Chuyên đề khối đa diện và thể tích của chúng – Nguyễn Trọng Toán 12

Tài liệu gồm 61 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Trọng, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán thường gặp trong chuyên đề Hình học 12 chương 1: Khối đa diện và thể tích của chúng.Mời bạn đọc đón xem.

Chủ đề:

Chương 1: Khối đa diện 172 tài liệu

Môn:

Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:
61 trang 1 năm trước
Tác giả:
L
Lan Tường
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề khối đa diện và thể tích của chúng – Nguyễn Trọng Toán 12

Tài liệu gồm 61 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Trọng, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán thường gặp trong chuyên đề Hình học 12 chương 1: Khối đa diện và thể tích của chúng.Mời bạn đọc đón xem.

78 39 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện 172 tài liệu

Môn: Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:

61 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Lan Tường
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 1
MỤC LỤC
§1_KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN ................................................................................................................ 1
A- LÝ THUYẾT CẦN NẮM: ................................................................................................................... 2
DẠNG 1_NHẬN DIỆN ĐA DIỆN. ...................................................................................................... 2
DẠNG 2_XÁC ĐỊNH SỐ ĐỈNH, CẠNH, MẶT BÊN CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN. ........................ 5
DẠNG 3_ MẶT PHẲNG ĐỐI XỨNG. ................................................................................................ 8
DẠNG 4_PHÂN CHIA LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN. ....................................................................... 9
§2_KHỐI ĐA DIỆN LỒI - KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU .................................................................................... 12
DẠNG 1_NHẬN DẠNG KHỐI ĐA DIỆN LỒI. ............................................................................... 12
DẠNG 2_NHẬN DẠNG KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU. .............................................................................. 14
DẠNG 3_MỐI LIÊN HỆ GIỮA SỐ CẠNH, SỐ MẶT VÀ SỐ ĐỈNH CỦA ĐA DIỆN ĐỀU.......... 16
BẢNG ĐÁP ÁN ...................................................................................................................................... 19
§3_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY ........................................................ 20
DẠNG 1_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC. ..................................................................................... 20
DẠNG 2_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ HÌNH VUÔNG, CHỮ NHẬT, THOI, THANG. ............................. 24
§4_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY ........................................................... 33
DẠNG 1_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC. ..................................................................................... 33
DẠNG 2_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TỨ GIÁC. ......................................................................................... 36
BẢNG ĐÁP ÁN ...................................................................................................................................... 39
§5_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ĐỀU ............................................................................................................. 40
DẠNG 1_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC ĐỀU. ............................................................................ 40
DẠNG 2_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ HÌNH VUÔNG. ................................................................................ 43
§6_THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG ................................................................................................ 47
DẠNG 1_LĂNG TRỤ ĐỨNG CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC. ............................................................... 47
DẠNG 2_LĂNG TRỤ CÓ ĐÁY LÀ TỨ GIÁC. ............................................................................... 50
§7_TỶ SỐ THỂ TÍCH ................................................................................................................................. 54
LÝ THUYẾT CẦN NẮM. .................................................................................................................. 54
DẠNG 1_TỶ SỐ CƠ BẢN CỦA KHỐI CHÓP TAM GIÁC. ........................................................... 54
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 2
§1_KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN
A- LÝ THUYẾT CẦN NẮM:
Định nghĩa. (Hình đa diện là hình gồm hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai tính chất:
- Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh
chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
- Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác).
Các kết quả thu được.
⬧Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt.
⬧Kết quả 2:Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh.
⬧Kết quả 3: Cho
( )
H
là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Nếu số
mặt của
( )
H
là lẻ thì p phải là số chẵn.
⬧Kết quả 4: Cho
( )
H
là đa diện có m mặt, mà các mặt của nó là những đa giác có p
cạnh. Khi đó số cạnh của
( )
H
là
2
pm
c =
.
⬧Kết quả 5: Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số các mặt của nó phải
là một số chẵn.
⬧Kết quả 6: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối
tứ diện.
⬧Kết quả 7: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh.
⬧Kết quả 8: Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là
số chẵn.
⬧Kết quả 9: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.
⬧Kết quả 10: Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh.
⬧Kết quả 11: Với mỗi số nguyên
3k
luôn tồn tại hình đa diện có 2k cạnh.
⬧Kết quả 12: Với mỗi số nguyên
4k
luôn tồn tại hình đa diện có
21k +
cạnh.
⬧Kết quả 13: Không tồn tại một hình đa diện có
+ Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh.
+ Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh.
⬧Kết quả 14: Tồn tại khối đa diện có 2n mặt là những tam giác đều.
DẠNG 1_NHẬN DIỆN ĐA DIỆN.
PHƯƠNG PHÁP
Dựa và định nghĩa và các kết quả
A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong các hình dưới đây, hình nào là hình đa diện?
A. Hình 4. B. Hình 2. C. Hình 1. D. Hình 3.
Lời giải
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 3
Chọn D
Hình 4 không phải là hình đa diện vì có một cạnh là cạnh chung của 4 đa giác, loại A
Hình 2 không phải là hình đa diện vì có một cạnh là cạnh chung của 3 đa giác, loại B
Hình 1 không phải là hình đa diện vì có một cạnh là cạnh chung của 4 đa giác, loại C
Hình 3 là hình đa diện vì nó thỏa mãn khái niệm hình đa diện.
Ví dụ 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Tồn tại một hình đa diện có số đỉnh bằng số mặt.
B. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh gấp đôi số mặt.
C. Số đỉnh của một hình đa diện bất kì luôn lớn hơn hoặc bằng 4.
D. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số mặt.
Lời giải
Chọn D
A. Đúng vì tồn tại hình tứ diện.
B. Đúng vì tồn tại hình lập phương.
C. Đúng.
D. Sai.
Ví dụ 3. Mỗi cạnh của hình đa diện là cạnh chung của đúng
A. Năm mặt. B. Ba mặt. C. Bốn mặt. D. Hai mặt.
Lời giải
Chọn D
Trong một đa diện, mỗi cạnh nào cũng là cạnh chung của đúng hai mặt.
Ví dụ 4. Hình nào dưới đây là hình đa diện?
A. Hình 3. B. Hình 1. C. Hình 2. D. Hình 4.
Lời giải
Chọn D
Hình 4 thỏa mãn.
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 1. Hình nào trong các hình sau không phải là hình đa diện?
A. Hình chóp. B. Hình vuông. C. Hình lập phương. D. Hình lăng trụ.
Câu 2. Cho các hình sau:
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 4
Hình 1
Hình 2
Hình 4
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là
A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4.
Câu 3. Cho các hình khối sau:
(a) (b) (c) (d)
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 4. Cho các hình sau:
Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình 4
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa
diện là
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 5. Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?
A.
B.
C.
D.
Câu 6. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?
A.
11
. B.
12
. C.
13
. D.
14
.
Câu 7. Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 5
A. Khối tứ diện đều.
B. Khối chóp tứ giác.
C. Khối lập phương.
D. Khối 12 mặt đều.
Câu 8. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu cạnh?
A.
8
. B.
9
.
C.
12
. D.
16
.
Câu 9. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?
A.
6
. B.
10
.
C.
12
. D.
11
.
Câu 10. Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ
Khối tứ diện đều, Khối lập phương, Bát diện đều mặt đều mặt đều
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4.
B. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh.
C. Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng.
D. Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh.
DẠNG 2_XÁC ĐỊNH SỐ ĐỈNH, CẠNH, MẶT BÊN CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN.
PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng các kết quả thừa nhận
A_BÀI TẬP MINH HỌA:
Ví dụ 1. Hình đa diện trong hình vẽ có bao nhiêu mặt?
A.
12
. B.
10
.
C.
6
. D.
11
.
Lời giải
Chọn D
Dựa vào hình ta đếm được
11
mặt.
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 6
Ví dụ 2. Tìm số mặt của hình đa diện ở hình vẽ bên?
A. 11. B. 10.
C. 12. D. 9.
Lời giải
Chọn D
Hình đa diện trên có 9 mặt gồm các mặt là
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
; ; ; ; ;
; ; ; .
ABD BDC ADC ABFE BFGC
ACGE HFE HFG EHG
.
Ví dụ 3. Hình chóp có 50 cạnh thì có bao nhiêu mặt?
A.
26
. B.
21
. C.
25
. D.
49
.
Lời giải
Chọn A
Gọi
n
là số cạnh của đa giác đáy hình chóp đã cho. Ta có
Số cạnh đáy bằng số cạnh bên nên tổng số cạnh của hình chóp bằng
2n
.
Từ giả thiết, suy ra
2 50 25nn= =
.
Vậy số tổng số mặt của hình chóp là:
26
.
Ví dụ 4. Hình bát diện đều có bao nhiêu cạnh?
A.
16
. B.
12
. C.
10
. D.
14
.
Lời giải
Chọn B
Hình bát diện đều có 6 đỉnh, 8 mặt, 12 cạnh
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 11. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiều mặt?
A.
12
. B.
8
.
C.
11
. D.
10
.
Câu 12. Hỏi hình đa diện ở hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?
A.
10m =
. B.
12m =
.
C.
11m =
. D.
20m =
.
Câu 13. Khối lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu mặt?
A.
9
mặt. B.
7
mặt. C.
5
mặt. D.
6
mặt.
Câu 14. Số mặt phẳng cách đều tất cả các đỉnh của một hình lăng trụ tam giác là
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
1
.
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 7
Câu 15. Khối tám mặt đều có tất cả bao nhiêu đỉnh?
A.
6
. B.
8
. C.
12
. D.
16
.
Câu 16. Hình lăng trụ lục giác có bao nhiêu mặt?
A.
8
. B.
7
. C.
9
. D.
6
.
Câu 17. Mỗi cạnh của một hình đa diện là cạnh chung của đúng
n
mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A.
2n =
. B.
5n =
. C.
3n =
. D.
4n =
.
Câu 18. Một hình lăng trụ có đúng
11
cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất cả bao nhiêu cạnh?
A.
33
. B.
31
. C.
30
. D.
22
.
Câu 19. Mỗi đỉnh của hình đa diện thuộc ít nhất bao nhiêu mặt?
A. 4. B. 5. C. 2. D. 3.
Câu 20. Hình lăng trụ lục giác có bao nhiêu mặt?
A.
8
. B.
7
. C.
9
. D.
6
.
Câu 21. Khối chóp ngũ giác có số cạnh là
A.
20
. B.
15
. C.
5
. D.
10
.
Câu 22. Cho một hình đa diện. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt.
B. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh.
C. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.
D. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh.
Câu 23. Mỗi hình đa diện có ít nhất
A.
3
cạnh. B.
6
cạnh. C.
5
cạnh. D.
4
cạnh.
Câu 24. Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu mặt?
A.
3
. B.
1
. C.
4
. D.
2
Câu 25. Hình bát diện đều có bao nhiêu cạnh?
A.
8
. B.
24
. C.
16
. D.
12
.
Số đỉnh của hình đa diện dưới đây là
A. 8. B. 9.
C. 10. D. 11.
Câu 27. Một hình lăng trụ có đúng
11
cạnh bên thì hình lăng trụ đó có
tất cả bao nhiêu cạnh?
A.
31
. B.
30
. C.
22
. D.
33
.
Câu 28. Một hình đa diện có ít nhất bao nhiêu đỉnh?
A.
6
. B.
3
. C.
5
. D.
4
.
Câu 29. Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt?
A. 4. B. 10.
C. 8. D. 9.
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 8
Câu 30. Cho hình chóp có
20
cạnh. Số mặt của hình chóp đó là
A.
12
. B.
10
. C.
11
. D.
20
.
DẠNG 3_ MẶT PHẲNG ĐỐI XỨNG.
PHƯƠNG PHÁP:
Do tính chất đối xứng nhau, nên cứ đi từ trung điểm các cạnh ra mà tìm. Đảm bảo rằng nếu
chọn 1 mặt phẳng đối xứng nào thì các điểm còn dư phải chia đều về 2 phía.
A_BÀI TẬP MINH HỌA:
Ví dụ 1. Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là
A.
4
mặt phẳng. B.
6
mặt phẳng.
C.
8
mặt phẳng. D.
10
mặt phẳng.
Lời giải
Chọn B
Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung
điểm cạnh đối diện.
Vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.
Ví dụ 2. Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A.
4
mặt phẳng. B.
1
mặt phẳng. C.
2
mặt phẳng. D.
3
mặt phẳng.
Lời giải
Chọn A
Hình lăng trụ tam giác đều có
4
mặt phẳng đối xứng (hình vẽ bên dưới).
Ví dụ 3. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A.
4
mặt phẳng. B.
6
mặt phẳng. C.
9
mặt phẳng. D.
3
mặt phẳng.
Lời giải
Chọn D
Hình hộp chữ nhật (không là hình lập phương) có các mặt phẳng đối xứng là các mặt các mặt
phẳng trung trực của các cặp cạnh đối.
Ví dụ 4. Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối
xứng?
A.
4
mặt phẳng. B.
1
mặt phẳng. C.
2
mặt phẳng. D.
3
mặt phẳng.
Lời giải
Chọn D
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 9
Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình chữ nhật) có 3 mặt phẳng đối xứng bao
gồm:
2 mặt phẳng chứa đường chéo của đáy và vuông góc với đáy.
Một mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên.
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 31. Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là
A.
4
. B.
6
. C.
12
. D.
9
.
Câu 32. Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?
A. Tứ diện đều.
B. Bát diện đều.
C. Hình lập phương.
D. Lăng trụ lục giác đều.
Câu 33. Gọi
1 2 3
, , n n n
lần lượt là số trục đối xứng của khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác đều và khối lập
phương. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
1 2 3
0, 0, 6n n n
. B.
1 2 3
0, 1, 9n n n
.
C.
1 2 3
3, 1, 9n n n
. D.
1 2 3
0, 1, 3n n n
.
Câu 34. Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A.
4
mặt phẳng. B.
1
mặt phẳng. C.
2
mặt phẳng. D.
3
mặt phẳng.
Câu 35. Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là
A.
4
mặt phẳng. B.
6
mặt phẳng. C.
8
mặt phẳng. D.
10
mặt phẳng.
Câu 36. Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A.
4
mặt phẳng. B.
1
mặt phẳng. C.
2
mặt phẳng. D.
3
mặt phẳng.
Câu 37. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A.
4
mặt phẳng. B.
6
mặt phẳng. C.
9
mặt phẳng. D.
3
mặt phẳng.
Câu 38. Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối
xứng?
A.
4
mặt phẳng. B.
1
mặt phẳng. C.
2
mặt phẳng. D.
3
mặt phẳng.
Câu 39. Hình lập phương có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A.
8
mặt phẳng. B.
9
mặt phẳng. C.
10
mặt phẳng. D.
12
mặt phẳng.
Câu 40. Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là:
A.
4
mặt phẳng. B.
9
mặt phẳng. C.
6
mặt phẳng. D.
12
mặt phẳng.
DẠNG 4_PHÂN CHIA LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN.
PHƯƠNG PHÁP:
Sử dụng các kết quả thừa nhận và các tính chất của hình học.
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 10
A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho khối lập phương
.ABCD A B C D
. Mặt phẳng
( )
ACC
chia khối lập phương trên thành
những khối đa diện nào?
A. Hai khối lăng trụ tam giác
.ABC A B C
và
.BCD B C D
.
B. Hai khối lăng trụ tam giác
.ABC A B C
và
.ACD A C D
.
C. Hai khối chóp tam giác
.C ABC
và
.C ACD
.
D. Hai khối chóp tứ giác
.C ABCD
và
.C ABB A
.
Lời giải
Chọn B
Ta có mặt phẳng
( ) ( )
ACC ACC A
.
Cho nên mặt phẳng
( )
ACC A

phân chia khối lập phương
.ABCD A B C D
thành hai khối lăng
trụ tam giác
.ABC A B C
và
.ACD A C D
.
Ví dụ 2. Mặt phẳng
( )
A BC
chia khối lăng trụ
.ABC A B C
thành hai khối chóp.
A.
.A ABC
và
.ABCC B

. B.
.A A B C
và
.ABCC B

.
C.
.A A BC
và
.A BCC B
. D.
.A A B C
và
.A BCC B
.
Lời giải
Chọn C
Mặt phẳng
( )
A BC
chia khối lăng trụ
.ABC A B C
thành hai khối chóp
.A A BC
và
.A BCC B
.
Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
. Mặt phẳng
( )
'A BC
chia khối lăng trụ đã cho thành các khối
đa diện nào?
A. Hai khối chóp tam giác.
B. Một khối chóp tam giác, một khối chóp tứ giác.
C. Một khối chóp tam giác, một khối chóp ngũ giác.
D. Hai khối chóp tứ giác.
Lời giải
Chọn B
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 11
Mặt phẳng
( )
'A BC
chia khối lăng trụ đã cho thành một khối chóp tam giác và một khối chóp
tứ giác.
Ví dụ 4. Mặt phẳng nào sau đây chia khối hộp
.ABCD A B C D
thành hai khối lăng trụ
A.
( )
A BC

. B.
( )
ABC
. C.
( )
AB C
. D.
( )
A BD
.
Lời giải
Chọn B
Mặt phẳng
( )
ABC
là mặt phẳng
( )
ABC D

