Chương 3 - Mô Hình Input-Output Leontief | Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh

Chương 3: Mô hình input-output Leontief
Phần 1. ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Gv: Phan Ngô Tuấn Anh
Khoa Toán – Thống Kê, UEH
Chương 3. Mô hình input-output Leontief
I. Giới thiệu mô hình
Trong nền kinh tế của một quốc gia, ta xét n ngành kinh tế (điện lực, dầu khí, nông nghiệp, xây
dựng…). Các ngành này có mối quan hệ hữu cơ với nhau: đầu ra (output) của một ngành lại được
những ngành khác sử dụng như là nguyên liệu đầu vào (input).
Chẳng hạn, đầu ra của ngành điện lực là điện năng được các ngành kinh tế khác sử dụng để sản
xuất. Hơn nữa, bản thân ngành điện lực cũng tiêu thụ một phần điện năng do nó tạo ra. Vậy, đầu ra
của một ngành lại là đầu vào của ngành khác và cũng có thể là đầu vào của chính ngành này. Các
ngành kinh tế tạo thành một hệ thống “nuôi sống lẫn nhau”, giống như các bộ phận trong cơ thể con người.
Xét 2 ngành bất kỳ, chẳng hạn ngành i và ngành j. Ta gọi a là giá trị sản lượng của ngành i (tính ij
bằng đơn vị tiền) cung cấp cho ngành j (trong một năm) để ngành j tạo ra sản lượng trị giá 1 đơn vị tiền. aij ngành i  ngành j
Chẳng hạn, a  0.1 cho ta biết, để ngành j tạo ra sản lượng trị giá 1 đơn vị tiền thì ngành i cần cung ij
cấp cho ngành j lượng nguyên liệu trị giá 0.1 đơn vị tiền.
Do ý nghĩa kinh tế nên 0  a  1 (nếu a  1 thì mâu thuẫn với định nghĩa của a ). ij ij ij
Nếu a  0 thì ngành j không sử dụng nguyên liệu do ngành i cung cấp, chẳng hạn ngành xây dựng ij
không sử dụng sản phẩm của ngành nông nghiệp để làm nguyên liệu sản xuất.
Các hệ số a được thành lập như thế nào, ta hãy xem một ví dụ sau. Giả sử trong năm vừa qua: ij
 Tổng sản lượng của ngành j là 3000 (đơn vị tiền)
 Ngành i đã cung cấp cho ngành j lượng nguyên liệu là 200 (đơn vị tiền)
Ta thấy, để ngành j tạo ra sản lượng là 3000 (đơn vị tiền) thì nó đã sử dụng lượng nguyên liệu của
ngành i là 200 (đơn vị tiền). Vậy, để ngành j tạo ra sản lượng là 1 (đơn vị tiền) thì nó cần sử dụng 200
lượng nguyên liệu của ngành i là
 0.067 (đơn vị tiền). Do đó, ta đặt a  0.067 3000 ij
Khi đã có các hệ số a , ta thành lập ma trận hệ số đầu vào (hoặc ma trận Leontief) của n ngành: ij Trang | 1
Chương 3: Mô hình input-output Leontief  a a  a  11 12 1n   a a  a 21 22 2n A           a a  a  n1 n 2 nn nn
Các phần tử trên một cột nào đó của A, chẳng hạn trên cột thứ j , cho ta biết lượng nguyên liệu đầu
vào của ngành j được cung cấp bởi n ngành để ngành j tạo ra sản lượng trị giá 1 đơn vị tiền. ngành j  ngành 1  a1j ngành 2  a2j    ngành n  anj
Tổng các phần tử trên cột j (là a  a a ) là tổng giá trị nguyên liệu đầu vào của ngành j 1j 2 j nj
(được cung cấp bởi n ngành) để ngành j tạo ra sản lượng trị giá 1 đơn vị tiền. Do đó, tổng này không vượt quá 1: a  a a  1 1j 2 j nj
Đây là tính chất quan trọng của ma trận hệ số đầu vào:
Tổng các phần tử trên một cột bất kỳ luôn nhỏ hơn hay bằng 1
Giả sử người tiêu dùng (được gọi là ngành kinh tế mở hoặc đầu cuối) đặt ra yêu cầu đòi hỏi n ngành
phải đáp ứng, cụ thể là n ngành cần cung cấp cho người tiêu dùng lượng sản phẩm là d , d ,, d 1 2 n
(các giá trị yêu cầu này được cho trước).
Bài toán đặt ra cho n ngành là: cần xác định mức sản lượng x , x ,, x của n ngành để đáp ứng 1 2 n
được yêu cầu của người tiêu dùng. Đây chính là dạng rút gọn của mô hình input-output mở Leontief.
II. Thiết lập mô hình
Ý tưởng chính trong cách thành lập hệ phương trình cho bài toán này là, sản lượng của mỗi ngành
sẽ được tách thành 2 phần:
 Phần thứ nhất dùng để cung cấp cho hệ thống nội bộ gồm n ngành (đáp ứng yêu cầu bên trong)
 Phần thứ hai dùng để cung cấp cho ngành kinh tế mở (đáp ứng yêu cầu bên ngoài)
Xét ngành kinh tế thứ i trong hệ thống. Sản lượng của ngành này là x được dùng để: i Trang | 2
Chương 3: Mô hình input-output Leontief
 Cung cấp cho n ngành: để ngành 1, ngành 2,..., ngành n tạo ra sản lượng là x , x ,, x thì 1 2 n
ngành i cần cung cấp lượng nguyên liệu tương ứng cho từng ngành là a x , a x ,, a x . i1 1 i 2 2 in n
Vậy, tổng lượng nguyên liệu mà ngành i cần cung cấp cho hệ thống là: a x  a x a x i1 1 i 2 2 in n
 Cung cấp cho ngành kinh tế mở: d (được cho trước) i
Vậy, ta có phương trình của ngành i là:
x  (a x  a x a x )  d i i1 1 i 2 2 in n i
Cho i  1, 2,, n thì ta có hệ phương trình:
 x  (a x  a x a x )  d 1 11 1 12 2 1n n 1  x
 (a x  a x a x )  d 2 21 1 22 2 2n n 2 ( )      
x  (a x  a x a x )  d  n n1 1 n 2 2 nn n n Đặt  x   d  1 1     x d 2 X    và 2 D              x  d n   n  Hệ phương trình ( )  trở thành: X  AX  D  X  AX  D  (I  A)X  D n
Vậy, ta có phương trình liên hệ giữa X và D: (I  A)X  D n
Trong phương trình cuối (I  A)X  D , nếu ma trận I  A là khả đảo thì phương trình này (chính n n là hệ ( )
 ) sẽ có nghiệp duy nhất: 1 X (I A)   .D n
Mệnh đề. Nếu tổng các phần tử trên một cột bất kỳ của A luôn nhỏ hơn 1 thì ma trận I  A khả đảo n
Như đã nói trong phần giới thiệu, trong ma trận A, tổng các phần tử trên một cột luôn nhỏ hơn hay
bằng 1. Trong mô hình input-output có ngành kinh tế mở thì để các ngành đáp ứng được yêu cầu Trang | 3
Chương 3: Mô hình input-output Leontief
của ngành kinh tế mở, mỗi ngành ngoài việc phải cung cấp đủ nguyên liệu cho hệ thống nội bộ thì
còn phải tạo ra thặng dư để cung cấp cho ngành kinh tế mở.
Vì thế, trong mô hình input-output mở, tổng các phần tử trên một cột bất kỳ luôn nhỏ hơn hẳn 1, và
như thế, theo mệnh đề trên, ma trận I  A khả đảo, hệ phương trình ( )  có nghiệm duy nhất: n 1 X (I A)   .D n Ghi chú:  Mọi phần tử của 1 (I A) 
đều dương và det(I  A)  0 n n  Nghiệm của hệ ( )  luôn dương
 Nếu yêu cầu của ngành kinh tế mở thay đổi (tăng hoặc giảm) một lượng là D  thì sản lượng
của n ngành thay đổi (tăng hoặc giảm) một lượng tương ứng là: 1 X (I A)    D  n
 Suy ra, nếu yêu cầu của ngành kinh tế mở đối với riêng ngành j tăng thêm 1 đơn vị thì mức
tăng sản lượng của n ngành là cột thứ j của ma trận 1 (I A)  n
Thật vậy, nếu yêu cầu của ngành kinh tế mở đối với riêng ngành j tăng thêm 1 đơn vị thì  0       D 
  1  (tọa độ thứ j bằng 1, các tọa độ khác đều bằng 0)       0    Do đó,  0       1 1 X   (I  A) D 
 (I  A) . 1   cột j của 1 (I A)  n n n       0  
Ví dụ: Trong mô hình input-output Leontief gồm 3 ngành kinh tế, cho ma trận hệ số đầu vào:  0.1 0.3 0.2    A  0.4 0.2 0.3    0.2 0.3 0.1  
a) Nêu ý nghĩa của con số 0.4 trong ma trận A
Ta thấy 0.4 là phần tử thuộc dòng 2, cột 1 của A, nghĩa là 0.4  a 21 Trang | 4
Chương 3: Mô hình input-output Leontief
Theo định nghĩa của a thì a
 0.4 cho ta biết, để ngành 1 tạo ra sản lượng trị giá 1 đơn vị tiền thì 21 21
ngành 2 cần cung cấp cho ngành 1 lượng nguyên liệu trị giá 0.4 đơn vị tiền.
Nói cách khác, để ngành 1 tạo ra sản lượng trị giá 1 đơn vị tiền thì nó cần sử dụng lượng nguyên
liệu của ngành 2 trị giá 0.4 đơn vị tiền.
b) Nếu ngành 3 muốn tạo ra sản lượng trị giá là 150 (đơn vị tiền) thì tổng lượng nguyên liệu đầu vào
của ngành 3 là bao nhiêu?
Trong câu hỏi này, ngành 3 là đối tượng nhận, còn đối tượng cho là ngành 1, ngành 2, ngành 3.
 Lượng nguyên liệu của ngành 1 cần cung cấp cho ngành 3 là: a 150  0.2 150  30 13
 Lượng nguyên liệu của ngành 2 cần cung cấp cho ngành 3 là: a 150  0.3150  45 23
 Lượng nguyên liệu của ngành 3 cần cung cấp cho ngành 3 là: a 150  0.1150  15 33
Vậy, tổng lượng nguyên liệu đầu vào của ngành 3 (nhận từ 3 ngành) là: 30  45 15  90 (đơn vị tiền).
c) Nếu 3 ngành muốn tạo ra sản lượng trị giá (120,100,150) thì ngành 1 cần cung cấp cho 3 ngành
lượng nguyên liệu tổng cộng là bao nhiêu?
Trong câu hỏi này, ngành 1 là đối tượng cho, còn đối tượng nhận là ngành 1, ngành 2, ngành 3.
 Lượng nguyên liệu của ngành 1 cần cung cấp cho ngành 1 là: a 120  0.1120  12 11
 Lượng nguyên liệu của ngành 1 cần cung cấp cho ngành 2 là: a 100  0.3100  30 12
 Lượng nguyên liệu của ngành 1 cần cung cấp cho ngành 3 là: a 150  0.2 150  30 13
Vậy, tổng lượng nguyên liệu của ngành 1 cung cấp cho cả 3 ngành là: 12  30  30  72 (đơn vị tiền)
d) Để đáp ứng yêu cầu của ngành kinh tế mở, các ngành tạo ra sản lượng là (100,100,100) . Tìm yêu
cầu của ngành kinh tế mở.  d  1  
Gọi (d , d , d ) là yêu cầu của ngành kinh tế mở đối với 3 ngành và đặt D  d 1 2 3 2    d   3   x  100  1    
Ma trận sản lượng của 3 ngành là X  x  100 2      x  100  3   
Ta có công thức: D  (I  A)X , trong đó 3 Trang | 5
Chương 3: Mô hình input-output Leontief  1 0
0   0.1 0.3 0.2   0.9 0  .3 0  .2        I  A  0 1 0  0.4 0.2 0.3  0  .4 0.8 0  .3 3      
 0 0 1 0.2 0.3 0.1  0.2 0.3 0.9         
  I3 A Vậy,  0.9 0  .3
0.2  100   40        D  (I  A)X  0.  4 0.8 0.3  100  10 3        0.2 0.3 0.9  100   40        
Do đó, yêu cầu của ngành kinh tế mở đối với 3 ngành là d  40, d  10, d  40 (với yêu cầu này 1 2 3
của ngành kinh tế mở thì 3 ngành sẽ tạo ra sản lượng tương ứng là x  100, x  100, x  100 ) 1 2 3
e) Tìm mức sản lượng của 3 ngành khi biết yêu cầu của ngành kinh tế mở đối với 3 ngành là (118,52,96)
Giả thiết cho ta yêu cầu của ngành kinh tế mở đối với 3 ngành là d  118, d  52, d  96 1 2 3
Ta cần tìm mức sản lượng của 3 ngành là (x , x , x ) . Có 2 cách tính: 1 2 3
Cách 1 (ngắn gọn): Gọi (x , x , x ) là sản lượng của 3 ngành thì ta có hệ phương trình 1 2 3
x  (0.1x  0.3x  0.2x ) 118 1 1 2 3  ( )
 x  (0.4x  0.2x  0.3x )  52 2 1 2 3
x  (0.2x  0.3x  0.1x )  96  3 1 2 3
(hệ số của x , x , x ở vế phải có được từ ma trận A) 1 2 3 Chuyển vế:
x  (0.1x  0.3x  0.2x )  118
 0.9x  0.3x  0.2x  118 1 1 2 3 1 2 3  
x  (0.4x  0.2x  0.3x )  52   0.
 4x  0.8x  0.3x  52 2 1 2 3 1 2 3 x (0.2x 0.3x 0.1x ) 96      0.
 2x  0.3x  0.9x  96  3 1 2 3  1 2 3
Ta giải hệ bằng phương pháp Cramer (xem lại phần quy tắc Cramer) Tính các định thức: 0.9 0.3 0.  2 Casio D  0.  4 0.8 0.  3  0.385 0.  2 0.3 0.9 Trang | 6
Chương 3: Mô hình input-output Leontief 118 0.  3 0.  2 Casio D  52 0.8 0.
 3  115.5 (thay cột 1 bởi cột hệ số tự do) 1 96 0.  3 0.9 0.9 118 0.  2 Casio D  0.4 52 0
 .3  123.2 (thay cột 2 bởi cột hệ số tự do) 2 0.2 96 0.9 0.9 0.  3 118 Casio D  0.  4 0.8
52  107.8 (thay cột 3 bởi cột hệ số tự do) 3 0.  2 0.3 96
Sản lượng của 3 ngành là:  D 115.5 1 x    300 1  D 0.385   D 123.2 2 x    320 (đơn vị tiền) 2 D 0.385   D 107.8 3 x    280  3  D 0.385
Cách 2: Dùng công thức 1 X (I A)   .D 3
Gọi (x , x , x ) là sản lượng của 3 ngành, đặt: 1 2 3  x   d  118 1 1       X  x ; D  d  52 2 2        x   d   96   3   3    thì 1 X (I A)   .D 3 Trong đó,  1 0
0   0.1 0.3 0.2   0.9 0  .3 0  .2        I  A  0 1 0  0.4 0.2 0.3  0.4 0.8 0  .3  B 3      
 0 0 1  0.2 0.3 0.1  0.2 0.3 0.9         
   I3 A B 1  1 (I A) B   với 3 T  B B B  11 12 13  1 1   B  B B B 21 22 23 det B    B B B   31 32 33  Trang | 7
Chương 3: Mô hình input-output Leontief 0.9 0  .3 0.  2 Casio det B  0.4 0.8 0.  3  0.385 0.2 0  .3 0.9 0.8 0  .3 1 1 B  ( 1  )  .M   0.63 11 11  0  .3 0.9 1 0  .4 0  .3 12 B  ( 1  ) .M    0.42 12 12  0  .2 0.9 1   0.42 0  .4 0.8 13 B  (1) .M   0.28 13 13  0  .2 0.3 1 0  .3 0  .2 2 1 B  ( 1  )  .M    0.33 21 21  0  .3 0.9 1  0  .33 0.9 0  .2 22 B  (1) .M   0.77 22 22  0  .2 0.9 1 0.9 0  .3 23 B  ( 1  ) .M    0.33 23 23  0  .2 0  .3 1   0  .33 0  .3 0  .2 3 1 B  (1)  .M   0.25 31 31  0.8 0  .3 1 0.9 0  .2 32 B  ( 1  ) .M    0.35 32 32  0  .4 0  .3 1   0  .35 0.9 0  .3 33 B  ( 1  ) .M   0.60 33 33  0.4 0.8 1 Thay vào, ta được: Trang | 8
Chương 3: Mô hình input-output Leontief 1 1 (I  A)  B 3 T  0.63 0.42 0.28 1    0.33 0.77 0.33
(nhớ là có chuyển vị) 0.385    0.25 0.35 0.60    0.63 0.33 0.25  1    0.42 0.77 0.35 0.385    0.28 0.33 0.60  
Vậy, sản lượng của 3 ngành là: 1 X (I A)   .D 3  0.63 0.33 0.25 118 1      0.42 0.77 0.35  52 0.385    
 0.28 0.33 0.60  96      115.5  300  x  300 1 1      
 123.2  320  x  320 2 0.385     107.8  280 x  280      3
(cách này dài, chỉ nên dùng khi đề bài yêu cầu tìm ma trận 1 (I A)  ) 3
Ghi chú: Ta có thể tính 1 (I A)  bằng cách đặt 3  9 3  2     C  10(I  A)  4  8 3  3    2 3 9     
(ma trận C chứa toàn số nguyên nên dễ tính toán) Khi đó,   1 1 1 1  1  1 C  [10(I  A)]  (I  A)  (I  A)  10C 3 3 3 10 Đến đây, ta tìm 1 C theo công thức T  C C C  11 12 13  1 1   C  C C C
(nhớ là có chuyển vị) 21 22 23 det C    C C C   31 32 33  rồi suy ra 1  1 (I  A)  10C 3
Ví dụ: Trong mô hình input-output Leontief gồm 3 ngành kinh tế, cho ma trận hệ số đầu vào: Trang | 9
Chương 3: Mô hình input-output Leontief  0.2 0.2 0.1   A  0.3 0.1 0.2    0.2 0.2 0.3  
Tìm mức sản lượng của 3 ngành khi biết yêu cầu của ngành kinh tế mở đối với 3 ngành là D  (50, 240,90)
Theo giả thiết thì yêu cầu của ngành kinh tế mở đối với 3 ngành là d  50, d  240, d  90 1 2 3
Gọi (x , x , x ) là sản lượng của 3 ngành thì ta có hệ phương trình: 1 2 3
x  (0.2x  0.2x  0.1x )  50 1 1 2 3  ( )
 x  (0.3x  0.1x  0.2x )  240 2 1 2 3
x  (0.2x  0.2x  0.3x )  90  3 1 2 3
(hệ số của x , x , x ở vế phải có được ma trận A) 1 2 3 Chuyển vế:
x  (0.2x  0.2x  0.1x )  50
 0.8x  0.2x  0.1x  50 1 1 2 3 1 2 3  
x  (0.3x  0.1x  0.2x )  240   0.
 3x  0.9x  0.2x  240 2 1 2 3 1 2 3 x (0.2x 0.2x 0.3x ) 90     
0.2x  0.2x  0.7x  90  3 1 2 3  1 2 3
Ta giải hệ bằng phương pháp Cramer (xem lại phần quy tắc Cramer) Tính các định thức: 0.8 0  .2 0.  1 Casio D  0.  3 0.9 0.  2  0.398 0.  2 0.2 0.7 50 0  .2 0  .1 Casio D  240 0.9 0
 .2  79.6 (thay cột 1 bởi cột hệ số tự do) 1 90 0  .2 0.7 0.8 50 0.  1 Casio D  0.  3 240 0.
 2  159.2 (thay cột 2 bởi cột hệ số tự do) 2 0.  2 90 0.7 0.8 0.  2 50 Casio D  0.  3 0.9
240  119.4 (thay cột 3 bởi cột hệ số tự do) 3 0.  2 0.2 90
Sản lượng của 3 ngành là: Trang | 10
Chương 3: Mô hình input-output Leontief  D 79.6 1 x    200 1  D 0.398   D 159.2 2 x    400 (đơn vị tiền) 2 D 0.398   D 119.4 3 x    300  3  D 0.398 BÀI TẬP
Trong mô hình input-output Leontief gồm 3 ngành kinh tế, cho ma trận hệ số đầu vào:  0.1 0.1 0.2    A  0.1 0.2 0.3    0.2 0.3 0.2  
Tìm mức sản lượng của 3 ngành khi biết yêu cầu của ngành kinh tế mở đối với 3 ngành là D  (50, 240,90) HẾT CHƯƠNG 3 Trang | 11