Chuyên đề khối đa diện, góc và khoảng cách – Đặng Việt Đông Toán 12

Tài liệu gồm 134 trang tổng hợp lý thuyết, các dạng toán, phương pháp giải và bài tập có lời giải chi tiết thuộc các chuyên đề khối đa diện, góc và khoảng cách. Mời các bạn đón xem.

47 24 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện

Môn: Toán 12

Thông tin:

134 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Lan Tường
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
MỤC LỤC
HÌNH ĐA DIỆN...................................................................................................................................... 3
A – KIẾN THỨC CHUNG ................................................................................................................... 3
I. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN .................................................................. 3
II. HAI HÌNH BẲNG NHAU ............................................................................................................... 4
III. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN.............................................................................. 5
IV. KHỐI ĐA DIỆN LỒI ..................................................................................................................... 5
V. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU ..................................................................................................................... 6
B – BÀI TẬP ........................................................................................................................................ 8
THỂ TÍCH HÌNH CHÓP ..................................................................................................................... 29
A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT .............................................................................................................. 29
B – BÀI TẬP ...................................................................................................................................... 30
HÌNH CHÓP ĐỀU ............................................................................................................................. 30
HÌNH CHÓP CÓ MỘT CẠNH VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY.................................................................. 37
HÌNH CHÓP CÓ MẶT VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY ............................................................................. 45
HÌNH CHÓP KHÁC .......................................................................................................................... 53
TỈ SỐ THỂ TÍCH ................................................................................................................................. 67
A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT .............................................................................................................. 67
B - BÀI TẬP ...................................................................................................................................... 67
HÌNH LĂNG TRỤ................................................................................................................................ 79
A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT .............................................................................................................. 80
B – BÀI TẬP ...................................................................................................................................... 80
THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG ......................................................................................................... 80
THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN ........................................................................................................... 94
KHOẢNG CÁCH ................................................................................................................................102
A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT ..............................................................................................................102
B – BÀI TẬP .....................................................................................................................................103
I – KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG .............................................................103
II - KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG .......................................................117
GÓC .....................................................................................................................................................127
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ............................................................................................................127
B – BÀI TẬP .....................................................................................................................................127
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
HÌNH ĐA DIỆN
A – KIẾN THỨC CHUNG
I. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN
1. Khái niệm về hình đa diện
Quan sát hình lăng trụ, hình chóp ở trên ta thấy chúng đều là những hình không gian được tạo bởi một
số hữu hạn đa giác. Các đa giác ấy có tính chất
2. Khái niệm về khối đa diện
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bới một hình đa diện (H), kể cả hình đa diện đó.
Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc
khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối
đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền
ngoài khối đa diện.
a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có
một cạnh chung.
b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác như thế được gọi
là một mặt của hình đa diện (H). Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh
của hình đa diện (H).
Người ta gọi các hình đó là hình đa diện.
Nói một cách tổng quát: Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) (H) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các
đa giác thỏa mãn hai tính chất trên. Mỗi đa giác như thế được gọi là các mặt của đa diện. Các đỉnh các
cạnh của đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của đa diện.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Mỗi đa diện (H) chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và
miền ngoài của (H). Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường –thẳng d nào
đấy.
Khối đa diện (H) là hợp của hình đa diện (H) và miền trong của nó.
II. HAI HÌNH BẲNG NHAU
1. Phép dời hình trong không gian và sự bằng nhau giữa các khối đa diện.
Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi
là một phép biến hình trong không gian.
Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa
hai điểm tùy ý.
Nhận xét:
Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
Phép dời hình biến một đa diện thành
H một đa diện
'H , biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa
diện
H thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện
'H .
'

MM v .
2. Hai hình bằng nhau
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
a) Phép dời hình tịnh tiến theo vector v là phép biến hình biến điểm M thành M’ sao cho
b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mọi
điểm thuộc (P) thành chính nó, biến điểm M không thuộc (P)
thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng chung trực của MM’.
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính
nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H).
c) Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến điểm O thành
chính nó, biến điếm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung
điểm của MM’.
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O
được gọi là tâm đối xứng của (H).
d) Phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình mọi
điểm thuộc d thành chính nó, biến điểm M không thuộc d thành
điểm M’ sao cho d là trung trực của MM’. Phép đối xứng qua
đường thẳng d còn được gọi là phép đối xứng qua trục d.
Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H) thành chính
nó thì d được gọi là trục đối xứng của (H).
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Nhận xét
Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình đa diện này thành hình
đa diện kia.
Hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
III. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN
Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện
1 2
,H H , sao cho
1
H và
2
H không có
điểm trong chung thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện
1
H và
2
H ,
hay có thể lắp ghép được hai khối đa diện
1
H và
2
H với nhau để được khối đa diện (H).
Lưu ý: Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối
với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó. (Hình 2.2)
Ví dụ. Xét khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng BDD’B’ cắt khối lập phương đó theo một
thiết diện là hình chữ nhật BDD’B’. Thiết diện này chia các điểm còn lại của khối lập phương ra làm
hai phần. Mỗi phần cùng với hình chữ nhật BDD’B’ tạo thành khối lăng trụ, như vậy có hai khối lăng
trụ: ABD.A’B’D’ và BCD.B’C’D’. Khi đó ta nói mặt phẳng (P) chia khối lập phương
ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối lăng trụ ABD.A’B’D’ và BCD.B’C’D’.
Tương tự trên ta có thể chia tiếp khối trụ ABD.A’B’D’ thành ba khối tứ diện: ADBB’, ADB’D’ và
AA’B’D’.
Nhận xét: Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành các khối tứ diện.
IV. KHỐI ĐA DIỆN LỒI
Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc
(H). Khi đó đa diện giới hạn (H) được gọi là đa diện lồi (Hình 2.1).
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Công thức ƠLE: Trong một đa diện lồi nếu gọi Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt Đ-C+M=2
V. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
Quan sát khối tư diện đều (Hình 2.2.1), ta thấy các mặt
của nó là những tam giác đều, mỗi đỉnh của nó là đỉnh
chung của đúng ba mặt. Đối với khối lập phương (Hình
2.2.2), ta thấy các mặt của nó là những
hình vuông, mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung đúng ba mặt. Những khối đa diện nói trên được gọi là khối
đa diện đều
Định nghĩa: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có các tính chất sau:
Năm khối đa diện đều
Tứ diện đều Khối lập phương
Khối tám mặt
đều
Khối mười hai
mặt đều
Khối hai mươi
mặt đều
Nhận xét:
Hai khối đa diện đều có cùng số mặt và có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.
Hai khối đa diện đều có cùng số mặt thì đồng dạng với nhau.
Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Khối đa diện đều Số đỉnh
Số cạnh
Số mặt
Ký hi
ệ
u
{p, q}
a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loiaj {p;q}.
Nhận xét: Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và bằng nhau.
Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là các khối đa diện đều loại {3,3}, loại {4,3}, loại {3,4},
loại {5,3}, và loại {3,5}.
Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo theo thứ tự được gọi là khối đa diện
đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Kứ diện đều
4 6 4 {3, 3}
Khối Lập Phương
8 12 6 {4, 3}
Khối Tám Mặt Đều
6 12 8 {3, 4}
Khối Mười Hai Mặt Đều
20 30 12 {5, 3}
Khối Hai Mươi Mặt Đều
12 30 20 {3, 5}
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
B – BÀI TẬP
Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Chỉ có năm loại hình đa diện đều.
B. Hình hộp chữ nhật có diện tích các mặt bằng nhau là hình đa diện đều.
C. Trọng tâm các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.
D. Hình chóp tam giác đều là hình đa diện đều.
Hướng dẫn giải:
+ Trong không gian ba chiều, có đúng 5 khối đa diện đều lồi, chúng là các khối đa
diện duy nhất (xem chứng minh trong bài) có tất cả các mặt, các cạnh và các góc ở
đỉnh bằng nhau.
Tứ diện đều Khối lập
phương
Khối bát diện
đều
Khối mười hai
mặt đều
Khối hai mươi
mặt đều
=> A đúng
+ Hình chóp tam giác đều là hình tứ diện đều → D đúng
+ Hình hộp chữ nhật có diện tích các mặt bằng nhau là khối lập phương → B đúng
+ Trọng tâm các mặt của hình tứ diện đều không thể là các đỉnh của một hình tứ diện đều → C sai.
Chọn đáp án C.
Câu 2: Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?
A. Tứ diện đều B. Bát diện đều C. Hình lập phương D. Lăng trụ lục giác đều
Chọn đáp án A.
Câu 3: Khái niệm nào sau đây đúng với khối chóp?
A. là hình có đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh.
B. là phần không gian được giới hạn bởi hình chóp và cả hình chóp đó.
C. là phần không gian được giới hạn bởi hình chóp.
D. là khối đa diện có hình dạng là hình chóp.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
Câu 4: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất
A. Năm cạnh B. Bốn cạnh C. Ba cạnh D. Hai cạnh
Hướng dẫn giải:
Đúng theo lý thuyết SGK. Các em có thể xem thêm các dạng toán về khối đa diện đều trong sách
hình học lớp 12 (các bài tập 1,2,3,4 trang 25 bài 5,6 trang 26).
Chọn đáp án C.
Nhiều độc giả có thể nhầm giữa khái niệm hình chóp và khối chóp. Nên khoanh ý A. Tuy nhiên các
bạn nên phân biệt rõ ràng giữa hình chóp và khối chóp nói chung, hay hình đa diện và khối đa diện
nói riêng.
+ Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thoả mãn hai tính chất:
a, Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
b, Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
+ Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. Vậy
khi đọc vào từng đáp án ở đây thì ta thấy ý A chính là khái niệm của hình chóp. Ý B là khái niệm
của khối chóp. Ý C là mệnh đề bị thiếu, ý D sai.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 5: Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở
thành mệnh đề đúng:
“Số cạnh của một hình đa diện luôn……………….số đỉnh của hình đa diện ấy”
A. nhỏ hơn B. nhỏ hơn hoặc bằng C. lớn hơn D. bằng
Chọn đáp án C.
Câu 6: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?
A. Tồn tại một đa diện đều có 2 mặt là 2 đa giác không bằng nhau.
B. Nếu hình chóp tứ giác S.ABCD là hình chóp đều thì nó cũng là đa diện đều.
C. Nếu một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của đúng 3 mặt thì tổng số đỉnh của nó phải
là số chẵn.
D. Nếu lăng trụ tam giác
. ’ ’ ’
ABC A B C
là lăng trụ đều thì nó cũng là đa diện đều.
Hướng dẫn giải:
Đa diện đều có tất cả các mặt là các đa giác bằng nhau
Không tồn tại đa diện đều có 5 và 6 đỉnh, do đó chóp S.ABCD và lăng trụ
. ’ ’ ’
ABC A B C
không thể
là đa diện đều.
Nếu mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 3 mặt thì nó cũng là đỉnh chung của đúng 3 cạnh. Giả sử số
đỉnh của đa diện là n thì số cạnh của nó phải là
Hướng dẫn giải:
1
M
là ảnh của M qua
phép
u
T
và
2
1
M
qua phép
v
T
,. Khi đó phép biến hình biến điểm M thành đểm
2
M
là:
A.
v
B. Phép tịnh tiến theo vectơ
u
v
D. Một phép biến hình khác
1 1
1 1 2 2
1 2 1 2
u
v
T M M MM u
MM M M u v MM u v
T M M M M v
Như vậy, phép biến hình biến điểm M thành đểm
2
M
là phép tịnh tiến theo vectơ
u v
.
Chọn đáp án A.
Câu 9: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành chính nó?
A. Không có B.
1
C.
2
D. Vô số
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
n
(vì mỗi cạnh được tính 2 lần), do đó n chẵn.
2
Chọn đáp án C.
Câu 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Nhận định nào sau đây không đúng :
A. Hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau
B. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy là tâm của đáy.
C. ABCD là hình thoi
D. Hình chóp có các cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy một góc.
Nhắc lại kiến thức: Hình chóp đa giác đều: là hình chóp có đáy là đa giác đều và hình chiếu của đỉnh
xuống đáy trùng với tâm của đáy. Như vậy hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông
ABCD và hình chiếu của S xuống đáy là tâm hình vuông ABCD.
Chọn đáp án C.
Câu 8: Trong không gian cho hai vectơ u và v . Với M là điểm bất kỳ, ta gọi
M là ảnh của
Phép tịnh tiến theo vectơ u
C. Phép tịnh tiến theo vectơ
Hướng dẫn giải:
Theo định nghĩa phép tịnh tiên vectơ
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 10: Trong không gian cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Có bao nhiêu phép tịnh
tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng b?
A. Không có B. 1 C. 2 D. Vô số
Chọn đáp án D.
Câu 11: Trong không gian cho (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song. Chọn mệnh đề đúng trong các
mệnh đề sau
A. Không có phép tịnh tiến nào biến (P) thành (Q)
B. Có duy nhất một phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)
C. Có đúng hai phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)
D. Có vô số phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)
Chọn đáp án D.
Hướng dẫn giải:
nhau) và
' ', 'C'.

AB A B AC A
'
u A A biến ' ' 'A B C thànhABC và phép tịnh tiến theo vectơ
'v A A biến ' ' 'A B C thành ABC . Như vậy chỉ có hai phép tịnh tiến biến tam giác này thành
1
2
u
B. CD’P với P là trung điểm của B’C’
D. DC’D’
1
2
u AD . Ta có
Câu 12 : Trong không gian cho hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau (
AB A'B'; AC A'C '; BC B'C ' ). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A. Không thể thực hiện một phép tịnh tiến nào biến tam giác này thành tam giác kia
B. Tồn tại duy nhất một phép tịnh tiến nào biến tam giác này thành tam giác kia
C. Có nhiều nhất hai phép tịnh tiến nào biến tam giác này thành tam giác kia
D. Có thể thực hiện vô số phép tịnh tiến biến tam giác này thành tam giác kia.
Trước hết ta nhận thấy rằng, muốn thực hiện được một phép tịnh tiến
biến ABC thành A'B'C ' thì phải có điều kiện, hai tam giác ABC
và A’B’C’ ơhair nằm trên hai mặt phẳng song song (hoặc trùng
Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ
tam giác kia.
Câu 13: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC.
Phép tịnh tiến theo vectơ AD biến tam giác A'IJ thành tam giác
A. C’CD
C. KDC với K là trung điểm của A’D’
Hướng dẫn giải:
Gọi T là phép tịnh tiến theo vectơ
T
I
D,T
J
C,T
A'
K
Vậy T
A'IJ
KDC.
Chọn đáp án C.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 14: Cho hai mặt phẳng
và
song song với nhau. Với M là một điểm bất kỳ, ta gọi
1
M là
ảnh của M qua phép đối xứng Đ
và
2
M là ảnh của
1
M qua phép đối xứng Đ
.
Phép biến hình f
Đ Đ
.
Biến điểm M thành
2
M là
A. Một phép biến hình khác B. Phép đồng nhất
C. Phép tịnh tiến D. Phép đối xứng qua mặt phẳng
Hướng dẫn giải:
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
1 1 2
, , MM M M I J
Ta có:
1 1 1
1 2 1 2 1
2
2

D M M MM IM
D M M M M M J
Suy ra:
2 1 1
2 2

MM IM M J IJ u
(Không đổi)
Vậy
2
M là ảnh của M qua phép tịnh tiến
u .
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Hướng dẫn giải:
B.
SAB C.
SAC D.
SAD
Chọn
đáp án D.
Câu 15: Trong không gian một tam giác đều có mấy mặt phẳng đối xứng?
Hướng dẫn giải:
Trong không gian, với tam giác đều bất kì ABC có bốn mặt phẳng đối xứng. Đó là: Ba mặt phẳng
trung trực của ba cạnh và mặt phẳng chứa ABC .
Chọn đáp án D.
Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có các kích thước là a, b, c
a b c
. Hình hộp
chữ nhật này có mấy mặt đối xứng
Hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có 3 mặt đối xứng, đó là các mặt phẳng trung trực AB, AD,
AA’.
Chọn đáp án C.
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với (ABCD). Hình
chóp này có mặt đối xứng nào?
A. Không có
Hướng dẫn giải:
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có:
BD SAC và O là trung điểm của BD. Suy ra
SAC là
mặt phẳng trung trực của BD. Suy ra
SAC là mặt đối xứng của
hình chóp, và đây là mặt phẳng duy nhất.
Chọn đáp án C.
Câu 18: Trong không gian cho hai điểm I và J phân biệt. Với mỗi điểm M ta gọi
1
M là ảnh của M qua
phép đối xứng tâm
I
D ,
2
M là ảnh của M qua phép đối xứng tâm
J
D . Khi đó hợp thành của
I
D và
J
D
biến điểm M thành điểm
2
M là
A. Phép đối xứng qua mặt phẳng B. Phép tịnh tiến
C. Phép đối xứng tâm D. Phép đồng nhất
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1 1 1
2
 
I
D M M MM IM
1 2 1 2 1
2
J
D M M M M M J
Do đó:
1 1 1
2 2
MM IM M J IJ
(không đổi)
Vậy
2
M là ảnh của M qua phep tịnh tiến theo vectơ 2
u IJ .
Chọn đáp án B.
Câu 19: Trong các hình dưới đây, hình nào không có tâm đối xứng
A. Hình hộp B. Hình lăng trụ tứ giác đều
C. Hình lập phương D. Tứ diện đều
Hướng dẫn giải:
đối xứng tâm O là một trong ba đỉnh còn lại, nếu
O
D A B thì O là trung điểm của AB, nhưng
trung điểm của AB cũng không thể là tâm đối xứng của ABCD.
Câu 20: Hình chóp tứ giác đều có mấy mặt phẳng đối xứng
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Hướng dẫn giải:
Hình hộp có một tâm đối xứng là giao điểm của bốn đường chéo
Hình lăng trụ tứ giác đều, hình lập phương là các hình hộp đặc biệt nên có một tâm đối xứng
Tứ diện đều không có tâm đối xứng.
Thật vậy, giả sử tứ diện đều ABCD có tâm đối xứng O.
Nhận thấy các đỉnh A,B,C,D không thể là tâm đối xứng của tứ diện ABCD, nên ảnh của A qua
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng đó là:
, , ,SAC SBD SMN SIJ , với M, N, I, J lần lượt là trung điểm
của
AB, CD, DA, BC
Chọn đáp án D.
Câu 21: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ tâm O (tâm đối xứng). Ảnh của đoạn thẳng A’B qua
phép đối xứng tâm
O
D là đoạn thẳng
A. 'DC B. 'CD C. 'DB D. 'AC
Hướng dẫn giải:
Ta có
' ; '
O O
D A C D B D
Do đó
'B '
O
D A CD
Chọn đáp án B.
Câu 22: Trong không gian cho hai đường thẳng song song a và b. Với mỗi điểm M ta gọi
1
M là ảnh
của M qua phép đối xứng tâm
a
D ,
2
M là ảnh của M qua phép đối xứng tâm
b
D . Khi đó hợp thành của
a
D
b
D biến điểm M thành điểm
2
M là
A. Phép đối xứng trục B. Phép đối xứng qua mặt phẳng
C. Phép đối xứng tâm D. Phép tịnh tiến
Hướng dẫn giải:
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
1 1 2
,MM M M
Các điểm
1 2
, , , ,M M M I J cùng nằm trên một mặt phẳng (P)
vuông góc với a và b tại I và J.
Ta có:
1 1
1 2 1 2 1
2
2


I
J
D M M MM IM
D M M M M M J
Suy ra:
2 1 1
2 2
 
MM IM M J IJ u
(không đổi)
Chọn đáp án D.
Câu 23: Trong không gian cho hai hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau. Với mỗi điểm M ta
gọi
1
M là ảnh của M qua phép đối xứng tâm
D ,
2
M là ảnh của M qua phép đối xứng tâm
D . Khi
đó hợp thành của
D D biến điểm M thành điểm
2
M là
A. Phép tịnh tiến B. Phép đối xứng qua mặt phẳng
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C. Phép đối xứng tâm D. Phép đối xứng trục
Hướng dẫn giải:
Gọi I, J, O lần lượt là trung điểm của
1 1 2 2
, ,MM M M MM ( với
1
MM và
1 2
, I M M và
J )
Ta có:
1 2
/ /IO M M nên
IO , do đó nếu gọi a là giao tuyến
của
và
thì IO a và O a. Suy ra hai điểm M và
2
M đối xứng nhau qua đường thẳng a.
Vậy hợp thành của
D D biến điểm M thành điểm
2
M là phép đối xứng qua đường thẳng a.
Chọn đáp án D.
Câu 24: Tứ diện đều có mấy trục đối xứng
A. Không có B. 1 C. 2 D. 3
Hướng dẫn giải:
Tứ diện đều có ba trục đối xứng đó là ba đường thẳng đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối của nó.
Chọn đáp án D.
Câu 25: Hình chóp tứ giác đều có mấy trục đối xứng?
A. Không có B. 1 C. 2 D. 3
Hướng dẫn giải:
Hình chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng đó là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy.
Chọn đáp án B.
Câu 26: Hình vuông có mấy trục đối xứng?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Hướng dẫn giải:
Trong không gian, hình vuông có 5 trục đối xứng, đó là:
Hai đường thẳng chứa hai đường chéo AC, BD
Đường thẳng đi qua trung điểm của AB, CD và đường thẳng đi qua trung điểm của AD và BC
Trục ngoại tiếp đường tròn ngoại tiếp hình vuông
Chọn đáp án D.
Câu 27: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A. Nếu hình H có trục đối xứng thì nó có ít nhất một tâm đối xứng.
B. Nếu hình H có mặt đối xứng thì nó có ít nhất một trục đối xứng.
C. Nếu hình H có mặt đối xứng và có trục đối xứng thì nó có ít nhất một tâm đối xứng.
D. Nếu hình H có mặt đối xứng và có tâm đối xứng nằm trên mặt đối xứng thì nó có ít nhất một tâm
đối xứng.
Hướng dẫn giải:
Hình chóp tứ giác đều có một trục đối xứng, nhưng không có tâm đối xứng. Như vậy A sai
Hình chóp S.ABCD có
SA ABCD có mặt phẳng đối xứng là
SAC , nhưng hình chóp này
không có trục đối xứng. Như vậy B sai
Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt đối xứng và có một trục đối xứng, nhưng không có tâm đối
xứng. Như vậy C sai
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn đáp án D.
Câu 28: Cho một bát diện đều. Các khẳng định đúng là:
1. Bát diện đều có đúng 12 cạnh
2. Bát diện đều có đúng 8 đỉnh
3. Bát diện đều nếu có cạnh bằng a thì sẽ nội tiếp một mặt cầu có bán kính bằng
2
2
a
R
4. Ghép hai khối tứ diện đều ta được một khối bát giác đều
A. 1; 2 B. 3; 4 C. 1; 3 D. 1; 3; 4
Bát diện đều thì chỉ có 6 đỉnh. Ngoài ra ghép hai tứ diện đều thì không đem được kết quả gì.
Chọn đáp án C.
Câu 29: Hình đa diện trong hình vẽ có bao nhiêu mặt?
A. 6. B. 10. C. 12 D. 11.
Hướng dẫn giải:
Khối đa diện A có 5 đỉnh nên không thể là đa diện đều
Khối đa diện D không phải là khối đa diện lồi
Khối đa diện B,C là khối đa diện lồi
Chọn đáp án B.
Câu 31: Hình nào sau đây không phải là hình đa diện ?
Đếm đáy hình chóp có 5 mặt và 5 mặt của lăng trụ và 1 mặt đáy. Vậy có 11 mặt.
Chọn đáp án D.
Câu 30: Cho bốn hình sau đây. Mệnh đề nào sau đây sai :
A. Khối đa diện A không phải là khối đa diện đều.
B. Cả 4 khối đa diện A, B, C, D đều là khối đa diện lồi.
C. Khối đa diện C là khối đa diện lồi
D. Khối đa diện B là khối đa diện lồi
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải:
Phân tích: Ta nhớ lại các kiến thức về hình đa diện như sau:
Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
Hướng dẫn giải:
Lắp ghép 2 khối hộp chưa chắc đã được 1 khối đa diện lồi
Chọn đáp án A.
Câu 33: Khối đa diện loại {3;4} là khối có :
B. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 4 mặt
D. Số cạnh là 3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Chọn đáp án B.
Câu 36: Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện.
A. B.
a. Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh
chung.
b. Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Ta thấy hình A vi phạm tính chất thứ hai trong điều kiện để có một hình đa diện. Ta thấy cạnh ở
giữa không phải là cạnh chung của đúng hai đa giác mà là cạnh chung của bốn đa giác.
Chọn đáp án A.
Câu 32: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai ?
A. Lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi
B. Khối tứ diện là khối đa diện lồi
C. Khối hộp là khối đa diện lồi
D. Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi
A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 3 mặt
C. Số đỉnh là 4
Chọn đáp án D.
Câu 34: Hình chóp tứ giác đều có số mặt phẳng đối xứng là:
Chọn đáp án B.
Câu 35: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
A. Hình lập phương có nhiều nhất 8 mặt phẳng đối xứng
B. Tồn tại một hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau
C. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh
D. Hình bát diện đều chỉ có 8 cạnh bằng nhau
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C. D.
Chọn đáp án C.
Câu 37: Số đỉnh của một hình bát diện đều là ?
A. Mười hai B. Tám C. Mười D. Sáu
Hướng dẫn giải:
+ Hình bát diện đều là hình có dạng như hình bên:
+ Nên số đỉnh của nó là sáu
Chọn đáp án D.
Câu 38: Trong các hình dưới đây, hình nào là khối đa diện?
A. B. C. D.
Chọn đáp án A.
Câu 39: Cho một hình đa diện. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh B. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt
C. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt D. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh
Chọn đáp án C.
Câu 18: Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện?
Hình 1
Hình 2 Hình 3
Hình 4
A. Hình 4. B. Hình 3. C. Hình 2. D. Hình 1.
Chọn đáp án B.
Câu 40: Trong hình bát diện đều số cạnh gấp mấy lần số đỉnh.
A.
4
3
B.
3
2
C. 2 D. 3
Hướng dẫn giải:
Hình bát diện đều có 12 cạnh và 6 đỉnh. Nên số cạnh gấp 2 lần số đỉnh
Chọn đáp án C.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 41: Mỗi đỉnh của bát diện đều là đỉnh chung của bao nhiêu cạnh ?
A. 3 B. 5 C. 8 D. 4
Hướng dẫn giải:
Ta có hình vẽ hình bát diện đều như sau:
Chọn đáp án D.
Câu 42: Khối đa diện đều loại
5;3 có tên gọi là:
A. Khối lập phương B. Khối bát diện đều
C. Khối mười hai mặt đều D. Khối hai mươi mặt đều.
Hướng dẫn giải:
Dễ nhận biết khối đa diện đều loại
5;3 là khối mười hai mặt đều.
Chọn đáp án C.
Câu 43: Trong các mệnh đề sau, hãy chọn mệnh đề đúng. Trong một khối đa diện thì:
A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt. B. Hai cạnh bất kì có ít nhất một điểm chung.
C. Hai mặt bất kì có ít nhất một điểm chung. D. Hai mặt bất kì có ít nhất một cạnh chung.
Hướng dẫn giải:
Xét hình lập phương . ’ ’ ’ ’ABCD A B C D thì AB//A’B’: câu B) sai
ABCD // A’B’C’D’: câu C) và D) sai. Vậy câu A) đúng.
Chọn đáp án A.
Câu 44: Nếu ba kích thước của một khối chữ nhật tăng lên 4 lần thì thể tích của nó tăng lên:
A. 4 lần B. 16 lần C. 64 lần D. 192 lần
Hướng dẫn giải:
4
3
= 64 nên
Chọn đáp án C.
Câu 45: Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành.Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD
thành mấy khối tứ diện.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 6
Hướng dẫn giải:
Vậy ta có 2 các khối tứ diện là : , SABC SACD
Ta chọn đáp án C
Câu 46: Hình bát diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng
A. 2 B. 4 C. 6 D. 9
Hướng dẫn giải:
Hình bát diện đều có 9 mặt phẳng đối xứng:
Chọn đáp án D.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Quy luật tìm các mặt phẳng đối xứng: Do tính chất đối xứng nhau, nên cứ đi từ trung điểm các cạnh
dụ chọn mặt phẳng ABCD làm mp đối xứng thì 2 điểm S và S' là 2 điểm dư còn lại phải đối xứng nhau
A. Sáu B. Vô số C. Hai D. Bốn
Hướng dẫn giải:
+ Làm tương tự như vậy với khối lăng trụ .
ADC A D C ta cũng chia
được 3 khối tứ diện bằng nhau.
+ Vậy, ta có thể chia khối lập phương thành 6 khối tứ diện bằng nhau.
Chọn đáp án A.
Câu 48: Thể tích của khối đa diện tạo bởi hình sau là:
ra mà tìm. Đảm bảo rằng nếu chọn 1 mp đối xứng nào thì các điểm còn dư phải chia đều về 2 phía. Ví
qua ABCD. Nếu chọn SBS'D thì còn 2 điểm dư là A và C đối xứng nhau qua SBS'D,..
Câu 47: Có thể chia khối lập phương ABCD.A
B
C
D
thành bao nhiêu khối tứ diện bằng nhau mà
mỗi tứ diện có bốn đỉnh thuộc tập các điểm
A,B,C,D, A
,B
,C
,D
?
+ Chia khối lập phương ABCD.A
B
C
D
thành 2 khối lăng trụ bằng
nhau ABC.A
B
C
và ADC.A
D
C
+ Xét khối lăng trụ ABC.A
B
C
và nối các đường như hình vẽ sau đây
Hai khối tứ diện ABCA
,C
BCA
bằng nhau vì chúng đối xứng với nhau
qua mặt phẳng
BCA
Hai khối tứ diện C
BCA
,C
BB
A
bằng nhau vì chúng đối xứng với nhau
qua mặt phẳng
A
BC
Như vậy khối lăng trụ ABC.A
B
C
được chia thành 3 khối tứ diện
ABCA
,C
BCA
,C
BB
A
bằng nhau.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
328
cm
B.
3
456
cm
C.
3
584
cm
D.
3
712
cm
Hướng dẫn giải:
V’ là khối lớn có đáy 14cmx15cm
V’’ là khối nhỏ có đáy 8cmx8cm
Thể tích khối cần tìm V = V’ - V’’= 584 cm
3
Chọn đáp án C.
Câu 49: Cho khối tứ diện ABCD. Lấy một điểm M nằm giữa A và B, một điểm N nằm giữa C và .D
Bằng hai mặt phẳng
MCD và
NAB ta chia khối tứ diện đã cho thành 4 khối tứ diện:
A. AMCN, AMND, BMCN, BMND B. AMCN, AMND, AMCD, BMCN
C. BMCD, BMND, AMCN, AMDN D. AMCD, AMND, BMCN, BMND
Hướng dẫn giải:
Ta có hình vẽ:
Nhìn vào hình vẽ ta thấy MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (NAB), khi đó ta thấy tứ
diện đã cho được chia thành bốn tứ diện , , , .ACMN AMND BMNC BMND
Chọn đáp án D.
Câu 50: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B. AB=BC=a, AD=2a;
( )SA ABCD . Nhận định nào sau đây đúng
A. SCD vuông B. SCD cân C. SCDđều D. SCD vuông cân
Hướng dẫn giải:
( ) (1)