chia khối hộp thành hai khối lăng trụ là
( )
.BCC ADD

và
( )
.BB C AA D
.
Ví dụ 5. Cho khối lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
. Mặt phẳng
( ' ')BDD B
chia khối lập phương thành
A. Hai khối lăng trụ tam giác. B. Hai khối tứ diện.
C. Hai khối lăng trụ tứ giác. D. Hai khối chóp tứ giác.
Lời giải
Chọn A
.
BẢNG ĐÁP ÁN
1.B
2.A
3.B
4.C
5.C
6.B
7.A
8.D
9.D
10.B
11.D
12.C
13.B
14.C
15.A
16.A
17.A
18.A
19.D
20.A
21.D
22.A
23.B
24.A
25.D
26.C
27.D
28.D
29.C
30.C
31.D
32.A
33.C
34.A
35.B
36.A
37.D
38.D
39.B
40.B
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 12
§2_KHỐI ĐA DIỆN LỒI - KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
DẠNG 1_NHẬN DẠNG KHỐI ĐA DIỆN LỒI.
PHƯƠNG PHÁP:
Cách 1: Chọn 2 điểm trên hình sao cho đoạn thẳng nối hai điểm đó không chứa trong khối
đa diện.
Cách 2: Sử dụng tính chất “Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong
của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó”.
A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong các hình dưới đây hình nào không phải đa diện lồi?
A. Hình (II). B. Hình (I). C. Hình (IV). D. Hình (III).
Lời giải
Chọn D
Xét hình IV
Cách 1: Đoạn thẳng
BD
nằm ngoài khối đa diện nên hình IV không phải là khối đa diện lồi.
Cách 2: Hình IV tồn tại mặt phẳng
( )
ABC
chia khối đa diện thành 2 phần nên hình IV không
phải đa diện lồi.
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 13
B_BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 1. Cho một hình đa diện lồi. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh.
B. Mỗi đỉnh của đa diện là đỉnh của ít nhất 3 cạnh.
C. Mỗi đỉnh của đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt.
D. Mỗi cạnh của đa diện là cạnh chung của ít nhất 3 mặt.
Câu 2. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. Trong một đa diện lồi, mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt.
B. Trong một đa diện lồi, mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất hai mặt.
C. Trong một đa diện lồi, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng ba mặt.
D. Trong một đa diện lồi, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt.
Câu 3. Cho các hình khối sau:
(a) (b) (c) (d)
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải
đa diện lồi là
A. hình (a). B. hình (b). C. hình (c). D. hình (d).
Câu 4. Cho các hình khối sau:
(a) (b) (c) (d)
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 5. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Chỉ có năm loại khối đa diện đều.
B. Mỗi khối đa diện đều là một khối đa diện lồi.
C. Mỗi cạnh của hình đa diện là cạnh chung của đúng hai mặt.
D. Hình chóp tam giác đều là hình chóp có bốn mặt là các tam giác đều.
Câu 6. Số hình đa diện lồi trong các hình dưới đây là
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 14
A.
3
. B.
0
. C.
1
. D.
2
.
DẠNG 2_NHẬN DẠNG KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU.
PHƯƠNG PHÁP:
Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
- Các mặt là những đa giác đều
n
cạnh.
- Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng
p
mặt.
Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại
.,np
Chỉ có đúng 5 loại đa diện đều sau:
A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Khối mười hai mặt đều (hình vẽ dưới đây) là khối đa diện đều loại.
Khối đa diện đều
Số đỉnh
Số cạnh
Số mặt
Loại
Tứ diện đều
4
6
4
3;3
Khối lập phương
8
12
6
4;3
Bát diện đều
6
12
8
3;4
Mười hai mặt đều
20
30
12
5;3
Hai mươi mặt đều
12
30
20
3;5
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 15
A.
3;4
. B.
3;5
. C.
5;3
. D.
4;3
.
Lời giải
Chọn C
Theo hình vẽ, mỗi mặt là một ngũ giác có 5 cạnh và mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 mặt. Vậy đây
là khối đa diện đều loại
5;3
.
Ví dụ 2. Khối đa diện đều loại
3;3
có tên gọi nào dưới đây?
A. Khối mười hai mặt đều. B. Khối lập phương.
C. Khối hai mươi mặt đều. D. Khối tứ diện đều.
Lời giải
Chọn D
Khối đa diện đều loại
3;3
có mỗi mặt là đa giác đều có 3 cạnh, mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3
mặt. Vậy đây là khối tứ diện đều.
Ví dụ 3. Cho hình bát diện đều cạnh
.a
Gọi
S
là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Mệnh
đề nào dưới đây đúng?
A.
2
43Sa=
. B.
2
3Sa=
. C.
2
23Sa=
. D.
2
8Sa=
.
Lời giải
Chọn C
Hình bát diện đều là hình có tám mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều.
Gọi
0
S
là diện tích tam giác đều cạnh
2
0
3
.
4
a
aS⎯⎯→ =
Vậy diện tích
S
cần tính là
2
2
0
3
8. 8. 2 3 .
4
a
S S a= = =
B_BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 7. Khối đa diện đều nào sau đây có các mặt không phải là tam giác đều?
A. Bát diện đều. B. Tứ diện đều. C. Nhị thập diện đều. D. Thập nhị diện đều.
Câu 8. Số cạnh của hình mười hai mặt đều là
A. Mười sáu. B. Ba mươi. C. Hai mươi. D. Mười hai.
Câu 9. Khối bát diện đều có bao nhiêu cạnh?
A.
1
. B.
8
. C.
20
. D.
12
.
Câu 10. Khối đa diện đều loại
5;3
có tên gọi nào dưới đây?
A. Khối mười hai mặt đều. B. Khối lập phương.
C. Khối hai mươi mặt đều. D. Khối tứ diện đều.
Câu 11. Mỗi đỉnh của bát diện đều là đỉnh chung của mấy cạnh?
A. 3. B. 4. C. 6. D. 5.
Câu 12. Khối lập phương thuộc loại khối đa diện đều nào?
A.
3;3
. B.
4;3
. C.
3;4
. D.
5;3
.
Câu 13. Hình bát diện đều có bao nhiêu cạnh?
A.
10
. B.
12
. C.
8
. D.
20
.
Câu 14. Khối đa diện nào sau đây có các mặt không phải là tam giác đều?
A. Nhị thập diện đều. B. Tứ diện đều.
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 16
C. Thập nhị diện đều. D. Bát diện đều.
Câu 15. Khối đa diện đều loại
4;3
có tên gọi là
A. Khối mười hai mặt đều. B. Khối bát diện đều.
C. Khối tứ diện đều. D. Khối lập phương.
Câu 16. Khối đa diện đều loại
3;4
có tên gọi là
A. Khối mười hai mặt đều. B. Khối bát diện đều.
C. Khối tứ diện đều. D. Khối lập phương.
Câu 17. Tổng độ dài của tất các cạnh của một tứ diện đều cạnh
a
.
A.
4a
. B.
6a
. C.
6
. D.
4
.
Câu 18. Tính tổng diện tích các mặt của một khối bát diện đều cạnh
a
.
A.
2
8a
. B.
2
83a
. C.
2
23a
. D.
2
3
16
a
.
Câu 19. Tính tổng độ dài các cạnh của một khối mười hai mặt đều cạnh bằng
2
.
A.
8
. B.
16
. C.
24
. D.
60
.
Câu 20. Cho khối đa diện đều. Khẳng định nào sau đây sai
A. Số đỉnh của khối lập phương bằng 8.
B. Số mặt của khối tứ diện đều bằng 4.
C. Khối bát diện đều là loại {4;3}.
D. Số cạnh của bát diện đều bằng 12.
Câu 21. Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại
4;3
là:
A.
4
. B.
8
. C.
12
. D.
10
.
Câu 22. Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại
3;5
là:
A.
12
. B.
16
. C.
20
. D.
24
.
Câu 23. Cho hình đa diện đều loại
4;3
cạnh
.a
Gọi
S
là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện
đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
4Sa=
. B.
2
6Sa=
. C.
2
8Sa=
. D.
2
10Sa=
.
Câu 24. Cho hình 20 mặt đều có cạnh bằng
2.
Gọi
S
là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
10 3S =
. B.
20 3S =
. C.
20S =
. D.
10S =
.
Câu 25. Tổng độ dài của tất cả các cạnh của một bát diện đều cạnh
2a
.
A.
4a=
. B.
24a=
. C.
6=
. D.
4=
.
Câu 26. Tổng diện tích các mặt của khối lập phương cạnh bằng 2 là:
A.
24S =
. B.
16S =
. C.
20S =
. D.
32S =
.
DẠNG 3_MỐI LIÊN HỆ GIỮA SỐ CẠNH, SỐ MẶT VÀ SỐ ĐỈNH CỦA ĐA DIỆN ĐỀU.
PHƯƠNG PHÁP:
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 17
Khối đa diện đều loại
,np
có
n
là số cạnh trên một mặt,
p
là số mặt (hay số cạnh) tại một
đỉnh.
a) Ta luôn có:
, 4, 6, ,m d c m c d c
b) Công thức Ơ-le:
2d m c+ − =
c) Gọi là tổng số đỉnh,
C
là tổng số cạnh và
M
là tổng các mặt của khối đa diện đều loại
;np
. Ta có
2p C nM==
A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho một khối đa diện lồi có
10
đỉnh,
7
mặt. Hỏi khối đa diện này có mấy cạnh?
A. 20. B. 18. C. 15. D.
5;3
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
3;3
.
Vậy khối đa diện có
4
cạnh.
Ví dụ 2. Khối 12 mặt đều {mỗi mặt là ngũ giác đều} có mấy cạnh?
A. 16. B. 18. C. 20. D. 30.
Lời giải
Chọn D
Áp dụng công thức
2.C nM=
với
5n =
và
12M =
ta được
30C =
.
Ví dụ 3. Khối đa diện đều loại
3;4
có số đỉnh, số cạnh và số mặt tương ứng là
A. 6, 12, 8. B. 4, 6, 4. C. 8, 12, 6. D. 8, 12, 6.
Lời giải
Chọn B
Khối đa diện đều loại
3;4
là khối bát diện đều có 8 mặt.
Áp dụng công thức
2.C nM=
với
3n =
và
8M =
ta được
12C =
.
Áp dụng công thức
§p nM=
với
3n =
và
8M =
ta được
§6=
.
B_BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 27. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau.
B. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số cạnh bằng nhau.
C. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh.
D. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và số mặt bằng nhau.
Câu 28. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Số các cạnh của hình đa diện luôn
A. Lớn hơn hoặc bằng 6. B. lớn hơn 6.
C. lớn hơn 7. D. lớn hơn hoặc bằng 8.
Câu 29. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Số các đỉnh, hoặc các mặt của bất kỳ hình đa diện luôn
A. Lớn hơn hoặc bằng 4. B. lớn hơn 4.
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 18
C. lớn hơn 5. D. lớn hơn hoặc bằng 5.
Câu 30. Trong các loại khối đa diện đều sau, tìm khối đa diện có số cạnh gấp đôi số đỉnh
A. Khối 20 mặt đều. B. Khối lập phương.
C. Khối bát diện đều. D. Khối 12 mặt đều.
Câu 31. Trong các loại khối đa diện đều sau, tìm khối đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau
A. Khối 12 mặt đều. B. Khối lập phương.
C. Khối bát diện đều. D. Khối tứ diện đều.
Câu 32. Cho khối chóp có đáy là n-giác. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Số mặt của khối chóp là
2n
. B. Số cạnh của khối chóp là
2n+
.
C. Số đỉnh bằng số mặt và bằng
1n+
. D. Số đỉnh của khối chóp là
21n +
.
Câu 33. Khối 20 mặt đều có mấy cạnh?
A. 16. B. 18. C. 20. D. 30.
Câu 34. Khối
20
mặt đều có bao nhiêu đỉnh?
A. 12. B. 16. C. 20. D. 30.
Câu 35. Số đỉnh của một bát diện đều là:
A. 6. B. 10. C. 8. D. 12.
Câu 36. Số đỉnh của một hình mười hai mặt đều là:
A. 12. B. 19. C. 20. D. 24.
Câu 37. Số cạnh của một bát diện đều là:
A. 8. B. 12. C. 16. D. 10.
Câu 38. Số cạnh của một hình mười hai mặt đều là:
A. 12. B. 20. C. 30. D. 24.
Câu 39. Khối đa diện đều loại
3;3
có số định, số cạnh và số mặt lần lượt bằng.
A. 4; 6; 4. B. 12; 30; 20. C. 6; 12; 8. D. 8; 12; 6.
Câu 40. Khối đa diện đều loại
4;3
có số đỉnh, số cạnh và số mặt lần lượt bằng
A. 4; 6; 4. B. 12; 30; 20. C. 6, 12, 8. D. 8, 12, 6.
Câu 41. Khối đa diện đều loại
5;3
có số đỉnh là
D
và số cạnh là
C
. Tính
T D C=+
.
A.
50T =
. B.
32T =
. C.
42T =
. D.
18T =
.
Câu 42. Kí hiệu
M
là số mặt,
Đ
là số đỉnh và
C
là số cạnh của một hình bát diện đều. Khi đó bộ
( )
,,M ĐC
tương ứng với bộ số nào?
A.
( ) ( )
, , 12,8,6M ĐC =
. B.
( ) ( )
, , 8,12,6M ĐC =
.
C.
( ) ( )
, , 6,12,8M ĐC =
. D.
( ) ( )
, , 8,6,12M ĐC =
.
Câu 43. Khối đa diện có mười hai mặt đều có số đỉnh, số cạnh, số mặt lần lượt là:
A.
30
,
20
,
12
. B.
20
,
12
,
30
. C.
12
,
30
,
20
. D.
20
,
30
,
12
.
Câu 44. Biết
( )
H
là đa diện đều loại
3;5
với số đỉnh và số cạnh lần lượt là
a
và
b
. Tính
ab−
.
A.
18ab− = −
. B.
18ab−=
. C.
8ab− = −
. D.
10ab−=
.
Câu 45. Cho một khối đa diện lồi có
20
đỉnh,
12
mặt. Hỏi khối đa diện này có mấy cạnh?
A. 20. B. 18. C. 30. D.
5;3
.
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 19
Câu 46. Cho một khối đa diện lồi có
20
cạnh,
10
mặt. Hỏi khối đa diện này có mấy đỉnh?
A. 20. B. 18. C. 30. D.
5;3
.
BẢNG ĐÁP ÁN
1.D
2.D
3.B
4.B
5D
6C
7.D
8.B
9.D
10.A
11.B
12.B
13.B
14.C
15.D
16.B
17.B
18.C
19.D
20.C
21.C
22.C
23.B
24.B
25.B
26.A
27.B
28.A
29.A
30.C
31.D
32.C
33.D
34.D
35.A
36.C
37.B
38.C
39.A
40.D
41.A
42.C
43.D
44.A
45.C
46.D
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 20
§3_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY
DẠNG 1_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC.
PHƯƠNG PHÁP:
• B1: Tính diện tích đáy:
• B2: Tính chiều cao của chóp:
Tam giác vuông
2 2 2
a b c=+
2 2 2
22
1 1 1 bc bc
h
h b c a
bc
= + = =
+
2 2 2
2 2 2
' ' '
; ;
'
b b c c c c
a a a a b b
= = =
11
22
S ah bc==
Đối = huyền.sinα
Đối = kề.tanα
Kề = huyền.cosα
Kề = đối.cotα
Tam giác đều cạnh
x
2
3
4
x
S =
Trong tam giác bất kỳ:
Định lí cosin:
2 2 2
2 .cosa b c bc A= + −
Định lí sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
Các công thức tính diện tích tam giác:
11
. .sin ( )( )( )
2 2 4
a
abc
S a h bc A pr p p a p b p c
R
= = = = = − − −
A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh . Cạnh bên vuông góc với đáy
và . Tính thể tích của khối chóp .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
1
.
3
V B h
.S ABC
ABC
2a
SA
3SA a=
V
.S ABC
3
3Va=
3
4
a
V =
3
3Va=
3
Va=
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 21
Có , và .
. Vậy .
Ví dụ 2. Cho hình chóp có tam giác vuông tại , , . vuông góc với
mặt phẳng đáy và . Tính thể tích của khối chóp .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Vì . Tam giác vuông tại nên
Ta có: .
Ví dụ 3. Cho khối chóp có
vuông góc với đáy, , , và . Tính
thể tích khối chóp .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
C
B
A
S
1
.
3
ABC
V SA S=
3SA a=
( )
2
23
4
ABC
a
S =
( )
2
3
23
1
3
34
a
V a a = =
3
Va=
.S ABC
ABC
A
AB a=
2AC a=
SA
( )
ABC
3SA a=
V
.S ABC
3
3Va=
3
23
3
Va=
3
3
3
Va=
3
3
4
Va=
S
a
3
2a
a
A
B
C
( )
3SA ABC h SA a⊥ = =
ABC
A
2
11
. . . .2
22
ABC
S AB AC a a a= = =
23
.
1 1 3
. . . . 3
3 3 3
S ABC ABC
V S SA a a a== =
.S ABC
SA
4SA =
6AB =
10BC =
8CA =
.S ABC
40V =
192V =
32V =
24V =
8
6
10
4
A
C
B
S
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 22
Ta có suy ra tam giác vuông tại ,do đó diện tích tam
giác là:
Vậy .
Ví dụ 4. Cho khối chóp có vuông góc với , đáy là tam giác vuông cân tại ,
, góc giữa và là . Tính thể tích khối chóp .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có là hình chiếu của lên suy ra góc giữa và là góc .
Tam giác vuông cân tại , .
Xét vuông tại có .
Ta có . Vậy .
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 1. Thể tích của khối chóp có diện tích mặt đáy bằng
B
, chiều cao bằng
h
được tính bởi công thức:
A.
1
3
V Bh=
. B.
V Bh=
. C.
1
2
V Bh=
. D.
3V Bh=
.
Câu 2. Thể tích khối chóp có độ dài đường cao bằng 6, diện tích đáy bằng 8 là
A.
12
. B.
48
. C.
16
. D.
24
.
Câu 3. Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AB a=
, cạnh bên
()SA ABC⊥
và
2SA a=
. Thể tích V của khối chóp đã cho bằng
A.
3
1
3
Va=
. B.
3
2
3
Va=
. C.
3
22
3
Va=
. D.
3
Va=
.
Câu 4. Cho hình chóp có vuông tại , . Biết rằng vuông góc với
mặt phẳng và . Tính thể tích khối chóp .
A. . B. . C. . D. .
2 2 2 2 2 2
6 8 10AB AC BC+ = + = =
ABC
A
ABC
11
. .6.8 24
22
S AB AC= = =
11
. . .4.24 32
33
SABC ABC
V SAS= = =
.S ABC
SA
( )
ABC
ABC
A
2BC a=
SB
( )
ABC
30
.S ABC
3
6
9
a
3
6
3
a
3
3
3
a
3
2
4
a
30
°
A
C
B
S
AB
SB
( )
ABC
SB
( )
ABC
30SBA =
ABC
A
2BC a=
2AB AC a = =
SAB
A
36
.tan30 2.
33
a
SA AB a= = =
22
1
2
ABC
S AB a==
3
2
.
1 1 6 6
. . . .
3 3 3 9
S ABC ABC
aa
V SA S a ===
.S ABC
ABC
A
,3AB a AC a==
SA
( )
ABC
5SB a=
.S ABC
3
3
2
a
3
3
6
a
3
3
3
a
3
3a
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 23
Câu 5. Cho khối chóp
.S ABC
có thể tích bằng
3
6
a
và diện tích tam giác
ABC
bằng
2
.
2
a
Tính chiều cao
h
kẻ từ
S
của khối chóp
..S ABC
A.
ha=
. B.
3
a
h =
. C.
3ha=
. D.
2
3
a
h =
.
Câu 6. Cho hình chóp
.S ABC
có
( )
SA ABC⊥
, biết
4SA =
và diện tích tam giác
ABC
bằng
8
. Tinh
thể tích
V
của khối chóp
.S ABC
.
A.
32V =
. B.
4V =
. C.
32
3
V =
. D.
8
3
V =
.
Câu 7. Cho hình chóp
.S ABC
có
6, 8, 10AB BC AC= = =
. Cạnh bên
SA
vuông góc với đáy và
4SA =
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABC
.
A.
40V =
. B.
32V =
. C.
192V =
. D.
24V =
.
Câu 8. Cho tứ diện
OABC
có
,OA
,OB
OC
đôi một vuông góc và
,OA a=
,OB b=
.OC c=
Tính thể
tích khối tứ diện
.OABC
A.
3
abc
. B.
abc
. C.
6
abc
. D.
2
abc
.
Câu 9. Cho hình chóp
.S ABC
có cạnh bên
SA
vuông góc với mặt đáy,
3SA a=
,
AB a=
,
3AC a=
,
2BC a=
. Thể tích khối chóp
.S ABC
bằng?
A.
3
3
6
a
. B.
3
2
a
. C.
3
3
2
a
. D.
3
3
4
a
.
Câu 10. Cho hình chóp
.S ABC
có
M
vuông góc với mặt đáy. Tam giác
SB
vuông tại
3SM MB=
. Biết
N
. Thể tích hình chóp
AC
là
A.
2AN NC=
. B.
.M ABN
. C.
.S ABC
. D.
4
9
.
Câu 11. Cho khối chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
2a
. Cạnh bên
SA
vuông góc với đáy
và
3SA a=
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABC
.
A.
3
3Va=
. B.
3
4
a
V =
. C.
3
3Va=
. D.
3
Va=
.
Câu 12. Cho khối chóp
.S ABC
có ba cạnh
,,SA SB SC
cùng có độ dài bằng a và vuông góc với nhau
từng đôi một. Thể tích của khối chóp
.S ABC
bằng
A.
3
2
a
. B.
3
3
a
. C.
3
6
a
. D.
3
.a
.
Câu 13. Cho khối chóp tam giác
.S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
2a
, cạnh bên
SA
vuông góc với
mặt phẳng chứa mặt đáy, cạnh
25SC a=
. Thể tích khối chóp
.S ABC
bằng
A.
3
3
6
a
. B.
3
23
3
a
. C.
3
83
3
a
. D.
3
43
3
a
.
Câu 14. Cho khối chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
và hai mặt bên
( )
SAB
,
( )
SAC
cùng
vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
.S ABC
biết
3SC a=
.
A.
3
3
2
a
. B.
3
26
9
a
. C.
3
3
4
a
. D.
3
6
12
a
.
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 24
Câu 15. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
a
,
3SA a=
và
SA
vuông góc với mặt
phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp
.S ABC
.
A.
3
3
4
a
. B.
3
2
a
.
C.
3
3
4
a
. D.
3
4
a
.
Câu 16. Cho khối chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
, độ dài cạnh
AB BC a==
,
cạnh bên
SA
vuông góc với đáy và
2SA a=
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABC
.
A.
3
3
a
V =
. B.
3
2
a
V =
. C.
4V =
. D.
16
3
V
=
.
Câu 17. Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
có cạnh đáy bằng
a
và chiều cao của hình chóp là
2a
.
Tính theo
a
thể tích của khối chóp
.S ABC
.
A.
3
6
6
a
. B.
3
6
12
a
. C.
3
6
4
a
. D.
3
2
.
12
a
DẠNG 2_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ HÌNH VUÔNG, CHỮ NHẬT, THOI, THANG.
PHƯƠNG PHÁP:
1
.
3
V B h=
• B1: Tính diện tích đáy:
• B2: Tính chiều cao của chóp:
①. Diện tích hình vuông:
S= (cạnh)
2
Pitago:
2 2 2
AB AD BD+=
Đường cho hình vuông bằng cạnh.
2
②. Diện tích hình chữ nhật:
S = dài x rộng.
③. Diện tích hình thoi:
1
..
2
S AC BD=
2. 2.
ABC ADC
S S S==
④. Diện tích hình thang:
( )
1
.
2
S AH AB CD=+
A _VÍ DỤ MINH HỌA CHÓP CÓ ĐÁY LÀ HÌNH VUÔNG:
Ví dụ 1. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng
a
. Biết cạnh bên
2SA a=
và
vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp
.S ABCD
.
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 25
A.
3
4
3
a
. B.
3
2a
. C.
3
3
a
. D.
3
2
3
a
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
3
2
.
1 1 2
. .2
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA a a= = =
.
Ví dụ 2. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt
phẳng đáy và
2SA a=
. Tính thể tích
V
của hình chóp
.S ABCD
.
A.
3
2
6
a
V =
. B.
3
2
4
a
V =
. C.
3
2Va=
. D.
3
2
3
a
V =
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
3
2
1 1 2
. 2.
3 3 3
ABCD
a
V SA S a a= = =
Ví dụ 3. Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
3a
, cạnh
SA
vuông góc với mặt
phẳng
( )
ABCD
và
SB
tạo với đáy một góc
60
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
9Va=
. B.
3
3
4
a
V =
. C.
3
9
2
a
V =
. D.
3
3Va=
.
Lời giải
Chọn D
( )
SA ABCD AB⊥
là hình chiếu vuông góc của
SB
lên mặt phẳng
( )
ABCD
.
( )
( )
( )
, , 60SB ABCD SB AB SBA = = =
.
Trong tam giác vuông
SAB
,
tan60 . 3. 3 3SA AB a a= = =
.
( )
2
22
33
ABCD
S AB a a= = =
.
A
B
D
C
S
a
3
60
0
D
C
B
A
S
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 26
Vậy thể tích
V
của khối chóp
.S ABCD
là
2 .3
11
. . .3 .3 3
33
ABCD
V S SA a a a= = =
.
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 18. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
có
( )
SA ABCD⊥
, đáy là hình vuông cạnh
a
,
5SB a=
A.
3
6
3
a
. B.
3
2
3
a
. C.
3
2a
. D.
3
3
a
.
Câu 19. Cho hình chóp tứ giác
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh , cạnh bên vuông góc
với mặt đáy và
2SA a=
. Tính thể tích của khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
2
6
a
. B.
3
2
4
a
. C.
3
2a
. D.
3
2
3
a
.
Câu 20. Cho hình chóp tứ giác
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh , cạnh bên vuông
góc với mặt đáy và . Tính thể tích của khối chóp
.S ABCD
A.
3
2
3
a
V =
. B.
3
3
a
V =
. C.
3
2Va=
. D.
2
4
3
a
V =
.
Câu 21. Cho hình chóp tứ giác
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt
đáy và
2SA AC a==
. Tính thể tích của khối chóp
.S ABCD
A.
3
2
3
a
V =
. B.
3
6
9
a
V =
. C.
3
2Va=
. D.
3
6
3
a
V =
.
Câu 22. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Biết
( )
SA ABCD⊥
và
3SB a=
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
2
2
a
V =
. B.
3
3a
. C.
3
2
3
a
V =
. D.
3
2
6
a
V =
.
Câu 23. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Hai mặt phẳng
( )
SAC
và
( )
SAB
cùng vuông góc với
( )
ABCD
. Góc giữa
( )
SCD
và
( )
ABCD
là
60
. Tính thể tích của khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
3
3
a
. B.
3
6
3
a
. C.
3
3
6
a
. D.
3
3
3
a
.
Câu 24. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
,
SA
vuông góc với đáy
ABCD
.
Mặt bên
( )
SCD
hợp với đáy một góc
60
. Tính thể tích của khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
3
6
a
V =
. B.
3
3
3
a
V =
. C.
3
3
12
a
V =
. D.
3
2
6
a
V =
.
Câu 25. Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
,cạnh bên
SA
vuông góc với mặt
phẳng đáy,góc giữa mặt phẳng
( )
SBD
và mặt phẳng đáy bằng
60
. Tính thể tích
V
của khối
chóp
.S ABCD
.
A.
3
6
6
a
V =
. B.
3
3
2
a
V =
. C.
3
3
12
a
V =
. D.
3
3
7
a
V =
.
a
SA
V
2a
SA
5SC a
V
V
V
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 27
Câu 26. Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt
phẳng đáy. Đường thẳng
SD
tạo với mặt phẳng
( )
SAB
một góc
30
. Tính thể tích
V
của khối
chóp
.S ABCD
.
A.
3
3
2
a
V =
. B.
3
3
4
a
V =
. C.
3
3
12
a
V =
. D.
3
3
3
a
V =
.
Câu 27. Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng
đáy và cạnh bên
SB
tạo với mặt phẳng đáy góc
45
. Thể tích của khối chóp
.S ABCD
bằng
A.
3
2
3
a
. B.
3
2
6
a
. C.
3
3
a
. D.
3
a
.
C_VÍ DỤ MINH HỌA CHÓP CÓ ĐÁY LÀ HÌNH CHỮ NHẬT:
Ví dụ 1. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật có cạnh
2, 4AB AD==
. Cạnh bên
2SA =
và
vuông góc với đáy (tham khảo hình vẽ). Thể tích
V
của khối chóp
.S ABCD
bằng
A.
16V =
. B.
16
3
V =
. C.
8
3
V =
. D.
8V =
.
Lời giải
Chọn C
Do
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy nên hình chiếu của
SB
trên
( )
ABCD
là
AB
.
Suy ra,
( )
( )
( )
, , 45SB ABCD SB AB SBA= = =
.
Dễ thấy
SAB
vuông, cân tại
A
, suy ra
SA AB a==
.
Vậy
3
2
.
11
..
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V SAS a a= = =
(đvtt).
Ví dụ 2. Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật
AB a=
,
2AD a=
,
SA
vuông góc với đáy và
góc giữa
SD
và mặt phẳng
( )
ABCD
bằng
0
45
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
4
3
a
V =
. B.
3
2
3
a
V =
. C.
3
26Va=
. D.
3
43
3
a
V =
.
Lời giải
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 28
Chọn A
Vì
( )
SA ABCD⊥
góc giữa
SD
và mặt phẳng
( )
ABCD
bằng góc giữa
SD
và
AD
.
0
45SDA=
SDA
vuông cân nên
2SA AD a==
.
3
.
1 1 4
. .2 . .2
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V V SAS a a a= = = =
.
Ví dụ 3. Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
AB a=
,
3AD a=
,
SA
vuông góc
với mặt phẳng đáy và mặt phẳng
( )
SBC
tạo với đáy một góc
o
60
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
3Va=
. B.
3
3
3
a
V =
. C.
3
Va=
. D.
3
3
a
V =
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
. . 3 3
ABCD
S AB AD a a a= = =
.
Dễ thấy
o
; 60BC AB BC SB SBA⊥ ⊥ =
.
Xét tam giác vuông
( )
1SAB A v=
có:
oo
tan60 tan60 3
SA
SA AB a
AB
= = =
Vậy
23
.
11
. 3. 3
33
S ABCD ABCD
V S SA a a a= = =
.
D_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 28. Cho hình chóp tứ giác
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
AB a=
,
3AD a=
,
SA
vuông góc với
mặt phẳng đáy và
2SA a=
. Tính theo
a
thể tích khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
6a
. B.
3
3a
. C.
3
2a
. D.
3
a
.
45
0
2a
a
A
D
C
B
S
60
a
a
3
D
A
B
C
S
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 29
Câu 29. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật
AB a=
,
2 , 2BC a SA a==
,
SA
vuông
góc với mặt phẳng
()ABCD
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
A.
3
4.a
. B.
3
8
3
a
. C.
3
6
3
a
. D.
3
4
3
a
.
Câu 30. Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật. Cạnh bên
SA
vuông góc với đáy.
3AB a=
;
4AD a=
;
33SC a=
.Thể tích của khối chóp
.S ABCD
bằng:
A.
3
42a
. B.
3
4a
. C.
3
42
3
a
. D.
3
22
3
a
.
Câu 31. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật với
,2AB a AD a==
và
2
a
SA =
,
( )
SA ABCD⊥
. Tính thể tích của khối chóp
.S ABC
.
A.
3
2
12
a
V =
. B.
3
2
2
a
V =
. C.
3
2
3
a
V =
. D.
3
2
6
a
V =
.
Câu 32. Cho hình chóp có đáy là tam giác cân tại , , , cạnh bên
vuông góc với mặt đáy và . Tính thể tích của khối chóp .
A. . B. . C. . D.
.
Câu 33. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật có cạnh
2, 4AB AD==
. Cạnh bên
2SA =
và vuông góc với đáy (tham khảo
hình vẽ). Thể tích
V
của khối chóp
.S ABCD
bằng
A.
16V =
. B.
16
3
V =
.
C.
8
3
V =
. D.
8V =
.
Câu 34. Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật. Cạnh bên
SA
vuông góc với đáy.
3AB a=
;
4AD a=
;
33SC a=
.Thể tích của khối chóp
.S ABCD
bằng:
A.
3
42a
. B.
3
4a
. C.
3
42
3
a
. D.
3
22
3
a
.
Câu 35. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật tâm
, , 3, 3 .O AB a AD a SA a= = =
SO
vuông góc với mặt phẳng đáy
.ABCD
Tính thể tích của khối chóp
..S ABC
A.
3
6
.
3
a
. B.
3
26
.
3
a
. C.
3
6.a
. D.
3
2 6.a
.
Câu 36. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
SA
vuông góc với đáy,
AB a=
,
2AD a=
.
Góc giữa
SB
và đáy bằng
45
. Thể tích khối chóp là
A.
3
2
3
a
. B.
3
2
3
a
. C.
3
2
6
a
. D.
3
3
a
.
Câu 37. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật với
2AB a=
,
AD a=
. Hình chiếu của
S
lên
( )
ABCD
là trung điểm
H
của
AB
,
SC
tạo với đáy một góc
45
. Thể tích khối chóp
.S ABCD
là
.S ABC
ABC
A
23BC a=
120BAC =
SA
2SA a=
V
.S ABC
3
23
3
a
V =
3
3Va=
3
3
2
a
V =
3
3
6
a
V =
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 30
A.
3
3
a
. B.
3
22
3
a
. C.
3
2
3
a
. D.
3
3
2
a
.
E_ VÍ DỤ MINH HỌA CHÓP CÓ ĐÁY LÀ HÌNH THOI, THANG VUÔNG:
Ví dụ 1. Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy là hình thoi tâm
O
,
AB a=
,
60BAD =
,
( )
SO ABCD⊥
, mặt
phẳng
( )
SCD
tạo với mặt phẳng đáy góc
60
. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
3
3
8
a
. B.
3
3
24
a
. C.
3
3
48
a
. D.
3
3
12
a
Lời giải
Chọn A
Ta có
ABCD
là hình thoi tâm
O
,
AB a=
,
0
60BAD =
nên tam giác
,ABD CBD
đều cạnh a.
Gọi
BK
là đường cao của tam giác
CBD
, ta có
3
2
a
BK =
.
Gọi H là hình chiếu của O lên DC
Ta có
( )
( ) ( )
( )
( )
0
, , 60
DC OH
DC SOH DC SH
DC SO
SCD ABCD OH SH SHO
⊥
⊥ ⊥
⊥
= = =
.
Có
00
3
.tan60 .tan60
24
BK a
SO OH= = =
;
2
3
2
2
ABCD ABD
a
SS==
.
23
.
1 1 3 3 3
. . . .
3 3 2 4 8
S ABCD ABCD
a a a
V S SO= = =
.
Ví dụ 2. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
, 1, 2.B AB BC AD= = =
Cạnh bên
2SA =
và vuông góc với mặt đáy. Thể tích
V
của khối chóp
.S ABCD
bằng
A.
3
2
V =
. B.
1V =
. C.
1
3
V =
. D.
2V =
.
Lời giải
Chọn B
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 31
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
, 1, 2B AB BC AD= = =
( )
13
1 2 .
22
ABCD
S = + =
.
1 1 3
. .2. 1
3 3 2
S ABCD ABCD
V V SAS= = = =
.
Ví dụ 3. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
B
,
2AB BC==
,
3AD =
. Cạnh bên
2SA =
và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
.
A.
4V =
. B.
10
3
V =
. C.
10 3
3
V =
. D.
17
6
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
23
. .2 5
22
ABCD
AB CD
S AD
++
= = =
Thể tích:
.
1 1 10
. . .2.5
3 3 3
S ABCD ABCD
V SAS= = =
.
F_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 38. Cho hình chóp
.S ABCD
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
( )
,ABCD
đáy
ABCD
là hình thang
vuông tại
A
và
B
có
, 3 , .AB a AD a BC a= = =
Biết
3,SA a=
tính thể tích khối chóp
.S BCD
theo
.a
A.
3
3
6
a
. B.
3
23
3
a
. C.
3
3
4
a
. D.
3
23a
.
Câu 39. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
D
,
AB AD a==
,
3SA CD a==
,
SA
vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
. Thể tích khối chóp
.S ABCD
bằng.
2
2
1
D
C
B
A
S
A
D
C
B
S
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 32
A.
3
1
3
a
. B.
3
2a
. C.
3
6a
. D.
3
1
6
a
.
Câu 40. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
a
và góc
60BAD =
,
( )
SA ABCD⊥
.
Biết rằng khoảng cách từ
A
đến cạnh
SC
bằng
a
. Thể tích khối chóp
.S ABCD
là
A.
3
2
4
a
. B.
3
2
12
a
. C.
3
3
6
a
. D.
3
3a
.
BẢNG ĐÁP ÁN
1.A
2.C
3.A
4.C
5.A
6.C
7.B
8.C
9.B
10.D
11.D
12.C
13.D
14.D
15.D
16.A
17.B
18.B
19.D
20.A
21.A
22.C
23.A
24.B
25.A
26.D
27.C
28.C
29.A
30.A
31.A
32.A
33.B
34.A
35.A
36.B
37.B
38.A
39.B
40.A
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 33
§4_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY
DẠNG 1_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC.
PHƯƠNG PHÁP:
1
.
3
V B h=
Tính diện tích đáy:
B
Tính chiều cao của chóp:
h
A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho khối chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
, biết
,2AB a AC a==
. Mặt bên
SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo
a
thể tích khối chóp
.S ABC
.
A.
3
3
2
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
3
4
a
. D.
3
3
3
a
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
I
là trung điểm của đoạn thẳng
AB
. Ta có:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
,SI SAB SI AB
SAB ABC AB SI ABC
SAB ABC
⊥
= ⊥
⊥
.
.
1 1 1 1
. . . . .
3 3 2 6
S ABC ABC
V SI S SI AB AC SI AB AC
= = =
3
1 3 3
. . .2
6 2 6
aa
aa==
.
Ví dụ 2. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
, 2 ,B AC a=
mặt bên
( )
SAC
là
tam giác đều và
( ) ( )
.SAC ABC⊥
Tính thể tích khối chóp
..S ABC
A.
3
22
3
a
. B.
3
2 10
3
a
. C.
3
10a
. D.
3
3
3
a
B
C
A
S
I
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 34
Lời giải
Chọn D
Kẻ
.SH AC⊥
Do
( ) ( ) ( ). SAC ABC SH ABC⊥ ⊥
Tam giác
SAC
đều cạnh
2AC a=
nên
2 . 3
3.
2
a
SH a==
Tam giác
ABC
là tam giác vuông cân tại,
2 2AC a AB BC a= = =
.
Do đó:
2
1
S .
2
ABC
AB BC a==
(đvdt)
3
2
.
1 1 3
. . 3.
3 3 3
S ABC ABC
a
V SH S a a = = =
(đvtt).
Ví dụ 3. Cho hình chóp
.S ABC
có
.SA SB SC==
Tam giác
ABC
vuông cân tại
,2A AB AC a==
và
SB
tạo với mặt phẳng
( )
ABC
một góc
0
60
. Tính thể tích khối chóp
..S ABC
A.
3
3
6
a
. B.
3
3
3
a
. C.
3
23
3
a
. D.
3
2
6
a
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
H
là trung điểm
.BC
Theo giả thiết
( ) ( )
(
)
0
, 60 .
BA CA
SH ABC SB ABC SBH
SA SB SC
⊥
⊥ = =
==
Áp dụng pitago cho tam giác vuông
( ) ( )
22
22
: 2 2 4 2 .ABC BC a a a BC a BH a= + = = =
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông
0
: tan60 3.SBH SH BH a==
2
1
..
2
ABC
S AB AC a
==
Vậy thể tích của khối chóp là:
3
2
1 1 3
. 3. .
3 3 3
ABC
a
V SH S a a
= = =
A
B
C
S
H
60
°
H
B
C
A
S
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 35
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 1. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
2a
, tam giác
SAB
là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp
.S ABC
.
A.
3
2
a
V =
. B.
3
Va=
. C.
3
3
2
a
V =
. D.
3
3Va=
.
Câu 2. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
, 2A BC a=
. Mặt bên
SBC
là
tam giác vuông cân tại
S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
.S ABC
.
A.
3
Va=
. B.
3
2
3
a
V =
. C.
3
2
3
a
V =
. D.
3
3
a
V =
.
Câu 3. Cho hình chóp
.S ABC
có
SA a=
, tam giác
ABC
đều, tam giác
SAB
vuông cân tại
S
và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp
.S ABC
bằng
A.
3
6
4
a
. B.
3
6
24
a
. C.
3
6
12
a
. D.
3
6
8
a
.
Câu 4. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác
ABC
vuông tại
B
,
AB a=
,
2AC a=
. Hình chiếu
vuông góc của
S
lên
( )
ABC
là trung điểm
M
của
AC
. Góc giữa
SB
và đáy bằng
60
. Thể
tích
.S ABC
là bao nhiêu?
A.
3
3
2
a
. B.
3
2
a
. C.
3
4
a
. D.
3
2
12
a
.
Câu 5. Cho hình chóp
.S ABC
có tam giác
ABC
là tam giác đều cạnh
a
. Hình chiếu của
S
trên mặt
phẳng
( )
ABC
là trung điểm của cạnh
A
, góc tạo bởi cạnh
SC
và mặt phẳng đáy
( )
ABC
bằng
0
30
. Tính thể tích của khối chóp
.S ABC
.
A.
3
3
8
a
. B.
3
2
8
a
. C.
3
3
24
a
. D.
3
3
2
a
.
Câu 6. Cho hình chóp
.S ABC
có
SAB
và
ABC
là hai tam giác đều và nằm trong hai mặt phẳng vuông
góc với nhau,
6
2
a
SC =
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABC
.
A.
3
12
a
V =
. B.
3
4
a
V =
. C.
3
3
8
a
V =
. D.
3
8
a
V =
.
Câu 7. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều; mặt bên
SAB
nằm trong mặt phẳng vuông
góc với mặt phẳng đáy và tam giác
SAB
vuông tại
S
,
3SA a=
,
SB a=
. Tính thể tích khối
chóp
.S ABC
.
A.
3
6
6
a
. B.
3
6
3
a
. C.
3
2
a
. D.
3
6
2
a
.
Câu 8. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là
ABC
tam giác vuông cân đỉnh
,A AB AC a==
. Hình chiếu
vuông góc của
S
lên mặt phẳng
( )
ABC
là trung điểm
H
của
BC
. Mặt phẳng
( )
SAB
hợp với
mặt phẳng đáy một góc bằng
60
. Tính thể tích khối chóp
.S ABC
.
A.
3
2
12
a
V =
. B.
3
3
4
a
V =
. C.
3
3
6
a
V =
. D.
3
3
12
a
V =
.
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 36
DẠNG 2_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TỨ GIÁC.
PHƯƠNG PHÁP:
1
.
3
V B h=
Tính diện tích đáy:
B
Tính chiều cao của chóp:
h
A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông đường chéo
22AC a=
. Mặt bên
SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
()ABCD
. Thể tích của khối chóp
.S ABCD
là
A.
3
a
. B.
3
43
3
a
. C.
3
3
6
a
. D.
3
23
3
a
.
Lời giải
Chọn B
Hạ đường cao SH của tam giác SAB thì SH là đường cao của hình chóp
Trong hình vuông ABCD:
2
2 2 2 ; 4
ABCD
AC a AB a S a= = =
Trong tam giác đều ABC:
3
2 2 . 3
2
AB a SH a a= = =
⇒
3
2
.
1 4 3
. 3.4
33
S ABCD
a
V a a==
⇒ Chọn B.
Ví dụ 2. Cho khối chóp
.DS ABC
có đáy
DABC
là hình vuông cạnh
a
. Tam giác
SAB
cân tại
S
và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy,
2aSA =
. Tính theo
a
thể tích khối chóp
.DS ABC
.
A.
3
2aV =
. B.
3
15
12
a
V =
. C.
3
15
6
a
V =
. D.
3
2a
3
V =
.
Lời giải
C
S
A
B
D
H
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 37
Chọn C
Gọi
H
là trung điểm của
AB
.
Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( )
D
DD
SAB ABC
SAB ABC AB SH ABC
SH AB
⊥
= ⊥
⊥
.
Xét tam giác vuông
SAH
:
2
2 2 2
15
4a
42
aa
SH SA AH= − = − =
.
Thể tích khối chóp
.DS ABC
là
3
2
D
1 1 15 15
. . . .
3 3 2 6
ABC
aa
V SH S a= = =
(đvtt).
Ví dụ 3. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2a
,
SA a=
,
3SB a=
. Biết rằng
( ) ( )
SAB ABCD⊥
. Gọi
,MN
lần lượt là trung điểm của các cạnh
,AB BC
. Tính theo
a
thể tích
của khối chóp
.S BMDN
.
A.
3
3
6
a
. B.
3
3
3
a
. C.
3
23a
. D.
3
3
4
a
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2 2 2
SA SB AB SAB+ =
vuông tại
S
.
Gọi
H
là hình chiếu của
S
trên
( )
.3
2
SA SB a
AB SH ABCD SH
AB
⊥ = =
.
22
1
2 4 2. . 2
2
BMDN ABCD NCD
S S S a NC CD a
= − = − =
Vậy
3
2
.
1 1 3 3
. .2 .
3 3 2 3
S BMDN BMDN
aa
V S SH a= = =
.
N
M
A
D
C
B
S
H
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 38
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 9. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình thang vuông tại
A
và
B
,
AB BC a==
,
2AD a=
. Hình
chiếu của
S
lên mặt phẳng
( )
ABCD
trùng với trung điểm cạnh
AB
. Biết rằng
5SC a=
. Tính
theo
a
thể tích
V
của khối chóp
.S ABCD
A.
3
5
4
a
V =
. B.
3
15
3
a
V =
. C.
3
15
4
a
V =
. D.
3
25
3
a
V =
.
Câu 10. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật. Tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy
( )
ABCD
. Biết
23SD a=
và góc tạo bởi đường thẳng
SC
và mặt phẳng
( )
ABCD
bằng
0
30
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABCD
A.
3
23
7
a
V =
. B.
3
3
13
a
V =
. C.
3
3
4
a
V =
. D.
3
46
3
a
V =
.
Câu 11. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông. Mặt bên
SAB
là tam giác đều cạnh
a
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
( )
ABCD
. Tính thể tích của khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
3
6
a
. B.
3
3
2
a
. C.
3
3
a
. D.
3
a
.
Câu 12. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
23a
, mặt bên
SAB
là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp
.S ABCD
là:
A.
3
12a
. B. 14a
3
. C.
3
15a
. D.
3
17a
.
Câu 13. Cho khối chóp
.S ABCD
có
ABCD
là hình vuông cạnh
3a
. Tam giác
SAB
cân tại
S
và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABCD
, biết góc giữa
SC
và
( )
ABCD
bằng
o
60
.
A.
3
18 3.Va=
. B.
3
9 15
.
2
a
V =
. C.
3
93Va=
. D.
3
18 15.Va=
.
Câu 14. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là tam giác vuông cân tại
B
,
AB a=
. Gọi
I
là trung điểm
AC
, tam giác
SAC
cân tại
S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
.S ABC
, biết góc giữa
SB
và mặt phẳng đáy băng
45
.
A.
3
3
12
a
. B.
3
2
12
a
. C.
3
2
4
a
. D.
3
3
4
a
.
Câu 15. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
2AB a=
,
AD a=
. Hình chiếu của
S
lên mặt phẳng
( )
ABCD
là trung điểm
H
của cạnh
AB
, đường thẳng
SC
tạo với đáy một
góc
0
45
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
22
3
a
V =
. B.
3
3
a
V =
. C.
3
2
3
a
V =
. D.
3
3
2
a
V =
.
Câu 16. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật, biết
AB a=
,
3AD a=
. Hình chiếu
S
lên đáy là trung điểm
H
của cạnh
AB
, góc tạo bởi
SD
và đáy là 60
0
. Tính thể tích của khối
chóp
.S ABCD
.
A.
3
13
2
a
. B.
3
2
a
. C.
3
5
5
a
. D.
3
15
5
a
.
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 39
Câu 17. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật. Tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy
( )
ABCD
. Biết
23SD a=
và góc tạo bởi đường thẳng
SC
và mặt phẳng
( )
ABCD
bằng
0
30
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
23
7
a
V =
. B.
3
3
13
a
V =
. C.
3
3
4
a
V =
. D.
3
46
3
a
V =
.
Câu 18. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
; hình chiếu của
S
trên
( )
ABCD
trùng với trung điểm của cạnh
AB
; cạnh bên
3
2
a
SD =
. Tính theo
a
thể tích của khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
7
3
a
. B.
3
3
a
. C.
3
3
3
a
. D.
3
5
3
a
.
Câu 19. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật với
2 , .AB a AD a==
Tam giác
SAB
cân tại
S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy,
SC
tạo với đáy một góc
45
. Thể tích khối chóp
.S ABCD
là
A.
3
3
2
a
. B.
3
22
3
a
. C.
3
22a
. D.
3
2
3
a
.
Câu 20. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
SAB
đều cạnh a nằm trong mặt
phẳng vuông góc với
( )
ABCD
. Biết
( )
SCD
tạo với
( )
ABCD
một góc bằng
0
30
. Tính thể tích
V
của khối chóp
..S ABCD
A.
3
3
8
a
V =
. B.
3
3
4
a
V =
. C.
3
3
2
a
V =
. D.
3
3
3
a
V =
.
Câu 21. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật với
2;AB a AD a==
. Tam giác
SAB
là tam
giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Góc giữa mặt phẳng
( )
SBC
và
( )
ABCD
bằng
0
45
. Khi đó thể tích khối chóp
.S ABCD
là:
A.
3
3
3
a
. B.
3
1
3
a
. C.
3
2a
. D.
3
2
3
a
.
Câu 22. Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2a
,
SAD
cân tại
S
và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa
( )
SBC
và mặt đáy bằng
o
60
. Tính thể tích
.S ABCD
bằng:
A.
3
23
3
a
. B.
3
83
3
a
. C.
3
43
3
a
. D.
3
23a
.
BẢNG ĐÁP ÁN
1.B
2.D
3.D
4.B
5.C
6.D
7.C
8.D
9.C
10.D
11.A
13.A
13.B
14.B
15.A
16.A
17.D
18.B
19.C
20.B
21.D
22.B
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 40
§5_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ĐỀU
DẠNG 1_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC ĐỀU.
PHƯƠNG PHÁP:
1
.
3
V B h=
Tính diện tích đáy:
B
Tính chiều cao của chóp:
h
A _VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Tính thể tích của khối tứ diện đều có tất cả các cạnh đều bằng
a
.
A.
3
2
12
a
. B.
3
3
12
a
. C.
3
2
4
a
. D.
3
3
4
a
.
Lời giải
Chọn A
Gọi
M
là trung điểm của
BC
,
H
là trọng tâm tam giác
BCD
.
Ta có
( )
AH BCD⊥
,
23
33
a
BH BM==
22
AH AB BH = −
2
2
3
3
a
a

