Chương III - Giải tích 2 - Nhóm ngành 1 - Giải tích II (MI1120) | Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

lOMoAR cPSD| 44729304
TÍCHPHÂNPHỤTHUỘCTHAMSỐ Mục lục
I Tích phân xác định phụ thuộc tham số 2 1
Tích phân xác định phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1
Tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2
Tính khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3
Tính khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2
Tích phân xác định với cận biến đổi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1
Tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2
Tính khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 6 1
Khái niệm tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2
Tính chất của tích phân suy rộng hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1
Tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2
Tính khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3
Tính khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3
Một số tích phân quan trọng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
III Tích phân Euler 10 1 Hàm Gamma
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1
Định nghĩa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2
Tính chất: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2
Hàm Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1
Định nghĩa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2
Tính chất: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 I
Tích phân xác định phụ thuộc tham số 1
Tích phân xác định phụ thuộc tham số
Định nghĩa 1. Xét
, trong đó f(x,y) khả tích theo x trên [a,b] với mỗi y ∈ [c,d].
Tích phân này được gọi là tích phân phụ thuộc tham số y. lOMoAR cPSD| 44729304
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập 1.1 Tính liên tục b b b lim
f ( x,y ) dx =
lim f ( x,y ) dx =
f ( x,y 0 ) dx = I ( y 0 )
Định lý 1. Nếu y → y 0 a
a y → y 0 a
f(x,y) liên tục
trên [a,b] × [c,d] thì I(y) liên tục trên [c,d] và: 1.2 Tính khả vi
Định lý 2. Nếu f(x,y) liên tục theo x trên [a,b] với ∀y ∈ [c,d] và fy′(x,y) liên tục trên [a,b]×[c,d] thì
I(y) là hàm số khả vi trên (c,d) và: b I ′ ( y )=
f ′ y ( x,y ) dx a f ( x,y )
[ a,b ] × [ c,d ] I ( y ) [ c,d ] d d b b d I ( y ) dy =
f ( x,y ) dx dy =
f ( x,y ) dy dx c c a a c 2 A 4 2 = lim
x cos x ydx y → 0 0
[Hướng dẫn giải] +) Xét hàm số
là hàm số liên tục trên [0,2] × [−1,1].
Do đó, hàm số I(y) = ylim ˆ x4 cosx2y dx liên tục trên [−1,1]. →0 0
Mà đoạn [−1,1] chứa điểm 0, do đó, I(y) liên tục tại y = 0. +) Vậy ta có: . 1 x I ( y )= arctan dx. y 0
[Hướng dẫn giải] +) Đặt có: 1 lOMoAR cPSD| 44729304
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
• f(x,y) liên tục trên [0;1] × [c;d] với 0 ∈/ [c;d] •
liên tục trên [1;0] × [c;d] với 0 ∈/ [c;d]
⇒ I(y) khả vi ∀ y ̸= 0
+) Thay y = 1 vào ta có: Vậy
2 Tích phân xác định với cận biến đổi Xét tích phân . 2.1 Tính liên tục
Định lý 4. Nếu f(x,y) liên tục trên [a,b]×[c,d], các hàm số a(y),b(y) liên tục trên [c,d] thỏa mãn điều
kiện a ≤ a(y),b(y) ≤ b ∀ y ∈ [c,d] thì I(y) là hàm số liên tục đối với y trên [c,d]. lOMoAR cPSD| 44729304
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
f ( x,y ) ,f ′ y ( x,y )
[ a,b ] × [ c,d ] và các hàm a ( y ) ,b ( y ) [ c,d ]
a ≤ a ( y ) ,b ( y ) ≤ b ∀ y ∈ [ c,d ]
I ( y ) là hàm số khả vi đối với y [ c,d ] b ( y ) I
′ ( y )= f ( b ( y ) ,y ) .b ′ y ( y ) − f ( a ( y ) ,y ) .a ′ y ( y )+
f ′ y ( x,y ) dx a ( y ) x +1 dy B = lim x → 1 1+ y 2 + x 3 cos x
Nháp: Ta chọn x ∈ [0,2] chứa x = 1. Với x ∈ [0,2] ⇒ cos x ∈ [cos 2,1], (x + 1) ∈ [1,3] nên ta chọn
được cận y ∈ [cos 2,3].
[Hướng dẫn giải] +) Đặt .
+) Nhận thấy f(x,y) liên tục trên D = [0,2] × [cos 2,3].
+) Các hàm số: α(x) = cos x , β(x) = x + 1 liên tục ∀ x ∈ [0,2] và α(x),β(x) ∈ [cos 2,3] ∀x ∈ [0,2].
Do đó I(x) liên tục trên
liên tục tại x = 1. +) Vậy ta có: 2 √ dy 1 y cos1 2 arctan( 2) − arctan( √ ) B 2
= lim I ( x )= I (1)= = √ arctan( √ ) = √ x → 1 2+ y 2 2 2 cos1 2 cos1 y ln(1+ yx ) I ( y )= 1+ x 2 dx I ′ (2) . 0 +) Đặt +) Nhận thấy:
• f(x,y) liên tục trên [0,+∞) × [0,+∞) •
liên tục trên [0,+∞) × [0,+∞) 3 lOMoAR cPSD| 44729304
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
• B(y) = y và A(y) = 0 khả vi trên [0,+∞) nên ta có I(y) khả vi trên [0,+∞)
⇒ I(y) khả vi trên +) Vậy . lOMoAR cPSD| 44729304
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập II
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số +∞
Xét tích phân I(y) = ˆ f(x,y)dx, trong đó f(x,y) là hàm số xác định trên [a,+∞]×[c,d], với mỗi y ∈ [c,d] cố định,
khả tích theo x trên [a,b], ∀b > a. 1 Khái niệm tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
Định nghĩa 2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số là: +) Ta có : +) Mà là tích phân xác định
Vậy tích phân đã cho hội tụ đều ∀y ∈ R. 5 lOMoAR cPSD| 44729304
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập 2
Tính chất của tích phân suy rộng hội tụ đều 2.1 Tính liên tục
Định lý 7. Nếu f(x,y) liên tục trên [a,+∞] × [c,d] và tích phân suy rộng hội tụ
đều đối với y ∈ [c,d] thì I(y) là hàm số liên tục trên [c,d], và: + ∞ + ∞ + ∞ lim I ( y )= lim
f ( x,y ) dx =
lim f ( x,y ) dx =
f ( x,y 0 ) dx = I ( y 0 ) y → y 0 y → y 0 y → y 0 2.2 a a a Tính khả vi
Định lý 8. Giả sử hàm số f(x,y) xác định trên [a,+∞] × [c,d] sao cho với mỗi y ∈ [c,d], hàm số f(x,y)
liên tục đối với
liên tục trên [a,+∞] × [c,d]. Nếu tích phân suy rộng hội tụ và
hội tụ đều đối với y ∈ [c,d] thì I(y) là hàm số
khả vi trên [c,d] và: + ∞ I ′ ( y )=
f ′ y ( x,y ) dx ⇒ a f ( x,y )
[ a, + ∞ ] × [ c,d ] I ( y ) y ∈ [ c,d ] I ( y ) [ c,d ] d d + + d ∞ ∞ I ( y ) dy =
f ( x,y ) dx dy =
f ( x,y ) dy dx c c a a c ∞ cos( yx ) A = lim y → 0 1+ x 2 dx 0
[Hướng dẫn giải] +) Xét hàm số
là hàm số liên tục trên +) Ta có: Lại có:
là tích phân xác định. lOMoAR cPSD| 44729304
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập 1 1 − ; 2 2 0 + ∞ + ∞ + ∞ cos( cos( 1 ⇒ yx ) yx ) A = lim dx = lim dx = dx y → 0 1+ x 2 y → 0 1+ x 2 1+ x 2 0 0 0 + ∞ π = arctan x = . 0 2 + ∞
e − αx − e − βx I = α,β + x ∈ 0 hội tụ đều với
theo tiêu chuẩn Weierstrass (2) +) Ta thấy: Khi đó:
+) Xét tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
Ta có: f(x,y) = e−yx liên tục trên miền [0;+∞] × [α;β] (1) Và: , mà hội tụ với .
Do đó, theo tiêu chuẩn Weierstrass ta có:
hội tụ đều (2). +) Từ (1) và (2), ta có: .
3 Một số tích phân quan trọng + ∞ sin x π dx = 0 x 2 7 lOMoAR cPSD| 44729304
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập + √ ∞ π e − x 2 dx = 0 2 + + ∞ ∞ 1r π sin( 2 2 x ) dx = cos( x ) dx = 0 0 2 2 lOMoAR cPSD| 44729304
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập III Tích phân Euler 1 Hàm Gamma 1.1 Định nghĩa: + ∞ Γ( p p )=
x − 1 e − x dx (0 , + ∞ ) 0 1.2 Tính chất:
▶ Hạ bậc: Γ(p + 1) = pΓ(p), với p > 0. Ý nghĩa của tính chất này là ta chỉ cần nghiên cứu Γ(p) với 0 < p ≤ 1. ▶ Đặc biệt:
• Γ(1) = 1 nên Γ(n) = (n − 1)! ∀n ∈ N • N
▶ Đạo hàm của hàm Gamma: ▶
, với mọi 0 < p < 1 2 Hàm Beta 1 B p q ( p,q )=
x − 1 (1 − x ) − 1 dx 0 + ∞ x p − 1 B ( p,q )= dx 0
(1+ x ) p + q π 2 B 2 p 2 q ( p,q )=2
sin − 1 ( t ) . cos − 1 ( t ) dt 0
▶ Tính đối xứng: B(p,q) = B(q,p) ▶ Hạ bậc:
, nếu p > 1 nếu q > 1 9 lOMoAR cPSD| 44729304
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
Ý nghĩa của công thức trên ở chỗ muốn nghiên cứu hàm Beta ta chỉ cần xét trong khoảng (0,1] x (0,1] mà thôi.
▶ Đặc biệt, B(1,1) = 1 nên:
▶ Công thức liên hệ giữa hàm Beta và Gamma: ▶ + ∞ x3
e − x 2 dx 0
[Hướng dẫn giải] +) Đặt .
+) Tại x = 0 thì t = 0, khi x → +∞ thì t → +∞ +) Khi đó ta có:
Ví dụ 9. Tính
[Hướng dẫn giải] +) Đặt . x 0 3 Đổi cận: t 0 1 +) Khi đó ta có: