



















Preview text:
Giơí thiệu môn học : Giải tích 1 Tài liệu tham khảo :
- Toán cao cấp ( chủ biên Nguyễn Đình Trí )
- Giải tích ( Thái Xuân Tiên – Đặng Ngọc Dục )
- Bài tập toán cao cấp ( ĐHBK ĐN )
Chương I : Hàm số - giới hạn – liên tục
Chương II : Đạo hàm và vi phân Chương III : Tích phân
Chương IV : Hàm nhiều biến
Chương V : Hình vi phân
-------------------------------------
CHƯƠNG I : HÀM SỐ - GIỚI HẠN – LIÊN TỤC
BÀI I : HÀM SỐ :
I) Bổ sung về số phức :
1) Dạng đại số của số phức:
1.1) Số ảo : là số I có i 2 = -1.
1.2) Số phức dạng đại số : z = a+bi , với a,b là số thực.
Trong đó a gọi là phần thực , b là phần ảo . Tập hợp các
số phức ký hiệu là C. Ta có mỗi số thực đều là số phức .
Ví dụ : Phương trình bậc 2 2 2
x x 1 0 có 3
3i trong tập C có 2 nghiệm phức 1 3 1 3 x i , . 1 x2 i 2 2 2 2
1.3) Số phức liên hợp của z = a+bi là z = a-bi.
1.4) Số phức bằng nhau : z = a+bi , t = c+di ta có
z = t khi và chỉ khi a = c , b = d
1.5) Các phép toán số phức dưới dạng đại số : a) Tổng 2 số phức :
Định lý : Cho 2 số phức z = a+bi , t = c+di thì z + t = (a+c)+(b+d)i.
Tính chất : Cho 3 số phức z , t , r thì
- Tính giao hoán : z+t = t+z.
- Tính kết hợp : (z+t)+r = z+(t+r). - z+0 = z với 0 = 0+0i.
- z+(-z) = 0 với –z = -a –bi là số phức đối của z. b) Tích 2 số phức :
Định lý : Cho z = a+bi và t = c+di thì : z.t = (ac-bd)+(ad+bc)i.
* Tính chất : Cho 3 số phức z , t , r thì :
- Tính giao hoán : z.t = t.z.
- Tính kết hợp : (z.t).r = z.(t.r) - z.1 = z với 1 = 1 + 0i.
- Số phức đảo của z là 1 1 Z sao cho . z z 1 - 2 2 .
z z a b . c) Thương 2 số phức :
* Định lý : Cho z = a+bi và t = c+di thì : z a bi
(a bi)(c di) ac bd bc ad i , t 0 2 2 2 2 t c di
(c di)(c di) c d c d
2) Dạng lượng giác của số phức : b M(a,b) o a x
2.1) Định nghĩa :Mỗi số phức z = a +bi tương ứng 1-1 với
điểm M(a,b) trong mặt phẳng .Gọi r OM và (O .xOM). Ta có : 2 2 b
a r cos, b r sin và r a b
, tan z r(cos i sin) gọi là a
dạng lượng giác của số phức z , trong đó r là modun và
là acgumen của z Ký hiệu r z , acg(z)
2.2) Số phức bằng nhau dạng lượng giác : Cho
z r (cos i sin ) và z r (cos i sin )thì z z r r và 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 k Ví dụ : 1 3 z
i có r 1.tan 3
z cos i sin . 2 2 3 3 3
2.3) Các phép toán số phức dạng lượng giác:
a) Phép nhân: Cho 2 số phức dạng lượng giác sau :
z r (cos i sin ) và z r (cos isin )thì z .z r r [cos(
) isin( i sin )] 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
b) Phép chia : z1 1r
[cos( ) i sin( )], z 0. 1 2 1 2 2 z2 2 r
c) Phép lũy thừa : (cos sin) n n z r i
thì z r [cos(n) i sin(n)] . d) Căn bâc n : 2k 2k z r(cos isin ) n n thì z r[cos isin
] , k 0,1, 2,..., n 1 n n
e) Công thức Euler : ixe cos xisin x. Ví dụ : z 2 2 z 3(cos
i sin ), z 2(cos i sin ) z z 6(cos i sin ), (cos i sin ) 1 2 1 2 6 6 3 3 2 2 z 3 6 6 1 3 / 3 2k / 3 2k 3 3 z 27(cos
isin ) , z 2(cos i sin ), k 0,1, 2 1 2 2 2 2 3 II)
CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ:
1) ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ : Cho X ,Y CR . Một hàm số từ X vào Y
là một quy tắc ứng với m i
ỗ phần tử x thuôc X ta có phần tử duy
nhất y thuộc Y . Ký hiệu :
f : X------------ Y hoặc X------ f------ Y
x I--------- y =f(x) x I----------- y = f(x)
Để đơn giản ta thường viết hàm số là y = f(x).
2) Miền xác định ( MXĐ) của hàm số : là tập hợp D gồm các phần tử
x thuộc X để cho hàm số có nghĩa . Ví dụ :
a) y = 3x + 5 có MXĐ là D = R
b) y = x3 MXÐ x 3
3) Các đặc tính của hàm số : 3.1) Hàm bị chặn :
a) Hàm bị chặn trên : Hàm y = f(x) gọi là bị chặn trên trong tập D nếu t n t ồ ại s M sa ố
o cho f (x) M , x D
b) Hàm bị chặn dưới : Hàm y = f(x) gọi là bị chặn dưới trong tập D nếu t n t ồ ại s m
ố sao cho f (x) m, x . D c) Hàm s v
ố ừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới ta g i ọ chung là hàm bị chặn Ví d :
ụ hàm y = sinx , y = cosx bị chặn trên R. (Vì 1 sin ,
x cos x 1 , x ) R 3.2) Hàm đơn điệu :
a) Hàm đơn điệu tăng ( đồng biến ) : Hàm y = f(x) gọi là đơn
điệu tăng trong tập D nếu x
, x D mà x x f (x ) f (x ) 1 2 1 2 1 2
b) Hàm đơn điệu giảm ( nghịch biến ) : hàm y = f(x) gọi là đơn
điệu giảm trong tập D nếu x
, x D mà x x f (x ) f (x ). x 2 1 2 1 2 c) Hàm số c
luôn tăng hoặ luôn giảm trong tập D ta gọi là hàm đơn
điệu tăng hoặc đơn điệu giảm trong D. 3.3) Hàm chẳn , lẽ :
a) Hàm chẳn : Hàm y = f(x) gọi là chẳn trong tập đối xứng D
nếu : ,xxD f (x) f (x)( đồ thị hàm chẳn đối xứng qua trục tung )
b) Hàm lẽ : Hàm y = f(x) gọi là lẽ trong tập đối xứng D nếu : ,
x x D f ( ) x f ( )
x ( đồ thị hàm lẽ đối xứng qua gốc tọa độ ) Ví d :
ụ Hàm y = cosx là hàm chẳn trên R ( cos(-x) = cosx
Hàm y = sinx , tanx , cotx là các hàm lẽ ( sin(-x) = -sinx,
tan(-x) = - tanx, cot(-x) = -cotx.
3.4) Hàm tuần hoàn : Hàm y = f(x) gọi là tuần hoàn nếu : ,
x x L D f (x ) L f ( )
x . Số dương T nhỏ nhất trong các s L ố ở trên g i
ọ là chu kỳ của hàm tuần hoàn. Ví d :
ụ Hàm y = sinx , y = cosx tuần hoàn chu kỳ T = 2.
Hàm y = tanx , y = tuần hoàn chu kỳ T =
4) Các phép toán trên hàm số : ( tham khảo SGK ).
III) Hàm hợp và hàm ngược :
1) Hàm Hợp : Cho 2 hàm s f và ố g sau : X ----f-- Y ---g- Z
xI----- y=f(x)----- z=g[f(x)] Hàm h : X-------- Z
xI------ z = h(x) gọi là hàm hợp của f và g . Ký hiệu h = . 0
g f (đọc là g rông f ) . Ta có h(x) = g f (x) [ g f (x)] 0 Ví d ụ 2 2
f (x) 2x 1 , g(x) x 2 g f ( ) x [ g f ( )
x ] g(2x 1) (2x 1) 2 0
2) Hàm ngược : Cho hàm số f : X------- Y xI----- y = f(x)
là phép tương ứng 1-1 (song ánh)
Hàm ngược của f là hàm số f 1 : YI------- X yI------ x = f 1(y) Ta có quan hệ y = f(x) 1
x f (y) .( Đồ thị 2 hàm ngược nhau đối xứng qua đường y = x ).
IV) Một số hàm sơ cấp cơ bản :
1) Hàm lũy thừa : y x, . R
MXĐ tùy thuộc vào . Chẳng hạn : 1 2 2 2
y x : MXÐ D R , y x : MXÐ x
0, y x x :MXÐ x 0.
Đồ thị đi qua điểm I(1,1) và O(0,0) với o. 2) Hàm mũ : x
y a , a 0, a 1.( a gọi là cơ s ). ố MXĐ D = R
Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành , đi qua điểm I(0,1):
Khi a > 1 hàm số luôn tăng , khi 0 < a < 1 hàm số luôn giảm
Hình Dạng Đồ Thị : 1 x 1 x
a>1 (Hinh dạng đồ thị) 0 < a < 1
Tính chất ( tham khảo SGK )
3) Hàm logarit : y log x,a 0,a 1.là hàm ngược của hàm mũ a y log y
x x a . a MXĐ x 0
Đồ thị nằm bên phải trục tung , đi qua điểm J(1,0)
Khi a > 1 hàm số luôn tăng, khi 0 < a < 1 hàm s l ố uôn giảm. 0 1 x o 1 x
a > 1 ( Dạng đồ thị ) 0 < a < 1
Các tính chất ( tham khảo SGK ).
Đặc biệt log x lgx , log x x ( logarit thập phân và logarit nepe e ln 10 ) 4) Các hàm lượng giác :
a) y =sinx : MXĐ D = R . Là hàm lẽ ,bị chặn ( 1
sin x 1 ) , đi
qua O(0,0), tuần hoàn chu kỳ T = 2
b) y = cosx : MXĐ D = R , là hàm chẳn , bị chặn ( 1
cos x 1 ) ,
đi qua I(0,1) , tuần hoàn chu kỳ T = 2 c) y = tanx = sin x :MXÐx
k (k Z) , là hàm lẽ , không bị chặn , cos x 2 tuần hoàn chu kỳ T =
d) y = cotx = cosx:MXÐ x
k ,k Z , là hàm lẽ , không bị chặn , tuần sin x hoàn chu kỳ T = .
5) Các hàm lượng giác ngược :
a) y = arcsinx : là hàm ngược c a ủ y = sinx với x [
, ], y arcsin x x sin y 2 2
Là hàm lẽ , bị chặn , không tuần hoàn.
b) y = arccosx : là hàm ngược của y = cosx với x [
0, ], y arccos x x cos y
Là hàm không chẳn , lẽ , bị chặn , không tuần hoàn.
c) y= arctanx : là hàm ngược của y = tanx với
x ( , ): y arctan x x tan y 2 2
Là hàm lẽ , bị chặn , không tuần hoàn.
