Chuyên đề đạo hàm Toán 11 KNTTVCS

Tài liệu gồm 140 trang, bao gồm lý thuyết, hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa, các dạng bài tập tự luận và hệ thống bài tập trắc nghiệm chuyên đề đạo hàm trong chương trình 

130 65 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 9: Đạo hàm (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

140 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 1
Sưu tầm và biên soạn
BÀI 1: ĐẠO HÀM
1. ĐẠO HÀM
Cho hàm số
( )
y fx=
xác định trên khoảng
( )
;ab
và
( )
0
;x ab∈
.
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
(
)
( )
0
0
0
lim
xx
fx fx
xx
→
−
−
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của
(
)
fx
tại điểm
0
x
, kí hiệu là
( )
0
fx
′
hay
( )
0
yx
′
, tức là
Để tính đạo hàm của hàm số
( )
y fx=
tại
( )
0
;x ab
∈
, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tính
( )
( )
0
fx fx
−
.
Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số
( ) (
)
0
0
fx fx
xx
−
−
với
( )
0
;,x ab x x∈≠
Bước 3. Tính giới hạn
( ) ( )
0
0
0
lim
xx
fx fx
xx
→
−
−
.
Chú ý: Trong định nghĩa và quy tắc trên đây, thay
0
x
bởi
x
ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính
đạo hàm của hàm số
( )
y fx=
tại điểm
( )
;x ab∈
.
2. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM
CHƯƠNG
VII
ĐẠO HÀM
LÝ THUYẾT.
I
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 2
Sưu tầm và biên soạn
Đạo hàm của đồ thị hàm số
( )
y fx=
tại điểm
0
x
là hệ số góc của tiếp tuyến
0
MT
của
(
)
C
tại
điểm
(
)
(
)
00 0
;M x fx
Tiếp tuyến
0
MT
có phương trình là:
( )
( )( )
0 00
y fx f x x x
′
−= −
3. SỐ
e
DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
Để tính đạo hàm của hàm số
( )
y fx=
tại
( )
0
;x ab
∈
, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tính
( )
( )
0
fx fx
−
.
Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số
( ) ( )
0
0
fx fx
xx
−
−
với
( )
0
;,x ab x x∈≠
Bước 3. Tính giới hạn
( ) (
)
0
0
0
lim
xx
fx fx
xx
→
−
−
.
•
0
0
0
0
() ( )
'( ) lim
xx
fx fx
fx
xx
→
−
=
−
•
0
0
0
0
() ( )
'( ) lim
+
+
→
−
=
−
xx
fx fx
fx
xx
•
0
0
0
0
() ( )
'( ) lim
xx
fx fx
fx
xx
−
−
→
−
=
−
•
Hàm số
()=
y fx
có đạo hàm tại điểm
000
'( ) '( )
+−
=⇔=x x fx fx
•
Hàm số
()=y fx
có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó.
Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số sau:
( )
3
21y fx x x= = +−
tại
0
0x =
Câu 2: Tính đạo hàm tại 1 điểm
HỆ THỐNG BÀI TẬP.
II
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 3
Sưu tầm và biên soạn
a.
( )
2
1
1
y fx
xx
= =
++
tại
0
2x = −
b.
( )
2
3
21
xx
y fx
x
+−
= =
−
tại
0
3x =
Câu 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ:
1.
3
() 2 1= +fx x
tại
=x2
2.
2
() 1= +
fx x
tại
=
x1
3.
32
11
khi 0
()
0 khi 0
+ +−
≠
=
=
xx
x
fx
x
x
tại
0
=x
Câu 4: Tìm
a
để hàm số
( )
2
1
khi 1
1
khi 1
x
x
fx
x
ax
−
≠
=
−
=
có đạo hàm tại
1x =
DẠNG 2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN 1 KHOẢNG
Để tính đạo hàm của hàm số
( )
y fx=
tại
( )
0
;x ab∈
bất kì, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tính
( ) ( )
0
fx fx−
.
Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số
( ) ( )
0
0
fx fx
xx
−
−
với
( )
0
;,x ab x x∈≠
Bước 3. Tính giới hạn
( )
( )
0
0
0
lim
xx
fx fx
xx
→
−
−
.
Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số sau:
a.
(
)
2
31y fx x x
= =−+
b.
( )
3
2y fx x x= = −
c.
( )
43y fx x= = +
DẠNG 3. Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
a. Ý nghĩa hình học
Đạo hàm của hàm số
( )
=y fx
tại điểm
0
x
là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
( )
( )
00 0
;M x fx
. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
( )
0
;
o
Mx y
là
( )
′
=
0
k fx
.
Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm
0
M
có dạng:
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
PHƯƠNG PHÁP.
1
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 4
Sưu tầm và biên soạn
(
)
(
)
(
)
′
= −+
00 0
y f x x x fx
b. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm
Phương trình quỹ đạo chuyển động của chất điểm:
( )
=
s ft
.
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường
( )
′′
= =
vs ft
.
Câu 6: Cho hàm số
=+−
2
24yx x
có đồ thị
(
)
C
a. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm có hoành độ
=
0
1x
thuộc
( )
C
.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
=
0
0x
thuộc
(
)
C
.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ
= −
0
1y
thuộc
( )
C
.
d. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
−4
.
e. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đưởng thẳng
= −13yx
.
Câu 7: Cho hàm số
+
=
1
3
x
y
x
có đồ thị
( )
C
a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của
( )
C
với trục
Oy
.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của
( )
C
với trục
Ox
.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của
( )
C
với đường thẳng
= +1
yx
.
d. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
= −
1
3
k
.
e. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó vuông góc với đưởng
thẳng
= −34yx
.
Câu 8: Cho hàm số
3
21yx x
=−+
a. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của hàm số trên tại điểm có
0x =
.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của hầm số biết nó có
2.k = −
c. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số trên, biết nó tạo với hai trục Oxy một tam giác vuông
cân tại O.
Câu 9: Một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình
( )
= +−
2
2 1 s tt m
a. Tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm
= 2ts
.
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 5
Sưu tầm và biên soạn
b. Tìm vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ
= 0t
tới
= 2ts
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 1
Sưu tầm và biên soạn
BÀI 1: ĐẠO HÀM
1. ĐẠO HÀM
Cho hàm số
( )
y fx=
xác định trên khoảng
( )
;ab
và
( )
0
;x ab∈
.
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
(
)
( )
0
0
0
lim
xx
fx fx
xx
→
−
−
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của
(
)
fx
tại điểm
0
x
, kí hiệu là
( )
0
fx
′
hay
( )
0
yx
′
, tức là
Để tính đạo hàm của hàm số
( )
y fx=
tại
( )
0
;x ab
∈
, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tính
( )
( )
0
fx fx
−
.
Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số
( ) (
)
0
0
fx fx
xx
−
−
với
( )
0
;,x ab x x∈≠
Bước 3. Tính giới hạn
( ) ( )
0
0
0
lim
xx
fx fx
xx
→
−
−
.
Chú ý: Trong định nghĩa và quy tắc trên đây, thay
0
x
bởi
x
ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính
đạo hàm của hàm số
( )
y fx=
tại điểm
( )
;x ab∈
.
2. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM
CHƯƠNG
VII
ĐẠO HÀM
LÝ THUYẾT.
I
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 2
Sưu tầm và biên soạn
Đạo hàm của đồ thị hàm số
( )
y fx=
tại điểm
0
x
là hệ số góc của tiếp tuyến
0
MT
của
(
)
C
tại
điểm
(
)
(
)
00 0
;M x fx
Tiếp tuyến
0
MT
có phương trình là:
( )
( )( )
0 00
y fx f x x x
′
−= −
3. SỐ
e
DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
Để tính đạo hàm của hàm số
( )
y fx=
tại
( )
0
;x ab
∈
, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tính
( )
( )
0
fx fx
−
.
Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số
( ) ( )
0
0
fx fx
xx
−
−
với
( )
0
;,x ab x x∈≠
Bước 3. Tính giới hạn
( ) (
)
0
0
0
lim
xx
fx fx
xx
→
−
−
.
•
0
0
0
0
() ( )
'( ) lim
xx
fx fx
fx
xx
→
−
=
−
•
0
0
0
0
() ( )
'( ) lim
+
+
→
−
=
−
xx
fx fx
fx
xx
•
0
0
0
0
() ( )
'( ) lim
xx
fx fx
fx
xx
−
−
→
−
=
−
•
Hàm số
()=
y fx
có đạo hàm tại điểm
000
'( ) '( )
+−
=⇔=x x fx fx
•
Hàm số
()=y fx
có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó.
Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số sau:
( )
3
21y fx x x= = +−
tại
0
0x =
Lời giải
Tại
0
0x =
ta có
HỆ THỐNG BÀI TẬP.
II
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 3
Sưu tầm và biên soạn
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
3 32
0
2
0
2
0
02 1 12 2 1
21
0
21
0
fx fx fx f x x x x x x
xx
fx fx fx f
x
xx x x
− = − = + −−− = + = +
+
−−
= = = +
−−
( )
( ) ( )
( )
0
0
2
0
0
0 lim lim 2 1 1
xx x
fx fx
fx
xx
→→
−
′
⇒ = = +=
−
Câu 2: Tính đạo hàm tại 1 điểm
a.
(
)
2
1
1
y fx
xx
= =
++
tại
0
2x = −
b.
( )
2
3
21
xx
y fx
x
+−
= =
−
tại
0
3x =
Lời giải
a. Tại
0
2x = −
ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
2
0
22
2
22
1 1 13 1
2.
1 421 3 1
12
1 21
..
3 13 1
xx
fx fx fx f
xx xx
xx
xx
xx xx
− −−
− = − −= − =
++ −+ ++
−+
− −+
= = −
++ ++
(
) (
)
(
) (
)
(
)(
)
(
)
0
22
0
2 12 1
1 11
. ..
2 3 1 23 1
fx fx fx f x x x
xx x xx x xx
− −− − + −
==−=−
− + ++ + ++
( )
( ) (
) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
2
2
2
0
1 21
11 1
2 lim lim . .
3 13 3
2 21
xx x
fx fx x
f
xx x x
→ →−

− − −−
′
⇒ −= = − =− =

− ++
− +− +

b. Tại
0
3x =
ta có
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )
22
0
0
0
35 2
3 9 5 13 6
3
21 5 521 521
3 352 52
1
.
3 52 1 3 52 1
xx
xx x x
fx fx fx f
x xx
fx fx fx f x x x
xx x x x x
−+
+− − −
− = − = −= =
− −−
− − −+ +
= = =
− − −− −
( ) (
) (
) (
) (
)
( )
( )
0
0
33
0
3 52
17
lim lim lim
3 5 2 1 25
17
3
25
xx x x
fx fx fx f x
xx x x
f
→ →→
− −+
= = =
− −−
′
⇒=
Câu 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ:
1.
3
() 2 1= +fx x
tại
=x2
2.
2
() 1= +fx x
tại
=x1
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 4
Sưu tầm và biên soạn
3.
32
11
khi 0
()
0 khi 0
+ +−
≠
=
=
xx
x
fx
x
x
tại
0=x
Lời giải
1. Ta có
3
2
2 22
( ) (2)
2 16
lim lim lim 2( 2 4) 24
22
x xx
fx f
x
xx
xx
→ →→
−
−
= = + +=
−−
'(2) 24f⇒=
.
2. Ta có:
→→
−
+−
=
−−
2
11
( ) (1)
12
lim lim
11
xx
fx f
x
xx
→
−+
= =⇒=
− ++
2
1
( 1)( 1) 1 1
lim '(1)
22
( 1)( 1 2 )
x
xx
f
xx
.
3. Ta có
(0) 0f =
, do đó:
32
2
32
00 0
( ) (0) 1 1 1 1
lim lim lim
2
11
→→ →
− + +− +
= = =
+ ++
xx x
fx f x x x
x
x
xx
Vậy
1
'(0)
2
f
=
.
Câu 4: Tìm
a
để hàm số
( )
2
1
khi 1
1
khi 1
x
x
fx
x
ax
−
≠
=
−
=
có đạo hàm tại
1x
=
Lời giải
Để hàm số có đạo hàm tại
1x
=
thì trước hết
()fx
phải liên tục tại
1x
=
Hay
2
11
1
lim ( ) lim 2 (1)
1
xx
x
fx f a
x
→→
−
= = = =
−
.
Khi đó, ta có:
2
11
1
2
( ) (1)
1
lim lim 1
11
xx
x
fx f
x
xx
→→
−
−
−
−
= =
−−
.
Vậy
=a2
là giá trị cần tìm.
DẠNG 2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN 1 KHOẢNG
Để tính đạo hàm của hàm số
( )
y fx=
tại
( )
0
;x ab∈
bất kì, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tính
( ) ( )
0
fx fx−
.
Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số
( ) ( )
0
0
fx fx
xx
−
−
với
( )
0
;,x ab x x∈≠
Bước 3. Tính giới hạn
( ) ( )
0
0
0
lim
xx
fx fx
xx
→
−
−
.
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 5
Sưu tầm và biên soạn
Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số sau:
a.
( )
2
31
y fx x x= =−+
b.
( )
3
2y fx x x= = −
c.
( )
43y fx x= = +
Lời giải
a. Tại
0
x ∈
tùy ý, ta có:
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )(
)
22
0 00 0 0
0 00
0
00
31 3 1 3
3
3
fx fx x x x x x x x x
fx fx x x x x
xx
xx xx
− = − −− + −= − + −
− − +−
= =+−
−−
(
) (
)
( )
00
0
00
0
lim lim 3 2 3
23
xx xx
fx fx
xx x
xx
yx
→→
−
= +−= −
−
′
⇒= −
b. Tại
0
x
∈
tùy ý, ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
(
)
( )
33 2 2
0 0 0 0 00
22
0 00
0
22
00
00
22 . 2
.2
.2
fx fx x x x x x x x xx x
x x x xx x
fx fx
x xx x
xx xx
− =−−+ =− + + −
− + +−
−
= = + +−
−−
( ) ( )
( )
00
0
2 22
00 0
0
2
lim lim . 2 3 2
32
xx xx
fx fx
x xx x x
xx
yx
→→
−
= + + −= −
−
′
⇒= −
c. Tại
0
x
∈
tùy ý, ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
0 00
00
00
4 34 3 4
4
4
fx fx x x x x
fx fx x x
xx xx
− = +− += −
−−
= =
−−
( ) ( )
00
0
0
lim lim 4 4
4
xx xx
fx fx
xx
y
→→
−
= =
−
′
⇒=
DẠNG 3. Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
a. Ý nghĩa hình học
PHƯƠNG PHÁP.
1
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 6
Sưu tầm và biên soạn
Đạo hàm của hàm số
( )
=y fx
tại điểm
0
x
là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
( )
( )
00 0
;M x fx
. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
(
)
0
;
o
Mx y
là
( )
′
=
0
k fx
.
Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm
0
M
có dạng:
( )( ) ( )
′
= −+
00 0
y f x x x fx
b. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm
Phương trình quỹ đạo chuyển động của chất điểm:
( )
=s ft
.
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường
(
)
′′
= =
vs ft
.
Câu 6: Cho hàm số
=+−
2
24
yx x
có đồ thị
( )
C
a. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm có hoành độ
=
0
1x
thuộc
( )
C
.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
=
0
0
x
thuộc
( )
C
.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ
= −
0
1y
thuộc
(
)
C
.
d. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
−4
.
e. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đưởng thẳng
= −13yx
.
Lời giải
Tại
0
x ∈
tùy ý, ta có:
( ) ( )
( )
( )
(
) ( ) (
)( )
22
0 00 0 0
0 00
0
00
24 2 4 2
2
2
fx fx x x x x x x x x
fx fx x x x x
xx
xx xx
− = + −− − += − + +
− − ++
= =++
−−
( )
( )
( )
00
0
00
0
lim lim 2 2 2
22
xx xx
fx fx
xx x
xx
yx
→→
−
= ++= +
−
′
⇒= +
a. Hệ số góc của tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm có hoành độ
=
0
1
x
thuộc
( )
C
là
( )
′
= =14ky
b. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
=
0
0x
thuộc
( )
C
là
(
)( ) ( )
′
= − + ⇔= −0 0 0 24yy x y y x
c. Với
=
=−⇒ = + − =−⇔
= −
2
0
0 00
0
1
1 2 41
3
x
y yx x
x
. Vậy có hai tiếp điểm thuộc
( )
C
có tung độ
= −
0
1y
là
( )
−1; 1
và
(
)
−−3; 1
. Nên ta có:
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 7
Sưu tầm và biên soạn
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
−
1; 1
là
( )( ) ( )
′
= −+ ⇔= −
1 1 1 45yy x y y x
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
−−3; 1
là
( )
(
) (
)
′
= − + + −⇔=− −
3 3 3 4 13
yy x y y x
d. Gọi
(
)
;
M ab
là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị
(
)
C
với hệ số góc
= −4k
( )
′
⇒ =−⇔ + =−⇔ =−⇒ =−
4224 3 1
ya a a b
Suy ra phương trình tiếp tuyến với hệ số góc
= −4k
là
( )
=− + −⇔ =− −4 3 1 4 13y x yx
.
e. Vì tiếp tuyến đó song song với đưởng thẳng
= −13yx
nên tiếp tuyến có hệ số góc
= −3k
Gọi
( )
;
M ab
là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
với hệ số góc
= −4k
( )
′
⇒ =−⇔ + =−⇔ =− ⇒ =−
5 11
3223
24
ya a a b
Suy ra phương trình tiếp tuyến với hệ số góc
= −3k
là

=− + − ⇔=− −


5 11 41
33
24 4
y x yx
.
Câu 7: Cho hàm số
+
=
1
3
x
y
x
có đồ thị
( )
C
a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của
( )
C
với trục
Oy
.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của
( )
C
với trục
Ox
.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của
( )
C
với đường thẳng
= +1
yx
.
d. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
= −
1
3
k
.
e. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó vuông góc với đưởng
thẳng
= −
34yx
.
Lời giải
Tại
{
}
0
\0x ∈
tùy ý, ta có:
( ) ( )
( )
( ) (
) (
)
0
0
0
00
00
0 0 00
1
1
3 3 3.
11
.
3. 3.
xx
x
x
fx fx
x x xx
fx fx x x
x x xx x x xx
−−
+
+
− =−=
− −−
−
= =
−−
( ) ( )
00
0
2
0 00
2
11
lim lim
3. 3
1
3
xx xx
fx fx
x x xx x
y
x
→→
−
−−
= =
−
′
⇒=−
a. Vì
( )
C
không cắt
Oy
nên không tồn tại tiếp tuyến thỏa YCBT.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 8
Sưu tầm và biên soạn
b. Tọa độ giao điểm của
( )
C
với trục
Ox
là
( )
−
1; 0
Suy ra phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của
( )
C
với trục
Ox
là
( )
( )
′
= − + +⇔=− −
11
1 10
33
yy x y x
c. Tọa độ giao điểm của
( )
C
với đường thẳng
= +1yx
là nghiệm của phương trình
=−⇒ =
+
= +⇔ + −= ⇔
=⇒=
2
10
1
1 3 2 10
14
3
33
xy
x
x xx
x
xy
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
−1; 0
là
(
)(
)
′
= − + +⇔=− −
11
1 10
33
yy x y x
Phương trình tiếp tuyến tại điểm



14
;
33
là

′
= − +⇔=− +


1 14 7
3
3 33 3
yy x y x
d. Gọi
( )
;M ab
là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
với hệ số góc
= −
1
3
k
( )
=⇒=
′
⇒ =−⇔− =−⇔
=−⇒ =
2
2
1
1 11
3
33
3
10
ab
ya
a
ab
Suy ra phương trình tiếp tuyến với hệ số góc
= −
1
3
k
là
( )
=− −+⇔=− +
12 1
11
33 3
y x yx
và
=−−
11
33
yx
.
e. Tiếp tuyến đó vuông góc với đưởng thẳng
= −34yx
. Suy ra tiếp tuyến hệ số góc
= −
1
3
k
.
Vậy bài toán câu e trở về câu d.
Câu 8: Cho hàm số
3
21yx x=−+
a. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của hàm số trên tại điểm có
0x =
.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của hầm số biết nó có
2.k = −
c. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số trên, biết nó tạo với hai trục Oxy một tam giác vuông
cân tại O.
Lời giải
Ta có
2
'3 2yx= −
a. Hệ số góc của tiếp tuyến của hàm số tại điểm có x = 0 là
3.0 2 2k = −=−
b. Gọi
00
(x;y)M
tiếp điểm của tiếp tuyến có hệ số góc
2
00 0
2 '(x ) 2 3 x 2 2 0kf x=−⇒ =−⇔ − =−⇔ =
⇒
PT tiếp tuyến tại điểm
(0;1)M
chính là PT tiếp tuyến có hệ số góc
2k = −
có dạng sau:
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 9
Sưu tầm và biên soạn
2( 0) 1 2 1y x yx
=− −+⇔=−+
c. Gọi
00
(x;y)M
hoành độ điểm tiếp xúc của
(C)
và
(d)
Cách 1: Gọi PT đoạn chắn cắt 2 trục tọa độ và tạo với 2 trục 1 tam giác vuông cân tại O có
dạng
( )
1 . 1 , .b 0;| a | | b | ( )
xy x b
y b x ba d
ab a a

+=⇒= − =− + ≠ =


(d)
là tiếp tuyến của
(C)
thì
2
0
3x 2
b
a
−
−=
Vì
00
00
2
0
2
00
0
00
10
12
3x 2 1
3 9 53
|a| |b|
3x 2 1
39
3 9 53
39
xy
xy
xy
xy
=⇒=
=−⇒ =
−=
−
=⇒⇔
= ⇒ =
−=−
−+
= ⇒=
⇒
Có 4 PT tiếp tuyến ứng với các điểm tiếp xúc và hệ số góc trên như sau
1.( 1) 0 y x 1
1.( 1) 2 y x 3
3 9 53 9 23
1.( ) y x
39 9
3 9 53 9 23
1.( ) y x
39 9
yx
yx
yx
yx
= −+⇔ =−
= ++⇔=+
−−
=− − + ⇔ =−+
++
=− + + ⇔ =−+
Cách 2: Gọi PT tiếp tuyển của
(C)
thỏa mãn YCBT có dạng
( )
y kx b d= +
Ta có
2
0
32kx= −
Có giao điểm của
(d)
với Ox tại
;0
b
k
−



; với trục Oy tại
(0; )b
Vì
(d)
tạo với hai trục Oxy một tam giác vuông cân tại O.
0
1
.0 1
1
1
bL
b
bb k
k
kk

= ⇒
−
⇒ = ⇔ =⇔ ⇔=±


= ±
−

2
0
3 21x⇒ −=±
Làm tiếp như cách 1.
Câu 9: Một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình
( )
= +−
2
2 1 s tt m
a. Tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm
= 2ts
.
b. Tìm vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ
= 0t
tới
= 2ts
.
Lời giải
Ta có:
′
= = +41vs t
a. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm
= 2ts
là:
( )
+=4.2 1 9 /ms
b. Trong khoảng thời gian từ
= 0t
tới
= 2ts
thì chất điểm di chuyển được quãng đường:
( )
+−=4.2 2 1 9 m
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 10
Sưu tầm và biên soạn
Suy ra vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian
2s
kể từ thời điểm
= 0t
là:
(
)
∆−
= = =
∆−
90
4,5 / .
20
s
v ms
t
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 5
Sưu tầm và biên soạn
BÀI 1: ĐẠO HÀM
Câu 1: Cho hàm số
(
)
y fx=
có đạo hàm tại điểm
0
x
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A.
( )
(
) (
)
0
0
0
0
lim
xx
fx fx
fx
xx
→
−
′
=
−
. B.
( )
(
) ( )
0
0
0
0
lim
xx
fx fx
fx
xx
→
+
′
=
−
.
C.
( )
(
)
( )
0
0
0
0
lim
xx
fx fx
fx
xx
→
−
′
=
+
. D.
( )
( ) ( )
0
0
0
0
lim
xx
fx fx
fx
xx
→
+
′
=
+
.
Câu 2: Cho hàm số
(
)
y fx=
xác định trên
thỏa mãn
( ) ( )
3
3
lim 2
3
x
fx f
x
→
−
=
−
. Kết quả đúng là
A.
( )
23f
′
=
. B.
( )
2
fx
′
=
. C.
(
)
3
fx
′
=
. D.
(
)
32
f
′
=
.
Câu 3: Cho hàm số
()y fx=
có đạo hàm thỏa mãn
( )
6 2.f
′
=
Giá trị của biểu thức
( ) ( )
6
6
lim
6
x
fx f
x
→
−
−
bằng
A.
12.
B.
2
. C.
1
.
3
D.
1
.
2
Câu 4: Cho hàm số
( )
fx
xác định bởi
(
)
2
141
khi 0
0 khi 0
x
x
fx
x
x
−
≠
=
=
+
. Giá trị
( )
0f
′
bằng
A.
2
. B.
0
. C.
1
2
. D. Không tồn tại.
Câu 5: Cho hàm số
( )
3
1
x
fx
x
=
+
. Tính
( )
0f
′
.
A.
( )
00f
′
=
. B.
( )
01f
′
=
. C.
( )
1
0
3
f
′
=
. D.
( )
03f
′
=
.
Câu 6: Cho hàm số
( )
khi
khi
xx
x
x
fx
x
+−
≠
−
=
−
=
3 12
1
1
5
1
4
. Tính
( )
'f 1
.
A. Không tồn tại. B.
0
C.
7
50
−
. D.
9
64
−
.
CHƯƠNG
VII
ĐẠO HÀM
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
III
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 6
Sưu tầm và biên soạn
Câu 7: Cho hàm số
( )
2
1, 1
2 , 1.
xx
y fx
xx
+≥
= =
<
Mệnh đề sai là
A.
( )
12f
′
=
. B.
f
không có đạo hàm tại
0
1.x =
C.
( )
0 2.f
′
=
D.
( )
2 4.
f
′
=
Câu 8: Cho hàm số
2
khi 1
()
2 1 khi 1
ax bx x
fx
xx
+≥
=
−<
. Để hàm số đã cho có đạo hàm tại
1x =
thì
2ab+
bằng:
A.
2
. B.
5
. C.
2−
. D.
5−
.
Câu 9: Cho hàm số
( )
2
1, 0
1, 0
ax bx x
fx
ax b x
++ ≥
=
−− <
. Khi hàm số
( )
fx
có đạo hàm tại
0
0x
=
. Hãy tính
2Ta b= +
.
A.
4T = −
. B.
0T =
. C.
6T = −
. D.
4
T =
.
Câu 10: Cho hàm số
( )
34
khi 0
4
1
khi 0
4
x
x
fx
x
−−
≠
=
=
. Khi đó
( )
0f
′
là kết quả nào sau đây?
A.
1
4
. B.
1
16
. C.
1
32
. D. Không tồn tại.
Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số số
( )
( ) ( )
1 2 ... 2021y xx x x
=−− −
tại điểm
0x
=
.
A.
( )
00f
′
=
. B.
(
)
0 2021!f
′
=
. C.
( )
0 2021f
′
=
. D.
( )
0 2021!f
′
= −
.
Câu 12: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm tại điểm
0
2x =
. Tìm
( ) ( )
2
22
lim
2
x
f x xf
x
→
−
−
.
A.
0
. B.
(
)
2
f
′
. C.
( ) (
)
22 2
ff
′
−
. D.
( ) ( )
22 2ff
′
−
.
Câu 13: Cho hàm số
( )
( )
2
2
10
0
x khi x
fx
x khi x
−≥
=
−<
có đạo hàm tại điểm
0
0x =
là?
A.
( )
00
f
′
=
. B.
( )
01
f
′
=
. C.
( )
02f
′
= −
. D. Không tồn tại.
Câu 14: Cho hàm số
2
32
khi 2
8 10 khi 2
x ax b x
y
xx x x
++ ≥
=
−−+ <
. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm
2x =
. Giá trị
của
22
ab+
bằng
A.
20
. B.
17
. C.
18
. D.
25
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 1
Sưu tầm và biên soạn
BÀI 1: ĐẠO HÀM
Câu 1: Cho hàm số
(
)
y fx=
có đạo hàm tại điểm
0
x
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A.
( )
(
) (
)
0
0
0
0
lim
xx
fx fx
fx
xx
→
−
′
=
−
. B.
( )
(
) ( )
0
0
0
0
lim
xx
fx fx
fx
xx
→
+
′
=
−
.
C.
( )
(
)
( )
0
0
0
0
lim
xx
fx fx
fx
xx
→
−
′
=
+
. D.
( )
( ) ( )
0
0
0
0
lim
xx
fx fx
fx
xx
→
+
′
=
+
.
Lời giải
Theo định nghĩa đạo hàm ta có
( )
( ) ( )
0
0
0
0
lim
xx
fx fx
fx
xx
→
−
′
=
−
.
Câu 2: Cho hàm số
( )
y fx
=
xác định trên
thỏa mãn
( )
( )
3
3
lim 2
3
x
fx f
x
→
−
=
−
. Kết quả đúng là
A.
( )
23f
′
=
. B.
( )
2
fx
′
=
. C.
( )
3fx
′
=
. D.
( )
32f
′
=
.
Lời giải
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm ta có
( ) ( )
( )
3
3
lim 2 3
3
x
fx f
f
x
→
−
′
= =
−
.
Câu 3: Cho hàm số
()y fx=
có đạo hàm thỏa mãn
(
)
6 2.
f
′
=
Giá trị của biểu thức
( ) ( )
6
6
lim
6
x
fx f
x
→
−
−
bằng
A.
12.
B.
2
. C.
1
.
3
D.
1
.
2
Lời giải
Hàm số
( )
y fx=
có tập xác định là
D
và
0
xD∈
. Nếu tồn tại giới hạn
(
) ( )
0
0
0
lim
xx
fx fx
xx
→
−
−
thì
giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại
0
x
Vậy kết quả của biểu thức
( ) ( )
( )
6
6
lim 6 2.
6
x
fx f
f
x
→
−
′
= =
−
CHƯƠNG
VII
ĐẠO HÀM
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
III
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 2
Sưu tầm và biên soạn
Câu 4: Cho hàm số
( )
fx
xác định bởi
(
)
2
141
khi 0
0 khi 0
x
x
fx
x
x
−
≠
=
=
+
. Giá trị
( )
0f
′
bằng
A.
2
. B.
0
. C.
1
2
. D. Không tồn tại.
Lời giải
TXĐ:
D =
.
Ta có :
( ) ( )
(
)
0 00 0
22
2
2
22
0
41 4 4
lim lim lim lim 2
0
41
41
1
1
1
x xx x
fx f
xx
xx
x
xx
→ →→ →
+
+
+
−
−
= = = =
−
+
+
.
Vậy
( )
02
f
′
=
.
Câu 5: Cho hàm số
( )
3
1
x
fx
x
=
+
. Tính
( )
0
f
′
.
A.
( )
00f
′
=
. B.
( )
01f
′
=
. C.
( )
1
0
3
f
′
=
. D.
( )
03f
′
=
.
Lời giải
Ta có:
( )
( ) (
)
00
0
3
0 lim lim .
1
xx
fx f
f
xx
→→
−
′
= =
+
Mà
00 00 00
33 33 3 3
lim lim 3; lim lim 3 lim lim 3
11 11 11
xx xx xx
xx xx x x
++ −− +−
→→ →→ →→
== ==⇒==
++ +− ++
( )
0
3
0 lim 3.
1
x
f
x
→
′
⇒= =
+
Kết luận:
( )
0 3.f
′
=
Câu 6: Cho hàm số
( )
khi
khi
xx
x
x
fx
x
+−
≠
−
=
−
=
3 12
1
1
5
1
4
. Tính
( )
'f 1
.
A. Không tồn tại. B.
0
C.
7
50
−
. D.
9
64
−
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
( ) ( )
( )
lim lim lim lim
xx x x
xx xx x
fx f
x
x xx xx
→→ → →
+− +− − − −
= = = = =
−
− ++ ++
2
11 1 1
312 314 41 5
1
14
1 3 12 3 12
⇒
Hàm số liên tục lại
x = 1
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 3
Sưu tầm và biên soạn
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
(
) ( )
' lim lim lim
lim lim
xx x
xx
xx
fx f
xx
x
f
xx
x
xx
x xx xx
→→ →
→→
+−
+
−
+− −
−
= = =
−−
−
+− +
−
= = = −
− ++ + ++ +
2
11 1
2
2
11
3 12 5
1
43 1 3 5
14
1
11
41
16 3 1 3 5
99
64
4 1 43 1 3 5 443 1 3 5
Câu 7: Cho hàm số
( )
2
1, 1
2 , 1.
xx
y fx
xx
+≥
= =
<
Mệnh đề sai là
A.
( )
12f
′
=
. B.
f
không có đạo hàm tại
0
1.x =
C.
(
)
0 2.
f
′
=
D.
(
)
2 4.
f
′
=
Lời giải
Ta có
( ) ( )
( ) (
)
( )
11
2
1 11
1
22
lim lim 2;
11
1
12
lim lim lim 1 2.
11
xx
x xx
fx f
x
xx
fx f
x
x
xx
−−
+ ++
→→
→ →→
−
−
= =
−−
−
+−
= = +=
−−
Vậy
( ) (
)
( )
1 1 1 2.fff
−+
′′′
= = =
Suy ra hàm số có đạo hàm tại
0
1.x =
Vậy B sai.
Câu 8: Cho hàm số
2
khi 1
()
2 1 khi 1
ax bx x
fx
xx
+≥
=
−<
. Để hàm số đã cho có đạo hàm tại
1x =
thì
2ab+
bằng:
A.
2
. B.
5
. C.
2−
. D.
5−
.
Lời giải
( ) ( )
1
1
lim
1
x
fx f
x
−
→
−
=
−
1
2 11
lim 2
1
x
x
x
−
→
−−
=
−
;
( ) ( )
1
1
lim
1
x
fx f
x
+
→
−
−
2
1
lim
1
x
ax bx a b
x
+
→
+ −−
=
−
( )
( )
2
1
11
lim
1
x
ax bx
x
+
→
−+ −
=
−
( ) ( )
1
11
lim
1
x
x ax b
x
+
→
− ++


=
−
( )
1
lim 1
x
ax b
+
→
= ++


2ab
= +
Theo yêu cầu bài toán:
( ) ( ) ( ) ( )
11
11
lim lim
11
xx
fx f fx f
xx
−+
→→
−−
=
−−
22ab⇔ +=
.
Câu 9: Cho hàm số
(
)
2
1, 0
1, 0
ax bx x
fx
ax b x
++ ≥
=
−− <
. Khi hàm số
( )
fx
có đạo hàm tại
0
0x =
. Hãy tính
2
Ta b= +
.
A.
4T = −
. B.
0T =
. C.
6T = −
. D.
4T =
.
Lời giải
Ta có
( )
01f =
.
( )
0
lim
x
fx
+
→
(
)
2
0
lim 1
x
ax bx
+
→
= ++
1=
.
( )
0
lim
x
fx
−
→
( )
0
lim 1
x
ax b
−
→
= −−
1b=−−
.
Để hàm số có đạo hàm tại
0
0x =
thì hàm số phải liên tục tại
0
0x =
nên
( ) ( ) ( )
00
0 lim lim
xx
f fx fx
+−
→→
= =
. Suy ra
11b−−=
2b⇔=−
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 4
Sưu tầm và biên soạn
Khi đó
( )
2
2 1, 0
1, 0
ax x x
fx
ax x
−+ ≥
=
+<
.
Xét:
+)
(
)
(
)
0
0
lim
x
fx f
x
+
→
−
2
0
2 11
lim
x
ax x
x
+
→
− +−
=
( )
0
lim 2
x
ax
+
→
= −
2= −
.
+)
( ) ( )
0
0
lim
x
fx f
x
−
→
−
0
11
lim
x
ax
x
−
→
+−
=
( )
0
lim
x
a
−
→
=
a
=
.
Hàm số có đạo hàm tại
0
0x =
thì
2a = −
.
Vậy với
2
a = −
,
2b = −
thì hàm số có đạo hàm tại
0
0x =
khi đó
6T
= −
.
Câu 10: Cho hàm số
( )
34
khi 0
4
1
khi 0
4
x
x
fx
x
−−
≠
=
=
. Khi đó
( )
0f
′
là kết quả nào sau đây?
A.
1
4
. B.
1
16
. C.
1
32
. D. Không tồn tại.
Lời giải
Với
0x ≠
xét:
( ) ( )
0
0
lim
0
x
fx f
x
→
−
=
−
0
34 1
44
lim
x
x
x
→
−−
−
=
0
24
lim
4
x
x
x
→
−−
=
( )
( )
0
44
lim
42 4
x
x
xx
→
−−
+−
( )
0
1
lim
42 4
x
x
→
= =
+−
( )
11
16
42 4 0
=
+−
( )
1
0
16
f
′
⇒=
.
Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số số
( )
( ) ( )
1 2 ... 2021y xx x x=−− −
tại điểm
0
x =
.
A.
( )
00f
′
=
. B.
(
)
0 2021!f
′
=
. C.
(
)
0 2021f
′
=
. D.
(
)
0 2021!f
′
= −
.
Lời giải
Ta có
(
)
( ) (
) (
)(
) ( )
00
0 1 2 ... 2021
0 lim lim
0
xx
f x f xx x x
f
xx
→→
− −− −
′
= =
−
(
)( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
lim 1 2 ... 2021 1 . 2 ... 2021 2021!
x
xx x
→
= − − − =−− − =−
.
Câu 12: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm tại điểm
0
2x =
. Tìm
( ) ( )
2
22
lim
2
x
f x xf
x
→
−
−
.
A.
0
. B.
( )
2f
′
. C.
( )
( )
22 2ff
′
−
. D.
( ) ( )
22 2ff
′
−
.
Lời giải
Do hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm tại điểm
0
2x =
suy ra
( ) ( )
( )
2
2
lim 2
2
x
fx f
f
x
→
−
′
=
−
.
Ta có
( ) ( )
2
22
lim
2
x
f x xf
I
x
→
−
=
−
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2222 2
lim
2
x
f x f f xf
I
x
→
−+−
⇔=
−
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 5
Sưu tầm và biên soạn
( ) ( )
(
)
( )( )
22
22
22
lim lim
22
xx
fx f
fx
I
xx
→→
−
−
⇔= −
−−
( ) ( )
22 2If f
′
⇔= −
.
Câu 13: Cho hàm số
( )
(
)
2
2
10
0
x khi x
fx
x khi x
−≥
=
−<
có đạo hàm tại điểm
0
0x
=
là?
A.
(
)
00
f
′
=
. B.
( )
01f
′
=
. C.
( )
02
f
′
= −
. D. Không tồn tại.
Lời giải
Ta có:
( )
01f =
;
( ) ( )
2
00
lim lim 1 1
xx
fx x
++
→→
= −=
;
( )
( )
2
00
lim lim 0
xx
fx x
−−
→→
= −=
.
Ta thấy
( ) ( ) ( )
00
0 lim lim
xx
f fx fx
+−
→→
= ≠
nên hàm số không liên tục tại
0
0x =
.
Vậy hàm số không có đạo hàm tại
0
0x =
.
Câu 14: Cho hàm số
2
32
khi 2
8 10 khi 2
x ax b x
y
xx x x
++ ≥
=
−−+ <
. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm
2x =
. Giá trị
của
22
ab+
bằng
A.
20
. B.
17
. C.
18
. D.
25
.
Lời giải
Ta có
2
32
khi 2
8 10 khi 2
x ax b x
y
xx x x
++ ≥
=
−−+ <
2
2 khi 2
3 2 8 khi 2
xa x
y
xx x
+≥
′
⇒=
−− <
Hàm số có đạo hàm tại điểm
2x
=
40a⇒+=
4a⇒=−
.
Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm
2x =
thì hàm số liên tục tại điểm
2
x =
.
Suy ra
( )
( ) (
)
22
lim lim 2
xx
fx fx f
+−
→→
= =
42 2ab⇒+ +=−
2b⇒=
.
Vậy
22
20ab+=
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 7
Sưu tầm và biên soạn
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Từ định nghĩa đạo hàm ta có:
( )
( )
0;
c c const
′
= =
( )
1,xx
′
= ∀∈
1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
(
)
*
n
y xn= ∈
Hàm số
( )
*
n
y xn= ∈
có đạo hàm trên
và
( )
1nn
x nx
−
′
=
.
2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
yx=
Hàm số
yx=
có đạo hàm trên
(
)
0; +∞
và
(
)
1
2
x
x
′
=
.
3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Chú ý: Giới hạn của
sin x
x
0
sin
lim 1.
x
x
x
→
=
Nếu
( )
0
lim 0
xx
ux
→
=
thì
( )
( )
0
sin
lim 1
xx
ux
ux
→
=
.
a) Đạo hàm của hàm số
sinyx=
Hàm số
sinyx=
có đạo hàm trên
và
( )
sin cosxx
′
=
.
Đối với hàm số hợp
sinyu=
và
( )
u ux=
ta có
( )
sin .cosuu u
′
′
=
.
b) Đạo hàm của hàm số
cosyx=
Hàm số
cosyx=
có đạo hàm trên
và
( )
cos sinxx
′
= −
.
Đối với hàm số hợp
cosyu=
và
( )
u ux=
ta có
( )
cos sinu uu
′
′
= −
.
CHƯƠNG
VII
ĐẠO HÀM
LÝ THUYẾT.
I
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 8
Sưu tầm và biên soạn
c) Đạo hàm của hàm số
tanyx=
Hàm số
tanyx=
có đạo hàm tại mọi
2
xk
π
π
≠+
và
( )
2
1
tan
cos
x
x
′
=
.
Đối với hàm số hợp
tanyu=
và
( )
u ux=
ta có
( )
2
tan
cos
u
u
u
′
′
=
.
d) Đạo hàm của hàm số
cotyx=
Hàm số
cotyx=
có đạo hàm tại mọi
xk
π
≠
và
( )
2
1
cot
sin
x
x
′
= −
.
Đối với hàm số hợp
cotyu=
và
( )
u ux=
ta có
( )
2
cot
sin
u
u
u
′
′
= −
.
4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
Cho biết:
+) . +) .
+) Nếu thì ; .
+) .
+) .
2. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG CỦA HAI HÀM SỐ
Giả sử các hàm số
( ) ( )
,u ux v vx= =
có đạo hàm trên khoảng
( )
;ab
. Khi đó
( ) ( )
; ;uvuv uvuv
′′
′′ ′′
+=+ −=−
( )
;uv u v uv
′
′′
= +
( ) ( )
ons ;ku ku k c t
′
′
= =
( )
2
0;
u uv vu
v
vv
′
′′
−

= ≠


( )
( )
2
1
.0
v
v vx
vv
′
′

=−=≠


0
1
lim 1
x
x
e
x
→
−
=
( )
0
ln 1
lim 1
x
x
x
→
+
=
( )
0
lim 0
xx
ux
→
=
( )
( )
0
1
lim 1
ux
xx
e
ux
→
−
=
( )
( )
0
ln 1
lim 1
xx
ux
ux
→
+


=
00
ln
11
lim lim ln . ln
ln
x
xx
xa
ae
aa
x xa
→→

−−
= =


( )
( )
00
log 1 ln 1
1
lim lim
ln ln
a
xx
xx
x xa a
→→
++
= =
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 9
Sưu tầm và biên soạn
3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP
a) Khái niệm hàm số hợp
Giả sử
( )
u gx=
là hàm số xác định trên khoảng
( )
;
ab
, có tập giá trị chứa khoảng
( )
;
cd
và
( )
y fu=
là hàm số xác định trên
( )
;cd
. Hàm số
( )
( )
y f gx=
được gọi là hàm số hợp của
hàm số
( )
y fu=
với
( )
u gx=
.
b) Đạo hàm của hàm số hợp
Nếu hàm số
( )
u gx=
có đạo hàm
x
u
′
tại
x
và hàm số
( )
y fu=
có đạo hàm
u
y
′
tại
u
thì hàm
số hợp
( )
( )
y f gx=
có đạo hàm
x
y
′
tại
x
là
.
x ux
y yu
′ ′′
=
.
Từ đó ta có các kết quả sau:
(
)
(
)
1
. . , 1;
nn
u nu u n n
−
′
′
= ∈>
( )
(
)
0.
2
u
uu
u
′
′
= >
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 10
Sưu tầm và biên soạn
7. ĐẠO HÀM CẤP HAI
Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
(
)
y fx
′′
=
tại mọi điểm
( )
;x ab∈
. Nếu hàm số
(
)
y fx
′′
=
lại có đạo hàm tại
x
thì ta gọi đạo hàm của
( )
y fx
′′
=
là đạo hàm cấp hai của hàm số
( )
y fx
=
tại
x
, kí hiệu là
y
′′
hoặc
( )
fx
′′
.
Khi đó:
( )
( )
( )
fx f x
′
′ ′′
=
.
Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI
Một chuyển động có phương trình
( )
s ft=
thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số
( )
s ft
=
là gia tốc tức thời của chuyển động
( )
s st=
tại thời điểm
t
. Ta có
( ) ( )
at f t
′′
=
Câu 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a.
2
1
4
yx x
x
= −+
b.
3
11
1yx
xx
=−−+
c.
2
2
11
yx x
x
x


=+ ++




d.
35
4
yxxxxx=++++
Câu 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a.
(
)( )
( )
1 12 13yxxx=−− −
b.
( )
( )
2
1y x xx x= + ++
c.
(
)
3
2
4
yxx= +
d.
2
11
1yx
xx

=−−


e.
( )
( )
3
32yx x x=+−
Câu 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a.
2
y
x
=
b.
2
21
x
y
x
+
=
−
c.
2
41
23
xx
y
x
+−
=
+
d.
1
x
y
x
=
+
e.
2
2
1
1
xx
y
xx
+−
=
−+
f.
3
21
y
x
=
−
Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a.
( )
5
35
4
=++++yxxxxx
b.
7
2
3
2
1
1

+
= − +−



x
y xx
x
c.
( )
332 3
21 1= + −+ −
yx x x
d.
2
3
1
21
1
−+
=
++ −
x
x
y
xxx
e.
2
1
=
++
x
y
xx
f.
( )
(
)
32
3
21 3=+++y x xx
Câu 5: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a.
5sin 3cosyxx= −
. b.
( )
2
sin 3 2y xx= −+
.
HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
II
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 11
Sưu tầm và biên soạn
c.
1 2 tanyx= +
. d.
tan 3 cot 3y xx= −
.
Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số:
111111
cos
222222
yx=+++
với
;()0x
π
∈
.
Câu 7: Chứng minh rằng:
a. Hàm số
tanyx=
thoả mãn hệ thức
2
10yy
′
− −=
.
b. Hàm số
cot 2yx=
thoả mãn hệ thức
2
2 20yy
′
+ +=
.
Câu 8: Tìm giới hạn .
Câu 9: Tìm giới hạn .
Câu 10: Tìm giới hạn .
Câu 11: Tìm giới hạn
Câu 12: Tìm giới hạn .
Câu 13: Tìm giới hạn .
Câu 14: Tìm giới hạn .
Câu 15: Tìm giới hạn .
Câu 16: Tìm giới hạn .
Câu 17: Tìm giới hạn .
Câu 18: Tìm giới hạn .
Câu 19: Tìm giới hạn .
Câu 20: Tìm giới hạn .
0
lim
x
ax bx
ee
A
x
→
−
=
0
3
2 11 13 1
lim
x
xx
ee
A
x
→
+− − −
−
=
0
1
lim
11
x
x
e
A
x
→
−
=
+−
( )
0
11
lim
x
x
A
x
α
→
+−
=
0
1
lim
sin 2
x
x
e
A
x
→
−
=
1
lim
1
x
x
x
A
x
→+∞
+

=

−

2
0
2
cos
lim
x
x
ex
A
x
→
−
=
( )
2
3
2
2
0
3
1
lim
ln 1
x
x
ex
A
x
→
−
−+
=
+
+ ++
=
n sè h¹ng
... ...
lim
10
n
a aa aa a
A
( )
2
0
ln 1 3
lim
1 cos2
x
x
L
x
→
+
=
−
( ) ( )
0
63
lim
ln 1 6 ln 1 3
xx
x
L
xx
→
−
=
+− +
( )
2
22
3
2
0
1
lim
ln 1
x
x
ex
L
x
−
→
−+
=
+
( )
0
ln sin cos
lim
x
xx
L
x
→
+
=
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 12
Sưu tầm và biên soạn
Câu 21: Tìm giới hạn .
Câu 22: Tính đạo hàm của hàm số .
Câu 23: Tính đạo hàm của hàm số .
Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số .
Câu 25: Tính đạo hàm của hàm số .
Câu 26: Tính đạo hàm của hàm số .
Câu 27: Tính đạo hàm của hàm số .
Câu 28: Cho hàm số . Tính .
Câu 29: Chứng minh rằng, nếu
thì .
Câu 30: Cho hàm số . Với điều kiện hàm số đã cho, tìm đạo hàm của hàm số đó.
Câu 31: Cho hàm số . Với điều kiện hàm số đã cho, tìm đạo hàm của hàm số đó.
DẠNG: TÍNH ĐẠO HÀM CẤP HAI
+ Áp dụng trực tiếp công thức để tính đạo hàm cấp hai
( )
yy
′
′′ ′
=
.
+ Tính
( )
0
yx
′′
.
Câu 32: Cho
( ) ( )
6
3fx x= −
. Tính
( )
2f
′′
.
Câu 33: Đạo hàm cấp hai của hàm số
( )
32
1fx x x=−+
tại điểm
2x =
là:
Câu 34: Cho
( )
sin 3fx x=
. Giá trị của
"
2
f
π

−


bằng:
Câu 35:
a) Cho
( ) ( )
6
10fx x= +
. Tính
( )
"2f
.
b) Cho
( )
in 3sfx x=
. Tính
2
f
π

′′
−


,
( )
0f
′′
,
18
f
π

′′


.
Câu 36: Đạo hàm cấp hai của hàm số
1
2
x
y
x
+
=
−
là:
Câu 37: Đạo hàm cấp hai của hàm số
o2sin5csxy x=
là
Câu 38: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a)
1
1
y
x
=
−
. b)
1
1
y
x
=
−
. c)
tany x=
. d)
2
cosy x=
.
( )
( )
3
0
ln 3 1 1 ln 1 1
lim
x
xx
L
x
→
++ − ++
=
2
2
2
x
y
+
=
( )
2
2
x
y x xe= +
x
y xe
−
=
2
2
cos
x
ye x
−
=
33
33
xx
xx
y
−
−
−
=
+
tan
cos .
x
y xe=
( )
2
1x
fx e
+
=
( )
1f
′
2
2
xx
ye e
−
= +
20yy y
′′′ ′′ ′
−− =
( )
ln cosyx=
(
)
22
ln 1y xx= ++
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 13
Sưu tầm và biên soạn
Câu 39: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a)
o2sin5csxy x=
b)
2
21
2
x
y
xx
+
=
+−
c)
2
1
x
y
x
=
−
d)
1
2
x
y
x
−
=
+
e)
2
siny xx=
f)
2
1
yx x
= +
g)
( )
2
1 cosy xx= −
h)
yx=
i)
sin 2 sis
n3
in xx
y
x=
j)
2
1
x
y
x
=
−
k)
cos 2yx x=
l)
1
y
x
=
DẠNG: GIA TỐC
Câu 40: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
32
39
St t t=−+ +
, trong đó
t
tính bằng giây
và
S
tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.
Câu 41: Một chuyển động xác định bởi phương trình
( )
32
3 92St t t t=− −+
. Trong đó
t
được tính bằng
giây,
S
được tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm
3st =
?
Câu 42: Một chất điểm chuyển động có phương trình
42
2 6 31St t t= + −+
với
t
tính bằng giây (s) và
S
tính bằng mét (m). Hỏi gia tốc của chuyển động tại thời điểm
3( )ts=
bằng bao nhiêu?
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 1
Sưu tầm và biên soạn
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Từ định nghĩa đạo hàm ta có:
( )
( )
0;
c c const
′
= =
( )
1,xx
′
= ∀∈
1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
(
)
*
n
y xn= ∈
Hàm số
( )
*
n
y xn= ∈
có đạo hàm trên
và
( )
1nn
x nx
−
′
=
.
2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
yx=
Hàm số
yx=
có đạo hàm trên
(
)
0; +∞
và
(
)
1
2
x
x
′
=
.
3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Chú ý: Giới hạn của
sin x
x
0
sin
lim 1.
x
x
x
→
=
Nếu
( )
0
lim 0
xx
ux
→
=
thì
( )
( )
0
sin
lim 1
xx
ux
ux
→
=
.
a) Đạo hàm của hàm số
sinyx=
Hàm số
sinyx=
có đạo hàm trên
và
( )
sin cosxx
′
=
.
Đối với hàm số hợp
sinyu=
và
( )
u ux=
ta có
( )
sin .cosuu u
′
′
=
.
b) Đạo hàm của hàm số
cosyx=
Hàm số
cosyx=
có đạo hàm trên
và
( )
cos sinxx
′
= −
.
Đối với hàm số hợp
cosyu=
và
( )
u ux=
ta có
( )
cos sinu uu
′
′
= −
.
CHƯƠNG
VII
ĐẠO HÀM
LÝ THUYẾT.
I
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 2
Sưu tầm và biên soạn
c) Đạo hàm của hàm số
tanyx=
Hàm số
tanyx=
có đạo hàm tại mọi
2
xk
π
π
≠+
và
( )
2
1
tan
cos
x
x
′
=
.
Đối với hàm số hợp
tanyu=
và
( )
u ux=
ta có
( )
2
tan
cos
u
u
u
′
′
=
.
d) Đạo hàm của hàm số
cotyx=
Hàm số
cotyx=
có đạo hàm tại mọi
xk
π
≠
và
( )
2
1
cot
sin
x
x
′
= −
.
Đối với hàm số hợp
cotyu=
và
( )
u ux=
ta có
( )
2
cot
sin
u
u
u
′
′
= −
.
4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
Cho biết:
+) . +) .
+) Nếu thì ; .
+) .
+) .
2. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG CỦA HAI HÀM SỐ
Giả sử các hàm số
( ) ( )
,u ux v vx= =
có đạo hàm trên khoảng
( )
;ab
. Khi đó
( ) ( )
; ;uvuv uvuv
′′
′′ ′′
+=+ −=−
( )
;uv u v uv
′
′′
= +
( ) ( )
ons ;ku ku k c t
′
′
= =
( )
2
0;
u uv vu
v
vv
′
′′
−

= ≠


( )
( )
2
1
.0
v
v vx
vv
′
′

=−=≠


0
1
lim 1
x
x
e
x
→
−
=
( )
0
ln 1
lim 1
x
x
x
→
+
=
( )
0
lim 0
xx
ux
→
=
( )
( )
0
1
lim 1
ux
xx
e
ux
→
−
=
( )
( )
0
ln 1
lim 1
xx
ux
ux
→
+


=
00
ln
11
lim lim ln . ln
ln
x
xx
xa
ae
aa
x xa
→→

−−
= =


( )
( )
00
log 1 ln 1
1
lim lim
ln ln
a
xx
xx
x xa a
→→
++
= =
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 3
Sưu tầm và biên soạn
3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP
a) Khái niệm hàm số hợp
Giả sử
( )
u gx=
là hàm số xác định trên khoảng
( )
;
ab
, có tập giá trị chứa khoảng
( )
;
cd
và
( )
y fu=
là hàm số xác định trên
( )
;cd
. Hàm số
( )
( )
y f gx=
được gọi là hàm số hợp của
hàm số
( )
y fu=
với
( )
u gx=
.
b) Đạo hàm của hàm số hợp
Nếu hàm số
( )
u gx=
có đạo hàm
x
u
′
tại
x
và hàm số
( )
y fu=
có đạo hàm
u
y
′
tại
u
thì hàm
số hợp
( )
( )
y f gx=
có đạo hàm
x
y
′
tại
x
là
.
x ux
y yu
′ ′′
=
.
Từ đó ta có các kết quả sau:
(
)
(
)
1
. . , 1;
nn
u nu u n n
−
′
′
= ∈>
( )
(
)
0.
2
u
uu
u
′
′
= >
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 4
Sưu tầm và biên soạn
7. ĐẠO HÀM CẤP HAI
Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
(
)
y fx
′′
=
tại mọi điểm
( )
;x ab∈
. Nếu hàm số
(
)
y fx
′′
=
lại có đạo hàm tại
x
thì ta gọi đạo hàm của
( )
y fx
′′
=
là đạo hàm cấp hai của hàm số
( )
y fx
=
tại
x
, kí hiệu là
y
′′
hoặc
( )
fx
′′
.
Khi đó:
( )
( )
( )
fx f x
′
′ ′′
=
.
Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI
Một chuyển động có phương trình
( )
s ft=
thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số
( )
s ft
=
là gia tốc tức thời của chuyển động
( )
s st=
tại thời điểm
t
. Ta có
( ) ( )
at f t
′′
=
Câu 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a.
2
1
4yx x
x
= −+
b.
3
11
1yx
xx
=−−+
c.
2
2
11
yx x
x
x


=+ ++




d.
35
4
yxxxxx=++++
Lời giải
a.
2
11
8
2
yx
x
x
′
=−−
b.
3
34
11
1
23
y
xx
′
=++
c.
2
2
2
2 23
1 1 1 1 12
2 2 12yx x x x y x
x x x xx
x


′
= + + + =++ + ++ ⇒ =− + −




d.
35
234
4
11 1 1
1
2
345
y
x
xxx
′
=++ + +
Câu 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a.
( )( )( )
1 12 13yxxx=−− −
b.
( )
( )
2
1y x xx x= + ++
c.
( )
3
2
4yxx= +
d.
2
11
1yx
xx

=−−


e.
( )
( )
3
32yx x x=+−
Lời giải
a.
( )( )( )
( )
( )
2
1 12 13 13 2 13y x x x xx x=− − − =−+ −
223 23
2
1 3 3 9 2 6 1 6 11 6
6 22 18
xxxxx xxx
y xx
=−−+ + − =−+ −
′
⇒ =−+ −
HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
II
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 5
Sưu tầm và biên soạn
b.
( )
( )
2 32 2
1yx xxx xxxxxxx x= + ++ = + +− − −
23
53 1
3 21
22
2
yx x x x
x
′
= + +− − −
c.
( )
( )
3
2 232 5432
4 12 48 64 12 48 64yxx xxxx xxxx= += +++=+++
43 2
5 48 144 128yx x x x
′
=++ +
d.
2 2 3 34
1 1 1 1 23
1 11y xx y
x x x x xx

′
= − − = − −+ ⇒ =+ −


e.
(
)
( )
3 34 2 2 3
3 2 2 6 3 6 4 66
yxx xxxxxyxx x
′
= + − = − + − ⇒ = − +−
Câu 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a.
2
y
x
=
b.
2
21
x
y
x
+
=
−
c.
2
41
23
xx
y
x
+−
=
+
d.
1
x
y
x
=
+
e.
2
2
1
1
xx
y
xx
+−
=
−+
f.
3
21
y
x
=
−
Lời giải
a.
2
2
y
x
−
′
=
b.
( )
(
) ( )
22
2 12 2
5
21 21
xx
y
xx
−− +
′
= =
−−
c.
( )( )
( )
( ) (
) ( )
2
2 22
2 22
2 32 4 2 4 1
4 14 12 2 8 2 2 6 14
23 23 23
x x xx
x x xx xx
y
x xx
+ +− + −
+ +− −+ ++
′
= = =
+ ++
d.
( )
( ) ( )
22
1
1
1
2
1 21
xx
x
x
y
x xx
+−
−
′
= =
++
e.
(
)
( )
( )
(
)
22
2
22
2 1 2 21 2
2
1
1
11
xx
yy
xx
xx xx
−+ −
′
= −⇒ =− =
−+
−+ −+
f.
( )
2
6
21
y
x
′
= −
−
Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a.
( )
5
35
4
=++++
yxxxxx
b.
7
2
3
2
1
1

+
= − +−



x
y xx
x
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 6
Sưu tầm và biên soạn
c.
( )
332 3
21 1= + −+ −yx x x
d.
2
3
1
21
1
−+
=
++ −
x
x
y
xxx
e.
2
1
=
++
x
y
xx
f.
( )
(
)
32
3
21 3=+++y x xx
Lời giải
a.
( )
4
35
4
32 3 54
4
11 1 1
51
2
345

′
= + + + + ++++


y xxxxx
x
xxx
b.
6
22
33
22
11
71 1
′

++
′
= − +− − +−



xx
y xx xx
xx
( )
6
2
2
2
3
2
2
2
3
2
1
1
1
71
2
1
31

′
+


′
−

+

+


′
= + − +−



−

+


−




x
xx
x
x
y xx
x
xx
x
x
( )
2
6
4
2
3
2
2
2
3
2
21
1
2
1
2
71
2
1
31


−+
−


−


+


′
= + − +−



−

+


−




x xx
x
x
x
x
y xx
x
xx
x
x
6
3
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
1
2
71
2
1
31

−−

−

+

′
= + − +−



−

+


−




x
x
x
x
x
y xx
x
xx
x
x
c.
(
)
(
)
(
)
(
)
3 323 32 3
21 21 1
′′
′
′
= + −+ + − + −
yx x x x x
( )
( )
2
23 2 3
23
2
3
23
3 1 2.
21
3. 1
−
′
= −+ + +
−
−
xx
yx xx
x
x
d.
(
)
(
)
(
)
33
22
2
3
11
21 121 1
1
′
′
 
−+ + + −− −+ + + −
 
 
′
=
++ −
x xxx x xxx
xx
y
xxx
(
)
(
)
2
3
32
3
2
3
2 1 13
2 1 2 11
2
21
1


+ + + −− − + + +



−

′
=
++ −
x
xxx x
xx
x
x
y
xxx
e.
(
)
( )
( )
2
22
2
2
22 22
2
21
1.
2 2 22 2
21
2 112 11
1
+
++−
+ +− − +
++
′
= = =
++ ++ ++ ++
++
x
xx x
x x xx x
xx
y
xx xx xx xx
xx
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 7
Sưu tầm và biên soạn
Câu 5: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a.
5sin 3cosyxx= −
. b.
( )
2
sin 3 2y xx
= −+
.
c.
1 2 tanyx= +
. d.
tan 3 cot 3
y xx
= −
.
Lời giải
a. Ta có:
5cos 3sin
y xx
′
= +
b. Ta có:
22
3 2 .cos( )(3 )2yxx xx
′′
= −+ −+
2
2 3 .cos() 32()x xx= − −+
.
c. Ta có:
( )
2tan
2 1 2tan
x
y
x
′
′
=
+
2
2
cos
2 1 2tan
x
x
=
+
2
1
cos 1 2tan
xx
=
+
.
d. Ta có các cách thực hiện sau:
Cách 1: Ta có ngay:
y’ =
22
33
cos 3 sin 3
y
xx
′
= +
22
3
sin 3 .cos 3xx
=
2
3
1
sin 6
4
x
=
2
12
sin 6x
=
.
Cách 2: Ta biến đổi:
sin3 s3
cos3 sin3
x co x
y
xx
= −
22
sin 3 cos 3
cos3 .sin 3
xx
xx
−
=
2cos6
sin 6
x
x
= −
2cot 6x
= −
⇒
2
12
'
sin 6
y
x
=
.
Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số:
111111
cos
222222
yx
=+++
với
;()
0x
π
∈
.
Lời giải
Biến đổi hàm số về dạng:
111111
cos
222222
yx=+++
=
2
1111
cos
2222 2
x
++
=
1111
cos
2222 2
x
++
=
2
11
cos
22 4
x
+
=
11
cos
22 4
x
+
=
2
cos
8
x
=
cos
8
x
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 8
Sưu tầm và biên soạn
Do đó
1
cos sin
8 88
xx
y
′

′
= = −


.
Câu 7: Chứng minh rằng:
a. Hàm số
tanyx=
thoả mãn hệ thức
2
10yy
′
− −=
.
b. Hàm số
cot 2yx=
thoả mãn hệ thức
2
2 20yy
′
+ +=
.
Lời giải
a. Trước tiên, ta có:
2
1
cos
y
x
′
=
.
Khi đó, ta có:
2
1yy
′
−−
2
2
tan
1
s
1
co x
x−−=
=
xcos
1
2
−
xcos
1
2
= 0.
b. Trước tiên, ta có:
2
2
sin 2
y
x
′
= −
.
Khi đó, ta có:
2
22yy
′
+ +=
2
2
2co
2
sin 2
t2 2x
x
+− +
22
22
sin 2 sin 2xx
=−+
= 0.
Câu 8: Tìm giới hạn .
Lời giải
Ta có .
Vậy .
Câu 9: Tìm giới hạn .
Lời giải
.
Ta có .
0
lim
x
ax bx
ee
A
x
→
−
=
0
lim
x
ax bx
ee
A
x
→
−
=
0
11
lim
x
ax bx
ee
a b ab
ax bx
→

−−
= −=−


Aab= −
0
3
2 11 13 1
lim
x
xx
ee
A
x
→
+− − −
−
=
0
3
2 11 13 1
lim
x
xx
ee
A
x
→
+− − −
−
=
3
3
0
3
2 11 13 1
2 11 1 13 1 1
lim . .
2 11 13
1
x
xx
x e xe
xx
xx
→
+− − −

+− − − − −

= −

+− − −

0
2 11
lim
x
x
x
→
+−
( )
0
2
lim
2 11
x
x
xx
→
=
++
0
2
lim 1
2 11
x
x
→
= =
++
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 9
Sưu tầm và biên soạn
Nên
Ta có .
Nên . Vậy .
Câu 10: Tìm giới hạn .
Lời giải
.
Ta có .
Nên . Vậy .
Câu 11: Tìm giới hạn
Lời giải
. Vậy .
Câu 12: Tìm giới hạn .
Lời giải
. Vậy .
Câu 13: Tìm giới hạn .
Lời giải
, đặt , khi thì .
0
2 11
2 11 1
lim . 1
2 11
x
x
xe
x
x
→
+−
+− −
=
+−
3
0
13 1
lim
x
x
x
→
−−
( )
0
2
3
3
3
lim
13 13 1
x
x
xx x
→
−
=

− +−+


( )
0
2
3
3
3
lim 1
13 13 1
x
xx
→
−
= = −

− +−+


3
3
0
3
13 1
13 1 1
lim . 1
13 1
x
x
xe
x
x
→
−−
−− −
= −
−−
2A =
0
1
lim
11
x
x
e
A
x
→
−
=
+−
0
1
lim
11
x
x
e
A
x
→
−
=
+−
0
1
lim .
11
x
x
xe
x
x
→
−−
=
+−
0
lim
11
x
x
x
→
−
+−
( )
0
lim 1 1 2
x
x
→
=− ++ =−
0
1
lim . 2
11
x
x
xe
x
x
→
−−
= −
+−
2A = −
( )
0
11
lim
x
x
A
x
α
→
+−
=
( )
0
11
lim
x
x
A
x
α
→
+−
=
( )
( )
( )
0
ln 1
ln 1
1
lim .
ln 1
x
x
x
e
xx
α
αα
α
→
+
+
−
= =
+
A
α
=
0
1
lim
sin 2
x
x
e
A
x
→
−
=
0
1
lim
sin 2
x
x
e
A
x
→
−
=
(
)
0
11 2 1
lim .
sin 2 4
21
x
x
x
ex
xx
e
→
−
= =
+
1
4
A =
1
lim
1
x
x
x
A
x
→+∞
+

=

−

1
lim
1
x
x
x
A
x
→+∞
+

=

−

1tx= −
x → +∞
t → +∞
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 10
Sưu tầm và biên soạn
.
Vậy .
Câu 14: Tìm giới hạn .
Lời giải
.
. Vậy .
Câu 15: Tìm giới hạn .
Lời giải
.
Ta có .
Ta có .
Nên . Vậy .
Câu 16: Tìm giới hạn .
Lời giải
.
1
2
lim
t
t
t
A
t
+
→+∞
+

⇒=


22
lim
t
t
tt
tt
→+∞
++

=


2
2
22
lim 1
t
t
t
tt
→+∞

+


= +




2
e=
2
Ae=
2
0
2
cos
lim
x
x
ex
A
x
→
−
=
2
0
2
cos
lim
x
x
ex
A
x
→
−
=
0
2
22
1 1 cos
lim
x
x
ex
xx
→

−−

= +


2
0
2
22
2sin
1
2
lim
4.
2
x
x
x
e
x
x
→


−

= +






13
1
22
A⇒=+=
3
2
A =
( )
2
3
2
2
0
3
1
lim
ln 1
x
x
ex
A
x
→
−
−+
=
+
( )
2
3
2
2
0
3
1
lim
ln 1
x
x
ex
A
x
→
−
−+
=
+
( )
( )
( )
( )
2
3
22
22 2
0
3
1 11
lim 3 .
3 ln 1 ln 1
x
x
ex x
xx x
→
−

− −+

=−+
−++


( )
( )
( )
2
2
22
0
3
1
lim 3 . 3
3 ln 1
x
x
ex
xx
→
−
−
−=−
−+
( )
3
2
2
0
11
lim
ln 1
x
x
x
→
−+
+
(
)
( )
2
2
2
0
33
22
1
lim .
ln 1
11 1
x
x
x
xx
→


−
=

+
+++ +


1
3
= −
1 10
3
33
A =−− =−
10
3
A = −
+ ++
=
n sè h¹ng
... ...
lim
10
n
a aa aa a
A
... ...a aa aaa aa a+ + ++
n soá haïng
1 11 111 ... 111...1a


= + + ++



n soá haïng
9 99 999 ... 999...9
9
a


= + + ++



n soá haïng
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 11
Sưu tầm và biên soạn
.
Ta có .
Mặt khác .
Và , mà .
Vậy .
Câu 17: Tìm giới hạn .
Lời giải
Ta có .
Câu 18: Tìm giới hạn .
Lời giải
Ta có .
.
Câu 19: Tìm giới hạn .
Lời giải
.
.
( )
23
10 1 10 1 10 1 ... 10 1
9
n
a
= −+ −+ −+ + −
( )
10 10 1
99
n
a
n

−

= −


+ ++
¹
... ...
lim
10
n
n sè h ng
a aa aa a
( )
10 10 1
lim
9.10 9
n
n
a
n

−

= −


( )
10 10 1
lim
9 9.10 10
n
nn
an

−

= −


( )
10 10 1
10
lim
9.10 9
n
n
−
=
01
...
2
nn
nn n
nC C C
+ ++ =
≤
21
0
10 10 5
n
n
n
n

⇒≤ ≤ =


1
lim 0
5
n
=
lim 0
10
n
n
⇒=
10
81
a
A =
( )
2
0
ln 1 3
lim
1 cos2
x
x
L
x
→
+
=
−
( )
( )
22
2
00
ln 1 3 ln 1 3
lim lim
1 cos2 2sin
xx
xx
L
xx
→→
++
= =
−
( )
2
2
2
0
3ln 1 3
1 sin 3
lim :
23 2
x
x
x
xx
→

+


= =




( ) ( )
0
63
lim
ln 1 6 ln 1 3
xx
x
L
xx
→
−
=
+− +
( ) ( )
( )
( )
00
ln 1 6 ln 1 3
6 3 6 13 1
lim lim :
ln 1 6 ln 1 3
xx x x
xx
xx
L
x x xx x x
→→
+ +

− −−
= =−−


+− +


( ) ( )
1
ln 6 ln 3 : 6 3 ln 2
3
= − −=
( )
2
22
3
2
0
1
lim
ln 1
x
x
ex
L
x
−
→
−+
=
+
( )
( )
22
2
222 2
33
22 2
2
00
ln 1
1 11 1
lim lim :
ln 1
xx
xx
x
e xe x
L
xx x
x
−−
→→

+
−+ − +−
= = −


+

( )
( )
2
2
2
22
2
0
22
3
3
ln 1
11 7
lim 2 :
23
1 11
x
x
x
e
xx
xx
−
→

+
−

=−− =
−

−

+ +++

CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 12
Sưu tầm và biên soạn
Câu 20: Tìm giới hạn .
Lời giải
Ta có
.
Câu 21: Tìm giới hạn .
Lời giải
.
.
Ta có .
Và .
Vậy .
Câu 22: Tính đạo hàm của hàm số .
Lời giải
.
Câu 23: Tính đạo hàm của hàm số .
Lời giải
.
( )
0
ln sin cos
lim
x
xx
L
x
→
+
=
( )
0
ln sin cos
lim
x
xx
L
x
→
+
=
( )
0
2ln sin cos
lim
2
x
xx
x
→
+
=
( )
2
0
ln sin cos
lim
2
x
xx
x
→
+
=
( )
0
ln 1 sin 2
lim
2
x
x
x
→
+
=
( )
0
ln 1 sin 2
sin 2
lim . 1
sin 2 2
x
x
x
xx
→
+

= =


( )
( )
3
0
ln 3 1 1 ln 1 1
lim
x
xx
L
x
→
++ − ++
=
( ) ( )
3
0
ln 3 1 1 ln 1 1
lim
x
xx
L
x
→
++ − ++
=
( ) ( )
3
0
ln 3 1 1 ln 2 ln 1 1 ln 2
lim
x
xx
x
→

++ − − ++ −

=
3
0
3 11 11
ln 1 ln 1
22
lim
x
xx
xx
→


+− +−
++




= −




3
0
3 11
ln 1
2
lim
x
x
x
→

+−
+


( )
( )
( )
( )
( )
2
3
3
0
2
3
3
2
3
3
13
ln 1
2
31 311
1
lim
2 13
2
31 311
32
31 311
x
x
xx
x
xx
xx
→


+

+ + ++

= =
+ + ++
+ + ++
0
11
ln 1
2
lim
x
x
x
→

+−
+


( )
0
1
ln . 1
1
2
11
lim
1
4
2 11 .
2
11
x
x
x
x
x
x
→

+

++

= =
++
++
111
244
L =−=
2
2
2
x
y
+
=
2
2
2
x
y
+
=
( )
2 22
22 2 3
2 .2 .ln 2 2 .2 .ln 2 .2 .ln 2
x xx
yx x x
+ ++
′
′
⇒= + = =
( )
2
2
x
y x xe= +
( )
2
2
x
y x xe= +
( )
( )
2
2 2. 2 .
xx
y x e x xe
′
⇒= + + +
( )
2
4 2.
x
xx e= ++
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 13
Sưu tầm và biên soạn
Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số .
Lời giải
.
Câu 25: Tính đạo hàm của hàm số .
Lời giải
.
Câu 26: Tính đạo hàm của hàm số .
Lời giải
.
.
Câu 27: Tính đạo hàm của hàm số .
Lời giải
.
Câu 28: Cho hàm số . Tính .
Lời giải
Sử dụng công thức: .
. Vậy .
Câu 29: Chứng minh rằng, nếu
thì .
Lời giải
Ta có ; ; .
Suy ra: .
Câu 30: Cho hàm số . Với điều kiện hàm số đã cho, tìm đạo hàm của hàm số đó.
Lời giải
Phân tích: Sử dụng các công thức: ; .
x
y xe
−
=
x
y xe
−
=
.
xx
y e xe
−−
′
⇒= −
( )
1.
x
xe
−
= −
2
2
cos
x
ye x
−
=
2
2
cos
x
ye x
−
=
22
22
2 . cos sin
xx
y xe x e x
−−
′
⇒= −
( )
2
2
2 cos sin
x
x x xe
−
= −
33
33
xx
xx
y
−
−
−
=
+
33
33
xx
xx
y
−
−
−
=
+
( )( ) ( )( )
( )
2
3 ln 3 3 ln 3 3 3 3 3 3 ln 3 3 ln 3
'
33
x x x x x xx x
xx
y
− −− −
−
+ + −− −
⇒=
+
( ) ( )
(
) ( )
22
22
33 33
4ln 3
ln 3
33 33
xx xx
xx xx
−−
−−
+ −−
= =
++
tan
cos .
x
y xe=
tan
cos .
x
y xe=
tan tan
2
1
sin . cos . .
cos
xx
y xe x e
x
′
⇒=− +
tan
1
sin
cos
x
ex
x

= −


( )
2
1x
fx e
+
=
( )
1f
′
( )
.
uu
e ue
′
′
=
( )
2
1x
fx e
+
=
( )
2
1
2
.
1
x
xe
fx
x
+
′
⇒=
+
( )
2
1
2
e
f
′
=
2
2
xx
ye e
−
= +
20yy y
′′′ ′′ ′
−− =
2
22
xx
ye e
−
′
= −
( )
2
42
xx
yy e e
−
′
′′ ′
= = +
( )
2
82
xx
yy ee
−
′
′′′ ′′
= = −
20yy y
′′′ ′′ ′
−− =
( )
ln cosyx=
( )
ln
u
u
u
′
′
=
( )
cos sinxx
′
= −
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 14
Sưu tầm và biên soạn
Đạo hàm: .
Câu 31: Cho hàm số . Với điều kiện hàm số đã cho, tìm đạo hàm của hàm số đó.
Lời giải
Phân tích: Sử dụng các công thức: ; .
Đạo hàm: .
DẠNG: TÍNH ĐẠO HÀM CẤP HAI
+ Áp dụng trực tiếp công thức để tính đạo hàm cấp hai
( )
yy
′
′′ ′
=
.
+ Tính
( )
0
yx
′′
.
Câu 32: Cho
( ) ( )
6
3fx x= −
. Tính
( )
2f
′′
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
5
63fx x
′
= −
Suy ra
( ) ( ) ( )
44
6.5. 3 30 3fx x x
′′
= −= −
Từ đó:
( ) ( )
4
2 30. 2 3 30f
′′
= −=
.
Câu 33: Đạo hàm cấp hai của hàm số
( )
32
1fx x x=−+
tại điểm
2x =
là:
Lời giải
Ta có:
( )
2
32fx x x
′
= −
Suy ra:
( )
62fx x
′′
= −
Nên:
( )
2 10f
′′
=
Câu 34: Cho
( )
sin 3fx x=
. Giá trị của
"
2
f
π

−


bằng:
Lời giải
Ta có:
( )
3cos3fx x
′
=
suy ra
( )
9sin 3fx x
′′
= −
Do đó:
3
" 9sin 9
22
f
ππ

−=− − =


.
( )
cos
sin
tan
cos cos
x
x
yx
xx
′
−
′
= = = −
(
)
22
ln 1y xx= ++
( )
ln
u
u
u
′
′
=
( )
2
u
u
u
′
′
=
(
)
( )
(
)
(
)
2
22 2
22
22 22 22
22 2
1
22
1 2
11
21 1
1 11
11
x
x
xx
x
x x
x
xx
y
xx xx xx
xx x
′
+
′
+
+
+ + ++
++
′
= = = =
++ ++ ++
++ +
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 15
Sưu tầm và biên soạn
Câu 35:
a) Cho
( ) ( )
6
10fx x= +
. Tính
( )
"2f
.
b) Cho
( )
in 3s
fx x=
. Tính
2
f
π

′′
−


,
( )
0f
′′
,
18
f
π

′′


.
Lời giải
a) Ta có:
( ) ( )
5
6 10
fx x
′
= +
Suy ra
( )
( ) ( )
44
6.5. 10 30 10fx x x
′′
= += +
Từ đó:
( ) (
)
4
2 30. 2 10 622080f
′′
= +=
.
b) Ta có
( )
3cos3fx x
′
=
và
( )
9i 3snfx x
′′
= −
Khi đó:
3
9sin
22
9f
ππ

′′
−=− −

= −




;
( ) ( )
0 9sin 00f
′′
= =−
và
9sin
18
9
26
f
ππ
−

=

′′
= −



.
Câu 36: Đạo hàm cấp hai của hàm số
1
2
x
y
x
+
=
−
là:
Lời giải
Ta có:
13
1
22
x
y
xx
+
= = +
−−
( )
2
3
2
y
x
′
⇒=−
−
và
(
)
3
6
2
y
x
′′
=
−
Câu 37: Đạo hàm cấp hai của hàm số
o2sin5csxy x=
là
Lời giải
Ta có:
( )
1
5 cos2 sin 7 sinn
2
si 3y xx x x+= =
Do đó
( )
1
7cos7 3cos3
2
xy x= +
′
(
)
49sin 7
2
9sin 3
1
xxy = −
′′
⇒ −
Câu 38: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a)
1
1
y
x
=
−
. b)
1
1
y
x
=
−
. c)
tany x
=
. d)
2
cosy x=
.
Lời giải
a) Ta có:
(
)
2
1
1
y
x
′
=
−
và
( )
3
2
1
y
x
−
′′
=
−
.
b) Ta có:
( )
1
21 1
y
xx
′
=
−−
và
( )
2
3
41 1
y
xx
′′
=
−−
.
c) Ta có:
2
co
1
s
x
y
′
=
và
3
2sin
cos
y
x
x
′′
=
.
d)Ta có:
11
co
22
s2y
x= +
. Khi đó:
cs2oy x
′
= −
và
2cos2xy
′′
= −
.
Câu 39: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a)
o2sin5csxy x=
b)
2
21
2
x
y
xx
+
=
+−
c)
2
1
x
y
x
=
−
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 16
Sưu tầm và biên soạn
d)
1
2
x
y
x
−
=
+
e)
2
sin
y
x
x
=
f)
2
1yx x= +
g)
( )
2
1 cosy xx
= −
h)
yx=
i)
sin 2 sis n3in xxy x=
j)
2
1
x
y
x
=
−
k)
cos 2yx x=
l)
1
y
x
=
Lời giải
a) Ta có:
( )
1
5 cos2 sin 7 sinn
2
si 3y xx x x
+= =
Khi đó:
( )
1
7cos7 3cos3
2
y xx
′
= +
và
(
)
1
49sin 7 9sin 3
2
y xx
′′
=−+
b) Ta có:
2
21 1 1
212
x
y
xx x x
+
= = +
+− − +
Khi đó:
( )
( )
22
11
12
y
xx
′
=−−
−+
và
( ) ( )
33
22
12
y
xx
′′
= +
−+
c) Ta có:
2
11 1
12 1 1
x
y
x xx

= = +

− +−

Khi đó:
( ) ( )
22
11 1
2
11
y
xx

−−
′
= +


+−

và
( ) ( )
33
11
11
y
xx
′′
= +
+−
d) Ta có:
13
1
22
x
y
xx
−
= = −
++
Khi đó:
( )
2
3
2
y
x
′
=
+
và
( )
3
6
2
y
x
′′
= −
+
e) Ta có:
2
2 .sin cos
.xxyx x
+
′
=
và
( )
2
2 sin 4 cosy x xx x
′′
=−+
f) Ta có:
2
2
21
1
x
y
x
+
′
=
+
và
( )
3
22
23
11
xx
y
xx
+
′′
=
++
g) Ta có:
( )
2
2 cos 1 siny xx xx−−
′
= −
và
( )
2
3 cos 4 sinyx xxx
+
′′
= −
h) Ta có:
1
2
y
x
′
=
và
1
4
y
xx
′′
= −
i) Ta có:
111
sin 2 sin 3 sin 2 sin 4 sin 6
444
sin
xxx x x xy =+−=
Khi đó:
13
cos2 cos4 cos6
22
y xx x
′
= +−
và
sin 2 4sin 4 9sin 6xxy x=−+
′′
−
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 17
Sưu tầm và biên soạn
j) Ta có:
2
1
1
11
x
yx
xx
= =−−+
−−
Khi đó:
(
)
2
1
1
1
y
x
′
=−+
−
và
( )
3
2
1
y
x
−
′′
=
−
k) Ta có:
cos 2 2 sin 2
y xx x
′
= −
và
4sin 2 4 cos2
y xx x
′
=−−
l) Ta có:
1
y
xx
′
= −
và
5
3
4
y
x
′′
=
DẠNG: GIA TỐC
Câu 40: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
32
39
St t t=−+ +
, trong đó
t
tính bằng giây
và
S
tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.
Lời giải
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
2
3 69vS t t
′
==− ++
Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:
66aS t
′′
= =−+
Gia tốc triệt tiêu khi
0
S
′′
=
1t
⇔=
.
Khi đó vận tốc của chuyển động là
( )
1 12 m/ sS
′
=
.
Câu 41: Một chuyển động xác định bởi phương trình
( )
32
3 92St t t t=− −+
. Trong đó
t
được tính bằng
giây,
S
được tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm
3st =
?
Lời giải
Vận tốc của chuyển động tại thời điểm
t
có phương trình là
( ) ( )
2
3 6 9.vt S t t t
′
= = −−
Gia tốc của chuyển động tại thời điểm
t
có phương trình là
(
) (
)
6 6.at v t t
′
= = −
Tại thời điểm
3st =
ta có
( )
2
3 6.3 6 12 m/s .a = −=
Câu 42: Một chất điểm chuyển động có phương trình
42
2 6 31St t t= + −+
với
t
tính bằng giây (s) và
S
tính bằng mét (m). Hỏi gia tốc của chuyển động tại thời điểm
3( )ts=
bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có vận tốc tức thời của chuyển động được tính theo công thức:
( )
( )
( )
3
8 12 3vt St t t
′
= =+−
.
Khi đó gia tốc tức thời của chuyển động được tính theo công thức:
( )
2
24 12at t= +
( )
( )
22
3 24.3 12 228 m/sa⇒ = +=
.
Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm
3( )ts=
là
( )
2
228 m/s
.
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 13
Sưu tầm và biên soạn
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Đạo hàm của hàm số
( )
=y fx
tại điểm
0
x
là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
( )
( )
00 0
;M x fx
. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
( )
0
;
o
Mx y
là
( )
′
=
0
k fx
.
Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm
0
M
có dạng:
( )( ) ( )
′
= −+
00 0
y f x x x fx
Câu 1: Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
(
)
C
. Tiếp tuyến của
( )
C
tại giao điểm của
( )
C
với trục tung có
phương trình là
Câu 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
21yx x=−+ −
tại điểm
(1; 0)M
là
Câu 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
yx=
tại điểm
(
)
1; 1
−−
.
Câu 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
3
yx=
tại điểm
( )
2; 8−−
.
Câu 5: Cho hàm số
3
31yx x=−+
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ
thị hàm số với trục tung.
Câu 6: Cho hàm số
42
2yx x
= +
có đồ thị
( )
C
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại
( )
1;3M
là
Câu 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
( ): 3 1Cyx x=−+
tại giao điểm của
( )
C
với trục
Oy
có phương
trình là:
Câu 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
461yx x=−+
tại điểm có hoành độ
1x =
.
Câu 9: Gọi
M
là giao điểm của đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
+
=
−
với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số trên tại điểm
M
là
Câu 10: Cho hàm số
2
34yx x
=++
có đồ thị
( )
C
. Hệ số góc
( 0)kk>
của tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
tại
điểm có tung độ bằng
4
là:
Câu 11: Cho hàm số
()
y fx=
có đạo hàm liên tục trên
, thỏa mãn
2 (5 ) ( ) 2f x xf x x−+ =
. Viết phương
trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
()y fx=
tại điểm có hoành độ là
5
.
Câu 12: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm liên tục trên
, thỏa mãn
( ) ( )
2
2 3 3 63 3 5fx f x x x−+ − = −
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y fx=
tại điểm có hoành độ bằng 3 là
CHƯƠNG
VII
ĐẠO HÀM
HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
II
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 14
Sưu tầm và biên soạn
Câu 13: Cho hàm số
(
)
y fx=
luôn dương
0x∀>
và thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
42
2 41fxxfx x− −=
. Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y fx=
tại điểm có hoành độ bằng
1
.
Câu 14: Cho các hàm số
(
)
fx
,
( )
gx
có đạo hàm trên
và thỏa mãn
(
) (
)
2
2 3 2022+= +−f x gx x x
với mọi
∈x
. Biết
( ) ( )
5 5 2023
′
= = −ff
. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
(
)
=y gx
tại điểm có
hoành độ
1
x
=
có phương trình là
Câu 15: Cho đồ thị hàm số
( )
2
: 2 2023Cyx x=−+
và đường thẳng
( )
: 27dy x
= +
. Viết phương trình
tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến song song với
( )
: 27dy x= +
.
Câu 16: Phương trình tiếp tuyến của
( )
32
:231Cy x x
=−−
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
: 12 2022
dy x
= +
là
Câu 17: Phương trình tiếp tuyến của
(
)
42
: 21Cyx x=+−
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
: 2022
8
=−−
x
dy
là
Câu 18: Cho đường cong
( )
32
: 3 21Cyx x x=− −−
và đường thẳng
:2 1 0
+ +=d xy
. Tiếp tuyến của
đường cong
( )
C
và song song với
d
có phương trình là
Câu 19: Cho hàm số
32
32
yx x=−+
có đồ thị
( )
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
C
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
97yx= +
.
Câu 20: Cho hàm số
32
3yx x= +
có đồ thị
(
)
C
và điểm
( )
;0Mm
sao cho từ
M
vẽ được 3 tiếp tuyến đến
đồ thị
( )
C
trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Khi đó tìm m.
Câu 21: Cho hàm số
32
3 61yx x x=+ −+
có đồ thị
( )
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
biết tiếp tuyến đi qua điểm
(0;1)N
và hoành độ tiếp điểm là số thực âm.
Câu 22: Cho hàm số
42
2yx x= −
có đồ thị là
( )
C
. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
đi qua gốc tọa
độ?
Câu 23: Cho hàm số
( )
32
1
x
yC
x
+
=
+
, có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
cắt trục
,Oy Ox
lần lượt tại
hai điểm
A
và
B
sao cho diện tích tam giác
AOB
bằng
2
?
Câu 24: Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị là đường cong
( )
C
. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
sao cho tiếp tuyến này cắt các trục
,Ox Oy
lần lượt tại các điểm
,AB
sao cho
2OA OB=
.
Câu 25: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
21
1
x
yC
x
+
=
+
mà tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa
độ một tam giác vuông cân?
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 1
Sưu tầm và biên soạn
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Đạo hàm của hàm số
( )
=y fx
tại điểm
0
x
là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
( )
( )
00 0
;M x fx
. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
( )
0
;
o
Mx y
là
( )
′
=
0
k fx
.
Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm
0
M
có dạng:
( )( ) ( )
′
= −+
00 0
y f x x x fx
Câu 1: Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
(
)
C
. Tiếp tuyến của
( )
C
tại giao điểm của
( )
C
với trục tung có
phương trình là
Lời giải
Giao điểm của đồ thị
( )
C
và trục tung là
( )
0; 1M −
.
( )
2
2
1
y
x
−
′
=
−
Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại
( )
0; 1M −
.
( )( )
0 01 2 1yy x x
′
= − −=− −
.
Câu 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
21yx x=−+ −
tại điểm
(1; 0)M
là
Lời giải
Ta có
2
32yx
′
=−+
.,
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
21yx x=−+ −
tại điểm
(1; 0)M
là:,
(1)( 1) 0 1yy x x
′
= − + =−+
.
Câu 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
yx=
tại điểm
( )
1; 1−−
.
Lời giải
Ta có
( )
2
3x 1 3yy
′′
= ⇒ −=
. Phương trình tiếp tuyến là
( )
3 1 1 3x 2yx= + −= +
.
CHƯƠNG
VII
ĐẠO HÀM
HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
II
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 2
Sưu tầm và biên soạn
Câu 4: Viết phương trình tiếp của đường cong
3
yx=
tại điểm
( )
2; 8−−
.
Lời giải
Ta có
2
'3yx=
.
Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
( )
2; 8−−
là
( )
' 2 12y −=
.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
( )
12 2 8 12 16y x yx= + −⇔ = +
.
Câu 5: Cho hàm số
3
31yx x=−+
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ
thị hàm số với trục tung.
Lời giải
2
33
yx
′
= −
.
Đồ thị hàm số cắt
Oy
tại điểm
( )
00 0 0
; 01Ax y x y⇒=⇒=
.
Gọi tiếp tuyến
( )
d
tiếp xúc đồ thị hàm số tại điểm
( )
0;1A
⇒
Hệ số góc
( ) ( )
0
03k yx y
′′
= = = −
⇒
Phương trình tiếp tuyến
( ) ( )
: 3 01 31dy x y x=− − +⇔ =− +
.
Câu 6: Cho hàm số
42
2yx x= +
có đồ thị
( )
C
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại
( )
1;3M
là
Lời giải
Ta có:
( )
3
4 4 18y x xy
′′
= +⇒ =
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại
( )
1;3M
là
( )
8 13 8 5y x yx= − +⇔ = −
.
Câu 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
( ): 3 1Cyx x=−+
tại giao điểm của
( )
C
với trục
Oy
có phương
trình là:
Lời giải
Ta có
2
33
yx
′
= −
.
Giao điểm
M
của đồ thị hàm số
(
)
C
với trục
Oy
là
00
01xy=⇒=
.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại
( )
0;1M
là:
( )
03ky
′
= = −
.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
0;1M
là:
( )
00
31y kx x y y x= − + ⇔=−+
.
Câu 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
461yx x=−+
tại điểm có hoành độ
1x =
.
Lời giải
Ta có
( )
2
12 12 1 0y x xy
′′
= −⇒ =
.
Ta có
00
11xy=⇒=−
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 3
Sưu tầm và biên soạn
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
461yx x=−+
tại điểm có hoành độ
1
x =
là
1y = −
.
Câu 9: Gọi
M
là giao điểm của đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
+
=
−
với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số trên tại điểm
M
là
Lời giải
Hoành độ điểm
M
là nghiệm của phương trình
1
0 1.
2
x
x
x
+
=⇔=−
−
Do đó
( 1; 0)M −
. Mặt khác,
2
3
( 2)
y
x
′
= −
−
nên
1
( 1)
3
y
′
−=−
.
Phương trình tiếp tuyến tại
M
là
1
( 1) 0 3 1 0
3
y x yx=− + + ⇔ + +=
.
Câu 10: Cho hàm số
2
34yx x=++
có đồ thị
( )
C
. Hệ số góc
( 0)
kk
>
của tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
tại
điểm có tung độ bằng
4
là:
Lời giải
Ta có hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình
2
0
3 44
3
x
xx
x
=
+ +=⇔
= −
.
Ta có
'2 3yx= +
.
Với
0x =
hệ số góc của tiếp tuyến là
( )
'0 3ky= =
.
Với
3
x
= −
hệ số góc của tiếp tuyến là
( )
'3 3ky= −=−
.
Câu 11: Cho hàm số
()y fx=
có đạo hàm liên tục trên
, thỏa mãn
2 (5 ) ( ) 2
f x xf x x−+ =
. Viết phương
trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
()
y fx=
tại điểm có hoành độ là
5
.
Lời giải
Thay
0
x
=
vào
2 (5 ) ( ) 2f x xf x x−+ =
ta được
2 (5) 0 (5) 0ff=⇒=
.
Thay
5x =
vào
2 (5 ) ( ) 2f x xf x x−+ =
ta được
2 (0) 5 (5) 10 (0) 5
ff f+ =⇒=
.
2 (5 ) ( ) 2 2 (5 ) ( ) ( ) 2 (*)f x xf x x f x f x xf x
′′
−+ = ⇒− −+ + =
.
Thay
0x =
vào
(*)
ta có
3
2 (5) (0) 2 (5)
2
ff f
′′
− +=⇒ =
.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
()
y fx=
tại điểm có hoành độ là
5
là
3 3 15
(5)( 5) (5) ( 5) 0
2 22
yf x f x x
′
= −+ = −+= −
.
Câu 12: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm liên tục trên
, thỏa mãn
( ) ( )
2
2 3 3 63 3 5fx f x x x−+ − = −
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y fx=
tại điểm có hoành độ bằng 3 là
Lời giải
( ) ( )
2
2 3 3 63 3 5fx f x x x−+ − = −
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 4
Sưu tầm và biên soạn
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y fx=
tại điểm có hoành độ bằng 3 có dạng
(
)(
)
(
)
33 3yf x f
′
= −+
.
Thay
1x =
vào ta được:
( ) ( )
20 3 2ff+=−
.
Thay
2x =
vào ta được:
( ) ( )
23 0 2ff+=
.
Từ và suy ra
( )
32f =
.
Lấy đạo hàm hai vế của ta được
( ) ( )
6 3 3 3 63 6 5fx f x x
′′
−− − = −
.
Thay
1x =
vào ta được:
( ) ( )
6 03 3 5ff
′′
−=−
.
Thay
2x =
vào ta được:
( ) ( )
6 33 0 7
ff
′′
−=
.
Từ và suy ra
(
)
31
f
′
=
.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y fx=
tại điểm có hoành độ bằng 3 là
(
)
1 32 1
yx x
= − +=−
.
Câu 13: Cho hàm số
(
)
y fx=
luôn dương
0x∀>
và thỏa mãn điều kiện
( )
( )
42
2 41fxxfx x− −=
. Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y fx=
tại điểm có hoành độ bằng
1
.
Lời giải
Gọi
d
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y fx=
tại điểm
( )
( )
1; 1Mf
.
Suy ra
( )
( )
(
)
: 1. 1 1dy f x f
′
= −+
.
Xét điều kiện:
( ) ( )
42
2 41fxxfx x− −=
.
+) Cho
1
2
x =
ta được:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
4 2 42
2
11
11
11
1 1 2 1 1 10
1
22
11
1
2
f
f
f f ff
fL
fL
=
=
− = ⇔ − −= ⇔ ⇔
= −
= −
.
+) Đạo hàm hai vế của ta được:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
32
8 2.2 418.41.41 1f xfx f x xfx fx
′′

− −+ − − =

.
Thay
1
2
x =
vào điều kiện được:
( )
( ) ( ) ( ) (
)
32
8 1. 1 1 4 1. 1 1
f f f ff
′′
−− =
.
Lại có
( )
11f =
khi đó trở thành:
( ) ( ) ( )
1
8.1. 1 1 4.1. 1 1 1
2
f ff
′ ′′
−− =⇔ =
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 5
Sưu tầm và biên soạn
Suy ra phương trình của
d
là
( )
1
11
2
yx= −+
.
Vậy tiếp tuyến
d
có phương trình là
11
22
yx= +
.
Câu 14: Cho các hàm số
(
)
fx
,
(
)
gx
có đạo hàm trên
và thỏa mãn
(
) (
)
2
2 3 2022+= +−
f x gx x x
với mọi
∈x
. Biết
( ) ( )
5 5 2023
′
= = −ff
. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
=y gx
tại điểm có
hoành độ
1x =
có phương trình là
Lời giải
Ta có
( ) ( )
2
2 3 2022+= +−f x gx x x
( ) ( )
2 2 3 2 2022
′′
⇒ += + −f x gx x
.
Ta chọn
1x =
( ) (
)
( ) ( )
2
2 5 1 2 2022
5 1 1 2022
′′
= +−
⇒
= +−
fg
fg
( )
( )
1 2026
12
′
= −
⇔
= −
g
g
.
Từ đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
(
)
=y gx
tại điểm có hoành độ
1x =
là
( ) ( ) ( )
1. 1 1
′
= −+yg x g
( )
2026 1 2⇔=− −−yx
2026 2024⇔=− +
yx
.
Câu 15: Cho đồ thị hàm số
( )
2
: 2 2023Cyx x=−+
và đường thẳng
( )
: 27dy x= +
. Viết phương trình
tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến song song với
(
)
: 27dy x
= +
.
Lời giải
Gọi điểm
( )
00
;
Mx y
là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị
( )
C
.
22yx
′
= −
suy ra hệ số góc
( )
00
22
k yx x
′
= = −
.
Mặt khác tiếp tuyến song song với đường thẳng
(
)
: 27 2dy x k= +⇒=
0 00
2 2 2 2 2023x xy
⇔ −=⇔ =⇒ =
suy ra
( )
2;2023M
.
Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng:
( )
2 2 2023 2 2019yx x= −+ = +
.
Câu 16: Phương trình tiếp tuyến của
( )
32
:231Cy x x=−−
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
: 12 2022dy x= +
là
Lời giải
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
22
1
6 6 12 2 0
2
x
x x xx
x
= −
− = ⇔ −−=⇔
=
Với
1x = −
suy ra tọa độ tiếp điểm
(
)
1; 6M −−
do đó phương trình tiếp tuyến
1
: 12 6
dy x= +
.
Với
2x =
suy ra tọa độ tiếp điểm
(
)
2;3N
suy ra phương trình tiếp tuyến là:
2
: 12 21dy x
= −
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 6
Sưu tầm và biên soạn
Câu 17: Phương trình tiếp tuyến của
( )
42
: 21Cyx x=+−
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
: 2022
8
=−−
x
dy
là
Lời giải
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
: 2022
8
=−−
x
dy
nên
1
18
8

− =−⇔ =


tt tt
kk
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
33
4 4 8 20 1+ =⇔ +−=⇔ =x x xx x
Với
1x =
suy ra tọa độ tiếp điểm
( )
1; 2
M
.
Phương trình tiếp tuyến là
86= −
yx
.
Câu 18: Cho đường cong
( )
32
: 3 21Cyx x x=− −−
và đường thẳng
:2 1 0+ +=d xy
. Tiếp tuyến của
đường cong
( )
C
và song song với
d
có phương trình là
Lời giải
Ta có đường thẳng
:2 1 0 2 1+ += ⇔ =− −
d xy y x
.
Tiếp tuyến song song với
d
nên phương trình tiếp tuyến có hệ số góc là
2k = −
.
Gọi
0
x
là hoành độ của tiếp điểm.
Khi đó
( )
0
22
0 00 00
0
0
3622360
2
x
yxk xx xx
x
=
′
=⇔−−=−⇔−=⇔
=
.
Với
( )
0
0 0; 1xM=⇒−
, phương trình tiếp tuyến là:
21
yx=−−
trùng với
d
.
Với
( )
0
2 2; 9xN=⇒−
, phương trình tiếp tuyến là:
25yx=−−
.
Câu 19: Cho hàm số
32
32yx x=−+
có đồ thị
(
)
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
C
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
97yx= +
.
Lời giải
Xét hàm số
( )
32
32y fx x x= =−+
.
Ta có:
2
x36
yx
′
= −
.
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng
97yx= +
nên
( )
0
9fx
′
=
0
2
0
x3 96x⇔ =−
2
0 0
036x9x −⇔ −=
0
0
1
3
x
x
= −
⇔
=
.
Với
00
12xy=−⇒ =−
. Phương trình tiếp tuyến là
( )
9 12 9 7y x yx= + −⇔ = +
Với
00
32xy=⇒=
. Phương trình tiếp tuyến là
( )
9 3 2 9 25y x yx= − +⇔= −
.
Câu 20: Cho hàm số
32
3yx x= +
có đồ thị
( )
C
và điểm
( )
;0Mm
sao cho từ
M
vẽ được 3 tiếp tuyến đến
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 7
Sưu tầm và biên soạn
đồ thị
( )
C
trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Khi đó tìm m.
Lời giải
Ta có
2
'3 6
yxx
= +
.
Phương trình tiếp tuyến
∆
của đồ thị
( )
C
tại
( )
32
00 0
;3Ax x x+
là:
( )
( )
2 32
0 0 00 0
36 3
y x x xx x x
= + − ++
.
( )
( )
(
)
2 32
0 0 00 0
;0 3 6 3 0Mm x x m x x x∈∆⇔ + − + + =
( )( )
2
0 0 00 0
36 3 0x x mx x x

⇔ + − ++ =

( ) (
)
0
2
00
0
2 3 3 6 0
x
x mx m
=
⇔
+− − = ∗
.
Do
( )
00y
′
=
nên để từ
M
vẽ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị
( )
C
trong đó có hai tiếp tuyến vuông
góc với nhau thì phương trình
( )
∗
phải có 2 nghiệm phân biệt
12
,xx
khác 0 và thỏa mãn điều
kiện
(
)
12
' . '( ) 1
y x yx = −
( )
( )
22
1122
0
60
3636 1
m
xxxx
∆>
⇔− ≠
+ +=−
( )
( ) ( )
2
2
12 12 1 2 12
9 30 9 0
9 18 36 1
0
mm
xx xx x x xx I
m
+ +>
⇔ + ++ =−
≠
Vì
12
,xx
là nghiệm của phương trình
( )
∗
nên theo định lí Vi-et, ta có
12
12
33
2
3
m
xx
xx m
−
+=
= −
.
Do đó
( )
2
3
1
3
33
9.9 54 36.( 3 ) 1
2
0
m
m
m
I mm m
m
<−
−
>
−

⇔ − +−=−


≠
3
1
3
1
0
27
1
27
m
m
mm
m
<−
−
>
⇔ ≠ ⇔=
=
.
Câu 21: Cho hàm số
32
3 61yx x x=+ −+
có đồ thị
( )
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
biết tiếp tuyến đi qua điểm
(0;1)N
và hoành độ tiếp điểm là số thực âm.
Lời giải
Gọi
( )
00
;Mx y
là tiếp điểm
Ta có:
2
3 66yx x
′
= +−
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 8
Sưu tầm và biên soạn
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại điểm
( )
00
;Mx y
có dạng:
2 32
0 0 00 0 0
(3 6 6)( ) 3 6 1
y x x xx x x x= + − − ++ − +
Vì tiếp tuyến đi qua
(0;1)N
nên ta có:
2 32
0 0 00 0 0
1 (3 6 6)( ) 3 6 1
x x xx x x= + −− ++ − +
32
00
230xx⇔+=
( )
( )
0
0
0
3
2
x loaïi
x thoûamaõn
=
⇔
= −
Với
00 0
3 107 33
,()
28 4
′
=−⇒ = =−x y yx
.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
33 3 107 33
1
4 28 4
yx x

=− ++ =− +


.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
33
1
4
yx=−+
.
Câu 22: Cho hàm số
42
2
yx x= −
có đồ thị là
( )
C
. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
đi qua gốc tọa
độ?
Lời giải
Gọi
( )
00
;Mxy
là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
.
Ta có
( )
33
0 00
44 44yxxyx xx
′′
= −⇒ = −
;
42
00 0
2yx x= −
.
Phương trình tiếp tuyến
∆
của
( )
C
tại
( )
00
;Mxy
là:
( )
( )
3 42
0 0 00 0
44 2y x x xx x x= − − +−
.
Tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ nên
( )
( )
( )
0
3 42 2 2
0 0 00 0 0 0
0
0
4 4 2 0 3 20
6
3
x
x x xx x x x
x
=
− − +− =⇔ − +=⇔
= ±
.
Với
0
0x =
, ta có
0
0y =
,
( )
00y
′
=
. Phương trình tiếp tuyến là:
0y =
.
Với
0
6
3
x =
, ta có
0
8
9
y = −
,
6 46
39
y

′
= −



. Phương trình tiếp tuyến là:
46
9
yx= −
.
Với
0
6
3
x = −
, ta có
0
8
9
y = −
,
6 46
39
y

′
=



. Phương trình tiếp tuyến là:
46
9
yx=
.
Vậy có 3 tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
đi qua gốc tọa độ.
Câu 23: Cho hàm số
( )
32
1
x
yC
x
+
=
+
, có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
cắt trục
,Oy Ox
lần lượt tại
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 9
Sưu tầm và biên soạn
hai điểm
A
và
B
sao cho diện tích tam giác
AOB
bằng
2
?
Lời giải
Tập xác định hàm số
{ }
\1
D
= −
. Ta có
( )
2
1
1
y
x
′
=
+
.
Phương trình tiếp tuyến
d
của đồ thị hàm số tại điểm
( )
0
0
0
32
;
1
x
Mx C
x

+
∈

+

là:
( )
(
)
0
0
2
0
0
32
1
:
1
1
x
dy x x
x
x
+
= −+
+
+
hay
( ) ( )
2
00
22
00
3 42
1
:
11
xx
dy x
xx
++
= +
++
.
Đường thẳng
d
cắt
Oy
tại hai điểm
( )
2
00
2
0
3 42
0;
1
xx
A
x

++


+

và cắt
Ox
tại
( )
( )
2
00
3 4 2 ;0Bxx− ++
Ta có
( )
( )
( )
2
2
2
22
00
00 00 0
2
0
3 42
11
. .3 4223 424 1
22
1
AOB
xx
S OA OB x x x x x
x
++
= = ++=⇒ ++= +
+
( )
0
2
2
00
00 0
0
2
00 0
2
00
0
3 20
3 4222
2
3
3 4 22 2
3 6 40
x
xx
xx x
x
xx x
x x VN
=
+=⇔
+ += +
= −
⇒⇔
+ +=− −
+ +=
Với
0
0x
= ⇒
phương trình tiếp tuyến
:2dy x= +
.
Với
0
2
3
x =−⇒
phương trình tiếp tuyến
: 96dy x= +
.
Vậy có
2
tiếp tuyến của đồ thị hàm số thỏa mãn bài ra.
Câu 24: Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị là đường cong
( )
C
. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
sao cho tiếp tuyến này cắt các trục
,Ox Oy
lần lượt tại các điểm
,AB
sao cho
2OA OB
=
.
Lời giải
Giả sử
d
là tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại điểm
( )
00
;Mx y
.
Do
d
cắt các trục
,Ox Oy
lần lượt tại các điểm
,AB
sao cho
2OA OB=
nên
1
tan
2
OB
OAB
OA
= =
. Suy ra hệ số góc
k
của
d
bằng
1
2
hoặc
1
2
−
.
Ta có
( )
( )
0
2
0
2
0
1
k yx
x
−
′
= = <
−
nên
1
2
k = −
( )
( )
2
00
0
2
00
0
12 3
21
14
12 1
2
1
xx
x
xx
x
−= =

−
⇔ =−⇔ − =⇔ ⇔

−=− =−
−

.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 10
Sưu tầm và biên soạn
+) Với
0
1x = −
: phương trình của
d
là
( ) ( )
1 11
11
2 22
y xy x=− ++ −=− −
.
+) Với
0
3x =
: phương trình của
d
là
( ) ( )
1 13 17
33 2
2 22 22
y xy x x=− −+ =−++=−+
.
Vậy có 2 tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
thỏa mãn là
11
22
yx=−−
và
17
22
yx
=−+
.
Câu 25: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
21
1
x
yC
x
+
=
+
mà tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa
độ một tam giác vuông cân?
Lời giải
Tập xác định:
=
D
.
Ta có
2
1
( 1)
y
x
′
=
+
.
Phương trình tiếp tuyến của
()C
:
21
1
x
y
x
+
=
+
tại điểm
(
)
00
; () ∈ Mx y C
(
0
1x ≠−
) có dạng
(
)
( )
0
0
2
0
0
21
1
1
1
x
y xx
x
x
+
= −+
+
+
.
Giả sử tiếp tuyến cắt
,
Ox Oy
lần lượt tại hai điểm
, AB
và tam giác
OAB
cân. Khi đó tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng
=yx
hoặc
yx= −
.
Suy ra
( )
( )
( )
( )
2
0
2
0
1
1 1
1
1
1 2
1
x
x
= −
+
=
+
.
Dễ thấy không xảy ra vì vế trái dương vế phải âm.
Ta có
( ) ( )
2
0
0
0
0
2 11
2
x
x
x
=
⇔ +=⇔
= −
.
Với
0
0x =
phương trình tiếp tuyến là
1yx= +
.
Với
0
2x = −
phương trình tiếp tuyến là
5yx= +
.
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 15
Sưu tầm và biên soạn
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM
Câu 1: Cho hàm số
4
y
x1
=
−
. Khi đó
( )
1y
′
−
bằng
A.
1−
. B.
2−
. C.
2
. D.
1
.
Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số
( )
27
4
x
fx
x
+
=
+
tại
2x =
ta được:
A.
( )
1
2
36
f
′
=
. B.
(
)
11
2
6
f
′
=
. C.
(
)
3
2
2
f
′
=
. D.
( )
5
2
12
f
′
=
.
Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số
 
123y xx x x
tại điểm
0
0x
là:
A.
05y
. B.
06y
. C.
00y
. D.
06y

.
Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số
y xx
tại điểm
0
4x
là:
A.
9
4
2
y
. B.
46y
. C.
3
4
2
y
. D.
5
4
4
y
.
Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
1
x
fx
x
=
−
tại điểm
1x = −
.
A.
( )
'1 1f −=
. B.
( )
1
'1
2
f −=−
. C.
( )
'1 2f −=−
. D.
( )
'1 0f −=
.
Câu 6: Cho hàm số
( )
fx
xác định trên
bởi
( )
2
2 1fx x= +
. Giá trị
( )
1f
′
−
bằng
A. 2. B. 6. C.
4−
. D. 3.
Câu 7: Cho hàm số
3
( ) 2 1.fx x= +
Giá trị
( 1)f
′
−
bằng:
A.
6
. B.
3
. C.
2−
. D.
6−
.
Câu 8: Cho hàm số
( )
1= −fx x
. Đạo hàm của hàm số tại
1=x
là
A.
1
2
. B.
1
. C.
0
. D. Không tồn tại.
Câu 9: Cho hàm số
2
() 2 3fx x x= −+
, tính
(2)f
′
.
A.
1
3
. B.
3
. C.
3
3
. D.
23
.
Câu 10: Cho hàm số
2
2
+
=
−
xx
y
x
. Đạo hàm của hàm số tại
1=x
là
CHƯƠNG
VII
ĐẠO HÀM
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
III
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 16
Sưu tầm và biên soạn
A.
( )
1 4.
′
= −y
B.
( )
1 5.
′
= −y
C.
( )
1 3.
′
= −y
D.
( )
1 2.
′
= −y
Câu 11: Cho hàm số
21
2
x
y
x
+
=
−
. Tính
(3)y
′
.
A.
'(3) 5y
=
. B.
(3) 5y
′
= −
. C.
'(3) 0
y
=
. D.
'(3) 7
y
=
.
Câu 12: Cho hàm số
2
2yx x= −+
. Tính
( )
'1y
.
A.
( )
'1 1y = −
. B.
(
)
'1 1y
=
. C.
( )
'1 2y =
. D.
( )
'1 0y =
.
Câu 13: Cho
( )
53
23
fx x x x
=+−−
. Tính
( ) ( ) ( )
1 1 4 0?ff f
′′ ′
+ −+
A. 4. B. 7. C. 6. D. 5.
Câu 14: Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
. Tính
( )
3y
′
A.
5
2
. B.
3
4
−
. C.
3
2
−
. D.
3
4
.
Câu 15: Cho hàm số
( )
34
khi 0
4
1
khi 0
4
−−
≠
=
=
x
x
fx
x
. Tính
( )
0f
′
.
A. Không tồn tại. B.
( )
1
0
16
f
′
=
. C.
( )
1
0
4
f
′
=
. D.
( )
1
0
32
f
′
=
.
Câu 16: Cho hàm số
( )
2
31
4
x
fx
x
+
=
+
. Tính giá trị biểu thức
( )
'0f
.
A.
3−
. B.
2
−
. C.
3
2
. D.
3
.
DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Câu 17: Tính đạo hàm của hàm số
3
21yx x=++
.
A.
2
'3 2yxx= +
. B.
2
'3 2yx= +
. C.
2
'3 2 1
yxx
= ++
. D.
2
'2yx= +
.
Câu 18: Đạo hàm của hàm số
42
4 31y x mx m=− −−
(
m
là tham số) là
A.
3
'4 8
y x mx= −
. B.
3
'4 8 3 1y x mx m= − −−
.
C.
3
'4 8 1y x mx=−−
. D.
2
'4 8y x mx= −
.
Câu 19: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
(
)
′
=
1
x
x
. B.
( )
′
=
0x
.
C.
′

=


2
11
x
x
. D.
( )
′
=
.kx k
, với
k
là hằng số.
Câu 20: Cho hàm số
( )
fx
là hàm số trên
định bởi
( )
2fx x=
. Chọn câu đúng.
A.
( )
2
fx
′
=
B.
( )
1fx
′
=
C.
( )
fx x
′
=
D.
( )
fx
′
không tồn tại.
Câu 21: Đạo hàm của hàm số
24
11
0, 25
43
y xx x=− +−
là
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 17
Sưu tầm và biên soạn
A.
3
1
22
3
y xx
′
=−+ −
. B.
3
1
2
3
y xx
′
=−+−
. C.
3
1
2
3
y xx
′
=+−
. D.
3
1
2
3
y xx
′
=−+ −
.
Câu 22: Cho hàm số
35
12
+
=
−+
x
y
x
. Đạo hàm
′
y
của hàm số là:
A.
2
7
(2 1)−x
. B.
2
1
(2 1)−
x
. C.
2
13
(2 1)
−
−x
. D.
2
13
(2 1)−x
.
Câu 23: Đạo hàm của hàm số
3
23yx=−+
là
A.
'6
yx= −
. B.
2
'6 3yx=−+
. C.
2
' 6.yx= −
D.
2
' 3.yx= −
Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số
(
)
( )
2
32
2y fx x x
= = −
.
A.
( )
5 43
' 6 20 16fx x x x=−+
. B.
( )
53
' 6 16fx x x= +
.
C.
(
)
5 43
' 6 20 4
fx x x x=−+
. D.
( )
5 43
' 6 20 16fx x x x=−−
Câu 25: Đạo hàm của hàm số
42
1
3 2021 2022
4
yxx x= −− +
bằng biểu thức nào sau đây?
A.
42
6 2021yx x
′
=−−
B.
3
6 2021
yx x
′
=−−
C.
3
3
6 2021
4
y xx
′
= −−
D.
3
6 2021 2022
yx x x
′
=−− +
Câu 26: Hàm số nào sau đây là đạo hàm của hàm số
23
31
+
=
−
x
y
x
.
A.
( )
2
11
31
−
′
=
−
y
x
B.
( )
2
7
31
′
=
−
y
x
C.
( )
2
2
31
′
=
−
y
x
D.
2
3
′
=y
Câu 27: Cho hàm số
( )
2
1
1
x
fx
x
−
=
+
. Biết
( )
( )
22
,
11
ax b
fx x
xx
+
′
= ∀
++
. Tính
2S ab= +
A.
3S =
. B.
1S =
. C.
1S = −
. D.
5S =
.
Câu 28: Đạo hàm của hàm số
2
12yx= −
là kết quả nào sau đây?
A.
2
1
21 2
y
x
′
=
−
. B.
2
4
21 2
x
y
x
−
′
=
−
. C.
2
2
12
x
y
x
−
′
=
−
. D.
2
2
12
x
y
x
′
=
−
.
Câu 29: Đạo hàm của hàm số
(
)
3
12
yx
= −
là
A.
( )
2
3. 1 2yx
′
= −
. B.
( )
2
6. 1 2yx
′
= −
. C.
(
)
2
3. 1 2
yx
′
=−−
. D.
( )
2
6. 1 2yx
′
=−−
.
Câu 30: Tính đạo hàm của hàm số
( )
( )
2
12 2yx x−= −
.
A.
4yx
′
=
. B.
2
62
3yx x= −+
′
. C.
2
246yxx= −−
′
. D.
2
242yxx= −+
′
.
Câu 31: Tính đạo hàm của hàm số
2
23
2
xx
y
x
+−
=
+
.
A.
( )
2
3
1
2
y
x
′
= +
+
. B.
( )
2
2
67
2
xx
y
x
++
′
=
+
. C.
( )
2
2
45
2
xx
y
x
++
′
=
+
. D.
( )
2
2
81
2
xx
y
x
++
′
=
+
.
Câu 32: Tính đạo hàm của hàm số
1
13
x
y
x
+
=
−
.
A.
( )
2
4
13
y
x
′
=
−
. B.
( )
2
4
13
x
y
x
′
=
−
. C.
( )
2
4
13
y
x
−
′
=
−
. D.
4
13
y
x
′
=
−
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 18
Sưu tầm và biên soạn
Câu 33: Hàm số
2
1
sin
y
x
= −
là đạo hàm của hàm số nào dưới đây?
A.
tanyx=
. B.
cotyx=
. C.
cotxy
= −
. D.
1
sin
y
x
=
.
Câu 34: Cho hàm số
2
( ) sin 2
fx x=
. Tính
( )
'fx
.
A.
( )
' 2sin 2fx x=
. B.
( )
2
' 2 cos 2
fx x
=
. C.
( )
' 2sin 4fx x=
. D.
( )
' 2sin 4fx x= −
.
Câu 35: Đạo hàm của hàm số
42
43yx x=−−
là
A.
3
48y xx
′
=−+
. B.
2
48yxx
′
= −
. C.
3
48yxx
′
= −
. D.
2
48
y xx
′
=−+
Câu 36: Đạo hàm của hàm số
43
2
5
2
23
xx
y xa=+− +
(
a
là hằng số) bằng.
A.
32
1
25 2
2
xx a
x
+− +
. B.
32
1
25
22
xx
x
++
.
C.
32
1
25
2
xx
x
+−
. D.
32
25 2xx+−
.
Câu 37: Hàm số nào sau đây có đạo hàm bằng
1
2x
?
A.
() 2fx x=
. B.
()
fx x=
. C.
() 2fx x=
. D.
1
()
2
fx
x
= −
.
Câu 38: Tính đạo hàm của hàm số
( )
3
5
yx x
= −
.
A.
5
2
75
2
2
yx
x
′
= −
. B.
5
75
2
2
yx
x
′
= −
. C.
2
5
3
2
yx
x
′
= −
. D.
2
1
3
2
yx
x
′
= −
.
Câu 39: Đạo hàm của hàm số
2
3
1
x
y
x
+
=
+
là:
A.
(
)
22
13
11
x
xx
−
++
. B.
( )
22
13
11
x
xx
+
++
. C.
2
13
1
x
x
−
+
. D.
( )
2
22
21
11
xx
xx
−−
++
.
Câu 40: Cho hàm số
( )
2
3fx x= +
. Tính giá trị của biểu thức
(
) ( )
'
14 1Sf f= +
.
A.
4S =
. B.
2S =
. C.
6S =
. D.
8S =
.
Câu 41: Cho hàm số
2
2 54y xx
= +−
. Đạo hàm
'y
của hàm số là
A.
2
45
'
22 5 4
x
y
xx
+
=
+−
. B.
2
25
'
22 5 4
x
y
xx
+
=
+−
.
C.
2
25
'
2 54
x
y
xx
+
=
+−
. D.
2
45
'
2 54
x
y
xx
+
=
+−
.
Câu 42: Tính đạo hàm của hàm số
2
1
yx
x
= −
.
A.
2
1
2yx
x
′
= −
. B.
2
1
yx
x
′
= −
. C.
2
1
yx
x
′
= +
. D.
2
1
2yx
x
′
= +
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 19
Sưu tầm và biên soạn
Câu 43: Tính đạo hàm của hàm số
2
1
x
y
x
=
−
A.
( )
2
2
1
y
x
′
=
−
. B.
(
)
2
1
y
x
′
=
−
. C.
( )
2
2
1
y
x
−
′
=
−
. D.
( )
2
1
y
x
−
′
=
−
.
Câu 44: Hàm số
2
1
5
y
x
=
+
có đạo hàm bằng:
A.
( )
2
2
1
'
5
y
x
=
+
. B.
( )
2
2
2
'
5
x
y
x
=
+
. C.
( )
2
2
1
'
5
y
x
−
=
+
. D.
( )
2
2
2
'
5
x
y
x
−
=
+
.
Câu 45: Tính đạo hàm của hàm số
2
2
2 37
23
xx
y
xx
−+
=
++
.
A.
( )
2
2
2
7 2 23
23
xx
y
xx
− ++
′
=
++
. B.
( )
2
2
2
7 2 23
23
xx
y
xx
−−
′
=
++
C.
( )
2
2
7 2 23
23
xx
y
xx
−−
′
=
++
D.
( )
32
2
2
8 3 14 5
23
xx x
y
xx
+++
′
=
++
Câu 46: Cho hàm số
2
() (, ; 1)
xa
f x ab Rb
xb
+
= ∈≠
−
. Ta có
'(1)f
bằng:
A.
2
2
( 1)
ab
b
−+
−
. B.
2
2
( 1)
ab
b
−
−
. C.
2
2
( 1)
ab
b
+
−
. D.
2
2
( 1)
ab
b
−−
−
.
Câu 47: Cho
(
)
1
14
3
x
fx x
x
−
=−+
−
. Tính
( )
fx
′
.
A.
22
3
14
x
x
−
−
−
. B.
( )
2
22
14
3
x
x
−
−
−
.
C.
1
1
21 4x
+
−
D.
( )
2
22
14
3
x
x
−
+
−
−
.
Câu 48: Đạo hàm của hàm số
( )
2
21y x xx=−+
là
A.
2
2
8 41
'.
2
xx
y
xx
+−
=
+
B.
++
=
+
2
2
8 41
'.
2
xx
y
xx
C.
+
=
+
2
41
'.
2
x
y
xx
D.
+−
=
+
2
2
6 21
'.
2
xx
y
xx
Câu 49: Đạo hàm của hàm số
( )
7
2
37y xx=−+ +
là
A.
( )
( )
6
2
'72 3 3 7y x xx=−+ −+ +
. B.
( )
6
2
'7 3 7y xx=−+ +
.
C.
( )
( )
6
2
' 23 37y x xx=−+ −+ +
. D.
( )
( )
6
2
'72 3 3 7y x xx=−+ −+ +
.
Câu 50: Đạo hàm của hàm số
3
2
2
yx
x

= −


bằng
A.
2
2
2
12
6yx x
xx

′
=+−


. B.
2
2
2
3yx
x

′
= −


.
C.
2
2
2
12
6yx x
xx

′
=−−


. D.
2
2
12
6yx x
xx

′
=−−


CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 20
Sưu tầm và biên soạn
Câu 51: Đạo hàm của hàm số
( )
1
2
3
1yxx= ++
là
A.
(
)
2
2
3
21
31
x
y
xx
+
′
=
++
. B.
( )
2
2
3
1
1
3
y xx
′
= ++
.
C.
( )
8
2
3
1
1
3
y xx
′
= ++
. D.
3
2
21
21
x
y
xx
+
′
=
++
.
Câu 52: Đạo hàm của hàm số
( )
2
32
2yx x= −
bằng:
A.
5 43
6 20 16
xxx
−−
. B.
5 43
6 20 4x xx−+
. C.
53
6 16
xx
+
. D.
5 43
6 20 16
xxx
−+
.
Câu 53: Đạo hàm của hàm số
( )
2
23fx x= −
bằng biểu thức nào sau đây?
A.
2
3
23
x
x
−
−
. B.
2
1
22 3x−
. C.
2
2
6
22 3
x
x
−
−
. D.
2
3
23
x
x
−
.
Câu 54: Cho hàm số
32
1
25
3
yxxx= −−
. Tập nghiệm của bất phương trình
0
y
′
≥
là
A.
[ ]
1; 5−
. B.
∅
. C.
( ) ( )
; 1 5;−∞ − ∪ +∞
. D.
(
] [
)
; 1 5;−∞ − ∪ +∞
.
Câu 55: Cho hàm số
32
35y x mx x=+ +−
với
m
là tham số. Tìm tập hợp
M
tất cả các giá trị của
m
để
0y
′
=
có hai nghiệm phân biệt:
A.
( )
3; 3M = −
. B.
(
] [
)
; 3 3;M = −∞ − ∪ +∞
.
C.
M =
. D.
( ) ( )
; 3 3;M = −∞ − ∪ +∞
.
Câu 56: Cho hàm số
3
3 2017yx x=−+
. Bất phương trình
0y
′
<
có tập nghiệm là:
A.
(
)
1;1
S = −
. B.
( ) ( )
; 1 1;S = −∞ − ∪ +∞
.
C.
(
)
1; +∞
. D.
(
)
;1−∞ −
.
Câu 57: Cho hàm số
( )
42
23fx x x=+−
. Tìm
x
để
(
)
0fx
′
>
?
A.
10x−< <
. B.
0x <
. C.
0x >
. D.
1
x <−
.
Câu 58: Cho hàm số
( ) ( )
32
3
2 2 3 1,
2
ymx mxxm= + + + +−
là tham số. Số các giá trị nguyên
m
để
0,yx
′
≥ ∀∈
là
A.
5
. B. Có vô số giá trị nguyên
m
.
C.
3
. D.
4
Câu 59: Cho hàm số
( )
32
3 12 3f x x mx x=−+ − +
với
m
là tham số thực. Số giá trị nguyên của
m
để
( )
0
fx
′
≤
với
x∀∈
là
A.
1
. B.
5
. C.
4
. D.
3
.
Câu 60: Cho hàm số
( ) ( )
32
32
32
mx mx
f x mx= − +− −
. Tìm
m
để
(
)
0fx xR
′
> ∀∈
.
A.
12
0
5
m≤≤
. B.
12
0
5
m<<
. C.
12
0
5
m≤<
. D.
12
0
5
m<≤
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 21
Sưu tầm và biên soạn
Câu 61: Cho hàm số
(
)
2
5 14 9
fx x x=−+ −
Tập hợp các giá trị của
x
để
( )
0fx
′
<
là
A.
7
;.
5

+∞


B.
7
;.
5

−∞


C.
79
;.
55



D.
7
1; .
5



Câu 62: Cho hàm số
( )
2
2
fx x x= −
. Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
( ) ( )
f x fx
′
≥
có bao nhiêu
giá trị nguyên?
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
3
.
Câu 63: Cho
( )
32 1
,
4
41 4141
x ax b
x
x xx
′
−−

= ∀>

− −−

. Tính
.
a
b
A.
16−
. B.
4−
. C.
1
−
. D.
4
.
Câu 64: Cho
2
23
yx x= −+
,
2
23
ax b
y
xx
+
′
=
−+
. Khi đó giá trị
.ab
là:
A.
4−
. B.
1
−
. C.
0
. D.
1
.
Câu 65: Cho hàm số
( )
3
b
f x ax
x
= +
có
( )
( )
1 1, 2 2
ff
′′
= −=−
. Khi đó
( )
2f
′
bằng:
A.
12
5
. B.
2
5
−
. C.
2
. D.
12
5
−
.
Câu 66: Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
để hàm số
2
5
x
y
xm
+
=
+
có đạo hàm dương trên khoảng
( )
; 10 ?−∞ −
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D. vô số.
Câu 67: Cho hàm số
( )
(
)( ) (
)
1 2 ... 2022
=
−− −
x
fx
xx x
. Tính
( )
0
′
f
A.
1
2023
. B.
1
2022
. C.
1
2023!
. D.
1
2022!
.
Câu 68: Cho hai hàm số
(
)
fx
và
( )
gx
đều có đạo hàm trên
và thỏa mãn:
( ) ( ) ( )
3 22
2 2 2 3 . 36 0f x f x xgx x−− + + + =
, với
x∀∈
. Tính
( )
( )
324 2Af f
′
= +
.
A.
11
B.
13
C.
14
D.
10
DẠNG 3. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
Câu 69: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
23
x
y
x
+
=
−
tại điểm có hoành độ
0
1x = −
có hệ số góc bằng
A.
5
. B.
1
5
−
. C.
5−
. D.
1
5
.
Câu 70: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
42
45yx x=−+
tại điểm có hoành độ
1.x = −
A.
4 6.yx= −
B.
4 2.yx= +
C.
4 6.
yx= +
D.
4 2.yx= −
Câu 71: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
23
2
x
y
x
+
=
−
tại điểm có hoành độ bằng
3
, tương ứng là
A.
7 13yx= +
. B.
7 30yx=−+
. C.
39yx= +
. D.
2yx=−−
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 22
Sưu tầm và biên soạn
Câu 72: Cho hàm số
32
1
21
3
y xx x= +−+
có đồ thị là
( )
C
. Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm
1
1;
3
M



là:
A.
32yx= −
. B.
32yx=−+
. C.
2
3
yx= −
. D.
2
3
yx=−+
Câu 73: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
3= −yx x
tại điểm có hoành độ bằng 2.
A.
9 16=−+
yx
. B.
9 20=−+yx
. C.
9 20= −yx
. D.
9 16
= −
yx
.
Câu 74: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
2
: 34Cy x x= −
tại điểm có hoành độ
0
0x =
là
A.
0y
=
. B.
3yx=
. C.
32
yx
= −
. D.
12yx
= −
.
Câu 75: Cho hàm số
3
32yx x=−+ −
có đồ thị
( )
.C
Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại giao điểm
của
(
)
C
với trục tung.
A.
21yx
=−+
. B.
21yx= +
. C.
32yx= −
. D.
32
yx=−−
.
Câu 76: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
42
( ): 8 9Cyx x=−+
tại điểm M có hoành độ bằng -1.
A.
12 14yx
= +
. B.
12 14yx= −
. C.
12 10yx= +
. D.
20 22yx=−−
.
Câu 77: Cho hàm số
2
1
x
y
x
−
=
+
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm có hoành
độ
0
0x =
.
A.
32yx= −
. B.
32yx=−−
. C.
33
yx= −
. D.
32
yx
= +
.
Câu 78: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
1
x
y
x
−+
=
−
tại điểm có hoành độ
0
x =
là
A.
2 3.yx
=−+
B.
2 3.yx=−−
C.
2 3.yx= −
D.
2 3.yx= +
Câu 79: Cho hàm số
3
21yx x=−+
có đồ thị
( )
C
. Hệ số góc
k
của tiếp tuyến với
( )
C
tại điểm có hoàng
độ bằng
1
bằng
A.
5k = −
. B.
10k =
. C.
25k =
. D.
1k =
.
Câu 80: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
32
x
y
x

tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có hệ số
góc là
A.
1
. B.
1
4
. C.
5
4
. D.
1
4
.
Câu 81: Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( ).C
Gọi
d
là tiếp tuyến của
()C
tại điểm có tung độ bằng
3
.
Tìm hệ số góc
k
của đường thẳng
.d
A.
1
2
−
. B.
2−
C.
2
. D.
1
2
.
Câu 82: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
2
2yx x= +−
tại điểm có hoành độ
0
1x = −
.
A.
1 0.xy+ −=
B.
2 0.
xy−−=
C.
3 0.xy++=
D.
1 0.xy− −=
Câu 83: Hệ số góc tiếp tuyến tại
( )
1; 0A
của đồ thị hàm số
32
32=−+yx x
là
A.
1
. B.
1−
. C.
3−
. D.
0
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 23
Sưu tầm và biên soạn
Câu 84: Gọi
I
là giao điểm giữa đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
và trục tung của hệ trục tọa độ
Oxy
. Hệ số góc
của tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên tại
I
là
A.
2−
. B.
0
. C.
1−
. D.
2
.
Câu 85:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
31
1
x
y
x
tại điểm có hoành độ
2x
là
A.
29
yx
= +
. B.
29yx=−+
. C.
29yx= −
. D.
29yx=−−
.
Câu 86: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
H
:
1
2
x
y
x
−
=
+
tại giao điểm của
( )
H
và trục hoành là:
A.
3yx= −
. B.
(
)
1
1
3
yx= −
. C.
3yx=
. D.
( )
31yx= −
.
Câu 87: Cho hàm số
193
23
−++−= xxxy
có đồ thị. Hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị là.
A. 1 B. 6 C. 12 D. 9
Câu 88: Cho hàm số
42
21=++yx x
có đồ thị
( )
C
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại điểm
( )
1; 4M
là
A.
84
= −yx
. B.
3= +yx
. C.
8 12=−+yx
. D.
84= +yx
.
Câu 89: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
tại điểm
( )
2;3A
có phương trình
y ax b= +
. Tính
ab+
A.
9
. B.
5
. C.
1
. D.
1−
.
Câu 90: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
42
65yx x
=−+
tại điểm có hoành độ
2x =
.
A.
8 16.yx
=−−
B.
8 19.yx= −
C.
8 16.yx
=−+
D.
8 19.yx= +
Câu 91: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
tại điểm có tung độ bằng
2
là
A.
31
yx
. B.
31yx
. C.
31yx
. D.
33yx
.
Câu 92: Có bao nhiêu điểm
M
thuộc đồ thị hàm số
( )
3
1fx x= +
sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
fx
tại
M
song song với đường thẳng
: 31dy x
= −
?
A.
3
. B.
2
. C.
0
. D.
1
.
Câu 93: Cho đồ thị hàm số
( )
3
3y x xC= −
. Số các tiếp tuyến của đồ thị
(
)
C
song song với đường thẳng
3 10
yx= −
là
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
0
.
Câu 94: Cho hàm số
32
33yx x=−+ −
có đồ thị
( )
C
. Số tiếp tuyến của
( )
C
vuông góc với đường thẳng
1
2017
9
yx= +
là
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
3
.
Câu 95: Cho hàm số
(
)
21
() ,
1
x
fx C
x
+
=
−
. Tiếp tuyến của
( )
C
song song với đường thẳng
3
yx= −
có
phương trình là
A.
3 1; 3 11.yxyx=−− =−+
B.
3 10; 3 4.yx yx=−+ =−−
C.
3 5; 3 5.yxyx=−+ =−−
D.
3 2; 3 2.yxyx=−+ =−−
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 24
Sưu tầm và biên soạn
Câu 96: Cho hàm số
21
()
1
x
yC
x
−
=
+
. Tiếp tuyến của vuông góc với đường thẳng
3 20
xy+ +=
tại điểm
có hoành độ
A.
0x =
. B.
2x = −
. C.
0
2
x
x
=
= −
. D.
0
2
x
x
=
=
.
Câu 97: Cho hàm số
32
31
yx x=−+
có đồ thị là
( )
C
. Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
song song với
đường thẳng
9 10yx= +
là
A.
96, 928yx yx=+=−
. B.
9 , 9 26yxyx= = −
.
C.
9 6, 9 28yx yx=−=−
. D.
96, 926
yx yx
=+=−
.
Câu 98: Cho hàm số
32
32
yx x=−+
có đồ thị
( )
C
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng
:9 7 0d xy
−+=
là
A.
9 25yx= +
. B.
9 25
yx
=−−
. C.
9 25
yx= −
D.
9 25yx
=−+
.
Câu 99: Cho hàm số
32
() 3
fx x x
= −
, tiếp tuyến song song với đường thẳng
95yx= +
của đồ thị hàm số
là:
A.
( )
93yx= +
. B.
( )
93yx= −
. C.
95yx= +
và
( )
93yx= −
D.
95yx
= +
.
Câu 100: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
() 2 1y fx x= = +
, biết rằng tiếp tuyến đó song
song với đường thẳng
3 60
xy− +=
.
A.
1
1
3
yx
= −
. B.
1
1
3
yx= +
. C.
15
33
yx= −
. D.
15
33
yx= +
.
Câu 101: Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
đồ thị
(
)
C
. Có bao nhiêu cặp điểm
A
,
B
thuộc
( )
C
mà tiếp tuyến
tại đó song song với nhau:
A.
1
. B. Không tồn tại cặp điểm nào.
C. Vô số cặp điểm D.
2
.
Câu 102: Cho hàm số
1
xm
y
x
−
=
+
có đồ thị là
( )
m
C
. Với giá trị nào của
m
thì tiếp tuyến của
(
)
m
C
tại điểm
có hoành độ bằng
0
song song với đường thẳng
: 31dy x= +
.
A.
3m =
. B.
2
m =
. C.
1m =
. D.
2
m = −
.
Câu 103: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
2yx x=−+
song song với đường thẳng
yx=
?
A.
2
. B.
4
. C.
3
. D.
1
.
Câu 104: Cho hàm số
32
1
22
3
y x xx= − ++
có đồ thị
( )
C
. Phương trình các tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
biết
tiếp tuyến song song với đường thẳng
10
:2
3
dy x=−+
là
A.
22yx=−+
. B.
22
yx=−−
.
C.
2
2 10, 2
3
yxyx
=−+ =−−
. D.
2
2 10, 2
3
yxyx=−− =−+
.
Câu 105: Cho hàm số
3
2
32
3
x
yx=+−
có đồ thị là
( )
.C
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
biết
tiếp tuyến có hệ số góc
9k = −
.
A.
( )
16 9 3 .yx+=− +
. B.
( )
93yx=−+
. C.
( )
16 9 3 .yx−=− −
. D.
( )
16 9 3 .yx−=− +
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 25
Sưu tầm và biên soạn
Câu 106: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
31
yx x
=−+
biết nó song song với đường
thẳng
96yx= +
.
A.
96yx= +
,
96yx= −
. B.
9 26yx
= −
.
C.
9 26yx
= +
. D.
9 26yx= −
,
96yx
= +
.
Câu 107: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
2
yx x=−+
song song với đường thẳng
?yx
=
A.
3.
B.
2.
C.
0.
D.
1.
Câu 108: Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số
42
2yx x=−+
song song với trục hoành là
A.
3
. B.
2
. C.
0
. D.
1
.
Câu 109: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
(
)
21
:
2
x
Cy
x
+
=
+
song song với đường thẳng
: 32yx
∆=+
là
A.
32yx
= +
. B.
32yx= −
.
C.
3 14yx
= +
. D.
35yx= +
.
Câu 110: Cho hàm số
32
32yx x
=−+
có đồ thị. Tìm số tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng
d:
9 25.yx= −
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
0.
Câu 111: Tìm điểm
M
có hoành độ âm trên đồ thị
(
)
3
12
:
33
Cy x x= −+
sao cho tiếp tuyến tại
M
vuông
góc với đường thẳng
12
33
yx
=−+
.
A.
1;
3
M
4

−


. B.
( )
2;0M −
. C.
2;
3
M
4



. D.
( )
2; 4M −−
.
Câu 112: Tìm các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
21
1
x
y
x
+
=
−
biết các tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
3
yx
= −
.
A.
3 11; 3 1yxyx
=−+ =−−
. B.
3 6; 3 11
yxyx=−− =−−
.
C.
31yx=−+
. D.
36
yx=−+
.
Câu 113: Cho đường cong
(
)
432
: 321Cyx x x=−+−
. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đường cong
( )
C
có
hệ số góc bằng
7
?
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Câu 114: Cho hàm số
42
22yx x m= − +−
có đồ thị
( )
C
. Gọi
S
là tập các giá trị của
m
sao cho đồ thị
( )
C
có đúng một tiếp tuyến song song với trục
Ox
. Tổng các phần tử của
S
là
A.
3
. B.
8
. C.
5
. D.
2
.
Câu 115: Cho hàm số
32
32yx x=−+
có đồ thị
( )
C
. Tìm số tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
song song với
đường thẳng
: 9 25dy x= −
.
A.
1
. B.
3
. C.
0
. D.
2
.
Câu 116: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
2 3 12 1yx x x=−−+
song song với đường thẳng
:12 0d xy+=
có dạng là
y ax b= +
. Tính giá trị của
2ab+
.
A.
23−
hoặc
24
−
B.
23−
. C.
24−
. D.
0
.
Câu 117: Đường thẳng
61y xm= ++
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
31yx x=+−
khi
m
bằng
A.
4−
hoặc
2−
. B.
4−
hoặc
0
. C.
0
hoặc
2
. D.
2−
hoặc
2
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 26
Sưu tầm và biên soạn
Câu 118: Tính tổng
S
tất cả giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số
( )
3 2 23
33 2f x x mx mx m m=− + +−
tiếp xúc với trục hoành.
A.
4
3
S =
. B.
1S =
. C.
0
S =
. D.
2
3
S =
.
Câu 119: Cho hàm số
32
32yx x x
=−+
. Có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm
( )
1; 0A −
?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 120: Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến kẻ từ
( )
2; 1M −
đến đồ thị hàm số
2
1
4
x
yx= −+
.
A.
23
yx
=−+
. B.
1y
= −
. C.
3
yx= −
. D.
37yx= −
.
Câu 121: Cho hàm số
2
1
x
y
x
−
=
−
có đồ thị
()
C
và điểm
( ;1)Am
. Gọi
S
là tập tất cả các giá trị của
m
để có
đúng một tiếp tuyến của
()C
đi qua
A
. Tính tổng bình phương các phần tử của tập
S
.
A.
25
4
. B.
5
2
. C.
13
4
. D.
9
4
.
Câu 122: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
32yx x=−+
đi qua
(3 ; 2)A
?
A.
3
. B.
0
. C.
1
. D.
2
.
Câu 123: Cho hàm số
2
1
x
y
x
−+
=
−
có đồ thị
()C
và điểm
( ;1)Aa
. Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị thực
của tham số
a
để có đúng một tiếp tuyến của
()C
đi qua
A
. Tổng tất cả các giá trị các phần tử
của
S
là
A.
1
. B.
3
2
. C.
5
2
. D.
1
2
.
Câu 124: Cho hàm số
32
3 61yx x x=− ++
có đồ thị. Tiếp tuyến của có hệ số góc nhỏ nhất là bao nhiêu?
A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Câu 125: Cho hàm số
2
23
x
y
x
có đồ thị
C
. Đường thẳng
d
có phương trình
y ax b
là tiếp
tuyến của
C
, biết
d
cắt trục hoành tại
A
và cắt trục tung tại
B
sao cho tam giác
OAB
cân
tại
O
, với
O
là gốc tọa độ. Tính
ab
.
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
3
.
Câu 126: Cho hàm số
21
1
x
y
x
có đồ thị. Có bao nhiêu tiếp tuyến của cắt trục Ox, Oy lần lượt tại tại
hai điểm A và B thỏa mãn điều kiện
4OA OB
.
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Câu 127: Cho hàm số
( )
2
1
23
x
y
x
+
=
+
. Đường thẳng
:d y ax b= +
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
1
. Biết
d
cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm
A,B
sao cho
OAB∆
cân tại
O
. Khi đó
ab+
bằng
A.
1−
. B.
0
. C.
2
. D.
3−
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 27
Sưu tầm và biên soạn
Câu 128: Cho hàm số
( )
32
31f x x x mx=+ ++
. Gọi
S
là tổng tất cả giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm
số
( )
y fx=
cắt đường thẳng
1
y
=
tại ba điểm phân biệt
(
)
0;1
A
,
B
,
C
sao cho các tiếp tuyến
của đồ thị hàm số
( )
y fx
=
tại
B
,
C
vuông góc với nhau. Giá trị của
S
bằng
A.
9
2
. B.
9
5
. C.
9
4
. D.
11
5
.
Câu 129: Cho hàm số
(
)
1
1
x
yC
x
+
=
−
. Điểm
M
thuộc
( )
C
có hoành độ lớn hơn
1
, tiếp tuyến của
( )
C
tại
M
cắt hai tiệm cận của
( )
C
lần lượt tại
,AB
. Diện tích nhỏ nhất của tam giác
OAB
bằng.
A.
4 22+
. B.
4
. C.
42
. D.
42+
.
Câu 130: Cho hàm số
32
31yx x=++
có đồ thị
( )
C
và điểm
( )
1;Am
. Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị
nguyên của tham số
m
để qua
A
có thể kể được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị
( )
C
. Số phần tử
của
S
là
A.
9
. B.
7
. C.
3
. D.
5
Câu 131: Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( ).C
Gọi
d
là tiếp tuyến của
()C
tại điểm có tung độ bằng
3
.
Tìm hệ số góc
k
của đường thẳng
.d
A.
1
2
−
. B.
2−
C.
2
. D.
1
2
.
Câu 132: Cho hàm số
1
1
y
x
=
−
có đồ thị
( )
C
. Gọi
∆
là tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm
( )
2;1
M
. Diện tích
tam giác được tạo bởi
∆
và các trục bằng
A.
3
. B.
3
2
. C.
9
. D.
9
2
.
DẠNG 4. BÀI TOÁN QUẢNG ĐƯỜNG, VẬN TỐC
Câu 133: Cho chuyển động được xác định bởi phương trình
32
26s t tt
=+−
, trong đó
t
được tính bằng
giây và
s
được tính bằng mét. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm
3ts
=
là:
A.
89 / .ms
B.
105 / .ms
C.
48 / .ms
D.
20 / .ms
Câu 134: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là
( )
32
1
2 31
3
St t t t= − +−
(
t
được
tính bằng giây,
s
tính bằng mét). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm
4t =
là
A.
( )
6/
ms
. B.
( )
4/ms
. C.
( )
5/ms
. D.
( )
3/ms
.
Câu 135: Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình
( )
32
3 5 10st t t t=− ++
,
trong đó
0t >
với
t
tính bằng giây và
s
tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm vận tốc của vật đạt giá
trị nhỏ nhất thì quãng đường vật đi được bằng bao nhiêu?
A.
13 m
. B.
3m
. C.
16 m
. D.
10 m
.
Câu 136: Một vật chuyển động theo quy luật
( )
23
425st t t=−+
, với
t
là khoảng thời gian tính từ lúc vật
bắt đầu chuyển động và
s
là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Biết tại thời điểm
m
thì vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là
( )
/nm s
. Giá trị
T mn=
bằng
A.
4
.
3
B.
16
.
9
C.
2
.
3
D.
8
.
9
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 28
Sưu tầm và biên soạn
Câu 137: Một chất điểm chuyển động theo quy luật
23
6
S tt
= −
, vận tốc
( )
m/sv
của chuyển động đạt giá
trị lớn nhất tại thời điểm
(
)
st
bằng
A.
( )
4s
. B.
( )
12 s
. C.
( )
6s
. D.
( )
2s
.
Câu 138: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường đi được của đoàn tàu
là một hàm số của thời gian
t
được cho bởi phương trình
( )
23
10 9st t t t= ++ −
trong đó
s
tính
bằng mét,
t
tính bằng giây. Trong 5 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, đoàn tàu đạt vận tốc lớn
nhất bằng bao nhiêu?
A.
1/
ms
. B.
28 /ms
. C.
16 /ms
. D.
3/
ms
.
Câu 139: Một vật chuyển động trong
1
giờ với vận tốc v phụ thuộc vào thời gian t có đồ thị vận tốc như
hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của
đường parabol có đỉnh
1
( ;8)
2
I
và trục đối xứng song song với trục tung. Tính gia tốc của vật lúc
( )
0, 25th=
A.
( )
2
16 /km h
. B.
( )
2
16 /km h−
. C.
( )
2
8/km h
. D.
( )
2
8/km h−
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 1
Sưu tầm và biên soạn
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM
Câu 1: Cho hàm số
4
y
x1
=
−
. Khi đó
( )
1y
′
−
bằng
A.
1−
. B.
2−
. C.
2
. D.
1
.
Lời giải
Ta có
( )
2
4
1
y
x
′
= −
−
( )
11y
′
⇒ −=−
.
Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số
( )
27
4
x
fx
x
+
=
+
tại
2x =
ta được:
A.
( )
1
2
36
f
′
=
. B.
( )
11
2
6
f
′
=
. C.
( )
3
2
2
f
′
=
. D.
( )
5
2
12
f
′
=
.
Lời giải
Ta có
( )
( )
2
1
4
fx
x
′
= ⇒
+
( )
1
2
36
f
′
=
.
Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số

123y xx x x
tại điểm
0
0
x
là:
A.
05y
. B.
06y
. C.
00y
. D.
06y

.
Lời giải
Ta có
 

22
1 2 3 56y xx x x x x x x 
22
21 56 25
y x x x x xx

0 6.y

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số
y xx
tại điểm
0
4
x
là:
A.
9
4
2
y
. B.
46y
. C.
3
4
2
y
. D.
5
4
4
y
.
Lời giải
CHƯƠNG
VII
ĐẠO HÀM
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
III
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 2
Sưu tầm và biên soạn
Ta có
1
1
2
y
x

15
4 1.
4
24
y

Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
1
x
fx
x
=
−
tại điểm
1
x
= −
.
A.
(
)
'1 1f
−=
. B.
( )
1
'1
2
f −=−
. C.
( )
'1 2f
−=−
. D.
( )
'1 0f −=
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
2
2
'
1
fx
x
−
=
−
. Vậy
( )
1
'1
2
f −=−
.
Câu 6: Cho hàm số
(
)
fx
xác định trên
bởi
( )
2
2 1fx x= +
. Giá trị
( )
1f
′
−
bằng
A. 2. B. 6. C.
4−
. D. 3.
Lời giải
Ta có :
( )
'4fx x=
( )
14f
′
⇒ −=−
.
Câu 7: Cho hàm số
3
( ) 2 1.fx x= +
Giá trị
( 1)f
′
−
bằng:
A.
6
. B.
3
. C.
2
−
. D.
6−
.
Lời giải
Có
3
() 2 1= +
fx x
⇒
2
() 6
′
=fx x
⇒
( 1)
′
−f
=
2
6.( 1)−
=
6.
Câu 8: Cho hàm số
( )
1= −fx x
. Đạo hàm của hàm số tại
1=x
là
A.
1
2
. B.
1
. C.
0
. D. Không tồn tại.
Lời giải
Ta có
( )
1
21
′
=
−
fx
x
Câu 9: Cho hàm số
2
() 2 3fx x x= −+
, tính
(2)f
′
.
A.
1
3
. B.
3
. C.
3
3
. D.
23
.
Lời giải
Ta có:
2
2
13
() 2 3 () (2)
3
23
x
fx x x f x f
xx
−
′′
= − +⇒ = ⇒ =
−+
. Chọn C
Câu 10: Cho hàm số
2
2
+
=
−
xx
y
x
. Đạo hàm của hàm số tại
1=x
là
A.
( )
1 4.
′
= −y
B.
( )
1 5.
′
= −y
C.
( )
1 3.
′
= −y
D.
( )
1 2.
′
= −y
Lời giải
Vậy
( )
1 5.
′
= −y
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 3
Sưu tầm và biên soạn
Câu 11: Cho hàm số
21
2
x
y
x
+
=
−
. Tính
(3)y
′
.
A.
'(3) 5y =
. B.
(3) 5y
′
= −
. C.
'(3) 0y =
. D.
'(3) 7y =
.
Lời giải
Có
2
(2 1) ( 2) (2 1)( 2)
()
( 2)
x x xx
yx
x
′′
+ −− + −
′
=
−
2
2( 2) (2 1).1
()
( 2)
xx
yx
x
−− +
′
⇔=
−
22
55
( ) (3) 5
( 2) (3 2)
yx y
x
−−
′′
⇔= ⇒= =−
−−
Câu 12: Cho hàm số
2
2
yx x= −+
. Tính
( )
'1y
.
A.
( )
'1 1y = −
. B.
( )
'1 1y =
. C.
( )
'1 2y =
. D.
( )
'1 0y =
.
Lời giải
'2 1yx= −
( )
' 1 2.1 1 1.y⇒ = −=
Câu 13: Cho
( )
53
23fx x x x
=+−−
. Tính
( ) ( ) ( )
1 1 4 0?ff f
′′ ′
+ −+
A. 4. B. 7. C. 6. D. 5.
Lời giải:
Phương pháp tự luận:
Tập xác định:
D
=
.
Ta có:
( )
42
532f' x x x=+−
.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
16 16 0 2 1 14 04f' ;f' ;f' f' f' f'⇒ = − = =−⇒ + − + =
.
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng Casio
Bấm
( ) ( ) ( )
53 53 53
11 0
23 23 23
44
xx x
dx x x dx x x dx x x
dx dx dx
==−=
+−− +−− +−−
+− =
.
Câu 14: Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
. Tính
( )
3y
′
A.
5
2
. B.
3
4
−
. C.
3
2
−
. D.
3
4
.
Lời giải
Ta có
(
)
2
23
1
1
x
yy
x
x
+−
′
= ⇒=
−
−
( )
( )
2
33
3
4
31
y
−
′
= = −
−
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 4
Sưu tầm và biên soạn
Câu 15: Cho hàm số
( )
34
khi 0
4
1
khi 0
4
−−
≠
=
=
x
x
fx
x
. Tính
( )
0f
′
.
A. Không tồn tại. B.
( )
1
0
16
f
′
=
. C.
( )
1
0
4
f
′
=
. D.
( )
1
0
32
f
′
=
.
Lời giải
( )
( )
( ) ( )
0 00 0
34 1
44
24 1
44
0 lim lim lim lim
4 16
424 424
x xx x
x
x
xx
f
xx
xx x
→ →→ →
−−
−
−−
−−
′
= = = = =
+− +−
Câu 16: Cho hàm số
( )
2
31
4
x
fx
x
+
=
+
. Tính giá trị biểu thức
( )
'0f
.
A.
3−
. B.
2−
. C.
3
2
. D.
3
.
Lời giải
Cách 1: Tập xác định
D =
.
( )
( )
(
)
( )
2
2
2
3
22
2
3 4 3 1.
12
4
'
44
x
xx
x
x
fx
xx
+− +
−
+
= =
++
(
)
3
'0
2
f⇒=
.
DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Câu 17: Tính đạo hàm của hàm số
3
21yx x
=++
.
A.
2
'3 2yxx= +
. B.
2
'3 2yx= +
. C.
2
'3 2 1yxx
= ++
. D.
2
'2
yx= +
.
Lời giải
Ta có:
2
'3 2yx= +
.
Câu 18: Đạo hàm của hàm số
42
4 31y x mx m=− −−
(
m
là tham số) là
A.
3
'4 8
y x mx= −
. B.
3
'4 8 3 1y x mx m= − −−
.
C.
3
'4 8 1y x mx=−−
. D.
2
'4 8y x mx= −
.
Lời giải
Ta có
3
'4 8 .y x mx= −
Câu 19: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
( )
′
=
1
x
x
. B.
( )
′
= 0x
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 5
Sưu tầm và biên soạn
C.
′

=


2
11
x
x
. D.
(
)
′
=.
kx k
, với
k
là hằng số.
Lời giải
Đáp án A sai vì
( )
′
=
1
2
x
x
Đáp án B sai vì
( )
′
=1x
Đán án C sai vì
′

= −


2
11
x
x
Đáp án D đúng.
Câu 20: Cho hàm số
(
)
fx
là hàm số trên
định bởi
( )
2fx x=
. Chọn câu đúng.
A.
( )
2
fx
′
=
B.
( )
1fx
′
=
C.
( )
fx x
′
=
D.
( )
fx
′
không tồn tại.
Lời giải
Ta thấy:
( ) ( )
22
fx x
′
′
= =
Câu 21: Đạo hàm của hàm số
24
11
0, 25
43
y xx x
=− +−
là
A.
3
1
22
3
y xx
′
=−+ −
. B.
3
1
2
3
y xx
′
=−+−
. C.
3
1
2
3
y xx
′
=+−
. D.
3
1
2
3
y xx
′
=−+ −
.
Lời giải
( ) (
)
24 3
11 1
0, 25 2
43 3
y x x x xx
′′

′′
′
= − + − =−+ −


.
Câu 22: Cho hàm số
35
12
+
=
−+
x
y
x
. Đạo hàm
′
y
của hàm số là:
A.
2
7
(2 1)−x
. B.
2
1
(2 1)−x
. C.
2
13
(2 1)
−
−x
. D.
2
13
(2 1)−x
.
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( )( )
( )
2
35.21 3521
21
′′
+ −− + −
′
=
−
x x xx
y
x
( ) ( )
( )
( )
22
32 1 23 5
13
21 21
−− +
−
= =
−−
xx
xx
Câu 23: Đạo hàm của hàm số
3
23yx=−+
là
A.
'6yx
= −
. B.
2
'6 3yx=−+
. C.
2
' 6.
yx= −
D.
2
' 3.yx
= −
Lời giải
22
' 3.2. 6 .y xx=−=−
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 6
Sưu tầm và biên soạn
Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số
( )
( )
2
32
2y fx x x= = −
.
A.
(
)
5 43
' 6 20 16fx x x x=−+
. B.
( )
53
' 6 16fx x x= +
.
C.
(
)
5 43
' 6 20 4
fx x x x=−+
. D.
( )
5 43
' 6 20 16
fx x x x
=−−
Lời giải
Ta có:
(
)
( )
(
)
3232
' 2 2. 2'
fx xxxx
=−−
( ) ( )
32 2
2 2 .3 4xx xx=−−
54 4 3
6 8 12 16xx x x=−− +
5 43
6 20 16xxx=−+
.
Câu 25: Đạo hàm của hàm số
42
1
3 2021 2022
4
yxx x= −− +
bằng biểu thức nào sau đây?
A.
42
6 2021yx x
′
=−−
B.
3
6 2021yx x
′
=−−
C.
3
3
6 2021
4
y xx
′
= −−
D.
3
6 2021 2022yx x x
′
=−− +
Lời giải
Ta có:
(
)
(
)
( )
42
42 4 2 3
1
3 2021 2022
4
11
3 2021 2022 3 2021 2022 6 2021.
44
yxx x
y xx x x x x xx
= −− +
′′

′
′′
′
⇒= − − + = − − + =−−


Câu 26: Hàm số nào sau đây là đạo hàm của hàm số
23
31
+
=
−
x
y
x
.
A.
( )
2
11
31
−
′
=
−
y
x
B.
(
)
2
7
31
′
=
−
y
x
C.
( )
2
2
31
′
=
−
y
x
D.
2
3
′
=y
Lời giải
Ta có:
23
31
x
y
x
′
+

′
=

−

( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2331 2331
31
x x xx
x
′′
+ −− + −
=
−
( )
( )
( )
2
2 3 1 2 3 .3
31
−− +
=
−
xx
x
( )
2
11
31
−
=
−x
Câu 27: Cho hàm số
( )
2
1
1
x
fx
x
−
=
+
. Biết
( )
( )
22
,
11
ax b
fx x
xx
+
′
= ∀
++
. Tính
2S ab= +
A.
3S =
. B.
1S =
. C.
1S = −
. D.
5S =
.
Lời giải
Ta có:
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 7
Sưu tầm và biên soạn
2
1
1
x
x
′

−

+

( )
( )
(
)
22
2
1 11 1
1
xx xx
x
′
′
− +− − +
=
+
( )
2
2
2
1 1.
1
1
x
xx
x
x
+− −
+
=
+
( )
22
22
1
11
x xx
xx
+− +
=
++
( )
22
1
11
x
xx
+
=
++
1
1
a
b
=
⇒
=
.
Vậy
23S ab= +=
.
Câu 28: Đạo hàm của hàm số
2
12yx= −
là kết quả nào sau đây?
A.
2
1
21 2
y
x
′
=
−
. B.
2
4
21 2
x
y
x
−
′
=
−
. C.
2
2
12
x
y
x
−
′
=
−
. D.
2
2
12
x
y
x
′
=
−
.
Lời giải
Ta có :
22
42
212 12
xx
y
xx
−−
′
= =
−−
.
Câu 29: Đạo hàm của hàm số
( )
3
12
yx
= −
là
A.
(
)
2
3. 1 2yx
′
= −
. B.
( )
2
6. 1 2yx
′
= −
. C.
(
)
2
3. 1 2yx
′
=−−
. D.
( )
2
6. 1 2yx
′
=−−
.
Lời giải
Áp dụng công thức
( )
1
..
nn
u nu u
−
′
′
=
, với
12ux= −
,
3n =
.
Suy ra
( ) ( ) ( )
22
3.1 2 .1 2 6.1 2y xx x
′
′
= − − =−−
.
Câu 30: Tính đạo hàm của hàm số
( )
( )
2
1
2 2yx x−= −
.
A.
4yx
′
=
. B.
2
623yx
x= −+
′
. C.
2
246yxx= −−
′
. D.
2
242yxx= −+
′
.
Lời giải
Ta có:
(
)
(
)
(
)
( )
( )
(
)
2 2 22
21 21 2212 6
2 2 2 24y x x x x xx x x
x
′
′
′
= −+ − =−
=− −−−
−
+
.
Câu 31: Tính đạo hàm của hàm số
2
23
2
xx
y
x
+−
=
+
.
A.
( )
2
3
1
2
y
x
′
= +
+
. B.
(
)
2
2
67
2
xx
y
x
++
′
=
+
. C.
( )
2
2
45
2
xx
y
x
++
′
=
+
. D.
( )
2
2
81
2
xx
y
x
++
′
=
+
.
Lời giải
Ta có
3
2
yx
x
= −
+
( )
2
3
1
2
y
x
′
⇒=+
+
.
Câu 32: Tính đạo hàm của hàm số
1
13
x
y
x
+
=
−
.
A.
( )
2
4
13
y
x
′
=
−
. B.
( )
2
4
13
x
y
x
′
=
−
. C.
( )
2
4
13
y
x
−
′
=
−
. D.
4
13
y
x
′
=
−
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 8
Sưu tầm và biên soạn
Lời giải
Ta có
1
13
x
y
x
+
=
−
1
13
x
y
x
′
+

′
⇒=

−

(
) ( ) ( ) ( )
( )
2
1 .1 3 1.1 3
13
x xx x
x
′′
+ − −+ −
=
−
( ) ( )
( )
2
13 3 1
13
xx
x
−++
=
−
( )
2
4
13x
=
−
.
Câu 33: Hàm số
2
1
sin
y
x
= −
là đạo hàm của hàm số nào dưới đây?
A.
tanyx=
. B.
cotyx=
. C.
cotxy = −
. D.
1
sin
y
x
=
.
Lời giải
Ta có:
( )
2
1
cot
sin
x
x
′
= −
Câu 34: Cho hàm số
2
( ) sin 2fx x=
. Tính
( )
'fx
.
A.
( )
' 2sin 2fx x=
. B.
(
)
2
' 2 cos 2fx x
=
.
C.
( )
' 2sin 4fx x=
. D.
(
)
' 2sin 4fx x= −
.
Lời giải
Ta có:
( )
' 2.sin 2 .(sin 2 ) 2.sin 2 .2.cos2 2.sin 4fx x x x x x
′
= = =
.
Câu 35: Đạo hàm của hàm số
42
43yx x=−−
là
A.
3
48y xx
′
=−+
. B.
2
48yxx
′
= −
. C.
3
48yxx
′
= −
. D.
2
48y xx
′
=−+
Lời giải
(
)
43 3
4 34 8yx x x x
′
′
= − −= −
.
Câu 36: Đạo hàm của hàm số
43
2
5
2
23
xx
y xa=+− +
(
a
là hằng số) bằng.
A.
32
1
25 2
2
xx a
x
+− +
. B.
32
1
25
22
xx
x
++
.
C.
32
1
25
2
xx
x
+−
. D.
32
25 2xx+−
.
Lời giải
Ta có
32
1
25
2
yxx
x
′
=+−
.
Câu 37: Hàm số nào sau đây có đạo hàm bằng
1
2x
?
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 9
Sưu tầm và biên soạn
A.
() 2fx x=
. B.
()fx x=
. C.
() 2fx x=
. D.
1
()
2
fx
x
= −
.
Lời giải
Ta có
( )
1
'( ) 2
2
fx x
x
′
= =
.
Câu 38: Tính đạo hàm của hàm số
( )
3
5yx x= −
.
A.
5
2
75
2
2
yx
x
′
= −
. B.
5
75
2
2
yx
x
′
= −
.
C.
2
5
3
2
yx
x
′
= −
. D.
2
1
3
2
yx
x
′
= −
.
Lời giải
Ta có
( )
23
1
'3. 5
2
y xxx
x
= +−
22 2 5
1 57 57 5
3
222
2 22
xx xx xx x
x xx
= + −= −= −
.
Câu 39: Đạo hàm của hàm số
2
3
1
x
y
x
+
=
+
là:
A.
( )
22
13
11
x
xx
−
++
. B.
( )
22
13
11
x
xx
+
++
. C.
2
13
1
x
x
−
+
. D.
(
)
2
22
21
11
xx
xx
−−
++
.
Lời giải
Ta có
( )
2
2
2
3
1
1
1
xx
x
x
y
x
+
+−
+
′
=
+
(
)
22
13
11
x
xx
−
=
++
.
Câu 40: Cho hàm số
( )
2
3
fx x= +
. Tính giá trị của biểu thức
(
)
( )
'
14 1
Sf f= +
.
A.
4S =
. B.
2
S =
. C.
6S =
. D.
8S =
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
2'
2
3
3
x
fx x f x
x
= +⇒ =
+
.
Vậy
( ) ( )
'
14 14Sf f=+=
.
Câu 41: Cho hàm số
2
2 54y xx= +−
. Đạo hàm
'y
của hàm số là
A.
2
45
'
22 5 4
x
y
xx
+
=
+−
. B.
2
25
'
22 5 4
x
y
xx
+
=
+−
.
C.
2
25
'
2 54
x
y
xx
+
=
+−
. D.
2
45
'
2 54
x
y
xx
+
=
+−
.
Lời giải
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 10
Sưu tầm và biên soạn
Ta có
(
)
( )
'
2
'
2
22
2 54
45
' 2 54
22 5 4 22 5 4
xx
x
y xx
xx xx
+−
+
= +− = =
+− +−
Câu 42: Tính đạo hàm của hàm số
2
1
yx
x
= −
.
A.
2
1
2yx
x
′
= −
. B.
2
1
yx
x
′
= −
. C.
2
1
yx
x
′
= +
. D.
2
1
2yx
x
′
= +
.
Lời giải
Tập xác định
{ }
\0D =
Có
2
1
2yx
x
′
= +
.
Câu 43: Tính đạo hàm của hàm số
2
1
x
y
x
=
−
A.
(
)
2
2
1
y
x
′
=
−
. B.
( )
2
1
y
x
′
=
−
. C.
( )
2
2
1
y
x
−
′
=
−
. D.
( )
2
1
y
x
−
′
=
−
.
Lời giải
( )
2
22
1
1
x
yy
x
x
−
′
= ⇒=
−
−
.
Câu 44: Hàm số
2
1
5
y
x
=
+
có đạo hàm bằng:
A.
( )
2
2
1
'
5
y
x
=
+
. B.
( )
2
2
2
'
5
x
y
x
=
+
. C.
( )
2
2
1
'
5
y
x
−
=
+
. D.
( )
2
2
2
'
5
x
y
x
−
=
+
.
Lời giải
( )
2
2
2
'
5
x
y
x
−
=
+
Câu 45: Tính đạo hàm của hàm số
2
2
2 37
23
xx
y
xx
−+
=
++
.
A.
( )
2
2
2
7 2 23
23
xx
y
xx
− ++
′
=
++
. B.
( )
2
2
2
7 2 23
23
xx
y
xx
−−
′
=
++
C.
(
)
2
2
7 2 23
23
xx
y
xx
−−
′
=
++
D.
( )
32
2
2
8 3 14 5
23
xx x
y
xx
+++
′
=
++
Lời giải
( )
( )
( )
( )
( )
22
2
2
2
2
43 23 222 37
2 37
23
23
x xx x xx
xx
yy
xx
xx
− + +− + − +
−+
′
= ⇒=
++
++
( )
2
2
2
7 2 23
23
xx
xx
−−
=
++
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 11
Sưu tầm và biên soạn
Câu 46: Cho hàm số
2
() (, ; 1)
xa
f x ab Rb
xb
+
= ∈≠
−
. Ta có
'(1)f
bằng:
A.
2
2
( 1)
ab
b
−+
−
. B.
2
2
( 1)
ab
b
−
−
. C.
2
2
( 1)
ab
b
+
−
. D.
2
2
( 1)
ab
b
−−
−
.
Lời giải
Ta có:
22
2( ) 2 2
'( )
() ()
xb xa a b
fx
xb xb
− − − −−
= =
−−
Câu 47: Cho
( )
1
14
3
x
fx x
x
−
=−+
−
. Tính
(
)
fx
′
.
A.
22
3
14
x
x
−
−
−
. B.
( )
2
22
14
3
x
x
−
−
−
.
C.
1
1
21 4
x
+
−
D.
(
)
2
22
14
3
x
x
−
+
−
−
.
Lời giải
( )
1
14
3
x
fx x
x
′
−

′
= −+

−

( )
1
14
3
x
x
x
′
−
′

=−+

−

( )
(
) ( ) ( )
( )
( )
2
14 1 3 1 3
21 4
3
x x x xx
x
x
′′ ′
− − −−− −
= +
−
−
( )
2
22
14
3
x
x
−
= +
−
−
.
Câu 48: Đạo hàm của hàm số
( )
2
21y x xx=−+
là
A.
2
2
8 41
'.
2
xx
y
xx
+−
=
+
B.
++
=
+
2
2
8 41
'.
2
xx
y
xx
C.
+
=
+
2
41
'.
2
x
y
xx
D.
+−
=
+
2
2
6 21
'.
2
xx
y
xx
Lời giải
Ta có:
( )( )
2
2
2 12 1
'2
2
xx
y xx
xx
−+
= ++
+
2 22
22
4 4 4 18 4 1
.
22
xxx xx
xx xx
++ − +−
= =
++
Vậy
2
2
8 41
'.
2
xx
y
xx
+−
=
+
Câu 49: Đạo hàm của hàm số
( )
7
2
37y xx=−+ +
là
A.
( )
( )
6
2
'72 3 3 7y x xx=−+ −+ +
. B.
(
)
6
2
'7 3 7y xx=−+ +
.
C.
( )
( )
6
2
' 23 37y x xx=−+ −+ +
. D.
( )
( )
6
2
'72 3 3 7y x xx=−+ −+ +
.
Lời giải
Ta có:
( ) (
)
( )
( )
66
22 2
'7 37 37'723 37y xx xx x xx=−+ + −+ + =−+ −+ +
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 12
Sưu tầm và biên soạn
Câu 50: Đạo hàm của hàm số
3
2
2
yx
x

= −


bằng
A.
2
2
2
12
6
yx x
xx

′
=+−


. B.
2
2
2
3yx
x

′
= −


.
C.
2
2
2
12
6yx x
xx

′
=−−


. D.
2
2
12
6yx x
xx

′
=−−


Lời giải
22
22 2
2
22 12
' 3. ' 6yx x x x
xx x x

= − −=+ −


.
Câu 51: Đạo hàm của hàm số
(
)
1
2
3
1yxx= ++
là
A.
(
)
2
2
3
21
31
x
y
xx
+
′
=
++
. B.
( )
2
2
3
1
1
3
y xx
′
= ++
.
C.
( )
8
2
3
1
1
3
y xx
′
= ++
. D.
3
2
21
21
x
y
xx
+
′
=
++
.
Lời giải
Ta có
( )
( )
( )
1
1
22
3
2
2
3
1 21
11
3
31
x
y xx xx
xx
−
+
′
′
= ++ ++ =
++
.
Câu 52: Đạo hàm của hàm số
( )
2
32
2yx x= −
bằng:
A.
5 43
6 20 16xxx−−
. B.
5 43
6 20 4x xx−+
. C.
53
6 16xx+
. D.
5 43
6 20 16
xxx−+
.
Lời giải
( )
( )
3232
2 2. 2
y xxxx
′
′
=−−
( )( )
322
2 234xxxx=−−
5 43
6 20 16xxx
=−+
.
Câu 53: Đạo hàm của hàm số
( )
2
23
fx x= −
bằng biểu thức nào sau đây?
A.
2
3
23
x
x
−
−
. B.
2
1
22 3x−
. C.
2
2
6
22 3
x
x
−
−
. D.
2
3
23
x
x−
.
Lời giải
Ta có
( )
2
u
u
u
′
′
=
.
( )
(
)
( )
2
2
2 22
23
63
23
223 223 23
x
xx
fx x
x xx
′
−
′
−−
′
=−= = =
− −−
.
Câu 54: Cho hàm số
32
1
25
3
yxxx= −−
. Tập nghiệm của bất phương trình
0y
′
≥
là
A.
[ ]
1; 5−
. B.
∅
.
C.
( ) ( )
; 1 5;−∞ − ∪ +∞
. D.
(
] [
)
; 1 5;−∞ − ∪ +∞
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 13
Sưu tầm và biên soạn
Lời giải
32 2
1
2 5 45
3
y x x x yx x
′
= − −⇒=−−
0y
′
≥
(
] [
)
2
4 5 0 ; 1 5;xx x⇔ − − ≥ ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
.
Câu 55: Cho hàm số
32
35y x mx x=+ +−
với
m
là tham số. Tìm tập hợp
M
tất cả các giá trị của
m
để
0y
′
=
có hai nghiệm phân biệt:
A.
(
)
3; 3M
= −
. B.
(
] [
)
; 3 3;
M = −∞ − ∪ +∞
.
C.
M =
. D.
(
) ( )
; 3 3;
M = −∞ − ∪ +∞
.
Lời giải
32 2
35 3 2 3y x mx x y x mx
′
= + + −⇒ = + +
.
0y
′
=
có hai nghiệm phân biệt
2
0 90 33
m mm
′
⇔∆>⇔ −>⇔ <−∨<
.
Câu 56: Cho hàm số
3
3 2017
yx x
=−+
. Bất phương trình
0y
′
<
có tập nghiệm là:
A.
(
)
1;1S = −
. B.
( ) ( )
; 1 1;S = −∞ − ∪ +∞
.
C.
( )
1; +∞
. D.
( )
;1−∞ −
.
Lời giải
32
3 2017 3 3yx x y x
′
=−+ ⇒= −
,
2
0 10 1 1yx x
′
<⇔ −<⇔−<<
.
Câu 57: Cho hàm số
( )
42
23fx x x=+−
. Tìm
x
để
(
)
0
fx
′
>
?
A.
10x
−< <
. B.
0x <
. C.
0x >
. D.
1x <−
.
Lời giải
( )
( )
32
04 404 10 0f x x x xx x
′
>⇔ + >⇔ + >⇔>
.
Câu 58: Cho hàm số
(
) (
)
32
3
2 2 3 1,
2
ymx mxxm= + + + +−
là tham số. Số các giá trị nguyên
m
để
0,yx
′
≥ ∀∈
là
A.
5
. B. Có vô số giá trị nguyên
m
.
C.
3
. D.
4
Lời giải
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
'32 3230 2 2101y mx mx mxmx= + + ++≥=>+ +++≥
Để phương trình
( )
1
luôn thỏa mãn
x∀∈
TH1:
2 0 2 ' 1 0,m my x+ = => =− => = ≥ ∀∈
TH2:
20 2mm+ ≠ => ≠−
2
2
20 2
22
0 22
40
m
mm
m
m
m
>−
+ > >−

=> => => =>− < ≤

∆≤ − ≤ ≤
−≤

CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 14
Sưu tầm và biên soạn
Kết hợp hai trường hợp:
2; 1; 0;1; 2m =−−
.
Câu 59: Cho hàm số
(
)
32
3 12 3f x x mx x=−+ − +
với
m
là tham số thực. Số giá trị nguyên của
m
để
( )
0fx
′
≤
với
x
∀∈
là
A.
1
. B.
5
. C.
4
. D.
3
.
Lời giải
( )
32
3 12 3=−+ − +f x x mx x
( )
2
3 6 12
′
⇒ =−+ −f x x mx
(
)
0
′
≤fx
với
∀∈x
2
3 6 12 0⇔− + − ≤x mx
với
∀∈x
0
0
<
⇔
′
∆≤
a
2
30
9 36 0
−<
⇔
−≤
m
22⇔− ≤ ≤m
. Vì
∈
m
nên
{ }
2; 1; 0;1; 2∈− −m
. Vậy có
5
giá trị nguyên
m
thoả mãn.
Câu 60: Cho hàm số
( )
(
)
32
32
32
mx mx
f x mx= − +− −
. Tìm
m
để
( )
0fx xR
′
> ∀∈
.
A.
12
0
5
m
≤≤
. B.
12
0
5
m<<
. C.
12
0
5
m≤<
. D.
12
0
5
m<≤
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )
2
'3f x mx mx m= − +−
+ Nếu
0m =
thì
( )
' 30
fx xR= > ∀∈
+ Nếu
0m ≠
thì
( )
( )
2
'3f x mx mx m
= − +−
là tam thức bậc hai,
( )
( )
2
2
0
0
12
'0 0
43 0
5
5 12 0
m
m
fx xR m
mmm
mm
>
>
> ∀∈ ⇔ ⇔ ⇔ < <

∆= − − <
−<
Vậy
12
0
5
m≤<
.
Câu 61: Cho hàm số
(
)
2
5 14 9fx x x=−+ −
Tập hợp các giá trị của
x
để
( )
0fx
′
<
là
A.
7
;.
5

+∞


B.
7
;.
5

−∞


C.
79
;.
55



D.
7
1; .
5



Lời giải
Tập xác định:
9
1; .
5
D

=


Ta có
( )
( )
2
2
57 9
5 14 9 ' , 1; .
5
5 14 9
x
fx x x f x x
xx
−+

= − + − ⇒ = ∀∈


−+ −
( )
2
5 70
57 7 9
'0 0 .
9
55
1
5 14 9
5
x
x
fx x
x
xx
− +<
−+
<⇔ <⇔ ⇔ <<
<<
−+ −
Câu 62: Cho hàm số
( )
2
2fx x x= −
. Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
( ) ( )
f x fx
′
≥
có bao nhiêu
giá trị nguyên?
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
3
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 15
Sưu tầm và biên soạn
Lời giải
Tập xác định của hàm số là:
(
] [
)
;0 2;D = −∞ ∪ +∞
.
Ta có:
( )
2
1
2
x
fx
xx
−
′
=
−
. Vậy
( ) ( )
2
2
22
1 31
2 0.
22
x xx
f x fx x x
xx xx
− −+ −
′
≥ ⇔ ≥ −⇔ ≥
−−
Với
( ) (
)
;0 2;
x ∈ −∞ ∪ +∞
, ta có:
2
2
2
3 1 3 53 5
0 3 10 ;
22
2
xx
xx x
xx

−+ − − +
≥⇔− + −≥⇔∈

−

Kết hợp với điều kiện
( ) ( )
;0 2;x ∈ −∞ ∪ +∞
, ta có:
35
2;
2
x

+
∈

.Mà
x ∈
nên suy ra
.
x ∈∅
Vậy
.S = ∅
Câu 63: Cho
( )
32 1
,
4
41 4141
x ax b
x
x xx
′
−−

= ∀>

− −−

. Tính
.
a
b
A.
16−
. B.
4−
. C.
1
−
. D.
4
.
Lời giải
Với
1
4
x
∀>
, ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
64
24 1
32 4 1 32 4 1
32 4 4
41
.
41 41
41 4141
x
x
xx xx
xx
x
xx
x xx
−
′
− −−
′
′
− −− − −
− −−

−
= = =

−−
− −−

Do đó
4, 4 1.
a
ab
b
=− =⇒=−
Câu 64: Cho
2
23yx x= −+
,
2
23
ax b
y
xx
+
′
=
−+
. Khi đó giá trị
.ab
là:
A.
4−
. B.
1
−
. C.
0
. D.
1
.
Lời giải
(
)
2
2
2
23
23
2 23
xx
yx x y
xx
′
−+
′
= − +⇒ =
−+
2
22
2 23
x
xx
−
=
−+
2
1
23
x
xx
−
=
−+
1
a⇒=
;
1b = −
.
Câu 65: Cho hàm số
( )
3
b
f x ax
x
= +
có
( ) ( )
1 1, 2 2ff
′′
= −=−
. Khi đó
( )
2f
′
bằng:
A.
12
5
. B.
2
5
−
. C.
2
. D.
12
5
−
.
Lời giải
( )
2
2
3
b
f x ax
x
′
= −
( )
( )
13
2 12
4
f ab
b
fa
′
= −
⇒
′
−= −
31
12 2
4
ab
b
a
−=
⇒
−=−
1
5
8
5
a
b
= −
⇒
−
=
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 16
Sưu tầm và biên soạn
( )
2
26
25
b
fa
′
= −=−
.
Câu 66: Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
để hàm số
2
5
x
y
xm
+
=
+
có đạo hàm dương trên khoảng
(
)
; 10 ?
−∞ −
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D. vô số.
Lời giải
Tập xác định:
( ) ( )
;5 5; .D mm= −∞ − ∪ − +∞
Ta có
( )
2
52
'
5
m
y
xm
−
=
+
5 20
YCBT
10 5
m
m
−>
⇔
− ≤−
2
2
5
m
⇔<≤
Vì
{ }
1; 2mm∈⇒∈
.
Vậy có 2 giá trị nguyên của
m
thỏa mãn YCBT
Câu 67: Cho hàm số
(
)
( )
( ) (
)
1 2 ... 2022
=
−− −
x
fx
xx x
. Tính
( )
0
′
f
A.
1
2023
. B.
1
2022
. C.
1
2023!
. D.
1
2022!
.
Lời giải
Đặt
(
) ( )( ) ( )
( )
( )
1 2 ... 2022=−− − ⇒ =
x
gx x x x f x
gx
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
22 2
.. .
1
.
′′ ′ ′
−−
′
⇒= = =−
xgx xgx gx xgx gx
fx x
gx gx gx gx
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
0
1 111
0 0.
0 0 0 1 . 2 ... 2022 2022!
′
′
=−== =
−− −
g
f
g gg
Câu 68: Cho hai hàm số
( )
fx
và
( )
gx
đều có đạo hàm trên
và thỏa mãn:
( ) ( ) ( )
3 22
2 2 2 3 . 36 0f x f x xgx x−− + + + =
, với
x∀∈
. Tính
( ) ( )
324 2Af f
′
= +
.
A.
11
B.
13
C.
14
D.
10
Lời giải
Với
x∀∈
, ta có
( ) ( )
322
(2 ) 2 2 3 . 36 0f x f x xgx x−− + + + =
( )
1
.
Đạo hàm hai vế của
( )
1
, ta được
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
3 2 . 2 12 2 3 . 2 3 2 . . 36 0f xf x f xf x xgx xgx
′′ ′
− − −− + + + + +=
( )
2
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 17
Sưu tầm và biên soạn
Từ
( )
1
và
(
)
2
, thay
0x =
, ta có
( )
( )
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
32
2
22 20 3
3 2 . 2 12 2 . 2 36 0 4
ff
f f ff
−=
′′
− − +=
Từ
( )
3
, ta có
( )
(
)
20
22
f
f
=
=
.
Với
( )
20
f
=
, thế vào
( )
4
ta được
36 0
=
.
Với
( )
22f =
, thế vào
( )
4
ta được
( )
36. 2 36 0f
′
− +=
(
)
21f
′
⇔=
.
Vậy
(
) ( )
324 2
Af f
′
= +
3.2 4.1
= +
10=
.
DẠNG 3. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
Câu 69: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
23
x
y
x
+
=
−
tại điểm có hoành độ
0
1
x = −
có hệ số góc bằng
A.
5
. B.
1
5
−
. C.
5−
. D.
1
5
.
Lời giải
TXĐ:
3
\
2
D

=


Ta có
( )
( )
2
5
'
23
fx
x
−
=
−
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
0
1
x
= −
:
( )
( )
( )
2
51
'1
5
2. 1 3
f
−−
−= =
−−
Câu 70: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
42
45
yx x=−+
tại điểm có hoành độ
1.x = −
A.
4 6.
yx= −
B.
4 2.
yx= +
C.
4 6.yx= +
D.
4 2.
yx= −
Lời giải
Ta có
3
48yxx
′
= −
,
( )
1 4.y
′
−=
Điểm thuộc đồ thị đã cho có hoành độ
1x = −
là:
( )
1; 2 .M −
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
( )
1; 2M −
là:
( )( )
1 12yy x
′
= − ++
( )
4 12yx⇔= ++
4 6.yx⇔= +
Câu 71: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
23
2
x
y
x
+
=
−
tại điểm có hoành độ bằng
3
, tương ứng là
A.
7 13yx= +
. B.
7 30yx=−+
. C.
39yx= +
. D.
2yx=−−
.
Lời giải
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 18
Sưu tầm và biên soạn
39xy=⇒=
;
( )
( )
2
7
'3 7
2
yy
x
−
′
= ⇒=−
−
.
Phương trình tiếp tuyến tương ứng là
( )
7 3 9 7 30y x yx=− − +⇔ =− +
.
Câu 72: Cho hàm số
32
1
21
3
y xx x= +−+
có đồ thị là
( )
C
. Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm
1
1;
3
M



là:
A.
32yx= −
. B.
32yx
=−+
. C.
2
3
yx= −
. D.
2
3
yx=−+
Lời giải
( )
2
'x 2 2
'1 1 2 2 1
yx
y
=+−
=+−=
Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm
1
1;
3
M



là:
( )(
)
1 12
'1 1 1
3 33
yy x x x= −+=−+=−
Câu 73: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
3= −yx x
tại điểm có hoành độ bằng 2.
A.
9 16=−+yx
. B.
9 20=−+yx
. C.
9 20= −yx
. D.
9 16= −yx
.
Lời giải
2
33yx
′
= −
Ta có
( )
22y =
và
( )
29y
′
=
. Do đó PTTT cần tìm là:
( )
= − +⇔= −
9 2 2 9 16y x yx
Câu 74: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
2
: 34Cy x x= −
tại điểm có hoành độ
0
0x =
là
A.
0y =
. B.
3yx
=
. C.
32
yx= −
. D.
12yx= −
.
Lời giải
Tập xác định
D =
.
Đạo hàm
38yx
′
= −
.
Phương trình tiếp tuyến:
( )
( )
( )
00
.0yy x y
′
= −+
⇒
:3yx∆=
.
Câu 75: Cho hàm số
3
32yx x=−+ −
có đồ thị
( )
.C
Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại giao điểm
của
( )
C
với trục tung.
A.
21yx=−+
. B.
21yx= +
. C.
32yx= −
. D.
32yx=−−
.
Lời giải
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 19
Sưu tầm và biên soạn
+)
2
33yx
′
=−+
+) Giao điểm của
(
)
C
với trục tung có tọa độ là
( )
0; 2 .−
+) Tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm
(
)
0; 2−
có phương trình là:
(
)(
)
0 0 2 3 2.yy x y x
′
= − −⇔ = −
Câu 76: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
42
( ): 8 9Cyx x
=−+
tại điểm M có hoành độ bằng -1.
A.
12 14yx= +
. B.
12 14yx
= −
. C.
12 10yx= +
. D.
20 22yx=−−
.
Lời giải
Tập xác định
.
3
4 16 .yx x
′
= −
( 1) 12.y
′
⇒ −=
00
M( 1; y ) ( ) 2.Cy
− ∈ ⇔=
Tiếp tuyến của đồ thị
()C
tại
M( 1; 2)
−
có phương trình là
'( 1)( 1) 2 12 14.yy x y x= − ++⇔ = +
Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình là
12 14.yx= +
Câu 77: Cho hàm số
2
1
x
y
x
−
=
+
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm có hoành
độ
0
0x =
.
A.
32yx
= −
. B.
32yx=−−
. C.
33
yx
= −
. D.
32yx= +
.
Lời giải
Tập xác định
{ }
\1D
= −
.
2
1
x
y
x
−
=
+
( )
2
3
1
y
x
′
⇒=
+
.
( )
02y = −
,
( )
03y
′
=
⇒
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm có hoành độ
0
0x =
là
( )
3 02yx= −−
32yx⇔= −
.
Câu 78: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
1
x
y
x
−+
=
−
tại điểm có hoành độ
0x =
là
A.
2 3.yx=−+
B.
2 3.yx
=−−
C.
2 3.yx= −
D.
2 3.yx= +
Lời giải
TXĐ:
{ }
\1.D =
2
2
' '(0) 2
( 1)
yy
x
−
= ⇒=−
−
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 20
Sưu tầm và biên soạn
Với
03xy=⇒=−
.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
2x 3y
=−−
.
Câu 79: Cho hàm số
3
21yx x=−+
có đồ thị
( )
C
. Hệ số góc
k
của tiếp tuyến với
( )
C
tại điểm có hoàng
độ bằng
1
bằng
A.
5k = −
. B.
10
k =
. C.
25k =
. D.
1
k =
.
Lời giải
Ta có
2
32yx
′
= −
.
Hệ số góc
k
của tiếp tuyến với
(
)
C
tại điểm có hoàng độ bằng
1
bằng
( )
11ky
′
= =
.
Câu 80: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
32
x
y
x

tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có hệ số
góc là
A.
1
. B.
1
4
. C.
5
4
. D.
1
4
.
Lời giải
Ta có:
2
1
32
y
x
.
Gọi
M
là tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung
1
0;
2
M



.
Vậy hệ số góc cần tìm là:
1
0
4
ky

.
Câu 81: Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( ).C
Gọi
d
là tiếp tuyến của
()C
tại điểm có tung độ bằng
3
.
Tìm hệ số góc
k
của đường thẳng
.
d
A.
1
2
−
. B.
2−
C.
2
. D.
1
2
.
Lời giải
Tập xác định:
{ }
\1D =
Với
3y =
, ta có:
1
333 1 2
1
x
xx x
x
+
=⇒ −= +⇔ =
−
.
Ta có:
( )
2
2
1
y
x
′
= −
−
.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng
2
là:
(
)
(
)
2
2
22
21
ky
′
==−=−
−
.
Câu 82: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
2
2yx x
= +−
tại điểm có hoành độ
0
1x = −
.
A.
1 0.xy+ −=
B.
2 0.xy−−=
C.
3 0.xy++=
D.
1 0.xy− −=
Lời giải
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 21
Sưu tầm và biên soạn
Đặt
2
() 2
y fx x x
= = +−
Ta có
' '( ) 2 1y fx x
= = +
Tại
0
1x
= −
0
'( 1) 1
( 1) 2
f
yf
−=−
⇒
= −=−
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
( 1) 2 3 3 0y x y x xy=− + − ⇔ =−−⇔ + + =
.
Câu 83: Hệ số góc tiếp tuyến tại
( )
1; 0A
của đồ thị hàm số
32
32=−+yx x
là
A.
1
. B.
1−
. C.
3−
. D.
0
.
Lời giải
( ) ( )
32 2
32 ' 36= = − +⇒ = −y fx x x f x x x
.
Hệ số góc tiếp tuyến tại
( )
1; 0A
của đồ thị hàm số
32
32=−+yx x
là
( )
2
' 1 3.1 6.1 3= −=−
f
.
Câu 84: Gọi
I
là giao điểm giữa đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
và trục tung của hệ trục tọa độ
Oxy
. Hệ số góc
của tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên tại
I
là
A.
2−
. B.
0
. C.
1−
. D.
2
.
Lời giải
Tập xác định:
{ }
\1D =
. Ta có
( )
2
2
1
y
x
−
′
=
−
.
Theo bài ra ta có
( )
0; 1I −
.
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại
I
là
( )
(
)
2
2
02
01
y
−
′
= = −
−
.
Câu 85:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
31
1
x
y
x
tại điểm có hoành độ
2x
là
A.
29yx= +
. B.
29yx=−+
. C.
29yx
= −
. D.
29yx=−−
.
Lời giải
Ta có
2
2
,2 2
1
yy
x


. Khi
2x
thì
5y
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
31
1
x
y
x
tại điểm có hoành độ
2
x
là
( )
2 25 2 9y x yx=− − +⇔ =− +
.
Câu 86: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
H
:
1
2
x
y
x
−
=
+
tại giao điểm của
( )
H
và trục hoành là:
A.
3yx= −
. B.
( )
1
1
3
yx= −
. C.
3yx=
. D.
( )
31yx= −
.
Lời giải
Giao điểm của
( )
H
và trục hoành là điểm
( )
1;0M
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 22
Sưu tầm và biên soạn
Ta có
( )
2
3
2
y
x
′
=
+
nên
(
)
1
1
3
y
′
=
.
Phương trình tiếp tuyến với
( )
H
tại điểm
M
là:
( )( )
1 10yy x
′
= −+
( )
1
1
3
yx⇔= −
.
Câu 87: Cho hàm số
193
23
−++−= xxxy
có đồ thị. Hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị là.
A. 1 B. 6 C. 12 D. 9
Lời giải
Hàm số
193
23
−++−= xxxy
có đồ thị có tập xác định
D =
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số
( )
C
là
( )
2
2
3 6 9 12 3 1 12y xx x
′
=− + += − + ≤
Vậy hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là
12
Câu 88: Cho hàm số
42
21=++
yx x
có đồ thị
( )
C
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại điểm
( )
1; 4M
là
A.
84
= −yx
. B.
3
= +
yx
. C.
8 12=−+
yx
. D.
84
= +yx
.
Lời giải
Ta có
( )
3
4 4 1 8.
′′
= +⇒ =y x xy
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
( )
8 1 4 8 4.= −+= −yx x
Câu 89: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
tại điểm
( )
2;3A
có phương trình
y ax b= +
. Tính
ab
+
A.
9
. B.
5
. C.
1
. D.
1−
.
Lời giải
Điều kiện
1x ≠
.
Ta có
(
)
( )
2
2
' '2 2
1
yy
x
−
= ⇒=−
−
.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
2;3A
là:
( )
2 23 2 7yx x=− − +=− +
.
Do đó
2; 7 5a b ab=− =⇒+=
.
Câu 90: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
42
65yx x
=−+
tại điểm có hoành độ
2x =
.
A.
8 16.yx=−−
B.
8 19.yx
= −
C.
8 16.yx=−+
D.
8 19.yx= +
Lời giải
Ta có
( )
42
2 2 6.2 5 3.y = − +=−
3
' 4 12yx x= −
( ) ( )
3
' 2 4. 2 12.2 8.y
⇒ = −=
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
( ) ( ) ( )
'2. 2 2yy x y= −+
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 23
Sưu tầm và biên soạn
( )
8 2 3 8 19.yx x⇒ = − −= −
Câu 91: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
tại điểm có tung độ bằng
2
là
A.
31
yx

. B.
31yx

. C.
31yx
. D.
33yx
.
Lời giải
Gọi
00
;Mx y
thuộc đồ thị của hàm số
1
2
x
y
x
mà
0
2y 
.
Khi đó
0
0 00
0
1
2 1 2 2 1 1; 2
2
x
x x xM
x
 
.
Ta có
2
3
2
y
x
, suy ra
13
y

. Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
tại
1; 2M
là
3 12 3 1yx x 
.
Câu 92: Có bao nhiêu điểm
M
thuộc đồ thị hàm số
( )
3
1fx x= +
sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
fx
tại
M
song song với đường thẳng
: 31dy x= −
?
A.
3
. B.
2
. C.
0
. D.
1
.
Lời giải
Gọi
( )
3
;1M aa
+
là điểm thuộc đồ thị hàm số
( ) ( )
3
1fx x C= +
.
Ta có
( )
2
3fx x
′
=
⇒
phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
tại
M
là:
( )
23
31y a xa a= −++
( )
23
3 21y ax a⇔= − +∆
.
2
3
33
//
2 11
a
d
a
=
∆⇔
− + ≠−
1
1
a
a
= ±
⇔
≠
1a⇒=−
.
Vậy, có duy nhất điểm
M
thỏa mãn yêu cầu là
( )
1; 0M −
.
Câu 93: Cho đồ thị hàm số
( )
3
3y x xC= −
. Số các tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
song song với đường thẳng
3 10yx= −
là
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
0
.
Lời giải
32
3 33yx x y x
′
=−⇒= −
Gọi
( )
00
;Mx y
là tiếp điểm.
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng
3 10yx= −
nên
( )
2
00 0
3 3 33 2fx x x
′
=⇔ −=⇔ =±
+ Với
00
22xy= ⇒=−
: phương trình tiếp tuyến là
( )
3 2 2 3 42yx x= − −=−
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 24
Sưu tầm và biên soạn
+ Với
00
22xy=−⇒=
: phương trình tiếp tuyến là
( )
3 2 2 3 42yx x= + +=+
Câu 94: Cho hàm số
32
33yx x=−+ −
có đồ thị
( )
C
. Số tiếp tuyến của
( )
C
vuông góc với đường thẳng
1
2017
9
yx
= +
là
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
3
.
Lời giải
Gọi
( )
00
;xy
là tọa độ tiếp điểm.
Ta có
2
36y xx
′
=−+
.
Vì tiếp tuyến của
( )
C
vuông góc với đường thẳng
1
2017
9
yx= +
nên
(
)
0
1
.1
9
yx

′
= −


( )
0
9yx
′
⇔=−
2
00
3 6 90xx⇔− + + =
0
0
1
3
x
x
= −
⇔
=
.
Với
0
1x = −
0
1y
⇒=
, suy ra PTTT là:
( )
9 11yx=− ++
98
yx⇔=− −
.
Với
0
3x =
0
3y⇒=−
, suy ra PTTT là:
(
)
9 33yx
=− −−
9 24yx⇔=− +
.
Câu 95: Cho hàm số
( )
21
() ,
1
x
fx C
x
+
=
−
. Tiếp tuyến của
( )
C
song song với đường thẳng
3yx
= −
có
phương trình là
A.
3 1; 3 11.yxyx=−− =−+
B.
3 10; 3 4.
yx yx=−+ =−−
C.
3 5; 3 5.yxyx=−+ =−−
D.
3 2; 3 2.
yxyx=−+ =−−
Lời giải
Gọi
( )
00
;Mx y
là tiếp điểm của tiếp tuyến. Theo giả thiết ta có
( )
( )
( )
2
0
00
2
0
0
0
3
3 3 11
2
1
x
fx x
x
x
=
−
′
=−⇔ =−⇔ − =⇔
=
−
.
Với
00
01xy=⇒=−
: Phương trình tiếp tuyến:
( )
3 01 31y x yx=− − −⇔ =− −
.
Với
00
25xy=⇒=
: Phương trình tiếp tuyến:
( )
3 2 5 3 11y x yx=− − +⇔ =− +
.
Ta thấy cả hai tiếp tuyến đều thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 96: Cho hàm số
21
()
1
x
yC
x
−
=
+
. Tiếp tuyến của vuông góc với đường thẳng
3 20xy+ +=
tại điểm
có hoành độ
A.
0x =
. B.
2x = −
. C.
0
2
x
x
=
= −
. D.
0
2
x
x
=
=
.
Lời giải
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 25
Sưu tầm và biên soạn
Tiếp tuyến của vuông góc với đường thẳng
3 20xy
+ +=
nên hệ số góc của tiếp tuyến là
3k =
.
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
2
2
0
3
' 3 3 ( 1) 1
2
( 1)
x
yx
x
x
=
=⇔ =⇔+ =⇔
= −
+
Vậy hoành độ tiếp điểm cần tìm là:
0
2
x
x
=
= −
.
Câu 97: Cho hàm số
32
31yx x=−+
có đồ thị là
( )
C
. Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
song song với
đường thẳng
9 10
yx= +
là
A.
96, 928
yx yx
=+=−
. B.
9 , 9 26yxyx= = −
.
C.
9 6, 9 28
yx yx
=−=−
. D.
96, 926
yx yx
=+=−
.
Lời giải
Ta có:
2
3 6
yx
x
′
−
=
Hệ số góc:
(
)
00
2
0 00
9 3;3 16 xxk yx x x=⇔=
′
= − = −=
Phương trình tiếp tuyến tại
( )
3;1M
:
( )
9 3 1 9 26yx x= − += −
.
Phương trình tiếp tuyến tại
( )
1; 3N −−
:
( )
9 1 39 6
yx x= + −= +
.
Câu 98: Cho hàm số
32
32yx x
=−+
có đồ thị
( )
C
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng
:9 7 0d xy−+=
là
A.
9 25yx
= +
. B.
9 25yx=−−
. C.
9 25yx
= −
D.
9 25
yx=−+
.
Lời giải
Gọi
( )
∆
là tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
và
( )
00
;xy
là tọa độ tiếp điểm.
2
'3 6yxx= −
Theo giả thiết:
( )
∆
song song với
( )
: 97dy x= +
(
)
0
9'
d
k k yx
∆
⇒===
0
2
00
0
1
3 69
3
x
xx
x
= −
⇔ −=⇔
=
Với
00
12xy
=−⇒ =−
:
( ) ( )
: 9 1 29 7yx x∆ = + −= +
Với
00
32xy=⇒=
:
( ) ( )
: 9 3 2 9 25yx x∆ = − += −
.
Câu 99: Cho hàm số
32
() 3fx x x= −
, tiếp tuyến song song với đường thẳng
95yx= +
của đồ thị hàm số
là:
A.
( )
93yx= +
. B.
( )
93yx= −
. C.
95yx= +
và
( )
93yx= −
D.
95yx= +
.
Lời giải
2
'( ) 3 6fx x x= −
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 26
Sưu tầm và biên soạn
Tiếp tuyến song song với đường thẳng
95
yx
= +
nên
2
3 69xx−=
1
3
x
x
= −
⇔
=
Với
(
)
1 4, ' 1 9
x yf=−⇒ =− − =
. Phương trình tiếp tuyến là:
95yx
= +
Với
(
)
3 0, ' 3 9
x yf=⇒= =
. Phương trình tiếp tuyến là:
( )
93yx= −
Câu 100: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
() 2 1
y fx x= = +
, biết rằng tiếp tuyến đó song
song với đường thẳng
3 60xy− +=
.
A.
1
1
3
yx= −
. B.
1
1
3
yx= +
. C.
15
33
yx
= −
. D.
15
33
yx= +
.
Lời giải
Gọi
00
(; )Mx y
là tiếp điểm.
1
2 1 ' '( )
21
y x y fx
x
= +⇒ = =
+
Ta có
1
3 60 2
3
xy y x− +=⇔ = +⇒
Tiếp tuyến có hệ số góc bằng
1
3
0 00
0
1 11
'( ) 4 3
33
21
fx x y
x
⇔ =⇔ =⇔=⇒=⇒
+
PTTT:
1 15
3 ( 4)
3 33
y x yx
−= − ⇔ = +
.
Câu 101: Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
đồ thị
(
)
C
. Có bao nhiêu cặp điểm
A
,
B
thuộc
( )
C
mà tiếp tuyến
tại đó song song với nhau:
A.
1
. B. Không tồn tại cặp điểm nào.
C. Vô số cặp điểm D.
2
.
Lời giải
Ta có
( )
2
2
1
y
x
−
′
=
−
.
Giả sử
( )
11
;Ax y
và
( )
22
;Bx y
với
12
xx≠
.
Tiếp tuyến tại
A
và tại
B
song song nhau nên
( ) (
)
12
yx yx
′′
=
( ) ( )
22
12
11
11xx
⇔=
−−
( ) ( )
22
12
11xx⇔−= −
12
12
12
11
2
11
xx
xx
xx
−= −
⇔+=
−=− +
Vậy trên đồ thị hàm số tồn tại vô số cặp điểm
( )
11
;Ax y
,
( )
22
;Bx y
thỏa mãn
12
2xx+=
thì các
tiếp tuyến tại
A
và tại
B
song song nhau.
*
12
yy+
12
12
11
11
xx
xx
++
= +
−−
12
12
22
2
1
xx
xx
−
= =
−
. Như vậy
12
2xx+=
và
12
2yy+=
hay đoan thẳng
AB
có trung điểm là tâm đối xứng
( )
1;1I
của đồ thị.
Câu 102: Cho hàm số
1
xm
y
x
−
=
+
có đồ thị là
( )
m
C
. Với giá trị nào của
m
thì tiếp tuyến của
( )
m
C
tại điểm
có hoành độ bằng
0
song song với đường thẳng
: 31dy x= +
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 27
Sưu tầm và biên soạn
A.
3
m =
. B.
2m =
. C.
1m =
. D.
2
m = −
.
Lời giải
Tập xác định:
{ }
1\D = −
.
Ta có:
( )
2
1
'
1
m
y
x
+
=
+
.
Gọi
( ) (
)
0;
m
M mC−∈
;
k
là hệ số góc của tiếp tuyến của
( )
m
C
tại
M
và
: 31dy x= +
.
Do tiếp tuyến tại
M
song song với
d
nên
(
)
3 '0 3ky=⇔=
13 2mm⇔+ = ⇔ =−
Chú ý: Do đặc thù đáp án của câu này nên trong quá trình giải khi ra
2m = −
thì ta chọn ngay
đáp án, tuy nhiên trên thực tế để giải toán thuộc dạng này ta cần chú ý sau khi tìm ra
m
ta cần
phải viết phương trình tiếp tuyến tại
M
để kiểm tra lại xem tiếp tuyến có song song với đường
thẳng đề bài cho không vì khi hai đường này trùng nhau thì hệ số góc của chúng vẫn bằng
nhau.
Câu 103: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
2yx x=−+
song song với đường thẳng
yx=
?
A.
2
. B.
4
. C.
3
. D.
1
.
Lời giải
Gọi
( )
00
;Mxy
là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với đường thẳng
yx=
của đồ thị hàm số
32
2yx x=−+
, khi đó ta có:
( )
0
2
0 00
0
1
' 1 341
1/3
x
yx x x
x
=
= ⇔− + = ⇔
=
.
Với
0
1x =
ta được
( )
1;1M
, phương trình tiếp tuyến:
( )
1. 1 1y x yx= − +⇔ =
.
Với
0
1
3
x =
ta được
15
;
3 27
M



, phương trình tiếp tuyến:
15 4
1.
3 27 27
y x yx

= − + ⇔=−


.
Vậy chỉ có một tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 104: Cho hàm số
32
1
22
3
y x xx
= − ++
có đồ thị
( )
C
. Phương trình các tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
biết
tiếp tuyến song song với đường thẳng
10
:2
3
dy x=−+
là
A.
22yx=−+
. B.
22yx
=−−
.
C.
2
2 10, 2
3
yxyx=−+ =−−
. D.
2
2 10, 2
3
yxyx=−− =−+
.
Lời giải
Giả sử
( )
0 00
;M xy
là tiếp điểm
Hệ số góc của tiếp tuyến tại
(
)
0 00
;M xy
là:
( )
2
00 0
' 41fx x x=−+
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 28
Sưu tầm và biên soạn
Hệ số góc của đường thẳng
10
:2
3
dy x
=−+
là
2−
Tiếp tuyến song song với đường thẳng
d
thì
2
00
4 12xx− +=−
2
00
4 30xx⇔ − +=
0
0
1
3
x
x
=
⇔
=
* Th1:
( )
00 0
4
1, , ' 2
3
x y fx= = = −
Phương trình tiếp tuyến:
( )( )
0 00
'y f x xx y= −+
10
2
3
yx⇒=− +
* Th2:
( )
00 0
3, 4, ' 2x y fx==−=−
Phương trình tiếp tuyến:
( )( )
0 00
'y f x xx y= −+
22
yx⇒=− +
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
22yx
=−+
Câu 105: Cho hàm số
3
2
32
3
x
yx=+−
có đồ thị là
( )
.C
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
biết
tiếp tuyến có hệ số góc
9k = −
.
A.
(
)
16 9 3 .yx+=− +
. B.
( )
93yx=−+
. C.
( )
16 9 3 .
yx−=− −
. D.
( )
16 9 3 .yx−=− +
Lời giải
+ Ta có
2
6yx x
′
= +
,
( )
2
0 00 0
9 6 90 3yx x x x
′
=−⇔ + + = ⇔ =−
( )
0
16y =
+ Vậy
( )( ) ( )
0 00
9 3 16y yx x x y x
′
= − + =− ++
hay
( )
16 9 3yx
−=− −
.
Câu 106: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
31yx x
=−+
biết nó song song với đường
thẳng
96yx
= +
.
A.
96yx= +
,
96yx= −
. B.
9 26yx= −
.
C.
9 26yx= +
. D.
9 26yx= −
,
96yx= +
.
Lời giải
2
36yx x
′
= −
Gọi hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến
∆
là
0
x
.
Tiếp tuyến
∆
của đồ thị hàm số
32
31yx x=−+
biết song song với đường thẳng
96
yx= +
( )
0
9yx
′
⇒=
0
2
00
0
1
3 69
3
x
xx
x
= −
⇒ −=⇔
=
.
Với
( )
0
1 13xy=−⇒ − =−⇒
phương trình tiếp tuyến là
( )
9 13 9 6y x yx= + −⇒ = +
.
Với
( )
0
3 31xy=⇒=⇒
phương trình tiếp tuyến là
( )
9 3 1 9 26y x yx= − +⇒ = −
.
Câu 107: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
2yx x=−+
song song với đường thẳng
?yx=
A.
3.
B.
2.
C.
0.
D.
1.
Lời giải
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 29
Sưu tầm và biên soạn
Giả sử tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
2yx x=−+
tại
00
(; )Mx y
có dạng:
0 00
( )( )y yx x x y
′
= −+
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng
yx=
nên
0
2
0 00
0
1
()1 3 4 1
1
3
x
yx x x
x
=
′
= ⇔− + = ⇔
=
+ Với
00
1, 1xy= = ⇒
phương trình tiếp tuyến là
yx=
+ Với
00
15
,
3 27
xy= = ⇒
phương trình tiếp tuyến là
4
27
yx= −
hay
27 27 4 0.xy
− −=
Vậy có một tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 108: Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số
42
2yx x=−+
song song với trục hoành là
A.
3
. B.
2
. C.
0
. D.
1
.
Lời giải
3
44y xx
′
=−+
.
Gọi
( )
00
;Mx y
là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên có hệ số góc bằng
0
.
Suy ra
(
)
0
0yx
′
=
3
00
440xx⇔− + =
0
0
0
0
1
1
x
x
x
=
⇔=−
=
.
Với
0
0x =
thì
0
0y =
, tiếp tuyến là:
0y =
.
Với
0
1x = −
thì
0
1y =
, tiếp tuyến là
1y =
.
Với
0
1x =
thì
0
1y
=
, tiếp tuyến là
1y =
.
Vậy có một tiếp tuyến song song với trục hoành có phương trình
1y =
.
Câu 109: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
(
)
21
:
2
x
Cy
x
+
=
+
song song với đường thẳng
: 32yx
∆=+
là
A.
32
yx= +
. B.
32
yx= −
.
C.
3 14yx= +
. D.
35yx= +
.
Lời giải
Vì tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
song song với
: 32yx∆=+
nên gọi toạ độ tiếp điểm là
( )
00
;Mx y
ta có
( )
( )
( )
2
0
00
2
0
0
1
3
3 3 21
3
2
x
yx x
x
x
= −
′
=⇔ =⇔+=⇔
= −
+
.
( )
0
1 : 3( 1) 1 3 2x dy x x=−⇒ = + −= +
.
( )
0
3 : 3( 3) 5 3 14x dy x x=−⇒ = + + = +
.
Câu 110: Cho hàm số
32
32
yx x=−+
có đồ thị. Tìm số tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng
d:
9 25.yx
= −
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
0.
Lời giải
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 30
Sưu tầm và biên soạn
Hàm số
32
32yx x
=−+
, có
2
3 6.yx x
′
= −
.
Gọi
( )
00
;Mx y
là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị
( )
C
, khi đó hệ số góc của tiếp tuyến
là
2
00
3 6.
kx x= −
Tiếp tuyến của
( )
C
song song với đường thẳng
9 25yx= −
khi
00
2
00
00
12
3 69
32
xy
xx
xy
=−⇒ =−
−=⇔
=⇒=
+ Với
( )
1; 2M −−
phương trình tiếp tuyến của
( )
C
là
9 7.yx= +
+ Với
( )
3; 2M
phương trình tiếp tuyến của
( )
C
là
9 25.yx= −
Vậy tiếp tuyến của
( )
C
song song với
31
yx= +
là
97
yx= +
, nên ta có 1 tiếp tuyến cần tìm
Câu 111: Tìm điểm
M
có hoành độ âm trên đồ thị
( )
3
12
:
33
Cy x x
= −+
sao cho tiếp tuyến tại
M
vuông
góc với đường thẳng
12
33
yx=−+
.
A.
1;
3
M
4

−


. B.
( )
2;0M −
. C.
2;
3
M
4



. D.
( )
2; 4M −−
.
Lời giải
Tiếp tuyến tại
M
vuông góc với đường thẳng
12
33
yx=−+
nên tiếp tuyến có hệ số góc
3k =
Ta có:
2
'( ) 1yx x= −
Xét phương trình:
22
2
'( ) 3 1 3 4
2
x
yx x x
x
=
= ⇔ −= ⇔ = ⇔
= −
Do
M
có hoành độ âm nên
2x = −
thỏa mãn,
2x =
loại.
Với
2x = −
thay vào phương trình
( )
0Cy⇒=
. Vậy điểm
M
cần tìm là:
( )
2;0M −
Câu 112: Tìm các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
21
1
x
y
x
+
=
−
biết các tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
3yx= −
.
A.
3 11; 3 1yxyx=−+ =−−
. B.
3 6; 3 11yxyx
=−− =−−
.
C.
31yx=−+
. D.
36yx=−+
.
Lời giải
Gọi
∆
là tiếp tuyến cần tìm
Tiếp tuyến
∆
song song với đường thẳng
3yx= −
suy ra hệ số góc của tiếp tuyến
∆
là
3.k = −
Tiếp tuyến
∆
tại điểm
( )
000
;M xy
có phương trình dạng
( )
00
3y xx y=−−+
.
Ta có
( )
2
3
.
1
y
x
−
′
=
−
( )
( )
0
0
2
0
0
2
3
3
0
1
x
yx k
x
x
=
−
′
= ⇔ =−⇔
=
−
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 31
Sưu tầm và biên soạn
+ Với
( )
00 0
2 5 2;5xyM
=⇒=⇒
⇒
Tiếp tuyến
∆
:
( )
3 2 5 3 11
y x yx=− − +⇔ =− +
.
+ Với
( )
00 0
0 1 0; 1xy M= ⇒ =−⇒ −
⇒
Tiếp tuyến
∆
:
( )
3 01 31
y x yx=− − −⇔ =− −
.
Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là
3 11
yx=−+
và
3 1.
yx=−−
Câu 113: Cho đường cong
( )
432
: 321
Cyx x x=−+−
. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đường cong
( )
C
có
hệ số góc bằng
7
?
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Ta có:
32
494
yxxx
′
=−+
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
32
4 9 4 7.xxx− +=
Phương trình có 1 nghiệm nên có 1 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7.
Câu 114: Cho hàm số
42
22yx x m= − +−
có đồ thị
( )
C
. Gọi
S
là tập các giá trị của
m
sao cho đồ thị
( )
C
có đúng một tiếp tuyến song song với trục
Ox
. Tổng các phần tử của
S
là
A.
3
. B.
8
. C.
5
. D.
2
.
Lời giải
Vì tiếp tuyến song song với trục
Ox
nên hệ số góc của tiếp tuyến
0k
.
Gọi tiếp điểm là
00
;Mx y C
, khi đó
00
'3
0 00
00
02
4 40
13
x ym
yx x x
x ym



Đề có đúng một tiếp tuyến song song với trục
Ox
thì
2
30
3; 2
3
20
m
m
mm
m
m



Vậy tổng các giá trị của
m
là 3+2=5.
Câu 115: Cho hàm số
32
32yx x
=−+
có đồ thị
( )
C
. Tìm số tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
song song với
đường thẳng
: 9 25dy x= −
.
A.
1
. B.
3
. C.
0
. D.
2
.
Lời giải
Ta có:
2
36yxx

.
Vì tiếp tuyến của
C
song song với đường thẳng
: 9 25dy x
nên có:
22
1
3 6 9 2 30
3
x
xx xx
x


+ Với
1 ( 1) 2xy 
.
Phương trình tiếp tuyến:
9 1 2 9 11y x yx 
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 32
Sưu tầm và biên soạn
+ Với
3 (3) 2xy
. Phương trình tiếp tuyến:
9 3 2 9 25y x yx 
.
Vậy chỉ có 1 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 116: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
2 3 12 1
yx x x
=−−+
song song với đường thẳng
:12 0d xy+=
có dạng là
y ax b= +
. Tính giá trị của
2ab
+
.
A.
23
−
hoặc
24−
B.
23−
. C.
24−
. D.
0
.
Lời giải
Ta có:
:12 0 : 12d x y dy x
+=⇒ =−
. Hệ số góc của đường thẳng
d
là
12
d
k
= −
.
Do tiếp tuyển của đồ thị hàm số
32
2 3 12 1yx x x=−−+
song song với đường thẳng
d
nên hệ
số góc của tiếp tuyển là
12
tt d
kk
= = −
.
32 2
2 3 12 1 6 6 12yx x x y x x
′
= − − +⇒ = − −
.
Giải sử
00
(; )Mx y
là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến. Khi đó:
0
2
0 00
0
0
(0;1)
( ) 6 6 12 12
1
(1; 12)
x
M
yx x x
x
M
=
′
= − −=−⇔ ⇒
=
−
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
(0;1)M
là:
12( 0) 1 12 1
yx x=− − +=− +
.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
(1; 12)M −
là:
12( 1) 12 12yx x
=− −− =−
.
Vậy
12 1yx=−+
, như vậy
12, 1 2 23a b ab=− =⇒ +=−
.
Câu 117: Đường thẳng
61
y xm= ++
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
31
yx x=+−
khi
m
bằng
A.
4−
hoặc
2−
. B.
4−
hoặc
0
. C.
0
hoặc
2
. D.
2−
hoặc
2
.
Lời giải
Gọi
( )
C
là đồ thị hàm số
3
31yx x
=+−
.
Có
2
33
yx
′
= +
.
2
13
'6 3 36
15
xy
yx
xy
=⇒=
=⇔ +=⇔
=−⇒ =−
Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm
( )
1;3M
là:
63yx= −
.
Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm
( )
1; 5M −−
là:
61yx= +
.
Để đường thẳng
61y xm= ++
là tiếp tuyến của
( )
C
thì
13 4
11 0
mm
mm
+=− =−

⇔

+= =

Câu 118: Tính tổng
S
tất cả giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số
( )
3 2 23
33 2f x x mx mx m m=− + +−
tiếp xúc với trục hoành.
A.
4
3
S =
. B.
1S =
. C.
0S =
. D.
2
3
S =
.
Lời giải
Ta không xét
0m =
vì giá trị này không ảnh hưởng đến tổng
S
.
Với
0m
≠
đồ thị hàm số
( )
fx
tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi:
( )
( )
( )
0
I
0
fx
fx
=
′
=
có nghiệm.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 33
Sưu tầm và biên soạn
(
)
( )
2 2 23
3 2 23
2
2
2 3 20
3 3 20
I
36 30
2
x x mx mx mx m m
x mx mx m m
x mx m
x mx m
− − + +− =
− + +− =

⇔⇔

− +=
−=−
( )
( )
2
2 23 2 2
2 22
2 2 2 2 01
2 20 2 20
20 20 202
xmxm m
mx mx m m x x m m
x mx m x mx m x mx m
− − +=

− + + − = −+ +− =

⇔ ⇔⇔

− += − += − +=


( )
(
)(
)
1
11
m
xm m
xm
=
⇔+ − ⇔
= −
Với
1m =
thay vào
( )
21x⇒=
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với
xm= −
thay vào
( )
2
1
23 0
3
mm m⇒− + = ⇔ =
Vậy
14
1
33
S =+=
Câu 119: Cho hàm số
32
32yx x x=−+
. Có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm
( )
1; 0A −
?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Phương trình đường thẳng qua điểm
( )
1; 0A −
có dạng:
( )
1y a x ax a= += +
( )
d
.
Đường thẳng
(
)
d
là tiếp tuyến khi hệ
32
2
32
3 62
x x x ax a
xx a
− +=+
− +=
có nghiệm. Dễ thấy hệ có ba
nghiệm
( )
;ax
phân biệt nên có ba tiếp tuyến.
Câu 120: Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến kẻ từ
( )
2; 1M −
đến đồ thị hàm số
2
1
4
x
yx= −+
.
A.
23yx
=−+
. B.
1y = −
. C.
3yx= −
. D.
37yx= −
.
Lời giải
Phương trình đường thẳng qua
( )
2; 1M −
có dạng
( )
21 2 1y k x kx k= − −= − −
( )
d
.
( )
d
là tiếp tuyến của parabol
2
1
4
x
yx= −+
khi và chỉ khi
2
21 1
4
1
2
x
kx k x
x
k
− −= − +
= −
có nghiệm
0
0
1
4
4
1
1
2
x
x
k
x
x
x
k
k
=
=
= −

=
⇔⇔
=
= −
=
. Vậy
(
)
:1dy x=−+
hoặc
( )
:3dyx= −
.
Câu 121: Cho hàm số
2
1
x
y
x
−
=
−
có đồ thị
()
C
và điểm
( ;1)Am
. Gọi
S
là tập tất cả các giá trị của
m
để có
đúng một tiếp tuyến của
()C
đi qua
A
. Tính tổng bình phương các phần tử của tập
S
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 34
Sưu tầm và biên soạn
A.
25
4
. B.
5
2
. C.
13
4
. D.
9
4
.
Lời giải
Chọn C
22
1 21
'( )
(1 ) (1 )
xx
fx
xx
−+− −
= =
−−
Phương trình tiếp tuyến của
()
C
tại
00
(; )Mx y
:
0
0
2
00
2
1
()
1 (1 x )
x
y xx
x
−
−
−= −
−−
Tiếp tuyến đi qua
( ;1)
Am
2
0
0 00 0
2
00
2
1
1 (m ) 2 x 6 3 0( 1)(1)
1 (1 x )
x
x xm x
x
−
−
⇒− = − ⇔ − + + = ≠
−−
Để có 1 tiếp tuyến qua
( ;1)
Am
⇒
phương trình
(1)
có 1 nghiệm
0
1x ≠
3
3
0
2
2
0; 2 6 3 0 3
1
;1
2
m
m
m
m
mm
=
∆=
=
⇔ ⇔⇔
∆> − + + =
=
<=
3
1;
2
S

=


. Ta có
2
2
3 13
1
24

+=


Câu 122: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
32yx x=−+
đi qua
(3 ; 2)A
?
A.
3
. B.
0
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
36yx x
′
= −
Phương trình tiếp tuyến
d
với đồ thị hàm số tại
00
;Mx y
có dạng
0 00
y yx x x y

2 32
0 0 00 0
3 6 3 2 (1)y x x xx x x 
đi qua
(3 ; 2)A
nên ta được phương trình
2 32
0 0 00 0
23 6 3 3 2x x xx x 
32 2
0 0 0 00
2 12 18 0 2 ( 3 ) 0x x x xx x 
0
0
0
3
x
x
+)
0
0x
thay vào ta được phương trình tiếp tuyến
1
d
là
2y
.
+)
0
3x
thay vào ta được phương trình tiếp tuyến
2
d
là
9 25yx
.
Vậy có 2 tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua
3;2A
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 35
Sưu tầm và biên soạn
Câu 123: Cho hàm số
2
1
x
y
x
−+
=
−
có đồ thị
()
C
và điểm
( ;1)Aa
. Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị thực
của tham số
a
để có đúng một tiếp tuyến của
()C
đi qua
A
. Tổng tất cả các giá trị các phần tử
của
S
là
A.
1
. B.
3
2
. C.
5
2
. D.
1
2
.
Lời giải
Chọn C
ĐK:
≠ 1x
;
−
=
−
2
1
'
( 1)
y
x
Đường thẳng
d
qua
A
có hệ số góc
k
là
= −+( )1y kx a
d
tiếp xúc với
()C
( )
( )
−+
− +=
−
⇔
−
=
−
2
2
( )1 1
1
1
2
( 1)
x
kx a
x
k
x
có nghiệm.
Thế
( )
2
vào
( )
1
ta có:
− −+
− += ⇔−++ − +=− + − ≠
−
−
22
2
12
( ) 1 2 1 3 2, 1
1
( 1)
x
xa xaxx xxx
x
x
( )
⇔ − ++=
2
2 6 3 03x xa
Để đồ thị hàm số có một tiếp tuyến qua
A
thì hệ là số nghiệm của hệ phương trình trên có
nghiệm duy nhất
⇔
phương trình
( )
3
có nghiệm duy nhất khác
1
∆ = − − =
−++≠
=
⇔ − ++= ⇔ ⇒
∆ = − − >
=
−++=
2
'92 60
3
26 3 0
2 6 3 0 (3)
2
'92 60
1
26 3 0
a
a
a
x xa
a
a
a
Cách 2: TXĐ :
{ }
\1= D
;
(
)
2
1
1
y
x
−
′
=
−
Giả sử tiếp tuyến đi qua
( )
;1Aa
là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
0
xx=
, khi đó phương trình
tiếp tuyến có dạng :
( )
( ) ( )
0
0
2
0
0
2
1
1
1
x
y xx d
x
x
−+
−
= −+
−
−
Vì
Ad
∈
nên thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng
d
ta có :
( )
( )
( )
2
00
0
0
2
0
0
0
2 6 3 01
2
1
1
1
1
1
− ++ =
−+
−
= −+ ⇔
−
≠
−
xx a
x
ax
x
x
x
Để chỉ có một tiếp tuyến duy nhất đi qua
A
thì phương trình
( )
1
có nghiệm duy nhất khác
1
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 36
Sưu tầm và biên soạn
92 60
3
16 3 0
2
92 60
1
26 30
a
a
a
a
a
a
′
∆= − − =
−++≠
=
⇔⇒
′
∆= − − >
=
−++=
.
Câu 124: Cho hàm số
32
3 61yx x x=− ++
có đồ thị. Tiếp tuyến của có hệ số góc nhỏ nhất là bao nhiêu?
A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
3 66
yxx

Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiểm điểm
00
;Mx y
thuộc đồ thị hàm số là
2
22
0 00 00 0
3 6 63 2 1 33 1 33k yx x x x x x

Vậy hệ số góc lớn nhất là
3
đạt được tại
3;19
M
.
Câu 125: Cho hàm số
2
23
x
y
x
có đồ thị
C
. Đường thẳng
d
có phương trình
y ax b
là tiếp
tuyến của
C
, biết
d
cắt trục hoành tại
A
và cắt trục tung tại
B
sao cho tam giác
OAB
cân
tại
O
, với
O
là gốc tọa độ. Tính
ab
.
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
3
.
Lời giải
Chọn D
Tập xác định:
3
\.
2
D








Ta có
2
1
0; .
23
y xD
x

Tam giác
OAB
cân tại
O
, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến bằng
1.
Do
2
1
0; 1.
23
tt
y xD k
x

Gọi tọa độ tiếp điểm là
00 0
;;
xy x D
, ta có:
00
2
0
1
1 2 1.
23
xx
x
  
● Với
00
11xy
phương trình tiếp tuyến
yx
.
● Với
00
20xy
phương trình tiếp tuyến
2yx
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 37
Sưu tầm và biên soạn
Vậy
1
3.
2
a
ab
b



Câu 126: Cho hàm số
21
1
x
y
x
có đồ thị. Có bao nhiêu tiếp tuyến của cắt trục Ox, Oy lần lượt tại tại
hai điểm A và B thỏa mãn điều kiện
4OA OB
.
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Giả sử tiếp tuyến của
C
tại
00
;Mx y
cắt
Ox
tại
A
,
Oy
tại B sao cho
4OA OB
.
Do tam giác
OAB
vuông tại
O
nên
1
tan
4
OB
A
OA

Hệ số góc tiếp tuyến bằng
1
4
hoặc
1
4
.
Hệ số góc tiếp tuyến là
0
2
0
1
0
1
fx
x

0
2
0
0
3
11
1
4
1
x
x
x


.
00
5
3:
2
xy
1 13
:
44
dy x
.
00
3
1:
2
xy

15
:
44
dy x
.
Câu 127: Cho hàm số
( )
2
1
23
x
y
x
+
=
+
. Đường thẳng
:
d y ax b= +
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
1
. Biết
d
cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm
A,B
sao cho
OAB∆
cân tại
O
. Khi đó
ab+
bằng
A.
1−
. B.
0
. C.
2
. D.
3−
.
Lời giải
Tập xác định của hàm số
2
23
x
y
x
+
=
+
là
3
2
D\

= −


.
Ta có:
( )
2
1
0,
23
y xD
x
−
′
= < ∀∈
+
.
Mặt khác,
OAB∆
cân tại
O ⇒
hệ số góc của tiếp tuyến là
1−
.
Gọi tọa độ tiếp điểm
(
)
00
;xy
, với
0
3
2
x ≠−
.
Ta có:
( )
00
2
0
1
1 21
23
y xx
x
−
′
= =−⇔ =−∨ =−
+
.
Với
00
11xy=−⇒ =
. Phương trình tiếp tuyến là:
yx= −
loại vì
ABO≡≡
.
Với
00
20xy=−⇒ =
. Phương trình tiếp tuyến là:
2yx
=−−
thỏa mãn.
Vậy
: : 2 1; 2 3d y ax b hay d y x a b a b= + =−− ⇒ =− =−⇒ + =−
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 38
Sưu tầm và biên soạn
Câu 128: Cho hàm số
( )
32
31f x x x mx=+ ++
. Gọi
S
là tổng tất cả giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm
số
( )
y fx=
cắt đường thẳng
1
y
=
tại ba điểm phân biệt
(
)
0;1
A
,
B
,
C
sao cho các tiếp tuyến
của đồ thị hàm số
( )
y fx
=
tại
B
,
C
vuông góc với nhau. Giá trị của
S
bằng
A.
9
2
. B.
9
5
. C.
9
4
. D.
11
5
.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
(
)
y fx=
và đường thẳng
1y =
là:
32
3 11x x mx+ + +=
32
30x x mx⇔+ + =
2
0
30
x
x xm
=
⇔
+ +=
.
Để hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình
2
30x xm+ +=
phải có hai nghiệm
phân biệt khác
0
2
2
3 4.1. 0
0 3.0 0
m
m
−>
⇔
+ +≠
49
0
m
m
− >−
⇔
≠
9
4
0
m
m
<
⇔
≠
.
Với điều kiện trên, hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt
( )
0;1A
,
( )
;
BB
Bx y
,
( )
;
CC
Cx y
, ở
đó
B
x
,
C
x
là nghiệm của phương trình
2
30x xm+ +=
.
Ta có:
( )
2
36fx x xm
′
= ++
.
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số
( )
y fx=
tại
B
,
C
lần lượt là
(
)
2
36
B B BB
k fx x x m
′
= =++
;
(
)
2
36
C C CC
k fx x x m
′
= =++
.
Để hai tiếp tuyến này vuông góc thì
.1
BC
kk
= −
.
Suy ra:
(
)( )
22
36 36 1
BB CC
x xmx xm+ + + +=−
(
)
2
2 22 2 2
9 18 3 18 36 6 3 6 1
BC BC B BC BC B C C
x x x x mx x x x x mx mx mx m⇔ ++++++++=−
( )
( )
( )
(
)
2
22 2
9 18 3 36 6 1 0
BC BC B C B C BC B C
xx xx x x mx x xx mx x m⇔ + ++ ++ + +++=
.
Ta lại có theo Vi-et:
3
BC
BC
xx
xx m
+=−
=
. Từ đó
( )
2
22
2
BC BC BC
xx xx xx+= + −
92m
= −
.
Suy ra:
( ) ( ) ( )
22
9 18 3 3 9 2 36 6 3 1 0m m m m mm m+ −+ − + + −+ +=
2
4 9 10mm⇔ − +=
9 65
8
9 65
8
m
m
+
=
⇔
−
=
.
Vậy
9 65 9 65
88
S
+−
= +
9
4
=
.
Câu 129: Cho hàm số
( )
1
1
x
yC
x
+
=
−
. Điểm
M
thuộc
( )
C
có hoành độ lớn hơn
1
, tiếp tuyến của
( )
C
tại
M
cắt hai tiệm cận của
( )
C
lần lượt tại
,AB
. Diện tích nhỏ nhất của tam giác
OAB
bằng.
A.
4 22+
. B.
4
. C.
42
. D.
42+
.
Lời giải
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 39
Sưu tầm và biên soạn
(
)
( )
2
12
'1
1
1
x
yy x
x
x
+−
= ⇒= ≠
−
−
.
Giả sử
( )
1
;
1
a
Ma C
a
+

∈

−

( )
1
a >
⇒
phương trình tiếp tuyến tại
(
)
(
)
2
21
:
1
1
a
My x a
a
a
−+
= −+
−
−
( )
(
)
(
)
2
2
2 1 210xa ya a⇔ + − − + −= ∆
.
Hai đường tiệm cận của
( )
C
là
1; 1xy
= =
.
Ta có
( )
(
)
1
x
∆∩ =
tại
3
1;
1
a
A
a
+


−

,
( ) ( )
1y∆∩ =
tại
( )
2 1;1Ba−
.
( ) ( ) ( )
2
2 44
42 2
22 14 14
11 1
AB a a a
aa a
−

= − + = −+= −+

−− −

.
( )
( )
( )
2
4
21
,
41
aa
dO
a
+−
∆=
+−
.
Vậy
(
)
( )
( ) ( )
2
2
2
4
4
21
1 4 12
12 21
. 1 4.
21 1 1
41
OAB
aa
aa
aa
Sa
a aa
a
∆
+−
− + −+
+−
= −+ = =
− −−
+−
( )
22
1 442 1. 422
11
aa
aa
=−+ +≥+ − =+
−−
.
Câu 130: Cho hàm số
32
31yx x=++
có đồ thị
( )
C
và điểm
( )
1;Am
. Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị
nguyên của tham số
m
để qua
A
có thể kể được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị
( )
C
. Số phần tử
của
S
là
A.
9
. B.
7
. C.
3
. D.
5
Lời giải
Gọi
k
là hệ số góc của đường thẳng
d
qua
A
.
Ta có phương trình của
d
có dạng:
y kx m k= +−
.
d
tiếp xúc
( )
C
⇔
hệ sau có nghiệm:
( )
3
32
2
2
2 6 1*
31
36
36
m xx
kx m k x x
kx x
kx x
=− ++
+ −= + +

⇔

= +
= +
Để qua
A
có thể được đúng 3 tiếp tuyến tới
( )
C
thì phương trình phải có 3 nghiệm phân biệt
⇔
C
CT Đ
y my<<
với
( )
3
2 61fx x x=− ++
.
Ta có
(
) ( )
2
6 6; 0 1fx x fx x
′′
=− + =⇔=±
.
( ) ( )
15 ; 1 3
CCĐ T
f ff f= = − =−=
.
Suy ra
35m−< <
.
Vậy số phần tử của
S
là
7
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 40
Sưu tầm và biên soạn
Câu 131: Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( ).C
Gọi
d
là tiếp tuyến của
()C
tại điểm có tung độ bằng
3
.
Tìm hệ số góc
k
của đường thẳng
.d
A.
1
2
−
. B.
2−
C.
2
. D.
1
2
.
Lời giải
Tập xác định:
{ }
\1
D =
Với
3y =
, ta có:
1
333 1 2
1
x
xx x
x
+
=⇒ −= +⇔ =
−
.
Ta có:
(
)
2
2
1
y
x
′
= −
−
.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng
2
là:
( )
( )
2
2
22
21
ky
′
==−=−
−
.
Câu 132: Cho hàm số
1
1
y
x
=
−
có đồ thị
( )
C
. Gọi
∆
là tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm
( )
2;1M
. Diện tích
tam giác được tạo bởi
∆
và các trục bằng
A.
3
. B.
3
2
. C.
9
. D.
9
2
.
Lời giải
(
)
2
1
'
1
y
x
−
=
−
. Theo đề
( )
00 0
2; 1; ' 1x y yx= = = −
.
Suy ra pttt
∆
là:
3
yx=−+
.
Tiếp tuyến
∆
cắt các trục
,Ox Oy
lần lượt tại
( ) ( )
3; 0 , 0; 3AB
. Do đó diện tích tam giác được
tạo bởi
∆
và các trục tọa độ bằng:
19
..
22
S OA OB
= =
.
DẠNG 4. BÀI TOÁN QUẢNG ĐƯỜNG, VẬN TỐC
Câu 133: Cho chuyển động được xác định bởi phương trình
32
26
s t tt=+−
, trong đó
t
được tính bằng
giây và
s
được tính bằng mét. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm
3ts=
là:
A.
89 / .
ms
B.
105 / .ms
C.
48 / .ms
D.
20 / .
ms
Lời giải
Ta có
2
() '() 6 12 1
vt S t t t= =+−
.
Vận tốc tức thời của chuyển động khi
3ts=
là:
( ) (
)
2
3 6.3 12.3 1 89 /v ms= + −=
.
Câu 134: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là
( )
32
1
2 31
3
St t t t= − +−
(
t
được
tính bằng giây,
s
tính bằng mét). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm
4t =
là
A.
( )
6/ms
. B.
( )
4/ms
. C.
( )
5/ms
. D.
( )
3/ms
.
Lời giải
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 41
Sưu tầm và biên soạn
Ta có:
( ) ( )
2
43vt S t t t
′
= =−+
;
( )
43S
′
=
.
Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm
4t =
là:
( )
3/ms
.
Câu 135: Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình
(
)
32
3 5 10st t t t=− ++
,
trong đó
0t >
với
t
tính bằng giây và
s
tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm vận tốc của vật đạt giá
trị nhỏ nhất thì quãng đường vật đi được bằng bao nhiêu?
A.
13 m
. B.
3m
. C.
16 m
. D.
10 m
.
Lời giải
Vận tốc của chuyển động là :
( )
2
3 65vt t t
= −+
.
Dễ thấy:
(
)
( )
2
2
3 6 53 1 22vt t t t= − += − +≥
với mọi
t
. Dấu “=” xảy ra khi
1
t =
.
Khi đó, vận tốc của chuyển động là
(
)
1 13s =
m
.
Câu 136: Một vật chuyển động theo quy luật
( )
23
425
st t t=−+
, với
t
là khoảng thời gian tính từ lúc vật
bắt đầu chuyển động và
s
là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Biết tại thời điểm
m
thì vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là
(
)
/
nm s
. Giá trị
T mn=
bằng
A.
4
.
3
B.
16
.
9
C.
2
.
3
D.
8
.
9
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
23 2
4 2 5 6 8 6, 8st t t vt s t t t a b
′
= − +⇒ = =− + =− =
.
Vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi
(
)
max
2 28
.
23 33
b
t sv v
a

=−= ⇒ = =


Vậy
2 8 16
..
33 9
T mn= = =
Câu 137: Một chất điểm chuyển động theo quy luật
23
6
S tt= −
, vận tốc
( )
m/sv
của chuyển động đạt giá
trị lớn nhất tại thời điểm
( )
st
bằng
A.
( )
4s
. B.
( )
12 s
. C.
(
)
6s
. D.
( )
2s
.
Lời giải
Ta có:
( )
23
6St t t= −
( ) ( )
2
12 3vt S t t t
′
⇒= =−
( )
12 6vt t
′
⇒=−
.
( )
0 12 6 0 2vt t t
′
= ⇔ − = ⇔=
.
( )
2
0
0 12 3 0
4
t
vt t t
t
=
=⇔−=⇔
=
.
Bảng biến thiên:
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 42
Sưu tầm và biên soạn
Vậy: vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm
( )
2st =
.
Câu 138: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường đi được của đoàn tàu
là một hàm số của thời gian
t
được cho bởi phương trình
( )
23
10 9st t t t= ++ −
trong đó
s
tính
bằng mét,
t
tính bằng giây. Trong 5 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, đoàn tàu đạt vận tốc lớn
nhất bằng bao nhiêu?
A.
1/ms
. B.
28 /ms
. C.
16 /ms
. D.
3/ms
.
Lời giải
( ) ( )
2
3 18 1vt s t t t
′
= =−+ +
.
Dễ thấy hàm số
( )
vt
là hàm bậc hai có đồ thị dạng parabol với hệ số
30
a =−<
.
Ta có hoành độ đỉnh của parabol là
[ ]
3 0;5t = ∈
. Do đó
( )
max
3 28vv= =
.
Vậy giá trị lớn nhất của vận tốc đoàn tàu chuyển động trong 5 giây đầu là
28 /ms
.
Câu 139: Một vật chuyển động trong
1
giờ với vận tốc v phụ thuộc vào thời gian t có đồ thị vận tốc như
hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của
đường parabol có đỉnh
1
( ;8)
2
I
và trục đối xứng song song với trục tung. Tính gia tốc của vật lúc
( )
0, 25th=
A.
( )
2
16 /km h
. B.
( )
2
16 /km h−
. C.
( )
2
8/km h
. D.
( )
2
8/km h−
.
Lời giải
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 43
Sưu tầm và biên soạn
Gọi
( )
2
..v t pt qt r= ++
đi qua
( )
0;0 ;O
1
( ;8)
2
I
và
( )
1; 0M
ta có hệ phương trình
0
0
11
8 32
42
32
0
r
r
p qr q
p
pqr
=
=

+ +=⇔ =


= −
++=
. Vậy
( )
2
32 32.vt t t=−+
Gia tốc vật là
( )
' 64 32a vt t= =−+
Lúc
(
)
0, 25th
=
thì gia tốc là
( )
2
16 /
a km h=
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 29
Sưu tầm và biên soạn
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
DẠNG 5. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ
Câu 140: Tính đạo hàm của hàm số
3
x
y =
A.
3
x
y
′
=
. B.
3
ln 3
x
y
′
=
. C.
3 ln 3
x
y
′
=
. D.
1
.3
x
yx
−
′
=
.
Câu 141: Đạo hàm của hàm số
5
x
y =
là
A.
5 ln 5
x
y
′
= −
. B.
5 ln 5
x
y
′
=
. C.
5
ln 5
x
y
′
=
. D.
5
ln 5
x
y
′
= −
.
Câu 142: Tính đạo hàm của hàm số
2
x
y
=
.
A.
1
.2
x
yx
−
′
=
. B.
2 ln 2
x
y
′
=
. C.
2
x
y
′
=
. D.
2 ln
x
yx
′
=
.
Câu 143: Đạo hàm của hàm số
6
x
y =
là
A.
6
ln 6
x
y
′
=
. B.
6 ln 6
x
y
′
=
. C.
6
x
y
′
=
. D.
1
6
x
yx
−
′
=
.
Câu 144: Tìm đạo hàm của hàm số
=
x
y
π
.
A.
1
' ln
−
=
x
yx
ππ
. B.
' ln=
x
y
ππ
. C.
'
ln
=
x
y
π
π
. D.
1
'
−
=
x
yx
π
.
Câu 145: Tìm đạo hàm của hàm số
2022
x
y =
A.
1
.2022
x
yx
−
′
=
. B.
2022
ln 2022
x
y
′
=
. C.
2022 .ln 2022
x
y
′
=
. D.
2022
x
.
Câu 146: Đạo hàm của hàm số
( )
23
x
y = −
trên tập
là:
A.
( ) ( )
2 3 ln 2 3
x
y
−
′
=+−
. B.
(
)
( )
23ln23
x
y
−
′
=++
.
C.
( ) ( )
2 3 ln 2 3
x
y
′
=+−
. D.
( )
( )
2 3 ln 2 3
x
y
′
=−+
.
Câu 147: Trên tập số thực
, đạo hàm của hàm số
2
3
xx
y
−
=
là:
A.
( )
2
2 1 .3
xx
yx
−
′
= −
. B.
( )
2
2 1 .3 .ln 3
xx
yx
−
′
= −
.
C.
( )
2
21
.3
xx
y xx
++
′
= −
. D.
2
1
3
xx
y
−−
′
=
CHƯƠNG
VII
ĐẠO HÀM
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
III
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 30
Sưu tầm và biên soạn
Câu 148: Đạo hàm của hàm số
2
2022
x
y
là
A.
2
2022
ln 2022
x
y
−
′
=
. B.
2
2022 ln 2022
x
y
−
′
= −
.
C.
2
2022 ln 2022
x
y
−
′
=
. D.
2
.2022
x
yx
−
′
=
.
Câu 149: Hàm số
( )
34
2
x
fx
+
=
có đạo hàm là
A.
(
)
34
3.2
ln 2
x
fx
+
′
=
. B.
(
)
34
3.2 .ln 2
x
fx
+
′
=
.
C.
( )
34
2 .ln 2
x
fx
+
′
=
. D.
( )
34
2
ln 2
x
fx
+
′
=
.
Câu 150: Hàm số
2
2
x
y =
có đạo hàm là
A.
2
' 2 ln 2.
x
y =
B.
21
' 2 ln 2.
x
y
+
=
C.
21
'2 .
x
y
−
=
D.
21
' 2 .2 .
x
yx
−
=
Câu 151: Tính đạo hàm của hàm số:
21
9
x
y
+
=
.
A.
21
2.9 .ln9
x
y
+
′
=
. B.
( )
21
2 1 .9
x
yx
+
′
= +
.
C.
21
9 .ln 9
x
y
+
′
=
. D.
( )
21
2 1 .9 .ln 9
x
yx
+
′
= +
.
Câu 152: Đạo hàm của hàm số
2
2=
x
y
bằng.
A.
2
2 ln 2
′
=
x
y
. B.
21
2
ln 2
+
′
=
x
y
. C.
4 ln 4
′
=
x
y
. D.
2
2
ln 2
′
=
x
y
.
Câu 153: Đạo hàm của hàm số
2
x
ye
−
=
là
A.
2
.
x
ye
−
′
=
B.
2
2.
x
ye
−
′
=
C.
2
.
x
ye
−
′
= −
D.
( )
2
2.
x
y xe
−
′
= −
Câu 154: Tính đạo hàm của hàm số
(
)
23
x
fx e
−
=
.
A.
( )
23
2.
x
fx e
−
′
=
. B.
( )
23x
fx e
−
′
=
. C.
( )
23
2.
x
fx e
−
′
= −
. D.
(
)
3
2.
x
fx e
−
′
=
.
Câu 155: Đạo hàm của hàm số
2
10
x
y =
là
A.
2
10 .ln10
x
B.
2
2 .10
x
x
C.
2
2 .10 .ln10
x
x
D.
2
1
log
2
a+
Câu 156: Đạo hàm của hàm số
21
3
x
y
−
=
là
A.
21
2.3
x−
. B.
21
3 .ln 3
x−
. C.
21
2.3 .ln 2
x
−
. D.
21
2.3 .ln3
x
−
.
Câu 157: Tính đạo hàm của hàm số
35
2021
x
y
−
=
.
A.
35
2021 .ln 2021
x
y
−
′
=
. B.
35
5.2021 .ln 2021
x
y
−
′
= −
.
C.
35
2021
x
y
−
′
=
. D.
35
5.2021 .log 2021
x
y
−
′
= −
.
Câu 158: Đạo hàm của hàm số
2
2xx
y
+
=
π
là
A.
( )
2
2
2 2.
xx
yx
+
′
= +
π
. B.
( )
2
2
2 2.
ln
xx
yx
+
′
= +
π
π
.
C.
( )
2
2
2 2 . .ln
xx
yx
+
′
= +
ππ
. D.
(
)
2
2
22
.ln
xx
x
y
+
+
′
=
ππ
.
Câu 159: Hàm số
2
2
xx
y
−
=
có đạo hàm là
A.
2
2 .ln 2
xx
−
. B.
2
(2 1).2 .ln 2
xx
x
−
−
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 31
Sưu tầm và biên soạn
C.
2
21
( ).2
xx
xx
−−
−
. D.
2
(2 1).2
xx
x
−
−
.
Câu 160: Hàm số
2
3
xx
y
−
=
có đạo hàm là
A.
( )
2
2 1 .3
xx
x
−
−
. B.
( )
2
21
.3
xx
xx
−−
−
. C.
( )
2
2 1 .3 .ln 3
xx
x
−
−
. D.
2
3 .ln 3
xx
−
.
Câu 161: Tính đạo hàm của hàm số
13
x
y =
A.
13
ln13
x
y
′
=
B.
1
.13
x
yx
−
′
=
C.
13 ln13
x
y
′
=
D.
13
x
y
′
=
Câu 162: Tính đạo hàm của hàm số
1
4
x
x
y
+
=
A.
( )
2
1 2 1 ln 2
'
2
x
x
y
−+
=
B.
( )
2
1 2 1 ln 2
'
2
x
x
y
++
=
C.
( )
2
1 2 1 ln 2
'
2
x
x
y
−+
=
D.
( )
2
1 2 1 ln 2
'
2
x
x
y
++
=
Câu 163: Hàm số
2
3
2
xx
y
−
=
có đạo hàm là
A.
( )
2
3
2 3 2 ln 2
xx
x
−
−
. B.
2
3
2 ln 2
xx−
. C.
( )
2
3
2 32
xx
x
−
−
. D.
( )
2
2 31
32
xx
xx
−+
−
.
Câu 164: Hàm số
2
3
3
xx
y
−
=
có đạo hàm là
A.
( )
2
3
2 3 .3
xx
x
−
−
. B.
2
3
3 .ln 3
xx−
. C.
( )
2
2 31
3 .3
xx
xx
−−
−
. D.
( )
2
3
2 3 .3 .ln 3
xx
x
−
−
.
Câu 165: Đạo hàm của hàm số
3x
ye
là
A.
3x
ye
′
=
. B.
3
.ln 3
x
ye
′
=
. C.
3
3
x
ye
′
=
. D.
3
3
x
e
y
′
=
.
Câu 166: Đạo hàm của hàm số
3
2
3
x
y
+
=
là
A.
3
22
3 .3
x
yx
+
=
. B.
3
23
.3 .ln 3
x
yx
+
=
.
C.
( )
3
23 1
3 . 2 .3
x
y xx
+
= +
. D.
3
2
3 .ln 3
x
y
+
=
.
Câu 167: Hàm số
( )
2
21
5
x
fx
−
=
có đạo hàm là
A.
2
21
2 .5 .ln 5
x
x
−
. B.
2
21
4 .5
x
x
−
. C.
2
21
4 .5 .ln 5
x
x
−
. D.
2
21
5
x −
.
Câu 168: Tính đạo hàm của hàm số
23
2
+
=
x
y
.
A.
22
2 ln 4
+
′
=
x
y
. B.
2
4 ln 4
+
′
=
x
y
. C.
22
2 ln16
+
′
=
x
y
. D.
23
2 ln 2
+
′
=
x
y
.
Câu 169: Cho hàm số
2
1
2
x mx
y
−+
=
. Với giá trị nào của tham số
m
thì
( )
0 ln 2y
′
=
?
A.
1
2
−
. B.
1
2
. C.
2
. D.
2−
.
DẠNG 6. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LOGARIT
Câu 170: Trên khoảng
( )
0; +∞
, đạo hàm của hàm số
2
logyx=
là
A.
1
ln 2
y
x
′
=
. B.
ln 2
y
x
′
=
. C.
1
y
x
′
=
. D.
1
2
y
x
′
=
.
Câu 171: Trên khoảng
( )
0; +∞
, đạo hàm của hàm số
3
logyx=
là
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 32
Sưu tầm và biên soạn
A.
3
'
ln 3
y
x
=
. B.
1
'
2 ln 3
y
x
=
. C.
1
'
ln 3
y
x
=
. D.
3
'y
x
=
.
Câu 172: Trên khoảng
(
)
0; +∞
, hàm số
3
log
yx=
có đạo hàm là:
A.
'
ln 3
x
y =
. B.
ln 3yx
′
=
. C.
1
ln 3
y
x
′
=
. D.
ln 3
y
x
′
=
.
Câu 173: Tìm đạo hàm của hàm số
log
yx=
.
A.
ln10
y
x
′
=
B.
1
ln10
y
x
′
=
C.
1
10ln
y
x
′
=
D.
1
y
x
′
=
Câu 174: Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
log 2 1yx= +
?
A.
( )
1
'
2 1 ln 2
y
x
=
+
. B.
( )
2
'
2 1 ln 2
y
x
=
+
. C.
2
'
21
y
x
=
+
. D.
1
'
21
y
x
=
+
.
Câu 175: Hàm số
( )
ln 2 1yx= +
có đạo hàm là
A.
( )
2
ln 2 1
y
xx
′
=
+
. B.
1
21
y
x
′
=
+
. C.
2
21
y
x
′
=
+
. D.
( )
1
2 1 ln 2
y
x
′
=
+
.
Câu 176: Đạo hàm của hàm số
( )
2
log 2 1= +
yx
là
A.
( )
1
'
2 1 ln 2
y
x
=
+
. B.
1
'
21
y
x
=
+
. C.
2
21x
+
. D.
( )
2
2 1 ln 2x +
.
Câu 177: Tính đạo hàm của hàm số
(
)
2
log 3yx=
A.
1
'.
ln 4
y
x
=
B.
3
'.
ln 2
y
x
=
C.
1
'.
ln 2
y
x
=
D.
3
'.
ln 4
y
x
=
Câu 178: Đạo hàm của hàm số
( )
2
ln 1yx= −
là
A.
2
2
1
x
x −
. B.
2
2
1
x
x
−
−
. C.
2
1
1 x−
. D.
2
1
1x
−
.
Câu 179: Đạo hàm cùa hàm số
4
log (2 5)yx= +
là
A.
1
(2 5)ln 4
y
x
′
=
+
. B.
1
(2 5)ln 2
y
x
′
=
+
. C.
2ln 4
(2 5)
y
x
′
=
+
. D.
( )
2
2 5 ln5
y
x
′
=
+
.
Câu 180: Trên khoảng
1
;
2

+∞


, đạo hàm của hàm số
( )
log 2 1yx= −
là
A.
( )
1
2 1 ln10
y
x
′
=
−
. B.
( )
2
2 1 ln10
y
x
′
=
−
.
C.
2
21
y
x
′
=
−
. D.
1
21
y
x
′
=
−
.
Câu 181: Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
log 2 1yx= +
.
A.
( )
2
2 1 ln 2
y
x
′
=
+
B.
( )
1
2 1 ln 2
y
x
′
=
+
C.
2
21
y
x
′
=
+
D.
1
21
y
x
′
=
+
Câu 182: Hàm số
( )
( )
2
2
log 2xfx x= −
có đạo hàm
A.
( )
2
ln 2
'
2x
fx
x
=
−
B.
(
)
(
)
2
1
'
2x ln 2
fx
x
=
−
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 33
Sưu tầm và biên soạn
C.
( )
( )
2
2x 2 ln 2
'
2x
fx
x
−
=
−
D.
( )
(
)
2
2x 2
'
2x ln 2
fx
x
−
=
−
Câu 183: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
( )
2
log 2 1y x xm= − −+
có tập xác định là
.
A.
2m ≤
B.
2m >
C.
0m ≥
D.
0m <
Câu 184: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
(
)
2
ln 2 1y x xm
= − ++
có tập xác định là
.
A.
03m<<
B.
1m <−
hoặc
0m >
C.
0m >
D.
0m =
Câu 185: Đạo hàm của hàm số
( )
2
4
log 2 3yx= −
là
A.
( )
2
4
2 3 ln 2
x
y
x
′
=
−
. B.
2
4
23
x
y
x
′
=
−
. C.
( )
2
1
2 3 ln 4
y
x
′
=
−
. D.
( )
2
2
2 3 ln 2
x
y
x
′
=
−
.
Câu 186: Đạo hàm của hàm số
ln x
y
x
=
là
A.
4y = −
. B.
2
1 ln x
y
x
+
′
=
. C.
3
1
y
x
′
= −
. D.
2
1 ln x
y
x
−
′
=
.
Câu 187: Cho hàm số
( )
ln 2021 ln
1
x
fx
x

= +

+

. Tính giá trị biểu thức
( )
(
)
( )
' 1 ' 2 ... ' 2020
Sf f f= + ++
, tổng gồm
2020
số hạng.
A.
2021
2020
. B.
2020
2021
. C.
2021
2022
. D.
2022
2021
.
Câu 188: Đạo hàm của hàm số
ln
1
x
y
x
=
+
A.
(
)
1
1xx
−
+
. B.
1
x
x +
. C.
1
x
x
+
. D.
( )
1
1xx+
.
Câu 189: Cho hàm số
( ) ( )
lnf x cosx=
. Giá trị của
4
f
π

′
−


là.
A.
0
. B.
1−
. C.
1
. D.
2
.
Câu 190: Đạo hàm của hàm số
( )
2
22
x
yx x e= −+
là
A.
( )
22
x
y xe
′
= −
. B.
2 x
y xe
′
=
. C.
( )
2
2
x
yx e
′
= +
. D.
2
x
y xe
′
= −
.
Câu 191: Cho hàm số
2
ln( 1 ).y cos x m= ++
Với giá trị nào của
m
thì
1
'.
25
y
π
−

=


A.
2m = ±
. B.
2m =
. C.
1
2
m =
. D.
1m = ±
.
Câu 192: Cho hàm số
(
)
2
1
ln 1
fx
x

= −


. Biết rằng
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 ... 2019 2020
a
ff f f
b
′′ ′ ′
+ ++ + =
với
,ab
là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Giá trị của
2ab
bằng
A.
2
. B.
4
. C.
2−
. D.
4−
.
Câu 193: Cho hàm số
( )
ln 2018 ln
1
x
fx
x

= +

+

. Tính
( ) ( ) ( ) ( )
' 1 ' 2 ' 3 ' 2017 .Sf f f f= + + ++
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 34
Sưu tầm và biên soạn
A.
4035
2018
S =
B.
2017
2018
S =
C.
2016
2017
S =
D.
2017
S =
Câu 194: Cho hàm số
( )
2018
ln
1
x
fx
x
=
+
. Tính tổng
( ) ( ) ( )
1 2 ... 2018Sf f f
′′ ′
= + ++
.
A.
ln 2018
. B.
1
. C.
2018
. D.
2018
2019
.
Câu 195: Cho hàm số
( )
ln .
2
x
fx
x

=

+

Tổng
( ) ( ) ( ) (
)
'' ' '
1 3 5 ... 2021ff f f+ + ++
bằng
A.
4035
.
2021
. B.
2021
2022
. C.
2021.
. D.
2022
.
2023
Câu 196: Cho hàm số
( )
1
ln
4
x
fx
x
+
=
+
. Tính giá trị của biểu thức
(
) (
) ( ) ( )
0 3 6 ... 2019Pf f f f
′′′ ′
= + + ++
.
A.
1
4
. B.
2024
2023
. C.
2022
2023
. D.
2020
2023
.
Câu 197: Cho hàm số
( ) ( )
21 3
x
y fx m e= =−+
. Giá trị của
m
để
( )
5
' ln 3
3
f −=
là
A.
7
9
m =
. B.
2
9
m =
. C.
3m =
. D.
3
2
m = −
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 1
Sưu tầm và biên soạn
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
DẠNG 5. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ
Câu 140: Tính đạo hàm của hàm số
3
x
y =
A.
3
x
y
′
=
. B.
3
ln 3
x
y
′
=
. C.
3 ln 3
x
y
′
=
. D.
1
.3
x
yx
−
′
=
.
Lời giải
Áp dụng công thức
( )
.ln
xx
a aa
′
=
.
Câu 141: Đạo hàm của hàm số
5
x
y
=
là
A.
5 ln 5
x
y
′
= −
. B.
5 ln 5
x
y
′
=
. C.
5
ln 5
x
y
′
=
. D.
5
ln 5
x
y
′
= −
.
Lời giải
Ta có
5 ln 5
x
y
′
=
.
Câu 142: Tính đạo hàm của hàm số
2
x
y =
.
A.
1
.2
x
yx
−
′
=
. B.
2 ln 2
x
y
′
=
. C.
2
x
y
′
=
. D.
2 ln
x
yx
′
=
.
Lời giải
Ta có
2 ln 2
x
y
′
=
Câu 143: Đạo hàm của hàm số
6
x
y =
là
A.
6
ln 6
x
y
′
=
. B.
6 ln 6
x
y
′
=
. C.
6
x
y
′
=
. D.
1
6
x
yx
−
′
=
.
Lời giải
Có
6 6 ln 6.
xx
yy
′
= ⇒=
Câu 144: Tìm đạo hàm của hàm số
=
x
y
π
.
A.
1
' ln
−
=
x
yx
ππ
. B.
' ln=
x
y
ππ
. C.
'
ln
=
x
y
π
π
. D.
1
'
−
=
x
yx
π
.
Lời giải
CHƯƠNG
VII
ĐẠO HÀM
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
III
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 2
Sưu tầm và biên soạn
Áp dụng
( )
( )
' .ln 0, 1= >≠
xx
a a aa a
.
Câu 145: Tìm đạo hàm của hàm số
2022
x
y =
A.
1
.2022
x
yx
−
′
=
. B.
2022
ln 2022
x
y
′
=
. C.
2022 .ln 2022
x
y
′
=
. D.
2022
x
.
Lời giải
Câu 146: Đạo hàm của hàm số
(
)
23
x
y
= −
trên tập
là:
A.
( ) ( )
2 3 ln 2 3
x
y
−
′
=+−
. B.
( ) ( )
23ln23
x
y
−
′
=++
.
C.
(
)
( )
2 3 ln 2 3
x
y
′
=+−
. D.
( )
( )
2 3 ln 2 3
x
y
′
=−+
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1
23ln23 ln23 23ln23
23
xx
x
y
−
′
=− −= −=+ −
+
.
Câu 147: Trên tập số thực
, đạo hàm của hàm số
2
3
xx
y
−
=
là:
A.
( )
2
2 1 .3
xx
yx
−
′
= −
. B.
( )
2
2 1 .3 .ln 3
xx
yx
−
′
= −
.
C.
( )
2
21
.3
xx
y xx
++
′
= −
. D.
2
1
3
xx
y
−−
′
=
Lời giải
Ta có
( )
( )
2 22
2
3 .3 .ln 3 2 1 .3 .ln 3
xx xx xx
y y xx x
− −−
′
′
= ⇒= − = −
.
Câu 148: Đạo hàm của hàm số
2
2022
x
y
là
A.
2
2022
ln 2022
x
y
−
′
=
. B.
2
2022 ln 2022
x
y
−
′
= −
.
C.
2
2022 ln 2022
x
y
−
′
=
. D.
2
.2022
x
yx
−
′
=
.
Lời giải
Ta có
22
2 2022 .ln 2022 2022 .ln 2022
xx
yx


.
Câu 149: Hàm số
( )
34
2
x
fx
+
=
có đạo hàm là
A.
( )
34
3.2
ln 2
x
fx
+
′
=
. B.
( )
34
3.2 .ln 2
x
fx
+
′
=
.
C.
( )
34
2 .ln 2
x
fx
+
′
=
. D.
( )
34
2
ln 2
x
fx
+
′
=
.
Lời giải
Công thức
( )
34
3.2 .ln 2
x
fx
+
′
=
.
Câu 150: Hàm số
2
2
x
y =
có đạo hàm là
A.
2
' 2 ln 2.
x
y =
B.
21
' 2 ln 2.
x
y
+
=
C.
21
'2 .
x
y
−
=
D.
21
' 2 .2 .
x
yx
−
=
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 3
Sưu tầm và biên soạn
Lời giải
(
)
(
)
2 2 21
' 2 ' 2 '.2 ln 2 2 ln 2.
x xx
yx
+
= = =
Câu 151: Tính đạo hàm của hàm số:
21
9
x
y
+
=
.
A.
21
2.9 .ln9
x
y
+
′
=
. B.
( )
21
2 1 .9
x
yx
+
′
= +
.
C.
21
9 .ln 9
x
y
+
′
=
. D.
( )
21
2 1 .9 .ln 9
x
yx
+
′
= +
.
Lời giải
Áp dụng công thức tính đạo hàm
(
)
. ln
uu
a ua a
′
′
=
.
Ta có:
( )
( )
21 21 21
9 2 1 .9 ln 9 2.9 ln 9
x xx
x
+ ++
′
′
=+=
.
Câu 152: Đạo hàm của hàm số
2
2=
x
y
bằng.
A.
2
2 ln 2
′
=
x
y
. B.
21
2
ln 2
+
′
=
x
y
. C.
4 ln 4
′
=
x
y
. D.
2
2
ln 2
′
=
x
y
.
Lời giải
Ta có:
( ) . .ln
′′
=
uu
a ua a
.
Nên
2 22
(2 ) (2 ) .2 .ln 2 2.2 .ln 2 4 .2.ln 2 4 .ln 4
′′
= = = =
x x xx x
x
.
Câu 153: Đạo hàm của hàm số
2 x
ye
−
=
là
A.
2
.
x
ye
−
′
=
B.
2
2.
x
ye
−
′
=
C.
2
.
x
ye
−
′
= −
D.
( )
2
2.
x
y xe
−
′
= −
Lời giải
2
.
x
ye
−
′
= −
Câu 154: Tính đạo hàm của hàm số
( )
23
x
fx e
−
=
.
A.
(
)
23
2.
x
fx e
−
′
=
. B.
( )
23x
fx e
−
′
=
. C.
( )
23
2.
x
fx e
−
′
= −
. D.
( )
3
2.
x
fx e
−
′
=
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )
23 23
' 2 3 ' 2.
xx
fx x e e
−−
=−=
.
Câu 155: Đạo hàm của hàm số
2
10
x
y =
là
A.
2
10 .ln10
x
B.
2
2 .10
x
x
C.
2
2 .10 .ln10
x
x
D.
2
1
log
2
a+
Lời giải
Ta có
( )
22
2
10 .ln10. 2 .10 .ln10
xx
y xx
′
′
= =
.
Câu 156: Đạo hàm của hàm số
21
3
x
y
−
=
là
A.
21
2.3
x−
. B.
21
3 .ln3
x−
. C.
21
2.3 .ln 2
x−
. D.
21
2.3 .ln3
x
−
.
Lời giải
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 4
Sưu tầm và biên soạn
( )
21
3
x
y
−
′
′
=
21
2.3 .ln3.
x−
=
Câu 157: Tính đạo hàm của hàm số
35
2021
x
y
−
=
.
A.
35
2021 .ln 2021
x
y
−
′
=
. B.
35
5.2021 .ln 2021
x
y
−
′
= −
.
C.
35
2021
x
y
−
′
=
. D.
35
5.2021 .log 2021
x
y
−
′
= −
.
Lời giải
Ta có
( )
35 35
3 5 .2021 .ln 2021 5.2021 .ln 2021
xx
yx
−−
′
′
=−=−
Câu 158: Đạo hàm của hàm số
2
2xx
y
+
=
π
là
A.
(
)
2
2
2 2.
xx
yx
+
′
= +
π
. B.
(
)
2
2
2 2.
ln
xx
yx
+
′
= +
π
π
.
C.
( )
2
2
2 2 . .ln
xx
yx
+
′
= +
ππ
. D.
(
)
2
2
22
.ln
xx
x
y
+
+
′
=
ππ
.
Lời giải
Ta có
( )
( )
2 22
222 2
2 . .ln 2 2 . .ln
xx xx xx
y yx x x
+ ++
′
′
= ⇒= + = +
π ππ ππ
.
Câu 159: Hàm số
2
2
xx
y
−
=
có đạo hàm là
A.
2
2 .ln 2
xx−
. B.
2
(2 1).2 .ln 2
xx
x
−
−
.
C.
2
21
( ).2
xx
xx
−−
−
. D.
2
(2 1).2
xx
x
−
−
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
22
2
' ( ) '.2 .ln 2 (2 1).2 .ln 2
xx xx
y xx x
−−
=−=−
.
Câu 160: Hàm số
2
3
xx
y
−
=
có đạo hàm là
A.
( )
2
2 1 .3
xx
x
−
−
. B.
( )
2
21
.3
xx
xx
−−
−
. C.
( )
2
2 1 .3 .ln 3
xx
x
−
−
. D.
2
3 .ln 3
xx−
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( )
. .ln
uu
a ua a
′
′
=
nên
( )
( )
22
3 ' 2 1 .3 .ln 3
xx xx
x
−−
= −
.
Câu 161: Tính đạo hàm của hàm số
13
x
y =
A.
13
ln13
x
y
′
=
B.
1
.13
x
yx
−
′
=
C.
13 ln13
x
y
′
=
D.
13
x
y
′
=
Lời giải
Chọn C
Ta có:
13 ln13
x
y
′
=
.
Câu 162: Tính đạo hàm của hàm số
1
4
x
x
y
+
=
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 5
Sưu tầm và biên soạn
A.
( )
2
1 2 1 ln 2
'
2
x
x
y
−+
=
B.
( )
2
1 2 1 ln 2
'
2
x
x
y
++
=
C.
(
)
2
1 2 1 ln 2
'
2
x
x
y
−+
=
D.
( )
2
1 2 1 ln 2
'
2
x
x
y
++
=
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
22
1 .4 1 . 4
4 1 .4 .ln 4
'
44
xx
xx
xx
xx
x
y
′
′
+ −+
−+
= =
( )
( )
( )
2
2
4 . 1 .ln 4 ln 4 1 2 1 ln 2
1 .2 ln 2 2ln 2
42
4
x
xx
x
xx
x
− − −+
−−
= = =
.
Câu 163: Hàm số
2
3
2
xx
y
−
=
có đạo hàm là
A.
( )
2
3
2 3 2 ln 2
xx
x
−
−
. B.
2
3
2 ln 2
xx−
. C.
( )
2
3
2 32
xx
x
−
−
. D.
( )
2
2 31
32
xx
xx
−+
−
.
Lời giải
Chọn A
( )
( )
22
33
' 2 ' 2 3 2 ln 2
xx xx
yx
−−
= = −
.
Câu 164: Hàm số
2
3
3
xx
y
−
=
có đạo hàm là
A.
( )
2
3
2 3 .3
xx
x
−
−
. B.
2
3
3 .ln 3
xx−
. C.
( )
2
2 31
3 .3
xx
xx
−−
−
. D.
(
)
2
3
2 3 .3 .ln 3
xx
x
−
−
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( )
(
)
22
33
3 2 3 .3 .ln 3
xx xx
yx
−−
′
′
= = −
.
Câu 165: Đạo hàm của hàm số
3x
ye
là
A.
3x
ye
′
=
. B.
3
.ln 3
x
ye
′
=
. C.
3
3
x
ye
′
=
. D.
3
3
x
e
y
′
=
.
Lời giải
3 33
3. 3
x xx
y e xe e

.
Câu 166: Đạo hàm của hàm số
3
2
3
x
y
+
=
là
A.
3
22
3 .3
x
yx
+
=
. B.
3
23
.3 .ln 3
x
yx
+
=
.
C.
(
)
3
23 1
3 . 2 .3
x
y xx
+
= +
. D.
3
2
3 .ln 3
x
y
+
=
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
3 3 33
2 3 2 22 23
3 2 .3 .ln 3 3 .3 .ln 3 .3 .ln 3
x x xx
y x xx
+ + ++
′
′
′
==+= =
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 6
Sưu tầm và biên soạn
Câu 167: Hàm số
(
)
2
21
5
x
fx
−
=
có đạo hàm là
A.
2
21
2 .5 .ln 5
x
x
−
. B.
2
21
4 .5
x
x
−
. C.
2
21
4 .5 .ln 5
x
x
−
. D.
2
21
5
x −
.
Lời giải
Áp dụng công thức
( )
. .ln
uu
a ua a
′
′
=
suy ra
(
)
( )
2 22
21 2 21 21
5 2 1 .5 .ln 5 4 .5 .ln 5
x xx
xx
− −−
′
′
=−=
.
Câu 168: Tính đạo hàm của hàm số
23
2
+
=
x
y
.
A.
22
2 ln 4
+
′
=
x
y
. B.
2
4 ln 4
+
′
=
x
y
. C.
22
2 ln16
+
′
=
x
y
. D.
23
2 ln 2
+
′
=
x
y
.
Lời giải
Áp dụng công thức đạo hàm
(
)
. .ln
′
′
=
uu
a ua a
.
Ta có
( )
23
2 3 2 ln 2
+
′
′
= +
x
yx
23
2 ln 4
+
=
x
22
2 ln16
+
=
x
.
Câu 169: Cho hàm số
2
1
2
x mx
y
−+
=
. Với giá trị nào của tham số
m
thì
( )
0 ln 2y
′
=
?
A.
1
2
−
. B.
1
2
. C.
2
. D.
2−
.
Lời giải
Tập xác định:
D
=
.
Ta có:
( )
( )
22
12 1 1
2 1 .2 .ln 2 2 .2 .ln 2
mx x mx x mx
y y x mx x m
− −+ −+
′
′
= ⇒= − + = −
.
Khi đó
( ) ( )
1
1
0 .2 .ln 2 ln 2
2
ym m
′
=− = ⇔=−
.
DẠNG 6. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LOGARIT
Câu 170: Trên khoảng
( )
0; +∞
, đạo hàm của hàm số
2
log
yx=
là
A.
1
ln 2
y
x
′
=
. B.
ln 2
y
x
′
=
. C.
1
y
x
′
=
. D.
1
2
y
x
′
=
.
Lời giải
Áp dụng công thức
( )
1
log
ln
a
x
xa
′
=
. Ta có
1
ln 2
y
x
′
=
Câu 171: Trên khoảng
( )
0; +∞
, đạo hàm của hàm số
3
log
yx=
là
A.
3
'
ln 3
y
x
=
. B.
1
'
2 ln 3
y
x
=
. C.
1
'
ln 3
y
x
=
. D.
3
'y
x
=
.
Lời giải
Ta có
1
'
ln 3
y
x
=
.
Câu 172: Trên khoảng
( )
0; +∞
, hàm số
3
logyx=
có đạo hàm là:
A.
'
ln 3
x
y =
. B.
ln 3yx
′
=
. C.
1
ln 3
y
x
′
=
. D.
ln 3
y
x
′
=
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 7
Sưu tầm và biên soạn
Lời giải
Ta có:
(
)
3
1
log
ln 3
yx
x
′
′
= =
.
Câu 173: Tìm đạo hàm của hàm số
logyx=
.
A.
ln10
y
x
′
=
B.
1
ln10
y
x
′
=
C.
1
10ln
y
x
′
=
D.
1
y
x
′
=
Lời giải
Chọn B
Áp dụng công thức
( )
1
log
ln
a
x
xa
′
=
, ta được
1
ln10
y
x
′
=
.
Câu 174: Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
log 2 1yx= +
?
A.
( )
1
'
2 1 ln 2
y
x
=
+
. B.
( )
2
'
2 1 ln 2
y
x
=
+
. C.
2
'
21
y
x
=
+
. D.
1
'
21
y
x
=
+
.
Lời giải
Áp dụng công thức tính đạo hàm:
( )
( )
( )
( ) ( )
2
21
2
log 2 1
2 1 ln 2 2 1 ln 2
x
yx
xx
′
+
′
′
= += =
++
.
Câu 175: Hàm số
( )
ln 2 1yx= +
có đạo hàm là
A.
( )
2
ln 2 1
y
xx
′
=
+
. B.
1
21
y
x
′
=
+
. C.
2
21
y
x
′
=
+
. D.
( )
1
2 1 ln 2
y
x
′
=
+
.
Lời giải
Hàm số
( )
ln 2 1yx= +
có đạo hàm là
2
21
y
x
′
=
+
.
Câu 176: Đạo hàm của hàm số
( )
2
log 2 1= +yx
là
A.
( )
1
'
2 1 ln 2
y
x
=
+
. B.
1
'
21
y
x
=
+
. C.
2
21x +
. D.
( )
2
2 1 ln 2x +
.
Lời giải
Ta có
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 1'
2
log 2 1 '
2 1 ln 2 2 1 ln 2
+
+= =
++
x
x
xx
.
Câu 177: Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
log 3yx=
A.
1
'.
ln 4
y
x
=
B.
3
'.
ln 2
y
x
=
C.
1
'.
ln 2
y
x
=
D.
3
'.
ln 4
y
x
=
Lời giải
Ta có:
( )
( )
( )
2
3'
1
' log 3 ' .
3 ln 2 ln 2
x
yx
xx
= = =
Câu 178: Đạo hàm của hàm số
( )
2
ln 1yx= −
là
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 8
Sưu tầm và biên soạn
A.
2
2
1
x
x
−
. B.
2
2
1
x
x
−
−
. C.
2
1
1 x−
. D.
2
1
1x −
.
Lời giải
Ta có
(
)
2
2 22
1
22
11 1
x
xx
y
x xx
′
−
−
′
= = =
−−−
.
Câu 179: Đạo hàm cùa hàm số
4
log (2 5)yx
= +
là
A.
1
(2 5)ln 4
y
x
′
=
+
. B.
1
(2 5)ln 2
y
x
′
=
+
. C.
2ln 4
(2 5)
y
x
′
=
+
. D.
( )
2
2 5 ln5
y
x
′
=
+
.
Lời giải
( ) ( ) ( )
4
221
log (2 5)
2 5 ln 4 2 5 .2ln 2 2 5 ln 2
y xy
xx x
′
= +⇒= = =
++ +
.
Câu 180: Trên khoảng
1
;
2

+∞


, đạo hàm của hàm số
( )
log 2 1yx= −
là
A.
( )
1
2 1 ln10
y
x
′
=
−
. B.
( )
2
2 1 ln10
y
x
′
=
−
.
C.
2
21
y
x
′
=
−
. D.
1
21
y
x
′
=
−
.
Lời giải
Trên khoảng
1
;
2

+∞


, ta có
( )
log 2 1yx
= −
( )
( ) ( )
21
2
2 1 ln10 2 1 ln10
x
y
xx
′
−
′
⇒= =
−−
.
Câu 181: Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
log 2 1yx= +
.
A.
( )
2
2 1 ln 2
y
x
′
=
+
B.
( )
1
2 1 ln 2
y
x
′
=
+
C.
2
21
y
x
′
=
+
D.
1
21
y
x
′
=
+
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
( )
( )
( )
( )
2
21
2
log 2 1
2 1 ln 2 2 1 ln 2
x
yx
xx
′
+
′
′
= += =
++
.
Câu 182: Hàm số
( )
( )
2
2
log 2xfx x= −
có đạo hàm
A.
( )
2
ln 2
'
2x
fx
x
=
−
B.
(
)
( )
2
1
'
2x ln 2
fx
x
=
−
C.
( )
( )
2
2x 2 ln 2
'
2x
fx
x
−
=
−
D.
( )
( )
2
2x 2
'
2x ln 2
fx
x
−
=
−
Lời giải
Chọn D
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 9
Sưu tầm và biên soạn
(
)
(
)
( )
(
)
2
22
2x '
2x 2
'
2x ln 2 2x ln 2
x
fx
xx
−
−
= =
−−
Câu 183: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
(
)
2
log 2 1y x xm= − −+
có tập xác định là
.
A.
2m ≤
B.
2m >
C.
0m ≥
D.
0m <
Lời giải
Chọn D
Để hàm số có tâp xác định
khi và chỉ khi
2
2 1 0,x xm x− − + > ∀∈
.
0
′
⇔∆ <
( ) ( )
2
1 1. 1 0m⇔− − − + <
0m⇔<
.
Câu 184: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
( )
2
ln 2 1y x xm= − ++
có tập xác định là
.
A.
03
m<<
B.
1m <−
hoặc
0
m >
C.
0m >
D.
0m =
Lời giải
Chọn C
Hàm số có tâp xác định
khi và chỉ khi
( )
2
1 0( )
2 1 0,
11 0 0
a ld
x xm x
mm
= >
− + + > ∀∈ ⇔
′
∆= − + < ⇔ >
.
Câu 185: Đạo hàm của hàm số
( )
2
4
log 2 3yx= −
là
A.
(
)
2
4
2 3 ln 2
x
y
x
′
=
−
. B.
2
4
23
x
y
x
′
=
−
. C.
( )
2
1
2 3 ln 4
y
x
′
=
−
. D.
(
)
2
2
2 3 ln 2
x
y
x
′
=
−
.
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( )
22 2
442
.
2 3 ln 4 2 3 2ln 2 2 3 ln 2
xxx
y
xx x
′
= = =
−− −
Câu 186: Đạo hàm của hàm số
ln x
y
x
=
là
A.
4y
= −
. B.
2
1 ln x
y
x
+
′
=
. C.
3
1
y
x
′
= −
. D.
2
1 ln x
y
x
−
′
=
.
Lời giải
Ta có
( )
22
ln . .ln
ln 1 ln
xxx x
xx
y
xxx
′
′
′
−
−

′
= = =


Câu 187: Cho hàm số
( )
ln 2021 ln
1
x
fx
x

= +

+

. Tính giá trị biểu thức
( )
( ) ( )
' 1 ' 2 ... ' 2020Sf f f
= + ++
, tổng gồm
2020
số hạng.
A.
2021
2020
. B.
2020
2021
. C.
2021
2022
. D.
2022
2021
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 10
Sưu tầm và biên soạn
Lời giải
Ta có:
( )
'
1
'
1
x
x
fx
x
x


+

=
+
( )
2
1
1
1
x
x
x
+
=
+
( )
1 11
.1 1xx x x
= = −
++
Suy ra:
(
)
1
'1 1
2
f
= −
( )
11
'2
23
f
= −
(
)
11
'3
34
f
= −
…
( )
11
' 2020
2020 2021
f = −
Vậy
( ) ( ) ( )
' 1 ' 2 ... ' 2020Sf f f= + ++
1 2020
1
2021 2021
=−=
.
Câu 188: Đạo hàm của hàm số
ln
1
x
y
x
=
+
A.
( )
1
1xx
−
+
. B.
1
x
x +
. C.
1x
x
+
. D.
( )
1
1xx+
.
Lời giải
( )
( )
2
'
1
1
1
' ln
11
1
x
x
y
x
x xx
x
+

= = =

++

+
.
Câu 189: Cho hàm số
( ) ( )
lnf x cosx=
. Giá trị của
4
f
π

′
−


là.
A.
0
. B.
1−
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )
( )
ln 1
4
cosx
sinx
f x cosx tanx f
cosx cosx
π
′
−

′
′′
= = = =−⇒ =−




.
Câu 190: Đạo hàm của hàm số
( )
2
22
x
yx x e= −+
là
A.
( )
22
x
y xe
′
= −
. B.
2 x
y xe
′
=
. C.
( )
2
2
x
yx e
′
= +
. D.
2
x
y xe
′
= −
.
Lời giải
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 11
Sưu tầm và biên soạn
( )
( )
(
)
2
2
2
22
22 22
x
x xx
y
y
xxe
x ex x e ex
= −+
− −+
′
⇒= + =
Câu 191: Cho hàm số
2
ln( 1 ).y cos x m= ++
Với giá trị nào của
m
thì
1
'.
25
y
π
−

=


A.
2m = ±
. B.
2m =
. C.
1
2
m =
. D.
1m
= ±
.
Lời giải
Ta có
2
22
sin 1
ln(cos 1 ) ' ' .
cos 1 2 1
x
y xm y y
xm m
π
−−

= ++ ⇒ = ⇒ =

++ +

Mà
2
1 11
'(0) 2.
51 5
ym
m
− −−
= ⇒ = ⇒=±
+
Câu 192: Cho hàm số
(
)
2
1
ln 1fx
x

= −


. Biết rằng
( ) ( ) (
) (
)
2 3 ... 2019 2020
a
ff f f
b
′′ ′ ′
+ ++ + =
với
,ab
là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Giá trị của
2ab
bằng
A.
2
. B.
4
. C.
2−
. D.
4
−
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
( )
( )
2 11
1 ( 1) 1 1
fx
xx x xx xx
′
= = −
−+ − +
.
Khi đó
' 2 ' 3 ... ' 2019 ' 2020
1111 1 1 1 1
...
1.2 2.3 2.3 3.4 2018.2019 2019.2020 2019.2020 2
020.2021
ff f f


1 1 1010.2021 1
2 2020.2021 2020.2021

Nên
1010.2021 1, 2020.2021 2 2a b ab= − = ⇒ −=−
.
Câu 193: Cho hàm số
( )
ln 2018 ln
1
x
fx
x

= +

+

. Tính
( ) ( ) ( ) ( )
' 1 ' 2 ' 3 ' 2017 .Sf f f f= + + ++
A.
4035
2018
S =
B.
2017
2018
S =
C.
2016
2017
S =
D.
2017S =
Lời giải
Ta có
( )
ln 2018 ln
1
x
fx
x

= +

+

(
)
( )
1 11
11
fx
xx x x
′
⇒= =−
++
Do đó
1111 1 1
...
1 2 2 3 2017 2018
S =−+−++ −
1 2017
1
2018 2018
=−=
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 12
Sưu tầm và biên soạn
Câu 194: Cho hàm số
( )
2018
ln
1
x
fx
x
=
+
. Tính tổng
( ) ( ) ( )
1 2 ... 2018Sf f f
′′ ′
= + ++
.
A.
ln 2018
. B.
1
. C.
2018
. D.
2018
2019
.
Lời giải
Ta có:
( )
2018 1 2018
ln . .
2018
11
1
xx
fx
x
xx
x
′′

′
= =

++

+
( )
( )
2
1 2018 1
.
2018 . 1
1
x
x xx
x
+
= =
+
+
Vậy
( ) ( ) ( )
1 2 ... 2018Sf f f
′′ ′
= + ++
11 1
...
1.2 2.3 2018.2019
= + ++
1111 1 1
...
1 2 2 3 2018 2019
=−+−++ −
1 2018
1
2019 2019
=−=
.
Câu 195: Cho hàm số
( )
ln .
2
x
fx
x

=

+

Tổng
( ) ( ) ( ) ( )
'' ' '
1 3 5 ... 2021ff f f+ + ++
bằng
A.
4035
.
2021
. B.
2021
2022
. C.
2021.
. D.
2022
.
2023
Lời giải
Ta có
( ) ( )
( )
'
2 11
ln
2 22
x
fx f x
x xx x x

= ⇒= =−

+ ++

Vậy
( ) ( ) ( ) ( )
'' ' '
1111 1 1
1 3 5 ... 2021 ......
1 3 3 5 2021 2023
1 2022
1.
2023 2023
ff f f+ + ++ =−+−+ + −
=−=
Câu 196: Cho hàm số
( )
1
ln
4
x
fx
x
+
=
+
. Tính giá trị của biểu thức
( ) ( ) ( ) ( )
0 3 6 ... 2019Pf f f f
′′′ ′
= + + ++
.
A.
1
4
. B.
2024
2023
. C.
2022
2023
. D.
2020
2023
.
Lời giải
Với
[0 ; + )x ∈∞
ta có
10x +>
và
40x +>
nên
( ) (
) ( )
1
ln ln 1 ln 4
4
x
fx x x
x
+
= = +− +
+
.
Từ đó
( )
11
14
fx
xx
′
= −
++
.
Do đó
( ) ( ) ( ) ( )
0 3 6 ... 2019Pf f f f
′′′ ′
= + + ++
1 1 1 1 1 1 1 1 2022
1 ... 1
4 4 7 7 10 2020 2023 2023 2023
 
=−+−+− ++ − =− =
 
 
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 13
Sưu tầm và biên soạn
Câu 197: Cho hàm số
(
)
(
)
21 3
x
y fx m e
= =−+
. Giá trị của
m
để
( )
5
' ln 3
3
f
−=
là
A.
7
9
m =
. B.
2
9
m =
. C.
3m =
. D.
3
2
m = −
.
Lời giải
( ) ( )
' 21
x
fx m e= −
.
( ) ( )
ln3
ln3
2121
' ln 3 2 1
3
mm
f me
e
−
−−
⇒− = − = =
.
( )
5 2 15
' ln 3 3
3 33
m
fm
−
− =⇔ =⇔=
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 37
Sưu tầm và biên soạn
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Câu 1: Cho
( )
3
fx x=
. Tính
( )
1f
′′
.
A.
( )
13f
′′
=
. B.
( )
12f
′′
=
. C.
( )
16f
′′
=
. D.
(
)
11
f
′′
=
.
Câu 2: Cho hàm số
( )
3
2fx x x= +
, giá trị của
( )
1f
′′
bằng
A.
6
. B.
8
. C.
3
. D.
2
.
Câu 3: Cho hàm số
( ) ( )
5
37fx x= −
. Tính
( )
2
f
′′
.
A.
(
)
20f
′′
=
. B.
( )
2 20f
′′
=
. C.
( )
2 180f
′′
= −
. D.
( )
2 30f
′′
=
.
Câu 4: Cho hàm số
( )
1
21
fx
x
=
−
. Tính
( )
1f
 −
.
A.
8
27
−
B.
2
9
. C.
8
27
D.
4
27
−
.
Câu 5: Cho hàm số
2
3
x
y
x
−
=
+
. Tính
y
′′
.
A.
( )
3
5
3
y
x
−
′′
=
+
. B.
( )
2
10
3
y
x
′′
=
+
. C.
( )
3
10
3
y
x
−
′′
=
+
. D.
( )
3
5
3
y
x
′′
=
+
.
Câu 6: Đạo hàm cấp hai của hàm số
63
4 2 2022yx x x=− ++
với
x ∈
là
A.
4
30 24 2y xx
′′
= −+
. B.
4
30 24y xx
′′
= −
. C.
52
6 12 2yx x
′′
=−+
. D.
52
6 12yx x
′′
= −
.
Câu 7: Cho hàm số
.cosyx x=
. Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
A.
sin 2 cosyy xx x
′′
+= +
. B.
2sinyy x
′′
+=
.
C.
sin cosy y xx x
′′
+=− +
. D.
2sinyy x
′′
+=−
.
Câu 8: Cho hàm số
sin 2yx=
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
(
)
2
2'
4yy+=
. B.
'
.tan 2yy x=
. C.
''
40yy−=
. D.
''
40yy+=
.
Câu 9: Cho hàm số
3
sinyx=
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
9 sin 0.yy x
′′
+− =
B.
9 6sin 0.yy x
′′
+− =
C.
9 6cos 0.yy x
′′
+− =
D.
9 6sin 0.yy x
′′
++ =
Câu 10: Cho hàm số
54
31yx x x= − ++
với
x
∈
. Đạo hàm
y
′′
của hàm số là
A.
32
5 12 1yx x
′′
=−+
. B.
43
5 12yx x
′′
= −
.
C.
23
20 36yxx
′′
= −
. D.
32
20 36y xx
′′
= −
.
CHƯƠNG
VII
ĐẠO HÀM
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
III
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 38
Sưu tầm và biên soạn
Câu 11: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số
3cosyx= −
tại điểm
0
2
x
π
=
.
A.
3
2
y
π

′′
= −


. B.
5
2
y
π

′′
=


. C.
0
2
y
π

′′
=


. D.
3
2
y
π

′′
=


.
Câu 12: Cho
2
2
y xx
= −
, tính giá trị biểu thức
3
.A yy
′′
=
.
A.
1
. B.
0
. C.
1
−
. D. Đáp án khác.
Câu 13: Đạo hàm cấp hai của hàm số
31
2
x
y
x
+
=
+
là
A.
(
)
2
10
2
y
x
′′
=
+
B.
( )
4
5
2
y
x
′′
= −
+
C.
( )
3
5
2
y
x
′′
= −
+
D.
(
)
3
10
2
y
x
′′
= −
+
Câu 14: Đạo hàm cấp hai của hàm số
2
cos
yx
=
là
A.
2cos 2yx
′′
= −
. B.
2sin 2
yx
′′
= −
. C.
2cos 2yx
′′
=
. D.
2sin 2
yx
′′
=
.
Câu 15: Cho hàm số
2
sinyx=
. Khi đó
()yx
′′
bằng
A.
1
'' 2
2
=y cos x
. B.
2sin 2=
Px
. C.
'' 2 cos 2=yx
. D.
'' 2 cos
=
yx
.
Câu 16: Cho hàm số
1
.
y
x
= −
Đạo hàm cấp hai của hàm số là
A.
3
2
.y
x
′′
=
B.
2
2
.y
x
−
′′
=
C.
3
2
.y
x
−
′′
=
D.
2
2
.y
x
′′
=
Câu 17: Cho hàm số
2
13y xx=+−
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
( )
2
.1y yy
′ ′′
+=−
. B.
( )
2
2. 1
y yy
′ ′′
+=
. C.
( )
2
.1yy y
′′ ′
−=
. D.
( )
2
.1y yy
′ ′′
+=
.
Câu 18: Cho hàm số
sin 2
yx=
. Hãy âu đúng.
A.
(
)
2
2
4yy
′
+=
. B.
40
yy
′′
−=
. C.
40yy
′′
+=
. D.
'tan 2yy x=
.
Câu 19: Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu thị bởi công thức
( )
23
42 4 2
St t t t=−+ +
, trong đó
0
t >
và
t
tính bằng giây
( )
s
,
(
)
St
tính bằng mét
( )
m
. Tìm
gia tốc
a
của chất điểm tại thời điểm
( )
5ts=
.
A.
( )
2
68 /=a ms
. B.
( )
2
115 /=a ms
. C.
( )
2
100 /=a ms
. D.
(
)
2
225 /=a ms
.
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 1
Sưu tầm và biên soạn
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Câu 1: Cho
( )
3
fx x=
. Tính
(
)
1f
′′
.
A.
( )
13f
′′
=
. B.
(
)
12f
′′
=
. C.
( )
16
f
′′
=
. D.
( )
11
f
′′
=
.
Lời giải
( ) ( ) ( )
32
3 3.2 6fx x f x x f x x x
′ ′′
=⇒=⇒ ==
( )
1 6.1 6f
′′
= =
Câu 2: Cho hàm số
( )
3
2fx x x
= +
, giá trị của
( )
1f
′′
bằng
A.
6
. B.
8
. C.
3
. D.
2
.
Lời giải
( )
2
32fx x
′
= +
,
(
)
6fx x
′′
=
⇒
( )
16f
′′
=
.
Câu 3: Cho hàm số
( ) ( )
5
37fx x= −
. Tính
( )
2f
′′
.
A.
( )
20
f
′′
=
. B.
( )
2 20f
′′
=
. C.
( )
2 180
f
′′
= −
. D.
( )
2 30
f
′′
=
.
Lời giải
(
) ( )
5
37fx x
= −
( ) ( )
4
15 3 7fx x
′
= −
.
( ) (
)
3
180 3 4fx x
′′
= −
.
Vậy
( )
2 180
f
′′
= −
.
Câu 4: Cho hàm số
( )
1
21
fx
x
=
−
. Tính
( )
1f  −
.
A.
8
27
−
B.
2
9
. C.
8
27
D.
4
27
−
.
Lời giải
Tập xác định
1
\
2
D

=


.
CHƯƠNG
VII
ĐẠO HÀM
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
III
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 2
Sưu tầm và biên soạn
(
)
( )
2
2
21
fx
x
−
=
−
,
( )
( )
3
8
21
fx
x
′′ =
−
.
Khi đó
(
)
8
1
27
f
−=−
.
Câu 5: Cho hàm số
2
3
x
y
x
−
=
+
. Tính
y
′′
.
A.
( )
3
5
3
y
x
−
′′
=
+
. B.
( )
2
10
3
y
x
′′
=
+
. C.
( )
3
10
3
y
x
−
′′
=
+
. D.
( )
3
5
3
y
x
′′
=
+
.
Lời giải
TXĐ
{ }
3D\ .= −
Có
( )
( )
( )
( )
2 43
23
5 10
5.
3 33
x
yy
x xx
−+
−
′ ′′
= ⇒= =
+ ++
.
Câu 6: Đạo hàm cấp hai của hàm số
63
4 2 2022yx x x
=− ++
với
x ∈
là
A.
4
30 24 2y xx
′′
= −+
. B.
4
30 24y xx
′′
= −
. C.
52
6 12 2yx x
′′
=−+
. D.
52
6 12yx x
′′
= −
.
Lời giải
Ta có
52
6 12 2yx x
′
=−+
Suy ra
4
30 24y xx
′′
= −
.
Câu 7: Cho hàm số
.cosyx x
=
. Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
A.
sin 2 cosyy xx x
′′
+= +
. B.
2sinyy x
′′
+=
.
C.
sin cos
y y xx x
′′
+=− +
. D.
2sinyy x
′′
+=−
.
Lời giải
Ta có
cos sin 2sin cosy xx x y xx x
′ ′′
= − ⇒=− −
.
Khi đó
2sin cos cos 2sinyy xxxxx x
′′
+=− − + =−
.
Câu 8: Cho hàm số
sin 2
yx=
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
( )
2
2'
4yy+=
. B.
'
.tan 2yy x=
. C.
''
40yy−=
. D.
''
40yy+=
.
Lời giải
Ta có
' ''
2cos2 4sin2y xy x= ⇒=−
''
4 4sin2 4sin2 0yy x x+= − =
Câu 9: Cho hàm số
3
sinyx
=
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
9 sin 0.yy x
′′
+− =
B.
9 6sin 0.yy x
′′
+− =
C.
9 6cos 0.yy x
′′
+− =
D.
9 6sin 0.
yy x
′′
++ =
Lời giải
Ta có
32
sin 3sin .cosy xy xx
′
= ⇒=
và
23
6sin .cos 3sin .y xx x
′′
= −
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 3
Sưu tầm và biên soạn
Khi đó
( )
2 3 3 22
9 6sin .cos 3sin 9sin 6sin sin cos 6sin .yy x x x x x x x x
′′
+= − + = + =
Câu 10: Cho hàm số
54
31yx x x
= − ++
với
x ∈
. Đạo hàm
y
′′
của hàm số là
A.
32
5 12 1
yx x
′′
=−+
. B.
43
5 12
yx x
′′
= −
.
C.
23
20 36yxx
′′
= −
. D.
32
20 36y xx
′′
= −
.
Lời giải
Ta có
54
31yx x x= − ++
43 3 2
5 12 1 20 36yx x y x x
′ ′′
⇒ = − +⇒ = −
.
Câu 11: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số
3cosyx= −
tại điểm
0
2
x
π
=
.
A.
3
2
y
π

′′
= −


. B.
5
2
y
π

′′
=


. C.
0
2
y
π

′′
=


. D.
3
2
y
π

′′
=


.
Lời giải
3cos
yx= −
3sin ; 3cosy xy x
′ ′′
⇒= =
.
0
2
y
π

′′
=


.
Câu 12: Cho
2
2y xx= −
, tính giá trị biểu thức
3
.A yy
′′
=
.
A.
1
. B.
0
. C.
1−
. D. Đáp án khác.
Lời giải
Ta có:
(
)
3
2
2
11
' , ''
2
2
x
yy
xx
xx
−−
= =
−
−
Do đó:
3
. '' 1
A yy= = −
.
Câu 13: Đạo hàm cấp hai của hàm số
31
2
x
y
x
+
=
+
là
A.
( )
2
10
2
y
x
′′
=
+
B.
( )
4
5
2
y
x
′′
= −
+
C.
( )
3
5
2
y
x
′′
= −
+
D.
( )
3
10
2
y
x
′′
= −
+
Lời giải
Ta có
( ) ( )
23
5 5 10
3;
2
22
y yy
x
xx
′ ′′
=− ⇒= =−
+
++
Câu 14: Đạo hàm cấp hai của hàm số
2
cosyx=
là
A.
2cos 2yx
′′
= −
. B.
2sin 2yx
′′
= −
. C.
2cos 2yx
′′
=
. D.
2sin 2yx
′′
=
.
Lời giải
( )
' 2cos . sin
y xx= −
sin 2x= −
2cos 2yx
′′
⇒=−
.
Câu 15: Cho hàm số
2
sinyx=
. Khi đó
''( )yx
bằng
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Page 4
Sưu tầm và biên soạn
A.
1
'' 2
2
=y cos x
. B.
2sin 2=Px
.
C.
'' 2 cos 2=yx
. D.
'' 2 cos=
yx
.
Lời giải
2
sin ' 2sin .cosx sin 2 xy xy x
= ⇒= =
'' 2 cos 2
⇒=yx
Câu 16: Cho hàm số
1
.y
x
= −
Đạo hàm cấp hai của hàm số là
A.
3
2
.y
x
′′
=
B.
2
2
.
y
x
−
′′
=
C.
3
2
.y
x
−
′′
=
D.
2
2
.y
x
′′
=
Lời giải
Ta có:
2
1
'y
x
=
nên
( )
'
2
4 43
22
.
x
x
y
x xx
′′
=− =−=−
Câu 17: Cho hàm số
2
13
y xx=+−
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
( )
2
.1y yy
′ ′′
+=−
. B.
( )
2
2. 1y yy
′ ′′
+=
. C.
( )
2
.1yy y
′′ ′
−=
. D.
( )
2
.1y yy
′ ′′
+=
.
Lời giải
2
13y xx=+−
22
13y xx⇒=+−
2. 3 2yy x
′
⇒=−
( )
2
2. 2 . 2y yy
′ ′′
⇒ +=−
( )
2
.1y yy
′ ′′
⇒ +=−
Câu 18: Cho hàm số
sin 2yx
=
. Hãy âu đúng.
A.
( )
2
2
4yy
′
+=
. B.
40yy
′′
−=
. C.
40yy
′′
+=
. D.
'tan 2yy x=
.
Lời giải
Tập xác định
D =
.
Ta có
2cos 2yx
′
=
và
4sin 2yx
′′
= −
.
4 4sin 2 4sin 2 0yy x x
′′
+= − =
.
Câu 19: Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu thị bởi công thức
( )
23
42 4 2St t t t=−+ +
, trong đó
0t >
và
t
tính bằng giây
( )
s
,
( )
St
tính bằng mét
( )
m
. Tìm
gia tốc
a
của chất điểm tại thời điểm
( )
5ts=
.
A.
( )
2
68 /=a ms
. B.
( )
2
115 /=a ms
. C.
( )
2
100 /=a ms
. D.
( )
2
225 /=a ms
.
Lời giải
Theo ứng dụng đạo hàm của hàm số có:
( ) ( )
2
28 6vt S t t t
′
= =−+ +
và
( ) ( )
8 12at v t t
′
= = +
( )
( )
2
5 68 /a ms
⇒=
.
| 1/140
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM NG Ơ VII ĐẠO HÀM CHƯ BÀI 1: ĐẠO HÀM I LÝ THUYẾT. 1. ĐẠO HÀM
Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng ( ; a b) và x ∈ ; a b . 0 ( )
f (x) − f (x0 )
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f (x) x→ 0 x x − x0 tại điểm x ′ ′
0 , kí hiệu là f ( x
hay y (x , tức là 0 ) 0 ) ′( f x − f x f x = lim 0 ) ( ) ( 0) x→ 0 x x − x0
Để tính đạo hàm của hàm số y = f (x) tại x ∈ ;
a b , ta thực hiện theo các bước sau: 0 ( )
Bước 1. Tính f (x) − f (x . 0 )
f (x) − f (x0 )
Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số với x∈( ;
a b), x ≠ x x − x 0 0
f (x) − f (x0 )
Bước 3. Tính giới hạn lim . x→ 0 x x − x0
Chú ý: Trong định nghĩa và quy tắc trên đây, thay x0 bởi x ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính
đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x∈( ; a b) .
2. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM Page 1
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Đạo hàm của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm x là hệ số góc của tiếp tuyến M T của (C)tại 0 0
điểm M x ; f x 0 ( 0 ( 0))
Tiếp tuyến M T có phương trình là: y − f (x = f ′ x x − x 0 ) ( 0)( 0 ) 0
3. SỐ e II
HỆ THỐNG BÀI TẬP.
DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1 PHƯƠNG PHÁP.
Để tính đạo hàm của hàm số y= f (x) tại x ∈ ;ab , ta thực hiện theo các bước sau: 0 ( )
Bước 1. Tính f (x) − f (x . 0 )
f (x) − f (x0 )
Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số với x∈( ;
a b), x ≠ x x − x 0 0
f (x) − f (x0 )
Bước 3. Tính giới hạn lim . x→ 0 x x − x0
f (x) − f (x ) • 0 f '( = 0 x ) lim x→ 0 x x − 0 x +
f (x) − f (x ) • 0 f '( 0 x ) = lim + x→x x − x 0 0 −
f (x) − f (x ) • 0 f '( = 0 x ) lim x − → x − x 0 x 0
• Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm + − x = 0 x ⇔ f '( 0 x ) = f '( 0 x )
• Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó. 2
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số sau: y = f (x) 3
= 2x + x −1 tại x = 0 0
Câu 2: Tính đạo hàm tại 1 điểm Page 2
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
a. y = f (x) 1 = tại x = 2 − 2 x + x +1 0 2
b. y = f (x) x + x −3 = tại x = 3 2x −1 0
Câu 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ: 1. 3
f (x) = 2x +1 tại x = 2 2. 2
f (x) = x +1 tại x = 1  3 2 x + x +1 −1 3.  khi x ≠ f x = 0 ( )  x tại x = 0 0 khi x = 0  2 x − 1
Câu 4: Tìm a để hàm số f (x)  khi x ≠ 1 =  x −1
có đạo hàm tại x = 1 a khi x =  1
DẠNG 2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN 1 KHOẢNG 1 PHƯƠNG PHÁP.
Để tính đạo hàm của hàm số y= f (x) tại x ∈ ;ab bất kì, ta thực hiện theo các bước sau: 0 ( )
Bước 1. Tính f (x) − f (x . 0 )
f (x) − f (x0 )
Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số
với x∈(a;b), x ≠ x x − x 0 0
f (x) − f (x0 )
Bước 3. Tính giới hạn lim . x→ 0 x x − x0 2
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số sau:
a. y = f (x) 2
= x − 3x +1 b. y = f (x) 3
= x − 2x c. y = f (x) = 4x + 3
DẠNG 3. Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 1 PHƯƠNG PHÁP.
a. Ý nghĩa hình học
Đạo hàm của hàm số y = f (x) x
tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 0 M x ; f x
. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M (x ;y là k = f ′(x . 0 ) 0 o ) 0 ( 0 ( 0))
Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm M có dạng: 0 Page 3
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
y = f ′(x )(x − x ) + f x 0 0 ( 0)
b. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm
Phương trình quỹ đạo chuyển động của chất điểm: s = f (t) .
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường v = ′s = f ′(t) . 2
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Câu 6: Cho hàm số y = 2
x + 2x − 4 có đồ thị (C)
a. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x =1 thuộc (C). 0
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 0 thuộc (C). 0
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y = −1 thuộc (C). 0
d. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng −4.
e. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đưởng thẳng y = 1− 3x . Câu 7: x Cho hàm số +1 y = có đồ thị (C) 3x
a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của (C)với trục Oy .
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của (C)với trục Ox .
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của (C)với đường thẳng y = x +1.
d. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 k = − . 3
e. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó vuông góc với đưởng
thẳng y = 3x − 4 . 3
Câu 8: Cho hàm số y = x − 2x +1
a. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của hàm số trên tại điểm có x = 0.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của hầm số biết nó có k = 2. −
c. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số trên, biết nó tạo với hai trục Oxy một tam giác vuông cân tại O.
Câu 9: Một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình s = 2
2t + t −1 (m)
a. Tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 2s . Page 4
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
b. Tìm vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ t = 0 tới t = 2s . Page 5
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM NG Ơ VII ĐẠO HÀM CHƯ BÀI 1: ĐẠO HÀM I LÝ THUYẾT. 1. ĐẠO HÀM
Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng ( ; a b) và x ∈ ; a b . 0 ( )
f (x) − f (x0 )
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f (x) x→ 0 x x − x0 tại điểm x ′ ′
0 , kí hiệu là f ( x
hay y (x , tức là 0 ) 0 ) ′( f x − f x f x = lim 0 ) ( ) ( 0) x→ 0 x x − x0
Để tính đạo hàm của hàm số y = f (x) tại x ∈ ;
a b , ta thực hiện theo các bước sau: 0 ( )
Bước 1. Tính f (x) − f (x . 0 )
f (x) − f (x0 )
Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số với x∈( ;
a b), x ≠ x x − x 0 0
f (x) − f (x0 )
Bước 3. Tính giới hạn lim . x→ 0 x x − x0
Chú ý: Trong định nghĩa và quy tắc trên đây, thay x0 bởi x ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính
đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x∈( ; a b) .
2. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM Page 1
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Đạo hàm của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm x là hệ số góc của tiếp tuyến M T của (C)tại 0 0
điểm M x ; f x 0 ( 0 ( 0))
Tiếp tuyến M T có phương trình là: y − f (x = f ′ x x − x 0 ) ( 0)( 0 ) 0
3. SỐ e II
HỆ THỐNG BÀI TẬP.
DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1 PHƯƠNG PHÁP.
Để tính đạo hàm của hàm số y= f (x) tại x ∈ ;ab , ta thực hiện theo các bước sau: 0 ( )
Bước 1. Tính f (x) − f (x . 0 )
f (x) − f (x0 )
Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số với x∈( ;
a b), x ≠ x x − x 0 0
f (x) − f (x0 )
Bước 3. Tính giới hạn lim . x→ 0 x x − x0
f (x) − f (x ) • 0 f '( = 0 x ) lim x→ 0 x x − 0 x +
f (x) − f (x ) • 0 f '( 0 x ) = lim + x→x x − x 0 0 −
f (x) − f (x ) • 0 f '( = 0 x ) lim x − → x − x 0 x 0
• Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm + − x = 0 x ⇔ f '( 0 x ) = f '( 0 x )
• Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó. 2
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số sau: y = f (x) 3
= 2x + x −1 tại x = 0 0 Lời giải Tại x = 0 0 ta có Page 2
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
f (x) − f (x ) = f (x) − f (0) 3
= 2x + x −1− (− ) 3
1 = 2x + x = x( 2 2x +1 0 )
f (x) − f (x ) f (x) − f (0) x( 2 2x +1 0 ) 2 = = = 2x +1 x − x x − 0 x 0 ⇒ ′( f x − f x f 0) ( ) ( 0) = lim = lim( 2 2x + ) 1 =1 x→ 0 x x→0 x − x0
Câu 2: Tính đạo hàm tại 1 điểm
a. y = f (x) 1 = tại x = 2 − 2 x + x +1 0 2
b. y = f (x) x + x −3 = tại x = 3 2x −1 0 Lời giải a. Tại x = 2 − 0 ta có 2 − − −
f (x) − f ( 1 1 1 3 x x 1
x = f x − f −2 = − = . 0 ) ( ) ( ) 2 2
x + x +1 4 − 2 +1 3 x + x +1 2 1 −x − x + 2 1 (x − ) 1 (x + 2) = . = − . 2 2 3 x + x +1 3 x + x +1
f (x) − f (x f x − f 2 − 1 x −1 x + 2 1 1 x −1 0 ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) = = − . . = − . 2 2 x − x x + 2 3 x + x +1 x + 2 3 x + x +1 0 −  −  − − ⇒ f ′(− )
f (x) f (x 1 x 1 1 2 1 0 ) ( ) ( ) 1 2 = lim = lim − .  = − . = 2 2 x→ 0 x x→ 2 x − x
−  3 x + x +1 3 2 − + 2 − +1 3 0 ( ) ( ) b. Tại x = 3 0 ta có 2 2 + − − − − +
f (x) − f ( x
x 3 9 5x 13x 6 x 3 5x 2
x = f x − f 3 = − = = 0 ) ( ) ( ) ( )( ) 2x −1 5 5(2x − ) 1 5(2x − ) 1
f (x) − f (x f x − f 3 x − 3 5x + 2 1 5x + 2 0 ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) = = . = x − x x − 3 5 2x −1
x − 3 5 2x −1 0 ( ) ( )
f (x) − f (x f x − f 3 5x + 2 0 ) ( ) ( ) ( ) 17 lim = lim = lim = x→ 0 x x→3 x→3 x − x x − 3 5 2x −1 25 0 ( ) ⇒ f ′( ) 17 3 = 25
Câu 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ: 1. 3
f (x) = 2x +1 tại x = 2 2. 2
f (x) = x +1 tại x = 1 Page 3
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM  3 2 x + x +1 −1 3.  khi x ≠ f x = 0 ( )  x tại x = 0 0 khi x = 0 Lời giải 3 1. Ta có
f (x) − f (2) 2x −16 2 lim = lim
= lim 2(x + 2x + 4) = 24 ⇒ f '(2) = 24 . x→2 x − 2 x→2 x − 2 x→2 f (x) − 2 f (1) 2. x + 1 − Ta có: 2 lim = lim x→1 x −1 x→1 x −1 (x −1)(x + 1) 1 1 = lim = ⇒ f '(1) = . x→1 (x − 2 1)( x + 1 + 2) 2 2 3 2
3. Ta có f (0) = 0 , do đó:
f (x) − f (0) x + x +1 −1 x +1 1 lim = lim = lim = 2 x→0 x x→0 x x→0 3 2 2 x + x +1 +1 Vậy 1 f '(0) = . 2  2 x − 1
Câu 4: Tìm a để hàm số f (x)  khi x ≠ 1 =  x −1
có đạo hàm tại x = 1 a khi x =  1 Lời giải
Để hàm số có đạo hàm tại x = 1 thì trước hết f (x) phải liên tục tại x = 1 2 Hay x −1 lim f(x) = lim = 2 = f(1) = a. x 1 → x 1 → x − 1 2 x −1 −2 − Khi đó, ta có:
f (x) f (1) x −1 lim = lim = 1. x 1 → x −1 x 1 → x −1
Vậy a = 2 là giá trị cần tìm.
DẠNG 2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN 1 KHOẢNG 1 PHƯƠNG PHÁP.
Để tính đạo hàm của hàm số y= f (x) tại x ∈ ;ab bất kì, ta thực hiện theo các bước sau: 0 ( )
Bước 1. Tính f (x) − f (x . 0 )
f (x) − f (x0 )
Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số với x∈( ;
a b), x ≠ x x − x 0 0
f (x) − f (x0 )
Bước 3. Tính giới hạn lim . x→ 0 x x − x0 2
BÀI TẬP TỰ LUẬN. Page 4
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số sau:
a. y = f (x) 2
= x − 3x +1
b. y = f (x) 3
= x − 2x
c. y = f (x) = 4x + 3 Lời giải a. Tại x ∈ 0  tùy ý, ta có:
f (x) − f (x ) 2 2
= x − 3x −1− x + 3x −1 = x − x x + x − 3 0 0 0 ( 0 ) ( 0 )
f (x) − f (x x − x x + x − 3 0 ) ( 0 ) ( 0 ) = = x + x − 3 0 x − x x − x 0 0
f (x) − f (x0 ) lim
= lim (x + x − 3 = 2x − 3 0 ) 0 x→ 0 x x x − x → 0 x 0
⇒ y′ = 2x − 3 b. Tại x ∈ 0  tùy ý, ta có:
f (x) − f (x ) 3 3
= x − 2x − x + 2x = (x − x )( 2 2 x + . x x + x − 2 0 0 0 0 0 0 )
f (x) − f (x x − x x + . x x + x − 2 0 ) ( )( 2 2 0 0 0 ) = = ( 2 2 x + . x x + x − 2 0 0 ) x − x x − x 0 0
f (x) − f (x0 ) lim = lim ( 2 2 x + . x x + x − 2) 2 = 3x − 2 0 0 0 x→ 0 x x x − x → 0 x 0 2
⇒ y′ = 3x − 2 c. Tại x ∈ 0  tùy ý, ta có:
f (x) − f (x = 4x + 3− 4x + 3 = 4 x − x 0 ) 0 ( 0 )
f (x) − f (x 4 x − x 0 ) ( 0 ) = = 4 x − x x − x 0 0
f (x) − f (x0 ) lim = lim 4 = 4 x→ 0 x x x − x → 0 x 0 ⇒ y′ = 4
DẠNG 3. Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 1 PHƯƠNG PHÁP.
a. Ý nghĩa hình học Page 5
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Đạo hàm của hàm số y = f (x) x
tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 0 M x ; f x
. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M (x ;y là k = f ′(x . 0 ) 0 o ) 0 ( 0 ( 0))
Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm M có dạng: 0
y = f ′(x )(x − x ) + f x 0 0 ( 0)
b. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm
Phương trình quỹ đạo chuyển động của chất điểm: s = f (t) .
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường v = ′s = f ′(t) . 2
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Câu 6: Cho hàm số y = 2
x + 2x − 4 có đồ thị (C)
a. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x =1 thuộc (C). 0
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 0 thuộc (C). 0
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y = −1 thuộc (C). 0
d. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng −4.
e. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đưởng thẳng y = 1− 3x . Lời giải Tại x ∈ 0  tùy ý, ta có:
f (x) − f (x ) 2 2
= x + 2x − 4 − x − 2x + 4 = x − x x + x + 2 0 0 0 ( 0 ) ( 0 )
f (x) − f (x x − x x + x + 2 0 ) ( 0 ) ( 0 ) = = x + x + 2 0 x − x x − x 0 0
f (x) − f (x0 ) lim
= lim (x + x + 2 = 2x + 2 0 ) 0 x→ 0 x x x − x → 0 x 0
⇒ y′ = 2x + 2
a. Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x =1 thuộc (C) là k = y′( ) 1 = 4 0
b. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 0 thuộc (C) là 0
y = y′(0)(x − 0) + y(0) ⇔ y = 2x − 4  x = 1
c. Với y = −1⇒ y = 2
x + 2x − 4 = −1 ⇔  0
. Vậy có hai tiếp điểm thuộc (C) có tung độ 0 0 0 x = −  3 0 y = −1 là (1;− ) 1 và (−3;− ) 1 . Nên ta có: 0 Page 6
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1;− )
1 là y = y′( ) 1 (x − ) 1 + y ( )
1 ⇔ y = 4x − 5
Phương trình tiếp tuyến tại điểm (−3;− )
1 là y = y′(−3)(x + 3) + y(−3) ⇔ y = −4x −13
d. Gọi M ( ;ab) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị (C)với hệ số góc k = −4
⇒ y′(a) = −4 ⇔ 2a + 2 = −4 ⇔ a = −3 ⇒ b = −1
Suy ra phương trình tiếp tuyến với hệ số góc k = −4 là y = −4(x + 3) −1⇔ y = −4x −13.
e. Vì tiếp tuyến đó song song với đưởng thẳng y = 1− 3x nên tiếp tuyến có hệ số góc k = −3
Gọi M ( ;ab) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị (C)với hệ số góc k = −4 5 11
⇒ y′(a) = −3 ⇔ 2a + 2 = −3 ⇔ a = − ⇒ b = − 2 4
Suy ra phương trình tiếp tuyến với hệ số góc k = −3là  5  11 41 y = −3 x + −
⇔ y = −3x −   .  2  4 4 Câu 7: x Cho hàm số +1 y = có đồ thị (C) 3x
a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của (C)với trục Oy .
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của (C)với trục Ox .
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của (C)với đường thẳng y = x +1.
d. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 k = − . 3
e. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó vuông góc với đưởng
thẳng y = 3x − 4 . Lời giải
Tại x ∈ \ 0 tùy ý, ta có: 0 { } + + − −
f (x) − f ( x 1 x 1 x x x = − = 0 ) ( 0 0 ) 3x 3x 3 . x x 0 0
f (x) − f (x − x − x 0 ) ( 0 ) 1 1 . − = = x − x 3 . x x x − x 3 . x x 0 0 0 0
f (x) − f (x0 ) 1 − 1 lim lim − = = 2 x→ 0 x x x − x → 0 x 3 . x x 3x 0 0 0 1 ⇒ y′ = − 2 3x
a. Vì (C)không cắt Oy nên không tồn tại tiếp tuyến thỏa YCBT. Page 7
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
b. Tọa độ giao điểm của(C)với trục Ox là (−1;0)
Suy ra phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C)với trục Ox là 1 1 y = y′(− ) 1 (x + )
1 + 0 ⇔ y = − x − 3 3
c. Tọa độ giao điểm của(C) với đường thẳng y = x +1 là nghiệm của phương trình
x = −1⇒ y = 0 x +1 2 
= x +1 ⇔ 3x + 2x −1 = 0 ⇔ x  1 4 3 x = ⇒ y =  3 3
Phương trình tiếp tuyến tại điểm ( 1 1
−1;0) là y = y′(− ) 1 (x + )
1 + 0 ⇔ y = − x − 3 3
Phương trình tiếp tuyến tại điểm  1 4  1 1 4 7  ;  là    y = y′ x −
+ ⇔ y = −3x +     3 3   3  3  3 3 1
d. Gọi M ( ;ab) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị (C)với hệ số góc k = − 3  2 1 1 1 a 1 b ⇒ y (a) = ⇒ =  ′ = − ⇔ − = − ⇔ 3 2 3 3a 3 
a = −1⇒ b = 0 1
Suy ra phương trình tiếp tuyến với hệ số góc k = − là 1 2 1 y = − (x − )
1 + ⇔ y = − x +1 và 3 3 3 3 1 1 y = − x − . 3 3 1
e. Tiếp tuyến đó vuông góc với đưởng thẳng y = 3x − 4 . Suy ra tiếp tuyến hệ số góc k = − . 3
Vậy bài toán câu e trở về câu d. 3
Câu 8: Cho hàm số y = x − 2x +1
a. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của hàm số trên tại điểm có x = 0.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của hầm số biết nó có k = 2. −
c. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số trên, biết nó tạo với hai trục Oxy một tam giác vuông cân tại O. Lời giải Ta có 2 y ' = 3x − 2
a. Hệ số góc của tiếp tuyến của hàm số tại điểm có x = 0 là k = 3.0 − 2 = 2 −
b. Gọi M (x ; y ) tiếp điểm của tiếp tuyến có hệ số góc 0 0 2 k = 2 − ⇒ f '(x ) = 2 − ⇔ 3x − 2 = 2 − ⇔ x = 0 0 0 0
⇒ PT tiếp tuyến tại điểm M (0;1) chính là PT tiếp tuyến có hệ số góc k = 2 − có dạng sau: Page 8
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM y = 2(
− x − 0) +1 ⇔ y = 2 − x +1
c. Gọi M (x ; y ) hoành độ điểm tiếp xúc của (C) và (d) 0 0
Cách 1: Gọi PT đoạn chắn cắt 2 trục tọa độ và tạo với 2 trục 1 tam giác vuông cân tại O có dạng x y + = 1 ⇒ = .1 x b y b − = − x + , b ( . a b ≠ 0;| a | | =   b |)(d) a ba a
(d) là tiếp tuyến của (C) thì 2 3x 2 b − − = 0 a
x = 1 ⇒ y = 0 0 0 x = 1 − ⇒ y = 2 0 0  2 3x − 2 = 1  Vì 0 3 9 − 5 3 | a | | = b |⇒  ⇔ 2 x = ⇒ y = 0 0 3x − 2 = 1 − 0  3 9  − 3 9 + 5 3 x = ⇒ y = 0 0  3 9
⇒ Có 4 PT tiếp tuyến ứng với các điểm tiếp xúc và hệ số góc trên như sau
y = 1.(x −1) + 0 ⇔ y = x−1
y = 1.(x +1) + 2 ⇔ y = x+ 3 3 9 − 5 3 9 − 2 3 y = 1.( − x − ) + ⇔ y = − x+ 3 9 9 3 9 + 5 3 9 + 2 3 y = 1.( − x + ) + ⇔ y = − x+ 3 9 9
Cách 2: Gọi PT tiếp tuyển của (C) thỏa mãn YCBT có dạng y = kx + b(d ) Ta có 2 k = 3x − 2 0
Có giao điểm của (d) với Ox tại  b − ;0 
; với trục Oy tại (0;b) k   
Vì (d) tạo với hai trục Oxy một tam giác vuông cân tại O. b −  1  b = 0 ⇒ L ⇒ = b ⇔ b .  = 0 ⇔ ⇔    k = 1 ± k k −1   k = 1 ± 2 ⇒ 3x − 2 = 1 ± 0 Làm tiếp như cách 1.
Câu 9: Một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình s = 2
2t + t −1 (m)
a. Tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 2s .
b. Tìm vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ t = 0 tới t = 2s . Lời giải
Ta có: v = ′s = 4t +1
a. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 2s là: 4.2 +1 = 9(m / s)
b. Trong khoảng thời gian từ t = 0 tới t = 2s thì chất điểm di chuyển được quãng đường: 4.2 + 2 −1 = 9(m) Page 9
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Suy ra vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian 2s kể từ thời điểm t = 0 là: ∆s 9 − 0 v = = = 4,5(m / s). ∆t 2 − 0 Page 10
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM NG Ơ VII ĐẠO HÀM CHƯ BÀI 1: ĐẠO HÀM
III HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
Câu 1: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau 0 f x − f x f x + f x
A. f ′(x = lim .
B. f ′(x = lim . 0 ) ( ) ( 0) 0 ) ( ) ( 0) x→ 0 x x − x x→x x − x 0 0 0 f x − f x f x + f x
C. f ′(x = lim .
D. f ′(x = lim . 0 ) ( ) ( 0) 0 ) ( ) ( 0) x→ 0 x x + x x→x x + x 0 0 0
f (x) − f (3)
Câu 2: Cho hàm số y = f (x) xác định trên  thỏa mãn lim = 2 . Kết quả đúng là x→3 x − 3
A. f ′(2) = 3 .
B. f ′(x) = 2 .
C. f ′(x) = 3.
D. f ′(3) = 2 .
f (x) − f (6)
Câu 3: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm thỏa mãn f ′(6) = 2. Giá trị của biểu thức lim x→6 x − 6 bằng A. 12. B. 2 . C. 1. D. 1 . 3 2  2 4x +1 −1
Câu 4: Cho hàm số f (x) xác định bởi f (x)  khi x ≠ 0 =  x
. Giá trị f ′(0) bằng  0 khi x = 0 A. 2 . B. 0 . C. 1 . D. Không tồn tại. 2
Câu 5: Cho hàm số ( ) 3x f x = . Tính f ′(0). 1+ x
A. f ′(0) = 0 . B. f ′(0) =1. C. f ′( ) 1 0 = .
D. f ′(0) = 3 . 3  3x +1 − 2x  khi x ≠ 1
Câu 6: Cho hàm số ( )  x f x − =  1 . Tính f '(1) . −  5 khi x =  1  4
A. Không tồn tại. B. 0 C. 7 − . D. 9 − . 50 64 Page 5
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM 2  Câu 7: Cho hàm số + ≥ y = f (x) x 1, x 1 =  Mệnh đề sai là 2x, x <1. A. f ′( ) 1 = 2 .
B. f không có đạo hàm tại x =1. 0
C. f ′(0) = 2.
D. f ′(2) = 4. 2  Câu 8: Cho hàm số
ax + bx khi x ≥1 f (x) = 
. Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x =1 thì 2a + b
2x −1 khi x < 1 bằng: A. 2 . B. 5. C. 2 − . D. 5 − . 2  Câu 9: Cho hàm số + + ≥ f (x) ax bx 1, x 0 = 
. Khi hàm số f (x) có đạo hàm tại x = 0 . Hãy tính 0
ax − b −1, x < 0
T = a + 2b . A. T = 4 − . B. T = 0 . C. T = 6 − . D. T = 4. 3− 4 − x  khi x ≠ 0
Câu 10: Cho hàm số f (x)  4 = 
. Khi đó f ′(0) là kết quả nào sau đây? 1 khi x = 0 4 A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. Không tồn tại. 4 16 32
Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số số y = x(x − )
1 (x − 2)...(x − )
2021 tại điểm x = 0 .
A. f ′(0) = 0 .
B. f ′(0) = 2021!.
C. f ′(0) = 2021.
D. f ′(0) = 2021 − !.
2 f (x) − xf (2)
Câu 12: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x = 2. Tìm lim . 0 x→2 x − 2 A. 0 . B. f ′(2).
C. 2 f ′(2) − f (2).
D. f (2) − 2 f ′(2).
 x −1 khi x ≥ 0
Câu 13: Cho hàm số f (x) ( )2 = 
có đạo hàm tại điểm x = 0 là? 2 0 −x khi x < 0
A. f ′(0) = 0 . B. f ′(0) =1. C. f ′(0) = 2 − . D. Không tồn tại. 2
x + ax + b khi x ≥ 2
Câu 14: Cho hàm số y = 
. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2 . Giá trị 3 2
x − x −8x +10 khi x < 2 của 2 2 a + b bằng A. 20 . B. 17 . C. 18. D. 25 . Page 6
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM NG Ơ VII ĐẠO HÀM CHƯ BÀI 1: ĐẠO HÀM
III HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
Câu 1: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau 0 f x − f x f x + f x
A. f ′(x = lim .
B. f ′(x = lim . 0 ) ( ) ( 0) 0 ) ( ) ( 0) x→ 0 x x − x x→x x − x 0 0 0 f x − f x f x + f x
C. f ′(x = lim .
D. f ′(x = lim . 0 ) ( ) ( 0) 0 ) ( ) ( 0) x→ 0 x x + x x→x x + x 0 0 0 Lời giải f x − f x
Theo định nghĩa đạo hàm ta có f ′(x = lim . 0 ) ( ) ( 0) x→ 0 x x − x0
f (x) − f (3)
Câu 2: Cho hàm số y = f (x) xác định trên  thỏa mãn lim = 2 . Kết quả đúng là x→3 x − 3
A. f ′(2) = 3 .
B. f ′(x) = 2 .
C. f ′(x) = 3.
D. f ′(3) = 2 . Lời giải
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm ta có
f (x) − f (3) lim = 2 = f ′(3) . x→3 x − 3
f (x) − f (6)
Câu 3: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm thỏa mãn f ′(6) = 2. Giá trị của biểu thức lim x→6 x − 6 bằng A. 12. B. 2 . C. 1. D. 1 . 3 2 Lời giải
f (x) − f (x0 )
Hàm số y = f (x) có tập xác định là D và x ∈ D . Nếu tồn tại giới hạn lim thì 0 x→ 0 x x − x0
giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại x 0
f (x) − f (6)
Vậy kết quả của biểu thức lim = f ′(6) = 2. x→6 x − 6 Page 1
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM  2 4x +1 −1
Câu 4: Cho hàm số f (x) xác định bởi f (x)  khi x ≠ 0 =  x
. Giá trị f ′(0) bằng  0 khi x = 0 A. 2 . B. 0 . C. 1 . D. Không tồn tại. 2 Lời giải TXĐ: D =  .
f (x) − f (0) 2 2 + − Ta có : 4x 1 1 4x 4 lim = lim = lim = lim = 2 . x→0 x→0 2 x→0 − 2 x 0 x x ( 2 4x +1 + ) x→0 2 1 4x +1 +1 Vậy f ′(0) = 2.
Câu 5: Cho hàm số ( ) 3x f x = . Tính f ′(0). 1+ x
A. f ′(0) = 0 . B. f ′(0) =1. C. f ′( ) 1 0 = .
D. f ′(0) = 3 . 3 Lời giải f x − f 0 Ta có: f ′( ) ( ) ( ) 3 0 = lim = lim . x→0 x→0 x 1+ x Mà 3 3 3 3 3 3 lim = lim = 3; lim = lim = 3 ⇒ lim = lim = 3 x 0+ + x 0+ + x 0− + x 0− − x 0+ + x 0 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x − → → → → → → 1+ x ⇒ f ′( ) 3 0 = lim = 3. x→0 1+ x
Kết luận: f ′(0) = 3.  3x +1 − 2x  khi x ≠ 1
Câu 6: Cho hàm số ( )  x f x − =  1 . Tính f '(1) . −  5 khi x =  1  4
A. Không tồn tại. B. 0 C. 7 − . D. 9 − . 50 64 Lời giải Ta có: 2
lim ( ) lim 3x +1 − 2x lim 3x + 1− 4x lim −4x f x − 1 −5 = = = = = f 1 x→1 x→1 x x → − 1 1
(x −1)( 3x +1 + 2x) x→1 ( 3x +1 + 2x) ( ) 4
⇒ Hàm số liên tục lại x = 1. Page 2
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM 3x + 1 − 2x 5 f x f + − 1 '(1) ( ) ( ) lim lim x f − 1 4 4 3 1 3 5 = = = lim x + − x − x→ x→ x x −1 x → − 1 4(x −1)2 1 1 1
16(3x +1) −(3x + 5)2 lim lim −9 9 = = = − x→ 4(x −1)2 1
(4 3x+1+3x+5) x→1 4(4 3x+1+3x+5) 64 2  Câu 7: Cho hàm số + ≥ y = f (x) x 1, x 1 =  Mệnh đề sai là 2x, x <1. A. f ′( ) 1 = 2 .
B. f không có đạo hàm tại x =1. 0
C. f ′(0) = 2.
D. f ′(2) = 4. Lời giải
f (x) − f ( ) 1 2x − 2 lim = lim = 2; − − Ta có x 1 → − x 1 x 1 → x −1
f (x) − f ( ) 2 1 x +1− 2 lim = lim = lim (x + ) 1 = 2. x 1+ → − x 1+ → − x 1 x 1 x 1 + →
Vậy f (1− ) = f (1+ ′ ′
) = f ′( )1 = 2. Suy ra hàm số có đạo hàm tại x =1. Vậy B sai. 0 2  Câu 8: Cho hàm số
ax + bx khi x ≥1 f (x) = 
. Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x =1 thì 2a + b
2x −1 khi x < 1 bằng: A. 2 . B. 5. C. 2 − . D. 5 − . Lời giải
f (x)− f ( ) 1 − − lim 2x 1 1 = lim = 2 ; x 1− → x −1 x 1− → x −1
f (x)− f ( ) 1 2 a( 2 x − ) 1 + b(x − ) 1 (x − )1a  ( x + ) 1 + b lim
= lim ax + bx − a − b = lim lim  = x 1+ → x −1 x 1+ → x −1 x 1+ → x −1 x 1+ → x −1 = lim a(x + ) 1 + b 
 = 2a + b x 1+ →
f (x)− f ( ) 1
f (x)− f ( ) 1
Theo yêu cầu bài toán: lim = lim ⇔ 2a + b = 2. x 1− − x 1 x 1 + → → x −1 2  Câu 9: Cho hàm số + + ≥ f (x) ax bx 1, x 0 = 
. Khi hàm số f (x) có đạo hàm tại x = 0 . Hãy tính 0
ax − b −1, x < 0
T = a + 2b . A. T = 4 − . B. T = 0 . C. T = 6 − . D. T = 4. Lời giải Ta có f (0) =1.
lim f (x) = lim ( 2 ax + bx + =1. + )1 x 0+ → x→0
lim f (x) = lim (ax − b − ) 1 = b − −1. x 0− → x 0− →
Để hàm số có đạo hàm tại x = 0 thì hàm số phải liên tục tại x = 0 nên 0 0
f (0) = lim f (x) = lim f (x) . Suy ra b − −1 =1 ⇔ b = 2 − . x 0+ x 0− → → Page 3
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM 2  Khi đó − + ≥ f (x) ax 2x 1, x 0 =  .
ax +1, x < 0 Xét:
f (x) − f (0) 2 +) lim ax − 2x +1−1 = lim = lim (ax − 2) = 2 − . x 0+ → x x 0+ → x x 0+ →
f (x) − f (0) + − +) lim ax 1 1 = lim = lim (a) = a . x 0− → x x 0− → x x 0− →
Hàm số có đạo hàm tại x = 0 thì a = 2 − . 0 Vậy với a = 2 − , b = 2
− thì hàm số có đạo hàm tại x = 0 khi đó T = 6 − . 0 3− 4 − x  khi x ≠ 0
Câu 10: Cho hàm số f (x)  4 = 
. Khi đó f ′(0) là kết quả nào sau đây? 1 khi x = 0 4 A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. Không tồn tại. 4 16 32 Lời giải Với x ≠ 0 xét: 3− 4 − x 1
f (x) − f (0) − − − 4 − (4 − x) lim 2 4 x = 4 4 lim = lim = lim x→0 x − 0 x→0 x x→0 4x
x→0 4x(2 + 4 − x ) 1 = lim = 1 1 = ⇒ f ′( ) 1 0 = .
x→0 4(2+ 4 − x) 4(2 + 4 −0) 16 16
Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số số y = x(x − )
1 (x − 2)...(x − )
2021 tại điểm x = 0 .
A. f ′(0) = 0 .
B. f ′(0) = 2021!.
C. f ′(0) = 2021.
D. f ′(0) = 2021 − !. Lời giải Ta có − − − − f ′( )
f (x) f (0) x(x ) 1 (x 2)...(x ) 2021 0 = lim = lim x→0 x→0 x − 0 x = lim(x − )
1 (x − 2)...(x − ) 2021 = (− ) 1 .( 2 − )...(− ) 2021 = 2021 − !. x→0
2 f (x) − xf (2)
Câu 12: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x = 2. Tìm lim . 0 x→2 x − 2 A. 0 . B. f ′(2).
C. 2 f ′(2) − f (2).
D. f (2) − 2 f ′(2). Lời giải
f (x) − f (2)
Do hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x = 2 suy ra lim = f ′(2) . 0 x→2 x − 2
2 f (x) − xf (2)
2 f (x) − 2 f (2) + 2 f (2) − xf (2) Ta có I = lim ⇔ I = lim x→2 x − 2 x→2 x − 2 Page 4
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
2( f (x) − f (2)) f (2)(x − 2) ⇔ I = lim − lim
⇔ I = 2 f ′(2) − f (2) . x→2 x→2 x − 2 x − 2
 x −1 khi x ≥ 0
Câu 13: Cho hàm số f (x) ( )2 = 
có đạo hàm tại điểm x = 0 là? 2 0 −x khi x < 0
A. f ′(0) = 0 . B. f ′(0) =1. C. f ′(0) = 2 − . D. Không tồn tại. Lời giải
Ta có: f (0) =1; lim f (x) = lim (x − )2
1 =1; lim f (x) = lim ( 2 −x = . − − ) 0 x 0+ x 0+ → → x→0 x→0
Ta thấy f (0) = lim f (x) ≠ lim f (x) nên hàm số không liên tục tại x = 0 . 0 x 0+ x 0− → →
Vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 0 . 0 2
x + ax + b khi x ≥ 2
Câu 14: Cho hàm số y = 
. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2 . Giá trị 3 2
x − x −8x +10 khi x < 2 của 2 2 a + b bằng A. 20 . B. 17 . C. 18. D. 25 . Lời giải 2
x + ax + b khi x ≥ 2 Ta có y =  3 2
x − x −8x +10 khi x < 2
2x + a khi x ≥ 2 ⇒ y′ =  2 3
x − 2x −8 khi x < 2
Hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2 ⇒ 4 + a = 0 ⇒ a = 4 − .
Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2 thì hàm số liên tục tại điểm x = 2 .
Suy ra lim f (x) = lim f (x) = f (2) x 2+ x 2− → →
⇒ 4 + 2a + b = 2 − ⇒ b = 2 . Vậy 2 2 a + b = 20 . Page 5
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM NG Ơ VII ĐẠO HÀM CHƯ
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM I LÝ THUYẾT.
Từ định nghĩa đạo hàm ta có: (c)′ = 0 (c = const); (x)′ =1, x ∀ ∈ 
1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ n
y = x (n∈*) Hàm số n
y = x (n∈*) có đạo hàm trên  và ( n x )′ n 1 = nx − .
2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ y = x
Hàm số y = x có đạo hàm trên (0;+∞) và ( x)′ 1 = . 2 x
3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Chú ý: Giới hạn của sin x sin lim x =1. x x→0 x sin u (x)
Nếu lim u (x) = 0 thì lim = 1. x→ 0 x x→ 0 x u (x)
a) Đạo hàm của hàm số y = sin x
Hàm số y = sin x có đạo hàm trên  và (sin x)′ = cos x .
Đối với hàm số hợp y = sin u và u = u (x) ta có (sin u)′ = u .′cosu .
b) Đạo hàm của hàm số y = cos x
Hàm số y = cos x có đạo hàm trên  và (cos x)′ = −sin x .
Đối với hàm số hợp y = cosu và u = u (x) ta có (cosu)′ = u − ′sin u . Page 7
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
c) Đạo hàm của hàm số y = tan x π
Hàm số y = tan x có đạo hàm tại mọi x ≠ + kπ và ( x)′ 1 tan = . 2 2 cos x ′
Đối với hàm số hợp y = tan u và u = u (x) ta có (tan )′ u u = . 2 cos u
d) Đạo hàm của hàm số y = cot x
Hàm số y = cot x có đạo hàm tại mọi x ≠ kπ và ( x)′ 1 cot = − . 2 sin x ′
Đối với hàm số hợp y = cot u và u = u (x) ta có (cot )′ u u = − . 2 sin u
4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Cho biết: x − ln (1+ x) +) e 1 lim = 1. +) lim = 1 . x→0 x x→0 x u(x) e −1 ln 1  + u  (x)
+) Nếu lim u (x) = 0 thì lim = 1; lim  =1. x→ x→ 0 x u (x) x→ 0 x u (x) 0 x x xln −1 a ae −1 +) lim = limln . a  = ln a . x→0 x→0 xx ln a  log + x + x a (1 ) ln (1 ) +) 1 lim = lim = . x→0 x→0 x x ln a ln a
2. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG CỦA HAI HÀM SỐ
Giả sử các hàm số u = u (x),v = v(x) có đạo hàm trên khoảng ( ; a b). Khi đó
(u + v)′ = u + v ; (u −v)′ ′ ′
= u′ − v ;′ ′ ( = ′
uv)′ = u v′ + uv ;′ (ku) ku (k = ons c t);  u ′ u v ′ − v u ′ ′   ′ = v ≠ 1 v   0 ; = − . v = v x ≠   0 2 ( ( ) ) 2 ( )  v vv v Page 8
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP
a) Khái niệm hàm số hợp
Giả sử u = g (x) là hàm số xác định trên khoảng ( ;
a b), có tập giá trị chứa khoảng ( ; c d ) và
y = f (u) là hàm số xác định trên ( ;
c d ) . Hàm số y = f (g (x)) được gọi là hàm số hợp của
hàm số y = f (u) với u = g (x).
b) Đạo hàm của hàm số hợp
Nếu hàm số u = g (x) có đạo hàm u ′ tại x và hàm số y = f (u) có đạo hàm y ′ tại u thì hàm x u
số hợp y = f (g (x)) có đạo hàm y ′ tại x là x
y′ = y′ u′ . x u . x
Từ đó ta có các kết quả sau: ( nu)′ n 1 = . n u − .u′
(n∈,n > )1; ( )′ u′ u = (u > 0). 2 u Page 9
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
7. ĐẠO HÀM CẤP HAI
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm y′ = f ′(x) tại mọi điểm x∈(a;b) . Nếu hàm số y′ = f ′(x)
lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y′ = f ′(x) là đạo hàm cấp hai của hàm số
y = f (x) tại x , kí hiệu là y′ hoặc f ′′(x) .
Khi đó: ( f (x))′ ′ = f ′′(x) .
Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI
Một chuyển động có phương trình s = f (t) thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số s = f (t)
là gia tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t . Ta có a(t) = f ′′(t) II
HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Câu 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a. 2 1 y 1 1 = 4x − x + b. y = x − − +1 x 3 x x 2 2 c.  1   1 y x   x  = + + + d. 3 4 5
y = x + x + x + x + x x   x 
Câu 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = (1− x)(1− 2x)(1−3x) b. y = (x + x)( 2x + x + )1 c. 2
y = x (x + 4)3 d.  1  1 y 1 x  = − −   e. y = ( 3
x + 3x)(2 − x) 2 x x    
Câu 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2 a. 2 + − y + x 4x 1 = b. x 2 y = c. y = x 2x −1 2x + 3 2 d. x + − y 1 x x = e. y = f. 3 y = x +1 2 1− x + x 2x −1
Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 7  x +  a. y ( 4
= x + x + x + x + x )5 3 5 b. 2 1
y =  x − x + 3 1− 2     x  1 2x − +1 2
c. y = ( 3x + ) 3 2 3
2 1− x + x −1 d. = x y 3
x + x + x −1 e. = x y
f. y = ( 3 x + 2)( 3 2 1+ x + 3x) 2 x + x +1
Câu 5: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = 5sin x − 3cos x . b. y = ( 2
sin x − 3x + 2) . Page 10
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
c. y = 1+ 2 tan x . d. y = tan 3x − cot 3x .
Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số: 1 1 1 1 1 1 y = + +
+ cos x với x ∈( ; 0 π ). 2 2 2 2 2 2
Câu 7: Chứng minh rằng:
a. Hàm số y = tan x thoả mãn hệ thức 2
y′ − y −1 = 0 .
b. Hàm số y = cot 2x thoả mãn hệ thức 2
y′ + 2y + 2 = 0 . ax bx − Câu 8: e e
Tìm giới hạn A = lim . x→0 x 3 2x 1 + 1 − 1−3x 1 − −
Câu 9: Tìm giới hạn = lim e e A . x→0 x 1 x − e
Câu 10: Tìm giới hạn A = lim . x→0 x +1 −1 (1+ x)α −1
Câu 11: Tìm giới hạn A = lim x→0 x x e −1
Câu 12: Tìm giới hạn A = lim . x→0 sin 2x x  +
Câu 13: Tìm giới hạn 1 lim x A  =   .
x→+∞  x −1 2 x − Câu 14: e cos x
Tìm giới hạn A = lim 2 . x→0 x 2 3 − x 3 2 e − 1+ x
Câu 15: Tìm giới hạn A = lim . x→ ln ( 2 0 1+ x )  n sè h¹ng a + aa + ... +
Câu 16: Tìm giới hạn = ... aa a A lim . 10n ln( 2 1+ 3x )
Câu 17: Tìm giới hạn L = lim .
x→0 1− cos 2x 6x − 3x
Câu 18: Tìm giới hạn L = lim .
x→0 ln (1+ 6x) − ln (1+ 3x) 2 2 − x 3 2 e − 1+ x
Câu 19: Tìm giới hạn L = lim . x→ ln( 2 0 1+ x )
ln (sin x + cos x)
Câu 20: Tìm giới hạn L = lim . x→0 x Page 11
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
ln ( 3 3x +1+ )1−ln( x +1+ )1
Câu 21: Tìm giới hạn L = lim . x→0 x
Câu 22: Tính đạo hàm của hàm số 2 2 2x y + = .
Câu 23: Tính đạo hàm của hàm số = ( 2 + 2 ) x y x x e .
Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số x y xe− = .
Câu 25: Tính đạo hàm của hàm số 2 x −2 y = e cos x . 3x − 3−x
Câu 26: Tính đạo hàm của hàm số y = x −x . 3 + 3
Câu 27: Tính đạo hàm của hàm số tan = cos . x y x e .
Câu 28: Cho hàm số f (x) 2 x 1 e + = . Tính f ′( ) 1 .
Câu 29: Chứng minh rằng, nếu 2x 2 x y e e− = +
thì y′′′ − y′′ − 2y′ = 0 .
Câu 30: Cho hàm số y = ln(cos x) . Với điều kiện hàm số đã cho, tìm đạo hàm của hàm số đó.
Câu 31: Cho hàm số y = ( 2 2
ln x + x +1) . Với điều kiện hàm số đã cho, tìm đạo hàm của hàm số đó.
DẠNG: TÍNH ĐẠO HÀM CẤP HAI 1 PHƯƠNG PHÁP.
+ Áp dụng trực tiếp công thức để tính đạo hàm cấp hai y = ( y )′ ′ ′ .
+ Tính y′′(x . 0 ) 2
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Câu 32: Cho f (x) = (x − )6
3 . Tính f ′′(2) .
Câu 33: Đạo hàm cấp hai của hàm số f (x) 3 2
= x − x +1 tại điểm x = 2 là:
Câu 34: Cho f (x) = sin3x . Giá trị của  π f "  −  bằng: 2    Câu 35:
a) Cho f (x) = (x + )6 10 . Tính f "(2) .
b) Cho f (x) = sin 3x . Tính  π  π f  ′ −  
, f ′′(0) , f ′ . 2      18 
Câu 36: Đạo hàm cấp hai của hàm số x +1 y = là: x − 2
Câu 37: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin5x o c s2x là
Câu 38: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) 1 y = . b) 1 y =
. c) y = tan x . d) 2 y = cos x . 1− x 1− x Page 12
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 39: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) + y = sin 5x o c s2x b) 2x 1 y = c) x y = 2 x + x − 2 2 x −1 d) x −1 y = e) 2
y = x sin x f) 2
y = x 1+ x x + 2 g) y = ( 2 1− x )cos x h) y = x
i) y = sin xsin 2xsin 3x 2 j) x y =
k) y = xcos 2x l) 1 y = 1− x x DẠNG: GIA TỐC
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Câu 40: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2 S = t
− + 3t + 9t , trong đó t tính bằng giây
và S tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.
Câu 41: Một chuyển động xác định bởi phương trình S (t) 3 2
= t − 3t − 9t + 2. Trong đó t được tính bằng
giây, S được tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3s ?
Câu 42: Một chất điểm chuyển động có phương trình 4 2
S = 2t + 6t − 3t +1 với t tính bằng giây (s) và S
tính bằng mét (m). Hỏi gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3(s) bằng bao nhiêu? Page 13
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM NG Ơ VII ĐẠO HÀM CHƯ
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM I LÝ THUYẾT.
Từ định nghĩa đạo hàm ta có: (c)′ = 0 (c = const); (x)′ =1, x ∀ ∈ 
1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ n
y = x (n∈*) Hàm số n
y = x (n∈*) có đạo hàm trên  và ( n x )′ n 1 = nx − .
2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ y = x
Hàm số y = x có đạo hàm trên (0;+∞) và ( x)′ 1 = . 2 x
3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Chú ý: Giới hạn của sin x sin lim x =1. x x→0 x sin u (x)
Nếu lim u (x) = 0 thì lim = 1. x→ 0 x x→ 0 x u (x)
a) Đạo hàm của hàm số y = sin x
Hàm số y = sin x có đạo hàm trên  và (sin x)′ = cos x .
Đối với hàm số hợp y = sin u và u = u (x) ta có (sin u)′ = u .′cosu .
b) Đạo hàm của hàm số y = cos x
Hàm số y = cos x có đạo hàm trên  và (cos x)′ = −sin x .
Đối với hàm số hợp y = cosu và u = u (x) ta có (cosu)′ = u − ′sin u . Page 1
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
c) Đạo hàm của hàm số y = tan x π
Hàm số y = tan x có đạo hàm tại mọi x ≠ + kπ và ( x)′ 1 tan = . 2 2 cos x ′
Đối với hàm số hợp y = tan u và u = u (x) ta có (tan )′ u u = . 2 cos u
d) Đạo hàm của hàm số y = cot x
Hàm số y = cot x có đạo hàm tại mọi x ≠ kπ và ( x)′ 1 cot = − . 2 sin x ′
Đối với hàm số hợp y = cot u và u = u (x) ta có (cot )′ u u = − . 2 sin u
4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Cho biết: x − ln (1+ x) +) e 1 lim = 1. +) lim = 1 . x→0 x x→0 x u(x) e −1 ln 1  + u  (x)
+) Nếu lim u (x) = 0 thì lim = 1; lim  =1. x→ x→ 0 x u (x) x→ 0 x u (x) 0 x x xln −1 a ae −1 +) lim = limln . a  = ln a . x→0 x→0 xx ln a  log + x + x a (1 ) ln (1 ) +) 1 lim = lim = . x→0 x→0 x x ln a ln a
2. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG CỦA HAI HÀM SỐ
Giả sử các hàm số u = u (x),v = v(x) có đạo hàm trên khoảng ( ; a b). Khi đó
(u + v)′ = u + v ; (u −v)′ ′ ′
= u′ − v ;′ ′ ( = ′
uv)′ = u v′ + uv ;′ (ku) ku (k = ons c t);  u ′ u v ′ − v u ′ ′   ′ = v ≠ 1 v   0 ; = − . v = v x ≠   0 2 ( ( ) ) 2 ( )  v vv v Page 2
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP
a) Khái niệm hàm số hợp
Giả sử u = g (x) là hàm số xác định trên khoảng ( ;
a b), có tập giá trị chứa khoảng ( ; c d ) và
y = f (u) là hàm số xác định trên ( ;
c d ) . Hàm số y = f (g (x)) được gọi là hàm số hợp của
hàm số y = f (u) với u = g (x).
b) Đạo hàm của hàm số hợp
Nếu hàm số u = g (x) có đạo hàm u ′ tại x và hàm số y = f (u) có đạo hàm y ′ tại u thì hàm x u
số hợp y = f (g (x)) có đạo hàm y ′ tại x là x
y′ = y′ u′ . x u . x
Từ đó ta có các kết quả sau: ( nu)′ n 1 = . n u − .u′
(n∈,n > )1; ( )′ u′ u = (u > 0). 2 u Page 3
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
7. ĐẠO HÀM CẤP HAI
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm y′ = f ′(x) tại mọi điểm x∈(a;b) . Nếu hàm số y′ = f ′(x)
lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y′ = f ′(x) là đạo hàm cấp hai của hàm số
y = f (x) tại x , kí hiệu là y′ hoặc f ′′(x) .
Khi đó: ( f (x))′ ′ = f ′′(x) .
Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI
Một chuyển động có phương trình s = f (t) thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số s = f (t)
là gia tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t . Ta có a(t) = f ′′(t) II
HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Câu 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a. 2 1 y 1 1
= 4x − x + b. y = x − − +1 x 3 x x 2 2 c.  1   1 y x   x  = + + + d. 3 4 5
y = x + x + x + x + x x   x  Lời giải a. 1 1 y′ = 8x − − 2 2 x x b. 1 1 y′ =1+ + 3 3 4 2 x 3 x 2 2 c.  1   1  1 2 1 1 2 y =  x + +  x +
= x + 2 + + x + 2 + ⇒ y′ =1− + 2x −   2 2 3  x   x x x x x d. 1 1 1 1 y′ =1+ + + + 3 2 4 3 5 4 2 x 3 x 4 x 5 x
Câu 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = (1− x)(1− 2x)(1−3x) b. y = (x + x)( 2x + x + )1 c. 2
y = x (x + 4)3 d.  1  1 y 1 x  = − −   e. y = ( 3
x + 3x)(2 − x) 2 x x     Lời giải
a. y = ( − x)( − x)( − x) = ( 2 1 1 2 1 3
1− 3x + 2x )(1−3x) 2 2 3 2 3
=1− 3x − 3x + 9x + 2x − 6x =1− 6x +11x − 6x 2 ⇒ y′ = 6 − + 22x −18x Page 4
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
b. y = (x + x)( 2x + x + ) 3 2 2
1 = x + x + x − x x − x x − x 2 5 3 3 1
y′ = 3x + 2x +1− x − x − 2 2 2 x c. 2
y = x (x + )3 2 = x ( 3 2
x + x + x + ) 5 4 3 2 4 12 48
64 = x +12x + 48x + 64x 4 3 2
y′ = 5x + 48x +144x +128x d.  1  1  1 1 2 3 y = 1− x − =  x − −1+ ⇒ y′ =1+ −   2 2 3 3 4  x  x x x x x e. y = ( 3
x + x)( − x) 3 4 2 2 3 3 2
= 2x − x + 6x − 3x ⇒ y′ = 6x − 4x + 6 − 6x
Câu 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2 a. 2 + − y + x 4x 1 = b. x 2 y = c. y = x 2x −1 2x + 3 2 d. x + − y 1 x x = e. y = f. 3 y = x +1 2 1− x + x 2x −1 Lời giải a. 2 y − ′ = 2 x
2x −1− 2(x + 2) b. 5 y′ = = (2x − )2 1 (2x − )2 1
(2x +3)(2x + 4)− 2( 2x + 4x − ) 2 2 2 1 c.
4x +14x +12 − 2x −8x + 2 2x + 6x +14 y′ = = = (2x +3)2 (2x +3)2 (2x +3)2 1 (x+ )1− x d. 2 x 1− x y′ = = (x + )2 1 2 x (x + )2 1 2 2( 1 − + 2x) 2(1− 2x) e. y = −1⇒ y′ = − = 2 1− x + x ( 2 1− x + x )2 ( 2 1− x + x )2 f. 6 y′ = − (2x − )2 1
Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 7  x +  a. y ( 4
= x + x + x + x + x )5 3 5 b. 2 1
y =  x − x + 3 1− 2     x Page 5
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM 1 2x − +1 2
c. y = ( 3x + ) 3 2 3
2 1− x + x −1 d. = x y 3
x + x + x −1 e. = x y
f. y = ( 3 x + 2)( 3 2 1+ x + 3x) 2 x + x +1 Lời giải   a. 1 1 1 1 y′ = 51+ + + +
x + x + x + x + x 4 ( 4 3 2 3 5 4 )4 3 5  2 x 3 x 4 x 5 x  6 ′  x +   x +  b. 2 1 2 1
y′ =  x − x + 3 −
  x − x + 3 7 1 1− 2 2       x   x   ′  x  (  +1  2 x + x )′ 1−  6 2   x   x +  2 1 y′ = + 
 x − x + 3 7 1−  2  2 2  2  −  +1  x x x x  3 3 1−   2     x   2 
x − 2x(x + ) 1 1    2 − x −    6  4  2  xx   x +  2 1 y′ = + 
 x − x + 3 7 1−  2  2 2  2  −  +1  x x x x  3 3 1−   2     x    1   −x − 2 2x −  6 3  2 x  x x +  2 1 y′ = + 
 x − x + 3 7 1−  2  2 2  2  −  +1  x x x x  3 3 1−   2     x   ′ ′ ′
c. y′ = ( 3x + ) 3 2 − x + ( 3 x + )(3 2 − x ) +( 3 2 1 2 1 x −1) ′ = − + ( + ) 2 2 3 2 3 2 − x 3 3 1 2 . + x y x x x ( x )2 3 2 3 2 x − − 1 3. 1  1 ′ x − + (   ′ 3
x + x + x − ) 1 2 1 1 − 2x − +1 ( 3
x + x + x −     1 2 2 ) d.  x   xy′ = (
x + x + x −1)2 3  2  + x
(x + x + x − ) 2    3 1 1 3 2
1 − 2x − +11+ + 3 2  3  x   x
 2 x 2 x −1  y′ = (
x + x + x −1)2 3 2 2x +1 x + x +1 − . x 2 2 2 e. 2 x + x +1
2x + 2x + 2 − 2x − x x + 2 y′ = ( x x ) = = 2 2 2 x + x +1( 2 x + x + ) 2 1 2 x + x +1( 2 2 x + x + + + )1 1 Page 6
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 5: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = 5sin x − 3cos x . b. y = ( 2
sin x − 3x + 2) .
c. y = 1+ 2 tan x . d. y = tan 3x − cot 3x . Lời giải
a. Ta có: y′ = 5cos x + 3sin x b. Ta có: 2 2
y′ = (x − 3x + 2) .′cos(x − 3x + ) 2 2
= (2x − 3 .)cos(x − 3x + 2) . c. Ta có: 2 (2tan x)′ 2 y′ = cos x = 1 = . 2 1+ 2tan x 2 1+ 2tan x 2 cos x 1+ 2tan x
d. Ta có các cách thực hiện sau: Cách 1: Ta có ngay: y’ = 3 3 y′ = + 3 = 3 12 = = . 2 2 cos 3x sin 3x 2 2 sin 3 .xcos 3x 1 2 2 sin 6x sin 6x 4
Cách 2: Ta biến đổi: sin3x cos3x 2 2 y − = − sin 3x cos 3x 2cos6x = = − = 2 − cot 6x cos3x sin3x cos3 .xsin3x sin 6x ⇒ 12 y' = . 2 sin 6x
Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số: 1 1 1 1 1 1 y = + +
+ cos x với x ∈( ; 0 π ). 2 2 2 2 2 2 Lời giải
Biến đổi hàm số về dạng: 1 1 1 1 1 1 y = + + + cos x = 1 1 1 1 2 cos x + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1 1 1 1 cos x + + = 1 1 2 cos x + = 1 1 cos x + 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 = 2
cos x = cos x . 8 8 Page 7
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM ′ Do đó  x  1 ′ = cos = −   sin x y .  8  8 8
Câu 7: Chứng minh rằng:
a. Hàm số y = tan x thoả mãn hệ thức 2
y′ − y −1 = 0 .
b. Hàm số y = cot 2x thoả mãn hệ thức 2
y′ + 2y + 2 = 0 . Lời giải a. Trước tiên, ta có: 1 y′ = . 2 cos x Khi đó, ta có: 2 y′ − y −1 1 2 =
− tan x −1 = 1 − 1 = 0. 2 cos x cos2 x cos2 x b. Trước tiên, ta có: 2 y′ = − . 2 sin 2x Khi đó, ta có: 2 y′ + 2y + 2 = 2 2 − + 2cot 2x + 2 2 2 = − + = 0. 2 sin 2x 2 2 sin 2x sin 2x ax bx − Câu 8: e e
Tìm giới hạn A = lim . x→0 x Lời giải ax bx e − e ax  −1 bx e e −1 Ta có A = lim = lima − b  = a − b . x→0 x x→0  ax bx
Vậy A = a − b . 3 2x 1 + 1 − 1−3x 1 − − Câu 9: e e
Tìm giới hạn A = lim . x→0 x Lời giải 3 2x 1 + 1 − 1−3x 1 − 3  2x 1 + 1 − 3 1−3x 1 −  + − − − − − = lim e − e A 2x 1 1 e 1 1 3x 1 e 1 = lim . − .  . x→0 x x→0 3  x 2x +1 −1 x 1− 3x −1    2x +1 −1 2 Ta có lim = lim x 2 = lim = 1. x→0 x
x→0 x( 2x +1 + ) 1 x→0 2x +1 +1 Page 8
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM 2x 1 + 1 2x 1 1 e − + − −1 Nên lim . = 1 x→0 x 2x +1 −1 3 1− 3x −1 3 − x 3 − Ta có lim = lim = lim = 1 − . x→0 x x→0  3
x (1 3x)2 3 1 3x 1 − + − + x→0  2 3 3  
(1−3x) + 1−3x +1     3 3 1−3x 1 1 3x 1 e − − − −1 Nên lim . = 1
− . Vậy A = 2 . x→0 3 x 1− 3x −1 1 x − e
Câu 10: Tìm giới hạn A = lim . x→0 x +1 −1 Lời giải 1 x x − − = lim − e A x e 1 = lim . . x→0 x +1 −1 x→0 x +1 −1 x Ta có lim −x = −lim + + = − → ( x 1 ) 1 2 . x→0 x +1 −1 x 0 x −x e −1 Nên lim . = 2 − . Vậy A = 2 − . x→0 x +1 −1 x (1+ x)α −1
Câu 11: Tìm giới hạn A = lim x→0 x Lời giải (1+ x)α −1
ln (1+ x) αln(1+x) A = lim e −1 = limα . = α . Vậy A = α . x→0 x x→0 x α ln (1+ x) x e −1
Câu 12: Tìm giới hạn A = lim . x→0 sin 2x Lời giải x e −1 x − A = lim e 1 1 2x 1 = lim . = . Vậy 1 A = . x→0 sin 2x x→0 x ( xe + ) sin2x 4 2 1 4 x Câu 13:  + Tìm giới hạn 1 lim x A  =   .
x→+∞  x −1 Lời giải 1 x lim + x A  = 
 , đặt t = x −1 , khi x → +∞ thì t → +∞ .
x→+∞  x −1 Page 9
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM t 1 2 tt + 2 + t   A lim  +  + ⇒ = t 2 t 2  + 2 t 2  2    = lim   = lim  2 1+   = e .
t→+∞  t
t→+∞ t t
t→+∞ t  t     Vậy 2 A = e . 2 x e − cos Câu 14: x
Tìm giới hạn A = lim 2 . x→0 x Lời giải x  2 x 2 e − cos 2  x   2 x 2sin  = lim x A e −1 1− cos − = lim x  +  e 1  2 lim  = + 2 2 2 2 2 . x→0 x x→0  x x      x→0 x 4. x        2   1 3 ⇒ A =1+ = 3 . Vậy A = . 2 2 2 2 3 − x 3 2 e − 1+ x
Câu 15: Tìm giới hạn A = lim . x→ ln ( 2 0 1+ x ) Lời giải 2 3 − x 3 2 e − 1 2  3 − x 2 3 2  − − + = lim + x A = (− ) e 1 x 1 1 lim 3 . x +  . x→ ln ( 2 0 1+ x ) x→  ( 2 3 − x ) ln( 2 1+ x ) ln( 2 0 1+ x )    2 3 − x 2 e −1 Ta có lim( 3 − ) . x = 3 − . x→ ( 2 3 − x ) ln( 2 0 1+ x )   3 2 1− 1+ x 2 Ta có lim  1 1 lim − =  . x   = − . x→ ln ( 2 0 1+ x ) x→ 2  + + + ( 2 + )2 ln( 2 0 3 3 1 1 1 1 + x x x ) 3   10 Nên 1 10 A = 3 − − = − . Vậy A = − . 3 3 3  n sè h¹ng a + aa + ... +
Câu 16: Tìm giới hạn = ... aa a A lim . 10n Lời giải  n soá haïng   n s  oá h  aïng   n s  oá h  aïng
a + aa + aaa +...+ ... aa a a  
= a1+11+111+...+111...1 = 9 + 99 + 999 +...+ 999...9 .   9       Page 10
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM a 10(10n a − ) 1  = ( 2 3
10 −1+10 −1+10 −1+...+10n − ) 1 =  − n . 9 9  9    nsè h¹ng n n a + aa + ... + a 10 10 −1  a 10(10 − ) 1 n  Ta có ... aa a ( ) lim = lim  − n = lim  −  n n n . 10n 9.10  9    9  9.10 10    10(10n − ) 1 10 Mặt khác lim = n . 9.10 9 n  2 n  1 1 Và 0 1 n
n ≤ C + C + ... n + C = 2n n n n ⇒ 0 ≤ ≤ = lim 0 ⇒ = n   n , mà . 10 10  5 5n = lim 0 10n 10 Vậy a A = . 81 ln( 2 1+ 3x )
Câu 17: Tìm giới hạn L = lim .
x→0 1− cos 2x Lời giải ln( 2 1+ 3x ) ln( 2 1+ 3x ) 1 3ln( 2 1+ 3x ) 2  sin x   3 Ta có L = lim = lim = lim  :  =   . 2 x→0 − x→0 1 cos2x 2sin x 2 x→0 2  3xx   2   6x − 3x
Câu 18: Tìm giới hạn L = lim .
x→0 ln (1+ 6x) − ln (1+ 3x) Lời giải 6x − 3x
 6x −1 3x −1  ln(1+ 6x) ln(1+ 3x)  Ta có L = lim = lim −  :  −  .
x→0 ln (1+ 6x) − ln (1+ 3x) x→0  x x   x x  = ( − ) ( − ) 1 ln 6 ln3 : 6 3 = ln 2 . 3 2 2 − x 3 2 e − 1+ x
Câu 19: Tìm giới hạn L = lim . x→ ln( 2 0 1+ x ) Lời giải 2 2 − x 3 −  x 3 e − 1+ x e −1 1+ x −1 ln( 2 2 2 2 2 1+ x ) L = lim = lim −  : . → 2 2 2 2 x 0 ln(1+ x ) x→0  x xx     2 − xe −1 1  ln ( 2 2 1+ x ) 7 = lim 2 − − : = − .  2  2 x→0 2 − x 3  ( 2 + x )2 3 2 x 3 1 + 1+ x +1   Page 11
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
ln (sin x + cos x)
Câu 20: Tìm giới hạn L = lim . x→0 x Lời giải
ln (sin x + cos x)
2ln (sin x + cos x)
ln (sin x + cos x)2 Ta có L = lim = lim = lim x→0 x x→0 2x x→0 2x ln (1+ sin 2x)
ln (1+ sin 2x) sin 2x = lim = lim  .  = 1. x→0 2x x→0  sin 2x 2x
ln ( 3 3x +1+ )1−ln( x +1+ )1
Câu 21: Tìm giới hạn L = lim . x→0 x Lời giải
ln ( 3 3x +1+ )1−ln( x +1+ )1
ln ( 3 3x +1+ )1−ln 2− ln  ( x +1 + ) 1 − ln 2 L = lim lim  = . x→0 x x→0 x  3  3x +1 −1  x +1 −1  ln 1+  ln  +1  2 2  = lim     − . x→0  x x          3  3x +1 −1 1 3x ln   1+ ln 1+ 2   2 2 3 3 3x 1 3x 1 1 + + + + Ta có lim   ( )   1 = lim = . x→0 x x→0 2 ( 1 3x 3 ( x + )2 3 + x + + ) ( 2 3 1 3 1 1 3 2 3 (3x+ )2 3 1 + 3x +1 + )1  x +1 −1  ln  +1  1 x  2  ln . +  1 Và lim    2 x +1 +1  1 = lim = . x→0 x x→0 ( x+ + )1 x 4 2 1 1 . 2 x +1 +1 1 1 1 Vậy L = − = . 2 4 4
Câu 22: Tính đạo hàm của hàm số 2 2 2x y + = . Lời giải 2 2 2x y + =
⇒ y′ = (x + ) 2 2 2 2 ′ x +2 x +2 x +3 2 .2 .ln 2 = 2 . x 2 .ln 2 = . x 2 .ln 2 .
Câu 23: Tính đạo hàm của hàm số = ( 2 + 2 ) x y x x e . Lời giải = ( 2 + 2 ) x y x
x e ⇒ ′ = ( + ) x + ( 2 2 2 . + 2 ). x y x e x
x e = ( 2 + 4 + 2). x x x e . Page 12
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số x y xe− = . Lời giải x y xe− = − x ⇒ ′ = − . −x y e x e (1 ). x x e− = − .
Câu 25: Tính đạo hàm của hàm số 2 x −2 y = e cos x . Lời giải 2 x −2 y = e cos x 2 2 x −2 x −2 ⇒ y′ = 2 . x e cos x − e sin x ( ) 2 2 2 cos sin x x x x e − = − . 3x − 3−x
Câu 26: Tính đạo hàm của hàm số y = x −x . 3 + 3 Lời giải 3x − 3−x
(3x ln3+3−x ln3)(3x +3−x)−(3x −3−x)(3x ln3−3−x ln3) y = ⇒ y ' = x − x . 3 + 3 (3x +3−x)2
(3x +3−x)2 −(3x −3−x)2 4ln 3 = ln 3 = . (3x +3−x)2 (3x +3−x)2
Câu 27: Tính đạo hàm của hàm số tan = cos . x y x e . Lời giải tan x 1 = cos . x y x e tan tan ⇒ ′ = −sin . + cos . . x y x e x e tan x  1 e  sin x = − 2  . cos x  cos x
Câu 28: Cho hàm số f (x) 2 x 1 e + = . Tính f ′( ) 1 . Lời giải
Sử dụng công thức: ( u )′ = . u e u′ e . 2 x 1 .xe + 2 e f (x) 2 x 1 e + = ⇒ f ′(x) = . Vậy f ′( ) 1 = . 2 x +1 2
Câu 29: Chứng minh rằng, nếu 2x 2 x y e e− = +
thì y′′′ − y′′ − 2y′ = 0 . Lời giải Ta có 2 2 x 2 x y e e− ′ = − ; ′′ = ( ′)′ 2 = 4 x + 2 x y y e
e− ; ′′′ = ( ′′)′ 2 = 8 x − 2 x y y e e− .
Suy ra: y′′′ − y′′ − 2y′ = 0 .
Câu 30: Cho hàm số y = ln(cos x) . Với điều kiện hàm số đã cho, tìm đạo hàm của hàm số đó. Lời giải ′
Phân tích: Sử dụng các công thức:(ln )′ u
u = ; (cos x)′ = −sin x . u Page 13
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
(cos x)′ −sin x Đạo hàm: y′ = = = − tan x . cos x cos x
Câu 31: Cho hàm số y = ( 2 2
ln x + x +1) . Với điều kiện hàm số đã cho, tìm đạo hàm của hàm số đó. Lời giải ′ ′ ′
Phân tích: Sử dụng các công thức:(ln )′ u u = ; ( ) u u = . u 2 u 2 ′ ( x +1 ′ x 2 2 ) ( ) 2x + 2 1 x x x + + + 2 x 1 x 1 x( 2 2 2 2 x +1 + + + )1 Đạo hàm: y′ = = = = . 2 2 2 2 2 2 x + x +1 x + x +1 x + x +1 ( 2 2
x + x +1) 2x +1
DẠNG: TÍNH ĐẠO HÀM CẤP HAI 1 PHƯƠNG PHÁP.
+ Áp dụng trực tiếp công thức để tính đạo hàm cấp hai y = ( y )′ ′ ′ .
+ Tính y′′(x . 0 ) 2
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Câu 32: Cho f (x) = (x − )6
3 . Tính f ′′(2) . Lời giải
Ta có: f ′(x) = (x − )5 6 3
Suy ra f ′′(x) =
(x − )4 = (x − )4 6.5. 3 30 3
Từ đó: f ′′( ) = ( − )4 2 30. 2 3 = 30.
Câu 33: Đạo hàm cấp hai của hàm số f (x) 3 2
= x − x +1 tại điểm x = 2 là: Lời giải Ta có: f ′(x) 2 = 3x − 2x
Suy ra: f ′′(x) = 6x − 2 Nên: f ′′(2) =10
Câu 34: Cho f (x) = sin3x . Giá trị của  π f "  −  bằng: 2    Lời giải
Ta có: f ′(x) = 3cos3x suy ra f ′′(x) = 9 − sin 3x Do đó:  π   3π f " 9sin  − = − − =     9 .  2   2  Page 14
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Câu 35:
a) Cho f (x) = (x + )6 10 . Tính f "(2) .
b) Cho f (x) = sin 3x . Tính  π  π f  ′ −  
, f ′′(0) , f ′ . 2      18  Lời giải
a) Ta có: f ′(x) = (x + )5 6 10
Suy ra f ′′(x) =
(x + )4 = (x + )4 6.5. 10 30 10
Từ đó: f ′′( ) = ( + )4 2 30. 2 10 = 622080 .
b) Ta có f ′(x) = 3cos3x và f ′′(x) = 9 − sin 3x Khi đó:  π   3π  π   π f ′  − − = 9   9 − sin −  =   9 − ; f ′′(0) = 9
− sin (0) = 0 và f ′ =   9 − sin =   .  2   2  18   6  2
Câu 36: Đạo hàm cấp hai của hàm số x +1 y = là: x − 2 Lời giải Ta có: x +1 3 y = = 1+ 3 ⇒ y′ = − và 6 y′ = x − 2 x − 2 (x − 2)2 (x − 2)3
Câu 37: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin5x o c s2x là Lời giải Ta có: 1 y = sin 5 c
x os2x = (sin 7x + sin 3x) 2 Do đó 1
y′ = (7cos7x + 3cos3x) 1 ⇒ y′ = ( 49
− sin 7x − 9sin 3x) 2 2
Câu 38: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) 1 y = . b) 1 y =
. c) y = tan x . d) 2 y = cos x . 1− x 1− x Lời giải a) Ta có: 1 y′ − = và 2 y′ = . (1− x)2 (1− x)3 b) Ta có: 1 y′ = và 3 y′ = . 2(1− x) 1− x
4(1− x)2 1− x c) Ta có: 1 y′ = và 2sin y x ′ = . 2 cos x 3 cos x d)Ta có: 1 1
y = + cos 2x . Khi đó: y′ = −c s
o 2x và y′ = 2c − os2x . 2 2
Câu 39: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) + y 2x 1 = sin 5x o c s2x b) y = c) x y = 2 x + x − 2 2 x −1 Page 15
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM d) x −1 y = e) 2
y = x sin x f) 2
y = x 1+ x x + 2 g) y = ( 2
1− x )cos x h) y = x i) y = sin xsin 2xsin3x 2 j) x y =
k) y = xcos 2x l) 1 y = 1− x x Lời giải a) Ta có: 1 y = sin 5 c
x os2x = (sin 7x + sin 3x) 2 Khi đó: 1
y′ = (7cos7x + 3cos3x) và 1
y′ = − (49sin 7x + 9sin 3x) 2 2 b) Ta có: 2x +1 1 1 y = = + 2
x + x − 2 x −1 x + 2 Khi đó: 1 1 y′ = − − và 2 2 y′′ = + (x − )2 1 (x + 2)2 (x − )3 1 (x + 2)3 c) Ta có: x 1  1 1 y  = = + 2
x 1 2  x 1 x 1 − + −    Khi đó: 1 1 − 1 − y′ =  +  và 1 1 y′ = + 2  (x )2 1 (x )2 1  + − 3 3   (x + ) 1 (x − ) 1 d) Ta có: x −1 3 y = = 1− x + 2 x + 2 Khi đó: 3 y′ = và 6 y′ = − (x + 2)2 (x + 2)3 e) Ta có: 2 y′ = 2 .
x sin x + x .cos x và y′ = ( 2
2 − x )sin x + 4xcos x 2 3 f) Ta có: 2x +1 + y′ 2x 3 = và x y′′ = 2 1+ x ( 2 1+ x ) 2 1+ x
g) Ta có: y′ = − x x − ( 2 2 cos
1− x )sin x và y′ = ( 2
x − 3)cos x + 4xsin x h) Ta có: 1 y′ = và 1 y′ = − 2 x 4x x i) Ta có: 1 1 1
y = sin xsin 2xsin 3x = sin 2x + sin 4x − sin 6x 4 4 4 Khi đó: 1 3
y′ = cos2x + cos4x − cos6x và y′ = −sin 2x − 4sin 4x + 9sin 6x 2 2 Page 16
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM 2 j) Ta có: x 1 y = = −x −1+ 1− x 1− x Khi đó: 1 y′ − = 1 − + và 2 y′ = (1− x)2 (1− x)3
k) Ta có: y′ = cos 2x − 2xsin 2x và y′ = 4 − sin 2x − 4 c x os2x l) Ta có: 1 y′ = − và 3 y′′ = x x 5 4 x DẠNG: GIA TỐC
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Câu 40: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2 S = t
− + 3t + 9t , trong đó t tính bằng giây
và S tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu. Lời giải
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: 2 v = S′ = 3 − t + 6t + 9
Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường: a = S′′ = 6 − t + 6
Gia tốc triệt tiêu khi S′′ = 0 ⇔ t =1.
Khi đó vận tốc của chuyển động là S′( ) 1 =12m/ s .
Câu 41: Một chuyển động xác định bởi phương trình S (t) 3 2
= t − 3t − 9t + 2. Trong đó t được tính bằng
giây, S được tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3s ? Lời giải
Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t có phương trình là v(t) = S′(t) 2
= 3t − 6t − 9.
Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t có phương trình là a(t) = v′(t) = 6t − 6.
Tại thời điểm t = 3s ta có a( ) 2 3 = 6.3− 6 =12 m/s .
Câu 42: Một chất điểm chuyển động có phương trình 4 2
S = 2t + 6t − 3t +1 với t tính bằng giây (s) và S
tính bằng mét (m). Hỏi gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3(s) bằng bao nhiêu? Lời giải
Ta có vận tốc tức thời của chuyển động được tính theo công thức:
v(t) = (S (t))′ 3
= 8t +12t − 3.
Khi đó gia tốc tức thời của chuyển động được tính theo công thức: a(t) 2
= 24t +12 ⇒ a( ) 2 = + = ( 2 3 24.3 12 228 m/s ).
Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3(s) là ( 2 228 m/s ) . Page 17
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM NG Ơ VII ĐẠO HÀM CHƯ
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM II
HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
VIẾT PHƯ ƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Đạo hàm của hàm số y = f (x) x
tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 0 M x ; f x
. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M (x ;y là k = f ′(x . 0 ) 0 o ) 0 ( 0 ( 0))
Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm M có dạng: 0
y = f ′(x )(x − x ) + f x 0 0 ( 0) Câu 1: Cho hàm số x +1 y =
có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung có x −1 phương trình là
Câu 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y = −x + 2x −1 tại điểm M (1;0) là
Câu 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y = x tại điểm ( 1; − − ) 1 .
Câu 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 3
y = x tại điểm ( 2; − 8 − ) . Câu 5: Cho hàm số 3
y = x − 3x +1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ
thị hàm số với trục tung. Câu 6: Cho hàm số 4 2
y = x + 2x có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M (1;3) là
Câu 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
(C) : y = x −3x +1 tại giao điểm của (C) với trục Oy có phương trình là:
Câu 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = 4x − 6x +1 tại điểm có hoành độ x =1. Câu 9: Gọi +
M là giao điểm của đồ thị hàm số x 1 y =
với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến của đồ x − 2
thị hàm số trên tại điểm M là Câu 10: Cho hàm số 2
y = x + 3x + 4 có đồ thị (C). Hệ số góc k (k > 0) của tiếp tuyến với đồ thị (C)tại
điểm có tung độ bằng 4 là:
Câu 11: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn 2 f (5− x) + xf (x) = 2x . Viết phương
trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm có hoành độ là 5.
Câu 12: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn f ( x − ) + f ( − x) 2 2 3 3 6 3 = 3x −5x
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm có hoành độ bằng 3 là Page 13
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 13: Cho hàm số y = f (x) luôn dương x
∀ > 0 và thỏa mãn điều kiện 4 f ( x) 2
2 − xf (4x − ) 1 = x. Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Câu 14: Cho các hàm số f (x) , g (x)
f x + = g x + x −
có đạo hàm trên  và thỏa mãn ( ) ( ) 2 2 3 2022x
với mọi x∈ . Biết f (5) = f ′(5) = 2023 −
. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = g (x) tại điểm có
hoành độ x =1 có phương trình là
Câu 15: Cho đồ thị hàm số (C) 2
: y = x − 2x + 2023 và đường thẳng (d ) : y = 2x + 7 . Viết phương trình
tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với (d ) : y = 2x + 7 .
Câu 16: Phương trình tiếp tuyến của (C) 3 2
: y = 2x −3x −1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
d : y = 12x + 2022 là
Câu 17: Phương trình tiếp tuyến của (C) 4 2
: y = x + 2x −1 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : = − x d y − 2022 là 8
Câu 18: Cho đường cong (C) 3 2
: y = x −3x − 2x −1 và đường thẳng d : 2x + y +1= 0. Tiếp tuyến của
đường cong (C) và song song với d có phương trình là Câu 19: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 7 . Câu 20: Cho hàm số 3 2
y = x +3x có đồ thị (C) và điểm M ( ;0
m ) sao cho từ M vẽ được 3 tiếp tuyến đến
đồ thị (C) trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Khi đó tìm m. Câu 21: Cho hàm số 3 2
y = x +3x −6x +1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
biết tiếp tuyến đi qua điểm N(0;1) và hoành độ tiếp điểm là số thực âm. Câu 22: Cho hàm số 4 2
y = x −2x có đồ thị là (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua gốc tọa độ? Câu 23: + Cho hàm số 3x 2 y =
(C), có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) cắt trục Oy,Ox lần lượt tại x +1
hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác AOB bằng 2 ? Câu 24: Cho hàm số x +1 y =
có đồ thị là đường cong (C). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) x −1
sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm ,
A B sao cho OA = 2OB .
Câu 25: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2x +1 y =
(C) mà tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa x +1
độ một tam giác vuông cân? Page 14
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM NG Ơ VII ĐẠO HÀM CHƯ
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM II
HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
VIẾT PHƯ ƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Đạo hàm của hàm số y = f (x) x
tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 0 M x ; f x
. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M (x ;y là k = f ′(x . 0 ) 0 o ) 0 ( 0 ( 0))
Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm M có dạng: 0
y = f ′(x )(x − x ) + f x 0 0 ( 0) Câu 1: Cho hàm số x +1 y =
có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung có x −1 phương trình là Lời giải
Giao điểm của đồ thị (C) và trục tung là M (0;− ) 1 . 2 − y′ = (x − )2 1
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M (0;− ) 1 .
y= y′(0)(x − 0) −1 = 2 − x −1.
Câu 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y = −x + 2x −1 tại điểm M (1;0) là Lời giải Ta có 2 y′ = 3 − x + 2 .,
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y = −x + 2x −1 tại điểm M (1;0) là:,
y = y (′1)(x −1) + 0 = −x +1.
Câu 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y = x tại điểm ( 1; − − ) 1 . Lời giải Ta có 2
y′ = 3x ⇒ y′(− )
1 = 3 . Phương trình tiếp tuyến là y = 3(x + ) 1 −1 = 3x + 2. Page 1
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 4: Viết phương trình tiếp của đường cong 3
y = x tại điểm ( 2; − 8 − ) . Lời giải Ta có 2 y ' = 3x .
Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm ( 2; − 8 − ) là y '( 2 − ) =12 .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y =12(x + 2) −8 ⇔ y =12x +16. Câu 5: Cho hàm số 3
y = x − 3x +1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ
thị hàm số với trục tung. Lời giải 2
y′ = 3x − 3.
Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm A(x ; y ⇒ x = 0 ⇒ y =1. 0 0 ) 0 0
Gọi tiếp tuyến (d ) tiếp xúc đồ thị hàm số tại điểm A(0; ) 1
⇒ Hệ số góc k = y′( x = y′ 0 = 3 − 0 ) ( )
⇒ Phương trình tiếp tuyến (d ) : y = 3
− ( x − 0) +1 ⇔ y = 3 − x +1. Câu 6: Cho hàm số 4 2
y = x + 2x có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M (1;3) là Lời giải Ta có: 3
y′ = 4x + 4x ⇒ y′ ( ) 1 = 8.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M (1;3) là y = 8(x − )
1 + 3 ⇔ y = 8x − 5 .
Câu 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
(C) : y = x −3x +1 tại giao điểm của (C) với trục Oy có phương trình là: Lời giải Ta có 2
y′ = 3x − 3 .
Giao điểm M của đồ thị hàm số (C) với trục Oy là x = 0 ⇒ y =1 0 0 .
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M (0; )
1 là: k = y′(0) = 3 − .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M (0; )
1 là: y = k (x − x + y ⇔ y = 3 − x +1 0 ) 0 .
Câu 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = 4x − 6x +1 tại điểm có hoành độ x =1. Lời giải Ta có 2
y′ =12x −12x ⇒ y′( ) 1 = 0 .
Ta có x =1⇒ y = 1 − . 0 0 Page 2
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = 4x − 6x +1 tại điểm có hoành độ x =1 là y = 1 − . Câu 9: Gọi +
M là giao điểm của đồ thị hàm số x 1 y =
với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến của đồ x − 2
thị hàm số trên tại điểm M là Lời giải Hoành độ điểm +
M là nghiệm của phương trình x 1 = 0 ⇔ x = 1. − x − 2 Do đó 3 M ( 1;
− 0) . Mặt khác, y′ = − nên 1 y (′ 1) − = − . 2 (x − 2) 3
Phương trình tiếp tuyến tại M là 1
y = − (x +1) + 0 ⇔ 3y + x +1 = 0 . 3 Câu 10: Cho hàm số 2
y = x + 3x + 4 có đồ thị (C). Hệ số góc k (k > 0) của tiếp tuyến với đồ thị (C)tại
điểm có tung độ bằng 4 là: Lời giải x = 0
Ta có hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình 2
x + 3x + 4 = 4 ⇔  . x = 3 −
Ta có y ' = 2x + 3.
Với x = 0 hệ số góc của tiếp tuyến là k = y '(0) = 3. Với x = 3
− hệ số góc của tiếp tuyến là k = y '( 3 − ) = 3 − .
Câu 11: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn 2 f (5− x) + xf (x) = 2x . Viết phương
trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm có hoành độ là 5. Lời giải
Thay x = 0 vào 2 f (5 − x) + xf (x) = 2x ta được 2 f (5) = 0 ⇒ f (5) = 0 .
Thay x = 5 vào 2 f (5 − x) + xf (x) = 2x ta được 2 f (0) + 5 f (5) =10 ⇒ f (0) = 5 .
2 f (5 − x) + xf (x) = 2x ⇒ 2 − f (5
′ − x) + f (x) + xf (′x) = 2 (*).
Thay x = 0 vào (*) ta có 3 2
− f (′5) + f (0) = 2 ⇒ f (′5) = . 2
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm có hoành độ là 5là 3 3 15
y = f (′5)(x − 5) + f (5) = (x − 5) + 0 = x − . 2 2 2
Câu 12: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn f ( x − ) + f ( − x) 2 2 3 3 6 3 = 3x −5x
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm có hoành độ bằng 3 là Lời giải
f ( x − ) + f ( − x) 2 2 3 3
6 3 = 3x −5x . Page 3
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm có hoành độ bằng 3 có dạng
y = f ′(3)(x −3) + f (3).
Thay x =1 vào ta được: 2 f (0) + f (3) = 2 − .
Thay x = 2 vào ta được: 2 f (3) + f (0) = 2 .
Từ và suy ra f (3) = 2 .
Lấy đạo hàm hai vế của ta được 6 f ′(3x − 3) − 3 f ′(6 − 3x) = 6x − 5 .
Thay x =1 vào ta được: 6 f ′(0) − 3 f ′(3) = 5 − .
Thay x = 2 vào ta được: 6 f ′(3) − 3 f ′(0) = 7 .
Từ và suy ra f ′(3) =1.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm có hoành độ bằng 3 là
y =1(x −3) + 2 = x −1.
Câu 13: Cho hàm số y = f (x) luôn dương x
∀ > 0 và thỏa mãn điều kiện 4 f ( x) 2
2 − xf (4x − ) 1 = x. Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm có hoành độ bằng 1. Lời giải
Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm M (1; f ( ) 1 ).
Suy ra d : y = f ′( ) 1 .(x − ) 1 + f ( ) 1 . Xét điều kiện: 4 f ( x) 2
2 − xf (4x − ) 1 = x. +) Cho 1 x = ta được: 2 2  f ( ) 1 =1 1 1  f ( ) 1 =1 4 f ( ) 2 1 f ( ) 4 1 2 f ( ) 2 1 f ( ) 1 1 0  − = ⇔ − − = ⇔ ⇔  .  2 f ( ) 1 2 2 1 = − (L)  f  ( ) 1 = 1 − (L)  2
+) Đạo hàm hai vế của ta được: 3
f ( x) f ′( x) 2 8 2 .
2 −  f (4x − ) 1 + 8 . x f (4x − )
1 . f ′(4x − ) 1  =1   . Thay 1
x = vào điều kiện được: 3 f ( ) f ′( ) 2 8 1 . 1 − f ( ) 1 − 4 f ( ) 1 . f ′( ) 1 =1. 2 Lại có f ( ) 1 =1 khi đó trở thành: f ′( ) − −
f ′( ) = ⇔ f ′( ) 1 8.1. 1 1 4.1. 1 1 1 = . 2 Page 4
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Suy ra phương trình của d là 1 y = ( x − ) 1 +1. 2
Vậy tiếp tuyến d có phương trình là 1 1 y = x + . 2 2
Câu 14: Cho các hàm số f (x) , g (x)
f x + = g x + x −
có đạo hàm trên  và thỏa mãn ( ) ( ) 2 2 3 2022x
với mọi x∈ . Biết f (5) = f ′(5) = 2023 −
. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = g (x) tại điểm có
hoành độ x = 1 có phương trình là Lời giải
Ta có f ( x + ) = g (x) 2 2 3
+ x − 2022x ⇒ 2 f ′(2x + 3) = g′(x) + 2x − 2022 . Ta chọn x =1
2 f ′(5) = g′( ) 1 + 2 − 2022 g′  ( ) 1 = 2026 − ⇒  ⇔  .
 f (5) = g ( ) 2 1 +1 − 2022 g ( ) 1 = 2 −
Từ đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = g (x) tại điểm có hoành độ x =1 là y = g′( ) 1 .(x − ) 1 + g ( ) 1 ⇔ y = 2026 −
(x − )1−2 ⇔ y = 2026 − x + 2024 .
Câu 15: Cho đồ thị hàm số (C) 2
: y = x − 2x + 2023 và đường thẳng (d ) : y = 2x + 7 . Viết phương trình
tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với (d ) : y = 2x + 7 . Lời giải
Gọi điểm M (x ; y là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị (C). 0 0 )
y′ = 2x − 2 suy ra hệ số góc k = y′(x = 2x − 2 . 0 ) 0
Mặt khác tiếp tuyến song song với đường thẳng (d ): y = 2x + 7 ⇒ k = 2
⇔ 2x − 2 = 2 ⇔ x = 2 ⇒ y = 2023 suy ra M (2;2023) . 0 0 0
Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng: y = 2(x − 2) + 2023 = 2x + 2019.
Câu 16: Phương trình tiếp tuyến của (C) 3 2
: y = 2x −3x −1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
d : y = 12x + 2022 là Lời giải x = 1 −
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: 2 2
6x − 6x =12 ⇔ x − x − 2 = 0 ⇔  x = 2 Với x = 1
− suy ra tọa độ tiếp điểm M ( 1;
− − 6) do đó phương trình tiếp tuyến d : y =12x + 6. 1
Với x = 2 suy ra tọa độ tiếp điểm N (2;3) suy ra phương trình tiếp tuyến là: d : y =12x − 21. 2 Page 5
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 17: Phương trình tiếp tuyến của (C) 4 2
: y = x + 2x −1 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : = − x d y − 2022 là 8 Lời giải  1 
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : = − x d y − 2022 nên k − = k tt 1 − ⇔ =   tt 8 8  8 
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: 3 3
4x + 4x = 8 ⇔ x + x − 2 = 0 ⇔ x = 1
Với x =1 suy ra tọa độ tiếp điểm M (1;2) .
Phương trình tiếp tuyến là y = 8x − 6 .
Câu 18: Cho đường cong (C) 3 2
: y = x −3x − 2x −1 và đường thẳng d : 2x + y +1= 0. Tiếp tuyến của
đường cong (C) và song song với d có phương trình là Lời giải
Ta có đường thẳng d : 2x + y +1 = 0 ⇔ y = 2 − x −1.
Tiếp tuyến song song với d nên phương trình tiếp tuyến có hệ số góc là k = 2 − .
Gọi x0 là hoành độ của tiếp điểm. Khi đó  = y′( x 0
x = k ⇔ 3x − 6x − 2 = 2
− ⇔ 3x − 6x = 0 ⇔ . 0 ) 2 2 0 0 0 0 0 x =  2 0
Với x = 0 ⇒ M 0; 1 − 0 (
), phương trình tiếp tuyến là: y = 2
− x −1 trùng với d .
Với x = 2 ⇒ N 2; 9 − 0 (
) , phương trình tiếp tuyến là: y = 2 − x − 5 . Câu 19: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 7 . Lời giải
Xét hàm số y = f (x) 3 2
= x − 3x + 2 . Ta có: 2
y′ = 3x − 6x .
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 7 nên x = 1 − f ′(x = 9 2 2 0 ⇔ 0 )
⇔ 3x − 6x = 9 ⇔ 3x − 6x − 9 = 0 . 0 0 0 0 x =  3 0 Với x = 1 − ⇒ y = 2
− . Phương trình tiếp tuyến là y = 9( x + )
1 − 2 ⇔ y = 9x + 7 0 0
Với x = 3 ⇒ y = 2 . Phương trình tiếp tuyến là y = 9(x − 3) + 2 ⇔ y = 9x − 25. 0 0 Câu 20: Cho hàm số 3 2
y = x +3x có đồ thị (C) và điểm M ( ;0
m ) sao cho từ M vẽ được 3 tiếp tuyến đến Page 6
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
đồ thị (C) trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Khi đó tìm m. Lời giải Ta có 2
y' = 3x + 6x.
Phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C) tại A( 3 2
x ; x + 3x là: 0 0 0 ) y = ( 2
3x + 6x )(x − x ) 3 2
+ x + 3x . 0 0 0 0 0 M ( ;0 m )∈∆ ⇔ ( 2
3x + 6x )(m − x ) 3 2
+ x + 3x = 0 ⇔ x  3x + 6 m − x + x + 3x  = 0 0 (  0 )( 0 ) 2 0 0 0 0 0 0 0  x = 0 0 ⇔  2 2x .
+ 3−3m x − 6m = 0 ∗  0 ( ) 0 ( )
Do y′(0) = 0 nên để từ M vẽ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) trong đó có hai tiếp tuyến vuông
góc với nhau thì phương trình (∗) phải có 2 nghiệm phân biệt x , x 1
2 khác 0 và thỏa mãn điều
kiện y '(x .y '(x ) = 1 − 1 ) 2 ∆ > 0 2 9
m + 30m + 9 > 0   ⇔   6 − m ≠ 0 ⇔ 9
 ( x x )2 +18x x x + x + 36x x = 1 − I 1 2 1 2 ( 1 2 ) 1 2 ( ) ( 2 3x + 6x   )( 2 3x + 6x = 1 −  m ≠ 0 1 1 2 2 )   3m − 3 Vì x , xx + x = 1
2 là nghiệm của phương trình (∗) nên theo định lí Vi-et, ta có 1 2  2 . x x = 3 −  m 1 2 m < 3 −  m < 3 − 1 m −  >  1 −  3 m >   3 Do đó (  1 I )  2  3m − 3 9.9  m 54m  ⇔ − +   36.( 3 − m) = 1 − ⇔ m ≠ 0 ⇔ m = .   2  27   1 m ≠ 0 m =   27      Câu 21: Cho hàm số 3 2
y = x +3x −6x +1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
biết tiếp tuyến đi qua điểm N(0;1) và hoành độ tiếp điểm là số thực âm. Lời giải
Gọi M (x ; y 0 0 ) là tiếp điểm Ta có: 2
y′ = 3x + 6x −6. Page 7
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)tại điểm M (x ; y 0 0 ) có dạng: 2 3 2
y = (3x + 6x − 6)(x − x ) + x + 3x − 6x +1 0 0 0 0 0 0
Vì tiếp tuyến đi qua N(0;1) nên ta có:  x = 0 loaïi 0 ( ) 2 3 2
1= (3x + 6x −6)(−x ) + x +3x −6x +1 3 2 ⇔ 2x +3x = 0  ⇔ 0 0 0 0 0 0 0 0  3
x = − thoûa maõn  0 ( )  2 Với 3 107 33 x = − ⇒ y =
, y (′x ) = − . 0 0 0 2 8 4 33 3  107 33
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = − x + + = − x +   1. 4  2  8 4
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là 33 y = − x +1. 4 Câu 22: Cho hàm số 4 2
y = x −2x có đồ thị là (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua gốc tọa độ? Lời giải
Gọi M (x ; y C 0
0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị ( ). Ta có 3
y′ = 4x − 4x ⇒ y′(x ) 3
= 4x − 4x y = x − 2x 0 0 0 ; 4 2 0 0 0 .
Phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại M (x ; y 3 4 2 0
0 ) là: y = (4x − 4x
x − x + x − 2x . 0 0 ) ( 0 ) 0 0 Tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ nên x = 0
(4x 4x )( x ) x 2x 0 x ( 3x 2) 0 3 4 2 2 2 0  − − + − = ⇔ − + = ⇔ 0 0 0 0 0 0 0  6 . x = ± 0  3 Với x = 0 y = 0 0 , ta có 0
, y′(0) = 0 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 0. 6  6  4 6 4 6 Với x = 8 y′  = − y = − x 0 , ta có
. Phương trình tiếp tuyến là: . 3 y = − , 0 9  3  9   9 6  6  4 6 4 6 Với x = − 8 y′  = y = x 0 , ta có
. Phương trình tiếp tuyến là: . 3 y = − , 0 9  3  9   9
Vậy có 3 tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua gốc tọa độ. Câu 23: + Cho hàm số 3x 2 y =
(C), có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) cắt trục Oy,Ox lần lượt tại x +1 Page 8
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác AOB bằng 2 ? Lời giải
Tập xác định hàm số D 1 =  \{− } 1 . Ta có y′ = . (x + )2 1  + 
Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại điểm 3x 2 0 M x ; ∈ C là: 0 ( ) x +  1 0  1 3x + 2 2 d : y = x − x + hay 1 3x + 4x + 2 0 0 d : y = x + . 2 ( 0 ) 0 (x +1 x +1 (x +1 x +1 0 )2 ( 0 )2 0 ) 0  2 
Đường thẳng d cắt Oy tại hai điểm 3x + 4x + 2 0 0 A0;  B( 2
− 3x + 4x + 2 ;0 0 0 )  và cắt Ox tại ( ) (x )2 1  +  0  2 Ta có 1 1 3x + 4x + 2 0 0 2 S = OAOB =
x + x + = ⇒ x + x + = x + AOB . . 3 4 2 2 3 4 2 4 1 2 0 0 ( 20 0 )2 ( 0 )2 2 2 (x +1 0 )   x = 0 0 2  2
 3x + 4x + 2 = 2x + 2 3x 2x 0  + = ⇔ 0 0 0 0 0 2 ⇒  ⇔  x = − 2 0 3x + 4x + 2 = 2 − x −  2   3 0 0 0  2
3x + 6x + 4 = 0 VN  0 0 ( )
Với x = 0 ⇒ phương trình tiếp tuyến d : y = x + 2 . 0 Với 2
x = − ⇒ phương trình tiếp tuyến d : y = 9x + 6. 0 3
Vậy có 2 tiếp tuyến của đồ thị hàm số thỏa mãn bài ra. Câu 24: Cho hàm số x +1 y =
có đồ thị là đường cong (C). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) x −1
sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm ,
A B sao cho OA = 2OB . Lời giải
Giả sử d là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M (x ; y . 0 0 ) OB
Do d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm ,
A B sao cho OA = 2OB nên  1 tan OAB = = OA 2 1 1
. Suy ra hệ số góc k của d bằng hoặc − . 2 2 1 Ta có k = y ( 2 x − ′ = < 0 nên k = − 0 ) (x − )2 1 2 0 2 − 1 x −1 = 2 x = 3 ⇔
= − ⇔ x −1 = 4 ⇔ ⇔ . 2 ( 0 )2 0 0 (   x −1 2 x −1 = 2 − x = 1 − 0 ) 0 0 Page 9
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM 1 1 1 +) Với x = 1 − : phương trình của
y = − x +1 + y 1 − = − x − . 0 d là ( ) ( ) 2 2 2 1 1 3 1 7
+) Với x = 3: phương trình của
y = − x − 3 + y 3 = − x + + 2 = − x + . 0 d là ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 7
Vậy có 2 tiếp tuyến của đồ thị (C) thỏa mãn là y = − x − và y = − x + . 2 2 2 2
Câu 25: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2x +1 y =
(C) mà tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa x +1
độ một tam giác vuông cân? Lời giải
Tập xác định: D =  . 1 Ta có y′ = 2 ( . x +1)
Phương trình tiếp tuyến của (C) : 2x +1 y =
tại điểm M (x ; y ∈( C) x ≠ 1 − 0 0 ) ( ) có dạng x +1 0 1 2x +1 y = x − x + . 2 ( 0 ) 0 (x +1 x +1 0 ) 0
Giả sử tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại hai điểm ,
A B và tam giác OAB cân. Khi đó tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng y = x hoặc y = −x .  1 = 1 − 1  2 ( ) (x +1  0 ) Suy ra  1 .  =1 2 2 ( ) (x +1 0 )
Dễ thấy không xảy ra vì vế trái dương vế phải âm. Ta có ( x = 2) ⇔ (x + )2 0 0 1 =1 ⇔ . 0 x = 2 −  0 Với x = 0 0
phương trình tiếp tuyến là y = x +1. Với x = 2 − 0
phương trình tiếp tuyến là y = x + 5.
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán. Page 10
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM NG Ơ VII ĐẠO HÀM CHƯ
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
III HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
DẠNG 1. T ÍNH ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM Câu 1: Cho hàm số 4 y = . Khi đó y′(− ) 1 bằng x −1 A. 1 − . B. 2 − . C. 2. D. 1.
Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số f (x) 2x + 7 =
tại x = 2 ta được: x + 4 A. f ′( ) 1 2 = . B. f ′( ) 11 2 = . C. f ′( ) 3 2 = . D. f ′( ) 5 2 = . 36 6 2 12
Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số y xx  
1 x2x  3 tại điểm x  0 0 là:
A. y0 5 .
B. y0 6 .
C. y0 0 .
D. y0 6 .
Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số y x x tại điểm x  4 0 là: A. y  9 4  .
B. y4 6 . C. y  3 4  . D. y  5 4  . 2 2 4
Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số ( ) 2x f x = tại điểm x = 1 − . x −1 A. f '(− ) 1 =1. B. f (− ) 1 ' 1 = − . C. f '(− ) 1 = 2 − . D. f '(− ) 1 = 0. 2
Câu 6: Cho hàm số f (x) xác định trên  bởi f (x) 2
= 2x +1. Giá trị f ′(− ) 1 bằng A. 2. B. 6. C. 4 − . D. 3. 3
Câu 7: Cho hàm số f (x) = 2x +1. Giá trị f (′ 1) − bằng: A. 6 . B. 3. C. 2 − . D. 6 − .
Câu 8: Cho hàm số f (x) = x −1 . Đạo hàm của hàm số tại x =1 là A. 1 . B. 1. C. 0 . D. Không tồn tại. 2 Câu 9: Cho hàm số 2
f (x) = x − 2x + 3 , tính f (′2) . A. 1 . B. 3 . C. 3 . D. 2 3 . 3 3 2 x +
Câu 10: Cho hàm số = x y
. Đạo hàm của hàm số tại x = 1 là x − 2 Page 15
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM A. y′( ) 1 = 4. − B. y′( ) 1 = 5. − C. y′( ) 1 = 3. − D. y′( ) 1 = 2. − + Câu 11: Cho hàm số 2x 1 y = . Tính y (′3) . x − 2
A. y '(3) = 5 . B. y (′3) = 5 − .
C. y '(3) = 0. D. y '(3) = 7. Câu 12: Cho hàm số 2
y = x − x + 2. Tính y '( ) 1 . A. y '( ) 1 = 1 − . B. y '( ) 1 =1. C. y '( ) 1 = 2. D. y '( ) 1 = 0 .
Câu 13: Cho f (x) 5 3
= x + x − 2x − 3. Tính f ′( ) 1 + f ′(− ) 1 + 4 f ′(0)? A. 4. B. 7. C. 6. D. 5. Câu 14: Cho hàm số x + 2 y = . Tính y′(3) x −1 A. 5 . B. 3 − . C. 3 − . D. 3 . 2 4 2 4 3− 4 − x  khi x ≠ 0
Câu 15: Cho hàm số f (x)  4 =  . Tính f ′(0). 1 khi x = 0 4 A. Không tồn tại. B. f ′( ) 1 0 = . C. f ′( ) 1 0 = . D. f ′( ) 1 0 = . 16 4 32 3x +1
Câu 16: Cho hàm số f (x) =
. Tính giá trị biểu thức f '(0) . 2 x + 4 A. 3 − . B. 2 − . C. 3 . D. 3. 2
DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Câu 17: Tính đạo hàm của hàm số 3
y = x + 2x +1. A. 2
y' = 3x + 2x . B. 2
y' = 3x + 2. C. 2
y' = 3x + 2x +1. D. 2 y' = x + 2.
Câu 18: Đạo hàm của hàm số 4 2
y = x − 4mx − 3m −1 ( m là tham số) là A. 3
y ' = 4x −8mx . B. 3
y ' = 4x −8mx − 3m −1. C. 3
y ' = 4x −8mx −1. D. 2
y ' = 4x −8mx .
Câu 19: Khẳng định nào sau đây là đúng? 1 A. ( x )′ = .
B. (x)′ = 0. x ′  1  1 C. =   .
D. (k.x)′ = k , với k là hằng số.  x  2 x
Câu 20: Cho hàm số f (x) là hàm số trên  định bởi f (x) = 2x . Chọn câu đúng.
A. f ′(x) = 2
B. f ′(x) = 1
C. f ′(x) = x
D. f ′(x) không tồn tại. 1 1
Câu 21: Đạo hàm của hàm số 2 4
y = − x + x − 0,25x là 4 3 Page 16
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM ′ 1 ′ 1 ′ 1 ′ 1 A. 3
y = − + 2x − 2x . B. 3
y = − + x − 2x . C. 3
y = + x − 2x . D. 3
y = − + 2x − x . 3 3 3 3 Câu 22: Cho hàm số 3x + 5 y =
. Đạo hàm y′của hàm số là: 1 − + 2x A. 7 . B. 1 . C. 13 − . D. 13 . 2 (2x −1) 2 (2x −1) 2 (2x −1) 2 (2x −1)
Câu 23: Đạo hàm của hàm số 3 y = 2 − x + 3 là A. y ' = 6 − x . B. 2 y ' = 6 − x + 3 . C. 2 y ' = 6 − x . D. 2 y ' = 3 − x .
Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số y = f (x) = (x − x )2 3 2 2 . A. f (x) 5 4 3 '
= 6x − 20x +16x . B. f (x) 5 3 '
= 6x +16x . C. f (x) 5 4 3 '
= 6x − 20x + 4x . D. f (x) 5 4 3 '
= 6x − 20x −16x
Câu 25: Đạo hàm của hàm số 1 4 2
y = x − 3x − 2021x + 2022 bằng biểu thức nào sau đây? 4 A. 4 2
y′ = x − 6x − 2021 B. 3
y′ = x − 6x − 2021 C. 3 3
y′ = x − 6x − 2021 D. 3
y′ = x − 6x − 2021x + 2022 4
Câu 26: Hàm số nào sau đây là đạo hàm của hàm số 2x + 3 y = . 3x −1 − 7 2 A. 11 y′ = B. y′ = C. y′ = D. 2 y′ = (3x − )2 1 (3x − )2 1 (3x − )2 1 3
Câu 27: Cho hàm số f (x) x −1 = . Biết ′( ) ax + b f x = , x
∀ . Tính S = 2a + b 2 x +1 ( 2x + ) 2 1 x +1
A. S = 3. B. S =1. C. S = 1 − . D. S = 5.
Câu 28: Đạo hàm của hàm số 2
y = 1− 2x là kết quả nào sau đây? A. 1 y′ − − = . B. 4x y′ = . C. 2x y′ = . D. 2x y′ = . 2 2 1− 2x 2 2 1− 2x 2 1− 2x 2 1− 2x
Câu 29: Đạo hàm của hàm số y = ( − x)3 1 2 là
A. y′ = ( − x)2 3. 1 2 .
B. y′ = ( − x)2 6. 1 2 .
C. y′ = − ( − x)2 3. 1 2
. D. y′ = − ( − x)2 6. 1 2 .
Câu 30: Tính đạo hàm của hàm số y = ( 2
x − 2)(2x − ) 1 .
A. y′ = 4x . B. 2
y′ = 3x − 6x + 2. C. 2
y′ = 6x − 2x − 4 . D. 2
y′ = 2x − 2x + 4. 2
Câu 31: Tính đạo hàm của hàm số x + 2x − 3 y = . x + 2 2 2 2 A. 3 y′ =1+ . B. x + 6x + 7 y′ + + + + = . C. x 4x 5 y′ = . D. x 8x 1 y′ = . (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2
Câu 32: Tính đạo hàm của hàm số x +1 y = . 1− 3x − A. 4 y′ = . B. 4x y′ = . C. 4 y′ = . D. 4 ′ = . ( y 1−3x)2 (1−3x)2 (1−3x)2 1− 3x Page 17
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 33: Hàm số 1 y = −
là đạo hàm của hàm số nào dưới đây? 2 sin x 1
A. y = tan x .
B. y = cot x .
C. y = −cotx . D. y = . sin x Câu 34: Cho hàm số 2
f (x) = sin 2x . Tính f '(x).
A. f '(x) = 2sin 2x . B. f (x) 2 '
= 2cos 2x . C. f '( x) = 2sin 4x . D. f '( x) = 2 − sin 4x .
Câu 35: Đạo hàm của hàm số 4 2
y = x − 4x −3 là A. 3 y′ = 4 − x +8x . B. 2
y′ = 4x −8x . C. 3
y′ = 4x −8x. D. 2 y′ = 4 − x +8x 4 3
Câu 36: Đạo hàm của hàm số x 5x 2 y = +
− 2x + a ( a là hằng số) bằng. 2 3 A. 3 2 1 2x + 5x − + 2a . B. 3 2 1 2x + 5x + . 2x 2 2x C. 3 2 1 2x + 5x − . D. 3 2 2x + 5x − 2 . 2x 1
Câu 37: Hàm số nào sau đây có đạo hàm bằng ? 2x 1
A. f (x) = 2 x .
B. f (x) = x .
C. f (x) = 2x .
D. f (x) = − . 2x
Câu 38: Tính đạo hàm của hàm số y = ( 3x −5) x . 7 5 7 5 A. 5 2 y′ = x − y′ = x − y′ = x − y′ = x − 2 . B. 5 . C. 2 5 3 . D. 2 1 3 . 2 x 2 2 x 2 x 2 x x + 3
Câu 39: Đạo hàm của hàm số y = là: 2 x +1 2 2x − x −1 A. 1− 3x . B. 1+ 3x . C. 1−3x . D. . ( 2x + ) 2 1 x +1 ( 2x + ) 2 1 x +1 2 x +1 ( 2x + ) 2 1 x +1
Câu 40: Cho hàm số f (x) 2
= x + 3 . Tính giá trị của biểu thức S = f ( ) ' 1 + 4 f ( ) 1 . A. S = 4 . B. S = 2 . C. S = 6 . D. S = 8. Câu 41: Cho hàm số 2
y = 2x + 5x − 4 . Đạo hàm y ' của hàm số là 4x + 5 2x + 5 A. y ' = . B. y ' = . 2 2 2x + 5x − 4 2 2 2x + 5x − 4 2x + 5 4x + 5 C. y ' = . D. y ' = . 2 2x + 5x − 4 2 2x + 5x − 4
Câu 42: Tính đạo hàm của hàm số 2 1 y = x − . x A. 1 y′ = 2x − . B. 1 y′ = x − . C. 1 y′ = x + . D. 1 y′ = 2x + . 2 x 2 x 2 x 2 x Page 18
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 43: Tính đạo hàm của hàm số 2x y = x −1 2 2 − A. 2 y′ − = . B. y′ = . C. 2 y′ = . D. y′ = . (x − )2 1 (x − )1 (x − )2 1 (x − )1 Câu 44: Hàm số 1 y =
có đạo hàm bằng: 2 x + 5 1 2x 1 − 2 − x A. y ' = ( . B. y ' = . C. y ' = . D. y ' = . x + 5)2 2 (x +5)2 2 (x +5)2 2 (x +5)2 2 2 2x −3x + 7
Câu 45: Tính đạo hàm của hàm số y = 2 . x + 2x + 3 2 7 − x + 2x + 23 2 7x − 2x − 23 A. y′ = ′ ( . B. y = x + 2x + 3)2 2 (x +2x+3)2 2 2 3 2
8x + 3x +14x + 5 C. 7x − 2x − 23 y′ = ′ = ( D. y 2 x + 2x + 3) (x +2x+3)2 2 Câu 46: Cho hàm số 2 ( ) x + a f x = (a,b ∈ ;
R b ≠ 1) . Ta có f '(1) bằng: x − b
A. −a + 2b .
B. a − 2b .
C. a + 2b .
D. −a − 2b . 2 (b −1) 2 (b −1) 2 (b −1) 2 (b −1) Câu 47: Cho ( ) 1 = 1− 4 − x f x x +
. Tính f ′(x) . x − 3 2 2 A. − . B. 2 2 − . 1− 4x x −3
1− 4x (x − 3)2 1 C. +1 D. 2 − 2 + . 2 1− 4x
1− 4x (x − 3)2
Câu 48: Đạo hàm của hàm số y = ( x − ) 2 2 1 x + x là 2 2 2 A. 8x + 4x −1 y ' = . B. 8x + 4x +1 y ' 4x 1 6x 2x 1 = . C. + y' = . D. + − y ' = . 2 2 x + x 2 2 x + x 2 2 x + x 2 2 x + x
Câu 49: Đạo hàm của hàm số y = (−x + x + )7 2 3 7 là
A. y = (− x + )(−x + x + )6 2 ' 7 2 3 3 7 .
B. y = (−x + x + )6 2 ' 7 3 7 .
C. y = (− x + )(−x + x + )6 2 ' 2 3 3 7 .
D. y = (− x + )(−x + x + )6 2 ' 7 2 3 3 7 . 3
Câu 50: Đạo hàm của hàm số  2 2 y x  = −  bằng x    2 2 A.  1  2 2 y 6 x    x  ′ = + −  . B. 2 2
y′ = 3 x − . 2 x x       x  2 2 C.  1  2 2 y 6 x  1  2   x  ′ = − −  . D. 2
y′ = 6 x −  x − 2 x x       x  x Page 19
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 51: Đạo hàm của hàm số y = (x + x + )1 2 3 1 là 1 A. 2x +1 y′ = .
B. y′ = (x + x + )2 2 3 1 . 3 (x + x + )2 2 3 1 3 1 2x +1
C. y′ = (x + x + )8 2 3 1 y′ = 3 . D. . 3 2 2 x + x +1
Câu 52: Đạo hàm của hàm số y = (x − x )2 3 2 2 bằng: A. 5 4 3
6x − 20x −16x . B. 5 4 3
6x − 20x + 4x . C. 5 3 6x +16x . D. 5 4 3
6x − 20x +16x .
Câu 53: Đạo hàm của hàm số f (x) 2
= 2 − 3x bằng biểu thức nào sau đây? 3 − x 1 2 3x A. . B. . C. 6 − x . D. . 2 2 − 3x 2 2 2 − 3x 2 2 2 − 3x 2 2 − 3x Câu 54: Cho hàm số 1 3 2
y = x − 2x − 5x . Tập nghiệm của bất phương trình y′ ≥ 0 là 3 A. [ 1; − 5] . B. ∅ . C. ( ; −∞ − ) 1 ∪(5;+∞). D. ( ; −∞ − ]1∪[5;+∞) . Câu 55: Cho hàm số 3 2
y = x + mx + 3x − 5 với m là tham số. Tìm tập hợp M tất cả các giá trị của m để
y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt:
A. M = (−3;3) . B. M = (− ; ∞ − ] 3 ∪[3;+∞) . C. M =  . D. M = (− ; ∞ −3) ∪ (3;+∞) . Câu 56: Cho hàm số 3
y = x − 3x + 2017 . Bất phương trình y′ < 0 có tập nghiệm là: A. S = ( 1; − ) 1 . B. S = ( ; −∞ − ) 1 ∪(1;+∞) . C. (1;+∞). D. ( ; −∞ − ) 1 . Câu 57: ′
Cho hàm số f (x) 4 2
= x + 2x − 3. Tìm x để f (x) > 0? A. 1 − < x < 0 . B. x < 0 . C. x > 0 . D. x < 1 − .
Câu 58: Cho hàm số y = (m + ) 3 3 2 x + (m + 2) 2
x + 3x −1, m là tham số. Số các giá trị nguyên m để 2 y′ ≥ 0, x ∀ ∈  là A. 5.
B. Có vô số giá trị nguyên m . C. 3. D. 4
Câu 59: Cho hàm số f (x) 3 2
= −x + 3mx −12x + 3 với m là tham số thực. Số giá trị nguyên của m để
f ′(x) ≤ 0 với x ∀ ∈  là A. 1. B. 5. C. 4. D. 3. 3 2
Câu 60: Cho hàm số ( ) mx mx f x = −
+ (3− m) x − 2. Tìm m để f ′(x) > 0 x ∀ ∈ R . 3 2 A. 12 0 ≤ m ≤ . B. 12 0 < m < . C. 12 0 ≤ m < . D. 12 0 < m ≤ . 5 5 5 5 Page 20
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 61: Cho hàm số f (x) 2 = 5
− x +14x − 9 Tập hợp các giá trị của x để f ′(x) < 0 là  7   7   7 9   7  A. ;+∞  . B. ; −∞  . C.  ; . D. 1; .  5   5   5 5   5 
Câu 62: Cho hàm số f (x) 2
= x − 2x . Tìm tập nghiệm S của phương trình f ′( x) ≥ f ( x) có bao nhiêu giá trị nguyên? A. 1. B. 2. C. 0 . D. 3. ′ Câu 63:  −  − Cho 3 2x ax b 1 = ax ∀ >  . Tính .  4x −1  (4x − ) , 1 4x −1 4 b A. 16 − . B. 4 − . C. 1 − . D. 4. ax + b Câu 64: Cho 2
y = x − 2x + 3 , y′ = . Khi đó giá trị . a b là: 2 x − 2x + 3 A. 4 − . B. 1 − . C. 0 . D. 1.
Câu 65: Cho hàm số ( ) 3 b
f x = ax + có f ′( ) 1 =1, f ′( 2 − ) = 2
− . Khi đó f ′( 2) bằng: x A. 12 . B. 2 − . C. 2. D. 12 − . 5 5 5
Câu 66: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số x + 2 y =
có đạo hàm dương trên khoảng x + 5m ( ; −∞ 10 − )? A. 1. B. 2. C. 3. D. vô số.
Câu 67: Cho hàm số ( ) = x f x (
. Tính f ′(0) x − )
1 (x − 2)...(x − 2022) A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . 2023 2022 2023! 2022!
Câu 68: Cho hai hàm số f (x) và g (x) đều có đạo hàm trên và thỏa mãn: 3 f ( − x) 2 − f ( + x) 2 2 2
2 3 + x .g (x) + 36x = 0, với x
∀ ∈  . Tính A = 3 f (2) + 4 f ′(2) . A. 11 B. 13 C. 14 D. 10
DẠNG 3. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
Câu 69: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số x +1 y =
tại điểm có hoành độ x = 1 − 2x − 3 0 có hệ số góc bằng A. 5. B. 1 − . C. 5 − . D. 1 . 5 5
Câu 70: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y = x − 4x +5 tại điểm có hoành độ x = 1. −
A. y = 4x − 6.
B. y = 4x + 2.
C. y = 4x + 6.
D. y = 4x − 2.
Câu 71: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2x + 3 y =
tại điểm có hoành độ bằng 3, tương ứng là x − 2
A. y = 7x +13.
B. y = −7x + 30.
C. y = 3x + 9 .
D. y = −x − 2 . Page 21
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Câu 72: Cho hàm số 1 3 2
y = x + x − 2x +1 có đồ thị là (C ) . Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm 3 1 M 1;   là: 3   
A. y = 3x − 2 . B. y = 3 − x + 2 . C. 2 y = x − . D. 2 y = −x + 3 3
Câu 73: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y = x −3x tại điểm có hoành độ bằng 2. A. y = 9 − x +16 . B. y = 9 − x + 20 .
C. y = 9x − 20 .
D. y = 9x −16 .
Câu 74: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) 2
: y = 3x − 4x tại điểm có hoành độ x = 0 0 là
A. y = 0.
B. y = 3x .
C. y = 3x − 2 . D. y = 12 − x .
Câu 75: Cho hàm số 3
y = −x +3x − 2 có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm
của (C) với trục tung. A. y = 2 − x +1.
B. y = 2x +1.
C. y = 3x − 2 . D. y = 3 − x − 2 .
Câu 76: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 4 2
(C): y = x −8x +9 tại điểm M có hoành độ bằng -1.
A. y =12x +14 .
B. y =12x −14 .
C. y =12x +10. D. y = 20 − x − 22 . Câu 77: Cho hàm số x − 2 y =
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm có hoành x +1 độ x = 0 0 .
A. y = 3x − 2 . B. y = 3 − x − 2 .
C. y = 3x − 3.
D. y = 3x + 2 .
Câu 78: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số −x + 3 y =
tại điểm có hoành độ x = 0 là x −1 A. y = 2 − x + 3. B. y = 2 − x − 3.
C. y = 2x − 3.
D. y = 2x + 3. Câu 79: Cho hàm số 3
y = x − 2x +1 có đồ thị (C). Hệ số góc k của tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoàng độ bằng 1 bằng A. k = 5 − .
B. k =10 .
C. k = 25 . D. k =1.
Câu 80: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số x 1 y
tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có hệ số 3x2 góc là A. 1. B. 1 . C. 5  . D. 1  . 4 4 4 Câu 81: Cho hàm số x +1 y =
có đồ thị (C). Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 3. x −1
Tìm hệ số góc k của đường thẳng d. A. 1 − . B. 2 − C. 2. D. 1 . 2 2
Câu 82: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 2
y = x + x − 2 tại điểm có hoành độ x = 1 − 0 .
A. x + y −1 = 0.
B. x − y − 2 = 0.
C. x + y + 3 = 0.
D. x − y −1 = 0.
Câu 83: Hệ số góc tiếp tuyến tại A(1;0) của đồ thị hàm số 3 2
y = x −3x + 2 là A. 1. B. 1 − . C. 3 − . D. 0 . Page 22
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 84: Gọi I là giao điểm giữa đồ thị hàm số x +1 y =
và trục tung của hệ trục tọa độ Oxy . Hệ số góc x −1
của tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên tại I là A. 2 − . B. 0 . C. 1 − . D. 2.
Câu 85: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3x 1 y
tại điểm có hoành độ x  2 là x 1
A. y = 2x + 9. B. y = 2 − x + 9 .
C. y = 2x −9 . D. y = 2 − x − 9 .
Câu 86: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H ) : x −1 y =
tại giao điểm của (H ) và trục hoành là: x + 2
A. y = x −3 . B. 1 y = ( x − ) 1 .
C. y = 3x.
D. y = 3(x − ) 1 . 3 Câu 87: Cho hàm số 3 y = −x + 3 2
x + 9x −1 có đồ thị. Hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị là. A. 1 B. 6 C. 12 D. 9 Câu 88: Cho hàm số 4 2
y = x + 2x +1 có đồ thị(C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M (1;4) là
A. y = 8x − 4.
B. y = x + 3. C. y = 8 − x +12 .
D. y = 8x + 4.
Câu 89: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số x +1 y =
tại điểm A(2;3) có phương trình y = ax + b . Tính a + b x −1 A. 9. B. 5. C. 1. D. 1 − .
Câu 90: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y = x −6x +5 tại điểm có hoành độ x = 2 . A. y = 8 − x −16.
B. y = 8x −19. C. y = 8 − x +16.
D. y = 8x +19.
Câu 91: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số x 1 y
tại điểm có tung độ bằng 2 là x2
A. y  3x 1.
B. y 3x1.
C. y 3x 1.
D. y  3x 3.
Câu 92: Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số f (x) 3
= x +1 sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số
f (x) tại M song song với đường thẳng d : y = 3x −1? A. 3. B. 2. C. 0 . D. 1.
Câu 93: Cho đồ thị hàm số 3
y = x −3x (C) . Số các tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng
y = 3x −10 là A. 2. B. 1. C. 3. D. 0 . Câu 94: Cho hàm số 3 2
y = −x +3x −3 có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng 1
y = x + 2017 là 9 A. 2. B. 1. C. 0 . D. 3. Câu 95: Cho hàm số 2x +1 f (x) =
,(C) . Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 3 − x có x −1 phương trình là A. y = 3
− x −1; y = 3 − x +11. B. y = 3 − x +10; y = 3 − x − 4. C. y = 3 − x + 5; y = 3 − x − 5. D. y = 3 − x + 2; y = 3 − x − 2. Page 23
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Câu 96: Cho hàm số 2x −1 y =
(C) . Tiếp tuyến của vuông góc với đường thẳng x + 3y + 2 = 0 tại điểm x +1 có hoành độ x = 0 x = 0 A. x = 0 . B. x = 2 − . C.  . D.  . x = 2 − x = 2 Câu 97: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x +1 có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với
đường thẳng y = 9x +10 là
A. y = 9x + 6, y = 9x − 28 .
B. y = 9x, y = 9x − 26.
C. y = 9x − 6, y = 9x − 28 .
D. y = 9x + 6, y = 9x − 26 . Câu 98: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng d :9x − y + 7 = 0 là
A. y = 9x + 25. B. y = 9 − x − 25 .
C. y = 9x − 25 D. y = 9 − x + 25 . Câu 99: Cho hàm số 3 2
f (x) = x − 3x , tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 5 của đồ thị hàm số là:
A. y = 9( x + 3) .
B. y = 9( x − 3) .
C. y = 9x + 5 và y = 9(x −3) D. y = 9x + 5 .
Câu 100: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) = 2x +1 , biết rằng tiếp tuyến đó song
song với đường thẳng x −3y + 6 = 0 . A. 1
y = x −1. B. 1
y = x +1. C. 1 5
y = x − . D. 1 5 y = x + . 3 3 3 3 3 3
Câu 101: Cho hàm số x +1 y =
đồ thị (C). Có bao nhiêu cặp điểm A , B thuộc (C) mà tiếp tuyến x −1
tại đó song song với nhau: A. 1.
B. Không tồn tại cặp điểm nào.
C. Vô số cặp điểm D. 2.
Câu 102: Cho hàm số x − m y =
có đồ thị là (C . Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của (C tại điểm m ) m ) x +1
có hoành độ bằng 0 song song với đường thẳng d : y = 3x +1. A. m = 3. B. m = 2 . C. m =1. D. m = 2 − .
Câu 103: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = −x + 2x song song với đường thẳng y = x ? A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.
Câu 104: Cho hàm số 1 3 2
y = x − 2x + x + 2 có đồ thị (C ) . Phương trình các tiếp tuyến với đồ thị (C ) biết 3
tiếp tuyến song song với đường thẳng 10 d : y = 2 − x + là 3 A. y = 2 − x + 2 . B. y = 2 − x − 2 . C. 2 y = 2 − x +10, y = 2 − x − . D. 2 y = 2
− x −10, y = 2 − x + . 3 3 3 x
Câu 105: Cho hàm số 2 y = + 3x − 2 C C 3
có đồ thị là ( ). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) biết
tiếp tuyến có hệ số góc k = 9 − . A. y +16 = 9
− (x + 3).. B. y = 9 − (x +3). C. y −16 = 9
− (x −3).. D. y −16 = 9 − (x + 3). Page 24
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 106: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x − 3x +1 biết nó song song với đường
thẳng y = 9x + 6 .
A. y = 9x + 6 , y = 9x − 6 .
B. y = 9x − 26 .
C. y = 9x + 26.
D. y = 9x − 26 , y = 9x + 6 .
Câu 107: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = −x + 2x song song với đường thẳng y = x? A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.
Câu 108: Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y = −x + 2x song song với trục hoành là A. 3. B. 2. C. 0 . D. 1.
Câu 109: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) 2x +1 : y =
song song với đường thẳng x + 2
∆ : y = 3x + 2 là
A. y = 3x + 2 .
B. y = 3x − 2 .
C. y = 3x +14 .
D. y = 3x + 5.
Câu 110: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 có đồ thị. Tìm số tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng
d: y = 9x − 25. A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 111: Tìm điểm M có hoành độ âm trên đồ thị (C) 1 3 2
: y = x − x + sao cho tiếp tuyến tại M vuông 3 3 góc với đường thẳng 1 2 y = − x + . 3 3  4   4  A. M 1; −  . B. M ( 2; − 0). C. M 2; . D. M ( 2; − 4 − ) . 3      3 
Câu 112: Tìm các tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2x +1 y =
biết các tiếp tuyến đó song song với đường thẳng x −1 y = 3 − x . A. y = 3 − x +11;y = 3 − x −1. B. y = 3
− x − 6; y = 3 − x −11. C. y = 3 − x +1. D. y = 3 − x + 6 .
Câu 113: Cho đường cong (C) 4 3 2
: y = x −3x + 2x −1. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đường cong (C) có hệ số góc bằng 7 ? A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 114: Cho hàm số 4 2
y = x − 2x + m − 2 có đồ thị (C). Gọi S là tập các giá trị của m sao cho đồ thị
(C) có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox . Tổng các phần tử của S là A. 3. B. 8. C. 5. D. 2.
Câu 115: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 có đồ thị (C). Tìm số tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với
đường thẳng d :y = 9x − 25 . A. 1. B. 3. C. 0 . D. 2.
Câu 116: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = 2x − 3x −12x +1 song song với đường thẳng d :12x + y = 0
có dạng là y = ax + b . Tính giá trị của 2a + b . A. 23 − hoặc 24 − B. 23 − . C. 24 − . D. 0 .
Câu 117: Đường thẳng y = 6x + m +1là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y = x + 3x −1 khi m bằng A. 4 − hoặc 2 − . B. 4 − hoặc 0 . C. 0 hoặc 2. D. 2 − hoặc 2. Page 25
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 118: Tính tổng S tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số f (x) 3 2 2 3
= x − 3mx + 3mx + m − 2m
tiếp xúc với trục hoành. A. 4 S = . B. S =1.
C. S = 0 . D. 2 S = . 3 3
Câu 119: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2x . Có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; − 0) ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2 x
Câu 120: Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến kẻ từ M (2;− )
1 đến đồ thị hàm số y = − x +1 4 . A. y = 2 − x + 3 . B. y = 1 − .
C. y = x −3 .
D. y = 3x − 7 .
Câu 121: Cho hàm số x − 2 y =
có đồ thị (C) và điểm ( A ;
m 1) . Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để có 1− x
đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua A . Tính tổng bình phương các phần tử của tập S . A. 25 . B. 5 . C. 13 . D. 9 . 4 2 4 4
Câu 122: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 đi qua ( A 3 ; 2) ? A. 3. B. 0 . C. 1. D. 2.
Câu 123: Cho hàm số −x + 2 y =
có đồ thị (C) và điểm (
A a;1) . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực x −1
của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua A . Tổng tất cả các giá trị các phần tử của S là A. 1 . B. 3 . C. 5 . D. 1 . 2 2 2
Câu 124: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 6x +1 có đồ thị. Tiếp tuyến của có hệ số góc nhỏ nhất là bao nhiêu? A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Câu 125: Cho hàm số x  2 y
có đồ thị C. Đường thẳng d có phương trình y ax b là tiếp 2x 3
tuyến của C, biết d cắt trục hoành tại A và cắt trục tung tại B sao cho tam giác OAB cân
tại O , với O là gốc tọa độ. Tính a b. A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3 .
Câu 126: Cho hàm số 2x 1 y
có đồ thị. Có bao nhiêu tiếp tuyến của cắt trục Ox, Oy lần lượt tại tại x 1
hai điểm A và B thỏa mãn điều kiện OA  4OB . A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Câu 127: Cho hàm số x + 2 y = ( )
1 . Đường thẳng d : y = ax + b 2x + 3
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) 1 . Biết
d cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A,B sao cho OA ∆
B cân tại O . Khi đó a + b bằng A. 1 − . B. 0 . C. 2. D. 3 − . Page 26
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 128: Cho hàm số f (x) 3 2
= x + 3x + mx +1. Gọi S là tổng tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm
số y = f (x) cắt đường thẳng y =1 tại ba điểm phân biệt A(0; )
1 , B , C sao cho các tiếp tuyến
của đồ thị hàm số y = f (x) tại B , C vuông góc với nhau. Giá trị của S bằng A. 9 . B. 9 . C. 9 . D. 11. 2 5 4 5
Câu 129: Cho hàm số x +1 y =
(C). Điểm M thuộc (C) có hoành độ lớn hơn 1, tiếp tuyến của (C) tại x −1
M cắt hai tiệm cận của (C) lần lượt tại ,
A B . Diện tích nhỏ nhất của tam giác OAB bằng. A. 4 + 2 2 . B. 4 . C. 4 2 . D. 4 + 2 .
Câu 130: Cho hàm số 3 2
y = x + 3x +1 có đồ thị (C) và điểm A(1;m). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
nguyên của tham số m để qua A có thể kể được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị (C). Số phần tử của S là A. 9. B. 7 . C. 3. D. 5
Câu 131: Cho hàm số x +1 y =
có đồ thị (C). Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 3. x −1
Tìm hệ số góc k của đường thẳng d. A. 1 − . B. 2 − C. 2. D. 1 . 2 2
Câu 132: Cho hàm số 1 y =
có đồ thị (C). Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C) tại điểm M (2; ) 1 . Diện tích x −1
tam giác được tạo bởi ∆ và các trục bằng A. 3. B. 3 . C. 9. D. 9 . 2 2
DẠNG 4. BÀI TOÁN QUẢNG ĐƯỜNG, VẬN TỐC
Câu 133: Cho chuyển động được xác định bởi phương trình 3 2
s = 2t + 6t − t , trong đó t được tính bằng
giây và s được tính bằng mét. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 3s là:
A. 89 m / .s
B. 105 m / .s
C. 48 m / .s
D. 20m / .s
Câu 134: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là S (t) 1 3 2
= t − 2t + 3t −1 (t được 3
tính bằng giây, s tính bằng mét). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 4 là
A. 6(m / s) .
B. 4(m / s).
C. 5(m / s) .
D. 3(m / s) .
Câu 135: Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình s(t) 3 2
= t − 3t + 5t +10 ,
trong đó t > 0 với t tính bằng giây và s tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm vận tốc của vật đạt giá
trị nhỏ nhất thì quãng đường vật đi được bằng bao nhiêu? A. 13 m . B. 3 m . C. 16 m . D. 10 m .
Câu 136: Một vật chuyển động theo quy luật s(t) 2 3
= 4t − 2t + 5 , với t là khoảng thời gian tính từ lúc vật
bắt đầu chuyển động và s là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Biết tại thời điểm m
thì vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là n(m / s) . Giá trị T = mn bằng A. 4. B. 16. C. 2. D. 8. 3 9 3 9 Page 27
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 137: Một chất điểm chuyển động theo quy luật 2 3
S = 6t − t , vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá
trị lớn nhất tại thời điểm t (s) bằng A. 4 (s). B. 12 (s) . C. 6 (s) . D. 2 (s) .
Câu 138: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường đi được của đoàn tàu
là một hàm số của thời gian t được cho bởi phương trình s(t) 2 3
= 10 + t + 9t − t trong đó s tính
bằng mét, t tính bằng giây. Trong 5 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, đoàn tàu đạt vận tốc lớn nhất bằng bao nhiêu?
A. 1m / s .
B. 28m / s .
C. 16m / s .
D. 3m / s .
Câu 139: Một vật chuyển động trong 1 giờ với vận tốc v phụ thuộc vào thời gian t có đồ thị vận tốc như
hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của
đường parabol có đỉnh 1
I( ;8) và trục đối xứng song song với trục tung. Tính gia tốc của vật lúc 2 t = 0,25(h) A. ( 2
16 km / h ). B. − ( 2
16 km / h ). C. ( 2
8 km / h ) . D. − ( 2 8 km / h ). Page 28
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM NG Ơ VII ĐẠO HÀM CHƯ
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
III HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM Câu 1: Cho hàm số 4 y = . Khi đó y′(− ) 1 bằng x −1 A. 1 − . B. 2 − . C. 2. D. 1. Lời giải Ta có 4 y′ = − ⇒ y′(− ) 1 = 1 − . (x − )2 1
Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số f (x) 2x + 7 =
tại x = 2 ta được: x + 4 A. f ′( ) 1 2 = . B. f ′( ) 11 2 = . C. f ′( ) 3 2 = . D. f ′( ) 5 2 = . 36 6 2 12 Lời giải Ta có f ′(x) 1 = ⇒ f ′(2) 1 ( = . x + 4)2 36
Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số y xx  
1 x2x  3 tại điểm x  0 0 là:
A. y0 5 .
B. y0 6 .
C. y0 0 .
D. y0 6 . Lời giải
Ta có y xx  x  x   2 x x 2 1 2 3 x 5x   6
y   x   2
x x   2 2 1 5 6
x x2x   5  y0 6.
Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số y x x tại điểm x  4 0 là: A. y  9 4  .
B. y4 6 . C. y  3 4  . D. y  5 4  . 2 2 4 Lời giải Page 1
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM 1 Ta có y  1  y  1 5 4  1 . 2 x 2 4 4
Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số ( ) 2x f x = tại điểm x = 1 − . x −1 A. f '(− ) 1 =1. B. f (− ) 1 ' 1 = − . C. f '(− ) 1 = 2 − . D. f '(− ) 1 = 0. 2 Lời giải − Ta có: f (x) 2 ' = . Vậy f '(− ) 1 = − . ( 1 x − )2 1 2
Câu 6: Cho hàm số f (x) xác định trên  bởi f (x) 2
= 2x +1. Giá trị f ′(− ) 1 bằng A. 2. B. 6. C. 4 − . D. 3. Lời giải
Ta có : f '(x) = 4x ⇒ f ′(− ) 1 = 4 − . Câu 7: Cho hàm số 3
f (x) = 2x +1. Giá trị f (′ 1) − bằng: A. 6 . B. 3. C. 2 − . D. 6 − . Lời giải Có 3
f (x) = 2x +1 ⇒ 2
f (′x) = 6x ⇒ f (′ 1) − = 2 6.( 1 − ) = 6.
Câu 8: Cho hàm số f (x) = x −1 . Đạo hàm của hàm số tại x =1 là A. 1 . B. 1. C. 0 . D. Không tồn tại. 2 Lời giải Ta có f ′(x) 1 = 2 x −1 2
Câu 9: Cho hàm số f (x) = x − 2x + 3 , tính f (′2) . A. 1 . B. 3 . C. 3 . D. 2 3 . 3 3 Lời giải Ta có: 2 x −1 3
f (x) = x − 2x + 3 ⇒ f (′x) = ⇒ f (′2) = . Chọn C 2 x − 2x + 3 3 2 x +
Câu 10: Cho hàm số = x y
. Đạo hàm của hàm số tại x = 1 là x − 2 A. y′( ) 1 = 4. − B. y′( ) 1 = 5. − C. y′( ) 1 = 3. − D. y′( ) 1 = 2. − Lời giải Vậy y′( ) 1 = 5. − Page 2
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM + Câu 11: Cho hàm số 2x 1 y = . Tính y (′3) . x − 2
A. y '(3) = 5 . B. y (′3) = 5 − .
C. y '(3) = 0. D. y '(3) = 7. Lời giải + ′ − − + − ′ Có
(2x 1) (x 2) (2x 1)(x 2) y (′x) = 2 (x − 2)
2(x − 2) − (2x +1).1 ⇔ y (′x) = 2 (x − 2) 5 − 5 ⇔ y (x) = ⇒ y (3) − ′ ′ = = 5 − 2 2 (x − 2) (3− 2) Câu 12: Cho hàm số 2
y = x − x + 2. Tính y '( ) 1 . A. y '( ) 1 = 1 − . B. y '( ) 1 =1. C. y '( ) 1 = 2. D. y '( ) 1 = 0 . Lời giải
y ' = 2x −1 ⇒ y '( ) 1 = 2.1−1 =1. Câu 13: ′ + ′ − + ′ Cho f (x) 5 3
= x + x − 2x − 3. Tính f ( )1 f ( )1 4 f (0)? A. 4. B. 7. C. 6. D. 5. Lời giải:
 Phương pháp tự luận:
Tập xác định: D =  . Ta có: f ' (x) 4 2
= 5x + 3x − 2 . ⇒ f ' ( ) 1 = 6; f ' (− ) 1 = 6; f ' (0) = 2 − ⇒ f ' ( ) 1 + f ' (− ) 1 + 4 f ' (0) = 4.
 Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng Casio d ( 5 3
x + x − 2x − 3) d ( 5 3
x + x − 2x − 3) d ( 5 3
x + x − 2x − 3) Bấm + − 4 = 4 . dx x 1 = dx x= 1 − dx x=0 Câu 14: Cho hàm số x + 2 y = . Tính y′(3) x −1 A. 5 . B. 3 − . C. 3 − . D. 3 . 2 4 2 4 Lời giải Ta có x + 2 3 y = ⇒ y − ′ = x −1 (x − )2 1 y′( ) 3 − 3 3 = = − . (3− )2 1 4 Page 3
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM 3− 4 − x  khi x ≠ 0
Câu 15: Cho hàm số f (x)  4 =  . Tính f ′(0). 1 khi x = 0 4 A. Không tồn tại. B. f ′( ) 1 0 = . C. f ′( ) 1 0 = . D. f ′( ) 1 0 = . 16 4 32 Lời giải 3− 4 − x 1 − − − − − f ′( x x 0) 4 4 2 4 4 (4 ) x 1 = lim = lim = lim = lim = x→0 x→0 x→0 x 4x
4x(2+ 4− x) x→0 4(2+ 4− x) 16 3x +1
Câu 16: Cho hàm số f (x) =
. Tính giá trị biểu thức f '(0) . 2 x + 4 A. 3 − . B. 2 − . C. 3 . D. 3. 2 Lời giải
Cách 1: Tập xác định D =  . 2 3 + 4 − (3 + ) 1 . x x x f '(x) 2 x + 4 12 − x = ( = x + 4)2 (x +4)3 2 2 2 ⇒ f ( ) 3 ' 0 = . 2
DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Câu 17: Tính đạo hàm của hàm số 3
y = x + 2x +1. A. 2
y' = 3x + 2x . B. 2
y' = 3x + 2. C. 2
y' = 3x + 2x +1. D. 2 y' = x + 2. Lời giải Ta có: 2 y' = 3x + 2.
Câu 18: Đạo hàm của hàm số 4 2
y = x − 4mx − 3m −1 ( m là tham số) là A. 3
y ' = 4x −8mx . B. 3
y ' = 4x −8mx − 3m −1. C. 3
y ' = 4x −8mx −1. D. 2
y ' = 4x −8mx . Lời giải Ta có 3 y ' = 4x −8 . mx
Câu 19: Khẳng định nào sau đây là đúng? 1 A. ( x )′ = .
B. (x)′ = 0. x Page 4
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM ′  1  1 C. =   .
D. (k.x)′ = k , với k là hằng số.  x  2 x Lời giải 1
Đáp án A sai vì ( x )′ = 2 x
Đáp án B sai vì (x)′ =1 ′  1  1 Đán án C sai vì = −    x  2 x Đáp án D đúng.
Câu 20: Cho hàm số f (x) là hàm số trên  định bởi f (x) = 2x . Chọn câu đúng.
A. f ′(x) = 2
B. f ′(x) = 1
C. f ′(x) = x
D. f ′(x) không tồn tại. Lời giải
Ta thấy: f (x) (2x)′ ′ = = 2 1 1
Câu 21: Đạo hàm của hàm số 2 4
y = − x + x − 0,25x là 4 3 ′ 1 ′ 1 ′ 1 ′ 1 A. 3
y = − + 2x − 2x . B. 3
y = − + x − 2x . C. 3
y = + x − 2x . D. 3
y = − + 2x − x . 3 3 3 3 Lời giải  1 ′  1 ′ y′ = − x + ( 2 x )′ −( 4 0,25x )′ 1 3 = − + 2x −     x .  4   3  3 Câu 22: Cho hàm số 3x + 5 y =
. Đạo hàm y′của hàm số là: 1 − + 2x A. 7 . B. 1 . C. 13 − . D. 13 . 2 (2x −1) 2 (2x −1) 2 (2x −1) 2 (2x −1) Lời giải
(3x 5)′.(2x )1 (3x 5)(2x )1′ + − − + − 3(2x − ) 1 − 2(3x + 5) Ta có y′ = 13 − ( = = 2x − )2 1 (2x − )2 1 (2x − )2 1
Câu 23: Đạo hàm của hàm số 3 y = 2 − x + 3 là A. y ' = 6 − x . B. 2 y ' = 6 − x + 3 . C. 2 y ' = 6 − x . D. 2 y ' = 3 − x . Lời giải 2 2 y ' = 3.2. − x = 6 − x . Page 5
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số y = f (x) = (x − x )2 3 2 2 . A. f (x) 5 4 3 '
= 6x − 20x +16x . B. f (x) 5 3 '
= 6x +16x . C. f (x) 5 4 3 '
= 6x − 20x + 4x . D. f (x) 5 4 3 '
= 6x − 20x −16x Lời giải
Ta có: f (x) = ( 3 2 x − x ) ( 3 2 ' 2 2 . x − 2x )' = ( 3 2 x − x ) ( 2 2 2 . 3x − 4x) 5 4 4 3
= 6x −8x −12x +16x 5 4 3
= 6x − 20x +16x .
Câu 25: Đạo hàm của hàm số 1 4 2
y = x − 3x − 2021x + 2022 bằng biểu thức nào sau đây? 4 A. 4 2
y′ = x − 6x − 2021 B. 3
y′ = x − 6x − 2021 C. 3 3
y′ = x − 6x − 2021 D. 3
y′ = x − 6x − 2021x + 2022 4 Lời giải Ta có: 1 4 2
y = x − 3x − 2021x + 2022 4 1 ′  1 ′  4 2 4 ⇒ y′ =
x − 3x − 2021x + 2022 = x  − ( 2
3x )′ −(2021x)′ + (2022)′ 3 = x − 6x −     2021.  4   4 
Câu 26: Hàm số nào sau đây là đạo hàm của hàm số 2x + 3 y = . 3x −1 − 7 2 A. 11 y′ = B. y′ = C. y′ = D. 2 y′ = (3x − )2 1 (3x − )2 1 (3x − )2 1 3 Lời giải Ta có:
 2x + 3 ′ (2x 3)′ (3x ) 1 (2x 3)(3x ) 1 ′ + − − + − 2(3x − ) 1 − (2x + 3).3 11 − y  ′ =  = = =  3x 1  −  (3x − )2 1 (3x − )2 1 (3x − )2 1
Câu 27: Cho hàm số f (x) x −1 = . Biết ′( ) ax + b f x = , x
∀ . Tính S = 2a + b 2 x +1 ( 2x + ) 2 1 x +1
A. S = 3. B. S =1. C. S = 1 − . D. S = 5. Lời giải Ta có: Page 6
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM ′ x ′ 2 2 2
x +1 − (x − ) 1 . x −1 ′   (x − ) 1
x +1 − (x − ) 1 ( x +1) 2 x +1 2 2
x +1− x + x   = = = 2  x +1  2 x +1 2 x +1 ( 2x + ) 2 1 x +1 x +1 a =1 = ⇒ (  . 2 x + ) 2 1 x +1 b =1
Vậy S = 2a + b = 3.
Câu 28: Đạo hàm của hàm số 2
y = 1− 2x là kết quả nào sau đây? A. 1 y′ − − = . B. 4x y′ = . C. 2x y′ = . D. 2x y′ = . 2 2 1− 2x 2 2 1− 2x 2 1− 2x 2 1− 2x Lời giải Ta có : 4 − x 2 − x y′ = = . 2 2 2 1− 2x 1− 2x
Câu 29: Đạo hàm của hàm số y = ( − x)3 1 2 là
A. y′ = ( − x)2 3. 1 2 .
B. y′ = ( − x)2 6. 1 2 .
C. y′ = − ( − x)2 3. 1 2
. D. y′ = − ( − x)2 6. 1 2 . Lời giải
Áp dụng công thức ( n u )′ n 1 = .
n u − .u′ , với u =1− 2x , n = 3. Suy ra y ( x)2 ( x)′ ′ = − − = − ( − x)2 3. 1 2 . 1 2 6. 1 2 .
Câu 30: Tính đạo hàm của hàm số y = ( 2
x − 2)(2x − ) 1 .
A. y′ = 4x . B. 2
y′ = 3x − 6x + 2. C. 2
y′ = 6x − 2x − 4 . D. 2
y′ = 2x − 2x + 4. Lời giải Ta có: y ( 2
x − 2)′ ( x ) ( 2 x − 2)( x )′ ′ = − + −
= x( x − ) + ( 2 x − 2) 2 2 1 2 1 2 2 1 2
= 6x − 2x − 4 . 2
Câu 31: Tính đạo hàm của hàm số x + 2x − 3 y = . x + 2 2 2 2 A. 3 y′ =1+ . B. x + 6x + 7 y′ + + + + = . C. x 4x 5 y′ = . D. x 8x 1 y′ = . (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2 Lời giải Ta có 3 3 y = x − ⇒ y′ =1+ . x + 2 (x + 2)2
Câu 32: Tính đạo hàm của hàm số x +1 y = . 1− 3x − A. 4 y′ = . B. 4x y′ = . C. 4 y′ = . D. 4 ′ = . ( y 1−3x)2 (1−3x)2 (1−3x)2 1− 3x Page 7
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Lời giải ′ Ta có x +1  + y x 1 = ⇒ y  ′ = 1− 3x  1 3x  − 
(x )1′.(1 3x) (x )1.(1 3x)′ + − − + − (1−3x)+3(x + ) 1 = 4 = = . ( 1− 3x)2 (1−3x)2 (1−3x)2
Câu 33: Hàm số 1 y = −
là đạo hàm của hàm số nào dưới đây? 2 sin x 1
A. y = tan x .
B. y = cot x .
C. y = −cotx . D. y = . sin x Lời giải ′ 1 Ta có: (cot x) = − 2 sin x Câu 34: Cho hàm số 2
f (x) = sin 2x . Tính f '(x).
A. f '(x) = 2sin 2x . B. f (x) 2 ' = 2cos 2x .
C. f '(x) = 2sin 4x .
D. f '(x) = 2 − sin 4x . Lời giải
Ta có: f '(x) = 2.sin 2 .(
x sin 2x)′ = 2.sin 2 .2.
x cos2x = 2.sin 4x .
Câu 35: Đạo hàm của hàm số 4 2
y = x − 4x −3 là A. 3 y′ = 4 − x +8x . B. 2
y′ = 4x −8x . C. 3
y′ = 4x −8x. D. 2 y′ = 4 − x +8x Lời giải y′ = ( 4 3 x − x − )′ 3 4 3 = 4x − 8x . 4 3
Câu 36: Đạo hàm của hàm số x 5x 2 y = +
− 2x + a ( a là hằng số) bằng. 2 3 A. 3 2 1 2x + 5x − + 2a . B. 3 2 1 2x + 5x + . 2x 2 2x C. 3 2 1 2x + 5x − . D. 3 2 2x + 5x − 2 . 2x Lời giải Ta có 3 2 1
y′ = 2x + 5x − . 2x 1
Câu 37: Hàm số nào sau đây có đạo hàm bằng ? 2x Page 8
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM 1
A. f (x) = 2 x .
B. f (x) = x .
C. f (x) = 2x .
D. f (x) = − . 2x Lời giải
Ta có f x = ( x)′ 1 '( ) 2 = . 2x
Câu 38: Tính đạo hàm của hàm số y = ( 3x −5) x . 7 5 7 5 A. 5 2 y′ = x − y′ = x − 2 . B. 5 . 2 x 2 2 x C. 2 5 y′ = 3x − . D. 2 1 y′ = 3x − . 2 x 2 x Lời giải 1 1 5 7 5 7 5 Ta có 2
y ' = 3x . x + ( 3x −5) 2 2 2 5 = 3x x + x x − = x x − = x − . 2 x 2 2 x 2 2 x 2 2 x x + 3
Câu 39: Đạo hàm của hàm số y = là: 2 x +1 2 2x − x −1 A. 1− 3x . B. 1+ 3x . C. 1−3x . D. . ( 2x + ) 2 1 x +1 ( 2x + ) 2 1 x +1 2 x +1 ( 2x + ) 2 1 x +1 Lời giải x + 3 x 2 ( ) x +1 − 2 Ta có x +1 y′ = 1− 3x . 2 x +1 = ( 2x + ) 2 1 x +1
Câu 40: Cho hàm số f (x) 2
= x + 3 . Tính giá trị của biểu thức S = f ( ) ' 1 + 4 f ( ) 1 . A. S = 4 . B. S = 2 . C. S = 6 . D. S = 8. Lời giải x Ta có: f (x) 2 '
= x + 3 ⇒ f (x) = . 2 x + 3 Vậy S = f ( ) ' 1 + 4 f ( ) 1 = 4. Câu 41: Cho hàm số 2
y = 2x + 5x − 4 . Đạo hàm y ' của hàm số là 4x + 5 2x + 5 A. y ' = . B. y ' = . 2 2 2x + 5x − 4 2 2 2x + 5x − 4 2x + 5 4x + 5 C. y ' = . D. y ' = . 2 2x + 5x − 4 2 2x + 5x − 4 Lời giải Page 9
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM 2x + 5x − 4 4x + 5
Ta có y ' = ( 2x +5x −4) ( )' 2 ' 2 = = 2 2
2 2x + 5x − 4 2 2x + 5x − 4
Câu 42: Tính đạo hàm của hàm số 2 1 y = x − . x A. 1 y′ = 2x − . B. 1 y′ = x − . C. 1 y′ = x + . D. 1 y′ = 2x + . 2 x 2 x 2 x 2 x Lời giải
Tập xác định D =  \{ } 0 Có 1 y′ = 2x + . 2 x
Câu 43: Tính đạo hàm của hàm số 2x y = x −1 2 2 − A. 2 y′ − = . B. y′ = . C. 2 y′ = . D. y′ = . (x − )2 1 (x − )1 (x − )2 1 (x − )1 Lời giải 2x 2 y = ⇒ y − ′ = . x −1 (x − )2 1 Câu 44: Hàm số 1 y =
có đạo hàm bằng: 2 x + 5 1 2x 1 − 2 − x A. y ' = ( . B. y ' = . C. y ' = . D. y ' = . x + 5)2 2 (x +5)2 2 (x +5)2 2 (x +5)2 2 Lời giải 2 ' − x y = ( x + 5)2 2 2 2x −3x + 7
Câu 45: Tính đạo hàm của hàm số y = 2 . x + 2x + 3 2 7 − x + 2x + 23 2 7x − 2x − 23 A. y′ = ′ ( . B. y = x + 2x + 3)2 2 (x +2x+3)2 2 2 3 2
8x + 3x +14x + 5 C. 7x − 2x − 23 y′ = ′ = ( D. y 2 x + 2x + 3) (x +2x+3)2 2 Lời giải 2x − 3x + 7
(4x −3)( 2x + 2x +3)−(2x + 2)( 2 2 2x − 3x + 7) 2 7x − 2x − 23 y = ⇒ y′ = = 2 x + 2x + 3 ( 2 2 x + 2x + 3)2 ( 2x +2x+3) Page 10
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Câu 46: Cho hàm số 2 ( ) x + a f x = (a,b ∈ ;
R b ≠ 1) . Ta có f '(1) bằng: x − b
A. −a + 2b .
B. a − 2b .
C. a + 2b .
D. −a − 2b . 2 (b −1) 2 (b −1) 2 (b −1) 2 (b −1) Lời giải
2(x −b) − 2x − a −a − 2b Ta có: f '(x) = = 2 2 ( x −b) (x −b) Câu 47: Cho ( ) 1 = 1− 4 − x f x x +
. Tính f ′(x) . x − 3 2 2 A. − . B. 2 2 − . 1− 4x x −3
1− 4x (x − 3)2 1 C. +1 D. 2 − 2 + . 2 1− 4x
1− 4x (x − 3)2 Lời giải ′ ′ ( )  1 1 4 − x f x x  ′ ′  − = − + x   = ( − x ) 1 1 4 +    x 3  −   x − 3 
(1 4x)′ (1 x)′ (x 3) (1 x)(x 3)′ − − − − − − = + 2 − 2 = + . 2 1− 4x (x −3)2
1− 4x (x −3)2
Câu 48: Đạo hàm của hàm số y = ( x − ) 2 2 1 x + x là 2 2 2 A. 8x + 4x −1 y ' = . B. 8x + 4x +1 y ' 4x 1 6x 2x 1 = . C. + y' = . D. + − y ' = . 2 2 x + x 2 2 x + x 2 2 x + x 2 2 x + x Lời giải 2x −1 2x +1 2 ( )( )
Ta có: y ' = 2 x + x + 2 2 x + x 2 2 2
4x + 4x + 4x −1 8x + 4x −1 = = . 2 2 2 x + x 2 x + x 2 Vậy 8x + 4x −1 y ' = . 2 2 x + x
Câu 49: Đạo hàm của hàm số y = (−x + x + )7 2 3 7 là
A. y = (− x + )(−x + x + )6 2 ' 7 2 3 3 7 .
B. y = (−x + x + )6 2 ' 7 3 7 .
C. y = (− x + )(−x + x + )6 2 ' 2 3 3 7 .
D. y = (− x + )(−x + x + )6 2 ' 7 2 3 3 7 . Lời giải
Ta có: y = (−x + x + )6 (−x + x + ) = (− x + )(−x + x + )6 2 2 2 ' 7 3 7 3 7 ' 7 2 3 3 7 . Page 11
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM 3
Câu 50: Đạo hàm của hàm số  2 2 y x  = −  bằng x    2 2 A.  1  2 2 y 6 x    x  ′ = + −  . B. 2 2
y′ = 3 x − . 2 x x       x  2 2 C.  1  2 2 y 6 x  1  2   x  ′ = − −  . D. 2
y′ = 6 x −  x − 2 x x       x  x Lời giải 2 2  2 2   2 2   1  2 2 y ' 3. x ' x 6 x  x  = − − = + −      . 2 x x x x        
Câu 51: Đạo hàm của hàm số y = (x + x + )1 2 3 1 là 1 A. 2x +1 y′ =
. B. y′ = (x + x + )2 2 3 1 . 3 (x + x + )2 2 3 1 3 1 2x +1
C. y′ = (x + x + )8 2 3 1 y′ = 3 . D. . 3 2 2 x + x +1 Lời giải 1 Ta có 1
y′ = (x + x + ) 1 2 1 − ( 2 ′ 2x +1 3 x + x + ) 1 = . 3 3 (x + x + )2 2 3 1
Câu 52: Đạo hàm của hàm số y = (x − x )2 3 2 2 bằng: A. 5 4 3
6x − 20x −16x . B. 5 4 3
6x − 20x + 4x . C. 5 3 6x +16x . D. 5 4 3
6x − 20x +16x . Lời giải y ( 3 2 x x ) ( 3 2 2 2 . x 2x )′ ′ = − − = ( 3 2 x − x )( 2 2 2 3x − 4x) 5 4 3
= 6x − 20x +16x .
Câu 53: Đạo hàm của hàm số f (x) 2
= 2 − 3x bằng biểu thức nào sau đây? 3 − x 1 2 3x A. . B. . C. 6 − x . D. . 2 2 − 3x 2 2 2 − 3x 2 2 2 − 3x 2 2 − 3x Lời giải ′ u′ Ta có ( u ) = . 2 u 2 ′ ′( ) = ( ′ 2 − 3x 2 − ) ( ) 6 − x 3 2 3 − x f x x = = = . 2 2 2 2 2 − 3x 2 2 − 3x 2 − 3x Câu 54: Cho hàm số 1 3 2
y = x − 2x − 5x . Tập nghiệm của bất phương trình y′ ≥ 0 là 3 A. [ 1; − 5] . B. ∅ . C. ( ; −∞ − ) 1 ∪(5;+∞). D. ( ; −∞ − ]1∪[5;+∞) . Page 12
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Lời giải 1 3 2 2
y = x − 2x − 5x ⇒ y′ = x − 4x − 5 3 y′ ≥ 0 2
⇔ x − 4x −5 ≥ 0 ⇔ x∈( ; −∞ − ]1∪[5;+∞) . Câu 55: Cho hàm số 3 2
y = x + mx + 3x − 5 với m là tham số. Tìm tập hợp M tất cả các giá trị của m để
y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt:
A. M = (−3;3) . B. M = (− ; ∞ − ] 3 ∪[3;+∞) . C. M =  . D. M = (− ; ∞ −3) ∪ (3;+∞) . Lời giải 3 2 2
y = x + mx + 3x − 5⇒ y′ = 3x + 2mx + 3.
y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2
⇔ ∆′ > 0 ⇔ m − 9 > 0 ⇔ m < −3 ∨ 3 < m . Câu 56: Cho hàm số 3
y = x − 3x + 2017 . Bất phương trình y′ < 0 có tập nghiệm là: A. S = ( 1; − ) 1 . B. S = ( ; −∞ − ) 1 ∪(1;+∞) . C. (1;+∞). D. ( ; −∞ − ) 1 . Lời giải 3 2
y = x −3x + 2017 ⇒ y′ = 3x −3, 2
y′ < 0 ⇔ x −1< 0 ⇔ 1 − < x <1. Câu 57: ′
Cho hàm số f (x) 4 2
= x + 2x − 3. Tìm x để f (x) > 0? A. 1 − < x < 0 . B. x < 0 . C. x > 0 . D. x < 1 − . Lời giải f ′(x) 3
> ⇔ x + x > ⇔ x( 2 0 4 4 0 4 x + ) 1 > 0 ⇔ x > 0.
Câu 58: Cho hàm số y = (m + ) 3 3 2 x + (m + 2) 2
x + 3x −1, m là tham số. Số các giá trị nguyên m để 2 y′ ≥ 0, x ∀ ∈  là A. 5.
B. Có vô số giá trị nguyên m . C. 3. D. 4 Lời giải y = (m + ) 2
x + (m + ) x + ≥ => (m + ) 2 ' 3 2 3 2 3 0
2 x + (m + 2) x +1≥ 0( ) 1
Để phương trình ( )1 luôn thỏa mãn x ∀ ∈
TH1: m + 2 = 0 => m = 2
− => y ' = 1 ≥ 0, x ∀ ∈   + >  > − TH2: m m 2 0 m 2 + 2 ≠ 0 => m ≠ 2 − m > 2 − =>  =>  =>  => 2 − < m ≤ 2 2 ∆ ≤ 0 m − 4 ≤ 0  2 − ≤ m ≤ 2 Page 13
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Kết hợp hai trường hợp: m = 2 − ; 1; − 0;1;2 .
Câu 59: Cho hàm số f (x) 3 2
= −x + 3mx −12x + 3 với m là tham số thực. Số giá trị nguyên của m để
f ′(x) ≤ 0 với x ∀ ∈  là A. 1. B. 5. C. 4. D. 3. Lời giải f (x) 3 2
= −x + 3mx −12x + 3 ⇒ f ′(x) 2 = 3
− x + 6mx −12 f ′(x) ≤ 0 a < 0 − < với 3 0 ∀x∈ 2 ⇔ 3
− x + 6mx −12 ≤ 0 với ∀x ∈  ⇔  ⇔  ∆′ ≤ 0 2 9  m − 36 ≤ 0 ⇔ 2
− ≤ m ≤ 2. Vì m∈ nên m∈{ 2 − ; 1; − 0;1; }
2 . Vậy có 5 giá trị nguyên m thoả mãn. 3 2
Câu 60: Cho hàm số ( ) mx mx f x = −
+ (3− m) x − 2. Tìm m để f ′(x) > 0 x ∀ ∈ R . 3 2 A. 12 0 ≤ m ≤ . B. 12 0 < m < . C. 12 0 ≤ m < . D. 12 0 < m ≤ . 5 5 5 5 Lời giải Ta có f (x) 2 '
= mx − mx + (3− m)
+ Nếu m = 0 thì f '(x) = 3 > 0 x ∀ ∈ R
+ Nếu m ≠ 0 thì f (x) 2 '
= mx − mx + (3− m) là tam thức bậc hai,  >   > f (x) m 0 m 0 12 ' > 0 x ∀ ∈ R ⇔  ⇔  ⇔ 0 < m < 2
∆ = m − 4m  (3−m) 2 < 0 5
m −12m < 0 5 Vậy 12 0 ≤ m < . 5
Câu 61: Cho hàm số f (x) 2 = 5
− x +14x − 9 Tập hợp các giá trị của x để f ′(x) < 0 là  7   7   7 9   7  A. ;+∞  . B. ; −∞  . C.  ; . D. 1; .  5   5   5 5   5  Lời giải  9
Tập xác định: D = 1; .  5   5 − x + 7  9 Ta có f (x) 2 5x 14x 9 f '(x) , x 1;  = − + − ⇒ = ∀ ∈ . 2 5 − x +14x − 9  5   5 − x + 7 < 0 f (x) 5 − x + 7  7 9 ' < 0 ⇔ < 0 ⇔  9 ⇔ < x < . 2 5 − x +14x − 9 1<  x < 5 5  5
Câu 62: Cho hàm số f (x) 2
= x − 2x . Tìm tập nghiệm S của phương trình f ′( x) ≥ f ( x) có bao nhiêu giá trị nguyên? A. 1. B. 2. C. 0 . D. 3. Page 14
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Lời giải
Tập xác định của hàm số là: D = ( ; −∞ 0]∪[2;+∞) . x −1 2
Ta có: f ′(x) =
. Vậy f ′(x) ≥ f (x) x −1 2 −x + 3x −1 ⇔ ≥ x − 2x ⇔ ≥ 0. 2 x − 2x 2 2 x − 2x x − 2x 2 −x + 3x −1 3− 5 3+ 5  Với x∈( ;
−∞ 0)∪(2;+∞) , ta có: 2
≥ 0 ⇔ −x + 3x −1≥ 0 ⇔ x∈  ;  2 x − 2x 2 2    3+ 5 
Kết hợp với điều kiện x∈( ;
−∞ 0)∪(2;+∞) , ta có: x∈2; ∅ 2  
.Mà x∈ nên suy ra x∈ .   Vậy S = . ∅ ′ Câu 63:  −  − Cho 3 2x ax b 1 = ax ∀ >  . Tính .  4x −1  (4x − ) , 1 4x −1 4 b A. 16 − . B. 4 − . C. 1 − . D. 4. Lời giải Với 1 x ∀ > , ta có: 4 6 − 4x   ( x)′ ′ −
x − − ( − x)( x ′ − − − x − − ) 2 4x 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4x −1 4 − x − 4 = = =   4x −1  ( x − ) ( x − ) (4x − ) . 4 1 4 1 1 4x −1 Do đó = 4, − = 4 a a b ⇒ = 1 − . b ax + b Câu 64: Cho 2
y = x − 2x + 3 , y′ = . Khi đó giá trị . a b là: 2 x − 2x + 3 A. 4 − . B. 1 − . C. 0 . D. 1. Lời giải ( 2x 2x 3 ′ − + 2x − 2 x −1 2 )
y = x − 2x + 3 ⇒ y′ = = = ⇒ a =1; b = 1 − . 2 2 x − 2x + 3 2 2 x − 2x + 3 2 x − 2x + 3
Câu 65: Cho hàm số ( ) 3 b
f x = ax + có f ′( ) 1 =1, f ′( 2 − ) = 2
− . Khi đó f ′( 2) bằng: x A. 12 . B. 2 − . C. 2. D. 12 − . 5 5 5 Lời giảif ′( ) 1 = 3a −b  1  3  a − b = 1  a = −  ′( )  2 = 3 b f x ax − ⇒  b ⇒  b 5 ⇒ . 2  xf ′( 2 − ) =12a − 12  a − = 2 − 8 −  4  4 b  =  5 Page 15
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM f ′( ) b 2 2 = 6a − = − . 2 5
Câu 66: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số x + 2 y =
có đạo hàm dương trên khoảng x + 5m ( ; −∞ 10 − )? A. 1. B. 2. C. 3. D. vô số. Lời giải
Tập xác định: D = ( ; −∞ 5 − m)∪( 5 − ; m +∞). Ta có 5m − 2 y ' = (x +5m)2  5m − 2 > 0 YCBT ⇔  2 ⇔ < m ≤ 2  10 − ≤ 5 − m 5
Vì m∈ ⇒ m∈{1; } 2 .
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn YCBT
Câu 67: Cho hàm số ( ) = x f x (
. Tính f ′(0) x − )
1 (x − 2)...(x − 2022) A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . 2023 2022 2023! 2022! Lời giải Đặt ( ) = ( − )
1 ( − 2)...( − 2022) ⇒ ( ) = x g x x x x f x g (x) x g x x g x g x x g x g x ⇒ f ′(x) .′ ( ) − . ′( ) ( )− . ′( ) 1 ′( ) = = = − . x 2 g (x) 2 g (x) g (x) 2 g (x) g f ′( ) 1 ′(0) 1 1 1 0 = g ( − = = = 0) 0. 2
g (0) g (0) (− ) 1 .( 2 − )...( 2022 − ) 2022!
Câu 68: Cho hai hàm số f (x) và g (x) đều có đạo hàm trên và thỏa mãn: 3 f ( − x) 2 − f ( + x) 2 2 2
2 3 + x .g (x) + 36x = 0, với x
∀ ∈  . Tính A = 3 f (2) + 4 f ′(2) . A. 11 B. 13 C. 14 D. 10 Lời giải Với x ∀ ∈  , ta có 3 2 f
− x − f ( + x) 2 (2 ) 2
2 3 + x .g (x) + 36x = 0 ( ) 1 . Đạo hàm hai vế của ( ) 1 , ta được 2
− f ( − x) f ′( − x) − f ( + x) f ′( + x) + x g (x) 2 3 2 . 2 12 2 3 . 2 3 2 .
+ x .g′(x) + 36 = 0 (2) . Page 16
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM 3  f (2) 2 − 2 f (2) =  0 (3) Từ ( )
1 và (2) , thay x = 0 , ta có  2  3 − f
(2).f ′(2)−12 f (2).f ′(2)+36 = 0 (4)  f (2) = 0 Từ (3) , ta có  .  f  (2) = 2
Với f (2) = 0 , thế vào (4) ta được 36 = 0 .
Với f (2) = 2 , thế vào (4) ta được 36. −
f ′(2) + 36 = 0 ⇔ f ′(2) =1.
Vậy A = 3 f (2) + 4 f ′(2) = 3.2 + 4.1 =10 .
DẠNG 3. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
Câu 69: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số x +1 y =
tại điểm có hoành độ x = 1 − 2x − 3 0 có hệ số góc bằng A. 5. B. 1 − . C. 5 − . D. 1 . 5 5 Lời giải 3 TXĐ: D =  \  2   Ta có f (x) 5 ' − = (2x −3)2
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 1 − 0 : f ( ) 5 − 1 ' 1 − − = = (2.(− )1−3)2 5
Câu 70: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y = x − 4x +5 tại điểm có hoành độ x = 1. −
A. y = 4x − 6.
B. y = 4x + 2.
C. y = 4x + 6.
D. y = 4x − 2. Lời giải Ta có 3
y′ = 4x −8x, y′(− ) 1 = 4.
Điểm thuộc đồ thị đã cho có hoành độ x = 1 − là: M ( 1; − 2).
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M ( 1; − 2) là: y = y′(− ) 1 (x + )
1 + 2 ⇔ y = 4(x + )
1 + 2 ⇔ y = 4x + 6.
Câu 71: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2x + 3 y =
tại điểm có hoành độ bằng 3, tương ứng là x − 2
A. y = 7x +13.
B. y = −7x + 30.
C. y = 3x + 9 .
D. y = −x − 2 . Lời giải Page 17
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
x = 3 ⇒ y = 9 ; −7 y′ = ⇒ y ' 3 = −7 . 2 ( ) (x − 2)
Phương trình tiếp tuyến tương ứng là y = −7(x − )
3 + 9 ⇔ y = −7x + 30. Câu 72: Cho hàm số 1 3 2
y = x + x − 2x +1 có đồ thị là (C ) . Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm 3 1 M 1;   là: 3   
A. y = 3x − 2 . B. y = 3 − x + 2 . C. 2 y = x − . D. 2 y = −x + 3 3 Lời giải 2
y ' = x + 2x − 2 y '( ) 1 =1+ 2 − 2 =1 1 
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 1; là: 3   
y = y ( )( x − ) 1 1 2 ' 1
1 + = x −1+ = x − 3 3 3
Câu 73: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y = x −3x tại điểm có hoành độ bằng 2. A. y = 9 − x +16 . B. y = 9 − x + 20 .
C. y = 9x − 20 .
D. y = 9x −16 . Lời giải 2 y′ = 3x −3
Ta có y(2) = 2 và y′(2) = 9 . Do đó PTTT cần tìm là: y = 9(x −2)+ 2 ⇔ y = 9x −16
Câu 74: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) 2
: y = 3x − 4x tại điểm có hoành độ x = 0 0 là
A. y = 0.
B. y = 3x .
C. y = 3x − 2 . D. y = 12 − x . Lời giải
Tập xác định D =  .
Đạo hàm y′ = 3−8x .
Phương trình tiếp tuyến: y = y′ . x − 0 + y ⇒ . 0 ( ) ( ) (0) ∆ : y = 3x
Câu 75: Cho hàm số 3
y = −x +3x − 2 có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm
của (C) với trục tung. A. y = 2 − x +1.
B. y = 2x +1.
C. y = 3x − 2 . D. y = 3 − x − 2 . Lời giải Page 18
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM +) 2 y′ = 3 − x +3
+) Giao điểm của (C) với trục tung có tọa độ là (0; 2 − ).
+) Tiếp tuyến của (C) tại điểm (0; 2
− ) có phương trình là:
y = y′(0)(x − 0) − 2 ⇔ y = 3x − 2.
Câu 76: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 4 2
(C): y = x −8x +9 tại điểm M có hoành độ bằng -1.
A. y =12x +14 .
B. y =12x −14 .
C. y =12x +10. D. y = 20 − x − 22 . Lời giải Tập xác định .  3
y′ = 4x −16 .x ⇒ y (′ 1 − ) = 12. M( 1;
− y )∈(C) ⇔ y = 2. 0 0
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M( 1;
− 2) có phương trình là y = y '( 1
− )(x +1) + 2 ⇔ y = 12x +14.
Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình là y =12x +14. Câu 77: Cho hàm số x − 2 y =
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm có hoành x +1 độ x = 0 0 .
A. y = 3x − 2 . B. y = 3 − x − 2 .
C. y = 3x − 3.
D. y = 3x + 2 . Lời giải
Tập xác định D =  \{− } 1 . x − 2 3 y = ⇒ y′ = . x +1 (x + )2 1 y(0) = 2 − , y′(0) = 3
⇒ phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm có hoành độ x = 0 0 là
y = 3(x − 0) − 2 ⇔ y = 3x − 2.
Câu 78: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số −x + 3 y =
tại điểm có hoành độ x = 0 là x −1 A. y = 2 − x + 3. B. y = 2 − x − 3.
C. y = 2x − 3.
D. y = 2x + 3. Lời giải TXĐ: D =  \{ } 1 . 2 y ' − = ⇒ y '(0) = 2 − . 2 (x −1) Page 19
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Với x = 0 ⇒ y = 3 − .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2x − − 3 . Câu 79: Cho hàm số 3
y = x − 2x +1 có đồ thị (C). Hệ số góc k của tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoàng độ bằng 1 bằng A. k = 5 − .
B. k =10 .
C. k = 25 . D. k =1. Lời giải Ta có 2
y′ = 3x − 2 .
Hệ số góc k của tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoàng độ bằng 1 bằng k = y′( ) 1 =1.
Câu 80: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số x 1 y
tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có hệ số 3x2 góc là A. 1. B. 1 . C. 5  . D. 1  . 4 4 4 Lời giải Ta có: 1 y  . 3x22  1
Gọi M là tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung M 0;    .  2
Vậy hệ số góc cần tìm là: k y  1 0   . 4 Câu 81: Cho hàm số x +1 y =
có đồ thị (C). Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 3. x −1
Tìm hệ số góc k của đường thẳng d. A. 1 − . B. 2 − C. 2. D. 1 . 2 2 Lời giải
Tập xác định: D = \{ } 1 Với +
y = 3 , ta có: x 1 = 3 ⇒ 3x − 3 = x +1 ⇔ x = 2 . x −1 Ta có: 2 y′ = − . (x − )2 1
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là: k = y′( ) 2 2 = − = 2 − . (2− )2 1
Câu 82: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 2
y = x + x − 2 tại điểm có hoành độ x = 1 − 0 .
A. x + y −1 = 0.
B. x − y − 2 = 0.
C. x + y + 3 = 0.
D. x − y −1 = 0. Lời giải Page 20
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Đặt 2
y = f (x) = x + x − 2
Ta có y ' = f '(x) = 2x +1 Tại x = 1 −  f '( 1) − = 1 − 0 ⇒  y = f ( 1) − = 2 −  0
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y = −(x +1) − 2 ⇔ y = −x − 3 ⇔ x + y + 3 = 0 .
Câu 83: Hệ số góc tiếp tuyến tại A(1;0) của đồ thị hàm số 3 2
y = x −3x + 2 là A. 1. B. 1 − . C. 3 − . D. 0 . Lời giải
y = f (x) 3 2
= x − x + ⇒ f (x) 2 3 2 ' = 3x − 6x .
Hệ số góc tiếp tuyến tại A(1;0) của đồ thị hàm số 3 2
y = x −3x + 2 là f ( ) 2 ' 1 = 3.1 − 6.1= 3 − .
Câu 84: Gọi I là giao điểm giữa đồ thị hàm số x +1 y =
và trục tung của hệ trục tọa độ Oxy . Hệ số góc x −1
của tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên tại I là A. 2 − . B. 0 . C. 1 − . D. 2. Lời giải
Tập xác định: D =  \{ } 1 . Ta có 2 y − ′ = . (x − )2 1
Theo bài ra ta có I (0;− ) 1 .
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại I là y ( ) 2 0 − ′ = = 2 − . (0− )2 1
Câu 85: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3x 1 y
tại điểm có hoành độ x  2 là x 1
A. y = 2x + 9. B. y = 2 − x + 9 .
C. y = 2x −9 . D. y = 2 − x − 9 . Lời giải Ta có 2 y 
, y 2  2 . Khi x  2 thì y  5 . 2   x  1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3x 1 y
tại điểm có hoành độ x  2 là x 1 y = 2
− (x − 2) + 5 ⇔ y = 2 − x + 9.
Câu 86: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H ) : x −1 y =
tại giao điểm của (H ) và trục hoành là: x + 2
A. y = x −3 . B. 1 y = ( x − ) 1 .
C. y = 3x.
D. y = 3(x − ) 1 . 3 Lời giải
Giao điểm của (H ) và trục hoành là điểm M (1;0) . Page 21
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Ta có 3 y′ = nên y′( ) 1 = . ( 1 x + 2)2 3
Phương trình tiếp tuyến với (H ) tại điểm M là: y = y′( ) 1 (x − ) 1 + 0 1
⇔ y = ( x − ) 1 . 3 Câu 87: Cho hàm số 3 y = −x + 3 2
x + 9x −1 có đồ thị. Hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị là. A. 1 B. 6 C. 12 D. 9 Lời giải Hàm số 3 y = −x + 3 2
x + 9x −1 có đồ thị có tập xác định D = 
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) là 2 y′ = 3
− x + 6x + 9 =12 − 3(x + )2 1 ≤12
Vậy hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là 12 Câu 88: Cho hàm số 4 2
y = x + 2x +1 có đồ thị(C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M (1;4) là
A. y = 8x − 4.
B. y = x + 3. C. y = 8 − x +12 .
D. y = 8x + 4. Lời giải Ta có 3
y′ = 4x + 4x ⇒ y′( ) 1 = 8.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 8(x − )
1 + 4 = 8x − 4.
Câu 89: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số x +1 y =
tại điểm A(2;3) có phương trình y = ax + b . Tính a + b x −1 A. 9. B. 5. C. 1. D. 1 − . Lời giải
Điều kiện x ≠ 1. Ta có 2 y ' − = ⇒ y ' 2 = 2 − . 2 ( ) (x − ) 1
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(2;3) là: y = 2 − (x − 2) + 3 = 2 − x + 7 . Do đó a = 2; −
b = 7 ⇒ a + b = 5 .
Câu 90: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y = x −6x +5 tại điểm có hoành độ x = 2 . A. y = 8 − x −16.
B. y = 8x −19. C. y = 8 − x +16.
D. y = 8x +19. Lời giải Ta có y( ) 4 2 2 = 2 − 6.2 + 5 = 3. − 3
y' = 4x −12x ⇒ y ( ) = ( )3 ' 2 4. 2 −12.2 = 8.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = y '(2).(x − 2) + y(2). Page 22
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
⇒ y = 8(x − 2) −3 = 8x −19.
Câu 91: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số x 1 y
tại điểm có tung độ bằng 2 là x2
A. y  3x 1.
B. y 3x1.
C. y 3x 1.
D. y  3x 3. Lời giải
Gọi M x ; y x y 2 0
0  thuộc đồ thị của hàm số 1 y  mà . x2 0 x 1 Khi đó 0
 2  x 1 2 x 2  x 1 M 1;2 0  0  0  . x 2 0 Ta có 3 y  , suy ra y 
1  3. Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số x22 x 1 y
tại M 1;2 là y  3x 
1 2 3x 1. x2
Câu 92: Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số f (x) 3
= x +1 sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số
f (x) tại M song song với đường thẳng d : y = 3x −1? A. 3. B. 2. C. 0 . D. 1. Lời giải Gọi M ( 3 a;a + )
1 là điểm thuộc đồ thị hàm số f (x) 3 = x +1(C). Ta có f ′(x) 2
= 3x ⇒ phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là: 2
y = a (x − a) 3 3 + a +1 2 3
⇔ y = 3a x − 2a +1(∆). 2 3  a = 3 ∆//d ⇔ a = 1 ±  ⇔ ⇒ a = 1 − . 3   2 − a +1 ≠ 1 − a ≠ 1
Vậy, có duy nhất điểm M thỏa mãn yêu cầu là M ( 1; − 0).
Câu 93: Cho đồ thị hàm số 3
y = x −3x (C) . Số các tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng
y = 3x −10 là A. 2. B. 1. C. 3. D. 0 . Lời giải 3 2
y = x −3x ⇒ y′ = 3x −3
Gọi M (x ; y 0 0 ) là tiếp điểm.
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x −10 nên f ′(x ) 2
= 3 ⇔ 3x − 3 = 3 ⇔ x = ± 2 0 0 0
+ Với x = 2 ⇒ y = − 2 0 0
: phương trình tiếp tuyến là y = 3(x − 2)− 2 = 3x − 4 2 Page 23
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
+ Với x = − 2 ⇒ y = 2 0 0
: phương trình tiếp tuyến là y = 3(x + 2)+ 2 = 3x + 4 2 Câu 94: Cho hàm số 3 2
y = −x +3x −3 có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng 1
y = x + 2017 là 9 A. 2. B. 1. C. 0 . D. 3. Lời giải Gọi (x ; y 0
0 ) là tọa độ tiếp điểm. Ta có 2 y′ = 3 − x + 6x .  1 
Vì tiếp tuyến của (C) ′ = −
vuông góc với đường thẳng 1
y = x + 2017 nên y ( x .  1 0 ) 9  9  ⇔ y′(x = 9 − 2 ⇔ 3
− x + 6x + 9 = 0 x = 1 − 0 0 ) 0 0 ⇔  . x =  3 0 Với x = 1 − ⇒ y =1 0 0
, suy ra PTTT là: y = 9 − (x + ) 1 +1 ⇔ y = 9 − x − 8 .
Với x = 3 ⇒ y = 3 − 0 0
, suy ra PTTT là: y = 9
− (x −3) −3 ⇔ y = 9 − x + 24 . Câu 95: Cho hàm số 2x +1 f (x) =
,(C) . Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 3 − x có x −1 phương trình là A. y = 3
− x −1; y = 3 − x +11. B. y = 3 − x +10; y = 3 − x − 4. C. y = 3 − x + 5; y = 3 − x − 5. D. y = 3 − x + 2; y = 3 − x − 2. Lời giải
Gọi M (x ; y 0
0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến. Theo giả thiết ta có −  = f ′(x ) 3 x 0 = 3 − ⇔ = 3 − ⇔ x −1 =1 ⇔ 2 ( 0 )2 0 0 (  . x −1 x = 2 0 ) 0
Với x = 0 ⇒ y = 1 − 0 0
: Phương trình tiếp tuyến: y = 3
− (x − 0) −1⇔ y = 3 − x −1.
Với x = 2 ⇒ y = 5 0 0
: Phương trình tiếp tuyến: y = 3
− (x − 2) + 5 ⇔ y = 3 − x +11.
Ta thấy cả hai tiếp tuyến đều thỏa mãn điều kiện đề bài. Câu 96: Cho hàm số 2x −1 y =
(C) . Tiếp tuyến của vuông góc với đường thẳng x + 3y + 2 = 0 tại điểm x +1 có hoành độ x = 0 x = 0 A. x = 0 . B. x = 2 − . C.  . D.  . x = 2 − x = 2 Lời giải Page 24
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Tiếp tuyến của vuông góc với đường thẳng x + 3y + 2 = 0 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 3. 3 x = 0
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: 2 y ' = 3 ⇔ = 3 ⇔ (x +1) =1 ⇔ 2 (x +1)  x = 2 − x = 0
Vậy hoành độ tiếp điểm cần tìm là:  . x = 2 − Câu 97: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x +1 có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với
đường thẳng y = 9x +10 là
A. y = 9x + 6, y = 9x − 28 .
B. y = 9x, y = 9x − 26.
C. y = 9x − 6, y = 9x − 28 .
D. y = 9x + 6, y = 9x − 26 . Lời giải Ta có: 2
y′ = 3x −6x
Hệ số góc: k = y′( 2
x = 3x − 6x = 9 ⇔ x = 3; x = 1 − 0 ) 0 0 0 0
Phương trình tiếp tuyến tại M (3; )
1 : y = 9(x −3) +1= 9x − 26 .
Phương trình tiếp tuyến tại N ( 1; − 3
− ): y = 9(x + ) 1 −3 = 9x + 6 . Câu 98: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng d :9x − y + 7 = 0 là
A. y = 9x + 25. B. y = 9 − x − 25 .
C. y = 9x − 25 D. y = 9 − x + 25 . Lời giải
Gọi (∆) là tiếp tuyến của đồ thị (C) và (x ; y 0
0 ) là tọa độ tiếp điểm. 2
y' = 3x −6x
Theo giả thiết: (∆) song song với (d ): y = 9x + 7 ⇒ k = = = ∆ k y x d 9 '( 0 ) x = 1 − 2 0
⇔ 3x − 6x = 9 ⇔ 0 0 x =  3 0 Với x = 1 − ⇒ y = 2 − 0 0
: (∆) : y = 9(x + ) 1 − 2 = 9x + 7
Với x = 3 ⇒ y = 2 0 0
: (∆) : y = 9(x − 3) + 2 = 9x − 25 . Câu 99: Cho hàm số 3 2
f (x) = x − 3x , tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 5 của đồ thị hàm số là:
A. y = 9( x + 3) .
B. y = 9( x − 3) .
C. y = 9x + 5 và y = 9(x −3) D. y = 9x + 5 . Lời giải 2
f '(x) = 3x −6x Page 25
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM x = 1 −
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 5 nên 2
3x − 6x = 9 ⇔  x = 3 Với x = 1 − ⇒ y = 4, − f '(− )
1 = 9 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 9x + 5
Với x = 3 ⇒ y = 0, f '(3) = 9. Phương trình tiếp tuyến là: y = 9( x − 3)
Câu 100: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) = 2x +1 , biết rằng tiếp tuyến đó song
song với đường thẳng x −3y + 6 = 0 . A. 1
y = x −1. B. 1
y = x +1. C. 1 5
y = x − . D. 1 5 y = x + . 3 3 3 3 3 3 Lời giải
Gọi M (x ; y ) 0 0 là tiếp điểm. 1
y = 2x +1 ⇒ y ' = f '(x) = 2x +1 Ta có 1
x − 3y + 6 = 0 ⇔ y = x + 2 ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 3 3 1 1 1
⇔ f '(x ) = ⇔
= ⇔ x = 4 ⇒ y = 3 ⇒PTTT: 1 1 5 0 0 0 − = − ⇔ = + . 3 y 3 (x 4) y x 2x +1 3 3 3 3 0
Câu 101: Cho hàm số x +1 y =
đồ thị (C). Có bao nhiêu cặp điểm A , B thuộc (C) mà tiếp tuyến x −1
tại đó song song với nhau: A. 1.
B. Không tồn tại cặp điểm nào.
C. Vô số cặp điểm D. 2. Lời giải Ta có 2 y − ′ = . (x − )2 1
Giả sử A(x ; y B x ; y x ≠ x 1 1 ) và ( 2 2) với 1 2 .
Tiếp tuyến tại A và tại B song song nhau nên y′( x = y′ x 1 1 1 ) ( 2) ⇔ = (x − )2 1 (x − )2 1 1 2
x −1 = x −1 ⇔ (x − )2 1 = (x − )2 1 1 2 1 2 ⇔ x + x =  2 1 2 x −1 = −x +  1 1 2
Vậy trên đồ thị hàm số tồn tại vô số cặp điểm A(x ; y B x ; y x + x = 2 1 1 ) ,
( 2 2) thỏa mãn 1 2 thì các
tiếp tuyến tại A và tại B song song nhau.
x +1 x +1 2x x − 2 * y + y 1 2 x + x = 2 y + y = 2 1 2 1 2 = + = = 2 . Như vậy và hay đoan thẳng x −1 x −1 x x −1 1 2 1 2 1 2 1 2
AB có trung điểm là tâm đối xứng I (1; )1 của đồ thị.
Câu 102: Cho hàm số x − m y =
có đồ thị là (C . Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của (C tại điểm m ) m ) x +1
có hoành độ bằng 0 song song với đường thẳng d : y = 3x +1. Page 26
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM A. m = 3. B. m = 2 . C. m =1. D. m = 2 − . Lời giải
Tập xác định: D = \{− } 1 . Ta có: m +1 y ' = . (x + )2 1
Gọi M (0;−m)∈(C C
m ) ; k là hệ số góc của tiếp tuyến của ( m ) tại M và d : y = 3x +1.
Do tiếp tuyến tại M song song với d nên k = 3 ⇔ y '(0) = 3 ⇔ 1+ m = 3 ⇔ m = 2 −
Chú ý: Do đặc thù đáp án của câu này nên trong quá trình giải khi ra m = 2
− thì ta chọn ngay
đáp án, tuy nhiên trên thực tế để giải toán thuộc dạng này ta cần chú ý sau khi tìm ra m ta cần
phải viết phương trình tiếp tuyến tại M để kiểm tra lại xem tiếp tuyến có song song với đường
thẳng đề bài cho không vì khi hai đường này trùng nhau thì hệ số góc của chúng vẫn bằng nhau.
Câu 103: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = −x + 2x song song với đường thẳng y = x ? A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. Lời giải
Gọi M (x ; y = 0
0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với đường thẳng y
x của đồ thị hàm số 3 2
y = −x + 2x , khi đó ta có:  = y ( x 1 ' x =1 ⇔ 3
− x + 4x =1 ⇔ . 0 ) 2 0 0 0 x =  1/ 3 0 Với x =1 0 ta được M (1; )
1 , phương trình tiếp tuyến: y =1.(x − ) 1 +1⇔ y = x . 1 5   1  5 4 Với 1
x = ta được M  ;
, phương trình tiếp tuyến: y =1. x − + ⇔  y = x − . 0  3  3 27   3  27 27
Vậy chỉ có một tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 104: Cho hàm số 1 3 2
y = x − 2x + x + 2 có đồ thị (C ) . Phương trình các tiếp tuyến với đồ thị (C ) biết 3
tiếp tuyến song song với đường thẳng 10 d : y = 2 − x + là 3 A. y = 2 − x + 2 . B. y = 2 − x − 2 . C. 2 y = 2 − x +10, y = 2 − x − . D. 2 y = 2
− x −10, y = 2 − x + . 3 3 Lời giải
Giả sử M x ; y 0 ( 0 0 ) là tiếp điểm
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M x ; y
f ' x = x − 4x +1 0 ( 0 0 ) là: ( ) 2 0 0 0 Page 27
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Hệ số góc của đường thẳng 10 d : y = 2 − x + là 2 − 3
Tiếp tuyến song song với đường thẳng d thì 2 x − 4x +1= 2 − 0 0 2
⇔ x − 4x + 3 = 0 x = 1 0 0 0 ⇔  x =  3 0 * Th1: 4
x = 1, y = , f ' x = 2 − 0 0 ( 0 ) 3
Phương trình tiếp tuyến: y = f '(x x − x + y 10 0 ) ( 0 ) 0 ⇒ y = 2 − x + 3
* Th2: x = 3, y = 4 − , f ' x = 2 − 0 0 ( 0)
Phương trình tiếp tuyến: y = f '(x x − x + y 0 ) ( 0 ) 0 ⇒ y = 2 − x + 2
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2 − x + 2 3 x
Câu 105: Cho hàm số 2 y = + 3x − 2 C C 3
có đồ thị là ( ). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) biết
tiếp tuyến có hệ số góc k = 9 − . A. y +16 = 9
− (x + 3).. B. y = 9 − (x +3). C. y −16 = 9
− (x −3).. D. y −16 = 9 − (x + 3). Lời giải + Ta có 2
y′ = x +6x , y′(x ) 2 = 9
− ⇔ x + 6x + 9 = 0 ⇔ x = 3 − y =16 0 0 0 0 ( 0 )
+ Vậy y = y′( x x − x + y = 9 − x + 3 +16 y −16 = 9 − x −3 0 ) ( 0 ) 0 ( ) hay ( ).
Câu 106: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x − 3x +1 biết nó song song với đường
thẳng y = 9x + 6 .
A. y = 9x + 6 , y = 9x − 6 .
B. y = 9x − 26 .
C. y = 9x + 26.
D. y = 9x − 26 , y = 9x + 6 . Lời giải 2
y′ = 3x −6x
Gọi hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến ∆ là x0 .
Tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số 3 2
y = x −3x +1 biết song song với đường thẳng y = 9x + 6 ⇒ y′(x = 9 x = 1 − 2 0 0 )
⇒ 3x − 6x = 9 ⇔ . 0 0 x =  3 0 Với x = 1 − ⇒ y 1 − = 3 − ⇒
y = 9 x +1 −3 ⇒ y = 9x + 6 0 ( )
phương trình tiếp tuyến là ( ) .
Với x = 3 ⇒ y 3 =1⇒
y = 9 x −3 +1⇒ y = 9x − 26 0 ( )
phương trình tiếp tuyến là ( ) .
Câu 107: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = −x + 2x song song với đường thẳng y = x? A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. Lời giải Page 28
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Giả sử tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = −x + 2x tại M (x ; y )
y = y (′x )(x − x ) + y 0 0 có dạng: 0 0 0 x = 1 0
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x nên 2 y (x ) 1 3x 4x 1  ′ = ⇔ − + = ⇔ 0 0 0 1 x = 0  3
+ Với x =1, y =1⇒ 0 0
phương trình tiếp tuyến là y = x + Với 1 5 x = , y =
⇒ phương trình tiếp tuyến là 4 y = x −
hay 27x − 27y − 4 = 0. 0 0 3 27 27
Vậy có một tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 108: Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y = −x + 2x song song với trục hoành là A. 3. B. 2. C. 0 . D. 1. Lời giải 3 y′ = 4 − x + 4x .
Gọi M (x ; y 0
0 ) là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên có hệ số góc bằng 0 . x = 0 0
Suy ra y′(x = 0 3 ⇔ 4 − x + 4x = 0  ⇔ x = 1 − 0 ) 0 0 0  . x =  1 0 Với x = 0 y = 0 0 thì 0
, tiếp tuyến là: y = 0. Với x = 1 − y =1 0 thì 0
, tiếp tuyến là y =1. Với x =1 y =1 0 thì 0
, tiếp tuyến là y =1.
Vậy có một tiếp tuyến song song với trục hoành có phương trình y = 1.
Câu 109: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) 2x +1 : y =
song song với đường thẳng x + 2
∆ : y = 3x + 2 là
A. y = 3x + 2 .
B. y = 3x − 2 .
C. y = 3x +14 .
D. y = 3x + 5. Lời giải
Vì tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với ∆ : y = 3x + 2 nên gọi toạ độ tiếp điểm là M (x ; y 0 0 ) ta có  = − y′(x ) 3 x 1 = 3 ⇔ = 3 ⇔ x + 2 =1 ⇔ 2 ( 0 )2 0 0 (  . x + 2 x = 3 − 0 ) 0 x = 1
− ⇒ d : y = 3(x +1) −1= 3x + 2 0 ( ) . x = 3
− ⇒ d : y = 3(x + 3) + 5 = 3x +14 0 ( ) .
Câu 110: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 có đồ thị. Tìm số tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng
d: y = 9x − 25. A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải Page 29
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Hàm số 3 2
y = x − 3x + 2, có 2
y′ = 3x − 6 . x .
Gọi M (x ; y C 0
0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị (
), khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là 2
k = 3x − 6x . 0 0
Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 9x − 25 khi x = 1 − ⇒ y = 2 − 2 0 0
3x − 6x = 9 ⇔ 0 0 x = 3⇒ y =  2 0 0 + Với M ( 1; − 2
− ) phương trình tiếp tuyến của (C) là y = 9x + 7.
+ Với M (3;2) phương trình tiếp tuyến của (C) là y = 9x − 25.
Vậy tiếp tuyến của (C) song song với y = 3x +1 là y = 9x + 7, nên ta có 1 tiếp tuyến cần tìm
Câu 111: Tìm điểm M có hoành độ âm trên đồ thị (C) 1 3 2
: y = x − x + sao cho tiếp tuyến tại M vuông 3 3 góc với đường thẳng 1 2 y = − x + . 3 3  4   4  A. M 1; −  . B. M ( 2; − 0). C. M 2; . D. M ( 2; − 4 − ) . 3      3  Lời giải
Tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng 1 2
y = − x + nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 3 3 3 Ta có: 2
y '(x) = x −1 x = 2 Xét phương trình: 2 2
y '(x) = 3 ⇔ x −1 = 3 ⇔ x = 4 ⇔  x = 2 −
Do M có hoành độ âm nên x = 2
− thỏa mãn, x = 2 loại. Với x = 2
− thay vào phương trình (C) ⇒ y = 0 . Vậy điểm M cần tìm là: M ( 2; − 0)
Câu 112: Tìm các tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2x +1 y =
biết các tiếp tuyến đó song song với đường thẳng x −1 y = 3 − x . A. y = 3 − x +11;y = 3 − x −1. B. y = 3
− x − 6; y = 3 − x −11. C. y = 3 − x +1. D. y = 3 − x + 6 . Lời giải
Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm
Tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng y = 3
− x suy ra hệ số góc của tiếp tuyến ∆ là k = 3. −
Tiếp tuyến ∆ tại điểm M x ; y có phương trình dạng y = 3
− (x − x + y 0 ) . 0 ( 0 0 ) 0 Ta có 3 y − ′ = . (x − )2 1 −  = y′(x ) 3 x 2 0 = k ⇔ = 3 − ⇔ 0 (  . x −1 x = 0 0 )2 0 Page 30
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
+ Với x = 2 ⇒ y = 5 ⇒ M 2;5 0 0 0 ( )
⇒ Tiếp tuyến ∆: y = 3
− (x − 2) + 5 ⇔ y = 3 − x +11.
+ Với x = 0 ⇒ y = 1 − ⇒ M 0;−1 0 0 0 ( )
⇒ Tiếp tuyến ∆: y = 3
− (x − 0) −1⇔ y = 3 − x −1.
Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là y = 3
− x +11 và y = 3 − x −1.
Câu 113: Cho đường cong (C) 4 3 2
: y = x −3x + 2x −1. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đường cong (C) có hệ số góc bằng 7 ? A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Lời giải Ta có: 3 2
y′ = 4x −9x + 4x
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: 3 2
4x − 9x + 4x = 7.
Phương trình có 1 nghiệm nên có 1 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7.
Câu 114: Cho hàm số 4 2
y = x − 2x + m − 2 có đồ thị (C). Gọi S là tập các giá trị của m sao cho đồ thị
(C) có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox . Tổng các phần tử của S là A. 3. B. 8. C. 5. D. 2. Lời giải
Vì tiếp tuyến song song với trục Ox nên hệ số góc của tiếp tuyến k  0 . 
Gọi tiếp điểm là M x ; y C
x  0  y m2 ' 3 0 0 
 , khi đó y x  4x 4x  0   0  0 0 0 0
x  1 y m3  0 0  m  2 m3  0
Đề có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox thì 
m  3;m  2   m  3
m20  
Vậy tổng các giá trị của m là 3+2=5.
Câu 115: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 có đồ thị (C). Tìm số tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với
đường thẳng d :y = 9x − 25 . A. 1. B. 3. C. 0 . D. 2. Lời giải Ta có: 2
y  3x 6x .
Vì tiếp tuyến của Csong song với đường thẳng d : y  9x25 nên có: x  1 2 2
3x 6x  9  x 2x3  0    x  3 
+ Với x  1 y(1)  2 .
Phương trình tiếp tuyến: y  9x  
1 2  y  9x 11. Page 31
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
+ Với x  3  y(3)  2 . Phương trình tiếp tuyến: y  9x 
3  2  y  9x25.
Vậy chỉ có 1 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 116: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = 2x − 3x −12x +1 song song với đường thẳng d :12x + y = 0
có dạng là y = ax + b . Tính giá trị của 2a + b . A. 23 − hoặc 24 − B. 23 − . C. 24 − . D. 0 . Lời giải
Ta có: d :12x + y = 0 ⇒ d : y = 12
− x . Hệ số góc của đường thẳng d là k = − . d 12
Do tiếp tuyển của đồ thị hàm số 3 2
y = 2x − 3x −12x +1 song song với đường thẳng d nên hệ
số góc của tiếp tuyển là k = k = − . tt d 12 3 2 2
y = 2x − 3x −12x +1⇒ y′ = 6x − 6x −12 .
Giải sử M (x ; y ) là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến. Khi đó: 0 0 x = 0  M (0;1) 2 0
y (′x ) = 6x − 6x −12 = 12 − ⇔ ⇒
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 0 0 0  M (0;1)  x 1  = M (1; 12) − 0 là: y = 12( − x − 0) +1 = 12 − x +1.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M (1; 12) − là: y = 12( − x −1) −12 = 12 − x . Vậy y = 12
− x +1, như vậy a = 12 − , 1
b = ⇒ 2a + b = 23 − .
Câu 117: Đường thẳng y = 6x + m +1là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y = x + 3x −1 khi m bằng A. 4 − hoặc 2 − . B. 4 − hoặc 0 . C. 0 hoặc 2. D. 2 − hoặc 2. Lời giải
Gọi (C) là đồ thị hàm số 3
y = x +3x −1. Có 2 y′ = 3x +3. x =1⇒ y = 3 2
y ' = 6 ⇔ 3x + 3 = 6 ⇔  x = 1 − ⇒ y = 5 −
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (1;3) là: y = 6x −3 .
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M ( 1;
− − 5) là: y = 6x +1. m +1 = 3 − m = 4 −
Để đường thẳng y = 6x + m +1 là tiếp tuyến của (C) thì ⇔  m 1 1  + = m = 0
Câu 118: Tính tổng S tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số f (x) 3 2 2 3
= x − 3mx + 3mx + m − 2m
tiếp xúc với trục hoành. A. 4 S = . B. S =1.
C. S = 0 . D. 2 S = . 3 3 Lời giải
Ta không xét m = 0 vì giá trị này không ảnh hưởng đến tổng S .  f (x) = 0
Với m ≠ 0 đồ thị hàm số f (x) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi:  (I)có nghiệm.  f ′  ( x) = 0 Page 32
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM 3 2 2 3
x −3mx + 3mx + m − 2m = 0
x( 2x − 2mx) 2 2 3 (
− mx + mx + m − m = I) 3 2 0 ⇔  ⇔  2 2 3
 x − 6mx + 3m = 0
x − 2mx = −m 2 2 3 2 2 2
−mx + 2mx + m − 2m = 0
−x + 2x + m − 2m = 0
2x − 2mx − 2m + 2m = 0 ( ) 1 ⇔  ⇔  ⇔  2 2 2
x − 2mx + m = 0
x − 2mx + m = 0
x − 2mx + m = 0  (2) ( ) ⇔ (  =
x + m)( − m) m 1 1 1 ⇔  x = −m
Với m =1thay vào (2) ⇒ x =1thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với x = −m thay vào ( ) 2 1 2 ⇒ 3
− m + m = 0 ⇔ m = 3 Vậy 1 4 S = 1+ = 3 3
Câu 119: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2x . Có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; − 0) ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải
Phương trình đường thẳng qua điểm A( 1;
− 0) có dạng: y = a(x + )
1 = ax + a (d ). 3 2
x −3x + 2x = ax + a
Đường thẳng (d ) là tiếp tuyến khi hệ 
có nghiệm. Dễ thấy hệ có ba 2 3
 x − 6x + 2 = a nghiệm ( ;
a x) phân biệt nên có ba tiếp tuyến. 2 x
Câu 120: Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến kẻ từ M (2;− )
1 đến đồ thị hàm số y = − x +1 4 . A. y = 2 − x + 3 . B. y = 1 − .
C. y = x −3 .
D. y = 3x − 7 . Lời giải
Phương trình đường thẳng qua M (2;− )
1 có dạng y = k (x − 2) −1= kx − 2k −1 (d ). 2  x 2 kx − 2k −1 = − x +  1 ( x
d ) là tiếp tuyến của parabol y = − x +1  4 4 khi và chỉ khi  có nghiệm  x k = −1  2 x = 0 x = 0    x = 4 k = 1 − ⇔  ⇔
. Vậy (d ) : y = −x +1 hoặc (d ): y = x −3.  x x = 4 k = −1   2 k =1
Câu 121: Cho hàm số x − 2 y =
có đồ thị (C) và điểm ( A ;
m 1) . Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để có 1− x
đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua A . Tính tổng bình phương các phần tử của tập S . Page 33
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM A. 25 . B. 5 . C. 13 . D. 9 . 4 2 4 4 Lời giải
Chọn C 1−x+x−2 1 f '(x) − = = 2 2 (1 − x) (1− x) x − 2 1 −
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M (x ; y ) 0 0 : 0 y − = (x − x ) 2 0 1− x (1− x ) 0 0 x − 2 1 − Tiếp tuyến đi qua ( A ; m 1) 0 2 ⇒1− =
(m− x ) ⇔ 2x − 6x + m + 3 = 0(x ≠1)(1) 2 0 0 0 0 1− x (1− x ) 0 0
Để có 1 tiếp tuyến qua ( A ;
m 1) ⇒ phương trình (1) có 1 nghiệm x ≠ 1 0  3 m =  3 ∆ = 0  2 m =  ⇔ ⇔   ⇔ 2
∆ > 0;2 − 6 + m + 3 = 0  3  m < ;m =1 m = 1  2  3 2 S 1;  =  . Ta có 2  3  13 + = 2 1    2    4
Câu 122: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 đi qua ( A 3 ; 2) ? A. 3. B. 0 . C. 1. D. 2. Lời giải Chọn D Ta có: 2
y′ = 3x − 6x
Phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số tại M x ; y có dạng 0 0 
y yx x x y y  2 3x 6x
x x x 3x  2 (1) 0 0  3 2 0  0  0  0  0 0 đi qua (
A 3 ; 2) nên ta được phương trình 2   2
3x 6x 3 x  3 2
x 3x  2 0 0 0 0 0 3 2 2
 2x 12x 18x  0  2x (x 3x)  0 x  0 0   0 0 0 0 0 x  3  0 +) x  0 d 0
thay vào ta được phương trình tiếp tuyến 1 là y  2 . +) x  3 d 0
thay vào ta được phương trình tiếp tuyến 2 là y  9x 25 .
Vậy có 2 tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua A3;2. Page 34
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 123: Cho hàm số −x + 2 y =
có đồ thị (C) và điểm (
A a;1) . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực x −1
của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua A . Tổng tất cả các giá trị các phần tử của S là A. 1 . B. 3 . C. 5 . D. 1 . 2 2 2 Lời giải Chọn C −1
ĐK: x ≠ 1; y' = (x − 2 1)
Đường thẳng d qua A có hệ số góc k là y = k(x − a) +1  −x + 2
k(x − a) + 1 =  (1)
d tiếp xúc với (C)  x − ⇔ 1  có nghiệm. −  1 k = 2 2 ( )  (x −1) −1 −x + 2 Thế (2) vào ( )1 ta có: (x − a) +1 = ⇔ −x + a + 2
x − 2x +1 = − 2
x + 3x − 2,x ≠ 1 (x − 2 1) x −1 ⇔ 2
2x − 6x + a + 3 = 0 (3)
Để đồ thị hàm số có một tiếp tuyến qua A thì hệ là số nghiệm của hệ phương trình trên có
nghiệm duy nhất ⇔ phương trình (3) có nghiệm duy nhất khác 1
∆' = 9 − 2a − 6 = 0   − + a + ≠ 3 2 6 3 0 2  a = 
⇔ 2x − 6x + a + 3 = 0 (3) ⇔ ⇒  2
∆' = 9 − 2a − 6 >   0 a =   1  2 − 6 + a + 3 =  0
Cách 2: TXĐ : D = \{ } 1 ; 1 y − ′ = (x − )2 1
Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a )
;1 là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = x0, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng : 1 − −x + 2 y = x − x + d 2 ( ) 0 0 ( ) (x −1 x −1 0 ) 0
Vì A∈d nên thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có : 2 1 − −x + 2
2x − 6x + 3+ a = 0 1 1= a − x + ⇔ 2 ( 0 ) 0 0 0 ( ) (  x −1 x −1 x ≠  1 0 ) 0 0
Để chỉ có một tiếp tuyến duy nhất đi qua A thì phương trình ( )1 có nghiệm duy nhất khác 1 Page 35
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
∆′ = 9 − 2a − 6 = 0   3 1
 − 6 + a + 3 ≠ 0 a =  ⇔ ⇒ 2  .
∆′ = 9 − 2a − 6 > 0   a =1
2 − 6 + a + 3 = 0
Câu 124: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 6x +1 có đồ thị. Tiếp tuyến của có hệ số góc nhỏ nhất là bao nhiêu? A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn B Ta có 2
y  3x 6x6
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiểm điểm M x ; y 0
0  thuộc đồ thị hàm số là
k yx  2
 3x 6x  6  3 2
x 2x 1 3  3 x 1 3 3 0 0 0 0 0   0 2
Vậy hệ số góc lớn nhất là 3đạt được tại M 3;19.
Câu 125: Cho hàm số x  2 y
có đồ thị C. Đường thẳng d có phương trình y ax b là tiếp 2x 3
tuyến của C, biết d cắt trục hoành tại A và cắt trục tung tại B sao cho tam giác OAB cân
tại O , với O là gốc tọa độ. Tính a b. A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3 . Lời giải Chọn D  3
Tập xác định: D  \     .  2   Ta có 1 y   0; x  . D 2x  2 3 Tam giác OA
B cân tại O , suy ra hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1. Do 1 y 
 0; x D k  1. 2x  2 3 tt
Gọi tọa độ tiếp điểm là x ; y ; x D 1 0 0  0 , ta có:
 1  x  2 x  1. 2x 3 0 2 0 0
● Với x 1 y 1 0 0
phương trình tiếp tuyến y x .
● Với x 2  y  0  0 0
phương trình tiếp tuyến y  x2 . Page 36
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM a  1 Vậy 
a b  3. b     2 
Câu 126: Cho hàm số 2x 1 y
có đồ thị. Có bao nhiêu tiếp tuyến của cắt trục Ox, Oy lần lượt tại tại x 1
hai điểm A và B thỏa mãn điều kiện OA  4OB . A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Lời giải
Giả sử tiếp tuyến của C tại M x ; y 0
0  cắt Ox tại A , Oy tại B sao cho OA  4OB .
Do tam giác OAB vuông tại O nên OB 1 tan A
  Hệ số góc tiếp tuyến bằng 1 hoặc OA 4 4 1  . 4 1 1 x  3
Hệ số góc tiếp tuyến là f  1 x 0    0       . 0  x 2  2 1 x 1 4 x 1 0  0  0 5
x  3  y  : 1 13
d : y   x  . 0 0 2 4 4 3 x 1 5
 1 y  : d : y   x  . 0 0 2 4 4
Câu 127: Cho hàm số x + 2 y = ( )
1 . Đường thẳng d : y = ax + b 2x + 3
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) 1 . Biết
d cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A,B sao cho OA ∆
B cân tại O . Khi đó a + b bằng A. 1 − . B. 0 . C. 2. D. 3 − . Lời giải 3
Tập xác định của hàm số x + 2 y = là D \   = −  . 2x + 3  2 Ta có: 1 y − ′ = < 0, x ∀ ∈ D . (2x +3)2 Mặt khác, OA ∆
B cân tại O ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là 1 − .
Gọi tọa độ tiếp điểm ( x ; y 3 0 0 ) , với x ≠ − . 0 2 Ta có: 1 y − ′ = = 1 − ⇔ x = 2 − ∨ x = 1 − . (2x +3 0 )2 0 0 Với x = 1 − ⇒ y =1 0 0
. Phương trình tiếp tuyến là: y = −x loại vì A ≡ B ≡ O . Với x = 2 − ⇒ y = 0 0 0
. Phương trình tiếp tuyến là: y = −x − 2 thỏa mãn.
Vậy d : y = ax + b hay d : y = −x − 2 ⇒ a = 1; − b = 2
− ⇒ a + b = 3 − . Page 37
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 128: Cho hàm số f (x) 3 2
= x + 3x + mx +1. Gọi S là tổng tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm
số y = f (x) cắt đường thẳng y =1 tại ba điểm phân biệt A(0; )
1 , B , C sao cho các tiếp tuyến
của đồ thị hàm số y = f (x) tại B , C vuông góc với nhau. Giá trị của S bằng A. 9 . B. 9 . C. 9 . D. 11. 2 5 4 5 Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x) và đường thẳng y =1 là: x = 0 3 2
x + 3x + mx +1 = 1 3 2
⇔ x + 3x + mx = 0 ⇔  . 2
x + 3x + m = 0
Để hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình 2
x + 3x + m = 0 phải có hai nghiệm 2 3  − 4.1.m > 0  9  4 − m > 9 − m < phân biệt khác 0 ⇔  ⇔ ⇔ . 2   4 0 + 3.0 + m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0
Với điều kiện trên, hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt A(0; ) 1 , B(x y C x y C ; B ; B ) , ( C ) , ở đó x x
B , C là nghiệm của phương trình 2
x + 3x + m = 0 . Ta có: f ′(x) 2
= 3x + 6x + m .
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f ( x) tại B , C lần lượt là
k = f ′ x = x + x + m k = f ′ x = x + x + m B ( B) 2 3 B 6 B ; C ( C ) 2 3 C 6 C .
Để hai tiếp tuyến này vuông góc thì k k = − B. C 1. Suy ra: ( 2 x + x + m
x + x + m = − B B )( 2 3 6 3 C 6 C ) 1 ⇔ (x x
+ x x + mx + x x + x x + mx + mx + mx + m = − B C )2 2 2 2 2 2 9
18 B C 3 B 18 B C 36 B C 6 B 3 C 6 C 1 ⇔ ( x x
+ x x x + x + m x + x + x x + m x + x + m + = . B C )2 B C ( B C ) ( 2 2 B C ) B C ( B C ) 2 9 18 3 36 6 1 0
Ta lại có theo Vi-et: x + x = − B C 3  . Từ đó 2 2
x + x = x + x
− x x = 9 − 2m . B C ( B C )2 2 x x = B Cm B C Suy ra: 2
m + m(− ) + m( − m) + m + m(− ) 2 9 18 3 3 9 2 36 6 3 + m +1= 0 2
⇔ 4m − 9m +1 = 0  9 + 65 m = 8 ⇔  .  9 − 65 m =  8 9 65 9 65 Vậy S + − = + 9 8 8 = . 4
Câu 129: Cho hàm số x +1 y =
(C). Điểm M thuộc (C) có hoành độ lớn hơn 1, tiếp tuyến của (C) tại x −1
M cắt hai tiệm cận của (C) lần lượt tại ,
A B . Diện tích nhỏ nhất của tam giác OAB bằng. A. 4 + 2 2 . B. 4 . C. 4 2 . D. 4 + 2 . Lời giải Page 38
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM x +1 2 y y ' − = ⇒ = x ≠ 1 . 2 ( ) x −1 (x − ) 1  a +1 Giả sử M ; a ∈ 2 − a +1 
 (C) (a > )
1 ⇒phương trình tiếp tuyến tại M : y = x − a + 2 ( )  a −1 (a − ) 1 a −1
⇔ x + (a − )2 y − ( 2 2 1 a + 2a − ) 1 = 0 (∆) .
Hai đường tiệm cận của (C) là x =1; y =1.  a + 3  Ta có (∆) ∩(x = ) 1 tại A1; , (∆) ∩( y = )
1 tại B(2a −1; ) 1 .  a 1  −  2
AB = ( a − )2  4 −  2 + = (a − )4 2 2 2 1 + 4 = (a − )4 1 +   4 .  a −1 a −1 a −1 2 + − d (O (∆)) a 2a 1 , = . 4 + (a − )4 1 2 2 1 2 a + 2a −1 4
a + 2a −1 (a − )2 1 + 4(a − ) Vậy + S = − + = = ∆ a OAB . ( ) 1 2 1 4. 2 a −1 + (a − )4 a −1 a −1 4 1 2 = a − + + ≥ + (a − ) 2 1 4 4 2 1 . = 4 + 2 2 . a −1 a −1
Câu 130: Cho hàm số 3 2
y = x + 3x +1 có đồ thị (C) và điểm A(1;m). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
nguyên của tham số m để qua A có thể kể được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị (C). Số phần tử của S là A. 9. B. 7 . C. 3. D. 5 Lời giải
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d qua A .
Ta có phương trình của d có dạng: y = kx + m − k . 3 2 3
kx + m − k = x + 3x +1 m = 2
− x + 6x +1 (*)
d tiếp xúc (C) ⇔ hệ sau có nghiệm:  ⇔  2 2
k = 3x + 6x
k = 3x + 6x
Để qua A có thể được đúng 3 tiếp tuyến tới (C) thì phương trình phải có 3 nghiệm phân biệt
⇔ y < m < y CT
CĐ với f ( x) 3 = 2 − x + 6x +1. Ta có f ′(x) 2 = 6
− x + 6; f ′(x) = 0 ⇔ x = 1 ± . f ( ) 1 = 5 = f f − = − = f CĐ ; ( )1 3 CT . Suy ra 3 − < m < 5 .
Vậy số phần tử của S là 7 . Page 39
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 131: Cho hàm số x +1 y =
có đồ thị (C). Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 3. x −1
Tìm hệ số góc k của đường thẳng d. A. 1 − . B. 2 − C. 2. D. 1 . 2 2 Lời giải
Tập xác định: D = \{ } 1 Với y +
= 3 , ta có: x 1 = 3 ⇒ 3x − 3 = x +1 ⇔ x = 2 . x −1 Ta có: 2 y′ = − . (x − )2 1
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là: k = y′( ) 2 2 = − = 2 − . (2− )2 1
Câu 132: Cho hàm số 1 y =
có đồ thị (C). Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C) tại điểm M (2; ) 1 . Diện tích x −1
tam giác được tạo bởi ∆ và các trục bằng A. 3. B. 3 . C. 9. D. 9 . 2 2 Lời giải 1 y ' − =
. Theo đề x = 2; y =1; y ' x = 1 − 0 0 ( 0) . (x − )2 1
Suy ra pttt ∆ là: y = −x + 3 .
Tiếp tuyến ∆ cắt các trục Ox,Oy lần lượt tại A(3;0), B(0;3) . Do đó diện tích tam giác được
tạo bởi ∆ và các trục tọa độ bằng: 1 9 S = . . OAOB = . 2 2
DẠNG 4. BÀI TOÁN QUẢNG ĐƯỜNG, VẬN TỐC
Câu 133: Cho chuyển động được xác định bởi phương trình 3 2
s = 2t + 6t − t , trong đó t được tính bằng
giây và s được tính bằng mét. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 3s là:
A. 89 m / .s
B. 105 m / .s
C. 48 m / .s
D. 20m / .s Lời giải Ta có 2
v(t) = S '(t) = 6t +12t −1.
Vận tốc tức thời của chuyển động khi t = 3s là: v( ) 2
3 = 6.3 +12.3−1 = 89(m / s) .
Câu 134: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là S (t) 1 3 2
= t − 2t + 3t −1 (t được 3
tính bằng giây, s tính bằng mét). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 4 là
A. 6(m / s) .
B. 4(m / s).
C. 5(m / s) .
D. 3(m / s) . Lời giải Page 40
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Ta có: v(t) = S′(t) 2 = t − 4t + 3; S′(4) = 3 .
Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 4 là: 3(m / s) .
Câu 135: Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình s(t) 3 2
= t − 3t + 5t +10 ,
trong đó t > 0 với t tính bằng giây và s tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm vận tốc của vật đạt giá
trị nhỏ nhất thì quãng đường vật đi được bằng bao nhiêu? A. 13 m . B. 3 m . C. 16 m . D. 10 m . Lời giải
Vận tốc của chuyển động là : v(t) 2
= 3t − 6t + 5.
Dễ thấy: v(t) 2
= 3t − 6t + 5 = 3(t − )2
1 + 2 ≥ 2 với mọi t . Dấu “=” xảy ra khi t =1.
Khi đó, vận tốc của chuyển động là s( ) 1 =13 m .
Câu 136: Một vật chuyển động theo quy luật s(t) 2 3
= 4t − 2t + 5 , với t là khoảng thời gian tính từ lúc vật
bắt đầu chuyển động và s là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Biết tại thời điểm m
thì vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là n(m / s) . Giá trị T = mn bằng A. 4. B. 16. C. 2. D. 8. 3 9 3 9 Lời giải Ta có: s(t) 2 3
= t − t + ⇒ v(t) = s′(t) 2 4 2 5 = 6
− t + 8t (a = 6, − b = 8) .
Vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi b 2 t = − = (s)  2  8 ⇒ v = v =   . max 2a 3  3  3 Vậy 2 8 16 T = mn = . = . 3 3 9
Câu 137: Một chất điểm chuyển động theo quy luật 2 3
S = 6t − t , vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá
trị lớn nhất tại thời điểm t (s) bằng A. 4 (s). B. 12 (s) . C. 6 (s) . D. 2 (s) . Lời giải Ta có: S (t) 2 3
= 6t −t ⇒ v(t) = S′(t) 2
=12t − 3t ⇒ v′(t) =12 − 6t .
v′(t) = 0 ⇔ 12 − 6t = 0 ⇔ t = 2 .  = v(t) t 0 2
= 0 ⇔ 12t − 3t = 0 ⇔  . t = 4 Bảng biến thiên: Page 41
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Vậy: vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t = 2 (s) .
Câu 138: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường đi được của đoàn tàu
là một hàm số của thời gian t được cho bởi phương trình s(t) 2 3
= 10 + t + 9t − t trong đó s tính
bằng mét, t tính bằng giây. Trong 5 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, đoàn tàu đạt vận tốc lớn nhất bằng bao nhiêu?
A. 1m / s .
B. 28m / s .
C. 16m / s .
D. 3m / s . Lời giải
v(t) = s′(t) 2 = 3 − t +18t +1.
Dễ thấy hàm số v(t) là hàm bậc hai có đồ thị dạng parabol với hệ số a = 3 − < 0 .
Ta có hoành độ đỉnh của parabol là t = 3∈[0;5]. Do đó v = v 3 = 28. max ( )
Vậy giá trị lớn nhất của vận tốc đoàn tàu chuyển động trong 5 giây đầu là 28m / s .
Câu 139: Một vật chuyển động trong 1 giờ với vận tốc v phụ thuộc vào thời gian t có đồ thị vận tốc như
hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của
đường parabol có đỉnh 1
I( ;8) và trục đối xứng song song với trục tung. Tính gia tốc của vật lúc 2 t = 0,25(h) A. ( 2
16 km / h ). B. − ( 2
16 km / h ). C. ( 2
8 km / h ) . D. − ( 2 8 km / h ). Lời giải Page 42
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Gọi v(t) 2 = . p t + .
q t + r đi qua O(0;0); 1
I( ;8) và M (1;0) ta có hệ phương trình 2 r = 0 r = 0 1 1  p q r 8  +
+ = ⇔ q = 32 . Vậy v(t) 2 = 32 − t + 32.t 4 2   p = 32  p q r 0 −  + + = 
Gia tốc vật là a = v'(t) = 64 − t + 32
Lúc t = 0,25(h) thì gia tốc là a = ( 2 16 km / h ) . Page 43
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM NG Ơ VII ĐẠO HÀM CHƯ
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
III HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
DẠNG 5. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ
Câu 140: Tính đạo hàm của hàm số 3x y = x A. 3x y′ = . B. 3 y′ = . C. 3x y′ = ln 3 . D. 1 .3x y x − ′ = . ln 3
Câu 141: Đạo hàm của hàm số 5x y = là x x A. 5x
y′ = − ln5 . B. 5x y′ = ln 5 . C. 5 y′ = . D. 5 y′ = − . ln 5 ln 5
Câu 142: Tính đạo hàm của hàm số 2x y = . A. 1 .2x y x − ′ = . B. 2x y′ = ln 2 . C. 2x y′ = . D. ′ = 2x y ln x .
Câu 143: Đạo hàm của hàm số 6x y = là x A. 6 y′ = . B. 6x y′ = ln 6 . C. 6x y′ = . D. 1 6x y x − ′ = . ln 6
Câu 144: Tìm đạo hàm của hàm số = x y π . x π A. 1 ' − = x y xπ lnπ . B. ' = x y π lnπ . C. y ' = lnπ . D. 1 ' − = x y xπ .
Câu 145: Tìm đạo hàm của hàm số 2022x y = 2022x A. 1 .2022x y x − ′ = . B. y′ = x y′ = ln 2022 . C.
2022 .ln 2022. D. 2022x .
Câu 146: Đạo hàm của hàm số (2 3)x y = − trên tập  là: − − A. ′ x = (2+ 3) x y ln (2− 3).
B. y′ = (2+ 3) ln(2+ 3) . C. (2 3)x x y′ = + ln (2− 3).
D. y′ = (2− 3) ln(2+ 3).
Câu 147: Trên tập số thực  , đạo hàm của hàm số 2 3x x y − = là: A. ( ) 2 2 1 .3x x y x − ′ = − . B. ( ) 2 2 1 .3x x y x − ′ = − .ln 3. C. ( ) 2 2 1 .3x x y x x + + ′ = − . D. 2 1 3x x y − − ′ = Page 29
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 148: Đạo hàm của hàm số 2 2022 x y   là 2−x A. 2022 y′ = . B. 2 2022 x y − ′ = − ln 2022 . ln 2022 C. 2 2022 x y − ′ = ln 2022 . D. 2 .2022 x y x − ′ = . Câu 149: Hàm số ( ) 3 4 2 x f x + = có đạo hàm là 3x+4
A. f ′(x) 3.2 = .
B. f ′(x) 3x+4 = 3.2 .ln 2 . ln 2 3x+4
C. f ′(x) 3x+4
= 2 .ln 2 . D. f ′(x) 2 = . ln 2 Câu 150: Hàm số 2 2 x y = có đạo hàm là A. 2 ' 2 x y = ln 2. B. 2x 1 y ' 2 + = ln 2. C. 2x 1 y ' 2 − = . D. 2x 1 y ' 2 .2 x − = .
Câu 151: Tính đạo hàm của hàm số: 2 1 9 x y + = . A. 2x 1 y 2.9 + ′ = .ln 9. B. ( ) 2 1 2 1 .9 x y x + ′ = + . C. 2x 1 y 9 + ′ = .ln 9 .
D. y ( x ) 2x 1 2 1 .9 + ′ = + .ln 9 .
Câu 152: Đạo hàm của hàm số 2 = 2 x y bằng. 2x 1 + 2x A. 2 ′ 2 2 = 2 x y ln 2 . B. y′ = . C. ′ = 4x y ln 4 . D. y′ = . ln 2 ln 2
Câu 153: Đạo hàm của hàm số 2 x y e − = là A. 2 x y e − ′ = . B. 2 2 x y e − ′ = . C. 2 x y e − ′ = − . D. ( ) 2 2 x y x e − ′ = − .
Câu 154: Tính đạo hàm của hàm số f (x) 2x 3 e − = . A. ( ) 2 3 2. x f x e − ′ = . B. f (x) 2x 3 e − ′ = . C. ( ) 2 3 2. x f x e − ′ = − . D. ( ) 3 2. x f x e − ′ = .
Câu 155: Đạo hàm của hàm số 2 10x y = là A. 2 10x .ln10 B. 2 2 .10x x C. 2 2 .10x x .ln10
D. 1 + log a 2 2
Câu 156: Đạo hàm của hàm số 2 1 3 x y − = là A. 2 1 2.3 x− . B. 2x 1 3 − .ln3. C. 2x 1 2.3 − .ln 2 . D. 2x 1 2.3 − .ln3 .
Câu 157: Tính đạo hàm của hàm số 3 5 2021 x y − = . A. 3 5 2021 x y − ′ = .ln 2021. B. 3 5 5.2021 x y − ′ = − .ln 2021. C. 3 5 2021 x y − ′ = . D. 3 5 5.2021 x y − ′ = − .log 2021.
Câu 158: Đạo hàm của hàm số 2 x 2x y + = π là 2 x +2x π A. ( ) 2 2 2 2 . x x y x + ′ = + π .
B. y′ = (2x + 2). . lnπ (2x + 2) C. ( ) 2x 2 2 2 . x y x + ′ = + π .lnπ . D. y′ = . 2 x +2x π .lnπ Câu 159: Hàm số 2 2x x y − = có đạo hàm là A. 2
2x −x.ln 2 . B. 2 (2 1).2x x x − − .ln 2 . Page 30
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM C. 2 2 1 ( ).2x x x x − − − . D. 2 (2 1).2x x x − − . Câu 160: Hàm số 2 3x x y − = có đạo hàm là A. ( ) 2 2 1 .3x x x − − . B. ( ) 2 2 1 .3x x x x − − − . C. ( ) 2 2 1 .3x x x − − .ln 3. D. 2 3x −x.ln 3.
Câu 161: Tính đạo hàm của hàm số 13x y = x A. 13 y′ = B. 1 .13x y x − ′ = C. 13x y′ = ln13 D. 13x y′ = ln13
Câu 162: Tính đạo hàm của hàm số x 1 y + = 4x 1− 2(x + ) 1 ln 2 1+ 2(x + ) 1 ln 2 A. y ' = B. y ' = 2 2 x 2 2 x 1− 2(x + ) 1 ln 2 1+ 2(x + ) 1 ln 2 C. y ' = D. y ' = 2 2x 2 2x Câu 163: Hàm số 2 3 2x x y − = có đạo hàm là A. ( ) 2x 3 2 3 2 x x − − ln 2. B. 2x−3 2 x ln 2 . C. ( ) 2 3 2 3 2x x x − − . D. ( ) 2 2 3 1 3 2x x x x − + − . Câu 164: Hàm số 2 3 3x x y − = có đạo hàm là A. ( ) 2 3 2 3 .3x x x − − . B. 2x−3 3 x.ln 3. C. ( ) 2 2 3 1 3 .3x x x x − − − . D. ( ) 2x 3 2 3 .3 x x − − .ln 3.
Câu 165: Đạo hàm của hàm số 3x y e là 3x A. e 3x
y′ = e . B. 3x
y′ = e .ln 3. C. 3 ′ = 3 x y e . D. y′ = . 3
Câu 166: Đạo hàm của hàm số 3 2 3x y + = là A. 3 2 2 3 .3x y x + = . B. 3 2 x +3 y = x .3 .ln 3. C. ( ) 3 2 3 1 3 . 2 .3x y x x + = + . D. 3 x +2 y = 3 .ln 3. Câu 167: Hàm số ( ) 2 2 1 5 x f x − = có đạo hàm là A. 2 2x 1
2 .x5 − .ln 5 . B. 2 2 1 4 .5 x x − . C. 2 2x 1
4 .x5 − .ln 5 . D. 2 2 1 5 x − .
Câu 168: Tính đạo hàm của hàm số 2 3 2 + = x y . A. 2x+2 y′ = 2 ln 4 . B. x+2 y′ = 4 ln 4 . C. 2x+2 y′ = 2 ln16 . D. 2x+3 y′ = 2 ln 2 .
Câu 169: Cho hàm số 2 1 2x mx y − + =
. Với giá trị nào của tham số m thì y′(0) = ln 2 ? A. 1 − . B. 1 . C. 2 . D. 2 − . 2 2
DẠNG 6. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LOGARIT
Câu 170: Trên khoảng (0;+∞), đạo hàm của hàm số y = log x là 2 A. 1 y′ = . B. ln 2 y′ = . C. 1 y′ = . D. 1 y′ = . x ln 2 x x 2x
Câu 171: Trên khoảng (0;+∞), đạo hàm của hàm số y = log x là 3 Page 31
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM 1 1 3 A. 3 y ' = . B. y ' = . C. y ' = . D. y ' = . x ln 3 2xln3 xln 3 x
Câu 172: Trên khoảng (0;+∞), hàm số y = log x có đạo hàm là: 3 A. ' x y = .
B. y′ = xln 3. C. 1 y′ = . D. ln 3 y′ = . ln 3 xln 3 x
Câu 173: Tìm đạo hàm của hàm số y = log x . A. ln10 y′ = B. 1 y′ = C. 1 y′ = D. 1 y′ = x x ln10 10ln x x
Câu 174: Tính đạo hàm của hàm số y = log 2x +1 ? 2 ( ) 1 2 2 1 A. y ' = ( . B. y ' = . C. y ' = . D. y ' = . 2x + ) 1 ln 2 (2x + )1ln 2 2x +1 2x +1
Câu 175: Hàm số y = ln(2x + ) 1 có đạo hàm là 2 1 A. y′ = . B. 1 y′ = . C. 2 y′ = . D. y′ = . xln (2x + ) 1 2x +1 2x +1 (2x + )1ln 2
Câu 176: Đạo hàm của hàm số y = log 2x +1 là 2 ( ) A. 1 y ' = 2 ( . B. 1 y ' = . C. 2 . D. . 2x + ) 1 ln 2 2x +1 2x +1 (2x + )1ln 2
Câu 177: Tính đạo hàm của hàm số y = log 3x 2 ( ) A. 1 y ' = . B. 3 y ' = . C. 1 y ' = . D. 3 y ' = . x ln 4 x ln 2 x ln 2 x ln 4
Câu 178: Đạo hàm của hàm số y = ( 2 ln 1− x ) là A. 2x . B. 2 − x . C. 1 . D. 1 . 2 x −1 2 x −1 2 1− x 2 x −1
Câu 179: Đạo hàm cùa hàm số y = log (2x + 5) là 4 2 A. 1 y′ = . B. 1 y′ = . C. 2ln 4 y′ = . D. y′ = . (2x + 5)ln 4 (2x + 5)ln 2 (2x + 5) (2x +5)ln5
Câu 180: Trên khoảng  1 ;  +∞ 
, đạo hàm của hàm số y = log(2x − ) 1 là 2    A. 1 2 y′ = ′ ( . B. y = . 2x − ) 1 ln10 (2x − ) 1 ln10 2 C. y′ = . D. 1 y′ = . 2x −1 2x −1
Câu 181: Tính đạo hàm của hàm số y = log 2x +1 . 2 ( ) A. 2 y′ = 1 ( B. y′ = C. 2 y′ = D. 1 y′ = 2x + ) 1 ln 2 (2x + )1ln 2 2x +1 2x +1
Câu 182: Hàm số f (x) = log ( 2
x − 2x có đạo hàm 2 ) A. f (x) ln 2 ' = B. f (x) 1 ' = 2 x − 2x ( 2x −2x)ln2 Page 32
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM 2x − 2 ln 2
C. f '(x) ( ) − = D. f (x) 2x 2 ' = 2 x − 2x ( 2x −2x)ln2
Câu 183: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ( 2
log x − 2x − m + ) 1 có tập xác định là  .
A. m ≤ 2
B. m > 2
C. m ≥ 0 D. m < 0
Câu 184: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ( 2
ln x − 2x + m + ) 1 có tập xác định là  .
A. 0 < m < 3 B. m < 1
− hoặc m > 0 C. m > 0 D. m = 0
Câu 185: Đạo hàm của hàm số y = log ( 2 2x − 3 là 4 ) A. 4x 4x y′ = 1 2x ( . B. y′ = . C. y′ = . D. y′ = . 2 2x − 3)ln2 2 2x − 3 ( 2 2x − 3)ln4 ( 2 2x − 3)ln2
Câu 186: Đạo hàm của hàm số ln x y = là x 1+ ln x 1− ln x A. 1 y = 4 − . B. y′ = . C. y′ = − . D. y′ = . 2 x 3 x 2 x
Câu 187: Cho hàm số ( ) ln 2021 ln x f x  = + 
. Tính giá trị biểu thức S = f '( )
1 + f '(2) +...+ f '(2020)  x 1 + 
, tổng gồm 2020 số hạng. A. 2021 . B. 2020 . C. 2021 . D. 2022 . 2020 2021 2022 2021
Câu 188: Đạo hàm của hàm số = ln x y x +1 A. 1 − . B. x . C. x +1. D. 1 . x(x + ) 1 x +1 x x(x + ) 1
Câu 189: Cho hàm số f (x) = ln(cosx) . Giá trị của  π f  ′ −  là. 4    A. 0 . B. 1 − . C. 1. D. 2 .
Câu 190: Đạo hàm của hàm số = ( 2 − 2 + 2) x y x x e là
A. ′ = (2 − 2) x y x e . B. 2 x y′ = x e .
C. ′ = ( 2 + 2) x y x e . D. ′ = 2 x y − xe .
Câu 191: Cho hàm số 2  π
y = ln(cosx +1+ m ). Với giá trị nào của  − m thì 1 y ' =   .  2  5 A. m = 2 ± .
B. m = 2 . C. 1 m = . D. m = 1 ± . 2
Câu 192: Cho hàm số f (x)  1 ln 1  = − a
. Biết rằng f ′(2) + f ′(3) +...+ f ′(2019) + f ′(2020) = với 2 x    b
a, b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Giá trị của 2ab bằng A. 2 . B. 4 . C. 2 − . D. 4 − .
Câu 193: Cho hàm số ( ) ln 2018 ln x f x  = + 
. Tính S = f '( )
1 + f '(2) + f '(3) ++ f '(2017).  x 1 +  Page 33
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM A. 4035 S = B. 2017 S = C. 2016 S = D. S = 2017 2018 2018 2017
Câu 194: Cho hàm số ( ) 2018 = ln x f x
. Tính tổng S = f ′( )
1 + f ′(2) +...+ f ′(2018) . x +1 A. ln 2018 . B. 1. C. 2018 . D. 2018 . 2019
Câu 195: Cho hàm số ( ) ln x f x  =  . Tổng ' f ( ) ' + f ( ) ' + f ( ) ' 1 3 5 +...+ f ( ) 2021 bằng  x + 2  A. 4035. . B. 2021 . C. 2021.. D. 2022 . 2021 2022 2023
Câu 196: Cho hàm số f (x) x +1 = ln . Tính giá trị của biểu thức x + 4
P = f ′(0) + f ′(3) + f ′(6) +...+ f ′(2019) . A. 1 . B. 2024 . C. 2022 . D. 2020 . 4 2023 2023 2023
Câu 197: Cho hàm số = ( ) = (2 − ) 1 x y f x m
e + 3. Giá trị của m để f (− ) 5 ' ln 3 = là 3 A. 7 m = . B. 2 m = .
C. m = 3 . D. 3 m = − . 9 9 2 Page 34
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM NG Ơ VII ĐẠO HÀM CHƯ
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
III HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
DẠNG 5. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ
Câu 140: Tính đạo hàm của hàm số 3x y = x A. 3x y′ = . B. 3 y′ = . C. 3x y′ = ln 3 . D. 1 .3x y x − ′ = . ln 3 Lời giải
Áp dụng công thức ( x )′ x
a = a .ln a .
Câu 141: Đạo hàm của hàm số 5x y = là x x A. 5x
y′ = − ln5 . B. 5x y′ = ln 5 . C. 5 y′ = . D. 5 y′ = − . ln 5 ln 5 Lời giải Ta có 5x y′ = ln5 .
Câu 142: Tính đạo hàm của hàm số 2x y = . A. 1 .2x y x − ′ = . B. 2x y′ = ln 2 . C. 2x y′ = . D. ′ = 2x y ln x . Lời giải Ta có 2x y′ = ln 2
Câu 143: Đạo hàm của hàm số 6x y = là x A. 6 y′ = . B. 6x y′ = ln 6 . C. 6x y′ = . D. 1 6x y x − ′ = . ln 6 Lời giải
Có = 6x ⇒ = 6x y y′ ln 6.
Câu 144: Tìm đạo hàm của hàm số = x y π . x π A. 1 ' − = x y xπ lnπ . B. ' = x y π lnπ . C. y ' = lnπ . D. 1 ' − = x y xπ . Lời giải Page 1
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Áp dụng ( x )' = x a
a .ln a(a > 0,a ≠ ) 1 .
Câu 145: Tìm đạo hàm của hàm số 2022x y = 2022x A. 1 .2022x y x − ′ = . B. y′ = x y′ = ln 2022 . C.
2022 .ln 2022. D. 2022x . Lời giải
Câu 146: Đạo hàm của hàm số (2 3)x y = − trên tập  là: − − A. ′ x = (2+ 3) x y ln (2− 3).
B. y′ = (2+ 3) ln(2+ 3) . C. (2 3)x x y′ = + ln (2− 3).
D. y′ = (2− 3) ln(2+ 3). Lời giải −
Ta có: y′ = ( − )x ( − ) 1 2 3 ln 2 3 = ln − = + − . x (2 3) (2 3) x ln(2 3) (2+ 3)
Câu 147: Trên tập số thực  , đạo hàm của hàm số 2 3x x y − = là: A. ( ) 2 2 1 .3x x y x − ′ = − . B. ( ) 2 2 1 .3x x y x − ′ = − .ln 3. C. ( ) 2 2 1 .3x x y x x + + ′ = − . D. 2 1 3x x y − − ′ = Lời giải Ta có 2 x −x = ⇒ ′ = ( − ) 2 ′ x −x = ( − ) 2 2 3 .3 .ln 3 2 1 .3x −x y y x x x .ln 3.
Câu 148: Đạo hàm của hàm số 2 2022 x y   là 2−x A. 2022 y′ = . B. 2 2022 x y − ′ = − ln 2022 . ln 2022 C. 2 2022 x y − ′ = ln 2022 . D. 2 .2022 x y x − ′ = . Lời giải Ta có     2 x 2 2
2022 .ln 2022  2022 .x y x   ln 2022 . Câu 149: Hàm số ( ) 3 4 2 x f x + = có đạo hàm là 3x+4
A. f ′(x) 3.2 = .
B. f ′(x) 3x+4 = 3.2 .ln 2 . ln 2 3x+4
C. f ′(x) 3x+4
= 2 .ln 2 . D. f ′(x) 2 = .
ln 2 Lời giải
Công thức f ′(x) 3x+4 = 3.2 .ln 2 . Câu 150: Hàm số 2 2 x y = có đạo hàm là A. 2 ' 2 x y = ln 2. B. 2x 1 y ' 2 + = ln 2. C. 2x 1 y ' 2 − = . D. 2x 1 y ' 2 .2 x − = . Page 2
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Lời giải
y ( 2x ) ( x) 2x 2x 1 ' 2 ' 2 '.2 ln 2 2 + = = = ln 2.
Câu 151: Tính đạo hàm của hàm số: 2 1 9 x y + = . A. 2x 1 y 2.9 + ′ = .ln 9. B. ( ) 2 1 2 1 .9 x y x + ′ = + . C. 2x 1 y 9 + ′ = .ln 9 .
D. y ( x ) 2x 1 2 1 .9 + ′ = + .ln 9 . Lời giải
Áp dụng công thức tính đạo hàm ( u )′ = . u a
u′ a ln a .
Ta có: ( 2x 1+)′ = ( x + )′ 2x 1+ 2x 1 9 2 1 .9 ln 9 = 2.9 + ln 9 .
Câu 152: Đạo hàm của hàm số 2 = 2 x y bằng. 2x 1 + 2x A. 2 ′ 2 2 = 2 x y ln 2 . B. y′ = . C. ′ = 4x y ln 4 . D. y′ = . ln 2 ln 2 Lời giải
Ta có: ( u )′ = .′ u a u a .ln a . Nên 2x 2x 2 (2 )′ = (2 ) .2 ′
.ln 2 = 2.2 x.ln 2 = 4x.2.ln 2 = 4x x .ln 4.
Câu 153: Đạo hàm của hàm số 2 x y e − = là A. 2 x y e − ′ = . B. 2 2 x y e − ′ = . C. 2 x y e − ′ = − . D. ( ) 2 2 x y x e − ′ = − . Lời giải 2 x y e − ′ = − .
Câu 154: Tính đạo hàm của hàm số f (x) 2x 3 e − = . A. ( ) 2 3 2. x f x e − ′ = . B. f (x) 2x 3 e − ′ = . C. ( ) 2 3 2. x f x e − ′ = − . D. ( ) 3 2. x f x e − ′ = . Lời giải
Ta có f (x) = ( x − ) 2x−3 2x−3 ' 2 3 'e = 2.e .
Câu 155: Đạo hàm của hàm số 2 10x y = là A. 2 10x .ln10 B. 2 2 .10x x C. 2 2 .10x x .ln10
D. 1 + log a 2 2 Lời giải Ta có 2 x ( ) 2 2 10 .ln10. ′ ′ = = 2 .10x y x x .ln10.
Câu 156: Đạo hàm của hàm số 2 1 3 x y − = là A. 2 1 2.3 x− . B. 2x 1 3 − .ln3. C. 2x 1 2.3 − .ln 2 . D. 2x 1 2.3 − .ln3 . Lời giải Page 3
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM ( 2 1 3 x y − )′ ′ = 2x 1 2.3 − = .ln3.
Câu 157: Tính đạo hàm của hàm số 3 5 2021 x y − = . A. 3 5 2021 x y − ′ = .ln 2021. B. 3 5 5.2021 x y − ′ = − .ln 2021. C. 3 5 2021 x y − ′ = . D. 3 5 5.2021 x y − ′ = − .log 2021. Lời giải Ta có ′ = ( − )′ 3 5x 3 5
3 5 .2021 .ln 2021 = 5.2021 x y x − − − .ln 2021
Câu 158: Đạo hàm của hàm số 2 x 2x y + = π là 2 x +2x π A. ( ) 2 2 2 2 . x x y x + ′ = + π
. B. y′ = (2x + 2). . lnπ (2x + 2) C. ( ) 2x 2 2 2 . x y x + ′ = + π .lnπ . D. y′ = . 2 x +2x π .lnπ Lời giải Ta có 2 x + x = π ⇒ ′ = ( + ) 2 ′ x + x π π = ( + ) 2 2 2 2 x +2 2 . .ln 2 2 . x y y x x x π .lnπ . Câu 159: Hàm số 2 2x x y − = có đạo hàm là A. 2
2x −x.ln 2 . B. 2 (2 1).2x x x − − .ln 2 . C. 2 2 1 ( ).2x x x x − − − . D. 2 (2 1).2x x x − − . Lời giải Chọn B Ta có 2 2 2
' = ( − )'.2x −x.ln 2 = (2 −1).2x −x y x x x .ln 2 . Câu 160: Hàm số 2 3x x y − = có đạo hàm là A. ( ) 2 2 1 .3x x x − − . B. ( ) 2 2 1 .3x x x x − − − . C. ( ) 2 2 1 .3x x x − − .ln 3. D. 2 3x −x.ln 3. Lời giải Chọn C
Ta có: ( u )′ = . u a
u′ a .ln a nên ( 2x−x ) = ( − ) 2 3 ' 2 1 .3x −x x .ln 3 .
Câu 161: Tính đạo hàm của hàm số 13x y = x A. 13 y′ = B. 1 .13x y x − ′ = C. 13x y′ = ln13 D. 13x y′ = ln13 Lời giải Chọn C Ta có: 13x y′ = ln13 .
Câu 162: Tính đạo hàm của hàm số x 1 y + = 4x Page 4
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM 1− 2(x + ) 1 ln 2 1+ 2(x + ) 1 ln 2 A. y ' = B. y ' = 2 2 x 2 2 x 1− 2(x + ) 1 ln 2 1+ 2(x + ) 1 ln 2 C. y ' = D. y ' = 2 2x 2 2x Lời giải Chọn A (x )1′ + .4x − (x + )
1 .(4x )′ 4x −(x + ) 1 .4x.ln 4 Ta có: y ' = ( = 4x )2 (4x)2
4x.(1− .xln 4 − ln 4) 1− .x2ln 2 − 2ln 2 1− 2(x + ) 1 ln 2 = ( = = . 4 )2 x 2 4 2 x x Câu 163: Hàm số 2 3 2x x y − = có đạo hàm là A. ( ) 2x 3 2 3 2 x x − − ln 2. B. 2x−3 2 x ln 2 . C. ( ) 2 3 2 3 2x x x − − . D. ( ) 2 2 3 1 3 2x x x x − + − . Lời giải Chọn A
= ( 2x− x ) = ( − ) 2 3 x −3 ' 2 ' 2 3 2 x y x ln 2 . Câu 164: Hàm số 2 3 3x x y − = có đạo hàm là A. ( ) 2 3 2 3 .3x x x − − . B. 2x−3 3 x.ln 3. C. ( ) 2 2 3 1 3 .3x x x x − − − . D. ( ) 2x 3 2 3 .3 x x − − .ln 3. Lời giải Chọn D Ta có: ( 2x− x)′ ′ = = ( − ) 2 3 x −3 3 2 3 .3 x y x .ln 3.
Câu 165: Đạo hàm của hàm số 3x y e là 3x A. e 3x
y′ = e . B. 3x
y′ = e .ln 3. C. 3 ′ = 3 x y e . D. y′ = . 3 Lời giải
   3x   3x 3 3 .  3 x y e x e e .
Câu 166: Đạo hàm của hàm số 3 2 3x y + = là A. 3 2 2 3 .3x y x + = . B. 3 2 x +3 y = x .3 .ln 3. C. ( ) 3 2 3 1 3 . 2 .3x y x x + = + . D. 3 x +2 y = 3 .ln 3. Lời giải
Ta có: y′ = ( 3x+ )′ = (x + ) 3 3 3 2 3 ′ x +2 2 x +2 2 x +3 3
2 .3 .ln 3 = 3x .3 .ln 3 = x .3 .ln 3 Page 5
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Câu 167: Hàm số ( ) 2 2 1 5 x f x − = có đạo hàm là A. 2 2x 1
2 .x5 − .ln 5 . B. 2 2 1 4 .5 x x − . C. 2 2x 1
4 .x5 − .ln 5 . D. 2 2 1 5 x − . Lời giải
Áp dụng công thức ( u )′ = . u a
u′ a .ln a suy ra ( 2x− )′ = ( x − ) 2 2 2 1 2 ′ 2x 1− 2x 1 5 2 1 .5 .ln 5 = 4 . x 5 − .ln 5.
Câu 168: Tính đạo hàm của hàm số 2 3 2 + = x y . A. 2x+2 y′ = 2 ln 4 . B. x+2 y′ = 4 ln 4 . C. 2x+2 y′ = 2 ln16 . D. 2x+3 y′ = 2 ln 2 . Lời giải
Áp dụng công thức đạo hàm ( u )′ = .′ u a u a .ln a .
Ta có y′ = ( x + )′ 2x+3 2 3 2 ln 2 2x+3 = 2 ln 4 2x+2 = 2 ln16 .
Câu 169: Cho hàm số 2 1 2x mx y − + =
. Với giá trị nào của tham số m thì y′(0) = ln 2 ? A. 1 − . B. 1 . C. 2 . D. 2 − . 2 2 Lời giải
Tập xác định: D =  . Ta có: −mx y =
⇒ y′ = (x − mx + ) 2 ′ x −mx+ = ( x − m) 2 1 2 1 x −mx 1 2 1 .2 .ln 2 2 .2 + .ln 2 .
Khi đó y′( ) = (−m) 1 1 0
.2 .ln 2 = ln 2 ⇔ m = − . 2
DẠNG 6. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LOGARIT
Câu 170: Trên khoảng (0;+∞), đạo hàm của hàm số y = log x là 2 A. 1 y′ = . B. ln 2 y′ = . C. 1 y′ = . D. 1 y′ = . x ln 2 x x 2x Lời giải Áp dụng công thức ( x ′ = . Ta có 1 y′ = a ) 1 log x ln a xln 2
Câu 171: Trên khoảng (0;+∞), đạo hàm của hàm số y = log x là 3 1 1 3 A. 3 y ' = . B. y ' = . C. y ' = . D. y ' = . x ln 3 2xln3 xln 3 x Lời giải 1 Ta có y ' = . xln 3
Câu 172: Trên khoảng (0;+∞), hàm số y = log x có đạo hàm là: 3 A. ' x y = .
B. y′ = xln 3. C. 1 y′ = . D. ln 3 y′ = . ln 3 xln 3 x Page 6
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Lời giải Ta có: y′ = ( ′ 1 log x = . 3 ) xln 3
Câu 173: Tìm đạo hàm của hàm số y = log x . A. ln10 y′ = B. 1 y′ = C. 1 y′ = D. 1 y′ = x x ln10 10ln x x Lời giải Chọn B Áp dụng công thức ( x ′ = , ta được 1 y′ = . a ) 1 log x ln a ln x 10
Câu 174: Tính đạo hàm của hàm số y = log 2x +1 ? 2 ( ) 1 2 2 1 A. y ' = ( . B. y ' = . C. y ' = . D. y ' = . 2x + ) 1 ln 2 (2x + )1ln 2 2x +1 2x +1 Lời giải ′ 2x 1 ′ +
Áp dụng công thức tính đạo hàm: y′ = ( 2 log 2x +1 = = 2 ( )) ( ) ( . 2x + ) 1 ln 2 (2x + ) 1 ln 2
Câu 175: Hàm số y = ln(2x + ) 1 có đạo hàm là 2 1 A. y′ = . B. 1 y′ = . C. 2 y′ = . D. y′ = . xln (2x + ) 1 2x +1 2x +1 (2x + )1ln 2 Lời giải
Hàm số y = ln (2x + ) 1 có đạo hàm là 2 y′ = . 2x +1
Câu 176: Đạo hàm của hàm số y = log 2x +1 là 2 ( ) A. 1 y ' = 2 ( . B. 1 y ' = . C. 2 . D. . 2x + ) 1 ln 2 2x +1 2x +1 (2x + )1ln 2 Lời giải 2x +1 ' Ta có ( 2 log 2x +1 ' = = . 2 ( )) ( ) (2x + ) 1 ln 2 (2x + ) 1 ln 2
Câu 177: Tính đạo hàm của hàm số y = log 3x 2 ( ) A. 1 y ' = . B. 3 y ' = . C. 1 y ' = . D. 3 y ' = . x ln 4 x ln 2 x ln 2 x ln 4 Lời giải 3x ' Ta có: y = ( ( x)) ( ) 1 ' log 3 ' = = . 2 3xln 2 x ln 2
Câu 178: Đạo hàm của hàm số y = ( 2 ln 1− x ) là Page 7
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM A. 2x . B. 2 − x . C. 1 . D. 1 . 2 x −1 2 x −1 2 1− x 2 x −1 Lời giải ( 2 1 x )′ − Ta có 2 − x 2x y′ = = = . 2 2 2 1− x 1− x x −1
Câu 179: Đạo hàm cùa hàm số y = log (2x + 5) là 4 2 A. 1 y′ = . B. 1 y′ = . C. 2ln 4 y′ = . D. y′ = . (2x + 5)ln 4 (2x + 5)ln 2 (2x + 5) (2x +5)ln5 Lời giải 2 2 1
y = log (2x + 5) ⇒ y′ = = = 4 ( .
2x + 5)ln 4 (2x + 5).2ln 2 (2x + 5)ln 2
Câu 180: Trên khoảng  1 ;  +∞ 
, đạo hàm của hàm số y = log(2x − ) 1 là 2    A. 1 2 y′ = ′ ( . B. y = . 2x − ) 1 ln10 (2x − ) 1 ln10 2 C. y′ = . D. 1 y′ = . 2x −1 2x −1 Lời giải (2x )′ − Trên khoảng  1 1 ;  +∞ 2 
, ta có y = log(2x − ) 1 ⇒ y′ = = . 2    (2x − ) 1 ln10 (2x − ) 1 ln10
Câu 181: Tính đạo hàm của hàm số y = log 2x +1 . 2 ( ) A. 2 y′ = 1 ( B. y′ = C. 2 y′ = D. 1 y′ = 2x + ) 1 ln 2 (2x + )1ln 2 2x +1 2x +1 Lời giải Chọn A ′ 2x 1 ′ + Ta có y′ = ( 2 log 2x +1 = = . 2 ( )) ( ) (2x + ) 1 ln 2 (2x + ) 1 ln 2
Câu 182: Hàm số f (x) = log ( 2
x − 2x có đạo hàm 2 ) A. f (x) ln 2 ' = B. f (x) 1 ' = 2 x − 2x ( 2x −2x)ln2 2x − 2 ln 2
C. f '(x) ( ) = D. f (x) 2x − 2 ' = 2 x − 2x ( 2x −2x)ln2 Lời giải Chọn D Page 8
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM ( 2x −2x) f (x) ' 2x − 2 ' = ( = 2 x − 2x)ln 2 ( 2 x − 2x)ln 2
Câu 183: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ( 2
log x − 2x − m + ) 1 có tập xác định là  .
A. m ≤ 2
B. m > 2
C. m ≥ 0 D. m < 0 Lời giải Chọn D
Để hàm số có tâp xác định  khi và chỉ khi 2
x − 2x − m +1 > 0, x ∀ ∈  . ⇔ ∆′ < 0 ⇔ (− )2 1 −1.(−m + )
1 < 0 ⇔ m < 0 .
Câu 184: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ( 2
ln x − 2x + m + ) 1 có tập xác định là  .
A. 0 < m < 3 B. m < 1
− hoặc m > 0 C. m > 0 D. m = 0 Lời giải Chọn C Hàm số có tâp xác định  khi và chỉ khi
a =1 > 0(ld) 2
x − 2x + m +1 > 0, x ∀ ∈  ⇔  . ∆′ = 1− 
(1+ m) < 0 ⇔ m > 0
Câu 185: Đạo hàm của hàm số y = log ( 2 2x − 3 là 4 ) A. 4x 4x y′ = 1 2x ( . B. y′ = . C. y′ = . D. y′ = . 2 2x − 3)ln2 2 2x − 3 ( 2 2x − 3)ln4 ( 2 2x − 3)ln2 Lời giải Ta có 4x 4x 2x y′ = ( = = . 2 2x − 3)ln4 ( 2 2x − 3)2ln2 ( 2 2x − 3)ln2
Câu 186: Đạo hàm của hàm số ln x y = là x 1+ ln x 1− ln x A. 1 y = 4 − . B. y′ = . C. y′ = − . D. y′ = . 2 x 3 x 2 x Lời giải
 ln x ′ (ln x)′ .x − x .′ln x − Ta có 1 ln x y′ = = =   2 2  x x x
Câu 187: Cho hàm số ( ) ln 2021 ln x f x  = + 
. Tính giá trị biểu thức S = f '( )
1 + f '(2) +...+ f '(2020)  x 1 + 
, tổng gồm 2020 số hạng. A. 2021 . B. 2020 . C. 2021 . D. 2022 . 2020 2021 2022 2021 Page 9
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Lời giải '  x  1   (x + )2 1
Ta có: f (x)  x +1 '  = = 1 1 1 = = − x x .x(x + ) 1 x x +1 x +1 x +1 Suy ra: f ( ) 1 ' 1 =1− 2 f ( ) 1 1 ' 2 = − 2 3 f ( ) 1 1 ' 3 = − 3 4 … f ( ) 1 1 ' 2020 = − 2020 2021 Vậy S = f '( )
1 + f '(2) +...+ f '(2020) 1 2020 = 1− = . 2021 2021
Câu 188: Đạo hàm của hàm số = ln x y x +1 A. 1 − . B. x . C. x +1. D. 1 . x(x + ) 1 x +1 x x(x + ) 1 Lời giải 1 '  x  (x + )2 1 1 y ' = ln = =  .  x 1 +  x x(x + ) 1 x +1
Câu 189: Cho hàm số f (x) = ln(cosx) . Giá trị của  π f  ′ −  là. 4    A. 0 . B. 1 − . C. 1. D. 2 . Lời giải ′ cosx ′ Ta có ′( ) =  ( ) ( ) −  π ln sinx f x cosx  = = = t − anx ⇒ f  ′ =    1 − . cosx cosx  4 
Câu 190: Đạo hàm của hàm số = ( 2 − 2 + 2) x y x x e là
A. ′ = (2 − 2) x y x e . B. 2 x y′ = x e .
C. ′ = ( 2 + 2) x y x e . D. ′ = 2 x y − xe . Lời giải Page 10
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM y = ( 2
x − 2x + 2) x e
⇒ y′ = (2x − 2) x e + ( 2
x − 2x + 2) x 2 x e = x e
Câu 191: Cho hàm số 2  π y  −
= ln(cosx +1+ m ). Với giá trị nào của m thì 1 y ' =   .  2  5 A. m = 2 ± .
B. m = 2 . C. 1 m = . D. m = 1 ± . 2 Lời giải Ta có 2 −sin x  π  1
y = ln(cos x +1+ m ) ⇒ y ' = ⇒ y ' − =   . 2 2 cos x +1+ m  2  1+ m − − − Mà 1 1 1 y '(0) = ⇒ = ⇒ m = 2. ± 2 5 1+ m 5
Câu 192: Cho hàm số f (x)  1 ln 1  = − a
. Biết rằng f ′(2) + f ′(3) +...+ f ′(2019) + f ′(2020) = với 2 x    b
a, b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Giá trị của 2ab bằng A. 2 . B. 4 . C. 2 − . D. 4 − . Lời giải 2 1 1
Ta có: f ′(x) = = − . x(x − )
1 (x +1) x(x − ) 1 x(x + ) 1 Khi đó
f '2 f ' 
3 ... f '2019 f '2020 1 1 1 1 1 1 1 1     ...    1.2 2.3 2.3 3.4
2018.2019 2019.2020 2019.2020 2020.2021 1 1 1010.20211    2 2020.2021 2020.2021
Nên a =1010.2021−1,b = 2020.2021⇒ 2a − b = 2 − .
Câu 193: Cho hàm số ( ) ln 2018 ln x f x  = + 
. Tính S = f '( )
1 + f '(2) + f '(3) ++ f '(2017).  x 1 +  A. 4035 S = B. 2017 S = C. 2016 S = D. S = 2017 2018 2018 2017 Lời giải
Ta có ( ) ln 2018 ln x f x  = + 1 1 1  ⇒ f ′(x) = = −  x 1 +  x(x + ) 1 x x +1 Do đó 1 1 1 1 1 1 S = − + − +...+ − 1 2017 =1− = . 1 2 2 3 2017 2018 2018 2018 Page 11
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 194: Cho hàm số ( ) 2018 = ln x f x
. Tính tổng S = f ′( )
1 + f ′(2) +...+ f ′(2018) . x +1 A. ln 2018 . B. 1. C. 2018 . D. 2018 . 2019 Lời giải ′ ′
Ta có: ( )  2018x  1  2018 ln x +1 2018 1  . x f x  . ′ = =  = . =  x 1 
2018x x 1  + +  2018x (x + )2 1 . x (x + ) 1 x +1
Vậy S = f ′( )
1 + f ′(2) +...+ f ′(2018) 1 1 1 = + + ...+ 1 1 1 1 1 1 = − + − + ...+ − 1.2 2.3 2018.2019 1 2 2 3 2018 2019 1 2018 = 1− = . 2019 2019
Câu 195: Cho hàm số ( ) ln x f x  =  . Tổng ' f ( ) ' + f ( ) ' + f ( ) ' 1 3 5 +...+ f ( ) 2021 bằng  x + 2  A. 4035. . B. 2021 . C. 2021.. D. 2022 . 2021 2022 2023 Lời giải Ta có f (x)  x  ' = ⇒  f (x) 2 1 1 ln = = −   x + 2 
x(x + 2) x x + 2 Vậy ' f ( ) ' + f ( ) ' + f ( ) ' + + f ( ) 1 1 1 1 1 1 1 3 5 ... 2021 = − + − +......+ − 1 3 3 5 2021 2023 1 2022 = 1− = . 2023 2023
Câu 196: Cho hàm số f (x) x +1 = ln . Tính giá trị của biểu thức x + 4
P = f ′(0) + f ′(3) + f ′(6) +...+ f ′(2019) . A. 1 . B. 2024 . C. 2022 . D. 2020 . 4 2023 2023 2023 Lời giải
Với x∈[0 ; +∞) ta có + x x 1
+1 > 0 và x + 4 > 0 nên f (x) = ln = ln (x + ) 1 − ln (x + 4). x + 4
Từ đó f ′(x) 1 1 = − . x +1 x + 4
Do đó P = f ′(0) + f ′(3) + f ′(6) +...+ f ′(2019)  1   1 1   1 1   1 1  1 2022 = 1− + − + − +      ...+ − =   1− =  .  4   4 7   7 10   2020 2023  2023 2023 Page 12
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM
Câu 197: Cho hàm số = ( ) = (2 − ) 1 x y f x m
e + 3. Giá trị của m để f (− ) 5 ' ln 3 = là 3 A. 7 m = . B. 2 m = .
C. m = 3 . D. 3 m = − . 9 9 2 Lời giải '( ) = (2 − ) 1 x f x m e . ⇒ f (−
) = ( m − ) −ln3 2m −1 2m −1 ' ln 3 2 1 e = = . ln3 e 3 f (− ) 5 2m −1 5 ' ln 3 = ⇔ = ⇔ m = 3 . 3 3 3 Page 13
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM NG Ơ VII ĐẠO HÀM CHƯ
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
III HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Câu 1: C ho ( ) 3
f x = x . Tính f ′′( ) 1 . A. f ′′( ) 1 = 3. B. f ′′( ) 1 = 2 . C. f ′′( ) 1 = 6 . D. f ′′( ) 1 =1.
Câu 2: Cho hàm số f (x) 3
= x + 2x , giá trị của f ′′( ) 1 bằng A. 6 . B. 8 . C. 3. D. 2 .
Câu 3: Cho hàm số f (x) =( x − )5 3
7 . Tính f ′′(2) .
A. f ′ (2)=0 .
B. f ′ (2)=20 .
C. f ′ (2)= −180.
D. f ′ (2)= 30 .
Câu 4: Cho hàm số f (x) 1 = . Tính f (− ) 1 . 2x −1 A. 8 − B. 2 . C. 8 D. 4 − . 27 9 27 27 Câu 5: − Cho hàm số x 2 y =
. Tính y′′ . x + 3 A. 5 y − ′ − = . B. 10 y′ = . C. 10 y′ = . D. 5 y′′ = . (x +3)3 (x +3)2 (x +3)3 (x +3)3
Câu 6: Đạo hàm cấp hai của hàm số 6 3
y = x − 4x + 2x + 2022 với x ∈ là A. 4
y′′ = 30x − 24x + 2 . B. 4
y′′ = 30x − 24x . C. 5 2
y′′ = 6x −12x + 2 . D. 5 2
y′′ = 6x −12x .
Câu 7: Cho hàm số y = .c
x osx . Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
A. y′′ + y = sin x + 2xcos x .
B. y′′ + y = 2sin x .
C. y′′ + y = −sin x + xcos x .
D. y′′ + y = 2 − sin x .
Câu 8: Cho hàm số y = sin 2x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. y + ( y )2 2 ' = 4 . B. '
y = y .tan 2x . C. ''
4y − y = 0 . D. '' 4y + y = 0 . Câu 9: Cho hàm số 3
y = sin x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. y′′ + 9y − sin x = 0. B. y′′ + 9y − 6sin x = 0. C. y′′+ 9y − 6cos x = 0. D. y′′ + 9y +6sin x = 0. Câu 10: Cho hàm số 5 4
y = x − 3x + x +1 với x∈ . Đạo hàm y′′ của hàm số là A. 3 2
y′′ = 5x −12x +1. B. 4 3
y′′ = 5x −12x . C. 2 3
y′′ = 20x − 36x . D. 3 2
y′′ = 20x − 36x . Page 37
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM π
Câu 11: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = 3
− cos x tại điểm x = . 0 2  π  π  π  π A. y  ′′ =     3 −  . B. y′′ =   5. C. y′′ =   0 . D. y′′ =   3.  2   2   2   2  Câu 12: Cho 2
y = 2x − x , tính giá trị biểu thức 3
A = y .y′′ . A. 1. B. 0 . C. 1 − . D. Đáp án khác.
Câu 13: Đạo hàm cấp hai của hàm số 3x +1 y = là x + 2 A. 10 y′ = B. 5 y′ = − C. 5 y′ = − D. 10 y′ = − (x + 2)2 (x + 2)4 (x + 2)3 (x + 2)3
Câu 14: Đạo hàm cấp hai của hàm số 2 y = cos x là A. y′′ = 2 − cos 2x . B. y′′ = 2 − sin 2x .
C. y′′ = 2cos 2x .
D. y′′ = 2sin 2x . Câu 15: Cho hàm số 2
y = sin x . Khi đó y′(′x) bằng A. 1
y '' = cos2x .
B. P = 2sin 2x .
C. y ' = 2cos 2x .
D. y ' = 2cos x . 2 Câu 16: Cho hàm số 1
y = − . Đạo hàm cấp hai của hàm số là x A. 2 y′′ − − = . B. 2 y′ = . C. 2 y′ = . D. 2 y′′ = . 3 x 2 x 3 x 2 x Câu 17: Cho hàm số 2
y = 1+ 3x − x . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. ( y′)2 + .yy′′ = 1 − .
B. ( y′)2 + 2 .yy′′ =1. C. y y′′ −( y′)2 . =1.
D. ( y′)2 + .yy′′ =1.
Câu 18: Cho hàm số y = sin 2x . Hãy âu đúng. A. 2
y + ( y′)2 = 4.
B. 4y − y′′ = 0.
C. 4y + y′′ = 0 .
D. y = y 'tan 2x .
Câu 19: Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu thị bởi công thức S (t) 2 3
= 4 − 2t + 4t + 2t , trong đó t > 0 và t tính bằng giây (s) , S (t) tính bằng mét (m) . Tìm
gia tốc a của chất điểm tại thời điểm t = 5(s) . A. a = ( 2
68 m / s ). B. a = ( 2
115 m / s ). C. a = ( 2
100 m / s ). D. a = ( 2
225 m / s ) . Page 38
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM NG Ơ VII ĐẠO HÀM CHƯ
BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
III HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Câu 1: Cho ( ) 3
f x = x . Tính f ′′( ) 1 . A. f ′′( ) 1 = 3. B. f ′′( ) 1 = 2 . C. f ′′( ) 1 = 6 . D. f ′′( ) 1 =1. Lời giải f (x) 3
= x ⇒ f ′(x) 2
= 3x ⇒ f ′′(x) = 3.2x = 6x f ′′( ) 1 = 6.1 = 6
Câu 2: Cho hàm số f (x) 3
= x + 2x , giá trị của f ′′( ) 1 bằng A. 6 . B. 8 . C. 3. D. 2 . Lời giải f ′(x) 2
= 3x + 2 , f ′′( x) = 6x ⇒ f ′′( ) 1 = 6 .
Câu 3: Cho hàm số f (x) =( x − )5 3
7 . Tính f ′′(2) .
A. f ′ (2)=0 .
B. f ′ (2)=20 .
C. f ′ (2)= −180.
D. f ′ (2)= 30 . Lời giải
f (x) =( x − )5 3 7
f ′(x) = ( x − )4 15 3 7 . f ′′(x) = ( x − )3 180 3 4 .
Vậy f ′ (2)= −180.
Câu 4: Cho hàm số f (x) 1 = . Tính f (− ) 1 . 2x −1 A. 8 − B. 2 . C. 8 D. 4 − . 27 9 27 27 Lời giải Tập xác định 1 D  \  =  . 2   Page 1
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM f 8 ( x) 2 − = , f ′′(x) = . (2x − )2 1 (2x − )3 1 Khi đó f (− ) 8 1 = − . 27 Câu 5: − Cho hàm số x 2 y =
. Tính y′′ . x + 3 A. 5 y − ′ − = . B. 10 y′ = . C. 10 y′ = . D. 5 y′′ = . (x +3)3 (x +3)2 (x +3)3 (x +3)3 Lời giải
TXĐ D = \{− } 3 . 5 2 − (x + 3) − Có 10 y′ = ⇒ y′′ = 5. = . (x +3)2 (x +3)4 (x +3)3
Câu 6: Đạo hàm cấp hai của hàm số 6 3
y = x − 4x + 2x + 2022 với x ∈ là A. 4
y′′ = 30x − 24x + 2 . B. 4
y′′ = 30x − 24x . C. 5 2
y′′ = 6x −12x + 2 . D. 5 2
y′′ = 6x −12x . Lời giải Ta có 5 2
y′ = 6x −12x + 2 Suy ra 4
y′′ = 30x − 24x .
Câu 7: Cho hàm số y = .c
x osx . Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
A. y′′ + y = sin x + 2xcos x .
B. y′′ + y = 2sin x .
C. y′′ + y = −sin x + xcos x .
D. y′′ + y = 2 − sin x . Lời giải
Ta có y′ = cosx − xsin x ⇒ y′′ = 2
− sin x − xcos x .
Khi đó y′′ + y = 2
− sin x − xcos x + xcos x = 2 − sin x .
Câu 8: Cho hàm số y = sin 2x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. y + ( y )2 2 ' = 4 . B. '
y = y .tan 2x . C. ''
4y − y = 0 . D. '' 4y + y = 0 . Lời giải Ta có ' ''
y = 2 cos2x ⇒ y = 4 − sin 2x ''
4y + y = 4sin 2x − 4sin 2x = 0 Câu 9: Cho hàm số 3
y = sin x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. y′′ + 9y − sin x = 0. B. y′′ + 9y − 6sin x = 0. C. y′′+9y −6cos x = 0. D. y′′ + 9y +6sin x = 0. Lời giải Ta có 3 2
y = sin x ⇒ y′ = 3sin . x cos x và 2 3 y′′ = 6sin .
x cos x − 3sin . x Page 2
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Khi đó 2 3 3 y′′ + y = x x − x + x = x( 2 2 9 6sin .cos 3sin 9sin
6sin sin x + cos x) = 6sin .x Câu 10: Cho hàm số 5 4
y = x − 3x + x +1 với x∈ . Đạo hàm y′′ của hàm số là A. 3 2
y′′ = 5x −12x +1. B. 4 3
y′′ = 5x −12x . C. 2 3
y′′ = 20x − 36x . D. 3 2
y′′ = 20x − 36x . Lời giải Ta có 5 4
y = x − 3x + x +1 4 3 3 2
⇒ y′ = 5x −12x +1⇒ y′′ = 20x − 36x . π
Câu 11: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = 3
− cos x tại điểm x = . 0 2  π  π  π  π A. y  ′′ =     3 −  . B. y′′ =   5. C. y′′ =   0 . D. y′′ =   3.  2   2   2   2  Lời giải y = 3
− cos x ⇒ y′ = 3sin ;
x y′′ = 3cos x .  π y  ′′ =   0 .  2  Câu 12: Cho 2
y = 2x − x , tính giá trị biểu thức 3
A = y .y′′ . A. 1. B. 0 . C. 1 − . D. Đáp án khác. Lời giải − − Ta có: 1 x 1 y ' = , y ' = 2x − x ( 2x−x )3 2 2 Do đó: 3
A = y .y ' = 1 − .
Câu 13: Đạo hàm cấp hai của hàm số 3x +1 y = là x + 2 A. 10 y′ = B. 5 y′ = − C. 5 y′ = − D. 10 y′ = − (x + 2)2 (x + 2)4 (x + 2)3 (x + 2)3 Lời giải Ta có 5 5 10 y = 3− ⇒ y′ = ; y′ = − x + 2 (x + 2)2 (x + 2)3
Câu 14: Đạo hàm cấp hai của hàm số 2 y = cos x là A. y′′ = 2 − cos 2x . B. y′′ = 2 − sin 2x .
C. y′′ = 2cos 2x .
D. y′′ = 2sin 2x . Lời giải y ' = 2cos .
x (−sin x) = −sin 2x ⇒ y′′ = 2 − cos 2x . 2
Câu 15: Cho hàm số y = sin x . Khi đó y '(x) bằng Page 3
Sưu tầm và biên soạn
CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM A. 1
y '' = cos2x .
B. P = 2sin 2x . 2
C. y '' = 2cos 2x .
D. y ' = 2cos x . Lời giải 2
y = sin x ⇒ y ' = 2sin .
x cosx = sin 2 x ⇒ y '' = 2cos 2x Câu 16: Cho hàm số 1
y = − . Đạo hàm cấp hai của hàm số là x A. 2 y′′ − − = . B. 2 y′ = . C. 2 y′ = . D. 2 y′′ = . 3 x 2 x 3 x 2 x Lời giải (x )'2 Ta có: 1 y' = nên 2x 2 y′′ = − = − = − . 2 x 4 4 3 x x x Câu 17: Cho hàm số 2
y = 1+ 3x − x . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. ( y′)2 + .yy′′ = 1 − .
B. ( y′)2 + 2 .yy′′ =1. C. y y′′ −( y′)2 . =1.
D. ( y′)2 + .yy′′ =1. Lời giải 2
y = 1+ 3x − x 2 2
⇒ y =1+ 3x − x ⇒ 2 .
y y′ = 3− 2x ⇒ ( y′)2 2. + 2 . y y′′ = 2
− ⇒ ( y′)2 + .yy′′ = 1 −
Câu 18: Cho hàm số y = sin 2x . Hãy âu đúng. A. 2
y + ( y′)2 = 4.
B. 4y − y′′ = 0.
C. 4y + y′′ = 0 .
D. y = y 'tan 2x . Lời giải
Tập xác định D =  .
Ta có y′ = 2cos 2x và y′′ = 4 − sin 2x .
4y + y′′ = 4sin 2x − 4sin 2x = 0.
Câu 19: Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu thị bởi công thức S (t) 2 3
= 4 − 2t + 4t + 2t , trong đó t > 0 và t tính bằng giây (s) , S (t) tính bằng mét (m) . Tìm
gia tốc a của chất điểm tại thời điểm t = 5(s) . A. a = ( 2
68 m / s ). B. a = ( 2
115 m / s ). C. a = ( 2
100 m / s ). D. a = ( 2
225 m / s ) . Lời giải
Theo ứng dụng đạo hàm của hàm số có:
v(t) = S′(t) 2 = 2
− + 8t + 6t và a(t) = v′(t) = 8 +12t ⇒ a( ) = ( 2 5 68 m / s ) . Page 4
Sưu tầm và biên soạn
Document Outline

  • TOAN-11_C7_B1.1_DAO-HAM_TULUAN_DE
    • DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
  • TOAN-11_C7_B1.1_DAO-HAM_TULUAN_HDG
    • DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
  • TOAN-11_C7_B2.1_DAO-HAM_TN_DE
  • TOAN-11_C7_B2.1_DAO-HAM_TN_HDG
  • TOAN-11_C7_B2.2_CAC-QUY-TAC-TINH-DAO-HAM_TULUAN_DE
    • Chú ý: Giới hạn của
    • a) Đạo hàm của hàm số
    • b) Đạo hàm của hàm số
    • c) Đạo hàm của hàm số
    • d) Đạo hàm của hàm số
      • DẠNG: TÍNH ĐẠO HÀM CẤP HAI
      • DẠNG: GIA TỐC
  • TOAN-11_C7_B2.2_CAC-QUY-TAC-TINH-DAO-HAM_TULUAN_HDG
    • Chú ý: Giới hạn của
    • a) Đạo hàm của hàm số
    • b) Đạo hàm của hàm số
    • c) Đạo hàm của hàm số
    • d) Đạo hàm của hàm số
      • DẠNG: TÍNH ĐẠO HÀM CẤP HAI
      • DẠNG: GIA TỐC
  • TOAN-11_C7_B2.3_CAC-QUY-TAC-TINH-DAO-HAM_TULUAN_DE
  • TOAN-11_C7_B2.3_CAC-QUY-TAC-TINH-DAO-HAM_TULUAN_HDG
  • TOAN-11_C7_B2.4_CAC-QUY-TAC-TINH-DAO-HAM_TN-P1_DE
    • DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM
    • DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
    • DẠNG 3. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
    • DẠNG 4. BÀI TOÁN QUẢNG ĐƯỜNG, VẬN TỐC
  • TOAN-11_C7_B2.4_CAC-QUY-TAC-TINH-DAO-HAM_TN-P1_HDG
    • DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM
    • DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
    • DẠNG 3. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
    • DẠNG 4. BÀI TOÁN QUẢNG ĐƯỜNG, VẬN TỐC
  • TOAN-11_C7_B2.5_CAC-QUY-TAC-TINH-DAO-HAM_TN-P2_DE
    • DẠNG 5. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ
    • DẠNG 6. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LOGARIT
  • TOAN-11_C7_B2.5_CAC-QUY-TAC-TINH-DAO-HAM_TN-P2_HDG
    • DẠNG 5. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ
    • DẠNG 6. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LOGARIT
  • TOAN-11_C7_B2.5_CAC-QUY-TAC-TINH-DAO-HAM_TN-P3_DE
  • TOAN-11_C7_B2.5_CAC-QUY-TAC-TINH-DAO-HAM_TN-P3_HDG