Chuyên đề đạo hàm – Lê Hải Trung

Chuyên đề đạo hàm được biên soạn bởi thầy Lê Hải Trung giới thiệu các dạng toán thường gặp về đạo hàm cùng với phương pháp giải các dạng toán đó

60 30 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 9: Đạo hàm (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

124 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 1
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
BÀI 1: KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
A. KIẾM THỨC CƠ BẢN
1. Đạo hàm của hàm só tại một điểm
Hàm số
y f(x)
liên tục trên
(a;b)
, được gọi là có đạo hàm tại
0
x (a;b)
Giới hạn hữu hạn ( nếu có) của tỉ số
0
0
f(x) f(x )
x x
khi
x
dần đến
0
x
được gọi
là đạo hàm của hàm số tại điểm
0
x
.Ta kí hiệu
0
f'(x )
.
Vậy
0
0
x x
0
0
f(x) f(x )
f'(x ) lim
x x
2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa
Quy tắc
Muốn tính đạo hàm của hàm số
tại điểm
0
x
theo định nghĩa, ta thực hiện
hai bước sau:
Bước 1: Tính
y
theo công thức
0 0
y f x x f x
, trong đó
x
là số gia
của biến số tại
0
x
Bước 2: Tìm giới hạn
0
lim
x
y
x
.
Trong quy tắc trên và đối với mỗi hàm số được xét, ta luôn hiểu
y
là số gia của hàm
số ứng với số gia
x
đã cho của biến số tại điểm đang xét
Nhận xét : Nếu hàm số
y f x
có đạo hàm tại điểm
0
x
thì nó liên tục tại điểm
0
x
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 2
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm số
y f x
tại điểm
0
x
là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ
thị hàm số tại điểm
0 0
;
M x f x
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
0 0
;
M x f x
là:
0 0 0
' .
y f x x x f x
.
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm
0 0
;
M x f x
Song song với đường thẳng
y ax b
0
'
f x a
Vuông góc với đường thẳng
y ax b
0
' . 1
f x a
Tạo với tia
Ox
một góc
0
' tan
f x
4. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm
Vận tốc tức thời
0
v t
tại thời điểm
( hay vận tốc tại
) của một chuyển
động có phương trình
s s t
bằng đạo hàm của hàm số
s s t
tại điểm
s s t
,
tức là:
0 0
'v t s t
.
5. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
Hàm số
f(x)
có đạo hàm trên
(a;b)
nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc
(a;b)
.
Hàm số
f(x)
có đạo hàm trên
[a; b]
nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc
(a;b)
đồng thời tồn tại đạo hàm trái
f'(b )
và đạo hàm phải
f'(a )
.
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 3
B. Các dạng bài tập
Dạng 1: Tính đạo hàm tại 1 điểm
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
Bước 1: Tính
y
theo công thức
0 0
y f x x f x
, trong đó
x
là số
gia của biến số tại
0
x
Bước 2: Tìm giới hạn
0
lim
x
y
x
.
Ví dụ 1. Cho hàm số
2
2 ,f x x x
có
x
là số gia của đối số tại
1,
x
y
là số gia
tương ứng của hàm số. Khi đó
y
bằng:
A.
2
2 .x x
B.
2
4 .x x
C.
2
2 3.
x x
D.
3.
Hướng dẫn giải
2 2
1 1 1 2 1 1 2 4 .y f x f x x x x
Chọn đáp án là B.
Ví dụ 2. Cho hàm số
3 2,
f x x
có
x
là số gia của đối số tại
2.
x
Khi đó
y
x
bằng:
A.
3 2
.
x
x
B.
3 6
.
x
x
C.
3 4 2
.
x
x
D.
3 2 2
.
x
x
Lời giải
Tập xác định của hàm số đã cho là
2
; .
3
D

Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 4
Với
x
là số gia của đối số tại
2
x
sao cho
2 ,x D
thì
3 2 2 3.2 2.
y x
Khi đó
3 4 2
.
y x
x x
Chọn đáp án là C.
Ví dụ 3. Cho hàm số
2
2
1
x x
y C
x
Đạo hàm của hàm số đã cho tại
1,
x
bằng:
A.
1
.
4
B.
1
.
2
C.
0.
D.
1
.
2
Lời giải
Với
x
là số gia của đối số tại
1,
x
ta có
2
1 2 1 2 1
1 2 2 1
; .
1 1 1 1 2 2 2 2
x x x x
y x
y
x x x x
0 0
2 1 1
lim lim .
2 2 4
x x
y x
x x
Vậy
1
' 1 .
4
y
Chọn đáp án là A.
Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến
Sử dụng công thức viết tiếp tuyến tại 1 điểm
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
0 0
;
M x f x
là:
0 0 0
' .
y f x x x f x
.
Ví dụ 4: Cho hàm số
2
2
1
x x
y C
x
. Phương trình tiếp tuyến của
C
tại điểm
1
1;
2
A
là:
A.
1 1
1 .
4 2
y x
B.
1 1
1 .
2 4
y x
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 5
C.
1 1
1 .
4 2
y x
D.
1 1
1 .
2 4
y x
Lời giải
Với
x
là số gia của đối số tại
1,
x
ta có
2
1 2 1 2 1
1 2 2 1
; .
1 1 1 1 2 2 2 2
x x x x
y x
y
x x x x
0 0
2 1 1
lim lim .
2 2 4
x x
y x
x x
Vậy
1
' 1 .
4
y
Phương trình tiếp tuyến của
C
tại điểm
1
1;
2
A
là
1 1
1 .
4 2
y x
Chọn đáp án là C.
Dạng 3 : Mối liên hệ giữa đạo hàm và liên tục
Nếu hàm số
y f x
có đạo hàm tại điểm
0
x
thì nó liên tục tại điểm
0
x
nhưng điều
ngược lại không đúng
Ví dụ 4. Cho hàm số
1.
f x x
Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
f x
liên tục tại
1.
x
B.
f x
có đạo hàm tại
1.
x
C.
1 0.
f
D.
f x
đạt giá trị nhỏ nhất tại
1.
x
Lời giải
1 ,
1
1 ,
x
f x x
x
nếu
1
1
x
x
1 0
f
Phương án C đúng.
0, . 0 1
f x x f x x
Phương án D đúng.
1 1 1 1
lim lim 1 0. lim lim 1 0.
x x x x
f x x f x x

Phương án A đúng.
1 1 1 1
1 1
1 1
lim lim 1, lim lim 1.
1 1 1 1
x x x x
f x f f x f
x x
x x x x
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 6
Suy ra không tồn tại giới hạn của tỷ số
1
1
f x f
x
khi
1.
x
Do đó hàm số đã cho không có đạo hàm tại
1.
x
Chọn đáp án là B.
C. Bài tập trác nghiệm
Câu 1: Cho hàm số
f x
liên tục tại
0
x
. Đạo hàm của
f x
tại
0
x
là
A.
0
f x
.
B.
0 0
( ) ( )f x h f x
h
.
C.
0 0
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x
h
(nếu tồn tại giới hạn).
D.
0 0
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x h
h
(nếu tồn tại giới hạn).
Câu 2: Cho hàm số
f x
là hàm số trên
định bởi
2
f x x
và
0
x
. Chọn câu
đúng.
A.
0 0
f x x
. B.
2
0 0
f x x
.
C.
0 0
2f x x
. D.
0
f x
không tồn tại.
Câu 3: Cho hàm số
f x
xác định trên
0;

bởi
1
f x
x
. Đạo hàm của
f x
tại
0
2
x
là:
A.
. B.
1
2
. C.
1
2
. D.
1
2
.
Câu 4: Cho hàm số
3 4
khi 0
4
( )
1
khi 0
4
x
x
f x
x
. Khi đó
0
f
là kết quả nào sau
đây?
A.
1
.
4
B.
1
.
16
C.
1
.
32
D. Không tồn tại.
Câu 5: Cho hàm số
2
2
khi 2
( )
6 khi 2
2
x x
f x
x
bx x
. Để hàm số này có đạo hàm tại
2
x
thì giá trị của b là
A.
3.
b
B.
6.
b
C.
1.
b
D.
6.
b
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 7
Câu 6: Số gia của hàm số
2
4 1f x x x
ứng với x và
x
là
A.
2 4 .
x x x
B.
2 .x x
C.
. 2 4 .x x x
D.
2 4 .x x
Câu 7: Cho hàm số
( )y f x
có đạo hàm tại
0
x
là
0
'( )f x
. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim .
x x
f x f x
f x
x x
B.
0 0
0
0
( ) ( )
( ) lim .
x
f x x f x
f x
x
C.
0 0
0
0
( ) ( )
( ) lim .
h
f x h f x
f x
h
D.
0
0 0
0
0
( ) ( )
( ) lim .
x x
f x x f x
f x
x x
Câu 8: Xét ba mệnh đề sau:
(1) Nếu hàm số
f x
có đạo hàm tại điểm
0
x x
thì
f x
liên tục tại điểm đó.
(2) Nếu hàm số
f x
liên tục tại điểm
0
x x
thì
f x
có đạo hàm tại điểm đó.
(3) Nếu
f x
gián đoạn tại
0
x x
thì chắc chắn
f x
không có đạo hàm tại điểm
đó.
Trong ba câu trên:
A. Có hai câu đúng và một câu sai. B. Có một câu đúng và hai câu sai.
C. Cả ba đều đúng. D. Cả ba đều sai..
Câu 9: Xét hai câu sau:
(1) Hàm số
1
x
y
x
liên tục tại
0
x
(2) Hàm số
1
x
y
x
có đạo hàm tại
0
x
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (2) đúng. B. Chỉ có (1) đúng.
C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 8
Câu 10: Cho hàm số
2
khi 1
( )
2
khi 1
x
x
f x
ax b x
. Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm
số có đạo hàm tại
1x
?
A.
1
1; .
2
a b
B.
1 1
; .
2 2
a b
C.
1 1
; .
2 2
a b
D.
1
1; .
2
a b
Câu 11: Số gia của hàm số
2
2
x
f x
ứng với số gia
x
của đối số x tại
0
1
x
là
A.
2
1
.
2
x x
B.
2
1
.
2
x x
C.
2
1
.
2
x x
D.
2
1
.
2
x x
Câu 12: Tỉ số
y
x
của hàm số
2 1
f x x x
theo x và
x
là
A.
4 2 2.
x x
B.
2
4 2 2.
x x
C.
4 2 2.
x x
D.
2
4 2 2 .x x x x
Câu 13: Cho hàm số
2
f x x x
, đạo hàm của hàm số ứng với số gia
x
của đối số x tại
x
0
là
A.
2
0
lim 2 .
x
x x x x
B.
0
lim 2 1 .
x
x x
C.
0
lim 2 1 .
x
x x
D.
2
0
lim 2 .
x
x x x x
Câu 14: Cho hàm số
2
f x
x
x
. Xét hai câu sau:
(1). Hàm số trên có đạo hàm tại
0
x
.
(2). Hàm số trên liên tục tại
0
x
.
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (1) đúng. B. Chỉ có (2) đúng.
C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.
Câu 15: Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số
( )y f x
tại
0
1
x
?
A.
0
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
x
. B.
0
0
0
( ) ( )
lim
x
f x f x
x x
.
C.
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x
. D.
0
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
x
.
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 9
Câu 16: Số gia của hàm số
3
f x x
ứng với
0
2
x
và
1x
bằng bao nhiêu?
A.
19
. B.
7
. C.
19
. D.
7
.
Đáp án+ hướng dẫn giải
Câu 1: Cho hàm số
f x
liên tục tại
0
x
. Đạo hàm của
f x
tại
0
x
là
A.
0
f x
.
B.
0 0
( ) ( )f x h f x
h
.
C.
0 0
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x
h
(nếu tồn tại giới hạn).
D.
0 0
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x h
h
(nếu tồn tại giới hạn).
Hướng dẫn giải
Đáp án C.
Định nghĩa
0 0
0
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
f x
x
hay
0 0
0
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x
f x
h
(nếu tồn tại giới hạn).
Câu 2: Cho hàm số
f x
là hàm số trên
định bởi
2
f x x
và
0
x
. Chọn câu
đúng.
A.
0 0
f x x
. B.
2
0 0
f x x
.
C.
0 0
2f x x
. D.
0
f x
không tồn tại.
Hướng dẫn giải
Đáp án C.
Giả sử
x
là số gia của đối số tại
0
x
.
Ta có
0 0
y f x x f x
2
2
0 0
x x x
0
2
x x x
.
0 0
0 0
lim lim 2 2
x x
y
x x x
x
.
Vậy
0 0
2f x x
.
Câu 3: Cho hàm số
f x
xác định trên
0;

bởi
1
f x
x
. Đạo hàm của
f x
tại
0
2
x
là
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 10
A.
. B.
1
2
. C.
1
2
. D.
1
2
.
Hướng dẫn giải
Đáp án B.
Giả sử
x
là số gia của đối số tại
0
x
.
Ta có
0 0
y f x x f x
0 0
1 1
x x x
0 0
x
x x x
.
2
0 0
0 0 0
1 1
lim lim
x x
y
x x x x x
.
Vậy
0
2
0
1
f x
x
1
2
2
f
.
Câu 4: Cho hàm số
3 4
khi 0
4
( )
1
khi 0
4
x
x
f x
x
. Khi đó
0
f
là kết quả nào sau
đây?
A.
1
.
4
B.
1
.
16
C.
1
.
32
D. Không tồn tại.
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Ta có
0 0 0
3 4 1
0
2 4
4 4
lim lim lim
0 4
x x x
x
f x f
x
x x x
0 0 0
2 4 2 4
1 1
lim lim lim .
16
4 2 4 4 2 4 4 2 4
x x x
x x
x
x x x x x
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 11
Câu 5: Cho hàm số
2
2
khi 2
( )
6 khi 2
2
x x
f x
x
bx x
. Để hàm số này có đạo hàm tại
2
x
thì giá trị của b là
A.
3.
b
B.
6.
b
C.
1.
b
D.
6.
b
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Ta có
2
2 2
2
2 2
2 4
lim lim 4
lim lim 6 2 8
2
x x
x x
f
f x x
x
f x bx b
f x
có đạo hàm tại
2
x
khi và chỉ khi
f x
liên tục tại
2
x
2 2
lim lim 2 2 8 4 6.
x x
f x f x f b b
Câu 6: Số gia của hàm số
2
4 1f x x x
ứng với x và
x
là
A.
2 4 .
x x x
B.
2 .x x
C.
. 2 4 .x x x
D.
2 4 .x x
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Ta có
2
2
2 2 2 2
4 1 4 1
2 . 4 4 1 4 1 2 . 4
2 4
y f x x f x
x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x
Câu 7: Cho hàm số
( )y f x
có đạo hàm tại
0
x
là
0
'( )f x
. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim .
x x
f x f x
f x
x x
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 12
B.
0 0
0
0
( ) ( )
( ) lim .
x
f x x f x
f x
x
C.
0 0
0
0
( ) ( )
( ) lim .
h
f x h f x
f x
h
D.
0
0 0
0
0
( ) ( )
( ) lim .
x x
f x x f x
f x
x x
Hướng dẫn giải
Đáp án D
A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm).
B. Đúng vì
0
0 0
0 0
0 0 0 0
0
0
0 0 0
( ) ( )
( ) lim
x x
x x x x x x
y f x x f x
f x x f x f x x f x
f x f x
f x
x x x x x x
C. Đúng vì
Đặt
0 0
,h x x x x h x
0 0
y f x x f x
0
0 0 0 0
0
0
0 0 0
( ) ( )
( ) lim
x x
f x h f x f x h f x
f x f x
f x
x x h x x h
Vậy D là đáp án sai.
Câu 8: Xét ba mệnh đề sau:
(1) Nếu hàm số
f x
có đạo hàm tại điểm
0
x x
thì
f x
liên tục tại điểm đó.
(2) Nếu hàm số
f x
liên tục tại điểm
0
x x
thì
f x
có đạo hàm tại điểm đó.
(3) Nếu
f x
gián đoạn tại
0
x x
thì chắc chắn
f x
không có đạo hàm tại điểm
đó.
Trong ba câu trên:
A. Có hai câu đúng và một câu sai. B. Có một câu đúng và hai câu sai.
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 13
C. Cả ba đều đúng. D. Cả ba đều sai.
Hướng dẫn giải
Đáp án A
(1) Nếu hàm số
f x
có đạo hàm tại điểm
0
x x
thì
f x
liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh
đề đúng.
(2) Nếu hàm số
f x
liên tục tại điểm
0
x x
thì
f x
có đạo hàm tại điểm đó.
Phản ví dụ
Lấy hàm
f x x
ta có
D
nên hàm số
f x
liên tục trên
.
Nhưng ta có
0 0 0
0 0 0
00
0
lim lim lim 1
0 0 0
0
0
0
lim lim lim 1
0 0 0
x x x
x x x
xf x f
x
x x x
x
f x f
x
x x x
Nên hàm số không có đạo hàm tại
0
x
.
Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.
(3) Nếu
f x
gián đoạn tại
0
x x
thì chắc chắn
f x
không có đạo hàm tại điểm
đó.
Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có
f x
không liên tục tại
0
x x
thì
f x
có đạo hàm tại
điểm đó.
Vậy (3) là mệnh đề đúng.
Câu 9: Xét hai câu sau:
(1) Hàm số
1
x
y
x
liên tục tại
0
x
(2) Hàm số
1
x
y
x
có đạo hàm tại
0
x
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (2) đúng. B. Chỉ có (1) đúng.
C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 14
Ta có :
0
0
lim 0
lim 0
1
1
0 0
x
x
x
x
f
x
x
f
. Vậy hàm số
1
x
y
x
liên tục tại
0
x
Ta có :
0
0
1
0 1
x
xf x f
x
x x x x
(với
0
x
)
Do đó :
0 0 0
0 0 0
0
1
lim lim lim 1
0 1 1
0
1
lim lim lim 1
0 1 1
x x x
x x x
xf x f
x x x x
xf x f
x x x x
Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của
0
0
f x f
x
khi
0
x
.
Vậy hàm số
1
x
y
x
không có đạo hàm tại
0
x
Câu 10: Cho hàm số
2
khi 1
( )
2
khi 1
x
x
f x
ax b x
. Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm
số có đạo hàm tại
1x
?
A.
1
1; .
2
a b
B.
1 1
; .
2 2
a b
C.
1 1
; .
2 2
a b
D.
1
1; .
2
a b
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Hàm số liên tục tại
1x
nên Ta có
1
2
a b
Hàm số có đạo hàm tại
1x
nên giới hạn 2 bên của
1
1
f x f
x
bằng nhau và Ta
có
1 1 1 1
1 .1 1
lim lim lim lim
1 1 1
x x x x
f x f ax b a b a x
a a
x x x
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 15
2
1 1 1 1
1
1 1 1 1
2 2
lim lim lim lim 1
1 1 2 1 2
x x x x
x
f x f x x x
x x x
Vậy
1
1;
2
a b
Câu 11: Số gia của hàm số
2
2
x
f x
ứng với số gia
x
của đối số x tại
0
1
x
là
A.
2
1
.
2
x x
B.
2
1
.
2
x x
C.
2
1
.
2
x x
D.
2
1
.
2
x x
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Với số gia
x
của đối số x tại
0
1
x
Ta có
2 2
2
1 1 2
1 1 1
2 2 2 2 2
x x x
y x x
Câu 12: Tỉ số
y
x
của hàm số
2 1
f x x x
theo x và
x
là
A.
4 2 2.
x x
B.
2
4 2 2.
x x
C.
4 2 2.
x x
D.
2
4 2 2 .x x x x
Hướng dẫn giải
Đáp án C
0
0
0 0
0
0 0 0
0
0
2 1 2 1
2 2
2 2 2
4 2 2
f x f x
y
x x x
x x x x
x x
x x x x x x
x x
x x
x x
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 16
Câu 13: Cho hàm số
2
f x x x
, đạo hàm của hàm số ứng với số gia
x
của đối số x tại
x
0
là
A.
2
0
lim 2 .
x
x x x x
B.
0
lim 2 1 .
x
x x
C.
0
lim 2 1 .
x
x x
D.
2
0
lim 2 .
x
x x x x
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Ta có :
2
2
0 0 0 0
2
2 2
0 0 0 0 0
2
0
2
2
y x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
Nên
2
0
0 0
0 0 0
2
' lim lim lim 2 1
x x x
x x x x
y
f x x x
x x
Vậy
0
' lim 2 1
x
f x x x
Câu 14: Cho hàm số
2
f x
x
x
. Xét hai câu sau:
(1). Hàm số trên có đạo hàm tại
0
x
.
(2). Hàm số trên liên tục tại
0
x
.
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (1) đúng. B. Chỉ có (2) đúng.
C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Ta có
+)
2
0 0
lim lim 0
x x
f x x x
.
+)
2
0 0
lim lim 0
x x
f x x x
.
+)
0 0
f
.
0 0
lim lim 0
x x
f x f x f
. Vậy hàm số liên tục tại
0
x
.
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Page 17
Mặt khác:
+)
2
0 0 0
0
0 lim lim lim 1 1
0
x x x
f x f
x x
f x
x x
.
+)
2
0 0 0
0
0 lim lim lim 1 1
0
x x x
f x f
x x
f x
x x
.
0 0
f f
. Vậy hàm số không có đạo hàm tại
0
x
.
Câu 15: Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số
( )y f x
tại
0
1
x
?
A.
0
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
x
. B.
0
0
0
( ) ( )
lim
x
f x f x
x x
.
C.
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x
. D.
0
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
x
.
Hướng dẫn giải
Đáp án C
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.
Câu 16: Số gia của hàm số
3
f x x
ứng với
0
2
x
và
1x
bằng bao nhiêu?
A.
19
. B.
7
. C.
19
. D.
7
.
Hướng dẫn giải
Đáp án C
Ta có
3 3
3 3
0 0 0 0 0 0
2 3 8
y f x x f x x x x x x x x x
.
Với
0
2
x
và
1x
thì
19
y
.
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 1
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
A. LÝ THUYẾT
1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
Hàm số hằng
y c
có đạo hàm trên
và
' 0
y
;
Hàm số
y x
có đạo hàm trên
và
' 1
y
;
Hàm số
, 2
n
y x n n
có đạo hàm trên
và
1
'
n
y nx
;
Hàm số
y x
có đạo hàm trên khoảng
0;

và
1
'
2
y
x
.
2. Các quy tắc tính đạo hàm
' ' 'u v u v
' ' 'u v u v
' ' . 'uv u v u v
hệ quả
. ' . 'k u k u
'
2
'. . 'u u v u v
v v
hệ quả
'
2
1 'u
u u
3. Đạo hàm hàm hợp
Cho hàm số
( ( )) ( )y f u x f u
với
( )u u x
.
Khi đó :
' ' . '
x u x
y y u
Đạo hàm của các hàm thường gặp
Đạo hàm Hàm hợp
1
( )'
x x
1
'
2
x
x
1
1
'
n
n n
x
n x
1
' . 'u u u
'
'
2
u
u
u
1
'
'
n
n n
u
u
n u
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 2
B. Bài tập
Dạng 1: Tính đạo hàm bằng các quy tắc đạo hàm
Ví dụ 1: Tính đạo hàm cuả các hàm số sau
a)
4 3
1
2 2 5
3
y x x x
. b)
2 2 2
1 4 9
y x x x
c)
1
1 1
y x
x
d)
2 1
3 1
x
y
x
e)
2
3 3
1
x x
y
x
f)
2
2
1
1
x x
y
x x
Hướng dẫn giải
a) Ta có
3 2
1
' 8y x x
x
.
b) Ta có
2 2 2 2 2 2 2 2 2
' 1 4 9 1 4 9 1 4 9
y x x x x x x x x x
2 2 2 2 2 2 4 2
2 4 9 1 2 9 1 4 2 2 3 28 49
x x x x x x x x x x x x
c) Ta có
1 1 1 1 1 1 1
' 1 1 1 1 1 1
2 2 2
x
y x x x
x
x x x x x x x
d) Ta có
2 2 2
2 1 3 1 2 1 3 1 2 3 1 3 2 1
5
'
3 1 3 1 3 1
x x x x x x
y
x x x
.
e) Ta có
2 2 2
2
2 2 2
3 3 1 3 3 1 2 3 1 3 3
2
'
1 1 1
x x x x x x x x x x
x x
y
x x x
.
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 3
f) Ta có
2 2 2 2
2
2
1 1 1 1
'
1
x x x x x x x x
y
x x
2 2
2 2
2 2
1 2 1 1 1 2
2 1 2
1 1
x x x x x x
x
x x x x
.
Dạng 2: Đạo hàm của hàm hợp
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a)
4
2
1
y x x
. b)
5
2
2y x x
.
c)
2
2
1
2 5
y
x x
. d)
2
3
1
1
x
y
x
.
e)
3
2 1
1
x
y
x
. f)
3
2
3
2y
x
.
Hướng dẫn giải
a) Ta có
3 3
2 2 2
' 4. 1 . 1 4. 2 1 . 1
y x x x x x x x
.
b) Ta có
4 4
2 2 2
' 5. 2 . 2 5. 2 2 . 2y x x x x x x x
.
c) Ta có
2
2
2 2
4 4 3
2 2 2
2 5
2. 2 5 2 5
2. 2 2
'
2 5 2 5 2 5
x x
x x x x
x
y
x x x x x x
.
d) Ta có
2 3 2 3
6
1 . 1 1 . 1
'
1
x x x x
y
x
3 2 2
6
2. 1 . 1 . 1 1 .3. 1 . 1
1
x x x x x x
x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 4
3 2 2 2
2
6 4 4
2. 1 . 1 3 1 . 1 2. 1 . 1 3 1
6 5
1 1 1
x x x x x x x
x x
x x x
.
e) Ta có
2
2 2
2 4
2 1 1 2 1 1 9 2 1
2 1 2 1 2 1
' 3. . 3. .
1 1 1
1 1
x x x x x
x x x
y
x x x
x x
.
f) Ta có
2 2 2
2 2 3 2 3 2
3 3 6 3 18 3
' 3. 2 . 2 3. 0 . 2 . 2y
x x x x x x
.
Ví dụ 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y x x
. b)
2
2 . 3
y x x
.
c)
3
2
y x
. d)
3
1 1 2y x
.
e)
3
1
x
y
x
. f)
2
4 1
2
x
y
x
Hướng dẫn giải
a) Ta có
1
1
2 1
2
'
2 2 4. .
x x
x
x
y
x x x x x x x
.
b) Ta có
2
2 2 2
2 2
2 2 3
' 2 . 3 2 . 3 3 2 .
3 3
x x x
y x x x x x x
x x
.
c) Ta có
3
2 2 2
3 3 3 3
2
3. 2 . 2 3 2 3 2
'
2 2 2 2 2 2 2 2
x
x x x x
y
x x x x
.
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 5
d) Ta có
2 2 2
1 3
' 3. 1 1 2 . 1 1 2 3. 0 . 1 1 2 . 1 1 2
1 2 1 2
y x x x x
x x
.
e) Ta có
3 3
2 3
3
2 2
2
3 3 3 3
2
. 1 . 1
3 . 1
1 1 2 3
1
'
2 2 2 2. 1
1 1 1 1
x x x x
x x x
x
x x x x
x
y
x x x x
x
x x x x
.
f) Ta có
2 2
2
4 1 2 4 1 2
'
2
x x x x
y
x
2
2
2
4 2 4 1
2
2
x
x x
x
x
2 2
8
2 2
x
x x
Dạng 3: Hàm trị tuyệt đối
Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số sau
a)
2
3 1 khi 1
( )
2 2 khi 1
x x x
f x
x x
b)
2
1f x x x
Hướng dẫn giải
a) Với
2
1 ( ) 3 1 '( ) 2 3x f x x x f x x
Với
1 ( ) 2 2 '( ) 2
x f x x f x
Với
1x
ta có:
2
1 1
lim ( ) lim 3 1 1 (1)
x x
f x x x f
hàm số không liên tục tại
1x
,
suy ra hàm số không có đạo hàm tại
1x
Vậy
2 3 khi 1
'( )
2 khi 1
x x
f x
x
.
b) Với
2
1 ( ) 1 '( ) 2 1x f x x x f x x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 6
Với
2
1 ( ) 1 '( ) 2 1x f x x x f x x
. Vậy
2 1 khi 1
'( )
2 1 khi 1
x x
f x
x x
C. BÀI TẬP TRÁC NGHIỆM
Câu 1. Cho hàm số
2
2 3
2
x x
y
x
. Đạo hàm
y
của hàm số là biểu thức nào sau
đây?
A.
2
3
1
( 2)
x
. B.
2
3
1
( 2)
x
.
C.
2
3
1
( 2)
x
. D.
2
3
1
( 2)
x
.
Câu 2. Cho hàm số
2
1
1
y
x
. Đạo hàm
y
của hàm số là biểu thức nào sau đây?
A.
2 2
( 1) 1
x
x x
. B.
2 2
( 1) 1
x
x x
. C.
2 2
2( 1) 1
x
x x
. D.
2
2
( 1)
1
x x
x
Câu 3. Cho hàm số
3
f x x
. Giá trị
8
f
bằng:
A.
1
6
. B.
1
12
. C. -
1
6
. D.
1
12
.
Câu 4. Cho hàm số
1
1
1
f x x
x
. Để tính
f
, hai học sinh lập luận theo hai
cách:
(I)
2
'
1 2 1 1
x x
f x f x
x x x
.
(II)
1 1 2
2 1 2 1 1 2 1 1
x
f x
x x x x x
.
Cách nào đúng?
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 7
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II)
C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng.
Câu 5. Cho hàm số
3
1
y
x
. Để
0
y
thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?
A. 1. B. 3. C.
. D.
.
Câu 6. Cho hàm số
1f x x
. Đạo hàm của hàm số tại
1x
là
A.
1
2
. B.
1
. C.
0
D. Không tồn tại.
Câu 7. Cho hàm số
2
2 3
2
x x
y
x
. Đạo hàm
y
của hàm số là
A. 1+
2
3
( 2)
x
. B.
2
2
6 7
( 2)
x x
x
.
C.
2
2
4 5
( 2)
x x
x
. D.
2
2
8 1
( 2)
x x
x
.
Câu 8. Cho hàm số
2
1 3
( )
1
x x
f x
x
. Tập nghiệm của bất phương trình
( ) 0
f x
là
A.
\ 1 .
B.
.
C.
1;

. D.
.
Câu 9. Đạo hàm của hàm số
4 2
3 1y x x x
là
A.
3 2
' 4 6 1.
y x x
B.
3 2
' 4 6 .y x x x
C.
3 2
' 4 3 .y x x x
D.
3 2
' 4 3 1.
y x x
Câu 10. Hàm số nào sau đây có
2
1
' 2y x
x
?
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 8
A.
3
1
x
y
x
B.
2
3
3( )x x
y
x
C.
3
5 1x x
y
x
D.
2
2 1x x
y
x
Câu 11. Cho hàm số
2 2
1 2 1 2y f x x x
. Ta xét hai mệnh đề sau:
(I)
2
2
2 1 6
1 2
x x
f x
x
(II)
4 2
. 2 12 4 1
f x f x x x x
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (II). B. Chỉ (I).
C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng.
Câu 12. Cho hàm số
1
f x
x
. Đạo hàm của
f
tại
2
x
là
A.
1
.
2
B.
1
.
2
C.
1
.
2
D.
1
.
2
Câu 13. Cho hàm số
2
2
3 1
f x x
. Giá trị
1
f
là
A. 4. B. 8. C. -4. D. 24.
Câu 14. Đạo hàm của hàm số
3 2
1 1
y
x x
bằng biểu thức nào sau đây?
A.
4 3
3 1
.
x x
B.
4 3
3 2
.
x x
C.
4 3
3 2
.
x x
D.
4 3
3 1
.
x x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 9
Câu 15. Đạo hàm của hàm số
7
2
y x x
bằng biểu thức nào sau đây?
A.
6
14 2 .x x
B.
6
2
14 .
x
x
C.
6
1
14 .
2
x
x
D.
6
1
14 .
x
x
Câu 16. Cho hàm số
2
1
x
f x
x
. Giá trị
1
f
là
A.
1
.
2
B.
1
.
2
C. – 2. D. Không tồn tại.
Câu 17. Cho hàm số
2
1
y x
thì
2
f
là kết quả nào sau đây?
A.
2
(2) .
3
f
B.
2
(2) .
3
f
C.
2
(2) .
3
f
D. Không tồn tại.
Câu 18. Đạo hàm của hàm số
2 1
2
x
y
x
là
A.
2
5 2
. .
2 1
2 1
x
y
x
x
B.
2
1 5 2
' . . .
2 2 1
2 1
x
y
x
x
C.
1 2
' . .
2 2 1
x
y
x
D.
2
1 5 2
' . . .
2 2 1
2
x
y
x
x
Câu 19. Đạo hàm của
2
5 2
2
y x x
là
A.
9 6 3
10 28 16 .y x x x
B.
9 6 3
10 14 16 .y x x x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 10
C.
9 3
10 16 .y x x
D.
6 3
7 6 16 .y x x x
Câu 20. Đạo hàm của hàm số
4
(7 5)
y x
bằng biểu thức nào sau đây
A.
3
4(7 5) .
x
B.
3
28(7 5) .
x
C.
3
28(7 5) .
x
D.
28 .x
Câu 21. Đạo hàm của hàm số
2
1
2 5
y
x x
bằng biểu thức nào sau đây
A.
2
2
2 2
.
2 5
x
y
x x
B.
2
2
2 2
.
2 5
x
y
x x
C.
2
(2 2)( 2 5).
y x x x
D.
1
.
2 2
y
x
Câu 22. Cho hàm số
3 2
3 1
y x x
. Để
0
y
thì
x
nhận các giá trị thuộc tập nào sau
đây
A.
2
;0 .
9
B.
9
;0 .
2
C.
9
; 0; .
2
 
D.
2
; 0; .
9
 
Câu 23. Đạo hàm của
2
1
2 1
y
x x
bằng :
A.
2
2
4 1
.
2 1
x
x x
B.
2
2
4 1
.
2 1
x
x x
C.
2
2
1
.
2 1
x x
D.
2
2
4 1
.
2 1
x
x x
Câu 24. Đạo hàm của hàm số
2
. 2y x x x
là
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 11
A.
2
2 2
.
2
x
y
x x
B.
2
2
3 4
.
2
x x
y
x x
C.
2
2
2 3
.
2
x x
y
x x
D.
2
2
2 2 1
.
2
x x
y
x x
Câu 25. Cho hàm số
2
2 3f x x x
. Hàm số có đạo hàm
f x
bằng
A.
4 3.
x
B.
4 3.
x
C.
4 3.
x
D.
4 3.
x
Câu 26. Cho hàm số
2
1
1
f x x
x
. Xét hai câu sau:
(I)
2
2
2 1
1
1
x x
f x x
x
(II)
0 1.
f x x
Hãy chọn câu đúng:
A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng.
C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng.
Câu 27. Cho hàm số
2
1
( )
1
x x
f x
x
. Xét hai câu sau:
2
1
( ) : ( ) 1 ,
( 1)
I f x
x
1.
x
2
2
2
( ) : ( ) ,
( 1)
x x
II f x
x
1.
x
Hãy chọn câu đúng:
A. Chỉ
( )I
đúng. B. Chỉ
( )II
đúng.
C. Cả
( );I
( )II
đều sai. D. Cả
( );I
( )II
đều đúng.
Câu 28. Đạo hàm của hàm số
3 2 2016
( 2 )
y x x
là:
A.
3 2 2015
2016( 2 ) .
y x x
B.
3 2 2015 2
2016( 2 ) (3 4 ).y x x x x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 12
C.
3 2 2
2016( 2 )(3 4 ).y x x x x
D.
3 2 2
2016( 2 )(3 2 ).y x x x x
Câu 29. Đạo hàm của hàm số
(1 3 )
1
x x
y
x
bằng biểu thức nào sau đây?
A.
2
2
9 4 1
.
( 1)
x x
x
B.
2
2
3 6 1
.
( 1)
x x
x
C.
2
1 6 .x
D.
2
2
1 6
.
( 1)
x
x
Câu 30. Đạo hàm của
2
3 2 1y x x
bằng:
A.
2
3 1
.
3 2 1
x
x x
B.
2
6 2
.
3 2 1
x
x x
C.
2
2
3 1
.
3 2 1
x
x x
D.
2
1
.
2 3 2 1
x x
Câu 31. Cho hàm số
2
2
2 7
3
x x
y
x
. Đạo hàm
y
của hàm số là:
A.
2
2 2
3 13 10
.
( 3)
x x
x
B.
2
2 2
3
.
( 3)
x x
x
C.
2
2 2
2 3
.
( 3)
x x
x
D.
2
2 2
7 13 10
.
( 3)
x x
x
Câu 32. Cho hàm số
2
2 5 4
y x x
. Đạo hàm
y
của hàm số là:
A.
2
4 5
.
2 2 5 4
x
x x
B.
2
4 5
.
2 5 4
x
x x
C.
2
2 5
.
2 2 5 4
x
x x
D.
2
2 5
.
2 5 4
x
x x
Câu 33. Cho hàm số
3
( ) 2 1.
f x x
Giá trị
( 1)
f
bằng:
A.
6.
B.
3.
C.
2.
D.
6.
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 13
Câu 34. Cho hàm số
( ) .f x ax b
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.
( ) .f x a
B.
( ) .f x b
C.
( ) .f x a
D.
( ) .f x b
Câu 35. Đạo hàm của hàm số
10
y
là:
A.
10.
B.
10.
C.
0.
D.
10 .x
Câu 36. Cho hàm số
3
( ) 2
f x mx mx
. Số
1x
là nghiệm của bất phương trình
( ) 1
f x
khi và chỉ khi:
A.
1.
m
B.
1.
m
C.
1 1.
m
D.
1.
m
Câu 37. Đạo hàm của hàm số
2
1 1
y
x
x
tại điểm
0
x
là kết quả nào sau đây?
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D. Không tồn tại.
Câu 38. Cho hàm số
2
khi 1
( )
2 1 khi 1
x x
y f x
x x
. Hãy chọn câu sai:
A.
1 1
f
. B. Hàm số có đạo hàm tại
0
1
x
.
C. Hàm số liên tục tại
0
1
x
. D.
2 khi 1
( ) .
2 khi 1
x x
f x
x
Câu 39. Cho hàm số
3
( ) .
f x k x x
. Với giá trị nào của
k
thì
3
(1)
2
f
?
A.
1.
k
B.
9
.
2
k
C.
3.
k
D.
3.
k
Câu 40. Đạo hàm của hàm số
1 2
x
y
x
bằng biểu thức nào sau đây?
A.
2
1
2 (1 2 )x x
. B.
1
4
x
.
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 14
C.
2
1 2
2 (1 2 )
x
x x
. D.
2
1 2
2 (1 2 )
x
x x
.
Câu 41. Đạo hàm của hàm số
2 3
2
5
x
y x
x
là:
A.
2
13 1
.
2
5
y
x
x
B.
2
17 1
.
2 2
5
y
x
x
C.
2
13 1
.
2 2
5
y
x
x
D.
2
17 1
.
2
5
y
x
x
Câu 42. Đạo hàm của hàm số
2
2 1
y x x x
là:
A.
2
2
2
4 1
2 .
2
x
y x x
x x
B.
2
2
2
4 1
2 .
x
y x x
x x
C.
2
2
2
4 1
2 .
2
x
y x x
x x
D.
2
2
2
4 1
2 .
2
x
y x x
x x
Câu 43. Cho hàm số
3 5
1 2
x
y
x
. Đạo hàm
y
của hàm số là:
A.
2
7
(2 1)
x
. B.
2
1
(2 1)
x
. C.
2
13
(2 1)
x
. D.
2
13
(2 1)
x
.
Câu 44. Đạo hàm của
2
3 2
2
y x x
bằng :
A.
5 4 3
6 20 16x x x
. B.
5 3
6 16x x
.
C.
5 4 3
6 20 4x x x
. D.
5 4 3
6 20 16x x x
.
Câu 45. Cho hàm số
2
2 5
3 3
x
y
x x
. Đạo hàm
y
của hàm số là:
A.
2
2 2
2 10 9
( 3 3)
x x
x x
. B.
2
2 2
2 10 9
( 3 3)
x x
x x
.
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 15
C.
2
2 2
2 9
( 3 3)
x x
x x
. D.
2
2 2
2 5 9
( 3 3)
x x
x x
.
Câu 46. Cho hàm số
3 2
1
2 2 8 1
3
f x x x x
. Tập hợp những giá trị của
x
để
0
f x
là:
A.
2 2
. B.
2; 2
. C.
4 2
. D.
2 2
.
Câu 47. Đạo hàm của hàm số
9
4
3
x
f x x
x
tại điểm
1x
bằng:
A.
5
.
8
B.
25
.
16
C.
5
.
8
D.
11
.
8
Câu 48. Đạo hàm của hàm số
2
1
1
x
y
x
bằng biểu thức nào sau đây?
A.
2
2
.
1
x
x
B.
2 3
1
.
( 1)
x
x
C.
2 3
2( 1)
.
( 1)
x
x
D.
2
2 3
1
.
( 1)
x x
x
Câu 49. Đạo hàm của hàm số
1
1 1
y
x x
là:
A.
2
1
.
1 1
y
x x
B.
1
.
2 1 2 1
y
x x
C.
1 1
.
4 1 4 1
y
x x
D.
1 1
.
2 1 2 1
y
x x
Câu 50. Cho hàm số
4
y x x
. Nghiệm của phương trình
0
y
là
A.
1
.
8
x
B.
1
.
8
x
C.
1
.
64
x
D.
1
.
64
x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 16
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Cho hàm số . Đạo hàm của hàm số là biểu thức nào sau
đây?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải
Ta có .
Đáp án C.
Câu 2. Cho hàm số . Đạo hàm của hàm số là biểu thức nào sau đây?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải
.
2
2 3
2
x x
y
x
y
2
3
1
( 2)
x
2
3
1
( 2)
x
2
3
1
( 2)
x
2
3
1
( 2)
x
2 2
2
2 3 2 2 3 2
2
x x x x x x
y
x
2
2
2 2 2
2 2 2 2 3 .1
4 1 3
1
2 2 2
x x x x
x x
x x x
2
1
1
y
x
y
2 2
( 1) 1
x
x x
2 2
( 1) 1
x
x x
2 2
2( 1) 1
x
x x
2
2
( 1)
1
x x
x
2
2
2
2 2 2 2 2
1
1
1
1
1 2 1 1 1 1
x
x
x
y
x
x x x x x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 17
Đáp án B.
Câu 3. Cho hàm số . Giá trị bằng:
A. . B. . C. - . D. .
Hướng dẫn giải
Với .
Đáp án B.
Câu 4. Cho hàm số . Để tính , hai học sinh lập luận theo hai
cách:
(I) .
(II) .
Cách nào đúng?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II)
C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải
.
3
f x x
8
f
1
6
1
12
1
6
1
12
0
x
1 2 2
2
3 3 3
1 1 1 1
8 .8 2
3 3 3 12
f x x x f
1
1
1
f x x
x
f
2
'
1 2 1 1
x x
f x f x
x x x
1 1 2
2 1 2 1 1 2 1 1
x
f x
x x x x x
1
1
1 1
x
x
x x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 18
Lại có nên cả hai đều đúng.
Đáp án D.
Câu 5. Cho hàm số . Để thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?
A. 1. B. 3. C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tập xác định .
. Chọn C.
Câu 6. Cho hàm số . Đạo hàm của hàm số tại là
A. . B. .
C. D. Không tồn tại.
Hướng dẫn giải
Ta có Đáp án D.
Câu 7. Cho hàm số . Đạo hàm của hàm số là
A. 1+ . B. .
1
2
2 1
1
1 2 1 1
x
x
x x
x
x
x x x
3
1
y
x
0
y
\ 1
D R
2
3
0
1
y x D
x
1f x x
1x
1
0
1
'
2 1
f x
x
2
2 3
2
x x
y
x
y
2
3
( 2)
x
2
2
6 7
( 2)
x x
x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 19
C. . D. .
Hướng dẫn giải
.
Đáp án A.
Câu 8. Cho hàm số . Tập nghiệm của bất phương trình là
A. B. C. . D.
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Câu 9. Đạo hàm của hàm số là
A. B.
C. D.
2
2
4 5
( 2)
x x
x
2
2
8 1
( 2)
x x
x
2 2 2
2 2
2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3
2 2
x x x x x x x x x x
y
x x
2
2
2 2 2
2 2 2 2 3
4 7 3
1
2 2 2
x x x x
x x
x x x
2
1 3
( )
1
x x
f x
x
( ) 0
f x
\ 1 .
.
1;

