15 trang 7 lượt tải

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết Thống Kê Cổ Điển | Vật lý thống kê | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

13

Từ đó suy ra phương trình trạng thái của hệ là : PV Chú ý : trong các bài tập thuộc loại này người ta có thể yêu cầu tính thêm các đại lượng nhiệt động khác như : năng lượng tự do F , entropy S , nội năng U , nhiệt dung đẳng tích V C , thế Gibbs , enthalpy H , nhiệt dung đẳng áp P C . Lúc đó ta sẽ sử dụng các hệ thức liên hệ giữa tích phân trạng tháiZ và các đại lượng nhiệt động để tính. Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn: Vật lý thống kê (HUS) 10 tài liệu

Trường: Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội 0.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 tuần trước
Tải xuống Chia sẻ Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/15
Hướng dẫn Bài tập Vật lý th ng kê ng kê c n ố – Thố ổ điể
Bài 1. Dùng phân b chính t c Gibbs, thi t l p các phân b ố ắ ế ậ ố sau đây (các dạng khác của
phân b Maxwell) : ố
Xác su v n t c c a mất để ậ ố ủ ột h t c a hạ ủ ệ có các thành ph n v n t trong kho ng : ầ ậ ốc ở ả
( ,
x x
v v
( ,vv
.
Xác su ất để động năng của mộ ủt h t cạ a hệ có giá tr n m trong kho ng ị ằ ả
(
Sử d ng các k t qu trên tính các giá tr trung bình sau : ụ ế ả ị
a)
n
v
b)
v
c)
(
v
d)
2
2 2
1
2
3
2
( )m v
e) Vận t c có xác su t l n nh t : ố ấ ớ ấ
0
v
Hướng dẫn
Xác su v n t c c a hất để ậ ố ủ ạt có các thành ph trong khoần ở ảng đã cho là :
( )
mv
i
dWv
2
2
2
Xác su ất để độ ớ ậ l n v n tốc của h t n m trong khoạ ằ ảng đã cho là :
( )
mv
kT
dW v e vdv
2
3
2
2
2
4
Xác su ất để động năng c a h t n m trong khoủ ạ ằ ảng đã cho là :
(
dW
3
2
a) Ta có
n
v
2
3
2
2
2
0 0
4
.
Đặt
n
mv n
mv
x
kT
2
1
1
2
2
2
2 2
2
2
. Từ c : đó ta đượ
n n
n
v
1
3
2 2 2 2
2
2 2
2
0
.
Trong đó :
1
0
là hàm Gamma.
b) S d ng k t qu câu khi ử ụ ế ả a)
n 1
, ta có :
v
1 2
2 2 8
2
c) Ta có
(v
2 2 2 2 2
2
. Theo câu b) ta đã có
v
8
Áp d ng k t qu câu khi ụ ế ả a)
n 2
, ta có
v
2
3
2 2 5 2 2 3
2 4
. T ừ
đó ta tìm được :
(
v
2
2
3 8 8
3
d) Ta có
v
2 2 2
2 2 4 2 2 2 4 2
2
. Áp d ng k t qu câu vụ ế ả a) ới
n 2
và
n 4
ta có :
v
2
2 2 5 3
2
và
v
2 2
4
7
2 2
2
15
. Từ đó ta tìm được :
m
m v
2
2
2 2 2
2
2 2
1 3 3
2 2
15
4
.
e) T u th c c a xác suừ biể ứ ủ ất
( )
mv
kT
dW v ve dv
2
3
2
2
2
4
, ta th xác ấy để xuất
( )dWv
cực đại thì hàm
( )
mv
kT
f v ve
2
3
2
2
2
4
phải đạt cực đại.
Ta có :
mv mv
f
2 2
3 2
3 3
2 2
2 2
2 4 2
. Từ đó
suy ra :
f
2
0 0
. Lập b ng bi n thiên cả ế ủa
( )f v
:
v
0
kT
m
2
f
0 0 0
( )f v
max
f
0 0
Từ đó ta thấy rằng
( )f v
đạt c i khi ực đạ
v
2
, nói cách khác v n t c có xác su t lậ ố ấ ớn
nhất là
v
2
0
.
Chú ý : Trong các bài t d ng mập trên khi tính toán ta đã sử ụ ột số tính chất sau c a hàm ủ
Gamma :
1 1 1
và
1
2
. Khi
đó ta có :
3
5 3 3 3 3 1 31 1
2 2 2 2 2 2 22 2 4
2 1 1 1 1
và
7 15
5 5 5
2 2 2 2 4
1
.Trong các t ng h p ta s ập dưới đây, trong nhiều trườ ợ ẽ
sử d ng công th c sau : ụ ứ
a
1
0
1
Bài 2. Viết phân b ng t u hoà tuy n tính c n và tính giá tr ố Gibbs cho các dao độ ử điề ế ổ điể ị
trung bình của năng lượng của nó .
Hướng dẫn :
Hàm phân b chính t c Gibbs có d ng ố ắ ạ
( , )
H pq
kT
. Đố ới dao đội v ng tử điều
hòa tuy n tính ế
q
và
( , )
Hxp
2
2 2
2 2
là năng lượ ủa dao động c ng tử , do
đó phân bố Gibbs cho dao độ ng tử điều hòa tuyến tính có dạng :
E
. Từ điều
kiện chuẩn hóa
0
1
, ta có :
E E
A
0
0
1 1
1
, hay
A
1
. Do đó :
E
T
1
. ng trung bình : Năng lượ
E
0 0
1
. Lấy tích phân t ng phừ ần ta được :
E E
E
1
0 0
0 0
Bài 3. Thi ết l ng thái c a h gập phương trình trạ ủ ệ khí lý tưởng đơn nguyên tử ồm
N
nguyên t khí; Bi ng c a m i h t khí liên h v i nhau b i h ử ết năng lượng và xung lượ ủ ỗ ạ ệ ớ ở ệ
thức :
Hướng dẫn : Hàm Hamilton c a h ủ ệ :
N
H
1
. Tích phân tr ng thái c a h ạ ủ ệ :
!(
H N
Z
N
1 1
2
(1)
Mặt khác :
( )
V
là th tích c a hể ủ ệ
cp
p
2
0
4
, sử d ng công thụ ức
!
n
a
1
0
ta tìm được :
cp
3
8
. Thay vào (1) ta được :
!(
N
Z
N
3 3
3
1 1
8 8
2
Trong đó :
!(
N
3
1
8
2
.
Gọi
P
là áp su t c a hấ ủ ệ, ta có :
P 3
Từ đó suy ra phương trình trạng thái c a h là : ủ ệ
PV
Chú ý : trong các bài t p thu c lo i ta có th yêu cậ ộ ại này ngườ ể ầu tính thêm các đại lượng
nhiệt động khác như : năng lượng tự do
F
, entropy
S
, nội năng
U
, nhi t dung ng tích ệ đẳ
V
C
, th Gibbs , enthalpy ế
H
, nhi ng áp ệt dung đẳ
P
C
. Lúc đó ta sẽ sử dụng các hệ thức
liên h a tích phân tr ng thái ệ giữ ạ
Z
và các đại lượ ệt động để ạn đống nhi tính. Chẳng h i với
bài t p trên ta có : ậ
F 3
S
3
3
Hay
S
0
3
với
S
0
3
.
