11 trang 7 lượt tải

Chương 1: Hệ Vĩ Mô và Cơ Sở Vật Lý Thống Kê | Vật lý thống kê | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

14

Vật lý thống kê (Statistical physics / Statistical mechanics) và nhiệt động lực học (thermodynamics) là hai hướng tiếp cận khác nhau của cùng một mục đích: một mô tả động lực học nội (internal dynamics) c a nh (*) ủ ững hệ vật lý lớn (large physical systems) / hệ vĩ mô. - Hệ vĩ mô: hệ nhiều hạt với số hạt N của hệ là rất lớn N>>1 (N cỡ bậc của số Avogadro NA ~ 10 là m t ví d minh hoạ. Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn: Vật lý thống kê (HUS) 10 tài liệu

Trường: Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội 0.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 tuần trước
Tải xuống Chia sẻ Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/11
1
CHƯƠNG 1
H Ệ VĨ MÔ DƯỚI QUAN NIỆM VI MÔ
(MỘT SỐ CƠ SỞ CỦA VẬT LÝ THỐNG KÊ)
1. V t lý th ng kê và nhi c h c ậ ố ệt động lự ọ
- V t lý th ng kê (Statistical physics / Statistical mechanics) và nhi ng l c h c ậ ố ệt độ ự ọ
systems) / h ệ vĩ mô.
- H nhi u h t v i s h t N c a h là r t l n N>>1 (N c b c c a s ệ vĩ mô: hệ ề ạ ớ ố ạ ủ ệ ấ ớ ỡ ậ ủ ố
Avogadro N ~ 10 là m t ví d minh h a)
A
23
ộ ụ ọ
của h t toàn b . ệ như mộ ộ
2. Mô t c h nhi t: ả cơ họ ệ ều hạ
2.1. ng h n Trườ ợp cổ điể
Hình th c lu n Lagrange ứ ậ
Hình thức lu n Hamilton ậ
Xét h có f b c t do. N u h có N h t thì ệ ậ ự ế ệ ạ
f=3N.
Xét h có f b c t do. N u h có N h t thì ệ ậ ự ế ệ ạ
f=3N.
Trạng thái cơ học (trạng thái vi mô) của
hệ được xác đị ọa độnh bởi f t suy rộng
q
1
,…,q
f
và f vận t c suy r ng ố ộ 𝑞󰇗
1
,…, 𝑞󰇗
𝑓
(𝑞󰇗
𝑖
𝑑𝑞
𝑖
𝑑𝑡
)
Trạng thái vi mô c a hủ ệ được cho bởi f
tọa độ xung lượ suy rộng q
1
,…, q và f
f
ng
suy r ng p ộ
1
,…, p
f
(q
1
,…, q
f
, p ) (q,p), p
1
,…, p
f
i
𝜕𝐿
𝜕𝑞
󰇗
𝑖
(1.4)
Các phương trình ển độchuy ng là các
phương trình Lagrange
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑞
󰇗
𝑖
−
𝜕𝐿
𝜕𝑞
𝑖
= 0 (𝑖 = 1,𝑓
) (1.1)
L: Hàm Lagrange c a h ủ ệ
Với các h b o toàn (h không n m trong ệ ả ệ ằ
trường ngoài / trường ngoài không đổi
theo th i gian:
ờ 𝐿
(
𝑞,𝑞󰇗 = 𝑇−𝑉
)
(1.2)
𝑞 ≅ 𝑞(
1
,…,𝑞
𝑓
),𝑞󰇗 ≅ 𝑞󰇗 ,…,𝑞󰇗(
1 𝑓
)
Các phương trình chuyển động là các
phương trình Halmiton
{
𝜕𝐻
𝜕𝑝
𝑖
= 𝑞󰇗
𝑖
𝜕𝐻
𝜕𝑝
𝑖
= −𝑝󰇗
𝑖
𝑖 = 1,𝑓
(1.5)
H: hàm Halmiton được xác định bằng
𝐻
(
𝑝,𝑞 𝑝 𝑞󰇗
)
=
∑
𝑖 𝑖
𝑓
𝑖=1
−𝐿(𝑞󰇗,𝑞) (1.6)
Về nguyên t c: tr ng thái vi mô c a h ắ ạ ủ ệ ở
thời điể được xác địm t bất kỳ có thể nh
bằng cách giải các phương trình Lagrange
(1.1) với các điều kiện ban đầu cho trước*
{
𝑞
𝑖
(
𝑡 = 0
)
= 𝑞
𝑖
0
𝑞󰇗
𝑖
(
𝑡 = 0 = 𝑞󰇗
)
𝑖
0
(𝑖 = 1,𝑓
) (1.3)
* V i h N h t c n ớ ệ ạ ầ 2Nf điều ki u ện ban đầ
Về nguyên t c: tr ng thái vi mô c a h ắ ạ ủ ệ ở
thời điểm t được xác định bằng cách giải
các phương trình Halmiton (1.5) với các
điều ki c* ện ban đầu cho trướ
{
𝑝
𝑖
(
𝑡 = 0
)
= 𝑝
𝑖
0
𝑞
𝑖
(
𝑡 = 0
)
= 𝑞
𝑖
0
(𝑖 = 1,𝑓
) (1.7)
* V i h N h t cớ ệ ạ ầu 2Nf điều kiện ban đầu.
2
Đố ới v i hệ b o toàn i) thì ả (NL E không đổ
chuyển độ ững đượng của hệ không nh c
xác đị ởi các phương trình chuyểnh b n
động (1.5) mà còn được xác định bởi
phương trình bảo toàn năng lượng:
H(p,q)=E (1.8). Các phương trình (1.5) và
(1.8) đều được xác định bởi u ki n các điề ệ
đầu (1.8).
2.2. Trường hợ ợp lư ng tử
tự do của hệ
(*)
(*)
Trong trường hợp lượng t , s b c t do v n là s t ử ố ậ ự ẫ ố ọa độ độc l p (bao g m c t a ậ ồ ả ọ
độ ầ ế ể ả ệ ẳ ạ spin) c n thi t đ mô t h . Ch ng h n:
+ Trườ ạt như điệ ển động hợp 1 h n tử chuy ng trong nguyên tử hydro với f=3
nguyên t hydro: n, l, m . ử
l
+ Trường hợp hệ N hạt: ta có f=3N (không xét tọa độ spin)
- n, m i tr ng thái nh ta ký hi u là Để đơn giả ỗ ạ ư thế ệ 𝜓
𝑓
. Để xác đị nh 𝜓
𝑓
ta ph i gi i ả ả
phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian
𝐻
𝜓
𝑓
= 𝑖ℏ
𝜕𝜓
𝑓
𝜕𝑡
(1.9)
Hoặc phương trình Schrodinger dừng:
𝐻
𝜓
𝑓
= 𝐸
𝑓
𝜓
𝑓
(1.10)
𝐻
: toán t Hamilton/ Hamiltonian, ử 𝐸
𝑓
là n ng c a h ng v ng thái ăng lượ ủ ệ tương ứ ới trạ
lượng t f. ử
- u ki u ki n cho hàm tr ng Điề ện ban đầu cho phương trình Schrodinger (1.9) là điề ệ ạ
thái t i th c ch n làm th m u t=t . ạ ời điểm đượ ọ ời điể đầ
0
𝜓
𝑓
(𝑡 = 𝑡
0
,𝑟) = 𝑓(𝑟) (1.11)
lượng E được xác đị ởi các điềnh b u kiện đầu (1.11)
3. Không gian pha (phase space)
trạng thái vi mô của hệ không gian pha là không gian các trạng thái
(*)
(*)
Không gian pha/ không gian các tr ng thái trong v t lý th ng kê khác v i không ạ ậ ố ớ
gian Hilbert các tr ng t . Không gian pha ch n là ạng thái trong cơ học lượ ử ỉ đơn giả
không gian hình h ng. ọc (Euclid) thông thườ
3
tự do f=dN được xác đị ời điể ọa độ và f xung lượnh tại th m t bằng f t suy rộng q
i
ng
suy r ng p có th c bi u di n b ng m m trong không gian 2f chi u g i là ộ
i
ể đượ ể ễ ằ ột điể ề ọ
không gian pha hay không gian .
+ Điểm biểu diễn trạng thái vi mô của hệ đgl điểm pha (phase point)
+ Theo th i gian, tr ng thái vi mô c a h m pha ờ ạ ủ ệ thay đổi tương ứng là điể
(natural motion).
++ Chuy ng t nhiên m pha v ch m ng trong không ển độ ự → điể ạ ột đườ
gian pha (phase orbit)
++ Qu o pha là d ng n u H không ph thu c th ỹ đạ ừ ế ụ ộ ời gian. Khi đó, quỹ
đạ ằ ộ ặ ủo này n m trên m t m t đẳng năng H(p,q)=E=const c a không gian pha.
++ Các qu o pha không ti p xúc ho c c t nhau. ỹ đạ ế ặ ắ
- Th tích c a không gian pha: ể ủ
+ ng h c) Trườ ợp cổ điển (liên tụ
Trong c n, các tr ng thái vi mô c a h là liên t c, l y toàn không gian nên ổ điể ạ ủ ệ ụ ắp đầ
không gian pha không có “lỗ thủng”
G
ọi 𝑑Γ = 𝑑𝑞𝑑𝑝 ≡ 𝑑𝑞 𝑑𝑝
∏
𝑖 𝑖
3𝑁
𝑖=1
(1.12)
Thứ nguyên của d :
[ [
𝑑Γ
]
= 𝑑𝑞𝑑𝑝
]
≡
∏ [
𝑑𝑞
𝑖
𝑑𝑝
𝑖
]
3𝑁
𝑖=1
= [tác d ụng]
f
(1.13)
Với thứ nguyên c a tác d ng: ủ ụ
[tác d ng] = [giây.erg] ụ (1.14)
Không gian pha có th c chia thành 2 không gian con: không gian con t ể đượ ọa độ
dq và không gian con xung lượng d p.
d= d q d p (1.15)
Trong cổ n/ liên t c thì không gian pha không có l th ng nên d nh tùy ý. điể ụ ỗ ủ ỏ
+ ng h ng t (r i r c) Trườ ợp lượ ử ờ ạ
Trong cơ học lượng tử, v i nguyên lý bớ ất định Heisenberg 𝛿𝑞𝛿𝑝 ≥ 2𝜋ℏ (ℏ =
ℎ
2𝜋
, h là
hằng s Planck), chúng ta th y không t n t i m t trố ấ ồ ạ ộ ạng thái cơ học với các đại lượng
đư
ợc biểu di n bễ ởi một có th tích ể Γ
0
= 𝛿𝑞𝛿𝑝 = (2𝜋ℏ)
𝑓
= (2𝜋ℏ)
3𝑁
(h N h t ệ ạ
f=3N) ch không ph i b i m c c n. Ô bi u di n m t ứ ả ở ột điểm pha như trong cơ họ ổ điể ể ễ ộ
trạng thái vi mô đượ ọi là ô đơn vịc g (unit cell) với thể tích Γ
0
= (2𝜋ℏ)
3𝑁
(1.16)
4
++ D n ra d ng ẫ ại lượ 𝑑Γ
∗
=
dΓ
Γ
0
=
dΓ
(2𝜋ℏ)
3𝑁
(1.17) là m ng không ột đại lượ
thứ nguyên có ý nghĩa là: SỐ CÁC TRẠNG THÁI VI MÔ TRONG VÙNG THỂ TÍCH
PHA.
Chú ý:
tr y).ạng ththái vi mô (như sẽ ấ
B n ch t c ng t n. và trong m t h ng t t ng quát thì s ả ấ ủa lượ ử là gián đoạ ộ ệ lượ ử ổ ự
gián đoạn này “xê” không gian pha đến nỗi chúng ta không thể thành lập một không
approximation). G c n là g ng t ần đúng giả ổ điể ần đúng mà bức tranh cơ học lượ ử
hành x n: [E(n+1)-E(n)] << E(n). ử như cổ điể
Trong chú ý chúng ta d n ra quan tr ng là s các tr ng thái trong th tích pha ẫ ọ ố ạ ể
hơn là thể tích pha. Và vì các đại lượ ng v t lý bi u th qua ậ ể ị đạo hàm (theo nhiệt độ…)
của logarit c a th tích pha d s không nh ủ ể ẽ ả hưởng khi ta thay d → 𝑑Γ
∗
=
dΓ
Γ
0
=
dΓ
(2𝜋ℏ)
3𝑁
(1.17) nên ng h p c n, ta s s d tính toán. trong trườ ợ ổ điể ẽ ử ụng (1.17) để
4. Cơ sở thống kê (nguyên lý thống kê) của vật lý thống kê
- ng c a v t lý th ng kê là các h Đối tượ ủ ậ ố ệ vĩ mô / hệ ớn. Đó là mộ l t h nhi u h t g m ệ ề ạ ồ
của h N h t (N>>1) ta ph i bi t ệ ạ ả ế
2Nf điều ki u ện ban đầ
Giải hệ f phương trình vi phân (f=2N)
Nhiệm vụ này thật sự là không thể c v : làm đượ ị
* trong vi c gi i h h n ch c a máy tính, Khó khăn ệ ả ệ f phương trình vi phân → ạ ế ủ
thời gian tính.
* Không th u ki u. ể xác định 2Nf điề ện ban đầ
B t c c a c c cế ắ ủ ả cơ họ ổ điển và cơ học lượng tử.
- Khi h c c u thành b i m t s ệ đượ ấ ở ộ ố lượng r t l n thì chính s ấ ớ ố lượng đó mà hệ vĩ mô
tuân theo quy lu c thù m i: QUY LU NG KÊ. ật đặ ớ ẬT THỐ
- QUY LU T THẬ ỐNG KÊ:
* S tr ng thái vi mô kh a h là vô cùng nhi u, phân b c. ố ạ ả dĩ củ ệ ề ố dày đặ
* H ng t tr ng thái vi mô này sang tr ng thái vi mô ệ vĩ mô luôn chuyển độ ừ ạ ạ
khác.
5
* Ch có th nói v xác su t t n t a h trong m t tr ỉ ể ề ấ ồ ại củ ệ ộ ạng thái vi mô nào đó
* Bi c các xác su t c a các tr ng thái vi mô có th c giá tr ết đượ ấ ủ ạ ể tính đượ ị
trung bình c ng v t lý theo các tr ng thái vi mô. ủa các đại lượ ậ ạ
* Chỉ những giá tr trung bình này mị ới so sánh được với giá tr ị quan sát được.
- Vậy: V t lý th ng kê = lý thuy t th ng kê v h nhi u h t ậ ố ế ố ề ệ ề ạ
* Phương pháp = phương pháp thống kê dựa trên lý thuyết xác suất.
* Các k t qu tr ng thái c a m t h c tính xác ế ả và tiên đoán về ạ ủ ộ ệ vĩ mô mang đặ
suất.
5. Hàm phân b ố
5.1 T p h p th ng kê (statistical ensemble) / t p h p Gibbs ậ ợ ố ậ ợ
Tập h p th ng kê = t p h p bao g m m t s r t l n các h nhau. Các h ợ ố ậ ợ ồ ộ ố ấ ớ ệ tương tự ệ
trong t p h p th ng kê g i là các b ng nh t (identical copy). Các h này ậ ợ ố ọ ản sao đồ ấ ệ
phải thỏa mãn các điề ện như sau:u ki
S ng và lo ố lượ ại hạt như nhau
ngoài thì ph i cùng m ng ngoài ph thu c th i gian. ả ột trườ ụ ộ ờ
với mộ ệt điểm pha trong không gian pha xác định h .
5.2 Hàm phân b ố
điểm pha (q,p) nào đó trong không gian pha. Ở ời điểm t xác đị một th nh, có một số
của th tích pha d và ph thu m pha (q,p): ể ụ ộc vào điể
dn = g(q,p,t) d (1.18)
Ở đây: dn: số ệ ằ ể ố h m pha ncó điể m trong th tích nguyên t d
bằng m m pha n m trong m th tích không gian pha ch m pha ột điể ằ ột đơn vị ể ứa điể
(q,p).
Hệ vĩ mô
(hệ gốc)
Phương pháp nghiên cứu =
sử d ng t p h p th ng kê ụ ậ ợ ố
- Các bản sao y h t ệ
của hệ g c ố
- Mỗi bản sao ng ứ
với một trạng thái vi
mô
6
Chúng ta có: 𝑛 =
∫
g(q,p,t) dΓ
(Γ)
(1.19)
nguyên t d s là: ố ẽ
𝑑𝜔 =
𝑑𝑛
𝑛
=
𝑔(𝑞,𝑝,𝑡)
∫
𝑔(𝑞,𝑝,𝑡)
𝑑Γ = 𝜌(𝑞,𝑝,𝑡)𝑑Γ (1.20)
Hàm
𝜌
(
𝑞,𝑝,𝑡
)
được gọi là hàm m xác su t / hàm phân b (distribution function). ật độ ấ ố
* Hàm g(q,p,t) = hàm m m pha trong không gian pha ậ ột đ điể
* Hàm (q,p,t) = hàm m xác su t xu t hi n tr ng thái vi mô (q,p) c ật độ ấ ấ ệ ạ đặ
trưng cho sự dĩ trong không gian pha. phân bố các trạng thái vi mô khả
- Chú ý: hàm mật độ pha g(q,p,t) ≠ 1 cho thấy trong t p h p th ng kê, có th có nhi u ậ ợ ố ể ề
bản sao trong cùng m t tr ở ộ ạng thái vi mô (q,p) nào đó.
5.3 Tính ch t c a hàm phân b ấ ủ ố
- Tính chu n hóa:
ẩ
∫
𝜌
(
𝑞,𝑝 𝑑Γ = 1
)
∗
(1.21)
thống kê (statistically independent).
* Tính độc l p th ng kê: s ậ ố ự thay đổi tr ng thái c a m t h con trong m t kho ng ạ ủ ộ ệ ộ ả
thời gian cho trướ ảnh hưởng đếc không n trạng thái của các hệ khác.
* u ki c l p th ng kê: các h t trong m i h con tham gia quá Điề ện cho tính độ ậ ố ạ ỗ ệ
nhỏ hơn nhiều tổng số cấc hạt bên trong mỗi hệ. Số hạt trên biên này càng nhỏ khi
giữa chúng đủ ội năng của chúng để đóng hay độ nhỏ so với n cho chúng là giả c lập
thống kê.
Các h t n m trên biên m t nh so ạ ằ ới tương tác nhưng chúng rấ ỏ
với s h t bên trong m i h con ng a ố ạ ỗ ệ năng lượ tương tác giữ
các h con r t nh ệ ấ ỏ hơn so với nội năng của các h con. Các h ệ ệ
con vì v y là gi c l p th ng kê v i nhau. ậ ả đóng hay độ ậ ố ớ
Điều kiện là: * Các h lệ con đủ ớn các h ệ con tương tác
đủ ế y u
yếu nhưng khoả ời gian đủ ảnh hưởng tương tác yế ẫn đáng kểng th lớn, u này v trên
các h con) ệ
vào th tích nguyên t d ể ố
i
1
2
7
i
(q,p
i i
,t) là hàm phân bố của hệ con i
𝑑
là xác su h a t p h p th ng kê c a h l n ất để ệ nào đó củ ậ ợ ố ủ ệ ớ có điểm pha rơi
vào th tích nguyên t ể ố 𝑑
(q,p,t) là hàm phân b c a h ố ủ ệ
Ta có: 𝑑
= 𝜌𝑑
(1.22)
𝑑
𝑖
= 𝜌
𝑖
𝑑
𝑖
(1.23)
Theo tính c : nhân đượ
(*)
𝑑
= 𝑑
1
.𝑑
2
… 𝑑
i
… = ⊓ 𝑑
𝑖 (1.24)
Mặt khác do độ …= c lập thống kê nên: =
1
2
⊓
i
(1.25)
(1.25) có nghĩa là hàm phân bố của hệ lớn = tích của các hàm phân bố của các hệ
con độc lập thống kê.
(*)
Xét h m 2 h con 1+2 ệ vĩ mô gồ ệ
Trong không gian pha h l n có f b c t do ệ ớ ậ ự
Trong không gian pha h 1 có f b c t do ệ
1
ậ ự
Trong không gian pha h 2 có f b c t do ệ
2
ậ ự
Th +fế thì: f=f
1 2
: h l n có 2f chi u ệ ớ ề
h 1 có 2f chi u ệ
1
ề
h 1 có 2f chi u ệ
2
ề
Vậy: 𝑑Γ ≡ 𝑑𝑞
1
(
1
)
…𝑑𝑞
𝑓
1
(1)
𝑑𝑞
1
(
2
)
…𝑑𝑞
𝑓
1
(2)
𝑑𝑝
1
(
1
)
…𝑑𝑝
𝑓
1
(1)
𝑑𝑝
1
(
2
)
…𝑑𝑝
𝑓
1
(2)
⟹ 𝑑Γ ≡ 𝑑Γ .𝑑Γ
(
1
)
(2)
- Vai trò c ng ủa năng lượ
Phương trình Liouville
:
𝑑𝜌
𝑑𝑡
= 0 d c theo qu o pha ọ ỹ đạ (1.26)
Ý nghĩa pha không thay đổ: hàm phân bố thống kê dọc theo quỹ đạo i theo thời gian
M m pha d c theo qu o pha b o toàn theo th i gian. ậ ột đ các điể ọ ỹ đạ ả ờ
Nhưng ta có:
𝑑𝜌
𝑑𝑡
=
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ [𝜌,𝐻] (d u ngo c Poisson) (1.27) ấ ặ
V
ậy: :
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
[
𝜌,𝐻 = 0
]
(1.28)
Ở
trạ ằ ống thái cân b ng th ng kê:
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 0 ⟹
[
𝜌,𝐻 = 0
]
(1.29)
Theo cơ lý thuyế ển đột, công thức (1.29) cho ta ph ải là một tích phân chuy ng
(TPCĐ)
* là m t tích phân chuy ng ch c bi u di n qua nh ộ ển độ ỉ đượ ể ễ ững hàm đó
cũng là nhữ ển động tích phân chuy ng.
1
2
8
** Trong v t lý thậ ống kê, do không xét đế ển độn chuy ng của h ệ như một
toàn b nên ch ng c a h là tích phân chuy ng. ộ ỉ có năng lượ ủ ệ ển độ
= (E)
* là tích phân chuy ng lôga c ng. ể ộn đ ủa nó cũng là tích phân chuyển độ
Hàm
Lôga c a ủ
𝜌 =⊓𝜌
𝑖
c tính nhân đượ
𝑙𝑛𝜌 = 𝜌
∑
𝑙𝑛
𝑖𝑖
tính c c. ộng đượ
6. Nguyên lý Ergodic
6.1 Tr trung bình th p h ng kê) ị ống kê (trung bình theo tậ ợp thố
𝐹
𝜌
=
∫
𝐹(𝑞,𝑝)𝜌(𝑞,𝑝,𝑡)𝑑Γ (1.30)
V
ậy: ph i bi t ả ế 𝜌(𝑞,𝑝,𝑡) ⟹ 𝐹
𝜌
6.2 Nguyên lý Ergodic
- Tr trung bình c a F theo th i gian: ị ủ ờ 𝐹
𝑡
= lim
𝑇→∞
1
𝑇
∫
𝐹( )𝑞
(
𝑡 𝑡
)
,𝑝
( )
𝑑𝑡
𝑇
0
(1.31)
- Nguyên lý Ergodic: v Ergodic(h xét trong v t lý th ng kê) ới các hệ ệ ậ ố 𝐹
𝑡
= 𝐹
𝑠
(1.32)
Với (1.32) thì trong t lý th ng kê, ta thay vi c tính vậ ố ệ 𝐹
𝑡
b ng ằ 𝐹
𝑠
.
7. Entropy
7.1 Nguyên lý đẳng xác suất (Princile of Equal Equilibrium Probability (PEEP))
Với m t h cô l p trong tr ng thái cân bộ ệ ậ ạ ằng (vĩ mô) thì tất cả các tr ng thái vi mô phù ạ
hợp v u ki n ràng bu c s có cùng xác su t x y ra ới điề ệ ộc cho trướ ẽ ấ ả
* u ki n ràng bu ng, t ng s h t c a h , lo i Các điề ệ ộc cho trước: năng lượ ổ ố ạ ủ ệ ạ
hạt,…
* Các tr ng thái vi mô phù h p v u ki n ràng bu c g i là ạ ợ ới các điề ệ ộc cho trướ ọ
trạng thái vi mô kh ả dĩ.
7.2 Các h ệ tương tác
Xét m t h l n cô l p bao g m hai h con 1 và 2. Hai h con này ch i nhi t ộ ệ ớ ậ ồ ệ ệ ỉ trao đổ ệ
với nhau
Hệ l n cô l p bao g 1 và 2 ớ ậ ồm hệ
Ban đầu:
Hệ ng v i s tr ng thái vi mô ng 1 có năng lượ ⊔
1
ớ ố ạ tương ứ Ω (⊔
1 1
)
Hệ 1 có năng lượng v⊔
2
ới s trố ạng thái vi mô tương ứng Ω (⊔
2 2
)
⊔
1
⊔
2
Ω
1
⊔
1
Ω
2
⊔
2
9
Ban đầ và 2 có năng lượ ạng thái vi mô tương ứu, giả sử hệ 1 ng và số tr ng là
(Ω (⊔
1 1 2
)) (Ω,
2
(⊔ ))
Vì h l n là cô l ng c a h l n ệ ớ ập nên năng lượ ủ ệ ớ ⊔=⊔ +⊔
1 2
không đổi
mỗi hệ c l p th i v i nhau v i: con. Khi đó: hệ 1 và 2 được xem là độ ậ ống kê đố ớ ớ
* Trong kho ng th nh : ả ời gian đủ ỏ ⊔
1
, ⊔
2
i không đổ
* Trong kho ng th l n: , s i ả ời gian đủ ớ ⊔
1
⊔
2
ẽ thay đổ
Trong m t th m c th , h 1 m t tr ng thái vi mô mà t ng s cac tr ng thái vi ộ ời điể ụ ể ệ ở ộ ạ ổ ố ạ
mô này là Ω (⊔
1 1
) (các tr ng thái vi mô này có xác su t xạ ấ ảy ra như nhau). Trong lúc
đó, hệ 2 ở một trong các trạng thái vi mô mà tổng số các trạng thái vi mô này là
Ω (⊔
2 2
) (các tr ng thái vi mô c a h 2 v n có xác su ạ ủ ệ ẫ ất như nhau).
Gọi là s các tr ng thái vi mô c a h l n v ng Ω(⊔;⊔
1
) ố ạ ủ ệ ớ ới năng lượ ⊔ và trong đó,
năng lượng cho hệ 1 là và h⊔
1
ệ 2 là . Ta có: ⊔
2
=⊔ − ⊔
1
Ω
(
⊔,⊔
1
)
= Ω
1
(
⊔
1
)
.Ω
2
(
⊔
2
)
(1.33)
Câu h t ra là:ỏi đặ V i giá tr nào c a ng ) h l n s tr ng ớ ị ủ ⊔
1
(tương ứ ⊔ =⊔ − ⊔
2 1
ệ ớ ẽ ở ạ
thái cân b ng? ằ
Tr i:
ả lờ H l n ệ ớ ở trong tr ng thái cân b ng ạ ằ giá tr ị ⊔
1
(hay ⊔
2
) để Ω
(
⊔,⊔
1
)
đạt max
(đạt c i) ực đạ
Thật vậy: mặc dù hệ tr i qua rả ất nhiều tr nh b i các giá tr c a và ạng thái được đị ở ị ủ ⊔
1
⊔ =⊔ − ⊔
2 1
để ạ ệ ẽ ả đạt đến tr ng thái cân b ý rằng nhưng PEEP ngụ ằng: h lớn s tr i
qua
hầu h t th i gianế ờ
(*)
trong đó trạng thái vĩ mô có Ω
(
⊔,⊔
1
)
t giá tr c i. đạ ị ực đạ
(*)
hầu h t th i gianế ờ = do s ng các tr ng thái vi mô t i trố lượ ạ ạ ạng thái vĩ mô có Ω
(
⊔,⊔
1
)
hầu như mọ ểm ta đề ạng thái vĩ mô này.i thời đi u gặp các trạng thái vi mô thuộc tr
7.3 Entropy Boltzmann
Trở lại với công th o hàm theo ức (1.33), để đạt max ta tính đạ Ω ⊔
1
𝜕Ω
1
𝜕⊔
1
Ω
(
⊔
2
)
+ Ω ⊔
(
1
)
𝜕Ω
2
𝜕⊔
2
.
𝜕⊔
2
𝜕⊔
1
= 0 (1.34)
Ta có: ⊔=⊔ +⊔
1 2
⇒ 0 = 𝑑 ⊔
1 2
+𝑑⊔
⇒
𝜕⊔
2
𝜕⊔
1
= −1
V y: ậ
𝜕Ω
1
𝜕⊔
1
Ω
2
(
⊔
2
)
+ Ω
1
(
⊔
1
)
𝜕Ω
2
𝜕⊔
2
= 0
10
⇒
1
Ω
1
Ω
2
(
𝜕Ω
1
𝜕⊔
1
Ω
2
(
⊔
2
)
+ Ω
1
(
⊔
1
)
𝜕Ω
2
𝜕⊔
2
) = 0
⇒
1
Ω
1
𝜕Ω
1
𝜕⊔
1
=
1
Ω
2
𝜕Ω
2
𝜕⊔
2
⇒
𝜕𝑙𝑛Ω
1
(
⊔
1
)
𝜕⊔
1
|
⊔
1
=⊔
1
=
𝜕𝑙𝑛Ω
2
(
⊔
2
)
𝜕⊔
2
|
⊔
2
=⊔
2
(1.35)
Đặt 𝛽 =
𝜕𝑙𝑛Ω
𝜕⊔
|
⊔=⊔
(1.36)
Từ (1.36) thì (1.35) tr thành (Cân bở
1
=
2
(1.37) ằng do quá trình trao đổi năng
lượng có liên quan đến nhiệt độ).
n nhi . Nh c l i quan h : như thế (1.37) có liên quan đế ệt độ ắ ại mố ệ
1
𝑇
= (
𝜕𝑆
𝜕⊔
)
𝑁,𝑉
(1.38)
Do đó, chúng ta có thể ạ ấ ứ t o ra nh ng những đồ t th c
1
𝑘
𝐵
𝑇
= 𝛽 𝑆 = 𝑘 và (1.39)
𝐵
𝑙𝑛Ω (1.40)
Nhiệ ột đ T trong (1.38) là nhiệt độ ố th ng kê
Từ n ra đây chúng ta dẫ định nghĩa entropy theo Boltzmann
Xét m t h cô l p và g i là s tr ng thái vi mô ộ ệ ậ ọ Ω(⊔) ố ạ ứng với năng lượng ⊔ c a h . ủ ệ
Ta định nghĩa entropy Boltzmann:
𝑆 = 𝑘 Ω
𝐵
𝑙𝑛 (1.40)
Xét m t h cô l p g m hai h con 1,2 ng v ng l t là . G i ộ ệ ậ ồ ệ ứ ới năng lượ ần lượ ⊔ ,⊔
1 2
ọ
⊔=⊔ +⊔
1 2
là năng lượng của h cô l p và l n ệ ậ Ω,Ω ,Ω
1 2
ầ lượt là s tr ng thái vi mô ng ố ạ ứ
với năng lượ ới năng lượng c⊔ ủa hệ lớn, số trạng thái vi mô ứng v ng c⊔
1
ủa hệ 1,
số tr ng thái vi mô ng v ng c a h 2. ạ ứ ới năng lượ ⊔
2
ủ ệ
Gọi S,S l t là entropy c a h l n, h 1, h 2.
1
,S
2
ần lượ ủ ệ ớ ệ ệ
𝑆 = 𝑘 Ω
𝐵
ln
(
1
,Ω
2
)
= 𝑘
𝐵
[
𝑙𝑛Ω
1
+ 𝑙𝑛Ω
2
]
= 𝑘
𝐵
𝑙𝑛Ω
1
+ 𝑘
𝐵
𝑙𝑛Ω
2
𝑆 = 𝑆
1
+ 𝑆
2
{
𝑆 = 𝑘
𝐵
𝑙𝑛Ω
𝑆
1
= 𝑘
𝐵
𝑙𝑛Ω
1
𝑆
2
= 𝑘
𝐵
𝑙𝑛Ω
2
(1.41)
năng lượ ỏ). Khi đó, gọ ạng thái vi mô tương ứ ới năng ng (nh i là sΩ(⊔,δ ⊔) ố tr ng v
lượng c a h n m trong kho ng và thì entropy c a h là: ủ ệ ằ ả ⊔ ⊔+δ ⊔ ủ ệ
𝑆 = 𝑘 Ω(⊔,δ ⊔)
𝐵
𝑙𝑛 (1.42)
Ω(⊔,δ ⊔) g c a h . ọi là trọng s th ng kê (thermodynamic weight)ố ố ủ ệ
G i là s c a trọ Ω(O,⊔) ố ủ ạng thái vi mô tương ứng với năng lượng c a h n m trong ủ ệ ằ
khoảng O và , và là m⊔ 𝜔(⊔) ật độ trạng thái của hệ t ng ại năng lượ ⊔.
11
Ta có:
𝜔
(
⊔
)
=
∂Ω(O,⊔)
∂⊔
(1.43)
Ta có nh : ững định nghĩa tương đương cho entropy S
𝑆 = 𝑘 ω(⊔)
𝐵
𝑙𝑛 (1.44)
𝑆 = 𝑘 Ω(O,⊔)
𝐵
𝑙𝑛 (1.45)
Trong t ng quát: ổ 𝑆 = 𝑘 Ω + const
𝐵
𝑙𝑛
(
⊔
)
(1.46)
7.4 Entropy Gibbs
Xét m t h nh ti p xúc v u nhiộ ệ ỏ ế ới bình điề ệt. Khi đó, những thăng giáng trong năng
chúng ta ph xác su t mà h trong m t tr ng thái có th . ải nghĩ về ấ ệ ở ộ ạ ể
(*)
Thăng giáng ở một phần có thể đánh giá đượ thăng giáng nhỏc = dẫu nhưng nó
cũng chứa đủ lớn số trạng thái vi mô.
Gibbs gi u m opy mà có giá tr cho c h l n và h nh ới thiệ ột định nghĩa entr ị ả ệ ớ ệ ỏ
(*)
𝑆 = −𝑘
𝐵
∑
𝑃
𝑖
𝑙𝑛
𝑖
𝑃
𝑖
(1.47)
entropy theo các xác su ng. ất hơn là theo các trạng thái vi mô tương ứ
lớn ch ng h p các h nh i s phân bi t gi a tr ng thái ứ không cho trườ ợ ệ ỏ. Đó là bở ự ệ ữ ạ
các h nh . ệ ỏ
Trong trườ ợng h p các m c tr ng thái vi mô là liên t c thì: ứ ạ ụ
𝑆 = −𝑘
𝐵
∫
𝑑𝑞𝑑𝑝
( )
2𝜋ℏ
3𝑁
𝜌(𝑞,𝑝)𝑙𝑛𝜌(𝑞,𝑝) (1.48)
𝜌(𝑞,𝑝): hàm phân b th ng kê. ố ố
Các trường hợp giớ ời h ng hạn (chúng ta xét trong trườ ợp r i rạc (1.47))
S theo Gibbs t min
đạ ⇔ {
∃!ℓ:𝑃
ℓ
= 1
∀𝑘 ≠ ℓ:𝑃
𝑘
= 0
S=0: tr ng thái tr t t hay là tr (order state / ạ ậ ự ạng thái thông tin đầy đủ
full information state)
S theo Gibbs đạt max ⇔ 𝑃
1
= 𝑃
2
= ⋯ = 𝑃
Ω
=
1
Ω
:
𝑆 = −𝑘
𝐵
∑
𝑃
𝑖
𝑙𝑛
𝑖
𝑃
𝑖
=−𝑘
𝐵
∑
1
Ω
𝑙𝑛
𝑖
1
Ω
= −𝑘
𝐵
Ω
1
Ω
𝑙𝑛
1
Ω
=−𝑘
𝐵
Ω Tr ng thái ạ
chaos hay tr ng thái không có thông tin (chaos state / non_information state). ạ
--- ---

Tài liệu khác của Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Preview text:

CHƯƠNG 1
HỆ VĨ MÔ DƯỚI QUAN NIỆM VI MÔ
(MỘT SỐ CƠ SỞ CỦA VẬT LÝ THỐNG KÊ)
1. Vật lý thống kê và nhiệt động lực học
- Vật lý thống kê (Statistical physics / Statistical mechanics) và nhiệt động lực học
(thermodynamics) là hai hướng tiếp cận khác nhau của cùng một mục đích: một mô
tả động lực học nội (*) (internal dynamics) của những hệ vật lý lớn (large physical systems) / hệ vĩ mô.
- Hệ vĩ mô: hệ nhiều hạt với số hạt N của hệ là rất lớn N>>1 (N cỡ bậc của số
Avogadro NA ~ 1023 là một ví dụ minh họa)
(*) Động lực học nội = những tính chất vật lý của hệ không liên quan đến chuyển động
của hệ như một toàn bộ.
2. Mô tả cơ học hệ nhiều hạt:
2.1. Trường hợp cổ điển
Hình thức luận Lagrange
Hình thức luận Hamilton
Xét hệ có f bậc tự do. Nếu hệ có N hạt thì Xét hệ có f bậc tự do. Nếu hệ có N hạt thì f=3N. f=3N.
Trạng thái cơ học (trạng thái vi mô) của Trạng thái vi mô của hệ được cho bởi f
hệ được xác định bởi f tọa độ suy rộng tọa độ suy rộng q1,…, qf và f xung lượng
q1,…,qf và f vận tốc suy rộng 𝑞󰇗1,…, 𝑞󰇗𝑓 suy rộng p1,…, pf (𝑞󰇗 (1.4) 𝑖  𝑑𝑞𝑖)
(q1,…, qf, p1,…, pf)  (q,p), pi  𝜕𝐿 𝑑𝑡 𝜕𝑞󰇗𝑖
Các phương trình chuyển động là các Các phương trình chuyển động là các phương trình Lagrange phương trình Halmiton
𝑑 𝜕𝐿 − 𝜕𝐿 = 0 (𝑖 = 1,𝑓  ) (1.1) 𝜕𝐻 = 𝑞󰇗 𝑑𝑡 𝜕𝑞󰇗 𝑖 𝑖 𝜕𝑞𝑖 𝜕𝑝𝑖 L: Hàm Lagrange c  ủa hệ { 𝜕𝐻 𝑖 = 1, 𝑓 (1.5) V = −𝑝󰇗
ới các hệ bảo toàn (hệ không nằm trong 𝜕𝑝 𝑖 𝑖
trường ngoài / trường ngoài không đổi H: hàm Halmiton được xác định bằng
theo thời gian: 𝐿(𝑞, 𝑞󰇗) = 𝑇 − 𝑉 (1.2)
𝐻(𝑝, 𝑞) = ∑𝑓𝑖=1 𝑝𝑖𝑞󰇗𝑖 − 𝐿(𝑞󰇗, 𝑞) (1.6)
𝑞 ≅ (𝑞1, … , 𝑞𝑓), 𝑞󰇗 ≅ (𝑞󰇗1, … , 𝑞󰇗𝑓)
Về nguyên tắc: trạng thái vi mô của hệ ở Về nguyên tắc: trạng thái vi mô của hệ ở
thời điểm t bất kỳ có thể được xác định thời điểm t được xác định bằng cách giải
bằng cách giải các phương trình Lagrange các phương trình Halmiton (1.5) với các
(1.1) với các điều kiện ban đầu cho trước* điều kiện ban đầu cho trước* 0 0 {𝑞𝑖(𝑡 = 0) = 𝑞𝑖   𝑞󰇗
0 (𝑖 = 1, 𝑓) (1.3)
{𝑝𝑖(𝑡 = 0) = 𝑝𝑖0 (𝑖 = 1, 𝑓) (1.7) 𝑖(𝑡 = 0) = 𝑞󰇗𝑖 𝑞𝑖(𝑡 = 0) = 𝑞𝑖
* Với hệ N hạt cần 2Nf điều kiện ban đầu * Với hệ N hạt cầu 2Nf điều kiện ban đầu. 1
Đối với hệ bảo toàn (NL E không đổi) thì
chuyển động của hệ không những được
xác định bởi các phương trình chuyển
động (1.5) mà còn được xác định bởi
phương trình bảo toàn năng lượng:
H(p,q)=E (1.8). Các phương trình (1.5) và
(1.8) đều được xác định bởi các điều kiện đầu (1.8).
2.2. Trường hợp lượng tử
- Trạng thái vi mô của hệ trong trường hợp lượng tử chính là trạng thái lượng tử của
hệ. Mỗi trạng thái lượng tử được xác định bởi f lượng tử số. Số f được gọi là số bậc tự do của hệ (*)
(*) Trong trường hợp lượng tử, số bậc tự do vẫn là số tọa độ độc lập (bao gồm cả tọa
độ spin) cần thiết để mô tả hệ. Chẳng hạn:
+ Trường hợp 1 hạt như điện tử chuyển động trong nguyên tử hydro với f=3
(không xét tọa độ spin) nên có 3 số lượng tử cần thiết để xác định trạng thái của nguyên tử hydro: n, l, ml.
+ Trường hợp hệ N hạt: ta có f=3N (không xét tọa độ spin)
- Để đơn giản, mỗi trạng thái như thế ta ký hiệu là 𝜓𝑓. Để xác định 𝜓𝑓 ta phải giải
phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian
𝐻𝜓𝑓 = 𝑖ℏ 𝜕𝜓𝑓 (1.9) 𝜕𝑡
Hoặc phương trình Schrodinger dừng:
𝐻𝜓𝑓 = 𝐸𝑓𝜓𝑓 (1.10)
𝐻: toán tử Hamilton/ Hamiltonian, 𝐸𝑓 là năng lượng của hệ tương ứng với trạng thái lượng tử f.
- Điều kiện ban đầu cho phương trình Schrodinger (1.9) là điều kiện cho hàm trạng
thái tại thời điểm được chọn làm thời điểm đầu t=t0.
𝜓𝑓(𝑡 = 𝑡0, 𝑟) = 𝑓(𝑟) (1.11)
Trong trường hợp hệ bảo toàn, tương tự như cổ điển, giá trị không đổi của năng
lượng E được xác định bởi các điều kiện đầu (1.11)
3. Không gian pha (phase space)
- Không gian pha là một không gian trừu tượng mà mỗi điểm của nó chính là một
trạng thái vi mô của hệ  không gian pha là không gian các trạng thái (*)
(*) Không gian pha/ không gian các trạng thái trong vật lý thống kê khác với không
gian Hilbert các trạng thái trong cơ học lượng tử. Không gian pha chỉ đơn giản là
không gian hình học (Euclid) thông thường. 2
- Xét 1 hệ N hạt trong không gian d-chiều. Trạng thái vi mô của hệ N hạt với số bậc
tự do f=dN được xác định tại thời điểm t bằng f tọa độ suy rộng qi và f xung lượng
suy rộng pi có thể được biểu diễn bằng một điểm trong không gian 2f chiều gọi là
không gian pha hay không gian .
+ Điểm biểu diễn trạng thái vi mô của hệ đgl điểm pha (phase point)
+ Theo thời gian, trạng thái vi mô của hệ thay đổi tương ứng là điểm pha
chuyển động trong không gian pha. Chuyển động này gọi là chuyển động tự nhiên (natural motion).
++ Chuyển động tự nhiên → điểm pha vạch một đường trong không gian pha (phase orbit)
++ Quỹ đạo pha là dừng nếu H không phụ thuộc thời gian. Khi đó, quỹ
đạo này nằm trên một mặt đẳng năng H(p,q)=E=const của không gian pha.
++ Các quỹ đạo pha không tiếp xúc hoặc cắt nhau.
- Thể tích của không gian pha:
+ Trường hợp cổ điển (liên tục)
Trong cổ điển, các trạng thái vi mô của hệ là liên tục, lắp đầy toàn không gian nên
không gian pha không có “lỗ thủng”
Gọi 𝑑Γ = 𝑑𝑞𝑑𝑝 ≡ ∏3𝑁
𝑖=1 𝑑𝑞𝑖𝑑𝑝𝑖 (1.12) Thứ nguyên của d:
[𝑑Γ] = [𝑑𝑞𝑑𝑝] ≡ ∏3𝑁 𝑖 [
=1 𝑑𝑞𝑖𝑑𝑝𝑖] = [tác dụng]f (1.13)
Với thứ nguyên của tác dụng:
[tác dụng] = [giây.erg] (1.14)
Không gian pha có thể được chia thành 2 không gian con: không gian con tọa độ
dq và không gian con xung lượng dp.
d= dq dp (1.15)
Trong cổ điển/ liên tục thì không gian pha không có lỗ thủng nên d nhỏ tùy ý.
+ Trường hợp lượng tử (rời rạc)
Trong cơ học lượng tử, với nguyên lý bất định Heisenberg 𝛿𝑞𝛿𝑝 ≥ 2𝜋ℏ (ℏ = ℎ , h là 2𝜋
hằng số Planck), chúng ta thấy không tồn tại một trạng thái cơ học với các đại lượng
q và p cùng được xác định với độ chính xác tùy ý  mỗi trạng thái vi mô của hệ phải
được biểu diễn bởi một  có thể tích Γ0 = 𝛿𝑞𝛿𝑝 = (2𝜋ℏ)𝑓 = (2𝜋ℏ)3𝑁 (hệ N hạt 
f=3N) chứ không phải bởi một điểm pha như trong cơ học cổ điển. Ô biểu diễn một
trạng thái vi mô được gọi là ô đơn vị (unit cel ) với thể tích Γ0 = (2𝜋ℏ)3𝑁 (1.16) 3
++ Dẫn ra dại lượng 𝑑Γ∗ = dΓ = dΓ (1.17) là một đại lượng không Γ0 (2𝜋ℏ)3𝑁
thứ nguyên có ý nghĩa là: SỐ CÁC TRẠNG THÁI VI MÔ TRONG VÙNG THỂ TÍCH PHA. Chú ý:
 Khi tính các đại lượng trong vật lý thống kê tức là liên quan đến việc đếm các
trạng thái vi mô (như sẽ thấy).
 Bản chất của lượng tử là gián đoạn. và trong một hệ lượng tử tổng quát thì sự
gián đoạn này “xê” không gian pha đến nỗi chúng ta không thể thành lập một không
gian pha. Do đó công thức (1.17) là không đúng cho mọi hệ lượng tử. Công thức
(1.17) này chỉ đúng cho hệ lượng tử trong gần đúng giả cổ điển (quasi – classical
approximation). Gần đúng giả cổ điển là gần đúng mà bức tranh cơ học lượng tử
của hệ được thay thế bằng “bản sao” cổ điển của nó. Điều kiện là hệ lượng tử phải
hành xử như cổ điển: [E(n+1)-E(n)] << E(n).
 Trong chú ý  chúng ta dẫn ra quan trọng là số các trạng thái trong thể tích pha
hơn là thể tích pha. Và vì các đại lượng vật lý biểu thị qua đạo hàm (theo nhiệt độ…)
của logarit của thể tích pha d sẽ không ảnh hưởng khi ta thay d → 𝑑Γ∗ = dΓ = Γ0
dΓ (1.17) nên trong trường hợp cổ điển, ta sẽ sử dụng (1.17) để tính toán. (2𝜋ℏ)3𝑁
4. Cơ sở thống kê (nguyên lý thống kê) của vật lý thống kê
- Đối tượng của vật lý thống kê là các hệ vĩ mô / hệ lớn. Đó là một hệ nhiều hạt gồm
một số lớn các hạt. Theo cách mô tả cơ học hệ nhiều hạt thì để xác định sự thay đổi
của hệ N hạt (N>>1) ta phải biết 2Nf điều kiện ban đầu
Giải hệ f phương trình vi phân (f=2N)
Nhiệm vụ này thật sự là không thể làm được vị:
* Khó khăn trong việc giải hệ f phương trình vi phân → hạn chế của máy tính, thời gian tính.
* Không thể xác định 2Nf điều kiện ban đầu.
 Bế tắc của cả cơ học cổ điển và cơ học lượng tử.
- Khi hệ được cấu thành bởi một số lượng rất lớn thì chính số lượng đó mà hệ vĩ mô
tuân theo quy luật đặc thù mới: QUY LUẬT THỐNG KÊ.
- QUY LUẬT THỐNG KÊ:
* Số trạng thái vi mô khả dĩ của hệ là vô cùng nhiều, phân bố dày đặc.
* Hệ vĩ mô luôn chuyển động từ trạng thái vi mô này sang trạng thái vi mô khác. 4
* Chỉ có thể nói về xác suất tồn tại của hệ trong một trạng thái vi mô nào đó
* Biết được các xác suất của các trạng thái vi mô có thể  tính được giá trị
trung bình của các đại lượng vật lý theo các trạng thái vi mô.
* Chỉ những giá trị trung bình này mới so sánh được với giá trị quan sát được.
- Vậy: Vật lý thống kê = lý thuyết thống kê về hệ nhiều hạt
* Phương pháp = phương pháp thống kê dựa trên lý thuyết xác suất.
* Các kết quả và tiên đoán về trạng thái của một hệ vĩ mô mang đặc tính xác suất. 5. Hàm phân bố
5.1 Tập hợp thống kê (statistical ensemble) / tập hợp Gibbs
Tập hợp thống kê = tập hợp bao gồm một số rất lớn các hệ tương tự nhau. Các hệ
trong tập hợp thống kê gọi là các bản sao đồng nhất (identical copy). Các hệ này
phải thỏa mãn các điều kiện như sau:
 Số lượng và loại hạt như nhau
 Ở trong các điều kiện vật lý giống nhau: chẳng hạn như cùng một khối khí được
nhốt trong cùng một thể tích V, áp suất P, nhiệt độ T. Khi được đặt trong trường
ngoài thì phải cùng một trường ngoài phụ thuộc thời gian.
- Ý nghĩa của việc sử dụng tập hợp thống kê: mỗi một hệ trong tập hợp thống kê /
một bản sao cua hệ gốc tương ứng với một trạng thái vi mô khả dĩ nên sẽ tương ứng
với một điểm pha trong không gian pha xác định hệ. - Các bản sao y hệt của hệ gốc Hệ vĩ mô
Phương pháp nghiên cứu = (hệ gốc)
sử dụng tập hợp thống kê - Mỗi bản sao ứng với một trạng thái vi mô 5.2 Hàm phân bố
- Xét tập hợp thống kê bao gồm n hệ. Với một thể tích nguyên tố d bao quanh một
điểm pha (q,p) nào đó trong không gian pha. Ở một thời điểm t xác định, có một số
hệ của tập hợp thống kê có điểm pha nằm trong d. Số các hệ đó tỷ lệ với độ lớn
của thể tích pha d và phụ thuộc vào điểm pha (q,p):
dn = g(q,p,t) d (1.18) Ở đây:
dn: số hệ có điểm pha nằm trong thể tích nguyên tố d
g(q,p,t): hàm mật độ (density function) = số hệ mà mỗi hệ được biểu diễn
bằng một điểm pha nằm trong một đơn vị thể tích không gian pha chứa điểm pha (q,p). 5
Chúng ta có: 𝑛 = ∫ g(q, p, t) dΓ (1.19) (Γ)
- Xác suất d để một hệ nào đó của tập hợp thống kê có điểm pha rơi vào thể tích nguyên tố d sẽ là:
𝑑𝜔 = 𝑑𝑛 = 𝑔(𝑞,𝑝,𝑡) 𝑑Γ = 𝜌(𝑞, 𝑝, 𝑡)𝑑Γ (1.20) 𝑛 ∫ 𝑔(𝑞,𝑝,𝑡)
Hàm 𝜌(𝑞, 𝑝, 𝑡) được gọi là hàm mật độ xác suất / hàm phân bố (distribution function).
Nó cho ta biết xác suất để hệ ở trạng thái vi mô (q,p) hay xác suất để một trạng thái
vi mô ở trong đơn vị thể tích của không gian pha chứa điểm pha (q,p) được tìm thấy.
* Hàm g(q,p,t) = hàm mật ộ
đ điểm pha trong không gian pha
* Hàm (q,p,t) = hàm mật độ xác suất xuất hiện trạng thái vi mô (q,p)  đặc
trưng cho sự phân bố các trạng thái vi mô khả dĩ trong không gian pha.
- Chú ý: hàm mật độ pha g(q,p,t) ≠ 1 cho thấy trong tập hợp thống kê, có thể có nhiều
bản sao ở trong cùng một trạng thái vi mô (q,p) nào đó.
5.3 Tính chất của hàm phân bố
- Tính chuẩn hóa: ∫ 𝜌(𝑞, 𝑝)𝑑Γ∗ = 1 (1.21)
- Tính độc lập thống kê: Giả sử hệ khảo sát được chia thành nhiều hệ con độc lập
thống kê (statistical y independent).
* Tính độc lập thống kê: sự thay đổi trạng thái của một hệ con trong một khoảng
thời gian cho trước không ảnh hưởng đến trạng thái của các hệ khác.
* Điều kiện cho tính độc lập thống kê: các hạt trong mỗi hệ con tham gia quá
trình tương tác của các hệ con là các hạt nằm trên biên (số cấc hạt nằm trên biên
nhỏ hơn nhiều tổng số cấc hạt bên trong mỗi hệ. Số hạt trên biên này càng nhỏ khi
kích thước của mỗi hệ con tăng). Vậy khi các hệ con đủ lớn, năng lượng tương tác
giữa chúng đủ nhỏ so với nội năng của chúng để cho chúng là giả đóng hay độc lập thống kê.
Các hạt nằm trên biên mới tương tác nhưng chúng rất nhỏ so
với số hạt bên trong mỗi hệ con  năng lượng tương tác giữa 1
các hệ con rất nhỏ hơn so với nội năng của các hệ con. Các hệ
con vì vậy là giả đóng hay độc lập thống kê với nhau. 2 Điều kiện là:
* Các hệ con đủ lớn  các hệ con tương tác đủ yếu
* Khoảng thời gian xét đủ nhỏ (vì dù là tương tác
yếu nhưng khoảng thời gian đủ lớn, ảnh hưởng tương tác yếu này vẫn đáng kể trên các hệ con)
Gọi: di là xác suất để hệ nào đó của tập hợp thống kê của hệ con i có điểm pha rơi
vào thể tích nguyên tố di 6
i(qi,pi,t) là hàm phân bố của hệ con i
𝑑 là xác suất để hệ nào đó của tập hợp thống kê của hệ lớn có điểm pha rơi
vào thể tích nguyên tố 𝑑
(q,p,t) là hàm phân bố của hệ
Ta có: 𝑑 = 𝜌𝑑 (1.22)
𝑑𝑖 = 𝜌𝑖𝑑𝑖 (1.23)
Theo tính nhân được (*): 𝑑 = 𝑑1. 𝑑2… 𝑑i… = ⊓ 𝑑𝑖 (1.24)
Mặt khác do độc lập thống kê nên:  = 12…= ⊓i (1.25)
(1.25) có nghĩa là hàm phân bố của hệ lớn = tích của các hàm phân bố của các hệ con độc lập thống kê.
(*) Xét hệ vĩ mô gồm 2 hệ con 1+2
Trong không gian pha hệ lớn có f bậc tự do 2
Trong không gian pha hệ 1 có f1 bậc tự do 1
Trong không gian pha hệ 2 có f2 bậc tự do
Thế thì: f=f1+f2: hệ lớn có 2f chiều hệ 1 có 2f1 chiều hệ 1 có 2f2 chiều Vậy: 𝑑Γ ≡ 𝑑𝑞(1) (1) (2) (2) (1) (1) (2) (2) 1 … 𝑑𝑞𝑓 𝑑𝑞
… 𝑑𝑞 𝑑𝑝 … 𝑑𝑝 𝑑𝑝 … 𝑑𝑝 1 1 𝑓1 1 𝑓1 1 𝑓1
⟹ 𝑑Γ ≡ 𝑑Γ(1). 𝑑Γ(2)
- Vai trò của năng lượng
Phương trình Liouvil e: 𝑑𝜌 = 0 dọc theo quỹ đạo pha (1.26) 𝑑𝑡
Ý nghĩa: hàm phân bố thống kê dọc theo quỹ đạo pha không thay đổi theo thời gian  Mật ộ
đ các điểm pha dọc theo quỹ đạo pha bảo toàn theo thời gian.
Nhưng ta có: 𝑑𝜌 = 𝜕𝜌 + [𝜌, 𝐻] (1.27) (dấu ngoặc Poisson) 𝑑𝑡 𝜕𝑡
Vậy: : 𝜕𝜌 + [𝜌, 𝐻] = 0 (1.28) 𝜕𝑡
Ở trạng thái cân bằng thống kê: 𝜕𝜌 = 0 ⟹ [𝜌, 𝐻] = 0 (1.29) 𝜕𝑡
Theo cơ lý thuyết, công thức (1.29) cho ta  phải là một tích phân chuyển động (TPCĐ)
*  là một tích phân chuyển động   chỉ được biểu diễn qua những hàm đó
cũng là những tích phân chuyển động. 7
** Trong vật lý thống kê, do không xét đến chuyển động của hệ như một
toàn bộ nên chỉ có năng lượng của hệ là tích phân chuyển động. =(E)
*  là tích phân chuyển ộ
đ ng  lôga của nó cũng là tích phân chuyển động. Hàm  Lôga của 
𝜌 =⊓ 𝜌𝑖  tính nhân được
𝑙𝑛𝜌 = ∑𝑖 𝑙𝑛𝜌𝑖  tính cộng được. 6. Nguyên lý Ergodic
6.1 Trị trung bình thống kê (trung bình theo tập hợp thống kê)
𝐹𝜌 = ∫ 𝐹(𝑞, 𝑝)𝜌(𝑞, 𝑝, 𝑡) 𝑑Γ (1.30)
Vậy: phải biết 𝜌(𝑞, 𝑝, 𝑡) ⟹ 𝐹𝜌 6.2 Nguyên lý Ergodic
- Trị trung bình của F theo thời gian: 𝐹 1 𝑇 𝑡 = lim
∫ 𝐹(𝑞(𝑡), 𝑝(𝑡))𝑑𝑡 (1.31) 𝑇→∞ 𝑇 0
- Nguyên lý Ergodic: với các hệ Ergodic(hệ xét trong vật lý thống kê) 𝐹𝑡 = 𝐹𝑠 (1.32)
Với (1.32) thì trong vật lý thống kê, ta thay việc tính 𝐹  𝑡 bằng 𝐹𝑠 . 7. Entropy
7.1 Nguyên lý đẳng xác suất (Princile of Equal Equilibrium Probability (PEEP))
Với một hệ cô lập trong trạng thái cân bằng (vĩ mô) thì tất cả các trạng thái vi mô phù
hợp với điều kiện ràng buộc cho trước sẽ có cùng xác suất xảy ra
* Các điều kiện ràng buộc cho trước: năng lượng, tổng số hạt của hệ, loại hạt,…
* Các trạng thái vi mô phù hợp với các điều kiện ràng buộc cho trước gọi là
trạng thái vi mô khả dĩ .
7.2 Các hệ tương tác
Xét một hệ lớn cô lập bao gồm hai hệ con 1 và 2. Hai hệ con này chỉ trao đổi nhiệt với nhau
Hệ lớn cô lập bao gồm hệ 1 và 2 ⊔1 ⊔2 Ban đầu:
Hệ 1 có năng lượng ⊔1 với số trạng thái vi mô tương ứng Ω1(⊔1)
Ω1 ⊔1 Ω2 ⊔2 Hệ 1 có năng lượng ⊔2 với số trạng thái vi mô tương ứng Ω2(⊔2) 8
Ban đầu, giả sử hệ 1 và 2 có năng lượng và số trạng thái vi mô tương ứng là (Ω1(⊔1)), (Ω2(⊔2))
Vì hệ lớn là cô lập nên năng lượng của hệ lớn ⊔=⊔1+⊔2 không đổi
Hệ 1 và 2 được xem là tương tác yếu với nhau, tức là sự trao đổi năng lượng của
chúng diễn ra chậm hơn so với sự trao đổi năng lượng của các phần tử bên trong
mỗi hệ con. Khi đó: hệ 1 và 2 được xem là độc lập thống kê đối với nhau với:
* Trong khoảng thời gian đủ nhỏ: ⊔1, ⊔2 không đổi
* Trong khoảng thời gian đủ lớn: ⊔1, ⊔2 sẽ thay đổi
Trong một thời điểm cụ thể, hệ 1 ở một trạng thái vi mô mà tổng số cac trạng thái vi
mô này là Ω1(⊔1) (các trạng thái vi mô này có xác suất xảy ra như nhau). Trong lúc
đó, hệ 2 ở một trong các trạng thái vi mô mà tổng số các trạng thái vi mô này là
Ω2(⊔2) (các trạng thái vi mô của hệ 2 vẫn có xác suất như nhau).
Gọi Ω(⊔;⊔1) là số các trạng thái vi mô của hệ lớn với năng lượng ⊔ và trong đó,
năng lượng cho hệ 1 là ⊔1 và hệ 2 là ⊔2=⊔ − ⊔1. Ta có:
Ω(⊔,⊔1) = Ω1(⊔1).Ω2(⊔2) (1.33)
Câu hỏi đặt ra là: Với giá trị nào của ⊔1 (tương ứng ⊔2=⊔ − ⊔1) hệ lớn sẽ ở trạng thái cân bằng?
Trả lời: Hệ lớn ở trong trạng thái cân bằng  giá trị ⊔1 (hay ⊔2) để Ω(⊔,⊔1) đạt max (đạt cực đại)
Thật vậy: mặc dù hệ trải qua rất nhiều trạng thái được định bởi các giá trị của ⊔1 và
⊔2=⊔ − ⊔1 để đạt đến trạng thái cân bằng nhưng PEEP ngụ ý rằng: hệ lớn sẽ trải
qua hầu hết thời gian (*) trong đó trạng thái vĩ mô có Ω(⊔,⊔1) đạt giá trị cực đại.
(*) hầu hết thời gian = do số lượng các trạng thái vi mô tại trạng thái vĩ mô có Ω(⊔,⊔1)
đạt cực đại là rất lớn và xác suất xuất hiện của các trạng thái vi mô là như nhau nên hầu như mọi thời đ ể
i m ta đều gặp các trạng thái vi mô thuộc trạng thái vĩ mô này. 7.3 Entropy Boltzmann
Trở lại với công thức (1.33), để đạt max ta tính đạo hàm Ω theo ⊔1 𝜕Ω1 Ω(⊔ ( . 𝜕⊔2 = 0 (1.34) 𝜕⊔ 2) + Ω ⊔1) 𝜕Ω2 1 𝜕⊔2 𝜕⊔1 Ta có: ⊔=⊔1+⊔2 ⇒ 0 = 𝑑 ⊔1+ 𝑑 ⊔2 ⇒ 𝜕⊔2 = −1 𝜕⊔1 Vậy: 𝜕Ω1 Ω = 0 𝜕⊔ 2(⊔2) + Ω1(⊔1) 𝜕Ω2 1 𝜕⊔2 9 ⇒ 1 (𝜕Ω1 Ω ) = 0 Ω 2(⊔2) + Ω1(⊔1) 𝜕Ω2 1Ω2 𝜕⊔1 𝜕⊔2 ⇒ 1 𝜕Ω1 = 1 𝜕Ω2 Ω1 𝜕⊔1 Ω2 𝜕⊔2 ⇒ 𝜕𝑙𝑛Ω1(⊔1)| = 𝜕𝑙𝑛Ω2(⊔2) | (1.35) 𝜕⊔1 ⊔ 𝜕⊔ 1=⊔  1 2 ⊔2=⊔2 Đặt 𝛽 = 𝜕𝑙𝑛Ω| (1.36) 𝜕⊔ ⊔=⊔
Từ (1.36) thì (1.35) trở thành 1=2 (1.37) (Cân bằng do quá trình trao đổi năng
lượng có liên quan đến nhiệt độ).
 như thế (1.37) có liên quan đến nhiệt độ. Nhắc lại mối quan hệ: 1 = (𝜕𝑆) (1.38) 𝑇 𝜕⊔ 𝑁,𝑉
Do đó, chúng ta có thể tạo ra những đồng nhất thức
1 = 𝛽 (1.39) và 𝑆 = 𝑘 (1.40) 𝑘 𝐵𝑙𝑛Ω 𝐵𝑇 Nhiệt ộ
đ T trong (1.38) là nhiệt độ thống kê
Từ đây chúng ta dẫn ra định nghĩa entropy theo Boltzmann
 Xét một hệ cô lập và gọi Ω(⊔) là số trạng thái vi mô ứng với năng lượng ⊔ của hệ.
Ta định nghĩa entropy Boltzmann: 𝑆 = 𝑘𝐵𝑙 Ω 𝑛 (1.40)
 Xét một hệ cô lập gồm hai hệ con 1,2 ứng với năng lượng lần lượt là ⊔1,⊔2. Gọi
⊔=⊔1+⊔2 là năng lượng của hệ cô lập và Ω,Ω1,Ω2 lần lượt là số trạng thái vi mô ứng
với năng lượng ⊔ của hệ lớn, số trạng thái vi mô ứng với năng lượng ⊔1 của hệ 1,
số trạng thái vi mô ứng với năng lượng ⊔2 của hệ 2.
Gọi S,S1,S2 lần lượt là entropy của hệ lớn, hệ 1, hệ 2.
𝑆 = 𝑘𝐵 ln(Ω1, Ω2) = 𝑘𝐵[𝑙𝑛Ω1 + 𝑙𝑛Ω2] = 𝑘𝐵𝑙𝑛Ω1 + 𝑘𝐵𝑙𝑛Ω2 𝑆 = 𝑘𝐵𝑙𝑛Ω
𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 {𝑆1 = 𝑘𝐵𝑙𝑛Ω1 (1.41) 𝑆2 = 𝑘𝐵𝑙𝑛Ω2
 Trong thực tế, hệ không cô lập mà năng lượng cua hệ thăng giáng trong một vùng
năng lượng (nhỏ). Khi đó, gọi Ω(⊔, δ ⊔) là số trạng thái vi mô tương ứng với năng
lượng của hệ nằm trong khoảng ⊔ và ⊔ +δ ⊔ thì entropy của hệ là: 𝑆 = 𝑘𝐵𝑙 Ω(
𝑛 ⊔, δ ⊔) (1.42)
Ω(⊔, δ ⊔) gọi là trọng số thống kê (thermodynamic weight) của hệ.
 Gọi Ω(O,⊔) là số của trạng thái vi mô tương ứng với năng lượng của hệ nằm trong
khoảng O và ⊔, và 𝜔(⊔) là mật độ trạng thái của hệ tại năng lượng ⊔. 10
Ta có: 𝜔(⊔) = ∂Ω(O,⊔) (1.43) ∂⊔
Ta có những định nghĩa tương đương cho entropy S: 𝑆 = 𝑘𝐵𝑙 ω 𝑛 (⊔) (1.44) 𝑆 = 𝑘𝐵𝑙 Ω( 𝑛 O,⊔) (1.45)
 Trong tổng quát: 𝑆 = 𝑘𝐵𝑙 Ω
𝑛 (⊔) + const (1.46) 7.4 Entropy Gibbs
Xét một hệ nhỏ tiếp xúc với bình điều nhiệt. Khi đó, những thăng giáng trong năng
lượng của hệ sẽ ở trong một phần có thể đánh giá được của năng lượng trung bình
(*). Trạng thái của hệ không thể đơn giản xem là “ khả dĩ ” hay “ không khả d ĩ” mà
chúng ta phải nghĩ về xác suất mà hệ ở trong một trạng thái có thể.
(*) Thăng giáng ở một phần có thể đánh giá được = dẫu thăng giáng nhỏ nhưng nó
cũng chứa đủ lớn số trạng thái vi mô.
Gibbs giới thiệu một định nghĩa entropy mà có giá trị cho cả hệ lớn và hệ nhỏ (*)
𝑆 = −𝑘𝐵 ∑𝑖𝑃𝑖𝑙𝑛 𝑃𝑖 (1.47)
Ở đây: Pi là xác suất tìm thấy trong trạng thái vi mô thứ i. Hàm entropy (1.47) là hàm
entropy theo các xác suất hơn là theo các trạng thái vi mô tương ứng.
(*) Entropy S theo Boltzmann (1.40) chỉ được định nghĩa tốt cho trường hợp các hệ
lớn chứ không cho trường hợp các hệ nhỏ. Đó là bởi sự phân biệt giữa trạng thái
được phép và trạng thái không được phép thì không được định nghĩa rõ ràng đối với các hệ nhỏ.
Trong trường hợp các mức trạng thái vi mô là liên tục thì:
𝑆 = −𝑘𝐵 ∫ 𝑑𝑞𝑑𝑝 (1.48)
(2𝜋ℏ)3𝑁 𝜌(𝑞, 𝑝)𝑙𝑛𝜌(𝑞, 𝑝)
𝜌(𝑞, 𝑝): hàm phân bố thống kê.
Các trường hợp giới hạn (chúng ta xét trong trường hợp rời rạc (1.47))
S theo Gibbs đạt min ⇔ { ∃! ℓ: 𝑃ℓ = 1 ∀𝑘 ≠ ℓ: 𝑃𝑘 = 0
 S=0: trạng thái trật tự hay là trạng thái thông tin đầy đủ (order state / ful information state)
S theo Gibbs đạt max ⇔ 𝑃1 = 𝑃2 = ⋯ = 𝑃Ω = 1 : Ω 1
 𝑆 = −𝑘𝐵 ∑𝑖 𝑃𝑖𝑙𝑛 𝑃𝑖 =−𝑘𝐵 ∑ 1 𝑖 𝑙𝑛 = −𝑘 𝑙𝑛 1 =−𝑘 ạ Ω Ω 𝐵Ω 1Ω Ω 𝐵Ω Tr ng thái
chaos hay trạng thái không có thông tin (chaos state / non_information state). ---  --- 11

Tài liệu liên quan: