Chuyên đề khoảng cách và thể tích khối đa diện – Hoàng Văn Phiên Toán 12

Tài liệu gồm 17 trang hệ thống kiến thức từ lớp 8 đến 12 và bài tập các dạng toán trong chuyên đề khoảng cách và thể tích khối đa diện.Mời các bạn đón xem.

37 19 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện

Môn: Toán 12

Thông tin:

17 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Lan Tường
C
h
uyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diệ
n
Địa
chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com
Trang 1
ÔN
TẬP KIẾN THỨC
LỚ
P 8-9-10
A. MỘT SỐ
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Cho tam giác ABC, BC=a: cạnh huyền, AB, AC là 2 cạnh góc vuông, AB=c, AC=b. Đường cao AH=h, BH=c’, CH=b’. Trung
tuyến AM.
1. Định lí Py-ta-go:
2
2 2
BC AB AC
2
.
2
2
. '. , . '.
AB BH BC c a AC CH BC b a
3
.
. .
AB AC AH BC
4
.
2 2 2
AH AB AC
5
. BC=
2AM
6
.
sin
, cos , tan , cot
A
C AB AC AB
B
B B B
B
C BC AB AC
7.
.
sin , .sin , sin cos
b
a B c a C B C
B. MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG
1
. Định lý hàm số sin
:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
2. Định lý hàm số cosin:
2
2 2
2
. cos
a
b c bc A
C. C
ÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍ
CH
1
. Tam giác thường:
1 1
. .sin . ( )( )( ),
2 2 4 2
abc a b c
S
a h ab C p r p p a p b p c p
R
2
. Tam giác vuông tại
A:
1
.
2
S
AB AC
, t
am giác đều cạnh a:
2
3
4
a
S
8
. Tứ giác thường ABCD:
1
.
.sin( , )
2
S
AC BD AC BD
9
.
Hì
nh tròn:
2
.
S R
3. Hình vuông ABCD: S= AB.AD
4. Hình chữ nhật ABCD: S= AB.AD
5. Hình thoi ABCD: S= AC.BD/2
6. Hình thang ABCD(AB//CD): S= h(AB+CD)/2, h là chiều cao hình thang.
7. Hình bình hành: Đáy x chiều cao
C
h
uyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diệ
n
Địa
chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com
Trang 2
D. CHÚ Ý
1. Đường cao tam giác, đường trung tuyến tam giác, đường phân giác, đường trung trực
2. Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội ngoại tiếp tam giác
.
LỚ
P 11:
A. QUA
N HỆ SONG SONG
1
. Đường thẳng song song với mặt phẳng:
/
/( ) ( )a P a P
a.
(
)
/
/ / /( )
(
)
d P
d
a d P
a
P
,
b.
/
/( )
(
) / /
(
) ( )
a P
a
Q d a
P
Q d
,
c.
(
) ( )
/
/( ) / /
/
/( )
P Q d
a
P a d
a
Q
2
.
H
ai mặt phẳng song song:
( ) / /( ) ( ) ( )P Q P Q
a.
,
( )
(
) / /( )
/ /( ), / /( )
a b P
a
b I Q P
a Q b Q
,
b.
(
) / /( )
/ /( )
(
)
P Q
a Q
a
P
,
c.
(
) / /( )
(
) ( ) / /
( ) ( )
P Q
R
P a a b
R Q b
B. QUAN H
Ệ VUÔNG GÓC
1. Đường thẳng vuông góc mặt phẳng:
(
) , ( )
a
P a c c P
a.
,
( )
(
)
,
a b P
a
b I d P
d a d b
,
b.
(
)
'
( )
d P
d
a d a
a
P
,(ĐL
3 đường vuông góc- d’ là hình chiếu của d trên (P)).
2
. H
ai mặt phẳng vuông góc:
(
) ( ) ( , ) 90
P
Q P Q
a.
(
)
(
) ( )
(
)
a P
P
Q
a
Q
,
b.
(
) ( )
(
) ( ) ( )
( ),
P Q
P
Q d a Q
a P a d
,
c.
(
) ( )
( )
(
)
(
)
P Q
A P
a
P
A
a
a Q
,
d.
(
) ( )
(
)
(
), ( ) ( )
P Q a
a
R
P
Q R
C
huyê
n đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện
Địa c
hỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com
Tr
ang 3
C. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng, 1 mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó trên
đường thẳng, mặt phẳng.
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm thuộc đường thẳng đến mặt
phẳng.
3
. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
4. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau là đoạn vuông góc chung.
D. GÓC
1
. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua 1 điểm, a’//a, b’//b.
2. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P), a không vuông góc với (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của a trên
(P).
3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó hoặc góc giữa
hai đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc giao tuyến tại 1 điểm.
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích hình (H) trên mp(P), S’ là diện tích hình chiếu (H’) của hình (H) trên
mp(P’) khi đó:
' . os
S S c
,
( , ')
P P
.
LỚP
12:
A. TH
Ể TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1. Thể tích khối lăng trụ: V=B.h
2. Thể tích khối hộp chữ nhật:
V abc
3. Thể
tích khối lập phương cạnh a:
3
V a
4. Thể
tích khối chóp:
1
.
3
V B
h
5. Tỉ s
ố thể tích: Tứ diện SABC, A’, B’, C’ là các điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có:
' '
'
' '
'
V
SA S
B SC
SABC
V SA
SB SC
SA B
C
B. CHÚ Ý:
1. Đường chéo của hình vuông cạnh a là
a 2
2. Đường chéo của hình lập phương cạnh a là
a 3
3. Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là
a
2
b
2
c
2
C
huyên đề:
Khoảng cách và thể tích khối đa diện
Địa chỉ:
Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com
Tra
ng 4
4. Tron
g tam giác đều cạnh a đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác có độ dài là
3
2
a
, các đư
ờng này
xuất phát từ 1 đỉnh là trùng nhau. Nên trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội ngoại tiếp tam giác là trùng
nhau, (chú ý đường trung trực).
CÁC LOẠI BÀI TẬP
A-
HÌNH VẼ TRONG KHÔNG GIAN
Quan trọng bậc nhất đối với việc vẽ 1 hình không gian là xác định đúng đường cao (hay chân đường cao)
I. Hình chóp
II. Hình l
ăng trụ
1. Nếu là lăng trụ đứng thì đường cao là cạnh bên
2. Nếu là lăng trụ xiên thì đường cao là đường hạ từ 1 đỉnh của mặt này đến mặt kia nên giống như đường cao của
hình chóp.
1. Hì
nh chóp có 1 cạnh vuông góc đáy thì cạnh đó là đường cao
2. Hình chóp có 1 mặt bên vuông góc đáy thì đường cao là đường kẻ từ đỉnh hình chóp và vuông góc với giao
tuyến của mặt bên đó với mặt đáy.
3. Hình chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng vuông góc đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt đó.
4. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao
chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. Trong trường hợp đáy là tam giác tâm là giao 3 đường trung trực.
5. Khối chóp có các mặt bên tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy. Trong
trường hợp đáy là tam giác thì tâm là giao 3 đường phân giác.
6. Hình chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng tạo với đáy 1 góc thì chân đường cao nằm trên đường phân giác của góc
tạo bởi 2 giao tuyến của hai mặt bên với đáy.
7. Hình chóp có hai cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với đáy 1 góc thì chân đường cao thuộc đường trung trực
của đoạn thẳng nối 2 giao điểm của hai cạnh bên nói trên với đáy.
5. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều, các cạnh bên bằng nhau. Hình chiếu của đỉnh hình chóp
chính là tâm của đáy, đối với đáy là tam giác thì tâm là trọng tâm, đáy là tứ giác thì tâm là giao 2 đường chéo.
6. Lăng trụ đều là lăng trụ đứng, đáy là đa giác đều.
C
huyê
n đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện
Địa c
hỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com
Tr
ang 5
III. Chú ý
B- KH
OẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
Bài toán 1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Các bước xác định khoảng cách từ điểm A đến (P):
Bư
ớc 1: Xác định mp(Q) chứa A,
( )
( )
Q P
,
( )
( )
Q P
d
Bư
ớc 2: Kẻ đường cao AH
d
, H
d
( )
(
,( ))
AH P
d AH
A P
Bư
ớc 3: Tính AH.
Nhậ
n xét thấy tam giác SAK vuông tại A, AH là đường cao nên ta có:
2 2
2
1 1
1
AH A
S AK
SA
đã có nên ta chỉ cần tính AK.
