3 − 3 a   1
Câu 39. Chọn C
Gọi A(x ; y với x  0 là điểm cố định cần tìm. 0 0 ) 0 3 2
y = −x + mx − x − 4m, m  2 3
 (x − 4)m − x − x − y = 0, m  0 0 0 0 0 0 0 0 2 x − 4 = 0 x = 2 − vì x  0 0 0 ( 0 )      ( A 2 − ;10) . 3
−x − x − y = 0  y = 10 0 0 0  0 Ta có 2 y = 3
− x + 2mx −1  y ( 2 − ) = 4 − m −13 .
Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại ( A 2 − ;10) là y = ( 4
− m −13)(x + 2) + 10 hay m y = ( 4
− m −13)x − 8m −16 () .
Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình d : y = x .
Vì  ⊥ d  −4m − 13 = −1  m = −3 .
Câu 40. Chọn A Tập xác định:  \ 
1 . Tiệm cận đứng: x = 1 (d , tiệm cận ngang: y = 1 (d I (1;1) . 2 ) 1 ) 2 − Ta có y = ( 2x − 2)2
19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc. 2 − 2x −1
Phương trình tiếp tuyến  tại điểm y = x − x + 2 ( 0 ) 0 M (x ; y có dạng 0 0 ) ( x ) 2x − − 2 2 2 0 0  x   1  A =   d 0  A1;
 ; B =   d B(2x − 1;1 ; IB = (2x − 2;0 , = . 0 ) IA 0;  0 ) 1  x 1 − 2    x − 1 0   0  Ta có S = 1 1 8S  .OI.I .
B sinOIB = 8. .OI.I . A sinO A I OIB OIA 2 2  1 IB = 8IA ( vì 0 OIB = A OI
= 135 )  2x − 2 = 8 0 x − 1 0  (x −1)2 = 4  5
x = 3 (do x  1 )  =  S = x + 5 4y = + = 0 y 3 4. 8 0 0 0 4 0 0 4
Câu 41. Chọn D
Tiệm cận đứng: x = 1 (d , tiệm cận ngang: y = 1 (d . 2 ) 1 ) 2 −
Gọi  ,  lần lượt là tiếp tuyến của ( 
C) tại A , B y = . 1 2 . Ta có (x− )2 1 2 − 2 − x = x l A B ( )
 //   y(x = yx  =   A ) ( B) . 1 2 (x − x − x + x = 2 A )2 1 ( B )2 1 A B  +   −  Đặ m 1 m 3
t x = m với m  1 . Suy ra Am;  , B 2 −  m;  . Am − 1   m − 1  2 − m + 1
Tiếp tuyến tại A là  : y = x − m + . 2 ( ) 1 (m ) m − − 1 1 2 − m − 3
Tiếp tuyến tại B là  : y = x + m − 2 + . 2 ( ) 2 (m ) m − − 1 1  m − 
D =   d D(2m − 1;1) ; C =   5 d C 1;  . 1 2 2 1  m −1   4 − 
Ta có AB = DC = 2 −  2m;
  ABCD là hình bình hành.  m − 1   2 −  BC = m −  1;
 . Chu vi P hình bình hành ABCD bằng  m − 1    P
(AB BC)  (m )2 16 4 4 2 2 4 1 m 1  = + = − + + − + = 6 m −1 + . 2 ( )2 2 ( )2  (  m − 1) (m−1) (m−1)2   4
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm (m − )2 1 và ( , ta có: m − 1)2 2 4 P  (m− )2 4 6 2 1 . =  − =  = − ( . Dấu “ = ” xảy ra (m )1 m 1 2 . 2 m − 1) 12 2 (m− )1
Câu 42. Chọn A
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 20 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 2 Tiệm cận đứng:  x = 1
− (d , tiệm cận ngang: y = 1 (d . Ta có y = . 2 ) 1 ) (x+ )2 1  −  Xét điể a 2 2 a − 2 m A a − 1;  
 (C) , a  0 . Tiếp tuyến tại A là  : y = x − a + 1 + 2 ( )  a  1 a aa − 
M =   d M (2a − 1;1) ; N =   4 d N 1; −   . 1 2 1 1  a   −  Xét điể b 2 2 b − 2 m B b − 1;  
 (C) , b  0 . Tiếp tuyến tại B là  : y = x − b + 1 + 2 ( )  b  2 b bb − 
P =   d P (2b − 1;1) ; Q =   4 d Q 1; −   . 2 2 1 1  b   
MP = (2b − 2a;0) 4 4 , NQ = 0; −    a b  1 1 1 1 4(a − b)2 ( 2 2
4 a + b − 2ab)
Ta có MP ⊥ NQ S = M .
P NQ = .2 a − b .4 − = = MNPQ 2 2 a b −ab − . ab
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm 2 a và 2 b , ta có: 2 2 2 2
a + b  2 a .b = 2 − ab 4( 4 − ab)  S  = 16 = − . MNPQ −
. Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a b ab
Câu 43. Chọn B x = 0 Tập xác định D = ; 3
y = x − mx = x( 2 4 4
4 x − m) ; y = 0   . 2 x =  m
Đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị đó có
hai điểm cực trị (trong bài toán này là hai cực tiểu) thuộc trục hoành. m  0     Khi đó ta có  m 0 m 0       m = 3. f  2 2 − + = m  (3 − m) =  ( m ) = 0 m 2m 3m 0 0
Vậy có 1 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 44. Chọn D
Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm 4 3 2 2 2
x − x − m x + m x  = 0 2 x + 1  ( 3 2 2 2
4x − 3x − 2m x + m ).( 2 x + 1) − ( 4 3 2 2 2
x − x − m x + m x) (I) .2x .  =   (x +1) 0 2 2 4 3 2 2 2
x − x − m x + m x  = 0 2 x + 1  Ta có (I )  ( 3 2 2 2
4x − 3x − 2m x + m )( 2 x + 1) ( 4 3 2 2 2
x − x − m x + m x).2x  − =   (x +1) 0 2 (x +1)2 2 2 4 3 2 2 2
x − x − m x + m x =  0 (1)   . 3 2 2 2
4x − 3x − 2m x + m =  0  (2) ( )  x( 2 2 1
x − m )(x − )
1 = 0  x 0;1;  m
21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc.
Khi x = 0 thay vào (2) suy ra m = 0 .
Khi x = 1 thay vào (2) suy ra 2 m = 1  m = 1  .
Khi x = m thay vào (2) suy ra 3 2
2m − 2m = 0  m = 1,m = 0 . Khi x = m − thay vào (2) suy ra 3 2 2
− m − 2m = 0  m = 1 − ,m = 0 .
Vậy có ba giá trị của m . Chọn đáp án D
Câu 45. Chọn D
Đồ thị hàm số = ex y
+ m tiếp xúc với đồ thị hàm số y = ln(x + 1) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm x
 ex + m = ln(x +1)
e + m = ln(x +1)   (1) (      ex + m  ) = ln  (x + 1) x 1   e = (2)   x + 1 1 Dễ thấy rằng hàm số ex y = đồng biến trên , hàm số y =
nghịch biến trên khoảng x + 1
(−1;+ ) và x = 0 là nghiệm của phương trình (2) nên phương trình (2) có nghiệm duy nhất là x = 0 .
Thay x = 0 vào phương trình (1) ta được m = −1.
Câu 46. Chọn D
Gọi phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị là y = ax + b , hoành độ tiếp điểm của (C , C 1 ) ( 2 ) 4 x1 2 
− 2x + 4 = ax + b 1 1 1 ( ) 4   3
x − 4x = a 2  1 1 ( )
lần lượt là x , x . Ta có . 1 2  2
x + 4 = ax + b 3 2 2 ( )  2x = a 4  2 ( ) a 2 a
Từ (4) ta có x = , thế vào (3) suy ra b = 4 − (5). 2 2 4 (x −4x )2 3 1 1
Thế (2) vào (5) ta được b = 4 − (6) . 4 Thế (2) và (6) vào ( ) 1 ta có
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 22 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 2 x − 4x
x1 − 2x + 4 = x x −4x + 4−
x −x + 8 + 4x −16 − x + 8x −16 = 0 1 1 ( 1 1 ) ( 3 4 1 1 2 3 ) 2 1 ( 2 2 4 2 1 1 1 1 ) 4 4 x = 0 1  2  x ( 4 2
−x + 11x − 24 = 0  x =  3 . Thế vào (2) ta được 5 giá trị của a là a = 0 , a = 3 1 1 1 ) 1 x =  8  1 , a = 8
 2 . Do vậy hai đồ thị có 5 tiếp tuyến chung.
Câu 47. Chọn D
Gọi d là phương trình tiếp tuyến chung của (C , C
và x = a là hoành độ tiếp điểm của d 1 ) ( 2) 0
với (C thì phương trình d là 1 )
y = f (x )(x − x ) + y = 2a(x − a) 2 2
+ a = 2ax − a . 0 0 0  2 41 2 5 − x − = 2ax − a  (1)  16
d tiếp xúc với (C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:  2 ) −x  = 2a (2) 2  5 − x 2 2 41 −x x Thế (2) vào (1) ta có 2 5 − x − = − . Đặt 2
t = 5 − x (ĐK: t  0 ) 2 2 16 − 4(5 − x ) 5 xt = 2 2 2 − − Ta có phương trình 41 t 5 t 5 2  t − = +
 45t − 80t − 20 = 0  − . 2 2 16 t 4tt =  9  1  = x = 1 a
Do điều kiện: t  0 nên nhận t = 2 . Với t = 2 suy ra  , thế vào (2) ta có 4  . x = 1 −   −1 a =  4  1 − 1 y = x − 
Do đó (C , C có hai tiếp tuyến chung là 2 16 
. Vậy phương trình tiếp tuyến chung 1 ) ( 2)  1 1 y = x −  2 16
của hai đồ thị (C , C có hệ số góc dương là 1 1 y = x − . 1 ) ( 2) 2 16
Câu 48. Chọn C Ta có: 2 3 2 f
+ x = x − f
− x)  f ( x + ) 3 (1 2 ) (1 2
1 + f (1− x) = x . Đạo hàm hai vế 2 f ( x + ) 3 2
1 + f (1− x) = x , ta có
f ( x + ) f ( x + ) 2 4. 2 1 . 2
1 − 3 f (1− x). f (1− x) = 1 .
Cho x = 0 ta được f ( ) f ( ) 2 4 1 .
1 − 3. f (1). f (1) = 1  f (1). f (1).4 − 3 f  (1) = 1  . ( ) 1 Từ 2 f ( x + ) 3 2
1 + f (1− x) = x , cho x = 0 ta có  f (1) = 0 2 f ( ) 3 1 + f (1) = 0   .  f  (1) = −1
23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc.
Nếu f (1) = 0 thì mâu thuẫn với ( ) 1 , do đó f ( ) 1 = 1 − , khi đó
( )1  − f(1).(4+3) = 1  f( ) 1 1 = − . 7 Phương trình tiế 1 1 6
p tuyến y = − (x − )
1 − 1  y = − x −
hay x + 7y + 6 = 0 . 7 7 7
Câu 49. Chọn D 3 2 2
f (2 − x) − 2 f (2 + 3x) + x . (
g x) + 36x = 0 , x   ( ) 1 .  f = Vì ( ) 1 đúng x
  nên cũng đúng với 3 2
x = 0  f (2) − 2 f (2) = (2) 0 0   . f (2) =  2
Lấy đạo hàm hai vế của ( ) 1 ta có: 2 2 3
− f (2 − x). f '(2 − x) −12 f (2 + 3x). f (2 + 3x) + 2 . x (
g x) + x .g (
x) + 36 = 0 , x   . Cho x = 0 2  3
− f (2). f (2) −12 f (2). f (2) + 36 = 0 (2) .
