u môn hGiơí thiệ c : Gi i tích 1
Tài li u tham kh o :
- Toán cao c p ( ch biên Nguy ễn Đình Trí )
- Gii tích ( Thái Xuân Tiên ng Ng c D c ) Đặ
- Bài t p toán cao c ấp ( ĐHBK ĐN )
Chương I : Hàm số - gii hn liên t c
Chương II : Đạo hàm và vi phân
Chương III : Tích phân
Chương IV : Hàm nhiều biến
Chương V : Hình vi phân
-------------------------------------
CHƯƠNG I : HÀM SỐ - GII HN LIÊN TC
BÀI I : HÀM S :
I) B sung v s ph c :
1) Dạng đại s ca s phc:
1.1) S o : là s I có i
2
= -1.
1.2) S ph c d ạng đại s : z = a+bi , v i a,b là s th c.
Trong đó a gọi là ph n th c , b là ph n o . T p h p các
s ph c ký hi u là C. Ta có m i s th u là sực đề phc .
Ví d : Phương trình bậc 2
2 2
1 0 3 3x x i
trong t p C
có 2 nghi m ph c
1 2
1 3 1 3
,
2 2 2 2
x i x i
.
1.3) S ph c liên h p c a z = a+bi là
z
= a-bi.
1.4) S ph c b ng nhau : z = a+bi , t = c+di ta có
z = t khi và ch khi a = c , b = d
1.5) Các phép toán s ph i d i s : ức dướ ạng đạ
a) Tng 2 s phc :
Định lý : Cho 2 s ph c z = a+bi , t = c+di thì
z + t = (a+c)+(b+d)i.
Tính ch t : Cho 3 s ph c z , t , r thì
- Tính giao hoán : z+t = t+z.
- Tính k t h p : (z+t)+r = z+(t+r). ế
- z+0 = z v i 0 = 0+0i.
- z+(-z) = 0 v i z = -a bi là s ph i cức đố a z.
b) Tích 2 s ph c :
Định lý : Cho z = a+bi và t = c+di thì :
z.t = (ac-bd)+(ad+bc)i.
* Tính ch t : Cho 3 s ph c z , t , r thì :
- Tính giao hoán : z.t = t.z.
- Tính k t h p : (z.t).r = z.(t.r) ế
- z.1 = z v i 1 = 1 + 0i.
- S ph o c ức đả a z là
1 1
. 1Z sao cho z z
-
2 2
. .z z a b
c) Thương 2 số ph c :
* nh lý : Cho z = a+bi và t = c+di thì : Đị
2 2 2 2
( )( )
, 0
( )( )
z a bi a bi c di ac bd bc ad
i t
t c di c di c di c d c d
2) Dạng lượng giác c a s ph c : b M(a,b)
o a x
2.1) Định nghĩa :Mi s ph ức z = a +bi tương ứng 1-1 vi
điểm M(a,b) trong m t ph ng .G i
. Ta
có :
2 2
cos , sin , tan (cos sin )
b
a r b r r a b z r i
a
g i là
dạng lượng giác c a s ph ức z , trong đó r là modun và
là acgumen c a z Ký hi u
, ( )r z acg z
2.2) S ph c b ng nhau d ng giác : Cho ạng lượ
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
(cos sin ) (cos sin ) 2z r i z r i thì z z r r k
Ví d :
1 3
1.tan 3 cos sin
2 2 3 3 3
z i r z i
.
2.3) Các phép toán s ph c d ng lượng giác:
a) Phép nhân: Cho 2 s phc dạng lượng giác sau :
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(cos sin ) (cos sin ) . [cos( ) sin( sin )]z r i z r i thì z z r r i i
b) Phép chia :
1 1
1 2 1 2 2
2 2
[cos( ) sin( )], 0.
z r
i z
z r
c) Phép lũy thừa :
(cos sin ) [cos( ) sin( )]
n n
z r i thì z r n i n
.
d) Căn bâc n :
2 2
(cos sin ) [cos sin ] , 0,1,2,..., 1
n n
k k
z r i thì z r i k n
n n
e) Công th c Euler :
cos sin
ix
e x i x
.
Ví d :
2
1 2 1 2
1
3
3
3
1 2
2
3(cos sin ), 2(cos sin ) 6(cos sin ), (cos sin )
6 6 3 3 2 2 3 6 6
/ 3 2 / 3 2
27(cos sin ) , 2(cos sin ), 0,1, 2
2 2 2 3
z
z i z i z z i i
z
k k
z i z i k
II) CÁC KHÁI NI M V HÀM S :
1) ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ : Cho X ,Y CR . Mt hàm s t X vào Y
là m t quy t c ng v i m i ph n t x thuôc X ta có ph n t duy
nh ut y thuc Y . Ký hi :
f : X------------ Y ho c X------ f------ Y
x I--------- y =f(x) x I----------- y = f(x)
Để đơn giản ta thường viết hàm s là y = f(x).
2) Miền xác định ( MXĐ) của hàm s : là tp hp D gm các phn t
x thu cho hàm s : ộc X để có nghĩa . Ví dụ
a) y = 3x + 5 có MXĐ là D = R
b) y =
3 3x MXÐ x
3) Các đặc tính ca hàm s :
3.1) Hàm b ch n :
a) Hàm b ch n trên : Hàm y = f(x) g i là b ch n trên trong t p
D n u t n t i s M sao cho ế
( ) ,f x M x D
b) Hàm b ch i : Hàm y = f(x) g i là b ch i trong ặn dướ ặn dướ
tp D n u t n t i s m sao cho ế
( ) , .f x m x D
c) Hàm s v a b ch n trên v a b ch i ta g i chung là ặn dướ
hàm b ch n
Ví d : hàm y = sinx , y = cosx b ch n trên R.
( 1 sin ,cos 1 , )Vì x x x R
3.2) Hàm đơn điệu :
a) Hàm đơn điệu tăng ( đồ ọi là đơn ng biến ) : Hàm y = f(x) g
điệu tăng trong tập D nếu
1 2 1 2 1 2
, ( ) ( )x x D x x f x f x
b) Hàm đơn điệ ọi là đơn u gim ( nghch biến ) : hàm y = f(x) g
điệu gim trong tp D nếu
2 1 2 1 2
, ( ) ( ).
x
x x D x x f x f x
c) Hàm s c luôn gi m trong t p D ta g luôn tăng hoặ ọi là hàm đơn
điệu tăng hoặc đơn điệu gim trong D.
3.3) Hàm ch n , l :
a) Hàm ch n : Hàm y = f(x) g i là ch n trong t i x ng D ập đố
nếu :
, ( ) ( )x x D f x f x
( đồ ẳn đố th hàm ch i xng qua trc
tung )
b) Hàm l : Hàm y = f(x) g i là l trong t i x ng D n u : ập đố ế
, ( ) ( )x x D f x f x
( đồ ọa độ th hàm l đối xng qua gc t
)
Ví d : Hàm y = cosx là hàm ch n trên R ( cos(-x) = cosx
Hàm y = sinx , tanx , cotx là các hàm l ( sin(-x) = -sinx,
tan(-x) = - tanx, cot(-x) = -cotx.
3.4) Hàm tu n hoàn : Hàm y = f(x) g i là tu n hoàn n u : ế
, ( ) ( )x x L D f x L f x
. S nh t trong các s L dương T nhỏ
trên g i là chu k c a hàm tu n hoàn.
Ví d : Hàm y = sinx , y = cosx tu n hoàn chu k T =
2 .
Hàm y = tanx , y = tu n hoàn chu k T =
4) Các phép toán trên hàm s : ( tham kh o SGK ).
III) Hàm h c : ợp và hàm ngượ
1) Hàm H p : Cho 2 hàm s f và g sau : X ----f-- Y ---g- Z
xI----- z=g[f(x)] y=f(x)-----
Hàm h : X--------Z
xI------ z = h(x ) g i là hàm h p c a f và g . Ký hi u
h =
0
g f
(đọc là g rông f ) . Ta có h(x) =
0
( ) [ ( )]g f x g f x
.
Ví d
2 2
0
( ) 2 1 , ( ) 2 ( ) [ ( )] (2 1) (2 1) 2f x x g x x g f x g f x g x x
2) Hàm ngược : Cho hàm s f : X------- Y
xI----- y = f(x)
là phép tương ứng 1-1 (song ánh)
Hàm ngược ca f là hàm s f
1
: YI-------X
yI------ x = f
1
(y)
Ta có quan h y = f(x)
1
( )x f y
.( Đồ th 2 hàm ngược nhau đối
xứng qua đường y = x ).
IV) Mt s hàm sơ cấp cơ bản :
1) Hàm lũy thừa :
, .y x R
MXĐ tùy thuộc vào
. Ch ng h n :
1
2 2
2
: , : 0, : 0.y x MXÐD R y x MXÐ x y x x MXÐ x
Đồ th đi qua điểm I(1,1) và O(0,0) v i
o
.
2) Hàm mũ :
, 0, 1.
x
y a a a
( a g ). ọi là cơ s
MXĐ D = R
Đồ th hàm s nm phía trên tr m I(0,1): ục hoành , đi qua điể
Khi a > 1 hàm s luôn gi m luôn tăng , khi 0 < a < 1 hàm số
Hình D Th : ạng Đồ
1 x 1 x
a>1 (Hinh d th ) 0 < a < 1 ạng đồ
Tính ch t ( tham kh o SGK )
3) Hàm logarit :
log , 0, 1.
a
y x a a
là hàm ngượ ủa hàm mũ c c
log
y
a
y x x a
.
MXĐ
0x
Đồ th nm bên phi tr m J(1,0) ục tung , đi qua điể
Khi a > 1 hàm s khi 0 < a < 1 hàm s luôn gi luôn tăng, m.
0 1 x o 1 x
a > 1 ( D th ) 0 < a < 1 ạng đồ
Các tính ch t ( tham kh o SGK ).
Đặc bit
10
log lg , log ln
e
x x x x
( logarit th p phân và logarit nepe
)
4) Các hàm lượng giác :
a) y =sinx : ,b ch n ( MXĐ D = R . Là hàm lẽ
1 sin 1x
) , đi
qua O(0,0), tu n hoàn chu k T =
2
b) y = cosx : MXĐ D = R , là hàm chẳn , b chn (
1 cos 1x
) ,
đi qua I(0,1) , tuần hoàn chu k T =
2
c) y = tanx =
sin
: ( )
cos 2
x
MXÐ x k k Z
x
, là hàm l , không b ch n ,
tun hoàn chu k T =
d) y = cotx =
, là hàm l , không b ch n , tu n
hoàn chu k T =
.
5) Các hàm lượng giác ngược :
a) y c c a y = sinx v i = arcsinx : là hàm ngượ
[ , ], arcsin sin
2 2
x y x x y
Là hàm l , b ch n , không tu n hoàn.
b) y = arccosx : là hàm ngược ca y = cosx vi
[0, ], arccos cosx y x x y
Là hàm không ch n , l , b ch n , không tu n hoàn.
c) y= arctanx : là hàm ngược ca y = tanx vi
( , ): arctan tan
2 2
x y x x y
Là hàm l , b ch n , không tu n hoàn.
d) y = arccotx : là hàm ngược ca y = cotx vi
(0, ): arccot cotx y x x y
Là hàm không ch n , l , b ch n , không tu n hoàn
( Ta có :
arcsin arccos ,arctan arccot
2 2
x x x x
).
Chú thích : Các hàm sơ cấp là các phép toán trên các hàm sơ
cấp cơ bản.
BÀI T P :
1) Tìm MXĐ của các hàm s sau :
a) y =
2 2
4 lg( 9)x x x
Hàm s nh khi xác đị
2
2
4 0 0 4
3 4 (3,4]
3 3
9 0
x x x
x MXÐ D
x Ux
x
b) y =
3 2
3 arcsin
5
x
x
Hàm s nh khi xác đị
3 0
3
1 3 [ 1,3]
3 2
1 4
1 1
5
x
x
x MXÐ D
x
x
2) Xét tính ch n , l c a các hàm sau :
a) f(x) =
1
1
x
x
a
x
a
MXĐ D =R ( tập đối xng )
1 1
( ) ( ), ,
1 1
x x
x x
a a
f x x x f x x x D
a a
V y f(x) là hàm ch n trên D = R
b) f(x) =
2
ln( 1 )x x
MXĐ D = R ( tập đối xng)
2 2
2
1
( ) ln( ( ) 1) ln ln( 1) ( )
1
f x x x x x f x
x x
Vy f(x) là hàm l trên D = R
BÀI 2 : GI I H N HÀM S
I) Các định nghĩa về gii hn hàm s
Lân c n c m trên 1 tr ủa 1 điể c : (---------x
0
---------)
0
x
0
x
a) Lân c n t i 1 m x điể
0 0 0 0
: ( ) ( , ). , 0U x x x
khá bé
b) Lân c n bên trái t i x
0 0 0 0
: ( 0) ( , )U x x x
,
0
khá bé
c) Lân c n bên ph i t i x
0
:
0 0 0
( 0) ( , )U x x x
,
0
khá bé
1) Gii h n hàm s ti 1 điểm : Cho hàm y = f(x) xác
đị nh trong lân c n c a x
0
. Ta nói L là gi i h n c a
hàm s khi x ti n v x ế
0
nếu vi mi
0
cho trước ,
tn t i
0
ph thuc
sao cho :
0
0 ( )x x f x L
. Ký hiu
0
0
( ) ( )
lim
x x
x x
f x L hay f x L
Ta có th mô t i ngôn ng toán h dướ ọc như sau :
2) Gii h n m t phía :
a) Gii h n bên trái : x ti n v ế
0
x
bên trái
0
0 0
0
lim ( ) ( 0, ( ) 0: ( ) )
x x
f x L x x x f x L
b) Gii h n bên ph i: x ti n v ế
0
x
bên ph i
0
0 0
0
lim ( ) ( 0, ( ) 0: ( ) )
x x
f x L x x x f x L
Ta còn vi t ế
0 0 0 0
0 0x x x x x x x x
c) Đị nh Lý : Hàm s có gi i hn ti x
0
khi và ch khi
nó có gi i h n bên trái và ph i t các gi i ại đó và
hạn đó bằng nhau(
0 0
0
0
0
lim ( ) lim ( ) ( ) )
x x x x
x x
f x L f x lim f x L
3) Gii h n vô t n:
a)
0
0
lim ( ) ( 0, ( ) 0:0 ( ) )
x x
f x M M x x f x M
b)
lim ( ) ( 0, ( ) 0: ( ) )
x
f x L A x A f x L

c)
lim ( ) ( 0, ( ) 0: ( ) )
x
f x M A M x A f x M

II) Các tính cht v gi i hn :
1)Tính ch t 1:
0
lim
x x
C C
( C là h ng s )
2)Tính ch t 2:
0
lim ( )
x x
f x L
thì L là duy nh t.
3)Tính ch t 3:
0
lim ( )
x x
f x L
. N u L > 0 ( ho c L < 0 ) thì ế
f(x) > 0 (ho c f(x) < 0 ) ,
0 0
( ),x U x x x
.
4)Tính ch t 4: N u f(x) > 0 ( ho c f(x) < 0 ) ế
0 0
( ), 0( 0).x U x x x L hay L
5)Tính ch t 5:
0 0
1 2
lim ( ) , lim ( )
x x x x
f x L g x L
. N u ế
1 2 0 0
( ) ( ), ( ),L L f x g x x U x x x
6)Tính ch t 6:
0 0
lim ( ) lim ( ) .
x x x x
f x L f x L
7)Tính ch t 7: N u ế
0
lim ( )
x x
f x L
( L h u h n) thì f(x) b
chn trong lân c n c a x
0
.
III) Các phép toán v gi i h n:
1)
0 0 0
lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ).
x x x x x x
f x g x f x g x
2)
0 0 0
lim[ ( ). ( )] lim ( ).lim ( ).
x x x x x x
f x g x f x g x
3)
0 0 0
( )
lim lim ( ) / lim ( )
( )
x x x x x x
f x
f x g x
g x
.
4) Nếu
0 0 0
0
lim ( ) , lim ( ) lim [ ( )] .
x x u u x x
u x u f u L f u x L
5) Nếu f(x) là hàm sơ cấp thì
0
0
lim ( ) ( ).
x x
f x f x
IV)Các tiêu chu n t n t i gi i h n c a hàm s :
1.Tiêu chu n 1: N u f(x) g(x)và h nh ế (x) cùng xác đị
trong U(x
0
)
sao cho :
0 0
0
0 0
( ) ( ) ( ), ( ), lim ( ) lim ( )
lim ( ) .
x x x x
x x
f x h x g x x U x x x saocho f x g x L
h x L
Áp d ng : Ta có
sin
cos 1 (0, )
2
x
x x
x
0 0 0
sin
limcos lim1 1 lim 1
x x x
x
x
x
H qu :
0
tan
lim 1
x
x
x
Ví d : a)
0 0
tan5 tan5 3 5 5
. .
sin3 5 sin3 3 3
x x
x x x
Lim Lim
x x x
b)
0 0
tan3
3 5
tan3 5 2
3
lim lim
sin 2
sin 2 3 5
2 3
2
x x
x
x x
x
x
x x
x
2) Tiêu chu n 2 : N u f(x) là hàm không gi m và b ch n ế
trên v i m i x>0 khá l n thi t n t i
lim ( )
x
f x L

.
* Áp d ng :
1
0
1
lim(1 ) , lim(1 ) 2,718
x
x
x x
e x e
x

* H qu :
1
( )
( )
( ) 0
( )
[1 ] , lim [1 ( )] .
( )
u x a au x
u xu x
a
Lim e au x e
u x

Ví d : 1)
3 1
3 3
sin sin
0 0
lim(1 sin ) lim[1 sin ) ]
x x
x x
x x e
3sin 3sin
( )
3
sin sin
0 0
sin sin
2)lim( ) lim(1 )
x x x
x x x x x
x x
x x x
e
x x
1
1
1
3 2 62(3 2)
6
2
3 4 6 1
3)lim( ) lim[(1 ) ] ( )
3 2 3 2
x
x
x
x
x
x
x
e
x x e


Bài III) VÔ CÙNG BÉ VÀ VÔ CÙNG L N
I) Vô cùng bé ( VCB :
1) Định nghĩa : Hàm
( )x
được g i là VCB khi
0
0
lim ( ) 0
x x
x x x
Ví d :
( ) sinx x
là VCB khi x 0 ,
1
( )x VCBkhi x
x
2) Liên h gi a VCB và gi i h n hàm s :
* Định lý:
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x L f x LVCBkhi x x
3) Các: tính ch t c a VCB :
a) Tính ch t 1) N u ế
( ) ( )x và x
là các VCB khi x
0
,x C
hng s
thì
0
( ), ( ). ( ), ( ). ( )C x x x x x làVCBkhi x x
b) Tính ch t 2) N u ế
0
( ) ( )x VCBkhi x x f x
b ch n trong lân c n
ca x
0 0
( ). ( )thì x f x VCB khi x x
.
Ví d :
sin sin
( ). ( ) lim 0
x
x x
x f x làVCBkhi x
x x

(vì
1
( ) , ( ) sinx VCB khi x f x x
x
b ch n trên R ) tương tự
cos
lim 0
x
x
x

4)So sánh các VCB : Cho
0
( ), ( ) 2x x VCBkhi x x
khi đó:
a) Nếu
0
( )
lim 0 ( )
( )
x x
x
thì x VCB
x
bậc cao hơn
( )x
( hoăc
( )x
là VCB
bc thấp hơn
0
( ))x khi x x
.
b) Nếu
0
( )
lim ( 0, )
( )
x x
x
L L L
x
ta nói chúng là các VCB ngang c p ( cùng
bậc) trong quá trình đó. Đặc bit nếu
0
( )
lim 1 ( ) ( ) 2
( )
x x
x
thì x x VCB
x
tương đương trong quá trình đó . Ký hiệu :
0
( )x i x x
c) N ếu
0
( )
lim ( 0, , 0)
[ ( )]
k
x x
x
L L L k
x
ta nói
( )x làVCB
bc k so v i
0
( )x khi x x
.
Mt s ng g p khi x VCB tương đương thườ
0 sau :
sin
x
2
1 cos 0
2
x
x x
5)Quy t c ng t b VCB b c cao và s d ụng VCB tương
đương:
a) Ngt b VCB bc cao : N u ế
0
0
0
( ) ( ) lim[ ( ) ( )] ( )
x x
x x
x VCB bâccaohon x khi x x thì x x Lim x
.
Ví d :
3 2
2
0 0
3 4 2 2
lim lim 0,5
3 4 4
x x
x x x x
x x x
b) S d : N u ụng VCB tương đương ế
0 0
0 1 1
( ) lim[ ( ). ( )] lim[ ( ). ( )]
x x x x
x i x x thì x x x x
0
1
1
( )( )
lim lim
( ) ( )
x x x x
xx
x x
c) Ví d :
1)
2 2
2 2
0 0
2
ln(1 )
lim lim ,( 0)
sin 3 (3 ) 9
( ln(1 ) )
x x
ax ax a
a
x x
ax
2)
2
2 2
0 0
1 cos( cos2 ) ( cos2 ) 1
lim lim
3 2.3 6
x x
x x x x
x x
3)
2
2
2 2
0 0 0
2 1 cos 1 cos 1
lim lim lim
tan
( 2 1 cos )tan 2.2 2 4 2
x x x
x x x
x
x x x
4)
2 2
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0 0
cos3 1 1 cos3 2 (3 ) 2 3 13
lim lim lim lim lim
tan2 tan 2 tan3 3 2.3 3 2 6
x x
x x x x x
e x e x x x
x x x x x x x x
II) Vô cùng l n ( VCL )
1) Định nghĩa : Hàm f(x) đượ c gi là VCL khi
0
0
lim ( )
x x
x x nêu f x
2)Quan h gi a VCL và VCB:
f(x) là VCL khi
0 0
1
.
( )
x x làVCB khi x x
f x
3) Tính ch t VCL:
3.1) Tính ch t 1:N u f(x) và g(x) là 2 VCL khi x ế
0
x
. Thì :
a) Cf(x) , f(x).g(x) cũng là các VCL trong quá trình trên , C
khác 0.
b) f(x)+g(x) là VCL n u f(x) , g(x) cùng d ấu trong quá trình đó
c) f(x)-g(x)-----------------------------khác d u----------------------
3.2) Tính ch t 2: N u f(x) là VCL khi ế
0
x x
và g(x) b ch n
trong lân c n x
0
thì f(x)+g(x) là VCL trong quá trình đó.
4) So sánh các VCL: Cho f(x) và g(x) là 2 VCL khi x
0
x
. Khi
đó:
a) N u ế
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
, ta nói f(x) là VCL b c ậc cao hơn g(x) ( hoặ
g(x) là VCL b c th ấp hơn f(x) ) trong quá trình đó.
b) N u ế
0
( )
lim ( 0, )
( )
x x
f x
L L L
g x
, ta nói f(x) và g(x) là 2 VCL ngang
cp ( cùng b ậc ) trong quá trình đó.
c) N u ế
0
( )
lim ( 0, , 0)
[ ( )]
k
x x
f x
L L k
g x
, ta nói f(x) là VCL b c k so v i
g(x) trong quá trình đó.
5) Quy t c ng t b VCL b c th p : Cho g(x) là VCL b c th p
hơn f(x) khi
0 0
0
lim[ ( ) ( )] lim ( )
x x x x
x x thì f x g x f x
Ví d :
3 2 3
3 3
5 2 3 5 5
lim lim
4 3 4 4
x x
x x x
x x x
 