Xét tam giác ABK vuông tại K,
3
sin .
sin .sin 60
2
AK a
B AK AB B a
AB
Ví dụ. Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc với đáy, SA=3a, AB=a,
ABC 60
. Tính
d
A,
SBC
Giải:
Trong tam giác ABC ta dựng đường cao AK, nối SK
Do AK là hình chiếu vuông góc của SK lên (ABC) và AK
BC
theo định lý 3 đường vuông góc SK
BC
BC
(SAK)
Kẻ AH
SK tại H (1)
Mà BC
(SAK)
BC
AH (2)
Từ (1) và (2)
AH
(SBC)
d ( A, SBC) AH
Tính AH?
1. Hình chóp đều là hình chóp có các cạnh bên bằng nhau đáy là đa giác đều. Hiển nhiên chân đường cao trùng
tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
2. Hình chóp có đáy là đa giác đều thì đáy là đa giác đều, các cạnh bên chưa chắc bằng nhau.
3. Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
4. Lăng trụ có đáy là đa giác đều thì chưa chắc là lăng trụ đứng.
C
huyên đề:
Khoảng cách và thể tích khối đa diện
Địa chỉ:
Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com
Tra
ng 6
2
2
2 2 2 2
2
1 1 4
1 13 9 3 13
9 3 9 13 13
3 13
( , )
13
a a
AH AH
AH
a a AH a
a
d A SBC
Bài
tương tự
KỸ TH
UẬT DỜI ĐIỂM
1. Dời điể
m song song: Yêu cầu cần tính
?
( ,( )
)
d
M P
Trong
đó
,( )A
P
d k
. Ở đây MA/
/(P)
( ,( )
) ( ,( ))
d d k
M P A
P
2. Dời điể
m cắt nhau: Yêu cầu cần tính
?
( ,( )
)
d
M P
Trong
đó
,( )A P
d k
.
Ở đây
MA P I
( ,( ))
( ,( ))
d
IM
M P
d IA
A P
(Tự
CM)
Ví dụ 1
.
Cho
hình chóp S.ABCD có SA vuông góc đáy, ABCD là hình chữ nhật, SA=a, góc giữa SB, SD và mặt đáy lần lượt
là
30
,
60
.
a. Tính khoảng cách từ D đến (SBC)
b. Tính khoảng cách từ B đến (SCD)
Gi
ải
Ta c
ó AB, AD lần lượt là hình chiếu của SB, SD lên mặt đáy nên
, , 30
, , 60
SB ABCD
SB AB SBA
SD ABCD SD AD SDA
a. Tính
khoảng cách từ D đến (SBC)
1. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc đáy, SA=2a, AC=a,
ACB 120
. Tính
d
A,
SBC
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng
vuông góc đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng
60
. Tính
d
H,
SCD
biết H là trung điểm AB.
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc đáy, góc giữa SB và mặt đáy bằng
30
góc giữa
SD và mặt đáy bằng
60
biết
SA a
. Tính
d
A,
SBC
, d
A,
SDC
, d
A,
SBD
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B,
AD 2AB 2BC 2a
, SA vuông góc đáy. Tính
khoảng cách từ A đến (SCD) biết góc giữa SC và đáy bằng
60
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật SA=SC, SB=SD=2a. Tính khoảng cách từ O đến (SCD) biết O là
tâm của đáy và góc giữa mặt (SAD) và đáy bằng
60
C
huyên đề: Khoảng
cách và thể tích khối đa diện
Địa chỉ: Số 2
0, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com
Trang 7
Có
D, ,
/ / / /
SBC A SBC
AD BC AD SBC
d d
Do
AB BC SB BC
(định lí
3 đường vuông góc)
BC SAB
Kẻ AH
vuông góc SB tại H (1)
Mà
BC SAB BC AH
(2)
Từ (
1) và (2) suy ra
AH SBC
Xét tam giá
c AHS vuông tại H có
3
sinS .sinS sin
60
2
AH a
AH AS a
AS
D, ,
3
2
SBC A SBC
a
d d
b. Tính khoảng
cách từ B đến (SCD)
Có
B, ,
/ / D / /
SDC A SDC
AB C AB SDC d d
Do
AD DC SD DC
(định lí 3 đường
vuông góc)
DC SAD
Kẻ AK
vuông góc SD tại K (3)
Mà
DC SAD DC AK
(4)
Từ (3) và (4) suy ra
AK SDC
Xét tam giá
c AKS vuông tại K có
sinS .sinS sin
30
2
AK a
AK AS a
AS
B, ,
2
SDC A SDC
a
d d
Ví dụ 2. Cho hì
nh chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, E là trung điểm BC. Góc giữa SC và mặt
Có
AE CD I A
E SCD I
,
,
E SCD
A SCD
d
EI
d AI
Dễ dàng tí
nh được
1
2
EI
AI
Từ (1), (2) suy ra
,A SCD
AH SCD d
AH
Tính AH
= ?
đáy bằng
60
. Tính khoảng cách từ E đến (SCD).
Giải
Do AC là hình chiếu của SC trên mặt đáy nên
SC,
ABCD
SC, AC
SCA 60
Ta đã biết cách tính khoảng cách từ chân đường
vuông góc A đến mặt (SCD). Vậy ta sẽ rời điểm E về A
như sau
Vấn đề còn lại là rất quen thuộc, đó là tính khoảng cách
từ A đến (SCD)
Có
AH CD SD CD
(định lí 3 đường vuông góc)
CD
SAD
Kẻ
AH SD
tại H (1)
Mà
CD
SAD
CD AH
(2)
C
huyên đề:
Khoảng cách và thể tích khối đa diện
Địa chỉ:
Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com
Tra
ng 8
Xét t
am giác SAD vuông tại A có
2 2 2
1 1 1
AH AS
AD
(*)
Xét
tam giác SAC vuông tại A có
tan .tan 2 tan 60 6
SA
C SA
AC C a a
AC
2
2
2 2 2
2
1 1 1
7 6 42
6 6
a a
AH
AH
AH a
a a
,
, ,
42
7
1 42
2 14
A SCD
E SCD
A SCD
a
d
a
d d
Ví dụ 3
. D-2011.
Cho
hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông tại B, AB=3a, BC=4a, (SBC) vuông góc mặt đáy.
Biết SB=
3
,
2 , 3
0 , ?
B SAC
a SBC d
Giải:
Nhận xét: Ta thấy (SBC)
(ABC
) có giao tuyến là BC nên ta kẻ SH vuông góc BC
SH
(ABC). N
ếu ycbt là tính khoảng cách từ H đến (SAC) thì
ta dễ dàng thực hiện tương tự phần trước. Vì vậy ta sẽ sử dụng kĩ
thuật rời điểm mà ta nói ở trên. Rõ ràng BH cắt (SAC) tại C nên
ta sử dụng kĩ thuật rời điểm cắt nhau.
Vậy ta có:
,
,
d
B SAC
BC
d HC
H SA
C
Trong
tam giác vuông SHB ta có:
cos .cos
2 3. os30 3
BH
B BH
SB B a c a
SB
4 3
CH BC BH a a a
4
CB
Lại
có:
2 2 2
2 2 2 2 2
12 9 3, AC= 16 9 5
SH SB BH a a a BA BC a a a
. 3 .
3
~
5 5
CH MH AB
CH a a a
CMH C
BA MH
CA BA AC a
1 1 1
1 1 25 28 3 7
2 2 2
2 2 2 2
14
3 9 9
a
HK
HK HS HM HK a a a
3 7 3 7
6 7
( , ) (
, ) 4.
14 14 7
a a a
d H SAC d
B SAC
CH
Ta tính khoảng cách từ H đến (SAC).
Kẻ HM
AC
SM
AC (Định lí 3 đường vuông góc)
AC
(SHM)
Kẻ HK
SM tại K (1)
Do AC
(SHM) nên AC
HK (2)
Từ (1) và (2) suy ra HK
(SAC)
d (H , SAC) HK
C
huyê
n đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện
Địa c
hỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com
Tr
ang 9
Ví dụ
4.
Cho
hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, SA vuông góc đáy, AB=BC=a, AD=2a và
góc giữa SC với mặt đáy bằng
60
. Tí
nh
a. Khoảng cách từ A đến (SCD)
b. Khoảng cách từ B đến (SCD)
Giải
Có
AC là hình chiếu của SC trên mặt đáy nên
, , 60
SC ABCD SC AC SCA
a. Khoảng cách từ A đến (SCD)
Gọi I là trung điểm AD nên ta có IA=ID=IC=a. Vậy tam giác ACD nội tiếp
đường tròn tâm I đường kính AD. Vậy
AC CD SC CD
(định lí
…)
CD SAC
Kẻ
AH vuông góc SC tại H (1)
Mà
CD S
AC CD AH
(2
)
Từ (1) và (2) suy ra
,A SCD
AH
SCD d AH
Xét
tam giác AHC vuông tại H có
sin .
sin 60 2. 3 6
AH
C AH
AC a a
AC
,
6
A SCD
d a
b. Tính
khoảng cách từ B đến (SCD)
Có
,
,
B SCD
A
SCD
d
BE
BA
CD E BA SCD E
d AE
Ta
có
EBC
~
EAD
1
2
EB B
C
EA AD
, ,
6
.
2
B SCD A
SCD
BE a
d d
AE
, , 45
SC A
BC SC AC SCA
Vậy tam giác SAC vuông cân tại A
Gọi N là trung điểm SB
AG SBC
N
,(
)
,
1
3
G SB
C
A SBC
d
GN
d AN
Từ
(1) và (2) suy ra
,
( )
A SB
C
AH
SBC d AH
Lạ
i có tam giác SAK vuông tại A, tam giác ABC vuông tại A nên
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
1 1 1 1 1 1 1 2
2 2
AH
AS AK AS AB AC a a a a
2
2
2
2 2
a a
A
H AH
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao, tam giác ABC vuông tại A, AB=a,
AC a 2
, góc giữa SC và đáy bằng
45 độ. G là trọng tâm tam giác SAB. Tính khoảng cách từ G đến (SBC)
Giải
Do AC là hình chiếu của SC trên (ABC) nên ta có
Ta tính khoảng cách từ A đến (SBC)
Kẻ AK vuông góc BC tại K suy ra SK cũng vuông góc BC (Định lý...)
BC
SAK
Kẻ AH vuông góc SK tại H (1)
Mà
BC
SAK
BC AH
(2)
C
huyên đề:
Khoảng cách và thể tích khối đa diện
Địa chỉ:
Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com
Tra
ng 10
Gọi
I AG d AG SCD I
,
,
G SCD
A SCD
d
GI
d AI
Có
~ .
GAN GIS g g
, N l
à trung điểm AB
2
GI GS
GA GN
2
2
3
GI
GI GA
AI
Từ (
1) và (2) suy ra
,
( )
A SCD
AH S
CD d AH
Lại
có tam giác SAK vuông tại A suy ra ta có:
2 2 2
1 1 1
AH AS
AK
Xét t
am giác AKC vuông tại
K
2
sin .sin
30
2
AK a
C AK AC
AC
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 2 7 21
7
3 3
a
AH
AH A
S AK a a a
, ,
2 2 21
.
3 21
G SCD A
SCD
a
d d
Các
h 2. Rời điểm 2 lần
Gọi N l
à trung điểm AB, có
,
, ,
,
2 2
.
3 3
G SCD
G SCD N S
CD
N SCD
d
GS
NG SCD S d d
d NS
Lại
có AN//(SCD)
, ,
21
7
N SCD A
SCD
a
d d AH
, (Tương t
ự cách 1)
, ,
2 2 2
1
.
3 21
G SCD A
SCD
a
d d
Bài
toán 2. khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bước
2: Lấy A thuộc a sao cho dễ tính khoảng cách từ A đến (P) nhất
( , )
( ,( )) ( ,( ))
d d d
a b a
P A P
1. Đoạn vuông góc chung: Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau. M thuộc a, N thuộc b, MN vuông góc với cả a và b nên MN được
gọi là đoạn vuông góc chung của a và b.
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung.
3. Cách xác định khoảng cách giữa hai đương thẳng chéo nhau a và b:
Bước 1: Xác định (P) chứa b và (P)//a.
Còn lại ta tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Kẻ AK vuông góc CD tại K suy ra SK cũng vuông góc CD (Định lý...)
CD
SAK
Kẻ AH vuông góc SK tại H (1)
Mà
CD
SAK
CD AH
(2)
Ví dụ 6. C
ho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA là đường cao,
SA a 3
.
ACD 30
, AC a 2
.
Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến (SCD)
Giải
Cách 1. Rời điểm 1 lần
Ta có
AG
SAB
,
SAB
SCD
d, d / / AB
C
huyê
n đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện
Địa c
hỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com
Tr
ang 11
Loạ
i 1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nhưng vuông góc nhau
KTCB. Cho hai
đường thẳng chéo nhau a và b, a vuông góc b khi đó ta xác định kc như sau
Bước 1. Chứng minh a vuông góc 1 mp (P) chứa b tại H
Bước 2. Từ H kẻ HK vuông góc b tại K
Suy ra HK là đoạn vuông góc chung
Thật vậy, ta có HK vuông góc b mà HK nằm trong (P)
Nên HK vuông góc a.
Ví dụ 1.
Cho
hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy.
Tính khoảng cách giữa
a. SH và CD với H là trung điểm AB
b. AD và SB
Giải
Do
tam giác ABC đều nên
SH AB
. Lại có (SAB) vuông góc đáy nên
SH A
BCD
a. Có
SH ABCD
tại H mà (ABCD) chứa CD nên từ H ta kẻ đường thẳng
vuông góc CD tại I suy ra I là trung điểm CD (Do ABCD là hình vuông)
Vậ
y ta có
HI CD
HI SH vi SH ABCD
,SH CD
d HI
a
b. Ta
có
AD AB
AD SH vi SH ABCD
AD
SAB
tại A
Mà (SAB) chứa SB nên từ A ta kẻ AK vuông góc SB tại K suy ra K
Là trung điểm SB (Do SAB là tam giác đều)
Vậy ta có
,
3
AD
2
AD SB
AK S
B
a
d AK
AK AD vi SAB
Ví dụ 2. A-2010.
Cho
hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. H là giao
MD SH
MD SCN
MD CN
tạ
i H.
Mà (SCN) chứa SC nên từ H kẻ HK vuông góc SC tại K
MD,
SC
HK SC
d HK
HK MD
vi MD SCN
điểm cuả MD và NC, biết SH vuông góc đáy, SH=
a 3
.
d
(MD,SC)
?
Giải:
Trước tiên ta chứng minh MD
CN. Thật vậy, do
DAM CDN
nên
C
1
D
2
mà
D
1
D
2
90
D
1
C
1
90
CHD 90
MD CN
C
huyên đề:
Khoảng cách và thể tích khối đa diện
Địa chỉ:
Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com
Tra
ng 12
Lại
có tam giác SHC vuông tại H(gt)
2 2 2
1 1 1
HK HS HC
(1)
Trong tam giác vuông CDN có
2
2
2 2 2
5 5
2 4 2
a a a
CN
CD DN a
Mà
2 2
2 2 5
~
5
5
CH CD C
D a a
CHD CD
N CH
CD CN CN
a
2 2 2
2
1 1 5
19 2 57
(1)
3 4 12 19
a
HK
HK a a
a
Loại
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và không vuông góc
KTCB. Tìm
một mặt phẳng (P) chứa b và (P)//a
,
,
a b
a P
d d
Do HC
là hình chiếu của SC nên ta có
, , 60
SC ABCD S
C HC SCH
Dễ
thấy
/ /SC SCD AB
d
,H SCD
d HI
Xét t
am giác SHK vuông tại H có
2 2 2
1 1 1
HI HS HK
(*)
Xé
t tam giác SHC vuông tại H,
2 2
65
4
a
HC HB BC
195
tan .tan
60
4
SH a
C SH HC
HC
Vậy (*)
2
2
2 2 2 2
1 4 1 211 780 780
211 211
195 4 780
a
HI HI a
HI a a a
,SC
, ,
780
211
AB
AB SCD
H SCD
d d d HI a
Ví dụ 2. A-2011. Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác vuông tại B, AB=BC=2a. (SAB), (SAC) cùng vuông góc với đáy, M
Ví dụ 1. C
ho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD=2AB=2a. Hình chiếu vuông góc H của S nằm trên AB
sao cho HA=3HB, góc giữa SC và mặt đáy bằng 60 độ. Tính khoảng cách giữa AB và SC
Giải
AB,SC
d
AB,
SCD
d
H ,
SCD
Lấy K thuộc cạnh CD sao cho KD=3KC
HK CD SK CD
(Định lý…)
CD (SHK)
Kẻ HI vuông góc SK tại I (1)
Mà
CD (SHK) CD HI
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
HI (SCD)
là trung điểm AB. Mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC tại N,
(
SBC
,
ABC
) 60
.
d
(SN,AB)
?
Giải:
Do (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy nên SA
(ABC), mặt
phẳng qua SM, //BC cắt AC tại N mà M là trung điểm AB nên N là
trung điểm AC.Qua N dựng đường thẳng Nx//AB
AB//(SNx)
d ( AB, SN ) d ( A, SNx)
Qua A kẻ AK
Nx (K thuộc Nx), trong tam giác SAK kẻ
đường cao AH.
Ta có Nx
AK, Nx
SA
Nx
(SAK)
Nx
AH
C
h
uyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diệ
n
Địa
chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com
Trang 13
AH
SK, AH
Nx
AH
(SNx)
(
, )
AH
d A SNx
T
a có tam giác SAK vuông tại A nên:
2
2 2
1
1 1
AH AS AK
(1)
,
2
BC
A
K MN a
S
AB vuông tại A nên ta có:
t
an . tan 2 . tan 60 2 3
SA
B
SA AB B a a
AB
2 2 2 2
1 1 1 13 2 39 2 39
(1) ( , )
12
12 13 13
a a
AH d AB SN
AH a a a
Ví
dụ 3: A-2012.
C
ho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác đều cạnh a. H thuộc AB sao cho HA=2HB, hình chiếu của S lên
(ABC) trùng với H,
(
, ) 60 . ?
( , )
SC ABC d
SA BC
Giải:
Qu
a A dựng đường thẳng Ax//BC, ta có mặt phẳng (SAx)
( , ) ( , ) ( , )
d SA BC d BC SAx d B SAx
M
à ta thấy H là chân đường cao của hình chóp nên tính
khoảng cách đến các mặt là dễ hơn, vì vậy ta sử dụng
quy tắc rời điểm từ B sang H.
(
, ) 3
(
)
(
, ) 2
d
B SAx AB
BH SAx A
d H SAx AH
(*)
Do SH
(
ABC) nên tam giác SHF vuông tại H
2
2 2
1
1 1
HJ
HF HS
(1)
Ta đi tính HF và HS.
Trong tam giác AHF có AF//BC nên
60
1 1
A B
,
2
2 3
si
n .sin sin 60
1 1
3 3 3
a
FH a a
A
H A FH AH A
AH
Tro
ng tam giác AHC có:
2
2
2 7
2 2 2 2 2
2 . . cos ( ) 2. . . os60 =
3
3 9
a
a a
HC
AH AC AH AC A a a c
7
3
a
HC
mà ta
m giác SHC vuông tại H nên ta có:
21
t
an . tan 60
3
SH a
C SH HC
HC
2
2 2 2
1
3 3 24 42
(
1)
7 7 12
a
H
J
HJ a a a
42
(
*) ( , )
8
a
d B SAx
42
(
, )
8
a
d BC SA
Bài t
ổng hợp
Ta đi tính
d(H , SAx)
=?
Kẻ HF
Ax, trong tam giác SHF kẻ đường cao HJ
Ta có AF
HF, AF
SH (gt)
AF
(SHF)
AF
HJ
HJ
AF, HJ
SF
HJ
(SAx).
d (H , SAx)
=HJ
C
h
uyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diệ
n
Địa
chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com
Trang 14
C -
BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Bài toán 1. Đường cao khối đa diện
1
. Đ
ường cao của khối chóp đề
u
a. Kh
ối chóp đều S.ABC
=
> SA=SB=SC=b, ABC là tam giác đều cạnh a
.
-
( )
SH ABC H
là
tâm đáy
.
-
2
2
2 2
3
a
SH
h SA AH b
-
Chú ý:
2
2 3 3
3
3 2 3
a
a
AH AM
,
3
2
sin 2 sin 60 3
BC
a a
AH R
A
If
a
b SABC
là tứ diện đều
2
2
2
6
1 3
,
. .sin
3
3 2 4
a
a a
h a S AB AC A
ABC
b. Kh
ối chóp đều S.ABCD
=>SA=SB=SC=SD=b, ABCD là hình vuông cạnh a
.
-
(
)
SI
ABCD I
là
tâm đáy,
I AC BD
-
2
2
2
2
a
SI
h b
2. Đ
ường cao của khối chóp không đề
u.
1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, góc giữa SC và mặt đáy bằng 60 độ, SAB là tam giác cân tại S và
nằm trong mp vuông góc đáy.
a. Chứng minh SB vuông góc AD, DK vuông góc SC biết K là trung điểm BC
b. ác định góc giữa SD và mặt đáy, góc giữa SB và (SHC), góc giữa SD và (SHC)
c. Tính khoảng cách từ H đến (SCD)
d. Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
e. nh khoảng cách từ H đến (SDK)
f. Tính khoảng cách từ A đến (SDK)
g. ính khoảng cách giữa SH và CD, CD và SB, DA và SB
h.. nh khoảng cách giữa DK và SH
i. Tính khoảng cách giữa SA và BD
2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O cạnh a, SA vuông góc đáy, Góc ABC bằng 60 độ, góc giữa hai mặt
phẳng (SCD) và mặt đáy là 60 độ. Tính khoảng cách
a. Từ điểm A đến các mặt (SBD), (SCD)
b. Từ O đến (SCD)
c. Trọng tâm G của tam giác SAB đến (SCD)
d. Giữa SA và CD, giữa SB và CD, giữa SC và AD
C
huyên đề: Khoảng
cách và thể tích khối đa diện
Địa chỉ: Số 2
0, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com
Trang 15
a. Nếu khối c
hóp S.ABC… có 3 cạnh bên SA=SB=SC=b
thì
( ...) ,
SH ABC HA HB
HC R R
là bán kính
đường tròn
(ABC).
Hệ quả: Nếu 3 đ
ường xiên của hình chóp bằng nhau thì hình chiếu của chúng bằng nhau.
2 2 2
2
, cos
2 sin 2
.
sin 1 cos do sin 0
BC AB AC B
C
R A
A AB AC
A A A
2 2 2 2
h SH SA HA b
R
b. Nếu khối c
hóp S.ABC… có mặt bên vuông góc với đáy, giả sử (SAB)
(ABC…)
2 2 2
2
( ...)
S
.sin
, cos
2 .
sin 1 cos
SH AB SH ABC
A AB SB
SH h SA
A A
AS AB
A A
c. Nếu khối c
hóp S.ABC… có hai mặt bên cắt nhau vuông góc đáy, giả sử (SAB), (SAC)
(ABC…)
=>SA
(ABC…) => SA=h
3. Đường cao của khối lăng trụ, khối hộp.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thoi cạnh a. SA=a,
60 . V ?
.
SAB SAD BAD
S ABCD
Giải:
T
a có:
3
, 2. 2. 3
2
a
BD a AC AO a
2
1 3
.
2 2
a
S AC BD
ABCD
Xét
BAD
có
2 3
3 3
a
AH AO
Xét tam giá
c SHA có
2
2 2 2
3
3
6
3
a
a
SH SA AH a
a. Nếu là hình lăng trụ đứng, hình hộp đứng, hình lăng trụ đều => đường cao bằng độ dài cạnh bên.
b. Nếu là hình lăng trụ, hình hộp không đứng ta tìm đường cao giống hình chóp không đều (các TH tương tự). Đó là, ta sẽ tính chiều
cao từ 1 đỉnh của mặt đáy này đến mặt kia (chú ý chọn đỉnh nào cho tính dễ nhất).
=> Vậy, tính chiều cao hình chóp là cái cơ bản để ta tính chiều cao hình lăng trụ.☺
Do
SAB SAD 60
SA SB SD
Vậy nên chân đường cao hạ từ đỉnh S sẽ nằm trên tâm của
tam giác BAD. Mà
BAD
đều cạnh a, nên tâm của
BAD
sẽ chính là trọng tâm H của tam giác.
C
h
uyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diệ
n
Địa
chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com
Trang 16
2
3
1
1 6 3 2
.
. . .
.
3
3 3 2 6
a
a a
V SH S
S ABCD ABCD
Ví dụ 2: D-2008.
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang vuông tại A, B. AB=BC=a, AD=2a, (SAD) vuông góc với mặt
đáy, tam giác SAD vuông tại S, SA=a. Tính
V
?
.
S
ABCD
Gi
ải:
Do
ABCD là hình thang vuông nên:
2
1
3
.
2
2
a
S
AD BC AB
ABCD
T
am giác SAD vuông tại S mà
1
2
SA
AD
,
suy ra
30
SAD
.
T
a có:
2
2 2 2
4
3
SD
AD SA a a a
Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH
2
3
1 3
2 2
1
1 3 3 3
.
. . .
.
3
3 2 2 4
a
SH SD
a a a
V SH S
S ABCD ABCD
Ví
dụ 3:
C
ho hình hộp
. ' ' ' '
ABCD A B C D
,
đáy là hình vuông cạnh a. Các mặt bên là hình thoi, biết
2
2
2 2
2
2
2
2
'
' '
2 2
a
a
a
A
H AH AA A H a
,
2
' ' ' '
S
a
A B C D
3
2
2
2
.
.
. ' ' ' ' ' ' ' '
2
2
a
a
V AH S a
ABCD A B C D A B C D
B
ài toán 2. Tỉ số thể tích
Mà
AA ' B ' AA' D 60
.
A ' AB ', A ' AD '
là các tam giác đều cạnh a.
Vậy AA’=AB’=AD’=a suy ra chân đường cao
hạ từ đỉnh A của hình lăng trụ chính là tâm
của tam giác A’B’D’.
Mà tam giác A’B’D’ vuông tại A’ nên tâm của
tam giác A’B’D’ chính là trung điểm H H
của B’D’.
Có:
AA ' B ' AA ' D 60
.
Tính
V
ABCD.A'B'C'D'
?
Giải:
Do các mặt bên là hình thoi nên
A ' A A ' B ' A ' D '
C
h
uyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diệ
n
Địa
chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com
Trang 17
Định lý Simson: Cho tứ diện SABC, A’, B’, C’ là các điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có:
'
' '
'
' '
V
S
A SB SC
SABC
V
SA SB SC
SA
B C
Ví dụ. Cho hình chóp S.ABC, SA=a, SB=b, SC=c,
60
BSA
BSC CSA
. Tính
.
S
ABC
V
=?
Gi
ải:
Giả sử a <b <c. Trên SB, SC lấy các điểm B’, C’ sao cho:
SB’=SC’=SA=a, lại có
60
BSA
BSC CSA
S.AB’C’ là hình chóp đều cạnh a. Gọi H là trọng tâm
tam giác AB’C’ nên SH chính là đường cao của hình chóp
S.AB’C’
2
2
2 2
3
3
6
3
a
a
SH
SA AH a
2
3
1 1 6 3 2
.
. .
. ' ' ' '
3
3 3 4 12
a a a
V SH S
S AB C AB C
.
Lại có:
2
2
. '. ' 2
. ' '
.
. . ' '
.
. 12
.
V
SA SB SC a bc abc
S AB C
V V
S ABC S AB C
V SA SB SC bc a
S ABC
B
ài toán 3. Phân chia khối đa diện (Trình bày sau)
Ví
dụ áp dụng.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD=2AB=2a, SA vuông góc đáy, Góc giữa SB và mặt đáy
bằng 60 độ. Trên cạnh SA lấy M sao cho
3
3
a
A
M
. Mặt p
hẳng (BMC) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCN
M
| 1/17
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện ÔN TẬP KIẾN THỨC LỚP 8-9-10
A. MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Cho tam giác ABC, BC=a: cạnh huyền, AB, AC là 2 cạnh góc vuông, AB=c, AC=b. Đường cao AH=h, BH=c’, CH=b’. Trung tuyến AM. 1. Định lí Py-ta-go: 2 2 2
BC AB AC 2. 2 2
AB BH .BC c '.a, AC CH .BC b '.a 3.
AB.AC AH .BC 1 1 1 4.   2 2 2 AH AB AC 5. BC=2AM AC AB AC AB 6. sin B  , cos B  , tan B  , cot B BC BC AB AC 7.
b a.sin B, c  .
a sin C, sin B  cos C
B. MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG a b c 1. Định lý hàm số sin:    2R sin A sin B sin C 2. Định lý hàm số cosin: 2 2 2
a b c  2b . c cos A
C. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH 1 1 abc
a b c 1.
Tam giác thường: S  . a h  . ab sin C   p.r
p( p a)( p b)( p c), p  2 2 4R 2 1 2 a 3 2.
Tam giác vuông tại A: S
AB.AC , tam giác đều cạnh a: S  2 4 3. Hình vuông ABCD: S= AB.AD 4.
Hình chữ nhật ABCD: S= AB.AD 5. Hình thoi ABCD: S= AC.BD/2 6.
Hình thang ABCD(AB//CD): S= h(AB+CD)/2, h là chiều cao hình thang. 7.
Hình bình hành: Đáy x chiều cao 1 8.
Tứ giác thường ABCD: S AC. .
BD sin( AC, BD) 9. Hình tròn: 2 S   .R 2
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 1
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện D. CHÚ Ý 1.
Đường cao tam giác, đường trung tuyến tam giác, đường phân giác, đường trung trực 2.
Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội ngoại tiếp tam giác. LỚP 11: A. QUAN HỆ SONG SONG 1.
Đường thẳng song song với mặt phẳng: a / /(P)  a  (P)   d  (P) a / /(P)
(P)  (Q)  d    a. d / /ad / /(P)  , b. a  (Q)  d / /a  , c. a / /(P)  a / /d  a  (P) 
(P)  (Q)  d  a / /(Q) 
2. Hai mặt phẳng song song: (P) / /(Q)  (P)  (Q)  
a, b  (P) (P) / /(Q)  (  P) / /(Q) 
a. a b I  (Q) / /(P)  , b.  a / /(Q)  , c.
(R)  (P)  a a / /b   a  (P)
a / /(Q), b / /(Q) 
(R)  (Q)  b  B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
1. Đường thẳng vuông góc mặt phẳng: a  (P)  a c, c   (P)
a, b  (P) 
a. a b Id  (P)  ,
d a, d b  d (P) b.
d a d '  a
,(ĐL 3 đường vuông góc- d’ là hình chiếu của d trên (P)). a  (P) 
2. Hai mặt phẳng vuông góc: (P)  (Q)  (P, Q)  90 (P)  (Q) a  (P)  a.  (P)  (Q)  ,
b. (P)  (Q)  d a  (Q)  , a  (Q)
a  (P), a d  (P)  (Q)  A  (P) (
P)  (Q)  a c.  a  (P)  , d.  a  (R)  A a  (
P), (Q)  (R) a  (Q) 
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 2
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện C. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng, 1 mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó trên
đường thẳng, mặt phẳng.
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng.
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
4. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau là đoạn vuông góc chung. D. GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua 1 điểm, a’//a, b’//b.
2. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P), a không vuông góc với (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của a trên (P).
3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó hoặc góc giữa
hai đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc giao tuyến tại 1 điểm.
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích hình (H) trên mp(P), S’ là diện tích hình chiếu (H’) của hình (H) trên
mp(P’) khi đó: S '  S.cos ,   (  P, P ') . LỚP 12:
A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1. Thể tích khối lăng trụ: V=B.h
2. Thể tích khối hộp chữ nhật: V abc
3. Thể tích khối lập phương cạnh a: 3 V a 1
4. Thể tích khối chóp: V  . B h 3 V SA SB SC
5. Tỉ số thể tích: Tứ diện SABC, A’, B’, C’ là các điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: SABC V
SA ' SB ' SC ' SA'B'C ' B. CHÚ Ý: 1.
Đường chéo của hình vuông cạnh a là a 2 2.
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là a 3 3.
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là 2 2 2
a b c
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 3
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện a 3 4.
Trong tam giác đều cạnh a đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác có độ dài là , các đường này 2
xuất phát từ 1 đỉnh là trùng nhau. Nên trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội ngoại tiếp tam giác là trùng
nhau, (chú ý đường trung trực). 5.
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều, các cạnh bên bằng nhau. Hình chiếu của đỉnh hình chóp
chính là tâm của đáy, đối với đáy là tam giác thì tâm là trọng tâm, đáy là tứ giác thì tâm là giao 2 đường chéo. 6.
Lăng trụ đều là lăng trụ đứng, đáy là đa giác đều. CÁC LOẠI BÀI TẬP
A- HÌNH VẼ TRONG KHÔNG GIAN
Quan trọng bậc nhất đối với việc vẽ 1 hình không gian là xác định đúng đường cao (hay chân đường cao) I. Hình chóp
1. Hình chóp có 1 cạnh vuông góc đáy thì cạnh đó là đường cao
2. Hình chóp có 1 mặt bên vuông góc đáy thì đường cao là đường kẻ từ đỉnh hình chóp và vuông góc với giao
tuyến của mặt bên đó với mặt đáy.
3. Hình chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng vuông góc đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt đó.
4. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao
chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. Trong trường hợp đáy là tam giác tâm là giao 3 đường trung trực.
5. Khối chóp có các mặt bên tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy. Trong
trường hợp đáy là tam giác thì tâm là giao 3 đường phân giác.
6. Hình chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng tạo với đáy 1 góc thì chân đường cao nằm trên đường phân giác của góc
tạo bởi 2 giao tuyến của hai mặt bên với đáy.
7. Hình chóp có hai cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với đáy 1 góc thì chân đường cao thuộc đường trung trực
của đoạn thẳng nối 2 giao điểm của hai cạnh bên nói trên với đáy. II. Hình lăng trụ
1. Nếu là lăng trụ đứng thì đường cao là cạnh bên
2. Nếu là lăng trụ xiên thì đường cao là đường hạ từ 1 đỉnh của mặt này đến mặt kia nên giống như đường cao của hình chóp.
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 4
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện III. Chú ý
1. Hình chóp đều là hình chóp có các cạnh bên bằng nhau đáy là đa giác đều. Hiển nhiên chân đường cao trùng
tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
2. Hình chóp có đáy là đa giác đều thì đáy là đa giác đều, các cạnh bên chưa chắc bằng nhau.
3. Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
4. Lăng trụ có đáy là đa giác đều thì chưa chắc là lăng trụ đứng.
B- KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
Bài toán 1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Các bước xác định khoảng cách từ điểm A đến (P):
Bước 1: Xác định mp(Q) chứa A, (Q)  (P) , (Q)  (P)  d
Bước 2: Kẻ đường cao AH d , Hd AH  (P)  dAH ( ,( A P)) Bước 3: Tính AH.
Ví dụ. Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc với đáy, SA=3a, AB=a, ABC  60 . Tính dA,SBC Giải:
Trong tam giác ABC ta dựng đường cao AK, nối SK
Do AK là hình chiếu vuông góc của SK lên (ABC) và AK  BC
 theo định lý 3 đường vuông góc SK  BC  BC  (SAK) Kẻ AH  SK tại H (1)
Mà BC  (SAK)  BC  AH (2)
Từ (1) và (2)  AH  (SBC)  d ( A, SBC)  AH Tính AH? 1 1 1
Nhận xét thấy tam giác SAK vuông tại A, AH là đường cao nên ta có:   2 2 2 AH AS AK
SA đã có nên ta chỉ cần tính AK. AKa 3
Xét tam giác ABK vuông tại K, sin B
AK AB.sin B  . a sin 60  AB 2
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 5
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện 2 1 1 4 1 13 2 9a 3 13a       AH   AH  2 2 2 2 2 AH 9a 3a AH 9a 13 13 3 13ad ( , A SBC )  13 Bài tương tự
1. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc đáy, SA=2a, AC=a, ACB  120 . Tính dA,SBC
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng
vuông góc đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 60 . Tính dH,SCD biết H là trung điểm AB.
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc đáy, góc giữa SB và mặt đáy bằng 30 góc giữa
SD và mặt đáy bằng 60 biết SA a . Tính dA,SBC,dA,SDC,dA,SBD
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AD  2AB  2BC  2a , SA vuông góc đáy. Tính
khoảng cách từ A đến (SCD) biết góc giữa SC và đáy bằng 60
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật SA=SC, SB=SD=2a. Tính khoảng cách từ O đến (SCD) biết O là
tâm của đáy và góc giữa mặt (SAD) và đáy bằng  60 KỸ THUẬT DỜI ĐIỂM
1. Dời điểm song song: Yêu cầu cần tính d  ? Trong đó d
k . Ở đây MA//(P) ddk (M ,(P))  , A (P) (M ,(P)) ( ,( A P))
2. Dời điểm cắt nhau: Yêu cầu cần tính d  ? Trong đó dk . (M ,(P))  A,(P) d(M ,(P)) IM
Ở đây MA  P  I   (Tự CM) d IA ( ,( A P))
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc đáy, ABCD là hình chữ nhật, SA=a, góc giữa SB, SD và mặt đáy lần lượt là 30 , 60 .
a. Tính khoảng cách từ D đến (SBC)
b. Tính khoảng cách từ B đến (SCD) Giải
Ta có AB, AD lần lượt là hình chiếu của SB, SD lên mặt đáy nên
SB, ABCD   , SB AB  SBA  30
SD, ABCD  SD, AD  SDA  60 a.
Tính khoảng cách từ D đến (SBC)
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 6
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện
Có AD / /BC AD / /  SBC  d  d D,SBC
A ,SBC
Do AB BC SB BC (định lí 3 đường vuông góc)
BC  SAB
Kẻ AH vuông góc SB tại H (1)
Mà BC  SAB  BC AH (2)
Từ (1) và (2) suy ra AH  SBC AHa 3
Xét tam giác AHS vuông tại H có sinS 
AH AS.sinS  a sin 60  AS 2 a 3  d  d  D,SBC
A ,SBC 2 b.
Tính khoảng cách từ B đến (SCD)
Có AB / / DC AB / /  SDC   d  d B,SDC
A ,SDC
Do AD DC SD DC (định lí 3 đường vuông góc)  DC  SAD
Kẻ AK vuông góc SD tại K (3)
Mà DC  SAD  DC AK (4)
Từ (3) và (4) suy ra AK  SDC AKa a
Xét tam giác AKS vuông tại K có sinS 
AK AS.sinS  a sin 30   ddAS 2   B, SDC   , A SDC  2
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, E là trung điểm BC. Góc giữa SC và mặt
đáy bằng 60 . Tính khoảng cách từ E đến (SCD). Giải
Do AC là hình chiếu của SC trên mặt đáy nên 
 SC, ABCD  SC, AC   SCA  60
Ta đã biết cách tính khoảng cách từ chân đường
vuông góc A đến mặt (SCD). Vậy ta sẽ rời điểm E về A như sau
dE ,SCD EI
Có AE CD I AE  SCD  I   dAI A  , SCD EI 1 Dễ dàng tính được  AI 2
Vấn đề còn lại là rất quen thuộc, đó là tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Có AH CD SD CD (định lí 3 đường vuông góc)
CD   SAD
Kẻ AH SD tại H (1)
Mà CD  SAD  CD AH (2)
Từ (1), (2) suy ra AH  SCD  d  AH , A SCD Tính AH= ?
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 7
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện 1 1 1
Xét tam giác SAD vuông tại A có   (*) 2 2 2 AH AS AD SA
Xét tam giác SAC vuông tại A có tan C
SA AC. tan C a 2 tan 60  a 6 AC 2 1 1 1 7 2 6a a 42      AH   AH  2 2 2 2 AH 6a a 6a 7 7 a 42  d  A  , SCD 7 1 a 42  d  dE  , SCD  , A SCD 2 14
Ví dụ 3. D-2011. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông tại B, AB=3a, BC=4a, (SBC) vuông góc mặt đáy. 
Biết SB= 2a 3, SBC   30 , d  ?
B ,SAC Giải:
Nhận xét: Ta thấy (SBC)  (ABC) có giao tuyến là BC nên ta kẻ SH vuông góc BC
 SH  (ABC). Nếu ycbt là tính khoảng cách từ H đến (SAC) thì
ta dễ dàng thực hiện tương tự phần trước. Vì vậy ta sẽ sử dụng kĩ
thuật rời điểm mà ta nói ở trên. Rõ ràng BH cắt (SAC) tại C nên
ta sử dụng kĩ thuật rời điểm cắt nhau.
dB ,SAC BC Vậy ta có:  d HC
H ,SAC BH
Trong tam giác vuông SHB ta có: cos B   BH  .
SB cos B  2a 3. o c s30  3a SB CB
CH BC BH  4a  3a a   4 CH
Ta tính khoảng cách từ H đến (SAC).
Kẻ HM  AC  SM  AC (Định lí 3 đường vuông góc)  AC  (SHM) Kẻ HK  SM tại K (1)
Do AC  (SHM) nên AC  HK (2)
Từ (1) và (2) suy ra HK  (SAC)  d (H , SAC)  HK 2 2 2 2 2 2 2 2
Lại có: SH SB BH  12a  9a
a 3, AC= BA BC  16a  9a  5a CH MH . AB CH 3a.a 3a CMH ~ CBA    MH    CA BA AC 5a 5 1 1 1 1 1 25 28 3a 7        HK  2 2 2 2 2 2 2 HK HS HM HK 3a 9a 9a 14 3a 7 3a 7 6a 7
d (H , SAC ) 
d (B, SAC)  4.  14 14 7
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 8
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, SA vuông góc đáy, AB=BC=a, AD=2a và
góc giữa SC với mặt đáy bằng  60 . Tính a.
Khoảng cách từ A đến (SCD)
b. Khoảng cách từ B đến (SCD) Giải
Có AC là hình chiếu của SC trên mặt đáy nên 
 SC, ABCD  SC, AC   SCA   60 a.
Khoảng cách từ A đến (SCD)
Gọi I là trung điểm AD nên ta có IA=ID=IC=a. Vậy tam giác ACD nội tiếp
đường tròn tâm I đường kính AD. Vậy AC CD SC CD (định lí …)
CD   SAC
Kẻ AH vuông góc SC tại H (1)
Mà CD  SAC   CD AH (2)
Từ (1) và (2) suy ra AH  SCD  d  AH , A SCD
Xét tam giác AHC vuông tại H có AH sin C
AH AC.sin 60  a 2. 3  a 6  da 6 AC
A ,SCD
b. Tính khoảng cách từ B đến (SCD)
dB,SCD BE
Có BA CD E BA  SCD  E   dAE , A SCD EB BC 1 BE a 6 Ta có EBC ~ EAD     d  .dEA AD 2
B ,SCD  , A SCD AE 2
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao, tam giác ABC vuông tại A, AB=a, AC a 2 , góc giữa SC và đáy bằng
45 độ. G là trọng tâm tam giác SAB. Tính khoảng cách từ G đến (SBC) Giải
Do AC là hình chiếu của SC trên (ABC) nên ta có 
 SC, ABC    SC, AC   SCA  45
Vậy tam giác SAC vuông cân tại A
dG,(SBC) GN 1
Gọi N là trung điểm SB  AG   SBC  N    dAN 3 A  , SBC 
Ta tính khoảng cách từ A đến (SBC)
Kẻ AK vuông góc BC tại K suy ra SK cũng vuông góc BC (Định lý...)
BC  SAK
Kẻ AH vuông góc SK tại H (1)
Mà BC   SAK   BC AH (2)
Từ (1) và (2) suy ra AH  (SBC)  d  AH A  , SBC 
Lại có tam giác SAK vuông tại A, tam giác ABC vuông tại A nên 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 a a          2 2  AH   AH  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AH AS AK AS AB AC 2a a 2a a 2 2
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 9
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA là đường cao, 
SA a 3 . ACD  30 , AC a 2 .
Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến (SCD) Giải
Cách 1. Rời điểm 1 lần
Ta có AG  SAB, SAB  SCD  d, d / / AB
dG ,SCD GI
Gọi I AG d AG  SCD  I   dAI A  , SCD Có GAN
~ GIS g.g  , N là trung điểm AB GI GS GI 2  
 2  GI  2GA   GA GN AI 3
Còn lại ta tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Kẻ AK vuông góc CD tại K suy ra SK cũng vuông góc CD (Định lý...)  CD   SAK
Kẻ AH vuông góc SK tại H (1)
Mà CD  SAK   CD AH (2)
Từ (1) và (2) suy ra AH  (SCD)  d  AH , A SCD 1 1 1
Lại có tam giác SAK vuông tại A suy ra ta có:   2 2 2 AH AS AK
Xét tam giác AKC vuông tại AKa 2 1 1 1 1 2 7 a 21 K  sin C
AK AC.sin 30         AH AC 2 2 2 2 2 2 2 AH AS AK 3a a 3a 7 2 2a 21  d  .dG  , SCD
A ,SCD 3 21
Cách 2. Rời điểm 2 lần
dG ,SCD GS 2 2
Gọi N là trung điểm AB, có NG  SCD  S     d  .d G,SCD
N,SCD dNS 3 3 N ,SCD a 21
Lại có AN//(SCD)  d  dAH  , (Tương tự cách 1) N ,SCD  , A SCD 7 2 2a 21  d  .dG  , SCD
A ,SCD 3 21
Bài toán 2. khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
1. Đoạn vuông góc chung: Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau. M thuộc a, N thuộc b, MN vuông góc với cả a và b nên MN được
gọi là đoạn vuông góc chung của a và b.
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung.
3. Cách xác định khoảng cách giữa hai đương thẳng chéo nhau a và b:
Bước 1: Xác định (P) chứa b và (P)//a.
Bước 2: Lấy A thuộc a sao cho dễ tính khoảng cách từ A đến (P) nhất ddd (a,b) (a,(P)) ( ,( A P))
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 10
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện
Loại 1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nhưng vuông góc nhau
KTCB. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, a vuông góc b khi đó ta xác định kc như sau
Bước 1. Chứng minh a vuông góc 1 mp (P) chứa b tại H
Bước 2. Từ H kẻ HK vuông góc b tại K
Suy ra HK là đoạn vuông góc chung
Thật vậy, ta có HK vuông góc b mà HK nằm trong (P) Nên HK vuông góc a.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Tính khoảng cách giữa a.
SH và CD với H là trung điểm AB b. AD và SB Giải
Do tam giác ABC đều nên SH AB . Lại có (SAB) vuông góc đáy nên
SH   ABCD
a. Có SH   ABCD tại H mà (ABCD) chứa CD nên từ H ta kẻ đường thẳng
vuông góc CD tại I suy ra I là trung điểm CD (Do ABCD là hình vuông) HI CD  Vậy ta có   dHI a
HI SH vi SH  SH ,CD   ABCD   AD AB  b. Ta có 
AD   SAB tại A
AD SH vi SH    ABCD 
Mà (SAB) chứa SB nên từ A ta kẻ AK vuông góc SB tại K suy ra K
Là trung điểm SB (Do SAB là tam giác đều)  AK SBa 3 Vậy ta có   dAK
AK ADvi AD   SAB  AD,SB 2 
Ví dụ 2. A-2010. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. H là giao
điểm cuả MD và NC, biết SH vuông góc đáy, SH= a 3 . d  ? (MD,SC) Giải:
Trước tiên ta chứng minh MD  CN. Thật vậy, do DAM  CDN  
nên C  D mà D  D  90  D  C  90 1 2 1 2 1 1 
 CHD  90  MD CNMD SH  
MD   SCN  tại H. MD CN
Mà (SCN) chứa SC nên từ H kẻ HK vuông góc SC tại K HK SC     dHK
HK MDvi MD   SCN  MD,SC 
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 11
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện 1 1 1
Lại có tam giác SHC vuông tại H(gt)    (1) 2 2 2 HK HS HC
Trong tam giác vuông CDN có 2 2 2 2 2  a  5a a 5
CN CD DNa       2  4 2 2 2 CH CD CD 2a 2a 5 Mà CHD  ~ CDN    CH    CD CN CN a 5 5 1 1 5 19 2a 57 (1)      HK  2 2 2 2 HK 3a 4a 12a 19
Loại 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và không vuông góc
KTCB. Tìm một mặt phẳng (P) chứa b và (P)//a  d  d a,b a,P
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD=2AB=2a. Hình chiếu vuông góc H của S nằm trên AB
sao cho HA=3HB, góc giữa SC và mặt đáy bằng 60 độ. Tính khoảng cách giữa AB và SC Giải
Do HC là hình chiếu của SC nên ta có 
 SC, ABCD  SC, HC   SCH  60
Dễ thấy SC   SCD / / AB d AB,SC  dAB,SCD  dH,SCD
Lấy K thuộc cạnh CD sao cho KD=3KC  HK CD SK CD (Định lý…)
CD  (SHK )
Kẻ HI vuông góc SK tại I (1)
Mà CD  (SHK )  CD HI (2)
Từ (1) và (2) suy ra HI  (SCD)  d  HI H ,SCD 1 1 1
Xét tam giác SHK vuông tại H có   (*) 2 2 2 HI HS HK a SHa 195
Xét tam giác SHC vuông tại H, 2 2 65 HC HB BC   tan C
SH HC. tan 60  4 HC 4 2 1 4 1 211 780a 780 Vậy (*) 2      HI   HI a 2 2 2 2 HI 195a 4a 780a 211 211 780  d  ddHI a AB,SC
AB ,SCD
H ,SCD 211
Ví dụ 2. A-2011. Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác vuông tại B, AB=BC=2a. (SAB), (SAC) cùng vuông góc với đáy, M 
là trung điểm AB. Mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC tại N, (SBC, ABC)  60 . d  ? (SN , AB) Giải:
Do (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy nên SA  (ABC), mặt
phẳng qua SM, //BC cắt AC tại N mà M là trung điểm AB nên N là
trung điểm AC.Qua N dựng đường thẳng Nx//AB  AB//(SNx)
d ( AB, SN )  d ( A, SNx)
Qua A kẻ AK  Nx (K thuộc Nx), trong tam giác SAK kẻ đường cao AH.
Ta có Nx  AK, Nx  SA  Nx  (SAK)  Nx  AH
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 12
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện
 AH  SK, AH  Nx  AH  (SNx)  AH d ( , A SNx) 1 1 1
Ta có tam giác SAK vuông tại A nên:   (1) 2 2 2 AH AS AK BC SAAK MN
a,  SAB vuông tại A nên ta có: tan B
SA AB. tan B  2a. tan 60  2a 3 2 AB 1 1 1 13 2a 39 2a 39 (1)      AH
d ( AB, SN )  2 2 2 2 AH 12a a 12a 13 13
Ví dụ 3: A-2012. Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác đều cạnh a. H thuộc AB sao cho HA=2HB, hình chiếu của S lên 
(ABC) trùng với H, (SC, ABC)  60 . d  ? ( , SA BC) Giải:
Qua A dựng đường thẳng Ax//BC, ta có mặt phẳng (SAx)  d ( ,
SA BC)  d (BC, SAx)  d (B, SAx)
Mà ta thấy H là chân đường cao của hình chóp nên tính
khoảng cách đến các mặt là dễ hơn, vì vậy ta sử dụng
quy tắc rời điểm từ B sang H.
d (B, SAx) AB 3
BH  (SAx)  A    (*)
d (H , SAx) AH 2
Ta đi tính d (H , SAx) =?
Kẻ HF  Ax, trong tam giác SHF kẻ đường cao HJ
Ta có AF  HF, AF  SH (gt)  AF  (SHF)  AF  HJ
 HJ  AF, HJ  SF  HJ  (SAx). d (H , SAx) =HJ 1 1 1
Do SH  (ABC) nên tam giác SHF vuông tại H    (1) 2 2 2 HJ HF HS Ta đi tính HF và HS. 
Trong tam giác AHF có AF//BC nên A  B  60 , 1 1 2a FH 2aa 3 AH   sin A
FH AH. sin A  sin 60  1 1 3 AH 3 3 2 2a 2a  7 2 2 2 2 2 a
Trong tam giác AHC có: HC AH AC  2 AH.AC. cos A  ( )  a  2. . . a os c 60 = 3 3 9 a 7 SHa 21  HC
mà tam giác SHC vuông tại H nên ta có: tan C
SH HC. tan 60  3 HC 3 1 3 3 24 a 42 (1)      HJ  2 2 2 2 HJ a 7a 7a 12 a 42 a 42
(*)  d (B, SAx)   d (BC, ) SA  8 8 Bài tổng hợp
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 13
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện 1.
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, góc giữa SC và mặt đáy bằng 60 độ, SAB là tam giác cân tại S và
nằm trong mp vuông góc đáy.
a. Chứng minh SB vuông góc AD, DK vuông góc SC biết K là trung điểm BC
b. ác định góc giữa SD và mặt đáy, góc giữa SB và (SHC), góc giữa SD và (SHC)
c. Tính khoảng cách từ H đến (SCD)
d. Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
e. nh khoảng cách từ H đến (SDK)
f. Tính khoảng cách từ A đến (SDK)
g. ính khoảng cách giữa SH và CD, CD và SB, DA và SB
h.. nh khoảng cách giữa DK và SH
i. Tính khoảng cách giữa SA và BD
2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O cạnh a, SA vuông góc đáy, Góc ABC bằng 60 độ, góc giữa hai mặt
phẳng (SCD) và mặt đáy là 60 độ. Tính khoảng cách a.
Từ điểm A đến các mặt (SBD), (SCD) b. Từ O đến (SCD) c.
Trọng tâm G của tam giác SAB đến (SCD)
d. Giữa SA và CD, giữa SB và CD, giữa SC và AD
C -BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Bài toán 1. Đường cao khối đa diện
1. Đường cao của khối chóp đều
a. Khối chóp đều S.ABC => SA=SB=SC=b, ABC là tam giác đều cạnh a.
- SH  ( ABC)  H là tâm đáy. 2  a - 2 2 2
SH h SA AHb     3  2 2 a 3 a 3
- Chú ý: AH AM   , 3 3 2 3 BC a a 3  AH R     2 sin A 2 sin 60 3
 If a b SABC là tứ diện đều 2 2 a a a 2 6 1 3  h a   , S
AB.AC.sin A   ABC 3 3 2 4
b. Khối chóp đều S.ABCD =>SA=SB=SC=SD=b, ABCD là hình vuông cạnh a. -
SI  ( ABCD)  I là tâm đáy, I AC BD 2  a- 2 2
SI h b    2  
2. Đường cao của khối chóp không đều.
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 14
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện
a. Nếu khối chóp S.ABC… có 3 cạnh bên SA=SB=SC=b thì
SH  ( ABC...)  HA HB HC R, R là bán kính đường tròn (ABC).
Hệ quả: Nếu 3 đường xiên của hình chóp bằng nhau thì hình chiếu của chúng bằng nhau. 2 2 2 BC
AB AC BC R  , cos A  2 sin A 2 AB.AC 2
 sin A  1  cos A do sin A  0 2 2 2 2 h SH
SA HA b R
b. Nếu khối chóp S.ABC… có mặt bên vuông góc với đáy, giả sử (SAB) (ABC…)
SH AB SH  ( ABC...) 2 2 2
AS  AB SB
SH h S .
A sin A, cos A  2 AS.AB 2
 sin A  1  cos A
c. Nếu khối chóp S.ABC… có hai mặt bên cắt nhau vuông góc đáy, giả sử (SAB), (SAC) (ABC…)
=>SA (ABC…) => SA=h
3. Đường cao của khối lăng trụ, khối hộp.
a. Nếu là hình lăng trụ đứng, hình hộp đứng, hình lăng trụ đều => đường cao bằng độ dài cạnh bên.
b. Nếu là hình lăng trụ, hình hộp không đứng ta tìm đường cao giống hình chóp không đều (các TH tương tự). Đó là, ta sẽ tính chiều
cao từ 1 đỉnh của mặt đáy này đến mặt kia (chú ý chọn đỉnh nào cho tính dễ nhất).
=> Vậy, tính chiều cao hình chóp là cái cơ bản để ta tính chiều cao hình lăng trụ.☺
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thoi cạnh a. SA=a,
SAB  SAD  BAD  60 . V  ? S.ABCD Giải: 
Do SAB  SAD  60  SA SB SD
Vậy nên chân đường cao hạ từ đỉnh S sẽ nằm trên tâm của
tam giác BAD. Mà BAD đều cạnh a, nên tâm của BAD
sẽ chính là trọng tâm H của tam giác. a 3
Ta có: BD a, AC  2.AO  2.  a 3 2 2 1 a 3  SAC.BD ABCD 2 2 2 a 3 Xét BAD có AH AO  3 3 2   6 a a Xét tam giác SHA có 2 2 2 3 SH SA AHa      3  3
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 15
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện 2 3 1 1 a 6 a 3 a 2  V  .SH .S  . .  S.ABCD ABCD 3 3 3 2 6
Ví dụ 2: D-2008. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang vuông tại A, B. AB=BC=a, AD=2a, (SAD) vuông góc với mặt
đáy, tam giác SAD vuông tại S, SA=a. Tính V  ? S.ABCD Giải: 2 1 3a
Do ABCD là hình thang vuông nên: S
AD BC.AB ABCD 2 2 1
Tam giác SAD vuông tại S mà SA AD , 2  suy ra SAD  30 . Ta có: 2 2 2 2 SD
AD SA  4a a a 3
Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH 1 a 3  SH SD  2 2 2 3 1 1 a 3 3a a 3  V  .SH .S  . .  S.ABCD 3 ABCD 3 2 2 4
Ví dụ 3: Cho hình hộp ABC .
D A ' B 'C ' D ' , đáy là hình vuông cạnh a. Các mặt bên là hình thoi, biết 
AA ' B '  AA ' D  60 . Tính V  ?
ABCD.A'B'C 'D' Giải:
Do các mặt bên là hình thoi nên A ' A A ' B '  A ' D ' 
Mà AA ' B '  AA ' D  60 .
 A ' AB ', A ' AD ' là các tam giác đều cạnh a.
Vậy AA’=AB’=AD’=a suy ra chân đường cao
hạ từ đỉnh A của hình lăng trụ chính là tâm của tam giác A’B’D’.
Mà tam giác A’B’D’ vuông tại A’ nên tâm của
tam giác A’B’D’ chính là trung điểm H của B’D’. Có: 2 a 2 2 2 2  a 2  a 2 A ' H   AH
AA '  A ' Ha     , 2 Sa  2 2  2
A'B'C 'D' 3 a 2 2 a 2  VAH .S  .a  .
ABCD A'B'C 'D'
A'B'C 'D' 2 2
Bài toán 2. Tỉ số thể tích
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 16
Chuyên đề: Khoảng cách và thể tích khối đa diện V SA SB SC
Định lý Simson: Cho tứ diện SABC, A’, B’, C’ là các điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: SABC V
SA ' SB ' SC ' SA'B'C ' 
Ví dụ. Cho hình chóp S.ABC, SA=a, SB=b, SC=c, BSA   BSC   CSA   60 . Tính V =? S.ABC Giải: Giả sử a 
SB’=SC’=SA=a, lại có BSA   BSC   CSA   60
 S.AB’C’ là hình chóp đều cạnh a. Gọi H là trọng tâm
tam giác AB’C’ nên SH chính là đường cao của hình chóp 2   6 a a S.AB’C’ 2 2 2 3
SH SA AHa      3  3 2 3 1 1 a 6 a 3 a 2  VSH.S  . .  . S.AB'C ' AB'C ' 3 3 3 4 12 2 V . SA SB '.SC ' a bc abc 2
Lại có: S.AB'C'    VV .  S.ABC S.AB'C ' 2 V . SA S . B SC bc a 12 S.ABC
Bài toán 3. Phân chia khối đa diện (Trình bày sau)
Ví dụ áp dụng. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD=2AB=2a, SA vuông góc đáy, Góc giữa SB và mặt đáy a 3
bằng 60 độ. Trên cạnh SA lấy M sao cho AM
. Mặt phẳng (BMC) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM 3
Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 17
Document Outline

  • Untitled