SA ABCD SA CD
Gọi là trung điểm của AD. Tứ giác ABCI là hình vuông
Do đó:
0
45ACI
(*)
Mặt khác, tam giác CID là tam giác vuông cân tại I
=>
0
45BCI
(**)
( )   CD SAC CD SC SCD vuông
Chọn đáp án A.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 51: Một hình hộp chữ nhật có đường chéo chính bằng 3 thì thể tích lớn nhất bằng:
A. 3 3 B. 3 C. 9 D. 6
Hướng dẫn giải:
Gọi ba cạnh hình hộp chữ nhật là a;b;c. Khi đó:
2 2 2
9
a b c
và V abc . Do đó, áp dụng bất đẳng
thức Cauchy ta có ngay:
3
2 2 2
2 2 2
. . 3 3
3
a b c
V abc a b c
Vậy thể tích lớn nhất bằng 3 3 khi hình hộp là hình lập phương.
Chọn đáp án A.
Câu 52: Số mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều là:
A. 4. B.8. C. 6. D. 10.
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
Ba mặt phẳng trung trực của các cạnh AB, AD, AA’
Sáu mặt phẳng chứa 6 đường chéo của hình lập phương
Tứ diện đều có mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng tạo bởi một cạnh với trung điểm của cạnh đối
diện của nó.
Chọn đáp án C.
Câu 53: Hình lập phương có mấy mặt phẳng đối xứng ?
Hướng dẫn giải:
Hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có 9 mặt phẳng đối xứng đó là
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A. 5 B. 6 C. 7 D. 9
Hướng dẫn giải:
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
Khối lăng trụ lập thành là một khối lăng trụ đứng
tứ giác nên có 12 cạnh
Chọn đáp án D.
Câu 54: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Về phía ngoài khối chóp
này ta ghép thêm một khối chóp tứ diện đều có cạnh bằng a, sao cho một mặt của khối tứ diện đều
trùng với một mặt của khối chóp đã cho. Hỏi khối đa diện mới lập thành có mấy mặt?
Chọn đáp án A.
Khối lăng trụ lập thành là một khối lăng trụ tam
giác nên có 5 mặt
Câu 55: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'. Về phía ngoài khối lăng trụ này ta ghép thê
m
một khối lăng trụ tam giác đều bằng với khối lăng trụ đã cho, sao cho hai khối lăng trụ có chung một
mặt bên. Hỏi khối đa diện mới lập thành có mấy cạnh?
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 56: Trong các khối đa diện dưới đây, khối nào có số cạnh có thể là một số lẻ?
A. Khối chóp; B. Khối tứ diện;
C. Khối hộp; D. Khối lăng trụ.
Hướng dẫn giải:
Khối chóp n- giác có tổng số cạnh bằng 2n
Khối tứ diện có 6 cạnh
Khối hộp có 12 cạnh
Khối lăng trụ n-giác với n là một số lẻ thì số cạnh là
3n, là một số lẻ.
Ví dụ: xét lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có 9 cạnh là một
số lẻ
Chọn đáp án D.
Câu 2. Trong các khối đa diện dưới đây, khối nào có số mặt luôn là số chẵn?
A. Khối lăng trụ; B. Khối chóp;
C. Khối chóp cụt; D. Khối đa diện đều.
Hướng dẫn giải:
Khối lăng trụ n-giác với n là số lẻ có số mặt bằng 2
n là một
số lẻ
Ví dụ: Lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’ có số mặt là 5.
Khối chóp n-giác với n là số chẵn, thì số mặt của nó là 1
n là
một số lẻ
Ví dụ: Hình chóp .S ABCD có đáy là tứ giá và số mặt là 5.
Khối chóp cụt: Tương tự như khối lăng trụ
Ví dụ: Khối chóp cụt tam giác có số mặt là 5.
Trong không gian ba chiều, có đúng 5 khối đa diện đều, chúng là các khối đa diện duy nhất có tất
cả các mặt, các cạnh và các góc ở đỉnh bằng nhau. Chúng được giới thiệu trong các hình dưới đây:
Năm khối đa diện đều
Tứ diện đều Khối lập phương
Khối tám mặt đều
Khối mười hai
mặt đều
Khối hai mươi
mặt đều
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Tên của chúng gọi theo số mặt của mỗi khối tương ứng là 4, 6, 8, 12, và 20.
Các khối này đều có số mặt là chẵn.
Chọn đáp án D.
Câu 57: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Khối tứ diện đều có 6 cạnh B. Khối lập phương có 12 cạnh
C. Số cạnh của một khối chóp là chẵn D. Khối 8 mặt đều có 8 cạnh
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
Vì khối 8 mặt đều có tất cả 12 cạnh
Ta nhắc lại như sau: Mỗi khối đa diện đều có thể xác định bới ký hiệu {p, q} trong đó
p = số các cạnh của mỗi mặt (hoặc số các đỉnh của mỗi mặt)
q = số các mặt gặp nhau ở một đỉnh (hoặc số các cạnh gặp nhau ở mỗi đỉnh).
Khí hiệu {p, q} là đặc trưng về số lượng của khối đa diện đều. Ký hiệu {p, q} của năm khối đa diện
đều được cho trong bảng sau.
Khối đa diện đều Số đỉnh
Số cạnh
Số mặt
Ký hiệu {p, q}
Khối diện đều 4 6 4 {3, 3}
Khối Lập Phương 8 12 6 {4, 3}
Khối Tám Mặt Đều 6 12 8 {3, 4}
Khối Mười Hai Mặt Đều
20 30 12 {5, 3}
Khối Hai Mươi Mặt Đều
12 30 20 {3, 5}
Lời bình: Ta có thể dùng phương pháp loại trừ như sau
Khối tứ diện đều có 6 cạnh.
Đúng vì có 3 cạnh bên + 3 cạnh đáy. Như vậy tổng là 6.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
B.
Khối lập phương có 12 cạnh.
Đúng vì có 4 cạnh bên + 2 mặt đáy (mỗi mặt 4 cạnh). Vậy
tổng là 12
Số cạnh của một khối chóp là chẵn
Đúng. Ta có thể lấy 2 ví dụ sau
Chóp tam giác có 6 cạnh, chóp tứ giác có 8 cạnh,…
A. 2 3M C B. 3 2M C C. 3 5M C D. 2 M C
Hướng dẫn giải:
hai mặt nên
3
.
2
M
C Vậy 2 3 .C M
A. 3Đ=2C C. 4Đ=3C D. C=2Đ
Hướng dẫn giải:
3
.
D
C Vậy 2 3C D .
B. 15 C. 18 D. 20
A. 16 B. 18 C. 20 D. 30
Hướng dẫn giải:
Vì mỗi mặt là ngũ giác đều và có M mặt {M=12}. Nhưng mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt
nên
5 5.12
30.
2 2
M
C
Chọn đáp án D.
Câu 62: Khối 20 mặt đều {mỗi mặt là tam giác đều} có mấy cạnh?
Chọn đáp án D.
Câu 58: Trong một khối đa diện lồi với các mặt là các tam giác, nếu gọi C là số cạnh và M là số mặt
thì hệ thức nào sau đây đúng?
Vì mỗi mặt là tam giác và có M mặt, nên số cạnh là 3M. Nhưng mỗi cạnh là cạnh chung của đúng
Chọn đáp án B.
Câu 59: Trong một khối đa diện lồi mà mỗi đỉnh chung của ba cạnh, nếu gọi C là số cạnh và Đ là số
mặt thì hệ thức nào sau đây đúng?
B. 3Đ=C
Vì có Đ đỉnh, mà mỗi đỉnh có 3 cạnh chung nên số cạnh 3Đ. Mà cứ một cạnh thì có 2 đỉnh nên ta có
2
Chọn đáp án A.
Câu 60: Một khối đa diện lồi 10 đỉnh, 7 mặt. Vậy khối đa diện này có mấy cạnh?
A. 12
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lí Ơle: Đ C M 2 10 C 7 2 C 15.
Chọn đáp án B.
Câu 61: Khối 12 mặt đều {mỗi mặt là ngũ giác đều} có mấy cạnh?
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A. 16 B. 18 C. 20 D. 30
Hướng dẫn giải:
Vì mỗi mặt là tam giác đều và có M mặt {M=20}. Nhưng mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt
nên
3.20
30.
2
C
Chọn đáp án D.
Câu 63: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau;
B. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số cạnh bằng nhau;
C. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh
D. Tôn tại một hình đa diện có số cạnh và số mặt bằng nhau
B. lớn hơn 6
D. lớn hơn hoặc bằng 8
B. lớn hơn 4
D. lớn hơn hoặc bằng 5
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
Ví dụ hình chóp tam giác hoặc hình tứ diện thì cạnh số mặt của nó bằng 4.
Câu 66: Cho đa diện (H) có tất cả các mặt đều là tam giác. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tổng các mặt của (H) luôn là một số chẵn
B. Tổng các mặt của (H) luôn gấp đối tổng số đỉnh của (H)
Hướng dẫn giải:
A. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau.
Mệnh đề sai vì
Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’: Có 5 mặt nhưng có 6 đỉnh.
B. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số cạnh bằng nhau. Là
mệnh đề đúng
Ví dụ: Hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác
C, D không thể xảy ra. Nên mệnh đề sai
Câu 64: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Số các cạnh của hình đa diện luôn
A. Lớn hơn hoặc bằng 6
C. lớn hơn 7
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
Ví dụ hình chóp tam giác hoặc hình tứ diện thì cạnh của nó bằng 6.
Câu 65: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Số các đỉnh, hoặc các mặt của bất kỳ hình đa diện luôn
A. Lớn hơn hoặc bằng 4
C. lớn hơn 5
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C. Tổng số các cạnh của (H) là một số không chia hết cho 3
D. Tổng số các cạnh của (H) luôn gấp đôi tổng số các mặt của (H)
Hướng dẫn giải:
Gọi tổng số mặt của (H) là M và tổng số các cạnh của (H) là C.
Ta có: 3 2M C . Suy ra M là một số chẵn.
Chọn đáp án A.
Ví dụ: Xét hình tứ diện ABCD
A. Khối 20 mặt đều
C. Khối bát diện đều
A. Khối 12 mặt đều
C. Khối bát diện đều
B. 4 C. 6 D. 5
Câu 70: Cho khối đa diện đều. Khẳng định nào sau đây sai
A. Số đỉnh của khối lập phương bằng 8 B. Số mặt của khối tứ diện đều bằng 4
C. Khối bát diện đều là loại {4;3} D. Số cạnh của báy diện đều bằng 12.
Tổng các mặt là 4 (chẵn)
Tổng các mặt là 4, tổng đỉnh là 4. Như vậy, tổng các mặt của không
thể gấp đôi tổng số đỉnh của, nên nó là mệnh đề sai.
Tổng các cạnh là 6, số này chia hết cho 3. Như vậy câu C sai.
Tổng số cạnh là 6, tổng các mặt là 4. Như vậy không thể tổng các
cạnh gấp đôi tổng các mặt được.
Câu 67: Trong các loại khối đa diện đều sau, tìm khối đa diện có số cạnh gấp đôi số đỉnh
B. Khối lập phương
D. Khối 12 mặt đều
Hướng dẫn giải:
Khối bát diện đều có cạnh là 12 và có số đỉnh là 6.
Chọn đáp án C.
Câu 68: Trong các loại khối đa diện đều sau, tìm khối đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau
B. Khối lập phương
D. Khối tứ diện đều
Hướng dẫn giải:
Khối tứ diện đều có số mặt là 4 và số đỉnh là 4.
Chọn đáp án D.
Câu 69: Mỗi đỉnh của bát diện đều là đỉnh chung của mấy cạnh?
A. 3
Hướng dẫn giải:
Ta thấy mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 cạnh.
Ví dụ: Xét đỉnh B, thì B là đỉnh chung của 4 cạnh: BA, BS,
BC, BS’.
Chọn đáp án B.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải:
Khối bát diện đều là loại {3;4}.
Chọn đáp án C.
Câu 71: Cho khối chóp có đáy là n-giác. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Số mặt của khối chóp là 2n B. Số cạnh của khối chóp là n+2
C. Số đỉnh bằng số mặt và bằng n+1 D. Số đỉnh của khối chóp là 2n+1
Hướng dẫn giải:
A. 12 B. 30 C. 8 D. 20
Hướng dẫn giải:
Hướng dẫn giải:
Hình lập phương là chắn chắn là đa diện đều nên mệnh đề A đúng
Tứ diện là đa diện lồi cũng là mệnh đề đúng
Hình hộp là đa diện lồi, đây là mệnh đề đúng
Chọn đáp án D.
Hình chóp tứ giác có 5 mặt và 5 đỉnh Hình chóp tam giác có 4 mặt và
4 đỉnh
Chọn đáp án C.
Câu 72: Khối đa diện lồi đều có số mặt nhiều nhất là:
Đa diện lồi đều có số mặt nhiều nhất à đa diện 20 mặt và nó có 30 cạnh.
Chọn đáp án D.
Câu 73: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là đúng?
A. Khối đa diện đều là khối đa diện có tất cả các cạnh bằng nhau
B. Khối đa diện đều là khối đa diện có tất cả các mặt là các đa giác đều
C. Khối đa diện đều là khối đa diện có tất cả các mặt là các đa giác đều bằng nhau và các cạnh bằng
nhau
D. Có vô số khối đa diện đều lồi không có cùng số cạnh
Chọn đáp án C.
Câu 74: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình lập phương là đa diện
B. Tứ diện là đa diện lồi
C. Hình hộp là đa diện lồi
D. Hình tạo bởi hai tứ diện chung đáy ghép với nau là một đa diện lồi.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
THỂ TÍCH HÌNH CHÓP
A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1) Nếu khối chóp đã cho có chiều cao h và diện tích đáy B thì thể tích tính theo công thức
từ đỉnh tới hình chiếu.
Chú ý: Các công thức tính diện tích đáy
a) Tam giác:
ABC vuông tại A:
ABC đều, cạnh a:
b) Hình vuông cạnh a: S = a
2
(a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành ABCD: S = đáy cao =
e) Hình thoi ABCD:
f) Hình thang: (a, b: hai đáy, h: chiều cao)
g) Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc:
1
V B.h
3
a b c
1 1 1
S a.h b.h c.h
2 2 2
1 1 1
S bcsinA ca.sin B absin C
2 2 2
abc
S
4R
S pr
S p p a p b p c
2S AB.AC BC.AH
2
a 3
S
4
AB.AD.sinBAD
1
S AB.AD.sinBAD AC.BD
2
1
S a b .h
2
1
S AC.BD
2
2) Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều cao thì ta phải xác định được vị trí chân đường cao
trên đáy.
a) Chóp có cạnh bên vuông góc chiều cao chính là cạnh bên.
b) Chóp có hai mặt bên vuông góc đáy đường cao là giao tuyến của hai mặt bên vuông góc đáy.
c) Chóp có mặt bên vuông góc đáy chiều cao của mặt bên vuông góc đáy.
d) Chóp đều chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy.
e) Chóp có hình chiếu vuông góc của một đỉnhlên xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy đường cao là
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
B – BÀI TẬP
HÌNH CHÓP ĐỀU
Câu 1: Thể tích (cm
3
) khối tứ diện đều cạnh bằng
2
3
cm là :
A.
2
3
B.
2 2
81
C.
2 3
81
D.
3
18
Hướng dẫn giải:
Gọi cạnh tứ diện đều là a. Dễ dàng tinh được V = a
3
.
2
12
. Thay a =
2
3
ta được V =
2 2
81
Chọn đáp án B.
Câu 2: Thể tích của khối bát diện đều cạnh a là:
A.
3
2
3
a B.
3
2
6
a C.
3
3
2
a D.
3
6a
Hướng dẫn giải:
Thề tích của khối chóp tứ giác đều có các cạnh bằng a có thể tích là V
1
=
3
2
6
a
Mà thể tích của khối bát diện đều bằng 2V
1
. Do đó thể tích khối bát diện đều là V=
3
2
3
a .
Chọn đáp án A.
Câu 3: Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự
tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147m, cạnh đáy dài 230m. Thế tích V của khối
chóp đó là?
A. 2592100V m
3
B. 7776300V m
3
C. 2592300V m
3
D. 3888150V m
3
Hướng dẫn giải:
+ Thể tích của kim tự tháp Kê - ốp là
2 3
1
.147.230 2592100
3
V m
Chọn đáp án A.
Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tất cả các cạnh bên tạo với mặt phẳng
đáy một góc 60
0
. Thể tích của khối chóp S.ABCD là:
A.
3
6
3
a
B.
3
3
2
a
C.
3
3
a
D.
3
3
6
a
Hướng dẫn giải:
Gọi H là giao điểm của AC và .BD Do S.ABCD là chóp đều
nên SO (ABCD)
Theo giả thiết ta có
0
60 SAO SBO SCO SDO
Trong tam giác OBS ta có
0
2 6
.tan60 . 3
2 2
a a
SO OB
Thể tích khối chóp
2 3
1 1 6 1
. . 6
3 3 2 3
ABCD
a
V S SO a a
Chọn đáp án B.
Câu 5: Một khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b, chiều cao
h. Khi đó thể tích khối chóp là:
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2 2
3
( )
4
b h b
B.
2 2
3
( )
4
b h h
C.
2 2
3
( )
8
b h h
D.
2 2
3
( )
12
b h
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm BC của hinh chóp S.ABC và H là hình
chiếu của S trên mặt phẳng (ABC). Khi đó AH=
2 2
b h ,
AM=
2 2
3
2
b h . Gọi x là cạnh của tam giác đều ABC suy ra
2 2
2 2 2
3 3 3
3( )
2 2 2
x b h x
AM x b h
Diện tích tam giác ABC:
2 2
2 2
3 3
3
( )
4 4
SABC
b h
S V b h h
Chọn đáp án B.
Câu 6: Tính thể tích của khối chóp S.ABCD có tất cả các cạnh
bằng 1.
A.
3
2
B.
3
6
C.
2
6
D.
2
2
Hướng dẫn giải:
Gọi O là tâm của ABCD, ta có
1 1 1 2
. . .1
3 3 2 6
ABCD
V SO S
Chọn đáp án C.
Câu 7: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc
0
60
. Thể tích
của khối chóp đó bằng:
A.
3
3
12
a
B.
3
3
6
a
C.
3
3
36
a
D.
3
3
18
a
Hướng dẫn giải:
3 3
tan 3
12 12
a a
V nên
Chọn đáp án A.
Câu 8: Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a. Mặt bên tạo với mặt đáy một góc 60
0
.
Tính thể tích V của hình chóp S.ABC.
A.
3
3
2
a
V B.
3
3
6
a
V
C.
3
3
12
a
V D.
3
3
24
a
V
Hướng dẫn giải:
Gọi các điểm như hình vẽ. Theo đề suy ra
0
60SIA
Ta có
3 3
2 6 2
a a a
AI HI SH
Vậy
3
3
24
a
V
Chọn đáp án D.
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có AB a , SA=a 2 . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SB và CD. Tính thể tích V của tứ diện AMNP.
S
C
M
B
H
A
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
6
36
a
V B.
3
6
48
a
V C.
3
3
48
a
V . D.
3
6
12
a
V
Hướng dẫn giải:
Gọi O là tâm của đáy ABCD. Tính được SO=
6
2
a
V
AMNP
=
1
4
V
ABSP
=
1
8
V
ABCD
=
2
1 1
. .
8 3
SO AB
Chọn đáp án .
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
60
0
. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
A.
3
4 3
3
a
B.
3
3
3
a
C.
3
2 3
3
a
D.
3
2 6
3
a
Hướng dẫn giải:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm CD. Khi đó
SO là đường cao hình chóp, góc SMO là góc giữa mặt bên và
mặt đáy của hình chóp.
0
2
.tan60 3
2 2
AD a
OM a SO OM a . Suy ra
3
2
.
1 1 4 3
. 2 . 3
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SO a a
Chọn đáp án A.
Câu 11: Khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
Khi đó độ dài đường cao h của khối chóp là:
A. 3h a B.
2
2
a
h C.
3
2
a
h D. h a
Hướng dẫn giải:
2
2
2 2
2 2
a a
h SO a
Chọn đáp án B.
Câu 12: Cho tứ diện đều ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Cho biết diện tích tứ giác MNPQ bằng 1, tính thể tích tứ
diện ABCD.
A.
11
24
V B.
2 2
3
V C.
2
24
V D.
11
6
V
Hướng dẫn giải:
Ta chứng minh được MNPQ là hình vuông, suy ra cạnh tứ diện bằng 2,
2 2
3
V
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn đáp án B.
Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là 3a .
Tính thể tích V khối chóp đó.
A.
3
2V a B.
3
2
3
a
V C.
3
2
6
a
V D.
3
2
9
a
V
Hướng dẫn giải:
Gọi các đỉnh của hình chóp tứ giác đều như hình vẽ bên và đặt
cạnh bằng 2AB x . Khi đó
2, SO x OH x
suy ra
3SH x . Vậy x a . Khi đó
3
2
1 2
.
3 3
a
V SO AB
Chọn đáp án B.
A.
3 6 5 2
24
V B.
2
3
V C.
52 30 3
3
V D.
1
3
V
Hướng dẫn giải:
Trong đó,
0
2 1 3
2
2sin75
6 2
MA
3
2
6
x
V ”
2 thì
2
3
V
Câu 14: Để làm một hình chóp tứ giác đều từ một tấm tôn hình vuông có
cạnh bằng 1 3 , người ta cắt tấm tôn theo các tam giác cân bằng nhau
MAN,NBP,PCQ,QDM sau đó gò các tam giác ABN,BCP,CDQ, DAM sao
cho bốn đỉnh M , N,P,Q trùng nhau(hình vẽ).
Biết rằng, các góc ở đỉnh của mỗi tam giác cân là
150
0
. Tính thể tích V
của khối chóp đều tạo thành.
+ A
MN D
MQ 15
0
AM
D 60
0
MAD
đều.
Vì vậy hình chóp tứ giác đều tạo thành có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng MA .
MN
+ Dễ dàng chứng minh được rằng:
“Một khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng x thì có thể tích là
+ Với x
Chọn đáp án B.
Câu 15: Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập bạn Bình lớp 12S2
của trường THPT trưng Vương đã làm một hình chóp tứ giác đều
bằng cách lấy một tấm tôn hình vuông MNPQ có cạnh bằng a, cắt
mảnh tôn theo các tam giác cân MAN; NBP; PCQ; QDM sau đó gò
các tam giác ANB; BPC; CQD; DMA sao cho bốn đỉnh M;N;P;Q
trùng nhau (như hình)
thể tích lớn nhất của khối chóp đều là
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
36
a
B.
3
24
a
C.
3
4 10
375
a
D.
3
48
a
Hướng dẫn giải:
Gọi cạnh hình vuông ABCD là x thì đường cao mặt bên là: SM=
2
2
a x
suy ra chiều cao của
phối chóp SO =
2
1
2 2 2
2
a ax Vậy V =
2 2
1
2 2 2
6
x a ax lập bbt suy ra V lớn nhất tại x =
2 2
5
a
Ta tìm maxV =
3
4 10
375
a
Chọn đáp án C.
A. 45 3 B. 18 3 C. 54 3 D. 15 3
Hướng dẫn giải:
1 3
5. 5.
2 4
AOB
S S AB .
1 1 45 3
. . 15 3
3 3 4
h
A.
3
4
a
B.
3
6
a
C.
3
12
a
D.
3
8
a
Hướng dẫn giải:
Dựng được hình như hình bên
+ Thấy được thể tích khối cần tính bằng 2 lần thể tích của hình
chóp S.ABCD
+ Nhiệm vụ bây giờ đi tìm thể tích của S.ABCD
+ ABCD là hình vuông có tâm O đồng thời chính là hình chiếu
của S lên mặt đáy
Câu 16: Cho hình chóp lục giác đều SABCDEF có SA 5; AB 3. Tính thể tích khối chóp SABCDE.
Lưu ý rằng lục giác ABCDEF là lục giác đều và nó giống như xếp 6 tam giác đều AOB theo chiều
kim đồng hồ. Ta cần xác định hai yếu tố:
Chiều cao (để ý tam giác AOB đều nên OA AB 3):
h SO SA
2
OA
2
5
3
3
2
4
Diện tích để ý diện tích ngũ giác ABCDE bằng 5 lần diện tích
tam giác AOB nên ta có:
2
sin
60
0
45
V Sh Do đó, ta có:
Chọn đáp án D.
Câu 17: Người ta gọt một khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt đều nội tiếp nó (tức là khối có các
đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương). Biết các cạnh của khối lập phương bằng a. Hãy tính thể
tích của khối tám mặt đều đó:
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
a
SO ; BD cạnh của hình lập phương a . Suy ra các cạnh của hình vuông
2
2
ABCD a
3
3
.
1 1 1 2 2
. .
3 3 2 2 2 12
S ABCD
a
V Sh a
3
đa diên .
2.
6
khôi S ABCD
a
V V
A.
3
2 3
3
a
. B.
3
2 3a . C.
3
3
2
a
. D.
3
4 3
3
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Ta tính thể tích khối chóp .S ABC :
Gọi H là tâm tam giác ABC đều cạnh a
3
3
a
CH
đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng
0
60
2 3
.
1 1 3 3
60 .S . .
3 3 4 12
o
S ABC ABC
a
SCH SH a V H S
3
. ' ' .ACS .
2 3
2 2.4 8
B ACA C B S ABC
a
V V V V .
3
.
3
12
S ABC
a
V .
2
39
12
SBC
a
.
3
,
a
d A SBC
.
Có
3 2 3 39
' '
3 3 3
a a
BB B C .
2
' '
39
3
BCB C
a
S .
Thể tích khối 8 mặt cần tìm là:
3
' '
1 2 3
2. , . .
3 3
BCB C
a
V d A SBC S
Cách 3 (Tham khảo lời giải của Ngọc HuyềnLB).
Thể tích khối bát diện đã cho là
' ' ' '. .
1
2 2.4 8 8. .
3
A B C BC A SBC S ABC ABC
V V V V SG S
Chọn đáp án B.
Câu 18: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy cạnh bằng a , góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
ABC
bằng 60. Gọi A
, B
, C
tương ứng là các điểm đối xứng của A , B , C qua S . Thể tích của
khối bát diện có các mặt ABC, A
B
C
, A
BC , B
CA, C
AB , AB
C
, BA
C
, CA
B
là
a
.
. Góc giữa
a.
a
3
Cách 2: Ta có thể tích khối chóp S.ABC là:
Diện tích tam giác SBC là: S
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
SBC
là:
13
Tứ giác BCB'C ' là hình chữ nhật vì có hai đường chéo
bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
SB
2a
Diện tích BCB'C 'là:
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có:
0
; 60 .
SA ABC SAG Xét
SGA
vuông tại
G
:
tan .tan .
SG
SAG SG AG SAG a
AG
Vậy
2 3
1 1 3 2 3
8. . 8. . . .
3 3 4 3
ABC
a a
V SG S a
Chọn đáp án A.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
HÌNH CHÓP CÓ MỘT CẠNH VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD đôi một vuông góc với nhau:
BA = 3a, BC =BD = 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và .AD Tính thể tích khối chóp
.C BDNM
A.
3
8V a
B.
3
2
3
a
V C.
3
3
2
a
V D.
3
V a
Hướng dẫn giải:
Khối chóp .C BDNM có CB là đường cao nên có thể tích
1
.
3
BDNM
V BC S , trong đó
+ 2BD a
+ Tứ giác BDNM là hình thang vuông tại B, M do MN là
đường trung bình của tam giác ABD nên có diện tích:
3
3
( 2 ).
( ). 3
2
2 2 2
BDNM
a
a a
MN BD BM a
S (đvtt)
Chọn đáp án C.
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình cữ nhật, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD),
, 2 AB a AD a . Góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 45
0
. Thể tích hình chóp
S.ABCD bằng
A.
3
6
18
a
B.
3
2 2
3
a
C.
3
3
a
D.
3
2
3
a
Hướng dẫn giải:
3
1 1 2
. . . .2
3 3 3
ABCD
a
V SA S a a a
Chọn đáp án D.
Câu 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a và vuông góc với đáy, M
là trung điểm của .SD Thể tích khối chóp MACD là:
A.
3
4
a
B.
3
12
a
C.
3
36
a
D.
3
a
Hướng dẫn giải:
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng đáy bằng nửa khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy suy ra thể tích
của khối chóp MACD là:
3
1 1 1
2 4 12
MACD SACD SABCD
V V V a .
Chọn đáp án B.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có
, 3, 5 AB a BC a AC a
và SA vuông góc với mặt đáy, SB tạo
với đáy góc
0
45
. Thể tích của khối chóp S.ABC là:
A.
3
11
12
a B.
3
12
a
C.
3
3
12
a D.
3
15
12
a
Hướng dẫn giải:
SB tạo với đáy góc
0
45
nên SA AB a
Áp dụng công thức Hê rông, có
ABC
S p p AB p AC p BC
2
AB BC CA
p
2 2
11
1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5
4 4
a a
(sử dụng máy tính để tính biểu thức trong dấu căn)
Suy ra
3
.
1 11
.
3 12
S ABC ABC
V SA S a
Chọn đáp án A.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và 5SC . Tính thể tích khối chóp . .S ABCD
A.
3
3
V B.
3
6
V C. 3V D.
15
3
V
Hướng dẫn giải:
Đường chéo hình vuông 2AC
Xét tam giác SAC, ta có
2 2
3 SA SC AC
Chiều cao khối chóp là 3SA
Diện tích hình vuông ABCD là
2
1 1
ABCD
S
Thể tích khối chóp S.ABCD là:
.
1 3
.
3 3
S ABCD ABCD
V S SA (đvtt)
Chọn đáp án A.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 2 , SA vuông
góc với mp đáy. Góc tạo bởi (SBC) và mặt đáy bằng 30
0
. Thể tích S.ABC bằng
A.
3
2
4
a
B.
3
2
6
a
C.
3
9
a
D.
3
2
2
a
Hướng dẫn giải:
Xét ABC vuông tại A
BC
2
= AB
2
+ AC
2
BC
2
=
2
2
2
a a
BC = a 3
.
.
. AH BC AB AC AH
AB AC
BC
=
. 2
3
a a
a
AH =
6
3
a
Góc tạo bởi (SBC) và (ABC) là góc SHA
A
C
S
30
0
a
a
H
B
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Tan 30
0
=
SA
AH
=> SA = AH.tan30
0
=
6
3
a
.
1
3
=
2
3
a
V
S.ACB
=
1 1
. . . .
3 2
SA AB AC =
1 2 1
. . . . 2
3 3 2
a
a a
=
3
9
a
Chọn đáp án C.
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có 3aSA và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC có
2a AB BC , góc
0
120ABC
. Tính thể tích khối chóp đã cho.
A.
3
.
3 3
S ABC
V a B.
3
.
2 3
S ABC
V a C.
3
.
3
S ABC
V a D.
3
.
2 3
3
S ABC
a
V
Hướng dẫn giải:
Ta có
0 2
1
. .sin120 3
2
ABC
S BA BC a . Vậy
3
.
1
.S 3
3
S ABC ABC
V SA a
Chọn đáp án C.
Câu 8: Cho hình chop S.ABCD có SC (ABCD), đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng 3a và
0
120ABC
. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 45
0
. Tính theo a thể tích khối
chop . .S ABCD
A.
3
3
12
a
B.
3
3 3
2
a
C.
3
3
4
a
D.
3
3 3
4
a
Hướng dẫn giải:
Kẻ SK AB thì:
0
(SAB),(ABCD) (SK,CK) 45 CK AB ABC
0 0 0
0
2
0
120 60 sin60
2
3
.tan 45 (1)
2
3 3
S . .sin120 (2)
2
ABCD
a
ABC ABC CB
a
SC CK
a
AB BC
Từ (1) và (2)
3
.
1 3 3
V .S
3 4
S ABCD ABCD
a
SC
Chọn đáp án D.
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh
, 2 AB a AD a
,
SA ABCD góc giữa SC và đáy bằng 60
0
. Thể tích hình chóp S.ABCD bằng:
A.
3
2a B.
3
3 2a C.
3
3a
D.
3
6a
Hướng dẫn giải:
Theo bài ra ta có,
SA ABCD , nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
0
, , 60
SC ABCD SC AC SCA
A
B
C
H
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Xét ABC vuông tại B, có
2 2 2 2
2 3 AC AB BC a a a
Xét SAC vuông tại A, có
SA ABCD SA AC
Ta có:
0
tan .tan .tan60 3. 3 3
SA
SCA SA AC SCA AC a a
AC
Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là:
3
.
1 1
. . .3 . . 2 2
3 3
S ABCD ABCD
V SA S a a a a
Chọn đáp án A.
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O,
5; 4 , 2 2 AB a AC a SO a
. Gọi
M là trung điểm SC. Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp M.OBC.
A.
3
2 2a B.
3
2a C.
3
2
3
a
D.
3
4a
Hướng dẫn giải:
Để tính được thể tích của khối hình chóp M.OBC ta cần tính được diện tích đáy OBC và khoảng
cách từ M đến đáy.
Kẻ
/ / MH SO H OC , vì
SO ABCD MH ABCD MH OBC
Nên
; d M OBC MH . Áp dụng định lý Ta lét vào tam giác SOC ta có:
1
2
2
MH MC
MH a
SO SC
Do AC BD nên
2
2 2 2
5 2 O AB AO a a a
Diện tích đáy là
2
1 1
. .2
2 2
OBC
S OB OC a a a
Thể tích khối chóp cần tính là
3
2
1 1 2
. 2 .
3 3 3
OBC
a
V MH S a a
Chọn đáp án C.
Câu 11: Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh
, D 2 AB a A a
,
DSA ABC
góc giữa SC và đáy bằng 60
0
. Thể tích hình chóp S.ABCD bằng:
A.
3
2a B.
3
6a C.
3
3a
D.
3
3 2a
Hướng dẫn giải:
SA ABCD nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Xét ABC vuông tại B, có
2 2 2 2
2 3 AC AB BC a a a
Xét SAC vuông tại A,
SA ABCD SA AC
Ta có:
0
tan .tan .tan60 3. 3 3
SA
SCA SA AC SCA AC a a
AC
Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là
3
.
1 1
. . .3 . . 2 2
3 3
S ABCD ABCD
V SA S a a a a
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn đáp án A.
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45
0
và 2SC a . Tính thể tích V của
khối chóp S.ABCD.
A.
3
2
a
V B.
3
3
a
V C.
3
6
a
V D.
3
2
3
a
V
Hướng dẫn giải:
Vì
SA ABCD nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
0
, , 45
SC ABCD SC AC SCA
Tam giác SAC vuông tại A nên:
0
sin .sin 2 .sin45 2
SA
SCA SA SC SCA a a
SC
2 2
ABCD
S AB a
Vậy
2 3
1 1 2
. . . 2 .
3 3 3
ABCD
V S SA a a a
Chọn đáp án D.
Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = 2a , cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 45
0
. Thể tích
khối chóp S.ABC theo a bằng
A.
3
.
2
6
S ABC
a
V ; B.
3
.
2
2
S ABC
a
V ; C.
3
.
2
4
S ABC
a
V ; D.
3
.
2
12
S ABC
a
V
Hướng dẫn giải:
* Ta có : AB = 3a , (SBC) (ABC) = BC
Gọi M là trung điểm BC
AM BC ( vì ABC cân tại A)
SM BC ( vì
( )
SM
ABC
AM hc
(( ),( )) ( , ) 45
o
SBC ABC SM AM SMA
* ABC vuông cân tại A có,BC =
2
a
AB = BC = a và
AM =
2
2
a
2
ABC
1 1
S . . .
2 2 2
a
AB AC a a
* SAM vuông tại A có AM=
2
2
a
,
0
45M
2
.tan45
2
o
a
SA AB
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
*
2 3
.
1 1 2 . 2
. . . .
3 3 2 2 12
S ABC ABC
a a a
V S SA .
Chọn đáp án D.
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC cân tại A.
Cạnh bên SB lần lượt tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực của BC các góc bằng 30
0
và 45
0
,
khoảng cách từ S đến cạnh BC bằng a. Tính thể tích khối chóp . .S ABC
A.
3
.
S ABC
V a B.
3
.ABC
2
S
a
V C.
3
.ABC
3
S
a
V D.
3
.
6
S ABC
a
V
Hướng dẫn giải:
Ta có
SA ABC nên AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng
0
30
ABC SBA . Gọi G là
trung điểm BC, ta có
BC AM
BC SAM SAM
BC SA
là mặt phẳng trung trực của BC và
SM là hình chiếu của SB trên
0
45 SAM BSM SBC vuông cân tại S. Ta có
,
2, 2
B SC
SM BC d SM a SB SC a BC a
Tam giác SBA vuông tại A, ta có
0
2
.sin30
2
a
SA SB
Trong tam giác vuông SAM, ta có:
2
2 2 2
2 2
2 2
a a
AM SM SA a
Vậy
3
.
1
. .
6 6
S ABC
a
V BC AM SA
Chọn đáp án D.
Câu 15: Cho hình chóp .S ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a , SA vuông
góc với
ABCD và 2SA a . Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của DC . Tính thể
tích của khối chóp .I OBM .
A.
3
24
a
V B.
3
3
24
a
V C.
3
3
24
a
V D.
3
2
24
a
Hướng dẫn giải:
Ta có:
/ /
IO SA
IO ABCD
SA ABCD
1
2
IO SA a
Diện tích của OBM :
2
0
1 1 2 2
. sin135 . . .
2 2 2 2 2 8
a a a
S OM OB
Tính thể tích của khối chóp .I OBM :
2 3
.
1 1
. . . .
3 3 8 24
I OBM OBM
a a
V S IO a
Chọn đáp án A.
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 120
0
, SA vuông góc với
(ABCD). Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC và SB, góc giữa SM và (ABCD) bằng 60
0
. Khi đó
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
thể tích của khối chóp IABCD bằng
A.
3
6
4
a
B.
3
3
8
a
C.
3
3
2
a
D.
3
3
6
a
Hướng dẫn giải:
Ta có ( )SA ABCD nên AM là hình chiếu của SM trên mặt phẳng ( )ABCD
0
;( ) 60 SM ABCD SMA
ABC có AB BC a và
0
60ABC
nên ABC đều.
Mà M là trung điểm của BC nên
3 3
2 2
AB a
AM
Khi đó
0
3 3
tan tan60 .
2 2
SA a a
SMA SA
AM
Thể tích khối chóp I.ABCD là
.
1
. ;( ) .
3
I ABCD ABCD
V d I ABCD S
3
1 1 3
. ;( ) . . .
6 3 8
ABCD ABC
a
d I ABCD S SA S .
Chọn đáp án B.
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
và góc giữa đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) bằng
0
30
. Gọi M là trung điểm của SA, (P) là
mặt phẳng đi qua M và vuông góc với .SC Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại N, E,
F. Tính theo a thể tích khối chóp S.MNEF.
A.
3
2
36
a
B.
3
2
72
a
C.
3
2
18
a
D.
3
2
9
a
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta có:
0
30
BC AB
BC SAB BSC
BC SA
là góc giữa SC với mp (SAB)
Từ đó:
0 2 2
.cot30 3, 2
SB BC a SA SB AB a
SB P tại E nên thể tích khối chóp S.MNEF
được xác định bởi:
1
.
3
MNEF
V S SE
Do SA AC và 2 SA AC a , nên SAC vuông cân tại A
SEM vuông cân tại E
2
2
SM a
SE
Ta có:
,
MN CS doSC P
MN SBC MN NE MN SB
MN BC do BC SAB
2
1 1 6 3 2
. .
2 2 6 6 24
MNE
a a a
S MN NE
Hoàn toàn tương tự ta cũng có MF EF và
2
2 2
24 12
MEF MNEF
a a
S S
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vậy
3
1 2
.
3 72
MNEF
a
V S SE (đvtt)
Chọn đáp án B.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
HÌNH CHÓP CÓ MẶT VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB)
và (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 60
0
. Tính thể tích khối chóp . .S ABCD
A.
3
2 15
3
a
B.
3
2 5
3
a
C.
3
15
3
a
D.
3
5
3
a
Hướng dẫn giải:
Ta có
0
( ) 60 . SA ABCD SCA
0 2 2
.tan60 (2 ) 3 15 SA AC a a a
3
1 2 15
.2 . 15
3 3
a
V a a a .
Chọn đáp án A.
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
1
2
AB BC AD a .
Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ACD.
A.
3
.
3
S ACD
a
V B.
3
.
2
S ACD
a
V C.
3
.
2
6
S ACD
a
V D.
3
.
3
6
S ACD
a
V
Hướng dẫn giải:
Ta chứng minh được tam giác ACD vuông cân tại C và
2 CA CD a , suy ra
2
ACD
S a
Gọi H là trung điểm của AB vì tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy, suy ra
SH ABCD
và
3
2
a
SH . Vậy
3
.
3
6
S ACD
a
S .
Chọn đáp án D.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a. Các mặt phẳng (SAB), (SAD) cùng
vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 30
0
. Tính thể tích V của
hình chóp S.ABCD.
A.
3
6
9
a
V B.
3
6
3
a
V C.
3
6
4
a
V D.
3
3
9
a
V
Hướng dẫn giải:
Theo đề ta có
0
30SCA
. 2AC a suy ra
6
3
a
SA . Vậy
3
6
9
a
V
Chọn đáp án A.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC a . Mặt bên SAC
vuông góc với đáy các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45
0
. Thể tích khối chóp SABC
bằng
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
4
a
B.
3
12
a
C.
3
3
6
a
D.
3
3
4
a
Hướng dẫn giải:
Kẻ SH BC vì
SAC ABC nên
SH ABC
Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC
,
SJ AB SJ BC
Theo giả thiết
0
45 SIH SJH
Ta có: SHI SHJ HI HJ nên BH là đường phân
giác của ABC từ đó suy ra H là trung điểm của AC.
3
1
.
2 3 12
SABC ABC
a a
HI HJ SH V S SH
Chọn đáp án B.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30
0
. Gọi M là trung điểm của cạnh
SC. Thể tích của khối chóp S.ABM bằng:
A.
3
3
12
a
B.
3
3
18
a
C.
3
3
24
a
D.
3
3
36
a
Hướng dẫn giải:
Diện tích đáy :
2
2
a
S , chiều cao
3
3
a
h ,
3 3
.
. .
3 3
18 2 36
S ABC
S ABC S ABM
a V a
V V
Chọn đáp án D.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AD, DC. Hai mặt phẳng (SMC), (SNB) cùng vuông góc với đáy. Cạnh bên SB hợp với đáy góc
0
60
.
Thể tích của khối chóp S.ABCD là:
A.
3
16 15
5
a B.
3
16 15
15
a C.
3
15a D.
3
15
3
a
Hướng dẫn giải:
Gọi H là giao CM và BN thì
SH ABCD .
Chứng minh được CH NB tại H
2 2
2 2
4
5
BC BC a
BH
BN
BC CN
0
4 15
.tan60
5
a
SH BH
3
.
1 16 15
.
3 5
S ABCD ABCD
a
V SH S
Chọn đáp án A.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 7: Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặ bên SAB là tam giác cân tại S, mặt
phẳng (SAB) vuông góc với đáy, mặt phẳng (SCD) tạo với đáy gọc 60
0
và cách đường thẳng AB một
khoảng là a. Tính thể tích khối chop theo a?
A.
3
8
9
a
B.
3
2
9
a
C.
3
4
9
a
D.
3
6
9
a
Hướng dẫn giải:
Gọi H,I lần lượt là trung điểm AB và .CD
Do tam giác SAB cân tại S nên: SH AB mà (SAB) (ABCD) do đó:
SH (ABCD) ,I SH CD H CD . Do đó: (SHI)CD , kẻ ,CD HK SI HK
Do đó ta có: ( ) (h,(SCD)) d(AB,(SCD)) a HK SCD HK d
0
I
CD ( ) SI (SCD),(ABCD) , 60
(SCD) (ABCD)
H CD
SHI CD HI SI SHI
CD
Trong tam giác HKI có
0
2
sin60
3
HK a
HI BC
Trong tam giác HIS có
0
.tan60 2 SH HI a
. Diện tích ABCD là:
2
2
4
3
ABCD
a
S BC
Thể tích của S.ABCD là:
3
.
1 8
. .
3 9
S ABCD ABCD
a
V SH S
Chọn đáp án A.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA =
a, 3SB a và mặt bên (SAB) vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AB, BC. Khi đó thể tích của khối chóp S.MBND là:
A.
3
3
3
a
B.
3
3a
C.
3
3
6
a
D.
3
6a
Hướng dẫn giải:
Gọi là chiều cao khối chóp.Vì tam giác SAB vuông tại S
3
2
a
h
Diện tích tứ giác BMDN là:
2
2 2
BMDN ABCD NCD
S S S a
Chọn đáp án A.
Câu 9: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh
,a
tam giác BCD vuông cân tại D và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với
.ABC Tính thể tích V của khối tứ diện .ABCD
A.
3
3
.
6
a
V B.
3
.
12
a
V C.
3
3
.
8
a
V D.
3
3
.
24
a
V
Hướng dẫn giải:
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
D
ự
ng
,
AH BC
do
. ABC BCD AH BCD
Ta có, do ABC đều
3
2
a
AH và
2
1
. .
2 4
BCD
a
S DH BC
Vậy
3
1 3
. .
3 24
ABCD BCD
a
V AH S
Chọn đáp án D.
Câu 10: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh
,a
mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với
.ABCD Tính thể tích V của khối chóp . .S ABCD
A.
3
3
.
6
a
V B.
3
.
12
a
V C.
3
3
.
8
a
V D.
3
3
.
24
a
V
Hướng dẫn giải:
D
ự
ng
,
SH AB
do
. SAB ABCD SH ABCD
Ta có, do SAB đều
3
2
a
SH và
2
.
ABCD
S a
Vậy
3
.
1 3
. .
3 6
S ABCD ABCD
a
V SH S
Chọn đáp án A.
Câu 11: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh
,a
mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng
vuông góc với
0
, 30 , 2 .
ABCD SAB SA a
Tính thể tích V của khối chóp . .S ABCD
A.
3
3
.
6
a
V B.
3
.
3
a
V C.
3
.
9
a
V D.
3
.V a
Hướng dẫn giải:
D
ự
ng
,
SH AB
do
. SAB ABCD SH ABCD
Ta có, do SHA vuông tại H :
sin .sin
SH
SAH SH SA SAH a
SA
và
2
.
ABCD
S a
Vậy
3
.
1
. .
3 3
S ABCD ABCD
a
V SH S
Chọn đáp án B.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 12: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh
,a
tam giác BCD cân tại D và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với
.ABC Biết AD hợp với mặt phẳng
ABC một góc
0
60 .
Tính thể tích V
của khối tứ diện .ABCD
A.
3
3
.
6
a
V B.
3
.
12
a
V C.
3
3
.
8
a
V D.
3
3
.
24
a
V
Hướng dẫn giải:
D
ự
ng
,
AH BC
do
. ABC BCD AH BCD
Ta có, do ABC đều
3
2
a
AH và
DH BC DH ABC
0
; 60 . AD ABC HAD
Xét tam giác AHD vuông tại
: tan
HD
H HAD
AH
3
.tan
2
a
HD AH HAD .
Vậy
3
1 3
. .
3 8
ABCD ABC
a
V HD S
Chọn đáp án C.
Câu 13: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh
,a
mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng
vuông góc với
0
, 60 , 2 . ABCD SAB SA a Tính thể tích V của khối chóp . .S ABCD
A.
3
3
.
3
a
V B.
3
.
3
a
V C.
3
2 3
.
3
a
V D.
3
.V a
Hướng dẫn giải:
D
ự
ng
,
SH AB
do
. SAB ABCD SH ABCD
Ta có, do SHA vuông tại H :
sin .sin 3.
SH
SAH SH SA SAH a
SA
và
2
.
ABCD
S a
Vậy
3
.
1 3
. .
3 3
S ABCD ABCD
a
V SH S
Chọn đáp án A.
Câu 14: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật , 2 2 , ABCD BC AB a tam giác SAC
nằm trong mặt phẳng vuông góc với
0
, 60 , 2 . ABCD SAB SA a Tính thể tích V của khối chóp
. .S ABCD
A.
3
3
.
3
a
V B.
3
.
3
a
V C.
3
2 3
.
3
a
V D.
3
.V a
Hướng dẫn giải:
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
D
ự
ng
,
SH AC
do
. SAC ABCD SH ABCD
Ta có, do SHA vuông tại H :
sin .sin 3.
SH
SAH SH SA SAH a
SA
và
2
2 .
ABCD
S a
Vậy
3
.
1 2 3
. .
3 3
S ABCD ABCD
a
V SH S
A.
3
.
12
a
V B.
3
.
4
a
V C.
3
2 3
.
3
a
V D.
3
.V a
Hướng dẫn giải:
D
ự
ng
,
SH AB
do
. SAB ABCD SH ABCD
Ta có, do SAB là tam giác đều nên
3
2
a
SH
nên BAD đều. Suy ra
2 2
3 3
2. .
4 2
ABCD
a a
S
Vậy
3
.
1
. .
3 4
S ABCD ABCD
a
V SH S
Chọn đáp án B.
A.
3
3
a
B.
3
4
a
C.
3
3
4
a
D.
3
3
3
a
3
1 1
. . 2a
3 2 2 4
a a
V a a
Chọn đáp án B.
Chọn đáp án C.
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh
a,
CA
D 30
0
, tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với
ABCD
, SA
B 60
0
, SA 2a. Tính thể tích V của khối chóp
S.ABCD.
. Do ABCD là hình thoi cạnh a và
CA
D 30
0
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD biết ABCD là một hình thang vuông ở A và D; AB = 2a;
AD DC a . Tam giác SAD vuông ở S. Gọi I là trung điểm AD. Biết (SIC) và (SIB) cùng vuông
góc với mp(ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Hướng dẫn giải:
Ta có (SIC) và (SIB) cùng vuông góc với (ABCD)
nên SI vuông góc với (ABCD)
Tam giác ASD vuông tại S nên SI =1/2 AD=a/2
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 17: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
cùng vuông góc với đáy, , 2 AB a AD a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng 2a
. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:
A.
3
4
3
a
B.
3
3a
C.
3
a
D.
3
2
3
a
Hướng dẫn giải:
gọi O là giao điểm của 2 đường chéo của đáy của hình chóp
Theo bài ra ta có
SAC ABCD
SBD ABCD
SO ABCD
SA SAC SBD
;
/ / , , , AB DC d AB SD d AB SCD d B SCD .
Ta có
,
2
,
d B SCD
DB
d O SCD DO
nên
2
,
2
a
d O SCD
Vì O là chân đường cao của hình chóp nên ta có cách dựng khoảng cách từ O đẻn mặt phẳng
SCD
như sau: Kẻ , OH CD OK SH thì ta có
2
,
2
a
OK d O SCD
Áp dụng hệ thực lượng vào tam giác SOH vuông tại O ta có
2 2 2
1 1 1
SO a
OK SO OH
Thể tích hình cần tính là
3
1 2
. .2
3 3
V a a a a
Chọn đáp án D.
Câu 18: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; biết 2 AB AD a ,
CD a . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm của AD, biết hai
mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối chóp
.S ABCD .
A.
3
3 5
8
a
B.
3
3 15
5
a
C.
3
3 15
8
a
D.
3
3 5
5
a
Hướng dẫn giải:
2 2
4 ; 2 4 2 5; 3 AM a BM a a a IM a
Ta có ~ KMI AMB
Như đã nhắc ở câu trước thì do hai mặt phẳng
(SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD) nên
SI
ABCD
nên SI là đường cao của S.ABCD.
Kẻ IK BC tại K. Khi đó ta chứng minh được
SKI
SBC
;
ABCD
60
0
. Ta vẽ hình phẳng
của mặt đáy. Ta có M AD BC ta chứng minh
được CD là đường tủng bình của tam giác ABM.
Khi đó
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
3 3
.2
2 5 5
IM IK a a
IK a
BM AB
a
,
0
3 3 3
.tan60 . 3
5 5
a a
SI IK
3
1 3 3 1 3 15
. . 2 .2
3 2 5
5
a a
V a a a
Chọn đáp án B.
Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo
2 3 , 2 AC a BD a
và
cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng
cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
3
4
a
, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
A.
3
3
3
a
B.
3
3
a
C.
3
7
3
a
D.
3
3a
Hướng dẫn giải:
+Từ giả thiết
2 3; 2 AC a BD a
và ,AC BD vuông
góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo. Ta
có tam giác ABO vuông tại O và 3AO a ; BO a ,
do đó
0
60ABD
Hay tam giác ABD đều.
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng
là
SO ABCD .
+Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của
AB, K là trung điểm của HB ta có DH AB và
3DH a ; / /OK DH và
1 3
2 2
a
OK DH
OK AB AB SOK .
+Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI SK ;
AB OI OI SAB , hay OI là khoảng cách
từ O đến mặt phẳng (SAB).
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao
2 2 2
1 1 1
2
a
SO
OI OK SO
Diện tích đáy:
2
4 2. . 2 3
ABCD ABO
S S OAOB a ;
Đường cao của hình chóp
2
a
SO . Thể tích khối chóp .S ABCD :
3
.
1 3
.
3 3
S ABCD ABCD
a
V S SO
Chọn đáp án A.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 53
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
HÌNH CHÓP KHÁC
Câu 1: Cho hình chóp tam giác có đường cao bằng 100 cm và các cạnh đáy bằng 20 cm, 21 cm, 29
cm. Thể tích của hình chóp đó bằng
A.
3
6000cm B.
3
6213cm C.
3
7000cm D.
3
7000 2 cm
.
Hướng dẫn giải:
Nửa chu vi của tam giác đáy là
20 21 29
35
2
P
Áp dụng công thức Hê-rông ta có diện tích đáy là
35 35 20 35 21 35 29 210 B
.
Thể tích khối chóp cần tìm là
3
1 1
. .210.100 7000
3 3
V B h cm .
Chọn đáp án C.
Câu 2: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 48, đáy ABCD hình thoi. Các điểm M, N, P, Q lần lượt
thuộc SA, SB, SC, SD thỏa: SA = 2SM, SB = 3SN, SC = 4SP, SD = 5SQ. Thể tích khối chóp S.MNPQ
là
A.
2
.
5
B.
4
.
5
C.
6
.
5
D.
8
.
5
Hướng dẫn giải:
1
24
SMNP SABC
V V ,
1
40
SMPQ SACD
V V
1 1 8
.24 .24
24 40 5
SMNPQ
V .
Chọn đáp án D.
Câu 3: Cho hình chóp tam giác .S ABC có 60 , 90 ,
o o
ASB CSB CSA 2 SA SB SC a . Tính
thể tích khối chóp .S ABC
A.
3
6
3
a
B.
3
2 6
3
a
C.
3
2 2
3
a
D.
3
2
3
a
Hướng dẫn giải:
Ta có tam giác ABC vuông tại B, Hai tam giác SAB và SBC
đều. Vì 2 SA SB SC a . Hình chiếu của S trùng với tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC mà tam giác ABC vuông
tại B nên hình chiếu là trung điểm H của AB.
3
2
2 3
1 1 2 3
3, 2 . 2 . 3
2 3 2 3
a
a
SH a AB a V a a
Chọn đáp án C.
Câu 4: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB; AC; AD tạo với nhau góc 60
0
. Biết 2AB a ; 3AC a ;
4AD a . Tính thể tích .ABCD
A.
3
2
12
a
B.
3
2a C.
3
2 2a D.
3
4 2a
Hướng dẫn giải:
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 54
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Đây là một bài toán khá điển hình của hình học không gian. Mấu chốt của bài toán nằm ở việc lấy
thêm điểm để tính toán.
Lấy 3 điểm M, N, P lần lượt thuộc đoạn AB, AC, AD sao cho AM AN AP a . Suy ra tứ diện
AMNP là tứ diện đều có độ dài các cạnh là a. Đến đây bài toán trở về dạng đơn giản. Ta dễ dàng
tính được thể tích AMNP bằng
3
2
12
a
Lại có:
3
. . 2.3.4 24 24 2 2
ABCD
ABCD AMNP
AMNP
V AB AC AD
V V a
V AM AN AP
Chọn đáp án C.
Câu 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V. Lấy điểm A’ trên cạnh SA sao cho
1
'
3
SA SA . Mặt phẳng qua A’ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt
tại B’, C’, D’. Khi đó thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ bằng:
A.
3
V
B.
9
V
C.
27
V
D.
81
V
Hướng dẫn giải:
Gọi thể tích V
S.ABCD
=
1 1
. . .
3 2
a
a h h
Với S
đáy
=
1
.
2
a
a h h là chiều cao hính chóp S.ABCD
V
S.A’B’C’D’
=
'
1 1
. '. . '
3 2
a
a h h mà:
1
'
3
h h ,
1
'
3
a a ,
1
'
3
a a
h h
Nên V
S.A’B’C’D’
=
S.ABCD
V
27
Chọn đáp án C.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo
2 3 ; 2 AC a BD a
và
cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng
cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
3
4
a
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
A.
3
3a B.
3
3
a
C.
3
3
3
a
D.
3
2
2
a
Hướng dẫn giải:
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của
AB, K là trung điểm của HB ta có:
1 3
; 3; ;
2 2
( )
a
DH AB DH a OK DH OK DH
OK AB AB SOK
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có:
; ( ) OI SK AB OI OI SAB , hay OI là khoảng
cách từ O đến mặt phẳng (SAB).
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao
2 2 2
1 1 1
2
a
SO
OI OK SO
Diện tích đáy
2
4 2. . 2 3
ABCD ABO
S S OAOB a
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 55
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Đường cao của hình chóp AS
2
a
O
Thể tích khối chóp S.ABCD:
3
2
1 3
. .2 3
3 2 3
a a
V a
Chọn đáp án C.
Câu 7: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
,
17
2
a
SD , hình chiếu vuông góc
H
của
S
lên mặt
ABCD
là trung điểm của đoạn
AB
. Tính chiều cao của khối chóp .
H SBD
theo
a
.
A.
3
5
a
. B.
3
7
a
. C.
21
5
a
. D.
5
.
Hướng dẫn giải:
Ta có
SHD
vuông tại
H
2
2
2 2 2
17
3
2 2
a a
SH SD HD a a
.
Cách 1. Ta có
1 2
, ,
2 4
a
d H BD d A BD .
Chiều cao của chóp .
H SBD
là
2
2
2
2
2
. ,
,
,
2
3.
6.2 2 3
4
.
4.5 5
3
8
SH d H BD
d H SBD
SH d H BD
a
a
a a
a
a
a
Cách 2.
3
1 3
. .
3 3
ABCD
S ABCD SH S a
. . .
3
.
3
1 1 1
2 4
12
2
H SBD A SBD S ABC S ABCD
V V V V
a
.
Tam giác
SHB
vuông tại
H
2
2 2 2
13
3
4 2
a a
SB SH HB a .
Tam giác
SBD
có
13 17
; 2;
2 2
a a
SB BD a SD
2
5
4
SBD
a
S .
.
3 3
, .
5
S HBD
SBD
V a
d H SBD
S
Cách 3. Gọi
I
là trung điểm
BD
. Chọn hệ trục
Oxyz
với
; ; ; .
O H Ox HI Oy HB Oz HS
Ta có
0;0;0
H ;
0; ;0
2
a
B ;
0;0; 3
S a
;
;0;0
2
a
I
Vì
SBD SBI
2 2 3
: 1 2 2 0
3
3
x y z
SBD x y z a
a a
a
.
Suy ra
3
2.0 2.0 .0
3
3
, .
5
1
4 4
3
a
a
d H SBD
x
S
B
C
D
H
A
I
y
z
O
S
B
C
D
H
A
A
B
C
D
H
I
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 56
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn đáp án A.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, AB = a. Hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm đoạn .OA Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD)
bằng 60
0
. Tính thể tích V của hình chóp . .S ABCD
A.
3
3 3
4
a
V B.
3
3
8
a
V C.
3
3
4
a
V D.
3
3
12
a
V
Hướng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm
OA SH ABCD
Vẽ HE CD tại E / / HE AD
Vì (SCD) giao (ABCD) theo giao tuyến CD và
CD SHE nên góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc
0
60ABC
3 3
4 4
a
HE AD
0
3 3
.tan60
4
a
SH HE
3
.
1 3
.
3 4
S ABCD ABCD
a
V SH S
Chọn đáp án C.
Câu 9: Cho hình hình chóp S.ABCD có cạnh
3
4
SA , tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích
khối chóp . .S ABCD
A.
3 39
32
B.
39
96
C.
39
32
D.
39
16
Hướng dẫn giải:
Gọi , . O AC BD SO BD AO OB
Đặt 2AC x .
ta có
2 2 2 2 2 2 2
. SO SB OB AB OB OA x
Áp dụng CT đường trung tuyến:
2 2 2 2
2 2 2
9 /16 1 4 25
.
2 4 2 4 64
SA SC AC a
SO x x
2 2
5 5 39
, 2 2
8 4 4
x AC BD BO AB AO +)
2 2 2
25
16
AC SC AC SAC vuông tại S .
+) Kẻ
2 2
. 3
5
SA SC
SH AC SH
SA SC
.
Do , ( ) ( ). BD SO BD AC BD SAC AH ABCD
.
1 1 1 3 5 39 39
. .
3 2 6 5 4 4 32
S ABCD
V SH AC BD
Chọn đáp án C.
Câu 10: Cho tứ diện ABCD có ABC vuông tại .B , 2 , BA a BC a DBC đều. cho biết góc giữa 2
mặt phẳng (ABC) và (DBC) bằng 30
0
. Xét 2 câu:
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 57
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
H
B
D
C
A
S
(I) Kẻ
DH ABC
thì H là trung điểm cạnh
.
AC
(II)
3
3
6
ABCD
a
V
Hãy chọn câu đúng
A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) C. Cả 2 sai D. Cả 2 đúng
Hướng dẫn giải:
DH ABC
, kẻ
DE BC
EB EC
(do tam giác đều),
0
D 30
BC HE EH
Trong
2a 3 3 3a
: HE .
2 2 2
DHE
Gọi I là trung điểm của AC thì
2
a
IE HE IE
nên nói H là trung điểm của AC là sai: (I) sai
Trong
1 3
: . 3.
2 2
a
DHE DH a
3
D
1 1 3 3
. . .2a.
3 2 2 6
ABC
a a
V a (II) đúng
Chọn đáp án B.
Câu 11: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh bằng
1,
góc
60 .
ABC
Cạnh bên
2.
SD Hình chiếu vuông góc của
S
trên mặt phẳng
ABCD
là điểm
H
thuộc đoạn
BD
sao cho
3 .
HD HB
Tính thể tích khối chóp .
S ABCD
.
A.
5
24
V . B.
15
24
V . C.
15
8
V . D.
15
12
V .
Hướng dẫn giải:
Vì
60
ABC
nên tam giác
ABC
đều.
Suy ra
3
2
BO ;
2 3
BD BO ;
3 3 3
4 4
HD BD .
Trong tam giác vuông
SHD
, ta có
2 2
5
.
4
SH SD HD
Diện tích hình thoi
ABCD
là
3
2 .
2
ABCD ABC
S S
Vậy
.
1 15
.
3 24
S ABCD ABCD
V S SH (đvtt).
Chọn đáp án B.
Câu 12: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi tâm I có cạnh bằng a,
0
60
BAD
. Gọi H
là trung điểm của IB và SH vuông góc với
ABCD
. Góc giữa SC và
ABCD
bằng
0
45
. Tính thể tích
của khối chóp .
S AHCD
A.
3
35
32
a
B.
3
39
24
a
C.
3
39
32
a
D.
3
35
24
a
Hướng dẫn giải:
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 58
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta sẽ tư duy nhanh như sau: Nhìn vào hình thì dễ nhận ra
hai khối chóp S.ABCD và S.AHCD có chung chiều cao
nên ta chỉ cần so sánh 2 diện tích đáy. Dĩ nhiên ta thấy
3
2.
2 3 1 3
4
2. .
2 4 2 4
BCD
AHCD AHD
ABCD ABCD ABCD
S
S S
S S S
,
3
4
SAHCD SABCD
V V
Mặt khác ta có
0
60 BAD
tam giác ABD đều, nên
4
a
AB BD AD a IH . Khi đó
2
2
2 2
3 13
4 2 4
a a a
HC IH IC . Khi đó
13
4
a
SH HC (do
0
45SCH
nên tam giác SCH vuông cân tại H).
3
1 3 1 13 3 3 39
.SH.S . . . . .
3 4 3 4 2 4 32
SAHCD ABCD
a a a
V a
Chọn đáp án C.
Câu 13: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh
,a
hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng
ABC là trung điểm của BC và 2 .SB a Tính thể tích V của khối chóp . .S ABC
A.
3
3 5
.
8
a
V B.
3
3
.
24
a
V C.
3
5
.
8
a
V D.
3
3
.
12
a
V
Hướng dẫn giải:
Xét tam giác SBH vuông tại
2 2
15
:
2
a
H SH SB BH và
2
3
.
4
ABC
a
S
Vậy
3
.
1 5
. .
3 8
S ABC ABC
a
V SH S
Chọn đáp án C.
Câu 14: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh
,a
hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng
ABC là trung điểm của BC và SA hợp với đáy một góc
0
60 .
Tính thể tích V của khối chóp
. .S ABC
A.
3
3
.
8
a
V B.
3
3
.
24
a
V C.
3
5
.
8
a
V D.
3
3
.
12
a
V
Hướng dẫn giải:
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 59
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Do
0
; 60 .
SH ABC SA ABC SAH
Xét tam giác SAH vuông tại
3
: .tan
2
a
H SH AH SAH và
2
3
.
4
ABC
a
S
Vậy
3
.
1 3
. .
3 8
S ABC ABC
a
V SH S
Chọn đáp án A.
Câu 15: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh
,a
hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng
ABC là trung điểm của BC và SB hợp với đáy một góc
0
60 .
Tính thể tích V của khối chóp
. .S ABC
A.
3
3
.
8
a
V B.
3
3
.
24
a
V C.
3
.
8
a
V D.
3
3
.
12
a
V
Hướng dẫn giải:
Do
0
; 60 . SH ABC SB ABC SBH
Xét tam giác SBH vuông tại
3
: .tan
2
H SH BH SBH
và
2
3
.
4
ABC
a
S
Vậy
3
.
1
. .
3 8
S ABC ABC
a
V SH S
Chọn đáp án C.
Câu 16: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh
,a
hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng
ABC là trung điểm của BC và
SAB hợp với đáy một góc
0
45 .
Tính thể tích V của khối
chóp . .S ABC
A.
3
3
.
16
a
V B.
3
.
16
a
V C.
3
.
8
a
V D.
3
3
.
12
a
V
Hướng dẫn giải:
Do
HK AB AB SHK AB SK
0
; 45 . SAB ABC SKH
Gọi M là trung điểm
1 3
,
2 4
a
AB HK CM do
tam giác SHK vuông cân tại
3
4
a
H SH HK
và
2
3
.
4
ABC
a
S
Vậy
3
.
1
. .
3 16
S ABC ABC
a
V SH S
Chọn đáp án B.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 60
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 17: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh
,a
hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng
ABC là điểm H trên cạnh BC sao cho
2 ,

CH HB SB
hợp với đáy một góc
0
60 .
Tính thể
tích V của khối chóp . .S ABC
A.
3
.
12
a
V B.
3
.
6
a
V C.
3
.
4
a
V D.
3
3
.
12
a
V
Hướng dẫn giải:
Do
0
; 60 .
SH ABC SB ABC SBH
Xét tam giác SBH vuông tại
3
: .tan
3
a
H SH BH SBH
và
2
3
.
4
ABC
a
S
Vậy
3
.
1
. .
3 12
S ABC ABC
a
V SH S
Chọn đáp án A.
Câu 18: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh
,a
hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng
ABC là điểm H trên cạnh BC sao cho
2 ,
HC BH SA
hợp với đáy một góc
0
60 .
Tính thể
tích V của khối chóp . .S ABC
A.
3
.
12
a
V B.
3
7
.
12
a
V C.
3
.
4
a
V D.
3
3
.
8
a
V
Hướng dẫn giải:
Do
0
; 60 . SH ABC SA ABC SAH
Xét tam giác :AHB
2
2 2 2
7
2 . .cos .
9
a
AH AB BH AB BH ABH
7
.
3
a
AH
Xét tam giác SAH vuông tại
21
: .tan
3
a
H SH AH SBH và
2
3
.
4
ABC
a
S
Vậy
3
.
1 7
. .
3 12
S ABC ABC
a
V SH S
Chọn đáp án B.
Câu 19: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh
,a
hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng
ABC là điểm H trên cạnh BC sao cho
2 ,

HC BH
và tam giác SAH vuông cân. Tính thể
tích V của khối chóp . .S ABC
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 61
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
21
.
36
a
V B.
3
7
.
12
a
V C.
3
.
4
a
V D.
3
3
.
8
a
V
Hướng dẫn giải:
Do
0
; 60 . SH ABC SA ABC SAH
Xét tam giác :AHB
2
2 2 2
7
2 . .cos .
9
a
AH AB BH AB BH ABH
7
.
3
a
AH
Do tam giác SAH vuông cân tại H nên SH AH và
2
3
.
4
ABC
a
S
Vậy
3
.
1 21
. .
3 36
S ABC ABC
a
V SH S
Chọn đáp án A.
Câu 20: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh
,a
hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng
ABC là điểm H trên cạnh BC sao cho
2 ,
HC BH SAB
hợp với đáy một góc
0
60 .
Tính
thể tích V của khối chóp . .S ABC
A.
3
3
.
24
a
V B.
3
3
.
12
a
V C.
3
3
.
4
a
V D.
3
3
.
6
a
V
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm .AB Dựng
/ / HK AB HK CM và
1 3
.
3 6
a
HK CM Ta có
AB SHK AB SK
0
; 60 . SAB ABC SKH
Xét tam giác SKH vuông tại
: .tan
2
a
H SH KH SKH và
2
3
.
4
ABC
a
S
Vậy
3
.
1 3
. .
3 24
S ABC ABC
a
V SH S
Chọn đáp án A.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 62
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 21: Cho hình chóp .S ABC có các cạnh
1, 2, 3, 3, 7 SA SB SC AB BC CA
. Tính thể
tích V khối chóp .S ABC .
A.
2
4
V B.
3
2
V C.
2
2
V D.
3
4
V
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng : Phương án C
Lời giải:
+
2 2 2
0
1 4 3 1
cos 60
2 . 2.1.2 2
SA SB AB
ASB ASB
SA SB
+
2 2 2
0
4 9 7 1
cos 60
2 . 2.2.3 2
SB SC BC
BSC BSC
SB SC
+
2 2 2
0
9 1 7 1
cos 60
2 . 2.3.1 2
SC SA CA
CSA CSA
SC SA
+ Trên SB lấy trung điểm D và trên SC lấy E sao cho
1
3
SE SC .
+ Khi đó SADE là tứ diện đều cạnh bằng 1 cho nên thể tích của nó là
2
12
SADE
V
+ Mặt khác,
1 2
.
6 2
SADE
V SD SE
V
V SB SC
Chọn đáp án C.
Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên
mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB = 2HA. Cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy
(ABCD) một góc bằng . Khoảng cách từ trung điểm K của HC đến mặt phẳng (SCD) là:
A.
13
2
a
B.
13
4
a
C.
13a
D.
13
8
a
Hướng dẫn giải:
0
, , 60
SC ABCD SC CH SCH
2 2 0
3
2
3
13 39
; .tan60
3 3
1 1 1 39 1 1 2 39
. ( ) . . .
3 3 3 3 2 3 2 3 18
1 1 39
2 2 36
SHDC HDC ABCD AHD BHC
CKSD
CKSD CHSD
CHSD
a a
HC BH BC SH HC
a a a a
V SH S SH S S S a a a
V a
V V
V
Tính độ dài các cạnh SD, SC. Khi đó:
2
,
2 3 3 13
3 8
KSDC
SDC
K SDC
SDC
a V a
S d
S
Chọn đáp án D.
Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB là tam giác cân tại
0
60
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 63
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
đỉnh S. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng
0
45
, góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt
phẳng đáy bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng
CD và SA bằng 6a .
A.
3
8 3
3
a
B.
3
4 3
3
a
C.
3
2 3
3
a
D.
3
3
3
a
Hướng dẫn giải:
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lờn mặt đáy, M là trung điểm AB và do tam giác SAB cân
tại S nên SM vuông góc với AB và kết hợp với SH vuông góc với đáy suy ra AB vuông góc với mặt
phẳng SMN nên theo giả thiết ta được:
0
,( ) 45 2 SA ABCD SAH SA SH
+
0
( ), , 60
2
.
3
SAB ABCD SM MH SMH
SM SH
+ Từ điểm N kẻ NP vuông góc với SM thì dễ thấy NP là
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD suy ra
6NP a . Ta có
2
. . . 6. 2 2 3
3
SH MN NP SM SH AB a SH AB a SH a
+ Trong tam giác SAM ta có
2
2 2 2 2 2
4
2 2 3
3
SH
SA AM SM SH a SH a
2 3
.
1 3.8 8 3
.
3 3 3
S ABCD ABCD
a a a
V SH S
A.
1
. .
3
IBD
V AC S B.
1
.
3
BDN
V AC S C.
1
.
3
BMN
V BD S D.
1
.
3
MBD
V BD S
Hướng dẫn giải:
;
1
;
d M IBD
IM
d N IBD IN
1
1 1
2
MIBD
MIBD NIBD MNBD
NIBD
V
V V V
V
Mặt khác
1 1
. . . . 2
3 3 2
MIBD IBD IBS
AC
V AO D S . Từ (1) và (2)
Chọn đáp án A.
Câu 24: Cho mặt phẳng
P
chứa hình vuông ABCD . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
P
tại A, lấy điểm M. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P tại C lấy điểm N (N cùng phía
với M so với mặt phẳng
P
). Gọi I là trung điểm của MN. Thể tích của tứ diện MNBD luôn có thể
tích được bằng công thức nào sau đây ?
Ta có hình vẽ sau:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra IO song song với
AM, suy ra IO vuông góc với mặt phẳng ABCD.
OI AC
Mà AC BD;OI và BD là 2 đường thẳng cát nhau cùng thuộc
mặt phẳng
IBD
. Khi đó AC
IBD
; hay AO
IBD
Ta có MN giao với
IBD
tại I
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 64
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
1
. . .
3
MNBD IBD
V AC S
Chọn đáp án A.
Câu 25: Cho khối chóp S.ABC có cạnh đáy 5 , 6 AB AC a BC a và các mặt bên tạo với đáy một
góc
0
60
. Hãy tính thể tích V của khối chóp đó?
A.
3
2 3V a B.
3
6 3V a C.
3
12 3V a D.
3
18 3V a
Hướng dẫn giải:
Kẻ
SO ABC và , ,OD OE OF lần lượt vuông góc với
, ,BC AC AB . Theo định lí ba đường vuông góc ta có
, , SD BC SE AC SF AB (như hình vẽ).
Từ đó suy ra
0
60 ABC ABC ABC
. Do đó các tam giác vuông
, ,SDO SEO SFO bằng nhau. Từ đó suy ra OD OE OF . Vậy O
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Vì tam giác ABC cân tại
A nên OA vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường
trung tuyến. Suy ra , ,A O D thẳng hàng và D là trung điểm của BC.
Suy ra
2 2 2
16 4 AD AB BD a a .
Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp
của nó.
Khi đó
2
1
.6 .4 12 8
2
ABC
S a a a pr ar . Suy ra
3
2
r a
Do đó
0
3 3
.tan60
2
a
SO OD .Vậy
3
.
6 3
S ABC
V a .
Chọn đáp án B.
Câu 26: Cho hình chóp S.ABC, có tất cả các mặt bên tạo với đáy góc , hình chiếu của đỉnh thuộc
miền trong tam giác AB .C Biết 3 , 4 AB a BC a và 5AC a . Khi đó thể tích V của khối chóp BC
bằng bao nhiêu ?
A.
3
2 tan
V a
B.
3
2 cos
V a
C.
3
6 tan
V a
D.
3
6 cot
V a
Hướng dẫn giải:
Công thức cần dùng S=
2
.( )( )( ) . 6 p p a p p c p r ab
Hay 6a
2
=6a.r hay r=a( r :bán kính nội tiếp tam giác)
Chiều cao
.tan .tan r a
Vậy
2 3
1
. tan .6 2 .tan
3
V a a a
Chọn đáp án A.
Phân tích : đầu tiên cần xác định đường cao. Việc tưởng trừng như đơn gian nhưng nếu không tinh
ý nó lại trở nên khó khăn. Mấu chốt của bài toán chính la tất cả các mặt phẳng bên tạo với đáy 1 góc
Ta có bài toán phụ sau:
Nếu tất cả các mặt bên tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm nội tiếp mặt
đáy
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 65
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có 2 4 AC BD a , cạnh bên 5SA a ,
hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên (ABCD) là điểm H trên cạnh AC sao cho
4
AC
AH , M là hình
chiếu vuông góc của C trên SA. Tính thể tích của khối chóp SMBC theo a.
A.
3
4
15
a
B.
3
3
a
C.
3
2
3
a
D.
3
2a
Hướng dẫn giải:
2 2
3
. .
.
2
4 5
.sin .sin .
5
4
5 5
. . 4
5 10 60 15
SAC
SMC
B SAC S ABCD
B SMC
SH SA AH a
AH a
AM AC MCA AC ASH AC
SA
AM S
S
AS
V V SH AC BD a
V
Chọn đáp án A.
Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều,
3 SC SD a . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Gọi I là trung điểm của AB;
J là trung điểm của CD. Gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD). Qua H kẻ đường thẳng song song với
AB, đường thẳng này cắt DA và CB kéo dài tại M,N. Các nhận định sau đây.
(1) Tam giác SIJ là tam giác có
SIJ
tù
(2)
6
sin
3
SIH
(3)
MSN
là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAD)
(4)
1
cos
3
MSN
Chọn đáp án đúng:
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta có IJ=a;
2
2 2 2
11
3
4 2
a a
SJ SC JC a
Áp dụng định lý cosin cho tam giác SIJ ta có
2 2
2
2 2 2
2
2
3 11
4 4
cos
2. .
3
2. .
2
3
0
3
3
a a
a
IJ IS SJ
SIJ
IJ IS
a
a
a
a
Suy ra, tam giác SIJ là tam giác có
SIJ
tù.
Từ giả thiết tam giác SAB đều và tam giác
SCD là cân đỉnh S, ta có H thuộc IJ và I nằm giữa HJ tức là tam giác vuông SHI có
0
90H
, góc I
nhọn và
3
cosI cos cos
2
SIH SIJ (
SIJ
và
SIH
kề bù)
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 66
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
6
sin
3
SIH
Từ giả thiết giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) là đường thẳng d qua S và song song với
AD.
Theo định lý ba đường vuông góc ta có
, ;
SN BC SM AD SM d SN d MSN
là góc
giữa hai mặt phẳng. (SBC) và (SAD), MN = AB = a
Xét tam giác HSM vuông tại H có :
2 2
2 2
2 2 3
,
2 2 4 4 2
a a a a a
SH HM SM SH HM SN
Theo định lý cosin cho tam giác SMN cân tại S có
2 2 2
2
2 2 2
2 2
3 3
1
4 4 2
cos
3 3
2 . 3
2.
4 2
a a a
a
SM SN MN
MSN
a a
SM SN
Chọn đáp án D.
Câu 29: Tính thể tích
V
của khối chóp .
S ABC
có độ dài các cạnh
5 ,
SA BC a
SB AC a
và
7 .
SC AB a
A.
3
35 2
.
2
V a
B.
3
35
.
2
V a
C.
3
2 95 .
V a
D.
3
2 105 .
V a
Hướng dẫn giải:
Qua các đỉnh của tam giác ABC, vẽ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng đôi một
cắt nhau tạo thành tam giác MNP như hình vẽ.
Dễ thấy tứ diện S.MNP là tứ diện vuông đỉnh S và
. .
1
4
S ABC S MNP
V V
Đặt , ,
x SM y SN z SP
, ta có:
2
2 2
2 2
2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
4 5
76
4 6 24
120
4 7
x y a
x a
y z a y a
z a
z x a
3
. .
1 1
2 95
4 24
S ABC S MNP
V V xyz a
Chọn đáp án C.
S
M
N
P
B
C
A
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 67
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
TỈ SỐ THỂ TÍCH
A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT
* Cho khối chóp S.ABC, A'
SA, B'
SB, C'
SC
* M
SC, ta có:
B - BÀI TẬP
Câu 1: Hình chóp S.ABC có A’B’C’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC; tỷ số thể tích của hai khối
chóp SA’B’C’ và SABC là:
A.
1
4
B.
1
6
C.
1
10
D.
1
8
Hướng dẫn giải:
Sử dụng công thức
. ' ' '
.
' ' ' 1
. .
8
S A B C
S ABC
V SA SB SC
V SA SB SC
.
Chọn đáp án D.
Câu 2: Cho hàm số S.ABC. Trên 3 cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A', B', C' sao cho
1
'
2
SA SA
;
1 1
' ; '
2 2
SB SB SC SC
. Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCD và S'.A'B'C'. Khi
đó tỷ số
'
V
V
là:
A.
1
8
B.
1
12
C.
1
6
D.
1
16
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích ta có
' ' ' ' 1 1 1 1
. . . .
2 2 3 12
V SA SB SC
V SA SB SC
Chọn đáp án B.
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều
. .
S ABCD
Gọi A', B', C', D' theo thứ tự là trung điểm của AB, BC,
CD,
.
DA
Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C'D' và S.ABCD bằng ?
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.
1
8
SABC
SA'B'C'
V
SA.SB.SC
V SA'.SB'.SC'
SABC
SA'B'C'
V
SA.SB.SM SM
V SA.SB.SC SC
C
B
A
S
A'
B'
C'
A
C
B
S
M
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 68
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải:
Ta thấy 2 hình chóp S.ABCD và S.A'B'C'D'. Có chung chiều cao kẻ từ
đỉnh S xuống đáy. Vậy để đi tìm tỉ số khoảng cách thì chúng ta chỉ cần
tìm tỉ số diện tích 2 đáy mà ta có hình vẽ như sau:
Ta thấy
2
2
'B'C'D'
2 1
' '.A'B'
2 2 2
A ABCD
a a
S A D S
' ' ' '
1
2
A B C D
ABCD
V
V
Chọn đáp án A.
Câu 4: Hình chóp SABC có M, N, P theo thứ tự là trung điểm , , .SA SB SC Đặt
MNPABC
SABC
V
k
V
. Khi đó
giá trị của k là
A.
8
7
B.
7
8
C. 8 D.
1
8
Hướng dẫn giải:
Ta có
1 1 1 1
. . . .
2 2 2 8
SMNP
SABC
V SM SN SP
V SA SB SC
7
1
8
MNPABC SABC SMNP SMNP
SABC SABC SABC
V V V V
V V V
Chọn đáp án B.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, M là trung
điểm
.SC
Mặt phẳng (P) qua AM và song song với BD cắt SB, SD lần
lượt tại P và Q.Khi đó tỉ số thể tích giữa khối SAPMQ và khối SABCD
bằng :
A.
2
9
B.
1
8
C.
1
3
D.
2
3
Hướng dẫn giải:
Vì mp song song với BD nên PQ song song với .BD Gọi O là tâmhình bình hành .ABCD
Suy luận được SO,AM, PQ đồng qui tại G và G là trọng tâm tam giác .SAC
Suy luận được tỉ số=
2
3
SQ SP
SD SB
;
Chứng minh được tỉ số thể tích :
1
3
SAQM
SAPM
SADC SABC
V
V
V V
;
Suy ra được:
1 1
3 3
SAQM SAPM SAPMQ
SADC SABC SABCD
V V V
V V V
Chọn đáp án C.
Câu 6: Cho hình chóp . ,S ABC M là trung điểm của SB, điểm N thuộc SC thỏa 2 .SN NC Tỉ số
.
.
S AMN
S ABC
V
V
A.
1
6
B.
1
5
C.
1
4
D.
1
3
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
.
.
1 1 1
. .
2 3 6
S AMN
S ABC
V SM SN
V SB SC
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 69
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 7: Cho khối tứ diện OABC với , ,OA OB OC vuông góc từng đôi một và
, 2 , 3 . OA a OB a OC a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh , .AC BC Thể tích của khối
tứ diện OCMN tính theo a bằng:
A.
3
2
3
a
B.
3
a
C.
3
3
4
a
D.
3
4
a
Hướng dẫn giải:
1
.
4
COMN
COAB
V CM CN
V CA CB
3
1 1 1 1
. . . .
4 4 3 2 4
COMN COAB
a
V V OB OC OA (dvtt)
Chọn đáp án D.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48 và ABCD là hình thoi. Các điểm M, N, P, Q lần
lượt là các điểm trên các đoạn SA, SB, SC, SD thỏa mãn: 2 , 3 ; SA SM SB SN 4 ; 5 SC SP SD SQ .
Tính thể tích khối chóp S.MNPQ
A.
2
5
B.
4
5
C.
6
5
D.
8
5
Hướng dẫn giải:
Lưu ý công thức tỉ lệ thể tích chỉ dùng cho chóp tam giác chung đỉnh và tương ứng tỉ lệ cạnh. Ta có:
. . . .
SMQP
SMNP
SABC SADC
V
V SM SN SP SM SQ SP
V V SA SB SC SA SD SC
1 1 1 1 1 1
. . . .
2 3 4 2 5 4
1 1 1 1 1 1 1 1
. . . . .
2 2 2 3 4 2 5 4
SMNPQ SMQP
SMNP
SABCD SABC SADC
V V
V
V V V
3 8
1
5 5
SMNPQ
V
Chọn đáp án D.
Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông cân ở B,
2, AC a SA a
và
SA ABC .
Gọi G là trọng tâm của SBC , một mặt phẳng
đi qua AG và song song vsơi BC cắt SC, SB lần
lượt tại M, N. Thể tích khối chóp S.AMN bằng
A.
3
4
27
a
B.
3
4
9
a
C.
3
4
27
a
D.
3
2
27
a
Hướng dẫn giải:
Tam giác ABC vuông tại 2B AC AB AB BC a
Gọi I là trung điểm BC, G là trọng tâm của tam giác SBC
Nên
2
3
SG
SI
mà MN song song với BC suy ra
2
3
SM SN SG
SC SB SI
Do đó
.
. .
.
4 4
.
9 9
S AMN
S AMN S ACB
S ACB
V SM SN
V V
V SC SB
Mặt khác
3
2
.
1 1 1
. . . . .
3 3 2 6
S ABC ABC
a
V SA S a a
Suy ra
3 3
. .
4 4 2
.
9 9 6 27
S AMN S ACB
a a
V V .
Chọn đáp án D.
Câu 10: Cho khối chóp . .S ABC Lấy A', B' lần lượt thuộc SA, SB sao cho 2 ' 3 ' ; 3 ' ' . SA A A SB B B
Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp . ' 'S A B C và .S ABC là:
A.
3
20
B.
2
15
C.
1
6
D.
3
10
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 70
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải:
36.
3
5
.
1
4
=
3
20
.
Chọn đáp án A.
Câu 11: Hình chop SACB có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a, 2AC a , AB=3a. Gọi M,N
là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và .SC Đặt
SAMN
SABC
V
k
V
, khi đó giá trị của k là
A.
1
30
B.
1
3
C.
1
30
D.
1
2
Hướng dẫn giải:
Ta có .
SM SN
k
SB SC
SAC vuông tại A, có AN SC tại N nên
2
2
2
2
.
1 1
2 3
.
SN SC SA
SN SA SN
CN CA SC
CN CS CA
Tương tự
2
2
1 1
9 10
SM SA SM
BM AB SB
1 1 1
.
3 10 30
k
Chọn đáp án C.
Câu 12: Cho tứ diện ABCD có các cạnh , , BA BC BD đôi một vuông góc với nhau
3 , 2 . BA a BC BD a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính thể tích khối chóp
.C BDNM
A.
3
8V a
B.
3
2
3
a
V C.
3
3
2
a
V D.
3
V a
Hướng dẫn giải:
3
3
3
1 1 1
. 3 . 2 .2 2
3 3 2
1 1 1
. .
4 4 2
3
2
ABDC BCD
AMNC
AMNC ABDC
ABDC
BDNM ABDC AMNC
V AB S a a a a
V AM AN AC
V V a
V AB AD AC
a
V V V
Chọn đáp án C.
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SB và G là trọng
tâm của tam giác SBC. Gọi V, V’ lần lượt là thể tích của các khối chóp M.ABC và G.ABD, tính tỉ số
'
V
V
A.
3
' 2
V
V
B.
4
' 3
V
V
C.
5
' 3
V
V
D. 2
'
V
V
Hướng dẫn giải:
Vì các tam giác ABC và ABD có cùng diện tích nên
,
3
' , 2
d M ABCD
V MC
V d G ABCD GC
Chọn đáp án A.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 71
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 14: Cho khối chóp S.ABC. Trên các đoạn SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C’ sao cho
1 1 1
' ; ' ; '
2 3 4
SA SA SB SB SC SC . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C' và S.ABC bằng:
A.
1
2
B.
1
6
C.
1
12
D.
1
24
Hướng dẫn giải:
Ta có:
. ' ' '
.
' ' ' 1 1 1 1
. . . .
2 3 4 24
S A B C
S ABC
V SA SB SC
V SA SB SC
A.
. .
14
27
S CDMN S ABCD
V V B.
. .
4
27
S CDMN S ABCD
V V
C.
.
.
10
27
S ABCD
S CDMN
V
V D.
.
.
2
S ABCD
S CDMN
V
V
Hướng dẫn giải:
Đặt
.
S ABCD
V V , ta có:
S.CDA S.ABCD S.ABC S.ABCD
1 1
V V ;V V
3 3
Mặt phẳng (P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB
cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N. Khi đó MN AB và
SM SN 2
SA SB 3
Ta có:
.
. .
.
2
.
. .
.
2 2 2
. .
3 3 9
2 4 8
. .
3 9 27
S CDM
S CDM S CDA
S CDA
S MNC
S MNC S ABC
S ABC
V SC SD SM
V V V
V SC SD SA
V SM SN SC
V V V
V SA SB SC
Bởi vậy:
. . .
2 8 14
9 27 27
S CDMN S CDM S MNC
V V V V V V
Chọn đáp án A.
Câu 16: Cho tứ diện .ABCD Gọi B’ và C’ lần lượt thuộc các cạnh AB và AC thỏa 3 ' AB AB và
3 ' AC AC . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối tứ diện
' '
AB C D
ABCD
V
k
V
bằng:
A.
1
3
k B. 9k C.
1
6
k D.
1
9
k
Hướng dẫn giải:
Áp dụng bài toán tỉ số thể tích
1
9
k
Chọn đáp án D.
Câu 17: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M,N,P tương ứng là trung điểm của SA,BC và AB. Mặt phẳng
(MNP) chia khối chóp thành 2 phần. Gọi V1 là thể tích của phần chứa đỉnh S, V2 là thể tích của phần
còn lại. Tính tỉ số
1
2
V
V
Chọn đáp án D.
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. SA vuông góc với mặt đáy
(ABCD);AB 2a,AD CD a. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy (ABCD) là
60
o
. Mặt phẳng
(P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích
khối chóp S.CDMN theo thể tích khối chóp S.ABCD.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 72
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A. 2 B. 1 C.
1
3
D.
1
2
Hướng dẫn giải:
Do (MNP) và (SAC) có M là điểm chung và AC//PN
Từ M kẻ MQ//AC( Q SC )=> (MNP) cắt SC tại Q
Ta có:
1 2
SABC SMPBNQ AMQCNP
V V
V V V
)V
AMQCNP MAPN MANC MQCN
V V V
1 1 1 1
( ;( )). . ( ;( )). .
2 4 2 2
1 1
(A;(SBC)). .
2 4
ABC ABC
SBC
d S ABC S d S ABC S
d S
1
2
1 1 1 1 1
( )V 1
8 4 8 2 2
 
