Phân bố Maxwell-Boltzmann và Entropy | Vật lý thống kê | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Trần Quang Minh - 20230038
VẬT LÝ THÔNG KÊ – BT2 Câu 1:
a. Công thức phân bố của Maxwell-Boltzmann theo thành phần vận tốc là:
Ta có: phân bố Maxwel − Boltzman 3 𝜖 = 2𝑘𝐵𝑇 𝑚𝑣2 𝜖 = 2 1 𝑛 𝑣2 = 2 { 𝑁 ∑ 𝑣𝑖 𝑖
xét phân bố của các phân tử theo từng thành phần vector vận tốc 𝑣: +∞
𝑑𝑁(𝑣𝑥) = 𝑁𝑓(𝑣𝑥)𝑑𝑣𝑥 Chuẩn hóa →
∫ 𝑓(𝑣𝑥)𝑑𝑣𝑥= 1 −∞
𝑓(𝑣𝑥) là hàm phân bố vận tốc theo thành phần 𝑣𝑥: 𝑓(𝑣𝑥) = 𝑓(−𝑣𝑥)
𝑓(𝑣𝑥) đối xứng và là hàm chăn theo chục x, hàm thực dương và hữu hạn nên hàm có thể thỏa điều
kiện trên là hàm Gauss: 𝑓(𝑣 2
𝑥) = 𝐴𝑒−𝑎𝑣𝑥 Chuẩn hóa: ∫+∞ 𝑓(𝑣 +∞ +∞ −∞ 𝑥)𝑑𝑣𝑥= 𝐴 ∫ 𝑒−𝑎𝑣𝑥 2𝑑𝑣 −∞ 𝑥= 1 ⇒ ∫ 𝑒−𝑎𝑣𝑥 2𝑑𝑣 −∞
𝑥= √𝜋 ⟹ 𝐴 = √𝑎 𝑎 𝜋 Sử dụng: +∞ 1 𝜋 +∞ 1 ∫ 𝑣2 2 2 2 𝑥 𝑒−𝑎𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑥=
= ∫ 𝑣𝑥 𝑓(𝑣𝑥)𝑑𝑣𝑥 = −∞ 2 √𝑎3 ⇒ 𝑣𝑥 −∞ 2𝑎 3
𝜖 = 2𝑘𝐵𝑇 2 𝑘𝐵𝑇 1 𝑚
𝑚𝑣2 ⇒ 𝑣𝑥 = 𝑚 = 2𝑎 ⇒ 𝑎 = 2𝑘 { 𝜖 = 𝐵𝑇 2 Nên ta được: 𝑚 1/2 2 𝑓(𝑣 𝑚𝑣𝑥
𝑥)𝑑𝑣𝑥 = ( 2𝜋𝑘 𝑒𝑥𝑝 (− 𝐵𝑇) 2𝑘𝐵𝑇 )𝑑𝑣𝑥
Tương tự cho phân bố 𝑣𝑦,𝑣𝑧.
Xét phân bố vận tốc trong không gian 3D:
𝑑𝑁(𝑣) = 𝑑𝑁(𝑣𝑥, 𝑣𝑦, 𝑣𝑧) = 𝑁𝑓(𝑣𝑥, 𝑣𝑦, 𝑣𝑧)𝑑𝑣𝑥𝑑𝑣𝑦𝑑𝑣𝑧
Từ các tính chất của 𝑓(𝑣), ta có: 𝑓(𝑣𝑥,𝑣𝑦, 𝑣𝑧) = 𝑓(𝑣𝑥)𝑓(𝑣𝑦)𝑓(𝑣𝑧) 𝑚 3/2 𝑚(𝑣2 + 𝑣 2 + 𝑣2) 𝑑𝑁(𝑣 𝑥 𝑦 𝑧
𝑥, 𝑣𝑦, 𝑣𝑧) = ( 2𝜋𝑘 𝑒𝑥𝑝 (− 𝐵𝑇) 2𝑘𝐵𝑇
)𝑑𝑣𝑥𝑑𝑣𝑦𝑑𝑣𝑧
Vậy phân bố Maxwell theo thành phần vận tốc: 𝑚 3/2 𝑚(𝑣2 + 𝑣 2 + 𝑣2) ⇔ 𝑓(𝑣 𝑥 𝑦 𝑧
𝑥, 𝑣𝑦, 𝑣𝑧) = ( 2𝜋𝑘 𝑒𝑥𝑝 (− 𝐵𝑇) 2𝑘𝐵𝑇 )
Vậy phân bố Maxwell-Botlzman theo độ lớn vận tốc:
𝑑𝑁(𝑣) = 𝑁𝑓(𝑣)𝑑𝑉 = 𝑁𝑓(𝑣𝑥, 𝑣𝑦, 𝑣𝑧)4𝜋𝑣2𝑑𝑣 𝑚 3/2 𝑚𝑣2 ⇒ 𝑓(𝑣) = (2𝜋𝑘 𝑒𝑥𝑝 (− 𝐵𝑇) 2𝑘𝐵𝑇 )4𝜋𝑣2
b. Tìm mối liên hệ của entropy và xác suất thông qua phân bố Maxwell-Boltzmann.
Sử dụng công thức Boltzmann: 𝑆 = 𝑘𝐵𝑙𝑛𝛺
(Ω là số trạng thái vi mô có thể có tương ứng với cấu hình vi mô nhất định). Ta có:
Đối với phân bố Maxwell-Boltzmann, xác suất P của một trạng thái nhất định Đối với phân bố
Maxwell-Boltzmann, xác suất P của một trạng thái nhất định phụ thuộc vào năng lượng E 𝑒−𝐸/𝑘𝐵𝑇 𝑃(𝐸) = 𝑍
Sự liên kết giữa entropy và phân bố Maxwell-Boltzmann có thể được biểu diễn như sau:
𝑆 = −𝑘𝐵 ∑𝑃𝑖 ln 𝑃𝑖 𝑖
𝑃𝑖 là xác suất của trạng thái vi m ô thứ i. Câu 2:
a. Không gian pha trong Vật lý thống kê là gì?
Không gian pha là một không gian trừu tượng 2f
chiều. Đối với các hạt phân biệt được, mỗi điểm
trong không gian pha (điểm pha) là một trạng thái
vi mô của hệ. Mỗi hệ có 1 không gian pha riêng.
Đối với các bài toán N hạt trong hệ tọa độ 3 chiều,
không gian pha sẽ có 6N chiều (q1...q3n, p1...p3n)
f =3N (với f là số bậc tự do)
b. Vẽ không gian pha cho hệ cổ đ ể
i n gồm một hạt tự
do chỉ di chuyển trên trục x với động lượng có độ lớn là 𝒑𝒙.
1 hạt giao động tự do với động lượng có độ lớn 𝑃𝑥: 𝑃2
𝐻(𝑞, 𝑝) = 𝑇 = 𝑥2𝑚 = 𝐸
Câu 3: Cho biết công thức entropy Boltzmann: 𝐒 = 𝐤𝐁 𝐥𝐧 𝛀. Xét khí lý tưởng. Khi tăng thể tích
khí lên 2 lần và giữ nguyên số hạt và nhiệt độ của hệ, entropy của hệ sẽ thay đổi thế nào (𝜟𝑺) ?
Khí lý tưởng là khí tự do, không tương tác với nhau. Nên hamiton của chất khí: 𝑛 𝑃 𝐻 = ∑ 𝑖2𝑚𝑖 𝑖=1
Nên không gian pha, với một bề mặt năng lượng là n ữ
h ng đường thẳng ngang song song với trục [q] ta có: S = kB l n Ω
số trạng thái vi mô ban đầu: Ω = ∫[𝑑𝑞1𝑑𝑞2 …𝑑𝑞𝑁]∫[𝑑𝑝1𝑑𝑝2 … 𝑑𝑝𝑁] = 𝑉𝑁 ∫[𝑑𝑝1𝑑𝑝2 … 𝑑𝑝𝑁]
số trạng thái vi mô lúc sau: Ω′ = 𝑉′𝑁 ∫[𝑑𝑝′1𝑑𝑝′2 …𝑑𝑝′𝑁]
Do năng lượng không thay đổi hay cùng xét trên 1 bề mặt năng lượng, vì vậy:
∫[𝑑𝑝1𝑑𝑝2 … 𝑑𝑝𝑁] = ∫[𝑑𝑝1𝑑𝑝2 … 𝑑𝑝𝑁] 𝑑𝑞 = 𝑑𝑞 𝑣ớ𝑖 { 𝑥𝑑𝑞𝑦𝑑𝑞𝑧 𝑑𝑝 = 𝑑𝑝 𝑥𝑑𝑝𝑦𝑑𝑝𝑧 Ω′ 𝑉′𝑁
𝑛ê𝑛 Ω = 𝑉𝑁 = 2𝑁 Ω′
Độ 𝑏𝑖ế𝑛 𝑡ℎ𝑖ê𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑝𝑦: ∆𝜎 = 𝜎′ − 𝜎 = ln ( Ω) = ln 2𝑁 = 𝑁ln2