Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử

Tài liệu gồm 32 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm cần đạt, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán, tuyển chọn các bài tập từ cơ bản đến nâng cao chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, có đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập chương trình Đại số 8 chương 1: Phép nhân và phép chia các đa thức.

189 95 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

A. LÝ THUYẾT:

1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của

những đa thức

2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN:

ạ

ng 1:

Phân tích đa th

ứ

c thành nhân t

ử

ằ

ng phương pháp đ

ặ

t nhân t

ử

chung

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

3 2

2 6 4

x x x

 

2 2 2 2

3 9 12

x y xy x y

 









xy x y x y x

  

2 2

4 2

x y x y

  

Giải

a) Ta có:





3 2 2

2 6 4 2 3 2

x x x x x x

    

b) Ta có:





2 2 2 2

3 9 12 3 3 4

x y xy x y xy x y xy

    

c) Ta có:

















2 2

xy x y x y x xy x y x x y

      









x x y y x

  

d) Ta có:

   

2 2 2

4 2 2 2

x y x y x y x y

      





















2 2 2 2 2 1

x y x y x y x y x y

        









2 2 1

x y x y

   

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

 

2 2

x x

  

3 4 3 4

xy y x

  

2 2

4 3

x xy y

 

2 2

5 5

x y x y

  

Giải

a) Ta có:

     

3 3

2 2 2 2

x x x x

      

   





   

2 2 1 2 2 1 2 1

x x x x x

         













2 3 1

x x x

   

b) Ta có:

3 4 3 4 3 3 4 4

xy y x xy x y

      

















3 1 4 1 1 3 4

x y y y x

      

c) Ta có:

2 2 2 2

4 3 3 3

x xy y x xy xy y

     

















3 3

x x y y x y x y x y

      

d) Ta có:













2 2

5 5 5

x y x y x y x y x y

       









x y x y

   

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

 





 

2 2

2 2 4 2

x x x    

2 2

2 2 4

x xy y

 

2 2

2 4 4

x x y y

  









4 2 8 2

x x y y x y

  

Giải

a) Ta có:

 





 

2 2

2 2 4 2

x x x    

 









 

2 2

2 4 4 2

x x x x       

         

2 2

2 2 2 2 2 2

x x x x x x         

















2 2 2 2 2 2

x x x x x x

         













2 2 2 2 2 2 2 4

x x x x x x x x

        

b) Ta có:

2 2 2 2 2

2 2 4 2 2 2 2

x xy y x y xy y

     









2 2

x y y x y

   





















2 2 2 2

x y x y y x y x y x y y

        









2 3

x y x y

  

c) Ta có:

2 2 2 2

2 4 4 4 2 4

x x y y x y x y

      













2 2 2 2

x y x y x y

    









2 2 2

x y x y

   

d) Ta có:









4 2 8 2

x x y y x y

  

       

2 4 8 4 2 2 4 2

x y x y x y x y x y

       

Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Lưu ý: Với một số bài toán chưa tường minh để áp dụng hằng đẳng thức thì ta phải thực hiện

“thêm, bớt” một số hạng tử để xuất hiện dạng áp dụng hằng đẳng thức.

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

x x

 

3 2

2 12 24 16

x x x

  

   

3 3

x y x y

   c)

4 2

2 2 2

x x

 

Giải

a) Ta có:

2 2

1 1 1 1

4 2 4 2

x x x x x

 

      

 

 

b) Ta có:





3 2 3 2

2 12 24 16 2 6 12 8

x x x x x x

      





 

3 2 3

2 3. .2 3.4. 2 2 2

x x x x     

c) Ta có:

   

3 3

x y x y

  









3 2 2 3 3 2 2 3

3 3 3 3

x x y xy y x x y xy y

       





2 3 2 2

6 2 2 3

x y y y x y

   

d) Ta có:









4 2 4 2 4 2 2

2 2 2 2 1 2 2 1

x x x x x x x

        





















2 2 2 2

2 1 2 1 1

x x x x x x

       

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử



3 2

6 16

x x

 

2 2

1 1

36 4

a b



2 2

x x y y

  

Giải

a) Ta có:





4 4 2 2 2 2

4 4 4 4 4 4

x x x x x x

       

















2 2 2 2

4 2 4 2 2 4 2 4

x x x x x x x x

         

b) Ta có:

3 2 3 2

6 16 6 12 8 12 24

x x x x x x

       

       





 





3 2

2 12 2 2 2 12 2 4 8

x x x x x x x

           

c) Ta có:

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

36 4 6 2 6 2 6 2

a b a b a b a b

       

     

       

       

d) Ta có:

2 2

x x y y

  

2 2

2 1 2 1

x x y y

     









2 1 2 1

x x y y

     

      

2 2

1 1 1 1 1 1

x y x y x y

          









x y x y

   

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

 

x a

 

3 2

125 75 15 1

a a a

   

8 4

x x

 

7 2

2 1

x x x

  

Giải

a) Ta có:

      

2 2

25 5 5 5

x a x a x a x a

         

b) Ta có:

3 2

125 75 15 1

a a a

   

     

3 2 3

5 3. 5 3.5 1 1 5

a a a a

      

c) Ta có:





8 4 8 4 4 4 4

1 2 1 1

x x x x x x x

        

















4 2 4 2 4 2 4 2

1 1 1 1

x x x x x x x x

         

d) Ta có:

7 2 7 2

2 1 1

x x x x x x x

       









6 2

1 1

x x x x

    













3 3 2

1 1 1

x x x x x

     

















3 2 2

1 1 1 1

x x x x x x x

       









 





2 3

1 1 1 1

x x x x x

     









 





2 4

1 1 1

x x x x x

     









2 5 4 2

1 1

x x x x x x

      

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

4 81



8 4

98 1

x x

 

7 2

x x

 

7 5

x x

 

Giải

a) Ta có:

4 4 2 2

4 81 4 36 81 36

x x x x

    









 

2 2

2 2 2

2 9 36 2 9 6

x x x x

     









2 2

2 9 6 2 9 6

x x x x

    









2 2

2 6 9 2 6 9

x x x x

    

b) Ta có:





8 4 8 4 4

98 1 2 1 96

x x x x x

     













4 2 4 4 2 4 4

1 16 1 64 16 1 32

x x x x x x x

       









4 2 2 4 2

1 8 16 1 2

x x x x x

     









2 2

4 2 2 2

8 1 16 1

x x x x

    









2 2

4 2 3

8 1 4 4

x x x x

    









4 3 2 4 3 2

4 4 8 4 1 4 8 4 1

x x x x x x x x

        

c) Ta có:









7 2 7 2

1 1

x x x x x x

      









6 2

1 1

x x x x

    













3 3 2

1 1 1

x x x x x

     

















2 3 2

1 1 1 1

x x x x x x x

       





 





2 3

1 1 1 1

x x x x x

 

     

 









2 5 4 2

1 1

x x x x x x

      













7 5 7 5 2 2

1 1

x x x x x x x x

        

















3 3 2 3 2

1 1 1 1

x x x x x x x

       

























2 4 2 2 2

1 1 1 1 1

x x x x x x x x x x x

           













2 5 4 2 3 2

1 1

x x x x x x x x

 

        

 









2 5 4 3

1 1

x x x x x x

      

Lưu ý: Các đa thức có dạng

3 1 3 2

m n

x x

 

. Ví dụ như:

7 2

x x

 

;

7 5

x x

 

;

8 4

x x

 

;

x x

 

;

x x

 

; … đều có nhân tử chung là

x x

 

Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

2 2

x x y y

  

3 2 2

3 12 2

x xy xy y

  

3 2 3 2

x x xy y y

   

4 2 2

16 8 1

x x y

  

Giải

a) Ta có:





2 2 2 2

2 2 2

x x y y x y x y

      





















2 2

x y x y x y x y x y

        

b) Ta có:

3 2 2 3 2 2

3 12 2 3 12 2

x xy xy y x xy xy y

      





















2 2

3 4 2 3 2 2 2

x x y y x y x x y x y y x y

        









2 3 6

x y x xy y

   

c) Ta có:

3 2 3 2 3 3 2 2

x x xy y y x y x xy y

        













2 2 2 2

x y x xy y x xy y

      









2 2

x xy y x y

    

d) Ta có:

   

4 2

4 2 2 2

16 8 1 2 2. 2 1

x x y x x y

      

 





 





 





2 2 2

2 1 2 1 2 1

x y x y x y

       









2 2

4 1 4 1

x y x y

    

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

2 2

ax bxy bx axy

  

8 2

x x

 

2 4

2 4 8 3

x x y y

   

4 3

5 20 16

x x x

  

Giải

a) Ta có:

2 2 2 2

ax bxy bx axy ax bx axy bxy

      

























2 2

2 2 2 2

a b x xy a b a b x xy x a b x y

         

b) Ta có:

2 2

8 2 9 2 1

x x x x

     

       

9 1 3 1 3 1 4 2

x x x x x

          

c) Ta có:

2 4 2 4

2 4 8 3 2 1 4 8 4

x x y y x x y y

         

      

2 2

1 4 1 1 2 2 1 2 2

x y x y x y

          









2 1 2 3

x y x y

    

d) Ta có:

4 3 4 3

5 20 16 16 5 20

x x x x x x

      





















4 4 3 2 2 2

2 5 20 4 4 5 4

x x x x x x x

        





















2 2 2

4 4 5 4 1 4

x x x x x x

       

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

2 2

4 9 4 6

x y x y

  









3 2 2 3

1 3 3 1

x y x x y y

    

2 2

7 7

a x a y x y

  

     

2 2

1 5 5 1

x x x x x

    

Giải

a) Ta có:









2 2 2 2

4 9 4 6 4 9 4 6

x y x y x y x y

      





















2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2

x y x y x y x y x y

        

b) Ta có:









3 2 2 3

1 3 3 1

x y x x y y

    









3 2 2 3 3 2 2 3

3 3 3 3

x y x y xy x y x x y xy y x y

           

       

3 2

x y x y x y x y

 

       

 













1 1

x y x y x y

     

c) Ta có:









2 2 2 2

7 7 7 7

a x a y x y a x a y x y

      

















2 2

7 7

a x y x y x y a

      

d) Ta có:

     

2 2

1 5 5 1

x x x x x

    

           

2 2 2

1 5 1 5 1 5 5

x x x x x x x x x

 

          

 

     





5 1 5 3 1

x x x x x x

 

       

 

Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử













4 6 10 128

x x x x    b)

4 3 2

6 7 6 1

x x x x

   

Giải

a) Ta có:













4 6 10 128

x x x x   













10 4 6 128

x x x x    

   

   









2 2

10 10 24 128

x x x x     

(*)

Đặt

10 12

x x t

  

, khi đó phương trình (*) trở thành:

















2 2

12 12 128 144 128 16 4 4

t t t t t t

          





















2 2 2

10 8 10 16 2 8 10 8

x x x x x x x x

         

b) Giả sử



ta có:

4 3 2 2 2

6 1

6 7 6 1 6 7x x x x x x x

 

        

 

 

2 2

1 6

6 7

x x x

 

   

    

   

 

   

 

(*)

Đặt

t x

 

thì

2 2

x t

  

, khi đó phương trình (*) trở thành:

 

2 2 2 2

1 6

6 7 2 6 7

x x x x t t

 

   

       

   

 

   

 

   

 

2 2

3 3 3 3 1

x t xt x x x x x x

 

 

         

 

 

 

 

Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:









4 3 2 4 3 2 2

6 7 6 1 6 2 9 6 1

x x x x x x x x x

         

   





4 2 2

2 3 1 3 1 3 1

x x x x x x

       

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử





   

2 2

2 2 2

x y z x y z xy yz zx

      













   

2 4

4 4 4 2 2 2 2 2 2

2 2

x y z x y z x y z x y z x y z

            

Giải

a) Ta có:





   

2 2

2 2 2

x y z x y z xy yz zx

      





 





 

2 2 2 2 2 2

x y z xy yz zx x y z xy yz zx

 

          

 

(*)

Đặt

2 2 2

a x y z

  

b xy yz zx

  

, khi đó phương trình (*) trở thành:

   

2 2 2

2 2

a a b b a ab b a b

      





2 2 2

x y z xy yz zx

 

     

 

b) Ta có:













   

2 4

4 4 4 2 2 2 2 2 2

2 2

x y z x y z x y z x y z x y z

            

Đặt

4 4 4

a x y z

  

2 2 2

b x y z

  

c x y z

  

, khi đó ta có:









2 2 4 2 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2 2

a b bc c a b b bc c a b b c

           

(1)

Mặt khác ta có:





2 4 4 4 2 2 2

a b x y z x y z

      





4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2

2 2 2

x y z x y z x y y z z x

        





2 2 2 2 2 2

x y y z z x

   

 

2 2 2 2

b c x y z x y z

      





2 2 2 2 2 2

2 2 2

x y z x y z xy yz zx

        





xy yz zx

   

Do đó:

(1)









2 2

a b b c

   

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 4 4 4 4 4 8 8 8

x y y z z x x y y z z x x yz xy z xyz

         





xyz x y z

  

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

     

3 3 3

x y y z z x

     b)

   

2 2

     

a b c a b c c

Giải

a) Đặt

x y a

 

y z b

 

z x c

 

a b c

   

khi đó ta có:

     

3 3 3

x y y z z x a b c

       

 

2 2 3

3 3

a b a b ab c

    

     





 

2 2 2

3 3 3

a b c a b a b c c a b ab ab a b

           

























3 3

x y y z x y y z x y y z x z

           

b) Ta có:

   

2 2

     

a b c a b c c

    

2 2

a b c a b c c a b c c

         

       

3 3

a b c a b c a b c a b c a b c a b c

               

















2 2 2 2

a b c a b c a b c a b c

         

Dạng 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

4 3

x x

 

6 11 3

x x

 

3 2

2 5 4

x x x

  

2 2

4 2 4 4

x y x xy y

   

Giải

a) Ta có:

2 2

4 3 3 3

x x x x x

     

















1 3 1 1 3

x x x x x

      

b) Ta có:

2 2

6 11 3 6 2 9 3

x x x x x

     

















2 3 1 3 3 1 3 1 2 3

x x x x x

      

c) Ta có:

3 2 3 2 2

2 5 4 4 4

x x x x x x x x

        





















2 2

1 1 4 1 1 4

x x x x x x x x

         

d) Ta có:

2 2 2 2

4 2 4 4 4 4 2 4

x y x xy y x xy y x y

        

      

2 2 2 2 2 2

x y x y x y x y

       

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

3 4 1

x x

 

2 5 3

x x

 

3 2

2 6

x x x

 

3 2

2 13 6

x x x

  

Giải

a) Ta có:

2 3

3 4 1 3 3 1

x x x x x

     

















3 1 1 1 3 1

x x x x x

      

b) Ta có:

3 3 2 2

2 5 3 2 2 2 2 3 3

x x x x x x x

       





















2 2

2 1 2 1 3 1 1 2 2 3

x x x x x x x x

         

c) Ta có:





3 2 2

2 6 2 6

    

x x x x x x

























2 4 3 6 2 2 3 2 2 3 2

x x x x x x x x x x x

          

d) Ta có:

3 2 3 2 2

2 13 6 2 4 5 10 3 6

x x x x x x x x

        

















2 2

2 2 5 3 2 2 6 3

x x x x x x x

        





























2 2 1 3 2 1 2 2 1 3

x x x x x x x

        

Lưu ý: Khi thực hiện tách đa thức để nhóm thành các nhân tử chung ta có thể thực hiện

các bước như sau:

Bước 1: Thực hiện nhẩm nghiệm của đa thức

(thường các nghiệm

 

;

 

thỏa mãn).

Ví dụ:

3 4 1

x x

 

, với



thay vào ta được

3 4 1 0 1

    

là nghiệm của đa thức.

Bước 2: Thực hiện tách đa thức để có nhân tử chung là nghiệm của đa thức.

Ví dụ: Thực hiện tách đa thức để có



là nhân tử chung

















2 2

3 4 1 3 3 1 3 1 1 1 3 1

            

x x x x x x x x x x

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

3 2

4 11 8

x x x

  

3 2

2 5 4

x x

 

6 6 11 11

a ab a b

  

3 2

7 6

m m m

 

Giải

a) Nhận xét: Thực hiện nhẩm nghiệm ta thấy

 

là nghiệm của phương trình, do đó

nhân tử chung là







Ta có:

3 2 3 2 2

4 11 8 3 3 8 8

x x x x x x x x

        





















2 2

1 3 1 8 1 1 3 8

x x x x x x x x

         

b) Nhận xét: Thực hiện nhẩm nghiệm ta thấy



là nghiệm của phương trình, do đó

nhân tử chung là







Ta có:

3 2 3 2 2

2 5 4 2 4 2 2 4

x x x x x x x

       





















2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

x x x x x x x x

         

c) Nhận xét: Thực hiện nhẩm nghiệm ta thấy

a b



là nghiệm của phương trình, do đó

nhân tử chung là





a b



Ta có:

















6 6 11 11 6 11 6 11

a ab a b a a b a b a a b

         

d) Nhận xét: Thực hiện nhẩm nghiệm ta thấy

 

hoặc

 

là nghiệm của phương

trình, do đó nhân tử chung là







Ta có:

3 2 3 2 2

7 6 6 6

m m m m m m m

     

























2 2

6 6 6 1 6

m m m m m m m m m m

         

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

















1 2 3 4 8

x x x x

    

4 3 2

4 2 4 1

x x x x

   

Giải

a) Ta có:

















1 2 4 5 8

x x x x

    

















1 4 2 5 8

x x x x

     









2 2

3 4 3 10 8

x x x x

     

(*)

Đặt

3 7

t x x

  

, khi đó phương trình (*) trở thành:

















2 2

3 3 8 9 8 1 1 1

t t t t t t

          

















2 2 2 2

3 7 1 3 7 1 3 8 3 6

x x x x x x x x

           

b) Ta có:

4 3 2 2 2

4 1

4 2 4 1 4 2x x x x x x x

x x

 

        

 

 

2 2

1 1

4 2

x x x

x x

 

   

    

   

 

   

 

(*)

Đặt

2 2

1 1

t x x t

x x

     

, khi đó phương trình (*) trở thành:

















2 2 2 2 2 2

2 4 2 2 4 2 4 4

x t t x t t x t t

         

 

2 2 2

2 2 2 1

x t x x x x

 

       

 

 

Lưu ý: Khi thực hiện phân tích thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ như ví dụ

trên, thường gặp ở các dạng sau:

+) Dạng:

















x a x b x c x d t

    

+) Dạng:

4 3 2

ax bx cx bx a

   

Dạng 6: Tìm x với điều kiện cho trước

Phương pháp:

Áp dụng cách phân tích đa thức thành nhân tử chung, ta đưa biểu thức về dạng

. 0

A B



, khi đó

xảy ra các trường hợp:

TH1:











giải ra ta được giá trị x.

TH2:











giải ra ta tìm được giá trị x.

TH3:











giải ra ta được giá trị x.

Bài 1: Tìm

, biết:









1 2 2 1 2

x x x

   

 

4 1 0

x x

  

3 2

2 2 3 3 0

x x x

   





3 4 8 6 0

x x x

   

Giải

a) Ta có:









1 2 2 1 2 4 2 2

x x x x x x

        

 

0 0

3 0 3 0

3 0 3

x x

x x x x

x x

 

 

       

 

  

 

Vậy



và



thỏa mãn điều kiện bài toán.

b) Ta có:

 

4 1 0

x x

  

















2 1 2 1 0

x x x x

     

  

1 0

1 3 1 0

3 1 0

x x

 



 





     



 





Vậy

 

và



thỏa mãn điều kiện bài toán.

c) Ta có:









3 2 2 2

2 2 3 3 0 2 1 3 1 0

x x x x x x

        









1 2 3 0 2 3 0

x x x

      

(do

1 0

 

với mọi

)

 

Vậy



thỏa mãn điều kiện bài toán.

d) Ta có:













2 2

3 4 8 6 0 3 4 2 3 4 0

x x x x x x

        









2 3 4 0 3 4 0

x x x

      

(do

2 0

 

với mọi

)

 

Vậy



thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài 2: Tìm

biết:

2018 2017 0

x x

  

3 2

8 8

x x x

  

Giải

a) Ta có:

2 2

2018 2017 0 2017 2017 0

x x x x x

       

















1 2017 1 0 1 2017 0

x x x x x

        

1 0 1

2017 0 2017

x x

  

 

 

 

  

 

Vậy



và

2017



thỏa mãn điều kiện bài toán.

b) Ta có:









3 2 2

8 8 8 8 0

x x x x x x

       













8 1 0 8 0

x x x

      

(do

1 0

 

với mọi

)

 

Vậy



thỏa mãn điều kiện bài toán.

Lưu ý: Đối với bài b học sinh thường mắc sai lầm cách giải như sau:

Ta có:









3 2 2 2

8 8 8 8 1

x x x x x x x

          



phương trình vô nghiệm.

Vì vậy: Đối với những bài toán tương tự ta chỉ được phép rút gọn khi giá trị đó luôn khác 0. Còn

các trường hợp còn lại chúng ta phải nhóm thành nhân tử chung.

B.CÁC DẠNG BÀI TỔNG HỢP MINH HỌA NÂNG CAO

1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

   

2 2

) 1

a xy x y

  

   

2 2

) 4

b a b c a b c c

     





2 2

) 9 36

c a a

 

Hướng dẫn giải – đáp số

      

2 2

) 1 1 1

a xy x y xy x y xy x y

         









1 1 1 1

x y y x y y

      

   

   

















1 1 1 1

x y x y

    

    

) 2 2

b a b c a b c c a b c c

        

    

a b c a b c a b c

       









a b c a b c a b c

       

















2 2 2 2

a b c a b c a b c a b c

         













   

2 2

2 2 2 2

) 9 36 9 6 9 6 3 3

c a a a a a a a a         

2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

2 2

)3 3 2

a a b a ab b

   

2 2

) 2 2 2 1

b a ab b a b

    





2 2 2 2 2

c b c b c a

  

Hướng dẫn giải – đáp số

      

)3 3

a a b a b a b a b

      

     

2 2

) 2 1 1

b a b a b a b

      









2 2 2 2 2 2

) 2 2

c bc b c a bc b c a

     

   

2 2

b c a a b c

   

    

   

















b c a b c a a b c a b c

        

3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

2 2 2

) 4 4 9

a x xy y a

  









2 2 2 2

)

b xy a b ab x y

  









2 2 2

) 2

c x a b xy a b ay by

    

 

d xy x x y

 

Hướng dẫn giải – đáp số

      

2 2

2 2 2

) 4 4 9 2 3 2 3 2 3

a x xy y a x a x a x a

          









2 2 2 2 2 2 2 2

)

b xy a b ab x y xya xyb abx aby

      









2 2 2 2

xya abx xyb aby

   

















ax ay bx by bx ay ay bx ax by

      





















2 2 2 2 2

) 2 2

c x a b xy a b ay by x a b xy a b y a b

          

 





  

2 2

a b x xy y a b x y

      

     

3 3 3

)8 2

d xy x x y x y x y

 

    

 

       





2 2 2

2 4 2 3 3

x y x y y y x y x y x y x x y

 

         

 

4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

2 2 2 2

) 4 2

a A x x y y xy

   

6 6

)

b B x y

 













2 2 3 3 2 2 2 2

) 4 6 9

c C xy x y x y x y xy x y

       

2 2

) 25 2

d D a ab b

   

Hướng dẫn giải – đáp số

 

2 2 2 2 2 2

) 2 4 4

a A x xy y x y x y x y

      









2 2

x y xy x y xy

    

























3 3 3 3 2 2 2 2

)

b B x y x y x y x xy y x y x xy y

         

















2 2 2 2 2 2

) 4 6 9      

c C xy x y x y x y x y









2 2

4 6 6 9

x y xy x y

    













2 2

2 2 3 3 2 3

x y x y y    

 

 













2 2

2 3 2 3

x y x y

   





 

2 2

) 25 2 25

d D a ab b a b

      









5 5

a b a b

    

5. Phân tích đa thức thành nhân tử :

3 2 2 3

) 3 4 12

a x x y xy y

  

3 2 2 3

) 4 2 8

b x y xy x y

   













2 2

)3 36 108

c x a b c xy a b c y a b c

       









2 2

) 1 1

d a x x a

  

Hướng dẫn giải – đáp số

3 2 2 3

) 3 4 12

a x x y xy y

  









2 2

3 4 3

x x y y x y

   













2 2 3

x y x y x y

   

3 3 2 2

) 8 2 4

b x y x xy y

   













2 2 2 2

2 2 4 2 4

x y x xy y x xy y

      









2 2

2 1 2 4

x y x xy y

    









2 2

)3 12 36

c a b c x xy y

   

  

3 6

   

a b c x y

2 2

)

d ax a xa x

  









ax x a x a

   









x a ax

  

6. Phân tích đa thức thành nhân tử :

3 2

) 1 5 5 3 3

a x x x

    

5 4 3 2

) 1

b a a a a a

    

3 2 3

) 3 3 1

c x x x y

  

3 2 2 3

)5 3 45 27

d x x y xy y

  

Hướng dẫn giải – đáp số





















) 1 1 5 1 1 3 1

a x x x x x x

       









1 1 5 5 3

x x x x

      









1 6 9

x x x

   

  

1 3

x x  









3 2 2

) 1 1

b a a a a a

    









2 3

1 1

a a a

   













2 2

1 1 1

a a a a a

     

       

3 2

) 1 1 1 1

c x y x y x x y y

 

        

 









2 2

1 2 1

x y x x xy y y

       









2 2

) 5 3 9 5 3

d x x y y x y

  









2 2

5 3 9

x y x y

  













5 3 3 3

x y x y x y

   

7. Phân tích đa thức thành nhân tử :

3 2

) 1

a x x x

  

4 2

) 2 1

b x x x

  





2 2 2 2

)4 1

c a b a b

  

Hướng dẫn giải – đáp số

     





   

2 2

) 1 1 1 1 1 1

a x x x x x x x

        

 









4 2 2

) 1 1 1

b x x x x x x

      









2 2 2 2

) 2 1 2 1

c ab a b ab a b

     

   

2 2

1 1

a b a b

   

    

   

















1 1 1 1

a b a b a b a b

        

8. Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.Đặt





2 2 2 2 2

A x y x y z

   

.Chứng minh

rằng



Hướng dẫn giải – đáp số

Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ, phân tích A thành nhân tử, ta được :









2 2 2 2 2 2

2 2

A xy x y z xy x y z

      

        

2 2

x y z z x y x y z x y z z x y y z x

   

             

   

Do x, y, z là 3 cạnh của 1 tam giác, suy ra :

0, 0, 0, 0 0

x y z x y z z x y y z z A

             

9. Cho các số a, b lần lượt thỏa mãn các hệ thức :

3 2

3 5 17 0

3 5 11 0

a a a

b b b



   





   





.Tính

a b



Hướng dẫn giải – đáp số

Cộng vế theo vế của hai hẳng đẳng thức ta được :

3 2 3 2

3 5 17 3 5 11 0

a a a b b b

       





3 2 3 2

3 3 1 3 3 1 2 2 0

a a a b b b a b

           

     

3 3

1 1 2 1 1 0

a b a b

        









2 2

2 1 1 2 0

a b a a b b

         

Vì

2 2

1 1 1

1 1 2 3 0 2

2 2 2

a a b b a b a b

   

              

   

   

10. Cho a, b, c thỏa mãn

a b c abc

  

. Chứng minh rằng:

























2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 4

a b c b a c c a b abc

        

Hướng dẫn giải – đáp số

Xét vế trái, ta có :

























2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

a b c b a c c a b

       













2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

a b c b c b a c a c c a b a b

           

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

ab c ab ac a a bc a b bc b a b c a c b c a

           

















2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a b c a b ab a b c ac a c a bc bc b c ab c

           













abc ab a b abc ac c a abc bc c b abc

         

abc abc abc abc abc

    

D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1

Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để phân tích thành tích hoặc rút gọn biểu thức cho

trước.

Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:

3 3

x y



6 3

a b



3 3

64 125

y x



Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:

2 2

1 1 2

2 4

3 9 3

x y x xy y

  

  

  

  

2 4 2

1 1 1

3 3 9

x x x

  

  

  

  

















2 2

2 2 4 2 2 4

x x x x x x

     

















2 2 2 2

2 4 2 2 4 2

x y x xy y x y x xy y

      

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:













1 1 1

x x x x

    

















3 2

3 3 3 9 6 1

x x x x x

      

























3 3

2 2

5 5 25 3 2 2 4 1

x x x x x x x x

          

















3 3

2 2

3 2 4 5 16 20 25 2

x y x y x xy y y x

      

Dạng 2: Tìm x.

Bài 4: Tìm

biết:

( 1)( 1) ( 2)( 2) 5

x x x x x x

      













3 3 2

1 1 6 1 10

x x x

      

















3 3 9 2 2 1

x x x x x x

      

















2 2

1 3 3 9 3 4 2

x x x x x

       

Bài 5: Tìm

biết:













2 2

2 2 4 2 15

x x x x x

     

















3 2

2 4 4 16 6 1 49

x x x x x

       

   





 

1 2 4 2 3 2 16

x x x x x x

       

   





 

3 2

3 3 3 9 9 1 15

x x x x x

       

Dạng 3: Tính nhanh.

Bài 6: Tính nhanh.

101

Bài 7: Tính nhanh.

3 3

17 3



24 64



Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức.

Bài 8: a) Tính giá trị của phân thức

2 1

x x





 

tại

 

b) Tính giá trị của phân thức

2 4

x x





 

tại

 

c) Tính giá trị của biểu thức









27 3 3 9

K x x x

    

tại

 

Bài 9:

a) Cho

x y

 

và

2 2

x y

 

Tính

3 3

x y



b) Cho

x y

 

và

2 2

15.

x y

 

Tính

3 3

x y



Dạng 5: Chứng minh đẳng thức.

Bài 10: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến













2 3

2 3 4 6 9 2 4 1

A x x x x

     













2 3

3 3 9 20

B x x x x

     

















2 2

3 . 3 2 3 1 9 3 1 6 1

C y y y y y y

         

Bài 11:

a) Cho

a b

là các số tự nhiên. Chứng minh rằng: nếu

3 3

a b



chia hết cho 3 thì

a b



chia

hết cho 3.

b) Cho

3 3 3 3

1 2 3 ... 10

A     

. Chứng minh rằng:



LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1

Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để phân tích thành tích hoặc rút gọn biểu thức cho

trước.

Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:

3 3

x y



       





3 2

3 2 2 2

2 2 2 2 2 2 4

x y x y x xy y x y x xy y

 

         

 

6 3

a b



        

3 2

2 3 2 2 2 2 2 4 2 2

a b a b a a b b a b a a b b

 

         

 

3 3

64 125

y x



           





3 3 2 2

2 2

4 5 4 5 4 4 .5 5 4 5 16 20 25

y x y x y y x x y x y xy x

 

         

 



   

3 2

1 1 1 1 1 3 1

3 3 3 3 . 3 9

2 2 2 2 2 2 4

x x x x x x x

 

        

         

 

        

        

 

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:

2 2

1 1 2

2 4

3 9 3

x y x xy y

  

  

  

  

 

3 3

1 1

2 8

3 27

x y x y

 

   

 

 

2 4 2

1 1 1

3 3 9

x x x

  

  

  

  

 

2 6

1 1

3 27

x x

 

   

 

 

















2 2

2 2 4 2 2 4

x x x x x x

     

 





 





















2 2

2 2 3 3 3 3 3 3 6

2 2 4 . 2 2 4 2 . 2 2 64

x x x x x x x x x x

   

             

   

















2 2 2 2

2 4 2 2 4 2

x y x xy y x y x xy y

      

   

3 3

3 3 3 3 3 3 3

2 2 8 8 2

x y x y x y x y y

 

        

 

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:













1 1 1

x x x x

    





3 2 3 3 3 2 3 2

3 3 1 1 3 3 1 1 3 3

x x x x x x x x x x

              

















3 2

3 3 3 9 6 1

x x x x x

      









3 2 2 3 3 3 2

3 2 3 2

3 .3 3 .3 3 3 6. 2 1

9 27 27 27 6 12 6

3 39 6

x x x x x x

x x

        

        

   

























3 3

2 2

5 5 25 3 2 2 4 1

x x x x x x x x

          









3 3 3 2 2 3 3 3 3 2

3 3 2 3 3 2

5 3 .3 3 .3 3 2 3 3 1

125 9 27 27 8 3 3 1

6 30 91

x x x x x x x x

x x

           

           

   

















3 3

2 2

3 2 4 5 16 20 25 2

x y x y x xy y y x

      

               

3 2 2 3 3 3 2 3

3 2

3 2 2 3 3 3 3 2 2 3

3 2 2 3

3 3. 3 .2 3.3 . 2 2 4 5 3. .2 3 . 2 2

27 54 36 8 64 125 6 12 8

29 42 42 118

x x y x y y x y y y x y x x

x x y xy y x y y xy x y x

x x y xy y

 

         

 

         

    

Dạng 2: Tìm x.

Bài 4: Tìm

biết:

( 1)( 1) ( 2)( 2) 5

x x x x x x

      





3 2

3 3

1 4 5

4 6

x x x

    

    

 













3 3 2

1 1 6 1 10

x x x

      









3 2 3 2 2

3 3 1 3 3 1 6 2 1 10

3 3 1 3 3 1 6 12 6 10

12 6

x x x x x x x x

            

            

  



 

















3 3 9 2 2 1

x x x x x x

      





3 3 2 2

3 2 1

x x x

    

3 3

27 4 1

x x x

    

4 28

 

















2 2

1 3 3 9 3 4 2

x x x x x

       





3 2 3 3 2

3 3 1 3 3 12 2

x x x x x

        

3 2 3 3 2

3 3 1 3 3 12 2

x x x x x

        

3 42

 

Bài 5: Tìm

biết:













2 2

2 2 4 2 15

x x x x x

     

3 3 3

2 2 15

2 7

x x x

    

  



 

















3 2

2 4 4 16 6 1 49

x x x x x

       









3 2 2 3 3 3 2

3 2 3 2

3. .2 3. .2 2 4 6. 2 1 49

6 12 8 64 6 12 6 49

24 13

x x x x x x

         

         

  



 

   





 

1 2 4 2 3 2 16

x x x x x x

       

3 2 3 3 2

3 2 3 2

3 3 1 2 3 6 16

3 3 1 8 3 6 16

9 9

x x x x x x

        

 

   





 

3 2

3 3 3 9 9 1 15

x x x x x

       

















   

3 2

3 2 2 3 3 3 2

3 2 3 2

3 3 3 9 9 1 15

3 .3 3 .3 3 3 9. 2 1 15

9 27 27 27 9 18 9 15

45 6

x x x x x

x x x x x x

       

         

         

 

Dạng 3: Tính nhanh.

Bài 6: Tính nhanh.

Áp dụng kiến thức:









3 3

A B A B AB A B

    

và









3 3

A B A B AB A B

    









3 3 3

29 30 1 30 1 3.30.1. 30 1 27000 1 90.29 27000 1 2610 2

4389

            

101









3 3 3

101 100 1 100 1 3.100.1. 100 1 1000000 1 300.101 10

00000 1 30300 1030301

            

Bài 7: Tính nhanh.

3 3

17 3











3 3 3

17 3 17 3 3.17.3. 17 3 20 153.20 8000 3060 4940

         

24 64











3 3 3 3

24 64 24 4 24 4 3.24.4. 24 4 20 288.20 8000 5760 1376

           

Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức.

Bài 8: a) Tính giá trị của phân thức

2 1

x x





 

tại

 

Ta có









 

3 2

1 1

2 1 1

x x x

  

  

  



Thay

 

vào

x x

 





ta được









 

1 1 1

1 1

1 1 2 2

   

   

  

b) Tính giá trị của phân thức

2 4

x x





 

tại

 

Ta có









3 3

2 2

2 2 4

2 4 2 4

x x x

M x

x x x x

  



   

   

Thay

 

vào

M x

 

ta được

2 2 0.

   

c) Tính giá trị của biểu thức









27 3 3 9

K x x x

    

tại

 

Ta có









2 3 3

27 3 3 9 27 27 .

K x x x x x

        

Thay

 

vào

K x



ta được





3 27.

   

Bài 9:

a) Cho

x y

 

và

2 2

x y

 

Tính

3 3

x y



Ta có:









2 2 2

2 3 5 4 2.

xy x y x y xy

        

Ta lại có:









3 3 3

3 3 3.2.3 27 18 9.

x y x y xy x y

         

b) Cho

x y

 

và

2 2

15.

x y

 

Tính

3 3

x y



Ta có









2 2 2

2 15 3 6 3.

xy x y x y xy

        

Ta lại có









3 3 3

3 3 3.3.3 27 27 54.

x y x y xy x y         

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức.

Bài 10: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến













2 3

2 3 4 6 9 2 4 1

A x x x x

     





3 3 3 3

2 3 8 2 8 27 8 2 29.

A x x x x        













2 3

3 3 9 20

B x x x x

     

3 3 3

3 20 27 20 7

B x x

      

















2 2

3 . 3 2 3 1 9 3 1 6 1

C y y y y y y

         

















2 2

3 . 3 2 3 1 9 3 1 6 1

C y y y y y y

         













2 3 2

3 . 9 12 4 27 1 36 12 1

y y y y y y

       

3 2 3 2

27 36 12 27 1 36 12 1

y y y y y y

       



Bài 11:

a) Cho

a b

là các số tự nhiên. Chứng minh rằng: nếu

3 3

a b



chia hết cho 3 thì

a b



chia

hết cho 3.

Ta có









3 3

a b a b ab a b

    

Vì

3 3

a b



chia hết cho 3 và





ab a b



chia hết cho 3 nên





a b

 chia hết cho 3

Do đó

a b



chia hết cho 3 (đpcm).

b) Cho

3 3 3 3

1 2 3 ... 10

A     

. Chứng minh rằng:



Ta có

3 3 3 3

1 2 3 ... 10

A     













3 3 3 3 3 3

1 10 2 9 ... 5 6

      

























2 2 2 2 2 2

1 10 1 10.1 10 2 9 2 2.9 9 ... 5 6 5 5.6 6

            

11.111 11.103 ... 11.91

   





11. 111 103 ... 91

   

PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ 2-TỔNG HỢP

Bài 1. Khai triển các hằng đẳng thức sau:

 

) 2 3

a x 

) 3

b x y

 



 

 





2 2

) 2

c x y







2 2

)

d x y x



Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng hằng đẳng thức:

) 4 4

a x x

 

) 8 16

b x x

 

)9 12 4

c x x

 

1 1

) .

2 2

d x y x y

   

 

   

   









2 2

) 1 . 1

e xy xy

 

   

f) 3 2 4 3 2 4

x y x y

   

Bài 3. Điền vào chỗ trống để được những hằng đẳng thức đúng :

)9 6 .... .......

a a a  

).... 8 .......

b xy y  

2 2

)25 .... 16 .......

c x y  

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:

   

2 2

)

a A x y x y

   

2 2

) 3( ) 2( ) ( )( )

c B x y x y x y x y

      

2 2

(2 1) 2( ) 9

) 2 3xb xC

    

2 2

(2 3) 2(2 3)(2 6) ()

x 3)

d D x x x

      

Bài 5. Tính giá trị của biểu thức:

 

) ( 2)(2 4) 2 1 2 ( 3)

a A x x x x x

      

với

 

2 2

) (2 1) ( 1) 3( 2)( 2)

b B x x x x

      

với















2 2

) 2

c C x y x y x y

     

với

0,75



Bài 6. a) Cho

2 2

x y

  

. Tính giá trị của biểu thức:

2 2

4 4 4 2 6

A x xy y x y

     

b) Cho

x y

 

. Tính giá trị của biểu thức:

2 2

3 2 3 2 6 100

B x x y y xy

     

Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

2 5

A x x



 





2 3

B x x

 

2 2

) 6 10

c C x y x y

    

















) 1 2 3 6

d x x x x

   

Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

) 4 3

a A x x

  

) 2 3 7

b B x x

   

2 2

12 8 4 1

F x y x y

    

Bài 9. Cho a, b, c, d là các số khác 0 và

















a b c d a d c d a b c d a b c d

            

Chứng minh rằng:

a b

c d



Bài 10. Cho

2 2 2

a b c ab bc ca

    

. Chứng minh rằng:

a b c

 

LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỔNG HỢP SỐ 2

Bài 1. Khai triển các hằng đẳng thức sau:

 

) 2 3

a x 

) 3

b x y

 



 

 





2 2

) 2

c x y







2 2

)

d x y x



Lời giải:

 

) 2 3 4 12 9

a x x x

   





2 2 4 2 2 4

) 2 4 4

c x y x x y y

   

2 2

1 1

) 3 9 3

2 4

b x y x xy y

 

   

 

 





2 2 4 3 2 4 2

) 2

d x y x x x y y x

   

Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng hằng đẳng thức:

) 4 4

a x x

 

) 8 16

b x x

 

)9 12 4

c x x

 

1 1

) .

2 2

d x y x y

   

 

   

   









2 2

) 1 . 1

e xy xy

 

   

f) 3 2 4 3 2 4

x y x y

   

Lời giải

 

) 4 4 2

a x x x   

 

) 8 16 4

b x x x   

 

)9 12 4 3 2

c x x x   

2 2

1 1 1

) .

2 2 4

d x y x y x y

   

   

   

   









2 2 2 4

) 1 . 1 1

e xy xy x y

   

     

2 2

f) 3 2 4 3 2 4 3 2 2

x y x y x y      

Bài 3. Điền vào chỗ trống để được những hằng đẳng thức đúng :

)9 6 .... ....

a a a

  

).... 8 .....

b xy y  

2 2

)25 .... 16 .....

c x y  

Lời giải

 

)9 6 1 3 1

a a a a

   

 

2 2

)16 8 4

b x xy y x y

   

 

2 2

)25 40 16 5 4

c x xy y x y

   

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:

   

2 2

)

a A x y x y

   

2 2

) 3( ) 2( ) ( )( )

c B x y x y x y x y

      

2 2

(2 1) 2( ) 9

) 2 3xb xC

    

2 2

(2 3) (2 3)(2 (3 )

d 6)) D

x x x x

      

Lời giải

   

2 2

2 2 2 2

) 2 2 4

a A x y x y x xy y x xy y xy

          

2 2 2 2 2

(3 1) 2(2 3) 9 9 6 1 8 12 18 9 6 8

)b C

x x x x x x x x

              

2 2

2 2 2 2 2 2

) 3( ) 2( ) ( )( )

3 6 3 2 4 2

2 10

c B x y x y x y x y

x xy y x xy y x y

y xy

      

       

 

 

2 2

(2 3) (2 3)(2 6) (3 )

(2 3

) 2(2 3)( 3

)

(x 3

x x x x

x x x

x x



      

    





  



Bài 5. Tính giá trị của biểu thức:

 

) ( 2)(2 4) 2 1 2 ( 3)

a A x x x x x

      

với

 

2 2

) (2 1) ( 1) 3( 2)( 2)

b B x x x x

      

với















2 2

) 2

c C x y x y x y

     

với

0,75



Lời giải

 

2 2 2

) ( 2)(2 4) 2 1 2 ( 3)

2 4 4 4 1 2 6

10 9

a A x x x x x

x x x x x

      

      

  

Với

 

thay vào biểu thức A ta được:

10. 9 7



 

    

 

 

Vậy

 

tại

 

 

2 2

2 2 2

) (2 1) ( 1) 3( 2)( 2)

4 4 1 2 1 3 4

6 12

b B x x x x

x x x x x

      

       

 

Thay



vào biểu thức B, ta được:

6. 12 13

  

Vậy



tại















2 2

) 2

c C x y x y x y

     

      

 

2 2

x y x y x y x y

x y x y

      

   



Thay

0,75



vào biểu thức C, ta được:

3 9

4 4

 

 

 

 

Bài 6. a) Cho

2 2

x y

  

. Tính giá trị của biểu thức:

2 2

4 4 4 2 6

A x xy y x y

     

a) Cho

x y

 

. Tính giá trị của biểu thức:

2 2

3 2 3 2 6 100

B x x y y xy     

Lời giải

   

2 2

) 4 4 4 2 4

2 2 2 4

a A x xy y x y

x y x y

     

    

Thay

2 2

x y

  

vào biểu thức A, ta được:





2 2( 2) 6

    



2 2

3 2 3 2 6 100

B x x y y xy     









   

2 2

3 2 2 100

3 2 100

x xy y x y

x y x y

     

    

Thay

x y

 

vào biểu thức B, ta được:

3.5 2.5 100

  

 

Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

2 5

A x x



 





2 3

B x x

 

2 2

) 6 10

c C x y x y

    

















) 1 2 3 6

d x x x x

   

Lời giải:

2 2

) 6 10

c C x y x y

    





) 2 5 2 1

a A x x x

    



Vì





2 0,

x x

  





2 1 1,

x x

    

Dấu “ =” xảy ra khi

 

Vậy Min



tại

 





) 2 3

2 6

3 9 9

2 2.

2 4 2

3 9

2 2

b B x x

x x

 

 

   

 

 

 

  

 

 

Vì

x x

 

  

 

 

3 9 9

2 ,

2 2 2

x x

 

     

 

 

Dấu “ =” xảy ra khi



Vậy Min



 tại



2 2

) 6 10

c C x y x y

    

 

1 3

2 4

x y

 

    

 

 

Vì

 

0; 3 0, ,

x y x y

 

    

 

 

 

1 3 3

3 , ,

2 4 4

x y x y

 

      

 

 

Dấu “ =” xảy ra khi

; 3.

x y

  

Vậy Min



tại

; 3.

x y

  

Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

) 4 3

a A x x

  

) 2 3 7

b B x x

   

2 2

) 12 8 4 1

c C x y x y

    

Lời giải:

) 4 3

a A x x

  





2 7

   

Vì

   

2 2

2 0, 2 7 7,

x x x x

         

Dấu “ =” xảy ra khi



Vậy Max



khi



) 2 3 7

b B x x

   

3 9 65

2 2.

4 16 8

3 65

4 8

x x

 

    

 

 

 

   

 

 

Vì

2 2

3 3 65 65

2 0, 2 ,

4 4 8 8

x x x x

   

         

   

   

Dấu “ =” xảy ra khi



Vậy Max

A 

khi



2 2

) 12 8 4 1

c C x y x y

    









   

2 2

4 12 9 8 16 26

2 3 4 26

x x y y

x y

       

     

Vì

       

2 2 2 2

0, , 26, ,

2 3 0; 4 2 3 4 26

x y x

x y

x y            

Dấu “ =” xảy ra khi

; y 4.

  

Vậy Max



khi

; y 4.

  

Bài 9. Cho a, b, c, d là các số khác 0 và

















a b c d a b c d a b c d a b c d

            

Chứng minh rằng:

a b

c d



Lời giải:

















a b c d a b c d a b c d a b c d

            

       

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 0

a d b c a d b c

a ad d b bc c a ad d b bc c

ad bc

a b

c d

   

       

   

            

 

Bài 10. Cho

2 2 2

a b c ab bc ca

    

. Chứng minh rằng:

a b c

 

Lời giải:

2 2 2

a b c ab bc ca

    





 

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 0

2 2 2 0

a b c ab bc ca

a ab b b bc c c ca a

      

         

     

2 2 2

a b b c c a

      

(*)

Vì

     

2 2 2

0; 0; 0, , ,

a b b c c a a b c

      

nên từ (*) suy ra:

a b b c c a

     

hay

a b c

 

========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/32

| | Tải xuống

Preview text:

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A. LÝ THUYẾT:
1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức
2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.
4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN:
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 3 2 2x  6x  4x b) 2 2 2 2 3x y  9xy 12x y
c) 2xyx  y  x y  x d) 2 2 x  4y  x  2y Giải a) Ta có: 3 2 x  x  x  x 2 2 6 4 2 x  3x  2 b) Ta có: 2 2 2 2
3x y  9xy 12x y  3xy x  3y  4xy
c) Ta có: 2xyx  y  x y  x  2xyx  y  xx  y
 x x  y2y  x
d) Ta có: x  y  x  y  x   y2 2 2 2 4 2 2  x  2y
 x  2yx  2y  x  2y  x  2yx  2y   1
 x  2y x  2y   1
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x  3 2  2  x b) 3xy  4y  3x  4 c) 2 2 x  4xy  3y d) 2 2 x  y  5x  5y Giải
a) Ta có: x  3   x  x  3 2 2 2   x  2  x   x  2 2 2  
1   x  2 x  2   1  x  2   1
 x  2 x  3x   1
b) Ta có: 3xy  4y  3x  4  3xy  3x  4  4y  3x y   1  4 y   1   y   1 3x  4 c) Ta có: 2 2 2 2
x  4xy  3y  x  xy  3xy  3y
 xx  y  3yx  y  x  y x  3y d) Ta có: 2 2
x  y  5x  5y   x  y x  y  5 x  y
 x  yx  y  5
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x  2  x    x  2 2 2 2 4 2 b) 2 2 2x  2xy  4y c) 2 2 x  2x  4y  4y
d) 4xx  2y  8yx  2y Giải
a) Ta có: x  2  x    x  2 2 2 2 4 2
 x  2  x    x    x  2 2 2 2 4 4 2
 x  2  x  x     x  x    x  2 2 2 2 2 2 2
 x  2x  2  x  2  x  2x  2  x  2
 x x    xx    xx   x   2 2 2 2 2 2 2 2  4x b) Ta có: 2 2 2 2 2
2x  2xy  4y  2x  2y  2xy  2y   2 2
2 x  y   2yx  y
 2 x  y x  y  2y x  y  2x  yx  y  2y
 2x  yx  3y c) Ta có: 2 2 2 2
x  2x  4y  4y  x  4y  2x  4y
 x  2yx  2y  2x  2y
 x  2yx  2y  2
d) Ta có: 4xx  2y 8y x  2y
 x  y x  y   x  yx  y  x  y2 2 4 8 4 2 2 4 2
Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Lưu ý: Với một số bài toán chưa tường minh để áp dụng hằng đẳng thức thì ta phải thực hiện
“thêm, bớt” một số hạng tử để xuất hiện dạng áp dụng hằng đẳng thức.
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 1 2 x  x  b) 3 2 2x 12x  24x 16 4
c)   3   3 x y x y c) 4 2 2x  2x  2 Giải 2 a) Ta có: 1 1 1  1 2 2 
x  x   x  2 x   x    4 2 4  2  b) Ta có: 3 2 x  x  x    3 2 2 12 24 16 2 x  6x 12x  8  x  x  x     x  3 3 2 3 2 3. .2 3.4. 2 2 2
c) Ta có:   3   3 x y x y   3 2 2 3
x  x y  xy  y   3 2 2 3 3 3 x  3x y  3xy  y  2 3  x y  y  y  2 2 6 2 2 3x  y  d) Ta có: 4 2 x  x    4 2 x  x     4 2 2 2 2 2 2 1 2 x  2x 1 x    x  2 2 2
 x    2x   x 2 2 1 2 1 x 1 x
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 4 x  4 b) 3 2 x  6x 16 c) 1 1 2 2 a  b d) 2 2 x  2x  y  2y 36 4 Giải
a) Ta có: x   x  x   x  x  2 4 4 2 2 2 2 4 4 4 4 4  4x   2 x   x 2 x   x   2 x  x   2 4 2 4 2 2 4 x  2x  4 b) Ta có: 3 2 3 2
x  6x 16  x  6x 12x  8 12x  24
 x  3  x    x   x  2    x   2 2 12 2 2 2 12 2 x  4x  8 2 2 c) Ta có: 1 1  1   1   1 1   1 1 2 2  a  b  a  b  a  b . a  b         36 4  6   2   6 2   6 2  d) Ta có: 2 2 x  2x  y  2y 2 2
 x  2x 1 y  2y 1
 x  x     2 2 1 y  2y   1
 x  2   y  2 1 1   x 1 y   1 x 1 y   1
 x  yx  y  2
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x  a2  25 b) 3 2 125a  75a 15a 1 c) 8 4 x  x 1 d) 7 2 x  x  2x 1 Giải a) Ta có: x  a2   x  a2 2 25
 5  x  a  5x  a  5 b) Ta có: 3 2 125a  75a 15a 1
  a3   a2  a     a3 5 3. 5 3.5 1 1 5
c) Ta có: x  x   x  x   x  x  2 8 4 8 4 4 4 4 1 2 1 1  x   4 2 x   x  4 2 x   x    4 2 x  x   4 2 1 1 1 x  x   1 d) Ta có: 7 2 7 2
x  x  2x 1  x  x  x  x 1  x  6 x     2 1 x  x   1  x  3 x   3 x     2 1 1 x  x   1  x  3 x  x   2 x  x     2 1 1 1 x  x   1   2 x  x  x 3 1 x   1  x   1   1   2 x  x   4 1 x  xx   1   1   2 x  x   5 4 2 1 x  x  x  x   1
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 4 4x  81 b) 8 4 x  98x 1 c) 7 2 x  x 1 d) 7 5 x  x 1 Giải a) Ta có: 4 4 2 2
4x  81  4x  36x  81 36x
  x  2  x   x  2   x2 2 2 2 2 9 36 2 9 6   2 x   x 2 2 9 6 2x  9  6x   2 x  x   2 2 6 9 2x  6x  9 b) Ta có: 8 4 x  x    8 4 x  x   4 98 1 2 1  96x  x  2 4 2  x  4 x   4 2  x  x  4 x   4 1 16 1 64 16 1  32x  x   x 2 4 2 2  x  4 2 1 8 16 x 1  2x 
 x  x  2  x x  2 4 2 2 2 8 1 16 1
 x  x  2   x  x2 4 2 3 8 1 4 4   4 3 2
x  x  x  x   4 3 2 4 4 8 4
1 x  4x  8x  4x   1 c) Ta có: 7 2 x  x    7 x  x   2 1 x  x   1  x 6 x     2 1 x  x   1  x 3 x   3 x     2 1 1 x  x   1  x x   2 x  x   3 x     2 1 1 1 x  x   1   2
x  x   xx     3 1 1 x   1 1   2 x  x   5 4 2 1 x  x  x  x   1 d) 7 5 x  x    7 x  x   5 2 x  x    2 1 x  x   1  x 3 x   3 x   2  x  3 x     2 1 1 1 x  x   1   2
x  x   x   4 x  x 2  x x   2 x  x     2 1 1 1 1 x  x   1   2 x  x   5 4 2
x  x  x  x   3 2 1 x  x  1   2 x  x   5 4 3 1 x  x  x  x   1
Lưu ý: Các đa thức có dạng 3m1 3n2 x  x 1. Ví dụ như: 7 2 x  x  1; 7 5 x  x 1; 8 4 x  x 1; 5 x  x  1; 8
x  x  1; … đều có nhân tử chung là 2 x  x  1
Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2 2 x  2x  2y  y b) 3 2 2 3x  xy 12xy  2y c) 3 2 3 2 x  x  xy  y  y d) 4 2 2 16x  8x  y 1 Giải a) Ta có: 2 2 2 2
x  2x  2 y  y  x  y  2 x  y
 x  yx  y  2x  y  x  yx  y  2 b) Ta có: 3 2 2 3 2 2
3x  xy 12xy  2y  3x 12xy  xy  2y  x 2 2
3 x  4 y   yx  2y  3x x  2y x  2y  yx  2y  x  y 3 2 3x  6xy  y c) Ta có: 3 2 3 2 3 3 2 2
x  x  xy  y  y  x  y  x  xy  y     2 2    2 2 x y x xy y x  xy  y    2 2
x  xy  y x  y   1
d) Ta có: x  x  y    x4   x2 4 2 2 2 16 8 1 2 2. 2 1 y 2
`   x2    y   x2   y x2 2 2 1 2 1 2 1 y   2 x   y 2 4 1 4x 1 y
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2 2 ax  2bxy  2bx  axy b) 2 8  x  2x c) 2 4 x  2x  4 y  8y  3 d) 4 3 x  5x  20x 16 Giải a) Ta có: 2 2 2 2
ax  2bxy  2bx  axy  ax  2bx  axy  2bxy  a  b 2
x  xy a  b  a  b 2 2 2 2
x  xy  xa  2bx  y b) Ta có: 2 2
8  x  2x  9  x  2x 1   x  2 9 1  3  x   1 3 x  
1  4  x2  x c) Ta có: 2 4 2 4
x  2x  4 y  8y  3  x  2x 1 4y  8y  4
 x  2   y  2 1 4
1   x 1 2y  2 x 1 2y  2  x  2y   1  x  2y  3 d) Ta có: 4 3 4 3
x  5x  20x 16  x 16  5x  20x   4 4 x 
 3x  x   2x   2x   x 2 2 5 20 4 4 5 x  4   2 x   2 x   x   2 4 4 5 x  4x   1  x  4
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2 2 4x  9y  4x  6 y b) 3 x  y  2  x   x 2 y   3 1 3 3 1  y c) 2 2 a x  a y  7x  7 y
d) xx  2  xx     x  2 1 5 5 1 Giải a) Ta có: 2 2 x  y  x  y   2 2 4 9 4 6
4x  9 y   4x  6y
 2x  3y2x  3y  22x  3y  2x  3y2x  3y  2 b) Ta có: 3 x  y  2  x   x 2 y   3 1 3 3 1  y 3 2 2 3
 x  y  x y  xy  x  y   3 2 2 3 3 3
x  3x y  3xy  y   x  y
 x  y3  x  y  x  y  x  y2 1  
 x  yx  y   1  x  y   1 c) Ta có: 2 2
a x  a y  x  y   2 2 7 7
a x  a y  7x  7y 2
 a  x  y  x  y  x  y 2 7 a  7
d) Ta có: x x  2  xx    x  2 1 5 5 1
 xx  2  x  2   x x    x  2 1 5 1 5
1  x  5  x x  5  
 x    x  2  x   x   2 5 1 5 x  3x   1  
Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) xx  4x  6x 10 128 b) 4 3 2 x  6x  7x  6x 1 Giải
a) Ta có: xx  4x  6x 10 128  x   x 10 
  x  4 x  6 128    2 x  x   2 10 x  10x  24 128 (*) Đặt 2
x  10x  12  t , khi đó phương trình (*) trở thành: t  t   2 2 12
12 128  t 144 128  t 16  t  4t  4   2 x  x   2 x  x 
  x  x   2 10 8 10 16 2 8 x 10x  8 b) Giả sử x  0 ta có:  6 1 4 3 2 2 2 
x  6x  7x  6x 1  x x  6x  7    2   x x   1   6   2 2  x x   6x   7  (*) 2     x x       Đặt 1 1 t  x  thì 2 2 x 
 t  2 , khi đó phương trình (*) trở thành: x 2 x  1   6   2 2 2 x x   6x   7  x       2t  2 6t  7 2   x   x   2    
 x t  32  xt  3x2 1 2  x x   3x     2x  3x    2 1   x  
Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau: 4 3 2 4
x  x  x  x   x   3 2 x  x    2 6 7 6 1 6 2 9x  6x   1
 x  x  x     x  2 4 2   2 2 3 1 3 1 x  3x  2 1
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
a)       2     2 2 2 2 x y z x y z xy yz zx
b) x  y  z   x  y  z 2  x  y  z x  y  z2  x  y  z4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 Giải
a) Ta có:       2     2 2 2 2 x y z x y z xy yz zx
 x  y  z   xy  yz  zxx  y  z   xy  yz  zx2 2 2 2 2 2 2 2 (*) Đặt 2 2 2
a  x  y  z , b  xy  yz  zx , khi đó phương trình (*) trở thành:
a a  b  b  a  ab  b  a  b2 2 2 2 2 2      2 2 2 2 x y z  xy  yz  zx b) Ta có:
x  y  z x  y  z 2  x  y  z x  y  z2 x  y  z4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 Đặt 4 4 4 a  x  y  z , 2 2 2
b  x  y  z , c  x  y  z , khi đó ta có:
a  b  bc  c  a  b  b  bc  c  a  b   b  c 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) Mặt khác ta có:         2 2 4 4 4 2 2 2 a b x y z x y z 4 4 4  x  y  z   4 4 4 2 2 2 2 2 2
x  y  z  2x y  2 y z  2z x     2 2 2 2 2 2 2 x y  y z  z x          2 2 2 2 2 b c x y z x y z 2 2 2  x  y  z   2 2 2
x  y  z  2xy  2yz  2zx  2  xy  yz  zx Do đó:
(1)        2 2 2 2 a b b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  4
 x y  4y z  4z x  4x y  4y z  4z x  8x yz  8xy z  8xyz  8xyzx  y  z
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
a)   3    3    3 x y y z z x
b) a  b  c2  a  b  c2 2  4c Giải
a) Đặt x  y  a , y  z  b , z  x  c  a  b  c  0 khi đó ta có:
  3    3    3 3 3 3 x y y z z x  a  b  c  a  b3 2 2 3  3a b  3ab  c
 a  b  c a  b2  a  b 2 c  c  2 2
 3a b  3ab  3aba  b  3
 x  y y  z x  y  y  z  3x  y y  z x  z
b) Ta có: a  b  c2  a  b  c2 2  4c
 a  b  c2  a  b  c  2ca  b  c  2c
 a  b  c2  a  b  3ca  b  c  a  b  ca  b  c  a  b  3c
 a  b  c2a  2b  2c  2a  b  ca  b  c
Dạng 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2 x  4x  3 b) 2 6x 11x  3 c) 3 2 x  2x  5x  4 d) 2 2
x  4y  2x  4xy  4y Giải a) Ta có: 2 2
x  4x  3  x  x  3x  3  xx   1  3 x   1   x   1  x  3 b) Ta có: 2 2
6x 11x  3  6x  2x  9x  3  2x3x   1  33x   1  3x   1 2x  3 c) Ta có: 3 2 3 2 2
x  2x  5x  4  x  x  x  x  4x  4 2
 x x    x x    x    x   2 1 1 4 1 1 x  x  4 d) Ta có: 2 2 2 2
x  4 y  2x  4xy  4 y  x  4xy  4y  2x  4y  x  y2 2
 2 x  2y  x  2yx  2y  2
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2 3x  4x 1 b) 3 2x  5x  3 c) 3 2 2x  x  6x d) 3 2 2x  x 13x  6 Giải a) Ta có: 2 3
3x  4x 1  3x  3x  x  1  3xx   1   x   1   x   1 3x   1 b) Ta có: 3 3 2 2
2x  5x  3  2x  2x  2x  2x  3x  3 2
 x  x    xx    x     x   2 2 1 2 1 3 1 1 2x  2x  3 c) Ta có: 3 2 x  x  x  x  2 2 6 2x  x  6  x 2
2x  4x  3x  6  x2xx  2  3x  2  x2x  3x  2 d) Ta có: 3 2 3 2 2
2x  x 13x  6  2x  4x  5x 10x  3x  6  x   2
x  x    x   2 2 2 5 3 2 2x  x  6x  3
 x  2x2x   1  32x  
1    x  22x   1  x  3
Lưu ý: Khi thực hiện tách đa thức để nhóm thành các nhân tử chung ta có thể thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Thực hiện nhẩm nghiệm của đa thức
(thường các nghiệm x  1; x  2 thỏa mãn). Ví dụ: 2
3x  4x 1, với x  1 thay vào ta được 3  4 1  0  x  1 là nghiệm của đa thức.
Bước 2: Thực hiện tách đa thức để có nhân tử chung là nghiệm của đa thức.
Ví dụ: Thực hiện tách đa thức để có x 1 là nhân tử chung 2 2
3x  4x 1  3x  3x  x 1  3x  x   1   x   1   x   1 3x   1
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 3 2 x  4x  11x  8 b) 3 2 2x  5x  4 c) 2 6a  6ab 11a 11b d) 3 2 m  7m  6m Giải
a) Nhận xét: Thực hiện nhẩm nghiệm ta thấy x  1 là nghiệm của phương trình, do đó
nhân tử chung là x   1 Ta có: 3 2 3 2 2
x  4x  11x  8  x  x  3x  3x  8x  8 2
 x x    x x    x     x   2 1 3 1 8 1 1 x  3x  8
b) Nhận xét: Thực hiện nhẩm nghiệm ta thấy x  2 là nghiệm của phương trình, do đó
nhân tử chung là x  2 Ta có: 3 2 3 2 2
2x  5x  4  2x  4x  x  2x  2x  4 2
 x  x    xx    x    x   2 2 2 2 2 2 2 2x  x  2
c) Nhận xét: Thực hiện nhẩm nghiệm ta thấy a  b là nghiệm của phương trình, do đó
nhân tử chung là a  b Ta có: 2
6a  6ab 11a  11b  6aa  b 1 
1 a  b  6a 1  1 a  b
d) Nhận xét: Thực hiện nhẩm nghiệm ta thấy m  6 hoặc m  1 là nghiệm của phương
trình, do đó nhân tử chung là m  6 Ta có: 3 2 3 2 2
m  7m  6m  m  6m  m  6m 2
 m m    mm     2 6 6
m  mm  6  mm   1 m  6
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x  
1  x  2 x  3 x  4  8 b) 4 3 2 x  4x  2x  4x  1 Giải a) Ta có: x  
1  x  2 x  4 x  5  8  x  
1  x  4 x  2 x  5  8   2 x  x   2 3 4 x  3x 10  8 (*) Đặt 2
t  x  3x  7 , khi đó phương trình (*) trở thành: t  t   2 2 3
3  8  t  9  8  t 1  t   1 t   1   2 x  x    2 x  x      2 x  x   2 3 7 1 3 7 1 3 8 x  3x  6 b) Ta có:  4 1 4 3 2 2 2 
x  4x  2x  4x 1  x x  4x  2    2   x x   1   1   2 2  x x   4 x   2  (*) 2      x   x   Đặt 1 1 2 2 t  x   x 
 t  2 , khi đó phương trình (*) trở thành: 2 x x 2 x  2t    t   2  x  2t   t   2  x  2 2 4 2 2 4 2 t  4t  4 2    x t   1 2  x x   2  x  2x    2 2 2 2 2 1  x 
Lưu ý: Khi thực hiện phân tích thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ như ví dụ
trên, thường gặp ở các dạng sau:
+) Dạng: x  a x  bx  cx  d   t +) Dạng: 4 3 2 ax  bx  cx  bx  a
Dạng 6: Tìm x với điều kiện cho trước Phương pháp:
Áp dụng cách phân tích đa thức thành nhân tử chung, ta đưa biểu thức về dạng . A B  0 , khi đó
xảy ra các trường hợp: A  0 TH1: 
giải ra ta được giá trị x. B  0 A  0 TH2: 
giải ra ta tìm được giá trị x. B  0 B  0 TH3: 
giải ra ta được giá trị x. A  0 Bài 1: Tìm x , biết: a) xx   1  22x   1  2 b) x  x  2 2 4 1  0 c) 3 2 2x  2x  3x  3  0 d) 2
x 3x  4  8  6x  0 Giải
a) Ta có: xx     x   2 1 2 2
1  2  x  x  4x  2  2 x  0 x  0 2
 x  3x  0  xx  3  0    x 3 0    x  3
Vậy x  0 và x  3 thỏa mãn điều kiện bài toán. b) Ta có: x  x  2 2 4 1  0  2x  x   1 2x  x   1   0 x  1      x  x  x 1 0 1 3 1 0         1 3x 1  0 x   3 Vậy x  1 và 1
x  thỏa mãn điều kiện bài toán. 3 c) Ta có: 3 2
x  x  x    x  2 x     2 2 2 3 3 0 2 1 3 x   1  0   2 x  
1 2x  3  0  2x  3  0 (do 2 x 1  0 với mọi x ) 3  x  2 Vậy 3
x  thỏa mãn điều kiện bài toán. 2 d) Ta có: 2 x  x   2 3
4  8  6x  0  x 3x  4  23x  4  0   2
x  23x  4  0  3x  4  0 (do 2 x  2  0 với mọi x ) 4  x  3 Vậy 4
x  thỏa mãn điều kiện bài toán. 3 Bài 2: Tìm x biết: a) 2 x  2018x  2017  0 b) 3 2 x  8x  8  x Giải a) Ta có: 2 2
x  2018x  2017  0  x  x  2017x  2017  0  x x   1  2017 x   1  0   x   1  x  2017  0 x 1  0 x 1    x 2017 0    x  2017
Vậy x  1 và x  2017 thỏa mãn điều kiện bài toán. b) Ta có: 3 2 2
x  8x  8  x  x  x  8   x 8  0  x   2 8 x  
1  0   x 8  0 (do 2 x 1  0 với mọi x )  x  8
Vậy x  8 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Lưu ý: Đối với bài b học sinh thường mắc sai lầm cách giải như sau: Ta có: 3 2 2
x  x   x  x  x     x   2 8 8 8 8  x  1
 phương trình vô nghiệm.
Vì vậy: Đối với những bài toán tương tự ta chỉ được phép rút gọn khi giá trị đó luôn khác 0. Còn
các trường hợp còn lại chúng ta phải nhóm thành nhân tử chung.
B.CÁC DẠNG BÀI TỔNG HỢP MINH HỌA NÂNG CAO
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a  xy  2   x  y2 ) 1
b a  b  c2  a  b  c2 2 )  4c c a  2 2 2 ) 9  36a
Hướng dẫn giải – đáp số
a  xy  2   x  y2 ) 1
 xy 1 x  yxy 1 x  y  x y  
1  1 y x  y   1  y 1      x   1  y   1  x   1  y   1 b a  b  c2 )
 a  b  c  2ca  b  c  2c
 a  b  c2  a  b  ca  b  3c
 a  b  ca  b  c  a  b  3c
 a  b  c2a  2b  2c  2a  b  ca  b  c
c a  2  a  a   aa   a  a  2 a  2 2 2 2 2 ) 9 36 9 6 9 6 3 3
2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 2 2
a)3a  3b  a  2ab  b 2 2
b)a  2ab  b  2a  2b 1
c b c  b  c  a 2 2 2 2 2 2 )4
Hướng dẫn giải – đáp số
a a  b  a  b2 )3
 a  b3  a  b
b a  b2  a  b   a  b  2 ) 2 1 1 c  2 2 2 bc  b  c  a  2 2 2 ) 2 2bc  b  c  a 
   2       2 2 2 b c a a b c     
 b  c  ab  c  aa  b  ca  b  c
3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 2 2 2 a)x  4xy  4y  9a b xy  2 2 a  b   ab 2 2 ) x  y  2
c x a  b  xy a  b 2 2 ) 2  ay  by d xy  x  x  y3 3 )8
Hướng dẫn giải – đáp số
a x  xy  y  a   x  2   a2 2 2 2 ) 4 4 9 2 3
 x  2  3ax  2  3a b xy  2 2 a  b   ab 2 2 x  y  2 2 2 2 )
 xya  xyb  abx  aby   2 2    2 2 xya abx xyb  aby 
 axay  bx  by bx  ay  ay  bxax  by 2
c x a  b  xy a  b 2 2 2
 ay  by  x a  b  xya  b 2 ) 2 2  y a  b
 a  bx  xy  y   a  bx  y2 2 2 2
d xy  x  x  y3  x  y3   x  y3 3 )8 2   
 x y  x  y  y  yx  y  x  y2 2   x y  x 2 2 2 4 2 3 x  3y   
4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 2 2 2 2
a)A  x  4x y  y  2xy 6 6 b)B  x  y c C  xy  2 2 x  y    3 3 2 2
x  y  x y  xy    2 2 ) 4 6 9 x  y  2 2
d )D  25  a  2ab  b
Hướng dẫn giải – đáp số
a A  x  xy  y  x y   x  y2 2 2 2 2 2 2 ) 2 4  4x y
 x  y  2xyx  y  2xy b B   3 3 x  y  3 3
x  y   x  y 2 2
x  xy  y x  y 2 2 ) x  xy  y  c C  xy  2 2 x  y    2 2
x  y x  y   2 2 ) 4 6 9 x  y    2 2
x  y 4xy  6x  6y  9   2 2
x  y  2x2y  3  32y  3     2 2
x  y 2x  32y  3 d D 
 a  ab  b    a  b2 2 2 ) 25 2 25
 5  a  b5  a  b
5. Phân tích đa thức thành nhân tử : 3 2 2 3 a)x  3x y  4xy 12 y 3 2 2 3
b)x  4y  2xy  x  8y 2 c x a  b  c  xy a  b  c 2 )3 36
108y a  b  c d a 2 x    x 2 ) 1 a   1
Hướng dẫn giải – đáp số 3 2 2 3 a)x  3x y  4xy 12 y 2  x x  y 2 3  4y x  3y
 x  2yx  2yx  3y 3 3 2 2
b)x  8y  x  2xy  4y  x  y 2 2 x  xy  y    2 2 2 2 4 x  2xy  4 y   x  y   2 2 2 1 x  2xy  4 y  c a  b  c 2 2 )3 x 12xy  36y 
 a  b  cx  y2 3 6 2 2 d )ax  a  xa  x
 ax x  a  x  a  x  aax   1
6. Phân tích đa thức thành nhân tử : 3 2
a)x 1  5x  5  3x  3 5 4 3 2
b)a  a  a  a  a 1 3 2 3 c)x  3x  3x 1y 3 2 2 3
d )5x  3x y  45xy  27 y
Hướng dẫn giải – đáp số a  x   2 ) 1 x  x   1  5 x   1  x   1  3 x   1  x   2
1 x  x  1 5x  5  3  x   2 1 x  6x  9  x  x  2 1 3 3 b a  2 a  a     2 ) 1 a  a   1   2 a  a   3 1 a   1   2
a  a  a   2 1 1 a  a   1
c  x  3  y   x   y  x  2 3   x   2 ) 1 1 1 1 y  y     x  y   2 2
1 x  2x 1  xy  y  y  2 d x  x  y 2 ) 5 3  9y 5x  3y   x  y 2 2 5 3 x  9 y 
 5x  3yx  3yx  3y
7. Phân tích đa thức thành nhân tử : 3 2 a)x  x  x 1 4 2
b)x  x  2x 1 c a b  a  b  2 2 2 2 2 )4 1
Hướng dẫn giải – đáp số
a x  x     x     x  x    x  2 2 2 ) 1 1 1 1 1  x   1 b x   x  2 4   2 x  x   2 ) 1 1 x  x   1 c  2 2 ab  a  b   2 2 ) 2 1 2ab  a  b   1
 a  b2     a  b2 1 1       a  b   1 a  b  
1 1 a  b1 a  b
8. Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.Đặt A  x y  x  y  z 2 2 2 2 2 2 4 .Chứng minh rằng A  0
Hướng dẫn giải – đáp số
Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ, phân tích A thành nhân tử, ta được : A   2 2 2 xy  x  y  z  2 2 2 2 2xy  x  y  z 
   2       2 2 2 x y z z
x y    x  y  z x  y  z z  x  y y  z  x    
Do x, y, z là 3 cạnh của 1 tam giác, suy ra :
x  y  z  0, x  y  z  0, z  x  y  0, y  z  z  0  A  0 3 2
a  3a  5a 17  0
9. Cho các số a, b lần lượt thỏa mãn các hệ thức :  .Tính a  b 3 2 b
  3b  5b 11  0
Hướng dẫn giải – đáp số
Cộng vế theo vế của hai hẳng đẳng thức ta được : 3 2 3 2
a  3a  5a 17  b  3b  5b  11  0 3 2 3 2
 a  3a  3a 1 b  3b  3b 1 2a  b  2  0
 a  3  b  3 1 1  2a 1  b   1  0  a  b   2 2
2 a  a 1  b  b 1  2  0 2 2 Vì  1   1  1 2 2
a  a  1 b  b  1 2  a   b   3  0  a  b  2      2   2  2
10. Cho a, b, c thỏa mãn a  b  c  abc . Chứng minh rằng: a  2 b   2 c    b 2 a   2 c    c 2 a   2 1 1 1 1 1 b   1  4abc
Hướng dẫn giải – đáp số Xét vế trái, ta có : a  2 b   2 c    b 2 a   2 c    c 2 a   2 1 1 1 1 1 b   1  a 2 2 2 2
b c  b  c    b 2 2 2 2
a c  a  c    c 2 2 2 2 1 1 a b  a  b   1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 ab c  ab  ac  a  a bc  a b  bc  b  a b c  a c  b c  a        2 2 2 2    2 2 2 2    2 2 2 2 a b c a b ab a b c ac a c a bc bc  b c  ab c 
 abc  aba  b  abc  acc  a  abc  bcc  b  abc
 abc  abc  abc  abc  4abc D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1
Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để phân tích thành tích hoặc rút gọn biểu thức cho trước.
Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích: a) 1 3 3 x  8y b) 6 3 a  b c) 3 3 64y 125x d) 3 27x  8
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau: a)  1  1 2  2 2 x  2y x  xy  4 y     3  9 3  b)  1  1 1  2 4 2 x  x  x      3  3 9 
c) x   2x  x  x   2 2 2 4 2 x  2x  4 d)  x  y 2 2
x  xy  y    x  y 2 2 2 4 2 2 4x  2xy  y 
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a) x  3  x   2 1 1 x  x   1
b) x  3  x  x  x    x  2 2 3 3 3 9 6 1
c) x  x  x   x  3  x  x  x   x  3 2 2 5 5 25 3 2 2 4 1
d)  x  y3   x  y x  xy  y    y  x3 2 2 3 2 4 5 16 20 25 2 Dạng 2: Tìm x. Bài 4: Tìm x, biết: a) 2
(x 1)(x  x 1)  x(x  2)(x  2)  5
b) x  3 x  3  x  2 1 1 6 1  10 c) x   2
3 x  3x  9  xx  22  x 1
d) x  3  x   2x  x     2 1 3 3 9 3 x  4  2 Bài 5: Tìm x, biết: a) x   2 x  x    x 2 2 2 4 x  2 15
b) x  3 x  x  x    x  2 2 2 4 4 16 6 1  49
c) x  3    x 2 1 2
4  2x  x   3xx  2 16
d) x  3 x  x  x    x  2 2 3 3 3 9 9 1  15 Dạng 3: Tính nhanh. Bài 6: Tính nhanh. a) 3 29 b) 3 101 Bài 7: Tính nhanh. a) 3 3 17  3 b) 3 24  64
Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức. 3
Bài 8: a) Tính giá trị của phân thức x 1 I  tại x  1  . 2 x  2x 1 3
b) Tính giá trị của phân thức x  8 M  tại x  2. 2 x  2x  4
c) Tính giá trị của biểu thức K   x   2 27
3 x  3x  9 tại x  3. Bài 9: a) Cho x  y  3 và 2 2 x  y  5. Tính 3 3 x  y . b) Cho x  y  3 và 2 2 x  y  15. Tính 3 3 x  y .
Dạng 5: Chứng minh đẳng thức.
Bài 10: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến .x
a) A   x   2x  x     3 2 3 4 6 9 2 4x   1 b) B  x   2 x  x     3 3 3 9 20  x 
c) C  y  y  2  y   y  y    y  2 2 3 . 3 2 3 1 9 3 1 6 1 Bài 11:
a) Cho a,b là các số tự nhiên. Chứng minh rằng: nếu 3 3
a  b chia hết cho 3 thì a  b chia hết cho 3. b) Cho 3 3 3 3
A  1  2  3  ... 10 . Chứng minh rằng: A 1  1
LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1
Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để phân tích thành tích hoặc rút gọn biểu thức cho trước.
Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích: a) 3 3 x  8y
 x   y3  x  y x  xy   y2 3 2   x  y 2 2 2 2 2 2 2 x  2xy  4y    b) 6 3 a  b
  3       2 2 3 2 2 2 2      2   4 2 2 a b a b a a b b a b a  a b  b    c) 3 3 64y 125x
  y3   x3   y  x  y2  y x   x2    y  x 2 2 4 5 4 5 4 4 .5 5 4 5 16 y  20xy  25x    d) 1 3 27x  8 3 2              3x3 1 1   3x      3x2 1 1 1 3 1 2  3 . x      3x  9x  x      2   2  2   2    2  2 4 
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau: a)  1  1 2  2 2 x  2y x  xy  4 y     3  9 3  3  1   x    2y3 1 3 3  x  8y  3  27 b)  1  1 1  2 4 2 x  x  x      3  3 9  3     x 3 1 1 2 6   x     3  27
c) x   2x  x  x   2 2 2 4 2 x  2x  4   x   
x  x   x     x  x  
  x    x     x 2   2 2 2 3 3 3 3 3 3 6 2 2 4 . 2 2 4 2 . 2 2  x  64 d)  x  y 2 2
x  xy  y    x  y 2 2 2 4 2 2 4x  2xy  y 
  x3  y   x3 3 3 3 3 3 3 3 2 2
 y   8x  y  8x  y  2y  
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a) x  3  x   2 1 1 x  x   1 3 2
 x  x  x    3 3 x   3 2 3 2 3 3 1
1  x  3x  3x 1 x 1  3x  3x
b) x  3  x  x  x    x  2 2 3 3 3 9 6 1 3 2 2 3  x  3x .3 3 . x 3  3   3 3 x  3   6. 2 x  2x   1 3 2 3 2
 x  9x  27x  27  x  27  6x 12x  6 2  3  x  39x  6
c) x  x  x    x  3  x  x  x    x  3 2 2 5 5 25 3 2 2 4 1 3 3  x  5   3 2 2 3 x  3x .3  3 . x 3  3  3 3  x  2   3 2 x  3x  3x   1 3 3 2 3 3 2
 x 125  x  9x  27x  27  x 8  x  3x  3x 1 2  6  x  30x  91
d)  x  y3   x  y x  xy  y    y  x3 2 2 3 2 4 5 16 20 25 2
 3x3  3.3x2 .2y  3.3 .x2y2  2y3  4x3  5y3   y  3.y .2x  3 . y 2x2  2x3 3 2   3 2 2 3 3 3 3 2 2 3
 27x  54x y  36xy 8y  64x 125y  y  6xy 12x y  8x 3 2 2 3  2
 9x  42x y  42xy 118y Dạng 2: Tìm x. Bài 4: Tìm x, biết: a) 2
(x 1)(x  x 1)  x(x  2)(x  2)  5 3  x 1 x 2 x  4  5 3 3  x 1 x  4x  5  4x  6 3  x  2
b) x  3 x  3  x  2 1 1 6 1  10 3 2
 x  3x  3x 1  3 2 x  3x  3x   1  6 2 x  2x   1  1  0 3 2 3 2 2
 x  3x  3x 1 x  3x  3x 1 6x 12x  6  1  0  12x  6  1   x  2 c) x   2
3 x  3x  9  xx  22  x 1 3 3  x   x  2 2 3 2  x   1 3 3
 x  27  4x  x  1  4x  28  x  7
d) x  3  x   2 x  x     2 1 3 3 9 3 x  4  2 3 2
 x  x  x    3 3 x   2 3 3 1 3  3x 12  2 3 2 3 3 2
 x  3x  3x 1 x  3  3x 12  2  3x  42  x  14 . Bài 5: Tìm x, biết: a) x   2 x  x    x 2 2 2 4 x  2 15 3 3 3
 x  2  x  2x  15  2x  7 7  x  2
b) x  3 x  x  x    x  2 2 2 4 4 16 6 1  49 3 2 2 3  x  3.x .2  3. . x 2  2   3 3 x  4   6. 2 x  2x   1  49 3 2 3 2
 x  6x 12x 8  x  64  6x 12x  6  49  24x  13 1  3  x  24
c) x  3    x 2 1 2
4  2x  x   3xx  2 16 3 2 3 3 2
 x  3x  3x 1 2  x  3x  6x  16 3 2 3 2
 x  3x  3x 1 8  x  3x  6x 16  9x  9  x  1
d) x  3 x  x  x    x  2 2 3 3 3 9 9 1  15
x 33 x 3x 3x99x 2 2 1  15 3 2 2 3  x  3x .3  3 . x 3  3   3 3 x  3   9. 2 x  2x   1  15 3 2 3 2
 x  9x  27x  27  x  27  9x 18x  9 15  45x  6 2  x  15 Dạng 3: Tính nhanh. Bài 6: Tính nhanh. a) 3 29
Áp dụng kiến thức:  A B3 3 3
 A  B  3AB  A  B và A  B3 3 3
 A  B  3AB  A  B    3 3 3 3 29
30 1  30 1  3.30.1.30  
1  27000 1 90.29  27000 1 2610  24389 b) 3 101    3 3 3 3 101
100 1  100 1  3.100.1.100  
1  1000000 1 300.101 1000000 1 30300  1030301 Bài 7: Tính nhanh. a) 3 3 17  3     3 3 3     3 17 3 17 3
3.17.3. 17 3  20 153.20  8000  3060  4940 b) 3 24  64       3 3 3 3     3 24 64 24 4 24 4
3.24.4. 24 4  20  288.20  8000  5760  13760 .
Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức. 3
Bài 8: a) Tính giá trị của phân thức x 1 I  tại x  1. 2 x  2x 1 x 1 x  1 2 3 x  x   2 1 Ta có x  x 1 I    2 x  2x 1 x  2 1 x 1 2 2   1    1 1 Thay x  x 1 1 1 x  1 vào I  ta được I     . x 1   1 1 2 2 3
