Chuyên đề bất đẳng thức

Tài liệu gồm 28 trang trình bày các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức. Mời mọi người đón xem

77 39 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán

Môn: Môn Toán

Thông tin:

28 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
1
Chuyên ñề: BẤT ðẲNG THỨC
A.MỤC TIÊU:
1-Học sinh nắm vững một số phương pháp chứng minh bất ñẳng thức.
2-Một số phương pháp và bài toán liên quan ñến phương trình bậc hai sử dụng công
thức nghiệm sẽ cho học sinh học sau.
3-Rèn kỹ năng và pp chứng minh bất ñẳng thức.
B- NỘI DUNG
PHẦN 1 : CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý
1- ðịnh nghĩa
2- Tính chất
3-Một số hằng bất ñẳng thức hay dùng
PhÇn 2:mét sè ph−¬ng ph¸pchøng minh bÊt®¼ng thøc
1-Ph−¬ng ph¸p dïng ®Þnh nghÜa
2- Ph−¬ng ph¸p dïng biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng
3- Ph−¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc quen thuéc
4- Ph−¬ng ph¸p sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu
5- Ph−¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt tØ sè
6- Ph−¬ng ph¸p lµm tréi
7- Ph−¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c
8- Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè
9- Ph−¬ng ph¸p dïng tam thøc bËc hai
10- Ph−¬ng ph¸p quy n¹p
11- Ph−¬ng ph¸p ph¶n chøng
PhÇn 3 :c¸c bµi tËp n©ng cao
PHÇN 4 : øng dông cña bÊt ®¼ng thøc
1- Dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ó t×m cùc trÞ
2-Dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ bÊt ph−¬ng tr×nh
3-Dïng bÊt ®¼ng thøc gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn
PhÇn I : c¸c kiÕn thøc cÇn l−u ý
2
1-§inhnghÜa
0
0
A B A B
A B A B
≥ ⇔ − ≥
≤ ⇔ − ≤
2-tÝnh chÊt
+ A>B
AB
<
⇔
+ A>B vµ B >C
CA
>
⇔
+ A>B
⇒
A+C >B + C
+ A>B vµ C > D
⇒
A+C > B + D
+ A>B vµ C > 0
⇒
A.C > B.C
+ A>B vµ C < 0
⇒
A.C < B.C
+ 0 < A < B vµ 0 < C <D
⇒
0 < A.C < B.D
+ A > B > 0
⇒
A
n
> B
n
n
∀
+ A > B
⇒
A
n
> B
n
víi n lÎ
+ A > B
⇒
A
n
> B
n
víi n ch½n
+ m > n > 0 vµ A > 1
⇒
A
m
> A
n
+ m > n > 0 vµ 0 <A < 1
⇒
A
m
< A
n
+A < B vµ A.B > 0
⇒
B
A
11
>
3-mét sè h»ng bÊt ®¼ng thøc
+ A
2
0 víi
∀
A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 )
+ A
n
≥
0 víi
∀
A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 )
+ 0≥A víi
A
∀
(dÊu = x¶y ra khi A = 0 )
+ - A < A < A
+
A B A B
+ ≥ +
( dÊu = x¶y ra khi A.B > 0)
+ BABA −≤− ( dÊu = x¶y ra khi A.B < 0)
PhÇn II : mét sè ph−¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Ph−¬ng ph¸p 1 : dïng ®Þnh nghÜa
KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B
Ta chøng minh A –B > 0
L−u ý dïng h»ng bÊt ®¼ng thøc M
2
≥
0 víi∀ M
VÝ dô 1 ∀ x, y, z chøng minh r»ng :
3
a) x
2
+ y
2
+ z
2
xy+ yz + zx
b) x
2
+ y
2
+ z
2
2xy – 2xz + 2yz
c) x
2
+ y
2
+ z
2
+3
2 (x + y + z)
Gi¶i:
a) Ta xÐt hiÖu
x
2
+ y
2
+ z
2
- xy – yz - zx
=
2
1
.2 .( x
2
+ y
2
+ z
2
- xy – yz – zx)
=
2
1
[
]
0)()()(
222
≥−+−+− zyzxyx
®óng víi mäi x;y;z
R
∈
V× (x-y)
2
≥
0 víi∀x ; y DÊu b»ng x¶y ra khi x=y
(x-z)
2
≥
0 víi∀x ; z DÊu b»ng x¶y ra khi x=z
(y-z)
2
≥
0 víi∀ z; y DÊu b»ng x¶y ra khi z=y
VËy x
2
+ y
2
+ z
2
xy+ yz + zx
DÊu b»ng x¶y ra khi x = y =z
b)Ta xÐt hiÖu
x
2
+ y
2
+ z
2
- ( 2xy – 2xz +2yz )
= x
2
+ y
2
+ z
2
- 2xy +2xz –2yz
=( x – y + z)
2
0
≥
®óng víi mäi x;y;z
R
∈
VËy x
2
+ y
2
+ z
2
2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z
R
∈
DÊu b»ng x¶y ra khi x+y=z
c) Ta xÐt hiÖu
x
2
+ y
2
+ z
2
+3 – 2( x+ y +z )
= x
2
- 2x + 1 + y
2
-2y +1 + z
2
-2z +1
= (x-1)
2
+ (y-1)
2
+(z-1)
2
0
DÊu(=)x¶y ra khi x=y=z=1
VÝ dô 2: chøng minh r»ng :
a)
2
22
22
+
≥
+ baba
;b)
2
222
33
++
≥
++ cbacba
c) Hy tæng qu¸t bµi to¸n
gi¶i
a) Ta xÐt hiÖu
2
22
22
+
−
+ baba
=
(
)
4
2
4
2
2222
bababa ++
−
+
=
(
)
abbaba 222
4
1
2222
−−−+
=
( )
0
4
1
2
≥− ba
4
VËy
2
22
22
+
≥
+ baba
DÊu b»ng x¶y ra khi a=b
b)Ta xÐt hiÖu
2
222
33
++
−
++ cbacba
=
( ) ( ) ( )
[
]
0
9
1
222
≥−+−+− accbba
VËy
2
222
33
++
≥
++ cbacba
DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c
c)Tæng qu¸t
2
21
22
2
2
1
........
+++
≥
+++
n
aaa
n
aaa
nn
Tãm l¹i c¸c b−íc ®Ó chøng minh A
B tho ®Þnh nghÜa
B−íc 1: Ta xÐt hiÖu H = A - B
B−íc 2:BiÕn ®æi H=(C+D)
2
hoÆc H=(C+D)
2
+….+(E+F)
2
B−íc 3:KÕt luËn A ≥ B
VÝ dô:(chuyªn Nga- Ph¸p 98-99)
Chøng minh ∀m,n,p,q ta ®Òu cã
m
2
+ n
2
+ p
2
+ q
2
+1≥ m(n+p+q+1)
Gi¶i:
01
4444
2
2
2
2
2
2
2
≥
+−+
+−+
+−+
+−⇔ m
m
qmq
m
pmp
m
nmn
m
01
2222
2222
≥
−+
−+
−+
−⇔
m
q
m
p
m
n
m
(lu«n ®óng)
DÊu b»ng x¶y ra khi
=−
=−
=−
=−
01
2
0
2
0
2
0
2
m
q
m
p
m
n
m
⇔
=
=
=
=
2
2
2
2
m
m
q
m
p
m
n
⇔
===
=
1
2
qpn
m
ph−¬ng ph¸p 2 : Dïng phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng
L−u ý:
5
Ta biÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi bÊt ®¼ng thøc ®óng
hoÆc bÊt ®¼ng thøc ® ®−îc chøng minh lµ ®óng.
Chó ý c¸c h»ng ®¼ng thøc sau:
(
)
22
2
2 BABABA ++=+
(
)
BCACABCBACBA 222
222
2
+++++=++
(
)
3223
3
33 BABBAABA +++=+
VÝ dô 1:
Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng
a)
ab
b
a ≥+
4
2
2
b)
baabba ++≥++ 1
22
c)
(
)
edcbaedcba +++≥++++
22222
Gi¶i:
a)
ab
b
a ≥+
4
2
2
abba 44
22
≥+⇔ 044
22
≥+−⇔ baa
(
)
02
2
≥−⇔ ba
(bÊt ®¼ng thøc nµy lu«n ®óng)
VËy
ab
b
a ≥+
4
2
2
(dÊu b»ng x¶y ra khi 2a=b)
b)
baabba ++≥++ 1
22
)
)(21(2
22
baabba ++>++⇔
012122
2222
≥+−++−++−⇔ bbaababa
0)1()1()(
222
≥−+−+−⇔ baba
BÊt ®¼ng thøc cuèi ®óng.
VËy
baabba ++≥++ 1
22
DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=1
c)
(
)
edcbaedcba +++≥++++
22222
⇔
(
)
(
)
edcbaedcba +++≥++++ 44
22222
⇔
(
)
(
)
(
)
(
)
044444444
22222222
≥+−++−++−++− cacadadacacababa
⇔
(
)
(
)
(
)
(
)
02222
2222
≥−+−+−+− cadacaba
BÊt ®¼ng thøc ®óng vËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
VÝ dô 2:
Chøng minh r»ng:
(
)
(
)
(
)
(
)
4488221010
babababa ++≥++
Gi¶i:
(
)
(
)
(
)
(
)
4488221010
babababa ++≥++
⇔
128448121210221012
bbabaabbabaa +++≥+++
⇔
(
)
(
)
0
22822228
≥−+− abbababa
⇔
a
2
b
2
(a
2
-b
2
)(a
6
-b
6
)
0
⇔
a
2
b
2
(a
2
-b
2
)
2
(a
4
+ a
2
b
2
+b
4
)
0
BÊt ®¼ng thøccuèi ®óng vËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
VÝ dô 3: cho x.y =1 vµ x.y
6
Chøng minh
yx
yx
−
+
22
22
Gi¶i:
yx
yx
−
+
22
22 v× :x
〉
y nªn x- y
〉
0
⇒
x
2
+y
2
22 ( x-y)
⇒
x
2
+y
2
- 22 x+ 22 y
0
⇔
x
2
+y
2
+2- 22 x+ 22 y -2
0
⇔
x
2
+y
2
+( 2 )
2
- 22 x+ 22 y -2xy
0 v× x.y=1 nªn 2.x.y=2
⇒
(x-y- 2 )
2
0 §iÒu nµy lu«n lu«n ®óng . VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
VÝ dô 4:
1)CM: P(x,y)=
01269
222
≥+−−+ yxyyyx
Ryx
∈
∀
,
2)CM:
cbacba ++≤++
222
(gîi ý :b×nh ph−¬ng 2 vÕ)
3)choba sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z tháa mn:
++<++
=
zyx
zyx
zyx
111
1..
Chøng minh r»ng :cã ®óng mét trong ba sè x,y,z lín h¬n 1
(®Ò thi Lam S¬n 96-97)
Gi¶i:
XÐt (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(
zyx
111
++
)=x+y+z - (
0)
111
>++
zyx
(v×
zyx
111
++
< x+y+z theo
gt)
→
2 trong 3 sè x-1 , y-1 , z-1 ©m hoÆc c¶ ba sç-1 , y-1, z-1 lµ d−¬ng.
NÕñ tr−êng hîp sau x¶y ra th× x, y, z >1
→
x.y.z>1 M©u thuÉn gt x.y.z=1 b¾t buéc
ph¶i x¶y ra tr−êng hîp trªn tøc lµ cã ®óng 1 trong ba sè x ,y ,z lµ sè lín h¬n 1
Ph−¬ng ph¸p 3: dïng bÊt ®¼ng thøc quen thuéc
A/ mét sè bÊt ®¼ng thøc hay dïng
1) C¸c bÊt ®¼ng thøc phô:
a)
xyyx 2
22
≥+
b)
xyyx ≥+
22
dÊu( = ) khi x = y = 0
c)
(
)
xyyx 4
2
≥+
d)
2≥+
a
b
b
a
2)BÊt ®¼ng thøc C« sy:
n
n
n
aaaa
n
aaaa
....
....
321
321
≥
Víi
0>
i
a
3)BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski
(
)
(
)
(
)
2
2211
22
2
2
1
22
2
2
2
.............
nnnn
xaxaxaxxaaa +++≥++++++
4) BÊt ®¼ng thøc Trª- b−-sÐp:
7
NÕu
≤≤
≤≤
CBA
cba
⇒
3
.
3
3
CBAcbacCbBaA
≥
NÕu
≥≥
≤≤
CBA
cba
⇒
3
.
3
3
CBAcbacCbBaA
≤
DÊu b»ng x¶y ra khi
==
==
CBA
cba
b/ c¸c vÝ dô
vÝ dô 1 Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng
(a+b)(b+c)(c+a)
8abc
Gi¶i:
C¸ch 1:Dïng bÊt ®¼ng thøc phô:
(
)
xyyx 4
2
≥+
Tacã
(
)
abba 4
2
≥+
;
(
)
bccb 4
2
≥+
;
(
)
acac 4
2
≥+
⇒
(
)
2
ba +
(
)
2
cb +
(
)
2
ac +
(
)
2
222
864 abccba =
⇒
(a+b)(b+c)(c+a)
8abc
DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c
vÝ dô 2(tù gi¶i): 1)Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=1 CMR:
9
111
≥++
c
b
a
(403-1001)
2)Cho x,y,z>0 vµ x+y+z=1 CMR:x+2y+z
)1)(1)(1(4 zyx
3)Cho a>0 , b>0, c>0
CMR:
2
3
≥
+
+
+
+
+
b
a
c
a
c
b
c
b
a
4)Cho x
0
≥
,y
0
≥
tháa mn
12 =− yx
;CMR: x+y
5
1
≥
vÝ dô 3: Cho a>b>c>0 vµ
1
222
=++ cba
chøng minh r»ng
3 3 3
1
2
a b c
b c a c a b
+ + ≥
+ + +
Gi¶i:
Do a,b,c ®èi xøng ,gi¶ sö a
b
c
⇒
+
≥
+
≥
+
≥≥
ba
c
ca
b
cb
a
cba
222
¸p dông B§T Trª- b−-sÐp ta cã
+
+
+
+
+
++
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ca
b
cb
acba
ba
c
c
ca
b
b
cb
a
a
.
3
...
222
222
=
2
3
.
3
1
=
2
1
VËy
2
1
333
≥
+
+
+
+
+
b
a
c
c
a
b
c
b
a
DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c=
3
1
vÝ dô 4:
Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng :
(
)
(
)
(
)
10
2222
≥+++++++++ acddcbcbadcba
Gi¶i:
8
Ta cã
abba
2
22
≥+
cddc
2
22
≥+
Do abcd =1 nªn cd =
ab
1
(dïng
2
11
≥+
x
x
)
Ta cã
4)
1
(2)(2
222
≥+=+≥++
ab
abcdabcba
(1)
MÆt kh¸c:
(
)
(
)
(
)
acddcbcba +++++
=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
=
222
111
++≥
++
++
+
bc
bc
ac
ac
ab
ab
VËy
(
)
(
)
(
)
10
2222
≥+++++++++ acddcbcbadcba
vÝ dô 5: Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng:
222222
)()( dcbadbca +++≤+++
Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski
tacã ac+bd
2222
.
dcba ++
mµ
(
)
(
)
(
)
2222
22
2 dcbdacbadbca +++++=+++
(
)
22222222
.2 dcdcbaba ++++++≤
⇒
222222
)()( dcbadbca +++≤+++
vÝ dô 6: Chøng minh r»ng
acbcabcba ++≥++
222
Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski
C¸ch 1: XÐt cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã
(
)
(
)
2
222222
.1.1.1)(111 cbacba ++≥++++
⇒
3
(
)
(
)
acbcabcbacba +++++≥++ 2
222222
⇒
acbcabcba ++≥++
222
§iÒu ph¶i chøng minh DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c
Ph−¬ng ph¸p 4: Sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu
L−u ý: A>B vµ b>c th× A>c
0< x <1 th× x
2
<x
vÝ dô 1:
Cho a, b, c ,d >0 tháa mn a> c+d , b>c+d
Chøng minh r»ng ab >ad+bc
Gi¶i:
Tacã
+>
+>
dcb
dca
⇒
>>−
>>−
0
0
cdb
dca
⇒
(a-c)(b-d) > cd
⇔
ab-ad-bc+cd >cd
9
⇔
ab> ad+bc (®iÒu ph¶i chøng minh)
vÝ dô 2:
Cho a,b,c>0 tháa mn
3
5
222
=++ cba
Chøng minh
abc
c
b
a
1111
<++
Gi¶i:
Ta cã :( a+b- c)
2
= a
2
+b
2
+c
2
+2( ab –ac – bc)
〉
0
⇒
ac+bc-ab
〈
2
1
( a
2
+b
2
+c
2
)
⇒
ac+bc-ab
6
5
≤
〈
1 Chia hai vÕ cho abc > 0 ta cã
c
b
a
111
−+
〈
abc
1
vÝ dô 3
Cho 0 < a,b,c,d <1 Chøng minh r»ng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
Gi¶i:
Ta cã (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
Do a>0 , b>0 nªn ab>0
⇒
(1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
Do c <1 nªn 1- c >0 ta cã
⇒
(1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
⇒
(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)
=1-a-b-c-d+ad+bd+cd
⇒
(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
(§iÒu ph¶i chøng minh)
vÝ dô 4
1- Cho 0 <a,b,c <1 . Chøng minh r»ng
accbbacba
222333
3222 +++<++
Gi¶i :
Do a < 1
⇒
1
2
<a
vµ
Ta cã
(
)
(
)
01.1
2
<−− ba
⇒
1-b-
2
a
+
2
a
b > 0
⇒
1+
2
a
2
b
>
2
a
+ b
mµ 0< a,b <1
⇒
2
a
>
3
a
,
2
b
>
3
b
Tõ (1) vµ (2)
⇒
1+
2
a
2
b
>
3
a
+
3
b
VËy
3
a
+
3
b
< 1+
2
a
2
b
T−¬ng tù
3
b
+
3
c cb
2
1+≤
c
3
+
3
a
≤
ac
2
1+
Céng c¸c bÊt ®¼ng thøc ta cã :
accbbacba
222333
3222 +++≤++
b)Chøng minh r»ng : NÕu
1998
2222
=+=+ dcba
th× ac+bd =1998
(Chuyªn Anh –98 – 99)
Gi¶i:
Ta cã (ac + bd)
2
+ (ad – bc )
2
= a
2
c
2
+ b
2222
2 daabcdd ++
22
cb+
-
abcd2
=
= a
2
(c
2
+d
2
)+b
2
(c
2
+d
2
) =(c
2
+d
2
).( a
2
+ b
2
) = 1998
2
10
rá rµng (ac+bd)
2
(
)
(
)
2
22
1998=−++ bcadbdac
⇒
1998
≤+
bdac
2-Bµi tËp : 1, Cho c¸c sè thùc : a
1
; a
2
;a
3
….;a
2003
tháa mn : a
1
+ a
2
+a
3
+ ….+a
2003
=1
c
høng minh r»ng :
a
2
1
+
2
2003
2
3
2
2
.... aaa +++
2003
1
≥
( ®Ò thi vµo chuyªn nga ph¸p
2003- 2004Thanh hãa )
2,Cho a;b;c
0
≥
tháa mn :a+b+c=1(?)
Chøng minh r»ng: (
8)1
1
).(1
1
).(1
1
≥−−−
c
b
a
Ph−¬ng ph¸p 5: dïng tÝnh chÊtcña tû sè
KiÕn thøc
1) Cho a, b ,c lµ c¸c sè d−¬ng th×
a – NÕu
1>
b
a
th×
c
b
ca
b
a
+
>
b – NÕu
1<
b
a
th×
c
b
ca
b
a
+
<
2)NÕu b,d >0 th× tõ
d
c
d
b
ca
b
a
d
c
b
a
<
+
<⇒<
`
vÝ dô 1 :
Cho a,b,c,d > 0 .Chøng minh r»ng
21 <
++
+
++
+
++
+
++
<
b
a
d
d
a
d
c
c
d
c
b
b
c
b
a
a
Gi¶i :
Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã
d
c
b
a
da
c
b
a
a
c
b
a
a
+++
<
++
⇒<
++
1
(1)
MÆt kh¸c :
d
c
b
a
a
c
b
a
a
>
(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã
d
c
b
a
a
+++
<
c
b
a
a
++
<
d
c
b
a
da
+++
(3)
T−¬ng tù ta cã
d
c
b
a
ab
d
c
b
b
d
c
b
a
b
+++
<
++
<
+++
(4)
d
c
b
a
cb
a
d
c
c
d
c
b
a
c
+++
<
++
<
+++
(5)
11
d
c
b
a
cd
b
a
d
d
d
c
b
a
d
+++
<
++
<
+++
(6)
céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã
21 <
++
+
++
+
++
+
++
<
b
a
d
d
a
d
c
c
d
c
b
b
c
b
a
a
®iÒu ph¶i chøng minh
vÝ dô 2 :
Cho:
b
a
<
d
c
vµ b,d > 0 .Chøng minh r»ng
b
a
<
d
c
d
b
cdab
<
22
Gi¶i: Tõ
b
a
<
d
c
22
d
cd
b
ab
<⇒
⇒
d
c
d
cd
d
b
cdab
b
ab
=<
<
2222
VËy
b
a
<
d
c
d
b
cdab
<
22
®iÒu ph¶i chøng minh
vÝ dô 3 : Cho a;b;c;dlµ c¸c sè nguyªn d−¬ng tháa mn : a+b = c+d =1000
t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña
d
b
c
a
+
gi¶i :
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö :
c
a
d
b
≤
Tõ :
c
a
d
b
≤
d
b
d
c
ba
c
a
≤
+
≤⇒
1≤
c
a
v× a+b = c+d
a, NÕu :b
998
≤
th×
d
b
998
≤
⇒
d
b
c
a
+
999
b, NÕu: b=998 th× a=1
⇒
d
b
c
a
+
=
d
c
9991
+
§¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi d= 1; c=999
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña
d
b
c
a
+
=999+
999
1
khi a=d=1; c=b=999
Ph−¬ng ph¸p 6: Ph−¬ng ph¸plµm tréi
L−u ý:
Dïng
c¸c tÝnh bÊt ®¼ng thøc ®Ó ®−a mét vÕ cña bÊt ®¼ng thøc vÒ d¹ng tÝnh ®−îc
tæng h÷u h¹n hoÆc tÝch h÷u h¹n.
(*) Ph−¬ng ph¸p chung ®Ó tÝnh tæng h÷u h¹n :
S =
n
uuu +++ ....
21
Ta cè g¾ng biÕn ®æi sè h¹ng tæng qu¸t u
k
vÒ hiÖu cña hai sè h¹ng liªn tiÕp nhau:
1
+
−=
kkk
aau
Khi ®ã :
S =
(
)
(
)
(
)
1113221
....
++
−=−++−+−
nnn
aaaaaaaa
(*) Ph−¬ng ph¸p chung vÒ tÝnh tÝch h÷u h¹n
P =
n
uuu ....
21
BiÕn ®æi c¸c sè h¹ng
k
u
vÒ th−¬ng cña hai sè h¹ng liªn tiÕp nhau:
k
u
=
1+k
k
a
a
12
Khi ®ã P =
1
1
13
2
2
1
......
++
=
nn
n
a
a
a
a
a
a
a
a
VÝ dô 1 :
Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng
4
31
....
2
1
1
1
2
1
<
+
++
+
+
+
<
n
n
n
n
Gi¶i:
Ta cã
n
n
n
k
n
2
111
=
+
>
+
víi k = 1,2,3,…,n-1
Do ®ã:
2
1
2
2
1
...
2
1
2
1
...
2
1
1
1
==++>++
+
+
+
n
n
n
n
n
n
n
VÝ dô 2 :
Chøng minh r»ng:
(
)
112
1
....
3
1
2
1
1 −+>++++ n
n
Víi n lµ sè nguyªn
Gi¶i :
Ta cã
(
)
kk
kkkk
−+=
++
>= 12
1
2
2
21
Khi cho k ch¹y tõ 1 ®Õn n ta cã
1 > 2
(
)
12 −
(
)
232
2
1
−>
………………
(
)
nn
n
−+> 12
1
Céng tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã
(
)
112
1
....
3
1
2
1
1 −+>++++ n
n
VÝ dô 3 :
Chøng minh r»ng
2
1
1
2
<
∑
=
n
k
k
Zn
∈
∀
Gi¶i:
Ta cã
( )
kkkkk
1
1
1
1
11
2
−
−
=
−
<
Cho k ch¹y tõ 2 ®Õn n ta cã
13
1
1
....
3
1
2
1
1
1
11
.................
3
1
2
1
3
1
2
1
1
2
1
222
2
2
2
<+++⇒
−
−
<
−<
−<
n
nnn
VËy
2
1
1
2
<
∑
=
n
k
k
Ph−¬ng ph¸p 7:
Dïng bÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c
L−u ý:
NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a;b;c> 0
Vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a
VÝ dô1:
Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c chøng minh r»ng
a, a
2
+b
2
+c
2
< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
Gi¶i
a)V× a,b,c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn ta cã
+<<
+<<
+<<
bac
cab
cba
0
0
0
⇒
+<
+<
+<
)(
)(
)(
2
2
2
bacc
cabb
cbaa
Céng tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã
a
2
+b
2
+c
2
< 2(ab+bc+ac)
b) Ta cã a > b-c ⇒
222
)( cbaa −−>
> 0
b > a-c ⇒
222
)( acbb −−>
> 0
c > a-b ⇒
0)(
222
>−−> bacc
Nh©n vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc ta ®−îc
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
( ) ( ) ( )
( )( )( )
bacacbcbaabc
bacacbcbacba
bacacbcbacba
−+−+−+>⇒
−+−+−+>⇒
−−−−−−>⇒
..
222
222
2
2
2
2
2
2222
VÝ dô2: (
404
–
1001)
1) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c
Chøng minh r»ng
)(2
222
cabcabcbacabcab ++<++<++
14
2) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi b»ng 2
Chøng minh r»ng
22
222
<+++ abccba
Ph−¬ng ph¸p 8: ®æi biÕn sè
VÝ dô1:
Cho a,b,c > 0 Chøng minh r»ng
2
3
≥
+
+
+
+
+
b
a
c
a
c
b
c
b
a
(1)
Gi¶i :
§Æt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a=
2
xzy
; b =
2
yxz
; c =
2
zyx
ta cã (1)
⇔
z
zyx
y
yxz
x
xzy
222
+
+
2
3
≥
⇔
3111 ≥−++−++−+
z
y
z
x
y
z
y
x
x
z
x
y
⇔
(
6)()() ≥+++++
z
y
y
z
z
x
x
z
y
x
x
y
BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ®óng v× (
;2≥+
y
x
x
y
2≥+
z
x
x
z
;
2≥+
z
y
y
z
nªn ta cã ®iÒu
ph¶i chøng minh
VÝ dô2:
Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c <1
Chøng minh r»ng
9
2
1
2
1
2
1
222
≥
+
+
+
+
+
ab
c
ac
b
bc
a
(1)
Gi¶i:
§Æt x =
bca 2
2
+
; y =
acb 2
2
+
; z =
abc 2
2
+
Ta cã
(
)
1
2
<++=++ cbazyx
(1)
9
111
≥++⇔
zyx
Víi x+y+z < 1 vµ x ,y,z > 0
Theo bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã
z
y
x
3.
3
xyz
≥++
zyx
111
3. .
3
1
xyz
⇒
( )
9
111
. ≥
++++
zyx
zyx
Mµ x+y+z < 1
VËy
9
111
≥++
zyx
(®pcm)
VÝ dô3:
15
Cho x
0
≥
, y
0
≥
tháa mn
12
=−
yx
CMR
5
1
≥+ yx
Gîi ý:
§Æt
ux =
,
vy
=
⇒
2u-v =1 vµ S = x+y =
22
vu +
⇒
v = 2u-1 thay vµo tÝnh S min
Bµi tËp
1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0 CMR:
8
1625
>
+
+
+
+
+
b
a
c
a
c
b
c
b
a
2)Tæng qu¸t m, n, p, q, a, b >0
CMR
(
)
( )
pnmpnm
b
a
pc
a
c
nb
c
b
ma
++−++≥
+
+
+
+
+
2
2
1
Ph−¬ng ph¸p 9: dïng tam thøc bËc hai
L−u ý :
Cho tam thøc bËc hai
(
)
cbxaxxf ++=
2
NÕu
0
<
∆
th×
(
)
0.
>
xfa
Rx
∈
∀
NÕu
0
=
∆
th×
(
)
0.
>
xfa
a
b
x −≠∀
NÕu
0
>
∆
th×
(
)
0.
>
xfa
víi
1
xx
< hoÆc
2
xx
> (
12
xx
> )
(
)
0.
<
xfa
víi
21
xxx
<<
VÝ dô1:
Chøng minh r»ng
(
)
036245,
22
>+−+−+= yxxyyxyxf
(1)
Gi¶i:
Ta cã (1)
⇔
(
)
0365122
22
>+−+−− yyyxx
(
)
36512
2
2
−+−−=∆
′
yyy
( )
011
365144
2
22
<−−−=
−+−+−=
y
yyyy
VËy
(
)
0,
>
yxf
víi mäi x, y
VÝ dô2:
Chøng minh r»ng
(
)
(
)
322242
44.22, xyxxyyxyxyxf >++++=
16
Gi¶i:
BÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi
(
)
044.22
322242
>−++++ xyxxyyxyx
(
)
0414.)1(
2
2
222
>+−++⇔ yxyyxy
Ta cã
(
)
(
)
0161414
2
2
22
2
22
<−=+−−=∆
′
yyyyy
V× a =
(
)
01
2
2
>+y
vËy
(
)
0,
>
yxf
(®pcm)
Ph−¬ng ph¸p 10: dïng quy n¹p to¸n häc
KiÕn thøc:
§Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®óng víi
0
nn >
ta thùc hiÖn c¸c b−íc sau :
1 – KiÓm tra bÊt ®¼ng thøc ®óng víi
0
nn =
2 - Gi¶ sö B§T ®óng víi n =k (thay n =k vµo B§T cÇn chøng minh ®−îc gäi lµ gi¶
thiÕt quy n¹p )
3- Ta chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k +1 (thay n = k+1vµo B§T cÇn
chøng minh råi biÕn ®æi ®Ó dïng gi¶ thiÕt quy n¹p)
4 – kÕt luËn B§T ®óng víi mäi
0
nn >
VÝ dô1:
Chøng minh r»ng
n
n
1
2
1
....
2
1
1
1
222
−<+++
1;
∈
∀
nNn
(1)
Gi¶i :
Víi n =2 ta cã
2
1
2
4
1
1 −<+
(®óng)
VËy B§T (1) ®óng víi n =2
Gi¶ sö B§T (1) ®óng víi n =k ta ph¶i chøng minh
B§T (1) ®óng víi n = k+1
ThËt vËy khi n =k+1 th×
(1)
⇔
1
1
2
)1(
11
....
2
1
1
1
2222
+
−<
+
++++
kkk
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p
⇔
( )
1
1
2
1
11
2
)1(
11
....
2
1
1
1
2
2222
+
−<
+
+−<
+
++++
k
k
kkk
⇔
( )
k
k
kk
1
1
1
1
1
)1(
1
....
1
1
2
22
<
+
+
+
<
+
++
17
⇔
2
2
)1()2(
1
)1(
11
+<+⇔<
+
kkk
k
k
k
⇔
k
2
+2k<k
2
+2k+1 §iÒu nµy ®óng .VËy bÊt
®¼ng thøc (1)®−îc chøng minh
VÝ dô2:
Cho
Nn
∈
vµ a+b> 0
Chøng minh r»ng
n
ba
+
2
2
nn
ba +
(1)
Gi¶i
Ta thÊy B§T (1) ®óng víi n=1
Gi¶ sö B§T (1) ®óng víi n=k ta ph¶i chøng minh B§T ®óng víi n=k+1
ThËt vËy víi n = k+1 ta cã
(1)
⇔
1
2
+
+
k
ba
2
11
++
+
kk
ba
⇔
2
.
2
baba
k
+
+
2
11
++
+
kk
ba
(2)
⇔
VÕ tr¸i (2)
2
4
2
.
2
1111
++++
+
≤
+++
=
++
kkkkkkkk
babbaabababa
⇔
0
4
2
1111
≥
+++
−
+
++++ kkkkkk
bbaababa
⇔
(
)
(
)
0. ≥−− baba
kk
(3)
Ta chøng minh (3)
(+) Gi¶ sö a
b vµ gi¶ thiÕt cho a
-b
⇔
a
b
⇔
k
k
k
bba ≥≥
⇒
(
)
(
)
0. ≥−− baba
kk
(+) Gi¶ sö a < b vµ theo gi¶ thiÕt - a<b
⇔
kkk
k
baba <⇔<
⇔
(
)
(
)
0. ≥−− baba
kk
VËy B§T (3)lu«n ®óng ta cã (®pcm)
Ph−¬ng ph¸p 11: Chøng minh ph¶n chøng
L−u ý:
1) Gi¶ sö ph¶i chøng minh bÊt ®¼ng thøc nµo ®ã ®óng , ta hy gi¶ sö bÊt ®¼ng thøc
®ã sai vµ kÕt hîp víi c¸c gi¶ thiÕt ®Ó suy ra ®iÒu v« lý , ®iÒu v« lý cã thÓ lµ ®iÒu tr¸i víi
gi¶ thiÕt , cã thÓ lµ ®iÒu tr¸i ng−îc nhau .Tõ ®ã suy ra bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh lµ
®óng
2) Gi¶ sö ta ph¶i chøng minh luËn ®Ò “G
⇒
K”
phÐp to¸n mÖnh ®Ò cho ta :
Nh− vËy ®Ó phñ ®Þnh luËn ®Ò ta ghÐp tÊt c¶ gi¶ thiÕt cña luËn ®Ò víi phñ ®Þnh kÕt
luËn cña nã .
Ta th−êng dïng 5 h×nh thøc chøng minh ph¶n chøng sau :
18
A - Dïng mÖnh ®Ò ph¶n ®¶o :
G
K
−−
−−
⇒
B – Phñ ®Þnh r«i suy tr¸i gi¶ thiÕt :
C – Phñ ®Þnh råi suy tr¸i víi ®iÒu ®óng
D – Phñ ®Þnh råi suy ra 2 ®iÒu tr¸i ng−îc nhau
E – Phñ ®Þnh råi suy ra kÕt luËn :
VÝ dô 1
:
Cho ba sè a,b,c tháa mn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0
Chøng minh r»ng a > 0 , b > 0 , c > 0
Gi¶i :
Gi¶ sö a
0 th× tõ abc > 0
⇒
a
0 do ®ã a < 0
Mµ abc > 0 vµ a < 0
⇒
cb < 0
Tõ ab+bc+ca > 0
⇒
a(b+c) > -bc > 0
V× a < 0 mµ a(b +c) > 0
⇒
b + c < 0
a < 0 vµ b +c < 0
⇒
a + b +c < 0 tr¸i gi¶ thiÕt a+b+c > 0
VËy a > 0 t−¬ng tù ta cã b > 0 , c > 0
VÝ dô 2
:
Cho 4 sè a , b , c ,d tháa mn ®iÒu kiÖn
ac
2.(b+d) .Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt mét trong c¸c bÊt ®¼ng thøc sau lµ sai:
ba 4
2
<
,
dc 4
2
<
Gi¶i :
Gi¶ sö 2 bÊt ®¼ng thøc :
ba 4
2
<
,
dc 4
2
<
®Òu ®óng khi ®ã céng c¸c vÕ ta ®−îc
)(4
22
dbca +<+
(1)
Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b+d)
2ac (2)
Tõ (1) vµ (2)
⇒
acca 2
22
<+
hay
(
)
0
2
<− ca
(v« lý)
VËy trong 2 bÊt ®¼ng thøc
ba 4
2
<
vµ
dc 4
2
<
cã Ýt nhÊt mét c¸c bÊt ®¼ng thøc sai
VÝ dô 3
:
Cho x,y,z > 0 vµ xyz = 1. Chøng minh r»ng
NÕu x+y+z >
zyx
111
++
th× cã mét trong ba sè nµy lín h¬n 1
Gi¶i :
Ta cã (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1
=x + y + z – (
zyx
111
++
) v× xyz = 1
theo gi¶ thiÕt x+y +z >
zyx
111
++
nªn (x-1).(y-1).(z-1) > 0
Trong ba sè x-1 , y-1 , z-1 chØ cã mét sè d−¬ng
ThËt vËy nÕu c¶ ba sè d−¬ng th× x,y,z > 1
⇒
xyz > 1 (tr¸i gi¶ thiÕt)
Cßn nÕu 2 trong 3 sè ®ã d−¬ng th× (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (v« lý)
19
VËy cã mét vµ chØ mét trong ba sè x , y,z lín h¬n 1
PhÇn iii : c¸c bµi tËp n©ng cao
1/dïng ®Þnh nghÜa
1) Cho abc = 1 vµ
36
3
>a
. . Chøng minh r»ng
+
3
2
a
b
2
+c
2
> ab+bc+ac
Gi¶i
Ta cã hiÖu:
+
3
2
a
b
2
+c
2
- ab- bc – ac
=
+
4
2
a
+
12
2
a
b
2
+c
2
- ab- bc – ac
= (
+
4
2
a
b
2
+c
2
- ab– ac+ 2bc) +
−
12
2
a
3bc
=(
2
a
-b- c)
2
+
a
abca
12
36
3
−
=(
2
a
-b- c)
2
+
a
abca
12
36
3
−
>0 (v× abc=1 vµ a
3
> 36 nªn a >0 )
VËy :
+
3
2
a
b
2
+c
2
> ab+bc+ac §iÒu ph¶i chøng minh
2) Chøng minh r»ng
a)
)1.(21
2244
++−≥+++ zxxyxzyx
b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã
036245
22
>+−+−+ baabba
c)
024222
22
≥+−+−+ baabba
Gi¶i :
a) XÐt hiÖu
H =
xxzxyxzyx 22221
222244
−−+−+++
=
(
)
( ) ( )
22
2
22
1−+−+− xzxyx
H
0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
b) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt
H =
(
)
(
)
1112
22
+−++− bba
⇒
H > 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
c) vÕ tr¸i cã thÓ viÕt
H =
(
)
(
)
22
11 −++− bba
⇒
H
0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
Ii / Dïng biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng
1) Cho x > y vµ xy =1 .Chøng minh r»ng
20
(
)
( )
8
2
2
22
≥
−
+
yx
yx
Gi¶i :
Ta cã
(
)
(
)
22
22
22
+−=+−=+ yxxyyxyx
(v× xy = 1)
⇒
(
)
( ) ( )
4.4
24
2
22
+−+−=+ yxyxyx
Do ®ã B§T cÇn chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi
(
)
(
)
(
)
224
.844 yxyxyx −≥+−+−
⇔
(
)
(
)
044
24
≥+−−− yxyx
⇔
( )
[
]
02
2
2
≥−− yx
B§T cuèi ®óng nªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
2) Cho xy
1 .Chøng minh r»ng
xyyx +
≥
+
+
+ 1
2
1
1
1
1
22
Gi¶i :
Ta cã
xyyx +
≥
+
+
+ 1
2
1
1
1
1
22
⇔
0
1
1
1
1
1
1
1
1
222
≥
+
−
+
+
+
−
+ xyyyx
⇔
( )
( )
( )
( )
0
1.11.1
2
2
2
2
≥
++
−
+
++
−
xyy
yxy
xyx
xxy
⇔
( )
( )
( )
( )
0
1.1
)(
1.1
)(
22
≥
++
+
++
xyy
yxy
xyx
xyx
⇔
(
)
(
)
( )( )
( )
0
1.1.1
1
22
2
≥
+++
−−
xyyx
xyxy
B§T cuèi nµy ®óng do xy > 1 .VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
Iii / dïng bÊt ®¼ng thøc phô
1) Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1
Chøng minh r»ng
3
1
222
≥++ cba
Gi¶i :
¸p dông B§T BunhiaC«pski cho 3 sè (1,1,1) vµ (a,b,c)
Ta cã
(
)
(
)
(
)
222
2
.111.1.1.1 cbacba ++++≤++
⇔
(
)
(
)
222
2
.3 cbacba ++≤++
⇔
3
1
222
≥++ cba
(v× a+b+c =1 ) (®pcm)
2) Cho a,b,c lµ c¸c sè d−¬ng
Chøng minh r»ng
( )
9
111
. ≥
++++
cba
cba
(1)
21
Gi¶i :
(1)
⇔
9111 ≥++++++++
a
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
⇔
93 ≥
++
++
++
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
¸p dông B§T phô
2≥+
x
y
y
x
Víi x,y > 0
Ta cã B§T cuèi cïng lu«n ®óng
VËy
( )
9
111
. ≥
++++
cba
cba
(®pcm)
Iv / dïng ph−¬ng ph¸p b¾c cÇu
1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chøng minh r»ng :
accbbacba
222333
3222 +++<++
Gi¶i :
Do a <1
⇒
2
a
<1 vµ b <1
Nªn
(
)
(
)
0101.1
2222
>−−+⇒>−− bababa
Hay
baba +>+
22
1
(1)
MÆt kh¸c 0 <a,b <1
⇒
32
aa >
;
3
bb >
⇒
332
1 baa +>+
VËy
baba
233
1+<+
T−¬ng tù ta cã
acca
cbcb
233
233
1
1
+<+
+<+
⇒
accbbacba
222333
3222 +++<++
(®pcm)
2) So s¸nh 31
11
vµ 17
14
Gi¶i :
Ta thÊy
11
31
<
(
)
11
11 5 55 56
32 2 2 2
= = <
MÆt kh¸c
(
)
14
56 4.14 4 14 14
2 2 2 16 17
= = = <
Vëy 31
11
< 17
14
(®pcm)
V/ dïng tÝnh chÊt tØ sè
1) Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chøng minh r»ng :
2 3
a b b c c d d a
a b c b c d c d a d a b
+ + + +
< + + + <
+ + + + + + + +
Gi¶i :
V× a ,b ,c ,d > 0 nªn ta cã
22
a b a b a b d
a b c d a b c a b c d
+ + + +
< <
+ + + + + + + +
(1)
b c b c b c a
a b c d b c d a b c d
+ + + + +
< <
+ + + + + + + +
(2)
d a d a d a c
a b c d d a b a b c d
+ + + +
< <
+ + + + + + + +
(3)
Céng c¸c vÕ cña 4 bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã :
2 3
a b b c c d d a
a b c b c d c d a d a b
+ + + +
< + + + <
+ + + + + + + +
(®pcm)
2) Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c
Chøng minh r»ng
1 2
a b c
b c c a a b
< + + <
+ + +
Gi¶i :
V× a ,b ,c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c nªn ta cã a,b,c > 0
Vµ a < b +c ; b <a+c ; c < a+b
Tõ (1)
2
a a a a
b c a b c a b c
+
⇒ < =
+ + + + +
MÆt kh¸c
a a
b c a b c
>
+ + +
VËy ta cã
2
a a a
a b c b c a b c
< <
+ + + + +
T−¬ng tù ta cã
2
b b b
a b c a c a b c
< <
+ + + + +
2
c c c
a b c b a a b c
< <
+ + + + +
Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã :
1 2
a b c
b c c a a b
< + + <
+ + +
(®pcm)
V/ ph−¬ng ph¸p lµm tréi :
1) Chøng minh B§T sau :
a)
1 1 1 1
...
1.3 3.5 (2 1).(2 1) 2
n n
+ + + <
− +
b)
1 1 1
1 ... 2
1.2 1.2.3 1.2.3.....
n
+ + + + <
Gi¶i :
a) Ta cã
( ) ( )
(
)
2 1 (2 1)
1 1 1 1 1
.
2 1 . 2 1 2 (2 1).(2 1) 2 2 1 2 1
k k
n n k k k k
+ − −
= = −
− + − + − +
Cho n ch¹y tõ 1 ®Õn k .Sau ®ã céng l¹i ta cã
1 1 1 1 2 1
... . 1
1.3 3.5 (2 1).(2 1) 2 2 1 2
n n n
+ + + = − <
− + +
(®pcm)
b) Ta cã
23
( )
1 1 1 1 1 1
1 ... 1 .....
1.2 1.2.3 1.2.3..... 1.2 1.2.3 1 .
n n n
+ + + + < + + + +
−
<
1 1 1 1 1 1
1 1 .... 2 2
2 2 3 1n n n
+ − + − + + − < − <
−
(®pcm)
PhÇn iv : øng dông cña bÊt ®¼ng thøc
1/ dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ó t×m c−c trÞ
L−u ý
- NÕu f(x)
≥
A th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ A
- NÕu f(x)
≤
B th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ B
VÝ dô 1 :
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña :
T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|
Gi¶i :
Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x|
≥
|x-1+4-x| = 3 (1)
Vµ
2 3 2 3 2 3 1
x x x x x x
− + − = − + − ≥ − + − =
(2)
VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|
≥
1+3 = 4
Ta cã tõ (1)
⇒
DÊu b»ng x¶y ra khi
1 4
x
≤ ≤
(2)
⇒
DÊu b»ng x¶y ra khi
2 3
x
≤ ≤
VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi
2 3
x
≤ ≤
VÝ dô 2 :
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña
S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x+y+z =1
Gi¶i :
V× x,y,z > 0 ,¸p dông B§T C«si ta cã
x+ y + z
3
3
xyz
≥
3
1 1
3 27
xyz xyz⇒ ≤ ⇒ ≤
¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho x+y ; y+z ; x+z ta cã
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
. . 3 . .
x y y z z x x y y z x z
+ + + ≥ + + +
( ) ( ) ( )
3
2 3 . .
x y y z z x
⇒
≥ + + +
DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=
1
3
VËy S
≤
8 1 8
.
27 27 729
=
VËy S cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ
8
729
khi x=y=z=
1
3
VÝ dô 3 : Cho xy+yz+zx = 1
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
4 4 4
x y z
+ +
Gi¶i :
24
¸p dông B§T Bunhiacèpski cho 6 sè (x,y,z) ;(x,y,z)
Ta cã
( )
(
)
2
2
2 2 2
xy yz zx x y z
+ + ≤ + +
(
)
2
2 2 2
1
x y z
⇒ ≤ + +
(1)
Ap dông B§T Bunhiacèpski cho (
2 2 2
, ,
x y z
) vµ (1,1,1)
Ta cã
2 2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 2 2 2 4 4 4
( ) (1 1 1 )( )
( ) 3( )
x y z x y z
x y z x y z
+ + ≤ + + + +
→ + + ≤ + +
Tõ (1) vµ (2)
4 4 4
1 3( )
x y z
⇒ ≤ + +
4 4 4
1
3
x y z
⇒ + + ≤
VËy
4 4 4
x y z
+ +
cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ
1
3
khi x=y=z=
3
3
±
VÝ dô 4 :
Trong tam gi¸c vu«ng cã cïng c¹nh huyÒn , tam gi¸c vu«ng nµo cã diÖn tÝch
lín nhÊt
Gi¶i :
Gäi c¹nh huyÒn cña tam gi¸c lµ 2a
§−êng cao thuéc c¹nh huyÒn lµ h
H×nh chiÕu c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn c¹nh huyÒn lµ x,y
Ta cã S =
( )
2
1
. . . . .
2
x y h a h a h a xy
+ = = =
V× a kh«ng ®æi mµ x+y = 2a
VËy S lín nhÊt khi x.y lín nhÊt
x y
⇔ =
VËy trong c¸c tam gi¸c cã cïng c¹nh huyÒn th× tam gi¸c vu«ng c©n cã diÖn tÝch lín
nhÊt
Ii/ dïng b.®.t ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ hÖ ph−¬ng tr×nh
VÝ dô 1 :
Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau
2 2 2
4 3 6 19 5 10 14 4 2
x x x x x x
+ + + + + = − −
Gi¶i :
Ta cã
2
3 6 19
x x
+ +
2
3.( 2 1) 16
x x
= + + +
2
3.( 1) 16 16
x
= + + ≥
( )
2
2
5 10 14 5. 1 9 9
x x x
+ + = + + ≥
VËy
2 2
4. 3 6 19 5 10 14 2 3 5
x x x x
+ + + + + ≥ + =
DÊu ( = ) x¶y ra khi x+1 = 0
⇒
x = -1
VËy
2 2 2
4 3 6 19 5 10 14 4 2
x x x x x x
+ + + + + = − −
khi x = -1
VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = -1
VÝ dô 2 :
25
Gi¶i ph−¬ng tr×nh
2 2
2 4 4 3
x x y y
+ − = + +
Gi¶i :
¸p dông B§T BunhiaCèpski ta cã :
(
)
2 2 2 2 2
2 1 1 . 2 2. 2 2
x x x x
+ − ≤ + + − ≤ =
DÊu (=) x¶y ra khi x = 1
MÆt kh¸c
( )
2
2
4 4 3 2 1 2 2
y y y
+ + = + + ≥
DÊu (=) x¶y ra khi y = -
1
2
VËy
2 2
2 4 4 3 2
x x y y
+ − = + + =
khi x =1 vµ y =-
1
2
VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ
1
1
2
x
y
=
= −
VÝ dô 3 :
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh sau:
4 4 4
1
x y z
x y z xyz
+ + =
+ + =
Gi¶i : ¸p dông B§T C«si ta cã
4 4 4 4 4 4
4 4 4
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x
2 2 2
2 2 2
x y y z z x
y z
x y y z z x
x y y z z y z z x z y x
+ + +
+ + = + +
≥ + +
+ + +
≥ + +
2 2 2
.( )
y xz z xy x yz
xyz x y z
≥ + +
≥ + +
V× x+y+z = 1)
Nªn
4 4 4
x y z xyz
+ + ≥
DÊu (=) x¶y ra khi x = y = z =
1
3
VËy
4 4 4
1
x y z
x y z xyz
+ + =
+ + =
cã nghiÖm x = y = z =
1
3
VÝ dô 4 : Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh sau
2
2
4 8
2
xy y
xy x
− = −
= +
(1)
(2)
Tõ ph−¬ng tr×nh (1)
2
8 0
y
⇒
− ≥
hay
8
y ≤
26
Tõ ph−¬ng tr×nh (2)
2
2 . 2 2
x x y x
⇒
+ = ≤
2 2
2
2 2 2 0
( 2) 0
2
2
x x
x
x
x
⇒ − + ≤
⇒ − ≤
⇒ =
⇒ = ±
NÕu x =
2
th× y = 2
2
NÕu x = -
2
th× y = -2
2
VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm
2
2
x
y
=
= −
vµ
2 2
2 2
x
y
=
= −
Iii/ dïng B.§.t ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn
1) T×m c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ mn
2 2 2
3 2 3
x y z xy y z
+ + ≤ + + −
Gi¶i :
V× x,y,z lµ c¸c sè nguyªn nªn
2 2 2
3 2 3
x y z xy y z
+ + ≤ + + −
( )
2 2 2
2 2
2 2
3 2 3 0
3
3 3 2 1 0
4 4
x y z xy y z
y y
x xy y z z
⇔ + + − − − + ≤
⇔ − + + − + + − + ≤
( )
2 2
2
3 1 1 0
2 2
y y
x z
⇔ − + − + − ≤
(*)
Mµ
( )
2 2
2
3 1 1 0
2 2
y y
x z
− + − + − ≥
,
x y R
∀ ∈
( )
2 2
2
3 1 1 0
2 2
y y
x z
⇔ − + − + − =
0
2
1
1 0 2
2
1
1 0
y
x
x
y
y
z
z
− =
=
⇔ − = ⇔ =
=
− =
C¸c sè x,y,z ph¶i t×m lµ
1
2
1
x
y
z
=
=
=
VÝ dô 2:
27
T×m nghiÖm nguyªn d−¬ng cña ph−¬ng tr×nh
1 1 1
2
x y z
+ + =
Gi¶i :
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö
x y z
≥ ≥
Ta cã
1 1 1 3
2 2 3
z
x y z z
= + + ≤ ⇒ ≤
Mµ z nguyªn d−¬ng vËy z = 1
Thay z = 1 vµo ph−¬ng tr×nh ta ®−îc
1 1
1
x y
+ =
Theo gi¶ sö x
≥
y nªn 1 =
1 1
x y
+
1
y
≤
2
y
⇒ ≤
mµ y nguyªn d−¬ng
Nªn y = 1 hoÆc y = 2
Víi y = 1 kh«ng thÝch hîp
Víi y = 2 ta cã x = 2
VËy (2 ,2,1) lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh
Ho¸n vÞ c¸c sè trªn ta ®−îc c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh
lµ (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2)
VÝ dô 3 :
T×m c¸c cÆp sè nguyªn tho¶ mn ph−¬ng tr×nh
x x y
+ =
(*)
Gi¶i :
(*) Víi x < 0 , y < 0 th× ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghÜa
(*) Víi x > 0 , y > 0
Ta cã
x x y
+ =
2
x x y
⇔ + =
2
0
x y x
⇔ = − >
§Æt
x k
=
(k nguyªn d−¬ng v× x nguyªn d−¬ng )
Ta cã
2
.( 1)
k k y
+ =
Nh−ng
( ) ( )
2
2
1 1
k k k k
< + < +
1
k y k
⇒ < < +
Mµ gi÷a k vµ k+1 lµ hai sè nguyªn d−¬ng liªn tiÕp kh«ng tån t¹i mét sè nguyªn
d−¬ng nµo c¶
Nªn kh«ng cã cÆp sè nguyªn d−¬ng nµo tho¶ mn ph−¬ng tr×nh .
VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ :
0
0
x
y
=
=
28
| 1/28
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


Chuyên ñề: BẤT ðẲNG THỨC A.MỤC TIÊU:
1-Học sinh nắm vững một số phương pháp chứng minh bất ñẳng thức.
2-Một số phương pháp và bài toán liên quan ñến phương trình bậc hai sử dụng công
thức nghiệm sẽ cho học sinh học sau.
3-Rèn kỹ năng và pp chứng minh bất ñẳng thức. B- NỘI DUNG
PHẦN 1 : CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1- ðịnh nghĩa 2- Tính chất
3-Một số hằng bất ñẳng thức hay dùng
PhÇn 2:mét sè ph−¬ng ph¸pchøng minh bÊt®¼ng thøc
1-Ph−¬ng ph¸p dïng ®Þnh nghÜa
2- Ph−¬ng ph¸p dïng biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng
3- Ph−¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc quen thuéc
4- Ph−¬ng ph¸p sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu
5- Ph−¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt tØ sè
6- Ph−¬ng ph¸p lµm tréi
7- Ph−¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c
8- Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè
9- Ph−¬ng ph¸p dïng tam thøc bËc hai 10- Ph−¬ng ph¸p quy n¹p
11- Ph−¬ng ph¸p ph¶n chøng
PhÇn 3 :c¸c bµi tËp n©ng cao
PHÇN 4 : øng dông cña bÊt ®¼ng thøc
1- Dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ó t×m cùc trÞ
2-Dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ bÊt ph−¬ng tr×nh
3-Dïng bÊt ®¼ng thøc gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn
PhÇn I : c¸c kiÕn thøc cÇn l−u ý 1 1-§inhnghÜa
A ≥ B ⇔ A − B ≥ 0 
A ≤ B ⇔ A − B ≤  0 2-tÝnh chÊt
+ A>B ⇔ B < A
+ A>B vµ B >C ⇔ A > C + A>B ⇒ A+C >B + C
+ A>B vµ C > D ⇒ A+C > B + D
+ A>B vµ C > 0 ⇒ A.C > B.C
+ A>B vµ C < 0 ⇒ A.C < B.C
+ 0 < A < B vµ 0 < C + A > B > 0 ⇒ A n > B n n ∀
+ A > B ⇒ A n > B n víi n lÎ
+ A > B ⇒ A n > B n víi n ch½n
+ m > n > 0 vµ A > 1 ⇒ A m > A n
+ m > n > 0 vµ 0 m < A n 1 1 +A < B vµ A.B > 0 ⇒ > A B
3-mét sè h»ng bÊt ®¼ng thøc
+ A 2 ≥ 0 víi ∀ A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 )
+ An ≥ 0 víi∀ A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 )
+ A ≥ 0 víi A
∀ (dÊu = x¶y ra khi A = 0 )
+ - A < A < A
+ A + B ≥ A + B ( dÊu = x¶y ra khi A.B > 0)
+ A − B ≤ A − B ( dÊu = x¶y ra khi A.B < 0)
PhÇn II : mét sè ph−¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Ph−¬ng ph¸p 1 : dïng ®Þnh nghÜa
KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B Ta chøng minh A –B > 0
L−u ý dïng h»ng bÊt ®¼ng thøc M 2 ≥ 0 víi∀ M
VÝ dô 1 ∀ x, y, z chøng minh r»ng : 2
a) x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx
b) x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz c) x 2 + y 2 + z 2 +3 ≥ 2 (x + y + z) Gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu
x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz - zx 1
= .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx) 2 1
= [(x − y)2 + (x −z)2 + ( y − z)2 ]≥ 0 ®óng víi mäi x;y;z∈ R 2
V× (x-y)2 ≥ 0 víi∀x ; y DÊu b»ng x¶y ra khi x=y
(x-z)2 ≥ 0 víi∀x ; z DÊu b»ng x¶y ra khi x=z
(y-z)2 ≥ 0 víi∀ z; y DÊu b»ng x¶y ra khi z=y
VËy x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx
DÊu b»ng x¶y ra khi x = y =z b)Ta xÐt hiÖu
x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz )
= x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz
=( x – y + z) 2 ≥ 0 ®óng víi mäi x;y;z∈ R
VËy x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z∈ R DÊu b»ng x¶y ra khi x+y=z c) Ta xÐt hiÖu
x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z )
= x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1
= (x-1)2+ (y-1) 2+(z-1)2 ≥ 0 DÊu(=)x¶y ra khi x=y=z=1
VÝ dô 2: chøng minh r»ng : 2 2 2 2 2 2 2 a + b + c
a + b + c  a) a + ba + b  ≥   ;b) ≥   2  2  3  3  c) H`y tæng qu¸t bµi to¸n gi¶i 2 2 2
a) Ta xÐt hiÖu a + ba + b  −   2  2  2( 2 2 a + b ) 2 a + 2 2 = ab + b − 4 4 1 = (2a2 + b
2 2 − a2 − b2 − 2ab) 4 1
= (a − b)2 ≥ 0 4 3 2 2 2 VËy a + ba + b  ≥   2  2  DÊu b»ng x¶y ra khi a=b b)Ta xÐt hiÖu 2 2 2 2
a + b + c
a + b + c  −   3  3  1
= ([a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ]≥ 0 9 2 2 2 2 a + b + c
a + b + c  VËy ≥   3  3 
DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c c)Tæng qu¸t 2 2 2 2
a + a + .... + aa + a + .... + a  1 2 n 1 2 ≥  n nn
Tãm l¹i c¸c b−íc ®Ó chøng minh A ≥ B tho ®Þnh nghÜa
B−íc 1: Ta xÐt hiÖu H = A - B
B−íc 2:BiÕn ®æi H=(C+D) 2 hoÆc H=(C+D) 2 +….+(E+F) 2 B−íc 3:KÕt luËn A ≥ B
VÝ dô:(chuyªn Nga- Ph¸p 98-99)
Chøng minh ∀m,n,p,q ta ®Òu cã
m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1≥ m(n+p+q+1) Gi¶i: 2 2 2 2  m   m   m   m  2 2 2 ⇔ − mn + n + − mp + p + − mq + q + − m + 1 ≥ 0   4     4     4     4   2 2 2 2  m   m   m   m  ⇔  − n +  − p  +  − q  +  − 1 ≥ 0 (lu«n ®óng)  2   2   2   2   m  − n = 0  m n =  2  m  2 − p = 0 mm = 2 DÊu b»ng x¶y ra khi   p =  2 ⇔  2 ⇔   m
n = p = q = 1 − q = 0  m   2 q =  m  2  − 1 = 0  m = 2  2
ph−¬ng ph¸p 2 : Dïng phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng L−u ý: 4
Ta biÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi bÊt ®¼ng thøc ®óng
hoÆc bÊt ®¼ng thøc ®` ®−îc chøng minh lµ ®óng.
Chó ý c¸c h»ng ®¼ng thøc sau: (A + B)2 2 2
= A + 2 AB + B ( 2
A + B + C ) = A2 + B 2 + C 2 + 2 AB + 2 AC + 2BC (A + B)3 3 2 2 3
= A + 3A B + 3AB + B VÝ dô 1:
Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng 2 a) 2 b a + ≥ ab 4
b) a2 + b2 +1 ≥ ab + a + b
c) a2 + b2 + c2 + d 2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) Gi¶i: 2 a) 2 b a + ≥ ab 4
⇔ 4a2 + b2 ≥ 4ab ⇔ 4 2 a − 4 2 a + b ≥ 0
⇔ (2a − b)2 ≥ 0 (bÊt ®¼ng thøc nµy lu«n ®óng) 2 VËy 2 b a +
≥ ab (dÊu b»ng x¶y ra khi 2a=b) 4
b) a2 + b2 +1 ≥ ab + a + b ⇔ 2( 2 2
a + b + 1 ) > 2(ab + a + b) 2 ⇔ a − 2 2 2
ab + b + a − 2a + 1 2
+ b − 2b + 1 ≥ 0
⇔ (a − b)2 + (a − ) 1 2 + (b − )
1 2 ≥ 0 BÊt ®¼ng thøc cuèi ®óng.
VËy a2 + b2 +1 ≥ ab + a + b DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=1
c) a2 + b2 + c2 + d 2 + e2 ≥ a(b + c + d + e)
⇔ 4( a2 + b2 + c2 + d 2 + e2 ) ≥ 4a(b + c + d + e) ⇔ ( 2 a − 4ab + 4 2 b )+ ( 2 a − 4ac + 4 2 c )+ ( 2 a − 4ad + 4 2 d )+ ( 2 a − 4ac + 4 2 c ) ≥ 0
⇔ (a − 2b)2 + (a − 2c)2 + (a − 2d )2 + (a − 2c)2 ≥ 0
BÊt ®¼ng thøc ®óng vËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: ( 10 10 a + b )( 2 2 a + b ) ≥ ( 8 8 a + b )( 4 4 a + b ) Gi¶i: ( 10 10 a + b )( 2 2 a + b ) ≥ ( 8 8 a + b )( 4 4 a + b ) ⇔ 12 10 2 2 10 12 12 8 4 4 8 12 a + a b + a b + b ≥ a
+ a b + a b + b ⇔ 8 2 a b ( 2 2 a − b ) 2 8 + a b ( 2 2 b − a ) ≥ 0
⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6) ≥ 0 ⇔ a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) ≥ 0
BÊt ®¼ng thøccuèi ®óng vËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh VÝ dô 3: cho x.y =1 vµ x.y 5 2 2
Chøng minh x + y ≥ 2 2 x − y Gi¶i:
x 2 + y 2 ≥ 2 2 v× :x〉 y nªn x- y 〉 0 ⇒x2+y2≥ 2 2 ( x-y) x − y
⇒ x2+y2- 2 2 x+ 2 2 y ≥ 0 ⇔ x2+y2+2- 2 2 x+ 2 2 y -2 ≥ 0
⇔ x2+y2+( 2 )2- 2 2 x+ 2 2 y -2xy ≥ 0 v× x.y=1 nªn 2.x.y=2
⇒ (x-y- 2 )2 ≥ 0 §iÒu nµy lu«n lu«n ®óng . VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh VÝ dô 4: 1)CM: P(x,y)=9 2 2 2
x y + y − 6xy − 2 y + 1 ≥ 0 x ∀ , y ∈ R
2)CM: a2 + b2 + c2 ≤ a + b + c (gîi ý :b×nh ph−¬ng 2 vÕ)
3)choba sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z tháa m`n:  x.y.z = 1 1 1 1  + +
< x + y + zx y z
Chøng minh r»ng :cã ®óng mét trong ba sè x,y,z lín h¬n 1 (®Ò thi Lam S¬n 96-97) Gi¶i:
XÐt (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( + + )=x+y+z - ( + + ) > 0 (v× + + < x+y+z theo x y z x y z x y z gt)
→2 trong 3 sè x-1 , y-1 , z-1 ©m hoÆc c¶ ba sç-1 , y-1, z-1 lµ d−¬ng.
NÕñ tr−êng hîp sau x¶y ra th× x, y, z >1 →x.y.z>1 M©u thuÉn gt x.y.z=1 b¾t buéc
ph¶i x¶y ra tr−êng hîp trªn tøc lµ cã ®óng 1 trong ba sè x ,y ,z lµ sè lín h¬n 1
Ph−¬ng ph¸p 3: dïng bÊt ®¼ng thøc quen thuéc
A/ mét sè bÊt ®¼ng thøc hay dïng
1) C¸c bÊt ®¼ng thøc phô:
a) x2 + y2 ≥ 2xy
b) x2 + y2 ≥ xy dÊu( = ) khi x = y = 0 c) ( 2
x + y) ≥ 4xy d) a b + ≥ 2 b a + + + ....
2)BÊt ®¼ng thøc C« sy: a a a + a n 1 2 3 n ≥ a a a ... a . Víi a > 0 1 2 3 n n i
3)BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski ( 2 2 2 a
+ a + .... + a . x + x + .... + ≥ a x + a x + .... + 2 2 a x n )( 2 2 2 1 2 n ) ( )2 1 1 2 2 n n
4) BÊt ®¼ng thøc Trª- b−-sÐp: 6
a ≤ b ≤ c NÕu
aA + bB + cC
a + b + c A + B + C  ⇒ ≥ .
A ≤ B ≤ C 3 3 3
a ≤ b ≤ c NÕu
aA + bB + cC
a + b + c A + B + C  ⇒ ≤ .
A ≥ B ≥ C 3 3 3
a = b = c DÊu b»ng x¶y ra khi 
A = B = C b/ c¸c vÝ dô
vÝ dô 1 Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc Gi¶i:
C¸ch 1:Dïng bÊt ®¼ng thøc phô: ( 2
x + y) ≥ 4xy Tacã ( 2 2 2
a + b) ≥ 4ab ; (b + c) ≥ b
4 c ; (c + a) ≥ 4ac ⇒ (a + )2 b (b + )2 c (c + )2 a ≥ 2 2 2
64a b c = (8abc)2 ⇒ (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc
DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c vÝ dô 2 1 1 1
(tù gi¶i): 1)Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=1 CMR: + + ≥ 9 (403-1001) a b c
2)Cho x,y,z>0 vµ x+y+z=1 CMR:x+2y+z ≥ 4 1 ( − x) 1 ( − y) 1 ( − z)
3)Cho a>0 , b>0, c>0 a b c 3 CMR: + + ≥ b + c c + a a + b 2 1
4)Cho x ≥ 0 ,y ≥ 0 tháa m`n 2 x − y = 1 ;CMR: x+y ≥ 5
vÝ dô 3: Cho a>b>c>0 vµ 2 2 2
a + b + c = 1 chøng minh r»ng 3 3 3 a b c 1 + + ≥ b + c a + c a + b 2 Gi¶i: 
a 2 ≥ b 2 ≥ c 2
Do a,b,c ®èi xøng ,gi¶ sö a  ≥ b ≥ c ⇒  a b c  ≥ ≥ b + c a + c a + b
¸p dông B§T Trª- b−-sÐp ta cã 2 2 2 1 3 1 2 a 2 b 2 c
a + b + c a b ca . + b . + c . ≥  . + +  = . = b + c a + c a + b 3  b + c a + c a + b  3 2 2 3 3 3 a b c 1 1 VËy + + ≥ DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c= b + c a + c a + b 2 3 vÝ dô 4:
Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng : 2 2 2 2
a + b + c + d + a(b + c) + b(c + d ) + d (c + a) ≥ 10 Gi¶i: 7
Ta cã a2 + b2 ≥ 2ab
c2 + d 2 ≥ 2cd 1 1 1 Do abcd =1 nªn cd = (dïng x + ≥ ) ab x 2 2 2 2 1
Ta cã a + b + c ≥ 2(ab + cd) = 2(ab + ) ≥ 4 (1) ab
MÆt kh¸c: a(b + c) + b(c + d ) + d(c + a) =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) =  1   1   1   ab +  +  ac +  + bc +  ≥ 2 + 2 + 2  ab   ac   bc  VËy 2 2 2 2
a + b + c + d + a(b + c) + b(c + d ) + d (c + a) ≥ 10
vÝ dô 5: Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng: 2 2 2 2 2 2
(a + c) + (b + d ) ≤ a + b + c + d
Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski tacã ac+bd ≤ 2 2 2 2
a + b . c + d
mµ (a + c)2 + (b + d )2 2 2
= a + b + 2(ac + bd ) 2 2 + c + d ≤ ( 2 2 a + b ) 2 2 2 2 2 2
+ 2 a + b . c + d + c + d ⇒ 2 2 2 2 2 2
(a + c) + (b + d ) ≤ a + b + c + d vÝ dô 6: Chøng minh r»ng
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac
Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski
C¸ch 1: XÐt cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã ( 2 2 2 1 + 1 + 1 ) 2 2 2
(a + b + c ) ≥ (1.a + 1.b +1.c)2
⇒ 3 (a2 + b2 + c2 )≥ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
⇒ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac §iÒu ph¶i chøng minh DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c
Ph−¬ng ph¸p 4: Sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu
L−u ý: A>B vµ b>c th× A>c
0< x <1 th× x 2 vÝ dô 1:
Cho a, b, c ,d >0 tháa m`n a> c+d , b>c+d
Chøng minh r»ng ab >ad+bc Gi¶i:
a > c + d
a − c > d > 0 Tacã  ⇒ 
b > c + d
b − d > c > 0 ⇒ (a-c)(b-d) > cd ⇔ ab-ad-bc+cd >cd 8
⇔ ab> ad+bc (®iÒu ph¶i chøng minh) vÝ dô 2: 2 2 2 5
Cho a,b,c>0 tháa m`n a + b + c = 3 Chøng minh 1 1 1 1 + + < a b c abc Gi¶i:
Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 〉 0 1 ⇒ ac+bc-ab 〈 ( a2+b2+c2) 2 5 1 1 1 1
⇒ ac+bc-ab ≤ 〈 1 Chia hai vÕ cho abc > 0 ta cã + − 〈 6 a b c abc vÝ dô 3
Cho 0 < a,b,c,d <1 Chøng minh r»ng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d Gi¶i:
Ta cã (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
Do a>0 , b>0 nªn ab>0
⇒ (1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
Do c <1 nªn 1- c >0 ta cã
⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd
⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (§iÒu ph¶i chøng minh) vÝ dô 4
1- Cho 0 2a3 + b3 2
+ 2c3 < 3 + a 2b + b2c + c 2a Gi¶i : Do a < 1 ⇒ 2 a < 1 vµ Ta cã (1 2 − a )(
. 1 − b) < 0 ⇒ 1-b- 2 a + 2 a b > 0 ⇒ 1+ 2 a 2 b > 2 a + b mµ 0< a,b <1 ⇒ 2 a > 3 a , 2 b > 3 b Tõ (1) vµ (2) ⇒ 1+ 2 a 2 b > 3 a + 3 b VËy 3 a + 3 b < 1+ 2 a 2 b T−¬ng tù 3 b + 3 c ≤ b 2 1 + c c 3 + 3 a ≤ c 2 1 + a
Céng c¸c bÊt ®¼ng thøc ta cã : 2a3 + b3 2
+ 2c3 ≤ 3 + a 2b + b2c + c 2a b)Chøng minh r»ng : NÕu 2 2 2 2
a + b = c + d = 1998 th× ac+bd =1998 (Chuyªn Anh –98 – 99) Gi¶i:
Ta cã (ac + bd) 2 + (ad – bc ) 2 = a 2 c 2 + b 2 2 2 2
d + 2abcd + a d 2 2 + b c - 2abcd =
= a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982 9
rá rµng (ac+bd)2 ≤ (ac + bd )2 + (ad − bc)2 2 = 1998
⇒ ac + bd ≤ 1998
2-Bµi tËp : 1, Cho c¸c sè thùc : a ; a ;a ….;a tháa m`n : a + a +a + ….+a 1 2 3 2003 1 2 3 2003 =1 1 c høng minh r»ng : a 2 + 2 2 2 a + a + ....
( ®Ò thi vµo chuyªn nga ph¸p + ≥ 1 2 3 a2003 2003 2003- 2004Thanh hãa )
2,Cho a;b;c ≥ 0 tháa m`n :a+b+c=1(?) 1 1 1 Chøng minh r»ng: ( − ) 1 .( − ) 1 .( − ) 1 ≥ 8 a b c
Ph−¬ng ph¸p 5: dïng tÝnh chÊtcña tû sè KiÕn thøc
1) Cho a, b ,c lµ c¸c sè d−¬ng th× a – NÕu a a a + c > 1 th× > b b b + c b – NÕu a a a + c < 1 th× < b b b + c 2)NÕu b,d >0 th× tõ a c a a + c c < ⇒ < < b d b b + d d ` vÝ dô 1 :
Cho a,b,c,d > 0 .Chøng minh r»ng 1 a b c d < + + + < 2 a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b Gi¶i :
Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã a a a + d < 1 ⇒ < (1) a + b + c a + b + c
a + b + c + d MÆt kh¸c : a a > (2) a + b + c
a + b + c + d Tõ (1) vµ (2) ta cã a < a < a + d (3)
a + b + c + d a + b + c
a + b + c + d T−¬ng tù ta cã b b b + a < < (4)
a + b + c + d b + c + d
a + b + c + d c c b + c < < (5)
a + b + c + d c + d + a
a + b + c + d 10 d d d + c < < (6)
a + b + c + d d + a + b
a + b + c + d
céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã 1 a b c d < + + +
< 2 ®iÒu ph¶i chøng minh a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b vÝ dô 2 :
Cho: a < c vµ b,d > 0 .Chøng minh r»ng a < ab + cd c < b d b b 2 + d 2 d
Gi¶i: Tõ a < c ab cd ⇒ ab ab + cd cd c < ⇒ < < = b d 2 2 b d b2 b 2 + d 2 d 2 d
VËy a < ab + cd c < ®iÒu ph¶i chøng minh b b 2 + d 2 d
vÝ dô 3 : Cho a;b;c;dlµ c¸c sè nguyªn d−¬ng tháa m`n : a+b = c+d =1000
t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña a b + c d +
gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö : a b a b a a b b ≤ Tõ : ≤ ⇒ ≤ ≤ c d c d c c + d d a ≤ 1 v× a+b = c+d c a, NÕu :b b a b ≤ 998 th× ≤ 998 ⇒ + ≤ 999 d c d 1 999
b, NÕu: b=998 th× a=1 ⇒ a b + = +
§¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi d= 1; c=999 c d c d 1
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña a b + =999+ khi a=d=1; c=b=999 c d 999
Ph−¬ng ph¸p 6: Ph−¬ng ph¸plµm tréi L−u ý:
Dïng c¸c tÝnh bÊt ®¼ng thøc ®Ó ®−a mét vÕ cña bÊt ®¼ng thøc vÒ d¹ng tÝnh ®−îc
tæng h÷u h¹n hoÆc tÝch h÷u h¹n.
(*) Ph−¬ng ph¸p chung ®Ó tÝnh tæng h÷u h¹n :
S = u + u + ....+ u 1 2 n
Ta cè g¾ng biÕn ®æi sè h¹ng tæng qu¸t u vÒ hiÖu cña hai sè h¹ng liªn tiÕp nhau: k
u = a − a k k k 1 + Khi ®ã :
S = (a − a )+ (a − a )+ ....+ (a − a ) = a − 1 2 2 3 a n n 1 + 1 n 1 +
(*) Ph−¬ng ph¸p chung vÒ tÝnh tÝch h÷u h¹n P = u u ... u . 1 2 n
BiÕn ®æi c¸c sè h¹ng u vÒ th−¬ng cña hai sè h¹ng liªn tiÕp nhau: k a u = k k ak 1 + 11 a a a a Khi ®ã P = 1 2 n 1 . ..... = a2 3 a a a n 1 + n 1 + VÝ dô 1 :
Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng 1 1 1 1 3 < + + .... + < 2 n +1 n + 2 n + n 4 Gi¶i: 1 1 1 Ta cã > = víi k = 1,2,3,…,n-1 n + k n + n 2n Do ®ã: 1 1 1 1 1 n 1 + + ... + > + ... + = = n +1 n + 2 2n 2n 2n 2n 2 VÝ dô 2 : Chøng minh r»ng: 1 1 1 1+ + + .... + > 2( n +1 − ) 1 Víi n lµ sè nguyªn 2 3 n Gi¶i : 1 2 2 Ta cã = >
= 2( k +1 − k ) k 2 k k + k +1
Khi cho k ch¹y tõ 1 ®Õn n ta cã 1 > 2 ( 2 − ) 1 1 > 2( 3 − 2 ) 2 ……………… 1
> 2( n +1 − n ) n
Céng tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã 1 1 1 1+ + + .... + > 2( n +1 − ) 1 2 3 n VÝ dô 3 : n Chøng minh r»ng 1 < ∑ 2 n ∀ ∈ Z 2 k k 1 = Gi¶i: 1 1 1 1 Ta cã < = − k 2 k(k − ) 1 k −1 k
Cho k ch¹y tõ 2 ®Õn n ta cã 12 1 1 < 1− 22 2 1 1 1 < − 32 2 3 ................. 1 1 1 < − 2 n n −1 n 1 1 1 ⇒ + + .... + < 1 22 32 2 n n VËy 1 < ∑ 2 2 k k 1 = Ph−¬ng ph¸p 7:
Dïng bÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c
L−u ý: NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a;b;c> 0
Vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a
VÝ dô1: Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c chøng minh r»ng a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Gi¶i
a)V× a,b,c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn ta cã
0 < a < b + c  2
a < a(b + c)  
0 < b < a + c ⇒  2
b < b(a + c)  
0 < c < a + b 2
c < c(a + b)
Céng tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b) Ta cã a > b-c  ⇒ 2 2 2
a > a − (b − c) > 0 b > a-c  ⇒ 2 2 2
b > b − (c − a) > 0 c > a-b  ⇒ 2 2
c > c − (a − b)2 > 0
Nh©n vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc ta ®−îc ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c > [a − (b − c) ][b − (c − a) ][c − (a − b) ] ⇒ 2 2 2 2 2 2
a b c > (a + b − c) (b + c − a) (c + a − b)
⇒ abc > (a + b − c)(.b + c − a)(.c + a − b)
VÝ dô2: (404 – 1001)
1) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c Chøng minh r»ng 2 2 2
ab + bc + ca < a + b + c < 2(ab + bc + ca) 13
2) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi b»ng 2 Chøng minh r»ng 2 2 2
a + b + c + 2abc < 2
Ph−¬ng ph¸p 8: ®æi biÕn sè VÝ dô1: a b c 3
Cho a,b,c > 0 Chøng minh r»ng + + ≥ (1) b + c c + a a + b 2 Gi¶i :
§Æt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a= y + z − x ; b = z + x − y ; c = x + y − z 2 2 2 3 ta cã (1)
y + z − x
z + x − y
x + y − z ⇔ + + ≥ 2x 2 y 2z 2 y z x z x y ⇔ + − 1 + + − 1 + + − 1 ≥ 3 x x y y z z y x z x z y ⇔ ( + ) + ( + ) + ( + ) ≥ 6 x y x z y z
BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ®óng v× ( y x z x z y + ≥ ; 2 + ≥ 2 ; + ≥ 2 nªn ta cã ®iÒu x y x z y z ph¶i chøng minh VÝ dô2:
Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c <1 Chøng minh r»ng 1 1 1 + + ≥ 9 (1) 2 a + 2 2 bc b + 2 2 ac c + 2ab Gi¶i: §Æt x = a2 + b
2 c ; y = b2 + 2ac ; z = c2 + 2ab
Ta cã x + y + z = (a + b + c)2 < 1 1 1 1
(1) ⇔ + + ≥ 9 Víi x+y+z < 1 vµ x ,y,z > 0 x y z
Theo bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã
x + y + z ≥ 3. 3 xyz 1 1 1 1 + + ≥ 3. . 3 x y z xyz  1 1 1 
⇒ (x + y + z). + + ≥ 9    x y z  Mµ x+y+z < 1 1 1 1 VËy + + ≥ 9 (®pcm) x y z VÝ dô3: 14 1
Cho x ≥ 0 , y ≥ 0 tháa m`n 2 x − y = 1 CMR x + y ≥ 5 Gîi ý:
§Æt x = u , y = v ⇒ 2u-v =1 vµ S = x+y = 2 2
u + v ⇒ v = 2u-1 thay vµo tÝnh S min Bµi tËp 25a 16
1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0 CMR: b c + + > 8 b + c c + a a + b
2)Tæng qu¸t m, n, p, q, a, b >0 CMR 1 ma nb pc 2 + + ≥
( m + n + p) −(m + n + p) b + c c + a a + b 2
Ph−¬ng ph¸p 9: dïng tam thøc bËc hai L−u ý :
Cho tam thøc bËc hai f (x) = ax2 + bx + c NÕu ∆ < 0 th× .
a f (x) > 0 x ∀ ∈ R NÕu b ∆ = 0 th× .
a f (x) > 0 x ∀ ≠ − a NÕu ∆ > 0 th× .
a f (x) > 0 víi x < hoÆc ( 1 x x > x2 x > ) 2 1 x .
a f (x) < 0 víi < < 1 x x x2 VÝ dô1: Chøng minh r»ng f (x, y) 2 = x + 5 2
y − 4xy + 2x − 6 y + 3 > 0 (1) Gi¶i: Ta cã (1) ⇔ 2
x − 2x(2 y − ) 1 + 5 2
y − 6 y + 3 > 0 ∆′ = (2y − ) 1 2 − 5 2 y + 6 y − 3 = 4 2
y − 4 y +1− 5 2 y + 6 y − 3 = −(y − ) 1 2 −1 < 0
VËy f (x, y) > 0 víi mäi x, y VÝ dô2: Chøng minh r»ng f (x, y) 2 4 = x y + 2( 2 x + 2) 2 2 3
.y + 4xy + x > 4xy 15 Gi¶i:
BÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi 2 4 x y + 2( 2 x + 2). 2 y + 4 2 xy + x − 4 3 xy > 0 ⇔ ( 2 y + ) 1 2. 2
x + 4 y(1− y)2 x + 4 2 y > 0 Ta cã ∆′ = 4 2 y (1− y )2 2 − 4 2 y (y + ) 1 2 2 = −16 2 y < 0 V× a = (y + ) 1 2 2
> 0 vËy f (x, y) > 0 (®pcm)
Ph−¬ng ph¸p 10: dïng quy n¹p to¸n häc KiÕn thøc:
§Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n > n ta thùc hiÖn c¸c b−íc sau : 0
1 – KiÓm tra bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = 0 n
2 - Gi¶ sö B§T ®óng víi n =k (thay n =k vµo B§T cÇn chøng minh ®−îc gäi lµ gi¶ thiÕt quy n¹p )
3- Ta chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k +1 (thay n = k+1vµo B§T cÇn
chøng minh råi biÕn ®æi ®Ó dïng gi¶ thiÕt quy n¹p)
4 – kÕt luËn B§T ®óng víi mäi n > n 0 VÝ dô1: Chøng minh r»ng 1 1 1 1 + + .... + < 2 −
∀n ∈ N;n > 1 (1) 12 22 n2 n Gi¶i : 1 1
Víi n =2 ta cã 1+ < 2 − (®óng) 4 2
VËy B§T (1) ®óng víi n =2
Gi¶ sö B§T (1) ®óng víi n =k ta ph¶i chøng minh B§T (1) ®óng víi n = k+1 ThËt vËy khi n =k+1 th× 1 1 1 1 1 (1) ⇔ + + .... + + < 2 − 12 22 2 k (k + ) 1 2 k +1 Theo gi¶ thiÕt quy n¹p 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ + + .... + + < 2 − + < 2 − 12 22 2 k (k + ) 1 2 k (k + ) 1 2 k +1 1 1 1 1 1 ⇔ + .... + < + < 12 (k + ) 1 2 k +1 ( 2 k + ) 1 k 16 k + 1 + 1 1 ⇔ 2 <
⇔ k(k + 2) < (k + ) 1 ⇔ k2+2k2 (k + ) 1 k
®¼ng thøc (1)®−îc chøng minh
VÝ dô2: Cho n ∈ N vµ a+b> 0 n n n
Chøng minh r»ng  a + b a + b   ≤ (1)  2  2 Gi¶i
Ta thÊy B§T (1) ®óng víi n=1
Gi¶ sö B§T (1) ®óng víi n=k ta ph¶i chøng minh B§T ®óng víi n=k+1
ThËt vËy víi n = k+1 ta cã k 1 + k 1 + 1 + (1)  a + b a + k b ⇔   ≤  2  2 k k 1 + 1 +
a + b a + b a + k b ⇔   . ≤ (2)  2  2 2 k k k 1 + k k k 1 + k 1 + k 1 + a + b a + b a
+ ab + a b + b a + b ⇔ VÕ tr¸i (2) ≤ . = ≤ 2 2 4 2 k 1 + k 1 + k 1 + k k k 1 + a + b a
+ ab + a b + b ⇔ − ≥ 0 2 4
⇔ (ak − bk )(.a − b) ≥ 0 (3) Ta chøng minh (3)
(+) Gi¶ sö a ≥ b vµ gi¶ thiÕt cho a ≥ -b ⇔ a ≥ b k ⇔ k k
a ≥ b ≥ b ⇒ (a k − bk )(
. a − b) ≥ 0
(+) Gi¶ sö a < b vµ theo gi¶ thiÕt - ak ⇔ k k k
a < b ⇔ a < b ⇔ (a k − bk )(
. a − b) ≥ 0
VËy B§T (3)lu«n ®óng ta cã (®pcm)
Ph−¬ng ph¸p 11: Chøng minh ph¶n chøng L−u ý:
1) Gi¶ sö ph¶i chøng minh bÊt ®¼ng thøc nµo ®ã ®óng , ta h`y gi¶ sö bÊt ®¼ng thøc
®ã sai vµ kÕt hîp víi c¸c gi¶ thiÕt ®Ó suy ra ®iÒu v« lý , ®iÒu v« lý cã thÓ lµ ®iÒu tr¸i víi
gi¶ thiÕt , cã thÓ lµ ®iÒu tr¸i ng−îc nhau .Tõ ®ã suy ra bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh lµ ®óng
2) Gi¶ sö ta ph¶i chøng minh luËn ®Ò “G ⇒ K”
phÐp to¸n mÖnh ®Ò cho ta :
Nh− vËy ®Ó phñ ®Þnh luËn ®Ò ta ghÐp tÊt c¶ gi¶ thiÕt cña luËn ®Ò víi phñ ®Þnh kÕt luËn cña nã .
Ta th−êng dïng 5 h×nh thøc chøng minh ph¶n chøng sau : 17 −− −−
A - Dïng mÖnh ®Ò ph¶n ®¶o : K ⇒ G
B – Phñ ®Þnh r«i suy tr¸i gi¶ thiÕt :
C – Phñ ®Þnh råi suy tr¸i víi ®iÒu ®óng
D – Phñ ®Þnh råi suy ra 2 ®iÒu tr¸i ng−îc nhau
E – Phñ ®Þnh råi suy ra kÕt luËn : VÝ dô 1:
Cho ba sè a,b,c tháa m`n a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0
Chøng minh r»ng a > 0 , b > 0 , c > 0 Gi¶i :
Gi¶ sö a ≤ 0 th× tõ abc > 0 ⇒ a ≠ 0 do ®ã a < 0
Mµ abc > 0 vµ a < 0 ⇒ cb < 0
Tõ ab+bc+ca > 0 ⇒ a(b+c) > -bc > 0
V× a < 0 mµ a(b +c) > 0 ⇒ b + c < 0
a < 0 vµ b +c < 0 ⇒ a + b +c < 0 tr¸i gi¶ thiÕt a+b+c > 0
VËy a > 0 t−¬ng tù ta cã b > 0 , c > 0 VÝ dô 2:
Cho 4 sè a , b , c ,d tháa m`n ®iÒu kiÖn
ac ≥ 2.(b+d) .Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt mét trong c¸c bÊt ®¼ng thøc sau lµ sai: a2 < b 4 , c2 < 4d Gi¶i :
Gi¶ sö 2 bÊt ®¼ng thøc : a2 < b
4 , c2 < 4d ®Òu ®óng khi ®ã céng c¸c vÕ ta ®−îc 2 2
a + c < 4(b + d ) (1)
Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b+d) ≤ 2ac (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ 2
a2 + c2 < 2ac hay (a − c) < 0 (v« lý)
VËy trong 2 bÊt ®¼ng thøc a2 < b
4 vµ c2 < 4d cã Ýt nhÊt mét c¸c bÊt ®¼ng thøc sai VÝ dô 3:
Cho x,y,z > 0 vµ xyz = 1. Chøng minh r»ng 1 1 1
NÕu x+y+z > + + th× cã mét trong ba sè nµy lín h¬n 1 x y z Gi¶i :
Ta cã (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 1 1 1
=x + y + z – ( + + ) v× xyz = 1 x y z 1 1 1
theo gi¶ thiÕt x+y +z > + + x y z
nªn (x-1).(y-1).(z-1) > 0
Trong ba sè x-1 , y-1 , z-1 chØ cã mét sè d−¬ng
ThËt vËy nÕu c¶ ba sè d−¬ng th× x,y,z > 1 ⇒ xyz > 1 (tr¸i gi¶ thiÕt)
Cßn nÕu 2 trong 3 sè ®ã d−¬ng th× (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (v« lý) 18
VËy cã mét vµ chØ mét trong ba sè x , y,z lín h¬n 1
PhÇn iii : c¸c bµi tËp n©ng cao 1/dïng ®Þnh nghÜa 2 1) Cho abc = 1 vµ 3 a
a > 36 . . Chøng minh r»ng + b2+c2> ab+bc+ac 3 Gi¶i 2
Ta cã hiÖu: a + b2+c2- ab- bc – ac 3 2 2 = a a + + b2+c2- ab- bc – ac 4 12 2 2 = ( a a + b2+c2- ab– ac+ 2bc) + − 3bc 4 12 3 − 36
=( a -b- c)2 + a abc 2 12a 3 − 36
=( a -b- c)2 + a
abc >0 (v× abc=1 vµ a3 > 36 nªn a >0 ) 2 12a 2
VËy : a + b2+c2> ab+bc+ac §iÒu ph¶i chøng minh 3 2) Chøng minh r»ng a) 4 4 2
x + y + z + 1 ≥ 2 . x ( 2
xy − x + z + ) 1
b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã 2 a + 5 2
b − 4ab + 2a − 6b + 3 > 0 c) 2 a + 2 2
b − 2ab + 2a − 4b + 2 ≥ 0 Gi¶i : a) XÐt hiÖu
H = x4 + y4 + z 2 +1− 2x2 y2 + 2x2 − 2xz − 2x = ( 2 x − y )2 2
+ (x − z)2 + (x − )2 1
H ≥ 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh b) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt
H = (a − 2b + ) 1 2 + (b − ) 1 2 +1
⇒ H > 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh c) vÕ tr¸i cã thÓ viÕt
H = (a − b + )2 1 + (b − )2 1
⇒ H ≥ 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
Ii / Dïng biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng
1) Cho x > y vµ xy =1 .Chøng minh r»ng 19 ( 2 x + y )2 2 ≥ 8 (x − y)2 Gi¶i : Ta cã 2 2
x + y = (x − y)2 + 2xy = (x − y)2 + 2 (v× xy = 1) ⇒ ( 2 x + y )2 2
= (x − y)4 + 4 ( . x − y)2 + 4
Do ®ã B§T cÇn chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi
(x − y)4 + 4(x − y)2 + 4 ≥ 8 (.x − y)2
⇔ (x − y)4 − 4(x − y)2 + 4 ≥ 0 2 ⇔ (
[ x − y)2 − 2] ≥ 0
B§T cuèi ®óng nªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
2) Cho xy ≥ 1 .Chøng minh r»ng 1 1 2 + ≥ 1+ x2 1+ y2 1+ xy Gi¶i : 1 1 2 Ta cã + ≥ 1+ x2 1+ y2 1+ xy  1 1   1 1  ⇔ − + − ≥ 0  1 2 + x 1 2    + y  1 2 + y 1  + xy  2 2 xy − x xy − y ⇔ ( + ≥ 1 2 + x ) 0 (.1+ xy) (1 2 + y )( . 1+ xy)
x( y − x)
y(x − y) ⇔ ( + ≥ 1 2 + x ) 0 (.1+ xy) (1 2 + y )( . 1+ xy)
(y − x)2(xy − ) 1 ⇔ ( ≥ 1 2 + x )( .1 2 + y ) 0 (.1+ xy)
B§T cuèi nµy ®óng do xy > 1 .VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
Iii / dïng bÊt ®¼ng thøc phô
1) Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1 2 2 2 1
Chøng minh r»ng a + b + c ≥ 3 Gi¶i :
¸p dông B§T BunhiaC«pski cho 3 sè (1,1,1) vµ (a,b,c)
Ta cã (1.a +1.b +1.c)2 ≤ (1+1+ ) 1 ( 2 2 2
. a + b + c )
⇔ (a + b + c)2 ≤ 3 ( 2 2 2
. a + b + c ) 2 2 2 1
⇔ a + b + c ≥ (v× a+b+c =1 ) (®pcm) 3
2) Cho a,b,c lµ c¸c sè d−¬ng
Chøng minh r»ng (a + b + c) 1 1 1  . + +  ≥ 9 (1)  a b c  20 Gi¶i : (1) a a b b c c ⇔ 1+ + + +1+ + + +1 ≥ 9 b c a c a a
a b   a c   b c
⇔ 3 +  +  +  +  +  +  ≥ 9
b a   c a   c b
¸p dông B§T phô x y + ≥ 2 Víi x,y > 0 y x
Ta cã B§T cuèi cïng lu«n ®óng
VËy (a + b + c) 1 1 1  . + +  ≥ 9 (®pcm)  a b c
Iv / dïng ph−¬ng ph¸p b¾c cÇu
1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chøng minh r»ng : 2a3 + b3
2 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a Gi¶i : Do a <1 ⇒ 2 a <1 vµ b <1 Nªn (1 2 − a )( . 1 2 − b ) > 0 ⇒ 1 2 2
+ a b − a − b > 0 Hay + a2 1
b > a2 + b (1) MÆt kh¸c 0 3 a > a ; 3 b > b ⇒ 2 3 3
1+ a > a + b
VËy a3 + b3 < 1+ a2b T−¬ng tù ta cã 3 3 2
b + c < 1+ b c
a3 + c3 < 1+ c2a ⇒ 2a3 + b3
2 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a (®pcm) 2) So s¸nh 3111 vµ 1714 Gi¶i : Ta thÊy 11 31 < = ( )11 11 5 55 56 32 2 = 2 < 2 MÆt kh¸c = = ( )14 56 4.14 4 14 14 2 2 2 = 16 < 17 Vëy 3111 < 1714 (®pcm) V/ dïng tÝnh chÊt tØ sè
1) Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chøng minh r»ng : + + + + 2 a b b c c d d a < + + + < 3 a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b Gi¶i :
V× a ,b ,c ,d > 0 nªn ta cã 21 a + b a + b a + b + d < < (1)
a + b + c + d a + b + c
a + b + c + d b + +c b + c b + c + a < < (2)
a + b + c + d b + c + d
a + b + c + d d + a d + a d + a + c < < (3)
a + b + c + d d + a + b
a + b + c + d
Céng c¸c vÕ cña 4 bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã : + + + + 2 a b b c c d d a < + + + < 3 (®pcm) a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b
2) Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c Chøng minh r»ng 1 a b c < + + < 2 b + c c + a a + b Gi¶i :
V× a ,b ,c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c nªn ta cã a,b,c > 0 Vµ a < b +c ; b a a + a 2 Tõ (1) a ⇒ < = b + c a + b + c a + b + c MÆt kh¸c a a > b + c a + b + c a a 2 b b 2 VËy ta cã a b < < T−¬ng tù ta cã < < a + b + c b + c a + b + c a + b + c a + c a + b + c c c 2 c < < a + b + c b + a a + b + c
Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã : 1 a b c < + + < 2 (®pcm) b + c c + a a + b
V/ ph−¬ng ph¸p lµm tréi : 1) Chøng minh B§T sau : 1 1 1 1 a) + + ... + < 1.3 3.5
(2n −1).(2n +1) 2 1 1 1 b) 1+ + + ... + < 2 1.2 1.2.3 1.2.3.....n Gi¶i : a) Ta cã 1 1 (2k + ) 1 − (2k −1) 1  1 1  = . = − (2   n − ) 1 .(2n + ) 1
2 (2k −1).(2k +1)
2  2k −1 2k +1
Cho n ch¹y tõ 1 ®Õn k .Sau ®ã céng l¹i ta cã 1 1 1 1  2  1 + + ... + = . 1− < (®pcm) 1.3 3.5 (2   n −1).(2n +1) 2  2n +1  2 b) Ta cã 22 1 1 1 1 1 1 1+ + + ... + < 1+ + + ..... + 1.2 1.2.3 1.2.3.....n 1.2 1.2.3 (n − ) 1 .n <  1   1 1   1 1  1 1+ 1− + − + .... + − < 2 − < 2  (®pcm)  2     2 3      n −1 n n
PhÇn iv : øng dông cña bÊt ®¼ng thøc
1/ dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ó t×m c−c trÞ L−u ý
- NÕu f(x) ≥ A th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ A
- NÕu f(x) ≤ B th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ B VÝ dô 1 :
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña :
T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Gi¶i :
Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| ≥ |x-1+4-x| = 3 (1)
Vµ x − 2 + x − 3 = x − 2 + 3− x ≥ x − 2 + 3− x = 1 (2)
VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| ≥ 1+3 = 4
Ta cã tõ (1) ⇒ DÊu b»ng x¶y ra khi 1 ≤ x ≤ 4
(2) ⇒ DÊu b»ng x¶y ra khi 2 ≤ x ≤ 3
VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 2 ≤ x ≤ 3 VÝ dô 2 :
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña
S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x+y+z =1 Gi¶i :
V× x,y,z > 0 ,¸p dông B§T C«si ta cã x+ y + z 3 ≥ 3 xyz 1 1 3
⇒ xyz ≤ ⇒ xyz ≤ 3 27
¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho x+y ; y+z ; x+z ta cã
( x + y) ( y + z) ( z + x) 3 . .
≥ 3 ( x + y).( y + z).( x + z) 3
⇒ 2 ≥ 3 ( x + y).( y + z).( z + x) 1
DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z= 3 8 1 8 VËy S ≤ . = 27 27 729 8 1
VËy S cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ khi x=y=z= 729 3
VÝ dô 3 : Cho xy+yz+zx = 1
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4 4 4
x + y + z Gi¶i : 23
¸p dông B§T Bunhiacèpski cho 6 sè (x,y,z) ;(x,y,z) Ta cã ( + + ) ≤ ( + + )2 2 2 2 2 xy yz zx x y z ⇒ ≤ ( + + )2 2 2 2 1 x y z (1)
Ap dông B§T Bunhiacèpski cho ( 2 2 2
x , y , z ) vµ (1,1,1) 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4
(x + y + z ) ≤ (1 +1 +1 )(x + y + z ) Ta cã 2 2 2 2 4 4 4
→ (x + y + z ) ≤ 3(x + y + z ) Tõ (1) vµ (2) 4 4 4
⇒ 1 ≤ 3(x + y + z ) 4 4 4 1
⇒ x + y + z ≤ 3 1 3 VËy 4 4 4
x + y + z cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ khi x=y=z= ± 3 3 VÝ dô 4 :
Trong tam gi¸c vu«ng cã cïng c¹nh huyÒn , tam gi¸c vu«ng nµo cã diÖn tÝch lín nhÊt Gi¶i :
Gäi c¹nh huyÒn cña tam gi¸c lµ 2a
§−êng cao thuéc c¹nh huyÒn lµ h
H×nh chiÕu c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn c¹nh huyÒn lµ x,y 1
Ta cã S = .( x + y) 2 .h = . a h = . a h = . a xy 2
V× a kh«ng ®æi mµ x+y = 2a
VËy S lín nhÊt khi x.y lín nhÊt ⇔ x = y
VËy trong c¸c tam gi¸c cã cïng c¹nh huyÒn th× tam gi¸c vu«ng c©n cã diÖn tÝch lín nhÊt
Ii/ dïng b.®.t ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ hÖ ph−¬ng tr×nh VÝ dô 1 :
Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau 2 2 2
4 3x + 6x +19 + 5x +10x +14 = 4 − 2x − x Gi¶i : Ta cã 2 3x + 6x +19 2
= 3.(x + 2x +1) +16 2 = 3.(x +1) +16 ≥ 16 x + x + = ( x + )2 2 5 10 14 5. 1 + 9 ≥ 9 VËy 2 2
4. 3x + 6x +19 + 5x +10x +14 ≥ 2 + 3 = 5
DÊu ( = ) x¶y ra khi x+1 = 0 ⇒ x = -1 VËy 2 2 2
4 3x + 6x +19 + 5x +10x +14 = 4 − 2x − x khi x = -1
VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = -1 VÝ dô 2 : 24
Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 2
x + 2 − x = 4 y + 4 y + 3 Gi¶i :
¸p dông B§T BunhiaCèpski ta cã : 2 2 2 2 x + − x ≤ + x + ( 2 2 1 1 . 2 − x ) ≤ 2. 2 = 2 DÊu (=) x¶y ra khi x = 1
MÆt kh¸c y + y + = ( y + )2 2 4 4 3 2 1 + 2 ≥ 2 1 DÊu (=) x¶y ra khi y = - 2 1 VËy 2 2
x + 2 − x = 4 y + 4 y + 3 = 2 khi x =1 vµ y =- 2  x = 1
VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ  1 y = −  2 VÝ dô 3 :
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh sau: 
x + y + z = 1  4 4 4
x + y + z =  xyz
Gi¶i : ¸p dông B§T C«si ta cã 4 4 4 4 4 4 4 4 4 + + + x x y y z z x + y + z = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2
≥ x y + y z + z x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y + y z z y + z z x z + y x ≥ + + 2 2 2 2 2 2
≥ y xz + z xy + x yz
≥ xyz.(x + y + z) V× x+y+z = 1) Nªn 4 4 4
x + y + z ≥ xyz 1
DÊu (=) x¶y ra khi x = y = z = 3 
x + y + z = 1 1 VËy  cã nghiÖm x = y = z = 4 4 4
x + y + z =  xyz 3
VÝ dô 4 : Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh sau 2  xy − 4 = 8 (1) − y  2 xy = 2 +  x (2) Tõ ph−¬ng tr×nh (1) 2
⇒ 8 − y ≥ 0 hay y ≤ 8 25 Tõ ph−¬ng tr×nh (2) 2
⇒ x + 2 = x . y ≤ 2 2 x 2 2
⇒ x − 2 2 x + 2 ≤ 0 2 ⇒ ( x − 2) ≤ 0 ⇒ x = 2 ⇒ x = ± 2 NÕu x = 2 th× y = 2 2 NÕu x = - 2 th× y = -2 2  x = 2  x = 2 2
VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm  vµ   y = − 2  y = −2 2
Iii/ dïng B.§.t ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn
1) T×m c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m`n 2 2 2
x + y + z ≤ xy + 3y + 2z − 3 Gi¶i :
V× x,y,z lµ c¸c sè nguyªn nªn 2 2 2
x + y + z ≤ xy + 3y + 2z − 3 2 2 2
⇔ x + y + z − xy − 3y − 2z + 3 ≤ 0 2 2     2 y 3y ⇔ x − xy + + − 3y + 3 + ( 2 z − 2z + ) 1 ≤     0  4   4  2 2  y   y  ⇔ x − + − +     ( z − )2 3 1 1 ≤ 0 (*)  2   2  2 2 Mµ  y   yx − + − +     ( z − )2 3 1 1 ≥ 0 x ∀ , y ∈ R  2   2  2 2  y   y  ⇔ x − + − +     ( z − )2 3 1 1 = 0  2   2   y x − = 0  2   x = 1  y
⇔  −1 = 0 ⇔  y = 2 2   z =1  z 1 0  − =   x = 1
C¸c sè x,y,z ph¶i t×m lµ y = 2  z =1  VÝ dô 2: 26
T×m nghiÖm nguyªn d−¬ng cña ph−¬ng tr×nh 1 1 1 + + = 2 x y z Gi¶i :
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö x ≥ y ≥ z 1 1 1 3
Ta cã 2 = + + ≤ ⇒ 2z ≤ 3 x y z z
Mµ z nguyªn d−¬ng vËy z = 1 1 1
Thay z = 1 vµo ph−¬ng tr×nh ta ®−îc + = 1 x y 1 1 1
Theo gi¶ sö x ≥ y nªn 1 = + ≤
⇒ y ≤ 2 mµ y nguyªn d−¬ng x y y Nªn y = 1 hoÆc y = 2
Víi y = 1 kh«ng thÝch hîp Víi y = 2 ta cã x = 2
VËy (2 ,2,1) lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh
Ho¸n vÞ c¸c sè trªn ta ®−îc c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh
lµ (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2) VÝ dô 3 :
T×m c¸c cÆp sè nguyªn tho¶ m`n ph−¬ng tr×nh
x + x = y (*) Gi¶i :
(*) Víi x < 0 , y < 0 th× ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghÜa (*) Víi x > 0 , y > 0
Ta cã x + x = y 2
⇔ x + x = y 2 ⇔
x = y − x > 0
§Æt x = k (k nguyªn d−¬ng v× x nguyªn d−¬ng ) Ta cã 2
k.(k +1) = y
Nh−ng k < k (k + ) < (k + )2 2 1 1
⇒ k < y < k +1
Mµ gi÷a k vµ k+1 lµ hai sè nguyªn d−¬ng liªn tiÕp kh«ng tån t¹i mét sè nguyªn d−¬ng nµo c¶
Nªn kh«ng cã cÆp sè nguyªn d−¬ng nµo tho¶ m`n ph−¬ng tr×nh . x = 0
VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ :  y =  0 27 28