SABC SABC SMPBNQ SABC
V
V V V
V
Chọn đáp án B.
Câu 18: Cho khối chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình
hành. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm cúa SA, SB. Tỉ số thể
tích
.
.
?
S CDMN
S CDAB
V
V
A.
1
2
B.
3
8
C.
5
8
D.
1
4
Hướng dẫn giải:
. . . . .
. . . . .
2 2
3
.
2 2 8
S CDMN S CDM S CMN S CDM S CMN
S CDAB S ACD S ABC S ACD S ABC
V V V V V
V V V V V
SM SM SN
SA SA SB
Chọn đáp án B.
Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC),
, 3,SA a AB a BC a
. Một mặt phẳng
qua A vuông góc SC tại H và cắt SB
tại K. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a.
A.
3
.AHK
3
20
S
a
V B.
3
.
3
30
S AHK
a
V C.
3
.
3
60
S AHK
a
V D.
3
.
3
90
S AHK
a
V
Hướng dẫn giải:
Ta có
AK SC AK
AK BC BC SAB
, suy ra
AK SBC AK SB
Vì SAB vuông cân tại A nên K là trung điểm của .SB Ta
có:
S
M
N
A
B
C
D
A
M
S
Q
C
B
P
N
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 73
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
.
. .
. . 2
S AHK
S ABC
V SA SK SH SH
V SA SB SC SC
. Ta có
2 2
2 AC AB BC a
2 2
5 SC AC SA a , khi đó
2
2 2
.SC 1
5
SH SH SA
SC SC SC
.
.
1
2 10
S AHK
S ABC
V SH
V SC
, lại có
3
.
1 1 3
. . .
3 2 6
S ABC
a
V SA AB BC
Vậy
3
.
3
60
S AHK
a
V
Chọn đáp án C.
Câu 20: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau;
AB = 3a , AC = 2a và AD = 2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên , .DB DC Tính thể tích V
của tứ diện .AHKD
A.
3
4 3
.
21
V a B.
3
4 3
.
7
V a C.
3
2 3
.
21
V a D.
3
2 3
.
7
V a
Hướng dẫn giải:
Ta có :
2
.
2 2 2
.
1 .D 1
. . . .
2 2
D AHK
D ABC
V SA SK DH DH B AD
V SA SC DB DB AD AB
2
2 2
1 4 2
.
2 4 3 7
a
a a
3
.
1 1 1 2 3
. 2 . 2 . 3
3 3 2 3
D ABC ABC
a
V DA S a a a
Suy ra
3
.
4 3
21
AHKD D AHK
a
V V .
Chọn đáp án A.
Câu 21: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V với đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung
điểm cạnh SC. Mặt phẳng qua AC’ và song song với BD cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại B’; D’. Khi
đó thể tích của khối chóp S.A’B’C’D’ bằng
A.
3
V
B.
2
3
V
C.
4
V
D.
2
V
Hướng dẫn giải:
Phân tích: Để giải quyết được bài toán này các em cần dựng được mặt phẳng đi qua AC’ và song song
với BD sau đó tìm giao điểm của nó với các cạnh SB, SD
Để dựng được mặt phẳng đi qua AC’ và song song với BD ta làm như sau:
Gọi O là giao điểm của AC và BD, gọi I là giao điểm của SO và AC’. Qua I kẻ B’D’ song song với
BD, khi đó ta có mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng (AD’C’B’).
Ta dễ dàng nhận thấy rằng I là trọng tâm của tam giác SAC nên
2
3
SI
SO
Theo định lí Ta lét ta có
' ' 2
3
SD SI SB
SD SO SB
Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích của khối chóp tam giác (tứ diện) ta có:
' '
' ' 2 1 1
. . 1. .
3 2 3
SAD C
SADC
V SA SD SC
V SA SD SC
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 74
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
' '
' ' 2 1 1
. . 1. .
3 2 3
SAB C
SABC
V SA SB SC
V SA SB SC
Mà
1
2
SADC SABC SABCD
V V V nên
' ' ' ' ' ' '
1 1
.2.
2 2 3
SAD C B SAD C SAB C SABCD
V
V V V V
Chọn đáp án A.
Câu 22: Cho tứ diện ABCD có
1, DA DA ABC . ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên 3
cạnh , , DA DB DC lấy điểm M, N, P mà
1 1 3
, ,
2 3 4
DM DN DP
DA DB DC
. Thể tích của tứ diện MNPD
bằng:
A.
3
12
V B.
2
12
V C.
3
V
96
D.
2
96
V
Hướng dẫn giải:
D
1 3 3
. .1
3 4 12
ABC
V
1 1 3 1
. . . .
2 3 4 8
DMNP
DABC
V DM DN DP
V DA DB DC
1 3 3
.
8 12 96
DMNP
V
Chọn đáp án C.
Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, M là trung điểm của .SC Mặt phẳng (P) qua AM và song
song với BD cắt SB, SD tại N, K. Tính tỉ số thể tích của khối S.ANMK và khối chóp S.ABCD
A.
1
2
B.
2
9
C.
1
3
D.
3
5
Hướng dẫn giải:
Trong mặt phẳng (SAC) gọi G là giao điểm của
AM và SO. Ta có G là trọng tâm tam giác .SAC
Trong mp(SBD) kẻ đường thẳng qua G song song
với BD cắt SB,SD tại N và K.
Gọi
. . .
S ANMK S ANM S AKM
V V V
Ta có :
.
.
2 1 1
. .
3 2 3
S ANM
S ABC
V SN SM
V SB SC
. . .
1 1
3 6
S ANM S ABC S ABCD
V V V
.
.
2 1 1
. .
3 2 3
S AKM
S ADC
V SK SM
V SD SC
1 1
3 6
SAKM SADC SABCD
V V V
. .
1
3
S ANMK S ABCD
V V
Chọn đáp án C.
Câu 24: Cho chóp tứ giác đều SABCD . Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt , , SB SC SD tại
’, ’, ’.B C D Biết rằng AB = a,
' 2
3
SB
SB
. Tính thể tích V của tứ diện SAB’C’D’
A.
3
7
2
V a B.
3
14V a
C.
3
28
3
V a D.
3
6
18
a
V
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 75
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn đáp án D.
Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hai mặt bên (SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng
0
45
. Gọi H và K lần lượt là
trung điểm của SC và SD. Thể tích của khối chóp S.AHK là:
A.
3
24
a
B.
3
12
a
C.
3
6
a
D.
3
a
Hướng dẫn giải:
Hướng dẫn: (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy
SA ABCD
0
, 45
SCD ABCD SDA SA AD a
2 3
.
1 1
.S .
3 3 2 6
S ACD SCD
a a
V SA a
3
.
. .
.
1 1
.
4 4 24
S AHK
S AHK S ACD
S ACD
V SH SK a
V V
V SC SD
Chọn đáp án A.
Câu 26: Cho khối chóp tứ giác .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm cạnh SC
và N là điểm thuộc cạnh SD sao cho 2SN ND. Tính tỉ số thể tích k giữa hai đa diện SABMN và
khối chóp . .S ABCD
A.
5
6
k B.
5
12
k C.
1
3
k D.
1
6
k
Hướng dẫn giải:
+ Do ABCD là hình bình hành nên
. . .
1
2
ABC ADC S ABC S ADC S ABCD
S S V V V
+ Ta có
. . .
. .
.
1 1
1
2 4
2
S ABM S ABM S ABM
S ABC S ABCD
S ABCD
V SM V V
V SC V
V
và
. . .
. .
.
2 1 1
. .
1
3 2 6
2
S ANM S ANM S ANM
S ADC S ABCD
S ABCD
V SN SM V V
V SD SC V
V
+ Suy ra
. . . .
. . . .
1 1 5 5
4 6 12 12
S ABM S ANM S ABM S ANM SABMN
S ABC S ADC S ABCD S ABCD
V V V V V
V V V V
+ Vậy
5
12
k .
Chọn đáp án B.
Câu 27: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ vì M là trung điểm của CC’. Gọi khối đa diện (H) là phần còn
lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp M.ABC. Tỷ số thể tích của (H) và khối
chóp M.ABC là:
A.
1
6
B. 6 C.
1
5
D. 5
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của CC’ . Theo bài ra ta có:
.ABC '
1
2
M C ABC
V V a
'
2
C ABC
V a
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 76
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta lại có
' ' ' '
1
2
2
C ABC AA B C
V V a nên ta có
' ' ' '
2.2 5
AA B C MABC
H V V a a a
Vậy
.
5
M ABC
H
V
Chọn đáp án D.
Câu 28: Cho hình hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D có thể tích là .V Gọi , ,M N Q lần lượt là trung điểm của
AD, DC và B’C’. Thể tích của khối tứ diện QBMN bằng:
A.
3
8
V
B.
8
3
V
C.
8
V
D.
4
V
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1
. ; . 1
3
QBMN BMN
V d Q BMN S . Rõ ràng ta nhận
thấy hình tứ diện QBMN và hình hộp ' ' ' 'ABCDA B C D có
chiều cao bằng nhau. Nên ta chỉ đi tìm tỉ lệ
BMN
ABCD
S
S
.
Ta có
ABCD DMN ABM BNC BMN
S S S S S
BMN ABCD DMN AMB BNC
S S S S S
Mặt khác ta có
1 1 1
. ;
2 2 4 8
DMN DMN
ABCD ADC
S S
S S
1 1 1
.
2 2 2 4
ABM ABM
ABCD ABD
S S
S S
Tương tự thì
1
4
BNC
ABCD
S
S
, khi đó
1 1 1
1
8 4 4
ABCD
SBMN S
3
2
8
BMN
ABCD
S
S
Từ (1) và (2) suy ra
1 3 1
.
3 8 8
QBMN
ABCD
V
8
QBMN
V
V
Chọn đáp án C.
Câu 29: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V. Lấy điểm A’ trên cạnh SA sao cho
1
'
3
SA SA . Mặt phẳng qua A’ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh , ,SB SC SD lần lượt
tại B’, C’, D’. Khi đó thể tích chóp S.A’B’C’D’ bằng?
A.
3
V
B.
9
V
C.
27
V
D.
81
V
Hướng dẫn giải:
Vì
' ' ' ' / / ' '/ / , ' '/ / , ' '/ /A B C D ABCD A B AB B C BC C D CD
Mà:
' 1 ' ' ' 1
3 3
SA SB SC SD
SA SB SC SD
. Gọi
1 2
,V V lần lượt là
. .
,
S ABC S ACD
V V
Ta có:
1 2
V V V
. ' ' ' 1
. ' ' '
.
' ' ' 1
. .
27 27
S A B C
S A B C
S ABC
V VSA SB SC
V
V SA SB SC
.
. ' ' ' 2
. ' ' '
.
' ' ' 1
. .
27 27
S A C D
S A C D
S ACD
V SA SC SD V
V
V SA SC SD
.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 77
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vậy
1 2
. ' ' ' . ' ' ' . ' ' '
27 27
S A BC D S A B C S A C D
V V V
V V V .
Chọn đáp án D.
Câu 30: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng (MB’D’) chia
khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
A.
5
12
B.
7
17
C.
7
24
D.
5
17
Hướng dẫn giải:
+ Lập thiết diện của khối hộp đi qua mặt phẳng
(MB’D’). Thiết diện chia khối hộp thành hai phần
trong đó có AMN.A’B’D’
+ Lấy N là trung điểm của AD → MN là đường trung
bình của tam giác ABD
MN / /BD và
1
MN .BD
2
=> MN / / B'D' và
1
MN .B'D'
2
=> M,N,B’,D’ đồng phẳng với nhau=> Thiết diện là
MNB’D’.
Nhận thấy AMN.A’B’D’ là hình đa diện được tách ra
từ K.A’B’D’ ( K là giao điểm của MB’,ND’ và AA’)
+ Áp dụng định lý Ta lét ta có :
KA KM KN MN 1
KA' KB' KD' B'D' 2
,
K.AMN
K.A 'B'D'
V
KA KM KN 1
. .
V KA' KB' KD' 8
AMN.A 'B'D' K.A'B'D'
7 7 1 1 7 1 1 7
V .V . . KA'.A'B'.A'D' . . .2AA'.A'B'.A'D'
8 8 3 2 8 3 2 24
.S
hình hộp
 Tỷ lệ giữa 2 phần đó là
7
17
Chọn đáp án B.
Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
các cạnh , .SA SD Mặt phẳng( ) chứa MN cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại Q, P. Đặt
SQ
x
SB
,
1
V là thể
tích của khối chóp . ,S MNQP V là thể tích của khối chóp . .S ABCD Tìm x để
1
1
2
V V .
A.
1 33
4
x B. 2x C.
1
2
x D.
1 41
4
x
Hướng dẫn giải:
(HS tự vẽ hình) Ta có
. .
2
S ABD S BCD
V
V V ,
1 . .
S MNQ S NPQ
V V V
+) Vì MN//BC nên PQ//BC
SP SQ
x
SC SB
+)
.
.
. .
4
S MNQ
S ABD
V
SM SN SQ x
V SA SD SB
. .
4 8
2
S MNQ S MNQ
V V
x x
V
V
;
.
2
.
1
. .
2
S NPQ
S BCD
V
SN SQ SP
x
V SD SB SC
2
.
4
S NPQ
V
x
V
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 78
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
+) Ta có:
2
. .
1
1 1 1
2 2 8 4 2
S MNQ S NPQ
V V
x x
V V
V
. Suy ra đáp án.
Câu 32: Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a;
;SA ABCD góc giữa hai mặt
phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 60
o
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của , .SB SC Thể tích của hình
chóp S.ADNM bằng:
A.
3
4 6
a
B.
3
3
8 2
a
C.
3
3 3
8 2
a
D.
3
6
8
a
Hướng dẫn giải:
- Diện tích đáy
-Tỉ số và tỉ số
-Vì nên
Chọn đáp án B.
Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của cạnh SC.
Mặt phẳng (P) qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. Gọi V, V’ lần lượt là thể tích các khối
S.ABCD và S.AMKN. Tỉ số
'V
V
có giá trị nhỏ nhất là:
A.
1
5
B.
3
8
C.
1
3
D.
1
2
Hướng dẫn giải:
Hs tự vẽ hình
Đặt
. .
; ' 1
4
S AMK S ANK
SM SN V
x y V V V x y
SB SD
Mặt khác
. .
3
' 2
4
S AMN S MNK
xy
V V V V
Từ (1) và (2) có: 3 x y xy
2
1 1 1
, 0 , 1 1 1
3 1 3 3 1 2 2
' 3 1
, 1
4 3 1 2
x SN x
y y x y x x
x SD x
V x
x
V x
Xét hàm số
2
3 1
1
4 3 1 2
x
f x x
x
. F(x) đạt GTNN bằng
1
3
Chọn đáp án C.
Câu 34: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng song song với đáy
cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi M’, N’, P’, Q’ lần lượt là hình chiếu của
M, N, P, Q trên mặt phẳng đáy. Tìm tỉ số SM: SA để thể tích khối đa diện MNPQ.M’N’P’Q’ đạt giá trị
lớn nhất.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 79
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
1
2
B.
2
3
C.
3
4
D.
1
3
Hướng dẫn giải:
+ Áp dụng định lý talet.
Đặt
SM
k
SA
. Áp dụng định lý Talet trong Tam giác SAD
có MN//AD
MN SM
k MN k.AD
AD SA
Áp dụng định lý Talet trong Tam giác SAB có MQ//AB
.AB
MQ SM
k MQ k
AB SA
. Kẻ đường cao SH của
hình chóp.
Áp dụng định lý Talet trong Tam giác SAH có MM’//SH
'
1 1 ' 1 .
MM AM SM
k MM k SH
SH SA SA
. ' ' ' '
. . ' D. . . 1 . . 1
MNPQ M N P Q hinh chop
V MN MQ MM A AB SH k k V k k
V min khi và chỉ khi
1
1
2
k k k
Chọn đáp án A.
Câu 35: Cho khối tứ diện có thể tích bằng V . Gọi V
là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các
trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số
V
V
.
A.
1
2
V
V
. B.
1
4
V
V
. C.
2
3
V
V
. D.
5
8
V
V
.
Hướng dẫn giải:
Ta có
. . . . . .
. .
1
A QEP B QMF C MNE D NPF A QEP B QMF
C MNE D NPF
V V V V V V V
V VV
V V V V V V
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 . . . . . . . .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
.
Chọn đáp án A.
HÌNH LĂNG TRỤ
Q
P
N
M
D
C
B
A
E
F
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 80
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
B
h
A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Th
ể
tích kh
ố
i lăng tr
ụ
:
V= B.h
với B là diện tích đáy, h là chiều cao
2) Th
ể
tích kh
ố
i h
ộ
p ch
ữ
nh
ậ
t
:
V = a.b.c
với a, b, c là ba kích thước
3) Thể tích khối lập phương:
V = a
3
với a là độ dài cạnh
B – BÀI TẬP
THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Câu 1: Thể tích (cm
3
) khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng 2 cm là:
A.
6
2
B.
3
2
C. 2 D.
2
2
Hướng dẫn giải:
Dễ dàng tính được V =
6
2
Chọn đáp án A
Câu 2: Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a là:
A.
3
2
3
a
B.
3
3
6
a
C.
3
3
2
a
D.
3
3
4
a
Hướng dẫn giải:
2 3
3 3
.AA' .2
4 2
ABC
a a
V S a nên chọn C.
Chọn đáp án C.
Câu 3: Cho lăng trụ đứng .
ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B. AB = 2a, BC = a,
2 3
AA a . Tính theo a thể tích khối lăng trụ .
ABC A B C .
A.
3
2 3
3
a
B.
3
3
3
a
C.
3
4 3a D.
3
2 3a
Hướng dẫn giải:
3
1
. ' 2 . .2 3 2 3
2
ABC
V S AA a a a a
Chọn đáp án D.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 81
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 4: Gọi V là thể tích của hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D .
1
V là thể tích của tứ diện 'A ABD .
Hệ thức nào sau đây là đúng ?
A.
1
6V V B.
1
4V V C.
1
3V V D.
1
2V V
Hướng dẫn giải:
Ta có hình vẽ sau:
Ta có . ';
ABCD
V S AA
1
1
. . '
3
ABD
V S AA
Mà
1
1 2. . '
6
1
2
. '
3
ABD
ABD ABCD
ABD
V S AA
S S
V
S AA
1
6 V V
Chú ý nhiều độc giả tư duy nhanh nên chỉ xét tỉ số giữa diện
tích đáy mà quên mất rằng với khối chóp thì còn tích với
1
3
nữa, và nhanh chóng chọn ý D là sai. Vì thế, nhanh nhưng cần phải chính xác bạn nhé.
Chọn đáp án A.
Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ bằng
2
2 2a . Thể tích
của khối lập phương ABCD.A'B'C'D' là:
A.
3
2 2a B.
3
2a
C.
3
2a D.
3
a
Hướng dẫn giải:
Để tính được thể tích của hình lập phương thì ta cần biết cạnh của hình lập phương đó, từ dữ liệu
diện tích mặt chéo A’ACC’ ta sẽ tính được cạnh của hình lập phương
Gọi cạnh của hình lập phương là x suy ra
' ' 2A C x . Diện tích mặt chéo A’ACC’ là
2
. 2 2 2 2 x x a x a . Thể tích hình lập phương
là
3 3
2 2 V x a
Chọn đáp án A.
Câu 6: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng
(A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 45
o
.Thể tích lăng tru là:
A.
3
2
2
a
B.
3
3
3
a
C.
3
3a D.
3
2a
Hướng dẫn giải:
-
0
45ABC
- 2 2 2 ' 2 AC AB a AB AB BC AA a
-
3
1
. . ' 2
2
V AB BC AA a
Chọn đáp án D.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 82
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 7: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm
của AA
1
. Thể tích khối chóp M.BCA
1
là:
A.
3
3
12
a
V B.
3
3
24
a
V C.
3
3
6
a
V D.
3
3
8
a
V
Hướng dẫn giải:
ABC là tam giác đều cạnh a nên có diện tích
2
3
4
ABC
a
S
Ta có
1
AA
2 2
a
AM
Hai tứ diện MABC và MA
1
BC có chung đỉnh C, diện tích hai đáy
MAB và MA
1
B bằng nhau nên có thể tích bằng nhau, suy ra
1
3
. .
1 3
.
3 24
M BCA M ABC ABC
a
V V AM S
Chọn đáp án B.
Câu 8: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’, cạnh đáy bằng a. Gọi N, I lần lượt là trung điểm của
AB, BC; góc giữa hai mặt phẳng (C’AI) và (ABC) bằng
60
o
. Tính theo a thể tích khối chóp NAC’I?
A.
3
32 3a B.
3
32
a
C.
3
3
32
a
D.
3
3
4
a
Hướng dẫn giải:
Ta có
' , 60
o
C AI ABC CIC
Mặt khác
' 3
tan ' ' .tan '
2
CC a
CIC CC CI CIC
CI
Ta có
2 2
1 1 3 3
.
4 4 4 16
ANI ABC
a a
S S
3 3
'.
1 1 3 3
'. . .
3 3 2 2 32
C NAI NAI
a a a
V CC S
Chọn đáp án B.
Câu 9: Cho lăng trụ đứng . ’ ’ ’ABC A B C có đáy là tam giác ABC vuông cân tại , , ’ B BA BC a A B
tạo với (ABC) một góc 60
0
. Thể tích của khối lăng trụ . ’ ’ ’ABC A B C là:
A.
3
3
2
a
B.
3
3
6
a
C.
3
3a D.
3
4
a
Hướng dẫn giải:
Góc giữa A”B và đáy là góc
. Vậy thể tích của lăng trụ là : .
Chọn đáp án A.
0
' 60 , ' 3
ABA AA a
2
2
ABC
a
S
3
3
. '
2
ABC
a
V S AA
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 83
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
B
C
B'
C'
M
A
A'
Câu 10: Cho hình lăng trụ đứng .
ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và
A BC
hợp với mặt đáy ABC một góc
0
30
. Tính thể tích khối lăng trụ .
ABC A B C là
A.
3
3
12
a
B.
3
3
24
a
C.
3
3
24
a
D.
3
5
24
a
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của cạnh .BC Ta có
SA ABC AM là hình
chiếu vuông góc của
A M trên
ABC , nên
,
A BC ABC bằng góc
0
30
A MA
Xét
A MA vuông tại A . Ta có
0
3
.tan .tan30
2 2
a a
A A AM A MA
2
1 3 3
. .
2 2 4
a a
S a
Vậy
2 3
.
1 1 3 3
. . . .
3 3 4 2 24
A ABC ABC
a a a
V S A A
Chọn đáp án B.
Câu 11: Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng
' 'AB C tạo với
mặt đáy góc
0
60
. Tính theo a thể tích lăng trụ . ' ' 'ABC A B C .
A.
3
3
2
a
V . B.
3
3 3
4
a
V . C.
3
3
8
a
V . D.
3
3 3
8
a
V .
Hướng dẫn giải:
3
'
2
a
A M ;
3
' ' .tan '
2
a
AA A M AMA .
Diện tích tam giác đều
2
' ' '
3
4
A B C
a
S .
Vậy
3
3 3
. '
8
ABC
a
V S AA (đvtt).
Chọn đáp án D.
Câu 12: Cho lăng trụ đứng ABC. A
/
B
/
C
/
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=3a, BC= , mặt
bên (A
/
BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc
0
60
. Tính thể tích khối lăng trụ.
A.
3
7 6
2
a
B.
3
6
2
a
C.
3
9 6
2
a
D.
3
6
6
a
Hướng dẫn giải:
2
a
Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên AA'
ABC
.
Gọi M là trung điểm B'C ', do tam giác A'B'C' đều
Nên suy ra A'M B'C '.
Khi đó 60
0
AB'C'
,
A'B'C'
AM,
A'M AM
A'.
Tam giác AA'M , có
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 84
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
1 1 3 2
. .3 . 2
2 2 2
ABC
a
S AB BC a a
Đường cao
/
AA tan60 3 3
o
AB a
Vậy
2 3
/
3 2 9 6
.AA .3 3
2 2
ABC
a a
V S a .
Chọn đáp án C.
Câu 13: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ,AC a
0
60ACB
. Đường chéo BC' của mặt bên (BB'C'C) tạo với mặt phẳng
' 'mp AA C C một góc 30
0
.
Tính thể tích của khối lăng trụ theo a là:
A.
3
4 6
3
V a B.
3
6V a C.
3
2 6
3
V a D.
3
6
3
V a
Hướng dẫn giải:
Tính được AB = a 3 ; S
ABC
=
2
3
2
a
; Góc AC’B = 30
0
nên AC’ = 3a.
Pitago cho tam giác vuông ACC’ tính được CC’ = 2a 2 . Từ đó
3
6V a .
Chọn đáp án B.
Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
0
, 60 AC a ACB . Đuòng chéo B’C của mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc
30
0
. Tính thể tích của khối lăng trụ theo a.
A.
3
15
3
a
B.
3
6a C.
3
15
12
a
D.
3
15
24
a
Hướng dẫn giải:
2 2
' 2 A C AC a
Vậy
2
3
3
'.S 2 2. 6
2
LT ABC
a
V AA a a
Chọn đáp án B.
Câu 15: Hình lập phương . ’ ’ ’ ’ABCD A B C D có độ dài đường chéo bằng a. Khi đó thể tích khối tứ diện
AA’B’C’ là.
A.
2
3 3
a
B.
3
18 3
a
C.
3
6 3
a
D.
2
18 3
a
Vì A'B'
ACC'
suy ra
B'
CA' 30
0
chính là góc tạo bởi
đường chéo BC’ của mặt bên (BB’C’C) và mặt phẳng
(AA’C’C). Trong tam giác ABC ta có AB ABsin60
0
a 3
2
Mà AB A'B' A'B' a 3
Trong tam giác vuông A’B’C’ ta có: A'C
A'B
0
3a .
tan30
Trong tam giác vuông A’AC ta có:
AA' 2
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 85
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải:
Gọi x là cạnh hình lập phương ta có
2 2 2
' ' ' ' AA A C AC
2 2 2
( 2) x x a
/ 3 x a
V=
3
3
' ' '
1 1
'
3 6
18 3
A B C
a
S AA x
Chọn đáp án B.
Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có , 2 , ' AB a BC a AA a . Lấy điểm M trên
cạnh AD sao cho 3AM MD . Tính thể tích khối chóp M.AB’C.
A.
3
. '
2
M AB C
a
V B.
3
. '
4
M AB C
a
V C.
3
. '
3
4
M AB C
a
V D.
3
. '
3
2
M AB C
a
V
Hướng dẫn giải:
Thể tích khối chóp M.AB’C bằng thể tích khối chóp B’.AMC
Ta có :
2
3 3
4 4
AMC ADC
a
S S
Do đó
3
. ' '.AMC
3
4
M AB C B
a
V V
Chọn đáp án C.
Câu 17: Khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng
3
a
. Tính độ dài của A’C.
A. ' 3A C a B. ' 2A C a C. ' A C a D. ' 2aA C
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2 2 2
' ' A C AB AD AA
Mà
3
', . . ' AB AD AA V AB AD AA a
, , ' AB a AD a AA a . Suy ra ' 3A C a
Chọn đáp án A.
Câu 18: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính thể tích V của hình lập phương biết rằng
khoảng cách từ trung điểm I của AB đến mặt phẳng A’B’CD bằng
2
a
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 86
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
3
a
V B.
3
V a
C.
3
2V a
D.
3
2V a
Hướng dẫn giải:
Gọi các điểm như hình vẽ bên trong đó 'IH I J . Đặt cạnh
AB x suy ra
2 2
x a
IH x a
. Vậy
3
V a
Chọn đáp án B.
Câu 19: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a. Khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng (A’BCD’) bằng
3
2
a
. Tính thể tích hình hộp theo a.
A.
3
V a
B.
3
21
7
a
V C.
3
3V a D.
3
3
3
a
V
Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu của A lên cạnh A’B
3
' '
2
a
AH A BCD AH
Gọi ' 0 AA x . Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao
trong tam giác AA’B:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 1
' 3
AH AA AB a x a
2 2
3 3 x a x a
3
. ' ' ' '
'. . 3. . 3
ABCD A B C D
V AA AB AD a a a a
Chọn đáp án C.
Câu 20: Người ta gọt một khối lập phương bằng gỗ để lấy khối tám mặt đều nội tiếp nó ( tức là khối
cố các đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương). Biết cạnh của khối lập phương bằng a. Hãy tính
thể tích của khối tám mặt đều đó:
A.
3
6
a
B.
3
12
a
C.
3
4
a
D.
3
8
a
Hướng dẫn giải:
Tính tính được cạnh của hình bát diện đều bằng
2
a
.
Thể tích hình bát diện đều có cạnh
2
a
là
3
3
2
2
3 6
a
a
V
nên
Nhận xét: Ta có công thức tính thể tích của hình bát diện đều
cạnh x là
3
2
3
x
V
Chọn đáp án A.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 87
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 21: Đường chéo của một hình hộp chữ nhật bằng d, góc giữa đường chéo và mặt đáy là , góc
nhọn giữa hai đường chéo của đáy bằng . Thể tích của hình hộp đó là:
A.
3 2
1
os sin sin
2
d c B.
3 2
1
os sin sin
3
d c
C.
3 2
sin os sin d c D.
3 2
1
sin os sin
2
d c
Hướng dẫn giải:
Tính được:
1
cos D= cos
2
BD d O d và DD' sin d
Tính được :
1
cos sin cos sin
2 2 2
HD d CD d
Tính được:
2 2
cos os
2
BC BD CD d c …
Chọn đáp án A.
Câu 22: Cho khối lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt
phẳng ( ' )A BC bằng
2
a
. Tính thể tích của khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C .
A.
3
2
16
a
B.
3
3 2
48
a
C.
3
3 2
12
a
D.
3
3 2
16
a
Hướng dẫn giải:
HS tự vẽ hình
Đặt chiều cao của lăng trụ là h và gọi M là trung điểm của BC thì ta có hệ thức
2 3
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 4 8 6 3 6 3 2
. .
, ' 3 3 4 4 4 16
a a a a
h V S h
d A A BC h AM h a a a
Chọn đáp án D.
Câu 23: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a, một mặt phẳng ( ) cắt các cạnh
AA’; BB’;CC’; DD’ lần lượt tại M, N,P,Q. Biết AM=
1
3
a , CP =
2
5
a . Thể tích khối đa diện
ABCD.MNPQ là:
A.
3
11
30
a B.
3
3
a
C.
3
2
3
a
D.
3
11
15
a
Hướng dẫn giải:
Tứ giác MNPQ là hình bình hành có tâm là I
thuộc đoạn OO’.
Ta có:
11
2 30 2
AM CP a
OI a
Gọi O
1
là điểm đối xứng O qua I thì :
OO
1
=2OI =
11
15
a < a. Vậy O
1
nằm trong đoạn OO’.
Vẽ mặt phẳng qua O
1
song song với (ABCD) cắt
các cạnh AA’; BB’;CC’; DD’ lần lượt tại
A
1
, B
1
,C
1
, D
1
. Khi đó I là tâm của hình hộp
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
M
N
P
Q
.
O
.
O’
.
I
.
O1
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 88
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ABCD.A B
1
C
1
D
1
. Vậy V(ABCD. MNPQ)=V( MNPQ.A
1
B
1
C
1
D
1
) =
2 3
1 1 1 1 1
1 1 11
( . )
2 2 30
V ABCD A B C D a OO a
Chọn đáp án A.
Câu 24: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,
0
60D
và SA vuông góc với
ABCD . Biết thể tích của khối chóp .S ABCD bằng
3
2
a
. Tính khoảng cách k từ A đến mặt phẳng
SBC .
A.
3
5
a
k
B.
3
5
k a
C.
2
5
a
k
D.
2
3
k a
Hướng dẫn giải:
Diện tích đáy
2
3
2
ABCD
a
S
3
2
3.
1 1
2
. . 3
3 3
3
2
a
V B h B SA SA a
a
1
BC AM
BC SAM
BC SA
2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 5
3 3 3
AH SA AM a a a
2
2
3 3
5 5
a
AH AH k a
Chọn đáp án B.
3 . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của ,
A B A C . Tính tỉ số thể tích
A.
.
.
1
2
A AMN
A ABC
V
.
.
1
3
A AMN
A ABC
V
C.
.
.
1
4
A AMN
A ABC
V
V
D.
.
.
1
5
A AMN
A ABC
V
V
Hướng dẫn giải:
Ta có :
.
.
.
A AMN
A ABC
V A M A N
V A B A C
M là trung điểm của
A B
1
2
A M
A B
N là trung điểm của
A C
1
2
A N
A C
.
.
1 1 1
.
2 2 4
A AMN
A ABC
V
V
BC
SBC
2
Từ
1
và
2
SAM
SBC
SAM
SBC
SM . Kẻ AH SM AH d
A,
SBC
Xét SAM vuông tại A . Ta có
2
Câu 25: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
B
C
có đáy ABC là tam giác đều cạnh bàng a . Mặt bên
ABB
A
có diện tích bằng a
2
của hai khối chóp A
.AMN và A
.ABC .
V
B.
V
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 89
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn đáp án C.
Câu 26: Cho lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABCD A B C có tất cả các cạnh bằng a. M là trung điểm cạnh
.AB Mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với CB’, cắt các cạnh BC, CC’, AA’ lần lượt tại N, E, F.
Xác định N, E, F và tính thể tích khối chóp . .C MNEF
A.
3
7
128
a
B.
3
7 3
128
a
C.
3
21 3
128
a
D.
3
7
128 3
a
Hướng dẫn giải:
Xác định , , .N E D Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC, CC’. Khi đó mp ( ) 'AIJ B C . Suy ra mp
(P) qua M và song song mặt phẳng mp(AIJ). Do đó
, IJ;EF J MN AI NE A
Tính thể tích khối chóp C.MNEF. Thấy ngay ENC là góc giữa mặt
phẳng (P) và mp(ABC). Tứ giác MNCA là hình chiếu vuông góc
của tứ giác MNEF trên mp(ABC).
Suy ra
( )
( )
cos
dt MNCA
dt MNEF
ENC
Ta có
2
3
, ( )
4 4
a
ENC dt ABC
Suy ra:
2 2
2
3 3
( ) ( ) 7 6
4 32
( )
1
32
cos
4
2
a a
dt ABC dt BMN a
dt MNEF
Mặt khác
3 3 2
( , ( )) .
4 8
2
a a
d C mp MNFEF
Gọi V là thể tích khối chóp C.MNEF, ta có:
2 3
1 7 6 3 2 7 3
. .
3 32 8 128
a a a
V
Chọn đáp án B.
Câu 27: Cho hình hộp đứng . ’ ’ ’ ’ABCD A B C D có đáy là hình thoi diện tích S
1
, các tứ giác ACC’A’ và
BDD’B’ có diện tích lần lượt là S
2
, S
3
. Thể tích khối hộp . ’ ’ ’ ’ABCD A B C D tính theo S
1
, S
2
, S
3
là ?
A.
1 2 3
2
S S S
B.
1 2 3
2
3
S S S
C.
1 2 3
3
S S S
D.
1 2 3
2
S S S
Hướng dẫn giải:
Gọi đáy của hình hộp có độ dài 2 đường chéo là , AC a BD b và đường cao hình hộp là
’ ’ AA BB c
Suy ra được
1
1
2
S ab ;
2
.AA' S AC ac ;
2 2 2
3 1 2 3
. '
2
a b c
S BD BB bc S S S
Thể tích khối hộp là:
2 2 2
1 2 3
1
1 1
.
2 2 2
2
a b c S S S
V S c abc
Chọn đáp án A.
Câu 28: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông có thể tích là V. Để diện tích
toàn phần của lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ bằng:
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 90
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
2
V
B.
3
2
V C.
3
V D. V
Hướng dẫn giải:
Gọi ,x h lần lượt là cạnh đáy và chiều cao của lăng trụ. Có
2
2
V
V x h h
x
3
2 2 2 2 2
3
2 4 2 4 2 2.3 . . 6
tp
V V V V V
S x xh x x x V
x x x x x
Dấu “=” xảy ra
2
3
V
x x V
x
Chọn đáp án C.
Câu 29: Cho hình lập phương . ’ ’ ’ ’ABCD A B C D . Mặt phẳng (BDC’) chia khối lập phương thành 2
phần có tỉ lệ thể tích phần nhỏ so với phần lớn là :
A.
1
3
B.
1
6
C.
1
4
D.
2
10
Hướng dẫn giải:
Nhìn vào hình vẽ ta có thể thấy 2 phần của hình lập
phương . ’ ’ ’ ’ABCD A B C D chia bởi mặt phẳng
(BDC’) gồm hình chóp BCC’D và phần còn lại
Tỉ lệ cần tính sẽ là
'
. ' ' ' ' '
BCC D
ABCD A B C D BCC D
V
T
V V
Giả sử hình lập phương có cạnh là 1
3
. ' ' ' '
1 1
ABCD A B C D
V
Hình chóp BCC’D có đáy là tam giác vuông cân
DCC’, đỉnh B, đường cao BC
' '
1 1 1 1
. . .1.1.1.
3 3 2 6
BCC D DCC
V BC S ,
1
1 2
6
1
5 10
1
6
T
Chọn đáp án D.
Câu 30: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D . I là trung điểm BB’. Mặt phẳng (DIC’) chia khối lập
phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng:
A. 1:3 B. 7:17 C. 4:14 D. 1:2
Hướng dẫn giải:
Coi như khối lập phương có cạnh bằng 1.
Để giải bài toán này, ta phải xác định đúng thiết diện cắt bởi
mặt phẳng
'DIC
Lấy M là trung điểm AB thì IM là đường trung bình tam giác
ABB’ nên / / '/ / 'IM AB DC
Suy ra bốn điểm , , 'I M C D cùng thuộc một mặt phẳng
'C ID
Thiết diện cắt bởi mặt phẳng
'DIC là tứ giác 'C DMI
Phần có thể tích nhỏ hơn là khối đa diện 'C IBMDC
Để thuận tiện tính toán ta chia khối trên thành 2 phần là tứ diện
IMBD và hình chóp DIBCC’.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 91
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
1 1 1 1 1 1 1
. . . . . . . .1.
3 3 2 6 2 2 24
IMBD BDM
V IB S IB DA MB
. ' '
1 1 1 1 1 1 1
. . . . . ' . .1. . 1 .1.
3 3 2 2 2 2 4
D IBCC IBCC
V DC S DC IB CC BC
Suy ra thể tích khối có thể tích nhỏ hơn là
'
1 1 7
24 4 24
n IMBD DIBCC
V V V
Thể tích phần lớn hơn là
' ' ' '
7 17
1
24 24
l ABCDA B C D n
V V V
Vậy tỉ lệ cần tìm là : 7 :17
n l
V V
Nhận xét: Đây là một bài toán khá khó đòi hỏi khả năng dựng hình và xác định điểm phù hợp của
thí sinh. Có một số bạn xác định đúng thiết diện nhưng gặp khó khăn trong việc tính thể tích các
phần vì chưa chia được khối thể tích thành các hình nhỏ hơn để tính cho phù hợp.
Chọn đáp án D.
Câu 31: Cho hình lập phương ABCD.A’B’CD’ cạnh a. Trên cạnh AA’ kéo dài về phía A’ lấy điểm M
trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho MN cắt cạnh C’D’ . Tính giá trị nhỏ nhất của MN?
A. 3a B. 2 2a C. 3 3a D. 2 3a
Hướng dẫn giải:
Lại có
' (0; ; ); ' (0; ; )
MD a a m NC a n a
Suy ra
a a m an
m
a n a n a
Có
2 2 2 2 2 2 2
MN AB BN AM a m n
2
2
2 2
2 2 2
2 2
an n an a
MN n a
n a n a
n an a
MN
n a
Xét hàm số
2 2
( )
n an a
f n
n a
trên
0;
Ta được MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3a khi 2n a
Chọn đáp án A.
Câu 32: Người ta muốn xây một bồn chứa nước dạng
khối hộp chữ nhật trong một phòng tắm. Biết chiều
dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó lần lượt là 5
m, 1m, 2m (hình vẽ bên). Biết mỗi viên gạch có chiều
dài 20 cm, chiều rộng 10 cm, chiều cao 5 cm. Hỏi
người ta sử dụng ít nhất bao nhiêu viên gạch để xây
bồn đó và thể tích thực của bồn chứa bao nhiêu lít
nước? (Giả sử lượng xi măng và cát không đáng kể )
Đây là một bài toán sử dụng phương pháp tọa độ hóa. Đối với việc tọa độ hóa. Đối với việc tọa độ
hóa này việc quan trọng nhất đó là sự cẩn thận và chính xác.
Trọn hệ trục tọa độ Axyz với A(0;0;0);B(a;0;0); A'(0;0;a);D(0;a;0).
Gọi M (0;0;m) và N(a;n;0) . Ta có (ADD'A') / /(BCC 'C ')
MD'NC
cắt
ADD' A'
theo giao tuyến MD' và cắt
(BCC 'B') theo giao tuyến CN do đó MD'/ /CN
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 92
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A. 1182 viên; 8800 lít B. 1180 viên; 8820 lít
C. 1180 viên; 8800 lít D. 1182 viên; 8820 lít
Hướng dẫn giải:
Gọi V là thể tích của hình hộp chữ nhật, có
3
5.1.2 10 V m
Ta có
3
0,1.4,9.2 0,98m
H
V và
3
'
0,1.1.2 0,2
H
V m
Do đó
3
'
0,98 0,2 1,18
H H
V V m . Mà thể tích của một viên gạch là
3
0,2.0,1.0,05 0,001m
G
V .
Nên số viên gạch cần sử dụng là:
'
1,18
1180
0,001
H H
G
V V
V
viên gạch.
Thể tích thực của bồn là
3 3
10 1,18 8,82 8820 8820
B B
V m V dm l .
Chọn đáp án B.
Câu 33: Một người thợ nhôm kính nhận được đơn đặt hàng làm một
bể cá cảnh bằng kính dạng hình hộp chữ nhật không có nắp có thể
tích 3,2 m
3
; tỉ số giữa chiều cao của bể cá và chiều rộng của đáy bể
bằng 2 (hình dưới). Biết giá một mét vuông kính để làm thành và đáy
của bể cá là 800 nghìn đồng. Hỏi người thợ đó cần tối thiểu bao nhiêu
tiền để mua đủ số mét vuông kính làm bể cá theo yêu cầu (coi độ dày
của kính là không đáng kể so với kích thước của bể cá).
A. 9,6 triệu đồng B. 10,8 triệu đồng C. 8,4 triệu đồng D. 7,2 triệu đồng
Hướng dẫn giải:
Theo hình vẽ ta có 3,2xyh và
2
2
1,6
2 1,6 h x x y y
x
Tổng diện tích 5 mặt của bể cá là
2 2 2
1,6 6,4 8 4 4
2 2 4 4 4 12 S xy xh yh x x x
x x x x x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1x .
A. 20x B. 15x C. 25x D. 30x
Vậy tổng diện tích tối thiểu là 12 m
2
, suy ra số tiền tối thiểu cần là 9,6 triệu.
Chọn đáp án A.
Câu 34: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD 60cm . Ta gấp tấm nhôm theo 2 cạnh MN
và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ
khuyết 2 đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất?
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 93
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải:
Ta có 60 2 PN x, gọi H là trung điểm của PN suy ra 60 900 AH x
1
. 60 2 60 900 60 2 15 225
2
ANP
S x x x x f x , do chiều cao của khối lăng trụ
không đổi nên thể tích khối lăng trụ max khi f(x) max.
45 20
' 0 20, 20 100 3, 15 0
15 225
x
f x x f f
x
maxf 100 3
x khi 20x
Chọn đáp án A.
Câu 35: Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích
3
V m , hệ số k cho trước
(k- tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy). Gọi , , 0x y h lần lượt là chiều rộng, chiều dài
và chiều cao của hố ga. Hãy xác định , , 0x y h xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất. x,y,h lần lượt là
A.
33
3
2
2
2 1 2 1
2
2 ; ;
4 4
2 1
k V k k V
kV
x y h
k
k
B.
33
3
2
2
2 1 2 1
2
; ; 2
4 4
2 1
k V k k V
kV
x y h
k
k
C.
33
3
2
2
2 1 2 1
2
; 2 ;
4 4
2 1
k V k k V
kV
x y h
k
k
D.
33
3
2
2
2 1 2 1
2
; 6 ;
4 4
2 1
k V k k V
kV
x y h
k
k
Hướng dẫn giải:
Gọi
, , , , 0x y h x y h lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hố ga.
Ta có: x
h
k h k
x
và
2
x
V V
V xyh y
xh k
.
Nên diện tích toàn phần của hố ga là:
2
2 1
2 2x 2 x
x
k V
S xy yh h k
k
Áp dụng đạo hàm ta có S nhỏ nhất khi
3
2
2 1
4
k V
x
k
Khi đó
3
3
2
2 1
2
2 ,
4
2 1
k k V
kV
y h
k
Chọn đáp án C.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 94
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN
Câu 1: Cho khối lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có thể tích bằng 30 (đơn vị thể tích). Thể tích của khối
tứ diện ' 'AB C C là:
A. 12,5 (đơn vị thể tích) B. 10 (đơn vị thể tích)
C. 7,5 (đơn vị thể tích) D. 5 (đơn vị thể tích)
Hướng dẫn giải:
Khi đó ta có thể so sánh trực tiếp cũng được, tuy nhiên ở đây ta có thể suy luận nhanh như sau:
Khối B'ABC có chung đường cao kẻ từ đỉnh B’ đến đáy (ABC) và
chung đáy ABC với hình lăng trụ ABC. A'B'C'. Do vậy
'
' ' '
1
3
B ABC
ABCA B C
V
V
Tương tự ta có
' ' '
' ' '
1
3
AA B C
ABCA B C
V
V
, khi đó
' ' ' ' ' ' 'C
1 30
10
3 3
AB C C ABCA B C AB C
V V V
Chọn đáp án B.
Câu 2: Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13, 14, 15, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy
một góc 30
0
và có chiều dài bằng 8. Khi đó thể tích khối lăng trụ là
A. 340 B. 336 C. 274 3 D. 124 3
Hướng dẫn giải:
Ta có : S 21(21 13)(21 14)(21 15) 84
ABC
Gọi O là hình chiếu của A’ trên (ABC)
'A AO vuông tại O cho ta :
0
' '.sin30 4
A O AA
Vậy :
. ' ' '
84.4 336
ABC A B C
V
Chọn đáp án B.
Câu 3: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc
của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên
' 'AA C C tạo với đáy một góc bằng
45
0
. Thể tích khối lăng trụ bằng:
A.
3
. ' ' '
3
32
ABC A B C
a
V B.
3
. ' ' '
3
16
ABC A B C
a
V C.
3
. ' ' '
3
4
ABC A B C
a
V D.
3
. ' ' '
3
8
ABC A B C
a
V
Hướng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm
’ AB A H ABC
Vẽ HK AC tại K
góc A’KH = 45°
3 3
; . 60 '
2 2 4 4
AB a a a
AH HK AH sin A H HK
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 95
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2 3
. ' ' '
3 3 3
' . .
4 4 16
ABC A B C ABC
a a a
V A H S
Chọn đáp án B.
Câu 4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có
0
3; 3 , 30 AC a BC a ACB . Cạnh bên hợp
với mặt phẳng đáy góc
0
60
và mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên cạnh
BC sao cho BC=3BH và mặt phẳng (A’AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ bằng:
A.
3
4
9
a
B.
3
19
4
a
C.
3
9
4
a
D.
3
4
19
a
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết, áp dụng định lí cosin trong tam giác AHC ta tính
được AH=a
Do
0
( ' ) ( )
( ) ' 60
( ' ) ( )
 
A BC ABC
AH ABC A AH
A AH ABC
Do AA' H vuông tại H =>
0
' ( ';( )) .tan60 3 A H d A ABC AH a
3
0
. ' ' '
1 9
. ( ',( )) .3 . 3sin30 . 3
2 4

ABC A B C ABC
a
V S d A ABC a a a
Chọn đáp án C.
Câu 5: Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có 'A ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB a . Biết
độ dài đoạn vuông góc chung của AA' và BC là
3
4
a
. Tính thể tích khối chóp '. '. 'A BB C C
A.
3
5
18
a
B.
3
3
18
a
C.
3
18
a
D.
3
15
18
a
Hướng dẫn giải:
Gọi O là tâm của đáy ABC và M là trung điểm cạnh BC. Hạ 'MN A A. Do ( ' )BC A AM nên MN
là đoạn vuông góc chung của A’A và BC
3
4
a
MN
Ta có
2 2
3 2 3 3
; ;
2 3 3 4
a a a
AM AO AM AN AM MN
Hai tam giác A’OA và MNA đồng dạng nên
'. '. ' ' ' '. '.
2 3
' .
'
3
' .
2 2 3 3
' . . .
3 3 3 4 18
A BB C C A B C ABC A ABC ABC
ABC
A O AO MN AO a
A O
MN AN AN
V V V A O S
a a a
A O S
Chọn đáp án B.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 96
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 6: Cho hình lăng trụ ' ' 'ABCA B C có thể tích bằng 48cm
3
. M, N, P theo thứ tự là trung điểm các
cạnh CC’, BC và B’C’, khi đó thể tích của khối chóp 'A MNP là
A. 24cm
3
B.
16
3
cm
3
C. 16 cm
3
D. 8 cm
3
Hướng dẫn giải:
Ta có
3
' ' ' '
1 1
.48 16
3 3
A ABC ABCA B C
V V cm
3
' ' ' ' ' ' '
48 16 32
A BCC B ABCA B C A ABC
V V V cm
Mặt khác
3
' ' ' ' ' '
1 1 1
.32 8
4 4 4
MNP BCC B A MNP A BCC B
S S V V cm
Chọn đáp án D.
Câu 7: Cho hình lăng trụ . ’ ’ ’ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của C’ trên
(ABC) là trung điểm I của .BC Góc giữa AA’ và BC là 30
o
. Thể tích của khối lăng trụ . ’ ’ ’ABC A B C :
A.
3
4
a
B.
3
2
a
C.
3
3
8
a
D.
3
8
a
Hướng dẫn giải:
Do AA' song song với 'CC nên góc giữa AA' và
BC cũng là góc giữa 'CC và BC . Nên
0
3
' .tan30
2 6
a a
C I . Vậy:
2 3
3 3
.
6 4 8
a a a
V
Chọn đáp án D.
Câu 8: Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông
góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc
bằng 45
0
. Thể tích của khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C bằng:
A.
3
2
a
B.
3
3
4
a
C.
3
3
8
a
D.
3
3
2
a
Hướng dẫn giải:
Gọi H, M, I lần lượt là trung điểm các đoạn AB, AC, AM
Theo giả thiết,
' , A H ABC BM AC . Do IH là đường
trung bình tam giác ABM nên / / IH BM IH AC
Ta có: , ' ' AC IH AC A H AC IA
Suy ra góc giữa (ABC) và (ACC’A’) là
0
'IH 45A
0
1 3
' .tan 45
2 4
a
A H IH IH MB
Thể tích lăng trụ là:
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 97
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
3
1 1 3 3 3
. . . ' . .a.
2 2 2 2 8
a a a
V B h BM AC A H
Chọn đáp án C.
Câu 9: Cho lăng trụ tam giác . ’ ’ ’,ABC A B C đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc H
của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm của tam giác .ABC Tất cả các cạnh bên đều tạo với
mặt phẳng đáy góc
0
60
. Thể tích của khối lăng trụ . ’ ’ ’ABC A B C là:
A.
3
3
4
a
B.
3
3
6
a
C.
3
3
2
a
D.
3
2
2
a
Hướng dẫn giải:
Gọi I là giao điểm của AH và .BC Theo giả thiết H
là trực tâm của tam giác đề ABC nên AH là đường
cao và H cũng lả trọng tâm của tam giác đều ABC
Nên
2 2 3 3
3 3 2 3
a a
AH AI
Do ' ( )AH ABC nên
0
' 60A AH
và ' A H AH
Trong tam giác vuông HA’A có
0
3
' .tan60 . 3
3
a
AH AH a
Thể tích của khối chóp
3
. ' ' '
1 3 1
.A'H 3
2 2 4
ABC A B C ABC
a
V S a a a .
Chọn đáp án A.
Câu 10: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với mặt phẳng
bằng 45
0
. Hình chiếu của a trên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của A’B’. Tính thê tích V
của khối lăng trụ theo a.
A.
3
3
2
a
V B.
3
3
8
a
V C.
3
3
16
a
V D.
3
3
24
a
V
Hướng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm của A’B, theo đề ta suy ra :
' ' 'AH A B C
0
' 45 AA H
khi đó
0
' .tan 45
2
a
AH A H
Vậy
3
3
8
a
V
Chọn đáp án D.
Câu 11: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
0
120BCD
và
7
'
2
a
AA .
Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính theo a
thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 98
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
12
V a
B.
3
3
V a
C.
3
9
V a
D.
3
6
V a
Hướng dẫn giải:
Gọi O AC BD
Từ giả thuyết suy ra
' A O ABCD
2
0
3
. .sin120
2
ABCD
a
S BC CD
Vì
0
120BCD
nên
0
60 ABC ABC
đều
2 2
2 2
49
' ' 2 3
4 4
a a
AC a A O A A AO a
Suy ra
3
. ' ' ' '
3
ABCD A B C D
V a
Chọn đáp án B.
Câu 12: Cho hình lăng trụ . ’ ’ ’ ’ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , tam giác A’AC
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính thể tích V của khối lăng trụ
. ’ ’ ’ ’.ABCD A B C D
A.
3
6
3
a
V B.
3
6
4
a
V C.
3
6
6
a
V D.
3
6
2
a
V
Hướng dẫn giải:
+ Gọi H là trung điểm của AC . Do
A AC là tam giác đều nên
A H AC .
+ Mặt khác,
A AC ABCD theo giao tuyến AC nên
A H ABCD hay
A H là đường cao
của lăng trụ.
+ Ta có
6
2
2
a
AC a A H .
+ Vậy
3
6
.
2
ABCD
a
V AH S .
Chọn đáp án D.
Câu 13: Cho hình lăng trụ . ’ ’ ’ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a, đỉnh A’ cách đều các điểm
, , .A B C Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích
bằng
2
3
8
a
. Tính theo a thể tích khối lăng trụ . ’ ’ ’ABC A B C
A.
3
3
4
a
B.
3
3
16
a
C.
3
3
12
a
D.
3
3
8
a
Hướng dẫn giải:
Do A’A = A’B = A’C nên hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với trọng tâm O của tam
giác .ABC
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AA’, Khi đó (P) (BCH). Gọi M là trung điểm của BC thì
MH AA’ và góc 'A AM nhọn, H nằm giữa AA’. Thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi (P) là tam
giác BCH.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 99
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ABC đều cạnh a nên
3 2 3
,
2 3 3
a a
AM AO AM
Theo bài ra
2 2
3 1 3 3
.
8 2 8 4
BCH
a a a
S HM BC HM
2 2
2 2
3 3 3
4 16 4
a a a
AH AM HM
Do hai tam giác A’AO và MAH đồng dạng nên
'
A O HM
AO AH
. suy ra
. 3 3 4
'
3 4 3 3
AO HM a a a
A O
AH a
Thể tích khối lăng trụ:
3
1 1 3 3
' . ' . .
2 2 3 2 12
ABC
a a a
V A O S A O AM BC a
Chọn đáp án C.
Câu 14: Cho lăng trụ ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = 3a . Hình
chiếu vuông góc của điểm A
1
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai
mặt phẳng (ADD
1
A
1
) và (ABCD) bằng 60
0
. Thể tích lăng trụ ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
theo a là:
A.
3
3
2
a
B.
3
3
3
a
C.
3
3
2
a
D.
3
6
a
Hướng dẫn giải:
Ta có V Bh
+ Diện tích đáy B = 3 a
2
+ Ta có h = A
1
O ( O là giao điểm AC và BD)
+ Góc giữa hai mặt phẳng (ADD
1
A
1
) và (ABCD) là góc OIA
1
bằng 60
0
trong đó I là trung điểm
AD
+ Ta có
0
1 1 1
3
, 90 , ,
2 2
a a
AOI AOI OI AO . Vậy V =
3
3
2
a
Chọn đáp án C.
Câu 15: Cho lăng trụ tam giác
1 1 1
.ABC A B C có tất cả các cạnh bằng a, góc tại bởi cạnh bên và mặt
phẳng đáy bằng
0
30
. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng
1 1 1
A B C thuộc đường thẳng
1 1
B C . Thể
tích khối lăng trụ
1 1 1
.ABC A B C bằng:
A.
3
3
8
a
B.
3
3
4
a
C.
3
3
2
a
D.
3
3
16
a
Hướng dẫn giải:
Do
1 1 1
AH A B C nên góc
1
AA H là góc giữa
1
AA và
1 1 1
A B C , theo giả thiết thì góc
1
AA H bằng
0
30
.
Xét tam giác vuông
1
AHA có
1
AA =a, góc
0
1
30
2
a
AA H AH
1 1 1 1 1
2 3
3 3
. .
2 4 8
ABCA B C A B C
a a a
V AH S
Chọn đáp án A.
A
B
C
C’
B
’
A’
’
H
O
M
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang
100
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 16: Cho một hình hộp với 6 mặt đều là các hình thoi cạnh a , góc nhọn bằng
0
60
. Khi đó thể tích
khối hộp là:
A.
3
3
3
a
V B.
3
2
3
a
V C.
3
3
2
a
V D.
3
2
2
a
V
Hướng dẫn giải:
Giả sử khối hộp cps
0 0
' ' 120 ; ' ' 120 C D D A D D và
0
60ADC
Khi đó ' ' ' AD CD DD a suy ra 'D ACD là tứ diện đều.
Gọi H là trọng tâm tam giác ACD khi đó
2 2
3 2
' '
3 3
a
DH D H DD DH a
Vậy
2 3
3 2 2
. ' .
2 3 2
ABCD
a a
V S D H a
.
Chọn đáp án D.
Câu 17: Cho lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại , 2B AC a . Hình chiếu
vuông góc của 'A lên mặt phẳng
ABC là trung điểm H của cạnh AC , đường thẳng 'A B tạo với
mặt phẳng
ABC một góc
0
45
. Cho các phát biểu sau:
(1)
3
. ' ' '
,
ABC A B C
V a
2 ' ' ,A B B C
3 ' 3,BB a
4 2;AB a
Số phát biểu đúng là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Hướng dẫn giải:
Gọi là trung điểm của
Có
Có và là hình chiếu vuông góc của
lên
Suy ra
Do đó:
Chứng minh (chỉ ra và chứa
Ta có:
Suy ra là hình thoi
Và
Kết luận: Từ (1) và (2) suy ra
Chọn đáp án C.
H
'
AC A H ABC
2
2
2 2
AC a
AB BC a
2
2
1 1
. . . 2
2 2
ABC
S AB BC a a
2
AC
HB a
HB
'
A B
ABC
' 45 ' .tan45
A BH A H HB a
2 3
. ' ' '
. ' .
ABC A B C ABC
V S A H a a a
' '
A B B C
'
A B P
'
B C
2 2
' 2
BB AA AH HA A
' '
ABB A
' ' 1
A B AB
'
' ' 2
AC A H
AC A BH AC A B
AC BH
' ' ' '
A B AB C A B B C dpcm
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang
101
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 18: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt thuộc các cạnh bên AA’, CC’ sao
cho 'MA MA và 4 'NC NC . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong bốn khối tứ diện GA’B’C’,
BB’MN, ABB’C’ và A’BCN, khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất?
A. Khối A’BCN B. Khối GA’B’C’
C. Khối ABB’C’ D. Khối BB’MN
Hướng dẫn giải:
+ Nhận thấy khoảng cách từ G và A xuống mặt phẳng (A’B’C’) là
bằng nhau ( do G,A thuộc mặt phẳng (ABC)//(A’B’C’)
' ' ' . ' ' '
GA B C A A B C
V V
Mà
. ' ' ' ' '
A A B C ABB C
V V (Do 2 hình chóp này có 2 đáy AA’B’ và ABB’
diện tích bằng nhau;chung đường cao hạ từ C’)
' ' ' ' '
GA B C ABB C
V V
=> Không thế khối chóp GA’B’C’hoặc ABB’C’ thể thích nhỏ nhất
→ Loại B,C
A.
3
27
8
V a . B.
3
3
4
V a . C.
3
3
2
V a . D.
3
9
4
a .
Hướng dẫn giải:
Ta có ABCDEF là lục giác đều nên góc ở đỉnh bằng 120.
ABC là tam giác cân tại B , DEF là tam giác cân tại E .
2
1 3
. .sin120
2 4
ABC DEF
a
S S a a
2 2
2. . .cos AC AB BC AB BC B
2 2
1
2. . . 3
2
a a a a a
2
. 3. 3
ACDF
S AC AF a a a
2 2 2
2
3 3 3 3
3
4 4 2
ABCDEF ABC ACDF DEF
a a a
S S S S a
3
' 60 ' '.sin60
2
a
B BH B H BB
Chọn đáp án D.
2
3
3 3 9
'. 3.
4 4
ABCDEF
a
V BH S a a
B
C
D
E
A
F
F'
A'
E'
D'
C'
B'
H
+ So sánh Khối A’BCN và Khối BB’MN
Nhận thấy khoảng cách từ M và A’ xuống mặt BBCC’ là bằng nhau → Khối A’BCN và Khối
BB’MN có đường cao hạ từ M và A’ bằng nhau. Mặt khác Diện tích đáy BNB’ > Diện tích đáy
BCN
=> Khối A’BCN < Khối BB’MN.
=> Khối A’BCN có diện tích nhỏ hơn.
Chọn đáp án A.
Câu 19: Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên và
mặt đáy là 60. Tính thể tích khối lăng trụ
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang
102
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
KHOẢNG CÁCH
A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng a
d(M, ) = MH, , trong đó H là hình chiếu của M trên
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
+ Khoảng cách từ một điểm đến đến một mặt phẳng ()
, trong đó H là hình chiếu của O trên ()
Cách 1. Tính trực tiếp. Xác định hình chiếu H của O trên () và tính OH
- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với ()
- Tìm giao tuyến của (P) và ()
- Kẻ OH ( ). Khi đó .
Cách 2. Sử dụng công thức thể tích
Thể tích của khối chóp . Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh của
hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S
Cách 3. Sử dụng phép trượt đỉnh
Kết quả 1. Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng () và M, N thì
Kết quả 2. Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng () tại điểm I và M, N (M, N không trùng với I) thì
Đặc biệt: + nếu M là trung điểm của NI thì
+ nếu I là trung điểm của MN thì
Cách 4. Sử dụng tính chất của tứ diện vuông
Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (
) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC).
Cách 5. Sử dụng phương pháp tọa độ
Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng các công thức sau:
+ với ,
+ với là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương
+ với là đường thẳng đi qua và có vtcp
3. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó
+ d(, ()) = d(M, ()), trong đó M là điểm bất kì nằm trên .
+ Việc tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng () được quy về việc tính khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng.
d(O,( )) OH
H
d(O,( )) OH
1 3V
V S.h h
3 S
d(M;( )) d(N;( ))
OA OB,OB OC,OC OA
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
d(M;( ))
A B C
0 0 0
M(x ;y ;z )
( ) :Ax By Cz D 0
MA u
d(M, )
u
u
u u'.AA'
d( , ')
u u'
'
A'
u '
d(M;( ))
MI
d(N;()) NI
d(M;())
1
d(N;())
2
d(M;()) d(N;())
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang
103
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
+ d((), ) = d(M, ), trong đó M là điểm bất kì nằm trên ()
+ Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng.
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
+ Đường thẳng cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b gọi là đường vuông góc chung của a, b.
+ Nếu cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b.
+ Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b.
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường
thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó.
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
* Đặc biệt
+ Nếu thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo ta tìm giao điểm I của
(P) với b. Trong mp(P), hạ đường cao IH. Khi đó
A.
3
a
B.
2
3
a
C.
2
a
D. a
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức đường cao của tứ diện vuông SABD
vuông tại A, ta có
; d A SBD AH với
2 2 2 2
1 1 1 1 2
3
a
AH
AH AS AB AD
Chọn đáp án B.
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy.
Biết hình chóp S.ABC có thể tích bằng
3
a
. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
A.
6a 195
65
d B.
4a 195
195
d C.
4a 195
65
d D.
8a 195
195
d
Hướng dẫn giải:
Gọi các điểm như hình vẽ
Ta có , AI BC SA BC suy ra
,
A SBC
BC AK AK d
Ta có:
2
3
3
, 4 3
4
ABC
a
V a S SA a
. Mà
3
2
a
AI
( )
( )
a b
d(a,b) IH
+ Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB và CD là
đoạn vuông góc chung của AB và CD.
B – BÀI TẬP
I – KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a, AD 2a ; cạnh bên SA a và
vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng
SBD
là:
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang
104
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trong tam giác vuông SAI ta có
2 2 2
1 1 1
AK AS AI
. Vậy
2 2
2 2
. 4 195
65
AS AI a
d AK
AS AI
Chọn đáp án C.
Câu 3: Khối chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân tại B và
. AB a SA ABC . Góc giữa cạnh
bên SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
. Khi đó khoảng cách từ A đến (SBC) là:
A. 3a B.
2
2
a
C.
3
3
a
D.
3
2
a
Hướng dẫn giải:
2
2
1 3
,
1 1
2
3
a
d A SBC AH
a
a
Chọn đáp án D.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân,
AB = BC = 2a,
0
120ABC
, SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách d từ
điểm A đến mặt phẳng (SBC).
A.
2
a
d B.
3
4
a
d C.
4
a
d D.
3
2
a
d
Hướng dẫn giải:
+
0 2
1
. .sin120 3
2
S AB BC a ;
3
.
1
. 3
3
S ABC ABC
V SA S a
+ Mặt khác,
2 2
13 SB SA AB a
2 2 2 0 2 2 2
2 . .cos120 12 21 AC AB BC AB BC a CS SA AC a
+ Áp dụng công thức hê-rông ta c
2
1
4
2 3
SBC
S SB BC CS SB BC CS SB BC CS SB BC CS
a
(Chú ý: Nhập vào máy tính biểu thức và ấn = ta có kết quả
1
13 2 21 13 2 21 13 2 21 13 2 21 2 3
4
)
+ Vậy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng
SBC là
3
.
2
3. 3 3 3
.
2
2 3
S ABC
SBC
V a a
d
S
a
Chọn đáp án D.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đá; 9 , 10 , 17 BC m AB m AC m .
Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 73m
3
. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang
105
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
21
2
d B.
3
4
d C.
1
4
d D.
24
5
d
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức He-rong ta tính được diện tích tam giác ABC bằng
36 p p AB p AC p BC
với
2
AB BC CA
p
1
. . 6
3
ABC
V SA S SA
Kẻ , AH BC AI SH khi đó ta có
,
A SBC
d AI
Đặt BH x ta có
2 2 2 2
AB BH AC CH AH thay các dữ liệu bài toán đã cho vào ta tính
được
2
2 2 2
10 17 9 6 x x x
suy ra 8AH
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
2 2 2
1 1 1 25 24
576 5
AI
AI SA AH
Chọn đáp án D.
Câu 6: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy.
Biết khoảng cách từ A đến (SBD) bằng
6
7
a
. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng:
A.
6
7
a
B.
3
7
a
C.
3
14
a
D.
8
7
a
Hướng dẫn giải:
Với bài toán này ta thấy A và C đối xứng nhau qua tâm O. Ta nhớ
đến hệ quả sau:
Cho mặt phẳng (P) và đoạn thẳng MN. Với
MN P I thì
;
;
d M P
IM
d N P IN
Khi đó áp dụng vào bài toán ta thấy
AC SBD O
do vậy áp dụng hệ quả trên ta được :
;
1
;
d A SBD
OA
OC
d C SBD
6
;
7
a
d C SBD
Chọn đáp án A.
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a . SA vuông góc với đáy và SC
= 3a. Khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD) là:
A.
2
12
a
B.
2
2
a
C.
6
2
a
D.
2
6
a
Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu của A lên SD.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang
106
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
SA ABCD SA CD ,
CD AD CD SAD SAD SCD mà
SAD SCD SD
nên
AH SCD , do đó
,d A SCD AH .
Hình vuông ABCD cạnh 3a có đường chéo
3. 2 6 AC a a
Tam giác SAC vuông tại A theo định lí Pytago ta tính được
3SA a
Tam giác SAD vuông tại A có AH là đường cao nên
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2 6
hay
3 3 3 2
a
AH
AH SA AD AH a a a
Chọn đáp án C.
Câu 8: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,
, 3 AB a AC a
. Tam giác
SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng
SAC .
A.
39
.
13
a
B. .a C.
2 39
.
13
a
D.
3
.
2
a
V
Hướng dẫn giải:
2 2
. 2 39
2 2. .
13
SH HK a
HE
SH HK
Chọn đáp án C.
Câu 9: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,
0
60D
và SA vuông góc với
ABCD . Biết thể tích của khối chóp .S ABCD bằng
3
2
a
. Tính khoảng cách k từ A đến mặt phẳng
SBC .
A.
3
5
a
k
B.
3
5
k a
C.
2
5
a
k
D.
2
3
k a
Hướng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm của BC , suy ra SH BC SH
ABC
.
Gọi K là trung điểm AC , suy ra HK AC .
Kẻ HE SK
E SK
.
Khi đó d
B,
SAC
2d
H,
SAC
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 107
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Diện tích đáy
2
3
2
ABCD
a
S
3
2
3.
1 1
2
. . 3
3 3
3
2
a
V B h B SA SA a
a
1
BC AM
BC SAM
BC SA
2BC SBC , Từ
1 và
2 SAM SBC
SAM SBC SM
Kẻ AH SM
, AH d A SBC . Xét SAM vuông tại A. Ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 5
3 3 3
AH SA AM a a a
2
2
3 3
5 5
a
AH AH k a
Chọn đáp án B.
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy có tất cả các cạnh bằng a và có tâm là O gọi M là
trung điểm của OA. Tính khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (SCD).
A.
6
6
a
d B.
6
4
a
d C.
6
2
a
d D. 6d a
Hướng dẫn giải:
Kẻ
OH CD H CD , kẻ
OK SH K SH . Ta chứng
minh được rằng
OK SCD
Vì
, ,
3 3 3
2 2 2
M SCD O SCD
MO
d d OK
MC
Trong tam giác SOH ta có:
2 2
2 2
. 6
6
OH OS a
OK
OH OS
Vậy
,
3 6
2 4
M SCD
a
d OK
Chọn đáp án B.
Câu 11: Cho lăng trụ . ' ' ' 'ABCD A B C D có đáy ABCD là hình chữ
nhật.
, 3 AB a AD a
. Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên
mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và
.BD
Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng
(A'BD) theo a là:
A.
3
3
a
B.
3
4
a
C.
3
2
a
D.
3
6
a
Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu của A' lên mặt phẳng (ABCD).
Ta có:
' '/ / 'B D BD A BD
', ' ', ' d B A BD d D A BD
Mặt khác, xét hình chữ nhật A'D'DA thì D'A cắt A'D tại trung điểm A'D
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 108
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
', ' , ' d D A BD d A A BD
Gọi G là hình chiếu của A lên BD thì
' ' A H AK BD AK A BD
, ' d A A BD AK
Tính
2 2 2
1 1 1 3
2
a
AK
AK AD AB
.
Chọn đáp án C.
Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
0
30ABC
, tam giác SBC là
tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách h từ
điểm C đến mặt phẳng (SAB).
A.
2 39
13
a
h B.
39
13
a
h C.
39
26
a
h D.
39
52
a
h
Hướng dẫn giải:
Trong (SBC), dựng SH BC . Vì SBC đều cạnh a nên H là trung điểm của BC và
3
2
a
SH
Ta có:
SBC ABC
SBC ABC BC SH ABC
SBC SH BC
Vì H là trung điểm của BC nên
, 2 ,d C SAB d H SAB
Trong (ABC), dựng HI AB và trong (SHI), dựng
HK SI .
AB HI
AB SHI SAB SHI
AB SH
Ta có
,
SHI SAB
SHI SAB SI HK SAB d H SAB HK
SHI HK SI
Tam giác HBI vuông tại I nên
0
sin .sin .sin30
2 4
HI a a
HBI HI HB HBI
HB
Tam giác SHI vuông tại H, HK SI nên:
2
2
2 2 2
2
2
2 2 2 2 2
2
3
.
2 4
1 1 1 . 3 39
52 26
3
2 4
a a
SH HI a a
HK HK
HK SH HI SH HI
a a
Vậy
39
, 2
13
a
d C SAB HK
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 109
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn đáp án B.
Câu 13: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu của S lên mặt phẳng
(ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABD. Mặt bên SAB tạo với đáy một góc 60
0
. Tính theo a
khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD)?
A.
3
2
a
d B.
3
3
a
d C.
3
2
a
d D.
3
2
a
d
Hướng dẫn giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, E là hình chiếu của G lên AB
Ta có:
0 0
60 .tan 60AB SGE SAG SG GE
Mà
1
3
GE BC nên tính được SG.
Hạ GN AD và GH SN
, 3 , 3 d B SAB d G SAB GH
2 2
. 3
3
2
GN GS a
GN GS
Chọn đáp án A.
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông 2 , BD a SAC vuông tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy, 3SC a . Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD) là:
A.
30
5
a
B.
2a 21
7
C. 2a D. 3a
Hướng dẫn giải:
2 2
2 , 2,
2
BD
BD AC a CD a SA AC SC a
. .a 3 3
2 2
SA SC a a
SH
AC a
2
2 2 2
3
4 2
a a
AH SA SH a
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Ta có
, 2 , 4 , d B SAD d O SAD d H SAD
Kẻ
1 2
/ / ,
4 4
a
HI BD I BD HI CD . Kẻ HK SI
tại K
HK SAD
2 2
2 2
.
, 4 4.
3 2
2 21
2 4
4.
7
3 2
4 16
SH HI
d B SAD HK
SH HI
a a
a
a a
Chọn đáp án B.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 110
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
1, 3 AB AC
. Tam giác SBC
đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
A.
39
13
B. 1 C.
2 39
13
D.
3
2
Hướng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm BC, suy ra
SH BC SH ABC
Gọi K là trung điểm AC, suy ra HK AC
Kẻ
HE SK E SK
Khi đó
, 2 ,d B SAC d H SAC
2 2
.H 2 39
2 2
13
SH K
HE
SH HK
Chọn đáp án C.
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với 2 , AB a BC a . Các cạnh bên
của hình chóp bằng nhau và bằng 2a . Khoảng cách từ A đến mp (SCD) là:
A. 2a B.
21
7
a
C. 2a D.
a 3
2
Hướng dẫn giải:
Ta có
SO AC
SO ABCD
SO BD
2 2
5
2 2 2
AC AB BC a
AO
2
2 2 2
5 3
2
4 2
a a
SO SA AO a
Gọi H là trung điểm
CD OH
CD CD SOH
CD SO
Kẻ SOK H tại K:
OK SCD
2 2
2 2
.
, 2 , 2 2
3
.
3
2 2
2.
2
3
4 4
SO OH
d A SCD d O SCD OK
SO OH
a a
a
a a
Chọn đáp án D.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 111
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B biết 3BC a , BA a . Hình
chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AC và biết thể tích khối chóp
S.ABC bằng
3
6
6
a
. Khoảng cách h từ C đến mặt phẳng (SAB) là.
A.
2 66
.
11
a
h B.
30
.
10
a
h C.
66
.
11
a
h D.
30
.
5
a
h
Hướng dẫn giải:
Đặt SH x .suy ra
3
1 1 6
. . 3
3 2 6
a
V x a a
3
2
6 6
. 2
6
3
a
x a
a
Ta có
, 2 H, 2 d C SAB d SAB HK
mà
2 2 2
1 1 4 66
2 3 11
a
HK
HK a a
2 66
, .
11
a
d C SAB
Chọn đáp án A.
Câu 18: Hình chóp có đáy là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC=4a .
Biết . Tính khoảng cách từ đến
A.
6a 7
7
B.
3a 7
7
C.
5a 7
7
D.
4a 7
7
Hướng dẫn giải:
1
SH sin30 2 3. 3
2
o
SB a a ;
2
1 1
. .3 .4 6
2 2
ABC
S AB BC a a a
Suy ra
2 3
.
1
.6 . 3 2 3
3
S ABC
V a a a .Càn tính:
SAC
S ?
Do tam giác SBA vuông tại B nên
2 2
(2 3) 9 21 SA a a a
2 2
9 16 5 AC a a a
Dùng định lí côsin
2 2 2
2 . . os30
o
SC SB BC SB BC c
2 2 2
3
= 12a 16 2.2 3.4 . 4
2
a a a a 2 SC a
Dùng công thức Hêrông: ( )( )( )S p p a p b p c , với
2
a b c
p
Ta có:
7 21
2
a a
p
7 21 21 3
5 5
2 2
a a a a
p a a
7 21 21 3
2 2
2 2
a a a a
p a a
.
S ABC
ABC
SBC ABC
0
2 3, 30
SB a SBC
B
mp SAC
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 112
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
7 21 7 21
21 21
2 2
a a a a
p a a
2 2 2 2
1 4
28 .12 7.3 21
4 4
ABC
S a a a a
Vậy
3
.
2
3 3.2 3 6 6 7
7
21 7
S ABC
SAC
V a a a
h
S
a
.
Chọn đáp án A.
Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Góc
0
60
BAC
, hình chiếu của
đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và
(ABCD) là
0
60
. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a.
A.
3
7
a
B.
3
2 7
a
C.
2 7
a
D.
9
2 7
a
Hướng dẫn giải:
Trong mặt phẳng (SBD) kẻ OE song song SH và cắt SD
tại E. Khi đó ta có tứ diện OECD vuông tại O và
3 3
; ;
2 2 8
a a a
OC OD OE
2 2 2 2
1 1 1 1
;
d O SCD OC OD OE
3
;
4 7
a
d O SCD
Mà
3
; 2 ;
2 7
a
d B SCD d O SCD
Chọn đáp án B.
Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 2a, AD = a. Hình chiếu của S lên
mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo với đáy một góc
0
45
. Khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (SCD) là:
A.
3
3
a
B.
6
4
a
C.
6
3
a
D.
3
6
a
Hướng dẫn giải:
+ Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) là độ dài đoạn HK
+ Tính được 2 SH HC a
+ Dùng công thức:
2 2 2 2
1 1 1 3
2
HK HM HS a
+ Suy được :
6
3
a
HK
Chọn đáp án C.
Câu 21: Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a. Khi đó, khoảng cách
h giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (SBC) là:
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 113
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
a
h B.
6
3
a
h C.
2
2
a
h D.
2a 5
5
h
Hướng dẫn giải:
, , 2 , d AD SBC d A SBC d O SBC với O là tâm hình vuông ABCD.
Gọi I là trung điểm
BC OI
BC BC SOI SBC SOI
BC SO
Ta có
SBC SOI SI , kẻ OH SI tại H
, OH SBC d O SBC OH
2 2
2 2
,
2 2 2
AC a a
AO SO SA AO
2 2 2 2
2
.
. 6
2 2
6
2
4 4
a a
SO OI a
OH
SO OI a a
6
, 2
3
a
d AD SBC OH
Chọn đáp án B.
Câu 22: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình chữ nhật có
, 3 AB a AD a
. Biết
góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABCD) bằng
0
60
. Khoảng cách giữa đường thẳng B’C và
C’D theo là:
A.
51
17
a
B.
4 51
17
a
C.
2 51
17
a
D.
8 51
17
a
Hướng dẫn giải:
Có
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 17
' ' 12
BH B B BM B B BC AB a
2 51
17
a
BH . Vậy: d(C’D,B’C)=
2 51
17
a
Chọn đáp án C.
Câu 23: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có
0
3; 3 , 30 AC a BC a ACB . Cạnh bên hợp
với mặt phẳng đáy góc
0
60
và mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên cạnh
BC sao cho BC=3BH và mặt phẳng (A’AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Khoảng cách từ B đến
mặt phẳng (A’AC) là:
A.
3 3
8
a
B.
3 3
4
a
C.
3 3
2
a
D.
7 3
4
a
C 'D'/ / AB' C 'D / /(AB'C) d(C 'D,B'C) d(C 'D,(AB'C)) d(C ',(AB'C)) d(B,(AB'C))
Do BC’ giao với mp(AB’C) tại trung điểm của BC’ (vì
BCC’B’ là hình chữ nhật)
Kẻ BM AC AC (BB'M ) (AB'C) (BB'M )
theo goao tuyến B’M
Kẻ
BH B'M BH (AB'C) d(B,(AB'C)) BH
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 114
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
S
H
A
N
C
I
B
M
K
Hướng dẫn giải:
Kẻ
( ' ) ( ' ) ( ' ) '
'
 
HD AC
AC A HD A AC A HD A D
AC A H
Ta có:
0
.sin30 HD CH a
. Kẻ ' ( ' ) ( ;(A'AC))  HK A D HK A AC HK d H
Xét tam giác A’HD vuông tại H có:
2 2 2
1 1 1 3
' 2

a
HK
HK HD A H
Ta lại có:
( ;( ' )) 3 3 3 3 3
( ;(A'AC)) .
( ;( ' )) 2 2 2 4

d B A AC BC a a
d B
d H A AC HC
Vậy
3
. ' ' '
9 3 3
; ( ,( ' ))
4 4
ABC A B C
a a
V d B A AC
Chọn đáp án B.
Câu 24: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC), góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60 độ. Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng
(SMN), với M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
A.
3
3
a
V B.
3
3
a
V C.
3
4
a
V D.
3
4
a
V
Hướng dẫn giải:
SA ABC suy ra AB là hình chiếu vuông góc
của SB lên (ABC)
Góc giữa SB và (ABC) là góc
0
60SBA
.
0
tan60 3SA AB a
Kẻ AI MN . Suy ra I là trung điểm MN, kẻ
AH SI tại H
,
.
MN SA MN AI MN AH
AH SMN
Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SMN),
3
,
4
AI a
2 2 2 2 2
1 1 1 1 16 51
3 3 17
a
AH
AH AS AI a a
Mà
,
51
1 , ,
, 17
d A SMN
MA
d B SMN d A SMN a
d B SMN MB
Chọn đáp án B.
Câu 25: Cho hàm số S.ABC có
0
60 , 3, 4, 5 ASB BSC CSA SA SB SC . Tính khoảng cách từ
C đến mặt phẳng (SAB).
A. 5 2 B.
5 2
3
C.
3
3
D.
5 6
3
Hướng dẫn giải:
Bài toán này có công thức tính nhtôi, nhưng tôi không trình bầy ở đây . Tôi sẽ trình bầy
cách tư duy để làm ra bài toán này nhé !
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 115
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Đề bài cho các góc
0
60 ASC ASB BSC
và các cạnh 3, 4, 5 SA SB SC áp dụng công thức
2 2 2
2 cos , c a b ab a b ta tính được độ dài các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt là
13, 21, 19
. Ta tính được
1
cos
13
SAB
Gọi H là chân đường cao từ C xuống mặt phẳng (SAB), Kẻ , HK SA HI AB (như hình vẽ). Đặt
CH x . Quan sát hình vẽ ta thấy : tính được độ dài các đoạn thẳng CK, CI, sau đó ta biểu diễn
được HK, HI theo CH, và ta tìm được mối quan hệ giữa HK, HI
Tính CK:
0
1
2. . .sin60
2 5 3
2
2
CSA
SC SA
S
CK
SA SA
2 2
1 75
,HK
2 4
AK x
Tương tự ta tính được
2
17 39 121
,
26 52
CI AI ,
2 2
867
52
HI x
Ta lại có
2 2 2
28
2 . .cosSAB
13
IK AK AI AK AI
Mà
2 2 2 0
2 . .cos 180 IK HK HI HK HI SAB
5 6
3
x
Chọn đáp án D.
Câu 26: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a . Tam giác SAD cân tại S
và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng
3
4
3
a . Khoảng
cách h từ B đến mặt phẳng (SCD) là:
A. h =
2
3
a B. h =
4
3
a C. h =
8
3
a D. h =
3
4
a
Hướng dẫn giải:
- Đặt
2 3
1 4
. .( 2) 2
3 3
SH x V x a a x a
-Ta có
2
2
( ;( )) ( ;( )) 2 ( ;( ))
2
2 .
4
2
2 2.
3
4
2
d B SCD d A SCD d H SCD
a
a
a
HK
a
a
Chọn đáp án B.
Câu 27: Cho lăng trụ
1 1 1 1
.ABCD A BC D có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = 3a . Hình
chiếu vuông góc của điểm A
1
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và .BD Góc giữa hai
mặt phẳng (ADD
1
A
1
) và (ABCD) bằng 60
0
. Tính khoảng cách từ điểm B
1
đến mặt phẳng (A
1
BD) theo
a.
A.
3
2
a
B.
3
3
a
C.
3
4
a
D.
3
6
a
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 116
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải:
2
3
d
S a ,
3
2
a
h V=
3
3
2
a
suy ra
1 1 1
3
1 1
1
. ( ;( ))
6 4 3
B A BD A BD
V a
V S d B A BD
,
1
2
3
2
A BD
a
S
1 1
1
1 1
3
3
( ;( ))
2
B A BD
A BD
V
a
d B A BD
S
Chọn đáp án A.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 117
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
II - KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG
Câu 1: Lăng trụ đứng ' ' 'ABCA B C đáy tam giác vuông cân tại B, cạnh bên ' 3CC a . Biết thể tích
khối trụ bằng
3
2 3a . Khoảng cách hai đường thẳng AB và CC’ bằng
A. 2a B. 2a C. 3a D. 2 3a
Hướng dẫn giải:
Ta có , ' BC AB BC CC nên
; ' d AB CC BC
Vì ABC vuông cân ở B nên
3 2
' ' '
1 1
2 3 . . ' . 3
2 2
ABCA B C
a V AB BC CC BC a
2 2
4 2 BC a BC a
; ' 2 d AB CC a
Chọn đáp án B.
Câu 2: Cho lăng trụ đứng . ’ ’ ’ABC A B C có đáy ABC là tam giác
vuông tại B với 4 , 3a, 5a AB a BC AC , cạnh bên ' 9aBB . Gọi
M là điểm thuộc BB’ sao cho BB' = 3B'M. Khoảng cách giữa B’C và
AM là
A.
12a
7
B.
6a
7
C.
10a
7
D.
7
a
Hướng dẫn giải:
Trong mặt phẳng BCB’, vẽ / / ’MN B C ( N thuộc BC)
’ / / B C AMN
’ , ’ , d B C AM d B C AMN
1
,
2
’, d B AMN d B AMN =
1
2
h
Để đơn giản ta coi a=1
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 12
( )
1 1 1
4 2 6 7
4 2 6

h
h AB BN
’ ,
6
7
 d B C AM a
Chọn đáp án B.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có AS, AB, AC đôi một vuông góc với nhau,
, 2 AB a AC a
. Tính
khoảng cách d từ đường thẳng SA đến BC.
A.
2
2
a
d B. d a C. 2d a D.
a 6
d
3
Hướng dẫn giải:
Trong tam giác ABC kẻ , AH BC H BC
Dễ dàng chứng minh được AH SA
Vậy
2 2
,
2 2
. 6
3
SA BC
AB AC a
d AH
AB AC
Chọn đáp án D.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 118
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45
0
. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SB, AC.
A.
5
a
B.
2
5
a
C.
3
5
a
D.
2
7
a
Hướng dẫn giải:
(SBC) chứa SC và song song với AD. Đường thẳng qua
O vuông góc với BC cắt BC, AD lần lượt tại E, F. Vì O
là trung điểm của È nên ta có:
d(AD,SC) = d(F, (SBC)) = 2d(O, (SBC)). Kẻ OH
vuông góc với SE tại H (1)
, 2 BC EF BC SO BC SEF BC OH
Từ (1) (2) và BC cắt SE ( ) OH SBC . Tam giác
SOE vuông tại O nên ta có:
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 20
3
OH OS OE OS OB OC a
15 15
; .
10 5
a a
OH d AD SC Gọi M sao cho ABMC là hình bình hành
Vẽ AH vuông góc với BM tại H, AK vuông góc SH tại K. Suy ra, AK vuông góc (SBM)
Ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 5
2 2 2
AK SA AH a a a
Vì AC song song (SMB) suy ra:
2
, ;
5
a
d AC SB d A SBM AK
Chọn đáp án B.
Câu 5: Cho lăng trụ tam giác
1 1 1
.ABC A B C có tất cả các cạnh bằng a, góc tại bởi cạnh bên và mặt
phẳng đáy bằng
0
30
. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng
1 1 1
A B C thuộc đường thẳng
1 1
B C .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
1
AA và
1 1
B C theo a bằng:
A.
3
2
a
B.
3
6
a
C.
3
4
a
D. 3a
Hướng dẫn giải:
Xét tam giác vuông
1
AHA có
0
1 1 1
3
, 30
2
a
AA a AA H A H . Do tam giác
1 1
A B C là tam giác đều
cạnh a, H thuộc
1 1
B C và
1
3
2
a
A H nên
1
A H vuông góc với
1 1
B C . Mặt khác
1 1
AH B C nên
1 1 1
BC AA H .
Kẻ đường cao HK của tam giác
1
AA H thì HK chính là khoảng cách giữa
1
AA và
1 1
B C
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 119
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
1
1 1
1
. 3
. .
4
A H AH a
AA HK A H AH HK
AA
Chọn đáp án C.
Câu 6: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A’
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết thể tích của khối lăng trụ là
3
3
4
a
. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC.
A.
3
2
a
B.
4
3
a
C.
3
4
a
D.
2
3
a
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của BC , dựng MN AA' tại N (1)
Gọi O là trọng tâm của ABC O là hình chiếu của A’ lên
(ABC) A'O BC
Mặt khác AM BC vì ABC đều
BC A'MA BC MN 2 . Từ (1) và (2)
=> MN là đường vuông chung
Kẻ OP // MN
OP AO 2
MN AM 3
2
ABCA'B'C'
ABC
ABC
V
3a
S OA' a
4 S
Xét A'OA vuông tai O, đường cao OP:
2 2 2
1 1 1 a 3a
OP MN
OP OA OA' 2 4
Chọn đáp án C.
Câu 7: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a,
0
120BAD
và
' 5AC a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BD là:
A.
10
17
a
B.
8
17
a
C.
6
17
a
D.
2
17
a
Hướng dẫn giải:
Tứ giác AB’C’D là hình bình hành AB’//C’D  AB’//(BC’D)
’, ’, ’ , ’ , ’ d AB BD d AB BC D d A BC D d C BC D
Vì BD AC, BD CC’ BD (OCC’) (BC’D) (OCC’)
Trong (OCC’),kẻ CH OC’(H thuộc OC’) => CH (BC’D)
, ’ d C BC D CH
'OCC vuông tại C
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 2
' 4
17
 
a
CH
CH CO CC a a
Vậy d(AB’,BD)=
2
17
a
Chọn đáp án D.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA a và vuông góc với đáy. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC
A.
,
2
AB SC
d a B.
,
2
2
AB SC
a
d C.
,
2
3
AB SC
a
d D.
,
2
4
AB SC
a
d
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 120
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải:
Vì
/ / D D / / D AB C SC AB SC
Mà
,SC
, D , D
D
AB
AB SC A SC
SC SC d d d
Gọi I là trung điểm của D SD S AI , mà AI CD
Suy ra
DAI SC , vậy
,SC
, D
2
2
AB
A SC
a
d d AI
Chọn đáp án B.
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng
0
a 3; 120ABC và cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
60
0
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng:
A.
39
26
a
B.
3 29
26
a
C.
3 29
13
a
D.
14
6
a
Hướng dẫn giải:
Kẻ / / D, , CM B AN BC AH SC suy ra AC CM và
, d A SCM AH . Gọi
1
2
ID DC
I AD CM
IA AM
Theo bài ra ta có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc SNA nên
0 0
3 3
60 tan60
2
a
SNA SA AN
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SAC vuông taị A ta có
2 2 2 2
1 1 1 13 3 39
27 13
a
AH
AH SA AC a
Ta có:
1
, , , ,
2
d BD SC d BD SCM d D SCM d A SCM
Suy ra
3 39
,SC
26
a
d BD
Chọn đáp án A.
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên
mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Góc tạo bởi SC và (ABCD) bằng 45
0
. Tính
theo a tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB.
A.
2a 5
3
d B.
5
13
a
d C.
5
3
a
d D.
15
3
a
d
Hướng dẫn giải:
Xác định được đúng góc giữa SC và (ABCD) là
0
45SCH
Tính được
5 5
2 2
a a
HC SH
Vì
AB/ / SCD ,H AB nên
; D , D , D d AB S d AB SC d H SC
Gọi I là trung điểm của CD. Trong (SHI), dựng SIHK tại K
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 121
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chứng minh được
HK D ; D SC d H SC HK
Xét tam giác SHI vuông tại H, HK đường cao:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 9 a 5
HK
HK SH HI 5a a 5a 3
Vậy
5
; D
3
a
d AB S HK
Chọn đáp án C.
Câu 11: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm
O
, cạnh
a
. Cạnh bên
SA
vuông
góc với đáy, góc
0
60SBD
. Tính theo
a
khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SO
.
A.
3
3
a
. B.
6
4
a
. C.
2
.
2
a
D.
5
.
5
a
Hướng dẫn giải:
Ta có
SAB SAD
c g c , suy ra SB SD .
Lại có
0
60SBD
, suy ra SBD đều cạnh
2
SB SD BD a
.
Trong tam giác vuông SAB , ta có
2 2
SA SB AB a .
Gọi E là trung điểm AD , suy ra OE AB và AE OE .
Do đó
, , , .
d AB SO d AB SOE d A SOE
Kẻ AK SE . Khi đó
2 2
. 5
,
5
SA AE a
d A SOE AK
SA AE
.
Chọn đáp án D.
Câu 12: Chóp tứ giác đều .S ABCD cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy góc
0
45
. Ta có
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng:
A.
2
a
B.
2 2
a
C.
2
a
D.
4
a
Hướng dẫn giải:
Ta có : ( ; ) ( ;( )) 2 ( ;( )) 2 d AB SC d AB SCD d H SCD HK
Mặt khác tam giác SHM uông cân tại H, nên ta có
1 1 1 2
2 . 2
2 2 2 2 4
a a
HK SM HM
Vậy
2
( ; ) 2
2
a
d AB SC HK
.
Chọn đáp án A.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 122
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
17
D
2
a
S hình chiếu vuông góc H
của S lên mặt (ABCD) là trung điểm của đoạn .AB Gọi K là trung điểm của .AD Tính khoảng cách
giữa hai đường SD và HK theo a?
A.
3a
.
5
B.
3
.
7
a
C.
21
.
5
a
D.
3
.
5
a
Hướng dẫn giải:
- Dựng DHI B và HJ SI
- Vì HK // BD
HK // (SBD)
- Chứng minh được
D B SHI và
DHJ SB
Ta có
HK,SD
, D , D
HK SB H SB
d d d HJ
2 2 2
2 2
17a 5a 12a
D 3
4 4 4
SH S DH a
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 8 25
3a 3a
HJ SH HI a
3
5
a
HJ
Chọn đáp án D.
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho
2MC MS . Biết
3, 3 3AB BC
, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM.
A.
3 21
7
B.
2 21
7
C.
21
7
D.
21
7
Hướng dẫn giải:
2
2 2 2 3 3 3 3
3 3 3 4 2
ABN SAB
NA MC
S S
SA SC
(đvdt) và
2
2
3
AN SA
2 2 0
3 3
2.
2 3 21
2
2 . .cos60 7
7
7
ABN
S
BN AN AB AN AB AK
BN
Vậy
3 21
,
7
d AC BM (đvđd)
Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA tại
N AC || MN AC ||
BMN
AC AB, AC SH AC
SAB
AC || MN MN
SAB
MN
SAB
BMN
SAB
theo giao tuyến BN.
Ta có:
AC ||
BMN
d
AC,BM
d
AC,
BMN
d
A,
BMN
AK với K là hình chiếu của A trên BN.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 123
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn đáp án A.
Câu 15: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông,
1, ' 2AB BC AA
. M là
trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM; B'C
A.
1
7
d
B.
2
7
d
C. 7d D.
1
7
d
Hướng dẫn giải:
Gọi E là trung điểm của BB'. Khi đó
/ / 'AME B C nên ta
có:
, ' ,
' ;
B AME B C AME
d d d B C AM
Ta có:
;
B AME
d h
Tứ diện BEAM có các cạnh BE, BM, BA đôi một vuông góc
nên là bài toán quen thuộc.
2 2 2 2
1 1 1 1 1
7
7
h
h BE BA BM
Chọn đáp án A.
Câu 16: Cho lăng trụ tam giác
1 1 1
.ABC A B C có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt
phẳng đáy bằng 30
0
. Hình chiếu H của điểm A lên mặt phẳng
1 1 1
A B C thuộc đường thẳng B
1
C
1
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA
1
và BC
1
theo a là:
A.
3
2
a
B.
3
4
a
C.
2
3
a
D.
4
3
a
Hướng dẫn giải:.
Do
1 1 1
AH A B C nên góc
1
AA H là góc giữa AA
1
và
1 1 1
A B C theo giả thiết thì góc AA
1
H bằng 30
0
.
Xét tam giác vuông
1
AHA có
0
1 1
, 30
2
a
AA a AA H AH
Xét
1
AHA có
1
AA a góc
0
1 1
3
30
2
a
AA H A H
Do A
1
B
1
C
1
đều cạnh a, H thuộc B
1
C
1
và
1
3
2
a
A H
Suy ra A
1
H vuông góc B
1
C
1
,
1 1
AH B C nên
1 1 1
BC AA H
HK chính là khoảng cách giữa AA
1
và B
1
C
1
. Ta có
1
1 1
1
. 3
. .
4
A H AH a
AA HK A H AH HK
AA
Chọn đáp án A.
Câu 17: Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Góc giữa 'CA và
mặt ( ' ' )AA B B bằng 30 . Gọi d(AI’,AC) là khoảng cách giữa 'A I và AC, kết quả tính d(AI’,AC)
theo a với I là trung điểm AB là
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 124
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
210
70
a
. B.
210
35
a
. C.
2 210
35
a
. D.
3 210
35
a
.
Hướng dẫn giải:
Ta có :
' ( ' ( )) ( ' ' )
( ' ' ): '
CI AB
CI AA AA ABC CI AA B B
Trong AA B B AB AA A
Suy ra góc giữa CA’ và ( ' ' )AA B B chính là góc
giữa CA’ và IA’ và bằng góc
' 30 CA I
Do đó
3
'
2
tan '
IC a
A I
CA I
; với
3 3
2 2
AB a
IC
Suy ra:
2 2
2 2
9
' ' 2
4 4
a a
AA A I AI a
Kẻ Ix AC . Khi đó ( , ' ) ( ,( ' , )) ( ,( ' , )) d AC A I d AC A I Ix d A A I Ix
Kẻ AE Ix tại E và 'AF A E tại F. Ta chứng minh được:
,( ' , ) d A A I Ix AF
Ta có:
3
.sin .sin60
2 4
a a
AE AI AIE và
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 16 35 210
' 2 3 6 35
a
AF
AF A A AE a a a
Vậy:
210
, '
35
a
d AC A I AF .
Chọn đáp án B.
Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , mặt bên SAB là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là điểm thuộc SC sao cho MC=2MS.
Biết AB=3, BC=3 3 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM là:
A.
3 21
7
B.
3 21
14
C.
6 21
7
D.
3 21
28
Hướng dẫn giải:
2
2 2 2 3 3 3 3
.
3 3 3 4 2

ABN SAB
NA MC
S S
SA SC
(đvdt) và
2
2
3
AN SA
2 2 0
3 3
2.
2 3 21
2
2 . .cos60 7
7
7

ABN
S
BN AN AB AN AB AK
BN
Vậy d(AC,BM)=
3 21
7
Chọn đáp án A.
Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA tại N  AC / /MN  AC / /
BMN
AC AB, AC SH  AC (SAB),AC/ / MN MN (SAB)
 (BMN) (SAB) theo giao tuyến BN
Ta có:
AC / /(BMN)  d(AC;BM ) d(AC;(BMN)) d(A;(BMN)) AK với là hình chiếu của A trên
BN
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 125
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 19: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh AB=a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC)
và (ABC) bằng 60
o
. Tính theo a thể tích tứ diện B’ABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AB’C).
A.
3
'
3
;
8 4
B ABC
a a
V d B.
3
'
3 3
;
8 4
B ABC
a a
V d
C.
3
B'ABC
a 3 a
V ;d
4 4
D.
3
B'ABC
a 3 a 3
V ;d
4 8
Hướng dẫn giải:
Theo như đề bài dữ kiện thì ta có thể dễ dàng tính được thể tích
của khối lăng trụ tam giác đều ban đầu, từ đó suy ra thể tích của
khối tứ diện AB’BC. Để tính được khoảng cách từ B đến (AB’C)
thực chất là tìm chiều cao của tứ diện, đến đây bài toán sẽ được
giải quyết nếu quý độc giả tìm được diện tích tam giác AB’C.
Vì đề bài cho dữ kiện ((A’BC), (ABC))=60
o
, nên ta sẽ đi xác định
góc này bằng cách gọi H là trung điểm của BC. Tam giác ABC
đều nên AH BC (1).
A’A (ABC) ⟹A’A BC (2)
Từ (1) và (2) ⟹BC A’H ⟹((A’BC), (ABC)) = A’HA = 60
o
⟹A’A = AH.tan 60
o
=
3
2
a
. Khi đó
2 3
. ' ' '
3 3 3 3
' . .
2 4 8
ABC A B C ABC
a a a
V A A S
Và
3
'
1 3
3 8
B ABC
a
V V lúc này ta có thể loại C và D.
Dễ thấy diện tích tam giác AB’C có thể được do B’AC cân tại B’ có
2
2
3a a 13
B'A B'C a ;AC a
2 2
Dễ tính được chiều cao kẻ từ B’ của tam giác có độ dài là 3a
ABC
2
B
ACB'
AB'C
3V
a 3 3a
S d(B;(AB'C))
2 S 4
Chọn đáp án B.
Câu 20: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có AC = a, BC= 2a,
120
o
ACB . Đường thẳng A’C tạo với
mặt phẳng (ABB’A’) góc 30
0
. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC’ theo a.
A.
3
21
a
B.
7
3
a
C.
3
7
a
D.
3
7
a
Hướng dẫn giải:
+ Kẻ đường cao CH của tam giác
.ABC
Có CHAB ;CH AA’ suy ra CH (ABB’A’),Do đó góc
giữa A’C và mp(ABB’A’) là góc
0
' 30CA H
+ Ta có
2
0
1 3
. .sin120
2 2
ABC
a
S CACB
H
C
B
A
120
0
2a
a
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 126
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trong tam giác ABC :
2 2 2 0 2
2 . . os120 7
7
AB AC BC AC BC c a
AB a
+
2
3 1 3
.
2 2 7
ABC
a
S AB CH CH a
+ Vậy : d(CC’ ;AM)=d(CC’ ;(ABB’A’))=d(C;(ABB’A’))=CH=
3
7
a
Chọn đáp án D.
Câu 21: Cho lăng trụ . ’ ’ ’ABC A B C các mặt đều là hình vuông cạnh a. Gọi D là trung điểm của cạnh
.BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B’ và DC’ theo a
A.
2
6
a
B.
3
4
a
C.
2
4
a
D.
3
6
a
Hướng dẫn giải:
Ta có
3
(0;0;0), ;0;0 , ' ;0; , ' 0; ;
2
a a a
D B C a A a
Gọi
là mặt phẳng qua 'DC và
/ / ' A B suy ra phương
trình
: 0 x z
2
2
( ' , ') ( ,( ))
4
2
a
a
d A B DC d B
Chọn đáp án C.
Có 2 cách để tiếp cận một bài toán hình học không gian thông
thường là kẻ thêm hình và tọa độ hóa. Ở bài toán này, phương
pháp tọa độ có nhiều ưu điểm hơn hẳn.
Gọi D' là trung điểm B'C ' ta có DD';DC;DA đôi một vuông
góc với nhau
Ghép hệ tọa độ như hình vẽ với D là gốc tọa độ.
2
2
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 127
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
GÓC
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1) Góc giữa hai đường thẳng: a//a', b//b'
Chú ý: 0
0
90
0
2) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:
Nếu d (P) thì = 90
0
.
Nếu thì = với d là hình chiếu của d trên (P).
Chú ý: 0
0
90
0
2) Góc giữa hai mặt phẳng
Giả sử (P) (Q) = c. Từ I c, dựng
Chú ý:
3) Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H) của (H) trên (Q),
= . Khi đó: S = S.cos
Gọi M là trung điểm BD,
, ,
AB CD MF ME
Áp dụng định lý cosin trong tam giác EMF tính được
0 0
1
cos 120 ( , ) 60
2
EMF EMF AB CD
Chọn đáp án A.
Câu 2: Cho hình chóp đều
. .
S ABC
Người ta tăng cạnh đáy lên gấp 2 lần. Để thể tích giữ nguyên thì
tan của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy phải giảm đi số lần là :
A.
8
B.
2
C.
3
D.
4
Hướng dẫn giải:
Gọi S là đỉnh hìnhchóp, O làtrọng tâm tam giác ABC;
là góc tạo bởi cạnh bên vàmp(ABC).
Chứng minh được thể tích của khối chóp là
3
1
tan
12
V a
a,b a ',b'
a,b
d,(P)
d (P)
d,(P)
d,d'
d,(P)
a (P)
(P),(Q) a,b
b (Q)
a (P),a c
b (Q),b c
(P),(Q) a,b
0 0
0 (P),(Q) 90
(P),(Q)
B – BÀI TẬP
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD, biết
EF a 3 . Góc giữa hai đường thẳng AB và CD là :
A. 60
0
B. 45
0
C. 30
0
D. 90
0
Hướng dẫn giải:
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 128
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Khi cạnh bên tăng lên 2 lần thì thể tích là
3
1
(2 ) tan '
12
V a . Để thể tích giữ nguyên thì
tan
tan '
8
, tức là tan góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy phải giảm đi 8 lần
Chọn đáp án A.
Câu 3: Cho khối chóp tứ giác đều .S ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó côsin góc giữa mặt bên
và mặt đáy là:
A.
30
O
B. 3 C.
60
O
D.
1
3
Hướng dẫn giải:
Cho khối chóp tứ giác đều .S ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó côsin góc giữa mặt bên và
mặt đáy là:
Ta có
, SBC ABCD SIH
Khi đó:
1
2
cos
3 3
2
a
HI
SI
a
Chọn đáp án D.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA bằng 2a, tam giác ABC vuông ở C có 2 ,AB a
0
30CAB
. Gọi H là hình chiếu vuông của A trên SC. Tính theo a thể tích của khối chóp H.ABC. Tính
cô-sin của góc giữa hai mặt phẳng
, .SAB SBC
A.
7
7
B.
7
14
C.
3 7
14
D.
7
9
Hướng dẫn giải:
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Ta có AH SC,AH CB(Do CB (SAC)) AH
(SBC) AH SB
Lại có: SB AK SB (AHK). Vậy góc giữa giữa hai mặt phẳng
,SAB SBC là
HKA
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 7 .2 3
4 3 12
7
1 1 1 1 1 1
2
4 4 2


a
AH
AH SA AC a a a
AK a
AK SA AB a a a
Tam giác HKA vuông tại H (vì AH (SBC),(SBC) HK)
.2 3
6 7
7
sin os
7
2 7
a
AH
HKA c HKA
AK
a

Chọn đáp án A.
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 129
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SAB ABCD . H là trung điểm
của AB, , SH HC SA AB . Gọi là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Giá trị của
tan
là:
A.
1
2
B.
2
3
C.
1
3
D. 2
Hướng dẫn giải:
Ta có
1
2 2
a
AH AB , SA AB a ,
2 2
5
2
a
SH HC BH BC
Có
2
2 2 2
5
4
a
SA AH AH SAH SA AB SA ABCD
và
;AC hc SC ABCD
Ta có:
1
; ,tan
2
SC ABCD SCA SCA
Chọn đáp án A.
Câu 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích của hình chóp S.ABCD là
3
15
6
a
. Góc giữa đường
thẳng SC và mặt phẳng đáy (ABCD) là:
A. 30
0
B. 45
0
C. 60
0
D. 120
0
Hướng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm AB
Ta có
3
2 2
D . D
1 15 15
, . .
3 6 2
ABC S ABC
a a
S a V SH a SH
2
2 2 2
5
4 2
a a
HC AC AH a
, , SC ABCD SC HC SCH
0
15 5
tan :CH : 3 60
2 2
a a
SCH SH a SCH
Chọn đáp án C.
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với
đáy (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB, , SH HC SA AB . Gọi là góc giữa đường thẳng SC và
mặt phẳng (ABCD). Giá trị của
tan
là:
A.
1
2
B.
2
3
C.
1
3
D. 2
Hướng dẫn giải:
Ta có
1
2 2
a
AH AB
SA AB a
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 130
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2 2
5
2
a
SH HC BH BC
Có
2
2 2 2
5
4

a
AH SA SH SAH vuông tại A
nên SA AB
Do đó
SA ABCD nên
, SC ABCD SCA
Trong tam giác vuông SAC, có
1
tan
2
SA
SCA
AC
Chọn đáp án A.
Câu 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, có SA vuông góc với (ABC),
tam giác SBC cân tại S. Để thể tích của khối chóp S.ABC là
3
3
2
a
thì góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (ABC) là:
A.
0
60
B.
0
30
C.
0
45
D. Đáp án khác.
Hướng dẫn giải:
Do tam giác SBC cân tại S nên gọi I là trung điểm của BC thì
; ; SI BC AI BC SIA SBC ABC
Do đáy ABC là tam giác đều nên
2
1 2 3
.2 . 3
2 2
ABC
a
S a a . Thể tích khối chóp được tính bằng
3 3
2
1 3 3 3 1
. . .
3 2 2
3
ABC
a a
V SA S SA
a
3
2
a
SA
Khi đó
3 2 3 3
tan :
2 2 2
SA a a
SIA
AI
3
tan
2
SIA atc
Chọn đáp án D.
Câu 9: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính số đo góc giữa (BA’C) và
(DA’C)
A.
0
30
B.
0
120
C.
0
60
D.
0
90
Hướng dẫn giải:
Kẻ
' 1BH A C
Mặt khác, ta có
'
'
BD AC
AA BD
AA ABCD
' ' 2 BD ACA BD A C
Từ (1), (2) suy ra
' ' A C BDH A C DH
Do đó
' , ' ;
BA C DA C HB HD
Xét tam giác vuông 'BCA có:
2 2 2
1 1 1 2
3
a
BH DH
BH BC BA
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 131
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
2 2
0
2
2 1
cos 120
2 2
BH BD
BHD BHD
BH
. Vậy góc cần tìm là
0
60
Chọn đáp án C.
Câu 10: Cho hình lăng trụ đứng . ’ ’ ’ABC A B C có đáy là tam giác cân với , AB AC a góc
0
120 ,ABC cạnh bên BB’ = a. Gọi I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng
(ABC) và (AB’I)?
A. cosα =
3
5
B. cosα=
3
10
C. cosα=
7
10
D. cosα =
1
2
Hướng dẫn giải:
Ta có: BC = 3a . Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ACI,
ABB
’
, B
’
C
’
I:
Suy ra AI =
5
2
a , AB
’
= 2a , B
’
I =
13
2
a
Do đó AI
2
+ AB
’2
= B
’
I
2
Vậy tam giác AB
’
I vuông tại A
'
' 2
1 10 3
. ,
2 4 4
ABC
AB I
S AI AB a S a
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB
’
I). Tam giác ABC là
hình chiếu vuông góc của tam giác AB
’
I.
Suy ra :
'
10 3 3
.cos .cos cos
4 4 10
ABC
AB I
S S
Chọn đáp án B.
Câu 11: Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có ABC là tam giác vuông,
1, ' 2 AB BC AA
. M là
trung điểm của cạnh .BC Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C là:
A.
1
7
d
B.
2
7
d
C. 7d D.
1
7
d
Hướng dẫn giải:
2 2 2 2
1 1 1 1 1
7
7
h
h BE BA BM
Chọn đáp án A.
Gọi E là trung điểm của BB'. Khi đó
AME
/ /B'C nên ta có:
Gọi E là trung điểm của BB’.
d
B'C; AM
d(B'C;(AME)) d(B';(AME)) d(B;(AME))
Ta có: d(B;(AME)) h
Tứ diện BEAM có các cạnh BE, BM, BA đôi một vuông góc nên
là bài toán quen thuộc. Ta có
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 132
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với đáy, đáy là tam giác ABC vuông cân tại B,
2AB a
. Biết góc tạo bởi SC và (ABC) bằng
0
45
. Khoảng cách từ SB đến SC bằng:
A.
3
2
a
B.
2a
C.
2
2
a
D.
5
2
a
Hướng dẫn giải:
Hướng dẫn: Gọi H là trung điểm của .AC Tính được
1
2 2 ;BH
2
AC HC a AC a
CM được
0
, 45SH ABC SC ABC SCH SH a
tam giác SHB vuông cân tại H 2 SB a
Trong (SHB): Dựng HI SB tại I (1)
CM được
AC SHB AC HI tại H (2)
Từ (1) và (2)
1 2
,
2 2
a
d SB AC HI SB
Chọn đáp án C.
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a .Hình chiếu vuông
góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB; Góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng đáy bằng
0
60
. Góc giữa hai đường thẳng SB và AC có giá trị gần với giá trị nào nhất sau đây:
A. 60
0
B. 80
0
C. 70
0
D. 90
0
Hướng dẫn giải:
2
5; 7; . ( . ) . . 2

AC a SB a SB AC SH HB AC HB AC AH AC a
0
| . | 2
cos = 70
.
35
SB AC
SB AC
Chọn đáp án C.
Câu 14: Cho hình vuông ABCD cạnh 4a. Lấy H, K lần lượt trên AB, AD sao cho BH=3HA, AK=3KD
. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy S sao cho góc SBH =
30
. Gọi E là
giao điểm của CH và BK. Tính cosin góc giữa SE và BC.
A.
18
5 39
B.
9
5 39
C.
36
5 39
D.
28
5 39
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2
2
.
cos( ; )
.
9 9
. ( ). . . .
25 25
9 9 9 144
. .cos . . . .
25 25 25 25
 
SE BC
SE BC
SE BC
SE BC SH HE BC HE BC HC BC CH CB
CB a
CH CB HCB CH CB CB
CH
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 133
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta chứng minh được HK CH tại E
2
2 2
2 2 2
2
2 2 2
. 9 9 9 9
.
25 25 25 5
81 2 39 144 5 18
3 os( ; ) .
25 5 25
2 39.4 5 39

HE HE HC HB a
HE HC HB BC
HC HC HB BC
a a a
SE SH HE a c SE BC
a a
Chọn đáp án A.
Câu 15: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm của đáy là O. Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng , cosin góc giữa MN và
mặt phẳng (SBD) bằng :
A.
3
4
B.
2
5
C.
5
5
D.
10
5
Hướng dẫn giải:
Gọi P là trung điểm AO; Q là giao điểm của MC và SO, từ Q kẽ tia song song với MN trong
mp(MBC) cắt BC tại R, trong mặt phẳng đáy từ R kẽ tia song song với AC cắt BD tại S.
MP//SO nên
MP ABCD , suy ra
0
60MNP
Ta tính PN bằng cách vẽ thêm hình phụ như bên, theo định lí Ta-lét
3 3
4 4
a
PT AB
Dễ thấy
4
a
TN , theo định lý Pytago ta tính được
10
4
a
PN .
Tam giác MPN vuông tại P có
10
2
NP a
MN
cosMNP
Dễ thấy Q là trọng tâm tam giác SAC nên
2
3
CQ
MC
Vì QR//MN nên theo định lý Ta-lét ta suy ra
2 2 10
3 3 3
QR CQ CR a
QR MN
MN MC NC
Hình vuông ABCD cạnh a có đường chéo
2
2
2
a
AC a OC
0
60
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 134
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vì SR//AC nên theo định lý Ta-lét ta suy ra
2 2 2
3 3 3
SR BR a
SR OC
OC BC
, / /
CA SBD SR CA SR SBD
, mặt khác QR//MN do đó góc giữa MN với (SBD) là góc
giữa QR với (SBD) là góc SQR.
Tam giác SQR vuông tại S có
2 10 5
:
3 3 5
SR a a
cosSQR
QR
Chọn đáp án C.
| 1/134
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian MỤC LỤC
HÌNH ĐA DIỆN...................................................................................................................................... 3
A – KIẾN THỨC CHUNG ................................................................................................................... 3
I. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN .................................................................. 3
II. HAI HÌNH BẲNG NHAU ............................................................................................................... 4
III. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN.............................................................................. 5
IV. KHỐI ĐA DIỆN LỒI ..................................................................................................................... 5
V. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU ..................................................................................................................... 6
B – BÀI TẬP ........................................................................................................................................ 8
THỂ TÍCH HÌNH CHÓP ..................................................................................................................... 29
A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT .............................................................................................................. 29
B – BÀI TẬP ...................................................................................................................................... 30
HÌNH CHÓP ĐỀU ............................................................................................................................. 30
HÌNH CHÓP CÓ MỘT CẠNH VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY.................................................................. 37
HÌNH CHÓP CÓ MẶT VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY ............................................................................. 45
HÌNH CHÓP KHÁC .......................................................................................................................... 53
TỈ SỐ THỂ TÍCH ................................................................................................................................. 67
A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT .............................................................................................................. 67
B - BÀI TẬP ...................................................................................................................................... 67
HÌNH LĂNG TRỤ................................................................................................................................ 79
A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT .............................................................................................................. 80
B – BÀI TẬP ...................................................................................................................................... 80
THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG ......................................................................................................... 80
THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN ........................................................................................................... 94
KHOẢNG CÁCH ................................................................................................................................102
A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT ..............................................................................................................102
B – BÀI TẬP .....................................................................................................................................103
I – KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG .............................................................103
II - KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG .......................................................117
GÓC .....................................................................................................................................................127
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ............................................................................................................127
B – BÀI TẬP .....................................................................................................................................127
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian HÌNH ĐA DIỆN
A – KIẾN THỨC CHUNG
I. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN
1. Khái niệm về hình đa diện
Quan sát hình lăng trụ, hình chóp ở trên ta thấy chúng đều là những hình không gian được tạo bởi một
số hữu hạn đa giác. Các đa giác ấy có tính chất
a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác như thế được gọi
là một mặt của hình đa diện (H). Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh
của hình đa diện (H).
Người ta gọi các hình đó là hình đa diện.
Nói một cách tổng quát: Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) (H) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các
đa giác thỏa mãn hai tính chất trên. Mỗi đa giác như thế được gọi là các mặt của đa diện. Các đỉnh các
cạnh của đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của đa diện.
2. Khái niệm về khối đa diện
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bới một hình đa diện (H), kể cả hình đa diện đó.
Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc
khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối
đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền
ngoài khối đa diện.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Mỗi đa diện (H) chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và
miền ngoài của (H). Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường –thẳng d nào đấy.
Khối đa diện (H) là hợp của hình đa diện (H) và miền trong của nó.
II. HAI HÌNH BẲNG NHAU
1. Phép dời hình trong không gian và sự bằng nhau giữa các khối đa diện.
Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi
là một phép biến hình trong không gian.
Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý. Nhận xét:
Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình. 
Phép dời hình biến một đa diện thành  H  một đa diện  H ' , biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa
diện  H  thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện  H ' .   
a) Phép dời hình tịnh tiến theo vector v là phép biến hình biến điểm M thành M’ sao cho MM '  v .
b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mọi
điểm thuộc (P) thành chính nó, biến điểm M không thuộc (P)
thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng chung trực của MM’.
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính
nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H).
c) Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến điểm O thành
chính nó, biến điếm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’.
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O
được gọi là tâm đối xứng của (H).
d) Phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình mọi
điểm thuộc d thành chính nó, biến điểm M không thuộc d thành
điểm M’ sao cho d là trung trực của MM’. Phép đối xứng qua
đường thẳng d còn được gọi là phép đối xứng qua trục d.
Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H) thành chính
nó thì d được gọi là trục đối xứng của (H).
2. Hai hình bằng nhau
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian Nhận xét
Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình đa diện này thành hình đa diện kia. 
Hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
III. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN
Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện  H , H , sao cho  H và  H không có 2  1  1   2 
điểm trong chung thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện  H và  H , 2  1 
hay có thể lắp ghép được hai khối đa diện  H và  H
với nhau để được khối đa diện (H). 2  1 
Ví dụ. Xét khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng BDD’B’ cắt khối lập phương đó theo một
thiết diện là hình chữ nhật BDD’B’. Thiết diện này chia các điểm còn lại của khối lập phương ra làm
hai phần. Mỗi phần cùng với hình chữ nhật BDD’B’ tạo thành khối lăng trụ, như vậy có hai khối lăng
trụ: ABD.A’B’D’ và BCD.B’C’D’. Khi đó ta nói mặt phẳng (P) chia khối lập phương
ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối lăng trụ ABD.A’B’D’ và BCD.B’C’D’.
Tương tự trên ta có thể chia tiếp khối trụ ABD.A’B’D’ thành ba khối tứ diện: ADBB’, ADB’D’ và AA’B’D’.
Nhận xét: Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành các khối tứ diện.
IV. KHỐI ĐA DIỆN LỒI
Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc
(H). Khi đó đa diện giới hạn (H) được gọi là đa diện lồi (Hình 2.1).
Lưu ý: Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối
với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó. (Hình 2.2)
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Công thức ƠLE: Trong một đa diện lồi nếu gọi Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt Đ-C+M=2
V. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
Quan sát khối tư diện đều (Hình 2.2.1), ta thấy các mặt
của nó là những tam giác đều, mỗi đỉnh của nó là đỉnh
chung của đúng ba mặt. Đối với khối lập phương (Hình
2.2.2), ta thấy các mặt của nó là những
hình vuông, mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung đúng ba mặt. Những khối đa diện nói trên được gọi là khối đa diện đều
Định nghĩa: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có các tính chất sau:
a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loiaj {p;q}.
Nhận xét: Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và bằng nhau.
Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là các khối đa diện đều loại {3,3}, loại {4,3}, loại {3,4},
loại {5,3}, và loại {3,5}.
Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo theo thứ tự được gọi là khối đa diện
đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều.
Năm khối đa diện đều Khối tám mặt Khối mười hai Khối hai mươi Tứ diện đều Khối lập phương đều mặt đều mặt đều Nhận xét:
Hai khối đa diện đều có cùng số mặt và có cạnh bằng nhau thì bằng nhau. 
Hai khối đa diện đều có cùng số mặt thì đồng dạng với nhau.
Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Khối đa diện đều
Số đỉnh Số cạnh Số mặt Ký hiệu {p, q}
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian Kứ diện đều 4 6 4 {3, 3} Khối Lập Phương 8 12 6 {4, 3}
Khối Tám Mặt Đều 6 12 8 {3, 4}
Khối Mười Hai Mặt Đều 20 30 12 {5, 3}
Khối Hai Mươi Mặt Đều 12 30 20 {3, 5}
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian B – BÀI TẬP
Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Chỉ có năm loại hình đa diện đều.
B. Hình hộp chữ nhật có diện tích các mặt bằng nhau là hình đa diện đều.
C. Trọng tâm các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.
D. Hình chóp tam giác đều là hình đa diện đều. Hướng dẫn giải:
+ Trong không gian ba chiều, có đúng 5 khối đa diện đều lồi, chúng là các khối đa
diện duy nhất (xem chứng minh trong bài) có tất cả các mặt, các cạnh và các góc ở đỉnh bằng nhau. Tứ diện đều Khối lập Khối bát diện Khối mười hai Khối hai mươi phương đều mặt đều mặt đều => A đúng
+ Hình chóp tam giác đều là hình tứ diện đều → D đúng
+ Hình hộp chữ nhật có diện tích các mặt bằng nhau là khối lập phương → B đúng
+ Trọng tâm các mặt của hình tứ diện đều không thể là các đỉnh của một hình tứ diện đều → C sai. Chọn đáp án C.
Câu 2: Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng? A. Tứ diện đều B. Bát diện đều
C. Hình lập phương D. Lăng trụ lục giác đều Chọn đáp án A.
Câu 3: Khái niệm nào sau đây đúng với khối chóp?
A. là hình có đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh.
B. là phần không gian được giới hạn bởi hình chóp và cả hình chóp đó.
C. là phần không gian được giới hạn bởi hình chóp.
D. là khối đa diện có hình dạng là hình chóp. Hướng dẫn giải:
Nhiều độc giả có thể nhầm giữa khái niệm hình chóp và khối chóp. Nên khoanh ý A. Tuy nhiên các
bạn nên phân biệt rõ ràng giữa hình chóp và khối chóp nói chung, hay hình đa diện và khối đa diện nói riêng.
+ Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thoả mãn hai tính chất:
a, Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
b, Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
+ Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. Vậy
khi đọc vào từng đáp án ở đây thì ta thấy ý A chính là khái niệm của hình chóp. Ý B là khái niệm
của khối chóp. Ý C là mệnh đề bị thiếu, ý D sai. Chọn đáp án B.
Câu 4: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất A. Năm cạnh B. Bốn cạnh C. Ba cạnh D. Hai cạnh Hướng dẫn giải:
Đúng theo lý thuyết SGK. Các em có thể xem thêm các dạng toán về khối đa diện đều trong sách
hình học lớp 12 (các bài tập 1,2,3,4 trang 25 bài 5,6 trang 26). Chọn đáp án C.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 5: Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng:
“Số cạnh của một hình đa diện luôn……………….số đỉnh của hình đa diện ấy” A. nhỏ hơn
B. nhỏ hơn hoặc bằng C. lớn hơn D. bằng Chọn đáp án C.
Câu 6: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?
A. Tồn tại một đa diện đều có 2 mặt là 2 đa giác không bằng nhau.
B. Nếu hình chóp tứ giác S.ABCD là hình chóp đều thì nó cũng là đa diện đều.
C. Nếu một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của đúng 3 mặt thì tổng số đỉnh của nó phải là số chẵn.
D. Nếu lăng trụ tam giác ABC. ’ A ’ B ’
C là lăng trụ đều thì nó cũng là đa diện đều. Hướng dẫn giải:
Đa diện đều có tất cả các mặt là các đa giác bằng nhau
Không tồn tại đa diện đều có 5 và 6 đỉnh, do đó chóp S.ABCD và lăng trụ ABC. ’ A ’ B ’ C không thể là đa diện đều.
Nếu mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 3 mặt thì nó cũng là đỉnh chung của đúng 3 cạnh. Giả sử số 3n
đỉnh của đa diện là n thì số cạnh của nó phải là
(vì mỗi cạnh được tính 2 lần), do đó n chẵn. 2 Chọn đáp án C.
Câu 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Nhận định nào sau đây không đúng :
A. Hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau
B. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy là tâm của đáy. C. ABCD là hình thoi
D. Hình chóp có các cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy một góc. Hướng dẫn giải:
Nhắc lại kiến thức: Hình chóp đa giác đều: là hình chóp có đáy là đa giác đều và hình chiếu của đỉnh
xuống đáy trùng với tâm của đáy. Như vậy hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông
ABCD và hình chiếu của S xuống đáy là tâm hình vuông ABCD. Chọn đáp án C.  
Câu 8: Trong không gian cho hai vectơ u và v . Với M là điểm bất kỳ, ta gọi M là ảnh của M qua 1 phép 
T và M là ảnh của M qua phép 
T ,. Khi đó phép biến hình biến điểm M thành đểm M là: u 2 1 v 2   
A. Phép tịnh tiến theo vectơ u v
B. Phép tịnh tiến theo vectơ u
C. Phép tịnh tiến theo vectơ v
D. Một phép biến hình khác Hướng dẫn giải:
Theo định nghĩa phép tịnh tiên vectơ   
T M   M MM u
       1 1 u
   MM M M u v MM u v 1 1 2 2 
T M M M M v 1  2 1 2  v   
Như vậy, phép biến hình biến điểm M thành đểm M là phép tịnh tiến theo vectơ u v . 2 Chọn đáp án A.
Câu 9: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành chính nó? A. Không có B. 1 C. 2 D. Vô số Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 10: Trong không gian cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Có bao nhiêu phép tịnh
tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng b? A. Không có B. 1 C. 2 D. Vô số Chọn đáp án D.
Câu 11: Trong không gian cho (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A. Không có phép tịnh tiến nào biến (P) thành (Q)
B. Có duy nhất một phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)
C. Có đúng hai phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)
D. Có vô số phép tịnh tiến biến (P) thành (Q) Chọn đáp án D.
Câu 12 : Trong không gian cho hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau (
AB A' B '; AC A'C '; BC B 'C ' ). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A. Không thể thực hiện một phép tịnh tiến nào biến tam giác này thành tam giác kia
B. Tồn tại duy nhất một phép tịnh tiến nào biến tam giác này thành tam giác kia
C. Có nhiều nhất hai phép tịnh tiến nào biến tam giác này thành tam giác kia
D. Có thể thực hiện vô số phép tịnh tiến biến tam giác này thành tam giác kia. Hướng dẫn giải:
Trước hết ta nhận thấy rằng, muốn thực hiện được một phép tịnh tiến
biến ABC thành A' B 'C ' thì phải có điều kiện, hai tam giác ABC
và A’B’C’ ơhair nằm trên hai mặt phẳng song song (hoặc trùng 
  
nhau) và AB A' B ', AC A'C'.  
Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ u A' A biến A' B 'C ' thành ABC và phép tịnh tiến theo vectơ  
v A' A biến A' B 'C ' thành ABC . Như vậy chỉ có hai phép tịnh tiến biến tam giác này thành tam giác kia.
Câu 13: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC.  1 
Phép tịnh tiến theo vectơ u
AD biến tam giác A'I J thành tam giác 2 A. C’CD
B. CD’P với P là trung điểm của B’C’
C. KDC với K là trung điểm của A’D’ D. DC’D’ Hướng dẫn giải:  1 
Gọi T là phép tịnh tiến theo vect ơ u AD . Ta có 2
T I   D,T J   C,T A'  K
Vậy T A'I J   KDC. Chọn đáp án C.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 14: Cho hai mặt phẳng  và  song song với nhau. Với M là một điểm bất kỳ, ta gọi M là 1
ảnh của M qua phép đối xứng Đ  và M là ảnh của M qua phép đối xứng Đ  f 2 1 . Phép biến hình 
Đ   Đ  . Biến điểm M thành M là 2
A. Một phép biến hình khác B. Phép đồng nhất C. Phép tịnh tiến
D. Phép đối xứng qua mặt phẳng Hướng dẫn giải:
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MM , M M
I   , J   1 1 2      Ta có:   D
M M MM IM    2 1 1 1   D M
M M M M J   2 1  2 1 2 1 Suy ra:     
MM  2 IM M J  2IJ u (Không đổi) 2  1 1  
Vậy M là ảnh của M qua phép tịnh tiến u . 2 Chọn đáp án D.
Câu 15: Trong không gian một tam giác đều có mấy mặt phẳng đối xứng? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải:
Trong không gian, với tam giác đều bất kì ABC có bốn mặt phẳng đối xứng. Đó là: Ba mặt phẳng
trung trực của ba cạnh và mặt phẳng chứa ABC . Chọn đáp án D.
Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có các kích thước là a, b, c a b c . Hình hộp
chữ nhật này có mấy mặt đối xứng A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải:
Hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có 3 mặt đối xứng, đó là các mặt phẳng trung trực AB, AD, AA’. Chọn đáp án C.
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với (ABCD). Hình
chóp này có mặt đối xứng nào? A. Không có B. SABC. SAC D. SADHướng dẫn giải:
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Ta có: BD  SAC  và O là trung điểm của BD. Suy ra  SAC  là
mặt phẳng trung trực của BD. Suy ra  SAC  là mặt đối xứng của
hình chóp, và đây là mặt phẳng duy nhất. Chọn đáp án C.
Câu 18: Trong không gian cho hai điểm I và J phân biệt. Với mỗi điểm M ta gọi M là ảnh của M qua 1
phép đối xứng tâm D , M là ảnh của M qua phép đối xứng tâm D . Khi đó hợp thành của D và D I 2 J I J
biến điểm M thành điểm M là 2
A. Phép đối xứng qua mặt phẳng B. Phép tịnh tiến
C. Phép đối xứng tâm D. Phép đồng nhất Hướng dẫn giải: Ta có:   D M M MM IM I      2 1 1 1   D M M M M M J J     2 1  2 1 2 1 Do đó: 
  
MM  2 IM M J  2IJ (không đổi) 1  1 1   
Vậy M là ảnh của M qua phep tịnh tiến theo vectơ u  2IJ . 2 Chọn đáp án B.
Câu 19: Trong các hình dưới đây, hình nào không có tâm đối xứng A. Hình hộp
B. Hình lăng trụ tứ giác đều C. Hình lập phương D. Tứ diện đều Hướng dẫn giải:
Hình hộp có một tâm đối xứng là giao điểm của bốn đường chéo 
Hình lăng trụ tứ giác đều, hình lập phương là các hình hộp đặc biệt nên có một tâm đối xứng 
Tứ diện đều không có tâm đối xứng.
Thật vậy, giả sử tứ diện đều ABCD có tâm đối xứng O.
Nhận thấy các đỉnh A,B,C,D không thể là tâm đối xứng của tứ diện ABCD, nên ảnh của A qua
đối xứng tâm O là một trong ba đỉnh còn lại, nếu D A  B thì O là trung điểm của AB, nhưng O
trung điểm của AB cũng không thể là tâm đối xứng của ABCD.
Câu 20: Hình chóp tứ giác đều có mấy mặt phẳng đối xứng A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng đó là:
SAC ,SBD,SMN ,SIJ  , với M, N, I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD, DA, BC Chọn đáp án D.
Câu 21: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ tâm O (tâm đối xứng). Ảnh của đoạn thẳng A’B qua
phép đối xứng tâm D là đoạn thẳng O A. DC ' B. CD ' C. DB ' D. AC ' Hướng dẫn giải: Ta có D A C D B D O
'  ; O    ' Do đó D A CD O  'B  ' Chọn đáp án B.
Câu 22: Trong không gian cho hai đường thẳng song song a và b. Với mỗi điểm M ta gọi M là ảnh 1
của M qua phép đối xứng tâm D , M là ảnh của M qua phép đối xứng tâm D . Khi đó hợp thành của a 2 b
D D biến điểm M thành điểm M là a b 2
A. Phép đối xứng trục
B. Phép đối xứng qua mặt phẳng
C. Phép đối xứng tâm D. Phép tịnh tiến Hướng dẫn giải:
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MM , M M 1 1 2
Các điểm M , M , M , I , J cùng nằm trên một mặt phẳng (P) 1 2
vuông góc với a và b tại I và J. Ta có:   D M M MM IM I      2 1 1   D M M M M M J J     2 1  2 1 2 1 
   
Suy ra: MM  2 IM M J  2IJ u (không đổi) 2  1 1  Chọn đáp án D.
Câu 23: Trong không gian cho hai hai mặt phẳng  và  vuông góc với nhau. Với mỗi điểm M ta
gọi M là ảnh của M qua phép đối xứng tâm D , M là ảnh của M qua phép đối xứng tâm D . Khi 1  2 
đó hợp thành của D D biến điểm M thành điểm M là   2 A. Phép tịnh tiến
B. Phép đối xứng qua mặt phẳng
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
C. Phép đối xứng tâm
D. Phép đối xứng trục Hướng dẫn giải:
Gọi I, J, O lần lượt là trung điểm của MM , M M , MM ( với 1 1 2 2
MM   và I  , M M   và J  ) 1 2   1  
Ta có: IO / /M M nên IO   , do đó nếu gọi a là giao tuyến 1 2
của  và  thì IO a và O a . Suy ra hai điểm M và
M đối xứng nhau qua đường thẳng a. 2
Vậy hợp thành của D D biến điểm M thành điểm M là phép đối xứng qua đường thẳng a.   2 Chọn đáp án D.
Câu 24: Tứ diện đều có mấy trục đối xứng A. Không có B. 1 C. 2 D. 3 Hướng dẫn giải:
Tứ diện đều có ba trục đối xứng đó là ba đường thẳng đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối của nó. Chọn đáp án D.
Câu 25: Hình chóp tứ giác đều có mấy trục đối xứng? A. Không có B. 1 C. 2 D. 3 Hướng dẫn giải:
Hình chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng đó là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy. Chọn đáp án B.
Câu 26: Hình vuông có mấy trục đối xứng? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Hướng dẫn giải:
Trong không gian, hình vuông có 5 trục đối xứng, đó là: 
Hai đường thẳng chứa hai đường chéo AC, BD 
Đường thẳng đi qua trung điểm của AB, CD và đường thẳng đi qua trung điểm của AD và BC 
Trục ngoại tiếp đường tròn ngoại tiếp hình vuông Chọn đáp án D.
Câu 27: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A. Nếu hình H có trục đối xứng thì nó có ít nhất một tâm đối xứng.
B. Nếu hình H có mặt đối xứng thì nó có ít nhất một trục đối xứng.
C. Nếu hình H có mặt đối xứng và có trục đối xứng thì nó có ít nhất một tâm đối xứng.
D. Nếu hình H có mặt đối xứng và có tâm đối xứng nằm trên mặt đối xứng thì nó có ít nhất một tâm đối xứng. Hướng dẫn giải:
Hình chóp tứ giác đều có một trục đối xứng, nhưng không có tâm đối xứng. Như vậy A sai
Hình chóp S.ABCD có SA   ABCD có mặt phẳng đối xứng là  SAC  , nhưng hình chóp này
không có trục đối xứng. Như vậy B sai
Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt đối xứng và có một trục đối xứng, nhưng không có tâm đối
xứng. Như vậy C sai
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian Chọn đáp án D.
Câu 28: Cho một bát diện đều. Các khẳng định đúng là:
1. Bát diện đều có đúng 12 cạnh
2. Bát diện đều có đúng 8 đỉnh a 2
3. Bát diện đều nếu có cạnh bằng a thì sẽ nội tiếp một mặt cầu có bán kính bằng R  2
4. Ghép hai khối tứ diện đều ta được một khối bát giác đều A. 1; 2 B. 3; 4 C. 1; 3 D. 1; 3; 4
Bát diện đều thì chỉ có 6 đỉnh. Ngoài ra ghép hai tứ diện đều thì không đem được kết quả gì. Chọn đáp án C.
Câu 29: Hình đa diện trong hình vẽ có bao nhiêu mặt? A. 6. B. 10. C. 12 D. 11. Hướng dẫn giải:
Đếm đáy hình chóp có 5 mặt và 5 mặt của lăng trụ và 1 mặt đáy. Vậy có 11 mặt. Chọn đáp án D.
Câu 30: Cho bốn hình sau đây. Mệnh đề nào sau đây sai :
A. Khối đa diện A không phải là khối đa diện đều.
B. Cả 4 khối đa diện A, B, C, D đều là khối đa diện lồi.
C. Khối đa diện C là khối đa diện lồi
D. Khối đa diện B là khối đa diện lồi
Khối đa diện A có 5 đỉnh nên không thể là đa diện đều
Khối đa diện D không phải là khối đa diện lồi
Khối đa diện B,C là khối đa diện lồi Chọn đáp án B.
Câu 31: Hình nào sau đây không phải là hình đa diện ?
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian Hướng dẫn giải:
Phân tích: Ta nhớ lại các kiến thức về hình đa diện như sau:
Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
a. Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
b. Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Ta thấy hình A vi phạm tính chất thứ hai trong điều kiện để có một hình đa diện. Ta thấy cạnh ở
giữa không phải là cạnh chung của đúng hai đa giác mà là cạnh chung của bốn đa giác. Chọn đáp án A.
Câu 32: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai ?
A. Lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi
B. Khối tứ diện là khối đa diện lồi
C. Khối hộp là khối đa diện lồi
D. Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi Hướng dẫn giải:
Lắp ghép 2 khối hộp chưa chắc đã được 1 khối đa diện lồi Chọn đáp án A.
Câu 33: Khối đa diện loại {3;4} là khối có :
A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 3 mặt
B. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 4 mặt C. Số đỉnh là 4 D. Số cạnh là 3 Chọn đáp án D.
Câu 34: Hình chóp tứ giác đều có số mặt phẳng đối xứng là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Chọn đáp án B.
Câu 35: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
A. Hình lập phương có nhiều nhất 8 mặt phẳng đối xứng
B. Tồn tại một hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau
C. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh
D. Hình bát diện đều chỉ có 8 cạnh bằng nhau Chọn đáp án B.
Câu 36: Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện. A. B.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian C. D. Chọn đáp án C.
Câu 37: Số đỉnh của một hình bát diện đều là ? A. Mười hai B. Tám C. Mười D. Sáu Hướng dẫn giải:
+ Hình bát diện đều là hình có dạng như hình bên:
+ Nên số đỉnh của nó là sáu Chọn đáp án D.
Câu 38: Trong các hình dưới đây, hình nào là khối đa diện? A. B. C. D. Chọn đáp án A.
Câu 39: Cho một hình đa diện. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh
B. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt
C. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt
D. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh Chọn đáp án C.
Câu 18: Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện? Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 A. Hình 4. B. Hình 3. C. Hình 2. D. Hình 1. Chọn đáp án B.
Câu 40: Trong hình bát diện đều số cạnh gấp mấy lần số đỉnh. 4 3 A. B. C. 2 D. 3 3 2 Hướng dẫn giải:
Hình bát diện đều có 12 cạnh và 6 đỉnh. Nên số cạnh gấp 2 lần số đỉnh Chọn đáp án C.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 41: Mỗi đỉnh của bát diện đều là đỉnh chung của bao nhiêu cạnh ? A. 3 B. 5 C. 8 D. 4 Hướng dẫn giải:
Ta có hình vẽ hình bát diện đều như sau: Chọn đáp án D.
Câu 42: Khối đa diện đều loại 5;  3 có tên gọi là:
A. Khối lập phương
B. Khối bát diện đều
C. Khối mười hai mặt đều
D. Khối hai mươi mặt đều. Hướng dẫn giải:
Dễ nhận biết khối đa diện đều loại 5; 
3 là khối mười hai mặt đều. Chọn đáp án C.
Câu 43: Trong các mệnh đề sau, hãy chọn mệnh đề đúng. Trong một khối đa diện thì:
A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt. B. Hai cạnh bất kì có ít nhất một điểm chung.
C. Hai mặt bất kì có ít nhất một điểm chung. D. Hai mặt bất kì có ít nhất một cạnh chung. Hướng dẫn giải:
Xét hình lập phương ABC . D ’ A ’ B ’ C ’
D thì AB//A’B’: câu B) sai
ABCD // A’B’C’D’: câu C) và D) sai. Vậy câu A) đúng. Chọn đáp án A.
Câu 44: Nếu ba kích thước của một khối chữ nhật tăng lên 4 lần thì thể tích của nó tăng lên: A. 4 lần B. 16 lần C. 64 lần D. 192 lần Hướng dẫn giải: 43= 64 nên Chọn đáp án C.
Câu 45: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD
thành mấy khối tứ diện. A. 4 B. 3 C. 2 D. 6
Hướng dẫn giải:
Vậy ta có 2 các khối tứ diện là : SABC, SACD Ta chọn đáp án C
Câu 46: Hình bát diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 Hướng dẫn giải:
Hình bát diện đều có 9 mặt phẳng đối xứng: Chọn đáp án D.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Quy luật tìm các mặt phẳng đối xứng: Do tính chất đối xứng nhau, nên cứ đi từ trung điểm các cạnh
ra mà tìm. Đảm bảo rằng nếu chọn 1 mp đối xứng nào thì các điểm còn dư phải chia đều về 2 phía. Ví
dụ chọn mặt phẳng ABCD làm mp đối xứng thì 2 điểm S và S' là 2 điểm dư còn lại phải đối xứng nhau
qua ABCD. Nếu chọn SBS'D thì còn 2 điểm dư là A và C đối xứng nhau qua SBS'D,..
Câu 47: Có thể chia khối lập phương ABCD.ABCD thành bao nhiêu khối tứ diện bằng nhau mà
mỗi tứ diện có bốn đỉnh thuộc tập các điểm A, B,C, D, A, B,C, D ? A. Sáu B. Vô số C. Hai D. Bốn Hướng dẫn giải:
+ Chia khối lập phương ABCD.ABCD thành 2 khối lăng trụ bằng
nhau ABC.ABC và ADC.ADC
+ Xét khối lăng trụ ABC.ABC và nối các đường như hình vẽ sau đây
Hai khối tứ diện ABCA,CBCA bằng nhau vì chúng đối xứng với nhau
qua mặt phẳng  BCA
Hai khối tứ diện CBCA,CBBA bằng nhau vì chúng đối xứng với nhau
qua mặt phẳng  ABC
Như vậy khối lăng trụ ABC.ABC được chia thành 3 khối tứ diện
ABCA, CBCA,CBBA bằng nhau.
+ Làm tương tự như vậy với khối lăng trụ ADC.  AD C ta cũng chia
được 3 khối tứ diện bằng nhau.
+ Vậy, ta có thể chia khối lập phương thành 6 khối tứ diện bằng nhau. Chọn đáp án A.
Câu 48: Thể tích của khối đa diện tạo bởi hình sau là:
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian A. 3 328cm B. 3 456cm C. 3 584cm D. 3 712cm Hướng dẫn giải:
V’ là khối lớn có đáy 14cmx15cm
V’’ là khối nhỏ có đáy 8cmx8cm
Thể tích khối cần tìm V = V’ - V’’= 584 cm3 Chọn đáp án C.
Câu 49: Cho khối tứ diện ABCD . Lấy một điểm M nằm giữa A và B, một điểm N nằm giữa C và . D
Bằng hai mặt phẳng MCD và  NAB ta chia khối tứ diện đã cho thành 4 khối tứ diện:
A. AMCN, AMND, BMCN, BMND
B. AMCN, AMND, AMCD, BMCN
C. BMCD, BMND, AMCN, AMDN
D. AMCD, AMND, BMCN, BMND Hướng dẫn giải: Ta có hình vẽ:
Nhìn vào hình vẽ ta thấy MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (NAB), khi đó ta thấy tứ
diện đã cho được chia thành bốn tứ diện ACMN , AMND, BMNC, BMN . D Chọn đáp án D.
Câu 50: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B. AB=BC=a, AD=2a;
SA  ( ABCD) . Nhận định nào sau đây đúng
A. SCD vuông B. SCD cân C. SCD đều
D. SCD vuông cân Hướng dẫn giải:
SA  ( ABCD)  SA CD(1)
Gọi là trung điểm của AD. Tứ giác ABCI là hình vuông Do đó:  0 ACI  45 (*)
Mặt khác, tam giác CID là tam giác vuông cân tại I  => 0 BCI  45 (**)
 CD  (SAC)  CD SC  SCD vuông Chọn đáp án A.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 51: Một hình hộp chữ nhật có đường chéo chính bằng 3 thì thể tích lớn nhất bằng: A. 3 3 B. 3 C. 9 D. 6 Hướng dẫn giải:
Gọi ba cạnh hình hộp chữ nhật là a;b;c. Khi đó: 2 2 2
a b c  9 và V abc . Do đó, áp dụng bất đẳng 3 2 2 2
a b c  thức Cauchy ta có ngay: 2 2 2 V abc
a .b .c   3 3   3  
Vậy thể tích lớn nhất bằng 3 3 khi hình hộp là hình lập phương. Chọn đáp án A.
Câu 52: Số mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều là: A. 4. B. 8. C. 6. D. 10.
Tứ diện đều có mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng tạo bởi một cạnh với trung điểm của cạnh đối diện của nó. Chọn đáp án C.
Câu 53: Hình lập phương có mấy mặt phẳng đối xứng ? A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 Hướng dẫn giải:
Hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có 9 mặt phẳng đối xứng đó là 
Ba mặt phẳng trung trực của các cạnh AB, AD, AA’ 
Sáu mặt phẳng chứa 6 đường chéo của hình lập phương
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian Chọn đáp án D.
Câu 54: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Về phía ngoài khối chóp
này ta ghép thêm một khối chóp tứ diện đều có cạnh bằng a, sao cho một mặt của khối tứ diện đều
trùng với một mặt của khối chóp đã cho. Hỏi khối đa diện mới lập thành có mấy mặt? A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.
Khối lăng trụ lập thành là một khối lăng trụ tam giác nên có 5 mặt
Câu 55: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A' B 'C ' . Về phía ngoài khối lăng trụ này ta ghép thêm
một khối lăng trụ tam giác đều bằng với khối lăng trụ đã cho, sao cho hai khối lăng trụ có chung một
mặt bên. Hỏi khối đa diện mới lập thành có mấy cạnh? A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B.
Khối lăng trụ lập thành là một khối lăng trụ đứng tứ giác nên có 12 cạnh
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 56: Trong các khối đa diện dưới đây, khối nào có số cạnh có thể là một số lẻ? A. Khối chóp; B. Khối tứ diện; C. Khối hộp; D. Khối lăng trụ. Hướng dẫn giải:
Khối chóp n- giác có tổng số cạnh bằng 2n 
Khối tứ diện có 6 cạnh  Khối hộp có 12 cạnh
 Khối lăng trụ n-giác với n là một số lẻ thì số cạnh là 3n, là một số lẻ.
Ví dụ: xét lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C ' có 9 cạnh là một số lẻ Chọn đáp án D.
Câu 2. Trong các khối đa diện dưới đây, khối nào có số mặt luôn là số chẵn? A. Khối lăng trụ; B. Khối chóp; C. Khối chóp cụt;
D. Khối đa diện đều. Hướng dẫn giải:
Khối lăng trụ n-giác với n là số lẻ có số mặt bằng n  2 là một số lẻ
Ví dụ: Lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’ có số mặt là 5. 
Khối chóp n-giác với n là số chẵn, thì số mặt của nó là n  1 là một số lẻ
Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giá và số mặt là 5. 
Khối chóp cụt: Tương tự như khối lăng trụ
Ví dụ: Khối chóp cụt tam giác có số mặt là 5. 
Trong không gian ba chiều, có đúng 5 khối đa diện đều, chúng là các khối đa diện duy nhất có tất
cả các mặt, các cạnh và các góc ở đỉnh bằng nhau. Chúng được giới thiệu trong các hình dưới đây: Năm khối đa diện đều Khối mười hai Khối hai mươi Tứ diện đều
Khối lập phương Khối tám mặt đều mặt đều mặt đều
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Tên của chúng gọi theo số mặt của mỗi khối tương ứng là 4, 6, 8, 12, và 20.
Các khối này đều có số mặt là chẵn. Chọn đáp án D.
Câu 57: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Khối tứ diện đều có 6 cạnh
B. Khối lập phương có 12 cạnh
C. Số cạnh của một khối chóp là chẵn
D. Khối 8 mặt đều có 8 cạnh Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D.
Vì khối 8 mặt đều có tất cả 12 cạnh
Ta nhắc lại như sau: Mỗi khối đa diện đều có thể xác định bới ký hiệu {p, q} trong đó
p = số các cạnh của mỗi mặt (hoặc số các đỉnh của mỗi mặt)
q = số các mặt gặp nhau ở một đỉnh (hoặc số các cạnh gặp nhau ở mỗi đỉnh).
Khí hiệu {p, q} là đặc trưng về số lượng của khối đa diện đều. Ký hiệu {p, q} của năm khối đa diện
đều được cho trong bảng sau. Khối đa diện đều
Số đỉnh Số cạnh Số mặt Ký hiệu {p, q} Khối diện đều 4 6 4 {3, 3} Khối Lập Phương 8 12 6 {4, 3} Khối Tám Mặt Đều 6 12 8 {3, 4}
Khối Mười Hai Mặt Đều 20 30 12 {5, 3}
Khối Hai Mươi Mặt Đều 12 30 20 {3, 5}
Lời bình: Ta có thể dùng phương pháp loại trừ như sau
A. Khối tứ diện đều có 6 cạnh.
Đúng vì có 3 cạnh bên + 3 cạnh đáy. Như vậy tổng là 6.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
B. Khối lập phương có 12 cạnh.
Đúng vì có 4 cạnh bên + 2 mặt đáy (mỗi mặt 4 cạnh). Vậy tổng là 12
C. Số cạnh của một khối chóp là chẵn
Đúng. Ta có thể lấy 2 ví dụ sau
Chóp tam giác có 6 cạnh, chóp tứ giác có 8 cạnh,… Chọn đáp án D.
Câu 58: Trong một khối đa diện lồi với các mặt là các tam giác, nếu gọi C là số cạnh và M là số mặt
thì hệ thức nào sau đây đúng?
A. 2M  3C
B. 3M  2C
C. 3M  5C
D. 2M C Hướng dẫn giải:
Vì mỗi mặt là tam giác và có M mặt, nên số cạnh là 3M. Nhưng mỗi cạnh là cạnh chung của đúng 3M hai mặt nên C
. Vậy 2C  3M . 2 Chọn đáp án B.
Câu 59: Trong một khối đa diện lồi mà mỗi đỉnh chung của ba cạnh, nếu gọi C là số cạnh và Đ là số
mặt thì hệ thức nào sau đây đúng? A. 3Đ=2C B. 3Đ=C C. 4Đ=3C D. C=2Đ Hướng dẫn giải:
Vì có Đ đỉnh, mà mỗi đỉnh có 3 cạnh chung nên số cạnh 3Đ. Mà cứ một cạnh thì có 2 đỉnh nên ta có 3D C
. Vậy 2C  3D . 2 Chọn đáp án A.
Câu 60: Một khối đa diện lồi 10 đỉnh, 7 mặt. Vậy khối đa diện này có mấy cạnh? A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lí Ơle: Đ  C M  2  10  C  7  2  C  15 . Chọn đáp án B.
Câu 61: Khối 12 mặt đều {mỗi mặt là ngũ giác đều} có mấy cạnh? A. 16 B. 18 C. 20 D. 30 Hướng dẫn giải:
Vì mỗi mặt là ngũ giác đều và có M mặt {M=12}. Nhưng mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt 5M 5.12 nên C    30. 2 2 Chọn đáp án D.
Câu 62: Khối 20 mặt đều {mỗi mặt là tam giác đều} có mấy cạnh?
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian A. 16 B. 18 C. 20 D. 30 Hướng dẫn giải:
Vì mỗi mặt là tam giác đều và có M mặt {M=20}. Nhưng mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt 3.20 nên C   30. 2 Chọn đáp án D.
Câu 63: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau;
B. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số cạnh bằng nhau;
C. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh
D. Tôn tại một hình đa diện có số cạnh và số mặt bằng nhau Hướng dẫn giải:
A. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau. Mệnh đề sai vì
Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’: Có 5 mặt nhưng có 6 đỉnh.
B. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số cạnh bằng nhau. Là mệnh đề đúng
Ví dụ: Hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác
C, D không thể xảy ra. Nên mệnh đề sai
Câu 64: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Số các cạnh của hình đa diện luôn
A. Lớn hơn hoặc bằng 6 B. lớn hơn 6 C. lớn hơn 7
D. lớn hơn hoặc bằng 8 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.
Ví dụ hình chóp tam giác hoặc hình tứ diện thì cạnh của nó bằng 6.
Câu 65: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Số các đỉnh, hoặc các mặt của bất kỳ hình đa diện luôn
A. Lớn hơn hoặc bằng 4 B. lớn hơn 4 C. lớn hơn 5
D. lớn hơn hoặc bằng 5 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.
Ví dụ hình chóp tam giác hoặc hình tứ diện thì cạnh số mặt của nó bằng 4.
Câu 66: Cho đa diện (H) có tất cả các mặt đều là tam giác. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tổng các mặt của (H) luôn là một số chẵn
B. Tổng các mặt của (H) luôn gấp đối tổng số đỉnh của (H)
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
C. Tổng số các cạnh của (H) là một số không chia hết cho 3
D. Tổng số các cạnh của (H) luôn gấp đôi tổng số các mặt của (H) Hướng dẫn giải:
Gọi tổng số mặt của (H) là M và tổng số các cạnh của (H) là C.
Ta có: 3M  2C . Suy ra M là một số chẵn. Chọn đáp án A.
Ví dụ: Xét hình tứ diện ABCD
 Tổng các mặt là 4 (chẵn)
 Tổng các mặt là 4, tổng đỉnh là 4. Như vậy, tổng các mặt của không
thể gấp đôi tổng số đỉnh của, nên nó là mệnh đề sai.
 Tổng các cạnh là 6, số này chia hết cho 3. Như vậy câu C sai.
 Tổng số cạnh là 6, tổng các mặt là 4. Như vậy không thể tổng các
cạnh gấp đôi tổng các mặt được.
Câu 67: Trong các loại khối đa diện đều sau, tìm khối đa diện có số cạnh gấp đôi số đỉnh
A. Khối 20 mặt đều
B. Khối lập phương
C. Khối bát diện đều
D. Khối 12 mặt đều Hướng dẫn giải:
Khối bát diện đều có cạnh là 12 và có số đỉnh là 6. Chọn đáp án C.
Câu 68: Trong các loại khối đa diện đều sau, tìm khối đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau
A. Khối 12 mặt đều
B. Khối lập phương
C. Khối bát diện đều
D. Khối tứ diện đều Hướng dẫn giải:
Khối tứ diện đều có số mặt là 4 và số đỉnh là 4. Chọn đáp án D.
Câu 69: Mỗi đỉnh của bát diện đều là đỉnh chung của mấy cạnh? A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 Hướng dẫn giải:
Ta thấy mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 cạnh.
Ví dụ: Xét đỉnh B, thì B là đỉnh chung của 4 cạnh: BA, BS, BC, BS’. Chọn đáp án B.
Câu 70: Cho khối đa diện đều. Khẳng định nào sau đây sai
A. Số đỉnh của khối lập phương bằng 8
B. Số mặt của khối tứ diện đều bằng 4
C. Khối bát diện đều là loại {4;3}
D. Số cạnh của báy diện đều bằng 12.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian Hướng dẫn giải:
Khối bát diện đều là loại {3;4}. Chọn đáp án C.
Câu 71: Cho khối chóp có đáy là n-giác. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Số mặt của khối chóp là 2n
B. Số cạnh của khối chóp là n+2
C. Số đỉnh bằng số mặt và bằng n+1
D. Số đỉnh của khối chóp là 2n+1 Hướng dẫn giải:
Hình chóp tam giác có 4 mặt và 4 đỉnh
Hình chóp tứ giác có 5 mặt và 5 đỉnh Chọn đáp án C.
Câu 72: Khối đa diện lồi đều có số mặt nhiều nhất là: A. 12 B. 30 C. 8 D. 20 Hướng dẫn giải:
Đa diện lồi đều có số mặt nhiều nhất à đa diện 20 mặt và nó có 30 cạnh. Chọn đáp án D.
Câu 73: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là đúng?
A. Khối đa diện đều là khối đa diện có tất cả các cạnh bằng nhau
B. Khối đa diện đều là khối đa diện có tất cả các mặt là các đa giác đều
C. Khối đa diện đều là khối đa diện có tất cả các mặt là các đa giác đều bằng nhau và các cạnh bằng nhau
D. Có vô số khối đa diện đều lồi không có cùng số cạnh Chọn đáp án C.
Câu 74: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình lập phương là đa diện
B. Tứ diện là đa diện lồi
C. Hình hộp là đa diện lồi
D. Hình tạo bởi hai tứ diện chung đáy ghép với nau là một đa diện lồi. Hướng dẫn giải:
Hình lập phương là chắn chắn là đa diện đều nên mệnh đề A đúng
Tứ diện là đa diện lồi cũng là mệnh đề đúng
Hình hộp là đa diện lồi, đây là mệnh đề đúng Chọn đáp án D.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
THỂ TÍCH HÌNH CHÓP
A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1
1) Nếu khối chóp đã cho có chiều cao h và diện tích đáy B thì thể tích tính theo công thức V  B.h 3
2) Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều cao thì ta phải xác định được vị trí chân đường cao trên đáy.
a) Chóp có cạnh bên vuông góc chiều cao chính là cạnh bên.
b) Chóp có hai mặt bên vuông góc đáy đường cao là giao tuyến của hai mặt bên vuông góc đáy.
c) Chóp có mặt bên vuông góc đáy chiều cao của mặt bên vuông góc đáy.
d) Chóp đều chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy.
e) Chóp có hình chiếu vuông góc của một đỉnhlên xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy đường cao là
từ đỉnh tới hình chiếu.
Chú ý: Các công thức tính diện tích đáy a) Tam giác: 1 1 1 1 1 1  S  a.h  b.h  c.h  S  bc sin A  ca.sin B  ab sin C a b c 2 2 2 2 2 2 abc  S   S  pr
 S  p p  a p  b p  c 4R
 ABC vuông tại A: 2S  AB.AC  BC.AH 2 a 3  ABC đều, cạnh a: S  4
b) Hình vuông cạnh a: S = a2 (a: cạnh hình vuông) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước) 
d) Hình bình hành ABCD: S = đáy  cao = AB.AD.sinBAD  1
e) Hình thoi ABCD: S  AB.AD.sinBAD  AC.BD 2 1 f) Hình thang: S 
a  b.h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) 2 1
g) Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc: S  AC.BD 2
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian B – BÀI TẬP HÌNH CHÓP ĐỀU 2
Câu 1: Thể tích (cm3) khối tứ diện đều cạnh bằng cm là : 3 2 2 2 2 3 3 A. B. C. D. 3 81 81 18 Hướng dẫn giải: 2 2 2 2
Gọi cạnh tứ diện đều là a. Dễ dàng tinh được V = a3. . Thay a = ta được V = 12 3 81 Chọn đáp án B.
Câu 2: Thể tích của khối bát diện đều cạnh a là: 2 2 3 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 6 3 6 2 Hướng dẫn giải: 3 a 2
Thề tích của khối chóp tứ giác đều có các cạnh bằng a có thể tích là V1= 6 2
Mà thể tích của khối bát diện đều bằng 2V1. Do đó thể tích khối bát diện đều là V= 3 a . 3 Chọn đáp án A.
Câu 3: Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự
tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147m, cạnh đáy dài 230m. Thế tích V của khối chóp đó là?
A. V  2592100 m3
B. V  7776300 m3
C. V  2592300 m3
D. V  3888150 m3 Hướng dẫn giải: 1
+ Thể tích của kim tự tháp Kê - ốp là 2 3
V  .147.230  2592100 m 3 Chọn đáp án A.
Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tất cả các cạnh bên tạo với mặt phẳng
đáy một góc 600. Thể tích của khối chóp S.ABCD là: 3 a 6 3 a 3 3 a 3 a 3 A. B. C. D. 3 2 3 6 Hướng dẫn giải:
Gọi H là giao điểm của AC và B .
D Do S.ABCD là chóp đều nên SO  (ABCD)     Theo giả thiết ta có 0
SAO SBO SCOSDO  60 a 2 a 6 Trong tam giác OBS ta có 0 SO O . B tan 60  . 3  2 2 1 1 a 6 1 Thể tích khối chóp 2 3 V S .SO a .  a 6 3 ABCD 3 2 3 Chọn đáp án B.
Câu 5: Một khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b, chiều cao
h. Khi đó thể tích khối chóp là:
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian 3 3 3 3 A. 2 2
(b h )b B. 2 2
(b h )h C. 2 2
(b h )h D. 2 2 (b h ) 4 4 8 12 Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm BC của hinh chóp S.ABC và H là hình S
chiếu của S trên mặt phẳng (ABC). Khi đó AH= 2 2 b h , 3 AM= 2 2
b h . Gọi x là cạnh của tam giác đều ABC suy ra 2 2 2 x 3 3 b h x 3 2 2 2 AM   
x  3(b h ) 2 2 2 Diện tích tam giác ABC: A C 3 3  2 2 b h  H 3 2 2 S   V
(b h )h 4 SABC 4 M Chọn đáp án B. B
Câu 6: Tính thể tích của khối chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng 1. 3 3 2 2 A. B. C. D. 2 6 6 2 Hướng dẫn giải: 1 1 1 2
Gọi O là tâm của ABCD, ta có V  .S . O S  .1  3 ABCD 3 2 6 Chọn đáp án C.
Câu 7: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc 0 60 . Thể tích
của khối chóp đó bằng: 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 12 6 36 18 Hướng dẫn giải: 3 3 a tan  a 3 V   nên 12 12 Chọn đáp án A.
Câu 8: Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a. Mặt bên tạo với mặt đáy một góc 600.
Tính thể tích V của hình chóp S.ABC. 3 a 3 3 a 3 A. V B. V  2 6 3 a 3 3 a 3 C. V D. V  12 24 Hướng dẫn giải:
Gọi các điểm như hình vẽ. Theo đề suy ra 0 SIA  60 a 3 a 3 a Ta có AI   HI   SH  2 6 2 3 a 3 Vậy V  24 Chọn đáp án D.
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB a , SA=a 2 . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SB và CD. Tính thể tích V của tứ diện AMNP.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian 3 a 6 3 a 6 3 a 3 3 a 6 A. V B. V C. V  . D. V  36 48 48 12 Hướng dẫn giải: a 6
Gọi O là tâm của đáy ABCD. Tính được SO= 2 1 1 1 1 VAMNP= VABSP= VABCD= 2 . S . O AB 4 8 8 3 Chọn đáp án .
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD 3 4a 3 3 a 3 3 2a 3 3 2a 6 A. B. C. D. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm CD. Khi đó
SO là đường cao hình chóp, góc SMO là góc giữa mặt bên và
mặt đáy của hình chóp. AD 2a 0 OM  
a SO OM . tan 60  a 3 . Suy ra 2 2 3 1 1 4a 3 VS .SO a a ABCD ABCD 2 2 . 3  S . 3 3 3 Chọn đáp án A.
Câu 11: Khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
Khi đó độ dài đường cao h của khối chóp là: a 2 a 3
A. h  3a B. h C. h
D. h a 2 2 Hướng dẫn giải: 2  a 2  a 2 2 h SO a      2  2   Chọn đáp án B.
Câu 12: Cho tứ diện đều ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Cho biết diện tích tứ giác MNPQ bằng 1, tính thể tích tứ diện ABCD. 11 2 2 2 11 A. V B. V C. V D. V  24 3 24 6 Hướng dẫn giải: 2 2
Ta chứng minh được MNPQ là hình vuông, suy ra cạnh tứ diện bằng 2, V  3
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian Chọn đáp án B.
Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là a 3 .
Tính thể tích V khối chóp đó. 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. 3 V a 2 B. V C. V D. V  3 6 9 Hướng dẫn giải:
Gọi các đỉnh của hình chóp tứ giác đều như hình vẽ bên và đặt
cạnh bằng AB  2x . Khi đó SO x 2,OH x suy ra 3 1 a 2
SH x 3 . Vậy x a . Khi đó 2 V S . O AB  3 3 Chọn đáp án B.
Câu 14: Để làm một hình chóp tứ giác đều từ một tấm tôn hình vuông có
cạnh bằng 1  3 , người ta cắt tấm tôn theo các tam giác cân bằng nhau
MAN , NBP, PCQ,QDM sau đó gò các tam giác ABN , BCP,CDQ, DAM sao
cho bốn đỉnh M , N , P,Q trùng nhau(hình vẽ).
Biết rằng, các góc ở đỉnh của mỗi tam giác cân là 1500 . Tính thể tích V
của khối chóp đều tạo thành. 3 6  5 2 2 52  30 3 1 A. V B. V C. V D. V  24 3 3 3 Hướng dẫn giải:   
+ AMN DMQ  150  AMD  600  MAD đều.
Vì vậy hình chóp tứ giác đều tạo thành có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng MA . 2 MN 1 3 Trong đó, MA    2 0 2sin 75 6  2
+ Dễ dàng chứng minh được rằng: 3 x 2
“Một khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng x thì có thể tích là V ” 6 2
+ Với x  2 thì V  3 Chọn đáp án B.
Câu 15: Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập bạn Bình lớp 12S2
của trường THPT trưng Vương đã làm một hình chóp tứ giác đều
bằng cách lấy một tấm tôn hình vuông MNPQ có cạnh bằng a, cắt
mảnh tôn theo các tam giác cân MAN; NBP; PCQ; QDM sau đó gò
các tam giác ANB; BPC; CQD; DMA sao cho bốn đỉnh M;N;P;Q
trùng nhau (như hình)
thể tích lớn nhất của khối chóp đều là
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian 3 a 3 a 3 4 10a 3 a A. B. C. D. 36 24 375 48
Hướng dẫn giải: a 2  x
Gọi cạnh hình vuông ABCD là x thì đường cao mặt bên là: SM= suy ra chiều cao của 2 1 1 phối chóp SO = 2
2a  2 2ax Vậy V = 2 2 x
2a  2 2ax lập bbt suy ra V lớn nhất tại x = 2 6 2 2a 5 3 4 10a Ta tìm maxV = 375 Chọn đáp án C.
Câu 16: Cho hình chóp lục giác đều SABCDEF có SA  5; AB  3 . Tính thể tích khối chóp SABCDE. A. 45 3 B. 18 3 C. 54 3 D. 15 3 Hướng dẫn giải:
Lưu ý rằng lục giác ABCDEF là lục giác đều và nó giống như xếp 6 tam giác đều AOB theo chiều
kim đồng hồ. Ta cần xác định hai yếu tố:
Chiều cao (để ý tam giác AOB đều nên OA AB  3 ): h SO
SA2  OA2  53  32  4
Diện tích để ý diện tích ngũ giác ABCDE bằng 5 lần diện tích
tam giác AOB nên ta có: 1 45 3 S  5.S  5. AB2 sin 600   . AOB 2 4 1 1 45 3 Do đó, ta có: V Sh  . .h  15 3 3 3 4 Chọn đáp án D.
Câu 17: Người ta gọt một khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt đều nội tiếp nó (tức là khối có các
đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương). Biết các cạnh của khối lập phương bằng a. Hãy tính thể
tích của khối tám mặt đều đó: 3 a 3 a 3 a 3 a A. B. C. D. 4 6 12 8 Hướng dẫn giải:
Dựng được hình như hình bên
+ Thấy được thể tích khối cần tính bằng 2 lần thể tích của hình chóp S.ABCD
+ Nhiệm vụ bây giờ đi tìm thể tích của S.ABCD
+ ABCD là hình vuông có tâm O đồng thời chính là hình chiếu của S lên mặt đáy
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian a 2 SO
; BD  cạnh của hình lập phương  a . Suy ra các cạnh của hình vuông ABCD a 2 2 3 1 1 1  2   2  a 3 VSh  . . a S ABCD      . 3 3 2  2   2  12     3 a V  2.Vkhôi đa diên S. ABCD 6 Chọn đáp án B.
Câu 18: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy cạnh bằng a , góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
ABC bằng 60 . Gọi A , B , C tương ứng là các điểm đối xứng của A , B , C qua S . Thể tích của
khối bát diện có các mặt ABC, ABC , ABC , BCA , CAB , ABC , BAC , CAB là 3 2 3a 3 3a 3 4 3a A. . B. 3 2 3a . C. . D. . 3 2 3 Hướng dẫn giải:
Cách 1: Ta tính thể tích khối chóp S.ABC : a 3
Gọi H là tâm tam giác ABC đều cạnh a  CH  . Góc giữa 3
đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 0 60  2 3 1 1 a 3 a 3
SCH  60o SH a V  .S H.Sa.  . S . ABC 3 ABC 3 4 12 3 2a 3 V  2V  2.4V  8V  .
B. ACA ' C ' B. ACS S . ABC 3 3 a 3
Cách 2: Ta có thể tích khối chóp S.ABC là:V  . S . ABC 12 2 a 39
Diện tích tam giác SBC là: S  . SBC 12
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  là:  a
d A SBC  3 ,  . 13
Tứ giác BCB 'C ' là hình chữ nhật vì có hai đường chéo
bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. 2a 3 2a 3 a 39 Có SB   BB '   B 'C  . 3 3 3 2 a 39
Diện tích BCB 'C ' là: S  . BCB ' C ' 3 3 1 2a 3
Thể tích khối 8 mặt cần tìm là: V  2. d  ,
A SBC .S  . BCB ' C ' 3 3
Cách 3 (Tham khảo lời giải của Ngọc HuyềnLB). 1
Thể tích khối bát diện đã cho là V  2V  2.4V  8V  8. SG.S
A ' B ' C ' BC A '.SBC S . ABC 3 ABC
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Ta có: SA ABC    0 ;
SAG  60 . Xét SGA vuông tại G :  SG  tan SAG
SG AG. tan SAG  . a AG 2 3 1 1 a 3 2 3a
Vậy V  8. SG.S  8. . . a  . 3 ABC 3 4 3 Chọn đáp án A.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
HÌNH CHÓP CÓ MỘT CẠNH VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD đôi một vuông góc với nhau:
BA = 3a, BC =BD = 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và A .
D Tính thể tích khối chóp C.BDNM 3 2a 3 3a A. 3 V  8a B. V C. V D. 3 V a 3 2 Hướng dẫn giải:
Khối chóp C.BDNM có CB là đường cao nên có thể tích 1 V BC.S , trong đó 3 BDNM + BD  2a
+ Tứ giác BDNM là hình thang vuông tại B, M do MN là
đường trung bình của tam giác ABD nên có diện tích: 3a (a  2a). 3
(MN BD).BM 3 2 a S    (đvtt) BDNM 2 2 2 Chọn đáp án C.
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình cữ nhật, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD),
AB a, AD  2a . Góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Thể tích hình chóp S.ABCD bằng 3 6a 3 2 2a 3 a 3 2a A. B. C. D. 18 3 3 3 Hướng dẫn giải: 3 1 1 2a V S . A S  . . a . a 2a  3 ABCD 3 3 Chọn đáp án D.
Câu 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a và vuông góc với đáy, M
là trung điểm của S .
D Thể tích khối chóp MACD là: 3 a 3 a 3 a A. B. C. D. 3 a 4 12 36 Hướng dẫn giải:
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng đáy bằng nửa khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy suy ra thể tích của khối chóp MACD là: 1 1 1 3 VVVa . MACD 2 SACD 4 SABCD 12 Chọn đáp án B.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có AB a, BC a 3, AC a 5 và SA vuông góc với mặt đáy, SB tạo với đáy góc 0
45 . Thể tích của khối chóp S.ABC là: 11 3 a 3 15 A. 3 a B. C. 3 a D. 3 a 12 12 12 12 Hướng dẫn giải: SB tạo với đáy góc 0
45 nên SA AB a
Áp dụng công thức Hê rông, có 
AB BC CA S
p p AB p AC  p BC p ABC     2  2 2 a a
             11 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5  4 4
(sử dụng máy tính để tính biểu thức trong dấu căn) 1 11 Suy ra 3 VS . A Sa S . ABC 3 ABC 12 Chọn đáp án A.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và SC  5 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . D 3 3 15 A. V B. V C. V  3 D. V  3 6 3 Hướng dẫn giải:
Đường chéo hình vuông AC  2 Xét tam giác SAC, ta có 2 2 SA SC AC  3
Chiều cao khối chóp là SA  3
Diện tích hình vuông ABCD là 2 S  1  1 ABCD
Thể tích khối chóp S.ABCD là: 1 3 VS .SA  (đvtt) S . ABCD 3 ABCD 3 Chọn đáp án A.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 2 , SA vuông
góc với mp đáy. Góc tạo bởi (SBC) và mặt đáy bằng 300. Thể tích S.ABC bằng 3 a 2 3 a 2 3 a 3 a 2 A. B. C. D. 4 6 9 2 Hướng dẫn giải: S
Xét ABC vuông tại A
BC2 = AB2 + AC2  BC2 = a 2 2 2  a  BC = a 3 A . B AC a.a 2 a 6
AH.BC A .
B AC  AH  =  AH = a C BC A a 3 3
Góc tạo bởi (SBC) và (ABC) là góc SHA 300 a H B
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian SA a 6 1 a 2 Tan 300 = => SA = AH.tan300= . = AH 3 3 3 1 1 1 a 2 1 3 a VS.ACB= .S . A .A . B AC = . . . . a a 2 = 3 2 3 3 2 9 A C Chọn đáp án C. H B
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có SA  3a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC có AB BC  2a  , góc 0
ABC  120 . Tính thể tích khối chóp đã cho. 3 2a 3 A. 3 V  3a 3 B. 3 V  2a 3 C. 3 Va 3 D. VS . ABC S . ABC S . ABC S . ABC 3 Hướng dẫn giải: 1 1 Ta có 0 2 SB .
A BC.sin120  a 3 . Vậy 3 VS . A S  a 3 ABC 2 S . ABC 3 ABC Chọn đáp án C.
Câu 8: Cho hình chop S.ABCD có SC  (ABCD), đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3 và  0
ABC  120 . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 450. Tính theo a thể tích khối chop S.ABC . D 3 3a 3 3 3a 3 3a 3 3 3a A. B. C. D. 12 2 4 4 Hướng dẫn giải:
Kẻ SK AB thì:
CK AB     0
(SAB), (ABCD)  (SK, CK)  ABC  45  3a 0  0 0
ABC  120  ABC  60  CB sin 60  2 3a 0
SC CK.tan 45  (1) 2 2 3 3a 0 S  A . B BC.sin120  (2) ABCD 2 3 1 3 3a Từ (1) và (2)  V  SC.S  S . ABCD 3 ABCD 4 Chọn đáp án D.
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB a, AD a 2 ,
SA   ABCD góc giữa SC và đáy bằng 600. Thể tích hình chóp S.ABCD bằng: A. 3 2a B. 3 3 2a C. 3 3a D. 3 6a Hướng dẫn giải:
Theo bài ra ta có, SA   ABCD , nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD). 
SC ABCD    SC AC  0 , ,  SCA  60  
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Xét ABC vuông tại B, có 2 2 2 2 AC AB BC
a  2a a 3
Xét SAC vuông tại A, có SA   ABCD  SA AC Ta có:  SA  0 tan SCA
SA AC.tan SCA AC.tan 60  a 3. 3  3a AC
Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là: 1 1 3 V  .S . A S  .3 . a . a a 2  a 2 S . ABCD 3 ABCD 3 Chọn đáp án A.
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, AB a 5; AC  4a, SO  2 2a . Gọi
M là trung điểm SC. Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp M.OBC. 3 2a A. 3 2 2a B. 3 2a C. D. 3 4a 3 Hướng dẫn giải:
Để tính được thể tích của khối hình chóp M.OBC ta cần tính được diện tích đáy OBC và khoảng cách từ M đến đáy.
Kẻ MH / /SO H OC , vì SO   ABCD  MH   ABCD  MH  OBC
Nên d M ;OBC   MH . Áp dụng định lý Ta lét vào tam giác SOC ta có: MH MC 1    MH a 2 SO SC 2
Do AC BD nên O AB AO a   a2 2 2 2 5 2  a 1 1 Diện tích đáy là 2 SO . B OC  .
a 2a a OBC 2 2 3 1 1 a 2
Thể tích khối chóp cần tính là 2 V MH .S  2 . a a  3 OBC 3 3 Chọn đáp án C.
Câu 11: Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB a, D A
a 2 , SA   AB D C
góc giữa SC và đáy bằng 600. Thể tích hình chóp S.ABCD bằng: A. 3 2a B. 3 6a C. 3 3a D. 3 3 2a Hướng dẫn giải:
SA   ABCD nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Xét ABC vuông tại B, có 2 2 2 2 AC AB BC
a  2a a 3
Xét SAC vuông tại A, SA   ABCD  SA AC Ta có: SA 0 tan SCA
SA AC.tan SCA AC.tan 60  a 3. 3  3a AC
Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là 1 1 3 V  .S . A S  .3 . a . a a 2  a 2 S . ABCD 3 ABCD 3
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian Chọn đáp án A.
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 và SC  2a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. 3 a 3 a 3 a 3 a 2 A. V B. V C. V D. V  2 3 6 3 Hướng dẫn giải:
Vì SA   ABCD nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
 SC ABCD  SC AC   0 , ,  SCA  45
Tam giác SAC vuông tại A nên:  SA  0 sin SCA
SA SC.sin SCA  2 . a sin 45  2a SC 2 2 SAB a ABCD 1 1 2 Vậy 2 3 V S
.SA  .a . 2a  .a 3 ABCD 3 3 Chọn đáp án D.
Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2 , cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450. Thể tích
khối chóp S.ABC theo a bằng 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. V  ; B. V  ; C. V  ; D. VS . ABC 6 S . ABC 2 S . ABC 4 S . ABC 12 Hướng dẫn giải:
* Ta có : AB = a 3 , (SBC)  (ABC) = BC Gọi M là trung điểm BC
AM  BC ( vì  ABC cân tại A)
SM  BC ( vì AM hc SM  ( ABC)    (( ),( ))  ( , )   45o SBC ABC SM AM SMA
*  ABC vuông cân tại A có,BC = a 2  AB = BC = a và a 2 AM = 2 2 1 1 a  S  A . B AC  . . a a  ABC 2 2 2 a 2 
*  SAM vuông tại A có AM= , 0
M  45 2 a 2 SA A . B tan 45o  2
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian 2 3 1 1 a a 2 a . 2 * V  .S .SA  . .  . S . ABC 3 ABC 3 2 2 12 Chọn đáp án D.
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC cân tại A.
Cạnh bên SB lần lượt tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực của BC các góc bằng 300 và 450,
khoảng cách từ S đến cạnh BC bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. 3 a 3 a 3 a A. 3 Va B. VC. VD. VS . ABC S . ABC 2 S . ABC 3 S . ABC 6 Hướng dẫn giải:
Ta có SA   ABC  nên AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng  ABC   0
SBA  30 . Gọi G là BC AM trung điểm BC, ta có 
BC   SAM   SAM  là mặt phẳng trung trực của BC và BC   SA
SM là hình chiếu của SB trên SAM   0
BSM  45  SBC vuông cân tại S. Ta có
SM BC d
SM a SB SC a 2, BC  2aB,SC a 2
Tam giác SBA vuông tại A, ta có 0 SA S . B sin 30  2
Trong tam giác vuông SAM, ta có: 2  a 2  a 2 2 2 2 AM SM SA a      2  2   3 1 a Vậy V
BC.AM .SA S . ABC 6 6 Chọn đáp án D.
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a , SA vuông
góc với  ABCD và SA  2a . Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của DC . Tính thể
tích của khối chóp I.OBM . 3 a 3 3a 3 a 3 3 a 2 A. V B. V C. V D. 24 24 24 24 Hướng dẫn giải: IO / / SA  1 Ta có:
  IO   ABCD  IO SA a
SA   ABCD 2
Diện tích của OBM : 2 1 1 a a 2 2 a 0 S
OM .OB sin135  . . .  2 2 2 2 2 8
Tính thể tích của khối chóp I.OBM : 2 3 1 1 a a V  .S .IO  . .a I .OBM 3 OBM 3 8 24 Chọn đáp án A.
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 1200, SA vuông góc với
(ABCD). Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC và SB, góc giữa SM và (ABCD) bằng 600. Khi đó
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
thể tích của khối chóp IABCD bằng 3 a 6 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 4 8 2 6 Hướng dẫn giải:
Ta có SA  ( ABCD) nên AM là hình chiếu của SM trên mặt phẳng ( ABCD)  SM ABCD    0 ;( )  SMA  60 ABC
có AB BC a và 0
ABC  60 nên ABC đều. AB 3 a 3
Mà M là trung điểm của BC nên AM   2 2 SA a 3 3a Khi đó  0 tan SMA   SA  tan 60 .  AM 2 2
Thể tích khối chóp I.ABCD là 1 V
 .d I ;( ABCD) .S I . ABCD   3 ABCD 3 1 1 a 3 
.d I;(ABCD).S  .S . A S. 6 ABCD 3 ABC 8 Chọn đáp án B.
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
và góc giữa đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) bằng 0
30 . Gọi M là trung điểm của SA, (P) là
mặt phẳng đi qua M và vuông góc với SC. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại N, E,
F. Tính theo a thể tích khối chóp S.MNEF. 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. B. C. D. 36 72 18 9 Hướng dẫn giải: BC AB Từ giả thiết ta có:
  BC   SAB  0
BSC  30 là góc giữa SC với mp (SAB) BC SA  Từ đó: 0 2 2
SB BC.cot 30  a 3, SA
SB AB a 2
SB   P tại E nên thể tích khối chóp S.MNEF 1
được xác định bởi: V S .SE 3 MNEF
Do SA AC và SA AC a 2 , nên SAC vuông cân tại A SM a
 SEM vuông cân tại E  SE   2 2 Ta có:
MN CS do SC   P  
  MN   SBC   MN NE, MN SB
MN BC do BC  SAB 2 1 1 a 6 a 3 a 2  SMN.NE  .  MNE 2 2 6 6 24 2 a 2 a 2
Hoàn toàn tương tự ta cũng có MF EF và S   SMEF 24 MNEF 12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian 3 1 a 2 Vậy V S .SE  (đvtt) 3 MNEF 72 Chọn đáp án B.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
HÌNH CHÓP CÓ MẶT VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB)
và (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC . D 3 2a 15 3 2a 5 3 a 15 3 a 5 A. B. C. D. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải: Ta có 0
SA  ( ABCD)  SCA  60 . 0 2 2
SA AC.tan 60  a  (2a) 3  a 15 3 1 2a 15  V  . a 2 . a a 15  . 3 3 Chọn đáp án A. 1
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB BC AD a . 2
Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ACD. 3 a 3 a 3 a 2 3 a 3 A. VB. VC. VD. VS . ACD 3 S . ACD 2 S . ACD 6 S . ACD 6 Hướng dẫn giải:
Ta chứng minh được tam giác ACD vuông cân tại C và
CA CD a 2 , suy ra 2 Sa ACD
Gọi H là trung điểm của AB vì tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy, suy ra SH   ABCDa 3 3 a 3 và SH  . Vậy S  . 2 S . ACD 6 Chọn đáp án D.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a. Các mặt phẳng (SAB), (SAD) cùng
vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 300. Tính thể tích V của hình chóp S.ABCD. 3 a 6 3 a 6 3 a 6 3 a 3 A. V B. V C. V D. V  9 3 4 9 Hướng dẫn giải: a 6 3 a 6 Theo đề  ta có 0
SCA  30 . AC a 2 suy ra SA  . Vậy V  3 9 Chọn đáp án A.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC a . Mặt bên SAC
vuông góc với đáy các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450. Thể tích khối chóp SABC bằng
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian 3 a 3 a 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 4 12 6 4 Hướng dẫn giải:
Kẻ SH BC vì SAC    ABC  nên SH   ABC
Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC
SJ AB, SJ BC Theo giả thiết 0
SIH SJH  45
Ta có: SHI  SHJ HI HJ nên BH là đường phân
giác của ABC từ đó suy ra H là trung điểm của AC. 3 a 1 a
HI HJ SH   VS .SH  2 SABC 3 ABC 12 Chọn đáp án B.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. Gọi M là trung điểm của cạnh
SC. Thể tích của khối chóp S.ABM bằng: 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 12 18 24 36 Hướng dẫn giải: 2 a a 3 3 3 a 3 V a 3
Diện tích đáy : S  , chiều cao h  , S . V   VABC  2 3 S . ABC S . 18 ABM 2 36 Chọn đáp án D.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AD, DC. Hai mặt phẳng (SMC), (SNB) cùng vuông góc với đáy. Cạnh bên SB hợp với đáy góc 0 60 .
Thể tích của khối chóp S.ABCD là: 16 15 16 15 15 A. 3 a B. 3 a C. 3 15a D. 3 a 5 15 3 Hướng dẫn giải:
Gọi H là giao CM và BN thì SH   ABCD .
Chứng minh được CH NB tại H 2 2 BC BC 4aBH    2 2 BN BC CN 5 4a 15 0
SH BH.tan 60  5 3 1 16a 15  VSH .SS . ABCD 3 ABCD 5 Chọn đáp án A.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 7: Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặ bên SAB là tam giác cân tại S, mặt
phẳng (SAB) vuông góc với đáy, mặt phẳng (SCD) tạo với đáy gọc 600 và cách đường thẳng AB một
khoảng là a. Tính thể tích khối chop theo a? 3 8a 3 2a 3 4a 3 6a A. B. C. D. 9 9 9 9 Hướng dẫn giải:
Gọi H,I lần lượt là trung điểm AB và C . D
Do tam giác SAB cân tại S nên: SH AB mà (SAB)  (ABCD) do đó:
SH  (ABCD)  SH CD, I H CD . Do đó: CD  (SHI) , kẻ HK SI , CD  HK
Do đó ta có: HK  (SCD)  HK d (h, (SCD))  d(AB, (SCD))  a I H CD  CD  (SHI )  S  I  CD
 (SCD),(ABCD)   HI , SI  0  SHI  60
CD  (SCD)  (ABCD)  HK 2a
Trong tam giác HKI có HI    BC 0 sin 60 3 2 4a Trong tam giác HIS có 0
SH HI.tan 60  2a . Diện tích ABCD là: 2 SBC ABCD 3 3 1 8a
Thể tích của S.ABCD là: V  .SH .SS . ABCD 3 ABCD 9 Chọn đáp án A.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA =
a, SB a 3 và mặt bên (SAB) vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AB, BC. Khi đó thể tích của khối chóp S.MBND là: 3 a 3 A. B. 3 a 3 3 3 a 3 C. D. 3 a 6 6 Hướng dẫn giải: a 3
Gọi là chiều cao khối chóp.Vì tam giác SAB vuông tại S  h  2
Diện tích tứ giác BMDN là: 2 SS  2S  2a BMDN ABCDNCD Chọn đáp án A.
Câu 9: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác BCD vuông cân tại D và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với  ABC . Tính thể tích V của khối tứ diện ABC . D 3 3a 3 a 3 3a 3 3a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 6 12 8 24 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian Dựng AH BC, do
ABC  BCD  AH   BCD. a 3 Ta có, do ABC đều  AH  và 2 2 1 a SDH.BC  . BCD 2 4 3 1 3a Vậy VAH .S  . ABCD 3 BCD 24 Chọn đáp án D.
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với  ABCD. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . D 3 3a 3 a 3 3a 3 3a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 6 12 8 24 Hướng dẫn giải:
Dựng SH AB, do
SAB   ABCD  SH   ABCD. a 3
Ta có, do SAB đều  SH  và 2 2 Sa . ABCD 3 1 3a Vậy VSH .S  . S . ABCD 3 ABCD 6 Chọn đáp án A.
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng
vuông góc với  ABCD  0
, SAB  30 , SA  2 .
a Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . D 3 3a 3 a 3 a A. V  . B. V  . C. V  . D. 3 V a . 6 3 9 Hướng dẫn giải:
Dựng SH AB, do
SAB   ABCD  SH   ABCD.
Ta có, do SHA vuông tại H :  SH  sin SAH   SH S .
A sin SAH a và SA 2 Sa . ABCD 3 1 a Vậy VSH .S  . S . ABCD 3 ABCD 3 Chọn đáp án B.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 12: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác BCD cân tại D và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với  ABC . Biết AD hợp với mặt phẳng  ABC  một góc 0
60 . Tính thể tích V
của khối tứ diện ABC . D 3 3a 3 a 3 3a 3 3a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 6 12 8 24 Hướng dẫn giải:
Dựng AH BC, do
ABC  BCD  AH   BCD. a 3
Ta có, do ABC đều  AH  và 2
DH BC DH   ABC
  AD ABC   0 ;  HAD  60 . HD
Xét tam giác AHD vuông tại 
H : tan HAD AH  3a
HD AH. tan HAD  . 2 3 1 3a Vậy VH . D S  . ABCD 3 ABC 8 Chọn đáp án C.
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng
vuông góc với  ABCD  0
, SAB  60 , SA  2 .
a Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . D 3 3a 3 a 3 2 3a A. V  . B. V  . C. V  . D. 3 V a . 3 3 3 Hướng dẫn giải:
Dựng SH AB, do
SAB   ABCD  SH   ABCD.
Ta có, do SHA vuông tại H :  SH  sin SAH   SH S .
A sin SAH a 3. và SA 2 Sa . ABCD 3 1 3a Vậy VSH .S  . S . ABCD 3 ABCD 3 Chọn đáp án A.
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, BC  2 AB  2a, tam giác SAC
nằm trong mặt phẳng vuông góc với  ABCD  0
, SAB  60 , SA  2 .
a Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . D 3 3a 3 a 3 2 3a A. V  . B. V  . C. V  . D. 3 V a . 3 3 3 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Dựng SH AC, do
SAC   ABCD  SH   ABCD.
Ta có, do SHA vuông tại H :  SH  sin SAH   SH S .
A sin SAH a 3. và SA 2 S  2a . ABCD 3 1 2 3a Vậy VSH .S  . S . ABCD 3 ABCD 3 Chọn đáp án C.
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, CAD  300 , tam giác SAB đều và nằm 
trong mặt phẳng vuông góc với  ABCD, SAB  600, SA  2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. 3 a 3 a 3 2 3a A. V  . B. V  . C. V  . D. 3 V a . 12 4 3 Hướng dẫn giải:
Dựng SH AB, do
SAB   ABCD  SH   ABCD. a 3
Ta có, do SAB là tam giác đều nên SH  2
. Do ABCD là hình thoi cạnh a và  CAD  300 2 2 3a 3a
nên BAD đều. Suy ra S  2.  . ABCD 4 2 3 1 a Vậy VSH .S  . S . ABCD 3 ABCD 4 Chọn đáp án B.
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD biết ABCD là một hình thang vuông ở A và D; AB = 2a;
AD DC a . Tam giác SAD vuông ở S. Gọi I là trung điểm AD. Biết (SIC) và (SIB) cùng vuông
góc với mp(ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 3 a 3 a 3 3a 3 a 3 A. B. C. D. 3 4 4 3 Hướng dẫn giải:
Ta có (SIC) và (SIB) cùng vuông góc với (ABCD)
nên SI vuông góc với (ABCD)
Tam giác ASD vuông tại S nên SI =1/2 AD=a/2 3 1 a 1 a
V  . . a  2a a  3 2 2 4 Chọn đáp án B.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
cùng vuông góc với đáy, AB a, AD  2a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng a 2
. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng: 3 4a 3 2a A. B. 3 3a C. 3 a D. 3 3 Hướng dẫn giải:
gọi O là giao điểm của 2 đường chéo của đáy của hình chóp
  SAC    ABCD 
Theo bài ra ta có  SBD   ABCD  SO   ABCD ;
SA  SAC  SBD 
AB / /DC d AB, SD  d AB,SCD  d B,SCD .
d B,SCD DB a Ta có 
 2 nên d O SCD 2 , 
d O,SCD DO 2
Vì O là chân đường cao của hình chóp nên ta có cách dựng khoảng cách từ O đẻn mặt phẳng  SCDa
như sau: Kẻ OH CD,OK SH thì ta có OK d O SCD 2 ,  2 1 1 1
Áp dụng hệ thực lượng vào tam giác SOH vuông tại O ta có    SO a 2 2 2 OK SO OH 1 2
Thể tích hình cần tính là 3 V  . a . a 2a a 3 3 Chọn đáp án D.
Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; biết AB AD  2a ,
CD a . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của AD, biết hai
mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . 3 3 5a 3 3 15a 3 3 15a 3 3 5a A. B. C. D. 8 5 8 5 Hướng dẫn giải:
Như đã nhắc ở câu trước thì do hai mặt phẳng
(SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD) nên
SI   ABCD nên SI là đường cao của S.ABCD.
Kẻ IK BC tại K. Khi đó ta chứng minh được
SKI  SBC; ABCD  600 . Ta vẽ hình phẳng
của mặt đáy. Ta có M AD BC ta chứng minh
được CD là đường tủng bình của tam giác ABM. Khi đó
AM a BM   a2   a2 4 ; 2 4
 2a 5; IM  3a
Ta có KMI ~ AMB
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian IM IK 3a 3a 3a 3a 3    IK  .2a  , 0
SI IK.tan 60  . 3  BM AB 2a 5 5 5 5 3 1 3a 3 1 3a 15 V  .
. a  2a.2a  3 5 2 5 Chọn đáp án B.
Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo AC  2 3a, BD  2a và
cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng a 3
cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 4 3 3a 3 a 3 7a A. B. C. D. 3 3a 3 3 3 Hướng dẫn giải:
+Từ giả thiết AC  2a 3; BD  2a và AC, BD vuông
góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo. Ta
có tam giác ABO vuông tại O và AO a 3 ; BO a , do đó 0 ABD  60
Hay tam giác ABD đều.
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng
là SO   ABCD .
+Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của
AB, K là trung điểm của HB ta có DH AB và 1 a 3
DH a 3 ; OK / /DH và OK DH
OK AB AB  SOK  . 2 2
+Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI SK ; AB OI OI   SAB , hay OI là khoảng cách
từ O đến mặt phẳng (SAB). 1 1 1 a
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao     SO  2 2 2 OI OK SO 2 Diện tích đáy: 2 S  4S  2.O . A OB  2 3a ; ABCDABO a 3 1 3a
Đường cao của hình chóp SO
. Thể tích khối chóp S.ABCD : VS .SO  2 S . ABCD 3 ABCD 3 Chọn đáp án A.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian HÌNH CHÓP KHÁC
Câu 1: Cho hình chóp tam giác có đường cao bằng 100 cm và các cạnh đáy bằng 20 cm, 21 cm, 29
cm. Thể tích của hình chóp đó bằng A. 3 6000cm B. 3 6213cm C. 3 7000cm D. 3 7000 2 cm . Hướng dẫn giải: 20  21  29
Nửa chu vi của tam giác đáy là P   35 2
Áp dụng công thức Hê-rông ta có diện tích đáy là B  3535  2035  2  1 35  29  210 . 1 1
Thể tích khối chóp cần tìm là 3 V  .
B h  .210.100  7000 cm . 3 3 Chọn đáp án C.
Câu 2: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 48, đáy ABCD hình thoi. Các điểm M, N, P, Q lần lượt
thuộc SA, SB, SC, SD thỏa: SA = 2SM, SB = 3SN, SC = 4SP, SD = 5SQ. Thể tích khối chóp S.MNPQ là 2 4 6 8 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải: 1 1 VV , VV SMNP 24 SABC SMPQ 40 SACD 1 1 8  V  .24  .24  . SMNPQ 24 40 5 Chọn đáp án D.
Câu 3: Cho hình chóp tam giác S.ABC có   60o ,  90o ASB CSB CSA
, SA SB SC  2a . Tính
thể tích khối chóp S.ABC 3 a 6 3 2a 6 3 2a 2 3 a 2 A. B. C. D. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải:
Ta có tam giác ABC vuông tại B, Hai tam giác SAB và SBC
đều. Vì SA SB SC  2a . Hình chiếu của S trùng với tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC mà tam giác ABC vuông
tại B nên hình chiếu là trung điểm H của AB. 2a 3 3 1 1 2a 3 SH
a 3, AB  2a V  . 2a2 .a 3  2 3 2 3 Chọn đáp án C.
Câu 4: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB; AC; AD tạo với nhau góc 600. Biết AB  2a ; AC  3a ;
AD  4a . Tính thể tích ABC . D 3 a 2 A. B. 3 a 2 C. 3 2a 2 D. 3 4a 2 12 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 53
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Đây là một bài toán khá điển hình của hình học không gian. Mấu chốt của bài toán nằm ở việc lấy
thêm điểm để tính toán.
Lấy 3 điểm M, N, P lần lượt thuộc đoạn AB, AC, AD sao cho AM AN AP a . Suy ra tứ diện
AMNP là tứ diện đều có độ dài các cạnh là a. Đến đây bài toán trở về dạng đơn giản. Ta dễ dàng 3 a 2
tính được thể tích AMNP bằng 12 V AB AC AD Lại có: ABCD 3  . .  2.3.4  24  V  24V  2a 2 ABCD AMNP V AM AN AP AMNP Chọn đáp án C.
Câu 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V. Lấy điểm A’ trên cạnh SA sao cho 1 SA' 
SA . Mặt phẳng qua A’ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt 3
tại B’, C’, D’. Khi đó thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ bằng: V V V V A. B. C. D. 3 9 27 81 Hướng dẫn giải: 1 1 Gọi thể tích VS.ABCD = . . a h .h 3 2 a 1 Với Sđáy = .
a h h là chiều cao hính chóp S.ABCD 2 a 1 1 1 1 1
VS.A’B’C’D’ = . a '.h .h ' mà: h '  h , a '  a , h '  h ' 3 2 a 3 3 a 3 a V
Nên VS.A’B’C’D’ = S.ABCD 27 Chọn đáp án C.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo AC  2 3a; BD  2a và
cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng a 3
cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD 4 3 a 3 a 3 3 a 2 A. 3 a 3 B. C. D. 3 3 2 Hướng dẫn giải:
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của
AB, K là trung điểm của HB ta có: 1 3  ;  3;  a DH AB DH a OK DH ;OK DH  2 2
OK AB AB  (SOK )
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có:
OI SK; AB OI OI  (SAB) , hay OI là khoảng
cách từ O đến mặt phẳng (SAB).
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao 1 1 1 a     SO  2 2 2 OI OK SO 2 Diện tích đáy 2 S  4S  2.O . A OB  2 3a ABCD ABO
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 54
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian a
Đường cao của hình chóp ASO  2 3 1 a a 3
Thể tích khối chóp S.ABCD: 2 V  . .2a 3  3 2 3 Chọn đáp án C. a 17
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SD
, hình chiếu vuông góc H của 2
S lên mặt  ABCD là trung điểm của đoạn AB . Tính chiều cao của khối chóp H.SBD theo a . 3a a 3 a 21 3a A. . B. . C. . D. . 5 7 5 5 Hướng dẫn giải: 2 2  a 17     a
Ta có SHD vuông tại H 2 2 2  SH
SD HD      a    a 3   .  2   2        1 a 2 B C
Cách 1. Ta có d H , BD  d  , A BD  . 2 4 S
Chiều cao của chóp H.SBD là H I
SH .d H , BD
d H , SBD  
SH  d H , BD 2 2    A D a 2 B C a 3. 2 a 6.2 2 a 3 4   . H 2 4.5a 5 a 2 3a  8 A D 1 3 1 1 1 3 Cách 2. 3 S.ABCD SH.Sa  3 VVVVa . 3 ABCD 3 H .SBD A.SBD S . ABC S . 2 2 4 ABCD 12 2 a a 13
Tam giác SHB vuông tại H 2 2 2  SB
SH HB  3a   . 4 2 a 13 a 17 2 5a
Tam giác SBD có SB
; BD a 2; SD   S  . 2 2 SBD 4 3V a 3
d H ,SBD S .  HBD  . S 5 SBD
Cách 3. Gọi I là trung điểm BD . Chọn hệ trục Oxyz với O H ; Ox HI ; Oy H ;
B Oz HS.  a   az
Ta có H 0;0;0 ; B 0; ;0 
 ; S 0;0; a 3 ; I ;0;0   S  2   2 
Vì SBD  SBI  2x 2 y z 3 y  SBD :  
 1  2x  2 y z a  0 . a a a 3 3 B C 3 2.0  2.0  .0  a O H I 3 a 3 x
Suy ra d H , SBD   . A 1 5 D 4  4  3
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 55
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian Chọn đáp án A.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, AB = a. Hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm đoạn O .
A Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD)
bằng 600. Tính thể tích V của hình chóp S.ABC . D 3 3 3a 3 3a 3 3a 3 3a A. V B. V C. V D. V  4 8 4 12 Hướng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm OA SH   ABCD
Vẽ HE CD tại E  HE / / AD
Vì (SCD) giao (ABCD) theo giao tuyến CD và
CD   SHE  nên góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc  0 ABC  60 3 3a HE AD  4 4 3a 3 0
SH HE.tan 60  4 3 1 a 3 VSH .SS . ABCD 3 ABCD 4 Chọn đáp án C. 3
Câu 9: Cho hình hình chóp S.ABCD có cạnh SA
, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích 4
khối chóp S.ABC . D 3 39 39 39 39 A. B. C. D. 32 96 32 16 Hướng dẫn giải:
Gọi O AC BD SO BD, AO O . B
Đặt AC  2x . ta có 2 2 2 2 2 2 2
SO SB OB AB OB OA x .
Áp dụng CT đường trung tuyến: 2 2 2 2 SA SC AC 9 / 16  1 4a 25 2 2 2 SO    x    x  . 2 4 2 4 64 5 5 39 2 2  x   AC
, BD  2BO  2 AB AO  +)  8 4 4 25 2 2 2 AC SC
AC  SAC vuông tại S . 16 S . A SC 3
+) Kẻ SH AC SH   . 2 2 5 SA SC
Do BD SO, BD AC BD  (SAC)  AH  ( ABCD). 1 1 1 3 5 39 39 V
SH . AC.BD      S . ABCD 3 2 6 5 4 4 32 Chọn đáp án C.
Câu 10: Cho tứ diện ABCD có ABC vuông tại .
B BA a, BC  2a, DBC đều. cho biết góc giữa 2
mặt phẳng (ABC) và (DBC) bằng 300. Xét 2 câu:
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 56
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
(I) Kẻ DH   ABC  thì H là trung điểm cạnh AC. 3 a 3 (II) VABCD 6 Hãy chọn câu đúng A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) C. Cả 2 sai D. Cả 2 đúng Hướng dẫn giải:
DH   ABC  , kẻ DE BCEB EC  (do tam giác đều), 0
BC HE  DEH  30  2a 3  3 3a
Trong DHE : HE   .   2  2 2   a
Gọi I là trung điểm của AC thì IE
HE IE nên nói H là trung điểm của AC là sai: (I) sai 2 1 a 3
Trong DHE : DH  . a 3.  2 2 3 1 1 a 3 a 3 V  . . . a 2a.  (II) đúng AB D C 3 2 2 6 Chọn đáp án B.
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, góc ABC  60. Cạnh bên SD
2. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng  ABCD là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD  3H .
B Tính thể tích khối chóp S.ABCD . 5 15 15 15 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 24 24 8 12 Hướng dẫn giải:
Vì ABC  60 nên tam giác ABC đều. S 3 3 3 3 Suy ra BO
; BD  2BO  3 ; HD BD  . 2 4 4
Trong tam giác vuông SHD , ta có 5 2 2 SH SD HD  . 4 A D 3 H
Diện tích hình thoi ABCD là S  2S  . ABCDABC 2 B C 1 15 Vậy VS .SH  (đvtt). S . ABCD 3 ABCD 24 Chọn đáp án B.
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I có cạnh bằng a, 0 BAD  60 . Gọi H
là trung điểm của IB và SH vuông góc với  ABCD . Góc giữa SC và  ABCD bằng 0 45 . Tính thể tích
của khối chóp S.AHCD 35 39 39 35 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 32 24 32 24 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 57
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Ta sẽ tư duy nhanh như sau: Nhìn vào hình thì dễ nhận ra
hai khối chóp S.ABCD và S.AHCD có chung chiều cao
nên ta chỉ cần so sánh 2 diện tích đáy. Dĩ nhiên ta thấy 3 2. S S 2 BCD S 3 1 3 AHCD AHD 4    2. .  , S 2S S 4 2 4 ABCD ABCD ABCD 3 VV SAHCD 4 SABCD Mặt khác ta có 0
BAD  60  tam giác ABD đều, nên a
AB BD AD a IH  . Khi đó 4 2 2 aa 3    a 13 2 2 HC IH IC        . Khi đó 4  2    4   a 13 SH HC  (do 0
SCH  45 nên tam giác SCH vuông cân tại H). 4 3 1 3 1 a 13 a 3 3 a 39  V  .SH.S .  . . . a .  SAHCD 3 ABCD 4 3 4 2 4 32 Chọn đáp án C.
Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng  ABC  là trung điểm của BC và SB  2 .
a Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. 3 3 5a 3 3a 3 5a 3 3a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 8 24 8 12 Hướng dẫn giải:
Xét tam giác SBH vuông tại a 15 2 3a 2 2 H : SH SB BH  và S  . 2 ABC 4 3 1 5a Vậy VSH .S  . S . ABC 3 ABC 8 Chọn đáp án C.
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng  ABC  là trung điểm của BC và SA hợp với đáy một góc 0
60 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. 3 3a 3 3a 3 5a 3 3a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 8 24 8 12 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 58
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Do SH   ABC   SA ABC   0 ;  SAH  60 . a
Xét tam giác SAH vuông tại  3
H : SH AH .tan SAH  và 2 2 3a S  . ABC 4 3 1 3a Vậy VSH .S  . S . ABC 3 ABC 8 Chọn đáp án A.
Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng  ABC  là trung điểm của BC và SB hợp với đáy một góc 0
60 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. 3 3a 3 3a 3 a 3 3a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 8 24 8 12 Hướng dẫn giải:
Do SH   ABC   SB ABC   0 ;  SBH  60 . a
Xét tam giác SBH vuông tại  3
H : SH BH.tan SBH  2 2 3a và S  . ABC 4 3 1 a Vậy VSH.S  . S . ABC 3 ABC 8 Chọn đáp án C.
Câu 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng  ABC  là trung điểm của BC và SAB hợp với đáy một góc 0
45 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. 3 3a 3 a 3 a 3 3a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 16 16 8 12 Hướng dẫn giải:
Do HK AB AB  SHK   AB SK
 SAB  ABC   0 ;  SKH  45 . 1 a 3
Gọi M là trung điểm AB HK CM  , do 2 4 a 3
tam giác SHK vuông cân tại H SH HK  4 2 3a và S  . ABC 4 3 1 a Vậy VSH.S  . S . ABC 3 ABC 16 Chọn đáp án B.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 59
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt  
phẳng  ABC  là điểm H trên cạnh BC sao cho CH  2HB, SB hợp với đáy một góc 0 60 . Tính thể
tích V của khối chóp S.ABC. 3 a 3 a 3 a 3 3a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 12 6 4 12 Hướng dẫn giải:
Do SH   ABC   SB ABC   0 ;  SBH  60 . a
Xét tam giác SBH vuông tại  3
H : SH BH.tan SBH  3 2 3a và S  . ABC 4 3 1 a Vậy VSH.S  . S . ABC 3 ABC 12 Chọn đáp án A.
Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt  
phẳng  ABC  là điểm H trên cạnh BC sao cho HC  2BH , SA hợp với đáy một góc 0 60 . Tính thể
tích V của khối chóp S.ABC. 3 a 3 7a 3 a 3 3a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 12 12 4 8 Hướng dẫn giải:
Do SH   ABC   SA ABC   0 ;  SAH  60 . Xét tam giác AHB :  2 7a 2 2 2
AH AB BH  2 A .
B BH .cos ABH  . 9 a 7  AH  . 3
Xét tam giác SAH vuông tại  21a 2 3a
H : SH AH .tan SBH  và S  . 3 ABC 4 3 1 7a Vậy VSH .S  . S . ABC 3 ABC 12 Chọn đáp án B.
Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt  
phẳng  ABC  là điểm H trên cạnh BC sao cho HC  2BH , và tam giác SAH vuông cân. Tính thể
tích V của khối chóp S.ABC.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 60
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian 3 21a 3 7a 3 a 3 3a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 36 12 4 8 Hướng dẫn giải:
Do SH   ABC   SA ABC   0 ;  SAH  60 . Xét tam giác AHB :  2 7a 2 2 2
AH AB BH  2 A .
B BH .cos ABH  . 9 a 7  AH  . 3
Do tam giác SAH vuông cân tại H nên SH AH và 2 3a S  . ABC 4 3 1 21a Vậy VSH .S  . S . ABC 3 ABC 36 Chọn đáp án A.
Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt  
phẳng  ABC  là điểm H trên cạnh BC sao cho HC  2BH , SAB hợp với đáy một góc 0 60 . Tính
thể tích V của khối chóp S.ABC. 3 3a 3 3a 3 3a 3 3a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 24 12 4 6 Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm A . B Dựng
HK AB HK / /CM và 1 a 3 HK CM  . Ta có 3 6
AB   SHK   AB SK
 SAB  ABC   0 ;  SKH  60 .
Xét tam giác SKH vuông tại  a 2 3a
H : SH KH .tan SKH  và S  . 2 ABC 4 3 1 3a Vậy VSH .S  . S . ABC 3 ABC 24 Chọn đáp án A.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 61
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 21: Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA  1, SB  2, SC  3, AB  3, BC CA  7 . Tính thể
tích V khối chóp S.ABC . 2 3 2 3 A. V B. V C. V D. V  4 2 2 4 Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng : Phương án C Lời giải:  2 2 2
SA SB AB 1  4  3 1  + 0 cos ASB     ASB  60 2S . A SB 2.1.2 2 +  2 2 2
SB SC BC 4  9  7 1  0 cos BSC     BSC  60 2S . B SC 2.2.3 2  2 2 2
SC SA CA 9 1  7 1  + 0 cosCSA     CSA  60 2SC.SA 2.3.1 2
+ Trên SB lấy trung điểm D và trên SC lấy E sao cho 1 SE SC . 3 2
+ Khi đó SADE là tứ diện đều cạnh bằng 1 cho nên thể tích của nó là VSADE 12 V SD SE 1 2 + Mặt khác, SADE  .   V V SB SC 6 2 Chọn đáp án C.
Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên
mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB = 2HA. Cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc bằng 0
60 . Khoảng cách từ trung điểm K của HC đến mặt phẳng (SCD) là: a 13 a 13 a 13 A. B. C. a 13 D. 2 4 8 Hướng dẫn giải:
SC ABCD  SC CH   0 , ,  SCH  60 a 13 a 39 2 2 0 HC BH BC
; SH HC.tan 60  3 3 3 1 1 1 a 39  1 a 1 2aa 39 2 VSH .SSH (SSS )  a  . a  . .a SHDC HDC ABCD AHD BHC   3 3 3 3  2 3 2 3  18 3 V 1 1 a 39 CKSD   VVV 2 CKSD 2 CHSD 36 CHSD
Tính độ dài các cạnh SD, SC. Khi đó: 2 2a 3 3V a 13 S   dKSDC SDC
K ,SDC 3 S 8 SDC Chọn đáp án D.
Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB là tam giác cân tại
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 62
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
đỉnh S. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng 0
45 , góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng đáy bằng 0
60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SA bằng a 6 . 3 8a 3 3 4a 3 3 2a 3 3 a 3 A. B. C. D. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải:
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lờn mặt đáy, M là trung điểm AB và do tam giác SAB cân
tại S nên SM vuông góc với AB và kết hợp với SH vuông góc với đáy suy ra AB vuông góc với mặt
phẳng SMN nên theo giả thiết ta được: SA ABCD    0 ,(
)  SAH  45  SA SH 2
SAB ABCD   SM MH    0 ( ), ,  SMH  60 + 2
SM SH . 3
+ Từ điểm N kẻ NP vuông góc với SM thì dễ thấy NP là
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD suy ra
NP a 6 . Ta có 2
SH .MN N .
P SM SH.AB a 6.SH
AB  2 2a SH a 3 3 2 4SH + Trong tam giác SAM ta có 2 2 2 2 2
SA AM SM  2SH
 2a SH a 3 3 2 3 1 a 3.8a 8 3a VSH .S   S . ABCD 3 ABCD 3 3 Chọn đáp án A.
Câu 24: Cho mặt phẳng  P chứa hình vuông ABCD . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
P tại A, lấy điểm M. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P tại C lấy điểm N (N cùng phía
với M so với mặt phẳng  P ). Gọi I là trung điểm của MN. Thể tích của tứ diện MNBD luôn có thể
tích được bằng công thức nào sau đây ? 1 1 1 1
A. V  .AC.S B. V AC.S C. V BD.S D. V B . D S 3 IBD 3 BDN 3 BMN 3 MBD Hướng dẫn giải: Ta có hình vẽ sau:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra IO song song với
AM, suy ra IO vuông góc với mặt phẳng ABCD.  OI AC
Mà AC BD;OI và BD là 2 đường thẳng cát nhau cùng thuộc
mặt phẳng  IBD . Khi đó AC   IBD ; hay AO   IBD
Ta có MN giao với  IBD tại I
d M ; IBD IM    1
d N; IBD IN V 1
MIBD  1  VVV MIBD NIBD MNBD   1 V 2 NIBD 1 1 AC Mặt khác V  .A . O D  . .S . Từ (1) và (2) MIBD IBD IBS  2 3 3 2
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 63
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian 1  V  .AC.S . MNBD 3 IBD Chọn đáp án A.
Câu 25: Cho khối chóp S.ABC có cạnh đáy AB AC  5a, BC  6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 0
60 . Hãy tính thể tích V của khối chóp đó? A. 3 V  2a 3 B. 3 V  6a 3 C. 3 V  12a 3 D. 3 V  18a 3 Hướng dẫn giải:
Kẻ SO   ABC  và OD,OE,OF lần lượt vuông góc với
BC, AC, AB . Theo định lí ba đường vuông góc ta có
SD BC, SE AC, SF AB (như hình vẽ). Từ đó suy ra    0
ABC ABC ABC  60 . Do đó các tam giác vuông
SDO, SEO, SFO bằng nhau. Từ đó suy ra OD OE OF . Vậy O
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Vì tam giác ABC cân tại
A nên OA vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến. Suy ra ,
A O, D thẳng hàng và D là trung điểm của BC. Suy ra 2 2 2 AD
AB BD  16a  4a .
Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp của nó. 1 3 Khi đó 2 S  .6 .
a 4a  12a pr  8ar . Suy ra r aABC 2 2 3 3a Do đó 0 SO O . D tan 60  .Vậy 3 V  6 3a . 2 S. ABC Chọn đáp án B.
Câu 26: Cho hình chóp S.ABC, có tất cả các mặt bên tạo với đáy góc  , hình chiếu của đỉnh thuộc
miền trong tam giác AB C. Biết AB  3a, BC  4a và AC  5a . Khi đó thể tích V của khối chóp BC bằng bao nhiêu ? A. 3 V  2a tan  B. 3 V  2a cos  C. 3 V  6a tan  D. 3 V  6a cot  Hướng dẫn giải:
Phân tích : đầu tiên cần xác định đường cao. Việc tưởng trừng như đơn gian nhưng nếu không tinh
ý nó lại trở nên khó khăn. Mấu chốt của bài toán chính la tất cả các mặt phẳng bên tạo với đáy 1 góc  Ta có bài toán phụ sau:
Nếu tất cả các mặt bên tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm nội tiếp mặt đáy Công thức cần dùng S= 2 .
p ( p a)( p  )
b ( p c)  . p r  6a
Hay 6a2=6a.r hay r=a( r :bán kính nội tiếp tam giác)
Chiều cao r.tan   a.tan  1 Vậy 2 3 V  .a tan .
 6a  2a .tan  3 Chọn đáp án A.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 64
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có AC  2BD  4a , cạnh bên SA a 5 , AC
hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên (ABCD) là điểm H trên cạnh AC sao cho AH  , M là hình 4
chiếu vuông góc của C trên SA. Tính thể tích của khối chóp SMBC theo a. 3 4a 3 a 3 2a A. B. C. D. 3 2a 15 3 3 Hướng dẫn giải: 2 2 SH
SA AH  2a AH 4a 5
AM AC.sin MCA AC.sin ASH AC.  SA 5 AM 4 S    SSAC AS 5 SMC 5 3 V V SH.AC.BD 4a B.SAC S.  V   ABCD   B.SMC 5 10 60 15 Chọn đáp án A.
Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều,
SC SD a 3 . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Gọi I là trung điểm của AB;
J là trung điểm của CD. Gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD). Qua H kẻ đường thẳng song song với
AB, đường thẳng này cắt DA và CB kéo dài tại M,N. Các nhận định sau đây. 
(1) Tam giác SIJ là tam giác có SIJ tù  6 (2) sin SIH  3 
(3) MSN là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAD)  1 (4) cos MSN  3
Chọn đáp án đúng: Hướng dẫn giải: 2 a a 11
Từ giả thiết ta có IJ=a; 2 2 2 SJ
SC JC  3a   4 2
Áp dụng định lý cosin cho tam giác SIJ ta có 2 2 3a 11a 2 a    2 2 2
SIJ IJ IS SJ 4 4 cos   2.IJ.IS a 3 2. . a 2 2 a 3      0 2 a 3 3 
Suy ra, tam giác SIJ là tam giác có SIJ tù.
Từ giả thiết tam giác SAB đều và tam giác SCD là cân đỉ 
nh S, ta có H thuộc IJ và I nằm giữa HJ tức là tam giác vuông SHI có 0 H  90 , góc I    3  
nhọn và cos I  cos SIH   cos SIJ
( SIJ và SIH kề bù) 2
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 65
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian  6 sin SIH  3
Từ giả thiết giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) là đường thẳng d qua S và song song với AD. Theo định lý ba đườ 
ng vuông góc ta có SN BC, SM AD SM d; SN d MSN là góc
giữa hai mặt phẳng. (SBC) và (SAD), MN = AB = a
Xét tam giác HSM vuông tại H có : 2 2 a 2 a 2a a a 3 2 2 SH  , HM   SM SH HM     SN 2 2 4 4 2
Theo định lý cosin cho tam giác SMN cân tại S có 2 2 2 3a 3a 2 a   a  2 2 2
SM SN MN 1 4 4 2 cos MSN     2 2 2SM .SN 3a 3a 3 2. 4 2 Chọn đáp án D.
Câu 29: Tính thể tích V của khối chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA BC  5a, SB AC  6a và
SC AB  7 . a 35 2 35 A. 3 V a . B. 3 V a . C. 3 V  2 95a . D. 3 V  2 105a . 2 2 Hướng dẫn giải:
Qua các đỉnh của tam giác ABC, vẽ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng đôi một
cắt nhau tạo thành tam giác MNP như hình vẽ. 1
Dễ thấy tứ diện S.MNP là tứ diện vuông đỉnh S và VV S . ABC S . 4 MNP
Đặt x SM , y SN , z SP , ta có:
x y  45a2 2 2 2 2 x  76a S   
y z  46a 2 2 2 2 2
  y  24a   2 2 z x z a   a2 2 2  120 4 7   1 1 3  VVxyz  2 95a S . ABC S . 4 MNP 24 Chọn đáp án C. M C P A B N
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 66
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian TỈ SỐ THỂ TÍCH
A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT
* Cho khối chóp S.ABC, A'SA, B'SB, C'SC * MSC, ta có: V SA.SB.SC V SA.SB.SM SM SABC SABC    V SA '.SB '.SC ' V SA.SB.SC SC SA 'B 'C ' SA ' B'C ' S S B' M C' A' C C A A B B B - BÀI TẬP
Câu 1: Hình chóp S.ABC có A’B’C’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC; tỷ số thể tích của hai khối
chóp SA’B’C’ và SABC là: 1 1 1 1 A. B. C. D. 4 6 10 8 Hướng dẫn giải: V
SA' SB ' SC ' 1
Sử dụng công thức S.A' B'C '  . .  . V SA SB SC 8 S . ABC Chọn đáp án D. 1
Câu 2: Cho hàm số S.ABC. Trên 3 cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A', B', C' sao cho SA'  SA ; 2 1 1 SB '  SB; SC ' 
SC . Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCD và S'.A'B'C'. Khi 2 2 V ' đó tỷ số là: V 1 1 1 1 A. B. C. D. 8 12 6 16 Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích ta có V '
SA' SB ' SC ' 1 1 1 1  . .  . .  V SA SB SC 2 2 3 12 Chọn đáp án B.
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABC .
D Gọi A', B', C', D' theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, D .
A Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C'D' và S.ABCD bằng ? 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 4 8
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 67
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian Hướng dẫn giải:
Ta thấy 2 hình chóp S.ABCD và S.A'B'C'D'. Có chung chiều cao kẻ từ
đỉnh S xuống đáy. Vậy để đi tìm tỉ số khoảng cách thì chúng ta chỉ cần
tìm tỉ số diện tích 2 đáy mà ta có hình vẽ như sau: Ta thấy 2 2  a 2  a 1 V 1
A ' B ' C ' D ' S
A ' D '. A'B'      S   A 'B'C'D'  2  2 2 ABCD   V 2 ABCD Chọn đáp án A. V
Câu 4: Hình chóp SABC có M, N, P theo thứ tự là trung điểm S , A S ,
B SC. Đặt k MNPABC . Khi đó VSABC giá trị của k là 8 7 1 A. B. C. 8 D. 7 8 8 Hướng dẫn giải: V SM SN SP 1 1 1 1 Ta có SMNP  . .  . .  V SA SB SC 2 2 2 8 SABC V VV V 7
MNPABC SABC
SMNP  1  SMNP V V V 8 SABC SABC SABC Chọn đáp án B.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, M là trung
điểm SC. Mặt phẳng (P) qua AM và song song với BD cắt SB, SD lần
lượt tại P và Q.Khi đó tỉ số thể tích giữa khối SAPMQ và khối SABCD bằng : 2 1 1 2 A. B. C. D. 9 8 3 3 Hướng dẫn giải:
Vì mp song song với BD nên PQ song song với B .
D Gọi O là tâmhình bình hành ABC . D
Suy luận được SO,AM, PQ đồng qui tại G và G là trọng tâm tam giác SAC. SQ SP 2 Suy luận được tỉ số=   ; SD SB 3 VSAQM V 1
Chứng minh được tỉ số thể tích :  SAPM  ; V V 3 SADC SABC VV V SAQM SAPM 1 SAPMQ 1 Suy ra được:    VV 3 V 3 SADC SABC SABCD Chọn đáp án C.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC, M là trung điểm của SB, điểm N thuộc SC thỏa SN  2NC. Tỉ số VS.AMN VS.ABC 1 1 1 1 A. B. C. D. 6 5 4 3 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. V SM SN 1 1 1 S . AMN  .  .  V SB SC 2 3 6 S . ABC
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 68
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 7: Cho khối tứ diện OABC với O ,
A OB, OC vuông góc từng đôi một và
OA a, OB  2a, OC  3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC. Thể tích của khối
tứ diện OCMN tính theo a bằng: 3 2a 3 3a 3 a A. B. 3 a C. D. 3 4 4 Hướng dẫn giải: V CM CN 1 3 1 1 1 1 a COMN  .   VV  . . O . B OC.OA  (dvtt) V CA CB 4 COMN 4 COAB 4 3 2 4 COAB Chọn đáp án D.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48 và ABCD là hình thoi. Các điểm M, N, P, Q lần
lượt là các điểm trên các đoạn SA, SB, SC, SD thỏa mãn: SA  2SM , SB  3SN; SC  4SP; SD  5SQ .
Tính thể tích khối chóp S.MNPQ 2 4 6 8 A. B. C. D. 5 5 5 5 Hướng dẫn giải:
Lưu ý công thức tỉ lệ thể tích chỉ dùng cho chóp tam giác chung đỉnh và tương ứng tỉ lệ cạnh. Ta có: V V SM SN SP SM SQ SP 1 1 1 1 1 1
SMNP SMQP  . .  . .  . .  . . V V SA SB SC SA SD SC 2 3 4 2 5 4 SABC SADC V V V SMNPQ 1   SMQP 1 3 8 SMNP  1 1 1 1 1 1    .   . .  . .      V  1   V 2 V V 2 SMNPQ 5 5 SABCDSABC SADC   2 3 4 2 5 4  Chọn đáp án D.
Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông cân ở B, AC a 2, SA a và SA   ABC  .
Gọi G là trọng tâm của S
BC , một mặt phẳng  đi qua AG và song song vsơi BC cắt SC, SB lần
lượt tại M, N. Thể tích khối chóp S.AMN bằng 3 4a 3 4a A. B. 27 9 3 4a 3 2a C. D. 27 27 Hướng dẫn giải:
Tam giác ABC vuông tại B AC AB 2  AB BC a
Gọi I là trung điểm BC, G là trọng tâm của tam giác SBC SG 2 SM SN SG 2 Nên 
mà MN song song với BC suy ra    SI 3 SC SB SI 3 V SM SN 4 4
Do đó S.AMN  .   VV S . AMN S . V SC SB 9 9 ACB S . ACB 3 1 1 1 a Mặt khác 2 V  .S . A S  . . a .a S . ABC 3 ABC 3 2 6 3 3 4 4 a 2a Suy ra VV  .  . S . AMN S. 9 ACB 9 6 27 Chọn đáp án D.
Câu 10: Cho khối chóp S.ABC. Lấy A', B' lần lượt thuộc SA, SB sao cho 2SA'  3A' ;
A 3SB '  B ' . B
Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp S.A' B 'C và S.ABC là: 3 2 1 3 A. B. C. D. 20 15 6 10
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 69
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian Hướng dẫn giải: 3 1 3 36. . = . 5 4 20 Chọn đáp án A.
Câu 11: Hình chop SACB có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a, AC a 2 , AB=3a. Gọi M,N V
là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SC. Đặt k SAMN , khi đó giá trị của k là VSABC 1 1 1 1 A. B. C. D. 30 3 30 2 Hướng dẫn giải: SM SN Ta có k  . SB SC
SAC vuông tại A, có AN SC tại N nên 2 2 
SN.SC SA SN SA 1 SN 1       2 2
CN.CS CA CN CA 2 SC 3  2 SM SA 1 SM 1 Tương tự     2 BM AB 9 SB 10 1 1 1  k  .  3 10 30 Chọn đáp án C.
Câu 12: Cho tứ diện ABCD có các cạnh B ,
A BC, BD đôi một vuông góc với nhau
BA  3a, BC BD  2 .
a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính thể tích khối chóp C.BDNM 3 2a 3 3a A. 3 V  8a B. V C. V D. 3 V a 3 2 Hướng dẫn giải: 1 1 1 3 VA . B S  3 . a 2 .
a 2a  2a ABDC 3 BCD 3 2 V AM AN AC 1 1 1 AMNC 3  . .   VVa V AB AD AC 4 AMNC 4 ABDC 2 ABDC 3 3aVVVBDNM ABDC AMNC 2 Chọn đáp án C.
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SB và G là trọng
tâm của tam giác SBC. Gọi V, V’ lần lượt là thể tích của các khối chóp M.ABC và G.ABD, tính tỉ số V V ' V 3 V 4 V 5 V A.B.C.D.  2 V ' 2 V ' 3 V ' 3 V ' Hướng dẫn giải: V
d M , ABCD MC 3
Vì các tam giác ABC và ABD có cùng diện tích nên    V '
d G, ABCD GC 2 Chọn đáp án A.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 70
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 14: Cho khối chóp S.ABC. Trên các đoạn SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C’ sao cho 1 1 1 SA'  S ; A SB '  SB; SC ' 
SC . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C' và S.ABC bằng: 2 3 4 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 6 12 24 Hướng dẫn giải: V
SA' SB ' SC ' 1 1 1 1
Ta có: S.A' B'C '  . .  . .  V SA SB SC 2 3 4 24 S . ABC Chọn đáp án D.
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. SA vuông góc với mặt đáy
(ABCD); AB  2a, AD  CD  a. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy ( ABCD) là 60o . Mặt phẳng
(P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích
khối chóp S.CDMN theo thể tích khối chóp S.ABCD. 14 4 A. VV B. VV S .CDMN S . 27 ABCD S .CDMN S . 27 ABCD 10V V C. . VS ABCD D. . VS ABCD S .CDMN 27 S .CDMN 2 Hướng dẫn giải: 1 1 Đặt V V , ta có: V  V ; V  V S . ABCD S.CDA S.ABCD S.ABC S.ABCD 3 3
Mặt phẳng (P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB
cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N. Khi đó MN AB và SM SN 2   SA SB 3 Ta có: V SC SD SM 2 2 2 S .CDM  . .   VVV S .CDM S. V SC SD SA 3 3 CDA 9 S.CDA 2 V SM SN SC S MNC  2  4 8 .  . .   VV    V S .MNC S . ABC V SA SB SC S ABC  3  9 27 . 2 8 14 Bởi vậy: VVVV V V S .CDMN S .CDM S .MNC 9 27 27 Chọn đáp án A.
Câu 16: Cho tứ diện ABC .
D Gọi B’ và C’ lần lượt thuộc các cạnh AB và AC thỏa 3AB '  AB và V
3AC '  AC . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối tứ diện ' '
k AB C D bằng: VABCD 1 1 1 A. k B. k  9 C. k D. k  3 6 9 Hướng dẫn giải: 1
Áp dụng bài toán tỉ số thể tích k  9 Chọn đáp án D.
Câu 17: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M,N,P tương ứng là trung điểm của SA,BC và AB. Mặt phẳng
(MNP) chia khối chóp thành 2 phần. Gọi V1 là thể tích của phần chứa đỉnh S, V2 là thể tích của phần V còn lại. Tính tỉ số 1 V2
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 71
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian 1 1 A. 2 B. 1 C. D. 3 2 Hướng dẫn giải:
Do (MNP) và (SAC) có M là điểm chung và AC//PN
Từ M kẻ MQ//AC( Q SC )=> (MNP) cắt SC tại Q S Ta có: VVV SABCSMP BNQ   A MQ  CNP V V 1 2 ) V  VVV AMQCNP MAPN MANC MQCN M Q 1 1 1 1 
d (S;( ABC)). .S
d (S;( ABC)). .S 2 4 ABC 2 2 ABC 1 1
d (A;(SBC)). .S 2 4 SBC A C 1 1 1 1 1 V1  (   ) V  V  VV   1 8 4 8 SABC 2 SABC SMPBNQ 2 SABC V P 2 N Chọn đáp án B. B
Câu 18: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình S
hành. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm cúa SA, SB. Tỉ số thể V
tích S.CDMN  ? VS.CDAB 1 3 A. B. N 2 8 M 5 1 C. D. 8 4 A Hướng dẫn giải: B V VV V V S .CDMN S.CDM S.CMN S .CDM S .    CMN V VV 2V 2V S .CDAB S. ACD S . ABC S. ACD S. ABC SM SM SN 3   .  2SA 2SA SB 8 D C Chọn đáp án B.
Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC), AB a, BC a 3,SA  a . Một mặt phẳng  qua A vuông góc SC tại H và cắt SB
tại K. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a. 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. VB. VC. VD. VS . AHK 20 S . AHK 30 S . AHK 60 S . AHK 90 Hướng dẫn giải: AK  
SC AK   Ta có  , suy ra
AK BC BC   SAB 
AK   SBC   AK SB
Vì SAB vuông cân tại A nên K là trung điểm của S . B Ta có:
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 72
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian V S . A SK.SH SH S . AHK   . Ta có 2 2 AC
AB BC  2a V S . A S . B SC 2SC S . ABC 2 SH SH.SC SA 1 2 2 SC
AC SA a 5 , khi đó    2 2 SC SC SC 5 V SH 1 3 1 1 a 3 S .  AHK   , lại có VS . A .A . B BC V 2SC 10 S . ABC 3 2 6 S . ABC 3 a 3 Vậy VS . AHK 60 Chọn đáp án C.
Câu 20: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau;
AB = a 3 , AC = 2a và AD = 2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên DB, DC. Tính thể tích V của tứ diện AHK . D 4 3 4 3 2 3 2 3 A. 3 V a . B. 3 V a . C. 3 V a . D. 3 V a . 21 7 21 7 Hướng dẫn giải: 2 V SA SK DH 1 DH .D B 1 AD
Ta có : D.AHK  . .  .  . 2 2 2 V SA SC DB 2 DB 2 AD AB D. ABC 2 1 4a 2  .  2 2 2 4a  3a 7 3 1 1 1 2a 3 VD . A S  2 . a 2 . a a 3  D. ABC 3 ABC 3 2 3 3 4a 3 Suy ra VV  . AHKD D. AHK 21 Chọn đáp án A.
Câu 21: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V với đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung
điểm cạnh SC. Mặt phẳng qua AC’ và song song với BD cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại B’; D’. Khi
đó thể tích của khối chóp S.A’B’C’D’ bằng V 2V V V A. B. C. D. 3 3 4 2 Hướng dẫn giải:
Phân tích: Để giải quyết được bài toán này các em cần dựng được mặt phẳng đi qua AC’ và song song
với BD sau đó tìm giao điểm của nó với các cạnh SB, SD
Để dựng được mặt phẳng đi qua AC’ và song song với BD ta làm như sau:
Gọi O là giao điểm của AC và BD, gọi I là giao điểm của SO và AC’. Qua I kẻ B’D’ song song với
BD, khi đó ta có mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng (AD’C’B’). SI 2
Ta dễ dàng nhận thấy rằng I là trọng tâm của tam giác SAC nên  SO 3 SD ' SI SB ' 2
Theo định lí Ta lét ta có    SD SO SB 3
Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích của khối chóp tam giác (tứ diện) ta có: V SA SD ' SC ' 2 1 1 SAD ' C '  . .  1. .  V SA SD SC 3 2 3 SADC
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 73
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian V SA SB ' SC ' 2 1 1 SAB ' C '  . .  1. .  V SA SB SC 3 2 3 SABC 1 1 1 V Mà VVV nên VVV  .2. VSADC SABC 2 SABCD
SAD ' C ' B ' SAD ' C ' SAB ' C ' 2 2 SABCD 3 Chọn đáp án A.
Câu 22: Cho tứ diện ABCD có DA  1, DA   ABC  . ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên 3 DM 1 DN 1 DP 3 cạnh D ,
A DB, DC lấy điểm M, N, P mà  ,  , 
. Thể tích của tứ diện MNPD DA 2 DB 3 DC 4 bằng: 3 2 3 2 A. V B. V C. V  D. V  12 12 96 96 Hướng dẫn giải: 1 3 3 V  . .1  AB D C 3 4 12 V DM DN DP 1 1 3 1 1 3 3 DMNP  . .  . .   V  .  V DA DB DC 2 3 4 8 DMNP 8 12 96 DABC Chọn đáp án C.
Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, M là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AM và song
song với BD cắt SB, SD tại N, K. Tính tỉ số thể tích của khối S.ANMK và khối chóp S.ABCD 1 2 1 3 A. B. C. D. 2 9 3 5 Hướng dẫn giải:
Trong mặt phẳng (SAC) gọi G là giao điểm của
AM và SO. Ta có G là trọng tâm tam giác SAC.
Trong mp(SBD) kẻ đường thẳng qua G song song
với BD cắt SB,SD tại N và K. Gọi VVV S . ANMK S . ANM S. AKM V SN SM 2 1 1
Ta có : S.ANM  .  .  V SB SC 3 2 3 S . ABC 1 1  VVV S . ANM S . ABC S . 3 6 ABCD V SK SM 2 1 1 S . AKM  .  .  V SD SC 3 2 3 S . ADC 1 1 1  VVV VV SAKM 3 SADC 6 SABCD S.ANMK S . 3 ABCD Chọn đáp án C.
Câu 24: Cho chóp tứ giác đều SABCD . Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD tại SB ' 2 ’ B , C’, ’
D . Biết rằng AB = a, 
. Tính thể tích V của tứ diện SAB’C’D’ SB 3 7 28 3 6a A. 3 V a B. 3 V  14a C. 3 V a D.V  2 3 18
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 74
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian Chọn đáp án D.
Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hai mặt bên (SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 0
45 . Gọi H và K lần lượt là
trung điểm của SC và SD. Thể tích của khối chóp S.AHK là: 3 a 3 a 3 a A. B. C. D. 3 a 24 12 6 Hướng dẫn giải:
Hướng dẫn: (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy  SA   ABCD
 SCD  ABCD  0 ,
SDA  45  SA AD a 2 3 1 1 a a VS . A S  . aS . ACD 3 SCD 3 2 6 3 V SH SK 1 1 a S. AHK  .   VVS. AHK S . V SC SD 4 4 ACD 24 S. ACD Chọn đáp án A.
Câu 26: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm cạnh SC
và N là điểm thuộc cạnh SD sao cho SN  2ND . Tính tỉ số thể tích k giữa hai đa diện SABMN và
khối chóp S.ABC . D 5 5 1 1 A. k B. k C. k D. k  6 12 3 6 Hướng dẫn giải:
+ Do ABCD là hình bình hành nên 1 SSVVVABCADC S . ABC S . ADC S . 2 ABCD V SM V 1 V 1 + Ta có S.ABM S . ABM S .     ABMV SC 1 2 V 4 S . ABC S . ABCD VS. 2 ABCD V SN SM V 2 1 V 1 và S.ANM S . ANM S .  .   .  ANMV SD SC 1 3 2 V 6 S . ADC S . ABCD VS. 2 ABCD + Suy ra V V 1 1 VV 5 V 5 S . ABM S . ANM S . ABM S .     ANM   SABMNV V 4 6 V 12 V 12 S . ABC S . ADC S . ABCD S . ABCD 5 + Vậy k  . 12 Chọn đáp án B.
Câu 27: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ vì M là trung điểm của CC’. Gọi khối đa diện (H) là phần còn
lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp M.ABC. Tỷ số thể tích của (H) và khối chóp M.ABC là: 1 1 A. B. 6 C. D. 5 6 5 Hướng dẫn giải: 1
Gọi M là trung điểm của CC’ . Theo bài ra ta có: VVa V  2a M . ABC C ' 2 ABC C ' ABC
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 75
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian 1 Ta lại có VV
 2a nên ta có  H   VV
 2.2a a  5a C ' ABC
AA ' B ' C ' 2
AA ' B ' C ' MABC '  H  Vậy  5 VM .ABC Chọn đáp án D.
Câu 28: Cho hình hộp ABC .
D A' B 'C ' D ' có thể tích là V . Gọi M , N ,Q lần lượt là trung điểm của
AD, DC và B’C’. Thể tích của khối tứ diện QBMN bằng: 3V 8V V V A. B. C. D. 8 3 8 4 Hướng dẫn giải: 1 Ta có: V  .d Q BMN S . Rõ ràng ta nhận QBMN  ; . BMN   1 3
thấy hình tứ diện QBMN và hình hộp ABCDA' B 'C ' D ' có S
chiều cao bằng nhau. Nên ta chỉ đi tìm tỉ lệ BMN . SABCD Ta có SSSSS ABCD DMN ABM BNC BMNSSSSS BMN ABCD DMN AMB BNC S S 1 1 1
Mặt khác ta có DMN DMN  .  ; S 2S 2 4 8 ABCD ADC S S 1 1 1 ABM ABM   .  S 2S 2 2 4 ABCD ABD S 1  1 1 1  S 3 Tương tự thì BNC
, khi đó SBMN  1    BMN   S   2 S 4 ABCD  8 4 4  S 8 ABCD ABCD VQBMN 1 3 1 V Từ (1) và (2) suy ra  .   V  3 8 8 QBMN 8 ABCD Chọn đáp án C.
Câu 29: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V. Lấy điểm A’ trên cạnh SA sao cho 1 SA' 
SA . Mặt phẳng qua A’ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt 3
tại B’, C’, D’. Khi đó thể tích chóp S.A’B’C’D’ bằng? V V V V A. B. C. D. 3 9 27 81 Hướng dẫn giải:
Vì  A'B 'C ' D ' / /  ABCD  A' B '/ / AB, B'C '/ /BC,C 'D '/ /CD SA ' 1 SB ' SC ' SD ' 1 Mà:     
. Gọi V ,V lần lượt là V ,V SA 3 SB SC SD 3 1 2 S . ABC S . ACD
Ta có: V V V 1 2 V
SA ' SB ' SC ' 1 V
S . A' B 'C ' 1  . .   V  .
S . A' B 'C ' V SA SB SC 27 27 S . ABC V
SA' SC ' SD ' 1 V
S . A ' C ' D ' 2  . .   V  .
S . A ' C ' D ' V SA SC SD 27 27 S . ACD
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 76
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian V V V Vậy 1 2 VVV   .
S . A ' BC ' D '
S . A ' B ' C '
S . A ' C ' D ' 27 27 Chọn đáp án D.
Câu 30: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng (MB’D’) chia
khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. 5 7 7 5 A. B. C. D. 12 17 24 17 Hướng dẫn giải:
+ Lập thiết diện của khối hộp đi qua mặt phẳng
(MB’D’). Thiết diện chia khối hộp thành hai phần
trong đó có AMN.A’B’D’
+ Lấy N là trung điểm của AD → MN là đường trung bình của tam giác ABD 1  MN / /BD và MN  .BD 2 1 => MN / / B'D' và MN  .B ' D ' 2
=> M,N,B’,D’ đồng phẳng với nhau=> Thiết diện là MNB’D’.
Nhận thấy AMN.A’B’D’ là hình đa diện được tách ra
từ K.A’B’D’ ( K là giao điểm của MB’,ND’ và AA’)
+ Áp dụng định lý Ta lét ta có : KA KM KN MN 1 V KA KM KN 1     , K.AMN  . .  KA ' KB ' KD ' B ' D ' 2 V KA ' KB ' KD ' 8 K.A 'B 'D' 7 7 1 1 7 1 1 7  V  .V  . . KA '.A'B'. A'D'  . . .2AA '.A ' B '.A ' D '  .S AMN.A 'B'D' K.A ' B' D' hình hộp 8 8 3 2 8 3 2 24 7
 Tỷ lệ giữa 2 phần đó là 17 Chọn đáp án B.
Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SQ các cạnh S , A S .
D Mặt phẳng () chứa MN cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại Q, P. Đặt
x , V là thể SB 1 1
tích của khối chóp S.MNQP, V là thể tích của khối chóp S.ABC .
D Tìm x để V V . 1 2 1   33 1 1   41 A. x B. x  2 C. x D. x  4 2 4 Hướng dẫn giải: V
(HS tự vẽ hình) Ta có VV  , V VV S . ABD S .BCD 2 1 S .MNQ S .NPQ SP SQ
+) Vì MN//BC nên PQ//BC    x SC SB V SM SN SQ x V x V x VS NPQ SN SQ SP 1 +) S.MNQ  . .  S .MNQ S.    MNQ  ; . 2  . .  x V SA SD SB 4 V 4 V 8 V SD SB SC 2 S . ABD S .BCD 2 2 VS. xNPQ V 4
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 77
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian 2 1 VV S MNQ S NPQ 1 x x 1 +) Ta có: . . V V      . Suy ra đáp án. 1 2 V 2 8 4 2
Câu 32: Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA   ABCD; góc giữa hai mặt
phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 60o. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Thể tích của hình chóp S.ADNM bằng: 3 a 3 3a 3 3 3a 3 6a A. B. C. D. 4 6 8 2 8 2 8 Hướng dẫn giải: - Diện tích đáy -Tỉ số và tỉ số -Vì nên Chọn đáp án B.
Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của cạnh SC.
Mặt phẳng (P) qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. Gọi V, V’ lần lượt là thể tích các khối V '
S.ABCD và S.AMKN. Tỉ số
có giá trị nhỏ nhất là: V 1 3 1 1 A. B. C. D. 5 8 3 2 Hướng dẫn giải: Hs tự vẽ hình SM SN V Đặt x  ; y   V '  VVx y 1 S . AMK S . ANK     SB SD 4 3xy
Mặt khác V '  VVV 2 S . AMN S .MNK   4
Từ (1) và (2) có: xy  3xy x  1  SN x 1 1  y  ,
y  0  x  , y   1   1  x    x  1   3x  1  3  SD 3x  1 2 2 2 V ' 3x  1   ,  x  1   V 43x   1  2  2 3x  1  1
Xét hàm số f x   x  1   . F(x) đạt GTNN bằng 43x   1  2  3 Chọn đáp án C.
Câu 34: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng song song với đáy
cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi M’, N’, P’, Q’ lần lượt là hình chiếu của
M, N, P, Q trên mặt phẳng đáy. Tìm tỉ số SM: SA để thể tích khối đa diện MNPQ.M’N’P’Q’ đạt giá trị lớn nhất.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 78
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian 1 2 3 1 A. B. C. D. 2 3 4 3 Hướng dẫn giải:
+ Áp dụng định lý talet. SM Đặt
k . Áp dụng định lý Talet trong Tam giác SAD SA có MN//AD MN SM   k  MN  k.AD AD SA
Áp dụng định lý Talet trong Tam giác SAB có MQ//AB MQ SM
k MQ k.AB . Kẻ đường cao SH của AB SA hình chóp.
Áp dụng định lý Talet trong Tam giác SAH có MM’//SH MM ' AM SM   1 
 1  k MM '  1 k .SH SH SA SAVMN.M . Q MM '  D A .A .
B SH .k 1  k V .k. 1  k
MNPQ.M ' N ' P ' Q '   hinh chop   1
V min khi và chỉ khi k  1  k k  2 Chọn đáp án A.
Câu 35: Cho khối tứ diện có thể tích bằng V . Gọi V  là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các V
trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số . V V  1 V  1 V  2 V  5 A.  . B.  . C.  . D.  . V 2 V 4 V 3 V 8 Hướng dẫn giải: A Q P B E F D M N C V V VVVV V V V V Ta có . A QEP B.QMF C .MNE D.NPF A.QEP B.QMF C .MNE D.   1 NPF     V V V V V V 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 . .  . .  . .  . .  . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Chọn đáp án A. HÌNH LĂNG TRỤ
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 79
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Thể tích khối lăng trụ: V= B.h h
với B là diện tích đáy, h là chiều cao B
2) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c
với a, b, c là ba kích thước
3) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a là độ dài cạnh B – BÀI TẬP
THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Câu 1: Thể tích (cm3) khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng 2 cm là: 6 3 2 A. B. C. 2 D. 2 2 2 Hướng dẫn giải: 6
Dễ dàng tính được V = 2 Chọn đáp án A
Câu 2: Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a là: 3 a 2 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 3 6 2 4 Hướng dẫn giải: 2 3 a 3 a 3 V S .AA '  .2a  nên chọn C. ABC 4 2 Chọn đáp án C.
Câu 3: Cho lăng trụ đứng ABC. 
A BC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. AB = 2a, BC = a, A
A  2a 3 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.  A BC . 3 2a 3 3 a 3 A. B. C. 3 4a 3 D. 3 2a 3 3 3 Hướng dẫn giải: 1 3 V S .AA'  2a. .
a 2a 3  2a 3 ABC 2 Chọn đáp án D.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 80
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 4: Gọi V là thể tích của hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' . V là thể tích của tứ diện A' ABD . 1
Hệ thức nào sau đây là đúng ?
A. V  6V
B. V  4V
C. V  3V
D. V  2V 1 1 1 1 Hướng dẫn giải:
Ta có hình vẽ sau: 1 Ta có V S
.AA'; V  .S .AA' ABCD 1 3 ABD 1 V 2.S .AA' Mà SS   ABD  6 ABD 2 ABCD V 1 1 S .AA' 3 ABDV  6V1
Chú ý nhiều độc giả tư duy nhanh nên chỉ xét tỉ số giữa diện 1
tích đáy mà quên mất rằng với khối chóp thì còn tích với 3
nữa, và nhanh chóng chọn ý D là sai. Vì thế, nhanh nhưng cần phải chính xác bạn nhé. Chọn đáp án A.
Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ bằng 2 2 2a . Thể tích
của khối lập phương ABCD.A'B'C'D' là: A. 3 2 2a B. 3 2a C. 3 2a D. 3 a Hướng dẫn giải:
Để tính được thể tích của hình lập phương thì ta cần biết cạnh của hình lập phương đó, từ dữ liệu
diện tích mặt chéo A’ACC’ ta sẽ tính được cạnh của hình lập phương
Gọi cạnh của hình lập phương là x suy ra
A'C '  x 2 . Diện tích mặt chéo A’ACC’ là 2 .
x x 2  2 2a x a 2 . Thể tích hình lập phương là 3 3
V x  2 2a Chọn đáp án A.
Câu 6: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng
(A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 45o.Thể tích lăng tru là: 3 a 2 3 a 3 A. B. C. 3 a 3 D. 3 a 2 2 3 Hướng dẫn giải:  - 0 ABC  45
- AC AB 2  2a AB 2  AB BC AA'  a 2 1 - 3 V A .
B BC.AA'  a 2 2 Chọn đáp án D.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 81
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 7: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm
của AA1. Thể tích khối chóp M.BCA1 là: 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. V B. V C. V D. V  12 24 6 8 Hướng dẫn giải: 2 a 3
ABC là tam giác đều cạnh a nên có diện tích SABC 4 AA a Ta có 1 AM   2 2
Hai tứ diện MABC và MA1BC có chung đỉnh C, diện tích hai đáy
MAB và MA1B bằng nhau nên có thể tích bằng nhau, suy ra 3 1 a 3 VVAM .SM .BCA M . ABC ABC 1 3 24 Chọn đáp án B.
Câu 8: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’, cạnh đáy bằng a. Gọi N, I lần lượt là trung điểm của
AB, BC; góc giữa hai mặt phẳng (C’AI) và (ABC) bằng 60o . Tính theo a thể tích khối chóp NAC’I? 3 a 3 3a 3 3a A. 3 32 3a B. C. D. 32 32 4 Hướng dẫn giải: Ta có       ' ,   60o C AI ABC CICCC '  a 3
Mặt khác tan CIC ' 
CC '  CI.tan CIC '  CI 2 2 2 1 1 a 3 a 3 Ta có SS  .  ANI 4 ABC 4 4 16 3 3 1 1 a 3 a 3 aVCC '.S  . .  C '.NAI 3 NAI 3 2 2 32 Chọn đáp án B.
Câu 9: Cho lăng trụ đứng ABC. ’ A ’ B ’
C có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BA BC a, ’ A B
tạo với (ABC) một góc 600. Thể tích của khối lăng trụ ABC. ’ A ’ B ’ C là: 3 3a 3 3a 3 a A. B. C. 3 3a D. 2 6 4 Hướng dẫn giải:
Góc giữa A”B và đáy là góc 0
ABA '  60 , AA'  a 3 2 a 3 a 3 S
. Vậy thể tích của lăng trụ là : V S .AA '  . ABC ABC 2 2 Chọn đáp án A.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 82
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC. 
A BC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và   A BC
hợp với mặt đáy ABC một góc 0
30 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.  A BC là 3 a 3 3 a 3 3 3a 3 a 5 A. B. C. D. 12 24 24 24 Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Ta có SA   ABC   AM là hình chiếu vuông góc của 
A M trên  ABC  , nên  
A BC   ABC   , bằng góc  0  A MA  30 Xét  
A MA vuông tại A . Ta có  a 3 a 0 
A A AM .tan  A MA  .tan 30  2 2 2 1 a 3 a 3 S  . .a  2 2 4 2 3 1 1 a 3 a a 3 Vậy V  .S .  A A  . .  A .  ABC 3 ABC 3 4 2 24 Chọn đáp án B.
Câu 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng  AB 'C ' tạo với mặt đáy góc 0
60 . Tính theo a thể tích lăng trụ ABC.A' B 'C ' . 3 a 3 3 3a 3 3 a 3 3 3a 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 2 4 8 8 Hướng dẫn giải:
Vì ABC.A' B 'C ' là lăng trụ đứng nên AA'   ABC  .
Gọi M là trung điểm B 'C ' , do tam giác A' B 'C ' đều
Nên suy ra A' M B 'C ' .   
Khi đó 600   AB'C ', A' B'C '  AM , A'M AMA' . A C
Tam giác AA ' M , có B a 3  3a A' M
; AA'  A'M .tan AMA'  . 2 2 2 a 3
Diện tích tam giác đều S  .
A ' B ' C ' 4 A' C' 3 3a 3 Vậy V S .AA'  (đvtt). ABC M 8 B' Chọn đáp án D.
Câu 12: Cho lăng trụ đứng ABC. A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=3a, BC= a 2 , mặt
bên (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 0
60 . Tính thể tích khối lăng trụ. 3 7 6a 3 a 6 3 9 6a 3 a 6 A. B. C. D. 2 2 2 6 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 83
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian 2 1 1 3a 2 SA . B BC  .3 . a a 2  ABC 2 2 2 Đường cao / AA  tan 60o AB  3a 3 2 3 3a 2 9a 6 Vậy / V S .AA  .3a 3  . ABC 2 2 Chọn đáp án C.
Câu 13: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC a, 0
ACB  60 . Đường chéo BC' của mặt bên (BB'C'C) tạo với mặt phẳng mp AA'C 'C  một góc 300.
Tính thể tích của khối lăng trụ theo a là: 4 6 2 6 6 A. 3 V a B. 3 V a 6 C. 3 V a D. 3 V a 3 3 3 Hướng dẫn giải: 2 a 3
Tính được AB = a 3 ; SABC =
; Góc AC’B = 300 nên AC’ = 3a. 2
Pitago cho tam giác vuông ACC’ tính được CC’ = 2a 2 . Từ đó 3 V a 6 . Chọn đáp án B.
Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A,  0
AC a, ACB  60 . Đuòng chéo B’C của mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc
300. Tính thể tích của khối lăng trụ theo a. 3 a 15 3 a 15 3 a 15 A. B. 3 a 6 C. D. 3 12 24 Hướng dẫn giải:
Vì A' B '   ACC ' suy ra B 'CA'  300 chính là góc tạo bởi
đường chéo BC’ của mặt bên (BB’C’C) và mặt phẳng a 3
(AA’C’C). Trong tam giác ABC ta có AB AB sin 600  2
Mà AB A' B '  A'B'  a 3 A' B
Trong tam giác vuông A’B’C’ ta có: A 'C   3a . 0 tan 30
Trong tam giác vuông A’AC ta có: 2 2 AA' 
A'C AC  2a 2 2 a 3 Vậy 3 VAA'.S  2a 2.  a 6 LTABC 2 Chọn đáp án B.
Câu 15: Hình lập phương ABC . D ’ A ’ B ’ C ’
D có độ dài đường chéo bằng a. Khi đó thể tích khối tứ diện AA’B’C’ là. 2 a 3 a 3 a 2 a A. B. C. D. 3 3 18 3 6 3 18 3
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 84
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian Hướng dẫn giải:
Gọi x là cạnh hình lập phương ta có 2 2 2
AA'  A'C '  AC ' 2 2 2
x  (x 2)  a  x a / 3 3 1 1 a V= 3 S AA'  x
A ' B ' C ' 3 6 18 3 Chọn đáp án B.
Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a, BC  2a, AA'  a . Lấy điểm M trên
cạnh AD sao cho AM  3MD . Tính thể tích khối chóp M.AB’C. 3 a 3 a 3 3a 3 3a A. VB. VC. VD. V
M . AB ' C 2
M . AB ' C 4
M . AB ' C 4
M . AB ' C 2 Hướng dẫn giải:
Thể tích khối chóp M.AB’C bằng thể tích khối chóp B’.AMC 2 3 3a Ta có : SS  AMC 4 ADC 4 3 3a Do đó VV
M . AB ' C B '. AMC 4 Chọn đáp án C.
Câu 17: Khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 3
a . Tính độ dài của A’C.
A. A'C a 3
B. A'C a 2
C. A'C a
D. A'C  2a Hướng dẫn giải: Ta có: 2 2 2 A 'C
AB AD AA ' Mà 3
AB AD AA',V A . B A . D AA'  a
AB a, AD a, AA'  a . Suy ra A'C a 3 Chọn đáp án A.
Câu 18: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính thể tích V của hình lập phương biết rằng a
khoảng cách từ trung điểm I của AB đến mặt phẳng A’B’CD bằng 2
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 85
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian 3 a A. V B. 3 V a C. 3 V  2a D. 3 V a 2 3 Hướng dẫn giải:
Gọi các điểm như hình vẽ bên trong đó IH I ' J . Đặt cạnh x a
AB x suy ra IH  
x a . Vậy 3 V a 2 2 Chọn đáp án B.
Câu 19: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a. Khoảng cách từ điểm A a 3
đến mặt phẳng (A’BCD’) bằng
. Tính thể tích hình hộp theo a. 2 3 a 21 3 a 3 A. 3 V a B. V C. 3 V a 3 D. V  7 3 Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu của A lên cạnh A’B a 3
AH A' BCD '  AH  2
Gọi AA'  x  0 . Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác AA’B: 1 1 1 4 1 1      2 2 2 2 2 2 AH AA' AB 3a x a 2 2
x  3a x a 3 3 VAA'.A . B AD a 3. . a a a 3
ABCD. A ' B ' C ' D ' Chọn đáp án C.
Câu 20: Người ta gọt một khối lập phương bằng gỗ để lấy khối tám mặt đều nội tiếp nó ( tức là khối
cố các đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương). Biết cạnh của khối lập phương bằng a. Hãy tính
thể tích của khối tám mặt đều đó: 3 a 3 a 3 a 3 a A. B. C. D. 6 12 4 8 Hướng dẫn giải: a
Tính tính được cạnh của hình bát diện đều bằng . 2 3  a  2 a   3  2  a
Thể tích hình bát diện đều có cạnh là V   2 3 6 nên
Nhận xét: Ta có công thức tính thể tích của hình bát diện đều 3 x 2 cạnh x là V  3 Chọn đáp án A.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 86
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 21: Đường chéo của một hình hộp chữ nhật bằng d, góc giữa đường chéo và mặt đáy là  , góc
nhọn giữa hai đường chéo của đáy bằng  . Thể tích của hình hộp đó là: 1 1 A. 3 2
d cos  sin  sin  B. 3 2
d cos  sin  sin  2 3 1 C. 3 2 d sin  os c  sin  D. 3 2 d sin  o c s sin  2
Hướng dẫn giải: 1
Tính được: BD d cos   D O =
d cos  và DD'  d sin  2 1   Tính được : HD d cos  sin
CD d cos  sin 2 2 2  Tính được: 2 2 BC
BD CD d cos cos … 2 Chọn đáp án A.
Câu 22: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A' B 'C ' có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt a
phẳng ( A' BC) bằng
. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' . 2 3 2a 3 3a 2 3 3 2a 3 3a 2 A. B. C. D. 16 48 12 16 Hướng dẫn giải: HS tự vẽ hình
Đặt chiều cao của lăng trụ là h và gọi M là trung điểm của BC thì ta có hệ thức 2 3 1 1 1 1 4 4 8 a 6 a 3 a 6 3a 2        h
V S.h  .  2 d  , A A' BC  2 2 2 2 2 2 h AM h a 3a 3a 4 4 4 16 Chọn đáp án D.
Câu 23: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a , một mặt phẳng (  ) cắt các cạnh 1 2
AA’; BB’;CC’; DD’ lần lượt tại M, N,P,Q. Biết AM= a , CP =
a . Thể tích khối đa diện 3 5 ABCD.MNPQ là: 11 3 a 3 2a 11 A. 3 a B. C. D. 3 a 30 3 3 15
Hướng dẫn giải:
Tứ giác MNPQ là hình bình hành có tâm là I thuộc đoạn OO’. AM CP 11 a Ta có: OI   a  B 2 30 2 C
Gọi O1 là điểm đối xứng O qua I thì : . O 11 OO1=2OI =
a < a. Vậy O1 nằm trong đoạn OO’. A 15 D N
Vẽ mặt phẳng qua O1 song song với (ABCD) cắt
các cạnh AA’; BB’;CC’; DD’ lần lượt tại . M I P
A1, B1,C1, D1. Khi đó I là tâm của hình hộp Q . O1 B’ C’ . O’ A’
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
D ’ Trang 87
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
ABCD.A B1C1D1. Vậy V(ABCD. MNPQ)=V( MNPQ.A1 B1C1D1) = 1 1 11 2 3 V ( ABC . D A B C D )  a OO a 1 1 1 1 1 2 2 30 Chọn đáp án A.
Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , 0
D  60 và SA vuông góc với 3 a
ABCD . Biết thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
. Tính khoảng cách k từ A đến mặt phẳng 2 SBC . 3a 3 2a 2 A. k
B. k a C. k
D. k a 5 5 5 3 Hướng dẫn giải: 2 a 3 Diện tích đáy S   ABCD 2 3 a 3. 1 1 2 V  . B h  . B SA SA   a 3 2 3 3 a 3 2 BC AM
  BC   SAM    1 BC SA
BC  SBC  2
Từ 1 và 2  SAM    SBC
SAM   SBC  SM . Kẻ AH SM AH d A,SBC
Xét SAM vuông tại A . Ta có 1 1 1 1 4 5 2 3a 3      2  AH
AH k a 2 2 2 2 2 2 AH SA AM 3a 3a 3a 5 5 Chọn đáp án B.
Câu 25: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bàng a . Mặt bên
ABBA có diện tích bằng a2 3 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của  A B, 
A C . Tính tỉ số thể tích
của hai khối chóp A.AMN và A.ABC . V 1 V 1 V 1 V 1 A. A .  AMN A .  AMN B.
C. A .AMN
D. A .AMN V 2 V 3 V 4 V 5 A .  ABC A .  ABC A .  ABC A .  ABC Hướng dẫn giải: VA MA N
Ta có : A .AMN  . VA BA C A .  ABCA M 1
M là trung điểm của  A B    A B 2  A N 1
N là trung điểm của  A C    A C 2 V 1 1 1 A .  AMN  .  V 2 2 4 A .  ABC
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 88
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian Chọn đáp án C.
Câu 26: Cho lăng trụ tam giác đều ABC .
D A' B 'C ' có tất cả các cạnh bằng a. M là trung điểm cạnh A .
B Mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với CB’, cắt các cạnh BC, CC’, AA’ lần lượt tại N, E, F.
Xác định N, E, F và tính thể tích khối chóp C.MNEF. 3 7a 3 7 3a 3 21 3a 3 7a A. B. C. D. 128 128 128 128 3 Hướng dẫn giải:
Xác định N , E, .
D Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC, CC’. Khi đó mp ( AIJ )  B 'C . Suy ra mp
(P) qua M và song song mặt phẳng mp(AIJ). Do đó
MN AI , NE  IJ;EF  J A
Tính thể tích khối chóp C.MNEF. Thấy ngay ENC là góc giữa mặt
phẳng (P) và mp(ABC). Tứ giác MNCA là hình chiếu vuông góc
của tứ giác MNEF trên mp(ABC). dt(MN ) CA
Suy ra dt(MNEF )  cosENC 2  a 3 Ta có ENC  , dt( ABC)  4 4 Suy ra: 2 2 a 3 a 3  2
dt( ABC)  dt(BMN ) 7 6 4 32 a dt(MNEF )     1 32 cos 4 2 3 a 3 2a
Mặt khác d (C, mp(MNFEF ))  .  4 2 8 2 3 1 7 6a 3 2a 7 3a
Gọi V là thể tích khối chóp C.MNEF, ta có: V  . .  3 32 8 128 Chọn đáp án B.
Câu 27: Cho hình hộp đứng ABC . D ’ A ’ B ’ C ’
D có đáy là hình thoi diện tích S1, các tứ giác ACC’A’ và
BDD’B’ có diện tích lần lượt là S2, S3. Thể tích khối hộp ABC . D ’ A ’ B ’ C ’
D tính theo S1, S2, S3 là ? S S S 2 S S S S S S A. 1 2 3 B. S S S C. 1 2 3 D. 1 2 3 2 1 2 3 3 3 2 Hướng dẫn giải:
Gọi đáy của hình hộp có độ dài 2 đường chéo là AC a, BD b và đường cao hình hộp là A ’ A B ’ B c 1 2 2 2 a b c Suy ra được S
ab ; S AC.AA '  ac ; S B .
D BB '  bc S S S  1 2 2 3 1 2 3 2 2 2 2 1 1 a b c S S S Thể tích khối hộp là: 1 2 3
V S .c abc   1 2 2 2 2 Chọn đáp án A.
Câu 28: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông có thể tích là V. Để diện tích
toàn phần của lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ bằng:
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 89
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian V A. 3 B. 3 2 V C. 3 V D. V 2 Hướng dẫn giải: V
Gọi x, h lần lượt là cạnh đáy và chiều cao của lăng trụ. Có 2
V x h h  2 x V V V V V 2 2  2  2 3 2 3
S  2x  4xh  2x  4  2 x    2.3 x . .  6 V tp   xx x x x V Dấu “=” xảy ra 2 3  x   x V x Chọn đáp án C.
Câu 29: Cho hình lập phương ABC . D ’ A ’ B ’ C ’
D . Mặt phẳng (BDC’) chia khối lập phương thành 2
phần có tỉ lệ thể tích phần nhỏ so với phần lớn là : 1 1 1 2 A. B. C. D. 3 6 4 10 Hướng dẫn giải:
Nhìn vào hình vẽ ta có thể thấy 2 phần của hình lập phương ABC . D ’ A ’ B ’ C ’
D chia bởi mặt phẳng
(BDC’) gồm hình chóp BCC’D và phần còn lại V
Tỉ lệ cần tính sẽ là BCC ' T D VV
ABCD. A ' B ' C ' D ' BCC ' D
Giả sử hình lập phương có cạnh là 1 3  V  1  1
ABCD. A ' B ' C ' D '
Hình chóp BCC’D có đáy là tam giác vuông cân
DCC’, đỉnh B, đường cao BC 1 1 1 1  V  .BC.S  .1.1.1.  , BCC ' D DCC ' 3 3 2 6 1 1 2 6 T    1 5 10 1  6 Chọn đáp án D.
Câu 30: Cho hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' . I là trung điểm BB’. Mặt phẳng (DIC’) chia khối lập
phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng: A. 1:3 B. 7:17 C. 4:14 D. 1:2 Hướng dẫn giải:
Coi như khối lập phương có cạnh bằng 1.
Để giải bài toán này, ta phải xác định đúng thiết diện cắt bởi
mặt phẳng  DIC '
Lấy M là trung điểm AB thì IM là đường trung bình tam giác
ABB’ nên IM / / AB '/ /DC '
Suy ra bốn điểm I , M ,C ' D cùng thuộc một mặt phẳng C 'ID
Thiết diện cắt bởi mặt phẳng  DIC ' là tứ giác C ' DMI
Phần có thể tích nhỏ hơn là khối đa diện C ' IBMDC
Để thuận tiện tính toán ta chia khối trên thành 2 phần là tứ diện
IMBD và hình chóp DIBCC’.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 90
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian 1 1 1 1 1 1 1 V  .I . B S  . .I . B D . A MB  . .1.  IMBD 3 BDM 3 2 6 2 2 24 1 1 1 1 1  1  1 V  .DC.S
 .DC. . IB CC ' .BC  .1. .  1 .1. D.IBCC ' IBCC '     3 3 2 2 2  2  4 1 1 7
Suy ra thể tích khối có thể tích nhỏ hơn là V VV    n IMBD DIBCC ' 24 4 24 7 17
Thể tích phần lớn hơn là V VV  1   l
ABCDA ' B ' C ' D ' n 24 24
Vậy tỉ lệ cần tìm là V :V  7 :17 n l
Nhận xét: Đây là một bài toán khá khó đòi hỏi khả năng dựng hình và xác định điểm phù hợp của
thí sinh. Có một số bạn xác định đúng thiết diện nhưng gặp khó khăn trong việc tính thể tích các
phần vì chưa chia được khối thể tích thành các hình nhỏ hơn để tính cho phù hợp. Chọn đáp án D.
Câu 31: Cho hình lập phương ABCD.A’B’CD’ cạnh a. Trên cạnh AA’ kéo dài về phía A’ lấy điểm M
trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho MN cắt cạnh C’D’ . Tính giá trị nhỏ nhất của MN? A. 3a B. 2a 2 C. 3a 3 D. 2a 3 Hướng dẫn giải:
Đây là một bài toán sử dụng phương pháp tọa độ hóa. Đối với việc tọa độ hóa. Đối với việc tọa độ
hóa này việc quan trọng nhất đó là sự cẩn thận và chính xác.
Trọn hệ trục tọa độ Axyz với A(0;0;0); B(a;0;0); A'(0;0;a); D(0; a;0).
Gọi M (0;0;m) và N (a; n;0) . Ta có ( ADD ' A ') / /(BCC 'C ')
MD'NC cắt  ADD' A' theo giao tuyến MD ' và cắt (BCC ' 
B ') theo giao tuyến 
C N do đó MD'/ /CN
Lại có MD '  (0;a; a m); NC '  (0;a  ; n a) a a m an Suy ra   m a n a n a Có 2 2 2 2 2 2 2
MN AB BN AM a m n 2 2 2 2  an
n an a  2 2 2  MN   n a       n a n   a  2 2
n an aMN n a 2 2
n an a
Xét hàm số f (n)  trên 0; n a
Ta được MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3a khi n  2a Chọn đáp án A.
Câu 32: Người ta muốn xây một bồn chứa nước dạng
khối hộp chữ nhật trong một phòng tắm. Biết chiều
dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó lần lượt là 5
m, 1m, 2m (hình vẽ bên). Biết mỗi viên gạch có chiều
dài 20 cm, chiều rộng 10 cm, chiều cao 5 cm. Hỏi
người ta sử dụng ít nhất bao nhiêu viên gạch để xây
bồn đó và thể tích thực của bồn chứa bao nhiêu lít
nước? (Giả sử lượng xi măng và cát không đáng kể )
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 91
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
A. 1182 viên; 8800 lít
B. 1180 viên; 8820 lít
C. 1180 viên; 8800 lít
D. 1182 viên; 8820 lít Hướng dẫn giải:
Gọi V là thể tích của hình hộp chữ nhật, có 3
V  5.1.2  10m Ta có 3
V  0,1.4, 9.2  0,98 m và 3 V  0,1.1.2  0, 2m H H ' Do đó 3 V V
 0,98  0, 2  1,18m . Mà thể tích của một viên gạch là H H ' 3
V  0, 2.0,1.0, 05  0, 001m . G V V 1,18
Nên số viên gạch cần sử dụng là: H H '   1180 viên gạch. V 0, 001 G
Thể tích thực của bồn là 3 3
V  10  1,18  8,82m V  8820dm  8820l . B B Chọn đáp án B.
Câu 33: Một người thợ nhôm kính nhận được đơn đặt hàng làm một
bể cá cảnh bằng kính dạng hình hộp chữ nhật không có nắp có thể
tích 3,2 m3; tỉ số giữa chiều cao của bể cá và chiều rộng của đáy bể
bằng 2 (hình dưới). Biết giá một mét vuông kính để làm thành và đáy
của bể cá là 800 nghìn đồng. Hỏi người thợ đó cần tối thiểu bao nhiêu
tiền để mua đủ số mét vuông kính làm bể cá theo yêu cầu (coi độ dày
của kính là không đáng kể so với kích thước của bể cá). A. 9,6 triệu đồng B. 10,8 triệu đồng C. 8,4 triệu đồng D. 7,2 triệu đồng Hướng dẫn giải: 1, 6
Theo hình vẽ ta có xyh  3, 2 và 2
h  2x x y  1, 6  y  2 x
Tổng diện tích 5 mặt của bể cá là 1, 6 6, 4 8 4 4 2 2 2
S xy  2xh  2 yh   4x   4x   4x    12 x x x x x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  1 .
Vậy tổng diện tích tối thiểu là 12 m2, suy ra số tiền tối thiểu cần là 9,6 triệu. Chọn đáp án A.
Câu 34: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD  60cm . Ta gấp tấm nhôm theo 2 cạnh MN
và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ
khuyết 2 đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất? A. x  20 B. x  15 C. x  25 D. x  30
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 92
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian Hướng dẫn giải:
Ta có PN  60  2x , gọi H là trung điểm của PN suy ra AH  60x  900 1 S  .  x x    x x
f x , do chiều cao của khối lăng trụ ANP 60 2  60 900 60 2  15 225    2
không đổi nên thể tích khối lăng trụ max khi f(x) max. 4  5 x  20 f ' x 
 0  x  20, f 20  100 3, f 15  0 15x  225
max f  x  100 3 khi x  20 Chọn đáp án A.
Câu 35: Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích  3
V m  , hệ số k cho trước
(k- tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy). Gọi x, y, h  0 lần lượt là chiều rộng, chiều dài
và chiều cao của hố ga. Hãy xác định x, y, h  0 xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất. x,y,h lần lượt là 2k   1 V 2kV k 2k   1 V A. 3 3 x  2 ; y  3 ; h  2 4k 2k  2 1 4 2k   1 V 2kV k 2k   1 V B. 3 3 x  ; y  3 ; h  2 2 4k 2k  2 1 4 2k   1 V 2kV k 2k   1 V C. 3 3 x  ; y  23 ; h  2 4k 2k  2 1 4 2k   1 V 2kV k 2k   1 V D. 3 3 x  ; y  63 ;h  2 4k 2k  2 1 4 Hướng dẫn giải:
Gọi x, y,h x, y, h  0 lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hố ga. h V V Ta có: k
h kx và V xyh y   . x 2 xh kx
Nên diện tích toàn phần của hố ga là: 2k   1 V 2
S xy  2 yh  2xh   2 x k x k 2k   1 V
Áp dụng đạo hàm ta có S nhỏ nhất khi 3 x  2 4k 2kV k 2k   1 V Khi đó 3 y  2 3 , h  2k  2 1 4 Chọn đáp án C.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 93
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN
Câu 1: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C ' có thể tích bằng 30 (đơn vị thể tích). Thể tích của khối
tứ diện AB 'C 'C là:
A. 12,5 (đơn vị thể tích)
B. 10 (đơn vị thể tích)
C. 7,5 (đơn vị thể tích)
D. 5 (đơn vị thể tích) Hướng dẫn giải:
Khi đó ta có thể so sánh trực tiếp cũng được, tuy nhiên ở đây ta có thể suy luận nhanh như sau:
Khối B'ABC có chung đường cao kẻ từ đỉnh B’ đến đáy (ABC) và
chung đáy ABC với hình lăng trụ ABC. A'B'C'. Do vậy V 1 B ' ABCV 3
ABCA ' B ' C ' V 1 Tương tự ta có
AA ' B ' C '  , khi đó V 3
ABCA ' B ' C ' 1 30  VVV   10
AB ' C ' C
ABCA ' B ' C ' AB ' C 'C 3 3 Chọn đáp án B.
Câu 2: Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13, 14, 15, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy
một góc 300 và có chiều dài bằng 8. Khi đó thể tích khối lăng trụ là A. 340 B. 336 C. 274 3 D. 124 3 Hướng dẫn giải: Ta có : S 
21(21 13)(21 14)(21 15)  84 ABC
Gọi O là hình chiếu của A’ trên (ABC) A' AO vuông tại O cho ta : 0
A'O AA'.sin 30  4 Vậy : V  84.4  336
ABC. A ' B ' C ' Chọn đáp án B.
Câu 3: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc
của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên  AA'C 'C  tạo với đáy một góc bằng
450. Thể tích khối lăng trụ bằng: 3 3a 3 3a 3 3a 3 3a A. VB. VC. VD. V
ABC . A ' B ' C ' 32
ABC . A ' B ' C ' 16
ABC . A ' B ' C ' 4
ABC . A ' B ' C ' 8 Hướng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm AB  ’
A H   ABC
Vẽ HK AC tại K  góc A’KH = 45° AB a a 3 a 3 AH  
; HK AH .sin60 
A ' H HK  2 2 4 4
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 94
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian 2 3 a 3 a 3 3a V
A' H .S  . 
ABC . A ' B ' C ' ABC 4 4 16 Chọn đáp án B.
Câu 4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có  0
AC a 3; BC  3 ,
a ACB  30 . Cạnh bên hợp
với mặt phẳng đáy góc 0
60 và mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên cạnh
BC sao cho BC=3BH và mặt phẳng (A’AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng: 3 4a 3 19a 3 9a 3 4a A. B. C. D. 9 4 4 19 Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết, áp dụng định lí cosin trong tam giác AHC ta tính được AH=a
( A' BC)  ( ABC)  Do 0 
 AH  ( ABC)  A' AH  60
( A' AH )  ( ABC) 
Do AA ' H vuông tại H => 0
A' H d ( A';( ABC))  AH .tan 60  a 3 3 1 9a 0  VS
.d ( A',( ABC))  .3 .
a a 3 sin 30 .a 3 
ABC . A ' B ' C ' ABC 2 4 Chọn đáp án C.
Câu 5: Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C ' có A' ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB a . Biết a 3
độ dài đoạn vuông góc chung của AA' và BC là
. Tính thể tích khối chóp A'.BB '.C 'C 4 3 a 5 3 a 3 3 a 3 a 15 A. B. C. D. 18 18 18 18 Hướng dẫn giải:
Gọi O là tâm của đáy ABC và M là trung điểm cạnh BC. Hạ MN A' A . Do BC  ( A' AM ) nên MN a 3
là đoạn vuông góc chung của A’A và BC  MN  4 a 3 2 a 3 3a Ta có 2 2 AM  ; AO AM  ; AN AM MN  2 3 3 4
Hai tam giác A’OA và MNA đồng dạng nên A 'O AO MN.AO a   A 'O   MN AN AN 3 VVVA'O.S
A '.BB '.C ' C
A ' B ' C '. ABC A '. ABC ABC 2 3 2 2 a a 3 a 3  A' . O S  . .  3 ABC 3 3 4 18 Chọn đáp án B.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 95
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 6: Cho hình lăng trụ ABCA' B 'C ' có thể tích bằng 48cm3. M, N, P theo thứ tự là trung điểm các
cạnh CC’, BC và B’C’, khi đó thể tích của khối chóp A'MNP là 16 A. 24cm3 B. cm3 3 C. 16 cm3 D. 8 cm3 Hướng dẫn giải: 1 1 Ta có 3 VV  .48  16 cm A ' ABC
ABCA ' B ' C ' 3 3 3  VVV  48  16  32cm
A ' BCC ' B '
ABCA ' B ' C ' A ' ABC Mặt khác 1 1 1 3 SSVV  .32  8cm MNP BCC ' B ' A ' MNP
A ' BCC ' B ' 4 4 4 Chọn đáp án D.
Câu 7: Cho hình lăng trụ ABC. ’ A ’ B ’
C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của C’ trên
(ABC) là trung điểm I của BC. Góc giữa AA’ và BC là 30o. Thể tích của khối lăng trụ ABC. ’ A ’ B ’ C : 3 a 3 a 3 3a 3 a A. B. C. D. 4 2 8 8 Hướng dẫn giải:
Do AA ' song song với CC ' nên góc giữa AA ' và
BC cũng là góc giữa CC ' và BC . Nên a a 3 2 3 a 3 a 3 a 0 C ' I  . tan 30  . Vậy: V  .  2 6 6 4 8 Chọn đáp án D.
Câu 8: Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông
góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc
bằng 450. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' bằng: 3 a 3 3a 3 3a 3 3a A. B. C. D. 2 4 8 2 Hướng dẫn giải:
Gọi H, M, I lần lượt là trung điểm các đoạn AB, AC, AM
Theo giả thiết, A' H   ABC , BM AC . Do IH là đường
trung bình tam giác ABM nên IH / / BM IH AC
Ta có: AC IH , AC A' H AC IA' 
Suy ra góc giữa (ABC) và (ACC’A’) là 0 A'IH  45 1 a 3 0
A' H IH .tan 45  IH MB  2 4 Thể tích lăng trụ là:
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 96
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian 3 1 1 a 3 a 3 3a V  . B h
BM .AC.A ' H  . .a .  2 2 2 2 8 Chọn đáp án C.
Câu 9: Cho lăng trụ tam giác ABC. ’ A ’ B ’
C , đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc H
của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm của tam giác ABC. Tất cả các cạnh bên đều tạo với mặt phẳng đáy góc 0
60 . Thể tích của khối lăng trụ ABC. ’ A ’ B ’ C là: 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 2 A. B. C. D. 4 6 2 2 Hướng dẫn giải:
Gọi I là giao điểm của AH và BC. Theo giả thiết H
là trực tâm của tam giác đề ABC nên AH là đường
cao và H cũng lả trọng tâm của tam giác đều ABC 2 2 a 3 a 3 Nên AH AI   3 3 2 3 
Do AH '  ( ABC) nên 0
A' AH  60 và A' H AH Trong tam giác vuông HA’A có a 3 0
AH '  AH. tan 60  . 3  a 3 Thể tích của khối chóp 1 a 3 1 3 VS .A'H  a a a 3 .
ABC . A ' B ' C ' ABC 2 2 4 Chọn đáp án A.
Câu 10: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với mặt phẳng
bằng 450. Hình chiếu của a trên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của A’B’. Tính thê tích V
của khối lăng trụ theo a. 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. V B. V C. V D. V  2 8 16 24 Hướng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm của A’B, theo đề ta suy ra :
AH   A' B 'C '  a 0
AA' H  45 khi đó 0
AH A' H.tan 45  2 3 a 3 Vậy V  8 Chọn đáp án D.  7a
Câu 11: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 0
BCD  120 và AA'  . 2
Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính theo a
thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 97
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian A. 3 V  12a B. 3 V  3a C. 3 V  9a D. 3 V  6a Hướng dẫn giải:
Gọi O AC BD
Từ giả thuyết suy ra A'O   ABCD 2 a 3 0 SBC.C . D sin120  ABCD 2   Vì 0 BCD  120 nên 0
ABC  60  ABC đều 2 2 49a a 2 2
AC a A'O
A' A AO    2 3a 4 4 Suy ra 3 V  3a
ABCD. A ' B ' C ' D ' Chọn đáp án B.
Câu 12: Cho hình lăng trụ ABC . D ’ A ’ B ’ C ’
D có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , tam giác A’AC
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC . D ’ A ’ B C’ ’ D . 3 a 6 3 a 6 3 a 6 3 a 6 A. V B. V C. V D. V  3 4 6 2 Hướng dẫn giải:
+ Gọi H là trung điểm của AC . Do 
A AC là tam giác đều nên  A H AC . + Mặt khác,  
A AC    ABCD theo giao tuyến AC nên 
A H   ABCD hay  A H là đường cao của lăng trụ. a 6
+ Ta có AC a 2   A H  . 2 3 a 6
+ Vậy V AH.S  . ABCD 2 Chọn đáp án D.
Câu 13: Cho hình lăng trụ ABC. ’ A ’ B ’
C có đáy là tam giác đều cạnh a, đỉnh A’ cách đều các điểm ,
A B, C. Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích 2 a 3 bằng
. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. ’ A ’ B ’ C 8 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 4 16 12 8 Hướng dẫn giải:
Do A’A = A’B = A’C nên hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với trọng tâm O của tam giác ABC.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AA’, Khi đó (P) (BCH). Gọi M là trung điểm của BC thì
MHAA’ và góc A ' AM nhọn, H nằm giữa AA’. Thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi (P) là tam giác BCH.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 98
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian a 3 2 a 3
ABC đều cạnh a nên AM  , AO AM C’ 2 3 3 A’ Theo bài ra ’ B’ 2 2 a 3 1 a 3 a 3 S   HM .BC   HM BCH 8 2 8 4 H 2 2 3a 3a 3a 2 2 AH AM HM    4 16 4 A C A 'O HM O
Do hai tam giác A’AO và MAH đồng dạng nên  M AO AH A . O HM a 3 a 3 4 a B . suy ra A'O    AH 3 4 3a 3 3 1 1 a a 3 a 3
Thể tích khối lăng trụ: V A' . O SA' . O AM .BC a ABC 2 2 3 2 12 Chọn đáp án C.
Câu 14: Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = a 3 . Hình
chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai
mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Thể tích lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 theo a là: 3 a 3 3 a 3 3 3a 3 a A. B. C. D. 2 3 2 6 Hướng dẫn giải: Ta có V Bh + Diện tích đáy B = 3 a2
+ Ta có h = A1O ( O là giao điểm AC và BD)
+ Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) là góc OIA1 bằng 600 trong đó I là trung điểm AD 3  a a 3 3a + Ta có 0
A OI , A OI  90 , OI  , A O  . Vậy V = 1 1 1 2 2 2 Chọn đáp án C.
Câu 15: Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng a, góc tại bởi cạnh bên và mặt 1 1 1 phẳng đáy bằng 0
30 . Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng  A B C thuộc đường thẳng B C . Thể 1 1 1  1 1
tích khối lăng trụ ABC.A B C bằng: 1 1 1 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 8 4 2 16 Hướng dẫn giải:
Do AH   A B C nên góc AA H là góc giữa AA và 1 1 1  1 1
A B C , theo giả thiết thì góc AA H bằng 0 30 . 1 1 1  1
Xét tam giác vuông AHA có AA =a, góc 1 1 a 0
AA H  30  AH  1 2 2 3 a a 3 a 3 VAH.S  .  ABCA B C A B C 1 1 1 1 1 2 4 8 Chọn đáp án A.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 99
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 16: Cho một hình hộp với 6 mặt đều là các hình thoi cạnh a , góc nhọn bằng 0 60 . Khi đó thể tích khối hộp là: 3 a 3 3 a 2 3 a 3 3 a 2 A. V B. V C. V D. V  3 3 2 2 Hướng dẫn giải:  0  Giả sử khối hộp cps 0
C ' D ' D  120 ; A' D ' D  120 và  0 ADC  60
Khi đó AD '  CD '  DD '  a suy ra D ' ACD là tứ diện đều.
Gọi H là trọng tâm tam giác ACD khi đó a 3 2 2 2 DH   D ' H
DD '  DH a 3 3 2 3 a 3 2 a 2 Vậy V S .D ' H  .a  . ABCD 2 3 2 Chọn đáp án D.
Câu 17: Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC  2a . Hình chiếu
vuông góc của A' lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H của cạnh AC , đường thẳng A' B tạo với
mặt phẳng  ABC  một góc 0
45 . Cho các phát biểu sau: (1) 3 V
a , 2 A' B B 'C,
3 BB '  a 3,
4 AB a 2;
ABC . A ' B ' C ' Số phát biểu đúng là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm của AC A' H   ABC AC 2a
Có AB BC    a 2 2 2 1 1  S .A . B BC  . a 2  a ABC  2 2 2 2 AC Có HB
a và HB là hình chiếu vuông góc của 2
A' B lên  ABC Suy ra A
 ' BH  45  A' H H .
B tan 45  a Do đó: 2 3 VS
.A' H a .a a
ABC . A' B 'C ' ABC
 Chứng minh A' B B 'C (chỉ ra A' B   P và  P chứa B 'C Ta có: 2 2 BB AA' 
AH HA A 2
Suy ra ABB ' A' là hình thoi  A' B AB '  1
AC A' H Và 
AC   A'BH   AC A' B2 AC BH
Kết luận: Từ (1) và (2) suy ra A' B   AB 'C   A' B B 'C dpcmChọn đáp án C.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 100
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
Câu 18: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt thuộc các cạnh bên AA’, CC’ sao
cho MA MA' và NC  4NC ' . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong bốn khối tứ diện GA’B’C’,
BB’MN, ABB’C’ và A’BCN, khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất? A. Khối A’BCN B. Khối GA’B’C’ C. Khối ABB’C’ D. Khối BB’MN Hướng dẫn giải:
+ Nhận thấy khoảng cách từ G và A xuống mặt phẳng (A’B’C’) là
bằng nhau ( do G,A thuộc mặt phẳng (ABC)//(A’B’C’) VV
GA ' B ' C ' .
A A ' B ' C ' Mà VV
(Do 2 hình chóp này có 2 đáy AA’B’ và ABB’ .
A A ' B ' C ' ABB ' C '
diện tích bằng nhau;chung đường cao hạ từ C’)  VV
GA ' B ' C ' ABB ' C '
=> Không thế khối chóp GA’B’C’hoặc ABB’C’ thể thích nhỏ nhất → Loại B,C
+ So sánh Khối A’BCN và Khối BB’MN
Nhận thấy khoảng cách từ M và A’ xuống mặt BBCC’ là bằng nhau → Khối A’BCN và Khối
BB’MN có đường cao hạ từ M và A’ bằng nhau. Mặt khác Diện tích đáy BNB’ > Diện tích đáy BCN
=> Khối A’BCN < Khối BB’MN.
=> Khối A’BCN có diện tích nhỏ hơn. Chọn đáp án A.
Câu 19: Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên và
mặt đáy là 60 . Tính thể tích khối lăng trụ 27 3 3 9 A. 3 V a . B. 3 V a . C. 3 V a . D. 3 a . 8 4 2 4 Hướng dẫn giải:
Ta có ABCDEF là lục giác đều nên góc ở đỉnh bằng 120 . A' F'
ABC là tam giác cân tại B , DEF là tam giác cân tại E . 2 1 a 3 SS  . a a.sin120  B' ABC DEF 2 4 E' 2 2 AC
AB BC  2.A . B BC.cos B C'  1 D' 2 2 
a a  2. . a . a   a 3   A  2  F 2 S
AC.AF a 3.a a 3 ACDF B 2 2 2 E a 3 a 3 3a 3 H 2 SSSS   a 3   ABCDEF ABC ACDF DEF 4 4 2  a 3 C D
B ' BH  60  B ' H BB '.sin 60  2 2 3a 3 9 3
V BH '.Sa 3.  a ABCDEF 4 4 Chọn đáp án D.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 101
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian KHOẢNG CÁCH A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng a
d(M, ) = MH, , trong đó H là hình chiếu của M trên 
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
+ Khoảng cách từ một điểm đến đến một mặt phẳng ()
d(O, ())  OH , trong đó H là hình chiếu của O trên ()
Cách 1. Tính trực tiếp. Xác định hình chiếu H của O trên () và tính OH -
Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với () -
Tìm giao tuyến  của (P) và ()
- Kẻ OH   ( H ). Khi đó d(O, ())  OH .
Cách 2. Sử dụng công thức thể tích 1 3V
Thể tích của khối chóp V  S.h  h 
. Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh của 3 S
hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S
Cách 3. Sử dụng phép trượt đỉnh
Kết quả 1. Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () và M, N   thì d(M;())  d(N; ())
Kết quả 2. Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng () tại điểm I và M, N   (M, N không trùng với I) thì d(M; ()) MI  d(N; ()) NI 1
Đặc biệt: + nếu M là trung điểm của NI thì d(M; ())  d(N; ()) 2
+ nếu I là trung điểm của MN thì d(M;())  d(N; ())
Cách 4. Sử dụng tính chất của tứ diện vuông
Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (
OA  OB, OB  OC, OC  OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). 1 1 1 1    2 2 2 2 OH OA OB OC
Cách 5. Sử dụng phương pháp tọa độ
Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng các công thức sau: Ax  By  Cz  D + 0 0 0 d(M;()) 
với M(x ; y ; z ) , () : Ax  By  Cz  D  0 0 0 0 2 2 2 A  B  C   MA  u  + d(M, )  
với  là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương u u    u  u '.AA '  + d(,  ')   
với  ' là đường thẳng đi qua A ' và có vtcp u ' u  u '
3. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó
+ d(, ()) = d(M, ()), trong đó M là điểm bất kì nằm trên .
+ Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng () được quy về việc tính khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 102
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
+ d((), () ) = d(M, () ), trong đó M là điểm bất kì nằm trên ()
+ Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng.
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
+ Đường thẳng  cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b gọi là đường vuông góc chung của a, b.
+ Nếu  cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b.
+ Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b.
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường
thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó.
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
lần lượt chứa hai đường thẳng đó. * Đặc biệt
+ Nếu a  b thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo ta tìm giao điểm I của
(P) với b. Trong mp(P), hạ đường cao IH. Khi đó d(a, b)  IH
+ Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB và CD là
đoạn vuông góc chung của AB và CD. B – BÀI TẬP
I – KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a, AD  2a ; cạnh bên SA a và
vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng  SBD là: a 2a a A. B. C. D. a 3 3 2 Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức đường cao của tứ diện vuông SABD
vuông tại A, ta có d  ;
A SBD  AH với 1 1 1 1 2a     AH  2 2 2 2 AH AS AB AD 3 Chọn đáp án B.
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy.
Biết hình chóp S.ABC có thể tích bằng 3
a . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). 6a 195 4a 195 4a 195 8a 195 A. d B. d C. d D. d  65 195 65 195 Hướng dẫn giải:
Gọi các điểm như hình vẽ
Ta có AI BC, SA BC suy ra BC AK AK dA,SBC 2 a 3 a 3 Ta có: 3
V a , S
SA  4a 3 . Mà AI  ABC 4 2
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 103
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian 1 1 1 2 2 AS .AI 4a 195
Trong tam giác vuông SAI ta có  
. Vậy d AK   2 2 2 AK AS AI 2 2 AS AI 65 Chọn đáp án C.
Câu 3: Khối chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân tại B và AB  .
a SA   ABC  . Góc giữa cạnh
bên SB và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Khi đó khoảng cách từ A đến (SBC) là: a 2 a 3 a 3 A. 3a B. C. D. 2 3 2 Hướng dẫn giải: d  1 a 3 ,
A SBC   AH   1 1 2  2 aa 32 Chọn đáp án D.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, 
AB = BC = 2a , 0
ABC  120 , SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách d từ
điểm A đến mặt phẳng (SBC). a 3a a 3a A. d B. d C. d D. d  2 4 4 2 Hướng dẫn giải: 1 1 + 0 2 S A .
B BC.sin120  a 3 ; 3 VS . A Sa 3  2 S . ABC 3 ABC + Mặt khác, 2 2 SB
SA AB a 13 2 2 2 0 2 2 2
AC AB BC  2 A .
B BC.cos120  12a CS
SA AC a 21
+ Áp dụng công thức hê-rông ta c 1 S
SB BC CS
SB BC CS
SB BC CS
SB BC CSSBC      4 2  2a 3
(Chú ý: Nhập vào máy tính biểu thức và ấn = ta có kết quả
1  13  2 21 13  2 21 13  2  21 13  2  21  2 3 ) 4 3 3.V 3a 3 3a
+ Vậy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  là S . d ABC   . 2 S aSBC 2 3 2 Chọn đáp án D.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đá; BC  9m, AB  10m, AC  17m .
Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 73m3. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 104
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian 21 3 1 24 A. d B. d C. d D. d  2 4 4 5 Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức He-rong ta tính được diện tích tam giác ABC bằng
AB BC CA
p p AB p AC  p BC   36 với p  2 1 V  .S . A SSA  6 3 ABC
Kẻ AH BC, AI SH khi đó ta có dAI A,SBC
Đặt BH x ta có 2 2 2 2 AB BH
AC CH AH thay các dữ liệu bài toán đã cho vào ta tính được   x     x2 2 2 2 10 17 9  x  6  suy ra AH  8 1 1 1 25 24
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có     AI  2 2 2 AI SA AH 576 5 Chọn đáp án D.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy. 6a
Biết khoảng cách từ A đến (SBD) bằng
. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng: 7 6a 3a 3a 8a A. B. C. D. 7 7 14 7 Hướng dẫn giải:
Với bài toán này ta thấy A và C đối xứng nhau qua tâm O. Ta nhớ đến hệ quả sau:
Cho mặt phẳng (P) và đoạn thẳng MN. Với MN   P  I thì
d M ; P IM
d N; P IN
Khi đó áp dụng vào bài toán ta thấy AC  SBD  O d  ; A SBD OA
do vậy áp dụng hệ quả trên ta được :   1
d C; SBD OC a
d C SBD 6 ;  7 Chọn đáp án A.
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3 . SA vuông góc với đáy và SC
= 3a. Khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD) là: a 2 a 2 a 6 a 2 A. B. C. D. 12 2 2 6 Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu của A lên SD.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 105
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Không Gian
SA   ABCD  SA CD ,
CD AD CD  SAD   SAD  SCD mà
SAD  SCD  SD
nên AH   SCD , do đó d  ,
A SCD  AH .
Hình vuông ABCD cạnh a 3 có đường chéo
AC a 3. 2  a 6
Tam giác SAC vuông tại A theo định lí Pytago ta tính được SA a 3
Tam giác SAD vuông tại A có AH là đường cao nên 1 1 1 1 1 1 2 a 6   hay     AH  2 2 2 2 2 2 2 AH SA AD AH 3a 3a 3a 2 Chọn đáp án C.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a, AC a 3 . Tam giác
SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SAC  . a 39 2a 39 a 3 A. . B. . a C. . D. V  . 13 13 2 Hướng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm của BC , suy ra SH BC SH   ABC  .
Gọi K là trung điểm AC , suy ra HK AC .
Kẻ HE SK E SK .
Khi đó d B,SAC  2d H ,SAC SH .HK 2a 39  2HE  2.  . 2 2 13 SH HK Chọn đáp án C.
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , 0
D  60 và SA vuông góc với 3 a
ABCD . Biết thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
. Tính khoảng cách k từ A đến mặt phẳng 2 SBC . 3a 3 2a 2 A. k
B. k a C. k
D. k a 5 5 5 3 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 106
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 2 a 3 Diện tích đáy S   ABCD 2 3 a 3. 1 1 2 V  . B h  . B SA SA   a 3 2 3 3 a 3 2 BC AM
  BC   SAM    1 BC SA
BC  SBC  2 , Từ   1 và
2  SAM   SBC
SAMSBC  SM
Kẻ AH SM AH d  ,
A SBC  . Xét SAM vuông tại A. Ta có 1 1 1 1 4 5 2 3a 3      2  AH
AH k a 2 2 2 2 2 2 AH SA AM 3a 3a 3a 5 5 Chọn đáp án B.
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy có tất cả các cạnh bằng a và có tâm là O gọi M là
trung điểm của OA. Tính khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (SCD). a 6 a 6 a 6 A. d B. d C. d
D. d a 6 6 4 2 Hướng dẫn giải:
Kẻ OH CD H CD , kẻ OK SH K SH  . Ta chứng
minh được rằng OK   SCDMO 3 3 3 Vì   ddOK
M ,SCD
O,SCD MC 2 2 2 2 2 OH .OS a 6
Trong tam giác SOH ta có: OK   2 2 OH OS 6 3 a 6 Vậy dOK
M ,SCD 2 4 Chọn đáp án B.
Câu 11: Cho lăng trụ ABC .
D A' B 'C ' D ' có đáy ABCD là hình chữ
nhật. AB a, AD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên
mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (A'BD) theo a là: a 3 a 3 a 3 a 3 A. B. C. D. 3 4 2 6 Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu của A' lên mặt phẳng (ABCD).
Ta có: B ' D '/ /BD   A' BD
d B', A'BD  d D ', A'BD
Mặt khác, xét hình chữ nhật A'D'DA thì D'A cắt A'D tại trung điểm A'D
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 107
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
d D ', A'BD  d  ,
A A' BD
Gọi G là hình chiếu của A lên BD thì
A' H AK BD AK   A'BD  d  ,
A A' BD  AK 1 1 1 a 3 Tính    AK  . 2 2 2 AK AD AB 2 Chọn đáp án C.
Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, 0
ABC  30 , tam giác SBC là
tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách h từ
điểm C đến mặt phẳng (SAB). 2a 39 a 39 a 39 a 39 A. h B. h C. h D. h  13 13 26 52 Hướng dẫn giải: a 3
Trong (SBC), dựng SH BC . Vì SBC đều cạnh a nên H là trung điểm của BC và SH  2
SBC   ABC   
Ta có:  SBC    ABC   BC   SH   ABC  SBC   SH BC
Vì H là trung điểm của BC nên
d C,SAB  2d H ,SAB
Trong (ABC), dựng HI AB và trong (SHI), dựng HK SI . AB HI
  AB   SHI    SAB   SHI AB SH  Ta có
SHI   SAB  
SHI   SAB  SI   HK  SAB  d H,SAB  HK SHI    HK SI   HIa a
Tam giác HBI vuông tại I nên 0 sin HBI   HI H . B sin HBI  .sin 30  HB 2 4
Tam giác SHI vuông tại H, HK SI nên: 2 2
a 3   a    .  2 2 2 1 1 1 SH .HI 2  4    3a a 39 2    HK     HK  2 2 2 2 2 2 2 HK SH HI SH HI 52 26  a 3   a       2  4    a
Vậy d C SAB 39 ,  2HK  13
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 108
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Chọn đáp án B.
Câu 13: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu của S lên mặt phẳng
(ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABD. Mặt bên SAB tạo với đáy một góc 600. Tính theo a
khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD)? a 3 a 3 a 3 a 3 A. d B. d C. d D. d  2 3 2 2 Hướng dẫn giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, E là hình chiếu của G lên AB
Ta có: AB  SGE   0 0
SAG  60  SG GE. tan 60 1 Mà GE
BC nên tính được SG. 3
Hạ GN AD và GH SN
d B,SAB  3d G,SAB  3GH GN.GS a 3  3  2 2 2 GN GS Chọn đáp án A.
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông BD  2a, SAC vuông tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC a 3 . Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD) là: a 30 2a 21 A. B. C. 2a D. a 3 5 7 Hướng dẫn giải: BD 2 2
BD AC  2a,CD   a 2, SA
AC SC a 2 S . A SC . a a 3 a 3 SH    AC 2a 2 2 3a a 2 2 2 AH SA SH a   4 2
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Ta có d B, SAD  2d O,SAD  4d H ,SAD 1 a 2
Kẻ HI / / BD I BD, HI CD  . Kẻ HK SI 4 4 tại K  HK  SAD SH HId  .
B,SAD  4HK  4. 2 2 SH HI a 3 a 2 2a 21 2 4  4.  2 2 7 3a 2a  4 16 Chọn đáp án B.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 109
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  1, AC  3 . Tam giác SBC
đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC). 39 2 39 3 A. B. 1 C. D. 13 13 2 Hướng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm BC, suy ra
SH BC SH   ABC
Gọi K là trung điểm AC, suy ra HK  AC
Kẻ HE SK E SK
Khi đó d B,SAC   2d H ,SAC SH .H K 2 39  2HE  2  2 2 13 SH HK Chọn đáp án C.
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB  2a, BC a . Các cạnh bên
của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 . Khoảng cách từ A đến mp (SCD) là: a 21 a 3 A. 2a B. C. a 2 D. 7 2 Hướng dẫn giải: SO AC Ta có 
SO   ABCDSO   BD 2 2 AC AB BC a 5 AO    2 2 2 2 5a a 3 2 2 2 SO SA AO  2a   4 2 CD OH
Gọi H là trung điểm CD  
CD  SOH CD   SO
Kẻ OK  SH tại K:  OK   SCDSO OHd  . ,
A SCD  2d O,SCD  2OK  2 2 2 SO OH a 3 a . a 3 2 2  2.  2 2 2 3a a  4 4 Chọn đáp án D.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 110
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B biết BC a 3 , BA a . Hình
chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AC và biết thể tích khối chóp 3 a 6 S.ABC bằng
. Khoảng cách h từ C đến mặt phẳng (SAB) là. 6 2a 66 a 30 a 66 a 30 A. h  . B. h  . C. h  . D. h  . 11 10 11 5 Hướng dẫn giải: 3 1  1  a 6
Đặt SH x .suy ra V  . x a.a 3    3  2  6 3 a 6 6  x  .  a 2 2 6 a 3
Ta có d C,SAB  2d H,SAB  2HK 1 1 4 a 66 mà    HK  2 2 2 HK 2a 3a 11  a
d C SAB 2 66 ,  . 11 Chọn đáp án A.
Câu 18: Hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC=4a SBC   ABC .  0
Biết SB  2a 3,SBC  30 . Tính khoảng cách từ B đến mp SAC  6a 7 3a 7 5a 7 4a 7 A. B. C. D. 7 7 7 7 Hướng dẫn giải: 1 1 o 1
SH  SB sin 30  2a 3.  a 3 ; 2 SA . B BC  .3 .
a 4a  6a 2 ABC 2 2 1 Suy ra 2 3 V
 .6a .a 3  2a 3 .Càn tính: S ? S . ABC  3 SAC
Do tam giác SBA vuông tại B nên 2 2
SA  (2a 3)  9a a 21 2 2
AC  9a  16a  5a Dùng định lí côsin 2 2 2    2 . . os30o SC SB BC SB BC c 3 2 2 2
= 12a  16a  2.2a 3.4 . a
 4a SC  2a 2
Dùng công thức Hêrông: S
p( p a)( p b)( p c) , với
a b c p  2 7a a 21 Ta có: p   2 7a a 21 a 21  3a p  5a   5a  2 2 7a a 21 a 21  3ap  2a   2a  2 2
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 111
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 7a a 21 7a a 21
p a 21   a 21  2 2 1 4 2 2 2 2 S  28a .12a a 7.3  a 21 ABC 4 4 3 3V 3.2a 3 6a 6a 7 Vậy S . h ABC    . 2 S aSAC 21 7 7 Chọn đáp án A.
Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Góc 0
BAC  60 , hình chiếu của
đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) là 0
60 . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a. 3a 3a a 9a A. B. C. D. 7 2 7 2 7 2 7 Hướng dẫn giải:
Trong mặt phẳng (SBD) kẻ OE song song SH và cắt SD
tại E. Khi đó ta có tứ diện OECD vuông tại O và a a 3 3a OC  ;OD  ;OE  2 2 8 1 1 1 1    2 d  ; O SCD 2 2 2 OC OD OE a
d O SCD 3 ;  4 7 a
Mà d B SCD  d O SCD 3 ; 2 ;  2 7 Chọn đáp án B.
Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 2a, AD = a. Hình chiếu của S lên
mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo với đáy một góc 0
45 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) là: a 3 a 6 a 6 a 3 A. B. C. D. 3 4 3 6 Hướng dẫn giải:
+ Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) là độ dài đoạn HK
+ Tính được SH HC a 2 1 1 1 3 + Dùng công thức:    2 2 2 2 HK HM HS 2a a 6 + Suy được : HK  3 Chọn đáp án C.
Câu 21: Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a. Khi đó, khoảng cách
h giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (SBC) là:
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 112
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 a a 6 a 2 2a 5 A. h B. h C. h D. h  2 3 2 5 Hướng dẫn giải: d A ,
D SBC   d  ,
A SBC   2d  ,
O SBC  với O là tâm hình vuông ABCD. BC OI
Gọi I là trung điểm BC  
BC  SOI    SBC    SOI BC   SO
Ta có  SBC   SOI   SI , kẻ OH SI tại H  OH  SBC   d O,SBC  OH AC a 2 a 2 2 2 AO   , SO SA AO  2 2 2 a 2 a . SO.OI a 6 2 2 OH    2 2 2 2 SO  6 OI 2a a  4 4  a
d AD SBC  6 ,  2OH  3 Chọn đáp án B.
Câu 22: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a, AD a 3 . Biết
góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABCD) bằng 0
60 . Khoảng cách giữa đường thẳng B’C và C’D theo  là: a 51 4a 51 2a 51 8a 51 A. B. C. D. 17 17 17 17 Hướng dẫn giải:
C ' D '/ / AB '  C ' D / /( AB 'C)  d (C ' D, B 'C)  d (C ' D, ( AB 'C))  d (C ', ( AB 'C))  d (B,( AB 'C))
Do BC’ giao với mp(AB’C) tại trung điểm của BC’ (vì
BCC’B’ là hình chữ nhật)
Kẻ BM AC AC  (BB ' M )  ( AB 'C)  (BB ' M ) theo goao tuyến B’M Kẻ
BH B ' M BH  ( AB 'C)  d (B, ( AB 'C))  BH 1 1 1 1 1 1 17 Có      2 2 2 2 2 2 2 BH B ' B BM B ' B BC AB 12a 2a 51 2a 51  BH  . Vậy: d(C’D,B’C)= 17 17 Chọn đáp án C.
Câu 23: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có  0
AC a 3; BC  3a, ACB  30 . Cạnh bên hợp
với mặt phẳng đáy góc 0
60 và mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên cạnh
BC sao cho BC=3BH và mặt phẳng (A’AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (A’AC) là: 3a 3 3a 3 3a 3 7a 3 A. B. C. D. 8 4 2 4
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 113
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Hướng dẫn giải: HD AC Kẻ 
 AC  ( A' HD)  ( A' AC)  ( A' HD)  A' D AC A'  H Ta có: 0
HD CH .sin 30  a . Kẻ HK A' D  HK  ( A' AC)  HK d (H ;(A'AC)) 1 1 1 a 3
Xét tam giác A’HD vuông tại H có:    HK  2 2 2 HK HD A' H 2 d ( ;
B ( A' AC)) BC 3 3 a 3 3a 3 Ta lại có:    d ( ; B (A'AC))  . 
d (H ;( A ' AC)) HC 2 2 2 4 3 9a 3a 3 Vậy V
; d (B, ( A ' AC)) 
ABC. A' B 'C ' 4 4 Chọn đáp án B.
Câu 24: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC), góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60 độ. Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng
(SMN), với M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. 3 a 3 a 3 a 3 a A. V B. V C. V D. V  3 3 4 4 Hướng dẫn giải: S
SA   ABC  suy ra AB là hình chiếu vuông góc
của SB lên (ABC) 
Góc giữa SB và (ABC) là góc 0 SBA  60 . H 0
SA AB tan 60  a 3
Kẻ AI MN . Suy ra I là trung điểm MN, kẻ A N
AH SI tại H C I MN  ,
SA MN AI MN AH M
AH   SMN .
Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SMN), B 3 AI a , K 4 1 1 1 1 16 a 51      AH  2 2 2 2 2 AH AS AI 3a 3a 17 d  , A SMN  MA 51 Mà 
 1  d B,SMN   d  ,
A SMN   a
d B, SMN  MB 17 Chọn đáp án B.
Câu 25: Cho hàm số S.ABC có 0
ASB BSC CSA  60 , SA  3, SB  4, SC  5 . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). 5 2 3 5 6 A. 5 2 B. C. D. 3 3 3 Hướng dẫn giải:
Bài toán này có công thức tính nhtôi, nhưng tôi không trình bầy ở đây . Tôi sẽ trình bầy
cách tư duy để làm ra bài toán này nhé !
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 114
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Đề bài cho các góc 0
ASC ASB BSC  60 và các cạnh SA  3, SB  4, SC  5 áp dụng công thức 2 2 2
c a b  2ab cosa,b ta tính được độ dài các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt là 1
13, 21, 19 . Ta tính được cos SAB  13
Gọi H là chân đường cao từ C xuống mặt phẳng (SAB), Kẻ HK S ,
A HI AB (như hình vẽ). Đặt
CH x . Quan sát hình vẽ ta thấy : tính được độ dài các đoạn thẳng CK, CI, sau đó ta biểu diễn
được HK, HI theo CH, và ta tìm được mối quan hệ giữa HK, HI 1 0 2. SC.S . A sin 60 2S 5 3 1 75 Tính CK: CSA 2 CK    2 2  AK  , HK   x SA SA 2 2 4 17 39 121 867
Tương tự ta tính được 2 CI  , AI  , 2 2 HI   x 26 52 52 28 Ta lại có 2 2 2
IK AK AI  2 AK.AI .cosSAB  13 5 6 Mà 2 2 2
IK HK HI HK HI  0 2 .
.cos 180  SAB   x  3 Chọn đáp án D.
Câu 26: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a . Tam giác SAD cân tại S 4
và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng 3 a . Khoảng 3
cách h từ B đến mặt phẳng (SCD) là: 2 4 8 3
A. h = a B. h = a
C. h = a
D. h = a 3 3 3 4 Hướng dẫn giải: 1 4 - Đặt 2 3
SH x V  . . x (a 2) 
a x  2a 3 3 -Ta có d ( ;
B (SCD))  d ( ;
A (SCD))  2d (H ;(SCD)) a 2 2 . a 4 2 a  2HK  2.  2 3 2 a 4a  2 Chọn đáp án B.
Câu 27: Cho lăng trụ ABC .
D A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = a 3 . Hình 1 1 1 1
chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và B . D Góc giữa hai
mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a. a 3 a 3 a 3 a 3 A. B. C. D. 2 3 4 6
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 115
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Hướng dẫn giải: 3 a 3 3a 3 V a 1 2 a 3 2 S a 3 , h  V= suy ra V    S
.d (B ;( A BD)) , Sd 2 2 1 B 1 A BD 1 A BD 1 1 6 4 3 A BD 1 2 3VB A BD a 3
d(B ;(A BD))  1 1  1 1 S 2 A BD 1 Chọn đáp án A.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 116
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
II - KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG
Câu 1: Lăng trụ đứng ABCA' B 'C ' đáy tam giác vuông cân tại B, cạnh bên CC '  a 3 . Biết thể tích khối trụ bằng 3
2 3a . Khoảng cách hai đường thẳng AB và CC’ bằng A. a 2 B. 2a C. 3a D. 2 3a Hướng dẫn giải:
Ta có BC AB, BC CC ' nên d A ; B CC '  BC
Vì ABC vuông cân ở B nên 1 1 3 2 2 3a VA . B BC.CC '  BC .a 3
ABCA ' B ' C ' 2 2 2 2
BC  4a BC  2a
d AB;CC '  2a Chọn đáp án B.
Câu 2: Cho lăng trụ đứng ABC. ’ A ’ B ’
C có đáy ABC là tam giác
vuông tại B với AB  4a, BC  3a, AC  5a , cạnh bên BB '  9a . Gọi
M là điểm thuộc BB’ sao cho BB' = 3B'M. Khoảng cách giữa B’C và AM là 12a 6a 10a a A. B. C. D. 7 7 7 7 Hướng dẫn giải:
Trong mặt phẳng BCB’, vẽ MN / / ’ B C ( N thuộc BC)  ’
B C / /  AMN   d  ’
B C, AM   d  ’
B C, AMN  1  d  1 ’
B , AMN   d B, AMN  = h 2 2 Để đơn giản ta coi a=1 1 1 1 1 1 1 1 12     (  )  h   2 2 2 2 2 2 h AB BN 4 2 6 1 1 1 7   2 2 2 4 2 6 6  d  ’
B C, AM   a 7 Chọn đáp án B.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có AS, AB, AC đôi một vuông góc với nhau, AB a, AC a 2 . Tính
khoảng cách d từ đường thẳng SA đến BC. a 2 a 6 A. d
B. d a
C. d a 2 D. d  2 3 Hướng dẫn giải:
Trong tam giác ABC kẻ AH BC, H BC
Dễ dàng chứng minh được AH SA 2 2 AB .AC a 6 Vậy dAH   SA,BC 2 2 AB AC 3 Chọn đáp án D.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 117
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC. a a 2 a 3 a 2 A. B. C. D. 5 5 5 7 Hướng dẫn giải:
(SBC) chứa SC và song song với AD. Đường thẳng qua
O vuông góc với BC cắt BC, AD lần lượt tại E, F. Vì O
là trung điểm của È nên ta có:
d(AD,SC) = d(F, (SBC)) = 2d(O, (SBC)). Kẻ OH
vuông góc với SE tại H (1)
BC EF, BC SO BC  SEF   BC OH 2
Từ (1) (2) và BC cắt SE  OH  (SBC) . Tam giác
SOE vuông tại O nên ta có: 1 1 1 1 1 1 20       2 2 2 2 2 2 2 OH OS OE OS OB OC 3a a 15 a 15  OH
d AD;SC  
. Gọi M sao cho ABMC là hình bình hành 10 5
Vẽ AH vuông góc với BM tại H, AK vuông góc SH tại K. Suy ra, AK vuông góc (SBM) 1 1 1 1 4 5 Ta có:      2 2 2 2 2 2 AK SA AH 2a 2a 2a a
Vì AC song song (SMB) suy ra: d AC SB  d A SBM  2 , ;  AK  5 Chọn đáp án B.
Câu 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng a, góc tại bởi cạnh bên và mặt 1 1 1 phẳng đáy bằng 0
30 . Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng  A B C thuộc đường thẳng B C . 1 1 1  1 1
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và B C theo a bằng: 1 1 1 a 3 a 3 a 3 A. B. C. D. a 3 2 6 4 Hướng dẫn giải: a 3
Xét tam giác vuông AHA có 0
AA a, AA H  30  A H
. Do tam giác A B C là tam giác đều 1 1 1 1 2 1 1 a 3
cạnh a, H thuộc B C và A H
nên A H vuông góc với B C . Mặt khác AH B C nên 1 1 1 2 1 1 1 1 1 B C AA H . 1 1  1 
Kẻ đường cao HK của tam giác AA H thì HK chính là khoảng cách giữa AA và B C 1 1 1 1
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 118
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 A H .AH a 3 Ta có 1
AA .HK A H .AH HK   1 1 AA 4 1 Chọn đáp án C.
Câu 6: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A’ 3 a 3
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết thể tích của khối lăng trụ là . Tính 4
khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC. 3a 4a 3a 2a A. B. C. D. 2 3 4 3
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của BC , dựng MN  AA ' tại N (1)
Gọi O là trọng tâm của A
 BC  O là hình chiếu của A’ lên (ABC)  A 'O  BC Mặt khác AM  BC vì A  BC đều
 BC  A 'MA  BC  MN 2 . Từ (1) và (2)
=> MN là đường vuông chung OP AO 2 Kẻ OP // MN    MN AM 3 2 3a VABCA'B'C' S   OA '   a A  BC 4 SABC 1 1 1 a 3a Xét A
 'OA vuông tai O, đường cao OP:    OP   MN  2 2 2 OP OA OA ' 2 4 Chọn đáp án C.
Câu 7: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, 0 BAD  120 và
AC '  a 5 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BD là: 10a 8a 6a 2a A. B. C. D. 17 17 17 17 Hướng dẫn giải:
Tứ giác AB’C’D là hình bình hành  AB’//C’D  AB’//(BC’D)
 d A ’
B , BD  d A ’
B , BC’D  d  ,
A BC’D  d C,B ’ C D
Vì BD  AC, BD  CC’  BD  (OCC’)  (BC’D)  (OCC’)
Trong (OCC’),kẻ CH  OC’(H thuộc OC’) => CH  (BC’D)  d C, BC’D  CH 1 1 1 4 1 2a
OCC ' vuông tại C       CH  2 2 2 2 2 CH CO CC ' a 4a 17 2a Vậy d(AB’,BD)= 17 Chọn đáp án D.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA a và vuông góc với đáy. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC a 2 a 2 a 2 A. da 2 B. dC. dD. d   AB,SC   AB,SC  2  AB,SC  3  AB,SC  4
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 119
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Hướng dẫn giải:
Vì AB / /CD  SCD  AB / /  S D C
Mà SC  SCD  dddAB,SC  AB,S D C 
A,SCD
Gọi I là trung điểm của D S
AI  SD , mà AI  CD a 2
Suy ra AI  SCD , vậy ddAI   AB,SC
A,SCD 2 Chọn đáp án B.
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 0
a 3; ABC  120 và cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
600. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng: a 39 3a 29 3a 29 a 14 A. B. C. D. 26 26 13 6 Hướng dẫn giải:
Kẻ CM / / BD, AN BC, AH SC suy ra AC CM và d  ,
A SCM   AH . Gọi ID DC 1
I  AD CM    IA AM 2
Theo bài ra ta có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc SNA nên 3a 3 0 0
SNA  60  SA AN tan 60  2
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SAC vuông taị A ta có 1 1 1 13 3a 39     AH  2 2 2 2 AH SA AC 27a 13 1
Ta có: d BD, SC   d BD,SCM   d D,SCM   d  , A SCM  2 3a 39 Suy ra
d BD,SC  26 Chọn đáp án A.
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên
mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Góc tạo bởi SC và (ABCD) bằng 450. Tính
theo a tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB. 2a 5 a 5 a 5 a 15 A. d B. d C. d D. d  3 13 3 3 Hướng dẫn giải:
Xác định được đúng góc giữa SC và (ABCD) là 0 SCH  45 a 5 a 5 Tính được HC   SH  2 2
Vì AB / / SCD, H  AB nên d A ; B D
S   d AB,SCD  d H ,S D C 
Gọi I là trung điểm của CD. Trong (SHI), dựng HK  SI tại K
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 120
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
Chứng minh được HK  SCD  d H ;SCD  HK
Xét tam giác SHI vuông tại H, HK đường cao: 1 1 1 4 1 9 a 5       HK  2 2 2 2 2 2 HK SH HI 5a a 5a 3 a 5 Vậy d A ;
B SD  HK  3 Chọn đáp án C.
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc  0
SBD  60 . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO . a 3 a 6 a 2 a 5 A. . B. . C. . D. . 3 4 2 5 Hướng dẫn giải:
Ta có SAB  SAD c g c , suy ra SB SD .  Lại có 0
SBD  60 , suy ra SBD đều cạnh
SB SD BD a 2 .
Trong tam giác vuông SAB , ta có 2 2 SA
SB AB a .
Gọi E là trung điểm AD , suy ra OE AB và AE OE .
Do đó d AB, SO  d AB,SOE   d  , A SOE .    
Kẻ AK SE . Khi đó S . A AE a 5 d  ,
A SOE   AK     . 2 2 5 SA AE Chọn đáp án D.
Câu 12: Chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 0 45 . Ta có
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng: a a a a A. B. C. D. 2 2 2 2 4 Hướng dẫn giải:
Ta có : d ( AB; SC)  d ( AB;(SCD))  2d (H ;(SCD))  2HK
Mặt khác tam giác SHM uông cân tại H, nên ta có 1 1 1 a a 2 HK SM HM 2  . 2  2 2 2 2 4 a 2
Vậy d ( AB; SC)  2HK  . 2 Chọn đáp án A.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 121
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 a 17
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD  hình chiếu vuông góc H 2
của S lên mặt (ABCD) là trung điểm của đoạn A .
B Gọi K là trung điểm của A .
D Tính khoảng cách
giữa hai đường SD và HK theo a? 3a a 3 a 21 3a A. . B. . C. . D. . 5 7 5 5 Hướng dẫn giải:
- Dựng HI BD và HJ SI
- Vì HK // BD  HK // (SBD)
- Chứng minh được BD  SHI  và HJ   SBD Ta có dddHJ HK,SD
HK ,SBD
H ,SBD 2 2 2 17a 5a 12a 2 2 SH SD  DH     a 3 4 4 4 1 1 1 1 8 25      2 2 2 2 2 2 HJ SH HI 3a a 3a a 3  HJ  5 Chọn đáp án D.
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho
MC  2MS . Biết AB  3, BC  3 3 , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM. 3 21 2 21 21 21 A. B. C. D. 7 7 7 7 Hướng dẫn giải:
Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA tại
N AC || MN AC ||  BMN
AC AB, AC SH AC   SAB
AC || MN MN   SAB  MN  SAB
  BMN    SAB theo giao tuyến BN. Ta có:
AC ||  BMN   d AC, BM   d AC,BMN 
d A, BMN   AK với K là hình chiếu của A trên BN. 2 NA MC 2 2 2 3 3 3 3    SS   (đvdt) và SA SC 3 ABN 3 SAB 3 4 2 2 AN SA  2 3 3 3 2. 2S 3 21 2 2 0 ABN 2 BN
AN AB  2AN.A .
B cos 60  7  AK    BN 7 7 3 21
Vậy d AC, BM   (đvđd) 7
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 122
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 Chọn đáp án A.
Câu 15: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông, AB BC  1, AA '  2 . M là
trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM; B'C 1 2 1 A. d B. d C. d  7 D. d  7 7 7 Hướng dẫn giải:
Gọi E là trung điểm của BB'. Khi đó  AME  / /B 'C nên ta có: dd
d B 'C; AM B, AME
B ' C, AME         Ta có: dh
B; AME
Tứ diện BEAM có các cạnh BE, BM, BA đôi một vuông góc
nên là bài toán quen thuộc. 1 1 1 1 1      7  h  2 2 2 2 h BE BA BM 7 Chọn đáp án A.
Câu 16: Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt 1 1 1
phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A lên mặt phẳng  A B C thuộc đường thẳng B 1 1 1  1C1.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và BC1 theo a là: a 3 a 3 2a 4a A. B. C. D. 2 4 3 3
Hướng dẫn giải:.
Do AH   A B C nên góc AA H là góc giữa AA 1 1 1  1 1 và
A B C theo giả thiết thì góc AA 1 1 1  1H bằng 300.
Xét tam giác vuông AHA có 1 a 0
AA a, AA H  30  AH  1 1 2 a 3
Xét AHA có AA a góc 0
AA H  30  A H  1 1 1 1 2 a 3
Do A1B1C1 đều cạnh a, H thuộc B1C1 và A H  1 2
Suy ra A1H vuông góc B1C1, AH B C nên B C AA H 1 1  1  1 1 A H .AH a 3
HK chính là khoảng cách giữa AA1 và B1C1 . Ta có 1
AA .HK A H .AH HK   1 1 AA 4 1 Chọn đáp án A.
Câu 17: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Góc giữa CA' và
mặt ( AA' B ' B) bằng 30 . Gọi d(AI’,AC) là khoảng cách giữa A' I và AC, kết quả tính d(AI’,AC)
theo a với I là trung điểm AB là
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 123
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 a 210 a 210 2a 210 3a 210 A. . B. . C. . D. . 70 35 35 35 Hướng dẫn giải: CI AB
Ta có : CI AA' (AA'  (ABC))
CI  ( AA' B ' B)
Trong (AA'B'B) : AB AA'     A
Suy ra góc giữa CA’ và ( AA' B ' B) chính là góc 
giữa CA’ và IA’ và bằng góc CA' I  30 IC 3a AB 3 a 3 Do đó A' I    ; với IC   tan CA' I 2 2 2 2 2 9a a Suy ra: 2 2 AA' 
A' I AI    a 2 4 4
Kẻ Ix AC . Khi đó d ( AC, A' I )  d ( AC, ( A' I , Ix))  d ( ,
A ( A ' I , Ix))
Kẻ AE Ix tại E và AF A' E tại F. Ta chứng minh được: d  ,
A ( A' I , Ix)  AFa a 3
Ta có: AE AI.sin AIE  .sin 60  và 2 4 1 1 1 1 16 35 a 210       AF  2 2 2 2 2 2 AF A' A AE 2a 3a 6a 35 a 210
Vậy: d AC, A' I   AF  . 35 Chọn đáp án B.
Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , mặt bên SAB là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là điểm thuộc SC sao cho MC=2MS.
Biết AB=3, BC= 3 3 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM là: 3 21 3 21 6 21 3 21 A. B. C. D. 7 14 7 28 Hướng dẫn giải:
Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA tại N  AC / / MN  AC / / BMN
AC AB, AC SH  AC  (SAB), AC/ / MN  MN  (SAB)
 (BMN )  (SAB) theo giao tuyến BN Ta có:
AC / /(BMN )  d ( AC; BM )  d ( AC;(BMN ))  d ( A;(BMN ))  AK với là hình chiếu của A trên BN 2 NA MC 2 2 2 3 3 3 3 2    SS  .  (đvdt) và AN SA  2 SA SC 3 ABN 3 SAB 3 4 2 3 3 3 2. 2S 3 21 2 2 0 ABN 2 BN
AN AB  2 AN.A . B c os60  7  AK    BN 7 7 3 21 Vậy d(AC,BM)= 7 Chọn đáp án A.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 124
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
Câu 19: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh AB=a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC)
và (ABC) bằng 60o. Tính theo a thể tích tứ diện B’ABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AB’C). 3 a 3 a 3 a 3 3a A. V  ;d B. V  ;d B ' ABC 8 4 B ' ABC 8 4 3 a 3 a 3 a 3 a 3 C. B V 'ABC  ; d  D. B V 'ABC  ; d  4 4 4 8 Hướng dẫn giải:
Theo như đề bài dữ kiện thì ta có thể dễ dàng tính được thể tích
của khối lăng trụ tam giác đều ban đầu, từ đó suy ra thể tích của
khối tứ diện AB’BC. Để tính được khoảng cách từ B đến (AB’C)
thực chất là tìm chiều cao của tứ diện, đến đây bài toán sẽ được
giải quyết nếu quý độc giả tìm được diện tích tam giác AB’C.
Vì đề bài cho dữ kiện ((A’BC), (ABC))=60o, nên ta sẽ đi xác định
góc này bằng cách gọi H là trung điểm của BC. Tam giác ABC đều nên AH  BC (1).
A’A  (ABC) ⟹A’A  BC (2)
Từ (1) và (2) ⟹BC  A’H ⟹((A’BC), (ABC)) = A’HA = 60o 3a ⟹A’A = AH.tan 60o= . Khi đó 2 2 3 3a a 3 3a 3 VA' . A S  . 
ABC. A ' B ' C ' ABC 2 4 8 3 1 a 3 Và VV
lúc này ta có thể loại C và D. B ' ABC 3 8
Dễ thấy diện tích tam giác AB’C có thể được do B’AC cân tại B’ có 2 2  3a  a 13 B' A  B' C  a   ; AC  a    2  2
Dễ tính được chiều cao kẻ từ B’ của tam giác có độ dài là a 3 2 3 B V a 3 3a ABC  A S CB'   d(B;(AB 'C))   2 A S B'C 4 Chọn đáp án B.
Câu 20: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có AC = a, BC= 2a,  120o ACB
. Đường thẳng A’C tạo với
mặt phẳng (ABB’A’) góc 300. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC’ theo a. a 3 a 7 A. B. 21 3 a 3 3 C. D. a 7 7
Hướng dẫn giải:
+ Kẻ đường cao CH của tam giác ABC. Có CH  AB ;CH  AA’ suy ra CH  (ABB’A’),Do đó góc 
giữa A’C và mp(ABB’A’) là góc CA H  0 ' 30 2 1 a 3 + Ta có 0 SC . A C . B sin120  a C ABC 2 2 A H 1200 2a
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 125
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay B
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 2 2 2 0 2
AB AC BC  2AC.BC. o c s120  7a Trong tam giác ABC : AB a 7 2 a 3 1 3 + S   A .
B CH CH aABC 2 2 7 3
+ Vậy : d(CC’ ;AM)=d(CC’ ;(ABB’A’))=d(C;(ABB’A’))=CH= a 7 Chọn đáp án D.
Câu 21: Cho lăng trụ ABC. ’ A ’ B ’
C các mặt đều là hình vuông cạnh a. Gọi D là trung điểm của cạnh
BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B’ và DC’ theo a a 2 a 3 a 2 a 3 A. B. C. D. 6 4 4 6 Hướng dẫn giải:
Có 2 cách để tiếp cận một bài toán hình học không gian thông
thường là kẻ thêm hình và tọa độ hóa. Ở bài toán này, phương
pháp tọa độ có nhiều ưu điểm hơn hẳn.
Gọi D ' là trung điểm B 'C ' ta có DD '; DC; DA đôi một vuông góc với nhau
Ghép hệ tọa độ như hình vẽ với D là gốc tọa độ. a aa 3     
Ta có D(0;0;0), B  ;0;0 , C ' ;0;a , A'0; ;    a   2      2   2 
Gọi  là mặt phẳng qua DC ' và  / / A'B suy ra phương
trình  : x z  0 a  2 a 2
d ( A' B, DC ')  d (B,())   2 4 Chọn đáp án C.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 126
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 GÓC
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1) Góc giữa hai đường thẳng: a//a', b//b'   a,b   a ', b ' Chú ý: 00   a,b  900
2) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:
 Nếu d  (P) thì d, (P) = 900.   Nếu 
d  (P) thì d, (P) = d, d ' với d là hình chiếu của d trên (P). 
Chú ý: 00  d, (P)  900 a  (P)
2) Góc giữa hai mặt phẳng    (P), (Q)   a, b b  (Q)  a  (P), a  c 
 Giả sử (P)  (Q) = c. Từ I  c, dựng   (P), (Q)   a, b b  (Q), b  c  0  Chú ý:    0 0 (P), (Q)  90
3) Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H) của (H) trên (Q),   = (P), (Q) . Khi đó: S = S.cos B – BÀI TẬP
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD, biết
EF a 3 . Góc giữa hai đường thẳng AB và CD là : A. 600 B. 450 C. 300 D. 900 Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm BD, AB CD   MF ME  , ,
Áp dụng định lý cosin trong tam giác EMF tính được  1  0  0
cos EMF    EMF  120  (A , B CD)  60 2 Chọn đáp án A.
Câu 2: Cho hình chóp đều S.ABC. Người ta tăng cạnh đáy lên gấp 2 lần. Để thể tích giữ nguyên thì
tan của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy phải giảm đi số lần là : A. 8 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải:
Gọi S là đỉnh hìnhchóp, O làtrọng tâm tam giác ABC; là góc tạo bởi cạnh bên vàmp(ABC). 1
Chứng minh được thể tích của khối chóp là 3 V a tan  12
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 127
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 1
Khi cạnh bên tăng lên 2 lần thì thể tích là 3 V
(2a) tan  ' . Để thể tích giữ nguyên thì 12 tan tan' 
, tức là tan góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy phải giảm đi 8 lần 8 Chọn đáp án A.
Câu 3: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó côsin góc giữa mặt bên và mặt đáy là: 1 A. 30O B. 3 C. 60O D. 3 Hướng dẫn giải:
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó côsin góc giữa mặt bên và mặt đáy là:
Ta có  SBC   ABCD  ,  SIH   a HI 1 Khi đó: 2 cos     SI a 3 3 2 Chọn đáp án D.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA bằng 2a, tam giác ABC vuông ở C có AB  2a,  0
CAB  30 . Gọi H là hình chiếu vuông của A trên SC. Tính theo a thể tích của khối chóp H.ABC. Tính
cô-sin của góc giữa hai mặt phẳng SAB, SBC . 7 7 3 7 7 A. B. C. D. 7 14 14 9 Hướng dẫn giải:
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Ta có AH  SC,AH  CB(Do CB  (SAC))  AH  (SBC)  AH  SB 
Lại có: SB  AK  SB  (AHK). Vậy góc giữa giữa hai mặt phẳng  SAB,SBC  là HKA 1 1 1 1 1 7 . a 2 3       AH  2 2 2 2 2 2 AH SA AC 4a 3a 12a 7 1 1 1 1 1 1     
 AK a 2 2 2 2 2 2 2 AK SA AB 4a 4a 2a
Tam giác HKA vuông tại H (vì AH  (SBC),(SBC)  HK) . a 2 3  AH 7 6  7 sin HKA     o c sHKA AK a 2 7 7 Chọn đáp án A.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 128
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a,  SAB   ABCD . H là trung điểm
của AB, SH HC, SA AB . Gọi  là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Giá trị của tan  là: 1 2 1 A. B. C. D. 2 2 3 3
Hướng dẫn giải: 1 a Ta có AH AB
, SA AB a , 2 2 a 5 2 2 SH HC BH BC  2 Có 2 5a 2 2 2 SA AH
AH  SAH SA AB SA   ABCD 4
và AC hc SC; ABCD
Ta có: SC ABCD 1 ;  SC , A tan SCA  2 Chọn đáp án A.
Câu 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm 3 a 15
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích của hình chóp S.ABCD là . Góc giữa đường 6
thẳng SC và mặt phẳng đáy (ABCD) là: A. 300 B. 450 C. 600 D. 1200 Hướng dẫn giải: Gọi H là trung điểm AB Ta có 3 1 a 15 a 15 2 2 Sa ,V  .SH.a   SH ABCD S . ABCD 3 6 2 2 a a 5 2 2 2 HC AC AH a   4 2 SC ABCD      SC HC   , ,  SCHa 15 a 5  0
tan SCH SH : CH  :
a 3  SCH  60 2 2 Chọn đáp án C.
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với
đáy (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB, SH HC, SA AB . Gọi  là góc giữa đường thẳng SC và
mặt phẳng (ABCD). Giá trị của tan  là: 1 2 1 A. B. C. D. 2 2 3 3 Hướng dẫn giải: 1 a Ta có AH AB  2 2
SA AB a
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 129
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 a 5 2 2 SH HC BH BC  2 2 5a Có 2 2 2 AH SA   SH 
SAH vuông tại A 4 nên SA AB
Do đó SA   ABCD nên SC ABCD   ,  SCASA 1
Trong tam giác vuông SAC, có tan SCA   AC 2 Chọn đáp án A.
Câu 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, có SA vuông góc với (ABC), 3 a 3
tam giác SBC cân tại S. Để thể tích của khối chóp S.ABC là
thì góc giữa hai mặt phẳng (SBC) 2 và (ABC) là: A. 0 60 B. 0 30 C. 0 45 D. Đáp án khác. Hướng dẫn giải:
Do tam giác SBC cân tại S nên gọi I là trung điểm của BC thì
SI BC; AI BC SIA  SBC; ABC
Do đáy ABC là tam giác đều nên 1 2a 3 2 S  .2 . aa
3 . Thể tích khối chóp được tính bằng ABC 2 2 3 3 1 a 3 3a 3 1 3a V  . . SA S   SA  .  SA ABC 2 3 2 2 a 3 2 SA 3a 2a 3 3 3 Khi đó tan SIA   : 
SIA atc tan AI 2 2 2 2 Chọn đáp án D.
Câu 9: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính số đo góc giữa (BA’C) và (DA’C) A. 0 30 B. 0 120 C. 0 60 D. 0 90 Hướng dẫn giải:
Kẻ BH A'C   1 BD   AC Mặt khác, ta có   AA'  BD
AA'   ABCD 
BD   ACA'  BD A'C 2
Từ (1), (2) suy ra A'C   BDH   A'C DH
Do đó  BA'C ,DA'C     H ; B HD
Xét tam giác vuông BCA' có: 1 1 1 2 a  
BH DH  2 2 2 BH BC BA 3
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 130
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12  2 2 2BH BD 1  Ta có 0 cos BHD   
BHD  120 . Vậy góc cần tìm là 0 60 2 2BH 2 Chọn đáp án C.
Câu 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC. ’ A ’ B ’
C có đáy là tam giác cân với AB AC a, góc  0
ABC  120 , cạnh bên BB’ = a. Gọi I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I)? 3 3 7 1 A. cosα = B. cosα= C. cosα= D. cosα = 5 10 10 2 Hướng dẫn giải:
Ta có: BC = a 3 . Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ACI, ABB’, B’C’I: 5 13 Suy ra AI =
a , AB’ = 2a , B’I = a 2 2 Do đó AI2 + AB’2 = B’I2
Vậy tam giác AB’I vuông tại A 1 10 3 ' 2 SAI.AB a , Sa ' 2 4 ABC AB I 4
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I). Tam giác ABC là
hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I. 10 3 3 Suy ra : S .cos   S  .cos    cos  ' ABC AB I 4 4 10 Chọn đáp án B.
Câu 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có ABC là tam giác vuông, AB BC  1, AA'  2 . M là
trung điểm của cạnh BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C là: 1 2 1 A. d B. d C. d  7 D. d  7 7 7 Hướng dẫn giải:
Gọi E là trung điểm của BB'. Khi đó  AME  / /B'C nên ta có:
Gọi E là trung điểm của BB’.
d B 'C; AM   d (B 'C;( AME))  d(B ';( AME))  d(B;( AME))
Ta có: d (B; ( AME))  h
Tứ diện BEAM có các cạnh BE, BM, BA đôi một vuông góc nên
là bài toán quen thuộc. Ta có 1 1 1 1 1     7  h  2 2 2 2 h BE BA BM 7 Chọn đáp án A.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 131
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với đáy, đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AB a 2 . Biết góc tạo bởi SC và (ABC) bằng 0
45 . Khoảng cách từ SB đến SC bằng: a 3 a 2 a 5 A. B. a 2 C. D. 2 2 2 Hướng dẫn giải: 1
Hướng dẫn: Gọi H là trung điểm của AC. Tính được AC  2HC  2a;BH  AC a 2
CM được SH   ABC   SC ABC   0 ,
SCH  45  SH a
 tam giác SHB vuông cân tại H  SB a 2
Trong (SHB): Dựng HI SB tại I (1)
CM được AC  SHB  AC HI tại H (2) 1 a 2
Từ (1) và (2)  d SB, AC   HI SB  2 2 Chọn đáp án C.
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a .Hình chiếu vuông
góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB; Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 0
60 . Góc giữa hai đường thẳng SB và AC có giá trị gần với giá trị nào nhất sau đây: A. 60 0 B. 80 0 C. 70 0 D. 90 0 Hướng dẫn giải:  
       2
AC a 5; SB a 7; S .
B AC  (SH .HB) AC H .
B AC AH .AC  2a   | . SB AC | 2 0 cos =      70 . SB AC 35 Chọn đáp án C.
Câu 14: Cho hình vuông ABCD cạnh 4a. Lấy H, K lần lượt trên AB, AD sao cho BH=3HA, AK=3KD
. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy S sao cho góc SBH =30 . Gọi E là
giao điểm của CH và BK. Tính cosin góc giữa SE và BC. 18 9 36 28 A. B. C. D. 5 39 5 39 5 39 5 39 Hướng dẫn giải: Ta có:     SE.BC
cos(SE; BC)  SE.BC  
     9   9  
SE.BC  (SH HE).BC HE.BC HC.BC CH.CB 25 25 9  2 9 CB 9 144a 2  CH .C . B c osHCB  .CH .C . B  .CB  25 25 CH 25 25
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 132
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12
Ta chứng minh được HK  CH tại E 2 HE HE.HC HB 9 9 9 9a 2 2     HE  .HC HB BC  2 2 2 HC HC HB BC 25 25 25 5 2 81a 2a 39   144a 5 18 2 2 2 SE
SH HE  3a    os
c (SE; BC)  .  25 5 25 2a 39.4a 5 39 Chọn đáp án A.
Câu 15: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm của đáy là O. Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 0 60 , cosin góc giữa MN và mặt phẳng (SBD) bằng : 3 2 5 10 A. B. C. D. 4 5 5 5 Hướng dẫn giải:
Gọi P là trung điểm AO; Q là giao điểm của MC và SO, từ Q kẽ tia song song với MN trong
mp(MBC) cắt BC tại R, trong mặt phẳng đáy từ R kẽ tia song song với AC cắt BD tại S. 
MP//SO nên MP   ABCD , suy ra 0 MNP  60 3 3a
Ta tính PN bằng cách vẽ thêm hình phụ như bên, theo định lí Ta-lét PT AB  4 4 a a 10 Dễ thấy TN
, theo định lý Pytago ta tính được PN  . 4 4 NP a 10
Tam giác MPN vuông tại P có MN    cosMNP 2 CQ 2
Dễ thấy Q là trọng tâm tam giác SAC nên  MC 3 QR CQ CR 2 2 a 10
Vì QR//MN nên theo định lý Ta-lét ta suy ra     QR MN MN MC NC 3 3 3 a 2
Hình vuông ABCD cạnh a có đường chéo AC a 2  OC  2
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 133
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học 12 SR BR 2 2 a 2
Vì SR//AC nên theo định lý Ta-lét ta suy ra    SR OC OC BC 3 3 3
CA   SBD, SR / /CA SR  SBD , mặt khác QR//MN do đó góc giữa MN với (SBD) là góc
giữa QR với (SBD) là góc SQR. SR a a
Tam giác SQR vuông tại S có  2 10 5 cosSQR   :  QR 3 3 5 Chọn đáp án C.
File Word liên hệ 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 134
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Document Outline

  • Untitled
  • Untitled
  • Untitled
  • Untitled