Chuyên đề đạo hàm – Lư Sĩ Pháp

Tài liệu gồm có 72 trang được biên soạn bởi thầy Lư Sĩ Pháp, bao gồm tóm tắt lý thuyết cần nắm ở mỗi bài học, bài tập có hướng dẫn giải và bài tập tự luyện

TOAÙN 11
ĐẠO HÀM
§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
§2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
§3. ĐẠO HÀM CA HÀM S NG GIÁC
§4. VI PHÂN
§5. ĐẠO HÀM CP HAI
Giáo Viên Tng THPT Tuy Phong
Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán,
tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục
và Đào tạo quy định.
NỘI DUNG
1. Tóm tắt lý thuyết cần nắm ở mỗi bài học
2. Bài tập có hướng dẫn giải và bài tập tự luyện
3. Phần bài tập trắc nghiệm đủ dạng và có đáp án.
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm
khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý
đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập
hoàn chỉnh hơn.
Mọi góp ý xin gọi về số 0355.334.679 0916 620 899
Email: lsp02071980@gmail.com
Chân thành cảm ơn.
Lư Sĩ Pháp
GV_ Trường THPT Tuy Phong
LỜI NÓI ĐẦU
MỤC LỤC
§1. ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 01 10
§2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 11 21
§3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 22 30
§4. VI PHÂN 31 35
§5. ĐẠO HÀM CẤP HAI 36 42
ÔN TẬP CHƯƠNG IV 43 61
MỘT SĐÔN KIỂM TRA 62 68
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
1
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
CHƯƠNG V. ĐO HM
§1. ĐNH NGHA V NGHA CA ĐO HM
A. KIN THC CN NM
1. Đnh ngha
Cho hm s
xc đnh trên khong
( )
;ab
,
00
( ; ), ( ; )x a b x x a b +
Nu tn ti, gii hn (hu hn)
00
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
x
→
+
đưc gi l đo hm ca
()fx
ti
0
x
. K hiu l
/
0
()fx
hay
/
0
()yx
Như vậy
0
/
0 0 0
0
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim lim
x x x
f x x f x f x f x
fx
x x x
+
==
−
0x
xx =
gi l s gia ca đi s ti
0
x
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )y f x f x f x x f x = = +
gi l s gia tương ng ca hm s.
2. Quy tc tnh đo hm bng đnh ngha
Đ tnh đo hm ca hm s
()y f x=
ti đim
0
x
bng đnh ngha, ta c qui tc:
Qui tc:
Bưc 1. Vi
x
l s gia ca đi s ti x
0
, tnh
00
( ) ( )y f x x f x = +
;
Bưc 2. Lp t s
y
x
Bưc 3. Tnh
0
lim
x
y
x
→
Chú ý: Trong đnh ngha v quy tc trên, thay
0
x
bởi
x
ta sẽ c đnh ngha v quy tc tnh đo hm ca
hm s
()y f x=
ti đim
( ; )x a b
3. Quan h gia tn ti đo hm v tnh liên tc ca hm s
Đnh lí 1.
Nu hm s
()y f x=
c đo hm ti
0
x
th n liên tc ti đim
0
x
.
Nhưng điều ngưc li th chưa chc đã đúng.
4.  ngha hnh hc ca đo hm
Đnh l 2.
Đo hm ca hm s
()y f x=
ti đim
0
x
l h s gc ca tip tuyn M
0
T ca (C) ti đim
( )
0 0 0
; ( )M x f x
.
Khi đ phương trnh tip tuyn ca đ th hm s ti
0
M
l:
/
0 0 0
( )( ) ( )y f x x x f x= +
, trong đ
/
0 0 0
( ), ( )y f x k f x==
.
Chú : Ta c th d dng chng minh s không tn ti đo hm ti mt đim nh khi
nim đo hm mt bên v đnh l:
0
00
00
'( )
'( ) '( )
'( ) '( )
f x toàn taïi
f x toàn taïi f x toàn taïi
f x f x
+
+−
=
Trong đ
00
//
00
00
00
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim ; ( ) lim
x x x x
f x f x f x f x
f x f x
x x x x
+−
+−
→→
−−
==
−−
v
0
/
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
xx
f x f x
fx
xx
=
5.  ngha cơ hc ca đo hàm
Vận tc tc thi
0
()vt
ti thi đim
0
t
( hay vận tc ti
0
t
) ca mt chuyn đng c
phương trnh
()s s t=
bng đo hm ca hm s
()s s t=
ti đim
0
t
, tc l
/
00
( ) ( )v t s t=
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
2
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Các dạng toán
Dạng 1. Tnh đo hm bng đnh ngha
Phương php: 1. Tnh
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )y f x x f x f x f x = + =
2. Lp t s
y
x
3. Tnh
0
lim
x
y
x
→
Khi thay
0
x
bởi
x
ta tnh đo hm ca hm s
()y f x=
ti đim
( ; )x a b
Dạng 2. Quan h gia tnh liên tc v s c đo hm
Phương php:
1. Nu hm s
()y f x=
c đo hm ti
0
x
th n liên tc ti đim đ. Nhưng điều ngưc li đã chưa
chc đúng.
2. Đ chng minh hm s không c đo hm ti đim
0
x
, ta thc hin:
- Chng minh
00
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
x
→
+
không tn ti
- Chng minh hm s không liên tc ti đim
0
x
Dạng 3. Tip tuyn vi đ th (C) ca hm s
()y f x=
ti đim
( )
0 0 0
; ( ) ( )M x f x C
(tip đim). Phương
pháp:
1. Tính
/
00
0
0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x
fx
x
→
+
=
hay
0
/
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
xx
f x f x
fx
xx
=
2. H s gc ca tip tuyn (C) ti đim
0
M
/
0
()k f x=
3. Phương trnh tip tuyn vi đ th (C) ti
0
M
/
0 0 0
( )( ) ( )y f x x x f x= +
Dạng 4. Tip tuyn vi đ th (C) ca hm s
()y f x=
khi bit h s gc
k
Phương php
1. Gi
( )
0 0 0
; ( )M x y C
l tip đim ca tip tuyn vi đ th (C)
2. Tính
/
0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x
fx
x
→
+
=
3. Gii phương trnh
/
0
()k f x=
, tìm
0
x
00
()y f x=
4. Phương trnh tip tuyn vi đ th (C) c h s gc
k
00
()y k x x y= +
Lưu ý:
- Nu hai đưng thẳng song song vi nhau th c cùng h s gc
k
- Nu hai đưng thẳng vuông gc vi nhau th tch hai h s gc bng
1
B. BI TP
Bi 1.1. Bng đnh ngha, hãy tnh đo hm ca cc hm s sau:
a)
1
()fx
x
=
ti đim
0
2x =
b)
2
()f x x=
ti đim
0
2x =
c)
( ) 2 1f x x=−
ti đim
0
5x =
d)
1
()
1
x
fx
x
+
=
ti đim
0
0x =
HDGiải
a)
1
()fx
x
=
ti đim
0
2x =
Tp xc đnh ca hm s l
\0D =
Vi
x
l s gia ca đi s ti
0
2x =
sao cho
2 xD+
, th
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
3
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
00
11
( ) ( ) (2 ) (2)
2 2 2(2 )
x
y f x x f x f x f
xx
= + = + = =
+ +
Ta c
1
2(2 )
y
xx
=−
+
/
00
11
( ) lim lim
2(2 ) 4
xx
y
fx
xx

= = =

+

Vy
/
1
(2)
4
f =−
b)
2
()f x x=
ti đim
0
2x =
Tp xc đnh ca hm s l
D =
Vi
x
l s gia ca đi s ti
0
2x =
sao cho
2 xD+
, th
( )
2
2
00
( ) ( ) (2 ) (2) 2 2 (4 )y f x x f x f x f x x x = + = + = + = +
Ta c
4
y
x
x
= +
( )
/
00
(2) lim lim 4 4
xx
y
fx
x
= = + =
Vy
/
(2) 4f =
c)
( ) 2 1f x x=−
ti đim
0
5x =
Tp xc đnh ca hm s đã cho l
1
/
2
D x x

=


Vi
x
l s gia ca đi s ti
0
5x =
sao cho
5 xD+
, th
00
( ) ( ) (5 ) (5) 9 2 9y f x x f x f x f x = + = + = +
Ta c
9 2 9yx
xx
+
=

Khi đ
/
0 0 0
9 2 9 2 1
(5) lim lim lim
3
9 2 9
x x x
yx
f
xx
x
+
= = = =

+ +
d)
1
()
1
x
fx
x
+
=
ti đim
0
0x =
Tp xc đnh ca hm s đã cho l
\1D =
Vi
x
l s gia ca đi s ti
0
0x =
sao cho
0 xD+
, th
00
1 1 1 2
( ) ( ) 1
1 1 1 1
x x x
y f x x f x
x x x
+ +
= + = = + =
Ta c
2
1
y
xx
=
Khi đ
/
00
2
(0) lim lim 2
1
xx
y
f
xx
= = =
Bi 1.2. Tm đo hm ca mi hm s sau:
a)
2
y ax=
( a l hng s) trên b)
3
2yx=+
trên
c)
1
21
y
x
=
vi
1
2
x
d)
3yx=−
vi
3x
HDGiải
a)
2
y ax=
c tp xc đnh l , vi x
0
tùy thuc , c mt s gia
x
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
4
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tnh
( )
22
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) 2y f x x f x a x x ax x x x = + = + = +
( )
( )
0
00
0 0 0
2
lim lim lim 2 2
x x x
a x x x
y
a x x ax
xx
+
= = + =

Vy
/
2y ax=
b)
3
2yx=+
trên , thc hin tương t, ta c
/2
3yx=
c)
1
21
y
x
=
. Tp xc đnh ca hm s
1
\
2
D

=


Vi
0
x
tùy , ta c mt s gia
x
Tinh
( )
00
00
00
1 1 2
( ) ( )
2( ) 1 2 1
(2 1) 2 2 1
x
y f x x f x
x x x
x x x
−
= + = =
+
+
( )
2
00
0 0 0
22
lim lim
(2 1) 2 2 1 (2 1)
xx
y
x
x x x x
==
+
Vy
/
2
12
21
(2 1)
yy
x
x
= =
d)
3yx=−
, thc hin tương t .
/
1
3
23
y x y
x
= =
Bi 1.3. Chng minh rng hm s
2
2
( 1) ; 0
()
;0
xx
fx
xx
−
=
−
không c đo hm ti đim
0x =
nhưng c đo hm ti đim
2x =
.
HDGiải
Ta c:
(0) 1f =
,
2
00
lim ( ) lim( 1) 1
xx
f x x
++
→→
= =
v
2
00
lim ( ) lim( ) 0
xx
f x x
−−
→→
= =
Nhn thy
00
lim ( ) lim ( )
xx
f x f x
+−
→→
nên hm s
()y f x=
gin đon ti x = 0. T đ suy ra hm s đ không
c đo hm ti x = 0.
Ta c
)
2 0;x
= +
v
22
0 0 0 0
(2 ) (2) (1 ) 1
lim lim lim lim(2 ) 2
x x x x
y f x f x
x
x x x
+ +
= = = + =
Vy hm s
()y f x=
c đo hm ti x = 2 v
/
(2) 2f =
Bi 1.4. Chng minh rng hm s
2
2
( 1) ; 0
()
( 1) ; 0
xx
fx
xx
−
=
+
không c đo hm ti
0x =
, nhưng liên tc ti đim đ.
HDGiải
Ta c
(0) 1f =
/
0
0
00
0
( ) ( )
( ) lim lim( 2) 2
xx
f x f x
f x x
xx
++
+
→→
= = =
/
0
0
00
0
( ) ( )
( ) lim lim( 2) 2
xx
f x f x
f x x
xx
−+
→→
= = + =
V
//
00
( ) ( )f x f x
+−
nên hm s
()y f x=
không c đo hm ti x = 0.
Mt khc, ta c
2
00
lim ( ) lim( 1) 1
xx
f x x
++
→→
= =
;
2
00
lim ( ) lim( 1) 1
xx
f x x
−−
→→
= + =
V
(0) 1f =
nên hm s
()y f x=
liên tc ti đim x = 0.
Bi 1.5. Chng minh rng hm s
cos ; 0
()
sin ; 0
xx
y f x
xx
==
−
không c đo hm ti
0x =
.
HDGiải
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
5
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Ta c
00
lim ( ) lim cos 1
xx
f x x
++
→→
==
00
lim ( ) lim( sin ) 0
xx
f x x
−−
→→
= =
(0) cos0 1f ==
Nhn thy
00
lim ( ) lim ( )
xx
f x f x
+−
→→
nên hm s
()y f x=
gin đon ti x = 0
Do đ hm s ny không c đo hm ti đim x = 0.
Bi 1.6. Chng minh rng hm s
2
3
1; 0
()
;0
xx
y f x
xx
+
==
không c đo hm ti
0x =
.
HDGiải
Ta c
2
00
lim ( ) lim( 1) 1 (0)
xx
f x x f
++
→→
= + = =
3
00
lim ( ) lim 0
xx
f x x
−−
→→
==
Nhn thy
00
lim ( ) lim ( )
xx
f x f x
+−
→→
nên hm s
()y f x=
gin đon ti x = 0
Do đ hm s ny không c đo hm ti đim x = 0.
Bi 1.7. Cho parabol
2
32y x x= +
.
Vit phương trnh tip tuyn ca parabol ti đim c honh đ
0
2x =
.
HDGiải
Bng đnh ngha, ta tnh đưc
/
(2) 1y =−
. Do đ h s gc ca tip tuyn l 1
Ngoi ra, ta c y(2) = 0
Vậy phương trnh tip tuyn ca parabol ti đim M
0
(2; 0) l:
1( 2) 0yx= +
hay
2yx= +
Bi 1.8. Vit phương trnh tip tuyn ca đ th hm s
3
yx=
a) Ti đim (1; 1)
b) Ti đim c honh đ bng 2
c) Bit h s gc ca tip tuyn bng
3
HDGiải
Trưc ht ta tnh đo hm ca hm s
3
()y f x x==
ti x
0
tùy trên , c mt s gia
x
Tnh
( )
3 3 2 2
0 0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) 3 3y f x x f x x x x x x x x x = + = + = + +
( )
2 2 2
0 0 0
00
lim lim 3 3 3
xx
y
x x x x x
x
= + + =
a) Ti tip đim x
0
= 1,
/
( 1) 3f −=
.
Vy tip tuyn cn tm: y (1) = 3[x (1)] hay y = 3x + 2
b) Ti đim x
0
= 2, ta c
/
(2) 12f =
v
3
(2) 2 8f ==
Vy pttt cn tm: y 8 = 12 ( x 2) hay y = 12x 16
c) Bit
/
0
( ) 3fx=
, nên ta c
00
2
0
00
1 (1) 1
33
1 ( 1) 1
x y f
x
x y f
= = =
=
= = =
Vy tip tuyn cn tm l: y = 3x 2 v y = 3x + 2
Bi 1.9. Vit phương trnh tip tuyn ca đưng hypebol
1
y
x
=
a) Ti đim
1
;2
2
M



b) Ti đim c honh đ bng 1
c) Bit h s gc ca tip tuyn bng
1
4
HDGiải
Trưc ht ta tnh đo hm ca hm s
1
()y f x
x
==
ti x
0
tùy trên
\0
c mt s gia
x
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
6
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tnh
( )
00
00
00
11
( ) ( )
x
y f x x f x
x x x
x x x
−
= + = =
+
+
( )
2
00
0 0 0
1
lim lim
xx
yx
x
x x x x
= =
+
a) Ti tip đim
1
;2
2
M



, ta c
/
1
4
2
f

=−


Vy tip tuyn cn tm: y =
4( x 1)
b) Ti đim x
0
=
1,
/
( 1) 1f =
v
( 1) 1f =
Vy tip tuyn cn tm l: y =
1( x + 1) 1
c) Bit
/
0
1
()
4
fx=−
, nên
00
2
0
00
1
2 (2)
11
2
4
1
2 ( 2)
2
x y f
x
x y f
= = =
=
= = =
Vy tip tuyn cn tm l:
1
1
4
yx= +
v
1
1
4
yx=
Bài 1.10. Mt cht đim chuyn đng c phương trnh
2
( ) 3 5 1s t t t= + +
( t tnh bng s, S tnh bng mét).
Tnh vận tc ca cht đim ti thi đim
0
1ts=
.
HDGiải
Gi v(t) l vn tc tc thi ca chuyn đng ti thi đim t.
Khi đ
0
2
/
0
00
11
0
( ) ( )
3 5 8
( ) ( ) lim lim lim(3 8) 11
1
t t t t
s t s t
tt
v t s t t
t t t
+−
= = = = + =
−−
Bài 1.11. Xét tnh liên tc, s tn ti đo hm v tnh đo hm (nu c) ca hm s sau trên
2
22
()
1
2
1
x x khi x
y f x
khi x
x
+
==
HDGiải
Tập xc đnh ca hm s l
D =
Vi
2x
thì
2
( ) 2f x x x= +
l hm s liên tc v đo hm l
/
( ) 2 1f x x=−
Vi
2x
thì
1
()
1
f x
x
=
l hm s liên tc v c đo hm
/
2
1
()
( 1)
fx
x
=−
Vi
2x =
thì ta có
( )
2
22
lim ( ) lim 2 4
xx
f x x x
−−
→→
= + =
22
1
lim ( ) lim 1
1
xx
fx
x
++
→→
==
Do đ
22
lim ( ) lim ( )
xx
f x f x
−+
→→
, suy ra không tn ti
2
lim ( )
x
fx
, tc l hm s không liên tc ti
2x =
, nên
không c đo hm ti đim ny.
C. BI TP ĐỀ NGH
Bi 1.12. Tnh (bng đnh ngha) đo hm ca mi hm s sau ti cc đim đã ch ra:
a)
2
y x x=+
ti
0
1x =
b)
1
y
x
=
ti
0
2x =
c)
21yx=+
ti
0
2x =
d)
2
3y x x=+
ti
0
1x =
Bài 1.13. Cho ham s
3
()y f x x==
. Chng minh rng
3
2
1
'( ) ;( 0)
3
f x x
x
=
Bài 1.14. Cho hm s
3
()y f x x==
. Tính
'(0)f
nu c.
Bài 1.15. Xét tnh liên tc, s tn ti đo hm v tnh đo hm nu c ca hm s sau trên
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
7
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
a)
2
1
()
2
1
x x khi x
y f x
khi x
x
+
==
b)
2
3
10
()
10
x khi x
y f x
x khi x
+
==
+
Bài 1.16. Vit phương trnh tip tuyn vi đ th hm s
2
yx=
, bit rng:
a) Tip đim c honh đ l 2.
b) Tip đim c tung đ l 4.
c) H s gc ca tip tuyn bng 3.
Bài 1.17. Vit phương trnh tip tuyn vi đ th hm s
21yx=+
, bit h s gc ca tip tuyn l
1
3
.
Bài 1.18. Vit phương trnh tip tuyn vi đ th ca hm s
2
23y x x= +
, bit tip tuyn song song
vi đưng thẳng
4 2 5 0xy + =
.
Bài 1.19. Vit phương trnh tip tuyn vi đ th ca hm s
2
23y x x= +
, bit tip tuyn vuông gc
vi đưng thẳng
40xy+=
Bài 1.20. Cho hm s
32
1
23
3
y x x x= +
c đ th (C).
a) Vit phương trnh tip tuyn d ca (C) ti điềm c honh đ
2x =
b) Chng minh rng d l tip tuyn ca (C) c h s gc nhỏ nht.
Bài 1.21. Cho hm s
3
31y x x= + +
c đ th (C).
a) Vit phương trnh tip tuyn d ca (C) ti điềm c honh đ
0x =
b) Chng minh rng d l tip tuyn ca (C) c h s gc ln nht.
D. BÀI TP TRC NGHIỆM
Câu 1. Đo hm ca hm s
( )
2
f x x x=−
ti đim
0
x
ng vi s gia
x
là:
A.
( )
0
lim 2 1 .
x
xx
→
+ +
B.
( )
( )
2
0
lim 2 .
x
x x x x
→
+ +
C.
( )
( )
2
0
lim 2 .
x
x x x x
→
+
D.
( )
0
lim 2 1 .
x
xx
→
+
Câu 2. Cho
f
l hm s liên tc ti
0
x
. Đo hm ca
f
ti
0
x
là:
A.
( ) ( )
00
0
lim
h
f x h f x
h
+−
(nu tn ti gii hn)
.
B.
( ) ( )
00
0
lim
h
f x h f x h
h
+
(nu tn ti gii hn)
.
C.
( ) ( )
0
0
0
lim
x
xx
f x f x
xx
+
D.
( ) ( )
00
.
f x h f x
h
+−
Câu 3. Mt vật rơi t do theo phương trnh
2
1
2
s gt=
, trong đ
2
9,8m/sg =
l gia tc trng trưng. Tìm
vận tc trung bnh ca chuyn đng trong khong thi gian t
( )
5stt=
đn
tt+
vi
0,001s.t=
A.
tb
49m/s.v =
B.
tb
49,49m/s.v =
C.
tb
49,0049m/s.v =
D.
tb
49,245m/s.v =
Câu 4. Tnh tỷ s
y
x
ca hm s
31yx=+
theo
x
.x
A.
3.
y
x
=
B.
1.
y
x
=
C.
2.
y
x
=
D.
0.
y
x
=
Câu 5. Vận tc ca mt cht đim chuyn đng đưc biu th bởi công thc
( )
2
83v t t t=+
, trong đ
0,t
t
tnh bng giây v
( )
vt
tnh bng mét/giây. Tm gia tc ca cht đim ti thi đim m vận tc
chuyn đng l
11
mét/giây.
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
8
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
A.
2
14m/s .
B.
2
20m/s .
C.
2
6m/s .
D.
2
11m/s .
Câu 6. Tnh s gia ca hm s
2
41y x x= +
ti đim
0
x
ng vi s gia
x
là:
A.
( )
0
2 4 .y x x x = +
B.
0
2.y x x = +
C.
( )
0
2 4 .y x x x =
D.
0
2 4 .y x x =
Câu 7. Cho hm s
( )
2
2 2 khi 0
1 khi 0
mx x x
fx
nx x
+ +
=
+
. Tm tt c cc gi tr ca cc tham s
, mn
sao
cho
( )
fx
c đo hm ti đim
0x =
.
A.
2, .mn=
B.
2, .nm=
C.
2.mn==
D. Không tn ti
,.mn
Câu 8. Cho hm s
( )
2
khi 1
2
khi 1
x
x
fx
ax b x
+
=
. Tm tt c cc gi tr ca cc tham s
, ab
sao cho
( )
fx
c đo hm ti đim
1x =
.
A.
11
,.
22
ab= =
B.
1
1, .
2
ab==
C.
1
1, .
2
ab= =
D.
11
,.
22
ab==
Câu 9. Trong cc pht biu sau, pht biu no sau đây l đúng?
A. Nu hm s
( )
y f x=
c đo hm ti
0
x
th n liên tc ti đim đ
.
B. Nu hm s
( )
y f x=
liên tc ti
0
x
th n c đo hm ti đim đ
.
C. Nu hm s
( )
y f x=
không liên tc ti
0
x
th n c đo hm ti đim đ
.
D. Nu hm s
( )
y f x=
c đo hm ti
0
x
th n không liên tc ti đim đ
.
Câu 10. Tnh s gia ca hm s
1
y
x
=
ti đim
x
(bt k khc
0
) ng vi s gia
.x
A.
( )
.
x
y
x x x
=
+
B.
.
x
y
xx
=
+
C.
.
x
y
xx
=
+
D.
( )
.
x
y
x x x
=
+
Câu 11. Cho hm s
( )
fx
xc đnh trên
\2
bởi
( )
32
2
.
43
khi 1
32
0 khi 1
x x x
x
fx
xx
x
−+
=
=
+
Tính
( )
1.f
A.
( )
1 0.f
=
B. Không tn ti. C.
( )
3
1.
2
f
=
D.
( )
1 1.f
=
Câu 12. Cho hm s
32
3 2.y x x= +
Vit phương trnh tip tuyn ca đ th hm s bit tip tuyn song
song vi đưng thẳng
9 7.yx=+
A.
9 25.yx=−
B.
9 7; 9 25.y x y x= = +
C.
9 25.yx=+
D.
9 7; 9 25.y x y x= + =
Câu 13. Tnh s gia ca hm s
2
2yx=+
ti đim
0
2x =
ng vi s gia
1.x=
A.
5.y=
B.
2.y=
C.
13.y=
D.
9.y=
Câu 14. Cho hm s
32
3 2.y x x= +
Vit phương trnh tip tuyn ca đ th hm s bit tip tuyn
vuông gc vi đưng thẳng
1
.
45
yx=−
A.
45 83.yx=−
B.
45 173.yx=−
C.
45 173; 45 83.y x y x= + =
D.
45 173; 45 83.y x y x= = +
Câu 15. Cho hm s
32
3 2.y x x= +
Vit phương trnh tip tuyn ca đ th hm s bit cosin gc to
bởi tip tuyn v đưng thẳng
:4 3 0xy =
bng
3
.
5
A.
2; 1.yy==
B.
2; 1.yy= =
C.
2; 1.yy= =
D.
2; 2.yy= =
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
9
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Câu 16. Vit phương trnh tip tuyn ca đưng cong
1
y
x
=
ti đim c honh đ bng
1
.
A.
2.yx= +
B.
2 0.xy+ + =
C.
2.yx=+
D.
2.yx=−
Câu 17. Tnh s gia ca hm s
2
2
x
y =
ti đim
0
1x =−
ng vi s gia
.x
A.
( )
2
1
.
2
y x x

= +

B.
( )
2
1
.
2
y x x = +
C.
( )
2
1
.
2
y x x =
D.
( )
2
1
.
2
y x x

=

Câu 18. Tnh tỷ s
y
x
ca hm s
2
1yx=−
theo
x
.x
A.
2.
y
xx
x
= +
B.
2.
y
xx
x
= +
C.
.
y
x
x
=
D.
0.
y
x
=
Câu 19. Tnh tỷ s
y
x
ca hm s
3
2yx=
theo
x
.x
A.
( )
2
2
3 3 .
y
x x x x
x
= + +
B.
( )
3
3
22
.
xx
y
xx
−
=

C.
( )
2
2.
y
x
x
=
D.
( )
2
2
6 6 2 .
y
x x x x
x
= + +
Câu 20. Tnh s gia ca hm s
32
1y x x= + +
ti đim
0
x
ng vi s gia
1.x=
A.
2
00
3 5 2.y x x = +
B.
2
00
3 5 3.y x x = + +
C.
32
0 0 0
2 3 5 2.y x x x = + + +
D.
2
00
3 5 2.y x x = + +
Câu 21. Tm h s gc
k
ca tip tuyn ca parabol
2
yx=
ti đim c honh đ
1
.
2
A.
1
.
2
k =−
B.
0.k =
C.
1.k =
D.
1
.
4
k =
Câu 22. Vit phương trnh tip tuyn ca đưng cong
1
y
x
=
bit h s gc ca tip tuyn bng
1
.
4
A.
4 1 0 ; 4 1 0.x y x y+ = + + =
B.
4 4 0 ; 4 4 0.x y x y+ = + + =
C.
11
4; 4.
44
y x y x= = +
D.
1
4
yx=−
.
Câu 23. Tm tham s thc
b
đ hm s
( )
2
2
khi 2
6 khi 2
2
xx
fx
x
bx x
=
+
c đo hm ti
2.x =
A.
1.b =
B.
6.b =−
C.
3.b =
D.
6.b =
Câu 24. Mt viên đn đưc bn lên cao theo phương trnh
( )
2
196 4,9s t t t=−
trong đ
0,t
t
tnh bng
giây k t thi đim viên đn đưc bn lên cao v
( )
st
l khong cch ca viên đn so vi mt đt đưc
tnh bng mét. Ti thi đim vận tc ca viên đn bng
0
th viên đn cch mt đt bao nhiêu mét?
A.
1906m.
B.
1960m.
C.
1690m.
D.
1069m.
Câu 25. Cho hm s
( )
2
2
1k
.
hi 0
khi 0
xx
fx
xx
−
=
Khẳng đnh no sau đây sai?
A. Hm s c đo hm ti
2x =
.
B. Hm s liên tc ti
2x =
.
C. Hm s c đo hm ti
0x =
.
D. Hm s không liên tc ti
0x =
.
Câu 26. Cho hm s
( )
y f x=
c đo hm ti
0
x
( )
0
fx
. Mnh đề no sau đây sai?
A.
( )
( ) ( )
00
0
0
lim .
x
f x x f x
fx
x
→
+
=
B.
( )
( ) ( )
00
0
0
lim .
h
f x h f x
fx
h
+−
=
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
10
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
C.
( )
( ) ( )
0
00
0
0
lim .
xx
f x x f x
fx
xx
+−
=
D.
( )
( ) ( )
0
0
0
0
lim .
xx
f x f x
fx
xx
=
Câu 27. Vit phương trnh tip tuyn ca đưng cong
3
yx=
ti đim
( )
1; 1 .−−
A.
3 4.yx=
B.
1.y =−
C.
3 2.yx=−
D.
3 2.yx=+
Câu 28. Mt cht đim chuyn đng theo phương trnh
( )
2
s t t=
, trong đ
0,t
t
tnh bng giây v
( )
st
tnh bng mét. Tnh vận tc ca cht đim ti thi đim
2t =
giây.
A.
2m/s.
B.
3m/s.
C.
4m/s.
D.
5m/s.
Câu 29. Vit phương trnh tip tuyn ca đưng cong
3
yx=
ti đim c tung đ bng
8.
A.
12 16.yx= +
B.
12 24.yx=−
C.
12 16.yx=−
D.
8.y =
Câu 30. Cho hm s
32
3 2.y x x= +
Vit phương trnh tip tuyn ca đ th hm s ti giao đim vi
đưng thẳng
2.y =−
A.
9 7; 2.y x y= + =
B.
2.y =−
C.
9 7; 2.y x y= + =
D.
9 7; 2.y x y= + =
Câu 31. Cho hm s
( )
2
11
khi 0
.
0 khi 0
x
x
fx
x
x
=
=
+
Tính
( )
0.f
A.
( )
0 1.f
=
B.
( )
1
0.
2
f
=
C. Không tn ti
.
D.
( )
0 0.f
=
Câu 32. Cho hm s
( )
34
khi 0
4
1
.
khi 0
4
x
x
fx
x
−−
=
=
Tính
( )
0.f
A. Không tn ti. B.
( )
1
0.
4
f
=
C.
( )
1
0.
16
f
=
D.
( )
1
0.
32
f
=
Câu 33. Cho hm s
32
3 2.y x x= +
Vit phương trnh tip tuyn ca đ th hm s ti giao đim vi
trc tung.
A.
2.yx=
B.
2.y =
C.
0.y =
D.
2.y =−
Câu 34. Tnh tỷ s
y
x
ca hm s
1
y
x
=
theo
x
.x
A.
1
.
y
x x x
=−
+
B.
1
.
y
x x x
=
+
C.
( )
1
.
y
x x x x
=
+
D.
( )
1
.
y
x x x x
=−
+
Câu 35. Mt cht đim chuyn đng c phương trnh
( )
32
3 9 2s t t t t= + +
, trong đ
0,t
t
tnh bng
giây và
( )
st
tnh bng mét. Hỏi ti thi đim no th bận tc ca vật đt gi tr nhỏ nht?
A.
6s.t =
B.
1s.t =
C.
2s.t =
D.
3s.t =
ĐÁP ÁN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
D
A
C
A
A
A
B
C
A
A
B
A
A
D
D
B
C
A
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
D
D
C
B
D
B
C
B
D
C
C
C
B
C
B
D
B
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
11
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
§2. CC QUY TC TNH ĐO HM
A. KIN THC CN NM
I. Bảng đạo hàm
STT
HM SỐ SƠ CẤP
HM SỐ HỢP
QUY TC
()u u x=
( ), ( )u u x v v x==
1
( ) 0C
=
( )
ku ku
=
( )
u v u v

+ = +
2
( ) 1x
=
,
( )
kx k
=
( )
1
..u u u

=
( )
u v u v

=
3
1
( ) , , 1
nn
x nx n n
=
( )
,0
2
=
u
uu
u
( )
uv u v uv

=+
4
( )
1
,0
2
xx
x
=
2
1
,0

=


u
u
uu
2
,0


=


u u v uv
v
vv
5
2
11
,0x
xx

=


/
22
( ) ( )
ab
cd
ax b ad cb
cx d
cx d cx d

+−
==

+
++

2
1
,0

=


v
v
vv
6
/
()ax b a+=
( )
2
/
2
22
2
2
' ' ' ' ' '
' ' '
' ' '
a b a c b c
xx
a b a c b c
ax bx c
a x b x c
a x b x c
++

++
=

++

++
II. Đạo hm ca hm s hp. Cho y l hm s theo
( ( ))uux
th:
/ / /
.
x u x
y y u=
Các dạng toán
Dạng 1. Tính đạo hm bằng các công thức đi với hm đa thức, hm hữu tỉ, hm căn bậc hai
Phương pháp: Vận dụng bảng 1 v quy tắc tính đạo hm để tính.
Dạng 2. Vận dụng đạo hm vo giải phương trnh hay bất phương trnh.
Phương pháp: - Tính đạo hm theo đề bi yêu cầu
- Thiết lập phương trnh hay bất phương trnh
Dạng 3. Tiếp tuyến với đồ thị (C) của hm s
()y f x=
kẻ từ điểm
( ; )A

với
()AC
hay
()AC
.
Phương pháp
Cách 1. Tm tiếp điểm
1. Gọi
0
x
l honh độ tiếp điểm, tiếp tuyến
( )
d
:
/
0 0 0
( )( ) ( )y f x x x f x= +
(1)
2.
()Ad
nên thay
,xy

==
vào (1). Giải v tm
0
x
, rồi tính
00
'( ), ( )f x f x
3. Thay kết quả tm được vo (1), có phương trnh tiếp tuyến cần tm.
Cách 2. Tm hệ s góc
k
1. Đường thẳng d đi qua điểm
( ; )A

v có hệ s góc
k
có phương trnh
()y k x

= +
(1)
2. Đường thẳng d l tiếp tuyến với đồ thị (C) th hệ phương trnh sau phải có nghiệm
/
( ) ( )
()
f x k x
f x k

= +
=
3. Giải hệ phương trnh tm
x
, ri tm
k
và thay
k
vo (1) ta được phương trnh tiếp tuyến d.
B. BI TP
Bi 2.1. Tính đạo hm ca mi hm s sau tại điểm x
0
được cho km theo
a)
2
0
7 , 1y x x x= + =
b)
3
0
2 1, 2y x x x= + =
c)
5
0
2 2 3, 1y x x x= + =
d)
42
0
2, 1y x x x= + =
HDGiải
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
12
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
a)
( )
/
2 / 2
' (7 ) (7)' ( )' 0 1 2 1 2y x x x x x x = + = + = + =
Ti
/
0
1, (1) 1 2.1 1.x y= = =
b)
/ 3 / 2
( 2 1) 3 2y x x x= + =
v
/
(2) 10y =
c)
( )
/
/ 5 4
2 2 3 10 2y x x = x = +
v
/
(1) 8y =
d)
( )
/
/ 4 2 3
2 4 2y x x = x x= +
v
/
( 1) 2y =
Bi 2.2. Tm đạo hm ca các hm s sau:
a)
53
4 2 3y x x x= +
b)
24
1 1 1
4 3 2
y x x x= +
c)
4 3 2
24
1
2 3 5
x x x
y = +
d)
( )
52
3 8 3y x x=−
HDGiải
a)
( )
/
/ 5 3 4 2
4 2 3 5 12 2y x x x x x= + = +
b)
/
/ 2 4 3
1 1 1 1
22
4 3 2 3
y x x x x x

= + = +


c)
/
4 3 2
/ 3 2
2 4 8
1 2 2
2 3 5 5
x x x x
y x x

= + = +


d)
( )
( )
( )
/
/ 5 2 4 2 5 6 4
3 8 3 15 8 3 3 ( 6 ) 63 120y x x x x x x x x= = + = +
Bi 2.3. Tm đạo hm các hm s sau:
a)
42
y x x x= +
b)
( )
35
y x x x=−
c)
( )
3
12yx=−
d)
( )
3
72
5y x x=−
e)
2
2
1
x
y
x
=
f)
2
35
1
x
y
xx
=
−+
HDGiải
a)
( )
/
/ 4 2 3
1
42
2
y x x x x x
x
= + = +
b)
( )
( )
( ) ( )
/
/
/
/ 3 5 3 5 5 3 2 3 4
1
38
2
y x x x x x x x x x x x x x
x


= = + = +




c)
( ) ( ) ( ) ( )
/
3 2 / 2
/
1 2 3 1 2 1 2 6 1 2y x x x x

= = =


d)
( ) ( )
/
32
/ 7 2 7 2 5
5 3 5 (7 10)y x x x x x

= =


e)
( )
/
2
/
22
2
2 2( 1)
1
1
xx
y
x
x

−+
==


f)
( )
/
2
/
22
2
3 5 5 6 2
1
1
x x x
y
xx
xx

==

−+

−+
Bi 2.4. Tính đạo hm các hm s sau
a)
2
1y x x x= +
b)
2
25y x x=
c)
3
22
x
y
ax
=
(
a
l hng s) d)
1
1
x
y
x
+
=
HDGiải
a)
( )
/
/2
3
12
2
y x x x x x= + =
b)
(
)
/
/2
2
25
25
2 2 5
x
y x x
xx
−−
= =
−−
c)
( )
( )
/
2 2 2
3
/
2 2 3
22
32x a x
x
y
ax
ax

==



d)
/
/
3
13
1
2 (1 )
xx
y
x
x

+−
==


Bi 2.5. Tính đạo hm các hm s sau
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
13
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
a)
( )
2
7
y x x=+
b)
( )( )
22
1 5 3y x x= +
c)
2
2
1
x
y
x
=
d)
2
53
1
x
y
xx
=
++
e)
2
22
1
xx
y
x
++
=
+
f)
(2 1)(3 2)y x x x= +
HDGiải
a)
( ) ( )( )
/
2
/ 7 6 6
2 1 7 1y x x x x x

= + = + +


b)
( )( )
( )
( )
/
/ 2 2 2
1 5 3 4 3 1y x x x x= + = +
c)
( )
( )
2
/
/
22
2
21
2
1
1
x
x
y
x
x
−+

==


d)
( )
/
2
/
22
2
5 3 5 6 8
1
1
x x x
y
xx
xx

+ +
==

++

++
e)
/
2
/
2
2 2 ( 2)
1
( 1)
x x x x
y
x
x

+ + +
==

+
+

f)
( )
( )
/
/2
(2 1)(3 2) 2 9 1y x x x x x= + = +
Bi 2.6. Tính đạo hm các hm s sau:
a)
2
23
55
x
y
xx
+
=
−+
b)
( )
5
2
1
1
y
xx
=
−+
c)
2
1y x x x= + +
d)
( ) ( )
23
( 1) 2 3y x x x= + + +
e)
2
1x
y
x
+
=
f)
1
1
x
y
x
=
HDGiải
a)
( )
/
2
/
22
2
2 3 2 6 25
55
55
x x x
y
xx
xx

+ +
==

−+

−+
b)
( ) ( )
/
/
56
22
1 5(2 1)
11
x
y
x x x x

−−

==


+ +

c)
( )
/
/2
3
12
2
y x x x x x= + + = +
d)
( ) ( )
( )
( )
/
23
/ 2 2
( 1) 2 3 2( 2)( 3) 3 11 9y x x x x x x x= + + + = + + + +
e)
/
22
/
2
2
11
1
2
xx
y
x
x
x
x

+−

==

+

f)
/
/
3
13
1
2 (1 )
xx
y
x
x

−−
==


Bi 2.7. Tính đạo hm các hm s sau
a)
( )
( )
32
9 2 2 9 1y x x x= +
b)
23
4
x
y
x
=
+
c)
2
35
2
xx
y
x
+
=
d)
3
5
3
yx
x

=−


e)
32
21y x x= +
f)
4
2
bc
ya
x
x

= + +


HDGiải
a)
( )
( )
( )
/
/ 3 2 3 2
9 2 2 9 1 16 108 162 2y x x x x x x= + = +
b)
/
/
2
2 3 11
4
( 4)
x
y
x
x

==

+
+

c)
/
22
/
2
3 5 4 1
2
( 2)
x x x x
y
x
x

+ + +
==


d)
/
32
/ 5 5 4
3
3 3 3
35
2
y x x x
xx
x



= = +





e)
(
)
2
/
/ 3 2
32
34
21
2 2 1
xx
y x x
xx
= + =
−+
f)
/
43
/
2 2 2 3
2
4
b c b c b c
y a a
xx
x x x x


= + + = + + +


Bi 2.8. Tm đạo hm các hm s sau
a)
( )( )
3 2 2
4 2 5 7y x x x x x=
b)
( )
2
31y x x
x

= +


Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
14
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
c)
2
3
23
2
xx
y
x
+ +
=
d)
( )
2
21y x x= +
HDGiải
a)
( )( )
( )
/
/ 3 2 2 4 3 2
4 2 5 7 20 120 27 70y x x x x x x x x x= = + +
b)
( ) ( )
/
/
2 2 1 3
3 1 3 1
2
x
y x x x
xx
x x x

= + = + + +


c)
( )
/
2 4 3 2
/
32
3
2 3 4 9 4 4
2
2
x x x x x x
y
x
x

+ + +
==


d)
( )
(
)
2
/
/2
2
2 2 1
21
1
xx
y x x
x
−+
= + =
+
Bi 2.9. Cho
32
32y x x= +
. Tm x để:
a)
/
0y
b)
/
3y
HDGiải
Ta có
/2
36y x x=−
.
a)
/2
0 3 6 0 0y x x x
hoc
2x
b)
/ 2 2
3 3 6 3 0 2 1 0 1 2 1 2y x x x x x +
Bi 2.10. Cho
32
( ) 2; ( ) 3 2f x x x g x x x= + = + +
. Gii bt phương trnh
//
( ) ( )f x g x
.
HDGiải
Ta có
/ 2 /
( ) 3 1; ( ) 6 1f x x g x x= + = +
/ / 2 2
( ) ( ) 3 1 6 1 2 0f x g x x x x x + +
. Vậy
( ;0) (2; )x − +
Bi 2.11. Cho
23
2
( ) ; ( )
23
xx
f x g x
x
= =
. Gii bất phương trnh
/
( ) ( )f x g x
HDGiải
Ta có
/2
()g x x x=−
32
/2
22
( ) ( ) 0 1 0
xx
f x g x x x x
xx
−+
. Vậy
[ 1;0)x −
Bi 2.12. Cho hm s
2
( ) 2f x x x=−
. Hy gii bất phương trnh
/
( ) ( )f x f x
.
HDGiải
Ta có
2/
2
1
( ) 2 ( )
2
x
f x x x f x
xx
= =
Ta cn giải bất phương trnh:
2
2
2
0
2
0
1
35
2
2
2
2
12
35
2
x
x
x
x
xx
x
x
xx
x x x
x


+
Vy tập nghim của bpt đ cho l:
35
( ;0) ;
2
S

+
= − +

Bài 2.13. Cho hm s
32
32y x x= +
có đồ thị (C).
a) Viết phương trnh tiếp với đồ thị (C) kẻ từ điểm
(0;2)A
b) Tm trên đường thẳng
2y =
các điểm để từ đó có thể kẻ đến
()C
hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
HDGiải
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
15
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
a) Cách 1. Ta có
/ / 2
( ) 3 6y f x x x= =
. Gọi
0
x
l honh độ tiếp điểm, tiếp tuyến với đồ thị (C) l (d):
( )
( )
/ 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0
( )( ) ( ) 3 6 3 2y f x x x f x x x x x x x= + = + +
()Ad
nên
( )
( )
0
2 3 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0
0
0
2 3 6 0 3 2 2 3 0
3
2
x
x x x x x x x
x
=
= + + + =
=
Khi
00
0 ( ) (0) 2x f x f= = =
//
0
( ) (0) 0f x f==
.
Vậy phương trnh tiếp tuyến l
1
( ): 2dy=
Khi
00
3 3 11
()
2 2 8
x f x f

= = =


//
0
39
()
24
f x f

= =


.
Vậy phương trnh tiếp tuyến l
2
9
( ): 2
4
d y x= +
Cách 2. Đường thẳng (d) qua điểm A(0; 2), có hệ s góc k, có phương trình :
2y kx=+
Để đường thẳng (d) l tiếp tuyến với đồ thị (C) th hệ phương trnh sau phải có nghiệm:
32
/
2
( ) 2
3 2 2 (1)
()
3 6 (2)
f x kx
x x kx
f x k
x x k
=+
+ = +


=
−=
Thay (2) vào (1), ta có
32
00
2 3 0
39
24
xk
xx
xk
= =
=
= =
Vậy tiếp tuyến cần tm
1
( ): 2dy=
,
2
9
( ): 2
4
d y x= +
b) Gọi
( ;2)Aa
thuộc đường thẳng y = 2 v (d) l đường thẳng qua A, có hệ s góc k, nên có phương trnh
( ) 2y k x a= +
.
Để có hai tiếp với đồ thị (C) th phương trnh sau phải có nghiệm:
32
/
2
( ) ( ) 2
3 2 ( ) 2 (1)
()
3 6 (2)
f x k x a
x x k x a
f x k
x x k
= +
+ = +


=
−=
Thay (2) vào (1), ta có
2
2
0
2 3 ( 1) 6 0
2 3 ( 1) 6 0 (3)
x
x x x a a
x x a a
=

+ + =

+ + =
Đt
2
( ) 2 3 ( 1) 6g x x x a a= + +
Để kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) v hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau th phương trnh (3) có
hai nghiệm phân biệt
1
x
2
x
khác 0 và
//
12
( ). ( ) 1y x y x =−
.
Suy ra
( )
2
//
12
1 2 1 2 1 2
60
(0) 0
0 3 10 3 0
( ). ( ) 1
9 2 4 1 (4)
a
g
aa
y x y x
x x x x x x
+



=−
+ + =

Theo Viét, ta có
1 2 1 2
3( 1)
;3
2
a
x x x x a
+
+ = =
thay vào (4), ta có
1
27 1
27
aa= =
Vậy điểm cần tm
1
;2
27
A



C. BI TP ĐỀ NGHỊ
Bài 2.14. Tm đạo hm các hm s sau
a)
5 3 2
4
2
x
y x x x= +
b)
2 3 4
2 4 5 6
7
y
x
x x x
= +
c)
3
6yx
x
= +
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
16
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
d)
( )
3
(9 2 ) 2 9 1y x x x= +
e)
23
4
x
y
x
=
+
f)
2
53
2
xx
y
x
−−
=
Bài 2.15. Tm đạo hm các hm s sau
a)
( )( ) ( )
23
2 3 4
1 1 1y x x x= + + +
b)
3
5
3
yx
x

