Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz – Nguyễn Trọng Toán 12

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz – Nguyễn Trọng Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

79 40 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Môn: Toán 12

Thông tin:

57 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 1
MỤC LỤC
BI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ ........................................................................................................... 1
►DẠNG 1: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CÁC TÍNH CHẤT.................................................................. 2
►DẠNG 2: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM ............................................................................................................ 4
►DẠNG 2: TÍCH VÔ HƯỚNG, TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ – CÁC BÀI TOÁN LIÊN
QUAN ........................................................................................................................................................ 7
BI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU ..................................................................................................... 10
►DẠNG 1. XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU. NHẬN BIẾT PT MẶT CẦU 10
►DẠNG 2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT MỘT SỐ YẾU TỐ CHO TRƯỚC ......... 12
BI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ............................................................................................... 17
► DẠNG 1: TÌM MỘT VTPT CỦA MẶT PHẲNG ............................................................................. 17
►DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ............................................................................ 19
► DẠNG 3: ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG .......................................................................................... 22
BI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ......................................................................................... 25
►DẠNG 1: TÌM MỘT VTCP CỦA ĐƯỜNG THẲNG ........................................................................ 25
►DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG ............................................................ 27
►DẠNG 3: TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG VÀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐT VÀ MẶT PHẲNG 32
BI 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI TỔNG HỢP .............................................................................................. 35
►DẠNG 1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA 2 MẶT PHẲNG ................................................................... 35
►DẠNG 2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG................................. 37
►DẠNG 3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG ........................... 40
►DẠNG 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG ....................................................... 42
► DẠNG 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG ................................................ 45
BI 6: KHOẢNG CÁCH TỔNG HỢP ................................................................................................... 49
►DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM ................................................................................. 49
►DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG, KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT
PHẲNG SONG SONG, KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT
PHẲNG TỚI MẶT PHẲNG. .................................................................................................................. 51
►DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG ...................................................... 54
►DẠNG 4. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU ..................................... 56
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 2
BI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ
►DẠNG 1: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CÁC TÍNH CHẤT
PHƯƠNG PHÁP:
. Định nghĩa:
( )
1 2 3 1 2 3
. . . ; ;= + + =ka a a aj aai aa
.
. Tính chất: Cho
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
; ; ; ; ;==a a a a b b b b
.
•
11
22
33
=
= =
=
ab
a b a b
ab
.
•
( )
1 1 2 2 3 3
;; = a b a b a b a b
.
•
( )
1 2 3
;;=ka ka ka ka
,
k
.
•
( ) ( ) ( )
0 (0;0;0), 1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1= = = =i j k
.
•
cùng phương
b
( )
:0 = k a kb b
.
( )
3
12
1 2 3
1 2 3
, , 0= =
a
aa
b b b
b b b
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
1;2; 3=−a
;
( )
2;2;0=−b
. Tọa độ vectơ
23=−c a b
là
A.
( )
4; 1; 3= − −c
. B.
( )
8; 2; 6= − −c
. C.
( )
2;1;3=c
. D.
( )
2;4;3=−c
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( )
( )
2 2;4; 6
3 6;6;0
=−
=−
a
b
Suy ra
( )
2 3 2 6;4 6; 6 0= − = + − − −c a b
( )
8; 2; 6 = − −c
.
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai vectơ
( )
2; 5;3=−a
,
( )
0;2; 1=−b
. Tọa độ
vectơ
x
thỏa mãn
2 +=a x b
là
A.
( )
4; 2; 7−−
. B.
( )
4; 2; 3−
. C.
( )
4; 12; 7−−
. D.
( )
4; 12; 3−−
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
22+ = = −a x b x b a
Ta có:
( )
( )
2 4; 10;
0;2; 1
6
=−
=
−
a
b
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 3
Suy ra
( )
2 0 4;2 10; 1 6= − = − + − −x b a
( )
4;12; 7 = − −x
.
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho các vectơ
( )
3; 2;1=−a
,
( )
1;1; 2= − −b
,
( )
2;1; 3=−c
,
( )
11; 6;5=−u
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
32= − +u a b c
. B.
23= + +u a b c
. C.
23= − +u a b c
. D.
3 2 2= − −u a b c
.
Lời giải
Giả sử
= + +u xa yb zc
Ta có hệ phương trình:
3 2 11
26
235
− + =
− + + = −
− − =
x y z
x y z
x y z
.
Giải hệ ta được:
2
3
1
x
y
z
=
=−
=
Vậy
23u a b c= − +
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho
23= − + −a i j k
. Tọa độ của vectơ
là
A.
( )
1;2; 3−−
. B.
( )
2; 3; 1−−
. C.
( )
2; 1; 3−−
. D.
( )
3;2; 1−−
.
Câu 2. Câu nào sau đây sai?
A.
11
3 3;1;
22
= − + + = −


a i j k a
. B.
11
5 ;0; 5
22
= − = −


a i j a
.
C.
( )
2 3 2; 3;0= − = −a i j a
. D.
22
3 3; ;1
55
= + − = −


a j k i a
.
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai véc tơ
( )
1;3; 2= − −u
và
( )
2;5; 1=−v
. Tìm tọa
độ của vectơ
23=−a u v
A.
( )
8;9; 1= − −a
. B.
( )
8; 9;1= − −a
. C.
( )
8; 9; 1= − −a
. D.
( )
8; 9; 1= − − −a
.
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai vectơ
23= − −u j k
và
2=+u i k
, khi đó tọa độ
của
+uv
đối với hệ tọa độ
Oxyz
là:
A.
( )
1; 2; 1−−
. B.
( )
1;0;1
. C.
( )
1;2;2
. D.
( )
1;0;2−
.
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho hai vectơ
(2; 3;1)=−a
và
( 1;0;4)=−b
. Tìm tọa độ
vectơ
23= − +u a b
.
A.
( 7;6; 10)= − −u
. B.
( 7; 6;10)= − −u
. C.
(7;6;10)=u
. D.
( 7;6;10)=−u
.
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho 3 vecto
( )
5;4; 1=−a
;
( )
2; 5;3=−b
và
c
thỏa mãn
hệ thức
2 3 .=−c a b
Tìm tọa độ
?c
A.
( )
4;23; 11=−c
. B.
( )
16;19; 10=−c
. C.
( )
4;7;7=c
. D.
( )
16;23;7=c
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 4
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho ba vectơ
( )
1;2;3=a
,
( )
2;2; 1=−b
,
( )
4;0; 4=−c
.
Tọa độ vectơ
2= − +d a b c
là
A.
( )
7;0; 4= − −d
. B.
( )
7;0;4=−d
. C.
( )
7;0; 4=−d
. D.
( )
7;0;4=d
.
Câu 8. Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
1;2; 3=−a
,
( )
2; 4;6= − −b
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
2=ab
. B.
2=−ba
. C.
2=−ab
. D.
2=ba
.
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, để hai véctơ
( )
;2;3=am
và
( )
1; ;2=bn
cùng phương
thì
+mn
bằng:
A.
11
6
. B.
13
6
. C.
17
6
. D.
.
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho các vec tơ
( )
2;1;1=a
,
( )
3; 1;2=−b
. Tọa độ của vec
tơ
c
thỏa mãn biểu thức
2 3 0− + =b a c
là:
A.
35
;1;
22

−−


. B.
15
; 2;
22

− − −


. C.
75
;2;
22

−−


. D.
7
;1; 1
2

−−


.
►DẠNG 2: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM
. Định nghĩa:
( ; ; ) . . . = + +M x y z OM x i y j z k
(x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ)
. Chú ý:
•
( ) ( ) ( )
0; 0; 0 = = =M Oxy z M Oyz x M Oxz y
•
0; 0; 0 = = = = = =M Ox y z M Oy x z M Oz x y
.
. Tính chất: Cho
( ; ; ), ( ; ; )
A A A B B B
A x y z B x y z
•
( ; ; )= − − −
B A B A B A
AB x x y y z z
•
2 2 2
( ) ( ) ( )= − + − + −
B A B A B A
AB x x y y z z
• Toạ độ trung điểm
M
của đoạn thẳng
AB
:
;;
2 2 2
+ + +



A B A B A B
x x y y z z
M
• Toạ độ trọng tâm
G
của tam giác
ABC
:
•
;;
3 3 3
+ + + + + +



A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
• Toạ độ trọng tâm
G
của tứ diện
ABCD
:
•
;;
4 4 4
+ + + + + + + + +



A B C D A B C D A B C C
x x x x y y y y z z z z
G
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( ) ( )
1; 3;2 , 0;1; 1−−AB
và
( )
5; 1;2−C
.
Tọa độ là trọng tâm
G
của tam giác
ABC
là
A.
( )
2; 1;1−G
. B.
( )
2;1;1G
. C.
( )
2;1; 1−G
. D.
( )
2;1; 1−−G
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 5
Lời giải
Chọn A
G
là trọng tâm tam giác
ABC
nên:
1 0 5
2
33
3 1 1
1
33
2 1 2
1
33
A B C
G
A B C
G
A B C
G
xxx
x
yyy
zz
z
y
z
++
++
==
++
− + −
= = −
++
=
=
=
+
==
−
Vậy
( )
2; 1;1G −
.
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
1;0; 2 , 2;1; 1 , 1; 3;3− − −A B C
và điểm
M
thỏa mãn hệ thức
23=+AM AB BC
. Tìm tọa độ điểm
M
.
A.
( )
0; 5; 6−−
. B.
( )
0; 5;2−
. C.
( )
0; 10;12−
.. D.
( )
0; 5;4−
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( ) ( )
1;1;1 2 2;2;2AB AB= =
( ) ( )
1; 4;4 3 3; 12;12BC BC= − − = − −
( )
2 3 1; 10;14AB BC + = − −
.
Gọi
( ) ( )
; ; 1; ; 2M x y z AM x y z = − +
1 1 0
2 3 10 10
2 14 12
xx
AM AB BC y y
zz
− = − =

= + = − = −


+ = =

Vậy
( )
0; 10;12M −
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 11. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
1;2;3M
. Tìm tọa độ hình chiếu
M
lên trục
Ox
.
A.
( )
2;0;0
. B.
( )
1;0;0
. C.
( )
3;0;0
. D.
( )
0;2;3
.
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
1;2;3M
. Tìm tọa độ điểm
N
đối xứng với
điểm
M
qua mặt phẳng
( )
Oxy
A.
( )
1; 2; 3− − −N
. B.
( )
1;2;0N
. C.
( )
1; 2;3−−N
. D.
( )
1;2; 3−N
.
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxy
, cho hai điểm
( )
1;1;0A
,
( )
0;3;3B
. Khi đó
A.
( )
1;2;3=−AB
. B.
( )
1;2;3=AB
. C.
( )
1;4;3=−AB
. D.
( )
0;3;0=AB
.
Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
cho
( )
1;2;0A
;
( )
3; 1;1−B
và
( )
1;1;1C
. Tính tọa độ
trọng tâm
G
của tam giác
ABC
.
A.
5 2 2
;;
3 3 3



G
. B.
5 2 2
;;
3 3 3

−


G
. C.
5 2 2
;;
3 3 3

−


G
. D.
5 2 2
;;
3 3 3

−−


G
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 6
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
(1;0; 2)−A
,
(2;1; 1)−B
. Tìm độ dài của đoạn
thẳng
AB
?
A.
2
. B.
18
. C.
27
. D.
3
.
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ
( )
; , , ,O i j k
cho hai điểm
,AB
thỏa mãn
2= − +OA i j k
và
3= + −OB i j k
. Tìm tọa độ trung điểm
M
của đoạn
AB
.
A.
1
; 1; 2
2

−−


M
. B.
3
; 0; 1
2

−


M
. C.
( )
3; 0; 2−M
. D.
1
; 1; 2
2

−


M
.
Câu 17. Trong hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm là
( )
1;3; 1−A
,
( )
3; 1;5−B
. Tìm tọa độ của điểm
M
thỏa mãn hệ thức
3=MA MB
.
A.
5 13
; ;1
33



M
. B.
71
; ;3
33



M
. C.
71
; ;3
33



M
. D.
( )
4; 3;8−M
.
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho bốn điểm
( )
1;0;2A
,
( )
2;1;3−B
,
( )
3;2;4C
,
( )
6;9; 5−D
. Hãy tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện
ABCD
.
A.
( )
2;3; 1−
. B.
( )
2; 3;1−
. C.
( )
2;3;1
. D.
( )
2;3;1−
.
Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
( ) ( ) ( )
1;2; 1 , 2; 1;3 , 3;5;1− − −A B C
.
Tọa độ điểm
D
sao cho tứ giác
ABCD
là hình bình hành là
A.
( )
4;8; 5−−D
. B.
( )
2;2;5−D
. C.
( )
4;8; 3−−D
. D.
( )
2;8; 3−−D
.
Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
( )
1;5;2=OM
,
( )
3;7; 4=−ON
. Gọi
P
là điểm đối
xứng với
M
qua
N
. Tìm tọa độ điểm
P
.
A.
( )
5;9; 10−P
. B.
( )
7;9; 10−P
. C.
( )
5;9; 3−P
. D.
( )
2;6; 1−P
.
Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
( ) ( ) ( )
0;1;2 , 7;3;2 , 5; 3;2−−M N P
. Tìm
tọa độ điểm
Q
thỏa mãn
=MN QP
.
A.
( )
12;5;2Q
. B.
( )
12;5;2−Q
. C.
( )
12; 5;2−−Q
. D.
( )
2; 1;2−−Q
.
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho tam giác
ABC
có
( )
1;2; 1−A
,
( )
3;0;3B
. Tìm tọa độ
điểm
C
sao cho
( )
2;2;2G
là trọng tâm tam giác
ABC
.
A.
( )
2;4;4C
. B.
( )
0;2;2C
. C.
( )
8;10;10C
. D.
( )
2; 4; 4−−−C
.
Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hình hộp
.ABCD A B C D
. Biết tọa độ các đỉnh
( )
3;2;1A −
,
( )
4;2;0C
,
( )
2;1;1B
−
,
( )
3;5;4D
. Tìm tọa độ điểm
A
của hình hộp.
A.
( )
3;3;1A
−
. B.
( )
3; 3;3A
−−
. C.
( )
3; 3; 3A
−−−
. D.
( )
3;3;3A
−
.
Câu 24. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
( ) ( ) ( )
3;2;1 , 1; 1;2 , 1;2; 1−−A B C
. Tìm
tọa độ điểm
M
thỏa mãn
2=−OM AB AC
.
A.
( )
2; 6; 4−−M
.
B.
( )
2; 6; 4−M
.
C.
( )
2; 6; 4−−M
. D.
( )
5; 5; 0M
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 7
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
1;2;3A
, trên trục
Oz
lấy điểm
M
sao cho
5=AM
. Tọa độ của điểm
M
là
A.
( )
0;0;3M
. B.
( )
0;0;2M
. C.
( )
0;0; 3−M
. D.
( )
0;3;0M
.
►DẠNG 2: TÍCH VÔ HƯỚNG, TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ – CÁC BÀI TOÁN LIÊN
QUAN
PHƯƠNG PHÁP:
. Định nghĩa: Trong không gian
Oxyz
cho hai vectơ
1 2 3
( ; ; )=a a a a
,
1 2 3
( ; ; )=b b b b
.
• Tích vô hướng của hai véc tơ:
( )
1 1 2 2 3 3
. . .cos ,= = + +ab a b a b a b a b a b
• Tích có hướng của hai vectơ
và
,b
kí hiệu là
,


ab
, được xác định bởi
( )
2 3 3 1
12
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1
12
, ; ; ; ;
= = − − −



a a a a
aa
a b a b a b a b a b a b a b
b b b b
bb
. Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
. Tính chất:
•
[ , ] ; [ , ]⊥⊥a b a a b b
•
,,
=−
a b b a
•
, ; , ; ,

= = =

i j k j k i k i j
•
( )
[ , ] . .sin ,=a b a b a b
•
,ab
cùng phương
[ , ] 0=ab
.
. Ứng dụng của tích có hướng:
• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:
,ab
và
c
đồng phẳng
[ , ]. 0=a b c
• Diện tích hình bình hành
ABCD
:
,

=

ABCD
S AB AD
• Diện tích tam giác
ABC
:
1
,
2

=

ABC
S AB AC
• Thể tích khối hộp
ABCDA B C D
:
. ' ' ' '
[ , ].
=
ABCD A B C D
V AB AD AA
• Thể tích tứ diện
ABCD
:
1
[ , ].
6
=
ABCD
V AB AC AD
• Góc giữa hai vectơ:
( )
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos ;
.
.
++
==
+ + + +
a b a b a b
ab
ab
ab
a a a b b b
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
1;2;0 ,=a
( )
2; 1;1 ,=−b
( )
1; 1;0=−c
. Phát biểu nào sau đây
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 8
sai?
A.
5=a
. B.
.1=−ac
. C.
⊥ab
. D.
⊥cb
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( ) ( )
. 2.1 1 . 1 1.0 3 0 ,= + − − + = cb c b
không vuông góc nhau.
Ví dụ 2. Trong không gian
Oxyz
, cho
2,= − +a i j k
( )
1= + + −b i m j k
. Tìm tham số
m
để
⊥ab
.
A.
2=m
. B.
2=−m
. C.
0=m
. D.
1=−m
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( ) ( )
1; 1;2 , 1; 1; 1= − = + −a b m
;
. 0 1 1 2 0 2⊥ = − − − = = −a b a b m m
.
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai vectơ
( )
2;1;0=a
và
( )
1;0; 2= − −b
. Tính
( )
cos ,ab
.
A.
( )
2
cos ,
25
=−ab
. B.
( )
2
cos ,
5
=−ab
. C.
( )
2
cos ,
25
=ab
. D.
( )
2
cos ,
5
=ab
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 26. Trong không gian
Oxyz
cho
3=−u j k
;
=+v i k
. Tìm tích vô hướng
.uv
.
A. – 3. B. – 2. C. 3. D. 2.
Câu 27. Trong không gian Oxyz, cho 3 vecto
( )
1;1;0
→
=−a
;
( )
1;1;0
→
=b
;
( )
1;1;1
→
=c
. Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào sai
A.
2=a
. B.
3=c
. C.
⊥ab
. D.
⊥bc
.
Câu 28. Gọi
là góc giữa hai vectơ
( )
1;2;0=a
và
( )
2;0; 1=−b
, khi đó
cos
bằng
A. 0. B.
2
5
. C.
2
5
. D.
2
5
−
.
Câu 29. Trong không gian
Oxyz
, cho
( ) ( )
1; 2;1 , 2;1;1−−uv
; góc giữa hai vectơ là:
A.
5
6
. B.
3
. C.
6
. D.
2
3
.
Câu 30. Trong không gian tọa độ
Oxyz
, độ dài của véc tơ
(1;2;2)=u
là
A.
3
.
B.
5
. C.
. D.
9
.
Câu 31. Tính góc giữa hai vecto
= (–2; –1; 2) và
b
= (0; 1; –1)
A. 60°. B. 120°. C. 45°. D. 135°.
Câu 32. Trong hệ trục Oxyz, cho ba điểm
( )
2,1,0−A
,
( )
3,0,4−B
,
( )
0,7,3C
. Khi đó,
( )
cos ,AB BC
bằng:
A.
14
3 118
. B.
72
3 59
−
. C.
14
57
. D.
14
57
−
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 9
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ
( ) ( )
4; 2; 4 , 6; 3;2− − = −ab
thì
( )( )
2 3 2−+a b a b
có giá trị là:
A. 200. B.
200
. C.
2
200
. D.
200
.
Câu 34. Trong không gian tọa độ
Oxyz
cho ba vectơ
( ) ( ) ( )
3;0;1 , 1; 1; 2 , 2;1; 1− − −a b c
. Tính
( )
=+T a b c
.
A.
3=T
. B.
6=T
. C.
0=T
. D.
9=T
.
Câu 35. Cho điểm
( ) ( )
, 2;1; 24; 3; 5−− −BA
. Gọi
là số đo góc
AOB
với
O
là gốc tọa độ. Giá trị của
là
A.
150=a
. B.
30=a
. C.
135=a
. D.
45=a
.
Câu 36. Cho bốn véc tơ
( )
1;1;0=−a
,
( )
1;1;0=b
,
( )
1;1;1=c
,
( )
2;0;1=d
. Chọn mệnh đề đúng.
A.
,
,
c
đồng phẳng. B.
,
b
,
c
đồng phẳng.
C.
,
,
c
đồng phẳng. D.
,
b
,
c
đồng phẳng.
Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai vectơ
( )
2;2; 4=−a
,
( )
1;1; 2=−b
. Mệnh đề nào
sau đây sai?
A.
,0

=

ab
. B.
,0


ab
. C.
2=ab
. D.
2=ab
.
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho tam giác
ABC
biết
( )
1;1;1A
,
( )
4;3;2B
,
( )
5;2;1C
.
Diện tích tam giác
ABC
là
A.
42
4
. B.
42
. C.
2 42
. D.
42
2
.
Câu 39. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho tứ diện
ABCD
có
( )
1;0;1 ,A
( )
2;0; 1 ,−B
( )
0;1;3 ,C
( )
3;1;1D
. Thể tích khối tứ diện
ABCD
là
A.
2
3
=V
. B.
4
3
=V
. C.
4=V
. D.
2=V
.
Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho tam giác
ABC
có
( )
0;1;1A
,
( )
1; 2;0−B
,
( )
2;1; 1−−C
. Diện tích tam giác
ABC
bằng bao nhiêu?
A.
22
. B.
2 22
. C.
22
2
. D.
11
2
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 10
BI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
►DẠNG 1. XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ TÂM V BÁN KÍNH MẶT CẦU. NHẬN BIẾT PT MẶT CẦU
PHƯƠNG PHÁP:
. Dạng chính tắc:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
− + − + − =x a y b z c R
, có tâm
( )
;;I a b c
, bán kính R.
. Dạng khai triển:
2 2 2
2 2 2 0+ + − − − + =x y z ax by cz d
, đk:
2 2 2
0+ + − a b c d
, có tâm
( )
;;I a b c
, bán
kính
2 2 2
= + + −R a b c d
.
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, tọa độ tâm
và bán kính
R
của mặt cầu có phương
trình
( ) ( )
22
2
2 3 5+ + − + =x y z
là :
A.
( )
2;3;0I
,
5=R
. B.
( )
2;3;0−I
,
5=R
.
C.
( )
2;3;1I
,
5=R
. D.
( )
2; 2;0−I
,
5=R
.
Lời giải
Chọn B
Mặt cầu có tâm
( )
2;3;0−I
và bán kính là
5=R
.
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 4 25 0+ + − + − − =S x y z x y z
.
Tìm tọa độ tâm
I
và bán kính mặt cầu
( )
S
.
A.
( )
1; 2;2 ; 34−=IR
. B.
( )
1;2; 2 ; 5− − =IR
.
C.
( )
2;4; 4 ; 29− − =IR
. D.
( )
1; 2;2 ; 6−=IR
.
Lời giải
Chọn A
Từ phương trình ta có :
1, 2, 2, 25= = − = = −a b c d
.
Suy ra
( )
S
tâm
( ) ( )
2
22
1; 2;2 ; 1 2 2 25 34− = + − + + =IR
.
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
S
có phương trình
( )
2 2 2
: 2 4 6 5 0S x y z x y z+ + − − − + =
. Tính diện tích mặt cầu
( )
S
.
A.
42
. B.
36
. C.
9
. D.
12
.
Lời giải
Chọn B
Mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
1;2;3I
và bán kính
2 2 2
1 2 3 5R = + + −
3=
.
Diện tích mặt cầu
( )
S
:
2
4SR
=
2
4 3 36

==
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 5 1 2 16− + − + + =S x y z
. Tính
bán kính của
( )
S
.
A.
. B.
16
. C.
. D.
5
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 11
Câu 2. Trong không gian
Oxyz
, mặt cầu
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 4− + − + + =x y z
có tâm và bán kính lần lượt
là
A.
( )
1;2; 3−I
,
2=R
. B.
( )
1; 2;3−−I
,
2=R
.
C.
( )
1;2; 3−I
,
4=R
. D.
( )
1; 2;3−−I
,
4=R
.
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu có phương trình
( ) ( )
22
2
1 3 16x y z+ + − + =
. Tìm tọa độ tâm
và bán kính
R
của mặt cầu đó.
A.
( )
1;3;0I −
;
16R =
. B.
( )
1;3;0I −
;
4R =
.
C.
( )
1; 3;0I −
;
16R =
. D.
( )
1; 3;0I −
;
4R =
.
Câu 4. Cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 2 3 0+ + − + + − =S x y z x y z
. Tính bán kính
R
của mặt cầu
( )
S
.
A.
3=R
. B.
3=R
. C.
9=R
. D.
33=R
.
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 6 4 8 4 0+ + − + − + =S x y z x y z
.
Tìm tọa độ tâm
I
và bán kính
R
của mặt cầu
( )
S
.
A.
( )
3; 2;4 , 25−=IR
. B.
( )
3; 2;4 , 5−=IR
.
C.
( )
3;2; 4 , 25− − =IR
. D.
( )
3;2; 4 , 5− − =IR
.
Câu 6. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 4 2 6 11 0+ + − + − − =S x y z x y z
. Tìm tâm và bán
kính của
( )
S
là:
A.
( )
2; 1; 3−I
,
25=R
. B.
( )
2; 1; 3−−I
,
5=R
.
C.
( )
2; 1; 3−I
,
5=R
. D.
( )
2; 1; 3−−I
,
5=R
.
Câu 7. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
, cho các phương trình sau, phương trình nào không
phải là phương trình của mặt cầu?
A.
2 2 2
2 2 2 8 0+ + − − − − =x y z x y z
. B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 9+ + − + − =x y z
.
C.
2 2 2
2 2 2 4 2 2 16 0+ + − + + + =x y z x y z
. D.
2 2 2
3 3 3 6 12 24 16 0+ + − + − + =x y z x y z
.
Câu 8. Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu?
A.
2 2 2
10 8 2 1 0+ + − − + − =x y z xy y z
. B.
2 2 2
3 3 3 2 6 4 1 0+ + − − + − =x y z x y z
.
C.
2 2 2
2 4 4 2017 0+ + − − + + =x y z x y z
. D.
( ) ( )
2
2
2 4 9 0+ − − − − − =x y z x y z
.
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( )
2
22
: 1 2+ − + =S x y z
. Trong các điểm
cho dưới đây, điểm nào nằm ngoài mặt cầu
( )
S
?
A.
( )
1;1;1M
. B.
( )
0;1;0N
. C.
( )
1;0;1P
. D.
( )
1;1;0Q
.
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
cho phương trình
( )
2 2 2 2
2 2 4 2 5 9 0x y z m x my mz m+ + − + + − + + =
. Tìm
m
để phương trình đó là phương trình
của một mặt cầu.
A.
55m−
. B.
5m −
hoặc
1m
. C.
5m −
. D.
1m
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 12
Câu 11. Trong không gian
Oxyz
, tìm tất cả các giá trị của
m
để phương trình
2 2 2
4 2 2 0+ + + − + + =x y z x y z m
là phương trình của một mặt cầu.
A.
6m
. B.
6m
. C.
6m
. D.
6m
.
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
1; 2;1−I
và mặt phẳng
( )
: 2 2 4 0
+ − − =x y z
. Mặt cầu
( )
S
có tâm
I
và tiếp xúc với
( )
có phương trình là
A.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 9− + + + − =x y z
. B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 9+ + − + + =x y z
.
C.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 3− + + + − =x y z
. D.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 3− + + + − =x y z
.
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
giả sử tồn tại mặt cầu
( )
S
có phương trình
2 2 2
4 8 2 6 0+ + − + − + =x y z x y az a
. Nếu
( )
S
có đường kính bằng
12
thì các giá trị của
là
A.
2; 8= − =aa
. B.
2; 8= = −aa
. C.
2; 4= − =aa
. D.
2; 4= = −aa
.
►DẠNG 2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT MỘT SỐ YẾU TỐ CHO TRƯỚC
PHƯƠNG PHÁP: Xác định được tâm và bán kính, hoặc là các hệ số
, , ,a b c d
. Mặt cầu có tâm
( )
;;I a b c
, bán kính
R
thì có phương trình chính tắc là:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
− + − + − =x a y b z c R
. Mặt cầu có tâm
( )
;;I a b c
và đi qua điểm
A
• Tính bán kính
( ) ( )
22
= = − + −
A I A I
R IA x x y y
• Viết phương trình mặt cầu.
. Mặt cầu có đường kính
AB
• Tìm tọa độ tâm
I
(trung điểm của đoạn
AB
)
• Tính bán kính
( ) ( )
22
22
− + −
==
B A B A
x x y y
AB
R
• Viết phương trình mặt cầu.
. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
(hoặc là: Mặt cầu đi qua 4 điểm
, , ,A B C D
có tọa độ cho trước)
• Gọi mặt cầu
2 2 2 2 2 2
( ): 2 2 2 0 ( 0)+ + − − − + = + + − S x y z ax by cz d a b c d
• Thay tọa độ các điểm
, , ,A B C D
vào phương trình mặt cầu, lập được hệ 4 phương trình 4 ẩn
, , ,a b c d
.
• Kết luận phương trình cần lập.
. Mặt cầu có tâm
( )
;;I a b c
Và tiếp xúc với mặt phẳng
( )
:0+ + + =P Ax By Cz D
• Tính bán kính
( )
( )
2 2 2
,
+ + +
==
++
Aa Bb Cc D
R d I P
A B C
• Viết phương trình mặt cầu:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
− + − + − =x a y b z c R
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 13
. Mặt cầu có tâm
( )
;;I a b c
Và tiếp xúc với đường thẳng
( )
0 0 0
1 2 3
:
− − −
= =
x x y y z z
u u u
• Xác đinh tọa độ điểm
( )
0 0 0
;;M x y z
và véc tơ chỉ phương
( )
1 2 3
;;u u u u
của đường thẳng
( )
• Tính bán kính
( )
( )
0
,
,

= =
M I u
R d I
u
• Viết phương trình mặt cầu.
B. BI TẬP MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
1;4;2−I
và bán kính
9=R
.
Phương trình của mặt cầu
( )
S
là:
A.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 4 2 81+ + − + − =x y z
. B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 4 2 9+ + − + − =x y z
.
C.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 4 2 9− + + + − =x y z
. D.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 4 2 81− + + + + =x y z
Lời giải
Chọn A
Mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
1;4;2−I
và bán kính
9=R
nên
( )
S
có phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 4 2 81+ + − + − =x y z
.
Ví dụ 2. Trong không gian
Oxyz
, phương trình mặt cầu tâm
( )
1;2;0I −
và đi qua điểm
( )
2; 2;0A −
là
A.
( ) ( )
22
2
1 2 100.x y z+ + − + =
B.
( ) ( )
22
2
1 2 5.x y z+ + − + =
C.
( ) ( )
22
2
1 2 10.x y z+ + − + =
D.
( ) ( )
22
2
1 2 25.x y z+ + − + =
Lời giải
Chọn D
Ta có: Tâm
( )
1;2;0I −
và bán kính
22
3 4 5R IA= = + =
.
Vậy phương trình mặt cầu có dạng:
( ) ( )
22
2
1 2 25.x y z+ + − + =
Ví dụ 3. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2;1;0A −
,
( )
2; 1;2B −
. Phương trình của mặt cầu có
đường kính
AB
là
A.
( )
2
22
1 24x y z+ + − =
. B.
( )
2
22
16x y z+ + − =
.
C.
( )
2
22
1 24x y z+ + − =
. D.
( )
2
22
16x y z+ + − =
.
Lời giải
Chọn D
Gọi
I
là trung điểm của
AB
khi đó
( )
0
2
0 0;0;1
2
1
2
AB
I
AB
I
AB
I
xx
x
yy
yI
zz
z
+
==
+
= =
+
==
.
( ) ( ) ( )
222
0 2 0 1 1 0 6IA = + + − + − =
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 14
Mặt cầu đường kính
AB
nhận điểm
( )
0;0;1I
làm tâm và bán kính
6R IA==
có phương
trình là:
( )
2
22
16x y z+ + − =
.
Ví dụ 4. Gọi
( )
S
là mặt cầu đi qua
điểm
( )
2;0;0A
,
( )
1;3;0B
,
( )
1;0;3−C
,
( )
1;2;3D
.
Tính bán kính
R
của
( )
S
.
A.
22=R
. B.
3=R
. C.
6=R
. D.
6=R
.
Lời giải
Chọn D
Giả sử phương trình mặt cầu
( )
( )
2 2 2 2 2 2
: 2 2 2 0 0+ + − − − + = + + − S x y z ax by cz d a b c d
Vì
( )
S
đi qua
4
điểm
( ) ( ) ( ) ( )
2;0;0 , 1;3;0 , 1;0;3 , 1;2;3−A B C D
nên ta có hệ phương trình:
4 4 0
2 6 10 1
2 6 10 1
2 4 6 14 4
− + = − =


− − + = − =


− + = − =


− − − + = − = −

a d a
a b d b
a c d c
a b c d d
( )
222
0 1 1 4 6 = + + − − =R
.
Ví dụ 5. Trong không gian
Oxyz
cho điểm
( )
1;2;3−I
và mặt phẳng
( )
:4 1 0+ − − =P x y z
. Viết phương
trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt phẳng
( )
P
.
A.
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 2+ + − + − =x y z
. B.
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 2+ + − + − =x y z
.
C.
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 2− + + + + =x y z
. D.
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 1+ + − + − =x y z
.
Lời giải
Chọn A
Gọi
( )
S
là mặt cầu tâm
, bán kính
R
và
( )
S
tiếp xúc với
( )
:4 1 0+ − − =P x y z
Ta có
( )
( )
2 2 2
4.( 1) 2 3 1
6
2
32
4 1 (
;
1)
− + − −
==
+ + −
=Pd I R
Vậy mặt cầu (S) có phương trình:
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 2+ + − + − =x y z
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 14. Phương trình mặt cầu tâm
( )
1;2; 3−I
bán kính
2=R
là:
A.
2 2 2
2 4 6 10 0+ + − − + + =x y z x y z
. B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 2− + − + + =x y z
.
C.
2 2 2
2 4 6 10 0+ + + − − + =x y z x y z
. D.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 2 3 2+ + + + − =x y z
.
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, viết phương trình mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
3( 1; 2;−I
và đi
qua điểm
( )
3;0;2A
.
A.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 3− + + + − =x y z
. B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 9+ + − + + =x y z
.
C.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 9− + + + − =x y z
. D.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 3+ + − + + =x y z
.
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho hai điểm
( 1;1;2)−A
,
(1;2;1)M
. Mặt cầu tâm
A
đi
qua
M
có phương trình là
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 15
A.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 1+ + − + − =x y z
. B.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 6− + + + + =x y z
.
C.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 6+ + − + − =x y z
. D.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 6+ + − + − =x y z
.
Câu 17. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1; 0; 1−I
và
( )
2; 2; 3−A
. Mặt cầu
( )
S
tâm
I
và đi
qua điểm
A
có phương trình là.
A.
( ) ( )
22
2
1 1 3+ + + − =x y z
. B.
( ) ( )
22
2
1 1 3− + + + =x y z
.
C.
( ) ( )
22
2
1 1 9+ + + − =x y z
. D.
( ) ( )
22
2
1 1 9− + + + =x y z
.
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
6;2; 5−A
,
( )
4;0;7−B
. Viết phương
trình mặt cầu đường kính
AB
.
A.
( ) ( ) ( )
2 2 2
5 1 6 62+ + + + − =x y z
. B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 62− + − + − =x y z
.
C.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 62+ + + + + =x y z
. D.
( ) ( ) ( )
2 2 2
5 1 6 62− + − + + =x y z
.
Câu 19. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;2;3A
và
( )
3;2;1B
. Phương trình mặt cầu đường
kính
AB
là
A.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2− + − + − =x y z
. B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 4− + − + − =x y z
.
C.
2 2 2
2+ + =x y z
. D.
( ) ( )
22
2
1 1 4− + + − =x y z
.
Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2;1;1A
,
( )
0;3; 1−B
. Mặt cầu
( )
S
đường
kính
AB
có phương trình là
A.
( )
2
22
23+ − + =x y z
. B.
( ) ( )
22
2
1 2 3− + − + =x y z
.
C.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 9− + − + + =x y z
. D.
( ) ( )
22
2
1 2 9− + − + =x y z
.
Câu 21. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
2;1; 1−I
và tiếp xúc với
( )
mp P
có
phương trình:
2 2 3 0− − + =x y z
Bán kính của mặt cầu
( )
S
là:
A.
2
9
=R
. B.
2
3
=R
. C.
4
3
=R
. D.
2=R
.
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
P
:
2 2 3 0+ − − =x y z
và điểm
( )
1;2 3−I
. Mặt cầu
( )
S
tâm
và tiếp xúc
( )
mp P
có phương trình:
A.
2 2 2
( ):( 1) ( 2) ( 3) 4+ + − + − =S x y z
. B.
2 2 2
( ):( 1) ( 2) ( 3) 16− + − + + =S x y z
.
C.
2 2 2
( ):( 1) ( 2) ( 3) 4− + − + + =S x y z
. D.
2 2 2
( ):( 1) ( 2) ( 3) 2− + − + + =S x y z
.
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, phương trình nào dưới dây là phương trình mặt cầu có
tâm
( )
1;2; 1−I
và tiếp xúc với mặt phẳng
( )
: 2 2 8 0− − − =P x y z
?
A.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 3+ + + + − =x y z
. B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 3− + − + + =x y z
.
C.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 9− + − + + =x y z
. D.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 9+ + + + − =x y z
.
Câu 24. Trong không gian
Oxyz
, viết phương trình mặt cầu
( )
S
đi qua bốn điểm
( ) ( )
, 1;0;0 , 0; 2;0−O A B
và
( )
0;0;4C
.
A.
( )
2 2 2
: x 2 4 0+ + + − + =S y z x y z
. B.
( )
2 2 2
: x 2 4 8 0+ + − + − =S y z x y z
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 16
C.
( )
2 2 2
: x 2 4 0+ + − + − =S y z x y z
. D.
( )
2 2 2
: x 2 4 8 0+ + + − + =S y z x y z
.
Câu 25. Trong không gian với hệ trục
Oxyz
, cho điểm
( )
0; 3;0−I
. Viết phương trình của mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt phẳng
( )
Oxz
.
A.
( )
2
22
33+ + + =x y z
. B.
( )
2
22
33+ − + =x y z
.
C.
( )
2
22
33+ − + =x y z
. D.
( )
2
22
39+ + + =x y z
.
Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
( )
1;0;0−A
,
( )
0;0;2B
,
( )
0; 3;0−C
. Bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC
là
A.
14
3
. B.
14
4
. C.
14
2
. D.
14
.
Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho
( ) ( ) ( )
1;1;3 , 1;3;2 , 1;2;3−−A B C
. Mặt cầu tâm
O
và
tiếp xúc mặt phẳng
( )
ABC
có bán kính
R
là
A.
3=R
. B.
3=R
. C.
3
2
=R
. D.
3
2
=R
.
Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
2;1; 4−I
và mặt phẳng
( )
: 2 1 0+ − + =P x y z
. Biết rằng mặt phẳng
( )
P
cắt mặt cầu
( )
S
theo giao tuyến là đường tròn
có bán kính bằng
1
. Viết phương trình mặt cầu
( )
S
.
A.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 2 1 4 25− + − + + =S x y z
. B.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 2 1 4 13+ + + + − =S x y z
.
C.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 2 1 4 25+ + + + − =S x y z
. D.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 2 1 4 13− + − + + =S x y z
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 17
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
► DẠNG 1: TÌM MỘT VTPT CỦA MẶT PHẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
. Định nghĩa: Vectơ
0n
,
có giá vuông góc với
( )
P
n
là 1 VTPT của
( )
P
. Chú ý:
• Nếu
là một VTPT của mặt phẳng
()P
thì
kn
( 0)k
cũng là một VTPT của mp
()P
• Nếu mp
()P
có phương trình
0+ + + =Ax By Cz D
thì nó có một VTPT là
( ; ; )n A B C
.
• Nếu
()P
có cặp
,uv
không cùng phương với nhau và có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng
()P
thì
[ , ]=n u v
là một VTPT của
()P
.
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
:3 2 4 1 0
+ − + =x y z
. Vectơ nào sau đây là một
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
?
A.
( )
2
3;2;4=n
. B.
( )
3
2; 4;1=−n
. C.
( )
1
3; 4;1=−n
. D.
( )
4
3;2; 4=−n
Lời giải
Chọn D
Phương trình mặt phẳng
( )
có dạng:
0+ + + =Ax By Cz D
với
3; 2; 4; 1= = = − =A B C D
.
Suy ra
( )
có
( )
4
3;2; 4=−n
là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng
( )
.
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
:2 3 4 0− + =P x z
. Vectơ nào dưới đây
có giá vuông góc với mặt phẳng
( )
P
?
A.
( )
3
2; 3;4=−n
. B.
( )
1
2;0; 3=−n
. C.
( )
2
3;0;2=n
. D.
( )
4
2; 3;0=−n
Lời giải
Chọn B
Vectơ
( )
1
2;0; 3=−n
có giá vuông góc với mặt phẳng
( )
P
vì là một vectơ pháp tuyến của
( )
P
.
Ví dụ 3. Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( )
2; 1;3−A
,
( )
4;0;1B
và
( )
10;5;3−C
. Vectơ nào dưới
đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
ABC
?
A.
( )
1;2;2=n
. B.
( )
1; 2;2=−n
. C.
( )
1;8;2=n
. D.
( )
1;2;0=n
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
2;1; 2=−AB
,
( )
12;6;0=−AC
,
( ) ( )
, 12;24;24 12. 1;2;2

==

AB AC
( )
ABC
có một vectơ pháp tuyến là
( )
1;2;2=n
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 18
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 1. Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
( )
2 1 0:3 − − =xzP
có một véctơ pháp tuyến là
A.
( )
3;0;2=u
. B.
( )
3;0;2=−u
. C.
( )
3; 2;0=−u
. D.
( )
3; 2; 1= − −u
.
Câu 2. Trong không gian
Oxyz
, một vectơ pháp tuyến
của mặt phẳng
2 3 1 0+ − + =x y z
là
A.
( )
2;3;1=n
. B.
( )
3;2;1=n
. C.
( )
2;3; 1=−n
. D.
( )
3;2; 1=−n
.
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
:2 3 2 0.− + =P x z
Vectơ nào dưới đây
là vectơ pháp tuyến của
( )
?P
A.
( )
2;3;0=−n
. B.
( )
2; 3;1=−n
. C.
( )
2; 3;2=−n
. D.
( )
2;0; 3=−n
.
Câu 4. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
: 3 2 6 0
− − − =x y z
. Vecto nào
không phải là vecto pháp tuyến của
( )
?
A.
( )
1; 3; 2= − −n
. B.
( )
1;3;2=−n
. C.
( )
1;3;2=n
. D.
( )
2;6;4=−n
.
Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho ba điểm
, , A B C
không thẳng hàng. Tìm một
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
ABC
. Chọn đáp án sai.
A.
,


AB AC
. B.
,


AB BC
. C.
.AC BC
. D.
1
,
3


CB CA
.
Câu 6. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;1;0A
,
( )
2; 1;1−B
. Một vectơ pháp tuyến
của
mặt phẳng
( )
OAB
là
A.
( )
3;1; 1= − −n
. B.
( )
1; 1; 3= − −n
. C.
( )
1; 1;3=−n
. D.
( )
1;1;3=n
.
Câu 7. Mặt phẳng
( )
:1
2 3 2
+ + =
−
x y z
P
có một vectơ pháp tuyến là:
A.
( )
3;2;3=n
. B.
( )
2;3; 2=−n
. C.
( )
2;3;2=n
. D.
( )
3;2; 3=−n
.
Câu 8. Trong không gian
Oxyz
, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
1
2 1 3
+ + =
−−
x y z
là
A.
(3;6; 2)=−n
. B.
(2; 1;3)=−n
. C.
( 3; 6; 2)= − − −n
. D.
( 2; 1;3)= − −n
.
Câu 9. Toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
đi qua ba điểm
( )
2;0;0M
,
( )
0; 3;0−N
,
( )
0;0;4P
là
A.
( )
2; 3;4−
. B.
( )
6;4; 3−−
. C.
( )
6; 4;3−−
. D.
( )
6;4;3−
.
Câu 10. Toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
đi qua ba điểm
( )
2;0;0M
,
( )
0; 3;0−N
,
( )
0;0;4P
là
A.
( )
2; 3;4−
. B.
( )
6;4; 3−−
. C.
( )
6; 4;3−−
. D.
( )
6;4;3−
.
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
3; 1;3−−A
,
( )
1;3;1−B
và
( )
P
là mặt
phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB
. Một vectơ pháp tuyến của
( )
P
có tọa độ là:
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 19
A.
( )
1;3;1−
. B.
( )
1;1;2−
. C.
( )
3; 1;3−−
. D.
( )
1;2; 1−
.
Câu 12. Trong không gian với hệ trục độ
Oxyz
, cho ba điểm
( )
1; 2;1−A
,
( )
1;3;3−B
,
( )
2; 4;2−C
. Một
véc tơ pháp tuyến
của mặt phẳng
( )
ABC
là:
A.
1
( 1;9;4)=−n
. B.
4
(9;4; 1)=−n
. C.
3
(4;9; 1)=−n
. D.
2
(9;4;11)=n
.
Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, mặt phẳng
( )
song song mặt phẳng
( )
:3 2 7 0− + + =P x y z
. Tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng
( )
.
A.
( )
3; 2;1=−n
. B.
( )
1;3;2=−n
. C.
( )
3;2;1=n
. D.
( )
3; 2; 1= − −n
.
Câu 14. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
. Mặt phẳng
()
song song với mặt phẳng
( )
Oyz
có
một vecto pháp tuyến là:
A.
( )
0;0;1=k
. B.
( )
0;1;1=n
. C.
( )
0;1;0=j
. D.
( )
1;0;0=i
.
Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( 1;0;1), ( 2;1;1)−−AB
.
()
là mặt
phẳng trung trực của đoạn
AB
.Tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng
()
.
A.
( )
1;1;0=−n
. B.
( )
1;1;1=n
. C.
( )
1;1;0=n
. D.
( )
0;1; 1=−n
.
►DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
. Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.
⬧ Mặt phẳng
( )
đi qua điểm
( )
0 0 0
;;M x y z
và nhận vectơ
( )
;;=n A B C
làm VTPT có phương
trình dạng
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
:0
− + − + − =A x x B y y C z z
hay
( )
:0
+ + + =Ax By Cz D
.
⬧ Mặt phẳng
( )
đi qua điểm ba điểm
( ) ( ) ( )
;0;0 , 0; ;0 0;0;A a A b A c
có phương trình theo đoạn
chắn:
1+ + =
x y z
a b c
.
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
đi qua 1 điểm
( )
0 0 0
;;M x y z
và song song với 1 mặt phẳng
( )
:0
+ + + =Ax By Cz D
cho trước.
⬧ VTPT của
( )
là
( )
( )
;;
=n A B C
⬧ Vì
( ) ( )
//

nên VTPT của mặt phẳng
( )
là
( ) ( )
( )
;;

==n n A B C
⬧ Phương trình mặt phẳng
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
:0
− + − + − =A x x B y y C z z
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
đi qua 3 điểm
,,A B C
không thẳng hàng.
⬧ Tìm tọa độ các vectơ:
,AB AC
⬧ Vectơ pháp tuyến của
( )
là:
( )
,

=

n AB AC
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 20
⬧ Điểm thuộc mặt phẳng là
A
(hoặc
B
hoặc
C
)
⬧ Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT
( )
n
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
qua hai điểm
,AB
và vuông góc với mặt phẳng
( )
.
⬧ Tìm VTPT của
( )
là
( )
n
⬧ Tìm tọa độ vectơ
AB
⬧ VTPT của mặt phẳng
( )
là
( ) ( )
,


=

n n AB
⬧ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
A. BI TẬP MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
phương trình nào được cho dưới đây là phương trình
mặt phẳng
( )
Oyz
?
A.
=+x y z
. B.
0−=yz
. C.
0+=yz
. D.
0=x
.
Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng
( )
Oyz
đi qua
( )
0;0;0O
và nhận
( )
1;0;0=n
làm vec tơ pháp tuyến nên phương
trình mặt phẳng
( )
Oyz
là
0=x
.
Ví dụ 2. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;5; 2−A
,
( )
3;1;2B
. Viết phương trình mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng
AB
.
A.
2 3 4 0+ + =xy
. B.
2 2 0− + =x y x
. C.
2 2 8 0− + + =x y z
. D.
2 2 4 0− + + =x y z
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( )
2; 4;4=−AB
là một VTPT của mặt phẳng trung trực đoạn thẳng
AB
.
Gọi
là trung điểm của
AB
( )
2;3;0 I
.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB
đi qua điểm
và có VTPT
( )
2; 4;4=−n
nên có
phương trình là:
( ) ( ) ( )
2 2 4 3 4 0 0− − − + − =x y z
2 2 4 0 − + + =x y z
.
Ví dụ 3. Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng chứa trục
Oz
và vuông góc với mặt phẳng
( )
: 2 1 0
− + − =x y z
có phương trình là
A.
0+=xy
. B.
20+=xy
. C.
0−=xy
. D.
10+ − =xy
.
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng
( )
: 2 1 0
− + − =x y z
có vectơ pháp tuyến
( )
1; 1;2
=−n
Trên trục
Oz
có vectơ đơn vị
( )
0;0;1=k
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 21
Mặt phẳng chứa trục
Oz
và vuông góc với mặt phẳng
( )
là mặt phẳng qua
O
và nhận
( )
; 1; 1;0
= − −

nk
làm vectơ pháp tuyến.
Do đó có phương trình
00− − = + =x y x y
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 16. Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
( )
Oxz
có phương trình là
A.
0=z
. B.
0+ + =x y z
. C.
0=y
. D.
0=x
.
Câu 17. Cho hai điểm
( )
1;3; 4−A
,
( )
1;2;2−B
. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB
là
A.
4 2 12 17 0+ − − =x y z
. B.
4 2 12 17 0+ + − =x y z
.
C.
4 2 12 17 0− − − =x y z
. D.
4 2 12 17 0− + + =x y z
.
Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
cho điểm
( )
1; 1;2−A
và mặt phẳng
( )
:2 1 0− + + =P x y z
. Mặt phẳng
( )
Q
đi qua điểm
A
và song song với
( )
P
. Phương trình
mặt phẳng
( )
Q
là
A.
( )
:2 5 0− + − =Q x y z
. B.
( )
:2 0− + =Q x y z
.
C.
( )
: 2 0+ + − =Q x y z
. D.
( )
:2 1 0+ − + =P x y z
.
Câu 19. Cho
3
điểm
( ) ( ) ( )
2;1; 1 , 1;0;4 , 0; 2; 1− − − −A B C
. Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm
,,A B C
là
A.
2 5 5 0− − − =x y z
. B.
2 5 5 0− + − =x y z
.
C.
2 5 0− − =xy
. D.
2 5 5 0− − + =x y z
.
Câu 20. Trong không gian
Oxyz
, phương trình của mặt phẳng đi qua ba điểm
(1;0;0)A
,
(0; 1;0)−B
,
1
0;0;
2



C
là
A.
2 1 0− + − =x y z
. B.
20− + =x y z
.
C.
2 1 0− + + =x y z
. D.
10
2
− + − =
z
xy
.
Câu 21. Cho hai điểm
( )
1; 1;5−A
,
( )
0;0;1B
. Mặt phẳng
( )
P
chứa
,AB
và song song với trục
Oy
có
phương trình là
A.
4 1 0− + =xz
. B.
4 1 0+ − + =x y z
. C.
2 5 0+ − =xz
. D.
4 1 0+ − =xz
.
Câu 22. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, mặt phẳng chứa hai điểm
( )
1;0;1A
,
( )
1;2;2−B
và song
song với trục
Ox
có phương trình là
A.
2 2 0− + =yz
. B.
2 3 0+ − =xz
. C.
2 1 0− + =yz
. D.
0+ − =x y z
.
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, viết phương trình mặt phẳng
( )
P
chứa trục
Oz
và điểm
( )
1;2;1M
.
A.
( )
: 2 0−=P y z
. B.
( )
:2 0−=P x y
. C.
( )
:0−=P x z
. D.
( )
: 2 0−=P x y
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 22
Câu 24. Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng song song với mặt phẳng
( )
Oxy
và đi qua điểm
(1;1;1)A
có phương trình là
A.
10−=y
. B.
10+ + − =x y z
. C.
10−=x
. D.
10−=z
.
Câu 25. Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng song song với mặt phẳng
( )
Oyz
và đi qua điểm
( 1; 1; 1)−−−A
có phương trình là
A.
10−=y
. B.
10+ + − =x y z
. C.
10+=x
. D.
10−=z
.
Câu 26. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
: 2 2 5 0− + − =P x y z
và hai điểm
( )
3;0;1−A
,
( )
0; 1;3−B
. Lập phương trình mặt phẳng
( )
Q
đi qua
A
và song song với mặt
phẳng
( )
P
.
A.
2 2 1 0− + − =x y z
. B.
2 2 1 0− − + =x y z
.
C.
2 2 1 0− − − =x y z
. D.
2 2 1 0− + + =x y z
.
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho hai điểm
( ) ( )
1;2; 1 ; 2;1;0−AB
mặt phẳng
( )
:2 3 1 0+ − + =P x y z
. Gọi
( )
Q
là mặt phẳng chứa
;AB
và vuông góc với
( )
P
. Phương trình
mặt phẳng
( )
Q
là
A.
2 5 3 9 0+ + − =x y z
. B.
2 3 7 0+ − − =x y z
.
C.
2 5 0+ − − =x y z
. D.
2 6 0− − − =x y z
.
Câu 28. Trong hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 6 0+ + − − − =S x y z x y z
cắt các trục
,,Ox Oy Oz
lần lượt tại các điểm
,,A B C
(
khác
)O
. Phương trình mặt phẳng
( )
ABC
là
A.
1
2 4 6
− − =
x y z
. B.
1
2 4 6
+ + =
x y z
. C.
0
2 4 6
+ + =
x y z
. D.
1
2 4 6
+ − =
x y z
.
Câu 29. Trong không gian
Oxyz
, cho hai đường thẳng chéo nhau
1
2 6 2
:
2 2 1
− − +
==
−
x y z
d
và
2
4 1 2
:
1 3 2
− + +
==
−
x y z
d
. Phương trình mặt phẳng
( )
P
chứa
1
d
và
( )
P
song song với đường
thẳng
2
d
là
A.
( )
: 5 8 16 0+ + − =P x y z
. B.
( )
: 5 8 16 0+ + + =P x y z
.
C.
( )
: 4 6 12 0+ + − =P x y z
. D.
( )
:2 6 0+ − =P x y
.
Câu 30. Cho
( )
1; 1;0−A
và
11
:
2 1 3
+−
==
−
x y z
d
. Phương trình mặt phẳng
( )
P
chứa
A
và
d
là
A.
2 1 0+ + + =x y z
. B.
0+ + =x y z
. C.
0+=xy
. D.
0+=yz
.
► DẠNG 3: ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
Điểm
( ) ( )
0 0 0
; ; : 0 + + + =M x y z P Ax By Cz D
0 0 0
0 + + + =Ax By Cz D
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 23
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian
Oxyz
, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng
( )
:2 2 0− + − =P x y z
?
A.
( )
1; 2;2−Q
. B.
( )
2; 1; 1−−P
. C.
( )
1;1; 1−M
. D.
( )
1; 1; 1−−N
.
Lời giải
Chọn D
Thay toạ độ điểm
Q
vào phương trình mặt phẳng
( )
P
ta được
( )
2.1 2 2 2 4 0− − + − =
nên
( )
QP
.
Thay toạ độ điểm
P
vào phương trình mặt phẳng
( )
P
ta được
( ) ( )
2.2 1 1 2 2 0− − + − − =
nên
( )
PP
.
Thay toạ độ điểm
M
vào phương trình mặt phẳng
( )
P
ta được
( )
2.1 1 1 2 2 0− + − − = −
nên
( )
MP
.
Thay toạ độ điểm
N
vào phương trình mặt phẳng
( )
P
ta được
( ) ( )
2.1 1 1 2 0− − + − − =
nên
( )
NP
.
Ví dụ 2. Trong không gian
Oxyz
, gọi
d
là giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
:2 3 7 0
− + − =x y z
và
( )
: 2 2 0
− + − =x y z
. Đường thẳng
d
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
(2; 1;3)−Q
. B.
(1;0; 3)−M
. C.
( 1;0;3)−P
. D.
(1; 2;1)−N
.
Lời giải
Chọn C
Điểm
( )
( )