b) Tính giá trị của phân thức x  8 M  tại x  2. 2 x  2x  4 x  2 x  2 2 3 3 x  2x  4 Ta có M    x  2 2 2 x  2x  4 x  2x  4
Thay x  2 vào M  x  2 ta được M  2  2  0.
c) Tính giá trị của biểu thức K   x   2 27
3 x  3x  9 tại x  3. Ta có K   x   2 x  x   3 3 27 3 3 9  27  x  27  x . Thay x  3vào 3
K  x ta được K   3 3  2  7. Bài 9: a) Cho x  y  3 và 2 2 x  y  5. Tính 3 3 x  y .
Ta có: xy  x  y2   2 2 x  y  2 2
 3  5  4  xy  2.
Ta lại có: x  y  x  y3 3 3  xy x  y 3 3
 3  3.2.3  27 18  9. b) Cho x  y  3 và 2 2 x  y  15. Tính 3 3 x  y .
Ta có xy  x  y  x  y2 2 2 2 2
15  3  6  xy  3.
Ta lại có x  y  x  y3 3 3  xy x  y 3 3
 3  3.3.3  27  27  54.
Dạng 5: Chứng minh đẳng thức.
Bài 10: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến .x
a) A   x   2x  x     3 2 3 4 6 9 2 4x   1 A   x3 3 3 3 3 2
 3  8x  2  8x  27 8x  2  29. b) B  x   2 x  x     3 3 3 9 20  x  3 3 3
B  x  3  20  x  27  20  7
c) C  y  y  2  y   y  y    y  2 2 3 . 3 2 3 1 9 3 1 6 1
C  y  y  2   y   y  y     y  2 2 3 . 3 2 3 1 9 3 1 6 1  y  2 y  y     3 y     2 3 . 9 12 4 27 1 36 y 12y   1 3 2 3 2
 27y  36y 12y  27 y 1 36y 12y 1  0 . Bài 11:
a) Cho a,b là các số tự nhiên. Chứng minh rằng: nếu 3 3
a  b chia hết cho 3 thì a  b chia hết cho 3.
Ta có a  b  a  b3 3 3  3aba  b Vì 3 3
a  b chia hết cho 3 và 3aba  b chia hết cho 3 nên   3 a b chia hết cho 3
Do đó a  b chia hết cho 3 (đpcm). b) Cho 3 3 3 3
A  1  2  3  ... 10 . Chứng minh rằng: A 1  1 Ta có 3 3 3 3
A  1  2  3  ... 10   3 3   3 3      3 3 1 10 2 9 ... 5  6      2 2      2 2 
      2 2 1 10 1 10.1 10 2 9 2 2.9 9 ... 5 6 5  5.6  6 
 11.11111.103 ... 11.91
11.111103... 9  1
PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ 2-TỔNG HỢP
Bài 1. Khai triển các hằng đẳng thức sau: 2  1  a  x  2 ) 2 3 c)x  2y 2 2 2 d) x  y x2 2 2 b) 3x  y    2 
Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng hằng đẳng thức: 2 a) x  4x  4 2 2
b) x 8x 16 c)9x 12x  4  1   1  d ) x  y . x  y 2     e  2 xy    2 ) 1 . 1 xy 
f) 3x  2y  43x  2y  4  2   2 
Bài 3. Điền vào chỗ trống để được những hằng đẳng thức đúng : 2
a) 9a  6a  ....  ....... 2
b)....  8xy  y  ....... 2 2
c) 25x  ....16 y  .......
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a A   x  y2  x  y2 ) 2 2
c) B  3(x  y)  2(x  y)  (x  y)(x  y) 2 2
b)C  (2x 1)  2(2x  ) 3  9 2 2
d) D  (2x  3)  2(2x  3)(2x  6)  (x 3)
Bài 5. Tính giá trị của biểu thức: a A  x  x    x  2 ) ( 2)(2 4) 2 1  2x(x  3) với 1 x   5 2 2
b) B  (2x 1)  (x 1)  3(x  2)(x  2) với 1 x  6
c C   x  y2  x  y    x  y2 2 2 ) 2 với x  0,75 .
Bài 6. a) Cho 2x  y  2 . Tính giá trị của biểu thức: 2 2
A  4x  4xy  y  4x  2 y  6 b)
Cho x  y  5. Tính giá trị của biểu thức: 2 2
B  3x  2x  3y  2y  6xy 100
Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) 2
A  x  2x 5 b) B  2x x  3 2 2
c)C  x  y  x  6 y 10 d) x  
1 x  2 x  3x  6
Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 2 a) A  4x  x  3 2 b) B  2  x  3x  7 2 2
F  12x  8y  4x  y 1
Bài 9. Cho a, b, c, d là các số khác 0 và
a  b  c  da  d c  d  a b  c  da b  c  d Chứng minh rằng: a b  c d Bài 10. Cho 2 2 2
a  b  c  ab  bc  ca . Chứng minh rằng: a  b  c .
LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỔNG HỢP SỐ 2
Bài 1. Khai triển các hằng đẳng thức sau: 2  1  a  x  2 ) 2 3 c)x  2y 2 2 2 d) x  y x2 2 2 b) 3x  y    2  Lời giải: a  x  2 2 ) 2
3  4x 12x  9 c x  y 2 2 2 4 2 2 4 ) 2  x  4x y  4y 2  1  1 2 2 b) 3x  y  9x  3xy  y   d x  y x2 2 2 4 3 2 4 2 )  x  2x y  y x  2  4
Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng hằng đẳng thức: 2 a) x  4x  4 2 2
b) x 8x 16 c)9x 12x  4  1   1  d ) x  y . x  y 2     e  2 xy    2 ) 1 . 1 xy 
f) 3x  2y  43x  2y  4  2   2  Lời giải
a x  x    x  2 2 ) 4 4 2 b x  x    x  2 2 ) 8 16 4  1   1  1
c x  x    x  2 2 )9 12 4 3 2 2 2
d ) x  y . x  y  x  y      2   2  4 e  2 xy    2  xy  2 4 ) 1 . 1 1 x y
 x  y2   x  y   x  y  2 f) 3 2 4 3 2 4 3 2 2
Bài 3. Điền vào chỗ trống để được những hằng đẳng thức đúng : 2 a)9a  6a  ....  .... 2
b)....  8xy  y  ..... 2 2
c) 25x .... 16y  ..... Lời giải
a a  a    a  2 2 )9 6 1 3 1 b
x  xy  y   x  y2 2 2 )16 8 4 c x  xy  y   x  y2 2 2 ) 25 40 16 5 4
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a A   x  y2  x  y2 ) 2 2
c) B  3(x  y)  2(x  y)  (x  y)(x  y) 2 2
b)C  (2x 1)  2(2x  ) 3  9 2 2
d) D  (2x  3)  (2x  3)(2x  6)  (3  x) Lời giải
a A   x  y2  x  y2 2 2 2 2 )
 x  2xy  y  x  2xy  y  4xy 2 2 2 2 2
b)C  (3x 1)  2(2x  3)  9  9x  6x 1 8x 12x 18  9  x  6x  8 2 2
c) B  3(x  y)  2(x  y)  (x  y)(x  y) 2 2 2 2 2 2
 3x  6xy  3y  2x  4xy  2y  x  y 2  2y 10xy 2 2
d) D  (2x  3)  (2x  3)(2x  6)  (3  x) 2 2
(2x  3)  2(2x  3)(x  3)  (x ) 3 2x 3 x  32 2  x
Bài 5. Tính giá trị của biểu thức: a A  x  x    x  2 ) ( 2)(2 4) 2 1  2x(x  3) với 1 x   5 2 2
b) B  (2x 1)  (x 1)  3(x  2)(x  2) với 1 x  6
c C   x  y2  x  y    x  y2 2 2 ) 2 với x  0,75 . Lời giải
a) A  (x  2)(2x  4)  2x  2 1  2x(x  3)  2 2 x  4 2 2
 4x  4x 1 2x  6x  1  0x  9 Với 1
x   thay vào biểu thức A ta được: 5  1   A  1  0.  9  7    5  Vậy A  7 tại 1 x   5 2 2
b) B  (2x 1)  (x 1)  3(x  2)(x  2) 2 2
 4x  4x 1 x  2x 1 3 2 x  4  6x 12 Thay 1
x  vào biểu thức B, ta được: 6 1 B  6. 12  13 6 Vậy B  13 tại 1 x  . 6
c C   x  y2  x  y    x  y2 2 2 ) 2
 x  y2  2 x  y x  y  x  y2  x  y  x  y2 2  4x
Thay x  0,75 vào biểu thức C, ta được: 2  3  9 C  4.     4  4
Bài 6. a) Cho 2x  y  2 . Tính giá trị của biểu thức: 2 2
A  4x  4xy  y  4x  2y  6 a)
Cho x  y  5 . Tính giá trị của biểu thức: 2 2
B  3x  2x  3y  2y  6xy 100 Lời giải 2 2
a) A  4x  4xy  y  4x  2 y  4
 2x  y2  22x  y  4
Thay 2x  y  2 vào biểu thức A, ta được: A   2 2  2( 2  )  6 A  2 b) 2 2
B  3x  2x  3y  2y  6xy 100  3 2 2
x  2xy  y   2x  y 100
 3 x  y2  2x  y 100
Thay x  y  5 vào biểu thức B, ta được: 2 B  3.5  2.5 100 B  35
Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) 2
A  x  2x 5 b) B  2x x  3 2 2
c)C  x  y  x  6 y 10 d) x  
1 x  2 x  3x  6 Lời giải: 2 2
c)C  x  y  x  6y 10
a A  x  x    x  2 2 ) 2 5 2 1 Vì  x  2
2  0,x   x  2 2  1  1, x
Dấu “ =” xảy ra khi x  2.Vậy Min A 1 tại x  2. b) B  2x  x  3 2  2x  6x  2 3 9  9  2 x  2. x      2 4  2 2  3  9  2 x      2  2 2 2 Vì  3   3  9 9 x   0, x     2 x     , x     2   2  2 2 Dấu “ =” xảy ra khi 3  x  .Vậy Min 9 A  tại 3 x  . 2 2 2 2 2
c)C  x  y  x  6 y 10 2  1   x    y  2 3 3     2  4 2 2 Vì  1   1  3 3 x   0; 2    y  32  0, x  , y  x      y  3   , x  , y  2   2  4 4 Dấu “ =” xảy ra khi 1 x  ; y  3.Vậy Min 3 C  tại 1 x  ; y  3. 2 4 2
Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 2 a) A  4x  x  3 2 b) B  2  x  3x  7 2 2
c)C  12x  8y  4x  y 1 Lời giải: 2 a) A  4x  x  3  x  2 2  7 Vì x  2  x   x  2 2 0, 2  7  7, x 
Dấu “ =” xảy ra khi x  2.Vậy Max A  7 khi x  2. 2 b) B  2  x  3x  7  2 3 9  65  2  x  2. x      4 16  8 2  3  65  2  x      4  8 2 2 Vì  3   3  65 65 2 x   0,x  2  x    , x      4   4  8 8 Dấu “ =” xảy ra khi 3 x  .Vậy Max 65 A  khi 3 x  . 4 8 4 2 2
c)C  12x  8y  4x  y 1   2 4x 12x  9   2 y  8y 16  26
 2x  32   y  42  26
Vì 2x 32  0;  y  42  x
 y  2x 32  y  42 0, ,  26  26, x  , y Dấu “ =” xảy ra khi 3 x  ; y  4  .Vậy Max A  26 khi 3 x  ; y  4  . 2 2
Bài 9. Cho a, b, c, d là các số khác 0 và
a b c  da b c  d  a b c da b c  d Chứng minh rằng: a b  c d Lời giải:
a b c  da b c  d  a b c da b c  d
a d2 b c2 a d2 b c2             2 2 2 2 2 2 2 2
 a  2ad  d  b  2bc  c  a  2ad  d  b  2bc  c  0  ad  bc a b   c d Bài 10. Cho 2 2 2
a  b  c  ab  bc  ca . Chứng minh rằng: a  b  c . Lời giải: 2 2 2
a  b  c  ab  bc  ca  2 2 2 2
a  b  c   2ab  bc  ca  0 2 2 2 2 2 2
 a  2ab  b  b  2bc  c  c  2ca  a  0
 a  b2  b  c2  c  a2  0 (*)
Vì a  b2  b  c2  c  a2 0; 0;
 0, a,b,c nên từ (*) suy ra:
a  b  b  c  c  a  0 hay a  b  c .
========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========

Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Giải Toán 8 Luyện tập chung trang 25 | Kết nối tri thức

Giải Toán 8 Luyện tập chung trang 17 | Kết nối tri thức

Giải Toán 8 Bài tập cuối chương 1 | Kết nối tri thức

Giải Toán 8 Bài 1: Đơn thức | Kết nối tri thức

Giải Toán 8 Bài 2: Đa thức | Kết nối tri thức