Ta thấy f (2) = 0 không thỏa mãn (2) nên f (2) = 2 , khi đó f (2) = 1 .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại x = 2 là o
y = f (2)(x − 2) + f (2)  y = x .
Câu 50. Chọn A 1 − Ta có y =   (
. Giả sử M (x ; y C , x
1 suy ra tiếp tuyến của (C) tại điểm M có 0 0 ) ( ) ( 0 ) x − )2 1 − − phương trình 1 2x 1 y = x − x + . 2 ( 0 ) 0 (x ) x − − 1 1 0 0 2x − 1 2x − 1 Vì lim = +,lim
= − nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của (C) . + − x 1 → − x 1 x 1 → x − 1 2x − 1 Mà lim
= 2 nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của (C) , suy ra I (1 ; 2) .
x→ x − 1   Điể 2x m 0 A1 ;  
là giao điểm của tiệm cận đứng và tiếp tuyến, điểm B(2x − 1 ; 2 là giao 0 ) x 1  −  0 
điểm của tiệm cận ngang và tiếp tuyến. 2 2 4
Ta có chu vi của tam giác IAB bằng IA + IB + AB =
+ 2 x −1 + 4 x −1 + . 0 ( 0 ) x − 1 (x −1)2 0 0
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có IA + IB + AB  2 4 + 4.2 = 4 + 8 . x = 0 Đẳng thức xảy ra khi 0 x − 1 = 1   0 x = 2  0
Vậy chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 + 8 khi M (0 ; 1) hoặc M (2 ; 3) .
Suy ra a = 4, b = 8 nên a − b + 4 = 0 .
Câu 51. Chọn D
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 24 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Ta có (C
tiếp xúc với đường thẳng (d) tại điểm có hoành độ x khi hệ m ) 0 4 2
x −(m+1)x + 4m = 3 (1) 0 0  có nghiệm x . 3
4x − 2(m + 1)x = 0 (2) 0  0 0 m + 1
Từ phương trình (2)  x = 0 hoặc 2 x = . 0 0 2 3
Nếu x = 0 thay vào (1) ta được m = . 0 4 2 m + 1 2  m + 1 (m + 1) -Nếu 2 x = thay vào (1) ta được − + 4m =   3 0 2  2  2 m = 1 2
m −14m +13 = 0   m =  13 Thử lại: 3 3 Khi m =
thì (C tiếp xúc với (d) tại chỉ một điểm (0; 3) nên m = không thỏa mãn yêu m ) 4 4 cầu của bài toán. Khi m = 1 thì 2 x = 1  x = 1
 , suy ra (C tiếp xúc với (d) tại hai điểm (1;3);( 1 − ;3) m ) 0 0 Khi m = 13 thì 2
x = 7  x =  7 , suy ra (C tiếp xúc với (d) tại hai điểm ( 7;3), (− 7;3) m ) 0 0
Vậy các giá trị m cần tìm là m = 1; m = 13 .
Câu 52. Chọn D Ta có : 3 2
y = −x + 3x − 2 ; 2
y = −3x + 6x
Phương trình hoành độ giao điểm của  và (C) : x = 2 (y = 2) 3 2
−x + 3x − 2 = (
m 2 − x) + 2 (1)   . 2
x − x − 2 − m =  0 (2)
Đường thẳng  cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt (
A 2 ; 2), B,C
 (1) có 3 nghiệm phân biệt  (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2.  9   0 4m + 9  0 m  −       4 (*) . 2 (
 2) −(2) − 2 − m  0 −  m  0 m   0
Với điều kiện (*), phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt x và x . B C x + x = 1
Theo định lý Viet, ta có: B C  .
x .x = −m − 2  B C
Tích hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại B và C là 2 2 2 2
k .k = f (
x ) f (x ) = ( 3 − x + 6x )( 3
− x + 6x ) = 9(x − 2x )(x − 2x ) . B C B C B B C C B B C C 2 2 2
= 9 x x − 2x x (x + x ) + 4x x  = 9 (
m + 2) − 2(m + 2)  B C B C B C B C    2 2 = 9 (
m +1) −1 = 9(m +1) − 9  9 −   .
Dấu "=" xảy ra khi m = −1 (thỏa điều kiện (*)). Vậy m = −1 thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 53. Chọn B
25 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc. 1 1 26 1 Từ 2 = 1+ tan ABO  2 tan ABO = −1 = −1 = . 2 os c ABO 2 os c ABO 25 25  1 tan ABO =
hay tanOAB = 5 (do OAB + ABO = 90 ). 5
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k =  tanOAB = 5 . Ta có 2 x y x e−  =  0 , x  .
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình y = 5  2 x x e− = 5 . x = Xét hàm số ( ) 2 x g x x e− = . Ta có ( 2 ( ) 2 ) x g x x x e−  = −
; g(x) = 0  0  . x =  2
lim g (x) = + ; lim g(x) = 0 . x→− x→+ Bảng biến thiên: Nhận thấy 2
4.e−  5 nên suy ra phương trình 2 x
x e− = 5 có một nghiệm duy nhất.
Vậy có duy nhất một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 54. Chọn D Đồ thị hàm số 2
y = x − 6x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số 2
y = 5 − x khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 26 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  2 2  2 2
5 − x = x − 6x + m
5 − x = x − 6x + m   ( )1 (    −x  2  x  ) ( 2x x m) =  2x − − = − + 6 5 6 (2) 2  5 − x
Phương trình (2) tương đương vớ x i + 2x − 6 = 0 . (3) 2 5 − x x
Xét hàm số y = f (x) =
+ 2x − 6 xác định, liên tục trên khoảng (− 5 ; 5) và 2 5 − x f (x) 5 = ( +  , x
 (− 5 ; 5) . Suy ra, hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng 5 − x ) 2 0 3 2
(− 5; 5). Lúc đó, phương trình (3) tương đương với f (x) = f (2)  x = 2.
Thay x = 2 vào phương trình (1) ta được m = 9 .
Câu 55. Chọn B f x Ta có f (x) ( ) 2 +
= x + x x f (x) + f (x) 3 2 4 3 . = 4x + 3x . x (   x f (x)) 3 2
= x + x x f (x) = ( 3 2 x + x )  x f (x) 4 3 . 4 3 . 4 3 dx .
= x + x + C . Vì f ( )
1 = 2  1. f (1) = 2 + C  2 = 2 + C C = 0 . Suy ra ( ) 4 3 = +  ( ) 3 2 . x f x x x
f x = x + x .
Khi đó: f (x) 2
= 3x + 2x; f (2) = 16; f (2) = 12 .
Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm có hoành độ x = 2 là
y = 16(x − 2) + 12  y = 16x − 20 .
Câu 56. Chọn B
Ta có tiếp tuyến  của (C) tại x = 1 là y = f (1)(x −1) + f (1).
Dựa vào đồ thị của hàm số f (x), ta có f (1) = 0 .
Vậy  : y = f (1) .
Gọi a , a là hai nghiệm còn lại của f (x). Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên: 1 2
27 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc.
Dựa vào bảng biến thiên ta có  : y = f (1) và (C) có ba điểm chung.
Câu 57. Chọn D
Gọi M (m;1− 2m)  d . Gọi  là đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k , khi đó phương trình
đường thẳng  : y = k(x − m) +1− 2m .
x + 3 = k(x−m)+1−  2mx − 1
Để  là tiếp tuyến của đồ thị (C) thì hệ phương trình  4 có nghiệm. − =  ( k x − 1)2 4 x + 3 Thay k = − = − + − ( vào phương trình
k (x m) 1 2m ta được x − )2 1 x − 1 2
mx + 2(2 − m) x − m − 2 = 0 (*) . Qua M
kẻ được hai tiếp tuyến với (C) khi và chỉ khi phương trình g (x) 2
= mx + 2(2 − m)x − m − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x  1 a = m  0    = (  
− m)2 + m(m + ) m 0 2 2  0   .    g  ( ) m 1
1 = m + 4 − 2m − m − 2  0 
Gọi A(x ; y , B(x ; y là hai tiếp điểm, với x , x là hai nghiệm của phương trình (*) . B B ) A A ) A B  2(m − 2) x + x = A B  Theo địnhlý Vi-et ta có m  .  m + 2 x x = − A B  m
m − 2 m + 3 
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì I  ;  .  m m − 1  
2m(x − x B A )
Mặt khác AB =  x − x ;
  một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB là B Am − 1   
n = (2m;1− m) .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 28 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm AB có một vectơ pháp tuyến n = (2m;1− m) và đi  − +  qua điể m 2 m 3 m I  ;
 là 2mx + (1− m) y + 7 − m = 0 .  m m − 1 
Gọi H (x ; y là điểm cố định mà đường thẳng AB đi qua. H H )
Khi đó, 2mx + (1− m) y − m + 7 = 0  m(2x − y −1) + y + 7 = 0 với mọi m  0 và m  1 . H H H H H
2x − y −1 = 0 x = 3 − 2 2 Suy ra H H H     H ( 3 − ; 7 − ) . Vậy OH = ( 3 − ) + ( 7 − ) = 58 . y + 7 = 0 y = 7 −  H H
Câu 58. Chọn C
Gọi A(x ; y
, B(x ; y , C (x ; y C C ) B B ) A A )
Ta có: A là điểm cố định mà đồ thị (C luôn đi qua nên A  (C mm ) , m )  y = (m + ) 3
1 x − (2m + 1) x − m + 1, mA A Am( 3 x − 2x −
+ x − x + − y = mA A ) 3 1 1 0, A A A 3 3 3
 x − 2x −1 = 0
 x − 2x −1 = 0
x − 2x −1 = 0 A A A A A A       3 3
x − x +1− y = 0
y = x − 2x −1+ x + 2 y = x + 2 A A A A A A A A A
Tương tự ta cũng chứng minh được: y = x + 2 và y = x + 2 . B B C C
Hay ba điểm A , B , C thuộc đường thẳng  : y = x + 2 .
Ta lại có: y = (m + ) 2 3
1 x − (2m + 1) và gọi M (x ; y là tiếp điểm 0 0 ) −
Khi đó để (C có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  thì phương trình y(x = = − o ) 1 1 m ) k
phải có nghiệm  3(m + 1) 2
x − 2m = 0 * phải có nghiệm 0 ( ) Xét m = 1
− : (*)  2 = 0 (vô lí) nên loại m = −1 2m Xét m  1 − : (*) 2  x = 0 3(m + ) 1 Để 2m (*) có nghiệm thì
  m − −   +   3(m + ) 0 ( ; )1 0; ) 1
So với điều kiện m  và m   10 − ;10 
 ta được m  và m   1 − 0 ;−1) 0;10    Hay m  1 − 0;− 9; 8 − ; 7 − ; 6 − ; 5 − ; 4 − ; 3 − ; 2
− ;0;1;2;3;4;5;6;7 ; 8;9;1  0
Vậy có 20 số m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 59. Chọn C Gọi M ( 3 2
x ; x − 3x là tiếp điểm. 0 0 0 0 )
Tiếp tuyến  của (C) tại M có dạng y = ( 2 3x − 6x
x − x + x − 3x 0 0 ) ( 0 ) 3 2 0 0 0  qua (
B 0; b)  b = ( 2
3x − 6x )(0 − x ) 3 2 3 2
+ x − 3x  −b = 2x − 3x (*) . 0 0 0 0 0 0 0
Có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm B(0;b)  (*) có đúng 1 nghiệm x . 0
29 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến và sự tiếp xúc. x = Đặt g(x) 3 2
= 2x − 3x ; (x) 2 g
= 6x − 6x ; g(x) 0 = 0   . x =  1
Ta có bảng biến thiên của hàm g(x) −b  0 b  0
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình (*) có đúng 1 nghiệm     . −b  1 − b    1
Vì b nguyên và b  ( 10
− ;10) , suy ra b 9 − ; 8 − ;...; 1 − ; 2; 3;....; 
9 , có 17 giá trị của b .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 30 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 DẠNG 2
Bài toán về tiếp tuyến thường gặp Câu 1: Cho hàm số 3
y = x + (m − ) 2
1 x − 3mx + 2m +1 có đồ thị (C
, biết rằng đồ thị (C luôn đi m ) m ) qua hai điểm cố định ,
A B . Có bao số nguyên dương m thuộc  2020 − ; 2020 để (C có tiếp m )
tuyến vuông góc với đường thẳng AB ? A. 4041 . B. 2021 . C. 2019 D. 2020 . Câu 2:
Cho biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm có hoành độ x = 1 là y = 2x −1 .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( 2 2x − )
1 tại điểm có hoành độ x = 1 là
A. y = 4x − 3 .
B. y = 5x − 4 .
C. y = 8x − 7 .
D. y = 6x − 5 . 2x −1 Câu 3:
Cho đồ thị ( C ) của hàm số y =
. Viết tất cả các phương trình tiếp tuyến của ( C ) , biết x −1
khoảng cách từ điểm I (1;2) đến tiếp tuyến bằng 2 .
A. x + y − 5 = 0 .
B. x + y −1 = 0 và x + y − 5 = 0 .
C. x + y +1 = 0 và x + y + 5 = 0 .
D. x + y −1 = 0 . (2m− ) 1 x − m Câu 4: Cho hàm số y =
(m  0) có đồ thị (C . Biết rằng tồn tại duy nhất một đường m ) x + m
thẳng (d ) có phương trình y = ax + b sao cho (C luôn tiếp xúc với (d ) . Giá trị của a + b là m ) A. 3 − . B. 1. C. 1 − . D. 2 . Câu 5:
Cho hàm số y = f ( x) xác định và có đạo hàm trên , thỏa mãn:  f  ( + x) 3 1  + 2. f
(1+ x)− 21x −3 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = f (x) tại
điểm có hoành độ x = 1. 0
A. y = 3x +1 .
B. y = 3x + 2 .
C. y = 3x − 2 .
D. y = 3x −1 . x + Câu 6:
Xét điểm M có hoành độ là số nguyên thuộc đồ thị (C) 2 1 : y =
. Tiếp tuyến của đồ thị (C ) x −1
tại điểm M cắt đường tiệm cận ngang của (C) tại điểm A . Hỏi có bao nhiêu điểm M thỏa
điều kiện A cách gốc tọa độ một khoảng cách nhỏ hơn 2 10 ? A. 6 . B. 5 . C. 7 . D. 4 . Câu 7:
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị (P) như hình bên và đường thẳng  : y = 2x − 2 là tiếp tuyến f x
của (P) tại điểm A . Xét hàm số g ( x) ( ) = . Tính g '(2) . x
1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số A. g ( ) 1 ' 2 = . B. g ( ) 1 ' 2 = . C. g ( ) 1 ' 2 = − . D. g ( ) 1 ' 2 = − . 2 4 4 2 ( x 3 ) Câu 8:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , giả sử đồ thị (G) của hàm số y =
cắt trục tung tại điểm ln 3
A và tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B . Tính diện tích của tam giác OAB . A. 0, 603 . B. 0, 414 C. 0,829 . D. 1, 207 . Câu 9:
Cho hàm số y = f ( x) 3
= x − 3x có đồ thị (C) và hàm số = ( ) 2 y
g x = x có đồ thị ( P) . Hỏi hai
đồ thị (C) và (P) có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến chung? A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2 . x + Câu 10: Cho hàm số 1 y =
có đồ thị (C) và đường thẳng d : y = 2
− x + m −1 ( m là tham số thực). Gọi x + 2
k , k là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của d và (C) . Tính tích k .k . 1 2 1 2 1
A. k .k = 2 . B. k .k = .
C. k .k = 4 .
D. k .k = 3 . 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 x − 3x + 4
Câu 11: Gọi (C ) là đồ thị của hàm số y = P
là Parabol có phương trình x − và ( ) 1 2
y = ax + bx − 8. Biết từ điểm A(4; )
1 kẻ được hai tiếp tuyến với (C ) . Gọi k ; k là hệ số góc 1 2
của hai tiếp tuyến đó và gọi I là đỉnh của (P) . Khi (P) đi qua M (k ;0 , N k ;0 , tính bán 1 ) ( 2 )
kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN. 47 9 12 161 A. R = . B. R = . C. R = . D. R = . 100 2 25 36
Câu 12: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
và hai đường thẳng  : y = h x và  : y = g x có đồ 2 ( ) 1 ( )
thị như hình vẽ dưới đây.
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 f x .h x
Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị (C) ( ) ( ) : y =
tại điểm có hoành độ x = 2 có dạng g ( x) a k =
. Khi đó a + b thuộc khoảng nào sau đây? b A. (15; 25) . B. (−20;10) . C. (60;80) . D. ( 30 − ;− ) 21 .
Câu 13: Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = 3x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số 3
y = x +1. Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 0 . B. 2 . C. 1 − . D. 3 . Câu 14: Cho f ( x) là hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi
S =  f (a), f (b), f (c), f (d ), f (0) . Phần tử lớn nhất trong tập hợp S là:
A. f (a) .
B. f (b) .
C. f (0) .
D. f (d ) .
Câu 15: Cho biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm có hoành độ x = 1 là y = 2x −1 .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( 2 2x − )
1 tại điểm có hoành độ x = 1 là
A. y = 4x − 3 .
B. y = 5x − 4 .
C. y = 8x − 7 .
D. y = 6x − 5 . Câu 16: Cho hàm số 4 2
y = x − 2x có đồ thị (C ) . Tiếp tuyến của (C ) tại A cắt (C ) tại B ( x ; y với 2 2 )
B khác A thỏa y − y = 24 −
x − x . Số điểm A thỏa mãn là 2 1 ( 2 1) A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 .
3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số x + Câu 17: Cho hàm số 2 y =
có đồ thị (C ) và điểm A(0; a) . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của a x −1 trong đoạn  2018 −
; 2018 để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C ) sao cho hai tiếp điểm nằm
về hai phía của trục hoành A. 2019 . B. 2020 . C. 2017 . D. 2018 . Câu 18: Cho hàm số 4 2
y = x − 2x có đồ thị (C ) . Tiếp tuyến của (C ) tại A cắt (C ) tại B ( x ; y với B 2 2 )
khác A thỏa y − y = 24 −
x − x . Số điểm A thỏa mãn là 2 1 ( 2 1) A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 . 1 2
Câu 19: Tìm điểm M có hoành độ âm trên đồ thị (C ) 3 : y = x − x +
sao cho tiếp tuyến tại M vuông 3 3 góc với đường thẳng 1 2
d : y = − x + . 3 3  4   4  A. M ( 2 − ; 4 − ) . B. M 1 − ;   . C. M ( 2 − ;0) . D. M 2; −   .  3   3 
Câu 20: Cho đa thức f ( x) với hệ số thực và thỏa mãn điều kiện f ( x) + f ( − x) 2 2 1 = x , x   . Biết
tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 của đồ thị hàm số y = f ( x) tạo với hai trục tọa độ một
tam giác. Tính diện tích của tam giác đó? 1 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 6 2 3 3 x +
Câu 21: Xét điểm M có hoành độ là số nguyên thuộc đồ thị (C ) 2 1 : y =
. Tiếp tuyến của đồ thị (C ) x −1
tại điểm M cắt đường tiệm cận ngang của (C) tại điểm A . Hỏi có bao nhiêu điểm M thỏa
điều kiện A cách gốc tọa độ một khoảng cách nhỏ hơn 2 10 ? A. 6 . B. 5 . C. 7 . D. 4 .
Câu 22: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị ( P) như hình bên và đường thẳng  : y = 2x − 2 là tiếp tuyến f x
của (P) tại điểm A . Xét hàm số g ( x) ( ) = . Tính g '(2) . x A. g ( ) 1 ' 2 = . B. g ( ) 1 ' 2 = . C. g ( ) 1 ' 2 = − . D. g ( ) 1 ' 2 = − . 2 4 4 2
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 4 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 ( x 3 )
Câu 23: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , giả sử đồ thị (G) của hàm số y =
cắt trục tung tại điểm ln 3
A và tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B . Tính diện tích của tam giác OAB . A. 0, 603 . B. 0, 414 C. 0,829 . D. 1, 207 .
Câu 24: Cho hàm số y = f ( x) 3
= x − 3x có đồ thị (C) và hàm số = ( ) 2 y
g x = x có đồ thị ( P) . Hỏi hai
đồ thị (C) và (P) có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến chung? A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2 . x + Câu 25: Cho hàm số 1 y =
có đồ thị (C) và đường thẳng d : y = 2
− x + m −1 ( m là tham số thực). Gọi x + 2
k , k là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của d và (C) . Tính tích k .k . 1 2 1 2 1
A. k .k = 2 . B. k .k = .
C. k .k = 4 .
D. k .k = 3 . 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 x − 3x + 4
Câu 26: Gọi (C ) là đồ thị của hàm số y = P
là Parabol có phương trình x − và ( ) 1 2
y = ax + bx − 8. Biết từ điểm A(4; )
1 kẻ được hai tiếp tuyến với (C ) . Gọi k ; k là hệ số góc 1 2
của hai tiếp tuyến đó và gọi I là đỉnh của (P) . Khi (P) đi qua M (k ;0 , N k ;0 , tính bán 1 ) ( 2 )
kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN. 47 9 12 161 A. R = . B. R = . C. R = . D. R = . 100 2 25 36
Câu 27: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
và hai đường thẳng  : y = h x và  : y = g x có đồ 2 ( ) 1 ( )
thị như hình vẽ dưới đây. f x .h x
Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị (C) ( ) ( ) : y =
tại điểm có hoành độ x = 2 có dạng g ( x) a k =
. Khi đó a + b thuộc khoảng nào sau đây? b A. (15; 25) . B. (−20;10) . C. (60;80) . D. ( 30 − ;− ) 21 .
5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Câu 28: Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = 3x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số 3
y = x +1. Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 0 . B. 2 . C. 1 − . D. 3 . Câu 29: Cho f ( x) là hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi
S =  f (a), f (b), f (c), f (d ), f (0) . Phần tử lớn nhất trong tập hợp S là:
A. f (a) .
B. f (b) .
C. f (0) .
D. f (d ) .
Câu 30: Cho biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm có hoành độ x = 1 là y = 2x −1 .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( 2 2x − )
1 tại điểm có hoành độ x = 1 là
A. y = 4x − 3 .
B. y = 5x − 4 .
C. y = 8x − 7 .
D. y = 6x − 5 . Câu 31: Cho hàm số 4 2
y = x − 2x có đồ thị (C ) . Tiếp tuyến của (C ) tại A cắt (C ) tại B ( x ; y với 2 2 )
B khác A thỏa y − y = 24 −
x − x . Số điểm A thỏa mãn là 2 1 ( 2 1) A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 . x + Câu 32: Cho hàm số 2 y =
có đồ thị (C ) và điểm A(0; a) . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của a x −1 trong đoạn  2018 −
; 2018 để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C ) sao cho hai tiếp điểm nằm
về hai phía của trục hoành A. 2019 . B. 2020 . C. 2017 . D. 2018 . Câu 33: Cho hàm số 4 2
y = x − 2x có đồ thị (C ) . Tiếp tuyến của (C ) tại A cắt (C ) tại B ( x ; y với B 2 2 )
khác A thỏa y − y = 24 −
x − x . Số điểm A thỏa mãn là 2 1 ( 2 1) A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 . 1 2
Câu 34: Tìm điểm M có hoành độ âm trên đồ thị (C ) 3 : y = x − x +
sao cho tiếp tuyến tại M vuông 3 3 góc với đường thẳng 1 2
d : y = − x + . 3 3  4   4  A. M ( 2 − ; 4 − ) . B. M 1 − ;   . C. M ( 2 − ;0) . D. M 2; −   .  3   3 
Câu 35: Cho đa thức f ( x) với hệ số thực và thỏa mãn điều kiện f ( x) + f ( − x) 2 2 1 = x , x   . Biết
tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 của đồ thị hàm số y = f ( x) tạo với hai trục tọa độ một
tam giác. Tính diện tích của tam giác đó?
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 6 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 1 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 6 2 3 3
Câu 36: Gọi ( P) là đồ thị của hàm số 2
y = x + 2x + 2 và điểm M di chuyển trên ( P). Gọi (d , d là 1 ) ( 2 )
các đường thẳng qua M sao cho (d song song với trục tung và (d , d đối xứng nhau qua 1 ) ( 2 ) 1 )
tiếp tuyến của (P) tại M. Biết rằng M di chuyển trên (P) thì (d luôn đi qua điểm cố định 2 )
I (a;b). Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. 3a + 2b = 0.
B. a + b = 0.
C. an = −1.
D. 5a + 4b = 0. 1
Câu 37: Cho hàm số f (x) = x +
. Cho điểm M (a;b) sao cho có đúng hai tiếp tuyến của đồ thị hàm x
số y = f (x) đi qua M, đồng thời hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. Biết điểm M luôn thuộc
một đường tròn cố định, bán kính của đường tròn đó là A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 2 .
Câu 38: Cho hàm số y = f ( x) 4 3 2
= x − 2x + x có đồ thị (C) . Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực của
tham số a để có đúng 2 tiếp tuyến kẻ từ A = ( ;
a 0) đến (C ) . Số phần tử của S là A. 0 . B. 4 . C. 2 . D. Vô số.
Câu 39: Cho hàm số y = f ( x) = x4 − x3 + x2 2
có đồ thị (C ) . Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực
của tham số a để có đúng 2 tiếp tuyến kẻ từ A(a;0) đến (C) . Số phần tử của S là A. 0 . B. 4 . C. 2 . D. vô số. 2 2
x + 2mx + 2m −1
Câu 40: Gọi m là giá trị để đồ thị (C của hàm số y = m ) x −
cắt trục hoành tại hai điểm 1
phân biệt và các tiếp tuyến với (C tại hai điểm này vuông góc với nhau. Khi đó ta có : m )
A. m  (1; 2) . B. m  ( 2 − ;− ) 1 . C. m  (0 ) ;1 . D. m  ( 1 − ;0) . x +
Câu 41: Trên đường thẳng d : y = 2x +1 có bao nhiêu điểm có thể kẻ được đến đồ thị (C ) 3 : y = x −1 đúng một tiếp tuyến. A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. Vô số.
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Cho hàm số 3
y = x + (m − ) 2
1 x − 3mx + 2m +1 có đồ thị (C
, biết rằng đồ thị (C luôn đi qua m ) m ) hai điểm cố định ,
A B . Có bao số nguyên dương m thuộc  2020 − ; 2020 để (C có tiếp tuyến m )
vuông góc với đường thẳng AB ? A. 4041 . B. 2021 . C. 2019 D. 2020 .
Lời giải Chọn C
Ta tìm toạ độ hai điểm cố định , A B . Ta có 3
y = x + (m − ) 2
x − mx + m +  m ( 2 x − x + ) 3 2 1 3 2 1 3
2 + x − x +1− y = 0 . Toạ độ hai điểm cố định , A B là nghiệm hệ 2
x −3x + 2 = 0 x =1, y =1    A  (1 ) ;1 , B (2;5) . 3 2
x − x +1= yx = 2, y = 5
Khi đó ta có: ( AB) : 4
− x + y + 3 = 0  ( AB): y = 4x −3.
Hệ số góc của tiếp tuyến với (C tại M ( x ; y là y( x ) 2
= 3x + 2x m −1 − 3m . 0 0 0 ( ) 0 0 ) m )
Vì tiếp tuyến vuông góc với AB nên y( x .4 = 1 − . 0 ) Suy ra: 4.( 2
3x + 2x (m − ) 1 − 3m) 2 = 1
−  12x + 8 m −1 x −12m +1 = 0 * 0 0 0 ( ) 0 ( )
Để phương trình (*) có nghiệm thì m  −  = 4  (m − ) 2 1  −12  (1−12m) 6, 69 2
 0  16m +112m + 4  0   m  0 − ,036 Vì m  20 − 20;2020 và m + 
nên 1  m  2020 .
Vậy có 2019 giá trị m nguyên dương. Câu 2:
Cho biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm có hoành độ x = 1 là y = 2x −1 .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( 2 2x − )
1 tại điểm có hoành độ x = 1 là
A. y = 4x − 3 .
B. y = 5x − 4 .
C. y = 8x − 7 .
D. y = 6x − 5 .
Lời giải Chọn C
Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại x = 1 có phương trình là y = 2x −1  f   ( ) 1 = 2   .  f  ( ) 1 = 1
Đặt g ( x) = f ( 2 2x − )
1 ; g( x) = x f ( 2 4 . 2x − ) 1 ; g( ) 1 = 4. f ( ) 1 = 4.2 = 8 ; g ( ) 1 = f ( ) 1 = 1
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = g( ) 1 ( x − ) 1 + g ( ) 1
y = 8(x − )
1 +1  y = 8x − 7 .
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 8 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 2x −1 Câu 3:
Cho đồ thị ( C ) của hàm số y =
. Viết tất cả các phương trình tiếp tuyến của ( C ) , biết x −1
khoảng cách từ điểm I (1;2) đến tiếp tuyến bằng 2 .
A. x + y − 5 = 0 .
B. x + y −1 = 0 và x + y − 5 = 0 .
C. x + y +1 = 0 và x + y + 5 = 0 .
D. x + y −1 = 0 .
Lời giải Chọn B 1 − Ta có y = ( . x − )2 1
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) có dạng: 1 − 2x −1 y = x − x +
x + x −1 y − 2x + 2x −1 = 0 2 ( ) 0 0 ( 0 )2 2 (x − ) 0 0 1 x −1 0 0 1+ 2 ( x − )2 2
1 − 2x + 2x −1 0 0 0
Theo đề d (I ,) = 2  = 2 1+ ( x − )4 1 0  (  = x − ) x 2 4 1 − 2( x − )2 1 +1 = 0  ( x − )2 0 1 =1  . 0 0 0 x = 0  0
Với x = 2 ta có phương trình tiếp tuyến: y = −( x − 2) + 3  x + y − 5 = 0 . 0
Với x = 0 ta có phương trình tiếp tuyến: y = − ( x − 0) +1  x + y −1 = 0 . 0 (2m− ) 1 x − m Câu 4: Cho hàm số y =
(m  0) có đồ thị (C . Biết rằng tồn tại duy nhất một đường m ) x + m
thẳng (d ) có phương trình y = ax + b sao cho (C luôn tiếp xúc với (d ) . Giá trị của a + b là m ) A. 3 − . B. 1. C. 1 − . D. 2 .
Lời giải Chọn B 2 2m Ta có: y = ( . x + m)2
Đường thẳng (d ) luôn tiếp xúc với đồ thị (C suy ra hệ phương trình sau luôn có nghiệm với m )
mọi giá trị m  0 . 2 2  2m  2m 2 =  2m  = + = ax + am 1  (  x + m) a a x m 2 ( x + m) ( ) ( x + m) ( )      (2m − ) 1 x − m (2m − ) 1 ( x + m) 2 − 2m 2  = 2m ax + b = ax + b   (2m − )1− = ax + b (2)   x + mx + mx + m m
(a + 2)m−b−1 Lấy ( ) m
1 trừ (2) theo vế ta được: −( m − ) 2 4 2 1 + = am − b  = x + m x + m 4m
 (a + )m −(b + ) 2 2 1  a Thay vào ( ) 1 ta được: 
 =  ((a + ) m − (b + ))2 2 2 1 = 8am 4m 2  
 (a − )2 m − (b + )(a + )m + (b + )2 2 2 2 1 2 1 = 0 (*)
9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Vì đồ thị (C luôn tiếp xúc với đường thẳng (d ) nên (*) luôn xảy ra với mọi giá trị m  0 m ) (  a − 2)2 = 0    (  = b + )(a + ) a 2 2 1 2 = 0   . b   = 1 − (  b +  )2 1 = 0
Vậy a + b = 1. Câu 5:
Cho hàm số y = f ( x) xác định và có đạo hàm trên , thỏa mãn:  f  ( + x) 3 1  + 2. f
(1+ x)− 21x −3 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = f (x) tại
điểm có hoành độ x = 1. 0
A. y = 3x +1 .
B. y = 3x + 2 .
C. y = 3x − 2 .
D. y = 3x −1 .
Lời giải Chọn C  3
Xét phương trình:  f
 (1+ x) + 2. f
(1+ x)− 21x −3 = 0 .
 Từ cho x = 0 ta có: 3 f ( ) 1 + 2. f ( ) 1 − 3 = 0  f ( ) 1 = 3 .
 Đạo hàm hai vế của ta có 2
3 f (1+ x) f (1+ x) + 4 f (1+ 2x) − 21 = 0 .
 Từ cho x = 0 ta được: 2 3 f ( ) 1 f ( ) 1 + 4 f ( ) 1 − 21 = 0  3 f ( ) 1 + 4 f ( )
1 − 21 = 0  f ( ) 1 = 3 .
 Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = f ( x) tại điểm có hoành độ x = 1 là: 0 y = f ( ) 1 .( x − ) 1 + f ( ) 1 = 3.( x − ) 1 +1 = 3x − 2 . x + Câu 6:
Xét điểm M có hoành độ là số nguyên thuộc đồ thị (C) 2 1 : y =
. Tiếp tuyến của đồ thị (C ) x −1
tại điểm M cắt đường tiệm cận ngang của (C) tại điểm A . Hỏi có bao nhiêu điểm M thỏa
điều kiện A cách gốc tọa độ một khoảng cách nhỏ hơn 2 10 ? A. 6 . B. 5 . C. 7 . D. 4 .
Lời giải Chọn B 3 Ta có y = −   ( . x − ) , x 1 2 1 + Giả sử a
M (a;b) (C ) . Khi đó 2 1 b =
với a  , a  1. a −1
Tiếp tuyến với (C ) tại điểm M có phương trình là 3 2a +1  : y = − . x − a + . 2 ( ) (a − )1 a −1
Đồ thị (C ) có TCN là đường thẳng d : y = 2 .
