Chương 2: Tín hiệụ và hệ thống liên tục trong miền thời gian | Lý thuyết môn Toán Trường đại học sư phạm kĩ thuật TP. Hồ Chí Minh

Tín hiệu có thể được biểu diễn như một vecto trong một không gian metric thích hợp được gọi là không gian tín hiệu. Để so sánh hai tín hiệu người ta thường xác định khoảng cách d giữa chúng, đó là mức độ khác nhau giữa hai tín hiệu, nó sẽ bằng không nếu hai tín hiệu hoàn toàn giống nhau. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

18 9 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Toán 1

Trường: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh

Thông tin:

6 trang 1 tháng trước

Tác giả:

Profile Lê Kim Dung
2: Chương Tín hiệu và Hệ thống liên tục trong miền thời gian
www.hcmute.edu.vn 1
CHƯƠNG 2
TÍN HIỆ Ệ THỐNG LIÊN TỤCU VÀ H
TRONG MIỀN THỜI GIAN (p2)
4. PHAÂN TÍCH TÖÔNG QUAN TÍN HIEÄU
4.1. Heä soá töông quan
Tín hieäu coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö moät vectô trong moät khoâng gian metric thích hôïp
ñöôïc goïi laø khoâng gian tín hieäu. Ñeå so saùnh hai tín hieäu ngöôøi ta thöôøng xaùc ñònh
khoaûng caùch d(
),
21
xx
giöõa chuùng, ñoù laø möùc ñoä khaùc nhahu giöõa hai tín hieäu, noù seõ
baèng khoâng neáu hai tín hieäu hoaøn toaøn gioáng nhau. Khoaûng caùch Ôcôlic cuûa hai tín
hieäu
)(
1
tx
vaø
)(
2
tx
, xeùt trong khoaûng thôøi gian T ñöôïc xaùc ñònh theo coâng thöùc:
21
2
2121
)()(),(
÷
÷
ø
ö
÷
÷
ø
ö
ý
T
dttxtxKxxd
Coù theå thaáy raèng, naêng löôïng cuûa tín hieäu trong khoâng gian L (0,T) coù khaùi nieäm töông
2
töï nhö bình phöông khoaûng caùch trong khoâng gian R . Do ñoù
n
),(
21
2
xxd
ñöôïc hieåu laø
naêng löôïng cuûa tín hieäu, ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:
dttxtxtxtxxxdE
y
)()()()(),(
*
2
*
12121
2
ýý
dttxdttxtxdttx
2
2
*
21
2
1
)()()(Re)(
ý
Naêng löôïng cuûa tín hieäu
phuï thuoäc vaøo tích voâ höôùng giöõa
)(
1
tx
vaø
)(
2
tx
, coù yù nghóa
laø khoaûng caùch giöõa hai tín hieäu seõ cöïc ñaïi neáu tích voâ höôùng cuûa noù baèng khoâng
(
)(
1
tx
vaø
)(
2
tx
tröïc giao), vaø cöïc tieåu (baèng khoâng) neáu
)(
1
tx
=
)(
2
tx
.
Ngöôøi ta ñònh nghóa heä soá töông quan giöõa hai tín hieäu
21
, xx
laø tæ soá sau:
),(
),(
)(
)()(
11
21
2
1
21
12
xx
xx
dttx
dttxtx
ýý
(2.39)
Vaø heä soá töông quan giöõa hai tín hieäu
)(
2
tx
vaø
)(
1
tx
:
ø ù
22
12
2
2
*
12
21
,
),(
)(
)()(
xx
xx
dttx
dttxtx
ýý
(2.40)
Taát nhieân caùc tích voâ höôùng treân ñöôïc xaùc ñònh trong khoâng gian
).,0(
2
TL
2: Chương Tín hiệu và Hệ thống liên tục trong miền thời gian
www.hcmute.edu.vn 2
Neáu
0
2112
ýý
thì caùc tín hieäu
21
, xx
laø tröïc giao vaø ta coù naêng löôïng toång cuûa hai
tín hieäu baèng toång naêng löôïng cuûa töøng tín hieäu. Caùc heä soá
12
vaø
21
trong tröôøng hôïp
chung khoâng baèng nhau (
12
21
).
