-
Thông tin
-
Quiz
Chùm bài toán tiếp tuyến – cát tuyến ôn thi vào lớp 10 môn Toán
Tài liệu gồm 44 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Chí Thành, tuyển chọn 114 bài toán tiếp tuyến – cát tuyến ôn thi vào lớp 10 môn Toán, đây là dạng toán phổ biến trong các đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán.
Tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán 108 tài liệu
Môn Toán 1.2 K tài liệu
Chùm bài toán tiếp tuyến – cát tuyến ôn thi vào lớp 10 môn Toán
Tài liệu gồm 44 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Chí Thành, tuyển chọn 114 bài toán tiếp tuyến – cát tuyến ôn thi vào lớp 10 môn Toán, đây là dạng toán phổ biến trong các đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán.
Chủ đề: Tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán 108 tài liệu
Môn: Môn Toán 1.2 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:












































Preview text:
CHÙM BÀI TOÁN
TIẾP TUYẾN – CÁT TUYẾN ÔN THI VÀO 10 HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Cho O; R và điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn, dây BC vuông góc OM tại H . B O M H I C 1) Chứng minh 2 OH.OM R .
Vì MB là tiếp tuyến O BM OB OBM vuông tại B, BH là đường cao .
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông 2 2 OBM : OM .OH OB R
2) Chứng minh MB MC , HB HC .
Xét hai tam giác vuông OHB và OHC có OB OC R , OH chung. BOH COH
Từ đó chỉ ra OHB O HC 2cgv . HB HC Từ đó suy ra OMB O
MC c g c MB MC .
3) Chứng minh MC là tiếp tuyến đường tròn. Do OMB O MC OCM 0
OBM 90 CM là tiếp tuyến của O .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
4) Chứng minh tứ giác MBOC nội tiếp đường tròn, tìm tâm đường tròn đó. B O M H I C Chỉ ra MBO 0
MCO 180 MBOC nội tiếp, tâm nằm ở trung điểm OM .
5) Bài có thể thay đổi lại đề bài, cho hai tiếp tuyến MB, MC . Chứng minh BC OM . B M O H C
+ Lập luận vì MB MC M nằm trên trung trực BC , OB OC O nằm trên trung trực BC .
Vậy OM là trung trực BC OM BC .
+ Hoặc chỉ ra MB MC và MO là phân giác góc
BMC ( tính chất tiếp tuyến) nên OM là đường cao M BC OM BC .
6) Tính OH , HM , MB, MC , góc BMC biết OM 2R . B M O H C R R 3R Chỉ ra 2 2
OB OH.OM R OH.2R OH
HM OM OH 2R . 2 2 2 Tính 2 2
BM OM OB R 3 MC MB R 3 . OB 1 sin BMO 0 BMO 30 BMC 2. 0 BMO 60 . OM 2 4
7) Cho CM R . Tính diện tích COBM . 3 2 1 1 4 4R Vì OBM OCM S 2S 2. .OC.CM 2. . . R R ( đơn vị diện tích) OBMC O CM 2 2 3 3
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
8) Gọi giao OM với O là I . Chứng minh BI là phân giác góc
MBC và I là tâm đường tròn nội tiếp M BC .
(Đề bài có thể đổi thành: Chứng minh khi M thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp M BC luôn nằm trên
một đường tròn cố định – hoặc chứng minh I cách đều 3 cạnh BM ,CM , BC ) B O M H I C
Cách 1: Do MC, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M MO là phân giác góc BMC 1 . OBI 0 IBM 90 Ta có: HBI 0 HIB 90 HBI
IBM BI là phân giác góc CBM 2 . HIB OBI, OI OB R Từ
1 2 I là tâm đường tròn nội tiếp B CM .
Cách 2: Do MC, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M MO là phân giác góc BMC 1 . Ta có: BOM
COM ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên cung CI BI . 1 CBI sd CI Mà 2 CBI
IBM BI là phân giác góc CBM 2 . 1 IBM sd BI 2 Từ
1 2 I là tâm đường tròn nội tiếp B CM . IH HB 9) Chứng minh IM BM B O M H I C HI BH
Xét BHM có BI là phân giác trong của góc HBM
( tính chất phân giác) . IM BM
10) Tìm vị trí điểm M để BI MC ( hoặc CI MB ).
Vì BI là phân giác góc CBM , để BI CM C
BM cân tại B CB BM .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành Mà BM CM B
CM là tam giác đều nên 0 BMC 0 BOC 0 60 120 BOM 60 . OB OB Ta có: cos BOM OM 2R . OM cos BOM
Vậy để BI CM thì M ; O 2R .
11) Từ điểm A trên cung nhỏ BC vẽ tiếp tuyến với đường tròn O . Tiếp tuyến này cắt MB, MC tại
A , A . Chứng minh chu vi MA A không đổi và độ lớn góc
A OA không phụ thuộc vào vị trí điểm 1 2 1 2 1 2
A khi A di chuyển trên cung nhỏ BC . B A1 A O M A2 C MB MC
Ta có: A B A A ( tính chất tiếp tuyến cắt nhau) . 1 1 A A A C 2 2
Chu vi MA A là: MA MA A A MA MA A A AA MA A A MA AA 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
MA A B MA CA MB MC 2MB không đổi khi A di chuyển trên cung nhỏ BC . 1 1 2 2 1 1 1 1 Ta có: A OA A OA AOA BAO AOC 0 BOC 180 BMC không đổi. 1 2 1 2 2 2 2 2
Vậy chu vi tam giác MA A và độ lớn góc
A OA không phụ thuộc vào vị trí điểm A . 1 2 1 2
12) Cho R 3cm, OM 6cm . Tính số đo góc A OA . 1 2 B A1 A O M A2 C 1 Ta có: 0 A OA 180
BMC . Trong tam giác vuông BMO ta có: 1 2 2 OB 3 1 sin BMO 0 BMO 30 0 BMC 60 . OM 6 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 1 Do đó 0 A OA 180 BMC 0 60 . 1 2 2
13) Gọi giao OA và OA với BC là A và A . Chứng minh A A OA và A A OA ( hoặc các câu 1 2 3 4 2 3 1 1 4 2
hỏi liên quan đến ba đường cao của O
A A hoặc chứng minh tứ giác OCA A và OBA A và 1 2 2 3 1 4
A A A A là tứ giác nội tiếp) 3 4 2 1 B A1 A3 A M O A4 A2 C 1 1
Ở trên các em đã chứng minh được A OA . BOC mà BCA .
BOC ( góc ở tâm và góc nt) 1 2 2 2 2 Suy ra A OA BCA . 1 2 2
Từ đó suy ra tứ giác OCA A là tứ giác nội tiếp nên OA A 0 OCA 90 . 2 3 3 2 2 1 Chứng minh tương tự: A OA CBA .
BOC tứ giác OBA A nội tiếp nên 1 2 1 2 1 4 OA A 0 OBA 90 A A OA . 4 1 1 1 4 2 A A 14) Cho góc 0
BMC 60 , gọi giao OA và OA với BC là A và A . Tính tỉ số 1 2 . 1 2 3 4 A A 3 4 B A1 A3 A M O A4 A2 C
Đầu tiên các em tính góc 0 BOC 120 .
