CHƯƠNG I CHƯƠNG IV. VECTƠ
§7. Các khái niệm mở đầu
§8. Tổng và hiệu của hai vectơ
§9. Tích của một vectơ với một số
§10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ
§11. Tích vô hướng của hai vectơ
Bài tập cuối chương 4 C C H H Ư Ư Ơ Ơ N N G G I V.I VECTƠ TOÁN HÌNH HỌC ➉ 11
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1 GÓC GIỮA HAI VECTƠ 2
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 3
BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
3. Tính chất của tích vô hướng • Với ba vectơ
, , bất kì và mọi số thực k, • Chú ý: Từ các tính chất trên, ta có thể ta có: chứng minh được: • . = .
(tính chất giao hoán); • . −
= . − . (tính chất phân
phối đối với phép trừ); • . + = . + . (tính chất phân
phối đối với phép cộng); • + = + . + ; • . = . = . . • − = − . + ; • + . − = − .
Ví dụ 4. ( Ứng dụng của vectơ trong bài toán hình học)
Cho điểm M thay đổi trên đường tròn tâm Do đó + + = và + + = .
O ngoại tiếp tam giác đều ABC cho trước. Vì Chứng minh rằng + + không = = nên đổi. + = + = . Lời giải Vậy = ( − ) + ( − )
Cách 1: (Dùng tọa độ). = ( + ) + ( + ) − −
Xét hệ trục tọa độ có gốc trùng với = 2R − − .
tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam Tương tự = − − và
giác ABC. Gọi tọa độ của các điểm = − − .
là ( ; ) , ( ; ) , ( ; ) , ( ; ) . Do đó + + = =
Vì tam giác ABC đều nên tâm đường − + + − + +
tròn ngoại tiếp ( ; ) đồng thời là = (không đổi).
trọng tâm của tam giác.
Ví dụ 4. ( Ứng dụng của vectơ trong bài toán hình học)
Cho điểm M thay đổi trên đường tròn tâm A
O ngoại tiếp tam giác đều ABC cho trước. M Chứng minh rằng + + không đổi. Hình 4.44 Lời giải R O
Cách 2: (Dùng tích vô hướng). (H.4.44) B C
Vì tam giác ABC đều nên tâm O của
đường tròn ngoại tiếp đồng thời là trọng = + . + . + .
tâm của tam giác. Vậy + + = . + + +
Giả sử (O) có bán kính R. Ta có: = + . + + + + + = + + = + . + = = + + + + + Vậy + + không đổi khi M thay đổi trên (O). Luyện tập 4.
Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), A K
C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác. a) Chứng minh rằng . = và Hình 4.45 . = . B C
b) Tìm tọa độ điểm H. H c) Giải tam giác ABC b) Giả sử ; ta có Lời giải = + ; − , = ; , a) Vì
là trực tâm tam giác nên = − ; + , = − ; − ⊥ Vì
là trực tâm tam giác nên và ⊥ do đó ⊥ và ⊥ suy ra ! ⋅ = ⇔ ! + . + − . = ⋅ = − − − + = ⋅ = và ⋅ = ⇔ ! = = ⇒ ; Luyện tập 4.
Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), A K
C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác. a) Chứng minh rằng . = và Hình 4.45 . = . B C
b) Tìm tọa độ điểm H. H
c) Giải tam giác ABCLời giải = + + − c) = + + − − = $ = = − + + = = = Vận dụng
Một lực % không đổi tác động vào một vật
và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ
A đến B. Lực % được phân tích thành hai
lực thành phần là % và % (% = % + % ). Lời giải
a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, a)Ta có:
hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực %
(đã được đề cập ở trên) bằng tổng của % + % = % + . % . % + %
các công sinh bởi các lực % và % .