=−



6
3
a
=
Vậy thể tích tứ diện là
1
.
3
ABCD BCD
V S AH=
2
1 3 6
..
3 4 3
aa
=
3
2
12
a
=
.
Ví dụ 2. Cho khối tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng
2a
. Thể tích khối tứ diện đã cho bằng
A.
3
2
6
a
. B.
3
2
12
a
. C.
3
2
3
a
. D.
3
22
3
a
.
Lời giải
Chọn D
a
M
B
D
C
H
A
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 41
Gọi
O
là trọng tâm tam giác
ABC
.
Do tứ diện
ABCD
là tứ diện đều nên ta có
()AO BCD⊥
.
Ta có :
2
2
(2 ) 3
3
4
BCD
a
Sa
==
.
22
2 2 2 3 2 3 2 6
.
3 3 2 3 3
a a a
BO BM AO AB BO= = = = − =
.
Ta có :
3
2
1 1 2 6 2 2
. . 3.
3 3 3 3
ABCD BCD
aa
V S AO a
= = =
(đvtt).
Ví dụ 3. Hình chóp tam giác đều
.S ABC
có cạnh đáy là
a
và mặt bên tạo với đáy góc
45
. Tính theo
a
thể tích khối chóp
.S ABC
.
A.
3
8
a
. B.
3
24
a
. C.
3
12
a
. D.
3
4
a
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
M
là trung điểm
BC
và
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
Suy ra
( )
SO ABC⊥
.
Góc giữa mặt bên
( )
SBC
và mặt đáy
( )
ABC
là góc
45SMO =
.
Xét tam giác vuông
ABM
:
2
2 2 2
3
42
aa
AM AB BM a= − = − =
.
Mặt khác
13
36
a
OM AM OM= =
.
Xét tam giác vuông
SOM
:
33
.tan .tan45
66
aa
SO OM SMO= = =
.
Diện tích tam giác
ABC
:
2
13
. . .sin60
24
ABC
a
S a a= =
.
2a
B
D
C
A
M
O
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 42
Vậy thể tích khối chóp
.S ABC
là
23
.
1 1 3 3
. . .
3 3 6 4 24
S ABC ABC
a a a
V SO S= = =
.
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
có cạnh đáy bằng
2a
, cạnh bên tạo với mặt đáy góc
0
60
.
Tính theo
a
thể tích khối chóp
.S ABC
.
A.
3
3
4
a
. B.
3
23
3
a
. C.
3
3
3
a
. D.
3
3a
.
Câu 2. Hình chóp tam giác đều
.S ABC
có cạnh đáy là
a
và mặt bên tạo với đáy góc
45
. Tính theo
a
thể tích khối chóp
.S ABC
.
A.
3
8
a
. B.
3
24
a
. C.
3
12
a
. D.
3
4
a
.
Câu 3. Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
có cạnh đáy bằng
2a
, cạnh bên tạo với đáy một góc
60
.
Thể tích khối chóp
.S ABC
là
A.
3
23
3
a
. B.
3
3
3
a
. C.
3
3
4
a
. D.
3
3a
.
Câu 4. Cho khối chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng
2a
. Thể tích của khối chóp đó bằng
A.
3
22
3
a
. B.
3
2
3
a
. C.
3
2
12
a
. D.
3
26
9
a
.
Câu 5. Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
a
, cạnh bên bằng
3a
. Thể tích của khối chóp
đó bằng
A.
3
22
3
a
. B.
3
2
3
a
. C.
3
2
6
a
. D.
3
2
12
a
.
Câu 6. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
a
và cạnh bên bằng
2a
. Thể tích khối chóp là
A.
3
5
6
a
. B.
3
11
24
a
. C.
3
5
12
a
. D.
3
11
12
a
.
Câu 7. Tính thể tích của khối tứ diện đều có tất cả các cạnh đều bằng
a
.
A.
3
2
12
a
. B.
3
3
12
a
. C.
3
2
4
a
. D.
3
3
4
a
.
Câu 8. Cho khối chóp tam giác đều
.S ABC
có cạnh đáy bằng
a
và cạnh bên bằng
2a
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABC
A.
3
13
12
a
V =
. B.
3
11
12
a
V =
. C.
3
11
6
a
V =
. D.
3
11
4
a
V =
.
Câu 9. Tính thể tích của chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng
a
.
A.
3
2
12
a
. B.
3
2
4
a
. C.
3
2
6
a
. D.
3
2
2
a
.
Câu 10. Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
có cạnh đáy bằng
3a
, cạnh bên bằng
2a
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABC
.
A.
3
3
4
a
V =
. B.
3
33
2
a
V =
. C.
3
33
4
a
V =
. D.
3
3
4
a
V =
.
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 43
Câu 11. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
a
và cạnh bên tạo đáy góc
0
60
. Thể tích của khối
chóp đó bằng:
A.
3
3
12
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
3
36
a
. D.
3
3
18
a
.
Câu 12. Cho hình chóp đều
.S ABC
có cạnh đáy bằng
,a
cạnh bên bằng
2.a
Thể tích khối chóp
.S ABC
là
A.
3
3
6
a
.
B.
3
3
12
a
.
C.
3
5
6
a
.
D.
3
5
12
a
.
DẠNG 2_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ HÌNH VUÔNG.
PHƯƠNG PHÁP:
1
.
3
V B h=
Tính diện tích đáy:
B
Tính chiều cao của chóp:
h
A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
2a
và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc
bằng
45
. Thể tích của khối chóp đó là
A.
3
2
8
a
. B.
3
22a
. C.
3
42
3
a
. D.
3
2
6
a
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
O AC BD=
, vì hình chóp tứ giác đều nên ta có
( )
SO ABCD⊥
Vì là hình chiếu vuông góc của trên mặt đáy
( )
ABCD
nên
SDO
là góc giữa cạnh bên và mặt
đáy
( )
ABCD
Theo đề ra tam giác vuông tại và có
45SDO =
nên tam giác vuông cân tại.
Do vậy
2SO OD a==
Vậy
3
2
.
1 1 4 2
. . 2.4
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V SO S a a= = =
.
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 44
Ví dụ 2. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều
.S ABCD
biết
AB a=
,
SA a=
.
A.
3
2
2
a
. B.
3
2
6
a
. C.
3
3
a
. D.
3
a
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
22
SO SA OA=−
2
2
2
22
aa
a= − =
Ta có:
.
1
.
3
S ABCD ABCD
V SO S=
3
2
1 2 2
..
3 2 6
aa
a==
.
Ví dụ 3. Cho khối chóp tứ giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
. Biết
90ASC =
, tính thể tích
V
của
khối chóp đó.
A.
3
3
a
. B.
3
2
3
a
V =
. C.
3
2
6
a
V =
. D.
3
2
12
a
V =
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
; 2.SO ABCD AC a⊥=
Tam giác
ASC
vuông cân tại
S
nên
2
.
22
AC a
SO ==
Vậy
3
2
1 1 2 2
. . . .
3 3 2 6
ABCD
aa
V S SO a= = =
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 13. Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
60
. Thể tích khối chóp
.S ABCD
là
A.
3
6
6
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
6
12
a
. D.
3
6
2
a
.
Câu 14. Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
có diện tích đáy bằng
2
16 cm
và diện tích một mặt bên bằng
2
8 3 cm
. Thể tích của khối chóp là
a
S
O
D
C
B
A
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 45
A.
3
32 11
cm
3
. B.
3
4 cm
. C.
3
32 2
cm
3
. D.
3
32 13
cm
3
.
Câu 15. Cho khối chóp tứ giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, các mặt bên tạo với mặt đáy bằng
60
. Tính thể tích khối chóp đó.
A.
3
3
2
a
. B.
3
3
12
a
. C.
3
3
6
a
. D.
3
3
3
a
.
Câu 16. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
2a
cạnh bên bằng
3a
. Thể tích của khối chóp đã
cho bằng
A.
3
27
3
a
. B.
3
4
3
a
. C.
3
47
3
a
. D.
3
22
3
a
.
Câu 17. Cho hình chóp tứ giác đều
SABCD
có độ dài cạnh đáy bằng
a
. Góc tạo bởi cạnh bên và đáy
bằng
60
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
A.
3
5
6
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
6
6
a
. D.
3
2
6
a
.
Câu 18. Cho khối chóp tứ giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
. Biết
90ASC =
, tính thể tích
V
của
khối chóp đó.
A.
3
3
a
. B.
3
2
3
a
V =
. C.
3
2
6
a
V =
. D.
3
2
12
a
V =
.
Câu 19. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật tâm
, , 3, 3 .O AB a AD a SA a= = =
SO
vuông góc với mặt phẳng đáy
.ABCD
Tính thể tích của khối chóp
..S ABC
A.
3
6
3
a
. B.
3
26
3
a
. C.
3
6a
. D.
3
26a
.
Câu 20. Cho khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng
,a
góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng
45
. Tính thể
tích của khối chóp đó.
A.
3
6
a
. B.
3
3
a
. C.
3
2a
. D.
3
2
2
a
.
Câu 21. Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một
góc
0
60
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
6
2
a
V =
. B.
3
6
3
a
V =
. C.
3
3
2
a
V =
. D.
3
6
6
a
V =
.
Câu 22. Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
2a
, cạnh bên bằng
3a
. Tính thể tích
V
của khối chóp đã cho
A.
3
47Va=
. B.
3
47
9
a
V =
. C.
3
4
3
a
V =
. D.
3
47
3
a
V =
.
Câu 23. Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
2a
, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
60
0
. Tính theo a thể tích khối chóp
.S ABCD
A.
3
23
3
a
. B.
3
26
3
a
. C.
3
43
3
a
. D.
3
3
3
a
.
Câu 24. Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
0
60
.
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 46
A.
3
23a
. B.
3
2a
. C.
3
23
3
a
. D.
3
6a
.
Câu 25. Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy
bằng
0
45
. Thể tích của khối chóp đó là
A.
3
42
3
a
. B.
3
82
3
a
. C.
3
3
3
a
. D.
3
3
6
a
.
Câu 26. Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
. Khi đó thể tích khối chóp
.S ABCD
bằng
A.
3
2
tan
2
a
. B.
3
tan
6
a
. C.
3
2
tan
6
a
. D.
3
2
cot
6
a
.
Câu 27. Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
, đáy
ABCD
có diện tích
2
16cm
, diện tích một mặt bên là
2
8 3cm .
Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
32 2
cm
3
V =
. B.
3
32 13
cm
3
V =
. C.
3
32 11
cm
3
V =
. D.
3
32 15
cm
3
V =
.
Câu 28. Cho một hình chóp tứ giác đều có góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng
0
60
và diện tích xung
quanh bằng
2
8.a
Tính diện tích
S
của mặt đáy hình chóp.
A.
2
43a
. B.
2
4a
. C.
2
2a
. D.
2
23a
.
BẢNG ĐÁP ÁN
1.B
2.B
3.A
4.A
5.C
6.D
7.A
8.B
9.A
10.D
11.A
12.D
13.A
14.A
15.C
16.C
17.C
18.C
19.A
20.A
21.D
22.D
23.C
24.C
25.A
26.C
27.C
28.B
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 47
§6_THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG
DẠNG 1_LĂNG TRỤ ĐỨNG CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC.
PHƯƠNG PHÁP:
.V B h=
Tính diện tích đáy:
B
Tính chiều cao của chóp:
h
A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho khối lăng trụ đứng
.ABC A B C
có
BB a
=
, đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
và
2AC a=
. Tính thể tích
V
của khối lăng trụ đã cho.
A.
3
6
a
V =
. B.
3
2
a
V =
. C.
3
Va=
. D.
3
3
a
V =
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2
22AC BA BC a AB AB a= + = =
.
3
2
.
1
. . .
22
ABC A B C ABC
a
V BB S a a
= = =
.
Ví dụ 2. Cho khối lăng trụ đứng
.ABC A B C
có
BB a
=
, đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
và
2AC a=
. Tính thể tích
V
của khối lăng trụ đã cho.
A.
3
Va=
. B.
3
3
a
V =
. C.
3
6
a
V =
. D.
3
2
a
V =
.
Lời giải
Chọn D
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 48
Do
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
và
2AC a=
AB BC a = =
.
3
.
11
. . . . . . .
2 2 2
ABC A B C ABC
a
V BB S BB BABC a a a

= = = =
.
Ví dụ 3. Cho khối lăng trụ đều
.ABC A B C
có cạnh đáy bằng
a
. Khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
( )
AB C

bằng
23
19
a
. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A.
3
3
4
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
3
2
a
. D.
3
2
a
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
M
là trung điểm của
BC

,
H
là hình chiếu của
A
lên
AM
.
Ta có
( ) ( ) ( )
( )
A M B C
B C AA M AB C AA M
A H AB C
AA B C
A H AM
⊥
⊥ ⊥

⊥
⊥
⊥
Suy ra
( )
( )
23
,
19
a
d A AB C A H
==
.
Khi đó
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
2
4
AA a
A H AA AM AA A H AM a
= + = − = =
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là:
23
33
. .2a
42
ABC
aa
V S AA
= = =
.
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
, biết
AB a=
,
2AC a=
và
3A B a
=
. Tính thể tích của khối lăng trụ
.ABC A B C
.
C'
A
B
C
A'
B'
M
C'
B'
A
C
B
A'
H
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 49
A.
3
22
3
a
. B.
3
5
3
a
. C.
3
5a
. D.
3
22a
.
Câu 2. Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có tam giác
ABC
vuông tại
A
,
AB BB a
==
,
2AC a=
.
Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
A.
3
2
3
a
. B.
3
3
a
. C.
3
2a
. D.
3
a
.
Câu 3. Cho hình lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
, cạnh bên bằng 2
a
và hợp với
mặt đáy một góc 60
o
. Thể tích của khối lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
tính theo
a
bằng:
A.
3
2
3
a
. B.
3
4
3
a
. C.
3
3
4
a
. D.
3
5
3
a
.
Câu 4. Cho hình lăng trụ tam giác đều
. ' ' 'ABC A B C
có
2,AB a=
'3AA a=
. Tính thể tích
V
của khối
lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
theo
.a
A.
3
Va=
. B.
3
3Va=
. C.
3
4
a
V =
. D.
3
3
4
a
V =
.
Câu 5. Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
, biết
AB a=
,
2AC a=
và
3A B a
=
. Tính thể tích của khối lăng trụ
.ABC A B C
.
A.
3
22
3
a
. B.
3
5
3
a
. C.
3
5a
. D.
3
22a
.
Câu 6. Cho lăng trụ đứng
.ABC A B C
có
AB a=
,
2AC a=
,
120BAC =
, biết
CA
hợp với đáy một
góc
45
. Thể tích của khối lăng trụ là
A.
3
23a
. B.
3
23
3
a
V =
. C.
3
3
3
a
. D.
3
3a
.
Câu 7. Cho lăng trụ đứng
.ABC A B C
có
ABC
là tam giác vuông tại
A
,
AC a=
,
30 , ABC BC
=
hợp với mặt bên
( )
ACC A

một góc
30
, thể tích của khối lăng trụ là
V
. Khi đó
3
6
V
a
bằng
A.
1
. B.
3
. C.
3
3
. D.
1
3
.
Câu 8. Cho khối lăng trụ đứng
.ABC A B C
và có
3B C a
=
, đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
và
2AC a=
. Tính thể tích
V
của khối lăng trụ
.ABC A B C
.
A.
3
2Va=
. B.
3
2Va=
. C.
3
2
3
a
V =
. D.
3
62
a
.
Câu 9. Cho lăng trụ đứng
.ABC A B C
có ABC là tam giác vuông tại
B
,
;2AB a BC a==
. Mặt phẳng
( )
A BC
hợp với mặt đáy
( )
ABC
một góc
30
. Tính thể tích khối lăng trụ.
A.
3
6
3
a
. B.
3
6
6
a
. C.
3
3
3
a
. D.
3
3
6
a
.
Câu 10. Tính theo
a
thể tích khối lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
,
mặt bên
BCC B

là hình vuông cạnh
2a
.
A.
3
2a
. B.
3
2
3
a
. C.
3
4a
. D.
3
2a
.
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 50
Câu 11. Cho khối lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy là tam giác cân
ABC
với
AB AC a==
, góc
0
120BAC =
, mặt phẳng
( )
AB C

tạo với đáy một góc
0
30
. Tính thể tích
V
của lăng trụ đã cho.
A.
3
6
a
V =
. B.
3
8
a
V =
. C.
3
3
8
a
V =
. D.
3
4
a
V =
.
Câu 12. Tính theo
a
thể tích khối lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
,
mặt bên
BCC B

là hình vuông cạnh
2a
.
A.
3
2a
. B.
3
2
3
a
. C.
3
a
. D.
3
2a
.
Câu 13. Cho khối lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có
'2BB a=
, đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
và
2AC a=
. Tính thể tích
V
của khối lăng trụ đã cho.
A.
3
2Va=
. B.
3
2
3
a
V =
. C.
3
3
a
V =
. D.
3
Va=
.
Câu 14. Cho lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
;
AB a=
;
2BC a=
;
mặt
phẳng
( )
A BC
hợp với đáy
( )
ABC
góc
30
. Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ đã cho.
A.
3
6
12
a
. B.
3
6
3
a
. C.
3
6
6
a
. D.
3
6a
.
Câu 15. Cho hình lăng trụ tam giác đều
.ABC A B C
có cạnh đáy bằng
2a
và mặt phẳng
( )
A BC
tạo
với mặt phẳng
( )
ABC
một góc
o
60
. Tính thể tích khối lăng trụ
.ABC A B C
.
A.
3
3a
. B.
3
23a
. C.
3
33a
. D.
3
2a
.
Câu 16. Cho khối lăng trụ đứng
.ABC A B C
có
2CC a
=
, đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
và
2AC a=
. Tính thể tích
V
của khối lăng trụ đã cho.
A.
3
Va=
. B.
3
2
a
V =
. C.
3
2Va=
. D.
3
3
a
V =
.
Câu 17. Cho khối lăng trụ đều
.ABC A B C
có cạnh đáy bằng
a
, góc tạo bởi
AB
và đáy bằng
0
60
. Tính
thể tích khối lăng trụ
.ABC A B C
.
A.
3
3
4
a
. B.
3
3
4
a
. C.
3
3a
. D.
3
3a
.
Câu 18. Cho hình lăng trụ đều
. ' ' 'ABC A B C
có cạnh đáy bằng
a
,
'AC
hợp với mặt đáy một góc
60
o
.
Thể tích của khối lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
tính theo
a
bằng:
A.
3
3
4
a
. B.
3
4
a
. C.
3
2
3
a
. D.
3
3
8
a
.
Câu 19. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có cạnh đáy là tam giác vuông cân tại
B
,
AB a=
. Cạnh
SC
hợp với mặt phẳng đáy một góc bằng
30
o
. Thể tích của khối lăng trụ
.ABC A B C
tính theo
a
bằng:
A.
3
3
3
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
6
3
a
. D.
3
23
3
a
.
DẠNG 2_LĂNG TRỤ CÓ ĐÁY LÀ TỨ GIÁC.
PHƯƠNG PHÁP:
.V B h=
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 51
• Tính diện tích đáy:
B
• Tính chiều cao của chóp:
h
A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Tính thể tích khối lập phương
.ABCD A B C D
biết
3.BD a
=
A.
3
27a
. B.
3
a
. C.
3
3 3a
. D.
3
9a
.
Lời giải
Chọn B
Gọi cạnh của khối lập phương là
x
ta có
22
2.x x xBD += =
Tam giác
BDD
vuông tại
D
suy ra
2 2 2 2 2 2 2
3 2 .3BD a x aBD DD xxx= = =
+ =+
Vậy thể tích của khối lập phương
.ABCD A B C D
là
.
3
. . .
ABCD A B C D
V a a a a
==
Ví dụ 2. Cho hình hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
có đáy là hình vuông cạnh
2a
và
3A B a
=
. Tính thể tích
khối hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
theo
a
.
A.
3
45Va=
. B.
3
12Va=
. C.
3
25Va=
. D.
3
45
3
a
V =
.
Lời giải
Chọn A
Xét tam giác vuông
A BB

, ta có:
( ) ( )
22
22
3 2 5BB A B A B a a a
= − = − =
Thể tích khối hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
là:
3
. 2 .2 . 5 4 5
ABCD
V S BB a a a a
= = =
Ví dụ 3. Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
với
O
là tâm hình vuông
A B C D
. Biết rằng tứ diện
.O BCD
có thể tích bằng
3
6a
. Tính thể tích
V
của khối lập phương
.ABCD A B C D
.
A.
3
12Va=
. B.
3
36Va=
. C.
3
54Va=
. D.
3
18Va=
.
3a
2a
D
C
B
A
D
'
C
'
B
'
A
'
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 52
Lời giải
Chọn B
Ta có
3
.
1 1 1 1
. . . 36
3 2 6 6
O BCD ABCD ABCD
V AA S AA S V V a

= = = =
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 20. Thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng
a
bằng
A.
3
3
4
a
. B.
3
3
a
. C.
3
3
6
a
. D.
3
2
3
a
.
Câu 21. Cho hình lăng trụ đứng
.ABCD A B C D
có đáy là hình thoi, biết
4 , 2 ,AA a AC a BD a
= = =
.
Thể tích
V
của khối lăng trụ là
A.
3
8Va=
. B.
3
2Va=
. C.
3
8
3
Va=
. D.
3
4Va=
.
Câu 22. Cho hình lăng trụ đứng
.ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
AB a=
,
2AD a=
,
5AB a
=
(tham khảo hình vẽ). Tính theo
a
thể tích
V
của khối lăng trụ đã cho.
A.
3
2Va=
. B.
3
22Va=
. C.
3
10Va=
. D.
3
22
3
a
V =
.
Câu 23. Cho hình hộp đứng có cạnh bên độ dài
3a
, đáy là hình thoi cạnh
a
và có một góc
60
. Khi đó
thể tích khối hộp là
A.
3
33
4
a
. B.
3
3
3
a
. C.
3
3
2
a
. D.
3
33
2
a
.
Câu 24. Thể tích khối lăng trụ đứng tam giác
.ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng
a
là
A.
3
3
4
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
3
3
a
. D.
3
4
a
.
Câu 25. Cho hình lăng trụ đứng
.ABCD A B C D
, có
ABCD
là hình vuông cạnh
2a
, cạnh
23AC a
=
.Thể tích khối lăng trụ
.ABC A B C
bằng
A.
3
8a
. B.
3
3a
. C.
3
2a
. D.
3
a
.
Câu 26. Khối lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có độ dài đoạn
' 2aAB =
. Thế tích của khối đó là:
A.
3
22a
. B.
3
8a
. C.
3
33a
. D.
3
32a
.
Câu 27. Cho lăng trụ đứng tam giác
.ABC A B C
, đáy là tam giác vuông tại
0
, , 60A AC a ACB==
,
3AC a
=
. Thể tích khối lăng trụ đó là:
O'
D
C
B
A
D'
C'
B'
A'
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 53
A.
3
46
3
a
. B.
3
6a
. C.
3
26
3
a
. D.
3
6
3
a
.
Câu 28. Cho khối hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
có
AB a=
,
2AD a=
,
3AA a
=
. Tính thể tích
V
của
khối tứ diện
.B A C D
.
A.
3
6Va=
. B.
3
2Va=
. C.
3
Va=
. D.
3
3Va=
.
BẢNG ĐÁP ÁN
1.D
2.D
3.C
4.B
5.D
6.D
7.A
8.B
9.B
10.A
11.B
12.A
13.D
14.C
15.C
16.A
17.A
18.A
19.C
20.A
21.D
22.B
23.D
24.A
25.A
26.A
27.B
28.C
B'
C'
A'
B
A
D
C
D'
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 54
§7_TỶ SỐ THỂ TÍCH
LÝ THUYẾT CẦN NẮM.
①. M, N bất
kỳ trên AB,
AC
.
AMN
ABC
S
AN AM
S AC AB
=
②. Đường
trung bình
MN
1
4
AMN
ABC
S
S
=
③. M, N, P là
trung điểm
của AB, AC,
BC
1
.
4
AMN CPN PMN
BPM
ABC ABC ABC ABC
S S S
S
S S S S
= = = =
④. Trọng
tâm G
1
3
GBC GAC GAB
ABC ABC ABC
SSS
S S S

= = =
DẠNG 1_TỶ SỐ CƠ BẢN CỦA KHỐI CHÓP TAM GIÁC.
①. M, N, P lần lượt
thuộc SA, SC, SB
.
.
..
S PMN
S ABC
V
SP SM SN
V SB SA SC
=
②. N thuộc SC
.
.
S ABN
S ABC
V
SN
V SC
=
A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hình chóp
.S ABC
. Gọi
,,M N P
lần lượt là trung điểm
,SA SB
và
SC
. Khi đó tỉ số thể tích
giữa khối chóp
.S MNP
và khối chóp
.S ABC
bằng
A.
1
4
. B.
1
8
. C.
1
6
. D.
1
2
.
B
C
A
M
N
A
C
B
M
N
A
C
B
M
N
P
B
C
A
G
j
B
C
A
S
P
M
N
B
C
A
S
N
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 55
Lời giải
Chọn B
Hai khối tứ diện cần tính tỉ số là
.S MNP
và
.S ABC
M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC nên
1 1 1
;;
2 2 2
SM SN SP
SA SB SC
= = =
.
.
1 1 1 1
. . . .
2 2 2 8
S MNP
S ABC
V
SM SN SP
V SA SB SC
= = =
.
Ví dụ 2. Cho khối tứ diện
ABCD
có thể tích
V
và điểm
E
trên cạnh
AB
sao cho
3AE EB=
. Tính thể
tích khối tứ diện
.E BCD
theo
V
.
A.
3
4
V
. B.
3
2
V
. C.
3
V
. D.
4
V
.
Lời giải
Chọn D
Hai khối tứ diện cần tính tỉ số là
A.ECD
và
.A BCD
3AE EB=
nên AB chia làm 4 phần AE 3 phần EB 1 phần
3
4
AE
AB
=
3
4
AECD
ABCD
V
AE AC AD
V AB AC AD
= =
3
4
AECD ABCD
VV=
. Do đó
. . . .
31
44
E BCD A BCD A ECD A BCD ABCD ABCD
V V V V V V= − = − =
.
Ví dụ 3. Cho hình chóp
.S ABC
. Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm của
SA
,
SB
. Tính tỉ số
.
.
S ABC
S MNC
V
V
.
A.
1
2
. B.
1
4
. C.
2
. D.
4
.
Lời giải
Chọn D
Hai khối tứ diện cần tính tỉ số là
.S ABC
và
.S MNP
M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SBnên
2; 2
SA SB
SM SN
==
.
.
. . 2.2 4
S ABC
S MNC
V
SA SB SC
V SM SN SC
= = =
.
Ví dụ 4. Cho hình chóp
.S ABC
có
A
và
B
lần lượt là trung điểm của
SA
và
SB
. Biết thể tích khối
chóp
.S ABC
bằng
24
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S A B C

.
A.
12V =
. B.
8V =
. C.
6V =
. D.
3V =
.
Lời giải
E
B
D
C
A
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 56
Chọn C
Ta có
.
.
..
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC


=
11
.
22
=
1
4
=
Vậy
..
1
.
4
S A B C S ABC
VV

=
1
.24
4
=
6=
.
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 1. Cho hình chóp
.S ABC
có
ASB ASC=
60BSC= =
và
2SA =
;
3SB =
;
7SC =
. Tính thể tích
V
của khối chóp.
A.
42V =
. B.
72
2
V =
. C.
72
3
V =
. D.
72V =
.
Câu 2. Cho hình chóp
.S ABC
có
A
và
B
lần lượt là trung điểm của
SA
và
SB
. Biết thể tích khối
chóp
.S ABC
bằng
24
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S A B C

.
A.
3V =
. B.
12V =
. C.
8V =
. D.
6V =
.
Câu 3. Cho khối chóp
.S ABC
,
M
là trung điểm của cạnh
.BC
Thể tích của khối chóp
.S MAB
là
3
2.a
Thể tích khối chóp
.S ABC
bằng.
A.
3
2a
. B.
3
4a
.
C.
3
4
a
.
D.
3
1
2
a
.
Câu 4. Cho tứ diện
ABCD
có thể tích bằng
12
và
I
là trung điểm
CD
,
M
là trung điểm
BI
. Tính thể
tích
V
của khối chóp
.AMCD
.
A.
4V =
. B.
6V =
. C.
3V =
. D.
5V =
.
Câu 5. Cho tứ diện
ABCD
có
( )
1; .DA DA ABC ABC= ⊥
là tam giác đều, có cạnh bằng
1
. Trên cạnh
,,DA DB DC
lấy 3 điểm
,,M N P
sao cho
1 1 3
;;.
2 3 4
DM DN DP
DA DB DC
= = =
Thể tích của tứ diện
MNPD
bằng
A.
2
96
V =
. B.
3
12
V =
. C.
3
96
V =
. D.
2
12
V =
.
Câu 6. Cho khối chóp
.S ABCD
có thể tích là
3
a
. Gọi
, , ,M N P Q
theo thứ tự là trung điểm của
, , , .SA SB SC SD
Thể tích khối chóp
.S MNPQ
là:
A.
3
16
a
. B.
3
8
a
. C.
2
4
a
. D.
3
6
a
.
Câu 7. Cho khối chóp
.S ABC
. Gọi
A
,
B
lần lượt là trung điểm của
SA
và
SB
. Khi đó tỉ số thể tích
của hai khối chóp
.S A B C

và
.S ABC
bằng:
A.
1
4
. B.
1
6
. C.
1
2
. D.
1
3
.
A'
B'
A
B
C
S
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 57
Câu 8. Cho tứ điện
MNPQ
. Gọi
,,I J K
lần lượt là trung điểm các cạnh
,,MN MP MQ
. Tính tỉ số thể
tích
MIJK
MNPQ
V
V
.
A.
1
6
. B.
1
3
. C.
1
4
. D.
1
8
.
Câu 9. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
B
và
C
lần lượt là trung điểm của
,AB AC
. Khi đó tỉ số thể tích của
khối tứ diện
AB C D

và khối
ABCD
bằng:
A.
1
2
. B.
1
4
. C.
1
6
. D.
1
8
.
Câu 10. Cho khối tứ diện
OABC
với
,,OA OB OC
vuông góc từng đôi một và
,OA a=
2,OB a=
3OC a=
. Gọi
,MN
lần lượt là trung điểm của hai cạnh
,AC BC
. Thể tích của khối tứ diện
OCMN
tính
theo
a
bằng:
A.
3
3
4
a
. B.
3
a
. C.
3
2
3
a
. D.
3
4
a
.
Câu 11. Cho khối chóp
.S ABC
. Trên ba cạnh
SA
,
SB
,
SC
lần lượt lấy ba điểm
A
,
B
,
C
sao cho
1
3
SA SA
=
;
1
4
SB SB
=
;
1
2
SC SC
=
. Gọi
V
và
'V
lần lượt là thể tích của các khối chóp
.S ABC
và
.S A B C
. Khi đó tỉ số
'
V
V
là
A.
1
12
. B.
24
. C.
1
24
. D.
12
.
Câu 12. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành.
M
là trung điểm
SC
, mặt phẳng
( )
P
chứa
AM
và song song với
BD
, cắt
SB
và
SD
lần lượt tại
B
và
D
. Tỷ số
. ' '
.
S AB MD
S ABCD
V
V
là
A.
3
4
. B.
2
3
. C.
1
6
. D.
1
3
.
BẢNG ĐÁP ÁN
1.B
2.D
3.B
4.B
5.C
6.B
7.A
8.D
9.B
10.D
11.B
12.D
Hướng dẫn giải.
Câu 1. Cho hình chóp
.S ABC
có
ASB ASC=
60BSC= =
và
2SA =
;
3SB =
;
7SC =
. Tính thể tích
V
của khối chóp.
A.
42V =
. B.
72
2
V =
. C.
72
3
V =
. D.
72V =
.
Lời giải
Chọn B
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 58
Lấy hai điểm
B
,
A
lần lượt trên hai cạnh
SB
và
SC
sao cho
2SB
=
,
2SC
=
.
Ta có hình chóp
.S AB C

là hình tứ diện đều có cạnh bằng
2
.
3
.
22
12
S AB C
V

=
22
3
=
.
Ta lại có:
.
.
..
S AB C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC


=
22
.
37
=
4
21
=
.
.
.
21
4
S AB C
S ABC
V
V

=
21.2 2
3.4
=
72
2
=
.
Câu 2. Cho hình chóp
.S ABC
có
A
và
B
lần lượt là trung điểm của
SA
và
SB
. Biết thể tích khối
chóp
.S ABC
bằng
24
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S A B C

.
A.
3V =
. B.
12V =
. C.
8V =
. D.
6V =
Lời giải
Chọn D
Ta có
.
.
..
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC


=
11
.
22
=
1
4
=
Vậy
..
1
.
4
S A B C S ABC
VV

=
1
.24
4
=
6=
.
Câu 3. Cho khối chóp
.S ABC
,
M
là trung điểm của cạnh
.BC
Thể tích của khối chóp
.S MAB
là
3
2.a
Thể tích khối chóp
.S ABC
bằng.
A.
3
2a
. B.
3
4a
.
C.
3
4
a
.
D.
3
1
2
a
.
Lời giải
Chọn B
3
.
24
S ABC SMAB
V V a==
.
2
3
7
A
B
C
S
B'
C'
A'
B'
A
B
C
S
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 59
Câu 4. Cho tứ diện
ABCD
có thể tích bằng
12
và
I
là trung điểm
CD
,
M
là trung điểm
BI
. Tính thể
tích
V
của khối chóp
.AMCD
.
A.
4V =
. B.
6V =
. C.
3V =
. D.
5V =
.
Lời giải
Chọn B.
Câu 5. Cho tứ diện
ABCD
có
( )
1; .DA DA ABC ABC= ⊥
là tam giác đều, có cạnh bằng
1
. Trên cạnh
,,DA DB DC
lấy 3 điểm
,,M N P
sao cho
1 1 3
;;.
2 3 4
DM DN DP
DA DB DC
= = =
Thể tích của tứ diện
MNPD
bằng
A.
2
96
V =
. B.
3
12
V =
. C.
3
96
V =
. D.
2
12
V =
.
Lời giải
Chọn C
1 3 3
. .1 .
3 4 12
ABCD
V ==
1 1 3 1
. . . . .
2 3 4 8
DMNP
DABC
V
DM DN DP
V DA DB DC
= = =
Suy ra
1 3 3
..
8 12 96
DMNP
V ==
.
Câu 6. Cho khối chóp
.S ABCD
có thể tích là
3
a
. Gọi
, , ,M N P Q
theo thứ tự là trung điểm của
, , , .SA SB SC SD
Thể tích khối chóp
.S MNPQ
là:
A.
3
16
a
. B.
3
.
8
a
. C.
2
.
4
a
. D.
3
6
a
Chọn B
Ta có: Tứ giác
MNPQ
đồng dạng với tứ giác
ABCD
với tỉ số
1
2
k =
.
Đường cao
h
của hình chóp
.S MNPQ
bằng
1
2
đường cao
h
hình chóp
.S ABCD
Từ đó:
2
.
1 1 1
. . . . .
3 3 2 2
S MNPQ MNPQ ABCD
h
V S h S

==


3
.
1
88
S ABCD
a
V==
.
Câu 7. Cho khối chóp
.S ABC
. Gọi
A
,
B
lần lượt là trung điểm của
SA
và
SB
. Khi đó tỉ số thể tích
của hai khối chóp
.S A B C

và
.S ABC
bằng:
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 60
A.
1
4
. B.
1
6
. C.
1
2
. D.
1
3
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
.
.
1 1 1
..
2 2 4
S A B C
S ABC
V
SA SB
V SA SB


= = =
.
Câu 8. Cho tứ điện
MNPQ
. Gọi
,,I J K
lần lượt là trung điểm các cạnh
,,MN MP MQ
. Tính tỉ số thể
tích
MIJK
MNPQ
V
V
.
A.
1
6
. B.
1
3
. C.
1
4
. D.
1
8
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
1
..
8
MIJK
MNPQ
V
MI MJ MK
V MN MP MQ
==
.
Câu 9. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
B
và
C
lần lượt là trung điểm của
,AB AC
. Khi đó tỉ số thể tích của
khối tứ diện
AB C D

và khối
ABCD
bằng:
A.
1
2
. B.
1
4
. C.
1
6
. D.
1
8
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
''
1 1 1
..
2 2 4
AB C D
ABCD
V
AB AC
V AB AC

= = =
.
.
Câu 10. Cho khối tứ diện
OABC
với
,,OA OB OC
vuông góc từng đôi một và
,OA a=
2,OB a=
3OC a=
. Gọi
,MN
lần lượt là trung điểm của hai cạnh
,AC BC
. Thể tích của khối tứ diện
OCMN
tính
theo
a
bằng:
A.
3
3
4
a
. B.
3
a
. C.
3
2
3
a
. D.
3
4
a
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
3
11
. . .
32
OABC
V OAOB OC a

==


(đvtt)
.
K
J
I
M
P
Q
N
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 61
Ta có
.1
.4
OCMN
OCAB
V
CM CN
V CACB
==
.Vậy
3
1
44
OCMN OABC
a
VV==
.
Câu 11. Cho khối chóp
.S ABC
. Trên ba cạnh
SA
,
SB
,
SC
lần lượt lấy ba điểm
A
,
B
,
C
sao cho
1
3
SA SA
=
;
1
4
SB SB
=
;
1
2
SC SC
=
. Gọi
V
và
'V
lần lượt là thể tích của các khối chóp
.S ABC
và
.S A B C
. Khi đó tỉ số
'
V
V
là
A.
1
12
. B.
24
. C.
1
24
. D.
12
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
. . 3.4.2 24
' ' ' '
V SA SB SC
V SA SB SC
= = =
.
Câu 12. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành.
M
là trung điểm
SC
, mặt phẳng
( )
P
chứa
AM
và song song với
BD
, cắt
SB
và
SD
lần lượt tại
B
và
D
. Tỷ số
. ' '
.
S AB MD
S ABCD
V
V
là
A.
3
4
. B.
2
3
. C.
1
6
. D.
1
3
.
Lời giải
Chọn D
Gọi
O
là tâm hình bình hành đáy.
I AO SO=
Đường thẳng qua I và song song
BD
cắt
,SB SD
tại
,BD

.
Ta có
SAB MD SAB M SAMD
V V V
=+
2 1 1
3 2 3
SAB M
SABC
V
SB SM
V SB SC
= = =
nên
1
6
SABCD
SAB M
VV
=
Tương tự
4
1
3
SAMD
S CD
V
V
=
nên
1
6
SABCD
SAMD
VV
=
do dó
1
3
SABCD
SAB MD
VV

=
.
.
D'
B'
I
M
D
O
A
C
B
S
| 1/61

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 MỤC LỤC
§1_KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN ................................................................................................................ 1
A- LÝ THUYẾT CẦN NẮM: ................................................................................................................... 2
 DẠNG 1_NHẬN DIỆN ĐA DIỆN. ...................................................................................................... 2
 DẠNG 2_XÁC ĐỊNH SỐ ĐỈNH, CẠNH, MẶT BÊN CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN. ........................ 5
 DẠNG 3_ MẶT PHẲNG ĐỐI XỨNG. ................................................................................................ 8
 DẠNG 4_PHÂN CHIA LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN. ....................................................................... 9
§2_KHỐI ĐA DIỆN LỒI - KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU .................................................................................... 12
 DẠNG 1_NHẬN DẠNG KHỐI ĐA DIỆN LỒI. ............................................................................... 12
 DẠNG 2_NHẬN DẠNG KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU. .............................................................................. 14
 DẠNG 3_MỐI LIÊN HỆ GIỮA SỐ CẠNH, SỐ MẶT VÀ SỐ ĐỈNH CỦA ĐA DIỆN ĐỀU.......... 16
BẢNG ĐÁP ÁN ...................................................................................................................................... 19
§3_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY ........................................................ 20
 DẠNG 1_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC. ..................................................................................... 20
 DẠNG 2_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ HÌNH VUÔNG, CHỮ NHẬT, THOI, THANG. ............................. 24
§4_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY ........................................................... 33
 DẠNG 1_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC. ..................................................................................... 33
 DẠNG 2_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TỨ GIÁC. ......................................................................................... 36
BẢNG ĐÁP ÁN ...................................................................................................................................... 39
§5_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ĐỀU ............................................................................................................. 40
 DẠNG 1_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC ĐỀU. ............................................................................ 40
 DẠNG 2_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ HÌNH VUÔNG. ................................................................................ 43
§6_THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG ................................................................................................ 47
 DẠNG 1_LĂNG TRỤ ĐỨNG CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC. ............................................................... 47
 DẠNG 2_LĂNG TRỤ CÓ ĐÁY LÀ TỨ GIÁC. ............................................................................... 50
§7_TỶ SỐ THỂ TÍCH ................................................................................................................................. 54
 LÝ THUYẾT CẦN NẮM. .................................................................................................................. 54
 DẠNG 1_TỶ SỐ CƠ BẢN CỦA KHỐI CHÓP TAM GIÁC. ........................................................... 54
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 1
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
§1_KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN
A- LÝ THUYẾT CẦN NẮM:
Định nghĩa. (Hình đa diện là hình gồm hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai tính chất:
- Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh
chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
- Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác).
Các kết quả thu được.
⬧Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt.
⬧Kết quả 2:Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh.
⬧Kết quả 3: Cho (H ) là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Nếu số
mặt của ( H ) là lẻ thì p phải là số chẵn.
⬧Kết quả 4: Cho (H ) là đa diện có m mặt, mà các mặt của nó là những đa giác có p pm
cạnh. Khi đó số cạnh của ( H ) là c = . 2
⬧Kết quả 5: Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn.
⬧Kết quả 6: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ diện.
⬧Kết quả 7: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh.
⬧Kết quả 8: Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn.
⬧Kết quả 9: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.
⬧Kết quả 10: Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh.
⬧Kết quả 11: Với mỗi số nguyên k  3 luôn tồn tại hình đa diện có 2k cạnh.
⬧Kết quả 12: Với mỗi số nguyên k  4 luôn tồn tại hình đa diện có 2k +1cạnh.
⬧Kết quả 13: Không tồn tại một hình đa diện có
+ Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh.
+ Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh.
⬧Kết quả 14: Tồn tại khối đa diện có 2n mặt là những tam giác đều.
DẠNG 1_NHẬN DIỆN ĐA DIỆN. PHƯƠNG PHÁP
Dựa và định nghĩa và các kết quả A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong các hình dưới đây, hình nào là hình đa diện? A. Hình 4. B. Hình 2. C. Hình 1. D. Hình 3. Lời giải
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 2
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 Chọn D
Hình 4 không phải là hình đa diện vì có một cạnh là cạnh chung của 4 đa giác, loại A
Hình 2 không phải là hình đa diện vì có một cạnh là cạnh chung của 3 đa giác, loại B
Hình 1 không phải là hình đa diện vì có một cạnh là cạnh chung của 4 đa giác, loại C
Hình 3 là hình đa diện vì nó thỏa mãn khái niệm hình đa diện.
Ví dụ 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Tồn tại một hình đa diện có số đỉnh bằng số mặt.
B. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh gấp đôi số mặt.
C. Số đỉnh của một hình đa diện bất kì luôn lớn hơn hoặc bằng 4.
D. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số mặt. Lời giải Chọn D
A. Đúng vì tồn tại hình tứ diện.
B. Đúng vì tồn tại hình lập phương. C. Đúng. D. Sai.
Ví dụ 3. Mỗi cạnh của hình đa diện là cạnh chung của đúng A. Năm mặt. B. Ba mặt. C. Bốn mặt. D. Hai mặt. Lời giải Chọn D
Trong một đa diện, mỗi cạnh nào cũng là cạnh chung của đúng hai mặt.
Ví dụ 4. Hình nào dưới đây là hình đa diện? A. Hình 3. B. Hình 1. C. Hình 2. D. Hình 4. Lời giải Chọn D Hình 4 thỏa mãn.
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Câu 1.
Hình nào trong các hình sau không phải là hình đa diện? A. Hình chóp. B. Hình vuông.
C. Hình lập phương. D. Hình lăng trụ. Câu 2. Cho các hình sau:
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 3
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4. Câu 3. Cho các hình khối sau: (a) (b) (c) (d)
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 4. Cho các hình sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 5.
Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện? A. B. C. D. Câu 6.
Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt? A. 11 . B. 12 . C. 13 . D. 14 . Câu 7.
Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 4
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
A. Khối tứ diện đều.
B. Khối chóp tứ giác.
C. Khối lập phương.
D. Khối 12 mặt đều. Câu 8.
Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu cạnh? A. 8 . B. 9 . C. 12 . D. 16 . Câu 9.
Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt? A. 6 . B. 10 . C. 12 . D. 11 .
Câu 10. Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ
Khối tứ diện đều, Khối lập phương, Bát diện đều mặt đều mặt đều
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4.
B. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh.
C. Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng.
D. Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh.
DẠNG 2_XÁC ĐỊNH SỐ ĐỈNH, CẠNH, MẶT BÊN CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN.
PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng các kết quả thừa nhận
A_BÀI TẬP MINH HỌA:
Ví dụ 1. Hình đa diện trong hình vẽ có bao nhiêu mặt? A. 12 . B. 10 . C. 6 . D. 11. Lời giải Chọn D
Dựa vào hình ta đếm được 11 mặt.
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 5
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
Ví dụ 2. Tìm số mặt của hình đa diện ở hình vẽ bên? A. 11. B. 10. C. 12. D. 9. Lời giải Chọn D
Hình đa diện trên có 9 mặt gồm các mặt là
(ABD);(BDC);(ADC);(ABFE);(BFGC); ( .
ACGE );(HFE);(HFG);(EHG).
Ví dụ 3. Hình chóp có 50 cạnh thì có bao nhiêu mặt? A. 26 . B. 21 . C. 25 . D. 49 . Lời giải Chọn A
Gọi n là số cạnh của đa giác đáy hình chóp đã cho. Ta có
Số cạnh đáy bằng số cạnh bên nên tổng số cạnh của hình chóp bằng 2n .
Từ giả thiết, suy ra 2n = 50  n = 25 .
Vậy số tổng số mặt của hình chóp là: 26 .
Ví dụ 4. Hình bát diện đều có bao nhiêu cạnh? A. 16 . B. 12 . C. 10 . D. 14 . Lời giải Chọn B
Hình bát diện đều có 6 đỉnh, 8 mặt, 12 cạnh
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 11. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiều mặt? A. 12 . B. 8 . C. 11. D. 10 .
Câu 12. Hỏi hình đa diện ở hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?
A. m = 10 . B. m = 12 . C. m = 11. D. m = 20 .
Câu 13. Khối lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu mặt? A. 9 mặt. B. 7 mặt. C. 5 mặt. D. 6 mặt.
Câu 14. Số mặt phẳng cách đều tất cả các đỉnh của một hình lăng trụ tam giác là A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1.
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 6
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
Câu 15. Khối tám mặt đều có tất cả bao nhiêu đỉnh? A. 6 . B. 8 . C. 12 . D. 16 .
Câu 16. Hình lăng trụ lục giác có bao nhiêu mặt? A. 8 . B. 7 . C. 9 . D. 6 .
Câu 17. Mỗi cạnh của một hình đa diện là cạnh chung của đúng n mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào
dưới đây đúng? A. n = 2 . B. n = 5 . C. n = 3 . D. n = 4 .
Câu 18. Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất cả bao nhiêu cạnh? A. 33 . B. 31. C. 30 . D. 22 .
Câu 19. Mỗi đỉnh của hình đa diện thuộc ít nhất bao nhiêu mặt? A. 4. B. 5. C. 2. D. 3.
Câu 20. Hình lăng trụ lục giác có bao nhiêu mặt? A. 8 . B. 7 . C. 9 . D. 6 .
Câu 21. Khối chóp ngũ giác có số cạnh là A. 20 . B. 15 . C. 5 . D. 10 .
Câu 22. Cho một hình đa diện. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt.
B. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh.
C. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.
D. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh.
Câu 23. Mỗi hình đa diện có ít nhất A. 3 cạnh. B. 6 cạnh. C. 5 cạnh. D. 4 cạnh.
Câu 24. Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu mặt? A. 3 . B. 1. C. 4 . D. 2
Câu 25. Hình bát diện đều có bao nhiêu cạnh? A. 8 . B. 24 . C. 16 . D. 12 .
Số đỉnh của hình đa diện dưới đây là A. 8. B. 9. C. 10. D. 11.
Câu 27. Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có
tất cả bao nhiêu cạnh? A. 31. B. 30 . C. 22 . D. 33 .
Câu 28. Một hình đa diện có ít nhất bao nhiêu đỉnh? A. 6 . B. 3 . C. 5 . D. 4 .
Câu 29. Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt? A. 4. B. 10. C. 8. D. 9.
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 7
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
Câu 30. Cho hình chóp có 20 cạnh. Số mặt của hình chóp đó là A. 12 . B. 10 . C. 11. D. 20 .
DẠNG 3_ MẶT PHẲNG ĐỐI XỨNG. PHƯƠNG PHÁP:
Do tính chất đối xứng nhau, nên cứ đi từ trung điểm các cạnh ra mà tìm. Đảm bảo rằng nếu
chọn 1 mặt phẳng đối xứng nào thì các điểm còn dư phải chia đều về 2 phía.
A_BÀI TẬP MINH HỌA:
Ví dụ 1. Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là A. 4 mặt phẳng. B. 6 mặt phẳng. C. 8 mặt phẳng. D. 10 mặt phẳng. Lời giải Chọn B
Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện.
Vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.
Ví dụ 2. Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng.
B. 1 mặt phẳng. C. 2 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng. Lời giải Chọn A
Hình lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng (hình vẽ bên dưới).
Ví dụ 3. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 6 mặt phẳng. C. 9 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng. Lời giải Chọn D
Hình hộp chữ nhật (không là hình lập phương) có các mặt phẳng đối xứng là các mặt các mặt
phẳng trung trực của các cặp cạnh đối.
Ví dụ 4. Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 1 mặt phẳng. C. 2 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng. Lời giải Chọn D
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 8
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình chữ nhật) có 3 mặt phẳng đối xứng bao gồm:
2 mặt phẳng chứa đường chéo của đáy và vuông góc với đáy.
Một mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên.
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 31. Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là A. 4 . B. 6 . C. 12 . D. 9 .
Câu 32. Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng? A. Tứ diện đều. B. Bát diện đều.
C. Hình lập phương.
D. Lăng trụ lục giác đều.
Câu 33. Gọi n , n , n 1 2
3 lần lượt là số trục đối xứng của khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác đều và khối lập
phương. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. n 0, n 0, n 6 n 0, n 1, n 9 1 2 3 . B. 1 2 3 . C. n 3, n 1, n 9 n 0, n 1, n 3 1 2 3 . D. 1 2 3 .
Câu 34. Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 1 mặt phẳng. C. 2 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng.
Câu 35. Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là A. 4 mặt phẳng. B. 6 mặt phẳng. C. 8 mặt phẳng. D. 10 mặt phẳng.
Câu 36. Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 1 mặt phẳng. C. 2 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng.
Câu 37. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 6 mặt phẳng. C. 9 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng.
Câu 38. Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 1 mặt phẳng. C. 2 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng.
Câu 39. Hình lập phương có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 8 mặt phẳng. B. 9 mặt phẳng. C. 10 mặt phẳng. D. 12 mặt phẳng.
Câu 40. Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là: A. 4 mặt phẳng. B. 9 mặt phẳng. C. 6 mặt phẳng. D. 12 mặt phẳng.
DẠNG 4_PHÂN CHIA LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN. PHƯƠNG PHÁP:
Sử dụng các kết quả thừa nhận và các tính chất của hình học.
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 9
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho khối lập phương ABC . D A BCD
  . Mặt phẳng ( ACC) chia khối lập phương trên thành
những khối đa diện nào?
A. Hai khối lăng trụ tam giác AB . C A BC   và BC . D B CD   .
B. Hai khối lăng trụ tam giác AB . C A BC   và AC . D A CD  .
C. Hai khối chóp tam giác C .ABC và C .ACD .
D. Hai khối chóp tứ giác C .ABCD và C .ABB A   . Lời giải Chọn B
Ta có mặt phẳng ( ACC)  ( ACC A  ) .
Cho nên mặt phẳng ( ACC A
 ) phân chia khối lập phương ABC . D A BCD
  thành hai khối lăng trụ tam giác AB . C A BC   và AC . D A CD  .
Ví dụ 2. Mặt phẳng ( A B
C) chia khối lăng trụ AB . C A BC
  thành hai khối chóp. A. A .  ABC và . A BCC B   . B. . A A BC   và . A BCC B   . C. . A A B
C và A.BCC B  . D. . A A BC
  và A .BCC B  . Lời giải Chọn C Mặt phẳng ( A B
C) chia khối lăng trụ AB . C A BC
  thành hai khối chóp . A A B
C và A .BCC B  .
Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ AB .
C A' B 'C ' . Mặt phẳng ( A' BC ) chia khối lăng trụ đã cho thành các khối đa diện nào?
A. Hai khối chóp tam giác.
B. Một khối chóp tam giác, một khối chóp tứ giác.
C. Một khối chóp tam giác, một khối chóp ngũ giác.
D. Hai khối chóp tứ giác. Lời giải Chọn B
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 10
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
Mặt phẳng ( A' BC ) chia khối lăng trụ đã cho thành một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.
Ví dụ 4. Mặt phẳng nào sau đây chia khối hộp AB .
CD A B C D thành hai khối lăng trụ
A. ( ABC) . B. ( ABC) . C. ( AB C  ) . D. ( A BD) . Lời giải Chọn B
Mặt phẳng ( ABC) là mặt phẳng ( ABC D
 ) chia khối hộp thành hai khối lăng trụ là
(BCC .ADD) và (BB C  .AA D  ) .
Ví dụ 5. Cho khối lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' . Mặt phẳng (BDD ' B ') chia khối lập phương thành
A. Hai khối lăng trụ tam giác.
B. Hai khối tứ diện.
C. Hai khối lăng trụ tứ giác.
D. Hai khối chóp tứ giác. Lời giải Chọn A . BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.A 3.B 4.C 5.C 6.B 7.A 8.D 9.D 10.B 11.D 12.C 13.B 14.C 15.A 16.A 17.A 18.A 19.D 20.A 21.D 22.A 23.B 24.A 25.D 26.C 27.D 28.D 29.C 30.C 31.D 32.A 33.C 34.A 35.B 36.A 37.D 38.D 39.B 40.B
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 11
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
§2_KHỐI ĐA DIỆN LỒI - KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
DẠNG 1_NHẬN DẠNG KHỐI ĐA DIỆN LỒI. PHƯƠNG PHÁP:
Cách 1: Chọn 2 điểm trên hình sao cho đoạn thẳng nối hai điểm đó không chứa trong khối đa diện.
Cách 2: Sử dụng tính chất “Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong
của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó”. A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong các hình dưới đây hình nào không phải đa diện lồi? A. Hình (II). B. Hình (I). C. Hình (IV). D. Hình (III). Lời giải Chọn D Xét hình IV
Cách 1: Đoạn thẳng BD nằm ngoài khối đa diện nên hình IV không phải là khối đa diện lồi.
Cách 2: Hình IV tồn tại mặt phẳng ( ABC ) chia khối đa diện thành 2 phần nên hình IV không phải đa diện lồi.
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 12
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
B_BÀI TẬP ÁP DỤNG: Câu 1.
Cho một hình đa diện lồi. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh.
B. Mỗi đỉnh của đa diện là đỉnh của ít nhất 3 cạnh.
C. Mỗi đỉnh của đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt.
D. Mỗi cạnh của đa diện là cạnh chung của ít nhất 3 mặt. Câu 2.
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. Trong một đa diện lồi, mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt.
B. Trong một đa diện lồi, mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất hai mặt.
C. Trong một đa diện lồi, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng ba mặt.
D. Trong một đa diện lồi, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt. Câu 3. Cho các hình khối sau: (a) (b) (c) (d)
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện lồi là A. hình (a). B. hình (b). C. hình (c). D. hình (d). Câu 4. Cho các hình khối sau: (a) (b) (c) (d)
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 5.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Chỉ có năm loại khối đa diện đều.
B. Mỗi khối đa diện đều là một khối đa diện lồi.
C. Mỗi cạnh của hình đa diện là cạnh chung của đúng hai mặt.
D. Hình chóp tam giác đều là hình chóp có bốn mặt là các tam giác đều. Câu 6.
Số hình đa diện lồi trong các hình dưới đây là
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 13
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 .
DẠNG 2_NHẬN DẠNG KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU. PHƯƠNG PHÁP:
 Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
- Các mặt là những đa giác đều n cạnh.
- Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p mặt.
Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại n,  p .
 Chỉ có đúng 5 loại đa diện đều sau:
Khối đa diện đều Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại Tứ diện đều 4 6 4 3;  3 Khối lập phương 8 12 6 4;  3 Bát diện đều 6 12 8 3;  4 Mười hai mặt đều 20 30 12 5;  3 Hai mươi mặt đều 12 30 20 3;  5 A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Khối mười hai mặt đều (hình vẽ dưới đây) là khối đa diện đều loại.
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 14
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 A. 3;  4 . B. 3;  5 . C. 5;  3 . D. 4;  3 . Lời giải Chọn C
Theo hình vẽ, mỗi mặt là một ngũ giác có 5 cạnh và mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 mặt. Vậy đây
là khối đa diện đều loại 5;  3 .
Ví dụ 2. Khối đa diện đều loại 3; 
3 có tên gọi nào dưới đây?
A. Khối mười hai mặt đều.
B. Khối lập phương.
C. Khối hai mươi mặt đều.
D. Khối tứ diện đều. Lời giải Chọn D
Khối đa diện đều loại 3; 
3 có mỗi mặt là đa giác đều có 3 cạnh, mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3
mặt. Vậy đây là khối tứ diện đều.
Ví dụ 3. Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Mệnh
đề nào dưới đây đúng? A. 2 S = 4 3 a . B. 2 S = 3 a . C. 2 S = 2 3 a . D. 2 S = 8a . Lời giải Chọn C
Hình bát diện đều là hình có tám mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều. 2 a 3
Gọi S là diện tích tam giác đều cạnh a ⎯⎯ → S = . 0 0 4 2 a 3
Vậy diện tích S cần tính là 2 S = 8.S = 8. = 2 3 a . 0 4
B_BÀI TẬP ÁP DỤNG: Câu 7.
Khối đa diện đều nào sau đây có các mặt không phải là tam giác đều? A. Bát diện đều. B. Tứ diện đều.
C. Nhị thập diện đều. D. Thập nhị diện đều. Câu 8.
Số cạnh của hình mười hai mặt đều là A. Mười sáu. B. Ba mươi. C. Hai mươi. D. Mười hai. Câu 9.
Khối bát diện đều có bao nhiêu cạnh? A. 1. B. 8 . C. 20 . D. 12 .
Câu 10. Khối đa diện đều loại 5; 
3 có tên gọi nào dưới đây?
A. Khối mười hai mặt đều.
B. Khối lập phương.
C. Khối hai mươi mặt đều.
D. Khối tứ diện đều.
Câu 11. Mỗi đỉnh của bát diện đều là đỉnh chung của mấy cạnh? A. 3. B. 4. C. 6. D. 5.
Câu 12. Khối lập phương thuộc loại khối đa diện đều nào? A. 3;  3 . B. 4;  3 . C. 3;  4 . D. 5;  3 .
Câu 13. Hình bát diện đều có bao nhiêu cạnh? A. 10 . B. 12 . C. 8 . D. 20 .
Câu 14. Khối đa diện nào sau đây có các mặt không phải là tam giác đều?
A. Nhị thập diện đều. B. Tứ diện đều.
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 15
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
C. Thập nhị diện đều. D. Bát diện đều.
Câu 15. Khối đa diện đều loại 4;  3 có tên gọi là
A. Khối mười hai mặt đều.
B. Khối bát diện đều.
C. Khối tứ diện đều.
D. Khối lập phương.
Câu 16. Khối đa diện đều loại 3;  4 có tên gọi là
A. Khối mười hai mặt đều.
B. Khối bát diện đều.
C. Khối tứ diện đều.
D. Khối lập phương.
Câu 17. Tổng độ dài của tất các cạnh của một tứ diện đều cạnh a . A. 4a . B. 6a . C. 6 . D. 4 .
Câu 18. Tính tổng diện tích các mặt của một khối bát diện đều cạnh a . 2 a 3 A. 2 8a . B. 2 8a 3 . C. 2 2a 3 . D. . 16
Câu 19. Tính tổng độ dài các cạnh của một khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2 . A. 8 . B. 16 . C. 24 . D. 60 .
Câu 20. Cho khối đa diện đều. Khẳng định nào sau đây sai
A. Số đỉnh của khối lập phương bằng 8.
B. Số mặt của khối tứ diện đều bằng 4.
C. Khối bát diện đều là loại {4;3}.
D. Số cạnh của bát diện đều bằng 12.
Câu 21. Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại 4;  3 là: A. 4 . B. 8 . C. 12 . D. 10 .
Câu 22. Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại 3;  5 là: A. 12 . B. 16 . C. 20 . D. 24 .
Câu 23. Cho hình đa diện đều loại 4; 
3 cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện
đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 S = 4 a . B. 2 S = 6 a . C. 2 S = 8 a . D. 2 S = 10a .
Câu 24. Cho hình 20 mặt đều có cạnh bằng 2. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó.
Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. S = 10 3 . B. S = 20 3 . C. S = 20 . D. S = 10 .
Câu 25. Tổng độ dài của tất cả các cạnh của một bát diện đều cạnh 2a . A. = 4a . B. = 24a . C. = 6 . D. = 4 .
Câu 26. Tổng diện tích các mặt của khối lập phương cạnh bằng 2 là: A. S = 24 . B. S = 16 . C. S = 20 . D. S = 32 .
DẠNG 3_MỐI LIÊN HỆ GIỮA SỐ CẠNH, SỐ MẶT VÀ SỐ ĐỈNH CỦA ĐA DIỆN ĐỀU. PHƯƠNG PHÁP:
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 16
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
Khối đa diện đều loại n, 
p có n là số cạnh trên một mặt, p là số mặt (hay số cạnh) tại một đỉnh. a) Ta luôn có: ,
m d  4, c  6, m  , c d c b) Công thức Ơ-le:
d + m − c = 2 c) Gọi
là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng các mặt của khối đa diện đều loại  ;n p . Ta có
p = 2C = nM A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho một khối đa diện lồi có 10 đỉnh, 7 mặt. Hỏi khối đa diện này có mấy cạnh? A. 20. B. 18. C. 15. D. 5;  3 . Lời giải Chọn C Ta có 3;  3 .
Vậy khối đa diện có 4 cạnh.
Ví dụ 2. Khối 12 mặt đều {mỗi mặt là ngũ giác đều} có mấy cạnh? A. 16. B. 18. C. 20. D. 30. Lời giải Chọn D
Áp dụng công thức 2C = .
n M với n = 5 và M = 12 ta được C = 30 .
Ví dụ 3. Khối đa diện đều loại 3; 
4 có số đỉnh, số cạnh và số mặt tương ứng là A. 6, 12, 8. B. 4, 6, 4. C. 8, 12, 6. D. 8, 12, 6. Lời giải Chọn B
Khối đa diện đều loại 3; 
4 là khối bát diện đều có 8 mặt.
Áp dụng công thức 2C = .
n M với n = 3 và M = 8 ta được C = 12 .
Áp dụng công thức p§ = nM với n = 3 và M = 8 ta được § = 6 .
B_BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 27. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau.
B. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số cạnh bằng nhau.
C. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh.
D. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và số mặt bằng nhau.
Câu 28. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Số các cạnh của hình đa diện luôn
A. Lớn hơn hoặc bằng 6. B. lớn hơn 6. C. lớn hơn 7.
D. lớn hơn hoặc bằng 8.
Câu 29. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Số các đỉnh, hoặc các mặt của bất kỳ hình đa diện luôn
A. Lớn hơn hoặc bằng 4. B. lớn hơn 4.
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 17
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 C. lớn hơn 5.
D. lớn hơn hoặc bằng 5.
Câu 30. Trong các loại khối đa diện đều sau, tìm khối đa diện có số cạnh gấp đôi số đỉnh
A. Khối 20 mặt đều.
B. Khối lập phương.
C. Khối bát diện đều.
D. Khối 12 mặt đều.
Câu 31. Trong các loại khối đa diện đều sau, tìm khối đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau
A. Khối 12 mặt đều.
B. Khối lập phương.
C. Khối bát diện đều.
D. Khối tứ diện đều.
Câu 32. Cho khối chóp có đáy là n-giác. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Số mặt của khối chóp là 2n .
B. Số cạnh của khối chóp là n + 2 .
C. Số đỉnh bằng số mặt và bằng n +1.
D. Số đỉnh của khối chóp là 2n +1 .
Câu 33. Khối 20 mặt đều có mấy cạnh? A. 16. B. 18. C. 20. D. 30.
Câu 34. Khối 20 mặt đều có bao nhiêu đỉnh? A. 12. B. 16. C. 20. D. 30.
Câu 35. Số đỉnh của một bát diện đều là: A. 6. B. 10. C. 8. D. 12.
Câu 36. Số đỉnh của một hình mười hai mặt đều là: A. 12. B. 19. C. 20. D. 24.
Câu 37. Số cạnh của một bát diện đều là: A. 8. B. 12. C. 16. D. 10.
Câu 38. Số cạnh của một hình mười hai mặt đều là: A. 12. B. 20. C. 30. D. 24.
Câu 39. Khối đa diện đều loại 3; 
3 có số định, số cạnh và số mặt lần lượt bằng. A. 4; 6; 4. B. 12; 30; 20. C. 6; 12; 8. D. 8; 12; 6.
Câu 40. Khối đa diện đều loại 4; 
3 có số đỉnh, số cạnh và số mặt lần lượt bằng A. 4; 6; 4. B. 12; 30; 20. C. 6, 12, 8. D. 8, 12, 6.
Câu 41. Khối đa diện đều loại 5; 
3 có số đỉnh là D và số cạnh là C . Tính T = D + C . A. T = 50 . B. T = 32 . C. T = 42 . D. T = 18 .
Câu 42. Kí hiệu M là số mặt, Đ là số đỉnh và C là số cạnh của một hình bát diện đều. Khi đó bộ
(M, Đ, C) tương ứng với bộ số nào?
A. (M , Đ, C ) = (12,8, 6) .
B. (M , Đ, C ) = (8,12, 6) .
C. (M , Đ, C ) = (6,12,8) .
D. (M , Đ, C ) = (8, 6,12) .
Câu 43. Khối đa diện có mười hai mặt đều có số đỉnh, số cạnh, số mặt lần lượt là: A. 30 , 20 , 12 . B. 20 , 12 , 30 . C. 12 , 30 , 20 . D. 20 , 30 , 12 .
Câu 44. Biết ( H ) là đa diện đều loại 3; 
5 với số đỉnh và số cạnh lần lượt là a và b . Tính a − b .
A. a − b = 18 − .
B. a − b = 18 .
C. a − b = 8 − .
D. a − b = 10 .
Câu 45. Cho một khối đa diện lồi có 20 đỉnh, 12 mặt. Hỏi khối đa diện này có mấy cạnh? A. 20. B. 18. C. 30. D. 5;  3 .
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 18
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
Câu 46. Cho một khối đa diện lồi có 20 cạnh, 10 mặt. Hỏi khối đa diện này có mấy đỉnh? A. 20. B. 18. C. 30. D. 5;  3 . BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.D 3.B 4.B 5D 6C 7.D 8.B 9.D 10.A 11.B 12.B 13.B 14.C 15.D 16.B 17.B 18.C 19.D 20.C 21.C 22.C 23.B 24.B 25.B 26.A 27.B 28.A 29.A 30.C 31.D 32.C 33.D 34.D 35.A 36.C 37.B 38.C 39.A 40.D 41.A 42.C 43.D 44.A 45.C 46.D
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 19
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
§3_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY
DẠNG 1_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC. 1
PHƯƠNG PHÁP: V B.h 3
• B1: Tính diện tích đáy:
• B2: Tính chiều cao của chóp:
Tam giác đều cạnh x Tam giác vuông 2 2 2
a = b + c 1 1 1 bc bc = +  2 h = = x 3 2 2 2 S = 2 2 h b c + a b c 4 2 2 2 b ' b c ' c c ' c =
Trong tam giác bất kỳ: ; = ; = 2 2 2 a a a a b ' b 1 1 S = ah = bc 2 2 Định lí cosin: 2 2 2
a = b + c − 2b . c cos A Đị a b c = = = nh lí sin: 2R Đố sin A sin B sin C i = huyền.sinα
Các công thức tính diện tích tam giác: Đối = kề.tanα 1 1 abc Kề = huyền.cosα S = . a h = b . c sin A =
= pr = p( p − a)( p −b)( p − c) 2 a 2 4R Kề = đối.cotα A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy
và SA = a 3 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . 3 a A. 3 V = 3a . B. V = . C. 3 V = a 3 . D. 3 V = a . 4 Lời giải Chọn D
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 20
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 S A C B 1 ( a)2 2 3 Có V = S . A S
, SA = a 3 và S = . 3 ABC ABC 4 1 (2a)2 3 3  V = a 3 = a . Vậy 3 V = a . 3 4
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB = a , AC = 2a . SA vuông góc với
mặt phẳng đáy ( ABC ) và SA = a 3 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . 2 3 3 3 A. 3 V = a 3 . B. 3 V = a . C. 3 V = a . D. 3 V = a . 3 3 4 Lời giải Chọn C S a 3 2a A C a B
Vì SA ⊥ ( ABC)  h = SA = a 3 . Tam giác ABC vuông tại A nên 1 1 2 S = .A . B AC = . .
a 2a = a ABC 2 2 1 1 3 Ta có: 2 3 V .S
.SA == .a .a 3 = a .
S . ABC 3 ABC 3 3
Ví dụ 3. Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4 , AB = 6 , BC =10 và CA = 8 . Tính
thể tích khối chóp S.ABC . A. V = 40 . B. V = 192 . C. V = 32 . D. V = 24 . Lời giải Chọn C S 4 8 A C 6 10 B
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 21
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 Ta có 2 2 2 2 2 2
AB + AC = 6 + 8 = 10 = BC suy ra tam giác ABC vuông tại A ,do đó diện tích tam 1 1
giác ABC là: S = A . B AC = .6.8 = 24 2 2 1 1 Vậy V = .S . A S = .4.24 = 32. SABC 3 ABC 3
Ví dụ 4. Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với ( ABC ) , đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,
BC = 2a , góc giữa SB và ( ABC ) là 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . 3 a 6 3 a 6 3 a 3 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 9 3 3 4 Lời giải Chọn A S A C 30° B
Ta có AB là hình chiếu của SB lên ( ABC ) suy ra góc giữa SB và ( ABC ) là góc SBA = 30 .
Tam giác ABC vuông cân tại A , BC = 2a AB = AC = a 2 . 3 a 6 Xét S
AB vuông tại A có SA = A .
B tan 30 = a 2. = . 3 3 1 3 1 1 a 6 a 6 Ta có 2 2 S
= AB = a . Vậy 2 V = .S . A S = . .a = . ABC 2 S . ABC 3 ABC 3 3 9
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Câu 1.
Thể tích của khối chóp có diện tích mặt đáy bằng B , chiều cao bằng h được tính bởi công thức: 1 1 A. V = Bh .
B. V = Bh . C. V = Bh .
D. V = 3Bh . 3 2 Câu 2.
Thể tích khối chóp có độ dài đường cao bằng 6, diện tích đáy bằng 8 là A. 12 . B. 48 . C. 16 . D. 24 . Câu 3.
Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a , cạnh bên SA ⊥ ( ABC) và
SA = 2a . Thể tích V của khối chóp đã cho bằng 1 2 2 2 A. 3 V = a . B. 3 V = a . C. 3 V = a . D. 3 V = a . 3 3 3 Câu 4.
Cho hình chóp S.ABC có ABC
vuông tại A , AB = ,
a AC = a 3 . Biết rằng SA vuông góc với
mặt phẳng ( ABC ) và SB = a 5 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. 3 a 3 . 2 6 3
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 22
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 3 a 2 a Câu 5.
Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng
và diện tích tam giác ABC bằng . Tính chiều cao 6 2
h kẻ từ S của khối chóp S.AB . C a 2a
A. h = a . B. h = .
C. h = 3a . D. h = . 3 3 Câu 6.
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , biết SA = 4 và diện tích tam giác ABC bằng 8 . Tinh
thể tích V của khối chóp S.ABC . 32 8 A. V = 32. B. V = 4 . C. V = . D. V = . 3 3 Câu 7.
Cho hình chóp S.ABC có AB = 6, BC = 8, AC = 10 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 4
. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . A. V = 40 . B. V = 32. C. V = 192 . D. V = 24 . Câu 8.
Cho tứ diện OABC có , OA ,
OB OC đôi một vuông góc và OA = , a OB = , b OC = . c Tính thể
tích khối tứ diện OABC. abc abc abc A. . B. abc . C. . D. . 3 6 2 Câu 9.
Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = a 3 , AB = a , AC = a 3
, BC = 2a . Thể tích khối chóp S.ABC bằng? 3 a 3 3 a 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 2 4
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có M vuông góc với mặt đáy. Tam giác SB vuông tại 3SM = MB . Biết
N . Thể tích hình chóp AC là 4
A. AN = 2NC .
B. M.ABN .
C. S.ABC . D. . 9
Câu 11. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy
và SA = a 3 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . 3 a A. 3 V = 3a . B. V = . C. 3 V = a 3 . D. 3 V = a . 4
Câu 12. Cho khối chóp S.ABC có ba cạnh S , A S ,
B SC cùng có độ dài bằng a và vuông góc với nhau
từng đôi một. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng 3 a 3 a 3 a A.  . B.  . C.  . D. 3 a . . 2 3 6
Câu 13. Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a , cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng chứa mặt đáy, cạnh SC = 2a 5 . Thể tích khối chóp S.ABC bằng 3 a 3 3 2a 3 3 8a 3 3 4a 3 A. . B. . C. . D. . 6 3 3 3
Câu 14. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và hai mặt bên (SAB) , ( SAC ) cùng
vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết SC = a 3 . 3 a 3 3 2a 6 3 a 3 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 9 4 12
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 23
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA = a 3 và SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABC . 3 3a 3 a 3 a 3 3 a A. . B. . C. . D. . 4 2 4 4
Câu 16. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , độ dài cạnh AB = BC = a ,
cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . 3 a 3 a 16 A. V = . B. V = . C. V = 4 . D. V = . 3 2 3
Câu 17. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và chiều cao của hình chóp là a 2 .
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC . 3 a 6 3 a 6 3 a 6 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 6 12 4 12
DẠNG 2_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ HÌNH VUÔNG, CHỮ NHẬT, THOI, THANG. PHƯƠNG PHÁP: 1 V = . B h 3
• B1: Tính diện tích đáy:
• B2: Tính chiều cao của chóp:
①. Diện tích hình vuông:  S= (cạnh)2  Pitago: 2 2 2
AB + AD = BD
 Đường chéo hình vuông bằng cạnh. 2
②. Diện tích hình chữ nhật:  S = dài x rộng.
③. Diện tích hình thoi: 1  S = .A . C BD 2  S = 2.S = 2.S ABC ADC
④. Diện tích hình thang: 1
S = AH.( AB + CD) 2
A _VÍ DỤ MINH HỌA CHÓP CÓ ĐÁY LÀ HÌNH VUÔNG:
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Biết cạnh bên SA = 2a và
vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD .
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 24
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 3 4a 3 a 3 2a A. . B. 3 2a . C. . D. . 3 3 3 Lời giải Chọn D 3 1 1 2a Ta có 2 V = S .SA = a .2a = . S.ABCD 3 ABCD 3 3
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA = a 2 . Tính thể tích V của hình chóp S.ABCD . 3 2a 3 2a 3 2a A. V = . B. V = . C. 3 V = 2a . D. V = . 6 4 3 Lời giải Chọn D S A B D C 3 1 1 a 2 Ta có 2 V = S . A S = a 2.a = 3 ABCD 3 3
Ví dụ 3. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3 , cạnh SA vuông góc với mặt
phẳng ( ABCD) và SB tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3 3a 3 9a A. 3 V = 9a . B. V = . C. V = . D. 3 V = 3a . 4 2 Lời giải Chọn D S a 3 600 A B D C
SA ⊥ ( ABCD)  AB là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng ( ABCD) .  (S ,
B ( ABCD)) = (S ,
B AB) = SBA = 60 .
Trong tam giác vuông SAB , SA = tan 60 .
AB = 3.a 3 = 3a . S = AB = (a )2 2 2 3 = 3a . ABCD
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 25
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 1 1
Vậy thể tích V của khối chóp S.ABCD là 2 .3 V = .S
.SA = .3a .3a = 3a . 3 ABCD 3
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 18. Tính thể tích khối chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD) , đáy là hình vuông cạnh a , SB = a 5 3 a 6 3 2a 3 a A. . B. . C. 3 2a . D. . 3 3 3
Câu 19. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc
với mặt đáy và SA = a 2 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. . B. . C. 3 a 2 . D. . 6 4 3
Câu 20. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , cạnh bên SA vuông
góc với mặt đáy và SC
a 5 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD 3 2a 3 a 2 4a A. V = . B. V = . C. 3 V = 2a . D. V = . 3 3 3
Câu 21. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt
đáy và SA = AC = a 2 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD 3 a 2 3 a 6 3 a 6 A. V = . B. V = . C. 3 V = a 2 . D. V = . 3 9 3
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA ⊥ ( ABCD) và SB = a 3
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD . 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. V = . B. 3 a 3 . C. V = . D. V = . 2 3 6
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt phẳng ( SAC ) và (SAB)
cùng vuông góc với ( ABCD) . Góc giữa (SCD) và ( ABCD) là 60 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . 3 a 3 3 a 6 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 6 3
Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy ABCD .
Mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = 6 3 12 6 .
Câu 25. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy,góc giữa mặt phẳng ( SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3 a 6 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = 6 2 12 7 .
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 26
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
Câu 26. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = 2 4 12 3 .
Câu 27. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng
đáy và cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy góc 45. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng 3 a 2 3 a 2 3 a A. . B. . C. . D. 3 a . 3 6 3
C_VÍ DỤ MINH HỌA CHÓP CÓ ĐÁY LÀ HÌNH CHỮ NHẬT:
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có cạnh AB = 2, AD = 4 . Cạnh bên SA = 2 và
vuông góc với đáy (tham khảo hình vẽ). Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng 16 8 A. V = 16 . B. V = . C. V = . D. V = 8 . 3 3 Lời giải Chọn C
Do SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên hình chiếu của SB trên ( ABCD) là AB . Suy ra, (S ,
B ( ABCD)) = (S ,
B AB) = SBA = 45. Dễ thấy S
AB vuông, cân tại A , suy ra SA = AB = a . 3 1 1 a Vậy 2 V = S . A S = . a a = (đvtt). S.ABCD 3 ABCD 3 3
Ví dụ 2. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a , AD = 2a , SA vuông góc với đáy và
góc giữa SD và mặt phẳng ( ABCD) bằng 0
45 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3 4a 3 a 2 3 4 3 a A. V = . B. V = . C. 3 V = 2 6a . D. V = . 3 3 3 Lời giải
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 27
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 Chọn A S 450 D a A B 2a C
Vì SA ⊥ ( ABCD)  góc giữa SD và mặt phẳng ( ABCD) bằng góc giữa SD và AD . 0
SDA = 45  SDA vuông cân nên SA = AD = 2a . 3 1 1 4a V = V = S . A S = .2 . a . a 2a = . S.ABCD 3 ABCD 3 3
Ví dụ 3. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = a 3 , SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và mặt phẳng ( SBC ) tạo với đáy một góc o
60 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3 3a 3 a A. 3 V = 3a . B. V = . C. 3 V = a . D. V = . 3 3 Lời giải Chọn C S a 60 B A a 3 D C Ta có 2 S = A . B AD = . a a 3 = 3a . ABCD Dễ thấy o BC ⊥ A ;
B BC ⊥ SB SBA = 60 . SA
Xét tam giác vuông SAB ( A =1v) có: o o tan 60 =
SA = AB tan 60 = a 3 AB 1 1 Vậy 2 3 V = S .SA = a 3.a 3 = a . S.ABCD 3 ABCD 3
D_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 28. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a , AD = 3a , SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và SA = 2a . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD . A. 3 6a . B. 3 3a . C. 3 2a . D. 3 a .
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 28
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a , BC = 2a, SA = 2a , SA vuông
góc với mặt phẳng ( ABCD) . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . 3 8a 3 6a 3 4a A. 3 4.a . B. . C. . D. . 3 3 3
Câu 30. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. AB = 3a ;
AD = 4a ; SC = 3 3a .Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng: 3 4 2a 3 2 2a A. 3 4 2a . B. 3 4a . C. . D. . 3 3 a
Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = ,
a AD = a 2 và SA = , 2
SA ⊥ ( ABCD) . Tính thể tích của khối chóp S.ABC . 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 2 3 6
Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , BC = 2a 3 , BAC = 120 , cạnh bên
SA vuông góc với mặt đáy và SA = 2a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . 3 2a 3 3 a 3 3 a 3 A. V = . B. 3 V = a 3 . C. V = . D. V = 3 2 6 .
Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có cạnh
AB = 2, AD = 4 . Cạnh bên SA = 2 và vuông góc với đáy (tham khảo
hình vẽ). Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng 16 A. V = 16 . B. V = . 3 8 C. V = . D. V = 8 . 3
Câu 34. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. AB = 3a ;
AD = 4a ; SC = 3 3a .Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng: 3 4 2a 3 2 2a A. 3 4 2a . B. 3 4a . C. . D. . 3 3
Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm , O AB = ,
a AD = a 3, SA = 3 . a
SO vuông góc với mặt phẳng đáy ABC .
D Tính thể tích của khối chóp S.AB . C 3 a 6 3 2a 6 A. . . B. . . C. 3 a 6. . D. 3 2a 6. . 3 3
Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy, AB = a , AD = 2a .
Góc giữa SB và đáy bằng 45 . Thể tích khối chóp là 3 a 2 3 2a 3 a 2 3 a A. . B. . C. . D. . 3 3 6 3
Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a , AD = a . Hình chiếu của S lên
( ABCD) là trung điểm H của AB , SC tạo với đáy một góc 45. Thể tích khối chóp S.ABCD là
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 29
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 3 a 3 2 2a 3 2a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 2
E_ VÍ DỤ MINH HỌA CHÓP CÓ ĐÁY LÀ HÌNH THOI, THANG VUÔNG:
Ví dụ 1. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O , AB = a , BAD = 60 , SO ⊥ ( ABCD) , mặt
phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng đáy góc 60 . Thể tích khối chóp đã cho bằng 3 3a 3 3a 3 3a 3 3a A. . B. . C. . D. 8 24 48 12 Lời giải Chọn A
Ta có ABCD là hình thoi tâm O , AB = a , 0
BAD = 60 nên tam giác AB ,
D CBD đều cạnh a. a 3
Gọi BK là đường cao của tam giác CBD , ta có BK = . 2
Gọi H là hình chiếu của O lên DC Ta có DC ⊥ OH
  DC ⊥ (SOH )  DC ⊥ SH DC ⊥ SO  .
 ((SCD) ( ABCD)) = (OH SH ) 0 , , = SHO = 60 BK 3a 2 a 3 Có 0 0 SO = OH.tan 60 = .tan 60 = ; S = 2S = . 2 4 ABCD ABD 2 2 3 1 1 a 3 3a a 3 V = .S .SO = . . = . S . ABCD 3 ABCD 3 2 4 8
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và ,
B AB = BC = 1, AD = 2.
Cạnh bên SA = 2 và vuông góc với mặt đáy. Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng 3 1 A. V = . B. V = 1. C. V = . D. V = 2 . 2 3 Lời giải Chọn B
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 30
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 S 2 A 2 D B 1 C
ABCD là hình thang vuông tại A và ,
B AB = BC = 1, AD = 2  S = + = ABCD ( ) 1 3 1 2 . 2 2 1 1 3 V = V = S . A S = .2. =1. S.ABCD 3 ABCD 3 2
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB = BC = 2 , AD = 3
. Cạnh bên SA = 2 và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD . 10 10 3 17 A. V = 4 . B. V = . C. V = . D. . 3 3 6 Lời giải Chọn B S A D B C AB + CD 2 + 3 Ta có: S = .AD = .2 = 5 ABCD 2 2 1 1 10 Thể tích: V = .S . A S = .2.5 = . S.ABCD 3 ABCD 3 3
F_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD), đáy ABCD là hình thang
vuông tại A và B có AB = a, AD = 3 , a BC = .
a Biết SA = a 3, tính thể tích khối chóp S.BCD theo a. 3 3a 3 2 3a 3 3a A. . B. . C. . D. 3 2 3a . 6 3 4
Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB = AD = a ,
SA = CD = 3a , SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) . Thể tích khối chóp S.ABCD bằng.
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 31
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 1 1 A. 3 a . B. 3 2a . C. 3 6a . D. 3 a . 3 6
Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc BAD = 60 , SA ⊥ ( ABCD) .
Biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC bằng a . Thể tích khối chóp S.ABCD là 3 a 2 3 a 2 3 a 3 A. . B. . C. . D. 3 a 3 . 4 12 6 BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.C 3.A 4.C 5.A 6.C 7.B 8.C 9.B 10.D 11.D 12.C 13.D 14.D 15.D 16.A 17.B 18.B 19.D 20.A 21.A 22.C 23.A 24.B 25.A 26.D 27.C 28.C 29.A 30.A 31.A 32.A 33.B 34.A 35.A 36.B 37.B 38.A 39.B 40.A
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 32
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
§4_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY
DẠNG 1_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC. PHƯƠNG PHÁP: 1 V = . B h 3
Tính diện tích đáy: B
Tính chiều cao của chóp: h A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , biết AB = a, AC = 2a . Mặt bên
SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC . 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 6 4 3 Lời giải Chọn B S B C I A
SI  (SAB),SI ⊥ AB
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Ta có: (
SAB) ( ABC) = AB SI ⊥ ( ABC ). (  SAB) ⊥  ( ABC) 1 1 1 1 V = SI.S = SI. A . B AC = SI.A . B AC S.ABC  3 ABC 3 2 6 3 1 a 3 a 3 = . . .2 a a = . 6 2 6
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại , B AC = 2 ,
a mặt bên (SAC ) là
tam giác đều và (SAC) ⊥ ( ABC). Tính thể tích khối chóp S.AB . C 3 2 2a 3 2 10a 3 a 3 A. . B. . C. 3 a 10 . D. 3 3 3
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 33
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 Lời giải Chọn D S A C H B Kẻ SH ⊥ A . C
Do (SAC) ⊥ ( ABC)  SH ⊥ ( ABC). 2 . a 3
Tam giác SAC đều cạnh AC = 2a nên SH = = a 3. 2
Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại, AC = 2aAB = BC = a 2 . 3 Do đó: 1 1 1 a 3 2 S = A .
B BC = a (đvdt) 2  V = SH.S = .a 3.a = (đvtt). ABC 2 S . ABC 3 ABC 3 3
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = S .
C Tam giác ABC vuông cân tại ,
A AB = AC = a 2 và
SB tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc 0
60 . Tính thể tích khối chóp S.AB . C 3 a 3 3 a 3 3 2a 3 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 6 3 3 6 Lời giải Chọn B S 60° B C H A
Gọi H là trung điểm . BC BA ⊥ CA Theo giả thiết 
SH ⊥ ( ABC)  (SB (ABC)) 0 , = SBH = 60 .
SA = SB = SC
Áp dụng pitago cho tam giác vuông ABC BC = (a )2 +(a )2 2 2 : 2 2
= 4a BC = 2a BH = . a
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông 0
SBH : SH = BH tan 60 = a 3. 1 2 S = A . B AC = a . ABC  2 3 1 1 a 3
Vậy thể tích của khối chóp là: 2 V = SH.S = a 3.a = .  3 ABC 3 3
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 34
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Câu 1.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , tam giác SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC . 3 a 3 3a A. V = . B. 3 V = a . C. V = . D. 3 V = 3a . 2 2 Câu 2.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại ,
A BC = 2a . Mặt bên SBC là
tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC . 3 2a 3 2a 3 a A. 3 V = a . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 3 Câu 3.
Cho hình chóp S.ABC có SA = a , tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABC bằng 3 6a 3 6a 3 6a 3 6a A. . B. . C. . D. . 4 24 12 8 Câu 4.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , AB = a , AC = 2a . Hình chiếu
vuông góc của S lên ( ABC ) là trung điểm M của AC . Góc giữa SB và đáy bằng 60 . Thể
tích S.ABC là bao nhiêu? 3 a 3 3 a 3 a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 12 Câu 5.
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của S trên mặt
phẳng ( ABC ) là trung điểm của cạnh A , góc tạo bởi cạnh SC và mặt phẳng đáy ( ABC ) bằng 0
30 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC . 3 a 3 3 a 2 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 24 2 Câu 6.
Cho hình chóp S.ABC có SAB và ABC là hai tam giác đều và nằm trong hai mặt phẳng vuông a 6 góc với nhau, SC =
. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . 2 3 a 3 a 3 3a 3 a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 4 8 8 Câu 7.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều; mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng vuông
góc với mặt phẳng đáy và tam giác SAB vuông tại S , SA = a 3 , SB = a . Tính thể tích khối chóp S.ABC . 3 6a 3 6a 3 a 3 6a A. . B. . C. . D. . 6 3 2 2 Câu 8.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC tam giác vuông cân đỉnh ,
A AB = AC = a . Hình chiếu
vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của BC . Mặt phẳng ( SAB) hợp với
mặt phẳng đáy một góc bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . 3 a 2 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 4 6 12
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 35
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
DẠNG 2_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TỨ GIÁC. PHƯƠNG 1 PHÁP: V = . B h 3
Tính diện tích đáy: B
Tính chiều cao của chóp: h A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông đường chéo AC = 2 2 a . Mặt bên SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) . Thể tích của khối chóp
S. ABCD là 3 4 3 a 3 3 a 3 2 3 a A. 3 a . B. . C. . D. . 3 6 3 Lời giải Chọn B S B C H A D
Hạ đường cao SH của tam giác SAB thì SH là đường cao của hình chóp Trong hình vuông ABCD: 2
AC = 2 2 a AB = 2 ; a S = 4a ABCD Trong tam giác đề 3
u ABC: AB = 2 a SH = 2 . a = a 3 2 3 1 4 3 a ⇒ 2 V = .a 3.4a = ⇒ Chọn B. S . ABCD 3 3
Ví dụ 2. Cho khối chóp S.AB D C có đáy D
ABC là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SA = 2a . Tính theo a thể tích khối chóp S.AB D C . 3 a 15 3 a 15 3 2a A. 3 V = 2a . B. V = . C. V = . D. V = . 12 6 3 Lời giải
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 36
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 Chọn C
Gọi H là trung điểm của AB . (
SAB) ⊥ ( ABCD)  Ta có (
SAB) ( ABCD) = AB SH ⊥ ( ABCD) . SH ⊥ AB  2 a a 15
Xét tam giác vuông SAH : 2 2 2 SH = SA − AH = 4a − = . 4 2 3 1 1 a 15 a 15
Thể tích khối chóp S.AB D C là 2 V = .SH.S = . .a = (đvtt). D 3 ABC 3 2 6
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA = a , SB = a 3 . Biết rằng
(SAB) ⊥ ( ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A ,BBC. Tính theo a thể tích
của khối chóp S.BMDN . 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. 3 2a 3 . D. . 6 3 4 Lời giải Chọn B S A D H M B N C Ta có 2 2 2
SA + SB = AB S
AB vuông tại S . SA SB a
Gọi H là hình chiếu của S trên AB SH ⊥ ( ABCD) . 3  SH = = . AB 2 1 2 2 S = S − 2S = 4a − 2. N . C CD = 2a BMDN ABCD NCD 2 3 1 1 a 3 a 3 Vậy 2 V = S .SH = .2a . = . S .BMDN 3 BMDN 3 2 3
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 37
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Câu 9.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AB = BC = a , AD = 2a . Hình
chiếu của S lên mặt phẳng ( ABCD) trùng với trung điểm cạnh AB . Biết rằng SC = a 5 . Tính
theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD 3 a 5 3 a 15 3 a 15 3 2a 5 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 3 4 3
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD) . Biết SD = 2a 3 và góc tạo bởi đường thẳng SC
và mặt phẳng ( ABCD) bằng 0
30 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD 3 2a 3 3 a 3 3 a 3 3 4a 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 7 13 4 3
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( ABCD) . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . 3 a 3 3 a 3 3 a A. . B. . C. . D. 3 a . 6 2 3
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a 3 , mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp S.ABCD là: A. 3 12a . B. 14a 3 . C. 3 15a . D. 3 17a .
Câu 13. Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 3a . Tam giác SAB cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD , biết góc giữa SC và ( ABCD) bằng o 60 . 3 9a 15 A. 3 V = 18a 3. . B. V = . . C. 3 V = 9a 3 . D. 3 V = 18a 15. . 2
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB = a . Gọi I là trung điểm AC
, tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
S.ABC , biết góc giữa SB và mặt phẳng đáy băng  45 . 3 a 3 3 a 2 3 a 2 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 12 12 4 4
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a , AD = a . Hình chiếu của
S lên mặt phẳng ( ABCD) là trung điểm H của cạnh AB , đường thẳng SC tạo với đáy một góc 0
45 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3 2 2a 3 a 3 2a 3 3a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = 3 3 3 2 .
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = a , AD = a 3 . Hình chiếu
S lên đáy là trung điểm H của cạnh AB , góc tạo bởi SD và đáy là 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . 3 a 13 3 a 3 a 5 3 a 15 A. . B. . C. . D. . 2 2 5 5
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 38
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD) . Biết SD = 2a 3 và góc tạo bởi đường thẳng SC
và mặt phẳng ( ABCD) bằng 0
30 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3 2 3a 3 a 3 3 3a 3 4 6a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 7 13 4 3
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; hình chiếu của S trên ( ABCD) 3a
trùng với trung điểm của cạnh AB ; cạnh bên SD =
. Tính theo a thể tích của khối chóp 2 S.ABCD . 3 a 7 3 a 3 a 3 3 a 5 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2 , a AD = .
a Tam giác SAB cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC tạo với đáy một góc 45 . Thể tích khối chóp
S.ABCD là 3 a 3 3 a 2 2 3 2a A. . B. . C. 3 2 2a . D. . 2 3 3
Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, S
AB đều cạnh a nằm trong mặt
phẳng vuông góc với ( ABCD) . Biết (SCD) tạo với ( ABCD) một góc bằng 0 30 . Tính thể tích
V của khối chóp S.ABC . D 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 8 4 2 3
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2 ;
a AD = a . Tam giác SAB là tam
giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD) bằng 0
45 . Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là: 3 1 2 A. 3 a . B. 3 a . C. 3 2a . D. 3 a . 3 3 3
Câu 22. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , S
AD cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa ( SBC ) và mặt đáy bằng o
60 . Tính thể tích S.ABCD bằng: 3 2a 3 3 8a 3 3 4a 3 A. . B. . C. . D. 3 2a 3 . 3 3 3 BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.D 3.D 4.B 5.C 6.D 7.C 8.D 9.C 10.D 11.A 13.A 13.B 14.B 15.A 16.A 17.D 18.B 19.C 20.B 21.D 22.B
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 39
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
§5_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ĐỀU
DẠNG 1_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC ĐỀU. PHƯƠNG PHÁP: 1 V = . B h 3
Tính diện tích đáy: B
Tính chiều cao của chóp: h
A _VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Tính thể tích của khối tứ diện đều có tất cả các cạnh đều bằng a . 3 a 2 3 a 3 3 a 2 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 12 12 4 4 Lời giải Chọn A A a B D H M C
Gọi M là trung điểm của BC , H là trọng tâm tam giác BCD . 2 2 a 3  a 3  a 6
Ta có AH ⊥ ( BCD) , BH = BM = 2 2
AH = AB − BH 2 = a −   = 3 3   3   3 1 2 1 a 3 a 6 3 a 2
Vậy thể tích tứ diện là V = S .AH = . . = . ABCD 3 BCD 3 4 3 12
Ví dụ 2. Cho khối tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng 2a . Thể tích khối tứ diện đã cho bằng 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 2a 2 A. . B. . C. . D. . 6 12 3 3 Lời giải Chọn D
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 40
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 A 2a B D O M C