=−


c)
32
21y x x= +
d)
2
( 2) 1y x x= +
e)
24y x x= + +
f)
2
1
1
x
y
x
+
=
+
Bài 2.16. Tính
/
( 1)f
biết rằng
23
1 2 3
()fx
x
xx
= + +
Bài 2.17. Cho hm s
2
( ) 2 8f x x x=
. Giải bất phương trnh
/
( ) 1fx
Bài 2.18. Tm các nghiệm của phương trnh sau
a)
/
( ) 0fx=
, với
3
2
( ) 2 6 1
3
x
f x x x=
b)
/
( ) 5fx=−
, với
42
3
3
( ) 3
42
xx
f x x=
c)
/
1 2 ( ) 80 ( ) 0f x f x+ =
, với
1
()
10
fx
x
=
d)
/
1 5 ( ) 6 ( ) 0f x f x+ + =
, với
1
()
1
fx
x
=
Bài 2.19. Chứng minh rằng đạo hm của hm s chẵn l hm s lẻ v đạo hm của hm s lẻ lm hm s
chẵn, biết rằng các hm s đó có đạo hm trên .
Bài 2.20. Gọi (C) l đồ thị của hm s
32
52y x x= +
. Viết phương trnh tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp
tuyến đó:
a) Song song với đường thẳng
3 1 0xy+ =
b) Vuông góc với đường thẳng
7 28 0xy =
c) Đi qua điểm A(0; 2)
Bài 2.21. Cho hm s
1
1
x
y
x
+
=
có đồ thị (H). Viết phương trnh tiếp tuyến của (H), biết:
a) Tại điểm có honh độ
2x =
b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d:
1
5
8
yx= +
.
Bài 2.22. Viết phương trnh tiếp tuyến của đồ thị hm s
42
23y x x=
. Biết tiếp tuyến đó song song
với đường thẳng
24 1yx=−
Bài 2.23. Viết phương trnh tiếp tuyến của đồ thị hm s
3
4y x x=+
. Biết tiếp tuyến đó song song với
đường thẳng
13 1yx=+
Bài 2.24. Viết phương trnh tiếp tuyến của đồ thị hm s
( )
3
1 3 4y x x= +
. Biết tiếp tuyến đó vuông
góc với đường thẳng
1
9
x
y = +
Bài 2.25. Cho hm s
2
36
()
1
xx
fx
x
++
=
+
. Giải bất phương trnh
/
( ) 0fx
Bài 2.26. Cho hm s
32
( ) 2
32
xx
f x x= +
32
2
( ) 3 2
3
g x x x x= +
. Giải bất phương trnh
//
( ) ( )f x g x
.
Bài 2.27. Cho hm s
32
( ) 2 12f x x x=
2
3
( ) 3
2
x
g x x= +
. Giải bất phương trnh
//
( ) ( )f x g x
.
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
17
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
D. BÀI TP TRC NGHIỆM
Câu 1. Cho hm s
( )
3
f x x=
với
0.x
Giá trị
( )
8f
bằng:
A.
1
.
12
B.
1
.
6
C.
1
.
12
D.
1
.
6
Câu 2. Biết hm s
( ) ( )
32
0f x a bx x ax cd++= +
đạo hm
( )
0fx
với
x
. Mệnh đề no
sau đây đúng?
A.
2
3 0.acb −
B.
2
3 0.acb −
C.
2
3 0.acb −
D.
2
3 0.acb −
Câu 3. Tính đạo hm của hm s
3
22
a
y
ax
=
(
a
l hằng s).
A.
( )
( )
32
2 2 2 2
32
.
2
a a x
y
a x a x
=
−−
B.
3
22
.
ax
y
ax
=
C.
( )
3
2 2 2 2
.
2
ax
y
a x a x
=
−−
D.
( )
3
2 2 2 2
.
ax
y
a x a x
=
−−
Câu 4. Cho hm s
32
31y x x= + +
, có đạo hm l
y
. Để
0y
thì
x
nhận các giá trị thuộc tập no sau
đây?
A.
2
;0 .
9



B.
9
;0 .
2



C.
)
9
; 0; .
2

− +

D.
)
2
; 0; .
9

− +

Câu 5. Cho hm s
( )
32
1
13
3
y mx m x mx= + +
, đạo hm l
y
. Tm tất cả các giá trị của
m
để
phương trnh
0y
=
có hai nghiệm phân biệt l
12
,xx
thỏa mn
22
12
6xx+=
.
A.
1 2.m = +
B.
12m = +
;
1 2.m =
C.
1 2.m =
D.
12m =−
;
1 2.m =+
Câu 6. Tính đạo hm của hm s
( )
2016
32
2y x x=−
.
A.
( )
2015
32
2016 2 .y x x
=−
B.
( ) ( )
2015
2 23
2016 2 3 .4y x x x x=
C.
( )( )
3 2 2
2016 2 3 4 .y x x x x
=
D.
( )( )
3 2 2
2016 2 3 2 .y x x x x
=
Câu 7. Viết phương trnh tiếp tuyến của đồ thị hm s
4
1
y
x
=
tại điểm có honh độ bằng
1.
A.
2yx=+
. B.
3yx=
. C.
2yx= +
. D.
1yx=−
.
Câu 8. Tính đạo hm của hm s
( )
1f x x=−
tại điểm
1x =
.
A. Không tồn tại. B.
( )
' 1 1.f =
C.
( )
' 1 0.f =
D.
( )
1
' 1 .
2
f =
Câu 9. Cho hm s
( )
3
1
x
fx
x
=
. Phương trnh
( )
0fx
=
có tập nghiệm
S
là:
A.
2
0; .
3
S

=


B.
2
;0 .
3
S

=−


C.
3
0; .
2
S

=


D.
3
;0 .
2
S

=−


Câu 10. Cho hm s
( )
32
1
2 2 8 1
3
f x x x x= +
, có đạo hm l
( )
fx
. Tập hợp những giá trị của
x
để
( )
0fx
=
là:
A.
2 2 .
B.
2; 2 .
C.
4 2 .
D.
2 2 .
Câu 11. Tính đạo hm của hm s
2
1
.
1
x
y
x
=
+
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
18
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
A.
23
1
'.
( 1)
x
y
x
+
=
+
B.
23
2( 1)
'.
( 1)
x
y
x
+
=
+
C.
2
23
1
'.
( 1)
xx
y
x
−+
=
+
D.
2
2
'.
1
x
y
x
=
+
Câu 12. Tính đạo hm của hm s
( )
13
.
1
xx
y
x
=
+
A.
2
2
3 6 1
'.
( 1)
xx
y
x
+
=
+
B.
2
' 1 6 .yx=−
C.
( )
2
2
16
'.
1
x
y
x
=
+
D.
2
2
9 4 1
'.
( 1)
xx
y
x
+
=
+
Câu 13. Tính đạo hm của hm s
2
1
.
1
y
x
=
+
A.
2
2
( 1)
.
1
xx
y
x
+
=−
+
B.
22
'.
( 1) 1
x
y
xx
=
++
C.
22
.
( 1) 1
x
y
xx
=−
++
D.
22
.
2( 1) 1
x
y
xx
=
++
Câu 14. Tính đạo hm của hm s
( )
2
4
x
fx
x
=
tại điểm
0.x =
A.
( )
1
' 0 .
2
f =
B.
( )
1
' 0 .
3
f =
C.
( )
' 0 1.f =
D.
( )
' 0 2.f =
Câu 15. Tính đạo hm của hm s
( )
3
1
1.fx
x
= +
A.
( )
3
1
'.
3
f x x x=−
B.
( )
3
1
'.
3
f x x x=
C.
( )
3
1
'.
3
fx
xx
=−
D.
( )
3
2
1
'.
3
fx
xx
=−
Câu 16. Tính đạo hm của hm s
2
23
.
2
xx
y
x
+−
=
+
A.
( )
2
3
' 1 .
2
y
x
=+
+
B.
( )
2
2
67
'.
2
xx
y
x
++
=
+
C.
( )
2
2
45
'.
2
xx
y
x
++
=
+
D.
( )
2
2
81
'.
2
xx
y
x
++
=
+
Câu 17. Cho hm s
2
1.y x x= + +
Mệnh đề no sau đây l đúng?
A.
2
2 ' 1 .y x y+=
B.
2
' 1 2 .y x y+=
C.
2
2 1 '.y x y+=
D.
2
' 1 .y x y+=
Câu 18. Tính đạo hm của hm s
( )
2
2 1 .y x x x= +
A.
2
2
2
41
2.
x
y x x
xx
= + +
+
B.
2
2
2
41
2.
2
x
y x x
xx
= + +
+
C.
2
2
2
41
2.
2
x
y x x
xx
+
= + +
+
D.
2
2
2
41
2.
2
x
y x x
xx
= +
+
Câu 19. Tính đạo hm của hm s
2
2.y x x x=−
A.
2
2
2 2 1
.
2
xx
y
xx
−−
=
B.
2
22
.
2
x
y
xx
=
C.
2
2
34
.
2
xx
y
xx
=
D.
2
2
23
.
2
xx
y
xx
=
Câu 20. Cho hm s
( )
3
2
21yx=+
, có đạo hm l
y
. Để
0y
thì
x
nhận các giá trị no sau đây?
A.
(
;0 .−
B.
)
0; .+
C.
.
D. Không có giá trị no của
.x
Câu 21. Viết phương trnh tiếp tuyến của đthị hm s
2
5yx= +
tại điểm tung độ bằng
1
honh độ âm.
A.
( )
2 6 6 1yx= +
. B.
( )
2 6 6 1yx=
.
C.
( )
2 6 6 1yx= +
. D.
( )
2 6 6 1yx= +
.
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
19
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Câu 22. Tính đạo hm của hm s
2
1
.
x
y
x
+
=
A.
22
11
'.
21
x
yx
xx

=−

+

B.
2
1
'.
21
x
y
x
=
+
C.
22
11
' 1 .
21
x
y
xx

=+

+

D.
22
11
' 1 .
21
x
y
xx

=−

+

Câu 23. Hm s no sau đây có đạo hm l hm s
2
1
2x
x
+
?
A.
2
21xx
y
x
+−
=
B.
3
1
.
x
y
x
=
C.
( )
2
3
3
.
xx
y
x
+
=
D.
3
51xx
y
x
+−
=
Câu 24. Tính đạo hm của hm s
2
1 2 .yx=−
A.
2
4
'.
12
x
y
x
=
B.
2
2
'.
12
x
y
x
=
C.
2
2
'.
12
x
y
x
=
D.
2
1
'.
2 1 2
y
x
=
Câu 25. Tính đạo hm của hm s
21
.
2
x
y
x
=
+
A.
( )
2
52
' . .
21
21
x
y
x
x
+
=
B.
( )
2
1 5 2
' . . .
2 2 1
21
x
y
x
x
+
=
C.
12
' . .
2 2 1
x
y
x
+
=
D.
( )
2
1 5 2
' . . .
2 2 1
2
x
y
x
x
+
=
+
Câu 26. Tính đạo hm của hm s
2
1
.
25
y
xx
=
−+
A.
( )
2
2
22
.
25
x
y
xx
=
−+
B.
( )
2
2
22
.
25
x
y
xx
−+
=
−+
C.
2
(2 2)( 2 5).y x x x
= +
D.
1
.
22
y
x
=
Câu 27. Viết phương trnh tiếp tuyến của đồ thị hm s
32
69y x x x= +
, biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng
: 9 .d y x=
A.
9 32yx=+
. B.
9 32yx=−
. C.
9 40yx=+
. D.
9 40yx=−
.
Câu 28. Tính đạo hm của hm s
( )
2
1
x
fx
x
=
tại điểm
1x =−
.
A.
( )
1 0.f
−=
B.
( )
1 1.f
−=
C.
( )
1
1.
2
f
=
D.
( )
1 2.f
=
Câu 29. Cho hm s
( )
2
2.f x x x=−
Tập nghiệm
S
của bất phương trnh
( ) ( )
'f x f x
bao nhiêu
giá trị nguyên?
A.
0.
B.
1.
C.
2.
D.
3.
Câu 30. Viết phương trnh tiếp tuyến của đồ thị hm s
3
23y x x= +
tại điểm
( )
1;2 .M
A.
2yx=−
. B.
22yx=+
. C.
31yx=−
. D.
1yx=+
.
Câu 31. Tính đạo hm của của hm s
( )
2
32
2y x x=−
.
A.
( )
5 4 3
6 20 16 .f x x x x
= +
B.
( )
53
6 16 .f x x x
=+
C.
( )
5 4 3
6 20 4 .f x x x x
= +
D.
( )
5 4 3
6 20 16 .f x x x x
=
Câu 32. Cho hm s
( )
32
1
2 1 4
3
y x m x mx= +
, đạo hm l
y
. Tm tất cả các giá trị của
m
để
0y
với
x
.
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
20
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
A.
1
1; .
4
m



B.
(
1
; 1 ; .
4
m

− +

C.
1
1; .
4
m

−


D.
1
1; .
4
m



Câu 33. Tính đạo hm của hm s
( ) ( )( ) ( )
1 2 ... 2018f x x x x x=
tại điểm
0x =
.
A.
( )
0 2018!.f
=−
B.
( )
0 2018!.f
=
C.
( )
0 2018.f
=
D.
( )
0 0.f
=
Câu 34. Tính đạo hm của hm s
2
2
27
.
3
xx
y
x
+
=
+
A.
( )
2
2
2
7 13 10
'.
3
xx
y
x
=
+
B.
( )
2
2
2
3 13 10
'.
3
xx
y
x
=
+
C.
( )
2
2
2
3
'.
3
xx
y
x
+ +
=
+
D.
( )
2
2
2
23
'.
3
xx
y
x
+ +
=
+
Câu 35. Cho hm s
( )
2
13
1
xx
fx
x
−+
=
. Giải bất phương trnh
( )
0.fx
A.
.x
B.
.x
C.
( )
1; .x +
D.
\ 1 .x
Câu 36. Tính đạo hm của hm s
( )
2
2
xx
fx
x
+
=
tại điểm
1x =
.
A.
( )
1 3.f
=−
B.
( )
1 2.f
=−
C.
( )
1 5.f
=−
D.
( )
1 4.f
=−
Câu 37. Biết hm s
( ) ( )
32
0f x a bx x ax cd++= +
đạo hm
( )
0fx
với
x
. Mệnh đề no
sau đây đúng?
A.
2
3 0.acb −
B.
2
3 0.acb −
C.
2
3 0.acb −
D.
2
3 0.acb −
Câu 38. Tính đạo hm của hm s
23
4.y x x=−
A.
2
23
6
'.
24
xx
y
xx
=
B.
2
23
6
'.
4
xx
y
xx
=
C.
23
1
'.
24
y
xx
=
D.
2
23
12
'.
24
xx
y
xx
=
Câu 39. Tính đạo hm của hm s
2
25
.
33
x
y
xx
+
=
++
A.
( )
2
2
2
29
'.
33
xx
y
xx
−−
=
++
B.
( )
2
2
2
2 5 9
'.
33
xx
y
xx
=
++
C.
( )
2
2
2
2 10 9
'.
33
xx
y
xx
++
=
++
D.
( )
2
2
2
2 10 9
'.
33
xx
y
xx
=
++
Câu 40. Tính đạo hm của hm s
( )
4 3 2
14 3 2f x x x x x+−= ++
tại điểm
1x =−
.
A.
( )
1 15.f
−=
B.
( )
1 24.f
−=
C.
( )
1.4f
−=
D.
( )
1 14.f
−=
Câu 41. Tính đạo hm của hm s
( )
.f x x x=
A.
( )
'.
2
x
f x x=+
B.
( )
1
'.
2
f x x=
C.
( )
3
'.
2
f x x=
D.
( )
1
'.
2
x
fx
x
=
Câu 42. Tính đạo hm của hm s
( )
4
75yx=−
.
A.
( )
3
28 5 7 .yx
=−
B.
( )
3
4 7 5 .yx
=−
C.
( )
3
28 7 5 .yx
=
D.
( )
3
28 5 7 .yx
=
Câu 43. Tính đạo hm của hm s
( )
2
32
3 2 1
2 3 2 1
xx
fx
xx
++
=
++
tại điểm
0.x =
A.
( )
' 0 1.f =
B.
( )
' 0 0.f =
C.
( )
1
' 0 .
2
f =
D. Không tồn tại.
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
21
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Câu 44. Viết phương trnh tiếp tuyến của đồ thị hm s
3
yx=
, biết tiếp tuyến có hệ s góc bằng
12.
A.
12 4yx=
. B.
12 8yx=
. C.
12 2yx=
. D.
12 16yx=
.
Câu 45. Tính đạo hm của hm s
1
.
11
y
xx
=
+
A.
1
.
2 1 2 1
y
xx
=
+ +
B.
11
.
4 1 4 1
y
xx
=+
+−
C.
11
.
2 1 2 1
y
xx
=+
+−
D.
( )
2
1
.
11
y
xx
=−
+ +
Câu 46. Cho hm s
( )
3
.f x k x x=+
. Với giá trị no của
k
thì
( )
3
1
2
f
=
?
A.
3.k =
B.
9
.
2
k =
C.
3.k =−
D.
1.k =
Câu 47. Tính đạo hm của hm s
( )
( )
2
12 2y x x=−
.
A.
2
6 2.3 xyx−+
=
B.
2
2 4.2 xyx−+
=
C.
2
2 4.6 xyx−−
=
D.
4.yx
=
Câu 48. Tính đạo hm của hm s
( )
5
3
1yx=−
.
A.
( )
2
4
3
15 1 .y x x
=
B.
( )
2
4
3
3 1 .y x x
=
C.
( )
2
4
3
5 1 .y x x
=
D.
( )
2
4
3
5 1 .y x x
=−
Câu 49. Viết phương trnh tiếp tuyến của đồ thị hm s
4
y x x=+
, biết tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng
: 5 0.d x y+=
A.
4yx=+
. B.
35yx=−
. C.
23yx=−
. D.
53yx=−
.
Câu 50. Cho hm s
2 3 .y x x= +
Tập nghiệm
S
của bất phương trnh
'0y
là:
A.
1
;.
9
S

= +


B.
.S =
C.
( )
;.S = − +
D.
1
;.
9
S

= −


ĐÁP ÁN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
C
B
D
A
B
B
B
A
C
D
A
A
C
A
C
A
A
B
D
B
C
D
B
B
D
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
B
B
C
C
D
A
A
C
D
D
C
B
B
D
A
C
D
C
D
B
A
C
A
D
A
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
22
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
§3. ĐO HM CA HM S NG GIC
A. KIN THC CN NM
1. Giới hạn hàm số lượnng giác
Định lí:
a)
0
sin
lim 1
x
x
x
=
b) Nếu hàm số
()u u x=
thoả mãn điều kiện:
( ) 0ux
với mọi
0
xx
0
lim ( ) 0
xx
ux
=
thì
0
sin ( )
lim 1
()
xx
ux
ux
=
c)
0
tan
lim 1
x
x
x
=
2. Bảng tính đạo hàm của hàm số lượng giác
Bng 2
STT
Hàm sơ cấp
Hàm hợp (
()u u x=
)
1
/
(sin ) cosxx=
//
(sin ) cosu u u=
2
/
(cos ) sinxx=−
//
(cos ) sinu u u=−
3
/2
2
1
(tan ) 1 tan
cos
xx
x
= = +
( )
/
/ / 2
2
(tan ) 1 tan
cos
u
u u u
u
= = +
4
( )
/2
2
1
(cot ) 1 cot
sin
xx
x
= = +
( )
/
/ / 2
2
(cot ) 1 cot
sin
u
u u u
u
= = +
Các dạng toán
Dạng 1. Tính đạo hàm bằng công thức đối với các hàm lượng giác
Phương pháp: 1. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm
2. Áp dụng các đạo hàm lượng giác cơ bản
Dạng 2. Giải phương trình
/
( ) 0fx=
Phương pháp: 1. Tính đạo hàm
/
()fx
2. Để giải phương trình
/
( ) 0fx=
, ta áp dụng cách giải các phương trình lượng giác cơ bản và một số
phương trình lượng giác thường gặp.
B. BI TP
Bài 3.1. Tìm các giới hạn sau
a)
0
tan
lim
x
x
x
b)
0
sin2
lim
x
x
x
c)
2
0
1 cos
lim
x
x
x
d)
0
tan3
lim
sin5
x
x
x
e)
2
0
1 cos
lim
.sin2
x
x
xx
f)
0
1 sin cos
lim
1 sin cos
x
xx
xx
+−
−−
HDGiải
a) Ta có
0 0 0 0
tan sin 1 sin 1
lim lim . lim .lim 1
cos cos
x x x x
x x x
x x x x x

= = =


b)
0 0 0
sin2 2sin2 sin2
lim lim 2lim 2.1 2
22
x x x
xxx
x x x
= = = =
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
23
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
c)
22
2 2 2
0 0 0 0
2sin 2sin sin
1 cos 1 1 1
2 2 2
lim lim lim lim .1
2 2 2
4.
2
4
x x x x
x x x
x
x
x x x


= = = = =




d)
0
00
0
tan3 tan3
lim
tan3 3 3 3
33
lim lim . .
sin5 sin5
sin5 5 5 5
lim
55
x
xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
→→
= = =
e)
2
0 0 0 0
1 cos sin sin sin 1 1 1
lim lim . lim .lim 1.
.sin2 2sin .cos 2cos 2 2
x x x x
x x x x
x x x x x x x

= = = =


f)
2
0 0 0
2
2sin 2sin .cos sin cos
1 sin cos
2 2 2 2 2
lim lim lim 1
1 sin cos
2sin 2sin .cos sin cos
2 2 2 2 2
x x x
x x x x x
xx
x x x x x
xx
++
+−
= = =
−−
−−
Bi 3.2. Tìm đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
sin 3
5
yx

=+


b)
sin
2
yx

=−


c)
3
cos( 1)yx=−
d)
2
tan(3 5)yx=+
e)
tan , ,
2
y x x k k

=


f)
3
cot (3 1)yx=−
HDGiải
a)
/
/
/
sin 3 3 cos 3 3cos 3
5 5 5 5
y x x x x

= + = + + = +


b)
/
/
/
sin cos cos sin
2 2 2 2
y x x x x x

= = = =


c)
( )
/ 2 3
3 sin 1y x x=
d)
( )
2/
/
/2
2 2 2 2
(3 5) 6
tan(3 5)
cos (3 5) cos (3 5)
xx
yx
xx
+
= + = =
++
e)
/
/
/
22
2
1
tan
2
cos cos
22
x
yx
xx






= = =




−−
f)
( )
( )
/2
/
/
/ 3 2 2
24
(3 1) 9cos (3 1)
cot (3 1) 3cot (3 1) cot(3 1) 3cot (3 1).
sin (3 1) sin (3 1)
xx
y x x x x
xx
= = = =
−−
Bi 3.3. Tìm đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
5sin 3cosy x x=−
b)
coty x x=
c)
1 2tanyx=+
d)
2
sin 1yx=+
e)
sin cos
sin cos
xx
y
xx
+
=
f)
sin
sin
xx
y
xx
=+
HDGiải
a)
/
5cos 3siny x x=+
b)
/
2
cot
sin
x
yx
x
=−
c)
/
2
1
cos 1 2tan
y
xx
=
+
d)
2
/
2
cos 1
1
xx
y
x
+
=
+
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
24
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
e)
/
2
2
(sin cos )
y
xx
=−
f)
/
22
11
( cos sin )
sin
y x x x
xx

=


Bi 3.4. Tìm đạo hàm ca mi hàm s sau:
a)
( )
2
sin 3 2y x x= +
b)
cos 2 1yx=+
c)
cos2yx=
d)
tan3 cot3y x x=−
e)
1 2tanyx=+
f)
2
cot 1yx=+
HDGiải
a)
( )
( )
( )
/
/ 2 2
sin 3 2 (2 3)cos 3 2y x x x x x= + = +
b)
( )
/
/
sin 2 1
cos 2 1
21
x
yx
x
−+
= + =
+
c)
( )
/
/
sin2
cos2
cos2
x
yx
x
= =
d)
( )
/
/
2
12
tan3 cot3
sin 6
y x x
x
= =
e)
( )
/
/
2
1
1 2tan
cos . 1 2tan
yx
xx
= + =
+
f)
(
)
(
)
/
/ 2 2 2
2
cot 1 1 cot 1
1
x
y x x
x
= + = + +
+
Bi 3.5. Tìm đạo hàm các hàm s sau
a)
tan(sin )yx=
b)
2
cot( 1)y x x=−
c)
2
sin
1 tan2
x
y
x
=
+
d)
2
cos 2
4
yx
=−
e)
sin3y x x=
f)
cot2y x x=
HDGiải
a)
( )
/
/
2
cos
tan(sin )
cos (sin )
x
yx
x
==
b)
( )
22
/
/2
22
sin2( 1) 4
cot( 1)
2sin ( 1)
xx
y x x
x
−−
= =
c)
/
2 2 2
/
2
sin sin2 2sin (1 tan 2 )
1 tan2 1 tan2
(1 tan2 )
x x x x
y
xx
x

+
= =

++
+

d)
/
/2
2sin 8
cos 2
4
8
x
yx
x


= =



e)
( )
/
/
2sin3 3 cos3
sin3
2 sin3
x x x
y x x
x
+
==
f)
( )
/
/
2
12
cot2 cot2
sin 2
2
x
y x x x
x
x
= =
Bi 3.6. Tìm đạo hàm ca mi hàm s sau
a)
sin3 cos tan
5
x
y x x= + +
b)
2
1
siny
x
=
c)
22
3sin cos cosy x x x=+
d)
3
(3 sin )yx=−
e)
2
2
1
sin 3
cos
yx
x
=+
f)
sin cos
cos sin
x x x
y
x x x
=
+
HDGiải
a)
/
/
2
11
sin3 c os tan 3cos3 sin
5 5 5
2 cos
xx
y x x x
xx

= + + = +


b)
/
/
2 3 2
1 2 1
sin cosy
x x x

= =


c)
( )
/
/ 2 2 2 2
3sin cos cos sin (6cos 3sin 2cos )y x x x x x x x= + =
d)
( )
/
/ 3 2
(3 sin ) 3(3 sin ) cosy x x x= =
e)
/
/2
23
1 2sin
sin 3 3sin6
cos cos
x
y x x
xx

= + = +


f)
/
2
/
2
sin cos
cos sin
(cos sin )
x x x x
y
x x x
x x x

==

+
+

Bi 3.7. Chng minh rng:
a) Hàm s
tanyx=
tha mãn h thc
/2
10yy =
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
25
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
b) Hàm s
cot2yx=
tha mãn h thc
/2
2 2 0yy+ + =
HDGiải
a)
/2
1 tanyx=+
. Do đ
/2
1yy−−
= (
2
1 tan x+
)
2
tan x
1 = 0
b)
( )
2
' 2 1 cot 2yx= +
. Do đ
/2
22yy+ + =
( )
22
2 1 cot 2 2cot 2 2 0xx + + + =
Bi 3.8. Giải phương trình
/
( ) 0fx=
biết rng:
a)
( ) 3cos 4sin 5f x x x x= + +
b)
2
( ) 1 sin( ) 2cos
2
x
f x x

+
= + +


c)
( ) sin2 2cosf x x x=−
d)
( ) tan cotf x x x=+
HDGiải
a) Vi mi
x
, ta c
/
( ) 3sin 4cos 5f x x x= + +
( )
/
34
( ) 0 3sin 4cos 5 sin cos 1
55
34
sin sin 2 ; cos ;sin
2 2 5 5
f x x x x x
x x k k

= + + =

= = + + = =

b) Vi mi
x
, ta c
/
( ) cos sin
2
x
f x x=+
/
4
( ) 0 cos sin 0 sin cos sin sin ;
4
2 2 2 2
3
xk
x x x
f x x x x k
k
x

=−

= + = = =

=+

c) Vi mi
x
, ta c
/2
( ) 2cos2 2sin 2(1 2sin ) 2sinf x x x x x= + = +
/2
2
2
sin 1
( ) 0 2(1 2sin ) 2sin 0 2 ;
1
6
sin
2
7
2
6
xk
x
f x x x x k k
x
xk
=+
=
= + = = +
=−
=+
d) Vi mi
;
2
k
xk

, ta c
22
/
2 2 2 2 2
1 1 sin cos 4cos2
()
cos sin cos sin sin 2
x x x
fx
x x x x x
−−
= = =
/
2
4cos2
( ) 0 0 cos2 0 ;
42
sin 2
x
f x x x k k
x

= = = = +
C. BI TP ĐỀ NGHỊ
Bài 3.9. Tìm các giới hạn sau:
a)
0
tan2
lim
sin5
x
x
x
b)
2
0
cos2 1
lim
sin 3
x
x
x
c)
3
0
tan sin
lim
x
xx
x
d)
2
lim tan
2
x
xx



Bài 3.10. Tìm đạo hàm các hàm số sau:
a)
sin cos
x
y
xx
=
+
b)
2
cos 1y x x= +
c)
3
1
cos cos
3
y x x=−
d)
2
cot 1yx=+
e)
sin(2sin )yx=
f)
1 tanyx=+
Bài 3.11. Tìm đạo hàm các hàm số sau:
a)
2
coty x x=
b)
sin
cos3
x
y
x
=
c)
( )
3
sin2 8yx=+
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
26
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
d)
( )
3
2 5 tany x x=−
e)
3
sin (1 )yx=−
f)
1
cos
y
x
=
Bài 3.12. Giải phương trình
/
( ) 0fx=
biết:
a)
( ) 3 cos sin 2 5f x x x x= +
b)
2cos17 3.sin5 c os5
( ) 2
17 5 5
x x x
fx= + +
Bài 3.13. Tìm
a
để phương trình
/
( ) 0fx=
c nghiệm, biết
( ) cos 2sin 3 1f x a x x x= + +
Bài 3.14. Cho hai hàm số
44
( ) sin cosf x x x=+
1
( ) cos4
4
g x x=
. Chứng minh rằng
//
( ) ( ),f x g x x=
D. BÀI TP TRC NGHIỆM
Câu 1. Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
tan
3
f x x

=−


tại điểm
0x =
.
A.
( )
0 3.f
=−
B.
( )
0 3.f
=
C.
( )
0 3.f
=−
D.
( )
0 4.f
=
Câu 2. Cho hàm số
( )
2
cosy f x x=−
với
( )
fx
hàm số liên tục trên . Trong các biểu thức dưới
đây, biểu thức nào xác định hàm số
( )
fx
tha mãn
( )
1yx
=
với mọi
x
?
A.
( )
sin2 .f x x x=+
B.
( )
1
cos2 .
2
xxfx =
C.
( )
sin2 .f x x x=−
D.
( )
1
cos2 .
2
f x x x=+
Câu 3. Tính đạo hàm của hàm số
( )
32
sin 5 .cos
3
x
f x x=
tại điểm
2
x
=
.
A.
3
22
f

=


B.
3
24
f

=


C.
3
23
f

=


D.
3
26
f

=


Câu 4. Tính đạo hàm của hàm số
( )
3
2sin 2
5
f x x

=−


tại điểm
5
x
=−
.
A.
2.
5
f

−=


B.
2.
5
f

=


C.
4.
5
f

−=


D.
4.
5
f

=


Câu 5. Tính đạo hàm của hàm số
( )
44
sin cosf x x x=+
tại điểm
8
x
=
.
A.
0.
8
f

=


B.
3
.
84
f

=


C.
1.
8
f

=


D.
1.
8
f

=−


Câu 6. Tính đạo hàm của hàm số
2
sin 2yx=+
.
A.
2
2
1
cos 2 .
2
x
yx
x
+
=+
+
B.
2
2
22
cos 2 .
2
x
yx
x
+
=+
+
C.
2
2
cos 2 .
2
x
yx
x
= +
+
D.
2
2
cos 2 .
2
x
yx
x
=+
+
Câu 7. Tính đạo hàm của hàm số
( ) ( )
sin sinf x x
=
tại điểm
6
x
=
.
A.
62
f


=


B.
.
6
0f

=


C.
3
62
f


=


D.
62
f


=


Câu 8. Cho hàm số
( )
cos
.
1 sin
x
fx
x
=
Tính giá trị biểu thức
.
66
P f f


=
A.
3
4
x
y
x
=
+
B.
8
.
3
P =
C.
4
.
3
P =
D.
4
.
9
P =
Câu 9. Tính đạo hàm của hàm số
( )
3
cos 2 1yx=−
.
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
27
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
A.
( ) ( )
3sin 4 2 cos 2 1 .y x x
=
B.
( ) ( )
2
3cos 2 1 sin 2 1 .y x x
=
C.
( ) ( )
2
3cos 2 1 sin 2 1 .y x x
=
D.
( ) ( )
2
6cos 2 1 sin 2 1 .y x x
=
Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số
1
tan
2
x
y
+
=
.
A.
2
1
.
1
cos
2
y
x
=−
+
B.
2
1
.
1
cos
2
y
x
=
+
C.
2
1
.
1
2cos
2
y
x
=−
+
D.
2
1
.
1
2cos
2
y
x
=
+
Câu 11. Hàm số
( )
4f x x=
c đạo hàm
( )
fx
, hàm số
( )
4 sin
4
x
g x x
=+
c đạo hàm
( )
gx
.
Tính giá trị biểu thức
( )
( )
2
.
2
f
P
g
=
A.
1.P =
B.
16
.
16
P
=
+
C.
16
.
17
P =
D.
1
.
16
P =
Câu 12. Tính đạo hàm của hàm số
( )
2sin3 cos5f x x x=
tại điểm
8
x
=
.
A.
2 4 2.
8
f

=+


B.
15 2
.
82
f

=


C.
8 2.
8
f

= +


D.
8 2.
8
f

=


Câu 13. Tính đạo hàm của hàm số
sin cos
sin cos
xx
y
xx
+
=
.
A.
( )
2
2 2sin2
.
sin cos
x
y
xx
=
B.
( )
2
2
.
sin cos
y
xx
=
C.
( )
2
sin2
.
sin cos
x
y
xx
=
D.
( )
22
2
sin cos
.
sin cos
xx
y
xx
=
Câu 14. Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
tan 1 2
y
x
=−
.
A.
( )
2
4
.
sin 1 2
y
x
=
B.
( )
4
.
sin 1 2
y
x
=
C.
( )
2
4
.
sin 1 2
x
y
x
=
D.
( )
2
4
.
sin 1 2
x
y
x
=
Câu 15. Tính đạo hàm của hàm số
cos2
31
x
y
x
=
+
.
A.
( )
( )
2
2 3 1 sin2 3cos2
.
31
x x x
y
x
++
=
+
B.
( )
( )
2
2 3 1 sin2 3cos2
.
31
x x x
y
x
+
=
+
C.
( )
2 3 1 sin 2 3cos2
.
31
x x x
y
x
+
=
+
D.
( )
( )
2
3 1 sin2 3cos2
.
31
x x x
y
x
+
=
+
Câu 16. Tính đạo hàm của hàm số
( )
3
sin 1yx=−
.
A.
( ) ( )
2
3sin 1 .cos 1 .y x x
=
B.
( ) ( )
2
3sin 1 .cos 1 .y x x
=
C.
( )
3
cos 1 .yx
=−
D.
( )
3
cos 1 .yx
=
Câu 17. Tính đạo hàm của hàm số
( )
sin2 2 cos2f x x x x=−
tại điểm
4
x
=
.
A.
.
44
f


=


B.
1.
4
f

=


C.
.
4
f

=


D.
1
.
44
f

=


Câu 18. Tính đạo hàm của hàm số
( )
sin sin .yx=
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
28
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
A.
( )
cos sin .yx
=
B.
( )
cos cos .yx
=
C.
( )
cos .cos sin .y x x
=
D.
( )
cos .cos cos .y x x
=
Câu 19. Tính đạo hàm của hàm số
3
tan cot2y x x=+
.
A.
2
2
1
3tan .
sin 2
yx
x
=−
B.
2
22
3tan 2
.
cos sin 2
x
y
xx
=−
C.
2
3tan .cot 2tan2 .y x x x
=+
D.
2
22
3tan 2
.
cos sin 2
x
y
xx
= +
Câu 20. Cho
( )
2
22f x x x= +
( ) ( )
sing x f x=
. Tính đạo hàm của hàm số
( )
gx
.
A.
( )
2cos2 sin .g x x x
=−
B.
( )
2sin 2 cos .g x x x
=+
C.
( )
2sin2 cos .g x x x
=−
D.
( )
/
2cos2 sin .g x x x=+
Câu 21. Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
cos3
fx
x
=
tại điểm
3
x
=
.
A.
1.
3
f

=


B.
0.
3
f

=


C.
32
32
f

=


D.
32
32
f

=


Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số
2
tany x x x=+
.
A.
1
2 tan .
2
y x x
x
=+
B.
1
2 tan .y x x
x
=+
C.
2
2
1
2 tan .
cos
2
x
y x x
x
x
= + +
D.
2
2
1
2 tan .
cos
x
y x x
x
x
= + +
Câu 23. Tính đạo hàm của hàm số
( )
5sin 3cosf x x x=−
tại điểm
2
x
=
.
A.
5.
2
f

=


B.
3.
2
f

=


C.
3.
2
f

=−


D.
5.
2
f

=−


Câu 24. Tính đạo hàm của hàm số
2
cot 1yx=+
.
A.
2 2 2
.
1.sin 1
x
y
xx
=−
++
B.
2 2 2
.
1.sin 1
x
y
xx
=
++
C.
22
1
.
sin 1
y
x
=−
+
D.
22
1
.
sin 1
y
x
=
+
Câu 25. Tính đạo hàm của hàm số
( )
1
sin
fx
x
=
tại điểm
2
x
=
.
A.
1
.
22
f

=


B.
0.
2
f

=


C. Không tồn tại
.
D.
1.
2
f

=


Câu 26. Tính đạo hàm của hàm số
( )
sin cosf x x x=+
tại điểm
2
16
x
=
.
A.
2
2
16
f

=


B.
2
2.
16
f

=


C.
2
6
0.
1
f

=


D.
2
22
16
f

=


Câu 27. Hàm số
( )
4
f x x=
c đạo hàm
( )
fx
, hàm số
( )
2 sin
2
x
g x x
=+
c đạo hàm
( )
gx
.
Tính giá trị biểu thức
( )
( )
1
.
1
f
P
g
=
A.
4
.
3
P =−
B.
4
.
3
P =
C.
2.P =
D.
2.P =−
Câu 28. Tính đạo hàm của hàm số
2
1
sin
23
yx

=


.
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
29
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
A.
1
sin .
23
y x x

=−


B.
2
1
cos .
23
y x x

=−


C.
2
cos .
3
y x x

=−


D.
2
1
cos .
23
y x x

=−


Câu 29. Tính đạo hàm của hàm số
cos 2 1yx=+
.
A.
sin 2 1
.
2 2 1
x
y
x
+
=−
+
B.
sin 2 1
.
21
x
y
x
+
=
+
C.
sin 2 1.yx
= +
D.
sin 2 1
.
21
x
y
x
+
=−
+
Câu 30. Tính đạo hàm của hàm số
( )
cos tanyx=
.
A.
( )
2
1
sin tan
cos
yx
x
=
B.
( )
sin tan .yx
=
C.
( )
sin tan .yx
=
D.
( )
2
1
sin tan
cos
yx
x
=
Câu 31. Tính đạo hàm của hàm số
2
2sin cos2y x x x= +
.
A.
4sin2 1.yx
=+
B.
4cos 2sin2 1.y x x
= + +
C.
4sin 2sin2 1.y x x
= +
D.
4sin sin2 1.y x x
= + +
Câu 32. Tính đạo hàm của hàm số
2
sin 2
2 2 4
y x x

= +


.
A.
( )
2sin 4
2
yx
= +
B.
2sin cos .
2 2 2
y x x
= +
C.
2sin cos .
2 2 2
y x x x
= +
D.
( )
2sin 4 .yx
=
Câu 33. Hàm số
( )
sin cos 1f x a x b x= + +
c đạo hàm
( )
fx
. Để
( )
1
0
2
f
=
1
4
f

−=


thì giá
trị của
a
b
bằng bao nhiêu?
A.
11
;.
22
ab= =
B.
1
.
2
ab==
C.
2
.
2
ab==
D.
22
;.
22
ab= =
Câu 34. Tính đạo hàm của hàm số
( )
22
cos sinf x x x=−
tại điểm
4
x
=
.
A.
1.
4
f

=


B.
2.
4
f

=−


C.
0.
4
f

=


D.
2.
4
f

=


Câu 35. Tính đạo hàm của hàm số
2
2cosyx=
.
A.
2
4 sin .y x x
=−
B.
2
4 cos .y x x
=−
C.
2
2 sin .y x x
=−
D.
2
2sin .yx
=−
Câu 36. Tính đạo hàm của hàm số
( )
2tanf x x=
tại điểm
4
x
=
.
A.
4.
4
f

=−


B.
2.
4
f

=


C.
4.
4
f

=


D.
1.
4
f

=


Câu 37. Tính đạo hàm của hàm số
( )
tan cotf x x x=+
tại điểm
4
x
=
.
A.
2
.
42
f

=


B.
1
.
42
f

=


C.
2.
4
f

=


D.
0.
4
f

=


Câu 38. Tính đạo hàm của hàm số
( )
( )
2
cos
fx
x
=
tại điểm
1
3
x =
.
A.
1
4 3.
3
f

=


B.
1
2 3.
3
f

=


C.
1
8.
3
f

=


D.
1 4 3
33
f

=


Câu 39. Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
sin 3 2y x x= +
.
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
30
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
A.
( )
( )
2
2 3 .sin 3 2 .y x x x
= +
B.
( )
( )
2
2 3 .cos 3 2 .y x x x
= +
C.
( )
( )
2
2 3 .cos 3 2 .y x x x
= +
D.
( )
2
cos 3 2 .y x x
= +
Câu 40. Tính đạo hàm của hàm số
sin 3
6
yx

=−


.
A.
cos 3 .
6
yx

=−


B.
3sin 3 .
6
yx

=


C.
3cos 3 .
6
yx

=−


D.
3cos 3 .
6
yx

=


ĐÁP ÁN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
D
D
D
C
D
D
B
C
A
D
A
D
B
A
B
A
C
C
B
C
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
B
C
B
A
B
C
C
C
D
A
A
A
B
B
A
C
D
A
B
D
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
31
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
§4. VI PHÂN
A. KIN THC CN NM
1. Định nghĩa
Cho hm s
xc định trên khong
( ; )ab
v c đo hm ti
( ; )x a b
. Gi s
x
l s gia ca
x
sao cho
( ; )x x a b+
Ta gi tch
/
()f x x
(hay
/
yx
) l vi phân ca hm s
()y f x=
ti
x
ng vi s gia
x
, K hiu l
()df x
hay
dy
Như vậy:
/
( ) ( )dy df x f x dx==
(vì
x dx=
) hay
/
dy y dx=
2. Ứng dụng ca vi phân vo phép tnh gần đúng
( ) ( ) ( )
/
0 0 0
f x x f x f x x+ +
Các dạng toán
Dạng 1. Tìm vi phân ca hm s
()y f x=
Phương php: 1. Tnh đo hm
/
()fx
2. Vi phân ca hm s
()y f x=
ti
x
/
( ) ( )dy df x f x dx==
3. Vi phân ca hm s
()y f x=
ti
0
x
/
00
( ) ( )dy df x f x dx==
Dạng 2. Tnh gi trị gần đúng ca một biểu thc
Phương php: 1. Lập hm s
()y f x=
v chn
0
,xx
một cách thch hợp
2. Tính
//
0
( ), ( )f x f x
0
()fx
3. Gi trị gần đúng ca biểu thc
( ) ( ) ( )
/
0 0 0
P f x x f x f x x= + +
B. BI TP
Bi 4.1. Tìm vi phân ca cc hm s sau:
a)
3
51y x x= +
b)
3
sinyx=
c)
sin cosy x x x=−
d)
3
1
y
x
=
HDGiải
a)
3
51y x x= +
,
/2
35yx=−
.
( ) ( )
/ 3 2
5 1 3 5dy y dx x x dx x dx= = + =
b)
3
sinyx=
,
/2
3sin .cosy x x=
.
( )
/2
3sin .cosdy y dx x x dx==
c)
sin cosy x x x=−
,
/
siny x x=
.
( )
/
.sindy y dx x x dx==
d)
3
1
y
x
=
,
/
4
3
y
x
=−
.
/
4
3
dy y dx dx
x
= =
Bi 4.2. Tìm vi phân ca cc hm s sau:
a)
2
1
y
x
=
b)
2
1
x
y
x
+
=
c)
2
sinyx=
d)
tan x
y
x
=
HDGiải
a)
3
2
dy dx
x
=−
b)
2
3
( 1)
dy dx
x
=−
c)
( )
sin2dy x dx=
d)
( )
2
2 sin 2
4 cos
xx
dy dx
x x x
=
Bi 4.3. Tìm vi phân cc hm s sau:
a)
x
y
ab
=
+
(a, b l cc hng s) b)
( )
( )
22
41y x x x x= + +
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
32
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
c)
2
tanyx=
d)
2
cos
1
x
y
x
=
HDGiải
a)
1
2( )
dy dx
a b x
=
+
b)
( )
( )
( )
22
1
2 4 4 1 2
2
dy x x x x x x dx
x


= + + + +





c)
2
2tan
cos
x
dy dx
x
=
d)
( )
( )
2
2
2
1 sin 2 cos
1
x x x x
dy dx
x
−+
=
Bi 4.4. Tìm vi phân ca cc hm s sau:
a)
22
siny x x=+
b)
3
tanyx=
c)
22
tan 3 cot 3y x x=−
d)
2
cos 2 1yx=+
HDGiải
a)
( )
2 sin2dy x x dx=+
b)
2
4
3sin
cos
x
dy dx
x
=
( hoc
( )
22
3tan 1 tandy x x dx=+
)
c)
( )
42
33
6 2cos 3 1 2cos 3
sin 3 cos 3
xx
dy dx
xx
+−
=
d)
2
sin4
cos 2 1
x
dy dx
x
=−
+
Bài 4.5. Tnh gi trị gần đúng ca
3,99P =
HDGiải
Đt
()f x x=
, Chn
0
4, 0,01xx= =
thì
0
3,99 4 0,01 xx= = +
Ta có
//
11
( ) , (4) , (4) 2
4
2
f x f f
x
= = =
/
3,99 (4 0,01) (4) (4).( 0,01) 1,9975P f f f= = +
Vậy
3,99 1,9975P =
Cách khác:
Đt
()f x x=
, Chn
0
3, 0,99xx= =
thì
0
3,99 3 0,99 xx= + = +
Ta có
//
11
( ) , (3) , (3) 3
2 2 3
f x f f
x
= = =
/
3,99 (3 0,99) (3) (3).(0,99) 1,9975P f f f= = + + =
Vậy
3,99 1,9975P =
Bài 4.6. Tnh gi trị gần đúng ca
0
sin30 30'P =
(lấy 4 chữ sô thập phân trong kết qu)
HDGiải
Đt
( ) sinf x x=
, Chn
0
,
6 360
xx

= =
thì
0
0
30 30'
6 360
xx

= + = +
Ta có
//
31
( ) cos , ,
6 2 6 2
f x x f f

= = =
0/
sin30 30' . 0,5076
6 360 6 6 360
P f f f
= = + +
Vậy
0
sin30 30' sin 0,5076
6 360
P


= = +


Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
33
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
C. BI TP ĐỀ NGHỊ
Bài 4.7. Tìm vi phân cc hm s sau
a)
3
1
()y f x
x
==
b)
2
()
1
x
y f x
x
+
==
c)
3
3
1
()
1
x
y f x
x
+
==
d)
2
2 3 4
()
1
xx
y f x
x
++
==
e)
2
cos
()
1
x
y f x
x
==
f)
tan x
y
x
=
Bài 4.8. Tìm
a)
(sin )
(cos )
dx
dx
b)
(tan )
(cot )
dx
dx
c)
2
(cos )
(cos2 )
dx
dx
d)
( )
( )
42
2
23
2
d x x
dx
−+
e)
(
)
2
1 cos 3
dx
dx+
f)
( )
( )
32
32
3 2 5
23
d x x x
d x x x
+ +
−+
Bài 4.9. Tìm cc gi trị gần đúng ca cc s sau (lm tròn đến hng phần nghìn)
a)
4,01A =
b)
1
0,9995
B =
c)
0
sin29C =
d)
0
tan44 52'D =
e)
0
cos61E =
f)
120F =
Bài 4.10. Tìm cc gi trị gần đúng ca cc s sau (lm tròn đến hng phần nghìn)
a)
0
cos45 30'A =
b)
0,996B =
c)
0,99998C =
D. BÀI TP TRC NGHIỆM
Câu 1. Tnh vi phân ca hm s
2
1
.
1
xx
y
x
++
=
A.
( )
2
21
d d .
1
x
yx
x
+
=−
B.
( )
2
2
22
d d .
1
xx
yx
x
−−
=
C.
( )
2
2
22
d d .
1
xx
yx
x
−−
=−
D.
( )
2
21
d d .
1
x
yx
x
+
=
Câu 2. Tnh vi phân ca hm s
x
y
ab
=
+
vi
,ab
l hng s thực dương.
A.
( )
1
d d .
2
yx
x a b
=
+
B.
( )
2
d d .yx
a b x
=
+
C.
2
d d .
x
yx
ab
=
+
D.
( )
1
d d .
2
yx
a b x
=
+
Câu 3. Tnh vi phân ca hm s
2
41
.
2
x
y
x
+
=
+
A.
( )
1
2
2
8
d d .
2
x
yx
x
=
+
B.
( )
1
2
2
8
d d .
2
x
yx
x
+
=
+
C.
( )
3
2
2
8
d d .
2
x
yx
x
+
=
+
D.
( )
3
2
2
8
d d .
2
x
yx
x
=
+
Câu 4. Tnh vi phân ca hm s
2
1
cos .
1
x
y
x

+
=



A.
( )
2
11
d .cos 2 .
1
1
x
y
x
xx


+
=






B.
( )
2
11
d .sin d .
1
21
x
yx
x
xx

+
=−



Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
34
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
C.
( )
2
11
d .sin 2 d .
1
1
x
yx
x
xx


+
=






D.
( )
2
11
d .sin d .
1
1
x
yx
x
xx

+
=



Câu 5. Tnh vi phân ca hm s
( )
2
2 3.y x x= +
A.
2
2
23
d d .
3
xx
yx
x
−+
=
+
B.
2
2
2 2 3
d d .
3
xx
yx
x
−+
=
+
C.
2
2
23
d d .
3
xx
yx
x
−+
=
+
D.
2
2
3
d d .
3
xx
yx
x
−+
=
+
Câu 6. Tnh vi phân ca hm s
.y x x=+
A.
2
21
d d .
4
x
yx
x x x
+
=
+
B.
2
2
d d .
4
x
yx
xx
+
=
+
C.
21
d d .
4
x
yx
xx
+
=
+
D.
2
1
d d .
2
x
yx
x x x
+
=
+
Câu 7. Tính vi phân ca hm s
( )
.cot 2017yx=
A.
( )
2
2017
d d .
sin 2017
yx
x
=
B.
( )
2
2017
d d .
cos 2017
yx
x
=−
C.
( )
2
2017
d d .
sin 2017
yx
x
=−
D.
( )
d 2017sin 2017 d .y x x=−
Câu 8. Tính vi phân ca hm s
23
.
21
x
y
x
+
=
A.
( )
2
7
d d .
21
yx
x
=−
B.
( )
2
4
d d .
21
yx
x
=
C.
( )
2
4
d d .
21
yx
x
=−
D.
( )
2
8
d d .
21
yx
x
=−
Câu 9. Tnh vi phân ca hm s
32
9 12 5.y x x x= +
A.
( )
2
d 3 18 12 d .y x x x= +
B.
( )
2
d 3 18 12 d .y x x x= +
C.
( )
2
d 3 18 12 d .y x x x=+
D.
( )
2
d 3 18 12 d .y x x x= +
Câu 10. Tnh vi phân ca hm s
( )
( )
2
1x
fx
x
=
ti điểm
4x =
ng vi
0,002.x=
A.
( )
1
d 4 .
8
f =
B.
( )
1
d 4 .
8000
f =
C.
( )
1
d 4 .
400
f =
D.
( )
1
d 4 .
1600
f =
Câu 11. Tnh vi phân ca hm s
( )
2
1.y x=
A.
( )
d 1 d .y x x=−
B.
( )
2
d 1 d .y x x=−
C.
( )
d 2 1 d .y x x=−
D.
( )
d 2 1 .yx=−
Câu 12. Tnh vi phân ca hm s
3
12
x
y
x
+
=
ti điểm
3.x =−
A.
1
d d .
7
yx=−
B.
d 7d .yx=−
C.
1
d d .
7
yx=
D.
d 7d .yx=
Câu 13. Cho hm s
( )
2
khi 0
.
2 khi 0
x x x
fx
xx
−
=
Mnh đề no sau đây đúng ?
A.
( ) ( )
2
0
0 lim 0.
x
f x x
+
+
= =
B.
( )
0
0 lim 2 0.
x
fx
==
C.
( )
d 0 d .fx=−
D.
( )
( )
2
00
0 lim lim 1 1.
xx
xx
fx
x
++
+
→→
= = =
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
35
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Câu 14. Cho hm s
( )
sin khi 0
.
khi 0
xx
fx
xx
=
Mnh đề no sau đây sai ?
A. Hm s không c vi phân ti
0.x =
B.
( )
' 0 1.f
=
C.
( )
d 0 d .fx=
D.
( )
' 0 1.f
+
=
Câu 15. Tnh vi phân ca hm s
( )
2
3f x x x=−
ti điểm
2x =
ng vi
0,1.x=
A.
( )
d 12 1, .f =
B.
( )
d 2 0,4.f =−
C.
( )
d 2 0,07.f =−
D.
( )
d 02 1.f =
Câu 16. Tnh vi phân ca hm s
tan
.
x
y
x
=
A.
( )
2
2 sin 2
d d .
4 cos
xx
yx
x x x
=
B.
( )
2
2 sin 2
d d .
4 cos
xx
yx
x x x
=−
C.
2
2
d d .
4 cos
x
yx
x x x
=
D.
( )
2
sin 2
d d .
4 cos
x
yx
x x x
=
Câu 17. Cho hm s
( )
2
1 cos 2 .f x x=+
Mnh đề no sau đây l đúng?
A.
( )
2
sin2
.
1 cos 2
x
df x dx
x
=
+
B.
( )
2
sin4
d d .
2 1 cos 2
x
f x x
x
=
+
C.
( )
2
sin4
d d .
1 cos 2
x
f x x
x
=
+
D.
( )
2
cos2
d d .
1 cos 2
x
f x x
x
=
+
Câu 18. Tnh vi phân ca hm s
( )
sin 2f x x=
ti điểm
3
x
=
ng vi
0,001.x=
A.
d 0,001.
3
f

=


B.
d 0,001.
3
f

=−


C.
d 1.
3
f

=−


D.
d 0,1.
3
f

=−


Câu 19. Tnh vi phân ca hm s
sin 2 .y x x=+
A.
cos 1
d d .
sin 2
x
yx
xx
+
=
+
B.
cos 1
d d .
sin 2
x
yx
xx
=
+
C.
2 cos
d d .
2 sin 2
x
yx
xx
=
+
D.
cos 2
d d .
2 sin 2
x
yx
xx
+
=
+
Câu 20. Tnh vi phân ca hm s
2
2
1
.
1
x
y
x
=
+
A.
( )
2
2
4
d d .
1
x
yx
x
=−
+
B.
( )
2
2
4
d d .
1
yx
x
=−
+
C.
2
4
d d .
1
yx
x
=−
+
D.
( )
2
2
d
d.
1
x
y
x
=−
+
ĐÁP ÁN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
B
D
D
C
B
A
C
D
C
B
C
C
D
A
A
A
B
B
D
A
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
36
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
§5. ĐO HM CP HAI
A. KIN THC CN NM
1. Đnh ngha
Gi s hm s
()fx
c đo hm
fx()
. Nu
fx()
cng c đo hm th ta gi đo hm ca n l đo hm
cp hai ca
()fx
v k hiu

fx()
: Như vậy
( )
=f x f x( ) ( )
Ta có
( )
/
/
( ) ( )f x f x=
( )
/
/ //
( ) ( )f x f x=
Tương t
( )
/
// /// (3)
( ) ( ) ( )f x f x f x=
.....................................................
( )
/
( 1) ( ) *
( ) ( ),
nn
f x f x n
=
()
()
n
fx
l đo hm cp n ca hm s
()fx
2. ngha cơ hc ca đo hm cp hai
Xt mt cht đim chuyn đng c phương trnh
()s f t=
.
Vn tc ti thi đim t
0
ca cht đim đ l
//
0 0 0
( ) ( ) ( )v t s t f t==
Gia tc tc thi ti đim t
0
ca mt cht đim chuyn đng vi phương trnh
()s f t=
l:

==a t v t s t
0 0 0
( ) ( ) ( )
Các dạng toán
Dạng 1. Tm đo hm c[p cao ca hm s
()y f x=
Phương pháp: 1. Tnh đo hm cp 1:
/
()fx
2. Tnh đo hm cp 2 :
( )
/
// /
( ) ( )f x f x=
3. Tnh đo hm đn các cp được chỉ ra.
Dạng 2. Chng minh mt h thc c đo hm
Phương pháp:
1. Tnh đo hm ca hm s
()y f x=
đn cp đã chỉ ra
2. Thay các kt qu đ vo v phi (v trái) ca h thc v bin đổi bằng v trái (v phi).
Dạng 3. Tnh gia tc tc thi ca mt chuyn đng c phương trnh
()s s t=
Phương pháp:
1. Vận tc tc thi ca chuyn đng ti thi đim t l
/
( ) ( )v t s t=
2. Gia tc tc thi ca chuyn đng ti thi đim t l
/
( ) ( )a t v t=
B. BI TP
Bi 5.1. Tnh đo hm cp hai ca các hm s sau:
a)
2
1y x x=+
b)
tanyx=
c)
1
1
y
x
=
d)
1
1
y
x
=
e)
2
cosyx=
f)
sin5 cos2y x x=
HDGiải
a)
22
/2
22
12
1
11
xx
yx
xx
+
= + + =
++
;
2
2
2
2
//
2
22
(1 2 )
41
(3 2 )
1
1
(1 ) 1
xx
xx
xx
x
y
x
xx
+−
+
+
==
+
++
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
37
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
b)
/
2
1
cos
y
x
=
;
2/
//
4 4 3
(cos ) 2cos sin 2sin
;,
2
cos cos cos
x x x x
y x k k
x x x

= = = +

c)
/
2
1
(1 )
y
x
=
;
//
3
2
(1 )
y
x
=
d)
//
5
3
4 (1 )
y
x
=
e)
//
2cos2yx=−
f)
( )
//
1
49sin7 9sin3
2
y x x= +
Bi 5.2. Tm đo hm cp hai ca các hm s sau:
a)
2
21
2
x
y
xx
+
=
+−
b)
2
1
x
y
x
=
c)
1
2
x
y
x
+
=
d)
2
1y x x=+
e)
2
1
x
y
x
=
f)
2
(1 )cosy x x=−
HDGiải
a)
//
2 3 3
2 1 1 1 1 1
2
12
2 ( 1) ( 2)
x
yy
xx
x x x x

+
= = + = +

−+
+ +

b)
/ //
2 2 2 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 2
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x
y y y
xx
x x x x x

−−
= = + = + = +

+−
+ +

c)
/ //
23
1 3 3 6
1
22
( 2) ( 2)
x
y y y
xx
xx
+−
= = + = =
−−
−−
d)
3
2 //
22
23
1
(1 ) 1
xx
y x x y
xx
+
= + =
++
e)
2
//
3
12
1
11
(1 )
x
y x y
xx
x
= = + =
−−
f)
2
(1 )cosy x x=−
// 2
( 3)cos 4 siny x x x x = +
Bi 5.3.
a) Cho
6
( ) ( 10)f x x=+
. Tnh
//
(2)f
b) Cho
( ) sin3f x x=
. Tnh
// // //
; (0);
2 18
f f f

c) Nu
2
2y x x=−
th
3 //
. 1 0yy+=
HDGiải
a)
6 / 5 // 4
( ) ( 10) ( ) 6( 10) ; ( ) 30( 10)f x x f x x f x x= + = + = +
Do đ
//
(2) 622080f =
b)
/ //
( ) sin3 ( ) 3cos3 ; ( ) 9sin3f x x f x x f x x= = =
Do đ
// // //
9
9; (0) 0;
2 18 2
f f f

= = =
c)
2 / //
2 2 3
11
2;
2 (2 )
x
y x x y y
x x x x
= = =
−−
.
Do đ
( )
( )
3
3 // 2
3
2
1
. 1 2 . 1 0
2
y y x x
xx


+ = + =



(đpcm)
Bi 5.4. Xt chuyn đng ca mt cht đim c phương trnh
( ) sin( )s t A t

=+
(
,,A

l nhnng
hng s). Tm gia tc tc thi ti thi đim t ca chuyn đng.
HDGiải
Gi v(t) l vn tc tc thi ca chuyn đng ti thi đim t, ta c:
( )
'
/
( ) ( ) sin( ) cos( )v t s t A t A t
= = + = +
Vy gia tc tc thi ca chuyn đng ti thi đim t l:
/ // 2
( ) ( ) ( ) sin( )a t v t s t A t
= = = +
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
38
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Bi 5.5. Cho chuyn đng thng xác đnh bi phương trnh
32
( ) 3 9s t t t t=
, trong đ t tnh bng giây
v S tnh bng mt.
a) Tnh vn tc ca chuyn đng khi t = 2s
b) Tnh gia tc ca chuyn đổng khi t = 3s
c) Tnh gia tc ti thi đim vn tc trit tiêu
d) Tnh vn tc ti thi đim gia tc trit tiêu
HDGiải
Gi v(t) l vn tc tc thi ca chuyn đng ti thi đim t
/2
( ) ( ) 3 6 9v t s t t t= =
;
/
( ) ( ) 6 6a t v t t= =
a) Ti t = 2s, v(2) =
9
m/s
b) Ti t = 3s,
2
(3) 12
m
s
=
c) Ti v = 0 hay
2
1( )
3 6 9 0
3
t loai
tt
t
=−
=
=
2
(3) 12
m
a
s
=
d) Ti thi đim gia tc trit tiêu:
( ) 6 6 0 1 (1) 12a t t t v m s= = = =
Bi 5.6. Cho mt cht đim chuyn đng c phương trnh l
32
( ) 2 2 1s t t t t= +
, (trong đ t tnh bng s
v S tnh bng m).
a) Tnh gia tc ti thi đim t = 4s
b) Tnh vn tc ti thi đim m gia tc bng 0
( )
2
ms
HDGiải
Ta c
/2
( ) ( ) 6 4 1v t s t t t= = +
;
/
( ) ( ) 12 4a t v t t= =
a)
/2
(4) (4) 12.4 4 44a v m s= = =
b)
1 1 1 4 1
( ) 0 12 4 0 6. 1 ( )
3 3 9 3 3
a t t t v s

= = = = + =


Bi 5.7. Cho hm s
42
1
( ) 2
4
y f x x x= =
. Vit phương trnh tip tuyn ca đồ th hm s đã cho ti
đim c honh đ
0
x
, bit
//
0
( ) 1fx=−
HDGiải
Hm s
42
1
( ) 2
4
y f x x x= =
. TXĐ:
D =
Ta có:
/3
( ) 4 ;f x x x=−
// 2
( ) 3 4f x x=−
. Theo gi thit:
// 2
0 0 0
( ) 1 3 4 1 1f x x x= = =
Vi
/
00
7
1 ; (1) 3
4
x y f= = =
, ta được phương trnh tip tuyn
5
3
4
yx= +
Vi
/
00
7
1 ; ( 1) 3
4
x y f= = =
, ta được phương trnh tip tuyn
5
3
4
yx=+
C. BI TP ĐỀ NGHỊ
Bài 5.8. Tm đo hm cp hai ca các hm s sau:
a)
2
21
2
x
y
xx
+
=
+−
b)
2
2
5 3 20
23
xx
y
xx
−−
=
−−
c)
2
1y x x=+
d)
32
3 4 5 1y x x x= + +
e)
42
4 3 7y x x= +
f)
2
cosyx=
Bài 5.9. Cho hm s
2
( ) 2 16cos cos2y f x x x x= = +
a) Tìm
/
()fx
//
()fx
. Tính
/
(0)f
//
()f
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
39
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
b) Gii phương trnh
//
( ) 0fx=
Bài 5.10. Cho hm s
2
1
()
1
y f x
x
==
a) Tìm
/
()fx
//
()fx
. Tính
/
1
2
f



//
1
2
f



b) Chng minh
( )
2 // /
1 ( ) 3 ( ) ( )x f x xf x f x = +
Bài 5.11. Chng minh rằng mỗi hm s sau đây tho mãn h thc tương ng đã chỉ ra
a)
(
)
( )
3
2 2 // /
1 ; 1 9 0y x x x y xy y= + + + + =
b)
( )
2
/ //
3
; 2 ( 1).
4
x
y y y y
x
= =
+
c)
2 3 //
2 ; . 1 0y x x y y= + =
d)
( 2 ) 2
sin2 ; ( 1) 2
n n n
y x y y= =
Bài 5.12. Mt cht đim chuyn đng thng c phương trnh
2
( ) 200 14s t t t= +
, trong đ t được tnh
bằng giây (s) v s được tnh bằng mt (m).
a) Ti thi đim no cht đim c vận tc bằng không?
b) Tm vận tc v gia tc ca cht đim ti thi đim t = 3s.
D. BÀI TP TRC NGHIỆM
Câu 1. Cho hm s
5
yx
x
=+
c đo hm l
y
. Rút gn biu thc
.M xy y
=+
A.
.Mx=
B.
10
.M
x
=
C.
2.Mx=
D.
2.Mx=−
Câu 2. Cho hm s
( )
siny A x

=+
c đo hm l
y
y

v biu thc
2
M y y

=+
. Mnh đề no
sau đây đúng?
A.
0.M =
B.
1.M =−
C.
( )
2
cos 4 .Mx
=+
D.
( ) ( )
2;5 , 0; 1MM
Câu 3. Cho hm s
( )
2
2
1.yx=−
Tnh giá tr biu thc
( )
4
2 4 .M y xy y
= +
A.
100.M =
B.
0.M =
C.
20.M =
D.
40.M =
Câu 4. Cho chuyn đng thng xác đnh bi phương trnh
32
39s t t t=
, trong đ
0t
,
t
tnh bằng
giây và
( )
st
tnh bằng mt. Gia tc ca chuyn đng ti thi đim vận tc b trit tiêu l:
A.
2
9.ms
B.
2
12 .ms
C.
2
9.ms
D.
2
12 .ms
Câu 5. Cho hm s
2
1
y
x
=
+
. Tnh giá tr ca
( )
( )
3
1.y
A.
( )
( )
3
4
1.
3
y =−
B.
( )
( )
3
4
1.
3
y =
C.
( )
( )
3
3
1.
4
y =−
D.
( )
( )
3
3
1.
4
y =
Câu 6. Cho hm s
3
sinyx=
. Rút gn biu thc
9.M y y

=+
A.
6sin .Mx=
B.
6cos .Mx=
C.
6sin .Mx=−
D.
sin .Mx=
Câu 7. Cho hm s
3
4
x
y
x
=
+
v biu thc
( ) ( )
2
21M y y y
= +
. Mnh đề no sau đây đúng?
A.
0.M =
B.
1.M =
C.
1
.
4
M
x
=
+
D.
( )
2
2
.
4
x
M
x
=
+
Câu 8. Cho hm s
.tany x x=
. Rút gn biu thc
( )
( )
2 2 2
2 1 .M x y x y y

= + +
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
40
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
A.
0.M =
B.
1.M =
C.
22
tan .M x x=−
D.
2
2
4
.
cos
x
M
x
=
Câu 9. Cho hm s
2
cosyx=
. Tnh giá tr ca
( )
3
.
3
y



A.
( )
3
2.
3
y

=−


B.
( )
3
2.
3
y

=


C.
( )
3
2 3.
3
y

=


D.
( )
3
2 3.
3
y

=−


Câu 10. Cho chuyn đng thng xác đnh bi phương trnh
( )
32
3s t t t=−
, trong đ
0t
,
t
tnh bằng
giây và
( )
st
tnh bằng mt. Khng đnh no sau đây l đúng?
A. Gia tc ca chuyn đng khi
4ts=
2
18 .a m s=
B. Gia tc ca chuyn đng khi
4ts=
2
9.a m s=
C. Vận tc ca chuyn đng khi
3ts=
12 .v m s=
D. Vận tc ca chuyn đng khi
3ts=
24 .v m s=
Câu 11. Tnh đo hm cp hai ca hm s
5 cosin .s 2xy x=
A.
49sin7 9sin3 .xxy

=−
B.
49 9
sin7 sin3 .
22
y xx

= +
C.
49 9
sin7 sin3 .
22
xxy

=
D.
49sin7 9sin3 .y xx+

=
Câu 12. Cho hm s
( )
2
2 16cos cos2f x x x x= +
. Tnh giá tr ca
( )
.f

A.
( )
8.f

=−
B.
( )
24.f

=
C.
( )
4.f

=
D.
( )
16.f

=−
Câu 13. Cho hm s
cos2yx=
c đo hm l
y
y

. Mnh đề no sau đây đúng?
A.
4 0.yy

−=
B.
4 0.yy

+=
C.
2 0.yy
+=
D.
0.yy

+=
Câu 14. Cho hai hm s
( )
42
43f x x x= +
( )
2
3 10 7g x x x= +
. Nghim ca phương trnh
( ) ( )
0f x g x
+=
là:
A.
1x =
;
1
.
6
x =−
B.
1x =−
;
1
.
6
x =
C.
1x =−
;
1
.
6
x =−
D.
1x =
;
1
.
6
x =
Câu 15. Cho chuyn đng thng xác đnh bi phương trnh
( )
32
4s t t t=+
, trong đ
0t
,
t
tnh bằng
giây
( )
st
tnh bằng mt. Gia tc ca chuyn đng ti thi đim m vận tc ca chuyn đng bằng
11ms
là:
A.
2
18 .ms
B.
2
12 .ms
C.
2
14 .ms
D.
2
16 .ms
Câu 16. Cho hm s
3
4
x
y
x
=
+
c đo hm l
y
y

. Mnh đề no sau đây đúng?
A.
( ) ( )
2
2 1 .y y y
=+
B.
( ) ( )
2
2 1 .y y y
=−
C.
( ) ( )
2
2 1 .y y y
=
D.
( ) ( )
2
2 1 .y y y
=
Câu 17. Mt cht đim chuyn đng theo phương trnh
( )
32
3 9 2017s t t t t= +
, trong đ
0t
,
t
tính
bằng giây v
( )
st
tnh bằng mt. Tnh gia tc ca cht đim ti thi đim
3t =
giây.
A.
2
12 .ms
B.
2
6.ms
C.
2
15 .ms
D.
2
9.ms
Câu 18. Cho hm s
54
3 5 3 2y x x x= +
. Gii bt phương trnh
0y

.
A.
( )
1;1 .x −
B.
( )
2;2 .x−
C.
( )
1; .x +
D.
( )
;1 \ 0 .x −
Câu 19. Cho hm s
cot
2
x
y =
c đo hm l
y
. Mnh đề no sau đây đúng?
A.
( )
2
2
3 1 0.yy
+ + =
B.
2
2 0.yy
+ =
C.
2
2 1 0.yy
+ + =
D.
2
3 1 0.yy
+ =
Câu 20. Cho hm s
sin2 cos2yxx=−
. Gii phương trnh
0y

=
.
A.
2 , .
8
x k k
= +
B.
,.
2
x k k
= +
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
41
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
C.
2 , .
4
x k k
= +
D.
,.
82
x k k

= +
.
Câu 21. Cho hm s
siny x x=
v biu thc
( )
2 sin .M xxy y xy
= +
Mnh đề no sau đây đúng?
A.
sin .Mx=
B.
1.M =
C.
0.M =
D.
2.M =
Câu 22. Cho hm s
.cosy x x=
. Tnh giá tr biu thc
( )
.2 cosM xy xy y x
= +
A.
1.M =−
B.
2.M =
C.
1.M =
D.
0.M =
Câu 23. Cho hm s
2
cos 2yx=
v biu thc
16 16 8M y y y y
= + + +
. Mnh đề no sau đây đúng?
A.
cos4 .Mx=
B.
0.M =
C.
8.M =
D.
8.M =−
Câu 24. Cho hm s
2
2.y x x=−
Tnh giá tr biu thc
3
. 1.M y y

=+
A.
2.M =
B.
1.M =
C.
1.M =−
D.
0.M =
Câu 25. Cho hm s
( ) ( )
6
10f x x=+
. Tnh giá tr ca
( )
2.f

A.
( )
622080.2f

=
B.
( )
1492992.2f

=
C.
( )
124416.2f

=
D.
( )
103680.2f

=
Câu 26. Cho hm s
2
tanyx=
c đo hm l
y
y

. Mnh đề no sau đây đúng?
A.
( )
2
2 1 3 0.yy

+ =
B.
( )
2
3 1 0.yy

+ =
C.
( )( )
22
2 1 1 3 0.y y y

+ + =
D.
( )( )
22
5 1 1 3 0.y y y

+ + + =
Câu 27. Cho hm s
( )
32
sinf x x x=+
. Tnh giá tr ca
.
2
f




A.
2.
2
f


=


B.
5.
2
f


−=


C.
0.
2
f


−=


D.
1.
2
f


−=


Câu 28. Cho hm s
32
1
x
y
x
=
. Gii bt phương trnh
0y

.
A.
1.x
B.
1.x
C. Vô nghim
.
D.
1.x
Câu 29. Cho hm s
32
3 3 5y x x x= + +
. Tnh giá tr ca
( )
( )
3
2017 .y
A.
( )
( )
3
2017 18.y =−
B.
( )
( )
3
2017 2017.y =−
C.
( )
( )
3
2017 2017.y =
D.
( )
( )
3
2017 0.y =
Câu 30. Cho hm s
( )
3
1
1
y
x
=
+
. Gii bt phương trnh
0y

.
A.
1.x −
B.
1.x −
C.
1.x
D. Vô nghim
.
Câu 31. Cho hm s
( )
21
1
x
fx
x
=
+
. Gii phương trnh
( ) ( )
f x f x
=
.
A.
5x =
;
6.x =
B.
3.x =−
C.
3x =
;
2.x =
D.
4.x =
Câu 32. Cho hm s
( )
sinf x x x=
. Biu thc
2 2 2 2
P f f f f
= + + +
c giá tr bằng:
A.
2.P =
B.
2.P =−
C.
4.P =
D.
4.P =−
Câu 33. Cho hm s
3
5y
x
=−
. Tnh giá tr biu thc
2.M xy y
=+
A.
10.M =
B.
1.M =
C.
4.M =
D.
0.M =
Câu 34. Cho hm s
sin2yx=
c đo hm l
y
y

. Mnh đề no sau đây đúng?
A.
( )
2
2
4.yy
+=
B.
4 0.yy

+=
C.
.tan2 .y y x
=
D.
4 0.yy

−=
Câu 35. Cho hm s
34
2
x
y
x
=
+
. Tìm
x
sao cho
20y

=
.
A.
1.x =−
B.
3.x =
C.
3.x =−
D.
1.x =
Câu 36. Tnh đo hm cp 3 ca hm s
( ) ( )
5
.25f x x=+
A.
( )
( ) ( )
3
3
.80 2 5f x x=+
B.
( )
( ) ( )
2
3
.480 2 5xxf =+
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
42
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
C.
( )
( ) ( )
2
3
.–480 2 5f x x=+
D.
( )
( ) ( )
3
3
.–80 2 5f x x=+
Câu 37. Cho hm s
2
1
1
2
y x x= + +
. Tnh giá tr biu thc
( )
2
2 . .M y y y
=−
A.
2.M =
B.
1.M =−
C.
1.M =
D.
0.M =
Câu 38. Cho hm s
( )
32
23f x x x x= +
c đo hm l
( )
fx
( )
.fx

Tnh giá tr biu thc
( ) ( )
2
2 2 .
3
M f f
=+
A.
6 2.M =
B.
7.M =
C.
13
.
3
M =
D.
8 2.M =
Câu 39. Cho hm s
( )
32
3 4 6f x x x x= +
. Gii bt phương trnh
( ) ( )
1f x f x
−
. Nghim ca bt
phương trnh l:
A.
( ) ( ) ( )
;1 1;3 3; .x − +
B.
1;3 .x
C.
.x
D.
(
)
;1 3; .x − +
Câu 40. Cho hm s
2
1
1
y
x
=
. Tnh giá tr ca
( )
( )
3
2.y
A.
( )
( )
3
80
2.
27
y
=
B.
( )
( )
3
40
2.
27
y =
C.
( )
( )
3
40
2.
27
y
=
D.
( )
( )
3
80
2.
27
y =
ĐÁP ÁN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
C
A
D
D
C
A
A
D
C
A
C
B
B
D
C
B
A
D
C
D
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
C
D
B
D
A
C
B
A
A
A
B
B
D
B
C
B
B
C
D
A
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
43
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
ÔN TẬP CHƯƠNG V. ĐO HM
A. KIN THC CN NM
II. Bảng đạo hàm
STT
HÀM S SƠ CẤP
HÀM S HP
QUY TC
1
( ) 0C
=
( ) 0,mm
=
là tham s
2
( ) 1x
=
,
( )
kx kx k
==
( )
ku ku
=
( )
u v u v

+ = +
3
1
( ) , , 1
nn
x nx n n
=
( )
1
..u u u

=
( )
u v u v

=
4
( )
1
,0
2
xx
x
=
( )
,0
2
=
u
uu
u
( )
uv u v uv

=+
5
2
11
,0x
xx

=


2
1
,0

=


u
u
uu
2
,0


=


u u v uv
v
vv
6
( )
sin cosxx
=
( )
sin cosu u u
=
2
1
,0

=


v
v
vv
7
( )
cos sinxx
=−
( )
cos sinu u u
=−
+=ax b a()
8
( )
2
2
1
tan 1 tan
cos
xx
x
= = +
,
2
+ x k k
( )
( )
2
2
tan 1 tan
cos
u
u u u
u
= = +
,
2
+ u k k
( )
2
ax b ad bc
cx d
cx d
+−

=

+

+
−
d
x
c
9
( )
( )
2
2
1
cot 1 cot
sin
xx
x
= = +
,

x k k
( )
( )
2
2
cot 1 cot
sin
u
u u u
u
= = +
,

u k k
II. ng dng ca đạo hàm
1. Phương trình tiếp tuyến
Gọi
là tiếp tuyến của đường cong (C):
()y f x=
tại tiếp điểm
( )
00
;M x y
.
= +y f x x x f x
0 0 0
: ( )( ) ( )
(1),
0
x
gọi là hoành độ tiếp điểm.
( )
00
;M x y
gọi là tiếp điểm
=k f x
0
()
là hệ số góc của tiếp tuyến
( )
00
=y f x
gọi là tung độ tiếp điểm.
Lưu ý: Trong phương trình tiếp tuyến (1), có ba yếu tố
/
0 0 0
, , ( )x y f x
. Để viết được phương trình (1), ta
phải tìm hai yếu tố còn lại khi cho biết một yếu tố.
Chú ý: Cho đường thẳng
: = +y kx b
:

= +y k x m
/ / :

=kk
.1kk

=
Cho đường thẳng
:0ax by c + + =
hay
:
ac
y x kx m
bb
= = +
.
Hệ số góc của
tan
a
k
b
= =
2. Điều kiện tiếp xúc
Cho
( ): ( ), : ( )C y f x d y g x==
.
()C
tiếp xúc với
d
khi và chỉ khi hệ phương trình
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
=

=
có nghiệm
3. Vi Phân. Cho hàm s
()y f x=
xc đnh trên khong
( ; )ab
và có đạo hàm ti
( ; )x a b
. Vi phân ca
hàm s k hiu là
()df x
hay
dy
. Như vậy:
==dy df x f x dx( ) ( )
hay
=dy y dx
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
44
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
4. Đạo hàm cấp 2. Gi s hàm s
()fx
có đạo hàm
fx()
. Nếu
fx()
cng có đạo hàm thì ta gọi đạo
hàm ca nó là đạo hàm cp hai ca
()fx
và k hiu

fx()
: Như vậy
( )
=f x f x( ) ( )
5. ng dng cơ học của đạo hàm.
a. Mt chuyển động có phương trình
()=s s t
.
Vn tc tc thi ca chuyển động ti thời đim
0
t
0
( ) ( )
=
o
v t s t
Gia tc tc thi ca chuyển động ti thời điểm
0
t
00
( ) ( ) ( )

==
o
a t v t s t
b. Điện lượng Q truyn trong dây dn là mt s ca thi gian t:
()=Q Q t
ờng độ tc thi của dòng điện ti thời điểm
0
t
( )
00
()
=I t Q t
6. Gii phương trình, bt phương trình cha đạo hàm, chng minh đẳng thc đo hàm.
Phương pháp: Tìm điu kin đề bài, tính các đạo hàm theo yêu cu bài toán và thc hin các yêu cu bài
toán cn làm.
B. BI TẬP
Bài 1. Tìm đạo hàm ca cc hàm s sau
a)
32
()
ax bx c
y
a b x
++
=
+
(a, b, c là cc hng s) b)
4
3
3
1
3yx
x

= +


c)
32
cosy x x=
d)
2
sin 4yx=+
e)
1
1 tanyx
x

= + +


f)
2
2
cos 1
1
x
y
x
+
=
+
HDGiải
a)
/
32
/2
22
22
()
( ) ( )
a b c ax b c ax bx c
y x x
a b a b a b x a b a b
a b x a b x

+−
= + + = + =

+ + + + +
++

b)
33
/ 3 2 3 2
3 4 3 4
1 3 1 1
4 3 . 3 12 3 .y x x x x
x x x x
= + + = + +
c)
( ) ( )
/
/ 3 2 2 2
cos 3cos sin2y x x x x x x= =
d)
(
)
/
/ 2 2
2
sin 4 cos 4
4
x
y x x
x
= + = +
+
/
2
/
2
2
22
1
1
1
) 1 tan
11
2cos 1 tan
1
11
2 cos 1 tan
x
e y x
x
xx
xx
x
x x x
xx



= + + =




+ + +
=
+ + +
f)
(
)
/
2 2 2
2
/
2 2 3
1sin 1 cos 1
cos 1
1 ( 1)
x x x x
x
y
xx
+ + + +

+

= =

++

Bài 2. Tnh đạo hàm cc hàm s sau:
a)
32
5
32
xx
yx= +
b)
2 3 4
2 4 5 6
7
y
x
x x x
= +
c)
2
3 6 7
4
xx
y
x
−+
=
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
45
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
d)
( )
2
31y x x
x

= +


e)
1
1
x
y
x
+
=
f)
2
2
75
3
xx
y
xx
+ +
=
HDGiải
a)
/2
1y x x= +
b)
/
2 3 4 5
2 8 15 24
7
y
x x x x
= + +
c)
2
/
2
37
4
x
y
x
=
d)
22
/
2
9 6 2 4
2
x x x x
y
x
+
=
e)
( )
/
2
1
1
y
xx
=
f)
( )
2
/
2
2
4 10 15
3
xx
y
xx
+
=
Bài 3. Cho hàm s
2
( ) 2 3y f x x x= = +
(C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đ th (C) tại điểm có hoành độ
0
1x =−
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đ th (C) tại điểm có tung độ y
0
= 3
HDGiải
a)
2
( ) 2 3f x x x= +
,
/2
( ) 3 2f x x=−
nên
( 1) 4f −=
và
/
( 1) 1f −=
phương trình tiếp tuyến cn tìm là:
4 1 5y x y x = + = +
b) Ta có y
0
= 3, nên giải phương trình
0
22
0 0 0 0
0
0
2 3 3 2 0
2
x
x x x x
x
=
+ = =
=
Và ta lại có
/2
( ) 3 2f x x=−
Vi
0
0x =
, phương trình tiếp tuyến là:
23yx= +
Vi
0
2x =
, phương trình tiếp tuyến là:
10( 2) 3 10 17y x x= + = +
Bài 4. Cho hàm s
1
()
1
x
y f x
x
==
+
có đ th(C). Viết phương trình của đường thng d song song vi
đường thng
2
2
x
y
=
và tiếp xc vi (C).
HDGiải
Đưng thng d song song với đường thng
2
2
x
y
=
nên có h s góc là
1
2
Mt khc, ta có
/
2
2
()
( 1)
fx
x
=
+
nên
2
0
/
0
0
2
0
0
0
1
( 1) 4
21
()
2
3
( 1)
1
x
x
fx
x
x
x
=
+=
= =
=−
+
Có hai tiếp tuyến
( ) ( )
1
11
: (1) 1 1
22
y f x y x = =
( )
2
1 1 7
: ( 3) 3
2 2 2
y f x y x = + = +
Bài 5. Cho hàm s
21
()
2
x
y f x
x
==
+
. Viết phương trình tiếp tuyến của đ th hàm s đ cho, biết;
a) Hoành độ tiếp điểm
0
0x =
b) Tiếp tuyến đi qua điểm A(0; 2)
HDGiải
Ta có
/
2
2 1 5
( ) ( ) ;( 2)
2
( 2)
x
f x f x x
x
x
= =
+
+
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
46
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
a) Vi x
0
= 0 thì
0
1
( ) (0)
2
f x f= =
và
/
5
(0)
4
f =
.
Vậy phương trình tiếp tuyến cn tìm là:
51
42
yx=−
b) Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(0; 2) vi h s bnng k là:
( ) 2y g x kx= = +
Để (d) là tiếp tuyến của đ th hàm s
21
2
x
y
x
=
+
thì ta phi tìm k sao cho:
//
2
21
2 (1)
( ) ( )
2
5
( ) ( )
(2)
( 2)
x
kx
f x g x
x
f x g x
k
x
=+
=

+

=
=
+
Thay k t (2) vào (1), suy ra được
1x =−
và k = 5.
Vậy phương trình tiếp tuyến phi tìm là:
52yx=+
Bài 6. Cho hàm s
32
5y mx x x= + +
. Tìm m để:
a)
/
y
bng bình phương của mt nh thc bc nht
b)
/
y
= 0 có hai nghim tri du
c)
/
y
> 0, vi mi
x
.
HDGiải
Ta có
/2
3 2 1y mx x= + +
a)
/
y
là bình phương của mt nh thc bc nht khi và ch khi
0 3 0
1
3
' 0 1 3 0
am
m
m


=

= =

b)
/
y
= 0 có hai nghim tri du khi và ch khi
. 0 3 .1 0 0a c m m
c)
/
y
> 0 vi mi
x
khi và ch khi
0 3 0
1
3
' 0 1 3 0
am
m
m




Bài 7. Cho
2
( ) 2sin sin 1f x x x= +
và
2
( ) 2sin 3sin 1g x x x= +
a) Tnh
/
()
()
fx
gx



và
//
//
2
2
f
g






b) Tìm
6
()
lim
()
x
fx
gx
HDGiải
Vì
2
2sin sin 1 (sin 1)(2sin 1)x x x x+ = +
2
2sin 3sin 1 (sin 1)(2sin 1)x x x x + =
Nên
2
2
( ) 2sin sin 1 sin 1
( ) sin 1
2sin 3sin 1
f x x x x
g x x
xx
+ +
==
−+
a)
//
2
( ) sin 1 2cos
( ) sin 1
(1 sin )
f x x x
g x x
x
+−
==
/
( ) 4sin cos cos 2sin2 cosf x x x x x x= + = +
;
// //
( ) 4cos2 sin 4 1 5
2
f x x x f

= = =


/
( ) 4sin cos 3cos 2sin2 3cosg x x x x x x= =
;
// //
( ) 4cos2 3sin 4 3 1
2
g x x x g

= + = + =


Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
47
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Suy ra
//
//
2
5
5
1
2
f
g



==



b)
2
2
6 6 6
1
1
( ) 2sin sin 1 sin 1
2
lim lim lim 3
1
( ) sin 1
2sin 3sin 1
1
2
x x x
f x x x x
g x x
xx
+
+ +
= = = =
−+
Bài 8. Gii cc phương trình:
a)
/
( ) ( )f x g x=
vi
3
( ) sin 2f x x=
và
( ) 4cos2 5sin4g x x x=−
b)
/
( ) 0fx=
vi
( ) 20cos3 12cos5 15cos4f x x x x= +
c)
/
( ) 0fx=
vi
3
60 64
( ) 3 5f x x
x
x
= + +
HDGiải
a)
3 / 2
( ) sin 2 ( ) 6sin 2 cos2f x x f x x x= =
phương trình
( )
/2
2
( ) ( ) 6sin 2 cos2 4cos2 5sin4
cos2 0
1
cos2 6sin 2 10sin2 4 0 sin2
3
sin2 2 ( )
42
11
arcsin ( )
23
11
arcsin
2 2 3
f x g x x x x x
x
x x x x
x loai
xk
x k k
xk

= =
=
+ = =
=−
=+
= +
= +
/
) ( ) 60sin3 60sin5 60sin4 60(sin3 sin5 sin4 )
60sin4 (2cos 1)
b f x x x x x x x
x x
= + = +
=
Phương trình
/
sin4 0
4
( ) 0 ( )
2cos 1 0
2
3
k
x
x
f x k
x
xk
=
=
=
−=
= +
c)
/
24
60 64
( ) 3 0fx
xx
= + =
. Phương trình
/ 4 2
( ) 0 3 60 64 0;( 0) 2; 4f x x x x x= + =
Bài 9. Tìm phương trình cc tiếp tuyến của đ th hàm s
32
3 4 1y x x x= + +
, biết rng cc tiếp tuyến
này có h s góc k = 4.
HDGiải
Hàm s
32
3 4 1y x x x= + +
xc đnh trên
Ta có
/2
3 6 4y x x= +
Phương trình cc tiếp tuyến với đ th hàm s có dng:
/
0 0 0
( ) ( )( )y f x f x x x =
, x
0
là hoành độ tiếp
điểm.
H s góc ca cc tiếp tuyến này
00
/2
0 0 0
00
0 (0) 1
( ) 4 3 6 4 4
2 (2) 5
x y f
k f x x x
x y f
= = =
= = + =
= = =
Vậy phương trình cc tiếp tuyến cn tìm là: d
1
:
41yx=+
và d
2
:
43yx=−
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
48
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Bài 10. Tìm phương trình cc tiếp tuyến với đ th hàm s
2
2
2
xx
y
x
−−
=
+
biết rng cc tiếp tuyến này
song song với đường thng
23yx=−
.
HDGiải
Hàm s
2
24
3
22
xx
yx
xx
−−
= = +
++
. Min xc đnh
\2D =
Ta có
/
2
4
1
( 2)
y
x
=−
+
. Phương trình cc tiếp tuyến với đ th hàm s có dng:
/
0 0 0
( ) ( )( )y f x f x x x =
, x
0
là hoành độ tiếp điểm.
Theo gi thiết, cc tiếp tuyến này song song với đường thng
23yx=−
, nên
/
0
( ) 3k f x= =
Khi đó, ta có
00
2
00
1 ( 1) 0
4
13
3 ( 3) 10
( 2)
x y f
x y f
x
= = =
=
= = =
+
Vậy phương trình cc tiếp tuyến cn tìm là: d
1
33yx=
và d
2
:
3 19yx=
Bài 11. Cho hai hàm s
1
2
y
x
=
và
2
2
x
y =
. Viết phương trình tiếp tuyến với đ th ca mi hàm s đ
cho tại giao điểm ca chng và suy ra góc gia hai tiếp tuyến đó.
HDGiải
Gi I là giao điểm ca hai hàm s trên, giải phương trình hoành độ giao điểm, tìm được
2
1;
2
I




.
/
2
1
2
y
x
=−
và
/
2
2
x
y =
Phương trình tiếp tuyến có dng
0 0 0
( ) '( )( )y f x f x x x =
, vi x
0
là tiếp điểm.
Vy
12
2; 2
2
2
y x y x= + =
và góc gia hai tiếp tuyến là 90
0
.
Bài 12, Cho hai hàm s
4
2
9
2
44
x
yx=
có đ th là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại cc
giao điểm của nó với trục Ox.
HDGiải
Gọi
tiếp tuyến cần tìm.
:
/
0 0 0
( )( ) ( )y f x x x f x= +
, x
0
là hoành độ tiếp điểm.
Hàm số:
4
2
9
2
44
x
yx=
Giao điểm của (C) với trục Ox là:
( )( )
4
2 4 2 2 2
3
9
2 0 8 9 0 1 9 0
44
3
x
x
x x x x x
x
=
= = + =
=−
(C) cắt trục Ox tại
3x =−
3x =
.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm:
/
1
: (3)( 3)y y x =
hay
1
: 15( 3)yx =
/
2
: ( 3)( 3)y y x = +
hay
2
: 15( 3)yx = +
Bài 13, Cho hai hàm s
32
1
2 3 1
3
y x x x= + +
có đ th là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại
cc giao điểm của nó với trục tung.
HDGiải
Ham số
32
1
2 3 1
3
y x x x= + +
. Tập xc đnh
D =
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
49
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Ta có:
/2
( ) 4 3y x x x= +
. K hiệu d là tiếp tuyến của (C) và
( )
00
;xy
là tọa độ tiếp điểm
Giao điểm của (C) với trục tung là
( )
0;1
.
Với
/
0
0 (0) 3xy= =
. Ta được phương trình tiếp tuyến là
: 3 1d y x= +
Bài 14, Cho hai hàm s
3
31y x x=
có đ th là (C). Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với
đường thẳng
3
x
y =
và tiếp xc với đ th (C).
HDGiải
Hàm số
3
31y x x=
có TXĐ:
D =
/2
33yx=−
Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng
3
x
y =
nên có hệ số góc bng
3
Ta có:
/2
( ) 3 3 3 0y x x x= = =
. Với
01xy= =
Phương trình đường thẳng d là phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
( )
0; 1
Vậy d:
13yx+ =
hay
31yx=
Bài 15. Cho hàm số
21
2
x
y
x
+
=
có đ th (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đ th (C), biết hệ số góc
của tiếp tuyến đó bng
5
.
HDGiải
Hàm số
21
2
x
y
x
+
=
. Tập xc đnh
\2D =
;
( )
/
2
5
()
2
yx
x
=−
.
K hiệu d là tiếp tuyến của (C) và
( )
00
;xy
là tọa độ tiếp điểm
Hệ số góc của d bẳng
( )
0
2
0
0
1
5
55
3
2
x
x
x
=
=
=
Với
00
13xy= =
. Ta được phương trình tiếp tuyến là
1
: 5 2d y x= +
Với
00
37xy= =
. Ta được phương trình tiếp tuyến
2
: 5 22d y x= +
Bài 16. Cho hàm số
42
13
( ) 3
22
y f x x x= = +
có đ th (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đ th (C)
tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình
//
( ) 0fx=
.
HDGiải
Hàm số
42
13
( ) 3
22
y f x x x= = +
. Tập xc đnh:
D =
Ta có:
/3
( ) 2 6f x x x=−
// 2
( ) 6 6f x x=−
Theo giả thiết, ta có:
// 2
( ) 0 6 6 0 1f x x x= = =
Với
/
1 ( 1) 1, ( 1) 4x f f= = =
.
Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng:
43yx=+
Với
/
1 (1) 1, (1) 4x f f= = =
Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng:
43yx= +
Bài 17. Cho hàm số
32
( ) 3 9 2y f x x x x= = + + +
a) Giải bt phương trình
/
( 1) 0fx−
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đ th (C) tại điểm có hoành độ
0
x
, biết rng
//
0
( ) 6fx=−
.
HDGiải
a) Hàm số
32
( ) 3 9 2y f x x x x= = + + +
. Tập xc đnh:
D =
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
50
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Ta có:
/2
( ) 3 6 9f x x x= + +
.
/ 2 2
( 1) 3( 1) 6( 1) 9 3 12f x x x x x = + + = +
/2
( 1) 0 3 12 0 0 4f x x x x +
b) Phương trình tiếp tuyến (d) của đ th (C) có dạng:
/
0 0 0
( )( )y y f x x x =
,
0
x
hoành độ tiếp điểm.
Ta có:
/2
( ) 3 6 9f x x x= + +
//
( ) 6 6f x x= +
Theo giả thiết, ta có:
//
0 0 0
( ) 6 6 6 6 2f x x x= + = =
Với
/
00
2 (2) 24, (2) 9x y f f= = = =
.
Vậy phương trình tiếp tuyến (d) là:
96yx=+
Bài 18. Cho hàm số
21
1
x
y
x
+
=
có đ th (C). Gọi M là điểm thuộc (C) có tung độ bng 5. Viết phương
trình tiếp tuyến của đ th (C) tại M.
HDGiải
Hàm số
21
1
x
y
x
+
=
. Tập xc đnh
\1D =
;
( )
/
2
3
()
1
yx
x
=−
.
K hiệu d là tiếp tuyến của (C) tại M. Ta có
( )
21
;5 ( ) 5 2
1
m
M m C m
m
+
= =
Do đó
( )
2;5M
. Phương trình tiếp tuyến là
( )
/
: (2) 2 5d y y x= +
hay
3 11yx= +
Bài 19. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
( )
1; 2A
và tiếp xc với parabol (P):
2
2y x x=−
.
HDGiải
Phương trình của đường thẳng d đi qua điểm
( )
1; 2A
và có hệ số góc k
( 1) 2y k x=
Hoành độ giao điểm của d và (P):
22
2 ( 1) 2 ( 2) 2 0(*)x x k x x k x k = + + + =
Đường thẳng d tiếp xc với (P) khi và chi khi phương trình (*) có nghiệm kép, tức là:
( ) ( )
2
2
2 4 2 0
2
k
kk
k
=
= + + =
=−
Vậy có hai tiếp tuyến của parabol đ cho đi qua điểm A:
24yx=−
2yx=−
Bài 20. Cho
32
( ): 2 3 1C y x x= +
. Viết phương trình tiếp tuyến
()
của (C) qua điểm
(0; 1)M
.
HDGiải
32
( ): 2 3 1C y x x= +
, Tập xc đnh:
D =
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến
()
với đ th (C) qua điểm
(0; 1)M
. Khi đó
( ): 1y kx =
()
tiếp xc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình :
32
2
2 3 1 1 (1)
6 6 (2)
x x kx
x x k
+ =
+=
có nghiệm
Thay k t (2) vào (1), ta được:
( )
3 2 2 3 2
0
2 3 1 6 6 1 4 3 0
3
4
x
x x x x x x
x
=
+ = + + =
=−
Với
00xk= =
. Vậy phương trình tiếp tuyến
()
:
1y =−
Với
39
48
xk= =
. Vậy phương trình tiếp tuyến
()
:
9
1
8
yx=
Bài 21. Cho
32
( ): 3 1C y x x= +
. Viết phương trình tiếp tuyến
()
của (C) biết
()
song song với
/
( ): 9yx=
.
HDGiải
Ta có
/
( )/ /( ): 9 ( ): 9 ( 0)y x y x m m = = +
()
tiếp xc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình :
32
2
3 1 9 (1)
3 6 9
(2)
x x x m
xx
+ = +
−=
có nghiệm
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
51
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
2
1
(2) 2 3 0
3
x
xx
x
=−
=
=
Với
16xm= =
. Vậy phương trình tiếp tuyến
()
:
96yx=+
Với
3 26xm= =
. Vậy phương trình tiếp tuyến
()
:
9 26yx=−
Bài 22. Cho
21
( ):
1
x
Cy
x
+
=
.Viết phương trình tiếp tuyến
()
của (C) biết
()
vuông góc với
/
()
phương trình
3 5 0xy + =
.
HDGiải
21
( ):
1
x
Cy
x
+
=
. Tập xc đnh
\1D =
Ta có:
/
( ):3 5 0 3 5x y y x + = = +
. Do
()
vuông góc với
/
()
nên phương trình
1
( ):
3
y x m = +
()
tiếp xc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình :
2
2 1 1
(1)
13
31
(2)
3
( 1)
x
x+m
x
x
+
=−
=−
có nghiệm
2
13
4
( 1) 9
(2)
13
2
1
1
x
x
x
x
x
x
x
−=
=
−=
=

=−
Với
13
4
3
xm= =
. Vậy phương trình tiếp tuyến
()
:
1 13
33
yx= +
Với
1
2
3
xm= =
. Vậy phương trình tiếp tuyến
()
:
11
33
yx= +
C. BI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 23. Tìm đạo hàm cc hàm số sau
a)
43
5
21
23
xx
yx= + +
b)
22
3
(
1
x x a
ya
x
+−
=
là hng số)
c)
( )
2
2 cos 2 siny x x x x= +
d)
22
tan tany x x=+
e)
( )
3
sin2 8yx=+
f)
( )
3
2 5 tany x x=−
g)
4
3
3
1
3yx
x

= +


h)
1
1 tanyx
x

= + +


Bài 24. Tìm đạo hàm cc hàm số sau
a)
2
2
1
1
xx
y
xx
+−
=
−+
b)
( )( )
( )
22
2
23
1
xx
y
x
−−
=
c)
2
cos
2sin
x
y
x
=
d)
sin2 2cosy x x=−
e)
sin 2
6
yx

=−


f)
2
cos tan
32
xx
y =
g)
2
32xx
y
x
−+
=
h)
( )
2
2
2
1
31
xx
y
x
−+
=
+
k)
2
3
tan 2
4
yx

=−


Bài 25. Tìm đạo hàm của cc hàm số sau:
a)
( )
( )
2
2 7 3 2y x x x= +
b)
( )
( )
32
9 2 2 9 1y x x x= +
c)
3
5
3
yx
x

=−


Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
52
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
d)
( ) ( )
23
( 1) 2 3y x x x= + + +
e)
2
2
21
32
xx
y
xx
+−
=
−+
f)
2
2
75
3
xx
y
xx
+ +
=
g)
2
43
1
xx
y
x
−+
=
h)
2
1
1
x
y
x
+
=
+
k)
1
1
x
y
x
+
=
l)
( )
22
4 4 3y x x x x= +
m)
4
3
3
1
3yx
x

= +


n)
( )
5
2
1
1
y
xx
=
−+
Bài 26. Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm đ chỉ ra
a)
/
1
( ) (0) ?
11
x
y f x ; f
x
+
= = =
++
b)
( )
2
/
( ) 4 5 (0) ?y f x x ; f= = + =
c)
/
( ) sin4 .cos4 ; ?
3
y f x x x f

= = =


d)
( ) sin4 .cos4y f x x x==
,
/
?
8
f

=


e)
2
3
cos 2
2
yx

=+


;
/
?
8
f

=


f)
2
3
sin 2
2
yx

=−


,
/
?
8
f

=


g)
2
( ) sin cot2y f x x x= = +
,
/
?
6
f

=


h)
2
( ) cos 2 . tan2y f x x x==
,
/
?
8
f

=


Bài 27. Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm đ chỉ ra
a)
cos
()
1 sin
x
y f x
x
==
,
( )
/
f
b)
sin cos
()
sin cos
xx
y f x
xx
+
==
,
( )
/
f
c)
cos
( ) 2 cos
1 sin 3
xx
y f x
x
= = + +
+
,
/
2
f



d)
( ) sin2 cot3y f x x x= = +
,
/
6
f



e)
( ) cos3 tan2y f x x x= =
,
/
3
f



f)
2
1
( ) sin
cos
y f x x
x
= = +
,
/
4
f



g)
sin
()
1 cos
x
y f x
x
==
+
,
/
2
f



h)
2
2
( ) 30 sin2 cos cot
3
x
f x x x= + + +
,
/
4
f



k)
2
( ) sin2 coty f x x x= = +
,
/
4
f



l)
2
( ) tan cos4y f x x x= = +
,
/
4
f



Bài 28. Xc đnh
a
để
/
( ) 0,f x x
, biết
32
( ) ( 1) 2 1f x x a x x= + + +
Bài 29. Tìm cc nghiệm của phương trình sau
a)
/
( ) 0fx=
với
3
2
( ) 2 6 1
3
x
f x x x=
b)
/
( ) 5fx=−
với
42
3
3
( ) 3
42
xx
f x x=
c)
/
( ) 0fx=
với
( ) 3 cos sin 2 5f x x x x= +
d)
/
( ) ( )f x g x=
vi
3
( ) sin 2f x x=
và
( ) 4cos2 5sin4g x x x=−
e)
/
( ) 0fx=
với
( ) 3cos 4sin 5f x x x x= + +
f)
/
( ) 0fx=
với
( ) sin2 2cosf x x x=−
Bài 30. Gọi (C) là đ th của hàm số
42
( ) 2 1y f x x x= = +
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) trong
cc trường hợp sau;
a) Biết tung độ của tiếp tuyến bng 2.
b) Biết tiếp tuyến song song với trục hoành.
c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
3
8
yx= +
.
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;6).
Bài 31. Viết phương trình tiếp tuyến
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
53
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
a) Của đường cong (C):
1
1
x
y
x
+
=
tại điểm
(2;3)A
b) Của đường cong (C):
32
41y x x= +
tại điểm có hoành độ
0
1x =−
c) Của parabol (P):
2
44y x x= +
tại điểm có tung độ
0
1y =
d) Của đường cong (C):
32
3 4 9y x x x= + +
, biết rng tiếp tuyến này song song với đường thẳng
4 5 0xy + =
.
e) Của đường cong (C):
1
1
x
y
x
=
+
, biết rng tiếp tuyến vuông góc với đường thng
2 1 0xy+ + =
f) Của đường cong (C):
21yx=+
,biết hệ số góc của tiếp tuyến là
1
3
.
Bài 32. Cho hàm số
2 3 1
( ) ... ,( )
2 3 1
n
x x x
f x x n
n
+
= + + + +
+
. Tìm
a)
/
1
lim ( )
x
fx
b)
/
2
lim ( )
x
fx
c)
/
1
lim
2
n
f
→+



d)
/
lim (3)
n
f
+
Bài 33. Chứng minh rng đối với hàm số
siny x x=
, ta có:
( )
// /
2 sin 0xy y x xy + =
Bài 34. Trên đường cong
2
4 6 3y x x= +
, hy tìm điểm tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng
2yx=
Bài 35. Cho cc hàm số
32
()f x x bx cx d= + + +
có đ th (C) và
2
( ) 3 1g x x x=
a) Xc đnh b, c, d sao cho đ th (C) đi qua cc điềm
(1;3), ( 1; 3)AB−−
/
15
33
f

=


b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
0
1x =
c) Giải phương trình
/
(sin ) 3fx=
d) Giải phương trình
// /
(cos ) (sin )f x g x=
e) Tìm giới hạn
//
/
0
(sin5 ) 2
lim
(sin3 ) 3
x
fx
gx
+
+
Bài 36. Cho hàm s
2
( ) 2 12f x x x= +
. Giải bt phương trình
/
( ) 0fx
.
Bài 37. Viết phương trình tiếp tuyến của đ th hàm số
2
1
yx
x
=−
, biết tiếp tuyến đó đi qua điểm
( )
3;3A
.
Bài 38. Cho hàm số
1
2
x
y
x
+
=
có đ th (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đ th hàm số đ cho tại giao điểm A của (C) với trục tung.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đ th hàm số đ cho, biết rẳng tiếp tuyến đó song song với tiếp tuyến
tại điểm A.
Bài 39. Cho hàm số
3
31y x x=
có đ th (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đ th (C), biết rng hệ
số góc của tiếp tuyến đó bng 9.
Bài 40. Cho hàm số
42
6y x x= +
có đ th (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đ th (C), biết tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng
1
1
6
yx=−
.
Bài 41. Cho hàm số
32
31y x x= +
có đ th (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đ th (C) tại điểm có
hoành độ bng
1
.
Bài 42. Cho hàm số
23
1
x
y
x
+
=
+
có đ th (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đ th (C), biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng
2yx=+
.
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
54
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Bài 43. Cho hàm số
42
4y x x=−
có đ th (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đ th (C), biết tung độ
tiếp điểm là
3y =−
.
Bài 44. Cho hàm số
43
43
x
y
x
=
−+
có đ th (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đ th (C), biết rng tiếp
tuyến đó song song với đường thẳng
7 2014yx= +
.
Bài 45. Cho hàm số
4
2
x
y
x
−−
=
có đ th (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đ th (C), biết rng hệ số
góc của tiếp tuyến đó bng 24.
D. BI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho một cht điểm chuyển động có phương trình là
32
( ) 2 2 1s t t t t= +
,(s tính theo mét (m) và t
tính theo giây (s)). Tnh gia tốc
a
tại thời điểm
4( ).ts=
A.
2
25( / ).a m s=
B.
2
44( / ).a m s=
C.
2
60( / ).a m s=
D.
2
48( / ).a m s=
Câu 2. Trong cc khẳng đnh dưới đây, khẳng đnh nào sai?
A.
( ) ( )
1
, , 1.
nn
ax b na ax b n n
+ = +
B.
( )
10 9
10 .kx kx
=
C.
( )
1C x C
+ = +
(C là hng số). D.
2
, 0.
aa
x
xx

=


Câu 3. Cho hàm số
3
( ) 2 3 ( ).y f x x x C= = +
Gọi S tập hợp tt cả phương trình tiếp tuyến của đ th
(C) tại điểm có tung độ
0
3.y =
Tìm số phần t của S.
A.
2.
B.
0.
C.
3.
D.
1.
Câu 4. Cho hàm số
2
1
( ) .
x
fx
x
=
Tính
()
()
n
fx
với mọi
2.n
A.
( ) 1
1
!
( ) ( 1) .
nn
n
n
fx
x
+
=−
B.
()
1
!
( ) .
n
n
n
fx
x
+
=
C.
( ) 1
1
( ) ( 1) .
nn
n
n
fx
x
+
+
=−
D.
( ) 1
1
!
( ) ( 1) .
nn
n
n
fx
x
+
+
=−
Câu 5. Cho một cht điểm chuyển động có phương trình là
32
( ) 2 2 1s t t t t= +
, (s tính theo mét (m) và
t tính theo giây (s)). Tnh vận tốc v tại thời điểm mà gia tốc
2
0 ( / ).a m s=
A.
7 / .v m s=
B.
2
/.
3
v m s=
C.
3 / .v m s=
D.
1
/.
3
v m s=
Câu 6. Cho hàm số
22
( ) cos tan 3 .f x x x=−
(
a
là tham số khc 0). Mệnh đề nào dưới đây đng ?
A.
( ) 2cos 2tan3 .f x x x
=−
B.
2
2tan3
( ) sin 2 .
cos 3
x
f x x
x
=−
C.
2
6tan3
( ) 2cos .
cos
x
f x x
x
=−
D.
3
6sin3
( ) sin 2 .
cos 3
x
f x x
x
=
Câu 7. Cho
32
( ) 2; ( ) 3 2f x x x g x x x= + = + +
. Giải bt phương trình

f x g x( ) ( ).
A.
)
2; .x +
B.
− +x ( ;0) (2; ).
C.
( )
0;2 .x
D.
(
;0 .x −
Câu 8. Cho hàm số
( )
= +y x x
2
2 1.
Tính
.y
A.
−+
=
+
xx
y
x
2
2
1
.
1
B.
=
+
xx
y
x
2
2
22
.
1
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
55
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
C.
−+
=
+
xx
y
x
2
2
2 2 1
.
1
D.
++
=
+
xx
y
x
2
2
2 2 1
.
1
Câu 9. Cho hàm số
32
( ) 1 ( ).
32
xx
f x x C= +
Viết phương trình tiếp tuyến của đ th hàm số (C) tại
điểm M có hoành độ bng 1.
A.
1
.
6
yx=+
B.
5
.
6
yx=−
C.
5
.
6
yx= +
D.
7
.
6
yx=
Câu 10. Cho
3
60 64
( ) 3 5f x x
x
x
= + +
. Giải phương trình
=
/
( ) 0.fx
A.
4; 1 .x
B.
2;4 .x
C.
2; 3 .x
D.
2; 4 .x
Câu 11. Trong các khẳng đnh dưới đây, khẳng đnh nào sai?
A.
( )
cos2 2sin2 .xx
=
B.
( )
sin3 3cos3 .xx
=
C.
( )
2
tan 1 tan .xx
=+
D.
( )
2
1
cot .
sin
x
x
=−
Câu 12. Cho hàm s
= = +y f x x x C
2
( ) 2 3( )
. Viết phương trình tiếp tuyến của đ th (C) tại điểm có
hoành độ
=−x
0
1.
A.
=−yx7.
B.
=+yx5.
C.
=−yx5.
D.
=+yx7.
Câu 13. Biết
( )

+ +
=

−+

−+
/
2
22
2
35
.
1
1
x ax bx c
xx
xx
Tính
.S ac b=+
A.
5.S =
B.
16.S =−
C.
16.S =
D.
10.S =−
Câu 14. Cho hàm s
= = +y f x x x C
2
( ) 2 3( )
. Viết phương trình tiếp tuyến của đ th (C) tại điểm có
hoành độ
=−x
0
1.
A.
= +4 6.yx
B.
= +4 2.yx
C.
= 4 2.yx
D.
=+4 2.yx
Câu 15. Cho hàm số
2
3
khi 0
()
khi 0
xx
fx
x bx c x
=
+ +
với
,.bc
Tìm
,bc
để
()fx
đạo hàm tại
điểm
0
0.x =
A.
1, 0.bc==
B.
1, 2.bc==
C.
0.bc==
D.
0, 1.bc==
Câu 16. Cho hàm số
23
2
()
5
f x x x a=+
(
a
là tham số khc 0). Mệnh đề nào dưới đây đng ?
A.
( )
2 3 2
3a .f a a
=+
B.
( )
22
3.f a a
=
C.
( )
23
.f a a
=−
D.
( )
3
2
.f a a
=
Câu 17. Cho hàm số
24
( ) 1 tan tan .f x x x= + +
Tính
.
4
f



A.
1.
4
f

=−


B.
1.
4
f

=


C.
12.
4
f

=


D.
2 3.
4
f

=


Câu 18. Cho hàm số
32
( ) ( ).f x x bx cx d C= + + +
Xc đnh cc hệ số
,,b c d
biết rng đ th (C) của hàm
số
()y f x=
đi qua cc điểm
( 1; 3), (1; 1)AB
1
0.
3
f

=


A.
1, 2, 3.b c d= = =
B.
13
, 0, .
22
b c d= = =
C.
1, 2, 3.b c d= = =
D.
13
, 0, .
22
b c d= = =
Câu 19. Cho hàm số
22
sin .y x x=+
Mệnh đề nào dưới đây đng ?
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
56
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
A.
d 2 sin2 .y x x=+
B.
22
d ( sin )d .y x x x=+
C.
d (2 sin2 )d .y x x x=+
D.
d (2 2cos )d .y x x x=+
Câu 20. Cho hàm số
sin .y x x=
Mệnh đề nào dưới đây đng ?
A.
d ( sin cos )d .y x x x x=+
B.
d (sin cos )d .y x x x=+
C.
d (sin cos )d .y x x x x=+
D.
d ( cos )d .y x x x=+
Câu 21. Cho hàm số
2
( ) 2 8.f x x x=
Tìm tập nghiệm S của bt phương trình
( ) 1.fx
A.
( 2;4).S =−
B.
( ; 2) (4; ).S = − +
C.
(4; ).S = +
D.
( ; 2).S =
Câu 22. Cho hàm số
21
( ) ( ).
1
x
f x C
x
+
=
Viết phương trình tiếp tuyến của đ th hàm số (C) tại điểm M
có tung độ bng 5.
A.
3 11.yx= +
B.
3 1.yx=
C.
3 1.yx= +
D.
3 5.yx=
Câu 23. Một cht điểm chuyển động phương trình
( ) sin( ).s t A t

=+
Gia tốc tức thời của chuyển
động tại thời điểm t được tnh bởi công thức nào dưới đây ?
A.
2
( ) cos( ).a t A t
= +
B.
( ) sin( ).a t A t
= +
C.
2
( ) sin( ).a t A t
= +
D.
2
( ) sin( ).a t A t
=+
Câu 24. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol
1
y
x
=
tại điểm có hoành độ bng
1.
A.
.yx=−
B.
2.yx=
C.
1.yx=
D.
2.yx=+
Câu 25. Cho hàm số
1
( ) ( ).
1
x
y f x C
x
==
+
Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng
2
2
x
y
=
và tiếp xc với đ th (C).
A.
11
.
22
yx=−
B.
17
.
22
yx=−
C.
2 3.yx=+
D.
1.yx=−
Câu 26. Tìm phương trình cc tiếp tuyến với đ th hàm s
2
2
2
xx
y
x
−−
=
+
biết rng cc tiếp tuyến này
song song với đường thng
23yx=−
.
A.
=−1yx
=+3.yx
B.
33yx=
= 3 19.yx
C.
33yx=
= 3 7.yx
D.
=+33yx
= 3 19.yx
Câu 27. Cho hàm số:
( ) ( )
32
1 3 1 2y x m x m x m= + + +
. Tìm tham số
m
để tiếp tuyến của đ th hàm
số tại điểm có hoành độ bng
1
đi qua điểm
( )
2; 1A
.
A.
2.m =−
B.
2.m =
C.
3.m =
D.
1.m =−
Câu 28. Cho hàm số
3
()
x
fx
x
=
với
0x
. Mệnh đề nào dưới đây đng ?
A.
3
3
( ) .
2 ( 3)
fx
xx
=
B.
2
3
( ) .
3
fx
x
x
x
=
C.
1
( ) .
3
2
fx
x
x
=
D.
3
( ) .
3
2
fx
x
x
=
Câu 29. Cho hàm số
=−y x x
2
2.
Khẳng đnh nào dưới đây là đng?
A.
+=yy
3 //
. 1 0.
B.
+=yy
//
. 1 0.
C.
−=yy
3 //
. 1 0.
D.
−=yy
2 / /
. 1 0.
Câu 30. Biết
( )
cos3 3sin 2 sin3 cos .x x a x b x c
+ + = + +
Tính
( )
.
c
P ab=
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
57
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
A.
=1.P
B.
= 9.P
C.
= 81.P
D.
=
1
.
27
P
Câu 31. Cho hàm số
1
()
1
x
fx
x
+
=
và điểm
0
0x =
. Gọi
0x
xx =
gi là s gia của đối s ti
0
x
= + y f x x f x
00
( ) ( )
gi là s gia tương ứng ca hàm s. Tính
→
+
x
f x x f x
x
00
0
( ) ( )
lim .
A.
→
+
=−
x
f x x f x
x
00
0
( ) ( )
lim 1.
B.
→
+
=
x
f x x f x
x
00
0
( ) ( )
lim 1.
C.
→
+
=−
x
f x x f x
x
00
0
( ) ( )
lim 2.
D.
→
+
=
x
f x x f x
x
00
0
( ) ( )
lim 2.
Câu 32. Cho hàm số
=y x x,
với
x 0.
Tính
.y
A.
=yx
3
.
2
B.
=yx
3
.
2
C.
=+y
x
1
1.
2
D.
=
x
y
x
.
Câu 33. Đạo hàm của hàm số
()y f x=
có đạo hàm tại
0
x
, không được tnh theo công thức nào dưới đây
?
A.
0
00
0
0
( ) ( )
( ) lim .
xx
f x x f x
fx
xx
+−
=
B.
00
0
0
( ) ( )
( ) lim .
x
f x x f x
fx
x
→
+
=
C.
00
0
0
( ) ( )
( ) lim .
h
f x h f x
fx
h
+−
=
D.
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim .
xx
f x f x
fx
xx
=
Câu 34. Cho hàm số
2
( ) 2 3y f x x x= = +
. Viết phương trình tiếp tuyến của đ th (C) tại điểm có tung
độ bng 3.
A.
=+10 17.yx
B.
=+10 7.yx
C.
=+7.yx
D.
=+1.yx
Câu 35. Một cht điểm chuyển động phương trình
( ) sin( ).s t A t

=+
Vận tốc tức thời của chuyển
động tại thời điểm t được tnh bởi công thức nào dưới đây ?
A.
( ) cos( ).v t A t
=+
B.
( ) sin( ).v t A t
=+
C.
( ) cos( ).v t A t

=+
D.
( ) cos( ).v t t
=+
Câu 36. Một cht điểm chuyển động thẳng phương trình
2
200 14s t t= +
(s tính theo mét (m) t
tính theo giây (s)). Tnh vận tốc v và gia tốc a của cht điểm tại thời điểm
3ts=
A.
2
3 / , 1 / .v m s a m s= =
B.
2
8 / , 2 / .v m s a m s==
C.
2
12 / , 2 / .v m s a m s= =
D.
2
8 / , 2 / .v m s a m s= =
Câu 37. Cho mt cht điểm chuyển động có phương trình là
= +
32
( ) 2 2 1S t t t t
, (trong đó t tnh bng
s và S tnh bng m). Tnh vn tc V của chuyển động tại thời điểm mà gia tc bng 0
( )
2
ms
A.
=
2
1
.
3
V m s
B.
=
2
1
.
2
V m s
C.
=
2
5.V m s
D.
=
2
10 .V m s
Câu 38. Tìm tt cả cc gi tr thực của tham số m để đ th hàm
3
43y x x=−
tiếp xc với đường thẳng
1.y mx=−
A.
2.m
B.
1.m
C.
1.m
D.
2.m −
Câu 39. Cho hàm số
()y f x=
đ th (C). Tìm phương trình tiếp tuyến của đ th (C) tại điểm
00
( ; ).M x y
A.
0 0 0
( )( ).y y y x x x
+ = +
B.
0 0 0
( )( ).y y y x x x
=
C.
0 0 0
( )( ).y y y x x x
+ =
D.
0 0 0
( )( ).y y y x x x
= +
Câu 40. Cho hàm số
( ) 2 1f x x=−
và điểm
0
5x =
. Gọi
0x
xx =
gi là s gia của đối s ti
0
x
= + y f x x f x
00
( ) ( )
gi là s gia tương ứng ca hàm s. Tính
→
+
x
f x x f x
x
00
0
( ) ( )
lim .
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
58
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
A.
→
+
=
00
0
( ) ( )
1
lim .
6
x
f x x f x
x
B.
→
+
=
00
0
( ) ( )
lim 3.
x
f x x f x
x
C.
→
+
=
00
0
( ) ( )
lim 6.
x
f x x f x
x
D.
→
+
=
00
0
( ) ( )
1
lim .
3
x
f x x f x
x
Câu 41. Cho hàm số
= ,
x
y
x
với
x 0.
Tính
.y
A.
=1.y
B.
=
1
.
2
yx
C.
=
2
.
3
yx
D.
=
1
.
2
y
x
Câu 42. Cho hàm s
32
5y mx x x= + +
(m tham số thực). Tìm m để phương trình
/
y
= 0 có hai
nghim tri du.
A.
0.m
B.
0.m
C.
−4.m
D.
1.m
Câu 43. Cho hàm s
21
()
2
x
y f x
x
==
+
. Viết phương trình tiếp tuyến của đ th hàm s đ cho, biết rng
tiếp tuyến đi qua điểm
(0;2).A
A.
=−3 2.yx
B.
=+5 2.yx
C.
=−5 2.yx
D.
=+3 2.yx
Câu 44. Cho hàm số
tan .yx=
Mệnh đề nào dưới đây đng ?
A.
2
1 0.yy
+ =
B.
2
1 0.yy
=
C.
2
2 2 0.yy
+ + =
D.
1 0.yy
=
Câu 45. Cho hàm số
2
( ) 2 .f x x x=−
Tìm tập nghiệm S của bt phương trình
( ) ( ).f x f x
A.
35
0; .
2
S

+
=

B.
35
;.
2
S

+
= +

C.
35
( ;0) ; .
2
S

+
= − +

D.
35
0; .
2
S

+
=



Câu 46. Cho hàm số
3
( ) 2 3 ( ).y f x x x C= = +
Viết phương trình tiếp tuyến của đ th (C) tại điểm
hoành độ
0
1.x =−
A.
5.yx=+
B.
2 3.yx=+
C.
1.yx= +
D.
4 5.yx=+
Câu 47. Cho hàm số
32
5y mx x x= + +
(m là tham số thực). Tìm m để
0y
với mọi
.x
A.
1.m
B.
1
.
3
m
C.
1
.
3
m
D.
0.m =
Câu 48. Cho hàm số
32
( ) ( ).f x x bx cx d C= + + +
Biết rng đ th (C) của m số
()y f x=
đi qua cc
điểm
( 1; 3), (1; 1)AB
1
0.
3
f

=


Tính
.S b c d= + +
A.
2.S =−
B.
5
.
2
S =−
C.
0.S =
D.
3
.
2
S =
Câu 49. Cho hàm số
=+yx
2
sin 4 .
Tính
y .
A.
=+
+
x
yx
x
2
2
cos 4 .
4
B.
=+y x x
2
2 cos 4 .
C.
=+yx
2
cos 4 .
D.
=+
+
x
yx
x
2
2
sin 4 .
4
Câu 50. Biết
( )
sin2 2cos 1 cos2 sin .x x a x b x c
+ + = + +
Tính
( )
.
c
P ab=
A.
=16.P
B.
= 32.P
C.
=1.P
D.
= 4.P
Câu 51. Cho hàm số
2
khi 1
( ) .
2
khi 1
x
x
fx
ax b x
=
+
Tìm a, b để hàm số
()y f x=
có đạo hàm tại
1x =
?
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
59
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
A.
1
1; .
2
ab==
B.
11
;.
22
ab==
C.
11
;.
22
ab= =
D.
1
1; .
2
ab= =
Câu 52. Cho hàm số
42
1
( ) 2
4
y f x x x= =
. Viết phương trình tiếp tuyến của đ th hàm số đ cho tại
điểm có hoành độ
0
x
, biết
=−
//
0
( ) 1.fx
A.
=+
5
3.
4
yx
B.
=−
7
3
4
yx
C.
=
5
3
4
yx
D.
=+
7
3.
4
yx
Câu 53. Cho hàm số
sin3 .yx=
Mệnh đề nào dưới đây đng ?
A.
d 3cos3 d .y x x=−
B.
d cos3 d .y x x=
C.
d 3cos3 d .y x x=
D.
d 3sin3 d .y x x=
Câu 54. Cho hàm số
( ) cos2 .f x x=
Mệnh đề nào dưới đây đng ?
A.
2sin 2
d ( ) d .
cos2
x
f x x
x
=
B.
sin 2
d ( ) d .
cos2
x
f x x
x
=
C.
sin 2
d ( ) d .
2 cos2
x
f x x
x
=
D.
sin 2
d ( ) .
cos2
x
fx
x
=
Câu 55. Cho
21
( ):
1
x
Cy
x
+
=
.Viết phương trình tiếp tuyến
()
của (C) biết
()
vuông góc với
/
()
phương trình
3 5 0xy + =
.
A.
= +yx13
hoc
= +yx1.
B.
= +yx
1 13
.
33
C.
= +yx
11
.
33
D.
1 13
33
yx= +
hoc
= +yx
11
.
33
Câu 56. Tìm số phương trình tiếp tuyến của đ th hàm s
32
3 4 1y x x x= + +
, biết rng tiếp tuyến này
có h s góc
4.k =
A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.
Câu 57. Cho hàm số
32
( ) sin . .
2
f x x x f


= +


Tính
.
2
f




A.
2
.
22
f



−=


B.
2
.
2
f


−=


C.
5.
2
f


−=


D.
1.
2
f


−=


Câu 58. Viết phương trình tiếp tuyến của đ th
( )
C
:
24
6y x x= +
, biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng
1
1
6
yx=−
.
A.
6 5.yx=
B.
6 15.yx= +
C.
6 10.yx= +
D.
6 1.yx= +
Câu 59. Cho mt cht điểm chuyển động có phương trình là
= +
32
( ) 2 2 1S t t t t
, (trong đó t tnh bng
s và S tnh bng m). Tnh gia tc
a
của chuyển động tại thời điểm
4.ts=
A.
=
2
40 .a m s
B.
=
2
12 .a m s
C.
=
2
44 .a m s
D.
=
2
4.a m s
Câu 60. Cho hàm số
( )
=
−+
y
xx
5
2
1
.
1
Tính
( )
2.y
A.
( )
15
2.
234
y
=−
B.
( )
5
2.
243
=−y
C.
( )
5
2.
234
y
=
D.
( )
1
2.
234
y
=−
Câu 61. Cho hàm số
( ) 20cos3 12cos5 15cos4f x x x x= +
. Tìm nghiệm của phương trình
=fx
/
( ) 0.
A.

=
= +
xk
k
xk
( ).
2
B.
=
= +
k
x
k
xk
4
( ).
2
3
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
60
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
C.
=
= +
k
x
k
xk
2
( ).
2
6
D.
=
= +
k
x
k
xk
3
4
( ).
2
4
Câu 62. Cho hàm số
32
2.
32
xx
yx= +
Giải phương trình
( ) 10.yx
=
A.
3, 3.xx= =
B.
2, 1.xx= =
C.
4, 3.xx= =
D.
4, 2.xx= =
Câu 63. Cho hàm số
2
3 1.y x x= +
Mệnh đề nào dưới đây đng ?
A.
2
23
d d .
31
x
yx
xx
+
=
+−
B.
2
3
d d .
2 3 1
yx
xx
=
+−
C.
2
1
d d .
2 3 1
yx
xx
=
+−
D.
2
23
d d .
2 3 1
x
yx
xx
+
=
+−
Câu 64. Cho hàm số
2
( ) cos .f x x x=
Mệnh đề nào dưới đây đng ?
A.
2
.
24
f


=−


B.
0.
2
f

=


C.
2
.
2 2 4
f

=−


D.
.
24
f


=


Câu 65. Cho hàm s
32
5y mx x x= + +
(m là tham số thực). Tìm m để bt phương trình
/
y
> 0, vi mi
x
.
A.
2.m
B.
−1.m
C.
1
.
3
m
D.
1
.
3
m
Câu 66. Cho hàm số
= =
3
( ) 4 ( )y f x x x C
. Viết phương trình tiếp tuyến của đ th (C), biết hệ số góc
của tiếp tuyến bng
3.
A.
= +
7
3.
4
yx
B.
=
7
3.
4
yx
C.
= +
5
3.
4
yx
D.
=+
5
3.
4
yx
Câu 67. Cho hàm số
32
( ) .
32
xx
f x x= + +
Tìm tập nghiệm S của bt phương trình
( ) 0.fx
A.
( ; ).S = +
B.
(0; ).S = +
C.
[ 2;2].S =−
D.
.S =
Câu 68. Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Đạo hàm của hàm số
()y f x=
tại điểm
0
x
được đnh nghĩa là
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim .
xx
f x f x
fx
xx
=
B. Nếu hàm số liên tục tại một điểm thì nó có đạo hàm tại điểm đó.
C. Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong
( ): ( )C y f x=
tại tiếp điểm
( )
00
,M x y
( ).k f x
=
D. Nếu hàm số có đạo hàm tại một điểm thì nó liên tục tại điểm đó.
Câu 69. Cho hàm số
= +
x
f x x
x
2
cos
( ) 1
1 sin
. Tính
( ).f
A.
( ) 2 1.f

=+
B.
( ) 1.f
=−
C.
( ) 2 .f

=
D.
( ) 2 1.f

=−
Câu 70. Biết
( )

+ +
=

−+

−+
/
2
22
2
35
.
1
1
x ax bx c
xx
xx
Tính
.=−S a bc
A.
4.S =
B.
7.S =
C.
3.S =−
D.
7.S =−
Câu 71. Biết
( )
2
2
1 sin 6
.
1 cos 3
1 cos 3
c
ax
x
bx

=

+

+
Tính
.S a b c= + +
A.
5.S =
B.
3.S =
C.
8.S =
D.
6.S =
Câu 72. Biết
2
2
2
( 2) 1 .
1
ax bx c
xx
x
++

+ =

+
Tính
.P abc=
A.
1.P =−
B.
2.P =
C.
35.P =
D.
4.P =−
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
61
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Câu 73. Hàm số nào dưới đây có đạo hàm bng
2
1
2?x
x
+
A.
3
2
51
.
xx
y
x
+−
=
B.
3
51
.
xx
y
x
+−
=
C.
3
1
.
x
y
x
+
=
D.
2
21
.
xx
y
x
+−
=
Câu 74. Trong cc khẳng đnh dưới đây, khẳng đnh nào sai?
A.
( )
1C
=
(C là hng số). B.
2
11
, 0.x
xx

=


C.
1
( ) , , 1.
nn
x nx n n
=
D.
( )
.kx k
=
Câu 75. Cho hàm số
( )
10
2
( ) 3 .f x x=−
Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A.
(1) 10240.f
=−
B.
(2) 20.f
=
C.
( 1) 10240.f
−=
D.
( 2) 40.f
=
Câu 76. Cho hàm số
2
25
( ) .
1
xx
fx
x
−+
=
Tính
(2).f
A.
(2) 0.f
=
B.
(2) 5.f
=−
C.
(2) 1.f
=
D.
(2) 3.f
=−
ĐÁP ÁN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
B
C
C
D
D
D
B
C
C
D
A
B
B
B
C
D
D
D
C
C
D
A
C
B
A
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
B
A
A
A
A
C
A
A
A
A
D
A
B
B
D
D
A
B
B
C
A
B
A
A
C
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
D
A
C
B
D
B
C
C
C
B
B
C
D
A
C
C
D
B
D
D
C
D
B
A
B
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
D
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
62
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
MỘT SĐÔN KIỂM TRA
ĐỀ 1
I. Phần trắc nghiệm
Câu 1: Tính
()fx
biết
( )
2
2
( ) 2 5f x x=+
A.
22
8 (2 5)xx+
B.
2
8(2 5)x +
C.
2
8 (2 5)xx+
D.
8x
Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
y f x=
tại điểm
( )
0 0 0
;M x y
, với
( )
00
y f x=
có dạng như thế nào?
A.
( ) ( )
0 0 0
'.y y f x x x =
. B.
( ) ( )
00
'.y y f x x x =
.
C.
( ) ( )
0 0 0
'.y y f x x x+ = +
. D.
( ) ( )
0 0 0
'.y f x x x y=
.
Câu 3. Cho
( )
2
.cot3 .cot3
sin 3
bx
x x a x
x
=+
. Tính
?S a b=+
A.
2S =−
. B.
4.S =
C.
1.S =
D.
3S =−
.
Câu 4. Cho đồ thị (C) của hàm số
3
3x 1yx= +
, tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng
: 9x 2y = +
có phương trình
A.
.9 15, 9x7y x y==+
B.
9x9 171, .y x y−=+=
C.
9x9 175, .y x y−=+=
D.
9 15, 9x 17.y x y−=+=
Câu 5. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
2
32
3
x
yx= +
có hệ số góc
9,k =−
có phương trình là :
A.
9 16.yx= +
B.
9 27.yx=
C.
9 11.yx=
D.
9 43.yx= +
Câu 6. Cho hàm số
( )
2
25
1
xx
fx
x
−+
=
. Tập nghiệm của bất phương trình
'0y
là:
A.
( )
1;3
B. C.
1;3


D.
( )
1;3 \ 1
Câu 7. Xét ba câu sau:
(1) Nếu hàm số
()fx
có đạo hàm tại điểm
0
xx=
thì
()fx
liên tục tại điểm đó
(2) Nếu hàm số
()fx
liên tục tại điểm
0
xx=
thì
()fx
có đạo hàm tại điểm đó
(3) Nếu
()fx
gián đoạn tại
0
xx=
thì chắc chắn
()fx
không có đạo hàm tại điểm đó
Trong ba câu trên:
A. Cả ba đều đúng. B. Cả ba đều sai.
C. Có một câu đúng và hai câu sai. D. Có hai câu đúng và một câu sai.
Câu 8. Cho hàm số
2
25
( ) .
1
xx
fx
x
−+
=
Tính
(2).f
A.
(2) 3.f
=−
B.
(2) 0.f
=
C.
(2) 5.f
=−
D.
(2) 1.f
=
Câu 9. Một chất điểm chuyển động có phương trình
3
3s t t=+
(t tính bằng giây, s tính bằng mét) Tính
vận tốc của chất điểm tại thời điểm
0
2t =
(giây)?
A.
7/ms
B.
15 /ms
C.
14 /ms
D.
12 /ms
Câu 10. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
4
1
y
x
=
tại điểm có hoành độ
0
1x =−
.
A.
2yx= +
.
B.
3yx=
.
C.
2yx=+
.
D.
1yx=−
II. Phần tự luận
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
4
7
3 12
4
x
y x x= +
b)
2
1
1
x
y
x
+
=
+
Bài 2: Cho hàm số
2
1 sin .cosy x x=+
. Tính
.
2
f



Bài 3: Cho hàm số
32
3 6 1y x x x= + +
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) ) tại
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
63
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
điểm có hoành độ
0
1x =
.
Bài 4: Cho hàm số
22
1
x
y
x
+
=
có đồ thị
( )
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến
tạo với hai trục tọa độ lập thành một tam giác cân.
ĐỀ 2
I. Phần trắc nghiệm
Câu 1. Cho
2
1
x
y
x
=
. Tập nghiệm của bất phương trình
0y
A.
( )
0;2
B.
( ) ( )
;0 2;− +
C.
( )
;3−
D.
( ) ( )
;0 3;− +
Câu 2: Cho
( )
22
sin os sin2x c x x a b x
+ = +
. Khi đó tổng
ab+
bằng:
A.
3.
B.
0.
C.
5.
D.
2.
Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) :
21
1
x
y
x
=
+
,biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng d:
3 6 0xy+ =
A.
3 1, 3 11y x y x= = +
B.
3 1, 3 11y x y x= = +
C.
3 1, 3 11y x y x= + = +
D.
3 1, 3 11y x y x= =
Câu 4. Đạo hàm của hàm số
1
1
x
y
x
+
=
là:
A.
3
.
(1 ) 1
x
xx
−−
B.
3
.
1
x
x
C.
3
3
.
2 (1 )
x
x
D.
3
3
.
2 (1 )
x
x
Câu 5. Cho hàm số
( )
2
23
2
xx
fx
x
+−
=
+
. Giá trị
( )
1f
bằng:
A.
4
.
3
B.
2.
C.
4.
D.
2
.
3
Câu 6. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
32
33S t t t= +
, trong đó t được tính bằng
giây và S được tính bằng mét. Vận tốc tại thời điểm
( )
1 m/st =
là:
A.
( )
2 m/s .
B.
( )
1 m/s .
C.
( )
6 m/s .
D.
( )
4 m/s .
Câu 7. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số
()y f x=
tại
0
x
?
A.
0
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
x
→
+
. B.
0
0
0
( ) ( )
lim
xx
f x f x
xx
.
C.
0
0
0
( ) ( )
lim
x
f x f x
xx
. D.
0
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
x
→
+
.
Câu 8. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ?
A.
( )
.kx k
=
B.
1
( ) , , 1.
nn
x nx n n
=
C.
( )
1.Cx
=
(C là hằng số). D.
2
11
, 0.x
xx

=


Câu 9. Cho hàm s
2
( ) 2 3( )y f x x x C= = +
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th (C) tại điểm có
hoành độ
0
1.x =−
A.
4 2.yx=
B.
4 2.yx= +
C.
4 2.yx=+
D.
4 6.yx= +
Câu 10. Cho hàm số
2
21y x x= + +
khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 4 là
A.
4 8 0.xy+ + =
B.
4 8 0.xy+ =
C.
4 8 0.xy+ + =
D.
4 3 8 0.xy+ + =
II. Phần tự luận
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
64
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Bài 1: (2,5đ) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
3
6
4 10.
3
x
y x x= + +
b)
( )
( )
2
2 1 8y x x x= + +
Bài 2: Cho hàm số
2
1 cos .siny x x=+
. Tính
( )
.f
Bài 3: Cho hàm số
32
32y x x x= +
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm
hoành độ
0
1x =−
.
Bài 4: Cho hàm số
2
23
x
y
x
+
=
+
có đồ thị
( )
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến
tạo với hai trục tọa độ lập thành một tam giác cân.
ĐỀ 3
I. Phần trắc nghiệm
Câu 1: Cho hàm số
=y x x,
với
x 0.
Tính
.y
A.
=
x
y
x
.
B.
=yx
3
.
2
C.
=+y
x
1
1.
2
D.
=yx
3
.
2
Câu 2: Biết
( )

+ +
=

−+

−+
/
2
22
2
35
.
1
1
x ax bx c
xx
xx
Tính
.S ac b=+
A.
16.S =
B.
10.S =−
C.
16.S =−
D.
5.S =
Câu 3: Cho
32
( ) 2; ( ) 3 2f x x x g x x x= + = + +
. Giải bất phương trình

f x g x( ) ( ).
A.
(
;0 .x −
B.
− +x ( ;0) (2; ).
C.
)
2; .x +
D.
( )
0;2 .x
Câu 4: Cho hàm s
= = +y f x x x C
2
( ) 2 3( )
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th (C) tại điểm có
hoành độ
=−x
0
1.
A.
=−yx5.
B.
= +yx4 2.
C.
=+yx7.
D.
=−yx7.
Câu 5: Biết
( )
cos3 3sin 2 cos3 cos .x x a x b x c
+ + = + +
Tính
( )
.
c
P ab=
A.
= 9.P
B.
=
1
.
27
P
C.
= 81.P
D.
=1.P
Câu 6: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
A.
2
11
, 0.x
xx

=


B.
1
( ) , , 1.
nn
x nx n n
=
C.
( )
1C
=
(C là hằng số). D.
( )
.kx k
=
Câu 7: Cho hàm số
1
()
1
x
fx
x
+
=
và điểm
0
0x =
. Gọi
0x
xx =
gi là s gia của đối s ti
0
x
= + y f x x f x
00
( ) ( )
gi là s gia tương ng ca hàm s. Tính
→
+
x
f x x f x
x
00
0
( ) ( )
lim .
A.
→
+
=−
x
f x x f x
x
00
0
( ) ( )
lim 2.
B.
→
+
=−
x
f x x f x
x
00
0
( ) ( )
lim 1.
C.
→
+
=
x
f x x f x
x
00
0
( ) ( )
lim 1.
D.
→
+
=
x
f x x f x
x
00
0
( ) ( )
lim 2 .
Câu 8: Cho hàm s
32
5y mx x x= + +
(m tham số thực). m m để phương trình
/
y
= 0 có hai
nghim trái du.
A.
0.m
B.
0.m
C.
−4.m
D.
1.m
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
65
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Câu 9: Cho mt chất điểm chuyển động có phương trình là
= +
32
( ) 2 2 1S t t t t
, (trong đó t tính bng s
và S tính bng m). Tính gia tc
a
của chuyển động tại thời điểm
4.ts=
A.
=
2
44 .a m s
B.
=
2
4.a m s
C.
=
2
40 .a m s
D.
=
2
12 .a m s
Câu 10: Cho hàm số
= =
42
1
( ) 2 ( )
4
y f x x x C
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số
góc của tiếp tuyến bằng
1.
A.
= +
5
3.
4
yx
B.
=+
5
3.
4
yx
C.
= +
7
3.
4
yx
D.
=
7
3.
4
yx
II. Phần tự luận
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số
( ) ( )
2
1 2 1y x x= +
Bài 2. Cho hàm số
= = +
2
( ) 1 sin6 .cos6y f x x x x
. Tính
'
12
f



Bài 3. Cho hai hàm s
4
2
9
2
44
x
yx=
có đồ thị là
()C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
()C
tại các
giao điểm của nó với trục Ox.
Bài 4. Cho hàm số
21
2
x
y
x
+
=
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp
tuyến song song với đường thẳng
5 1 0xy+ + =
.
ĐỀ 4
I. Phần trắc nghiệm
Câu 1: Biết
( )
sin2 2cos 1 cos2 sin .x x a x b x c
+ + = + +
Tính
( )
.
c
P ab=
A.
= 32.P
B.
=16.P
C.
= 4.P
D.
=1.P
Câu 2: Cho mt chất điểm chuyển động có phương trình là
= +
32
( ) 2 2 1S t t t t
, (trong đó t tính bng s
và S tính bng m). Tính vn tc V của chuyển động tại thời điểm mà gia tc bng 0
( )
2
ms
A.
=
2
5.V m s
B.
=
2
1
.
2
V m s
C.
=
2
1
.
3
V m s
D.
=
2
10 .V m s
Câu 3: Biết
( )

+ +
=

−+

−+
/
2
22
2
35
.
1
1
x ax bx c
xx
xx
Tính
.S a bc=+
A.
7.S =
B.
7.S =−
C.
4.S =
D.
3.S =−
Câu 4: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
A.
( ) ( )
1
, , 1.
nn
ax b na ax b n n
+ = +
B.
( )
10 9
10 .kx kx
=
C.
2
, 0.
aa
x
xx

=


D.
( )
1C x C
+ = +
(C là hằng số).
Câu 5: Cho
3
60 64
( ) 3 5f x x
x
x
= + +
. Giải phương trình
=
/
( ) 0.fx
A.
2; 3 .x
B.
2;4 .x
C.
4; 1 .x
D.
2; 4 .x
Câu 6: Cho hàm số
= ,
x
y
x
với
x 0.
Tính
.y
A.
=
1
.
2
y
x
B.
=
1
.
2
yx
C.
=
2
.
3
yx
D.
=1.y
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
66
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Câu 7: Cho hàm số
2
( ) 2 3y f x x x= = +
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung
độ bằng 3.
A.
=+10 17.yx
B.
=+10 7.yx
C.
=+7.yx
D.
=+1.yx
Câu 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol
1
y
x
=
tại điểm có hoành độ bng
1.
A.
1.yx=
B.
2.yx=
C.
2.yx=+
D.
.yx=−
Câu 9: Cho hàm s
32
5y mx x x= + +
(m tham số thực). Tìm m để bất phương trình
/
y
> 0, vi mi
x
.
A.
1
.
3
m
B.
1
.
3
m
C.
−1.m
D.
2.m
Câu 10: Cho hàm số
( ) 2 1f x x=−
và điểm
0
5x =
. Gọi
0x
xx =
gi là s gia của đối s ti
0
x
= + y f x x f x
00
( ) ( )
gi là s gia tương ng ca hàm s. Tính
→
+
x
f x x f x
x
00
0
( ) ( )
lim .
A.
→
+
=
00
0
( ) ( )
1
lim .
6
x
f x x f x
x
B.
→
+
=
00
0
( ) ( )
lim 3.
x
f x x f x
x
C.
→
+
=
00
0
( ) ( )
1
lim .
3
x
f x x f x
x
D.
→
+
=
00
0
( ) ( )
lim 6 .
x
f x x f x
x
II. Phần tự luận
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số
( )
= + +
42
4 2 3 1y x x x
Bài 2. Cho hàm số
=−
+
2
1 sin
()
2 1 co s
x
f x x
x
. Tính
/
2
f



Bài 3. Cho hai hàm s
32
1
2 3 1
3
y x x x= + +
có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại
các giao điểm của nó với trục tung.
Bài 4. Cho
21
( ):
1
x
Cy
x
+
=
.Viết phương trình tiếp tuyến
()
của (C) biết
()
vuông góc với
/
()
phương trình
3 5 0xy + =
.
ĐỀ 5
I. Phần trắc nghiệm
Câu 1: Tiếp tuyến của đồ thi hàm số
3
2
32
3
x
yx= +
có hệ số góc
9k =−
, có phương trình là
A.
( )
16 9 3yx = +
. B.
( )
16 9 3yx+ = +
.
C.
( )
16 9 3yx+ =
. D.
( )
16 9 3yx =
.
Câu 2: Cho
( ) ( )
,u u x v v x==
,
*n
, k là hằng số. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
( )
1
2
x
x
=
. B.
( )
''u v u v
=
. C.
( )
1
.
nn
u n u
=
. D.
( )
.k x k
=
.
Câu 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
y f x=
tại điểm
( )
0 0 0
;M x y
, với
( )
00
y f x=
có dạng là
A.
( ) ( )
00
'.y y f x x x =
. B.
( ) ( )
0 0 0
'.y y f x x x =
.
C.
( ) ( )
0 0 0
'.y f x x x y=
. D.
( ) ( )
0 0 0
'.y y f x x x+ = +
.
Câu 4: Cho
( )
4 3 2 1
21
mx n
xx
x
+

+ =

+
. Tính
A m n=−
?
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
67
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
A.
11A =
. B.
13A =
. C.
9A =
. D.
7A =
.
Câu 5: Tìm đạo hàm của hàm số
2017
2
2018yx
x
= +
?
A.
2017
2
2
' 2016yx
x
=+
. B.
2016
2
1
' 2017yx
x
= + +
.
C.
2016
2
2
' 2017yx
x
=−
. D.
2016
2
2
' 2017yx
x
=+
.
Câu 6: Cho
( )
2
cos2 tan3 sin 2
cos 3
b
x x a x
x
= +
. Tính
S a b=−
?
A.
5S =−
. B.
1S =−
. C.
1S =
. D.
5S =
.
Câu 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
4
1
y
x
=
tại điểm có hoành độ
0
1x =−
có phương trình là
A.
3yx=
. B.
1yx=−
. C.
2yx=+
. D.
2yx= +
.
Câu 8: Một vật rơi tự do theo phương trình
2
1
( ),
2
S gt m=
với
( )
2
9,8 /g m s=
. Vận tốc tc thời của vật
tại thời điểm
( )
5ts=
A.
( )
.122,5 /ms
B.
( )
29,5 ./ms
C.
( )
10 ./ms
D.
( )
49 ./ms
Câu 9: Cho
( )
32
32
xx
f x x= + +
. Tập nghiệm của bất phương trình
( )
0fx
A.
.2;2
B.
.
C.
( )
0; .+
D.
.
Câu 10: Cho hàm s
( ) 2sin sin2f x x x=−
. Giải phương trình
'( ) 0fx=
có nghim là
A.
2,
2
x k k
= +
. B.
,
42
k
xk

= +
.
C.
2
,
3
k
xk
=
. D.
2,x k k
=
.
II. Phần tự luận
Bài 1. Tìm đạo hàm của hàm số
( )
1
11yx
x

= +


.
Bài 2. Tính giá trị đạo hàm của hàm số
2
tan
sin 2
x
y
x
=
tại
3
x
=
.
Bài 3. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thi hàm số
2
31
21
xx
y
x
−+
=
tại giao điểm của đồ thị hàm số với
trục tung .
Bài 4. Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong
32
32y x x= +
vuông góc với đường thẳng
3 9 0xy =
.
ĐỀ 6
I. Phần trắc nghiệm
Câu 1: Tìm đạo hàm của hàm số
5
3y x x= +
?
A.
4
1
'5
2
yx
x
=−
. B.
4
1
' 5 3
2
yx
x
= +
.
C.
4
1
'5
2
yx
x
=+
. D.
5
1
'4
2
yx
x
=+
.
Câu 2: Cho hàm số
21
,( )
1
x
yC
x
+
=
. Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm có tung độ bằng 5 là
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
68
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
A.
31yx=
. B.
3 11yx= +
. C.
31yx= +
. D.
31yx=+
.
Câu 3: Cho
( ) ( )
,u u x v v x==
,
*n
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
( )
'
2
u
u
u
=
. B.
( )
. '. 'u v u v
=
. C.
( )
1
.
nn
x n x
=
. D.
2
11
xx

=


.
Câu 4: Cho
( )
2
sin3
sin3 .cot cos3 .cot
sin
bx
x x a x x
x
=+
. Tính
.P a b=
?
A.
3P =
. B.
2P =−
. C.
2P =
. D.
3P =−
.
Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong
( )
y f x=
tại tiếp điểm
( )
( )
0 0 0
;M x f x
( )
0
'fx
.
B.
( )
( ) ( )
0
0
0
0
' lim
xx
f x f x
fx
xx
=
C. Nếu một hàm số có đạo hàm tại một điểm thì nó liên tục tại điểm đó.
D. Nếu một hàm số liên tục tại một điểm thì nó có đạo hàm tại điểm đó.
Câu 6: Cho hàm s
( ) sin cos 2f x x x x= +
. Giải phương trình
'( ) 0fx=
có nghim là
A.
2,
4
x k k
= +
. B.
2
,
3
x k k
= +
.
C.
,
4
k
xk
=
. D.
2,
3
x k k
= +
.
Câu 7: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
+
=
tại điểm có hoành độ bằng 2 là
A.
27yx= +
. B.
21yx=−
. C.
1
4
2
yx=+
. D.
21yx= +
.
Câu 8: Cho
( )
32
4 1 4 1 4 1
x ax b
x x x
−−

=


. Tính
a
E
b
=
?
A.
4E =
. B.
1E =−
. C.
16E =−
. D.
4E =−
.
Câu 9: Cho chuyển động được xác định bởi phương trình
32
2 3 5S t t t= + +
, trong đó t được tính bằng
giây và S được tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động khi
( )
2ts=
A.
( )
41 / .ms
B.
( )
36 / .ms
C.
( )
20 / .ms
D.
( )
24 / .ms
Câu 10: Cho hàm số
( )
32
32f x x x= +
. Tập nghiệm của bất phương trình
( )
0fx
A.
( )
2;+
. B.
( )
0;2
. C.
( ) ( )
;0 2;− +
. D.
( )
;0−
II. Phần tự luận
Bài 1. Tìm đạo hàm của hàm số
23
32
x
y
x
=
.
Bài 2. Tính giá trị đạo hàm của hàm số
2
cot3 .cosy x x=
tại
4
x
=
.
Bài 3. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ th (H):
1
2
x
y
x
=
+
tại giao điểm ca (H) và trc hoành.
Bài 4. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32yx=−
song song với đường thẳng
3 2 1 0xy + =
.
| 1/72

Preview text:


Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong TOAÙN 11 ĐẠO HÀM
§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
§2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
§3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC §4. VI PHÂN
§5. ĐẠO HÀM CẤP HAI LỜI NÓI ĐẦU
Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán,
tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định. NỘI DUNG
1. Tóm tắt lý thuyết cần nắm ở mỗi bài học
2. Bài tập có hướng dẫn giải và bài tập tự luyện
3. Phần bài tập trắc nghiệm đủ dạng và có đáp án.
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm
khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý
đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập hoàn chỉnh hơn.
Mọi góp ý xin gọi về số 0355.334.679 – 0916 620 899 Email: lsp02071980@gmail.com Chân thành cảm ơn. Lư Sĩ Pháp GV_ Trường THPT Tuy Phong MỤC LỤC
§1. ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 01 – 10
§2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
11 – 21
§3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
22 – 30 §4. VI PHÂN 31 – 35
§5. ĐẠO HÀM CẤP HAI
36 – 42 ÔN TẬP CHƯƠNG IV 43 – 61
MỘT SỐ ĐỀ ÔN KIỂM TRA
62 – 68
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM
§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng ( ; a b) , x ( ; a ) b , x + x  ( ; a ) b 0 0 f (x + x  ) − f (x )
Nếu tồn tại, giới hạn (hữu hạn) 0 0 lim
được gọi là đạo hàm của f (x) tại x . Kí hiệu là x  →0 x 0 / f (x ) / y (x ) 0 hay 0 f (x + x  ) − f (x )
f (x) − f (x ) Như vậy / 0 0 0 f (x ) = lim = lim 0 x  →0 xx x  0 x x0  = x x x x
0 gọi là số gia của đối số tại 0 y
 = f (x)− f (x ) = f (x + x  )− f (x ) 0 0 0
gọi là số gia tương ứng của hàm số.
2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa
Để tính đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x0 bằng định nghĩa, ta có qui tắc: Qui tắc: Bước 1. Với x
 là số gia của đối số tại x y
 = f (x + x  )− f (x ) 0, tính 0 0 ; y
Bước 2. Lập tỉ số xy Bước 3. Tính lim x→0 x
Chú ý: Trong định nghĩa và quy tắc trên, thay x bởi x ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của 0
hàm số y = f (x) tại điểm x ( ; a b)
3. Quan hệ giữa tồn tại đạo hàm và tính liên tục của hàm số Định lí 1.
Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x x
0 thì nó liên tục tại điểm 0 .
Nhưng điều ngược lại thì chưa chắc đã đúng.
4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Định lí 2.
Đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm
M x ; f (x ) 0 ( 0 0 ) . Khi đó /
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M
y = f (x )(x x ) + f (x ) , trong đó 0 là: 0 0 0 /
y = f (x ),k = f (x ) 0 0 0 .
Chú ý: Ta có thể dễ dàng chứng minh sự không tồn tại đạo hàm tại một điểm nhờ khái
niệm đạo hàm một bên và định lí:
f '(x+) toàn taïi 0 
f '(x ) toàn taïi
  f '(x−) toàn taïi 0 0
f '(x+) = f '(x−)  0 0
f (x) − f (x )
f (x) − f (x )
f (x) − f (x ) Trong đó / + 0 / / − 0 f (x ) = lim ; f (x ) = lim 0 f (x ) = lim 0 và + 0 x 0 →x x x − → x x xx x x 0 x x0 0 0 0 0
5. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm Vận tốc tức thời ( v t )
t ( hay vận tốc tại t ) của một chuyển động có 0 tại thời điểm 0 0 / phương trình s = (
s t) bằng đạo hàm của hàm số s = (
s t) tại điểm t , tức là (
v t ) = s (t ) 0 0 0 1
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Các dạng toán
Dạng 1
. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Phương pháp: 1. Tính y
 = f (x + x
 )− f (x ) = f (x)− f (x ) 0 0 0 y
2. Lập tỉ số xy 3. Tính lim x→0 x
Khi thay x bởi x ta tính đạo hàm của hàm số y = f (x) x a b 0 tại điểm ( ; )
Dạng 2. Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm Phương pháp:
1. Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. Nhưng điều ngược lại đã chưa chắc đúng.
2. Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại điểm x , ta thực hiện: 0 f (x + x  ) − f (x ) - Chứng minh 0 0 lim không tồn tại x  →0 x
- Chứng minh hàm số không liên tục tại điểm x0
Dạng 3. Tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = f (x) tại điểm M x ; f (x ) (C) (tiếp điểm). Phương 0 ( 0 0 ) pháp: f (x + x  ) − f (x )
f (x) − f (x ) / / 1. Tính 0 0 f (x ) = lim 0 f (x ) = lim 0 x  →0 x  hay 0 xx0 x x0 /
2. Hệ số góc của tiếp tuyến (C) tại điểm M
k = f (x ) 0 là 0
3. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M /
y = f (x )(x x ) + f (x ) 0 là 0 0 0
Dạng 4. Tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = f (x) khi biết hệ số góc k Phương pháp
1. Gọi M x ; y (C) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) 0 ( 0 0 ) / f (x + x  ) − f (x)
2. Tính f (x) = lim x→0 x 3. Giải phương trình /
k = f (x ) x
y = f (x ) 0 , tìm 0 và 0 0
4. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc k y = k(x x ) + y 0 0 Lưu ý: -
Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì có cùng hệ số góc k -
Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích hai hệ số góc bằng −1 B. BÀI TẬP
Bài 1.1. Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 a) f (x) = x = 2 f x = x x = 2 x tại điểm 0 b) 2 ( ) tại điểm 0 x +1
c) f (x) = 2x −1 tại điểm x = 5 f (x) = x = 0 0 d) x −1 tại điểm 0 HDGiải 1 a) f (x) = x = 2 x tại điểm 0
Tập xác định của hàm số là D = \   0 Với x
 là số gia của đối số tại x = 2 +   0 sao cho 2 x D , thì 2
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 1 x y f (x
x) f (x ) f (2 x) f (2)   = +  − = +  − = − = − 0 0 2 + x  2 2(2 + x) y  1 Ta có = − x  2(2 + x)    / y 1 1 f (x) = lim = lim − = −   x  →0 x  →0 x   2(2 + x  )  4 / 1 Vậy f (2) = − 4 b) 2
f (x) = x tại điểm x = 2 0
Tập xác định của hàm số là D = Với x
 là số gia của đối số tại x = 2 +   0 sao cho 2 x D , thì y
 = f (x + x
 ) − f (x ) = f (2 + x
 ) − f (2) = (2 + x  )2 2 − 2 = x  (4 + x  ) 0 0 y Ta có = 4 + xx / y f (2) lim  = = lim (4 + x  ) = 4 x  →0 x  →0 x  Vậy / f (2) = 4
c) f (x) = 2x −1 tại điểm x = 5 0  1
Tập xác định của hàm số đã cho là D = x / x  2   Với x
 là số gia của đối số tại x = 5 +   0 sao cho 5 x D , thì y
 = f (x + x
 ) − f (x ) = f (5 + x
 ) − f (5) = 9 + 2 x  − 9 0 0 y 9 + 2x − 9 Ta có = xx y  9 + 2 x  − 9 2 1 Khi đó / f (5) = lim = lim = lim = x  →0 x  →0 x  →0 xx  9 + 2 x  + 9 3 x +1 d) f (x) = x = 0 x tại điểm −1 0
Tập xác định của hàm số đã cho là D = \   1 Với x
 là số gia của đối số tại x = 0 +   0 sao cho 0 x D , thì x  +1 1 x  +1 2x y
 = f (x + x
 ) − f (x ) = − = +1 = 0 0 x  −1 −1 x  −1 x  −1 y 2 Ta có = x x −1 y  2 Khi đó / f (0) = lim = lim = 2 − x  →0 x→0 xx −1
Bài 1.2. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau: a) 2
y = ax ( a là hằng số) trên b) 3 y = x + 2 trên 1 1 c) y = x y = − x x  2x −1 với 2 d) 3 với 3 HDGiải a) 2
y = ax có tập xác định là , với x0 tùy ý thuộc , có một số gia x3
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Tính 2 2 y
 = f (x + x
 ) − f (x ) = ( a x + x  ) − ax = x  2x + x  0 0 0 0 ( 0 ) ya x  (2x + x  0 ) lim = lim
= lim a(2x + x  = 2ax 0 ) 0 x  →0 x  →0 x  →0 xx  Vậy / y = 2ax b) 3
y = x + 2 trên , thực hiện tương tự, ta có / 2 y = 3x 1 1 c) y = D = \ 2x
. Tập xác định của hàm số −1 2   Với x  0
tùy ý, ta có một số gia x  1 1 2 − x  Tinh y
 = f (x + x
 ) − f (x ) = − = 0 0 2(x + x
 ) −1 2x −1 (2x −1) 2x + 2 x  −1 0 0 0 ( 0 ) y  2 − 2 lim lim − = = x  → x x  → 
(2x −1)(2x + 2 x  − ) 2 0 0 1 (2x −1) 0 0 0 1 / 2 − Vậy y =  y = 2 2x −1 (2x −1) / 1 −
d) y = 3 − x , thực hiện tương tự . y = 3 − x y = 2 3− x 2 (
 x −1) ; x  0
Bài 1.3. Chứng minh rằng hàm số f (x) =  2
−x ; x  0
không có đạo hàm tại điểm x = 0 nhưng có đạo hàm tại điểm x = 2 . HDGiải Ta có: f (0) = 1 , 2
lim f (x) = lim(x −1) =1 và 2
lim f (x) = lim(−x) = 0 x 0+ x 0+ → → x 0− x 0− → →
Nhận thấy lim f (x)  lim f (x) nên hàm số y = f (x) gián đoạn tại x = 0. Từ đó suy ra hàm số đó không x 0+ x 0− → →
có đạo hàm tại x = 0. 2 2 yf (2 + x  ) − f (2) (1+ x  ) −1
Ta có x = 2  0; +  ) và lim = lim = lim = lim(2 + x) = 2 x  →0 x  →0 x  →0 x  →0 xxx
Vậy hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x = 2 và / f (2) = 2 2 (
 x −1) ; x  0
Bài 1.4. Chứng minh rằng hàm số f (x) =  2 (
 x +1) ; x  0
không có đạo hàm tại x = 0 , nhưng liên tục tại điểm đó. HDGiải Ta có f (0) = 1
f (x) − f (x ) / + 0 f (x ) = lim = lim(x − 2) = 2 − 0 x→0+ x x x→0+ 0
f (x) − f (x ) / − 0 f (x ) = lim = lim(x + 2) = 2 0 x→0− x x x→0+ 0 / + / −
Vì f (x )  f (x ) y = f x 0 0 nên hàm số
( ) không có đạo hàm tại x = 0. 2 2
Mặt khác, ta có lim f (x) = lim (x −1) = 1; lim f (x) = lim (x +1) = 1 x 0+ x 0+ → → x 0− x 0− → →
Và f (0) = 1 nên hàm số y = f (x) liên tục tại điểm x = 0. cos ; x x  0
Bài 1.5. Chứng minh rằng hàm số y = f (x) = 
không có đạo hàm tại x = 0 . −sin ; x x  0 HDGiải 4
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
Ta có lim f (x) = lim cos x = 1
lim f (x) = lim(−sin x) = 0 và f (0) = cos0 =1 x 0+ x 0+ → → x 0− x 0− → →
Nhận thấy lim f (x)  lim f (x) nên hàm số y = f (x) gián đoạn tại x = 0 x 0+ x 0− → →
Do đó hàm số này không có đạo hàm tại điểm x = 0. 2
x +1; x  0
Bài 1.6. Chứng minh rằng hàm số y = f (x) = 
không có đạo hàm tại x = 0 . 3
x ; x  0 HDGiải Ta có 2
lim f (x) = lim(x +1) =1 = f (0) và 3
lim f (x) = lim x = 0 x 0+ x 0+ → → x 0− x 0− → →
Nhận thấy lim f (x)  lim f (x) nên hàm số y = f (x) gián đoạn tại x = 0 x 0+ x 0− → →
Do đó hàm số này không có đạo hàm tại điểm x = 0. Bài 1.7. Cho parabol 2
y = −x + 3x − 2 .
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ x = 2 0 . HDGiải
Bằng định nghĩa, ta tính được / y (2) = 1
− . Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là – 1
Ngoài ra, ta có y(2) = 0
Vậy phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm M0(2; 0) là: y = 1
− (x − 2) + 0 hay y = −x + 2
Bài 1.8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 y = x
a) Tại điểm (–1; – 1)
b) Tại điểm có hoành độ bằng 2
c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 HDGiải
Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số 3
y = f (x) = x tại x0 tùy ý trên
, có một số gia x  3 3 2 2 Tính y
 = f (x + x
 ) − f (x ) = (x + x  ) − x = x  3x + 3x x  +  x 0 0 0 0 ( 0 0 ) y lim  = lim ( 2 2
3x + 3x x +  x) 2 = 3x 0 0 0 x  →0 x  →0 x
a) Tại tiếp điểm x f − = 0 = –1, / ( 1) 3 .
Vậy tiếp tuyến cần tìm: y – (–1) = 3[x – (–1)] hay y = 3x + 2 b) Tại điểm x f = f = = 0 = 2, ta có / (2) 12 và 3 (2) 2 8
Vậy pttt cần tìm: y – 8 = 12 ( x – 2) hay y = 12x – 16
x = 1 y = f (1) = 1 / 2 0 0
c) Biết f (x ) = 3 3x = 3  0 , nên ta có 0  x = 1
−  y = f ( 1 − ) = 1 −  0 0
Vậy tiếp tuyến cần tìm là: y = 3x – 2 và y = 3x + 2 1
Bài 1.9. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y = x  1  a) Tại điểm M ;2  2   
b) Tại điểm có hoành độ bằng – 1 1
c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng − 4 HDGiải 1
Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số y = f (x) = \ 0
x tại x0 tùy ý trên
  có một số gia x5
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 1 x − Tính y
 = f (x + x
 ) − f (x ) = − = 0 0 x + xx x x + x  0 0 0 ( 0 ) y  − x  1 lim = lim = − x  → x x  →  x (x + x  ) 2 0 0 x 0 0 0  1  /  1 
a) Tại tiếp điểm M ;2  f = 4 − 2  , ta có      2 
Vậy tiếp tuyến cần tìm: y = − 4( x – 1) b) Tại điểm x f f − = − 0 = − 1, / ( 1 − ) = 1 − và ( 1) 1
Vậy tiếp tuyến cần tìm là: y = − 1( x + 1) – 1  1
x = 2  y = f (2) =  0 0 / 1 1 1 2
c) Biết f (x ) = − − = −   0 4 , nên 2 x 4  1 0 x = 2
−  y = f ( 2) − = − 0 0  2 1 1
Vậy tiếp tuyến cần tìm là: y = − x +1 y = − x −1 4 và 4
Bài 1.10. Một chất điểm chuyển động có phương trình 2 (
s t) = 3t + 5t +1( t tính bằng s, S tính bằng mét).
Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t =1s 0 . HDGiải
Gọi v(t) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t. 2 ( s t) − ( s t ) 3t + 5t −8 Khi đó / 0 (
v t ) = s (t ) = lim = lim = lim(3t + 8) =11 0 0 t→ 0t t 1 → t 1 t t t −1 → 0
Bài 1.11. Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của hàm số sau trên 2
x x + 2 khi x  2 y f (x)  = =  1  khi x  2  x −1 HDGiải
Tập xác định của hàm số là D = Với x  2 thì 2
f (x) = x x + 2 là hàm số liên tục và đạo hàm là /
f (x) = 2x −1 1 1
Với x  2 thì f (x) =
là hàm số liên tục và có đoạ hàm / f (x) = − x −1 2 (x −1) 1 Với x = 2 2
thì ta có lim f (x) = lim − +
= và lim f (x) = lim = 1 − − ( x x 2) 4 x→2 x→2 x 2+ x 2+ → → x −1
Do đó lim f (x)  lim f (x) , suy ra không tồn tại lim f (x), tức là hàm số không liên tục tại x = 2, nên x 2− x 2+ → → x→2
không có đạo hàm tại điểm này.
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.12. Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra: 1 a) 2
y = x + x tại x =1 y = x = 2 0 b) x tại 0
c) y = 2x +1 tại x = 2 y = x + x x =1 0 d) 2 3 tại 0 1
Bài 1.13. Cho ham số 3
y = f (x) = x . Chứng minh rằng f '(x) = ;(x  0) 3 2 3 x 3
Bài 1.14. Cho hàm số y = f (x) =
x . Tính f '(0) nếu có.
Bài 1.15. Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm nếu có của hàm số sau trên 6
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2
x + x khi x  1  2
x +1 khi x  0
a) y = f (x) =  2
b) y = f (x) =   khi x  1 3
−x +1 khi x  0  x
Bài 1.16. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 2
y = x , biết rằng:
a) Tiếp điểm có hoành độ là 2.
b) Tiếp điểm có tung độ là 4.
c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3. 1
Bài 1.17. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = 2x +1 , biết hệ số góc của tiếp tuyến là 3 .
Bài 1.18. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số 2
y = x − 2x + 3, biết tiếp tuyến song song
với đường thẳng 4x − 2y + 5 = 0 .
Bài 1.19. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số 2
y = x − 2x + 3, biết tiếp tuyến vuông góc
với đường thẳng x + 4y = 0 1
Bài 1.20. Cho hàm số 3 2
y = x − 2x + 3x có đồ thị (C). 3
a) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điềm có hoành độ x = 2
b) Chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Bài 1.21. Cho hàm số 3
y = −x + 3x +1 có đồ thị (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điềm có hoành độ x = 0
b) Chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc lớn nhất.
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Đạo hàm của hàm số ( ) 2
f x = x x tại điểm x ứng với số gia x  là: 0 2 A. lim ( x  + 2x + ) 1 . B. lim
x + 2xx + x . x→0 ( ) ) x  →0 2 C. lim
x + 2xx − x . D. lim ( x  + 2x − ) 1 . x→0 ( ) ) x  0 →
Câu 2. Cho f là hàm số liên tục tại x . Đạo hàm của f tại x là: 0 0
f ( x + h f x 0 ) ( 0 ) A. lim
(nếu tồn tại giới hạn) . h→0 h
f ( x + h f x h 0 ) ( 0 ) B. lim
(nếu tồn tại giới hạn) . h→0 h
f ( x +  ) − f ( x0 ) C. lim x xx − 0 x x0
f ( x + h f x 0 ) ( 0 ) D. . h 1
Câu 3. Một vật rơi tự do theo phương trình 2 s = gt , trong đó 2
g = 9,8 m/s là gia tốc trọng trường. Tìm 2
vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t + t  với t  = 0,001s.
A. v = 49m/s.
B. v = 49, 49m/s.
C. v = 49, 0049m/s.
D. v = 49, 245m/s. tb tb tb tb 
Câu 4. Tính tỷ số y của hàm số = + theo x và  y 3x 1 . x xy y  yy A. = 3. = = =  B. 1. x xC. 2.  D. 0. xx
Câu 5. Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v (t ) 2
= 8t + 3t , trong đó
t  0, t tính bằng giây và v (t ) tính bằng mét/giây. Tìm gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc
chuyển động là 11 mét/giây. 7
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp A. 2 14m/s . B. 2 20m/s . C. 2 6m/s . D. 2 11m/s .
Câu 6. Tính số gia của hàm số 2
y = x − 4x +1 tại điểm x ứng với số gia x  là: 0 A. y  = x  ( x  + 2x − 4 . B. y  = 2x +  . x 0 ) 0 C. y  = x  (2x − 4 x  . D. y  = 2x − 4 . x 0 ) 0 2
mx + 2x + 2 khi x  0
Câu 7. Cho hàm số f ( x) = 
. Tìm tất cả các giá trị của các tham số , m n sao nx +1 khi x  0
cho f ( x) có đạo hàm tại điểm x = 0 . A. m = 2,  . n B. n = 2,  . m
C. m = n = 2.
D. Không tồn tại , m . n 2  x  khi x  1
Câu 8. Cho hàm số f ( x) =  2
. Tìm tất cả các giá trị của các tham số a, b sao cho
ax +b khi x 1
f ( x) có đạo hàm tại điểm x =1. 1 1 1 1 1 1 A. a = , b = − .
B. a = 1, b = .
C. a = 1, b = − . D. a = , b = . 2 2 2 2 2 2
Câu 9. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại điểm đó. 0
B. Nếu hàm số y = f ( x) liên tục tại x thì nó có đạo hàm tại điểm đó. 0
C. Nếu hàm số y = f ( x) không liên tục tại x thì nó có đạo hàm tại điểm đó. 0
D. Nếu hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại x thì nó không liên tục tại điểm đó. 0
Câu 10. Tính số gia của hàm số 1 y =
tại điểm x (bất kì khác 0 ) ứng với số gia . x xx x  x xA. y = − y  = − C. y  = . D. y  = x ( x +  B. . x) . x + xx + xx ( x + x  ) . 3 2
x − 4x + 3x  khi x  1
Câu 11. Cho hàm số f ( x) xác định trên \   2 bởi f ( x) 2
=  x −3x + 2 . Tính f ( ) 1 . 0 khi x = 1 A. f ( ) 1 = 0. B. Không tồn tại. C. f ( ) 3 1 = . D. f ( ) 1 = 1. 2
Câu 12. Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng y = 9x + 7.
A. y = 9x − 25.
B. y = 9x − 7; y = 9x + 25.
C. y = 9x + 25.
D. y = 9x + 7; y = 9x − 25.
Câu 13. Tính số gia của hàm số 2
y = x + 2 tại điểm x = 2 ứng với số gia x  =1. 0 A. y  = 5. B. y  = 2. C. y  =13. D. y  = 9.
Câu 14. Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng 1 y = − . x 45
A. y = 45x − 83.
B. y = 45x −173.
C. y = 45x +173; y = 45x − 83.
D. y = 45x −173; y = 45x + 83.
Câu 15. Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết cosin góc tạo
bởi tiếp tuyến và đường thẳng  : 4x − 3y = 0 bằng 3 . 5
A. y = 2; y = 1. B. y = 2 − ; y =1. C. y = 2 − ; y = 1 − .
D. y = 2; y = 2 − . 8
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
Câu 16. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 1 y =
tại điểm có hoành độ bằng 1 − . x
A. y = −x + 2.
B. x + y + 2 = 0. C. y = x + 2.
D. y = x − 2. 2 x
Câu 17. Tính số gia của hàm số y = tại điểm x = 1 − ứng với số gia . x 2 0 1 1 A. y
 = (x)2 + x. y  = x  +  . x 2   B. ( )2 2 1 1 C. y  = ( x  )2 −  . x D. y
 = (x)2 − x  . 2 2   
Câu 18. Tính tỷ số y của hàm số 2
y = x −1 theo x và  . x xyyyy A. = x + 2 . x B. = 2x +  . x C. =  . x D. = 0. x  xxx
Câu 19. Tính tỷ số y của hàm số 3 = theo x và  y 2x . xx yyx − ( x  )3 3 2 2 A. = x + x x  + ( x  )2 2 3 3 . B. = . xxx  y yC. = (x)2 2 . D. = x + x x  + ( x  )2 2 6 6 2 . x x
Câu 20. Tính số gia của hàm số 3 2
y = x + x +1 tại điểm x ứng với số gia x  =1. 0 A. 2 y
 = 3x −5x + 2. B. 2 y
 = 3x + 5x + 3. 0 0 0 0 C. 3 2 y
 = 2x + 3x + 5x + 2. D. 2 y
 = 3x +5x + 2. 0 0 0 0 0
Câu 21. Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của parabol 2
y = x tại điểm có hoành độ 1 . 2 1 1 A. k = − . B. k = 0. C. k = 1. D. k = . 2 4
Câu 22. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 1 y =
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 − . x 4
A. x + 4y −1 = 0 ; x + 4y +1 = 0.
B. x + 4y − 4 = 0 ; x + 4y + 4 = 0. 1 1 1 C. y = − x − 4; y = − x + 4. D. y = − x . 4 4 4 2 x khi x  2 
Câu 23. Tìm tham số thực b để hàm số f ( x) = 2  x
có đạo hàm tại x = 2. −
+ bx − 6 khi x  2  2
A. b = 1.
B. b = 6. −
C. b = 3.
D. b = 6.
Câu 24. Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình s (t ) 2
=196t − 4,9t trong đó t  0, t tính bằng
giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao và s (t) là khoảng cách của viên đạn so với mặt đất được
tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét? A. 1906m. B. 1960m. C. 1690m. D. 1069m. 2
x −1 khi x  0
Câu 25. Cho hàm số f ( x) = 
. Khẳng định nào sau đây sai? 2 −x khi x  0
A. Hàm số có đạo hàm tại x = 2 .
B. Hàm số liên tục tại x = 2 .
C. Hàm số có đạo hàm tại x = 0 .
D. Hàm số không liên tục tại x = 0 .
Câu 26. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại x f ( x . Mệnh đề nào sau đây sai? 0 ) 0 f x + x  − f x
f x + h f x A. f ( x = lim . 0 0 f x = lim . 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0 x  →0 xB. ( ) ( ) ( ) h→0 h 9
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp f x + xf x f x f x C. f ( x = lim .
D. f ( x = lim . 0 ) ( ) ( 0) 0 ) ( 0 ) ( 0) xxxx − 0 x x 0 x x 0 0
Câu 27. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 3
y = x tại điểm (−1; − ) 1 . A. y = 3 − x − 4. B. y = 1. −
C. y = 3x − 2. D. y = 3x + 2.
Câu 28. Một chất điểm chuyển động theo phương trình ( ) 2
s t = t , trong đó t  0, t tính bằng giây và
s (t ) tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2 giây. A. 2m/s. B. 3m/s. C. 4m/s. D. 5m/s.
Câu 29. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 3
y = x tại điểm có tung độ bằng 8. A. y = 1 − 2x +16. B. y = 12x − 24.
C. y = 12x −16. D. y = 8.
Câu 30. Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với
đường thẳng y = 2. − A. y = 9 − x + 7; y = 2 − . B. y = 2. −
C. y = 9x + 7; y = 2 − .
D. y = 9x + 7; y = 2. 2  x +1 −1  khi x  0
Câu 31. Cho hàm số f ( x) =  . x Tính f (0).  0 khi x = 0 A. f (0) = 1. B. f ( ) 1 0 = .
C. Không tồn tại . D. f (0) = 0. 2 3− 4 − x  khi x  0 
Câu 32. Cho hàm số f ( x) 4 = 
. Tính f (0). 1  khi x = 0 4 A. Không tồn tại. B. f ( ) 1 0 = . C. f ( ) 1 0 = . D. f ( ) 1 0 = . 4 16 32
Câu 33. Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục tung. A. y = 2 . x B. y = 2. C. y = 0. D. y = 2. − 
Câu 34. Tính tỷ số y của hàm số 1 y = theo x và  . x x x y  1 y  1 y 1 y 1 A. = − . B. = . C. = . = − . xx + xxx + x  x x ( x +  D. x) x
x ( x + x)
Câu 35. Một chất điểm chuyển động có phương trình s (t ) 3 2
= t − 3t + 9t + 2 , trong đó t  0, t tính bằng
giây và s (t ) tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm nào thì bận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất?
A. t = 6s.
B. t = 1s.
C. t = 2s. D. t = 3s. ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 D A C A A A B C A A B A A D D B C A 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 D D C B D B C B D C C C B C B D B 10
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
§2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM I. Bảng đạo hàm STT HÀM SỐ SƠ CẤP HÀM SỐ HỢP QUY TẮC u = u(x)
u = u(x), v = v(x) 1 (C) = 0 (   ku ) = ku
(u + v) = u+v 2   
(x) = 1, (kx) = k (   u ) 1
= .u − .u
(u v) = u−v 3 n n 1 (x ) nx −  =
, n  , n  1 ( (  uv) =  +  u ) u = , u  0 u v uv 2 u 4 (      u  u
uv uvx ) 1 = , x  0 1 = − ,u  0 = , v  0 2 x     2  u u 2  v v 5   a b  1  1    = − 1 v , x  0   / = − , v  0   2  x xax + b c d ad cb 2 = =  v    v 2 2  cx + d  (cx + d) (cx + d) 6 / (ax + ) b = a a b a c b c 2 / x + 2 x + 2
ax + bx + c a' b' a' c' b' c'   = 2
a' x + b' x + c'  
(a'x +b'x+c')2 2 / / /
II. Đạo hàm của hàm số hợp. Cho y là hàm số theo u(u(x)) thì: y = y .u x u x Các dạng toán
Dạng 1.
Tính đạo hàm bằng các công thức đối với hàm đa thức, hàm hữu tỉ, hàm căn bậc hai
Phương pháp: Vận dụng bảng 1 và quy tắc tính đạo hàm để tính.
Dạng 2. Vận dụng đạo hàm vào giải phương trình hay bất phương trình.
Phương pháp: - Tính đạo hàm theo đề bài yêu cầu
- Thiết lập phương trình hay bất phương trình
Dạng 3. Tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = f (x) kẻ từ điểm (
A ;) với A(C) hay A(C). Phương pháp
Cách 1. Tìm tiếp điểm
1. Gọi x là hoành độ tiếp điểm, tiếp tuyến ( /
d ) y = f (x )(x x ) + f (x ) 0 : 0 0 0 (1)
2. A (d) nên thay x = , y =  vào (1). Giải và tìm x , rồi tính f '(x ), f (x ) 0 0 0
3. Thay kết quả tìm được vào (1), có phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Cách 2. Tìm hệ số góc k
1. Đường thẳng d đi qua điểm (
A ;)và có hệ số góc k có phương trình y = k(x −)+  (1)
2. Đường thẳng d là tiếp tuyến với đồ thị (C) thì hệ phương trình sau phải có nghiệm
 f (x) = k(x −) +   /
 f (x) = k
3. Giải hệ phương trình tìm x , rối tìm k và thay k vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến d. B. BÀI TẬP
Bài 2.1. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0 được cho kèm theo 2 3
a) y = 7 + x x , x = 1
y = x − 2x +1, x = 2 0 b) 0 5 4 2
c) y = 2x − 2x + 3, x = 1
y = x x + 2, x = 1 − 0 d) 0 HDGiải 11
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp a) y = + x x = + x − (x )/ 2 / 2 ' (7 ) (7)' ( )'
= 0 +1− 2x = 1− 2x /
Tại x = 1, y (1) = 1− 2.1 = 1 − . 0 b) / 3 / 2
y = (x −2x +1) = 3x −2 và / y (2) =10 c)
y = ( x x + )/ / 5 4 2 2 3 1
= 0x − 2 và / y (1) = 8
d) y = ( x x + )/ / 4 2 3 2 4
= x − 2x và / y ( 1 − ) = 2 −
Bài 2.2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 1 1 2 1 4 a) 5 3
y = x − 4x + 2x −3 b) y =
x + x x 4 3 2 4 3 2 x 2x 4x 5 2 c) y = − + −1
y = 3x 8 − 3x 2 3 5 d) ( ) HDGiải / /  1 1 2 1 4  1 3
a) y = ( x x + x − )/ / 5 3 4 2 4 2
3 = 5x −12x + 2 b) y =
x + x x
= − + 2x − 2x  4 3 2    3 / 4 3 2   / x 2x 4x 3 2 8x c) y =  − +
−1 = 2x − 2x + 2 3 5 5   / / 5 2 4 2 5 6 4
d) y = ( 3x (8− 3x ) = 15
x (8−3x ) + 3x ( 6 − x) = 63 − x + 120 x
Bài 2.3. Tìm đạo hàm các hàm số sau: a) 4 2
y = x x + x b) 3 = ( 5 y x x x ) c) y = ( − x)3 1 2 2x 3− 5x
d) y = (x x )3 7 2 5 e) y = f) y = 2 x −1 2 x x +1 HDGiải
a) y = (x x + x )/ / 4 2 3 1
= 4x − 2x + 2 x / / /   /  3 5  3 5 5 3 2 3 1 4 b) y = x
 ( x x ) = ( x ) 
( x x )+( x x ) x =3x x +x  −8x     2 x  / / 3 2 / 2 /   3 2 /  7 2  7 2 5 c) y = (1− 2x)
= 3(1− 2x) (1− 2x) = 6 − (1− 2x) 
y =  x − 5x  = 3 x − 5x (7x −10)   d) ( ) ( )   / 2  2x  2 − (x +1) / 2  3− 5x  5x − 6x − 2 e) / y = =  f) / y = = 2    x 1 −  (x 2 2 − )2 2 1
x x +1 ( 2x x+ )1
Bài 2.4. Tính đạo hàm các hàm số sau 2 a) 2
y = x x x +1
b) y = 2 − 5x x 3 x 1+ x c) y =
( a là hằng số) d) y = 2 2 a x 1− x HDGiải 2 − x − 5
a) y = (x x x + )/ / 2 3 1 = 2x x
y = 2 − 5x x = 2 b) ( )/ / 2 2 2 2 − 5x x / 2   x x ( 2 2 3 3a − 2x /  +  / ) / 1 x 3 − x c) y =   =  d) y =   = 2 2  a x  −  (a 3 − x )3 2 2  1− x  2 (1− x)
Bài 2.5. Tính đạo hàm các hàm số sau 12
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2 2 2x a) = ( + )2 7 y x x b) y = ( x + ) 1 (5−3x ) c) y = 2 x −1 5x − 3 2 x + 2x + 2 d) y = e) y =
f) y = x(2x −1)(3x + 2) 2 x + x +1 x +1 HDGiải / 2 / /  7  6 6 / 2 2 2
a) y = ( x + x) = 2x (x + ) 1 (7x +
y = ( x +1 5−3x ) = 4x( 3 − x + )   )1 b) ( )( ) 1   / 2 − x +1   / 2 / 2x ( 2 )  5x −3  5 − x + 6x + 8 c) y = =  d) / y = = 2    x 1 −  (x 2 2 − )2 2 1  x + x +1 ( 2x + x+ )1 / 2  + +  / x 2x 2 x(x + 2) / / 2 e) y =   =
y = x(2x −1)(3x + 2) = 2 9x + x −1 2 x f) ( ) ( ) +1 (x +1)  
Bài 2.6. Tính đạo hàm các hàm số sau: 2x + 3 1 a) y = b) y = c) 2
y = x + x x +1 2 x − 5x + 5 (x x+ )5 2 1 2 2 3 x +1 1− x
d) y = (x +1)( x + 2) ( x + 3) e) y = y = x f) 1− x HDGiải / /   2  2x + 3  2
x − 6x + 25  1  5 − (2x −1) a) / y = =  b) / y = = 2  x 5x 5  − +  (   x 5 6 − 5x + 5)2 2
 ( 2x x + ) 1  ( 2x x+   )1 / 2 3 / 2 2
c) y = (x + x x + )/ / 2 3 1 = 2x + x
y = ((x +1) x +2 x +3 ) = 2(x +2)(x +3) (3x +11x +9) 2 d) ( ) ( ) /  2  2 /  −  / x +1 x −1 / 1 x 3− x e) y =   = y =   =   f) 2 x   3  1− x 2 x +1 2x  2 (1− x) x
Bài 2.7. Tính đạo hàm các hàm số sau 2 3 2 2x − 3 −x − 3x + 5
a) y = (9 − 2x)(2x − 9x + ) 1 b) y = y = x + 4 c) x − 2 3   4 5 3  b c  3 2 d) y =  x −  e) y = x − 2x +1 f) y = a + +    x  2  x x HDGiải / /  2x − 3  11
a) y = ( − x)( x x + ) / / 3 2 3 2 9 2 2 9 1 = 16
x +108x −162x − 2 b) y = =   2  x + 4  (x + 4) / / 2 2  − − +  3 2         / x 3x 5 −x + 4x +1 / 5 3 5 3 4 3 c) y =   = y =  x −   = 3 x −  5x +  2 x − 2 (x d) − 2)    3 x x 2 x            / / 4 3  b c     b c   b c  / 3 2 3x − 4x / 2
e) y = ( x −2x +1) 2 = f) y =  a + +  = 4 − a + + +       3 2 2 x − 2x +1 2 2 2 3  x x     x x   x x   
Bài 2.8. Tìm đạo hàm các hàm số sau   3 2 2 2
a) y = (4x − 2x − 5x)( x − 7x) b) y = + 3x ( x −   )1  x13
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2 −x + 2x + 3 c) y = d) y = ( x − ) 2 2 x +1 3 x − 2 HDGiải
a) y = ( x x x)(x x) / / 3 2 2 4 3 2 4 2 5 7
= 20x −120x + 27x + 70x /      / 2 2 1 3x b) y =  + 3x  ( x − ) 1  = − + 3  ( x − ) 1 + +  x    xx x 2 x / 2 4 3 2  − + +  / / x 2x 3
x − 4x − 9x + 4x − 4 2x − 2x +1 c) y =   = d) /
y = ( x −2) 2x +1) 2 = 3 x − 2   (x −2)2 3 2 x +1 Bài 2.9. Cho 3 2
y = x −3x + 2 . Tìm x để: a) / y  0 b) / y  3 HDGiải Ta có / 2
y = 3x −6x . a) / 2
y  0  3x −6x  0  x  0 hoặc x  2 b) / 2 2
y  3  3x − 6x −3  0  x −2x −1 0 1− 2  x 1+ 2 Bài 2.10. Cho 3 2
f (x) = x + x − 2; (
g x) = 3x + x + 2 . Giải bất phương trình / /
f (x)  g (x) . HDGiải Ta có / 2 /
f (x) = 3x +1;g (x) = 6x +1 / / 2 2
f (x)  g (x)  3x +1 6x +1 x −2x  0. Vậy x (− ;  0)(2;+ )  2 3 2 x x
Bài 2.11. Cho f (x) = ; ( g x) = − f x g x x 2
3 . Giải bất phương trình / ( ) ( ) HDGiải Ta có / 2
g (x) = x x 3 2 / 2 2 x x + 2
f (x)  g (x)   x x
 0  −1  x  0 . Vậy x [ 1 − ;0) x x 2
Bài 2.12. Cho hàm số f (x) =
x − 2x . Hãy giải bất phương trình /
f (x)  f (x). HDGiải 2 / x −1 Ta có f (x) =
x − 2x f (x) = 2 x − 2x x  0  x  2 x  0 x 1  − 2   3 − 5
Ta cần giải bất phương trình:
x − 2x  x  2  x  2 x − 2x  2  2 x 1 x 2x  −  −  3 + 5 x   2 3 5  +
Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là: S = ( ; − 0)   ;+ 2   
Bài 2.13. Cho hàm số 3 2
y = x −3x + 2 có đồ thị (C).
a) Viết phương trình tiếp với đồ thị (C) kẻ từ điểm ( A 0;2)
b) Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm để từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. HDGiải 14
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp a) Cách 1. Ta có / / 2
y = f (x) = 3x −6x . Gọi x là hoành độ tiếp điểm, tiếp tuyến với đồ thị (C) là (d): 0 /
y = f (x )(x x ) + f (x ) = ( 2
3x − 6x )(x x ) 3 2 + x − 3x + 2 0 0 0 0 0 0 0 0 x = 0 
A (d) nên 2 = (3x − 6x )(0 − x ) 0 2 3 2 3 2
+ x − 3x + 2  2
x + 3x = 0  0 0 0 0 0 0 0 3 x = 0  2 / /
Khi x = 0  f (x ) = f (0) = 2
f (x ) = f (0) = 0 0 0 và 0 .
Vậy phương trình tiếp tuyến là (d ) : y = 2 1 3  3  11   / / 3 9 Khi x =
f (x ) = f = −
f (x ) = f = − 0 0 2  2  và   .   8 0  2  4 9
Vậy phương trình tiếp tuyến là (d ) : y = − x + 2 2 4
Cách 2. Đường thẳng (d) qua điểm A(0; 2), có hệ số góc k, có phương trình : y = kx + 2
Để đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ thị (C) thì hệ phương trình sau phải có nghiệm: 3 2
 f (x) = kx + 2
x −3x + 2 = kx + 2 (1)    / 2
 f (x) = k 3
 x − 6x = k (2)
x = 0  k = 0  Thay (2) vào (1), ta có 3 2
2x − 3x = 0  3 9
x =  k = −  2 4 9
Vậy tiếp tuyến cần tìm (d ): y = 2
(d ) : y = − x + 2 1 , 2 4 b) Gọi ( A ;
a 2) thuộc đường thẳng y = 2 và (d) là đường thẳng qua A, có hệ số góc k, nên có phương trình
y = k(x a) + 2.
Để có hai tiếp với đồ thị (C) thì phương trình sau phải có nghiệm: 3 2
 f (x) = k(x a) + 2
x −3x + 2 = k(x a)+ 2 (1)    / 2
 f (x) = k 3
 x − 6x = k (2) x = 0 2
Thay (2) vào (1), ta có x  2
x + 3x(a +1) − 6a = 0     2  2
x + 3x(a +1) − 6a = 0 (3) Đặt 2 ( g x) = 2
x +3x(a +1)−6a
Để kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau thì phương trình (3) có
hai nghiệm phân biệt x x / /
y (x ).y (x ) = 1 − 1 và 2 khác 0 và 1 2 .  ( g 0)  0 6a  0    2 Suy ra   0  3
a −10a + 3  0  / /
y (x ).y (x ) = 1  − 
9x x x x − 2 x + x + 4  = 1 − (4) 1 2  1 2   1 2 ( 1 2 ) 3(a +1) 1
Theo Viét, ta có x + x = ; x x = 3a 27a = 1 −  a = − 1 2 1 2 2 thay vào (4), ta có 27  1 
Vậy điểm cần tìm A − ;2  27   
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 2.14. Tìm đạo hàm các hàm số sau 5 3 2 x 2 4 5 6 3
a) y = x − 4x x + y = − + − y = 6 − x + 2 b) c) 2 3 4 x x x 7x x 15
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2 3 2x − 3 5 − 3x x
d) y = (9 − 2x)(2x − 9x + ) 1 e) y = y = x f) + 4 x − 2
Bài 2.15. Tìm đạo hàm các hàm số sau 3 2 3   5 3 3 2 a) y = ( 2 x + )( 3 x + ) ( 4 1 1 x + ) 1 b) y =  x −  c) y = x − 2x +1  x  2 x +1
d) y = (x − 2) x +1 e) y = x + 2 + 4 − x f) y = 2 x +1 1 2 3 Bài 2.16. Tính / f ( 1
− ) biết rằng f (x) = + + 2 3 x x x
Bài 2.17. Cho hàm số 2
f (x) = x − 2x − 8 . Giải bất phương trình / f (x) 1
Bài 2.18. Tìm các nghiệm của phương trình sau 3 x 4 2 2 x 3 3x a) /
f (x) = 0, với f (x) =
− 2x − 6x −1 f x = − f (x) = − x − − 3 3 b) / ( ) 5 , với 4 2 1 1 c) /
1+ 2 f (x)−80 f (x) = 0, với f (x) =
+ f x + f x = , với f (x) = 10 d) / 1 5 ( ) 6 ( ) 0 − x 1− x
Bài 2.19. Chứng minh rằng đạo hàm của hàm số chẵn là hàm số lẻ và đạo hàm của hàm số lẻ làm hàm số
chẵn, biết rằng các hàm số đó có đạo hàm trên .
Bài 2.20. Gọi (C) là đồ thị của hàm số 3 2
y = x − 5x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó:
a) Song song với đường thẳng 3x + y −1 = 0
b) Vuông góc với đường thẳng x − 7y − 28 = 0 c) Đi qua điểm A(0; 2) x +1
Bài 2.21. Cho hàm số y = x có đồ thị (H). Viết phương trình tiếp tuyến của (H), biết: −1
a) Tại điểm có hoành độ x = 2 1
b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = − x + 5 8 .
Bài 2.22. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y = x − 2x −3. Biết tiếp tuyến đó song song
với đường thẳng y = 24x −1
Bài 2.23. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y = 4x + x . Biết tiếp tuyến đó song song với
đường thẳng y = 13x +1
Bài 2.24. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = ( x + )3
1 −3x − 4 . Biết tiếp tuyến đó vuông x
góc với đường thẳng y = − +1 9 2 x + 3x + 6
Bài 2.25. Cho hàm số f (x) =
. Giải bất phương trình / f (x)  0 x +1 3 2 x x 2 3 2
Bài 2.26. Cho hàm số f (x) = + − 2x (
g x) = − x + 3x − 2x 3 2 và 3
. Giải bất phương trình / /
f (x)  g (x) . 2 3 x
Bài 2.27. Cho hàm số 3 2
f (x) = 2x x −12 và g(x) = x +
− 3 . Giải bất phương trình / /
f (x)  g (x) 2 . 16
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hàm số ( ) 3 f x =
x với x  0. Giá trị f  (8) bằng: 1 1 1 1 A. − . B. . C. . D. − . 12 6 12 6
Câu 2. Biết hàm số f ( x) 3 2
= ax + bx + x
c + d (a  0) có đạo hàm f ( x)  0 với x   . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2
b − 3ac  0. B. 2 b − 3ac  0. C. 2
b − 3ac  0. D. 2 b − 3ac  0. 3 a
Câu 3. Tính đạo hàm của hàm số y =
( a là hằng số). 2 2 a x 3 a ( 2 3a − 2x) 3 a x A. y = B. y = . 2 2 2( . 2 2 a x ) 2 2 a x a x 3 a x 3 a x C. y = D. y = . 2( . 2 2 a x ) 2 2 a x ( 2 2 a x ) 2 2 a x
Câu 4. Cho hàm số 3 2
y = 3x + x +1, có đạo hàm là y . Để y  0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?  2   9  A. − ; 0 .   B. − ;0 .    9   2   9   2  C. − ;  − 0;+  ).  D. − ;  − 0;+  ).   2   9  1
Câu 5. Cho hàm số 3
y = − mx + (m − ) 2
1 x mx + 3 , có đạo hàm là y . Tìm tất cả các giá trị của m để 3
phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt là x , x thỏa mãn 2 2
x + x = 6 . 1 2 1 2 A. m = −1+ 2.
B. m = −1+ 2 ; m = −1− 2. C. m = −1− 2.
D. m = 1− 2 ; m = 1+ 2.
Câu 6. Tính đạo hàm của hàm số y = ( x x )2016 3 2 2 . 2015 A. y = (x x )2015 3 2 2016 2 .
B. y = 2016( 3 2 x − 2x ) ( 2 3x − 4x). C. y = ( 3 2 x x )( 2 2016 2 3x − 4x). D. y = ( 3 2 x x )( 2 2016 2 3x − 2x). 4
Câu 7. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
tại điểm có hoành độ bằng 1. − x −1
A. y = x + 2 .
B. y = −x − 3 .
C. y = −x + 2 .
D. y = x −1.
Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) = x −1 tại điểm x =1. A. Không tồn tại. B. f '( ) 1 = 1. C. f '( ) 1 = 0. D. f ( ) 1 ' 1 = . 2 x
Câu 9. Cho hàm số f ( x) 3 = f x =
có tập nghiệm S là:
x − . Phương trình ( ) 0 1  2  2   3  3 
A. S = 0; .
B. S = − ;0.
C. S = 0; .
D. S = − ;0.  3  3   2  2  1
Câu 10. Cho hàm số f ( x) 3 2
= x − 2 2x + 8x −1, có đạo hàm là f (x) . Tập hợp những giá trị của x để 3
f ( x) = 0 là:
A. −2 2. B. 2; 2. C. −4 2. D. 2 2. x −1
Câu 11. Tính đạo hàm của hàm số y = . 2 x +1 17
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1+ x 2(x +1) 2 x x +1 2x A. y ' = . B. y ' = . C. y ' = . D. y ' = . 2 3 (x +1) 2 3 (x +1) 2 3 (x +1) 2 x +1 x (1− 3x)
Câu 12. Tính đạo hàm của hàm số y = . x +1 2 −3x − 6x +1 2 1− 6x 2 −9x − 4x +1 A. y ' = . B. 2 y ' = 1− 6x . C. y ' = . D. y ' = . 2 (x +1) ( 2 x + )2 1 (x +1) 1
Câu 13. Tính đạo hàm của hàm số y = . 2 x +1 2 x(x +1) x A. y = − . B. y ' = . 2 x +1 2 2 (x +1) x +1 x x C. y = − . D. y = . 2 2 (x +1) x +1 2 2 2(x +1) x +1 x
Câu 14. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) =
tại điểm x = 0. 2 4 − x A. f ( ) 1 ' 0 = . B. f ( ) 1 ' 0 = . C. f '(0) = 1. D. f '(0) = 2. 2 3 1
Câu 15. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) = −1+ . 3 x 1 1 1 1
A. f '( x) 3 = − x x.
B. f '( x) 3 = x x.
C. f '( x) = − .
D. f '( x) = − . 3 3 3 3x x 3 2 3x x 2 x + 2x − 3
Câu 16. Tính đạo hàm của hàm số y = . x + 2 3 2 x + 6x + 7 2 x + 4x + 5 2 x + 8x +1 A. y ' = 1+ = = = ( B. y ' . C. y ' . D. y ' . 2 2 2 x + 2) . 2 (x + 2) (x + 2) (x + 2)
Câu 17. Cho hàm số 2 y =
x + x +1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 2 2y ' x +1 = . y B. 2 y ' x +1 = 2 . y C. 2 2y x +1 = y '. D. 2 y ' x +1 = . y
Câu 18. Tính đạo hàm của hàm số y = ( x − ) 2 2 1 x + x. 2 4x −1 2 4x −1 A. 2
y = 2 x + x + . B. 2
y = 2 x + x + . 2 x + x 2 2 x + x 2 4x +1 2 4x −1 C. 2
y = 2 x + x + . D. 2
y = 2 x + x − . 2 2 x + x 2 2 x + x
Câu 19. Tính đạo hàm của hàm số 2
y = x x − 2x. 2 2x − 2x −1 2x − 2 2 3x − 4x 2 2x − 3x A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . 2 x − 2x 2 x − 2x 2 x − 2x 2 x − 2x
Câu 20. Cho hàm số y = ( x + )3 2 2
1 , có đạo hàm là y . Để y  0 thì x nhận các giá trị nào sau đây? A. (−;0. B. 0; +). C. .
D. Không có giá trị nào của . x
Câu 21. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2
y = −x + 5 tại điểm có tung độ bằng 1 − và hoành độ âm.
A. y = 2 6 ( x − 6 ) +1.
B. y = 2 6 ( x − 6 ) −1.
C. y = 2 6 ( x + 6 ) −1. D. y = 2
− 6 ( x + 6 ) −1. 18
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2 x +1
Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số y = . x 1 x  1  1 x A. y ' = x − .   B. y ' = . 2 2 2 x +1  x  2 2 x +1 1 x  1  1 x  1  C. y ' = 1+ .   D. y ' = 1− .   2 2 2 x +1  x  2 2 2 x +1  x  1
Câu 23. Hàm số nào sau đây có đạo hàm là hàm số 2x + ? 2 x 2 3( 2 x + x) 2x + x −1 3 x −1 3 x + 5x −1 A. y = B. y = . C. y = . D. y = x x 3 x x
Câu 24. Tính đạo hàm của hàm số 2 y = 1− 2x . 4 − x 2 − x 2x 1 A. y ' = . B. y ' = . C. y ' = . D. y ' = . 2 1− 2x 2 1− 2x 2 1− 2x 2 2 1− 2x x
Câu 25. Tính đạo hàm của hàm số 2 1 y = . x + 2 5 x + 2 1 5 x + 2 A. y ' = = ( B. y ' . . . 2x − ) . . 2 1 2x −1 2 (2x − )2 1 2x −1 1 x + 2 1 5 x + 2 C. y ' = . . y ' = . . . 2 2x D. 1 2 ( x + 2)2 2x −1 1
Câu 26. Tính đạo hàm của hàm số y = . 2 x − 2x + 5 2x − 2 2 − x + 2 A. y =  ( B. y = . x − 2x + 5) . 2 2 (x −2x+5)2 2 1 C. 2
y = (2x − 2)(x − 2x + 5). D. y = . 2x − 2
Câu 27. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x − 6x + 9x , biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng d : y = 9 . x
A. y = 9x + 32 .
B. y = 9x − 32 .
C. y = 9x + 40 .
D. y = 9x − 40 . x
Câu 28. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) 2 = tại điểm x = 1 − . x −1 A. f (− ) 1 = 0. B. f (− ) 1 = 1. C. f (− ) 1 1 = − . D. f (− ) 1 = 2 − . 2
Câu 29. Cho hàm số f ( x) 2
= x − 2x. Tập nghiệm S của bất phương trình f '(x)  f (x) có bao nhiêu giá trị nguyên? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 30. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y = x − 2x + 3 tại điểm M (1; 2).
A. y = 2 − x .
B. y = 2x + 2 .
C. y = 3x −1 .
D. y = x +1.
Câu 31. Tính đạo hàm của của hàm số y = ( x x )2 3 2 2 .
A. f ( x) 5 4 3
= 6x − 20x +16x . B. f ( x) 5 3 = 6x +16x . C. f ( x) 5 4 3
= 6x − 20x + 4x . D. f ( x) 5 4 3
= 6x − 20x −16x . 1
Câu 32. Cho hàm số 3 y = x − (2m + ) 2
1 x mx − 4 , có đạo hàm là y . Tìm tất cả các giá trị của m để 3
y  0 với x   . 19
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp  1    A. m  1 − ;− .  
B. m  (− −  1 ; 1  − ; + .    4   4   1   1  C. m  1 − ; .   D. m  1 − ;− .    4   4 
Câu 33. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) = x ( x − )
1 ( x − 2)...( x − 2018) tại điểm x = 0 . A. f (0) = 2 − 018!.
B. f (0) = 2018!.
C. f (0) = 2018. D. f (0) = 0. 2 −2x + x − 7
Câu 34. Tính đạo hàm của hàm số y = . 2 x + 3 2 7
x −13x −10 2
−3x −13x −10 A. y ' = ( B. y ' = . 2 x + 3) . 2 2 ( 2x +3) 2 −x + x + 3 2 −x + 2x + 3 C. y ' = ( D. y ' = . 2 x + 3) . 2 2 ( 2x +3) − x + x
Câu 35. Cho hàm số f ( x) 2 1 3 = f x x
. Giải bất phương trình ( ) 0. 1 A. x  . B. x . 
C. x  (1; +). D. x  \   1 . x + x
Câu 36. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) 2 =
tại điểm x =1 . x − 2 A. f ( ) 1 = 3 − . B. f ( ) 1 = 2 − . C. f ( ) 1 = 5 − . D. f ( ) 1 = 4 − .
Câu 37. Biết hàm số f ( x) 3 2
= ax + bx + x
c + d (a  0) có đạo hàm f ( x)  0 với x   . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2
b − 3ac  0. B. 2
b − 3ac  0. C. 2 b − 3ac  0. D. 2 b − 3ac  0.
Câu 38. Tính đạo hàm của hàm số 2 3 y = x − 4x . 2 x − 6x 2 x − 6x 1 2 x −12x A. y ' = . B. y ' = . C. y ' = . D. y ' = . 2 3 2 x − 4x 2 3 x − 4x 2 3 2 x − 4x 2 3 2 x − 4x 2x + 5
Câu 39. Tính đạo hàm của hàm số y = . 2 x + 3x + 3 2 x − 2x − 9 2 2
x − 5x − 9 A. y ' = ( B. y ' = . 2 x + 3x + 3) . 2 2 ( 2x +3x+3) 2 2x +10x + 9 2 2
x −10x − 9 C. y ' = ( D. y ' = . 2 x + 3x + 3) . 2 2 ( 2x +3x+3)
Câu 40. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) 4 3 2
= −x + 4x − 3x + 2x +1 tại điểm x = 1 − . A. f (− ) 1 = 15. B. f (− ) 1 = 24. C. f (− ) 1 = . 4 D. f (− ) 1 = 14.
Câu 41. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) = x x. x x
A. f '( x) = x + . B. f ( x) 1 ' = x. C. f ( x) 3 ' = x. D. f ( x) 1 ' = . 2 2 2 2 x
Câu 42. Tính đạo hàm của hàm số y = ( x − )4 7 5 . A. y = ( − x)3 28 5 7 .
B. y = ( x − )3 4 7 5 . C. y = − ( x − )3 28 7 5 . D. y = − ( − x)3 28 5 7 . 3x + 2x +1
Câu 43. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) 2 =
tại điểm x = 0. 3 2 2 3x + 2x +1 A. f '(0) = 1. B. f '(0) = 0. C. f ( ) 1 ' 0 = . D. Không tồn tại. 2 20
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
Câu 44. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y = x , biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 12.
A. y = 12x  4 .
B. y = 12x  8 .
C. y = 12x  2 .
D. y = 12x 16 .
Câu 45. Tính đạo hàm của hàm số 1 y = . x +1 − x −1 1 1 1 A. y = . B. y = + .
2 x +1 + 2 x −1 4 x +1 4 x −1 1 1 1 C. y = + . D. y = − . 2 x +1 2 x −1 ( x+1+ x−1)2
Câu 46. Cho hàm số f ( x) 3
= k. x + x . Với giá trị nào của k thì f ( ) 3 1 = ? 2 9 A. k = 3. B. k = . C. k = 3. − D. k = 1. 2
Câu 47. Tính đạo hàm của hàm số y = ( 2
x − 2)(2x − ) 1 . A. 2
y = 3x − 6x + 2. B. 2
y = 2x − 2x + 4. C. 2
y = 6x − 2x − 4. D. y = 4 . x
Câu 48. Tính đạo hàm của hàm số y = ( − x )5 3 1 . 4 4 A. 2 y = − x ( 3 15 1− x ) . B. 2 y = − x ( 3 3 1− x ) . 4 4 C. 2 y = − x ( 3 5 1− x ) . D. 2 y = x ( 3 5 1− x ) .
Câu 49. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4
y = x + x , biết tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng d : x + 5y = 0.
A. y = x + 4 .
B. y = 3x − 5 .
C. y = 2x − 3 .
D. y = 5x − 3 .
Câu 50. Cho hàm số y = 2 − x + 3 .
x Tập nghiệm S của bất phương trình y '  0 là:  1   1  A. S = ; + .   B. S = .  C. S = (− ;  +). D. S = − ;  .    9   9  ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
C B D A B B B A C D A A C A C A A B D B C D B B D
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
B B C C D A A C D D C B B D A C D C D B A C A D A 21
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
§3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Giới hạn hàm số lượnng giác Định lí: sin x a) lim = 1 x→0 x
b) Nếu hàm số u = (
u x) thoả mãn điều kiện: (
u x)  0 với mọi x x lim ( u x) = 0 0 và thì xx0 sin u(x) lim = 1 xx0 u(x) tan x c) lim = 1 x→0 x
2. Bảng tính đạo hàm của hàm số lượng giác Bảng 2 STT Hàm sơ cấp Hàm hợp ( u = ( u x) ) 1 / (sin x) = cos x / / (sin )
u = u cosu 2 /
(cos x) = −sin x / / (cos ) u = u − sinu 3 / / 1 2 (tan x) u = = 1+ tan x / / (tanu) = = u ( 2 1+ tan u 2 ) 2 cos x cos u 4 / / 1 (cot x) u = − = −( 2 1+ cot x / / (cot u) = − = −u ( 2 1+ cot u 2 ) 2 ) sin x sin u Các dạng toán
Dạng 1
. Tính đạo hàm bằng công thức đối với các hàm lượng giác
Phương pháp: 1. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm
2. Áp dụng các đạo hàm lượng giác cơ bản
Dạng 2. Giải phương trình / f (x) = 0
Phương pháp: 1. Tính đạo hàm / f (x)
2. Để giải phương trình /
f (x) = 0, ta áp dụng cách giải các phương trình lượng giác cơ bản và một số
phương trình lượng giác thường gặp. B. BÀI TẬP
Bài 3.1. Tìm các giới hạn sau tan x sin 2x 1− cos x a) lim b) lim c) lim x→0 x x→0 x 2 x→0 x tan3x 2 1− cos x
1+ sin x − cos x d) lim e) lim f) lim x→0 sin 5x
x→0 x.sin 2x
x→0 1− sin x − cos x HDGiải tan x  sin x 1  sin x 1 a) Ta có lim = lim . = lim .lim =1   x→0 x→0 x→0 x→0 xx cos x x cos x sin 2x 2sin 2x sin 2x b) lim = lim = 2 lim = 2.1 = 2 x→0 x→0 x→0 x 2x 2x 22
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2 x 2 2sin 2sin x  sin x  1− cos x 1   1 1 2 2 2 c) lim = lim = lim = lim   = .1 = 2 2 2 x→0 x→0 x→0 x→0 x x x 2 x 2 2 4.     4  2  tan3x tan3 lim x tan3x 3x 3x 3 x→0 3x 3 d) lim = lim . = . = x→0 x→0 sin5x 5x sin5x 5 sin5x 5 lim x→0 5x 5x 2 1− cos x  sin x sin x  sin x 1 1 1 e) lim = lim . = lim .lim =1. =   x→0 x→0 x→0 x→0 x.sin2xx 2sin x.cos x x 2cos x 2 2 2
2sin x + 2sin x .cos x sin x + cos x
1+ sin x − cos x 2 2 2 2 2 f) lim = lim = lim = 1 − x→0 x→0 x→0
1−sin x − cos x 2
2sin x − 2sin x .cos x sin x − cos x 2 2 2 2 2
Bài 3.2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:      a) y = sin 3x  +  y = − x y = x − 5  b) sin  c) 3 cos( 1)    2     d) 2 y = tan(3x + 5) e) y = tan
x , x k  ,k   f) 3
y = cot (3x −1)  2  HDGiải / /          /    
a) y = sin 3x +   = 3x + cos 3x + = 3cos 3x + 5  5   5   5           / /          /     b) y = sin − x   = − x cos − x = − cos − x = −sin x 2  2   2   2           / 2 3 c) y = 3
x sin(x − ) 1 (3x + 5) 6x
d) y = (tan(3x + 5)) 2 / / / 2 = = 2 2 2 2
cos (3x + 5) cos (3x + 5) /    / − x     2      1 e) / y = tan − x   = = −   2  2    2 cos − x cos   − x   2   2      ( − 3x −1) 9cos (3x −1)
f) y = (cot (3x −1)) = 3cot (3x −1)(cot(3x −1)) / 2 / / / 3 2 2 = 3cot (3x −1). = − 2 4 sin (3x −1) sin (3x −1)
Bài 3.3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = 5sin x − 3cos x
b) y = x cot x
c) y = 1+ 2 tan x x + x x x 2 sin cos sin d) y = sin 1+ x e) y = y = + sin x − cos x f) x sin x HDGiải / x a) /
y = 5cos x +3sin x b) y = cot x − 2 sin x 2 x x / 1 / cos +1 c) y = d) y = 2 cos x 1+ 2tan x 2 x +1 23
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp   / 2 / 1 1 e) y = −
f) y = (x cos x − sin x) − 2
(sin x − cos x)  2 2 x sin x   
Bài 3.4. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau: 2
a) y = sin ( x − 3x + 2) b) y = cos 2x +1 c) y = cos2x
d) y = tan 3x − cot 3x
e) y = 1+ 2 tan x f) 2 y = cot x +1 HDGiải / / 2 2 − x +
a) y = (sin(x − 3x + 2) = (2x − 3)cos(x − 3x + 2) b) y = ( x + )/ / sin 2 1 cos 2 1 = 2x +1 x 12 c) y = ( x )/ / sin2 cos2 = −
d) y = (tan3x − cot 3x)/ / = cos2x 2 sin 6x 1 / −x
e) y = ( 1+ 2tan x )/ / = f) / y = ( 2 cot x +1) = ( 2 2 1+ cot x +1 2 ) 2 cos x. 1+ 2tan x x +1
Bài 3.5. Tìm đạo hàm các hàm số sau 2 sin x
a) y = tan(sin x) b) 2
y = x cot(x −1) c) y = 1+ tan2x 2  d) y = cos − 2x y = x x y = x x 4 e) sin3 f) cot 2 HDGiải cos x
sin2(x −1) − 4x
a) y = (tan(sin x))/ / =
b) y = ( x cot(x −1)) 2 2 / / 2 = 2 cos (sin x) 2 2 2sin (x −1) / / 2 2 2     / sin x sin 2x
2sin x(1+ tan 2x) / 2  2sin  − 8x c) y =   = − y =  cos − 2x  = 2 1+ tan 2x 1+ tan 2x (1 d) + tan 2x)    4   − 8x   x + x x 1 2 x e) y = (x x )/ / 2sin3 3 cos3 sin3 =
f) y = ( x cot 2x)/ / = cot 2x − 2 sin3x 2 2 x sin 2x
Bài 3.6. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau x 1
a) y = sin 3x + cos + tan x y = sin y = x x + x 5 b) c) 2 2 3sin cos cos 2 x x x x 2 1 sin cos d) 3 y = (3−sin x) e) y = sin 3x + f) y = 2 cos x
cos x + x sin x HDGiải / /  x  1 x 1
a) y = sin 3x + cos
+ tan x = 3cos3x − sin +   2  5  5 5 2 x cos x / /  1  2 1 b) y = sin = − cos  2  3 2  x x x c) y = ( x x + x)/ / 2 2 2 2 3sin cos cos
= sin x(6cos x − 3sin x − 2cos x) d) y = ( − x )/ / 3 2 (3 sin ) = 3
− (3− sin x) cos x / / 2 /  2 1  2sin x /
 sin x x cos x x e) y = sin 3x + = 3sin 6x +  y = = 2  3 f)    cos x  cos x 2
 cos x + x sin x
(cos x + x sin x)
Bài 3.7. Chứng minh rằng:
a) Hàm số y = tan x thỏa mãn hệ thức / 2 y y −1= 0 24
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
b) Hàm số y = cot 2x thỏa mãn hệ thức / 2 y + 2y + 2 = 0 HDGiải 2 2 a) / 2
y =1+ tan x . Do đó / 2
y y −1 = (1+ tan x ) – tan x – 1 = 0 2 2 2 b) y ' = 2
− (1+ cot 2x). Do đó / 2 y + 2y + 2 = 2
− (1+ cot 2x) + 2cot 2x +2 = 0
Bài 3.8. Giải phương trình /
f (x) = 0 biết rằng: 2 + x
a) f (x) = 3cos x + 4sin x + 5x
b) f (x) = 1− sin(   + x) + 2 cos 2   
c) f (x) = sin 2x − 2 cos x
d) f (x) = tan x + cot x HDGiải a) Với mọi x  , ta có / f (x) = 3
− sin x + 4cos x + 5 / 3 4 f (x) = 0  3
− sin x + 4 cos x + 5  sin x − cos x = 1 5 5 (    x − )   3 4 sin
= sin  x =  + + k2;k  cos   = ;sin = 2 2 5 5    x b) Với mọi x  , ta có /
f (x) = cos x + sin 2
x =  − k4   / x x x f (x) 0 cos x sin 0 sin cos x sin sin x   =  + =  = −  = −    k4 ;k  2 2 2  2   x =  +  3 c) Với mọi x  , ta có / 2
f (x) = 2cos2x + 2sin x = 2(1−2sin x)+ 2sin xx  = + k2  2 sin x = 1  / 2
f (x) = 0  2(1− 2sin x) + 2sin x = 0    
1  x = − + k2 ;k  sin x  = − 6  2  7 x  = + k2  6 k 2 2 / 1 1 sin x − cos x 4 − cos2x d) Với mọi x  ;k f (x) = − = = 2 , ta có 2 2 2 2 2 cos x sin x cos x sin x sin 2x / 4 − cos2 ( ) = 0 x f x
= 0  cos2x = 0  x  = + k  ;k  2 sin 2x 4 2
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 3.9. Tìm các giới hạn sau: tan 2x cos2x −1 tan x − sin x    a) lim b) lim c) lim d) lim − x tan x   x→0 sin 5x 2 x→0 sin 3x 3 x→0 x x  →  2  2
Bài 3.10. Tìm đạo hàm các hàm số sau: x 2 1 3 a) y =
y = cos x x +1
y = cos x − cos x sin x + cos x b) c) 3 2 d) y = cot 1+ x
e) y = sin(2sin x) f) y = 1+ tan x
Bài 3.11. Tìm đạo hàm các hàm số sau: sin x a) 2
y = x cot x b) y = y = x + cos3x c) ( )3 sin2 8 25
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 3 1
d) y = (2x − 5) tan x e) 3 y = sin (1− x) f) y = cosx
Bài 3.12. Giải phương trình /
f (x) = 0 biết: 2 cos17x 3.sin 5x cos5x
a) f (x) = 3 cos x + sin x − 2x − 5 b) f (x) = − + + 2 17 5 5
Bài 3.13. Tìm a để phương trình /
f (x) = 0 có nghiệm, biết f (x) = acos x + 2sin x −3x +1 1
Bài 3.14. Cho hai hàm số 4 4
f (x) = sin x + cos x g(x) = cos4x . Chứng minh rằng 4 / /
f (x) = g (x), x  
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM   
Câu 1. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) 2 = tan x − 
 tại điểm x = 0 .  3 
A. f (0) = 3 − .
B. f (0) = 3.
C. f (0) = − 3.
D. f (0) = 4.
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x) 2
− cos x với f (x) là hàm số liên tục trên
. Trong các biểu thức dưới
đây, biểu thức nào xác định hàm số f ( x) thỏa mãn y( x) =1 với mọi x ?
A. f ( x) = x + sin 2 . x B. f ( x) 1 = x − cos 2 .
x C. f ( x) = x − sin 2 . x D. f ( x) 1 = x + cos 2 . x 2 2 x
Câu 3. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) 3 2 = sin 5 . x cos tại điểm x = . 3 2    3    3    3    3 A. f  = −    B. f  = −    C. f  = −    D. f  = −     2  2  2  4  2  3  2  6    
Câu 4. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) 3 = 2sin − 2x
 tại điểm x = − .  5  5             A. f  − = 2.   B. f  − = 2. −   C. f  − = 4.   D. f  − = 4. −    5   5   5   5  
Câu 5. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) 4 4
= sin x + cos x tại điểm x = . 8       3       A. f  = 0.   B. f  = .   C. f  =1.   D. f  = 1. −    8   8  4  8   8 
Câu 6. Tính đạo hàm của hàm số 2
y = sin 2 + x . x +1 2x + 2 A. 2 y = cos 2 + x . B. 2 y = cos 2 + x . 2 2 + x 2 2 + x x x C. 2 y = − cos 2 + x . D. 2 y = cos 2 + x . 2 2 + x 2 2 + x
Câu 7. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) = sin ( sin x) tại điểm x = . 6            3     A. f  = −    B. f  = . 0   C. f  =    D. f  =     6  2  6   6  2  6  2 x      
Câu 8. Cho hàm số f ( x) cos = . P = f  − f  −     1−
Tính giá trị biểu thức . sin x  6   6  x − 3 8 4 4 A. y = P = . C. P = . D. P = . x + B. 4 3 3 9
Câu 9. Tính đạo hàm của hàm số 3
y = cos (2x − ) 1 . 26
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp A. y = 3
− sin (4x − 2)cos(2x − ) 1 . B. 2
y = 3cos (2x − ) 1 sin (2x − ) 1 . C. 2 y = 3 − cos (2x − ) 1 sin (2x − ) 1 . D. 2
y = 6 cos (2x − ) 1 sin (2x − ) 1 . x +
Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số 1 y = tan . 2 1 1 A. y = − . y = . x + B. 1 x +1 2 cos 2 cos 2 2 1 1 C. y = − . y = . x + D. 1 x +1 2 2 cos 2 2 cos 2 2  x
Câu 11. Hàm số f ( x) = 4x có đạo hàm là f ( x) , hàm số g ( x) = 4x + sin
có đạo hàm là g( x) . 4 f (2)
Tính giá trị biểu thức P = g( ). 2 16 16 1 A. P =1. B. P = . C. P = . D. P = . 16 +  17 16 
Câu 12. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) = 2sin 3x cos 5x tại điểm x = . 8       1 − 5 2       A. f  = 2 + 4 2.   B. f  = .   C. f  = 8 − + 2.   D. f  = 8 − − 2.    8   8  2  8   8  sin x + cos x
Câu 13. Tính đạo hàm của hàm số y = . sin x − cos x 2 − 2sin 2x 2 − A. y =  = ( B. y .
sin x − cos x) . 2
(sin x −cos x)2 −sin 2x 2 2 sin x − cos x C. y =  = ( D. y . 2
sin x − cos x) . 2 (sin x −cos x) 2
Câu 14. Tính đạo hàm của hàm số y = − tan(1− . 2x) −4 −4 −4x 4x A. y = . y = . y = . y = . 2 sin (1− B. 2x) sin (1− C. 2x) 2 sin (1− D. 2x) 2 sin (1− 2x) x
Câu 15. Tính đạo hàm của hàm số cos 2 y = . 3x +1 2(3x + )
1 sin 2x + 3cos 2x 2 − (3x + )
1 sin 2x − 3cos 2x A. y =  = ( B. y . 3x + ) . 2 1 (3x + )2 1 2 − (3x + )
1 sin 2x − 3cos 2x −(3x + )
1 sin 2x − 3cos 2x C. y = . y = . 3x + D. 1 (3x + )2 1
Câu 16. Tính đạo hàm của hàm số 3
y = sin (1− x) . A. 2 y = 3
− sin (1− x).cos(1− x). B. 2
y = 3sin (1− x).cos (1− x). C. 3
y = cos (1− x). D. 3
y = − cos (1− x). 
Câu 17. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) = sin 2x − 2x cos 2x tại điểm x = . 4              1 A. f  = .   B. f  =1.   C. f  = .   D. f  = .    4  4  4   4   4  4
Câu 18. Tính đạo hàm của hàm số y = sin (sin x). 27
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
A. y = cos (sin x). B.
y = cos (cos x). C. y = cos . x cos (sin x). D. y = cos . x cos (cos x).
Câu 19. Tính đạo hàm của hàm số 3
y = tan x + cot 2x . 1 2 3 tan x 2 A. 2
y = 3 tan x − . B. y = − . 2 sin 2x 2 2 cos x sin 2x 2 3 tan x 2 C. 2 y = 3 tan .
x cot x + 2 tan 2 . x D. y = − + . 2 2 cos x sin 2x
Câu 20. Cho f ( x) 2
= 2x x + 2 và g (x) = f (sin x) . Tính đạo hàm của hàm số g (x) .
A. g( x) = 2cos 2x − sin . x B.
g( x) = 2sin 2x + cos . x C.
g( x) = 2sin 2x − cos . x D. /
g ( x) = 2cos 2x + sin . x
Câu 21. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) 2 = tại điểm x = . cos 3x 3          3 2    3 2 A. f  =1.   B. f  = 0.   C. f  =    D. f  = −     3   3   3  2  3  2
Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số 2
y = x tan x + x . 1 1
A. y = 2x tan x + .
B. y = 2x tan x + . 2 x x 2 x 1 2 x 1
C. y = 2x tan x + + .
D. y = 2x tan x + + . 2 cos x 2 x 2 cos x x
Câu 23. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) = 5sin x − 3cos x tại điểm x = . 2             A. f  = 5.   B. f  = 3.   C. f  = 3. −   D. f  = 5. −    2   2   2   2 
Câu 24. Tính đạo hàm của hàm số 2
y = cot x +1 . x x A. y = − . B. y = . 2 2 2 x +1.sin x +1 2 2 2 x +1.sin x +1 1 1 C. y = − . D. y = . 2 2 sin x +1 2 2 sin x +1 
Câu 25. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) 1 = tại điểm x = . sin x 2    1       A. f  = .   B. f  = 0.  
C. Không tồn tại . D. f  =1.    2  2  2   2  2 
Câu 26. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) = sin x + cos x tại điểm x = . 16 2    2 2    2    2    2 2 A. f   =  B. f   = 2. C. f   = 0. D. f   =   16    16   6 1   16    x Câu 27. Hàm số ( ) 4 f x = x
có đạo hàm là f ( x) , hàm số g ( x) = 2x + sin
có đạo hàm là g( x) . 2 f ( ) 1
Tính giá trị biểu thức P = g( ). 1 4 4 A. P = − . B. P = . C. P = 2. D. P = 2. − 3 3 1   
Câu 28. Tính đạo hàm của hàm số 2 y = − sin − x   . 2  3  28
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1    1    A. y = x sin − x .   B. 2 y = x cos − x .   2  3  2  3     1    C. 2 y = x cos − x .   D. 2 y = x cos − x .    3  2  3 
Câu 29. Tính đạo hàm của hàm số y = cos 2x +1 . sin 2x +1 sin 2x +1 sin 2x +1 A. y = − . B. y = . C.
y = −sin 2x +1. D. y = − . 2 2x +1 2x +1 2x +1
Câu 30. Tính đạo hàm của hàm số y = cos (tan x) . 1 A.
y = − sin (tan x)   B.
y = sin (tan x). 2 cos x 1 C.
y = – sin (tan x).
D. y = sin (tan x)   2 cos x
Câu 31. Tính đạo hàm của hàm số 2
y = 2sin x − cos 2x + x .
A. y = 4sin 2x +1. B.
y = 4cos x + 2sin 2x +1. C.
y = 4sin x − 2sin 2x +1.
D. y = 4sin x + sin 2x +1.     
Câu 32. Tính đạo hàm của hàm số 2 y = sin − 2x + x −   .  2  2 4        
A. y = −2 sin ( − 4x) +  B. y = 2sin − x cos − x + .     2  2   2  2        C. y = 2sin − x cos − x + . x     D. y = 2 − sin ( − 4x).  2   2  2   
Câu 33. Hàm số f ( x) = a sin x + b cos x +1 có đạo hàm là f ( x) . Để f ( ) 1 0 = và f − =1   thì giá 2  4 
trị của a b bằng bao nhiêu? 1 1 1 2 2 2 A. a = ; b = − .
B. a = b = .
C. a = b = . D. a = ; b = − . 2 2 2 2 2 2 
Câu 34. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) 2 2
= cos x − sin x tại điểm x = . 4             A. f  =1.   B. f  = 2. −   C. f  = 0.   D. f  = 2.    4   4   4   4 
Câu 35. Tính đạo hàm của hàm số 2
y = 2 cos x . A. 2 y = 4
xsin x . B. 2 y = 4
x cos x . C. 2 y = 2 − xsin x . D. 2 y = 2 − sin x . 
Câu 36. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) = 2 tan x tại điểm x = . 4             A. f  = 4. −   B. f  = 2.   C. f  = 4.   D. f  =1.    4   4   4   4  
Câu 37. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) = tan x + cot x tại điểm x = . 4    2    1       A. f  = .   B. f  = .   C. f  = 2.   D. f  = 0.    4  2  4  2  4   4  2
Câu 38. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) = tại điểm 1 x = . cos ( x) 3  1   1   1   1  4 3 A. f  = 4 3.   B. f  = 2 3.   C. f  = 8.   D. f  =     3   3   3   3  3
Câu 39. Tính đạo hàm của hàm số y = ( 2
sin x − 3x + 2) . 29
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp A. y = ( x − ) ( 2 2
3 .sin x − 3x + 2). B. y = ( x − ) ( 2 2
3 .cos x − 3x + 2). C.
y = − ( x − ) ( 2 2
3 .cos x − 3x + 2). D. y = ( 2
cos x − 3x + 2).   
Câu 40. Tính đạo hàm của hàm số y = sin − 3x   .  6        A. y = cos − 3x .   B. y = 3 − sin − 3x .    6   6        C. y = 3cos − 3x .   D. y = 3 − cos − 3x .    6   6  ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D D D C D D B C A D A D B A B A C C B C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B C B A B C C C D A A A B B A C D A B D 30
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp §4. VI PHÂN
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng ( ;
a b)và có đạo hàm tại x ( ;
a b). Giả sử x
 là số gia của x sao cho x + x  ( ; a ) b Ta gọi tích / f (x) x  (hay / y x
 ) là vi phân của hàm số y = f (x) tại x ứng với số gia x  , Kí hiệu là
df (x) hay dy Như vậy: /
dy = df (x) = f (x)dx (vì x  = dx ) hay / dy = y dx
2. Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng f (x + x  )  f (x ) / + f x x  0 0 ( 0) Các dạng toán
Dạng 1.
Tìm vi phân của hàm số y = f (x)
Phương pháp: 1. Tính đạo hàm / f (x)
2. Vi phân của hàm số y = f (x) tại x là /
dy = df (x) = f (x)dx
3. Vi phân của hàm số y = f (x) / tại x
dy = df (x ) = f (x )dx 0 là 0 0
Dạng 2. Tính giá trị gần đúng của một biểu thức
Phương pháp: 1. Lập hàm số y = f (x) và chọn x , x  một 0 cách thích hợp / /
2. Tính f (x), f (x ) f (x ) 0 và 0
3. Giá trị gần đúng của biểu thức P = f (x + x  )  f (x ) / + f x x  0 0 ( 0) B. BÀI TẬP
Bài 4.1. Tìm vi phân của các hàm số sau: 1 a) 3
y = x − 5x +1 b) 3 y = sin x
c) y = sin x x cos x d) y = 3 x HDGiải / 3 2 a) 3
y = x − 5x +1, / 2
y = 3x −5. dy = y dx = (x −5x + )
1 dx = (3x −5)dx / 2 b) 3 y = sin x , / 2 y = 3sin .
x cos x . dy = y dx = (3sin x.cos x)dx / c)
y = sin x x cos x , /
y = xsin x . dy = y dx = (x.sin x)dx 1 / 3 / 3 d) y = , y = −
. dy = y dx = − dx 3 x 4 x 4 x
Bài 4.2. Tìm vi phân của các hàm số sau: 1 x + 2 tan x a) y = b) y = c) 2 y = sin x d) y = 2 x x −1 x HDGiải 2 3 a) dy = − dx b) dy = − dx 3 x 2 (x −1) 2 x −sin(2 x)
c) dy = (sin 2x) dx d) dy = dx 2 4x x cos x
Bài 4.3. Tìm vi phân các hàm số sau: x a) y = 2 2
y = x + 4x +1 x x
a + b (a, b là các hằng số) b) ( )( ) 31
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp cos x c) 2 y = tan x d) y = 2 1− x HDGiải 1    2 2 1 a) dy = dx
b) dy = (2x + 4)(x x ) + (x + 4x + ) 1 2x −  dx
2(a + b) x   2 x  2tan x
( 2x − )1sinx+2xcosx c) dy = dx d) dy = dx 2 cos x (1− x )2 2
Bài 4.4. Tìm vi phân của các hàm số sau: 2 a) 2 2
y = x +sin x b) 3 y = tan x c) 2 2
y = tan 3x − cot 3x d) y = cos 2x +1 HDGiải 2 3sin x 2 2
a) dy = (2x + sin 2x) dx b) dy =
dx ( hoặc dy = 3tan x (1+ tan x)dx ) 4 cos x 6( 4 2
2cos 3x +1− 2cos 3x) sin 4x c) dy = dx d) dy = − dx 3 3 sin 3x cos 3x 2 cos 2x +1
Bài 4.5. Tính giá trị gần đúng của P = 3,99 HDGiải
Đặt f (x) = x , Chọn x = 4, x  = 0 − ,01
3,99 = 4 − 0,01= x + x  0 thì 0 / 1 / 1 Ta có f (x) =
, f (4) = , f (4) = 2 2 x 4 /
P = 3,99 = f (4 − 0,01)  f (4)+ f (4).( 0 − ,01) 1,9975
Vậy P = 3,99 1,9975 Cách khác:
Đặt f (x) = x , Chọn x = 3, x  = 0,99
3,99 = 3+ 0,99 = x + x  0 thì 0 / 1 / 1 Ta có f (x) = , f (3) = , f (3) = 3 2 x 2 3 /
P = 3,99 = f (3+ 0,99)  f (3)+ f (3).(0,99) =1,9975
Vậy P = 3,99 1,9975
Bài 4.6. Tính giá trị gần đúng của 0
P = sin30 30' (lấy 4 chữ sô thập phân trong kết quả) HDGiải    
Đặt f (x) = sin x , Chọn x = ,x = 0 30 30' = + = x + x 0 6 360 thì 0 6 360     / /  3  1
Ta có f (x) = cos x, f = , f =  6  2  6      2       0    /
P = sin30 30' = f +  f
+ f  .   0,5076  6 360   6   6        360     Vậy 0 P = sin30 30' = sin +  0,5076  6 360    32
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 4.7. Tìm vi phân các hàm số sau 1 x + 2 3 x +1
a) y = f (x) =
b) y = f (x) =
c) y = f (x) = 3 x x −1 3 x −1 2 2x + 3x + 4 cos x tan x
d) y = f (x) =
y = f (x) = y = x e) f) −1 2 1− x x Bài 4.8. Tìm d(sin x) d(tan x) 2 d(cos x) a) d(cos x) b) d(cot x) c) d(cos2x) d ( 4 2 x − 2x + 3) dx d ( 3 2
x + 3x + 2x − 5) d) e) f) d ( 2 2x ) d ( 2 1+ cos 3x ) d ( 3 2
2x − 3x + x)
Bài 4.9. Tìm các giá trị gần đúng của các số sau (làm tròn đến hàng phần nghìn) 1 0 a) A = 4,01 b) B = C = sin 29 0,9995 c) 0 0 d) D = tan 44 52 ' e) E = cos 61 f) F = 120
Bài 4.10. Tìm các giá trị gần đúng của các số sau (làm tròn đến hàng phần nghìn) 0 a) A = cos 45 30 ' b) B = 0,996 c) C = 0,99998
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 2 x + x +1
Câu 1. Tính vi phân của hàm số y = . x −1 2x +1 2 x − 2x − 2 A. dy = − = ( B. dy d . x 2 x − ) d . x 2 1 (x − ) 1 2 x − 2x − 2 2x +1 C. dy = − = ( D. dy d . x x − ) d . x 2 1 (x − )2 1
Câu 2. Tính vi phân của hàm số x y = với ,
a b là hằng số thực dương. a + b 1 2 A. dy = B. dy = d . x
x (a + b) d . x 2 (a +b) x 2 x 1 C. dy = d . x D. dy = d . x a + b
2(a + b) x 4x +1
Câu 3. Tính vi phân của hàm số y = . 2 x + 2 8 − x 8 + x 8 + x 8 − x A. dy = d . x B. dy = d . x C. dy = d . x D. dy = d . x (x +2)1 2 2 (x +2)1 2 2 (x +2)3 2 2 (x +2)3 2 2  x +1
Câu 4. Tính vi phân của hàm số 2 y = cos  .   x −1   1   x +1 1  x +1 A. dy =      B. dy = − .sin  d . x  
x ( x − ) .cos 2 . 2  x −1 1    x ( x − )2 x −1 2 1   33
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1   x +1 1  x +1 C. dy =      D. dy = .sin  d . x  
x ( x − ) .sin 2 d . x 2  x −1 1    x ( x − )2 x −1 1  
Câu 5. Tính vi phân của hàm số y = ( x − ) 2 2 x + 3. 2 x − 2x + 3 2 2x − 2x + 3 A. dy = d . x B. dy = d . x 2 x + 3 2 x + 3 2 2x x + 3 2 x x + 3 C. dy = d . x D. dy = d . x 2 x + 3 2 x + 3
Câu 6. Tính vi phân của hàm số y = x + x . 2 x +1 x + 2 A. dy = d . x B. dy = d . x 2 4 x + x x 2 4 x + x 2 x +1 x +1 C. dy = d . x D. dy = d . x 4 x + x 2 2 x + x x
Câu 7. Tính vi phân của hàm số y = cot (2017x). 2017 2017 A. dy = d . x B. dy = − d . x 2 sin (2017x) 2 cos (2017x) 2017 C. dy = − d . x D. dy = 2
− 017sin (2017x)d .x 2 sin (2017x) x +
Câu 8. Tính vi phân của hàm số 2 3 y = . 2x −1 7 4 A. dy = − = ( x B. dy d . x 2x − ) d . 2 1 (2x − )2 1 4 8 C. dy = − = − ( x D. dy d . x 2x − ) d . 2 1 (2x − )2 1
Câu 9. Tính vi phân của hàm số 3 2
y = x – 9x +12x − 5. A. y = − ( 2 d
3x –18x +12)d . x B. y = ( 2 d 3
x +18x −12)d .x C. y = ( 2 d
3x – 18x +12)d .x D. y = ( 2 d 3
x –18x +12)d .x ( x − )2 1
Câu 10. Tính vi phân của hàm số f ( x) =
tại điểm x = 4 ứng với x  = 0,002. x A. f ( ) 1 d 4 = . B. f ( ) 1 d 4 = . C. f ( ) 1 d 4 = . D. f ( ) 1 d 4 = . 8 8000 400 1600
Câu 11. Tính vi phân của hàm số y = ( x − )2 1 .
A. dy = ( x − ) 1 d . x B. y = ( x − )2 d 1 d . x
C. dy = 2( x − ) 1 d . x
D. dy = 2( x − ) 1 . x +
Câu 12. Tính vi phân của hàm số 3 y = tại điểm x = 3. − 1− 2x 1 1 A. dy = − d . x B. dy = 7d − . x C. dy = d . x D. dy = 7d . x 7 7 2
x x khi x  0
Câu 13. Cho hàm số f ( x) = 
. Mệnh đề nào sau đây đúng ? 2x khi x  0 + −
A. f (0 ) = lim ( 2 x x =
B. f (0 ) = lim 2x = 0. + ) 0. − x→0 x→0 2 + x x
C. df (0) = −d . x
D. f (0 ) = lim = lim ( x − ) 1 = −1. + + x→0 x→0 x 34
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x x
Câu 14. Cho hàm số f ( x) sin khi 0 =  . x khi x
Mệnh đề nào sau đây sai ? 0
A. Hàm số không có vi phân tại x = 0.
B. f '(0− ) = 1. C. df (0) = d . x D. f '(0+ ) = 1.
Câu 15. Tính vi phân của hàm số f ( x) 2
= 3x x tại điểm x = 2 ứng với x  = 0,1.
A. df (2) = 1,1.
B. df (2) = 0 − ,4. C. df (2) = 0 − ,07. D. df (2) = 0 1 . x
Câu 16. Tính vi phân của hàm số tan y = . x
2 x − sin (2 x )
2 x − sin (2 x ) A. dy = d . x B. dy = − d . x 2 4x x cos x 2 4x x cos x sin (2 x ) 2 x C. dy = d . x D. dy = d . x 2 4x x cos x 2 4x x cos x
Câu 17. Cho hàm số f ( x) 2
= 1+ cos 2x. Mệnh đề nào sau đây là đúng? −sin 2x −sin 4x
A. df ( x) = d . x
B. df ( x) = d . x 2 1+ cos 2x 2 2 1+ cos 2x −sin 4x cos 2x
C. df ( x) = d . x
D. df ( x) = d . x 2 1+ cos 2x 2 1+ cos 2x
Câu 18. Tính vi phân của hàm số f ( x) = sin 2x tại điểm x = ứng với x  = 0,001. 3             A. df = 0,001.   B. df = 0 − ,001.   C. df = 1 − .   D. df = 0 − ,1.    3   3   3   3 
Câu 19. Tính vi phân của hàm số y = sin x + 2x. cos x +1 cos x −1 A. dy = d . x B. dy = d . x sin x + 2x sin x + 2x 2 − cos x cos x + 2 C. dy = d . x D. dy = d . x 2 sin x + 2x 2 sin x + 2x 2 1− x
Câu 20. Tính vi phân của hàm số y = . 2 1+ x 4x 4 A. dy = − ( x B. dy = − d . x 1+ x ) d . 2 2 (1+ x )2 2 4 dx C. dy = − d . x D. dy = − . 2 1+ x (1+ x )2 2 ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B D D C B A C D C B C C D A A A B B D A 35
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
§5. ĐẠO HÀM CẤP HAI
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Định nghĩa
Giả sử hàm số f (x) có đạo hàm f (x) . Nếu f (x) cũng có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của nó là đạo hàm
cấp hai của f (x) và kí hiệu f (x) : Như vậy ( f (x))  = f  (x) Ta có ( f x )/ / ( ) = f (x) ( f x )/ / // ( ) = f (x) Tương tự ( f x )/ // /// (3)
( ) = f (x)  f (x)
..................................................... ( nfx )/ ( 1) (n) *
( ) = f (x),n (n)
f (x) là đạo hàm cấp n của hàm số f (x)
2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Xét một chất điểm chuyển động có phương trình s = f (t) . / /
Vận tốc tại thời điểm t (
v t ) = s (t ) = f (t )
0 của chất điểm đó là 0 0 0
Gia tốc tức thời tại điểm t s = f t
0 của một chất điểm chuyển động với phương trình ( ) là: a t ( ) =  v t ( ) =  s t ( ) 0 0 0 Các dạng toán
Dạng 1
. Tìm đạo hàm cấ[p cao của hàm số y = f (x)
Phương pháp: 1. Tính đạo hàm cấp 1: / f (x)
2. Tính đạo hàm cấp 2 : f x = ( f x )/ // / ( ) ( )
3. Tính đạo hàm đến các cấp được chỉ ra.
Dạng 2. Chứng minh một hệ thức có đạo hàm Phương pháp:
1. Tính đạo hàm của hàm số y = f (x) đến cấp đã chỉ ra
2. Thay các kết quả đó vào vế phải (vế trái) của hệ thức và biến đổi bằng vế trái (vế phải).
Dạng 3. Tính gia tốc tức thời của một chuyển động có phương trình s = ( s t) Phương pháp:
1. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là / (
v t) = s (t)
2. Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là / (
a t) = v (t) B. BÀI TẬP
Bài 5.1. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: 1 2
a) y = x 1+ x b) y = tan x c) y = 1− x 1 d) y = e) 2 y = cos x
f) y = sin 5x cos2x 1− x HDGiải 2 2 x(1− 2x ) 4x 1+ x − 2 2 2 2 + x x + x / 2 x 1+ 2x // 1 (3 2 ) a) y = 1+ x + = ; y = = 2 2 1+ x 1+ x 2 2 2 1+ x (1+ x ) 1+ x 36
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 2 / (cos x)
2cos x sin x 2sin x    b) / y = ; // y = − = = ; x  + k   ,k  2 cos x 4 4 3 cos x cos x cos x 2    / 1 // 2 3 c) y = ; y = d) // y = 2 (1− x) 3 (1− x) 5 4 (1− x) // 1 e) // y = 2 − cos2x
f) y = − (49sin 7x + 9sin 3x) 2
Bài 5.2. Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: 2x +1 x x +1 a) y = b) y = c) y = 2 x + x − 2 2 x −1 x − 2 2 x 2
d) y = x 1+ x e) y = y = − x x 1 f) 2 (1 )cos − x HDGiải 2x +1 1 1   // 1 1 a) y = = +  y = 2 + 2  3 3
x + x − 2 x 1 x 2 (x −1) (x + 2)  − +  x 1  1 1   − −    / 1 1 1 // 1 1 b) y = = +  y = +  y = + 2    2 2   3 3
x −1 2  x +1 x −1
2 (x +1) (x −1)  (x +1) (x −1)  x +1 3 3 / 3 − // 6 2 // 2x + 3x c) y = = 1+  y =  y =
d) y = x 1+ x y = 2 3 x − 2 x − 2 (x − 2) (x − 2) 2 2 (1+ x ) 1+ x 2 x 1 // 2 e) y = = −x −1+  y = f) 2
y = (1− x )cos x // 2
y = (x −3)cos x + 4xsin x 3 1− x 1− x (1− x) Bài 5.3. a) Cho 6
f (x) = (x +10) . Tính // f (2)     //  // // 
b) Cho f (x) = sin 3x . Tính f − ; f (0); f  2  18     2
c) Nếu y = 2x x thì 3 // y .y +1= 0 HDGiải a) 6 / 5 // 4
f (x) = (x +10)  f (x) = 6(x +10) ; f (x) = 30(x +10) Do đó // f (2) = 622080 b) / //
f (x) = sin3x f (x) = 3cos3 ; x f (x) = 9 − sin3x       Do đó // // // 9 f − = 9
− ; f (0) = 0; f = −  2  18     2 2 / 1− x // 1
c) y = 2x x y = ; y = − . 2 2 3 2x x (2x x )   3  1 −  Do đó 3 // 2
y .y +1 = (2x x ) .  +1 = 0 (đpcm)  (2x x )3 2   
Bài 5.4. Xét chuyển động của một chất điểm có phương trình (
s t) = Asin(t +) ( ,
A , là nhữnng
hằng số). Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động. HDGiải
Gọi v(t) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t, ta có:
v t = s t = (At + )' / ( ) ( ) sin(
) = A cos(t +)
Vậy gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là: / // 2 (
a t) = v (t) = s (t) = −A sin( t  +) 37
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 5.5. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2 (
s t) = t −3t −9t , trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét.
a) Tính vận tốc của chuyển động khi t = 2s
b) Tính gia tốc của chuyển đổng khi t = 3s
c) Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu
d) Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu HDGiải
Gọi v(t) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t / 2 (
v t) = s (t) = 3t −6t −9; / (
a t) = v (t) = 6t −6
a) Tại t = 2s, v(2) = 9 − m/s
b) Tại t = 3s,  (3) = 12 m 2 st = 1 − (loai) 2
c) Tại v = 0 hay 3t − 6t − 9 = 0    (3) = 12 m a 2 t = 3 s
d) Tại thời điểm gia tốc triệt tiêu: (
a t) = 6t − 6 = 0  t =1 ( v 1) = 1 − 2m s
Bài 5.6. Cho một chất điểm chuyển động có phương trình là 3 2 (
s t) = 2t −2t + t −1, (trong đó t tính bằng s
và S tính bằng m).
a) Tính gia tốc tại thời điểm t = 4s 2
b) Tính vận tốc tại thời điểm mà gia tốc bằng 0 (m s ) HDGiải Ta có / 2 (
v t) = s (t) = 6t − 4t +1; / (
a t) = v (t) =12t − 4 a) / 2 (4
a ) = v (4) =12.4 − 4 = 44m s 1  1  1 4 1 b) (
a t) = 0  12t − 4 = 0  t =  v = 6. − +1 = ( ) s 3  3   9 3 3 1
Bài 5.7. Cho hàm số 4 2
y = f (x) = x − 2x . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại 4
điểm có hoành độ x , biết // f (x ) = 1 − 0 0 HDGiải 1 Hàm số 4 2
y = f (x) = x − 2x . TXĐ: D = 4 Ta có: / 3
f (x) = x − 4 ; x // 2
f (x) = 3x − 4 . Theo giả thiết: // 2 f (x ) = 1 −  3x − 4 = 1 −  x = 1  0 0 0 7 5 Với /
x = 1 y = − ; f (1) = −3 , ta được phương trình tiếp tuyến y = 3 − x + 0 0 4 4 7 5 Với / x = 1
−  y = − ; f ( 1
− ) = 3 , ta được phương trình tiếp tuyến y = 3x + 0 0 4 4
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 5.8. Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: 2x +1 2 5x − 3x − 20 2 a) y = b) y =
c) y = x 1+ x 2 x + x − 2 2 x − 2x − 3 d) 3 2
y = 3x + 4x −5x +1 e) 4 2
y = 4x +3x − 7 f) 2 y = cos x
Bài 5.9. Cho hàm số 2
y = f (x) = 2x +16cos x − cos2x a) Tìm / f (x) và // f (x) . Tính / f (0) và // f ( ) 38
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp b) Giải phương trình // f (x) = 0 1
Bài 5.10. Cho hàm số y = f (x) = 2 1− x     / 1 // 1 a) Tìm / f (x) và //
f (x) . Tính f f − 2  và      2  2 // /
b) Chứng minh (1− x ) f (x) = 3xf (x) + f (x)
Bài 5.11. Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thoả mãn hệ thức tương ứng đã chỉ ra 3 a) y = ( 2
x + x + ) ( 2 + x ) // / 1 ; 1
y + xy − 9y = 0 x − 3 b) y = ; 2(y )2 / // = (y −1).y x + 4 2 3 //
c) y = 2x x ; y .y +1 = 0 d) (2n) n 2 = sin2 ; = ( 1 − ) 2 n y x y y
Bài 5.12. Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình 2 (
s t) = 200 +14t t , trong đó t được tính
bằng giây (s) và s được tính bằng mét (m).
a) Tại thời điểm nào chất điểm có vận tốc bằng không?
b) Tìm vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3s.
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hàm số 5 y = x +
có đạo hàm là y . Rút gọn biểu thức M = xy + . y x 10 A. M = . x B. M = . C. M = 2 . x D. M = − 2 . x x
Câu 2. Cho hàm số y = Asin (x + ) có đạo hàm là y và y và biểu thức 2
M = y +  y . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M = 0.
B. M = −1. C. 2
M = cos (x + 4).
D. M (2;5), M (0; − ) 1
Câu 3. Cho hàm số y = ( x − )2 2
1 . Tính giá trị biểu thức (4) M = y
+ 2xy − 4y. A. M =100. B. M = 0. C. M = 20. D. M = 40.
Câu 4. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2
s = t − 3t − 9t , trong đó t  0 , t tính bằng
giây và s (t ) tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là: A. 2 9 m s . B. 2 1 − 2 m s . C. 2 9 − m s . D. 2 12 m s .
Câu 5. Cho hàm số 2 y = . Tính giá trị của ( ) 3 y ( ) 1 . 1+ x (3) 4 (3) 4 (3) 3 (3) 3 A. y ( ) 1 = − . B. y ( ) 1 = . C. y ( ) 1 = − . D. y ( ) 1 = . 3 3 4 4
Câu 6. Cho hàm số 3
y = sin x . Rút gọn biểu thức M = y + 9 . y A. M = 6sin . x B. M = 6cos . x
C. M = − 6sin . x D. M = sin . x x − 2
Câu 7. Cho hàm số 3 y =
và biểu thức M = 2( y) + (1− y) y . Mệnh đề nào sau đây đúng? x + 4 1 2x A. M = 0. B. M = 1. C. M = . M = . x + D. 4 (x + 4)2
Câu 8. Cho hàm số y = .
x tan x . Rút gọn biểu thức 2 M = x y + ( 2 2
2 x + y )(1− y). 39
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2 4x A. M = 0. B. M = 1. C. 2 2 M = x − tan . x D. M = . 2 cos x   
Câu 9. Cho hàm số 2
y = cos x . Tính giá trị của (3) y .    3  (             3) (3) (3) (3) A. y = 2. −   B. y = 2.   C. y = 2 3.   D. y = 2 − 3.    3   3   3   3 
Câu 10. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s (t ) 3 2
= t − 3t , trong đó t  0, t tính bằng
giây và s (t ) tính bằng mét. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Gia tốc của chuyển động khi t = 4 s là 2 a = 18 m s .
B. Gia tốc của chuyển động khi t = 4 s là 2 a = 9 m s .
C. Vận tốc của chuyển động khi t = 3 s v = 12 m s .
D. Vận tốc của chuyển động khi t = 3 s v = 24 m s .
Câu 11. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = in s 5x cos 2 . x 49 9 A. y = 4 − 9sin 7x −9sin3 . x B. y = sin 7x + sin 3 . x 2 2 49 9 C. y = − sin 7x − sin 3 . x
D. y = 49sin 7x + 9sin 3 . x 2 2
Câu 12. Cho hàm số f ( x) 2
= 2x +16cos x − cos 2x . Tính giá trị của f  ( ).
A. f  ( ) = 8. −
B. f  ( ) = 24.
C. f  ( ) = 4.
D. f  ( ) = 16. −
Câu 13. Cho hàm số y = cos2x có đạo hàm là y và y . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 4 y − y = 0.
B. y + 4 y = 0.
C. y + 2 y = 0.
D. y + y = 0.
Câu 14. Cho hai hàm số f ( x) 4 2
= x − 4x + 3 và g (x) 2
= 3+10x − 7x . Nghiệm của phương trình
f  ( x) + g( x) = 0 là: 1 1 1 1 A. x =1 ; x = − . B. x = 1 − ; x = . C. x = 1 − ; x = − .
D. x =1 ; x = . 6 6 6 6
Câu 15. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s (t ) 3 2
= t + 4t , trong đó t  0, t tính bằng
giây và s (t ) tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11 m s là: A. 2 18 m s . B. 2 12 m s . C. 2 14 m s . D. 2 16 m s . x
Câu 16. Cho hàm số 3 y =
có đạo hàm là y và y . Mệnh đề nào sau đây đúng? x + 4 2 2 2 2
A. 2( y) = ( y + ) 1 y.
B. 2( y) = ( y − ) 1 y.
C. 2 ( y) = − ( y − ) 1 y.
D. 2( y) = (− y − ) 1 y.
Câu 17. Một chất điểm chuyển động theo phương trình s (t ) 3 2
= t − 3t − 9t + 2017 , trong đó t  0, t tính
bằng giây và s (t) tính bằng mét. Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3 giây. A. 2 12 m s . B. 2 6 m s . C. 2 15 m s . D. 2 9 m s .
Câu 18. Cho hàm số 5 4
y = 3x − 5x + 3x − 2 . Giải bất phương trình y  0 . A. x  ( 1 − ; ) 1 . B. x  ( 2 − ;2).
C. x  (1; +). D. x  (− ) ;1 \   0 . x
Câu 19. Cho hàm số y = cot
có đạo hàm là y . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2
A. y + ( y)2 2 3 +1 = 0. B. 2
y y + 2 = 0. C. 2
y + 2 y +1 = 0. D. 2
3y y +1 = 0.
Câu 20. Cho hàm số y = sin 2x − cos 2x . Giải phương trình y = 0 .   A. x =
+ k2 , k  . B. x = + k , k  . 8 2 40
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp    C. x = 
+ k2 , k  . D. x =
+ k , k  .. 4 8 2
Câu 21. Cho hàm số y = x sin x và biểu thức M = xy − 2( y − sin x) + xy. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M = sin . x B. M = 1. C. M = 0. D. M = 2.
Câu 22. Cho hàm số y = .
x cos x . Tính giá trị biểu thức M = xy + xy − 2( y − cos x).
A. M = −1. B. M = 2. C. M = 1. D. M = 0.
Câu 23. Cho hàm số 2
y = cos 2x và biểu thức M = y +16y + y +16y − 8 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M = cos 4 . x B. M = 0. C. M = 8. D. M = −8.
Câu 24. Cho hàm số 2
y = 2x x . Tính giá trị biểu thức 3
M = y .y +1. A. M = 2. B. M = 1. C. M = 1. − D. M = 0.
Câu 25. Cho hàm số f ( x) = ( x + )6
10 . Tính giá trị của f  (2).
A. f  (2) = 622080.
B. f  (2) = 1492992.
C. f  (2) = 124416.
D. f  (2) = 103680.
Câu 26. Cho hàm số 2
y = tan x có đạo hàm là y và y . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. y − ( 2 2 1+ 3y ) = 0. B. y − ( 2 3 1+ y ) = 0. C. y − ( 2 + y )( 2 2 1 1+ 3y ) = 0. D. y + ( 2 + y )( 2 5 1 1+ 3y ) = 0.   
Câu 27. Cho hàm số f ( x) 3 2
= sin x + x . Tính giá trị của f  − .    2              A. f  − = 2. −   B. f  − = 5.   C. f  − = 0.   D. f  − =1.    2   2   2   2  x
Câu 28. Cho hàm số 3 2 y =
. Giải bất phương trình y  0 . 1− x A. x  1. B. x  1.
C. Vô nghiệm . D. x  1.
Câu 29. Cho hàm số 3 2 y = 3
x + 3x x + 5 . Tính giá trị của ( )3 y (2017). ( ) ( ) A. 3 y (2017) = 1 − 8. B. 3 y (2017) = 2 − 017. ( ) ( ) C. 3 y (2017) = 2017. D. 3 y (2017) = 0. 1
Câu 30. Cho hàm số y = (
. Giải bất phương trình y  0 . x + )3 1 A. x  1. − B. x  1. − C. x  1.
D. Vô nghiệm . x
Câu 31. Cho hàm số f ( x) 2 1 =
. Giải phương trình f ( x) = f  ( x) . x +1 A.
x = 5 ; x = 6. B. x = 3. −
C. x = 3 ; x = 2. D. x = 4.            
Câu 32. Cho hàm số f ( x) = x sin x . Biểu thức P = f + f  + f  + f       
  có giá trị bằng:  2   2   2   2  A. P = 2. B. P = 2. − C. P = 4. D. P = 4. −
Câu 33. Cho hàm số 3 y = 5 −
. Tính giá trị biểu thức M = xy + 2y . x A. M = 10. B. M = 1. C. M = 4. D. M = 0.
Câu 34. Cho hàm số y = sin 2x có đạo hàm là y và y . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. y + ( y)2 2 = 4.
B. 4 y + y = 0.
C. y = y .tan 2 . x
D. 4 y y = 0. x
Câu 35. Cho hàm số 3 4 y =
. Tìm x sao cho y = 20 . x + 2 A. x = 1. − B. x = 3. C. x = 3. − D. x = 1.
Câu 36. Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số f ( x) = (2x + 5)5 . (3) (3) A. f
(x) = 80(2x +5)3. B. f
(x) = 480(2x +5)2 . 41
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp (3) (3) C. f
(x) = –480(2x +5)2 . D. f
(x) = –80(2x +5)3. 1
Câu 37. Cho hàm số 2 y =
x + x +1 . Tính giá trị biểu thức M = ( y)2 − 2 . y y. 2 A. M = 2. B. M = −1. C. M = 1. D. M = 0.
Câu 38. Cho hàm số f ( x) 3 2
= x − 2x + x − 3 có đạo hàm là f (x) và f  (x). Tính giá trị biểu thức M = f ( ) 2 2 + f  ( 2 ). 3 13 A. M = 6 2.
B. M = 7. C. M = .
D. M = 8 2. 3
Câu 39. Cho hàm số f ( x) 3 2
= x − 3x + 4x − 6. Giải bất phương trình f  (x)  f (x) −1. Nghiệm của bất phương trình là: A. x (− ) ;1  (1;3)  (3; +).
B. x 1;  3 . C. x  . D. x  (−  ;1 3; +). 1
Câu 40. Cho hàm số y = . Tính giá trị của ( ) 3 y (2). 2 x −1 ( − − 3) 80 (3) 40 (3) 40 (3) 80 A. y (2) = . B. y (2) = . C. y (2) = . D. y (2) = . 27 27 27 27 ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C A D D C A A D C A C B B D C B A D C D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C D B D A C B A A A B B D B C B B C D A 42
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
ÔN TẬP CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM II. Bảng đạo hàm STT HÀM SỐ SƠ CẤP HÀM SỐ HỢP QUY TẮC 1 (C) = 0 ( )
m  = 0, m là tham số 2   
(x) = 1, (kx) = kx = k (ku) = ku
(u + v) = u+v 3 n n 1 (x ) nx −  =
, n  , n  1 (     u ) 1
= .u − .u
(u v) = u−v 4 (   u  =  +  x ) 1 = , x  0 ( u) = , u  0 (uv) u v uv 2 x 2 u 5     1  1   u  u
uv uv = − 1 , x  0   = − ,u  0   = , v  0   2  x x 2  u u 2  v v 6 (    sin x) = cos x
(sinu) = ucosu  1   = − v ,v  0   2  v v 7 (  
(ax + b ) = a
cos x) = −sin x (cosu) = u − sin u 8 (  u   tan x) 1 2 = =1+ tan x (tanu) = = ( 2 1+ tan u u  ax + b ad bc 2 ) 2 cos x cos u =    +   cx d  (cx + d)2 x  + k ,k u  + k ,k  2 2  − d x c 9 ( −  u −   x) 1 cot = = −( 2 1+ cot x (cotu) = = −( 2 1+ cot u u 2 ) 2 ) sin x sin u x   k , k u   k , k
II. Ứng dụng của đạo hàm
1. Phương trình tiếp tuyến
Gọi  là tiếp tuyến của đường cong (C): y = f (x)tại tiếp điểm M (x ; y
 : y = f (x )(x x )+ f (x ) 0 0 ) .  0 0 0 (1),
x gọi là hoành độ tiếp điểm.
M (x ; y 0 0 ) gọi là tiếp điểm 0
k = f (x )là hệ số góc của tiếp tuyến  y = 0 f x
gọi là tung độ tiếp điểm. 0 ( 0 )
Lưu ý: Trong phương trình tiếp tuyến (1), có ba yếu tố /
x , y , f (x ) . Để viết được phương trìn 0 0 0 h (1), ta
phải tìm hai yếu tố còn lại khi cho biết một yếu tố.
Chú ý: Cho đường thẳng  : y = kx + b và 
 : y = kx + m   / / 
 : k = k   ⊥ 
  k.k = 1 −  Cho đường thẳng  a c
: ax + by + c = 0 hay  : y = − x − = kx + m . b b Hệ số góc của  ak = − = tan b
2. Điều kiện tiếp xúc
Cho (C) : y = f (x), d : y = g(x) .
f (x) = g(x)
(C) tiếp xúc với d khi và chỉ khi hệ phương trình  có nghiệm
f (x) = g (x)
3. Vi Phân. Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng ( ;
a b)và có đạo hàm tại x ( ; a b). Vi phân của
hàm số kí hiệu là df (x) hay dy . Như vậy: dy = df (x) = f (x d
) x hay dy = ydx 43
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
4. Đạo hàm cấp 2. Giả sử hàm số f (x) có đạo hàm f (x) . Nếu f (x) cũng có đạo hàm thì ta gọi đạo
hàm của nó là đạo hàm cấp hai của f (x) và kí hiệu f (x) : Như vậy ( f (x))  = f  (x)
5. Ứng dụng cơ học của đạo hàm.
a.
Một chuyển động có phương trình s = s(t) .
⬧ Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t v(t ) = s (  t ) 0 o 0
⬧ Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t a(t ) = v (
t ) = s (t ) 0 0 o 0
b. Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một số của thời gian t: Q = Q(t)
⬧ Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t I (t = Q (t ) 0 ) 0 0
6. Giải phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm, chứng minh đẳng thức đạo hàm.
Phương pháp:
Tìm điều kiện đề bài, tính các đạo hàm theo yêu cầu bài toán và thực hiện các yêu cầu bài toán cần làm. B. BÀI TẬP
Bài 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau 3 2
ax + bx + c 4  3 1  a) y = y = x − + 3 (a
(a, b, c là các hằng số) b) + b)x  3 x    2 c) 3 2
y = x cos x d) y = sin 4 + x  1  2 cos x +1
e) y = 1+ tan x +  y = x  f)   2 x +1 HDGiải / 3 2 /  a 2 b c  2ax b c
2ax + bx c a) y = x + x + = + − =   2 2  a + b a + b
(a + b)x a + b a + b (a + b)x (a + b)x 3 3 /  3 1   2 3   3 1   2 1  b) y = 4 x − + 3 . 3x + = 12 x − + 3 . x +  3   4   3   4 x x x x          / / 3 2 2 2
c) y = ( x cos x) = x (3cos x x sin2x) x
d) y = (sin 4 + x )/ / 2 2 = cos 4 + x 2 4 + x / 1   1− 2   / 1 ) =  1+ tan x e y x +  =  x      2  1   1 2 cos x 1 tan x    + + +  x   x      2 x −1 = 2 2  1   1 2x cos x 1 tan x  + + +  x   x      /  cos x +1  x ( 2 2 2 2
x +1sin x +1 + cos x +1 / ) f) y =   = −  2  2 3 x +1 (x +1)  
Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau: 3 2 x x 2 4 5 6 2 3x − 6x + 7 a) y = − + x − 5 y = − + − y = 3 2 b) c) 2 3 4 x x x 7x 4x 44
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp  2  1+ x 2 −x + 7x + 5 d) y = + 3x ( x −   )1 e) y = f) y =  x  1− x 2 x − 3x HDGiải / 2 8 15 24 a) / 2
y = x x +1 b) y = − + − + 2 3 4 5 x x x 7x 2 2 2 x x x x / 3x − 7 / 9 6 2 + 4 c) y = d) y = 2 4x 2 2x 2 / 1 4 − x −10x +15 e) y = f) / y = 2 x (1− x )2 ( 2x −3x) Bài 3. Cho hàm số 2
y = f (x) = x −2x +3 (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 1 − 0
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y0 = 3 HDGiải a) 2
f (x) = x − 2x + 3, / 2
f (x) = 3x −2 nên f ( 1 − ) = 4 và / f ( 1 − ) =1
phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y − 4 = x +1  y = x + 5 x = 0 2 2 0 b) Ta có y
x − 2x + 3 = 3  x − 2x = 0 
0 = 3, nên giải phương trình 0 0 0 0  x = 2  0 Và ta lại có / 2
f (x) = 3x −2 Với x = 0 , phương y = − x + 0 trình tiếp tuyến là: 2 3
Với x = 2 , phương trì y = x − + = x + 0 nh tiếp tuyến là: 10( 2) 3 10 17 x −1
Bài 4. Cho hàm số y = f (x) = x có đồ thị (C). Viết phương trình của đường thẳng d song song với +1 x 2 đường thẳng y
= 2 và tiếp xúc với (C). HDGiải x 2 1
Đường thẳng d song song với đường thẳng y
= 2 nên có hệ số góc là 2 2 2 1 (  x +1) = 4 x = 1 / 2 / 0 0
Mặt khác, ta có f (x) = nên f (x ) = =     2 (x +1) 0 2 (x +1) 2 x  1  x = 3 − 0 0  0 Có hai tiếp tuyến 1 1
 : y f (1) = x −1  y = x −1 1 ( ) ( ) 2 2 1 1 7
 : y f ( 3 − ) =
x + 3  y = x + 2 ( ) 2 2 2 2x −1
Bài 5. Cho hàm số y = f (x) = x + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết;
a) Hoành độ tiếp điểm x = 0 0
b) Tiếp tuyến đi qua điểm A(0; 2) HDGiải 2x −1 / 5 Ta có f (x) =  f (x) = ;(x  2) − 2 x + 2 (x + 2) 45
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 / 5 a) Với x
f (x ) = f (0) = − f (0) = 0 = 0 thì 0 2 và 4 . 5 1
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = x − 4 2
b) Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(0; 2) với hệ số bằnng k là: y = ( g x) = kx + 2 2x −1
Để (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x thì ta phải tìm k sao cho: + 2
2x −1 = kx +2 (1)  f (x) ( g x)   =  x + 2    / /
 f (x) = g (x) 5  = k (2) 2 (x + 2)
Thay k từ (2) vào (1), suy ra được x = 1 − và k = 5.
Vậy phương trình tiếp tuyến phải tìm là: y = 5x + 2 Bài 6. Cho hàm số 3 2
y = mx + x + x −5. Tìm m để: a) /
y bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất b) /
y = 0 có hai nghiệm trái dấu c) /
y > 0, với mọi x . HDGiải Ta có / 2
y = 3mx + 2x +1 a  0 3  m  0 1 a) /
y là bình phương của một nhị thức bậc nhất khi và chỉ khi     m = ' = 0 1  − 3m = 0 3 b) /
y = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi . a c  0  3 .
m 1 0  m  0 a  0 3  m  0 1 c) /
y > 0 với mọi x khi và chỉ khi     m  '  0 1  − 3m  0 3 Bài 7. Cho 2
f (x) = 2sin x +sin x −1 và 2 (
g x) = 2sin x −3sin x +1 / /    / ff (x)   2    f (x) a) Tính  lim g(x)  và b) Tìm   x  → g(x) / / g     6 2    HDGiải Vì 2
2sin x +sin x −1= (sin x +1)(2sin x −1) 2
2sin x −3sin x +1= (sin x −1)(2sin x −1) 2 f (x)
2sin x + sin x −1 sin x +1 Nên = = 2
g(x) 2sin x − 3sin x +1 sin x −1 / /  f (x)   sin x +1 2 − cos x a) = =     2  (
g x)   sin x −1 (1−sin x)   /
f (x) = 4sin x cos x + cos x = 2sin2x + cos x // //
; f (x) = 4 cos 2x − sin x f  = 4 − −1 = 5 −  2      /
g (x) = 4sin x cos x −3cos x = 2sin2x −3cos x // //
; g (x) = 4 cos 2x + 3sin x g  = 4 − + 3 = 1 −  2    46
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp // f      2  −5 Suy ra = = 5    −1 // g  2    1 2 +1 f (x)
2sin x + sin x −1 sin x +1 2 b) lim = lim = lim = = 3 − 2 x  (
g x) x  2sin x −3sin x +1 x  → → → sin x −1 1 6 6 6 −1 2
Bài 8. Giải các phương trình: a) / f (x) = ( g x) với 3
f (x) = sin 2x và (
g x) = 4cos2x − 5sin 4x b) /
f (x) = 0 với f (x) = 20cos3x +12cos5x −15cos4x 60 64 c) /
f (x) = 0 với f (x) = 3x + − + 5 3 x x HDGiải a) 3 / 2
f (x) = sin 2x f (x) = 6sin 2x cos2x phương trình / 2 f (x) = (
g x)  6sin 2x cos2x = 4 cos2x − 5sin 4x cos2x = 0  x ( 2 x x ) 1 cos2 6sin 2 10sin 2 4 0   + − =  sin 2x =  3 sin2x = 2 − (loai)  x  = + k   4 2   1 1
x = arcsin + k (k  )  2 3   1 1
x = − arcsin + k  2 2 3 /
b) f (x) = 60
− sin3x − 60sin 5x + 60sin 4x = 60
− (sin3x + sin 5x − sin 4x) = 60
− sin 4x(2 cos x −1)  k sin 4 = 0 x x =  Phương trì / 4 nh f (x) = 0     (k  ) 2 cos x −1 = 0 x  =  + k2  3 / 60 64 / 4 2 c) f (x) = 3 − +
= 0 . Phương trình f (x) = 0  3x − 60x + 64 = 0;(x  0)  x  2  ;  4 2 4 x x
Bài 9. Tìm phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x −3x + 4x +1, biết rằng các tiếp tuyến
này có hệ số góc k = 4. HDGiải Hàm số 3 2
y = x −3x + 4x +1 xác định trên Ta có / 2
y = 3x −6x + 4 Phương trì /
nh các tiếp tuyến với đồ thị hàm số có dạng: y f (x ) = f (x )(x x ) 0 0
0 , x0 là hoành độ tiếp điểm.
x = 0  y = f (0) = 1 / 2 0 0
Hệ số góc của các tiếp tuyến này k = f (x ) = 4  3x − 6x + 4 = 4  0 0 0 
x = 2  y = f (2) = 5  0 0
Vậy phương trình các tiếp tuyến cần tìm là: d y = x + y = x − 1: 4 1 và d2: 4 3 47
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2 x x − 2
Bài 10. Tìm phương trình các tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x
biết rằng các tiếp tuyến này + 2
song song với đường thẳng y = 2 − 3x . HDGiải 2 x x − 2 4 Hàm số y = = x − 3 + D = \ 2 − x . Miền xác định   + 2 x + 2 / 4 Ta có y = 1−
. Phương trình các tiếp tuyến với đồ thị hàm số có dạng: 2 (x + 2) /
y f (x ) = f (x )(x x ) 0 0
0 , x0 là hoành độ tiếp điểm. /
Theo giả thiết, các tiếp tuyến này song song với đường thẳng y = 2 − 3x , nên k = f (x ) = 3 − 0 4 x = 1
−  y = f ( 1 − ) = 0 Khi đó 0 0 , ta có 1− = −3   2 (x + 2) x = 3
−  y = f ( 3 − ) = −10  0 0
Vậy phương trình các tiếp tuyến cần tìm là: d y = − x − 1 y = 3 − x − 3 và d2: 3 19 1 2 x
Bài 11. Cho hai hàm số y = và y =
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã x 2 2
cho tại giao điểm của chúng và suy ra góc giữa hai tiếp tuyến đó. HDGiải  2 
Gọi I là giao điểm của hai hàm số trên, giải phương trình hoành độ giao điểm, tìm được I 1;   2  .   / 1 x y = − / 2 và y = 2 x 2 2
Phương trình tiếp tuyến có dạng y f (x ) = f '(x )(x x ) 0 0
0 , với x0 là tiếp điểm. 1 2 Vậy y = −
x + 2; y = 2x
và góc giữa hai tiếp tuyến là 900. 2 2 4 x 2 9
Bài 12, Cho hai hàm số y = − 2x − 4
4 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các
giao điểm của nó với trục Ox. HDGiải Gọi  /
là tiếp tuyến cần tìm.  : y = f (x )(x x ) + f (x ) 0 0
0 , x0 là hoành độ tiếp điểm. 4 x Hàm số: 2 9 y = − 2x − 4 4 4 x 9 x = 3 Giao điểm của ( 2 4 2 2 2
C) với trục Ox là:
− 2x − = 0  x − 8x − 9 = 0  (x + ) 1 (x −9) = 0  4 4  x = 3 −
(C) cắt trục Ox tại x = 3 − và x = 3 .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: /
 : y = y (3)(x − 3)
 : y =15(x −3) 1 hay 1 /  : y = y ( 3 − )(x + 3)  : y = 1 − 5(x + 3) 2 hay 2 1 3 2
Bài 13, Cho hai hàm số y = −
x + 2x − 3x +1 có đồ thị là ( 3
C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại
các giao điểm của nó với trục tung. HDGiải 1 Ham số 3 2
y = − x + 2x − 3x +1. Tập xác định D = 3 48
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Ta có: / 2
y (x) = −x + 4x −3 . Kí hiệu d là tiếp tuyến của (C) và (x ;y là tọa độ tiếp điểm 0 0 )
Giao điểm của (C) với trục tung là (0; ) 1 . Với /
x = 0  y (0) = 3
− . Ta được phương trình tiếp tuyến là d : y = 3 − x +1 0
Bài 14, Cho hai hàm số 3
y = x −3x −1 có đồ thị là (C). Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với x
đường thẳng y = 3 và tiếp xúc với đồ thị (C). HDGiải Hàm số 3
y = x −3x −1 có TXĐ: D = và / 2 y = 3x −3 x
Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y = 3 nên có hệ số góc bằng 3 − Ta có: / 2
y (x) = 3x −3 = 3
−  x = 0 . Với x = 0  y = 1 −
Phương trình đường thẳng d là phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (0;− ) 1
Vậy d: y +1 = 3 − x hay y = 3 − x −1 2x +1
Bài 15. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc x − 2
của tiếp tuyến đó bằng 5 − . HDGiải 2x +1 5 Hàm số y =
. Tập xác định D = \   2 / y (x) = − x − 2 ; ( . x − 2)2
Kí hiệu d là tiếp tuyến của (C) và (x ; y là tọa độ tiếp điểm 0 0 ) 5 x =1 Hệ số góc của 0 d bẳng 5 −  − = 5 −  (  x − )2 x = 3 2  0 0
Với x =1 y = 3
− . Ta được phương trình tiếp tuyến là d : y = 5 − x + 2 0 0 1
Với x = 3  y = 7. Ta được phương trình tiếp tuyến d : y = 5 − x + 22 0 0 là 2 1 3 Bài 16. Cho hàm số 4 2
y = f (x) = x − 3x + 2
2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình // f (x) = 0. HDGiải 1 3 Hàm số 4 2
y = f (x) = x − 3x + . Tập xác định: D = 2 2 Ta có: / 3
f (x) = 2x −6x và // 2
f (x) = 6x −6 Theo giả thiết, ta có: // 2
f (x) = 0  6x −6 = 0  x = 1  Với / x = 1 −  f ( 1 − ) = 1 − , f ( 1 − ) = 4 .
Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng: y = 4x + 3 Với /
x =1 f (1) = 1 − , f (1) = 4 −
Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng: y = 4 − x + 3 Bài 17. Cho hàm số 3 2
y = f (x) = −x +3x + 9x + 2
a) Giải bất phương trình / f (x −1)  0
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x , biết rằng // f (x ) = 6 − 0 0 . HDGiải a) Hàm số 3 2
y = f (x) = −x +3x + 9x + 2 . Tập xác định: D = 49
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Ta có: / 2 f (x) = 3
x + 6x + 9 . / 2 2 f (x −1) = 3
− (x −1) + 6(x −1)+ 9 = 3 − x +12x / 2
f (x −1)  0  3
x +12x  0  0  x  4
b) Phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) có dạng: /
y y = f (x )(x x ) x 0 0
0 , 0 là hoành độ tiếp điểm. Ta có: / 2 f (x) = 3
x + 6x + 9 và // f (x) = 6 − x + 6 Theo giả thiết, ta có: // f (x ) = 6 −  6 − x + 6 = 6 −  x = 2 0 0 0 Với /
x = 2  y = f (2) = 24, f (2) = 9 0 0 .
Vậy phương trình tiếp tuyến (d) là: y = 9x + 6 2x +1
Bài 18. Cho hàm số y = có đồ thị (C). Gọi x
M là điểm thuộc (C) có tung độ bằng 5. Viết phương −1
trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M. HDGiải 2x +1 3 Hàm số y =
. Tập xác định D = \   1 / y (x) = − x −1 ; ( . x − )2 1 m +
Kí hiệu d là tiếp tuyến của (C) tại M. Ta có M (m ) 2 1 ;5 (C)  5 =  m = 2 m −1
Do đó M (2;5) . Phương trình tiếp tuyến là /
d : y = y (2)(x −2) + 5 hay y = 3 − x +11
Bài 19. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A (1; 2
− ) và tiếp xúc với parabol (P): 2
y = x −2x . HDGiải
Phương trình của đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2
− ) và có hệ số góc k y = k(x −1)−2
Hoành độ giao điểm của d và (P): 2 2
x −2x = k(x −1)−2  x −(k + 2)x + k + 2 = 0(*)
Đường thẳng d tiếp xúc với (P) khi và chi khi phương trình (*) có nghiệm kép, tức là: (  =
 = k + )2 − (k + ) k 2 2 4
2 = 0  k = 2−
Vậy có hai tiếp tuyến của parabol đã cho đi qua điểm A: y = 2x − 4 và y = 2 − x Bài 20. Cho 3 2
(C): y = 2x +3x −1. Viết phương trình tiếp tuyến()của (C) qua điểm M(0; 1 − ). HDGiải 3 2
(C): y = 2x +3x −1, Tập xác định: D =
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ()với đồ thị (C) qua điểm M(0; 1
− ). Khi đó () : y = kx −1 3 2
2x + 3x −1 = kx −1 (1)
()tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình :  có nghiệm 2
6x + 6x = k (2) x = 0
Thay k từ (2) vào (1), ta được: 3 2 2x 3x 1 ( 2 6x 6x) 3 2 1 4x 3x 0  + − = + −  + =  3 x = −  4
Với x = 0  k = 0 . Vậy phương trình tiếp tuyến (): y = 1 − 3 9 9
Với x = −  k = − . Vậy phương trình tiếp tuyến () y = − x −1 4 8 : 8 Bài 21. Cho 3 2
(C): y = x −3x +1. Viết phương trình tiếp tuyến()của (C) biết ()song song với /
( ): y = 9x . HDGiải Ta có / ( )
 / /( ): y = 9x  ( )
 : y = 9x + m (m  0) 3 2
x −3x +1 = 9x + m (1)
()tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình :  có nghiệm 2 3
 x − 6x = 9 (2) 50
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x = 1 − 2
(2)  x − 2x − 3 = 0  x =3 Với x = 1
−  m = 6. Vậy phương trình tiếp tuyến (): y = 9x + 6
Với x = 3  m = 2
− 6 . Vậy phương trình tiếp tuyến (): y = 9x − 26 2x +1
Bài 22. Cho (C) : y =
.Viết phương trình tiếp tuyến ()của (  vuông góc với / ( ) x C) biết ( ) có −1
phương trình 3x y + 5 = 0 . HDGiải 2x +1 (C) : y =
. Tập xác định D = \   1 x −1 1 Ta có: /
( ):3x y + 5 = 0  y = 3x + 5 . Do ()vuông góc với /
( )nên phương trình () : y = − x + m 3 2x +1 1 = − x+m (1)  ()  x −1 3
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình :  có nghiệm 3 − 1  = − (2) 2 (x −1) 3 x −1 = 3 2 (  x −1) = 9  x = 4 (2)    x −1= 3 −  x  1   x = 2 − x  1 13 1 13
Với x = 4  m =
. Vậy phương trình tiếp tuyến () y = − x + 3 : 3 3 1 1 1
Với x = −2  m = . Vậy phương trình tiếp tuyến () y = − x + 3 : 3 3
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 23. Tìm đạo hàm các hàm số sau 4 3 x 5x 2 2
x + 3x a a) y = + − 2x +1 y = (a 2 3 b) x −1 là hằng số) 2
c) y = (2 − x ) cos x + 2x sin x d) 2 2
y = tan x + tan x 3 e) y = ( x + )3 sin2 8
f) y = (2x − 5) tan x 4    3 1  1 g) y = x − + 3  y = 1+ tan x + 3 h) x       x
Bài 24. Tìm đạo hàm các hàm số sau 2 1+ x x ( 2 2 − x )( 2 3− x ) cos x a) y = b) y = c) y = 2 1− x + x (1− x)2 2 2sin x   2 x x
d) y = sin 2x − 2 cos x e) y = sin 2x  −  y = cos tan 6  f)   3 2 2 x − 3x + 2 (x x+ )2 2 1 2 3    g) y = y = y = tan − 2x x h) k)   2 3x +1  4 
Bài 25. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 3   2 3 2 5 3
a) y = (2 − 7x)( x − 3x + 2)
b) y = (9 − 2x)(2x − 9x + ) 1 c) y =  x −   x 51
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2 2 2 3 x + 2x −1 −x + 7x + 5
d) y = (x +1)( x + 2) ( x + 3) e) y = f) y = 2 x − 3x + 2 2 x − 3x 2 x − 4x + 3 x +1 1+ x g) y = y = y = x h) k) −1 2 x +1 1− x 4 2 2  3 1  1
l) y = ( x − 4x) x − 4x + 3 m) y = x − + 3  n) y = 3 x    (x x+ )5 2 1
Bài 26. Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm đã chỉ ra x +1 /
a) y = f (x) = ; f (0) = ?
b) y = f x = ( x + )2 / ( ) 4 5 ; f (0) = ? x +1 +1     / /
c) y = f (x) = sin 4x.cos 4 ; x f  = ?  y = f x = x x f  = ? 3  d) ( ) sin 4 .cos4 ,      8          2 3 / 2 3 / e) y = cos 2x  +  f  = ? y = sin 2x  − f  = ? 2  ;   f)   ,      8   2   8      / / g) 2
y = f (x) = sin x + cot 2x , f  = ?  y = f x = x x f  = ? 6  h) 2 ( ) cos 2 . tan2 ,      8 
Bài 27. Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm đã chỉ ra cos x sin x + cos x
a) y = f (x) = / f
y = f (x) = / f  1− sin x , ( ) b)
sin x − cos x , ( ) cos x x     / /
c) y = f (x) = 2 + + cos f y = f x = x + x f  − 1+ sin x 3 ,  2  d) ( ) sin2 cot 3 ,      6      / 1 /
e) y = f (x) = cos3x − tan 2x , f  − 
y = f (x) = + sin x f  − 3  f) ,     2 cos x  4  sin x   x   / 2 2 /
g) y = f (x) = f f (x) = 3 − 0 + sin 2x + cos + cot x f  1+ cos x ,  2  h) ,     3  4      / / k) 2
y = f (x) = sin2x + cot x , f   y = f x = x + x f  4  l) 2 ( ) tan cos4 ,      4 
Bài 28. Xác định a để /
f (x)  0, x   , biết 3 2
f (x) = x +(a −1)x + 2x +1
Bài 29. Tìm các nghiệm của phương trình sau 3 x 2 a) /
f (x) = 0 với f (x) =
− 2x − 6x −1 3 4 2 x 3 3x b) / f (x) = 5
− với f (x) = − x − − 3 4 2 c) /
f (x) = 0với f (x) = 3 cos x +sin x −2x −5 d) / f (x) = ( g x) với 3
f (x) = sin 2x và (
g x) = 4cos2x − 5sin 4x e) /
f (x) = 0 với f (x) = 3cos x + 4sin x + 5x f) /
f (x) = 0 với f (x) = sin2x − 2cos x
Bài 30. Gọi (C) là đồ thị của hàm số 4 2
y = f (x) = x + 2x −1. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) trong các trường hợp sau;
a) Biết tung độ của tiếp tuyến bằng 2.
b) Biết tiếp tuyến song song với trục hoành. 1
c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = − x + 3 8 .
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;6).
Bài 31. Viết phương trình tiếp tuyến 52
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp x +1
a) Của đường cong (C): y = A x tại điểm (2;3) −1 b) Của đường cong (C): 3 2
y = x + 4x −1 tại điểm có hoành độ x = 1 − 0 c) Của parabol (P): 2
y = x − 4x + 4 tại điểm có tung độ y =1 0 d) Của đường cong (C): 3 2
y = x −3x + 4x + 9, biết rằng tiếp tuyến này song song với đường thẳng
4x y + 5 = 0 . x −1
e) Của đường cong (C): y =
, biết rằng tiếp tuyến vuông gó x + y + = x c với đường thẳng 2 1 0 +1 1
f) Của đường cong (C): y = 2x +1 ,biết hệ số góc của tiếp tuyến là 3 . 2 3 n 1 x x x +
Bài 32. Cho hàm số f (x) = x + + + ...+ ,(n ) 2 3 n . Tìm +1 / /   / 1 / a) lim f (x) b) lim f (x) c) lim f   d) lim f (3) x 1 → x→2 n→+  2  n→+ // /
Bài 33. Chứng minh rằng đối với hàm số y = x sin x , ta có: xy − 2 (y − sin x) + xy = 0
Bài 34. Trên đường cong 2
y = 4x −6x +3, hãy tìm điểm tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x
Bài 35. Cho các hàm số 3 2
f (x) = x + bx + cx + d có đồ thị (C) và 2 (
g x) = x −3x −1   / 1 5
a) Xác định b, c, d sao cho đồ thị (C) đi qua các điềm ( A 1;3), ( B 1 − ; 3 − ) và f =  3   3
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 1 0 c) Giải phương trình / f (sin x) = 3 d) Giải phương trình // /
f (cos x) = g (sin x) // f (sin5x) + 2 e) Tìm giới hạn lim /
x→0 g (sin 3x) + 3 Bài 36. Cho hàm số 2
f (x) = x − 2 x +12 . Giải bất phương trình / f (x)  0. 2
Bài 37. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x
, biết tiếp tuyến đó đi qua điểm x −1 A(3;3). x +1
Bài 38. Cho hàm số y = có đồ thị (C). x − 2
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm A của (C) với trục tung.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết rẳng tiếp tuyến đó song song với tiếp tuyến tại điểm A. Bài 39. Cho hàm số 3
y = x −3x −1có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng hệ
số góc của tiếp tuyến đó bằng 9. Bài 40. Cho hàm số 4 2
y = −x x + 6 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp 1
tuyến vuông góc với đường thẳng y = x −1 6 . Bài 41. Cho hàm số 3 2
y = x + 3x −1có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng −1 . 2x + 3
Bài 42. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến x +1
vuông góc với đường thẳng y = x + 2 . 53
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 43. Cho hàm số 4 2
y = x − 4x có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung độ
tiếp điểm là y = 3 − . 4x − 3
Bài 44. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp −4 + 3x
tuyến đó song song với đường thẳng y = 7 − x + 2014. −x − 4
Bài 45. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng hệ số x − 2
góc của tiếp tuyến đó bằng 24.
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho một chất điểm chuyển động có phương trình là 3 2
s(t) = 2t − 2t + t −1,(s tính theo mét (m) và t
tính theo giây (s)). Tính gia tốc a tại thời điểm t = 4(s). A. 2
a = 25(m / s ). B. 2
a = 44(m / s ). C. 2
a = 60(m / s ). D. 2
a = 48(m / s ).
Câu 2. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? n n− 
A. (ax + b) = na (ax + b) 1 , n  , n  1. B. ( 10 kx ) 9 = 10kx .    a a
C. (C + x) = C +1 (C là hằng số). D. = − , x  0.   2  x x Câu 3. Cho hàm số 3
y = f (x) = x − 2x + 3 (C). Gọi S là tập hợp tất cả phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(C) tại điểm có tung độ y = 3. Tìm số phần tử của S. 0 A. 2. B. 0. C. 3. D. 1. 2 x −1
Câu 4. Cho hàm số f (x) = . Tính (n) f
(x) với mọi n  2. x + n n n ! n n ! A. ( ) 1 f (x) = ( 1 − ) . B. ( ) f (x) = . n 1 x n 1 x + + n + n n n ! C. (n) n 1 f (x) = ( 1 − ) . D. ( ) 1 f (x) = ( 1 − ) . n 1 x + n 1 x +
Câu 5. Cho một chất điểm chuyển động có phương trình là 3 2
s(t) = 2t − 2t + t −1, (s tính theo mét (m) và
t tính theo giây (s)). Tính vận tốc v tại thời điểm mà gia tốc 2
a = 0 (m / s ). 2 1
A. v = 7m / . s B. v = m / . s
C. v = 3m / . s D. v = m / . s 3 3 Câu 6. Cho hàm số 2 2
f (x) = cos x − tan 3 .
x ( a là tham số khác 0). Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 2 tan 3x A. f (
x) = 2cos x − 2tan3 . x B. f (
x) = sin 2x − . 2 cos 3x 6 tan 3x 6 sin 3x C. f (
x) = 2cos x − . D. f (
x) = −sin 2x − . 2 cos x 3 cos 3x 3 2
Câu 7. Cho f (x) = x + x − 2; (
g x) = 3x + x + 2 . Giải bất phương trình f (x)   g (x). A. x 2; +).
B. x (−; 0) (2; +). C. x  (0; 2). D. x (− ;  0.
Câu 8. Cho hàm số y = ( x − ) x2 2 +1. Tính y . x2 − x +1 2x2 − 2x A. y = . B. y = . x2 +1 x2 +1 54
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 2x2 − 2x +1 2x2 + 2x +1 C. y = . D. y = . x2 +1 x2 +1 3 2 x x
Câu 9. Cho hàm số f (x) = −
x +1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại 3 2
điểm M có hoành độ bằng 1. 1 5 5 7
A. y = x + .
B. y = x − .
C. y = −x + .
D. y = −x − . 6 6 6 6 60 64 /
Câu 10. Cho f (x) = 3x + −
+ 5 . Giải phương trình f (x) = 0. 3 x x A. x 4;  1 . B. x 2;  4 . C. x 2;  3 .
D. x 2;  4 .
Câu 11. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?  
A. (cos 2x) = 2sin 2 . x
B. (sin 3x) = 3cos3 . x  1  C. ( x) 2 tan =1+ tan . x D. (cot x) = − . 2 sin x 2
Câu 12. Cho hàm số y = f (x) = x − 2x + 3 C
( ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = −1. 0 A. y = x − 7.
B. y = x + 5. C. y = x − 5. D. y = x + 7.  3− 5x / 2
ax + bx + c Câu 13. Biết =  . Tính = + 2  S ac . b
x x +1 ( 2 2 x x + ) 1 A. S = 5. B. S = 16. −
C. S = 16. D. S = 10. − 2
Câu 14. Cho hàm số y = f (x) = x − 2x + 3 C
( ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = −1. 0 A. y = −4x + 6.
B. y = −4x + 2.
C. y = −4x − 2. D. y = 4x + 2. 2
x khi x  0
Câu 15. Cho hàm số f (x) =  với ,
b c  . Tìm b, c để f (x) có đạo hàm tại 3
−x + bx + c khi x  0 điểm x = 0. 0
A. b = 1, c = 0.
B. b = 1, c = 2.
C. b = c = 0.
D. b = 0, c = 1. 2 Câu 16. Cho hàm số 2 3 f (x) = x
x + a ( a là tham số khác 0). Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 5 A. f ( 2 a ) 3 2 = a + 3a . B. f ( 2 a ) 2 = 3a . C. f ( 2 a ) 3 = −a .
D. f (a ) 3 2 = a .    Câu 17. Cho hàm số 2 4
f (x) = 1+ tan x + tan x. Tính f  .    4              A. f  = 1. −   B. f  =1.   C. f  =12.   D. f  = 2 3.    4   4   4   4  Câu 18. Cho hàm số 3 2
f (x) = x + bx + cx + d (C). Xác định các hệ số , b ,
c d biết rằng đồ thị (C) của hàm   số 1
y = f (x) đi qua các điểm ( A 1 − ; 3 − ), B(1; 1 − ) và f  = 0.    3  1 3
A. b = 1, c = 2, d = 3. B. b = , c = 0, d = . 2 2 1 3 C. b = 1 − ,c = 2,d = 3 − .
D. b = − , c = 0, d = − . 2 2 Câu 19. Cho hàm số 2 2 y = x + sin .
x Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 55
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
A. dy = 2x + sin 2 . x B. 2 2
dy = (x + sin x)d . x
C. dy = (2x + sin 2x)d . x
D. dy = (2x + 2cos x)d . x
Câu 20. Cho hàm số y = x sin .
x Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. dy = (x sin x + cos x)d . x
B. dy = (sin x + cos x)d . x
C. dy = (sin x + x cos x)d . x
D. dy = (x + cos x)d . x Câu 21. Cho hàm số 2 f (x) =
x − 2x − 8. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình f (  x) 1. A. S = ( 2 − ;4). B. S = (− ;  2 − ) (4;+ )  .
C. S = (4; +). D. S = (− ;  2 − ). x + Câu 22. Cho hàm số 2 1 f (x) =
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M x −1 có tung độ bằng 5. A. y = 3 − x +11. B. y = 3 − x −1. C. y = 3 − x +1. D. y = 3 − x −5.
Câu 23. Một chất điểm chuyển động có phương trình s(t) = Asin( t
 +). Gia tốc tức thời của chuyển
động tại thời điểm t được tính bởi công thức nào dưới đây ? A. 2
a(t) = − A cos( t  +).
B. a(t) = −A sin( t  +). C. 2
a(t) = − A sin( t  +). D. 2
a(t) = A sin( t  +). 1
Câu 24. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y = x tại điểm có hoành độ bằng 1. − A. y = − . x
B. y = −x − 2.
C. y = −x −1.
D. y = x + 2. x Câu 25. Cho hàm số 1
y = f (x) =
(C). Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng x +1 x − 2 y =
và tiếp xúc với đồ thị (C). 2 1 1 1 7 A. y = x − . B. y = x − .
C. y = 2x + 3.
D. y = x −1. 2 2 2 2 2 x x − 2
Câu 26. Tìm phương trình các tiếp tuyến với đồ thị hàm số y =
x + 2 biết rằng các tiếp tuyến này
song song với đường thẳng y = 2 − 3x .
A. y = x −1 và y = x + 3. B. y = 3
x − 3 và y = −3x −19. C. y = 3
x − 3 và y = −3x − 7.
D. y = 3x + 3 và y = −3x −19.
Câu 27. Cho hàm số: 3
y = x − (m − ) 2 1 x + (3m + )
1 x + m − 2 . Tìm tham số m để tiếp tuyến của đồ thị hàm
số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm A(2;− ) 1 . A. m = 2. −
B. m = 2. C. m = 3. D. m = 1. − x Câu 28. Cho hàm số 3 f (x) =
với x  0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x 3 3 − A. f (  x) = . B. f (  x) = . 3 2 x (x − 3) x − 3 2 x x 1 3 C. f (  x) = . D. f (  x) = . x − 3 x − 3 2 2 x x
Câu 29. Cho hàm số y = x x2 2
. Khẳng định nào dưới đây là đúng? 3 / / 3 / / 2 / /
A. y .y + 1 = 0. B. y y// . +1= 0. C. y .y −1 = 0. D. y .y −1 = 0.  c
Câu 30. Biết (cos3x + 3sin x + 2) = a sin 3x + b cos x + .
c Tính P = (ab) . 56
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 A. P = 1. B. P = 9. C. P = 81. D. P = . 27 x +1
Câu 31. Cho hàm số f (x) = x = 0  = x x x x và điểm . Gọi
gọi là số gia của đối số tại và −1 0 x 0 0
f (x + x) − f (x )
y = f (x + x)− f (x ) 0 0 lim . 0 0
gọi là số gia tương ứng của hàm số. Tính x→0 x
f (x + x) − f (x )
f (x + x) − f (x ) A. 0 0 lim = −1. B. 0 0 lim = 1. x→0 xx→0 x
f (x + x) − f (x )
f (x + x) − f (x ) C. 0 0 lim = −2. D. 0 0 lim = 2. x→0 xx→0 x
Câu 32. Cho hàm số y = x x , với x  0. Tính y . 3 3 1 x A. y = x. y x. y 1 . y . 2 B.  = 2 C.  = + D.  = 2 x x
Câu 33. Đạo hàm của hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x , không được tính theo công thức nào dưới đây 0 ?
f (x + x ) − f (x ) f (x + x  ) − f (x ) A. 0 0 f (  x ) = lim . B. 0 0 f (  x ) = lim . 0 0 x→ − x  →0  0 x x x x 0
f (x + h) − f (x )
f (x) − f (x ) C. 0 0 f (  x ) = lim . D. 0 f (  x ) = lim . 0 0 h→0 h x→ − 0 x x x0 Câu 34. Cho hàm số 2
y = f (x) = x −2x +3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3.
A. y = 10x +17.
B. y = 10x + 7.
C. y = x + 7.
D. y = x +1.
Câu 35. Một chất điểm chuyển động có phương trình s(t) = Asin( t
 +). Vận tốc tức thời của chuyển
động tại thời điểm t được tính bởi công thức nào dưới đây ?
A. v(t) = A cos( t  +).
B. v(t) = A sin( t  +).
C. v(t) = Acos( t  +).
D. v(t) =  cos( t  +).
Câu 36. Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình 2
s = 200 +14t t (s tính theo mét (m) và t
tính theo giây (s)). Tính vận tốc v và gia tốc a của chất điểm tại thời điểm t = 3s A. 2
v = 3m / s, a = 1 − m / . s B. 2
v = 8m / s, a = 2m / . s C. 2
v = 12m / s, a = 2 − m / . s D. 2
v = 8m / s, a = 2 − m / . s 3 2
Câu 37. Cho một chất điểm chuyển động có phương trình là S(t) = 2t − 2t + t −1, (trong đó t tính bằng
sS tính bằng m). Tính vận tốc V của chuyển động tại thời điểm mà gia tốc bằng 0 ( 2 m s ) 1 1 A. V = 2 m s . V m s . V m s V m s 3 B. = 2 2 C. = 2 5 . D. = 2 10 .
Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm 3
y = 4x − 3x tiếp xúc với đường thẳng y = mx −1. A. m  2. B. m 1. C. m  1. D. m  2. −
Câu 39. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C). Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm
M (x ; y ). 0 0
A. y + y = y (
x )(x + x ).
B. y y = y (
x )(x x ). 0 0 0 0 0 0
C. y + y = y (
x )(x x ).
D. y y = y (
x )(x + x ). 0 0 0 0 0 0
Câu 40. Cho hàm số f (x) = 2x −1 và điểm x = 5  = x x x 0 . Gọi x
0 gọi là số gia của đối số tại 0 và
f (x + x) − f (x )
y = f (x + x)− f (x ) 0 0 lim . 0 0
gọi là số gia tương ứng của hàm số. Tính x→0 x 57
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
f (x + x) − f (x ) 1
f (x + x) − f (x ) A. 0 0 lim = . B. 0 0 lim = 3. x→0 x 6 x→0 x
f (x + x) − f (x )
f (x + x) − f (x ) 1 C. 0 0 lim = 6. 0 0 lim = . x→0 x D. x→0 x 3 x
Câu 41. Cho hàm số y =
, với x  0. Tính y . x 1 2 1 A. y = 1. B. y = x. y x. y . 2 C.  = 3 D.  = 2 x 3 2 /
Câu 42. Cho hàm số y = mx + x + x − 5 (m là tham số thực). Tìm m để phương trình y = 0 có hai
nghiệm trái dấu. A. m  0. B. m  0. C. m  −4. D. m  1. 2x −1
Câu 43. Cho hàm số y = f (x) = x + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết rằng
tiếp tuyến đi qua điểm (0 A ; 2).
A. y = 3x − 2.
B. y = 5x + 2.
C. y = 5x − 2.
D. y = 3x + 2.
Câu 44. Cho hàm số y = tan .
x Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. 2
y − y +1 = 0. B. 2
y − y −1 = 0. C. 2
y + 2 y + 2 = 0.
D. y − y −1 = 0. Câu 45. Cho hàm số 2 f (x) =
x − 2x. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình f (
x)  f (x).  3+ 5  3+ 5  A. S =  0; .  B. S =  ; + .  2   2   3+ 5   3+ 5  C. S = ( ; − 0)   ; + .  D. S =  0; .   2   2   Câu 46. Cho hàm số 3
y = f (x) = x − 2x + 3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 1. − 0
A. y = x + 5.
B. y = 2x + 3.
C. y = −x +1.
D. y = 4x + 5. Câu 47. Cho hàm số 3 2
y = mx + x + x − 5 (m là tham số thực). Tìm m để y  0 với mọi . x 1 1 A. m  1. B. m  . C. m  . D. m = 0. 3 3 Câu 48. Cho hàm số 3 2
f (x) = x + bx + cx + d (C). Biết rằng đồ thị (C) của hàm số y = f (x) đi qua các   điểm 1 ( A 1 − ; 3 − ), B(1; 1 − ) và f  = 0.  
Tính S = b + c + d.  3  5 3 A. S = 2. − B. S = − . C. S = 0. D. S = . 2 2
Câu 49. Cho hàm số y = + x2 sin 4 . Tính y. x 2 A. y = cos 4 + x . B. y = x + x2 2 cos 4 . 4 + x2 x 2 C. y = + x2 cos 4 . D. y = sin 4 + x . 4 + x2  c
Câu 50. Biết (sin 2x + 2cos x + )
1 = a cos 2x + b sin x + .
c Tính P = (ab) . A. P =16. B. P = 32. C. P = 1. D. P = 4. 2  x  khi x  1
Câu 51. Cho hàm số f (x) =  2
. Tìm a, b để hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x =1 ?
ax +b khi x 1 58
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1 1 1 1 1 1
A. a = 1;b = . B. a = ;b = . C. a = ;b = − .
D. a = 1;b = − . 2 2 2 2 2 2 1 Câu 52. Cho hàm số 4 2
y = f (x) = x − 2x 4
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại
điểm có hoành độ x , biết // f (x ) = −1. 0 0 5 7 5 7
A. y = 3x + . y 3x y 3x y 3x . 4 B. = − 4 C. = − − 4 D. = + 4
Câu 53. Cho hàm số y = sin 3 .
x Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. dy = 3 − cos3 d x . x B. dy = cos 3 d x . x C. dy = 3cos 3 d x . x D. dy = 3sin 3 d x . x
Câu 54. Cho hàm số f (x) = cos 2x. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 2 sin 2x −sin 2x
A. df (x) = d . x
B. df (x) = d . x cos 2x cos 2x sin 2x −sin 2x
C. df (x) = d . x
D. df (x) = . 2 cos 2x cos 2x 2x +1
Câu 55. Cho (C) : y =
.Viết phương trình tiếp tuyến ()của (  vuông góc với / ( ) x C) biết ( ) có −1
phương trình 3x y + 5 = 0 . 1 13 A.
y = −x +13 hoặc y = −x +1. B. y = − x + . 3 3 1 1 1 13 1 1 C. y = − x + . y = − x +
hoặc y = − x + . 3 3 D. 3 3 3 3 3 2
Câu 56. Tìm số phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x − 3x + 4x +1 , biết rằng tiếp tuyến này
có hệ số góc k = 4. A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.       Câu 57. Cho hàm số 3 2
f (x) = sin x + x . f  − .   Tính f  − .    2   2  2              A. f  − = .   B. 2 f  − =  . C. f  − = 5. D. f  − =1.        2  2  2   2   2 
Câu 58. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) : 4 2
y = −x x + 6 , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 y = x −1. 6 A. y = 6 − x −5. B. y = 6 − x +15. C. y = 6 − x +10. D. y = 6 − x +1. 3 2
Câu 59. Cho một chất điểm chuyển động có phương trình là S(t) = 2t − 2t + t −1, (trong đó t tính bằng
sS tính bằng m). Tính gia tốc a của chuyển động tại thời điểm t = 4 . s A. a = 2 40m s . B. a = 2 12m s . C. a = 2 44m s . D. a = 2 4m s . 1
Câu 60. Cho hàm số y = . ( Tính y(2). x x 5 2 + ) 1 A. y( ) 15 2 = − . B. y( ) 5 2 = − . C. y( ) 5 2 = . D. y( ) 1 2 = − . 234 243 234 234 /
Câu 61. Cho hàm số f (x) = 20 cos3x +12 cos5x −15cos 4x . Tìm nghiệm của phương trình f (x) = 0.   kx =  k x =  4 A. (k   ).  (k  ). x =   + k  2 B.   x =  + k   2  3 59
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp   k xk  3 =  x = 2  4 C.  (k  ). D.  (k  ).   x   =  + k   2 x =  + k  2  6  4 3 2 x x
Câu 62. Cho hàm số y = + − 2 .
x Giải phương trình y (  x) =10. 3 2 A. x = 3 − , x = 3. B. x = 2 − , x =1. C. x = 4 − , x = 3. D. x = 4 − , x = 2. Câu 63. Cho hàm số 2 y =
x + 3x −1. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 2x + 3 3 A. dy = d . x B. dy = d . x 2 x + 3x −1 2 2 x + 3x −1 1 2x + 3 C. dy = d . x D. dy = d . x 2 2 x + 3x −1 2 2 x + 3x −1 Câu 64. Cho hàm số 2
f (x) = x cos .
x Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 2        2          A. f  = − .   B. f  = 0. C. f  = − .   D. f  = .      2  4  2   2  2 4  2  4 3 2 /
Câu 65. Cho hàm số y = mx + x + x − 5 (m là tham số thực). Tìm m để bất phương trình y > 0, với mọi x . 1 1 A. m  2. B. m  −1. C. m  . m . 3 D.  3 3
Câu 66. Cho hàm số y = f (x) = x − 4x (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc
của tiếp tuyến bằng 3. − 7 7 5 5 A. y = −3x + . y 3x . y 3x . y 3x . 4 B. =  − 4 C. =  + 4 D. = + 4 3 2 x x
Câu 67. Cho hàm số f (x) = + + .
x Tìm tập nghiệm S của bất phương trình f (  x)  0. 3 2 A. S = (− ;  + )  . B. S = (0; + )  . C. S = [ 2 − ;2]. D. S = . 
Câu 68. Mệnh đề nào dưới đây sai ?
f (x) − f (x )
A. Đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x được định nghĩa là 0 f (  x ) = lim . 0 0 x→ − 0 x x x0
B. Nếu hàm số liên tục tại một điểm thì nó có đạo hàm tại điểm đó.
C. Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong (C) : y = f (x) tại tiếp điểm M ( x , yk = f (  x). 0 0 )
D. Nếu hàm số có đạo hàm tại một điểm thì nó liên tục tại điểm đó. 2 cos x
Câu 69. Cho hàm số f (x) = x + 1−  
1− sin x . Tính f ( ). A. f (   ) = 2 +1. B. f (   ) = 1 − . C. f (   ) = 2. D. f (   ) = 2 −1.  3− 5x / 2
ax + bx + c Câu 70. Biết = 
. Tính S = a − 2  b . c
x x +1 ( 2 2 x x + ) 1 A. S = 4. B. S = 7. C. S = 3. − D. S = 7. −   1  a sin 6x Câu 71. Biết   =
. Tính S = a + b + . c 2  1+ cos 3x b ( c 2 1+ cos 3x) A. S = 5. B. S = 3. C. S = 8. D. S = 6. 2
ax + bx + c Câu 72. Biết 2 (x 2) x 1 − + = .   Tính P = ab . c 2 x +1 A. P = 1. − B. P = 2. C. P = 35. D. P = 4. − 60
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp 1
Câu 73. Hàm số nào dưới đây có đạo hàm bằng 2x + ? 2 x 3 x + 5x −1 3 x + 5x −1 3 x +1 2 x + 2x −1 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . 2 x x x x
Câu 74. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?    1  1
A. (C ) = 1 (C là hằng số). B. = − , x  0.   2  x x −  C. n n 1 (x ) = nx
, n  , n  1.
D. (kx) = k.
Câu 75. Cho hàm số f x = ( − x )10 2 ( ) 3
. Mệnh đề nào dưới đây sai ? A. f (  1) = 1 − 0240. B. f (  2) = 20. C. f (  1 − ) =10240. D. f (  2 − ) = 4 − 0. 2 x − 2x + 5
Câu 76. Cho hàm số f (x) = . Tính f (  2). x −1 A. f (  2) = 0. B. f (  2) = 5 − . C. f (  2) =1. D. f (  2) = 3 − . ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
B C C D D D B C C D A B B B C D D D C C D A C B A
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
B A A A A C A A A A D A B B D D A B B C A B A A C
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75
D A C B D B C C C B B C D A C C D B D D C D B A B
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 D 61
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
MỘT SỐ ĐỀ ÔN KIỂM TRA ĐỀ 1
I. Phần trắc nghiệm
Câu 1: Tính f (
x) biết f x = ( x + )2 2 ( ) 2 5 A. 2 2 8x(2x + 5) B. 2 8(2x + 5) C. 2 8x(2x + 5) D. 8x
Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) của hàm số y = f ( x) tại điểm M x ; y , với 0 ( 0 0 ) y = f x có dạng như thế nào? 0 ( 0 )
A. y y = f ' x . x x .
B. y y = f ' x . x x . 0 ( ) ( 0 ) 0 ( 0) ( 0 )
C. y + y = f ' x . x + x .
D. y = f '( x . x x y . 0 ) ( 0 ) 0 ( 0) ( 0 ) 0 bxCâu 3. Cho ( . x cot 3x) = . a cot 3x +
. Tính S = a + b? 2 sin 3x A. S = 2 − . B. S = 4. C. S = 1. D. S = 3 − .
Câu 4. Cho đồ thị (C) của hàm số 3
y = x − 3x +1, tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng
 : y = 9x + 2 có phương trình
A. y = 9x −15, y = 9x + . 7
B. y = 9x −1, y = 9x +17.
C. y = 9x − 5, y = 9x +17.
D. y = 9x −15, y = 9x +17. 3 x
Câu 5. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 y =
+ 3x − 2 có hệ số góc k = 9, − có phương trình là : 3 A. y = 9 − x +16. B. y = 9 − x − 27. C. y = 9 − x −11. D. y = 9 − x + 43. x x +
Câu 6. Cho hàm số f ( x) 2 2 5 =
. Tập nghiệm của bất phương trình y '  0 là: x −1 A. (−1;3) B. C.  1 − ;3   D. ( 1 − ;3) \  1
Câu 7. Xét ba câu sau:
(1) Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại điểm x = x thì f (x) liên tục tại điểm đó 0
(2) Nếu hàm số f (x) liên tục tại điểm x = x thì f (x) có đạo hàm tại điểm đó 0
(3) Nếu f (x) gián đoạn tại x = x thì chắc chắn f (x) không có đạo hàm tại điểm đó 0 Trong ba câu trên:
A. Cả ba đều đúng. B. Cả ba đều sai.
C. Có một câu đúng và hai câu sai.
D. Có hai câu đúng và một câu sai. 2 x − 2x + 5
Câu 8. Cho hàm số f (x) = . f x − Tính (2). 1 A. f (  2) = 3 − . B. f (  2) = 0. C. f (  2) = 5 − . D. f (  2) =1.
Câu 9. Một chất điểm chuyển động có phương trình 3
s = t + 3t (t tính bằng giây, s tính bằng mét) Tính
vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2 (giây)? 0 A. 7m / s
B. 15m / s
C. 14m / s
D. 12m / s
Câu 10. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 y =
tại điểm có hoành độ x = 1 − . x −1 0
A. y = −x + 2 .
B. y = −x − 3 .
C. y = x + 2 .
D. y = x −1 II. Phần tự luận
Bài 1:
Tính đạo hàm của các hàm số sau: 4 x 2 x +1 a) 7 y =
− 3 x + x −12 b) y = 4 x +1    Bài 2: Cho hàm số 2
y = 1+ sin x.cos x . Tính f  .    2  Bài 3: Cho hàm số 3 2
y = x + 3x − 6x +1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) ) tại 62
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
điểm có hoành độ x = 1. 0 x + Bài 4: Cho hàm số 2 2 y =
có đồ thị (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến x −1
tạo với hai trục tọa độ lập thành một tam giác cân. ĐỀ 2
I. Phần trắc nghiệm 2 x Câu 1. Cho y =
. Tập nghiệm của bất phương trình y  0 là x −1 A. (0; 2) B. (− ;  0) (2;+) C. ( ;3 − ) D. (− ;  0)(3;+)  Câu 2: Cho ( 2 2 sin x − o
c s x + x) = a + bsin 2x . Khi đó tổng a + b bằng: A. 3. B. 0. C. 5. D. 2. x
Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) : 2 1 y =
,biết tiếp tuyến vuông góc với x +1
đường thẳng d: x + 3y − 6 = 0
A. y = 3x −1, y = 3x +11
B. y = 3x −1, y = 3 − x +11
C. y = 3x +1, y = 3x +11
D. y = 3x −1, y = 3x −11 1+ x
Câu 4. Đạo hàm của hàm số y = là: 1− x 3 − x 3 − x x − 3 3 − x A. . B. . C. . D. . (1− x) 1− x 1− x 3 2 (1− x) 3 2 (1− x) x + x
Câu 5. Cho hàm số f ( x) 2 2 3 = . Giá trị f ( ) 1 bằng: x + 2 4 2 A. . B. 2. − C. 4. D. . 3 3
Câu 6. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2
S = 3t − 3t + t , trong đó t được tính bằng
giây và S được tính bằng mét. Vận tốc tại thời điểm t =1(m/s) là: A. 2 (m/s). B. 1(m/s). C. 6 (m/s). D. 4 (m/s).
Câu 7. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f (x) tại x ? 0 f (x + x  ) − f (x)
f (x) − f (x ) A. 0 lim . B. 0 lim . x  0 → xx→ − 0 x x x0
f (x) − f (x ) f (x + x  ) − f (x ) C. 0 lim . D. 0 lim x→0 x x x  0 → x  . 0
Câu 8. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ? 
A. (kx) = k. B. n n 1 (x ) nx −  =
, n  , n  1.    1  1
C. (Cx) = 1. (C là hằng số). D. = − , x  0.   2  x x Câu 9. Cho hàm số 2
y = f (x) = x − 2x + 3 (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 1. − 0 A. y = 4 − x − 2. B. y = 4 − x + 2.
C. y = 4x + 2. D. y = 4 − x + 6. Câu 10. Cho hàm số 2
y = x + 2x +1 khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 4 là
A. x + 4y + 8 = 0.
B. 4x + y − 8 = 0.
C. 4x + y + 8 = 0.
D. 4x + 3y + 8 = 0. II. Phần tự luận 63
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 1: (2,5đ) Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3 x a) 6
y = x − 4 x + +10.
b) y = ( x − )( 2 2 1 x + x + 8) 3 Bài 2: Cho hàm số 2
y = 1+ cos x.sin x . Tính f ( ). Bài 3: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2x có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm
hoành độ x = 1 − . 0 x + 2
Bài 4: Cho hàm số y =
có đồ thị (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến 2x + 3
tạo với hai trục tọa độ lập thành một tam giác cân. ĐỀ 3
I. Phần trắc nghiệm
Câu 1: Cho hàm số y = x x, với x  0. Tính y . x 3 1 3 A. y = . B. y = x. y 1 . D. y = x. x 2 C.  = + 2 x 2  3 − 5x / 2
ax + bx + c Câu 2: Biết = 
. Tính S = ac + . b 2 
x x +1 ( 2 2 x x + ) 1 A. S = 16. B. S = 10. − C. S = 16. − D. S = 5. Câu 3: Cho 3 2
f (x) = x + x − 2; (
g x) = 3x + x + 2 . Giải bất phương trình f (x)   g (x). A. x (− ;  0.
B. x (−; 0) (2; +).
C. x 2; +). D. x  (0; 2).
Câu 4: Cho hàm số y = f x = x2 ( ) −2x +3 C
( ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = −1. 0
A. y = x − 5.
B. y = −4x + 2.
C. y = x + 7.
D. y = x − 7.  c
Câu 5: Biết (cos3x + 3sin x + 2) = a cos3x + bcos x + .
c Tính P = (ab) . 1 A. P = 9. B. P = . P P 27 C. = 81. D. =1.
Câu 6: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?   1  1 A. = − , x  0.   B. n n 1 (x ) nx −  =
, n  , n  1. 2  x x  
C. (C ) = 1 (C là hằng số).
D. (kx) = k. x +1
Câu 7: Cho hàm số f (x) =
x = 0 . Gọi  = x x x x và điểm
gọi là số gia của đối số tại và −1 0 x 0 0
f (x + x) − f (x )
y = f (x + x)− f (x ) 0 0 lim . 0 0
gọi là số gia tương ứng của hàm số. Tính x→0 x
f (x + x) − f (x )
f (x + x) − f (x ) A. 0 0 lim = −2. B. 0 0 lim = −1. x→0 xx→0 x
f (x + x) − f (x )
f (x + x) − f (x ) C. 0 0 lim = 1. D. 0 0 lim = 2. x→0 xx→0 x Câu 8: Cho hàm số 3 2
y = mx + x + x − 5(m là tham số thực). Tìm m để phương trình / y = 0 có hai nghiệm trái dấu. A. m  0. B. m  0. C. m  −4. D. m  1. 64
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp
Câu 9: Cho một chất điểm chuyển động có phương trình là S t = 3 t − 2 ( ) 2
2t + t −1, (trong đó t tính bằng s
S tính bằng m). Tính gia tốc a của chuyển động tại thời điểm t = 4 . s A. a = 2 44 m s . B. a = 2 4 m s . C. a = 2 40 m s . D. a = 2 12 m s . 1 4 2
Câu 10: Cho hàm số y = f (x) =
x − 2x (C). Viết phương trình tiếp 4
tuyến của đồ thị (C), biết hệ số
góc của tiếp tuyến bằng 1. − 5 5 7 7
A. y = 3x + . y 3x . y 3x . y 3x . 4 B. = + 4 C. = − + 4 D. =  − 4 II. Phần tự luận 2
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số y = ( x − ) 1 (2x + ) 1   
Bài 2. Cho hàm số y = f x = 2 ( ) x −1+sin6 .
x cos6x . Tính f ' −  12   4 x 2 9
Bài 3. Cho hai hàm số y = − 2x − có đồ thị là
. Viết phương trình tiếp tuyến của 4 4 (C) (C) tại các
giao điểm của nó với trục Ox. 2x +1
Bài 4. Cho hàm số y = có đồ thị ( x − 2
C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp
tuyến song song với đường thẳng 5x + y +1 = 0 . ĐỀ 4
I. Phần trắc nghiệmc
Câu 1: Biết (sin 2x + 2cos x + )
1 = a cos 2x + b sin x + .
c Tính P = (ab) . A. P = 32. B. P = 16. C. P = 4. D. P = 1.
Câu 2: Cho một chất điểm chuyển động có phương trình là S t = 3 t − 2 ( ) 2
2t + t −1, (trong đó t tính bằng s 2
S tính bằng m). Tính vận tốc V của chuyển động tại thời điểm mà gia tốc bằng 0 (m s ) 1 1 A. V = 2 5m s . B. V = 2 m s . V m s . V m s 2 C. = 2 3 D. = 2 10 .  3 − 5x / 2
ax + bx + c Câu 3: Biết = 
. Tính S = a +b . c 2 
x x +1 ( 2 2 x x + ) 1 A. S = 7. B. S = 7. − C. S = 4. D. S = 3. −
Câu 4: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? n n− 
A. (ax + b) = na (ax + b) 1 , n  , n  1. B. ( 10 kx ) 9 =10kx .   a aC. = − , x  0.  
D. (C + x) = C +1 (C là hằng số). 2  x x 60 64
Câu 5: Cho f (x) = 3x + − + 5 . Giải phương trình / f (x) = 0. 3 x x
A. x 2;  3 .
B. x 2;  4 .
C. x 4;  1 .
D. x 2;  4 . x
Câu 6: Cho hàm số y =
, với x  0. Tính y . x 1 1 2 A. y = . B. y = x. C. y = x. D. y = 1. 2 x 2 3 65
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 7: Cho hàm số 2
y = f (x) = x −2x +3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3.
A. y = 10x +17.
B. y = 10x + 7.
C. y = x + 7.
D. y = x +1. 1
Câu 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y = x tại điểm có hoành độ bằng 1. −
A. y = −x −1.
B. y = −x − 2.
C. y = x + 2. D. y = − . x Câu 9: Cho hàm số 3 2
y = mx + x + x − 5(m là tham số thực). Tìm m để bất phương trình / y > 0, với mọi x . 1 1 A. m  . m . m m 3 B.  3 C.  −1. D.  2.
Câu 10: Cho hàm số f (x) = 2x −1 và điểm x = 5 . Gọi  = x x x 0 x
0 gọi là số gia của đối số tại 0 và
f (x + x) − f (x )
y = f (x + x)− f (x ) 0 0 lim . 0 0
gọi là số gia tương ứng của hàm số. Tính x→0 x
f (x + x) − f (x ) 1
f (x + x) − f (x ) A. 0 0 lim = . B. 0 0 lim = 3. x→0 x 6 x→0 x
f (x + x) − f (x ) 1
f (x + x) − f (x ) C. 0 0 lim = . D. 0 0 lim = 6. x→0 x 3 x→0 x II. Phần tự luận 4 2
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số y = 4x (2x + 3x + ) 1 1 2 sin x   /
Bài 2. Cho hàm số f (x) = x f  2
1+ cos x . Tính  2    1 3 2
Bài 3. Cho hai hàm số y = −
x + 2x − 3x +1 có đồ thị là ( 3
C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại
các giao điểm của nó với trục tung. 2x +1
Bài 4. Cho (C) : y =
.Viết phương trình tiếp tuyến ()của (  vuông góc với / ( ) x C) biết ( ) có −1
phương trình 3x y + 5 = 0 . ĐỀ 5
I. Phần trắc nghiệm 3 x
Câu 1: Tiếp tuyến của đồ thi hàm số 2 y =
+ 3x − 2 có hệ số góc k = 9 − , có phương trình là 3 A. y −16 = 9 − (x + 3). B. y +16 = 9 − (x + 3). C. y +16 = 9 − (x −3). D. y −16 = 9 − (x −3) .
Câu 2: Cho u = u ( x),v = v ( x) , n  *, k là hằng số. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?     A. ( x ) 1 = .
B. (u v) = u ' v ' . C. ( n u ) n 1 = . n u − .
D. (k.x) = k . 2 x
Câu 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) của hàm số y = f ( x) tại điểm M x ; y , với 0 ( 0 0 ) y = f x có dạng là 0 ( 0 )
A. y y = f ' x . x x .
B. y y = f ' x . x x . 0 ( 0) ( 0 ) 0 ( ) ( 0 )
C. y = f '( x . x x y .
D. y + y = f ' x . x + x . 0 ( 0) ( 0 ) 0 ) ( 0 ) 0  mx + n
Câu 4: Cho (4x − 3) 2x +1 =  
. Tính A = m n ? 2x +1 66
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp A. A = 11 . B. A = 13 . C. A = 9 . D. A = 7 . 2
Câu 5: Tìm đạo hàm của hàm số 2017 y = x − + 2018 ? x 2 1 A. 2017 y ' = 2016x + . B. 2016 y ' = x + + 2017 . 2 x 2 x 2 2 C. 2016 y ' = 2017x − . D. 2016 y ' = 2017x + . 2 x 2 x b
Câu 6: Cho (cos 2x − tan 3x) = a sin 2x +
. Tính S = a b ? 2 cos 3x A. S = 5 − . B. S = 1 − . C. S = 1. D. S = 5.
Câu 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 y =
tại điểm có hoành độ x = 1 − có phương trình là x −1 0
A. y = −x − 3 .
B. y = x −1.
C. y = x + 2 .
D. y = −x + 2 . 1
Câu 8: Một vật rơi tự do theo phương trình 2 S =
gt (m), với g = ( 2
9,8 m / s ) . Vận tốc tức thời của vật 2
tại thời điểm t = 5(s) là
A. 122,5 (m / s).
B. 29, 5(m / s).
C. 10(m / s).
D. 49 (m / s). x x
Câu 9: Cho f ( x) 3 2 = +
+ x . Tập nghiệm của bất phương trình f (x)  0 là 3 2 A. −2; 2. B. .  C. (0; +). D. .
Câu 10: Cho hàm số f (x) = 2sin x − sin 2x . Giải phương trình f '(x) = 0 có nghiệm là   kA. x =
+ k2 , k  . B. x = + , k  . 2 4 2 k 2 C. x = , k  .
D. x = k 2 , k  . 3 II. Phần tự luận  
Bài 1. Tìm đạo hàm của hàm số y = ( x + ) 1 1 −1   .  x  2 tan x
Bài 2. Tính giá trị đạo hàm của hàm số y = tại x = . sin 2x 3 2 x − 3x +1
Bài 3. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thi hàm số y =
tại giao điểm của đồ thị hàm số với 2x −1 trục tung .
Bài 4. Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong 3 2
y = x − 3x + 2 vuông góc với đường thẳng
x − 3y − 9 = 0 . ĐỀ 6
I. Phần trắc nghiệm
Câu 1: Tìm đạo hàm của hàm số 5
y = x + x − 3? 1 1 A. 4 y ' = 5x − . B. 4 y ' = 5x + − 3 . 2 x 2 x 1 1 C. 4 y ' = 5x + . D. 5 y ' = 4x + . 2 x 2 x x + Câu 2: Cho hàm số 2 1 y =
, (C) . Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm có tung độ bằng 5 là x −1 67
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679
Tài liệu học tập Toán 11 GV. Lư Sĩ Pháp A. y = 3 − x −1. B. y = 3 − x +11. C. y = 3 − x +1.
D. y = 3x +1 .
Câu 3: Cho u = u ( x),v = v ( x) , n  *. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?   u    1  1 − A. ( u ) ' = . B. ( .
u v) = u '.v ' . C. ( n x ) n 1 = . n x − . D. =   . 2 u 2  x x b sin 3xCâu 4: Cho (sin 3 .
x cot x) = a cos 3 . x cot x + . Tính P = . a b ? 2 sin x A. P = 3 . B. P = 2 − . C. P = 2 . D. P = 3 − .
Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong y = f ( x) tại tiếp điểm M x ; f xf '( x . 0 ) 0 ( 0 ( 0)) f x f x
B. f '( x = lim 0 ) ( ) ( 0 ) xx − 0 x x0
C. Nếu một hàm số có đạo hàm tại một điểm thì nó liên tục tại điểm đó.
D. Nếu một hàm số liên tục tại một điểm thì nó có đạo hàm tại điểm đó.
Câu 6: Cho hàm số f (x) = sin x + cos x − 2x . Giải phương trình f '(x) = 0 có nghiệm là  2 A. x = −
+ k2 , k  . B. x = + k ,k  . 4 3 k  C. x = , k  . D. x = 
+ k2 , k  . 4 3 x +
Câu 7: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 y =
tại điểm có hoành độ bằng 2 là x −1 1 A. y = 2 − x + 7 .
B. y = 2x −1. C. y = x + 4 . D. y = 2 − x +1. 2   3− 2x ax b a Câu 8: Cho =   . Tính E = ?  4x −1  (4x − ) 1 4x −1 b A. E = 4 . B. E = 1 − . C. E = 16 − . D. E = 4 − .
Câu 9: Cho chuyển động được xác định bởi phương trình 3 2
S = 2t + 3t + 5t , trong đó t được tính bằng
giây và S được tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động khi t = 2(s) là
A. 41(m / s).
B. 36(m / s).
C. 20(m / s).
D. 24(m / s).
Câu 10: Cho hàm số f ( x) 3 2
= x − 3x + 2 . Tập nghiệm của bất phương trình f (x)  0 là A. (2; +) . B. (0; 2) . C. (− ;  0) (2;+) . D. ( ; − 0) II. Phần tự luận x
Bài 1. Tìm đạo hàm của hàm số 2 3 y = 3x − . 2 
Bài 2. Tính giá trị đạo hàm của hàm số 2 y = cot 3 .
x cos x tại x = . 4 x −1
Bài 3. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H): y = x + tại giao điểm của (H) và trục hoành. 2
Bài 4. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 3x − 2 song song với đường thẳng
3x − 2 y +1 = 0 . 68
Chương V. Đạo Hàm
I Love Math_0916620899_0355334679