Ngoaøi ra heä soá töông quan chuaån hoùa giöõa hai tín hieäu
21
, xx
coøn ñöôïc ñònh nghóa:
ø ù
),)(,(
),(,
.
2211
1221
2112
xxxx
xxxx
ýý
(2.41)
Coù theå thaáy raèng
laø moät soá thöïc coù giaù trò trong khoaûng
).10(
4.2. Haøm töông quan
Hình 2.21: Söï phuï thuoäc cuûa heä soá töông quan
12
vaøo söï dòch chuyeån cuûa tín hieäu
Heä soá töông quan giöõa hai tín hieäu bieåi thò vò trí cuûa hai tín hieäu trong khoâng gian töông
öùng. Tuy nhieân, khi moät trong hai tín hieäu dòch chuyeån treân thang thôøi gian thì tích voâ
höôùng cuûa chuùng seõ thay ñoåi theo söï dòch chuyeån ñoù.
Neáu ta kí hieäu ñoä dòch chuyeån treân thang thôøi gian laø
, thì tích voâ höôùng giöõa hai tín
hieäu
21
, xx
seõ laø haøm cuûa
. Ñeå tieän lôïi cho vieäc so saùnh tín hieäu trong khoâng gian cuûa
noù ngöôøi ta ñöa ra khaùi nieäm veà haøm töông quan.
4.2.1. Tín hieäu naêng löôïng höõu haïn
Haøm töông quan trong khoâng gian
),0(
2
TL
cuûa tín hieäu naêng löôïng ñöôïc kí hieäu laø
,
noù ñöôïc xaùc ñònh bôûi tích voâ höôùng cuûa hai tín hieäu khi moät trong chuùng dòch chuyeån
treân thang thôøi gian.
dttxtx
ý )()()(
*
2112
(2.42)
dttxtx
ý )()()(
*
1221
(2.43)
2: Chương Tín hiệu và Hệ thống liên tục trong miền thời gian
www.hcmute.edu.vn 3
Caùc haøm
)(),(
2112
coøn ñöôïc goïi laø haøm töông quan cheùo. Coù theå thaáy giaù trò cuûa
chuùng laø dieän tích giôùi haïn döôùi ñoà thò tích cuûa hai tín hieäu.
Ngoaøi ra, coøn coù khaùi nieäm veà haøm töï töông quan cuûa tín hieäu x(t) nhö sau:
dttxtx
xx
)()()(
*
ý
(2.44)
Caùch xaùc ñònh caùc haøm töông quan vaø haøm töï töông quan ñuôïc minh hoïa qua ví duï treân
hình 2.22
-1
1
2
4
t
÷
ø
ö
÷
ø
ö
ý
2
1
4
cos
4
)(
1
t
ttx
4
)()( ttx ý
-1-2
0
1
2 3
1
0 2 3 4-2 -1
1
1
0 2 3 4-2 -1
1
-3
t
t
0ý
3
2
)0( ýý
S
÷
ø
ö
÷
ø
ö
ý
2
)(
2
t
tx
-2
-1
10
2
3
4
1
-1
0
2
3
t
1
-2
-3
1ý
)1( tx
6
1
)1( ýý
S
÷
ø
ö
÷
ø
ö
2
1
2
tx
÷
ø
ö
÷
ø
ö
ý
2
1
12
S
2
3
2
1
t
1
-1-2 0 21 3 4
5
t
)2(
12
ýS
)2(
2
tx
-3 -2 -1 0 1 2 3
3
2
6
1
)(
1
0 2 3 4-2 -1
1
)2(
12
)(
12
2
1
÷
ø
ö
÷
ø
ö
2
1
12
Hình 2.22: Haøm töông quan vaø töï töông quan cuûa tín hieäu naêng löôïng
2: Chương Tín hiệu và Hệ thống liên tục trong miền thời gian
www.hcmute.edu.vn 4
Coù theå thaáy raèng, giaù trò cuûa haøm
)(
12
seõ khoâng thay ñoåi khi
2
x
dòch sang phaûi moät
ñoaïn
vaø ñöùng yeân, hoaëc khi
2
x
ñöùng yeân vaø
1
x
dòch sang traùi moät ñoaïn
.