Ta có   d = A(2a −1; 2) .
Theo bài ra ta có OA   ( a − )2 2 10 2 1 + 4  40
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 10 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  5 7  2
 4a − 4a − 35  0  a  − ;   .  2 2 
Do a  , a  1  a  2 − ; 1 − ;0;2; 
3 . Vậy có 5 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 7:
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị (P) như hình bên và đường thẳng  : y = 2x − 2 là tiếp tuyến f x
của (P) tại điểm A . Xét hàm số g ( x) ( ) = . Tính g '(2) . x A. g ( ) 1 ' 2 = . B. g ( ) 1 ' 2 = . C. g ( ) 1 ' 2 = − . D. g ( ) 1 ' 2 = − . 2 4 4 2 Lời giải Chọn A
Đặt y = f ( x) 2
= ax + bx + c, với a,b,c là các số thực và a  0 .
Vì ( P) đi qua các điểm A(2; 2), B (0; 2) nên ta có hệ phương trình
2 = 4a + 2b + c 2a + b = 0    , ( ) 1 . 2 = cc = 2
Vì đường thẳng  : y = 2x − 2 là tiếp tuyến của (P) tại điểm A nên ta có
f '(2) = 2  4a + b = 2,(2) . a =1  Từ ( )
1 và (2) suy ra b = −2 . c = 2  f x x − x +
Ta có y = f ( x) 2
= x − 2x + 2 suy ra g (x) ( ) 2 2 2 2 = = = x − 2 + . x x x 2 2 1
Ta có g '( x) = 1−  g ' 2 =1− = . 2 ( ) x 4 2 ( x 3 ) Câu 8:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , giả sử đồ thị (G) của hàm số y =
cắt trục tung tại điểm ln 3
A và tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B . Tính diện tích của tam giác OAB . A. 0, 603 . B. 0, 414 C. 0,829 . D. 1, 207 . Lời giải Chọn C 1
Cho x = 0  y =
= log e . Khi đó A(0;log e . 3 ) 3 ln 3
11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( x 3 ) ln 3 1 x Ta có y = = ( 3) . ln 3 2
Tiếp tuyến của (G) tại A có phương trình dạng:
y = y( )( x − ) + y ( ) 1 0 0 0 = x + log e . 3 2
Tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B nên B ( 2 − log ; e 0 . 3 )
Diện tích tam giác OAB là: 1 1 S = .O . A OB = .log . e 2
− log e  0,829 . 3 3 2 2 Câu 9:
Cho hàm số y = f ( x) 3
= x − 3x có đồ thị (C) và hàm số = ( ) 2 y
g x = x có đồ thị ( P) . Hỏi hai
đồ thị (C) và (P) có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến chung? A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2 .
Lời giải Chọn D Gọi A( 2
a ; a ) thuộc đồ thị ( P) . Phương trình tiếp tuyến tại A có dạng = ( )( − ) 2 y g a x a + a .
Hay y = a ( x − a) 2 2 2
+ a = 2ax − a (d ) .
Để (d ) là tiếp tuyến của (C) thì (d ) và (C) phải tiếp xúc với nhau. 3 2
x −3x = 2ax − a ( ) 1
Ta có điều kiện tiếp xúc:  . 2 3  x − 3 = 2a  (2) 2 2 4 2  −  − + Thế ( 3x 3 9x 18x 9 2) vào ( ) 1 ta được 3 x − 3x = ( 2 3x − 3) 3 3 x − 
  x − 3x = 3x − 3x −  2  4  x 1,82 4 3 2
 9x −8x −18x + 9 = 0   . x  0,68
Vậy hai đồ thị (C) và (P) có tất cả hai tiếp tuyến chung. x + Câu 10: Cho hàm số 1 y =
có đồ thị (C) và đường thẳng d : y = 2
− x + m −1 ( m là tham số thực). Gọi x + 2
k , k là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của d và (C) . Tính tích k .k . 1 2 1 2 1
A. k .k = 2 . B. k .k = .
C. k .k = 4 .
D. k .k = 3 . 1 2 1 2 1 2 1 2 4
Lời giải Chọn C +
Xét phương trình x 1 2 = 2
− x + m −1 2x + (6 − )
m x + 3 − 2m = 0 (x  2 − )(1) x + 2 Đặt 2
f (x) = 2x + (6 − m)x + 3 − 2m . Ta có f (−2) = −1  0 . 2
 = m + 4m +12  0, m  .
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x , x . Theo Viet ta có 1 2  m − 6 x + x =  1 2  2  3 − 2mx .x = 1 2  2
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 12 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 + Từ x 1 1 1 1 y = ta có y = . Do đó ta có k = ; k = . x + 2 2 (x + 2) 1 2 2 2 (x + 2) (x + 2) 1 2 1 1 k .k = = = 1 2 2 2 (x + 2) (x + 2) + + + 1 2
x .x 2(x x ) 4 1 2 1 2 2 2  − − 2 3 2m 2m 12  1
Mà x .x + 2(x + x ) + 4 = + + 4 = . 1 1 2     2 2  4
Vậy k .k = 4. Chọn đáp án C. 1 2 2 x − 3x + 4
Câu 11: Gọi (C ) là đồ thị của hàm số y = P
là Parabol có phương trình x − và ( ) 1 2
y = ax + bx − 8. Biết từ điểm A(4; )
1 kẻ được hai tiếp tuyến với (C ) . Gọi k ; k là hệ số góc 1 2
của hai tiếp tuyến đó và gọi I là đỉnh của (P) . Khi (P) đi qua M (k ;0 , N k ;0 , tính bán 1 ) ( 2 )
kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN. 47 9 12 161 A. R = . B. R = . C. R = . D. R = . 100 2 25 36
Lời giải Chọn D. Ta có 2 x − 3x + 4 2 y = = x − 2 + x −1 x −1 2
y = 1− (x− )21 Gọi Q ( 2
x ; y , y = x − 2 + 0 0 ) 0 0 x −1 0
Giả sử phương trình tiếp tuyến của (C) tại Q có dạng y = f ( x . x − x + y . 0 ) ( 0 ) 0
Vì tiếp tuyến đi qua A(4; ) 1 nên
1 = f ( x . 4 − x + y . 0 ) ( 0 ) 0  2  2  1 = 1  −
. 4 − x + x − 2 + 2 ( 0 )  (x − ) 0 1  x −1 0 0  2
x − 2x +1 = ( 2 x − 2x − ) 1 .(4 − x ) + ( 2 x − 3x + 4 x −1 0 0 0 0 0 0 0 )( 0 ) 2 3 2 3 2
x − 2x +1 = −x + 6x − 7x − 4 + x − 4x + 7x − 4 0 0 0 0 0 0 0 0 2
x + 2x − 9 = 0 0 0  2 − 2 10
x = −1+ 10  k = 0 1 9   2 + 2 10
x = −1− 10  k = 0 1  9  2 − 2 10   +   2 2 10 M  ; 0  , N  ; 0     9  9   
13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
 2 − 2 10   2 + 2 10 
Vì ( P) đi qua M  ;0, N  ;0     nên 9 9     2   2− 2 10   2 − 2 10  a  + b  −8 = 0      9 9      a =18    2 b   +   +   = 8 − 2 2 10 2 2 10 a   + b  − 8 = 0     9 9     
Do đó Parabol cần tìm là 2
y = 18x − 8x − 8.  −  Tọa độ đỉnh 2 80 I ; .    9 9 
Phương trình đường thẳng MN : y = 0. 664 664 d ( I MN ) 80 4 10 , = ; MN = , MI = , NI = 9 9 9 9 1 S = MN d I MN = = IMN ( ) 1 4 10 80 160 10 . . , . . 2 2 9 9 81 MN.MI.NI 161 R = = 4S 36 IMN
Câu 12: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
và hai đường thẳng  : y = h x và  : y = g x có đồ 2 ( ) 1 ( )
thị như hình vẽ dưới đây. f x .h x
Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị (C) ( ) ( ) : y =
tại điểm có hoành độ x = 2 có dạng g ( x) a k =
. Khi đó a + b thuộc khoảng nào sau đây? b A. (15; 25) . B. (−20;10) . C. (60;80) . D. ( 30 − ;− ) 21 . Lời giải Chọn A f x .h xf
 ( x).h( x) + f ( x).h( x).g
 ( x) − f (x).h (x).g(x) Ta có (C) ( ) ( ) : y =  y = . g ( x) g (x) 2   
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 14 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  f
 (2) = 2; g (2) = 7;h(2) = 4
Dựa vào đồ thị ta có g ( x) = 2x + 3, h( x) = −x + 6 và  .  f
 (2) = 0; g(2) = 2;h(2) = 1 − h x .g x
Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị (C) ( ) ( ) : y =
tại điểm có hoành độ x = 2 là f ( x)   +   −  − = ( f h f h g f h g   30 k y 2) (2). (2) (2). (2) . (2) (2). (2). (2) = = . g (2) 2    49 30 − aa = 30 − Như vậy k = =  
a + b = 19 . 49 b b  = 49
Câu 13: Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = 3x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số 3
y = x +1. Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 0 . B. 2 . C. 1 − . D. 3 .
Lời giải Chọn B 3
x +1= 3x + m
Để đường thẳng y = 3x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số 3
y = x +1 khi và chỉ khi  2 3  x = 3 có nghiệm. 3
m = x − 3x +1 3
x +1= 3x + m  m = 1 − Giải hệ   x =1   2 3  x = 3  m = 3 x = 1 −
Vậy tổng các giá trị m là: 1 − + 3 = 2 . Câu 14: Cho f ( x) là hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi
S =  f (a), f (b), f (c), f (d ), f (0) . Phần tử lớn nhất trong tập hợp S là:
A. f (a) .
B. f (b) .
C. f (0) .
D. f (d ) .
Lời giải
Gọi  ,  lần lượt là góc tạo bởi tiếp tuyến tại c, d .
f (c) = tan 
  f (d ) = tan   0  f (c)  f (d ) .     
Vậy phần tử lớn nhất trong tập hợp S là: f (d ) .
15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Câu 15: Cho biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm có hoành độ x = 1 là y = 2x −1 .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( 2 2x − )
1 tại điểm có hoành độ x = 1 là
A. y = 4x − 3 .
B. y = 5x − 4 .
C. y = 8x − 7 .
D. y = 6x − 5 .
Lời giải Chọn C
Theo đề, ta có f ( )
1 = 2 và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là y = 2 ( x − ) 1 + f ( ) 1 = 2x + f ( ) 1 − 2 , suy ra f ( ) 1 = 1.
Xét hàm số y = f ( 2 2x − )
1 . Ta có y = xf ( 2 4 2x − ) 1 . Suy ra y( ) 1 = 4 f ( ) 1 = 8.
Từ đây ta loại ba đáp án A,B, D. Câu 16: Cho hàm số 4 2
y = x − 2x có đồ thị (C ) . Tiếp tuyến của (C ) tại A cắt (C ) tại B ( x ; y với 2 2 )
B khác A thỏa y − y = 24 −
x − x . Số điểm A thỏa mãn là 2 1 ( 2 1) A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 .