Ở bài trên các em đã chứng minh được tứ giác OCA A nội tiếp nên OA C OA C OA A OA C 2 3 2 3 2 3 A A OA ( do OA C
OA A tính chất tt cắt nhau) . Từ đó suy ra 2 1 3 O A A ∽ O A A . 2 2 3 4 2 1 A A OA 3 4 2 1 OA OA 1 Do O A A vuông tại A và A OA . 0 BOC 60 nên cos 3 3 0 A OA cos60 . 3 2 3 3 2 2 3 4 OA OA 2 2 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành A A OA 1 Vậy 2 1 3 A A OA 2 3 4 2 O A BC A 15) Cho góc 0 BMC 60 và 1 3
. Chứng minh AA . AA BA .CA . OA BC A 1 2 3 4 2 4 B A1 A3 A M O A4 A2 C Chỉ ra A BA A OA 0 A CA 60 . 1 3 1 2 2 4 A BA ∽ A OA g g 1 3 4 3 A B BA Chỉ ra 1 3 A BA ∽ A CA . A OA ∽ A CA g g A C CA 4 3 4 2 1 3 4 2 4 2 A B A A A A BA Mà 1 1 1 3 AA . AA BA .CA 1 2 3 4 CA AA A C AA 2 2 4 2
16) Từ điểm A trên cung nhỏ BC kẻ AR, AT , AY lần lượt vuông góc với CB, BM , CM tại R,T ,Y . Cho góc 0 BMC 60 . Tính góc
TRY ( hoặc chứng minh góc
TRY không đổi hoặc chứng minh TRY BMC ) B T R A M O Y C 1
Chỉ ra ATBR, AYCR là tứ giác nội tiếp nên ART ABT
BOA ( góc nt và góc ở tâm) 2 1 1 1 1 1 Và ARY ACY AOC TRY ART ARY BOA AOC 0 BOC 180 BMC 0 60 . 2 2 2 2 2 17) Chứng minh 2 AR AT.AY B T R A M O Y C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành AYR ACR ABT ART Chỉ ra góc
ARY ∽ATR g g ARY ACT ABC ATR AR AY Suy ra 2 AR AT.AY . AT AR
18) Tìm vị trí điểm A để AT. AR. AY đạt giá trị lớn nhất hoặc AT.AY đạt giá trị lớn nhất. B T R A M O Y C + Ta có: 2 AT.AY AR .
Do đó AT. AY đạt giá trị lớn nhất khi AR lớn nhất, suy ra AR AI A I . max + Ta có: 2 3
AT.AY AR AT.AY. AR AR
Do đó AT. AR. AY đạt giá trị lớn nhất khi AR lớn nhất, suy ra AR AI A I . max
( với I OM O ).
19) Gọi RT AB A , RY AC A . Chứng minh tứ giác AA RA nội tiếp và A A RA ( hoặc 5 6 5 6 5 6 A A / /BC ) 5 6 B T A5 R A O H M A6 Y C ARA ABT ACB Chỉ ra 5 . ARA ACY ABC 6 Suy ra A AA A RA A AA A RA ARA A AA ACB 0 ABC 180 . 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6
Suy ra tứ giác AA RA nội tiếp. 5 6
Vì tứ giác AA RA nội tiếp nên A A A A RA ACY
CBA A A / /BC A A AR . 5 6 6 5 6 5 6 5 6
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 20) Cho ,
A B,Y thẳng hàng, kéo dài A A BM R . Chứng minh BR A R là hình bình hành ( hoặc khai 5 6 1 1 6
thác các yếu tố của hình bình hành này) B R1 T A5 H M O A R A6 Y C
Ở trên các em đã chỉ ra A A / /BC . 5 6 Mặt khác: ABT ACB
AYR RY / /BM . Từ đó suy ra BR A R là hình bình hành. 1 6
21) Chứng minh rằng nếu TR TB thì RY RC . B T R A O M Y C Chỉ ra AYR ACR ABT ART AYR ART . ART 0 TRB 90 Mà TRB . AYR RYC 0 RYC 90 Mặt khác TB TR TRB TBR RCY RCY RYC RY RC .
22) Chứng minh rằng tia đối của tia AR là phân giác của góc TAY . B T y R A O H M Y C
Gọi Ay là tia đối tia AR .
Chỉ ra tứ giác BTAR nội tiếp nên CBT TAy .
Chỉ ra tứ giác CYAR nội tiếp nên BCY YAy . Mà C T B BCY y
A là phân giác của góc TAY .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành AB RT A 23) Gọi 5
. Gọi O là đường tròn đi qua 3 điểm ATA , O là đường tròn đi qua 3 điểm 5 4 AC RY A 5 6
AYA và A là giao điểm thứ hai của O và O , H là trung điểm BC . Chứng minh A , , A H 5 4 6 7 7 thẳng hàng. B T O A 4 5 A7 R A A 8 O H M A6 O5 Y C
Gọi A là giao A A với A A và H là giao A A với BC . 8 7 5 6 7 Chỉ ra A A A BCA
A YA A A là tiếp tuyến của O . 5 5 6 6 5 6 Từ đó chỉ ra được 2 A A A A. A A . 8 6 8 8 7
Chứng minh tương tự : A A A BCT
A TA A A là tiếp tuyến của O 4 8 5 5 8 5 suy ra 2
A A A A. A A . Từ đó suy ra 2 2
A A A A A A A A A là trung điểm A A . 8 5 8 8 7 8 6 8 5 8 5 8 6 8 5 6 A A A A AA + Do 5 8 6 8 8 A A / /BC H B H C
H là trung điểm BC H H . 5 6 H B H C AH Vậy A , , A H thẳng hàng. 7 24) Cho góc 0
BOC 120 . Gọi giao OA và OA với BC là A và A . Tìm vị trí điểm A trên cung nhỏ 1 2 3 4
BC để diện tích tam giác OA A bé nhất và tìm giá trị bé nhất đó ( hoặc tìm vị trí điểm A để diện 3 4 tích O
A A bé nhất hoặc độ dài A A bé nhất) 1 2 1 2 B B A1 A T 1 A3 A A3 R M A M O O H A4 A4 Y A2 A2 C C OA 1 Ta có: OA A ∽ O A A theo tỉ số 3 K cos 0 A OA cos 60 . 3 4 2 1 3 2 OA 2 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành S S O A A 1 Suy ra 3 4 O 2 A 1 A = S = . O 3 A 4 S 4 A 4 O 2 A 1 A Do đó S nhỏ nhất khi S nhỏ nhất. O 3 A 4 A O 2 A 1 A 1 R Mà S O . A A A
.A A nhỏ nhất khi A A nhỏ nhất. O 2 A 1 A 1 2 1 2 2 2 1 2 R
Mà A A nhỏ nhất khi A OM O . Khi đó OAB là tam giác đều nên OH HA và OM 2R . 1 2 2
Các em tính được BC 2BH R 3 và AM OM OA R . A A AM A A R 2 . R 3 Ta có: 1 2 1 2 A A 1 2 BC MH 3 R 3 R 3 2 2 R R 2 . R 3 R 3 Khi đó S .A A . . O 2 A 1 A 1 2 2 2 3 3 2 S OA A R 3 Nên 2 1 S = O 3 A 4 A 4 12
25) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt MB, MC tại O và O . Tìm vị trí điểm M để diện 1 2
tích tam giác MO O bé nhất. 1 2 O1 B O M C O2
Xét MO O có: OM vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên MO O cân tại M . 1 2 1 2 1 Suy ra S 2S 2. O . B O M . R O M . M 1 O 2 O MO 1 O 1 1 2 Mặt khác 2 2 O M O B BM 2 O .