III)Mt s d nh cạng vô đị a gii hn:
1) Dng
0
,
0
: Để kh dạng vô định này ta có các phương
pháp sau:
Áp d ng bi rút g n bi u th c ến đổi sơ cấp để
S d ụng VCB tương đương.
S dng quy t ắc Lopital ( Chươn II )
2) Dang 0.
: S d ng bi p chuy n v d ng 1) ến đổi sơ cấ
3) Dang
1
: Áp d ng các công th c tiêu chu n 2 c a gi i
hn.
4) Dng
0 0
0 ,0 ,
: Thường gp dng I =
0 0 0
( ) ( )
ln[ ( )] 0
lim[ ( )] , ln lim ln[ ( )] lim ( , )
1
0
( )
v x v x A
x x x x x x
u x
u x ta I u x A I e
v x
Các ví d :
1) I =
0 0
1 1 0 2 1
lim ( ) lim
3 0 3
3 ( 1 1 )
x x
x x x
x
x x x
2) I =
0 0 0
2sin (sin cos )
1 sin cos 1 cos sin 0
2 2 2
lim lim ( ) lim 1
1 sin cos 1 cos sin 0
2sin (sin cos )
2 2 2
x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x
3) I =
2
0 0 0
1 1 1 cos
lim( )( ) lim lim 0
sin tan sin 2
x x x
x x
x x x x
4) I =
0 0
2
cos
lim( )tan (0. ) lim tan( ) lim 1
2 2 sin
u u
x
u u
x x u u
u
5) I=
2
2
1
1 tan
2 2
tan
2 2
0 0
lim(1 tan ) (1 ) lim[(1 tan ) ]
x
xx x
x x
x x e
6) I =
1 1 )
lim (sin 1 sin ) lim 2cos( )sin( 0
2 2
x x
x x x x
x x
 
III) HÀM LIÊN T N ỤC VÀ GIÁN ĐOẠ
1) Hàm liên t c:
1.1) Các định nghĩa :
a) Hàm liên t c t m : Hàm y = f(x) g i là liên t c t i x ại 1 điể
0
nếu : f(x) xác định ti x
0
và lân c n c a
0
x
, đồ ng th i
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
.
b) Hàm f(x) g i là liên t c bên trái t i
0
x
nếu f(x) xác định ti
0 0
( 0)x U x
, đồ ng th i
0
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
.
c) Hàm f(x) g i là liên t ,b)c bên ph i t i
0
x
n nh ếu f(x) xác đị
ti
0 0
( 0)x U x
, đồ ng th i
0
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
Đị nh lý 1 : f(x) liên t c t i
0
x
f(x) liên t c bên trái và ph i t i
đó
d) Hàm f(x) g i là liên t c trong (a,b) n u nó liên t c t i m i ế
x thuôc kho ảng đó
e) Hàm f(x) g i là liên tuc trên [a,b] nó liên t c trong (a,b),
liên t c bên ph i t i a , bên trái t i b.
Đị nh lý 2: Tt c các hàm sơ cấp đề ục trên MXĐ u luôn liên t
ca nó.
1.2) Các phép toán v hàm liên t c:
a) Đị nh lý 3: Nếu f(x) , g(x) liên t c t i
0
x
thì Cf(x) , f(x)+g(x),
f(x).g(x) cũng liên tụ ại đó , đồ ời f(x)/g(x) cũng liên c t ng th
tc t i
0 0
, ( ) 0.x trongdó g x
b) Định lý 4: Nếu u = u(x) liên t c t i
9
x
và y = f(u) liên t c t i
0 0
( )u u x
thì y=f[u(x)] cũng liên tục ti
0
.x
1.3) Các tính cht hàm liên t n ục trên 1 đoạ
1) Tính ch t 1: N u f(x) liên t c trên [a,b] ế
thì f(x) b ch n và t n t i GTLN, GTNN
trên đó.
2) Tính ch t 2 : N u f(x) liên t c trên [a,b] ế
và f(a).f(b)<0 thì t n t i c n m trong
[a,b] có f(c) = 0
3)Tính ch t 3 : N u f(x) liên t c trên [a,b] có M ,m là GTLN ế
,GTNN và
[ , ] [ , ] ( )m M thì c a b có f c
Các ví d : 1) Cho f(x) =
sin
0
1 0
x
khi x
x
khi x
Ch ng minh f(x) liên
tc trên R
Ta có
0x thì
f(x) là hàm sơ cấp nên nó liên tc và
0 0
sin
lim ( ) lim 1 (0) ( )
x x
x
f x f f x
x
liên t c t i x = 0 . V y f(x) liên t c
trên R
2) Cho f(x) =
2
1 1
3 1
x khi x
ax khi x
f(x) liên t c trên R Tìm a để
Khi x < 1 hoặc x > 1 thì f(x) là hàm sơ cấp nên nó luôn liên tc
, để f(x) liên t c trên R thì nó ph i liên t c tại x = 1. Lúc đó
1 0 1 0
lim ( ) lim ( ) (1) 2 3 1
x x
f x f x f a a
2)Hàm gián đoạn:
2.1) Đị gián đoạnh nghĩa : Hàm f(x) gi là b n ti
0
x
n u nó ế
không liên t c t ại đó.
2.2) ng h p hàm gián n: Các trườ đoạ
a) N nh t m nào thì b n tếu f(x) không xác đị ại điể gián đoạ ại đó .
Chng h n :
* f(x) =
sin x
x
b n t i x = 0. gián đoạ
* f(x) =
1
3x
b n t i x = 3 gián đoạ
b) N u ế
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
thì f(x) b n t i gián đoạ
0
x
ví d : Cho hàm f(x) = giánTa có
0 0
sin
lim ( ) lim 1 (0) 2
x x
x
f x f
x
, Vây
f(x) b n t i x = 0 gián đoạ
2.3) Phân lo n : N u f(x) b n t i ại điểm gián đoạ ế gián đoạ
0 0
0 1 2
0 0
lim ( ) , lim ( )
x x x x
x f x L f x L
( h u h n ) m gián ta nói đó là điể
đoạ n lo c nhại 1 có bướ y là L
2 1
L
( n c nh y b ng 0 ta nói ếu bướ
đó là gián đoạ đươc ). Các điển b m gián đoạn ngoài loi 1 thì
đó là điểm gián đoạn loi 2
Ví d n n và phân lo i : Tìm điểm gián đoạ đoạ
1) f(x) =
sin
x
x
b gián đoạn khi x =
,k k Z
Khi k = 0 thì
0 0 0 0
lim 1 lim 1
sin sin
x x
x x
x x
. V m gián ậy x = 0 là điể
đoạ n l ai 1 b đư c
Khi
0 lim
sin
x k
x
k thì
x
, V y n lo i 2 đó là đ m gián đoạỉể
2) f(x) =
2
7 3
4
x
x
b n t i x = -2 và x = 2 gián đoạ
Ta có
2
2 2
7 3 2
lim lim
4
( 2)( 2)( 7 3)
x x
x x
x
x x x

.Vy x = - m 2 là điể
gián đoạn loi 2
2 0 2 0 2 0
2 1 1
lim ( ) lim , lim ( )
24 24
( 2)( 2)( 7 3)
x x x
x
f x f x
x x x
. Vây x= 2 là
điểm gián đoạn loi 1 b được
3) f)x) =
tan x
x
b n khi x = gián đoạ
,
2
k k Z x
khi
( )
2
x k f x
. Đó là điểm gián đoạn loi 2
Khi x =
0 0
lim ( ) lim ( ) 1
x x
f x f x x
n lo i 1 b điểm gián đoạ
được.
4) f(x) =
cot
2
x
x
( Tương tự như bài 3)
x k
là điểm gián đoạn
loi 2 .
2
x
là điểm gián đoạn loaij1 b được )
BÀI TP
2
2 2 1
0 1 0
2
0
2 3
12
2
0
1 1 (1 )sin( 1) ln(1 2 )sin 3
1) lim ; 2) lim ;3) lim
3 sin 2 ( 1) ln
1 1 tan 2
3 tan 2
4) lim ;
sin3 (1 cos2 )
2 3
5) lim( ) ;
2 5
2 1
6) lim( ) ;7) lim(cos ) ;8
4 2
x
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x x x x x
I I I
x x e x
x x
x x
I
x x
x
I
x
x x
I x
x x


) lim [ln( ) ln ]
x
I x x a x

9) Xét tính liên t c c a f(x) =
1 1
cos 1
2
x khi x
x
khi x
10) Tim A,B để f(x) sau liên tc trên R :
f(x) =
2sin
2
sin
2 2
cos
2
x khi x
A x B khi x
x khi x
11) Tìm điển gián đoạn và phân loi :
a) f(x) =
2
2 6 3
, ) ( ) , ) ( ) , ) ( )
tan cot sin 2 9
x x x x
b f x c f x d f x
x x x x

Preview text:

Giơí thiệu môn hc : Gii tích 1 Tài liệu tham khảo :
- Toán cao cấp ( chủ biên Nguyễn Đình Trí )
- Giải tích ( Thái Xuân Tiên – Đặng Ngọc Dục )
- Bài tập toán cao cấp ( ĐHBK ĐN )
Chương I : Hàm số - giới hạn – liên tục
Chương II : Đạo hàm và vi phân Chương III : Tích phân
Chương IV : Hàm nhiều biến
Chương V : Hình vi phân
-------------------------------------
CHƯƠNG I : HÀM SỐ - GII HN LIÊN TC
BÀI I : HÀM S :
I) Bổ sung về số phức :
1) Dạng đại số của số phức:
1.1) Số ảo : là số I có i 2 = -1.
1.2) Số phức dạng đại số : z = a+bi , với a,b là số thực.
Trong đó a gọi là phần thực , b là phần ảo . Tập hợp các
số phức ký hiệu là C. Ta có mỗi số thực đều là số phức .
Ví dụ : Phương trình bậc 2 2 2
x x 1  0   3
  3i trong tập C có 2 nghiệm phức 1 3 1 3 x   i ,   . 1 x2 i 2 2 2 2
1.3) Số phức liên hợp của z = a+bi là z = a-bi.
1.4) Số phức bằng nhau : z = a+bi , t = c+di ta có
z = t khi và chỉ khi a = c , b = d
1.5) Các phép toán số phức dưới dạng đại số : a) Tổng 2 số phức :
 Định lý : Cho 2 số phức z = a+bi , t = c+di thì z + t = (a+c)+(b+d)i.
 Tính chất : Cho 3 số phức z , t , r thì
- Tính giao hoán : z+t = t+z.
- Tính kết hợp : (z+t)+r = z+(t+r). - z+0 = z với 0 = 0+0i.
- z+(-z) = 0 với –z = -a –bi là số phức đối của z. b) Tích 2 số phức :
 Định lý : Cho z = a+bi và t = c+di thì : z.t = (ac-bd)+(ad+bc)i.
* Tính chất : Cho 3 số phức z , t , r thì :
- Tính giao hoán : z.t = t.z.
- Tính kết hợp : (z.t).r = z.(t.r) - z.1 = z với 1 = 1 + 0i.
- Số phức đảo của z là 1 1 Z sao cho . z z  1 - 2 2 .
z z a b . c) Thương 2 số phức :
* Định lý : Cho z = a+bi và t = c+di thì : z a bi
(a bi)(c di) ac bd bc ad     i , t  0 2 2 2 2 t c di
(c di)(c di) c d c d
2) Dạng lượng giác của số phức : b M(a,b) o a x
2.1) Định nghĩa :Mỗi số phức z = a +bi tương ứng 1-1 với
điểm M(a,b) trong mặt phẳng .Gọi r OM và   (O .xOM). Ta có : 2 2 b
a r cos, b r sin  và r a b
, tan   z r(cos  i sin) gọi là a
dạng lượng giác của số phức z , trong đó r là modun và 
là acgumen của z Ký hiệu r z , acg(z)
2.2) Số phức bằng nhau dạng lượng giác : Cho
z r (cos i sin ) và z r (cos  i sin )thì z z r r và   2  1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 k Ví dụ : 1 3    z  
i có r  1.tan  3  
z  cos i sin . 2 2 3 3 3
2.3) Các phép toán số phức dạng lượng giác:
a) Phép nhân: Cho 2 số phức dạng lượng giác sau :
z r (cos i sin ) và z r (cos  isin )thì z .z r r [cos( 
 ) isin( i sin )] 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
b) Phép chia : z1 1r
 [cos(   ) i sin(   )], z  0. 1 2 1 2 2 z2 2 r
c) Phép lũy thừa :  (cos  sin) n n z r i
thì z r [cos(n) i sin(n)] . d) Căn bâc n :  2k  2kz r(cos isin      ) n n thì z r[cos  isin
] , k  0,1, 2,..., n 1  n n
e) Công thức Euler : ixe cos xisin x. Ví dụ :       z 2   2 z  3(cos
i sin ), z  2(cos i sin )  z z  6(cos i sin ),  (cos i sin ) 1 2 1 2 6 6 3 3 2 2 z 3 6 6 1 3    / 3  2k  / 3  2k 3 3 z  27(cos
isin ) , z  2(cos  i sin ), k  0,1, 2 1 2 2 2 2 3 II)
CÁC KHÁI NIM V HÀM S:
1) ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ : Cho X ,Y CR . Một hàm số từ X vào Y
là một quy tắc ứng với m i
ỗ phần tử x thuôc X ta có phần tử duy
nhất y thuộc Y . Ký hiệu :
f : X------------ Y hoặc X------ f------ Y
x I--------- y =f(x) x I----------- y = f(x)
Để đơn giản ta thường viết hàm số là y = f(x).
2) Miền xác định ( MXĐ) của hàm số : là tập hợp D gồm các phần tử
x thuộc X để cho hàm số có nghĩa . Ví dụ :
a) y = 3x + 5 có MXĐ là D = R
b) y = x3 MXÐ x   3
3) Các đặc tính của hàm số : 3.1) Hàm bị chặn :
a) Hàm bị chặn trên : Hàm y = f(x) gọi là bị chặn trên trong tập D nếu t n t ồ ại s M sa ố
o cho f (x)  M , x   D
b) Hàm bị chặn dưới : Hàm y = f(x) gọi là bị chặn dưới trong tập D nếu t n t ồ ại s m
ố sao cho f (x)  m, x   . D c) Hàm s v
ố ừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới ta g i ọ chung là hàm bị chặn Ví d :
ụ hàm y = sinx , y = cosx bị chặn trên R. (1 sin ,
x cos x 1 , x   ) R 3.2) Hàm đơn điệu :
a) Hàm đơn điệu tăng ( đồng biến ) : Hàm y = f(x) gọi là đơn
điệu tăng trong tập D nếu x
 , x D mà x x f (x )  f (x ) 1 2 1 2 1 2
b) Hàm đơn điệu giảm ( nghịch biến ) : hàm y = f(x) gọi là đơn
điệu giảm trong tập D nếu x
 , x D mà x x f (x )  f (x ). x 2 1 2 1 2 c) Hàm số c
luôn tăng hoặ luôn giảm trong tập D ta gọi là hàm đơn
điệu tăng hoặc đơn điệu giảm trong D. 3.3) Hàm chẳn , lẽ :
a) Hàm chẳn : Hàm y = f(x) gọi là chẳn trong tập đối xứng D
nếu :  ,xxD f (x)  f (x)( đồ thị hàm chẳn đối xứng qua trục tung )
b) Hàm lẽ : Hàm y = f(x) gọi là lẽ trong tập đối xứng D nếu :  ,
x x D f ( ) x   f ( )
x ( đồ thị hàm lẽ đối xứng qua gốc tọa độ ) Ví d :
ụ Hàm y = cosx là hàm chẳn trên R ( cos(-x) = cosx
Hàm y = sinx , tanx , cotx là các hàm lẽ ( sin(-x) = -sinx,
tan(-x) = - tanx, cot(-x) = -cotx.
3.4) Hàm tuần hoàn : Hàm y = f(x) gọi là tuần hoàn nếu :  ,
x x LD f (x  ) L f ( )
x . Số dương T nhỏ nhất trong các s L ố ở trên g i
ọ là chu kỳ của hàm tuần hoàn. Ví d :
ụ Hàm y = sinx , y = cosx tuần hoàn chu kỳ T = 2.
Hàm y = tanx , y = tuần hoàn chu kỳ T = 
4) Các phép toán trên hàm số : ( tham khảo SGK ).
III) Hàm hợp và hàm ngược :
1) Hàm Hợp : Cho 2 hàm s f và ố g sau : X ----f-- Y ---g- Z
xI----- y=f(x)----- z=g[f(x)] Hàm h : X-------- Z
xI------ z = h(x) gọi là hàm hợp của f và g . Ký hiệu h =  . 0
g f (đọc là g rông f ) . Ta có h(x) = g f (x) [ g f (x)] 0 Ví d ụ 2 2
f (x)  2x 1 , g(x)  x  2  g f ( ) x  [ g f ( )
x ]  g(2x 1)  (2x 1)  2 0
2) Hàm ngược : Cho hàm số f : X------- Y xI----- y = f(x)
là phép tương ứng 1-1 (song ánh)
Hàm ngược của f là hàm số f 1 : YI------- X yI------ x = f 1(y) Ta có quan hệ y = f(x) 1
x f (y) .( Đồ thị 2 hàm ngược nhau đối xứng qua đường y = x ).
IV) Mt s hàm sơ cấp cơ bản :
1) Hàm lũy thừa : y x,  . R
 MXĐ tùy thuộc vào  . Chẳng hạn : 1 2 2 2
y x : MXÐ D R , y x : MXÐ x
  0, y x x :MXÐ x  0.
 Đồ thị đi qua điểm I(1,1) và O(0,0) với   o. 2) Hàm mũ : x
y a , a  0, a 1.( a gọi là cơ s ). ố  MXĐ D = R
 Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành , đi qua điểm I(0,1):
 Khi a > 1 hàm số luôn tăng , khi 0 < a < 1 hàm số luôn giảm
Hình Dạng Đồ Th : 1 x 1 x
a>1 (Hinh dạng đồ thị) 0 < a < 1
 Tính chất ( tham khảo SGK )
3) Hàm logarit : y log x,a 0,a 1.là hàm ngược của hàm mũ a y  log y
x x a . a  MXĐ x   0
 Đồ thị nằm bên phải trục tung , đi qua điểm J(1,0)
 Khi a > 1 hàm số luôn tăng, khi 0 < a < 1 hàm s l ố uôn giảm. 0 1 x o 1 x
a > 1 ( Dạng đồ thị ) 0 < a < 1
 Các tính chất ( tham khảo SGK ).
 Đặc biệt log x  lgx , log x x ( logarit thập phân và logarit nepe e ln 10 ) 4) Các hàm lượng giác :
a) y =sinx : MXĐ D = R . Là hàm lẽ ,bị chặn ( 1
  sin x 1 ) , đi
qua O(0,0), tuần hoàn chu kỳ T = 2
b) y = cosx : MXĐ D = R , là hàm chẳn , bị chặn ( 1
  cos x  1 ) ,
đi qua I(0,1) , tuần hoàn chu kỳ T = 2 c) y = tanx = sin x  :MXÐx
k (k Z) , là hàm lẽ , không bị chặn , cos x 2 tuần hoàn chu kỳ T = 
d) y = cotx = cosx:MXÐ x
  k ,k Z , là hàm lẽ , không bị chặn , tuần sin x hoàn chu kỳ T =  .
5) Các hàm lượng giác ngược :
a) y = arcsinx : là hàm ngược c a ủ y = sinx với   x [
, ], y  arcsin x x sin y 2 2
Là hàm lẽ , bị chặn , không tuần hoàn.
b) y = arccosx : là hàm ngược của y = cosx với x [
 0, ], y  arccos x x  cos y
Là hàm không chẳn , lẽ , bị chặn , không tuần hoàn.
c) y= arctanx : là hàm ngược của y = tanx với  
x ( , ): y  arctan x x tan y 2 2
Là hàm lẽ , bị chặn , không tuần hoàn.
d) y = arccotx : là hàm ngược của y = cotx với x (
 0,): y arccot x x cot y
Là hàm không chẳn , lẽ , bị chặn , không tuần hoàn ( Ta có :  
arcsinx  arccosx  ,arctan x  arccot x  ). 2 2
 Chú thích : Các hàm sơ cấp là các phép toán trên các hàm sơ cấp cơ bản. BÀI TP :
1) Tìm MXĐ của các hàm số sau : a) y = 2 2
4x x lg(x  9) Hàm số xác định khi 2 4
 x x  0 0   x  4   
 3  x  4  MXÐ D  (3,4] 2 x    9 0
x  3Ux  3  b) y = 3  2 3  arcsin x x 5 Hàm số xác định khi 3   x  0  x  3  3 2    1
  x  3  MXÐ D [ 1  ,3] x 1   1 1    x  4  5
2) Xét tính chẳn , lẽ của các hàm sau : a) f(x) = xa 1  x x a 1 
MXĐ D =R ( tập đối xứng )  x a 1 x a 1
f (x)  xxf ( ) x ,  ,
x x D x a 1 x a 1
Vậy f(x) là hàm chẳn trên D = R b) f(x) = 2
ln(x  1 x )
MXĐ D = R ( tập đối xứng) 2 1 2 f ( )
x  ln(x  (x) 1)  ln
 ln( x x 1  )   f ( ) x 2 x x  1
Vậy f(x) là hàm lẽ trên D = R
BÀI 2 : GII HN HÀM S
I) Các định nghĩa về gii hn hàm s
 Lân cận của 1 điểm trên 1 trục : (---------x ---------) 0   0 x  0 x
a) Lân cận tại 1 điểm x :U(x ) (x ,x ). , 0 khá bé 0 0 0 0
b) Lân cận bên trái tại x :U(x 0)  (x ,x ) ,  0 khá bé 0 0 0 0
c) Lân cận bên phải tại x :U(x  0)(x ,x ),  0 khá bé 0 0 0 0
1) Giới hạn hàm số tại 1 điểm : Cho hàm y = f(x) xác
định trong lân cận của x . Ta nói L là giới hạn của 0 hàm s khi ố
x tiến về x nếu với mọi   0 cho trước , 0
tồn tại   0phụ thuộc  sao cho : 0 xx    f (x) L   0 . Ký hiệu
f (x)  L hay f (x) lim  L x x xx  0 0
Ta có thể mô tả dưới ngôn ngữ toán học như sau : 2) Giới hạn một phía :
a) Giới hạn bên trái : x tiến về 0x bên trái
lim f (x)  L  (  0, ( )  0 : x    x x f (x) L   ) 0 0 x 0 x  0
b) Giới hạn bên phải: x tiến về ả 0 x bên ph i
lim f (x)  L  (  0, ( )  0: x x x    f (x) L   ) 0 0 x 0 x  0 Ta còn viết  
x x  0 là x x
và x x  0  0 0 0 là x 0 x
c) Định Lý : Hàm số có giới hạn tại x khi và chỉ khi 0
nó có giới hạn bên trái và phải tại đó và các giới
hạn đó bằng nhau(lim f ( )x L   lim f ( )x lim f ( )x  ) L x xx x  0  0 0 x x  0 0 3) Giới hạn vô tận:
a) lim f ( )x    (M  0,(M)  0:0  xx    f ( )x M) 0 x 0 x
b) lim f (x) L  (    0, (
A  )  0 : x A f (x) L   ) x
c) lim f (x)   (M  0, (
A M )  0 : x A f (x)  M ) x
II) Các tính cht v gii hn :
1)Tính chất 1: lim C C ( C là hằng số ) x 0 x
2)Tính chất 2: lim f ( )x Lthì L là duy nhất. x 0 x
3)Tính chất 3: lim f ( )x L. Nếu L > 0 ( hoặc L < 0 ) thì x 0 x
f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0 ) , xU
 (x ), x x . 0 0
4)Tính chất 4: Nếu f(x) > 0 ( hoặc f(x) < 0 ) x
 U(x ), x x L  0(hay L  0). 0 0
5)Tính chất 5:lim f ( )x L , lim g( )  . Nếu 1 x L2 x 0 x x 0 x
L L f ( ) x g( ) x , x
 U(x ), x x 1 2 0 0
6)Tính chất 6: lim f (x) L  lim f (x)  L. x 0 x x 0 x
7)Tính chất 7: Nếu lim f (x)  L ( L hữu hạn) thì f(x) bị x 0 x
chặn trong lân cận của x . 0
III) Các phép toán v gii hn:
1) lim[ f (x) g(x)]  lim f ( )x  lim g( )x. x   0 x x 0 x x 0 x
2) lim[ f (x).g( )x]  lim f ( )x.lim g( )x. x 0 x x 0 x x 0 x 3) f ( ) x lim  lim f ( ) x / lim ( g ) x . x 0 x g(x) x 0 x x 0 x 4) Nếu lim ( u )
x u , lim f ( )
u L  lim f[ ( u ) x ]  . L 0 x 0 x u 0 u xx0
5) Nếu f(x) là hàm sơ cấp thì lim f( )x f( x ). 0 x 0 x IV)Các tiêu chu n tn ti
gii hn ca hàm s :
1.Tiêu chuẩn 1: Nếu f(x) g(x)và h(x) cùng xác định trong U(x ) sao cho : 0 f (x)  ( h ) x g( ) x , xU
 (x ), x x saocho lim f ( )
x  lim g( )  0 0 x L x  0 x x 0 x
 lim h(x)  L. x 0 x Áp d ng : ụ Ta có sin  cos x x  1 x (0, ) x 2 sin x
lim cos x  lim1 1 lim 1 x 0  x 0  x 0  x
Hệ quả : tan x lim  1 x 0  x Ví d : ụ a) tan 5x tan 5x 3x 5 5 LimLim . .  x 0  x 0 sin 3x  5x sin 3x 3 3 tan3 3 x 5 b) tan3x  5x 2 3 lim  lim x   x 0 x 0 sin 2x  3 sin 2 x x 5 2 3 2x
2) Tiêu chuẩn 2 : Nếu f(x) là hàm không giảm và bị chặn trên với m i
ọ x>0 khá lớn thi t n t
ồ ại lim f (x) L . x * Áp d 1 ụng : 1 lim(1 ) x  ,
e lim(1 x) x e  2,718 x x 0 x * H 1 ệ qu : a u (x ) a u (x ) Lim [1  ]
e , lim [1  a ( u ) x ] ae . ( u ) x  ( u ) x 0 u(x)  Ví d : ụ 1) 3 1 x x 3 3 sin sin lim(1 sin x)  lim[1 sin x) ]  e x 0 x 0 3sin x x 3sin sin x sin x xx ( ) x sinx sin  3 2)lim( )  lim(1 ) x x xe x 0  x 0 xx x1 x 1  1 3x  4 6 x 1 2 3 2  2(3x 2  ) 6  6 3)lim( )  lim[(1 ) ]  (e ) 
x  3x  2 x  3x  2 e
Bài III) VÔ CÙNG BÉ VÀ VÔ CÙNG LN
I) Vô cùng bé ( VCB :
1) Định nghĩa : Hàm (x) được gọi là VCB khi
x x  lim  (x)  0 0 x 0 x Ví d :
ụ (x) sin x là VCB khi x 0 , 1
(x)  làVCB khi x   x
2) Liên hệ giữa VCB và giới hạn hàm s : ố
* Định lý: lim f ( )x L f ( )xLlàVCBkhi x  0 x x 0 x 3) Các: tính chất c a ủ VCB :
a) Tính chất 1) Nếu (x)(x)là các VCB khi x  x , hằng số 0 C là
thì C( )x,( )x. ( )x,( )x. ( )xlàVCBkhi x  0 x
b) Tính chất 2) Nếu (x)làVCBkhi x  bị chặn trong lân cận 0 x và f (x)
của x thì(x).f (x)  . 0 làVCB khi x x 0 Ví d : ụ sin x sin ( ). ( )    lim x x f x làVCB khi x 0 (vì x x  x 1  cosx
(x)  làVCB khi x  , f (x)  sin x bị chặn trên R) tương tự lim  0 x x x
4)So sánh các VCB : Cho (x),(x)2VCBkhi x x khi đó: 0 a) Nếu (x) lim  0 thì( )
x làVCB bậc cao hơn  (x) ( hoăc (x) là VCB x 0 x  (x)
bậc thấp hơn (x))khi x x . 0 b) Nếu (x) lim
L( L  0, L  )
 ta nói chúng là các VCB ngang cấp ( cùng x 0 x  (x) 
bậc) trong quá trình đó. Đặc biệt nếu ( ) lim
x 1thì( )xvà ( ) x là 2VCB xx  ( ) 0 x
tương đương trong quá trình đó . Ký hiệu : (x) i x x 0 c) Nếu (x) lim
L ( L  0,L   ,k  0) ta nói  (x)làVCB bậc k so với  0 [ (x)]k x x
(x)khi x x . 0
Mt s ng g VCB tương đương thườ p khi x 0 sau : sin x 2 x 1cos x x  0 2
5)Quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao và sử dụng VCB tương đương:
a) Ngắt bỏ VCB bậc cao : Nếu ( )
x là VCB bâc cao hon ( )
x khi x x thì lim[ (  ) x  (  ) x ]  Lim (  ) . 0 x x x  0 x x  0 Ví d : ụ 3 2
3x  4x  2x 2x lim  lim  0,5 2 x 0  x 0 3x  4x  4x
b) Sử dụng VCB tương đương : Nếu ( ) x
i x x thì lim[(x). (x)]  lim[ (x). ( ) x ] 0 1 1 x 0 x x 0 x  (x)  (x) 1 lim  lim x 0 x  (x)
xx  (x) 1 c) Ví d : ụ 2 2 ln(1 ax ) ax a 1) lim  lim  ,( a  0) 2 2 x 0 x 0 sin 3x (3 ) x 9 2
( ln(1  ax ) ) 2) 2
1 cos(x cos 2x) (x cos 2x) 1 lim  lim  2 2 x  0 x  0 3x 2.3x 6 3) 2 2  1 cos x 1cos x x 1 lim  lim  lim  2 2 2 x 0  x 0  x 0 tan x ( 2  1 cos ) x tan x 2.2 2 x 4 2 4) 2 2 2 x 2 x 2 2 e  cos3x e 1 1 cos3x 2x (3 ) x 2 3 13 lim  lim  lim  lim  lim    2 2 x 0  x 0 x 0  x 0  x 0 x tan 2x x tan 2x x tan 3x 3x  2.3x 3 2 6
II) Vô cùng ln ( VCL )
1) Định nghĩa : Hàm f(x) được gọi là VCL khi
x x nêu lim f ( )   0 x xx 0
2)Quan hệ giữa VCL và VCB: f(x) là VCL khi 1 x x
làVCB khi x x . 0 0 f ( ) x 3) Tính chất VCL:
3.1) Tính chất 1:Nếu f(x) và g(x) là 2 VCL khi x . Thì : 0 x
a) Cf(x) , f(x).g(x) cũng là các VCL trong quá trình trên , C khác 0.
b) f(x)+g(x) là VCL nều f(x) , g(x) cùng dấu trong quá trình đó
c) f(x)-g(x)-----------------------------khác dấu----------------------
3.2) Tính chất 2: Nếu f(x) là VCL khi x x và g(x) bị chặn 0
trong lân cận x thì f(x)+g(x) là VCL trong quá trình đó. 0
4) So sánh các VCL: Cho f(x) và g(x) là 2 VCL khi x . Khi 0 x đó: a) Nếu f (x) lim
  , ta nói f(x) là VCL bậc cao hơn g(x) ( hoặc x 0 x g (x )
g(x) là VCL bậc thấp hơn f(x) ) trong quá trình đó. b) Nếu f (x) lim  (
L L  0, L  ) , ta nói f(x) và g(x) là 2 VCL ngang x 0 x g(x) cấp ( cùng b ậc ) trong quá trình đó. c) Nếu f ( ) x lim  (
L  0,L  ,
k  0) , ta nói f(x) là VCL bậc k so với
 0 [g(x)]k x x g(x) trong quá trình đó. 5) Quy tắc ngắt b VC ỏ
L bậc thấp : Cho g(x) là VCL bậc thấp
hơn f(x) khi x x thì lim[f (x) g(x)] lim f (x) 0 x  0 x x 0 x Ví d : ụ 3 2 3 5x  2x 3 5x 5 lim  lim  3 3 x 4x 3 x x  4x 4
III)Mt s dạng vô định ca gii hn: 0  1) Dạng ,
0  : Để khử dạng vô định này ta có các phương pháp sau:  Áp d ng bi ụ
ến đổi sơ cấp để rút g n bi ọ ểu thức
 Sử dụng VCB tương đương.  Sử dụng quy t ắc Lopital ( Chươn II )
2) Dang 0.  : Sử d ng bi ụ p c ến đổi sơ cấ huyển về dạng 1) 3) Dang 1 : Áp d ng c ụ
ác công thức ở tiêu chuẩn 2 c a ủ giới hạn. 4) Dạng 0  0
0 ,0 , : Thường gặp ở dạng I = u xv x v x ln[ ( )] 0 ( ) ( ) lim[u(x)]
,tacó ln I  lim ln[u(x)]  lim ( , ) A
A I e xx xx xx 1 0 0 0 0  ( v ) x Các ví d : 1) I =
x 1  1 x 0 2x 1 lim ( )  lim  x 0  x 0 3x 0  3 ( x x 1   1  x) 3
2sin x(sin x  cos ) x 2) I =
1 sin x  cos x
1 cos x  sin x 0 2 2 2 lim  lim ( )  lim  1 x 0 x 0 x 0
1 sin x  cos x
1 cos x  sin x 0
 2sin x(sin x cos x) 2 2 2 3) I = 2 1 1 1 cos lim(  )(  )  lim
x  lim x  0 x 0  x 0  x 0 sin x tan x sin x  2x 4) I =   u cos
lim(  ) tan (0.) lim tan(  )  lim u x x u u  1  u 0 u 0 x 2 2 sin u 2 2 1 5) I= 1 tan x 2 2 2x  2 tan x 2 lim (1  tan ) x (1 )  lim[(1  tan ) x ] x e   x 0  x 0  6) I = x  1  x x 1  x) lim (sin x 1 sin ) x  lim 2cos( )sin(  0 x x 2 2
III)
HÀM LIÊN TỤC VÀ GIÁN ĐOẠN
1) Hàm liên tc: 1.1) Các định nghĩa : a) Hàm liên t c
ụ tại 1 điểm : Hàm y = f(x) gọi là liên tục tại x 0
nếu : f(x) xác định tại x và lân cận c a ủ ng th i 0 0 x , đồ ờ lim f ( )
x f ( x ) . 0 x 0 x b) Hàm f(x) g i ọ là liên t c
ụ bên trái tại 0x nếu f(x) xác định tại
x vàU (x  0) , đồng thời lim f (x)  f (x ). 0 0 0 x 0 x  0 c) Hàm f(x) g i ọ là liên t ,b)c ụ
bên phải tại x nếu f(x) xác định 0
tại x vàU(x 0), đồng thời lim f (x) f (x ) 0 0 0 x 0 x 0
 Định lý 1 : f(x) liên tục tại ụ ả ạ 0
x  f(x) liên t c bên trái và ph i t i đó d) Hàm f(x) g i ọ là liên t c
ụ trong (a,b) nếu nó liên tục tại m i ọ x thuôc khoảng đó e) Hàm f(x) g i
ọ là liên tuc trên [a,b] nó liên t c ụ trong (a,b), liên t c
ụ bên phải tại a , bên trái tại b.
 Định lý 2: Tất cả các hàm sơ cấp đều luôn liên tục trên MXĐ của nó.
1.2) Các phép toán về hàm liên tục:
a) Định lý 3: Nếu f(x) , g(x) liên tục tại 0x thì Cf(x) , f(x)+g(x),
f(x).g(x) cũng liên tục tại đó , đồng thời f(x)/g(x) cũng liên
tục tại x ,trongdóg(x )  0. 0 0
b) Định lý 4: Nếu u = u(x) liên t c ụ tại ụ ạ 9
x và y = f(u) liên t c t i
u u(x ) thì y=f[u(x)] cũng liên tục tại x . 0 0 0
1.3) Các tính chất hàm liên tục trên 1 đoạn
1) Tính chất 1: Nếu f(x) liên t c ụ trên [a,b]
thì f(x) bị chặn và tồn tại GTLN, GTNN trên đó.
2) Tính chất 2 : Nếu f(x) liên t c ụ trên [a,b] và f(a).f(b)<0 thì t n t ồ ại c nằm trong [a,b] có f(c) = 0
3)Tính chất 3 : Nếu f(x) liên t c
ụ trên [a,b] có M ,m là GTLN ,GTNN và [ ,
m M ]thìc[ , a ] b có f ( ) c   sin x Các ví d : ụ 1) Cho f(x) =  khi x  0  x Chứng minh f(x) liên  1 khi x  0  tục trên R Ta có x
  0thì f(x) là hàm sơ cấp nên nó liên tục và sin x
lim f (x)  lim
1  f (0)  f (x) liên t c
ụ tại x = 0 . Vậy f(x) liên t c ụ x 0  x 0  x trên R 2) Cho f(x) = x   1 khi x  1  Tìm a để f(x) liên t c ụ trên R 2 3   ax khi x 1
Khi x < 1 hoặc x > 1 thì f(x) là hàm sơ cấp nên nó luôn liên tục
, để f(x) liên tục trên R thì nó phải liên tục tại x = 1. Lúc đó
lim f (x)  lim f (x)  f (1)  2  3 a a  1 x 1  0 x 1  0 2)Hàm gián đoạn:
2.1) Định nghĩa : Hàm f(x) gọi là bị gián đoạn tại ế 0 x n u nó không liên t c ụ tại đó. 2.2) ng h Các trườ ợp hàm gián đoạn:
a) Nếu f(x) không xác định tại điểm nào thì bị gián đoạn tại đó . Chẳng hạn :
* f(x) = sin x bị gián đoạn tại x = 0. x
* f(x) = 1 bị gián đoạn tại x = 3 x  3
b) Nếu lim f ( )x f (x ) thì f(x) bị gián đoạn tại x 0 0 x 0 x ví d :
ụ Cho hàm f(x) = giánTa có sin x
lim f (x)  lim
1  f (0)  2, Vây x 0  x 0  x
f(x) bị gián đoạn tại x = 0 2.3) Phân lo n :
ại điểm gián đoạ Nếu f(x) bị gián đoạn tại
x và lim f ( )
x L , lim f ( )
x L ( hữu hạn ) ta nói đó là điểm gián 0 1 2 x    0 x 0 x x0 0
đoạn loại 1 có bước nhảy là L L ( nếu bước nhảy bằng 0 ta nói 2 1
đó là gián đoạn bỏ đươc ). Các điểm gián đoạn ngoài loại 1 thì
đó là điểm gián đoạn loại 2 Ví dụ n
: Tìm điểm gián đoạ đoạn và phân loại
1) f(x) = x bị gián đoạn khi x = k ,k Z sin x Khi k = 0 thì x x lim  1lim  1. V m ậy x = 0 là điể gián x 0  0 x 0  0 sin x sin x đoạn lọai 1 bỏ đ ợ ư c Khi x k  0 thì lim
  , Vậy đó là đỉể n l m gián đoạ oại 2 x k   sin x
2) f(x) = 7 x 3 bị gián đoạn tại x = -2 và x = 2 2 x  4 Ta có 7 x  3 x  2 lim  lim   .Vậy x = - m 2 là điể 2 x 2 x 2 x  4
(x  2)(x  2)( 7 x  3) gián đoạn loại 2 Và x 2 1 1
lim f (x)  lim  , lim f (x)  . Vây x= 2 là x 2  0 x20 x 2  0
(x 2)(x 2)( 7  x 3) 24 24
điểm gián đoạn loại 1 bỏ được
3) f)x) = tan x bị gián đoạn khi x =  k,k Z và x  x   2  khi  x
k  f ( )
x   . Đó là điểm gián đoạn loại 2 2
 Khi x =   lim f (x)  lim f ( )x 1
  x   là điểm gián đoạn loại 1 bỏ x  0 x  0 được.
4) f(x) = cot x ( Tương tự như bài 3) x k là điểm gián đoạn 2 x   loại 2 .  x
là điểm gián đoạn loaij1 b ỏ được ) 2 BÀI TP 2 1 1 x
(1 x )sin(x 1) ln(1 2x)sin 3 1) lim ; 2) lim ;3) lim x I I I 2 2 x 1 x 0 x 1    x 0 3x  sin 2x (e  1)ln x
 1 1 x tan 2x 2 3x tan 2 x 4) I  lim ; x 0  sin 3 ( x 1 cos 2 x) 2x  3 2x 3 5)  I  lim( ) ; x  2x 5 2 1 x  2x  1 6)I  lim(
)x ;7) lim(cos x)x ;8) I  lim [ x ln( x  ) a ln ] x 2 x   x0 x 4x 2  x  x 1 khi x 1 9) Xét tính liên t c ụ c a ủ f(x) =  cos x khi x  1  2
10) Tim A,B để f(x) sau liên tục trên R :   2  sin x khi x    2  f(x) =   
Asin x B khi   x  2 2    cosx khi x   2
11) Tìm điển gián đoạn và phân loại : a) f(x) = x 2x  x 6  x  3 , ) b f ( ) x  , ) c f ( ) x  , d) f ( ) x  2 tan x cot x sin 2x x  9