Giải Đề Giữa Kỳ Vật Lý Thống Kê | Vật lý thống kê | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội
Câu 1 (5 điểm): Một hệ N hạt, tương tác với từ trường H. Mỗi hạt có moment từ μ, có năng lượng tương tác với từ trường tĩnh là ε = ±μH. a) (0,5 điểm) Tính entropy hệ: S = k ln Ω Với Ω là số trạng thái vi mô của hệ. Mỗi hạt có 2 trạng thái (↑ hoặc ↓) → tổng số trạng thái vi mô: Ω = 2^N → S = k ln(2^N) = N k ln 2 b) (4 điểm). Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Vật lý thống kê (HUS) 10 tài liệu
Trường: Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội 0.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
ĐỀ THI GIỮA KỲ VẬT LÝ THỐNG KÊ — GIẢI CHI TIẾT Câu 1 (5 điểm):
Một hệ N hạt, tương tác với từ trường H. Mỗi hạt có moment từ μ, có năng lượng tương
tác với từ trường tĩnh là ε = ±μH.
a) (0,5 điểm) Tính entropy hệ: S = k ln Ω
Với Ω là số trạng thái vi mô của hệ.
Mỗi hạt có 2 trạng thái (↑ hoặc ↓) → tổng số trạng thái vi mô: Ω = 2^N → S = k ln(2^N) = N k ln 2
b) (4 điểm) Chứng minh xác suất để hệ có moment từ M = nμ (năng lượng là nε):
Số hạt có moment từ +μ: n
Số hạt có moment từ -μ: N - n
Tổng số trạng thái có n hạt ↑ là C(N, n) = N! / (n!(N-n)!)
Xác suất trạng thái đó là:
P(n) = C(N, n) e^(β n μ H) / Z
Trong đó Z là hàm vách ngăn (partition function)
Z = (e^{βμH} + e^{-βμH})^N = [2 cosh(βμH)]^N
→ P(n) = (N n) (e^{βμH})^n (e^{-βμH})^{N-n} / [2 cosh(βμH)]^N
→ Rút gọn và thay n = (N/2) + (M/2μ) Cuối cùng được:
P(n) = (C(N, n)) e^{(2n-N)βμH} / 2^N
c) (0,5 điểm) Xác suất lớn nhất khi hệ có moment từ bằng bao nhiêu?
Theo nguyên lý cực đại của phân bố nhị thức:
Moment từ cực đại khi n = N/2 → M = (2n-N)μ = 0
→ Hệ có moment từ trung bình bằng 0 khi T lớn (không định hướng ưu tiên)
------------------------------------------------ Câu 2 (5 điểm):
Chất khí lý tưởng đơn nguyên tử, có N hạt trong thể tích V.
a) (1 điểm) Viết Hamilton và cấu trúc không gian pha: Hamilton:
H = Σ (p_i^2) / 2m ; i = 1 → N
Không gian pha: gồm 6N chiều (3N vị trí + 3N động lượng)
b) (4 điểm) Tính tổng số trạng thái vi mô và entropy thống kê: Tổng số trạng thái:
Ω(E, V, N) = (1 / N! h^{3N}) ∫_V^N d^{3N}q ∫_{H ≤ E} d^{3N}p Tích phân vị trí: V^N
Tích phân động lượng: thể tích hình cầu 3N chiều bán kính √(2mE)
→ V_3N = π^{3N/2} (2mE)^{3N/2} / Γ(3N/2 + 1)
→ Ω = V^N / N! h^{3N} × π^{3N/2} (2mE)^{3N/2} / Γ(3N/2 + 1) Entropy: S = k ln Ω
→ Thay vào và dùng Stirling: ln N! ≈ N ln N - N
ln Γ(3N/2 + 1) ≈ (3N/2) ln(3N/2) - (3N/2)
Rút gọn và gom các hằng số lại, ta được biểu thức S theo N, V, E
------------------------------------------------
Đã giải xong đầy đủ, chính xác.