.
2
2 2
2
2
2
2 2
2
2
1 3
( )
1
1 3 1 1 3 1
1
3 2 1 1 3
2 2
1 1
1 1
0, 1
1
x x
f x
x
x x x x x x
x
x x x x
x x
x x
x
x
x
4 2
3 1y x x x
3 2
' 4 6 1.
y x x
3 2
' 4 6 .y x x x
3 2
' 4 3 .y x x x
3 2
' 4 3 1.
y x x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 20
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức Đáp án A
Câu 10. Hàm số nào sau đây có ?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Kiểm tra đáp án A đúng.
Đáp án A
Câu 11. Cho hàm số . Ta xét hai mệnh đề sau:
(I)
(II)
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (II). B. Chỉ (I).
C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải
Ta có
2
1
' 2y x
x
3
1
x
y
x
2
3
3( )x x
y
x
3
5 1x x
y
x
2
2 1x x
y
x
3
2
2
1 1 1
2
x
y x y x
x x x
2 2
1 2 1 2y f x x x
2
2
2 1 6
1 2
x x
f x
x
4 2
. 2 12 4 1
f x f x x x x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 21
Suy ra
Đáp án D
Câu 12. Cho hàm số . Đạo hàm của tại là
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Câu 13. Cho hàm số . Giá trị là
A. 4. B. 8. C. -4. D. 24.
Hướng dẫn giải
Ta có
Đáp án D
Câu 14. Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức nào sau đây?
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
3
2 2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 4 1 2 1 2
1 2
4 1 2 1 2 .2 2 1 6
2 12
1 2 1 2 1 2
x
f x x x x x x x x
x
x x x x x x
x x
x x x
2
2 2 2 2
2
4 2 4 2
2 1 6
. 1 2 1 2 . 2 1 2 1 6
1 2
2 12 4 1 2 12 4 1
x x
f x f x x x x x x
x
x x x x x x
1
f x
x
2
x
1
.
2
1
.
2
1
.
2
1
.
2
2
1 1
2
2
f x f
x
2
2
3 1
f x x
1
f
2 2 2
2 3 1 3 1 12 3 1 1 24
f x x x x x f
3 2
1 1
y
x x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 22
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có
Đáp án A
Câu 15. Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức nào sau đây?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có
Đáp án C
Câu 16. Cho hàm số . Giá trị là
A. B.
C. – 2. D. Không tồn tại.
Hướng dẫn giải
4 3
3 1
.
x x
4 3
3 2
.
x x
4 3
3 2
.
x x
4 3
3 1
.
x x
2
3 2 6 4 4 3
1 1 3 2 3 2
x x
y
x x x x x x
7
2
y x x
6
14 2 .x x
6
2
14 .
x
x
6
1
14 .
2
x
x
6
1
14 .
x
x
7 6
1
2 14
2
y x x x
x
2
1
x
f x
x
1
f
1
.
2
1
.
2
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 23
Ta có
Suy ra không tồn tại .
Đáp án D
Câu 17. Cho hàm số thì là kết quả nào sau đây?
A. B. C. D. Không
tồn tại.
Hướng dẫn giải
Đáp án D
Ta có
Không tồn tại .
Câu 18. Đạo hàm của hàm số là
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
2 2
2 1 2
2 2
1
1 1
x x
x
f x
x
x x
1
f
2
1
y x
2
f
2
(2) .
3
f
2
(2) .
3
f
2
(2) .
3
f
2
2 2
2
1
2 1 1
x x
f x x
x x
2
f
2 1
2
x
y
x
2
5 2
. .
2 1
2 1
x
y
x
x
2
1 5 2
' . . .
2 2 1
2 1
x
y
x
x
1 2
' . .
2 2 1
x
y
x
2
1 5 2
' . . .
2 2 1
2
x
y
x
x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 24
Đáp án D.
Ta có
Câu 19. Đạo hàm của là
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có
Đáp án A
Câu 20. Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức nào sau đây
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đáp án C
Vì
Câu 21. Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức nào sau đây
A. B.
C. D.
2
1 2 1 1 5 2
. . . .
2 2 2 1
2 1
2
2
2
x x
y
x x
x
x
x
2
5 2
2
y x x
9 6 3
10 28 16 .y x x x
9 6 3
10 14 16 .y x x x
9 3
10 16 .y x x
6 3
7 6 16 .y x x x
5 2 5 2 5 2 4 9 6 3
2. 2 2 2 2 5 4 10 28 16 .y x x x x x x x x x x x
4
(7 5)
y x
3
4(7 5) .
x
3
28(7 5) .
x
3
28(7 5) .
x
28 .x
3 3
4 7 5 7 5 28 7 5 .
y x x x
2
1
2 5
y
x x
2
2
2 2
.
2 5
x
y
x x
2
2
2 2
.
2 5
x
y
x x
2
(2 2)( 2 5).
y x x x
1
.
2 2
y
x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 25
Hướng dẫn giải
Vì
Đáp án B
Câu 22. Cho hàm số . Để thì nhận các giá trị thuộc tập nào sau
đây
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Câu 23. Đạo hàm của bằng :
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
2
2 2
2 2
2 5
2 2
.
2 5 2 5
x x
x
y
x x x x
3 2
3 1
y x x
0
y
x
2
;0 .
9
9
;0 .
2
9
; 0; .
2
 
2
; 0; .
9
 
3 2 2
3 1 9 2
2
0 0
9
y x x y x x
y x
2
1
2 1
y
x x
2
2
4 1
.
2 1
x
x x
2
2
4 1
.
2 1
x
x x
2
2
1
.
2 1
x x
2
2
4 1
.
2 1
x
x x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 26
Đáp án A
Câu 24. Đạo hàm của hàm số là
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Đáp án C
Câu 25. Cho hàm số . Hàm số có đạo hàm bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Câu 26. Cho hàm số . Xét hai câu sau:
(I) (II)
Hãy chọn câu đúng:
2
2 2
2
2 2
2 1
4 1
1
2 1
2 1 2 1
x x
x
y y
x x
x x x x
2
. 2y x x x
2
2 2
.
2
x
y
x x
2
2
3 4
.
2
x x
y
x x
2
2
2 3
.
2
x x
y
x x
2
2
2 2 1
.
2
x x
y
x x
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2 3
. 2 2 .
2 2 2 2
x x x x x x x
y x x x y x x x
x x x x x x
2
2 3f x x x
f x
4 3.
x
4 3.
x
4 3.
x
4 3.
x
2
2 3
4 3
f x x x x
x
f
2
1
1
f x x
x
2
2
2 1
1
1
x x
f x x
x
0 1.
f x x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 27
A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng.
C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Câu 27. Cho hàm số . Xét hai câu sau:
Hãy chọn câu đúng:
A. Chỉ đúng. B. Chỉ đúng.
C. Cả đều sai. D. Cả đều đúng.
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức ta có:
, ta có:
đúng.
Mặt khác: đúng.
2
2 2
2 2 2 3
1 1 0 1
1
1 1
x x
f x x f x x
x
x x
2
1
( )
1
x x
f x
x
2
1
( ) : ( ) 1 ,
( 1)
I f x
x
1.
x
2
2
2
( ) : ( ) ,
( 1)
x x
II f x
x
1.
x
( )I
( )II
( );I
( )II
( );I
( )II
2
. .u u v v u
v v
1x
2
1
( )
1
x x
f x
x
2 2
2
( 1) .( 1) ( 1) .( 1)
( )
( 1)
x x x x x x
f x
x
( )f x
2
2
(2 1).( 1) 1.( 1)
( 1)
x x x x
x
2 2
2
2 2 1 1
( 1)
x x x x x
x
2
2
2
( 1)
x x
x
( )II
( )f x
2 2 2
2 2 2 2
2 2 1 1 ( 1) 1 1
1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x
x x x x
( )I
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 28
Chọn D
Câu 28. Đạo hàm của hàm số là:
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Đặt thì
Theo công thức tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có: .
Vậy:
Chọn B
Câu 29. Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức nào sau đây?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức Có: , nên:
Chọn B
3 2 2016
( 2 )
y x x
3 2 2015
2016( 2 ) .
y x x
3 2 2015 2
2016( 2 ) (3 4 ).y x x x x
3 2 2
2016( 2 )(3 4 ).y x x x x
3 2 2
2016( 2 )(3 2 ).y x x x x
3 2
2u x x
2016
,
y u
2015
2016. ,
u
y u
2
3 4 .
x
u x x
.
x u x
y y u
y
3 2 2015 2
2016.( 2 ) .(3 4 ).x x x x
(1 3 )
1
x x
y
x
2
2
9 4 1
.
( 1)
x x
x
2
2
3 6 1
.
( 1)
x x
x
2
1 6 .x
2
2
1 6
.
( 1)
x
x
2
. .
.
u u v v u
v v
(1 3 )
1
x x
y
x
2
3
1
x x
x
2 2
2
( 3 ) .( 1) ( 1) .( 3 )
( 1)
x x x x x x
y
x
2
2
( 6 1).( 1) 1.( 3 )
( 1)
x x x x
x
y
2 2
2
6 6 1 3
( 1)
x x x x x
x
2
2
3 6 1
.
( 1)
x x
x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 29
Câu 30. Đạo hàm của bằng:
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức , ta được:
Chọn A
Câu 31. Cho hàm số . Đạo hàm của hàm số là:
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức Ta có:
2
3 2 1y x x
2
3 1
.
3 2 1
x
x x
2
6 2
.
3 2 1
x
x x
2
2
3 1
.
3 2 1
x
x x
2
1
.
2 3 2 1
x x
2
u
u
u
2
3 2 1y x x
2
2
(3 2 1)
2 3 2 1
x x
y
x x
2
6 2
2 3 2 1
x
x x
2
3 1
.
3 2 1
x
x x
2
2
2 7
3
x x
y
x
y
2
2 2
3 13 10
.
( 3)
x x
x
2
2 2
3
.
( 3)
x x
x
2
2 2
2 3
.
( 3)
x x
x
2
2 2
7 13 10
.
( 3)
x x
x
2
. .
.
u u v v u
v v
2
2
2 7
3
x x
y
x
2 2 2 2
2 2
( 2 7) .( 3) ( 3) .( 2 7)
( 3)
x x x x x x
y
x
2 2
2 2
( 4 1).( 3) 2 .( 2 7)
( 3)
x x x x x
y
x
3 2 3 2
2 2
4 12 3 4 2 14
( 3)
x x x x x x
x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 30
Chọn C
Câu 32. Cho hàm số . Đạo hàm của hàm số là:
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức , ta được:
Chọn A
Câu 33. Cho hàm số Giá trị bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Có
Chọn A
Câu 34. Cho hàm số Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. B. C. D.
2
2 2
2 3
.
( 3)
x x
y
x
2
2 5 4
y x x
y
2
4 5
.
2 2 5 4
x
x x
2
4 5
.
2 5 4
x
x x
2
2 5
.
2 2 5 4
x
x x
2
2 5
.
2 5 4
x
x x
'
2
u
u
u
2
2 5 4
y x x
2
2
(2 5 4)
2 2 5 4
x x
y
x x
2
4 5
.
2 2 5 4
x
x x
3
( ) 2 1.
f x x
( 1)
f
2.
6.
3
( ) 2 1
f x x
2
( ) 6f x x
( 1)
f
2
6.( 1)
( ) .f x ax b
( ) .f x a
( ) .f x b
( ) .f x a
( ) .f x b
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 31
Hướng dẫn giải
Có
Chọn C
Câu 35. Đạo hàm của hàm số là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Có
Chọn C
Câu 36. Cho hàm số . Số là nghiệm của bất phương trình
khi và chỉ khi:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Có Nên
Chọn D
Câu 37. Đạo hàm của hàm số tại điểm là kết quả nào sau đây?
A. . B. . C. . D. Không
tồn tại.
Hướng dẫn giải
Tập xác định của hàm số là: .
( )
f x ax b
( ) .f x a
10
y
10.
10.
10 .x
10
y
0.
y
3
( ) 2
f x mx mx
1x
( ) 1
f x
1.
m
1.
m
1 1.
m
1.
m
3
( ) 2
f x mx mx
2
( ) 2 3 .f x m mx
(1) 1
f
2 3 1
m m
1.
m
2
1 1
y
x
x
0
x
0
1
2
0;D

Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 32
không tồn tại đạo hàm tại .
Chọn D
Câu 38. Cho hàm số . Hãy chọn câu sai:
A. . B. Hàm số có đạo hàm tại .
C. Hàm số liên tục tại . D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
và .
Vậy hàm số liên tục tại . C đúng.
Ta có:
Vậy hàm số có đạo hàm tại và
Vậy A sai. Chọn A
Câu 39. Cho hàm số . Với giá trị nào của thì ?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
0x D
0
x
2
khi 1
( )
2 1 khi 1
x x
y f x
x x
1 1
f
0
1
x
0
1
x
2 khi 1
( ) .
2 khi 1
x x
f x
x
(1) 1
f
2
1 1
lim lim 1
x x
f x x
1 1
lim lim(2 1) 1
x x
x
0
1
x
2
1 1 1
( ) (1) 1
lim lim lim 1 2
1 1
x x x
f x f x
x
x x
1 1 1
2 1
( ) (1) (2 1) 1
lim lim lim 2
1 1 1
x x x
x
f x f x
x x x
0
1
x
(1) 2
f
3
( ) .
f x k x x
k
3
(1)
2
f
1.
k
9
.
2
k
3.
k
3.
k
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 33
Ta có
Chọn D
Câu 40. Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức nào sau đây?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Ta có
.
Chọn D
Câu 41. Đạo hàm của hàm số
là:
A. B.
1
3
3 2
1 1 1
( ) . . .
3
2
f x k x x k
x
x
3 1 1 3 1
(1) 1 3
2 3 2 2 3
f k k k
1 2
x
y
x
2
1
2 (1 2 )x x
1
4
x
2
1 2
2 (1 2 )
x
x x
2
1 2
2 (1 2 )
x
x x
2 2
1
. 1 2 2
. 1 2 1 2 .
2
1 2 1 2
x x
x x x x
x
y
x x
2 2
1 2 4
1 2
2
1 2 2 1 2
x x
x
x
x x x
2 3
2
5
x
y x
x
2
13 1
.
2
5
y
x
x
2
17 1
.
2 2
5
y
x
x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 34
C. D.
Hướng dẫn giải
Cách 1:Ta có
Cách 2: Ta có
Chọn A
Có thể dùng công thức .
Câu 42. Đạo hàm của hàm số
là:
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có
Chọn C
2
13 1
.
2 2
5
y
x
x
2
17 1
.
2
5
y
x
x
2
2 3 . 5 2 3 . 5 2
2 2
5
x x x x x
y
x
x
2
2 5 2 3
2
.
2 2
5
x x
x
x
2 2
10 2 2 3 13
.
2 2
5 5
x x x x
x x
x x
2 2
2
2.5 3.1 13
.
2 2 2
5 5
x
x
y
x x
x x
2
. .ax b a d b c
cx d
cx d
2
2 1
y x x x
2
2
2
4 1
2 .
2
x
y x x
x x
2
2
2
4 1
2 .
x
y x x
x x
2
2
2
4 1
2 .
2
x
y x x
x x
2
2
2
4 1
2 .
2
x
y x x
x x
2 2 2
2
2 1 2 1
2 1 . 2 1 . 2.
2
x x
y x x x x x x x x
x x
2
2
2
4 1
2
2
x
x x
x x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 35
Câu 43. Cho hàm số . Đạo hàm của hàm số là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Ta có
Chọn C
Có thể dùng công thức
Câu 44. Đạo hàm của bằng :
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải
Cách 1: Áp dụng công thức
Ta có
Cách 2 : Khai triển hằng đẳng thức :
3 5
1 2
x
y
x
y
2
7
(2 1)
x
2
1
(2 1)
x
2
13
(2 1)
x
2
13
(2 1)
x
2
3 5 . 2 1 3 5 2 1
2 1
x x x x
y
x
2 2
3 2 1 2 3 5
13
2 1 2 1
x x
x x
2
. .ax b a d b c
cx d
cx d
2
3 2
2
y x x
5 4 3
6 20 16x x x
5 3
6 16x x
5 4 3
6 20 4x x x
5 4 3
6 20 16x x x
n
u
3 2 3 2 3 2 2
2. 2 . 2 2 2 . 3 4y x x x x x x x x
5 4 4 3 5 4 3
6 8 12 16 6 20 16x x x x x x x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 36
Ta có:
Chọn A
Câu 45. Cho hàm số . Đạo hàm của hàm số là:
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải
Ta có
.
Chọn B
Câu 46. Cho hàm số . Tập hợp những giá trị của để
là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Ta có
2
3 2 6 5 4
2 4 4y x x x x x
5 4 3
6 20 16y x x x
2
2 5
3 3
x
y
x x
y
2
2 2
2 10 9
( 3 3)
x x
x x
2
2 2
2 10 9
( 3 3)
x x
x x
2
2 2
2 9
( 3 3)
x x
x x
2
2 2
2 5 9
( 3 3)
x x
x x
2 2
2
2
2 5 . 3 3 2 5 3 3
3 3
x x x x x x
y
x x
2
2 2
2 2
2 2
2 3 3 2 5 . 2 3
2 6 6 4 6 10 15
3 3 3 3
x x x x
x x x x x
x x x x
2
2
2
2 10 9
3 3
x x
x x
3 2
1
2 2 8 1
3
f x x x x
x
0
f x
2 2
2; 2
4 2
2 2
2
( ) 4 2 8f x x x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 37
.
Chọn D
Câu 47. Đạo hàm của hàm số tại điểm bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
.
Chọn C
Câu 48. Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức nào sau đây?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
2
( ) 0 4 2 8 0 2 2
f x x x x
9
4
3
x
f x x
x
1x
5
.
8
25
.
16
5
.
8
11
.
8
2
6 2
4
3
f x
x
x
2
6 2 5
1
8
4.1
1 3
f
2
1
1
x
y
x
2
2
.
1
x
x
2 3
1
.
( 1)
x
x
2 3
2( 1)
.
( 1)
x
x
2
2 3
1
.
( 1)
x x
x
2
2 2
2 2
2
2 2 3
2 3
2 2 2
1 1
1 . 1 1 1
1 1
1
.
( 1)
1 1 1
x
x x
x x x x
x x x x
x
y
x
x x x
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Các quy tắc tính đạo hàm 38
Câu 49. Đạo hàm của hàm số là:
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Chọn C
Câu 50. Cho hàm số . Nghiệm của phương trình là
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
.
Chọn C
1
1 1
y
x x
2
1
.
1 1
y
x x
1
.
2 1 2 1
y
x x
1 1
.
4 1 4 1
y
x x
1 1
.
2 1 2 1
y
x x
1 1 1
2
1 1
x x
y
x x
1 1 1 1 1 1
1 1 .
2 2
2 1 2 1 4 1 4 1
y x x
x x x x
4
y x x
0
y
1
.
8
x
1
.
8
x
1
.
64
x
1
.
64
x
1
4
2
y
x
1 1 1
0 4 0 8 1 0
8 64
2
y x x x
x
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 1
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
A. LÝ THUYẾT
1. Tiếp tuyến tại 1 điểm
Cho hàm số
y f x
có đồ thị là
C
.
Tiếp tuyến của đồ thị
C
tại
0 0
;M x y
có phương trình là
0 0 0
.
y f x x x y
.
2. Hệ số góc của tiếp tuyến:
Tiếp tuyến của đồ thị
C
tại
0 0
;M x y
có hệ số góc là
0
k f x
Chú ý:
Tiếp tuyến tại
0 0
;M x y
song song với đường thẳng
y ax b
thì
0
f x a
.
Tiếp tuyến tại
0 0
;M x y
thuộc
C
vuông góc với đường thẳng
y ax b
thì
0
. 1
f x a
.
Tiếp tuyếntại
0 0
;M x y
thuộc
C
tạo với chiều dương của trục hoành 1 góc
thì
0
tan
f x
3. Tiếp tuyến đi qua điểm
1 1
;A x y
:
Cách 1: Gọi
0 0
;M x y
là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến có dạng
0 0 0
.
y f x x x f x
. (*)
Vì tiếp tuyến đi qua
1 1
;A x y
nên
1 0 1 0 0
.
y f x x x f x
.
Giải phương trình tìm
0
x
, thế vào (*) suy ra phương trình tiếp tuyến.
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 2
Cách 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc
Gọi phương trình đường thẳng đi qua
1 1
;A x y
có dạng :
1 1
y k x x y
d
Để
d
là tiếp tuyến của
C
thì hệ phương trình
1 1
f x k x x y
f x k
có nghiệm
B. CÁC DẠNG BÀI T ẬP
DẠNG 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm
0 0
;M x y
thuộc độ thì hàm số
Phương pháp:
Tính đạo hàm
f x
Tìm các giá trị
0
0
0
x
y
f x
Viết phương trình tiếp tuyến tại
0 0
;M x y
có dạng :
0 0 0
.
y f x x x y
.
Ví dụ 1: Cho hàm số
3 2
3 1
y x x
có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
(C) :
a. Tại điểm
M 1;3
. b.Tại điểm có hoành độ bằng 2 .
c. Tại điểm có tung độ bằng 1 . d.Tại giao điểm (C) với trục tung .
Giải
Hàm số đã cho xác định
D
.
Đặt :
3 2
3 1
f x x x
Ta có:
2
f 3 6x x x
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 3
a. Phương trình tiếp tuyến tại
M 1;3
có phương trình :
' 1 1 3
y f x
Ta có:
' 1 3
y
phương trình tiếp tuyến là:
3 6
y x
b. Gọi điểm
0 0
;M x y
là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến
Tại điểm có hoành độ bằng 2
0
2
x
vào đồ thị của (C) ta được
0
21
y
.
Thay
0
2
x
vào
2
f 3 6x x x
0
24
f x
Phương trình tiếp tuyến là :
24 27
y x
c. Gọi điểm
0 0
;M x y
là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến.
Tại điểm có tung độ bằng 1
0
1
y
Thay
0
1
y
vào đồ thị của (C) ta được
2
0 0 0
3 0 0
x x x
hoặc
0
3
x
.
Tương tự câu a , phương trình tiếp tuyến là:
1y
,
9 28
y x
d. Gọi điểm
0 0
;M x y
là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến.
Tại giao điểm (C) với trục tung
0 0
0 1
x y
.Tương tự câu a, phương trình tiếp
tuyến là:
1y
DẠNG 2: Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc
Phương pháp:
Gọi điểm
0 0
;M x y
là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến.
Tính đạo hàm
Từ dữ kiện đề bài
hệ số góc tiếp tuyến
0
k f x
Chú ý :
Tiếp tuyến song song với đường thẳng
y ax b
thì
0
f x a
.
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y ax b
thì
0
. 1
f x a
.
Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục hoành 1 góc
thì
0
tan
f x
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 4
Ví dụ 2: Cho hàm số
3 2
2
1
3
y x x
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết
tiếp tuyến song song với đường thẳng
3 2018
y x
.
Giải
Gọi
0 0
;M x y
là tọa độ tiếp điểm.
Ta có
2
' 2y x x
. Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến:
2
0 0
0
2
'
x
k y xx
.
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng
3 2018
y x
nên
2 2
0
0 0
0
0 0
1
2 3 23 3 0
3
x
x x xk x
x
.
● Với
0
1
x
suy ra
3 2
0 00
1
3
1
3
0
2y x x
.
Phương trình tiếp tuyến là:
10 1
3
3
3 1
3
y x x
.
● Với
0
3
x
suy ra
3 2
00 0
1
3
2 2
y x x
.
Phương trình tiếp tuyến là:
23
1
3
3 1
y xx
.
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là:
1
3
3
y x
hoặc
3 11
y x
.
Ví dụ 2: Cho hàm số
3 2
1
2
3
3
3
y x x
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng
4 2018 0
x y
.
Giải
Gọi
0 0
;M x y
là tọa độ tiếp điểm.
Ta có
2
'
6
2
y x x
. Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến:
0
2
0 0
2
' 6
k y xx
x
.
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
4 2018 0
x y
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 5
0
0 0
2 2 2
0 0
0
0 0
1 1
. 1 6 6 6
4 4
1
2 1 2 4 2 4 0
2
x
x x x xk x x
x
.
● Với
0
1
x
suy ra
3 2
0 00
1
33
8
3
3
2
y x x
.
Phương trình tiếp tuyến là:
8 4
4
3
4
3
1x xy
.
● Với
0
2
x
suy ra
00
3 2
0
1
3 7
3
2
3
y x x
.
Phương trình tiếp tuyến là:
7 4 1
4 2x
x
y
.
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là:
4
4
3
y x
hoặc
4 1
y
x
.
Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến
d
của đồ thị
3 2
3 2
y x x
C
biết tiếp tuyến
cắt trục
,Ox
Oy
lần lượt tại
,A
B
thỏa mãn:
9OB OA
.
Giải
Gọi
0 0
;
M x y x
là toạ độ tiếp điểm.
Theo bài toán, đường thẳng
d
chính là đường thẳng đi qua
2
điểm phân biệt
,A B
.
Gọi
là góc tạo bởi giữa
d
và
Ox
, do đó
d
có hệ số góc
tan
k
Dễ thấy, tam giác
AOB
vuông tại
O
, suy ra
tan 9
OB
OA
Nói khác hơn đường thẳng
d
có hệ số góc là
9
, nghĩa là ta luôn có:
2
0
0 0
2
0
0 0
' 9
3 6 9 0
' 9
3 6 9 0
y x
x x
y x
x x
2
0 0 0
2 3 0 1
x x x
hoặc
0
3
x
vì
2
0 0 0
2 3 0,x x x
.
Với
0
1
x
suy ra phương trình tiếp tuyến
9 7y x
Với
0
3
x
suy ra phương trình tiếp tuyến
9 25
y x
Vậy, có
2
tiếp tuyến
9 7y x
,
9 25
y x
thỏa đề bài .
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 6
DẠNG 3: Tiếp tuyến kẻ từ 1 điểm
Phương pháp:
Cách 1: Gọi
0 0
;M x y
là tọa độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến có dạng :
0 0 0
.
y f x x x f x
. (*)
Vì tiếp tuyến đi qua
1 1
;A x y
nên
1 0 1 0 0
.
y f x x x f x
.
Giải phương trình tìm
0
x
, thế vào (*) suy ra phương trình tiếp tuyến.
Cách 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc
Gọi phương trình đường thẳng đi qua
1 1
;A x y
có dạng :
1 1
y k x x y
d
Để
d
là tiếp tuyến của
C
thì hệ phương trình
1 1
f x k x x y
f x k
có nghiệm
Ví dụ 4: Cho hàm số
3 2
3 1
y x x
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp
tuyến đi qua điểm
1;3
A
.
Giải
Gọi
0 0
;M x y
là tọa độ tiếp điểm.
Ta có
2
' 3 6y x x
. Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến:
0
2
0 0
3'
6
k y xx
x
.
Phương trình tiếp tuyến tại
M
của đồ thị có dạng
0
2 3 2
00 0 00 0 0
3 6 3 1
' x x x xy y x x x y x x
.
Do tiếp tuyến đi qua điểm
1;3
A
nên
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 7
2 3 2
0 0 0 0 0 0
3 6 3 1 1
3 1x x x x xx
hoặc
0
2
x
.
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là:
9 6y x
hoặc
3
y
.
Ví dụ 5: Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
. Tìm trên đường thẳng
2
y
những điểm mà từ
đó kẻ đến đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Giải
Lấy bất kỳ điểm
; 2
M m
thuộc đường thẳng
2
y
.
Đường thẳng
d
đi qua
; 2
M m
với hệ số góc
k
có phương trình
2
y k x m
.
Để
d
tiếp xúc với đồ thị khi và chỉ khi hệ
3 2
2
3 2 2 1
3 6 2
k x m
x
x x
x k
có
nghiệm.
Thay
2
3 6k x x
từ
2
vào
1
, ta được
2 2
2
3 2
3 2 3 6 2 2 2 3 1 2 0
2
2 3 1 2 0
x x x m x x m x
x
g x x x
x
m
x
.
Với
2
x
, suy ra
0
k
. Phương trình tiếp tuyến
2
y
.
Do không có tiếp tuyến nào của đồ thị vuông góc với tiếp tuyến
2
y
nên để từ
; 2
M m
kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến đồ thị thì
0
g x
phải có hai nghiệm phân biệt
1
x
,
2
x
và các tiếp tuyến tại các hoành độ
1 2
, x x
vuông góc với nhau.
●
0
g x
phải có hai nghiệm phân biệt
2
5
3 1 16 0
3
1
m
m
m
.
● Theo định lý Vi-et, ta có
1 2
3 1
2
m
x x
và
1 2
1
x x
. Để tiếp tuyến tại các hoành
độ
1 2
, x x
vuông góc với nhau
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 8
2 2
1 2 1 1 2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
' . ' 1 3 6 3 6 1
9 18 36 1
f x f x x x x x
x x x x x x x x
1 2 1 2 1 2
9 2 4 1 9 1 3 1 4 1
54 27 1
x x x x x x m
m
55
27
m
(thỏa mãn).
Vậy
55
; 2
27
M
thỏa yêu cầu bài toán.
C . BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho hàm số
2 4
3
x
y
x
có đồ thị là
(H)
. Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm
của
(H)
với trục hoành là:
A.
2 4
y x
. B.
3 1y x
. C.
2 4y x
. D.
2y x
.
Câu 2: Gọi
C
là đồ thị hàm số
2
3 2
1
x x
y
x
. Tìm tọa độ các điểm trên
C
mà tiếp
tuyến tại đó với
C
vuông góc với đường thẳng có phương trình
4
y x
.
A.
(1 3;5 3 3),(1 3;5 3 3).
B.
2; 12 .
C.
0; 0 .
D.
2; 0 .
Câu 3: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2 3
1
x
y
x
tại giao điểm của đồ thị
hàm số với trục hoành bằng:
A.
9
. B.
1
.
9
C.
9.
D.
1
.
9
Câu 4: Biết tiếp tuyến
d
của hàm số
3
2 2
y x x
vuông góc với đường phân giác
góc phần tư thứ nhất. Phương trình
d
là:
A.
1 18 5 3 1 18 5 3
, .
9 9
3 3
y x y x
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 9
B.
, 4.
y x y x
C.
1 18 5 3 1 18 5 3
, .
9 9
3 3
y x y x
D.
2, 4.
y x y x
Câu 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
2 3f x x x x
tại điểm có
hoành độ
0
1
x
là:
A.
10 4.
y x
B.
10 5.
y x
C.
2 4.
y x
D.
2 5.
y x
Câu 6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
2
3 2
3
x
y x
có hệ số góc
9,
k
có phương
trình là:
A.
16 9( 3).
y x
B.
9( 3).
y x
C.
16 9( 3).
y x
D.
16 9( 3).
y x
Câu 7: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
tại giao điểm với trục
tung bằng:
A.
2.
B.
2.
C.
1.
D.
1.
Câu 8: Gọi
H
là đồ thị hàm số
1
.
x
y
x
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
H
tại
các giao điểm của
H
với hai trục toạ độ là:
A.
1.
y x
B.
1
.
1
y x
y x
C.
1.
y x
D.
1.
y x
Câu 9: Cho hàm số
3 2
3y x x
có đồ thị
.C
Có bao nhiêu tiếp tuyến của
C
song
song đường thẳng
9 10?
y x
A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 10
Câu 10: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị
1
( ) :
2
x
H y
x
tại giao điểm của
( )H
và
trục hoành:
A.
1
( 1).
3
y x
B.
3 .y x
C.
3.
y x
D.
3( 1).
y x
Câu 11: Cho hàm số
2
6 5y x x
có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương
trình tiếp tuyến đó là:
A.
3.
x
B.
4.
y
C.
4.
y
D.
3.
x
Câu 12: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số
3 2
3 2
y x x
, tiếp tuyến
có hệ số góc nhỏ nhất bằng
A.
3
. B.
3
. C.
4
. D.
0
.
Câu 13: Gọi
P
là đồ thị hàm số
2
3y x x
. Phương trình tiếp tuyến với
P
tại giao
điểm của
P
và trục tung là
A.
3.
y x
B.
3.
y x
C.
3y x
. D.
3 1y x
.
Câu 14: Cho hàm số
4
2y
x
có đồ thị
.H
Đường thẳng
vuông góc với đường
thẳng
: 2
d y x
và tiếp xúc với
H
thì phương trình của
là
A.
4.
y x
B.
2
4
y x
y x
.
C.
2
6
y x
y x
. D. Không tồn tại.
Câu 15: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong
3 2
( ) : 3 8 1C y x x x
, biết tiếp
tuyến đó song song với đường thẳng
: 2017
y x
?
A.
2018
y x
. B.
4
y x
.
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 11
C.
4y x
;
28
y x
. D.
2018
y x
.
Câu 16: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
4
1
y
x
tại điểm có hoành độ
0
1
x
có phương
trình là:
A.
2y x
. B.
2
y x
. C.
1y x
. D.
3y x
Câu 17: Cho hàm số
3 2
y 2x 3x 1
có đồ thị
C
, tiếp tuyến với
C
nhận điểm
0 0
3
;
2
M y
làm tiếp điểm có phương trình là:
A.
9
2
y x
. B.
9 27
2 4
y x
.
C.
9 23
2 4
y x
. D.
9 31
2 4
x
y
.
Câu 18: Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến song song với trục hoành của đồ thị hàm
số
3
3 2y x x
là
A.
1x
và
1
x
. B.
3
x
và
3
x
.
C.
1x
và
0
x
. D.
2
x
và
1
x
.
Câu 19: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
4 2
2 1
y x x
tại điểm có tung độ
tiếp điểm bằng 2 là:
A.
8 6, 8 6.
y x y x
B.
8 6, 8 6.
y x y x
C.
8 8, 8 8.
y x y x
D.
40 57.
y x
Câu 20: Cho đồ thị
2
( ) :
1
x
H y
x
và điểm
( )A H
có tung độ
4
y
. Hãy lập phương
trình tiếp tuyến của
( )H
tại điểm
A
.
A.
2y x
. B.
3 11
y x
.
C.
3 11
y x
. D.
3 10
y x
.
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 12
Câu 21: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
3 1
2 1
x x
y
x
tại giao điểm của đồ thị hàm số
với trục tung có phương trình là:
A.
1y x
. B.
1y x
. C.
y x
. D.
y x
.
Câu 22: Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
có đồ thị
C
. Số tiếp tuyến của
C
song song
với đường thẳng
9y x
là:
A.
1
. B.
3
. C.
4
. D.
2
.
Câu 23: Trên đồ thị của hàm số
1
1
y
x
có điểm
M
sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với
các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ
M
là:
A.
2;1 .
B.
1
4; .
3
C.
3 4
; .
4 7
D.
3
; 4 .
4
Câu 24: Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
có đồ thị
C
. Phương trình tiếp tuyến của
C
đi
qua điểm
1;0
A
là:
A.
3
4
y x
B.
3
1
4
y x
C.
3 1
y x
D.
3 1y x
Câu 25: Số cặp điểm
, A B
trên đồ thị hàm số
3 2
3 3 5y x x x
, mà tiếp tuyến tại
, A B
vuông góc với nhau là
A.
1
B.
0
C.
2
. D. Vô số
Câu 26: Qua điểm
0; 2
A
có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số
4 2
2 2
y x x
A.
2
B.
3
C.
0
D.
1
Câu 27: Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
có đồ thị
C
. Đường thẳng nào sau đây là tiếp
tuyến của
C
và có hệ số góc nhỏ nhất:
A.
3 3y x
B.
0
y
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 13
C.
5 10
y x
D.
3 3y x
Câu 28: Cho hàm số
3 2
6 9 1y x x x
có đồ thị là
C
. Từ một điểm bất kì trên
đường thẳng
2
x
kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến
C
:
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
0.
Câu 29: Đường thẳng
3
y x m
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
2
y x
khi m bằng
A.
1
hoặc
1
. B.
4
hoặc
0
. C.
2
hoặc
2
. D.
3
hoặc
3
.
Câu 30: Định
m
để đồ thị hàm số
3 2
1
y x mx
tiếp xúc với đường thẳng
: 5
d y
?
A.
3
m
. B.
3
m
. C.
1
m
. D.
2
m
.
Câu 31: Phương trình tiếp tuyến của
:C
3
y x
biết nó đi qua điểm
(2;0)
M
là:
A.
27 54
y x
. B.
27 9 27 2
y x y x
.
C.
27 27
y x
. D.
0 27 54
y y x
.
Câu 32: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
3 2
3 5 2s t t t
, trong đó
t
tính bằng giây và
s
tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi
3t
là:
A.
2
24 /m s
. B.
2
17 /m s
. C.
2
14 /m s
. D.
2
12 /m s
.
Câu 33: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
3 2
3 9 2s t t t
(
t
tính
bằng giây;
s
tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Vận tốc của chuyển động bằng
0
khi
0t
hoặc
2t
.
B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm
2t
là
18 /v m s
.
C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm
3t
là
2
12 /a m s
.
D. Gia tốc của chuyển động bằng
0
khi
0t
.
Câu 34: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
3 2
3s t t
(
t
tính bằng
giây;
s
tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 14
A. Gia tốc của chuyển động khi
4t s
là
2
18
a m / s
.
B. Gia tốc của chuyển động khi
4t s
là
2
9
a m / s
.
C. Vận tốc của chuyển động khi
3t s
là
12
v m / s
.
D. Vận tốc của chuyển động khi
3t s
là
24
v m / s
.
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 15
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Cho hàm số
2 4
3
x
y
x
có đồ thị là
(H)
. Phương trình tiếp tuyến tại giao
điểm của
(H)
với trục hoành là:
A.
2 4
y x
. B.
3 1y x
. C.
2 4y x
. D.
2y x
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Giao điểm của
(H)
với trục hoành là
(2;0)
A
. Ta có:
2
2
' '(2) 2
( 3)
y y
x
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
2( 2)
y x
hay
2 4
y x
.
Câu 2: : Gọi
C
là đồ thị hàm số
2
3 2
1
x x
y
x
. Tìm tọa độ các điểm trên
C
mà
tiếp tuyến tại đó với
C
vuông góc với đường thẳng có phương trình
4
y x
.
A.
(1 3;5 3 3),(1 3;5 3 3).
B.
2; 12 .
C.
0; 0 .
D.
2; 0 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định:
\ 1 .
D
Đạo hàm:
2
2
2 2
2 3 1 3 2
2 5
.
1 1
x x x x
x x
y
x x
Giả sử
o
x
là hoành độ điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán
1
o
y x
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 16
2
2
2
2
2 5
1 2 5 1
1
o o
o o o
o
x x
x x x
x
2 2
2 4 4 0 2 2 0
o o o o
x x x x
1 3 5 3 3.
o
x y
Câu 3: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2 3
1
x
y
x
tại giao điểm của đồ thị
hàm số với trục hoành bằng:
A.
9
. B.
1
.
9
C.
9.
D.
1
.
9
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định:
\ 1 .
D
Đạo hàm:
2
1
.
1
y
x
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại
2
; 0 .
3
A
Hệ số góc của tiếp tuyến là
2
9.
3
y
Câu 4: Biết tiếp tuyến
d
của hàm số
3
2 2
y x x
vuông góc với đường phân giác
góc phần tư thứ nhất. Phương trình
d
là:
A.
1 18 5 3
,
9
3
y x
1 18 5 3
.
9
3
y x
B.
, 4.
y x y x
C.
1 18 5 3
,
9
3
y x
1 18 5 3
.
9
3
y x
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 17
D.
2, 4.
y x y x
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Tập xác định:
.
D
2
3 2.
y x
Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình
: .x y
d
có hệ số góc là
1.
2
1
1 3 2 1 .
3
o o o
y x x x
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
1 18 5 3 1 18 5 3
: , .
9 9
3 3
d y x y x
Câu 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
2 3f x x x x
tại điểm có
hoành độ
0
1
x
là:
A.
10 4.
y x
B.
10 5.
y x
C.
2 4.
y x
D.
2 5.
y x
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định:
.
D
Đạo hàm:
2
3 4 3.
y x x
1 10; 1 6
y y
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
: 10 1 6 10 4.
d y x x
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 18
Câu 6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
2
3 2
3
x
y x
có hệ số góc
9,
k
có phương
trình là:
A.
16 9( 3).
y x
B.
9( 3).
y x
C.
16 9( 3).
y x
D.
16 9( 3).
y x
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định:
.
D
Đạo hàm:
2
6 .y x x
2
2
9 9 6 9 3 0 3 16
o o o o o o
k y x x x x x y
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
: 9 3 16 16 9 3 .
d y x y x
Câu 7: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
tại giao điểm với trục
tung bằng:
A.
2.
B.
2.
C.
1.
D.
1.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Tập xác định:
\ 1 .
D
Đạo hàm:
2
2
.
1
y
x
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có
0 2
o o
x y
.
Câu 8: Gọi
H
là đồ thị hàm số
1
.
x
y
x
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
H
tại
các giao điểm của
H
với hai trục toạ độ là:
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 19
A.
1.
y x
B.
1
.
1
y x
y x
C.
1.
y x
D.
1.
y x
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định:
\ 0 .
D
Đạo hàm:
2
1
.
y
x
H
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là
1x
và không cắt trục tung.
1 1
y
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
: 1.
d y x
Câu 9: Cho hàm số
3 2
3y x x
có đồ thị
.C
Có bao nhiêu tiếp tuyến của
C
song
song đường thẳng
9 10?
y x
A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Tập xác định:
.
D
Đạo hàm:
2
3 6 .y x x
2 2
3
9 3 6 9 0 2 3 0 .
1
o
o o o o
o
x
k x x x x
x
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 10: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị
1
( ) :
2
x
H y
x
tại giao điểm của
( )H
và
trục hoành:
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 20
A.
1
( 1).
3
y x
B.
3 .y x
C.
3.
y x
D.
3( 1).
y x
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định:
\ 2 .
D
Đạo hàm:
2
3
.
2
y
x
( )H
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
1
o
x
1
1 ; 1 0
3
y y
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
1
: 1 .
3
d y x
Câu 11: Cho hàm số
2
6 5y x x
có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương
trình tiếp tuyến đó là:
A.
3.
x
B.
4.
y
C.
4.
y
D.
3.
x
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Tập xác định:
.
D
Đạo hàm:
2 6.
y x
Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên ta có:
0 2 6 0 3 4 : 4.
o o o o
y x x x y d y
Câu 12: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số
3 2
3 2
y x x
, tiếp tuyến
có hệ số góc nhỏ nhất bằng
A.
3
. B.
3
. C.
4
. D.
0
.
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 21
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Tập xác định:
.
D
Đạo hàm:
2
2
3 6 3 1 3 3
y x x x
.
Vậy trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số đã cho, tiếp tuyến có
hệ số góc nhỏ nhất bằng
3
.
Câu 13: Gọi
P
là đồ thị hàm số
2
3y x x
. Phương trình tiếp tuyến với
P
tại giao
điểm của
P
và trục tung là
A.
3.
y x
B.
3.
y x
C.
3y x
. D.
3 1y x
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Tập xác định:
.
D
Giao điểm của
P
và trục tung là
0;3
M
.
Đạo hàm:
2 1
y x
hệ số góc của tiếp tuyến tại
0
x
là
1
.
Phương trình tiếp tuyến tại
0;3
M
là
3y x
.
Câu 14: Cho hàm số
4
2y
x
có đồ thị
.H
Đường thẳng
vuông góc với đường
thẳng
: 2
d y x
và tiếp xúc với
H
thì phương trình của
là
A.
4.
y x
B.
2
4
y x
y x
.
C.
2
6
y x
y x
. D. Không tồn tại.
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 22
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Tập xác định:
\ 0 .
D
Đạo hàm:
2
4
y
x
Đường thẳng vuông góc với đường thẳng
d : y x 2
nên
có hệ số góc
bằng 1. Ta có phương trình
2
2
4
1
2
x
x
x
.
Tại
2;0
M
. Phương trình tiếp tuyến là
2y x
.
Tại
2; 4
N
. Phương trình tiếp tuyến là
6y x
.
Câu 15: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong
3 2
( ) : 3 8 1C y x x x
, biết tiếp
tuyến đó song song với đường thẳng
: 2017
y x
?
A.
2018
y x
. B.
4
y x
.
C.
4y x
;
28
y x
. D.
2018
y x
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Tập xác định:
.
D
Đạo hàm:
2
3 6 8y x x
.
Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng
: 2017
y x
nên hệ số góc
của tiếp tuyến là 1.
Ta có phương trình
2
1
1 3 6 8
3
x
x x
x
.
Tại
1; 3
M
. Phương trình tiếp tuyến là
4y x
.
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 23
Tại
3;25
N
. Phương trình tiếp tuyến là
28
y x
.
Câu 16: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
4
1
y
x
tại điểm có hoành độ
0
1
x
có phương
trình là:
A.
2y x
. B.
2
y x
. C.
1y x
. D.
3y x
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Tập xác định:
\ 1 .
D
Đạo hàm:
2
4
1
y
x
.
Tiếp tuyến tại
1; 2
M
có hệ số góc là
1
k
.
Phương trình của tiếp tuyến là
3y x
Câu 17: Cho hàm số
3 2
y 2x 3x 1
có đồ thị
C
, tiếp tuyến với
C
nhận điểm
0 0
3
;
2
M y
làm tiếp điểm có phương trình là:
A.
9
2
y x
. B.
9 27
2 4
y x
.
C.
9 23
2 4
y x
. D.
9 31
2 4
x
y
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Tập xác định:
.
D
Ta có
0 0
3
1
2
x y
.
Đạo hàm của hàm số
2
6 6y x x
.
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 24
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại
0 0
3
;
2
M y
là
9
2
k
.
Phương trình của tiếp tuyến là
9 23
2 4
y x
Câu 18: Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến song song với trục hoành của đồ thị hàm
số
3
3 2y x x
là
A.
1x
và
1
x
. B.
3
x
và
3
x
.
C.
1x
và
0
x
. D.
2
x
và
1
x
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Tập xác định:
.
D
Đạo hàm:
2
3 3
y x
.
Tiếp tuyến song song với trục hoành có hệ số góc bằng 0 nên có phương trình
2
1
0 3 3
1
x
x
x
Câu 19: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
4 2
2 1
y x x
tại điểm có tung độ
tiếp điểm bằng 2 là:
A.
8 6, 8 6.
y x y x
B.
8 6, 8 6.
y x y x
C.
8 8, 8 8.
y x y x
D.
40 57.
y x
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Tập xác định:
.
D
Đạo hàm:
3
4 4y x x
.
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 25
Tung độ tiếp điểm bằng 2 nên
4 2
1
2 2 1
1
x
x x
x
.
Tại
1;2
M
. Phương trình tiếp tuyến là
8 6
y x
.
Tại
1;2
N
. Phương trình tiếp tuyến là
8 6
y x
.
Câu 20: Cho đồ thị
2
( ) :
1
x
H y
x
và điểm
( )A H
có tung độ
4
y
. Hãy lập phương
trình tiếp tuyến của
( )H
tại điểm
A
.
A.
2y x
. B.
3 11
y x
.
C.
3 11
y x
. D.
3 10
y x
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Tập xác định:
\ 1 .
D
Đạo hàm:
2
3
1
y
x
.
Tung độ của tiếp tuyến là
4
y
nên
2
4 2
1
x
x
x
.
Tại
2; 4
M
.
Phương trình tiếp tuyến là
3 10
y x
.
Câu 21: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
3 1
2 1
x x
y
x
tại giao điểm của đồ thị hàm số
với trục tung có phương trình là:
A.
1y x
. B.
1y x
. C.
y x
. D.
y x
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 26
Ta có:
2
2
2 2 1
'
2 1
x x
y
x
.
Giao điểm
M
của đồ thị với trục tung :
0 0
0 1
x y
Hệ số góc của tiếp tuyến tại
M
là :
0 1
k y'
.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
M
là :
0 0
1y k x x y y x
.
Câu 22: Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
có đồ thị
C
. Số tiếp tuyến của
C
song song
với đường thẳng
9y x
là:
A.
1
. B.
3
. C.
4
. D.
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có:
2
3 6y' x x
. Lấy điểm
0 0
M x ; y C
.
Tiếp tuyến tại
M
song song với đường thẳng
9y x
suy ra
0
9
y' x
0
2
0 0
0
1
3 6 9 0
3
x
x x .
x
Với
0 0
1 2
x y
ta có phương trình tiếp tuyến:
9 7y x .
Với
0 0
3 2
x y
ta có phương trình tiếp tuyến:
9 25y x .
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn.
Câu 23: Trên đồ thị của hàm số
1
1
y
x
có điểm
M
sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với
các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ
M
là:
A.
2;1 .
B.
1
4; .
3
C.
3 4
; .
4 7
D.
3
; 4 .
4
Hướng dẫn giải
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 27
Chọn D.
Ta có:
2
1
'
1
y
x
. Lấy điểm
0 0
M x ; y C
.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
M
là:
0
2
0
0
1 1
1
1
y . x x
x
x
.
Giao với trục hoành:
0
2 1 0Ox=A x ;
.
Giao với trục tung:
0
2
0
2 1
0
1
x
Oy=B ;
x
2
0
0
0
2 1
1 3
4
2 1 4
OAB
x
S OA.OB x
x
. Vậy
3
; 4 .
4
M
Câu 24: Câu 24: Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
có đồ thị
C
. Phương trình tiếp tuyến
của
C
đi qua điểm
1;0
A
là:
A.
3
4
y x
B.
3
1
4
y x
C.
3 1
y x
D.
3 1y x
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi
d
là phương trình tiếp tuyến của
C
có hệ số góc
k
,
Vì
1;0A
d
suy ra
:  1
d y k x
d
tiếp xúc với
C
khi hệ
2
2
2
1
( 1) (1)
1
2
(2)
( 1)
x x
k x
x
x x
k
x
có nghiệm
Thay
2
vào
1
ta được
1
x
3
(1)
4
k y
.
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 28
Vậy phương trình tiếp tuyến của
C
đi qua điểm
1;0
A
là:
3
1
4
y x
Câu 25: Số cặp điểm
, A B
trên đồ thị hàm số
3 2
3 3 5y x x x
, mà tiếp tuyến tại
, A B
vuông góc với nhau là
A.
1
B.
0
C.
2
. D. Vô số
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có
2
3 6 3y x x
. Gọi
( ; )
A A
A x y
và
( ; )
B B
B x y
Tiếp tuyến tại A, B với đồ thị hàm số lần lượt là:
2
1
2
2
: (3 6 3)( )
: (3 6 3)( )
A A A A
B B B B
d y x x x x y
d y x x x x y
Theo giả thiết
1 2 1 2
. 1
d d k k
2 2
(3 6 3).(3 6 3) 1
A A B B
x x x x
2 2
9( 2 1).( 2 1) 1
A A B B
x x x x
2 2
9( 1) .( 1) 1
A B
x x
( vô lý)
Suy ra không tồn tại hai điểm
, A B
Câu 26: Qua điểm
0; 2
A
có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số
4 2
2 2
y x x
A.
2
B.
3
C.
0
D.
1
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi
d
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho.
Vì
(0;2)
A d
nên phương trình của
d
có dạng:
2
y kx
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 29
Vì
d
tiếp xúc với đồ thị
( )C
nên hệ
4 2
3
2 2 2(1)
4 4 (2)
x x kx
x x k
có nghiệm
Thay
2
và
1
ta suy ra được
0
2
3
x
x
Chứng tỏ từ
A
có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị
C
Câu 27: Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
có đồ thị
C
. Đường thẳng nào sau đây là tiếp
tuyến của
C
và có hệ số góc nhỏ nhất:
A.
3 3y x
B.
0
y
C.
5 10
y x
D.
3 3y x
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi
3 2
0 0 0
( ; 3 2)
M x x x
là tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến với đồ thị
C
2
0 0
' 3 6y x x
Phương trình tiếp tuyến tại
M
có dạng:
0 0
( )
y k x x y
Mà
2 2
0 0 0 0 0
'( ) 3 6 3( 2 1) 3
k y x x x x x
2
0
3( 1) 3 3
x
Hệ số góc nhỏ nhất khi
0
1
x
0
(1) 0
y y
;
3
k
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm
1;0
có hệ số góc nhỏ nhất là:
3 3y x
Câu 28: Cho hàm số
3 2
6 9 1y x x x
có đồ thị là
C
. Từ một điểm bất kì trên
đường thẳng
2
x
kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến
C
:
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
0.
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 30
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Xét đường thẳng kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng
2
x
có dạng
: ( 2) x-2k
y k x k
.
là tiếp tuyến của
C
3 2
2
6 9x-1=kx 2
3x 12x 9
x x k
k
có nghiệm
3 2
2
2 12 24x-17=0
3x 12x 9
x x
k
Phương trình bậc ba có duy nhất một nghiệm tương ứng cho ta một giá trị
k
.
Vậy có một tiếp tuyến.
Dễ thấy kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng
2
x
có dạng
y a
song song
với trục
Ox
cũng chỉ kẻ được một tiếp tuyến.
Câu 29: Đường thẳng
3
y x m
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
2
y x
khi m bằng
A.
1
hoặc
1
. B.
4
hoặc
0
.
C.
2
hoặc
2
. D.
3
hoặc
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đường thẳng
3
y x m
và đồ thị hàm số
3
2
y x
tiếp xúc nhau
3
3
2
2 3 0
3 2
4
1
3 3
x x m m
m x x
m
x
x
.
Câu 30: Định
m
để đồ thị hàm số
3 2
1
y x mx
tiếp xúc với đường thẳng
: 5
d y
?
A.
3
m
. B.
3
m
. C.
1
m
. D.
2
m
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 31
Đường thẳng
3 2
1
y x mx
và đồ thị hàm số
5
y
tiếp xúc nhau
3 2
2
1 5 (1)
3 2 0 (2)
x mx
x mx
có nghiệm.
.
0
(2) (3 2 ) 0
2
3
x
x x m
m
x
.
+ Với
0
x
thay vào
(1)
không thỏa mãn.
+ Với
2
3
m
x
thay vào
(1)
ta có:
3
27 3
m m
.
Câu 31: Phương trình tiếp tuyến của
:C
3
y x
biết nó đi qua điểm
(2;0)
M
là:
A.
27 54
y x
. B.
27 9 27 2
y x y x
.
C.
27 27
y x
. D.
0 27 54
y y x
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
+
2
' 3y x
.
+ Gọi
0 0
( ; )A x y
là tiếp điểm. PTTT của
( )C
tại
0 0
( ; )A x y
là:
2 3
0 0 0
3 ( )y x x x x d
.
+ Vì tiếp tuyến
( )d
đí qua
(2;0)
M
nên ta có phương trình:
0
2 3
0 0 0
0
0
3 2 0
3
x
x x x
x
.
+ Với
0
0
x
thay vào
( )d
ta có tiếp tuyến
0
y
.
+ Với
0
3
x
thay vào
( )d
ta có tiếp tuyến
27 54
y x
.
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 32
Câu 32: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
3 2
3 5 2s t t t
, trong đó
t
tính bằng giây và
s
tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi
3t
là:
A.
2
24 /m s
. B.
2
17 /m s
. C.
2
14 /m s
. D.
2
12 /m s
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm
t
bằng đạo hàm cấp hai
của phương trình chuyển động tại thời điểm
t
.
3 2 2
3 5 2 3 6 5
6 6 3 12
s t t t t t
s t s
Đáp án D
Câu 33: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
3 2
3 9 2s t t t
(
t
tính
bằng giây;
s
tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Vận tốc của chuyển động bằng
0
khi
0t
hoặc
2t
.
B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm
2t
là
18 /v m s
.
C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm
3t
là
2
12 /a m s
.
D. Gia tốc của chuyển động bằng
0
khi
0t
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm
t
bằng đạo hàm cấp hai
của phương trình chuyển động tại thời điểm
t
.
3 2 2
3 5 2 3 6 5
6 6 3 12
s t t t t t
s t s
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 33
Câu 34: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
3 2
3s t t
(
t
tính bằng
giây;
s
tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Gia tốc của chuyển động khi
4t s
là
2
18
a m / s
.
B. Gia tốc của chuyển động khi
4t s
là
2
9
a m / s
.
C. Vận tốc của chuyển động khi
3t s
là
12
v m / s
.
D. Vận tốc của chuyển động khi
3t s
là
24
v m / s
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
2
3 6 6 6s t t s t
4 18
s
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 1
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
BÀI 4: ĐẠO HÀM LƯỢNG GIÁC
A. LÝ THUYẾT
1. Giới hạn lượng giác
Công thức:
0
sin
lim 1
x
x
x
Chú ý: Nếu hàm số
u u x
thỏa mãn điều kiện:
0
u x
với mọi
0
x x
và
0
lim 0
x x
u x
thì
0
sin
lim 1
x x
u x
u x
2. Đạo hàm lượng giác
2
2
sin ' cos
cos ' sin
1
tan '
cos
1
cot '
sin
x x
x x
x
x
x
x
2
2
sinu ' 'cosu
cosu ' 'sinu
'
tanu '
cos
'
cot '
sin
u
u
u
u
u
u
u
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính đạo hàm bằng công thức
Phương pháp: Áp dụng bảng đạo hàm lượng giác và các tính chất của đạo hàm
Đạo hàm của các hàm thường gặp
Đạo hàm Hàm hợp
1
( )'
x x
1
'
2
x
x
1
1
'
n
n n
x
n x
1
' . 'u u u
'
'
2
u
u
u
1
'
'
n
n n
u
u
n u
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 2
Tính chất của đạo hàm
' ' 'u v u v
' ' 'u v u v
' ' . 'uv u v u v
hệ quả
. ' . 'k u k u
'
2
'. . 'u u v u v
v v
hệ quả
'
2
1 'u
u u
Ví dụ 1: Tính đạo hàm
a.
3
sin 2 1
y x
. b.
2
sin
1 cos
x
y
x
. c.
2 3
2sin 4 3cos 5y x x
d.
sin 2y x x
. e.
2
sin 2
y x
. f.
3
2
2 sin 2
y x
.
Giải
a) Ta có
'y
2
3 sin 2 1 sin 2 1
x x
2
3 2cos 2 1 sin 2 1
x x
2
6cos 2 1 sin 2 1
x x
b) Ta có

2
sin 1 cos sin 1 cos
sin sin sin
' 2. . 2. .
1 cos 1 cos 1 cos
1 cos
x x x x
x x x
y
x x x
x
2
2 3
cos 1 cos sin 2 2 cos sin
sin
2. .
1 cos
1 cos 1 cos
x x x x x
x
x
x x
,
c) Ta có
2
' 2.2. sin4 sin 4 3.3. cos5 .cos 5y x x x x
2
2.2. 4.cos4 sin4 3.3. 5.sin5 .cos 5x x x x
2
8sin 8 45sin 5 cos 5x x x
.
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 3
d) Ta có
sin 2
cos 2
'
2 sin 2 2 sin 2
x x
x
y
x x x x
.
e) Ta có
2
2 2 2 2
2 2
2
' 2 .cos 2 .cos 2 .cos 2
2 2 2
x
x
y x x x x
x x
.
f) Ta có
2 2
2 2 2
' 3. 2 sin 2 . 2 sin 2 3. 0 2. sin 2 .sin 2 . 2 sin 2y x x x x x
2 2
2 2
3. 0 2.2.cos 2 .sin 2 . 2 sin 2 6sin 4 2 sin 2x x x x x
.
Ví dụ 2: Tính đạo hàm
a)
2 2
sin cos tan
y x x
. b)
2
1
cos
1
x
y
x
.
Giải
a) Ta có
2 2 2 2
' cos tan .cos cos tan
y x x x x
=
2 2 2 2 2 2
cos .tan cos . tan .cos cos tan
x x x x x x
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
2. cos .cos .tan cos .2. tan .tan .cos cos tan
1
2. sin .cos .tan cos .2. .tan .cos cos tan
cos
sin 2 .tan 2 tan .cos cos tan .
x x x x x x x x
x x x x x x x
x
x x x x x
b) Ta có
1 1 1 1 1
' 2. cos .cos 2. .sin .cos
1 1 1 1 1
x x x x x
y
x x x x x
2 1
1 .sin 2
1 1
x
x x
2
2 1
1
0 .sin 2
1
1
x
x
x
x
2
1 1
.sin 2
1
. 1
x
x
x x
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 4
Dạng 2: Tính đạo hàm tại 1 điểm
Phương pháp: Tính đạo hàm sau đó thay giá trị tại điểm đó vào đạo hàm
Ví dụ 3 :
a)Tính
' 3
f
biết
2
cos
f x
x

b)Tính
y'
3
biết
cos3 .sin 2 x.
y x
c)Tính
y'
6
biết
cos2
1 sin
x
y
x
d)Tính
2
'
16
f
biết
sin cosf x x x
Giải
a)
2 2
sin
2 1
' 2. cos '. 2.
cos cos cos
x
f x x
x x x
.
2
sin 3
' 3 2 . 0
cos 3
f
.
b)
' cos3 'sin 2 x cos3 sin 2 x ' 3sin3 .sin 2 2cos3 .cos2y x x x x x x
.
' 3sin 3 .sin 2 2cos3 .cos 2 1
3 3 3 3 3
y
c)
2 2
cos2 '. 1 sin cos2 1 sin ' 2sin 2 1 sin cos 2 .cosx
'
1 sin 1 sin
x x x x x x x
y
x x
.
2
3 1 1 3
3 3
2. 1 .
3 3
2 2 2 2
2 4
' 4 2 3 3 3
1
6 2 4
1
1
4
2
y
d)
1 1 1
' cos sin cos sin
2 2 2
f x x x x x
x x x
.
2 2
2
2
1 1 2 2
' cos sin 0
16 4 4 2 2
2
2.
2
2
4
f
Dạng 3: Giải phương trình hoạc bất phương trình đạo hàm
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 5
Phương pháp: Sử dụng các công thức đạo hàm và cách giải phương trình lượng
giác cơ bản
Ví dụ 4: Cho hàm số
3
1 sin 2cos
2 2
x
f x x
. Giải phương trình
0
f x
.
Giải
Ta có
3
0 cos sin cos cos
2 2 2
x x
f x x x
.
Phương trình
2
0 cos cos 0 2cos cos 1 0
2 2 2
x x x
f x x
cos 1
2
x
hoặc
1
cos
2 2
x
.
●
cos 1 2 2 4
2 2
x x
k x k
,
k
.
●
1 2
cos cos cos 2 4
2 2 2 3 2 3 3
x x x
k x k
,
k
.
Vậy phương trình
0
f x
có nghiệm
2 4x k
;
2
4
3
x k
,
k
.
Ví dụ 5: Giải phương trình
f x g x
với
3
sin 2f x x
và
4cos 2 5sin 4g x x x
.
Giải
Ta có
2 2
3. sin 2 .sin 2 6 cos 2 sin 2f x x x x x
.
Phương trình
f x g x
2 2
6cos2 sin 2 4cos2 5sin 4 2cos2 3sin 2 5sin 2 0
x x x x x x x
.
●
cos 2 0 2
2 4 2
x x k x k
,
k
.
●
2
1
sin 2
arcsin 2
1
3
3sin 5sin 2 2 0 sin
1
1
3
sin
arcsin 2
3
3
x
x k
x x x
x
x k
,
k
.
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 6
Vậy phương trình
f x g x
có nghiệm
4 2
x k
;
1
arcsin 2
3
x k
;
1
arcsin 2
3
x k
,
k
.
Dang 4: Giới hạn lượng giác
Phương pháp :
Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về các dạng sau:
0 0
sin
lim lim 1
sin
x x
x x
x x
, từ đây suy ra
0 0
tan
lim lim 1
tan
x x
x x
x x
.
Nếu
0 0
sin ( )
lim ( ) 0 lim 1
( )
x x x x
u x
u x
u x
và
0
tan ( )
lim 1
( )
x x
u x
u x
.
Ví dụ 6 : Tính giới hạn
a)
2
0
1 cos
lim
x
ax
x
. b)
0
1 sin cos
lim
1 sin cos
x
mx mx
nx nx
c)
2
0
1 cos .cos 2 .cos3
lim
x
x x x
x
d)
0
1 cos 2
lim
3
2sin
2
x
x
x
e)
0
cos 2 cos3
lim
(sin 3 sin 4 )
x
x x
x x x
f)
2
3
0
tan 2
lim
1 cos 2
x
x
x
Giải
a) Ta có:
2
2
2
0 0
2sin sin
2 2
lim lim
2 2
2
x x
ax ax
a a
ax
x
.
b) Ta có:
2
2
2sin 2sin cos
1 sin cos
2 2 2
1 sin cos
2sin 2sin cos
2 2 2
mx mx mx
mx mx
nx nx nx
nx nx
sin sin cos
2 2 2 2
. .
sin sin cos
2 2 2 2
mx nx mx mx
m
mx nx nx nx
n
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 7
0
1 sin cos
lim
1 sin cos
x
mx mx
nx nx
0 0 0
sin sin cos
2 2 2 2
lim . lim . lim
sin sin cos
2 2 2 2
x x x
mx nx mx mx
m m
mx nx nx nx
n n
.
c) Ta có:
2
1 cos .cos 2 .cos3x x x
x
2
1 cos cos cos 2 (1 cos3 ) cos (1 cos 2 )x x x x x x
x
2 2 2
1 cos 1 cos3 1 cos 2
cos .cos 2 cos
x x x
x x x
x x x
2
0
1 cos .cos 2 .cos3
lim
x
x x x
x
2 2 2
0 0 0
1 cos 1 cos3 1 cos 2
lim lim cos .cos 2 lim cos 3
x x x
x x x
x x x
x x x
d) Ta có:
2
2
0 0 0
3
sin
sin sin 3
2
lim lim ( ) . lim 0
3 3
2
sin
2 2
x x x
x
x x
x
x x
x
.
e)
0 0 0
5 5
2sin sin sin
5 1 5
2 2 2
lim lim( . ).lim
7 5 7
2 2
2 cos sin cos
2 2 2 2
x x x
x x x
x x x x
x
.
f) Ta có:
32 2 2
3
3
0 0
tan 2 tan 2 (1 cos 2 cos 2 )
lim lim
1 cos 2
1 cos 2
x x
x x x x
x
x
32 2
3
2
0
32 2 2
3
0
tan 2 (1 cos2 cos 2 )
lim
2sin
tan 2
2lim( ) .( ) (1 cos2 cos 2 ) 6.
2 sin
x
x
x x x
x
x x
x x
x x
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 8
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Hàm số
cot 2y x
có đạo hàm là:
A.
2
1 tan 2
.
cot 2
x
y
x
B.
2
(1 tan 2 )
.
cot 2
x
y
x
C.
2
1 cot 2
.
cot 2
x
y
x
D.
2
(1 cot 2 )
.
cot 2
x
y
x
Câu 2: Đạo hàm của hàm số
3sin 2 cos3y x x
là:
A.
3cos 2 sin 3 .y x x
B.
3cos 2 sin 3 .y x x
C.
6cos 2 3sin 3 .y x x
D.
6cos 2 3sin 3 .y x x
Câu 3: Đạo hàm của hàm số
sin cos
sin cos
x x
y
x x
là:
A.
2
sin 2
.
sin cos
x
y
x x
B.
2 2
2
sin cos
.
sin cos
x x
y
x x
C.
2
2 2sin 2
.
sin cos
x
y
x x
D.
2
2
.
sin cos
y
x x
Câu 4: Hàm số
2 sin 2 cosy x x
có đạo hàm là:
A.
1 1
.
sin cos
y
x x
B.
1 1
.
sin cos
y
x x
C.
cos sin
.
sin cos
x x
y
x x
D.
cos sin
.
sin cos
x x
y
x x
Câu 5: Hàm số
coty x
có đạo hàm là:
A.
tan .y x
B.
2
1
.
cos
y
x
C.
2
1
.
sin
y
x
D.
2
1 cot .y x
Câu 6: Hàm số
tan 2y x x
ó đạo hàm là:
A.
2
2
tan 2 .
cos
x
x
x
B.
2
2
.
cos 2
x
x
C.
2
2
tan 2 .
cos 2
x
x
x
D.
2
tan 2 .
cos 2
x
x
x
Câu 7: Hàm số
siny x
có đạo hàm là:
A.
sin .y x
B.
os .
c
x
y
C.
co
1
.
s
y
x
D.
cos .
y
x
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 9
Câu 8: Hàm số
3
sin 7
2
y x
có đạo hàm là:
A.
21
cos .
2
x
B.
21
cos7 .
2
x
C.
21
cos7 .
2
x
D.
21
cos .
2
x
Câu 9: Hàm số
sin x
y
x
có đạo hàm là:
A.
2
sin cos
.
x x x
y
x
B.
2
cos sin
.
x x x
y
x
C.
2
cos sin
.
x x x
y
x
D.
2
sin cos
.
x x x
y
x
Câu 10: Đạo hàm của
coty x
là :
A.
2
1
.
sin cotx x
B.
2
1
.
2sin cotx x
C.
1
.
2 cot x
D.
sin
.
2 cot
x
x
Câu 11: Cho hàm số
1
( )
sin
y f x
x
. Giá trị
2
f
là:
A.
1.
B.
1
.
2
C.
D. Không tồn tại.
Câu 12: Hàm số
sin 3
6
y x
có đạo hàm là:
A.
3cos 3 .
6
x
B.
3cos 3 .
6
x
C.
cos 3 .
6
x
D.
3sin 3 .
6
x
Câu 13: Cho hàm số
3
cos 4
( ) cot
3sin 3
x
y f x x
x
. Giá trị đúng của
3
f
bằng:
A.
8
.
9
B.
9
.
8
C.
9
.
8
D.
8
.
9
Câu 14: Cho hàm số
2
sin 2
y x
. Đạo hàm
y
của hàm số là
A.
2
2
2 2
cos 2 .
2
x
x
x
B.
2
2
cos 2 .
2
x
x
x
C.
2
2
cos 2 .
2
x
x
x
D.
2
2
( 1)
cos 2 .
2
x
x
x
Câu 15: Hàm số
tan cot y x x
có đạo hàm là:
A.
2
1
sin 2
y
x
. B.
2
4
cos 2
y
x
.
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 10
C.
2
4
sin 2
y
x
. D.
2
1
cos 2
y
x
.
Câu 16: Đạo hàm của
tan 7y x
bằng:
A.
2
7
cos 7x
. B.
2
7
cos 7
x
. C.
2
7
sin 7
x
. D.
2
7
cos 7
x
x
.
Câu 17: Hàm số
2
1
cot
2
y x
có đạo hàm là:
A.
2
2sin
x
x
B.
2 2
sin
x
x
C.
2
sin
x
x
D.
2 2
sin
x
x
Câu 18: Cho hàm số
3
cos2
y f x x
. Hãy chọn khẳng định ĐÚNG.
A.
1
2
f
. B.
3
2sin 2
3 cos 2
x
f x
x
C.
3 . 2sin 2 0
y y x
. D.
0
2
f
.
Câu 19: Cho hàm số
sin
3 2
x
y
. Khi đó phương trình
' 0
y
có nghiệm là:
A.
2
3
x k
. B.
3
x k
.
C.
2
3
x k
. D.
3
x k
.
Câu 20: Đạo hàm của
cos
y x
là
A.
cos
2 cos
x
x
B.
sin
2 cos
x
x
C.
sin
2 cos
x
x
D.
sin
cos
x
x
Câu 21: Hàm số
2
.cos
y x x
có đạo hàm là
A.
2
2 cos sin
y x x x x
. B.
2
2 cos sin
y x x x x
.
C.
2
2 sin cos
y x x x x
. D.
2
2 sin cos
y x x x x
.
Câu 22: Đạo hàm của hàm số
2
2
sin 2 .cos y x x
x
là
A.
2
2sin 2 .cos sin .sin 2 2 .
y x x x x x
B.
2
2sin 2 .cos sin .sin 2 2 .
y x x x x x
C.
2
1
2sin 4 .cos sin .sin 2
y x x x x
x x
D.
2
1
2sin 4 .cos sin .sin 2
y x x x x
x x
Câu 23: Đạo hàm của hàm số
2 2
tan cot
y x x
là
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 11
A.
2 2
tan cot
2 2
cos sin
x x
y
x x
B.
2 2
tan cot
2 2
cos sin
x x
y
x x
C.
2 2
tan cot
2 2
sin cos
x x
y
x x
D.
2tan 2cot .
y x x
Câu 24: Đạo hàm của hàm số
cos tan
y x
bằng
A.
2
1
sin tan
cos
x
x
B.
2
1
sin tan
cos
x
x
C.
sin tan x
. D.
–sin tan x
.
Câu 25: Hàm số
cosy x
có đạo hàm là
A.
in
s
y
x
. B.
cos
y x
. C.
72 24
y x
D.
' siny x
.
Câu 26: Đạo hàm của hàm số
2sin 2 cos2
f x x x
là
A.
4cos 2 2sin 2x x
. B.
2cos 2 2sin 2x x
.
C.
4cos 2 2sin 2x x
. D.
4cos 2 2sin 2 x x
.
Câu 27: Đạo hàm của hàm số
sin 2
2
y x
là
y
bằng
A.
2sin 2 x
. B.
cos 2
2
x
.
C.
2sin 2x
. D.
cos 2
2
x
.
Câu 28: Cho hàm số
2
2
cos
( )
1 sin
x
y f x
x
. Biểu thức
3
4 4
f f
bằng
A.
3
. B.
8
3
C.
3
. D.
8
3
Câu 29: Cho hàm số
3 2
sin 5 .cos
3
x
y f x x
. Giá trị đúng của
2
f
bằng
A.
3
6
B.
3
4
C.
3
3
D.
3
2
Câu 30: Đạo hàm của
2
sin 4
y x
là
A.
2sin8x
. B.
8sin8x
. C.
sin8x
. D.
4sin8x
.
Câu 31: Cho hàm số
2
tan
3
f x x
. Giá trị
0
f
bằng
A.
3
. B.
4
. C.
3
. D.
3
.
Câu 32: Cho hàm số
cos
1 2sin
x
y f x
x
. Chọn kết quả SAI
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 12
A.
5
6 4
f
B.
0 2
f
.
C.
1
2 3
f
D.
2
f
.
Câu 33: Hàm số
2
2cos
y x
có đạo hàm là
A.
2
2sin
x
. B.
2
4 cos
x x
. C.
2
2 sin
x x
. D.
2
4 sin
x x
.
Câu 34: Đạo hàm của hàm số
sin 3
f x x
là
A.
3cos3
sin3
x
x
B.
3cos3
2 sin 3
x
x
C.
3cos3
2 sin 3
x
x
D.
cos3
2 sin 3
x
x
Câu 35: Cho hàm số
2
cos3
y
x
. Khi đó
3
y
là:
A.
3 2
2
B.
3 2
2
C.
1
. D.
0
.
Câu 36: Hàm số
2
1
sin
2 3
y x
có đạo hàm là:
A.
2
.cos
3
x x
. B.
2
1
cos
2 3
x x
.
C.
1
sin
2 3
x x
. D.
2
1
cos
2 3
x x
.
Câu 37: Chohàmsố
cos( )y x
.Khiđó
3
y
cógiátrịnàosauđây?
A.
1
B.
2
2
C.
3
2
D.
0
Câu 38: Cho hàm số
2
cos 2
3
y x
. Khi đó phương trình
0
y
có nghiệm là:
A.
2
3
x k
. B.
3 2
k
x
.
C.
3
x k
. D.
3 2
k
x
.
Câu 39: Cho hàm số
sin khi 0
( )
sin khi 0
x x
y f x
x x
. Tìm khẳng định SAI?
A. Hàm số
không có đạo hàm tại
0
0
x .
B. Hàm số
không liên tục tại
0
0
x .
C.
0
2
f
.
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 13
D.
1
2
f
.
Câu 40: Cho hàm số
sin
( )sin
y f x x
. Giá trị
6
f
bằng:
A.
3
2
B.
2
C.
2
D.
Câu 41: Cho hàm số
2
( ) cos
y f x x
với
f x
là hàm liên tục trên
. Trong bốn biểu
thức dưới đây, biểu thức nào xác định hàm
f x
thỏa mãn
1
y
với mọi
x
?
A.
1
cos2
2
x x
. B.
1
cos2
2
x x
. C.
sin 2x x
. D.
sin 2x x
.
Câu 42: Đạo hàm của hàm số
2
tan 1 2
y
x
bằng:
A.
2
4
sin 1 2
x
x
B.
4
sin 1 2
x
C.
2
4
sin 1 2
x
x
D.
2
4
sin 1 2
x
Câu 43: Chọn mệnh đề ĐÚNG trong các mệnh đề sau?
A. Hàm số
cosy x
có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
B. Hàm số
tany x
có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
C. Hàm số
coty x
có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
D. Hàm số
1
sin
y
x
có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
Câu 44: Cho hàm số
tan
y x x
. Xét hai đẳng thức sau:
2
tan tan 1
(I)
2 tan
x x x
y
x x
2
tan tan 1
(II)
2 tan
x x x
y
x x
Đẳng thức nào đúng?
A. Chỉ
II
. B. Chỉ
I
.
C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng.
Câu 45: Hàm số
2
tan
2
x
y
có đạo hàm là
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 14
A.
3
sin
2
2cos
2
x
y
x
B.
3
tan
2
x
y
C.
2
sin
2
cos
2
x
y
x
D.
3
2sin
2
cos
2
x
y
x
Câu 46: Cho hàm số
sin cos
y f x x x
. Giá trị
2
16
f
bằng
A.
2
. B. 0. C.
2 2
D.
2
Câu 47: Để tính đạo hàm của hàm số
sin .cosy x x
, một học sinh tính theo hai cách
sau:
(I)
2 2
cos sin cos2
y x x x
(II)
1
sin 2 ' cos 2
2
y x y x
Cách nào ĐÚNG?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).
C. Không cách nào. D. Cả hai cách.
Câu 48: Hàm số
1
cot3 tan 2
2
y x x
có đạo hàm là
A.
2 2
3 1
sin 3 cos 2
x x
B.
2 2
3 1
sin 3 cos 2
x x
C.
2 2
3
sin 3 cos 2
x
x x
D.
2 2
1 1
sin cos 2
x x
Câu 49: Đạo hàm của hàm số
2
2sin cos 2
y x x x
là
A.
4sin sin 2 1.
y x x
B.
4sin 2 1.
y x
C.
1.
y
D.
4sin 2sin 2 1.
y x x
Câu 50: Hàm số
1 sin 1 cos
y x x
có đạo hàm là:
A.
cos sin 1
y x x
. B.
cos sin cos2
y x x x
.
C.
cos sin cos 2
y x x x
. D.
cos sin 1
y x x
.
Câu 51: Hàm số
tany x
có đạo hàm là
A.
cot
y x
. B.
2
1
sin
y
x
C.
2
1 tan
y x
. D.
2
1
cos
y
x
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 15
Câu 52: Đạo hàm của hàm số
2
sin 2
2 2 4
y x x
là
A.
2sin 4
2
y x
B.
2sin cos .
2 2 2
y x x
C.
2sin cos .
2 2 2
y x x x
D.
2sin 4 .
y x
Câu 53: Đạo hàm của hàm số
1
2 tan
y x
x
là
A.
1
1
2 2 tan
y
x
x
B.
2
1
1 tan
1
2 2 tan
x
x
y
x
x
C.
2
2
1
1 tan
1
. 1 .
1
2 2 tan
x
x
y
x
x
x
D.
2
2
1
1 tan
1
. 1 .
1
2 2 tan
x
x
y
x
x
x
Câu 54: Hàm số
2
cot
y f x
x
có
3
f
bằng
A.
8
. B.
8
3
C.
4 3
3
D.
2
.
Câu 55: Cho hàm số
1 sin
1 cos
x
y
x
. Xét hai kết quả:
(I)
2
cos sin 1 cos sin
1 cos
x x x x
y
x
(II)
2
1 cos sin
1 cos
x x
y
x
Kết quả nào đúng?
A. Cả hai đều sai. B. Chỉ (II).
C. Chỉ (I). D. Cả hai đều đúng.
Câu 56: Đạo hàm của hàm số
2
cot cos sin
2
y x x
là
A.
2
1 cos
' 2cot cos .
sin cos
2 sin
2
x
y x
x
x
B.
2
1 cos
' 2cot cos .sin .
sin cos
2 sin
2
x
y x x
x
x
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 16
C.
2
1 cos
' 2cot cos .
sin cos
sin
2
x
y x
x
x
D.
2
1 cos
' 2cot cos .sin .
sin cos
sin
2
x
y x x
x
x
Câu 57: Xét hàm số
5
( ) 2sin
6
f x x
. Giá trị
6
f
bằng
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
2
.
Câu 58: Đạo hàm của hàm số
2
tan
y x x x
là
A.
1
' 2 tan .
2
y x x
x
B.
C.
2
2
1
' 2 tan .
cos
2
x
y x x
x
x
D.
2
2
1
' 2 tan .
cos
x
y x x
x
x
Câu 59: Cho hàm số
( ) tan cot
y f x x x
. Giá trị
4
f
bằng
A.
2
. B.
0
. C.
2
2
. D.
.
Câu 60: Cho
2 2
cos sin
f x x x
. Giá trị
4
f
bằng:
A.
2
B.
1
C.
2
D.
0
Câu 61: Cho hàm số
2
=cos2 .sin
2
x
y x
. Xét hai kết quả sau:
(I)
2
2sin 2 sin sin .cos2
2
x
y x x x
(II)
2
1
2sin 2 sin sin .cos 2
2 2
x
y x x x
Cách nào đúng?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).
C. Không cách nào. D. Cả hai đều đúng.
Câu 62: Đạo hàm của hàm số
cos 2
3 1
x
y
x
là
A.
2
2sin 2 3 1 3cos2
' .
3 1
x x x
y
x
B.
2sin 2 3 1 3cos 2
' .
3 1
x x x
y
x
C.
2
sin 2 3 1 3cos 2
' .
3 1
x x x
y
x
D.
2
2sin 2 3 1 3cos 2
' .
3 1
x x x
y
x
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 17
Câu 63: Hàm số
sin cos
cos sin
x x x
y
x x x
có đạo hàm bằng
A.
2
2
.sin 2
(cos sin )
x x
x x x
B.
2 2
2
.sin
(cos sin )
x x
x x x
C.
2
2
.cos 2
(cos sin )
x x
x x x
D.
2
cos sin
x
x x x
Câu 64: Cho hàm số
cos
( )
1 sin
x
y f x
x
. Giá trị biểu thức
6 6
f f
là
A.
. B.
. C.
8
9
. D.
8
3
.
Câu 65: Hàm số
2
cos
2sin
x
y
x
có đạo hàm bằng:
A.
2
3
1 sin
2sin
x
x
. B.
2
3
1 cos
2sin
x
x
. C.
2
3
1 sin
2sin
x
x
. D.
2
3
1 cos
2sin
x
x
.
Câu 66: Cho hàm số
2
cot
4
x
y
. Khi đó nghiệm của phương trình
' 0
y
là:
A.
2
k
. B.
2 4
k
. C.
2
k
. D.
k
.
Câu 67: Hàm số
2
sin cos
y x x
có đạo hàm là:
A.
2
sin 3cos 1
y x x
. B.
2
sin 3cos 1
y x x
.
C.
2
sin cos 1
y x x
. D.
2
sin cos 1
y x x
.
Câu 68: Hàm số
2
1
1 tan
2
y x
có đạo hàm là:
A.
2
1 tan
y x
. B.
2
1 tan
y x
.
C.
2
1 tan 1 tan
y x x
. D.
1 tan
y x
.
Câu 69: Để tính đạo hàm của hàm số
coty x
(
x k
), một học sinh thực hiện theo
các bước sau:
(I)
cos
sin
x
y
x
có dạng
(II) Áp dụng công thức tính đạo hàm ta có:
2 2
2
sin cos
sin
x x
y
x
(III) Thực hiện các phép biến đổi, ta được
2
2
1
1 cot
sin
y x
x
Hãy xác định xem bước nào đúng?
A. Chỉ (II). B. Chỉ (III).
C. Chỉ (I). D. Cả ba bước đều đúng.
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 18
BẢNG ĐÁP ÁN
1.D 2.C 3.D 4.D 5.C 6.C 7.B 8.B 9.B 10.B
11.C 12.B 13.B 14.C 15.C 16.A 17.D 18.D 19.C 20.B
21.A 22.D 23.A 24.B 25.A 26.C 27.A 28.C 29.A 30.D
31.B 32.A 33.D 34.B 35.D 36.A 37.C 38.D 39.B 40.D
41.A 42.D 43.A 44. C 45.D 46.B 47. C 48.B 49.B 50.C
51.D 52.A 53.C 54.D 55.C 56.B 57.D 58.C 59.B 60.C
61.C 62.A 63.D 64.A 65.B 66.B 67.B 68.C 69.C
Hướng dẫn giải bài tập trắc nghiệm
Câu 1:
Hàmsố
cot 2y x
cóđạohàmlà:
A.
2
1 tan 2
.
cot 2
x
y
x
B.
2
(1 tan 2 )
.
cot 2
x
y
x
C.
2
1 cot 2
.
cot 2
x
y
x
D.
2
(1 cot 2 )
.
cot 2
x
y
x
Hướng dẫn giải
Tacó
2 2
2 1 cot 2 1 cot 2
cot 2
2 cot 2 2 cot 2 cot 2
x x
x
y
x x x
.
Chọn D.
Câu 2:
Đạohàmcủahàmsố
3sin 2 cos3y x x
là:
A.
3cos 2 sin 3 .y x x
B.
3cos 2 sin 3 .y x x
C.
6cos 2 3sin 3 .y x x
D.
6cos 2 3sin 3 .y x x
Hướng dẫn giải
Tacó
3.2cos 2 3sin 3 6cos 2 3sin 3y x x x x
.
Chọn C.
Câu 3:
Đạohàmcủahàmsố
sin cos
sin cos
x x
y
x x
là:
A.
2
sin 2
.
sin cos
x
y
x x
B.
2 2
2
sin cos
.
sin cos
x x
y
x x
C.
2
2 2sin 2
.
sin cos
x
y
x x
D.
2
2
.
sin cos
y
x x
Hướng dẫn giải
Cách1:Tacó
2
sin cos sin cos sin cos sin cos
sin cos
x x x x x x x x
y
x x
2
cos sin sin cos sin cos cos sin
sin cos
x x x x x x x x
x x
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 19
2 2
2 2
cos sin sin cos
2
sin cos sin cos
x x x x
x x x x
.
Cách2:Tacó
2 2
1. 1 1.1
2
sin cos sin cos
y
x x x x
.
Chọn D.
Câu 4:
Hàmsố
2 sin 2 cosy x x
cóđạohàmlà:
A.
1 1
.
sin cos
y
x x
B.
1 1
.
sin cos
y
x x
C.
cos sin
.
sin cos
x x
y
x x
D.
cos sin
.
sin cos
x x
y
x x
Hướng dẫn giải
Tacó
sin cos x
cos x sin
2 2
2 sin 2 cos x sin cos x
x
x
y
x x
.
Chọn D.
Câu 5:
Hàmsố
coty x
cóđạohàmlà:
A.
tan .y x
B.
2
1
.
cos
y
x
C.
2
1
.
sin
y
x
D.
2
1 cot .y x
Hướng dẫn giải
Ápdụngbảngcôngthưcđạohàm.
Chọn C.
Câu 6:
Hàmsố
tan 2y x x
óđạohàmlà:
A.
2
2
tan 2 .
cos
x
x
x
B.
2
2
.
cos 2
x
x
C.
2
2
tan 2 .
cos 2
x
x
x
D.
2
tan 2 .
cos 2
x
x
x
Hướng dẫn giải
2 2
2
2
tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 .
cos 2 cos 2
x
y x x x x x x x x
x x
.
Chọn C.
Câu 7:
Hàmsố
siny x
cóđạohàmlà:
A.
sin .y x
B.
os .
c
x
y
C.
co
1
.
s
y
x
D.
cos .
y
x
Hướng dẫn giải
Ápdụngbảngcôngthứcđạohàm.
Chọn B.
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 20
Câu 8:
Hàmsố
3
sin 7
2
y x
cóđạohàmlà:
A.
21
cos .
2
x
B.
21
cos7 .
2
x
C.
21
cos7 .
2
x
D.
21
cos .
2
x
Hướng dẫn giải
3 3 21
sin 7 . 7 cos7 cos7
2 2 2
y x x x x
.
Chọn B.
Câu 9:
Hàmsố
sin x
y
x
cóđạohàmlà:
A.
2
sin cos
.
x x x
y
x
B.
2
cos sin
.
x x x
y
x
C.
2
cos sin
.
x x x
y
x
D.
2
sin cos
.
x x x
y
x
Hướng dẫn giải
2 2
sin sin
sin sin cos
x x x x
x x x x
y
x x x
.
Chọn B.
Câu 10:
Đạohàmcủa
coty x
là:
A.
2
1
.
sin cotx x
B.
2
1
.
2sin cotx x
C.
1
.
2 cot x
D.
sin
.
2 cot
x
x
Hướng dẫn giải
2
cot
1
cot
2 cot 2sin cot
x
y x
x x x
.
Chọn B.
Câu 11:
Chohàmsố
1
( )
sin
y f x
x
.Giátrị
2
f
là:
A.
1.
B.
1
.
2
C.
D. Khôngtồntại.
Hướng dẫn giải
2
sin
1 cos
tan
sin
sin
sin
tan 0
2 2
x
x
y x
x
x
x
f
Chọn C.
Câu 12:
Hàmsố
sin 3
6
y x
cóđạohàmlà:
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 21
A.
3cos 3 .
6
x
B.
3cos 3 .
6
x
C.
cos 3 .
6
x
D.
3sin 3 .
6
x
Hướng dẫn giải
Ápdụngbảngcôngthứcđạohàmcủahàmsốhợp:
sin .cosu u u
Chọn B.
Câu 13:
Chohàmsố
3
cos 4
( ) cot
3sin 3
x
y f x x
x
.Giátrịđúngcủa
3
f
bằng:
A.
8
.
9
B.
9
.
8
C.
9
.
8
D.
8
.
9
Hướng dẫn giải
2
3 2
2
3 2
2 2 2
cos 4 1 4 4
( ) cot cot . cot cot .(1 cot ) cot
3sin 3 sin 3 3
1 1 cot 1
cot cot 3cot . cot .
3 sin sin sin
x
y f x x x x x x x
x x
x
x x x x
x x x
Suyra
2
2 2
cot
1 9
3
3 8
sin sin
3 3
f
Chọn B.
Câu 14:
Chohàmsố
2
sin 2
y x
.Đạohàm
y
củahàmsốlà
A.
2
2
2 2
cos 2 .
2
x
x
x
B.
2
2
cos 2 .
2
x
x
x
C.
2
2
cos 2 .
2
x
x
x
D.
2
2
( 1)
cos 2 .
2
x
x
x
Hướng dẫn giải
2 2 2 2
2
sin 2 2 cos 2 cos 2
2
x
y x x x x
x
Chọn C.
Câu 15:
Hàmsố
tan cot y x x
cóđạohàmlà:
A.
2
1
sin 2
y
x
. B.
2
4
cos 2
y
x
.
C.
2
4
sin 2
y
x
. D.
2
1
cos 2
y
x
.
Hướng dẫn giải
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 22
Tacó:
2 2 2 2 2
1 1 1 4
tan cot
cos sin cos .sin sin 2
y x x
x x x x x
Chọn C.
Câu 16:
Đạohàmcủa
tan 7y x
bằng:
A.
2
7
cos 7x
. B.
2
7
cos 7
x
. C.
2
7
sin 7
x
. D.
2
7
cos 7
x
x
.
Hướng dẫn giải
Tacó:
2
7
tan 7
cos 7
xy
x
Chọn A.
Câu 17:
Hàmsố
2
1
cot
2
y x
cóđạohàmlà:
A.
2
2sin
x
x
B.
2 2
sin
x
x
C.
2
sin
x
x
D.
2 2
sin
x
x
Hướng dẫn giải
Tacó:
2
2 2 2 2
1
2 sin sin
x
x
y
x x
Chọn D
Câu 18:
Chohàmsố
3
cos2
y f x x
.HãychọnkhẳngđịnhĐÚNG.
A.
1
2
f
. B.
3
2sin 2
3 cos 2
x
f x
x
C.
3 . 2sin 2 0
y y x
. D.
0
2
f
.
Hướng dẫn giải
Tacó:
3 3
2 2
cos2
2sin 2
3 cos 2 3 cos 2
x
x
y
x x
0
2
f
.
Chọn D.
Câu 19:
Chohàmsố
sin
3 2
x
y
.Khiđóphươngtrình
' 0
y
cónghiệmlà:
A.
2
3
x k
. B.
3
x k
.
C.
2
3
x k
. D.
3
x k
.
Hướng dẫn giải
Tacó:
1
cos
2 3 2
x
y
1
0 cos 0
2 3 2 3 2 2
x x
y k
2 ,
3
x k k Z
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 23
Chọn C(vì
2 , 2 ,
3 3
x k k Z x l l
)
Câu 20:
Đạohàmcủa
cos
y x
là
A.
cos
2 cos
x
x
B.
sin
2 cos
x
x
C.
sin
2 cos
x
x
D.
sin
cos
x
x
Hướng dẫn giải
Tacó
sin
2 cos
x
y
x
.
Chọn B.
Câu 21:
Hàmsố
2
.cos
y x x
cóđạohàmlà
A.
2
2 cos sin
y x x x x
. B.
2
2 cos sin
y x x x x
.
C.
2
2 sin cos
y x x x x
. D.
2
2 sin cos
y x x x x
.
Hướng dẫn giải
Tacó
2 2
2 .cos . sin 2 cos .sin
y x x x x x x x x
Chọn A.
Câu 22:
Đạohàmcủahàmsố
2
2
sin 2 .cos y x x
x
là
A.
2
2sin 2 .cos sin .sin 2 2 .
y x x x x x
B.
2
2sin 2 .cos sin .sin 2 2 .
y x x x x x
C.
2
1
2sin 4 .cos sin .sin 2
y x x x x
x x
D.
2
1
2sin 4 .cos sin .sin 2
y x x x x
x x
Hướng dẫn giải
Tacó
2 2
1 1
2sin 2 .cos2 .cos sin 2 . sin sin 4 .cos sin 2 .sin
y x x x x x x x x x
x x x x
Chọn D.
Câu 23:
Đạohàmcủahàmsố
2 2
tan cot
y x x
là
A.
2 2
tan cot
2 2
cos sin
x x
y
x x
B.
2 2
tan cot
2 2
cos sin
x x
y
x x
C.
2 2
tan cot
2 2
sin cos
x x
y
x x
D.
2tan 2cot .
y x x
Hướng dẫn giải
Tacó
2 2 2 2
1 1 2 tan 2cot
2tan . 2cot .
cos sin cos sin
x x
y x x
x x x x
Chọn A.
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 24
Câu 24:
Đạohàmcủahàmsố
cos tan
y x
bằng
A.
2
1
sin tan
cos
x
x
B.
2
1
sin tan
cos
x
x
C.
sin tan x
. D.
–sin tan x
.
Hướng dẫn giải
2
1
sin tan
cos
y x
x
.
Chọn B.
Câu 25:
Hàmsố
cosy x
cóđạohàmlà
A.
in
s
y
x
. B.
cos
y x
. C.
72 24
y x
D.
' siny x
.
Hướng dẫn giải
ins
y
x
.
Chọn A.
Câu 26:
Đạohàmcủahàmsố
2sin 2 cos2
f x x x
là
A.
4cos 2 2sin 2x x
. B.
2cos 2 2sin 2x x
.
C.
4cos 2 2sin 2x x
. D.
4cos 2 2sin 2 x x
.
Hướng dẫn giải
4cos 2 2sin 2
f x x x
.Chọn C.
Câu 27:
Đạohàmcủahàmsố
sin 2
2
y x
là
y
bằng
A.
2sin 2 x
. B.
cos 2
2
x
.
C.
2sin 2x
. D.
cos 2
2
x
.
Hướng dẫn giải
2cos 2 2sin 2
2
y x x
.Chọn A.
Câu 28:
Chohàmsố
2
2
cos
( )
1 sin
x
y f x
x
.Biểuthức
3
4 4
f f
bằng
A.
3
. B.
8
3
C.
3
. D.
8
3
Hướng dẫn giải
2 2
2
2
2cos sin 1 sin 2cos sin cos
1 sin
x x x x x x
f x
x
2 2
2 2
2 2
2cos sin 1 sin cos
4cos sin
1 sin 1 sin
x x x x
x x
x x
8
4 9
f
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 25
1 8
3 3
4 4 3 3
f f
.
Chọn C.
Câu 29:
Chohàmsố
3 2
sin 5 .cos
3
x
y f x x
.Giátrịđúngcủa
2
f
bằng
A.
3
6
B.
3
4
C.
3
3
D.
3
2
Hướng dẫn giải
2 2 3
2
' 3.5.cos5 .sin 5 .cos sin 5 sin cos
3 3 3 3
x x x
f x x x x
3 3
0 1.
2 2.3 6
f
Chọn A.
Câu 30:
Đạohàmcủa
2
sin 4
y x
là
A.
2sin8x
. B.
8sin8x
. C.
sin8x
. D.
4sin8x
.
Hướng dẫn giải
2.4.sin 4 .cos 4 4sin8
y x x x
.
Chọn D.
Câu 31:
Chohàmsố
2
tan
3
f x x
.Giátrị
0
f
bằng
A.
3
. B.
4
. C.
3
. D.
3
.
Hướng dẫn giải
2
1 1
0 4
1
2
cos
4
3
f x f
x
.
Chọn B.
Câu 32:
Chohàmsố
cos
1 2sin
x
y f x
x
.ChọnkếtquảSAI
A.
5
6 4
f
B.
0 2
f
.
C.
1
2 3
f
D.
2
f
.
Hướng dẫn giải
2 2
sin . 1 2sin cos .2.cos
sin 2
'
1 2sin 1 2sin
x x x x
x
f x
x x
5 1
; 0 2; ; 2
6 8 2 3
f f f f
.
Chọn A.
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 26
Câu 33:
Hàmsố
2
2cos
y x
cóđạohàmlà
A.
2
2sin
x
. B.
2
4 cos
x x
. C.
2
2 sin
x x
. D.
2
4 sin
x x
.
Hướng dẫn giải
2 2
2.2 .sin 4 sin
y x x x x
.
Chọn D.
Câu 34:
Đạohàmcủahàmsố
sin 3
f x x
là
A.
3cos3
sin3
x
x
B.
3cos3
2 sin 3
x
x
C.
3cos3
2 sin 3
x
x
D.
cos3
2 sin 3
x
x
Hướng dẫn giải
3 cos3
2
sin 3
x
f x
x
Chọn B.
Câu 35:
Chohàmsố
2
cos3
y
x
.Khiđó
3
y
là:
A.
3 2
2
B.
3 2
2
C.
1
. D.
0
.
Hướng dẫn giải
Tacó:
2 2
cos3
3 2.sin 3
2.
cos 3 cos 3
x
x
y
x x
.Dođó
2
3 2.sin
' 0
3 cos
y
Chọn D.
Câu 36:
Hàmsố
2
1
sin
2 3
y x
cóđạohàmlà:
A.
2
.cos
3
x x
. B.
2
1
cos
2 3
x x
.
C.
1
sin
2 3
x x
. D.
2
1
cos
2 3
x x
.
Hướng dẫn giải
Tacó:
2 2
1
. 2 .cos .cos
2 3 3
y x x x x
Chọn A.
Câu 37:
Chohàmsố
cos( )y x
.Khiđó
3
y
cógiátrịnàosauđây?
A.
1
B.
2
2
C.
3
2
D.
0
Hướng dẫn giải
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 27
Tacó:
3
' sinx '
3 2
y y
Chọn C
Câu 38:
Chohàmsố
2
cos 2
3
y x
.Khiđóphươngtrình
0
y
cónghiệmlà:
A.
2
3
x k
. B.
3 2
k
x
.
C.
3
x k
. D.
3 2
k
x
.
Hướng dẫn giải
Tacó:
2
2.sin 2
3
y x
Theogiảthiết
2
0 sin 2 0
3
y x

3 2
k
x k
Chọn D.
Câu 39:
Chohàmsố
sin khi 0
( )
sin khi 0
x x
y f x
x x
.TìmkhẳngđịnhSAI?
A. Hàmsố
khôngcóđạohàmtại
0
0
x .
B. Hàmsố
khôngliêntụctại
0
0
x
.
C.
0
2
f
.
D.
1
2
f
.
Hướng dẫn giải
Tacó:
0 0
0 0
lim ( ) lim sin sin 0 0
lim ( ) lim sin( ) sin 0 0
x x
x x
f x x
f x x
0
0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 (0)
x
x x
f x f x f x f
Hàmsốliêntụctại
0
0
x
Chọn B.
Câu 40:
Chohàmsố
sin
( )sin
y f x x
.Giátrị
6
f
bằng:
A.
3
2
B.
2
C.
2
D.
Hướng dẫn giải
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 28
Tacó:
( .sin ) .cos( .sin ) .cos .cos( .sin )
y x x x x
3 1 3.
.cos .cos .sin . .cos . .cos 0
6 6 6 2 2 2 2
y
Chọn D.
Câu 41:
Chohàmsố
2
( ) cos
y f x x
với
f x
làhàmliêntụctrên
.Trongbốnbiểuthức
dướiđây,biểuthứcnàoxácđịnhhàm
f x
thỏamãn
1
y
vớimọi
x
?
A.
1
cos2
2
x x
. B.
1
cos2
2
x x
. C.
sin 2x x
. D.
sin 2x x
.
Hướng dẫn giải
Tacó:
2.cos . sin 2.cos .sin sin 2
y f x x x f x x x f x x
1
1 sin 2 1 1 sin 2 cos 2
2
y f x x f x x f x x x
Chọn A.
Câu 42:
Đạohàmcủahàmsố
2
tan 1 2
y
x
bằng:
A.
2
4
sin 1 2
x
x
B.
4
sin 1 2
x
C.
2
4
sin 1 2
x
x
D.
2
4
sin 1 2
x
Hướng dẫn giải
Tacó:
2
2 2 2
1
2
tan 1 2
4
cos
2. 2
tan 1 2 tan 1 2 sin 1 2
x
x
y
x x x
Chọn D.
Câu 43:
ChọnmệnhđềĐÚNGtrongcácmệnhđềsau?
A. Hàmsố
cosy x
cóđạohàmtạimọiđiểmthuộcmiềnxácđịnhcủanó.
B. Hàmsố
tany x
cóđạohàmtạimọiđiểmthuộcmiềnxácđịnhcủanó.
C. Hàmsố
coty x
cóđạohàmtạimọiđiểmthuộcmiềnxácđịnhcủanó.
D. Hàmsố
1
sin
y
x
cóđạohàmtạimọiđiểmthuộcmiềnxácđịnhcủanó.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Câu 44:
Chohàmsố
tan
y x x
.Xéthaiđẳngthứcsau:
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 29
2
tan tan 1
(I)
2 tan
x x x
y
x x
2
tan tan 1
(II)
2 tan
x x x
y
x x
Đẳngthứcnàođúng?
A. Chỉ
II
. B. Chỉ
I
.
C. Cảhaiđềusai. D. Cảhaiđềuđúng.
Hướng dẫn giải
Tacó:
2
2
1
tan .
tan . 1 tan
.tan .tan . tan
cos
2. .tan 2. .tan 2. .tan 2. .tan
x x
x x x
x x x x x x
x
y
x x x x x x x x
Chọn C.
Câu 45:
Hàmsố
2
tan
2
x
y
cóđạohàmlà
A.
3
sin
2
2cos
2
x
y
x
B.
3
tan
2
x
y
C.
2
sin
2
cos
2
x
y
x
D.
3
2sin
2
cos
2
x
y
x
Hướng dẫn giải
Tacó:
2 3
sin
1 1
2
2tan
2 2
cos cos
2 2
x
x
y
x x
Chọn D.
Câu 46:
Chohàmsố
sin cos
y f x x x
.Giátrị
2
16
f
bằng
A.
2
. B. 0. C.
2 2
D.
2
Hướng dẫn giải
Tacó:
1 1
cos sin
2 2
f x x x
x x
2
0
16
f
Chọn B.
Câu 47:
Đểtínhđạohàmcủahàmsố
sin .cosy x x
,mộthọcsinhtínhtheohaicáchsau:
(I)
2 2
cos sin cos2
y x x x
(II)
1
sin 2 ' cos 2
2
y x y x
CáchnàoĐÚNG?
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 30
A. Chỉ(I). B. Chỉ(II). C. Khôngcáchnào. D. Cảhai
cách.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Câu 48:
Hàmsố
1
cot3 tan 2
2
y x x
cóđạohàmlà
A.
2 2
3 1
sin 3 cos 2
x x
B.
2 2
3 1
sin 3 cos 2
x x
C.
2 2
3
sin 3 cos 2
x
x x
D.
2 2
1 1
sin cos 2
x x
Hướng dẫn giải
Tacó:
2 2 2 2
3 1 2 3 1
sin 3 2 cos 2 sin 3 cos 2
y
x x x x
Chọn B.
Câu 49:
Đạohàmcủahàmsố
2
2sin cos 2
y x x x
là
A.
4sin sin 2 1.
y x x
B.
4sin 2 1.
y x
C.
1.
y
D.
4sin 2sin 2 1.
y x x
Hướng dẫn giải
Tacó:
4sin cos 2sin 2 1 4sin 2 1
y x x x x
.
Chọn B.
Câu 50:
Hàmsố
1 sin 1 cos
y x x
cóđạohàmlà:
A.
cos sin 1
y x x
. B.
cos sin cos2
y x x x
.
C.
cos sin cos 2
y x x x
. D.
cos sin 1
y x x
.
Hướng dẫn giải
Tacó:
1
1 sin 1 cos 1 sin cos sin .cos 1 sin cos sin 2
2
y x x x x x x x x x
.
Suyra:
cos sin cos 2
y x x x
.
Chọn C.
Câu 51:
Hàmsố
tany x
cóđạohàmlà
A.
cot
y x
. B.
2
1
sin
y
x
C.
2
1 tan
y x
. D.
2
1
cos
y
x
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Câu 52:
Đạohàmcủahàmsố
2
sin 2
2 2 4
y x x
là
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 31
A.
2sin 4
2
y x
B.
2sin cos .
2 2 2
y x x
C.
2sin cos .
2 2 2
y x x x
D.
2sin 4 .
y x
Hướng dẫn giải
Tacó:
2
1 cos 4
sin 2
2 2 4 2 2 4
x
y x x x
Suyra:
2sin 4
2
y x
Chọn C.
Câu 53:
Đạohàmcủahàmsố
1
2 tan
y x
x
là
A.
1
1
2 2 tan
y
x
x
B.
2
1
1 tan
1
2 2 tan
x
x
y
x
x
C.
2
2
1
1 tan
1
. 1 .
1
2 2 tan
x
x
y
x
x
x
D.
2
2
1
1 tan
1
. 1 .
1
2 2 tan
x
x
y
x
x
x
Hướng dẫn giải
Tacó:
2 2
2
1
1 1
2 tan
1 tan 1 tan
1 1
1
1 1 1
2 2 tan 2 2 tan 2 2 tan
x
x x
x
x x
y x
x x
x x x
x x x
.
Chọn C.
Câu 54:
Hàmsố
2
cot
y f x
x
có
3
f
bằng
A.
8
. B.
8
3
C.
4 3
3
D.
2
.
Hướng dẫn giải
Tacó:
2
2 2
2 cot
1 cot
2
cot cot
x
x
f x
x x
3 2
f
.
Chọn C.
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 32
Câu 55:
Chohàmsố
1 sin
1 cos
x
y
x
.Xéthaikếtquả:
(I)
2
cos sin 1 cos sin
1 cos
x x x x
y
x
 (II)
2
1 cos sin
1 cos
x x
y
x
Kếtquảnàođúng?
A. Cảhaiđềusai. B. Chỉ(II). C. Chỉ(I).D. Cảhaiđềuđúng.
Hướng dẫn giải
Tacó:
2 2
cos (1 cos ) sin (1 sin ) 1 sin cos
1 cos 1 cos
x x x x x x
y
x x
Chọnđápán B.
Câu 56:
Đạohàmcủahàmsố
2
cot cos sin
2
y x x
là
A.
2
1 cos
' 2cot cos .
sin cos
2 sin
2
x
y x
x
x
B.
2
1 cos
' 2cot cos .sin .
sin cos
2 sin
2
x
y x x
x
x
C.
2
1 cos
' 2cot cos .
sin cos
sin
2
x
y x
x
x
D.
2
1 cos
' 2cot cos .sin .
sin cos
sin
2
x
y x x
x
x
Hướng dẫn giải
2
sin -
1 cos
2
2cot cos . cot cos 2cot cos .sin
sin cos
2 in 2 sin
2 2
x
x
y x x x x
x
s x x
Chọnđápán B.
Câu 57:
Xéthàmsố
5
( ) 2sin
6
f x x
.Giátrị
6
f
bằng
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
2
.
Hướng dẫn giải
Tacó:
5
2cos 2
6 6
f x x f
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 33
Chọnđápán D.
Câu 58:
Đạohàmcủahàmsố
2
tan
y x x x
là
A.
1
' 2 tan .
2
y x x
x
B.
C.
2
2
1
' 2 tan .
cos
2
x
y x x
x
x
D.
2
2
1
' 2 tan .
cos
x
y x x
x
x
Hướng dẫn giải
Tacó:
2
2 2
2
1
tan + tan . ' 2 tan .
cos
2
x
y x x x x x y x x
x
x
Chọn C.
Câu 59:
Chohàmsố
( ) tan cot
y f x x x
.Giátrị
4
f
bằng
A.
2
. B.
0
. C.
2
2
. D.
.
Hướng dẫn giải
Tacó:
2 2
1 1
tan cot
cos sin
0.
4
2 tan cot 2 tan cot
x x
x x
f x f
x x x x
Chọnđápán B.
Câu 60:
Cho
2 2
cos sin
f x x x
.Giátrị
4
f
bằng:
A.
2
B.
1
C.
2
D.
0
Hướng dẫn giải
Tacó:
cos2 2sin 2
f x x f x x
.Dođó
2
4
f
Chọn C.
Câu 61:
Chohàmsố
2
=cos2 .sin
2
x
y x
.Xéthaikếtquảsau:
(I)
2
2sin 2 sin sin .cos2
2
x
y x x x
(II)
2
1
2sin 2 sin sin .cos 2
2 2
x
y x x x
Cáchnàođúng?
A. Chỉ(I). B. Chỉ(II). C. Khôngcáchnào. D. Cảhaiđều
đúng.
Hướng dẫn giải
Tacó:
2 2 2
1
cos2 .sin sin .cos2 =-2sin2 .sin sin .cos 2 .
2 2 2 2
x x x
y x x x x x
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 34
Chọn C.
Câu 62:
Đạohàmcủahàmsố
cos 2
3 1
x
y
x
là
A.
2
2sin 2 3 1 3cos2
' .
3 1
x x x
y
x
B.
2sin 2 3 1 3cos 2
' .
3 1
x x x
y
x
C.
2
sin 2 3 1 3cos 2
' .
3 1
x x x
y
x
D.
2
2sin 2 3 1 3cos 2
' .
3 1
x x x
y
x
Hướng dẫn giải
Tacó:
2 2
cos2 3 1 3 1 .cos 2 x 2sin 2 3 1 3cos 2
' .
3 1 3 1
x x x x x x
y y
x x
Chọn A.
Câu 63:
Hàmsố
sin cos
cos sin
x x x
y
x x x
cóđạohàmbằng
A.
2
2
.sin 2
(cos sin )
x x
x x x
B.
2 2
2
.sin
(cos sin )
x x
x x x
C.
2
2
.cos 2
(cos sin )
x x
x x x
D.
2
cos sin
x
x x x
Hướng dẫn giải
Tacó:
2
2
2
sin cos cos sin cos sin sin cos
cos sin
sin cos sin cos sin cos
cos sin
cos sin
x x x x x x x x x x x x
y
x x x
x x x x x x x x x x
x
x x x
x x x
Chọn D.
Câu 64:
Chohàmsố
cos
( )
1 sin
x
y f x
x
.Giátrịbiểuthức
6 6
f f
là
A.
. B.
. C.
8
9
. D.
8
3
.
Hướng dẫn giải
Tacó:
2
cos 1 sin (1 sin ) cos
1 4
1 sin 6 6 3
1 sin
x x x x
f x f f
x
x
Chọn A.
Câu 65:
Hàmsố
2
cos
2sin
x
y
x
cóđạohàmbằng:
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 35
A.
2
3
1 sin
2sin
x
x
. B.
2
3
1 cos
2sin
x
x
. C.
2
3
1 sin
2sin
x
x
. D.
2
3
1 cos
2sin
x
x
.
Hướng dẫn giải
Tacó:
2 2
3
2 4 4
sin cos sin cos
cos sin 2sin cos cos
2sin 2sin 2sin
x x x x
x x x x x
y
x x x
2 2 2
3 3
sin 2cos 1 cos
sin sin
x x x
x x
Chọn B.
Câu 66:
Chohàmsố
2
cot
4
x
y
.Khiđónghiệmcủaphươngtrình
' 0
y
là:
A.
2
k
. B.
2 4
k
. C.
2
k
. D.
k
.
Hướng dẫn giải
Tacó:
2 2
1
cot 2cot cot cot 1 cot
4 4 4 2 4 4
x x x x x
y
Mà:
2
1
' 0 cot 1 cot cot 0 2 4 ,
2 4 4 4 4 2
x x x x
y k x k k
Chọn B.
Câu 67:
Hàmsố
2
sin cos
y x x
cóđạohàmlà:
A.
2
sin 3cos 1
y x x
. B.
2
sin 3cos 1
y x x
.
C.
2
sin cos 1
y x x
.D.
2
sin cos 1
y x x
.
Hướng dẫn giải
2 2 2 2 3 2
sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin sin 3cos 1
y x x x x x x x x x x x
.
Chọn B.
Câu 68:
Hàmsố
2
1
1 tan
2
y x
cóđạohàmlà:
A.
2
1 tan
y x
. B.
2
1 tan
y x
.
C.
2
1 tan 1 tan
y x x
. D.
1 tan
y x
.
Hướng dẫn giải
Tacó:
2
2
1
1 tan 1 tan 1 tan 1 tan 1 tan
2
y x x x x x
.
Chọn C.
Câu 69:
Đểtínhđạohàmcủahàmsố
coty x
(
x k
),mộthọcsinhthựchiệntheocácbước
sau:
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Chương V: Đạo hàm Page 36
(I)
cos
sin
x
y
x
códạng
(II)Ápdụngcôngthứctínhđạohàmtacó:
2 2
2
sin cos
sin
x x
y
x
(III)Thựchiệncácphépbiếnđổi,tađược
2
2
1
1 cot
sin
y x
x
Hãyxácđịnhxembướcnàođúng?
A. Chỉ(II). B. Chỉ(III).
C. Chỉ(I). D. Cảbabướcđềuđúng.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
| 1/124
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
BÀI 1: KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM A. KIẾM THỨC CƠ BẢN
1. Đạo hàm của hàm só tại một điểm
Hàm số y  f(x) liên tục trên (a; b) , được gọi là có đạo hàm tại x  0 (a; b) f(x)  f(x )
Giới hạn hữu hạn ( nếu có) của tỉ số 0 khi x dần đến x 0 x được gọi  x0
là đạo hàm của hàm số tại điểm x .Ta kí hiệu 0 f '(x0) . f(x)  f(x ) Vậy f '(x )  0 0 lim xx x  0 x0
2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa Quy tắc
Muốn tính đạo hàm của hàm số f tại điểm 0
x theo định nghĩa, ta thực hiện hai bước sau:  Bước 1: Tính y  theo công thức y   f  0
x  x  f  0
x  , trong đó x là số gia của biến số tại 0 x y
 Bước 2: Tìm giới hạn lim . x  0  x
Trong quy tắc trên và đối với mỗi hàm số được xét, ta luôn hiểu y là số gia của hàm
số ứng với số gia x đã cho của biến số tại điểm đang xét
Nhận xét : Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại điểm 0
x thì nó liên tục tại điểm 0 x Page 1
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
 Đạo hàm của hàm số y f x tại điểm 0
x là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ
thị hàm số tại điểm M  0 x ; f  0 x  .
 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M  0 x ; f  0 x  là: y f ' 0
x . x  0
x   f  0 x  .
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M  0 x ; f  0 x 
 Song song với đường thẳng y ax b f ' 0 x   a
 Vuông góc với đường thẳng y ax b f ' 0
x .a  1
 Tạo với tia Ox một góc   f ' 0 x   tan
4. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm
Vận tốc tức thời v t0  tại thời điểm t0 ( hay vận tốc tại t0 ) của một chuyển
động có phương trình s s t  bằng đạo hàm của hàm số s s t  tại điểm s s t  , tức là: v  0
t   s ' 0 t  .
5. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
 Hàm số f(x) có đạo hàm trên (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) .
 Hàm số f(x) có đạo hàm trên [a; b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b)
đồng thời tồn tại đạo hàm trái 
f '(b ) và đạo hàm phải  f '(a ) . Page 2
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
B. Các dạng bài tập
Dạng 1: Tính đạo hàm tại 1 điểm
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm Bước 1: Tính y  theo công thức y   f  0
x  x  f  0
x  , trong đó x  là số gia của biến số tại 0 x y
Bước 2: Tìm giới hạn lim . x 0  x
Ví dụ 1. Cho hàm số f x 2
x  2x, có x
 là số gia của đối số tại x  1, y  là số gia
tương ứng của hàm số. Khi đó y  bằng:
A. x2  2 . x
B. x2  4 . x
C. x2  2x  3. D. 3. Hướng dẫn giải
y f   x  f      x2    x      x2 1 1 1 2 1 1 2  4 . x Chọn đáp án là B.
Ví dụ 2. Cho hàm số f x  3x  2, có x
 là số gia của đối số tại x  2. y  Khi đó bằng: x  3 x   2 3 x   6 A. . B. . xx  3 x   4  2 3 x   2  2 C. . D. . xxLời giải  2 
Tập xác định của hàm số đã cho là D  ;  .    3  Page 3
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Với x
 là số gia của đối số tại x  2 sao cho 2  x   D, thì y   32  x    2  3.2  2. y  3 x   4  2 Khi đó  . xxChọn đáp án là C. 2 x  2x
Ví dụ 3. Cho hàm số y
C Đạo hàm của hàm số đã cho tại x  1, bằng: x 1 1 1 1 A. . B.  . C. 0. D. . 4 2 2 Lời giải Với x
 là số gia của đối số tại x  1, ta có   x2 1
 2 1 x 1 2
x 2x   1 y 2x 1 y    ;  . 1 x 1 1 1 2 2  x x 2 2  x y 2 x  1 1 1 lim  lim  . Vậy y '  1  . x  0 x  0 x  22  x   4 4 Chọn đáp án là A.
Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến
Sử dụng công thức viết tiếp tuyến tại 1 điểm
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M  0 x ; f  0 x  là: y f ' 0
x . x  0
x   f  0 x  . 2 x  2x
Ví dụ 4: Cho hàm số y
C . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm x 1  1   A 1;   là:  2  1 1 1 1
A. y   x   1  .
B. y   x   1  . 4 2 2 4 Page 4
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 1 1 1 1
C. y   x   1  .
D. y   x   1  . 4 2 2 4 Lời giải Với x
 là số gia của đối số tại x  1, ta có   x2 1
 2 1 x 1 2
x 2x   1 y 2x 1 y    ;  . 1 x 1 1 1 2 2  x x 2 2  x y 2 x  1 1 1 lim  lim  . Vậy y '  1  . x  0 x  0 x  22  x   4 4  1   1 1
 Phương trình tiếp tuyến của C  tại điểm A 1;   là y   x   1  .  2  4 2 Chọn đáp án là C.
Dạng 3 : Mối liên hệ giữa đạo hàm và liên tục
Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại điểm 0
x thì nó liên tục tại điểm 0 x nhưng điều ngược lại không đúng
Ví dụ 4. Cho hàm số f x  x 1 . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. f x liên tục tại x  1  .
B. f x có đạo hàm tại x  1. C. f   1  0.
D. f x đạt giá trị nhỏ nhất tại x  1. Lời giải   x   1 , x  1
f x  x 1   nếu   x    1 ,  x  1 f  
1  0  Phương án C đúng.
f x  0, . x
f x  0  x  1  Phương án D đúng.
lim f x  lim  x   1  0.
lim f x  lim x  
1  0.  Phương án A đúng. x 1 x 1 x 1 x 1    
f x  f   1 x 1
f x  f   1 x 1 lim  lim  1  , lim  lim  1. x 1 x    x 1 x 1 1 x 1  x    x 1 1      x 1 Page 5
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
f x  f   1
Suy ra không tồn tại giới hạn của tỷ số khi x  1  . x    1
Do đó hàm số đã cho không có đạo hàm tại x  1. Chọn đáp án là B.
C. Bài tập trác nghiệm Câu 1:
Cho hàm số f x liên tục tại x . Đạo hàm của f x tại x là 0 0
A. f x . 0 
f (x h)  f (x ) B. 0 0 . h
f (x h)  f (x ) C. 0 0 lim
(nếu tồn tại giới hạn). h0 h
f (x h)  f (x h) D. 0 0 lim
(nếu tồn tại giới hạn). h0 h Câu 2:
Cho hàm số f x là hàm số trên  định bởi   2
f x x và x   . Chọn câu 0 đúng.
A. f  x x .
B. f  x x . 0  2 0  0 0
C. f  x  2x .
D. f  x không tồn tại. 0  0  0 1 Câu 3:
Cho hàm số f x xác định trên 0;  bởi f x  . Đạo hàm của f x tại x x  2 là: 0 1 1 1 1 A. . B.  . C. . D.  . 2 2 2 2
3  4  x khi x  0   Câu 4: Cho hàm số 4 f (x)  
. Khi đó f  0 là kết quả nào sau 1  khi x  0   4 đây? 1 1 A. . B. . 4 16 1 C. . D. Không tồn tại. 32 2
x khi x  2  Câu 5: Cho hàm số 2
f (x)   x
. Để hàm số này có đạo hàm tại 
bx  6 khi x  2   2
x  2 thì giá trị của b là A. b  3. B. b  6. C. b  1. D. b  6. Page 6
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Câu 6:
Số gia của hàm số f x 2
x  4x 1 ứng với x và x  là A. x
 x  2x  4. B. 2x   . x C.  .
x 2x  4 x  . D. 2x  4 . x Câu 7:
Cho hàm số y f (x) có đạo hàm tại x là f '(x ) . Khẳng định nào sau đây sai? 0 0
f (x)  f (x ) A. 0 f (  x )  lim . 0 xx0 x x0
f (x x  )  f (x ) B. 0 0 f (  x )  lim . 0 x  0 x
f (x h)  f (x ) C. 0 0 f (  x )  lim . 0 h0 h
f (x x )  f (x ) D. 0 0 f (  x )  lim . 0 xx0 x x0 Câu 8: Xét ba mệnh đề sau:
(1) Nếu hàm số f x có đạo hàm tại điểm x x thì f x liên tục tại điểm đó. 0
(2) Nếu hàm số f x liên tục tại điểm x x thì f x có đạo hàm tại điểm đó. 0
(3) Nếu f x gián đoạn tại x x thì chắc chắn f x không có đạo hàm tại điểm 0 đó. Trong ba câu trên:
A. Có hai câu đúng và một câu sai.
B. Có một câu đúng và hai câu sai.
C. Cả ba đều đúng.
D. Cả ba đều sai.. Câu 9: Xét hai câu sau: x (1) Hàm số y
liên tục tại x  0 x  1 x (2) Hàm số y
có đạo hàm tại x  0 x  1 Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (2) đúng.
B. Chỉ có (1) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai. Page 7
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 2  x  khi x  1
Câu 10: Cho hàm số f (x)   2
. Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm
ax b khi x  1 
số có đạo hàm tại x  1 ? 1 1 1
A. a  1;b   . B. a  ;b  . 2 2 2 1 1 1 C. a  ;b   .
D. a  1;b  . 2 2 2 2 x
Câu 11: Số gia của hàm số f x 
ứng với số gia x của đối số x tại x  1  là 2 0 1 1 A. x  2   . x B.  x2 x    . 2 2   1 1 C.  x2 x    . D. x  2   . x 2   2 yCâu 12: Tỉ số
của hàm số f x  2x x   1 theo x và x  là x
A. 4x  2x  2.
B. x   x  2 4 2  2.
C. 4x  2x  2. D. x x   x2 4 2  2 . x Câu 13: Cho hàm số   2
f x x x , đạo hàm của hàm số ứng với số gia x  của đối số x tại x0 là 2 A. lim x   2x x   x . B. lim  x   2x   1 . x  0     x  0 2 C. lim  x   2x   1 . D. lim x   2x x   x  . x  0     x  0 Câu 14: Cho hàm số   2
f x x x . Xét hai câu sau:
(1). Hàm số trên có đạo hàm tại x  0 .
(2). Hàm số trên liên tục tại x  0 . Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (1) đúng.
B. Chỉ có (2) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai.
Câu 15: Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số
y f (x) tại x  1? 0
f (x x  )  f (x )
f (x)  f (x ) A. 0 lim . B. 0 lim . x  0  xx0 x x0
f (x)  f (x )
f (x  x)  f (x) C. 0 lim . D. 0 lim . x 0 x x x x  0  x  0 Page 8
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Câu 16: Số gia của hàm số   3
f x x ứng với x  2 và x   1 bằng bao nhiêu? 0 A. 19 . B. 7 . C. 19 . D. 7  .
Đáp án+ hướng dẫn giải Câu 1:
Cho hàm số f x liên tục tại x . Đạo hàm của f x tại x là 0 0
A. f x . 0 
f (x h)  f (x ) B. 0 0 . h
f (x h)  f (x ) C. 0 0 lim
(nếu tồn tại giới hạn). h0 h
f (x h)  f (x h) D. 0 0 lim
(nếu tồn tại giới hạn). h0 h Hướng dẫn giải Đáp án C.
f (x x  )  f (x )
f (x h)  f (x )
Định nghĩa f  x  0 0  lim
hay f  x  lim 0  0 0 0 x  0 xh0 h
(nếu tồn tại giới hạn). Câu 2:
Cho hàm số f x là hàm số trên  định bởi   2
f x x và x   . Chọn câu 0 đúng.
A. f  x x .
B. f  x x . 0  2 0  0 0
C. f  x  2x .
D. f  x không tồn tại. 0  0  0 Hướng dẫn giải Đáp án C. Giả sử x
 là số gia của đối số tại x . 0 Ta có y
  f x x   f x
  x  x x x  2x x  . 0  0 2 2 0   0  0 y  lim
 lim 2x  x  2x . 0  0 x  0 x  0 x
Vậy f  x  2x . 0  0 1 Câu 3:
Cho hàm số f x xác định trên 0;  bởi f x 
. Đạo hàm của f x tại x x  2 là 0 Page 9
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 1 1 1 1 A. . B.  . C. . D.  . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Đáp án B. Giả sử x
 là số gia của đối số tại x . 0 1 1 x  Ta có y
  f x x   f x     . 0 
 0  x xx x x x  0  0  0 0 y  1  1 lim  lim      . x   x x    x x x 2 0 0     x  0 0  0 1
Vậy f  x    f   1 2   . 0  2 x 2 0
3  4  x khi x  0   Câu 4: Cho hàm số 4 f (x)  
. Khi đó f  0 là kết quả nào sau 1  khi x  0   4 đây? 1 1 A. . B. . 4 16 1 C. . D. Không tồn tại. 32 Hướng dẫn giải Đáp án B 3  4  x 1 f xf 0   2  4  x Ta có 4 4 lim  lim  lim x0 x0 x0 x  0 x 4x
2 4 x2 4 xx 1 1  lim  lim  lim  . x0
4x 2  4  x
x0 4x 2  4  x x0 42  4  x  16 Page 10
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 2
x khi x  2  Câu 5: Cho hàm số 2
f (x)   x
. Để hàm số này có đạo hàm tại 
bx  6 khi x  2   2
x  2 thì giá trị của b là A. b  3. B. b  6. C. b  1. D. b  6. Hướng dẫn giải Đáp án B Ta có  f 2  4
 lim f x 2  lim x  4 x2 x2 2  x
 lim f x  lim 
bx  6  2b  8   x2 x2 2  
f x có đạo hàm tại x  2 khi và chỉ khi f x liên tục tại x  2
 lim f x  lim f x  f 2  2b  8  4  b  6. x 2 x 2   Câu 6:
Số gia của hàm số f x 2
x  4x 1 ứng với x và x  là A. x
 x  2x  4. B. 2x   . x C.  .
x 2x  4 x  . D. 2x  4 . x Hướng dẫn giải Đáp án A Ta có y   f x
  x  f x   x
  x2  4 x
  x 1  2 x  4x   1 2 2 2 2  x   2 .
x x x  4 x
  4x 1 x  4x 1  x   2 . x x  4 x   x   x   2x  4 Câu 7:
Cho hàm số y f (x) có đạo hàm tại x là f '(x ) . Khẳng định nào sau đây sai? 0 0
f (x)  f (x ) A. 0 f (  x )  lim . 0 x 0 x x x0 Page 11
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
f (x x  )  f (x ) B. 0 0 f (  x )  lim . 0 x  0 x
f (x h)  f (x ) C. 0 0 f (  x )  lim . 0 h0 h
f (x x )  f (x ) D. 0 0 f (  x )  lim . 0 xx0 x x0 Hướng dẫn giải Đáp án D
A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm). B. Đúng vì
x x x x  x x 0 0
y f x x   f x 0   0 
f (x)  f (x )
f x x   f x
f x  x f x 0 0   0   0   0   f (  x )  lim   0 xx0 x x x   x x x  0 0 0 C. Đúng vì
Đặt h  x x x x h x , y f x  x f x 0   0  0 0
f (x)  f (x )
f x h f x
f x h f x 0 0   0   0   0   f (  x )  lim   0 x 0 x x x
h x x h 0 0 0
Vậy D là đáp án sai. Câu 8: Xét ba mệnh đề sau:
(1) Nếu hàm số f x có đạo hàm tại điểm x x thì f x liên tục tại điểm đó. 0
(2) Nếu hàm số f x liên tục tại điểm x x thì f x có đạo hàm tại điểm đó. 0
(3) Nếu f x gián đoạn tại x x thì chắc chắn f x không có đạo hàm tại điểm 0 đó. Trong ba câu trên:
A. Có hai câu đúng và một câu sai.
B. Có một câu đúng và hai câu sai. Page 12
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
C. Cả ba đều đúng. D. Cả ba đều sai. Hướng dẫn giải Đáp án A
(1) Nếu hàm số f x có đạo hàm tại điểm x x thì f x liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh 0 đề đúng.
(2) Nếu hàm số f x liên tục tại điểm x x thì f x có đạo hàm tại điểm đó. 0 Phản ví dụ
Lấy hàm f x  x ta có D   nên hàm số f x liên tục trên  . 
f x  f 0 x  0 x  0 lim  lim  lim  1  x0 x0 x0 x  0 x  0  x  0 Nhưng ta có 
f x  f 0 x  0 x  0  lim  lim  lim  1 x0 x0 x0  x  0 x  0  x  0
Nên hàm số không có đạo hàm tại x  0 .
Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.
(3) Nếu f x gián đoạn tại x x thì chắc chắn f x không có đạo hàm tại điểm 0 đó.
Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có f x không liên tục tại x x thì f x có đạo hàm tại 0 điểm đó.
Vậy (3) là mệnh đề đúng. Câu 9: Xét hai câu sau: x (1) Hàm số y
liên tục tại x  0 x  1 x (2) Hàm số y
có đạo hàm tại x  0 x  1 Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (2) đúng.
B. Chỉ có (1) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai. Hướng dẫn giải Đáp án B Page 13
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736  x lim  0 x x Ta có : x0  x  1  lim
f 0 . Vậy hàm số y
liên tục tại x  0 x0 x  1  x  1 f 0  0  x
f x  f    0 0 x Ta có : x  1   (với x  0 ) x  0 x x x   1 
f x  f 0 x 1 lim  lim  lim  1 x0 x0 x  0  x
x   x0 1  x  1 Do đó : 
f x  f 0 x 1   lim  lim  lim  1 x0 x0 x  0
x x   x0 1  x  1 
f x  f 0
Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của khi x  0 x  0 . x Vậy hàm số y
không có đạo hàm tại x  0 x  1 2  x  khi x  1
Câu 10: Cho hàm số f (x)   2
. Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm
ax b khi x  1 
số có đạo hàm tại x  1 ? 1 1 1
A. a  1;b   . B. a  ;b  . 2 2 2 1 1 1 C. a  ;b   .
D. a  1;b  . 2 2 2 Hướng dẫn giải Đáp án A 1
Hàm số liên tục tại x  1 nên Ta có a b  2
f x  f   1
Hàm số có đạo hàm tại x  1 nên giới hạn 2 bên của bằng nhau và Ta x  1 có
f x  f   1
ax b   .1 a ba x   1 lim  lim  lim
 lim a a x 1 x 1 x 1 x 1 x  1 x  1 x  1      Page 14
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 2 x 1 f xf   1    x   1  x   1  x   1 2 2 lim  lim  lim  lim  1 x 1 x 1 x 1 x  1 x  1  2  x   x 1 1      2 1
Vậy a  1;b   2 2 x
Câu 11: Số gia của hàm số f x 
ứng với số gia x của đối số x tại x  1  là 2 0 1 1 A. x  2   . x B.  x2 x    . 2 2   1 1 C.  x2 x    . D. x  2   . x 2   2 Hướng dẫn giải Đáp án A Với số gia x
 của đối số x tại x  1  Ta có 0
1 x2 1 1 x2  2 x  1 1 y     
x2  x  2 2 2 2 2 yCâu 12: Tỉ số
của hàm số f x  2x x   1 theo x và x  là x
A. 4x  2x  2.
B. x   x  2 4 2  2.
C. 4x  2x  2. D. x x   x2 4 2  2 . x Hướng dẫn giải Đáp án C y
f x  f x0   x x x0 2x x   1  2x x 1 0  0   x x0 2  x x x x  2 x x 0   0   0   x x0
 2x  2x  2 0  4x  2 x   2 Page 15
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Câu 13: Cho hàm số   2
f x x x , đạo hàm của hàm số ứng với số gia x  của đối số x tại x0 là 2 A. lim x   2x x   x . B. lim  x   2x   1 . x  0     x  0 2 C. lim  x   2x   1 . D. lim x   2x x   x  . x  0     x  0 Hướng dẫn giải Đáp án B Ta có :
y   x  x2   x x     2 x x 0 0 0 0   x  2x x    x  2 2 2  x x
  x x 0 0 0 0 0
 x2  2x x x  0 y
x2  2x x   x
Nên f '  x  0  lim  lim  lim x   2x 1 0  0  x0 x  0 x0 xx
Vậy f '  x  lim  x   2x   1 x0 Câu 14: Cho hàm số   2
f x x x . Xét hai câu sau:
(1). Hàm số trên có đạo hàm tại x  0 .
(2). Hàm số trên liên tục tại x  0 . Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (1) đúng.
B. Chỉ có (2) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai. Hướng dẫn giải Đáp án B Ta có
+) lim f x  lim  2 x x  .    0 x0 x0
+) lim f x  lim  2 x x  .    0 x0 x0 +) f 0  0 .
 lim f x  lim f x  f 0 . Vậy hàm số liên tục tại x  0 . x 0 x 0   Page 16
Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Mặt khác: 2 f x f 0   x x +) f 0       lim  lim  lim  x   1  1. x0 x0 x0 x  0 x  2 f x f 0   x x +) f 0       lim  lim  lim  x   1  1  . x0 x0 x0 x  0 x
f 0   f 0  
. Vậy hàm số không có đạo hàm tại x  0 .
Câu 15: Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số
y f (x) tại x  1? 0
f (x x  )  f (x )
f (x)  f (x ) A. 0 lim . B. 0 lim . x  0  xx0 x x0
f (x)  f (x )
f (x  x)  f (x) C. 0 lim . D. 0 lim . x 0 x x x x  0  x  0 Hướng dẫn giải Đáp án C
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.
Câu 16: Số gia của hàm số   3
f x x ứng với x  2 và x   1 bằng bao nhiêu? 0 A. 19 . B. 7 . C. 19 . D. 7  . Hướng dẫn giải Đáp án C Ta có
y f x  x  f x    x x
 3  2  x   x  3 3 3  3x xx x   8 . 0 0 0 0 0  0 
Với x  2 và x   1 thì y   19 . 0 Page 17
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A. LÝ THUYẾT
1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
Hàm số hằng y c có đạo hàm trên  và y '  0 ;
Hàm số y x có đạo hàm trên  và y '  1 ; Hàm số n
y x n  , n  2 có đạo hàm trên  và 1 ' n y nx   ; 1
Hàm số y x có đạo hàm trên khoảng 0;  và y '  . 2 x
2. Các quy tắc tính đạo hàm
u v'  u ' v '
u v'  u ' v '
uv'  u 'v  .
u v ' hệ quả k.u '  k.u ' ' '  u u '.v  . u v '  1  u '    hệ quả   2   2  v vu u
3. Đạo hàm hàm hợp
Cho hàm số y f (u(x))  f (u) với u u(x) .
Khi đó : y '  y ' .u ' x u x
Đạo hàm của các hàm thường gặp Đạo hàm Hàm hợp   1 (x ) '  x   u   1 ' u   .u '  x 1 '   u ' u u ' '  n u '  2 x 2 u n n 1 n u  n x 1 '  n n 1 n x
Các quy tắc tính đạo hàm 1
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 B. Bài tập
Dạng 1: Tính đạo hàm bằng các quy tắc đạo hàm
Ví dụ 1: Tính đạo hàm cuả các hàm số sau 1 a) 4 3 y  2x
x  2 x  5 . b) y   2 x   2 x   2 1 4 x  9 3   2x 1
c) y   x   1 1 1   d) y   x  3  x 1 2 x  3x  3 2 1 x x e) y  f) y x 1 2 1 x x Hướng dẫn giải 1 a) Ta có 3 2
y '  8x x  . x b) Ta có    y   2 x    2 x   2 x     2 x   2 x    2 x     2 x   2 x   2 ' 1 4 9 1 4 9 1 4 x  9  x  2 x   2 x     2
x   x  2 x     2 x   2
x   x x  4 2 2 4 9 1 2 9 1 4 2 2
3x  28x  49 c) Ta có             
y   x   1      x   1 1 1          x   1 1 x 1 ' 1 1 1 1 1 1         x   x  2 x x   2x x  2 x x  2x  1   3x  1 2x  1  3x  1         2  3  x   1  32x   1 5 d) Ta có y '    .  3  x  2 1  3  x  2 1  3  x  2 1 e) Ta có  2  x 3x 3  x  1  2 x 3x 3 x  1        
2x  3 x   1   2
x  3x  3 2 x  2x y '    .  x  2 1  x  2 1  x  2 1
Các quy tắc tính đạo hàm 2
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736  2  
1 x x   2
1 x x    2
1 x x  2 1 x x  f) Ta có y ' 
1 x x 2 2 1 2x 2
1 x x    2
1 x x  1   2x 2 1 2x   .
1 x x 2
1 x x 2 2 2
Dạng 2: Đạo hàm của hàm hợp
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) y   x x  4 2 1 .
b) y   x x5 2 2 . 2 1  x   1 c) y  . d) y  .  3
x  2x  52 2  x   1 3 3  2x 1   3  e) y    . f) y  2   . 2   x 1   x Hướng dẫn giải 3 3 a) Ta có  y   2
x x    2
x x     x    2 ' 4. 1 . 1 4. 2
1 . x x   1 . 4 4 b) Ta có  y   2 x x  2
x x   x    2 ' 5. 2 . 2 5. 2
2 . x  2x .  x 2x 52 2      2.    2
x  2x  5  2
x  2x  5 2.  2x  2 c) Ta có y '   .
x  2x  54
x  2x  54
x  2x  53 2 2 2    x 2 1  . x 3 1  x 2 1 . x 3 1       d) Ta có     y '   x  6 1 2. x  1  . x  1 . x 3 1  x 2 1 .3. x  1        . x  2 1   x  6 1
Các quy tắc tính đạo hàm 3
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 2. x   1 . x  3 1  3 x  2 1 . x  2 1 2. x   1 . x   1  3 x  2 2 1
x  6x  5    .  x  6 1  x  4 1  x  4 1 e) Ta có 2     
 2x 1   2x 1  2x   1  x   1  2x   1  x   2 1  2x 1  92x  2 1 y ' 3. . 3.     .         .
x 1   x 1    x  2 1   x 1   x  4 1   2 2 2 3     3   6   3  18  3 
f) Ta có y '  3. 2  . 2   3. 0  . 2   . 2   . 2   2   3   2  3  2   x   x   x   x x x
Ví dụ 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y x x .
b) y   x   2 2 . x  3 .
c) y   x  3 2 . d) y     x 3 1 1 2 . 3 x 4x 1 e) y  . f) y x 1 2 x  2 Hướng dẫn giải 1   x x  1  2 x 2 x 1 a) Ta có y '   . 2 x x 2 x x 4. x. x x 2  x 2x  2x  3 b) Ta có y '  x 2 2   
. x  3   x  2. 2 x  3  2 
x  3   x  2.  . 2 2 x  3 x  3   x  23  3.  
x  2 . x  22 3 x  22 3 x  22 c) Ta có y '     . 2  x  23 2  x  23 2  x  23 2  x  23
Các quy tắc tính đạo hàm 4
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 d) Ta có    y
   x    x2        x 2      x2 1 3 ' 3. 1 1 2 . 1 1 2 3. 0 . 1 1 2 . 1 1 2 .  1 2x  1 2x     3 
x  . x   3
1  x . x   2 1
3x . x   3 3 1  x x   x 1    x  2 1  x  2 2 1 x 2x  3 e) Ta có y '     . 3 3 3 3 x x x x 2 2 2 2. x  2 1 x 1 x 1 x 1 x 1   x  2 4x  2 1  
x  2  4x   1  2 x  2 
4 x  2  4x   1   2  x  2 f) Ta có y '    2 x  2 2 x  2 x  8   2 x  2 2 x  2
Dạng 3: Hàm trị tuyệt đối
Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số sau 2
x  3x 1 khi x  1 a) f (x)   b) f x 2
x x 1
2x  2 khi x  1  Hướng dẫn giải a) Với 2
x  1  f (x)  x  3x 1  f '(x)  2x  3
Với x  1 f (x)  2x  2  f '(x)  2
Với x  1 ta có: lim f (x)  lim     
 hàm số không liên tục tại x  1 ,    2 x 3x  1 1 f (1) x 1  x 1 
suy ra hàm số không có đạo hàm tại x  1
2x  3 khi x  1
Vậy f '(x)   . 2 khi x  1  b) Với 2
x  1  f (x)  x x 1  f '(x)  2x 1
Các quy tắc tính đạo hàm 5
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
2x 1 khi x  1 Với 2
x  1  f (x)  x x 1  f '(x)  2x 1 . Vậy f '(x)  
2x 1 khi x  1 
C. BÀI TẬP TRÁC NGHIỆM 2
x  2x  3 Câu 1. Cho hàm số y
. Đạo hàm y của hàm số là biểu thức nào sau x  2 đây? 3 3 A. 1 . B. 1 . 2 (x  2) 2 (x  2) 3 3 C. 1 . D. 1 . 2 (x  2) 2 (x  2) 1 Câu 2. Cho hàm số y
. Đạo hàm y của hàm số là biểu thức nào sau đây? 2 x 1 x x x 2 x(x 1) A. . B.  . C. . D.  2 2 (x 1) x 1 2 2 (x 1) x 1 2 2 2(x 1) x 1 2 x 1 Câu 3. Cho hàm số   3 f x
x . Giá trị f  8 bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. - . D.  . 6 12 6 12 1 Câu 4.
Cho hàm số f x  x 1 
. Để tính f  , hai học sinh lập luận theo hai x 1 cách: x x  2
(I) f x 
f ' x  . x 1 2 x   1 x 1 1 1 x  2
(II) f x    . 2 x 1 2 x   1 x 1 2 x   1 x 1 Cách nào đúng?
Các quy tắc tính đạo hàm 6
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 A. Chỉ (I). B. Chỉ (II)
C. Cả hai đều sai.
D. Cả hai đều đúng. 3 Câu 5. Cho hàm số y
. Để y  0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây? 1 x A. 1. B. 3. C.  . D. . Câu 6.
Cho hàm số f x  x 1 . Đạo hàm của hàm số tại x  1 là 1 A. . B. 1. C. 0 D. Không tồn tại. 2 2 x  2x  3 Câu 7. Cho hàm số y
. Đạo hàm y của hàm số là x  2 3 2 x  6x  7 A. 1+ . B. . 2 (x  2) 2 (x  2) 2 x  4x  5 2 x  8x 1 C. . D. . 2 (x  2) 2 (x  2) 2 1 3x x Câu 8.
Cho hàm số f (x) 
. Tập nghiệm của bất phương trình f (  x)  0 là x 1 A. \    1 . B. .  C. 1;  . D. .  Câu 9. Đạo hàm của hàm số 4 2
y x  3x x 1 là A. 3 2
y '  4x  6x 1. B. 3 2
y '  4x  6x  . x C. 3 2
y '  4x  3x  . x D. 3 2
y '  4x  3x 1. 1
Câu 10. Hàm số nào sau đây có y '  2x  ? 2 x
Các quy tắc tính đạo hàm 7
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 3 x 1 2 3(x x) A. y B. y x 3 x 3 x  5x 1 2 2x x 1 C. y D. y x x
Câu 11. Cho hàm số y f x   2  x  2 1 2
1 2x . Ta xét hai mệnh đề sau: 2x  2 1 6x
(I) f  x  2 1 2x
(II) f xf  x  x  4 2 . 2
12x  4x   1 Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (II). B. Chỉ (I).
C. Cả hai đều sai.
D. Cả hai đều đúng. 1
Câu 12. Cho hàm số f x  . Đạo hàm của f tại x  2 là x 1 1 1 1 A. . B.  . C. . D.  . 2 2 2 2
Câu 13. Cho hàm số f x   x  2 2 3
1 . Giá trị f   1 là A. 4. B. 8. C. -4. D. 24. 1 1
Câu 14. Đạo hàm của hàm số y  
bằng biểu thức nào sau đây? 3 2 x x 3 1 3  2 A.  . B.  . 4 3 x x 4 3 x x 3 2 3 1 C.  . D.  . 4 3 x x 4 3 x x
Các quy tắc tính đạo hàm 8
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Câu 15. Đạo hàm của hàm số 7 y  2  x
x bằng biểu thức nào sau đây? 2 A. 6 14x  2 x. B. 6 14x  . x 1 1 C. 6 14  x  . D. 6 14x  . 2 x x 2x
Câu 16. Cho hàm số f x 
. Giá trị f   1 là x 1 1 1 A. . B.  . 2 2 C. – 2. D. Không tồn tại. Câu 17. Cho hàm số 2
y  1 x thì f 2 là kết quả nào sau đây? 2 2 A. f (  2)  . B. f (  2)  . 3 3 2  C. f (  2)  . D. Không tồn tại. 3 2x 1
Câu 18. Đạo hàm của hàm số y  là x  2 5 x  2 1 5 x  2 A. y  . . B. y '  . . . 2x  2 1 2x 1 2 2x  2 1 2x 1 1 x  2 1 5 x  2 C. y '  . . D. y '  . . . 2 2x 1 2  x  22 2x 1
Câu 19. Đạo hàm của y   x x 2 5 2 2 là A. 9 6 3
y  10x  28x 16x . B. 9 6 3
y  10x 14x 16x .
Các quy tắc tính đạo hàm 9
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 C. 9 3
y  10x 16x . D. 6 3
y  7x  6x 16 . x
Câu 20. Đạo hàm của hàm số 4
y  (7x  5) bằng biểu thức nào sau đây A. 3 4(7x  5) . B. 3 28(7x  5) . C. 3 28(7x  5) . D. 28 . x 1
Câu 21. Đạo hàm của hàm số y
bằng biểu thức nào sau đây 2 x  2x  5 2x  2 2  x  2 A. y  . B. y  .
x  2x  52 2
x  2x  52 2 1 C. 2
y  (2x  2)(x  2x  5). D. y  . 2x  2 Câu 22. Cho hàm số 3 2
y  3x x 1. Để y  0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây  2   9  A.  ;0 .  B.  ;0 . 9       2   9   2  C.  ;    0;   . D.  ;    0;  . 2      9  1
Câu 23. Đạo hàm của y  bằng : 2 2x x 1  4x   1  4x   1 A. . B. .
2x x  2 2 1
2x x  2 2 1 1  4x   1 C. . D. .
2x x  2 2 1
2x x  2 2 1
Câu 24. Đạo hàm của hàm số 2 y  . x x  2x là
Các quy tắc tính đạo hàm 10
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 2x  2 2 3x  4x A. y  . B. y  . 2 x  2x 2 x  2x 2 2x  3x 2 2x  2x 1 C. y  . D. y  . 2 x  2x 2 x  2x
Câu 25. Cho hàm số f x 2
 2x  3x . Hàm số có đạo hàm f  x bằng
A. 4x  3. B. 4  x  3.
C. 4x  3.
D. 4x  3. 2
Câu 26. Cho hàm số f x  x 1 . Xét hai câu sau: x 1 2 x  2x 1
(I) f  x  x
  1 (II) f  x  0 x   1.  x  2 1 Hãy chọn câu đúng: A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng.
C. Cả hai đều sai.
D. Cả hai đều đúng. 2 x x 1
Câu 27. Cho hàm số f (x)  . Xét hai câu sau: x 1 1 2 x  2x (I ) : f (  x)  1
, x  1. (II ) : f (  x)  , x  1. 2 (x 1) 2 (x 1) Hãy chọn câu đúng:
A. Chỉ (I ) đúng.
B. Chỉ (II ) đúng.
C. Cả (I ); (II ) đều sai.
D. Cả (I ); (II ) đều đúng.
Câu 28. Đạo hàm của hàm số 3 2 2016
y  (x  2x ) là: A. 3 2 2015
y  2016(x  2x ) . B. 3 2 2015 2
y  2016(x  2x ) (3x  4x).
Các quy tắc tính đạo hàm 11
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 C. 3 2 2
y  2016(x  2x )(3x  4x). D. 3 2 2
y  2016(x  2x )(3x  2x). x(1 3x)
Câu 29. Đạo hàm của hàm số y
bằng biểu thức nào sau đây? x 1 2 9
x  4x 1 2 3
x  6x 1 2 1  6x A. . B. . C. 2 1 6x . D. . 2 (x 1) 2 (x 1) 2 (x 1)
Câu 30. Đạo hàm của 2
y  3x  2x 1 bằng: 3x 1 6x  2 A. . B. . 2 3x  2x 1 2 3x  2x 1 2 3x 1 1 C. . D. . 2 3x  2x 1 2 2 3x  2x 1 2
2x x  7
Câu 31. Cho hàm số y
. Đạo hàm y của hàm số là: 2 x  3 2 3
x 13x 10 2 x x  3 A. . B. . 2 2 (x  3) 2 2 (x  3) 2
x  2x  3 2 7
x 13x 10 C. . D. . 2 2 (x  3) 2 2 (x  3) Câu 32. Cho hàm số 2 y
2x  5x  4 . Đạo hàm y của hàm số là: 4x  5 4x  5 A. . B. . 2
2 2x  5x  4 2 2x  5x  4 2x  5 2x  5 C. . D. . 2
2 2x  5x  4 2 2x  5x  4 Câu 33. Cho hàm số 3
f (x)  2x 1. Giá trị f (  1  ) bằng: A. 6. B. 3. C. 2. D. 6.
Các quy tắc tính đạo hàm 12
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Câu 34. Cho hàm số f (x)  ax  .
b Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. f (  x)   . a B. f (  x)   . b C. f (  x)  . a D. f (  x)  . b
Câu 35. Đạo hàm của hàm số y  10 là: A. 10. B. 10. C. 0. D. 10 . x Câu 36. Cho hàm số 3
f (x)  2mx mx . Số x  1 là nghiệm của bất phương trình f (
x)  1 khi và chỉ khi: A. m  1. B. m  1.
C. 1  m  1. D. m  1  . 1 1
Câu 37. Đạo hàm của hàm số y  
tại điểm x  0 là kết quả nào sau đây? 2 x x A. 0 . B. 1. C. 2 . D. Không tồn tại. 2 x khi x  1
Câu 38. Cho hàm số y f (x)  
. Hãy chọn câu sai: 2x 1 khi x  1  A. f   1  1.
B. Hàm số có đạo hàm tại x  1. 0 2x khi x  1
C. Hàm số liên tục tại x  1. D. f (  x)   . 0 2 khi x  1  3 Câu 39. Cho hàm số 3
f (x)  k. x
x . Với giá trị nào của k thì f (  1)  ? 2 9 A. k  1. B. k  . C. k  3. D. k  3. 2 x
Câu 40. Đạo hàm của hàm số y
bằng biểu thức nào sau đây? 1 2x 1 1 A. . B. . 2 2 x (1 2x) 4 x
Các quy tắc tính đạo hàm 13
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 1 2x 1 2x C. . D. . 2 2 x (1 2x) 2 2 x (1 2x) 2x  3
Câu 41. Đạo hàm của hàm số y   2x là: 5  x 13 1 17 1 A. y   . B. y   .  x  52 2x
x  52 2 2x 13 1 17 1 C. y   . D. y   .
x  52 2 2xx  52 2x
Câu 42. Đạo hàm của hàm số y   x   2 2 1 x x là: 2 4x 1 2 4x 1 A. 2
y  2 x x  . B. 2
y  2 x x  . 2 2 x x 2 x x 2 4x 1 2 4x 1 C. 2
y  2 x x  . D. 2
y  2 x x  . 2 2 x x 2 2 x x 3x  5
Câu 43. Cho hàm số y
. Đạo hàm y của hàm số là: 1   2x 7 1 13 13 A. . B. . C.  . D. . 2 (2x 1) 2 (2x 1) 2 (2x 1) 2 (2x 1)
Câu 44. Đạo hàm của y   x x 2 3 2 2 bằng : A. 5 4 3
6x  20x 16x . B. 5 3 6x 16x . C. 5 4 3
6x  20x  4x . D. 5 4 3
6x  20x 16x . 2x  5
Câu 45. Cho hàm số y
. Đạo hàm y của hàm số là: 2 x  3x  3 2 2x 10x  9 2 2
x 10x  9 A. . B. . 2 2 (x  3x  3) 2 2 (x  3x  3)
Các quy tắc tính đạo hàm 14
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 2 x  2x  9 2 2
x  5x  9 C. . D. . 2 2 (x  3x  3) 2 2 (x  3x  3) 1
Câu 46. Cho hàm số f x 3 2 
x  2 2x  8x 1. Tập hợp những giá trị của x để 3
f  x  0 là: A. 2 2. B. 2; 2 . C. 4 2. D. 2 2. x  9
Câu 47. Đạo hàm của hàm số f x 
 4x tại điểm x  1 bằng: x  3 5 25 5 11 A.  . B. . C. . D. . 8 16 8 8 x 1
Câu 48. Đạo hàm của hàm số y
bằng biểu thức nào sau đây? 2 x 1 2x 1 x 2(x 1) A. . B. . C. . D. 2 x 1 2 3 (x 1) 2 3 (x 1) 2 x x 1 . 2 3 (x 1) 1
Câu 49. Đạo hàm của hàm số y  là:
x 1  x 1 1 1 A. y   . B. y  .
x 1 x 12
2 x 1  2 x 1 1 1 1 1 C. y   . D. y   . 4 x 1 4 x 1 2 x 1 2 x 1
Câu 50. Cho hàm số y  4x x . Nghiệm của phương trình y  0 là 1 1 1 1 A. x  . B. x  . C. x  . D. x   . 8 8 64 64
Các quy tắc tính đạo hàm 15
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 HƯỚNG DẪN GIẢI 2
x  2x  3 Câu 1. Cho hàm số y
. Đạo hàm y của hàm số là biểu thức nào sau x  2 đây? 3 3 A. 1   . B. 1 . 2 (x  2) 2 (x  2) 3 3 C. 1   . D. 1 . 2 (x  2) 2 (x  2) Hướng dẫn giải  2  x
2x 3  x 2  2 x
2x 3 x 2          Ta có y  2 .  x  2  2
x  2 x  2   2
x  2x  3 2 .1 x  4x 1 3    1    x  22  x  22  x  22 Đáp án C. 1 Câu 2. Cho hàm số y
. Đạo hàm y của hàm số là biểu thức nào sau đây? 2 x 1 x x A. . B.  . 2 2 (x 1) x 1 2 2 (x 1) x 1 x 2 x(x 1) C. . D.  . 2 2 2(x 1) x 1 2 x 1 Hướng dẫn giải       2 x 1   2  x   1 1 x y       . 2 2 2 x 1  x 1  2 x 1  2 x   2 1 x 1  2 x   1
Các quy tắc tính đạo hàm 16
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Đáp án B. Câu 3. Cho hàm số   3 f x
x . Giá trị f  8 bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. - . D.  . 6 12 6 12 Hướng dẫn giải 1  2  2   1 1  1  1 Với x  0 f   xx x f     8 2 3 3 3  .8  2    . 3 3 3 12   Đáp án B. 1 Câu 4.
Cho hàm số f x  x 1 
. Để tính f  , hai học sinh lập luận theo hai x 1 cách: x x  2
(I) f x 
f ' x  . x 1 2  x   1 x 1 1 1 x  2
(II) f x    . 2 x 1 2 x   1 x 1 2  x   1 x 1 Cách nào đúng? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II)
C. Cả hai đều sai.
D. Cả hai đều đúng. Hướng dẫn giải 1 x x 1   . x 1 x 1
Các quy tắc tính đạo hàm 17
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 x x 1   x   2 x 1 x  2 Lại có   nên cả hai đều đúng.    x 1  x 1
2 x 1  x   1 Đáp án D. 3 Câu 5. Cho hàm số y
. Để y  0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây? 1 x A. 1. B. 3. C.  . D. . Hướng dẫn giải
Tập xác định D R \   1 . 3 y   0 x   D . Chọn C. 1 x2 Câu 6.
Cho hàm số f x  x 1 . Đạo hàm của hàm số tại x  1 là 1 A. . B. 1. 2 C. 0 D. Không tồn tại. Hướng dẫn giải 1
Ta có f ' x  Đáp án D. 2 x  1 2 x  2x  3 Câu 7. Cho hàm số y
. Đạo hàm y của hàm số là x  2 3 2 x  6x  7 A. 1+ . B. . 2 (x  2) 2 (x  2)
Các quy tắc tính đạo hàm 18
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 2 x  4x  5 2 x  8x 1 C. . D. . 2 (x  2) 2 (x  2) Hướng dẫn giải  2  x
2x 3  x 2  x 2       2
x  2x  3 2x  2 x  2   2
x  2x  3 y   2 2  x  2  x  2
2x  2 x  2   2
x  2x  3 2 x  4x  7 3   1 .  x  22  x  22  x  22 Đáp án A. 2 1 3x x Câu 8.
Cho hàm số f (x) 
. Tập nghiệm của bất phương trình f (  x)  0 là x 1 A. \    1 . B. . C. 1; . D. .  Hướng dẫn giải 2 
 1 3x x f (  x)    x 1    2  1 3x x   x  1  2 1 3x x  x  1          2  x   1  3
  2x x   1   2
1 3x x  2 x  2x  2    x  2 1  x  2 1  x  2 1 1   0, x   1  x  2 1 Đáp án A Câu 9. Đạo hàm của hàm số 4 2
y x  3x x 1 là A. 3 2
y '  4x  6x 1. B. 3 2
y '  4x  6x  . x C. 3 2
y '  4x  3x  . x D. 3 2
y '  4x  3x 1.
Các quy tắc tính đạo hàm 19
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức Đáp án A 1
Câu 10. Hàm số nào sau đây có y '  2x  ? 2 x 3 x 1 2 3(x x) A. y B. y x 3 x 3 x  5x 1 2 2x x 1 C. y D. y x x Hướng dẫn giải 3 x 1 1 1 Kiểm tra đáp án A 2 y   x
y  2x  đúng. 2 x x x Đáp án A
Câu 11. Cho hàm số y f x   2  x  2 1 2
1 2x . Ta xét hai mệnh đề sau: 2x  2 1 6x
(I) f  x  2 1 2x
(II) f xf  x  x  4 2 . 2
12x  4x   1 Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (II). B. Chỉ (I).
C. Cả hai đều sai.
D. Cả hai đều đúng. Hướng dẫn giải Ta có
Các quy tắc tính đạo hàm 20
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736   2x
f  x   2 1 2x  2 1 2x   2 1 2x  2 1 2x  2  4
x 1 2x   2 1 2x  2 1 2x 4x  2 1 2x    2 1 2x .2x 2  x    2 3 1 6 2 12 x x x     2 2 2 1 2x 1 2x 1 2x Suy ra 2  x  2 1 6x 2 2 
f x. f  x  1 2x  1 2x .  2x  2 1 2x  2 1 6x  2 1 2x  2x  4 2
12x  4x   1  2x  4 2
12x  4x   1 Đáp án D 1
Câu 12. Cho hàm số f x 
. Đạo hàm của f tại x  2 là x 1 1 1 1 A. . B.  . C. . D.  . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải 1 1
f  x    f  2   2   Đáp án B x 2
Câu 13. Cho hàm số f x   x  2 2 3
1 . Giá trị f   1 là A. 4. B. 8. C. -4. D. 24. Hướng dẫn giải Ta có 
f  x   2 x   2 x    x  2 2 3 1 3 1 12 3x   1  f   1  24 Đáp án D 1 1
Câu 14. Đạo hàm của hàm số y  
bằng biểu thức nào sau đây? 3 2 x x
Các quy tắc tính đạo hàm 21
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 3  1 3  2 A.  . B.  . 4 3 x x 4 3 x x 3  2 3 1 C.  . D.  . 4 3 x x 4 3 x x Hướng dẫn giải 2 1 1    3x 2x 3 2 Ta có y          3 2  6 4 4 3  x x x x x x Đáp án A
Câu 15. Đạo hàm của hàm số 7 y  2  x
x bằng biểu thức nào sau đây? 2 A. 6 14x  2 x. B. 6 14x  . x 1 1 C. 6 14  x  . D. 6 14x  . 2 x x Hướng dẫn giải  1 Ta có y   7 2  x x  6  1  4x  2 x Đáp án C 2x
Câu 16. Cho hàm số f x 
. Giá trị f   1 là x 1 1 1 A. . B.  . 2 2 C. – 2. D. Không tồn tại. Hướng dẫn giải
Các quy tắc tính đạo hàm 22
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736  2x   2 x   1  2x 2 
Ta có f  x       x 1  x  2 1  x  2 1
Suy ra không tồn tại f   1 . Đáp án D Câu 17. Cho hàm số 2
y  1 x thì f 2 là kết quả nào sau đây? 2 2  2 A. f (  2)  . B. f (  2)  . C. f (  2)  . D. Không 3 3 3  tồn tại. Hướng dẫn giải Đáp án D  2  xx
Ta có f  x   2 1 x    2 2 2 1 x 1 x
Không tồn tại f 2 . 2x 1
Câu 18. Đạo hàm của hàm số y  là x  2 5 x  2 1 5 x  2 A. y  . . B. y '  . . . 2x  2 1 2x 1 2 2x  2 1 2x 1 1 x  2 1 5 x  2 C. y '  . . D. y '  . . . 2 2x 1 2  x  22 2x 1 Hướng dẫn giải
Các quy tắc tính đạo hàm 23
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Đáp án D. 1  2x 1    1 5 x  2 Ta có y  .  . . .  
2x 1  x  2  2  x  22 2x 1 2 x  2
Câu 19. Đạo hàm của y   x x 2 5 2 2 là A. 9 6 3
y  10x  28x 16x . B. 9 6 3
y  10x 14x 16x . C. 9 3
y  10x 16x . D. 6 3
y  7x  6x 16 . x Hướng dẫn giải Ta có  y   5 2 x x  5 2
x x    5 2 x x  4 x x 9 6 3 2. 2 2 2 2 5 4
 10x  28x 16x . Đáp án A
Câu 20. Đạo hàm của hàm số 4
y  (7x  5) bằng biểu thức nào sau đây A. 3 4(7x  5) . B. 3 28(7x  5) . C. 3 28(7x  5) . D. 28 . x Hướng dẫn giải Đáp án C 3 3 Vì y
4 7x 5 7x 5    
 28 7x  5 . 1
Câu 21. Đạo hàm của hàm số y
bằng biểu thức nào sau đây 2 x  2x  5 2x  2 2x  2 A. y  . B. y  .
x  2x  52 2
x  2x  52 2 1 C. 2
y  (2x  2)(x  2x  5). D. y  . 2x  2
Các quy tắc tính đạo hàm 24
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Hướng dẫn giải  2 
x  2x  5 2  x  2 Vì y    .
x  2x  52 x  2x  52 2 2 Đáp án B Câu 22. Cho hàm số 3 2
y  3x x 1. Để y  0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây  2   9  A.  ;0 . B.  ;0 .  9       2   9   2  C. ;   0;   . D. ;   0;   . 2      9  Hướng dẫn giải 3 2 2
y  3x x 1  y  9x  2x 2 y  0    x  0 9 Đáp án A 1
Câu 23. Đạo hàm của y  bằng : 2 2x x 1  4x   1  4x   1 A. . B. .
2x x  2 2 1
2x x  2 2 1 1  4x   1 C. . D. .
2x x  2 2 1
2x x  2 2 1 Hướng dẫn giải
Các quy tắc tính đạo hàm 25
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736  1   2 2x x   1  4x   1 y   y   2 2x x 1  2
2x x  2 1  2
2x x  2 1 Đáp án A
Câu 24. Đạo hàm của hàm số 2 y  . x x  2x là 2x  2 2 3x  4x A. y  . B. y  . 2 x  2x 2 x  2x 2 2x  3x 2 2x  2x 1 C. y  . D. y  . 2 x  2x 2 x  2x Hướng dẫn giải 2 2 2 2x  2
x  2x x x 2x  3x 2 2 y  . x
x  2x y  x  2x  . x   2 2 2 2 x  2x x  2x x  2x Đáp án C
Câu 25. Cho hàm số f x 2  2
x  3x . Hàm số có đạo hàm f  x bằng
A. 4x  3.
B. 4x  3.
C. 4x  3.
D. 4x  3. Hướng dẫn giải f x 2  2
x  3x f  x  4  x  3 Đáp án B 2
Câu 26. Cho hàm số f x  x 1 . Xét hai câu sau: x 1 2 x  2x 1
(I) f  x  x
  1 (II) f  x  0 x   1.  x  2 1 Hãy chọn câu đúng:
Các quy tắc tính đạo hàm 26
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng.
C. Cả hai đều sai.
D. Cả hai đều đúng. Hướng dẫn giải 2 2 2 x  2x  3
f x  x 1
f  x  1   0 x   1 x 1  x  2 1  x  2 1 Đáp án B 2 x x 1
Câu 27. Cho hàm số f (x)  . Xét hai câu sau: x 1 1 2 x  2x (I ) : f (  x)  1
, x  1. (II ) : f (  x)  , x  1. 2 (x 1) 2 (x 1) Hãy chọn câu đúng:
A. Chỉ (I ) đúng.
B. Chỉ (II ) đúng.
C. Cả (I ); (II ) đều sai.
D. Cả (I ); (II ) đều đúng. Hướng dẫn giải u  
u .v v .u Áp dụng công thức  ta có:   2  v v 2 x x 1 2 2 (x x 1) .
 (x 1)  (x 1) .(
x x 1)
x  1, ta có: f (x)   f (  x)  x 1 2 (x 1) 2
(2x 1).(x 1) 1.(x x 1) 2 2
2x  2x x 1  x x 1 2 x  2xf (  x)     (II ) đúng. 2 (x 1) 2 (x 1) 2 (x 1) 2 2 2 x  2x
x  2x 11 (x 1) 1 1 Mặt khác: f (  ) x     1   (I ) đúng. 2 2 2 2 (x 1) (x 1) (x 1) (x 1)
Các quy tắc tính đạo hàm 27
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Chọn D
Câu 28. Đạo hàm của hàm số 3 2 2016
y  (x  2x ) là: A. 3 2 2015
y  2016(x  2x ) . B. 3 2 2015 2
y  2016(x  2x ) (3x  4x). C. 3 2 2
y  2016(x  2x )(3x  4x). D. 3 2 2
y  2016(x  2x )(3x  2x). Hướng dẫn giải Đặt 3 2
u x  2x thì 2016 y u , 2015 y  2016.u , 2
u  3x  4 . x u x
Theo công thức tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có: y  y .ux u x . Vậy: y  3 2 2015 2 2016.(x  2x ) .(3x  4x). Chọn B x(1 3x)
Câu 29. Đạo hàm của hàm số y
bằng biểu thức nào sau đây? x 1 2
9x  4x  1 2
3x  6x 1 2 1  6x A. . B. . C. 2 1 6x . D. . 2 (x 1) 2 (x 1) 2 (x  1) Hướng dẫn giải u  
u .v v .u x(1 3x) 2 3x x Áp dụng công thức  . Có: y   , nên:   2  v v x 1 x 1 2 2 (3x x) .(
x 1)  (x 1) .(3x x) 2
(6x 1).(x 1) 1.(3x x) y   2 (x 1) 2 (x 1) 2 2
6x  6x x 1 3x x 2 3
x  6x 1  y   . 2 (x 1) 2 (x 1) Chọn B
Các quy tắc tính đạo hàm 28
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Câu 30. Đạo hàm của 2
y  3x  2x 1 bằng: 3x 1 6x  2 A. . B. . 2 3x  2x 1 2 3x  2x 1 2 3x 1 1 C. . D. . 2 3x  2x 1 2 2 3x  2x 1 Hướng dẫn giải u
Áp dụng công thức  u   , ta được: 2 u 2
(3x  2x 1) 6x  2 3x 1 2
y  3x  2x 1  y    . 2 2 3x  2x 1 2 2 3x  2x 1 2 3x  2x 1 Chọn A 2
2x x  7
Câu 31. Cho hàm số y
. Đạo hàm y của hàm số là: 2 x  3 2 3
x 13x 10 2 x x  3 A. . B. . 2 2 (x  3) 2 2 (x  3) 2
x  2x  3 2
7x 13x 10 C. . D. . 2 2 (x  3) 2 2 (x  3) Hướng dẫn giải u  
u .v v .u Áp dụng công thức  . Ta có:   2  v v 2
2x x  7 2 2 2 2
(2x x  7) .
 (x  3)  (x  3) .(  2
x x  7) y   y  2 x  3 2 2 (x  3) 2 2 ( 4
x 1).(x  3)  2 .( x 2
x x  7) 3 2 3 2
4x 12x x  3  4x  2x 14xy   2 2 (x  3) 2 2 (x  3)
Các quy tắc tính đạo hàm 29
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 2
x  2x  3  y  . 2 2 (x  3) Chọn C Câu 32. Cho hàm số 2 y
2x  5x  4 . Đạo hàm y của hàm số là: 4x  5 4x  5 A. . B. . 2
2 2x  5x  4 2 2x  5x  4 2x  5 2x  5 C. . D. . 2
2 2x  5x  4 2 2x  5x  4 Hướng dẫn giải u
Áp dụng công thức  u  '  , ta được: 2 u 2
(2x  5x  4) 4x  5 2
y  2x  5x  4  y   . 2
2 2x  5x  4 2
2 2x  5x  4 Chọn A Câu 33. Cho hàm số 3
f (x)  2x 1. Giá trị f (  1  ) bằng: A. 6. B. 3. C. 2. D. 6. Hướng dẫn giải Có 3
f (x)  2x 1  2 f (
x)  6x f (  1  )  2 6.(1)  6. Chọn A
Câu 34. Cho hàm số f (x)  ax  .
b Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. f (  x)   . a B. f (  x)   . b C. f (  x)  . a D. f (  x)  . b
Các quy tắc tính đạo hàm 30
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Hướng dẫn giải
Có f (x)  ax b f (  x)  . a Chọn C
Câu 35. Đạo hàm của hàm số y  10 là: A. 10. B. 10. C. 0. D. 10x. Hướng dẫn giải
Có y  10  y  0. Chọn C Câu 36. Cho hàm số 3
f (x)  2mx mx . Số x  1 là nghiệm của bất phương trình f (
x)  1 khi và chỉ khi: A. m  1. B. m  1.
C. 1  m  1. D. m  1. Hướng dẫn giải Có 3
f (x)  2mx mx  2 f (
x)  2m  3mx . Nên f (
 1)  1  2m  3m  1  m  1. Chọn D 1 1
Câu 37. Đạo hàm của hàm số y  
tại điểm x  0 là kết quả nào sau đây? 2 x x A. 0 . B. 1. C. 2 . D. Không tồn tại. Hướng dẫn giải
Tập xác định của hàm số là: D  0;  .
Các quy tắc tính đạo hàm 31
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
x  0  D  không tồn tại đạo hàm tại x  0 . Chọn D 2 x khi x  1
Câu 38. Cho hàm số y f (x)  
. Hãy chọn câu sai: 2x 1 khi x  1  A. f   1  1.
B. Hàm số có đạo hàm tại x  1 0 . 2x khi x  1
C. Hàm số liên tục tại x  1 f (  x)   . 0 . D. 2 khi x  1  Hướng dẫn giải Ta có: f (1)  1 lim f x 2
 lim x  1 và lim  lim(2x 1)  1. x 1 x 1   x 1 x 1  
Vậy hàm số liên tục tại x  1 0 . C đúng. 2
f (x)  f (1) x 1 Ta có: lim  lim  lim  x   1  2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1    
f (x)  f (1) (2x 1) 1 2 x   1 lim  lim  lim  2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1     x 1
Vậy hàm số có đạo hàm tại x  1 f (  1)  2 0 và Vậy A sai. Chọn A 3 Câu 39. Cho hàm số 3
f (x)  k. x
x . Với giá trị nào của k thì f (  1)  ? 2 9 A. k  1. B. k  . C. k  3. D. k  3. 2 Hướng dẫn giải
Các quy tắc tính đạo hàm 32
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 1    1 1 1 Ta có 3 f (
x)  k.x xk. .    3 2 3   x 2 x 3 1 1 3 1 f (  1)   k   
k  1  k  3 2 3 2 2 3 Chọn D x
Câu 40. Đạo hàm của hàm số y
bằng biểu thức nào sau đây? 1 2x 1 1 A. . B. . 2 2 x (1 2x) 4 x 1 2x 1 2x C. . D. . 2 2 x (1 2x) 2 2 x (1 2x) Hướng dẫn giải: Ta có 1
       .1 2x  2 . 1 2 1 2 . x x x x x 2 x y   2 2 1 2x 1 2x 1 2x  4x 2 x 1 2x   2 2 . 1 2x
2 x 1 2xChọn D 2x  3
Câu 41. Đạo hàm của hàm số y   2x là: 5  x 13 1 17 1 A. y   . B. y   .  x  52 2x
x  52 2 2x
Các quy tắc tính đạo hàm 33
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 13 1 17 1 C. y   . D. y   .
x  52 2 2xx  52 2x Hướng dẫn giải
2x 3 .5 x 2x 3.5 x 2x     
Cách 1:Ta có y   5  x2 2 2x
2 5  x  2x  3 2
10  2x  2x  3 x 13 x   .     .  2 2 5  x2 2 2x 5  x 2x 5  x 2x 2.5 3.1 2x  13 x
Cách 2: Ta có y     . 5  x2 2 2x 5  x2 2x Chọn A ax b    . a d  . b c
Có thể dùng công thức .    cx d  cx d 2
Câu 42. Đạo hàm của hàm số y   x   2 2 1 x x là: 2 4x 1 2 4x 1 A. 2
y  2 x x  . B. 2
y  2 x x  . 2 2 x x 2 x x 2 4x 1 2 4x 1 C. 2
y  2 x x  . D. 2
y  2 x x  . 2 2 x x 2 2 x x Hướng dẫn giải  2x 1 2x 1 Ta có y 2x  2 1    
. x x  2x   1 . 2 x x  2   
 2. x x  2 2 x x 2 4x 1 2
 2 x x  2 2 x x Chọn C
Các quy tắc tính đạo hàm 34
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 3x  5
Câu 43. Cho hàm số y
. Đạo hàm y của hàm số là: 1   2x 7 1 13 13 A. . B. . C.  . D. . 2 (2x 1) 2 (2x 1) 2 (2x 1) 2 (2x 1) Hướng dẫn giải
3x 5 .2x  1 3x 52x  1       Ta có y  2x  2 1 32x   1  2 3x  5 13    2x  2 1 2x  2 1 Chọn C ax b    . a d  . b c
Có thể dùng công thức    cx d  cx d 2
Câu 44. Đạo hàm của y   x x 2 3 2 2 bằng : A. 5 4 3
6x  20x 16x . B. 5 3 6x 16x . C. 5 4 3
6x  20x  4x . D. 5 4 3
6x  20x 16x . Hướng dẫn giải
Cách 1: Áp dụng công thức  n u Ta có  y   3 2
x x   3 2
x x    3 2
x x   2 2. 2 . 2 2 2 . 3x  4x 5 4 4 3 5 4 3
 6x  8x 12x 16x  6x  20x 16x
Cách 2 : Khai triển hằng đẳng thức :
Các quy tắc tính đạo hàm 35
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Ta có: y   x x 2 3 2 6 5 4 2
x  4x  4x 5 4 3
y  6x  20x 16x Chọn A 2x  5
Câu 45. Cho hàm số y
. Đạo hàm y của hàm số là: 2 x  3x  3 2 2x 10x  9 2
2x 10x  9 A. . B. . 2 2 (x  3x  3) 2 2 (x  3x  3) 2 x  2x  9 2 2
x  5x  9 C. . D. . 2 2 (x  3x  3) 2 2 (x  3x  3) Hướng dẫn giải    2x  5 . 2
x  3x  3  2x  5 2
x  3x  3 Ta có y 
x  3x  32 2 2  2
x  3x  3  2x  5.2x  3 2 2
2x  6x  6  4x  6x 10x 15  
x  3x  32
x  3x  32 2 2 2
2x 10x  9  .
x  3x  32 2 Chọn B 1
Câu 46. Cho hàm số f x 3 2 
x  2 2x  8x 1. Tập hợp những giá trị của x để 3
f  x  0 là: A. 2 2 . B. 2; 2 . C. 4 2 . D. 2 2. Hướng dẫn giải Ta có 2 f (
x)  x  4 2x  8
Các quy tắc tính đạo hàm 36
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 2 f (
x)  0  x  4 2x  8  0  x  2 2 . Chọn D x  9
Câu 47. Đạo hàm của hàm số f x 
 4x tại điểm x  1 bằng: x  3 5 25 5 11 A.  . B. . C. . D. . 8 16 8 8 Hướng dẫn giải 6  2
f  x   x  32 4x 6  2 5 f   1    . 1 32 4.1 8 Chọn C x 1
Câu 48. Đạo hàm của hàm số y
bằng biểu thức nào sau đây? 2 x 1 2x 1 x 2(x 1) A. . B. . C. . D. 2 x 1 2 3 (x 1) 2 3 (x 1) 2 x x 1 . 2 3 (x 1) Hướng dẫn giải 2 x   x  2  
x    x   2 x  
x 1   x   1 1 . 1 1 1 2 2 2 x 1
x 1 x x 1 x y     .  x  2  x  2  x  3 2 3 2 2 2 (x 1) 1 1 1 Chọn B
Các quy tắc tính đạo hàm 37
Chương V: Đạo hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 1
Câu 49. Đạo hàm của hàm số y  là:
x 1  x 1 1 1 A. y   . B. y  .
x 1 x 12
2 x 1  2 x 1 1 1 1 1 C. y   . D. y   . 4 x 1 4 x 1 2 x 1 2 x 1 Hướng dẫn giải 1
x 1  x 1 Ta có: y  
x 1  x 1 2 1     y 
x   x   1 1 1 1 1 1 1     .   2
2  2 x 1 2 x 1  4 x 1 4 x 1 Chọn C
Câu 50. Cho hàm số y  4x x . Nghiệm của phương trình y  0 là 1 1 1 1 A. x  . B. x  . C. x  . D. x   . 8 8 64 64 Hướng dẫn giải 1 y  4  2 x 1 1 1 y  0  4 
 0  8 x 1  0  x   x  . 2 x 8 64 Chọn C
Các quy tắc tính đạo hàm 38
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN A. LÝ THUYẾT
1. Tiếp tuyến tại 1 điểm
Cho hàm số y f x có đồ thị là C .
Tiếp tuyến của đồ thị C tại M x ; y có phương trình là 0 0  y f  
x . x x y . 0   0  0
2. Hệ số góc của tiếp tuyến:
Tiếp tuyến của đồ thị C  tại M x ; y có hệ số góc là k f    x 0  0 0  Chú ý:
 Tiếp tuyến tại M x ; y song song với đường thẳng y ax b thì f   x a . 0  0 0 
 Tiếp tuyến tại M x ; y thuộc C vuông góc với đường thẳng y ax b thì 0 0 
f   x .a  1  . 0 
 Tiếp tuyếntại M x ; y thuộc C tạo với chiều dương của trục hoành 1 góc  0 0 
thì f  x  tan 0 
3. Tiếp tuyến đi qua điểm Ax ; y : 1 1 
Cách 1: Gọi M x ; y là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến có dạng 0 0  y f  
x . x x f x . (*) 0   0   0 
Vì tiếp tuyến đi qua Ax ; y nên y f  
x . x xf x . 1  0   1 0   0  1 1 
Giải phương trình tìm x , thế vào (*) suy ra phương trình tiếp tuyến. 0
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 1
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Cách 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc
Gọi phương trình đường thẳng đi qua Ax ; y có dạng : 1 1 
y k x x y d  1  1
Để d  là tiếp tuyến của C thì hệ phương trình
f x  k x x y 1  1   có nghiệm
f   x  k
B. CÁC DẠNG BÀI T ẬP
DẠNG 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm M x ; y thuộc độ thì hàm số 0 0  Phương pháp:
Tính đạo hàm f   x x0   
Tìm các giá trị  y 0  f    x  0  
Viết phương trình tiếp tuyến tại M x ; y có dạng : y f  
x . x x y . 0   0  0 0  0
Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2
y x  3x 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : a. Tại điểm M  1  ;3 .
b.Tại điểm có hoành độ bằng 2 .
c. Tại điểm có tung độ bằng 1 .
d.Tại giao điểm (C) với trục tung . Giải
Hàm số đã cho xác định D   .
Đặt : f x 3 2
x  3x 1 Ta có:   x 2 f  3x  6x
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 2
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
a. Phương trình tiếp tuyến tại M 1;3 có phương trình : y f '  1  x   1  3 Ta có: y ' 
1  3  phương trình tiếp tuyến là: y  3x  6
b. Gọi điểm M x ; y là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến 0 0 
Tại điểm có hoành độ bằng 2  x  2 vào đồ thị của (C) ta được y  21. 0 0
Thay x  2 vào   x 2 f
 3x  6x f   x  24 0  0
 Phương trình tiếp tuyến là : y  24x  27
c. Gọi điểm M x ; y là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến. 0 0 
Tại điểm có tung độ bằng 1  y  1 0
Thay y  1 vào đồ thị của (C) ta được 2 x
x  3  0  x  0 hoặc x  3  . 0  0  0 0 0
Tương tự câu a , phương trình tiếp tuyến là: y  1, y  9x  28
d. Gọi điểm M x ; y là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến. 0 0 
Tại giao điểm (C) với trục tung x  0  y  1.Tương tự câu a, phương trình tiếp 0 0 tuyến là: y  1
DẠNG 2: Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc Phương pháp:
 Gọi điểm M x ; y là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến. 0 0   Tính đạo hàm
 Từ dữ kiện đề bài  hệ số góc tiếp tuyến k f    x 0  Chú ý :
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y ax b thì f   x a . 0  
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y ax b thì f   x .a  1  . 0  
Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục hoành 1 góc  thì
f  x  tan 0 
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 3
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 1
Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2 y  
x x  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết 3
tiếp tuyến song song với đường thẳng y  3x  2018 . Giải
Gọi M x ; y là tọa độ tiếp điểm. 0 0  Ta có 2
y '  x  2x . Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến: k y ' x  2
 x  2x . 0 0 0
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y  3x  2018 nên x  1  2 2 0 k  3
  x  2x  3  x  2x  3  0  . 0 0 0 0 x  3  0 1 10 ● Với x  1  suy ra 3 2 y  
x x  2  . 0 0 0 0 3 3 10 1
 Phương trình tiếp tuyến là: y  3   x   1   3x  . 3 3 1
● Với x  3 suy ra 3 2 y  
x x  2  2 . 0 0 0 0 3
 Phương trình tiếp tuyến là: y  3 x  3  2  3x 11. 1
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y  3x  hoặc y  3x 11 . 3 2 1
Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2 y x  3x
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp 3 3
tuyến vuông góc với đường thẳng x  4 y  2018  0 . Giải
Gọi M x ; y là tọa độ tiếp điểm. 0 0  Ta có 2
y '  2x  6x . Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến: k y ' 2 x  2x  6x . 0  0 0
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x  4 y  2018  0
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 4
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 1 1  x  1  k.  1    2 2x  6x  1
  2x  6x  4
  2x  6x  4  0  . 0  2 2 0 0 0 0 0 0  4 4 x  2  0 2 1 8
● Với x  1 suy ra 3 2 y x  3x    . 0 0 0 0 3 3 3 8 4
 Phương trình tiếp tuyến là: y  4   x   1   4x  . 3 3 2 1
● Với x  2 suy ra 3 2 y x  3x   7 . 0 0 0 0 3 3
 Phương trình tiếp tuyến là: y  4
  x  2  7  4x 1. 4
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y  4x  hoặc y  4x 1. 3
Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị 3 2
y x  3x  2 C biết tiếp tuyến
cắt trục Ox, Oy lần lượt tại ,
A B thỏa mãn: OB  9OA . Giải
Gọi M x ; y x
là toạ độ tiếp điểm. 0  0 
Theo bài toán, đường thẳng d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt , A B .
Gọi  là góc tạo bởi giữa d và Ox , do đó d có hệ số góc k   tan  OB
Dễ thấy, tam giác AOB vuông tại O , suy ra tan    9 OA
Nói khác hơn đường thẳng d có hệ số góc là 9
 , nghĩa là ta luôn có:  y ' x  2  9
3x  6x  9  0 0 0 0    2
x  2x  3  0  x  1 hoặc x  3 vì y ' x  2  9  0 0 0 0
3x  6x  9  0  0  0 0 2
x  2x  3  0, x    . 0 0 0 Với x  1
 suy ra phương trình tiếp tuyến y  9x  7 0
Với x  3 suy ra phương trình tiếp tuyến y  9x  25 0
Vậy, có 2 tiếp tuyến y  9x  7 , y  9x  25 thỏa đề bài .
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 5
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
DẠNG 3: Tiếp tuyến kẻ từ 1 điểm Phương pháp:
Cách 1: Gọi M x ; y là tọa độ tiếp điểm. 0 0 
Phương trình tiếp tuyến có dạng : y f  
x . x x f x . (*) 0   0   0 
Vì tiếp tuyến đi qua Ax ; y nên y f  
x . x xf x . 1  0   1 0   0  1 1 
Giải phương trình tìm x , thế vào (*) suy ra phương trình tiếp tuyến. 0
Cách 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc
Gọi phương trình đường thẳng đi qua Ax ; y có dạng : 1 1 
y k x x y d  1  1
Để d  là tiếp tuyến của C thì hệ phương trình
f x  k x x y 1  1   có nghiệm
f   x  k
Ví dụ 4: Cho hàm số 3 2
y x  3x 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp
tuyến đi qua điểm A1;3 . Giải
Gọi M x ; y là tọa độ tiếp điểm. 0 0  Ta có 2
y '  3x  6x . Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến: k y ' 2 x  3x  6x . 0  0 0
Phương trình tiếp tuyến tại M của đồ thị có dạng y y ' 2 3 2 x
x x y  3x  6x
x x x  3x 1. 0   0  0  0 0   0  0 0
Do tiếp tuyến đi qua điểm A1;3 nên
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 6
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 3   2
3x  6x 1 x  3 2
x  3x 1  x  1 hoặc x  2  . 0 0 0 0 0 0 0
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y  9x  6 hoặc y  3 .
Ví dụ 5: Cho hàm số 3 2
y x  3x  2 . Tìm trên đường thẳng y  2 những điểm mà từ
đó kẻ đến đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Giải
Lấy bất kỳ điểm M  ;
m 2 thuộc đường thẳng y  2  .
Đường thẳng d đi qua M  ; m 2
  với hệ số góc k có phương trình
y k x m  2 . 3 2 
x  3x  2  k x m  2   1
Để d tiếp xúc với đồ thị khi và chỉ khi hệ  có 2
3x  6x k  2  nghiệm. Thay 2
k  3x  6x từ 2 vào   1 , ta được 3 2
x  3x  2   2
3x  6x x m  2   x  2 2
2x  3m   1 x  2  0   x  2 .  g x 2
 2x  3m   1 x  2  0 
Với x  2 , suy ra k  0 . Phương trình tiếp tuyến y  2 .
Do không có tiếp tuyến nào của đồ thị vuông góc với tiếp tuyến y  2 nên để từ M  ;
m 2 kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến đồ thị thì g x  0
phải có hai nghiệm phân biệt x , x và các tiếp tuyến tại các hoành độ x , x 1 2 1 2 vuông góc với nhau.  5 m
● g x  0 phải có hai nghiệm phân biệt 3m 2 1 16 0         3 . m  1   3m 1
● Theo định lý Vi-et, ta có x x
và x x  1. Để tiếp tuyến tại các hoành 1 2 2 1 2
độ x , x vuông góc với nhau 1 2
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 7
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
f ' x . f ' x   1    2
3x  6x  2 3x  6x  1  1 2 1 1 2 2 
 9 x x 2 18x x x x  36x x  1  1 2 1 2  1 2  1 2
 9x x x x  2 x x  4  1   9 1
  3m 1  4  1 1 2  1 2  1 2        54  27m  1  55  m  (thỏa mãn). 27  55  Vậy M ; 2 
 thỏa yêu cầu bài toán.  27 
C . BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 2x  4 Câu 1: Cho hàm số y
có đồ thị là (H) . Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm x  3
của (H) với trục hoành là:
A. y  2x  4 .
B. y  3x 1 .
C. y  2x  4 .
D. y  2x . 2 x  3x  2 Câu 2:
Gọi C là đồ thị hàm số y
. Tìm tọa độ các điểm trên C mà tiếp x 1
tuyến tại đó với C vuông góc với đường thẳng có phương trình y x  4 .
A. (1 3;5  3 3),(1 3;5  3 3). B. 2; 12. C. 0; 0. D. 2; 0. 2  3x Câu 3:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
tại giao điểm của đồ thị x 1
hàm số với trục hoành bằng: 1 1 A. 9 . B. . C. 9. D.  . 9 9 Câu 4:
Biết tiếp tuyến d  của hàm số 3
y x  2x  2 vuông góc với đường phân giác
góc phần tư thứ nhất. Phương trình d  là: 1 18  5 3 1 18  5 3
A. y  x   , y  x   . 3 9 3 9
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 8
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
B. y x, y x  4. 1 18  5 3 1 18  5 3
C. y  x   , y  x   . 3 9 3 9
D. y x  2, y x  4. Câu 5:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x 3 2
x  2x  3x tại điểm có hoành độ x  1  là: 0
A. y  10x  4.
B. y  10x  5.
C. y  2x  4.
D. y  2x  5. 3 x Câu 6:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 y
 3x  2 có hệ số góc k  9  , có phương 3 trình là:
A. y 16  9(x  3).
B. y  9(x  3).
C. y 16  9(x  3).
D. y 16  9(x  3). x 1 Câu 7:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
tại giao điểm với trục x 1 tung bằng: A. 2. B. 2. C. 1. D. 1. x 1 Câu 8:
Gọi  H  là đồ thị hàm số y
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  H  tại x
các giao điểm của  H  với hai trục toạ độ là:  y x 1
A. y x 1. B. . 
C. y  x 1.
D. y x 1. y x 1  Câu 9: Cho hàm số 3 2
y x  3x có đồ thị C . Có bao nhiêu tiếp tuyến của C song
song đường thẳng y  9x 10 ? A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 9
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 x 1
Câu 10: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H ) : y
tại giao điểm của (H ) và x  2 trục hoành: 1
A. y  (x 1). B. y  3 . x 3
C. y x  3.
D. y  3(x 1). Câu 11: Cho hàm số 2
y x  6x  5 có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương
trình tiếp tuyến đó là: A. x  3  . B. y  4.  C. y  4. D. x  3.
Câu 12: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số 3 2
y x  3x  2 , tiếp tuyến
có hệ số góc nhỏ nhất bằng A. 3  . B. 3 . C. 4 . D. 0 .
Câu 13: Gọi P là đồ thị hàm số 2
y x x  3 . Phương trình tiếp tuyến với P tại giao
điểm của P và trục tung là
A. y  x  3.
B. y  x  3.
C. y x  3 .
D. y  3x 1 . 4
Câu 14: Cho hàm số y  2  có đồ thị  H . Đường thẳng  vuông góc với đường x
thẳng d : y  x  2 và tiếp xúc với  H  thì phương trình của  là
y x  2
A. y x  4. B.  . y x  4 
y x  2 C.  . D. Không tồn tại. y x  6 
Câu 15: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong 3 2
(C) : y x  3x  8x 1, biết tiếp
tuyến đó song song với đường thẳng  : y x  2017 ?
A. y x  2018 .
B. y x  4 .
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 10
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
C. y x  4 ; y x  28 .
D. y x  2018 . 4
Câu 16: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
tại điểm có hoành độ x  1  có phương x 1 0 trình là:
A. y  x  2 .
B. y x  2 .
C. y x 1.
D. y  x  3 Câu 17: Cho hàm số 3 2
y  2x  3x 1 có đồ thị C , tiếp tuyến với C nhận điểm  3  M ; y
làm tiếp điểm có phương trình là: 0  0   2  9 9 27 A. y x . B. y x  . 2 2 4 9 23 9x 31 C. y x  . D. y   . 2 4 2 4
Câu 18: Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến song song với trục hoành của đồ thị hàm số 3
y x  3x  2 là
A. x  1và x  1 .
B. x  3 và x  3 .
C. x  1 và x  0 .
D. x  2 và x  1 .
Câu 19: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y x  2x 1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là:
A. y  8x  6, y  8x  6.
B. y  8x  6, y  8x  6.
C. y  8x  8, y  8x  8.
D. y  40x  57. x  2
Câu 20: Cho đồ thị (H ) : y
và điểm A (H ) có tung độ y  4 . Hãy lập phương x 1
trình tiếp tuyến của (H ) tại điểm A .
A. y x  2 .
B. y  3x 11.
C. y  3x 11 .
D. y  3x 10 .
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 11
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 2 x  3x 1
Câu 21: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
tại giao điểm của đồ thị hàm số 2x 1
với trục tung có phương trình là:
A. y x 1.
B. y x 1.
C. y x .
D. y   x . Câu 22: Cho hàm số 3 2
y  x  3x  2 có đồ thị C  . Số tiếp tuyến của C  song song
với đường thẳng y  9x là: A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 2 . 1
Câu 23: Trên đồ thị của hàm số y
có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với x 1
các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là:  1   3 4   3  A. 2  ;1 . B. 4; .   C.  ;  .   D. ; 4  .    3   4 7   4  2 x x 1
Câu 24: Cho hàm số y
có đồ thị C  . Phương trình tiếp tuyến của C  đi x 1 qua điểm A 1  ; 0 là: 3 3 A. y x
B. y   x   1
C. y  3 x   1
D. y  3x 1 4 4
Câu 25: Số cặp điểm ,
A B trên đồ thị hàm số 3 2
y x  3x  3x  5 , mà tiếp tuyến tại ,
A B vuông góc với nhau là A. 1 B. 0 C. 2 . D. Vô số
Câu 26: Qua điểm A0; 2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số 4 2
y x  2x  2 A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 Câu 27: Cho hàm số 3 2
y x  3x  2 có đồ thị C  . Đường thẳng nào sau đây là tiếp
tuyến của C và có hệ số góc nhỏ nhất:
A. y  3x  3 B. y  0
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 12
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
C. y  5x 10
D. y  3x  3 Câu 28: Cho hàm số 3 2
y x  6x  9x 1 có đồ thị là C. Từ một điểm bất kì trên
đường thẳng x  2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến C : A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 0.
Câu 29: Đường thẳng y  3x m là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y x  2 khi m bằng
A. 1 hoặc 1.
B. 4 hoặc 0 .
C. 2 hoặc 2 . D. 3 hoặc 3  .
Câu 30: Định m để đồ thị hàm số 3 2
y x mx 1 tiếp xúc với đường thẳng d : y  5 ? A. m  3  .
B. m  3 .
C. m  1. D. m  2 .
Câu 31: Phương trình tiếp tuyến của C  : 3
y x biết nó đi qua điểm M (2;0) là:
A. y  27x  54 .
B. y  27x  9  y  27x  2 .
C. y  27x  27 .
D. y  0  y  27x  54 .
Câu 32: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2
s t  3t  5t  2 , trong đó
t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t  3 là: A. 2 24m / s . B. 2 17m / s . C. 2 14m / s . D. 2 12m / s .
Câu 33: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2
s t  3t  9t  2 ( t tính
bằng giây; s tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t  0 hoặc t  2 .
B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t  2 là v  18 m / s .
C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t  3 là 2
a  12 m / s .
D. Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t  0 .
Câu 34: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2
s t  3t ( t tính bằng
giây; s tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 13
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
A. Gia tốc của chuyển động khi t  4s là 2 a  18m / s .
B. Gia tốc của chuyển động khi t  4s là 2 a  9m / s .
C. Vận tốc của chuyển động khi t  3s là v  12m / s .
D. Vận tốc của chuyển động khi t  3s là v  24m / s .
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 14
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 HƯỚNG DẪN GIẢI 2x  4 Câu 1: Cho hàm số y
có đồ thị là (H) . Phương trình tiếp tuyến tại giao x  3
điểm của (H) với trục hoành là:
A. y  2x  4 .
B. y  3x 1 .
C. y  2x  4 .
D. y  2x . Hướng dẫn giải Chọn C. 2 
Giao điểm của (H) với trục hoành là (
A 2; 0) . Ta có: y '   y '(2)  2  2 (x  3)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  2(x  2) hay y  2x  4 . 2 x  3x  2 Câu 2: :
Gọi C là đồ thị hàm số y
. Tìm tọa độ các điểm trên C mà x 1
tiếp tuyến tại đó với C vuông góc với đường thẳng có phương trình y x  4 .
A. (1 3;5  3 3),(1 3;5  3 3). B. 2; 12. C. 0; 0. D. 2; 0. Hướng dẫn giải: Chọn A.
Tập xác định: D   \   1 .
2x  3 x   1   2
x  3x  2 2 x  2x  5 Đạo hàm: y   .  x  2 1  x  2 1
Giả sử x là hoành độ điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán  y x   o  1 o
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 15
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 2 x  2x  5 o o
 1  x  2x  5   x 1 2 o oo 2 2  x o  1 2 2
 2x  4x  4  0  x  2x  2  0 o o o o
x  1 3  y  5  3 3. o 2  3x Câu 3:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
tại giao điểm của đồ thị x 1
hàm số với trục hoành bằng: 1 1 A. 9 . B. . C. 9. D.  . 9 9 Hướng dẫn giải: Chọn A.
Tập xác định: D   \   1 . 1 Đạo hàm: y  .  x  2 1  2 
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A ; 0 .    3   2 
Hệ số góc của tiếp tuyến là y  9.    3  Câu 4:
Biết tiếp tuyến d  của hàm số 3
y x  2x  2 vuông góc với đường phân giác
góc phần tư thứ nhất. Phương trình d  là: 1 18  5 3 1 18  5 3
A. y  x   , y  x   . 3 9 3 9
B. y x, y x  4. 1 18  5 3 1 18  5 3
C. y  x   , y  x   . 3 9 3 9
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 16
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
D. y x  2, y x  4. Hướng dẫn giải: Chọn C.
Tập xác định: D  .  2
y  3x  2.
Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình  : x  . y
 d  có hệ số góc là 1. 1
y x    x     x   o  2 1 3 2 1 . o o 3
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1 18  5 3 1 18  5 3
d  : y  x   , y  x   . 3 9 3 9 Câu 5:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x 3 2
x  2x  3x tại điểm có hoành độ x  1  là: 0
A. y  10x  4.
B. y  10x  5.
C. y  2x  4.
D. y  2x  5. Hướng dẫn giải: Chọn A.
Tập xác định: D  .  Đạo hàm: 2
y  3x  4x  3. y  1  10; y   1  6 
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d  : y  10 x   1  6  10x  4.
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 17
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 3 x Câu 6:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 y
 3x  2 có hệ số góc k  9  , có phương 3 trình là:
A. y 16  9(x  3).
B. y  9(x  3).
C. y 16  9(x  3).
D. y 16  9(x  3). Hướng dẫn giải: Chọn A.
Tập xác định: D  .  Đạo hàm: 2
y  x  6 . x
k    y x     x x     x  2 2 9 9 6 9 3
 0  x  3  y  16 o o o o o o
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d  : y  9 x  3 16  y 16  9 x  3. x 1 Câu 7:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
tại giao điểm với trục x 1 tung bằng: A. 2. B. 2. C. 1. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn B.
Tập xác định: D   \   1 . 2 Đạo hàm: y  .  x  2 1
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có x  0  y  2 . o o x 1 Câu 8:
Gọi  H  là đồ thị hàm số y
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  H  tại x
các giao điểm của  H  với hai trục toạ độ là:
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 18
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736  y x 1
A. y x 1. B. . 
C. y  x 1.
D. y x 1. y x 1  Hướng dẫn giải: Chọn A.
Tập xác định: D   \   0 . 1 Đạo hàm: y  . 2 x
H  cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là x 1 và không cắt trục tung. y  1  1
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d : y x 1. Câu 9: Cho hàm số 3 2
y x  3x có đồ thị C . Có bao nhiêu tiếp tuyến của C song
song đường thẳng y  9x 10 ? A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải: Chọn C.
Tập xác định: D  .  Đạo hàm: 2
y  3x  6 . x x  3 2 2
k  9  3x  6x  9  0  x  2x  3  0 o  . o o o ox  1  o
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán. x 1
Câu 10: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H ) : y
tại giao điểm của (H ) và x  2 trục hoành:
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 19
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 1
A. y  (x 1). B. y  3 . x 3
C. y x  3.
D. y  3(x 1). Hướng dẫn giải: Chọn A.
Tập xác định: D   \   2 . 3 Đạo hàm: y  .  x  22 1
(H ) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x  1  y  1  ; y   1  0 o 3 1
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d : y   x   1 . 3 Câu 11: Cho hàm số 2
y x  6x  5 có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương
trình tiếp tuyến đó là: A. x  3  . B. y  4.  C. y  4. D. x  3. Hướng dẫn giải: Chọn B.
Tập xác định: D  . 
Đạo hàm: y  2x  6.
Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên ta có:
y x   0  2x  6  0  x  3  y  4  d : y  4.  o o o o
Câu 12: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số 3 2
y x  3x  2 , tiếp tuyến
có hệ số góc nhỏ nhất bằng A. 3  . B. 3 . C. 4 . D. 0 .
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 20
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Hướng dẫn giải Chọn A.
Tập xác định: D  . 
Đạo hàm: y  x x   x  2 2 3 6 3 1  3  3 .
Vậy trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số đã cho, tiếp tuyến có
hệ số góc nhỏ nhất bằng 3  .
Câu 13: Gọi P là đồ thị hàm số 2
y x x  3 . Phương trình tiếp tuyến với P tại giao
điểm của P và trục tung là
A. y  x  3.
B. y  x  3.
C. y x  3 .
D. y  3x 1 . Hướng dẫn giải Chọn A.
Tập xác định: D  . 
Giao điểm của P và trục tung là M 0;3 .
Đạo hàm: y  2x 1  hệ số góc của tiếp tuyến tại x  0 là 1  .
Phương trình tiếp tuyến tại M 0;3 là y  x  3 . 4
Câu 14: Cho hàm số y  2  có đồ thị  H . Đường thẳng  vuông góc với đường x
thẳng d : y  x  2 và tiếp xúc với  H  thì phương trình của  là
y x  2
A. y x  4. B.  . y x  4 
y x  2 C.  . D. Không tồn tại. y x  6 
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 21
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Hướng dẫn giải Chọn C.
Tập xác định: D   \   0 . 4 Đạo hàm: y  2 x
Đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d : y  x  2 nên  có hệ số góc 4 x  2
bằng 1. Ta có phương trình 1   . 2  x x  2  
Tại M 2;0 . Phương trình tiếp tuyến là y x  2 . Tại N  2
 ; 4 . Phương trình tiếp tuyến là y x  6 .
Câu 15: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong 3 2
(C) : y x  3x  8x 1, biết tiếp
tuyến đó song song với đường thẳng  : y x  2017 ?
A. y x  2018 .
B. y x  4 .
C. y x  4 ; y x  28 .
D. y x  2018 . Hướng dẫn giải Chọn C.
Tập xác định: D  .  Đạo hàm: 2
y  3x  6x  8 .
Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng  : y x  2017 nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1. x  1 Ta có phương trình 2
1  3x  6x  8   . x  3   Tại M 1; 3
  . Phương trình tiếp tuyến là y x  4 .
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 22
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Tại N  3
 ; 25 . Phương trình tiếp tuyến là y x  28 . 4
Câu 16: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
tại điểm có hoành độ x  1  có phương x 1 0 trình là:
A. y  x  2 .
B. y x  2 .
C. y x 1.
D. y  x  3 Hướng dẫn giải Chọn D.
Tập xác định: D   \   1 . 4
Đạo hàm: y   .  x  2 1
Tiếp tuyến tại M  1
 ; 2 có hệ số góc là k  1 .
Phương trình của tiếp tuyến là y  x  3 Câu 17: Cho hàm số 3 2
y  2x  3x 1 có đồ thị C , tiếp tuyến với C nhận điểm  3  M ; y
làm tiếp điểm có phương trình là: 0  0   2  9 9 27 A. y x . B. y x  . 2 2 4 9 23 9x 31 C. y x  . D. y   . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải Chọn C.
Tập xác định: D  .  3 Ta có x   y  1. 0 0 2 Đạo hàm của hàm số 2
y  6x  6x .
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 23
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736  3  9
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại M ; y là k  . 0  0   2  2 9 23
Phương trình của tiếp tuyến là y x  2 4
Câu 18: Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến song song với trục hoành của đồ thị hàm số 3
y x  3x  2 là
A. x  1và x  1 .
B. x  3 và x  3 .
C. x  1 và x  0 .
D. x  2 và x  1 . Hướng dẫn giải Chọn A.
Tập xác định: D  .  Đạo hàm: 2
y  3x  3 .
Tiếp tuyến song song với trục hoành có hệ số góc bằng 0 nên có phương trình x  1 2 0  3x  3   x  1  
Câu 19: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y x  2x 1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là:
A. y  8x  6, y  8x  6.
B. y  8x  6, y  8x  6.
C. y  8x  8, y  8x  8.
D. y  40x  57. Hướng dẫn giải Chọn A.
Tập xác định: D  .  Đạo hàm: 3
y  4x  4x .
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 24
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 x  1
Tung độ tiếp điểm bằng 2 nên 4 2
2  x  2x 1   . x  1  
Tại M 1; 2 . Phương trình tiếp tuyến là y  8x  6 .
Tại N 1; 2 . Phương trình tiếp tuyến là y  8x  6 . x  2
Câu 20: Cho đồ thị (H ) : y
và điểm A (H ) có tung độ y  4 . Hãy lập phương x 1
trình tiếp tuyến của (H ) tại điểm A .
A. y x  2 .
B. y  3x 11.
C. y  3x 11 .
D. y  3x 10 . Hướng dẫn giải Chọn D.
Tập xác định: D   \   1 . 3
Đạo hàm: y   .  x  2 1 x  2
Tung độ của tiếp tuyến là y  4 nên 4   x  2 . x 1 Tại M 2; 4 .
Phương trình tiếp tuyến là y  3x 10 . 2 x  3x 1
Câu 21: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
tại giao điểm của đồ thị hàm số 2x 1
với trục tung có phương trình là:
A. y x 1.
B. y x 1.
C. y x .
D. y   x . Hướng dẫn giải Chọn A.
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 25
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 2 2x  2x  1 Ta có: y '  . 2x  2 1
Giao điểm M của đồ thị với trục tung : x  0  y  1  0 0
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là : k y' 0  1.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là : y k x x y y x 1. 0  0 Câu 22: Cho hàm số 3 2
y  x  3x  2 có đồ thị C  . Số tiếp tuyến của C  song song
với đường thẳng y  9x là: A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có: 2 y'  3
x  6x . Lấy điểm M x ; y C . 0 0   
Tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng y  9x suy ra y' x  9  0   x  1 2 0
 3x  6x  9  0  . 0 0  x  3  0 Với x  1
  y  2 ta có phương trình tiếp tuyến: y  9  x  7. 0 0
Với x  3  y  2
 ta có phương trình tiếp tuyến: y  9x  25. 0 0
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn. 1
Câu 23: Trên đồ thị của hàm số y
có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với x 1
các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là:  1   3 4   3  A. 2  ;1 . B. 4; .   C.  ;  .   D. ; 4  .    3   4 7   4  Hướng dẫn giải
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 26
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Chọn D. 1 Ta có: y '  
. Lấy điểm M x ; y C . 0 0     x  2 1 1 1
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y  
.x x  . 0     x  2 x 1 1 0 0
Giao với trục hoành:   Ox=A2x 1;0 . 0   2x 1  
Giao với trục tung:  0  Oy=B  0;    x 2 1    0  2 1  2x 1 3 0  3  SOA.OB  4   x  . Vậy M ; 4  . OAB   0   2 x 1 4   4 0   2 x x 1 Câu 24: Câu 24: Cho hàm số y
có đồ thị C  . Phương trình tiếp tuyến x 1
của C  đi qua điểm A 1  ; 0 là: 3 3 A. y x
B. y   x   1
C. y  3 x   1
D. y  3x 1 4 4 Hướng dẫn giải Chọn B.
Gọi d là phương trình tiếp tuyến của C  có hệ số góc k , Vì A 1
 ; 0  d suy ra d : y k x   1 2
x x 1  k(x 1) (1)   x 1
d tiếp xúc với C  khi hệ  có nghiệm 2 x  2x   k (2) 2  (x 1)  3 Thay 2 vào  
1 ta được x  1  k y (  1)  . 4
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 27
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 3
Vậy phương trình tiếp tuyến của C  đi qua điểm A 1
 ; 0 là: y   x   1 4
Câu 25: Số cặp điểm ,
A B trên đồ thị hàm số 3 2
y x  3x  3x  5 , mà tiếp tuyến tại ,
A B vuông góc với nhau là A. 1 B. 0 C. 2 . D. Vô số Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có 2
y  3x  6x  3 . Gọi (
A x ; y ) và B(x ; y ) A A B B
Tiếp tuyến tại A, B với đồ thị hàm số lần lượt là: 2
d : y  (3x  6x  3)(x x )  y 1 A A A A 2
d : y  (3x  6x  3)(x x )  y 2 B B B B
Theo giả thiết d d k .k  1  1 2 1 2 2 2
 (3x  6x  3).(3x  6x  3)  1  2 2
 9(x  2x 1).(x  2x 1)  1  A A B B A A B B 2 2
 9(x 1) .(x 1)  1  ( vô lý) A B
Suy ra không tồn tại hai điểm , A B
Câu 26: Qua điểm A0; 2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số 4 2
y x  2x  2 A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải Chọn B.
Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho. Vì (
A 0; 2)  d nên phương trình của d có dạng: y kx  2
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 28
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 4 2 
x  2x  2  kx  2 (1)
Vì d tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ  có nghiệm 3
4x  4x k (2)   x  0 Thay 2 và   1 ta suy ra được  2  x    3
Chứng tỏ từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị CCâu 27: Cho hàm số 3 2
y x  3x  2 có đồ thị C . Đường thẳng nào sau đây là tiếp
tuyến của C và có hệ số góc nhỏ nhất:
A. y  3x  3 B. y  0
C. y  5x 10
D. y  3x  3 Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi 3 2
M (x ; x  3x  2) là tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến với đồ thị C 0 0 0 2
y '  3x  6x 0 0
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: y k(x x )  y 0 0 Mà 2 2
k y '(x )  3x  6x  3(x  2x 1)  3 0 0 0 0 0 2
 3(x 1)  3  3  0
Hệ số góc nhỏ nhất khi x  1  y y(1)  0 ; k  3  0 0
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm 1;0 có hệ số góc nhỏ nhất là:
y  3x  3 Câu 28: Cho hàm số 3 2
y x  6x  9x 1 có đồ thị là C. Từ một điểm bất kì trên
đường thẳng x  2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến C : A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 0.
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 29
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Hướng dẫn giải Chọn B.
Xét đường thẳng kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x  2 có dạng
 : y k (x  2)  kx-2k . 3 2 
x  6x  9x-1=kx  2k
 là tiếp tuyến của C   có nghiệm  2 3x  12x  9  k  3 2 
2x 12x  24x-17=0   2
3x 12x  9  k
Phương trình bậc ba có duy nhất một nghiệm tương ứng cho ta một giá trị k .
Vậy có một tiếp tuyến.
Dễ thấy kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x  2 có dạng y a song song
với trục Ox cũng chỉ kẻ được một tiếp tuyến.
Câu 29: Đường thẳng y  3x m là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y x  2 khi m bằng
A. 1 hoặc 1.
B. 4 hoặc 0 .
C. 2 hoặc 2 . D. 3 hoặc 3  . Hướng dẫn giải Chọn B.
Đường thẳng y  3x m và đồ thị hàm số 3
y x  2 tiếp xúc nhau 3 3 
x  2  3x m
m x  3x  2 m  0      . 2  3  x  3 x  1  m  4   
Câu 30: Định m để đồ thị hàm số 3 2
y x mx 1 tiếp xúc với đường thẳng d : y  5 ? A. m  3  .
B. m  3 .
C. m  1. D. m  2 . Hướng dẫn giải Chọn A.
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 30
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Đường thẳng 3 2
y x mx 1 và đồ thị hàm số y  5 tiếp xúc nhau 3 2 
x mx 1  5 (1)   có nghiệm. 2 3
x  2mx  0 (2)   x  0 . (2) x(3x 2m) 0      2m .  x   3
+ Với x  0 thay vào (1) không thỏa mãn. 2m + Với x  thay vào (1) ta có: 3
m  27  m  3 . 3
Câu 31: Phương trình tiếp tuyến của C  : 3
y x biết nó đi qua điểm M (2;0) là:
A. y  27x  54 .
B. y  27x  9  y  27x  2 .
C. y  27x  27 .
D. y  0  y  27x  54 . Hướng dẫn giải Chọn D. + 2 y '  3x . + Gọi (
A x ; y ) là tiếp điểm. PTTT của (C) tại ( A x ; y ) là: 0 0 0 0 2
y  3x x x  3  x (d ) . 0 0 0
+ Vì tiếp tuyến (d ) đí qua M (2;0) nên ta có phương trình:  x  0 2 3x 2  xx  0  . 0  0  3 0 0  x  3  0
+ Với x  0 thay vào (d ) ta có tiếp tuyến y  0 . 0
+ Với x  3 thay vào (d ) ta có tiếp tuyến y  27x  54 . 0
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 31
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Câu 32: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2
s t  3t  5t  2 , trong đó
t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t  3 là: A. 2 24m / s . B. 2 17m / s . C. 2 14m / s . D. 2 12m / s . Hướng dẫn giải Chọn D.
Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai
của phương trình chuyển động tại thời điểm t .  s   3 2
t t t   2 3 5
2  3t  6t  5
s  6t  6  s3  12 Đáp án D
Câu 33: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2
s t  3t  9t  2 ( t tính
bằng giây; s tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t  0 hoặc t  2 .
B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t  2 là v  18 m / s .
C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t  3 là 2
a  12 m / s .
D. Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t  0 . Hướng dẫn giải Chọn C
Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai
của phương trình chuyển động tại thời điểm t .  s   3 2
t t t   2 3 5
2  3t  6t  5
s  6t  6  s3  12
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 32
Phương trình tiếp tuyến Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Câu 34: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2
s t  3t ( t tính bằng
giây; s tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Gia tốc của chuyển động khi t  4s là 2 a  18m / s .
B. Gia tốc của chuyển động khi t  4s là 2 a  9m / s .
C. Vận tốc của chuyển động khi t  3s là v  12m / s .
D. Vận tốc của chuyển động khi t  3s là v  24m / s . Hướng dẫn giải Chọn A. 2
s  3t  6t s  6t  6 s4  18
ĐS11- Chương V: Đạo hàm Page 33
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
BÀI 4: ĐẠO HÀM LƯỢNG GIÁC A. LÝ THUYẾT
1. Giới hạn lượng giác sin x Công thức: lim  1 x 0  x
Chú ý: Nếu hàm số u u x thỏa mãn điều kiện: u x  0 với mọi x x và 0 sin u x
lim u x  0 thì lim  1 xxx 0 x 0 u x
2. Đạo hàm lượng giác
sin x'  cos x sinu'  u 'cosu
cos x '  sin x cosu'  u  'sinu 1 u ' tan x'  tanu'  2 cos x 2 cos u 1   u  ' cot x '  cot u'  2 sin x 2 sin u
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính đạo hàm bằng công thức
Phương pháp: Áp dụng bảng đạo hàm lượng giác và các tính chất của đạo hàm
Đạo hàm của các hàm thường gặp Đạo hàm Hàm hợp   1 (x ) '  x   u   1 ' u   .u '  x 1 '   u ' u u ' '   n u '  2 x 2 u n n 1 n u   n x 1 '  n n 1 n x  Chương V: Đạo hàm Page 1
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Tính chất của đạo hàm
u v'  u ' v '
u v'  u ' v '
uv'  u 'v  .
u v ' hệ quả k.u '  k.u ' ' '  u
u '.v u.v '  1  u '    hệ quả   2   2  v vu u
Ví dụ 1: Tính đạo hàm 2   a. 3 sin x
y  sin 2x   1 . b.   y       . c. 2 3
y  2 sin 4x  3cos 5x 1 cos x
d. y  sin x  2x . e. 2
y  sin 2  x . f. y   x3 2 2 sin 2 . Giải a) Ta có  y '    x   2 3 sin 2 1  sin 2x   1      x   2 3 2 cos 2 1  sin 2x   1     x   2 6 cos 2 1 sin 2x   1       sin x     sin x
sin x 1 cos xsin 
x 1 cos x    b) Ta có   sin x           y ' 2. . 2. .                 1 cos x 1 cos x    2 1cos  1 cos x x   
 cos x 1 cos x 2 sin x     sin x
2 2  cos xsin x  2.  .    ,  1 cos x2   1 cos x  1 cos x3   c) Ta có y   x x   x 2 ' 2.2. sin 4 sin 4 3.3. cos 5 .cos 5x    x x   x 2 2.2. 4.cos 4 sin 4 3.3. 5.sin 5 .cos 5x 2
 8sin 8x  45 sin 5x cos 5x . Chương V: Đạo hàm Page 2
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
sin x 2x   d) Ta có cos x 2 y '   . 2 sin x  2x 2 sin x  2x 2   2  x x e) Ta có y '   2 2  x  2   2 2 .cos 2  x  .cos 2  x  .cos 2  x . 2 2 2 2  x 2  x 2    2 f) Ta có y   2  x  2  x    x  x  2 ' 3. 2 sin 2 . 2 sin 2 3. 0 2. sin 2
.sin 2 . 2  sin 2x     2 2    x x  2  x  x  2
3. 0 2.2.cos 2 .sin 2 . 2 sin 2 6sin 4 2  sin 2x .
Ví dụ 2: Tính đạo hàm  x 1  a) y   2 2
sin cos x tan x . b) 2 y  cos   .  x 1     Giải  a) Ta có y   2 2 x x  2 2 ' cos tan .cos cos x tan x     =  2 x 2 2 x x  2 x      2 2 cos .tan cos . tan
.cos cos x tan x   2.cos x 2 2  .cos . x tan x cos .
x 2. tan x   .tan x .cos  2 2 cos x tan x       1    2. sin x 2 2 .cos . x tan x  cos .2. x . tan x .cos      2 2 cos x tan x 2    cos x     2  sin 2 .
x tan x  2 tan x.cos 2 2 cos x tan x.                                  b) Ta có x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 y '  2.cos    .cos       2.            .sin           .cos                    x 1 x 1 x 1 x 1    x 1       2    x 1  2   x  1   x 1    1 .sin 2       0  .sin 2        x 1   x 1        x  2 x 1 1      1  x 1   .sin 2   x x  2  x 1  . 1   Chương V: Đạo hàm Page 3
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Dạng 2: Tính đạo hàm tại 1 điểm
Phương pháp: Tính đạo hàm sau đó thay giá trị tại điểm đó vào đạo hàm Ví dụ 3 : 2
a) Tính f '3 biết f x  cos  x   
b) Tính y'  biết y  cos3 . x sin 2 x .  3     cos 2x
c) Tính y'  biết y   6  1 sin x 2    d) Tính f '
 biết f x  sin x  cos x 16   Giải 2 1 sin  x
a) f ' x 
 2.cos  x'.  2. . cos  x 2 cos  x 2 cos  x sin 3
f '3  2.  0 . 2 cos 3
b) y '  cos3x 'sin 2 x cos3x sin 2 x '  3  sin 3 .
x sin 2x  2 cos 3 . x cos 2x .         y '  3  sin 3 .sin 2  2 cos 3 .cos 2  1    3  3 3 3 3
cos 2x'.1 sin x  cos 2x 1 sin x' 2
 sin 2x 1 sin x  cos 2 . x cosx c) y '   . 1 sin x2 1 sin x2 3  1  1 3 3 3 2.  1  .      2 2 2 2  3 3       2 4 y '    4        2  3  3   3 2 6 1  2 4     1    1   4  2  1 1 1
d) f ' x  cos x  sin x
cos x sin x. 2 x 2 x 2 x 2  2 2     1   1  2 2       f '    cos sin             0  16  2  4 4      2  2 2         2.   2   2  4 
Dạng 3: Giải phương trình hoạc bất phương trình đạo hàm Chương V: Đạo hàm Page 4
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Phương pháp: Sử dụng các công thức đạo hàm và cách giải phương trình lượng giác cơ bản 
Ví dụ 4: Cho hàm số         x 3 x f x 1 sin  2 cos       
. Giải phương trình f x 0 .  2 2  Giải  3 x x
Ta có f   x  0  cos   x  sin   cos x  cos   .  2 2  2 Phương trình    x 2 x x f
x  0  cos x  cos  0  2 cos  cos 1  0 2 2 2 x x 1  cos  1  hoặc cos  . 2 2 2 ● x x cos
 1   k2x  2k4, k  . 2 2 ● x 1 x x 2 cos
  cos  cos     k2x  
k4, k  . 2 2 2 3 2 3 3
Vậy phương trình f  x  0 có nghiệm x  2  k4 ; 2 x  
k4, k  . 3
Ví dụ 5: Giải phương trình f    x g 
x với f x 3
 sin 2x và gx  4 cos 2x 5sin 4x . Giải
Ta có f   x   x 2 2
3. sin 2  .sin 2x  6 cos 2x sin 2x .
Phương trình f    x g  x 2  x x x x x 2 6 cos 2 sin 2 4 cos 2 5 sin 4 2 cos 2
3sin x  2  5 sin 2x  0 .   
● cos 2x  0  2x
k  x   k , k   . 2 4 2  1 sin x  2  x  arcsin  k 2 1  3 ● 2 3sin x 5sin 2x 2 0      1  sin x    , k   . sin x  3 1
x    arcsin  k2  3   3 Chương V: Đạo hàm Page 5
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Vậy phương trình f   x  g x có nghiệm 1 x
k ; x  arcsin  k2 ; 1
x arcsin  k2, k   . 4 2 3 3
Dang 4: Giới hạn lượng giác Phương pháp :
Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về các dạng sau: sin x x tan x x  lim  lim  1, từ đây suy ra lim  lim  1. x0 x0 x sin x x0 x0 x tan x sin u(x) tan u(x)
 Nếu lim u(x)  0  lim  1 và lim  1. x 0 x x 0 x u(x) x 0 x u(x)
Ví dụ 6 : Tính giới hạn 1 cos ax
1 sin mx  cos mx a) lim . b) lim 2 x0 x
x0 1  sin nx  cos nx 1 cos . x cos 2 . x cos 3x 1 cos 2x c) lim d) lim 2 x0 x x0 3x 2 sin 2
cos 2x  cos 3x 2 tan 2x e) lim f) lim
x0 x(sin 3x  sin 4x) 3
x0 1  cos 2x Giải 2 axax 2  2 sin sin a   a a) Ta có: 2 2 lim  lim  . 2   x0 x0 x 2 ax 2    2  2 mx mx mx 2 sin  2 sin cos
1 sin mx  cos mx b) Ta có: 2 2 2 
1 sin nx  cos nx 2 nx nx nx 2 sin  2 sin cos 2 2 2 mx nx mx mx sin sin  cos m 2 2 2 2  . . n mx nx nx nx sin sin  cos 2 2 2 2 Chương V: Đạo hàm Page 6
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 mx nx mx mx sin sin  cos
1 sin mx  cos mx m m  lim 2 2 2 2  lim . lim . lim  .
x0 1  sin nx  cos nx n x0 mx x0 nx x0 nx nx n sin sin  cos 2 2 2 2 1 cos . x cos 2 . x cos 3x
1 cos x  cos x cos 2x(1 cos 3x)  cos x(1 cos 2x) c) Ta có:  2 x 2 x 1 cos x 1  cos 3x 1 cos 2x   cos . x cos 2x  cos x 2 2 2 x x x 1 cos . x cos 2 . x cos 3x  lim 2 x0 x 1 cos x 1 cos 3x 1 cos 2x  lim  lim cos . x cos 2x  lim cos x  3 2 2 2 x0 x0 x0 x x x 3x 2 sin sin x sin x 3 d) Ta có: 2 2 lim  lim x( ) . lim  0 . x0 3x x0 x0 x 2 3x sin 2 2 5x x 5x 2sin sin sin 5 1 5 e) 2 2 2 lim   lim( . ).lim  . x0 7x x x0 2 5x x0 7x 2 2  x cos sin cos 2 2 2 2 2 2 3 3 2 tan 2x
tan 2x(1 cos 2x  cos 2x ) f) Ta có: lim  lim 3 x0 x0 1 cos 2x 1 cos 2x 2 3 3 2
tan 2x(1 cos 2x  cos 2x )  lim 2 x0 2 sin x tan 2x x 2 2 3 3 2  2 lim( ) .(
) (1 cos 2x  cos 2x )  6. x0 2x sin x Chương V: Đạo hàm Page 7
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1:
Hàm số y  cot 2x có đạo hàm là: 2 1 tan 2x 2 (1 tan 2x) A. y  . B. y  . cot 2x cot 2x 2 1 cot 2x 2 (1 cot 2x) C. y  . D. y  . cot 2x cot 2x Câu 2:
Đạo hàm của hàm số y  3sin 2x  cos 3x là:
A. y  3cos 2x  sin 3 . x
B. y  3cos 2x  sin 3 . x
C. y  6 cos 2x  3sin 3 . x
D. y  6 cos 2x  3sin 3 . x sin x  cos x Câu 3:
Đạo hàm của hàm số y  là: sin x  cos x  sin 2x 2 2 sin x  cos x A. y  . B. y  .  2
sin x  cos x2
sin x  cos x 2   2sin 2x 2 C. y  . D. y  .
sin x  cos x2
sin x  cos x2 Câu 4:
Hàm số y  2 sin x  2 cos x có đạo hàm là: 1 1 1 1 A. y   . B. y   . sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x C. y   . D. y   . sin x cos x sin x cos x Câu 5:
Hàm số y  cot x có đạo hàm là: 1
A. y   tan . x B. y   . 2 cos x 1 C. y   . D. 2 y  1 cot . x 2 sin x Câu 6:
Hàm số y x tan 2x ó đạo hàm là: 2x 2x A. tan 2x  . B. . 2 cos x 2 cos 2x 2x x C. tan 2x  . D. tan 2x  . 2 cos 2x 2 cos 2x Câu 7:
Hàm số y  sin x có đạo hàm là:
A. y   sin . x B. y  os c . x 1 C. y  .
D. y   cos . x cos x Chương V: Đạo hàm Page 8
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 3 Câu 8:
Hàm số y   sin 7x có đạo hàm là: 2 21 21 21 21 A.  cos . x B.  cos 7 . x C. cos 7 . x D. cos . x 2 2 2 2 sin x Câu 9: Hàm số y  có đạo hàm là: x
x sin x  cos x
x cos x  sin x A. y  . B. y  . 2 x 2 x
x cos x  sin x
x sin x  cos x C. y  . D. y  . 2 x 2 x
Câu 10: Đạo hàm của y  cot x là : 1  1 A. . B. . 2 sin x cot x 2 2sin x cot x 1 sin x C. . D.  . 2 cot x 2 cot x 1   
Câu 11: Cho hàm số y f (x) 
. Giá trị f   là: sin x  2  1 A. 1. B. .
C. 0. D. Không tồn tại. 2   
Câu 12: Hàm số y  sin  3x   có đạo hàm là:  6        A. 3cos  3x .   B. 3cos  3x .    6   6        C. cos  3x .   D. 3sin  3x .    6   6  cos x 4   
Câu 13: Cho hàm số y f (x)   
cot x . Giá trị đúng của f  bằng: 3   3sin x 3  3  8 9 9 8 A. . B.  . C. . D.  . 9 8 8 9 Câu 14: Cho hàm số 2
y  sin 2  x . Đạo hàm y của hàm số là 2x  2 x A. 2 cos 2  x . B. 2  cos 2  x . 2 2  x 2 2  x x (x 1) C. 2 cos 2  x . D. 2 cos 2  x . 2 2  x 2 2  x
Câu 15: Hàm số y  tan x  cot x có đạo hàm là: 1 4 A. y  . B. y  . 2 sin 2x 2 cos 2x Chương V: Đạo hàm Page 9
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 4 1 C. y  . D. y  . 2 sin 2x 2 cos 2x
Câu 16: Đạo hàm của y  tan 7x bằng: 7 7 7 7x A. . B.  . C.  . D. . 2 cos 7x 2 cos 7x 2 sin 7x 2 cos 7x 1 Câu 17: Hàm số 2 y
cot x có đạo hàm là: 2 x xxx A. B. C. D.  2 2sin x 2 2 sin x 2 sin x 2 2 sin x
Câu 18: Cho hàm số y f x 3
 cos 2x . Hãy chọn khẳng định ĐÚNG.    2  sin 2x A. f   1    .
B. f  x    2  3 3 cos 2x    C. 3 .
y y  2 sin 2x  0 . D. f   0   .  2    x
Câu 19: Cho hàm số y  sin  
 . Khi đó phương trình y '  0 có nghiệm là:  3 2    A. x   k 2 . B. x   k. 3 3   C. x    k 2 . D. x    k . 3 3
Câu 20: Đạo hàm của y  cos x là cos x  sin x sin x  sin x A. B. C. D.  2 cos x 2 cos x 2 cos x cos x Câu 21: Hàm số 2
y x .cos x có đạo hàm là A. 2
y  2x cos x x sin x . B. 2
y  2x cos x x sin x . C. 2
y  2x sin x x cos x . D. 2
y  2x sin x x cos x . 2
Câu 22: Đạo hàm của hàm số 2 y  sin 2 . x cos x  là x A. 2 y  2 sin 2 .
x cos x  sin .
x sin 2x  2 x. B. 2 y  2 sin 2 .
x cos x  sin .
x sin 2x  2 x. 1 C. 2 y  2 sin 4 .
x cos x  sin . x sin 2x   x x 1 D. 2 y  2 sin 4 .
x cos x  sin . x sin 2x   x x
Câu 23: Đạo hàm của hàm số 2 2
y  tan x  cot x là Chương V: Đạo hàm Page 10
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 tan x cot x tan x cot x A. y  2  2  B. y  2  2  2 2 cos x sin x 2 2 cos x sin x tan x cot x C. y  2  2 
D. y  2 tan x  2 cot . x 2 2 sin x cos x
Câu 24: Đạo hàm của hàm số y  cos tan x bằng 1 1
A. sin tan x  
B.  sin tan x  2 cos x 2 cos x
C. sin tan x .
D. – sin tan x .
Câu 25: Hàm số y  cos x có đạo hàm là
A. y  sin x .
B. y   cos x .
C. y  72x  24
D. y '  sin x .
Câu 26: Đạo hàm của hàm số f x  2sin 2x  cos 2x là
A. 4 cos 2x  2sin 2x .
B. 2 cos 2x  2sin 2x .
C. 4 cos 2x  2sin 2x .
D. 4 cos 2x  2sin 2x .   
Câu 27: Đạo hàm của hàm số y  sin  2 
x  là y bằng  2     A. 2sin 2x . B.  cos  2  x  .  2     C. 2sin 2x . D. cos  2  x  .  2  2 cos x      
Câu 28: Cho hàm số y f (x)  . Biểu thức f  3 f  bằng 2     1 sin x  4   4  8 8 A. 3  . B. C. 3 . D.   3 3 x   
Câu 29: Cho hàm số y f x 3 2  sin 5 . x cos
. Giá trị đúng của f   bằng 3  2  3 3 3 3 A.   B.   C.   D.   6 4 3 2
Câu 30: Đạo hàm của 2
y  sin 4x là A. 2sin 8x . B. 8sin 8x . C. sin 8x . D. 4sin 8x .  2 
Câu 31: Cho hàm số f x  tan x  
 . Giá trị f 0 bằng  3  A.  3 . B. 4 . C. 3  . D. 3 . cos x
Câu 32: Cho hàm số y f x 
. Chọn kết quả SAI 1 2 sin x Chương V: Đạo hàm Page 11
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736    5 A. f      
B. f 0  2 .  6  4    1 C. f      
D. f    2  .  2  3 Câu 33: Hàm số 2
y  2 cos x có đạo hàm là A. 2 2 sin x . B. 2 4x cos x . C. 2 2x sin x . D. 2 4x sin x .
Câu 34: Đạo hàm của hàm số f x  sin 3x là 3cos 3x 3cos 3x 3cos 3x cos 3x A. B. C.   D.  sin 3x 2 sin 3x 2 sin 3x 2 sin 3x 2   
Câu 35: Cho hàm số y
. Khi đó y  là: cos 3x  3  3 2 3 2 A. B.   C. 1. D. 0 . 2 2 1    Câu 36: Hàm số 2 y   sin  
x  có đạo hàm là: 2  3     1    A. 2 . x cos   x  . B. 2 x cos   x  .  3  2  3  1    1    C. x sin   x  . D. 2 x cos   x  . 2  3  2  3    
Câu 37: Cho hàm số y  cos(x) . Khi đó y  có giá trị nào sau đây?  3  2 3 A. 1 B. C. D. 0 2 2  2 
Câu 38: Cho hàm số y  cos  2 
x  . Khi đó phương trình y  0 có nghiệm là:  3    kA. x    k 2 . B. x   . 3 3 2   kC. x    k . D. x    . 3 3 2 sin  x khi x  0 
Câu 39: Cho hàm số y f (x)  
. Tìm khẳng định SAI? sin 
x khi x  0 
A. Hàm số f không có đạo hàm tại x  0 . 0
B. Hàm số f không liên tục tại x  0 . 0    C. f   0   .  2  Chương V: Đạo hàm Page 12
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736    D. f  1   .  2    
Câu 40: Cho hàm số y f x  sin( sin x) . Giá trị f   bằng:  6   3   A. B. C.   D. 0. 2 2 2 Câu 41: Cho hàm số 2
y f (x)  cos x với f x là hàm liên tục trên  . Trong bốn biểu
thức dưới đây, biểu thức nào xác định hàm f x thỏa mãn y  1 với mọi x   ? 1 1
A. x  cos 2x .
B. x  cos 2x .
C. x  sin 2x .
D. x  sin 2x . 2 2 2
Câu 42: Đạo hàm của hàm số y   bằng: tan 1 2x 4x 4  A. B. 2 sin 1 2x sin 1 2x 4x 4 C. D. 2 sin 1 2x 2 sin 1 2x
Câu 43: Chọn mệnh đề ĐÚNG trong các mệnh đề sau?
A. Hàm số y  cos x có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
B. Hàm số y  tan x có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
C. Hàm số y  cot x có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó. 1
D. Hàm số y
có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó. sin x
Câu 44: Cho hàm số y x tan x . Xét hai đẳng thức sau: x  2
tan x  tan x   1 2
x tan x  tan x 1 (I) y  (II) y  2 x tan x 2 x tan x Đẳng thức nào đúng? A. Chỉ II . B. Chỉ I .
C. Cả hai đều sai.
D. Cả hai đều đúng. x Câu 45: Hàm số 2 y  tan có đạo hàm là 2 Chương V: Đạo hàm Page 13
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 x sin x A. 2 y   B. 3 y  tan  x 3 2 2 cos 2 x x sin 2sin C. 2 y   D. 2 y   x x 2 cos 3 cos 2 2 2   
Câu 46: Cho hàm số y f x  sin x  cos x . Giá trị f   bằng 16   2 2 2 A. 2 . B. 0. C. D.   
Câu 47: Để tính đạo hàm của hàm số y  sin .
x cos x , một học sinh tính theo hai cách sau: 1 (I) 2 2
y  cos x  sin x  cos 2x
(II) y  sin 2x y '  cos 2x 2 Cách nào ĐÚNG? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Không cách nào. D. Cả hai cách. 1
Câu 48: Hàm số y  cot 3x  tan 2x có đạo hàm là 2 3  1 3  1 A.   B.   2 2 sin 3x cos 2x 2 2 sin 3x cos 2x 3  x 1  1 C.   D.   2 2 sin 3x cos 2x 2 2 sin x cos 2x
Câu 49: Đạo hàm của hàm số 2
y  2sin x  cos 2x x là
A. y  4sin x  sin 2x 1.
B. y  4sin 2x 1. C. y  1.
D. y  4sin x  2sin 2x 1.
Câu 50: Hàm số y  1 sin x1 cos x có đạo hàm là:
A. y  cos x  sin x 1.
B. y  cos x  sin x  cos 2x .
C. y  cos x  sin x  cos 2x .
D. y  cos x  sin x 1.
Câu 51: Hàm số y  tan x có đạo hàm là 1
A. y  cot x . B. y   2 sin x 1 C. 2
y  1 tan x . D. y   2 cos x Chương V: Đạo hàm Page 14
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736     
Câu 52: Đạo hàm của hàm số 2 y  sin  2x x    là  2  2 4        
A. y  2sin   4x   B. y  2sin  x cos  x  .     2  2   2  2        C. y  2sin  x cos  x  .     x
D. y  2sin   4x.  2   2  2  1 
Câu 53: Đạo hàm của hàm số y  2  tan x    là  x   1 2  1 tan x    1 x A.   y   B. y    1   1  2 2  tan x    2 2  tan x     x   x   1  1 2   1 tan x  2   1 tan x     x   1   x   1  C. y  . 1 .  D. y  . 1 . 2   2   1   x   1   x  2 2  tan x    2 2  tan x     x   x  2
Câu 54: Hàm số y f x 
có f 3 bằng cot  x 8 4 3 A. 8 . B. C. D. 2 . 3 3 1 sin x
Câu 55: Cho hàm số y  . Xét hai kết quả: 1 cos x
cos x  sin x1 cos x  sin x
1 cos x  sin x (I) y  (II) y  1 cos x2 1 cos x2 Kết quả nào đúng?
A. Cả hai đều sai. B. Chỉ (II). C. Chỉ (I).
D. Cả hai đều đúng. 
Câu 56: Đạo hàm của hàm số 2
y  cot cos x  sin x  là 2 1 cos x A. y '  2  cot cos x  . 2 sin cos x  2 sin x  2 1 cos x
B. y '  2 cot cos x .sin x  . 2 sin cos x  2 sin x  2 Chương V: Đạo hàm Page 15
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 1 cos x C. y '  2  cot cos x  . 2 sin cos x  sin x  2 1 cos x
D. y '  2 cot cos x .sin x  . 2 sin cos x  sin x  2  5    
Câu 57: Xét hàm số f (x)  2sin  
x  . Giá trị f   bằng  6   6  A. 2 . B. 1  . C. 0 . D. 2  .
Câu 58: Đạo hàm của hàm số 2
y x tan x x là 1 2
A. y '  2x tan x  . B. 2 x 3 2 x 1 2 x 1
C. y '  2x tan x   .
D. y '  2x tan x   . 2 cos x 2 x 2 cos x x   
Câu 59: Cho hàm số y f (x)  tan x  cot x . Giá trị f   bằng  4  2 1 A. 2 . B. 0 . C. . D. . 2 2   
Câu 60: Cho f x 2 2
 cos x  sin x . Giá trị f   bằng:  4  A. 2 B. 1 C. 2  D. 0 x Câu 61: Cho hàm số 2 y=cos2 . x sin . Xét hai kết quả sau: 2 x x 1 (I) 2 y  2  sin 2x sin  s in . x cos2x (II) 2
y  2 sin 2x sin  sin . x cos 2x 2 2 2 Cách nào đúng? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Không cách nào.
D. Cả hai đều đúng. cos 2x
Câu 62: Đạo hàm của hàm số y  là 3x 1 2
 sin 2x 3x   1  3cos 2x 2
 sin 2x 3x   1  3cos 2x A. y '  . B. y '  . 3x  2 1 3x 1
 sin 2x 3x   1  3cos 2x
2 sin 2x 3x   1  3cos 2x C. y '  . D. y '  . 3x  2 1 3x  2 1 Chương V: Đạo hàm Page 16
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
sin x x cos x
Câu 63: Hàm số y  có đạo hàm bằng
cos x x sin x 2 x .sin 2x 2 2 x .sin x A. B. 2
(cos x x sin x) 2
(cos x x sin x) 2 2 x .cos 2xxC. D. 2  
(cos x x sin x)
 cos x x sin x  cos x      
Câu 64: Cho hàm số y f (x) 
. Giá trị biểu thức f   f       là 1 sin x  6   6  4 4 8 8 A. . B. . C. . D. . 3 9 9 3 cos x
Câu 65: Hàm số y  có đạo hàm bằng: 2 2 sin x 2 1 sin x 2 1 cos x 2 1 sin x 2 1 cos x A.  . B.  . C. . D. . 3 2 sin x 3 2sin x 3 2 sin x 3 2 sin x x Câu 66: Cho hàm số 2 y  cot
. Khi đó nghiệm của phương trình y '  0 là: 4
A.   k 2 .
B. 2  k 4 .
C. 2  k .
D.   k . Câu 67: Hàm số 2
y  sin x cosx có đạo hàm là: A. y  x  2 sin 3cos x   1 . B. y  x  2 sin 3cos x   1 . C. y  x  2 sin cos x   1 . D. y  x  2 sin cos x   1 . 1
Câu 68: Hàm số y  1 tan x2 có đạo hàm là: 2
A. y    x2 1 tan . B. 2
y  1 tan x .
C. y    x 2 1 tan 1 tan x .
D. y  1 tan x .
Câu 69: Để tính đạo hàm của hàm số y  cot x ( x k ), một học sinh thực hiện theo các bước sau: cos x u (I) y  có dạng sin x v 2 2
 sin x  cos x
(II) Áp dụng công thức tính đạo hàm ta có: y  2 sin x 1
(III) Thực hiện các phép biến đổi, ta được y      2 1 cot x 2  sin x
Hãy xác định xem bước nào đúng? A. Chỉ (II). B. Chỉ (III). C. Chỉ (I).
D. Cả ba bước đều đúng. Chương V: Đạo hàm Page 17
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.C 3.D 4.D 5.C 6.C 7.B 8.B 9.B 10.B 11.C 12.B 13.B 14.C 15.C 16.A 17.D 18.D 19.C 20.B 21.A 22.D 23.A 24.B 25.A 26.C 27.A 28.C 29.A 30.D 31.B 32.A 33.D 34.B 35.D 36.A 37.C 38.D 39.B 40.D 41.A 42.D 43.A 44. C 45.D 46.B 47. C 48.B 49.B 50.C 51.D 52.A 53.C 54.D 55.C 56.B 57.D 58.C 59.B 60.C 61.C 62.A 63.D 64.A 65.B 66.B 67.B 68.C 69.C
Hướng dẫn giải bài tập trắc nghiệm Câu 1:
Hàm số y  cot 2x có đạo hàm là: 2 1 tan 2x 2 (1 tan 2x) A. y  . B. y  . cot 2x cot 2x 2 1 cot 2x 2 (1 cot 2x) C. y  . D. y  . cot 2x cot 2x Hướng dẫn giải cot 2x   2  x   2 2 1 cot 2 1 cot 2x Ta có y    . 2 cot 2x 2 cot 2x cot 2x Chọn D. Câu 2:
Đạo hàm của hàm số y  3sin 2x  cos 3x là:
A. y  3cos 2x  sin 3 . x
B. y  3cos 2x  sin 3 . x
C. y  6 cos 2x  3sin 3 . x
D. y  6 cos 2x  3sin 3 . x Hướng dẫn giải
Ta có y  3.2 cos 2x  3sin 3x  6 cos 2x  3sin 3x . Chọn C. sin x  cos x Câu 3:
Đạo hàm của hàm số y  là: sin x  cos x  sin 2x 2 2 sin x  cos x A. y  . B. y  .  2
sin x  cos x2
sin x  cos x 2   2sin 2x 2  C. y  . D. y  .
sin x  cos x2
sin x  cos x2 Hướng dẫn giải
sin x cos x sin x cos x sin x cos xsin x cos x     
Cách 1: Ta có y  
sin x  cos x2
cos x  sin x sin x  cos x  sin x  cos xcos x  sin x  
sin x  cos x2 Chương V: Đạo hàm Page 18
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
 cos x  sin x 2  sin x  cos x2 2    .
sin x  cos x2
sin x  cos x2 1.  1 1.1 2 
Cách 2: Ta có y   .
sin x  cos x2
sin x  cos x2 Chọn D. Câu 4:
Hàm số y  2 sin x  2 cos x có đạo hàm là: 1 1 1 1 A. y   . B. y   . sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x C. y   . D. y   . sin x cos x sin x cos x Hướng dẫn giải sin x cos x cos x sin x Ta có y  2  2   . 2 sin x 2 cos x sin x cos x Chọn D. Câu 5:
Hàm số y  cot x có đạo hàm là: 1
A. y   tan . x B. y   . 2 cos x 1 C. y   . D. 2 y  1 cot . x 2 sin x Hướng dẫn giải
Áp dụng bảng công thưc đạo hàm. Chọn C. Câu 6:
Hàm số y x tan 2x ó đạo hàm là: 2x 2x A. tan 2x  . B. . 2 cos x 2 cos 2x 2x x C. tan 2x  . D. tan 2x  . 2 cos 2x 2 cos 2x Hướng dẫn giải 2x 2
y x tan 2x x tan 2x    tan 2x x  tan 2x  . x . 2 2 cos 2x cos 2x Chọn C. Câu 7:
Hàm số y  sin x có đạo hàm là:
A. y   sin . x B. y  os c . x 1 C. y  .
D. y   cos . x cos x Hướng dẫn giải
Áp dụng bảng công thức đạo hàm. Chọn B. Chương V: Đạo hàm Page 19
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 3 Câu 8:
Hàm số y   sin 7x có đạo hàm là: 2 21 21 21 21 A.  cos . x B.  cos 7 . x C. cos 7 . x D. cos . x 2 2 2 2 Hướng dẫn giải 3    3 21 y sin 7x .   7x      cos 7x   cos 7x .  2  2 2 Chọn B. sin x Câu 9: Hàm số y  có đạo hàm là: x
x sin x  cos x
x cos x  sin x A. y  . B. y  . 2 x 2 x
x cos x  sin x
x sin x  cos x C. y  . D. y  . 2 x 2 x Hướng dẫn giải  sin x  
xsin x x sin x
sin x x cos x y      . 2 2  x x x Chọn B. Câu 10:
Đạo hàm của y  cot x là : 1  1  1 sin x A. . B. . C. . D.  . 2 sin x cot x 2 2sin x cot x 2 cot x 2 cot x Hướng dẫn giải    y   x  cot x 1 cot   2 2 cot x 2 sin x cot x . Chọn B. 1    Câu 11:
Cho hàm số y f (x) 
. Giá trị f   là: sin x  2  1 A. 1. B. .
C. 0. D. Không tồn tại. 2 Hướng dẫn giải 1    sin x cos x y        tan x    sin x   sin x2 sin x        f   tan  0      2   2  Chọn C.    Câu 12: Hàm số y  sin  3x   có đạo hàm là:  6  Chương V: Đạo hàm Page 20
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736       A. 3cos  3x .   B. 3cos  3x .    6   6        C. cos  3x .   D. 3sin  3x .    6   6  Hướng dẫn giải
Áp dụng bảng công thức đạo hàm của hàm số hợp: sin u   u .cos u Chọn B. cos x 4    Câu 13:
Cho hàm số y f (x)   
cot x . Giá trị đúng của f  bằng: 3   3sin x 3  3  8 9 9 8 A. . B.  . C. . D.  . 9 8 8 9 Hướng dẫn giải cos x 4  1 4  4       2  y  f (  x)    cot x   cot . x  cot x   cot .(
x 1 cot x)  cot x  3   2     3sin x 3   sin x 3   3  2 1    1 cot x 1 3 2 cot x cot x 3cot . x   cot x        . 2 2 2  3  sin x sin x sin x   2  cot       3  1 9 Suy ra f          3       2 2  8 sin sin      3   3  Chọn B. Câu 14: Cho hàm số 2
y  sin 2  x . Đạo hàm y của hàm số là 2x  2 x A. 2 cos 2  x . B. 2  cos 2  x . 2 2  x 2 2  x x (x 1) C. 2 cos 2  x . D. 2 cos 2  x . 2 2  x 2 2  x Hướng dẫn giải   y   x 2 sin 2  x    2 2  x  2 2 cos 2  x  cos 2  x 2 2  x Chọn C. Câu 15:
Hàm số y  tan x  cot x có đạo hàm là: 1 4 A. y  . B. y  . 2 sin 2x 2 cos 2x 4 1 C. y  . D. y  . 2 sin 2x 2 cos 2x Hướng dẫn giải Chương V: Đạo hàm Page 21
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 1 1 1 4 Ta có: y
tan x cot x        2 2 2 2 2 cos x sin x cos . x sin x sin 2x Chọn C. Câu 16:
Đạo hàm của y  tan 7x bằng: 7 7 7 7x A. . B.  . C.  . D. . 2 cos 7x 2 cos 7x 2 sin 7x 2 cos 7x Hướng dẫn giải 7
Ta có: y   tan 7x  2 cos 7x Chọn A. 1 Câu 17: Hàm số 2 y
cot x có đạo hàm là: 2 x xxx A. B. C. D.  2 2sin x 2 2 sin x 2 sin x 2 2 sin x Hướng dẫn giải  1  2 x x Ta có: y     2 2 2 2 2 sin x sin x Chọn D Câu 18:
Cho hàm số y f x 3
 cos 2x . Hãy chọn khẳng định ĐÚNG.    2  sin 2x A. f   1    .
B. f  x    2  3 3 cos 2x    C. 3 .
y y  2 sin 2x  0 . D. f   0   .  2  Hướng dẫn giải cos 2x 2 sin 2x    Ta có: y     f   0   . 3 2 3 2 3 cos 2x 3 cos 2x  2  Chọn D.   x Câu 19: Cho hàm số y  sin  
 . Khi đó phương trình y '  0 có nghiệm là:  3 2    A. x   k 2 . B. x   k. 3 3   C. x    k 2 . D. x    k . 3 3 Hướng dẫn giải 1   x  1   x   x
Ta có: y   cos  
  y  0   cos   0     k   2  3 2  2  3 2  3 2 2   x  
 2k , k Z 3 Chương V: Đạo hàm Page 22
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736  
Chọn C (vì x  
 2k , k Z x    2  l ,l   ) 3 3 Câu 20:
Đạo hàm của y  cos x là cos x  sin x sin x  sin x A. B. C. D.  2 cos x 2 cos x 2 cos x cos x Hướng dẫn giải  sin x Ta có y  . 2 cos x Chọn B. Câu 21: Hàm số 2
y x .cos x có đạo hàm là A. 2
y  2x cos x x sin x . B. 2
y  2x cos x x sin x . C. 2
y  2x sin x x cos x . D. 2
y  2x sin x x cos x . Hướng dẫn giải Ta có 2 y  x x x  x 2 2 .cos . sin
 2x cos x x .sin x Chọn A. 2 Câu 22: Đạo hàm của hàm số 2 y  sin 2 . x cos x  là x A. 2 y  2 sin 2 .
x cos x  sin .
x sin 2x  2 x. B. 2 y  2 sin 2 .
x cos x  sin .
x sin 2x  2 x. 1 C. 2 y  2 sin 4 .
x cos x  sin . x sin 2x   x x 1 D. 2 y  2 sin 4 .
x cos x  sin . x sin 2x   x x Hướng dẫn giải Ta có 1 1 2 y  2 sin 2 . x cos 2 .
x cos x  sin 2 .
x  sin x 2   sin 4 .
x cos x  sin 2 . x sin x x x x x Chọn D. Câu 23: Đạo hàm của hàm số 2 2
y  tan x  cot x là tan x cot x tan x cot x A. y  2  2  B. y  2  2  2 2 cos x sin x 2 2 cos x sin x tan x cot x C. y  2  2 
D. y  2 tan x  2 cot . x 2 2 sin x cos x Hướng dẫn giải 1  1  2 tan x 2 cot x Ta có y  2 tan . x  2 cot . x    2  2  2 2 cos x  sin x  cos x sin x Chọn A. Chương V: Đạo hàm Page 23
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Câu 24:
Đạo hàm của hàm số y  cos  tan x bằng 1 1
A. sin tan x  
B.  sin  tan x   2 cos x 2 cos x
C. sin tan x .
D. – sin tan x . Hướng dẫn giải 1
y   sin tan x  . 2 cos x Chọn B. Câu 25:
Hàm số y  cos x có đạo hàm là
A. y   sin x .
B. y   cos x .
C. y  72x  24
D. y '  sin x . Hướng dẫn giải
y   sin x . Chọn A. Câu 26:
Đạo hàm của hàm số f x  2sin 2x  cos 2x là
A. 4 cos 2x  2 sin 2x .
B. 2 cos 2x  2 sin 2x .
C. 4 cos 2x  2 sin 2x .
D. 4 cos 2x  2 sin 2x . Hướng dẫn giải
f  x  4cos 2x  2sin 2x . Chọn C.    Câu 27:
Đạo hàm của hàm số y  sin  2 
x  là y bằng  2     A. 2sin 2x . B.  cos  2  x  .  2     C. 2 sin 2x . D. cos  2  x  .  2  Hướng dẫn giải    y  2 cos  2x  2sin  
2x . Chọn A.  2  2 cos x       Câu 28:
Cho hàm số y f (x)  . Biểu thức f  3 f  bằng 2     1 sin x  4   4  8 8 A. 3  . B. C. 3 . D.   3 3 Hướng dẫn giải
2 cos x sin x  2 1 sin x 2
 2 cos x sin x cos x
f  x  1 sin x2 2 2
 cos x sin x  2 2
1 sin x  cos x 4  cos x sin x    8     f     1 sin x2 1 sin x2 2 2  4  9 Chương V: Đạo hàm Page 24
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736       1 8 f  3 f     3     .  4   4  3 3 Chọn C. x    Câu 29:
Cho hàm số y f x 3 2  sin 5 . x cos
. Giá trị đúng của f   bằng 3  2  3 3 3 3 A.   B.   C.   D.   6 4 3 2 Hướng dẫn giải x 2 x x f ' x 2 2 3  3.5.cos 5 . x sin 5 . x cos  sin 5x  sin  cos 3 3 3 3    3 3 f   0 1.       2  2.3 6 Chọn A. Câu 30: Đạo hàm của 2
y  sin 4x là A. 2 sin 8x . B. 8sin 8x . C. sin 8x . D. 4 sin 8x . Hướng dẫn giải y  2.4.sin 4 .
x cos 4x  4 sin 8x . Chọn D.  2  Câu 31:
Cho hàm số f x  tan x  
 . Giá trị f 0 bằng  3  A.  3 . B. 4 . C. 3  . D. 3 . Hướng dẫn giải 1 1
f  x   f 0   4 .  2  1 2 cos x     3 4  Chọn B. cos x Câu 32:
Cho hàm số y f x 
. Chọn kết quả SAI 1 2 sin x    5 A. f      
B. f 0  2 .  6  4    1 C. f      
D. f    2  .  2  3 Hướng dẫn giải  sin .
x 1 2sin x  cos . x 2.cos x  sin x  2 f ' x   1 2sin x2 1 2sin x2    5    1  f   ; f 0  2  ; f   ; f    2      .  6  8  2  3 Chọn A. Chương V: Đạo hàm Page 25
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Câu 33: Hàm số 2
y  2 cos x có đạo hàm là A. 2 2 sin x . B. 2 4x cos x . C. 2 2x sin x . D. 2 4x sin x . Hướng dẫn giải 2 2 y  2.2  . x sin x  4  x sin x . Chọn D. Câu 34:
Đạo hàm của hàm số f x  sin 3x là 3cos 3x 3cos 3x 3cos 3x cos 3x A. B. C.   D.  sin 3x 2 sin 3x 2 sin 3x 2 sin 3x Hướng dẫn giải 3 cos 3x
f  x    2 sin 3x Chọn B. 2    Câu 35: Cho hàm số y
. Khi đó y  là: cos 3x  3  3 2 3 2 A. B.   C. 1. D. 0 . 2 2 Hướng dẫn giải cos3x 3 2.sin 3x    3 2.sin  Ta có: y   2.  . Do đó y '   0 2 2   cos 3x cos 3x 2  3  cos  Chọn D. 1    Câu 36: Hàm số 2 y   sin  
x  có đạo hàm là: 2  3     1    A. 2 . x cos   x  . B. 2 x cos   x  .  3  2  3  1    1    C. x sin   x  . D. 2 x cos   x  . 2  3  2  3  Hướng dẫn giải 1      
Ta có: y   .2x 2 2 .cos  x  . x cos     x  2  3   3  Chọn A.    Câu 37:
Cho hàm số y  cos(x) . Khi đó y  có giá trị nào sau đây?  3  2 3 A. 1 B. C. D. 0 2 2 Hướng dẫn giải Chương V: Đạo hàm Page 26
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736    3
Ta có: y '   sinx  y '      3  2 Chọn C  2  Câu 38: Cho hàm số y  cos  2 
x  . Khi đó phương trình y  0 có nghiệm là:  3    kA. x    k 2 . B. x   . 3 3 2   kC. x    k . D. x    . 3 3 2 Hướng dẫn giải  2 
Ta có: y  2.sin  2  x   3   2   k
Theo giả thiết y  0  sin  2x  0    x    k    3  3 2 Chọn D. sin  x khi x  0  Câu 39:
Cho hàm số y f (x)  
. Tìm khẳng định SAI? sin 
x khi x  0 
A. Hàm số f không có đạo hàm tại x  0 . 0
B. Hàm số f không liên tục tại x  0 . 0    C. f   0   .  2     D. f  1   .  2  Hướng dẫn giải
 lim f (x)  lim sin x  sin 0  0    Ta có: x0 x0 
lim f (x)  lim sin(x)  sin 0  0  x0 x0
 lim f (x)  lim f (x)  lim f (x)  0  f (0) x0 x0 x0
 Hàm số liên tục tại x  0 0 Chọn B.    Câu 40:
Cho hàm số y f x  sin( sin x) . Giá trị f   bằng:  6   3   A. B. C.   D. 0. 2 2 2 Hướng dẫn giải Chương V: Đạo hàm Page 27
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736
Ta có: y  ( .sin x) .cos( .sin x)   .cos .
x cos( .sin x)        3  1  3.   y   .cos .cos  .sin   . .cos  .  .cos  0        6  6  6  2  2  2 2 Chọn D. Câu 41: Cho hàm số 2
y f (x)  cos x với f x là hàm liên tục trên  . Trong bốn biểu thức
dưới đây, biểu thức nào xác định hàm f x thỏa mãn y  1 với mọi x   ? 1 1 A. x  cos 2x . B. x  cos 2x .
C. x  sin 2x .
D. x  sin 2x . 2 2 Hướng dẫn giải
Ta có: y  f  x  2.cos .
x  sin x  f  x  2.cos .
x sin x f  x  sin 2x 1
y  1  f  x  sin 2x  1  f  x  1 sin 2x f x  x  cos 2x 2 Chọn A. 2 Câu 42:
Đạo hàm của hàm số y   bằng: tan 1 2x 4x 4  A. B. 2 sin 1 2x sin 1 2x 4x 4 C. D. 2 sin 1 2x 2 sin 1 2xHướng dẫn giải 1   x 2 tan 1 2    2 4  Ta có: cos   2.  2  x y  2 tan 1 2x 2 tan 1 2x 2 sin 1 2xChọn D. Câu 43:
Chọn mệnh đề ĐÚNG trong các mệnh đề sau?
A. Hàm số y  cos x có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
B. Hàm số y  tan x có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
C. Hàm số y  cot x có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó. 1
D. Hàm số y
có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó. sin x Hướng dẫn giải Chọn A. Câu 44: Cho hàm số y
x tan x . Xét hai đẳng thức sau: Chương V: Đạo hàm Page 28
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 x  2
tan x  tan x   1 2
x tan x  tan x 1 (I) y  (II) y  2 x tan x 2 x tan x Đẳng thức nào đúng? A. Chỉ II . B. Chỉ I .
C. Cả hai đều sai.
D. Cả hai đều đúng. Hướng dẫn giải 1  . x tan x
x .tan x  .
x  tan x tan x  . x tan x  . x  2 2 1 tan x Ta có: cos     x y  2. . x tan x 2. . x tan x 2. . x tan x 2. . x tan x Chọn C. x Câu 45: Hàm số 2 y  tan có đạo hàm là 2 x sin x A. 2 y   B. 3 y  tan  3 x 2 2 cos 2 x x sin 2sin C. 2 y   D. 2 y   2 x x cos 3 cos 2 2 Hướng dẫn giải x sin x 1 1 Ta có: 2 y  2 tan    2 2 x x 2 3 cos cos 2 2 Chọn D. 2    Câu 46:
Cho hàm số y f x  sin x  cos x . Giá trị f   bằng 16   2 2 2 A. 2 . B. 0. C. D.    Hướng dẫn giải 1 1 2   
Ta có: f  x  cos x  sin x f   0   2 x 2 x 16   Chọn B. Câu 47:
Để tính đạo hàm của hàm số y  sin .
x cos x , một học sinh tính theo hai cách sau: 1 (I) 2 2
y  cos x  sin x  cos 2x (II) y
sin 2x y '  cos 2x 2 Cách nào ĐÚNG? Chương V: Đạo hàm Page 29
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Không cách nào. D. Cả hai cách. Hướng dẫn giải Chọn D. 1 Câu 48:
Hàm số y  cot 3x
tan 2x có đạo hàm là 2 3  1 3  1 A.   B.   2 2 sin 3x cos 2x 2 2 sin 3x cos 2x 3  x 1  1 C.   D.   2 2 sin 3x cos 2x 2 2 sin x cos 2x Hướng dẫn giải 3 1 2 3 1 Ta có: y        2 2 2 2 sin 3x 2 cos 2x sin 3x cos 2x Chọn B. Câu 49: Đạo hàm của hàm số 2
y  2sin x  cos 2x x là
A. y  4 sin x  sin 2x 1.
B. y  4 sin 2x 1. C. y  1.
D. y  4 sin x  2 sin 2x 1. Hướng dẫn giải
Ta có: y  4 sin x cos x  2sin 2x 1  4 sin 2x 1 . Chọn B. Câu 50:
Hàm số y  1 sin x1 cos x có đạo hàm là:
A. y  cos x  sin x 1.
B. y  cos x  sin x  cos 2x .
C. y  cos x  sin x  cos 2x .
D. y  cos x  sin x 1. Hướng dẫn giải Ta có: 1
y  1 sin x1 cos x  1 sin x  cos x  sin .
x cos x  1 sin x  cos x  sin 2x . 2
Suy ra: y  cos x  sin x  cos 2x . Chọn C. Câu 51:
Hàm số y  tan x có đạo hàm là 1
A. y  cot x . B. y   2 sin x 1 C. 2
y  1 tan x . D. y   2 cos x Hướng dẫn giải Chọn C.      Câu 52: Đạo hàm của hàm số 2 y  sin  2x x    là  2  2 4 Chương V: Đạo hàm Page 30
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736         A. y  2
 sin   4x  
B. y  2 sin  x cos  x  .     2  2   2  2       
C. y  2 sin  x cos  x  .     x
D. y  2sin   4x.  2   2  2 Hướng dẫn giải      1 cos   4x   2   Ta có: y  sin  2x x    x     2  2 4 2 2 4 
Suy ra: y  2 sin   4x   2 Chọn C.  1  Câu 53:
Đạo hàm của hàm số y  2  tan x    là  x   1 2  1 tan x  1    x A. y   B. y    1   1  2 2  tan x    2 2  tan x     x   x   1  1 2   1 tan x  2   1 tan x     x   1   x   1  C. y  . 1 .  D. y  . 1 . 2   2   1   x   1   x  2 2  tan x    2 2  tan x     x   x Hướng dẫn giải Ta có:  1     1   1 2 2  2  tan x     1 tan x  1 tan x          x   x   1   x   1  y    x    1    . 2   1   1   x   1   x  2 2  tan x  2 2  tan x  2 2  tan x         x   x   x Chọn C. 2 Câu 54:
Hàm số y f x 
có f 3 bằng cot  x 8 4 3 A. 8 . B. C. D. 2 . 3 3 Hướng dẫn giải
2 cot  x  2  1 cot    x
Ta có: f  x    2
f 3  2 . 2 cot  x 2 cot  xChọn C. Chương V: Đạo hàm Page 31
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 1 sin x Câu 55: Cho hàm số y  . Xét hai kết quả: 1 cos x
cos x  sin x1 cos x  sin x
1 cos x  sin x (I) y  (II) y  1 cos x2 1 cos x2 Kết quả nào đúng?
A. Cả hai đều sai. B. Chỉ (II).
C. Chỉ (I). D. Cả hai đều đúng. Hướng dẫn giải
cos x(1 cos x)  s inx(1 s inx)
1 s inx  cos x Ta có: y   1 cos x2 1 cos x2 Chọn đáp án B.  2 Câu 56:
Đạo hàm của hàm số y  cot cos x  sin x  là 2 1 cos x A. y '  2  cot cos x  . 2 sin cos x  2 sin x  2 1 cos x
B. y '  2 cot cos x .sin x  . 2 sin cos x  2 sin x  2 1 cos x C. y '  2  cot cos x  . 2 sin cos x  sin x  2 1 cos x
D. y '  2 cot cos x .sin x  . 2 sin cos x  sin x  2 Hướng dẫn giải     sin x-     2  1 cos x
y  2 cot cos x.cot cos x   2 cot cos x .sin x  2  sin cos x  2 sinx  2 sin x  2 2 Chọn đáp án B.  5     Câu 57:
Xét hàm số f (x)  2 sin  
x  . Giá trị f   bằng  6   6  A. 2 . B. 1  . C. 0 . D. 2  . Hướng dẫn giải  5    
Ta có: f  x  2 cos  x f   2      6   6  Chương V: Đạo hàm Page 32
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Chọn đáp án D. Câu 58: Đạo hàm của hàm số 2
y x tan x x là 1 2
A. y '  2x tan x  . B. 2 x 3 2 x 1 2 x 1
C. y '  2x tan x   .
D. y '  2x tan x   . 2 cos x 2 x 2 cos x x Hướng dẫn giải 2   x 1 Ta có: y  2
x  tanx+tanx 2   
.x   x   y '  2x tan x   . 2 cos x 2 x Chọn C.    Câu 59:
Cho hàm số y f (x) 
tan x  cot x . Giá trị f   bằng  4  2 1 A. 2 . B. 0 . C. . D. . 2 2 Hướng dẫn giải 1 1
tanx  cot x  2 2 x x   
Ta có: f  x cos sin    f   0.   2 tanx  cot x 2 tanx  cot x  4  Chọn đáp án B.    Câu 60: Cho f x 2 2
 cos x  sin x . Giá trị f   bằng:  4  A. 2 B. 1 C. 2  D. 0 Hướng dẫn giải   
Ta có: f x  cos 2x f  x  2sin 2x . Do đó f   2     4  Chọn C. x Câu 61: Cho hàm số 2 y=cos2 . x sin . Xét hai kết quả sau: 2 x x 1 (I) 2 y  2  sin 2x sin  s in . x cos2x (II) 2
y  2 sin 2x sin  sin . x cos 2x 2 2 2 Cách nào đúng? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Không cách nào. D. Cả hai đều đúng. Hướng dẫn giải xx x 1 Ta có: y cos 2x 2 2 2    .sin  sin .c os2x=-2sin2 . x sin  s in . x cos 2 .   x 2  2  2 2 Chương V: Đạo hàm Page 33
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 Chọn C. cos 2x Câu 62:
Đạo hàm của hàm số y  là 3x 1 2
 sin 2x 3x   1  3cos 2x 2
 sin 2x 3x   1  3cos 2x A. y '  . B. y '  . 3x  2 1 3x 1
 sin 2x 3x   1  3cos 2x
2sin 2x 3x   1  3cos 2x C. y '  . D. y '  . 3x  2 1 3x  2 1 Hướng dẫn giải
cos 2x 3x  1 3x  1     .cos 2 x
2 sin 2x 3x   1  3cos 2x Ta có: y   y '  . 3x  2 1 3x  2 1 Chọn A.
sin x x cos x Câu 63: Hàm số y  có đạo hàm bằng
cos x x sin x 2 x .sin 2x 2 2 x .sin x A. B. 2
(cos x x sin x) 2
(cos x x sin x) 2 2 x .cos 2xxC. D. 2  
(cos x x sin x)
 cos x x sin x Hướng dẫn giải Ta có:
sinx x cos x cos x xsin x cos x x sin x    
sinx x cos xy 
cos x x sin x2
x sin x cos x x sin x  x cos x s inx x cos x 2  x     
cos x x sin x2
 cos x x sin x Chọn D. cos x       Câu 64:
Cho hàm số y f (x) 
. Giá trị biểu thức f   f       là 1 sin x  6   6  4 4 8 8 A. . B. . C. . D. . 3 9 9 3 Hướng dẫn giải
cos x 1 sinx  (1 sinx)cos x 1       4
Ta có: f  x    f   f        1 sinx2 1 s inx  6   6  3 Chọn A. cos x Câu 65: Hàm số y  có đạo hàm bằng: 2 2 sin x Chương V: Đạo hàm Page 34
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 2 1 sin x 2 1 cos x 2 1 sin x 2 1 cos x A.  . B.  . C. . D. . 3 2 sin x 3 2sin x 3 2 sin x 3 2 sin x Hướng dẫn giải 2 sin   x cos x    2 sin x 3 cos cos x x
 sin x  2 sin x cos x cos x Ta có: y     2  4 4  2sin x  2 sin x 2sin x 2 2 2 sin x  2cos x 1 cos x     3 3 sin x sin x Chọn B. x Câu 66: Cho hàm số 2 y  cot
. Khi đó nghiệm của phương trình y '  0 là: 4
A.   k 2 .
B. 2  k 4 .
C. 2  k .
D.   k . Hướng dẫn giải    x x x  1 x x  Ta có: 2 2 y  cot  2 cot cot  cot 1 cot        4  4  4  2 4  4  1 x x x x  Mà: 2 y '  0  cot 1 cot  cot  0  
k  x  2  k 4 , k     2 4  4  4 4 2 Chọn B. Câu 67: Hàm số 2
y  sin x cosx có đạo hàm là: A. y  x  2 sin 3cos x   1 . B. y  x  2 sin 3cos x   1 . C. y  x  2 sin cos x   1 . D. y  x  2 sin cos x   1 . Hướng dẫn giải y  2 x x  2 x 2 x x x 2 3       x x x x  2 sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin sin 3cos x   1 . Chọn B. 1 Câu 68: Hàm số y
1 tan x2 có đạo hàm là: 2
A. y    x2 1 tan . B. 2
y  1 tan x .
C. y    x 2 1 tan 1 tan x .
D. y  1 tan x . Hướng dẫn giải 1   2  Ta có : y 1 tan x
1 tan x1 tan x        1 tan x    2 1 tan x .  2  Chọn C. Câu 69:
Để tính đạo hàm của hàm số y  cot x ( x k ), một học sinh thực hiện theo các bước sau: Chương V: Đạo hàm Page 35
Đạo hàm lượng giác Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736 cos x u (I) y  có dạng sin x v 2 2
 sin x  cos x
(II) Áp dụng công thức tính đạo hàm ta có: y  2 sin x 1
(III) Thực hiện các phép biến đổi, ta được y      2 1 cot x 2  sin x
Hãy xác định xem bước nào đúng? A. Chỉ (II). B. Chỉ (III). C. Chỉ (I).
D. Cả ba bước đều đúng. Hướng dẫn giải Chọn D. Chương V: Đạo hàm Page 36
Document Outline

  • ĐS11-Khái niệm đạo hàm - Lê Hải Trung
  • ĐS11-Quy tắc tính đạo hàm - lê hải trung
  • đS 11- Phương trình tiếp tuyến - Lê hải trung
  • ĐS 11- ĐẠO HÀM LƯỢNG GIÁC- LÊ HẢI TRUNG