Chuyên đề hình cầu, diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

Tài liệu gồm 52 trang, được biên soạn bởi tác giả Toán Học Sơ Đồ, tổng hợp kiến thức trọng tâm, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng bài tập tự luận & trắc nghiệm chuyên đề hình cầu, diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu, hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập chương trình Hình học 9 chương 4 bài số 3.

63 32 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 4: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

Môn: Toán 9

Thông tin:

31 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
1.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH CẦU
A.TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hình cầu
- Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh
đường kính AB cố điịnh ta thu được một hình cầu.
- Nửa đường tròn trong phép quay nói trên tạo thành một mặt
cầu.
- Điểm O gọi là tâm, R là bán kính của hình cầu hay mặt cầu
đó.
2. Cắt hình cầu bởi một mặt phẳng
- Khi cắt hình cầu bởi m
ột mặt phẳng ta được một hình tròn.
- Khi cắt mặt cầu bán kính R bởi một mặt phẳng ta được một đường tròn, trong đó:
+ Đường tròn đó có bán kính R nếu mặt phẳng đi qua tâm (gọi là đường tròn lớn).
3. Diện tích, thể tích
Cho hình cầu bán kính R.
- Diện tích mặt cầu:
2
4.SR
- Thể tích hình cầu:
3
4
.
3
VR
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu và các đại lượng liên quan
Phương pháp giải: Áp dụng các công thức
2
4SR
và
3
4
3
VR
để tính diện tích mặt cầu, thể tích hình
cầu và các đại lượng liên quan.
1.1. Điền vào các ô trông trong bảng sau:
Bán kính hình
cầu
0,4 mm 6dm 0,2 m 100 km 6hm 50 dam
Diện tích mặt
cầu
2.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Thể tích hình
cầu
1.2. Dụng cụ thể thao các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền vào các ô trông ở
bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ sô' thập phân thứ hai):
Loại bóng
Quả
bóng
gôn
Quả khúc côn
cầu
Quả
ten-nít
Quả
bóng
bàn
Quả bia
Đường
kính
42,7mm
6,1 cm
Độ dài đường tròn
lớn
23 cm
Diện tích
1697
cm
2
Thể tích 36 nem
3
2.1. Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính bằng cm
2
) đúng bằng số đo thể tích của nó (tính bằng
cm
3
). Tính bán kính của hình cầu đó.
2.1. Một hình cầu có diện tích bề mặt là 1007
m
2
. Tính thể tích hình cầu đó.
Dạng 2. Bài tập tổng hợp
Phương pháp giải: Vận dụng các công thức trên và các kiến thức đã học để tính các đại lượng chưa biết
rồi từ đó tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu.
3.1. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại
A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N.
a) Chứng minh MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng.
b) Chứng minh AM.BN = R
2
.
c) Tính tỉ số
MON
APB
S
S
khi
.
2
R
AM
d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quan AB sinh ra.
3.2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích mặt cầu được tạo thành
khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC.
III. BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ NHÀ
3.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
4. Một hình cầu có bán kính 3cm. Một hình nón
cũng có bán kính đáy bằng 3cm và có diện tích
toàn phần bằng diện tích mặt cầu. Tính chiều cao
của hình nón.
5. Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó
(đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng
đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa:
a) Diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của
hình trụ;
b) Thể tích hình cầu và thể tích hình trụ.
6. Cho một hình câu và mộ
t hình lập phương ngoại tiếp
nó. Tính tỉ số phần trăm giữa:
a) Diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình lập
phương;
b) Thể tích hình cầu và thể tích của hình lập phương.
7. a) Tìm diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu, biết bán kính của hình cầu là 4cm.
b) Thể tích của một hình cầu là 512
cm
2
. Tính diện tích mặt cầu đó.
HƯỚNG DẪN
1.1. Ta thu được kết quả trong bảng sau:
Bán kính hình
cầu
0,4mm 6dm 0,2m
100km 6hm 50dam
Diện tích
mặt cầu
16
25
mm
2
144
dm
2
4
25
m
2
40000
km
2
144
hm
2
10000
dam
2
Thể tích
hình cầu
32
375
mm
3
288
dm
3
4
375
m
3
4000000
3
km
3
288
hm
2
500000
3
dam
3
1.2. Ta thu được kết quả trong bảng sau:
4.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Loại bóng
Quả bóng
gôn
Quả khúc
côn cầu
Quả
ten-nít
Quả bóng
bản
Quả bia
Đường kính 42,7mm 7,32cm 13cm 6cm 61cm
Độ dài
đường tròn
lớn
134,08
mm
23cm 13
6
cm 61
mm
Diện tích 5728,03
mm
2
168,33 cm
2
169
cm
2
36
cm
2
3721
cm
2
Thể tích 40764,51
mm
3
205,36
cm
3
2197
6
cm
3
36
cm
3
226981
6
mm
3
2.1. Tính được R = 3cm
2.2. Tính được
3
500
3
Vm
3.1. a), b) HS tự chứng minh.
c)
25
216
MON
APB
S
R
AM
S

d)
3
4
3
VR
3.2. Tính được S = 2a
2
4.1. Tính được
62hcm
5. a) Tính được
1
xq
S
S
b) Tính được
2
3
hc
ht
V
V
6. a) Tính được
78,5%
xq
S
S
b) Tính được
52,4%
hc
hlp
V
V
7. a) Tính được
2
64Scm
và
3
256
3
Vcm
b) Tính được
2
211,32Scm
B.NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY
• Tính diện tích
1. Mặt cắt chứa trục của một hình nón là một tam giác đều. Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình
nón bằng diện tích mặt cầu có đường kính bằng chiều cao của hình nón.
2. Cắt hình cầu tâm O bởi một mặt phẳng ta được một hình tròn tâm K, đường kính AB. Biết OK = 9cm
và diện tích hình tròn tâm K bằng 16% diện tích mặt cầu. Tính diện tích mặt cầu.
5.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
3. Người ta cắt một quả địa cầu cũ bằng một mặt phẳng theo một vĩ tuyến và
được một phần có dạng hình chảo, đường kính miệng chảo là 24cm và độ sâu
nhất của chảo là 8cm. Tính diện tích bể mặt của quả địa cầu.
• Tính thể tích
4. Một hình cầu nội tiếp một hình lập phương cạnh 12cm. Tính thể tích phần
không gian bên ngoài hình cầu và bên trong hình lập phươ
ng.
5. Một hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy của một hình nón. Biết đường
sinh của hình nón bằng 12cm và diện tích xung quanh của hình nón bằng diện
tích mặt cầu. Tính thể tích hình cầu.
6. Một hình cầu nội tiếp một hình trụ. Biết diện tích toàn phần hình trụ là 384π cm
2
. Tính thể tích hình
cầu.
7. Một chiếc thuyền thúng có dạng nửa hình cầu, có khối lượng 45kg, người chèo thuyền khối lượng
65kg. Biết đường kính của thuyền là l,2m và trên thuyền có thêm 2,4 tạ cá, hỏi nước có ngập đến mép
thuyền không?
• Tính độ dài, tính tỉ số
8. Cho hình cầu tâm O, bán kính
OA 10 3 cm
. Cắt mặt cầu bởi một mặt phẳng vuông góc với OA tại
trung điểm M của OA ta được một đường tròn. Tính độ dài của đường tròn này.
9. Một hình cầu có số đo thể tích (tính bằng m
3
) bằng số đo diện tích mặt cầu (tính bằng m
2
). Tính độ dài
của đường tròn lớn.
10. Một bình thuỷ tinh hình trụ chứa nước. Trong bình có một vật rắn hình cầu ngập hoàn toàn trong
nước. Khi người ta lấy vật rắn đó ra khỏi bình thì mực nước trong bình giảm đi 48,6mm. Biết đường kính
bên trong của đáy bình là 50mm, tính bán kính của vật hình cầu.
11. Vĩ độ của Thanh Hoá là 20° Bắc. Tính độ dài vĩ tuyến qua Thanh Hoá biết bán kính Trái Đất là
6370km.
HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ
1. Vì mặt cắt chứa trục của hình nón là một tam giác đều nên nếu gọi bán kính đáy hình nón là R thì độ
dài đường sinh là l = 2R và chiều cao
của hình nón là
2R 3
hR3
2

.
Diện tích toàn phần của hình nón là:

2
tp
SRlRR2RR3R 
.
Diện tích mặt cầu là:

2
22
Sd R3 3R 
.
Vậy diện tích toàn phần hình nón bằng diện tích mặt cầu có đường kính bằng chiều cao của hình nón.
2.
6.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Xét ∆AOB cân tại O có KA = KB nên
OK AB
.
Gọi R là bán kính hình cầu, r là bán kính hình tròn (K).
Xét ∆KOA vuông tại K ta có:
22 22
rROKR81 
.
Diện tích hình tròn (K) là:

22
1
Sr R81  .
Diện tích mặt cầu là:
2
2
S4R
.
Vì S
1
= 16%S
2
nên

22
16
.
10
R81 4
0
R
Thu gọn phương trình này ta được
2
36R 8100
. Suy ra
2
R225
.
Do đó diện tích mặt cầu là

22
S 4 R 900 cm .
3.
Mặt cắt qua tâm là hình tròn tâm O với AB là đường kính miệng chảo.
Vẽ bán kính
OC AB
tại K.
Ta có KA = KB = 24: 2 = 12 (cm).
Gọi R là bán kính quả địa cầu.
Xét ∆KOA vuông tại K ta có:

2
2222 2
22
OA OK AK R R 8 12
R R 16R 64 144 16R 208 R 13(cm)


Diện tích bề mặt quả địa cầu là:

22 2
S 4 R 4. .13 676 cm .
4.
Vì độ dài cạnh của hình lập phương là 12cm nên bán kính hình cầu nội
tiếp là 6cm.
Thể tích hình lập phương là:

33
1
V 12 1728 cm .
Thể tích của hình cầu là:

33
2
4
V .6 288 cm
3
 .
Thể tích phần không gian bên ngoài hình cầu và bên trong hình lập phương là:

3
12
V V V 1728 288 824 cm .
7.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Nhận xét: Ta có
1
2
V
288
V17286


.
Tổng quát, ta có thể chứng minh được rằng nếu một hình cầu nội tiếp
một hình lập phương thì tỉ số thể tích của chúng là
6
.
5.
Gọi bán kính hình cầu cũng như bán kính đáy hình nón là R.
Diện tích xung quanh hình nón là:
Rl 12 R
.
Diện tích mặt cầu là:
2
4R
.
Vì diện tích xung quanh hình nón bằng diện tích mặt cầu nên

2
12 R 4 R R 3 cm
.
Thể tích hình cầu là:

33 3
44
VR .336cm
33
  .
6.
Gọi bán kính hình cầu là R thì bán kính đáy hình trụ là R và chiều cao hình trụ là 2R.
Vì diện tích toàn phần hình trụ là 384π cm
2
nên ta có:

2
2 R 2R R 384 6 R 384 R 8 cm
.
Thể tích hình cầu là:

33 3
4 4 2048
VR .8 cm
33 3
 
7.
Bán kính của thuyền thúng là: 1,2: 2 = 0,6 (m) = 6 (dm).
Thể tích của thuyền là:

33 3 3
14 14
V . R . .6 144 dm 452dm
23 23

Tổng Khối lượng của thuyền, người và cá là: 45 + 65 + 240 = 350 (kg)
Khối lượng riêng của thuyền là: 350: 452 = 0,8 (kg/dm
3
)
Khối lượng riêng của nước là: 1 kg/dm
3
Vậy khối lượng riêng của thuyền nhỏ hơn khối lượng riêng của nước nên nước không ngập đến mép
thuyền.
8.
Xét ∆OBC có OB = OC và
OM BC
nên MB = MC.
Ta có:

22
22 2
MC OC OM 10 3 5 3 225
.
8.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Suy ra MC = 15(cm).
Độ dài của đường tròn (M) là: 2π.15 = 30π (cm).
9.
Gọi bán kính của hình cầu là R.
Vì số đo thế tích bằng số đo diện tích mặt cầu nên ta có:

32
4
R4R R3m
3

Độ dài của đường tròn lớn là:

C2R2.36 m  
.
10.
Gọi r là bán kính của vật hình cầu.
Thể tích của vật hình cầu là:
3
1
4
Vr
3
.
Thể tích khối nước rút xuống là:

23
2
V .50 .48,6 121500 mm .
Ta có phương trình:
33
4
r 121500 r 91125
3

Do đó

3
r 91125 45 mm .
11.
Gọi R là bán kính Trái Đất, gọi r là bán kính của vĩ tuyến
20° qua Thanh Hoá.
Ta có
HBO AOB 20
.
Xét ∆HBO vuông tại H có: r = HB = OB cos20° = Rcos20°.
Do đó độ dài của vĩ tuyến 20° là:

2 r 2 Rcos20 2 .6370.cos20 37610 km
.
C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Câu 1. Cho hình cầu có đường kính
6dcm=
. Diện tích mặt cầu là.
A.
2
36 ( )cmp
. B.
2
9( )cmp
. C.
2
12 ( )cmp
. D.
36 ( )cmp
.
Câu 2. Cho mặt cầu có thể tích
3
288 ( )Vcmp=
. Tính đường kính mặt cầu.
9.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
A.
6cm
. B.
12cm
. C.
8cm
. D.
16cm
.
Câu 3. Cho mặt cầu có thể tích
3
972 ( )Vcmp=
. Tính đường kính mặt cầu.
A.
18cm
. B.
12cm
. C.
9cm
. D.
16cm
.
Câu 4. Cho mặt cầu có số đo diện tích bằng với số đo thể tích. Tính bán kính mặt cầu.
A.
3
. B.
6
. C.
9
. D.
12
.
Câu 5. Cho mặt cầu có số đo diện tích bằng hai lần với số đo thể tích. Tính bán kính mặt cầu.
A.
3
. B.
6
. C.
9
. D.
3
2
.
Câu 6. Cho mặt cầu có bán kính
3cm
. Một hình nón cũng có bán kính đáy bằng
3cm
và có diện tích toàn
phần bằng diện tích mặt cầu. Tính chiều cao của hình nón.
A.
3
. B.
63
. C.
72
. D.
62
.
Câu 7. Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau
và bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.
A.
3
. B.
1
. C.
1
2
. D.
2
.
Câu 8. Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau
và bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình trụ.
10.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
A.
3
2
. B.
1
. C.
2
3
. D.
2
.
Câu 9. Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau
và bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa thể tích hình cầu và thể tích hình trụ.
A.
2
3
. B.
3
2
. C.
1
2
. D.
2
.
Câu 10. Cho một hình cầu nội tiếp trong hình trụ. Biết rằng chiều cao của hình trụ bằng ba lần bán kính
đáy và bán kính đáy của hình trụ bằng bán kính của hình cầu. Tính tỉ số giữa thể tích hình cầu và thể tích
hình trụ.
A.
4
3
. B.
4
9
. C.
9
4
. D.
2
.
Câu 11. Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện
tích toàn phần của hình lập phương.
A.
6
p
. B.
1
6
. C.
6
p
. D.
1
3
.
Câu 12. Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Nếu diện tích toàn phần của hình lập
phương là
2
24cm
thì diện tích mặt cầu là:
11.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
A.
4p
. B.
4
. C.
2p
. D.
2
.
Câu 13. Cho tam giác
ABC
vuông cân tại có cạnh góc vuông bằng
a
. Tính diện tích mặt cầu được tạo
thành khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
một vòng quanh cạnh
BC
.
A.
2
2 ap
. B.
2
2
ap
. C.
2
2
a
. D.
2
ap
.
Câu 14. Cho tam giác
ABC
vuông cân tại có cạnh góc vuông bằng
6cm
. Tính diện tích mặt cầu được tạo
thành khi quay quanh nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
một vòng quanh cạnh
BC
.
A.
2
72( )cm
. B.
2
18 ( )cmp
. C.
2
36 ( )cmp
. D.
2
72 ( )cmp
.
Câu 15. Cho một tam giác
ABC
đều có cạnh
8
AB cm
=
, đường cao
AH
. Khi đó thể tích hình cầu được
tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
một vòng quanh
AH
.
A.
3
54
ap
. B.
3
3
72
ap
. C.
3
3
54
ap
. D.
3
72
ap
.
Câu 16. Cho một tam giác
ABC
đều có cạnh
12AB cm=
, đường cao
AH
. Khi đó thể tích hình cầu
được tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
một vòng quanh
AH
.
A.
32 3
. B.
16 3p
. C.
83p
. D.
32 3p
.
Câu 17. Cho hình chữ nhật
ABCD
có
4; 3AB cm AD cm==
. Tính diện tích mặt cầu thu được khi quay
nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật
ABCD
quay quanh đường thẳng
MN
với
M
là trung điểm
,AD N
là trung điểm
BC
A.
25p
. B.
25
8
p
. C.
25
. D.
25
4
p
.
Câu 18. Cho hình chữ nhật
ABCD
có
8; 6AB cm AD cm==
. Tính diện tích mặt cầu thu được khi quay
nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật
ABCD
quay quanh đường thẳng
MN
với
M
là trung điểm
,AD N
là trung điểm
BC
.
A.
2
50 ( )cmp
. B.
2
100 ( )cmp
. C.
2
100( )cm
. D.
2
25 ( )cmp
.
HƯỚNG DẪN
Câu 1. Đáp án A.
12.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Vì đường kính
6dcm=
nên bán kính hình cầu
6
3
2
Rcm==
Diện tích mặt cầu
22 2
44.336()SR cmpp p
===
.
Câu 2. Đáp án B.
Ta có
33
4
288 216 6
3
VR R Rcmpp====
Từ đó đường kính mặt cầu là
22.612dR cm
===
.
Câu 3. Đáp án A.
Ta có
33
4
972 729 9
3
VR R Rcmpp====
Từ đó đường kính mặt cầu là
22.918dR cm
===
.
Câu 4. Đáp án A.
Từ giả thiết ta có
2332
4
433
3
RRRRRpp===.
Câu 5. Đáp án D.
Từ giả thiết ta có
2332
433
42.
322
RRRRRpp===
Câu 6. Đáp án D.
Gọi
l
là độ dài đường sinh của hình nón.
Vì bán kính hình cầu và bán kính đáy của hình nón bằng nhau nên từ giả thiết ta có
22222
443
33.39
R Rl R RRlR RRl
lR cm
ppp=+=+=
= = =
Sử dụng công thức liên hệ trong hình nón ta có
22 2 22
93 72 62hlR h cm=- = - = =
.
Câu 7. Đáp án B.
Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên
2hR=
với
R
là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.
Diện tích mặt cầu
2
4SRp=
, diện tích xung quanh của hình trụ
2
22.24
xq
SRhRRRpp p== =
Tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ là
2
2
4
1
4
xq
SR
S
R
p
p
==
.
Câu 8. Đáp án C.
Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên
2hR=
với
R
là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.
Diện tích mặt cầu
2
4SRp=
, diện tích xung quanh của hình trụ
2
22.24
xq
SRhRRRpp p== =
Diện tích toàn phần của hình trụ là
2222
2426
tp x q
SS R R R Rpppp=+ = + =
Tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình trụ là
2
2
42
3
6
tp
SR
S
R
p
p
==
.
13.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Câu 9. Đáp án A.
Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên
2hR=
với
R
là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.
Thể tích hình cầu
3
4
3
c
VRp= ; thể tích khối trụ
23
.2 2
t
VRR Rpp==
Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụ là
3
3
4
2
3
3
2
c
t
R
V
V
R
p
p
==
.
Câu 10. Đáp án B.
Từ đề bài suy ra chiều cao hình trụ là
3hR=
với
R
là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của
hình trụ.
Thể tích hình cầu
3
4
3
c
VRp= ; thể tích khối trụ
23
.3 3
t
VRR Rpp==
Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụ là
3
3
4
4
3
9
3
c
t
R
V
V
R
p
p
==
Câu 11. Đáp án C.
Vì hình cầu nội tiếp hình lập phương nên bán kính hình cầu
2
a
R = với
a
là cạnh hình lập phương.
Khi đó ta có diện tích mặt cầu
2
22
44.
2
a
SR app p
æö
÷
ç
÷
== =
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Diện tích toàn phần của hình lập phương
2
6
tp
Sa=
Tỉ số giữa diện tích mặt cậu và diện tích toàn phần của hình lập phương là
2
2
6
6
tp
Sa
S
a
pp
==.
Câu 12. Đáp án A.
Vì hình cầu nội tiếp hình lập phương nên bán kính hình cầu
2
a
R = với
a
là cạnh hình lập phương.
Diện tích toàn phần của hình lập phương
2
624 2
tp
Sa acm===
Suy ra
2
1
2
Rcm==
Câu 13. Đáp án A.
Vì tam giác
ABC
vuông tại
A
nên có đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đường kính
BC
.
14.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là
2
BC
R =
Theo định lý Pytago ta có
2222
2
22
2
a
BC AB AC a BC a R=+===
Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
một vòng quanh cạnh
BC
ta được hình cầu có bán
kính
2
2
a
R = nên diện tích mặt cầu là
2
22
2
44 2
2
a
SR app p
æö
÷
ç
÷
ç
== =
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
.
Câu 14. Đáp án A.
Vì tam giác
ABC
vuông tại
A
nên có đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đường kính
BC
.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là
2
BC
R =
Theo định lý Pytago ta có
2222
62
2.6 6 2 3 2
2
BC AB AC BC R=+====
Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
một vòng quanh cạnh
BC
ta được hình cầu có bán
kính
32R =
nên diện tích mặt cầu là
()
2
22
443272()SR cmpp p== =
.
Câu 15. Đáp án C.
Vì
ABC
D
là tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm
O
của tam giác.
Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp là
3
AH
ROH==
Xét tam giác vuông
2
2
2222
33
24 2
aa a
AH AB BH a AH
æö
÷
ç
÷
=-=-==
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Suy ra
3
6
a
R =
15.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
một vòng quanh
AH
ta được hình cầu bán
kính
3
6
a
R =
3
3
3
4433
.
336 54
aa
VR
p
pp
æö
÷
ç
÷
ç
= = =
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
.
Câu 16. Đáp án D.
Vì
ABCD
là tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm
O
của tam giác.
Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp là
3
AH
ROH==
Xét tam giác vuông
2
2222
12
12 108 6 3
2
AH AB BH AH
æö
÷
ç
÷
=-=- ==
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Suy ra 23
3
AH
R ==
Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
một vòng quanh
AH
ta được hình cầu bán
kính
()
3
33
44
23 .23 32 3( )
33
RVR cmpp p== = = .
Câu 17. Đáp án A.
Gọi
O
là tâm của hình chữ nhật nên
OA OB OC OD
===
nên
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp hình
chữ nhật
ABCD
. Khi đó bán kính đường tròn là
2
AC
ROA==
Theo định lý Pytago ta có
22222
3425 5AC AD DC AC= + =+= =
(vì
4AB DC cm
==
)
5
2
R=
16.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật
ABCD
quay quanh đường thẳng
MN
với
M
là
trung điểm
AD
,
N
là trung điểm
BC
ta được một hình cầu tâm
O
bán kính
5
2
R =
Diện tích mặt cầu là
2
2
5
44. 25()
2
SR cmpp p
æö
÷
ç
÷
== =
ç
÷
ç
÷
ç
èø
.
Câu 18. Đáp án B.
Gọi
O
là tâm của hình chữ nhật nên
OA OB OC OD===
nên
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp hình
chữ nhật
ABCD
. Khi đó bán kính đường tròn là
2
AC
ROA==
Theo định lý Pytago ta có
22222
6 8 100 10AC AD DC AC=+=+==
(vì
8AB DC cm
==
)
5Rcm=
Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật
ABCD
quay quanh đường thẳng
MN
với
M
là
trung điểm
AD
,
N
là trung điểm
BC
ta được một hình cầu tâm
O
bán kính
5Rcm=
Diện tích mặt cầu là
22 2
4 4. 5 100 ( )SR cmpp p===
.
D.TỰ LUYỆN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
PHIẾU SỐ 1
Bài 1. Điền vào các ô trống trong bảng sau
Bán kính
hình cầu
0,4
mm
6
dm
0,2
m
100
km
6
hm
50
dam
Diện tích
mặt cầu
Thể tích
hình cầu
Bài 2. Dụng cụ thể thao các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền vào các ô trống ở
bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Loại bóng
Quả bóng
gôn
Quả khúc
côn cầu
Quả ten
nít
Quả bóng
bàn
Quả bia
Đường kính
42,7
mm
6,5
cm
40
mm
61
mm
17.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
d (m)
2d (m)
Độ dài đường
tròn lớn
23
cm
Diện tích
Thể tích
Bài 3. Một hình cầu có diện tích mặt cầu là
2
100 cmp
.
Tính thể tích hình cầu.
Bài 4. Một hình cầu có thể tích là
3
228 ( )dmp
. Tính diện tích mặt cầu.
Bài 5. Hai hình cầu có bán kính tương ứng là
a
và
3a
(cm). Tính tỉ số các thể tích của hai hình
cầu này.
Bài 6. Một hình cầu đường kính
d
(m) được đặt
trong một hình trụ có chiều cao
2d
(m).
Tính tỉ số của
cau
tru
V
V
.
Bài 7. Hai hình cầu có hiệu các bán kính bằng 3cm và hiệu các thể tích bằng
1332
3
cm
. Tính hiệu các
diện tích của hai mặt cầu.
Bài 8. Một hình cầu nội tiếp một hình nón bán kính đáy bằng
6cm
và đường sinh bằng
10cm
. Chứng
minh rằng diện tích đáy hình nón bằng diện tích mặt cầu.
Bài 9. Cho tam giác
ABC
cân tại
A
nội tiếp đường tròn đường kính
AD
. Gọi
H
là giao điểm của
AD
và
BC
. Quay hình vẽ một vòng quanh đường kính
AD
cố định ta được hai hình nón nội tiếp một hình cầu.
Biết
24
AH cm
;
6
DH cm
, hãy tính:
a) Thể tích của hình cầu được tạo thành;
b) Thể tích hình nón đỉnh
A
đáy là hình tròn đường kính
BC
.
Bài 10. Cho một hình cầu nội tiếp một hình trụ. Chứng minh rằng:
a) Thể tích hình cầu bằng
2
3
thể tích hình trụ;
b) Diện tích mặt cầu bằng
2
3
diện tích toàn phần hình trụ.
Bài 11. Cho đoạn thẳng
24
AB cm
. Lấy điểm
C
nằm giữa
A
và
B
. Vẽ về cùng một phía của
AB
ba nửa đường tròn đường kính
,
AB AC
và
BC
. Quay toàn bộ hình vẽ một vòng quanh đường kính
AB
cố
định ta được ba hình cầu. Tìm thể tích lớn nhất của phần không gian được giới hạn bởi ba hình cầu.
18.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 12. Một chiếc thuyền thúng có dạng nửa hình cầu, có khối lượng 45
kg
, người chèo thuyền khối lượng
65kg. Biết đường kính của thuyền là 1,2
m
và trên thuyền có thêm 2,4 tạ cá, hỏi nước có ngập đến mép
thuyền không? Biết khối lượng riêng của nước là 1 kg/dm
3
.
HƯỚNG DẪN
Bài 1.
Bán kính hình
cầu
0,4
mm
6
dm
0,2
m
100
km
6
hm
50
dam
Diện tích mặt
cầu
16
25
2
mm
144
2
dm
4
25
2
m
40000
2
km
144
2
hm
10000
2
dam
Thể tích hình
cầu
32
375
3
mm
288
3
mm
4
375
3
m
4000000
3
3
km
288
3
hm
500000
3
3
dam
Bài 2
Loại bóng
Quả bóng
gôn
Quả khúc
côn cầu
Quả ten
nít
Quả bóng
bàn
Quả bia
Đường kính
42,7
mm
7,32
cm
6,5 cm
40
mm
61
mm
Độ dài đường
tròn lớn
67,07
mm
23
cm
10,21 cm
62,83
mm
95,82
mm
Diện tích
5728,03
2
mm
168,33
2
cm
132,73
cm
2
5026,55
2
mm
11689,87
2
mm
Thể tích
40764,51
3
mm
205,36
3
cm
143,79
cm
3
33510,32
3
mm
118846,97
3
mm
Bài 3.
2
4SRp=
2
4 100Rpp=
2
25 5( )RRcm==
Thể tích hình cầu:
33
4 500
()
33
VR cm
p
p==
.
Bài 4.
3
4
3
VRp=
19.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
3
4
228
3
Rpp=
3
216R =
3
216R =
6( )Rcm=
Diện tích mặt cầu là
22 2
4 4 6 144 ( )SR cmpp p===
.
Bài 5.
Thể tích
12
,VV
của hai hình cầu là
333
12
44
,(3)36
33
VaV a appp===
Do đó:
3
1
3
2
4
1
3
27
36
a
V
V
a
p
p
==
Nhận xét: Nếu
1
2
R
k
R
=
thì
3
1
2
V
k
V
=
.
Bài 6.
Thể tích hình cầu là:
333
41
()
36
cau
VRdmpp==
Thể tích hình trụ là:
2
233
1
.2 ( )
22
tru
d
Vrh ddmpp p
æö
÷
ç
÷
== =
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Do đó:
1
3
cau
tru
V
V
=
.
Bài 7.
Gọi bán kính của hình cầu lớn là
R
và bán kính của hình cầu nhỏ là
r
.
Ta có
–3Rr
hay
3.Rr
Thể tích hình cầu lớn là:
3
1
4
VR
3
Thể tích hình cầu nhỏ là:
3
2
4
Vr
3
Vì
12
– 1332VV
(
3
cm
) nên

33 33
4
1332 999
3
Rr Rr


Do đó

3
32
3 – 999 3 – 108 0.rr rr
Giải ra được
1
–12r
(loại);
2
9r
(chọn).
20.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Vậy bán kính hình cầu nhỏ là 9cm. Bán kính hình cầu lớn là 12cm.
Diện tích mặt cầu lớn là:
22
1
4 4. .12 576SR


(
2
cm
).
Diện tích mặt cầu nhỏ là:
22
2
4 4. .9 324Sr


(
2
cm
).
Hiệu các diện tích của hai mặt cầu là:
12
– 576 – 324 252SSS


(
2
cm
).
Bài 8.
Vì hình cầu nội tiếp hình nón nên
,.
OH BC OD AB

Ta có
22 22
10 6 8(cm)AH AB BH
Gọi bán kính đáy hình nón là
R
bán kính hình cầu là
r
.
Ta có
6; .
BH BD R cm OH OD r

10 6 4 .
AD AB BD cm


.AOD ABH g g∽
OD AD
BH AH

.
Do đó
4
3(cm)
68
r
r

Diện tích đáy hình nón là:
22
1
.6 36SR


(
2
cm
).
Diện tích mặt cầu là:
22
2
4 4. .3 36Sr


(
2
cm
).
Vậy diện tích đáy hình nón bằng diện tích mặt cầu.
Bài 9.
a) Tam giác
ABC
cân tại
A
,
AD
là đường kính nên
AD BC
.
Ta có
90ABD
(vì
AD
là đường kính).
Xét
ABD
vuông tại
B
ta có:
2
. 24.6 144
BH HA HD
. Suy ra

13BH cm
.
Bán kính của đường tròn ngoại tiếp
ABC
là

24 6 : 2 15 .Rcm
Thể tích của hình cầu tạo thành là:

33 3
1
44
V R 15 4500 cm
33


b) Thể tích của hình nón đỉnh
A
là:

22 3
2
11
V r h 12 .24 1152 cm
33


.
Bài 10.
r4
r3(cm).
68

C
A
B
H
D
E
O
A
B
C
O
H
D
21.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Gọi bán kính hình cầu là
R
thì bán kính đáy hình trụ là
R
và chiều cao của hình trụ là 2
R
.
a) Thể tích hình cầu là:
3
1
4
VR
3
Thể tích hình trụ là:
23
2
2.VRh R


Ta có
3
1
3
2
4
2
3
23
R
V
VR
.
b) Diện tích mặt cầu là:
2
1
4SR
.
Diện tích hình trụ là:

3
2
2226.SRhRRRRR


Ta có
2
1
2
2
42
63
S
R
SR
.
Bài 11.
Đặt
2AC x
thì
24 2 .BC x
Bán kính của nửa đường tròn đường kính
AB
là
12
cm
.
Bán kính của nửa đường tròn đường kính
AC
là
x
.
Bán kính của nửa đường tròn đường kính
BC
là
12 x
.
Thể tích của ba hình cầu đường kính
,
AB AC
và
BC
lần lượt là:
3
4
12
3
;
3
4
3
x
và
3
4
(12 )
3
x
Thể tích phần không gian giới hạn bởi ba hình cầu là:

33
3232
4
V 2304 x (12 x)
3
4
2304 x 1728 432x 36x x 2304 48 x 12x 48
3





 
V
max

2
– 12 48xx
min

2
– 6 12x
min x = 6.
Khi đó max
1728V
cm
3
khi AC = 12cm hay khi
C
là trung điểm của
AB
.
Bài 12.
Bán kính của thuyền thúng là: 1,2 : 2 = 0,6 (m) = 6 (
dm
).
Thể tích của thuyền là:
33
14 14
VR 6144
23 23

 
(
3
dm
) 425
3
dm
.
Tổng khối lượng của thuyền, người và cá là : 45 + 65 + 240 = 350 (
kg
)
22.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Khối lượng riêng của thuyền là : 350 : 452 = 0,8 (
3
/kg dm
)
Khối lượng riêng của nước là : 1
3
/kg dm
Vậy khối lượng riêng của thuyền nhỏ hơn khối lượng riêng của nước nên nước không ngập đến mép
thuyền.
Nhận xét: Học sinh cần ghi nhớ công thức
m
d
V
(
d
là khối lượng riêng,
m
khối lượng,
V
là thể tích).
PHIẾU SỐ 2
Dạng 1: Tính Diện tích, thể tích hoặc bán kính hình cầu
Bài 1: Cho thể tích của môt hình cầu là
3
1
113
7
cm
. Khi đó hãy tính bán kính của hình cầu (cho số
22
7
)
Bài 2: Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau:
Bán kính hình cầu
0,3
mm
6,21
dm
0,283
m
100
km
6
hm
50
dam
Thể tích hình cầu
Diện tích mặt cầu
Bài 3: Một hình cầu có thể tích là
3
3052,08 .cm Tính diện tích mặt cầu đó.
Bài 4: Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (Tính bằng
2
cm
) đúng bằng số đo thể tích của nó. Tính
bán kính của hình cầu đó.
Bài 5: Một hình cầu có diện tích bề mặt là
2
100 .m
Tính thể tích của hình cầu đó.
Bài 6: Một hình nón có đường sinh bằng đường kính. Một hình cầu có đường kính bằng chiều cao của
hình nón đó. Chứng minh diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích mặt cầu.
Dạng 2: Tính diện tích, thể tích của những hình hỗn hợp bao gồm nhiều hình
Bài 7: Cho hình vẽ có bán kính đường tròn đáy là
R
,
chiều cao
2R
. Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu
như hình vẽ bên. Hãy tính diện tích bề mặt
của khối gỗ còn lại.
23.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 8: Một cái bồn chứa xăng gồm hai
nửa hình cầu và một hình trụ. Hãy tính
diện tích của bồn chứa theo các kích
thức cho ở hình vẽ.
Bài 9: Một cốc nước có dạng hình trụ có đường kính đáy bằng
6cm
, chiều cao
12cm
và chứa một lượng
nước cao
10cm
. Người ta thả từ từ 3 viên bi làm bằng thép đặc (không thấm nước) có đường kính bằng
2cm
vào cốc nước. Hỏi mực nước trong cốc lúc này cao bao nhiêu?
Bài 10:
Cho hình chữ nhật
MNDC
nội tiếp trong nửa đường tròn tâm
O
,
đường kính
AB
(
,MN
thuộc đoạn thẳng
AB
và
,CD
ở trên nửa
đường tròn). Khi cho nửa hình tròn đường kính
AB
và hình chữ
nhật
MNDC
quay một vòng quanh đường kính
AB
cố định, ta được
một hình trụ đặt khít vào trong hình cầu đường kính
AB
. Biết hình
cầu có tâm
O
, bán kính
10Rcm
và hình trụ có bán kính đáy
r
R
M
N
B
D
O
C
A
24.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
8rcm
đặt khít vào trong hình cầu đó. Tính thể tích phần hình cầu nằm ngoài hình trụ đã cho. (Trích đề
thi vào 10 tỉnh Thừa Thiên Huế)
Bài 11:
Người ta gắn một hình nón có bán kính đáy
8Rcm
, độ dài đường cao
20hcm
vào một nửa hình cầu có bán kính bằng bán kính hình nón (theo
hình bên dưới). Tính giá trị gần đúng thể tích của hình tạo thành (kết quả
làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Tính Diện tích, thể tích hoặc bán kính hình cầu
Bài 1: Cho thể tích của môt hình cầu là
3
1
113
7
cm
.Khi đó hãy tính bán kính của hình cầu (cho số
22
7
Giải:
Áp dụng công thức tính thể tích hình cầu ta có:
3
3
43
3
34

V
VRR cm
Bài 2: Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau:
Bán kính hình cầu
0,3mm
6,21dm
0,283m
100km
6 hm
50dam
Thể tích hình cầu
Diện tích mặt cầu
Giải:
Áp dụng các công thức:
+ Diện tích hình cầu:
2
4SR
+ Thể tích hình cầu:
3
4
3
VR
Thay Bán kính trong từng trường hợp để điền vào ô trống
Bán kính hình
cầu
0,3mm
6,21dm
0,283m
100km
6 hm
50dam
8 cm
20 cm
A
O
B
S
25.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Thể tích hình
cầu
2
0,36 mm
2
154,26 dm
2
0,32 m
2
40000 km
2
144 hm
2
10000 dam
Diện tích mặt
cầu
3
0,036 mm
3
319,31 dm
3
0,03 m
3
1333333 km
3
288 hm
3
166667dam
Bài 3: Một hình cầu có thể tích là
3
3052,08 .cm Tính diện tích mặt cầu đó.
Giải:
Áp dụng công thức tính thể tích hình cầu:

3
3
3
4 3 3.3052,08
9
3 4 4.3,14

V
VRR cm
Vậy diện tích mặt cầu đó là:

22 2
4 4 .9 324SR cm

Bài 4: Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính bằng
2
cm
) đúng bằng số đo thể tích của nó (tính
bằng
3
cm
). Tính bán kính của hình cầu đó.
Giải:
Vì số đo diện tích mặt cầu đúng bằng số đo thể tích hình cầu nên:

23
41
413
33
RR RRcm

Bài 5: Một hình cầu có diện tích bề mặt là
2
100 .m
Tính thể tích của hình cầu đó.
Giải:
Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu:
2
44.1
4
100 5

SRR m
S

Từ đó thể tích hình cầu là:

3
33
4414
.
3 3 5 375




VR m

26.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 6: Một hình nón có đường sinh bằng đường kính. Một hình cầu có đường kính bằng chiều cao của
hình nón đó. Chứng minh diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích mặt cầu.
Giải:
Diện tích toàn phần của hình nón :
222
.2 3 rl r r r r r


1
Diện tích mặt cầu :

2
22
2222
44 4. 4 3
24




hlr
Rrrr


2
Từ

1
và

2
suy ra diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích mặt cầu.
27.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Dạng 2: Tính diện tích, thể tích của những hình hỗn hợp bao gồm nhiều hình
Bài 7: Cho hình vẽ có bán kính đường tròn đáy là
R
,
chiều cao
2R
. Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu
như hình vẽ bên. Hãy tính diện tích bề mặt
của khối gỗ còn lại.
Giải:
Diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại bao gồm:
-
Diện tích ngoài là diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy
R
và chiều cao
2hR
có diện
tích
1
2.2SRR
.
-
Diện tích trong là diện tích hai nửa mặt cầu bán kính
R
. Vây diện tích cần tìm là:

222
224 8

SRRR Rcm

Bài 8: Một cái bồn chứa xăng gồm hai
nửa hình cầu và một hình trụ. Hãy tính
diện tích của bồn chứa theo các kích
thức cho ở hình vẽ.
Giải:
Thể tích của bồn chứa xăng gồm thể tích của hai nửa hình cầu có bán kính
0,9m
nên có thể tích
3
1
4
V.0.9
3
và thể tích của một hình trụ có bán kính đáy
0,9Rm
và chiều cao
3, 62hm
nên có thể
tích
2
2
V(0,9)3,62
.
Vậy thể tích của bồn chứa là:
23
12
4
.0.9 3,62 .0.9 12.26
3
 VVV

(cm
3
)
Bài 9: Một cốc nước có dạng hình trụ có đường kính đáy bằng
6cm
, chiều cao
12cm
và chứa một lượng
nước cao
10cm
. Người ta thả từ từ 3 viên bi làm bằng thép đặc (không thấm nước) có đường kính bằng
2cm
vào cốc nước. Hỏi mực nước trong cốc lúc này cao bao nhiêu?
28.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Giải:
Bán kính của viên bi là:
2
1
22

d
Rcm
Thể tích của một viên bi là:

33 3
1
444
.1
333

VR cm

Do ba viên bi có cùng đường kính nên tổng thể tích của 3 viên bi là:

3
1
4
3. 3. 4
3

VV cm

Diện tích của đáy cốc nước (hình tròn r = 3cm):

22 2
..39Sr cm

Chiều cao của phần cốc mà không chứa nước:
12 10 2hcm
Thể tích phần cốc không chứa nước (cốc hình trụ, diện tích phần đáy cũng là diện tích phần mặt phân cách
giữa phần có nước và phần không có nước)

3
'.9.218 VSh cm

Do: V’ > V nên khi thả 3 viên bi vào li nước thì nước không bị tràn ra ngoài.
Gọi x là chiều cao mực nước dâng lên sau khi thả 3 viên bi vào cốc, thể tích của 3 viên bi cũng là thể tích
phần nước dâng lên nên ta có phương trình:
4
.9.4
9

VSx x x cm

Vậy: Chiều cao của mực nước trong ống sau khi thả 3 viên bi là:
494
10
99

cm
29.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 10:
Cho hình chữ nhật
MNDC
nội tiếp trong nửa đường tròn tâm
O
,
đường kính
AB
(
,MN
thuộc đoạn thẳng
AB
và
,CD
ở trên nửa
đường tròn). Khi cho nửa hình tròn đường kính
AB
và hình chữ
nhật
MNDC
quay một vòng quanh đường kính
AB
cố định, ta được
một hình trụ đặt khít vào trong hình cầu đường kính
AB
. Biết hình
cầu có tâm
O
, bán kính
10Rcm
và hình trụ có bán kính đáy
8rcm
đặt khít vào trong hình cầu đó. Tính thể tích phần hình cầu
nằm ngoài hình trụ đã cho. ( Trích đề thi vào 10 tỉnh Thừa Thiên
Huế)
Giải:
Từ
O
ta vẽ
OI
vuông góc với dây
CD
tại
I
I
là trung điểm của dây
CD
(tính chất đường kính vuông góc với dây)
// //OI MC ND
(quan hệ vuông góc, song song) . Do đó
OI
là đường trung bình của hình chữ nhật
MNDC
O
là trung điểm của
MN
Khi cho nửa hình tròn đường kính
AB
và hình chữ nhật
MNDC
quay một vòng quanh đường kính
AB
ta
được một hình trụ đặt khít trong hình cầu.
Bán kính của hình cầu là:
10
2

AB
ROCcm
.
Hình trụ có bán kính đáy:
8rMC cm
và chiều cao
2hOM
Xét tam giác vuông
OMC
, vuông tại
M
, áp dụng định
lý pitago, ta có:
22222
10 8 100 64 36 6  OM OC MC OM cm
22.612  hOM cm
Thể tích hình cầu là:

33 3
1
4 4 4000
..10
33 3

VR cm

r
R
I
M
N
I
1
B
D
O
C
A
r
R
M
N
B
D
O
C
A
30.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Thể tích hình trụ đặt khít trong hình cầu là:

22 3
2
. . .8 .12 768 
Vrh cm

Vậy thể tích phần hình cầu ở ngoài hình trụ đặt vừa khít nó là:

3
12
4000 1696
768 1776,047
33

VVV cm

Bài 11:
Người ta gắn một hình nón có bán kính đáy
8Rcm
, độ dài đường cao
20hcm
vào một nửa hình cầu có bán kính bằng bán kính hình nón (theo
hình bên dưới). Tính giá trị gần đúng thể tích của hình tạo thành (kết quả làm
tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Giải:
Thể tích của một nửa hình cầu là:

33 3
1
1 4 2 1024
..8
23 3 3

VR cm

Thể tích của hình nón là:

22 3
2
11 1 1280
. . .8 .20
33 3 3

VSh Rh cm

Thể tích của hình tạo thành là:

3
12
1024 1280
768 2413
33

VVV cm

.
-------------------- HẾT --------------------
8 cm
20 cm
A
O
B
S
31.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
| 1/31
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH CẦU
A.TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Hình cầu
- Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh
đường kính AB cố điịnh ta thu được một hình cầu.
- Nửa đường tròn trong phép quay nói trên tạo thành một mặt cầu.
- Điểm O gọi là tâm, R là bán kính của hình cầu hay mặt cầu đó.
2. Cắt hình cầu bởi một mặt phẳng
- Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng ta được một hình tròn.
- Khi cắt mặt cầu bán kính R bởi một mặt phẳng ta được một đường tròn, trong đó:
+ Đường tròn đó có bán kính R nếu mặt phẳng đi qua tâm (gọi là đường tròn lớn).
3. Diện tích, thể tích
Cho hình cầu bán kính R.
- Diện tích mặt cầu: 2
S  4 R . 4
- Thể tích hình cầu: 3
V   R . 3
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu và các đại lượng liên quan 4
Phương pháp giải: Áp dụng các công thức 2
S  4 R và 3
V   R để tính diện tích mặt cầu, thể tích hình 3
cầu và các đại lượng liên quan.
1.1. Điền vào các ô trông trong bảng sau: Bán kính hình 0,4 mm 6dm 0,2 m 100 km 6hm 50 dam cầu Diện tích mặt cầu
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Thể tích hình cầu
1.2. Dụng cụ thể thao các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền vào các ô trông ở
bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ sô' thập phân thứ hai): Quả Quả Quả Loại bóng bóng bóng Quả bia Quả khúc côn ten-nít gôn cầu bàn Đường 42,7mm 6,1 cm kính Độ dài đường tròn 23 cm lớn Diện tích 1697 cm2 Thể tích 36 nem3
2.1. Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính bằng cm2) đúng bằng số đo thể tích của nó (tính bằng
cm3). Tính bán kính của hình cầu đó.
2.1. Một hình cầu có diện tích bề mặt là 1007 m2. Tính thể tích hình cầu đó.
Dạng 2. Bài tập tổng hợp
Phương pháp giải: Vận dụng các công thức trên và các kiến thức đã học để tính các đại lượng chưa biết
rồi từ đó tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu.
3.1. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại
A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N.
a) Chứng minh MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng. b) Chứng minh AM.BN = R2. S R
c) Tính tỉ số MON khi AM  . S 2 APB
d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quan AB sinh ra.
3.2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích mặt cầu được tạo thành
khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC.
III. BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ NHÀ
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
4. Một hình cầu có bán kính 3cm. Một hình nón
cũng có bán kính đáy bằng 3cm và có diện tích
toàn phần bằng diện tích mặt cầu. Tính chiều cao của hình nón.
5. Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó
(đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng
đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa:
a) Diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ;
b) Thể tích hình cầu và thể tích hình trụ.
6. Cho một hình câu và một hình lập phương ngoại tiếp
nó. Tính tỉ số phần trăm giữa:
a) Diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình lập phương;
b) Thể tích hình cầu và thể tích của hình lập phương.
7. a) Tìm diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu, biết bán kính của hình cầu là 4cm.
b) Thể tích của một hình cầu là 512 cm2. Tính diện tích mặt cầu đó. HƯỚNG DẪN
1.1. Ta thu được kết quả trong bảng sau:
Bán kính hình 0,4mm 6dm 0,2m 100km 6hm 50dam cầu Diện tích 16  144 4 40000 144 10000  mặt cầu 25 25 dm2 km2 hm2 dam2 mm2 m2 Thể tích 32 288 4 4000000 288 500000    hình cầu 375 375 3 3 dm3 hm2 mm3 m3 km3 dam3
1.2. Ta thu được kết quả trong bảng sau:
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Quả bóng Quả khúc Quả Quả bóng Loại bóng gôn côn cầu Quả bia ten-nít bản Đường kính 42,7mm 7,32cm 13cm 6cm 61cm Độ dài 134,08 23cm 13 6 cm 61 mm đường tròn mm lớn Diện tích 5728,03 168,33 cm2 169 36 cm2 3721 mm2 cm2 cm2 Thể tích 40764,51 205,36 2197  36 cm3 226981 6 6 mm3 cm3 cm3 mm3
2.1. Tính được R = 3cm 500 2.2. Tính được 3 V   m 3
3.1. a), b) HS tự chứng minh. R S 25 4 c) MON AM    d) 3 V   R 2 S 16 3 APB
3.2. Tính được S = 2a2
4.1. Tính được h  6 2cm S V 2 5. a) Tính được 1
b) Tính được hc S V 3 xq ht S V 6. a) Tính được
 78,5% b) Tính được hc  52,4% S V xq hlp 256 7. a) Tính được 2
S  64 cm và 3 V cm 3 b) Tính được 2
S  211,32 cm
B.NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY • Tính diện tích
1. Mặt cắt chứa trục của một hình nón là một tam giác đều. Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình
nón bằng diện tích mặt cầu có đường kính bằng chiều cao của hình nón.
2. Cắt hình cầu tâm O bởi một mặt phẳng ta được một hình tròn tâm K, đường kính AB. Biết OK = 9cm
và diện tích hình tròn tâm K bằng 16% diện tích mặt cầu. Tính diện tích mặt cầu.
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
3. Người ta cắt một quả địa cầu cũ bằng một mặt phẳng theo một vĩ tuyến và
được một phần có dạng hình chảo, đường kính miệng chảo là 24cm và độ sâu
nhất của chảo là 8cm. Tính diện tích bể mặt của quả địa cầu. • Tính thể tích
4. Một hình cầu nội tiếp một hình lập phương cạnh 12cm. Tính thể tích phần
không gian bên ngoài hình cầu và bên trong hình lập phương.
5. Một hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy của một hình nón. Biết đường
sinh của hình nón bằng 12cm và diện tích xung quanh của hình nón bằng diện
tích mặt cầu. Tính thể tích hình cầu.
6. Một hình cầu nội tiếp một hình trụ. Biết diện tích toàn phần hình trụ là 384π cm2. Tính thể tích hình cầu.
7. Một chiếc thuyền thúng có dạng nửa hình cầu, có khối lượng 45kg, người chèo thuyền khối lượng
65kg. Biết đường kính của thuyền là l,2m và trên thuyền có thêm 2,4 tạ cá, hỏi nước có ngập đến mép thuyền không?
• Tính độ dài, tính tỉ số
8. Cho hình cầu tâm O, bán kính OA  10 3 cm . Cắt mặt cầu bởi một mặt phẳng vuông góc với OA tại
trung điểm M của OA ta được một đường tròn. Tính độ dài của đường tròn này.
9. Một hình cầu có số đo thể tích (tính bằng m3) bằng số đo diện tích mặt cầu (tính bằng m2). Tính độ dài của đường tròn lớn.
10. Một bình thuỷ tinh hình trụ chứa nước. Trong bình có một vật rắn hình cầu ngập hoàn toàn trong
nước. Khi người ta lấy vật rắn đó ra khỏi bình thì mực nước trong bình giảm đi 48,6mm. Biết đường kính
bên trong của đáy bình là 50mm, tính bán kính của vật hình cầu.
11. Vĩ độ của Thanh Hoá là 20° Bắc. Tính độ dài vĩ tuyến qua Thanh Hoá biết bán kính Trái Đất là 6370km.
HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ
1. Vì mặt cắt chứa trục của hình nón là một tam giác đều nên nếu gọi bán kính đáy hình nón là R thì độ
dài đường sinh là l = 2R và chiều cao 2R 3 của hình nón là h   R 3 . 2
Diện tích toàn phần của hình nón là: S  R  l  R  R  2R  R 2  3 R  . tp
Diện tích mặt cầu là:     2 2 2 S d R 3  3 R  .
Vậy diện tích toàn phần hình nón bằng diện tích mặt cầu có đường kính bằng chiều cao của hình nón. 2.
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Xét ∆AOB cân tại O có KA = KB nên OK  AB .
Gọi R là bán kính hình cầu, r là bán kính hình tròn (K).
Xét ∆KOA vuông tại K ta có: 2 2 2 2 r  R  OK  R  81.
Diện tích hình tròn (K) là: 2 S  r    2 R  81 . 1  Diện tích mặt cầu là: 2 S  4 R  . 2 16 Vì S 2 2
1 = 16%S2 nên  R  8  1  .4 R  100
Thu gọn phương trình này ta được 2 36R  8100 . Suy ra 2 R  225.
Do đó diện tích mặt cầu là 2      2 S 4 R 900 cm  . 3.
Mặt cắt qua tâm là hình tròn tâm O với AB là đường kính miệng chảo.
Vẽ bán kính OC  AB tại K.
Ta có KA = KB = 24: 2 = 12 (cm).
Gọi R là bán kính quả địa cầu.
Xét ∆KOA vuông tại K ta có:
OA  OK  AK  R  R 82 2 2 2 2 2 12 2 2
 R  R 16R  64 144  16R  208  R  13(cm)
Diện tích bề mặt quả địa cầu là: 2 2        2 S 4 R 4. .13 676 cm  . 4.
Vì độ dài cạnh của hình lập phương là 12cm nên bán kính hình cầu nội tiếp là 6cm.
Thể tích hình lập phương là: 3 V  12  17  3 28 cm . 1 
Thể tích của hình cầu là: 4 3 V  .  6  288  3 cm . 2  3
Thể tích phần không gian bên ngoài hình cầu và bên trong hình lập phương là:
V  V  V  1728  288  824  3 cm . 1 2 
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com V 288 
Nhận xét: Ta có 1   . V 1728 6 2
Tổng quát, ta có thể chứng minh được rằng nếu một hình cầu nội tiếp 
một hình lập phương thì tỉ số thể tích của chúng là . 6 5.
Gọi bán kính hình cầu cũng như bán kính đáy hình nón là R.
Diện tích xung quanh hình nón là: Rl   12 R  . Diện tích mặt cầu là: 2 4 R  .
Vì diện tích xung quanh hình nón bằng diện tích mặt cầu nên 2 12 R   4 R   R  3cm . 4 4 Thể tích hình cầu là: 3 3 V  R   .  3  36 3 cm  . 3 3 6.
Gọi bán kính hình cầu là R thì bán kính đáy hình trụ là R và chiều cao hình trụ là 2R.
Vì diện tích toàn phần hình trụ là 384π cm2 nên ta có:     2 2 R 2R R  384  6 R 
 384  R  8cm . 4 4 2048 Thể tích hình cầu là: 3 3 V  R   .  8   3 cm  3 3 3 7.
Bán kính của thuyền thúng là: 1,2: 2 = 0,6 (m) = 6 (dm). 1 4 1 4
Thể tích của thuyền là: 3 3 V  . R   . .6   144 3 dm  3  452dm 2 3 2 3
Tổng Khối lượng của thuyền, người và cá là: 45 + 65 + 240 = 350 (kg)
Khối lượng riêng của thuyền là: 350: 452 = 0,8 (kg/dm3)
Khối lượng riêng của nước là: 1 kg/dm3
Vậy khối lượng riêng của thuyền nhỏ hơn khối lượng riêng của nước nên nước không ngập đến mép thuyền. 8.
Xét ∆OBC có OB = OC và OM  BC nên MB = MC. 2 2 Ta có: 2 2 2
MC  OC  OM  10 3  5 3  225.
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Suy ra MC = 15(cm).
Độ dài của đường tròn (M) là: 2π.15 = 30π (cm). 9.
Gọi bán kính của hình cầu là R.
Vì số đo thế tích bằng số đo diện tích mặt cầu nên ta có: 4 3 2 R   4 R   R  3m 3
Độ dài của đường tròn lớn là: C  2 R   2 .  3  6 m . 10.
Gọi r là bán kính của vật hình cầu. 4
Thể tích của vật hình cầu là: 3 V  r  . 1 3
Thể tích khối nước rút xuống là: 2 V  .  50 .48,6  121500  3 mm . 2  4 Ta có phương trình: 3 3 r
  121500  r  91125 3 Do đó 3 r  91125   45 mm . 11.
Gọi R là bán kính Trái Đất, gọi r là bán kính của vĩ tuyến 20° qua Thanh Hoá. Ta có   HBO  AOB  20 .
Xét ∆HBO vuông tại H có: r = HB = OB cos20° = Rcos20°.
Do đó độ dài của vĩ tuyến 20° là: 2 r   2 R  cos20  2 .6370. 
cos20  37610  km .
C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Câu 1. Cho hình cầu có đường kính d = 6cm . Diện tích mặt cầu là. A. 2 36p(cm ). B. 2 9p(cm ) . C. 2 12p(cm ).
D. 36p(cm) .
Câu 2. Cho mặt cầu có thể tích 3 V = 288 (
p cm ). Tính đường kính mặt cầu.
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
A. 6cm . B. 12cm . C. 8cm . D. 16cm .
Câu 3. Cho mặt cầu có thể tích 3 V = 972 (
p cm ). Tính đường kính mặt cầu.
A. 18cm . B. 12cm . C. 9cm . D. 16cm .
Câu 4. Cho mặt cầu có số đo diện tích bằng với số đo thể tích. Tính bán kính mặt cầu. A. 3 . B. 6 . C. 9 . D. 12 .
Câu 5. Cho mặt cầu có số đo diện tích bằng hai lần với số đo thể tích. Tính bán kính mặt cầu. 3 A. 3 . B. 6 . C. 9 . D. . 2
Câu 6. Cho mặt cầu có bán kính 3cm . Một hình nón cũng có bán kính đáy bằng 3cm và có diện tích toàn
phần bằng diện tích mặt cầu. Tính chiều cao của hình nón. A. 3 .
B. 6 3 . C. 72 . D. 6 2 .
Câu 7. Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau
và bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ. 1 A. 3 . B. 1 . C. . D. 2 . 2
Câu 8. Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau
và bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình trụ.
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 3 2 A. . B. 1 . C. . D. 2 . 2 3
Câu 9. Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau
và bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa thể tích hình cầu và thể tích hình trụ. 2 3 1 A. . B. . C. . D. 2 . 3 2 2
Câu 10. Cho một hình cầu nội tiếp trong hình trụ. Biết rằng chiều cao của hình trụ bằng ba lần bán kính
đáy và bán kính đáy của hình trụ bằng bán kính của hình cầu. Tính tỉ số giữa thể tích hình cầu và thể tích hình trụ. 4 4 9 A. . B. . C. . D. 2 . 3 9 4
Câu 11. Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện
tích toàn phần của hình lập phương. 6 1 p 1 A. . B. . C. . D. . p 6 6 3
Câu 12. Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Nếu diện tích toàn phần của hình lập phương là 2
24cm thì diện tích mặt cầu là:
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com A. 4p . B. 4 . C. 2p . D. 2 .
Câu 13. Cho tam giác ABC vuông cân tại có cạnh góc vuông bằng a . Tính diện tích mặt cầu được tạo
thành khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC . 2 a p 2 a a p A. 2 2 a p . B. . C. . D. . 2 2 2
Câu 14. Cho tam giác ABC vuông cân tại có cạnh góc vuông bằng 6cm . Tính diện tích mặt cầu được tạo
thành khi quay quanh nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC . A. 2 72(cm ) . B. 2 18 ( p cm ) . C. 2 36 ( p cm ). D. 2 72 ( p cm ).
Câu 15. Cho một tam giác ABC đều có cạnh AB = 8cm , đường cao AH . Khi đó thể tích hình cầu được
tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH . 3 a p 3 3 a p 3 3 a p 3 a p A. . B. . C. . D. . 54 72 54 72
Câu 16. Cho một tam giác ABC đều có cạnh AB = 12cm , đường cao AH . Khi đó thể tích hình cầu
được tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH .
A. 32 3 . B. 16p 3 . C. 8p 3 . D. 32p 3 .
Câu 17. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4c ;
m AD = 3cm . Tính diện tích mặt cầu thu được khi quay
nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm ,
AD N là trung điểm BC 25p 25p
A. 25p . B. . C. 25 . D. . 8 4
Câu 18. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8c ;
m AD = 6cm . Tính diện tích mặt cầu thu được khi quay
nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm ,
AD N là trung điểm BC . A. 2 50 ( p cm ). B. 2 100 ( p cm ) . C. 2 100(cm ). D. 2 25 ( p cm ) . HƯỚNG DẪN Câu 1. Đáp án A.
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 6
Vì đường kính d = 6cm nên bán kính hình cầu R = = 3cm 2 Diện tích mặt cầu 2 2 2 S = 4 R p = 4 .
p 3 = 36p (cm ) . Câu 2. Đáp án B. 4 Ta có 3 3 V = R p
= 288p R = 216  R = 6cm 3
Từ đó đường kính mặt cầu là d = 2R = 2.6 = 12cm . Câu 3. Đáp án A. 4 Ta có 3 3 V = R p
= 972p R = 729  R = 9cm 3
Từ đó đường kính mặt cầu là d = 2R = 2.9 = 18cm . Câu 4. Đáp án A. 4 Từ giả thiết ta có 2 3 3 2 4 R p = R p
R = 3R R = 3 . 3 Câu 5. Đáp án D. 4 3 3 Từ giả thiết ta có 2 3 3 2 4 R p = 2. R p
R = R R = 3 2 2 Câu 6. Đáp án D.
Gọi l là độ dài đường sinh của hình nón.
Vì bán kính hình cầu và bán kính đáy của hình nón bằng nhau nên từ giả thiết ta có 2 2 2 2 2
4pR = pRl + pR  4R = Rl + R  3R = Rl
l = 3R = 3.3 = 9cm
Sử dụng công thức liên hệ trong hình nón ta có 2 2 2 2 2
h = l - R = 9 - 3 = 72  h = 6 2 cm . Câu 7. Đáp án B.
Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên h = 2R với R
là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ. Diện tích mặt cầu 2 S = 4 R p
, diện tích xung quanh của hình trụ 2 S = 2 R p h = 2p .
R 2R = 4 R p xq 2 S 4 R p
Tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ là = = 1. 2 S 4 R p xq Câu 8. Đáp án C.
Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên h = 2R với R
là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ. Diện tích mặt cầu 2 S = 4 R p
, diện tích xung quanh của hình trụ 2 S = 2 R p h = 2p .
R 2R = 4 R p xq
Diện tích toàn phần của hình trụ là 2 2 2 2
S = S + 2pR = 4 R p + 2 R p = 6pR tp xq 2 S 4 R p 2
Tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình trụ là = = . 2 S 6 R p 3 tp
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Câu 9. Đáp án A.
Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên h = 2R với R
là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ. 4 Thể tích hình cầu 3 V = R p ; thể tích khối trụ 2 3 V = R
p .2R = 2 R p c 3 t 4 3 R V p 2
Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụ là c 3 = = . 3 V 2 R p 3 t Câu 10. Đáp án B.
Từ đề bài suy ra chiều cao hình trụ là h = 3R với R là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ. 4 Thể tích hình cầu 3 V = R p ; thể tích khối trụ 2 3 V = R
p .3R = 3 R p c 3 t 4 3 R V p 4
Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụ là c 3 = = 3 V 3 R p 9 t Câu 11. Đáp án C. a
Vì hình cầu nội tiếp hình lập phương nên bán kính hình cầu R = với a là cạnh hình lập phương. 2 2 æa ö
Khi đó ta có diện tích mặt cầu 2 ç ÷ 2 S = 4pR = 4 . p ç ÷ = a p ç çè2÷÷ø
Diện tích toàn phần của hình lập phương 2 S = 6a tp 2 S a p p
Tỉ số giữa diện tích mặt cậu và diện tích toàn phần của hình lập phương là = = . 2 S 6a 6 tp Câu 12. Đáp án A. a
Vì hình cầu nội tiếp hình lập phương nên bán kính hình cầu R = với a là cạnh hình lập phương. 2
Diện tích toàn phần của hình lập phương 2
S = 6a = 24  a = 2cm tp 2 Suy ra R = = 1cm 2 Câu 13. Đáp án A.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên có đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đường kính BC .
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com BC
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R = 2 a 2
Theo định lý Pytago ta có 2 2 2 2
BC = AB + AC = 2a BC = a 2  R = 2
Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC ta được hình cầu có bán 2 a 2 æça 2ö÷ kính R =
nên diện tích mặt cầu là 2 2 S = 4 R p = 4p ç ÷ ç ÷ = 2 a p . 2 ç 2 ÷÷ è ø Câu 14. Đáp án A.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên có đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đường kính BC . BC
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R = 2 6 2
Theo định lý Pytago ta có 2 2 2 2
BC = AB + AC = 2.6  BC = 6 2  R = = 3 2 2
Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC ta được hình cầu có bán
kính R = 3 2 nên diện tích mặt cầu là S = R p = p( )2 2 2 4 4 3 2 = 72 ( p cm ). Câu 15. Đáp án C. Vì AB D
C là tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm O của tam giác. AH
Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp là R = OH = 3 2 2 æa ö ç ÷ 3a a 3 Xét tam giác vuông 2 2 2 2
AH = AB - BH = a - ç ÷ =  AH = ç çè2÷÷ø 4 2 a 3 Suy ra R = 6
14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH ta được hình cầu bán 3 a 3 æ ö 3 4 4 ça 3 ÷ 3 a p kính R = 3 V = R p = . p ç ÷ ç ÷ = . 6 3 3 ç 6 ÷÷ 54 è ø Câu 16. Đáp án D. Vì AB D
C là tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm O của tam giác. AH
Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp là R = OH = 3 2 æ12ö Xét tam giác vuông 2 2 2 2
AH = AB - BH = 12 ç ÷
- ç ÷ = 108  AH = 6 3 ç çè 2 ÷÷ø AH Suy ra R = = 2 3 3
Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH ta được hình cầu bán 4 4
kính R = 2 3 V = R p = . p (2 3)3 3 3 = 32p 3(cm ) . 3 3 Câu 17. Đáp án A.
Gọi O là tâm của hình chữ nhật nên OA = OB = OC = OD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình AC
chữ nhật ABCD . Khi đó bán kính đường tròn là R = OA = 2 Theo định lý Pytago ta có 2 2 2 2 2
AC = AD + DC = 3 + 4 = 25  AC = 5 5
(vì AB = DC = 4cm ) R = 2
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là 5
trung điểm AD , N là trung điểm BC ta được một hình cầu tâm O bán kính R = 2 2 æ5ö Diện tích mặt cầu là 2
S = 4pR = 4.p ç ÷ ç ÷ = 25 ( p cm) ç . çè2÷÷ø Câu 18. Đáp án B.
Gọi O là tâm của hình chữ nhật nên OA = OB = OC = OD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình AC
chữ nhật ABCD . Khi đó bán kính đường tròn là R = OA = 2
Theo định lý Pytago ta có 2 2 2 2 2
AC = AD + DC = 6 + 8 = 100  AC = 10 (vì AB = DC = 8cm )  R = 5cm
Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là
trung điểm AD , N là trung điểm BC ta được một hình cầu tâm O bán kính R = 5cm Diện tích mặt cầu là 2 2 2
S = 4pR = 4.p5 = 100 ( p cm ) .
D.TỰ LUYỆN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO PHIẾU SỐ 1
Bài 1. Điền vào các ô trống trong bảng sau
Bán kính 0,4 mm 6 dm 0,2 m 100 km 6 hm 50 dam hình cầu Diện tích mặt cầu Thể tích hình cầu
Bài 2. Dụng cụ thể thao các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền vào các ô trống ở
bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). Quả bóng Quả khúc Quả ten Quả bóng Loại bóng Quả bia gôn côn cầu nít bàn Đường kính 42,7 mm 6,5 cm 40 mm 61 mm
16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Độ dài đường 23 cm tròn lớn Diện tích Thể tích
Bài 3. Một hình cầu có diện tích mặt cầu là 2 100 cm p .
Tính thể tích hình cầu.
Bài 4. Một hình cầu có thể tích là 3 228 (
p dm ) . Tính diện tích mặt cầu.
Bài 5. Hai hình cầu có bán kính tương ứng là 2d (m)
a và 3a (cm). Tính tỉ số các thể tích của hai hình d (m) cầu này.
Bài 6. Một hình cầu đường kính d (m) được đặt
trong một hình trụ có chiều cao 2d (m). V
Tính tỉ số của cau . Vtru
Bài 7. Hai hình cầu có hiệu các bán kính bằng 3cm và hiệu các thể tích bằng 1332 3 cm . Tính hiệu các
diện tích của hai mặt cầu.
Bài 8. Một hình cầu nội tiếp một hình nón bán kính đáy bằng 6 cm và đường sinh bằng 10cm . Chứng
minh rằng diện tích đáy hình nón bằng diện tích mặt cầu.
Bài 9. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn đường kính AD . Gọi H là giao điểm của AD
và BC . Quay hình vẽ một vòng quanh đường kính AD cố định ta được hai hình nón nội tiếp một hình cầu.
Biết AH  24 cm ; DH  6 cm , hãy tính:
a) Thể tích của hình cầu được tạo thành;
b) Thể tích hình nón đỉnh A đáy là hình tròn đường kính BC .
Bài 10. Cho một hình cầu nội tiếp một hình trụ. Chứng minh rằng: 2
a) Thể tích hình cầu bằng thể tích hình trụ; 3 2
b) Diện tích mặt cầu bằng diện tích toàn phần hình trụ. 3 Bài 11.
Cho đoạn thẳng AB  24 cm . Lấy điểm C nằm giữa A và B . Vẽ về cùng một phía của AB
ba nửa đường tròn đường kính AB, AC và BC . Quay toàn bộ hình vẽ một vòng quanh đường kính AB cố
định ta được ba hình cầu. Tìm thể tích lớn nhất của phần không gian được giới hạn bởi ba hình cầu.
17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 12. Một chiếc thuyền thúng có dạng nửa hình cầu, có khối lượng 45 kg , người chèo thuyền khối lượng
65kg. Biết đường kính của thuyền là 1,2 m và trên thuyền có thêm 2,4 tạ cá, hỏi nước có ngập đến mép
thuyền không? Biết khối lượng riêng của nước là 1 kg/dm3. HƯỚNG DẪN Bài 1. Bán kính hình 0,4 6 0,2 100 6 50 cầu mm dm m km hm dam Diện tích mặt 16  144 40000 144 10000 4  cầu 25 2 2 2 dm 25 2 km hm dam 2 mm 2 m Thể tích hình 32 288 288 4  4000000  500000  cầu 375 3 mm 375 3 3 hm 3 3 mm 3 m 3 km 3 dam Bài 2 Quả bóng Quả khúc Quả ten Quả bóng Loại bóng Quả bia gôn côn cầu nít bàn Đường kính 42,7 mm 7,32 cm 6,5 cm 40 mm 61 mm Độ dài đường 67,07 mm 23 cm 10,21 cm 62,83 mm 95,82 mm tròn lớn 5728,03 168,33 132,73 5026,55 11689,87 Diện tích 2 mm 2 cm cm2 2 mm 2 mm 40764,51 205,36 143,79 33510,32 118846,97 Thể tích 3 mm 3 cm cm3 3 mm 3 mm Bài 3. 2 S = 4 R p 2 4 R p = 100p 2
R = 25  R = 5(cm) p Thể tích hình cầu: 4 500 3 3 V = R p = (cm ). 3 3 Bài 4. 4 3 V = R p 3
18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 4 3 R p = 228p 3 3 R = 216 3 R = 216 R = 6(cm) Diện tích mặt cầu là 2 2 2 S = 4 R p = 4p6 = 144 ( p cm ). Bài 5.
Thể tích V ,V của hai hình cầu là 1 2 4 4 3 3 3 V = a p ,V = (
p 3a) = 36 a p 1 2 3 3 4 3 a V p 1 Do đó: 1 3 = = 3 V 36 a p 27 2 R V
Nhận xét: Nếu 1 = k thì 1 3 = k . R V 2 2 Bài 6. Thể tích hình cầu là: 4 1 3 3 3 V = R p = d p (m ) cau 3 6 2 æd ö ç ÷ 1 Thể tích hình trụ là: 2 3 3 V = r
p h = p ç ÷ .2d = d p (m ) tru çè2÷÷ø 2 V 1 Do đó: cau = . V 3 tru Bài 7.
Gọi bán kính của hình cầu lớn là R và bán kính của hình cầu nhỏ là r .
Ta có R – r  3 hay R r  3. 4 4
Thể tích hình cầu lớn là: 3
V   R Thể tích hình cầu nhỏ là: 3 V   r 1 3 2 3 4 Vì V – V  1332 ( 3 cm ) nên   3 3 R r  3 3
 1332  R r  999 1 2 3 Do đó r  3 3 2
3 – r  999  r  3r – 108  0.
Giải ra được r  –12 (loại); r  9 (chọn). 1 2
19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Vậy bán kính hình cầu nhỏ là 9cm. Bán kính hình cầu lớn là 12cm.
Diện tích mặt cầu lớn là: 2 2
S  4 R  4..12  576 ( 2 cm ). 1
Diện tích mặt cầu nhỏ là: 2 2
S  4 r  4..9  324 ( 2 cm ). 2
Hiệu các diện tích của hai mặt cầu là: S S – S  576 – 324  252 ( 2 cm ). 1 2 Bài 8. A
Vì hình cầu nội tiếp hình nón nên OH BC,OD  . AB D E Ta có 2 2 2 2
AH AB BH  10  6  8(cm) O
Gọi bán kính đáy hình nón là R bán kính hình cầu là r . B C H
Ta có BH BD R  6 c ;
m OH OD r.
AD AB BD  10  6  4 c . m OD AD AOD ∽ ABH   g.g   . BH AH r 4 r 4
Do đó   r  3(cm)   r  3(cm). 6 8 6 8
Diện tích đáy hình nón là: 2 2
S   R  .6  36 ( 2 cm ). 1 Diện tích mặt cầu là: 2 2
S  4 r  4..3  36 ( 2 cm ). 2
Vậy diện tích đáy hình nón bằng diện tích mặt cầu. Bài 9.
a) Tam giác ABC cân tại A , AD là đường kính nên AD BC . A Ta có  ABD 90 
(vì AD là đường kính).
Xét ABD vuông tại B ta có: O 2 BH  .
HA HD  24.6  144 . Suy ra BH  13cm .
Bán kính của đường tròn ngoại tiếp  ABC là R  
24  6 : 2 15cm. B C H D 4 4
Thể tích của hình cầu tạo thành là: 3 3
V   R  15  4500  3 cm 1  3 3 1 1
b) Thể tích của hình nón đỉnh A là: 2 2
V   r h  12 .24  1152  3 cm . 2  3 3 Bài 10.
20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Gọi bán kính hình cầu là R thì bán kính đáy hình trụ là R và chiều cao của hình trụ là 2 R . 4
a) Thể tích hình cầu là: 3 V   R 1 3 Thể tích hình trụ là: 2 3
V   R h  2 R . 2 4 3  R V 2 Ta có 1 3   . 3 V 2 R 3 2
b) Diện tích mặt cầu là: 2 S  4 R . 1
Diện tích hình trụ là: S  2 R h R  2 R2R R 3  6 R . 2 2 S 4 R 2 Ta có 1   . 2 S 6 R 3 2 Bài 11.
Đặt AC  2x thì BC  24  2 . x
Bán kính của nửa đường tròn đường kính AB là 12 cm .
Bán kính của nửa đường tròn đường kính AC là x .
Bán kính của nửa đường tròn đường kính BC là 12  x .
Thể tích của ba hình cầu đường kính AB, AC và BC lần lượt là: 4 4 4 3 12 ; 3  x và 3  (12  x) 3 3 3
Thể tích phần không gian giới hạn bởi ba hình cầu là: 4 3 3
V  2304   x  (12  x)    3 4  2304    3 2 3
x 1728  432x  36x  x   2304  48  2 x 12x  48 3 V 2
max   x – 12x  48 min   x 2 – 6  12 min  x = 6. Khi đó max V
 1728 cm3 khi AC = 12cm hay khi C là trung điểm của AB . Bài 12.
Bán kính của thuyền thúng là: 1,2 : 2 = 0,6 (m) = 6 ( dm ). 1 4 1 4
Thể tích của thuyền là: 3 3
V    R    6  144 ( 3 dm )  425 3 dm . 2 3 2 3
Tổng khối lượng của thuyền, người và cá là : 45 + 65 + 240 = 350 ( kg )
21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Khối lượng riêng của thuyền là : 350 : 452 = 0,8 ( 3 kg / dm )
Khối lượng riêng của nước là : 1 3 kg / dm
Vậy khối lượng riêng của thuyền nhỏ hơn khối lượng riêng của nước nên nước không ngập đến mép thuyền. m
Nhận xét: Học sinh cần ghi nhớ công thức d
( d là khối lượng riêng, m khối lượng, V là thể tích). V PHIẾU SỐ 2
Dạng 1: Tính Diện tích, thể tích hoặc bán kính hình cầu 1 22
Bài 1: Cho thể tích của môt hình cầu là 3
113 cm . Khi đó hãy tính bán kính của hình cầu (cho số  7 7 )
Bài 2: Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau: Bán kính hình cầu
0,3 mm 6, 21dm 0, 283m 100 km 6 hm 50 dam Thể tích hình cầu Diện tích mặt cầu
Bài 3: Một hình cầu có thể tích là 3
3052,08 cm . Tính diện tích mặt cầu đó.
Bài 4: Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (Tính bằng 2
cm ) đúng bằng số đo thể tích của nó. Tính
bán kính của hình cầu đó.
Bài 5: Một hình cầu có diện tích bề mặt là 2
100 m . Tính thể tích của hình cầu đó.
Bài 6: Một hình nón có đường sinh bằng đường kính. Một hình cầu có đường kính bằng chiều cao của
hình nón đó. Chứng minh diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích mặt cầu.
Dạng 2: Tính diện tích, thể tích của những hình hỗn hợp bao gồm nhiều hình
Bài 7: Cho hình vẽ có bán kính đường tròn đáy là R ,
chiều cao 2R . Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu
như hình vẽ bên. Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại.
22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 8: Một cái bồn chứa xăng gồm hai
nửa hình cầu và một hình trụ. Hãy tính
diện tích của bồn chứa theo các kích thức cho ở hình vẽ.
Bài 9: Một cốc nước có dạng hình trụ có đường kính đáy bằng 6 cm , chiều cao 12 cm và chứa một lượng
nước cao 10 cm . Người ta thả từ từ 3 viên bi làm bằng thép đặc (không thấm nước) có đường kính bằng
2 cm vào cốc nước. Hỏi mực nước trong cốc lúc này cao bao nhiêu? A Bài 10: C r M
Cho hình chữ nhật MNDC nội tiếp trong nửa đường tròn tâm O , R
đường kính AB ( M , N thuộc đoạn thẳng AB và C, D ở trên nửa
đường tròn). Khi cho nửa hình tròn đường kính AB và hình chữ O
nhật MNDC quay một vòng quanh đường kính AB cố định, ta được
một hình trụ đặt khít vào trong hình cầu đường kính AB . Biết hình
cầu có tâm O , bán kính R 10cm và hình trụ có bán kính đáy D N B
23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
r  8cm đặt khít vào trong hình cầu đó. Tính thể tích phần hình cầu nằm ngoài hình trụ đã cho. (Trích đề
thi vào 10 tỉnh Thừa Thiên Huế) Bài 11:
Người ta gắn một hình nón có bán kính đáy R  8cm , độ dài đường cao O 8 cm A B
h  20 cm vào một nửa hình cầu có bán kính bằng bán kính hình nón (theo
hình bên dưới). Tính giá trị gần đúng thể tích của hình tạo thành (kết quả 20 cm
làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). S HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Tính Diện tích, thể tích hoặc bán kính hình cầu 1 22
Bài 1: Cho thể tích của môt hình cầu là 3
113 cm .Khi đó hãy tính bán kính của hình cầu (cho số  7 7 Giải:
Áp dụng công thức tính thể tích hình cầu ta có: 4 3V 3 3
V   R R   3cm 3 4
Bài 2: Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau: Bán kính hình cầu
0,3 mm 6, 21dm 0, 283m 100 km 6 hm 50 dam Thể tích hình cầu Diện tích mặt cầu Giải: Áp dụng các công thức: + Diện tích hình cầu: 2 S  4 R 4 + Thể tích hình cầu: 3 V   R 3
Thay Bán kính trong từng trường hợp để điền vào ô trống Bán kính hình 0,3 mm 6, 21dm 0, 283m 100 km 6 hm 50 dam cầu
24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Thể tích hình 2 0,36 mm 2 154, 26 dm 2 0,32 m 2 40000 km 2 144 hm 2 10000 dam cầu Diện tích mặt 3 0, 036 mm 3 319,31 dm 3 0, 03 m 3 1333333 km 3 288 hm 3 166667 dam cầu
Bài 3: Một hình cầu có thể tích là 3
3052,08 cm . Tính diện tích mặt cầu đó. Giải:
Áp dụng công thức tính thể tích hình cầu: 4 3V 3.3052,08 3 3
V   R R   3  9cm 3 4 4.3,14
Vậy diện tích mặt cầu đó là: 2 2
S   R      2 4 4 .9 324 cm
Bài 4: Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính bằng 2
cm ) đúng bằng số đo thể tích của nó (tính bằng 3
cm ). Tính bán kính của hình cầu đó. Giải:
Vì số đo diện tích mặt cầu đúng bằng số đo thể tích hình cầu nên: 4 1 2 3
4 R   R  1  R R  3cm 3 3
Bài 5: Một hình cầu có diện tích bề mặt là 2
100 m . Tính thể tích của hình cầu đó. Giải:
Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu: 4 4. 1 2
S  4 R R    m S 100 5
Từ đó thể tích hình cầu là: 3 4 4  1  4 3
V   R   .      3 m  3 3  5  375
25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 6: Một hình nón có đường sinh bằng đường kính. Một hình cầu có đường kính bằng chiều cao của
hình nón đó. Chứng minh diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích mặt cầu. Giải:
Diện tích toàn phần của hình nón : 2 2 2
rl   r   r.2r   r  3 r   1 2 2 2  h l r Diện tích mặt cầu : 2  R          2 2 r r  2 4 4 4 . 4  3 r 2  2  4 Từ  
1 và 2 suy ra diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích mặt cầu.
26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Dạng 2: Tính diện tích, thể tích của những hình hỗn hợp bao gồm nhiều hình
Bài 7: Cho hình vẽ có bán kính đường tròn đáy là R ,
chiều cao 2R . Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu
như hình vẽ bên. Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại. Giải:
Diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại bao gồm:
- Diện tích ngoài là diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h  2R có diện
tích S  2.R2R . 1
- Diện tích trong là diện tích hai nửa mặt cầu bán kính R . Vây diện tích cần tìm là: 2 2
S   R R   R   R  2 2 2 4 8 cm
Bài 8: Một cái bồn chứa xăng gồm hai
nửa hình cầu và một hình trụ. Hãy tính
diện tích của bồn chứa theo các kích thức cho ở hình vẽ. Giải:
Thể tích của bồn chứa xăng gồm thể tích của hai nửa hình cầu có bán kính 0,9m nên có thể tích 4 3
V   .0.9 và thể tích của một hình trụ có bán kính đáy R  0,9m và chiều cao h  3, 62m nên có thể 1 3 tích 2 V   (0,9) 3, 62 . 2 4
Vậy thể tích của bồn chứa là: 2 3
V V V  .0.9 3, 62  .0.9  12.26 (cm3) 1 2 3
Bài 9: Một cốc nước có dạng hình trụ có đường kính đáy bằng 6 cm , chiều cao 12 cm và chứa một lượng
nước cao 10 cm . Người ta thả từ từ 3 viên bi làm bằng thép đặc (không thấm nước) có đường kính bằng
2 cm vào cốc nước. Hỏi mực nước trong cốc lúc này cao bao nhiêu?
27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Giải: d 2
Bán kính của viên bi là: R    1cm 2 2 4 4 4
Thể tích của một viên bi là: 3 3
V   R   .1    3 cm 1  3 3 3
Do ba viên bi có cùng đường kính nên tổng thể tích của 3 viên bi là: 4
V  3.V  3.   4  3 cm 1  3
Diện tích của đáy cốc nước (hình tròn r = 3cm): 2 2
S   r      2 . .3 9 cm
Chiều cao của phần cốc mà không chứa nước:
h 12 10  2cm
Thể tích phần cốc không chứa nước (cốc hình trụ, diện tích phần đáy cũng là diện tích phần mặt phân cách
giữa phần có nước và phần không có nước)
V S h      3 ' . 9 .2 18 cm
Do: V’ > V nên khi thả 3 viên bi vào li nước thì nước không bị tràn ra ngoài.
Gọi x là chiều cao mực nước dâng lên sau khi thả 3 viên bi vào cốc, thể tích của 3 viên bi cũng là thể tích
phần nước dâng lên nên ta có phương trình: 4
V S.x  9.x  4  x cm 9 4 94
Vậy: Chiều cao của mực nước trong ống sau khi thả 3 viên bi là: 10   cm 9 9
28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Bài 10: A
Cho hình chữ nhật MNDC nội tiếp trong nửa đường tròn tâm O , C r M
đường kính AB ( M , N thuộc đoạn thẳng AB và C, D ở trên nửa R
đường tròn). Khi cho nửa hình tròn đường kính AB và hình chữ
nhật MNDC quay một vòng quanh đường kính AB cố định, ta được O
một hình trụ đặt khít vào trong hình cầu đường kính AB . Biết hình
cầu có tâm O , bán kính R 10cm và hình trụ có bán kính đáy
r  8cm đặt khít vào trong hình cầu đó. Tính thể tích phần hình cầu D N
nằm ngoài hình trụ đã cho. ( Trích đề thi vào 10 tỉnh Thừa Thiên B Huế) Giải:
Từ O ta vẽ OI vuông góc với dây CD tại I
I là trung điểm của dây CD (tính chất đường kính vuông góc với dây)
OI / /MC / /ND (quan hệ vuông góc, song song) . Do đó OI là đường trung bình của hình chữ nhật
MNDC O là trung điểm của MN
Khi cho nửa hình tròn đường kính AB và hình chữ nhật MNDC quay một vòng quanh đường kính AB ta
được một hình trụ đặt khít trong hình cầu. A AB
Bán kính của hình cầu là: R
OC  10cm . C 2 r M R
Hình trụ có bán kính đáy: rMC  8cm và chiều cao
h  2OM Xét tam giác vuôngOMC , vuông tại M , áp dụng định I O I1 lý pitago, ta có: 2 2 2 2 2
OM OC MC  10  8  100  64  36  OM  6 cm D N
h  2OM  2.6 12 cm Thể tích hình cầu là: B 4 4 4000 3 3
V   R  ..10   3 cm 1  3 3 3
29. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Thể tích hình trụ đặt khít trong hình cầu là: 2 2
V   .r .h   .8 .12  768  3 cm 2 
Vậy thể tích phần hình cầu ở ngoài hình trụ đặt vừa khít nó là: 4000 1696
V V V   768   1776,047  3 cm 1 2  3 3 Bài 11:
Người ta gắn một hình nón có bán kính đáy R  8cm , độ dài đường cao
h  20 cm vào một nửa hình cầu có bán kính bằng bán kính hình nón (theo O 8 cm A B
hình bên dưới). Tính giá trị gần đúng thể tích của hình tạo thành (kết quả làm
tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). 20 cm Giải:
Thể tích của một nửa hình cầu là: 1 4 2 1024 S 3 3
V  .  R   .8    3 cm 1  2 3 3 3
Thể tích của hình nón là: 1 1 1 1280 2 2
V Sh  . R .h  .8 .20    3 cm 2  3 3 3 3 1024 1280
Thể tích của hình tạo thành là: V V V      768  2413  3 cm . 1 2  3 3
-------------------- HẾT --------------------
30. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
31. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com