U
2 2
3 3
V
C
3
3
H 3 4
P
C
4
Bài 4. t l p m i liên h ng, áp su t và th tích c a hThiế ậ ố ệ giữa năng lượ ấ ể ủ ệ khí lý tưởng đơn
nguyên t gử ồm
N
nguyên t . Bi t r ng c a m i h t liên h ử ế ằng năng lượng và xung lượ ủ ỗ ạ ệ
với nhau b i h ở ệ thức :
: )const
Hướng dẫn : Hàm Hamilton c a h ủ ệ :
N
H
3
1
. Tích phân tr ng thái c a h ạ ủ ệ :
!(
H N
Z
N
1 1
2
(1)
Mặt khác :
( )
V
là th tích c a hể ủ ệ
cp
p cp
c c
3
3 3
2
0
0
4
4 4
3 3
. Thay vào (1) ta được :
!(
N
Z
N
1 1
4 4
2
Trong đó :
!(
N
3
1
4
2
. Gọi
P
là áp su t c a h , ta lấ ủ ệ ại có :
P
(1)
Năng lượng của hệ
U
2 2
(2)
Từ (1) và (2) ta có ngay :
U
.
Các đại lượ ệt động nhi ng khác :
F
S
1
Hay
S
0
với
S
0
.
V
C
;
H 2
;
P
C 2
Bài 5. Thiết lập phươn khí lý tưởng đơn nguyên tửg trình trạng thái của hệ gồm
N
nguyên
tử.Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí đó liên hệ với nhau bởi hệ thức
Hướng dẫn : Hàm Hamilton c a h ủ ệ :
N
H
4
1
. Tích phân tr ng thái c a h ạ ủ ệ :
!(
H N
Z
N
1 1
2
(1)
Mặt khác :
( )
V
là th tích c a hể ủ ệ
cp
p
4
4
2
0
4
. t :Đặ
x x
4
14 34
14 2 14
1
4
Do đó :
cp
4
34 34
1 4
3
4
0
.Thay vào (1) ta được :
!(
N
Z
N
34 34
3 4
3 3
1 1
2
Trong đó :
!(
N
3 4
3
4
1
2
.
Gọi
P
là áp su t c a hấ ủ ệ, ta có :
P
3
4
Từ đó suy ra phương trình trạng thái c a h là : ủ ệ
PV
Các đại lượ ệt động nhi ng khác :
F
3
4
S
3 3
4 4
Hay
S
0
với
S
3
0
4
.
U
2 2
3 3
4 4
V
C
3
4
;
3
4
H
7
3
4 4
;
P
C
7
4
Bài 6. Xác định năng lượ ủa khí lý tưởng và áp suất c ng gồm
N
h t ch a trong bình có ạ ứ
thể tích
V
, bi t r ng c a m i h t ph thu ng c a chúng theo h ế ằng năng lượ ủ ỗ ạ ụ ộc vào xung lượ ủ ệ
thức :
Hướng dẫn : Hàm Hamilton c a h ủ ệ :
N
H
1
. Tích phân tr ng thái c a h ạ ủ ệ :
!(
H N
Z
N
1 1
2
(1)
Mặt khác :
( )
V
là th tích c a hể ủ ệ
ap
p
2
0
4
. Đặt :
x
3
1
Do đó :
ap
3
3
.Thay vào ( c : 1) ta đượ
!(
N
Z
N
34 3
3
4
3
1 1
2
Trong đó :
!(
N
3
4
1
2
.
Gọi
P
là áp su t c a hấ ủ ệ, ta l i có : ạ
P
3
Năng lượng của hệ :
U
2 2
3 3
Các đại lượ ệt động nhi ng khác :
F
3
S
3 3
Hay :
S
0
với
S
3
0
.
V
C
3
;
3
H
3 3
1
;
P
C
3
1
Bài 7. Tìm năng lượ năng và nhiệng tự do, nội t dung của một c ng có chiột khí lý tưở ều
cao
h
, diện tích đáy ọng trườ ở trong tr ng ở nhiệt độ
T
,biết r ng s h t khí là ằ ố ạ
N
.
Hướng dẫn : Hàm Hamilton c a h ủ ệ
N
H
2
2
1
. Tích phân trạng thái c a hủ ệ :
!(
mgz
H N
Z
N
1 1
2
(1)
Mặt khác :
( ) (
h
mgz
mgz mgz
V
0
0
1
p
p
2
2
2 32
2 2
0
4 2
. Thay vào (1) ta được :
!(
N mgh
Z
N
3 2
1
1 2
2
!(
mgh mgh
kT
mg
N
32 5 2
1
1 2 1
2
Trong đó :
!(
N
3 2
1
2
2
. T ừ đó ta tìm được :
Năng lượng tự do :
mgh
F
5
2
1
Nội năng :
mgh
U
2 2
5
2
1
2
2
1 1
5 5
2 2
Nhi t dung : ệ
mgh
mgh
kT
e
V
C
2
2
1 1
5 5
2 2
Hay :
V
C
2 2
2
2
2
2 2
2
5 5
2 2
Bài 8. Trong bình hình lập phương cạnh
L
có chứa
N
phân t ng nhi ử khí lý tưở ở ệt độ
T
.
Bình khí được đặt trong tr ng. Tìm áp su t tác dọng trườ ấ ụng lên mặt trên của bình
Hướng dẫn : Hàm Hamilton c a h ủ ệ
N
H
2
2
1
. Tích phân tr ng thái c a hạ ủ ệ :
!(
mgz
H N
Z
N
1 1
2
(1)
Mặt khác :
( )
L L L
mgz
mgz mgz
V
2 2
0
0 0 0
1
p
p
2
2
2 32
2 2
0
4 2
. Thay vào (1) ta được :
!(
N mgL
Z
N
2 32
1
1 2
2
!(
mgL mgL
kT
mg
N
2 32 2 5 2
1
1 2 1
2
Trong đó :
!(
N
3 2
1
2
2
. Áp su t tác d ng lên m t trên c a bình ấ ụ ặ ủ
là :
P
. Vì
V
3
nên :
dV
2
2
1
3
3
.
Từ đó ta có :
]=
mgL
mg
mgL
kT
T
mgL
e
P
2 2
5 2
2
3 3
2 1
1
( / )
+ ]= [ + ]
mgL mgL
kT
mgLkT
mg
NkT
kT V
e
2
2 1 2 1
3 3
3
1 1
(với
V
3
)
Bài 9. Hỗn h ng gợp hai khí lý tưở ồm
1
N
h t kh ng ạ ối lượ
1
m
và
2
N
h ng ạt khối lượ
2
m
chứa
trong m t bình hình tr có chi u cao ộ ụ ề
h
và điện tích đáy . Bình khí được đặt trong trọng
trường với gia tốc
g
. Tìm áp su t lên mất đặ ặt trên của bình và v trí c a kh i tâm . ị ủ ố
Hướng dẫn : i Gọ
j
Z
là tích phân tr ng thái c a h t loạ ủ ạ ại
(j j 1 2
, ta có :
!(
p
H mgz
N
j
j
Z
N
2
1 1
2
Mặt khác :
( ) (
j j
h
mgz mgz mgz
V
0
0
1
p
p
2
2
2 2
2 32
0
4 2
. Thay vào (1) ta được :
!(
mgh
N
j
j
Z
N
3 2
1
1 2
2
!(
j
mgh mgh
j
N
5 2
3 2
1
1 2 1
2
Trong đó :
!(
j
N
3 2
1
2
2
.Tích phân tr ng thái c a h là : ạ ủ ệ
Z
2
1
. Do đó áp suất tác dụng lên mặt trên của bình là :
P
2 2
1 1
.
Vì th tích c a hình tr là : ể ủ ụ
V
nên
dh
dV
1
. Từ đó ta tìm được :
mgh
mgh
P
2 2
5
2
1 1
1
1
Hay :
kT
e
P
2
1
1
1
Nội năng của hệ :
U
2
2 2
1
=
mgh
mgh
kT
2
2 2
2 2
5 5
2 2
1 1
1
1
Hay :
kT
e
U
2
5
2
1
1
. Gọi
d
E
là động năng trung bình củ ệ, theo địa h nh lý
phân b ố đều động năng ta có :
d
E
2
3 3
1 2
2 2
1
. Từ đó suy ra thế
năng trung bình của hệ là :
kT
t
e
E
2
1
1
(2)
N u gế ọi
c
z
là t c a kh i tâm, ta có : ọa độ ủ ố
t
E
(3) , với
M
1 1 2 2
là kh ng c a hối lượ ủ ệ. Từ c : (2) và (3) ta tìm đượ
(
kT
c
e
E E
z
Mg N m
2
1 1 2 2 1 1 2 2 1
1
1
Bài 10. Biết r a chuy ng quay c a phân t 2 nguyên t i v i khằng động năng củ ển độ ủ ử ử đố ớ ối
tâm c a chúng b ng : ủ ằ
2
2
2
1
2
ở đây
I
là moment quán tính đối với khối
tâm phân t còn ử
,p p
là xung lượng suy rộng ứng v i các t cớ ọa độ ầu
. Hãy tính :
tổng th ng kê, entropy, nhi t dung ng v i chuyố ệ ứ ớ ển động quay c a phân t hai nguyên t ủ ử ử
Hướng dẫn Tích phân tr ng thái c a chuy ng quay là : : ạ ủ ển độ
q
Z
, trong đó :
0 0 2
. T :ừ đó ta có
q
Z
2
2
2
2
2 2
0 0
. Sử d ng tích phân Poisson : ụ
a
2
, ta được :
p
2
2
2
và
p
2
2
2
2
2 2
. Thay vào bi u th c cể ứ ủa
q
Z
ta
có :
q
Z
2
2
0 0
2 8
.
Entropy c a h ủ ệ :
= ln(8
S
k
2 2
2 2 2
1
8 8
8 8 1
Nhi t dung : ệ
V
C
2
8 1
Bài 11. Cho m ng trong hình trột khí lý tưở ở ụ bán kính đáy
R
, chi u cao ề
h
. Bi t r ng hình ế ằ
trụ quay quanh tr c c a nó v i vụ ủ ớ ận t c góc ố .
a) Xác định áp su t c a khí tác d ng lên thành bình. ấ ủ ụ
b)Tìm n a khí. ội năng củ
Hướng dẫn : Khi hình trụ ụ ụ ố tr quay quanh tr c với v n tậ c góc , các h t khí trong hình ạ
trụ s quay theo v i vẽ ớ ận tốc góc . Gọi
r
là kho ng cách t h t khí t i tr c hình tr , l ả ừ ạ ớ ụ ụ ực
ly tâm tác d ng lên h t là : ụ ạ
lt
f
2
. L c này liên k t v i th g ly tâm ự ế ớ ế năn
( )
lt
u r
theo
hệ thức :
lt
f
dr
2 2
2
.Từ đó suy
ra, hàm Hamilton c a h là : ủ ệ
N N
H
2 2 22
2 2 2
1 1
.
Tích phân tr ng thái c a h ạ ủ ệ :
m
H N
Z
22
1 1
2
2
1
S d ng h tử ụ ệ ọa độ trụ
( ,r
, ta có :
R
m
m
V
2 2
22 22 2 2
2 2
2
2
2 2 2 2
0
0 0 0
2 1
p
p
2
2
2 32
2 2
0
4 2
Thay vào bi u th c cể ứ ủa
Z
ta nh c : ận đượ
N m
Z
2 2 2 2
2
32 5 2
2
1
2 2
2
1
12 1
trong đó :
2
3 2
2
1
2
2
.
a) Áp su t tác d ng lên thành bình : ấ ụ
P
.
Vì
V
2
nên
dV
1
2
2
. Do đó :
T
kT
m
m
e
P
2 2
2
2 2
2
2 2
2
5
2
2 2 2 2
1
1
Hay :
)
m
T
P
2 2
2 2
2
2
1
b) N a khí : ội năng củ
U
2 2
2
2 2
5
2
1
]
kT
m
e
2 2
2 2
2
2
2 2
2
2
5 2
2
1
ay : , h
U
2 2
2 2
2
2
5
2
1
Bài 12. Tìm kh i tâm c a mố ủ ột cột khí lý tưởng nằm trong tr u, bi t r ng gia ọng trường đề ế ằ
tốc trọng trường là
g
, kh ng mối lượ ột phân t là ử
m
và nhi là ệt độ
T
.
Hướng dẫn. Gọi
N
là s h t c a h , th a h là :ố ạ ủ ệ ế năng củ ệ
N
t
E
1
. Từ đó suy ra
N
t
E
1
(1) . N u gế ọi
c
z
là t i tâm c a h , ta l i có : ọa độ khố ủ ệ ạ
t
E
(2),
trong đó
M
là kh ng c a h (1) và (2) ta ối lượ ủ ệ. Từ được :
N
c
z
Nmg
1
1
(3)
Để tính
i
z
ta s d ng hàm phân b ng l c. Bi u th c c a hàm phân ử ụ ố Boltzmann trong trườ ự ể ứ ủ
bố Boltzmann có d ng : ạ
mgz
T
. Từ u ki n chu n hóa: điề ệ ẩ
0
1
, ta có :
gz mgz
B
0
0
1
.
Do đó :
mgz
kT
. Từ c : đó ta tìm đượ
i
z
0
0 0 0
mgz
0
. Thay giá tr này vào (3) ta có :ị
c
kT
z
mg
.
Bài 13. o sát h gKhả ệ ồm N dao độ ối lượng tử tuyến tính cổ điển với kh ng
m
và t n sầ ố .
Hãy tính tích phân tr ng thái c a h ạ ủ ệ, từ đó xác đị ệt độ ội năng và nh sự phụ thuộc nhi của n
nhiệt dung c a h . ủ ệ
Hướng dẫn. Hàm Hamilton c a h là : ủ ệ
N
H
2 22
1
2 2
. Tích phân tr ng thái : ạ
N
Z
22 2
1
2 2
2
1
. S d ng tích phân Poisson : ử ụ
a
2
, ta được :
m
m
2 2
2
2
2
và
p
2
2
2
Từ đó suy ra :
N
Z
2 2
1 1
2
1
2
Với
2
1
2
Nội năng :
U
2 2
Nhi t dung : ệ
V
C
Bài 17. S d nh lý phân b c tử ụng đị ố đều động năng theo các bậ ự do và định lý virial dưới
dạng:
i
q
, tính năng lượng trung bình của dao động tử điều hoà tuyến tính.
Hướng dẫn . Hàm Hamilton c ng t là : ủa dao độ ử
H
2
2 2
2 2
. Do đó, năng
lượng trung bình c ng t là : ủa dao độ ử
E
2
2 2
2 2
(1). Theo định lý phân bố
đều động năng ta có :
p
m
2
1
2 2 2
(2). Vì
lim
m
x
2 2
2
nên
lim
x
H
. Do đó theo định lý virial, ta có :
x
1
2 2
. Từ u th c cbiể ứ ủa
H
, ta
lại có :
x
22 22
1 1
2 2 2 2 2
(3). Thay (2), (3) vào (1) ta tìm được :
E
2 2
Bài 18. S d ng trung bình c ng t có thử ụng định lý virial, tính năng lượ ủa dao độ ử ế năng.
( )
ux
4
.
Hướng dẫn: Hàm hamilton c ng tủa dao độ ử :
H
2
4
2
. Do đó, năng lượng
trung bình là :
E
2
4
2
(1). Theo đị đều động năng ta có : nh lý phân bố
p
m
2
1
2 2 2
(2). Vì
lim
x
kx
4
nên
lim
x
H
. Do đó theo định lý
virial, ta có :
x
1
2 2
. T u th c cừ biể ứ ủa
H
, ta l i có : ạ
x
3 4
1 1
2 2
4 2
.
Từ đó suy ra :
x
4 4
1
2 2 4
2
(3). Thay (2), (3) vào (1) ta tìm được :
E
3
2 4 4
Bài 19. S d ng trung bình c a h t chuy ng trong ử ụng định lý virial, tính năng lượ ủ ạ ển độ
trườ ựng l c có thế năng
( )
Uq
(
n
: s t nhiên, : h ng s ố ự ằ ố dương).
Hướng dẫn: Hàm hamilton củ ạa h t :
H
2
2
2
. Do đó, năng lượng trung
bình là :
E
2
2
2
(1). Theo định lý phân bố đều động năng ta có :
p
m
2
1
2 2 2
(2). Vì
lim
q
2
nên
lim
x
H
. Do đó theo định lý
virial, ta có :
q
1
2 2
. T u th c cừ biể ứ ủa
H
, tacó :
q
2 1 2
1 1
2 2
2
.
Từ đó suy ra :
q
2 2
1
2 2 2
(3). Thay (2), (3) vào (1) ta được :
E
1
2 2 2
1
Bài 20. ng minh các h c sau : Chứ ệ thứ
a)
F
(
H
Hướng dẫn : Từ định nghĩa của giá tr trung bình trong phân b chính t c, ta có : ị ố ắ
(
s
F
1
1
]
s H
i
1
1
(1)
Lấy tích phân từng ph n ta có : ầ
Vì
lim
i
q
H
nên
lim .
i
H
kT
q
F e 0
i
H
0
. Do đó :
(2). Thay (2) vào (1) ta được :
s H
F
1
1
b)
F
Hướng dẫn : Từ a giá tr trung bình trong phân b chính t c, ta có : định nghĩa củ ị ố ắ
(
s
F
1
1
]
s H
i
1
1
(1)
Lấy tích phân từng ph n ta có : ầ
Vì
lim
i
p
H
nên
lim .
i
H
kT
p
F e 0
i
H
0
. Do đó :
(2). Thay (2) vào (1) ta được :
s H
F
1
1
Hướng dẫn Bài tậ ập V t lý th ng kê ng t . ố – thống kê lượ ử
Bài 1. Khảo sát h ng t ệ N dao độ ử điề ậu hòa tuy c lến tính độ p
a) Tính năng lượng tự do và entropy của
N
ng t dao độ ử điều hoà tuy c l p. ến tính độ ậ
b) Tính năng lượng trung bình, nhi t dung cệ ủa
N
ng t u hoà dao độ ử điề tuyến tính độc lập.
Hướng dẫn : Gọi
Z
là t ng th ng kê c a h , ta có : ổ ố ủ ệ
Z
1
, trong đó
n
Z
1
0
là t ng th ng kê cổ ố ủa một dao độ năng lượ ủa dao động tử. Vì phổ ng c ng t u hòa tuyử điề ến
tính là :
1
2
012
nên, ta có :
kT
n
Z
1
2
2
2 2
1 1 1
2 2
1
0 0
1
Từ c : đó ta nhận đượ
sh(
]
N
kT
Z
1
2
2
.
a) ng t do cNăng lượ ự ủa dao động tử là :
[ sh(
kT
F
2
2
Entropy c ng t ủa dao độ ử :
kT
S
2
2
2
2
2
hay :
kT
S
2 2
2
b) ng trung bình : Năng lượ
N
kT
E
2 2
Nhiệt dung
kT kT
V
C
2
2 2
2 2 2
2
Bài 2. Tính năng lượng trung bình và nhi t dung c a hệ ủ ệ
N
ng t dao độ ử điều hoà hai chiều
độ ậc l p có các mức năng lượng
suy bi n bế ội
(
g
.
Hướng dẫn : Gọi
Z
là t ng th ng kê c a h , ta có : ổ ố ủ ệ
Z
1
, trong đó
n
Z
1
0
là t ng th ng kê c a m . Vì ph ng c a dao ổ ố ủ ột dao động tử ổ năng lượ ủ
độ ử ềng t đi u hòa hai chiều là :
1 01
có b i suy biộ ến
(
g 1
nên, ta có :
kT
n
Z
2
1
2
1
1
2
0
1
T ừ đó ta nhận được :
]
kT
N
Z
2
2
1
2
.
ng trung bình c a hNăng lượ ủ ệ :
kT
E
2
2
2 2
2
2
2 2
Hay :
kT
E
2
Nhiệt dung :
sh
kT kT
V
C
2 2
2
Bài 3. Tính t ng thổ ống kê và năng lượ ủa dao động trung bình c ng tử 3 chiều mà các mức
năng lượng
suy bi n bế ội
(
g
Hướng dẫn : Gọi
Z
là t ng th ng kê c a h , ta có : ổ ố ủ ệ
Z
1
, với
n
Z
1
0
là
tổng th ng kê c a m ng t . Vì ph ng c ng tố ủ ột dao độ ử ổ năng lượ ủa dao độ ử điều hòa hai chiều
là:
3
2
0 1
có b i suy biộ ến
(
g
1 2
2
nên, ta có :
sh(
n
kT
Z
3
2
1 2
3
1
1
2
2
0
2
T ừ đó ta tìm c :đượ
]
kT
N
Z
2
3
1
2
.
ng trung bình c a hNăng lượ ủ ệ :
kT
E
2
2
2 2
2
2
3 2
Hay :
kT
E
3
2 2
Nhiệt dung :
sh
kT kT
V
C
2
2 2
3
2 2 2
2
Bài 4. Xác định năng lượng trung bình c a h t có các mủ ạ ức năng lượng không suy biến :
.
Hướng dẫn . Tổng th ng kê c a hố ủ ạt
n
n
Z
1 1
1
1
1
.
Năng lương trung bình :
n
E
1
2 2
1 1
n
2 2
2
1 1 1 1
Bài 5. N u h t trong t ng ế ạt có spin 1/2 đặ ừ trườ
H
thì các m ng c a nó tách làm ức năng lượ ủ
2 :
và
tương ứng với các moment t - và + i song v i t ừ song song hay đố ớ ừ
trường
H
. Gi s h gả ử ệ ồm
N
h t trong tạt như thế được đặ ừ trường
H
ở nhi ệt độ
T
. S ử
dụng phân b chính tố ắc Gibbs , xác đị ội năng, nhiệnh n t dung, moment t c a h . ừ ủ ệ
Hướng dẫn : Gọi
Z
là t ng th ng kê c a h , ta có : ổ ố ủ ệ
Z
1
, trong đó
Z
1
là t ng th ng kê cổ ố ủa một hạt. Vì h t chạ ỉ có hai mức năng lượng là
1 2
nên :
Z
1
2
. Do đó tổng thống kê c a h là ủ ệ
T
Z
ng c a h Năng lượ ủ ệ :
ch
kT
E
2
2 2 2
2
Nhi t dung c a h ệ ủ ệ :
ch ch
kT kT
V
C
2 2 2
2
1 1
Moment t trung bình c a hừ ủ ệ :
, trong đó
là moment t trung bình cho mừ ột
hạt. M t khác, xác su h ng thái v i moment t b ng ặ ất để ạt ở trạ ớ ừ ằ
là
(
T
W
Z
1
1
.
Do đó momen từ trung bình của một hạt là :
. Vì moment t c a mừ ủ ột
hạt ch có th nhân 2 giá tr b ng ỉ ể ị ằ và nên :
ch( ) ch( )
kT kT
2
Từ c moment t trung binh c a h là :đó ta nhận đượ ừ ủ ệ

Tài liệu khác của Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Preview text:

Hướng dẫn Bài tập Vật lý thống kê – Thống kê cổ điển
Bài 1. Dùng phân bố chính tắc Gibbs, thiết lập các phân bố sau đây (các dạng khác của phân bố Maxwell) :
Xác suất để vận tốc của một hạt của hệ có các thành phần vận tốc ở trong khoảng : (v , x xv
Xác xuất để độ lớn vận tốc của một hạt của hệ nằm trong khoảng (v,v .
Xác suất để động năng của một hạt của hệ có giá trị nằm trong khoảng (
Sử dụng các kết quả trên tính các giá trị trung bình sau : a) n v b) v c) (v 2 3 d) 1 2 2 ( m )v 2 2
e) Vận tốc có xác suất lớn nhất : v0 Hướng dẫn
Xác suất để vận tốc của hạt có các thành phần ở trong khoảng đã cho là : mv 2 dW ( v ) 2 i 2
Xác suất để độ lớn vận tốc của hạt nằm trong khoảng đã cho là : mv 2 3 ( ) kT dW v 4 e vdv2 2 2
Xác suất để động năng của hạt nằm trong khoảng đã cho là : 2 dW ( 3 2 3 a) Ta có n v 2 2 4 . 2 0 0 n 1 2 mv 2 n mv 1 2 2 Đặt x 2 2 2 . Từ đó ta được : k 2 T n 1 n n v 2 2 2 2 2 2 3 2 . 2 0 Trong đó : 1 là hàm Gamma. 0
b) Sử dụng kết quả câu a ) khi 1 2 n 1 , ta có : v 2 2 8 2 c) Ta có (v 2 2 2 2 2 2 . Theo câu b ) ta đã có v 8
Áp dụng kết quả câu a) khi n 2 , ta có v2 2 2 5 2 2 3 3 . Từ 2 4 2 đó ta tìm được : (v 2 3 8 8 3 2 2 2 d) Ta có v2 2 4 2 2 2 4 2 2
. Áp dụng kết quả câu a) với 2 2 n 2 và n 4 ta có : v2 2 2 5 3 và v 4 2 2 7 15 2 2 2 2 1 2 2 m 2 2 2
. Từ đó ta tìm được : 2 m v 3 3 15 . 2 2 4 mv 2 3
e) Từ biểu thức của xác suất ( ) 2 4 k 2 T dW v ve dv
, ta thấy để xác xuất dW ( v ) 2 mv 2 3 cực đại thì hàm ( ) 2 4 k 2 T f v ve phải đạt cực đại. 2 mv 2 mv 2 3 3 Ta có : f 3 2 2 2 2 4 2 . Từ đó 2 2 suy ra : f 2 0 0
. Lập bảng biến thiên của f (v ) : v 0 k 2 T m f 0 0 0 f f (v ) max 0 0
Từ đó ta thấy rằng f (v ) đạt cực đại khi v 2
, nói cách khác vận tốc có xác suất lớn nhất là v 2 0 .
Chú ý : Trong các bài tập trên khi tính toán ta đã sử dụng một số tính chất sau của hàm Gamma : 1 1 1 và 1 . Khi 2 đó ta có : 5 3 3 3 3 1 31 1 3 2 1 1 1 1 và 2 2 2 2 2 2 22 2 4 7 5 5 5 15 1
.Trong các tập dưới đây, trong nhiều trường hợp ta sẽ 2 2 2 2 4 1
sử dụng công thức sau : a 1 0
Bài 2. Viết phân bố Gibbs cho các dao động tử điều hoà tuyến tính cổ điển và tính giá trị
trung bình của năng lượng của nó . Hướng dẫn : H (p ,q )
Hàm phân bố chính tắc Gibbs có dạng kT
. Đối với dao động tử điều 2 hòa tuyến tính q và H (xp, ) 2 2
là năng lượng của dao động tử , do 2 2 E
đó phân bố Gibbs cho dao động tử điều hòa tuyến tính có dạng : . Từ điều E E kiện chuẩn hóa 1 , ta có : A 1 1 0 0 0 E 1 , hay A 1 . Do đó : 1
T . Năng lượng trung bình : 1 E
. Lấy tích phân từng phần ta được : 0 0 E E E 1 0 0 0 0
Bài 3. Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm N
nguyên tử khí; Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí liên hệ với nhau bởi hệ thức : N
Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ : H
. Tích phân trạng thái của hệ : 1 H N 1 1 Z (1) N !( 2 Mặt khác : là thể tích của hệ (V ) cp p 2 n ! 4 , sử dụng công thức ta tìm được : a 1 0 0 cp 3 8 . Thay vào (1) ta được : N 1 3 1 3 Z 3 8 8 N !(2 1 3 Trong đó : 8 . N !(2
Gọi P là áp suất của hệ, ta có : P 3
Từ đó suy ra phương trình trạng thái của hệ là : PV
Chú ý : trong các bài tập thuộc loại này người ta có thể yêu cầu tính thêm các đại lượng
nhiệt động khác như : năng lượng tự do F , entropy S , nội năng U , nhiệt dung đẳng tích C , thế Gibbs , enthalpy ệt dung đẳ
C . Lúc đó ta sẽ sử dụng các hệ thức V H , nhi ng áp P
liên hệ giữa tích phân trạng thái Z và các đại lượng nhiệt động để tính. Chẳng hạn đối với bài tập trên ta có : F 3 S 3 3 Hay S 3 với 3 . 0 S 0 U 2 2 3 3 C 3 V 3 H 3 4 C 4 P
Bài 4. Thiết lập mối liên hệ giữa năng lượng, áp suất và thể tích của hệ khí lý tưởng đơn
nguyên tử gồm N nguyên tử . Biết rằng năng lượng và xung lượng của mỗi hạt liên hệ
với nhau bởi hệ thức : c :onst ) N
Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ : H 3
. Tích phân trạng thái của hệ : 1 H N 1 1 Z (1) N !(2 Mặt khác : là thể tích của hệ (V ) cp 3 p 3 cp 3 2 4 4 4 . Thay vào (1) ta được : c 0 3 c 3 0 N 1 1 Z 4 4 N !( 2 1 Trong đó : 4
. Gọi P là áp suất của hệ, ta lại có : N !( 3 2 P (1) Năng lượng của hệ U 2 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có ngay : U .
Các đại lượng nhiệt động khác : F S 1 Hay S 0 với S0 . C ; V H 2 ; C P 2
Bài 5. Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm N nguyên
tử.Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí đó liên hệ với nhau bởi hệ thức N
Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ : H 4
. Tích phân trạng thái của hệ : 1 H N 1 1 Z (1) N !(2 Mặt khác : là thể tích của hệ (V ) cp 4 p 4 2 4 14 34 4 . Đặt :x 14 2 1 x 14 4 0 cp 4 34 34 Do đó : 1 4 3 .Thay vào (1) ta được : 4 0 N 1 34 1 34 Z 3 3 3 4 N !(2 1 3 4 Trong đó : 3 . N !( 4 2 3
Gọi P là áp suất của hệ, ta có : P 4
Từ đó suy ra phương trình trạng thái của hệ là : PV
Các đại lượng nhiệt động khác : F 3 4 S 3 3 4 4 Hay S với 0 S 3 . 0 4 U 2 2 3 3 4 4 C 3 ; 3 V 4 4 H 3 7 ; C 7 4 4 P 4
Bài 6. Xác định năng lượng và áp suất của khí lý tưởng gồm N hạt chứa trong bình có
thể tích V , biết rằng năng lượng của mỗi hạt phụ thuộc vào xung lượng của chúng theo hệ thức : N
Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ : H
. Tích phân trạng thái của hệ : 1 H N 1 1 Z (1) N !(2 Mặt khác : là thể tích của hệ (V ) ap p 3 2 1 4 . Đặt :x 0 ap 3 3 Do đó : .Thay vào (1) ta được : N 1 34 1 3 Z 3 4 3 N !(2 1 3 Trong đó : 4 . N !(2
Gọi P là áp suất của hệ, ta lại có : P 3 Năng lượng của hệ : U 2 2 3 3
Các đại lượng nhiệt động khác : F 3 S 3 3 Hay : S với S 3 . 0 0 C 3 ; 3 V H 3 3 1 ; C 3 1 P
Bài 7. Tìm năng lượng tự do, nội năng và nhiệt dung của một cột khí lý tưởng có chiều
cao h , diện tích đáy ở trong trọng trường ở nhiệt độ T ,biết rằng số hạt khí là N . N 2
Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ H
. Tích phân trạng thái của hệ : 2 1 H N mgz 1 1 Z (1) N !(2 mgz h mgz mgz Mặt khác : 1 0 (V ) ( 0 p2 p2 2 2 2 32 4 2 . Thay vào (1) ta được : 0 N mgh 1 Z 3 2 1 2 N !(2 mgh mgh 1 kT 32 5 2 1 2 1 N !(2 mg 1 3 2 Trong đó : 2
. Từ đó ta tìm được : N !(2 mgh Năng lượng tự do : F 5 1 2 mgh Nội năng : U 2 2 5 1 2 5 5 2 2 2 2 1 1 mgh mgh kT e 5 5 Nhiệt dung : C 2 V 2 2 2 1 1 2 2 5 5 Hay : C 2 V 2 2 2 2 2 2 2
Bài 8. Trong bình hình lập phương cạnh L có chứa N phân tử khí lý tưởng ở nhiệt độ T .
Bình khí được đặt trong trọng trường. Tìm áp suất tác dụng lên mặt trên của bình N 2
Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ H
. Tích phân trạng thái của hệ : 2 1 H N mgz 1 1 Z (1) N !(2 L L L mgz mgz mgz Mặt khác : 2 2 0 1 (V ) 0 0 0 p2 p2 2 32 2 2 4 2 . Thay vào (1) ta được : 0 N mgL 1 Z 2 32 1 2 N !(2 mgL mgL 1 2 kT 32 2 5 2 1 2 1 N !(2 mg 1 3 2 Trong đó : 2
. Áp suất tác dụng lên mặt trên của bình N !(2 là : P . Vì V 3 nên :dV 2 1 3 . 23 mgL mgL mg kT e Từ đó ta có : 5 2 T P 2 1 2 2 ]= 3 2 3 mgL 1 2 mg 1 NkT 2 1 (mgL /kT ) (với V 3 ) 2 + ]= [ + ] mgL mgL 3 kT V 3 3 kT e 1 1
Bài 9. Hỗn hợp hai khí lý tưởng gồm ạ ối lượ ạt khối lượ 1 N h t kh ng 1 m và 2 N h ng 2 m chứa
trong một bình hình trụ có chiều cao h và điện tích đáy . Bình khí được đặt trong trọng
trường với gia tốc g . Tìm áp suất đặt lên mặt trên của bình và vị trí của khối tâm .
Hướng dẫn : Gọi Z là tích phân trạng thái của hạt loại j (j 1 2 , ta có : j p 2 H N mgz 1 1 Z j N !(2 j mgz h mgz mgz Mặt khác : 0 1 j j (V) ( 0 p2 p2 2 2 2 32 4 2 . Thay vào (1) ta được : 0 N mgh 1 Z 3 2 1 2 j N !(2 j mgh mgh 1 3 2 5 2 1 2 1 N !( j 2 j 1 3 2 Trong đó : 2
.Tích phân trạng thái của hệ là : N !(2 j 2 Z
. Do đó áp suất tác dụng lên mặt trên của bình là : 1 2 2 P . 1 1
Vì thể tích của hình trụ là : V nên dh
1 . Từ đó ta tìm được : dV 2 mgh 2 mgh P 5 1 2 1 1 1 2 Hay : P 1 1 kT e 1 2 Nội năng của hệ : U 2 2 1 2 mgh mgh 2 = kT 2 5 2 5 1 2 2 2 1 1 1 2 Hay : U 5 . Gọi a h nh lý 2 d
E là động năng trung bình củ ệ, theo đị 1 kT e 1 2
phân bố đều động năng ta có : E 3 3 . Từ đó suy ra thế d 1 2 2 2 1 2
năng trung bình của hệ là : E (2) t 1 kT e 1 Nếu gọi ọa độ ủ ố c z là t c a kh i tâm, ta có : E (3) , với t M 1 1 2 2
là khối lượng của hệ. Từ (2) và (3) ta tìm được : E E 2 1 c z Mg (N m 1 1 2 2 1 1 2 2 1 kT e 1
Bài 10. Biết rằng động năng của chuyển động quay của phân tử 2 nguyên tử đối với khối 2 tâm của chúng bằng : 1 2
ở đây I là moment quán tính đối với khối 2 2
tâm phân tử còn p ,p là xung lượng suy rộng ứng với các tọa độ cầu . Hãy tính :
tổng thống kê, entropy, nhiệt dung ứng với chuyển động quay của phân tử hai nguyên tử
Hướng dẫn : Tích phân trạng thái của chuyển động quay là : Z , trong đó : q 0 0 2 . Từ đó ta có : 2 2 2 Z 2 2 2
. Sử dụng tích phân Poisson : q 0 0 p 2 2 , ta được : 2 2 và a p 2 2 2 2 2 2
. Thay vào biểu thức của Z ta q 2 có : Z 2 2 8 . q 0 0 Entropy của hệ : S 2 2 8 8 = ln k (8 2 1 2 2 8 8 1 Nhiệt dung : C 2 8 1 V
Bài 11. Cho một khí lý tưởng ở trong hình trụ bán kính đáy R , chiều cao h . Biết rằng hình
trụ quay quanh trục của nó với vận tốc góc .
a) Xác định áp suất của khí tác dụng lên thành bình.
b)Tìm nội năng của khí.
Hướng dẫn : Khi hình trụ trụ quay quanh trục với vận tốc góc , các hạt khí trong hình
trụ sẽ quay theo với vận tốc góc . Gọi r là khoảng cách từ hạt khí tới trục hình trụ, lực
ly tâm tác dụng lên hạt là : f
2 . Lực này liên kết với thế năng ly tâm u (r ) theo lt lt hệ thức : f 2 2 .Từ đó suy lt dr 2 N N 2 2 22
ra, hàm Hamilton của hệ là : H . 2 2 2 1 1
Tích phân trạng thái của hệ : H N m 22 Z 1 1 2 2 1
Sử dụng hệ tọa độ trụ (r , , ta có : 2 2 2 R m m 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 0 2 V 0 0 0 p2 p2 2 32 2 2 4 2 0
Thay vào biểu thức của Z ta nhận được : N m 2 2 2 2 Z 1 2 32 5 2 2 2 12 1 2 2 1 trong đó : 1 2 3 2 2 . 2 2
a) Áp suất tác dụng lên thành bình : P . Vì V 2 nên dV 1 2 . Do đó : 2 2 2 m 2 2 m 2 2 T P 5 2 1 2 2 2 2 2 2 k 2 T e 1 2 2 Hay : T 2 ) P m 2 2 1 2 2 2 b) Nội năng của khí : U 2 2 5 2 1 2 2 2 m 2 2 2 2 2 2 2 5 2 , a h y : U 5 2 2 2 ] 2 2 2 2 2 kT e 1 2 1
Bài 12. Tìm khối tâm của một cột khí lý tưởng nằm trong trọng trường đều, biết rằng gia
tốc trọng trường là g , khối lượng một phân tử là m và nhiệt độ là T . N
Hướng dẫn. Gọi N là số hạt của hệ , thế năng của hệ là : E . Từ đó suy ra t 1 N E
(1) . Nếu gọi z là tọa độ khối tâm của hệ, ta lại có : E (2), t c t 1 N 1 trong đó M
là khối lượng của hệ. Từ (1) và (2) ta được : z (3) c Nmg 1
Để tính z ta sử dụng hàm phân bố Boltzmann trong trường lực. Biểu thức của hàm phân i mgz bố Boltzmann có dạng :
T . Từ điều kiện chuẩn hóa: 1, ta có : 0 gz mgz B 1 0 . 0 mgz Do đó : kT
. Từ đó ta tìm được : i z 0 0 0 0 mgz kT
. Thay giá trị này vào (3) ta có : z . 0 c mg
Bài 13. Khảo sát hệ gồm N dao động tử tuyến tính cổ điển với khối lượng m và tần số .
Hãy tính tích phân trạng thái của hệ, từ đó xác định sự phụ thuộc nhiệt độ của nội năng và nhiệt dung của hệ. N 2 22
Hướng dẫn. Hàm Hamilton của hệ là : H . Tích phân trạng thái : 2 2 1 N 22 2 Z 1 2 2
. Sử dụng tích phân Poisson : 2 1 m 2 2 p2 2 2 , ta được : 2 và 2 2 a m 2 N Từ đó suy ra : Z 1 2 1 2 2 2 1 Với 1 2 2 Nội năng : U 2 2 Nhiệt dung : C V
Bài 17. Sử dụng định lý phân bố đều động năng theo các bậc tự do và định lý virial dưới dạng: q
, tính năng lượng trung bình của dao động tử điều hoà tuyến tính. i 2
Hướng dẫn . Hàm Hamilton của dao động tử là : H 2 2 . Do đó, năng 2 2 2
lượng trung bình của dao động tử là : E
2 2 (1). Theo định lý phân bố 2 2 2
đều động năng ta có : p 1 (2). Vì lim m 2 2 nên 2m 2 2 x 2 lim H
. Do đó theo định lý virial, ta có : 1 x
. Từ biểu thức của H , ta x 2 2 lại có : x 22 22 1 1
(3). Thay (2), (3) vào (1) ta tìm được : 2 2 2 2 2 E 2 2
Bài 18. Sử dụng định lý virial, tính năng lượng trung bình của dao động tử có thế năng. u ( x ) 4 . 2
Hướng dẫn: Hàm hamilton của dao động tử : H 4 . Do đó, năng lượng 2 trung bình là : 2 E
4 (1). Theo định lý phân bố đều động năng ta có : 2 p2 1 (2). Vì lim kx4 nên lim H . Do đó theo định lý m 2 2 2 x x virial, ta có : 1 x
. Từ biểu thức của H , ta lại có : 1x 1 3 4 4 2 . 2 2 2 2 Từ đó suy ra : 1 x 4 4 2
(3). Thay (2), (3) vào (1) ta tìm được : 2 2 4 E 3 2 4 4
Bài 19. Sử dụng định lý virial, tính năng lượng trung bình của hạt chuyển động trong
trường lực có thế năng U (q )
( n : số tự nhiên, : hằng số dương). 2
Hướng dẫn: Hàm hamilton của hạt : H 2
. Do đó, năng lượng trung 2 bình là : 2 E
2 (1). Theo định lý phân bố đều động năng ta có : 2 p2 1 (2). Vì lim 2 nên lim H . Do đó theo định lý m 2 2 2 q x virial, ta có : 1q
. Từ biểu thức của H , tacó : 1q 1 2 1 2 2 . 2 2 2 2 Từ đó suy ra : 1 q 2 2
(3). Thay (2), (3) vào (1) ta được : 2 2 2 E 1 1 2 2 2
Bài 20. Chứng minh các hệ thức sau : a) F (H
Hướng dẫn : Từ định nghĩa của giá trị trung bình trong phân bố chính tắc, ta có : s F 1 ( 1 s H 1 ](1) i 1
Lấy tích phân từng phần ta có : H H Vì lim H nên lim F . kT e 0 0 . Do đó : qi qi i
(2). Thay (2) vào (1) ta được : s H F 1 1 b) F
Hướng dẫn : Từ định nghĩa của giá trị trung bình trong phân bố chính tắc, ta có : s F 1 ( 1 s H 1 ](1) i 1
Lấy tích phân từng phần ta có : H H Vì lim H nên lim F . kT e 0 0 . Do đó : pi i p i
(2). Thay (2) vào (1) ta được : s H F 1 1
Hướng dẫn Bài tập Vật lý thống kê – thống kê lượng tử .
Bài 1. Khảo sát hệ N dao động tử điều hòa tuyến tính độc lập
a) Tính năng lượng tự do và entropy của N dao động tử điều hoà tuyến tính độc lập.
b) Tính năng lượng trung bình, nhiệt dung của N dao động tử điều hoà tuyến tính độc lập.
Hướng dẫn : Gọi Z là tổng thống kê của hệ, ta có : Z 1 , trong đó Z 1 n 0
là tổng thống kê của một dao động tử. Vì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính là : 1 012 nên, ta có : 2 1 Z 2 2 2 1 1 1 1 2 2 k 2 T n 0 0 1
Từ đó ta nhận được : Z 1 ]N . 2sh(2kT
a) Năng lượng tự do của dao động tử là : F [ s 2 h( 2 kT
Entropy của dao động tử : S 2 2 2 2 2kT hay : S 2 2 2 kT
b) Năng lượng trung bình : N E 2 2 kT Nhiệt dung C V 2 2 2 2 2 k 2 T kT 2
Bài 2. Tính năng lượng trung bình và nhiệt dung của hệ N dao động tử điều hoà hai chiều
độc lập có các mức năng lượng suy biến bội g( .
Hướng dẫn : Gọi Z là tổng thống kê của hệ, ta có : Z , trong đó 1 Z
là tổng thống kê của một dao động tử. Vì phổ năng lượng của dao 1 n 0 động tử đ ề i u hòa hai chiều là : 1 01 có bội suy biến g( 1 nên, ta có : 1 Z 1 2 1
Từ đó ta nhận được : 1 N Z 2 . 1 ] 2 2 2kT n 0 2kT
Năng lượng trung bình của hệ : E 2 2 2 2 2 2 2 k 2 T Hay : E 2 kT Nhiệt dung : C V 2 sh k2T kT 2
Bài 3. Tính tổng thống kê và năng lượng trung bình của dao động tử 3 chiều mà các mức năng lượng suy biến bội g (
Hướng dẫn : Gọi Z là tổng thống kê của hệ, ta có : Z , với là 1 Z1 n 0
tổng thống kê của một dao động tử. Vì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa hai chiều là: 3 0 1 có bội suy biến g( 1 2 nên, ta có : 2 2 3 Z 1 2 2 1 3 Từ đó ta tìm được : 1 3N . 1 Z ] 2 2 2 0 sh( n 2kT k 2 T
Năng lượng trung bình của hệ : E 2 2 3 2 2 2 2 k 2 T Hay : E 3 2 2kT Nhiệt dung : C 3 V 2 2 2 2 2 sh k2T kT 2
Bài 4. Xác định năng lượng trung bình của hạt có các mức năng lượng không suy biến : . n 1 1 n
Hướng dẫn . Tổng thống kê của hạt Z 1 1 . 1 n Năng lương trung bình : E 2 1 2 1 1 n 2 2 2 1 1 1 1
Bài 5. Nếu hạt có spin 1/2 đặt trong từ trường H thì các mức năng lượng của nó tách làm 2 : và
tương ứng với các moment từ - và + song song hay đối song với từ
trường H . Giả sử hệ gồm N hạt như thế được đặt trong từ trường H ở nhiệt độ T . Sử
dụng phân bố chính tắc Gibbs , xác định nội năng, nhiệt dung, moment từ của hệ.
Hướng dẫn : Gọi Z là tổng thống kê của hệ, ta có : Z , trong đó 1 Z 1
là tổng thống kê của một hạt. Vì hạt chỉ có hai mức năng lượng là 1 2 nên : Z 2
. Do đó tổng thống kê của hệ là 1 Z T Năng lượng của hệ : E 2 2 2 2 2 ch kT 2 Nhiệt dung của hệ : C 1 1 V 2 2 2 ch ch kT kT
Moment từ trung bình của hệ : , trong đó
là moment từ trung bình cho một 1
hạt. Mặt khác, xác suất để hạt ở trạng thái với moment từ bằng là ( T W . Z1
Do đó momen từ trung bình của một hạt là : . Vì moment từ của một
hạt chỉ có thể nhân 2 giá trị bằng và nên : 2 ch( ) ch( ) kT kT
Từ đó ta nhận được moment từ trung binh của hệ là :

Tài liệu liên quan: