Chuyên đề hình học giải tích trong không gian – Trần Thông Toán 12

Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ
Chuyên đề hình học giải tích
trong không gian
Quảng Nam, tháng 3 năm 2016
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 1
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam Mở đầu
Trong chƣơng trình Hình học 12, các dạng toán liên quan đến đƣờng thẳng, mặt
phẳng, mặt cầu trong không gian là các dạng toán hay và không quá khó. Để làm tốt bài
toán này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ
giữa đƣờng thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong đề thi
trung học phổ thông quốc gia nên yêu cầu học sinh phải làm tốt đƣợc dạng toán này là hết sức cần thiết.
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy còn nhiều bạn học sinh lúng túng nhiều
trong quá trình giải các bài toán liên quan đến đƣờng thẳng, mặt phẳng, mặt cầu. Nhằm
giúp các em giảm bớt khó khăn khi gặp dạng toán này tôi đã mạnh dạn đƣa ra chuyên đề :
“ Hình học giải tích trong không gian”. Trong chuyên đề, tôi đã tóm tắt lý thuyết, phân
loại các dạng bài tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách đơn giản, dễ nhớ và
từng bƣớc giúp học sinh hình thành tƣ duy tự học, tự giải quyết vấn đề. Bên cạnh đó,
trong chuyên đề này cũng giới thiệu lại một số dạng toán khó, lạ ít đƣợc sử dụng trong
các kỳ thi những năm gần đây để bạn đọc có cái nhìn tổng quát hơn về hình học giải tích trong không gian. Chuyên đề gồm 4 phần:
Phần A: Kiến thức cần nhớ
Phần B: Bài tập minh họa
Phần C: Ứng dụng giải các bài tập hình học không gian thuần túy
Phần D: Bài tập trắc nghiệm
Mặc dù trong quá trình biên soạn tác giả đã rất cố gắng để chuyên đề của mình
đƣợc hoàn thiện nhất nhƣng đâu đó sẽ có những câu, những từ làm bạn đọc thấy không
hợp lý, tác giả rất mong nhận đƣợc góp ý từ phía bạn đọc để bài viết đƣợc hoàn thiện hơn.
Mọi góp ý từ phía bạn đọc xin gửi về cho tác giả qua địa chỉ email
thongqna@gmail.com, hoặc trang facebook www.facebook.com /thong.tranvan.5203 .
Quảng Nam, ngày 15, tháng 3, năm 2017 Trần Thông
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 2
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I.TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ
1. Hệ trục toạ độ Đề các Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba
vectơ đơn vị i , j , k  i  j  k  1. Các mặt phẳng Oxy,Oxz,Oyz đôi một vuông góc
với nhau và đƣợc gọi là mặt phẳng tọa độ.
2. a a ;a ;a  a  a i  a j  a k ; M(x;y;z) OM  xi  y j  zk 1 2 3  1 2 3
3. Tọa độ của vectơ: cho u( ; x ; y z), (
v x '; y '; z ') z
a. u  v  x  x '; y  y '; z  z '
b. u  v  x  x '; y  y '; z  z '
c. ku  (k ; x k ; y kz) d. .
u v  xx ' yy ' zz '
e. u  v  xx ' yy ' zz '  0 y f. 2 2 2 u 
x  y  z O  y z z x x y 
g. u,v   ; ;
   yz' y'z; zx' z' ;
x xy ' x ' y  
  y' z' z' x' x' y'  x  
h. u, v cùng phƣơng[u, v]  0 . u v
k. cos u,v  . u . v
4. Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB)
a. AB  (x  x ; y  y ; z  z ) B A B A B A b. 2 2 2
AB  (x  x )  ( y  y )  (z  z ) B A B A B A
c.G là trọng tâm tam giác ABC ta có:
x  x  x
y  y  y
z  z  z x A B C A B C A B C G= ;yG= ; zG= 3 3 3 x  kx y  ky z  kz
d. M chia AB theo tỉ số k: x  A
B ; y  A
B ; z  A B ; M 1  M k 1  M k 1  k    Đặ x x y y z z
c biệt: M là trung điểm của AB: A B x  ; A B y  ; A B z  . M 2 M 2 M 2 1
e. ABC là một tam giác AB  AC  0 khi đó S= AB  AC 2 1 1
f. ABCD là một tứ diện AB  AC . AD 0, V  ABCD=
AB AC,AD , VABCD= S .h 6 3 BCD
(h là đƣờng cao của tứ diện hạ từ đỉnh A)
II. PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 3
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
Mặt phẳng  đi qua điểm M(x 
0;y0;z0) có véc tơ pháp tuyếnlà n ( ; A ; B C) đƣợc xác
định bởi phƣơng trình tổng quát Ax  x  B y  y  C z  z  0  Ax  By  Cz  D  0. 0   0   0 
Bên cạnh đó, một mặt phẳng đƣợc xác định bởi điểm M(x0;y0;z0) và cặp véc tơ chỉ phƣơng u,v .
* Một số mặt phẳng thƣờng gặp:
1. Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0.
2. Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: có n  ( ABC) [ A , B AC]
3. Mặt phẳng  song song với mặt phẳng  n  n  
4. Mặt phẳng  vuông góc với mặt phẳng  n  u   và ngƣợc lại
5. Mặt phẳng  song song với đƣờng thẳng d u u   d
6. Mặt phẳng  vuông góc với đƣờng thẳng d n u   . d
7. Phƣơng trình mặt phẳng đoạn chắn qua ba điểm Aa,0,0, B0, ,
b 0 , C 0,0, c với . a . b c  0 x y z là   1 a b c
* Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Mặt phẳng  đƣợc xác định bởi phƣơng trình tổng quát Ax  By  Cz  D  0. Khoảng cách từ điểm M ) đế
0(x0;y0;z0
n mặt phẳng  đƣợc xác định bởi công thức d(M,)= Ax
 By  CZ  D M M M . 2 2 2
A  B  C
Chú ý: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chính bằng khoảng cách từ một điểm
bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Từ nhận xét trên, ta rút ra công thức tính
khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song   Ax  By  Cz  D  0 và      D D
Ax  By  Cz  D  0 là: d  ,  . 2 2 2
A  B  C
* Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng   Ax  By  Cz  D  0 và   A x   B y
  C z  D  0 đƣợc xác định n n bởi công thức   . ' cos ,  trong đó n   , A ,
B C ,n   A , B ,C. n . n '
* Vị trí tƣơng đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng   Ax  By  Cz  D  0 và   A x   B y
  C z  D  0 . Khi đó, vị trí tƣơng
đối của hai mặt phẳng   ,  xãy ra các trƣờng hợp sau:    
Trƣờng hợp 1:      A B C D     A B C D     Trƣờ A B C D
ng hợp 2:   / /       A B C D
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 4
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
Trƣờng hợp 3:     A: B:C  A: B:C
Trƣờng hợp 4:      . A A  . B B  . C C  0
III. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG
*Đƣờng thẳng  đi qua điểm M(x0;y0;z0) có véc tơ chỉ phƣơng u =(a;b;c) đƣợc xác định bởi:
x  x  at 0 
i.Phƣơng trình tham số: y  y  bt ; 0
z  z  ct  0 x  x y  y z  z
ii.Phƣơng trình chính tắc: 0 0 0   a b c
A x  B y  C z  D  0
iii.Đƣờng thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng: 1 1 1 1  trong đó
A x  B y  C z  D  0  2 2 2 2
n  ( A ; B ;C ) , n  (A ; B ;C ) là hai VÉC TƠ PHÁP TUYẾNvà VÉC TƠ CHỈ PHƢƠNG 1 1 1 1 2 2 2 2 u  [n n ]  . 1 2
* Một số dạng đƣờng phẳng thƣờng gặp: x  t x  0 x  0   
1. Đƣờng thẳng Ox: y  0t   ; Oy: y  t t   ; Oz: y  0t     z  0  z  0  z  t 
2. Đƣờng thẳng đi qua hai điểm A và B có véc tơ chỉ phƣơng là u  AB AB
3. Đƣờng thẳng   
1 song song với đƣờng thẳng 2 u u   ; 1 2
4. Đƣờng thẳng   
1 vuông góc với đƣờng thẳng 2 u n   . 1 2
5. Mặt phẳng  song song với đƣờng thẳng d u u   d
6. Mặt phẳng  vuông góc với đƣờng thẳng d n u   . d
* Bài toán khỏang cách    Đƣờ x x y y x z
ng thẳng d đƣợc xác định bởi phƣơng trình tổng quát d  0 0 0   a b c
Khoảng cách từ điểm M ) đến đƣờ
0(x0;y0;z0
ng thẳng d đƣợc xác định bởi công thức [MM , u] 1 d(M,d)= . u x  x y  y x  z x  x y  y x  z
Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng d  0 0 0   và d 0 0 0   a b c a b c
[u, u '].M M ' đƣợc xác đị 0 0
nh bởi công thức d(d,d’)=
trong đó M d, M  d 0 0 [u, u ']
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 5
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
* Bài toán xác định góc x  x y  y x  z x  x y  y x  z
Góc giữa hai đƣờng thẳng d  0 0 0   và d 0 0 0   a b c a b c đƣợc xác . u u '
định bởi công thức co ( s d , d )   trong đó u   , a ,
b c,u  a ,b ,c. u . u ' x  x y  y x  z
Góc giữa hai đƣờng thẳng d  0 0 0  
và mặt phẳng   Ax  By  Cz  D  0 a b c . u n
đƣợc xác định bởi công thức co ( s d , d )   trong đó u   , a ,
b c,n   , A , B C . u . n
* Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng
Cho hai đƣờng thẳng d đi qua A, có véc tơ chỉ phƣơng là u  , a ,
b c và đƣờng thẳng d’ 1  
đi qua B và có véc tơ chỉ phƣơng là u  a',b',c' . Khi đó, vị trí tƣơng đối của hai đƣờng 2  
thẳng sẽ sảy ra các trƣờng hợp sau:
Trƣờng hợp 1: d và d’cùng nằm trên một mặt phẳng  u ,u .AB  0 1 2  
u ,u .AB  0 Trƣờ 1 2  
ng hợp 2: d và d’ cắt nhau  u ,u   0 1 2  
u ,u   0 Trƣờ 1 2  
ng hợp 3: d và d’ song song với nhau  u ,AB  0 1  
u ,u   0 Trƣờ 1 2  
ng hợp 4: d và d’ trùng với nhau  u ,AB 0 1  
Trƣờng hợp 4: d và d’ chéo nhau  u ,u .AB  0 1 2  
x  a  bt
x  a  b t  
Khi hai đƣờng thẳng d: y  c  dt t   và d’: y  c  d tt   cắt nhau thì số giao  
z  e  ft 
z  e  f t 
a  bt  a  b t 
điểm của d và d’ là số nghiệm của hệ phƣơng trình c  dt  c  d t t  
e  ft  e  f t 
* Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và mặt phẳng
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 6
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
Cho hai đƣờng thẳng d đi qua A, có véc tơ chỉ phƣơng là u  , a ,
b c và mặt phẳng (P) đi 1  
qua B và có véc tơ pháp tuyến là n   , A ,
B C  . Xét phƣơng trình
A x  at  B y  bt  C z  ct  D  0 ( )
 ẩn là t , khi đó 0   0   0 
+  / /    phƣơng trình (*) vô nghiệm  .
u n  0, M   0  
+      phƣơng trình (*) có vô số nghiệm  .
u n  0, M   0  
+  và   cắt nhau tại một điểm  phƣơng trình (*) có nghiệm duy nhất  . u n  0
IV. PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R có thể đƣợc viết dƣới các dạng sau:
Dạng 1: x  a2   y b2  z  c2 2  R . Dạng 2 2 2 2
x  y  z  2ax  2by  2cz  d  0 với R= 2 2 2
a  b  c  d
*Vị trí tƣơng đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), bán kính R và mặt phẳng 
1.d(I, )>R:   (S)=
2.d(I, )=R:   (S)=M (M gọi là tiếp điểm).Hay nói cách khác, điều kiện để mặt phẳng
 tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, )=R (mặt phẳng  là tiếp diện của mặt cầu (S) tại M khi đó n = IM )
3.Nếu d(I, )<R thì  sẽ cắt mc(S) theo đƣờng tròn (C) có phƣơng trình là giao của  và
(S). Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm nhƣ sau: a.Tìm r = 2 2
R - d (I ,)
b.Tìm H: +Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  qua I, vuông góc với 
+H=   (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phƣơng trình  với 
*Vị trí tƣơng đối giữa mặt cầu và đƣờng thẳng:
x  x  at 0 
Cho đƣờng thẳng thẳng  2 2 2
:  y  y  bt và mặt cầu (S):            2 x a y b z c  R 0
z  z  ct  0 u, M I   
Gọi d  d  I,  0 
, trong đó M (x ; y ; z ) ,  u  ( ; a ; b c) là VTCP của  0 0 0 0 u
+ Nếu d  R   và (S) không có điểm chung
+ Nếu d  R   tiếp xúc với (S) (  là tiếp tuyến của mặt cầu (S))
+ Nếu d  R   cắt (S) tai hai điểm A, B (  gọi là cát tuyến của mặt cầu (S))
B. BÀI TẬP MINH HỌA
Dạng 1: Tìm tọa độ điểm ,véc tơ và độ dài véc tơ
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho ba véc tơ a   2
 ,1,0,b  1,3, 2
 ,c  2,4,3.. Tìm tọa
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 7
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
độ véc tơ p  2
 a  2b  . c . x   2  . 2    2.1   1 .2  4 
Hƣớng dẫn: Đặt p   ,
x y, z  , ta có  y   2
 .1 2.3    1 .4  0 z   2  .0  2. 2      1 .3  7   Vậy p  4,0, 7  
Bài 2: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1,2,  3 , B1,2, 3  ,C7,4, 2   . Tìm tọa độ
điểm D sao cho AC  B . D
Hƣớng dẫn: Đặt D ,
x y, z suy ra AC  6,2, 5
 ,BD  x 1, y  2, z  3. x 1  6 x  7  
vì AC  BD nên y  2  2  y  4   z  3  5  z  8    Vậy D7,4, 8  
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1,2,  1 , B2, 1  ,3,C 4  ,7,5 tạo thành tam
giác. Tìm tọa độ điểm D là chân đƣờng phân giác trong kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC.
Hƣớng dẫn: Ta có AC  1, 3  ,4,BD   6
 ,8,2 suy ra AC  26,BD  2 26 Đặ DA BA 1 t D ,
x y, z . Áp dụng tính chất đƣờng phân giác ta có   . Do đó 1 DA   DC DC BC 2 2 1
Vậy điểm D chia đoạn AC theo tỷ lệ k   . Do vậy, tọa độ điểm D là: 2  x  kx 2 A C x    ;  D 1  k 3   y  ky 11 A C y   ; D 1  k 3   z  kz A C z  1;  D  1  k
Bài 4: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1,2,  1 , B2, 1  ,3,C 4  ,7,5 tạo thành tam
giác. Tìm tọa độ điểm D là chân đƣờng phân giác trong kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC.
Hƣớng dẫn: Ta có AC  1, 3  ,4,BD   6
 ,8,2 suy ra AC  26,BD  2 26 Đặ DA BA 1 t D ,
x y, z . Áp dụng tính chất đƣờng phân giác ta có   . Do đó 1 DA   DC DC BC 2 2
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 8
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam 1
Vậy điểm D chia đoạn AC theo tỷ lệ k   . Do vậy, tọa độ điểm D là: 2  x  kx 2 A C x    ;  D 1  k 3   y  ky 11 A C y   ; D 1  k 3   z  kz A C z  1;  D  1  k
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho ba véc tơ a  1, ,
m 2,b  m 1,2, 
1 ,c  0,m  2,2 . Tìm
m để ba véc tơ a, ,
b c đồng phẳng Hƣớ 2
ng dẫn: Ba véc tơ a, ,
b c đồng phẳng nên a,b.c  0  m    5 2 Vậy m 
thỏa yêu cầu bai toán 5
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A2,1,  1 , B3,0,  1 ,C 2, 1
 ,3. Tìm tọa độ điểm
D nằm trên trục Oy sao cho thể tích tứ diện ABCD bằng 5 đơn vị thể tích.
Hƣớng dẫn: Vì điểm D nằm trên trục Oy nên tọa độ điểm D có dạng D0, y,0.
Khi đó, AB  1, 1
 ,2, AC  0, 2  ,4, AD   2  , y 1,  1 1 1 Suy ra V  A , B AC.AD  1 2 y . D.ABC   6 3
Từ đó suy ra có hai điểm D là D0, 7  ,0,D0,8,0
Dạng 2: Viết phƣơng trình mặt phẳng
Một số lƣu ý khi giải toán
Để viết pt măt phẳng có 2 cách cơ bản :
<1>. Xác định 1 điểm và 1 VÉC TƠ PHÁP TUYẾN
<2>. Hoặc gọi phương trình mặt phẳng dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D.
Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau:
Dạng 1: Viết Phương trình mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VÉC TƠ PHÁP
TUYẾN n =(A;B;C)
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0  Ax + By + Cz + D = 0
Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và song song mặt phẳng (Q)
- Mặt phẳng (Q) có véc tơ pháp tuyếnlà n   , A , B C . Q
- Vì (P) song song (Q) nên có véc tơ pháp tuyếnlà n  n   , A , B C . P Q
- Phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua A và có véc tơ pháp tuyếnlà n  n   , A , B C . P Q
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 9
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đường thẳng d
- Đƣờng thẳng d có véc tơ chỉ phƣơng là u   , A , B C . d
- Vì (P) vuông góc với (d) nên có véc tơ pháp tuyến n  u   , A , B C . P d
Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua A và có véc tơ pháp tuyến nP
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với các mặt phẳng (Q) , (R)
- Từ phƣơng trình mặt phẳng (Q) và (R), suy ra các véc tơ pháp tuyến n ; véc tơ pháp Q tuyến nR
- Vì P  Q và P  R nên véc tơ pháp tuyến n  n và n  n nên có véc tơ pháp P Q P R
tuyến là n  n ,n . P Q R  
- Vậy phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua A và có véc tơ pháp tuyến n  n ,n . P Q R  
Dạng 5: Viết Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng
- Tính các véc tơ AB , AC và a   A , B AC.  
- Phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua A và có véc tơ pháp tuyến n  a   AB, AC. P  
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,B và vuông góc với mặt phẳng (Q)
- Tính AB , véc tơ pháp tuyến n và tính  AB,n . Q Q   - Vì ,
A B Q và P  Q nên chọn n   AB,n . P Q  
- Viết phƣơng trình mặt phẳng (P)
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A vuông góc với mặt phẳng (Q) và
song song với đường thẳng (d)
- Tính véc tơ pháp tuyến n của mặt phẳng (Q); VÉC TƠ CHỈ PHƢƠNG u của đƣờng Q d thẳng (d).
- Tính n ,u  Q d  
- Vì (P) vuông góc với (Q) và song song với (d) nên véc tơ pháp tuyến n  n ,u  P Q d  
- Từ đó viết đƣợc phƣơng trình mặt phẳng (P)
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB.
- Tìm trung điểm I của ABvà véc tơ AB
- Mặt phẳng (P) đi qua I và nhận AB làm véc tơ pháp tuyến.
Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và đi qua A
- Tính VÉC TƠ CHỈ PHƢƠNG u của đƣờng thẳng (d) và tìm điểm M d  d
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 10
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
- Tính AM và u , AM . d  
- Phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua A và có véc tơ pháp tuyến n  u , AM . P d  
Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với đường thẳng (  )
- Từ đƣờng thẳng (d) suy ra VÉC TƠ CHỈ PHƢƠNG u và điểm M d  d
- Từ đƣờng thẳng (  )suy ra VÉC TƠ CHỈ PHƢƠNG u    và tính u ,u d   
- Phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua M và có véc tơ pháp tuyến n  u ,u  d   
Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) vàvuông góc với mặt phẳng (Q)
- Từ đƣờng thẳng (d) suy ra VÉC TƠ CHỈ PHƢƠNG u và điểm M d  d
- Từ mặt phẳng (Q) suy ra véc tơ pháp tuyến n và tính u ,n  Q d Q  
- Phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua M và có véc tơ pháp tuyến n  u ,n  d Q  
Dạng 12:Viết phương trình mặt phẳng (P) Ax  By  Cz  D  0 song song với (Q) và 0
khoảng cách d(A;(P))=h
- Vì (P) // (Q) nên phƣơng trình mặt phẳng (P) có dạng Ax  By  Cz  D  0 (trong đó D  DQ)
- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm đƣợc D
- Thay A,B,C,D ta có phƣơng trình mặt phẳng (P) cần tìm.
Dạng 13: Viết Phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và d(A,(P))=h
- Gọi véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n   , A ,
B C  với điều kiện là 2 2 2
A  B  C  0
- Từ (d) suy ra VÉC TƠ CHỈ PHƢƠNG u và điểm M d  d
- Vì (d) nằm trong (P) nên u .n  0   1 d
- Phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua M: Ax  x  B y  y  C z  z  0 0   0   0 
- Lai có d(A,(P)) = h (2)
- Giải (1);(2) ta tìm đƣợc A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết đƣợc phƣơng trình mặt phẳng(P).
Dạng 14:Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và hợp với mặt phẳng (Q) một góc 0   90
- Gọi véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n   , A ,
B C  với điều kiện là 2 2 2
A  B  C  0
- Từ (d) suy ra VÉC TƠ CHỈ PHƢƠNG u và điểm M d  d
- Vì (d) nằm trong (P) nên u .n  0   1 - d
- Tính cos P,Q (2)
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 11
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
- Từ (1) và (2) ta tìm đƣợc A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết đƣợc phƣơng trình mặt phẳng(P).
Dạng 15:Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và hợp với đường thẳng (  )một góc   900
- Gọi véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n   , A ,
B C  với điều kiện là 2 2 2
A  B  C  0
- Từ (d) suy ra VÉC TƠ CHỈ PHƢƠNG u và điểm M d  d
- Vì (d) nằm trong (P) nên u .n  0   1 - d
- Tính sin P, (2)
- Từ (1) và (2) ta tìm đƣợc A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết đƣợc phƣơng trình mặt phẳng(P).
Dạng 16: Cho A và (d) , viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (d)
- Ta có : d(A,(P)) = AK  AH (tính chất đƣờng vuông góc và đƣờng xiên)
-Do đó d(A(P)) max  AK = AH  K  H
- Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua H và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến
Dạng 17: Viết Phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q) Ax  By  Cz  D  0 và 0
tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax  By  Cz  D  0 ( trong đó D'  DQ).
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R suy ra D.
- Từ đó ta có phƣơng trình mặt phẳng (P) cần tìm
Dạng 18: Viết Phương trình mặt phẳng (P) song song (Q) Ax  By  Cz  D  0 và cắt 0
mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước).
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) 2
- Áp dụng công thức : Chu vi đƣờng tròn C  2 r và diện tích S   r tính r.
- Từ đó suy ra d I  P 2 2 ,  R  r
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax  By  Cz  D  0 (trong đó D'  DQ)
- Suy ra khoảng cách d (I,(P)) và tìm đƣợc D
- Viết đƣợc phƣơng trình (P).
Dạng 19: Viết Phương trình mặt phẳng(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Từ (d) suy ra VÉC TƠ CHỈ PHƢƠNG u và điểm M d  ). d
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 12
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
- Vì (d) nằm trong (P) nên u .n  0   1 - d
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2)
- Giải hệ (1) và (2) tìm đƣợc A,B theo C
- Suy ra phƣơng trình mặt phẳng(P). Bài tập minh họa
Bài 1: Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( 2
 ;3;1) và vuông góc với đƣờng thẳng đi qua hai điểm ( A 3;1; 2  ) : ( B 4; 3  ;1)
Hƣớng dẫn: : mặt phẳng (P) qua M ( 2;3;1) có véc tơ pháp tuyếnlà AB (1; 4;3) nên
có phƣơng trình là 1(x  2)  4(y  3)  3(z1)  0 hay  ( )
P : x  4y  3z11 0
Bài 2: Trong không gian Oxyz viết phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( 2  ;3;1) 0
và song song với mặt phẳng (Q): 4x  2y  3z 5  0
Hƣớng dẫn: : mặt phẳng (P) qua M ( 2
 ;3;1) có véc tơ pháp tuyếnlà 0 n n
(4; 2;3) nên có phƣơng trình là ( P) (Q) ( )
P : 4(x  2)  2( y  3)  3(z 1)  0 hay ( )
P : 4x  2 y  3z 11  0
Bài 3: Trong không gian Oxyz viết phƣơng trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB biết ( A 1;1; 1  ); ( B 5;2;1). Hƣớ  3 
ng dẫn: : mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm M 3; ; 0 0    2 
của đoạn AB và nhận véc tơ AB  (4;1; 2) là véc tơ pháp tuyếnnên có phƣơng trình  3  27
4(x  3)  y 
 2(z  0)  0 hay 4x  y  2z   0    2  2
Bài 4: Trong không gian Oxyz viết phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( 2  ;3;1) 0 x 1 y  3 z 4
và vuông góc với đƣờng thẳng (d):   2  1 3
Hƣớng dẫn: Vì P  (d) suy ra VTPTn VTCPu  ( 2  ;1;3). ( P) (d ) Do vậy ( ) P : 2
 (x 2) ( y 3) 3  ( z 1  ) 0 hay ( )P: 2  z y 3  z 1  0 0 
Bài 5: Trong không gian Oxyz viết phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( 2  ;3;1) 0
và vuông góc với hai mặt phẳng Q : x  3y  2z 1  0; R : 2x  y  z 1  0 Hƣớng dẫn:
(P)  (Q)  VTPT n  VTPT n  (1; 3  ;2) ( P) (Q)  Ta có
 VTPT n  n ,n   (1;5;7) ( P) (Q) ( R)  
(P)  (Q)  VTPT n  VTPT n  (2;1; 1  ) ( P) ( R)  Do vậy ( )
P : ( x 2) 5( y 3  ) 7  ( z 1
 ) 0 hay ( )P: z 5  y 7  z 2  0 0  .
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 13
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam x y z x 1 y z 1
Bài 6: Trong không gian oxyz cho hai đƣờng thẳng (d):   ; ()   1 1 2 2  1 1
Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với () Hƣớng dẫn:
Mặt phẳng (P)có cặp véc tơ chỉ phƣơng là u   (1;1;2)  (d) 
VTPT n  u ,u   ( 1  ; 5  ;3) ( P) (d ) ()   u   ( 2  ;1;1)  ()
Lại có M  (0;0;0)  d 0   Do vậy ( ) P : 1  (x 0) 5  ( y 0  ) 3  ( z 0  ) 0
 hay ( )P: x y 3  z 0 
Bài 7: Trong không gian Oxyz viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa đƣờng thẳng (d): x 1 y 1 z12   và đi qua điểm ( A 1;1; 1  ) 1 1  3  Hƣớng dẫn: Ta có M (1; 1
 ;12) d và VTCP u  (1; 1  ; 3  ) 0   (d )
Mặt phẳng (P)có cặp véc tơ chỉ phƣơng là M A  (0;2; 1  3)  0 
VTPT n  M , A u   ( 1  9; 1  3; 2  ) ( P) 0 (d )   u   (1; 1  ; 3  )  (d) Do vậy ( ) P : 1  9( x 1  ) 1  3( y 1  ) 2  ( z 1  ) 0  hay ( ): P 19 x 13  y 2  z 3 0 0  x 1 y z  2
Bài 8: Trong không gian oxyz cho đƣờng thẳng (d):   và mặt phẳng 2 1  3
(Q) : 2x  y  z1 0. Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa (d) và vuông góc với mặt phẳng (Q) Hƣớng dẫn: Ta có M (1;0; 2
 )d  và VTCP u  (2;1; 3  ) (d )
Mặt phẳng (P)có cặp véc tơ chỉ phƣơng là u   (2;1; 3  )  (d) 
VTPT n  u ,n   (4; 8  ;0) ( P) (d ) (Q)   n  (2;1;1)  (Q) Do vậy ( ) P : 4( x 1  ) 8  ( y 0  ) 0  ( z 2  ) 0  (  ) P : 2 x 4  y 2  0 
Bài 9: Trong không gian oxyz , viết phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm 
M 3,0,0; N 0,0, 
1 và tạo với mặt phẳng Oxy một góc . 3 Hƣớng dẫn:
Giả sử phƣơng trình mặt phẳng (P) có dạng Ax  By  Cz  D   2 2 2
0 A  B  C  0
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 14
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam 3
 A  D  0 D  3  A
Lại có M 3,0,0; N 0,0,  1 P nên  hay  C   D  0 C   3A
mặt phẳng (P) và mặt phẳng Oxy có các véc tơ pháp tuyến lần lƣơt là n   , A ,
B C , k  0,0,  1  . n k 
Mà mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng Oxy một góc nên cos  3 3 n k C 1 Suy ra  hay 2 2 2
4C  A  B . 2 2 2   2 A B C
Ta chọn A  1 suy ra C  3, D  3  , B   26 .
Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là x  26y  3z  3  0.
Bài 10: Trong không gian oxyz , viết phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm  1  7 3 A2, 1  ,0;B5,1, 
1 và khoảng cách từ điểm M 0, 0, 
đến măt phẳng P bằng .  2  18 Hƣớng dẫn:
Giả sử phƣơng trình mặt phẳng (P) có dạng Ax  By  Cz  D   2 2 2
0 A  B  C  0
2A  B  D  0
D  B  2A Lại có A2, 1  ,0;B5,1,  1 P nên  hay  5
 A  B  C  D  0 C   3  A  2B 1 C  D  1  7 3 2 7 3
Mà khoảng cách từ điểm M 0,0, 
đến măt phẳng P bằng nên  2  18 2 2 2   18 A B C 2 17 Suy ra
C  D   2 2 2 27 2
49 A  B  C  Do vậy B  
A hoặc B  A 5
Với B  A , ta chọn A  1 suy ra C  5  , D  1  , B 1 . 17 Với B  
A , ta chọn A  5 suy ra C  19, D  2  7, B  1  7 . 5
Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là x  y  5z 1  0,5x 17y 19z  27  0.
Bài 11: Trong không gian oxyz , cho mặt cầu S   x  2   y  2   z  2 : 3 2 1  9.Viết
phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M  1  , 2  , 3
  cắt mặt cầu S  theo đƣờng tròn có bán kính nhỏ nhất. Hƣớng dẫn:
Mặt cầu S  có tâm và bán kính lần lƣợt là I 3, 2  ,  1 , R  3.
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 15
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam Ta có IM  0, 1  , 
1 suy ra IM  2  R
Do đó, mặt phẳng (P) qua M luôn cắt mặt cầu S  theo một đƣờng tròn. Gọi r là bán
kính của đƣờng tròn và H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P). Vì tam giác
IHM vuông tại H nên IH  IM  2.. Dấu bằng sảy ra khi M  H.. Khi đó IM  P nên
là véc tơ IM  0, 1  , 
1 là pháp tuyến của mặt phẳng (P) . Từ đó suy ra phƣơng trình mặt
phẳng y  z 1  0.
Bài 12: Trong không gian Oxyz cho hai đƣờng thẳng (d) và () lần lƣợt có phƣơng trình: y  2 x  2 z  5 (d): x   z và () :  y  
. Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa  3 1 2 1
(d) và hợp với () một góc 0 30 . Hƣớng dẫn:
Gọi véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n   , A ,
B C  với điều kiện là 2 2 2
A  B  C  0
Đƣờng thẳng (d) có véc tơ chỉ phƣơng là u  1, 1  , 
1 và điểm M 0,2,0d  d
Suy ra M 0,2,0 P hay 2B  D  0 tức là D  2  B
Đƣờng thẳng ()có véc tơ chỉ phƣơng là u   và điể     2,1,  1
m M 3,2, 5  
Vì (d) nằm trong (P) nên u .n  0 . Suy ra A  B  C  0 hay B  A  . C d . n u 
2A  B  C 1 Lại có sin    2 2 2 6 n u   2 6 A B C A  C Suy ra 2 2  2A  AC  C  0    1 A  C  2
Với C  A , ta chọn A  1 suy ra C 1, D  4  , B  2 . 1 Với A  C      2
, ta chọn A  1 suy ra C 2, D 2, B 1 .
Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là x  2y  z  4  0, x  y  2z  2  0.
Bài 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):
x2  y2  z2  2x  4y  4  0 và mặt phẳng (P): x  z 3  0 . Viết phƣơng trình mặt phẳng
(Q) đi qua điểm M(3;1; 1
 ) vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) Hƣớng dẫn
Mặt cầu (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3;
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến P n  (1;0;1).
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 16
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam PT (Q) đi qua M có dạ 2 2 2
ng: A(x  3)  B(y 1)  C(z 1)  0, A  B  C  0 2 2 2
Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S)  d(I, Q ( ))  R  4
 A  B  C  3 A  B  C (*) Lại có Q
( )  (P)  Q n . P
n  0  A  C  0  C  A (**) 2 2 2 2 Từ (*), (**) suy ra
B  5A  3 2A  B  B 8
 7A 10AB  0 
A  2B  7A  4  B
 Với A  2B . Chọn B = 1, A = 2, C = –2 suy ra phƣơng trình (Q): 2x  y  2z  9  0  Với 7A  4
 B . Chọn B = –7, A = 4, C = –4 suy ra phƣơng trình (Q):
4x  7y  4z  9  0
Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là 2x  y  2z  9  0,4x  7y  4z  9  0.
Bài 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz., cho mặt cầu (S) có phƣơng trình
x2  y2  z2  2x  4y  6z 11 0 và mặt phẳng () có phƣơng trình 2x + 2y – z + 17 = 0.
Viết phƣơng trình mặt phẳng () song song với () và cắt (S) theo giao tuyến là đƣờng
tròn có chu vi bằng p  6 . Hƣớng dẫn
Do () // () nên () có phƣơng trình 2x + 2y – z + D = 0 (D  17)
(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đƣờng tròn có chu vi 6 nên có bán kính r = 3.
Khoảng cách từ I tới ( 2 2 2 2
) là h = R  r  5  3  4 2.1 2( 2  )  3  D  Do đó D D  7 4 5 12        2 2 2
D 17 (loaïi) 2  2  ( 1  )
Vậy () có phƣơng trình 2x  2y – z – 7  0 .
Bài 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz ,cho ba điểm A(1;1; 1  ) , B(1;1;2) , C( 1  ;2; 2
 ) và mặt phẳng (P): x  2y  2z 1  0 . Viết phƣơng trình mặt phẳng () đi qua
A vuông góc với mặt phẳng (P) cắt đƣờng thẳng BC tại I sao cho IB  2IC Hƣớng dẫn 2 2 2
Phƣơng trình ( ) có dạng: ax  by  cz  d  0 , với a  b  c  0 Do A(1;1; 1
 )()nên: a  b  c  d  0 (1);
Vì ()  (P) nên a  b 2  c 2  0 (2)
a  b  c 2  d
a  2b  c 2  d
Lại có IB  2IC  d(B,())  d 2 C ( ;())   2
a2  b2  c2
a2  b2  c2  a 3  b 3  c 6  d  0  (3) a b 5  c 2  d 3  0
Từ (1), (2), (3) ta có 2 trƣờng hợp sau :
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 17
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
a  b  c  d  0  1  3 
TH1 : a  2b  c 2  0  b 
a; c  a; d  a .
 a  b  c  d 2 2 3 3 6  0 
Chọn a  2  b  1  ;c  2  ;d  3
 () : 2x  y  2z  3  0
a  b  c  d  0  3 3 
TH2 : a  2b  c 2  0
 b  a;c  a;d  a .
a  b  c  d 2 2 5 2 3  0 
Chọn a  2  b  3;c  2;d  3
 () : 2x  y 3  2z 3  0
Vậy: ( ) : 2x  y  2z  3  0 hoặc ( ) : 2x  y 3  2z 3  0
Bài 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đƣờng thẳng (d) có phƣơng trình tham sx  2
  t; y   t
2 ; z  2  t
2 . Gọi  là đƣờng thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với
(d) và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phƣơng trình của mặt phẳng
chứa  và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất Hƣớng dẫn
Gọi (P) là mặt phẳng chứa , thì (P)
(d) hoặc (P)  (d) . Gọi H là hình chiếu vuông góc
của I trên (P). Ta luôn có IH  IA và IH  AH .
d(d,(P))  d(I,(P))  IH
Mặt khác H (P)
Trong (P), IH  IA; do đó maxIH = IA  H  A . Lúc này (P) ở vị trí (P0)  IA tại A. Vectơ pháp tuyến của (P
n  IA  6;0; 3
 , cùng phƣơng vớ v  2;0; 1  0) là   i  .
Phƣơng trình của mặt phẳng (P
2(  4) 1.( 1)  2   9  0 0) là: x z x z .
Bài 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x  2y  z  5  0 và x  y  z  đƣờng thẳng d 1 1 3 :   2 1
1 . Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa đƣờng thẳng d
và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất. Hƣớng dẫn Phƣơng trình 2 2 2
mặt phẳng (P) có dạng: ax  by  cz  d  0 (a  b  c  0) . Gọi
a  ((P), Q ( )) . M (P) c
  a  b Chọn hai điểm M( 1  ; 1
 ;3), N(1;0;4) d . Ta có:   N (P)   d  a 7  4b  3 
(P): ax  by  ( a 2  b z )  a 7  b 4  0  a b cos  . 6 a2
5  4ab  2b2 3 b 3 0
TH1: Nếu a = 0 thì cos  .   a  30 . 6 2b2 2
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 18
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam b 1 3  a b
TH2: Nếu a  0 thì cos  . . Đặt x  và f x 2 ( )  cos  6 b  b 2 a 5 4 2    a  a    9 x2  2x 1
Xét hàm số f (x)  . 6 . 5  4x  2x2 Dựa vào BBT, ta thấy f x 0 0
min ( )  0  cos  0  a  90  30
Do đó chỉ có trƣờng hợp 1 thoả mãn, tức a = 0. Khi đó chọn b 1,c 1,d  4 .
Vậy: (P): y  z  4  0 . x  y z 
Bài 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đƣờng thẳng d 1 2 :   2 1 2 và
điểm A(2;5;3) . Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất. Hƣớng dẫn Phƣơng trình mặ 2 2 2
t phẳng (P) có dạng: ax  by  cz  d  0 a
(  b  c  0).
(P) có VTPT n  (a;b;c) , d đi qua điểm M(1;0;2) và có VTCP u  (2;1;2) . M (P) a  c 2  d  0  c 2  (  2a  b) Vì (P)  d nên      . Xét 2 trƣờng hợp: n u .  0
2a  b  c 2  0
d  a  b
TH1: Nếu b = 0 thì (P): x  z 1  0 . Khi đó: d(A,(P))  0 .
TH2: Nếu b  0. Chọn b  1 ta đƣợc (P): a
2 x  2y ( a 2 1 z )  a 2  2  0. 9 9
Khi đó: d(A,(P))    3 2 a2 8  4a 2  5   a 1  3 2 2     2  2 1 1
Vậy max d(A,(P))  3 2  2a 
 0  a   . Khi đó: (P):  4   3  0 2 4 x y z .
Dạng 3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng
Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP u =(a,b,c)
Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng d là: x   0 x at  (d):  y   0 y bt với t R z  z   0 ct x  x y  y z  z
* Chú ý : Nếu cả a, b, c  0 thì (d) có PT chính tắc 0 0 0   a b c
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 19
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
* Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) thì cần phải biết 2
yếu tố đó là tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ VTCP của d.
Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B - Tính AB
- Viết PT đƣờng thăng đi qua A, và nhận AB làm VTCP
Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và // với đường thẳng (  )
- Từ phƣơng trình (  ) suy ra VTCP u
- Viết phƣơng trình dt(d) đi qua A và nhận u  làm VTCP
Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và  (P)
- Tìm VTPT của mp(P) là nP
- Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP u  d P n
Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2) - Từ (d ) suy ra véc tơ chỉ 1),(d2 phƣơng của 1
d , d2 lần lƣợt là 1 u , u2 - tính   1 u , u2   - Vì (d)  (d    1),(d2) nên có VTCP 1, d u u u2  
- Pt dt(d) đi qua A và có VTCP    1, d u u u2  
Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp (P) và (Q)
- Từ (P) và (Q) suy ra các véc tơ pháp tuyến nP , Q n
- Tính u  n ,  d P Q n   - Chọn điểm M   0 x , 0 y , 0
z  d  Khi đó, bộ ba (x0; y0 ;z0) thỏa mãn hệ phƣơng trình Ax + By + Cz +D =0   . ' ' ' '
A x  B y  C z  D  0
- Pt dt(d) đi qua M và có VTCP u d =[ n P , n Q].
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P)
Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P)
- Hình chiếu cần tìm d' = (P) (Q)
Cách 2: + Tìm A = d
(P) ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) )
+ Lấy M d và xác định hình chiếu H của M lên (P)
+ Viết phƣơng trình d' đi qua M, H
Dạng 8: Viết pt đường thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2:
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 20
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
Cách 1 : * Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đƣờng thẳng d1 * Tìm B = ( ) d2
* Đƣờng thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2 : - Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đƣờng thẳng d1
- Viết pt mặt phẳng (  ) đi qua điểm B và chứa đƣờng thẳng d2
- Đƣờng thẳng cần tìm d =  
Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3
- Viết phƣơng trình mp (P) song song d1 và chứa d2
- Viết phƣơng trình mp (Q) song song d1 và chứa d3
- Đƣờng thẳng cần tìm d = (P) ( ) Q
Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d1 và cắt d2
Cách 1 : - Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 - Tìm giao điểm B = ( ) d2
- Đƣờng thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2 : * Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1
* Viết pt mp ( ) qua A và chứa d1
* Đƣờng thẳng cần tìm d =  
Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp ( ) , cắt đường thẳng d'
Cách 1 : - Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( )
- Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d'
- Đƣờng thẳng cần tìm d = (P) ( ) Q
Cách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( ) * Tìm B = (P) d '
* Đƣờng thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B
Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho trước.
- Tìm giao điểm A=d1 (P) và B=d2 (P)
- Đƣờng thẳng d đi qua 2 điểm A, B
Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d' tại giao điểm I của (P) và d'.
- Tìm giao điểm I' = d' (P)
-Tìm VTCP u của d' và VTPT n của (P) và tính v  [u,n]
- Viết ptđt d qua I và có VTCP v
Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d1, d2 :
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 21
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam ' ' ' - Gọi M (    
N(x  a 't ', y  b't ', z  c 't ') d 0 x at, 0 y bt, 0 z ct) 1 d và 0 0 0 2 là các
chân đƣờng vuông góc chung của d1, d2 MN    1 d MN.u 0 - Ta có hệ 1     t,t '. MN  d  2
MN.u2  0
- Thay t, t' tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N.
Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1,d2 .
- Viết ptmp(Q) chứa d1 và vuông góc với mp(P)
- Viết ptmp(R) chứa d2 và vuông góc với mp(P)
- Đƣờng thẳng d = (Q) (R)
Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d1 .
- Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 - Tìm giao điểm B = ( ) 1 d
- Đƣờng thẳng cần tìm đi qua A, B 0 0
Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d  
1,tạo với d2 góc
(0 ;90 ) (= 300, 450, 600) 2 2 2
- Gọi VTCP của d là u  ( ; a ;
b c),dk : a  b  c  0
- Vì d  d  . u  =>phƣơng trình (1) 1 u 0 1 . u u2 - Vì cos  => phƣơng trình (2) u . u2
-Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d. . u u 0 0 P
( chú ý : nếu thay giả thiết là d tạo với mp(P) góc  (0 ;90 ) thì có sin  ) u . uP 0 0
Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d   1 góc (0 ;90 ) . 2 2 2
- Gọi VTCP của d là u  ( ; a ;
b c),dk : a  b  c  0 - Vì d//(P) nên .
u n p  0 => phƣơng trình (1). . u 1 u
- Vì cos(d, d ) 
 cos nên có phƣơng trình (2). 1 u . 1 u
- Giải hệ phƣơng trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.
-viết ptđt d đi qua A, có vtcp u  ( ; a ; b c)
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 22
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam 0 0
Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d   1 góc (0 ;90 ) . 2 2 2
- Gọi VTCP của d là u  ( ; a ;
b c),dk : a  b  c  0 - Vì d(P) nên .
u n p  0 => phƣơng trình (1). . u 1 u
- Vì cos(d, d ) 
 cos nên có phƣơng trình (2). 1 u . 1 u
- Giải hệ phƣơng trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.
- viết ptđt d đi qua A, có vtcp u  ( ; a ; b c)
Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuông góc d1 và khoảng cách từ M đến d bằng h. 2 2 2
- Gọi VTCP của d là u  ( ; a ;
b c),dk : a  b  c  0 - Vì d  d nên .
u n  0 => phƣơng trình (1). 1 1 [u, AM ]
- Vì d (M , d )  h 
 h => phƣơng trình (2). u
- Giải hệ phƣơng trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.
- viết ptđt d đi qua A, có vtcp u  ( ; a ; b c) Ví dụ minh họa x  y  z 
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đƣờng thẳng d 1 1 2 :   2 1 3 và
mặt phẳng P : x  y  z 1  0 . Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  đi qua A(1;1; 2  ) song
song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đƣờng thẳng d. x  y  z 
Hƣớng dẫn: Đƣờng thẳng d 1 1 2 :   2 1
3 có véc tơ chỉ phƣơng là  d u (2,1,3)và
mặt phẳng P : x  y  z 1  0 có véc tơ pháp tuyến là    P n (1; 1; 1)
Suy ra  nhận u     d u ; P n (2;5; 3  )  làm VTCP
x 1 y 1 z  2
Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng là:  :   2 5 3 
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đƣờng thẳng : x 1 y 1 z   2 1
1. Lập phƣơng trình của đƣờng thẳng d đi qua điểm M cắt và vuông góc  với .
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 23
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam x 1 y 1 z
Hƣớng dẫn: Đƣờng thẳng   có véc tơ chỉ 2 1 1 phƣơng là    d u (2,1, 1)
Gọi H = d  . Giả sử H(1 t 2 ; 1   t; t
 ) Khi đó, MH  ( t
2 1;t  2; t  ).
Vì d  nên MH  u  2( t 2 1)  t (  2) ( t  )  0  t 2  3 x  2  t  Suy ra d u  M 3 H  (1; 4  ; 2
 ) và phƣơng trình đƣờng thẳng d: y  1 4t . z  2t
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi A, B, C lần lƣợt giao điểm của mặt phẳng
P: 6x 2y 3z 6  0 với Ox,Oy, Oz. Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua tâm
đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P) Hƣớng dẫn
Ta có: (P) Ox  A(1;0;0); (P) Oy  B(0;3;0); (P) Oz  C(0;0;2)
Gọi  là đƣờng thẳng vuông góc (OAB) tại trung điểm M của AB; () là mặt phẳng trung  
trực cạnh OC; I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Ta có: I    (a )  I 1 3  ; ;1 2 2  .  
Gọi J tâm đƣờng tròn ngoại tiếp ABC thì IJ  (ABC) , nên d chính là đƣờng thẳng IJ . x 1   6t  2   3
Phƣơng trình đƣờng thẳng d: y   2t  2 .
z 1 t3
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1;2; 1
 ),B(2;1;1);C(0;1;2) và x  y  z  đƣờng thẳ d 1 1 2 :   2 1
. Lập phƣơng trình đƣờng thẳng  đi qua trực tâm của  2
tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đƣờng thẳng d Hƣớng dẫn Ta có AB  (1; 1  ;2), AC  ( 1  ; 1
 ;3)  AB, AC  ( 1  ; 5  ; 2  )
phƣơng trình mặt phẳng (ABC): x  y 5  2z  9  0
Gọi trực tâm của tam giác ABC là H(a;b;c) , khi đó ta có hệ: BH.AC  0
a  b  c 2  3 a  2 C  H.AB 0  a b c 3 0      
 b 1  H(2;1;1)
H ABC a  b 5  c 2  9 c  1   
Do đƣờng thẳng . nằm trong (ABC) và vuông góc với (d) nên: u   n  ABC   u  n   ABC, d u   (12;2; 1  1) u  .    d u
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 24
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
x  2 y 1 z 1
Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng  :   12 2 1  1
Bài5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2; 1; 0) và đƣờng thẳng d có x  y  z phƣơng trình d 1 1 :   2 1
1 . Viết phƣơng trình của đƣờng thẳng . đi qua điểm M 
cắt và vuông góc với đƣờng thẳng d Hƣớng dẫn Ta có u (2;1; 1)  
 . Gọi H = d  . Giả sử H(1 t 2 ; 1   t; t
 )  MH  ( t
2 1;t  2; t  ). MH  u    2( t 2 1)  t (  2) ( t  )  0 t 2    3  (1; 4  ; 2  ) 3 d u MH x  2  t  
d: y  1 4t z  2t x y  z 
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho đƣờng thẳng d 1 1 :   1 2 1 và hai điể  m A(1;1; 2  ), B( 1
 ;0;2). Viết phƣơng trình đƣờng thẳng b qua A vuông góc với d sao cho
khoảng cách từ B tới b là nhỏ nhất Hƣớng dẫn d có VTCP d u  (1;2; 1
 ) . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của B lên (P) khi đó đƣờng thẳng b đi qua A và H thỏa YCBT.
Ta có: (P): x  2y  z  5  0 . Giả sử H(x; y; z) . H (P)   Ta có:  H 1 8 2  ; ; u 3AH ( 2;5;8) BH,       d u cuøng phöông  3 3 3 
x 1 y 1 z  2 Vậy phƣơng trình b:   2 .  5 8
Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1; 5; 0) B(3; 3; 6) và đƣờng
x 1 y 1 z thẳng : 
 . Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua điểm B và cắt đƣờng 2 1  2
thẳng  tại điểm C sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất. Hƣớng dẫn x  1   2t 
Phƣơng trình tham số của : y  1 t
. Điểm C thuộc  nên C( 1   t 2 ;1 t; t 2 ) . z  2t AC  ( 2   t 2 ; 4   t; t 2 ); AB  (2; 2
 ;6); AC, AB  ( 2  4  t 2 ;12  t 8 ;12  t 2 )
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 25
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam 1
 AC AB  t2 , 2 18  3 t
6  216 S  AC, AB   ≥ 198 2  = t 2 18( 1) 198
x  3 y  3 z  6
Vậy Min S = 198 khi t  1 hay C(1; 0; 2) Phƣơng trình BC:   2 .  3  4 
Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(3; 1  ;1) đƣờng thẳng x y  2 z  :   ( ) : –  5   0 1 2
2 và mặt phẳng P x y z
. Viết phƣơng trình của đƣờng thẳng d đi 0
qua điểm A nằm trong ( P) và hợp với đƣờng thẳng  một góc 45 Hƣớng dẫn Gọi d
u , u lần lƣơt là các VTCP của d và  ; P n là VTPT của ( P). Đặ 2 2 2 t d
u  (a;b;c), (a  b  c  0). Vì d nằm trong ( P) nên ta có : P n  d u
 a –b  c  0  b  a  c ( 1 ).
a  2b  c 2 2 2 2 2 2 Theo gt: d 0 ( ,)  45  
 2(a  2b  c)  9(a  b  c ) (2)
a2  b2  c2 2 .3 2 a 15
Thay (1) vào ( 2) ta có : 1 c
4  30ac  0  c  0; c   7 x  3  t 
+ Với c  0 : chọn a  b  1, PTTS của d là : y  1–  t z 1 a x  3  t 7  + Với c 15    7,  1  5,  8  y  1  – t 8 7 : chọn a c b ,.PTTS của d là: .
z 1– t 15
x  3 y  2 z 1
Bài 9: Trong không gian toạ độ Oxyz cho đƣờng thẳng d:   2 1 1 và mặt 
phẳng (P): x  y  z  2  0 . Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phƣơng trình đƣờng
thẳng  nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới  bằng 42 Hƣớng dẫn
x  3  2t  PTTS d: y  2
  t  M(1; 3  ;0). (P) có VTPT P
n  (1;1;1), d có VTCP d u  (2;1; 1  ) z  1   t 
Vì  nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP u   d u , P n  (2; 3  ;1)   
Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên  , khi đó MN  (x 1; y  3; z) .
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 26
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam MN  u  
x  y  z  2  0 
Ta có N  (P)
 2x  3y  z 11  0
 N(5; –2; –5) hoặc N(–3; – 4; 5)  MN  42 (  x 2 1)  (y 2  3)  z2  42 
x  5 y  2 z  5
Với N(5; –2; –5)  Phƣơng trình của  :   2 3  1 
x  3 y  4 z  5
Với N(–3; – 4; 5)  Phƣơng trình của  :   2 3 .  1
Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ): x  y  z 1  0 , hai x 1 y z x y z 1 đƣờng thẳng ():     1 , ():
. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d)  1  1 1 1 3
nằm trong mặt phẳng ( ) và cắt (); (d) và () chéo nhau mà khoảng cách giữa chúng 6 bằng 2 . Hƣớng dẫn
() có VTPT n  (1;1; 1  ), () có VTCP u ( 1; 1;1)      ()  (). Gọi A  ( )
 (a )  A(0;0; 1  ) ; B  ( )
 (a )  B(1;0;0)  AB  (1;0;1)
Vì (d)  () và (d) cắt () nên (d) đi qua A và ()  () nên mọi đƣờng thẳng nằm
trong () và không đi qua B đều chéo với (). Gọi d
u  (a;b;c) là VTCP của (d)  d u n
.  a  b  c  0 (1) và d
u không cùng phƣơng với AB (2) AB,   2 2 d u  6 2  (  ) 6 Ta có: d d ( , )
  d(B,d)    b a c  2 2 (3) d u
a2  b2  c2 a  0
Từ (1) và (3)  ac  0   . c  0 x  0  
Với a  0 . Chọn b  c  1  d
u  (0;1;1)  d : y  t z  1   t x  t  
Với c  0 . Chọn a  b  1  d u  (1; 1
 ;0)  d : y  t . z  1 
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 27
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua x  5  t 3 1 
x  2 y 1 z 1 điểm M  4  ; 5
 ;3 và cắt cả hai đƣờng thẳng: d : y  7   2t 1 1 và d2 :   . z  t 2 3 5   1 Hƣớng dẫn x  5  t 3 1
x  2  2t  2 
Viết lại phƣơng trình các đƣờng thẳng: d : y  7   2t 1 1 , d : y  1   t 2 3 2 . z  t   1 z  1 t 5  2
Gọi A  d  d ,B  d  d 1
2 suy ra A(5  t 3 ; 7   t 2 ;t 1 1 1) , B(2  t 2 ; 1   t 3 ;1 t 2 2 5 2). MA  ( t 3  9; t 2  2;t 1 1
1  3) , MB  ( t 2  6; t 3  4; t 2 2 5 2 2)
MA,MB  ( 1  t 3 t  t 8 1 t 3 16; 1  t 3 t  3 t 9 ; 1  t 3 t  2 t 4  3 t 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2  48) t  2
M, A, B thẳng hàng  MA, MB cùng phƣơng  MA, MB  0  1 t2  0  A( 1  ; 3  ;2),B(2; 1
 ;1)  AB  (3;2; 1  ) x  4   t 3 
Đƣờng thẳng d qua M(–4; –5; 3) và có VTCP AB  (3;2; 1
 ) hay d : y  5   t 2
z  3 t
Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đƣờng thẳng 1  , 2  và mặt phẳng ( x  2  t  
x 1 y 1 z  2
) có phƣơng trình là  : y  5  t 3 ,  :  
, () : x  y  z 1 2  2  0 . Viết z  t 1 1 2 
phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua giao điểm của 1
 với ( ) đồng thời cắt 2  và vuông góc với trục Oy Hƣớng dẫn x  2  t t  1  y  5 t 3 x 1
Toạ độ giao điểm A của ( ) và 1  thoả mãn hệ     A(1;2; 1  ) z  t y  2  
x  y  z  2  0 z  1 
Trục Oy có VTCP là j  (0;1;0) . Gọi d là đƣờng thẳng qua A cắt 2  tại B(1 t; 1   t; 2   t 2 ) AB  t ( ;t 3; t
2 1);d  Oy  AB j  0  t  3  AB  (3;0;5) x  1 u 3 
Đƣờng thẳng d đi qua A nhận AB  (3;0;5) làm VTCP có phƣơng trình là y  2 . z  1   u 5 
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 28
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam  x  1 t 
Bài 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đƣờng thẳng d : y  1 2t 1 đƣờng z 1 2t 
thẳng d2 là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y –1  0 và (Q): 2x  y  2z –5  0 .
Gọi I là giao điểm của d ,d
1 2 . Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d3 qua điểm A(2; 3; 1)
đồng thời cắt hai đƣờng thẳng d ,d
1 2 lần lƣợt tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I. Hƣớng dẫn PTTS của d
x  t y    t z   t 2 : '; 1 2 ';
3 2 ' . I  d  d 1 2 nên I(1;1;1) .
Giả sử: B(1 t;1 t 2 ;1 t 2 )d ,C t ( '; 1   t 2 ';3 t 2 ')d t (  0, t 1 2 ' 1)  IB  IC BIC cân đỉ t  1 nh I 
Phƣơng trình d x  y  z   t [   
 AB , AC ]  0 t '  2 3 : 2; 3; 1 2
Bài 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng và hai đƣờng thẳng có
x  5 y  3 z 1
phƣơng trình (P): 3x 12y  z
3  5  0 và (Q): 3x  4y  9z  7  0 (d   1): 2 4  3
x  3 y 1 z  2 (d   2): 2
. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng () song song với hai mặt phẳng  3 4
(P), (Q) và cắt (d1), (d2). Hƣớng dẫn (P) có VTPT P
n  (1; 4; 1), (Q) có pháp vectơ Q n  (3;  4; 9) (d     1) có VTCP u1
(2; 4; 3), (d2) có VTCP u2 ( 2; 3; 4) (
  )  (P)  Q 1 ( ) (
 P )  (d ),(P ) (P) Gọi: 1 1 1  Q ( )  (d ), Q ( )
Q  () = (P1)  (Q1) và () // (1) 1 2 1 ( ) u   u  1 1
() có vectơ chỉ phƣơng u  [ P n ; Q
n ]  (8;  3;  4) 4 (P  [ ; ]  (25; 32; 26)
1) có cặp VTCP u1 và u nên có VTPT: P n u u 1 1 Phƣơng trình mp (P
25  32  26  55  0
1): 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0 x y z (Q  [ ; ]  (0; 24; 18)
1) có cặp VTCP u2 và u nên có VTPT: Q n u u 1 2 Phƣơng trình mp (Q
0( 3)  24( 1) 18(  2)  0  4 3 10  0 1): x y z y x 2
 5x  32y  26z  55  0
Ta có: ()  (P )  Q 1
( 1)  phƣơng trình đƣờng thẳng () :  . 4y  z 3 10  0
Bài 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x  y  z 1  0 và hai đƣờng thẳng
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 29
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
x 1 y  2 z d  3
x 1 y 1 z  2 1 :   d :   2 1 3 2 2 3 2 .
Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  song song với (P) vuông góc với d1 và cắt d2 tại điểm
E có hoành độ bằng 3 Hƣớng dẫn
d1 có VTCP u1  (2;1;3), d2 có VTCP u2  (2;3;2), (P) có VTPT n  (2; 1  ;1).
Giả sử  có VTCP u  (a;b;c) , E  d2 có xE  3 suy ra E(3; 1  ;6).  (P) u n .  0
2a  b  c  0   
Ta có:   d  u u    a c  Chọn u  (1;1; 1  )  1 .  1  0
2a  b  c 3  0 b  c
PT đƣờng thẳng : x  3 t; y  1
  t; z  6  t .
Bài 16: Trong không gian Oxyz cho hai đƣờng thẳng (d ),(d 1 2) và mặt phẳng (P) có
x 1 y  2 z phƣơng trình: (d1):   1 2 1
x  2 y 1 z d 1 ( 2):   ( ) :   2  5  0 2 1 1 ; P x y z
. Lập phƣơng trình đƣờng thẳng (d) song
song với mặt phẳng (P) và cắt (d ),(d 1
2) lần lƣợt tại A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất Hƣớng dẫn Đặt A( 1   a; 2   a
2 ;a), B(2  b
2 ;1 b;1 b) AB  (a  b 2  3; a
2  b  3;a  b 1)
Do AB // (P) nên: AB  P n  (1;1; 2
 )  b  a  4 . Suy ra: AB  (a  5;a 1; 3  ) AB  a 2   a 2 2     a2  a   a 2 ( 5) ( 1) ( 3) 2 8 35 2(  2)  27  3 3 a  2
Suy ra: min AB  3 3  
, A(1;2;2) , AB  ( 3  ; 3  ; 3  ). b  2  x  y  z  Vậy d 1 2 2 :   1 1 1 .
Bài 17: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua x 1 y z  2 A(0; 1
 ;2) cắt đƣờng thẳng 1  :   2 1
1 sao cho khoảng cách giữa d và đƣờng  x  5 y z thẳng 2  :   2 2 là lớn nhất.  1 Hƣớng dẫn
Gọi M  d  1  . Giả sử M( 1   t
2 ;t;2  t).VTCP của d : d
u  AM  ( t 2 1;t 1; t  ) 2
 đi qua N(5;0;0) và có VTCP v (2; 2;1)    ; AN  (5;1; 2  ); v ;  d u   t ( 1; t 4 1; t 6 )  
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 30
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam v ,   d u .AN  (2  t 2 d  d ) ( , )   3.  3. f t 2 ( ) v 2 ,   d u  5 t 3 1 t 0  2  (2  t 2 ) Xét hàm số f t ( )  . Ta suy ra đƣợc f t  f 4 26 max ( ) ( )  5 t2 3 1 t 0  2 37 9 Ta có max(d( ,
 d))  26 Phƣơng trình đƣờng thẳng d: x  2 t 9 ; y  1   4 t
1 ; z  2  t 4
Bài 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1),đƣờng thẳng : x y  2 z       1 2
2 và mặt phẳng (P): x y z 5 0. Viết phƣơng trình tham số của đƣờng 0
thẳng d đi qua A nằm trong (P) và hợp với đƣờng thẳng  một góc 45 . Hƣớng dẫn Gọi d u ,u ,  P
n lần lƣợt là các VTCP của d,  và VTPT của (P). 2 2 2 Giả sử d
u  (a;b;c) (a  b  c  0) . + Vì d  (P) nên d u  P
n  a  b  c  0  b  a  c (1) 
a  2b  c 2 2 d, 0 2 2 2 2 +  45    2(a  b
2  c)  9(a  b  c ) (2)
a2  b2  c2 2 3 2 c  0 Từ (1) và (2) ta đƣợc: 1 c 4  3 a
0 c  0  1 a5 c7  0
+ Với c = 0: chọn a = b = 1  PTTS của d: x  3  t; y  1
  t; z 1
+ Với 15a + 7c = 0: chọn a = 7, c = –15, b = –8
 PTTS của d: x  3 t 7 ; y  1   t 8 ; z 11 t 5 .
Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua
x 1 y  2 z  2 A( 1  ;0; 1
 ) cắt đƣờng thẳng 1  :   2 1
1 sao cho góc giữa d và đƣờng thẳng 
x  3 y  2 z  3 2  :   1
là lớn nhất (nhỏ nhất).  2 2 Hƣớng dẫn
Gọi M  d  1
 . Giả sử M(1 t 2 ;2  t; 2   t) . VTCP của d : d
u  AM  ( t 2  2;t  2; 1
  t) . Gọi a  (d, 2  ). 2 t2 2 cos  . . f t ( ) 3 t2 6 1 t 4  9 3 t2 Xét hàm số f t ( )  . Ta suy ra đƣợc f t  f 9 9 max ( )
( )  ; min f t()  f (0)  0 t2 6 1 t 4  9 7 5
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 31
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam x 1 y z 1
a) min(cos)  0  t  0 Phƣơng trình đƣờng thẳng d :   2 2 1  2 5 x 1 y z 1 b) max(cos )   t 9     5
7 Phƣơng trình đƣờng thẳng d : 4 5 2
Bài 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ABC với A(1; 1  ;1) và hai đƣờng x y 1 z  2 x  1 t 
trung tuyến lần lƣợt có phƣơng trình là d1 :   d : y  0 2 3 , . Viết phƣơng  2 
2 z 1t
trình đƣờng phân giác trong của góc A. Hƣớng dẫn
Ta có A  d , A  d 1
2 . Gọi M  d , N  d 1
2 lần lƣợt là trung điểm AC, AB. 1
N(1–t;0;1 t) B(1– t 2 ;1;1 t
2 ) . B d  t 1  B(0;1;2) 2 1 M( t 2 ;1 t 3 ;2  t 2 ) C t (4 –1;3 – t 6 ;3 – t
4 ) . C d  t   C 2 (1;0;1) 2
Ta có: AB  6, AC  1. Gọi AD là đƣờng phân giác trong của góc A thì DB   6DC     D 6 1 2  6    ; ;   , AD 1 2 6 1   ; ;    1 6; 1 6 1 6      1 6 1 6 1 6  x 1 y 1 z 1
Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng AD là:   1 ..  2  6 1
Dạng 4: Phƣơng trình mặt cầu
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2
 ;3) . Viết phƣơng trình mặt
cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy.
Hƣớng dẫn: Gọi M là hình chiếu của I(1; 2
 ;3) lên Oy, ta có: M(0; 2  ;0). IM  ( 1  ;0; 3
 )  R  IM  10 là bán kính mặt cầu cần tìm. 2 2 2
Kết luận: PT mặt cầu cần tìm là (x 1)  (y  2)  (z  3)  10 .
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1; –2; 3) và đƣờng thẳng d có
x 1 y  2 z  3 phƣơng trình   2 1
1 . Viết phƣơng trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với d.  BA,a 4 196 100
Hƣớng dẫn: Ta có d(A, (d)) =   5 2 a 4 11 2 2 2
PT mặt cầu tâm A (1; –2; 3), bán kính R = 5 2 : (x –1)  (y  2)  (z –3)  50 x  y  z
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đƣờng thẳng d 5 7 :   2 2 và  1
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 32
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
điểm M(4;1;6) . Đƣờng thẳng d cắt mặt cầu (S) có tâm M tại hai điểm A, B sao cho
AB  6. Viết phƣơng trình của mặt cầu (S).
Hƣớng dẫn: d đi qua N( 5
 ;7;0) và có VTCP u  (2; 1  ;1); MN  ( 9  ;6; 6  ) .
Gọi H là chân đƣờng vuông góc vẽ từ M đên đƣờng thẳng d MH = d(M,d)  3 .  AB 2 2 2 
Bán kính mặt cầu (S): R  MH     18 .  2   2 2 2
PT mặt cầu (S): (x  4)  (y 1)  (z  6)  18
Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phƣơng trình mặt cầu (S) biết rằng mặt
phẳng Oxy và mặt phẳng (P): z  2 lần lƣợt cắt (S) theo hai đƣờng tròn có bán kính bằng 2 và 8.
Hƣớng dẫn: Từ giả thiết ta có vô số mặt cầu (S) thoả YCBT. Gọi (S0) là mặt cầu có tâm I m
0(0;0; ) thuộc trục Oz. Khi đó mp(Oxy) và mp(P) cắt (S ) theo 2 đƣờ 0 ng tròn tâm O  O 1
(0;0;0) , bán kính R1  2 và tâm O2(0;0;2) , bán kính R2  8.
R  2  m2 2 2 2 2
Gọi R là bán kính mặt cầu thì 
 4  m  64  (m  2)  m  16
R  8  m 2 2 2  2
 R  2 65 và I0(0;0;16). Suy ra mặt cầu (S) có tâm I(a;b;16) (a, b  R), bán kính R  2 65 . 2 2 2
Vậy phƣơng trình mặt cầu (S): (x  a)  (y  b)  (z 16)  260 (a, b  R).
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x  y  2z  2  0 và x y 1 z  2 đƣờng thẳng d:   1
. Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách  2 1
(P) một khoảng bằng 2 và (P) cắt (S) theo một đƣờng tròn (C) có bán kính bằng 3.
Hƣớng dẫn: Giả sử I( t  ; t
2 1;t  2)d , R là bán kính của (S), r là bán kính của (C). t 1   6 2 2 2
Ta có: d(I,(P))  2   t 6  5  6 hay 
. R  d(I,(P)  r  13 t 11    6   2 2 2  1   2   13  + Với t 1    
            13 6 , I 1 2 13 ; ; 6 3 6  , (S): x y z    6   3   6    2 2 2  11  14   1  + Với t 11                 13 6 , I 11 14 1 ; ; 6 3 6  ,(S): x y z    6   3   6 
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 33
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
x 1 y 1 z
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đƣờng thẳng d:   3 1 1 và mặt
phẳng (P): 2x  y  2z  2  0 . Lập phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đƣờng
thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1). Hƣớng dẫn: 2
Gọi I là tâm của (S). I  d  I(1 t 3 ; 1
  t;t). Bán kính R = IA = 1 t 1  t 2 1 . t 5  3
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên: d(I,(P))   R 3
t  0  R  1  2 3 t 7  2 t 4  0   . t 24   R 77   37 37
Vì (S) có bán kính nhỏ nhất nên chọn t = 0, R = 1. Suy ra I(1; –1; 0). 2 2 2
Vậy phƣơng trình mặt cầu (S): (x 1)  (y 1)  z  1.
Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  2y  2z 10  0 ; hai x  2 y z 1 đƣờng thẳng (   1): 1 1 1 
x  2 y z  3 (   2): 1 1
4 . Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm thuộc (1) tiếp xúc với (2) và mặt phẳng (P). x  2  t 
Hƣớng dẫn:  : y  t 1 ; 2
 đi qua điểm A(2;0; 3
 ) và có VTCP u2  (1;1;4).
z 1 t
Giả sử I(2  t;t;1 t) 1
 là tâm và R là bán kính của mặt cẩu (S). AI,u   2  t 5  4 Ta có: AI  t
( ;t;4  t) AI,u   ( t 5  4;4  t  2 5 ;0)  d(I, 2  )   u 3 2  t  t   t  t  Hơn nữa, d I P 2 2 2(1 ) 10 10 ( ,( ))   1 4  4 3 t 7  (S) tiếp xúc với  2
 và (P) d(I, )  d(I,(P 2 )) suy ra t
5  4  t 10 và 2 .  t  1   2 2 2  11  7   5  81 Với t 7      
          2 , I 11 7 5 ; ; 2 2
2  , R 9 PT mặt cầu (S): x y z .   2  2   2   2  4 2 2 2 Với t  1  , I(1; 1
 ;2),R  3 PT mặt cầu (S): (x 1)  (y 1)  (z  2)  9
Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 34
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
giác ABC vuông tại A,đỉnh A trùng với gốc tọa độ O,B(1; 2; 0) và tam giác ABC có diện
tích bằng 5. Gọi M là trung điểm của CC’. Biết rằng điểm A(0; 0; 2) và điểm C có tung
độ dƣơng. Viết phƣơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCM.
Hƣớng dẫn: Ta có: AB  5 và S ABC 5   nên AC  2 5 .
Vì AA’  (ABC) và A, B  (Oxy) nên C  (Oxy).
Gọi C(x; y;0) . AB  (1;2;0), AC  (x; y;0) . AB  AC
x  2y  0 x  4  x  4 Ta có:       . Vì  nên C(–4; 2; 0) . AC  2 5
x2  y2  20 y 2   y  2  C y 0
Do CC '  AA' nên C(–4; 2; 2), BB'  AA' suy ra B(1; 2; 2) và M là trung điểm CC nên M(–4; 2; 1). 2 2 2
PT mặt cầu (S) đi qua A, B’, C’ và M có dạng: (S) : x  y  z  2x  2by  c 2 z  d  0
A(0;0;0)(S)
B'(1;2;2)(S)   a 3  ;b 3   ;c 3   ;d  0 2 2 2     0 C '( 4  ;2;2)(S) 2 2 2 (thoả a b c d )  M( 4  ;2;1)(S) 2 2 2
Vậy phƣơng trình mặt cầu (S) là: (S) : x  y  z  3x  y 3  z 3  0.
Dạng 5: Vị trí tƣơng đối hai mặt phẳng, hai đƣờng thẳng, đƣờng thẳng và mặt
phẳng, đƣờng thẳng và mặt cầu, mặt phẳng và mặt cầu.
Một số lƣu ý khi giải toán
-Cần nhớ và sử dụng thành thạo các công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt
phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
-Áp dụng lý thuyết về sự tƣơng đối của đƣờng thẳng, mặt phẳng, mặt cầu. Ví dụ minh họa
Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz , tìm m để hai mặt phẳng
P:5x y 3z 2  0,Q:2xmy 3z 1 0vuông góc với nhau.
Hƣớng dẫn: Hai mặt phẳng P:5x  y 3z  2  0,Q: 2x  my 3z 1 0 có véc tơ pháp
tuyến lần lƣợt là n  5,1,   3 , n  1, , m  1 P Q
Để P  Q thì n  n . Từ đó suy ra n .n  0 và giá trị m cần tìm là m  19.  P Q P Q
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và
mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt
cầu (S) theo một đƣờng tròn. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đƣờng tròn đó. Hƣớng dẫn:
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 35
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam 2(1)  2(2)  3  4
Mặt cầu có I (1; 2; 3); R = 1 4  9 11  5 ; d (I; (P)) =  3 < R = 5. 4  4 1
Vậy (P) cắt (S) theo đƣờng tròn (C) x  1 2t 
Phƣơng trình d qua I, vuông góc với (P) : y  2  2t z  3  t 
Gọi J là tâm, r là bán kính đƣờng tròn (C). J  d  J (1 + 2t; 2 – 2t; 3 – t)
J  (P)  2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – 3 + t – 4 = 0  t = 1 2 2
Vậy tâm đƣờng tròn là J (3; 0; 2) , bán kính r = R  IJ  4
Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz , tìm m để góc tạo bởi hai mặt phẳng  
P : mx  2y  mz 12  0,Q : x  my  z  7  0 có giá trị bằng . 4
Hƣớng dẫn: Hai mặt phẳng P: mx  2y  mz 12  0,Q: x  my  z  7  0 có véc tơ pháp
tuyến lần lƣợt là n   ,
m 2, m, n  1, , m  1 P Q   Để 4m
góc tạo bởi hai mặt phẳng P,Q bằng thì cos  4 2 2 4 2m  4 m 1 Từ đó suy ra 2
4 m  m  2 và giá trị m cần tìm là m  2   2
Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai đƣờng thẳng x  2 y 1 z  3 x  3 y 1 z 1 (d ) :   và (d ) :   . 1 2 1 2  2 2 2  1
Chứng minh (d ) , (d ) chéo nhau. Tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng đó 1 2 Hƣớng dẫn: Ta có a  2;1; 2  ,b  2; 2  ; 
1 lần lƣợt là các VTCP của (d ) và (d ) . 1 2 Ta có: A2;1;3  (d ) và B3; 1  ;  1 (d ) và AB1; 2  ; 2  . 1 2 1 2  2  Do đó: a,b.AB  2 1 2   21  0.   2 2  1
Suy ra: AB, a, b không đồng phẳng. Vậy (d ) và (d ) chéo nhau. 1 2 2 2 2 2 1 2  2  2 2 1 Ta có: a,b     81 a,b  9.     2  1 1 2 2 2 
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 36
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam a,b.AB   7 Vậy: d d ,d   . 1 2    3 a,b  
Bài 5: Trong không gian cho hai mặt phẳng  P và Q lần lƣợt có phƣơng trình là:
P: 2xmy 3z 6m  0 và Q: m 
3 x  2y  5m  
1 z 10  0 . Với giá trị nào của
m thì hai mặt phẳng đó song song? Hƣớng dẫn:
Để hai mặt phẳng song song nhau thì:     2 m 1; m 4
m  3m  4  0  2 m 3 6  m   6 2     5
 m  m  6  0  m 1; m    vô nghiệm m  3 2 5m 1 10 5  
10m  12  2m  m  1 
Vậy không tồn tại giá trị m để hai mặt phẳng P và Q song song.
Bài 6: Cho hai mặt phẳng  P và họ mặt phẳng Q có phƣơng trình:  , 
P: x  y  z 3  0;Q : x y 2z 5   x2y  z 4  0  ,     
Chứng tỏ rằng P và Q   
luôn vuông góc với nhau với mọi và . ,  Hƣớng dẫn: Ta có:
P: x  y  z 3  0có VTPT là n  1,1,  1
Q : x y2z 5  x2y z 4  0  ,       Q
:    x    2 y  2   z  5  4  0  ,       
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 37
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam Khi đó Q
            có VTPT là: n '  , 2 , 2  ,  Ta thấy: . n n '   1       1   2  1 2       0
Suy ra: P  Q   (đpcm)  với mọi và , 
Dạng 6: Bài toán về điểm
Bài 1: Trong không gian với
hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;4;1). Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng
(P): x  y  z 1  0 để MAB là tam giác đều. Hƣớng dẫn:
Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB  (Q): x  y  z  3  0
Vì d là giao tuyến của (P) và (Q) nên d: x  2; y  t 1; z  t 2
Do M  d  M(2;t 1;t)  AM  t 2  t 8 11.
Vì AB = 12 nên  MAB đều khi MA = MB = AB  
 t2  t    t 4  18 2 8 1 0   M 6  18 4  18 2; ;  2  2 2 
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3;5;4) , B(3;1;4) . Tìm tọa
độ điểm C thuộc mặt phẳng (P) : x  y  z 1 0 sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 2 17 . Hƣớng dẫn:
Giả sử: C(x; y; x  y 1)(P). AB  4. 2 2 2 2 2 2
Mà AC  BC  (x  3)  (y  5)  (x  y  5)  (x  3)  (y 1)  (x  y  5)  y  3
Gọi I là trung điểm AB, khi đó I(3;3; 4) . 2 2 x  4 I
S AB  2 17 CI.AB  4 17 CI  17 suy ra (3 x) (8 x)  17  x  7
+ Với x  4  C(4;3;0)
+ Với x  7  C(7;3;3) .
Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm ( A 0; 2  ;1), ( B 2;0;3) và mặt
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 38
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam phẳng ( )
P : 2x  y  z  4  0 . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA =MB và (ABM )  (P) . Hƣớng dẫn: 1
Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của AB  n 
AB  (1;1;1) là một VTPT của (Q). Q 2 Gọi I(1; 1
 ;2) là trung điểm của AB .Phƣơng trình Q
( ) : x  y  z  2  0
Gọi (R) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P). n  n ;n   (0;3; 3  ) là VTPT R  P Q 
của (R). Phƣơng trình của (R) : y  z  3  0 2
 x  y  z  4  0   2 1 17 
Toạ độ của M là nghịêm cuả hệ: x  y  z  2  0  M   ; ;  y z  3 6 6 3 0      
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0),B(3;3;6) và đƣờng
thẳng  có phƣơng trình tham số x  1   t
2 ; y 1 t; z  t
2 . Một điểm M thay đổi trên
đƣờng thẳng  ,xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất Hƣớng dẫn:
Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM.
Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất. Điể 2 2 2 2
m M  nên M  1   t 2 ;1 t; t
2 . AM  BM  ( t 3 )  (2 5)  ( t 3  6)  (2 5)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u   t
3 ;2 5 và v   t3  6;2 5. 2 2 2 2 Ta có u  ( t
3 )  (2 5) ; v  ( t 3  6)  (2 5)  AM  BM |
 u |  | v | và u  v  (6;4 5) |
 u  v | 2 29
Mặt khác, ta luôn có | u |  | v | |
 u  v | Nhƣ vậy AM  BM  2 29 t 3 2 5
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u, v cùng hƣớng    t  1  t 3  6 2 5
 M(1;0;2) và min(AM  BM)  2 29 . Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2( 11  29)
Bài 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x  y 3  z 3 11 0 và hai điểm A(3; 4  ;5) , B(3;3; 3
 ) . Tìm điểm M (P) sao cho MA  MB lớn nhất. Hƣớng dẫn:
Nếu A, B ở cùng phía so với (P) thì MA  MB  AB
Nếu A, B ở khác phía so với (P), ta lấy điểm A đối xứng với A qua (P).
Khi đó MA  MA  MA  MB  MA  MB  A B    ĐS: M 31 5 31   ; ; 7 7 7  .  
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 39
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  2y  2z  8  0 và
các điểm A(–1;2;3), B(3;0;–1) . Tìm điểm M (P) sao cho 2 2
MA  MB nhỏ nhất. Hƣớng dẫn: AB2 2 2 2
Gọi I là trung điểm của AB , I(1; 1; 1) . Ta có: MA  MB  2MI  2 . Do đó: MA2 MB2  nhỏ nhất IM2 
nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của I trên (P) x  1 t t  1  IM,     P n cuøng phöông y 1 t 2 x  0      . Vậy M(0; 3; –1). M (P) z  1 t 2 y  3  
x  2y  2z  8  0 z  1 
Bài 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x  y  z  4  0 và các điể 2 2
m A(1;2;1) , B(0;1;2) . Tìm điểm M (P) sao cho MA  2MB nhỏ nhất. Hƣớng dẫn:  7 8  2 2 2 56 32 104 64
Gọi G là trọng tâm của ABC  G ; ;3        3 3  ; GA GB GC   9 9 9 3 2 2 2 2 2 2
Ta có F  MA  MB  MC  MG  GA  MG  GB  MG  GC 
 MG2  GA2  GB2  GC2  MG GA  GB  GC  MG2  GA2  GB2  GC2 3 2 ( ) 3
F nhỏ nhất  MG2 nhỏ nhất  M là hình chiếu của G lên (P) 7 8   3  3  3 3 MG  d G P 19 ( ,( ))   111 3 3 2  19  64 553
Vậy F nhỏ nhất bằng 3.   
khi M là hình chiếu của G lên (P).  3 3 3 9 
Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(3; 1; 1),B(7; 3; 9),C(2; 2; 2)
và mặt phẳng (P) có phƣơng trình: x  y  z  3  0 . Tìm trên (P) điểm M sao cho
MA  2MB  M 3 C nhỏ nhất Hƣớng dẫn:  
Gọi I là điểm thoả: IA  2IB  I
3 C  0  I 23 13 25  ; ; 6 6 6   
MA  2MB  M
3 C  MI  IA  2MI  IB  3MI  IC Ta có: T =  6MI  6 MI
Do đó: T nhỏ nhất  MI nhỏ nhất  M là hình chiếu của I trên (P). Ta tìm đƣợc:   M 13 2 16  ; ;  9 9 9  . Khi đó T 43 3 min .   3
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 40
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
Bài 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x  y 3  2z  37  0
và các điểm A(4;1;5),B(3;0;1),C( 1
 ;2;0) . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức
sau đạt giá trị nhỏ nhất: S = MA M . B  MB M . C  MC M . A Hƣớng dẫn:
Giả sử M(x; y; z)(P)  3x  y
3  2z  37  0 (1) Khi đ  2 2 2 ó S 3 (  x 2) (y 1) (z 2) 5         .
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho (1) ta đƣợc: 
  x   y   z 2 2         x 2   y 2   z 2 ( 44) 3( 2) 3( 1) 2( 2) (9 9 4) ( 2) ( 1) (  2)  2  x 2   y 2   z 2 44 ( 2) ( 1) (  2)   88 22 .
x  2 y 1 z  2 x  4   Dấu "=" xảy ra   
y  7  M(4;7; 2  ) 3 3  .  2 z  2 
Vậy min S  3.88 5 259 khi M(4;7; 2  ).
Bài 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,cho các điểm A(0;1;2),B( 1  ;1;0) và
mặt phẳng (P): x  y  z  0 . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho MAB vuông cân tại B. Hƣớng dẫn:
Giả sử M(x; y; z)(P) . BA  (1;0;2), MB  (x 1; y 1; z) .   x 1   10  x 4   10  M (P) 3 3   
x 1 2z  0   4   10  2   10 Ta có: BA B
. M  0  x  y  z  0  y   y    6  6 BA  BM (  x 2 1)  (y 2 1)  z2  5     z 2 10  z 2   10   6  6
PHẦN D: ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THUẦN TÚY.
Trong đề thi minh họa cũng nhƣ đề thi thực nghiệm của bộ giáo dục và đào tạo có
xuất hiện các bài toán hình học không gian tổng hợp (cổ điển) mà ở đó lời giải đòi hỏi
vận dụng khá phức tạp các kiến thức hình học không gian nhƣ: chứng minh quan hệ song
song, quan hệ vuông góc, dựng hình để tính góc và khoảng cách, tính thể tích khối đa
diện… Việc tiếp cận các lời giải đó một cách nhanh hiệu quả nhất, trong khoảng thời gian
ngắn là một khó khăn cho học sinh, thậm chí cả giáo viên, chẳng hạn bài toán tính
khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau. Trong khi đó, nếu bỏ qua yêu cầu bắt buộc
phải dựng hình mà chỉ dừng ở mức độ tính toán thì rõ ràng phƣơng pháp tọa độ tỏ ra hiệu
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 41
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
quả hơn vì tất cả mọi tính toán đều đã đƣợc công thức hóa. Tất nhiên, không phải bài toán
hình học không gian cổ điển nào cũng sử dụng phƣơng pháp tọa độ hóa là tối ƣu nhƣng
với việc thời gian làm bài rất ngắn thì việc kết hợp giữa phƣơng pháp tọa độ hóa và máy
tính cầm tay là một sự lựa chọn hang đầu khi giải quyết các bài toán hình học không gian
cổ điển. Nhìn chung, giải bài toán hình học không gian tổng hợp bằng phƣơng pháp tọa độ gồm
ba bƣớc cơ bản sau đây:
+ Xây dựng hệ trục tọa độ thích hợp
+ Xác định tọa độ các điểm liên quan
+ Chuyển bài toán hình không gian tổng hợp về bài toán tương ứng trong không gian
tọa độ và vận dụng các công thức thích hợp (chứng minh vuông góc, song song, tính thể tích,
góc, khoảng cách…).
Dƣới đây là một số ví dụ minh họa về việc tọa độ hóa một số hình cơ bản.
Ví dụ 1: Toạ độ hoá hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a,BC = b,AA’ = c. Hƣớng dẫn
Chọn hệ toạ độ Axyz nhƣ sau:
* A là gốc toạ độ  A(0; 0; 0) z D' C'
* Ax+  AB, Ay+  AD, Az+  AA’ A' B'
Khi đó căn cứ vào độ dài ta có: y c A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) D C b x D(0; b; 0), C(a; b; 0) A a B A’(0; 0; c), B’(a; 0; c)
D’(0; b; c), C’(a; b; c)
* So với toạ độ 4 điểm A, B, C, D thì A’, B’, C’, D’ chỉ khác là có cao độ z = c.
* Với hình lập phƣơng ta chọn hệ toạ độ tƣơng tự
Ví dụ 2: Toạ độ hoá hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a,đƣờng cao bằng SO= h. Hƣớng dẫn
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 42
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
Gọi O là tâm của tam giác ABC. z S
Ta có thể chọn hệ toạ độ Oxyz nhƣ sau:(hình vẽ) Ox+  OA y B A x Oz+  OS O I
Khi đó, ta có toạ độ các điểm nhƣ sau: * O(0; 0; 0) y B 2 a 3 a 3  a 3  a * OA = .   A  ; 0; 0  2 3 2 3    3  O I x a 3 a 3 A 6 3 a 3 * OI = ,   a IB IC (hình vẽ) 6 2 C  a a 6  a a 6  B( ; ; 0), C   ; ; 0    2 3  2 3  * S(0; 0; h)
Ví dụ 3: Toạ độ hoá hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với 2 đƣờng chéo
vuông tại O góc; AC = 2a, BD = 2b, đƣờng cao SO = h. Hƣớng dẫn
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 43
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
Chọn hệ toạ độ Oxyz hình vẽ: z S
O tâm hình thoi là gốc toạ độ Ox+  OA C a 2 O 2 B Oy+  OB D y x A Oz+  OS. y B
Khi đó, toạ độ các đỉnh là: b C O x a a AC A * OA = OC =
 a  A(a; 0; 0), C(–a; 0; b 2 D 0) BD * OB = OD =
 b  B(0; b; 0), D(0; –b; 2 0) * S(0; 0; h)
Ví dụ 4: Toạ độ hóa hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
AC  BD = O đƣờng cao SO = h. Hƣớng dẫn
Ta có 2 cách toạ độ hoá hình chóp đều này: Cách 1 Cách 2 z z S S C C B a a 2 O O 2 B 2 D y y A D x A x
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 44
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam a 2 a OA = OB = OC = OD = OH = OI = OJ = OK = 2 2   a a   a a   a a  a 2   a 2  A ; ; 0 , B ;  ; 0 , C  ;  ; 0 A  ; 0; 0          , B  0; ; 0    ,  2 2   2 2   2 2   2   2   a 2   a a  C   ; 0; 0     D  ; ; 0  , S(0; 0; h)  2   2 2   a 2  D  0; ; 0    , S(0; 0; h)  2 
Ví dụ 5: Toạ độ hoá hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở B,cạnh SA  (ABC),BA = a,BC = b,SA = h. Hƣớng dẫn
Chọn hệ toạ độ Bxyz nhƣ sau:(hình vẽ) B là gốc toạ độ z S Bx+  BC By+  BA h C y B b a Bz+ AS x A
Khi đó, toạ độ các điểm nhƣ sau:
B(0; 0; 0), C(a; 0; 0), A(0; b; 0), S(0; b, h)
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là nửa hình lục giác đều, AB là đáy lớn
SA  (ABCD),SA = AB. Hãy toạ độ hoá hình chóp đó. Hƣớng dẫn
Chú ý rằng nửa lục giác đều là một hình thang cân.
Đặt AB = 2R  AD = DC = CB = R, theo giả thiết SA = 2R.
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 45
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam z y S B C R 3 2 x A R I J D A y 2 D x B C
Chọn hệ toạ độ Axyz nhƣ sau:(hình vẽ) A là gốc toạ độ,Ax+  AB,Az+  AS
Khi đó, toạ độ các điểm nhƣ sau: * A(0; 0; 0) B(2R; 0; 0) R R 3 * AI = o AD.cos 60  , AJ =   3R AI IJ , AK = DI  o AD.sin 60  2 2 2  R R 3   3R R 3   D ; ; 0 , C  ; ; 0       2 2   2 2  * S(0; 0; 2R).
Một số bài tập minh họa
Bài 1: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD) song song với nhau. Tính
khoảng cách giữa hai mặt phẳng này;
b) Chứng minh A’C vuông góc với mặt phẳng (AB’D’) và A’C vuông góc với IJ (I, J
lần lƣợt là trung điểm của các cạnh BB’ và AD);
c) Gọi K là trung điểm của cạnh CC’. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (A’BD) và (KBD) vuông góc nhau. z Giải A D
Do các cạnh AB, AD, AA’ đôi một vuông góc
nhau nên ta chọn hệ trục Oxyz sao cho: B C
O  A, tia AB  tia Ox, tia AD  tia Oy, tia AA’  tia Oz. K I Khi đó, ta có: y A J D
A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1), B C
C(1;1;0), B’(1;0;1), D’(0;1;1), C’(1;1;1) x
a). Chứng minh (AB’D’) và (C’BD) song song với nhau. Khoảng cách giữa chúng.
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 46
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
Dễ dàng thiết lập đƣợc phƣơng trình của hai mặt phẳng:
(AB’D’): x + y – z = 0 và (C’BD): x + y – z – 1 = 0.
Do đó (AB’D’) // (C’BD) và d((AB’D’),(C’BD)) = d(A,(C’BD)) = 1 . 3
b). Chứng minh A’C vuông góc với mặt phẳng (AB’D’) và A’C vuông góc với IJ
Ta có A'C = (1;1;–1) chính là một vectơ pháp tuyến của (AB’D’): x + y – z = 0, do đó A’C  (AB’D’). 1
Mặt khác, I, J lần lƣợt là trung điểm của các cạnh BB’ và AD nên I(1;0; 1 ), J(0; ;0) 2 2 1 1  IJ  ( 1  ; ; 1 1
)  IJ .A'C  ( 1  ).1 .1 ( ).( 1
 )  0  A'C  IJ . 2 2 2 2
c). Chứng minh hai mặt phẳng (A’BD) và (KBD) vuông góc nhau
Ta có phƣơng trình mặt phẳng (A’BD) là x + y + z – 1 = 0 (VTPT là n  (1;1;1) ). 1 K là trung điểm CC’ 1
 K(1;1; )  (KBD) : x  y  2z 1  0 (VTPT là n  (1;1; 2)  ). 2 2
Dễ thấy n .n 1.11.11.( 2
 )  0  (A'B ) D  (KB ) D . 1 2
Bài 2: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 và I là tâm của ABCD.
Gọi M, N, P lần lƣợt là trung điểm của B’B, CD và A’D’.
a) Tính góc giữa hai đƣờng thẳng MP, C’N và góc giữa hai mặt phẳng (PAI), (DCC’D’);
b) Tính khoảng cách giữa cặp đƣờng thẳng A’B, B’D và cặp đƣờng thẳng PI, AC’. Giải z
Tƣơng tự ví dụ 1, ta chọn hệ trục Oxyz sao cho: A’ P D’
O  A, tia AB  tia Ox, tia AD  tia Oy, tia AA’  tia Oz. B’ C’ Khi đó, ta có:
A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1),
C(1;1;0), B’(1;0;1), D’(0;1;1), C’(1;1;1). M y A D
a) Tính góc giữa hai đường thẳng MP, C’N I N
và góc giữa hai mặt phẳng (PAI, (DCC’D’). B C x 1 1 1
Vì M, N, P lần lƣợt là trung điểm của B’B, CD và A’D’ nên M(1;0; ), N( ;1;0), P(0; 2 2 2 ;1).
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 47
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam M . P C ' N Khi đó, ta có 1 1 1 MP  ( 1
 ; ; ),C ' N  ( ;0; 1
 )  cos(MP,C ' N )   0 2 2 2 M . P C ' N
góc giữa MP và C’N bằng 900. 1 1
Mặt khác, I là tâm của ABCD  I ( ; ;0) 2 2  1 1 1
(PAI) có VTPT là n  4.  AI , AP  4.( ;  ; )  (2; 2  ;1)   2 2 4
(DCC’D’) có VTPT là n'  AD  (0;1;0)
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (PAI) và (DCC’D’). . n n ' 2 2 Ta có: cos 
    arccos  48 11'23' . n . n ' 3 3
b). Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng A’B, B’D và cặp đường thẳng PI, AC’.
Ta có: A' B  (1;0; 1
 ), B' D  ( 1  ;1; 1
 ), A' B'  (1;0;0)
A' B, B' D.A' B'   6
 d(A' B, B ' D)   .   6
A' B, B ' D   1 1
Mặt khác, PI  ( ;0; 1
 ), AC '  (1;1;1), AP  (0; ;1) 2 2
PI, AC '.AP   14
 d(PI, AC ')   .    28 PI , AC '  
Bài 3: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau, OA = a,
OB = b, OC = c.
a) Tính độ dài đƣờng cao của tứ diện kẻ từ đỉnh O;
b) Chứng minh tam giác ABC có ba góc đều nhọn;
c) Gọi ,  , lần lƣợt là góc giữa (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Chứng minh rằng: 2 2 2
cos   cos   cos   1 . Giải
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia OA  tia Ox, tia OB  tia Oy, tia OC  tia Oz.
Khi đó: A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c).
a) Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh O. x y z
Dễ thấy phƣơng trình mặt phẳng (ABC) là
   1  bcx  cay  abz  abc  0 . a b c
Độ dài h của đƣờng cao của tứ diện kẻ từ đỉnh O là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC):
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 48
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam abc abc
h  d (O, ( ABC))   . 2 2 2 2 2 2
(ab)  (bc)  (ca) (a ) b
 (bc)  (ca)
b) Chứng minh tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Ta có: 2 a AB  (a; ;
b 0), AC  (a;0;c)  cos BAC  cos( A , B AC)   0 2 2 2 2
a  b . a  c  BAC nhọn. 2 Tƣơng tự b
, cos ABC  cos(B , A BC)   0  ABC nhọn. 2 2 2 2
a  b . b  c 2 c
cos ACB  cos(C , A CB)   0  ACB nhọn. 2 2 2 2
a  c . b  c
Vậy tam giác ABC có ba góc đều nhọn. z 2 2 2
c). Chứng minh c s o
  cos   cos   1. Với ,  , C
lần lƣợt là góc giữa (ABC)
và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB).
Dễ thấy các mặt phẳng (ABC), (OBC), (OCA),
(OAB) có VTPT lần lƣợt là n  (b ; c c ; a a )
b , i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1). y O B Do đó bc cos  , 2 2 2
(bc)  (ca)  (a ) b ca cos   , A 2 2 2
(bc)  (ca)  (a ) b x ab cos  . 2 2 2
(bc)  (ca)  (a ) b Suy ra: 2 2 2
cos   cos   cos   1 . 
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SC = CA = AB = a 2 , SC  (ABC), tam giác ABC vuông
tại A. Các điểm M, N lần lƣợt di động trên tia AS và CB sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a).
a) Tính độ dài đoạn MN theo a và t. Tìm t sao cho MN ngắn nhất;
b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đƣờng vuông góc chung của BC và SA.
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 49
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam Giải
Tại vị trí điểm A hoặc điểm C ta nhận thấy đã có một cặp cạnh vuông góc (AB  AC, CS
 CA, CS  CB) nhƣng chƣa đạt đủ điều kiện cần thiết là phải có ba cạnh đôi một vuông
góc cùng xuất phát từ một đỉnh, do đó ta dựng đường thẳng qua A và vuông góc với
(ABC) (đƣờng thẳng này song song với SC).
Khi đó, chọn hệ trục Oxyz nhƣ hình vẽ, với
A  O(0;0;0), B( a 2 ;0;0),
C(0; a 2 ;0), S(0; a 2 ; a 2 ).
a). Tính độ dài đoạn MN theo a và t.
Tìm t sao cho MN ngắn nhất. z
Theo giả thiết M thuộc tia AS và AM = t S t t 2 t 2  AM  AS  M (0; ; ) 2a 2 2 Tƣơng tự M
, N thuộc tia CB và CN = t t t 2 t 2  C CN  CB  N ( ;a 2  ;0) . y O 2a 2 2 AA 2 2 t t Vậy ta có 2 2 2 MN 
 (a 2  t 2) 
 2a  4at  3t . N 2 2 B 2 Hơn nữ 2a 2a a 6 a, 2 2 2
MN  2a  4at  3t  ( 3t  )   , dấu đẳng thức xảy x ra khi 3 3 3 2a a 6 2a t 
(thỏa 0 < t < 2a). Vậy MN   t  . 3 min 3 3
b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA. 2a a 2 a 2 a 2 2a 2
Khi MN ngắn nhất, ta có t  nên M (0; ; ), N ( ; ;0) 3 3 3 3 3 a 2 a 2 a 2  MN  ( ; ;  ) 3 3 3
Mặt khác AS  (0;a 2;a 2),CB  (a 2; a  2;0)
 MN.AS  MN.CB  0  MN  AS, MN  CB
hay MN là đƣờng vuông góc chung của SA và BC.
Bài 5: (Đề thi Cao đẳng năm 2009). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a,
SA = a 2 . Gọi M, N, P lần lƣợt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh
rằng đƣờng thẳng MN vuông góc với đƣờng thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP.
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 50
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam Giải
Gọi O là tâm của ABCD. Chọn hệ trục Oxyz nhƣ hình vẽ với z S a 2 a 2 a 2 O(0;0;0), C( ;0;0), A(  ;0;0), D(0; ;0), 2 2 2 a 2 a 6 a 6 B(0;  ;0), S(0;0; ) ( 2 2 SO  SA  OA  ). 2 2 2 M
M, N, P lần lƣợt là trung điểm của các cạnh a 2 a 6 N SA, SB và CD  M(  ;0; ), 4 4 A y D a 2 a 6 a 2 a 2 N(0;  ; ), P( ; ;0). 4 4 4 4 O Khi đó P a 2 a 2 MN  ( ;  ;0) , B C 4 4 x a 2 a 2 a 6 2 2 2a 2a a 6 SP  ( ; ;  )  MN.SP    0.(
)  0  MN  SP . 4 4 2 16 16 2 Mặt khác, ta lại có a 2 a 6 3a 2 a 2 a 2 a 2 a 6 AM  ( ;0; ) , AP  ( ; ;0) , AN  ( ;  ; ) 4 4 4 4 2 4 4 3 a 6 3   1 a 6
AM , AP.AN    0   V
 AM , AP.AN  .   8 AMNP 6 48
Bài 6: (ĐH khối D – 2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
ABC  BAD  90 , BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = a 2 .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB.
Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). Giải
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz nhƣ hình vẽ, với A  O(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), C(a;a;0),
S(0;0; a 2 ). Khi đó SC  ( ; a ;
a a 2),CD  ( ; a ; a 0)  S .
C CD  0  SC  CD , hay tam giác SCD vuông tại C.
Mặt khác (SCD) có VTPT là 2 2 2
SC,CD  (a 2;a 2;2a )  
 (SCD) :1.(x  a) 1.( y  a)  2.(z  0)  0
hay (SCD): x  y  2z  2a  0 .
Đƣờng thẳng SB có phƣơng trình tham số là
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 51
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam z
x  a  t  S  y  0  z   2t
H  SB  H (a  t;0;  2t) . a
AH  SB  AH.SB  0  t   . 3 H 2a a 2 O A D Vậy H ( ;0; ) . y 3 3
Từ đó suy ra khoảng cách từ H đến (SCD) là 2a 2a B   2a C 3 3 a x
d (H ,(SCD))   .  1  1  2 3
Bài 7: (ĐH khối D – 2008). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông, AB =
BC = a, cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối
lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng AM, B’C. Giải z
Từ giả thiết ta có tam giác đáy ABC vuông B’ A’
cân tại B, kết hợp với tính chất của lăng trụ
đứng, ta chọn hệ trục Oxyz nhƣ hình vẽ, với
B  O(0;0;0), C(a;0;0), A(0;a;0), B’(0;0; a 2 ). C’ 3 1 a 2 Dễ thấy / V  BB .( .B . A BC)  . / / / ABC. A B C 2 2 A
Bây giờ ta tính khoảng cách giữa AM và B’C. y O B M là trung điểm của BC a a M
 M ( ;0;0)  AM  ( ;a;0) 2 2 C x 2 a 2
Mặt khác, B 'C  ( ; a 0; a 2) 2 2
 AM , B'C  (a 2; ;a )   . 2 3 a 2
AM , B'C.AC   a 7 Lại có AC  ( ; a  ; a 0) 2
 d(AM , B 'C)    .  2
 AM , B'C a 7 7   2
Bài 8: (ĐH khối B – 2007). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông
cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE,
N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng
cách giữa hai đƣờng thẳng MN và AC.
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 52
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam Giải z
Gọi O là tâm của đáy ABCD. B’ A’
Vì hình chóp đã cho là hình chóp đều nên SO  (ABCD).
Ta chọn hệ trục Oxyz với O là gốc tọa độ, C’
tia OC  tia Ox, tia OD  tia Oy, tia OS  tia Oz. A Khi đó ta có y O B a 2 a 2 O(0;0;0), A(  ;0;0), C( ;0;0), M 2 2 C a 2 a 2 x B(0;  ;0), D(0; ;0), 2 2
Stia Oz  S(0;0; x) (x > 0).
E đối xứng với D qua trung điểm của SA  a 2 a 2
ADSE là hình bình hành  E( ;  ; x) 2 2 M là trung điể a 2 a 2 x m của AE  M ( ;  ; ) 2 4 2 N là trung điể a 2 a 2 a x m của BC  N ( ;  3 2 ;0)  MN  ( ;0;  ) 4 4 4 2
Mặt khác BD  (0;a 2;0)  MN.BD  0  MN  BD . ax Lại có AC  2
(a 2;0;0)  MN , AC  (0; ;0)   . 2 2 a x   3a 2 a 2
MN , AC .AN   a 2 Mà AN  ( ;  ;0) 4
 d(MN, AC)    .  4 4 MN, AC ax 2 4   2
Bài 9: (ĐH khối B – 2007). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông
cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE,
N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng
cách giữa hai đƣờng thẳng MN và AC. Giải
Gọi O là tâm của đáy ABCD.
Vì hình chóp đã cho là hình chóp đều nên SO  (ABCD).
Ta chọn hệ trục Oxyz với O là gốc tọa độ,
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 53
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam
tia OC  tia Ox, tia OD  tia Oy, z tia OS  tia Oz. E S Khi đó ta có a 2 a 2 O(0;0;0), A(  ;0;0), C( ;0;0), 2 2 M a 2 a 2 B(0;  ;0), D(0; ;0), 2 2
Stia Oz  S(0;0; x) (x > 0). A y
E đối xứng với D qua trung điểm của SA D  a 2 a 2
ADSE là hình bình hành  E( ;  ; x) 2 2 O M là trung điể a 2 a 2 x m của AE  M ( ;  ; ) B C 2 4 2 N x N là trung điể a 2 a 2 a x m của BC  N ( ;  3 2 ;0)  MN  ( ;0;  ) 4 2
Mặt khác BD  (0;a
;0)  MN.BD  0  MN  BD . ax Lại có AC  2
(a 2;0;0)  MN , AC  (0; ;0)   . 2 2 a x   3a 2 a 2
MN , AC .AN   a 2 Mà AN  ( ;  ;0) 4
 d(MN, AC)    .  4 4 MN, AC ax 2 4   2
Bài 10: (ĐH khối D – 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H AC z thuộc đoạn AC, AH =
. Gọi CM là đƣờng cao của tam giác SAC. Chứng minh M là 4 S
trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Giải
Chọn hệ trục Oxyz với A là gốc tọa độ,
tia AB là tia Ox, tia AD là tia Oy, M
tia Oz là tia Az song song và cùng hƣớng với tia HS. Ta có A D y
A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0). 1 a a H
 AH  AC  H( ; ;0) 4 4 4
Theo giả thiết SH  (ABCD), B C
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 54 x
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam AC a 2 AH = = , SA = a 4 4 a 14 2 2
 SH  SA  AH  4 a a a 14  S( ; ; ) 4 4 4 a a a 14 Vậy ta có SC = 2 2 2
(a  )  (a  )  (
)  a 2  CA   SAC cân tại C nên 4 4 4
đƣờng cao CM cũng là đƣờ a a a
ng trung tuyến  M là trung điểm của SA  14 M ( ; ; ) . 8 8 8
Vì M là trung điểm SA nên V V . SMBC AMBC Ta có: a a a 14
AB  (a;0;0), AC  (a;a;0), AM  ( ; ; ) 8 8 8 3 1 a 14 V  V  A , B AC.AM  SMBC AMBC   .  6 48
Bài 11: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng
(A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng
trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. Giải
Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Tam giác ABC đều cạnh a nên AO  BC và AO = a 3 . 2
Chọn hệ trục Oxyz với O là gốc tọa độ, tia OA  tia Ox, tia OC  tia Oy, tia Oz song song và cùng hƣớ a a a a 3a
ng với tia AA’. Khi đó A(
3 ;0;0), B(0;  ;0), C(0; ;0), A’( 3 ;0; ). 2 2 2 2 2 a
Dễ thấy góc giữa mặt phẳng (A’BC) và (ABC) là góc 3
A'OA  60  AA'  O . A tan 60  2 A’ C’ 2 3 3a a 3 3a 3 z V  AA'.S  .  .
ABC. A' B 'C ' ABC 2 4 8 a a B’
G là trọng tâm tam giác A’BC nên G( 3 ;0; ). 6 2
Bây giờ, ta đi xác định tâm và bán kính x y G
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC, với A C O
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn B Trang 55
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam a 3 a a 3 G( ;0; ), A( ;0;0), 6 2 2 a a B(0;  ;0), C(0; ;0). 2 2
Giả sử mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có phƣơng trình 2 2 2
x  y  z  2 px  2qy  2rz  k  0 .
Thay lần lƣợt tọa độ G, A, B, C vào phƣơng trình trên ta có 2 a a 3  
p  ar  k  0  a 3 3 3  p   6 2 3a  
 a 3p  k  0  a  4 r      12 2 a     q  0 aq k 0  4  2   a 2 a k    
 aq  k  0  4  4 a 3 a
Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có tâm I( ;  ;0 ) và bán kính là 6 12 2 2 2 a a a 7a R    0  ( )  .  12 144 4 12
Bài 12: (ĐH khối A – 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a. Gọi M và N lần lƣợt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và
DM. Biết SH  (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách
giữa hai đƣờng thẳng DM và SC theo a. Giải Dễ thấy V V V V S S.CDNM S. ABCD S.BCM S. AMN z 1  SH.(S  S  S ) 3 ABCD BCM AMN 2 2 3 1 a a 5a 3 2  .a 3(a   )  . 3 4 8 24
Bây giờ ta tính khoảng cách giữa hai
đƣờng thẳng DM và SC bằng phƣơng y pháp tọa độ. N A
Chọn hệ trục Oxyz nhƣ hình vẽ, ta có D
C  O(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A(a;a;0). H M M là trung điể a
m AB  M (a; ;0) 2 C O B x
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 56
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam N là trung điể a
m AD  N ( ;a;0) 2
H(Oxy)  H( ; x ; y 0)
H  DM  CN
 CH,CN cùng phƣơng và DH, DM cùng phƣơng x y    x y a 2a 4a 2a 4a 2a 4a và   x  , y  . Vậy H( ; ;0 )  S( ; ;a 3) a a a a  5 5 5 5 5 5 2 2 2 Khi đó, 2a 4a a a 3 CS  ( ;
;a 3), DM  ( ; a  ;0) 2 2
 CS, DM   ( ;a 3; a )   5 5 2 2   a 3
CS, DM .CM   a 3 2a 57
Mặt khác CM  (a; ;0)  d (SC, DM )    . 2 2 CS, DM  a 19 19   2 
Bài 13: (ĐH khối D – 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
B, AB = 3a, BC = 4a, mặt phẳng (SBC) vuông góc (ABC). Biết SB = 2a 3 và
SBC  30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. Giải
Gọi H là chân đƣờng vuông góc kẻ từ S lên BC.
Vì (SBC)  (ABC) nên SH  (ABC).
Mặt khác SB = 2a 3 và SBC  30  SH  S .
B sin 30  a 3, BH  S .
B cos30  3a . 1 1 1 Dễ thấy 3 V  SH.S  .a 3.( .3 .
a 4a)  2a 3 . S. ABC 3 ABC 3 2
Bây giờ ta tính khoảng cách từ điểm B
đến mặt phẳng (SAC) bằng phƣơng pháp tọa độ.
Chọn hệ trục Oxyz với B là gốc tọa độ, z
tia BA là tia Ox, tia BC là tia Oy, tia Oz S
là tia Bz song song và cùng hƣớng với tia HS.
Khi đó: B(0;0;0), A(3a;0;0), C(0;4a;0), S(0;3a; a 3 ). O B H C y
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 57 A x
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam  AS  ( 3  ; a 3 ;
a a 3), AC  ( 3  ; a 4 ; a 0)  AS AC     2 2 2  a  a  a  2 , 4 3; 3 3; 3   3a .(4;3; 3)
 mặt phẳng (SAC) có phƣơng trình là
4(x  3a)  3( y  0)  3(z  0)  0  4x  3y  3z 12a  0 .
Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là 12  a 6a 7
d (B,(SAC))   .  2 2 2 7 4  3  ( 3)
Bài 14: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD
= a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD.
Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã
cho và khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a. Giải
Gọi I = AC  BD. Ta có A' I  ( ABCD) .
Chọn hệ trục Oxyz với B là gốc tọa độ, tia BA là tia Ox, tia BC là tia Oy, tia Oz là tia Bz song song và cùng hƣớ z ng với tia IA’. Khi đó B’ C’
B(0;0;0), A(a;0;0), C(0; a 3 ;0), a a 3
D(a; a 3 ;0), I( ; ;0 ). A’ D’ 2 2
A’ có hình chiếu lên (Oxy) là I nên A’( a a 3 ;
; z ) (z  0) . 2 2 Ta tìm z:
+ Mặt phẳng (ABCD) chính là
mặt phẳng (Oxy) nên có VTPT B O C y là k  (0;0;1). I a a 3 A
+ AD  (0;a 3;0), AA'  ( ; ; z) D 2 2 x 2 a 3 a 3
 AD, AA'  (az 3;0; )  .(2z;0;a)   2 2
mặt phẳng (ADD’A’) có VTPT là n  (2 ; z 0;a) .
+ Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600 nên ta có
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 58
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam k.n 1 a 1 a 3  cos60     z  (z > 0). 2 2 k . n 2  2 2 4z a a a a Vậy A’( 3 3 ; ; ). 2 2 2 3 Do đó a 3 3a V
 A' I.S  . . a a 3  .
ABCD. A' B 'C ' D ' ABCD 2 2 2 2 2 3a a 3 a
Mặt phẳng (A’BD) có VTPT là BA', BD  ( ; ;0)   .(3;  3;0)   2 2 2
 (A' BD) : 3x  3y  0  3x  y  0 . a a 3 a 3
Mặt khác BB '  AA'  B '( ; ; ) 2 2 2 a a 3  . 3  2 2 a 3
Vậy khoảng cách từ B’ đến (A’BD) là d (B ',( A' BD))   . 2 2
Bài 15: (ĐH khối A – 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân
tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Gọi
M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính
z thể tích khối chóp S.BCNM và
khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng AB và SN theo a. S Giải
Theo giả thiết (SAB), (SAC) cùng
vuông góc với (ABC) nên SA  (ABC).
Góc giữa (SBC) và (ABC) là SBA  60 .  SA  A .
B tan 60  2a 3 . M A
Mặt phẳng qua SM, song song BC, cắt AC y B O
tại N  MN // BC  N là trung điểm AC.
Do đó tam giác AMN vuông cân tại M. Khi đó, ta có N 1 1 2 2 1 4a a V  S . A S  S . A (S  S ) 3  .2a 3.(  )  a 3 . S.BCNM 3 BCNM 3 ABC AMN 3 2 2
Bây giờ ta tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng AB, SN bằng phƣơng pháp tọa C đ ộ.
Chọn hệ trục Oxyz nhƣ hình vẽ, với B là gốc tọa độ, C(2 ; a 0;0), ( A 0;2 ; a 0), S(0;2 ;
a 2a 3) . x
N là trung điểm AC  N( ; a ;
a 0)  SN  ( ; a  ; a 2  a 3) .
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 59
Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Fanpage Hội Toán Bắc Nam Mặt khác 2 2 BA  (0;2 ;
a 0)  SN, BA  (4a 3;0;2a )   .   3
SN , BA .BN   4a 3 2a 39 Lại có BN  ( ; a ;
a 0)  d (SN , AB)    . 2 SN, BA 2a 13 13  
Trần Thông sƣu tầm và biên soạn Trang 60
PHẦN C: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. xyz, v x A. 0;0;  1 . B. 1; 0; 0 . C. 0; 1; 0 . D. 0; 1;  1 .
Câu 2. xyz y A. 0;0;  1 . B. 1; 0; 0 . C. 0; 1; 0 . D. 0; 1;  1 .
Câu 3. xyz z A. 0;0;  1 . B. 1; 0; 0 . C. 0; 1; 0 . D. 0; 1;  1 .
Câu 4. xyz x 1 3 x  3i  j  k 3 7 x .  1 3   1 3   1 3   1 3 
A. x  3;  ; .   B. x  3  ; ; . 
 C. x  3; ; .   D. x  3; ; .    3 7   3 7   3 7   3 7  Câu 5. xyz 3 1 7 OK  i  j  k 7 3 3 K .  3 1 7   3 1 7   3 1 7   3 1 7  A. K ; ; .   B. K  ; ; .   C. K ; ; .   D. K ; ; .    7 3 3   7 3 3   7 3 3   7 3 3 
Câu 6. xyz A3;1;0 , B7;7;2 , C 1; 2  ;  1 . Trong A. B. AC  14 .
C. OA  3i  j . D. BC   6  ; 9  ;3 .
Câu 7. xyz A3;2;2 , B 1  ; 5
 ;13 ,C4;2;  1 , D6; 1  ;  3 , E  2  ;17; 8   ? A. B . C AE  1  2. B.
C. OD  6i  j  2k . D.  A , B AC  1; 2  ; 3  .      3 1  Câu 8. xyz 4 1 M ; ; 2   , N 7;  ;    5 5   5 5  MN .  31 2 11  31 2 11 A. MN  ; ; .   B. MN   ; ; .    5 5 5   5 5 5   39 4 9   39 4 9  C. MN  ; ; .   D. MN   ; ; .    5 5 5   5 5 5 
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam
Câu 9. xyz b a  1; 1  ;2 , b   1  ; 1  ;2, c  1; 1  ;  2
A. a  b  c  0. B. b c 2 cos ,
  . C. a. c  2.
D. a b . 3    1  Câu 10. xyz 4 2 a  ; ; 1   , b  1  1; 2;     5 5   3 
m 10a  3b .
A. m  41; 10; 9.
B. m  41; 10; 9. C. m  41; 10;  9. D. m  41; 10;  9.    1  Câu 11. xyz 4 2 a  ; ; 1   , b  1  1; 2;    .  5 5   3 
m 10a  3 . b A. m  10 26. B. m  7 38 . C. m  10 15.
D. m  10 17. Câu 12. xyz
a  1;2; 4 ,
b  m  5; m  7;  5m 1 
1 a , b A. m  1  . B. m  1  . C. m  1 .
D. m  1, m  2  .
Câu 13. xyz A1; 1
 ;2 , B4;2;7, C4; 2  ;  1 , D1;3;  8 , E 7;1;6 ? A. , B D, E. B. , A C, D . C. , B C, D. D. , A , B E.
Câu 14. xyz A1;1;2 , B5; 3  ;2 , C  7  ; 1
 ;12 , D0;3;  1 , E 6;1;  1 A. ,
B C, D, E. B. ,
A C, D, E . C. , A , B C, D. D. , A , B D, E.
Câu 15. xyz a  7; 1  ; 3 b   2
10  m; m  2; m 10 A. m  4 . B. m  4  . C. m  2  .
D. m  2 .
Câu 16. xyz a  m 4;13  ; m   1
b  m 8; m 1; 7  m 1 1 A. m  10 . B. m  10  . C. m  . D. m   . 10 10
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 2
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam
Câu 17. xyz a  m 4;13  ; m   1
b  m 8; m 1; 7  m A. m  9 . B. m  14 . C. m  7 . D. m  7  .  3 
Câu 18. xyz a  1; 1
 ;  2, b  5;  7;    4  a , b    59 43   59 43   59 43   59 43  A.  ; ;  2   . B. ; ; 2   . C.  ;  ;  2   . D. ;  ; 2   .  4 4   4 4   4 4   4 4     1  Câu 19. xyz 1 a  ; 1;  5  , b  16;  3;   .  2   5  T a.b .
A. a.b  4 .
B. a.b  4  .
C. a.b  5 .
D. a.b  14 .
Câu 20. xyz, cho tam A 4
 ; 1;  5 , B2; 12;  2 , Cm 2;1 ; m m  5 . A. m  3 . B. m  4 . C. m  4  . D. m  3  .
Câu 21. xyz b M  2
 ; 1; 7 , N 1; 1;  3 , K 4;  2;   1  2   1 2   2 1   1 2 2  A. 1; ;1   . B. ;  ; 1   . C. ; 1;   . D. ;  ;   .  3   3 3   3 3   3 3 3 
Câu 22. xyz b A2; 1;  1 , B 1  ; 3;   1 , C 5;  3;  4 A . B BC .
A. AB . BC  48 .
B. AB . BC  4
 8 . C. AB . BC  52 .
D. AB . BC  5  2 .
Câu 23. xyz, cho A8;  9;  3 , B12; 3; 0 b A.  4  ; 0; 0. B. 4; 0; 0 . C. 0; 0;  4 .
D. 0; 0; 4 .
Câu 24. xyz G  3  ; 1;  1 A2; 1  ; 
1 , B10;  2; 3 A. 1  . B. 21  . C. 17  . D. 6 .
Câu 25. xyz, cho t
AOxz , B 2  ; 3;  1 , C  1  ; 1;   1 . T
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 3
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam
A. A1; 0;  1 . B. A 1  ; 0;  1 . C. A 1  ; 0;  1 . D. A1; 0;  1 .
Câu 26. xyz a   1
 ; 1; 2 , b  3; 1; 17 a , b   b A. 895 . B. 894 . C. 886 .
D. 19; 23;  2 .
Câu 27. xyz A 1  ; 2; 
1 , B14; 13;  4
A. M 4;  3; 0.
B. M 4; 3; 0. C. M  4  ;  3; 0. D. M  4  ; 3; 0.
Câu 28. xyz, cho b A1; 2; 
1 , B0; 1; 0 , C 3;  3; 3 A.  4  ; 1; 4. B. 4; 0;  4 . C. 4; 0; 4 . D. 4; 0;  2 . Câu 29. b A 2, 5  ,  1 , B0, 1
 ,2, C1,0,3 . Có ba q b A. 1. B. 2 . C. V . D. 3.
Câu 30. xyz M  1
 ; 5;  3 , N 7;  2;  5 . A. MN  13. B. MN  3 13. C. MN  109. D. MN  2 13.
Câu 31. xyz A 1  ; 4;  2 A. 0; 4;  2 . B.  1  ; 4; 0. C.  1  ; 0;  2. D. 0; 4; 0 .
Câu 32. xyz b a  3;  2;   1 , b  9; 4  ; 2  , c   6  ;2;  1
A. a ,b, c
B. a ,b   0;  3; 6   .  C. b . c  6  0. D. b c 64 cos ,  . 4141
Câu 33. xyz b a   4
 ;  3; 7, b  8;2; 4   , c  1; 1; 2  
A. a ,b, c
B. a ,b  . c  6  .   C. b , c D. b , c .
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 4
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam
Câu 34. Tron xyz M 8;  2; 3 S . 217 217 A. S  217 .
B. S  2 217 . C. S  . D. S  . 2 4
Câu 35. xyz b A3; 1  ;  1 , B1; 2  ; 3   , C  2
 ; 3;5 , D2k 3; k1; k b : : AB   2  ;1; 4  , AC   5
 ; 2;4, AD  2k 6;k  2;k  1 . : A , B AC   1  2;28;  1 ,  A ,
B AC.AD  3k 17     : 17  A ,
B AC.AD  0  3k  17  0  k   .   3 : V 17 k   3 b A. B. b C. b D. b
Câu 36. xyz A 1  ; 2; 3, B 3  ; 10;  4 , C 7; 2;   1 5 457 A. S  . B. S  8 46 . C. S  24 5 . D. S  48 5. ABC     2 ABC ABC ABC Câu 37. xyz a A. H 0;2;  1 .
B. H 3; 0;  1 .
C. H 3; 2; 0.
D. H 3; 0; 0. Câu 38. xyz xy a A. H 0;2;  1 .
B. H 3; 0;  1 .
C. H 3; 2; 0.
D. H 3; 0; 0.
Câu 39. xyz, cho tam A 1  ; 2; 3, B 3  ; 10;  4 , C 7; 2;   1 12 745 24 745 48 745 36 745 A. . B. . C. . D. . 149 149 149 149 Câu 40. xyz A 4  ; 9;  
1 , B2;  3; 3 , C 7;  9; 2
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 5
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam 7 13 7 13 A. 14 13 . B. 7 13 . C. . D. . 3 2 Câu 41. xyz A 4  ; 9;  
1 , B2;  3; 3 , C 7;  9; 2 13 13 13 A. . B. . C. 13 . D. . 2 4 8
Câu 42. xyz A6; 1;  4 , B 1
 8; 15; 12 , C2; 2; 4 .
A. H 0; 3; 0 .
B. H 0;  3; 0 .
C. H 1;  3;  1 .
D. H 1; 3; 0 .
Câu 43. xyz A 7  ;  4; 
1 , B1;  3; 7 , C 1; 1;   4 , D2; 6;12 V 917 917 1093 1093 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 6 3 6 3
Câu 44. Oxyz b A ,
a 0, 0; B0, ,
b 0;C 0,0, c , a , b c  0 sai? A. é O , A O , B OC
B. Tam giác ABC b C. ABC b 2 2 2 2 2 2
a b  b c  c a abc D. OABC b 6
Câu 45. xyz A4; 1; 2 , B3;  2;  1 , C  7  ; 2;   3 , D4; 1;   1 . A. 5 . B. 10 . C. 9 . D. 18.
Câu 46. xyz b A1 ;
m 5m  7;m , B3; 0;   1 , C  1  ; 5; 
1 , D11; 5;  2 b 27 . 2 A. m  1  . B. m  1 . C. m  2 . D. m  2  .
Câu 47. xyz A4; 1; 2 , B3;  2;  1 , C  7  ; 2;   3 , D4; 1;   1
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 6
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam 9 74 27 74 9 129 9 129 A. . B. . C. . D. . 74 74 43 86
Câu 48. Tron xyz A 7  ;  4; 
1 , B1;  3; 7 , C 1; 1;   4 , D2; 6;12 131 611 262 611 2186 611 4372 611 A. . B. . C. . D. . 611 611 4277 4277
Câu 49. xyz M  3  ;  2; 4 z, Ozx t . A. 32 . B. 4 . C. 16 . D. 8 .
Câu 50. xyz M 8;  2; 3 . 217 8 217 16 217 24 217 A. . B. . C. . D. . 217 217 217 217 Câu 51. xyz A5; 14; 
1 , B8;1; 2 , C 2;  2;  1 , D1; 1; 3 A. H 6; 1  ; 6.
B. H 6; 1; 6.
C. H 6; 1; 6.
D. H 6;1; 6. Câu 52. xyz A 2
 ; 5; 9 , B4; 3; 15 , C 1  1;  2;  1 , D5; 13; 6 A. I 1; 1  ; 3.
B. I 1; 1; 3.
C. I 1; 1; 3. D. I  1  ; 1; 3. Câu 53. xyz
A2; 2;6 , B 2
 ;1; 9, C1;  2;5 , D 2  ; 2; 8 b A. R  3. B. R  3. C. R  13. D. R  169. Câu 54. xyz A 1
 1;  7;10 , B 3
 ;9;  4 , C13; 1; 4 , D5; 0; 5 V 8788 8788 4394 A. V  . B. V  . C. V  .
D. V  8788 . 3 9 3
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 7
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam
Câu 55. Trong không gian v xyz
7x  5y  3z 1  0  7 5 3  A. m   ; ; . 
 B. c  7;5;3.
C. h  14;10;6. D. f   7  ; 5  ;3.  2 2 2  Câu 56. xyz
x  3y  5z  7  0 q  1   1   1   1  A. M 5; 1  ; .   B. N 5;1; .   C. K 5; 1  ; .   D. H 5;1; .    5   5   5   5  Câu 57. xyz
x  y  2z  3  0
A. 3x  3y  4z  6  0.
B. x  y  2z  3  0.
C. 2x  2y  4z  6  0.
D. 5x  5y 10z  25  0 . Câu 58. xyz
x  2y  2z  4  0
A. x  y  z  6  0. B. 4x  y  z  3  0. C. x  2y  6  0.
D. 4x  y  z 1  0 .
Câu 59. xyz, cho
Q:2x 3y  z  2  0 n P A. n  3; 2  ;0. B. n  C. n  D. n   P 2; 3;0. P 2;3;0. P 3;2;0. P
Câu 60. xyz   : x  2y  3z  4  0 ,
 : x  2y  z  7  0
A.   / /   .
B.      . C. n    1; 2;3.
D.   q M 2;7; 9  .
Câu 61. xyz P : 4x  y  z  5  0  1 1 3   1 1 1  A ;  ; , B  ; ;      2 2 4   2 4 2 
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 8
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam A. n  4; 1  ;  1 .
B. AB  P . P
C. AB / / P .
D. (P) q E 1; 2  ;1  1 .
Câu 62. xyz, cho hai P : x  y  z 10  0 ,
Q: x  3y  2z  0 M 7;12;5, N6;13;6
A. P  Q .
B. MN / / Q .
C. P / / Q .
D. M  P . Câu 63. xyz
x  2y  2z  3  0, m  
1 x  m  5 y  4mz 1 m 0 4 4 A. m  1. B. m  1.  C. m  . D. m   . 3 3
Câu 64. xyz b P : 2x  y  z  5  0,
Q:2x  y  z 5  0, R:3x 5y  z 17  0 é : A. B. C. D. Câu 65. xyz
x  y  z    mx   2
m   y   2 2 3 4 0, 1
3  m  z  m 1 0 1 1 1 A. m  2. B. m   .
C. m  2, m   . D. m  , m  2  . 2 2 2
Câu 66. xyz, cho
x  y  z  
m  x   2 3 0, 4
m  2m 1 
1 y  m  2 z 1 0
A. m  1, m  5  . B. m  1  , m  5.
C. m  1, m  5. D. m  1  , m  5  .
Câu 67. Trong xyz
x  y  2z 1  0,  2x  2y  4z 1 0
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 9
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam A. qua M . B. q
C.  P / / Q qua M .
D.  P / / Q q Câu 68. xyz
3x  2y  z 1  0, 2x  2y  2z 15 0 A. q
B. P  Q q
C. P  Q q
D. P / / Q qua M .
Câu 69. xyz –
x  2  0, z  3  0
A.  P  Q q .
B.  P  Ox Q  Oz .
C. P  Q q
D.  P  Ox Q / /Oxy .
Câu 70. H 2, 1  , 2   là hình
O P Q : x  y  6  0 
P,Q  là ? A. 0   60 B. 0   45 C. 0   30 D. 0   90
Câu 71. xyz b A3;2;  1 , B 4  ;  2; 5, C 1; 1;  2 q b V
A. 4x  y  7z 17  0.
B. 4x  y  7z 17  0.
C. 4x  y  7z 17  0.
D. 4x  y  7z 17  0.
Câu 72. xyz M 1; 4; 7 V
A. 28x  7 y  4z  0 .
B. x  7 y  4z  28  0 .
C. 28x  7 y  4z  28  0 .
D. 28x  7 y  4z 1  0 .
Câu 73. xyz K 4; 1;  1 V (ABC).
A. x  4y  4z  8  0 .
B. x  4y  4z  8  0 .
C. x  4y  4z  8  0 .
D. x  4y  4z  8  0 .
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 10
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam
Câu 74. xyz M 8;  2; 3 trên V (ABC).
A. 3x  2y  8z  24  0 .
B. x 12y  8z  24  0 .
C. 3x 12y  8z  0 .
D. 3x 12y  8z  24  0 . Câu 75. xyz q : – – V
A. 2x  y  z  5  0. B. 2x  y  z  5  0. C. 2
 x  y  z  5  0. D. 2
 x  y  z  5  0.
Câu 76. xyz M 5; 1  ; 3 , N 7; 5  ;  1 V
A. 2x  4y  2z  5  0.
B. 2x  4y  2z  5  0.
C. x  2y  z 10  0.
D. x  2y  z 10  0.
Câu 77. xyz M 5; 1  ; 3 , N 7; 5  ;  1
MK  2KN . V b
A. x  2y  z 12  0. B. x  2y  z 12  0. C. x  2y  z 12  0. D. x  2y  z 12  0.
Câu 78. xyz M 5; 1  ; 3 , N 7; 5  ;  1 V
A. 2x  4y  2z 15  0.
B. 2x  4y  2z  3  0.
C. x  2y  z 16  0.
D. x  2y  z 18  0.
Câu 79. xyz, b A3,1,  
1 , B 1,1, 2, C  1  ,2, 2  
q x  2y  2z 1 0 và
ắ IB  2IC A. 2
 x  y  2z  5  0
B. 2x  y  z  5  0.
C. 2x  y  z 10  0. D. 2
 x  y  2z 10  0
Câu 80. xyz, q
A3,0,0, I 1,1, 
1 ắ Oy,Oz OC  3OB
A. x  3y  z  5  0.
B. 2x  y  z  5  0.
C. 2x  y  z 10  0.
D. x  3y  z  5  0.
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 11
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam
Câu 81. xyz – – – – – q V
A. 2x  y  z  0.
B. 2x  y  z 1  0. C. 2x  y  z 10  0. D. 2x  y  z 10  0.
Câu 82. xyz – – – q V
A. 4y  3z 1  0.
B. 4x  3y 1  0.
C. 4y  3z 17  0.
D. 4x  3y  2  0.
Câu 83. xyz q –3) V
A. 3x  2z  0.
B. 3x  2z  0.
C. 3x  2z  2  0.
D. 3x  2z  2  0.
Câu 84. xyz q – V
A. 2x  2y 1  0.
B. 2x  2z 1  0.
C. x  y  0.
D. x  y  0.
Câu 85. xyz q – V
A. 3y  2z 1  0.
B. 3y  2z  0.
C. 3y  2z  0.
D. 3y  2z 1  0. Câu 86. xyz – – – q V
A. 3x  2y  7  0.
B. 3x  2y 1  0.
C. 2y  3z 13  0.
D. 2y  3z  5  0.
Câu 87. xyz M 5; 1  ; 3 , N 7; 5  ;  1 : – q V
A. 7x  2y  3z  42  0.
B. 7x  2y  3z  42  0.
C. 7x  2y  3z  46  0.
D. 7x  2y  3z  46  0.
Câu 88. xyz A1; 1
 ; 2 , B2; 1;  1 q V
A. 3y  2z 1  0.
B. 3y  2z  7  0.
C. 3y  2z 1  0.
D. 3y  2z  7  0. Câu 89. xyz : – V
A. 2x  y  0.
B. 2y  z  0.
C. 2x  y  0.
D. 2y  z  0.
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 12
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam
Câu 90. xyz ắ
A7;0;0 , B0;9;0 , C 0;0; 2   x y z A.    0. 7 9 2 
B. n  7;9; 2   . P
C. 18x + 14y – 63z – 126 = 0. D. q D7;9; 2   .
Câu 91. xyz b A 1  ;1; 2
 , B1;2;  1 , C 1;1;2 , D 1  ; 1  ;  2 V
A. x  y  z  0.
B. x  y  z  2  0.
C. 2x  y  z  3  0. D. x  2y  2z 1  0.
Câu 92. xyz b A1; 3  ;7, B2; 6  ;12 , C 4; 1  ;  1 , D1;0;  1 V
A. 33x  8y  3z  36  0.
B. x 16y  6z  7  0.
C. 33x  8y  3z  32  0.
D. x 16y  6z  7  0.
Câu 93. xyz b A1; 2;7 , B0; 2  ; 3 , C 4;1;  2 , D1; 2  ; 5 q V
A. 2x  8y  z 11  0.
B. 2x  8y  z 11  0.
C. 2x  8y  z  21  0.
D. 2x  8y  z  21  0.
Câu 94. xyz, cho – – – – q .
A. 2x  2y  z 18  0.
B. 2x  2y  z  32  0.
C. 2x  2y  z  36  0.
D. 2x  2y  z  24  0.
Câu 95. Trong xyz – – – – – q .
A. x  2y  3z  30  0.
B. x  2y  3z  3  0.
C. x  2y  3z  30  0.
D. x  2y  3z  3  0.
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 13
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam Câu 96. xyz – b 1 V 3
A. x  2y  2z  7  0, x  2y  2z  5  0.
B. x  2y  2z  7  0 .
C. x  2y  2z  7  0, x  2y  2z  5  0.
D. x  2y  2z  7  0, x  2y  2z  5  0. Câu 97. xyz – V b b 6 .
A. x  2y  z  2  0.
B. x  2y  z  2  0, x  2y  z 10  0.
C. x  2y  z  2  0, x  2y  z 10  0.
D. x  2y  z 10  0.
Câu 98. xyz : – b 4 3 . V 9
A. 5x  y  z  5  0, 5x  y  z  3  0.
B. 5x  y  z  5  0, 5x  y  z  3  0.
C. 5x  y  z  5  0, 5x  y  z  3  0.
D. 5x  y  z  5  0, 5x  y  z  3  0. Câu 99. xyz
: x  y  z 1 0   b 11 3 . V 3
A. x  y  z 10  0, x  y  z 12  0.
B. x  y  z 10  0, x  y  z 12  0.
C. x  y  z 10  0, x  y  z 12  0.
D. x  y  z 10  0, x  y  z 12  0. x y  z  Câu 100. xyz 2 4 d :   1 2 2   1 
A. m  1; 2; 2.
B. a   ; 1; 1 . 
 C. u   1  ; 2;  2. D. v   1  ; 2; 2.  2  Câu 101. xyz
d :  x  3t 1, y  5  2t, z  7  5t, t   A. m   3
 ; 2;  5. B. a  9;  6;  25. C. u  6;  6; 10. D. v   6  ; 4; 10.
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 14
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam x  y  z  Câu 102. xyz 3 7 4 d :   2  1 3 A. M  5  ; 8;   1 . B. N  1  ; 6; 7. C. T  7  ;  9; 2.
D. V 1;  5; 10. x  1 3t 
Câu 103. xyz d :  y  7t  3 t   . z  2020  ?
A. q M 1; 3;0. B. x  y  z  C. 1 2 3 d ' :   . 1 2 3
D. a  3; 7;0. d Câu 104. xyz
d :  x  3t 1, y  2t, z  1 5t, t   A. M  2
 ;  2;  6. B. N 1; 2;  1 .
C. T 7; 4;  9.
D. V 4; 2;  5. Câu 105. xyz
d :  x  1 t, y  7  2t, z  1 2t, t  
A. P :10x  2y  7z 1  0.
B. P : 4x  y  z 15  0.
C. P : x  2y  2z 1  0.
D. P : 2x  4y  8z  7  0. x  y z  Câu 106. xyz 3 4 d :   2 6 12
A. P : x  3y  6z 1  0.
B. P : 3x  y  z 12  0.
C. P : x  2y  2z  5  0.
D. P : x  3y  8z  7  0.
Câu 107. Trong khô xyz A 3
 ; 2;  4, B1; 1; 9 V p x  1 4t x  1 4t x  1 4t x  1 4t     A.  y  1   3t B.  y  1   3t C.  y  1   3t D.  y  1   3t     z  9  13t  z  9  13t  z  9  13t  z  9  13t 
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 15
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam
Câu 108. xyz q u   1  ;2; 2  V d  x 1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3 A.   . B.   . 1  2 2  1 2 2 x  1 y  2 z  3 x  1 y  2 z  3 C.   . D.   . 1  2 2  1 2  2 x  y  z  Câu 109. xyz 1 1 2  :   2 2 1  x  3 y  5 z ' :   2 2 1  A. ∆ ∆’ é B. ∆ ắ ∆’ C.    '. D. ∆ ∆’ x  y  z  Câu 110. xyz 1 2 3  :   2 2  1  ': x  4  t, y  1
  t, z 12  4t, t  . A. ∆ ∆’ é B.    '. C. ∆ ắ ∆’ D.    '. x  y  z Câu 111. xyz 5 1  :   7  2 1 ': x  t, y  1  , z  2  4t, t  . A. ∆ ∆’ é B.    '. C. ∆ ắ ∆’ D.    '. x  y z  Câu 112. xyz 1 5  :   2  2 1 : – 4y + 14z – 5 = 0. ?
A.   P.
B.  / /  P.
C.    P. D. ∆ ắ x  y  z  Câu 113. xyz 1 5 2  :   2  2 1
: – 4y + 14z – 5 = 0. Tro
A.   P.
B.  / /  P.
C.    P. D. ∆ ắ x  y  z  Câu 114. xyz 1 2 3  :   3 2 1 (P): –3x – 2y – z + 10
A.   P.
B.  / /  P.
C.    P. D. ∆ ắ
Câu 115. xyz : – y – – x 12 y  7 z  4 d :   2 2 1
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 16
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam
A. a  2;2;  1 . d
B. n  1;1;  1 P C.
D. d   P.
Câu 116. xyz : – –    x 1 y 1 z 7 d :  
, d' : x  3  t, y  2
 t, z  2t  3, t  . é 10 1 6 sau: ’ A. B. C. D.
Câu 117. xyz – x  1 y  2 z  5  :   V q 4 1  1  ∆ x  7 y  1 z  2 x  7 y  1 z  2 A. d :   . B. d :   . 4 1  1  4 1  1  x  7 y 1 z  2 x  7 y 1 z  2 C. d :   . D. d :   . 4 1  1  4 1  1 
Câu 118. xyz –
 : x 1 4t , y 1 2t, z  5t 1, t   V q ∆ x 1 y  1 z  2 x 1 y  1 z  2 A. d :   . B. d :   . 4 2 5  4  2  5 x  1 y 1 z  2 x  1 y  1 z  2 C. d :   . D. d :   . 4 2 5  4  2  5
Câu 119. xyz –1;–
P:5x 3y  z 12  0 V q . x  1 y 1 z  4 x 1 y  1 z  4 A. d :   . d :   . 5 3  1  B. 5 3  1  x 1 y  1 z  4 x 1 y 1 z  4 C. d :   . D. d :   . 5 3  1  5 3  1 
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 17
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam
Câu 120. xyz – –
P: x 3y  4z 1 0 V q x  2 y  3 z  4 x  2 y  3 z  4 A. d :   . B. d :   . 1 3  4  1 3  4  x 1 y  3 z  4 x  1 y  3 z  4 C. d :   . D. d :   . 2  3 4  2  3 4  Câu 121. xyz, A1;2;  3 , B 3  ; 5; 7, C 1  ;  4;  1 V x 1 y  1 z  3 x  1 y 1 z  3 A. d :   . B. d :   . 2 4  5 2 4 5 x 1 y  1 z  3 x  1 y 1 z  3 C. d :   . D. d :   . 2 4 5 2 4  5
Câu 122. xyz, – –
P: x  y  z 3  0, Q:3x  2y  z 11 0 q V x 1 y  2 z  3 x  1 y  2 z  3 A. d :   . B. d :   . 1 2 1  1 2 1  x  1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3 C. d :   . D. d :   . 1  2  1 1  2 1 Câu 123. xyz A 1  ;2; 
1 , B5; 1; 0, C  1  ; 1;  1 , D3;2;  1 V x 1 y  2 z  1 x  1 y  2 z  1 A. d :   . B. d :   . 1 2 3 1 2 3 x  1 y  2 z  1 x 1 y  2 z  1 C. d :   . D. d :   . 1 2  3 1 2  3
Câu 124. xyz – –
P: x  y  z 3  0 d: x 15t; y  4 t ; z  2 3t, t  ∆ q V ∆
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 18
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam x  2 y  3 z  3 x  2 y  3 z  3 A.  :   . B.  :   . 2 1  3  2 1  3  x  2 y  3 z  3 x  2 y  3 z  3 C.  :   . D.  :   . 2 1 3  2 1 3 
Câu 125. xyz – –  x  y  z 
P : 4x  y  z 1  0 1 2 3 d :   . ∆ q 1  2 1 V ∆ x  5 y  2 z 1 x  5 y  2 z  1 A.  :   . B.  :   . 1 1  3 1 1  3 x  5 y  2 z  1 x  5 y  2 z 1 C.  :   . D.  :   . 1 1 3 1 1 3
Câu 126. xyz, cho (1;1;–1)
P:2x  2y  z 5  0 d: x 1t; y  4  2t ; z 1 t, t   ∆ q V ∆ x  1 y  1 z 1 x 1 y 1 z  1 A.  :   . B.  :   . 4 1  6 4 1 6 x  1 y  1 z 1 x 1 y 1 z  1 C.  :   . D.  :   . 4 1 6 4 1  6
Câu 127. xyz – – x 1 y  3 z  2
d : x  5  t ; y  2t ; z  3t 2 t   , d ' :   . ∆ q 5 1 1  ’ V ∆ x 1 y  4 z  5 x 1 y  4 z  5 A.  :   . B.  :   . 5 14 11 5 1  4 11 x  1 y  4 z  5 x  1 y  4 z  5 C.  :   . D.  :   . 5 1  4 11 5 14 11
Câu 128. xyz – – x  1 y  1 z 1 d :   . ∆ q 4 1 6 V ∆
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 19
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam x  3  t 1 x  3t 1  
A.  :  y  2  t  .
B.  :  y  2  t  .   z  3  2t  z  3  2t  x  3t 1 x  3t 1  
C.  :  y  2  t  .
D.  :  y  2  t  .   z  3  2t  z  3  2t  Câu 129. xyz
P: x  2y  z 8  0 Q: 2x  2y 3z 11 0 V x 1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3 A. d :   . B. d :   . 4 5 6 4 5  6 x  1 y  2 z  3 x  1 y  2 z  3 C. d :   . D. d :   . 4 5 6 4 5  6 Câu 130. xyz
P: x  y  z 3  0 Q: x  2y  3z 8  0 V x  3 y 1 z 1 x  3 y  1 z  1 A. d :   . B. d :   . 5 2 3  5 2 3  x  3 y 1 z 1 x  3 y  1 z  1 C. d :   . D. d :   . 5 2  3  5 2  3 
Câu 131. xyz P : x  2y  z  4  0   x 1 y z 2  :   . 2 1 3 ắ ∆ V x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 A. d :   . B. d :   . 5 1 3 5 1  3  x  1 y  1 z  1 x 1 y 1 z 1 C. d :   . D. d :   . 5 1  3 5 1  3
Câu 132. xyz P : x  y  z  5  0       x 7 y 5 z 5  x 6 y 4 z 7 :   ,  ' :   3 2 1 2 1 4  ắ ∆ ∆’ V x 1 y 1 z  3 x  1 y  1 z  3 A. d :   . B. d :   . 1 1 2  1 1 2  x  1 y  1 z  3 x 1 y 1 z  3 C. d :   . D. d :   . 1 1 2 1 1 2
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 20
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam
x 1 y 1 z  2
Câu 133. Trong khôn d :   2 1 3
P : x  y  z 1 0 . V ắ  q A(1;1; 2  ) , song song (P) d x 1 y 1 z  2 x 1 y 1 z  2 A. d :   B. d :   . 2 5 3  1 1  1  x  y  z  x  y  z  C. d 1 1 2 :   d 1 1 2 :   2 1 3 D. 2 5 3
Câu 134. , V ắ d ,d b 1 2 (P): 4x x y 3 z 1 x  4 y z 3
3y 11z 26  0 d :   & d :   1   2 1  2 3 1 1 2 x  2 y  7 z  5 x y 3 z 1 A.     5 8 B.  4  4 3 4 x  2 y  7 z  5 x y 3 z 1 C.     4 3 11 D. 4 3 11
Câu 135. xyz – x y  5 z  2     x 1 y 1 z 1 :   ,  ' :   q 4 1  1  2 3 4 ∆ ắ ∆’ V x  2 y  1 z  3 x  2 y  1 z  3 A. d :   . B. d :   . 1 2 2 1 2  2  x  2 y 1 z  3 x  2 y  1 z  3 C. d :   . D. d :   . 1 2 2 1 2 2 Câu 136. xyz x 10 y  4 z 15    x 1 y 1 z :   ,  ' :   q 7 1 8 3  4 5 ∆ ắ ∆’ V x 1 y 1 z  4 x  1 y  1 z  4 A. d :   . B. d :   . 1  1  1 4 4  3  x  1 y  1 z  4 x 1 y 1 z  4 C. d :   . D. d :   . 1  1  1 4 4  3 
Câu 137. Oxyz – x  1 y 1 z  : 
 P : x  2y  2z 15  0 q 3  4 5 , song song ắ ∆ V
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 21
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam x  1 y 1 z  4 x  1 y 1 z  4 A. d :   . B. d :   . 4 1  1  4 5  3  x 1 y  1 z  4 x 1 y  1 z  4 C. d :   . D. d :   . 4 1  1 4 5  3 
Câu 138. xyz V –1;4;–2 x 1 y  8 z 1  :  
P : y  z  2017  0 q 5 2 3  V ắ ∆ V x 1 y  4 z  2 x 1 y  4 z  2 A. d :   . B. d :   . 17 6  6  4 1 1 x  1 y  4 z  2 x  1 y  4 z  2 C. d :   . D. d :   . 17 6  6  4 1 1 x  6 y  10 z  5
Câu 139. Trong không gian v xyz, cho d :   , 1 2 7  3 x  1 y  2 z  3 d :   : – 2 1 3 9 ắ d d V 1 2 x  4 y  3 z  2 x  4 y  3 z  2 A. d :   . B. d :   . 3 4 1 3 4  1 x  4 y  3 z  2 x  4 y  3 z  2 C. d :   . D. d :   . 3 4  1 3 4 1
Câu 140. xyz T  4  ;10;14 x  1 y  2 z  3
d : x  6  2t, y  7
 t 10, z  5  3t, t  , d :   1   2 1 3 9 q ắ d , d V 1 2 x  4 y 10 z 14 x  4 y 10 z 14 A. d :   . B. d :   . 4 9 2 4 9  2 x  4 y 10 z 14 x  4 y 10 z 14 C. d :   . D. d :   . 4 9  2  4 9 2 
Câu 141. xyz U 27;8;84 x  1 y  1 z 1 d :  
d : x  1 4t, y  3t 1, z  12t, t  1 2 2 1  , 2   q ắ d , d V 1 2
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 22
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam x  27 y  8 z  84 x  27 y  8 z  84 A. d :   . B. d :   . 4  1 12 4 1 1  2 x  27 y  8 z  84 x  27 y  8 z  84 C. d :   . D. d :   . 4  1 1  2 4 1 12
Câu 142. xyz V 3;3; 8   x  1 y  1 z 1 d :   q V ắ 1 2 2 1  d , Oz V 1 x  3 y  3 z  8 x  3 y  3 z  8 A. d :   . B. d :   . 1 1 4  1 1 4 x  3 y  3 z  8 x  3 y  3 z  8 C. d :   . D. d :   . 1 1  4  1 1  4
Câu 143. xyz K 14;7;26 x  3 y  2 z 1 d :   q ắ 1 2 3 6 d , Oy V 1 x 14 y  7 z  26 x 14 y  7 z  26 A. d :   . B. d :   . 7 3 13 7 3  13 x 14 y  7 z  26 x 14 y  7 z  26 C. d :   . D. d :   . 7  3 13 7  3  13
Câu 144. xyz P : 2x  2y  5z  20  0      x y 1 z 5 x 2 y 1 z 1 d :   , d :   1 2 2 1 2 4 2 3 ắ d , d V 1 2 x  4 y  5 z  3 x  4 y  5 z  3 A. d :   . B. d :   . 2 2 5  2 2 5 x  4 y  5 z  3 x  4 y  5 z  3 C. d :   . D. d :   . 2 2 5 2 2 5 
Câu 145. xyz P : 7x 12y  23z 1  0      x 3 y 1 z x 2 y 1 z 1 d :   d :   1 2 3 6  , 2 1 2  5 ắ d , d V 1 2
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 23
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam x y  5 z 11 x y  5 z 11 A. d :   . B. d :   . 7 1  2 2  3 7 12 2  3 x y  5 z 11 x  1 y  5 z 11 C. d :   . D. d :   . 7 12 2  3 7 1  2 2  3 x  3 y 1 z
Câu 146. xyz b d :   , 1 2 3 6  x  2 y  1 z 1 d :  
, d : x  4t  2, y  5t1, z  9  t1, t  3   2 1 2  5
ắ d , d d V 1 2 3 x  7 y  7 z  12 x  7 y  7 z  12 A. d :   . B. d :   . 4 5  9 4 5 9  x  7 y  7 z  12 x  7 y  7 z  12 C. d :   . D. d :   . 4 5 9 4 5  9  x  y  z  Câu 147. Oxyz 1 2 2 d :   1  5 4  P 2
: x  3y  4m z  m  0 . 7 7 A. m  1  B. m  1 C. m  
D. m  1; m   8 8 x  3 y  2 z  2
Câu 148. xyz d :   , 1 4 3 1 
d : x  15  3t, y  t
 , z  3t  2, t  ắ d , Ox 2   1 d V 2 x  4 y z x  8 y z A. d :   . B. d :   . 3 1  3 3 1  3 x  4 y z x  8 y z C. d :   . D. d :   . 3 1  3 3 1  3 x  6 y  4 z  4
Câu 149. xyz d :   , 1 1 4  1 x  2 y  2 z d :   ∆ 2 1 2 2  d , d
∆ d ,d ∆ ắ 1 2 1 2 d , d V ∆ 1 2
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 24
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam x  4 y  3 z  2 x  4 y  3 z  2 A.  :   . B.  :   . 8 1 4  9 2 1  x  4 y  3 z  2 x  4 y  3 z  2 C.  :   . D.  :   . 2 1 2 2 3 4 x  2 y z  2
Câu 150. xyz d :   , 1 7 1 3  d : x  4
 16t, y  5t  4, z  2t  4, t  ∆ 2  
d ,d ∆ d ,d ∆ ắ 1 2 1 2 d ,d V ∆ 1 2 x  3 y  2 z  1 x  3 y  2 z  1 A.  :   . B.  :   . 1 2  3 1 2 3 x  3 y  2 z 1 x  3 y  2 z 1 C.  :   . D.  :   . 1 2  3 1 2 3 Câu 151. xyz 2 2 2  1   3   1  x   y   z   196       b .  2   2   3   1 3 1   1 3 1  A. I ; ; , R  14.   B. I ; ; , R  196.    2 2 3   2 2 3   1 3 1   1 3 1  C. I  ; ; , R  14.   D. I  ; ; , R  196 .    2 2 3   2 2 3  Câu 152. xyz 2 2 2
x  y  z  6x  8y 11  0 b A. I  3  ;4;0, R  6 . B. I  3
 ; 4;0, R  6 . C. I  6  ;8;0, R  6 .
D. I 3; 4;0, R  6 .
Câu 153. xyz ’
x  2   y  2  z  2 1 7 2 16 , 2 2 2
x  y  z  2x  8y  8z  24  0
A. ’ I '1;4;4 b R'  3 . B. q –1;7;–6). C. ’ D. ’
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 25
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam Câu 154. xyz 1 2 2 2
x  y  z  x  y  z   0 b 4  1 1 1   1 1 1  A. I ; ; , R  1 .   B. I  ; ; , R  1 .    2 2 2   2 2 2   1 1 1   1 1 1  C. I ; ; , R  1 .   D. I  ; ; , R  1 .    2 2 2   2 2 2  Câu 155. xyz 2 2 2
x  y  z  2x  2y  2z 1  0 : – 3y – 6z + 1 : A. ắ . B. . C. – – b . D. – b . Câu 156. xyz 2 2 2
x  y  z  6x  4y  3  0 : – – – : A. ắ n. B. C. – b D. – b Câu 157. xyz 5 2 2 2
x  y  z  x  y  2z   0 : – – – 2 :  1 1  A. ( I ; ; 1    b 4.  2 2  B. (P) . C. ắ b
D. (P) n  2;2;  1 . P Câu 158. xyz
x  2   y  2  z  2 1 2 2  9 : – – – : A. b B. q –1; –1). C. ắ D. q –1; 0).
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 26
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam Câu 159. xyz  x  y  z 
x  2   y  2   z  2 9 3 7  49 1 2 4 d :   2 3 6 : A. b
B. a  2; 3; 6 . d  C. d ắ b D. Câu 160. xyz x  y  z  2 2 2
x  y  z  2x  2y  8z  9  0 3 5 18 d :   1 3 7 : A. – b
B. q K 3; 5; 18 . C. ắ . D.
Câu 161. xyz, cho I(1;–2; q M(–1;0;1). V 2 2 2 2 2 2 A.  x  
1   y  2   z  2  9 . B.  x  
1   y  2   z  2  9. 2 2 2 2 2 2 C.  x  
1   y  2   z  2  9 . D.  x  
1   y  2   z  2  3.
Câu 162. xyz, cho A1;2;3
P : x  y  z  3  0 . V 2 2 2 2 2 2 A.  x  
1   y  2   z  3  9 . B.  x  
1   y  2   z  3  3. 2 2 2 2 2 2 C.  x  
1   y  2   z  3  9 . D.  x  
1   y  2   z  3  3 .
Câu 163. xyz A4; 1  1;5
P : 3x 12y  4z  5  0 V 2 2 2 2 2 2
A.  x  4   y 1 
1   z  5  13 .
B.  x  4   y 1 
1   z  5  169 . 2 2 2 2 2 2
C.  x  4   y 1 
1   z  5  169 .
D.  x  4   y 1 
1   z  5  13 .
Câu 164. xyz I  1  ;0;7 q K( – V 2 2 2 2 A.  x   2
1  y   z  7  13. B.  x   2
1  y   z  7  169. 2 2 2 2 C.  x   2
1  y   z  7  13. D.  x   2
1  y   z  7  169.
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 27
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam
Câu 165. xyz H 2;12;  1 V 2 2 2 2 2 2
A.  x  2   y 12   z   1 144.
B.  x  2   y 12   z   1 12. 2 2 2 2 2 2
C.  x  2   y 12   z   1 144.
D.  x  2   y 12   z   1 12.
Câu 166. xyz V 26; 1  2;2015 V (S). 2 2 2 2 2 2
A.  x  26   y 12   z  2015  676. B.  x  26   y 12   z  2015  26. 2 2 2 2 2 2
C.  x  26   y 12   z  2015  676. D.  x  26   y 12   z  2015  26.
Câu 167. xyz M 2; 4  ; 6   V 2 2 2 2 2 2
A.  x  2   y  4   z  6  6.
B.  x  2   y  4   z  6  36. 2 2 2 2 2 2
C.  x  2   y  4   z  6  36.
D.  x  2   y  4   z  6  6. 2 2 2
Câu 168. xyz S  :  x  
1   y  2   z  3  9 M 3;0;2 V
A. P : 2x 2 y z 4  0.
B. P : 2x 2 y z 4  0.
C. P : 2x 2 y z 8  0.
D. P : 2x 2 y z 8  0.
Câu 169. xyz S   x  2 2 2 : 3
 y  z  49 : – – A. M 5; 1  ;  1 . B. M 6; 1  ;  1 . C. M 3;2; 3   .
D. M 3;5;  1 .
Câu 170. Trong xyz M 4; 1; 
3 , N 2;  2;  3 V 2 2 2  1  2  1  49
A. S  :  x  3 2  y   z  49.  
B. S  :  x  3 2  y   z  .    2   2  4 2 2 2  1  7 2  1 
C. S  :  x  3 2  y   z  .  
D. S  :  x  3 2  y   z  7.    2  2  2 
Câu 171. xyz – : – – V
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 28
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam 2 2 2 9 2 2 2 9
A. S  :  x  
1   y  2   z   1  .
B. S  :  x  
1   y  2   z   1  . 169 169 2 2 2 3 2 2 2 3
C. S  :  x  
1   y  2   z   1  .
D. S  :  x  
1   y  2   z   1  . 13 13
Câu 172. xyz K 9;3;7    x 1 y 2 z 4 d :   V 2 3 6 2 2 2 2 2 2
A. S  :  x  9   y  3   z  7  49.
B. S  :  x  9   y  3   z  7  7. 2 2 2 2 2 2
C. S  :  x  9   y  3   z  7  49.
D. S  :  x  9   y  3   z  7  7.
Câu 173. xyz I 0; 3  ;2
d : x  2  t; y  3  2t; z  4  5t, t   V A. S  2 2 2
: x  y  z  6y  4z  63  0. B. S  2 2 2
: x  y  z  6y  4z  63  0. C. S  2 2 2
: x  y  z  6y  4z  61  0. D. S  2 2 2
: x  y  z  6y  4z  63  0.
Câu 174. xyz T  1
 ; 2;  3, V 1; 0;  2 V V 2 2 2  5  3 2  5  9 A. S  2
: x   y   1  z   .   B. S  2
: x   y   1  z   .    2  2  2  4 2 2 2  5  3 2  5  9 C. S  2
: x   y   1  z   .   D. S  2
: x   y   1  z   .    2  2  2  4 x  y  z  Câu 175. xyz 2 1 2 d :   3 5  3 T  1
 ; 2; 4, K 7; 1  ; 3 q V 2 2 2 2 2 2
A. S  :  x  
1   y  4   z   1  49.
B. S  :  x  
1   y  4   z   1  49. 2 2 2 2 2 2
C. S  :  x  
1   y  4   z   1  49.
D. S  :  x  
1   y  4   z   1  49.
Câu 176. xyz B1; 2; 3, T 4; 6  ; 2 q V
A. S   x  2 2 2 : 7
 y  z  6.
B. S   x  2 2 2 : 7
 y  z  36.
C. S   x  2 2 2 : 7
 y  z  6.
D. S   x  2 2 2 : 7
 y  z  36.
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 29
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam
Câu 177. xyz B2; 2;   3 , C 1;2; 6 q V A. S  2 2 2
: x  y  z  8z  7  0. B. S  2 2 2
: x  y  z  4z  7  0. C. S  2 2 2
: x  y  z  8z  25  0. D. S  2 2 2
: x  y  z  4z  25  0.
Câu 178. xyz K 2; 0;  2, H  1  ;1;2 q V A. S  2 2 2
: x  y  z  2y  8  0. B. S  2 2 2
: x  y  z  2y  8  0. C. S  2 2 2
: x  y  z  2y  8  0. D. S  2 2 2
: x  y  z  2y  8  0.
Câu 179. xyz, : – – – b M 0; 1  ;1 
3 , N 1; 2;1  1 , K  8  ;6;4 q b V A. S  2 2 2
: x  y  z  8x  4y  2z 148  0. B. S  2 2 2
: x  y  z  2x  2y  4z 19  0. C. S  2 2 2
: x  y  z  2x  4y  2z  2  0. D. S  2 2 2
: x  y  z  2x  6y  8z 1  0.
Câu 180. xyz b E 3;0;  1 , F 6; 4  ; 2  , G 7; 1  ;2 q b V 2 2 2 2
A. S   x     y   2 : 7 2  z  25.
B. S   x     y   2 : 5 2  z  9. 2 2 2 2
C. S   x     y   2 : 5 1  z  36.
D. S   x     y   2 : 7 8  z  49.
Câu 181. xyz b A2;4; 3
 , B6;9;6 , C 3  ;5;9 q b V 2 2 2 2 A. S  2
: x   y  
1   z  2  9. B. S  2
: x   y  7   z  3  49. 2 2 2 2 C. S  2
: x   y  2   z  5  169. D. S  2
: x   y  6   z   1  36.
Câu 182. xyz, cho b A1; 1  ;2 , B 1  ;3;0 , C 3  ;1;4 q b V 2 2 2 2
A. S   x   2 : 5
 y  z   1 11.
B. S   x   2 : 7
 y  z  6 11. 2 2 2 2
C. S   x   2 : 2
 y  z   1 11.
D. S   x   2 : 2
 y  z   1 11.
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 30
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam
Câu 183. xyz b A 6  ;2;  1 , B 2  ;4;3 , C 4  ;0;5, D0;0;  1 q V A. S  2 2 2
: x  y  z  x  y  z  34  0. B. S  2 2 2
: x  y  z  6x  2y  4z  3  0. C. S  2 2 2
: x  y  z  4x  y 19  0. D. S  2 2 2
: x  y  z  2y  z  46  0. Câu 184. xyz A5;0;  1 , B 2  ;2; 8  , C 7  ;2; 3   , D0; 5  ;  1 V (S). 2 2 2 2 2 2
A. S  :  x   1   y  
1   z  2  38.
B. S  :  x  4   y  
1   z  4  27. 2 2 2 2 2
C. S  :  x  4   y  
1   z  5  38. D. S  2
: x   y  
1   z  2  27.
Câu 185. xyz, cho : – –    : – – x 5 y 14 z 3 d :   3 7 2 V 2 2 2 A. S  2 2 2
: x  y  z 10x  28y  6z 1  0. B. S  :  x  8   y  2 
1   z  5  9. 2 2 2 C. S  2 2 2
: x  y  z  2x  2z  7  0.
D. S  :  x  2   y  7   z   1  49.
Câu 186. xyz, cho : – 3y – 6z + 4 = 0,
(Q): 6x + 3y – 2z – 3 d :  x  1 t, y  1 t, z  11 2t, t   V b 2 2 2 2 2 2
A. S  :  x  4   y  2   z 17  16. B. S  :  x   1   y   1   z 1  1 169. 2 2 2 2 2 2
C. S  :  x  2   y  4   z  5  144. D. S  :  x  
1   y  3   z  7  49.
Câu 187. xyz : – 2y + z – 10
d : x  4t 1, y  2t  3, z  t   6, t   V A. S  2 2 2
: x  y  z  2x  6y 12z  7  0. B. S  2 2 2
: x  y  z  2x 16y  8z  2  0. C. S  2 2 2
: x  y  z  6x  4y 12z  5  0. D. S  2 2 2
: x  y  z  6x 10y 14z  34  0.
Câu 188. xyz – x  2 y  4 z  3 d :   ắ 2 1 1 B sao cho AB  2 6 V
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 31
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam A. S  2 2 2
: x  y  z  6x  2y  4z  3  0. B. S  2 2 2
: x  y  z  6x  2y  4z 1  0. C. S  2 2 2
: x  y  z  6x  2y  4z  2  0. D. S  2 2 2
: x  y  z  6x  2y  4z 1  0.
Câu 189. xyz – –
d :  x  7t, y  5
  7t, z  1
  2t, t   ắ MN  102 V 2 2 2 2 2 2
A. S  :  x   1   y  
1   z  2  27.
B. S  :  x   1   y  
1   z  2  37. 2 2 2 2 2 2
C. S  :  x   1   y  
1   z  2  28.
D. S  :  x   1   y  
1   z  2  38.
Câu 190. xyz P : 12x  3y  4z 1  0
Q: 2x  2y  z 3  0 φ b cos . 2 2 2 26 A. cos  . B. cos  . C. cos  . D. cos  . 3 39 5 39
Câu 191. xyz P : x  y  z  5  0 K  1  ; 3  ; 7
  d K,P   A. d K  P 2 3 ,   . 
B. d K,  P  3 . 
C. d K  P 3 ,   . 
D. d K  P 4 3 ,   .  3 3 3
Câu 192. xyz, ch P : x  y  z 15  0
Q: x  y  z  3  0 α b cos . 2 1 1 3 A. cos  . B. cos  . C. cos  . D. cos  . 3 3 2 3 2 x  y  z Câu 193. xyz, 1 2 d :   2 1  7
P : 2x  2y  z 1  0 . b 2 b 3 A. M  1  ;2;0. B. M  3  ;3; 7  .
C. M 1;1;7. D. M  5  ;4; 1  4.
Câu 194. xyz φ φ b
P: x  2y  2z 3  0 2 5 1 2 2 A. sin  . B. sin  . C. sin  . D. sin  . 3 3 3 3
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 32
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam Câu 195. xyz
d : x  3  3t, y  1 t, z  2
  9t, t  g P : x  y  z 14  0 b 7 3 , b .
A. M 0;0;7. B. M 3;1; 2  . C. M  6  ; 2  ;25. D. M  3  ; 1  ;16.
Câu 196. xyz φ φ b
P: 2x 3y 6z 1 0 ng Oxz. 10 10 10 2 10 A. tan  . B. tan  . C. tan  . D. tan  . 20 10 5 3
Câu 197. xyz P : x  y  2z  3  0 b 2 3 b –2.
A. K 9;0;0. B. K  3  ;0;0. C. K  4  ;0;0. D. K  7  ;0;0.
Câu 198. xyz P : 2x  y  z  7  0 b 2 6 b – 4.
A. T 0;19;0. B. T 0; 9  ;0. C. T 0; 5  ;0. D. T 0; 1  1;0. x  y  z 
Câu 199. T xyz, cho 2 3 1 d :   5 2 1
P : 2x  3y  4z 17  0 A. b 0. B. b 0. C. b 0. D. b
Câu 200. xyz φ i φ b
P: x  y 5z  7  0 3 26 78 A. cot  . B. cot  . C. cot  . D. cot  26 . 9 26 9
Câu 201. xyz α i α b
P: x  2y  2z  7  0
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 33
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam 5 1 2 2 2 A. sin  . B. sin  . C. sin  . D. sin  . 3 3 3 3
Câu 202. xyz cosφ φ b
P: 2x 3y  6z 17  0 3 10 2 10 40 A. cos  . B. cos  . C. cos  . D. cos  . 7 7 7 49
Câu 203. xyz φ b x y 1 z  2 x  y  z  d :   1 1 2 d ' :   tan . 2 3 2 1 2 1  66 66 102 A. tan  17 . B. tan  . C. tan  . D. tan  . 6 11 17
Câu 204. xyz P : x  y  z 12  0
d : x  3  5t, y  t, z  2  t, t   α b sin . 3 1 1 2 A. sin  . B. sin  . C. sin   . D. sin  . 3 3 3 3
Câu 205. xyz P : x  y  z  3  0    x 7 y 5 z 17 d :   φ b 3 2 6 sin . 3 3 3 3 A. sin  . B. sin  . C. sin  . D. sin  . 21 7 10 15
Câu 206. xyz φ φ b
P: x  y  5z  2  0 78 3 26 A. tan  26 . B. tan  . C. tan  . D. tan  . 9 9 26 x  y  z Câu 207. xyz 1 2  :   1 3  2 M  2  ; 4; 3 ∆. A. d   3 826 M,  . B. d   3 826 M,  . 7 14 C. d   826 M,  . D. d   826 M,  . 14 7
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 34
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam x  y z  Câu 208. xyz 3 2  :   7 5 3 K 1; 8; 7 ∆
A. d K,   2 11 . B. d K,   22 . C. d   22 K,  . D. d   2 11 K,  . 22 11 x  4 y  8 z  6
Câu 209. xyz ng d :   1 2  1 H 1; 1;   1 A. d  d  107 H,  . B. d  d  107 H, 
. C. d H, d   107 . D. d  d  107 H,  . 3 6 2 x  y  z  Câu 210. xyz 1 1 14 d :   1  2 5 M  2  ; 6;  1 .
A. d M, d   3 . B. d  d  3 M,  .
C. d M, d   3 3 . D. d M, d   6 3 . 6 x  y  z Câu 211. xyz 1 2  :   1 3  2 x  3 y 1 z  2 ' :   ∆ ∆’ . 3 2 1 
A. d    19 , ' 
. B. d    19 , '  . C. d  ,
 '  19 . D. d  ,  '  2 19 . 19 3 x  y  z Câu 212. xyz 1 2  :   1 3  2 x  3 y 1 z  2 ' :   b ∆ ∆’ cos . 3 2 1  5 5 1 3 A. cos   . B. cos  . C. cos  . D. cos  . 14 14 14 14 x  y  z  Câu 213. xyz 1 2 1  :   2 3 6
': x  4t  3, y 1 3t, z 12t t   b ∆ ∆’ cos . 75 73 71 69 A. cos  . B. cos  . C. cos  . D. cos  . 91 91 91 91
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 35
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam Câu 214. xyz x 1 y  2 z 1  :  
' : x  4t  3, y 1 3t, z 12t t   . 2 3 6
A. d    10 , ' 
. B. d    5 10 , ' 
. C. d    11 10 , ' 
. D. d    17 10 , '  . 10 10 10 10
Câu 215. xyz P : 3x  5y  z  2  0    x 12 y 9 z 1 d :   . T 4 3 1 A. M 21; 4
 0;12 . B. M 21;40;12. C. M 21;40; 1
 2 . D. M  2  1;40; 1  2 . x  y  z  Câu 216. xyz 6 1 2 d :   3  2  1 A1;7;3 V b q
A. P : 3x  2y  z 14  0 . B. P : 3
 x  2y  z 14  0 .
C. P : 3x  2y  z 11  0 . D. P : 3
 x  2y  z 11  0 .
Câu 217. xyz P : 2x  3y  z 11  0
S x  2   y  2  z  2 : 1 2 1 14
A. M 0;3;2.
B. M 1;1;6.
C. M 3;1;2. D. M 2;2;  1 .
Câu 218. xyz P : 2x  3y  z  7  0 A3;5;0 V q x  3 y  5 z x  3 y  5 z A. d :   . B. d :   . 2 3 1  2 3 1  x  3 y  5 z x  3 y  5 z C. d :   . D. d :   . 2 3  1  2 3  1 
Câu 219. xyz P : x  y  z  3  0
d : x  3t  7, y  2t  5, z  6t 17, t   A. M  1  ; 1  ;  1 .
B. M 1;1;5 . C. M  1  ;1;3 . D. M  3  ;1;  1 .
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 36
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam
Câu 220. Trong không xyz P : 3x  5y  z  2  0    x 12 y 9 z 1 d :   4 3 1 V
A. 5x  y  6z  0 .
B. 5x  y  6z  2  0 . C. 5x  y  6z  7  0 . D. 5x  y  6z 17  0. x y z  Câu 221. xyz 1 d :   1 2 1  x 1 y  2 z d' :   V ’ 2 2 1 
A. P: y  2z  2  0 . B. P: y  2z  2  0 . C. P: y  2z  2  0 . D. P: y  2z  2  0 .
Câu 222. xyz A1; 1  ;2, B2; 1  ;0   x 1 y 1 z d :   2 1  1 b A. M 5; 3  ;2 . B. M 1; 1  ;0 . C. M  1  ;0;  1 . D. M 11; 6  ;5 .
Câu 223. xyz A 1  ; 1  ; 2  , B0;1;  1 : – q V
A. P : x  2y  z 1  0 .
B. P : x  y  z  2  0 .
C. P : 2x  y  z 1  0 .
D. P : 3x  y  2z  0 . x  y  z  Câu 224. xyz 6 1 2 d :   3  2  1
A1;7;3 AB  2 30 b A. B3; 3  ;  1 . B. B6; 1  ; 2   . C. B0; 5  ;0 . D. B 9  ; 1  1;3 . 2 2 2
Câu 225. xyz, cho S  : x  2   y  
1   z  3  49 : – –
ắ b r  2 10 V (Q).
A. 2x  2y  z 14  0 , 2x  2y  z  4  0. B.
2x  2y  z 14  0 , 2x  2y  z  4  0.
C. 2x  2y  z 14  0 , 2x  2y  z  4  0. D. 2x  2y  z 14  0 , 2x  2y  z  4  0.
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 37
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam x  2 y  2
Câu 226. xyz,  z :   1 1 1
: x + 2y – 3z + 4 = 0. V d cho d ắ ∆ x  3 y 1 z 1 x  3 y 1 z 1 A. d :   . B. d :   . 1 2  1  5 3 8 x  3 y 1 z 1 x  3 y 1 z 1 C. d :   . D. d :   . 3 4 7 8 3  5 2 2
Câu 227. xyz S  2
: x   y  
1   z  2  5    x 7 y 1 z 1 ng d :   ắ 1 1 1 b 20 . V
A. P : x  y  z  3  0 .
B. P : x  y  5z 11  0 .
C. P : x  2y  z  4  0 .
D. P : x  2y  3z  8  0 . Câu 228. xyz
P:2x  y  2z 10  0 ắ b V A. S  2 2 2
: x  y  z  4x  2y  6z 11  0 . B. S 2 2 2
: x  y  z  4x  2y  6z  7  0 . C. S  2 2 2
: x  y  z  4x  2y  6z 1  0 . D. S  2 2 2
: x  y  z  4x  2y  6z  9  0 .
Câu 229. xyz b –2;3), C(1;1;1 q b 2 3 . V 3
A. x  y  z 1  0, 23x  37 y 17z  23  0. B. x  y  z 1  0, 23x  37 y 17z  23  0.
C. x  y  z 1  0, 23x  37 y 17z  23  0. D. x  y  z 1  0, 23x  37 y 17z  0.
Câu 230. xyz P : 2x  3y  z  55  0 A1; 1  ;0 A. H  9  ; 1  1; 1
 06 . B. H 9;11; 4   . C. H 1;1; 5  0 .
D. H 20;5;0 .
Câu 231. A2;1;0, B 2  ;3;2
d : x 1 2t, y  t, z  2  t, t  q V
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 38
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam 2 2 2
A. S   x  2 2 2 :
1  y  z  17.
B. S  :  x  5   y  2   z  4  17. 2 2 2 2 2 2
C. S  :  x  3   y  2   z  4  17.
D. S  :  x   1   y  
1   z  2  17.
Câu 232. xyz P : 2x  3y  z 1  0 M 3;2;  1 H . A. H 1; 1  ;0. B. H  1  ;1;2. C. H  1  ; 1  ; 4   .
D. H 1;1;6 .
Câu 233. Trong không xyz M 7;1;  1 , N  2  ; 2  ;2 S 2 2 2
: x  y  z  2y  4z  0 q ắ b 2 5 V
A. P : x  y  z  3  0 .
B. P : x  y  5z 11  0 .
C. P : x  2y  z  4  0 .
D. P : x  2y  3z  8  0 . x  y z  Câu 234. xyz 3 2  :   7 5 3 K 1; 8; 7 ∆ A.  1  0;5; 1   . B. 11;10;8 . C. 4; 5; 5 . D. 18;15;1  1 .
Câu 235. xyz, x  2 y  2 z  3 x 1 y 1 z  1 d :   d :   V ∆ 1 2 1  1 2 1  2 1 q 1 ắ 2. x 1 y 1 z  3 x 1 y 1 z  3 A.  :   . B.  :   . 3 2 4  1 7  9  x 1 y 1 z  3 x 1 y 1 z  3 C.  :   . D.  :   . 2 5 1 1  3 5 x  y  z  Câu 236. xyz 1 2 3 d :   1 2  1 B1; 1;   1 . T C .
A. C 0; 0;2 .
B. C 1;  2;3 .
C. C 2; 0; 2 . D. C  1  ; 2;  1 . x  y  z  Câu 237. xyz 1 3 4 d :   1  2 5 M  2  ; 6;  1 q . T A. N 0;0; 9  . B. N  2  ;4;  1 .
C. N 4;8; 2  9 . D. N  4  ; 8; 1  1 .
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 39
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam
Câu 238. xyz P : x  2y  5z 19  0 E  3  ; 7; 6 q .
A. F 25;3;2 . B. F 23; 3  ; 4   . C. F  1  ; 5;  4. D. F  3  1; 5  ; 6 .
Câu 239. xyz P : 6x  3y  2z 1  0 S 2 2 2
:x  y  z  6x  4y  2z 11  0 ắ  1   5 1   1   3 5 13  A. J 1;1; .  
B. J  ; 5;  .   C. J 0; 0;  .   D. J ; ; .    2   2 2   2   7 7 7 
Câu 240. xyz M 5;  2;  7 S 2 2 2
: x  y  z  2x  2y  4z 1  0 q ắ ha b KH  2 7 V x  5 y  2 z  7 x  5 y  2 z  7 A. d :   . B. d :   . 4 1  9  8 1 3 x  5 y  2 z  7 x  5 y  2 z  7 C. d :   . D. d :   . 2 2 1 1  1 2
Câu 241. xyz P : x  2y  z  2  0 C 0; 0; 2 q .
A. D2; 2; 4 . B. D2; 2  ; 4   .
C. D6;4;4 . D. D8; 1  0; 22.
Câu 242. xyz P : x  y  2z  3  0    x 1 y 3 z 6  :   3  2 5 ắ ∆ . x  4 y  1 z 1 x  4 y 1 z 1 A. d :   . B. d :   . 9 1 5 9 1 5  x  4 y 1 z 1 x  4 y 1 z 1 C. d :   . D. d :   . 9 1 5 9 1  5
Câu 243. xyz A1; 1  ;  1 , B 1  ;2;3    x 1 y 1 z 3 d :   ’ q 2  1 3 V ’
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 40
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam x 1 y  1 z 1 x 1 y  1 z 1 A. d' :   . B. d' :   . 4 5 1 2 1 1 x 1 y  1 z 1 x 1 y  1 z 1 C. d' :   . D. d' :   . 7 2 4 5  1  3 1
Câu 244. xyz A 2  ;1;  1 , B 3  ; 1  ;2    x 2 y 1 z 5 d :   1 3 2  b 3 5 b A. M  1  ;4; 7   . B. M  3  ; 2  ; 3   . C. M 0;7; 9   . D. M  2  ;1; 5   .
Câu 245. xyz A1;0;  1 x 1 y  1 z d :   2 2 1   7 3 1   5 1 1  A. H 1; 1  ;0. B. H ; ; .   C. H ; ; .   D. H  1  ; 3  ;  1 .  5 5 5   3 3 3 
Câu 246. Trong không xyz P : 2x  y  4z 13  0    x 3 y 1 z 4  :   4 3  1 ắ ∆ . x  5 y  5 z  2 x  5 y  5 z  2 A. d :   . B. d :   . 11 18 10 11 18 10 x  5 y  5 z  2 x  5 y  5 z  2 C. d :   . D. d :   . 1  1 18 10 11 1  8 10
Câu 247. xyz,  : x  3  t, y  t, z  t 1 x  2 y 1 z  :   M ∆ 2 1 M ∆2 2 1 2 b b
A. M 5;2;2 .
B. M 6;3;3 .
C. M 7;4;4 . D. M 4;1;  1 .
Câu 248. xyz, cho hai –1;2;3), B(1;0;– :
2x + y – 3z – 4 = 0. A. M 0; 5  ; 3   . B. M 5;3;  1 .
C. M 0;1;  1 . D. M  1  ;0; 2   .
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 41
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam 2 2 2
Câu 249. Trong không gian xyz S  : x   1   y   1   z   1 1   x y 1 z 2 d :   . q K 24; 1  2;  1 18 1  0 1 V
A. x  2y  2z  2  0; 2x  3y  6z  6  0 . B. x  y  8z  2  0; 2x  3y  6z  6  0 .
C. x  2y  2z  2  0; 2x  3y  6z  6  0 . D. x  2y  2z  2  0; 2x  3y  6z  6  0 . x  y z  Câu 250. xyz 1 2 d :   2 1 1
P: x  y  2z  5  0 v A1; 1  ;2 ∆ ắ V ∆ x 1 y  1 z  2 x 1 y  1 z  2 A.  :   . B.  :   . 2 3 2  2 1 2 x  1 y  4 z x  1 y  4 z C.  :   . D.  :   . 2 3 1 2 3 2
Câu 251. Oxyz, : –2y +2z – x  1 y z  9 x 1 y  3 1  z :   ,  :   ∆ 1 1 sao 1 1 6 2 2 1  2 ∆2 b b A. M  1  ;0; 9   .
B. M 2;3;9 . C. M  2  ; 1  ; 1
 5 . D. M 0;1; 3   .
Câu 252. xyz P : 2x  y  z  4  0 A2;0;  1 , B0; 2
 ;3 AM  BM  3 b  6 4 12  A. M  ; ; . 
 B. M 5;11;3 .
C. M 7;1;19 .
D. M 0;1;3 .  7 7 7  x  y z  Câu 253. xyz, 1 2 d :   1 2 1 I 0;0;3 ắ V 4 8
A. S  : x  y   y  32 2 2  .
B. S  : x  y   y  32 2 2  . 3 3 1 7
C. S  : x  y   y  32 2 2  .
D. S  : x  y   y  32 2 2  . 3 3
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 42
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam
Câu 254. xyz A0;0;3, M 1;2;0 q ắ V
A. P :6x  3y  4z 12  0.
B. P : 2x  y  z  3  0.
C. P :x  y  z  3  0.
D. P :x  4y  7z  21  0.
Câu 255. xyz A4;4;0 S : 2 2 2
x  y  z  4x  4y  4z  0 V b
A. x  y  z  0, x  y  z  0 .
B. x  y  z  0, x  y  z  0 .
C. x  2y  2z  0, x  y  z  0 .
D. x  y  z  0, x  2y  2z  0 .
Câu 256. xyz P :x  y  z  3  0   x 2 y 1 z d :   1 2  1  MI  4 14 b A. M  2  ;3;2 . B. M  3  ; 7  ;13 . C. M  1  ; 2  ;6 . D. M  1  ; 7  ;1  1 . x 1 y  3 z
Câu 257. xyz  :   2 4 1
: x – y + 2z ∆ b b V 2 2 2 2 2 2
A. S  :  x  5   y 1 
1   z  2  1; S  :  x   1   y   1   z   1 1. 2 2 2 2 2 2
B. S  :  x  5   y 1 
1   z  2  1; S  :  x   1   y   1   z   1 1. 2 2 2 2 2 2
C. S  :  x  5   y 1 
1   z  2  1; S  :  x   1   y   1   z   1 1. 2 2 2 2 2 2
D. S  :  x  5   y 1 
1   z  2  1; S  :  x   1   y   1   z   1 1. x  1 y z  3
Câu 258. Oxyz, cho A(1;2;3) d :   . 2 1  2
V ∆ q A, d ắ x. x 1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3 A.  :   . B.  :   . 2 2 3 2 2  3 x 1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3 C.  :   . D.  :   . 2 2  5 2 2 5
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 43
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam x  1 y  1 z  1
Câu 259. Oxyz, d :   V 4  3 1
–3) ắ d A, B sao cho AB  26 . 2 2 2 2 2 2 A.  x  
1   y  2   z  3  16. B.  x  
1   y  2   z  3  9. 2 2 2 2 2 2 C.  x  
1   y  2   z  3  18. D.  x  
1   y  2   z  3  25. x  y  z  Câu 260.  2 1 5 :   và hai 1 3 2 
-2; 1; 1); B (-3; -  sao cho tam giác b 3 5 . A. M  2  ;1; 5   M  1  4; 3  5;19 B. M  1  ;4; 7   M 3;16; 1   1 C. M  2  ;1; 5   M 3;16; 1   1 C. M  1  ;4; 7   ho M  1  4; 3  5;19
Câu 261. Oxyz A0;1;0 , B(2;2;2) x y  3 z 1  :    sao cho  ấ 1 1  2  1 26 7   36 51 43   5 25 3  A. M ; ;   B. M ; ; 
 C. M 4; 1  ;7 D. M ; ;    9 9 9   29 29 29  13 13 13 
Câu 262. Oxyz, ( A 0;1;0), ( B 2;2;2),C( 2  ;3;1) x 1 y  2 z  3 d :   . T d b 2 1  2  1 9 5   5 7 19   7 11 17  A. M ;  ; 
 M 5;  4; 7 B. M ;  ;   M ; ;    2 4 2   3 3 3   5 5 5   5 7 19   3 3 1  C. M ;  ;   M  3  ; 0;   1 D. M  ;  ;    3 3 3   2 4 2   15 9 11  M  ; ;     2 4 2  x  3  t 
Câu 263.  :  y  t và 1  z  t   x  2 y  2 z  :   M  M 2  2 1 2 1  b 2
A. M 9;6;6 M 6;3;3
B. M 5;2;2 M 2;0;0
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 44
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam
C. M 10;7;7 M 0; 3  ; 3   D. M  2  ; 5  ; 5   M 1; 2  ; 2   x  y z 
Câu 264. Oxyz  1 2 :   2 1 1  P: x 2
 y  z  0 C  P), M  b MC  6 . A. M 1;0; 2   M 5;2; 4   B. M 3;1; 3   M  3  ; 2  ;0 C. M 1;0; 2   M  3  ; 2  ;0 D. M 3;1; 3   M  1  ; 1  ;  1 x y  z Câu 265.  1 :   M 2 1 2 M Δ b OM. A. M  1
 ;0;0 M 2;0;0
B. M 3;0;0 M 1;0;0
C. M 1;0;0 M  2  ;0;0
D. M 4;0;0 M 2;0;0
Câu 266.  P : x – y  z –  x 1 y z  9 x 1 y  3 z 1  :   ,  :   M 1 1 1 6 2 2 1 2   M  M 1 2 (P) b  6 1 57   18 53 3 
A. M 1;2;3 M  ; ;   B. M 0;1; 3   M ; ;    7 7 7   35 35 35   11 4 111 
C. M 2;3;9 M ; ;   D. M  2  ; 1  ; 1  5 M 1;2;3 15 15 15  x  t  Câu 267.
:y  2t A , 1 ( 0,  ) 1 Tìm  z  1  1 2 2 2  4 2  1 2 2 2  4 2  1 2 2 2  4 2 
A. E 1;2;3, F  , ,1   B. E  , ,1   , F  , ,1   5 5   5 5   5 5   1 2 2 2  4 2  1 2 2 4  2  C. E  , ,1   , F 1;2;3 D. E  , ,1   F 1;2;3 5 5   5 5   x  2 y 1 1
Câu 268. Oxyz, M ; 1 (  ; 1 ), 0  z :   2 1 1 ( )
P : x  y  z  2  . 0 A (P) b 33
AM  và A  b . 2
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 45
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam     A. ( A 1  ;1; 4) 23 8 17 A ; ; .   B. ( A  ; 1  ; 1 ) 4 23 8 17 A ; ;  .    7 7 7   7 7 7     23 8 17  C. ( A 1;1; 4) 23 8 17 A ; ;  .   D. A ; ; .   A1;2;3  7 7 7   7 7 7 
Câu 269.  P : x  y  z  4  0 A3;3;  1 , B0;2;  1 b  8   3 5 
A. I  A B. I  3  ;1;  1 C. I 2; ;1   D. I ; ;1    3   2 2 
Câu 270. Oxyz A ; 1 ( ; 2  ) 1 x 1 y 1 x y   z 1 :   ,  z :   . M, N 1 1 1  2 2 1 2  2
 và  MN A và 1 2  . 1 A. M ( ; 1  2; ), 5 N( 2  ;  3; ). 4
B. M (1; 0; 1), N( 2  ; 3; 4). C. M ( 1
 ; 2; 5), N(2; 3; 4 .) D. M ( 1  ; 0; 1  ), N( 2  ; 3; 4).
Câu 271. Oxyz, ( )
P : 2x  y  2z  9  0 A ; 3 (  ; 1 ), 2 B ; 1 (  ; 5 ).
0 M P) sao cho MA MB . ấ M 1; 1  3;  A. M ( 1  ;3;4)
B. M (2;1; 3) C. 1 D. M ( 2  ; 1  ;3) x 1 y  4 z
Câu 272. Oxyz, d :    ; 1 ( A ; 2 ), 7 2 1 2 B ; 1 ( ; 5 ), 2 C ; 3 ( ; 2 ). 4 M d sao cho 2 2 2
MA  MB  MC ấ A. M (1,3, 2  ) B. M ( 1  ;4;0) C. M  3  ,5,2 D. M (0; 1  ;3)
Câu 273. xyz, tìm trên Ox   
d  x 1 y z 2 :  
 P : x – y – z  1 2 2
A. M 3;0;0 B. M  3  ;0;0
C. M 2;0;0 D. M  2  ;0;0
Câu 274. xyz – x 1 y  2 z  :    sao cho: 2 2
MA  MB  28 . 1  1 2
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 46
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam A. M ( 1  ;0;4) B. M 2; 3  ; 2   C. M 1; 2  ;0 D. M 3; 4  ; 4   x y z
Câu 275. Oxyz d :   và ha (0 A ;0;3) , 1 1 1
B(0;3;3) : MA  MB ấ  1 1 1   3 3 3   2 2 2  A. M ; ;   B. M ; ;   C. M ; ;   D. M  1  ; 1  ;  1  2 2 2   2 2 2   3 3 3  Câu 276. Oxyz (
A 4;3;9), B(2;1;5) x 1 t  d :  y  5
 t d sao cho MA  MB ấ z  33t  A. M 2; 5  ;0 B. M 3; 1  0; 3  
C. M 1;0;3 D. M  1  ;10;6
Câu 277. Oxyz A1;1;2, B0; 1  ;3,C2; 3  ;  1 , và x 1 
 : y  t  sao cho: z  3 2t 
MA  MB  2MC  3 19  1 
A. M 1;2;  1 M 1;2;  1
B. M 1;0;3 M 1; ;4    2   1 7   1   1  C. M 1; ;   M 1; ;5  
D. M 1;2;  1 M 1; ;4    3 3   2   2 
Câu 278. Oxyz A0;0;2, B1; 1  ;  1 ,C 2;2;  1 , và x 1 y z  2  :    sao cho: 2 1 1
MA  2MB  2MC ấ  5 1 7   7 5 1   1 5  A. M ; ;   B. M  ; ;   C. M 2; ;  
D. M 3;1;3  3 3 3   3 3 3   2 2  x 1 t x y 1 z 
Câu 279. Oxyz d : 
 và d y  t 1 2 1  1 2 z  t  d d ấ 1 2  1 1  A. M 1; ; , N   1;0;0
B. M 0;1;0, N 1;0;0  2 2 
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 47
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam    1 1   2 1 1  C. M   1 1 1 2;0;1 , N ; ;   D. M 1; ; , N ; ;      2 2 2   2 2   3 3 3  Câu 280. x 1 t x y 1 z 1  d :  
, d :  y  1
  2t d d sao 1 2 1 1  2 1 2 z  2  t  b
A. M 0;1;  1 , N 3; 5  ;4 B. M 2;2; 2  , N 2; 3  ;3
C. M 0;1;  1 , N 0;1;  1
D. M 0;1;  1 , N 2; 3  ;3 Câu 281.
P: x  y  z  20  0 CD  3 3   5 4 2   5 1  A. D ; ;1   B. D ; ;   C. D ; ; 1    D. D 1  ;4;6  2 2   3 3 3   2 2 
Câu 282. Oxyz A0;1;  1 , B 1;0; 3   ,C  1  ; 2  ; 3   S 2 2 2
: x  y  z  2x  2z  2  0 D S  ABCD ấ .  1  4 5    4 2   7 4  1   A. D ; ;   B. D 1; ;   C. D ; ;   D. D  1  ;4;0  3 3 3   3 3   3 3 3 
Câu 283. Oxyz S  2 2 2
: x  y  z  4x  2y  6z  5  0 và
P : 2x  2y  z 16  0. M S  N
P ắ ấ MN M, N .   A. M    4 13 14 0; 3; 4 , N  ;  ; .   B. M 2;2; 2  , N  4  ; 4  ;0  3 3 3  C. M 0; 3  ;4, N  4  ; 4  ;0.
D. M 0;1;  1 , N 2; 3  ;3
Câu 284. Oxyz, cho b A0,0,a, B0, ,
b 0,C0,0,c b 1 1 1    2. q a b c M. M.  1 1 1   1 1 1  A. M ; ;   B. M ; ;   C. M 0,1,  1
D. M 2;0;  1  3 3 3   2 2 2 
Câu 285. Oxyz, cho A0,1,2, B2, 2  ,  1 ,C 2  ,0,  1
P:2x2y  z 3 0 Tìm cho MA MB  MC
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 48
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam A. C 2,3, 7  
B. C 1,1,   1
C. C 0,0,3 D. C 1, 1  , 5  
Câu 286. Oxyz, cho b A1,2,3, B1, 4  ,2
P:x y z10 b A. 1 B. 0 C. 2 D. 4
Câu 287. Oxyz, cho A2,0,  1 , B0, 2  ,3
P:2x y z40 MA MB 3.  6 4 12   6 4 12 
A. M 0,1,3 M  , ,  
B. M 0,1,3 M  , ,    7 7 7   7 7 7   6 4 12   6 4 12 
C. M 0,1,3 M  , ,  
D. M 0,1,3 M  , ,    7 7 7   7 7 7 
Câu 288. Oxyz, cho A2,0,  1 , B0, 2  ,3 V q OI ấ 2 2 2 2 2 2 A.  x   1  y   1
 z 3  35 B.  x   1  y   1  z   3  35 2 2 2 2 2 2 C.  x   1   y   1  z   3  35 D.  x   1  y   1  z   3  35
Câu 289. Oxyz, cho b A1,1,2,B4,1,2,C1,4,2
tam giác MA   ABC
M.ABC x  y  4  0.
A. M 1,1,8 M 1,1, 4  
B. M 1,1,3 h M  1  ,1,4
C. M 0,1,3 M 1,1, 4  
D. M 0,1,3 M 1,1,8
BẢNG ĐÁP ÁN CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án 1 B 2 C 3 A 4 A 5 C 6 B 7 B 8 A 9 B 10 C 11 B 12 C 13 A 14 C 15 B 16 A 17 C 18 C 19 A 20 C 21 A 22 D 23 D 24 B 25 D 26 B 27 A 28 C 29 C 30 B 31 C 32 C 33 D 34 A 35 C 36 C 37 A 38 C 39 C 40 B 41 C 42 B 43 A 44 C
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 49
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam 45 C 46 A 47 B 48 A 49 D 50 D 51 B 52 B 53 B 54 A 55 A 56 C 57 D 58 D 59 B 60 A 61 C 62 C 63 A 64 C 65 A 66 B 67 A 68 B 69 C 70 D 71 B 72 C 73 A 74 D 75 C 76 D 77 C 78 C 79 A 80 D 81 D 82 A 83 B 84 C 85 C 86 A 87 B 88 A 89 C 90 C 91 A 92 B 93 A 94 B 95 C 96 C 97 A 98 D 99 A 100 B 101 D 102 A 103 D 104 C 105 B 106 B 107 B 108 A 109 D 110 D 111 A 112 B 113 A 114 C 115 C 116 B 117 C 118 C 119 C 120 B 121 D 122 A 123 B 124 C 125 B 126 D 127 B 128 B 129 B 130 A 131 D 132 A 133 D 134 A 135 A 136 D 137 D 138 C 139 B 140 C 141 D 142 A 143 A 144 D 145 B 146 B 147 B 148 C 149 C 150 B 151 A 152 D 153 D 154 D 155 B 156 A 157 C 158 C 159 C 160 D 161 B 162 A 163 B 164 D 165 C 166 A 167 B 168 B 169 C 170 B 171 A 172 C 173 B 174 D 175 A 176 D 177 A 178 A 179 A 180 B 181 B 182 C 183 B 184 A 185 C 186 D 187 D 188 A 189 D 190 A 191 A 192 B 193 C 194 B 195 A 196 D 197 B 198 C 199 B 200 B 201 C 202 C 203 B 204 B 205 A 206 D 207 B 208 B 209 C 210 C 211 A 212 B 213 C 214 C 215 D 216 A 217 B 218 B 219 C 220 B 221 B 222 A 223 A 224 A 225 A 226 A 227 D 228 A
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 50
Chuyên đề giải tích trong không gian phần C: Bài Tập Trắc Nghiệm Fanpage H ắ Nam 229 A 230 B 231 D 232 A 233 C 234 C 235 D 236 A 237 D 238 C 239 D 240 A 241 B 242 C 243 C 244 D 245 C 246 B 247 C 248 C 249 C 250 D 251 D 252 D 253 B 254 A 255 B 256 B 257 B 258 A 259 D 260 A 261 B 262 D 263 A 264 C 265 C 266 B 267 B 268 B 269 D 270 A 271 D 272 A 273 A 274 A 275 B 276 C 277 D 278 B 279 A 280 C 281 C 282 C 283 A 284 B 285 A 286 C 287 A 288 A 289 A
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Trang 51
Document Outline