Lời giải Chọn A
Tiếp tuyến của (C) tại A có phương trình y − y = yx . x − x 1 ( 1) ( 1 )
Do B thuộc tiếp tuyến của (C ) tại A nên y − y = yx x − x 2 1 ( 1)( 2 1) −
y(x ) y y 2 1 = = 24 − . 1 x − x 2 1
Do đó x là nghiệm của phương trình 3 3 4x − 4x = 24 −
x − x + 6 = 0  x = −2 1
Từ đó suy ra có duy nhất điểm A thỏa mãn bài toán. x + Câu 17: Cho hàm số 2 y =
có đồ thị (C ) và điểm A(0; a) . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của a x −1 trong đoạn  2018 −
; 2018 để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C ) sao cho hai tiếp điểm nằm
về hai phía của trục hoành A. 2019 . B. 2020 . C. 2017 . D. 2018 .
Lời giải Chọn D 3 Ta có y = − ( . x − )2 1
Tiếp tuyến với đồ thị (C ) qua A(0; a) là (Δ) : y = kx + a .
x + 2 = kx + a  (  x −1
Δ) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình  ( *) có nghiệm. 3 − =
 (x − ) k 2 1 + Từ hệ ( x 2 3x *) ta có = −
+ a  (a − ) 2
1 x − 2 2 + a x + 2 + a = 0 ** . 2 ( ) ( ) x −1 (x − ) 1
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 16 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Yêu cầu bài toán là tìm a để phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt x , x thỏa 1 2 x + 2 x + 2 1 2 .  0 . x −1 x −1 1 2  2 + a
S = x + x =  1 2  a −1 Ta có  . 2  (2 + a) P = x x = 1 2  a −1    a 1 a  1 a  1    a 1   
Yêu cầu bài toán tương đương   0  3
a + 6  0  a  2 −   2 .  a  −    P + 2S + 4  +  9a 6 2  3 0   0 a  −  P − S +1  3 −  3
Do m nguyên thuộc đoạn  2018 −
; 2018 nên m 0;2;3;4; ;  201  8 .
Vậy có 2018 giá trị thỏa yêu cầu bài toán. Câu 18: Cho hàm số 4 2
y = x − 2x có đồ thị (C ) . Tiếp tuyến của (C ) tại A cắt (C ) tại B ( x ; y với B 2 2 )
khác A thỏa y − y = 24 −
x − x . Số điểm A thỏa mãn là 2 1 ( 2 1) A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 .
Lời giải Chọn A
Tiếp tuyến của (C) tại A có phương trình y − y = yx . x − x 1 ( 1) ( 1 )
Do B thuộc tiếp tuyến của (C ) tại A nên y − y = yx x − x 2 1 ( 1)( 2 1) −
y(x ) y y 2 1 = = 24 − . 1 x − x 2 1
Do đó x là nghiệm của phương trình 3 3 4x − 4x = 24 −
x − x + 6 = 0  x = −2 1
Từ đó suy ra có duy nhất điểm A thỏa mãn bài toán. 1 2
Câu 19: Tìm điểm M có hoành độ âm trên đồ thị (C ) 3 : y = x − x +
sao cho tiếp tuyến tại M vuông 3 3 góc với đường thẳng 1 2
d : y = − x + . 3 3  4   4  A. M ( 2 − ; 4 − ) . B. M 1 − ;   . C. M ( 2 − ;0) . D. M 2; −   .  3   3  Lời giải Chọn C Đường thẳng 1 2
d : y = − x + có hệ số góc 1
− cho nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3 . 3 3 3
Gọi tọa độ của M là M ( x ; y thì hệ số góc của tiếp tuyến tại M bằng y '( x = x −1. 0 ) 2 0 0 ) 0 x = 2 Từ đó ta có 2 0 x −1 = 3  . 0 x = 2 −  0
Theo giả thiết, điểm M có hoành độ âm nên x = −2 . Vậy tọa độ M ( 2 − ;0) . 0
17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Câu 20: Cho đa thức f ( x) với hệ số thực và thỏa mãn điều kiện f ( x) + f ( − x) 2 2 1 = x , x   . Biết
tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 của đồ thị hàm số y = f ( x) tạo với hai trục tọa độ một
tam giác. Tính diện tích của tam giác đó? 1 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 6 2 3 3 Lời giải Chọn A
Ta có: f ( x) + f ( − x) 2 2 1 = x , x   ( ) 1 .
Đặt t = − x f ( − t) + f (t) = ( − t)2 t
   f ( − t) + f (x) = ( − x)2 1 2 1 1 , 2 1 1 , t   (2). 2 f
(x)+ f (1− x) 2 = x 1 Từ và ta có:   f (x) = ( 2 x + 2x −1 . 2 )  f
( − x)+ f (x) = ( − x) 3 2 1 1 2 4 Suy ra: f (1) = ; f '(1) = 3 3
Suy ra phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm có hoành độ x = 1 là: 4 y = (x − ) 2 4 2 1 +
y = x − 3 3 3 3    
Tiếp tuyến cắt trục hoành tại 1 A ; 0 
 và cắt trục tung tại 2 B 0; −    2   3  Suy ra diện tích tam giác 1 1 1 2 1 OAB là: S = O . A OB = . . − = . 2 2 2 3 6 x +
Câu 21: Xét điểm M có hoành độ là số nguyên thuộc đồ thị (C ) 2 1 : y =
. Tiếp tuyến của đồ thị (C ) x −1
tại điểm M cắt đường tiệm cận ngang của (C) tại điểm A . Hỏi có bao nhiêu điểm M thỏa
điều kiện A cách gốc tọa độ một khoảng cách nhỏ hơn 2 10 ? A. 6 . B. 5 . C. 7 . D. 4 .
Lời giải Chọn B 3 Ta có y = −   ( . x − ) , x 1 2 1 + Giả sử a
M (a;b) (C ) . Khi đó 2 1 b =
với a  , a  1. a −1
Tiếp tuyến với (C ) tại điểm M có phương trình là 3 2a +1  : y = − . x − a + . 2 ( ) (a − )1 a −1
Đồ thị (C ) có TCN là đường thẳng d : y = 2 .
Ta có   d = A(2a −1; 2) .
Theo bài ra ta có OA   ( a − )2 2 10 2 1 + 4  40
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 18 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  5 7  2
 4a − 4a − 35  0  a  − ;   .  2 2 
Do a  , a  1  a  2 − ; 1 − ;0;2; 
3 . Vậy có 5 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 22: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị ( P) như hình bên và đường thẳng  : y = 2x − 2 là tiếp tuyến f x
của (P) tại điểm A . Xét hàm số g ( x) ( ) = . Tính g '(2) . x A. g ( ) 1 ' 2 = . B. g ( ) 1 ' 2 = . C. g ( ) 1 ' 2 = − . D. g ( ) 1 ' 2 = − . 2 4 4 2 Lời giải Chọn A
Đặt y = f ( x) 2
= ax + bx + c, với a,b,c là các số thực và a  0 .
Vì ( P) đi qua các điểm A(2; 2), B (0; 2) nên ta có hệ phương trình
2 = 4a + 2b + c 2a + b = 0    , ( ) 1 . 2 = cc = 2
Vì đường thẳng  : y = 2x − 2 là tiếp tuyến của (P) tại điểm A nên ta có
f '(2) = 2  4a + b = 2,(2) . a =1  Từ ( )
1 và (2) suy ra b = −2 . c = 2  f x x − x +
Ta có y = f ( x) 2
= x − 2x + 2 suy ra g (x) ( ) 2 2 2 2 = = = x − 2 + . x x x 2 2 1
Ta có g '( x) = 1−  g ' 2 =1− = . 2 ( ) x 4 2 ( x 3 )
Câu 23: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , giả sử đồ thị (G) của hàm số y =
cắt trục tung tại điểm ln 3
A và tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B . Tính diện tích của tam giác OAB . A. 0, 603 . B. 0, 414 C. 0,829 . D. 1, 207 . Lời giải Chọn C 1
Cho x = 0  y =
= log e . Khi đó A(0;log e . 3 ) 3 ln 3
19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( x 3 ) ln 3 1 x Ta có y = = ( 3) . ln 3 2
Tiếp tuyến của (G) tại A có phương trình dạng:
y = y( )( x − ) + y ( ) 1 0 0 0 = x + log e . 3 2
Tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B nên B ( 2 − log ; e 0 . 3 )
Diện tích tam giác OAB là: 1 1 S = .O . A OB = .log . e 2
− log e  0,829 . 3 3 2 2
Câu 24: Cho hàm số y = f ( x) 3
= x − 3x có đồ thị (C) và hàm số = ( ) 2 y
g x = x có đồ thị ( P) . Hỏi hai
đồ thị (C) và (P) có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến chung? A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2 .
Lời giải Chọn D Gọi A( 2
a ; a ) thuộc đồ thị ( P) . Phương trình tiếp tuyến tại A có dạng = ( )( − ) 2 y g a x a + a .
Hay y = a ( x − a) 2 2 2
+ a = 2ax − a (d ) .
Để (d ) là tiếp tuyến của (C) thì (d ) và (C) phải tiếp xúc với nhau. 3 2
x −3x = 2ax − a ( ) 1
Ta có điều kiện tiếp xúc:  . 2 3  x − 3 = 2a  (2) 2 2 4 2  −  − + Thế ( 3x 3 9x 18x 9 2) vào ( ) 1 ta được 3 x − 3x = ( 2 3x − 3) 3 3 x − 
  x − 3x = 3x − 3x −  2  4  x 1,82 4 3 2
 9x −8x −18x + 9 = 0   . x  0,68
Vậy hai đồ thị (C) và (P) có tất cả hai tiếp tuyến chung. x + Câu 25: Cho hàm số 1 y =
có đồ thị (C) và đường thẳng d : y = 2
− x + m −1 ( m là tham số thực). Gọi x + 2
k , k là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của d và (C) . Tính tích k .k . 1 2 1 2 1
A. k .k = 2 . B. k .k = .
C. k .k = 4 .
D. k .k = 3 . 1 2 1 2 1 2 1 2 4
Lời giải Chọn C +
Xét phương trình x 1 2 = 2
− x + m −1 2x + (6 − )
m x + 3 − 2m = 0 (x  2 − )(1) x + 2 Đặt 2
f (x) = 2x + (6 − m)x + 3 − 2m . Ta có f (−2) = −1  0 . 2
 = m + 4m +12  0, m  .
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x , x . Theo Viet ta có 1 2  m − 6 x + x =  1 2  2  3 − 2mx .x = 1 2  2
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 20 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 + Từ x 1 1 1 1 y = ta có y = . Do đó ta có k = ; k = . x + 2 2 (x + 2) 1 2 2 2 (x + 2) (x + 2) 1 2 1 1 k .k = = = 1 2 2 2 (x + 2) (x + 2) + + + 1 2
x .x 2(x x ) 4 1 2 1 2 2 2  − − 2 3 2m 2m 12  1
Mà x .x + 2(x + x ) + 4 = + + 4 = . 1 1 2     2 2  4
Vậy k .k = 4. Chọn đáp án C. 1 2 2 x − 3x + 4
Câu 26: Gọi (C ) là đồ thị của hàm số y = P
là Parabol có phương trình x − và ( ) 1 2
y = ax + bx − 8. Biết từ điểm A(4; )
1 kẻ được hai tiếp tuyến với (C ) . Gọi k ; k là hệ số góc 1 2
của hai tiếp tuyến đó và gọi I là đỉnh của (P) . Khi (P) đi qua M (k ;0 , N k ;0 , tính bán 1 ) ( 2 )
kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN. 47 9 12 161 A. R = . B. R = . C. R = . D. R = . 100 2 25 36
Lời giải Chọn D. Ta có 2 x − 3x + 4 2 y = = x − 2 + x −1 x −1 2
y = 1− (x− )21 Gọi Q ( 2
x ; y , y = x − 2 + 0 0 ) 0 0 x −1 0
Giả sử phương trình tiếp tuyến của (C) tại Q có dạng y = f ( x . x − x + y . 0 ) ( 0 ) 0
Vì tiếp tuyến đi qua A(4; ) 1 nên
1 = f ( x . 4 − x + y . 0 ) ( 0 ) 0  2  2  1 = 1  −
. 4 − x + x − 2 + 2 ( 0 )  (x − ) 0 1  x −1 0 0  2
x − 2x +1 = ( 2 x − 2x − ) 1 .(4 − x ) + ( 2 x − 3x + 4 x −1 0 0 0 0 0 0 0 )( 0 ) 2 3 2 3 2
x − 2x +1 = −x + 6x − 7x − 4 + x − 4x + 7x − 4 0 0 0 0 0 0 0 0 2
x + 2x − 9 = 0 0 0  2 − 2 10
x = −1+ 10  k = 0 1 9   2 + 2 10
x = −1− 10  k = 0 1  9  2 − 2 10   +   2 2 10 M  ; 0  , N  ; 0     9  9   
21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
 2 − 2 10   2 + 2 10 
Vì ( P) đi qua M  ;0, N  ;0     nên 9 9     2   2− 2 10   2 − 2 10  a  + b  −8 = 0      9 9      a =18    2 b   +   +   = 8 − 2 2 10 2 2 10 a   + b  − 8 = 0     9 9     
Do đó Parabol cần tìm là 2
y = 18x − 8x − 8.  −  Tọa độ đỉnh 2 80 I ; .    9 9 
Phương trình đường thẳng MN : y = 0. 664 664 d ( I MN ) 80 4 10 , = ; MN = , MI = , NI = 9 9 9 9 1 S = MN d I MN = = IMN ( ) 1 4 10 80 160 10 . . , . . 2 2 9 9 81 MN.MI.NI 161 R = = 4S 36 IMN
Câu 27: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
và hai đường thẳng  : y = h x và  : y = g x có đồ 2 ( ) 1 ( )
thị như hình vẽ dưới đây. f x .h x
Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị (C) ( ) ( ) : y =
tại điểm có hoành độ x = 2 có dạng g ( x) a k =
. Khi đó a + b thuộc khoảng nào sau đây? b A. (15; 25) . B. (−20;10) . C. (60;80) . D. ( 30 − ;− ) 21 . Lời giải Chọn A f x .h xf
 ( x).h( x) + f ( x).h( x).g
 ( x) − f (x).h (x).g(x) Ta có (C) ( ) ( ) : y =  y = . g ( x) g (x) 2   
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 22 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  f
 (2) = 2; g (2) = 7;h(2) = 4
Dựa vào đồ thị ta có g ( x) = 2x + 3, h( x) = −x + 6 và  .  f
 (2) = 0; g(2) = 2;h(2) = 1 − h x .g x
Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị (C) ( ) ( ) : y =
tại điểm có hoành độ x = 2 là f ( x)   +   −  − = ( f h f h g f h g   30 k y 2) (2). (2) (2). (2) . (2) (2). (2). (2) = = . g (2) 2    49 30 − aa = 30 − Như vậy k = =  
a + b = 19 . 49 b b  = 49
Câu 28: Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = 3x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số 3
y = x +1. Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 0 . B. 2 . C. 1 − . D. 3 .
Lời giải Chọn B 3
x +1= 3x + m
Để đường thẳng y = 3x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số 3
y = x +1 khi và chỉ khi  2 3  x = 3 có nghiệm. 3
m = x − 3x +1 3
x +1= 3x + m  m = 1 − Giải hệ   x =1   2 3  x = 3  m = 3 x = 1 −
Vậy tổng các giá trị m là: 1 − + 3 = 2 . Câu 29: Cho f ( x) là hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi
S =  f (a), f (b), f (c), f (d ), f (0) . Phần tử lớn nhất trong tập hợp S là:
A. f (a) .
B. f (b) .
C. f (0) .
D. f (d ) .
Lời giải
Gọi  ,  lần lượt là góc tạo bởi tiếp tuyến tại c, d .
f (c) = tan 
  f (d ) = tan   0  f (c)  f (d ) .     
Vậy phần tử lớn nhất trong tập hợp S là: f (d ) .
23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Câu 30: Cho biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm có hoành độ x = 1 là y = 2x −1 .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( 2 2x − )
1 tại điểm có hoành độ x = 1 là
A. y = 4x − 3 .
B. y = 5x − 4 .
C. y = 8x − 7 .
D. y = 6x − 5 .
Lời giải Chọn C
Theo đề, ta có f ( )
1 = 2 và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là y = 2 ( x − ) 1 + f ( ) 1 = 2x + f ( ) 1 − 2 , suy ra f ( ) 1 = 1.
Xét hàm số y = f ( 2 2x − )
1 . Ta có y = xf ( 2 4 2x − ) 1 . Suy ra y( ) 1 = 4 f ( ) 1 = 8.
Từ đây ta loại ba đáp án A,B, D. Câu 31: Cho hàm số 4 2
y = x − 2x có đồ thị (C ) . Tiếp tuyến của (C ) tại A cắt (C ) tại B ( x ; y với 2 2 )
B khác A thỏa y − y = 24 −
x − x . Số điểm A thỏa mãn là 2 1 ( 2 1) A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 .
Lời giải Chọn A
Tiếp tuyến của (C) tại A có phương trình y − y = yx . x − x 1 ( 1) ( 1 )
Do B thuộc tiếp tuyến của (C ) tại A nên y − y = yx x − x 2 1 ( 1)( 2 1) −
y(x ) y y 2 1 = = 24 − . 1 x − x 2 1
Do đó x là nghiệm của phương trình 3 3 4x − 4x = 24 −
x − x + 6 = 0  x = −2 1
Từ đó suy ra có duy nhất điểm A thỏa mãn bài toán. x + Câu 32: Cho hàm số 2 y =
có đồ thị (C ) và điểm A(0; a) . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của a x −1 trong đoạn  2018 −
; 2018 để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C ) sao cho hai tiếp điểm nằm
về hai phía của trục hoành A. 2019 . B. 2020 . C. 2017 . D. 2018 .
Lời giải Chọn D 3 Ta có y = − ( . x − )2 1
Tiếp tuyến với đồ thị (C ) qua A(0; a) là (Δ) : y = kx + a .
x + 2 = kx + a  (  x −1
Δ) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình  ( *) có nghiệm. 3 − =
 (x − ) k 2 1 + Từ hệ ( x 2 3x *) ta có = −
+ a  (a − ) 2
1 x − 2 2 + a x + 2 + a = 0 ** . 2 ( ) ( ) x −1 (x − ) 1
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 24 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Yêu cầu bài toán là tìm a để phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt x , x thỏa 1 2 x + 2 x + 2 1 2 .  0 . x −1 x −1 1 2  2 + a
S = x + x =  1 2  a −1 Ta có  . 2  (2 + a) P = x x = 1 2  a −1    a 1 a  1 a  1    a 1   
Yêu cầu bài toán tương đương   0  3
a + 6  0  a  2 −   2 .  a  −    P + 2S + 4  +  9a 6 2  3 0   0 a  −  P − S +1  3 −  3
Do m nguyên thuộc đoạn  2018 −
; 2018 nên m 0;2;3;4; ;  201  8 .
Vậy có 2018 giá trị thỏa yêu cầu bài toán. Câu 33: Cho hàm số 4 2
y = x − 2x có đồ thị (C ) . Tiếp tuyến của (C ) tại A cắt (C ) tại B ( x ; y với B 2 2 )
khác A thỏa y − y = 24 −
x − x . Số điểm A thỏa mãn là 2 1 ( 2 1) A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 .
Lời giải Chọn A
Tiếp tuyến của (C) tại A có phương trình y − y = yx . x − x 1 ( 1) ( 1 )
Do B thuộc tiếp tuyến của (C ) tại A nên y − y = yx x − x 2 1 ( 1)( 2 1) −
y(x ) y y 2 1 = = 24 − . 1 x − x 2 1
Do đó x là nghiệm của phương trình 3 3 4x − 4x = 24 −
x − x + 6 = 0  x = −2 1
Từ đó suy ra có duy nhất điểm A thỏa mãn bài toán. 1 2
Câu 34: Tìm điểm M có hoành độ âm trên đồ thị (C ) 3 : y = x − x +
sao cho tiếp tuyến tại M vuông 3 3 góc với đường thẳng 1 2
d : y = − x + . 3 3  4   4  A. M ( 2 − ; 4 − ) . B. M 1 − ;   . C. M ( 2 − ;0) . D. M 2; −   .  3   3  Lời giải Chọn C Đường thẳng 1 2
d : y = − x + có hệ số góc 1
− cho nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3 . 3 3 3
Gọi tọa độ của M là M ( x ; y thì hệ số góc của tiếp tuyến tại M bằng y '( x = x −1. 0 ) 2 0 0 ) 0 x = 2 Từ đó ta có 2 0 x −1 = 3  . 0 x = 2 −  0
Theo giả thiết, điểm M có hoành độ âm nên x = −2 . Vậy tọa độ M ( 2 − ;0) . 0
25 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Câu 35: Cho đa thức f ( x) với hệ số thực và thỏa mãn điều kiện f ( x) + f ( − x) 2 2 1 = x , x   . Biết
tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 của đồ thị hàm số y = f ( x) tạo với hai trục tọa độ một
tam giác. Tính diện tích của tam giác đó? 1 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 6 2 3 3 Lời giải Chọn A
Ta có: f ( x) + f ( − x) 2 2 1 = x , x   ( ) 1 .
Đặt t = − x f ( − t) + f (t) = ( − t)2 t
   f ( − t) + f (x) = ( − x)2 1 2 1 1 , 2 1 1 , t   (2). 2 f
(x)+ f (1− x) 2 = x 1 Từ và ta có:   f (x) = ( 2 x + 2x −1 . 2 )  f
( − x)+ f (x) = ( − x) 3 2 1 1 2 4 Suy ra: f (1) = ; f '(1) = 3 3
Suy ra phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm có hoành độ x = 1 là: 4 y = (x − ) 2 4 2 1 +
y = x − 3 3 3 3    
Tiếp tuyến cắt trục hoành tại 1 A ; 0 
 và cắt trục tung tại 2 B 0; −    2   3  Suy ra diện tích tam giác 1 1 1 2 1 OAB là: S = O . A OB = . . − = . 2 2 2 3 6
Câu 36: Gọi ( P) là đồ thị của hàm số 2
y = x + 2x + 2 và điểm M di chuyển trên ( P). Gọi (d , d là 1 ) ( 2 )
các đường thẳng qua M sao cho (d song song với trục tung và (d , d đối xứng nhau qua 1 ) ( 2 ) 1 )
tiếp tuyến của (P) tại M. Biết rằng M di chuyển trên (P) thì (d luôn đi qua điểm cố định 2 )
I (a;b). Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. 3a + 2b = 0.
B. a + b = 0.
C. an = −1.
D. 5a + 4b = 0.
Lời giải Chọn D Ta có 2
y = x + 2x + 2  y ' = 2x + 2. Gọi M ( 2 ;
m m + 2m + 2), phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:
y = ( m + )(x − m) 2
+ m + m + = ( m + ) 2 : 2 2 2 2 2 2 x − m + 2. 2m + 2
Ta có d : x = m  cos d ;  = 1 ( 1 ) (2m + 2)2 +1 k 2m + 2 +1
Gọi d : y = kx + n  cos d ; = 2 ( 2 ) ( ) (2m + 2)2 2 +1. a +1  k ( m + ) 2 2 2 +1 = 2m + 2 a +1
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 26 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 2 2 4m + 8m + 3 4m +13m + 8  k = (  = m + ) n . 2 2 2 4m + 4 2 2 4m + 8m + 3 4m +13m + 8  d : y = x + 2 4m + 4 4m + 4 +   Với 5m 5 5 x = 1 −  y =
=  d luôn đi qua điểm 5 I 1 − ; cố định. 2   4m + 4 4  4  1
Câu 37: Cho hàm số f (x) = x +
. Cho điểm M (a;b) sao cho có đúng hai tiếp tuyến của đồ thị hàm x
số y = f (x) đi qua M, đồng thời hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. Biết điểm M luôn thuộc
một đường tròn cố định, bán kính của đường tròn đó là A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 2 .
Lời giải Chọn A 2  +  Giả sử điểm t 1 At;
,(t  0) thuộc đồ thị hàm số y = f (x) .  t  2 1 x −1
Ta có f (x) = x +  f '(x) = 2 x x
Phương trình tiếp tuyến tại A của đồ thị hàm số y = f (x) là: 2 2 t −1 t +1 y = (x − t) + 2 t t
Mà tiếp tuyến này đi qua điểm M nên ta có: 2 2 t −1 t +1 2 b = (a − t) +
 (a − b)t + 2t − a = 0. (1) 2 t t
Qua M kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y = f (x) , đồng thời hai tiếp tuyến đó vuông góc
với nhau nên phương trình phải có hai nghiệm phân biệt t ,t  0 thỏa mãn f '(t ). f '(t ) = 1 − 1 2 1 2 a ba  0 
hay  ' = 1+ a(a − b)  0  2 2 t −1 t −1 1 2  . = −1 2 2  t t  1 2  2 t + t =  1 2  − Theo định lý Vi b a -et, ta có  a t  .t = 1 2  b − a 2 2 t −1 t −1 nên 1 2 2 2 2 2 . = 1
−  2t t − (t + t ) +1 = 0 2 2 1 2 1 2 t t 1 2 2 2 2
 2t t − (t + t ) + 2t t +1 = 0 1 2 1 2 1 2 2 2  a   2  a  2 − + 2 +1 = 0      b − a   b − a b − a
27 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 2  a + b = 4. Do a  0 nên từ 2 2
a + b = 4 suy ra b  2 , do đó 2
a +1  2 a ab a . b 2 2 a + b = 4 
Suy ra a ba  0 
Như vậy, tập hợp tất cả các điểm M (a;b) thỏa mãn yêu cầu đề bài là đường tròn tâm O, bán kính
bằng 2, bỏ đi các điểm B(0; 2), C(0; 2), D ( 2; 2), E (− 2;− 2)..
Câu 38: Cho hàm số y = f ( x) 4 3 2
= x − 2x + x có đồ thị (C) . Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực của
tham số a để có đúng 2 tiếp tuyến kẻ từ A = ( ;
a 0) đến (C ) . Số phần tử của S là A. 0 . B. 4 . C. 2 . D. Vô số.
Lời giải Chọn B
Gọi là đường thẳng đi qua A(a;0) và có hệ số góc là k , khi đó phương trình đường thẳng
 là y = k (x − a) . 4 3 2
x − 2x + x = k x − a (1)
Do là tiếp tuyến của (C ) , xét hệ phương trình ( I ) ( ) :  3 2
4x − 6x + 2x = k (2) Thế (2) vào ( ) 1 , ta có: 4 3 2
x − x + x = ( 3 2 2
4x − 6x + 2x)( x − a)  x( x − ) 2
1 3x − (4a + ) 1 x + 2a = 0   x = 0   x =1  .  2 3x −  (4a + ) 1 x + 2a = 0 (3) x = 0   x = 0 1 Do k = 0  , ta xét 3 2
k = 0  4x − 6x + 2x = 0   x = . x =1  2 x =1  x = 0 Khi
, ta thu được một phương trình tiếp tuyến là  : y = 0 . x =1 1 x = Khi
2 phương trình tiếp tuyến là 1  : y =
, tiếp tuyến không đi qua A(a;0) . 16
Bài toán trở thành tìm a để (3) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có đúng 1 nghiệm thuộc  1
0;1 hoặc (3) có nghiệm kép khác 0; 1; . 2
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 28 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023
Trường hợp 1: (3) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có đúng 1 nghiệm thuộc 0;1  = −  ( a + ) 2 4 1  − 4.3.2a  0   a = 0  2a = 0   .   = −  ( a + ) a 1 3 4 1 + 2a = 0 1
Trường hợp 2: Phương trình (3) có nghiệm kép khác 0; 1; 2 2
 =16a −16a +1 = 0   2 + 3 2a  0  a =    − (a + ) 4 + a    3 4 1 2 0 .   2 − 3 3 1  a − (  = 4a + ) 1 + 2a  0  4 4 2  2 − 3 2 + 3  
Vậy đáp án của bài toán là S = 0;1; ;  .  4 4  
Câu 39: Cho hàm số y = f ( x) = x4 − x3 + x2 2
có đồ thị (C ) . Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực
của tham số a để có đúng 2 tiếp tuyến kẻ từ A(a;0) đến (C) . Số phần tử của S là A. 0 . B. 4 . C. 2 . D. vô số.
Lời giải Chọn B
Ta có y = f ( x) = x4 − x3 + x2 2
, suy ra y = f ( x) = x3 − x2 4 6 + 2x .
Đường thẳng d đi qua A(a;0) với hệ số góc k có phương trình y = k ( x − a) .
Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
x4 − 2x3 + x2 = k  (x − a) ( ) 1 
4x3 − 6x2 + 2x = k  (2) Thay (2) vào ( ) 1 ta được
x4 − 2x3 + x2 = (4x3 − 6x2 + 2x)( x − a)  x4 3 − ( a 4 + 4) x3 + ( a 6 + ) 1 x2 − ax 2 = 0 x = 0   x(x − ) 1  x2 3 − ( a 4 + ) 1 x + a 2  = 0  x =    1
g (x) = x2 3 − ( a 4 + ) 1 x + a 2 =  0 ( ) 3
x = 0  k = 0 Nhận xét: 
và phương trình tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ x = 0 , x = 1 đều
x = 1 k = 0 có dạng y = 0 .
Khi đó để có đúng 2 tiếp tuyến kẻ từ A(a;0) đến (C) thì xảy ra 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Phương trình ( )
3 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm hoặc bằng 0 hoặc bằng 1
29 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số   0 1 a2 6 −1 a 6 +1  0 1 a2 6 −1 a 6 +1  0    0  (0)   a = g = 0   a 2 = 0  a = 0   .    1 2   = g  ( ) a 1 = 0 . 3 1 −  ( a 4 + ) 1 .1+ a 2 = 0 a = 1
Trường hợp 2: Phương trình ( )
3 có nghiệm kép không thuộc tập hợp  ; 0  1 2   2 +  =  a − a + = 3 0 16 16 1 0 a =     4
g (0)  0  a  0   .    2 − 3 g  ( ) 1  0 a   1 a =  4  2 + 3 2 − 3   Do đó S =  ; 0 ; 1 ;  .  4 4 
Vậy tập S có 4 phần tử. 2 2
x + 2mx + 2m −1
Câu 40: Gọi m là giá trị để đồ thị (C của hàm số y = m ) x −
cắt trục hoành tại hai điểm 1
phân biệt và các tiếp tuyến với (C tại hai điểm này vuông góc với nhau. Khi đó ta có : m )
A. m  (1; 2) . B. m  ( 2 − ;− ) 1 . C. m  (0 ) ;1 . D. m  ( 1 − ;0) .
Lời giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm của (C với trục hoành là : m ) f ( x) 2 2
= x + 2mx + 2m −1 = 0(x  ) 1 ( ) 1 .   2 ( 0  −m +1 0  1 −  m 1 C
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt       . m )  f  ( ) 1  0 2
2m + 2m  0 m  0 x + x = 2 − m Gọi x , x 1 2
là 2 nghiệm của phương trình ( ) 1 , theo vi et ta có :  1 2 2 x x = 2m −1  1 2 2 2
x − 2x − 2m − 2m +1 Ta có : y = ( . x − )2 1
Tiếp tuyến tại hai giao điểm vuông góc với nhau  y( x .yx = 1 − 1 ) ( 2 )
 (x − 2x − 2m − 2m + )
1 ( x − 2x − 2m − 2m + ) 1 + ( x − )2 1 ( x − )2 2 2 2 2 1 = 0 1 1 2 2 1 2
 2(x x −(x + x ) + )2
1 − (2m + 2m)( x + x )2 2
− 2x x − 2(x + x ) + 2)+( 2 2m + 2m = 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 )2
 ( m + m)2 −( m + m)( m − m + + m + )+ ( m + m)2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 2 2 2 = 0 m = −1(l)  ( 2 
3 2m + 2m) − 4m − 4 = 0 2
 6m + 2m − 4 = 0  2  . Vậy 2 m = . m = (tm)  3  3 x +
Câu 41: Trên đường thẳng d : y = 2x +1 có bao nhiêu điểm có thể kẻ được đến đồ thị (C ) 3 : y = x −1 đúng một tiếp tuyến. A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. Vô số.
Lời giải
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 30 Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Chọn B
Gọi M d M ( ; a 2a + ) 1 .
Gọi A( x ; y là tiếp điểm của tiếp tuyến d kẻ từ M với (C) . 0 0 ) 1 − +
Phương trình tiếp tuyến 4 x 3
d : y = y( x x − x + y y = x − x + 2 ( 0 ) 0 0 ) ( 0 ) 1 0 (x − ) 1 x −1 0 0 4 − x + 3
Vì M d nên 2a +1 = a − x + 2 ( 0 ) 0 1 (x − ) 1 x −1 0 0  (2a + ) 1 ( x − )2 1 = 4
− a − x + x + 3 x −1 , ( x  1 . 0 ) 0 ( 0 ) ( 0 )( 0 ) 2  .
a x − 2 a + 2 x + 3a + 2 = 0 0 ( ) 0
Từ M kẻ đến (C) đúng 1 tiếp tuyến  ( )
1 có đúng 1 nghiệm x  1. 0 TH1: a = 0 ( ) 1 1  x =
. Suy ra a = 0 thỏa mãn. 0 2
TH2: a  0 , PT có nghiệm kép x  1. 0  a = −1  = (a + )2 2
− a (3a + 2) = 0    =  = −  a 2 a 1    2 (a + 2)   . −   = 1 a + 2 a 2  2a  −1  a
TH3: a  0 , PT có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1 2
 = −2a + 2a + 4  0   2  .1 a − 2 
(a + 2).1+3a + 2 = 0  1 −  a  2    a = 1. a =1
Kết hợp 3 trường hợp suy ra có 4 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.
31 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh
Chủ đề 07: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 32
Document Outline

  • [07.D0] Lý thuyết và ví dụ minh họa tiếp tuyến, sự tiếp xúc
  • [07.D1] BT về tiếp tuyến và sự tiếp xúc
  • [07.D2] BT về tiếp tuyến và sự tiếp xúc thường gặp