B BM 2 OB 2 R 2R . 1 1 1
Dấu bằng xảy ra khi O B BM O OM vuông cân nên OM R 2 . 1 1 Vậy 2 min S
2R khi điểm M nằm cách O một khoảng OM R 2 . M 1 O 2 O
26) Chứng minh ba tam giác O
A O ∽ AOA ∽ O OA và O A .O A O O.O O . 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 Ta có: A OA A OA AOA POA AOC 0 BOC 180 M . 1 2 1 2 2 2 2 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Do MO O cân tại M ( vì OM vừa là đường cao, vừa là phân giác) nên 1 2 0 180 M O O O O A OA . 1 2 1 2 1 2 2
Xét O A O và A OA có: 1 1 1 2 O A O
OA A ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 1 1 1 2 O A OA ( chứng minh trên) 1 1 2
Suy ra O A O ∽ AOA g g . 1 1 1 2
Chứng minh tương tự các em sẽ được AOA ∽ O OA . 1 2 2 2 Vậy O
A O ∽ AOA ∽ O OA . 1 1 1 2 2 2 O A O O Chỉ ra 1 1 1 O A O ∽ O OA
O A .O A O O.O O ( đpcm). 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 O O O A 2 2 2 O1 B A1 A O M A2 C O2
27) Chứng minh O A O A O O . 1 1 2 2 1 2 O1 B A1 A O M A2 C O2 Sử dụng BĐT Cosi:
Ta có: O A O A 2 O A .O A O A O A 2 O O.O O . 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 O O 2 O O Mà 1 2 O O O O nên 1 2 O A O A 2 O O . 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2
28) Cho O; R và điểm M cố định. Tìm vị trí điểm A để O A O A nhỏ nhất. 1 1 2 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành O1 B A1 A O M A2 C O2
Vì O; R và điểm M cố định nên O O không đổi. 1 2
Ta có: O A O A 2 O A .O A O A O A 2 O O.O O . 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 O O 2 O O Mà 1 2 O O O O nên 1 2 O A O A 2 O O . 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2
Dấu bằng xảy ra khi O A O A A A / /O O A I ( với I OM O ) 1 1 2 2 1 2 1 2
29) Cho O và M cố định, điểm A di chuyển trên cung nhỏ BC . Chứng minh chu vi tam giác MA A 1 2
không phụ thuộc vào vị trí điểm A . O1 B A1 A O M A2 C O2 Chỉ ra chu vi M
A A là: MA A A AA A M MA A B CA A M MB C M 2 B M 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 không đổi.
Vậy chu vi tam giác MA A không phụ thuộc vào vị trí điểm A . 1 2
30) Cho O và M cố định . Tìm vị trí điểm A trên cung nhỏ BC để diện tích tam giác MA A lớn nhất. 1 2 O1 B A1 A O M A2 C O2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Như trên ta đã chứng minh: Chu vi M
A A không đổi và bằng 2MB . 1 2
Đặt MB a nửa chu vi M
A A là p a không đổi 1 2 4
p p MA p A A p MA và S p p MA p A A p MA M A A 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 4 3 3
p MA p A A p MA p
Ta có: p MA p A A p MA 1 1 2 2 1 1 2 2 3 27 4 p 2 p . 27 Nên p p MA p A A p MA S p p MA p A A p MA M A A 1 1 2 2 1 1 2 2 27 1 2 27
Dấu bằng xảy ra khi MA MA A là giao điểm của OM với O 1 2
31) Kéo dài AH O Z . Chứng minh tứ giác MAOZ là tứ giác nội tiếp và góc BMZ AMC ( hoặc chứng minh BMA
CMZ hoặc OM là phân giác góc AMZ ). B A O H M Z C 2 HM.HO HC Chỉ ra HM. O H H . A HZ . 2 H . A Z H H . B HC HC Từ đó suy ra HAM ∽ H
OZ c g c AZO
AMO tứ giác MAOZ là tứ giác nội tiếp. + Ta có: AMO
AZO (góc nt chắn cung OA ) mà OAZ AZO ( OAZ cân tại O) Và OAZ
OMZ (góc nt chắn cung OZ ) nên AMO OMZ mà BMO CMO nên BMA CMZ suy ra BMZ AMC .
32) Lấy điểm T bất kì trên BC , kẻ đường thẳng qua T và vuông góc OT , cắt MB, MC tại T ,T . Chứng 1 1 1 2 3 minh OT T cân. 2 3 T2 B T1 O H M T3 C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành O BT OT T
Chỉ ra tứ giác OT BT ; OT T C nội tiếp nên 1 2 1 mà 1 2 1 3 O T T OCT 3 1 1 OB OC OBT OCT OT T OT T O T T cân tại O . 1 2 2 1 3 1 2 3
33) Chứng minh rằng nếu T là trung điểm HB thì T là trung điểm CM , hoặc HT BT là hình bình hành 1 3 3 2
( hoặc cho T là trung điểm HB , chứng minh BT là trung tuyến BMC , hoặc MG 2GH ….) 1 3 T2 B T1 G O H M T3 C
Chỉ ra OT T cân nên T là trung điểm T T , mà T là trung điểm HB HT BT là hình bình hành, do 2 3 1 3 2 1 3 2
đó HT / /BT . Dựa vào MBC có HT / /BM mà H là trung điểm BC T là trung điểm CM . 3 2 3 3 34) Chứng minh OH.OT O . B OT 2 1 T2 B T1 O H M T3 C Chỉ ra OT T
OBT OT T ∽ OBH g g OH.OT O . B OT 2 1 1 2 1 2 1
35) Vẽ đường kính CK của đường tròn O . Chứng minh BK / /OM . K B O M H I C
Vì OB OC OK R C
KB vuông tại B BK BC mà OM BC BK / /OM .
36) Đường thẳng vuông góc KC tại O cắt BC tại E . Chứng minh 2 HE.HC H . O HM R .
Chỉ ra HOE ∽ HCO g g 2 HE.HC OH . Mà 2 2 2 2 2 H . O HM BH HE.HC H .
O HM OH HB OB R .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
37) Cho R 3cm, OM 5cm . Tính độ dài các cạnh của tam giác MBC . Ta có: 2 2 2
BM OM OB 16 BM MC 4cm . OM .BM 3.4 12 BH.OM O . B BM BH cm BC 2BH 4,8cm . OM 5 5
38) Kẻ CP BM tại P , CP OM Q . Chứng minh Q là trực tâm M
BC và BQ MC . Tính BQ . K B B P P O M O H Q Q M H C C Xét M
BC có MH ,CP là đường cao nên Q là trực tâm M BC và BQ MC . O B / /CQ MB Chỉ ra O
C / /BQ MC OBQC là hình thoi nên BQ OB R . BC OQ
39) Giả sử O cố định và điểm M luôn chạy trên đường tròn ;
O 3R . Chứng minh khi đó Q chạy trên
một đường tròn cố định. R 2R 2R
Các em tính được độ dài OH OQ
Q luôn chạy trên đường tròn O; . 3 3 3
40) Chứng minh BC là phân giác của góc KCP . Chỉ ra BHQ C HQ 2cgv HBQ HCQ
Do QB / /KC ( cùng vuông góc CM ) nên HBQ KCB ( so le trong ) Suy ra KCB
BCQ BC là phân giác của góc KCP .
41) Tứ giác OBQC là hình gì ? Vì sao? OB / /CQ, MB
Chỉ ra OC / /BQ, CM OBQC là hình thoi. OQ BC
42) Gọi Q là trung điểm BK . Chứng minh OHBQ là hình chữ nhật. 1 1 K B Q1 M O H C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành Chỉ ra OQ B Q BH 0
BHO 90 OHBQ là hình chữ nhật. 1 1 1
43) Từ C kẻ đường thẳng song song MB và cắt O tại Y . Chứng minh 2 KY .OM 2R 2 2 K B M O H Y2 C
44) Từ C kẻ đường thẳng song song MB và cắt O tại Y . Tia MY cắt đường tròn tại M , gọi M là 2 2 3
điểm đối xứng với M qua OM . Chứng minh Y , H , M thẳng hàng. 2 3 B B M3 O H M M'3 O H M M' Y M' 2 Y2 C C Cách 1:
Gọi M là giao Y H với O . Chỉ ra tứ giác OHM Y nội tiếp. 3 2 2 Từ đó suy ra MHM OY M OM Y OHY M HM . 2 2 2 3
Từ đó suy ra M HM
MHM M và M đối xứng nhau qua OM M M . 3 3 3 3 Cách 2: 1
Do M đối xứng M qua MO nên M OM M O M . M OM M Y M . 3 3 3 3 2 2 Mặt khác tứ giác OHM Y nội tiếp nên M O M M Y H M Y H M Y M . 2 2 2 2 2
Vậy Y , H , M thẳng hàng. 2 3
45) Từ B kẻ BF KC tại F , BF KM F . Chứng minh F là trung điểm F B và BC là phân giác 2 2 2 3 3 2 góc MBF . 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành K B F3 F K1 2 M O H C F F CM CM Chỉ ra 2 3 F F / /CM . 2 3 KF KC 2OC 2 1 F B HM Chỉ ra F KB HCM sd 2 BC F BK ∽ H MC g g . 2 2 2 KF HC 2 HM CM
Chỉ ra HOC ∽ HCM g g . HC OC F F 1 CM 1 F B F F 1 F B F B
Từ 3 đẳng thức trên các em suy ra : 2 3 2 2 3 2 2 . . . F F F là 2 3 3 KF 2 OC 2 KF KF 2 KF 2 2 2 2 2 trung điểm F B . 2 1 + Chỉ ra F BC CKB ( cùng phụ F BK ) mà CKB CBM sd BC . 2 2 2 Suy ra F BC
CBM BC là phân giác góc MBF . 2 2
46) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc OB cắt MC tại Y . Chứng minh O Y M cân. 1 1 K B K1 H I I1 M O Y1 C
Chỉ ra OY / /MB OB Y OM OMB slt OMY O Y M cân tại Y . 1 1 1 1 1
47) Gọi B là điểm chính giữa cung I I . Từ H kẻ HH B I tại H , kẻ HH B I tại H . Chứng 3 1 3 3 1 3 4 3 4
minh 5 điểm O, H , H , B , H cùng thuộc một đường tròn. 4 3 3 B3 H B 3 H4 I1 O H I M C
Chỉ ra 5 điểm O, H , H , B , H cùng nằm trên đường tròn đường kính HB . 4 3 3 3
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
48) Gọi H là điểm đối xứng với H qua H H . Chứng minh H H B H là hình thang cân. 5 3 4 4 5 3 3 B3 B H3 H5 H4 I1 O H I M C H H H H Chỉ ra 4 4 5
( tính chất đối xứng trục) H H H H 3 3 5
nên H H H H HH g g g H H H 0
H HH 90 H H B H là tứ giác nội tiếp. 3 5 4 3 4 3 5 4 3 4 4 5 3 3 Vì H H HH B H B H H
H H H ( góc nt chắn hai cung bằng nhau) 4 5 4 3 3 3 5 3 4 3 5
Suy ra B H / /H H H H B H là hình thang. 3 5 3 4 4 5 3 3
Vì hình thang H H B H là tứ giác nội tiếp nên H H B H là hình thang cân. 4 5 3 3 4 5 3 3
49) Chứng minh rằng H O . 5 B3 B H3 H5 H4 I1 O H I M C O H H 0 OB H 45 Chỉ ra 5 3 3 3
, mà H H B H là tứ giác nội tiếp và H H B H nên góc 0 4 5 3 3 4 5 3 3 O B I 45 3 H B H B H H OB H
OH B OH B cân tại O OH OB R H O . 5 3 5 4 3 5 3 5 3 3 5 5 3 5 3
50) Tiếp tuyến tại H cắt OM tại H . Chứng minh H , H , H thẳng hàng. 5 6 3 4 6 B3 B H3 H5 H4 I1 O H I M H6 C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 0
IHH OH H OB I 45 4 3 4 3
Tứ giác OHH H nội tiếp nên O H H 0 OB H 45 H HI 0 H H H 45 4 3 5 4 3 4 4 4 5 6 0 O H H 90 5 6 Mà H H H H HH HH H
H HH H H H H H nằm trên trung trực HH 4 5 4 5 5 6 5 6 6 5 6 6 5
Mà H H là trung trực HH nên H , H , H thẳng hàng. 3 4 5 3 4 6
51) Giả sử B cố định và M thay đổi sao cho MB là tiếp tuyến của O . Tìm quỹ tích điểm Q khi M thay đổi.
Do OBQC là hình thoi nên BQ OB R mà B cố định nên Q B; R . MK O K1
52) Gọi C là trung điểm CM , MK BC B . Chứng minh MK .MK MH.MO . 1 1 1 C K BC B 1 1 2 B2 B2 K B K B B K 1 1 B K 1 1 O H M O H M C1 C1 C C Chỉ ra C
KM vuông tại C và có CK là đường cao nên 2 MK .MK CM . 1 1 Chỉ ra O
CM vuông tại C có CH là đường cao nên 2 MH .MO CH .
Từ đó suy ra MK .MK MH.MO 1 MHK MKO 53) Chứng minh M K H ∽ MOK và góc 1
. Từ đó suy ra OKK H nội tiếp. 1 1 MK O MOK 1 B2 B2 K B K B B K 1 1 B K 1 1 M O H O H M C1 C1 C C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành MK MH Xét M K H và M OK có: góc KMO chung và 1 1 MO MK Từ đó suy ra M K H ∽ MOK . 1 MHK MKO Vì M K H ∽ MOK nên 1 . 1 MK O MOK 1 Xét tứ giác OKK H có OKK OHK K HM 0
OHK 180 , mà đây là hai góc đối nhau nên tứ giác 1 1 1 1 1
OKK H là tứ giác nội tiếp. 1
54) Chứng minh C K là tiếp tuyến của O . 1 1 B2 K B B K 1 1 M O H C1 C Chỉ ra C
MK vuông tại K K C C C C M C K C cân tại C . 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Chỉ ra OC K OC C c c c OK C 0 OCC 90 . 1 1 1 1 1 1
Từ đó suy ra C K là tiếp tuyến của O . 1 1
55) Gọi K là trung điểm KK . Chứng minh B K là tiếp tuyến của O . 2 1 2 B' B2 K B K B K2 K2 B K 1 1 B K 1 1 M O H O H M C1 C1 C C O K KK Vì K là trung điểm 2 1 KK . 2 1 KOK K OK 2 1 2
giả sử OK BC B. Ta sẽ chứng minh B ' B , tức là chứng minh B ' K là tiếp tuyến O . 2 2 1
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành Ta có: O
K M ∽ OHBg g 2 2 2
OK .OB OH.OM OB R OK 2 2 1 2
OK .OB OK OK K ∽ OK Bc g c OK B 0 OK K 90 B K là tiếp tuyến của 2 1 2 1 1 1 2 1 1 O , suy ra B B . 2
Từ OKB OK B c g c OKB 0
OK B 90 nên B K là tiếp tuyến của O . 2 1 2 2 1 2 2 56) Chứng minh M HB ∽ B HO . Từ đó suy ra 2 H . O HM HB . HB BH . 1 2 2 1 B' B2 K B K B K2 K2 B K 1 1 B K 1 1 M O H O H M C1 C1 C C Các em chỉ ra HMB HB O ( cùng phụ HPB ). 1 2 2 Từ đó suy ra M
HB ∽ B HO g g H . O HM HB .HB và 2 HO.HM BH . 1 2 2 1 57) Chứng minh 2 BC 4HB . HB . 1 2 2 BC BC Chỉ ra 2 BH HO.HM HB . HB mà 2 BH
HB .HB BC 4HB .HB . 2 1 2 1 1 2 2 2 B2 K B K2 B K 1 1 O H M C1 C 58) Chứng minh 2 2
OH .OM OK .OB R OB ( hoặc chứng minh OK .OB không đổi) 2 2 2 2 Chỉ ra K MO HB O ( cùng phụ HOB ) . 2 2 2 Từ đó suy ra K MO ∽ H
B O g g OH.OM OK .OB . 2 2 2 2 Mà 2 2 OH .OM OB R nên 2 2
OH .OM OK .OB R OB 2 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 59) Chứng minh OB B M 1 2 B2 K B K2 B K 1 1 O H M C1 C
Chỉ ra B là trực tâm OMB OB MB . 1 2 1 2
60) Chứng minh tứ giác MHK B nội tiếp từ đó suy ra OK .OB không đổi. 2 2 2 2 B2 K B K2 B K 1 1 O H M C1 C Xét tứ giác MHK B có: MHB 0
MK B 90 , mà đây là hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh 2 2 2 2 2
MB , suy ra tứ giác MHK B là tứ giác nội tiếp. 2 2 2 Chỉ ra 2 2
OK .OB OH.OM OB R không đổi. 2 2
61) Gọi BC O J . Chứng minh C J C ∽ C CB , C MJ ∽ C
BM ; CH J C là tứ giác nội tiếp. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(hoặc bài có thể khai thác từ các yếu tố trên như chứng minh các góc, tỉ số đoạn thẳng…) K B K1 J1 M O H C1 C
Chỉ ra C H C C ( trung tuyến tam giác vuông) nên C CH C HC . 1 1 1 1 1 Mặt khác C CJ C BC sd CJ C J C ∽ C CB g g C J C C CB C HC . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Từ đó suy ra CH J C là tứ giác nội tiếp. 1 1 + Chỉ ra 2
C J C ∽ C CB CC C J .C B mà 1 1 1 1 1 1 1 2
C C C M C M C J .C B C
MJ ∽ C BM c g c 1 1 1 1 1 1 1 1 1
62) Kéo dài MJ cắt O tại J . Chứng minh J C là phân giác góc C J J 1 2 1 1 1 2 K B K1 J2 J1 M O H C1 C Do C MJ ∽ C BM C MJ C BM MJ B J B / /CM 1 1 1 1 1 1 2 2 J BC BCM CJ C 2 1 1 J J C J C là phân giác góc C J J . 1 1 1 2 J BC CJ C 2 1 1 1 J J C 2 2 1 2 K M K K .K B
63) Kéo dài BK OM K . Chứng minh 3 3 1 3
từ đó suy ra K là trung điểm HM và 1 3 2 K H K K .K B 3 3 3 1 3 HK BK . 1 1 B2 K B K1 M O H K3 C Chỉ ra K MK MKB ( sole trong) mà MKB
K BM ( tính chất góc nt và góc tạo bởi tt và dây cung) 3 3 Nên K MK
K BM . Từ đó suy ra K MK ∽ K
BM g g K M K K .K B . 3 1 3 2 3 3 3 3 1 3 + Do MK H ∽ M OK nên MHK MKO mà MKO HBK ( góc nt chắn cung CK ) 1 1 3 1
Từ đó suy ra K HK ∽ K BH g g 2 K H K K .K B . 3 1 3 3 3 1 3 2 K M K K .K B Vì 3 3 1 3
K M K H K là trung điểm MH . 3 3 3 2 K H K K .K B 3 3 1 3
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành B2 K B K1 M O H K3 C + Ta có: K BH K HB K HK K HB 0
K HB 90 . Từ đó suy ra HK BK . 1 1 1 3 1 3 1 1 2 HC KK 64) Chứng minh 1 1. 2 HK MK 1 1 B2 K B K1 M O H K3 C 2 BH BK .BK 1 3 2 C H BK .BK 2 HC BK BK K K BK Chỉ ra 2 1 3 HK BK .K K . Suy ra 3 1 1 3 1 1. 1 1 1 3 2 HK BK .K K 2 HK K K K K K K 1 1 1 3 BH CH 1 1 3 1 3 1 3 KK BK 2 HC KK BK KK + Ta có: 1 1 BK / /OM suy ra 1 1 1 1 1. MK K K 2 HK K M K K MK 1 1 3 1 1 1 3 1
65) Từ K kẻ đường thẳng song song KB cắt BC, BM tại K , K . Chứng minh K là trung điểm K K . 1 5 6 1 5 6 K B K1 K6 K5 M O H K3 C KB / /OM K K BK K K Vì 1 5 1 1 6 K K / /HM
mà HK K M K K K K K là trung 5 6 K K / /KB HK BK K M 3 3 1 5 1 6 1 5 6 3 3 3 điểm K K . 5 6
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành K B B1 K1 K6 K5 O H M C
Cách khác: Các em có thể thấy, HB là phân giác trong
KHK và HM HB HM là phân giác ngoài 1 1 K B K K 1 1 1 5 K B MK B K KB góc KHK 1 1 1
( tính chất phân giác) . Mà 1 K K K K . 1 B K MK 1 5 1 6 1 MK K K 1 1 6 MK KB
66) Chứng minh HB là phân giác góc KHK . 1 B2 K B K1 M O H C O KK K HM
Chỉ ra tứ giác OKK H là tứ giác nội tiếp nên 1 1 mà OKK OK K ( do OKK cân) 1 1 1 1 O K H OK K 1 BHK 0 OHK 90 Nên K HM OHK mà BHK
BHK HB là phân giác góc KHK . 1 1 B K H 1 0 K HM 90 1 1 67) Chứng minh 2
OK OH.OM từ đó chứng minh OK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp H MK 1 1 1 K B K1 M O H C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 2 O B OH.OM Chỉ ra 2 OK OH.OM . 1 OB OK 1 OK OM + Chỉ ra 2 1 OK OH.OM O HK ∽ O K M c g c . 1 1 1 OH OK1 Từ đó suy ra góc OK H
OMK OK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp H MK . 1 1 1 1
68) Từ B kẻ đường thẳng song song MC cắt O tại B , nối MB O B . Chứng minh góc 4 4 5 BB C MB C 5 5 B B5 M O B4 C
Vì tứ giác BB CB nội tiếp nên BB C 0 BB C 180 . 4 5 4 5 BB B B MC slt 4 5 4 MB C B CM Chỉ ra 4 5 BB C CB M . BB B MB C 5 5 0 BB C 180 4 5 4 5 B MC B CM 0 CB M 180 4 5 5
69) Từ K kẻ tiếp tuyến K K với O , K là tiếp điểm . Chứng minh HK M vuông. 3 3 4 4 4 B2 K B K1 K3 O H M K4 Ta có: O K K vuông tại 2 2 2 2
K OK K K OK OH HK 4 4 3 4 3 3 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
OH HK 2.OH.HK OH HK OH.HM OH HK BH HK OB 3 3 3 3 3
Mà OK OB R K K HK K K HK K M H
K M vuông tại K ( tính chất trung 4 3 4 3 3 4 3 3 4 4
tuyến của tam giác vuông).
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
70) Giả sử KK 3K M và P là trung điểm KM . Chứng minh KM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại 1 1 1 tiếp OHP . 1 K B P1 K1 M O H K3 K4 Ta có: 2 2
BM MK .MK MK .4MK 4MK BM 2MK mà MP 2MK PM MP . 1 1 1 1 1 1 1 1 Mặt khác: 2 2
BM MH.MO MP MH .MO . 1
Từ đó các em chứng minh MHP ∽ MPO c g c MP H MOP . 1 1 1 1
Suy ra MK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OHP . 1 B Q KO Q CB KB
71) Gọi trung điểm BK là Q , 2 1 2 . Chứng minh 2 2 và Q Q / /KB . 1 B OKB Q OC KQ 2 3 2 2 3 1 B2 K Q1 B Q3 B1 Q2 M O H C CB KB Chỉ ra 2 2 KB .KC K .
B CB KB .2OC 2KQ .CB KB .OC KQ .CB . 2 2 2 1 2 2 1 2 OC KQ1 CB KB + Từ 2 2
B Q K ∽ B OC c g c B Q K B OC Q Q K KOB . 2 1 2 2 1 2 2 1 2 OC KQ1 Q K Q K
Nên Q Q K ∽ Q OK g g 1 2 . 2 1 3 OK Q K 3
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành Q K Q K Xét O Q K và Q Q K có OKB chung và 1 2 nên 1 3 2 OK Q K 3
OQ K ∽ Q Q K c g c Q Q K 0
OQ K 90 mà B K KC Q Q / /B K . 1 3 2 3 2 1 2 2 3 2 BM KC S 72) Cho
. Chứng minh M là trung điểm JC . C M KB J S K B J O H M C X MCB 0 MJB 90 Vì MB MC gt MBC MCB mà MJB cân tại M MBC MBJ MBJ 0 MBJ 90
MB MJ . Vì MB MC MJ M là trung điểm CJ .
73) OB CM X . Chứng minh SX / /BC .
Xét MSX có hai đường cao SC và XP nên O là trực tâm M SX MO SX . Vì MO BC SX / /BC . 74) Chứng minh XK SJ . Do BK / /MO BK SX . Xét S
JX có SC và KJ là đường cao nên K là trực tâm S JX XK SJ .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 75)
Từ M kẻ cát tuyến MDD ( tia MD nằm giữa tia MB và MO ), gọi D là trung điểm DD, 1
OD BC D . Chứng minh các điểm O,C, M , B, D cùng nằm trên một đường tròn, các điểm 1 2 1
M , H , D , D cùng nằm trên một đường tròn. 1 2 D2 B D' D1 D O H M C
Chỉ ra các điểm O,C, M , B, D đều cách đều trung điểm của OM ( dựa vào tính chất trung tuyến tam giác 1
vuông) hoặc các đỉnh C, B, D đều nhìn MO dưới một góc vuông. 1
Chỉ ra các điểm M , H , D , D đều cách đều trung điểm của D M ( dựa vào tính chất trung tuyến tam giác 1 2 2 vuông) hoặc MHD 0 MD D 90 . 2 1 2 76)
Cho O và điểm M cố định. Khi cát tuyến MDD thay đổi, tìm quỹ tích điểm D . 1 D2 B D' D1 D O H M C Vì 0
OD M 90 nên điểm D nằm trên đường tròn đường kính OM . Do đó khi cát tuyến MDD thay 1 1
đổi, thì quỹ tích điểm D chạy trên đường tròn đường kính OM . 1 77) Chứng minh 2 2 2
OH.OM OD .OD OB R OD . 1 2 Chỉ ra OHD ∽ O
D M g g OH.OM OD .OD . 2 1 1 2 Chỉ ra 2 2
OH.OM OB R ( hệ thức lượng) Suy ra 2 2 2
OH.OM OD .OD OB OD R . 1 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành D2 B D' D1 D O H M C 78) Chứng minh 2 CM M . D MD MH.MO . Cách 1: Ta có: M .
D MD MD D D MD D D MD D D MD D D 1 1
1 1 1 1 1 1 2 2 D M D D 2 2 OM D O 2 2 OD D O 2 2 2 2 2
OM OD OM OC CM ( đpcm) 1 1 1 1
+ Trong tam giác vuông OCM , đường cao 2 CH CM MH.MO . Cách 2: 1 Chỉ ra MBD MD B sd BD M BD ∽ M D B g g 2 2 BM M . D MD CM M . D MD 2 79) Chứng minh 2 OH.OM M . D MD MO . 2 O H.OM OB 2 2 2 OH.OM M .
D MD OB BM MO . 2 M . D MD MB 80)
Chứng minh MBD ∽ MD B và góc MBD MD B . Cách 1: Ta có: 2 2 CM M . D MD BM M . D MD .
Từ đó suy ra MBD ∽ MD B
c g c MBD MD B
( hai góc tương ứng) . 1 Cách 2: MBD MD B sd BD M BD ∽ M D B g g . 2 81) Chứng minh M DH ∽ M OD và góc MHD MD O . 2 MB M . D MD Do M . D MD MH.MO . 2 MB MH.MO
Từ đó suy ra MDH ∽ MODc g c MHD MD O
( hai góc tương ứng) . 82)
Giả sử độ dài dây cung DD không đổi. Chứng minh BC luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi.
Do DD nên khoảng cách từ O đến DD là OD không đổi. 1
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 2 R Mặt khác 2 OD .OD R OD
không đổi nên D cố định. 1 2 2 OD 2 1
Suy ra BC luôn đi qua điểm cố định là D . 2 83)
Chứng minh D D là tiếp tuyến của O ( hoặc chứng minh OD D D ) 2 2 OD OD Ta có: 2 2 1 OD .OD R OD . 1 2 OD OD2 OD OD Xét O D D và O D D có D O D chung và 1 nên OD D ∽ O D D c g c 1 2 1 2 1 OD OD2 Suy ra OD D 0
OD D 90 D D là tiếp tuyến của O . 2 1 2 D2 B D' D1 D O H M C 84)
Nếu đề bài đổi thành tiếp tuyến tại D và D cắt nhau tại D , chứng minh B,C, D thẳng hàng. 2 2 2 2 O H.OM OB R Chỉ ra
OH.OM OD .OD OHD ∽ O D M c g c 1 2 2 1 2 2 O D .OD D O R 1 2 OHD 0
OD M 90 HD OM mà BC OM B,C, D thẳng hàng. 2 1 2 2
Cách khác: Các em có thể chỉ ra hai tứ giác OD D D và OD D
H nội tiếp nên 5 điểm O, D, D, H , D 2 2
cùng thuộc một đường tròn, suy ra OHD 0
ODD 90 HD OH mà BC OH B,C, D thẳng 2 2 2 2 hàng. 85)
Từ D kẻ đường thẳng song song BC cắt O tại D . Chứng minh D , H, D thẳng hàng. 5 5 B D' D3 D M O H D5 C
Vì BH là phân giác góc D H
D ( đã chứng minh ở các câu khác) Mà OHB 0 MHB 90 OHD DHM .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành Vì D D
/ /BC OH là trung trực D D OHD OHD OHD DHM . 5 5 5 5 Ta có: OHD OHD DHM 0
OHD 180 D , H , D thẳng hàng. 5 5 86)
Gọi MO KD G , CG O G , D G DK G ,G K D D G . Chứng minh 1 1 2 2 3 2 4 CD D
KOG từ đó cứng minh OKG ∽ D
DC ( hoặc các tỉ số từ tam giác đồng dạng) 1 1 1 1 G3 K B D' D G 1 4 D G M 1 O G2 C Chỉ ra CD D MOC KOG và G KO D DC ( góc nt chắn cung D C ). 1 1 1 1 87)
Chứng minh G ,O, D thẳng hàng và G G G D . 2 3 4 2 G3 K B D' D G 1 4 D G M 1 O G2 C OK DD 2OK 2DD KC DD Vì 1 1 OKG ∽ D DC DCD∽ K G C c g c 1 1 1 KG DC KG DC KG DC 1 1 1 Suy ra KCG DD C DCM G CD G CO COD DCM 0
COD 90 G D là đường kính của 1 2 1 2
đường tròn O G , D,O thẳng hàng và G D D 0
G KD 90 G là trực tâm 2 2 2 4 G DG G G G D 2 3 3 4 2 88)
Từ D kẻ đường thẳng song song BM cắt BC, BD tại C , C . Chứng minh tứ giác CDC D nội 4 5 4 1
tiếp và C là trung điểm DC . 4 5 B C5 D' C4 D1 D M O C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Vì CD BM nội tiếp nên D CB D MB
D DC slt CDC D là tứ giác nội tiếp. 1 1 1 4 1 4 1
Vì CDC D nội tiếp nên DD C DCC mà DCC DD B DD B DD C D B / /D C . 4 1 1 4 4 4 1 4 1 4 Mà D là trung điểm D D
C là trung điểm DC . 1 4 5 89)
Gọi MD BC D . Chứng minh MD và D D là phân giác trong và ngoài của góc CD B và 3 1 1 2 1 BD .CD BD .CD . 2 3 3 2 D2 B D' D1 D3 D M O H C
+ Chỉ ra tứ giác OD BM là tứ giác nội tiếp nên MD B
MOB ( góc nt cùng chắn cung BM ) 1 1
+ Chỉ ra tứ giác OD MC nội tiếp nên MD C
MOC ( góc nt cùng chắn cung MC ). 1 1 Mà MOC MOB MD B
MD C MD là phân giác góc CD B . 1 1 1 1
Hoặc các em chỉ ra : 5 điểm M ,C,O, D , B cùng thuộc một đường tròn, 1 mà MB MC MD B
MD C ( góc nt chắn hai cung bằng nhau) 1 1
MD là phân giác góc CD B . 1 1
+ Vì D D D M D D là phân giác ngoài của góc CD B . 1 2 1 1 2 1 BD BD
Áp dụng tính chất phân giác ta có: 3 2 BD .CD BD .CD 2 3 3 2 CD CD 3 2 90) Chứng minh D D .D D D . B D C 3 3 3 3 B D' D D3 M O H C Chỉ ra D
BD∽ D DC g g D D .D D D . B D C . 3 3 3 3 3 3
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 91)
D C O C . Chứng minh C B / /D D . 1 2 2 C2 B D' D1 D M O C
Chỉ ra tứ giác BMCD nội tiếp, suy ra CD M
CBM ( góc nt cùng chắn cung CM ) 1 1 Mà CC B
CBM ( góc nt cùng chắn cung BC ) 2 Suy ra CD M
CC B , mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên C B / /D D . 1 2 2 92)
Kéo dài BD O C . Chứng minh CC / /D D . 1 3 3 B D' D1 D M O C3 C
Chỉ ra tứ giác OD BM là tứ giác nội tiếp, suy ra MD B
MOB ( góc nt cùng chắn cung BM ) 1 1 1 Mặt khác CC B . COB
MOB ( tính chất góc nội tiếp và góc ở tâm) 2 2 Suy ra CC B
MD B , mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên CC / /D D . 2 1 2 1
Các em cũng có thể chỉ ra CC B MCB sd BC
MD B ( góc nt chắn cung BM ) 2 1 2 93)
Đề bài có thể thay đổi, kẻ dây CC / /D D . Chứng minh góc C BO D M O hoặc chứng minh 3 3
C , D , B thẳng hàng, hoặc C B D D
D chứng minh D là trung điểm D D . 3 1 3 1 1 B D' D1 D M O C3 C 1
Gọi BC MD D . Vì CC / /D D C D D BC C sd BC 4 4 3 3 4 3 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 0 CD O 90 0 C D D 90 sd BC 4 3 4 1 1 Mà BMO 0 BMC 180 BOC 0 90 sd BC BMO CD O OMBD nội tiếp 4 4 2 2 nên OD M 0 OBM 90 OD D D D D . 4 4 4 1
Vì OMBD là tứ giác nội tiếp nên C BO D M O . 1 3 2 1 1 94)
Gọi MD BC D . Chứng minh M . D MD MD .MD và 3 3 1 MD MD MD 3 B D' D1 D3 D M O H C3 C 2 M . D MD BM Chỉ ra M . D MD MD .MD . 3 1 2 MD .MD MH.MO MB 3 1 + Ta có: MD .MD M .
D MD MD .MD MD .MD 2M . D MD 3 1 3 1 3 1
MD . MD DD MD . MD DD 2M . D MD 3 1 3 1
MD .MD MD .DD MD .MD MD .DD 2M . D MD 3 3 1 3 3 1
MD .MD MD .MD 2M . D MD 3 3 2 MD MD 2 1 1 MD MD MD 2M . D MD 3 MD M . D MD MD MD MD 3 3 95)
Kéo dài BD và BD cắt C C tại C , C . Chứng minh rằng C là trung điểm C C . 3 6 7 3 6 7 B D' C6 D1 D M O H C3 C C7 Chỉ ra D D
/ /C C ( đã chứng minh trên) 6 7
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành D D BD DD Áp dụng định lí Talet: 1 1 1 , mà DD D D nên C C C C . C C BC C C 1 1 3 6 3 7 3 6 3 3 7 96)
Cho O , M và B cố định. Chứng minh trọng tâm BD D và C D D luôn chạy trên một
đường tròn cố định ( hoặc chứng minh đường tròn ngoại tiếp BD D và C D D có cùng bán kính). B B D' D' G D1 D D1 D O2 O H M M G' O1 O H O1 O3 C C 1
Gọi O là trung điểm OM O cố định và O D OM không đổi. 1 1 1 1 2
+ Trên BO lấy điểm O sao cho BO 2O O O cố định ( do B,O cố định) 1 2 2 1 2 2 1 BG BO 2 2 1 OM
Gọi G là trọng tâm BD D . Ta có: 2
2 GO / /D O và GO D O . OM 2 1 1 GD O O 2 1 1 3 3 2 3 1 1 2 không đổi. OM OM Vì O cố định và GO không đổi nên G O ; . 2 2 3 2 3 OM Vậy trọng tâm BD D
luôn chạy trên một đường tròn O ; cố định. 2 3
+ Trên CO lấy điểm O sao cho CO 2O O O cố định ( do C,O cố định) 1 3 3 1 3 3 1 CG CO 2 2 2 1 1 Gọi G ' là trọng tâm 3 CD D G O / /D O và G O D O . OM OM . 3 1 1 CD CO 3 3 1 1 3 3 2 3 1 1 OM Do đó G O ; cố định. 3 3 97)
Từ D kẻ đường thẳng song song CM cắt BC, CD tại E, F . Chứng minh BDED là tứ giác nội 1
tiếp và E là trung điểm FD .
(Bài có thể thay đổi qua D kẻ đường thẳng song song CD cắt BC tại E ) 1 B D' D1 D O M E F C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Chỉ ra tứ giác D BMC nội tiếp nên góc D BC
D MC ( góc nt chắn cung D C ) 1 1 1 1 Mà D MC D DE ( đồng vị) nên D BC D DE D BE
D DE . Từ đó suy ra BDED là tứ giác nội 1 1 1 1 1 1 1 tiếp.
+ Vì BDED là tứ giác nội tiếp nên ED D
EBD ( góc nt chắn cung ED ) 1 1 Mà EBD CD D
( góc nt chắn cung DC ). Suy ra ED D CD D
, suy ra ED / /CD mà D là trung điểm D D
E là trung điểm DF ( tính chất 1 1 1 đường trung bình) . 98)
ED cắt OM tại F . Chứng minh ED BD và OEF B là tứ giác nội tiếp. 1 1 1 B B D' D' D1 D D1 D O F M O F M 1 E 1 E F F C C 1 + Chỉ ra ED D CD D slt CBD sd CD ED D EBD . 1 1 2
Từ đó suy ra ED BD là tứ giác nội tiếp. 1
+ Vì ED BD là tứ giác nội tiếp nên EDB
DD B (góc nt chắn cung BD ) 1 1
Mà tứ giác OMBD là tứ giác nội tiếp nên DD B
BOM ( góc nt chắn cung BM ) 1 1 Suy ra F EB
F OB OEF B là tứ giác nội tiếp. 1 1 1 BD CD 99) Phân giác góc
DBD cắt MD tại H . Chứng minh rằng : D B D C và CH là phân 1 1 BM MH CM 1 giác góc D C D . B D' H1 D O M C H2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành BD MB + Vì M DB ∽ MBD . D B D M DC MC BD CD + Tương tự: MDC ∽ M CD mà MC MB . D C D M D B D C BD H D BD CD CD H D + Ta có: 1
( tính chất phân giác) mà nên 1 D B H D D B D C D C H D 1 1
Suy ra CH là phân giác góc D C D . 1
+ Gọi BH O H . Vì H BD H BD D H DH . 1 2 2 2 2 2 1 1 1 Mà H BM sd BH sd BD sd DH sd BD sd D H BH M . 1 2 2 2 1 2 2 2 Do đó B
H M cân tại M MB MH mà MB MC nên BM MH CM 1 1 1
100) Chứng minh tứ giác D O HD nội tiếp. Vì M D O ∽ MHD MD O MHD OD D OHD DHM 0 OHD 180 . Xét tứ giác D O HD có DHM 0
OHD 180 mà đây là hai góc đối nhau nên D O
HD là tứ giác nội tiếp. B D' D M O H C
101) Đề bài có thể thay đổi thành: Chứng minh đường tròn ngoại tiếp HD D hoặc D O D luôn đi
qua một điểm cố định, hoặc tâm đường tròn ngoại tiếp HD D
luôn chạy trên một đường thẳng cố định…. B D' D M O H I C
+ Các em sẽ thấy, tứ giác OHDD là tứ giác nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác HD D luôn đi
qua điểm cố định O và đường tròn ngoại tiếp tam giác OD D
luôn đi qua điểm cố định H .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
+ Vì OHDD là tứ giác nội tiếp nên tâm đường tròn ngoại tiếp HD D
luôn nằm trên đường trung trực đoạn OH .
102) Chứng minh DI là phân giác góc HDM ( với I MO O ) B D' D M O H I C MD MO MO Vì MD O ∽ M HD 1 . HD OD OB MI MB
Mà BI là phân giác góc HBM 2 IH BH MO MB MI Chỉ ra MHB ∽ M BO g g 3 . BO HB HI MD MI Từ 1 23
DI là phân giác góc HDM . HD HI 103) Chứng minh MOD 2 MDI B D' D M O H I C
Vì tứ giác HODD là tứ giác nội tiếp nên HOD HDM .
Mà DI là phân giác góc HDM HOD 2. MDI .
104) Kéo dài OM cắt O tại điểm thứ hai là I . Chứng minh M . D MD MI.MI 1 1 B D' D I1 O I M C
Vì IDD I là tứ giác nội tiếp nên D I I IDM . 1 1 Từ đó suy ra MID ∽ M D I g g M . D MD MI.MI . 1 1
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
105) Tiếp tuyến tại I cắt nửa đường tròn đường kính MI tại X , CO X I X . Chứng minh 1 1 1 1 2 MX CX 2 1 X1 B X2 O H I1 M I C Chỉ ra MBI ∽ M I B g g 2 BM MI.MI . 1 1 Mà 2
MX MI.MI ( hệ thức lượng) suy ra MX BM MC M X C cân. 1 1 1 1
Do đó M nằm trên đường trung trực CX . 1 MX C 0 CX X 90 M X C cân MX C MCX mà 1 1 2 CX X X CX X X C cân nên X 1 1 1 2 MCX 1 2 1 2 2 1 0 X CX 90 1 1 2
nằm trên đường trung trực CX . 1
Vậy MX là trung trực CX nên MX CX . 2 1 2 1
106) Từ M kẻ cát tuyến MPP song song BD , cát tuyến này cắt CB,CD tại P , P . Chứng minh tứ 1 4 2 3
giác MCP B là tứ giác nội tiếp và P là trung điểm P P ( hoặc OP P P ) 3 3 4 1 3 1 4 B D' D O M P1 P2 P3 P4 C 1 Chỉ ra MBC MD C sd BC MPC ( đồng vị) nên MBC MP C . 3 2 3
Từ đó suy ra MCP B là tứ giác nội tiếp. 3
+ Do M ,C,O, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM 5 điểm M ,C,O, B, P cùng thuộc đường 3
tròn đường kính OM 0
OP M 90 OP PP P là trung điểm P P . 3 3 1 4 3 4 1
107) Chứng minh P P . P M P P. P P 2 3 2 2 1 2 4
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành B D' M O H P1 P2 P3 P4 C P P .P M P C .P B Chỉ ra 2 3 2 2 1 2 P P .P M P P.P P 2 3 2 2 1 2 4 P P.P P P C .P B 2 1 2 4 2 1 2
108) Đường thẳng OP cắt O tại Y ,Y (Y nằm trên cung nhỏ D B
). Y P O Y . Chứng minh 2 2 3 2 3 3 4
Y ,Y , M thẳng hàng hoặc chứng minh tứ giác Y PY M nội tiếp. 3 4 2 3 4 Y3 Y3 B B D' D' Y4 Y4 M M O H O H P1 P1 P2 P2 P3 P3 P4 P4 C C Y2 Y2
Chỉ ra P P .P P PY .P Y mà P P . P M P P.P P nên P P . P M P Y .P Y 2 1 2 4 2 4 2 2 2 3 2 2 1 2 4 2 3 2 2 4 2 2
Từ đó chứng minh P PY ∽ P Y M c g c Y Y M 0
Y P M 90 Y Y Y M . 2 3 2 2 4 2 4 2 3 2 4 4
Vì Y Y là đường kính O Y Y Y Y . 2 3 2 4 3 4
Từ đó suy ra Y ,Y , M thẳng hàng. 3 4
109) Chứng minh P P . P M PP . P P 3 2 2 1 2 2 4 B B D' D' D D O M O M P1 P1 P2 P2 P3 P3 P4 P4 C C P P P C Chỉ ra P P C ∽ P BP g g 2 4 2 P P .P P P C .P B . 2 4 2 1 2 4 2 1 2 2 P B P P 2 2 1
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành P C P P Chỉ ra P CP ∽ P MB g g P C .P B P P .P M . 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 P M P B 2 2
Từ đó suy ra P P . P M PP . P P . 3 2 2 1 2 2 4
110) Kéo dài OP cắt đường tròn O tại P , P ( P thuộc cung nhỏ BD ). Nối P P cắt đường tròn 3 5 6 5 6 2
O tại P . Chứng minh M, P , P thẳng hàng. 7 5 7 P5 B D' P7 D O M P1 P2 P3 P4 C P6
Vì P P là đường kính O P P P P 1 . 6 7 5 7 5 6 P P P P Ta có: 3 2 2 7
P P . P M PP . P P P P . P P P P . P M P P . P P . 3 2 2 1 2 2 4 2 7 2 6 3 2 2 2 7 2 6 P P P M 2 6 2
Từ đó suy ra P P M ∽ P P P c g c P P M 0
P P P 90 P P MP 2 . 2 7 2 3 6 2 7 2 3 6 2 7 7 Từ
1 2 M , P , P thẳng hàng. 5 7 111) Chứng minh D B P là tam giác cân. 3 B D' D M O P1 P2 P3 P4 C O P PP Vì 3 1 4
OP BD OP là trung trực BD nên BP P D B P D cân tại P . 3 3 PP / /BD 3 3 3 3 1 4
112) Cho B,C và O cố định. Tìm vị trí cát tuyến MDD để diện tích P BC lớn nhất. 3 B D' D M O P1 P2 P3 P4 C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành Ta có: BPC CD B P BD 2. CD B
( tính chất góc trong – góc ngoài tam giác) 3 3
Mà B,C,O cố định nên góc CD B không đổi, suy ra BPC 2. CD B không đổi. 3 1 Mà S .PC.P B.sin BPC S
lớn nhất khi PC. P B lớn nhất. 3 P BC 3 3 3 3 2 P BC 3 3 2 PC P D D C 2 2 D C 4R Ta có: 3 3 PC.P B PC.P D mà 2 CD 2R P C. P B R . 3 3 3 3 2 4 3 3 4 4
Dấu bằng xảy ra khi CD là đường kính của O .
113) Tiếp tuyến của đường tròn O tại I cắt đường tròn đường kính MI tại M , M I OC M . 1 1 1 1 2
Chứng minh tứ giác MCM M là tứ giác nội tiếp, MM MC ; CM MM . 2 1 1 1 2 M1 B M2 I1 O I M C
Vì MI là đường kính nên 0 M M M 90
M CM MCM M là tứ giác nội tiếp. 1 2 1 2 2 1 + Chỉ ra 2 2
MM MI.MI MC MM MC . 1 1 1
+ Vì tứ giác MCM M nội tiếp đường tròn đường kính MM mà MM MC MM là đường trung 2 1 2 1 2 trực CM CM MM . 1 1 2
114) Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp IMI , E là tâm đường tròn ngoại tiếp M D D , E là 1 1 2 2 3
trung điểm của M M . Chứng minh E , E , E thẳng hàng. 1 2 1 2 3 M1 E3 D' E2 M2 D V I1 O I M E1 C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
+ Gọi MM CM V . Ta có: 2 2
MV .MM MM MC MI.MI M . D MD . 2 1 2 1 1
Từ đẳng thức MV.MM M . D MD D D
VM nội tiếp nên V E . 2 2 2
Từ đẳng thức MV .MM MI.MI IVM I là tứ giác nội tiếp nên V E . 1 2 1 2 1
Suy ra E , E cắt nhau tại hai điểm M , V E E là trung trực VM . 1 2 2 1 2 2
Vì E E / /CM và E E đi qua trung điểm VM nên E E đi qua trung điểm M M . 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
Vậy E , E , E thẳng hàng. 1 2 3
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành