Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian – Nguyễn Tăng Vũ Toán 12

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian – Nguyễn Tăng Vũ Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn:

Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:
18 trang 1 năm trước
Tác giả:
Student
Mai Nguyệt
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian – Nguyễn Tăng Vũ Toán 12

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian – Nguyễn Tăng Vũ Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

55 28 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian 143 tài liệu

Môn: Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:

18 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Phương trình tổng quát của đường thẳng
Nguyễn Tăng Vũ
a)
(Dated: Ngày 11 tháng 4 năm 2020)
I. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Định nghĩa 1. Vectơ
−→
n 6=
−→
0 có giá vuông góc với đường
thẳng ∆ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.
Tính chất 1. Ta có các tính chất sau:
(a) Các vectơ pháp tuyến của cùng một đường thẳng thì
cùng phương.
(b) Hai đường thẳng song song thì vectơ phát tuyến cùng
phương.
(c) Hai đường thẳng vuông góc thì vectơ pháp tuyến vuông
góc.
Định lý 1. Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm I(x
◦
; y
◦
), vectơ
−→
n . Đường thẳng qua I nhận
−→
n = (a; b) là vectơ pháp tuyến
có phương trình:
a(x − x
◦
) + b(y − y
◦
) = 0
Định lý 2. Trong mặt phằng tọa, mọi đường thẳng đều có
phương trình tổng quát dạng
ax + by + c = 0
với a
2
+ b
2
6= 0.
Trong đó
−→
n = (a; b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
Định lý 3. (Phương trình đoạn chắn) Phương trình đường
thẳng qua điểm A(a; 0) và B(0; b) (a, b 6= 0) là
x
a
+
y
b
= 1
Định nghĩa 2. Xét đường thẳng ∆ : y = kx + m cắt Ox
tại M . Tia Mt phía trên trục hoành. Gọi α là góc tạo bởi tia
Mt và tia Ox. Khi đó tan α được gọi là hệ số góc của ∆ và
k = tan α.
Ví dụ I.1
Cho đường thẳng a : 3x + 4y + 1 = 0.
(a) Tìm một vectơ pháp tuyến của a.
(b) Trong các điểm sau, điểm nào thuộc a:
A(−1; 0), B(1; −1), C(0, 1).
(c) Tìm điểm thuộc a mà hoành độ bằng hai lần
tung độ.
(d) Điểm M(3; 2) có thuộc a không? Nếu M không
thuộc a, hãy viết phương trình đường thẳng qua
M song song với a.
a)
www.geosiro.com
Lời giải
(a) Một vectơ pháp tuyến của (a) là :
−→
n = (3; 4).
(b) Thay tọa độ điểm A, B, C vào đường thẳng (a)
ta có:
Điểm A: 3.(−1) +4.0 + 1 = −2 6= 0 nên A không
thuộc (a).
Điểm B : 3.1 + 4.(−1) + 1 = 0 nên B thuộc (a).
Điểm C: 3.0+4.1+1 = 5 6= 0 nên C không thuộc
(a).
(c) Gọi D là điểm thuộc (a) mà hoành độ bằng hai
lần tung độ. Khi đó ta có: x
D
= 2y
D
. Thay tọa
độ điểm D vào ta có:
3y
D
+ 4y
D
+ 1 = 0 ⇔ 7y
D
+ 1 = 0 ⇔ y
D
=
−1
7
Với y
D
=
−1
7
⇒ x
D
=
−2
7
Vậy tọa độ điểm D là D(
−2
7
;
−1
7
)
(d) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường
thẳng (a) ta có: 3.3 + 4.2 + 1 = 18 6= 0 nên M
không thuộc đường thẳng a
Gọi (b) là đường thẳng đi qua M và song song
với (a)
Ta có:
−→
n
b
=
−→
n
a
= (3; 4)
Phương trình đường thẳng (b) là:
3(x − 3) + 4(y − 2) = 0 ⇔ 3x + 4y − −17 = 0
Ví dụ I.2
Cho đường thẳng (d) : ax + 2y + c = 0.
(a) Tìm a biết vectơ pháp tuyến của d cùng phương
với
−→
n = (2; 1).
(b) Tìm c biết đường thẳng qua điểm M (−1; 5).
Lời giải
(a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng (d) là:
−→
n
d
= (a; 2)
Do vectơ pháp tuyến của (d) cùng phương với
−→
n = (2; 1) nên ta có:
a
2
=
2
1
⇒ a = 4
(b) Điểm M thuộc vào đường thẳng (d) nên thay
tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng
(d) ta có:
4.(−1) + 2.5 + c = 0 ⇔ c = −6
Ví dụ I.3
Cho tam giác ABC có A(−1; 1), B(2, −1), C(0, 4).
(a) Viết phương trình đường cao AH.
2
(b) Viết phương trình đường trung trực của BC.
(c) Viết phương trình đường thẳng AB.
Lời giải
(a) Ta có:
−−→
BC = (−2, 5)
Mà BC ⊥ AH nên
−−→
n
AH
=
−−→
BC = (−2; 5)
Đường thẳng AH đi qua điểm A và nhận
−−→
BC
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình đường thẳng AH là:
−2(x + 1) + 5(y − 1) = 0 ⇔ −2x + 5y − 7 = 0
⇔ 2x − 5y + 7 = 0
(b) Gọi I là trung điểm của B, C. Khi đó tọa độ
điểm I là:
x
I
=
x
B
+ x
C
2
y
I
=
y
B
+ y
C
2
⇔
(
x
I
= 1
y
I
=
3
2
Đường trung trực của BC là đường thẳng đi qua
I nhận
−−→
BC làm vectơ pháp tuyến. Phương trình
đường trung trực của BC là:
−2(x − 1) + 5(y −
3
2
) = 0
⇔ −2x + 5y −
11
2
= 0 ⇔ 4x − 10y + 11 = 0
(c) Ta có:
−−→
AB = (3, −2) khi đó ta có:
−−→
n
AB
= (2; 3).
Phương trình đường thẳng AB là:
2(x + 1) + 3(y − 1) = 0 ⇔ 2x + 3y − 1 = 0
II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Tính chất 2. Cho hai đường thẳng ∆
1
: a
1
x + b
1
y + c
1
=
0; ∆ : a
2
x + b
2
y + c
2
= 0. Khi đó
• ∆
1
, ∆
2
cắt nhau ⇔
a
1
a
2
6=
b
1
b
2
; Khi đó tọa độ giao điểm
là nghiệm của hệ phương trình
a
1
x + b
1
y + c
1
= 0
a
2
x + b
2
y + c
2
= 0
• ∆
1
||∆
2
⇔
a
1
a
2
=
b
1
b
2
6=
c
1
c
2
• ∆
1
≡ ∆
2
⇔
a
1
a
2
=
b
1
b
2
=
c
1
c
2
Ví dụ II.1
Cho đường thẳng a : 2x − 3y + 1 = 0 và điểm A(1; 2).
(a) Viết phương trình đường thẳng qua A song song
với a.
(b) Viết phương trình đường thẳng b qua A vuông
góc với a. Tìm tọa độ giao điểm của a và b.
Lời giải
(a) Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và song song
với a.
Khi đó:
−→
d =
−→
a = (2; −3)
Phương trình đường thẳng (d):
2(x − 1) − 3(y − 2) = 0 ⇔ 2x − 3y + 4 = 0
(b) Đường thẳng (b) vuông góc với đường thẳng (a)
nên
−→
b = (3; 2). Vậy phương trình đường thẳng
(b) là:
3(x − 1) + 2(y − 2) = 0 ⇔ 3x + 2y − 7 = 0
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:
2x − 3y + 1 = 0
3x + 2y − 7 = 0
⇔
x =
19
13
y =
17
13
.
Vậy tọa độ giao điểm là: (
19
13
;
17
13
).
III. BÀI TẬP
1. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(−1; −2) và C(−1; 3).
a) Viết phương trình tổng quát của đường cao hạ từ A
(Đ/s: y = 2)
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC
(Đ/s: x = −1)
c) Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB.
(Đ/s: x + 2y = 0)
2. Cho tam giác A(−1; 3), B(1; 5) và C(3; −1).
a) Viết phương trình đường trung trực của AB và BC.
(Đ/s: AB : x + y − 1 = 0, BC : x − 3y + 4 = 0)
b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.(Đ/s: Tâm đường tròn ngoại tiếp (
−1
4
;
5
4
))
3. Cho đường thẳng d
1
: 3x−2y −1 = 0 và d
2
: x+y −2 = 0.
a) Chứng minh A(0; 2) thuộc d
2
và không thuộc d
1
.
(Đ/s: Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường
thẳng d
2
và d
1
:
3.0 − 2.2 − 1 = −5 6= 0 ⇒ A không thuộc vào đường
thẳng d
1
0 + 2 − 2 = 0 ⇒ A thuộc vào đường thẳng d
2
)
b) Chứng minh d
1
và d
2
cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm
của d
1
và d
2
.
(Đ/s:
3
1
6=
−2
1
nên hai đường thẳng cắt nhau.
Tọa độ giao điểm là: (1; 1))
c) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với
d
2
. (Đ/s: x − y + 2 = 0)
d) Viết phương trình đường thẳng qua A và song song với
d
1
.
(Đ/s: 3x − 2y + 4 = 0)
3
4. Cho tam giác ABC có phương trình 3 cạnh lần lượt là
(AB) : x+4y−7 = 0, (AC) : x+y−3 = 0, (BC) : 3x+8y+1 =
0.
a) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
(Đ/s: A(
5
3
;
4
3
), B(−15;
11
2
), C(5; −2))
b) Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua BC.
(Đ/s: Tọa độ điểm đối xứng vơi A qua BC là:
(
65
219
;
−508
219
))
5. Cho đường thẳng d
1
: 2x + 3y − 5 = 0 và điểm A(4; 5).
Tìm tọa độ điểm B ∈ d
1
sao cho AB = 5.
(Đ/s: B(1; 1), B(
19
13
;
9
13
))
6. Cho đường thẳng (d) : 3x − 2y + 3 = 0 và điểm A(2, 3).
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua A
song song với d. (Đ/s: 3x − 2y = 0)
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua A
vuông góc với d. (Đ/s: 2x + 3y − 13 = 0)
7. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(−3; 4) và C(2; 0).
a) Viết phương trình đường trung tuyến AM .
(Đ/s: y = 2)
b) Viết phương trình đường cao BK.
(Đ/s: x − 2y + 11 = 0)
c) Viết phương trình đường trung trực của AB.
(Đ/s: 2x − y + 5 = 0)
8. Cho tam giác ABC có A(0; 1), B(−2; 3) và C(2; 0).
a) Viết phương trình đường cao AD, BE và tìm tọa độ
trực tâm H của tam giác ABC.
(Đ/s: AD : 4x − 3y + 3 = 0, BE : 2x − y + 7 =
0, H(−9; −11))
b) Viết phương trình trung trực của cạnh AB, AC và tìm
tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp của tam giác
ABC.
(Đ/s: Đường trung trực của cạnh AB: x − y + 3 = 0
Đường trung trực của cạnh AC; 2x − y −
3
2
= 0
Tọa độ điểm I(
9
2
;
15
2
))
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC và chứng
minh H, I, G thẳng hàng.
(Đ/s: G(0;
4
3
)
−−→
GH = (−9;
−37
3
);
−→
HI = (
27
2
;
37
2
)
Ta có:
−9
27
2
=
−37
3
37
2
suy ra 3 điểm thẳng hàng)
Phương trình tham số của đường thẳng
Nguyễn Tăng Vũ
a)
(Dated: Ngày 21 tháng 4 năm 2020)
I. LÝ THUYẾT
Định nghĩa 1. Vectơ
−→
u 6=
−→
0 có giá song song hoặc trùng
với ∆ gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Tính chất 1. Vectơ chỉ phương có các tính chất sau:
• Các vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì cùng
phương với nhau và vuông góc với vectơ pháp tuyến.
• Hai đường thẳng song song thì vectơ chỉ phương của
đường này là vectơ chỉ phương của đường thẳng kia.
• Hai đường thẳng vuông góc thì vectơ chỉ phương của
đường thẳng này là vectơ pháp tuyến của đường thẳng
kia.
Định lý 1. Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm
I(x
o
; y
o
), vectơ
−→
u . Đường thẳng qua I nhận
−→
u = (a; b)
là vectơ chỉ phương có phương trình tham số:
x = x
o
+ at
y = y
o
+ bt
Ghi chú. Khi khử tham số t thì phương trình trên được viết
lại dưới dạng
x − x
0
a
=
y − y
0
b
, (a, b 6= 0).
Phương trình này được gọi là phương trình chính tắc của
đường thẳng (trong trường hợp ab = 0 thì đường thẳng không
có phương trình chính tắc).
Ghi chú. Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai
điểm A(x
A
, y
A
), B(x
B
, y
B
) có dạng
x − x
A
x
B
− x
A
=
y − y
A
y
B
− y
a
.
(Trong trường hợp trên ta cần có x
B
6= x
A
, y
B
6= y
A
).
a)
www.geosiro.com
II. VÍ DỤ
Ví dụ II.1
Cho đường thẳng d có phương trình tham số
x = 3 + 2t
y = −1 + 4t
(a) Tìm một vectơ chỉ phương của d.
(b) Tìm điểm thuộc đường thẳng có hoành độ bằng
5.
(c) Tìm điểm thuộc đường thẳng có hoành độ bằng
3 tung độ.
(d) Viết phương trình tham số của đường thẳng qua
A(−1; 1) song song với d.
Lời giải
(a) Một vectơ chỉ phương của d là:
−→
u = (2; 4)
(b) Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d có hoành
độ bằng 5, khi đó tọa độ điểm M có dạng
M(5, y
M
). Thay tọa độ điểm M vào phương
trình đường thẳng d ta có:
5 = 3 + 2t
y
M
= −1 + 4
⇔
t = 1
y
M
= 3
Vậy tọa độ điểm M là M (5; 3)
(c) Gọi N (x
N
, y
N
) là điểm thuộc đường thẳng d có
hoành độ bằng ba lần tung độ , khi đó ta có:
x
N
= 3y
N
.
Thay tọa độ điểm N vào phương trình đường
thẳng d ta có:
3y
N
= 3 + 2t
y
N
= −1 + 4t
⇔
t =
3
5
y
N
=
7
5
Với y
N
=
7
5
⇒ x
N
=
21
5
Vậy tọa độ điểm N là N (
21
5
;
7
5
)
(d) Gọi d
1
là đường thẳng đi qua A và song song
với d. Khi đó ta có:
−→
u
d
1
=
−→
u
d
= (2; 4)
Phương trình tham số đường thẳng d
1
là:
x = −1 + 2t
y = 1 + 4t
2
Ví dụ II.2
Cho tam giác ABC có 3 đỉnh là
A(1; 2), B(−1; 4), C(−2; 0).
(a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
(b) Viết phương trình tham số của đường thẳng qua
A song song với BC.
(c) Tìm điểm D thuộc BC sao cho AD vuông góc
với BC.
Lời giải
(a) Ta có:
−−→
AB = (−2; 2)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là:
−−→
u
AB
= (1; −1)
Phương trình tham số của đường thẳng AB là:
x = 1 + t
y = 2 −t
(b) Ta có:
−−→
BC = (−1; −4) Gọi d là đường thẳng đi
qua A và song song với BC.
Khi đó:
−→
u
d
=
−−→
BC = (−1; −4)
Phương trình tham số của đường thẳng BC là:
x = 1 −t
y = 2 −4t
(c) Phương trình đường thẳng BC là:
x = −2 −t
y = −4t
Ta có: AD ⊥ BC. Khi đó:
−−→
u
AD
= (4; −1).
Phương trình tham số của đường thẳng AD là :
x = 1 + 4t
1
y = 2 −t
1
D = AD ∩ BC. Khi đó:
−2 − t = 1 + 4t
1
−4t = 2 −t
1
⇔
t = −1
t
1
= −2
Với t = −1 vậy tọa độ điểm D là D(−1; 4)
René Descartes Sinh tại La Haye, Touraine (trước
đây là một tỉnh, nay gọi là một vùng của Pháp),
Descartes là con của một gia đình quý tộc nhỏ, có
truyền thống khoa bảng và là tín hữu Công giáo Rôma.
Lên tám tuổi, ông được gửi theo học tại trường học của
dòng Tên tại La Flèche ở Anjou, ông học ở đây suốt 8
năm. Bên cạnh những môn học cổ điển, Descartes còn
học toán ở các thầy theo trường phái Kinh viện, một
học phái chủ trương dùng lý luận của loài người để
hiểu lý thuyết Kitô giáo. Thiên Chúa giáo La Mã có
ảnh hưởng mạnh mẽ đến suốt cuộc đời Descartes. Sau
khi ra trường, ông theo học luật tại Đại học Poitiers,
tốt nghiệp năm 1616. Tuy vậy, ông chưa hề hành nghề
luật; năm 1618 ông phục vụ cho Hoàng tử Maurice
de Nassau, nhà lãnh đạo của Liên hiệp các tỉnh Hà
Lan, với ý định theo đuổi một cuộc đời binh nghiệp.
Những năm tiếp theo, Descartes phục vụ các quân đội
khác, nhưng ông đã bắt đầu tập trung vào toán học
và triết học. Ông hành hương sang đất Ý từ năm 1623
đến 1624, sau đó từ 1624 đến 1628, ông ở Pháp. Trong
thời gian ở Pháp, Descartes chuyên tâm nghiên cứu
triết học và làm các thí nghiệm về quang học. Năm
1628, sau khi bán hết tài sản ở Pháp, ông chuyển sang
sống ở Hà Lan, và sống hầu hết quãng đời còn lại
ở xứ hoa tuylip. Descartes sống ở nhiều thành phố
khác nhau của Hà Lan, như Amsterdam, Deventer,
Utrecht, và Leiden. Dường như trong năm đầu tiên ở
Hà Lan, Descartes đã viết tác phẩm lớn đầu tiên, Es-
sais philosophiques (Các tiểu luận triết học), xuất bản
năm 1637. Tác phẩm gồm bốn phần: một tiểu luận về
hình học, một về quang học, phần thứ ba về sao băng,
và Discours de la méthode (Bàn luận về phương pháp),
trong đó ông trình bày các nghiên cứu triết học của
mình. Sau đó lần lượt ra đời các tác phẩm khác, có thể
kể ra Meditationes de Prima Philosophia (Suy ngẫm
về Triết học Tiên khởi, năm 1641, viết lại năm 1642)
và Principia Philosophiae (Các nguyên lý triết học,
năm 1644). Cuốn sau này ông dành tặng cho Công
chúa Elizabeth Stuart xứ Bohemia, một người bạn
thân thiết của ông ở Hà Lan. Năm 1649 Nữ hoàng
Christina nước Thụy Điển mời Descartes đến giảng
dạy cho bà về triết học tại triều đình ở Stockholm.
Cái lạnh khắc nghiệt của xứ Bắc Âu đã làm ông mắc
bệnh viêm phổi và qua đời năm 1650.
III. BÀI TẬP
1. Cho đường thẳng d:
x = −3 + 2t
y = 1 −3t
(a) Tìm điểm thuộc đường thẳng có tung độ bằng 5. (Đ/s:
(
−7
9
; 5))
(b) Tìm điểm thuộc đường thẳng có tung độ bằng 3 lần
hoành độ.(Đ/s: (
−7
9
;
10
9
))
(c) Cho điểm A(−1; 0). A có thuộc d không?Tìm điểm B
thuộc d sao cho AB =
√
5.
(Đ/s: A không thuộc vào d
Tọa độ điểm B là B(−3; 1) hoặc B(
−11
13
;
−29
13
))
3
2. Cho
−→
u = (1; −2). Viết phương trình tham số của đường
thẳng
(a) Qua A(−1; 0) nhận
−→
u làm vectơ chỉ phương.
(Đ/s: Phương trình tham số là:
x = −1 + t
y = −2t
)
(b) Viết phương trình tham số của đường thẳng qua O nhận
−→
u là vectơ pháp tuyến.
(Đ/s: Phương trình tham số là:
x = 2t
y = t
)
3. Cho tam giác ABC có A(−2; 3), B(0; 1), C(2; 5).
(a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB, BC.
(Đ/s: AB :
x = t
y = 1 −t
, BC :
x = t
y = 1 + 2t
)
(b) Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A song
song với BC.
(Đ/s: Phương trình tham số là:
x = −2 + t
y = 3 + 2t
)
4. Cho đường thẳng d :
x = 2 −3t
y = −1 + 2t
và điểm A(−1; 1).
a) Điểm A có thuộc đường thẳng d không? Tại sao?
(Đ/s: A ∈ d)
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d. ( Đ/s:
2x + 3y − 1 = 0)
c) Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A
vuông với d.
(Đ/s:
x = −1 + 2t
y = 1 + 3t
)
5. Cho đường thẳng d : x + 2y − 3 = 0 và điểm A(0, 1).
a) Viết phương trình tham số của d.
(Đ/s:
x = 3 + 2t
y = −t
)
b) Tìm điểm M thuộc d sao cho AM = 1.
(Đ/s: M(1; 1) hoặc M (
−3
5
;
9
5
))
6. Cho hai điểm A(1; 3) và B(3; 7).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d là trung
trực đoạn thẳng AB. (Đ/s:
x = 2 + 2t
y = 5 −t
b) Tìm trên d điểm M sao cho tam giác AMB vuông cân.
(Đ/s: M(4; 4) hoặc M (0; 6))
7. Cho đường thẳng d :
x = −2 + t
y = 1 + −3t
Tìm điểm M trên d
sao cho OM nhỏ nhất trong đó là O là gốc tọa độ.
(Đ/s: M(
−3
2
;
−1
2
))
8. Cho tam giác ABC có A(−2; 4), B(0, 2), C(8, 6).
(a) Viết phương trình tham số các đường trung tuyến BM
và CN.
(Đ/s: BM :
x = t
y = 2 + t
; CN :
x = −1 + 3t
y = 3 + t
(b) Cho điểm K(t; 2t − 1). Tìm t sao cho trung điểm của
BK thuộc đường thẳng CN.
(Đ/s: t =
17
5
)
Khoảng cách- Góc
Nguyễn Tăng Vũ
a)
(Dated: Ngày 21 tháng 4 năm 2020)
I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG
Định lý 1. Cho đường thẳng 4 : ax + by + c = 0 và
điểm A(x
◦
; y
◦
). Khi đó khoảng cách từ A đến 4 là:
d =
|ax
◦
+ by
◦
+ c|
√
a
2
+ b
2
Ví dụ I.1
Cho đường thẳng d : 3x + 4y −1 = 0 và điểm A(−1; 2)
và B(0; −2).
(a) Tính khoảng cách từ A và B đến d.
(b) Viết phương trình đường thẳng AB và tính
khoảng cách từ O(0; 0) đến AB.
Lời giải
(a) Khoảng cách từ A, B đến d là:
d(A, d) =
| 3.(−1) + 4.2 −1 |
√
3
2
+ 4
2
=
4
5
d(B, d) =
| 3.0 + 4.(−2) −1 |
√
3
2
+ 4
2
=
9
5
(b) Ta có:
−−→
AB = (1; −4), khi đó vectơ pháp tuyến
của đường thẳng AB là:
−−→
n
AB
= (4; 1).
Phương trình đường thẳng AB là:
4(x − 0) + 1(y + 2) = 0 ⇔ 4x + y + 2 = 0
Khoảng cách từ O đến AB là:
d(O; AB) =
| 4.0 + 0 + 2 |
√
4
2
+ 1
2
=
2
√
17
=
2
√
17
17
Ví dụ I.2
Cho hai đường thẳng a : 2x−y = 1 và b : 2x−y−4 = 0.
Chứng minh a k b và tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng a và b.
Lời giải Ta có:
2
2
=
−1
−1
6=
−1
−4
nên hai đường thẳng
a, b song song với nhau.
Lấy A(1; 1) ∈ a nên
d(a, b) = d(A, b) =
| 2.1 −1 −4 |
√
2
2
+ 1
2
=
3
√
5
=
3
√
5
5
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng là:
3
√
5
5
a)
www.geosiro.com
Ví dụ I.3
Cho đường thẳng a : 5x + 12y − 13 = 0. Viết phương
trình đường thẳng song song với a và cách a một
khoảng cách bằng 13.
Lời giải Gọi d là đường thẳng song song với a khi đó
ta có:
−→
n
d
=
−→
n
a
= (5; 12)
Phương trình đường thẳng d có dạng: 5x+12y +m = 0
Lấy A(1,
2
3
) ∈ a, khi đó:
d(a, d) = d(A, d) =
| 5.1 + 12.
2
3
+ m |
√
5
2
+ 12
2
= 13
⇔
| 13 + m |
13
= 13 ⇔| 13 + m |= 169
⇔
13 + m = 169
13 + m = −169
⇔
m = 156
m = −182
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:
5x + 12y + 156 = 0 hoặc 5x + 12y − 182 = 0
Tính chất 1. Cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 và hai
điểm M (x
M
; y
M
), N(x
N
; y
N
). Khi đó
• M, N nằm cùng phía đối với ∆ khi và chỉ khi (ax
M
+
by
M
+ c)(ax
N
+ by
N
+ c) > 0
• M, N nằm khác phía đối với ∆ khi và chỉ khi (ax
M
+
by
M
+ c)(ax
N
+ by
N
+ c) < 0
Tính chất 2. (Phương trình đường phân giác). Cho hai
đường thẳng cắt nhau
d
1
: a
1
x + b
1
y + c
1
, d
2
: a
2
x + b
2
y + c
2
= 0
Khi đó phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi
d
1
và d
2
là:
|a
1
x + b
1
y + c
1
|
p
a
2
1
+ b
2
1
= ±
|a
2
x + b
2
y + c
2
|
p
a
2
2
+ b
2
2
Ví dụ I.4
Cho hai đường thẳng a : 3x +4y −7 = 0, b : 5x+ 12y −
17 = 0. Chứng minh a và b cắt nhau và viết phương
trình phân giác tạo bởi hai đường thẳng a và b.
Lời giải Ta có:
3
5
6=
4
12
nên hai đường thẳng cắt nhau.
Phương trình đường phân giác tạo bởi hai đường thẳng
a, b là:
| 3x + 4y − 7 |
√
3
2
+ 4
2
= ±
| 5x + 12y − 17 |
√
5
2
+ 12
2
⇔
| 3x + 4y − 7 |
5
= ±
| 5x + 12y − 17 |
13
⇔
13(3x + 4y − 7) = 5(5x + 12y − 17)
13(3x + 4y − 7) = −5(5x + 12y − 17)
⇔
14x − 8y − 6 = 0
64x + 112y − 176 = 0
⇔
7x − 4y − 3 = 0
4x + 7y − 11 = 0
Vậy phương trình đường phân giác tạo bởi hai đường
thẳng a, b là : 7x − 4y − 3 = 0; 4x + 7y − 11 = 0
2
II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Định nghĩa 1. Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tạo thành
4 góc, khi đó góc nhỏ nhất trong 4 góc được gọi là góc của hai
đường thẳng a và b.
Nếu hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì ta quy
ước góc giữa chúng bằng 0
o
. Kí hiệu
[
(a, b) hoặc (a, b). Ta có
0
o
≤ (a, b) ≤ 90
o
.
Tính chất 3. Nếu
−→
u ,
−→
v lần lượt là vectơ chỉ phương (hoặc
vectơ pháp tuyến) của hai đường thẳng a, b. Đặt α = (
−→
u ,
−→
v ).
Khi đó
• (a, b) = α nếu 0 ≤ α ≤ 90
o
.
• (a, b) = 180
o
− α nếu 90
o
< α ≤ 180
o
.
• cos(a, b) = |cos α|
Ví dụ II.1
Cho hai đường thẳng a : x+y −1 = 0, b : 3x+4y −2 =
0.
(a) Tính góc tạo bởi a và b với trục hoành.
(b) Tính cos góc giữa hai đường thẳng a và b.
Lời giải
(a) Phương trình trục hoành là Ox : y = 0
Vectơ pháp tuyến của đường thẳn a, b, Ox lần
lượt là:
−→
n
a
= (1; 1),
−→
n
b
= (3; 4);
−−→
n
Ox
= (0; 1)
Góc tạo bởi đường thẳng a, b với trục hoành là:
cos(a, Ox) =
| 1.0 + 1.1 |
√
1
2
+ 0
2
.
√
1
2
+ 1
2
=
1
√
2
=
√
2
2
⇒ (a, Ox) = 45
o
cos(b, Ox) =
| 3.0 + 4.1 |
√
3
2
+ 4
2
√
0
2
+ 1
2
=
4
5
⇒ (b, Ox) = arccos(
4
5
)
(b) Góc giữa hai đường thẳng a và b là:
cos(a, b) =
| 1.3 + 1.4 |
√
1
2
+ 1
2
.
√
3
2
+ 4
2
=
7
5
√
2
=
7
√
2
10
⇒ (a, b) = arccos(
7
√
2
10
)
Ví dụ II.2
Cho đường thẳng a : x − y = 0. Viết phương trình
đường thẳng b qua điểm M (1; 2) sao cho góc giữa a và
b là 45
◦
.
Lời giải Gọi
−→
n
b
= (m, n) là vectơ pháp tuyến của
đường thẳng b .
Khi đó, phương trình đường thẳng b là:
m(x − 1) + n(y − 2) = 0
Ta có: VTPT của đường thẳng a là:
−→
n
a
= (1; −1).
Góc giữa a, b là 45
◦
nên ta có:
cos(a, b) =
| 1.m −1.n |
√
1
2
+ 1
2
.
√
m
2
+ n
2
=
√
2
2
⇔
| m −n |
√
m
2
+ n
2
= 1 ⇔| m −n |=
√
m
2
+ n
2
⇔ 2mn = 0 ⇔
m = 0
n = 0
Với m = 0 chọn n = 1 khi đó ta có phương trình đường
thẳng b là y = 2
Với m = 0 chọn n = 1 khi đó ta có phương trình đường
thẳng b là: x = 1
III. BÀI TẬP
1. Cho hai đường thẳng d
1
: 2x + 3y −1 và d
2
: −3x + y = 0
và điểm A(1; 2).
(a) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d
1
và d
2
. (Đ/s:
d(O, d
1
) =
√
13
13
, d(O, d
2
) = 0
(b) Tính góc giữa hai đường thẳng d
1
, d
2
.
(Đ/s: (d
1
, d
2
) = arccos(
3
√
130
130
)
2. Cho tam giác ABC có A(−1; 1), B(0, 3), C(2; −1).
(a) Viết phương trình đường thẳng BC.
(Đ/s: BC : 2x + y − 3 = 0)
(b) Tính độ dài đường cao hạ từ A và diện tích tam giác
ABC. (Đ/s: S
ABC
= 4)
3. Cho đường thẳng d
1
: 3x + 4y − 5 = 0.
(a) Tìm điểm A thuộc Ox sao cho khoảng cách từ A đến
d
1
bằng 2.(A(5; 0), A(
−5
3
; 0))
(b) Tìm điểm B thuộc Oy sao cho khoảng cách từ B đến
d
1
bằng 3.(Đ/s: B(0; 5), B(0;
−5
2
))
(c) Viết phương trình đường thẳng song song với d
1
và cách
d
1
một khoảng bằng 1.
(Đ/s: 3x + 4y = 0; 3x + 4y − 10 = 0)
3
4. Cho đường thẳng d : x − y − 1 = 0.
(a) Viết phương trình đường thẳng qua O và tạo với d một
góc 45
o
. (Đ/s: x = 0, y = 0)
(b) Cho hai điểm A(1; 0) và B(−2; 1). Xét vị trí tương đối
của A và B đối với d.
(Đ/s: A thuộc d, B không thuộc d)
5. Cho điểm A(−1; 2) và B(4; 1). Viết phương trình đường
thẳng d qua A sao cho khoảng cách từ B đến d bằng
√
13.
(Đ/s: 3x + 2y − 1 = 0, 2x − 3y + 8 = 0)
Phương trình đường tròn
Nguyễn Tăng Vũ
a)
(Dated: Ngày 21 tháng 4 năm 2020)
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Định lý 1. Đường tròn tâm I(a, b) có bán kính R có
phương trình
(x − a)
2
+ (y − b)
2
= R
2
Định lý 2. Phương trình dạng x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c = 0 là
phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi a
2
+ b
2
> c.
Khi đó tâm I(−a; −b) và bán kính R =
√
a
2
+ b
2
− c
Ví dụ I.1
Cho điểm I(1; 2) và A(−1; 4).
(a) Viết phương trình đường tròn tâm I bán kính
R = 3.
(b) Viết phương trình đường tròn tâm I bán kính
IA.
(c) Xét vị trí tương đối của B(3; 1) với đường tròn
tâm I bán kính IA.
Lời giải
(a) Phương trình đường tròn tâm I bán kính R = 3
là:
(x−1)
2
+(y−2)
2
= 3
2
⇔ x
2
+y
2
−2x−4y−4 = 0
(b) Ta có:
−→
IA = (−2; 2) ⇒ IA = 2
√
2
Phương trình đường tròn tâm I bán kính IA là:
(x−1)
2
+(y −2)
2
= 8 ⇔ x
2
+y
2
−2x−4y −3 = 0
(c) Ta có:
−→
IB = (2; −1) ⇒ IB =
√
5
IA > IB (2
√
2 >
√
5) nên B nằm trong đường
tròn tâm I bán kính IA.
Ví dụ I.2
Cho phương trình x
2
−2(m−1)x+y
2
−4my+5m
2
= 0.
(*)
(a) Khi m = 0, (*) có phải là phương trình đường
tròn không?Tìm tọa độ tâm và tính bán kính.
(b) Tìm tất cả m để (*) là phương trình của một
đường tròn.
(c) Khi (*) là phương trình đường tròn, chứng minh
tâm I luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Lời giải
(a) Khi m = 0 thay vào (∗) ta có:
x
2
+ 2x + y
2
= 0 ⇔ (x + 1)
2
+ y
2
= 1
Khi đó: (∗) là phương trình đường tròn.
a)
www.geosiro.com
Tâm:(−1; 0), bán kính là: 1.
(b) Để (∗) là phương trình của một đường tròn:
(−(m − 1))
2
+ (−2m)
2
> 5m
2
⇔ m
2
− 2m + 1 + 4m
2
> 5m
2
⇔ −2m + 1 > 0 ⇔ m <
1
2
(c) Tâm I của đường tròn (∗) là: I(m − 1, 2m)
Ta có: x
I
= m −1(1), y
I
= 2m(2) khi đó:
m = x
I
+ 1 thay vào (2) ta có:
y
I
= 2(x
I
+ 1) ⇔ 2x
I
− y
I
+ 2 = 0.
Vậy điểm I luôn thuộc vào đường thẳng :
2x − y + 2 = 0
II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Cho đường tròn tâm I(a, b) bán kính R. Khi đó phương
trình tiếp tuyến tại điểm A(x
o
, y
o
) là:
(x − x
o
)(x
o
− a) + (y − y
o
)(y
o
− b) = 0
Ví dụ II.1
Cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
− 2x + 4y = 0.
(a) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của (C).
(b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(2; 0).
Lời giải
(a) Tọa độ tâm, bán kính của đường tròn (C) là:
Tâm I(1; −2)
Bán kính R =
√
1
2
+ 2
2
− 0 =
√
5
(b) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(2; 0) là:
(x − 2)(2 − 1) + (y − 0)(0 − (−2)) = 0
⇔ x −2 + 2y = 0
Ghi chú. Tiếp tuyến của đường tròn tâm I bán kính R là
đường thẳng cách I một khoảng cách bằng R. Ta sử dụng
tính chất này để viết phương trình tiếp tuyến trong một số
trường hợp khác.
Ví dụ II.2
Cho đường tròn (C) : (x − 1)
2
+ (y − 3)
2
= 25
(a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng 4x + 3y = 0.
(b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến
vuông góc với 3x + 4y + 1 = 0.
Lời giải
(a) Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với
đường thẳng 4x + 3y = 0 nên có dạng: d : 4x +
2
3y + m = 0(m 6= 0).
Tâm và bán kính đường tròn (C) là I(1; 3), R = 5
Do d là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên ta có:
d(I, d) = R ⇔
| 4.1 + 3.3 + m |
√
4
2
+ 3
2
= 5
⇔| 13 + m |= 25
⇔
13 + m = 25
13 + m = −25
⇔
m = 12(N )
m = −38(N )
Với m = 12 phương trình tiếp tuyến là:
4x + 3y + 12 = 0
Với m = −38 phương trình tiếp tuyến là:
4x + 3y − 38 = 0.
III. BÀI TẬP
Bài
1. Trong mặt phẳng Oxy cho A(3; 4), B(2; −1).Viết
phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
(a) Tâm A bán kính R = 4. (Đ/s: (x −3)
2
+ (y −4)
2
= 16)
(b) Tâm B bán kính R = 5.(Đ/s: (x −2)
2
+ (y + 1)
2
= 25)
(c) Tâm O(0; 0) bán kính OA.(Đ/s: x
2
+ y
2
= 25)
(d) Đường tròn đường kính AB.
(Đ/s: (x −
5
2
)
2
+ (y −
3
2
)
2
=
13
2
)
Bài
2. Cho tam giác ABC có A(−1; 0), B(2; 2), C(2; −6).
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
(Đ/s: (x −
5
2
)
2
+ (y + 2)
2
=
65
4
)
Bài
3. Cho đường thẳng d : 4x −3y −1 = 0 và điểm A(2; 1).
(a) Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với d.
(Đ/s: (x − 2)
2
+ (y − 1)
2
=
16
25
)
(b) Cho d cắt Ox tại B. Viết phương trình đường tròn tâm
B tiếp xúc với Oy.
(Đ/s: (x −
1
4
)
2
+ y
2
=
1
16
)
Bài
4. Cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
− 4x + 2y = 0.
(a) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn.
(Đ/s: Tâm I(2; −1), bán kính R =
√
5)
(b) Chứng minh A(4; −2) thuộc (C) và viết phương trình
tiếp tuyến tại A của (C).
(Đ/s: 2x − y − 9 = 0)
Bài
5. Cho đường tròn (C) : (x − 1)
2
+ (y + 3)
2
= 5. Viết
phương trình tiếp của (C) biết tiếp tuyến.
(a) Song song với đường thẳng 2x + y − 1 = 0.
(Đ/s: 2x + y + 6 = 0; 2x + y − 4 = 0)
(b) Vuông góc với đường thẳng 4x − y + 1 = 0.
(Đ/s: x + 4y +
√
85 + 11 = 0; x + 4y −
√
85 + 11 = 0)
Bài
6. Cho đường tròn (C) : (x −
5
2
)
2
+ (y + 2)
2
=
49
4
và
đường thẳng d : 2x + y + 4 = 0.
(a) Tìm tọa độ giao điểm A, B của d và (C).
(Đ/s: A(
2
5
, −
24
5
), B(−1; −3)
hoặc A(−1; −3), B(
2
5
, −
24
5
))
(b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A và B. Tìm
tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến.
( Phương trình hai tiếp tuyến là:
7x + 2y + 13 = 0, 3x + 4y + 9 = 0,
tọa độ giao điểm là: (−
17
11
; −
12
11
))
Bài
7. Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp
sau:
(a) Tâm I(-1,2) và tiếp xúc với đường thẳng d : x−2y −2 =
0. (Đ/s: (x + 1)
2
+ (y − 2)
2
=
49
5
)
(b) Tâm thuộc đường thẳng x + y − 3 = 0, bán kính bằng
1 và tiếp xúc Ox.
(Đ/s: (x − 2)
2
+ (y − 1)
2
= 1; (x −4)
2
+ (y + 1)
2
= 1)
(c) Đi qua hai điểm A(0, 1), B(2, −3) và bán kính R = 5.
(Đ/s: (x −5)
2
+ (y −1)
2
= 25, (x + 3)
2
+ (y + 3)
2
= 25)
(d) Đi qua hai điểm A(1, 2), B(3, 4) và tiếp xúc với đường
thẳng d : 3x + y − 3 = 0.
(Đ/s: (x −4)
2
+ (y −1)
2
= 10, (x −
3
2
)
2
+ (y −
7
2
)
2
=
5
2
)
(e) Đi qua gốc toạ độ, có bán kính R =
√
5 và có tâm nằm
trên đường thẳng x + y − 1 = 0.
(Đ/s: (x − 2)
2
+ (y + 1)
2
= 5, (x + 1)
2
+ (y − 2)
2
= 5)
(f) Có bán kính R =
√
5, đi qua gốc toạ độ và tiếp xúc
đường thẳng 2x − y + 5 = 0
(Đ/s: (x + 2 − 2
√
2)
2
+ (y − 1 − 4
√
2)
2
= 5,
(x + 2 + 2
√
2)
2
+ (y − 1 + 4
√
2)
2
= 5)
(g) Tiếp xúc với d
1
: x −3y −2 = 0, d
2
: x −3y + 18 = 0 và
đi qua điểm A(4, −2).
(Đ/s: (x −10)
2
+ (y −6)
2
= 100, (x +
28
5
)
2
+ (y −
4
5
)
2
=
100)
(h) Tiếp xúc với d
1
: 2x + y − 1 = 0, d
2
: 2x − y + 2 = 0 và
có tâm thuộc đường thẳng d
3
: x −y − 1 = 0.
(Đ/s: (x −
5
2
)
2
+ (y −
3
2
)
2
=
121
10
,
(x +
1
4
)
2
+ (y +
5
4
)
2
=
121
10
)
(i) Tiếp xúc với d : x − y − 2 = 0 tại M(1, −1) và có bán
kính bằng 3.
(Đ/s: (x −
2 + 3
√
2
2
)
2
+ (y +
2 + 3
√
2
2
)
2
= 9,
(x −
2 − 3
√
2
2
)
2
+ (y +
2 − 3
√
2
2
)
2
= 9)
(j) Ngoại tiếp tam giác ABC biết
A(−2, 4), B(6, −2), C(5, 5).
(Đ/s: (x −
50
31
)
2
+ (y −
15
31
)
2
=
24425
961
)
Phương trình chính tắc của Elip
Nguyễn Tăng Vũ
a)
(Dated: Ngày 21 tháng 4 năm 2020)
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa 1 (Ellipse). Ellipse là tập hợp tất cả các điểm có
tổng khoảng cách đến hai điểm cố định cho trước một khoảng
không đổi.
Cho hai điểm cố định F
1
, F
2
với F
1
F
2
= 2c (c > 0) và
số 2a (a > c). Ellipse (E) là tập hợp các điểm M sao cho
MF
1
+ M F
2
= 2a.
(E) = {M : M F
1
+ M F
2
= 2a}
F
1
, F
2
gọi là các tiêu điểm, khoảng cách F
1
F
2
= 2c gọi là tiêu
cự của (E).
Định lý 1 (Phương trình chính tắc). Nếu chọn hệ trục
có Oxy sao cho F
1
(−c, 0), F
2
(c, 0) thì (E) có phương
trình chính tắc
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1
với b =
√
a
2
− c
2
.
Tính chất 1. Nếu elip có phương trình chính tắc
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1(a > b > 0) thì
• Tính đối xứng: (E) có trục đối xứng là Ox, Oy, tâm đối
xứng là gốc tọa độ.
• Trục lớn A
1
A
2
= 2a nằm trên Ox, trục bé B
1
B
2
= 2b
nằm trên Oy.
• Các đỉnh A
1
(−a, 0), A
2
(a, 0), B
1
(−b, 0), B
2
(b, 0).
• Hai tiêu điểm F
1
(−c, 0), F
2
(c, 0).
• Phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở: x = ±a, y =
±b.
• Tâm sai e =
c
a
, 0 < e < 1. Vì
b
a
=
√
1 − e
2
nên e
càng gần 0 ellipse càng “tròn”, e càng gần 1 ellipse càng
“dẹp”.
• Bán kính qua tiêu của điểm M (x
0
, y
0
) trên (E)
MF
1
= a + ex
0
; MF
2
= a −ex
0
Ví dụ I.1
Vẽ các ellipse sau. Xác định tâm đối xứng, trục đối
xứng, phương trình đường chuẩn, tiêu cự, tiêu điểm,
tâm sai.
(a)
x
2
16
+ y
2
= 1. (b) 9x
2
+ 4y
2
= 36
a)
www.geosiro.com
Lời giải
(a) Tâm đối xứng O(0; 0)
Trục đối xứng là x = 0; y = 0
Phương trình đường chuẩn là: x = ±4, y = ±1
Tiêu cự F
1
F
2
= 2
√
15
Tiêu điểm: F
1
(−
√
15; 0), F
2
(
√
15; 0) Tâm sai:
e =
c
a
=
√
15
4
(b) 9x
2
+ 4y
2
= 36 ⇔
x
2
4
+
y
2
9
= 1(1)
Do a < b(2 < 3) nên (1) không phải là phương
trình chính tắc của elip.
Ví dụ I.2
Tìm phương trình chính tắc elip biết rằng hai tiêu
điểm là
√
3, 0
and
−
√
3, 0
và đi qua điểm A(0, 3).
Lời giải Gọi phương trình chính tắc elip cần tìm có
dạng:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1
thỏa mãn a
2
− b
2
= c
2
, a > b > 0
Elip có hai tiêu điểm là (
√
3; 0), (−
√
3; 0) nên c =
√
3.
Khi đó ta có: a
2
− b
2
= c
2
= 3 (1)
Elip đi qua A(0, 3) nên:
9
b
2
= 1 ⇔ b
2
= 9
Thay b
2
= 9 vào (1) ta có: a
2
− 9 = 3 ⇔ a
2
= 12
Vậy phương trình elip cần tìm là:
x
2
12
+
b
2
9
= 1
Ví dụ I.3
Cho elip có phương trình (E) :
x
2
6
+
y
2
3
= 1.
(a) Tìm tọa độ hai tiêu điểm F
1
, F
2
của elip.
(b) Tìm điểm M thuộc elip sao cho M F
1
= 2M F
2
.
(c) Tìm điểm M thuộc elip sao cho ∠F
1
MF
2
= 90
o
.
Lời giải
(a) Ta có: a
2
= 6, b
2
= 3 khi đó:
c
2
= a
2
− b
2
= 6 −3 = 3
Vậy tọa độ hai tiêu điểm là:
F
1
= (−
√
3; 0), F
2
= (
√
3; 0)
(b) Gọi M (x
M
, y
M
). Do M ∈ (E) nên:
x
2
M
6
+
y
2
M
3
= 1 ⇔ 3x
2
M
+ 6y
2
M
= 18(1)
2
Mặt khác ta có: M F
1
= 2M F
2
⇔ M F
2
1
=
4MF
2
2
⇔ (−
√
3 − x
M
)
2
+ y
2
M
= 4[(
√
3 − x)
2
+ y
2
M
]
⇔ 3 + 2
√
3x
M
+ x
2
M
+ y
2
M
= 4(3 − 2
√
3x
M
+
x
2
M
+ y
2
M
)
⇔ 3x
2
M
+ 3y
2
M
− 10
√
3x
M
= −9(2)
Lấy 2 ∗ (2) − (1) ta có:
3x
2
M
− 20
√
3x
M
+ 36 = 0 ⇔
x
M
= 6
√
3
x
M
=
2
√
3
3
Với x
M
= 6
√
3 thay vào (1) ta có: y
2
M
= −51(L)
Với x
M
=
2
√
3
3
thay vào (1) ta có: y
M
= ±
√
21
3
Vậy tọa độ điểm M là:
M(
2
√
3
3
;
√
21
3
), M(
2
√
3
3
; −
√
21
3
)
(c) Gọi M (m, n). Do M ∈ (E) nên ta có:
m
2
6
+
n
2
3
= 1 ⇔ m
2
+ 2n
2
= 6(3)
Góc F
1
MF
2
= 90
◦
nên ta có:
MF
1
⊥ M F
2
⇔
−−−→
F
1
M.
−−−→
F
2
M = 0
⇔ (m +
√
3)(m −
√
3) + y.y = 0
⇔ m
2
− 3 + n
2
= 0(4)
Từ (3), (4) ta có: hệ phương trình:
m
2
+ 2n
2
= 6
m
2
+ n
2
= 3
⇔
m
2
= 0
n
2
= 3
Vậy tọa độ điểm M là M (0;
√
3), M(0; −
√
3)
II. BÀI TẬP
Bài
1. (Nội thất) Phía trên của một cửa số là nửa trên của
một elip. Phương trình chính tắc của elip biết gốc tọa độ là
trung điểm cạnh trên của cửa sổ(hình 1).
Bài
2. Nhà Trắng. Có một vùng đất phía nam Nhà Trắng,
gọi là công viên tổng thống, như hình vẽ. Viết phương trình
elip lấy gốc tọa độ là tâm của elip.(hình ??).
Bài
3. Thiên văn học. Quỹ đạo của một hành tinh quay
quanh mặt trời là một đường elip với mặt trời là một tiêu
điểm của quỹ đạo. Khoảng cách của mặt trời so với tâm elip
là 21.24 triệu km, khi gần nhất hành tinh cách mặt trời một
khoảng là 206.75 (xấp xỉ), khoảng cách gần nhất của hành
tinh cách tâm elip khoảng 226.94 tr km. Viết phương trình
elip và vẽ mô tả elip đó.
Bài
4. Thiên văn học Khi gần nhất, Trái đất cách mặt trời
91.4 tr km và xa nhất là 94.5 tr km. Giả sử tâm quỹ đạo
là gốc, mặt trời thuộc trục hoành và bán kính mặt trời là
400,000 dặm. Viết phương trình quỹ đạo của trái đất. (hình
4).
Bài
5. Đấu trường Colosseum ở Rome là một hình elip với
độ dài trục lớn là 190m và trục nhỏ là 155m. Viết phương
trình chính tắc của đấu trường.
Bài
6. Cho (E) :
x
2
7
+
y
2
4
= 1. Tìm điểm M trên (E) sao cho:
(a) M F
1
= 2M F
2
(Đ/s: M(
7
√
3
9
;
4
√
15
9
), (
7
√
3
9
; −
4
√
15
9
)
(b) M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 60
0
.
(Đ/s: (±
35
3
; ±
4
3
)
Bài
7. Cho ABCD là hình thoi có các đỉnh trùng với các
đỉnh của elip. Bán kính đường tròn nội tiếp của hình thoi
là
√
2. Viết phương trình chính tắc của elip biết tâm sai là
e =
1
√
2
. Bài toán có thể giải được không nếu ta chỉ biết 4
đỉnh của hình thoi nằm trên elip?
(
x
2
6
+
y
2
3
= 1)
Bài
8. Cho (E) :
x
2
8
+
y
2
4
= 1 và dường thẳng d : x −y
√
2 +
2 = 0.
(a) Chứng minh (d) luôn cắt (E) tại hai điểm A,B. Tính
AB. (AB = 3
√
2)
(b) Tìm điểm C trên (E) sao cho diện tích tam giác ABC
lớn nhất.
(C(2, −
√
2 hoặc C(−2;
√
2)
Bài
9. Tìm trên (E) :
x
2
16
+
y
2
13
= 1 hai điểm M, N sao cho
tam giác F
1
MN đều.
(M(
8
√
3
5
;
13
5
), N(
8
√
3
5
; −
13
5
) hoặc
M(
−24
√
3
11
;
13
11
), N(
−24
√
3
11
; −
13
11
))
Bài
10. Cho (E) :
x
2
4
+
y
2
1
= 1. Tìm A, B thuộc (E) có
hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện
tích lớn nhất.
(A(
√
2;
√
2
2
), B(
√
2, −
√
2
2
))
Bài
11. Cho (E) :
x
2
16
+
y
2
7
= 1. Tìm điểm M trên (E) sao
cho:
(a) 2M F
1
= 3M F
2
(M(
16
15
; ±
√
1463
15
)
(b)
1
MF
1
+
1
MF
2
=
6
F
1
F
2
(M(±
2
√
2
3
; ±
√
238
6
)
(c) M F
3
1
+ M F
3
2
= 182 (M(±2; ±
√
21
2
)
Bài
12. Cho (E) :
x
2
9
+
y
2
4
= 1 và điểm M(2,1).
(a) Chứng minh M nằm trong (E)
(b) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt (E) tại
hai điểm A, B sao cho M là trung điểm AB.
(8x + 9y − 25 = 0)
(c) Tính khoảng cách từ các tiêu điểm đến đường thẳng
AB. (d(F
1
, AB) =
8
√
5 + 25
√
145
, d(F
2
, AB) =
−8
√
5 + 25
√
145
)
3
Bài
13. Cho (E) : x
2
+2y
2
= 2 và đường thẳng d : x+y+m =
0. Tìm m để:
(a) Đường thẳng (d) cắt (E) tại hai điểm phân biệt. Khi
đó:
(i) Tìm tập hợp trung điểm của AB.
(ii) Tìm m để độ dài AB lớn nhất.
(iii) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến AB bằng
nửa độ dài đoạn AB.
(b) Đường thẳng (d) có một điểm chung duy nhất với (E).
(M = ±1)
Bài
14. Cho (E) :
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1, a > b > 0.
(a) Gọi A, B là hai điểm trên (E) sao cho OA vuông góc
OB. Chứng minh rằng
1
OA
2
+
1
OB
2
=
1
a
2
+
1
b
2
.
(b) Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn tiếp xúc với
một đường tròn cố định.
Bài
15. Cho (E) :
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1, a > b > 0. Gọi F
1
, F
2
là hai
tiêu điểm và A
1
, A
2
là hai đỉnh trên trục lớn. M là một điểm
tuỳ ý trên (E) có hình chiếu trên Ox là H. Chứng minh rằng:
(a) M F
1
.MF
2
+ OM
2
= a
2
+ b
2
(b) (M F
1
− M F
2
)
2
= 4(OM
2
− b
2
)
(c) M H
2
= −
b
2
a
2
HA
1
.HA
2
Bài
16. Cho (E) :
x
2
9
+
y
2
3
= 1. Gọi A, B là hai điểm trên
(E) sao cho OA vuông OB. Xác định vị trí của AB sao cho
tam giác OAB có diện tích lớn nhất.
(OA; OB nằm trên hai trục tọa độ)
Bài
17. Cho (E) :
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1, a > b > 0 và đường thẳng
d : Ax + By + C = 0.
(a) Tìm điều kiện của a, b, A, B, C để (E) và d có duy nhất
một điểm chung, không có điểm chung.
(b) Khi (E) và d không có điểm chung. Tìm những điểm M
thuộc (E) sao cho khoảng cách từ M đến d đạt GTLN,
GTNN.
Bài
18. Cho (E) :
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1, a > b > 0 và điểm M (x
0
, y
0
)
nằm trên (E).
(a) Chứng minh a ≤ OM ≤ b
(b) Chứng minh |x
0
+ y
0
)| ≤
√
a
2
+ b
2
(c) Tìm những điểm thuộc (E) sao cho khoảng cách từ điểm
đó đến tiêu điểm phải lớn nhất, nhỏ nhất.
Quỹ đạo của Trái Đất là đường đi của Trái Đất
xung quanh Mặt trời. Trái Đất quay trên quỹ đạo
quanh Mặt Trời với khoảng cách trung bình 150 triệu
km hết 365,2564 ngày Mặt Trời trung bình (1 năm
thiên văn, số liệu đo được đến năm 2006) Quỹ đạo của
Trái Đất xung quanh Mặt Trời gọi là đường hoàng
đạo. Trên đường hoàng đạo có các điểm đặc biệt là
: điểm cận nhật, điểm viễn nhật, điểm xuân phân,
điểm hạ chí, điểm thu phân, điểm đông chí. Góc giữa
điểm cận nhật và điểm xuân phân hiện nay khoảng
77
◦
(mỗi năm góc này giảm khoảng 1’02"). Quan sát
từ Trái Đất, chuyển động biểu kiến của Mặt Trời thể
hiện bằng sự thay đổi vị trí tương đối so với các ngôi
sao, với vận tốc góc khoảng 1
◦
/ngày, hay một khoảng
cách bằng đường kính góc của Mặt Trăng hay Mặt
Trời cứ sau mỗi 12 giờ về phía đông. Vì chuyển động
này, trung bình nó mất 24 giờ - một ngày Mặt Trời -
để Trái Đất hoàn thành một vòng tự quay quanh trục
sao cho Mặt Trời lại trở lại đường Tý Ngọ (kinh tuyến
thiên cầu).
Bài tập tổng hợp
Nguyễn Tăng Vũ
a)
(Dated: Ngày 21 tháng 4 năm 2020)
I. BÀI TẬP VỀ TAM GIÁC - TỨ GIÁC
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A(0; 3). Xác định tọa độ
B, C biết:
(a) Phương trình hai đường trung tuyến từ B, C là 4x −
9y − 1 = 0 và x + 3y − 2 = 0.
(b) Có hai đường cao từ B và C là x − y + 1 = 0 và 2x +
y − 3 = 0.
Lời giải
(a) G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó ta có tọa độ
điểm G là nghiệm của hệ phương trình:
4x − 9y − 1 = 0
x + 3y − 2 = 0
⇔
(
x = 1
y =
1
3
Suy ra G(1;
1
3
) ⇒
−→
AG = (1;
−8
3
)
Gọi M(x
M
; y
M
) là trung điểm BC, khi đó ta có
−−→
AM = (x
M
, y
M
− 3).
Ta có:
−→
AG =
2
3
−−→
AM
⇔
2
3
x
M
= 1
2
3
(y
M
− 3) = −
8
3
⇔
(
x
M
=
3
2
y
M
= −1
C thuộc đường trung tuyến từ đỉnh C nên tọa độ điểm
C có dạng C(2 − 3a; a) khi đó tọa độ điểm B có dạng
B(1 + 3a, −2 − a). Điểm B thuộc vào đường trung
tuyến từ đỉnh B:
4(1 + 3a) − 9(−2 − a) − 1 = 0 ⇔ a = −1
Với a = −1 tọa độ điểm B(−2; −1), C(5; −1)
(b) Gọi H(x
H
, y
H
) là trực tâm của tam giác ABC.
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:
x − y = −1
2x + y = 3
⇔
x =
2
3
y =
5
3
⇒ H(
2
3
;
5
3
)
Gọi B(b, b + 1) ⇒
−−→
AB = (b, b − 2)
−−→
n
CH
= (2; 1). Ta có
−−→
AB,
−−→
n
CH
cùng phương nên ta có:
b
2
=
b − 2
1
⇔ b = 4
⇒ B(4; 5)
Ta có:
−−→
AH = (
2
3
, −
4
3
). Mà AH ⊥ BC ⇒
−−→
BC = (1; −2)
Phương trình đường thẳng BC là:
1.(x − 4) − 2(y − 5) = 0 ⇔ x −2y + 6 = 0
Tọa độ điểm C là nghiệm hệ phương trình:
x − 2y + 6 = 0
2x + y − 3 = 0
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có A(−1; 2), đường cao CD :
x + 2y + 2 = 0 và trung tuyến BM : x −3y − 3 = 0.
(a) Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm tọa độ điểm
B.
(b) Tìm tọa độ điểm C.
a)
www.geosiro.com
Lời giải
(a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng CD là
−−→
n
CD
= (1; 2).
Khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng CD là
−−→
u
CD
=
(2; −1).
AB ⊥ CD khi đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng
AB là
−−→
n
AB
=
−−→
CD = (2; −1)
Phương trình đường thẳng AB là:
2(x + 1) − 1(y − 2) = 0 ⇔ 2x −y + 4 = 0
(b) M ∈ BM. Gọi tọa độ điểm M là M(3b + 3, b).
M là trung điểm của đoạn AC khi đó tọa độ điểm C là
C(6b + 7, 2b − 2).
C ∈ CD thay tọa độ điểm C vào đường thẳng CD ta
có:
6b + 7 + 2(2b − 2) + 2 = 0 ⇔ 10b + 5 = 0 ⇔ b = −
1
2
Với b = −
1
2
tọa độ điểm C(4; −3)
Ví dụ 3. Lập phương trình các cạnh của 4ABC biết
B(−2, 1), đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ một
đỉnh có phương trình lần lượt là d
1
: 5x + 4y − 1 = 0, d
2
:
8x + y − 7 = 0.
Lời giải
Thay tọa độ điểm B vào d
1
ta có:
5.(−2) + 4.1 − 1 = −7 6= 0.
Khi đó B không thuộc vào d
1
.
Giả sử d
1
, d
2
là đường cao, đường trung tuyến xuất phát từ
đỉnh A.
Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình là:
5x + 4y − 1 = 0
8x + y − 7 = 0
⇔
x = 1
y = −1
⇒ A(1; −1)
Ta có:
−−→
BA = (3; −2). Khi đó vectơ pháp tuyến của đường
thẳng AB là
−−→
n
AB
= (2; 3).
Phương trình đường thẳng AB là
2(x + 2) + 3(y − 1) = 0 ⇔ 2x + 3y + 1 = 0
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d
1
là
−→
n
d
1
= (5; 4) nên
vectơ chỉ phương của đường thẳng d
1
là
−→
u
d
1
= (4; −5)
Ta có: d
1
⊥ BC. Khi đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng
BC là
−−→
n
BC
=
−→
u
d
1
= (4; −5)
Phương trình đường thẳng BC là:
4(x + 2) − 5(y − 1) = 0 ⇔ 4x −5y + 13 = 0
d
2
T
BC = M. Tọa độ điểm M là nghiệm của phương trình:
4x − 5y + 13 = 0
8x + y − 7 = 0
⇔
(
x =
1
2
y = 3
⇒ M(
1
2
; 3)
M là trung điểm của BC suy ra tọa độ điểm C là: C(3; 5)
−→
AC = (2; 6). Vectơ pháp tuyến của đường thẳng AC là:
−−→
n
AC
= (3; −1)
Phương trình đường thẳng AC là:
3(x − 1) − 1(y + 1) = 0 ⇔ 3x −y − 4 = 0
Ví dụ 4. Cho hình vuông ABCD có đỉnh B(4,1) và phương
trình đường chéo AC : x + 3y − 11 = 0. Hãy tìm toạ độ các
đỉnh còn lại.
Lời giải
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng AC là:
−−→
n
AC
= (1; 3) nên
vectơ chỉ phương của đường thẳng AC là:
−−→
u
AC
= (3; −1).
Do ABCD là hình vuông nên ta có: AC ⊥ BD. Vậy vectơ
pháp tuyến của đường thẳng BD là:
−−→
n
BD
=
−−→
u
AC
= (3; −1)
Phương trình đường thẳng BD là:
3(x − 4) − 1(y − 1) = 0 ⇔ 3x −y − 11 = 0
Gọi I là giao điểm hai đường chéo. Khi đó tọa độ điểm I là
2
nghiệm của hệ phương trình:
3x − y − 11 = 0
x + 3y − 11 = 0
⇔
x =
22
5
y =
11
5
⇒ I(
22
5
;
11
5
)
I là trung điểm BD nên tọa độ điểm D là D(
24
5
;
17
5
)
Gọi vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB là:
−−→
n
AB
= (a, b).
Ta có góc giữa hai đường thẳng AB và BD là 45
◦
nên:
|
−−→
n
AB
.
−−→
n
BD
|
|
−−→
n
AB
| . |
−−→
n
BD
|
= cos(45)
⇔
| 3a −b |
√
10.
√
a
2
+ b
2
=
√
2
2
⇔| 3a −b |=
p
5(a
2
+ b
2
)
⇔ 9a
2
− 6ab + b
2
= 5a
2
+ 5b
2
⇔ 4a
2
− 6ab − 4b
2
= 0
⇔ (a −2b)(2a + b) = 0 ⇔
a = 2b
2a = −b
• Với a = 2b chọn b = 1 ⇒ a = 2. Khi đó phương trình đường
thẳng AB là:
2(x − 4) + 1(y − 1) = 0 ⇔ 2x + y − 9 = 0.
A = AC
T
AB. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương
trình:
2x + y − 9 = 0
x + 3y − 11 = 0
⇔
x =
16
5
y =
13
5
⇒ A(
16
5
;
13
5
)
I là trung điểm của AC nên tọa độ điểm C là: C(
28
5
;
9
5
)
• Với 2a = −b chọn a = 1, b = −2. Phương trình đường thẳng
AB là:
1(x − 4) − 2(y − 1) = 0 ⇔ x −2y − 2 = 0
Tọa điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
x − 2y − 2 = 0
x + 3y − 11 = 0
⇔
x =
28
5
y =
9
5
⇒ A(
28
5
;
9
5
)
I là trung điểm của AC nên C(
16
5
;
13
5
)
Vậy tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông là:
D(
24
5
;
17
5
), A(
16
5
;
13
5
), C(
28
5
;
9
5
)
hoặc D(
24
5
;
17
5
), A(
28
5
;
9
5
), C(
16
5
;
13
5
)
II. BÀI TẬP ĐƯỜNG TRÒN
Ví dụ 5. Cho đường tròn (C
1
) : x
2
+ y
2
− 2x − 4y + 1 = 0.
Lập phương trình đường tròn (C
2
) biết
(a) (C
2
) đối xứng với (C
1
) qua I(3, 4). Khi đó tìm giao điểm
của hai đường tròn nếu có.
(b) (C
2
) đối xứng với (C
1
) qua đường thẳng d : x−y−1 = 0.
Khi đó tìm giao điểm của hai đường tròn nếu có.
Lời giải
(C
1
) : x
2
+ y
2
− 2x − 4y + 1 = 0 ⇔ (x − 1)
2
+ (y − 2)
2
= 4.
Khi đó tâm và bán kính đường tròn (C
1
) là: O
1
(1; 2), R
1
= 2.
Gọi O
2
, R
2
lần lượt là tâm và bán kính đường tròn (C
2
).
(a) (C
2
) đối xứng với (C
1
) qua điểm I nên ta có I là trung
điểm của O
1
O
2
và R
1
= R
2
= 2 . Khi đó tọa độ (O
2
)
là O
2
= (5; 6).
Phương trình đường tròn (C
2
) là:
(x − 5)
2
+ (y − 6)
2
= 4
.
Ta có: O
1
O
2
= 4
√
2 > R
1
+ R
2
nên hai đường tròn
không có giao điểm chung.
(b) (C
2
) đối xứng với (C
1
) qua đường thẳng d nên d là
đường trung trực của đoạn thẳng O
1
O
2
.
Vectơ pháp tuyến của d là
−→
n
d
= (1, −1), nên vectơ chỉ
phương của đường thằng d là:
−→
u
d
= (1; 1).
d ⊥ O
1
O
2
nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng O
1
O
2
là:
−−−→
n
O
1
O
2
=
−→
u
d
= (1; 1)
Phương trình O
1
O
2
là:
1(x − 1) + 1(y − 2) = 0 ⇔ x + y − 3 = 0
Gọi M là giao điểm của d với O
1
O
2
, khi đó M là trung
điểm của O
1
O
2
.
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:
x + y − 3 = 0
x − y − 1 = 0
⇔
x = 2
y = 1
⇒ M(2; 1).
M(2; 1) nên tọa độ điểm O
2
là: O
2
(3; 0)
Mặt khác ta lại có:R
2
= R
1
= 2, khi đó phương trình
đường tròn (C
2
) là:
(x − 3)
2
+ y
2
= 4
Ví dụ 6. Cho hai đường tròn (C
1
) : (x − 4)
2
+ (y − 6)
2
=
25, (C
2
) : (x −5)
2
+ (y + 1) = 5 và điểm A(4,1).
(a) Chứng tỏ A là điểm chung của hai đường tròn.
(b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt hai
đường tròn theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.
Lời giải
(a) Thay tọa độ điểm A vào phương trình hai đường trong
ta có:
(4 − 4)
2
+ (1 − 6)
2
= 5
2
= 25
(4 − 5)
2
+ (1 + 1)
2
= 1 + 4 = 5
nên A là điểm thuộc hai đường tròn hay A là điểm chung
của hai đường tròn.
(b) Tâm và bán kính đường tròn (C
1
), (C
2
) lần lượt là: O
1
=
(4; 6), R
1
= 5, O
2
= (5; −1), R
2
=
√
5
Gọi d là đường thẳng d đi qua A và cắt hai đường tròn
theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.
Gọi I là trung điểm O
1
O
2
suy ra tọa độ điểm I là:
I(
9
2
,
5
2
).
Từ O
1
, O
2
lần lượt kẻ O
1
M, O
2
N vuông góc với d.
Khi đó M, N lần lượt là trung điểm của hai cung nên
AM = AN.
Xét O
1
O
2
NM có:
O
1
M//O
2
N ( cùng vuông góc với d).
⇒ Tứ giác O
1
O
2
NM là hình thang.
Xét:
AM = AN
O
1
I = O
2
I
⇒ AI là đường trung bình hình thang
O
1
O
2
NM.
Suy ra: AI ⊥ d.
Ta có:
−→
IA = (−
1
2
; −
3
2
).
Vectơ pháp tuyến đường thẳng d là:
−→
n
d
= (1; 3).
Phương trình đường thẳng d là:
1(x − 4) + 3(y − 1) = 0 ⇔ x + 3y − 7 = 0
Ví dụ 7. Cho đường tròn x
2
+ y
2
−2x + 4y −4 = 0 và điểm
M(1,-1).
(a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt đường
tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm AB.
(b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt đường
tròn tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB
lớn nhất với I là tâm đường tròn.
3
Lời giải
(a) (C) : x
2
+ y
2
−2x +4y −4 = 0 ⇔ (x −1)
2
+ (y + 2)
2
= 9
Tọa độ tâm và bán kính đường tròn (C) là: I(1; −2), R =
3.
Ta có: IM = 1 < R nên M nằm phía trong đường tròn.
M là trung điểm AB nên ta có: IM ⊥ AB ( mối quan
hệ giữa dây cung và đường kính)
−−→
IM = (0; 1). Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là:
−→
n
d
=
−−→
IM = (0; 1).
Phương trình đường thẳng d là:
0(x − 1) + 1(y + 1) = 0 ⇔ y + 1 = 0
(b)
III. BÀI TẬP
Bài
1. Cho hình bình hành ABCD có phương trình cạnh
AB : 2x − y = 0, AD : 4x − 3y = 0 và tâm I(2, 2). Lập
phương trình cạnh CB, CD.
(BC : 2x − y − 4 = 0; CD : 4x − 3y − 4 = 0)
Bài
2. Cho hình vuông ABCD có đỉnh B(4,1) và phương
trình đường chéo AC : x + 3y − 11 = 0. Hãy tìm toạ độ các
đỉnh còn lại.
(A(
16
5
;
13
5
), C(
28
5
;
9
5
), D(
2
5
;
17
5
hoặc
C(
16
5
;
13
5
), A(
28
5
;
9
5
), D(
2
5
;
17
5
)
Bài
3. Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2,0). Biết phương
trình AB : 4x + y + 14 = 0, AC : 2x + 5y −2 = 0. Tìm toạ độ
các đỉnh tam giác. (B(−3; −2), C(1; 0))
Bài
4. Lập phương trình đường thẳng đi qua P(2,-1) sao cho
đường thẳng đó củng với hai đường thẳng d
1
: 2x − y + 5 =
0, d
2
: 3x + 6y −1 = 0 tạo thành một tam giác cân có đỉnh là
giao điểm của d
1
, d
2
.
(3x + y − 5 = 0 hoặc x − 3y − 5)
Bài
5. Cho tam giác ABC có diện tích bằng
1
2
và có toạ
độ A(2,-3), B(3,-2). Trọng tâm G của tam giác thuộc đường
thẳng 3x − y − 8 = 0. Tìm toạ độ đỉnh C.
( C(1; 15) hoặc C(4; 16))
Bài
6. Cho 3 đường thẳng d
1
: x + y = 0, d
2
: x + 2y = 0, d
3
:
x−2y +1 = 0. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
biết A là giao điểm của d
1
, d
2
; B, C ∈ d
3
và tam giác ABC
vuông cân tại A.
(B(
−1
7
;
3
7
), C(−3; −1) hoặc B(−3; −1), C(
−1
7
;
3
7
))
Bài
7. Trong mặt phẳng toạ độ cho hai đường thẳng d
1
:
x−y = 0, d
2
: 2x+ y −1 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông
ABCD biết đỉnh A ∈ d
1
, C ∈ d
2
và B, D ∈ Ox.
(A(1; 1), C(1; −1), B(0; 0), D(2; 0)
hoặc A(1; 1), C(1; −1), B(2; 0), D(0; 0) )
Bài
8. Cho đường thẳng d : x − 2y + 2 = 0 và điểm A(0,2).
Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B
và AB = 2BC. (B(
2
5
;
6
5
), C(
4
5
;
7
5
))
Bài
9. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(
1
2
, 0), phương
trình đường thẳng AB là x − 2y + 2 = 0 và AB=2AD. Tìm
toạ độ các đỉnh hình chữ nhật biết đỉnh A có hoành độ âm.
(A(−2; 0), B(2; 2), C(3; 0), D(−1; −2))
Bài
10. Cho đường tròn (C) : (x − 1)
2
+ (y + 2)
2
= 9 và
đường thẳng d : x −4y + 1 = 0. Tìm điểm P nằm trên đường
thẳng d sao cho có thể vẽ được hai tiếp tuyến PA, PB đến
đường tròn mà:
(a) Tam giác PAB đều.
(P (
7 + 64
√
2
17
;
6 + 16
√
2
17
)
hoặc P (
7 − 64
√
2
17
;
6 − 16
√
2
17
))
(b) Tam giác PAB vuông tại P.
(P (
7 + 4
√
206
17
;
6 +
√
206
17
) hoặc
P (
7 − 4
√
206
17
;
6 −
√
206
17
)
Bài
11. Cho đường tròn (x − 1)
2
+ (y + 2)
2
= 9 và đường
thẳng d : 3x −4y + m = 0. Tìm m để trên d có duy nhất một
điểm P mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB đến đường
tròn sao cho tam giác PAB đều. (m = 25; m = −35)
Bài
12. Cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
− 2x − 6y + 6 = 0
và điểm M(3,1). Gọi T
1
, T
2
lần lượt là các tiếp điểm của tiếp
tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thăng T
1
T
2
.
(T
1
T
2
: x −y = 0)
Bài
13. Cho đường tròn (C) có phương trình (x −5)
2
+ (y −
4)
2
= 25 và P (m, 0) là một điểm thay đổi trên trục hoành.
(a) Tìm m để từ P kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn.
(m > 8 hoặc m < 2)
(b) Với điều kiện của câu a, giả sử hai tiếp tuyến là PA,
PB. Chứng minh AB luôn đi qua một điểm cố định khi
P di chuyển trên trục hoành, tìm toạ độ điểm cố định
đó.
(Tọa độ điểm cố định là (5; −
9
4
)
Bài
14. Cho đường tròn có phương trình (x−2)
2
+(y −1)
2
=
25 và đường thẳng d : y = k(x + 4) + 3.
(a) Chứng minh d luôn đi qua một điểm cố đinh.
(Tọa độ điểm cố định là (−4; 3))
(b) Tìm k để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
(m >
−12 + 5
√
15
11
hoặc m <
−12 − 5
√
15
11
)
(c) Khi đường thẳng d cắt đường tròn tại A, B. Chứng
minh trung điểm I của AB luôn thuộc một đường tròn
cố định, viết phương trình đường thẳng đó.
(Phương trình đường tròn là: (x + 1)
2
+ (y − 2)
2
= 10)
Bài
15. Cho đương tròn (C) : x
2
+y
2
−4x−2y = 0 và đường
thẳng d : x + y + 2 = 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm
thuộc d. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (C). Tìm toạ
độ điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
(M(2; −4) hoặc M(−3; 1))
Bài
16. Cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
+ 4x + 4y + 6 = 0 và
đường thẳng d : x + my − 2m + 3 = 0. Gọi I là tâm đường
tròn. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho diện tích
tam giác IAB lớn nhất.
(m = 0 hoặc m =
8
15
)
4
Bài
17. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường tròn x
2
+ y
2
−2x −
8y + 12 = 0 sao cho khoảng cách MA đạt giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất. Biết:
(a) A(-5,1) (Đ/s: MA đạt GTLN khi M(3; 5), GTNN khi
M(−1; 3))
(b) A(-1,5) (Đ/s: MA đạt giá trị lớn nhất M(1; 13), MA
đạt GTNN khi M ≡ A)
| 1/18

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

Phương trình tổng quát của đường thẳng Nguyễn Tăng Vũa)
(Dated: Ngày 11 tháng 4 năm 2020) I.
PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG − → − → Lời giải
Định nghĩa 1. Vectơ n 6= 0 có giá vuông góc với đường − →
thẳng ∆ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.
(a) Một vectơ pháp tuyến của (a) là : n = (3; 4).
Tính chất 1. Ta có các tính chất sau:
(b) Thay tọa độ điểm A, B, C vào đường thẳng (a) ta có:
(a) Các vectơ pháp tuyến của cùng một đường thẳng thì
Điểm A: 3.(−1) + 4.0 + 1 = −2 6= 0 nên A không cùng phương. thuộc (a).
Điểm B : 3.1 + 4.(−1) + 1 = 0 nên B thuộc (a).
(b) Hai đường thẳng song song thì vectơ phát tuyến cùng
Điểm C: 3.0+4.1+1 = 5 6= 0 nên C không thuộc phương. (a).
(c) Hai đường thẳng vuông góc thì vectơ pháp tuyến vuông
(c) Gọi D là điểm thuộc (a) mà hoành độ bằng hai góc.
lần tung độ. Khi đó ta có: xD = 2yD. Thay tọa độ điểm D vào ta có:
Định lý 1. Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm I(x◦; y◦), vectơ − → − → −1
n . Đường thẳng qua I nhận n = (a; b) là vectơ pháp tuyến
3yD + 4yD + 1 = 0 ⇔ 7yD + 1 = 0 ⇔ yD = 7 có phương trình: −1 −2 Với yD = ⇒ xD = 7 7
a(x − x◦) + b(y − y◦) = 0 −2 −1
Vậy tọa độ điểm D là D( ; ) 7 7
Định lý 2. Trong mặt phằng tọa, mọi đường thẳng đều có
phương trình tổng quát dạng
(d) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường
thẳng (a) ta có: 3.3 + 4.2 + 1 = 18 6= 0 nên M ax + by + c = 0
không thuộc đường thẳng a
Gọi (b) là đường thẳng đi qua M và song song với a2 + b2 6= 0. với (a) −→ −→ Ta có: nb = na = (3; 4)
Phương trình đường thẳng (b) là: − →
Trong đó n = (a; b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
3(x − 3) + 4(y − 2) = 0 ⇔ 3x + 4y − −17 = 0
Định lý 3. (Phương trình đoạn chắn) Phương trình đường
thẳng qua điểm A(a; 0) và B(0; b) (a, b 6= 0) là Ví dụ I.2 x y + = 1
Cho đường thẳng (d) : ax + 2y + c = 0. a b
(a) Tìm a biết vectơ pháp tuyến của d cùng phương
Định nghĩa 2. Xét đường thẳng ∆ : y = kx + m cắt Ox − → với n = (2; 1).
tại M . Tia M t phía trên trục hoành. Gọi α là góc tạo bởi tia
M t và tia Ox. Khi đó tan α được gọi là hệ số góc của ∆ và
(b) Tìm c biết đường thẳng qua điểm M (−1; 5). k = tan α. Lời giải Ví dụ I.1
(a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng (d) là: − →
Cho đường thẳng a : 3x + 4y + 1 = 0. nd = (a; 2)
Do vectơ pháp tuyến của (d) cùng phương với
(a) Tìm một vectơ pháp tuyến của a. − → n = (2; 1) nên ta có: a 2
(b) Trong các điểm sau, điểm nào thuộc a: = ⇒ a = 4 2 1
A(−1; 0), B(1; −1), C(0, 1).
(b) Điểm M thuộc vào đường thẳng (d) nên thay
(c) Tìm điểm thuộc a mà hoành độ bằng hai lần
tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng tung độ. (d) ta có:
(d) Điểm M (3; 2) có thuộc a không? Nếu M không
4.(−1) + 2.5 + c = 0 ⇔ c = −6
thuộc a, hãy viết phương trình đường thẳng qua M song song với a. Ví dụ I.3
Cho tam giác ABC có A(−1; 1), B(2, −1), C(0, 4).
(a) Viết phương trình đường cao AH. a)www.geosiro.com 2 − →
(b) Viết phương trình đường trung trực của BC. − → Khi đó: d = a = (2; −3)
Phương trình đường thẳng (d):
(c) Viết phương trình đường thẳng AB.
2(x − 1) − 3(y − 2) = 0 ⇔ 2x − 3y + 4 = 0 Lời giải
(b) Đường thẳng (b) vuông góc với đường thẳng (a) − →
nên b = (3; 2). Vậy phương trình đường thẳng − − → (a) Ta có: BC = (−2, 5) (b) là: −−→ − − → Mà BC ⊥ AH nên n
3(x − 1) + 2(y − 2) = 0 ⇔ 3x + 2y − 7 = 0 AH = BC = (−2; 5) − − →
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:
Đường thẳng AH đi qua điểm A và nhận BC  19 làm vectơ pháp tuyến. 2x − 3y + 1 = 0   x = 13
Phương trình đường thẳng AH là: ⇔ . 3x + 2y − 7 = 0 17
−2(x + 1) + 5(y − 1) = 0 ⇔ −2x + 5y − 7 = 0  y =  13 ⇔ 2x − 5y + 7 = 0 19 17
Vậy tọa độ giao điểm là: ( ; ). 13 13
(b) Gọi I là trung điểm của B, C. Khi đó tọa độ điểm I là:  xB + xC ( x  xI = I = 1 2 y ⇔ 3 B + yC y  y I = I = III. BÀI TẬP 2 2
Đường trung trực của BC là đường thẳng đi qua − − →
I nhận BC làm vectơ pháp tuyến. Phương trình
1. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(−1; −2) và C(−1; 3).
đường trung trực của BC là: 3
a) Viết phương trình tổng quát của đường cao hạ từ A −2(x − 1) + 5(y − ) = 0 2 (Đ/s: y = 2) 11 ⇔ −2x + 5y − = 0 ⇔ 4x − 10y + 11 = 0 2
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC − − → −−→ (Đ/s: x = −1)
(c) Ta có: AB = (3, −2) khi đó ta có: nAB = (2; 3).
Phương trình đường thẳng AB là:
c) Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB.
2(x + 1) + 3(y − 1) = 0 ⇔ 2x + 3y − 1 = 0 (Đ/s: x + 2y = 0)
2. Cho tam giác A(−1; 3), B(1; 5) và C(3; −1). II.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
a) Viết phương trình đường trung trực của AB và BC.
(Đ/s: AB : x + y − 1 = 0, BC : x − 3y + 4 = 0)
Tính chất 2. Cho hai đường thẳng ∆1 : a1x + b1y + c1 =
0; ∆ : a2x + b2y + c2 = 0. Khi đó
b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác −1 5 a b • 1 1
ABC.(Đ/s: Tâm đường tròn ngoại tiếp ( ; )) ∆1, ∆2 cắt nhau ⇔ 6=
; Khi đó tọa độ giao điểm 4 4 a2 b2
là nghiệm của hệ phương trình
3. Cho đường thẳng d1 : 3x−2y −1 = 0 và d2 : x+y −2 = 0. a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0
a) Chứng minh A(0; 2) thuộc d2 và không thuộc d1.
(Đ/s: Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường a b c thẳng d • 1 1 1 ∆ 2 và d1: 1||∆2 ⇔ = 6= a
3.0 − 2.2 − 1 = −5 6= 0 ⇒ A không thuộc vào đường 2 b2 c2 thẳng d1 a b c • 1 1 1 ∆
0 + 2 − 2 = 0 ⇒ A thuộc vào đường thẳng d 1 ≡ ∆2 ⇔ = = 2) a2 b2 c2
b) Chứng minh d1 và d2 cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm Ví dụ II.1 của d1 và d2. 3 −2 (Đ/s: 6=
nên hai đường thẳng cắt nhau.
Cho đường thẳng a : 2x − 3y + 1 = 0 và điểm A(1; 2). 1 1
Tọa độ giao điểm là: (1; 1))
(a) Viết phương trình đường thẳng qua A song song với a.
c) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với d2. (Đ/s: x − y + 2 = 0)
(b) Viết phương trình đường thẳng b qua A vuông
góc với a. Tìm tọa độ giao điểm của a và b.
d) Viết phương trình đường thẳng qua A và song song với d1. Lời giải (Đ/s: 3x − 2y + 4 = 0)
(a) Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và song song với a. 3
4. Cho tam giác ABC có phương trình 3 cạnh lần lượt là
(AB) : x+4y−7 = 0, (AC) : x+y−3 = 0, (BC) : 3x+8y+1 = 0.
a) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. 5 4 11 (Đ/s: A( ; ), B(−15; ), C(5; −2)) 3 3 2
b) Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua BC.
(Đ/s: Tọa độ điểm đối xứng vơi A qua BC là: 65 −508 ( ; )) 219 219
5. Cho đường thẳng d1 : 2x + 3y − 5 = 0 và điểm A(4; 5).
Tìm tọa độ điểm B ∈ d1 sao cho AB = 5. 19 9 (Đ/s: B(1; 1), B( ; )) 13 13
6. Cho đường thẳng (d) : 3x − 2y + 3 = 0 và điểm A(2, 3).
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua A
song song với d. (Đ/s: 3x − 2y = 0)
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua A
vuông góc với d. (Đ/s: 2x + 3y − 13 = 0)
7. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(−3; 4) và C(2; 0).
a) Viết phương trình đường trung tuyến AM . (Đ/s: y = 2)
b) Viết phương trình đường cao BK. (Đ/s: x − 2y + 11 = 0)
c) Viết phương trình đường trung trực của AB. (Đ/s: 2x − y + 5 = 0)
8. Cho tam giác ABC có A(0; 1), B(−2; 3) và C(2; 0).
a) Viết phương trình đường cao AD, BE và tìm tọa độ
trực tâm H của tam giác ABC.
(Đ/s: AD : 4x − 3y + 3 = 0, BE : 2x − y + 7 = 0, H(−9; −11))
b) Viết phương trình trung trực của cạnh AB, AC và tìm
tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
(Đ/s: Đường trung trực của cạnh AB: x − y + 3 = 0 3
Đường trung trực của cạnh AC; 2x − y − = 0 2 9 15 Tọa độ điểm I( ; )) 2 2
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC và chứng minh H, I, G thẳng hàng. 4 (Đ/s: G(0; ) 3 −−→ −37 −→ 27 37 GH = (−9; ); HI = ( ; ) 3 2 2 −37 −9 Ta có: = 3
suy ra 3 điểm thẳng hàng) 27 37 2 2
Phương trình tham số của đường thẳng Nguyễn Tăng Vũa)
(Dated: Ngày 21 tháng 4 năm 2020) I. LÝ THUYẾT II. VÍ DỤ − → − →
Định nghĩa 1. Vectơ u 6= 0 có giá song song hoặc trùng
với ∆ gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆. Ví dụ II.1
Tính chất 1. Vectơ chỉ phương có các tính chất sau:
• Các vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì cùng
Cho đường thẳng d có phương trình tham số
phương với nhau và vuông góc với vectơ pháp tuyến. x = 3 + 2t
• Hai đường thẳng song song thì vectơ chỉ phương của y = −1 + 4t
đường này là vectơ chỉ phương của đường thẳng kia.
(a) Tìm một vectơ chỉ phương của d.
• Hai đường thẳng vuông góc thì vectơ chỉ phương của
đường thẳng này là vectơ pháp tuyến của đường thẳng
(b) Tìm điểm thuộc đường thẳng có hoành độ bằng kia. 5.
(c) Tìm điểm thuộc đường thẳng có hoành độ bằng
Định lý 1. Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm 3 tung độ. − → − →
I(xo; yo), vectơ u . Đường thẳng qua I nhận u = (a; b)
là vectơ chỉ phương có phương trình tham số:
(d) Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A(−1; 1) song song với d. x = xo + at y = yo + bt Lời giải − →
(a) Một vectơ chỉ phương của d là: u = (2; 4)
Ghi chú. Khi khử tham số t thì phương trình trên được viết lại dưới dạng
(b) Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d có hoành
độ bằng 5, khi đó tọa độ điểm M có dạng x − x0 y − y0 M (5, y = , (a, b 6= 0).
M ). Thay tọa độ điểm M vào phương a b
trình đường thẳng d ta có:
Phương trình này được gọi là phương trình chính tắc của
đường thẳng (trong trường hợp ab = 0 thì đường thẳng không 5 = 3 + 2t t = 1 ⇔
có phương trình chính tắc). yM = −1 + 4 yM = 3
Ghi chú. Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai
điểm A(xA, yA), B(xB, yB) có dạng
Vậy tọa độ điểm M là M (5; 3) x − xA y − yA (c) Gọi N (x = .
N , yN ) là điểm thuộc đường thẳng d có x
hoành độ bằng ba lần tung độ , khi đó ta có: B − xA yB − ya xN = 3yN .
(Trong trường hợp trên ta cần có xB 6= xA, yB 6= yA).
Thay tọa độ điểm N vào phương trình đường thẳng d ta có:  3 3y   t = N = 3 + 2t ⇔ 5 y 7 N = −1 + 4t  y  N = 5 7 21 Với yN = ⇒ xN = 5 5 21 7
Vậy tọa độ điểm N là N ( ; ) 5 5
(d) Gọi d1 là đường thẳng đi qua A và song song −→ − →
với d. Khi đó ta có: ud = u 1 d = (2; 4)
Phương trình tham số đường thẳng d1 là: x = −1 + 2t y = 1 + 4t a)www.geosiro.com 2 Ví dụ II.2
René Descartes Sinh tại La Haye, Touraine (trước
đây là một tỉnh, nay gọi là một vùng của Pháp), Cho tam giác ABC có 3 đỉnh là
Descartes là con của một gia đình quý tộc nhỏ, có
A(1; 2), B(−1; 4), C(−2; 0).
truyền thống khoa bảng và là tín hữu Công giáo Rôma.
(a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
Lên tám tuổi, ông được gửi theo học tại trường học của
dòng Tên tại La Flèche ở Anjou, ông học ở đây suốt 8
(b) Viết phương trình tham số của đường thẳng qua
năm. Bên cạnh những môn học cổ điển, Descartes còn A song song với BC.
học toán ở các thầy theo trường phái Kinh viện, một
học phái chủ trương dùng lý luận của loài người để
(c) Tìm điểm D thuộc BC sao cho AD vuông góc
hiểu lý thuyết Kitô giáo. Thiên Chúa giáo La Mã có với BC.
ảnh hưởng mạnh mẽ đến suốt cuộc đời Descartes. Sau
khi ra trường, ông theo học luật tại Đại học Poitiers, Lời giải
tốt nghiệp năm 1616. Tuy vậy, ông chưa hề hành nghề − − →
luật; năm 1618 ông phục vụ cho Hoàng tử Maurice (a) Ta có: AB = (−2; 2)
de Nassau, nhà lãnh đạo của Liên hiệp các tỉnh Hà
Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là: −−→
Lan, với ý định theo đuổi một cuộc đời binh nghiệp. uAB = (1; −1)
Những năm tiếp theo, Descartes phục vụ các quân đội
Phương trình tham số của đường thẳng AB là:
khác, nhưng ông đã bắt đầu tập trung vào toán học
và triết học. Ông hành hương sang đất Ý từ năm 1623 x = 1 + t
đến 1624, sau đó từ 1624 đến 1628, ông ở Pháp. Trong y = 2 − t
thời gian ở Pháp, Descartes chuyên tâm nghiên cứu
triết học và làm các thí nghiệm về quang học. Năm − − →
1628, sau khi bán hết tài sản ở Pháp, ông chuyển sang
(b) Ta có: BC = (−1; −4) Gọi d là đường thẳng đi
sống ở Hà Lan, và sống hầu hết quãng đời còn lại qua A và song song với BC.
ở xứ hoa tuylip. Descartes sống ở nhiều thành phố − → − − →
Khi đó: ud = BC = (−1; −4)
khác nhau của Hà Lan, như Amsterdam, Deventer,
Phương trình tham số của đường thẳng BC là:
Utrecht, và Leiden. Dường như trong năm đầu tiên ở x = 1 − t
Hà Lan, Descartes đã viết tác phẩm lớn đầu tiên, Es- y = 2 − 4t
sais philosophiques (Các tiểu luận triết học), xuất bản
năm 1637. Tác phẩm gồm bốn phần: một tiểu luận về
(c) Phương trình đường thẳng BC là:
hình học, một về quang học, phần thứ ba về sao băng,
và Discours de la méthode (Bàn luận về phương pháp),
trong đó ông trình bày các nghiên cứu triết học của x = −2 − t
mình. Sau đó lần lượt ra đời các tác phẩm khác, có thể y = −4t
kể ra Meditationes de Prima Philosophia (Suy ngẫm
về Triết học Tiên khởi, năm 1641, viết lại năm 1642) −−→
Ta có: AD ⊥ BC. Khi đó: uAD = (4; −1).
và Principia Philosophiae (Các nguyên lý triết học,
Phương trình tham số của đường thẳng AD là :
năm 1644). Cuốn sau này ông dành tặng cho Công
chúa Elizabeth Stuart xứ Bohemia, một người bạn
thân thiết của ông ở Hà Lan. Năm 1649 Nữ hoàng x = 1 + 4t1
Christina nước Thụy Điển mời Descartes đến giảng y = 2 − t1
dạy cho bà về triết học tại triều đình ở Stockholm.
Cái lạnh khắc nghiệt của xứ Bắc Âu đã làm ông mắc D = AD ∩ BC. Khi đó: −2 − t = 1 + 4t
bệnh viêm phổi và qua đời năm 1650. 1 t = −1 ⇔ −4t = 2 − t1 t1 = −2
Với t = −1 vậy tọa độ điểm D là D(−1; 4) III. BÀI TẬP x = −3 + 2t 1. Cho đường thẳng d: y = 1 − 3t
(a) Tìm điểm thuộc đường thẳng có tung độ bằng 5. (Đ/s: −7 ( ; 5)) 9
(b) Tìm điểm thuộc đường thẳng có tung độ bằng 3 lần −7 10 hoành độ.(Đ/s: ( ; )) 9 9
(c) Cho điểm A(−1; 0). A có thuộc d không?Tìm điểm B √ thuộc d sao cho AB = 5. (Đ/s: A không thuộc vào d −11 −29
Tọa độ điểm B là B(−3; 1) hoặc B( ; )) 13 13 3 − →
2. Cho u = (1; −2). Viết phương trình tham số của đường thẳng − →
(a) Qua A(−1; 0) nhận u làm vectơ chỉ phương. x = −1 + t
(Đ/s: Phương trình tham số là: ) y = −2t
(b) Viết phương trình tham số của đường thẳng qua O nhận − → u là vectơ pháp tuyến. x = 2t
(Đ/s: Phương trình tham số là: ) y = t
3. Cho tam giác ABC có A(−2; 3), B(0; 1), C(2; 5).
(a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB, BC. x = t x = t (Đ/s: AB : , BC : ) y = 1 − t y = 1 + 2t
(b) Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A song song với BC. x = −2 + t
(Đ/s: Phương trình tham số là: ) y = 3 + 2t x = 2 − 3t 4. Cho đường thẳng d : và điểm A(−1; 1). y = −1 + 2t
a) Điểm A có thuộc đường thẳng d không? Tại sao? (Đ/s: A ∈ d)
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d. ( Đ/s: 2x + 3y − 1 = 0)
c) Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A vuông với d. x = −1 + 2t (Đ/s: ) y = 1 + 3t
5. Cho đường thẳng d : x + 2y − 3 = 0 và điểm A(0, 1).
a) Viết phương trình tham số của d. x = 3 + 2t (Đ/s: ) y = −t
b) Tìm điểm M thuộc d sao cho AM = 1. −3 9 (Đ/s: M (1; 1) hoặc M ( ; )) 5 5
6. Cho hai điểm A(1; 3) và B(3; 7).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d là trung x = 2 + 2t
trực đoạn thẳng AB. (Đ/s: y = 5 − t
b) Tìm trên d điểm M sao cho tam giác AM B vuông cân.
(Đ/s: M (4; 4) hoặc M (0; 6)) x = −2 + t 7. Cho đường thẳng d : Tìm điểm M trên d y = 1 + −3t
sao cho OM nhỏ nhất trong đó là O là gốc tọa độ. −3 −1 (Đ/s: M ( ; )) 2 2
8. Cho tam giác ABC có A(−2; 4), B(0, 2), C(8, 6).
(a) Viết phương trình tham số các đường trung tuyến BM và CN . x = t x = −1 + 3t (Đ/s: BM : ; CN : y = 2 + t y = 3 + t
(b) Cho điểm K(t; 2t − 1). Tìm t sao cho trung điểm của
BK thuộc đường thẳng CN . 17 (Đ/s: t = ) 5 Khoảng cách- Góc Nguyễn Tăng Vũa)
(Dated: Ngày 21 tháng 4 năm 2020) I.
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Ví dụ I.3
Cho đường thẳng a : 5x + 12y − 13 = 0. Viết phương
Định lý 1. Cho đường thẳng 4 : ax + by + c = 0 và
trình đường thẳng song song với a và cách a một
điểm A(x◦; y◦). Khi đó khoảng cách từ A đến 4 là: khoảng cách bằng 13. |ax◦ + by◦ + c| d = √
Lời giải Gọi d là đường thẳng song song với a khi đó a2 + b2 − → − → ta có: nd = na = (5; 12)
Phương trình đường thẳng d có dạng: 5x+12y +m = 0 2 Ví dụ I.1 Lấy A(1, ) ∈ a, khi đó: 3 2
Cho đường thẳng d : 3x + 4y − 1 = 0 và điểm A(−1; 2) | 5.1 + 12. + m | 3 và B(0; −2). d(a, d) = d(A, d) = √ = 13 52 + 122
(a) Tính khoảng cách từ A và B đến d. | 13 + m | ⇔ = 13 ⇔| 13 + m |= 169 13
(b) Viết phương trình đường thẳng AB và tính 13 + m = 169 m = 156 ⇔ ⇔
khoảng cách từ O(0; 0) đến AB. 13 + m = −169 m = −182
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: Lời giải
5x + 12y + 156 = 0 hoặc 5x + 12y − 182 = 0
(a) Khoảng cách từ A, B đến d là: | 3.(−1) + 4.2 − 1 | 4
Tính chất 1. Cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 và hai d(A, d) = √ = 32 + 42 5
điểm M (xM ; yM ), N (xN ; yN ). Khi đó | 3.0 + 4.(−2) − 1 | 9 d(B, d) = √ =
• M, N nằm cùng phía đối với ∆ khi và chỉ khi (axM + 32 + 42 5 byM + c)(axN + byN + c) > 0 − − →
(b) Ta có: AB = (1; −4), khi đó vectơ pháp tuyến
• M, N nằm khác phía đối với ∆ khi và chỉ khi (axM + −−→
của đường thẳng AB là: n by AB = (4; 1). M + c)(axN + byN + c) < 0
Phương trình đường thẳng AB là:
Tính chất 2. (Phương trình đường phân giác). Cho hai
4(x − 0) + 1(y + 2) = 0 ⇔ 4x + y + 2 = 0 đường thẳng cắt nhau
Khoảng cách từ O đến AB là: √ | 4.0 + 0 + 2 | 2 2 17 d(O; AB) = √ = √ =
d1 : a1x + b1y + c1, d2 : a2x + b2y + c2 = 0 42 + 12 17 17
Khi đó phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d2 là: Ví dụ I.2 |a1x + b1y + c1 | |a2x + b2y + c2 | = ± p p
Cho hai đường thẳng a : 2x−y = 1 và b : 2x−y−4 = 0. a2 + b2 a2 + b2 1 1 2 2
Chứng minh a k b và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b. Ví dụ I.4 2 −1 −1
Cho hai đường thẳng a : 3x + 4y − 7 = 0, b : 5x + 12y − Lời giải Ta có: = 6= nên hai đường thẳng 2 −1 −4
17 = 0. Chứng minh a và b cắt nhau và viết phương a, b song song với nhau.
trình phân giác tạo bởi hai đường thẳng a và b. Lấy A(1; 1) ∈ a nên √ | 2.1 − 1 − 4 | 3 3 5 3 4 d(a, b) = d(A, b) = √ = √ = Lời giải Ta có: 6=
nên hai đường thẳng cắt nhau. 22 + 12 5 5 √ 5 12 3 5
Phương trình đường phân giác tạo bởi hai đường thẳng
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng là: a, b là: 5 | 3x + 4y − 7 | | 5x + 12y − 17 | √ = ± √ 32 + 42 52 + 122 | 3x + 4y − 7 | | 5x + 12y − 17 | ⇔ = ± 5 13
13(3x + 4y − 7) = 5(5x + 12y − 17) ⇔
13(3x + 4y − 7) = −5(5x + 12y − 17) 14x − 8y − 6 = 0 7x − 4y − 3 = 0 ⇔ ⇔ 64x + 112y − 176 = 0 4x + 7y − 11 = 0
Vậy phương trình đường phân giác tạo bởi hai đường
thẳng a, b là : 7x − 4y − 3 = 0; 4x + 7y − 11 = 0 a)www.geosiro.com 2 II.
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Ví dụ II.2
Định nghĩa 1. Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tạo thành
Cho đường thẳng a : x − y = 0. Viết phương trình
4 góc, khi đó góc nhỏ nhất trong 4 góc được gọi là góc của hai
đường thẳng b qua điểm M (1; 2) sao cho góc giữa a và đường thẳng a và b. b là 45◦.
Nếu hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì ta quy
ước góc giữa chúng bằng 0o. Kí hiệu [ (a, b) hoặc (a, b). Ta có − →
Lời giải Gọi nb = (m, n) là vectơ pháp tuyến của 0o ≤ (a, b) ≤ 90o. đường thẳng b . − → − →
Khi đó, phương trình đường thẳng b là:
Tính chất 3. Nếu u , v lần lượt là vectơ chỉ phương (hoặc − → − →
vectơ pháp tuyến) của hai đường thẳng a, b. Đặt α = ( u , v ). Khi đó m(x − 1) + n(y − 2) = 0
• (a, b) = α nếu 0 ≤ α ≤ 90o. − →
• (a, b) = 180o − α nếu 90o < α ≤ 180o.
Ta có: VTPT của đường thẳng a là: na = (1; −1).
Góc giữa a, b là 45◦ nên ta có: √ • cos(a, b) = | cos α| | 1.m − 1.n | 2 cos(a, b) = √ √ = 12 + 12. m2 + n2 2 √ Ví dụ II.1 | m − n | ⇔ √ = 1 ⇔| m − n |= m2 + n2 m2 + n2
Cho hai đường thẳng a : x + y − 1 = 0, b : 3x + 4y − 2 = m = 0 ⇔ 2mn = 0 ⇔ 0. n = 0
Với m = 0 chọn n = 1 khi đó ta có phương trình đường
(a) Tính góc tạo bởi a và b với trục hoành. thẳng b là y = 2
(b) Tính cos góc giữa hai đường thẳng a và b.
Với m = 0 chọn n = 1 khi đó ta có phương trình đường thẳng b là: x = 1 Lời giải
(a) Phương trình trục hoành là Ox : y = 0
Vectơ pháp tuyến của đường thẳn a, b, Ox lần III. BÀI TẬP lượt là: − → − → −−→
na = (1; 1), nb = (3; 4); nOx = (0; 1) 1. Cho hai đường thẳng d
Góc tạo bởi đường thẳng a, b với trục hoành là:
1 : 2x + 3y − 1 và d2 : −3x + y = 0 √ | và điểm A(1; 2). 1.0 + 1.1 | 1 2 cos(a, Ox) = √ √ = √ = 12 + 02. 12 + 12 2 2
(a) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d1 và d2. (Đ/s: ⇒ (a, Ox) = 45o √13 | 3.0 + 4.1 | 4 d(O, d , d(O, d cos(b, Ox) = √ √ = 1) = 2) = 0 13 32 + 42 02 + 12 5 4 ⇒ (b, Ox) = arccos( )
(b) Tính góc giữa hai đường thẳng d1, d2. √ 5 3 130 (Đ/s: (d1, d2) = arccos( )
(b) Góc giữa hai đường thẳng a và b là: 130 √ | 1.3 + 1.4 | 7 7 2 cos(a, b) = √ √ = √ = 12 + 12. 32 + 42 5 2 10
2. Cho tam giác ABC có A(−1; 1), B(0, 3), C(2; −1). √ 7 2 ⇒ (a, b) = arccos( )
(a) Viết phương trình đường thẳng BC. 10 (Đ/s: BC : 2x + y − 3 = 0)
(b) Tính độ dài đường cao hạ từ A và diện tích tam giác ABC. (Đ/s: SABC = 4)
3. Cho đường thẳng d1 : 3x + 4y − 5 = 0.
(a) Tìm điểm A thuộc Ox sao cho khoảng cách từ A đến −5 d1 bằng 2.(A(5; 0), A( ; 0)) 3
(b) Tìm điểm B thuộc Oy sao cho khoảng cách từ B đến −5
d1 bằng 3.(Đ/s: B(0; 5), B(0; )) 2
(c) Viết phương trình đường thẳng song song với d1 và cách d1 một khoảng bằng 1.
(Đ/s: 3x + 4y = 0; 3x + 4y − 10 = 0) 3
4. Cho đường thẳng d : x − y − 1 = 0.
(a) Viết phương trình đường thẳng qua O và tạo với d một góc 45o. (Đ/s: x = 0, y = 0)
(b) Cho hai điểm A(1; 0) và B(−2; 1). Xét vị trí tương đối của A và B đối với d.
(Đ/s: A thuộc d, B không thuộc d)
5. Cho điểm A(−1; 2) và B(4; 1). Viết phương trình đường √
thẳng d qua A sao cho khoảng cách từ B đến d bằng 13.
(Đ/s: 3x + 2y − 1 = 0, 2x − 3y + 8 = 0)
Phương trình đường tròn Nguyễn Tăng Vũa)
(Dated: Ngày 21 tháng 4 năm 2020) I.
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Tâm:(−1; 0), bán kính là: 1.
(b) Để (∗) là phương trình của một đường tròn:
Định lý 1. Đường tròn tâm I(a, b) có bán kính R có
(−(m − 1))2 + (−2m)2 > 5m2 phương trình
⇔ m2 − 2m + 1 + 4m2 > 5m2 1 (x − a)2 + (y − b)2 = R2
⇔ −2m + 1 > 0 ⇔ m < 2
(c) Tâm I của đường tròn (∗) là: I(m − 1, 2m)
Định lý 2. Phương trình dạng x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 là
Ta có: xI = m − 1(1), yI = 2m(2) khi đó:
phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi a2 + b2 > c. √
m = xI + 1 thay vào (2) ta có:
Khi đó tâm I(−a; −b) và bán kính R = a2 + b2 − c
yI = 2(xI + 1) ⇔ 2xI − yI + 2 = 0.
Vậy điểm I luôn thuộc vào đường thẳng : Ví dụ I.1 2x − y + 2 = 0
Cho điểm I(1; 2) và A(−1; 4).
(a) Viết phương trình đường tròn tâm I bán kính II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN R = 3.
(b) Viết phương trình đường tròn tâm I bán kính
Cho đường tròn tâm I(a, b) bán kính R. Khi đó phương IA.
trình tiếp tuyến tại điểm A(xo, yo) là:
(c) Xét vị trí tương đối của B(3; 1) với đường tròn tâm I bán kính IA.
(x − xo)(xo − a) + (y − yo)(yo − b) = 0 Lời giải Ví dụ II.1
(a) Phương trình đường tròn tâm I bán kính R = 3
Cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x + 4y = 0. là:
(x−1)2 +(y−2)2 = 32 ⇔ x2 +y2 −2x−4y−4 = 0
(a) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của (C). − → √
(b) Ta có: IA = (−2; 2) ⇒ IA = 2 2
(b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(2; 0).
Phương trình đường tròn tâm I bán kính IA là:
(x−1)2 +(y −2)2 = 8 ⇔ x2 +y2 −2x−4y −3 = 0 Lời giải −→ √
(c) Ta có: IB = (2; −1) ⇒ IB = 5 √ √
(a) Tọa độ tâm, bán kính của đường tròn (C) là: IA > IB (2 2 >
5) nên B nằm trong đường Tâm I(1; −2) √ √ tròn tâm I bán kính IA. Bán kính R = 12 + 22 − 0 = 5
(b) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(2; 0) là: Ví dụ I.2
(x − 2)(2 − 1) + (y − 0)(0 − (−2)) = 0 ⇔ x − 2 + 2y = 0
Cho phương trình x2 −2(m−1)x+y2 −4my +5m2 = 0. (*)
Ghi chú. Tiếp tuyến của đường tròn tâm I bán kính R là
(a) Khi m = 0, (*) có phải là phương trình đường
đường thẳng cách I một khoảng cách bằng R. Ta sử dụng
tròn không?Tìm tọa độ tâm và tính bán kính.
tính chất này để viết phương trình tiếp tuyến trong một số trường hợp khác.
(b) Tìm tất cả m để (*) là phương trình của một đường tròn. Ví dụ II.2
(c) Khi (*) là phương trình đường tròn, chứng minh
tâm I luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y − 3)2 = 25
(a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp Lời giải
tuyến song song với đường thẳng 4x + 3y = 0.
(a) Khi m = 0 thay vào (∗) ta có:
(b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến
x2 + 2x + y2 = 0 ⇔ (x + 1)2 + y2 = 1
vuông góc với 3x + 4y + 1 = 0.
Khi đó: (∗) là phương trình đường tròn. Lời giải
(a) Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với
đường thẳng 4x + 3y = 0 nên có dạng: d : 4x + a)www.geosiro.com 2 5 49 3y + m = 0(m 6= 0).
Bài 6. Cho đường tròn (C) : (x − )2 + (y + 2)2 = và 2 4
Tâm và bán kính đường tròn (C) là I(1; 3), R = 5
đường thẳng d : 2x + y + 4 = 0.
Do d là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên ta có: | 4.1 + 3.3 + m |
(a) Tìm tọa độ giao điểm A, B của d và (C). d(I, d) = R ⇔ √ = 5 2 24 42 + 32 (Đ/s: A( , − ), B(−1; −3) ⇔| 13 + m |= 25 5 5 2 24 13 + m = 25 m = 12(N ) hoặc A(−1; −3), B( , − )) ⇔ ⇔ 5 5 13 + m = −25 m = −38(N )
Với m = 12 phương trình tiếp tuyến là:
(b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A và B. Tìm 4x + 3y + 12 = 0
tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến.
Với m = −38 phương trình tiếp tuyến là:
( Phương trình hai tiếp tuyến là: 4x + 3y − 38 = 0.
7x + 2y + 13 = 0, 3x + 4y + 9 = 0, 17 12
tọa độ giao điểm là: (− ; − )) 11 11
Bài 7. Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp III. BÀI TẬP sau:
Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho A(3; 4), B(2; −1).Viết
(a) Tâm I(-1,2) và tiếp xúc với đường thẳng d : x − 2y − 2 = 49
phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
0. (Đ/s: (x + 1)2 + (y − 2)2 = ) 5
(a) Tâm A bán kính R = 4. (Đ/s: (x − 3)2 + (y − 4)2 = 16)
(b) Tâm thuộc đường thẳng x + y − 3 = 0, bán kính bằng 1 và tiếp xúc Ox.
(b) Tâm B bán kính R = 5.(Đ/s: (x − 2)2 + (y + 1)2 = 25)
(Đ/s: (x − 2)2 + (y − 1)2 = 1; (x − 4)2 + (y + 1)2 = 1)
(c) Tâm O(0; 0) bán kính OA.(Đ/s: x2 + y2 = 25)
(c) Đi qua hai điểm A(0, 1), B(2, −3) và bán kính R = 5.
(Đ/s: (x − 5)2 + (y − 1)2 = 25, (x + 3)2 + (y + 3)2 = 25)
(d) Đường tròn đường kính AB. 5 3 13
(d) Đi qua hai điểm A(1, 2), B(3, 4) và tiếp xúc với đường (Đ/s: (x − )2 + (y − )2 = ) 2 2 2 thẳng d : 3x + y − 3 = 0. 3 7 5
(Đ/s: (x − 4)2 + (y − 1)2 = 10, (x − )2 + (y − )2 = )
Bài 2. Cho tam giác ABC có A(−1; 0), B(2; 2), C(2; −6). 2 2 2 √
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
(e) Đi qua gốc toạ độ, có bán kính R = 5 và có tâm nằm 5 65 (Đ/s: (x − )2 + (y + 2)2 = )
trên đường thẳng x + y − 1 = 0. 2 4
(Đ/s: (x − 2)2 + (y + 1)2 = 5, (x + 1)2 + (y − 2)2 = 5) √
Bài 3. Cho đường thẳng d : 4x − 3y − 1 = 0 và điểm A(2; 1). (f) Có bán kính R =
5, đi qua gốc toạ độ và tiếp xúc
đường thẳng 2x − y + 5 = 0 √ √
(a) Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với d.
(Đ/s: (x + 2 − 2 2)2 + (y − 1 − 4 2)2 = 5, 16 √ √
(Đ/s: (x − 2)2 + (y − 1)2 = )
(x + 2 + 2 2)2 + (y − 1 + 4 2)2 = 5) 25
(g) Tiếp xúc với d1 : x − 3y − 2 = 0, d2 : x − 3y + 18 = 0 và
(b) Cho d cắt Ox tại B. Viết phương trình đường tròn tâm đi qua điểm A(4, −2). B tiếp xúc với Oy. 28 4 1 1
(Đ/s: (x − 10)2 + (y − 6)2 = 100, (x + )2 + (y − )2 = (Đ/s: (x − )2 + y2 = ) 5 5 4 16 100) (h) Tiếp xúc với d
Bài 4. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 4x + 2y = 0.
1 : 2x + y − 1 = 0, d2 : 2x − y + 2 = 0 và
có tâm thuộc đường thẳng d3 : x − y − 1 = 0. 5 3 121
(a) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn. (Đ/s: (x − )2 + (y − )2 = , √ 2 2 10
(Đ/s: Tâm I(2; −1), bán kính R = 5) 1 5 121 (x + )2 + (y + )2 = ) 4 4 10
(b) Chứng minh A(4; −2) thuộc (C) và viết phương trình
tiếp tuyến tại A của (C).
(i) Tiếp xúc với d : x − y − 2 = 0 tại M (1, −1) và có bán (Đ/s: 2x − y − 9 = 0) kính bằng 3. √ √ 2 + 3 2 2 + 3 2 (Đ/s: (x − )2 + (y + )2 = 9, √ 2 √ 2
Bài 5. Cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y + 3)2 = 5. Viết 2 − 3 2 2 − 3 2
phương trình tiếp của (C) biết tiếp tuyến. (x − )2 + (y + )2 = 9) 2 2
(a) Song song với đường thẳng 2x + y − 1 = 0. (j) Ngoại tiếp tam giác ABC biết
(Đ/s: 2x + y + 6 = 0; 2x + y − 4 = 0)
A(−2, 4), B(6, −2), C(5, 5). 50 15 24425
(b) Vuông góc với đường thẳng 4x − y + 1 = 0. (Đ/s: (x − )2 + (y − )2 = ) √ √ 31 31 961 (Đ/s: x + 4y + 85 + 11 = 0; x + 4y − 85 + 11 = 0)
Phương trình chính tắc của Elip Nguyễn Tăng Vũa)
(Dated: Ngày 21 tháng 4 năm 2020) I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Lời giải
Định nghĩa 1 (Ellipse). Ellipse là tập hợp tất cả các điểm có
tổng khoảng cách đến hai điểm cố định cho trước một khoảng (a) Tâm đối xứng O(0; 0) không đổi.
Trục đối xứng là x = 0; y = 0 Cho hai điểm cố định F
Phương trình đường chuẩn là: x = ±4, y = ±1
1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0) và √
số 2a (a > c). Ellipse (E) là tập hợp các điểm M sao cho Tiêu cự F1F2 = 2 15 √ √ M F Tiêu điểm: F 15; 0), F 15; 0) Tâm sai: 1 + M F2 = 2a. 1(− 2( √ c 15 (E) = {M : M F e = = 1 + M F2 = 2a} a 4 F 2 x2 y2
1, F2 gọi là các tiêu điểm, khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu (b) 9x2 + 4y = 36 ⇔ + = 1(1) cự của (E). 4 9
Do a < b(2 < 3) nên (1) không phải là phương
trình chính tắc của elip.
Định lý 1 (Phương trình chính tắc). Nếu chọn hệ trục
có Oxy sao cho F1(−c, 0), F2(c, 0) thì (E) có phương trình chính tắc Ví dụ I.2 x2 y2
Tìm phương trình chính tắc elip biết rằng hai tiêu √ √ + = 1 điểm là
3, 0 and − 3, 0 và đi qua điểm A(0, 3). a2 b2 √ với b = a2 − c2.
Lời giải Gọi phương trình chính tắc elip cần tìm có dạng: Tính chất
1. Nếu elip có phương trình chính tắc x2 y2 x2 y2 + = 1(a > b > 0) thì + = 1 a2 b2 a2 b2
• Tính đối xứng: (E) có trục đối xứng là Ox, Oy, tâm đối
thỏa mãn a2 − b2 = c2, a > b > 0 xứng là gốc tọa độ. √ √ √
Elip có hai tiêu điểm là ( 3; 0), (− 3; 0) nên c = 3. •
Khi đó ta có: a2 − b2 = c2 = 3 (1)
Trục lớn A1A2 = 2a nằm trên Ox, trục bé B1B2 = 2b 9 nằm trên Oy. Elip đi qua A(0, 3) nên: = 1 ⇔ b2 = 9 b2 • Các đỉnh A
Thay b2 = 9 vào (1) ta có: a2 − 9 = 3 ⇔ a2 = 12
1(−a, 0), A2(a, 0), B1(−b, 0), B2(b, 0).
Vậy phương trình elip cần tìm là:
• Hai tiêu điểm F1(−c, 0), F2(c, 0).
• Phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở: x = ±a, y = x2 b2 + = 1 ±b. 12 9 c b √ • Tâm sai e = , 0 < e < 1. Vì = 1 − e2 nên e a a Ví dụ I.3
càng gần 0 ellipse càng “tròn”, e càng gần 1 ellipse càng “dẹp”. x2 y2
Cho elip có phương trình (E) : + = 1. 6 3
• Bán kính qua tiêu của điểm M (x0, y0) trên (E)
(a) Tìm tọa độ hai tiêu điểm F1, F2 của elip.
M F1 = a + ex0 ; M F2 = a − ex0
(b) Tìm điểm M thuộc elip sao cho M F1 = 2M F2.
(c) Tìm điểm M thuộc elip sao cho ∠F1M F2 = 90o. Ví dụ I.1
Vẽ các ellipse sau. Xác định tâm đối xứng, trục đối Lời giải
xứng, phương trình đường chuẩn, tiêu cự, tiêu điểm,
(a) Ta có: a2 = 6, b2 = 3 khi đó: tâm sai. x2 c2 = a2 − b2 = 6 − 3 = 3 (a) + y2 = 1. (b) 9x2 + 4y2 = 36
Vậy tọa độ hai tiêu điểm là: 16 √ √ F1 = (− 3; 0), F2 = ( 3; 0)
(b) Gọi M (xM , yM ). Do M ∈ (E) nên: x2 y2
M + M = 1 ⇔ 3x2 + 6y2 = 18(1) 6 3 M M a)www.geosiro.com 2
Mặt khác ta có: M F1 = 2M F2 ⇔ M F 2 = 1 4M F 2 x2 y2 2√ √ Bài 6. Cho (E) : +
= 1. Tìm điểm M trên (E) sao cho:
⇔ (− 3 − xM )2 + y2 = 4[( 3 − x)2 + y2 ] 7 4 M M √ √ ⇔ 3 + 2 3x √ √ √ √ M + x2 + y2 = 4(3 − 2 3x M M M + 7 3 4 15 7 3 4 15 x2 + y2 ) (a) M F ; ), ( ; − ) M M √ 1 = 2M F2 (Đ/s: M ( 9 9 9 9 ⇔ 3x2 + 3y2 − 10 3x M M M = −9(2)
Lấy 2 ∗ (2) − (1) ta có: √
(b) M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 600.  35 4 √ xM = 6 3 √ (Đ/s: (± ; ± ) 3x2 − 20 3x 3 3 M M + 36 = 0 ⇔  2 3 xM = 3 √
Với xM = 6 3 thay vào (1) ta có: y2 = −51(L)
Bài 7. Cho ABCD là hình thoi có các đỉnh trùng với các M √ √ 2 3 21
đỉnh của elip. Bán kính đường tròn nội tiếp của hình thoi Với x √ M = thay vào (1) ta có: yM = ± 3 3 là
2. Viết phương trình chính tắc của elip biết tâm sai là Vậy tọa độ điểm M là: 1 √ √ √ √
e = √ . Bài toán có thể giải được không nếu ta chỉ biết 4 2 3 21 2 3 21 2 M ( ; ), M ( ; − ) 3 3 3 3
đỉnh của hình thoi nằm trên elip? x2 y2
(c) Gọi M (m, n). Do M ∈ (E) nên ta có: ( + = 1) 6 3 m2 n2 + = 1 ⇔ m2 + 2n2 = 6(3) √ 6 3 x2 y2 Bài 8. Cho (E) : +
= 1 và dường thẳng d : x − y 2 +
Góc F1M F2 = 90◦ nên ta có: 8 4 −−−→ −−−→ 2 = 0. M F1 ⊥ M F2 ⇔ F1M .F2M = 0 √ √ ⇔ (m + 3)(m − 3) + y.y = 0
(a) Chứng minh (d) luôn cắt (E) tại hai điểm A,B. Tính ⇔ √ m2 − 3 + n2 = 0(4) AB. (AB = 3 2)
Từ (3), (4) ta có: hệ phương trình: m2 + 2n2 = 6 m2 = 0
(b) Tìm điểm C trên (E) sao cho diện tích tam giác ABC ⇔ m2 + n2 = 3 n2 = 3 lớn nhất. √ √ √ √
Vậy tọa độ điểm M là M (0; 3), M (0; − 3) (C(2, − 2 hoặc C(−2; 2) x2 y2 Bài 9. Tìm trên (E) : + = 1 hai điểm M, N sao cho 16 13 II. BÀI TẬP tam giác F1M N đều. √ √ 8 3 13 8 3 13 (M ( ; ), N ( ; − ) hoặc
Bài 1. (Nội thất) Phía trên của một cửa số là nửa trên của 5 √ 5 5 √5 −24 3 13 −24 3 13
một elip. Phương trình chính tắc của elip biết gốc tọa độ là M ( ; ), N ( ; − ))
trung điểm cạnh trên của cửa sổ(hình 1). 11 11 11 11 x2 y2 Bài 10. Cho (E) : + = 1. Tìm A, B thuộc (E) có 4 1
hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện
Bài 2. Nhà Trắng. Có một vùng đất phía nam Nhà Trắng, tích lớn nhất.
gọi là công viên tổng thống, như hình vẽ. Viết phương trình √ √ √ 2 √ 2
elip lấy gốc tọa độ là tâm của elip.(hình ??). (A( 2; ), B( 2, − )) 2 2 x2 y2 Bài 11. Cho (E) : +
= 1. Tìm điểm M trên (E) sao 16 7
Bài 3. Thiên văn học. Quỹ đạo của một hành tinh quay cho: √
quanh mặt trời là một đường elip với mặt trời là một tiêu 16 1463
điểm của quỹ đạo. Khoảng cách của mặt trời so với tâm elip (a) 2M F1 = 3M F2 (M ( ; ± ) 15 15
là 21.24 triệu km, khi gần nhất hành tinh cách mặt trời một √ √
khoảng là 206.75 (xấp xỉ), khoảng cách gần nhất của hành 1 1 6 2 2 238
tinh cách tâm elip khoảng 226.94 tr km. Viết phương trình (b) + = (M (± ; ± ) M F1 M F2 F1F2 3 6
elip và vẽ mô tả elip đó. √21
Bài 4. Thiên văn học Khi gần nhất, Trái đất cách mặt trời
(c) M F 3 + M F 3 = 182 (M (±2; ± ) 1 2 2
91.4 tr km và xa nhất là 94.5 tr km. Giả sử tâm quỹ đạo
là gốc, mặt trời thuộc trục hoành và bán kính mặt trời là x2 y2
400,000 dặm. Viết phương trình quỹ đạo của trái đất. (hình Bài 12. Cho (E) : + = 1 và điểm M(2,1). 4). 9 4
(a) Chứng minh M nằm trong (E)
(b) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt (E) tại
Bài 5. Đấu trường Colosseum ở Rome là một hình elip với
hai điểm A, B sao cho M là trung điểm AB.
độ dài trục lớn là 190m và trục nhỏ là 155m. Viết phương (8x + 9y − 25 = 0)
trình chính tắc của đấu trường.
(c) Tính khoảng cách từ các tiêu điểm đến đường thẳng √ √ 8 5 + 25 −8 5 + 25 AB. (d(F1, AB) = √ , d(F2, AB) = √ ) 145 145 3
Bài 13. Cho (E) : x2+2y2 = 2 và đường thẳng d : x+y+m =
Quỹ đạo của Trái Đất là đường đi của Trái Đất 0. Tìm m để:
xung quanh Mặt trời. Trái Đất quay trên quỹ đạo
quanh Mặt Trời với khoảng cách trung bình 150 triệu
(a) Đường thẳng (d) cắt (E) tại hai điểm phân biệt. Khi
km hết 365,2564 ngày Mặt Trời trung bình (1 năm đó:
thiên văn, số liệu đo được đến năm 2006) Quỹ đạo của
Trái Đất xung quanh Mặt Trời gọi là đường hoàng
(i) Tìm tập hợp trung điểm của AB.
đạo. Trên đường hoàng đạo có các điểm đặc biệt là
(ii) Tìm m để độ dài AB lớn nhất.
: điểm cận nhật, điểm viễn nhật, điểm xuân phân,
điểm hạ chí, điểm thu phân, điểm đông chí. Góc giữa
(iii) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến AB bằng
điểm cận nhật và điểm xuân phân hiện nay khoảng nửa độ dài đoạn AB.
77◦ (mỗi năm góc này giảm khoảng 1’02"). Quan sát
từ Trái Đất, chuyển động biểu kiến của Mặt Trời thể
(b) Đường thẳng (d) có một điểm chung duy nhất với (E).
hiện bằng sự thay đổi vị trí tương đối so với các ngôi (M = ±1)
sao, với vận tốc góc khoảng 1◦/ngày, hay một khoảng
cách bằng đường kính góc của Mặt Trăng hay Mặt
Trời cứ sau mỗi 12 giờ về phía đông. Vì chuyển động x2 y2 Bài 14. Cho (E) : + = 1, a > b > 0.
này, trung bình nó mất 24 giờ - một ngày Mặt Trời - a2 b2
để Trái Đất hoàn thành một vòng tự quay quanh trục
sao cho Mặt Trời lại trở lại đường Tý Ngọ (kinh tuyến
(a) Gọi A, B là hai điểm trên (E) sao cho OA vuông góc thiên cầu). 1 1 1 1 OB. Chứng minh rằng + = + . OA2 OB2 a2 b2
(b) Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn tiếp xúc với
một đường tròn cố định. x2 y2 Bài 15. Cho (E) : +
= 1, a > b > 0. Gọi F1, F2 là hai a2 b2
tiêu điểm và A1, A2 là hai đỉnh trên trục lớn. M là một điểm
tuỳ ý trên (E) có hình chiếu trên Ox là H. Chứng minh rằng: (a) M F1.M F2 + OM 2 = a2 + b2
(b) (M F1 − M F2)2 = 4(OM 2 − b2) b2 (c) M H2 = − HA1.HA2 a2 x2 y2 Bài 16. Cho (E) : +
= 1. Gọi A, B là hai điểm trên 9 3
(E) sao cho OA vuông OB. Xác định vị trí của AB sao cho
tam giác OAB có diện tích lớn nhất.
(OA; OB nằm trên hai trục tọa độ) x2 y2 Bài 17. Cho (E) : +
= 1, a > b > 0 và đường thẳng a2 b2 d : Ax + By + C = 0.
(a) Tìm điều kiện của a, b, A, B, C để (E) và d có duy nhất
một điểm chung, không có điểm chung.
(b) Khi (E) và d không có điểm chung. Tìm những điểm M
thuộc (E) sao cho khoảng cách từ M đến d đạt GTLN, GTNN. x2 y2 Bài 18. Cho (E) : +
= 1, a > b > 0 và điểm M (x0, y0) a2 b2 nằm trên (E).
(a) Chứng minh a ≤ OM ≤ b √
(b) Chứng minh |x0 + y0)| ≤ a2 + b2
(c) Tìm những điểm thuộc (E) sao cho khoảng cách từ điểm
đó đến tiêu điểm phải lớn nhất, nhỏ nhất. Bài tập tổng hợp Nguyễn Tăng Vũa)
(Dated: Ngày 21 tháng 4 năm 2020) I.
BÀI TẬP VỀ TAM GIÁC - TỨ GIÁC Lời giải −−→
(a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng CD là n
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A(0; 3). Xác định tọa độ CD = (1; 2). −−→
Khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng CD là u B, C biết: CD = (2; −1).
(a) Phương trình hai đường trung tuyến từ B, C là 4x −
AB ⊥ CD khi đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng −−→ −−→
9y − 1 = 0 và x + 3y − 2 = 0. AB là nAB = CD = (2; −1)
Phương trình đường thẳng AB là:
(b) Có hai đường cao từ B và C là x − y + 1 = 0 và 2x +
2(x + 1) − 1(y − 2) = 0 ⇔ 2x − y + 4 = 0 y − 3 = 0.
(b) M ∈ BM . Gọi tọa độ điểm M là M (3b + 3, b). Lời giải
M là trung điểm của đoạn AC khi đó tọa độ điểm C là
(a) G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó ta có tọa độ C(6b + 7, 2b − 2).
điểm G là nghiệm của hệ phương trình:
C ∈ CD thay tọa độ điểm C vào đường thẳng CD ta ( có: 4x − 9y − 1 = 0 x = 1 ⇔ 1 1 x + 3y − 2 = 0
6b + 7 + 2(2b − 2) + 2 = 0 ⇔ 10b + 5 = 0 ⇔ b = − y = 2 3 1 1 −→ −8 Với b = − tọa độ điểm C(4; −3) Suy ra G(1; ) ⇒ AG = (1; ) 2 3 3
Gọi M (xM ; yM ) là trung điểm BC, khi đó ta có −−→
Ví dụ 3. Lập phương trình các cạnh của 4ABC biết AM = (xM , yM − 3).
B(−2, 1), đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ một −→ 2 −−→ Ta có: AG = AM
đỉnh có phương trình lần lượt là d1 : 5x + 4y − 1 = 0, d2 : 3 8x + y − 7 = 0.  2 (  3 Lời giải  xM = 1 x ⇔ 3 M =
Thay tọa độ điểm B vào d 2 8 ⇔ 2 1 ta có:  (y y
5.(−2) + 4.1 − 1 = −7 6= 0.  M − 3) = − M = −1 3 3
Khi đó B không thuộc vào d
C thuộc đường trung tuyến từ đỉnh C nên tọa độ điểm 1. Giả sử d
C có dạng C(2 − 3a; a) khi đó tọa độ điểm B có dạng
1, d2 là đường cao, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A.
B(1 + 3a, −2 − a). Điểm B thuộc vào đường trung
Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình là: tuyến từ đỉnh B: 5x + 4y − 1 = 0 x = 1
4(1 + 3a) − 9(−2 − a) − 1 = 0 ⇔ a = −1 ⇔ ⇒ A(1; −1) 8x + y − 7 = 0 y = −1
Với a = −1 tọa độ điểm B(−2; −1), C(5; −1) − − →
Ta có: BA = (3; −2). Khi đó vectơ pháp tuyến của đường −−→ thẳng AB là nAB = (2; 3).
(b) Gọi H(xH , yH ) là trực tâm của tam giác ABC.
Phương trình đường thẳng AB là
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:
2(x + 2) + 3(y − 1) = 0 ⇔ 2x + 3y + 1 = 0  2 −→
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d n = (5; 4) nên 1 là d x − y = −1   x = 2 5 1 −→ ⇔ 3 ⇒ H( ; )
vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 là ud = (4; −5) 2x + y = 3 5 1 3 3  y = Ta có: d 
1 ⊥ BC . Khi đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng 3 −−→ −→ − − → BC là nBC = ud = (4; −5) 1
Gọi B(b, b + 1) ⇒ AB = (b, b − 2)
Phương trình đường thẳng BC là: −−→ − − → −−→
nCH = (2; 1). Ta có AB, nCH cùng phương nên ta có:
4(x + 2) − 5(y − 1) = 0 ⇔ 4x − 5y + 13 = 0 b b − 2
d T BC = M . Tọa độ điểm M là nghiệm của phương trình: = ⇔ b = 4 2 2 1 ( 1 1 ⇒ 4x − 5y + 13 = 0 B(4; 5) x = ⇔ 2 ⇒ M ( ; 3) −−→ 2 4 − − → 8x + y − 7 = 0 y = 3 2
Ta có: AH = ( , − ). Mà AH ⊥ BC ⇒ BC = (1; −2) 3 3
M là trung điểm của BC suy ra tọa độ điểm C là: C(3; 5)
Phương trình đường thẳng BC là: −→
AC = (2; 6). Vectơ pháp tuyến của đường thẳng AC là:
1.(x − 4) − 2(y − 5) = 0 ⇔ x − 2y + 6 = 0 −−→ nAC = (3; −1)
Tọa độ điểm C là nghiệm hệ phương trình:
Phương trình đường thẳng AC là: x − 2y + 6 = 0
3(x − 1) − 1(y + 1) = 0 ⇔ 3x − y − 4 = 0 2x + y − 3 = 0
Ví dụ 4. Cho hình vuông ABCD có đỉnh B(4,1) và phương
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có A(−1; 2), đường cao CD :
trình đường chéo AC : x + 3y − 11 = 0. Hãy tìm toạ độ các
x + 2y + 2 = 0 và trung tuyến BM : x − 3y − 3 = 0. đỉnh còn lại.
(a) Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm tọa độ điểm Lời giải −−→ B.
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng AC là: nAC = (1; 3) nên −−→
vectơ chỉ phương của đường thẳng AC là: uAC = (3; −1).
(b) Tìm tọa độ điểm C.
Do ABCD là hình vuông nên ta có: AC ⊥ BD. Vậy vectơ −−→ −−→
pháp tuyến của đường thẳng BD là: nBD = uAC = (3; −1)
Phương trình đường thẳng BD là:
3(x − 4) − 1(y − 1) = 0 ⇔ 3x − y − 11 = 0 a)www.geosiro.com
Gọi I là giao điểm hai đường chéo. Khi đó tọa độ điểm I là 2
nghiệm của hệ phương trình:
(b) (C2) đối xứng với (C1) qua đường thẳng d nên d là  22
đường trung trực của đoạn thẳng O1O2. 3x − y − 11 = 0   x = 22 11 − → ⇔ 5 ⇒ I( ; )
Vectơ pháp tuyến của d là nd = (1, −1), nên vectơ chỉ x + 3y − 11 = 0 11 5 5 − →
phương của đường thằng d là: u  y = d = (1; 1).  5 d ⊥ O 24 17
1O2 nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng O1O2 −−−→ − →
I là trung điểm BD nên tọa độ điểm D là D( ; ) là: nO = u 1 O2 d = (1; 1) 5 5 −−→ Phương trình O1O2 là:
Gọi vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB là: nAB = (a, b).
1(x − 1) + 1(y − 2) = 0 ⇔ x + y − 3 = 0
Ta có góc giữa hai đường thẳng AB và BD là 45◦ nên:
Gọi M là giao điểm của d với O | −−→ −−→ n 1O2, khi đó M là trung AB .nBD | = cos(45) điểm của O1O2. | −−→ nAB | . | −−→ nBD | √
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: | 3a − b | 2 ⇔ √ √ x + y − 3 = 0 x = 2 = ⇔| 3a − b |= p5(a2 + b2) ⇔ ⇒ M (2; 1). 10. a2 + b2 2 x − y − 1 = 0 y = 1
⇔ 9a2 − 6ab + b2 = 5a2 + 5b2 ⇔ 4a2 − 6ab − 4b2 = 0
M (2; 1) nên tọa độ điểm O2 là: O2(3; 0) a = 2b ⇔ (a − 2b)(2a + b) = 0 ⇔
Mặt khác ta lại có:R2 = R1 = 2, khi đó phương trình 2a = −b đường tròn (C2) là:
• Với a = 2b chọn b = 1 ⇒ a = 2. Khi đó phương trình đường thẳng AB là:
2(x − 4) + 1(y − 1) = 0 ⇔ 2x + y − 9 = 0. (x − 3)2 + y2 = 4
A = AC T AB. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
Ví dụ 6. Cho hai đường tròn (C1) : (x − 4)2 + (y − 6)2 =  16 25, (C
2) : (x − 5)2 + (y + 1) = 5 và điểm A(4,1). 2x + y − 9 = 0   x = 16 13 ⇔ 5 ⇒ A( ; ) x + 3y − 11 = 0 13 5 5
(a) Chứng tỏ A là điểm chung của hai đường tròn.  y =  5 28 9
(b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt hai
I là trung điểm của AC nên tọa độ điểm C là: C( ; ) 5 5
đường tròn theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.
• Với 2a = −b chọn a = 1, b = −2. Phương trình đường thẳng Lời giải AB là:
1(x − 4) − 2(y − 1) = 0 ⇔ x − 2y − 2 = 0
(a) Thay tọa độ điểm A vào phương trình hai đường trong
Tọa điểm A là nghiệm của hệ phương trình: ta có:  28
(4 − 4)2 + (1 − 6)2 = 52 = 25 x − 2y − 2 = 0   x = 28 9
(4 − 5)2 + (1 + 1)2 = 1 + 4 = 5 ⇔ 5 ⇒ A( ; ) x + 3y − 11 = 0 9 5 5
nên A là điểm thuộc hai đường tròn hay A là điểm chung  y =  5 của hai đường tròn. 16 13
I là trung điểm của AC nên C( ; ) 5 5
(b) Tâm và bán kính đường tròn (C1), (C2) lần lượt là: O1 = √ Vậy tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông là:
(4; 6), R1 = 5, O2 = (5; −1), R2 = 5 24 17 16 13 28 9 D( ; ), A( ; ), C( ; )
Gọi d là đường thẳng d đi qua A và cắt hai đường tròn 5 5 5 5 5 5
theo hai dây cung có độ dài bằng nhau. 24 17 28 9 16 13 hoặc D( ; ), A( ; ), C( ; )
Gọi I là trung điểm O1O2 suy ra tọa độ điểm I là: 5 5 5 5 5 5 9 5 I( , ). 2 2
Từ O1, O2 lần lượt kẻ O1M, O2N vuông góc với d. II. BÀI TẬP ĐƯỜNG TRÒN
Khi đó M, N lần lượt là trung điểm của hai cung nên AM = AN .
Ví dụ 5. Cho đường tròn (C1) : x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0. Xét O1O2N M có:
Lập phương trình đường tròn (C2) biết
O1M//O2N ( cùng vuông góc với d).
⇒ Tứ giác O1O2N M là hình thang.
(a) (C2) đối xứng với (C1) qua I(3, 4). Khi đó tìm giao điểm Xét:
của hai đường tròn nếu có.
AM = AN ⇒ AI là đường trung bình hình thang O (b) (C 1I = O2I
2) đối xứng với (C1) qua đường thẳng d : x−y −1 = 0. O
Khi đó tìm giao điểm của hai đường tròn nếu có. 1O2N M . Suy ra: AI ⊥ d. Lời giải − → 1 3 Ta có: IA = (− ; − ). (C 2 2
1) : x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0 ⇔ (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4. − →
Khi đó tâm và bán kính đường tròn (C
Vectơ pháp tuyến đường thẳng d là: n 1) là: O1(1; 2), R1 = 2. d = (1; 3).
Gọi O2, R2 lần lượt là tâm và bán kính đường tròn (C2).
Phương trình đường thẳng d là:
(a) (C2) đối xứng với (C1) qua điểm I nên ta có I là trung
1(x − 4) + 3(y − 1) = 0 ⇔ x + 3y − 7 = 0
điểm của O1O2 và R1 = R2 = 2 . Khi đó tọa độ (O2) là O2 = (5; 6).
Ví dụ 7. Cho đường tròn x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0 và điểm
Phương trình đường tròn (C2) là: M(1,-1).
(a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt đường (x − 5)2 + (y − 6)2 = 4
tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm AB. . √
(b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt đường
Ta có: O1O2 = 4 2 > R1 + R2 nên hai đường tròn
tròn tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB không có giao điểm chung.
lớn nhất với I là tâm đường tròn. 3 Lời giải
Bài 10. Cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y + 2)2 = 9 và
đường thẳng d : x − 4y + 1 = 0. Tìm điểm P nằm trên đường
(a) (C) : x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0 ⇔ (x − 1)2 + (y + 2)2 = 9
thẳng d sao cho có thể vẽ được hai tiếp tuyến PA, PB đến
Tọa độ tâm và bán kính đường tròn (C) là: I(1; −2), R = đường tròn mà: 3.
Ta có: IM = 1 < R nên M nằm phía trong đường tròn. (a) Tam giác PAB đều. √ √
M là trung điểm AB nên ta có: IM ⊥ AB ( mối quan 7 + 64 2 6 + 16 2
hệ giữa dây cung và đường kính) (P ( ; ) − − → 17 √ 17 √
IM = (0; 1). Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là: 7 − 64 2 6 − 16 2 − → − − → hoặc P ( ; )) n 17 17 d = I M = (0; 1).
Phương trình đường thẳng d là:
(b) Tam giác PAB vuông tại P.
0(x − 1) + 1(y + 1) = 0 ⇔ y + 1 = 0 √ √ 7 + 4 206 6 + 206 (P ( ; ) hoặc (b) 17 √ 17 √ 7 − 4 206 6 − 206 P ( ; ) 17 17 III. BÀI TẬP
Bài 11. Cho đường tròn (x − 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đường
thẳng d : 3x − 4y + m = 0. Tìm m để trên d có duy nhất một
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có phương trình cạnh
điểm P mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB đến đường
AB : 2x − y = 0, AD : 4x − 3y = 0 và tâm I(2, 2). Lập
tròn sao cho tam giác PAB đều. (m = 25; m = −35) phương trình cạnh CB, CD.
(BC : 2x − y − 4 = 0; CD : 4x − 3y − 4 = 0)
Bài 12. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x − 6y + 6 = 0
và điểm M(3,1). Gọi T1, T2 lần lượt là các tiếp điểm của tiếp
Bài 2. Cho hình vuông ABCD có đỉnh B(4,1) và phương
tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thăng T1T2.
trình đường chéo AC : x + 3y − 11 = 0. Hãy tìm toạ độ các (T1T2 : x − y = 0) đỉnh còn lại. 16 13 28 9 2 17
Bài 13. Cho đường tròn (C) có phương trình (x − 5)2 + (y − (A( ; ), C( ; ), D( ; hoặc 5 5 5 5 5 5
4)2 = 25 và P (m, 0) là một điểm thay đổi trên trục hoành. 16 13 28 9 2 17 C( ; ), A( ; ), D( ; ) 5 5 5 5 5 5
(a) Tìm m để từ P kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn. (m > 8 hoặc m < 2)
Bài 3. Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2,0). Biết phương
trình AB : 4x + y + 14 = 0, AC : 2x + 5y − 2 = 0. Tìm toạ độ
(b) Với điều kiện của câu a, giả sử hai tiếp tuyến là PA,
các đỉnh tam giác. (B(−3; −2), C(1; 0))
PB. Chứng minh AB luôn đi qua một điểm cố định khi
P di chuyển trên trục hoành, tìm toạ độ điểm cố định
Bài 4. Lập phương trình đường thẳng đi qua P(2,-1) sao cho đó. 9
đường thẳng đó củng với hai đường thẳng d1 : 2x − y + 5 =
(Tọa độ điểm cố định là (5; − ) 4
0, d2 : 3x + 6y − 1 = 0 tạo thành một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của d1, d2.
(3x + y − 5 = 0 hoặc x − 3y − 5)
Bài 14. Cho đường tròn có phương trình (x−2)2 +(y −1)2 =
25 và đường thẳng d : y = k(x + 4) + 3. 1
Bài 5. Cho tam giác ABC có diện tích bằng và có toạ 2
(a) Chứng minh d luôn đi qua một điểm cố đinh.
độ A(2,-3), B(3,-2). Trọng tâm G của tam giác thuộc đường
(Tọa độ điểm cố định là (−4; 3))
thẳng 3x − y − 8 = 0. Tìm toạ độ đỉnh C. ( C(1; 15) hoặc C(4; 16))
(b) Tìm k để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. √ √ −12 + 5 15 −12 − 5 15
Bài 6. Cho 3 đường thẳng d (m > hoặc m < )
1 : x + y = 0, d2 : x + 2y = 0, d3 : 11 11
x − 2y + 1 = 0. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
biết A là giao điểm của d
(c) Khi đường thẳng d cắt đường tròn tại A, B. Chứng
1, d2; B, C ∈ d3 và tam giác ABC vuông cân tại A.
minh trung điểm I của AB luôn thuộc một đường tròn −1 3 −1 3
cố định, viết phương trình đường thẳng đó. (B( ;
), C(−3; −1) hoặc B(−3; −1), C( ; )) 7 7 7 7
(Phương trình đường tròn là: (x + 1)2 + (y − 2)2 = 10)
Bài 7. Trong mặt phẳng toạ độ cho hai đường thẳng d1 :
Bài 15. Cho đương tròn (C) : x2 + y2 − 4x − 2y = 0 và đường
x − y = 0, d2 : 2x + y − 1 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông
thẳng d : x + y + 2 = 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm
ABCD biết đỉnh A ∈ d1, C ∈ d2 và B, D ∈ Ox.
thuộc d. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (C). Tìm toạ
(A(1; 1), C(1; −1), B(0; 0), D(2; 0)
độ điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
hoặc A(1; 1), C(1; −1), B(2; 0), D(0; 0) )
(M (2; −4) hoặc M (−3; 1))
Bài 8. Cho đường thẳng d : x − 2y + 2 = 0 và điểm A(0,2).
Bài 16. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 và
Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B 2 6 4 7
đường thẳng d : x + my − 2m + 3 = 0. Gọi I là tâm đường và AB = 2BC. (B( ; ), C( ; ))
tròn. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho diện tích 5 5 5 5 tam giác IAB lớn nhất. 1 8
Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I( , 0), phương (m = 0 hoặc m = ) 2 15
trình đường thẳng AB là x − 2y + 2 = 0 và AB=2AD. Tìm
toạ độ các đỉnh hình chữ nhật biết đỉnh A có hoành độ âm.
(A(−2; 0), B(2; 2), C(3; 0), D(−1; −2)) 4
Bài 17. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường tròn x2 + y2 − 2x −
8y + 12 = 0 sao cho khoảng cách MA đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Biết:
(a) A(-5,1) (Đ/s: M A đạt GTLN khi M (3; 5), GTNN khi M (−1; 3))
(b) A(-1,5) (Đ/s: M A đạt giá trị lớn nhất M (1; 13), M A đạt GTNN khi M ≡ A)
Document Outline

  • hinh_c3_b1
    • Phương trình tổng quát của đường thẳng
      • Phương trình tổng quát của đường thẳng
      • Vị trí tương đối của hai đường thẳng
      • Bài tập
  • hinh_c3_b2
    • Phương trình tham số của đường thẳng
      • Lý thuyết
      • Ví dụ
      • Bài tập
  • hinh_c3_b3
    • Khoảng cách- Góc
      • Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
      • Góc giữa hai đường thẳng
      • Bài tập
  • hinh_c3_b4
    • Phương trình đường tròn
      • Phương trình đường tròn
      • Phương trình tiếp tuyến
      • Bài tập
  • hinh_c3_b5
    • Phương trình chính tắc của Elip
      • Tóm tắt lý thuyết
      • Bài tập
  • hinh_c3_b6
    • Bài tập tổng hợp
      • Bài tập về tam giác - Tứ giác
      • Bài tập đường tròn
      • Bài tập