Chùm bài toán tiếp tuyến – cát tuyến ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Tài liệu gồm 44 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Chí Thành, tuyển chọn 114 bài toán tiếp tuyến – cát tuyến ôn thi vào lớp 10 môn Toán, đây là dạng toán phổ biến trong các đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán.

Chủ đề:
Môn:

Môn Toán 1.2 K tài liệu

Thông tin:
44 trang 1 năm trước

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chùm bài toán tiếp tuyến – cát tuyến ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Tài liệu gồm 44 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Chí Thành, tuyển chọn 114 bài toán tiếp tuyến – cát tuyến ôn thi vào lớp 10 môn Toán, đây là dạng toán phổ biến trong các đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán.

104 52 lượt tải Tải xuống
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
CHÙM BÀI TOÁN
TIẾP TUYẾN – CÁT TUYẾN
ÔN THI VÀO 10
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Cho
;
O R
và điểm
M
nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến
MB
với đường tròn, dây
BC
vuông
góc
OM
tại
.
1) Chứng minh
2
.
OH OM R
.
MB
là tiếp tuyến
O BM OB
OBM
vuông tại
,
B BH
là đường cao .
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông
2 2
: .
OBM OM OH OB R
2) Chứng minh
MB MC
,
HB HC
.
Xét hai tam giác vuông
OHB
OHC
OB OC R
,
OH
chung.
Từ đó chỉ ra
2
BOH COH
OHB OHC cgv
HB HC
.
Từ đó suy ra
OMB OMC c g c MB MC
.
3) Chứng minh
MC
là tiếp tuyến đường tròn.
Do
0
90
OMB OMC OCM OBM CM
là tiếp tuyến của
O
.
M
C
H
O
I
B
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
4) Chứng minh tứ giác
MBOC
nội tiếp đường tròn, tìm tâm đường tròn đó.
Chỉ ra
0
180
MBO MCO MBOC
nội tiếp, tâm nằm ở trung điểm
OM
.
5) Bài có thể thay đổi lại đề bài, cho hai tiếp tuyến
,
MB MC
. Chứng minh
BC OM
.
+ Lập luận vì
MB MC M
nằm trên trung trực
BC
,
OB OC O
nằm trên trung trực
BC
.
Vậy
OM
là trung trực
BC OM BC
.
+ Hoặc chỉ ra
MB MC
MO
là phân giác góc
BMC
( tính chất tiếp tuyến) nên
OM
là đường cao
MBC OM BC
.
6) Tính
OH
,
HM
,
,
MB MC
, góc
BMC
biết
2
OM R
.
Chỉ ra
2 2
3
. .2 2
2 2 2
R R R
OB OH OM R OH R OH HM OM OH R
.
Tính
2 2
3 3
BM OM OB R MC MB R
.
0 0
1
sin 30 2. 60
2
OB
BMO BMO BMC BMO
OM
.
7) Cho
4
3
CM R
. Tính diện tích
COBM
.
2
1 1 4 4
2 2. . . 2. . .
2 2 3 3
OBMC OCM
R
OBM OCM S S OC CM R R
( đơn vị diện tích)
M
C
H
O
I
B
H
M
C
O
B
H
M
C
O
B
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
8) Gọi giao
OM
với
O
I
. Chứng minh
BI
là phân giác góc
MBC
I
là tâm đường tròn nội tiếp
MBC
.
(Đề bài có thể đổi thành: Chứng minh khi
M
thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp
MBC
luôn nằm trên
một đường tròn cố định – hoặc chứng minh
I
cách đều 3 cạnh
, ,
BM CM BC
)
Cách 1: Do
,
MC MB
là hai tiếp tuyến cắt nhau tại
M MO
phân giác góc
1
BMC
.
Ta có:
0
0
90
90
,
OBI IBM
HBI HIB HBI IBM BI
HIB OBI OI OB R
là phân giác góc
2
CBM
.
Từ
1 2
I
là tâm đường tròn nội tiếp
BCM
.
Cách 2: Do
,
MC MB
là hai tiếp tuyến cắt nhau tại
M MO
phân giác góc
1
BMC
.
Ta có:
BOM COM
( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên cung
CI BI
.
1
2
1
2
CBI sdCI
CBI IBM BI
IBM sd BI
là phân giác góc
2
CBM
.
Từ
1 2
I
là tâm đường tròn nội tiếp
BCM
.
9) Chứng minh
IH HB
IM BM
Xét
BHM
BI
là phân giác trong của góc
HBM
HI BH
IM BM
( tính chất phân giác) .
10) Tìm vị trí điểm
M
để
BI MC
( hoặc
CI MB
).
BI
là phân giác góc
CBM
, để
BI CM CBM
cân tại
B CB BM
.
M
C
H
O
I
B
M
C
H
O
I
B
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
BM CM BCM
là tam giác đều nên
0 0 0
60 120 60
BMC BOC BOM
.
Ta có:
cos 2
cos
OB OB
BOM OM R
OM
BOM
.
Vậy để
BI CM
thì
;2
M O R
.
11) Từ điểm
A
trên cung nhỏ
BC
vẽ tiếp tuyến với đường tròn
O
. Tiếp tuyến này cắt
,
MB MC
tại
1 2
,
A A
. Chứng minh chu vi
1 2
MA A
không đổi và độ lớn góc
1 2
AOA
không phụ thuộc vào vị trí điểm
A
khi
A
di chuyển trên cung nhỏ
BC
.
Ta có:
1 1
2 2
MB MC
A B A A
A A A C
( tính chất tiếp tuyến cắt nhau) .
Chu vi
1 2
MA A
là:
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
MA MA A A MA MA A A AA MA A A MA AA
1 1 2 2
2
MA A B MA CA MB MC MB
không đổi khi
A
di chuyển trên cung nhỏ
BC
.
Ta có:
0
1 2 1 2
1 1 1 1
180
2 2 2 2
AOA A OA AOA BAO AOC BOC BMC
không đổi.
Vậy chu vi tam giác
1 2
MA A
và độ lớn góc
1 2
AOA
không phụ thuộc vào vị trí điểm
A
.
12) Cho
3 , 6
R cm OM cm
. Tính số đo góc
1 2
AOA
.
Ta có:
0
1 2
1
180
2
AOA BMC
. Trong tam giác vuông
BMO
ta có:
0 0
3 1
sin 30 60
6 2
OB
BMO BMO BMC
OM
.
A
2
A
1
M
C
O
B
A
A
2
A
1
M
C
O
B
A
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Do đó
0 0
1 2
1
180 60
2
AOA BMC
.
13) Gọi giao
1
OA
2
OA
với
BC
3
A
4
A
. Chứng minh
2 3 1
A A OA
1 4 2
A A OA
( hoặc các câu
hỏi liên quan đến ba đường cao của
1 2
OA A
hoặc chứng minh tứ giác
2 3
OCA A
1 4
OBA A
3 4 2 1
A A A A
là tứ giác nội tiếp)
Ở trên các em đã chứng minh được
1 2
1
.
2
AOA BOC
2
1
.
2
BCA BOC
( góc ở tâm và góc nt)
Suy ra
1 2 2
AOA BCA
.
Từ đó suy ra tứ giác
2 3
OCA A
là tứ giác nội tiếp nên
0
3 2 2
90
OA A OCA
.
Chứng minh tương tự:
1 2 1
1
.
2
AOA CBA BOC
tứ giác
1 4
OBA A
nội tiếp nên
0
4 1 1 1 4 2
90
OA A OBA A A OA
.
14) Cho góc
0
60
BMC
, gọi giao
1
OA
2
OA
với
BC
3
A
4
A
. Tính tỉ số
1 2
3 4
A A
A A
.
Đầu tiên các em tính góc
0
120
BOC
.
Ở bài trên các em đã chứng minh được tứ giác
2 3
OCA A
nội tiếp nên
2 3 2 3
OA C OA C OA A OA C
( do
2 2
OA C OA A
tính chất tt cắt nhau) . Từ đó suy ra
3
2 1
3 4 2 1
3 4 2
OA
A A
OA A OA A
A A OA
.
Do
3 2
OA A
vuông tại
3
A
0
3 2
1
. 60
2
A OA BOC
nên
0
3 3
3 4
2 2
1
cos cos60
2
OA OA
A OA
OA OA
.
A
4
A
3
A
2
A
1
M
C
O
B
A
A
4
A
3
A
2
A
1
M
C
O
B
A
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Vậy
32 1
3 4 2
1
2
OAA A
A A OA
15) Cho góc
0
60
BMC
1 3
2 4
OA BC A
OA BC A
. Chứng minh
1 2 3 4
. .
AA AA BA CA
.
Chỉ ra
0
1 3 1 2 2 4
60
A BA AOA A CA
.
Chỉ ra
1 3 4 3
3
1
1 3 4 2
4 2
4 3 4 2
A BA A OA g g
BA
A B
A BA A CA
A C CA
A OA A CA g g
.
1 1
3
1
1 2 3 4
2 2
4 2
. .
A B A A
BA
A A
AA AA BA CA
CA AA
A C AA
16) Từ điểm
A
trên cung nhỏ
BC
kẻ
, ,
AR AT AY
lần lượt vuông góc với
, ,
CB BM CM
tại
, ,
R T Y
.
Cho góc
0
60
BMC
. Tính góc
TRY
( hoặc chứng minh góc
TRY
không đổi hoặc chứng minh
TRY BMC
)
Chỉ ra
,
ATBR AYCR
là tứ giác nội tiếp nên
1
2
ART ABT BOA
( góc nt và góc ở tâm)
0 0
1 1 1 1 1
180 60
2 2 2 2 2
ARY ACY AOC TRY ART ARY BOA AOC BOC BMC
.
17) Chứng minh
2
.
AR AT AY
A
4
A
3
A
2
A
1
M
C
O
B
A
T
Y
R
M
C
O
B
A
T
Y
R
M
C
O
B
A
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Chỉ ra góc
AYR ACR ABT ART
ARY ATR g g
ARY ACT ABC ATR
Suy ra
2
.
AR AY
AR AT AY
AT AR
.
18) Tìm vị trí điểm
A
để
. .
AT AR AY
đạt giá trị lớn nhất hoặc
.
AT AY
đạt giá trị lớn nhất.
+ Ta có:
2
.
AT AY AR
.
Do đó
.
AT AY
đạt giá trị lớn nhất khi
AR
lớn nhất, suy ra
max
AR AI A I
.
+ Ta có:
2 3
. . .
AT AY AR AT AY AR AR
Do đó
. .
AT AR AY
đạt giá trị lớn nhất khi
AR
lớn nhất, suy ra
max
AR AI A I
.
( với
I OM O
).
19) Gọi
5 6
,
RT AB A RY AC A
. Chứng minh tứ giác
5 6
AA RA
nội tiếp và
5 6
A A RA
( hoặc
5 6
/ /
A A BC
)
Chỉ ra
5
6
ARA ABT ACB
ARA ACY ABC
.
Suy ra
0
5 6 5 6 5 6 5 6 5 6
180
A AA A RA A AA A RA ARA A AA ACB ABC
.
Suy ra tứ giác
5 6
AA RA
nội tiếp.
Vì tứ giác
5 6
AA RA
nội tiếp nên
6 5 6 5 6 5 6
/ /
A A A A RA ACY CBA A A BC A A AR
.
T
Y
R
M
C
O
B
A
A
6
A
5
Y
T
R
H
M
C
O
B
A
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
20) Cho
, ,
A B Y
thẳng hàng, kéo dài
5 6 1
A A BM R
. Chứng minh
1 6
BR A R
là hình bình hành ( hoặc khai
thác các yếu tố của hình bình hành này)
Ở trên các em đã chỉ ra
5 6
/ /
A A BC
.
Mặt khác:
/ /
ABT ACB AYR RY BM
. Từ đó suy ra
1 6
BR A R
là hình bình hành.
21) Chứng minh rằng nếu
TR TB
thì
RY RC
.
Chỉ ra
AYR ART AYR ART
ACR ABT
.
0
0
90
90
TRB
TRB RYC
RYC
ART
AYR
.
Mặt khác
TB TR TRB TBR RCY RCY RYC RY RC
.
22) Chứng minh rằng tia đối của tia
AR
là phân giác của góc
TAY
.
Gọi
Ay
là tia đối tia
AR
.
Chỉ ra tứ giác
BTAR
nội tiếp nên
CBT
TAy
.
Chỉ ra tứ giác
CYAR
nội tiếp nên
BCY
YAy
. Mà
y
C T
A
B BCY
phân giác của góc
TAY
.
R
1
A
5
A
6
T
R
A
Y
H
M
C
O
B
T
Y
R
C
M
O
B
A
y
Y
T
R
H
M
C
O
B
A
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
23) Gọi
5
6
AB RT A
AC RY A
. Gọi
4
O
là đường tròn đi qua 3 điểm
5
ATA
,
5
O
là đường tròn đi qua 3 điểm
6
AYA
7
A
là giao điểm thứ hai của
4
O
5
O
,
H
là trung điểm
BC
. Chứng minh
7
, ,
A A H
thẳng hàng.
Gọi
8
A
là giao
7
A A
với
5 6
A A
H
giao
7
A A
với
BC
.
Chỉ ra
5 6 6 5 6
A A A BCA A YA A A
là tiếp tuyến của
5
O
.
Từ đó chỉ ra được
2
8 6 8 8 7
.
A A A A A A
.
Chứng minh tương tự :
8 5 5 8 5
A A A BCT A TA A A
là tiếp tuyến của
4
O
suy ra
2
8 5 8 8 7
.
A A A A A A
. Từ đó suy ra
2 2
8 6 8 5 8 5 8 6 8
A A A A A A A A A
là trung điểm
5 6
A A
.
+ Do
5 8 6 8 8
5 6
/ /
AA
A A BC H B H C H
B
A A A A
H H C AH
là trung điểm
BC H H
.
Vậy
7
, ,
A A H
thẳng hàng.
24) Cho góc
0
120
BOC
. Gọi giao
1
OA
2
OA
với
BC
3
A
4
A
. Tìm vị trí điểm
A
trên cung nhỏ
BC
để diện tích tam giác
3 4
OA A
bé nhất và tìm giá trị bé nhất đó ( hoặc tìm vị trí điểm
A
để diện
tích
1 2
OA A
bé nhất hoặc độ dài
1 2
A A
bé nhất)
Ta có:
3 4 2 1
OA A OA A
theo tỉ số
0
3
3 2
2
1
cos cos60
2
OA
K A OA
OA
.
A
8
A
7
O
4
O
5
A
5
A
6
Y
T
R
H
M
C
O
B
A
H
A
4
A
3
A
2
A
1
M
C
Y
R
T
A
4
A
3
A
2
A
1
M
C
O
O
B
A
B
A
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Suy ra
3 4
2 1
3 4
2 1
1
4 4
OA A
OA A
OA A
OA A
S
S
S
S
= =
.
Do đó
3 4
OA A
S
nhỏ nhất khi
2 1
OA A
S
nhỏ nhất.
2 1
1 2 1 2
1
. .
2 2
OA A
R
S OA A A A A
nhỏ nhất khi
1 2
A A
nhỏ nhất.
1 2
A A
nhỏ nhất khi
A OM O
. Khi đó
OAB
là tam giác đều nên
2
R
OH HA
2
OM R
.
Các em tính được
2 3
BC BH R
AM OM OA R
.
Ta có:
1 2 1 2
1 2
2 . 3
3
3
3
2
A A A AAM R R
A A
R
BC MH
R
Khi đó
2 1
2
1 2
2 . 3 3
. .
2 2 3 3
OA A
R R R R
S A A
.
Nên
2 1
3 4
2
3
4 12
OA A
OA A
S
R
S
=
25) Qua
O
kẻ đường thẳng vuông góc với
OM
cắt
,
MB MC
tại
1
O
2
O
. Tìm vị trí điểm
M
để diện
tích tam giác
1 2
MO O
nhất.
Xét
1 2
MO O
có:
OM
vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên
1 2
MO O
cân tại
M
.
Suy ra
1 2 1
1 1
1
2 2. . .
2
MO O MOO
S S OB O M R O M
.
Mặt khác
2 2
1 1 1
2 . 2 2 2
O M O B BM O B BM OB R R
.
Dấu bằng xảy ra khi
1 1
O B BM O OM
vuông cân nên
2
OM R .
Vậy
1 2
2
min 2
MO O
S R
khi điểm
M
nằm cách
O
một khoảng
2
OM R .
26) Chứng minh ba tam giác
1 1 1 2 2 2
O A O AOA O OA
1 1 2 2 2 1
. .
O A O A O O O O
.
Ta có:
0
1 2 1 2
1 1 1 1
180
2 2 2 2
AOA A OA AOA POA AOC BOC M
.
O
1
O
2
M
C
O
B
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Do
1 2
MO O
cân tại
M
( vì
OM
vừa là đường cao, vừa là phân giác) nên
0
1 2 1 2 1 2
180
2
M
O O O O A OA
.
Xét
1 1
O AO
1 2
AOA
có:
1 1 1 2
O AO OA A
( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
1 1 2
O A OA
( chứng minh trên)
Suy ra
1 1 1 2
O AO A OA g g
.
Chứng minh tương tự các em sẽ được
1 2 2 2
AOA O OA
.
Vậy
1 1 1 2 2 2
O A O AOA O OA
.
Chỉ ra
1 1 1
1 1 2 2 1 1 2 2 2 1
2 2 2
. .
O A O O
O AO O OA O A O A O O O O
O O O A
( đpcm).
27) Chứng minh
1 1 2 2 1 2
O A O A O O
.
Sử dụng BĐT Cosi:
Ta có:
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
2 . 2 .
O A O A O A O A O A O A O O O O
.
1 2
1 2
2
O O
O O O O
nên
2
1 2
1 1 2 2 1 2
2
2
O O
O A O A O O
.
28) Cho
;
O R
và điểm
M
cố định. Tìm vị trí điểm
A
để
1 1 2 2
O A O A
nhỏ nhất.
A
2
A
1
O
2
O
1
M
C
O
B
A
A
2
A
1
O
2
O
1
M
C
O
B
A
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
;
O R
và điểm
M
cố định nên
1 2
O O
không đổi.
Ta có:
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
2 . 2 .
O A O A O A O A O A O A O O O O
.
1 2
1 2
2
O O
O O O O
nên
2
1 2
1 1 2 2 1 2
2
2
O O
O A O A O O
.
Dấu bằng xảy ra khi
1 1 2 2 1 2 1 2
/ /
O A O A A A O O A I
( với
I OM O
)
29) Cho
O
M
cố định, điểm
A
di chuyển trên cung nhỏ
BC
. Chứng minh chu vi tam giác
1 2
MA A
không phụ thuộc vào vị trí điểm
A
.
Chỉ ra chu vi
1 2
MA A
là:
211 2 1 1 22
2A A A BMA A M MA A MAA CB
MB M M
CA
không đổi.
Vậy chu vi tam giác
1 2
MA A
không phụ thuộc vào vị trí điểm
A
.
30) Cho
O
M
cố định . Tìm vị trí điểm
A
trên cung nhỏ
BC
để diện tích tam giác
1 2
MA A
lớn nhất.
A
2
A
1
O
2
O
1
M
C
O
B
A
A
2
A
1
O
2
O
1
M
C
O
B
A
A
2
A
1
O
2
O
1
M
C
O
B
A
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Như trên ta đã chứng minh: Chu vi
1 2
MA A
không đổi và bằng
2
MB
.
Đặt
MB a
nửa chu vi
1 2
MA A
p a
không đổi
1 2
4
1 1 2 2
1 1 2 2
4
MA A
p p MA p A A p MA
S p p MA p A A p MA
Ta có:
3
3
1 1 2 2
1 1 2 2
3 27
p MA p A A p MA
p
p MA p A A p MA
Nên
4
1 1 2 2
27
p
p p MA p A A p MA
1 2
2
1 1 2 2
. 27
27
MA A
p
S p p MA p A A p MA
Dấu bằng xảy ra khi
1 2
MA MA A
là giao điểm của
OM
với
O
31) Kéo dài
AH
Z
O
. Chứng minh tứ giác
MAO
Z
là tứ giác nội tiếp và góc
BM
Z AMC
( hoặc
chứng minh
BMA
Z
CM
hoặc
OM
là phân giác góc
AM
Z
).
Chỉ ra
2
2
.
. .
. .
H
Z
O
Z HB HC HC
M HO HC
HM H HA H
HA H
.
Từ đó suy ra
Z c g c AZO AHO MHA OM
tứ giác
MAO
Z
là tứ giác nội tiếp.
+ Ta có:
AMO A O
Z
(góc nt chắn cung
OA
) mà
OAZ
A O
Z
(
Z
OA
cân tại O)
OA
Z OMZ
(góc nt chắn cung
OZ
) nên
AMO OMZ
BMO CMO
nên
BMA
Z
CM
suy ra
BM
Z AMC
.
32) Lấy điểm
1
T
bất kì trên
BC
, kẻ đường thẳng qua
1
T
và vuông góc
1
OT
, cắt
,
MB MC
tại
2 3
,
T T
. Chứng
minh
2 3
OT T
cân.
Z
H
M
C
O
B
A
T
3
T
2
H
M
C
O
B
T
1
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Chỉ ra tứ giác
1 2 1 3
;
OT BT OTT C
nội tiếp nên
1 2 1
3 1 1
OBT OT T
OT T OCT
1 2 2 1 3 1 2 3
OB OC OBT OCT OT T OT T OT T
 cân tại
O
.
33) Chứng minh rằng nếu
1
T
là trung điểm
HB
thì
3
T
là trung điểm
CM
, hoặc
3 2
HT BT
là hình bình hành
( hoặc cho
1
T
là trung điểm
HB
, chứng minh
3
BT
là trung tuyến
BMC
, hoặc
2
MG GH
….)
Chỉ ra
2 3
OT T
cân nên
1
T
là trung điểm
3 2
T T
, mà
1
T
là trung điểm
3 2
HB HT BT
là hình bình hành, do
đó
3 2
/ /
HT BT
. Dựa vào
MBC
3
/ /
HT BM
H
là trung điểm
BC
3
T
là trung điểm
CM
.
34) Chứng minh
2 1
. .
OH OT OB OT
Chỉ ra
2 1 1 2 1 2 1
. .
OT T OBT OT T OBH g g OH OT OB OT
35) Vẽ đường kính
CK
của đường tròn
O
. Chứng minh / /
BK OM
.
OB OC OK R CKB
vuông tại
B BK BC
/ /
OM BC BK OM
.
36) Đường thẳng vuông góc
KC
tại
O
cắt
BC
tại
E
. Chứng minh
2
. .
HE HC HO HM R
.
Chỉ ra
2
.
HOE HCO g g HE HC OH
.
2 2 2 2 2
. . .
HO HM BH HE HC HO HM OH HB OB R
.
G
T
1
T
3
T
2
H
M
C
O
B
T
3
T
2
H
M
C
O
B
T
1
K
M
C
H
O
I
B
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
37) Cho
3 , 5
R cm OM cm
. Tính độ dài các cạnh của tam giác
MBC
.
Ta có:
2 2 2
16 4
BM OM OB BM MC cm
.
. 3.4 12
. . 2 4,8
5 5
OM BM
BH OM OB BM BH cm BC BH cm
OM
.
38) Kẻ
CP BM
tại
P
,
CP OM Q
. Chứng minh
Q
là trực tâm
MBC
BQ MC
. Tính
BQ
.
Xét
MBC
,
MH CP
là đường cao nên
Q
là trực tâm
MBC
BQ MC
.
Chỉ ra
/ /
/ /
OB CQ MB
OC BQ MC OBQC
BC OQ
là hình thoi nên
BQ OB R
.
39) Giả sử
O
cố định và điểm
M
luôn chạy trên đường tròn
;3
O R
. Chứng minh khi đó
Q
chạy trên
một đường tròn cố định.
Các em tính được độ dài
2
3 3
R R
OH OQ Q
luôn chạy trên đường tròn
2
;
3
R
O
.
40) Chứng minh
BC
là phân giác của góc
KCP
.
Chỉ ra
2
BHQ CHQ cgv HBQ HCQ
Do
/ /
QB KC
( cùng vuông góc
CM
) nên
HBQ KCB
( so le trong )
Suy ra
KCB BCQ BC
phân giác của góc
KCP
.
41) Tứ giác
OBQC
là hình gì ? Vì sao?
Chỉ ra
/ / ,
/ / ,
OB CQ MB
OC BQ CM OBQC
OQ BC
là hình thoi.
42) Gọi
1
Q
là trung điểm
BK
. Chứng minh
1
OHBQ
là hình chữ nhật.
K
Q
P
M
C
H
Q
P
M
C
H
O
O
B
B
Q
1
H
M
K
C
O
B
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Chỉ ra
0
1 1 1
90
OQ B Q BH BHO OHBQ
là hình chữ nhật.
43) Từ
C
kẻ đường thẳng song song
MB
và cắt
O
tại
2
Y
. Chứng minh
2
2
. 2
KY OM R
44) Từ
C
kẻ đường thẳng song song
MB
và cắt
O
tại
2
Y
. Tia
2
MY
cắt đường tròn tại
M
, gọi
3
M
điểm đối xứng với
M
qua
OM
. Chứng minh
2 3
, ,
Y H M
thẳng hàng.
Cách 1:
Gọi
3
M
là giao
2
Y H
với
O
. Chỉ ra tứ giác
2
OHM Y
nội tiếp.
Từ đó suy ra
2 2 2 3
MHM OY M OM Y OHY M HM
.
Từ đó suy ra
3 3
M HM MHM M
M
đối xứng nhau qua
3 3
OM M M
.
Cách 2:
Do
3
M
đối xứng
M
qua
MO
nên
3 3 3 2
1
.
2
M OM M OM M OM M Y M
.
Mặt khác tứ giác
2
OHM Y
nội tiếp nên
2 2 2 2
M OM M Y H M Y H M Y M
.
Vậy
2 3
, ,
Y H M
thẳng hàng.
45) Từ
B
kẻ
2
BF KC
tại
2
F
,
2 3
BF KM F
. Chứng minh
3
F
là trung điểm
2
F B
BC
là phân giác
góc
2
MBF
.
K
Y
2
H
M
C
O
B
M
3
M'
Y
2
H
M
C
O
B
M'
3
M'
Y
2
H
M
C
O
B
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Chỉ ra
2 3
2
2 3
/ /
2
F F
CM CM
KF KC OC
F F CM
.
Chỉ ra
2 2
2
2
1
2
C
F
F B
HM
K
KB HCM sd BC F H
F
BK M
H
C g g
.
Chỉ ra
HOC HCM g g
C
HM CM
HC O
.
Từ 3 đẳng thức trên các em suy ra :
2 2 2
2
2 3 2 3
2 3 3
22 2
1 1 1
. . .
2 2 2 2
F F B F B F B
CM
OC KF K
FF F
F F F
KF KF F
trung điểm
2
F B
.
+ Chỉ ra
2
F BC CKB
( cùng phụ
2
F BK
) mà
1
2
CKB CBM sd BC
.
Suy ra
2
F BC CBM BC
phân giác góc
2
MBF
.
46) Qua
O
kẻ đường thẳng vuông góc
OB
cắt
MC
tại
1
Y
. Chứng minh
1
OY M
cân.
Chỉ ra
1 1 1 1
/ /
OY MB OB Y OM OMB slt OMY OY M
cân tại
1
Y
.
47) Gọi
3
B
là điểm chính giữa cung
1
I I
. Từ
H
kẻ
3 3 1
HH B I
tại
3
H
, kẻ
4 3
HH B I
tại
4
H
. Chứng
minh 5 điểm
4 3 3
, , , ,
O H H B H
cùng thuộc một đường tròn.
Chỉ ra 5 điểm
4 3 3
, , , ,
O H H B H
ng nằm trên đường tròn đường kính
3
HB
.
F
2
F
3
K
1
H
M
K
C
O
B
Y
1
I
1
K
1
H
M
K
C
O
I
B
H
4
H
3
H
B
3
I
1
I
M
C
O
B
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
48) Gọi
5
H
là điểm đối xứng với
qua
3 4
H H
. Chứng minh
4 5 3 3
H H B H
là hình thang cân.
Chỉ ra
4 4 5
3 3 5
H H H H
H H H H
( tính chất đối xứng trục)
nên
0
3 5 4 3 4 3 5 4 3 4 4 5 3 3
90
H H H H HH g g g H H H H HH H H B H
là tứ giác nội tiếp.
4 5 4 3 3 3 5 3 4 3 5
H H HH B H B H H H H H
( góc nt chắn hai cung bằng nhau)
Suy ra
3 5 3 4 4 5 3 3
/ /
B H H H H H B H
là hình thang.
Vì hình thang
4 5 3 3
H H B H
là tứ giác nội tiếp nên
4 5 3 3
H H B H
là hình thang cân.
49) Chứng minh rằng
5
H O
.
Chỉ ra
0
5 3 3 3
0
3
45
45
OH H OB H
OB I
, mà
4 5 3 3
H H B H
là tứ giác nội tiếp và
4 5 3 3
H H B H
nên góc
4 3 5 3 5 3 3 5 5 3 5 3
H B H B H H OB H OH B OH B
cân tại
5 3 5
O OH OB R H O
.
50) Tiếp tuyến tại
5
H
cắt
OM
tại
6
H
. Chứng minh
3 4 6
, ,
H H H
thẳng hàng.
H
5
H
4
H
3
H
B
3
I
1
I
M
C
O
B
H
5
H
4
H
3
H
B
3
I
1
I
M
C
O
B
H
6
H
5
H
4
H
3
H
B
3
I
1
I
M
C
O
B
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Tứ giác
4 3
OHH H
nội tiếp nên
0
4 3 4 3
0 0
5 4 3 4 4 4 5 6
0
5 6
45
45 45
90
IHH OH H OB I
OH H OB H H HI H H H
OH H
4 5 4 5 5 6 5 6 6 5 6 6
H H H H HH HH H H HH H H H H H
nằm trên trung trực
5
HH
3 4
H H
là trung trực
5
HH
nên
3 4 6
, ,
H H H
thẳng hàng.
51) Giả sử
B
cố định
M
thay đổi sao cho
MB
là tiếp tuyến của
O
. Tìm quỹ tích điểm
Q
khi
M
thay đổi.
Do
OBQC
là hình thoi nên
BQ OB R
B
cố định nên
;
Q B R
.
52) Gọi
1
C
là trung điểm
CM
,
1
1
1 1 2
MK O K
MK BC B
C K BC B
. Chứng minh
1
. .
MK MK MH MO
.
Chỉ ra
CKM
vuông tại
C
và có
1
CK
là đường cao nên
2
1
.
MK MK CM
.
Chỉ ra
OCM
vuông tại
C
CH
là đường cao nên
2
.
MH MO CH
.
Từ đó suy ra
1
. .
MK MK MH MO
53) Chứng minh
1
MK H MOK
và góc
1
1
MHK MKO
MK O MOK
. Từ đó suy ra
1
OKK H
nội tiếp.
H
B
1
B
2
K
1
C
1
M
K
C
H
B
1
B
2
K
1
C
1
M
K
C
O
O
B
B
H
B
1
B
2
K
1
C
1
M
K
C
H
B
1
B
2
K
1
C
1
M
K
C
O
O
B
B
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Xét
1
MK H
MOK
có: góc
KMO
chung và
1
MK
MH
MO MK
Từ đó suy ra
1
MK H MOK
.
1
MK H MOK
nên
1
1
MHK MKO
MK O MOK
.
Xét tứ giác
1
OKK H
0
1 1 1 1
180
OKK OHK K HM OHK
, mà đây là hai góc đối nhau nên tứ giác
1
OKK H
là tứ giác nội tiếp.
54) Chứng minh
1 1
C K
là tiếp tuyến của
O
.
Chỉ ra
1
CMK
vuông tại
1 1 1 1 1 1 1
K K C C C C M C K C
n tại
1
C
.
Chỉ ra
0
1 1 1 1 1 1
90
OC K OC C c c c OK C OCC
.
Từ đó suy ra
1 1
C K
là tiếp tuyến của
O
.
55) Gọi
2
K
là trung điểm
1
KK
. Chứng minh
2
B K
là tiếp tuyến của
O
.
2
K
là trung điểm
2 1
1
2 1 2
OK KK
KK
KOK K OK
.
giả sử
2
OK BC B
. Ta sẽ chứng minh
2
'
B B
, tức là chứng minh
1
'
B K
là tiếp tuyến
O
.
H
B
1
B
2
K
1
C
1
M
K
C
O
B
K
2
K
2
H
B
1
B
2
K
1
C
1
M
K
C
H
B
1
B'
K
1
C
1
M
K
C
O
O
B
B
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Ta có:
2 2 2
2 2 1
. .
OK M OHB g g OK OB OH OM OB R OK
2 0
2 1 2 1 1 1 2 1 1
. 90
OK OB OK OK K OK B c g c OK B OK K B K
là tiếp tuyến của
O
, suy ra
2
B B
.
Từ
0
2 1 2 2 1 2
90
OKB OK B c g c OKB OK B
nên
2
B K
là tiếp tuyến của
O
.
56) Chứng minh
1 2
MHB B HO
. Từ đó suy ra
2
2 1
. .
HO HM HB HB BH
.
Các em chỉ ra
1 2
HMB HB O
( cùng phụ
2
HPB
).
Từ đó suy ra
1 2 2 1
. .
MHB B HO g g HO HM HB HB
2
.
HO HM BH
.
57) Chứng minh
2
1 2
4 .
BC HB HB
.
Chỉ ra
2
2 1
. .
BH HO HM HB HB
2
2
2 1 1 2
. 4 .
2 2
BC BC
BH HB HB BC HB HB
.
58) Chứng minh
2 2
2 2
. .
OH OM OK OB R OB
( hoặc chứng minh
2 2
.
OK OB
không đổi)
Chỉ ra
2 2
K MO HB O
( cùng phụ
2
HOB
) .
Từ đó suy ra
2 2 2 2
. .
K MO HB O g g OH OM OK OB
.
2 2
.
OH OM OB R
nên
2 2
2 2
. .
OH OM OK OB R OB
K
2
K
2
H
B
1
B
2
K
1
C
1
M
K
C
H
B
1
B'
K
1
C
1
M
K
C
O
O
B
B
K
2
H
B
1
B
2
K
1
C
1
M
K
C
O
B
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
59) Chứng minh
1 2
OB B M
Chỉ ra
1
B
là trực tâm
2 1 2
OMB OB MB
.
60) Chứng minh tứ giác
2 2
MHK B
nội tiếp từ đó suy ra
2 2
.
OK OB
không đổi.
Xét tứ giác
2 2
MHK B
có:
0
2 2 2
90
MHB MK B
, mà đây là hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh
2
MB
, suy ra tứ giác
2 2
MHK B
là tứ giác nội tiếp.
Chỉ ra
2 2
2 2
. .
OK OB OH OM OB R
không đổi.
61) Gọi
1 1
BC O J
. Chứng minh
1 1 1
C J C C CB
,
1 1 1
C MJ C BM
;
1 1
CH J C
là tứ giác nội tiếp.
(hoặc bài có thể khai thác từ các yếu tố trên như chứng minh các góc, tỉ số đoạn thẳng…)
Chỉ ra
1 1
C H C C
( trung tuyến tam giác vuông) nên
1 1
C CH C HC
.
Mặt khác
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2
C CJ C BC sd CJ C J C C CB g g C J C C CB C HC
.
K
2
H
B
1
B
2
K
1
C
1
M
K
C
O
B
K
2
H
B
1
B
2
K
1
C
1
M
K
C
O
B
J
1
H
K
1
C
1
M
K
C
O
B
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Từ đó suy ra
1 1
CH J C
là tứ giác nội tiếp.
+ Chỉ ra
2
1 1 1 1 1 1 1
.
C J C C CB CC C J C B
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
.
C C C M C M C J C B C MJ C BM c g c
62) Kéo dài
1
MJ
cắt
O
tại
2
J
. Chứng minh
1
J C
là phân giác góc
1 1 2
C J J
Do
1 1 1 1 1 1 2 2
/ /
C MJ C BM C MJ C BM MJ B J B CM
2 1 1
2 1 1 1
2 2 1
J BC BCM CJ C
J J C CJ C
J BC J J C
1
J C
là phân giác góc
1 1 2
C J J
.
63) Kéo dài
1 3
BK OM K
. Chứng minh
2
3 3 1 3
2
3 3 1 3
.
.
K M K K K B
K H K K K B
từ đó suy ra
3
K
là trung điểm
HM
1 1
HK BK
.
Chỉ ra
3
K MK MKB
( sole trong) mà
3
MKB K BM
( tính chất góc nt và góc tạo bởi tt và dây cung)
Nên
3 3
K MK K BM
. Từ đó suy ra
2
3 1 3 3 3 1 3
.
K MK K BM g g K M K K K B
.
+ Do
1
MK H MOK
nên
1
MHK MKO
3
MKO HBK
( góc nt chắn cung
1
CK
)
Từ đó suy ra
2
3 1 3 3 3 1 3
.
K HK K BH g g K H K K K B

.
2
3 3 1 3
3 3 3
2
3 3 1 3
.
.
K M K K K B
K M K H K
K H K K K B
là trung điểm
MH
.
J
2
J
1
H
K
1
C
1
M
K
C
O
B
K
3
B
2
K
1
H
M
K
C
O
B
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
+ Ta có:
0
1 1 31 1 3
90
K HBK K KBH K HK HB HB . Từ đó suy ra
1 1
HK BK
.
64) Chứng minh
2
1
2
1 1
1
KK
HC
HK MK
.
Chỉ ra
2
1 3
2
1 3
2
1 1 1 3
2
1 1 1 3
.
.
.
.
BH BK BK
CH BK BK
HK BK K K
HK BK K K
BH CH
. Suy ra
2
3 1 1 3
2
1 1 3 1 1 33
1
1
BK BK K K
H
H
BK
K
C
K K K K K K
.
+ Ta có:
1 1
1 1 3
/ /
KK BK
M
BK OM
K K K
suy ra
1
1 1
1 3 1
2
1
2
1
1 1
BKKKHC
HK
KK
K K MK KM
.
65) Từ
1
K
kẻ đường thẳng song song
KB
cắt
,
BC BM
tại
5 6
,
K K
. Chứng minh
1
K
là trung điểm
5 6
K K
.
1 5 1 6
1
5 6
5 6
33 3
/ /
/ /
/ /
K
M
B OM
K K K K
BK
K K H
K
HK K
M
K KB
BK
1 63 5 13
H KK K KM K K
1
K
là trung
điểm
5 6
K K
.
K
3
B
2
K
1
H
M
K
C
O
B
K
3
B
2
K
1
H
M
K
C
O
B
K
3
K
6
K
5
K
1
H
M
K
C
O
B
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Cách khác: Các em có thể thấy,
1
HB
là phân giác trong
1
KHK
HM HB HM
là phân giác ngoài
góc
1
KHK
1 1 1
1
K B MK
B K MK
( tính chất phân giác) . Mà
1 5
1 5 1 6
1
1 1
1
6
1
KB
KB
K
K K
K
B
B K
MK
MK
K K K
K K
.
66) Chứng minh
HB
là phân giác góc
1
KHK
.
Chỉ ra tứ giác
1
OKK H
là tứ giác nội tiếp nên
1
1
1
K
O
O
K
K
H
K
M
OH
K
K
1 1
OKK OK K
( do
1
OKK
cân)
Nên
1
K HM OHK
1
1
0
0
1
90
90
BHK
BHK BHK HB
K
OHK
K HMBH
là phân giác góc
1
KHK
.
67) Chứng minh
2
1
.
OK OH OM
từ đó chứng minh
1
OK
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
1
HMK
K
6
K
5
H
B
1
K
1
M
K
C
O
B
B
2
K
1
H
M
K
C
O
B
K
1
K
H
M
C
O
B
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Chỉ ra
2
2
1
1
.
.
OB OH OM
OK OH OM
OB OK
.
+ Chỉ ra
2
1
1 1 1
1
.
OK
OM
OK OH OM OHK OK M c g c
OH OK
.
Từ đó suy ra góc
1 1 1
OK H OMK OK
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
1
HMK
.
68) Từ
B
kẻ đường thẳng song song
MC
cắt
O
tại
4
B
, nối
4 5
MB O B
. Chứng minh góc
5 5
BB C MB C
Vì tứ giác
4 5
BB CB
nội tiếp nên
0
4 5
180
BB C BB C
.
Chỉ ra
4 5 4
4
4 5 4
4 5
0
0
5
5 5
5
5
180
180
BB C CB M
BB B B MC slt
MB C
BB B M
M
B C
B M
B
C B CM
B C
CB M
B C
.
69) Từ
3
K
kẻ tiếp tuyến
3 4
K K
với
O
,
4
K
là tiếp điểm . Chứng minh
4
HK M
vuông.
Ta có:
4 3
OK K
vuông tại
4
2
4
2
2 2
4 3 3 3
K K
O K K OK OH HK
3
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3
2. . .OH HK OH HK HOH HK
B
OH HM HK HK
OH B O
3 4 3 3 4 3 34 4
K K HK K K HK K M HK M
OK OB R
vuông tại
4
K
( tính chất trung
tuyến của tam giác vuông).
B
5
B
4
M
C
O
B
K
4
K
3
B
2
K
1
H
M
K
O
B
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
70) Giả sử
1 1
3
KK K M
1
P
là trung điểm
KM
. Chứng minh
KM
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại
tiếp
1
OHP
.
Ta có:
2 2
1 1 1 1 1
. .4 4 2
BM MK MK MK MK MK BM MK
1 1 1
2
MP MK PM MP
.
Mặt khác:
2 2
1
. .
BM MH MO MP MH MO
.
Từ đó các em chứng minh
1 1 1 1
MHP MPO c g c MP H MOP
.
Suy ra
MK
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
1
OHP
.
71) Gọi trung điểm
BK
1
Q
,
2 1 2
2 3
B Q KO Q
B O KB Q
. Chứng minh
2 2
1
CB KB
OC KQ
2 3 2
/ /
Q Q KB
.
Chỉ ra
2 2
2 2 2 2 2 1 2
1
1
. . . . . .22
CB KB
K CKC O QB B KB CB BKB KB OC KQ C
O K
C
Q
K
C
.
+ Từ
2 2
2 1 2 2 1 2 2 1 2
1
CB KB
B Q K B OC c g c B Q K B OC Q Q K KOB
OC KQ
.
Nên
1 2
2 1 3
3
Q K Q K
Q Q K Q OK g g
OK Q K
.
P
1
K
4
K
3
K
1
H
M
K
O
B
Q
3
B
1
Q
2
Q
1
B
2
H
M
K
C
O
B
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Xét
1
OQ K
3 2
Q Q K
OKB
chung và
1 2
3
Q K Q K
OK Q K
nên
0
1 3 2 3 2 1
90
OQ K Q Q K c g c Q Q K OQ K
2 2 3 2
/ /
B K KC Q Q B K
.
72) Cho
BM KC S
CM KB J
. Chứng minh
M
là trung điểm
JC
.
MB MC gt MBC MCB
0
0
90
90
MCB MJB
MJB MBJ MBJ
MBC MBJ
cân tại
M
MB MJ
. Vì
MB MC MJ M
là trung điểm
CJ
.
73)
OB CM X
. Chứng minh
/ /
SX BC
.
Xét
MSX
có hai đường cao
SC
XP
nên
O
là trực tâm
MSX MO SX
.
/ /
MO BC SX BC
.
74) Chứng minh
XK SJ
.
Do / /
BK MO BK SX
.
Xét
SJX
SC
KJ
là đường cao nên
K
là trực tâm
SJX XK SJ
.
X
J
S
K
M
C
H
O
B
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
75) T
M
kẻ cát tuyến
MDD
( tia
MD
nằm giữa tia
MB
MO
), gọi
1
D
là trung điểm
DD
,
1 2
OD BC D
. Chứng minh các điểm
1
, , , ,
O C M B D
cùng nằm trên một đường tròn, các điểm
1 2
, , ,
M H D D
cùng nằm trên một đường tròn.
Chỉ ra các điểm
1
, , , ,
O C M B D
đều cách đều trung điểm của
OM
( dựa vào tính chất trung tuyến tam giác
vuông) hoặc các đỉnh
1
, ,
C B D
đều nhìn
MO
dưới một góc vuông.
Chỉ ra các điểm
1 2
, , ,
M H D D
đều cách đều trung điểm của
2
D M
( dựa vào tính chất trung tuyến tam giác
vuông) hoặc
0
2 1 2
90
MHD MD D .
76) Cho
O
và điểm
M
cố định. Khi cát tuyến
MDD
thay đổi, tìm quỹ tích điểm
1
D
.
0
1
90
OD M
nên điểm
1
D
nằm trên đường tròn đường kính
OM
. Do đó khi cát tuyến
MDD
thay
đổi, thì quỹ tích điểm
1
D
chạy trên đường tròn đường kính
OM
.
77) Chứng minh
2 2 2
1 2
. .
OH OM OD OD OB R OD
.
Chỉ ra
2 1 1 2
. .
OHD OD M g g OH OM OD OD
.
Chỉ ra
2 2
.
OH OM OB R
( hệ thức lượng)
Suy ra
2 2 2
1 2
. .
OH OM OD OD OB OD R
.
D
2
D
1
D
M
C
H
O
B
D'
D
2
D
1
D
M
C
H
O
B
D'
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
78) Chứng minh
2
. .
CM MD MD MH MO
.
Cách 1: Ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1
.
MD MD MD D D MD D D MD D D MD D D
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
D M D D OM D O OD D O OM OD OM OC CM
( đpcm)
+ Trong tam giác vuông
OCM
, đường cao
2
.
CH CM MH MO
.
Cách 2:
Chỉ ra
2 2
1
. .
2
MBD MD B sd BD MBD MD B g g BM MD MD CM MD MD
79) Chứng minh
2
. .
OH OM MD MD MO
.
2
2 2 2
2
.
. .
.
OH OM OB
OH OM MD MD OB BM MO
MD MD MB
.
80) Chứng minh
MBD MD B
và góc
MBD MD B
.
Cách 1: Ta có:
2 2
. .
CM MD MD BM MD MD
.
Từ đó suy ra
B
c g
MBD MD B MBD MD
c
( hai góc tương ứng) .
Cách 2:
1
2
MBD MD B sd BD MBD MD B g g
.
81) Chứng minh
MDH MOD
và góc
MHD MD O
.
Do
2
2
.
. .
.
MB MD MD
MD MD MH MO
MB MH MO
.
Từ đó suy ra
O
c g
MDH MOD MHD MD
c
( hai góc tương ứng) .
82) Giả sử độ dài dây cung
DD
không đổi. Chứng minh
BC
luôn đi qua điểm cố định khi
M
thay
đổi.
Do
DD
nên khoảng cách từ
O
đến
DD
1
OD
không đổi.
D
2
D
1
D
M
C
H
O
B
D'
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Mặt khác
2
2
1 2 2
1
.
R
OD OD R OD
OD
không đổi nên
2
D
cố định.
Suy ra
BC
luôn đi qua điểm cố định là
2
D
.
83) Chứng minh
2
D D
là tiếp tuyến của
O
( hoặc chứng minh
2
OD D D
)
Ta có:
2 2
1
1 2
2
.
OD
OD
OD OD R OD
OD OD
.
Xét
1
OD D
2
OD D
1
D OD
chung
1
2
OD
OD
OD OD
nên
1 2
OD D OD D c g c
Suy ra
0
2 1 2
90
OD D OD D D D
là tiếp tuyến của
O
.
84) Nếu đề bài đổi thành tiếp tuyến tại
D
D
cắt nhau tại
2
D
, chứng minh
2
, ,
B C D
thẳng hàng.
Chỉ ra
2 2
1 2 2 1
2 2
1 2
.
. .
.
OH OM OB R
OH OM OD OD OHD OD M c g c
OD OD D O R
0
2 1 2
90
OHD OD M HD OM
BC OM
2
, ,
B C D
thẳng hàng.
Cách khác: Các em có thể chỉ ra hai tứ giác
2
OD D D
OD DH
nội tiếp nên 5 điểm
2
, , , ,
O D D H D
cùng thuộc một đường tròn, suy ra
0
2 2 2
90
OHD ODD HD OH
BC OH
2
, ,
B C D
thẳng
hàng.
85) T
D
kẻ đường thẳng song song
BC
cắt
O
tại
5
D
. Chứng minh
5
, ,
D H D
thẳng hàng.
BH
là phân giác góc
D HD
( đã chứng minh ở các câu khác)
0
90
OHB MHB OHD DHM
.
D
2
D
1
D
M
C
H
O
B
D'
D
5
D
3
D
H
M
C
O
B
D'
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
5
/ /
D D BC OH
là trung trực
5 5 5
D D OHD OHD OHD DHM
.
Ta có:
0
5 5
180 , ,
OHD OHD DHM OHD D H D
thẳng hàng.
86) Gọi
1 1 2 2 3 2 4
, , ,
MO KD G CG O G D G DK G G K D D G
. Chứng minh
1 1
CD D KOG
từ đó cứng minh
1 1
OKG D DC
( hoặc các tỉ số từ tam giác đồng dạng)
Chỉ ra
1 1
CD D MOC KOG
1 1
G KO D DC
( góc nt chắn cung
D C
).
87) Chứng minh
2
, ,
G O D
thẳng hàng và
3 4 2
G G G D
.
1 1
1 1 1
1 1 1
2
2
DD DD
OK OK KC DD
OKG D DC DCD KG C c g c
KG DC KG DC KG DC
Suy ra
0
1 2 1 2
90
KCG DD C DCM G CD G CO COD DCM COD G D
là đường kính của
đường tròn
2
, ,
O G D O
thẳng hàng và
0
2 2 4
90
G D D G KD G
là trực tâm
2 3 3 4 2
G DG G G G D
88) T
D
kẻ đường thẳng song song
BM
cắt
,
BC BD
tại
4 5
,
C C
. Chứng minh tứ giác
4 1
CDC D
nội
tiếp và
4
C
là trung điểm
5
DC
.
G
3
G
4
G
2
G
1
K
D
1
D
M
C
O
B
D'
G
3
G
4
G
2
G
1
K
D
1
D
M
C
O
B
D'
C
4
D
1
C
5
D
M
C
O
B
D'
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
1
CD BM
nội tiếp nên
1 1 1 4 4 1
D CB D MB D DC slt CDC D
là tứ giác nội tiếp.
4 1
CDC D
nội tiếp nên
1 4 4
DD C DCC
4 1 4 1 4
/ /
DCC DD B DD B DD C D B D C
.
1
D
là trung điểm
4
D D C
là trung điểm
5
DC
.
89) Gọi
3
MD BC D
. Chứng minh
1
MD
1 2
D D
là phân giác trong và ngoài của góc
1
CD B
2 3 3 2
. .
BD CD BD CD
.
+ Chỉ ra tứ giác
1
OD BM
là tứ giác nội tiếp nên
1
MD B MOB
( góc nt cùng chắn cung
BM
)
+ Chỉ ra tứ giác
1
OD MC
nội tiếp nên
1
MD C MOC
( góc nt cùng chắn cung
MC
).
1 1 1
MOC MOB MD B MD C MD
là phân giác góc
1
CD B
.
Hoặc các em chỉ ra : 5 điểm
1
, , , ,
M C O D B
cùng thuộc một đường tròn,
1 1
MB MC MD B MD C
( góc nt chắn hai cung bằng nhau)
1
MD
là phân giác góc
1
CD B
.
+ Vì
1 2 1 1 2
D D D M D D
phân giác ngoài của góc
1
CD B
.
Áp dụng tính chất phân giác ta có:
3
2
2 3 3 2
3 2
. .
BD B
D
BD CD BD CD
CD CD
90) Chứng minh
3 3 3 3
. .
D D D D D B D C
Chỉ ra
3 3 3 3 3 3
. .
D BD D DC g g D D D D D B D C
.
D
3
D
2
D
1
D
H
M
C
O
B
D'
D
3
D
H
M
C
O
B
D'
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
91)
1 2
D C O C
. Chứng minh
2
/ /
C B D D
.
Chỉ ra tứ giác
1
BMCD
nội tiếp, suy ra
1
CD M CBM
( góc nt cùng chắn cung
CM
)
2
CC B CBM
( góc nt cùng chắn cung
BC
)
Suy ra
1 2
CD M CC B
, mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên
2
/ /
C B D D
.
92) Kéo dài
1 3
BD O C
. Chứng minh
3
/ /
CC D D
.
Chỉ ra tứ giác
1
OD BM
là tứ giác nội tiếp, suy ra
1
MD B MOB
( góc nt cùng chắn cung
BM
)
Mặt khác
2
1
.
2
CC B COB MOB
( tính chất góc nội tiếp và góc ở tâm)
Suy ra
2 1
CC B MD B
, mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên
2
/ /
CC D D
.
Các em cũng có thể chỉ ra
2 1
1
2
CC B MCB sd BC MD B
( góc nt chắn cung
BM
)
93) Đề bài có thể thay đổi, kẻ dây
3
/ /
CC D D
. Chứng minh góc
3
C BO D MO
hoặc chứng minh
3 1
, ,
C D B
thẳng hàng, hoặc
3 1
C B D D D
chứng minh
1
D
là trung điểm
D D
.
Gọi
4 4
BC MD D
. Vì
3 3 4 3
1
/ /
2
CC D D C D D BC C sd BC
C
2
D
1
D
M
C
O
B
D'
D
1
C
3
D
M
C
O
B
D'
D
1
C
3
D
M
C
O
B
D'
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
0 0
4 3 4
90 90
CD O C D D sd BC
0 0
4 4
1 1
180 90
2 2
BMO BMC BOC sd BC BMO CD O OMBD
nội tiếp
nên
0
4 4
90OD M OBM OD D D
4 1
D D
.
1
OMBD
là tứ giác nội tiếp nên
3
C BO D MO
.
94) Gọi
3
MD BC D
. Chứng minh
3 1
. .
MD MD MD MD
3
2 1 1
MD MD MD
Chỉ ra
2
3 1
2
3 1
.
. .
. .
MD MD BM
MD MD MD MD
MD MD MH MO MB
.
+ Ta có:
3 1 3 1 3 1
. . . . 2 .
MD MD MD MD MD MD MD MD MD MD
3 1 3 1
. . 2 .
MD MD DD MD MD DD MD MD
33 13 3 1
. . .. 2.
MD MD MD MD MD MD
MD DD MD DD
3 3
. . 2 .
MD MD MD MD MD MD
3
3 3
2 2 1 1
2 .
.
MD MD
MD MD MD MD MD
MD MD MD MD MD MD
95) Kéo dài
BD
BD
cắt
3
C C
tại
6 7
,
C C
. Chứng minh rằng
3
C
là trung điểm
6 7
C C
.
Chỉ ra
6 7
/ /
D D C C
( đã chứng minh trên)
D
D
3
D
1
C
3
H
M
C
O
B
D'
C
7
C
6
D
D
1
C
3
H
M
C
O
B
D'
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Áp dụng định lí Talet:
1
3 6 3 3 7
1 1
D BD
C C BC C
D DD
C
, mà
1 1
DD D D
nên
3 6 3 7
C C C C
.
96) Cho
O
,
M
B
cố định. Chứng minh trọng tâm
BD D
CD D
luôn chạy trên một
đường tròn cố định ( hoặc chứng minh đường tròn ngoại tiếp
BD D
CD D
có cùng bán kính).
Gọi
1
O
là trung điểm
1
OM O
cố định và
1 1
1
2
O D OM
không đổi.
+ Trên
1
BO
lấy điểm
2
O
sao cho
2 1 2 2
2
BO O O O
cố định ( do
1
,
B O
cố định)
Gọi
G
là trọng tâm
BD D
. Ta có:
2
2 1 1
1 1 2
2 / /
BO
BG
GO D O
GD O O
2 1 1
2 2 1
.
3 3 2 3
OM
GO D O OM
không đổi.
2
O
cố định và
2
3
OM
GO không đổi nên
2
;
3
OM
G O
.
Vậy trọng tâm
BD D
luôn chạy trên một đường tròn
2
;
3
OM
O
cố định.
+ Trên
1
CO
lấy điểm
3
O
sao cho
3 1 3 3
2
CO O O O
cố định ( do
1
,
C O
cố định)
Gọi
'
G
là trọng tâm
3
3 1 1
1 1
2
/ /
3
CO
CG
CD D G O D O
CD CO
3 1 1
2 2 1 1
.
3 3 2 3
G O D O OM OM
.
Do đó
3
;
3
OM
G O
cố định.
97) T
D
kẻ đường thẳng song song
CM
cắt
,
BC CD
tại
,
E F
. Chứng minh
1
BDED
là tứ giác nội
tiếp và
E
là trung điểm
FD
.
(Bài có thể thay đổi qua
1
D
kẻ đường thẳng song song
CD
cắt
BC
tại
E
)
O
3
G'
O
1
D
1
D
H
M
C
O
2
G
O
1
D
1
D
H
M
C
O
O
B
D'
B
D'
E
F
D
1
D
M
C
O
B
D'
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Chỉ ra tứ giác
1
D BMC
nội tiếp nên góc
1 1
D BC D MC
( góc nt chắn cung
1
D C
)
1 1
D MC D DE
( đồng vị) nên
1 1 1 1
D BC D DE D BE D DE
. Từ đó suy ra
1
BDED
là tứ giác nội
tiếp.
+ Vì
1
BDED
là tứ giác nội tiếp nên
1
ED D EBD
( góc nt chắn cung
ED
)
EBD CD D
( góc nt chắn cung
DC
).
Suy ra
1
ED D CD D
, suy ra
1
/ /
ED CD
1
D
là trung điểm
D D E
là trung điểm
DF
( tính chất
đường trung bình) .
98)
ED
cắt
OM
tại
1
F
. Chứng minh
1
ED BD
1
OEF B
là tứ giác nội tiếp.
+ Chỉ ra
1 1
1
2
ED D CD D slt CBD sd CD ED D EBD
.
Từ đó suy ra
1
ED BD
là tứ giác nội tiếp.
+ Vì
1
ED BD
là tứ giác nội tiếp nên
1
EDB DD B
(góc nt chắn cung
BD
)
Mà tứ giác
1
OMBD
là tứ giác nội tiếp nên
1
DD B BOM
( góc nt chắn cung
BM
)
Suy ra
1 1
F EB F OB
1
OEF B
là tứ giác nội tiếp.
99) Phân giác góc
DBD
cắt
MD
tại
1
H
. Chứng minh rằng :
1
BD CD
D B D C
BM MH CM
1
CH
là phân
giác góc
D CD
.
F
1
E
F
D
1
D
M
C
F
1
E
F
D
1
D
M
C
O
O
B
D'
B
D'
H
2
H
1
D
M
C
O
B
D'
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
+ Vì
D
BD
MD
MB
B MB
M
D
D B
.
+ Tương tự:
D
DC
MD
MC
C MC
M
D
D C
C
M
D
C
D
MB
BD CD
B
.
+ Ta có:
1
1
H D
BD
D B H D
( tính chất phân giác) mà
BD CD
D B D C
nên
1
1
H D
CD
D C H D
Suy ra
1
CH
phân giác góc
D CD
.
+ Gọi
1 2
BH O H
.
2 2 2 2
H BD H BD D H DH
.
1 2 2 2 1
1 1 1
2 2 2
H BM sd BH sd BD sd DH sd BD sd D H BH M
.
Do đó
1
BH M
cân tại
1
M MB MH
MB MC
nên
1
BM MH CM
100) Chứng minh tứ giác
D OHD
nội tiếp.
0
180
MD O MHD MD O MHD OD D OHD DHM OHD
.
Xét tứ giác
D OHD
0
180
DHM OHD
mà đây là hai góc đối nhau nên
D OHD
là tứ giác nội tiếp.
101) Đề bài có thể thay đổi thành: Chứng minh đường tròn ngoại tiếp
HD D
hoặc
D OD
luôn đi
qua một điểm cố định, hoặc tâm đường tròn ngoại tiếp
HD D
luôn chạy trên một đường thẳng cố
định….
+ Các em sẽ thấy, tứ giác
OHDD
là tứ giác nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác
HD D
luôn đi
qua điểm cố định
O
và đường tròn ngoại tiếp tam giác
OD D
luôn đi qua điểm cố định
H
.
D
H
M
C
O
B
D'
D
H
M
C
O
I
B
D'
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
+ Vì
OHDD
là tứ giác nội tiếp nên tâm đường tròn ngoại tiếp
HD D
luôn nằm trên đường trung trực
đoạn
OH
.
102) Chứng minh
DI
là phân giác góc
HDM
( với
I MO O
)
1
MD MO MO
MD O MHD
HD OD OB
.
BI
là phân giác góc
2
MI MB
HBM
IH BH
Chỉ ra
3
MO MB MI
MHB MBO g g
BO HB HI
.
Từ
1 2 3
MD MI
DI
HD HI
là phân giác góc
HDM
.
103) Chứng minh
2
MOD MDI
Vì tứ giác
HODD
là tứ giác nội tiếp nên
HOD HDM
.
DI
là phân giác góc
2.
HDM HOD MDI
.
104) Kéo dài
OM
cắt
O
tại điểm thứ hai là
1
I
. Chứng minh
1
. .
MD MD MI MI
1
IDD I
là tứ giác nội tiếp nên
1
D I I IDM
.
Từ đó suy ra
1 1
. .
MID MD I g g MD MD MI MI
.
I
D
H
M
C
O
B
D'
I
D
H
M
C
O
B
D'
I
1
I
D
M
C
O
B
D'
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
105) Tiếp tuyến tại
I
cắt nửa đường tròn đường kính
1
MI
tại
1 1 1 2
,
X CO X I X
. Chứng minh
2 1
MX CX
Chỉ ra
2
1 1
.
MBI MI B g g BM MI MI
.
2
1 1
.
MX MI MI
( hệ thức lượng) suy ra
1 1
MX BM MC MX C
cân.
Do đó
M
nằm trên đường trung trực
1
CX
.
1
MX C
cân
1 1
MX C MCX
0
1 1 2
1 2 1 2 2 1
0
1 1 2
90
90
MX C CX X
CX X X CX X X C
MCX X CX
cân nên
2
X
nằm trên đường trung trực
1
CX
.
Vậy
2
MX
là trung trực
1
CX
nên
2 1
MX CX
.
106) Từ
M
kẻ cát tuyến
1 4
MPP
song song
BD
, cát tuyến này cắt
,
CB CD
tại
2 3
,
P P
. Chứng minh tứ
giác
3
MCP B
là tứ giác nội tiếp và
3
P
là trung điểm
4 1
P P
( hoặc
3 1 4
OP P P
)
Chỉ ra
3
1
2
MBC MD C sd BC MPC
( đồng vị) nên
3
MBC MP C
.
Từ đó suy ra
3
MCP B
là tứ giác nội tiếp.
+ Do
, , ,
M C O B
cùng thuộc đường tròn đường kính OM
5 điểm
3
, , , ,
M C O B P
cùng thuộc đường
tròn đường kính
0
3 3 1 4
90OM OP M OP PP
3
P
là trung điểm
4 1
P P
.
107) Chứng minh
2 3 2 2 1 2 4
. .
P P P M P P P P
X
2
X
1
I
1
H
M
C
O
I
B
P
1
P
2
P
3
P
4
D
M
C
O
B
D'
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Chỉ ra
2 3 2 2 1 2
2 3 2 2 1 2 4
2 1 2 4 2 1 2
. .
. .
. .
P P P M P C P B
P P P M P P P P
P P P P P C P B
108) Đường thẳng
3
OP
cắt
O
tại
2 3
,
Y Y
(
3
Y
nằm trên cung nhỏ
D B
).
2 2 4
Y P O Y
. Chứng minh
3 4
, ,
Y Y M
thẳng hàng hoặc chứng minh tứ giác
2 3 4
Y PY M
nội tiếp.
Chỉ ra
2 1 2 4 2 4 2 2
. .
P P P P PY PY
2 3 2 2 1 2 4
. .
P P P M P P P P
nên
2 3 2 2 4 2 2
. .
P P P M P Y PY
Từ đó chứng minh
0
2 3 2 2 4 2 4 2 3 2 4 4
90
P PY P Y M c g c Y Y M Y P M Y Y Y M
.
2 3
Y Y
là đường kính
2 4 3 4
O Y Y Y Y
.
Từ đó suy ra
3 4
, ,
Y Y M
thẳng hàng.
109) Chứng minh
3 2 2 1 2 2 4
. .
P P P M PP P P
Chỉ ra
2 4 2
2 4 2 1 2 4 2 1 2 2
2 2 1
. .
P P P C
P P C P BP g g P P P P P C P B
P B P P
.
P
1
P
2
P
3
P
4
H
M
C
O
B
D'
Y
4
Y
3
Y
2
P
1
P
2
P
3
P
4
H
M
C
Y
4
Y
3
Y
2
P
1
P
2
P
3
P
4
H
M
C
O
O
B
D'
B
D'
P
1
P
2
P
3
P
4
D
M
C
P
1
P
2
P
3
P
4
D
M
C
O
O
B
D'
B
D'
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Chỉ ra
2 32
2 3 2 2 2 2 3 2
2 2
. .
P PP C
P CP P MB g g P C P B P P P M
P M P B
.
Từ đó suy ra
3 2 2 1 2 2 4
. .
P P P M PP P P
.
110) Kéo dài
3
OP
cắt đường tròn
O
tại
5 6
,
P P
(
5
P
thuộc cung nhỏ
BD
). Nối
6 2
P P
cắt đường tròn
O
tại
7
P
. Chứng minh
5 7
, ,
M P P
thẳng hàng.
5 6
P P
là đường kính
6 7 5 7
1
O P P P P .
Ta có:
3 2 2 7
3 2 2 1 2 2 4 2 7 2 6 3 2 2 2 7 2 6
2 6 2
. . . . .
P P P P
P P P M PP P P P P P P P P P M P P P P
P P P M
.
Từ đó suy ra
0
2 7 2 3 6 2 7 2 3 6 2 7 7
90 2
P P M P P P c g c P P M P P P P P MP
.
Từ
5 7
1 2 , ,
M P P
thẳng hàng.
111) Chứng minh
3
D BP
là tam giác cân.
3 1 4
3 3
1 4
/ /
OP PP
OP BD OP
PP BD
là trung trực
BD
nên
3 3 3
BP P D BP D
cân tại
3
P
.
112) Cho
,
B C
O
cố định. Tìm vị trí cát tuyến
MDD
để diện tích
3
P BC
lớn nhất.
P
7
P
5
P
6
P
1
P
2
P
3
P
4
D
M
C
O
B
D'
P
1
P
2
P
3
P
4
D
M
C
O
B
D'
P
1
P
2
P
3
P
4
D
M
C
O
B
D'
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Ta có:
3 3
2.
BPC CD B P BD CD B
( tính chất góc trong – góc ngoài tam giác)
, ,
B C O
cố định nên góc
CD B
không đổi, suy ra
3
2.
BPC CD B
không đổi.
3 3
3 3 3
1
. . .sin
2
P BC P BC
S PC P B BPC S
lớn nhất khi
3 3
.
PC P B
lớn nhất.
Ta có:
2
3 3
3 3 3 3
. .
2 4
PC P D
D C
PC P B PC P D
2 2
2
3 3
4
2 .
4 4
D C R
CD R P C P B R
.
Dấu bằng xảy ra khi
CD
là đường kính của
O
.
113) Tiếp tuyến của đường tròn
O
tại
I
cắt đường tròn đường kính
1
MI
tại
1
M
,
1 1 2
M I OC M
.
Chứng minh tứ giác
2 1
MCM M
là tứ giác nội tiếp,
1
MM MC
;
1 2
CM MM
.
1
MI
là đường kính nên
0
2 1 2 2 1
90
M M M M CM MCM M
tứ giác nội tiếp.
+ Chỉ ra
2 2
1 1 1
.
MM MI MI MC MM MC
.
+ Vì tứ giác
2 1
MCM M
nội tiếp đường tròn đường kính
2
MM
1 2
MM MC MM
là đường trung
trực
1 1 2
CM CM MM
.
114) Gọi
1
là tâm đường tròn ngoại tiếp
1
IMI
,
2
E
là tâm đường tròn ngoại tiếp
2
M D D
,
3
E
trung điểm của
1 2
M M
. Chứng minh
1 2 3
, ,
E E E
thẳng hàng.
M
2
M
1
I
1
I
M
C
O
B
E
3
E
2
D
E
1
V
M
2
M
1
I
1
I
M
C
O
D'
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
+ Gọi
2 1
MM CM V
. Ta có:
2 2
2 1 1
. . .
MV MM MM MC MI MI MD MD
.
Từ đẳng thức
2 2
. .
MV MM MD MD D DVM
nội tiếp nên
2
V E
.
Từ đẳng thức
2 1 2 1
. .
MV MM MI MI IVM I
là tứ giác nội tiếp nên
1
V E
.
Suy ra
1 2
,
E E
cắt nhau tại hai điểm
2 1 2
,
M V E E
là trung trực
2
VM
.
1 2 1
/ /
E E CM
1 2
E E
đi qua trung điểm
2
VM
nên
1 2
E E
đi qua trung điểm
1 2
M M
.
Vậy
1 2 3
, ,
E E E
thẳng hàng.
| 1/44

Preview text:

CHÙM BÀI TOÁN
TIẾP TUYẾN – CÁT TUYẾN ÔN THI VÀO 10 HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Cho O; R và điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn, dây BC vuông góc OM tại H . B O M H I C 1) Chứng minh 2 OH.OM  R .
Vì MB là tiếp tuyến O  BM  OB  OBM vuông tại B, BH là đường cao .
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông 2 2 OBM : OM .OH  OB  R
2) Chứng minh MB  MC , HB  HC .
Xét hai tam giác vuông OHB và OHC có OB  OC  R , OH chung.  BOH   COH
Từ đó chỉ ra OHB  O  HC 2cgv   . HB  HC Từ đó suy ra OMB  O
 MC c  g  c  MB  MC .
3) Chứng minh MC là tiếp tuyến đường tròn. Do OMB  O  MC   OCM   0
OBM  90  CM là tiếp tuyến của O .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
4) Chứng minh tứ giác MBOC nội tiếp đường tròn, tìm tâm đường tròn đó. B O M H I C Chỉ ra  MBO   0
MCO  180  MBOC nội tiếp, tâm nằm ở trung điểm OM .
5) Bài có thể thay đổi lại đề bài, cho hai tiếp tuyến MB, MC . Chứng minh BC  OM . B M O H C
+ Lập luận vì MB  MC  M nằm trên trung trực BC , OB  OC  O nằm trên trung trực BC .
Vậy OM là trung trực BC  OM  BC .
+ Hoặc chỉ ra MB  MC và MO là phân giác góc 
BMC ( tính chất tiếp tuyến) nên OM là đường cao M  BC  OM  BC .
6) Tính OH , HM , MB, MC , góc  BMC biết OM  2R . B M O H C R R 3R Chỉ ra 2 2
OB  OH.OM  R  OH.2R  OH 
 HM  OM  OH  2R   . 2 2 2 Tính 2 2
BM  OM  OB  R 3  MC  MB  R 3 .  OB 1 sin BMO     0 BMO  30   BMC  2. 0 BMO  60 . OM 2 4
7) Cho CM  R . Tính diện tích COBM . 3 2 1 1 4 4R Vì OBM  OCM  S  2S  2. .OC.CM  2. . . R R  ( đơn vị diện tích) OBMC O  CM 2 2 3 3
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
8) Gọi giao OM với O là I . Chứng minh BI là phân giác góc 
MBC và I là tâm đường tròn nội tiếp M  BC .
(Đề bài có thể đổi thành: Chứng minh khi M thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp M  BC luôn nằm trên
một đường tròn cố định – hoặc chứng minh I cách đều 3 cạnh BM ,CM , BC ) B O M H I C
Cách 1: Do MC, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M  MO là phân giác góc  BMC   1 .  OBI   0 IBM  90  Ta có:  HBI   0 HIB  90   HBI  
IBM  BI là phân giác góc  CBM 2 .  HIB   OBI,  OI  OB  R  Từ  
1 2  I là tâm đường tròn nội tiếp B  CM .
Cách 2: Do MC, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M  MO là phân giác góc  BMC   1 . Ta có:  BOM  
COM ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên cung  CI   BI .  1 CBI  sd  CI  Mà 2    CBI  
IBM  BI là phân giác góc  CBM 2 .  1 IBM  sd  BI  2 Từ  
1 2  I là tâm đường tròn nội tiếp B  CM . IH HB 9) Chứng minh  IM BM B O M H I C HI BH
Xét BHM có BI là phân giác trong của góc  HBM  
( tính chất phân giác) . IM BM
10) Tìm vị trí điểm M để BI  MC ( hoặc CI  MB ).
Vì BI là phân giác góc  CBM , để BI  CM  C
 BM cân tại B  CB  BM .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành Mà BM  CM  B
 CM là tam giác đều nên  0 BMC    0 BOC    0 60 120 BOM  60 . OB OB Ta có: cos  BOM   OM    2R . OM cos BOM
Vậy để BI  CM thì M  ; O 2R .
11) Từ điểm A trên cung nhỏ BC vẽ tiếp tuyến với đường tròn O . Tiếp tuyến này cắt MB, MC tại
A , A . Chứng minh chu vi MA A không đổi và độ lớn góc 
A OA không phụ thuộc vào vị trí điểm 1 2 1 2 1 2
A khi A di chuyển trên cung nhỏ BC . B A1 A O M A2 C MB  MC 
Ta có: A B  A A ( tính chất tiếp tuyến cắt nhau) . 1 1 A A  A C  2 2
Chu vi MA A là: MA  MA  A A  MA  MA  A A  AA  MA  A A  MA  AA 1 2 1 2 1 2  1 2   1 1   2 2  1 2
 MA  A B  MA  CA  MB  MC  2MB không đổi khi A di chuyển trên cung nhỏ BC . 1 1   2 2  1 1 1 1 Ta có:  A OA   A OA   AOA   BAO   AOC   0 BOC  180   BMC không đổi. 1 2 1 2   2 2 2 2
Vậy chu vi tam giác MA A và độ lớn góc 
A OA không phụ thuộc vào vị trí điểm A . 1 2 1 2
12) Cho R  3cm, OM  6cm . Tính số đo góc  A OA . 1 2 B A1 A O M A2 C 1 Ta có:  0 A OA  180  
BMC . Trong tam giác vuông BMO ta có: 1 2   2  OB 3 1 sin BMO      0 BMO  30   0 BMC  60 . OM 6 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 1 Do đó  0 A OA  180    BMC  0  60 . 1 2 2
13) Gọi giao OA và OA với BC là A và A . Chứng minh A A  OA và A A  OA ( hoặc các câu 1 2 3 4 2 3 1 1 4 2
hỏi liên quan đến ba đường cao của O
 A A hoặc chứng minh tứ giác OCA A và OBA A và 1 2 2 3 1 4
A A A A là tứ giác nội tiếp) 3 4 2 1 B A1 A3 A M O A4 A2 C 1 1
Ở trên các em đã chứng minh được  A OA  . BOC mà  BCA  .
BOC ( góc ở tâm và góc nt) 1 2 2 2 2 Suy ra  A OA   BCA . 1 2 2
Từ đó suy ra tứ giác OCA A là tứ giác nội tiếp nên  OA A   0 OCA  90 . 2 3 3 2 2 1 Chứng minh tương tự:  A OA   CBA  .
BOC  tứ giác OBA A nội tiếp nên 1 2 1 2 1 4  OA A   0 OBA  90  A A  OA . 4 1 1 1 4 2 A A 14) Cho góc  0
BMC  60 , gọi giao OA và OA với BC là A và A . Tính tỉ số 1 2 . 1 2 3 4 A A 3 4 B A1 A3 A M O A4 A2 C
Đầu tiên các em tính góc  0 BOC  120 .
Ở bài trên các em đã chứng minh được tứ giác OCA A nội tiếp nên  OA C   OA C   OA A   OA C 2 3 2 3 2 3 A A OA ( do  OA C  
OA A tính chất tt cắt nhau) . Từ đó suy ra 2 1 3 O  A A ∽ O  A A   . 2 2 3 4 2 1 A A OA 3 4 2 1 OA OA 1 Do O  A A vuông tại A và  A OA  . 0 BOC  60 nên cos  3 3 0 A OA    cos60  . 3 2 3 3 2 2 3 4 OA OA 2 2 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành A A OA 1 Vậy 2 1 3   A A OA 2 3 4 2 O  A  BC  A 15) Cho góc  0 BMC  60 và 1 3 
. Chứng minh AA . AA  BA .CA . OA  BC  A  1 2 3 4 2 4 B A1 A3 A M O A4 A2 C Chỉ ra  A BA   A OA   0 A CA  60 . 1 3 1 2 2 4  A  BA ∽ A  OA g  g  1 3 4 3   A B BA Chỉ ra 1 3   A  BA ∽ A  CA   .  A  OA ∽ A  CA g  g A C CA  4 3 4 2   1 3 4 2 4 2 A B  A A A A BA Mà 1 1 1 3     AA . AA  BA .CA 1 2 3 4 CA  AA A C AA  2 2 4 2
16) Từ điểm A trên cung nhỏ BC kẻ AR, AT , AY lần lượt vuông góc với CB, BM , CM tại R,T ,Y . Cho góc  0 BMC  60 . Tính góc 
TRY ( hoặc chứng minh góc 
TRY không đổi hoặc chứng minh  TRY   BMC ) B T R A M O Y C 1
Chỉ ra ATBR, AYCR là tứ giác nội tiếp nên  ART   ABT  
BOA ( góc nt và góc ở tâm) 2 1 1 1 1 1 Và  ARY   ACY   AOC   TRY   ART   ARY   BOA   AOC   0 BOC  180    BMC  0  60 . 2 2 2 2 2 17) Chứng minh 2 AR  AT.AY B T R A M O Y C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành  AYR   ACR   ABT   ART Chỉ ra góc 
 ARY ∽ATR g  g  ARY   ACT   ABC   ATR AR AY Suy ra 2   AR  AT.AY . AT AR
18) Tìm vị trí điểm A để AT. AR. AY đạt giá trị lớn nhất hoặc AT.AY đạt giá trị lớn nhất. B T R A M O Y C + Ta có: 2 AT.AY  AR .
Do đó AT. AY đạt giá trị lớn nhất khi AR lớn nhất, suy ra AR  AI  A  I . max + Ta có: 2 3
AT.AY  AR  AT.AY. AR  AR
Do đó AT. AR. AY đạt giá trị lớn nhất khi AR lớn nhất, suy ra AR  AI  A  I . max
( với I  OM  O ).
19) Gọi RT  AB  A , RY  AC  A . Chứng minh tứ giác AA RA nội tiếp và A A  RA ( hoặc 5 6 5 6 5 6 A A / /BC ) 5 6 B T A5 R A O H M A6 Y C  ARA   ABT   ACB Chỉ ra 5  . ARA   ACY   ABC  6 Suy ra  A AA   A RA   A AA   A RA   ARA   A AA   ACB   0 ABC  180 . 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6
Suy ra tứ giác AA RA nội tiếp. 5 6
Vì tứ giác AA RA nội tiếp nên  A A A   A RA   ACY  
CBA  A A / /BC  A A  AR . 5 6 6 5 6 5 6 5 6
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 20) Cho ,
A B,Y thẳng hàng, kéo dài A A  BM  R . Chứng minh BR A R là hình bình hành ( hoặc khai 5 6 1 1 6
thác các yếu tố của hình bình hành này) B R1 T A5 H M O A R A6 Y C
Ở trên các em đã chỉ ra A A / /BC . 5 6 Mặt khác:  ABT   ACB  
AYR  RY / /BM . Từ đó suy ra BR A R là hình bình hành. 1 6
21) Chứng minh rằng nếu TR  TB thì RY  RC . B T R A O M Y C Chỉ ra  AYR   ACR   ABT   ART   AYR   ART .  ART   0 TRB  90 Mà    TRB   .  AYR   RYC 0 RYC  90 Mặt khác TB  TR   TRB   TBR   RCY   RCY   RYC  RY  RC .
22) Chứng minh rằng tia đối của tia AR là phân giác của góc  TAY . B T y R A O H M Y C
Gọi Ay là tia đối tia AR .
Chỉ ra tứ giác BTAR nội tiếp nên  CBT   TAy .
Chỉ ra tứ giác CYAR nội tiếp nên  BCY   YAy . Mà  C T B   BCY  y
A là phân giác của góc  TAY .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành AB  RT  A 23) Gọi 5 
. Gọi O là đường tròn đi qua 3 điểm ATA , O là đường tròn đi qua 3 điểm 5  4  AC  RY  A  5 6
AYA và A là giao điểm thứ hai của O và O , H là trung điểm BC . Chứng minh A , , A H 5  4  6 7 7 thẳng hàng. B T O A 4 5 A7 R A A 8 O H M A6 O5 Y C
Gọi A là giao A A với A A và H  là giao A A với BC . 8 7 5 6 7 Chỉ ra  A A A   BCA  
A YA  A A là tiếp tuyến của O . 5  5 6 6 5 6 Từ đó chỉ ra được 2 A A  A A. A A . 8 6 8 8 7
Chứng minh tương tự :  A A A   BCT  
A TA  A A là tiếp tuyến của O 4  8 5 5 8 5 suy ra 2
A A  A A. A A . Từ đó suy ra 2 2
A A  A A  A A  A A  A là trung điểm A A . 8 5 8 8 7 8 6 8 5 8 5 8 6 8 5 6 A A A A  AA  + Do 5 8 6 8 8 A A / /BC     H B   H C
  H là trung điểm BC  H  H . 5 6   H B  H C   AH  Vậy A , , A H thẳng hàng. 7 24) Cho góc  0
BOC  120 . Gọi giao OA và OA với BC là A và A . Tìm vị trí điểm A trên cung nhỏ 1 2 3 4
BC để diện tích tam giác OA A bé nhất và tìm giá trị bé nhất đó ( hoặc tìm vị trí điểm A để diện 3 4 tích O
 A A bé nhất hoặc độ dài A A bé nhất) 1 2 1 2 B B A1 A T 1 A3 A A3 R M A M O O H A4 A4 Y A2 A2 C C OA 1 Ta có: OA A ∽ O  A A theo tỉ số 3 K   cos  0 A OA  cos 60  . 3 4 2 1 3 2 OA 2 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành S S O  A A 1 Suy ra  3 4 O 2 A 1 A =  S = . O  3 A 4 S 4 A 4 O  2 A 1 A Do đó S nhỏ nhất khi S nhỏ nhất. O  3 A 4 A O 2 A 1 A 1 R Mà S  O . A A A 
.A A nhỏ nhất khi A A nhỏ nhất. O  2 A 1 A 1 2 1 2 2 2 1 2 R
Mà A A nhỏ nhất khi A  OM  O . Khi đó OAB là tam giác đều nên OH  HA  và OM  2R . 1 2 2
Các em tính được BC  2BH  R 3 và AM  OM  OA  R . A A AM A A R 2 . R 3 Ta có: 1 2 1 2     A A  1 2 BC MH 3 R 3 R 3 2 2 R R 2 . R 3 R 3 Khi đó S  .A A  .  . O  2 A 1 A 1 2 2 2 3 3 2 S OA A R 3 Nên 2 1 S  =  O  3 A 4 A 4 12
25) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt MB, MC tại O và O . Tìm vị trí điểm M để diện 1 2
tích tam giác MO O bé nhất. 1 2 O1 B O M C O2
Xét MO O có: OM vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên MO O cân tại M . 1 2 1 2 1 Suy ra S  2S  2. O . B O M  . R O M . M   1 O 2 O MO 1 O 1 1 2 Mặt khác 2 2 O M  O B  BM  2 O .
B BM  2 OB  2 R  2R . 1 1 1
Dấu bằng xảy ra khi O B  BM  O OM vuông cân nên OM  R 2 . 1 1 Vậy 2 min S
 2R khi điểm M nằm cách O một khoảng OM  R 2 . M  1 O 2 O
26) Chứng minh ba tam giác O
 A O ∽  AOA ∽  O OA và O A .O A  O O.O O . 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 Ta có:  A OA   A OA   AOA   POA   AOC   0 BOC  180   M . 1 2 1 2   2 2 2 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Do MO O cân tại M ( vì OM vừa là đường cao, vừa là phân giác) nên 1 2    0 180   M O O    O   O   A OA . 1 2 1 2 1 2 2
Xét O A O và  A OA có: 1 1 1 2  O A O  
OA A ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 1 1 1 2  O   A OA ( chứng minh trên) 1 1 2
Suy ra O A O ∽  AOA g  g . 1 1 1 2  
Chứng minh tương tự các em sẽ được  AOA ∽  O OA . 1 2 2 2 Vậy O
 A O ∽  AOA ∽  O OA . 1 1 1 2 2 2 O A O O Chỉ ra 1 1 1 O A O ∽  O OA  
 O A .O A  O O.O O ( đpcm). 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 O O O A 2 2 2 O1 B A1 A O M A2 C O2
27) Chứng minh O A  O A  O O . 1 1 2 2 1 2 O1 B A1 A O M A2 C O2 Sử dụng BĐT Cosi:
Ta có: O A  O A  2 O A .O A  O A  O A  2 O O.O O . 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 O O 2  O O  Mà 1 2 O O  O O  nên 1 2 O A  O A  2  O O . 1 2   2 1 1 2 2 1 2  2 
28) Cho O; R và điểm M cố định. Tìm vị trí điểm A để O A  O A nhỏ nhất. 1 1 2 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành O1 B A1 A O M A2 C O2
Vì O; R và điểm M cố định nên O O không đổi. 1 2
Ta có: O A  O A  2 O A .O A  O A  O A  2 O O.O O . 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 O O 2  O O  Mà 1 2 O O  O O  nên 1 2 O A  O A  2  O O . 1 2   2 1 1 2 2 1 2  2 
Dấu bằng xảy ra khi O A  O A  A A / /O O  A  I ( với I  OM O ) 1 1 2 2 1 2 1 2
29) Cho O và M cố định, điểm A di chuyển trên cung nhỏ BC . Chứng minh chu vi tam giác MA A 1 2
không phụ thuộc vào vị trí điểm A . O1 B A1 A O M A2 C O2 Chỉ ra chu vi M
 A A là: MA  A A  AA  A M  MA  A B  CA  A M  MB  C M  2 B M 1 1 2 2  1 1   2 2  1 2 không đổi.
Vậy chu vi tam giác MA A không phụ thuộc vào vị trí điểm A . 1 2
30) Cho O và M cố định . Tìm vị trí điểm A trên cung nhỏ BC để diện tích tam giác MA A lớn nhất. 1 2 O1 B A1 A O M A2 C O2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Như trên ta đã chứng minh: Chu vi M
 A A không đổi và bằng 2MB . 1 2
Đặt MB  a  nửa chu vi M
 A A là p  a không đổi 1 2 4
 p  p  MA  p  A A  p  MA  và S  p p  MA p  A A p  MA  M  A A  1   1 2   2  1 1 2 2   1 2  4  3 3
 p  MA  p  A A  p  MA  p
Ta có:  p  MA  p  A A  p  MA  1 1 2 2   1 1 2 2    3  27 4 p 2 p . 27 Nên p  p  MA p  A A p  MA   S  p p  MA p  A A p  MA  M  A A  1   1 2   2  1   1 2   2  27 1 2 27
Dấu bằng xảy ra khi MA  MA  A là giao điểm của OM với O 1 2
31) Kéo dài AH  O  Z . Chứng minh tứ giác MAOZ là tứ giác nội tiếp và góc  BMZ   AMC ( hoặc chứng minh  BMA  
CMZ hoặc OM là phân giác góc  AMZ ). B A O H M Z C 2 HM.HO  HC Chỉ ra   HM. O H  H . A HZ . 2 H . A Z H  H . B HC  HC Từ đó suy ra HAM ∽ H
 OZ c  g  c   AZO  
AMO  tứ giác MAOZ là tứ giác nội tiếp. + Ta có:  AMO  
AZO (góc nt chắn cung OA ) mà  OAZ   AZO ( OAZ cân tại O) Và  OAZ  
OMZ (góc nt chắn cung OZ ) nên  AMO   OMZ mà  BMO   CMO nên  BMA   CMZ suy ra  BMZ   AMC .
32) Lấy điểm T bất kì trên BC , kẻ đường thẳng qua T và vuông góc OT , cắt MB, MC tại T ,T . Chứng 1 1 1 2 3 minh OT T cân. 2 3 T2 B T1 O H M T3 C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành  O  BT   OT T
Chỉ ra tứ giác OT BT ; OT T C nội tiếp nên 1 2 1 mà 1 2 1 3  O  T T   OCT  3 1 1 OB  OC   OBT   OCT   OT T   OT T   O  T T cân tại O . 1 2 2 1 3 1 2 3
33) Chứng minh rằng nếu T là trung điểm HB thì T là trung điểm CM , hoặc HT BT là hình bình hành 1 3 3 2
( hoặc cho T là trung điểm HB , chứng minh BT là trung tuyến BMC , hoặc MG  2GH ….) 1 3 T2 B T1 G O H M T3 C
Chỉ ra OT T cân nên T là trung điểm T T , mà T là trung điểm HB  HT BT là hình bình hành, do 2 3 1 3 2 1 3 2
đó HT / /BT . Dựa vào MBC có HT / /BM mà H là trung điểm BC  T là trung điểm CM . 3 2 3 3 34) Chứng minh OH.OT  O . B OT 2 1 T2 B T1 O H M T3 C Chỉ ra  OT T  
OBT  OT T ∽ OBH g  g  OH.OT O . B OT 2 1 1 2 1   2 1
35) Vẽ đường kính CK của đường tròn O . Chứng minh BK / /OM . K B O M H I C
Vì OB  OC  OK  R  C
 KB vuông tại B  BK  BC mà OM  BC  BK / /OM .
36) Đường thẳng vuông góc KC tại O cắt BC tại E . Chứng minh 2 HE.HC  H . O HM  R .
Chỉ ra HOE ∽ HCO  g  g  2  HE.HC  OH . Mà 2 2 2 2 2 H . O HM  BH  HE.HC  H .
O HM  OH  HB  OB  R .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
37) Cho R  3cm, OM  5cm . Tính độ dài các cạnh của tam giác MBC . Ta có: 2 2 2
BM  OM  OB  16  BM  MC  4cm . OM .BM 3.4 12 BH.OM  O . B BM  BH    cm  BC  2BH  4,8cm . OM 5 5
38) Kẻ CP  BM tại P , CP  OM  Q . Chứng minh Q là trực tâm M
 BC và BQ  MC . Tính BQ . K B B P P O M O H Q Q M H C C Xét M
 BC có MH ,CP là đường cao nên Q là trực tâm M  BC và BQ  MC . O  B / /CQ  MB  Chỉ ra O
 C / /BQ  MC  OBQC là hình thoi nên BQ  OB  R . BC  OQ 
39) Giả sử O cố định và điểm M luôn chạy trên đường tròn  ;
O 3R . Chứng minh khi đó Q chạy trên
một đường tròn cố định. R 2R  2R 
Các em tính được độ dài OH   OQ 
 Q luôn chạy trên đường tròn O;   . 3 3  3 
40) Chứng minh BC là phân giác của góc  KCP . Chỉ ra BHQ  C  HQ 2cgv   HBQ   HCQ
Do QB / /KC ( cùng vuông góc CM ) nên  HBQ   KCB ( so le trong ) Suy ra  KCB  
BCQ  BC là phân giác của góc  KCP .
41) Tứ giác OBQC là hình gì ? Vì sao? OB / /CQ,  MB 
Chỉ ra OC / /BQ,  CM   OBQC là hình thoi. OQ  BC 
42) Gọi Q là trung điểm BK . Chứng minh OHBQ là hình chữ nhật. 1 1 K B Q1 M O H C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành Chỉ ra  OQ B   Q BH   0
BHO  90  OHBQ là hình chữ nhật. 1 1 1
43) Từ C kẻ đường thẳng song song MB và cắt O tại Y . Chứng minh 2 KY .OM  2R 2 2 K B M O H Y2 C
44) Từ C kẻ đường thẳng song song MB và cắt O tại Y . Tia MY cắt đường tròn tại M  , gọi M là 2 2 3
điểm đối xứng với M  qua OM . Chứng minh Y , H , M thẳng hàng. 2 3 B B M3 O H M M'3 O H M M' Y M' 2 Y2 C C Cách 1:
Gọi M  là giao Y H với O . Chỉ ra tứ giác OHM Y nội tiếp. 3 2 2 Từ đó suy ra  MHM    OY M    OM Y     OHY  M HM . 2 2 2 3 
Từ đó suy ra M HM  
MHM   M  và M  đối xứng nhau qua OM  M   M . 3 3 3 3 Cách 2: 1
Do M đối xứng M  qua MO nên  M OM   M O  M  . M OM    M Y M  . 3 3 3 3 2 2 Mặt khác tứ giác OHM Y  nội tiếp nên  M O  M   M Y  H   M Y  H   M Y  M . 2 2 2 2 2
Vậy Y , H , M thẳng hàng. 2 3
45) Từ B kẻ BF  KC tại F , BF  KM  F . Chứng minh F là trung điểm F B và BC là phân giác 2 2 2 3 3 2 góc  MBF . 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành K B F3 F K1 2 M O H C F F CM CM Chỉ ra 2 3 F F / /CM    . 2 3 KF KC 2OC 2  1  F B HM Chỉ ra  F KB   HCM  sd  2 BC  F  BK ∽ H  MC g  g   . 2   2    2  KF HC 2 HM CM
Chỉ ra HOC ∽ HCM g  g    . HC OC F F 1 CM 1 F B F F 1 F B F B
Từ 3 đẳng thức trên các em suy ra : 2 3 2 2 3 2 2  .  .   .  F F   F là 2 3 3 KF 2 OC 2 KF KF 2 KF 2 2 2 2 2 trung điểm F B . 2  1  + Chỉ ra  F BC   CKB ( cùng phụ  F BK ) mà  CKB   CBM  sd  BC . 2 2    2  Suy ra  F BC  
CBM  BC là phân giác góc  MBF . 2 2
46) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc OB cắt MC tại Y . Chứng minh O  Y M cân. 1 1 K B K1 H I I1 M O Y1 C
Chỉ ra OY / /MB  OB   Y OM   OMB slt    OMY  O  Y M cân tại Y . 1 1 1 1 1
47) Gọi B là điểm chính giữa cung I I . Từ H kẻ HH  B I tại H , kẻ HH  B I tại H . Chứng 3 1 3 3 1 3 4 3 4
minh 5 điểm O, H , H , B , H cùng thuộc một đường tròn. 4 3 3 B3 H B 3 H4 I1 O H I M C
Chỉ ra 5 điểm O, H , H , B , H cùng nằm trên đường tròn đường kính HB . 4 3 3 3
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
48) Gọi H là điểm đối xứng với H qua H H . Chứng minh H H B H là hình thang cân. 5 3 4 4 5 3 3 B3 B H3 H5 H4 I1 O H I M C H H  H H Chỉ ra 4 4 5 
( tính chất đối xứng trục) H H  H H  3 3 5
nên H H H  H HH  g  g  g    H H H   0
H HH  90  H H B H là tứ giác nội tiếp. 3 5 4 3 4 3 5 4 3 4 4 5 3 3 Vì H H  HH  B H   B H H  
H H H ( góc nt chắn hai cung bằng nhau) 4 5 4 3 3 3 5 3 4 3 5
Suy ra B H / /H H  H H B H là hình thang. 3 5 3 4 4 5 3 3
Vì hình thang H H B H là tứ giác nội tiếp nên H H B H là hình thang cân. 4 5 3 3 4 5 3 3
49) Chứng minh rằng H  O . 5   B3 B H3 H5 H4 I1 O H I M C  O  H H   0 OB H  45 Chỉ ra 5 3 3 3   
, mà H H B H là tứ giác nội tiếp và H H B H nên góc 0 4 5 3 3 4 5 3 3 O  B I  45  3  H B H   B H H   OB H  
OH B  OH B cân tại O  OH  OB  R  H  O . 5 3 5   4 3 5 3 5 3 3 5 5 3 5 3
50) Tiếp tuyến tại H cắt OM tại H . Chứng minh H , H , H thẳng hàng. 5 6 3 4 6 B3 B H3 H5 H4 I1 O H I M H6 C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 0
IHH  OH H  OB I  45 4 3 4 3 
Tứ giác OHH H nội tiếp nên O  H H   0 OB H  45   H HI   0 H H H  45 4 3 5 4 3 4 4 4 5 6  0 O  H H  90  5 6 Mà  H H H   H HH   HH H  
H HH  H H  H H  H nằm trên trung trực HH 4 5 4 5 5 6 5 6 6 5 6 6 5
Mà H H là trung trực HH nên H , H , H thẳng hàng. 3 4 5 3 4 6
51) Giả sử B cố định và M thay đổi sao cho MB là tiếp tuyến của O . Tìm quỹ tích điểm Q khi M thay đổi.
Do OBQC là hình thoi nên BQ  OB  R mà B cố định nên Q B; R . MK O  K1 
52) Gọi C là trung điểm CM , MK  BC  B . Chứng minh MK .MK  MH.MO . 1 1 1 C  K  BC  B 1 1 2  B2 B2 K B K B B K 1 1 B K 1 1 O H M O H M C1 C1 C C Chỉ ra C
 KM vuông tại C và có CK là đường cao nên 2 MK .MK  CM . 1 1 Chỉ ra O
 CM vuông tại C có CH là đường cao nên 2 MH .MO  CH .
Từ đó suy ra MK .MK  MH.MO 1  MHK   MKO 53) Chứng minh M  K H ∽ MOK và góc 1
. Từ đó suy ra OKK H nội tiếp. 1  1 MK O   MOK  1 B2 B2 K B K B B K 1 1 B K 1 1 M O H O H M C1 C1 C C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành MK MH Xét M  K H và M  OK có: góc  KMO chung và 1  1 MO MK Từ đó suy ra M  K H ∽ MOK . 1  MHK   MKO Vì M  K H ∽ MOK nên 1 . 1  MK O   MOK  1 Xét tứ giác OKK H có  OKK   OHK   K HM   0
OHK  180 , mà đây là hai góc đối nhau nên tứ giác 1 1 1 1 1
OKK H là tứ giác nội tiếp. 1
54) Chứng minh C K là tiếp tuyến của O . 1 1 B2 K B B K 1 1 M O H C1 C Chỉ ra C
 MK vuông tại K  K C  C C  C M  C  K C cân tại C . 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Chỉ ra OC K  OC C c  c  c   OK C   0 OCC  90 . 1 1 1 1 1 1
Từ đó suy ra C K là tiếp tuyến của O . 1 1
55) Gọi K là trung điểm KK . Chứng minh B K là tiếp tuyến của O . 2 1 2 B' B2 K B K B K2 K2 B K 1 1 B K 1 1 M O H O H M C1 C1 C C O  K  KK  Vì K là trung điểm 2 1 KK  . 2 1  KOK   K OK  2 1 2
giả sử OK  BC  B. Ta sẽ chứng minh B '  B , tức là chứng minh B ' K là tiếp tuyến O . 2 2 1
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành Ta có: O
 K M ∽ OHBg  g 2 2 2
 OK .OB  OH.OM  OB  R  OK 2 2 1 2
 OK .OB  OK  OK K ∽ OK Bc  g  c   OK B   0 OK K  90  B K  là tiếp tuyến của 2 1 2 1 1 1 2 1 1 O , suy ra B  B . 2
Từ OKB  OK B c  g  c   OKB   0
OK B  90 nên B K là tiếp tuyến của O . 2 1 2 2 1 2 2 56) Chứng minh M  HB ∽ B  HO . Từ đó suy ra 2 H . O HM  HB . HB  BH . 1 2 2 1 B' B2 K B K B K2 K2 B K 1 1 B K 1 1 M O H O H M C1 C1 C C Các em chỉ ra  HMB   HB O ( cùng phụ  HPB ). 1 2 2 Từ đó suy ra M
 HB ∽ B HO g  g  H . O HM  HB .HB và 2 HO.HM  BH . 1 2   2 1 57) Chứng minh 2 BC  4HB . HB . 1 2 2 BC  BC  Chỉ ra 2 BH  HO.HM  HB . HB mà 2 BH  
 HB .HB  BC  4HB .HB . 2 1   2 1 1 2 2  2  B2 K B K2 B K 1 1 O H M C1 C 58) Chứng minh 2 2
OH .OM  OK .OB  R  OB ( hoặc chứng minh OK .OB không đổi) 2 2 2 2 Chỉ ra  K MO   HB O ( cùng phụ  HOB ) . 2 2 2 Từ đó suy ra K  MO ∽ H
 B O g  g  OH.OM  OK .OB . 2 2   2 2 Mà 2 2 OH .OM  OB  R nên 2 2
OH .OM  OK .OB  R  OB 2 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 59) Chứng minh OB  B M 1 2 B2 K B K2 B K 1 1 O H M C1 C
Chỉ ra B là trực tâm OMB  OB  MB . 1 2 1 2
60) Chứng minh tứ giác MHK B nội tiếp từ đó suy ra OK .OB không đổi. 2 2 2 2 B2 K B K2 B K 1 1 O H M C1 C Xét tứ giác MHK B có:  MHB   0
MK B  90 , mà đây là hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh 2 2 2 2 2
MB , suy ra tứ giác MHK B là tứ giác nội tiếp. 2 2 2 Chỉ ra 2 2
OK .OB  OH.OM OB  R không đổi. 2 2
61) Gọi BC  O  J . Chứng minh C  J C ∽ C  CB , C  MJ ∽ C
 BM ; CH J C là tứ giác nội tiếp. 1   1 1 1 1 1 1 1 1 1
(hoặc bài có thể khai thác từ các yếu tố trên như chứng minh các góc, tỉ số đoạn thẳng…) K B K1 J1 M O H C1 C
Chỉ ra C H  C C ( trung tuyến tam giác vuông) nên  C CH   C HC . 1 1 1 1  1  Mặt khác  C CJ   C BC  sd  CJ  C J C ∽ C CB   g  g   C J C   C CB   C HC . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  2 
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Từ đó suy ra CH J C là tứ giác nội tiếp. 1 1 + Chỉ ra 2
C J C ∽ C CB  CC  C J .C B mà 1 1 1 1 1 1 1 2
C C  C M  C M  C J .C B  C
 MJ ∽ C BM c  g  c 1 1 1 1 1 1 1 1 1  
62) Kéo dài MJ cắt O tại J . Chứng minh J C là phân giác góc  C J J 1 2 1 1 1 2 K B K1 J2 J1 M O H C1 C Do C MJ ∽ C BM   C MJ   C BM   MJ B  J B / /CM 1 1 1 1 1 1 2 2  J BC   BCM   CJ C 2 1 1     J J C     J C là phân giác góc  C J J . 1 1 1 2 J BC   CJ C 2 1 1 1 J J C  2 2 1 2 K M  K K .K B
63) Kéo dài BK  OM  K . Chứng minh 3 3 1 3
từ đó suy ra K là trung điểm HM và 1 3  2 K H  K K .K B 3  3 3 1 3 HK  BK . 1 1 B2 K B K1 M O H K3 C Chỉ ra  K MK   MKB ( sole trong) mà  MKB  
K BM ( tính chất góc nt và góc tạo bởi tt và dây cung) 3 3 Nên  K MK  
K BM . Từ đó suy ra K MK ∽ K
 BM g  g  K M  K K .K B . 3 1 3   2 3 3 3 3 1 3 + Do MK H ∽ M  OK nên  MHK   MKO mà  MKO   HBK ( góc nt chắn cung  CK ) 1 1 3 1
Từ đó suy ra K HK ∽ K BH  g  g 2  K H  K K .K B . 3 1 3 3 3 1 3 2 K M  K K .K B Vì 3 3 1 3 
 K M  K H  K là trung điểm MH . 3 3 3 2 K H  K K .K B  3 3 1 3
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành B2 K B K1 M O H K3 C + Ta có:  K BH   K HB   K HK   K HB   0
K HB  90 . Từ đó suy ra HK  BK . 1 1 1 3 1 3 1 1 2 HC KK 64) Chứng minh 1   1. 2 HK MK 1 1 B2 K B K1 M O H K3 C 2 BH  BK .BK 1 3 2  C  H  BK .BK 2 HC BK BK  K K BK Chỉ ra 2 1 3 HK  BK .K K  . Suy ra 3 1 1 3 1    1. 1 1 1 3  2  HK  BK .K K  2 HK K K K K K K 1 1 1 3 BH  CH 1 1 3 1 3 1 3  KK BK 2 HC KK BK KK + Ta có: 1 1 BK / /OM   suy ra 1 1 1   1 1. MK K K 2 HK K M K K MK 1 1 3 1 1 1 3 1
65) Từ K kẻ đường thẳng song song KB cắt BC, BM tại K , K . Chứng minh K là trung điểm K K . 1 5 6 1 5 6 K B K1 K6 K5 M O H K3 C KB / /OM K K BK K K Vì 1 5 1 1 6   K K / /HM   
mà HK  K M  K K  K K  K là trung 5 6 K K / /KB  HK BK K M 3 3 1 5 1 6 1 5 6 3 3 3 điểm K K . 5 6
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành K B B1 K1 K6 K5 O H M C
Cách khác: Các em có thể thấy, HB là phân giác trong 
KHK và HM  HB  HM là phân giác ngoài 1 1  K B K K 1 1 1 5  K B MK  B K KB góc  KHK 1 1 1  
( tính chất phân giác) . Mà 1   K K  K K . 1 B K MK 1 5 1 6 1  MK K K 1 1 6   MK KB
66) Chứng minh HB là phân giác góc  KHK . 1 B2 K B K1 M O H C  O  KK   K HM
Chỉ ra tứ giác OKK H là tứ giác nội tiếp nên 1 1 mà  OKK   OK K ( do OKK cân) 1  1 1 1 O  K H   OK K  1  BHK   0 OHK  90 Nên  K HM   OHK mà    BHK  
BHK  HB là phân giác góc  KHK . 1  1 B K H   1 0 K HM  90  1 1 67) Chứng minh 2
OK  OH.OM từ đó chứng minh OK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp H  MK 1 1 1 K B K1 M O H C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 2 O  B  OH.OM Chỉ ra 2   OK  OH.OM . 1 OB  OK  1 OK OM + Chỉ ra 2 1 OK  OH.OM    O  HK ∽ O  K M c  g  c . 1 1 1   OH OK1 Từ đó suy ra góc  OK H  
OMK  OK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp H  MK . 1 1 1 1
68) Từ B kẻ đường thẳng song song MC cắt O tại B , nối MB  O  B . Chứng minh góc 4   4 5  BB C   MB C 5 5 B B5 M O B4 C
Vì tứ giác BB CB nội tiếp nên  BB C   0 BB C  180 . 4 5 4 5  BB B   B MC slt 4 5 4     MB C   B CM Chỉ ra 4 5    BB C   CB M .  BB B   MB C   5 5 0 BB C  180 4 5 4 5  B MC   B CM  0 CB M  180   4 5 5
69) Từ K kẻ tiếp tuyến K K với O , K là tiếp điểm . Chứng minh HK M vuông. 3 3 4 4 4 B2 K B K1 K3 O H M K4 Ta có: O  K K vuông tại 2 2 2 2
K  OK  K K  OK  OH  HK 4 4 3 4 3  3  4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 OH  HK  2.OH.HK  OH  HK  OH.HM  OH  HK  BH  HK  OB 3 3 3 3 3
Mà OK  OB  R  K K  HK  K K  HK  K M  H
 K M vuông tại K ( tính chất trung 4 3 4 3 3 4 3 3 4 4
tuyến của tam giác vuông).
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
70) Giả sử KK  3K M và P là trung điểm KM . Chứng minh KM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại 1 1 1 tiếp OHP . 1 K B P1 K1 M O H K3 K4 Ta có: 2 2
BM  MK .MK  MK .4MK  4MK  BM  2MK mà MP  2MK  PM  MP . 1 1 1 1 1 1 1 1 Mặt khác: 2 2
BM  MH.MO  MP  MH .MO . 1
Từ đó các em chứng minh MHP ∽ MPO c  g  c   MP H   MOP . 1 1 1 1
Suy ra MK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OHP . 1 B Q  KO  Q CB KB
71) Gọi trung điểm BK là Q , 2 1 2 . Chứng minh 2 2  và Q Q / /KB . 1 B OKB  Q  OC KQ 2 3 2 2 3 1 B2 K Q1 B Q3 B1 Q2 M O H C CB KB Chỉ ra 2 2 KB .KC  K .
B CB  KB .2OC  2KQ .CB  KB .OC  KQ .CB   . 2 2 2 1 2 2 1 2 OC KQ1 CB KB + Từ 2 2 
 B Q K ∽ B OC c  g  c  B Q K  B OC  Q Q K  KOB . 2 1 2       2 1 2 2 1 2 OC KQ1 Q K Q K
Nên Q Q K ∽ Q OK  g  g  1 2   . 2 1 3 OK Q K 3
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành Q K Q K Xét O  Q K và Q Q K có  OKB chung và 1 2  nên 1 3 2 OK Q K 3
OQ K ∽ Q Q K c  g  c   Q Q K   0
OQ K  90 mà  B K  KC  Q Q / /B K . 1 3 2 3 2 1 2 2 3 2 BM  KC  S 72) Cho 
. Chứng minh M là trung điểm JC . C  M  KB  J S K B J O H M C X  MCB   0 MJB  90 Vì MB  MC gt   MBC   MCB mà    MJB      cân tại M MBC   MBJ MBJ 0 MBJ  90
 MB  MJ . Vì MB  MC  MJ  M là trung điểm CJ .
73) OB CM  X . Chứng minh SX / /BC .
Xét MSX có hai đường cao SC và XP nên O là trực tâm M  SX  MO  SX . Vì MO  BC  SX / /BC . 74) Chứng minh XK  SJ . Do BK / /MO  BK  SX . Xét S
 JX có SC và KJ là đường cao nên K là trực tâm S  JX  XK  SJ .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 75)
Từ M kẻ cát tuyến MDD ( tia MD nằm giữa tia MB và MO ), gọi D là trung điểm DD, 1
OD  BC  D . Chứng minh các điểm O,C, M , B, D cùng nằm trên một đường tròn, các điểm 1 2 1
M , H , D , D cùng nằm trên một đường tròn. 1 2 D2 B D' D1 D O H M C
Chỉ ra các điểm O,C, M , B, D đều cách đều trung điểm của OM ( dựa vào tính chất trung tuyến tam giác 1
vuông) hoặc các đỉnh C, B, D đều nhìn MO dưới một góc vuông. 1
Chỉ ra các điểm M , H , D , D đều cách đều trung điểm của D M ( dựa vào tính chất trung tuyến tam giác 1 2 2 vuông) hoặc  MHD   0 MD D  90 . 2 1 2 76)
Cho O và điểm M cố định. Khi cát tuyến MDD thay đổi, tìm quỹ tích điểm D . 1 D2 B D' D1 D O H M C Vì  0
OD M  90 nên điểm D nằm trên đường tròn đường kính OM . Do đó khi cát tuyến MDD thay 1 1
đổi, thì quỹ tích điểm D chạy trên đường tròn đường kính OM . 1 77) Chứng minh 2 2 2
OH.OM  OD .OD  OB  R  OD . 1 2 Chỉ ra OHD ∽ O
 D M g  g  OH.OM  OD .OD . 2 1   1 2 Chỉ ra 2 2
OH.OM  OB  R ( hệ thức lượng) Suy ra 2 2 2
OH.OM  OD .OD  OB  OD  R . 1 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành D2 B D' D1 D O H M C 78) Chứng minh 2 CM  M . D MD  MH.MO . Cách 1: Ta có: M .
D MD  MD  D D MD  D D  MD  D D MD  D D 1 1
 1 1   1 1  1 1  2 2  D M  D D   2 2 OM  D O    2 2 OD  D O  2 2 2 2 2
 OM  OD  OM  OC  CM ( đpcm) 1 1 1 1
+ Trong tam giác vuông OCM , đường cao 2 CH  CM  MH.MO . Cách 2:  1  Chỉ ra  MBD   MD B   sd  BD  M  BD ∽ M  D B    g  g 2 2  BM  M . D MD  CM  M . D MD  2  79) Chứng minh 2 OH.OM  M . D MD  MO . 2 O  H.OM  OB 2 2 2   OH.OM  M .
D MD  OB  BM  MO . 2 M . D MD  MB 80)
Chứng minh MBD ∽ MD B  và góc  MBD   MD B  . Cách 1: Ta có: 2 2 CM  M . D MD  BM  M . D MD .
Từ đó suy ra MBD ∽ MD B
 c  g  c   MBD   MD B
 ( hai góc tương ứng) .  1  Cách 2:  MBD   MD B   sd  BD  M  BD ∽ M  D B    g  g .  2  81) Chứng minh M  DH ∽ M  OD và góc  MHD   MD O  . 2 MB  M . D MD Do   M . D MD  MH.MO . 2 MB  MH.MO
Từ đó suy ra MDH ∽ MODc  g  c   MHD   MD O
 ( hai góc tương ứng) . 82)
Giả sử độ dài dây cung DD không đổi. Chứng minh BC luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi.
Do DD nên khoảng cách từ O đến DD là OD không đổi. 1
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 2 R Mặt khác 2 OD .OD  R  OD 
không đổi nên D cố định. 1 2 2 OD 2 1
Suy ra BC luôn đi qua điểm cố định là D . 2 83)
Chứng minh D D là tiếp tuyến của O ( hoặc chứng minh OD  D D  ) 2 2 OD OD Ta có: 2 2 1 OD .OD  R  OD   . 1 2 OD OD2 OD OD Xét O  D D và O  D D  có  D O  D chung và 1  nên OD D ∽ O  D D  c  g  c 1 2   1 2 1 OD OD2 Suy ra  OD D    0
OD D  90  D D là tiếp tuyến của O . 2 1 2 D2 B D' D1 D O H M C 84)
Nếu đề bài đổi thành tiếp tuyến tại D và D cắt nhau tại D , chứng minh B,C, D thẳng hàng. 2 2 2 2 O  H.OM  OB  R Chỉ ra 
 OH.OM  OD .OD  OHD ∽ O  D M c  g  c 1 2 2 1   2 2 O  D .OD  D O   R  1 2   OHD   0
OD M  90  HD  OM mà BC  OM  B,C, D thẳng hàng. 2 1 2 2
Cách khác: Các em có thể chỉ ra hai tứ giác OD D  D và OD D
 H nội tiếp nên 5 điểm O, D, D, H , D 2 2
cùng thuộc một đường tròn, suy ra  OHD   0
ODD  90  HD  OH mà BC  OH  B,C, D thẳng 2 2 2 2 hàng. 85)
Từ D kẻ đường thẳng song song BC cắt O tại D . Chứng minh D , H, D thẳng hàng. 5 5 B D' D3 D M O H D5 C
Vì BH là phân giác góc  D H
 D ( đã chứng minh ở các câu khác) Mà  OHB   0 MHB  90   OHD   DHM .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành Vì D D
 / /BC  OH là trung trực D D    OHD   OHD   OHD   DHM . 5 5 5 5 Ta có:  OHD   OHD   DHM   0
OHD  180  D , H , D thẳng hàng. 5 5 86)
Gọi MO  KD  G , CG  O  G , D G   DK  G ,G K  D D   G . Chứng minh 1 1   2 2 3 2 4  CD D  
KOG từ đó cứng minh OKG ∽ D
 DC ( hoặc các tỉ số từ tam giác đồng dạng) 1 1 1 1 G3 K B D' D G 1 4 D G M 1 O G2 C Chỉ ra  CD D   MOC   KOG và  G KO   D DC ( góc nt chắn cung  D C  ). 1 1 1 1 87)
Chứng minh G ,O, D thẳng hàng và G G  G D . 2 3 4 2 G3 K B D' D G 1 4 D G M 1 O G2 C OK DD 2OK 2DD KC DD Vì 1 1 OKG ∽ D DC        DCD∽ K  G C c  g  c 1 1 1   KG DC KG DC KG DC 1 1 1 Suy ra  KCG   DD C    DCM   G CD   G CO   COD   DCM   0
COD  90  G D là đường kính của 1 2 1 2
đường tròn O  G , D,O thẳng hàng và  G D D    0
G KD  90  G là trực tâm 2 2 2 4 G DG  G G  G D 2 3 3 4 2 88)
Từ D kẻ đường thẳng song song BM cắt BC, BD tại C , C . Chứng minh tứ giác CDC D nội 4 5 4 1
tiếp và C là trung điểm DC . 4 5 B C5 D' C4 D1 D M O C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Vì CD BM nội tiếp nên  D CB   D MB  
D DC slt  CDC D là tứ giác nội tiếp. 1 1 1 4   1 4 1
Vì CDC D nội tiếp nên  DD C   DCC mà  DCC   DD B    DD B    DD C  D B  / /D C . 4 1 1 4 4 4 1 4 1 4 Mà D là trung điểm D D
  C là trung điểm DC . 1 4 5 89)
Gọi MD  BC  D . Chứng minh MD và D D là phân giác trong và ngoài của góc  CD B và 3 1 1 2 1 BD .CD  BD .CD . 2 3 3 2 D2 B D' D1 D3 D M O H C
+ Chỉ ra tứ giác OD BM là tứ giác nội tiếp nên  MD B  
MOB ( góc nt cùng chắn cung BM ) 1 1
+ Chỉ ra tứ giác OD MC nội tiếp nên  MD C  
MOC ( góc nt cùng chắn cung MC ). 1 1 Mà  MOC   MOB   MD B  
MD C  MD là phân giác góc  CD B . 1 1 1 1
Hoặc các em chỉ ra : 5 điểm M ,C,O, D , B cùng thuộc một đường tròn, 1 mà MB  MC   MD B  
MD C ( góc nt chắn hai cung bằng nhau) 1 1
 MD là phân giác góc  CD B . 1 1
+ Vì D D  D M  D D là phân giác ngoài của góc  CD B . 1 2 1 1 2 1 BD BD
Áp dụng tính chất phân giác ta có: 3 2   BD .CD  BD .CD 2 3 3 2 CD CD 3 2 90) Chứng minh D D  .D D  D . B D C 3 3 3 3 B D' D D3 M O H C Chỉ ra D
 BD∽ D DC g  g  D D  .D D  D . B D C . 3 3   3 3 3 3
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 91)
D C  O  C . Chứng minh C B / /D D  . 1   2 2 C2 B D' D1 D M O C
Chỉ ra tứ giác BMCD nội tiếp, suy ra  CD M  
CBM ( góc nt cùng chắn cung CM ) 1 1 Mà  CC B  
CBM ( góc nt cùng chắn cung BC ) 2 Suy ra  CD M  
CC B , mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên C B / /D D  . 1 2 2 92)
Kéo dài BD  O  C . Chứng minh CC / /D D  . 1   3 3 B D' D1 D M O C3 C
Chỉ ra tứ giác OD BM là tứ giác nội tiếp, suy ra  MD B  
MOB ( góc nt cùng chắn cung BM ) 1 1 1 Mặt khác  CC B  .  COB  
MOB ( tính chất góc nội tiếp và góc ở tâm) 2 2 Suy ra  CC B  
MD B , mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên CC / /D D  . 2 1 2  1 
Các em cũng có thể chỉ ra  CC B   MCB  sd  BC  
MD B ( góc nt chắn cung BM ) 2   1  2  93)
Đề bài có thể thay đổi, kẻ dây CC / /D D  . Chứng minh góc  C BO   D M  O hoặc chứng minh 3 3
C , D , B thẳng hàng, hoặc C B  D D
  D chứng minh D là trung điểm D D  . 3 1 3 1 1 B D' D1 D M O C3 C 1
Gọi BC  MD  D . Vì CC / /D D    C D D   BC C  sd  BC 4 4 3 3 4 3 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành   0 CD O  90   0 C D D  90  sd  BC 4 3 4 1 1 Mà  BMO   0 BMC  180    BOC  0  90  sd  BC   BMO   CD O  OMBD nội tiếp 4 4 2 2 nên  OD M   0 OBM  90  OD  D D   D  D . 4 4 4 1
Vì OMBD là tứ giác nội tiếp nên  C BO   D M  O . 1 3 2 1 1 94)
Gọi MD  BC  D . Chứng minh M . D MD  MD .MD và   3 3 1 MD MD MD 3 B D' D1 D3 D M O H C3 C 2 M . D MD  BM Chỉ ra   M . D MD  MD .MD . 3 1 2 MD .MD  MH.MO  MB  3 1 + Ta có: MD .MD  M .
D MD  MD .MD  MD .MD  2M . D MD 3 1 3 1 3 1
 MD . MD  DD  MD . MD  DD  2M . D MD 3  1  3  1 
 MD .MD  MD .DD  MD .MD  MD .DD  2M . D MD 3 3 1 3 3 1
 MD .MD  MD .MD  2M . D MD 3 3 2 MD  MD 2 1 1  MD MD  MD  2M . D MD      3   MD M . D MD MD MD MD 3 3 95)
Kéo dài BD và BD cắt C C tại C , C . Chứng minh rằng C là trung điểm C C . 3 6 7 3 6 7 B D' C6 D1 D M O H C3 C C7 Chỉ ra D D
 / /C C ( đã chứng minh trên) 6 7
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành D D  BD DD Áp dụng định lí Talet: 1 1 1   , mà DD  D D  nên C C  C C . C C BC C C 1 1 3 6 3 7 3 6 3 3 7 96)
Cho O , M và B cố định. Chứng minh trọng tâm BD D  và C  D D  luôn chạy trên một
đường tròn cố định ( hoặc chứng minh đường tròn ngoại tiếp BD D  và C  D D  có cùng bán kính). B B D' D' G D1 D D1 D O2 O H M M G' O1 O H O1 O3 C C 1
Gọi O là trung điểm OM  O cố định và O D  OM không đổi. 1 1 1 1 2
+ Trên BO lấy điểm O sao cho BO  2O O  O cố định ( do B,O cố định) 1 2 2 1 2 2 1 BG BO 2 2 1 OM
Gọi G là trọng tâm BD D  . Ta có: 2 
 2  GO / /D O và GO  D O  . OM  2 1 1 GD O O 2 1 1 3 3 2 3 1 1 2 không đổi. OM  OM  Vì O cố định và GO  không đổi nên G  O ; . 2 2   3 2  3   OM  Vậy trọng tâm BD D
 luôn chạy trên một đường tròn O ;  cố định. 2   3 
+ Trên CO lấy điểm O sao cho CO  2O O  O cố định ( do C,O cố định) 1 3 3 1 3 3 1 CG CO 2 2 2 1 1 Gọi G ' là trọng tâm 3 CD D      G O  / /D O và G O   D O  . OM  OM . 3 1 1 CD CO 3 3 1 1 3 3 2 3 1 1  OM  Do đó G O ;  cố định. 3   3  97)
Từ D kẻ đường thẳng song song CM cắt BC, CD tại E, F . Chứng minh BDED là tứ giác nội 1
tiếp và E là trung điểm FD .
(Bài có thể thay đổi qua D kẻ đường thẳng song song CD cắt BC tại E ) 1 B D' D1 D O M E F C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Chỉ ra tứ giác D BMC nội tiếp nên góc  D BC  
D MC ( góc nt chắn cung D C ) 1 1 1 1 Mà  D MC   D DE ( đồng vị) nên  D BC   D DE   D BE  
D DE . Từ đó suy ra BDED là tứ giác nội 1 1 1 1 1 1 1 tiếp.
+ Vì BDED là tứ giác nội tiếp nên  ED D  
EBD ( góc nt chắn cung ED ) 1 1 Mà  EBD   CD D
 ( góc nt chắn cung DC ). Suy ra  ED D   CD D
 , suy ra ED / /CD mà D là trung điểm D D
  E là trung điểm DF ( tính chất 1 1 1 đường trung bình) . 98)
ED cắt OM tại F . Chứng minh ED BD và OEF B là tứ giác nội tiếp. 1 1 1 B B D' D' D1 D D1 D O F M O F M 1 E 1 E F F C C  1  + Chỉ ra  ED D   CD D  slt  CBD  sd  CD   ED D   EBD . 1   1  2 
Từ đó suy ra ED BD là tứ giác nội tiếp. 1
+ Vì ED BD là tứ giác nội tiếp nên  EDB  
DD B (góc nt chắn cung BD ) 1 1
Mà tứ giác OMBD là tứ giác nội tiếp nên  DD B  
BOM ( góc nt chắn cung BM ) 1 1 Suy ra  F EB  
F OB  OEF B là tứ giác nội tiếp. 1 1 1  BD CD   99) Phân giác góc 
DBD cắt MD tại H . Chứng minh rằng :  D B  D C  và CH là phân 1 1 BM  MH  CM  1 giác góc  D C  D . B D' H1 D O M C H2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành BD MB + Vì M  DB ∽ MBD   . D B  D M  DC MC BD CD + Tương tự: MDC ∽ M  CD   mà MC  MB   . D C  D M  D B  D C  BD H D BD CD CD H D + Ta có: 1 
( tính chất phân giác) mà  nên 1  D B  H D D B  D C  D C  H D 1 1
Suy ra CH là phân giác góc  D C  D . 1
+ Gọi BH  O  H . Vì  H BD   H BD   D H    DH . 1   2 2 2 2 2 1 1 1 Mà  H BM  sd  BH  sd  BD  sd   DH   sd  BD  sd   D H     BH M . 1 2 2 2 1 2 2 2 Do đó B
 H M cân tại M  MB  MH mà MB  MC nên BM  MH  CM 1 1 1
100) Chứng minh tứ giác D O  HD nội tiếp. Vì M  D O  ∽ MHD   MD O    MHD   OD D    OHD   DHM   0 OHD  180 . Xét tứ giác D O  HD có  DHM   0
OHD  180 mà đây là hai góc đối nhau nên D O
 HD là tứ giác nội tiếp. B D' D M O H C
101) Đề bài có thể thay đổi thành: Chứng minh đường tròn ngoại tiếp HD D  hoặc D  O  D luôn đi
qua một điểm cố định, hoặc tâm đường tròn ngoại tiếp HD D
 luôn chạy trên một đường thẳng cố định…. B D' D M O H I C
+ Các em sẽ thấy, tứ giác OHDD là tứ giác nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác HD D  luôn đi
qua điểm cố định O và đường tròn ngoại tiếp tam giác OD D
 luôn đi qua điểm cố định H .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
+ Vì OHDD là tứ giác nội tiếp nên tâm đường tròn ngoại tiếp HD D
 luôn nằm trên đường trung trực đoạn OH .
102) Chứng minh DI là phân giác góc HDM ( với I  MO  O ) B D' D M O H I C MD MO MO Vì MD O  ∽ M  HD      1 . HD OD OB MI MB
Mà BI là phân giác góc  HBM   2 IH BH MO MB MI Chỉ ra MHB ∽ M  BO g  g    3 . BO HB HI MD MI Từ   1 23  
 DI là phân giác góc  HDM . HD HI 103) Chứng minh  MOD  2 MDI B D' D M O H I C
Vì tứ giác HODD là tứ giác nội tiếp nên  HOD   HDM .
Mà DI là phân giác góc  HDM   HOD  2.  MDI .
104) Kéo dài OM cắt O tại điểm thứ hai là I . Chứng minh M . D MD  MI.MI 1 1 B D' D I1 O I M C
Vì IDD I là tứ giác nội tiếp nên  D I I   IDM . 1 1 Từ đó suy ra MID ∽ M  D I g  g  M . D MD  MI.MI . 1   1
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
105) Tiếp tuyến tại I cắt nửa đường tròn đường kính MI tại X , CO  X I  X . Chứng minh 1 1 1 1 2 MX  CX 2 1 X1 B X2 O H I1 M I C Chỉ ra MBI ∽ M  I B g  g 2  BM  MI.MI . 1 1 Mà 2
MX  MI.MI ( hệ thức lượng) suy ra MX  BM  MC  M  X C cân. 1 1 1 1
Do đó M nằm trên đường trung trực CX . 1  MX C   0 CX X  90 M  X C cân  MX C   MCX mà 1 1 2    CX X   X CX  X X C cân nên X 1 1 1  2 MCX   1 2 1 2 2 1 0 X CX  90  1 1 2
nằm trên đường trung trực CX . 1
Vậy MX là trung trực CX nên MX  CX . 2 1 2 1
106) Từ M kẻ cát tuyến MPP song song BD , cát tuyến này cắt CB,CD tại P , P . Chứng minh tứ 1 4 2 3
giác MCP B là tứ giác nội tiếp và P là trung điểm P P ( hoặc OP  P P ) 3 3 4 1 3 1 4 B D' D O M P1 P2 P3 P4 C  1  Chỉ ra  MBC   MD C   sd  BC   MPC   ( đồng vị) nên  MBC   MP C . 3  2  3
Từ đó suy ra MCP B là tứ giác nội tiếp. 3
+ Do M ,C,O, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM  5 điểm M ,C,O, B, P cùng thuộc đường 3
tròn đường kính OM   0
OP M  90  OP  PP  P là trung điểm P P . 3 3 1 4 3 4 1
107) Chứng minh P P . P M  P P. P P 2 3 2 2 1 2 4
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành B D' M O H P1 P2 P3 P4 C P P .P M  P C .P B Chỉ ra 2 3 2 2 1 2   P P .P M  P P.P P 2 3 2 2 1 2 4 P P.P P  P C .P B  2 1 2 4 2 1 2
108) Đường thẳng OP cắt O tại Y ,Y (Y nằm trên cung nhỏ D B
 ). Y P  O  Y . Chứng minh 2 2   3 2 3 3 4
Y ,Y , M thẳng hàng hoặc chứng minh tứ giác Y PY M nội tiếp. 3 4 2 3 4 Y3 Y3 B B D' D' Y4 Y4 M M O H O H P1 P1 P2 P2 P3 P3 P4 P4 C C Y2 Y2
Chỉ ra P P .P P  PY .P Y mà P P . P M  P P.P P nên P P . P M  P Y .P Y 2 1 2 4 2 4 2 2 2 3 2 2 1 2 4 2 3 2 2 4 2 2
Từ đó chứng minh P PY ∽ P Y M c  g  c   Y Y M   0
Y P M  90  Y Y  Y M . 2 3 2 2 4 2 4 2 3 2 4 4
Vì Y Y là đường kính O  Y Y  Y Y . 2 3 2 4 3 4
Từ đó suy ra Y ,Y , M thẳng hàng. 3 4
109) Chứng minh P P . P M  PP . P P 3 2 2 1 2 2 4 B B D' D' D D O M O M P1 P1 P2 P2 P3 P3 P4 P4 C C P P P C Chỉ ra P P C ∽ P  BP g  g  2 4 2    P P .P P  P C .P B . 2 4 2 1 2 4 2 1 2 2 P B P P 2 2 1
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành P C P P Chỉ ra P CP ∽ P  MB g  g    P C .P B  P P .P M . 2 3 2   2 2 3 2 2 2 3 2 P M P B 2 2
Từ đó suy ra P P . P M  PP . P P . 3 2 2 1 2 2 4
110) Kéo dài OP cắt đường tròn O tại P , P ( P thuộc cung nhỏ BD ). Nối P P cắt đường tròn 3 5 6 5 6 2
O tại P . Chứng minh M, P , P thẳng hàng. 7 5 7 P5 B D' P7 D O M P1 P2 P3 P4 C P6
Vì P P là đường kính O  P P  P P 1 . 6 7 5 7   5 6 P P P P Ta có: 3 2 2 7
P P . P M  PP . P P  P P . P P  P P . P M  P P . P P   . 3 2 2 1 2 2 4 2 7 2 6 3 2 2 2 7 2 6 P P P M 2 6 2
Từ đó suy ra P P M ∽ P P P c  g  c   P P M   0
P P P  90  P P  MP 2 . 2 7 2 3 6 2 7 2 3 6 2 7 7   Từ  
1 2  M , P , P thẳng hàng. 5 7 111) Chứng minh D B  P là tam giác cân. 3 B D' D M O P1 P2 P3 P4 C O  P  PP Vì 3 1 4 
 OP  BD  OP là trung trực BD nên BP  P D  B  P D cân tại P . 3 3 PP / /BD  3 3 3 3 1 4
112) Cho B,C và O cố định. Tìm vị trí cát tuyến MDD để diện tích P  BC lớn nhất. 3 B D' D M O P1 P2 P3 P4 C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành Ta có:  BPC   CD B    P BD  2.  CD B
 ( tính chất góc trong – góc ngoài tam giác) 3 3
Mà B,C,O cố định nên góc  CD B  không đổi, suy ra  BPC  2.  CD B  không đổi. 3 1 Mà S  .PC.P B.sin  BPC  S
lớn nhất khi PC. P B lớn nhất.   3 P BC 3 3 3 3 2 P BC 3 3 2  PC  P D  D C  2 2 D C  4R Ta có: 3 3 PC.P B  PC.P D   mà 2 CD  2R  P C. P B    R . 3 3 3 3  2    4 3 3 4 4
Dấu bằng xảy ra khi CD là đường kính của O .
113) Tiếp tuyến của đường tròn O tại I cắt đường tròn đường kính MI tại M , M I  OC  M . 1 1 1 1 2
Chứng minh tứ giác MCM M là tứ giác nội tiếp, MM  MC ; CM  MM . 2 1 1 1 2 M1 B M2 I1 O I M C
Vì MI là đường kính nên  0 M M M  90  
M CM  MCM M là tứ giác nội tiếp. 1 2 1 2 2 1 + Chỉ ra 2 2
MM  MI.MI  MC  MM  MC . 1 1 1
+ Vì tứ giác MCM M nội tiếp đường tròn đường kính MM mà MM  MC  MM là đường trung 2 1 2 1 2 trực CM  CM  MM . 1 1 2
114) Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp IMI , E là tâm đường tròn ngoại tiếp M  D D  , E là 1 1 2 2 3
trung điểm của M M . Chứng minh E , E , E thẳng hàng. 1 2 1 2 3 M1 E3 D' E2 M2 D V I1 O I M E1 C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
+ Gọi MM  CM  V . Ta có: 2 2
MV .MM  MM  MC  MI.MI  M . D MD . 2 1 2 1 1
Từ đẳng thức MV.MM  M . D MD  D D
 VM nội tiếp nên V E . 2  2 2
Từ đẳng thức MV .MM  MI.MI  IVM I là tứ giác nội tiếp nên V E . 1  2 1 2 1
Suy ra E , E cắt nhau tại hai điểm M , V  E E là trung trực VM . 1   2  2 1 2 2
Vì E E / /CM và E E đi qua trung điểm VM nên E E đi qua trung điểm M M . 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
Vậy E , E , E thẳng hàng. 1 2 3
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành