Chùm bài toán tiếp tuyến – cát tuyến ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Tài liệu gồm 44 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Chí Thành, tuyển chọn 114 bài toán tiếp tuyến – cát tuyến ôn thi vào lớp 10 môn Toán, đây là dạng toán phổ biến trong các đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán.

80 40 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

CHÙM BÀI TOÁN

TIẾP TUYẾN – CÁT TUYẾN

ÔN THI VÀO 10

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: Cho





;

O R

và điểm

nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến

với đường tròn, dây

vuông

góc

tại

1) Chứng minh

OH OM R



Vì

là tiếp tuyến





O BM OB

  

OBM



vuông tại

B BH

là đường cao .

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông

2 2

: .

OBM OM OH OB R

 

2) Chứng minh

MB MC



HB HC



Xét hai tam giác vuông

OHB



và

OHC



có

OB OC R

 

chung.

Từ đó chỉ ra

 



BOH COH

OHB OHC cgv

HB HC







   









Từ đó suy ra





OMB OMC c g c MB MC

       .

3) Chứng minh

là tiếp tuyến đường tròn.



OMB OMC OCM OBM CM

      

là tiếp tuyến của





Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

4) Chứng minh tứ giác

MBOC

nội tiếp đường tròn, tìm tâm đường tròn đó.

Chỉ ra



180

MBO MCO MBOC

  

nội tiếp, tâm nằm ở trung điểm

5) Bài có thể thay đổi lại đề bài, cho hai tiếp tuyến

MB MC

. Chứng minh

BC OM



+ Lập luận vì

MB MC M

 

nằm trên trung trực

OB OC O

 

nằm trên trung trực

Vậy

là trung trực

BC OM BC

 

+ Hoặc chỉ ra

MB MC



và

là phân giác góc



BMC

( tính chất tiếp tuyến) nên

là đường cao

MBC OM BC

  

6) Tính

MB MC

, góc



BMC

biết

OM R



Chỉ ra

2 2

. .2 2

2 2 2

R R R

OB OH OM R OH R OH HM OM OH R          

Tính

2 2

3 3

BM OM OB R MC MB R     

 



0 0

sin 30 2. 60

BMO BMO BMC BMO

      

7) Cho

CM R



. Tính diện tích

COBM

Vì

1 1 4 4

2 2. . . 2. . .

2 2 3 3

OBMC OCM

OBM OCM S S OC CM R R



       

( đơn vị diện tích)

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

8) Gọi giao

với





là

. Chứng minh

là phân giác góc



MBC

và

là tâm đường tròn nội tiếp

MBC



(Đề bài có thể đổi thành: Chứng minh khi

thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp

MBC



luôn nằm trên

một đường tròn cố định – hoặc chứng minh

cách đều 3 cạnh

, ,

BM CM BC

)

Cách 1: Do

MC MB

là hai tiếp tuyến cắt nhau tại

M MO



là phân giác góc



 

BMC

Ta có:



 



OBI IBM

HBI HIB HBI IBM BI

HIB OBI OI OB R



 



    





  





là phân giác góc



 

CBM

Từ









1 2



là tâm đường tròn nội tiếp

BCM



Cách 2: Do

MC MB

là hai tiếp tuyến cắt nhau tại

M MO



là phân giác góc



 

BMC

Ta có:



BOM COM



( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên cung



CI BI

 .

Mà











CBI sdCI

CBI IBM BI

IBM sd BI







  











là phân giác góc



 

CBM

Từ









1 2



là tâm đường tròn nội tiếp

BCM



9) Chứng minh

IH HB

IM BM



Xét

BHM



có

là phân giác trong của góc



HBM

HI BH

IM BM

 

( tính chất phân giác) .

10) Tìm vị trí điểm

để

BI MC



( hoặc

CI MB



Vì

là phân giác góc



CBM

, để

BI CM CBM

  

cân tại

B CB BM

 

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Mà

BM CM BCM

  

là tam giác đều nên



0 0 0

60 120 60

BMC BOC BOM    

Ta có:



cos 2

cos

OB OB

BOM OM R

BOM

   

Vậy để

BI CM



thì





M O R

 .

11) Từ điểm

trên cung nhỏ

vẽ tiếp tuyến với đường tròn





. Tiếp tuyến này cắt

MB MC

tại

1 2

A A

. Chứng minh chu vi

1 2

MA A



không đổi và độ lớn góc



1 2

AOA

không phụ thuộc vào vị trí điểm

khi

di chuyển trên cung nhỏ

Ta có:

1 1

2 2

MB MC

A B A A

A A A C

















( tính chất tiếp tuyến cắt nhau) .

Chu vi

1 2

MA A



là:













1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

MA MA A A MA MA A A AA MA A A MA AA

         









1 1 2 2

MA A B MA CA MB MC MB

       không đổi khi

di chuyển trên cung nhỏ

Ta có:







1 2 1 2

1 1 1 1

180

2 2 2 2

AOA A OA AOA BAO AOC BOC BMC

      

không đổi.

Vậy chu vi tam giác

1 2

MA A

và độ lớn góc



1 2

AOA

không phụ thuộc vào vị trí điểm

12) Cho

3 , 6

R cm OM cm

 

. Tính số đo góc



1 2

AOA

Ta có:







1 2

180

AOA BMC

 

. Trong tam giác vuông

BMO

ta có:

 



0 0

3 1

sin 30 60

6 2

BMO BMO BMC

      

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Do đó







0 0

1 2

180 60

AOA BMC  

13) Gọi giao

và

với

là

và

. Chứng minh

2 3 1

A A OA



và

1 4 2

A A OA



( hoặc các câu

hỏi liên quan đến ba đường cao của

1 2

OA A



hoặc chứng minh tứ giác

2 3

OCA A

và

1 4

OBA A

và

3 4 2 1

A A A A

là tứ giác nội tiếp)

Ở trên các em đã chứng minh được



1 2

AOA BOC



mà



BCA BOC



( góc ở tâm và góc nt)

Suy ra



1 2 2

AOA BCA



Từ đó suy ra tứ giác

2 3

OCA A

là tứ giác nội tiếp nên



3 2 2

OA A OCA 

Chứng minh tương tự:



1 2 1

AOA CBA BOC

  

tứ giác

1 4

OBA A

nội tiếp nên



4 1 1 1 4 2

OA A OBA A A OA

   

14) Cho góc



BMC 

, gọi giao

và

với

là

và

. Tính tỉ số

1 2

3 4

A A

Đầu tiên các em tính góc



120

BOC 

Ở bài trên các em đã chứng minh được tứ giác

2 3

OCA A

nội tiếp nên



2 3 2 3

OA C OA C OA A OA C

  

( do



2 2

OA C OA A



tính chất tt cắt nhau) . Từ đó suy ra

2 1

3 4 2 1

3 4 2

A A

OA A OA A

A A OA

   ∽

3 2

OA A



vuông tại

và



3 2

. 60

A OA BOC 

nên



3 3

3 4

2 2

cos cos60

OA OA

A OA

OA OA

   

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Vậy

32 1

3 4 2

OAA A

A A OA

 

15) Cho góc



BMC 

và

1 3

2 4

OA BC A

 





 



. Chứng minh

1 2 3 4

. .

AA AA BA CA



Chỉ ra



1 3 1 2 2 4

A BA AOA A CA  

Chỉ ra





 

1 3 4 3

1 3 4 2

4 2

4 3 4 2

A BA A OA g g

A B

A BA A CA

A C CA

A OA A CA g g

  



    



  





∽

Mà

1 1

1 2 3 4

2 2

4 2

. .

A B A A

A A

AA AA BA CA

CA AA

A C AA





   







16) Từ điểm

trên cung nhỏ

kẻ

, ,

AR AT AY

lần lượt vuông góc với

, ,

CB BM CM

tại

, ,

R T Y

Cho góc



BMC 

. Tính góc



TRY

( hoặc chứng minh góc



TRY

không đổi hoặc chứng minh



TRY BMC



)

Chỉ ra

ATBR AYCR

là tứ giác nội tiếp nên

 



ART ABT BOA

 

( góc nt và góc ở tâm)

Và



 







0 0

1 1 1 1 1

180 60

2 2 2 2 2

ARY ACY AOC TRY ART ARY BOA AOC BOC BMC          

17) Chứng minh

AR AT AY



Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Chỉ ra góc



 

AYR ACR ABT ART

ARY ATR g g

ARY ACT ABC ATR



  



   



  





∽

Suy ra

AR AY

AR AT AY

AT AR

  

18) Tìm vị trí điểm

để

. .

AT AR AY

đạt giá trị lớn nhất hoặc

AT AY

đạt giá trị lớn nhất.

+ Ta có:

AT AY AR



Do đó

AT AY

đạt giá trị lớn nhất khi

lớn nhất, suy ra

max

AR AI A I

  

+ Ta có:

2 3

. . .

AT AY AR AT AY AR AR

  

Do đó

. .

AT AR AY

đạt giá trị lớn nhất khi

lớn nhất, suy ra

max

AR AI A I

  

( với





I OM O

  ).

19) Gọi

5 6

RT AB A RY AC A

   

. Chứng minh tứ giác

5 6

AA RA

nội tiếp và

5 6

A A RA



( hoặc

5 6

/ /

A A BC

)

Chỉ ra



ARA ABT ACB

ARA ACY ABC



 





 





Suy ra



5 6 5 6 5 6 5 6 5 6

180

A AA A RA A AA A RA ARA A AA ACB ABC       

Suy ra tứ giác

5 6

AA RA

nội tiếp.

Vì tứ giác

5 6

AA RA

nội tiếp nên



6 5 6 5 6 5 6

/ /

A A A A RA ACY CBA A A BC A A AR

     

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

20) Cho

, ,

A B Y

thẳng hàng, kéo dài

5 6 1

A A BM R

 

. Chứng minh

1 6

BR A R

là hình bình hành ( hoặc khai

thác các yếu tố của hình bình hành này)

Ở trên các em đã chỉ ra

5 6

/ /

A A BC

Mặt khác:



/ /

ABT ACB AYR RY BM

  

. Từ đó suy ra

1 6

BR A R

là hình bình hành.

21) Chứng minh rằng nếu

TR TB



thì

RY RC



Chỉ ra



AYR ART AYR ART

ACR ABT   

Mà



TRB

TRB RYC

RYC

ART

AYR







 













Mặt khác



TB TR TRB TBR RCY RCY RYC RY RC

       

22) Chứng minh rằng tia đối của tia

là phân giác của góc



TAY

Gọi

là tia đối tia

Chỉ ra tứ giác

BTAR

nội tiếp nên



CBT

TAy



Chỉ ra tứ giác

CYAR

nội tiếp nên



BCY

YAy



. Mà



C T

B BCY 

là phân giác của góc



TAY

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

23) Gọi

AB RT A

AC RY A

 





 



. Gọi





là đường tròn đi qua 3 điểm

ATA





là đường tròn đi qua 3 điểm

AYA

và

là giao điểm thứ hai của





và





là trung điểm

. Chứng minh

, ,

A A H

thẳng hàng.

Gọi

là giao

A A

với

5 6

A A

và



là giao

A A

với

Chỉ ra



5 6 6 5 6

A A A BCA A YA A A

  

là tiếp tuyến của





Từ đó chỉ ra được

8 6 8 8 7

A A A A A A

 .

Chứng minh tương tự :



8 5 5 8 5

A A A BCT A TA A A

  

là tiếp tuyến của





suy ra

8 5 8 8 7

A A A A A A



. Từ đó suy ra

2 2

8 6 8 5 8 5 8 6 8

A A A A A A A A A

   

là trung điểm

5 6

A A

+ Do

5 8 6 8 8

5 6

/ /

A A BC H B H C H

A A A A

H H C AH

 

  

     

 

  

 

là trung điểm

BC H H



 

Vậy

, ,

A A H

thẳng hàng.

24) Cho góc



120

BOC 

. Gọi giao

và

với

là

và

. Tìm vị trí điểm

trên cung nhỏ

để diện tích tam giác

3 4

OA A

bé nhất và tìm giá trị bé nhất đó ( hoặc tìm vị trí điểm

để diện

tích

1 2

OA A



bé nhất hoặc độ dài

1 2

A A

bé nhất)

Ta có:

3 4 2 1

OA A OA A

 

∽

theo tỉ số



3 2

cos cos60

K A OA

   

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Suy ra

3 4

2 1

3 4

2 1

4 4

OA A

 



= =

Do đó

3 4

OA A



nhỏ nhất khi

2 1

OA A



nhỏ nhất.

Mà

2 1

1 2 1 2

. .

2 2

OA A

S OA A A A A



  nhỏ nhất khi

1 2

A A

nhỏ nhất.

Mà

1 2

A A

nhỏ nhất khi





A OM O

  . Khi đó

OAB



là tam giác đều nên

OH HA

 

và

OM R



Các em tính được

2 3

BC BH R 

và

AM OM OA R

  

Ta có:

1 2 1 2

1 2

2 . 3

A A A AAM R R

A A

BC MH

    

Khi đó

2 1

1 2

2 . 3 3

. .

2 2 3 3

OA A

R R R R

S A A



  

Nên

2 1

3 4

4 12

OA A



=

25) Qua

kẻ đường thẳng vuông góc với

cắt

MB MC

tại

và

. Tìm vị trí điểm

để diện

tích tam giác

1 2

MO O

bé nhất.

Xét

1 2

MO O



có:

vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên

1 2

MO O



cân tại

Suy ra

1 2 1

1 1

2 2. . .

MO O MOO

S S OB O M R O M

 

  

Mặt khác

2 2

1 1 1

2 . 2 2 2

O M O B BM O B BM OB R R

      .

Dấu bằng xảy ra khi

1 1

O B BM O OM

  

vuông cân nên

OM R .

Vậy

1 2

min 2

MO O

S R



 khi điểm

nằm cách

một khoảng

OM R .

26) Chứng minh ba tam giác

1 1 1 2 2 2

O A O AOA O OA

  

∽ ∽

và

1 1 2 2 2 1

. .

O A O A O O O O



Ta có:









1 2 1 2

1 1 1 1

180

2 2 2 2

AOA A OA AOA POA AOC BOC M

      

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

1 2

MO O



cân tại

( vì

vừa là đường cao, vừa là phân giác) nên











1 2 1 2 1 2

180

O O O O A OA



    

Xét

1 1

O AO



và

1 2

AOA



có:



1 1 1 2

O AO OA A



( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)





1 1 2

O A OA



( chứng minh trên)

Suy ra





1 1 1 2

O AO A OA g g

  

∽ .

Chứng minh tương tự các em sẽ được

1 2 2 2

AOA O OA

 

∽

Vậy

1 1 1 2 2 2

O A O AOA O OA

  

∽ ∽

Chỉ ra

1 1 1

1 1 2 2 1 1 2 2 2 1

2 2 2

. .

O A O O

O AO O OA O A O A O O O O

O O O A

     ∽

( đpcm).

27) Chứng minh

1 1 2 2 1 2

O A O A O O

 

Sử dụng BĐT Cosi:

Ta có:

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

2 . 2 .

O A O A O A O A O A O A O O O O

     .

Mà

1 2

O O

O O O O 

nên

1 2

1 1 2 2 1 2

O O

O A O A O O

 

  

 

 

28) Cho





;

O R

và điểm

cố định. Tìm vị trí điểm

để

1 1 2 2

O A O A



nhỏ nhất.

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Vì





;

O R

và điểm

cố định nên

1 2

O O

không đổi.

Ta có:

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

2 . 2 .

O A O A O A O A O A O A O O O O

     .

Mà

1 2

O O

O O O O 

nên

1 2

1 1 2 2 1 2

O O

O A O A O O

 

  

 

 

Dấu bằng xảy ra khi

1 1 2 2 1 2 1 2

/ /

O A O A A A O O A I

   

( với





I OM O

  )

29) Cho





và

cố định, điểm

di chuyển trên cung nhỏ

. Chứng minh chu vi tam giác

1 2

MA A

không phụ thuộc vào vị trí điểm

Chỉ ra chu vi

1 2

MA A



là:









211 2 1 1 22

2A A A BMA A M MA A MAA CB

MB M M

CA         

không đổi.

Vậy chu vi tam giác

1 2

MA A

không phụ thuộc vào vị trí điểm

30) Cho





và

cố định . Tìm vị trí điểm

trên cung nhỏ

để diện tích tam giác

1 2

MA A

lớn nhất.

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Như trên ta đã chứng minh: Chu vi

1 2

MA A



không đổi và bằng

Đặt

MB a

 

nửa chu vi

1 2

MA A



là

p a



không đổi

và

   

1 2

1 1 2 2

MA A

p p MA p A A p MA

S p p MA p A A p MA



     

 

    

 

 

Ta có:

   

1 1 2 2

3 27

p MA p A A p MA

    

 

    

 

 

Nên

   

1 1 2 2

p p MA p A A p MA   

   

1 2

1 1 2 2

. 27

MA A

S p p MA p A A p MA



     

Dấu bằng xảy ra khi

1 2

MA MA A

 

là giao điểm của

với





31) Kéo dài





 

. Chứng minh tứ giác

MAO

là tứ giác nội tiếp và góc



Z AMC



( hoặc

chứng minh



BMA



hoặc

là phân giác góc



Chỉ ra

. .

Z HB HC HC

M HO HC

HM H HA H

HA H

















 

Từ đó suy ra

 



Z c g c AZO AHO MHA OM

    

 ∽

tứ giác

MAO

là tứ giác nội tiếp.

+ Ta có:



AMO A O



(góc nt chắn cung

) mà



OAZ

A O



(



cân tại O)

Và



Z OMZ



(góc nt chắn cung

) nên



AMO OMZ



mà



BMO CMO



nên



BMA



suy ra



Z AMC



32) Lấy điểm

bất kì trên

, kẻ đường thẳng qua

và vuông góc

, cắt

MB MC

tại

2 3

T T

. Chứng

minh

2 3

OT T



cân.

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Chỉ ra tứ giác

1 2 1 3

;

OT BT OTT C

nội tiếp nên



1 2 1

3 1 1

OBT OT T

OT T OCT















mà



1 2 2 1 3 1 2 3

OB OC OBT OCT OT T OT T OT T

       cân tại

33) Chứng minh rằng nếu

là trung điểm

thì

là trung điểm

, hoặc

3 2

HT BT

là hình bình hành

( hoặc cho

là trung điểm

, chứng minh

là trung tuyến

BMC



, hoặc

MG GH



….)

Chỉ ra

2 3

OT T



cân nên

là trung điểm

3 2

T T

, mà

là trung điểm

3 2

HB HT BT



là hình bình hành, do

đó

3 2

/ /

HT BT

. Dựa vào

MBC



có

/ /

HT BM

mà

là trung điểm



là trung điểm

34) Chứng minh

2 1

. .

OH OT OB OT



Chỉ ra



 

2 1 1 2 1 2 1

. .

OT T OBT OT T OBH g g OH OT OB OT

      ∽

35) Vẽ đường kính

của đường tròn





. Chứng minh / /

BK OM

Vì

OB OC OK R CKB

    

vuông tại

B BK BC

 

mà

/ /

OM BC BK OM

 

36) Đường thẳng vuông góc

tại

cắt

tại

. Chứng minh

. .

HE HC HO HM R

 

Chỉ ra





HOE HCO g g HE HC OH

    ∽ .

Mà

2 2 2 2 2

. . .

HO HM BH HE HC HO HM OH HB OB R

      

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

37) Cho

3 , 5

R cm OM cm

 

. Tính độ dài các cạnh của tam giác

MBC

Ta có:

2 2 2

16 4

BM OM OB BM MC cm

     

. 3.4 12

. . 2 4,8

5 5

OM BM

BH OM OB BM BH cm BC BH cm

       

38) Kẻ

CP BM



tại

CP OM Q

 

. Chứng minh

là trực tâm

MBC



và

BQ MC



. Tính

Xét

MBC



có

MH CP

là đường cao nên

là trực tâm

MBC



và

BQ MC



Chỉ ra





 

/ /

OB CQ MB

OC BQ MC OBQC

BC OQ





 









là hình thoi nên

BQ OB R

 

39) Giả sử





cố định và điểm

luôn chạy trên đường tròn





O R

. Chứng minh khi đó

chạy trên

một đường tròn cố định.

Các em tính được độ dài

3 3

R R

OH OQ Q

   

luôn chạy trên đường tròn

;

 

 

 

40) Chứng minh

là phân giác của góc



KCP

Chỉ ra

 



BHQ CHQ cgv HBQ HCQ

    

/ /

QB KC

( cùng vuông góc

) nên



HBQ KCB



( so le trong )

Suy ra



KCB BCQ BC

 

là phân giác của góc



KCP

41) Tứ giác

OBQC

là hình gì ? Vì sao?

Chỉ ra





 

/ / ,

OB CQ MB

OC BQ CM OBQC

OQ BC





 









là hình thoi.

42) Gọi

là trung điểm

. Chứng minh

OHBQ

là hình chữ nhật.

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Chỉ ra



1 1 1

OQ B Q BH BHO OHBQ

   

là hình chữ nhật.

43) Từ

kẻ đường thẳng song song

và cắt





tại

. Chứng minh

. 2

KY OM R



44) Từ

kẻ đường thẳng song song

và cắt





tại

. Tia

cắt đường tròn tại



, gọi

là

điểm đối xứng với



qua

. Chứng minh

2 3

, ,

Y H M

thẳng hàng.

Cách 1:

Gọi



là giao

Y H

với





. Chỉ ra tứ giác

OHM Y



nội tiếp.

Từ đó suy ra



2 2 2 3

MHM OY M OM Y OHY M HM



  

    .

Từ đó suy ra



3 3

M HM MHM M

 



  và



đối xứng nhau qua

3 3

OM M M



  .

Cách 2:

đối xứng



qua

nên



3 3 3 2

M OM M OM M OM M Y M

  

  

Mặt khác tứ giác

OHM Y



nội tiếp nên



2 2 2 2

M OM M Y H M Y H M Y M

   

   .

Vậy

2 3

, ,

Y H M

thẳng hàng.

45) Từ

kẻ

BF KC



tại

2 3

BF KM F

 

. Chứng minh

là trung điểm

F B

và

là phân giác

góc



MBF

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Chỉ ra

2 3

/ /

F F

CM CM

KF KC OC

F F CM  

Chỉ ra





 

2 2

F B

KB HCM sd BC F H

BK M

C g g

 

      

 







∽

Chỉ ra

 

HOC HCM g g

HM CM

HC O

   ∽

Từ 3 đẳng thức trên các em suy ra :

2 2 2

2 3 2 3

2 3 3

22 2

1 1 1

. . .

2 2 2 2

F F B F B F B

OC KF K

FF F

F F F

KF KF F

   

là

trung điểm

F B

+ Chỉ ra



F BC CKB

 ( cùng phụ



F BK

) mà





CKB CBM sd BC

 

 

 

 

Suy ra



F BC CBM BC

  là phân giác góc



MBF

46) Qua

kẻ đường thẳng vuông góc

cắt

tại

. Chứng minh

OY M



cân.

Chỉ ra

 



 



1 1 1 1

/ /

OY MB OB Y OM OMB slt OMY OY M

      cân tại

47) Gọi

là điểm chính giữa cung

I I

. Từ

kẻ

3 3 1

HH B I



tại

, kẻ

4 3

HH B I



tại

. Chứng

minh 5 điểm

4 3 3

, , , ,

O H H B H

cùng thuộc một đường tròn.

Chỉ ra 5 điểm

4 3 3

, , , ,

O H H B H

cùng nằm trên đường tròn đường kính

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

48) Gọi

là điểm đối xứng với

qua

3 4

H H

. Chứng minh

4 5 3 3

H H B H

là hình thang cân.

Chỉ ra

4 4 5

3 3 5

H H H H











( tính chất đối xứng trục)

nên

 



3 5 4 3 4 3 5 4 3 4 4 5 3 3

H H H H HH g g g H H H H HH H H B H

        

là tứ giác nội tiếp.

Vì



4 5 4 3 3 3 5 3 4 3 5

H H HH B H B H H H H H

   

( góc nt chắn hai cung bằng nhau)

Suy ra

3 5 3 4 4 5 3 3

/ /

B H H H H H B H



là hình thang.

Vì hình thang

4 5 3 3

H H B H

là tứ giác nội tiếp nên

4 5 3 3

H H B H

là hình thang cân.

49) Chứng minh rằng





H O

 .

Chỉ ra



5 3 3 3

OH H OB H

OB I



 











, mà

4 5 3 3

H H B H

là tứ giác nội tiếp và

4 5 3 3

H H B H



nên góc



4 3 5 3 5 3 3 5 5 3 5 3

H B H B H H OB H OH B OH B

    

cân tại





5 3 5

O OH OB R H O

    

50) Tiếp tuyến tại

cắt

tại

. Chứng minh

3 4 6

, ,

H H H

thẳng hàng.

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Tứ giác

4 3

OHH H

nội tiếp nên



4 3 4 3

0 0

5 4 3 4 4 4 5 6

5 6

45 45

IHH OH H OB I

OH H OB H H HI H H H

OH H



  



    











Mà



4 5 4 5 5 6 5 6 6 5 6 6

H H H H HH HH H H HH H H H H H

      nằm trên trung trực

Mà

3 4

H H

là trung trực

nên

3 4 6

, ,

H H H

thẳng hàng.

51) Giả sử

cố định và

thay đổi sao cho

là tiếp tuyến của





. Tìm quỹ tích điểm

khi

thay đổi.

OBQC

là hình thoi nên

BQ OB R

 

mà

cố định nên





;

Q B R

 .

52) Gọi

là trung điểm





1 1 2

MK O K

MK BC B

C K BC B

 





 





 



. Chứng minh

. .

MK MK MH MO



Chỉ ra

CKM



vuông tại

và có

là đường cao nên

MK MK CM



Chỉ ra

OCM



vuông tại

có

là đường cao nên

MH MO CH



Từ đó suy ra

. .

MK MK MH MO



53) Chứng minh

MK H MOK

 

∽

và góc



MHK MKO

MK O MOK















. Từ đó suy ra

OKK H

nội tiếp.

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Xét

MK H



và

MOK



có: góc



KMO

chung và

MO MK



Từ đó suy ra

MK H MOK

 

∽

Vì

MK H MOK

 

∽

nên



MHK MKO

MK O MOK















Xét tứ giác

OKK H

có



1 1 1 1

180

OKK OHK K HM OHK   

, mà đây là hai góc đối nhau nên tứ giác

OKK H

là tứ giác nội tiếp.

54) Chứng minh

1 1

C K

là tiếp tuyến của





Chỉ ra

CMK



vuông tại

1 1 1 1 1 1 1

K K C C C C M C K C

    

cân tại

Chỉ ra

 



1 1 1 1 1 1

OC K OC C c c c OK C OCC       

Từ đó suy ra

1 1

C K

là tiếp tuyến của





55) Gọi

là trung điểm

. Chứng minh

B K

là tiếp tuyến của





Vì

là trung điểm



2 1

2 1 2

OK KK

KOK K OK

















giả sử

OK BC B



 

. Ta sẽ chứng minh

B B



, tức là chứng minh

B K

là tiếp tuyến





Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Ta có:





2 2 2

2 2 1

. .

OK M OHB g g OK OB OH OM OB R OK

 

       ∽

 



2 0

2 1 2 1 1 1 2 1 1

. 90

OK OB OK OK K OK B c g c OK B OK K B K

   

          ∽

là tiếp tuyến của





, suy ra

B B





Từ

 



2 1 2 2 1 2

OKB OK B c g c OKB OK B       

nên

B K

là tiếp tuyến của





56) Chứng minh

1 2

MHB B HO

 

∽

. Từ đó suy ra

2 1

. .

HO HM HB HB BH

 

Các em chỉ ra



1 2

HMB HB O

 ( cùng phụ



HPB

Từ đó suy ra





1 2 2 1

. .

MHB B HO g g HO HM HB HB

    ∽ và

HO HM BH



57) Chứng minh

1 2

4 .

BC HB HB



Chỉ ra

2 1

. .

BH HO HM HB HB

 

mà

2 1 1 2

. 4 .

2 2

BC BC

BH HB HB BC HB HB

 

    

 

 

58) Chứng minh

2 2

. .

OH OM OK OB R OB

  

( hoặc chứng minh

2 2

OK OB

không đổi)

Chỉ ra



2 2

K MO HB O



( cùng phụ



HOB

) .

Từ đó suy ra





2 2 2 2

. .

K MO HB O g g OH OM OK OB

    ∽ .

Mà

2 2

OH OM OB R

 

nên

2 2

. .

OH OM OK OB R OB

  

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

59) Chứng minh

1 2

OB B M



Chỉ ra

là trực tâm

2 1 2

OMB OB MB

  

60) Chứng minh tứ giác

2 2

MHK B

nội tiếp từ đó suy ra

2 2

OK OB

không đổi.

Xét tứ giác

2 2

MHK B

có:



2 2 2

MHB MK B 

, mà đây là hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh

, suy ra tứ giác

2 2

MHK B

là tứ giác nội tiếp.

Chỉ ra

2 2

. .

OK OB OH OM OB R

  

không đổi.

61) Gọi





1 1

BC O J

 

. Chứng minh

1 1 1

C J C C CB

 

∽

1 1 1

C MJ C BM

 

∽

;

1 1

CH J C

là tứ giác nội tiếp.

(hoặc bài có thể khai thác từ các yếu tố trên như chứng minh các góc, tỉ số đoạn thẳng…)

Chỉ ra

1 1

C H C C



( trung tuyến tam giác vuông) nên



1 1

C CH C HC

 .

Mặt khác





 



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

C CJ C BC sd CJ C J C C CB g g C J C C CB C HC

 

        

 

 

∽

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Từ đó suy ra

1 1

CH J C

là tứ giác nội tiếp.

+ Chỉ ra

1 1 1 1 1 1 1

C J C C CB CC C J C B

   

∽

mà





1 1 1 1 1 1 1 1 1

C C C M C M C J C B C MJ C BM c g c

       

∽

62) Kéo dài

cắt





tại

. Chứng minh

J C

là phân giác góc



1 1 2

C J J



1 1 1 1 1 1 2 2

/ /

C MJ C BM C MJ C BM MJ B J B CM

     ∽



2 1 1

2 1 1 1

2 2 1

J BC BCM CJ C

J J C CJ C

J BC J J C



 



   









J C

là phân giác góc



1 1 2

C J J

63) Kéo dài

1 3

BK OM K

 

. Chứng minh

3 3 1 3

K M K K K B

K H K K K B















từ đó suy ra

là trung điểm

và

1 1

HK BK



Chỉ ra



K MK MKB

 ( sole trong) mà



MKB K BM

 ( tính chất góc nt và góc tạo bởi tt và dây cung)

Nên



3 3

K MK K BM



. Từ đó suy ra





3 1 3 3 3 1 3

K MK K BM g g K M K K K B

    ∽ .

+ Do

MK H MOK

 

∽

nên



MHK MKO



mà



MKO HBK



( góc nt chắn cung



)

Từ đó suy ra





3 1 3 3 3 1 3

K HK K BH g g K H K K K B

    ∽

Vì

3 3 1 3

3 3 3

3 3 1 3

K M K K K B

K M K H K

K H K K K B







  









là trung điểm

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

+ Ta có:



1 1 31 1 3

K HBK K KBH K HK HB HB     . Từ đó suy ra

1 1

HK BK



64) Chứng minh

1 1

HK MK

 

Chỉ ra

1 3

1 1 1 3

BH BK BK

CH BK BK

HK BK K K

BH CH











 

 











. Suy ra

3 1 1 3

1 1 3 1 1 33

BK BK K K

K K K K K K



   

+ Ta có:

1 1

1 1 3

/ /

KK BK

BK OM

K K K

 

suy ra

1 1

1 3 1

1 1

BKKKHC

K K MK KM

    

65) Từ

kẻ đường thẳng song song

cắt

BC BM

tại

5 6

K K

. Chứng minh

là trung điểm

5 6

K K

Vì

1 5 1 6

5 6

33 3

/ /

B OM

K K K K

K K H

HK K

K KB



   





mà

1 63 5 13

H KK K KM K K

 

là trung

điểm

5 6

K K

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Cách khác: Các em có thể thấy,

là phân giác trong



KHK

và

HM HB HM

 

là phân giác ngoài

góc



KHK

1 1 1

K B MK

B K MK

 

( tính chất phân giác) . Mà

1 5

1 5 1 6

1 1

K K

B K

K K K

K K







 











66) Chứng minh

là phân giác góc



KHK

Chỉ ra tứ giác

OKK H

là tứ giác nội tiếp nên

















mà



1 1

OKK OK K

 ( do

OKK



cân)

Nên



K HM OHK



mà



BHK

BHK BHK HB

OHK

K HMBH



 



  



 





là phân giác góc



KHK

67) Chứng minh

OK OH OM



từ đó chứng minh

là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

HMK



Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Chỉ ra

OB OH OM

OK OH OM

OB OK





 







+ Chỉ ra

 

1 1 1

OK OH OM OHK OK M c g c

OH OK

       

∽

Từ đó suy ra góc



1 1 1

OK H OMK OK

 

là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

HMK



68) Từ

kẻ đường thẳng song song

cắt





tại

, nối





4 5

MB O B

 

. Chứng minh góc



5 5

BB C MB C



Vì tứ giác

4 5

BB CB

nội tiếp nên



4 5

180

BB C BB C 

Chỉ ra



 



4 5 4

4 5

5 5

180

BB C CB M

BB B B MC slt

MB C

BB B M

B C

B M

C B CM

B C

CB M

B C









 







 









69) Từ

kẻ tiếp tuyến

3 4

K K

với





là tiếp điểm . Chứng minh

HK M



vuông.

Ta có:

4 3

OK K



vuông tại

 

2 2

4 3 3 3

K K

O K K OK OH HK    

2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3

2. . .OH HK OH HK HOH HK

OH HM HK HK

OH B O

          

Mà

3 4 3 3 4 3 34 4

K K HK K K HK K M HK M

OK OB R

    

  



vuông tại

( tính chất trung

tuyến của tam giác vuông).

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

70) Giả sử

1 1

KK K M



và

là trung điểm

. Chứng minh

là tiếp tuyến của đường tròn ngoại

tiếp

OHP



Ta có:

2 2

1 1 1 1 1

. .4 4 2

BM MK MK MK MK MK BM MK

    

mà

1 1 1

MP MK PM MP

  

Mặt khác:

2 2

. .

BM MH MO MP MH MO

  

Từ đó các em chứng minh

 



1 1 1 1

MHP MPO c g c MP H MOP

     ∽

Suy ra

là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

OHP



71) Gọi trung điểm

là

2 1 2

2 3

B Q KO Q

B O KB Q

 





 



. Chứng minh

2 2

CB KB

OC KQ



và

2 3 2

/ /

Q Q KB

Chỉ ra

2 2

2 2 2 2 2 1 2

. . . . . .22

CB KB

K CKC O QB B KB CB BKB KB OC KQ C

O K

      

+ Từ

 



2 2

2 1 2 2 1 2 2 1 2

CB KB

B Q K B OC c g c B Q K B OC Q Q K KOB

OC KQ

         ∽

Nên

 

1 2

2 1 3

Q K Q K

Q Q K Q OK g g

OK Q K

    ∽

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Xét

OQ K



và

3 2

Q Q K



có



OKB

chung và

1 2

Q K Q K

OK Q K



nên

 



1 3 2 3 2 1

OQ K Q Q K c g c Q Q K OQ K      ∽

mà

2 2 3 2

/ /

B K KC Q Q B K

  

72) Cho

BM KC S

CM KB J

 





 



. Chứng minh

là trung điểm

Vì

 



MB MC gt MBC MCB

  

mà



MCB MJB

MJB MBJ MBJ

MBC MBJ



 



   



 





cân tại

MB MJ

 

. Vì

MB MC MJ M

  

là trung điểm

73)

OB CM X

 

. Chứng minh

/ /

SX BC

Xét

MSX



có hai đường cao

và

nên

là trực tâm

MSX MO SX

  

Vì

/ /

MO BC SX BC

 

74) Chứng minh

XK SJ



Do / /

BK MO BK SX

 

Xét

SJX



có

và

là đường cao nên

là trực tâm

SJX XK SJ

  

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

75) Từ

kẻ cát tuyến

MDD



( tia

nằm giữa tia

và

), gọi

là trung điểm



1 2

OD BC D

 

. Chứng minh các điểm

, , , ,

O C M B D

cùng nằm trên một đường tròn, các điểm

1 2

, , ,

M H D D

cùng nằm trên một đường tròn.

Chỉ ra các điểm

, , , ,

O C M B D

đều cách đều trung điểm của

( dựa vào tính chất trung tuyến tam giác

vuông) hoặc các đỉnh

, ,

C B D

đều nhìn

dưới một góc vuông.

Chỉ ra các điểm

1 2

, , ,

M H D D

đều cách đều trung điểm của

D M

( dựa vào tính chất trung tuyến tam giác

vuông) hoặc



2 1 2

MHD MD D  .

76) Cho





và điểm

cố định. Khi cát tuyến

MDD



thay đổi, tìm quỹ tích điểm

Vì



OD M 

nên điểm

nằm trên đường tròn đường kính

. Do đó khi cát tuyến

MDD



thay

đổi, thì quỹ tích điểm

chạy trên đường tròn đường kính

77) Chứng minh

2 2 2

1 2

. .

OH OM OD OD OB R OD

   

Chỉ ra





2 1 1 2

. .

OHD OD M g g OH OM OD OD

    ∽

Chỉ ra

2 2

OH OM OB R

 

( hệ thức lượng)

Suy ra

2 2 2

1 2

. .

OH OM OD OD OB OD R

   

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

78) Chứng minh

. .

CM MD MD MH MO



 

Cách 1: Ta có:

















1 1 1 1 1 1 1 1

MD MD MD D D MD D D MD D D MD D D

 

     









2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

D M D D OM D O OD D O OM OD OM OC CM

          

( đpcm)

+ Trong tam giác vuông

OCM

, đường cao

CH CM MH MO

 

Cách 2:

Chỉ ra





 

2 2

. .

MBD MD B sd BD MBD MD B g g BM MD MD CM MD MD

 

   

         

 

 

∽

79) Chứng minh

. .

OH OM MD MD MO



 

2 2 2

. .

OH OM OB

OH OM MD MD OB BM MO

MD MD MB









    











80) Chứng minh

MBD MD B



 

∽

và góc



MBD MD B





Cách 1: Ta có:

2 2

. .

CM MD MD BM MD MD

 

  

Từ đó suy ra

 



c g

MBD MD B MBD MD

 

   ∽

( hai góc tương ứng) .

Cách 2:





 

MBD MD B sd BD MBD MD B g g

 

 

     

 

 

∽

81) Chứng minh

MDH MOD



 

∽

và góc



MHD MD O





. .

MB MD MD

MD MD MH MO

MB MH MO











 









Từ đó suy ra

 



c g

MDH MOD MHD MD

 

   ∽

( hai góc tương ứng) .

82) Giả sử độ dài dây cung



không đổi. Chứng minh

luôn đi qua điểm cố định khi

thay

đổi.



nên khoảng cách từ

đến



là

không đổi.

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Mặt khác

1 2 2

OD OD R OD

  

không đổi nên

cố định.

Suy ra

luôn đi qua điểm cố định là

83) Chứng minh

D D



là tiếp tuyến của





( hoặc chứng minh

OD D D

 



)

Ta có:

2 2

1 2

OD OD R OD

OD OD



   



Xét

OD D





và

OD D





có



D OD



chung và

OD OD







nên





1 2

OD D OD D c g c

 

   

∽

Suy ra



2 1 2

OD D OD D D D

  

   là tiếp tuyến của





84) Nếu đề bài đổi thành tiếp tuyến tại

và



cắt nhau tại

, chứng minh

, ,

B C D

thẳng hàng.

Chỉ ra

 

2 2

1 2 2 1

2 2

1 2

. .

OH OM OB R

OH OM OD OD OHD OD M c g c

OD OD D O R



 



      





 





∽



2 1 2

OHD OD M HD OM

    

mà BC OM

 

, ,

B C D

thẳng hàng.

Cách khác: Các em có thể chỉ ra hai tứ giác

OD D D



và

OD DH



nội tiếp nên 5 điểm

, , , ,

O D D H D



cùng thuộc một đường tròn, suy ra



2 2 2

OHD ODD HD OH

   

mà

BC OH

 

, ,

B C D

thẳng

hàng.

85) Từ



kẻ đường thẳng song song

cắt





tại

. Chứng minh

, ,

D H D

thẳng hàng.

Vì

là phân giác góc



D HD



( đã chứng minh ở các câu khác)

Mà



OHB MHB OHD DHM



   

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Vì

/ /

D D BC OH





là trung trực



5 5 5

D D OHD OHD OHD DHM

 

   

Ta có:



5 5

180 , ,

OHD OHD DHM OHD D H D

     thẳng hàng.

86) Gọi





1 1 2 2 3 2 4

, , ,

MO KD G CG O G D G DK G G K D D G

  

       

. Chứng minh



1 1

CD D KOG



từ đó cứng minh

1 1

OKG D DC

 

∽

( hoặc các tỉ số từ tam giác đồng dạng)

Chỉ ra



1 1

CD D MOC KOG

  và



1 1

G KO D DC

 ( góc nt chắn cung



D C



87) Chứng minh

, ,

G O D

thẳng hàng và

3 4 2

G G G D



Vì

 

1 1

1 1 1

DD DD

OK OK KC DD

OKG D DC DCD KG C c g c

KG DC KG DC KG DC



            

∽ ∽

Suy ra



1 2 1 2

KCG DD C DCM G CD G CO COD DCM COD G D



         là đường kính của

đường tròn

, ,

O G D O



thẳng hàng và



2 2 4

G D D G KD G



  

là trực tâm

2 3 3 4 2

G DG G G G D

  

88) Từ

kẻ đường thẳng song song

cắt

BC BD



tại

4 5

C C

. Chứng minh tứ giác

4 1

CDC D

nội

tiếp và

là trung điểm

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Vì

CD BM

nội tiếp nên



 

1 1 1 4 4 1

D CB D MB D DC slt CDC D

   là tứ giác nội tiếp.

Vì

4 1

CDC D

nội tiếp nên



1 4 4

DD C DCC

 mà



4 1 4 1 4

/ /

DCC DD B DD B DD C D B D C

  

    .

Mà

là trung điểm

D D C





là trung điểm

89) Gọi

MD BC D



 

. Chứng minh

và

1 2

D D

là phân giác trong và ngoài của góc



CD B

và

2 3 3 2

. .

BD CD BD CD



+ Chỉ ra tứ giác

OD BM

là tứ giác nội tiếp nên



MD B MOB



( góc nt cùng chắn cung

)

+ Chỉ ra tứ giác

OD MC

nội tiếp nên



MD C MOC

 ( góc nt cùng chắn cung

Mà



1 1 1

MOC MOB MD B MD C MD

    là phân giác góc



CD B

Hoặc các em chỉ ra : 5 điểm

, , , ,

M C O D B

cùng thuộc một đường tròn,

mà



1 1

MB MC MD B MD C

  

( góc nt chắn hai cung bằng nhau)



là phân giác góc



CD B

+ Vì

1 2 1 1 2

D D D M D D

 

là phân giác ngoài của góc



CD B

Áp dụng tính chất phân giác ta có:

2 3 3 2

3 2

. .

BD B

BD CD BD CD

CD CD

  

90) Chứng minh

3 3 3 3

. .

D D D D D B D C





Chỉ ra





3 3 3 3 3 3

. .

D BD D DC g g D D D D D B D C

 

    ∽

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

91)





1 2

D C O C

 

. Chứng minh

/ /

C B D D



Chỉ ra tứ giác

BMCD

nội tiếp, suy ra



CD M CBM

 ( góc nt cùng chắn cung

)

Mà



CC B CBM

 ( góc nt cùng chắn cung

)

Suy ra



1 2

CD M CC B



, mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên

/ /

C B D D



92) Kéo dài





1 3

BD O C

 

. Chứng minh

/ /

CC D D



Chỉ ra tứ giác

OD BM

là tứ giác nội tiếp, suy ra



MD B MOB

 ( góc nt cùng chắn cung

)

Mặt khác



CC B COB MOB

  ( tính chất góc nội tiếp và góc ở tâm)

Suy ra



2 1

CC B MD B



, mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên

/ /

CC D D



Các em cũng có thể chỉ ra







2 1

CC B MCB sd BC MD B

 

  

 

 

( góc nt chắn cung

)

93) Đề bài có thể thay đổi, kẻ dây

/ /

CC D D



. Chứng minh góc



C BO D MO



 hoặc chứng minh

3 1

, ,

C D B

thẳng hàng, hoặc

3 1

C B D D D



 

chứng minh

là trung điểm

D D



Gọi

4 4

BC MD D



 

. Vì





3 3 4 3

/ /

CC D D C D D BC C sd BC

 

  

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành





0 0

4 3 4

90 90

CD O C D D sd BC



    

Mà











0 0

4 4

1 1

180 90

2 2

BMO BMC BOC sd BC BMO CD O OMBD

        nội tiếp

nên



4 4

90OD M OBM OD D D



    

4 1

D D



Vì

OMBD

là tứ giác nội tiếp nên



C BO D MO



 .

94) Gọi

MD BC D



 

. Chứng minh

3 1

. .

MD MD MD MD





và

2 1 1

MD MD MD

 



Chỉ ra

3 1

. .

MD MD BM

MD MD MD MD

MD MD MH MO MB











 



 





+ Ta có:

3 1 3 1 3 1

. . . . 2 .

MD MD MD MD MD MD MD MD MD MD

 

   









3 1 3 1

. . 2 .

MD MD DD MD MD DD MD MD

 

    

33 13 3 1

. . .. 2.

MD MD MD MD MD MD

MD DD MD DD

 

    

3 3

. . 2 .

MD MD MD MD MD MD

 

  

 

3 3

2 2 1 1

2 .

MD MD

MD MD MD MD MD

MD MD MD MD MD MD





 

       

 

95) Kéo dài



và

cắt

C C

tại

6 7

C C

. Chứng minh rằng

là trung điểm

6 7

C C

Chỉ ra

6 7

/ /

D D C C



( đã chứng minh trên)

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Áp dụng định lí Talet:

3 6 3 3 7

1 1

D BD

C C BC C

D DD



 

, mà

1 1

DD D D





nên

3 6 3 7

C C C C



96) Cho





và

cố định. Chứng minh trọng tâm

BD D





và

CD D





luôn chạy trên một

đường tròn cố định ( hoặc chứng minh đường tròn ngoại tiếp

BD D





và

CD D





có cùng bán kính).

Gọi

là trung điểm

OM O



cố định và

1 1

O D OM



không đổi.

+ Trên

lấy điểm

sao cho

2 1 2 2

BO O O O

 

cố định ( do

B O

cố định)

Gọi

là trọng tâm

BD D





. Ta có:

2 1 1

1 1 2

2 / /

GO D O

GD O O

  

và

2 1 1

2 2 1

3 3 2 3

GO D O OM  

không đổi.

Vì

cố định và

GO  không đổi nên

;

G O

 



 

 

Vậy trọng tâm

BD D





luôn chạy trên một đường tròn

;

 

 

 

cố định.

+ Trên

lấy điểm

sao cho

3 1 3 3

CO O O O

 

cố định ( do

C O

cố định)

Gọi

là trọng tâm

3 1 1

1 1

/ /

CD D G O D O

CD CO



 

    

và

3 1 1

2 2 1 1

3 3 2 3

G O D O OM OM



  

Do đó

;

G O

 





 

 

cố định.

97) Từ

kẻ đường thẳng song song

cắt

BC CD



tại

E F

. Chứng minh

BDED

là tứ giác nội

tiếp và

là trung điểm

(Bài có thể thay đổi qua

kẻ đường thẳng song song



cắt

tại

)

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Chỉ ra tứ giác

D BMC

nội tiếp nên góc



1 1

D BC D MC



( góc nt chắn cung

D C

)

Mà



1 1

D MC D DE

 ( đồng vị) nên



1 1 1 1

D BC D DE D BE D DE

   . Từ đó suy ra

BDED

là tứ giác nội

tiếp.

+ Vì

BDED

là tứ giác nội tiếp nên



ED D EBD



( góc nt chắn cung

)

Mà



EBD CD D





( góc nt chắn cung

Suy ra



ED D CD D



 , suy ra

/ /

ED CD



mà

là trung điểm

D D E





là trung điểm

( tính chất

đường trung bình) .

98)

cắt

tại

. Chứng minh

ED BD

và

OEF B

là tứ giác nội tiếp.

+ Chỉ ra



 







1 1

ED D CD D slt CBD sd CD ED D EBD

 



    

 

 

Từ đó suy ra

ED BD

là tứ giác nội tiếp.

+ Vì

ED BD

là tứ giác nội tiếp nên



EDB DD B



(góc nt chắn cung

)

Mà tứ giác

OMBD

là tứ giác nội tiếp nên



DD B BOM



( góc nt chắn cung

)

Suy ra



1 1

F EB F OB

 

OEF B

là tứ giác nội tiếp.

99) Phân giác góc



DBD



cắt



tại

. Chứng minh rằng :

BD CD

D B D C

BM MH CM







 





 



và

là phân

giác góc



D CD



Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

+ Vì

B MB

D B



   



∽

+ Tương tự:

C MC

D C



   



∽

mà

BD CD

 

 



+ Ta có:

H D

D B H D



 

( tính chất phân giác) mà

BD CD

D B D C



 

nên

H D

D C H D



 

Suy ra

là phân giác góc



D CD



+ Gọi





1 2

BH O H

  . Vì





2 2 2 2

H BD H BD D H DH

 

  

Mà























1 2 2 2 1

1 1 1

2 2 2

H BM sd BH sd BD sd DH sd BD sd D H BH M



      .

Do đó

BH M



cân tại

M MB MH

 

mà

MB MC



nên

BM MH CM

 

100) Chứng minh tứ giác

D OHD



nội tiếp.

Vì



180

MD O MHD MD O MHD OD D OHD DHM OHD

  

        ∽

Xét tứ giác

D OHD



có



180

DHM OHD 

mà đây là hai góc đối nhau nên

D OHD



là tứ giác nội tiếp.

101) Đề bài có thể thay đổi thành: Chứng minh đường tròn ngoại tiếp

HD D





hoặc

D OD





luôn đi

qua một điểm cố định, hoặc tâm đường tròn ngoại tiếp

HD D





luôn chạy trên một đường thẳng cố

định….

+ Các em sẽ thấy, tứ giác

OHDD



là tứ giác nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác

HD D



luôn đi

qua điểm cố định

và đường tròn ngoại tiếp tam giác

OD D



luôn đi qua điểm cố định

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

+ Vì

OHDD



là tứ giác nội tiếp nên tâm đường tròn ngoại tiếp

HD D





luôn nằm trên đường trung trực

đoạn

102) Chứng minh

là phân giác góc

HDM

( với





I MO O

  )

Vì

 

MD MO MO

MD O MHD

HD OD OB



    



∽

Mà

là phân giác góc



 

MI MB

HBM

IH BH

 

Chỉ ra

   

MO MB MI

MHB MBO g g

BO HB HI

     ∽

Từ

   

1 2 3

MD MI

HD HI

  

là phân giác góc



HDM

103) Chứng minh



MOD MDI





Vì tứ giác

HODD



là tứ giác nội tiếp nên



HOD HDM





Mà

là phân giác góc



HDM HOD MDI



 

104) Kéo dài

cắt





tại điểm thứ hai là

. Chứng minh

. .

MD MD MI MI





Vì

IDD I



là tứ giác nội tiếp nên



D I I IDM





Từ đó suy ra





1 1

. .

MID MD I g g MD MD MI MI

 

    ∽

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

105) Tiếp tuyến tại

cắt nửa đường tròn đường kính

tại

1 1 1 2

X CO X I X

 

. Chứng minh

2 1

MX CX



Chỉ ra





1 1

MBI MI B g g BM MI MI

    ∽ .

Mà

1 1

MX MI MI



( hệ thức lượng) suy ra

1 1

MX BM MC MX C

   

cân.

Do đó

nằm trên đường trung trực

MX C



cân



1 1

MX C MCX

  mà



 

1 1 2

1 2 1 2 2 1

1 1 2

MX C CX X

CX X X CX X X C

MCX X CX



 



   



 





cân nên

nằm trên đường trung trực

Vậy

là trung trực

nên

2 1

MX CX



106) Từ

kẻ cát tuyến

1 4

MPP

song song



, cát tuyến này cắt

CB CD



tại

2 3

P P

. Chứng minh tứ

giác

MCP B

là tứ giác nội tiếp và

là trung điểm

4 1

P P

( hoặc

3 1 4

OP P P



)

Chỉ ra







MBC MD C sd BC MPC

 



  

 

 

( đồng vị) nên



MBC MP C



Từ đó suy ra

MCP B

là tứ giác nội tiếp.

+ Do

, , ,

M C O B

cùng thuộc đường tròn đường kính OM



5 điểm

, , , ,

M C O B P

cùng thuộc đường

tròn đường kính



3 3 1 4

90OM OP M OP PP

    

là trung điểm

4 1

P P

107) Chứng minh

2 3 2 2 1 2 4

. .

P P P M P P P P



Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Chỉ ra

2 3 2 2 1 2

2 3 2 2 1 2 4

2 1 2 4 2 1 2

. .

P P P M P C P B

P P P M P P P P

P P P P P C P B





 







108) Đường thẳng

cắt





tại

2 3

Y Y

(

nằm trên cung nhỏ

D B







2 2 4

Y P O Y

 

. Chứng minh

3 4

, ,

Y Y M

thẳng hàng hoặc chứng minh tứ giác

2 3 4

Y PY M

nội tiếp.

Chỉ ra

2 1 2 4 2 4 2 2

. .

P P P P PY PY



mà

2 3 2 2 1 2 4

. .

P P P M P P P P



nên

2 3 2 2 4 2 2

. .

P P P M P Y PY



Từ đó chứng minh

 



2 3 2 2 4 2 4 2 3 2 4 4

P PY P Y M c g c Y Y M Y P M Y Y Y M

        ∽

Vì

2 3

Y Y

là đường kính





2 4 3 4

O Y Y Y Y

  .

Từ đó suy ra

3 4

, ,

Y Y M

thẳng hàng.

109) Chứng minh

3 2 2 1 2 2 4

. .

P P P M PP P P



Chỉ ra

 

2 4 2

2 4 2 1 2 4 2 1 2 2

2 2 1

. .

P P P C

P P C P BP g g P P P P P C P B

P B P P

      ∽

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Chỉ ra

 

2 32

2 3 2 2 2 2 3 2

2 2

. .

P PP C

P CP P MB g g P C P B P P P M

P M P B

      ∽

Từ đó suy ra

3 2 2 1 2 2 4

. .

P P P M PP P P



110) Kéo dài

cắt đường tròn





tại

5 6

P P

(

thuộc cung nhỏ



). Nối

6 2

P P

cắt đường tròn





tại

. Chứng minh

5 7

, ,

M P P

thẳng hàng.

Vì

5 6

P P

là đường kính









6 7 5 7

O P P P P  .

Ta có:

3 2 2 7

3 2 2 1 2 2 4 2 7 2 6 3 2 2 2 7 2 6

2 6 2

. . . . .

P P P P

P P P M PP P P P P P P P P P M P P P P

P P P M

     

Từ đó suy ra

 



 

2 7 2 3 6 2 7 2 3 6 2 7 7

90 2

P P M P P P c g c P P M P P P P P MP        ∽

Từ









5 7

1 2 , ,

M P P



thẳng hàng.

111) Chứng minh

D BP





là tam giác cân.

Vì

3 1 4

3 3

1 4

/ /

OP PP

OP BD OP

PP BD







  







là trung trực



nên

3 3 3

BP P D BP D

 

  

cân tại

112) Cho

B C

và





cố định. Tìm vị trí cát tuyến

MDD



để diện tích

P BC



lớn nhất.

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Ta có:



3 3

BPC CD B P BD CD B

  

  

( tính chất góc trong – góc ngoài tam giác)

Mà





, ,

B C O

cố định nên góc



CD B



không đổi, suy ra



BPC CD B





không đổi.

Mà



3 3

3 3 3

. . .sin

P BC P BC

S PC P B BPC S

 

 

lớn nhất khi

3 3

PC P B

lớn nhất.

Ta có:

3 3

3 3 3 3

. .

2 4

PC P D

D C

PC P B PC P D





 



  

 

 

mà

2 2

3 3

2 .

4 4

D C R

CD R P C P B R



    

Dấu bằng xảy ra khi



là đường kính của





113) Tiếp tuyến của đường tròn





tại

cắt đường tròn đường kính

tại

1 1 2

M I OC M

 

Chứng minh tứ giác

2 1

MCM M

là tứ giác nội tiếp,

MM MC



;

1 2

CM MM



Vì

là đường kính nên



2 1 2 2 1

M M M M CM MCM M

  

là tứ giác nội tiếp.

+ Chỉ ra

2 2

1 1 1

MM MI MI MC MM MC

   

+ Vì tứ giác

2 1

MCM M

nội tiếp đường tròn đường kính

mà

1 2

MM MC MM

 

là đường trung

trực

1 1 2

CM CM MM

 

114) Gọi

là tâm đường tròn ngoại tiếp

IMI



là tâm đường tròn ngoại tiếp

M D D





là

trung điểm của

1 2

M M

. Chứng minh

1 2 3

, ,

E E E

thẳng hàng.

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

+ Gọi

2 1

MM CM V

 

. Ta có:

2 2

2 1 1

. . .

MV MM MM MC MI MI MD MD



   

Từ đẳng thức

2 2

. .

MV MM MD MD D DVM

 

 

nội tiếp nên





V E

 .

Từ đẳng thức

2 1 2 1

. .

MV MM MI MI IVM I

 

là tứ giác nội tiếp nên





V E

 .

Suy ra









1 2

E E

cắt nhau tại hai điểm

2 1 2

M V E E



là trung trực

Vì

1 2 1

/ /

E E CM

và

1 2

E E

đi qua trung điểm

nên

1 2

E E

đi qua trung điểm

1 2

M M

Vậy

1 2 3

, ,

E E E

thẳng hàng.

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/44

| | Tải xuống

Preview text:

CHÙM BÀI TOÁN
TIẾP TUYẾN – CÁT TUYẾN ÔN THI VÀO 10 HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Cho O; R và điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn, dây BC vuông góc OM tại H . B O M H I C 1) Chứng minh 2 OH.OM  R .
Vì MB là tiếp tuyến O  BM  OB  OBM vuông tại B, BH là đường cao .
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông 2 2 OBM : OM .OH  OB  R
2) Chứng minh MB  MC , HB  HC .
Xét hai tam giác vuông OHB và OHC có OB  OC  R , OH chung.  BOH   COH
Từ đó chỉ ra OHB  O  HC 2cgv   . HB  HC Từ đó suy ra OMB  O
 MC c  g  c  MB  MC .
3) Chứng minh MC là tiếp tuyến đường tròn. Do OMB  O  MC   OCM   0
OBM  90  CM là tiếp tuyến của O .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
4) Chứng minh tứ giác MBOC nội tiếp đường tròn, tìm tâm đường tròn đó. B O M H I C Chỉ ra  MBO   0
MCO  180  MBOC nội tiếp, tâm nằm ở trung điểm OM .
5) Bài có thể thay đổi lại đề bài, cho hai tiếp tuyến MB, MC . Chứng minh BC  OM . B M O H C
+ Lập luận vì MB  MC  M nằm trên trung trực BC , OB  OC  O nằm trên trung trực BC .
Vậy OM là trung trực BC  OM  BC .
+ Hoặc chỉ ra MB  MC và MO là phân giác góc 
BMC ( tính chất tiếp tuyến) nên OM là đường cao M  BC  OM  BC .
6) Tính OH , HM , MB, MC , góc  BMC biết OM  2R . B M O H C R R 3R Chỉ ra 2 2
OB  OH.OM  R  OH.2R  OH 
 HM  OM  OH  2R   . 2 2 2 Tính 2 2
BM  OM  OB  R 3  MC  MB  R 3 .  OB 1 sin BMO     0 BMO  30   BMC  2. 0 BMO  60 . OM 2 4
7) Cho CM  R . Tính diện tích COBM . 3 2 1 1 4 4R Vì OBM  OCM  S  2S  2. .OC.CM  2. . . R R  ( đơn vị diện tích) OBMC O  CM 2 2 3 3
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
8) Gọi giao OM với O là I . Chứng minh BI là phân giác góc 
MBC và I là tâm đường tròn nội tiếp M  BC .
(Đề bài có thể đổi thành: Chứng minh khi M thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp M  BC luôn nằm trên
một đường tròn cố định – hoặc chứng minh I cách đều 3 cạnh BM ,CM , BC ) B O M H I C
Cách 1: Do MC, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M  MO là phân giác góc  BMC   1 .  OBI   0 IBM  90  Ta có:  HBI   0 HIB  90   HBI  
IBM  BI là phân giác góc  CBM 2 .  HIB   OBI,  OI  OB  R  Từ  
1 2  I là tâm đường tròn nội tiếp B  CM .
Cách 2: Do MC, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M  MO là phân giác góc  BMC   1 . Ta có:  BOM  
COM ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên cung  CI   BI .  1 CBI  sd  CI  Mà 2    CBI  
IBM  BI là phân giác góc  CBM 2 .  1 IBM  sd  BI  2 Từ  
1 2  I là tâm đường tròn nội tiếp B  CM . IH HB 9) Chứng minh  IM BM B O M H I C HI BH
Xét BHM có BI là phân giác trong của góc  HBM  
( tính chất phân giác) . IM BM
10) Tìm vị trí điểm M để BI  MC ( hoặc CI  MB ).
Vì BI là phân giác góc  CBM , để BI  CM  C
 BM cân tại B  CB  BM .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành Mà BM  CM  B
 CM là tam giác đều nên  0 BMC    0 BOC    0 60 120 BOM  60 . OB OB Ta có: cos  BOM   OM    2R . OM cos BOM
Vậy để BI  CM thì M  ; O 2R .
11) Từ điểm A trên cung nhỏ BC vẽ tiếp tuyến với đường tròn O . Tiếp tuyến này cắt MB, MC tại
A , A . Chứng minh chu vi MA A không đổi và độ lớn góc 
A OA không phụ thuộc vào vị trí điểm 1 2 1 2 1 2
A khi A di chuyển trên cung nhỏ BC . B A1 A O M A2 C MB  MC 
Ta có: A B  A A ( tính chất tiếp tuyến cắt nhau) . 1 1 A A  A C  2 2
Chu vi MA A là: MA  MA  A A  MA  MA  A A  AA  MA  A A  MA  AA 1 2 1 2 1 2  1 2   1 1   2 2  1 2
 MA  A B  MA  CA  MB  MC  2MB không đổi khi A di chuyển trên cung nhỏ BC . 1 1   2 2  1 1 1 1 Ta có:  A OA   A OA   AOA   BAO   AOC   0 BOC  180   BMC không đổi. 1 2 1 2   2 2 2 2
Vậy chu vi tam giác MA A và độ lớn góc 
A OA không phụ thuộc vào vị trí điểm A . 1 2 1 2
12) Cho R  3cm, OM  6cm . Tính số đo góc  A OA . 1 2 B A1 A O M A2 C 1 Ta có:  0 A OA  180  
BMC . Trong tam giác vuông BMO ta có: 1 2   2  OB 3 1 sin BMO      0 BMO  30   0 BMC  60 . OM 6 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 1 Do đó  0 A OA  180    BMC  0  60 . 1 2 2
13) Gọi giao OA và OA với BC là A và A . Chứng minh A A  OA và A A  OA ( hoặc các câu 1 2 3 4 2 3 1 1 4 2
hỏi liên quan đến ba đường cao của O
 A A hoặc chứng minh tứ giác OCA A và OBA A và 1 2 2 3 1 4
A A A A là tứ giác nội tiếp) 3 4 2 1 B A1 A3 A M O A4 A2 C 1 1
Ở trên các em đã chứng minh được  A OA  . BOC mà  BCA  .
BOC ( góc ở tâm và góc nt) 1 2 2 2 2 Suy ra  A OA   BCA . 1 2 2
Từ đó suy ra tứ giác OCA A là tứ giác nội tiếp nên  OA A   0 OCA  90 . 2 3 3 2 2 1 Chứng minh tương tự:  A OA   CBA  .
BOC  tứ giác OBA A nội tiếp nên 1 2 1 2 1 4  OA A   0 OBA  90  A A  OA . 4 1 1 1 4 2 A A 14) Cho góc  0
BMC  60 , gọi giao OA và OA với BC là A và A . Tính tỉ số 1 2 . 1 2 3 4 A A 3 4 B A1 A3 A M O A4 A2 C
Đầu tiên các em tính góc  0 BOC  120 .
Ở bài trên các em đã chứng minh được tứ giác OCA A nội tiếp nên  OA C   OA C   OA A   OA C 2 3 2 3 2 3 A A OA ( do  OA C  
OA A tính chất tt cắt nhau) . Từ đó suy ra 2 1 3 O  A A ∽ O  A A   . 2 2 3 4 2 1 A A OA 3 4 2 1 OA OA 1 Do O  A A vuông tại A và  A OA  . 0 BOC  60 nên cos  3 3 0 A OA    cos60  . 3 2 3 3 2 2 3 4 OA OA 2 2 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành A A OA 1 Vậy 2 1 3   A A OA 2 3 4 2 O  A  BC  A 15) Cho góc  0 BMC  60 và 1 3 
. Chứng minh AA . AA  BA .CA . OA  BC  A  1 2 3 4 2 4 B A1 A3 A M O A4 A2 C Chỉ ra  A BA   A OA   0 A CA  60 . 1 3 1 2 2 4  A  BA ∽ A  OA g  g  1 3 4 3   A B BA Chỉ ra 1 3   A  BA ∽ A  CA   .  A  OA ∽ A  CA g  g A C CA  4 3 4 2   1 3 4 2 4 2 A B  A A A A BA Mà 1 1 1 3     AA . AA  BA .CA 1 2 3 4 CA  AA A C AA  2 2 4 2
16) Từ điểm A trên cung nhỏ BC kẻ AR, AT , AY lần lượt vuông góc với CB, BM , CM tại R,T ,Y . Cho góc  0 BMC  60 . Tính góc 
TRY ( hoặc chứng minh góc 
TRY không đổi hoặc chứng minh  TRY   BMC ) B T R A M O Y C 1
Chỉ ra ATBR, AYCR là tứ giác nội tiếp nên  ART   ABT  
BOA ( góc nt và góc ở tâm) 2 1 1 1 1 1 Và  ARY   ACY   AOC   TRY   ART   ARY   BOA   AOC   0 BOC  180    BMC  0  60 . 2 2 2 2 2 17) Chứng minh 2 AR  AT.AY B T R A M O Y C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành  AYR   ACR   ABT   ART Chỉ ra góc 
 ARY ∽ATR g  g  ARY   ACT   ABC   ATR AR AY Suy ra 2   AR  AT.AY . AT AR
18) Tìm vị trí điểm A để AT. AR. AY đạt giá trị lớn nhất hoặc AT.AY đạt giá trị lớn nhất. B T R A M O Y C + Ta có: 2 AT.AY  AR .
Do đó AT. AY đạt giá trị lớn nhất khi AR lớn nhất, suy ra AR  AI  A  I . max + Ta có: 2 3
AT.AY  AR  AT.AY. AR  AR
Do đó AT. AR. AY đạt giá trị lớn nhất khi AR lớn nhất, suy ra AR  AI  A  I . max
( với I  OM  O ).
19) Gọi RT  AB  A , RY  AC  A . Chứng minh tứ giác AA RA nội tiếp và A A  RA ( hoặc 5 6 5 6 5 6 A A / /BC ) 5 6 B T A5 R A O H M A6 Y C  ARA   ABT   ACB Chỉ ra 5  . ARA   ACY   ABC  6 Suy ra  A AA   A RA   A AA   A RA   ARA   A AA   ACB   0 ABC  180 . 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6
Suy ra tứ giác AA RA nội tiếp. 5 6
Vì tứ giác AA RA nội tiếp nên  A A A   A RA   ACY  
CBA  A A / /BC  A A  AR . 5 6 6 5 6 5 6 5 6
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 20) Cho ,
A B,Y thẳng hàng, kéo dài A A  BM  R . Chứng minh BR A R là hình bình hành ( hoặc khai 5 6 1 1 6
thác các yếu tố của hình bình hành này) B R1 T A5 H M O A R A6 Y C
Ở trên các em đã chỉ ra A A / /BC . 5 6 Mặt khác:  ABT   ACB  
AYR  RY / /BM . Từ đó suy ra BR A R là hình bình hành. 1 6
21) Chứng minh rằng nếu TR  TB thì RY  RC . B T R A O M Y C Chỉ ra  AYR   ACR   ABT   ART   AYR   ART .  ART   0 TRB  90 Mà    TRB   .  AYR   RYC 0 RYC  90 Mặt khác TB  TR   TRB   TBR   RCY   RCY   RYC  RY  RC .
22) Chứng minh rằng tia đối của tia AR là phân giác của góc  TAY . B T y R A O H M Y C
Gọi Ay là tia đối tia AR .
Chỉ ra tứ giác BTAR nội tiếp nên  CBT   TAy .
Chỉ ra tứ giác CYAR nội tiếp nên  BCY   YAy . Mà  C T B   BCY  y
A là phân giác của góc  TAY .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành AB  RT  A 23) Gọi 5 
. Gọi O là đường tròn đi qua 3 điểm ATA , O là đường tròn đi qua 3 điểm 5  4  AC  RY  A  5 6
AYA và A là giao điểm thứ hai của O và O , H là trung điểm BC . Chứng minh A , , A H 5  4  6 7 7 thẳng hàng. B T O A 4 5 A7 R A A 8 O H M A6 O5 Y C
Gọi A là giao A A với A A và H  là giao A A với BC . 8 7 5 6 7 Chỉ ra  A A A   BCA  
A YA  A A là tiếp tuyến của O . 5  5 6 6 5 6 Từ đó chỉ ra được 2 A A  A A. A A . 8 6 8 8 7
Chứng minh tương tự :  A A A   BCT  
A TA  A A là tiếp tuyến của O 4  8 5 5 8 5 suy ra 2
A A  A A. A A . Từ đó suy ra 2 2
A A  A A  A A  A A  A là trung điểm A A . 8 5 8 8 7 8 6 8 5 8 5 8 6 8 5 6 A A A A  AA  + Do 5 8 6 8 8 A A / /BC     H B   H C
  H là trung điểm BC  H  H . 5 6   H B  H C   AH  Vậy A , , A H thẳng hàng. 7 24) Cho góc  0
BOC  120 . Gọi giao OA và OA với BC là A và A . Tìm vị trí điểm A trên cung nhỏ 1 2 3 4
BC để diện tích tam giác OA A bé nhất và tìm giá trị bé nhất đó ( hoặc tìm vị trí điểm A để diện 3 4 tích O
 A A bé nhất hoặc độ dài A A bé nhất) 1 2 1 2 B B A1 A T 1 A3 A A3 R M A M O O H A4 A4 Y A2 A2 C C OA 1 Ta có: OA A ∽ O  A A theo tỉ số 3 K   cos  0 A OA  cos 60  . 3 4 2 1 3 2 OA 2 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành S S O  A A 1 Suy ra  3 4 O 2 A 1 A =  S = . O  3 A 4 S 4 A 4 O  2 A 1 A Do đó S nhỏ nhất khi S nhỏ nhất. O  3 A 4 A O 2 A 1 A 1 R Mà S  O . A A A 
.A A nhỏ nhất khi A A nhỏ nhất. O  2 A 1 A 1 2 1 2 2 2 1 2 R
Mà A A nhỏ nhất khi A  OM  O . Khi đó OAB là tam giác đều nên OH  HA  và OM  2R . 1 2 2
Các em tính được BC  2BH  R 3 và AM  OM  OA  R . A A AM A A R 2 . R 3 Ta có: 1 2 1 2     A A  1 2 BC MH 3 R 3 R 3 2 2 R R 2 . R 3 R 3 Khi đó S  .A A  .  . O  2 A 1 A 1 2 2 2 3 3 2 S OA A R 3 Nên 2 1 S  =  O  3 A 4 A 4 12
25) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt MB, MC tại O và O . Tìm vị trí điểm M để diện 1 2
tích tam giác MO O bé nhất. 1 2 O1 B O M C O2
Xét MO O có: OM vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên MO O cân tại M . 1 2 1 2 1 Suy ra S  2S  2. O . B O M  . R O M . M   1 O 2 O MO 1 O 1 1 2 Mặt khác 2 2 O M  O B  BM  2 O .
B BM  2 OB  2 R  2R . 1 1 1
Dấu bằng xảy ra khi O B  BM  O OM vuông cân nên OM  R 2 . 1 1 Vậy 2 min S
 2R khi điểm M nằm cách O một khoảng OM  R 2 . M  1 O 2 O
26) Chứng minh ba tam giác O
 A O ∽  AOA ∽  O OA và O A .O A  O O.O O . 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 Ta có:  A OA   A OA   AOA   POA   AOC   0 BOC  180   M . 1 2 1 2   2 2 2 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Do MO O cân tại M ( vì OM vừa là đường cao, vừa là phân giác) nên 1 2    0 180   M O O    O   O   A OA . 1 2 1 2 1 2 2
Xét O A O và  A OA có: 1 1 1 2  O A O  
OA A ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 1 1 1 2  O   A OA ( chứng minh trên) 1 1 2
Suy ra O A O ∽  AOA g  g . 1 1 1 2  
Chứng minh tương tự các em sẽ được  AOA ∽  O OA . 1 2 2 2 Vậy O
 A O ∽  AOA ∽  O OA . 1 1 1 2 2 2 O A O O Chỉ ra 1 1 1 O A O ∽  O OA  
 O A .O A  O O.O O ( đpcm). 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 O O O A 2 2 2 O1 B A1 A O M A2 C O2
27) Chứng minh O A  O A  O O . 1 1 2 2 1 2 O1 B A1 A O M A2 C O2 Sử dụng BĐT Cosi:
Ta có: O A  O A  2 O A .O A  O A  O A  2 O O.O O . 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 O O 2  O O  Mà 1 2 O O  O O  nên 1 2 O A  O A  2  O O . 1 2   2 1 1 2 2 1 2  2 
28) Cho O; R và điểm M cố định. Tìm vị trí điểm A để O A  O A nhỏ nhất. 1 1 2 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành O1 B A1 A O M A2 C O2
Vì O; R và điểm M cố định nên O O không đổi. 1 2
Ta có: O A  O A  2 O A .O A  O A  O A  2 O O.O O . 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 O O 2  O O  Mà 1 2 O O  O O  nên 1 2 O A  O A  2  O O . 1 2   2 1 1 2 2 1 2  2 
Dấu bằng xảy ra khi O A  O A  A A / /O O  A  I ( với I  OM O ) 1 1 2 2 1 2 1 2
29) Cho O và M cố định, điểm A di chuyển trên cung nhỏ BC . Chứng minh chu vi tam giác MA A 1 2
không phụ thuộc vào vị trí điểm A . O1 B A1 A O M A2 C O2 Chỉ ra chu vi M
 A A là: MA  A A  AA  A M  MA  A B  CA  A M  MB  C M  2 B M 1 1 2 2  1 1   2 2  1 2 không đổi.
Vậy chu vi tam giác MA A không phụ thuộc vào vị trí điểm A . 1 2
30) Cho O và M cố định . Tìm vị trí điểm A trên cung nhỏ BC để diện tích tam giác MA A lớn nhất. 1 2 O1 B A1 A O M A2 C O2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Như trên ta đã chứng minh: Chu vi M
 A A không đổi và bằng 2MB . 1 2
Đặt MB  a  nửa chu vi M
 A A là p  a không đổi 1 2 4
 p  p  MA  p  A A  p  MA  và S  p p  MA p  A A p  MA  M  A A  1   1 2   2  1 1 2 2   1 2  4  3 3
 p  MA  p  A A  p  MA  p
Ta có:  p  MA  p  A A  p  MA  1 1 2 2   1 1 2 2    3  27 4 p 2 p . 27 Nên p  p  MA p  A A p  MA   S  p p  MA p  A A p  MA  M  A A  1   1 2   2  1   1 2   2  27 1 2 27
Dấu bằng xảy ra khi MA  MA  A là giao điểm của OM với O 1 2
31) Kéo dài AH  O  Z . Chứng minh tứ giác MAOZ là tứ giác nội tiếp và góc  BMZ   AMC ( hoặc chứng minh  BMA  
CMZ hoặc OM là phân giác góc  AMZ ). B A O H M Z C 2 HM.HO  HC Chỉ ra   HM. O H  H . A HZ . 2 H . A Z H  H . B HC  HC Từ đó suy ra HAM ∽ H
 OZ c  g  c   AZO  
AMO  tứ giác MAOZ là tứ giác nội tiếp. + Ta có:  AMO  
AZO (góc nt chắn cung OA ) mà  OAZ   AZO ( OAZ cân tại O) Và  OAZ  
OMZ (góc nt chắn cung OZ ) nên  AMO   OMZ mà  BMO   CMO nên  BMA   CMZ suy ra  BMZ   AMC .
32) Lấy điểm T bất kì trên BC , kẻ đường thẳng qua T và vuông góc OT , cắt MB, MC tại T ,T . Chứng 1 1 1 2 3 minh OT T cân. 2 3 T2 B T1 O H M T3 C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành  O  BT   OT T
Chỉ ra tứ giác OT BT ; OT T C nội tiếp nên 1 2 1 mà 1 2 1 3  O  T T   OCT  3 1 1 OB  OC   OBT   OCT   OT T   OT T   O  T T cân tại O . 1 2 2 1 3 1 2 3
33) Chứng minh rằng nếu T là trung điểm HB thì T là trung điểm CM , hoặc HT BT là hình bình hành 1 3 3 2
( hoặc cho T là trung điểm HB , chứng minh BT là trung tuyến BMC , hoặc MG  2GH ….) 1 3 T2 B T1 G O H M T3 C
Chỉ ra OT T cân nên T là trung điểm T T , mà T là trung điểm HB  HT BT là hình bình hành, do 2 3 1 3 2 1 3 2
đó HT / /BT . Dựa vào MBC có HT / /BM mà H là trung điểm BC  T là trung điểm CM . 3 2 3 3 34) Chứng minh OH.OT  O . B OT 2 1 T2 B T1 O H M T3 C Chỉ ra  OT T  
OBT  OT T ∽ OBH g  g  OH.OT O . B OT 2 1 1 2 1   2 1
35) Vẽ đường kính CK của đường tròn O . Chứng minh BK / /OM . K B O M H I C
Vì OB  OC  OK  R  C
 KB vuông tại B  BK  BC mà OM  BC  BK / /OM .
36) Đường thẳng vuông góc KC tại O cắt BC tại E . Chứng minh 2 HE.HC  H . O HM  R .
Chỉ ra HOE ∽ HCO  g  g  2  HE.HC  OH . Mà 2 2 2 2 2 H . O HM  BH  HE.HC  H .
O HM  OH  HB  OB  R .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
37) Cho R  3cm, OM  5cm . Tính độ dài các cạnh của tam giác MBC . Ta có: 2 2 2
BM  OM  OB  16  BM  MC  4cm . OM .BM 3.4 12 BH.OM  O . B BM  BH    cm  BC  2BH  4,8cm . OM 5 5
38) Kẻ CP  BM tại P , CP  OM  Q . Chứng minh Q là trực tâm M
 BC và BQ  MC . Tính BQ . K B B P P O M O H Q Q M H C C Xét M
 BC có MH ,CP là đường cao nên Q là trực tâm M  BC và BQ  MC . O  B / /CQ  MB  Chỉ ra O
 C / /BQ  MC  OBQC là hình thoi nên BQ  OB  R . BC  OQ 
39) Giả sử O cố định và điểm M luôn chạy trên đường tròn  ;
O 3R . Chứng minh khi đó Q chạy trên
một đường tròn cố định. R 2R  2R 
Các em tính được độ dài OH   OQ 
 Q luôn chạy trên đường tròn O;   . 3 3  3 
40) Chứng minh BC là phân giác của góc  KCP . Chỉ ra BHQ  C  HQ 2cgv   HBQ   HCQ
Do QB / /KC ( cùng vuông góc CM ) nên  HBQ   KCB ( so le trong ) Suy ra  KCB  
BCQ  BC là phân giác của góc  KCP .
41) Tứ giác OBQC là hình gì ? Vì sao? OB / /CQ,  MB 
Chỉ ra OC / /BQ,  CM   OBQC là hình thoi. OQ  BC 
42) Gọi Q là trung điểm BK . Chứng minh OHBQ là hình chữ nhật. 1 1 K B Q1 M O H C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành Chỉ ra  OQ B   Q BH   0
BHO  90  OHBQ là hình chữ nhật. 1 1 1
43) Từ C kẻ đường thẳng song song MB và cắt O tại Y . Chứng minh 2 KY .OM  2R 2 2 K B M O H Y2 C
44) Từ C kẻ đường thẳng song song MB và cắt O tại Y . Tia MY cắt đường tròn tại M  , gọi M là 2 2 3
điểm đối xứng với M  qua OM . Chứng minh Y , H , M thẳng hàng. 2 3 B B M3 O H M M'3 O H M M' Y M' 2 Y2 C C Cách 1:
Gọi M  là giao Y H với O . Chỉ ra tứ giác OHM Y nội tiếp. 3 2 2 Từ đó suy ra  MHM    OY M    OM Y     OHY  M HM . 2 2 2 3 
Từ đó suy ra M HM  
MHM   M  và M  đối xứng nhau qua OM  M   M . 3 3 3 3 Cách 2: 1
Do M đối xứng M  qua MO nên  M OM   M O  M  . M OM    M Y M  . 3 3 3 3 2 2 Mặt khác tứ giác OHM Y  nội tiếp nên  M O  M   M Y  H   M Y  H   M Y  M . 2 2 2 2 2
Vậy Y , H , M thẳng hàng. 2 3
45) Từ B kẻ BF  KC tại F , BF  KM  F . Chứng minh F là trung điểm F B và BC là phân giác 2 2 2 3 3 2 góc  MBF . 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành K B F3 F K1 2 M O H C F F CM CM Chỉ ra 2 3 F F / /CM    . 2 3 KF KC 2OC 2  1  F B HM Chỉ ra  F KB   HCM  sd  2 BC  F  BK ∽ H  MC g  g   . 2   2    2  KF HC 2 HM CM
Chỉ ra HOC ∽ HCM g  g    . HC OC F F 1 CM 1 F B F F 1 F B F B
Từ 3 đẳng thức trên các em suy ra : 2 3 2 2 3 2 2  .  .   .  F F   F là 2 3 3 KF 2 OC 2 KF KF 2 KF 2 2 2 2 2 trung điểm F B . 2  1  + Chỉ ra  F BC   CKB ( cùng phụ  F BK ) mà  CKB   CBM  sd  BC . 2 2    2  Suy ra  F BC  
CBM  BC là phân giác góc  MBF . 2 2
46) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc OB cắt MC tại Y . Chứng minh O  Y M cân. 1 1 K B K1 H I I1 M O Y1 C
Chỉ ra OY / /MB  OB   Y OM   OMB slt    OMY  O  Y M cân tại Y . 1 1 1 1 1
47) Gọi B là điểm chính giữa cung I I . Từ H kẻ HH  B I tại H , kẻ HH  B I tại H . Chứng 3 1 3 3 1 3 4 3 4
minh 5 điểm O, H , H , B , H cùng thuộc một đường tròn. 4 3 3 B3 H B 3 H4 I1 O H I M C
Chỉ ra 5 điểm O, H , H , B , H cùng nằm trên đường tròn đường kính HB . 4 3 3 3
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
48) Gọi H là điểm đối xứng với H qua H H . Chứng minh H H B H là hình thang cân. 5 3 4 4 5 3 3 B3 B H3 H5 H4 I1 O H I M C H H  H H Chỉ ra 4 4 5 
( tính chất đối xứng trục) H H  H H  3 3 5
nên H H H  H HH  g  g  g    H H H   0
H HH  90  H H B H là tứ giác nội tiếp. 3 5 4 3 4 3 5 4 3 4 4 5 3 3 Vì H H  HH  B H   B H H  
H H H ( góc nt chắn hai cung bằng nhau) 4 5 4 3 3 3 5 3 4 3 5
Suy ra B H / /H H  H H B H là hình thang. 3 5 3 4 4 5 3 3
Vì hình thang H H B H là tứ giác nội tiếp nên H H B H là hình thang cân. 4 5 3 3 4 5 3 3
49) Chứng minh rằng H  O . 5   B3 B H3 H5 H4 I1 O H I M C  O  H H   0 OB H  45 Chỉ ra 5 3 3 3   
, mà H H B H là tứ giác nội tiếp và H H B H nên góc 0 4 5 3 3 4 5 3 3 O  B I  45  3  H B H   B H H   OB H  
OH B  OH B cân tại O  OH  OB  R  H  O . 5 3 5   4 3 5 3 5 3 3 5 5 3 5 3
50) Tiếp tuyến tại H cắt OM tại H . Chứng minh H , H , H thẳng hàng. 5 6 3 4 6 B3 B H3 H5 H4 I1 O H I M H6 C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 0
IHH  OH H  OB I  45 4 3 4 3 
Tứ giác OHH H nội tiếp nên O  H H   0 OB H  45   H HI   0 H H H  45 4 3 5 4 3 4 4 4 5 6  0 O  H H  90  5 6 Mà  H H H   H HH   HH H  
H HH  H H  H H  H nằm trên trung trực HH 4 5 4 5 5 6 5 6 6 5 6 6 5
Mà H H là trung trực HH nên H , H , H thẳng hàng. 3 4 5 3 4 6
51) Giả sử B cố định và M thay đổi sao cho MB là tiếp tuyến của O . Tìm quỹ tích điểm Q khi M thay đổi.
Do OBQC là hình thoi nên BQ  OB  R mà B cố định nên Q B; R . MK O  K1 
52) Gọi C là trung điểm CM , MK  BC  B . Chứng minh MK .MK  MH.MO . 1 1 1 C  K  BC  B 1 1 2  B2 B2 K B K B B K 1 1 B K 1 1 O H M O H M C1 C1 C C Chỉ ra C
 KM vuông tại C và có CK là đường cao nên 2 MK .MK  CM . 1 1 Chỉ ra O
 CM vuông tại C có CH là đường cao nên 2 MH .MO  CH .
Từ đó suy ra MK .MK  MH.MO 1  MHK   MKO 53) Chứng minh M  K H ∽ MOK và góc 1
. Từ đó suy ra OKK H nội tiếp. 1  1 MK O   MOK  1 B2 B2 K B K B B K 1 1 B K 1 1 M O H O H M C1 C1 C C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành MK MH Xét M  K H và M  OK có: góc  KMO chung và 1  1 MO MK Từ đó suy ra M  K H ∽ MOK . 1  MHK   MKO Vì M  K H ∽ MOK nên 1 . 1  MK O   MOK  1 Xét tứ giác OKK H có  OKK   OHK   K HM   0
OHK  180 , mà đây là hai góc đối nhau nên tứ giác 1 1 1 1 1
OKK H là tứ giác nội tiếp. 1
54) Chứng minh C K là tiếp tuyến của O . 1 1 B2 K B B K 1 1 M O H C1 C Chỉ ra C
 MK vuông tại K  K C  C C  C M  C  K C cân tại C . 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Chỉ ra OC K  OC C c  c  c   OK C   0 OCC  90 . 1 1 1 1 1 1
Từ đó suy ra C K là tiếp tuyến của O . 1 1
55) Gọi K là trung điểm KK . Chứng minh B K là tiếp tuyến của O . 2 1 2 B' B2 K B K B K2 K2 B K 1 1 B K 1 1 M O H O H M C1 C1 C C O  K  KK  Vì K là trung điểm 2 1 KK  . 2 1  KOK   K OK  2 1 2
giả sử OK  BC  B. Ta sẽ chứng minh B '  B , tức là chứng minh B ' K là tiếp tuyến O . 2 2 1
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành Ta có: O
 K M ∽ OHBg  g 2 2 2
 OK .OB  OH.OM  OB  R  OK 2 2 1 2
 OK .OB  OK  OK K ∽ OK Bc  g  c   OK B   0 OK K  90  B K  là tiếp tuyến của 2 1 2 1 1 1 2 1 1 O , suy ra B  B . 2
Từ OKB  OK B c  g  c   OKB   0
OK B  90 nên B K là tiếp tuyến của O . 2 1 2 2 1 2 2 56) Chứng minh M  HB ∽ B  HO . Từ đó suy ra 2 H . O HM  HB . HB  BH . 1 2 2 1 B' B2 K B K B K2 K2 B K 1 1 B K 1 1 M O H O H M C1 C1 C C Các em chỉ ra  HMB   HB O ( cùng phụ  HPB ). 1 2 2 Từ đó suy ra M
 HB ∽ B HO g  g  H . O HM  HB .HB và 2 HO.HM  BH . 1 2   2 1 57) Chứng minh 2 BC  4HB . HB . 1 2 2 BC  BC  Chỉ ra 2 BH  HO.HM  HB . HB mà 2 BH  
 HB .HB  BC  4HB .HB . 2 1   2 1 1 2 2  2  B2 K B K2 B K 1 1 O H M C1 C 58) Chứng minh 2 2
OH .OM  OK .OB  R  OB ( hoặc chứng minh OK .OB không đổi) 2 2 2 2 Chỉ ra  K MO   HB O ( cùng phụ  HOB ) . 2 2 2 Từ đó suy ra K  MO ∽ H
 B O g  g  OH.OM  OK .OB . 2 2   2 2 Mà 2 2 OH .OM  OB  R nên 2 2
OH .OM  OK .OB  R  OB 2 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 59) Chứng minh OB  B M 1 2 B2 K B K2 B K 1 1 O H M C1 C
Chỉ ra B là trực tâm OMB  OB  MB . 1 2 1 2
60) Chứng minh tứ giác MHK B nội tiếp từ đó suy ra OK .OB không đổi. 2 2 2 2 B2 K B K2 B K 1 1 O H M C1 C Xét tứ giác MHK B có:  MHB   0
MK B  90 , mà đây là hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh 2 2 2 2 2
MB , suy ra tứ giác MHK B là tứ giác nội tiếp. 2 2 2 Chỉ ra 2 2
OK .OB  OH.OM OB  R không đổi. 2 2
61) Gọi BC  O  J . Chứng minh C  J C ∽ C  CB , C  MJ ∽ C
 BM ; CH J C là tứ giác nội tiếp. 1   1 1 1 1 1 1 1 1 1
(hoặc bài có thể khai thác từ các yếu tố trên như chứng minh các góc, tỉ số đoạn thẳng…) K B K1 J1 M O H C1 C
Chỉ ra C H  C C ( trung tuyến tam giác vuông) nên  C CH   C HC . 1 1 1 1  1  Mặt khác  C CJ   C BC  sd  CJ  C J C ∽ C CB   g  g   C J C   C CB   C HC . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  2 
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Từ đó suy ra CH J C là tứ giác nội tiếp. 1 1 + Chỉ ra 2
C J C ∽ C CB  CC  C J .C B mà 1 1 1 1 1 1 1 2
C C  C M  C M  C J .C B  C
 MJ ∽ C BM c  g  c 1 1 1 1 1 1 1 1 1  
62) Kéo dài MJ cắt O tại J . Chứng minh J C là phân giác góc  C J J 1 2 1 1 1 2 K B K1 J2 J1 M O H C1 C Do C MJ ∽ C BM   C MJ   C BM   MJ B  J B / /CM 1 1 1 1 1 1 2 2  J BC   BCM   CJ C 2 1 1     J J C     J C là phân giác góc  C J J . 1 1 1 2 J BC   CJ C 2 1 1 1 J J C  2 2 1 2 K M  K K .K B
63) Kéo dài BK  OM  K . Chứng minh 3 3 1 3
từ đó suy ra K là trung điểm HM và 1 3  2 K H  K K .K B 3  3 3 1 3 HK  BK . 1 1 B2 K B K1 M O H K3 C Chỉ ra  K MK   MKB ( sole trong) mà  MKB  
K BM ( tính chất góc nt và góc tạo bởi tt và dây cung) 3 3 Nên  K MK  
K BM . Từ đó suy ra K MK ∽ K
 BM g  g  K M  K K .K B . 3 1 3   2 3 3 3 3 1 3 + Do MK H ∽ M  OK nên  MHK   MKO mà  MKO   HBK ( góc nt chắn cung  CK ) 1 1 3 1
Từ đó suy ra K HK ∽ K BH  g  g 2  K H  K K .K B . 3 1 3 3 3 1 3 2 K M  K K .K B Vì 3 3 1 3 
 K M  K H  K là trung điểm MH . 3 3 3 2 K H  K K .K B  3 3 1 3
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành B2 K B K1 M O H K3 C + Ta có:  K BH   K HB   K HK   K HB   0
K HB  90 . Từ đó suy ra HK  BK . 1 1 1 3 1 3 1 1 2 HC KK 64) Chứng minh 1   1. 2 HK MK 1 1 B2 K B K1 M O H K3 C 2 BH  BK .BK 1 3 2  C  H  BK .BK 2 HC BK BK  K K BK Chỉ ra 2 1 3 HK  BK .K K  . Suy ra 3 1 1 3 1    1. 1 1 1 3  2  HK  BK .K K  2 HK K K K K K K 1 1 1 3 BH  CH 1 1 3 1 3 1 3  KK BK 2 HC KK BK KK + Ta có: 1 1 BK / /OM   suy ra 1 1 1   1 1. MK K K 2 HK K M K K MK 1 1 3 1 1 1 3 1
65) Từ K kẻ đường thẳng song song KB cắt BC, BM tại K , K . Chứng minh K là trung điểm K K . 1 5 6 1 5 6 K B K1 K6 K5 M O H K3 C KB / /OM K K BK K K Vì 1 5 1 1 6   K K / /HM   
mà HK  K M  K K  K K  K là trung 5 6 K K / /KB  HK BK K M 3 3 1 5 1 6 1 5 6 3 3 3 điểm K K . 5 6
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành K B B1 K1 K6 K5 O H M C
Cách khác: Các em có thể thấy, HB là phân giác trong 
KHK và HM  HB  HM là phân giác ngoài 1 1  K B K K 1 1 1 5  K B MK  B K KB góc  KHK 1 1 1  
( tính chất phân giác) . Mà 1   K K  K K . 1 B K MK 1 5 1 6 1  MK K K 1 1 6   MK KB
66) Chứng minh HB là phân giác góc  KHK . 1 B2 K B K1 M O H C  O  KK   K HM
Chỉ ra tứ giác OKK H là tứ giác nội tiếp nên 1 1 mà  OKK   OK K ( do OKK cân) 1  1 1 1 O  K H   OK K  1  BHK   0 OHK  90 Nên  K HM   OHK mà    BHK  
BHK  HB là phân giác góc  KHK . 1  1 B K H   1 0 K HM  90  1 1 67) Chứng minh 2
OK  OH.OM từ đó chứng minh OK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp H  MK 1 1 1 K B K1 M O H C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 2 O  B  OH.OM Chỉ ra 2   OK  OH.OM . 1 OB  OK  1 OK OM + Chỉ ra 2 1 OK  OH.OM    O  HK ∽ O  K M c  g  c . 1 1 1   OH OK1 Từ đó suy ra góc  OK H  
OMK  OK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp H  MK . 1 1 1 1
68) Từ B kẻ đường thẳng song song MC cắt O tại B , nối MB  O  B . Chứng minh góc 4   4 5  BB C   MB C 5 5 B B5 M O B4 C
Vì tứ giác BB CB nội tiếp nên  BB C   0 BB C  180 . 4 5 4 5  BB B   B MC slt 4 5 4     MB C   B CM Chỉ ra 4 5    BB C   CB M .  BB B   MB C   5 5 0 BB C  180 4 5 4 5  B MC   B CM  0 CB M  180   4 5 5
69) Từ K kẻ tiếp tuyến K K với O , K là tiếp điểm . Chứng minh HK M vuông. 3 3 4 4 4 B2 K B K1 K3 O H M K4 Ta có: O  K K vuông tại 2 2 2 2
K  OK  K K  OK  OH  HK 4 4 3 4 3  3  4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 OH  HK  2.OH.HK  OH  HK  OH.HM  OH  HK  BH  HK  OB 3 3 3 3 3
Mà OK  OB  R  K K  HK  K K  HK  K M  H
 K M vuông tại K ( tính chất trung 4 3 4 3 3 4 3 3 4 4
tuyến của tam giác vuông).
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
70) Giả sử KK  3K M và P là trung điểm KM . Chứng minh KM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại 1 1 1 tiếp OHP . 1 K B P1 K1 M O H K3 K4 Ta có: 2 2
BM  MK .MK  MK .4MK  4MK  BM  2MK mà MP  2MK  PM  MP . 1 1 1 1 1 1 1 1 Mặt khác: 2 2
BM  MH.MO  MP  MH .MO . 1
Từ đó các em chứng minh MHP ∽ MPO c  g  c   MP H   MOP . 1 1 1 1
Suy ra MK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OHP . 1 B Q  KO  Q CB KB
71) Gọi trung điểm BK là Q , 2 1 2 . Chứng minh 2 2  và Q Q / /KB . 1 B OKB  Q  OC KQ 2 3 2 2 3 1 B2 K Q1 B Q3 B1 Q2 M O H C CB KB Chỉ ra 2 2 KB .KC  K .
B CB  KB .2OC  2KQ .CB  KB .OC  KQ .CB   . 2 2 2 1 2 2 1 2 OC KQ1 CB KB + Từ 2 2 
 B Q K ∽ B OC c  g  c  B Q K  B OC  Q Q K  KOB . 2 1 2       2 1 2 2 1 2 OC KQ1 Q K Q K
Nên Q Q K ∽ Q OK  g  g  1 2   . 2 1 3 OK Q K 3
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành Q K Q K Xét O  Q K và Q Q K có  OKB chung và 1 2  nên 1 3 2 OK Q K 3
OQ K ∽ Q Q K c  g  c   Q Q K   0
OQ K  90 mà  B K  KC  Q Q / /B K . 1 3 2 3 2 1 2 2 3 2 BM  KC  S 72) Cho 
. Chứng minh M là trung điểm JC . C  M  KB  J S K B J O H M C X  MCB   0 MJB  90 Vì MB  MC gt   MBC   MCB mà    MJB      cân tại M MBC   MBJ MBJ 0 MBJ  90
 MB  MJ . Vì MB  MC  MJ  M là trung điểm CJ .
73) OB CM  X . Chứng minh SX / /BC .
Xét MSX có hai đường cao SC và XP nên O là trực tâm M  SX  MO  SX . Vì MO  BC  SX / /BC . 74) Chứng minh XK  SJ . Do BK / /MO  BK  SX . Xét S
 JX có SC và KJ là đường cao nên K là trực tâm S  JX  XK  SJ .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 75)
Từ M kẻ cát tuyến MDD ( tia MD nằm giữa tia MB và MO ), gọi D là trung điểm DD, 1
OD  BC  D . Chứng minh các điểm O,C, M , B, D cùng nằm trên một đường tròn, các điểm 1 2 1
M , H , D , D cùng nằm trên một đường tròn. 1 2 D2 B D' D1 D O H M C
Chỉ ra các điểm O,C, M , B, D đều cách đều trung điểm của OM ( dựa vào tính chất trung tuyến tam giác 1
vuông) hoặc các đỉnh C, B, D đều nhìn MO dưới một góc vuông. 1
Chỉ ra các điểm M , H , D , D đều cách đều trung điểm của D M ( dựa vào tính chất trung tuyến tam giác 1 2 2 vuông) hoặc  MHD   0 MD D  90 . 2 1 2 76)
Cho O và điểm M cố định. Khi cát tuyến MDD thay đổi, tìm quỹ tích điểm D . 1 D2 B D' D1 D O H M C Vì  0
OD M  90 nên điểm D nằm trên đường tròn đường kính OM . Do đó khi cát tuyến MDD thay 1 1
đổi, thì quỹ tích điểm D chạy trên đường tròn đường kính OM . 1 77) Chứng minh 2 2 2
OH.OM  OD .OD  OB  R  OD . 1 2 Chỉ ra OHD ∽ O
 D M g  g  OH.OM  OD .OD . 2 1   1 2 Chỉ ra 2 2
OH.OM  OB  R ( hệ thức lượng) Suy ra 2 2 2
OH.OM  OD .OD  OB  OD  R . 1 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành D2 B D' D1 D O H M C 78) Chứng minh 2 CM  M . D MD  MH.MO . Cách 1: Ta có: M .
D MD  MD  D D MD  D D  MD  D D MD  D D 1 1
 1 1   1 1  1 1  2 2  D M  D D   2 2 OM  D O    2 2 OD  D O  2 2 2 2 2
 OM  OD  OM  OC  CM ( đpcm) 1 1 1 1
+ Trong tam giác vuông OCM , đường cao 2 CH  CM  MH.MO . Cách 2:  1  Chỉ ra  MBD   MD B   sd  BD  M  BD ∽ M  D B    g  g 2 2  BM  M . D MD  CM  M . D MD  2  79) Chứng minh 2 OH.OM  M . D MD  MO . 2 O  H.OM  OB 2 2 2   OH.OM  M .
D MD  OB  BM  MO . 2 M . D MD  MB 80)
Chứng minh MBD ∽ MD B  và góc  MBD   MD B  . Cách 1: Ta có: 2 2 CM  M . D MD  BM  M . D MD .
Từ đó suy ra MBD ∽ MD B
 c  g  c   MBD   MD B
 ( hai góc tương ứng) .  1  Cách 2:  MBD   MD B   sd  BD  M  BD ∽ M  D B    g  g .  2  81) Chứng minh M  DH ∽ M  OD và góc  MHD   MD O  . 2 MB  M . D MD Do   M . D MD  MH.MO . 2 MB  MH.MO
Từ đó suy ra MDH ∽ MODc  g  c   MHD   MD O
 ( hai góc tương ứng) . 82)
Giả sử độ dài dây cung DD không đổi. Chứng minh BC luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi.
Do DD nên khoảng cách từ O đến DD là OD không đổi. 1
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 2 R Mặt khác 2 OD .OD  R  OD 
không đổi nên D cố định. 1 2 2 OD 2 1
Suy ra BC luôn đi qua điểm cố định là D . 2 83)
Chứng minh D D là tiếp tuyến của O ( hoặc chứng minh OD  D D  ) 2 2 OD OD Ta có: 2 2 1 OD .OD  R  OD   . 1 2 OD OD2 OD OD Xét O  D D và O  D D  có  D O  D chung và 1  nên OD D ∽ O  D D  c  g  c 1 2   1 2 1 OD OD2 Suy ra  OD D    0
OD D  90  D D là tiếp tuyến của O . 2 1 2 D2 B D' D1 D O H M C 84)
Nếu đề bài đổi thành tiếp tuyến tại D và D cắt nhau tại D , chứng minh B,C, D thẳng hàng. 2 2 2 2 O  H.OM  OB  R Chỉ ra 
 OH.OM  OD .OD  OHD ∽ O  D M c  g  c 1 2 2 1   2 2 O  D .OD  D O   R  1 2   OHD   0
OD M  90  HD  OM mà BC  OM  B,C, D thẳng hàng. 2 1 2 2
Cách khác: Các em có thể chỉ ra hai tứ giác OD D  D và OD D
 H nội tiếp nên 5 điểm O, D, D, H , D 2 2
cùng thuộc một đường tròn, suy ra  OHD   0
ODD  90  HD  OH mà BC  OH  B,C, D thẳng 2 2 2 2 hàng. 85)
Từ D kẻ đường thẳng song song BC cắt O tại D . Chứng minh D , H, D thẳng hàng. 5 5 B D' D3 D M O H D5 C
Vì BH là phân giác góc  D H
 D ( đã chứng minh ở các câu khác) Mà  OHB   0 MHB  90   OHD   DHM .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành Vì D D
 / /BC  OH là trung trực D D    OHD   OHD   OHD   DHM . 5 5 5 5 Ta có:  OHD   OHD   DHM   0
OHD  180  D , H , D thẳng hàng. 5 5 86)
Gọi MO  KD  G , CG  O  G , D G   DK  G ,G K  D D   G . Chứng minh 1 1   2 2 3 2 4  CD D  
KOG từ đó cứng minh OKG ∽ D
 DC ( hoặc các tỉ số từ tam giác đồng dạng) 1 1 1 1 G3 K B D' D G 1 4 D G M 1 O G2 C Chỉ ra  CD D   MOC   KOG và  G KO   D DC ( góc nt chắn cung  D C  ). 1 1 1 1 87)
Chứng minh G ,O, D thẳng hàng và G G  G D . 2 3 4 2 G3 K B D' D G 1 4 D G M 1 O G2 C OK DD 2OK 2DD KC DD Vì 1 1 OKG ∽ D DC        DCD∽ K  G C c  g  c 1 1 1   KG DC KG DC KG DC 1 1 1 Suy ra  KCG   DD C    DCM   G CD   G CO   COD   DCM   0
COD  90  G D là đường kính của 1 2 1 2
đường tròn O  G , D,O thẳng hàng và  G D D    0
G KD  90  G là trực tâm 2 2 2 4 G DG  G G  G D 2 3 3 4 2 88)
Từ D kẻ đường thẳng song song BM cắt BC, BD tại C , C . Chứng minh tứ giác CDC D nội 4 5 4 1
tiếp và C là trung điểm DC . 4 5 B C5 D' C4 D1 D M O C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Vì CD BM nội tiếp nên  D CB   D MB  
D DC slt  CDC D là tứ giác nội tiếp. 1 1 1 4   1 4 1
Vì CDC D nội tiếp nên  DD C   DCC mà  DCC   DD B    DD B    DD C  D B  / /D C . 4 1 1 4 4 4 1 4 1 4 Mà D là trung điểm D D
  C là trung điểm DC . 1 4 5 89)
Gọi MD  BC  D . Chứng minh MD và D D là phân giác trong và ngoài của góc  CD B và 3 1 1 2 1 BD .CD  BD .CD . 2 3 3 2 D2 B D' D1 D3 D M O H C
+ Chỉ ra tứ giác OD BM là tứ giác nội tiếp nên  MD B  
MOB ( góc nt cùng chắn cung BM ) 1 1
+ Chỉ ra tứ giác OD MC nội tiếp nên  MD C  
MOC ( góc nt cùng chắn cung MC ). 1 1 Mà  MOC   MOB   MD B  
MD C  MD là phân giác góc  CD B . 1 1 1 1
Hoặc các em chỉ ra : 5 điểm M ,C,O, D , B cùng thuộc một đường tròn, 1 mà MB  MC   MD B  
MD C ( góc nt chắn hai cung bằng nhau) 1 1
 MD là phân giác góc  CD B . 1 1
+ Vì D D  D M  D D là phân giác ngoài của góc  CD B . 1 2 1 1 2 1 BD BD
Áp dụng tính chất phân giác ta có: 3 2   BD .CD  BD .CD 2 3 3 2 CD CD 3 2 90) Chứng minh D D  .D D  D . B D C 3 3 3 3 B D' D D3 M O H C Chỉ ra D
 BD∽ D DC g  g  D D  .D D  D . B D C . 3 3   3 3 3 3
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 91)
D C  O  C . Chứng minh C B / /D D  . 1   2 2 C2 B D' D1 D M O C
Chỉ ra tứ giác BMCD nội tiếp, suy ra  CD M  
CBM ( góc nt cùng chắn cung CM ) 1 1 Mà  CC B  
CBM ( góc nt cùng chắn cung BC ) 2 Suy ra  CD M  
CC B , mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên C B / /D D  . 1 2 2 92)
Kéo dài BD  O  C . Chứng minh CC / /D D  . 1   3 3 B D' D1 D M O C3 C
Chỉ ra tứ giác OD BM là tứ giác nội tiếp, suy ra  MD B  
MOB ( góc nt cùng chắn cung BM ) 1 1 1 Mặt khác  CC B  .  COB  
MOB ( tính chất góc nội tiếp và góc ở tâm) 2 2 Suy ra  CC B  
MD B , mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên CC / /D D  . 2 1 2  1 
Các em cũng có thể chỉ ra  CC B   MCB  sd  BC  
MD B ( góc nt chắn cung BM ) 2   1  2  93)
Đề bài có thể thay đổi, kẻ dây CC / /D D  . Chứng minh góc  C BO   D M  O hoặc chứng minh 3 3
C , D , B thẳng hàng, hoặc C B  D D
  D chứng minh D là trung điểm D D  . 3 1 3 1 1 B D' D1 D M O C3 C 1
Gọi BC  MD  D . Vì CC / /D D    C D D   BC C  sd  BC 4 4 3 3 4 3 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành   0 CD O  90   0 C D D  90  sd  BC 4 3 4 1 1 Mà  BMO   0 BMC  180    BOC  0  90  sd  BC   BMO   CD O  OMBD nội tiếp 4 4 2 2 nên  OD M   0 OBM  90  OD  D D   D  D . 4 4 4 1
Vì OMBD là tứ giác nội tiếp nên  C BO   D M  O . 1 3 2 1 1 94)
Gọi MD  BC  D . Chứng minh M . D MD  MD .MD và   3 3 1 MD MD MD 3 B D' D1 D3 D M O H C3 C 2 M . D MD  BM Chỉ ra   M . D MD  MD .MD . 3 1 2 MD .MD  MH.MO  MB  3 1 + Ta có: MD .MD  M .
D MD  MD .MD  MD .MD  2M . D MD 3 1 3 1 3 1
 MD . MD  DD  MD . MD  DD  2M . D MD 3  1  3  1 
 MD .MD  MD .DD  MD .MD  MD .DD  2M . D MD 3 3 1 3 3 1
 MD .MD  MD .MD  2M . D MD 3 3 2 MD  MD 2 1 1  MD MD  MD  2M . D MD      3   MD M . D MD MD MD MD 3 3 95)
Kéo dài BD và BD cắt C C tại C , C . Chứng minh rằng C là trung điểm C C . 3 6 7 3 6 7 B D' C6 D1 D M O H C3 C C7 Chỉ ra D D
 / /C C ( đã chứng minh trên) 6 7
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành D D  BD DD Áp dụng định lí Talet: 1 1 1   , mà DD  D D  nên C C  C C . C C BC C C 1 1 3 6 3 7 3 6 3 3 7 96)
Cho O , M và B cố định. Chứng minh trọng tâm BD D  và C  D D  luôn chạy trên một
đường tròn cố định ( hoặc chứng minh đường tròn ngoại tiếp BD D  và C  D D  có cùng bán kính). B B D' D' G D1 D D1 D O2 O H M M G' O1 O H O1 O3 C C 1
Gọi O là trung điểm OM  O cố định và O D  OM không đổi. 1 1 1 1 2
+ Trên BO lấy điểm O sao cho BO  2O O  O cố định ( do B,O cố định) 1 2 2 1 2 2 1 BG BO 2 2 1 OM
Gọi G là trọng tâm BD D  . Ta có: 2 
 2  GO / /D O và GO  D O  . OM  2 1 1 GD O O 2 1 1 3 3 2 3 1 1 2 không đổi. OM  OM  Vì O cố định và GO  không đổi nên G  O ; . 2 2   3 2  3   OM  Vậy trọng tâm BD D
 luôn chạy trên một đường tròn O ;  cố định. 2   3 
+ Trên CO lấy điểm O sao cho CO  2O O  O cố định ( do C,O cố định) 1 3 3 1 3 3 1 CG CO 2 2 2 1 1 Gọi G ' là trọng tâm 3 CD D      G O  / /D O và G O   D O  . OM  OM . 3 1 1 CD CO 3 3 1 1 3 3 2 3 1 1  OM  Do đó G O ;  cố định. 3   3  97)
Từ D kẻ đường thẳng song song CM cắt BC, CD tại E, F . Chứng minh BDED là tứ giác nội 1
tiếp và E là trung điểm FD .
(Bài có thể thay đổi qua D kẻ đường thẳng song song CD cắt BC tại E ) 1 B D' D1 D O M E F C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Chỉ ra tứ giác D BMC nội tiếp nên góc  D BC  
D MC ( góc nt chắn cung D C ) 1 1 1 1 Mà  D MC   D DE ( đồng vị) nên  D BC   D DE   D BE  
D DE . Từ đó suy ra BDED là tứ giác nội 1 1 1 1 1 1 1 tiếp.
+ Vì BDED là tứ giác nội tiếp nên  ED D  
EBD ( góc nt chắn cung ED ) 1 1 Mà  EBD   CD D
 ( góc nt chắn cung DC ). Suy ra  ED D   CD D
 , suy ra ED / /CD mà D là trung điểm D D
  E là trung điểm DF ( tính chất 1 1 1 đường trung bình) . 98)
ED cắt OM tại F . Chứng minh ED BD và OEF B là tứ giác nội tiếp. 1 1 1 B B D' D' D1 D D1 D O F M O F M 1 E 1 E F F C C  1  + Chỉ ra  ED D   CD D  slt  CBD  sd  CD   ED D   EBD . 1   1  2 
Từ đó suy ra ED BD là tứ giác nội tiếp. 1
+ Vì ED BD là tứ giác nội tiếp nên  EDB  
DD B (góc nt chắn cung BD ) 1 1
Mà tứ giác OMBD là tứ giác nội tiếp nên  DD B  
BOM ( góc nt chắn cung BM ) 1 1 Suy ra  F EB  
F OB  OEF B là tứ giác nội tiếp. 1 1 1  BD CD   99) Phân giác góc 
DBD cắt MD tại H . Chứng minh rằng :  D B  D C  và CH là phân 1 1 BM  MH  CM  1 giác góc  D C  D . B D' H1 D O M C H2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành BD MB + Vì M  DB ∽ MBD   . D B  D M  DC MC BD CD + Tương tự: MDC ∽ M  CD   mà MC  MB   . D C  D M  D B  D C  BD H D BD CD CD H D + Ta có: 1 
( tính chất phân giác) mà  nên 1  D B  H D D B  D C  D C  H D 1 1
Suy ra CH là phân giác góc  D C  D . 1
+ Gọi BH  O  H . Vì  H BD   H BD   D H    DH . 1   2 2 2 2 2 1 1 1 Mà  H BM  sd  BH  sd  BD  sd   DH   sd  BD  sd   D H     BH M . 1 2 2 2 1 2 2 2 Do đó B
 H M cân tại M  MB  MH mà MB  MC nên BM  MH  CM 1 1 1
100) Chứng minh tứ giác D O  HD nội tiếp. Vì M  D O  ∽ MHD   MD O    MHD   OD D    OHD   DHM   0 OHD  180 . Xét tứ giác D O  HD có  DHM   0
OHD  180 mà đây là hai góc đối nhau nên D O
 HD là tứ giác nội tiếp. B D' D M O H C
101) Đề bài có thể thay đổi thành: Chứng minh đường tròn ngoại tiếp HD D  hoặc D  O  D luôn đi
qua một điểm cố định, hoặc tâm đường tròn ngoại tiếp HD D
 luôn chạy trên một đường thẳng cố định…. B D' D M O H I C
+ Các em sẽ thấy, tứ giác OHDD là tứ giác nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác HD D  luôn đi
qua điểm cố định O và đường tròn ngoại tiếp tam giác OD D
 luôn đi qua điểm cố định H .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
+ Vì OHDD là tứ giác nội tiếp nên tâm đường tròn ngoại tiếp HD D
 luôn nằm trên đường trung trực đoạn OH .
102) Chứng minh DI là phân giác góc HDM ( với I  MO  O ) B D' D M O H I C MD MO MO Vì MD O  ∽ M  HD      1 . HD OD OB MI MB
Mà BI là phân giác góc  HBM   2 IH BH MO MB MI Chỉ ra MHB ∽ M  BO g  g    3 . BO HB HI MD MI Từ   1 23  
 DI là phân giác góc  HDM . HD HI 103) Chứng minh  MOD  2 MDI B D' D M O H I C
Vì tứ giác HODD là tứ giác nội tiếp nên  HOD   HDM .
Mà DI là phân giác góc  HDM   HOD  2.  MDI .
104) Kéo dài OM cắt O tại điểm thứ hai là I . Chứng minh M . D MD  MI.MI 1 1 B D' D I1 O I M C
Vì IDD I là tứ giác nội tiếp nên  D I I   IDM . 1 1 Từ đó suy ra MID ∽ M  D I g  g  M . D MD  MI.MI . 1   1
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
105) Tiếp tuyến tại I cắt nửa đường tròn đường kính MI tại X , CO  X I  X . Chứng minh 1 1 1 1 2 MX  CX 2 1 X1 B X2 O H I1 M I C Chỉ ra MBI ∽ M  I B g  g 2  BM  MI.MI . 1 1 Mà 2
MX  MI.MI ( hệ thức lượng) suy ra MX  BM  MC  M  X C cân. 1 1 1 1
Do đó M nằm trên đường trung trực CX . 1  MX C   0 CX X  90 M  X C cân  MX C   MCX mà 1 1 2    CX X   X CX  X X C cân nên X 1 1 1  2 MCX   1 2 1 2 2 1 0 X CX  90  1 1 2
nằm trên đường trung trực CX . 1
Vậy MX là trung trực CX nên MX  CX . 2 1 2 1
106) Từ M kẻ cát tuyến MPP song song BD , cát tuyến này cắt CB,CD tại P , P . Chứng minh tứ 1 4 2 3
giác MCP B là tứ giác nội tiếp và P là trung điểm P P ( hoặc OP  P P ) 3 3 4 1 3 1 4 B D' D O M P1 P2 P3 P4 C  1  Chỉ ra  MBC   MD C   sd  BC   MPC   ( đồng vị) nên  MBC   MP C . 3  2  3
Từ đó suy ra MCP B là tứ giác nội tiếp. 3
+ Do M ,C,O, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM  5 điểm M ,C,O, B, P cùng thuộc đường 3
tròn đường kính OM   0
OP M  90  OP  PP  P là trung điểm P P . 3 3 1 4 3 4 1
107) Chứng minh P P . P M  P P. P P 2 3 2 2 1 2 4
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành B D' M O H P1 P2 P3 P4 C P P .P M  P C .P B Chỉ ra 2 3 2 2 1 2   P P .P M  P P.P P 2 3 2 2 1 2 4 P P.P P  P C .P B  2 1 2 4 2 1 2
108) Đường thẳng OP cắt O tại Y ,Y (Y nằm trên cung nhỏ D B
 ). Y P  O  Y . Chứng minh 2 2   3 2 3 3 4
Y ,Y , M thẳng hàng hoặc chứng minh tứ giác Y PY M nội tiếp. 3 4 2 3 4 Y3 Y3 B B D' D' Y4 Y4 M M O H O H P1 P1 P2 P2 P3 P3 P4 P4 C C Y2 Y2
Chỉ ra P P .P P  PY .P Y mà P P . P M  P P.P P nên P P . P M  P Y .P Y 2 1 2 4 2 4 2 2 2 3 2 2 1 2 4 2 3 2 2 4 2 2
Từ đó chứng minh P PY ∽ P Y M c  g  c   Y Y M   0
Y P M  90  Y Y  Y M . 2 3 2 2 4 2 4 2 3 2 4 4
Vì Y Y là đường kính O  Y Y  Y Y . 2 3 2 4 3 4
Từ đó suy ra Y ,Y , M thẳng hàng. 3 4
109) Chứng minh P P . P M  PP . P P 3 2 2 1 2 2 4 B B D' D' D D O M O M P1 P1 P2 P2 P3 P3 P4 P4 C C P P P C Chỉ ra P P C ∽ P  BP g  g  2 4 2    P P .P P  P C .P B . 2 4 2 1 2 4 2 1 2 2 P B P P 2 2 1
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành P C P P Chỉ ra P CP ∽ P  MB g  g    P C .P B  P P .P M . 2 3 2   2 2 3 2 2 2 3 2 P M P B 2 2
Từ đó suy ra P P . P M  PP . P P . 3 2 2 1 2 2 4
110) Kéo dài OP cắt đường tròn O tại P , P ( P thuộc cung nhỏ BD ). Nối P P cắt đường tròn 3 5 6 5 6 2
O tại P . Chứng minh M, P , P thẳng hàng. 7 5 7 P5 B D' P7 D O M P1 P2 P3 P4 C P6
Vì P P là đường kính O  P P  P P 1 . 6 7 5 7   5 6 P P P P Ta có: 3 2 2 7
P P . P M  PP . P P  P P . P P  P P . P M  P P . P P   . 3 2 2 1 2 2 4 2 7 2 6 3 2 2 2 7 2 6 P P P M 2 6 2
Từ đó suy ra P P M ∽ P P P c  g  c   P P M   0
P P P  90  P P  MP 2 . 2 7 2 3 6 2 7 2 3 6 2 7 7   Từ  
1 2  M , P , P thẳng hàng. 5 7 111) Chứng minh D B  P là tam giác cân. 3 B D' D M O P1 P2 P3 P4 C O  P  PP Vì 3 1 4 
 OP  BD  OP là trung trực BD nên BP  P D  B  P D cân tại P . 3 3 PP / /BD  3 3 3 3 1 4
112) Cho B,C và O cố định. Tìm vị trí cát tuyến MDD để diện tích P  BC lớn nhất. 3 B D' D M O P1 P2 P3 P4 C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành Ta có:  BPC   CD B    P BD  2.  CD B
 ( tính chất góc trong – góc ngoài tam giác) 3 3
Mà B,C,O cố định nên góc  CD B  không đổi, suy ra  BPC  2.  CD B  không đổi. 3 1 Mà S  .PC.P B.sin  BPC  S
lớn nhất khi PC. P B lớn nhất.   3 P BC 3 3 3 3 2 P BC 3 3 2  PC  P D  D C  2 2 D C  4R Ta có: 3 3 PC.P B  PC.P D   mà 2 CD  2R  P C. P B    R . 3 3 3 3  2    4 3 3 4 4
Dấu bằng xảy ra khi CD là đường kính của O .
113) Tiếp tuyến của đường tròn O tại I cắt đường tròn đường kính MI tại M , M I  OC  M . 1 1 1 1 2
Chứng minh tứ giác MCM M là tứ giác nội tiếp, MM  MC ; CM  MM . 2 1 1 1 2 M1 B M2 I1 O I M C
Vì MI là đường kính nên  0 M M M  90  
M CM  MCM M là tứ giác nội tiếp. 1 2 1 2 2 1 + Chỉ ra 2 2
MM  MI.MI  MC  MM  MC . 1 1 1
+ Vì tứ giác MCM M nội tiếp đường tròn đường kính MM mà MM  MC  MM là đường trung 2 1 2 1 2 trực CM  CM  MM . 1 1 2
114) Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp IMI , E là tâm đường tròn ngoại tiếp M  D D  , E là 1 1 2 2 3
trung điểm của M M . Chứng minh E , E , E thẳng hàng. 1 2 1 2 3 M1 E3 D' E2 M2 D V I1 O I M E1 C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
+ Gọi MM  CM  V . Ta có: 2 2
MV .MM  MM  MC  MI.MI  M . D MD . 2 1 2 1 1
Từ đẳng thức MV.MM  M . D MD  D D
 VM nội tiếp nên V E . 2  2 2
Từ đẳng thức MV .MM  MI.MI  IVM I là tứ giác nội tiếp nên V E . 1  2 1 2 1
Suy ra E , E cắt nhau tại hai điểm M , V  E E là trung trực VM . 1   2  2 1 2 2
Vì E E / /CM và E E đi qua trung điểm VM nên E E đi qua trung điểm M M . 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
Vậy E , E , E thẳng hàng. 1 2 3
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Chùm bài toán tiếp tuyến – cát tuyến ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Tổng hợp kiến thức Đại số THCS

Cấu trúc đề thi vào 10 năm 2023 tỉnh Tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu

Cấu trúc đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Thái Nguyên năm 2023 - 2024

Cấu trúc đề thi vào lớp 10 năm 2023 - 2024 tỉnh Thanh Hóa

Cấu trúc đề thi vào 10 tỉnh Quãng Ngãi năm 2023 - 2024