d) y = arccotx : là hàm ngược của y = cotx với x (
0,): y arccot x x cot y
Là hàm không chẳn , lẽ , bị chặn , không tuần hoàn ( Ta có :
arcsinx arccosx ,arctan x arccot x ). 2 2
Chú thích : Các hàm sơ cấp là các phép toán trên các hàm sơ cấp cơ bản. BÀI TẬP :
1) Tìm MXĐ của các hàm số sau : a) y = 2 2
4x x lg(x 9) Hàm số xác định khi 2 4
x x 0 0 x 4
3 x 4 MXÐ D (3,4] 2 x 9 0
x 3Ux 3 b) y = 3 2 3 arcsin x x 5 Hàm số xác định khi 3 x 0 x 3 3 2 1
x 3 MXÐ D [ 1 ,3] x 1 1 1 x 4 5
2) Xét tính chẳn , lẽ của các hàm sau : a) f(x) = xa 1 x x a 1
MXĐ D =R ( tập đối xứng ) x a 1 x a 1
f (x) x x f ( ) x , ,
x x D x a 1 x a 1
Vậy f(x) là hàm chẳn trên D = R b) f(x) = 2
ln(x 1 x )
MXĐ D = R ( tập đối xứng) 2 1 2 f ( )
x ln(x (x) 1) ln
ln( x x 1 ) f ( ) x 2 x x 1
Vậy f(x) là hàm lẽ trên D = R
BÀI 2 : GIỚI HẠN HÀM SỐ
I) Các định nghĩa về giới hạn hàm số
Lân cận của 1 điểm trên 1 trục : (---------x ---------) 0 0 x 0 x
a) Lân cận tại 1 điểm x :U(x ) (x ,x ). , 0 khá bé 0 0 0 0
b) Lân cận bên trái tại x :U(x 0) (x ,x ) , 0 khá bé 0 0 0 0
c) Lân cận bên phải tại x :U(x 0)(x ,x ), 0 khá bé 0 0 0 0
1) Giới hạn hàm số tại 1 điểm : Cho hàm y = f(x) xác
định trong lân cận của x . Ta nói L là giới hạn của 0 hàm s khi ố
x tiến về x nếu với mọi 0 cho trước , 0
tồn tại 0phụ thuộc sao cho : 0 x x f (x) L 0 . Ký hiệu
f (x) L hay f (x) lim L x x xx 0 0
Ta có thể mô tả dưới ngôn ngữ toán học như sau : 2) Giới hạn một phía :
a) Giới hạn bên trái : x tiến về 0x bên trái
lim f (x) L ( 0, ( ) 0 : x x x f (x) L ) 0 0 x 0 x 0
b) Giới hạn bên phải: x tiến về ả 0 x bên ph i
lim f (x) L ( 0, ( ) 0: x x x f (x) L ) 0 0 x 0 x 0 Ta còn viết
x x 0 là x x
và x x 0 0 0 0 là x 0 x
c) Định Lý : Hàm số có giới hạn tại x khi và chỉ khi 0
nó có giới hạn bên trái và phải tại đó và các giới
hạn đó bằng nhau(lim f ( )x L lim f ( )x lim f ( )x ) L x x x x 0 0 0 x x 0 0 3) Giới hạn vô tận:
a) lim f ( )x (M 0,(M) 0:0 x x f ( )x M) 0 x 0 x
b) lim f (x) L ( 0, (
A ) 0 : x A f (x) L ) x
c) lim f (x) (M 0, (
A M ) 0 : x A f (x) M ) x
II) Các tính chất về giới hạn :
1)Tính chất 1: lim C C ( C là hằng số ) x 0 x
2)Tính chất 2: lim f ( )x Lthì L là duy nhất. x 0 x
3)Tính chất 3: lim f ( )x L. Nếu L > 0 ( hoặc L < 0 ) thì x 0 x
f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0 ) , x U
(x ), x x . 0 0
4)Tính chất 4: Nếu f(x) > 0 ( hoặc f(x) < 0 ) x
U(x ), x x L 0(hay L 0). 0 0
5)Tính chất 5:lim f ( )x L , lim g( ) . Nếu 1 x L2 x 0 x x 0 x
L L f ( ) x g( ) x , x
U(x ), x x 1 2 0 0
6)Tính chất 6: lim f (x) L lim f (x) L. x 0 x x 0 x
7)Tính chất 7: Nếu lim f (x) L ( L hữu hạn) thì f(x) bị x 0 x
chặn trong lân cận của x . 0
III) Các phép toán về giới hạn:
1) lim[ f (x) g(x)] lim f ( )x lim g( )x. x 0 x x 0 x x 0 x
2) lim[ f (x).g( )x] lim f ( )x.lim g( )x. x 0 x x 0 x x 0 x 3) f ( ) x lim lim f ( ) x / lim ( g ) x . x 0 x g(x) x 0 x x 0 x 4) Nếu lim ( u )
x u , lim f ( )
u L lim f[ ( u ) x ] . L 0 x 0 x u 0 u xx0
5) Nếu f(x) là hàm sơ cấp thì lim f( )x f( x ). 0 x 0 x IV)Các tiêu chu n t ẩ n t ồ i
ạ giới hạn của hàm s : ố
1.Tiêu chuẩn 1: Nếu f(x) g(x)và h(x) cùng xác định trong U(x ) sao cho : 0 f (x) ( h ) x g( ) x , x U
(x ), x x saocho lim f ( )
x lim g( ) 0 0 x L x 0 x x 0 x
lim h(x) L. x 0 x Áp d ng : ụ Ta có sin cos x x 1 x (0, ) x 2 sin x
lim cos x lim1 1 lim 1 x 0 x 0 x 0 x
Hệ quả : tan x lim 1 x 0 x Ví d : ụ a) tan 5x tan 5x 3x 5 5 Lim Lim . . x 0 x 0 sin 3x 5x sin 3x 3 3 tan3 3 x 5 b) tan3x 5x 2 3 lim lim x x 0 x 0 sin 2x 3 sin 2 x x 5 2 3 2x
2) Tiêu chuẩn 2 : Nếu f(x) là hàm không giảm và bị chặn trên với m i
ọ x>0 khá lớn thi t n t
ồ ại lim f (x) L . x * Áp d 1 ụng : 1 lim(1 ) x ,
e lim(1 x) x e 2,718 x x 0 x * H 1 ệ qu : ả a u (x ) a u (x ) Lim [1 ]
e , lim [1 a ( u ) x ] a e . ( u ) x ( u ) x 0 u(x) Ví d : ụ 1) 3 1 x x 3 3 sin sin lim(1 sin x) lim[1 sin x) ] e x 0 x 0 3sin x x 3sin sin x sin x x x ( ) x sinx sin 3 2)lim( ) lim(1 ) x x x e x 0 x 0 x x x1 x 1 1 3x 4 6 x 1 2 3 2 2(3x 2 ) 6 6 3)lim( ) lim[(1 ) ] (e )
x 3x 2 x 3x 2 e
Bài III) VÔ CÙNG BÉ VÀ VÔ CÙNG LỚN
I) Vô cùng bé ( VCB :
1) Định nghĩa : Hàm (x) được gọi là VCB khi
x x lim (x) 0 0 x 0 x Ví d :
ụ (x) sin x là VCB khi x 0 , 1
(x) làVCB khi x x
2) Liên hệ giữa VCB và giới hạn hàm s : ố
* Định lý: lim f ( )x L f ( )x LlàVCBkhi x 0 x x 0 x 3) Các: tính chất c a ủ VCB :
a) Tính chất 1) Nếu (x)và (x)là các VCB khi x x , hằng số 0 C là
thì C( )x,( )x. ( )x,( )x. ( )xlàVCBkhi x 0 x
b) Tính chất 2) Nếu (x)làVCBkhi x bị chặn trong lân cận 0 x và f (x)
của x thì(x).f (x) . 0 làVCB khi x x 0 Ví d : ụ sin x sin ( ). ( ) lim x x f x làVCB khi x 0 (vì x x x 1 cosx
(x) làVCB khi x , f (x) sin x bị chặn trên R) tương tự lim 0 x x x
4)So sánh các VCB : Cho (x),(x)là2VCBkhi x x khi đó: 0 a) Nếu (x) lim 0 thì( )
x làVCB bậc cao hơn (x) ( hoăc (x) là VCB x 0 x (x)
bậc thấp hơn (x))khi x x . 0 b) Nếu (x) lim
L( L 0, L )
ta nói chúng là các VCB ngang cấp ( cùng x 0 x (x)
bậc) trong quá trình đó. Đặc biệt nếu ( ) lim
x 1thì( )xvà ( ) x là 2VCB x x ( ) 0 x
tương đương trong quá trình đó . Ký hiệu : (x) i x x 0 c) Nếu (x) lim
L ( L 0,L ,k 0) ta nói (x)làVCB bậc k so với 0 [ (x)]k x x
(x)khi x x . 0
Một số ng g VCB tương đương thườ p khi ặ x 0 sau : sin x 2 x 1cos x x 0 2
5)Quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao và sử dụng VCB tương đương:
a) Ngắt bỏ VCB bậc cao : Nếu ( )
x là VCB bâc cao hon ( )
x khi x x thì lim[ ( ) x ( ) x ] Lim ( ) . 0 x x x 0 x x 0 Ví d : ụ 3 2
3x 4x 2x 2x lim lim 0,5 2 x 0 x 0 3x 4x 4x
b) Sử dụng VCB tương đương : Nếu ( ) x
i x x thì lim[(x). (x)] lim[ (x). ( ) x ]và 0 1 1 x 0 x x 0 x (x) (x) 1 lim lim x 0 x (x)
xx (x) 1 c) Ví d : ụ 2 2 ln(1 ax ) ax a 1) lim lim ,( a 0) 2 2 x 0 x 0 sin 3x (3 ) x 9 2
( vìln(1 ax ) ) 2) 2
1 cos(x cos 2x) (x cos 2x) 1 lim lim 2 2 x 0 x 0 3x 2.3x 6 3) 2 2 1 cos x 1cos x x 1 lim lim lim 2 2 2 x 0 x 0 x 0 tan x ( 2 1 cos ) x tan x 2.2 2 x 4 2 4) 2 2 2 x 2 x 2 2 e cos3x e 1 1 cos3x 2x (3 ) x 2 3 13 lim lim lim lim lim 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x tan 2x x tan 2x x tan 3x 3x 2.3x 3 2 6
II) Vô cùng lớn ( VCL )
1) Định nghĩa : Hàm f(x) được gọi là VCL khi
x x nêu lim f ( ) 0 x x x 0
2)Quan hệ giữa VCL và VCB: f(x) là VCL khi 1 x x
làVCB khi x x . 0 0 f ( ) x 3) Tính chất VCL:
3.1) Tính chất 1:Nếu f(x) và g(x) là 2 VCL khi x . Thì : 0 x
a) Cf(x) , f(x).g(x) cũng là các VCL trong quá trình trên , C khác 0.
b) f(x)+g(x) là VCL nều f(x) , g(x) cùng dấu trong quá trình đó
c) f(x)-g(x)-----------------------------khác dấu----------------------
3.2) Tính chất 2: Nếu f(x) là VCL khi x x và g(x) bị chặn 0
trong lân cận x thì f(x)+g(x) là VCL trong quá trình đó. 0
4) So sánh các VCL: Cho f(x) và g(x) là 2 VCL khi x . Khi 0 x đó: a) Nếu f (x) lim
, ta nói f(x) là VCL bậc cao hơn g(x) ( hoặc x 0 x g (x )
g(x) là VCL bậc thấp hơn f(x) ) trong quá trình đó. b) Nếu f (x) lim (
L L 0, L ) , ta nói f(x) và g(x) là 2 VCL ngang x 0 x g(x) cấp ( cùng b ậc ) trong quá trình đó. c) Nếu f ( ) x lim (
L 0,L ,
k 0) , ta nói f(x) là VCL bậc k so với
0 [g(x)]k x x g(x) trong quá trình đó. 5) Quy tắc ngắt b VC ỏ
L bậc thấp : Cho g(x) là VCL bậc thấp
hơn f(x) khi x x thì lim[f (x) g(x)] lim f (x) 0 x 0 x x 0 x Ví d : ụ 3 2 3 5x 2x 3 5x 5 lim lim 3 3 x 4x 3 x x 4x 4
III)Một số dạng vô định của giới hạn: 0 1) Dạng ,
0 : Để khử dạng vô định này ta có các phương pháp sau: Áp d ng bi ụ
ến đổi sơ cấp để rút g n bi ọ ểu thức
Sử dụng VCB tương đương. Sử dụng quy t ắc Lopital ( Chươn II )
2) Dang 0. : Sử d ng bi ụ p c ến đổi sơ cấ huyển về dạng 1) 3) Dang 1 : Áp d ng c ụ
ác công thức ở tiêu chuẩn 2 c a ủ giới hạn. 4) Dạng 0 0
0 ,0 , : Thường gặp ở dạng I = u x v x v x ln[ ( )] 0 ( ) ( ) lim[u(x)]
,tacó ln I lim ln[u(x)] lim ( , ) A
A I e x x x x x x 1 0 0 0 0 ( v ) x Các ví dụ : 1) I =
x 1 1 x 0 2x 1 lim ( ) lim x 0 x 0 3x 0 3 ( x x 1 1 x) 3
2sin x(sin x cos ) x 2) I =
1 sin x cos x
1 cos x sin x 0 2 2 2 lim lim ( ) lim 1 x 0 x 0 x 0
1 sin x cos x
1 cos x sin x 0
2sin x(sin x cos x) 2 2 2 3) I = 2 1 1 1 cos lim( )( ) lim
x lim x 0 x 0 x 0 x 0 sin x tan x sin x 2x 4) I = u cos
lim( ) tan (0.) lim tan( ) lim u x x u u 1 u 0 u 0 x 2 2 sin u 2 2 1 5) I= 1 tan x 2 2 2x 2 tan x 2 lim (1 tan ) x (1 ) lim[(1 tan ) x ] x e x 0 x 0 6) I = x 1 x x 1 x) lim (sin x 1 sin ) x lim 2cos( )sin( 0 x x 2 2
III) HÀM LIÊN TỤC VÀ GIÁN ĐOẠN
1) Hàm liên tục: 1.1) Các định nghĩa : a) Hàm liên t c
ụ tại 1 điểm : Hàm y = f(x) gọi là liên tục tại x 0
nếu : f(x) xác định tại x và lân cận c a ủ ng th i 0 0 x , đồ ờ lim f ( )
x f ( x ) . 0 x 0 x b) Hàm f(x) g i ọ là liên t c
ụ bên trái tại 0x nếu f(x) xác định tại
x vàU (x 0) , đồng thời lim f (x) f (x ). 0 0 0 x 0 x 0 c) Hàm f(x) g i ọ là liên t ,b)c ụ
bên phải tại x nếu f(x) xác định 0
tại x vàU(x 0), đồng thời lim f (x) f (x ) 0 0 0 x 0 x 0
Định lý 1 : f(x) liên tục tại ụ ả ạ 0
x f(x) liên t c bên trái và ph i t i đó d) Hàm f(x) g i ọ là liên t c
ụ trong (a,b) nếu nó liên tục tại m i ọ x thuôc khoảng đó e) Hàm f(x) g i
ọ là liên tuc trên [a,b] nó liên t c ụ trong (a,b), liên t c
ụ bên phải tại a , bên trái tại b.
Định lý 2: Tất cả các hàm sơ cấp đều luôn liên tục trên MXĐ của nó.
1.2) Các phép toán về hàm liên tục:
a) Định lý 3: Nếu f(x) , g(x) liên tục tại 0x thì Cf(x) , f(x)+g(x),
f(x).g(x) cũng liên tục tại đó , đồng thời f(x)/g(x) cũng liên
tục tại x ,trongdóg(x ) 0. 0 0
b) Định lý 4: Nếu u = u(x) liên t c ụ tại ụ ạ 9
x và y = f(u) liên t c t i
u u(x ) thì y=f[u(x)] cũng liên tục tại x . 0 0 0
1.3) Các tính chất hàm liên tục trên 1 đoạn
1) Tính chất 1: Nếu f(x) liên t c ụ trên [a,b]
thì f(x) bị chặn và tồn tại GTLN, GTNN trên đó.
2) Tính chất 2 : Nếu f(x) liên t c ụ trên [a,b] và f(a).f(b)<0 thì t n t ồ ại c nằm trong [a,b] có f(c) = 0
3)Tính chất 3 : Nếu f(x) liên t c
ụ trên [a,b] có M ,m là GTLN ,GTNN và [ ,
m M ]thìc[ , a ] b có f ( ) c sin x Các ví d : ụ 1) Cho f(x) = khi x 0 x Chứng minh f(x) liên 1 khi x 0 tục trên R Ta có x
0thì f(x) là hàm sơ cấp nên nó liên tục và sin x
lim f (x) lim
1 f (0) f (x) liên t c
ụ tại x = 0 . Vậy f(x) liên t c ụ x 0 x 0 x trên R 2) Cho f(x) = x 1 khi x 1 Tìm a để f(x) liên t c ụ trên R 2 3 ax khi x 1
Khi x < 1 hoặc x > 1 thì f(x) là hàm sơ cấp nên nó luôn liên tục
, để f(x) liên tục trên R thì nó phải liên tục tại x = 1. Lúc đó
lim f (x) lim f (x) f (1) 2 3 a a 1 x 1 0 x 1 0 2)Hàm gián đoạn:
2.1) Định nghĩa : Hàm f(x) gọi là bị gián đoạn tại ế 0 x n u nó không liên t c ụ tại đó. 2.2) ng h Các trườ ợp hàm gián đoạn:
a) Nếu f(x) không xác định tại điểm nào thì bị gián đoạn tại đó . Chẳng hạn :
* f(x) = sin x bị gián đoạn tại x = 0. x
* f(x) = 1 bị gián đoạn tại x = 3 x 3
b) Nếu lim f ( )x f (x ) thì f(x) bị gián đoạn tại x 0 0 x 0 x ví d :
ụ Cho hàm f(x) = giánTa có sin x
lim f (x) lim
1 f (0) 2, Vây x 0 x 0 x
f(x) bị gián đoạn tại x = 0 2.3) Phân lo n :
ại điểm gián đoạ Nếu f(x) bị gián đoạn tại
x và lim f ( )
x L , lim f ( )
x L ( hữu hạn ) ta nói đó là điểm gián 0 1 2 x 0 x 0 x x0 0
đoạn loại 1 có bước nhảy là L L ( nếu bước nhảy bằng 0 ta nói 2 1
đó là gián đoạn bỏ đươc ). Các điểm gián đoạn ngoài loại 1 thì
đó là điểm gián đoạn loại 2 Ví dụ n
: Tìm điểm gián đoạ đoạn và phân loại
1) f(x) = x bị gián đoạn khi x = k ,k Z sin x Khi k = 0 thì x x lim 1và lim 1. V m ậy x = 0 là điể gián x 0 0 x 0 0 sin x sin x đoạn lọai 1 bỏ đ ợ ư c Khi x k 0 thì lim
, Vậy đó là đỉể n l m gián đoạ oại 2 x k sin x
2) f(x) = 7 x 3 bị gián đoạn tại x = -2 và x = 2 2 x 4 Ta có 7 x 3 x 2 lim lim .Vậy x = - m 2 là điể 2 x 2 x 2 x 4
(x 2)(x 2)( 7 x 3) gián đoạn loại 2 Và x 2 1 1
lim f (x) lim , lim f (x) . Vây x= 2 là x 2 0 x20 x 2 0
(x 2)(x 2)( 7 x 3) 24 24
điểm gián đoạn loại 1 bỏ được
3) f)x) = tan x bị gián đoạn khi x = k,k Z và x x 2 khi x
k f ( )
x . Đó là điểm gián đoạn loại 2 2
Khi x = lim f (x) lim f ( )x 1
x là điểm gián đoạn loại 1 bỏ x 0 x 0 được.
4) f(x) = cot x ( Tương tự như bài 3) x k là điểm gián đoạn 2 x loại 2 . x
là điểm gián đoạn loaij1 b ỏ được ) 2 BÀI TẬP 2 1 1 x
(1 x )sin(x 1) ln(1 2x)sin 3 1) lim ; 2) lim ;3) lim x I I I 2 2 x 1 x 0 x 1 x 0 3x sin 2x (e 1)ln x
1 1 x tan 2x 2 3x tan 2 x 4) I lim ; x 0 sin 3 ( x 1 cos 2 x) 2x 3 2x 3 5) I lim( ) ; x 2x 5 2 1 x 2x 1 6)I lim(
)x ;7) lim(cos x)x ;8) I lim [ x ln( x ) a ln ] x 2 x x0 x 4x 2 x x 1 khi x 1 9) Xét tính liên t c ụ c a ủ f(x) = cos x khi x 1 2
10) Tim A,B để f(x) sau liên tục trên R : 2 sin x khi x 2 f(x) =
Asin x B khi x 2 2 cosx khi x 2
11) Tìm điển gián đoạn và phân loại : a) f(x) = x 2x x 6 x 3 , ) b f ( ) x , ) c f ( ) x , d) f ( ) x 2 tan x cot x sin 2x x 9