Do ñoù haøm töông quan (2.42), (2.43) vaø haøm töï töông quan (2.44) coù theå vieát laïi döôùi
daïng:
dttxtx
)()()(
*
2112
2
ý
(2.45)
dttxtx
)()()(
*
1221
ý
(2.46)
dttxtx
xx
)()()(
*
ý
(2.47)
Caùc haøm töông quan cuõng coù theå kí hieäu laø
),(),(
yxxy
vaø haøm töï töông quan laø
)(
xx
.
Caùc tính chaát quan troïng cuûa haøm töông quan vaø haøm töï töông
quan:
Tính chaát 1:
)()(
*
ý
yxxy
(2.55)
Tính chaát 2:
ýý
dtdtytxd
xy
)()()(
*
dttydttxdtdtytx
)()(])()([
**
ýý
(2.56)
Coù theå suy ra töø (2.56) laø dieän tích döôùi ñoà thò cuûa haøm töông quan baèng tích caùc dieän
tích döôùi ñoà thò cuûa moãi tín hieäu.
Tính chaát 3:
)()(
*
ý
xxxx
(2.57)
Haøm töông quan laø haøm Hermit. Vôùi tín hieäu thöïc, haøm töï töông quan laø haøm chaün.
Tính chaát 4:
dttx
2
)()0(
ý
(2.58)
Tính chaát 5:
2: Chương Tín hiệu và Hệ thống liên tục trong miền thời gian
www.hcmute.edu.vn 5
22*
])([])(Re[)()()( dttxIdttxdttxtxd
mxx
ýý
(2.59)
Vôùi tín hieäu thöïc dieän tích döôùi ñoà thò cuûa haøm töï töông quan baèng bình phöông dieän
tích döôùi ñoà thò cuûa tín hieäu.
Tính chaát 6:
Vôùi moïi giaù trò cuûa ta luoân coù:
)0()(
xxxx
(2.60)
4.2.2. Tín hieäu coâng suaát trung bình höõu haïn
a) Tín hieäu tuaàn hoaøn
2
T
L
Haøm töông quan cuûa tín hieäu tuaàn hoaøn ta kí hieäu baèng chöõ
)(
vaø ñöôïc ñònh nghóa
nhö sau:
dttytx
T
dttytx
T
TT
xy
)()(
1
)()(
1
)(
*
00
*
ýý
(2.61a)
dttxty
T
dttxty
T
TT
yx
)()(
1
)()(
1
)(
*
00
*
ýý
(2.61b)
dttxtx
T
dttxtx
T
TT
xx
)()(
1
)()(
1
)(
*
00
*
ýý
(2.61c)
Caùc tính chaát cuûa haøm töông quan vaø töï töông quan cuûa tín hieäu
tuaàn hoaøn.
1
-T t
T
x(t)
0
... ...
1
T
)(
x
0
... ...
Hình 2.23
Tính chaát 1:
)()(
*
ý
yxxy
(2.62)
Tính chaát 2:
*
)( yx
xy
ü
(2.63)
2: Chương Tín hiệu và Hệ thống liên tục trong miền thời gian
www.hcmute.edu.vn 6
Tính chaát 3:
)()(
*
ý
xx
x
(2.64)
Tính chaát 4:
xxx
Px ýý
2
)0(
(2.65)
Tính chaát 5: Neáu tín hieäu x laø thöïc
2
xý
(2.66)
Tính chaát 6:
)0()(
xxxx
(2.67)
b) Tín hieäu khoâng tuaàn hoaøn
Trong khoâng gian cuûa tín hieäu coâng suaát trung bình höõu haïn khoâng coù khaùi nieäm veà tích
voâ höôùng. Tuy nhieân, ñoái vôùi moät soá tín hieäu cuûa khoâng gian naøy, vaãn toàn taïi caùc giôùi
haïn theo ñònh nghóa thoâng thöôøng. Vôùi nhöõng tín hieäu nhö vaäy, ngöôøi ta cuõng coù theå
ñònh nghóa caùc haøm töông quan nhö sau:
ýý
T
T
T
T
TT
xy
dttytx
T
dttytx
T
)()(
2
1
lim)()(
2
1
lim)(
**
(2.68)
ýý
T
T
T
T
TT
yx
dttxty
T
dttxty
T
)()(
2
1
lim)()(
2
1
lim)(
**
(2.69)
ýý
T
T
T
T
TT
xx
dttxtx
T
dttxtx
T
)()(
2
1
lim)()(
2
1
lim)(
**
(2.70)
| 1/6
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


Chương 2: Tín hiệu và Hệ thống liên tục trong miền thời gian CHƯƠNG 2
TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG LIÊN TỤC
TRONG MIỀN THỜI GIAN (p2) 4.
PHAÂN TÍCH TÖÔNG QUAN TÍN HIEÄU 4.1. Heä soá töông quan
Tín hieäu coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö moät vectô trong moät khoâng gian metric thích hôïp
ñöôïc goïi laø khoâng gian tín hieäu. Ñeå so saùnh hai tín hieäu ngöôøi ta thöôøng xaùc ñònh
khoaûng caùch d( x , x ) giöõa chuùng, ñoù laø möùc ñoä khaùc nhahu giöõa hai tín hieäu, noù seõ 1 2
baèng khoâng neáu hai tín hieäu hoaøn toaøn gioáng nhau. Khoaûng caùch Ôcôlic cuûa hai tín
hieäu x ( )t vaø x (t) , xeùt trong khoaûng thôøi gian T ñöôïc xaùc ñònh theo coâng thöùc: 1 2 1 2 ö ö 2
d (x , x ) ý ÷ K x (t )  x (t )  dt 1 2 1 2 ÷ ÷÷ ø T ø
Coù theå thaáy raèng, naêng löôïng cuûa tín hieäu trong khoâng gian L2(0,T) coù khaùi nieäm töông
töï nhö bình phöông khoaûng caùch trong khoâng gian Rn. Do ñoù 2
d ( x , x ) ñöôïc hieåu laø 1 2
naêng löôïng cuûa tín hieäu, ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: 
E ý d 2 (x , x ) ý
x t()  x t() *( ) *  ( )  y 1 2 1 2 x t x t 1 2 dt  2 2    ý x t ( ) dt  Re x t ( )x * t ( )dt x t ( ) dt    1 1 2 2   
Naêng löôïng cuûa tín hieäu E phuï thuoäc vaøo tích voâ höôùng giöõa x (t) vaø x (t ), coù yù nghóa y 1 2
laø khoaûng caùch giöõa hai tín hieäu seõ cöïc ñaïi neáu tích voâ höôùng cuûa noù baèng khoâng
( x ( )t vaø x (t) tröïc giao), vaø cöïc tieåu (baèng khoâng) neáu x ( )t = x (t) . 1 2 1 2
Ngöôøi ta ñònh nghóa heä soá töông quan giöõa hai tín hieäu x , x laø tæ soá sau: 1 2  x t x t dt  1( ) 2( )  ( x x 1 , 2 )  ý ý (2.39) 12  2 ( x , x ) x (t) 1 1 dt  1 
Vaø heä soá töông quan giöõa hai tín hieäu x (t) vaø x ( )t : 2 1  *
x (t )x (t )dt  2 1 (x , x )  2 1  ý ý (2.40) 21  2 øx , x 2 2 ù x (t) dt  2 
Taát nhieân caùc tích voâ höôùng treân ñöôïc xaùc ñònh trong khoâng gian 2 L ( , 0 T ). www.hcmute.edu.vn 1
Chương 2: Tín hiệu và Hệ thống liên tục trong miền thời gian
Neáu  ý  ý 0 thì caùc tín hieäu x , x laø tröïc giao vaø ta coù naêng löôïng toång cuûa hai 12 21 1 2
tín hieäu baèng toång naêng löôïng cuûa töøng tín hieäu. Caùc heä soá  vaø  trong tröôøng hôïp 12 21
chung khoâng baèng nhau (   ). 12 21
Ngoaøi ra heä soá töông quan chuaån hoùa giöõa hai tín hieäu x , x coøn ñöôïc ñònh nghóa: 1 2 øx x x x 1, 2 ù ( 2, 1)  ý  . ý (2.41) 12 21
(x , x )(x , x ) 1 1 2 2
Coù theå thaáy raèng  laø moät soá thöïc coù giaù trò trong khoaûng 0 (    ) 1 . 4.2. Haøm töông quan
Hình 2.21: Söï phuï thuoäc cuûa heä soá töông quan vaøo söï dòch chuyeån cuûa tín hieäu 12
Heä soá töông quan giöõa hai tín hieäu bieåi thò vò trí cuûa hai tín hieäu trong khoâng gian töông
öùng. Tuy nhieân, khi moät trong hai tín hieäu dòch chuyeån treân thang thôøi gian thì tích voâ
höôùng cuûa chuùng seõ thay ñoåi theo söï dòch chuyeån ñoù.
Neáu ta kí hieäu ñoä dòch chuyeån treân thang thôøi gian laø  , thì tích voâ höôùng giöõa hai tín
hieäu x , x seõ laø haøm cuûa  . Ñeå tieän lôïi cho vieäc so saùnh tín hieäu trong khoâng gian cuûa 1 2
noù ngöôøi ta ñöa ra khaùi nieäm veà haøm töông quan. 4.2.1.
Tín hieäu naêng löôïng höõu haïn
Haøm töông quan trong khoâng gian 2 L , 0
( T ) cuûa tín hieäu naêng löôïng ñöôïc kí hieäu laø  ,
noù ñöôïc xaùc ñònh bôûi tích voâ höôùng cuûa hai tín hieäu khi moät trong chuùng dòch chuyeån treân thang thôøi gian. 
 () ý x t()x* t(  d ) t (2.42) 12  1 2  
 ( ) ý x t()x* t(  dt (2.43) 21  ) 2 1  www.hcmute.edu.vn 2
Chương 2: Tín hiệu và Hệ thống liên tục trong miền thời gian
Caùc haøm  (), () coøn ñöôïc goïi laø haøm töông quan cheùo. Coù theå thaáy giaù trò cuûa 12 21
chuùng laø dieän tích giôùi haïn döôùi ñoà thò tích cuûa hai tín hieäu.
Ngoaøi ra, coøn coù khaùi nieäm veà haøm töï töông quan cuûa tín hieäu x(t) nhö sau: 
 () ý x(t) x* (t )dt  (2.44) xx 
Caùch xaùc ñònh caùc haøm töông quan vaø haøm töï töông quan ñuôïc minh hoïa qua ví duï treân hình 2.22    ö t  ö x t t 1 ( ) ý cos  1 ÷ ÷ 4 4 ø 2 ø
x(t) ý (t)  4 t   -1 1 2 4 -2 -1 0 1 2 3 ö t ö  x (t ) ý   ÷ ÷  ý 0 2 1 ø 2 ø 1 2 S ý  ) 0 ( ý 3 t t   -2 -1 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ö 1 ö x ÷ t  ÷  1  2 ö ö  ý 1 ø 2ø S ý  ÷  ÷ 12 ø 2 ø 1 x(t  ) 1 1 S ý  ) 1 ( ý 6  3  -2  -1 0 1 1 2 3 4 t -3 -2 -1 0 1 2 3 t 2 2  S ý  (2)  1 12 x (t  ) 2 2  ( ) 2 3  t 1  6  -2 -1 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 5   (2) ö 1 ö 12  ÷ ÷ 12 1 ø 2 ø  () 12   -2 -1 1 0 2 3 4 1  2
Hình 2.22: Haøm töông quan vaø töï töông quan cuûa tín hieäu naêng löôïng www.hcmute.edu.vn 3
Chương 2: Tín hiệu và Hệ thống liên tục trong miền thời gian
Coù theå thaáy raèng, giaù trò cuûa haøm   seõ khoâng thay ñoåi khi x dòch sang phaûi moät 12 ( ) 2
ñoaïn  vaø ñöùng yeân, hoaëc khi x ñöùng yeân vaø x dòch sang traùi moät ñoaïn  . 2 1
Do ñoù haøm töông quan (2.42), (2.43) vaø haøm töï töông quan (2.44) coù theå vieát laïi döôùi daïng: 
 ( ) ý x t(  )x* t()dt  (2.45) 12 1 22  
 ( ) ý x t(  )x* t()dt  (2.46) 21 2 1    ( ) ý x t (  )x*  t ( )dt  (2.47) xx 
Caùc haøm töông quan cuõng coù theå kí hieäu laø  ( ), ( ), vaø haøm töï töông quan laø xy yx  ( ) . xx
Caùc tính chaát quan troïng cuûa haøm töông quan vaø haøm töï töông quan:  Tính chaát 1: *   ý   ( ) ( ) xy yx (2.55)  Tính chaát 2:     ( )d ý x t ( ) y* t (  )dtd ý  xy       
ý [x(t) y* t
(   )dd ] t ý x t ( )dt y* t ( )dt     (2.56)    
Coù theå suy ra töø (2.56) laø dieän tích döôùi ñoà thò cuûa haøm töông quan baèng tích caùc dieän
tích döôùi ñoà thò cuûa moãi tín hieäu.  Tính chaát 3:  ( ) * ý  (   ) (2.57) xx xx
Haøm töông quan laø haøm Hermit. Vôùi tín hieäu thöïc, haøm töï töông quan laø haøm chaün.  Tính chaát 4: 2   ( ) 0 ý x t ( ) dt  (2.58)   Tính chaát 5: www.hcmute.edu.vn 4
Chương 2: Tín hiệu và Hệ thống liên tục trong miền thời gian      * 2 2
 ( )d ý x(t) x (t)dt ý [ Re x(t)dt]  [ I x(t)dt]      (2.59) xx m     
Vôùi tín hieäu thöïc dieän tích döôùi ñoà thò cuûa haøm töï töông quan baèng bình phöông dieän
tích döôùi ñoà thò cuûa tín hieäu.  Tính chaát 6:
Vôùi moïi giaù trò cuûa ta luoân coù:  ( )  0 ( ) (2.60) xx xx 4.2.2.
Tín hieäu coâng suaát trung bình höõu haïn a) Tín hieäu tuaàn hoaøn 2 L T
Haøm töông quan cuûa tín hieäu tuaàn hoaøn ta kí hieäu baèng chöõ () vaø ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: T T 1 * 1  () ý
x(t) y (t   d ) t ý
x(t   ) y* (t) dt   (2.61a) xy T T 0 0 T T 1 * 1  ( )ý
y(t) x (t  d ) t ý
y(t  )x ( * t)dt   (2.61b) yx T T 0 0 T T 1 * 1  ( ) ý
x(t) x (t  d ) t ý x t (  x ) * t ( d ) t   (2.61c) xx T T 0 0 
Caùc tính chaát cuûa haøm töông quan vaø töï töông quan cuûa tín hieäu tuaàn hoaøn.  x(t) 1 ... ... -T 0 T t   ( ) x 1 ... ... 0 T  Hình 2.23  Tính chaát 1:  ( ) * ý (   ) (2.62) xy yxTính chaát 2: * ü   (2.63) xy ( ) x y www.hcmute.edu.vn 5
Chương 2: Tín hiệu và Hệ thống liên tục trong miền thời gian Tính chaát 3:  ( x  ) * ý (2.64) xx (   ) Tính chaát 4:  (0 ý 2 ) x ý P (2.65) xx x
Tính chaát 5: Neáu tín hieäu x laø thöïc 2  ý x (2.66)  Tính chaát 6:  ( )  0 ( ) (2.67) xx xx b)
Tín hieäu khoâng tuaàn hoaøn
Trong khoâng gian cuûa tín hieäu coâng suaát trung bình höõu haïn khoâng coù khaùi nieäm veà tích
voâ höôùng. Tuy nhieân, ñoái vôùi moät soá tín hieäu cuûa khoâng gian naøy, vaãn toàn taïi caùc giôùi
haïn theo ñònh nghóa thoâng thöôøng. Vôùi nhöõng tín hieäu nhö vaäy, ngöôøi ta cuõng coù theå
ñònh nghóa caùc haøm töông quan nhö sau: T T  () ý 1 1 lim
x( t) y*( t  ) dt ý lim x t (   )y * t ( d ) t (2.68) xy T   T   T 2  T 2 TT T T  ( ) ý 1 1 lim
y( t) x*( t ) dt ý lim y t (   x ) * t ( d ) t (2.69) yx T   T   T 2  T 2 TT T T  ( ) ý 1 1 lim
x( t) x*( t  ) dt ý lim x t (  x ) * t ( d ) t (2.70) xx T   T   T 2  T 2 TT www.hcmute.edu.vn 6