= % + . % . % . &'( % , % + %
b) Giả sử các lực thành phần % , % tương = % + . % . % . &'( ° + %
ứng cùng phương, vuông góc với phương
= % + % = % = % ⇒ % + % = %.
chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan
b) Gọi * là góc tạo bởi % và %
hệ giữa các công sinh bởi lực % và lực % . ⇒ % = %. &'( *. BÀI TẬP
4.21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, a) &'( +, , = . . / . =
hãy tính góc giữa hai vectơ + và , . / . /
trong mỗi trường hợp sau: ⇒ +, , = '
a) + = (− ; ), , = ( ; );
b) + = ( ; ), , = ( ; -); b) &'( +, , = . / .- = = / . /-
c) + = (− ; ), , = ( ; − ). ⇒ +, , = -0' Lời giải c) &'( +, , = . . . .
Vận dụng công thức tính góc giữa hai . / . / .
véc tơ &'( +, , = +. , − + . , = = − ⇒ +, , = ' BÀI TẬP
4.22. Tìm điều kiện của , để:
4.23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, a) . = . ;
cho hai điểm ( ; ), ( − -; ). Gọi b) . = − . .
( 1; ) là một điểm thuộc trục hoành. Lời giải a) Tính . theo t.
a) Ta có ⋅ = | | ⋅ | |&'( , do đó b) Tìm t để 2 = .
để ⋅ = | | ⋅ | | thì &'( , = hay Lời giải và cùng hướng. a) Ta có = 1 − ; − ,
b) Ta có ⋅ = | | ⋅ | |&'( , do đó
để ⋅ = −| | ⋅ | | thì &'( , = − = 1 + -; −
hay và ngược hướng. ⇒ . = 1 − 1 + - + . = 1 + 1 − - BÀI TẬP
4.23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,
4.24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,
cho hai điểm ( ; ), ( − -; ). Gọi
cho ba điểm không thẳng hàng
( 1; ) là một điểm thuộc trục hoành. (−-; ), ( ; -), ( ; − ). a) Tính . theo t.
a) Giải tam giác ABC. b) Tìm t để 2 = .
b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC. Lời giải Lời giải b) Để 2 = ° thì ⊥ ⇔ a) . = ⇔ 1 + 1 − - = ⇔ = + - + - − = -0 4 1 =
1 = −-. Vậy với 4 1 = 1 = −- = + - + − − = -0 thì 2 = ° = − + − − - = BÀI TẬP Lời giải b) Giả sử ; ta có = + -; − , = ; − , + − -0 + -0 + &'( = = − ; − - , = − ; . . = . -0. -0
Vì là trực tâm tam giác = nên ! ⋅ = 0 ⇒ 7 ≈ 0 ⋅ = + − -0 + − -0 &'( = . . = . -0. ⇔ ! + - . + − . − = − − + − - = ⇔ 6 = = = ⇒ 7 ≈ 7 = − (0 + ) ≈ ⇒ ; BÀI TẬP
4.25. Chứng minh rằng với mọi tam
4.26. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. giác ABC, ta có:
Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có: + + = : + : + 9 = . − . . : + : . Lời giải Lời giải Ta có 9 = . . (;< = + = + = = + + ⇒ 9 = - . − &'( = : + : + : + : + : + : Hay 9 = . − . = =: + : : + : + : + : + : - . + : = - . − . = =: + > + > + > Vậy 9 = ⋅ − ⋅ III
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 1
Trong mặt phẳng tọa độ, độ dài của + = ; là A . B . C 0. D 0. Bài giải
Áp dụng công thức: Độ dài của vectơ + = + ; + được tính theo
công thức + = + + + . Ta có: + = ; ⇒ + = + = 0. III
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 2
Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm ; và ? -; là A . B . C 0. D 0. Bài giải
Áp dụng công thức: Khoảng cách giữa hai điểm ; và ; được tính theo công thức = − + − . Ta có: ; và ? -; ⇒ ? = - − + − = 0. III
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 3
Trong mặt phẳng tọa độ, góc giữa hai vectơ + = − ; − và , = ; − là A 0°. B -0°. C °. D °. Bài giải
Áp dụng công thức: Nếu + = + ; + và , = , ; , đều khác thì ta có
&'( +; , = +., = + , /+ , . + . , + /+ . , /,
Ta có: &'( +; , = +., = . . / . . = . / = − . + . , . / . . / . 0. Vậy: +; , = 0°. Câu 4 @ Cho hình vuông
A có độ dài cạnh A B BC 2
bằng +. Tính . theo +. C D @ @ Bài giải Ta có . = . . &'( , = +. + . = + . Câu 5 0 0 0 0
Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam A E ; − B E − ; giác có
; , − ; , 0; - . Xác
định tọa độ trực tâm của tam giác . 0 0 C E − ;− D 0 0 E ; Bài giải A Gọi ; . Ta có = − ; − , = ; - , = + ; , = ; . H Vì là trực tâm nên ! . = ⇔ !- + = - . = + = − B C 0 = ⇔ . Vậy 0 ;−0 . 0 = − III
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 6 Cho tam giác vuông tại và . = ; . = . Độ dài cạnh bằng? A . B . C . D 0. Bài giải . − = = Ta có ! . = ⇔ 6 ⇔ 6 . = . − = = ⇒ = + = . III
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 7
Cho 2 vectơ +, , biết |+| = , |,| = và |+ + ,| = . Tính góc giữa 2
vectơ + + , và + − ,. A °. B °. C °. D 0 °. Bài giải
Ta có: • + + , = ⇔ + + -+. , + -, = - ⇒ +. , = − .
• + + , . + − , = + − +. , − , = . • + + , = + + +. , + , = ⇒ |+ + ,| = .
• + − , = + − -+. , + -, = ⇒ |+ − ,| = .
Mà: &'( + + ,, + − , = +/, . +. , =
= . Nên góc giữa 2 vectơ + + , và + − , bằng |+/,|.|+. ,| . °. Câu 8 Cho hình thang cân A biết đáy lớn A @ B 0@ A = +, = + và = + . Gọi là
hình chiếu vuông góc của lên cạnh A. C −@ D −0@ Tính . + A . Bài giải + Có A = A. A = + ⇒
A là hình bình hành và = + Có: . + A = . + . A = − . + + A + = − . + A = + − +. +. &'( + + = + A III
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 9
Cho ba điểm ( ; -), ( ; ) và (− ; − ). Tìm điểm trên đường thẳng
để góc 2 = -0 . A = 0; - . B = ; . C = −0; - . D = ;− . Bài giải Giả sử ; suy ra − ; - − , − ; − , − ; −
Vì 2 = -0 suy ra &'( 2 = &'( ; ⇔ &'( - 0 = . ⇔ = . . . -. . . / -. / ⇔ − + - − = + − $ (*)
Mặt khác M thuộc đường thẳng BC nên hai vectơ ,
cùng phương. Suy ra . = . ⇔ = + thế vào (*) ta . . được − + - − = − ⇔ − + = ⇔ = hoặc = -
+ Với = ⇒ = , ta có ; ,
− ; − ⇒ &'( 2 = &'( ; = − Khi đó 2 = 0 (không thỏa mãn)
+ Với = - ⇒ = 0, − ; ,
− ; − ⇒ &'( 2 = &'( ;
= . Khi đó 2 = -0 . Vậy 0; - là điểm cần tìm. Câu 10 Cho điểm ; . Lấy điểm 0 0 0 0
nằm trên trục hoành có hoành độ không A E ; − B E − ;
âm và điểm trên trục tung có tung độ
dương sao cho tam giác vuông tại . 0 0
Tìm toạ độ điểm để tam giác có C E − ;− D 0 0 D E ;
diện tích lớn nhất. Bài giải Gọi ,; ,
; & với , G , & H . Suy ra , − ; − , − ; & −
Theo giả thiết ta có tam giác vuông tại nên . = ⇔ , − − − . & − = ⇔ & = − , + 0 Ta có 9I = . = (, − ) + .
+ (& − ) = (, − ) + = , − -, + 0
Vì & H nên − , + 0 H ⇒ J , K 0. Xét hàm số = − - + 0 với J K 0 Bảng biến thiên
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số =
− - + 0 với J K 0 là = 0 khi = . Do đó diện tích tam giác
lớn nhất khi và chỉ khi , = , suy ra & = 0. Vậy
; 0 là điểm cần tìm.