Gọi O là trọng tâm tam giác ABC .
Do tứ diện ABCD là tứ diện đều nên ta có AO ⊥ (BC ) D . 2 (2a) 3 Ta có : 2 S = = a 3 . BCD 4 2 2 2a 3 2a 3 2a 6 2 2 BO = BM = . =
AO = AB − BO = . 3 3 2 3 3 3 1 1 2a 6 2a 2 Ta có : 2 V = S .AO = .a 3. = (đvtt). ABCD  3 BCD 3 3 3
Ví dụ 3. Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a và mặt bên tạo với đáy góc 45 . Tính theo a
thể tích khối chóp S.ABC . 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 8 24 12 4 Lời giải Chọn B
Gọi M là trung điểm BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Suy ra SO ⊥ ( ABC ) .
Góc giữa mặt bên ( SBC ) và mặt đáy ( ABC ) là góc SMO = 45 . 2 a a 3
Xét tam giác vuông ABM : 2 2 2 AM = AB − BM = a − = . 4 2 1 a 3 Mặt khác OM = AM OM = . 3 6 a 3 a 3
Xét tam giác vuông SOM : SO = OM . tan SMO = . tan 45 = . 6 6 2 1 a 3
Diện tích tam giác ABC : S = . . a . a sin 60 = . ABC 2 4
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 41
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 2 3 1 1 a 3 a 3 a
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là V = S . O S = . . = . S . ABC 3 ABC 3 6 4 24
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Câu 1.
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên tạo với mặt đáy góc 0 60 .
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC . 3 a 3 3 2a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. 3 a 3 . 4 3 3 Câu 2.
Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a và mặt bên tạo với đáy góc 45. Tính theo a
thể tích khối chóp S.ABC . 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 8 24 12 4 Câu 3.
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên tạo với đáy một góc 60 .
Thể tích khối chóp S.ABC là 3 2a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. 3 a 3 . 3 3 4 Câu 4.
Cho khối chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng 2a . Thể tích của khối chóp đó bằng 3 2 2a 3 2a 3 2a 3 2 6a A. . B. . C. . D. . 3 3 12 9 Câu 5.
Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 3a . Thể tích của khối chóp đó bằng 3 2 2a 3 2a 3 2a 3 2a A. . B. . C. . D. . 3 3 6 12 Câu 6.
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a . Thể tích khối chóp là 3 a 5 3 a 11 3 a 5 3 a 11 A. . B. . C. . D. . 6 24 12 12 Câu 7.
Tính thể tích của khối tứ diện đều có tất cả các cạnh đều bằng a . 3 a 2 3 a 3 3 a 2 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 12 12 4 4 Câu 8.
Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích V
của khối chóp S.ABC 3 13a 3 11a 3 11a 3 11a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 12 6 4 Câu 9.
Tính thể tích của chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 12 4 6 2
Câu 10. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích V
của khối chóp S.ABC . 3 a 3 3 3a 3 3 3a 3 3 3a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 2 4 4
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 42
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
Câu 11. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo đáy góc 0 60 . Thể tích của khối chóp đó bằng: 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 12 6 36 18
Câu 12. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 2. Thể tích khối chóp S.ABC là 3 3 3 3 A. a 3 . B. a 3 . C. a 5 . D. a 5 . 6 12 6 12
DẠNG 2_CHÓP CÓ ĐÁY LÀ HÌNH VUÔNG. PHƯƠNG PHÁP: 1 V = . B h 3
Tính diện tích đáy: B
Tính chiều cao của chóp: h A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc
bằng 45 . Thể tích của khối chóp đó là 3 a 2 3 4a 2 3 a 2 A. . B. 3 2a 2 . C. . D. . 8 3 6 Lời giải Chọn C
Gọi O = AC BD , vì hình chóp tứ giác đều nên ta có SO ⊥ ( ABCD)
Vì là hình chiếu vuông góc của trên mặt đáy ( ABCD) nên SDO là góc giữa cạnh bên và mặt đáy ( ABCD)
Theo đề ra tam giác vuông tại và có SDO = 45 nên tam giác vuông cân tại.
Do vậy SO = OD = a 2 3 1 1 4a 2 Vậy 2 V = S . O S = .a 2.4a = . S . ABCD 3 ABCD 3 3
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 43
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
Ví dụ 2. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD biết AB = a , SA = a . 3 a 2 3 a 2 3 a A. . B. . C. . D. 3 a . 2 6 3 Lời giải Chọn B 2 a a 2 Ta có 2 2 SO = SA − OA 2 = a − = 2 2 1 3 1 a 2 a 2 Ta có: V = S . O S 2 = . .a = . S.ABCD 3 ABCD 3 2 6
Ví dụ 3. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Biết ASC = 90 , tính thể tích V của khối chóp đó. 3 a 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 6 12 Lời giải Chọn C S B C O A D a
Ta có SO ⊥ ( ABCD); AC = a 2. AC a 2
Tam giác ASC vuông cân tại S nên SO = = . 2 2 3 1 1 a 2 a 2 Vậy 2 V = S .SO = .a . = . 3 ABCD 3 2 6
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 13. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
60 . Thể tích khối chóp S.ABCD là 3 a 6 3 a 3 3 a 6 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 6 6 12 2
Câu 14. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có diện tích đáy bằng 2
16 cm và diện tích một mặt bên bằng 2
8 3 cm . Thể tích của khối chóp là
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 44
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 32 11 32 2 32 13 A. 3 cm . B. 3 4 cm . C. 3 cm . D. 3 cm . 3 3 3
Câu 15. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , các mặt bên tạo với mặt đáy bằng 60
. Tính thể tích khối chóp đó. 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 12 6 3
Câu 16. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a cạnh bên bằng 3a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 2 7a 3 4a 3 4 7a 3 2 2a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 17. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có độ dài cạnh đáy bằng a . Góc tạo bởi cạnh bên và đáy
bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . 3 a 5 3 a 3 3 a 6 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 6 6 6 6
Câu 18. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Biết ASC = 90 , tính thể tích V của khối chóp đó. 3 a 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 6 12
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm , O AB = ,
a AD = a 3, SA = 3 . a
SO vuông góc với mặt phẳng đáy ABC .
D Tính thể tích của khối chóp S.AB . C 3 a 6 3 2a 6 A. . B. . C. 3 a 6 . D. 3 2a 6 . 3 3
Câu 20. Cho khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 45 . Tính thể
tích của khối chóp đó. 3 a 3 a 3 a 2 A. . B. . C. 3 a 2 . D. . 6 3 2
Câu 21. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 0
60 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3 a 6 3 a 6 3 a 3 3 a 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 3 2 6
Câu 22. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng 3a . Tính thể tích V
của khối chóp đã cho 3 4 7a 3 4a 3 4 7a A. 3 V = 4 7a . B. V = . C. V = . D. V = . 9 3 3
Câu 23. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD 3 2a 3 3 2a 6 3 4a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 24. Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 0 60 .
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 45
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 3 2a 3 A. 3 2a 3 . B. 3 2a . C. . D. 3 6a . 3
Câu 25. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 0
45 . Thể tích của khối chóp đó là 3 4 2a 3 8 2a 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 6
Câu 26. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 
. Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD bằng 3 a 2 3 a 3 a 2 3 a 2 A. tan . B. tan . C. tan . D. cot  . 2 6 6 6
Câu 27. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , đáy ABCD có diện tích 2
16 cm , diện tích một mặt bên là 2
8 3 cm . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 32 2 32 13 32 11 32 15 A. 3 V = cm . B. 3 V = cm . C. 3 V = cm . D. 3 V = cm . 3 3 3 3
Câu 28. Cho một hình chóp tứ giác đều có góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng 0 60 và diện tích xung quanh bằng 2
8a . Tính diện tích S của mặt đáy hình chóp. A. 2 4a 3 . B. 2 4a . C. 2 2a . D. 2 2a 3 . BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.B 3.A 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 9.A 10.D 11.A 12.D 13.A 14.A 15.C 16.C 17.C 18.C 19.A 20.A 21.D 22.D 23.C 24.C 25.A 26.C 27.C 28.B
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 46
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
§6_THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG
DẠNG 1_LĂNG TRỤ ĐỨNG CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC.
PHƯƠNG PHÁP: V = . B h
 Tính diện tích đáy: B
 Tính chiều cao của chóp: h A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho khối lăng trụ đứng ABC. A BC
  có BB = a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
AC = a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3 a 3 a 3 a A. V = . B. V = . C. 3 V = a . D. V = . 6 2 3 Lời giải Chọn B Ta có: 2 2 2 2 2 2 2
AC = BA + BC  2a = 2AB AB = a . 3 1 a 2 V =  = =    BB .S . a .a . ABC. A B C ABC 2 2
Ví dụ 2. Cho khối lăng trụ đứng AB . C A BC
  có BB = a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
AC = a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3 a 3 a 3 a A. 3 V = a . B. V = . C. V = . D. V = . 3 6 2 Lời giải Chọn D
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 47
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 A' C' B' C A B
Do ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = a 2  AB = BC = a . 3 1 1 a V =  =  = =    BB .S BB . .B . A BC . a . . a a . ABC.A B C ABC 2 2 2
Ví dụ 3. Cho khối lăng trụ đều AB . C A BC
  có cạnh đáy bằng a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( 2a 3 AB C  ) bằng
. Thể tích khối lăng trụ đã cho là 19 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a A. . B. . C. . D. . 4 6 2 2 Lời giải Chọn C A C B H A' C' M B'
Gọi M là trung điểm của B C
 , H là hình chiếu của A lên AM . Ta có A M  ⊥ B C      B C   ⊥ ( AA M  )  ( AB C  ) ⊥ ( AA M  ) AA ⊥ B C      A H  ⊥ ( AB C  )  A H  ⊥ AM a
Suy ra d ( A ( AB C  )) 2 3 , = A H  = . 19 Khi đó 1 1 1 1 1 1 1 = +  = − =  AA = 2a 2 2 2 2 2 2 2 A HAAAM AAA HAM 4a 2 3 a 3 a 3
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là: V = S .AA = .2 a = . ABC  4 2
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Câu 1.
Cho hình lăng trụ đứng AB . C A BC
  có đáy ABC là tam giác vuông tại A , biết AB = a ,
AC = 2a và A B
 = 3a . Tính thể tích của khối lăng trụ AB . C A BC  .
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 48
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 3 2 2a 3 5a A. . B. . C. 3 5a . D. 3 2 2a . 3 3 Câu 2.
Cho hình lăng trụ đứng AB . C A BC
  có tam giác ABC vuông tại A , AB = BB = a , AC = 2a .
Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. 3 2a 3 a A. . B. . C. 3 2a . D. 3 a . 3 3 Câu 3.
Cho hình lăng trụ AB .
C A' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên bằng 2 a và hợp với
mặt đáy một góc 60o. Thể tích của khối lăng trụ AB .
C A' B 'C ' tính theo a bằng: 3 2a 3 4a 3 3a 3 5a A. . B. . C. . D. . 3 3 4 3 Câu 4.
Cho hình lăng trụ tam giác đều AB .
C A' B 'C ' có AB = 2a, AA' = a 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ AB .
C A' B 'C ' theo a. 3 a 3 3a A. 3 V = a . B. 3 V = 3a . C. V = . D. V = . 4 4 Câu 5.
Cho hình lăng trụ đứng AB . C A BC
  có đáy ABC là tam giác vuông tại A , biết AB = a ,
AC = 2a và A B
 = 3a . Tính thể tích của khối lăng trụ AB . C A BC  . 3 2 2a 3 5a A. . B. . C. 3 5a . D. 3 2 2a . 3 3 Câu 6.
Cho lăng trụ đứng AB . C A BC
  có AB = a , AC = 2a , BAC =120 , biết C A  hợp với đáy một
góc 45 . Thể tích của khối lăng trụ là 3 2a 3 3 a 3 A. 3 2a 3 . B. V = . C. . D. 3 a 3 . 3 3 Câu 7.
Cho lăng trụ đứng AB . C A BC
  có ABC là tam giác vuông tại A , AC = a , ABC = 30 , BCV
hợp với mặt bên ( ACC A
 ) một góc 30, thể tích của khối lăng trụ là V . Khi đó bằng 3 a 6 3 1 A. 1. B. 3 . C. . D. . 3 3 Câu 8.
Cho khối lăng trụ đứng AB . C A BC   và có B C
 = 3a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
AC = a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ AB . C A BC  . 3 2a 3 a A. 3 V = 2a . B. 3 V = 2a . C. V = . D. . 3 6 2 Câu 9.
Cho lăng trụ đứng AB . C A BC
  có ABC là tam giác vuông tại B , AB = ;
a BC = a 2 . Mặt phẳng (A B
C) hợp với mặt đáy ( ABC) một góc 30. Tính thể tích khối lăng trụ. 3 a 6 3 a 6 3 a 3 3 3a A. . B. . C. . D. . 3 6 3 6
Câu 10. Tính theo a thể tích khối lăng trụ đứng AB . C A BC
  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , mặt bên BCC B
  là hình vuông cạnh 2a . 3 2a A. 3 2a . B. . C. 3 4a . D. 3 a 2 . 3
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 49
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
Câu 11. Cho khối lăng trụ đứng AB . C A BC
  có đáy là tam giác cân ABC với AB = AC = a , góc 0
BAC = 120 , mặt phẳng ( AB C
 ) tạo với đáy một góc 0
30 . Tính thể tích V của lăng trụ đã cho. 3 a 3 a 3 3a 3 a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 6 8 8 4
Câu 12. Tính theo a thể tích khối lăng trụ đứng AB . C A BC
  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , mặt bên BCC B
  là hình vuông cạnh 2a . 3 2a A. 3 2a . B. . C. 3 a . D. 3 a 2 . 3
Câu 13. Cho khối lăng trụ đứng AB .
C A' B 'C ' có BB ' = 2a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
AC = a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3 2a 3 a A. 3 V = 2a . B. V = . C. V = . D. 3 V = a . 3 3
Câu 14. Cho lăng trụ đứng AB . C A BC   có đáy ABC = =
là tam giác vuông tại B ; AB a ; BC a 2 ; mặt phẳng ( A B
C) hợp với đáy ( ABC) góc 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ đã cho. 3 a 6 3 a 6 3 a 6 A. . B. . C. . D. 3 a 6 . 12 3 6
Câu 15. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A BC
  có cạnh đáy bằng 2a và mặt phẳng ( A BC) tạo
với mặt phẳng ( ABC ) một góc o
60 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A BC   . A. 3 a 3 . B. 3 2a 3 . C. 3 3a 3 . D. 3 2a .
Câu 16. Cho khối lăng trụ đứng AB . C A BC
  có CC = 2a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
AC = a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3 a 3 a A. 3 V = a . B. V = . C. 3 V = 2a . D. V = . 2 3
Câu 17. Cho khối lăng trụ đều AB . C A BC
 có cạnh đáy bằng a , góc tạo bởi AB và đáy bằng 0 60 . Tính
thể tích khối lăng trụ AB . C A BC  . 3 3a 3 a 3 A. . B. . C. 3 a 3 . D. 3 3a . 4 4
Câu 18. Cho hình lăng trụ đều AB .
C A' B 'C ' có cạnh đáy bằng a , A'C hợp với mặt đáy một góc 60o .
Thể tích của khối lăng trụ AB .
C A' B 'C ' tính theo a bằng: 3 3a 3 a 3 2a 3 3a A. . B. . C. . D. . 4 4 3 8
Câu 19. Cho hình lăng trụ đứng AB .
C A' B 'C ' có cạnh đáy là tam giác vuông cân tại B , AB = a . Cạnh
SC hợp với mặt phẳng đáy một góc bằng 30o . Thể tích của khối lăng trụ AB . C A BC   tính theo a bằng: 3 a 3 3 a 3 3 a 6 3 2a 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 3 3
DẠNG 2_LĂNG TRỤ CÓ ĐÁY LÀ TỨ GIÁC.
PHƯƠNG PHÁP: V = . B h
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 50
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
• Tính diện tích đáy: B
• Tính chiều cao của chóp: h A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Tính thể tích khối lập phương ABC . D A BCD
  biết BD = 3 . a A. 3 27a . B. 3 a . C. 3 3a 3 . D. 3 9a . Lời giải Chọn B
Gọi cạnh của khối lập phương là x ta có 2 2 BD =
x + x = x 2.
Tam giác BDD vuông tại D suy ra 2 2 2 2 2 2 2
BD = BD + DD  3a = 2x + x = 3x a = . x
Vậy thể tích của khối lập phương ABC . D A BCD   là 3 V = =     . a . a a a . ABC . D A B C D
Ví dụ 2. Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A BCD
  có đáy là hình vuông cạnh 2a và A B
 = 3a . Tính thể tích
khối hộp chữ nhật ABC . D A BCD   theo a . 3 4a 5 A. 3 V = 4a 5 . B. 3 V = 12a . C. 3 V = 2a 5 . D. V = . 3 Lời giải Chọn A B C A D 3a B' C' 2a A' D' 2 2
Xét tam giác vuông ABB , ta có: 2 2 BB = A B  − A B
  = (3a) −(2a) = 5a
Thể tích khối hộp chữ nhật ABC . D A BCD   là: 3 V = S .BB = 2 . a 2 .
a 5a = 4 5a ABCD
Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  với O là tâm hình vuông A BCD
  . Biết rằng tứ diện
O .BCD có thể tích bằng 3
6a . Tính thể tích V của khối lập phương ABC . D A BCD   . A. 3 V = 12a . B. 3 V = 36a . C. 3 V = 54a . D. 3 V = 18a .
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 51
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 Lời giải Chọn B B' C' O' A' D' B C A D 1 1 1 1 Ta có 3 V =  =  =  =  AA . .S AA .S V V 36a O .BCD 3 2 ABCD 6 ABCD 6
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 20. Thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a bằng 3 a 3 3 a 3 a 3 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 4 3 6 3
Câu 21. Cho hình lăng trụ đứng ABC . D A BCD
  có đáy là hình thoi, biết AA = 4 , a AC = 2 , a BD = a .
Thể tích V của khối lăng trụ là 8 A. 3 V = 8a . B. 3 V = 2a . C. 3 V = a . D. 3 V = 4a . 3
Câu 22. Cho hình lăng trụ đứng ABC . D A BCD
  có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = a 2 ,
AB = a 5 (tham khảo hình vẽ). Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3 2a 2 A. 3 V = a 2 . B. 3 V = 2a 2 . C. 3 V = a 10 . D. V = . 3
Câu 23. Cho hình hộp đứng có cạnh bên độ dài 3a , đáy là hình thoi cạnh a và có một góc 60 . Khi đó
thể tích khối hộp là 3 3a 3 3 a 3 3 a 3 3 3a 3 A. . B. . C. . D. . 4 3 2 2
Câu 24. Thể tích khối lăng trụ đứng tam giác AB . C A BC
  có tất cả các cạnh bằng a là 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a A. . B. . C. . D. . 4 6 3 4
Câu 25. Cho hình lăng trụ đứng ABC . D A BCD
  , có ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh AC = 2a 3
.Thể tích khối lăng trụ AB . C A BC   bằng A. 3 8a . B. 3 3a . C. 3 2a . D. 3 a .
Câu 26. Khối lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' có độ dài đoạn AB ' = 2a . Thế tích của khối đó là: A. 3 2 2a . B. 3 8a . C. 3 3 3a . D. 3 3 2a .
Câu 27. Cho lăng trụ đứng tam giác AB . C A BC
 , đáy là tam giác vuông tại 0 ,
A AC = a, ACB = 60 ,
AC = 3a . Thể tích khối lăng trụ đó là:
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 52
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 3 4 6a 3 2 6a 3 6a A. . B. 3 6a . C. . D. . 3 3 3
Câu 28. Cho khối hộp chữ nhật ABC . D A BCD
  có AB = a , AD = 2a , AA = 3a . Tính thể tích V của khối tứ diện . B A CD   . A B D C B' A' D' C' A. 3 V = 6a . B. 3 V = 2a . C. 3 V = a . D. 3 V = 3a . BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.D 3.C 4.B 5.D 6.D 7.A 8.B 9.B 10.A 11.B 12.A 13.D 14.C 15.C 16.A 17.A 18.A 19.C 20.A 21.D 22.B 23.D 24.A 25.A 26.A 27.B 28.C
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 53
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1
§7_TỶ SỐ THỂ TÍCH
LÝ THUYẾT CẦN NẮM. A
①. M, N bất N S kỳ trên AB, AN AM AMN M = . AC S AC AB ABC  B C A ②. Đường S 1 N AMN M = trung bình S 4 ABCMN B C ③ A . M, N, P là trung điể S S S S m 1 N AMN CPN BPMPMN M = = = = . của AB, AC, S S S S 4 ABC ABC ABC ABC BC B P C A ④. Trọng S S S 1 GBC GAC GAB = = = tâm G S S S 3 G ABC ABC ABC B C
DẠNG 1_TỶ SỐ CƠ BẢN CỦA KHỐI CHÓP TAM GIÁC. S P
①. M, N, P lần lượt N j V SP SM SN S .PMN thuộc SA, SC, SB M = . . B C V SB SA SC S . ABC A S N V SN ② S . ABN . N thuộc SC = V SC S . ABC A C B A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm ,
SA SB và SC . Khi đó tỉ số thể tích
giữa khối chóp S.MNP và khối chóp S.ABC bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 8 6 2
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 54
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 Lời giải Chọn B
Hai khối tứ diện cần tính tỉ số là S.MNP và S.ABC
M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC nên SM 1 SN 1 SP 1 = ; = ; = SA 2 SB 2 SC 2 V SM SN SP 1 1 1 1 S .MNP = . . = . . = . V SA SB SC 2 2 2 8 S . ABC
Ví dụ 2. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE = 3EB . Tính thể tích khối tứ diện . E BCD theo V . 3V 3V V V A. . B. . C. . D. . 4 2 3 4 Lời giải Chọn D A
Hai khối tứ diện cần tính tỉ số là A.ECD và . A BCD
AE = 3EB nên AB chia làm 4 phần AE 3 phần EB 1 phần AE 3 = AB 4 E V AE AC AD 3 AECD =   = 3 V = V . Do đó V AB AC AD 4 AECD 4 ABCD B D ABCD 3 1 V =V −V =V − V = V . E.BCD . A BCD . A ECD . A BCD 4 ABCD 4 ABCD C V
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính tỉ số S.ABC . VS.MNC 1 1 A. . B. . C. 2 . D. 4 . 2 4 Lời giải Chọn D
Hai khối tứ diện cần tính tỉ số là S.ABC và S.MNP SA SB
M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SBnên = 2; = 2 SM SN V SA SB SC S . ABC = . . = 2.2 = 4 . V SM SN SC S .MNC
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có A và B lần lượt là trung điểm của SA và SB . Biết thể tích khối
chóp S.ABC bằng 24 . Tính thể tích V của khối chóp S.A BC  .
A. V = 12 .
B. V = 8 .
C. V = 6 . D. V = 3 . Lời giải
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 55
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 Chọn C S A' B' A B C V     SA SB SC Ta có S.A B C = 1 1 . . = 1 . = V SA SB SC 2 2 4 S . ABC 1 Vậy V = 1 = =   .V .24 6 . S.A B C S. 4 ABC 4
B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Câu 1.
Cho hình chóp S.ABC có ASB = ASC = BSC = 60 và SA = 2 ; SB = 3 ; SC = 7 . Tính thể tích V của khối chóp. 7 2 7 2 A. V = 4 2 . B. V = . C. V = . D. V = 7 2 . 2 3 Câu 2.
Cho hình chóp S.ABC có A và B lần lượt là trung điểm của SA và SB . Biết thể tích khối
chóp S.ABC bằng 24 . Tính thể tích V của khối chóp S.A BC  . A. V = 3 . B. V = 12 . C. V = 8 . D. V = 6 . Câu 3.
Cho khối chóp S.ABC , M là trung điểm của cạnh .
BC Thể tích của khối chóp S.MAB là 3 2a .
Thể tích khối chóp S.ABC bằng. 3 a 1 A. 3 2a . B. 3 4a . C. . D. 3 a . 4 2 Câu 4.
Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và I là trung điểm CD , M là trung điểm BI . Tính thể
tích V của khối chóp . A MCD . A. V = 4 . B. V = 6 . C. V = 3 . D. V = 5 . Câu 5.
Cho tứ diện ABCD có DA = 1; DA ⊥ ( ABC ). A
BC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên cạnh DM 1 DN 1 DP 3 D , A D ,
B DC lấy 3 điểm M , N, P sao cho = ; = ;
= . Thể tích của tứ diện DA 2 DB 3 DC 4 MNPD bằng 2 3 3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 96 12 96 12 Câu 6.
Cho khối chóp S.ABCD có thể tích là 3
a . Gọi M , N, P,Q theo thứ tự là trung điểm của S , A S ,
B SC, S .
D Thể tích khối chóp S.MNPQ là: 3 a 3 a 2 a 3 a A. . B. . C. . D. . 16 8 4 6 Câu 7.
Cho khối chóp S.ABC . Gọi A , B lần lượt là trung điểm của SA và SB . Khi đó tỉ số thể tích
của hai khối chóp S.A BC
 và S.ABC bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 6 2 3
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 56
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 Câu 8.
Cho tứ điện MNPQ . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm các cạnh MN, MP, MQ . Tính tỉ số thể V tích MIJK . VMNPQ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 3 4 8 Câu 9.
Cho tứ diện ABCD . Gọi B và C lần lượt là trung điểm của A ,
B AC . Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện AB CD
 và khối ABCD bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 8
Câu 10. Cho khối tứ diện OABC với O , A O ,
B OC vuông góc từng đôi một và OA = , a OB = 2 , a OC = 3a
. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC . Thể tích của khối tứ diện OCMN tính theo a bằng: 3 3a 3 2a 3 a A. . B. 3 a . C. . D. . 4 3 4
Câu 11. Cho khối chóp S.ABC . Trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A , B , C sao cho 1 1 1 SA = SA ; SB = SB ; SC =
SC . Gọi V và V ' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC 3 4 2 V và S.A BC  . Khi đó tỉ số là V ' 1 1 A. . B. 24 . C. . D. 12 . 12 24
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC , mặt phẳng ( P) V
chứa AM và song song với BD , cắt SB và SD lần lượt tại B và D. Tỷ số S.AB'MD' là VS.ABCD 3 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 3 6 3 BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.D 3.B 4.B 5.C 6.B 7.A 8.D 9.B 10.D 11.B 12.D Hướng dẫn giải. Câu 1.
Cho hình chóp S.ABC có ASB = ASC = BSC = 60 và SA = 2 ; SB = 3 ; SC = 7 . Tính thể tích V của khối chóp. 7 2 7 2 A. V = 4 2 . B. V = . C. V = . D. V = 7 2 . 2 3 Lời giải Chọn B
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 57
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 S C' 3 7 2 A C B' B
Lấy hai điểm B , A lần lượt trên hai cạnh SB và SC sao cho SB = 2 , SC = 2 .
Ta có hình chóp S.AB C
  là hình tứ diện đều có cạnh bằng 2 . 3 2 2  V = 2 2 = . S . AB C   12 3 V     SA SB SC
Ta lại có: S.AB C = 2 2 . . = 4 . = . V SA SB SC 3 7 21 S . ABC 21VS.AB C V    = 21.2 2 = 7 2 = . S.ABC 4 3.4 2 Câu 2.
Cho hình chóp S.ABC có A và B lần lượt là trung điểm của SA và SB . Biết thể tích khối
chóp S.ABC bằng 24 . Tính thể tích V của khối chóp S.A BC  . A. V = 3 . B. V = 12 . C. V = 8 .
D. V = 6 Lời giải Chọn D S A' B' A B C V     SA SB SC Ta có S.A B C = 1 1 . . = 1 . = V SA SB SC 2 2 4 S . ABC 1 Vậy V = 1 = =   .V .24 6 . S.A B C S. 4 ABC 4 Câu 3.
Cho khối chóp S.ABC , M là trung điểm của cạnh .
BC Thể tích của khối chóp S.MAB là 3 2a .
Thể tích khối chóp S.ABC bằng. 3 a 1 A. 3 2a . B. 3 4a . C. . D. 3 a . 4 2 Lời giải Chọn B 3 V = 2V = 4a . S.ABC SMAB
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 58
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 Câu 4.
Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và I là trung điểm CD , M là trung điểm BI . Tính thể
tích V của khối chóp . A MCD . A. V = 4 . B. V = 6 . C. V = 3 . D. V = 5 . Lời giải Chọn B. Câu 5.
Cho tứ diện ABCD có DA = 1; DA ⊥ ( ABC ). A
BC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên cạnh DM 1 DN 1 DP 3 D , A D ,
B DC lấy 3 điểm M , N, P sao cho = ; = ;
= . Thể tích của tứ diện DA 2 DB 3 DC 4 MNPD bằng 2 3 3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 96 12 96 12 Lời giải Chọn C 1 3 3 V = . .1 = . ABCD 3 4 12 V DM DN DP 1 1 3 1 DMNP = . . = . . = . V DA DB DC 2 3 4 8 DABC 1 3 3 Suy ra V = . = . . DMNP 8 12 96 Câu 6.
Cho khối chóp S.ABCD có thể tích là 3
a . Gọi M , N, P,Q theo thứ tự là trung điểm của S , A S ,
B SC, S .
D Thể tích khối chóp S.MNPQ là: 3 a 3 a 2 a 3 a A. . B. . . C. . . D. 16 8 4 6 Chọn B 1
Ta có: Tứ giác MNPQ đồng dạng với tứ giác ABCD với tỉ số k = . 2 Đườ 1
ng cao h của hình chóp S.MNPQ bằng
đường cao h hình chóp S.ABCD 2 2 1 1  1  h Từ đó: V = .S .h = . .S . S .MNPQ   3 MNPQ 3  2 ABCD  2 3 1 a = V = . S. 8 ABCD 8 Câu 7.
Cho khối chóp S.ABC . Gọi A , B lần lượt là trung điểm của SA và SB . Khi đó tỉ số thể tích
của hai khối chóp S.A BC
 và S.ABC bằng:
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 59
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 6 2 3 Lời giải Chọn A V     SA SB 1 1 1 Ta có S.A B C = . = . = . V SA SB 2 2 4 S . ABC Câu 8.
Cho tứ điện MNPQ . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm các cạnh MN, MP, MQ . Tính tỉ số thể V tích MIJK . VMNPQ 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 3 4 8 Lời giải Chọn D V MI MJ MK 1 Ta có: MIJK = . . = . V MN MP MQ 8 MNPQ Câu 9.
Cho tứ diện ABCD . Gọi B và C lần lượt là trung điểm của A ,
B AC . Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện AB CD
 và khối ABCD bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 8 Lời giải Chọn B V ABAC 1 1 1
Ta có AB'C'D = . = . = . V AB AC 2 2 4 ABCD M K I J N Q P .
Câu 10. Cho khối tứ diện OABC với O , A O ,
B OC vuông góc từng đôi một và OA = , a OB = 2 , a OC = 3a
. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC . Thể tích của khối tứ diện OCMN tính theo a bằng: 3 3a 3 2a 3 a A. . B. 3 a . C. . D. . 4 3 4 Lời giải Chọn D 1  1  Ta có 3 V = . O .
A OB .OC = a (đvtt) OABC   . 3  2 
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 60
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG ÔN THI THPT QG 2021 – HH-12-C1 V CM .CN 1 3 1 a OCMN Ta có = = .Vậy V = V = . V . CA CB 4 OCMN 4 OABC 4 OCAB
Câu 11. Cho khối chóp S.ABC . Trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A , B , C sao cho 1 1 1 SA = SA ; SB = SB ; SC =
SC . Gọi V và V ' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC 3 4 2 V và S.A BC  . Khi đó tỉ số là V ' 1 1 A. . B. 24 . C. . D. 12 . 12 24 Lời giải Chọn B V SA SB SC Ta có = . . = 3.4.2 = 24. V '
SA' SB ' SC '
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC , mặt phẳng ( P) V
chứa AM và song song với BD , cắt SB và SD lần lượt tại B và D. Tỷ số S.AB'MD' là VS.ABCD 3 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 3 6 3 Lời giải Chọn D
Gọi O là tâm hình bình hành đáy.
I = AO SO S
Đường thẳng qua I và song song  
BD cắt SB, SD tại B , D . Ta có V = +   VVSAB MD SAB M SAMD VM D'SB SM 2 1 1 1 SAB M =  =  = nên V =  V V SB SC 3 2 3 6 SABCD SAB M B' I SABC A V D Tương tự  1 1 SAMD = nên V =  V do dó O V 3 6 SABCD SAMD B S 4CD C 1 V =   V . 3 SABCD SAB MD .
FB: ThayTrongDGl - biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công! 61