1
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hp Đức
CHUYÊN ĐỀ: CHIA HT CỦA ĐA THỨC
DNG 1: S DỤNG ĐỊNH LÝ BEZOUT TÌM S
Định lý Be zout: ”Dư của phép chia f(x) cho nhn thc bc nht x-a là 1 hng s có giá tr là f(a)
Bài 1: Không thc hin phép chia, hãy xét xem,
( )
32
3 2 9 2f x x x x= +
có chia hết cho x-2 không, có
chia hết cho x+2 không?
HD:
Theo định lý Bơ- zu thì dư của
( )
32
3 2 9 2f x x x x= +
khi chia cho nh thc bc nht x-2 có giá
tr là:
( )
32
2 2.2 2.2 9.2 2 0f = + =
. Vy
( ) ( )
2f x x
Tương tự:
S dư của
( )
32
3 2 9 2f x x x x= +
khi chia cho x+2 có giá tr là:
( ) ( ) ( ) ( )
32
2 2. 2 2. 2 9. 2 2 4f = + =
Vy
( ) ( )
2f x x
+
Bài 2: Tìm s a để
32
2 3 2x x x a x + + +
HD:
Theo định lý Bơ- zu thì dư của
khi chia cho nh thc bc nht x+2, có
giá tr là:
( ) ( )
2 2. 8 3.4 2 22f a a = + =
Để f(x) chia hết cho x+2 thì a-22=0 hay a=22
Bài 3: Tìm hế s a để:
2
4 6 3x x a x +
HD:
Theo định lý Bơ- zu thì dư của
( )
2
46f x x x a= +
khi chia cho nh thc bc nht x - 3, có giá tr
là:
( )
3 4.9 6.3 18f a a= + = +
Để f(x) chia hết cho x - 3 thì a+ 18 = 0 hay a = -18
Bài 4: Tìm hế s a để:
2
23x x a x+ + +
HD:
Theo định lý Bơ- zu thì dư của
( )
2
2f x x x a= + +
khi chia cho nh thc bc nht x + 3, có giá tr
là:
( )
3 2.9 3 15f a a = + = +
Để f(x) chia hết cho x + 3 thì a+ 15 = 0 hay a = -15
Bài 5: Tìm hế s a để:
2
10 7 2 3x x a x +
HD:
H phép chia ta có:
( )( ) ( )
2
10 7 2 3 5 4 12x x a x x a + = + + +
Để
2
10 7 2 3 12 0 12x x a x a a + = + = = =
Bài 6: Tìm hế s a để:
2
2 1: 3x ax x+ +
dư 4
HD :
Theo định lý Bơ- Zu ta có :
Dư của
( )
2
21f x x ax= + +
, khi chia cho x-3 là
( )
3 2.9 3 1 3 19f a a= + + = +
Để có s dư là 4 thì
3 19 4 3 15 5a a a+ = = = = =
Bài 7: Tìm hế s a để:
54
5 9 1ax x x+
HD :
Theo định lý Bơ- Zu ta có :
Dư của
( )
54
59f x ax x= +
, khi chia cho x - 1 là
( )
1 5 9 4f a a= + =
Để có phép chia hết thì
4 0 4aa = = =
2
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hp Đức
Bài 8: Tìm hế s a để:
2
8 26 2 3x x a x +
HD :
H phép chia ta có:
( )( )
2
8 26 2 3 4 7 21x x a x x a + = +
Để
2
8 26 2 3 21 0 21x x a x a a + = = = =
Bài 9: Tìm hế s a để:
4 3 2 2
65x x x x a x x + + +
HD :
H phép chia hoặc đồng nht, ta có:
( )( )
4 3 2 2 2
6 5 1 5x x x x a x x x a + + = + + +
Để phép chia là phép chia hết thì a - 5 = 0 hay a = 5
Bài 10: Tìm hế s a, b để:
32
2x ax b x x+ + +
HD :
H phép chia ta có:
( )
( ) ( )
32
2 1 3 2x ax b x x x a x b+ + = + + + +
Để là phép chia hết thì a + 3=0 và b-2 =0 hay a=-3 và b=2
Bài 11: Tìm hế s a để:
3 2 2
4 4 4x ax x x+ + +
HD :
H phép chia ta có :
( )
( ) ( )
3 2 2
4 4 4 4 12 4 12 4x ax x x x a a x a+ = + + + + +
Để được phép chia hết thì 12-4a=0 hay a=3
Bài 12: Tìm hế s a để:
42
4x ax b x+ +
HD :
Để
42
4x ax b x+ +
thì
4
4
2
2
x ax b x
x ax b x
+ +
+ + +
Áp dụng định Bơ- Zu ta có:
( ) ( )
4
2 16 2 0f x x ax b f a b= + + = = + + =
Và:
( )
2 16 2 0f a b = + =
Gii h ta được a=0 và b=-16
Bài 13: Tìm hế s a để:
4 3 2
11x ax bx x+ +
HD :
Để
4 3 2
11x ax bx x+ +
thì
43
43
11
11
x ax bx x
x ax bx x
+ +
+ + +
Áp dụng định Bơ- Zu ta có:
( ) ( )
43
1 1 1 1 0f x x ax bx f a b= + + = = + + =
Và:
( )
1 1 1 0f a b = + =
Gii h ta được a tùy ý và b= - a
Bài 14: Tìm hế s a để:
32
22x ax b x x+ + +
H phép HD :
chia ta có :
( )
( ) ( )
32
2 2 2 4x ax b x x x a b x b+ + = + + + +
Để phép chia là phép chia hết thì : a+b=0 và b-4=0=> b=4 và a=-4
Bài 15: Tìm hế s a để:
4 2 2
1x ax b x x+ + +
HD :
H phép chia ta có :
( )( )
( )
4 2 2 2
11x ax b x x x x a a x a b+ + = + + + + +
Để là phép chia hết thì a-1=0 và a-b=0=> a=b=1
3
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hp Đức
Bài 16: Tìm hế s a để:
3 2 2
5 50 3 10ax bx x x x+ + + +
HD :
H phép chia ta có :
( )
( ) ( ) ( )
3 2 2
5 50 3 10 3 3 5 30 10 50ax bx x x x ax a b a b x a b+ + + = + + + + + + +
Để là phép chia hết thì a+3b+5=0 và 30a-10b+50=0
Bài 17: Tìm hế s a để:
( )
2
43
11ax bx x+ +
HD :
H phép chia ta có :
( )
( ) ( ) ( ) ( )
4 3 2 2
1 2 1 . 2 3 2 8 5 3 2 1ax bx x x a x a b x a b a b x a b

+ + = + + + + + + + +

Để là phép chia hết thì :
8a+5b=0 và 3a+2b-1=0
Bài 18: Tìm hế s a để:
( )
42
4x x ax b+ + +
HD :
Tách:
( )( )
4 2 2
4 2 2 2 2x x x x x+ = + + +
Vy b=2 và a=2 hoc a=-2
Bài 19: Tìm hế s m để:
4 3 2 2
3 6 7 2 1x x x x m x x + + +
HD :
Ta có:
( )( )
4 3 2 2 2
3 6 7 2 1 3 3x x x x m x x x x m + + = + + +
Để là phép chia hết thì m- 3=0=> m=3
Bài 20: Tìm hế s a để:
2
10 7 2 3x x a x +
HD :
H phép chia ta có:
( )( )
2
10 7 2 3 5 4 12x x a x x a + = + + +
Để là phép chia hết thì a+12=0 hay a=-12
Bài 21: Tìm hế s a để:
2
2 4 4x ax x+ +
HD :
Theo định lý - Zu ta có, Dư của
( )
2
2 . 4f x x a x= +
khi chia cho x+4 là:
( )
4 2.16 4 4 28 4f a a = =
Để là phép chia hết thì 28-4a=0=>a=7
Bài 22: Tìm hế s a để:
3 2 2
5 3 2 3x ax x x x + + + +
HD :
H phép chia ta có:
( )
( ) ( )
3 2 2
. 5 3 2 3 2 2 6 3 3x a x x x x x a a x a + + = + + + + +


Để là phép chia hết thì -3a-3 =0=>a=-1
Bài 23: Tìm hế s a để:
22
1
52
4
x ax a x a +
HD :
Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư của
( )
22
1
.5
4
f x x a x a=
khi chia cho x+2a là:
( )
2 2 2 2
11
2 4 2 5
44
f a a a a a = + =
Để là phép chia hết thì
2
11
0
42
aa = = =
Bài 24: Tìm s dư của
3 9 27 81
x x x x x+ + + +
khi chia cho x-1
HD :
Ta có :
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 9 27 81
1 1 1 1 1 5P x x x x x x= + + + + +
nên s dư là 5
4
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hp Đức
Bài 25: Tìm s dư của :
3 9 27 81
x x x x x+ + + +
khi chia cho
2
1x
HD :
Ta có :
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 9 27 81
15P x x x x x x x x x= + + + +
=> Dư 5x
Bài 26: Xác định dư của:
( )
9 25 49 81
1P x x x x x x= + + + + +
khi chia cho
3
xx
HD :
( )
( ) ( ) ( ) ( )
9 25 49 81
51P x x x x x x x x x x= + + + + +
=
( ) ( ) ( ) ( )
8 24 48 80
1 1 1 1 5 1x x x x x x x x x + + + +
Vy s dư là : 5x - 1
Bài 27: Tìm n nguyên để:
32
3 10 5 3 1n n n+ +
HD :
H phép chia ta có :
( )
( )
3 2 2
3 10 5 3 1 3 1 4n n n n n+ = + +
Để
( )
32
3 10 5 3 1 4 3 1 3 1 4 1; 2; 4n n n n n U+ + = = =
Bài 28: Tìm n nguyên để
2
2 2 2 1n n n + +
HD :
H phép chia ta có :
( )( )
2
2 2 2 1 1 3n n n n + = + +
Để :
( )
2
2 2 2 1 3 2 1 2 1 3 1; 3n n n n n U + + = + = + =
Bài 29: Tìm các s x nguyên để
32
4 6 8 2 1x x x x +
HD :
H phép chia ta có :
( )
( )
3 2 2
4 6 8 2 1 2 2 3 3x x x x x x + = + +
Để
( )
32
4 6 8 2 1 3 2 1 2 1 3 1; 3x x x x x x U + = = =
Bài 30: Tìm các s x nguyên để:
32
4 3 2 83 3x x x x +
HD :
Theo định Bơ zụ thì dư của
( )
32
4 3 2 83f x x x x= +
, khi chia cho x-3 là :
( )
3 4.27 3.9 2.3 83 4f = + =
Để
( )
32
4 3 2 83 3 3 4 1; 2; 4x x x x x U + = =
Bài 31: Tìm các s x nguyên để:
32
4 4 4 2 1n n n n + +
HD :
H phép chia ta có :
( )
( )
3 2 2
4 4 4 2 1 2 3 1 3n n n n n n + = + + +
Để
( )
32
4 4 4 2 1 3 2 1 2 1 3 1; 3n n n n n n U + + = + = + =
Bài 32: Tìm các s x nguyên để:
2
8 4 1 2 1n n n + +
HD :
H phép chia ta :
( )( )
2
8 4 1 2 1 4 4 5n n n n + = + +
Để
( )
2
8 4 1 2 1 5 2 1 2 1 5 1; 5n n n n n U + = = =
Bài 33: Tìm các s x nguyên để:
32
3 8 15 6 3 1n n n n+ +
HD :
H phép chia ta có :
( )
( )
3 2 2
3 8 15 6 3 1 3 4 2n n n n n n+ + = + +
Để
( )
32
3 8 15 6 3 1 2 3 1 3 1 2 1; 2n n n n n n U+ + = = =
5
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hp Đức
Bài 34: Tìm các s x nguyên để:
32
4 2 6 5 2 1n n n n +
HD :
H phép chia ta có :
( )
( )
3 2 2
4 2 6 5 2 1 2 3 2n n n n n + = +
Để
( )
32
4 2 6 5 2 1 2 2 1 2 1 2 1; 2n n n n n n U + = = =
Bài 35: Tìm phần dư của phép chia
( )
2012 2011
1f x x x= + +
cho đa thức :
a,
2
1x
b,
2
1xx++
Bài 36: Cho đa thức:
4 3 2
( ) 6 40 1979P x x x x x m= + + +
a, Tìm m sao cho P(x) chia hết cho x-2
b, Với m tìm được, hãy giải thích phương trình P(x)=0
Bài 37: Tìm s nguyên n sao cho:
32
3 10 5nn+−
chia hết cho
31n +
6
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hp Đức
DẠNG 2: TÌM ĐA THỨC
Bài 1: Tìm a,b sao cho
( )
3
f x x ax b= + +
, chia cho x+1 dư 7, chia cho x-3 dư -5
HD :
Theo bài ra ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 . 7
3 . 5
f x x A x
f x x B x
= + +
=
, Cho x=-1, x=3=>
8
3 32
ab
ab
=
+ =
Bài 2: Tìm hng s a,b,c sao cho:
32
ax bx c++
chia hết cho x+2, chia cho
2
1x
dư 5
HD :
Theo bài ra ta có:
( )( )
2
1 1 1x x x = +
Khi dó ta có :
( ) ( ) ( )
32
.2f x a x bx c x A x= + + = +
( ) ( )( ) ( )
1 1 5f x x x B x= + +
Cho x= - 2 khi đó ta có : - 8a + 4b + c = 0
Cho x=1=> a + b + c = 5
Cho x=-1 => - a + b + c = 5
Khi đó ta có hệ:
8 4 0
5
5
a b c
abc
abc
+ + =
+ + =
+ + =
Bài 3: Xác định a, b biết:
3
2x ax b++
chia cho x+1 dư -6, chia cho x-2 dư 21
HD :
Theo bài ra ta có :
( ) ( ) ( )
3
2 . 1 6f x x a x b x A x= + + = +
( ) ( ) ( )
3
2. . 2 21f x x a x b x B x= + + = +
Cho
1 2 6x a b= = + =
Cho
2 16 2 21x a b= = + + =
Khi đó ta có hệ :
26
16 2 21
ab
ab
+ =
+ + =
Bài 4: Tìm h s a,b sao cho:
4 3 2
3x x x ax b + +
chia cho
2
2xx−−
được dư là 2x-3
HD :
Theo bài ra ta có :
( )( )
2
2 2 1x x x x = +
Nên ta có :
( ) ( )( )
4 3 2
3 . 2 1 2 3f x x x x a x b x x x= + + = + +
Cho
2 16 8 12 2 1x a b= = + + =
Cho
1 1 1 3 6x a b= = + + =
Khi đó ta có hệ
25
5
ab
ab
+=
+ =
Bài 5: Cho
( )
4 3 2 2
( ) , 2P x x x x ax b Q x x x= + + + = +
, Xác định a,b để
( ) ( )
P x Q x
HD :
Đặt phép chia ta có :
( )
( )
( ) ( )
4 3 2 2
. 2 1 2P x x x x a x b x x A x a x b= + + + = + + + +
Để
( ) ( )
1 0 1
2 0 2
aa
P x Q x
bb
= =

= =

+ = =

7
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hp Đức
Bài 6: Xác định các s hu t a,b,c sao cho:
42
2x ax bx c+ + +
chia hết cho x-2,
chia cho
2
1x
dư 2x
HD :
Theo bài ra ta có :
( ) ( ) ( )
42
2 . 2f x x a x bx c x A x= + + + =
( ) ( )( ) ( )
42
2 . 1 1 . 2f x x a x bx c x x B x x= + + + = + +
Cho
2 32 4 2 0x a b c= = + + + =
Cho
1 2 2x a b c= = + + + =
Cho
1 2 2x a b c= = + + =
. Khi đó ta có hệ :
4 2 32
0
4
a b c
abc
a b c
+ + =
+ + =
+ =
Bài 7: Xác định a,b sao cho:
( ) ( ) ( )
2
43
11P x ax bx Q x x= + + =
HD :
Đặt phép chia:
( ) ( ) ( ) ( )
2
43
. 1 1 . 4 3 1 3 2P x a x bx x A x a b x a b= + + = + + +
Để
( ) ( )
4 3 0
1 3 2 0
ab
P x Q x
ab
+=
=
=
Bài 8: Xác định a,b sao cho:
4 3 2 2
6 7 3 2x x ax x x x b + + + +
HD :
Đặt phép chia
( )
( ) ( )
( )
4 3 2 2 2
6 7 . 3 2 5 2 6 2x x a x x x x b A x a b x b ab b + + + = + + + + + +
Để là phép chia hết thì
2
5 2 0
6 2 0
ab
b ab b
+ =
+ + =
Bài 9: Tìm tng các h s của đa thứ sau khi khai trin:
( )
9
7
44xx−+
HD :
Tng các h s cảu đa thức sau khi trin khai là giá tr cảu đa thức ti x=1
Thay x=1 vào ta được:
( )
9
1 4 4 1 + =
Bài 10: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x+4 dư là 9, còn f(x) chia cho x-3 dư là 2, và
( )
2
: 12f x x x+−
có thương là
2
3x +
và còn dư
HD :
( )
( )( )
( )( )
( )
2 2 2
12 3 3 4 3f x x x x ax b x x x ax b= + + + + = + + + +
Cho
( )
( )
49
4, 3
32
f x a b
xx
f x a b
= + =
= = =
= + =
. Khi đó ta có hệ :
49
32
ab
ab
+ =
+=
Bài 11: Xác định đa thức
( )
32
A x ax bx c= + +
, biết: A(x) chia hết cho x-2 và
( )
2
:2A x x x+−
dư là 3x+2
HD :
Ta có :
( )( )
2
2 1 2x x x x+ = +
Khi đó ta có :
( ) ( ) ( )
32
.2A x a x bx c x B x= + + =
( ) ( )( ) ( )
32
. 1 2 3 2A x a x bx c x x C x x= + + = + + +
Cho
2 8 4 0x a b c= = + + =
, Cho
15x a b c= = + + =
, Cho
2 8 4 4x a b c= = + + =
Khi đó ta có hệ :
8 4 0
8 4 4
5
a b c
a b c
abc
+ + =
+ + =
+ + =
8
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hp Đức
Bài 12: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x-3 dư 2, f(x) chia cho x+4 dư 9, và
( )
2
: 12f x x x+−
được
thương là
2
3x +
và còn dư
HD :
Do f(x) chia cho
( )( )
2
12 3 4x x x x+ = +
được thương là
2
3x +
còn dư nên ta có :
( ) ( )( )
( )
2
4 3 3 .f x x x x a x b= + + + +
Cho
( )
4 4 9x f x a b= = = + =
Cho
( )
3 3 2x f x a b= = = + =
Khi đó ta có hệ:
49
32
ab
ab
+ =
+=
Bài 13: Tìm 1 đa thức bc 3 P(x) biết, P(x) chia cho các đa thức (x-1), (x-2), (x-3) đều được dư là 6, và
P(-1)= - 18
HD :
Ta có:
( )
6fx
chia hết cho
1, 2, 3x x x
Vì f(x) là đa thức bc 3 nên f(x) có dng
( ) ( )( )( )
6 1 2 3f x m x x x =
,
m là hng s
Li có :
( ) ( )( )( )
1 18 18 6 2 3 4 1f m m = = = = =
Vy
( ) ( )( )( ) ( )
32
6 2 3 4 6 11f x x x x f x x x x = = = +
Bài 14: Tìm đa thức bc 4 biết:
( ) ( ) ( )( )
( 1) 0, 1 1 2 1P P x P x x x x = = + +
HD :
Cho x=0=>
( ) ( )
0 1 0PP =
mà P(-1)=0=>P(0)=0
Lần lượt cho x=-2,1,2 ta có: P(-2)=0,P(1)=6, P(2)=36
Đặt
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2 2 1 2 1 2 1 1P x e d x c x x b x x x a x x x x= + + + + + + + + + + +
Chn x=-2=>e=0 x=-1=>d=0 x=0=>c=0 x=1=>b=1 x=2=>a=1/2
Vậy đa thức cn tìm là:
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
1
2 1 1 2 1
2
P x x x x x x x= + + + + +
Bài 15: Tìm đa thức P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x+3 dư 1, P(x) chia cho x- 4 dư 8,
chia cho (x+3)(x-4) được thương là 3x, còn dư
HD :
Vì P(x) chia cho (x+3)(x-4) được thwuong là 3x còn dư nên ta có:
( ) ( )( )
3 4 3P x x x x ax b= + + + +
( ) ( ) ( )
31P x x A x= + +
( ) ( ) ( )
48P x x B x= +
Cho
( )
3 1 3x P x a b= = = = +
Cho
( )
4 8 8x P x a b= = = = +
Khi đó ta có hệ:
31
88
ab
ab
+ =
+=
Bài 16: Tìm đa thức bc hai P(x) biết: P(0) =19, P(1)=5, P(2)=1995
HD :
Đặt:
( ) ( ) ( )( )
0 0 1P x c b x a x x= + +
Cho x=0=>c=19 x=1=>b=-14 x=2=>a=1002
Vậy đa thức cn tìm là:
( ) ( )
1002 1 14 19P x x x x= +
9
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hp Đức
Bài 17: Tìm đa thức bc ba P(x) biết: P(0)=10, P(1)=12, P(2)=4, P(3)=1
HD :
Đặt
( ) ( ) ( )( )
1 1 2P x d cx bx x ax x x= + + +
Cho
( )
0 0 10x P d= = = =
Cho
( )
1 1 12 2x P c d c= = = = + = =
Cho
( )
2 2 4 2 2 5x P d c b b= = = = + + = =
Cho
( )
5
3 3 1 3 6 6
2
x P d c b a a= = = = + + + = =
Vậy đa thức cn tìm là:
( ) ( )( ) ( )
5
1 2 5 1 2 10
2
P x x x x x x x= + +
Bài 18: Tìm đa thức bc hai biết: P(0)=19, P(1)=85, P(2)=1985
HD :
Đặt
( ) ( )
.1P x a x x bx c= + +
Cho
( )
0 0 19 19x P c c= = = = = =
Cho
( )
1 1 85 66x P b c b= = = = + = =
Cho
( )
2 2 1985 2 2 917x P a b c a= = = = + + = =
Vậy đa thức bc hai cn tìm là:
( ) ( )
917 1 66 19P x x x x= + +
Bài 19: Cho đa thức:
( )
42
1P x x ax= + +
( )
3
1Q x x ax= + +
, xác định a để P(x) và Q(x) có nghim
chung
HD :
Gi s nghim chung là c
=>
( ) ( ) ( ) ( )
11P x xQ x x P c cQ c c = = =
vì x = c là nghim
Nên
( ) ( )
0 1 0 1P c Q c c c= = = = = =
,
Khi c=1=>P(1)=Q(1)=a+2=0= >a= - 2
Vy a= - 2 thì P(x) và Q(x) có nghim chung
Bài 20: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x-2 dư 3, chia cho x-5 dư 6 và chia cho
2
7 10xx−+
được thương
2
4x +
và còn dư
Bài 21: Xác định các s h t a, b sao cho
3
x ax b++
chia hết cho
2
23xx−−
Bài 22: Cho đa thức bc hai :
( )
2
P x ax bx c= + +
biết P(x) tha mãn c hai điều kin sau : P(0)=-2,
4.P(x)-P(2x-1)=6x-6. CMR :a+b+c=0 và xác định đa thức P(x)
Bài 23: Cho đa thức:
( )
2
f x ax bx c= + +
, Xác định a,b,c biết f(0)=2, f(1)=7,f(-2)=-14
Bài 24: Cho đa thức bc nhất f(x)=ax+b, Hãy tìm điều kin của b để tha mãn h thc:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
f x x f x f x+ = +
vi mi x
Bài 25: Cho đa thức:
( )
2
f x ax bx c= + +
, Xác định các h s
( )
02f =
,
( ) ( )
1 7, 2 14ff= =
Bài 26: Cho đa thức:
( )
8 5 2
1f x x x x x= + +
, CMR
( )
fx
luôn dương với mi giá tr ca x
Bài 27: Cho a và b là hai s t nhiên. S a chia 5 dư 1, số b chia 5 dư 2, CMR: ab chia 5 dư 2
Bài 28: Cho đa thức:
( )
32
2 4 3f x x ax x b= + +
. Tìm các h s a, b biết khi chia đa thức cho x-3 ta được
đa thức dư là -5 và khi chia đa thức cho x+1 thì được dư là -1
Bài 29: Xác định các h s ca a, b để
42
.x a x b++
chia hết cho
2
1xx++
Bài 30: Cho đa thức:
43
2 2 1A x x x m= +
và đa thức:
2
21B x x=
, Tìm m để đa thức A chia
cho đa thức B có dư là giá trị ca ẩn làm cho đa thức B bng 0
10
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hp Đức
DNG 3: TNG HP
Bài 1: CMR vi mi s t nhiên n ta có :
2 2 1
5 26.5 8 59
n n n++
++
HD :
Ta có:
2 2 1
5 26.5 8 59
n n n++
++
=
( )
( )
51.5 8.64 59 8 .5 8.64 59.5 8 64 5
n n n n n n n
+ = + = +
( )
( )
2
64 5 64 5
n
nên ta có đpcm
Bài 2: CMR:
4 3 2
22n n n n +
chia hết cho 24 vi mi n
Z
HD :
Ta có:
( ) ( ) ( )( )( )
4 3 2 2
2 2 2 2 1 1 2

+ = = +

n n n n n n n n n n n n
là tích 4 s t nhiên liên tiếp nên có 1 s chia hết cho 2 và 1 s chia hết cho 4 nên chia hết cho 8
và chia hết cho 3
Bài 3: Cho a,b là bình phương của hai s nguyên l liên tiếp, CMR:
1ab a b +
chia hết cho 48
ta có:
( )( )
1 1 1ab a b a b + =
,
HD :
Vì a,b là bình phương của hai s nguyên l liên tiếp nên:
( ) ( )
22
2 1 ; 2 3a n b n= + = +
vi n
Z
Nên
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 ( 1)( 1) 2 1 1 2 3 1 16 1 2ab a b a b n n n n n
+ = = + + = + +
Nên chia hết cho 16 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 48
Bài 4:
a, Tìm giá tr của a để
( ) ( )
2 3 4 2
21 9 2x x x x a x x + + +
b, Xác định các h s a, b để đa thức
3
()f x x ax b= + +
chia hết cho đa thức
2
6xx+−
HD :
a, Thc hiện phép chia ta được thương là
2
8 15xx−+
và dư là a+30
b,
( )
2
6f x x x+−
khi
( ) ( )( )
32f x x x+
, Ta có: f(-3)=0 =>-3a+b=27 và f(2)=0=>2a+b=-8
Khi đó ta có:
( ) ( ) ( )( )
33
33
1 1 3 6 3 1 1 9 9M a a a a a a a a a= + + + = + = + +
Bài 5: Cho đa thức
32
()f x ax bx cx d= + + +
, Tìm a,b,c,d biết rằng khi chia đa thức lần lượt cho nh thc
(x-1), (x-2), (x-3) đều có s dư là 6 và tại x=-1 thì đa thức nhn giá tr là -18
HD :
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
6 1 , 2 , 3f x x x x
vì f(x) là bc 3 nên f(x) có dng
( ) ( )( )( )
6 1 2 3f x m x x x =
vi m là hng s:
li có:
( 1) 18 1fm = = =
vy
( ) ( )( )( ) ( )
32
6 1 2 3 6 11f x x x x f x x x x = = = +
Bài 6: CMR giá tr ca biu thc sau không ph thuc vào giá tr ca x:
( )
( ) ( )
4
2 2 2
1 6 4 1x x x x x + + +
HD :
Biu thc <=>
4 3 2 4 2 3
4 6 4 1 6 4 4 1x x x x x x x x + + + + =
Bài 7: Tìm a để đa thức
43
3x x x a+ + +
chia hết cho đa thức
2
1x +
HD :
Đem chia ta được dư là a+3
Bài 8: Tìm các s a và b sao cho
3
x ax b++
chia hết cho x+1 dư 7 chia cho x-3 dư -5
HD :
Ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
3
1 7 3 5x ax b x P x x Q x+ + = + + =
Thay x=-1 và x=3 vào biu thức trên ta được :
10, 2ab= =
Bài 9: CMR: Tổng các lũy thừa bc ba ca ba s t nhiên liên tiếp thì chia hết cho 9
HD:
Gi ba s t nhiên liên tiếp là: a-1, a, a+1
11
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hp Đức
Bài 10: Cho a,b là hai s nguyên, CMR : Nếu
22
3 11 4 169a ab b+−
thì
13ab
Bài 11: Tìm phần dư của phép chia
( )
2012 2011
1f x x x= + +
cho đa thức :
a,
2
1x
b,
2
1xx++
Bài 12: Tìm giá tr của a để
( ) ( )
2 3 4 2
21 9 2x x x x a x x + + +
HD:
Thc hiện phép chia ta được thương là
2
8 15xx−+
và dư là a+30
Bài 13: Cho đa thức
32
()f x ax bx cx d= + + +
, Tìm a,b,c,d biết rằng khi chia đa thức lần lượt cho nh thc
(x-1), (x-2), (x-3) đều có s dư là 6 và tại x=-1 thì đa thức nhn giá tr là -18
HD:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
6 1 , 2 , 3f x x x x
vì f(x) là bc 3 nên f(x) có dng
( ) ( )( )( )
6 1 2 3f x m x x x =
vi m là hng s:
li có:
( 1) 18 1fm = = =
vy
( ) ( )( )( ) ( )
32
6 1 2 3 6 11f x x x x f x x x x = = = +
Bài 14: CMR giá tr ca biu thc sau không ph thuc vào giá tr ca x:
( )
( ) ( )
4
2 2 2
1 6 4 1x x x x x + + +
HD:
Biu thc <=>
4 3 2 4 2 3
4 6 4 1 6 4 4 1x x x x x x x x + + + + =
Bài 15: Tìm a để đa thức
43
3x x x a+ + +
chia hết cho đa thức
2
1x +
HD :
Đem chia ta được dư là a+3
Bài 16: Cho đa thức:
4 3 2
( ) 6 40 1979P x x x x x m= + + +
a, Tìm m sao cho P(x) chia hết cho x-2
b, Với m tìm được, hãy gii thích phương trình P(x)=0
Bài 17: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x-2 dư 3, chia cho x-5 dư 6 và chia cho
2
7 10xx−+
được thương
2
4x +
và còn dư
Bài 18: Xác định các s h t a, b sao cho
3
x ax b++
chia hết cho
2
23xx−−
Bài 19: Cho đa thức
( )
100 99 2
100 99 ... 2 1f x x x x x= + + + + +
, Gi m là s dư của phép chia đa thức cho
3x-1, CMR :
7
4
m
Bài 20: Có tn tại hay không đa thức f(x) vi h s nguyên tha mãn :
(3) 1931, (26) 2012ff==
Bài 21: Tìm các s a và b sao cho
3
x ax b++
chia hết cho x+1 dư 7 chia cho x-3 dư -5
HD :
Ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
3
1 7 3 5x ax b x P x x Q x+ + = + + =
Thay x = -1 và x=3 vào biu thức trên ta được :
10, 2ab= =
Bài 22: CMR :
2
35p n n= + +
, không chia hết cho 121 vi mi s t nhiên n
Bài 23: CMR vi mi s nguyên n thì
2 1 4 1
5 2 2
n n n+ + +
++
chia hết cho 23
Bài 24: CMR vi mi n thì
3
11 6nn+
vi n là s nguyên
Bài 25: Xác định các h s a, b để đa thức
3
()f x x ax b= + +
chia hết cho đa thức
2
6xx+−
HD:
( )
2
6f x x x+−
khi
( ) ( )( )
32f x x x+
, Ta có: f(-3)=0 =>-3a+b=27 và f(2)=0=>2a+b=-8
Khi đó ta có:
( ) ( ) ( )( )
33
33
1 1 3 6 3 1 1 9 9M a a a a a a a a a= + + + = + = + +
Bài 26: Cho đa thức
( )
100 99 2
100 99 ... 2 1f x x x x x= + + + + +
, Gi m là s dư của phép chia đa thức cho
3x-1, CMR :
7
4
m
12
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hp Đức
Bài 27: Có tn tại hay không đa thức f(x) vi h s nguyên tha mãn :
(3) 1931, (26) 2012ff==
Bài 28: CMR vi mi s nguyên n thì
2 1 4 1
5 2 2
n n n+ + +
++
chia hết cho 23
a, CMR: Tổng các lũy thừa bc ba ca ba s t nhiên liên tiếp thì chia hết cho 9
HD:
Gi ba s t nhiên liên tiếp là: a-1, a, a+1
Bài 29: CMR vi mi n thì
3
11 6nn+
vi n là s nguyên
Bài 30: Cho đa thức:
8 5 2
( ) 1P x x x x x= + +
, CMR: P(x) luôn dương với mi giá tr ca x
Bài 31: Cho đa thức:
( )
2
.f x a x bx c= + +
tha mãn: f(1)=f(-1)
a, Tìm b
b, CMR: f(m)=f(-m) vi m bt k
Bài 32: Tính giá tr của đa thức sau biết:
20xy+ =
:
3 2 2 2
2 3 2006M x x y x xy y y x= + + + +
HD:
Biến đổi đa thức theo hướng làm xut hin
20xy+ =
Ta có:
3 2 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2) 2008M x x y x xy y y x y= + + + + +
=
2
( 2) ( 2) ( 2) 2008x x y y x y x y+ + + + +
Bài 33: S a gm 31 ch s 1, só b gm 38 ch s 1, CMR: ab-2 chia hết cho 3
Bài 34: Chng minh rng vi mi s t nhiên n thì:
a,
( )
( )
23
3 1 2 2n n n n+ + +
chia hết cho 5
b,
( ) ( )( )
5 3 2n n n n+ +
chia hết cho 6
c,
( )( ) ( )( )
1 1 7 5n n n n +
chia hết cho 12
Bài 35: Tìm giá tr của m để cho phương trình
6 5 3 3x m mx = +
, có nghim s gp ba nghim s ca
phương trình:
( )( ) ( )
2
1 1 2 3x x x+ + =
HD:
Ta có:
( )( ) ( )
2
22
1 1 2 3 1 4 4 3 4 8 2x x x x x x x x+ + = = = = = = =
Để phương trình
6 5 3 3x m mx = +
có nghim gp ba ln nghim của phương trình
( )( ) ( )
2
1 1 2 3x x x+ + =
hay
6x =−
Thay vào ta có:
( ) ( )
6. 6 5 3 3 6 3m m m = + = =

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC
DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ BEZOUT TÌM SỐ DƯ
Định lý Be zout: ”Dư của phép chia f(x) cho nhịn thức bậc nhất x-a là 1 hằng số có giá trị là f(a)”
Bài 1: Không thực hiện phép chia, hãy xét xem, f ( x) 3 2
= 3x − 2x −9x + 2 có chia hết cho x-2 không, có chia hết cho x+2 không? HD:
Theo định lý Bơ- zu thì dư của f (x) 3 2
= 3x − 2x −9x + 2 khi chia cho nhị thức bậc nhất x-2 có giá trị là: f ( ) 3 2
2 = 2.2 − 2.2 − 9.2 + 2 = 0 . Vậy f ( x) ( x − 2) Tương tự:
Số dư của f ( x) 3 2
= 3x − 2x −9x + 2 khi chia cho x+2 có giá trị là: 3 2 f ( 2 − ) = 2.( 2 − ) − 2.( 2 − ) −9.( 2 − ) + 2 = 4 −
Vậy f ( x)  ( x + 2) Bài 2: Tìm số a để 3 2
2x − 3x + x + a x + 2 HD:
Theo định lý Bơ- zu thì dư của f (x) 3 2
= 2x −3x + x + a khi chia cho nhị thức bậc nhất x+2, có giá trị là: f ( 2 − ) = 2.( 8
− )−3.4−2+ a = a −22
Để f(x) chia hết cho x+2 thì a-22=0 hay a=22
Bài 3: Tìm hế số a để: 2
4x − 6x + a x − 3 HD:
Theo định lý Bơ- zu thì dư của f (x) 2
= 4x −6x + a khi chia cho nhị thức bậc nhất x - 3, có giá trị là: f ( )
3 = 4.9 − 6.3 + a = a +18
Để f(x) chia hết cho x - 3 thì a+ 18 = 0 hay a = -18
Bài 4: Tìm hế số a để: 2
2x + x + a x + 3 HD:
Theo định lý Bơ- zu thì dư của f (x) 2
= 2x + x + a khi chia cho nhị thức bậc nhất x + 3, có giá trị là: f (− )
3 = 2.9 − 3 + a = a +15
Để f(x) chia hết cho x + 3 thì a+ 15 = 0 hay a = -15
Bài 5: Tìm hế số a để: 2
10x − 7x + a 2x − 3 HD: Hạ phép chia ta có: 2
10x − 7x + a = (2x − )
3 (5x + 4) + (a +12) Để 2
10x − 7x + a 2x − 3 = a +12 = 0 = a = 1 − 2
Bài 6: Tìm hế số a để: 2
2x + ax +1: x − 3 dư 4 HD :
Theo định lý Bơ- Zu ta có : Dư của f (x) 2
= 2x + ax +1, khi chia cho x-3 là f ( )
3 = 2.9 + 3a +1 = 3a +19
Để có số dư là 4 thì 3a +19 = 4 = 3a = 1 − 5 = a = 5 −
Bài 7: Tìm hế số a để: 5 4
ax + 5x − 9 x −1 HD :
Theo định lý Bơ- Zu ta có : Dư của f (x) 5 4
= ax +5x −9 , khi chia cho x - 1 là f ( )
1 = a + 5 − 9 = a − 4
Để có phép chia hết thì a − 4 = 0 = a = 4 1
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hợp Đức
Bài 8: Tìm hế số a để: 2
8x − 26x + a 2x − 3 HD : Hạ phép chia ta có: 2
8x − 26x + a = (2x − )
3 (4x − 7) + a − 21 Để 2
8x − 26x + a 2x − 3 = a − 21 = 0 = a = 21
Bài 9: Tìm hế số a để: 4 3 2 2
x x + 6x x + a x x + 5 HD :
Hạ phép chia hoặc đồng nhất, ta có: 4 3 2
x x + x x + a = ( 2 x x + )( 2 6 5 x + ) 1 + a − 5
Để phép chia là phép chia hết thì a - 5 = 0 hay a = 5
Bài 10: Tìm hế số a, b để: 3 2
x + ax + b x + x − 2 HD : Hạ phép chia ta có: 3
x + ax + b = ( 2
x + x − 2)( x − )
1 + (a + 3) x + b − 2
Để là phép chia hết thì a + 3=0 và b-2 =0 hay a=-3 và b=2
Bài 11: Tìm hế số a để: 3 2 2
x + ax − 4 x + 4x + 4 HD : Hạ phép chia ta có : 3 2 x + ax − = ( 2 4
x + 4x + 4)( x + a − 4) + (12 − 4a) x +12 − 4a
Để được phép chia hết thì 12-4a=0 hay a=3
Bài 12: Tìm hế số a để: 4 2
x + ax + b x − 4 HD : 4
x + ax +b x − 2 Để 4 2
x + ax + b x − 4 thì  4
x + ax +b x + 2
Áp dụng định Bơ- Zu ta có: f ( x) 4
= x + ax +b = f (2) =16+ 2a +b = 0 Và: f ( 2
− ) =16−2a +b = 0
Giải hệ ta được a=0 và b=-16
Bài 13: Tìm hế số a để: 4 3 2
x + ax + bx −1 x −1 HD : 4 3
x + ax +bx −1 x −1 Để 4 3 2
x + ax + bx −1 x −1 thì  4 3
x + ax +bx −1 x +1
Áp dụng định Bơ- Zu ta có: f ( x) 4 3
= x + ax +bx −1= f ( )
1 =1+ a + b −1 = 0 Và: f (− )
1 =1− a + b −1 = 0
Giải hệ ta được a tùy ý và b= - a
Bài 14: Tìm hế số a để: 3 2
x + ax + b x + 2x − 2 Hạ phép HD : chia ta có : 3
x + ax + b = ( 2
x + 2x − 2)( x − 2) + (a + b) x + b − 4
Để phép chia là phép chia hết thì : a+b=0 và b-4=0=> b=4 và a=-4
Bài 15: Tìm hế số a để: 4 2 2
x + ax + b x x +1 HD : Hạ phép chia ta có : 4 2
x + ax + b = ( 2 x x + )( 2
1 x + x + a) + (a − )
1 x + a b
Để là phép chia hết thì a-1=0 và a-b=0=> a=b=1 2
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hợp Đức
Bài 16: Tìm hế số a để: 3 2 2
ax + bx + 5x + 50 x + 3x −10 HD : Hạ phép chia ta có : 3 2
ax + bx + x + = ( 2 5 50
x + 3x −10)(ax + 3a b) + (a + 3b + 5) x + (30a −10b + 50)
Để là phép chia hết thì a+3b+5=0 và 30a-10b+50=0
Bài 17: Tìm hế số a để: ax + bx + ( x − )2 4 3 1 1 HD : Hạ phép chia ta có : 4 3 ax + bx + = ( 2 x x + ) 2 1 2 1  .
a x + (2a + b) x + (3a + 2b) + (8a + 5b) x − (3a + 2b − ) 1  
Để là phép chia hết thì : 8a+5b=0 và 3a+2b-1=0
Bài 18: Tìm hế số a để: 4 x + ( 2
4 x + ax + b) HD : Tách: 4 x + = ( 2 x + x + )( 2 4 2 2 x − 2x + 2) Vậy b=2 và a=2 hoặc a=-2
Bài 19: Tìm hế số m để: 4 3 2 2
x − 3x + 6x − 7x + m x − 2x +1 HD : Ta có: 4 3 2
x x + x x + m = ( 2 x x + )( 2 3 6 7 2
1 x x + 3) + m − 3
Để là phép chia hết thì m- 3=0=> m=3
Bài 20: Tìm hế số a để: 2
10x − 7x + a 2x − 3 HD : Hạ phép chia ta có: 2
10x − 7x + a = (2x − )
3 (5x + 4) + a +12
Để là phép chia hết thì a+12=0 hay a=-12
Bài 21: Tìm hế số a để: 2
2x + ax − 4 x + 4 HD :
Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư của f (x) 2 = 2x + .
a x − 4 khi chia cho x+4 là: f ( 4
− ) = 2.16−4a −4 = 28−4a
Để là phép chia hết thì 28-4a=0=>a=7
Bài 22: Tìm hế số a để: 3 2 2
x ax + 5x + 3 x + 2x + 3 HD : Hạ phép chia ta có: 3 2
x a x + x + = ( 2 . 5 3
x + 2x + 3) x −  (a + 2) +
 (2a + 6) x − 3a − 3
Để là phép chia hết thì -3a-3 =0=>a=-1 1
Bài 23: Tìm hế số a để: 2 2
x ax − 5a x + 2a 4 HD : Theo định lý Bơ 1
- Zu ta có, Dư của f ( x) 2 2 = x − . a x − 5a − khi chia cho x+2a là: 4 1 1 f ( 2 − a) 2 2 2 2
= 4a + 2a − 5a − = a − 4 4 1 1
Để là phép chia hết thì 2 a − = 0 = a =  4 2 Bài 24: Tìm số dư của 3 9 27 81
x + x + x + x + x khi chia cho x-1 HD :
Ta có : P ( x) = ( x − ) + ( 3 x − ) + ( 9 x − ) + ( 27 x − ) + ( 81 1 1 1 1 x − ) 1 + 5 nên số dư là 5 3
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hợp Đức
Bài 25: Tìm số dư của : 3 9 27 81
x + x + x + x + x khi chia cho 2 x −1 HD :
Ta có : P ( x) = ( 3 x x) + ( 9 x x) + ( 27 x x) + ( 81 x − ) 1 + 5x => Dư 5x
Bài 26: Xác định dư của: P(x) 9 25 49 81
=1+ x + x + x + x + x khi chia cho 3 x x HD : P ( x) = ( 9 x x) + ( 25 x x) + ( 49 x x) + ( 81
x x) + 5x +1 = x ( 8 x − ) + x( 24 x − ) + x( 48 x − ) + x( 80 1 1 1 x − ) 1 + 5x −1 Vậy số dư là : 5x - 1
Bài 27: Tìm n nguyên để: 3 2
3n +10n − 5 3n +1 HD : Hạ phép chia ta có : 3 2 n +
n − = ( n + )( 2 3 10 5 3 1 n + 3n − ) 1 − 4 Để 3 2
3n +10n − 5 3n +1 = 4 3n −1 = 3n −1 U  (4) = 1  ; 2  ;  4 Bài 28: Tìm n nguyên để 2
2n n + 2 2n +1 HD : Hạ phép chia ta có : 2
2n n + 2 = (2n + ) 1 (n − ) 1 + 3 Để : 2
2n n + 2 2n +1 = 3 2n +1 = 2n +1 U  ( ) 3 =  1  ;  3
Bài 29: Tìm các số x nguyên để 3 2
4x − 6x + 8x 2x −1 HD : Hạ phép chia ta có : 3 2
x x + x = ( x − )( 2 4 6 8 2
1 2x − 2x + 3) + 3 Để 3 2
4x − 6x + 8x 2x −1 = 3 2x −1 = 2x −1 U  ( ) 3 =  1  ;  3
Bài 30: Tìm các số x nguyên để: 3 2
4x − 3x + 2x − 83 x − 3 HD :
Theo định Bơ zụ thì dư của f (x) 3 2
= 4x −3x + 2x −83, khi chia cho x-3 là : f ( )
3 = 4.27 − 3.9 + 2.3 −83 = 4 Để 3 2
4x − 3x + 2x −83 x − 3 = x − 3 U  (4) = 1  ; 2  ;  4
Bài 31: Tìm các số x nguyên để: 3 2
4n − 4n n + 4 2n +1 HD : Hạ phép chia ta có : 3 2
n n n + = ( n + )( 2 4 4 4 2 1 2n − 3n + ) 1 + 3 Để 3 2
4n − 4n n + 4 2n +1 = 3 2n +1 = 2n +1 U  ( ) 3 =  1  ;  3
Bài 32: Tìm các số x nguyên để: 2
8n − 4n +1 2n +1 HD : Hạ phép chia ta có : 2
8n − 4n +1 = (2n + ) 1 (4n − 4) + 5 Để 2
8n − 4n +1 2n −1 = 5 2n −1 = 2n −1 U  (5) = 1  ;  5
Bài 33: Tìm các số x nguyên để: 3 2
3n + 8n −15n + 6 3n −1 HD : Hạ phép chia ta có : 3 2 n + n
n + = ( n − )( 2 3 8 15 6 3
1 n + 3n − 4) + 2 Để 3 2
3n + 8n −15n + 6 3n −1 = 2 3n −1 = 3n −1 U  (2) = 1  ;  2 4
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hợp Đức
Bài 34: Tìm các số x nguyên để: 3 2
4n − 2n − 6n + 5 2n −1 HD : Hạ phép chia ta có : 3 2
n n n + = ( n − )( 2 4 2 6 5 2 1 2n − 3) + 2 Để 3 2
4n − 2n − 6n + 5 2n −1 = 2 2n −1 = 2n −1 U  (2) = 1  ;  2
Bài 35: Tìm phần dư của phép chia f ( x) 2012 2011 = x + x +1 cho đa thức : a, 2 x −1 b, 2 x + x +1 Bài 36: Cho đa thức: 4 3 2 ( P )
x = x + x + 6x − 40x + m −1979
a, Tìm m sao cho P(x) chia hết cho x-2
b, Với m tìm được, hãy giải thích phương trình P(x)=0 3 2
Bài 37: Tìm số nguyên n sao cho: 3n + 10n − 5 chia hết cho 3n +1 5
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hợp Đức DẠNG 2: TÌM ĐA THỨC Bài 1: Tìm a,b sao cho ( ) 3
f x = x + ax + b , chia cho x+1 dư 7, chia cho x-3 dư -5 HD :
f ( x) = ( x + ) 1 .A( x) + 7 a b = 8 − Theo bài ra ta có: , Cho x=-1, x=3=> 
f ( x) = ( x − ) 3 .B ( x) − 5 3  a + b = 3 − 2
Bài 2: Tìm hằng số a,b,c sao cho: 3 2
ax + bx + c chia hết cho x+2, chia cho 2 x −1 dư 5 HD : Theo bài ra ta có: 2
x −1 = ( x − ) 1 ( x + ) 1 Khi dó ta có : f ( x) 3 2 = .
a x + bx + c = ( x + 2) A( x)
f ( x) = ( x − ) 1 ( x + ) 1 B(x) + 5
Cho x= - 2 khi đó ta có : - 8a + 4b + c = 0 Cho x=1=> a + b + c = 5
Cho x=-1 => - a + b + c = 5  8
a + 4b + c = 0 
Khi đó ta có hệ: a + b + c = 5
−a +b+c = 5 
Bài 3: Xác định a, b biết: 3
2x + ax + b chia cho x+1 dư -6, chia cho x-2 dư 21 HD : Theo bài ra ta có : f ( x) 3 = 2x + .
a x + b = ( x + ) 1 A( x) − 6 và f ( x) 3 = 2.x + .
a x + b = ( x − 2) B(x) + 21 Cho x = 1 − = 2 − − a +b = 6 −
Cho x = 2 =16 + 2a + b = 21  2
− − a + b = 6 − Khi đó ta có hệ :  1
 6 + 2a + b = 21
Bài 4: Tìm hệ số a,b sao cho: 4 3 2
x x − 3x + ax + b chia cho 2
x x − 2 được dư là 2x-3 HD : Theo bài ra ta có : 2
x x − 2 = ( x − 2)( x + ) 1 Nên ta có : f ( x) 4 3 2
= x x −3x + .
a x + b = (x − 2)(x + ) 1 + 2x − 3
Cho x = 2 =16 −8 −12 + 2a + b =1 Cho x = 1
− =1+1−3− a +b = 6 − 2a + b = 5 Khi đó ta có hệ  −a + b = 5 − Bài 5: Cho 4 3 2
P x = x + x x + ax + b Q(x) 2 ( ) ,
= x + x − 2, Xác định a,b để P(x) Q(x) HD : Đặt phép chia ta có : P ( x) 4 3 2
= x + x x + a x + b = ( 2 .
x + x − 2) A(x) + (a − ) 1 x + b + 2 a − = a =
Để P ( x) Q(x) 1 0 1 =  =  b  + 2 = 0 b  = 2 − 6
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hợp Đức
Bài 6: Xác định các số hữu tỉ a,b,c sao cho: 4 2
2x + ax + bx + c chia hết cho x-2, chia cho 2 x −1 dư 2x HD :
Theo bài ra ta có : f ( x) 4 2 = 2x + .
a x + bx + c = (x − 2) A(x) Và f ( x) 4 2 = 2x + .
a x + bx + c = (x − ) 1 (x + )
1 .B(x) + 2x
Cho x = 2 = 32 + 4a + 2b + c = 0
Cho x =1 = 2 + a + b + c = 2
4a + 2b + c = 3 − 2  Cho x = 1
− = 2+ a b +c = 2
− . Khi đó ta có hệ : a +b + c = 0
a b +c = 4 − 
Bài 7: Xác định a,b sao cho: P(x) = ax + bx + Q(x) = (x − )2 4 3 1 1 HD : 2
Đặt phép chia: P(x) 4 3 = .
a x + bx +1 = ( x − )
1 .A( x) + (4a + 3b) x +1− 3a − 2b a + b =
Để P ( x) Q( x) 4 3 0 =  1
 − 3a − 2b = 0
Bài 8: Xác định a,b sao cho: 4 3 2 2
6x − 7x + ax + 3x + 2 x x + b HD : Đặt phép chia 4 3 2
x x + a x + x + = ( 2
x x + b) A(x) + (a b + ) x + ( 2 6 7 . 3 2 5 2
6b ab + b + 2)
a − 5b + 2 = 0
Để là phép chia hết thì  2
6b ab + b + 2 = 0
Bài 9: Tìm tổng các hệ số của đa thứ sau khi khai triển: ( x x + )9 7 4 4 HD :
Tổng các hệ số cảu đa thức sau khi triển khai là giá trị cảu đa thức tại x=1
Thay x=1 vào ta được: ( − + )9 1 4 4 =1
Bài 10: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x+4 dư là 9, còn f(x) chia cho x-3 dư là 2, và f ( x) 2
: x + x −12 có thương là 2 x + 3 và còn dư HD : f ( x) = ( 2 x + x
)( 2x + )+ax+b =(x− )(x+ )( 2 12 3 3 4
x + 3) + ax + b f  (x) = 4 − a + b = 9  4 − a + b = 9 Cho x = 4 − , x = 3 =  . Khi đó ta có hệ :   f
 (x) = 3a + b = 2 3  a + b = 2
Bài 11: Xác định đa thức ( ) 3 2
A x = ax + bx + c , biết: A(x) chia hết cho x-2 và A( x) 2
: x + x − 2 dư là 3x+2 HD : Ta có : 2
x + x − 2 = (x − ) 1 (x + 2)
Khi đó ta có : A(x) 3 2 = .
a x + bx + c = ( x − 2) B(x) Và A( x) 3 2 = .
a x + bx + c = (x − )
1 (x + 2)C (x) + 3x + 2
Cho x = 2 = 8a + 4b + c = 0 , Cho x =1 = a + b + c = 5 , Cho x = 2 − = 8
a + 4b + c = 4 − 8
a + 4b + c = 0  Khi đó ta có hệ :  8
a + 4b + c = 4 −
a +b+c = 5  7
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hợp Đức
Bài 12: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x-3 dư 2, f(x) chia cho x+4 dư 9, và f (x) 2
: x + x −12 được thương là 2 x + 3 và còn dư HD : Do f(x) chia cho 2
x + x −12 = ( x − )
3 ( x + 4) được thương là 2
x + 3 còn dư nên ta có :
f ( x) = ( x + )( x − )( 2 4 3 x + 3) + . a x + b Cho x = 4
− = f (x) = 4 − a +b = 9
Cho x = 3 = f ( x) = 3a + b = 2  4 − a + b = 9 Khi đó ta có hệ:  3  a + b = 2
Bài 13: Tìm 1 đa thức bậc 3 P(x) biết, P(x) chia cho các đa thức (x-1), (x-2), (x-3) đều được dư là 6, và P(-1)= - 18 HD :
Ta có: f (x) − 6 chia hết cho x −1, x − 2, x − 3
Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(x) có dạng f (x) − 6 = m(x − )
1 (x − 2)(x − ) 3 , m là hằng số Lại có : f (− ) 1 = 1 − 8 = 1 − 8 − 6 = m( 2 − )(− ) 3 ( 4 − ) = m =1
Vậy f (x) − = (x − )(x − )(x − ) = f (x) 3 2 6 2 3 4
= x − 6x +11x
Bài 14: Tìm đa thức bậc 4 biết: ( P 1
− ) = 0, P(x)− P(x − ) 1 = x(x + ) 1 (2x + ) 1 HD :
Cho x=0=> P(0) − P(− ) 1 = 0 mà P(-1)=0=>P(0)=0
Lần lượt cho x=-2,1,2 ta có: P(-2)=0,P(1)=6, P(2)=36
Đặt P(x) = e + d (x + 2) + c(x + 2)(x + )
1 + b(x + 2)(x + )
1 x + a (x + 2)(x + ) 1 x (x − ) 1 Chọn x=-2=>e=0 x=-1=>d=0 x=0=>c=0 x=1=>b=1 x=2=>a=1/2 1
Vậy đa thức cần tìm là: P ( x) = ( x + 2)( x + ) 1 x ( x − )
1 + ( x + 2)( x + ) 1 2
Bài 15: Tìm đa thức P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x+3 dư 1, P(x) chia cho x- 4 dư 8,
chia cho (x+3)(x-4) được thương là 3x, còn dư HD :
Vì P(x) chia cho (x+3)(x-4) được thwuong là 3x còn dư nên ta có:
P( x) = ( x + )
3 ( x + 4)3x + ax + b
P( x) = ( x + ) 3 A( x) +1
P( x) = ( x − 4) B( x) + 8 Cho x = 3
− = P(x) =1= 3 − a +b
Cho x = 4 = P( x) = 8 = 8a + b Khi đó ta có hệ:  3 − a + b =1  8  a + b = 8
Bài 16: Tìm đa thức bậc hai P(x) biết: P(0) =19, P(1)=5, P(2)=1995 HD :
Đặt: P(x) = c +b(x −0) + a(x −0)(x − ) 1 Cho x=0=>c=19 x=1=>b=-14 x=2=>a=1002
Vậy đa thức cần tìm là: P( x) =1002x( x − ) 1 −14x +19 8
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hợp Đức
Bài 17: Tìm đa thức bậc ba P(x) biết: P(0)=10, P(1)=12, P(2)=4, P(3)=1 HD :
Đặt P(x) = d + cx +bx(x − ) 1 + ax ( x − ) 1 ( x − 2)
Cho x = 0 = P(0) =10 = d
Cho x =1 = P( )
1 =12 = c + d = c = 2
Cho x = 2 = P(2) = 4 = d + 2c + 2b = b = 5 −
Cho x = = P ( ) 5 3
3 = 1 = d + 3c + 6b + 6a = a = 2 5
Vậy đa thức cần tìm là: P ( x) = x ( x − )
1 ( x − 2) − 5x ( x − ) 1 + 2x +10 2
Bài 18: Tìm đa thức bậc hai biết: P(0)=19, P(1)=85, P(2)=1985 HD : Đặt P(x) = . a x( x − ) 1 + bx + c
Cho x = 0 = P(0) =19 = c = c =19
Cho x =1 = P( )
1 = 85 = b + c = b = 66
Cho x = 2 = P(2) =1985 = 2a + 2b + c = a = 917
Vậy đa thức bậc hai cần tìm là: P( x) = 917x( x − ) 1 + 66x +19
Bài 19: Cho đa thức: P(x) 4 2
= x + ax +1 và Q(x) 3
= x + ax +1, xác định a để P(x) và Q(x) có nghiệm chung HD :
Giả sử nghiệm chung là c
=> P( x) − xQ( x) = x −1 = P(c) − cQ(c) = c −1 vì x = c là nghiệm
Nên P(c) = Q(c) = 0 = c −1= 0 = c =1,
Khi c=1=>P(1)=Q(1)=a+2=0= >a= - 2
Vậy a= - 2 thì P(x) và Q(x) có nghiệm chung
Bài 20: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x-2 dư 3, chia cho x-5 dư 6 và chia cho 2
x − 7x +10 được thương là 2 x + 4 và còn dư
Bài 21: Xác định các số hữ tỉ a, b sao cho 3
x + ax + b chia hết cho 2 x − 2x − 3
Bài 22: Cho đa thức bậc hai : ( ) 2
P x = ax + bx + c biết P(x) thỏa mãn cả hai điều kiện sau : P(0)=-2,
4.P(x)-P(2x-1)=6x-6. CMR :a+b+c=0 và xác định đa thức P(x) Bài 23: Cho đa thức: ( ) 2
f x = ax + bx + c , Xác định a,b,c biết f(0)=2, f(1)=7,f(-2)=-14
Bài 24: Cho đa thức bậc nhất f(x)=ax+b, Hãy tìm điều kiện của b để thỏa mãn hệ thức:
f ( x + x = f x + f x với mọi x 1 2 ) ( 1) ( 2) Bài 25: Cho đa thức: ( ) 2
f x = ax + bx + c , Xác định các hệ số f (0) = 2 , f ( ) 1 = 7, f ( 2 − ) = 1 − 4
Bài 26: Cho đa thức: f ( x) 8 5 2
= x x + x x +1, CMR f (x) luôn dương với mọi giá trị của x
Bài 27: Cho a và b là hai số tự nhiên. Số a chia 5 dư 1, số b chia 5 dư 2, CMR: ab chia 5 dư 2
Bài 28: Cho đa thức: f (x) 3 2
= x + 2ax + 4x − 3b . Tìm các hệ số a, b biết khi chia đa thức cho x-3 ta được
đa thức dư là -5 và khi chia đa thức cho x+1 thì được dư là -1 4 2 2
Bài 29: Xác định các hệ số của a, b để x + .
a x + b chia hết cho x + x +1 4 3 2
Bài 30: Cho đa thức: A = x − 2x − 2x + m − 1 và đa thức: B = x − 2x − 1 , Tìm m để đa thức A chia
cho đa thức B có dư là giá trị của ẩn làm cho đa thức B bằng 0 9
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hợp Đức DẠNG 3: TỔNG HỢP
Bài 1: CMR với mọi số tự nhiên n ta có : n+2 n 2n 1 5 26.5 8 + + + 59 HD : Ta có: n+2 n 2n 1 5 26.5 8 + + + 59 = 51.5n 8.64n
(59 8).5n 8.64n 59.5n 8(64n 5n + = − + = + − ) Vì ( n 2
64 − 5 ) (64 −5) nên ta có đpcm Bài 2: CMR: 4 3 2
n − 2n n + 2n chia hết cho 24 với mọi n Z HD : 4 3 2 2
Ta có: n − 2n n + 2n = n n (n − 2) − (n − 2) = n (n − ) 1 (n + ) 1 (n − 2)  
là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 nên chia hết cho 8 và chia hết cho 3
Bài 3: Cho a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR: ab a b +1 chia hết cho 48
ta có: ab a b +1 = (a − ) 1 (b − ) 1 , HD :
Vì a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên:
a = ( n + )2 b = ( n + )2 2 1 ; 2 3 với n Z 2 2 2
Nên ab a b +1 = (a −1)(b −1) = (  2n+ ) 1 −1 (  2n+ )
3 −1 =16n(n + ) 1 (n + 2)    
Nên chia hết cho 16 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 48 Bài 4:
a, Tìm giá trị của a để ( 2 3 4
x x + x + x + a) ( 2 21 9 x x − 2)
b, Xác định các hệ số a, b để đa thức 3 f ( )
x = x + ax + b chia hết cho đa thức 2 x + x − 6 HD :
a, Thực hiện phép chia ta được thương là 2
x − 8x +15 và dư là a+30 b, f ( x) 2
x + x − 6 khi f ( x) ( x + )
3 ( x − 2) , Ta có: f(-3)=0 =>-3a+b=27 và f(2)=0=>2a+b=-8
Khi đó ta có: M = (a − )3 + a + (a + )3 3 3 1
1 = 3a + 6a = 3a (a − ) 1 (a + ) 1 + 9a 9 Bài 5: Cho đa thức 3 2 f ( )
x = ax + bx + cx + d , Tìm a,b,c,d biết rằng khi chia đa thức lần lượt cho nhị thức
(x-1), (x-2), (x-3) đều có số dư là 6 và tại x=-1 thì đa thức nhận giá trị là -18 HD :
Ta có: f ( x) − 6 ( x − )
1 ,( x − 2),(x − )
3 vì f(x) là bậc 3 nên f(x) có dạng
f ( x) − 6 = m(x − )
1 ( x − 2)(x − ) 3 với m là hằng số: lại có: f ( 1 − ) = 1
− 8 = m =1 vậy f (x) − = (x − )(x − )(x − ) = f (x) 3 2 6 1 2 3
= x −6x +11x 4
Bài 6: CMR giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x: ( x − ) 2 − x ( 2 x + ) + x( 2 1 6 4 x + ) 1 HD : Biểu thức <=> 4 3 2 4 2 3
x − 4x + 6x − 4x +1− x − 6x + 4x + 4x = 1
Bài 7: Tìm a để đa thức 4 3
3x + x + x + a chia hết cho đa thức 2 x +1 HD :
Đem chia ta được dư là a+3
Bài 8: Tìm các số a và b sao cho 3
x + ax + b chia hết cho x+1 dư 7 chia cho x-3 dư -5 HD : Ta có : 3
x + ax + b = (x + )
1 P(x) + 7 = (x − ) 3 Q(x) −5
Thay x=-1 và x=3 vào biểu thức trên ta được : a = 1 − 0,b = 2 −
Bài 9: CMR: Tổng các lũy thừa bậc ba của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 9 HD:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a-1, a, a+1 10
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hợp Đức
Bài 10: Cho a,b là hai số nguyên, CMR : Nếu 2 2
3a +11ab − 4b 169 thì ab 13
Bài 11: Tìm phần dư của phép chia f ( x) 2012 2011 = x + x +1 cho đa thức : a, 2 x −1 b, 2 x + x +1
Bài 12: Tìm giá trị của a để ( 2 3 4
x x + x + x + a) ( 2 21 9 x x − 2) HD:
Thực hiện phép chia ta được thương là 2
x − 8x +15 và dư là a+30 Bài 13: Cho đa thức 3 2 f ( )
x = ax + bx + cx + d , Tìm a,b,c,d biết rằng khi chia đa thức lần lượt cho nhị thức
(x-1), (x-2), (x-3) đều có số dư là 6 và tại x=-1 thì đa thức nhận giá trị là -18 HD:
Ta có: f ( x) − 6 ( x − )
1 ,( x − 2),(x − )
3 vì f(x) là bậc 3 nên f(x) có dạng
f ( x) − 6 = m(x − )
1 ( x − 2)(x − ) 3 với m là hằng số: lại có: f ( 1 − ) = 1
− 8 = m =1 vậy f (x) − = (x − )(x − )(x − ) = f (x) 3 2 6 1 2 3
= x −6x +11x
Bài 14: CMR giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x: (x − )4 2 − x ( 2 x + ) + x( 2 1 6 4 x + ) 1 HD: Biểu thức <=> 4 3 2 4 2 3
x − 4x + 6x − 4x +1− x − 6x + 4x + 4x = 1
Bài 15: Tìm a để đa thức 4 3
3x + x + x + a chia hết cho đa thức 2 x +1 HD :
Đem chia ta được dư là a+3 Bài 16: Cho đa thức: 4 3 2 ( P )
x = x + x + 6x − 40x + m −1979
a, Tìm m sao cho P(x) chia hết cho x-2
b, Với m tìm được, hãy giải thích phương trình P(x)=0
Bài 17: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x-2 dư 3, chia cho x-5 dư 6 và chia cho 2
x − 7x +10 được thương là 2 x + 4 và còn dư
Bài 18: Xác định các số hữ tỉ a, b sao cho 3
x + ax + b chia hết cho 2 x − 2x − 3
Bài 19: Cho đa thức f (x) 100 99 2
=100x +99x +...+ 2x + x +1, Gọi m là số dư của phép chia đa thức cho 7 3x-1, CMR : m  4
Bài 20: Có tốn tại hay không đa thức f(x) với hệ số nguyên thỏa mãn : f (3) = 1931, f (26) = 2012
Bài 21: Tìm các số a và b sao cho 3
x + ax + b chia hết cho x+1 dư 7 chia cho x-3 dư -5 HD : Ta có : 3
x + ax + b = (x + )
1 P(x) + 7 = (x − ) 3 Q(x) −5
Thay x = -1 và x=3 vào biểu thức trên ta được : a = 1 − 0,b = 2 − Bài 22: CMR : 2
p = n + 3n + 5, không chia hết cho 121 với mọi số tự nhiên n
Bài 23: CMR với mọi số nguyên n thì 2n 1 + n+4 n 1 5 2 2 + + + chia hết cho 23
Bài 24: CMR với mọi n thì 3
n +11n 6 với n là số nguyên
Bài 25: Xác định các hệ số a, b để đa thức 3 f ( )
x = x + ax + b chia hết cho đa thức 2 x + x − 6 HD: f ( x) 2
x + x − 6 khi f ( x) ( x + )
3 ( x − 2) , Ta có: f(-3)=0 =>-3a+b=27 và f(2)=0=>2a+b=-8
Khi đó ta có: M = (a − )3 + a + (a + )3 3 3 1
1 = 3a + 6a = 3a (a − ) 1 (a + ) 1 + 9a 9
Bài 26: Cho đa thức f ( x) 100 99 2
=100x +99x +...+ 2x + x +1, Gọi m là số dư của phép chia đa thức cho 7 3x-1, CMR : m  4 11
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hợp Đức
Bài 27: Có tốn tại hay không đa thức f(x) với hệ số nguyên thỏa mãn : f (3) = 1931, f (26) = 2012
Bài 28: CMR với mọi số nguyên n thì 2n 1 + n+4 n 1 5 2 2 + + + chia hết cho 23
a, CMR: Tổng các lũy thừa bậc ba của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 9 HD:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a-1, a, a+1
Bài 29: CMR với mọi n thì 3
n +11n 6 với n là số nguyên Bài 30: Cho đa thức: 8 5 2 ( P )
x = x x + x x +1, CMR: P(x) luôn dương với mọi giá trị của x
Bài 31: Cho đa thức: f ( x) 2 = .
a x + bx + c thỏa mãn: f(1)=f(-1) a, Tìm b
b, CMR: f(m)=f(-m) với m bất kỳ
Bài 32: Tính giá trị của đa thức sau biết: x + y − 2 = 0 : 3 2 2 2
M = x + x y − 2x xy y + 3y + x + 2006 HD:
Biến đổi đa thức theo hướng làm xuất hiện x + y − 2 = 0 Ta có: 3 2 2
M = (x + x y − 2 )
x − (xy + y − 2 )
y + (x + y − 2) + 2008 = 2
x (x + y − 2) − (
y x + y − 2) + (x + y − 2) + 2008
Bài 33: Số a gồm 31 chữ số 1, só b gồm 38 chữ số 1, CMR: ab-2 chia hết cho 3
Bài 34: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì: a, ( 2
n + n − )(n + ) 3 3 1
2 − n + 2 chia hết cho 5 b, n(n + ) 5 − (n − )
3 (n + 2) chia hết cho 6 c, (n − ) 1 (n + ) 1 − (n − ) 7 (n − ) 5 chia hết cho 12
Bài 35: Tìm giá trị của m để cho phương trình 6x − 5m = 3 + 3mx , có nghiệm số gấp ba nghiệm số của
phương trình: (x + )(x − ) − (x + )2 1 1 2 = 3 HD:
Ta có: ( x + ) ( x − ) − ( x + )2 2 2 1 1
2 = 3 = x −1− x − 4x − 4 = 3 = −4x = 8 = x = −2
Để phương trình 6x − 5m = 3+ 3mx có nghiệm gấp ba lần nghiệm của phương trình
(x + )(x − ) −(x + )2 1 1 2 = 3 hay x = 6 − Thay vào ta có: 6.( 6
− ) − 5m = 3+ 3m( 6 − ) = m = 3 12
GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hợp Đức