P
Pd
P
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 31. Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
3 5 2 0− + − =x y z
đi qua điểm nào sau đây?
A.
( )
1;2; 1−M
. B.
( )
1;1; 1−N
. C.
( )
2;0; 3−P
. D.
( )
1;0; 1−Q
.
Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
( )
:2 1 0− + − =P x y z
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
( )
1; 2;0−P
. B.
( )
2; 1;1−M
. C.
( )
0;1; 2−N
. D.
( )
1; 3; 4−−Q
.
Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, điểm
( )
3;4; 2−M
thuộc mặt phẳng nào trong các
mặt phẳng sau?
A.
( )
: 5 0+ + + =S x y z
. B.
( )
: 2 0−=Pz
.
C.
( )
: 1 0−=Qx
. D.
( )
: 7 0+ − =R x y
.
Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
: 6 0
+ + − =x y z
. Điểm nào dưới
đây không thuộc mặt phẳng
( )
?
A.
( )
1;2;3P
. B.
( )
3;3;0Q
. C.
( )
1; 1;1−M
. D.
( )
2;2;2N
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 24
Câu 35. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
:2 1 0− + − =P x y z
. Điểm nào
sau đây thuộc mặt phẳng
( )
P
?
A.
( )
2; 1;1−M
. B.
( )
0;1; 2−N
. C.
( )
1; 3; 4−−Q
. D.
( )
1; 2;0−H
.
Câu 36. Trong không gian
Oxyz
, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng
( )
:2 2 0− + − =P x y z
?
A.
( )
1;1; 1−M
. B.
( )
1; 2;2−Q
. C.
( )
2; 1; 1−−P
. D.
( )
1; 1; 1−−N
.
Câu 37. Trong không gian
Oxyz
, điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng
( )
: 3 2 0
− + + − =x y z
?
A.
( )
1; 3;2−
. B.
( )
1;2;3
. C.
( )
1;3;2
. D.
( )
1; 3;2−−
.
Câu 38. Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
( )
: 2 3 10 0− + − =P x y z
cắt trục
Ox
tại điểm có hoành độ
bằng
A. 10. B.
10−
. C. 5. D. 0.
Câu 39. Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu của điểm
( )
1;2;3M
trên mặt phẳng
( )
Oxy
là
A.
(1;2;0)
. B.
(1;0;3)
. C.
(0;2;3)
. D.
(0;0;3)
.
Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
1; 2;3−M
. Tìm tọa độ điểm
A
là hình
chiếu vuông góc của
M
lên mặt phẳng
( )
Oyz
.
A.
( )
1; 2;3−A
. B.
( )
1; 2;0−A
. C.
( )
1;0;3A
. D.
( )
0; 2;3−A
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 25
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
►DẠNG 1: TÌM MỘT VTCP CỦA ĐƯỜNG THẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
. Định nghĩa: Vectơ
0u
,
u
có giá song song hoặc
trùng với
d
u
là 1 VTCP của đường thẳng
d
.
. Chú ý:
Nếu
u
là một VTCP của đường thẳng d thì
ku
( 0)k
là một VTCP của đường thẳng d
• Nếu
có trình tham số của dạng:
( )
01
02
03
,
x x a t
y y a t t
z z a t
=+
= +
=+
thì
có 1 VTCP là
( )
1 2 3
;;a a a a=
• Nếu
1 2 3
0a a a
thì
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
==
được gọi là phương trình chính tắc.
• Nếu
có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng
()P
và vuông góc với đường thẳng d thì
có 1
VTCP là
[ , ]
p
d
a u n=
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng song song với đường thẳng
2
: 1
13
xt
d y t
zt
. Một vectơ chỉ phương của là
A.
( )
2;0; 6a −
. B.
( )
1;1;3b −
. C.
( )
2;1; 1v −
. D.
( )
1;0;3u
.
Lời giải
Chọn A
Theo phương trình tham số của đường thẳng thì ta thấy có một vectơ chỉ phương là
( )
2;0; 6a −
.
Ví dụ 2. Trong không gian
Oxyz
, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
12
:
2 1 3
x y z
d
−−
==
−
?
A.
( )
2; 1;3−
. B.
( )
2;1;3
. C.
( )
1; 2;0−
. D.
( )
1;2;0
.
Lời giải
Chọn A
Theo phương trình chính tắc của đường thẳng
d
thì ta thấy
d
có một vectơ chỉ phương là
( )
2; 1;3−
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 26
Ví dụ 3. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
d
song song với trục
Oy
. Đường thẳng
d
có một
vectơ chỉ phương là
A.
( )
1
2019; 0; 0u =
. B.
( )
2
0; 2021; 0u =
.
C.
( )
3
0; 0; 2019u =
. D.
( )
4
2020; 0; 2020u =
.
Lời giải
Chọn B
Vì đường thẳng
d
song song với trục
Oy
nên vectơ chỉ phương của
d
cùng phương với vectơ
đơn vị
( )
0; 1; 0j =
. Vậy đường thẳng
d
có một vectơ chỉ phương là
( )
2
0; 2021; 0u =
.
Ví dụ 4. Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng qua hai điểm
( )
2;1;2M −
,
( )
3; 1;0N −
có một vectơ chỉ
phương là
A.
( )
1;0;2u =
. B.
( )
5; 2; 2u = − −
. C.
( )
1;0;2u =−
. D.
( )
5;0;2u =
.
Lời giải
Chọn B
Đường thẳng đi qua hai điểm
( )
2;1;2M −
và
( )
3; 1;0N −
nhận
( )
5; 2; 2MN = − −
làm một
VTCP.
Vậy
( )
5; 2; 2u = − −
cũng là một VTCP của đường thẳng đã cho.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 1. Trong không gian
Oxyz
,đường thẳng
1 2 3
:
2 1 2
x y z
d
− − −
==
−
có vectơ chỉ phương là
A.
( )
1
1;2;3u =
. B.
( )
2
2;1;2u =
. C.
( )
3
2; 1;2u =−
. D.
( )
4
1; 2; 3u = − − −
.
Câu 2. Vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng
1
:
2 3 1
x y z
d
+
==
−
?
A.
( )
2; 6;1u =−
. B.
( )
4; 6;2u =−
. C.
( )
1; 3;2u =−
. D.
( )
2;3;1u =
.
Câu 3. Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
: 2 3 0xz
.
Một véc tơ chỉ phương của là
A.
( )
1;0;2a
. B.
( )
2; 1;0b −
. C.
( )
1;2;3v
. D.
( )
2;0; 1u −
.
Câu 4. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
d
vuông góc với mặt phẳng
( )
:2 3 5 0P x z− + =
.
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng
d
là
A.
( )
2; 3;5u =−
. B.
( )
2;0; 3u =−
. C.
( )
2; 3;0u =−
. D.
( )
2;0;3u =
.
Câu 5. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
1
: 2 2
1
xt
d y t
zt
=−
= − +
=+
. Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ
phương của
d
?
A.
( )
1; 2;1u =−
. B.
( )
1;2;1u =
. C.
( )
1; 2;1u = − −
. D.
( )
1;2;1u =−
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 27
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
( )
12
: 2 1
3
=+
= + −
=−
xt
d y m t
zt
. Tìm tất cả các
giá trị của tham số
m
để
d
có thể viết được dưới dạng chính tắc?
A.
mR
.
B.
1−m
. C.
1m
. D.
1m =
.
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1; 2;0A −
;
( )
3;2; 8B −
. Tìm một vectơ
chỉ phương của đường thẳng
AB
.
A.
( )
1;2; 4u =−
. B.
( )
2;4;8u =
. C.
( )
1;2; 4u = − −
. D.
( )
1; 2; 4u = − −
.
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;2;2A
,
( )
3; 2;0B −
. Một vectơ chỉ
phương của đường thẳng
AB
là
A.
( )
1;2; 1u =−
. B.
( )
2; 4;2u =−
. C.
( )
2;4; 2u =−
. D.
( )
1;2;1u =−
.
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
2 3 5OA i j k= + −
;
24OB j k= − −
. Tìm một vectơ
chỉ phương của đường thẳng
AB
.
A.
( )
2;5; 1u =−
. B.
( )
2;3; 5u =−
. C.
( )
2; 5; 1u = − − −
. D.
( )
2;5; 9u =−
.
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho đường thẳng
1 2 1
:
2 1 2
x y z
d
− − +
==
nhận vectơ
( )
;2;u a b=
là vectơ chỉ phương. Tính
.ab+
A.
8−
. B.
8
. C.
4
. D.
4−
.
►DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
. Xác định một điểm cố định
( )
0 0 0
;;M x y z
thuộc
.
. Xác định một vectơ chỉ phương
( )
1 2 3
;;a a a a
của
.
. Viết PT đường thẳng:
Phương trình tham số của
có dạng:
01
02
03
:,
=+
= +
=+
x x a t
y y a t t
z z a t
.
Phương trình chính tắc của
có dạng:
0 0 0
1 2 3
− − −
==
x x y y z z
a a a
, (
1 2 3
. . 0a a a
)
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
22
:3
35
=+
=−
= − +
xt
d y t
zt
. Phương trình chính
tắc của
d
là
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 28
A.
2 3 3
2 3 5
− + +
==
−
x y z
. B.
23
2 3 5
+−
==
−
x y z
.
C.
2 3 5
==
−
x y z
. D.
23
2 3 5
−+
==
−
x y z
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
2
22
:3
3
35
3
5
x
t
xt
y
d y t t
zt
z
t
−
=
=+

= − =

−

= − +
+
=
.
Do đó phương trình chính tắc của
d
là:
23
2 3 5
x y z−+
==
−
.
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, trục
Ox
có phương trình tham số là
A.
1
0
x
y
zt
=
=
=
. B.
0
0
xt
y
z
=
=
=
. C.
0x
yt
zt
=
=
=
. D.
1
1
xt
y
z
=
=
=
.
Lời giải
Chọn B
Trục
Ox
đi qua
( )
0;0;0O
và nhận
( )
1;0;0i =
làm vectơ chỉ phương nên có phương trình
tham số là
0
0
xt
y
z
=
=
=
.
Ví dụ 3. Trong không gian
Oxyz
, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm
( )
2; 1;3M −
và
có vectơ chỉ phương
( )
1;2; 4−u
là
A.
1 2 4
2 1 3
+ + −
==
−
x y z
. B.
124
2 1 3
− − +
==
−
x y z
.
C.
2 1 3
1 2 4
+ − +
==
−
x y z
. D.
2 1 3
1 2 4
− + −
==
−
x y z
.
Lời giải
Chọn D
Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm
( )
0 0 0
;;M x y z
và có vectơ chỉ phương
( )
;;u a b c
với
. . 0abc
là
0 0 0
− − −
==
x x y y z z
a b c
nên phương trình đường thẳng cần tìm là
2 1 3
1 2 4
− + −
==
−
x y z
.
Ví dụ 4. Cho điểm
( )
1;2;3A
và hai mặt phẳng
( )
:2 2 1 0+ + + =P x y z
,
( )
:2 2 1 0− + − =Q x y z
. Phương
trình đường thẳng
d
đi qua
A
song song với cả
( )
P
và
( )
Q
là
A.
1 2 3
1 1 4
− − −
==
−
x y z
. B.
1 2 3
1 2 6
− − −
==
−
x y z
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 29
C.
1 2 3
1 6 2
− − −
==
x y z
. D.
1 2 3
5 2 6
− − −
==
−−
x y z
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
:2 2 1 0+ + + =P x y z
có một véctơ pháp tuyến là
( )
( )
2;2;1
P
n =
.
( )
:2 2 1 0− + − =Q x y z
có một véctơ pháp tuyến là
( )
( )
2; 1;2
Q
n =−
.
Đường thẳng
d
có một véctơ chỉ phương là
d
u
.
Do đường thẳng
d
song song với
( )
P
và
( )
Q
nên
( )
( )
( ) ( )
( )
, 5; 2; 6
d
P
d
PQ
d
Q
un
u n n
un
⊥

= = − −

⊥
.
Mặt khác đường thẳng
d
đi qua
( )
1;2;3A
và có véctơ chỉ phương
( )
5; 2; 6
d
u = − −
nên phương
trình chính tắc của
d
là
1 2 3
5 2 6
− − −
==
−−
x y z
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 11. Cho đường thẳng
đi qua điểm
(2;0; 1)M −
và có vectơ chỉ phương
(2; 3;1)a =−
. Phương
trình tham số của đường thẳng
là
A.
22
3
1
xt
yt
zt
=+
=−
= − +
. B.
24
6
12
xt
yt
zt
= − +
=−
=+
. C.
22
3
1
xt
yt
zt
= − +
=−
=+
. D.
42
3
2
xt
yt
zt
=+
=−
=+
.
Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, phương trình tham số của đường thẳng
d
đi qua
gốc tọa độ
O
và có vectơ chỉ phương
( )
1;3;2u =
là
A.
( )
0
:3
2
x
d y t t
zt
=
=
=
. B.
( )
1
:3
2
x
d y t
z
=
=
=
.
C.
( )
:3
2
xt
d y t t
zt
=
=
=
. D.
( )
:2
3
xt
d y t t
zt
=−
= −
=−
.
Câu 13. Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng
Oz
có phương trình là
A.
0x
yt
zt
=
=
=
. B.
0
0
1
x
y
zt
=
=
=+
. C.
0
0
xt
y
z
=
=
=
. D.
0
0
x
yt
z
=
=
=
.
Câu 14. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
đi qua điểm
( )
2;0; 1M −
và có một vectơ chỉ
phương
( )
4; 6;2a =−
. Phương trình tham số của
là
A.
24
6
12
xt
yt
zt
= − +
=
=+
. B.
22
3
1
xt
yt
zt
=+
=−
= − +
. C.
42
6
2
xt
y
zt
=+
=−
=+
. D.
22
3
1
xt
yt
zt
= − +
=
=+
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 30
Câu 15. Trong không gian tọa độ
Oxyz
, đường thẳng đi qua điểm
( )
1; 1; 1I −−
và nhận
( )
2;3; 5= − −u
là vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là
A.
1 1 1
2 3 5
x y z− − +
==
. B.
1 1 1
2 3 5
x y z− − −
==
.
C.
1 1 1
2 3 5
x y z− + +
==
−−
. D.
1 1 1
2 3 5
x y z− − +
==
−
.
Câu 16. Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
1;0;2E −
và có vectơ chỉ phương
( )
3;1; 7a =−
. Phương trình của đường thẳng
d
là
A.
12
3 1 7
x y z−+
==
−
. B.
12
3 1 7
x y z+−
==
−
. C.
12
1 1 3
x y z−−
==
−
. D.
12
1 1 3
x y z+−
==
.
Câu 17. Trong không gian tọa độ
Oxyz
, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường
thẳng đi qua hai điểm
( )
1; 2;5A −
và
( )
3;1;1B
?
A.
3 1 1
1 2 5
x y z− − −
==
−
. B.
1 2 5
1 2 5
x y z− + −
==
−
.
C.
1 2 5
2 3 4
x y z− + −
==
−
. D.
1 2 5
2 3 4
x y z+ − +
==
−
.
Câu 18. Trong không gian
Oxyz
, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
( )
3;1;2A −
,
( )
1; 1;0B −
là
A.
11
2 1 1
x y z−+
==
−−
. B.
3 1 2
2 1 1
x y z+ − −
==
−
.
C.
3 1 2
2 1 1
x y z+ − −
==
−
. D.
11
2 1 1
x y z−+
==
−−
.
Câu 19. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
(1; 2;3)A
và mặt phẳng
( ):3 4 7 2 0P x y z− + + =
. Đường
thẳng đi qua
A
và vuông góc với mặt phẳng
()P
có phương trình là
A.
3
4 2 ( )
73
=+
= − +
=+
xt
y t t
zt
. B.
13
2 4 ( )
37
=+
= −
=+
xt
y t t
zt
.
C.
13
2 4 ( )
37
=−
= −
=+
xt
y t t
zt
. D.
14
2 3 ( )
37
=−
= +
=+
xt
y t t
zt
.
Câu 20. Trong không gian
Oxyz
, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
( )
1; 2;3M −
và vuông
góc với mặt phẳng
( )
: 2 3 0P x y z+ − + =
.
A.
2
1
12
xt
yt
zt
=+
= − +
=−
. B.
1
2
32
xt
yt
zt
=+
=+
=−
. C.
1
12
23
xt
yt
zt
=+
=−
= − +
. D.
1
12
23
xt
yt
zt
=−
=+
= − −
.
Câu 21. Trong không gian
Oxyz
, phương trình đường thẳng đi qua điểm
( )
1;2; 3M −
và vuông góc với
mặt phẳng
( )
: 2 1 0P x y z− + − =
là
A.
1 2 3
1 1 2
x y z− − +
==
−−
. B.
1 2 3
1 1 2
x y z− + −
==
−
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 31
C.
1 2 3
1 1 2
x y z− − +
==
. D.
1 2 3
1 1 2
x y z− − +
==
−
.
Câu 22. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
d
có phương trình tham số
22
3;
35
xt
y t t
zt
=+
= −
= − +
. Khi
đó phương trình chính tắc của
d
là
A.
23
2 3 5
−+
==
−
x y z
. B.
23
2 3 5
−−
==
−
x y z
.
C.
23− = = −x y z
. D.
23+ = = −x y z
.
Câu 23. Trong hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
122
:
1 2 3
x y z
d
− − +
==
−
. Phương trình nào sau đây là
phương trình tham số của
d
?
A.
1
2
23
x
yt
zt
=
=−
= − +
. B.
1
22
13
xt
yt
zt
=+
=+
=+
. C.
1
22
23
xt
yt
zt
=+
=−
= − +
. D.
1
2
1
x
yt
zt
=
=+
=−
.
Câu 24. Trong không gian
,Oxyz
cho tam giác
ABC
với
( )
1;4; 1 ,A −
( )
2;4;3 ,B
( )
2;2; 1 .C −
Phương
trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
A
và song song với
BC
là
A.
1
4
12
=
=+
= − +
x
yt
zt
. B.
1
4
12
=
=+
=+
x
yt
zt
. C.
1
4
12
=
=+
= − −
x
yt
zt
. D.
1
4
12
=
=−
= − +
x
yt
zt
.
Câu 25. Cho điểm
( )
1;2;3A
và hai mặt phẳng
( )
:2 2 1 0+ + + =P x y z
,
( )
:2 2 1 0− + − =Q x y z
. Phương
trình đường thẳng
d
đi qua
A
song song với cả
( )
P
và
( )
Q
là
A.
1 2 3
1 1 4
− − −
==
−
x y z
. B.
1 2 3
1 2 6
− − −
==
−
x y z
.
C.
1 2 3
1 6 2
− − −
==
x y z
. D.
1 2 3
5 2 6
− − −
==
−−
x y z
.
Câu 34. Trong không gian tọa độ
Oxyz
, gọi
d
là giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
: 3 0x y z
− + =
và
( )
: 4 0x y z
+ − + =
. Phương trình tham số của đường thẳng
d
là
A.
2
22
xt
yt
zt
=−
=
−−
. B.
2
22
xt
yt
zt
=+
=
=+
. C.
2
22
xt
yt
zt
= − +
=
=+
. D.
2
22
xt
yt
zt
=+
=
= − +
.
Câu 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
cho mặt phẳng
( )
: 1 0P x y z+ − − =
và đường
thẳng
4 2 1
:
2 2 1
x y z
d
− + +
==
−
. Viết phương trình đường thẳng
d
là hình chiếu vuông góc của
d
trên mặt phẳng
( )
P
.
A.
21
5 7 2
x y z++
==
. B.
21
5 7 2
x y z−−
==
−
.
C.
21
5 7 2
x y z++
==
−
. D.
21
5 7 2
x y z−−
==
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 32
►DẠNG 3: TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG V GIAO ĐIỂM CỦA ĐT V MẶT PHẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
Phương trình tham số của
0
0
0
:
x x at
d y y bt
z z ct
=+
=+
=+
.
Điểm
( )
0 1 0 2 0 3
;;M d M x a t y a t z a t + + +
.
( )
MP
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x at B y bt C z ct D+ + + + + + =
từ đó suy ra
t
rồi suy ra tọa độ giao điểm
M
.
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
3 2 1
:
2 1 4
x y z
d
− + +
==
−
Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng
d
.
A.
( )
1; 1; 5M −−
. B.
( )
1; 1;3M −
. C.
( )
3; 2; 1M −−
. D.
( )
5; 3;3M −
.
Lời giải
Chọn B
Thử đáp án A ta được:
1 3 1 2 5 1
1
2 1 4
− − + − +
= = = −
−
. Suy ra
M
thuộc đường thẳng
d
.
Thử đáp án B ta được:
1 3 1 2 3 1
2 1 4
− − + +
=
−
. Suy ra
M
không thuộc đường thẳng
d
.
Thử đáp án C ta được:
3 3 2 2 1 1
0
2 1 4
− − + − +
= = =
−
. Suy ra
M
thuộc đường thẳng
d
.
Thử đáp án D ta được:
5 3 3 2 3 1
1
2 1 4
− − + +
= = =
−
. Suy ra
M
thuộc đường thẳng
d
.
Ví dụ 2. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
21
:
1 2 2
x y z
d
−−
==
−
và mặt phẳng
( )
: 2 5 0P x y z+ − − =
. Tọa độ giao điểm của
d
và
( )
P
là
A.
( )
2;1; 1−
. B.
( )
3; 1; 2−−
. C.
( )
1;3; 2−
. D.
( )
1;3;2
.
Lời giải
Chọn D
Xét hệ:
2
12
2
2 5 0
xt
yt
zt
x y z
=−
=+
=
+ − − =
( )
2 2 1 2 2 5 0t t t − + + − − =
1t=
( )
1;3;2A
là tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Ví dụ 3. Trong không gian
Oxyz
, giao điểm của đường thẳng
31
:
1 1 2
x y z
d
−+
==
−
và mặt phẳng
( ) : 2 7 0P x y z− − − =
có tọa độ là
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 33
A.
(3; 1;0)−
. B.
(0;2; 4)−
. C.
(6; 4;3)−
. D.
(1;4; 2)−
Lời giải
Chọn A
Phương trình tham số của d:
3
1
2
xt
yt
zt
=+
= − −
=
Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ:
3 3 3
1 1 1
2 2 0
2 7 0 2(3 ) 1 2 7 0 0
x t x t x
y t y t y
z t z t z
x y z t t t t
= + = + =
= − − = − − = −

= = =
− − − = + + + − − = =
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là:
(3; 1;0)−
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 36. Trong không gian
,Oxyz
đường thẳng
12
:
2 3 1
x y z
d
−+
==
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
( )
1;0;2−M
. B.
( )
2; 3; 1N
. C.
( )
1; 0; 2P
. D.
( )
1; 0; 2Q −
.
Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
3 2 1
:
2 1 4
x y z
d
− + +
==
−
Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng
d
.
A.
( )
1; 1; 5M −−
. B.
( )
1; 1;3M −
. C.
( )
3; 2; 1M −−
. D.
( )
5; 3;3M −
.
Câu 38. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
3; 2;1A −
. Đường thẳng nào sau đây đi qua
A
?
A.
3 2 1
1 1 1
x y z− + −
==
. B.
3 2 1
1 1 1
x y z+ + −
==
.
C.
3 2 1
4 2 1
x y z− − −
==
−−
. D.
3 2 1
4 2 1
x y z− + +
==
−−
.
Câu 39. Trong không gian với hệ trục độ
Oxyz
, cho phương trình đường thẳng
:
12
13
2
xt
yt
zt
=+
= − +
=−
.
Trong các điểm dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng
?
A.
(1;4; 5)−
. B.
( 1; 4;3)−−
. C.
( )
2;1;1
. D.
( )
5; 2; 8− − −
.
Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
đường thẳng
2
:1
23
xt
y
zt
=−
=
= − +
không đi qua điểm nào sau
đây?
A.
( )
2;1; 2−M
. B.
( )
4;1; 4−P
. C.
( )
3;1; 5−Q
. D.
( )
0;1;4N
.
Câu 41. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
:
21
3 1 2
x y z−+
==
−
. Tọa độ điểm
M
là giao điểm
của
với mặt phẳng
( )
P
:
2 3 2 0x y z+ − + =
:
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 34
A.
( )
5; 1; 3M −−
. B.
( )
1;0;1M
. C.
( )
2;0; 1M −
. D.
( )
1;1;1M −
.
Câu 42. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
42
:3
1
xt
d y t
zt
=−
= − +
=−
( )
t
, giao điểm của
d
với mặt
phẳng
( )
Oxy
có tọa độ là
A.
( )
4; 3;0−
. B.
( )
2; 2;0−
. C.
( )
0; 1; 1−−
. D.
( )
2;0; 2−−
.
Câu 43. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho
( )
1; 2;3A −
,
( )
2;0; 1B −
và mặt phẳng
( )
: 1 0P x y z+ + − =
. Tọa độ giao điểm
C
của đường thẳng
AB
và mặt phẳng
( )
P
là
A.
( )
2;0; 1C −
. B.
( )
1;1; 1C −
. C.
( )
0;2; 1C −
. D.
( )
2; 1;0C −
.
Câu 44. Trong không gian tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( ):2 2 7 0P x y z− − + =
và điểm
(1;1; 2)A −
.
Điểm
( ; ; 1)H a b −
là hình chiếu vuông góc của
()A
trên
()P
. Tổng
ab+
bằng
A.
2
. B.
3
. C.
1−
. D.
3−
.
Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, gọi
( )
là mặt phẳng chứa đường thẳng
23
( ):
1 1 2
x y z
d
−−
==
và vuông góc với mặt phẳng
( )
: 2z 1 0xy
+ − + =
. Hỏi giao tuyến của
( )
và
( )
đi qua điểm nào?
A.
( )
0;1;3
. B.
( )
2;3;3
. C.
( )
5;6;8
. D.
( )
1; 2;0−
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 35
BI 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI TỔNG HỢP
►DẠNG 1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA 2 MẶT PHẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
Cho 2 mặt phẳng
( )
1 1 1 1
:0+ + + =P A x B y C z D
và
( )
2 2 2 2
:0+ + + =Q A x B y C z D
( )
P
có VTPT
( )
1 1 1 1
;;=n A B C
và
( )
Q
có VTPT
( )
2 2 2 2
;;=n A B C
.
• Nếu
1 1 1 1
2 2 2 2
= =
A B C D
A B C D
thì
( ) ( )
//PQ
.
• Nếu
1 1 1 1
2 2 2 2
= = =
A B C D
A B C D
thì
( ) ( )
PQ
.
• Nếu
1
n
và.
2
n
không cùng phương thì
( )
P
,
( )
Q
.
• Nếu
12
⊥nn
thì
( ) ( )
PQ⊥
.
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho mặt phẳng
( )
: 2 1 0− + − =P x y z
và mặt phẳng
( )
:3 3 2 6 0− + + =Q x y z
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( )
Q
cắt và không vuông góc với
( )
P
. B.
( ) ( )
⊥QP
.
C.
( )
Q
song song với
( )
P
. D.
( ) ( )
QP
.
Lời giải
Chọn A
( )
1; 2;1=−
P
n
,
( )
3; 3;2=−
Q
n
Ta có:
12
33
−
−
( )
P
và
( )
Q
cắt nhau
Xét:
( )
. 1.3 2. 3 1.2 11 0= − − + =
PQ
nn
( )
P
và
( )
Q
cắt và không vuông góc nhau.
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho mặt phẳng
( )
:2 4 6 5 0+ − + =P x y z
và mặt phẳng
( )
: 2 1 0+ + + =Q x y mz
. Tìm
m
để hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
song song
A.
3=m
. B.
3=−m
. C.
2=m
. D.
2=−m
.
Lời giải
Chọn B
( )
P
có vtpt
( )
2;4; 6=−
P
n
( )
Q
có vtpt
( )
1;2;=
Q
nm
Để 2 mặt phẳng song song thì
P
n
,
Q
n
cùng phương.
2 4 6
3
12
−
= = = −m
m
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 36
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho mặt phẳng
( )
:5 2 1 0− + − =P x y z
và mặt phẳng
( )
: 3 11 0− + + =Q x y mz
. Tìm
m
để hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
vuông góc nhau.
A.
11=−m
.
B.
1=m
.
C.
11=m
. D.
1=−m
.
Lời giải
Chọn A
( )
P
có vtpt
( )
5; 2;1=−
P
n
( )
Q
có vtpt
( )
1; 3;=−
Q
nm
Để 2 mp vuông góc nhau thì
.0⊥ =
P Q P Q
n n n n
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho mặt phẳng
( )
:4 2 1 0+ + − =P x y z
và mặt phẳng
( )
: 3 2 1 0− + + =Q x y z
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( ) ( )
QP
. B.
( )
Q
cắt và không vuông góc với
( )
P
.
C.
( )
Q
song song với
( )
P
. D.
( ) ( )
⊥QP
.
Câu 2. Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
( )
:2 3 4 0− + − =P x y z
;
( )
:5 3 2 7 0− − − =Q x y z
Vị trí tương đối của
( ) ( )
&PQ
là
A. Song song. B. Cắt nhưng không vuông góc.
C. Vuông góc. D. Trùng nhau.
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho mặt phẳng
( )
:2 2 0+ − =P x y z
và mặt phẳng
( )
: 1 0+ + + =Q x y mz
. Tìm
m
để hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
cắt nhau
A.
1
2
−m
. B.
1
2
m
. C.
1−m
. D.
1
2
=−m
.
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho mặt phẳng
( )
:2 4 6 5 0+ − + =P x y z
và mặt phẳng
( )
: 2 1 0+ + + =Q x y mz
. Tìm
m
để hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
song song
A.
3=m
. B.
3=−m
. C.
2=m
. D.
2=−m
.
Câu 5. Trong hệ trục tọa độ
Oxyz
, điều kiện của
m
để hai mặt phẳng
( )
:2 2 0+ − =P x y z
và
( )
: 1 0+ + + =Q x y mz
cắt nhau là
A.
1
2
−m
. B.
1
2
m
. C.
1−m
. D.
1
2
=−m
.
Câu 6. Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
( )
: 2 1 0
+ − − =x y z
và
( )
:2 4 2 0
+ − − =x y mz
. Tìm
m
để
( ) ( )
//

.
A.
1=m
. B.
2=m
. C.
2=−m
. D. Không tồn tại
m
.
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
( )
:2 2 0+ + − =P x y mz
và
( )
: 2 8 0+ + + =Q x ny z
song song với nhau. Giá trị của
m
và
lần lượt là
A.
và
1
4
. B.
và
1
2
. C.
và
1
2
. D.
và
1
4
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 37
Câu 8. Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
( )
:2 3 5 0+ + − =P x my z
và
( )
: 8 6 2 0− − + =Q nx y z
. Tìm giá trị của các tham số
m
,
để
( )
P
và
( )
Q
song song.
A.
4=−m
,
3=n
. B.
4=m
,
3=n
. C.
4=−m
,
4=n
. D.
4=m
,
4=−n
.
Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho điểm
( )
3; 1; 2−−M
và mặt phẳng
( )
:3 2 4 0
− + + =x y z
. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua
M
và
song song với
( )
?
A.
3 2 6 0− + − =x y z
. B.
3 2 6 0− + + =x y z
.
C.
3 2 6 0− − + =x y z
. D.
3 2 14 0+ + − =x y z
.
Câu 10. Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng đi qua điểm
( )
2; 1;2−A
và song song với mặt phẳng
( )
:2 3 2 0− + + =P x y z
có phương trình là
A.
2 3 9 0+ + − =x y z
. B.
2 3 11 0− + + =x y z
.
C.
2 3 11 0− − + =x y z
. D.
2 3 11 0− + − =x y z
.
►DẠNG 2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG V ĐƯỜNG THẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
. Cho đường thẳng
d
qua điểm
( )
0 0 0
;;M x y z
có vectơ chỉ phương
( )
;;=
d
u a b c
và mặt phẳng
( )
:0+ + + =P Ax By Cz D
có vectơ pháp tuyến
( )
;;=
P
n A B C
.
•
( )
//dP
nếu
d
u
⊥
P
n
và không có điểm chung.
•
( )
dP
nếu
d
u
⊥
P
n
và có điểm chung.
•
( )
⊥dP
nếu
.=
dP
u k n
.
Sơ đồ tư duy:
Xét
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
. 0 1
//
.
* ñuùng
. 0 2 *
* sai caét
dP
dP
dP
M d M P d P
un
M d M P d P
un
dP
a b c
un
A B C
dP
=
⊥
= =
. Cho đường thẳng
01
02
03
:
=+
=+
=+
x x a t
d y x a t
z z a t
và mặt phẳng
( )
:0+ + + =P Ax By Cz D
.
Xét phương trình
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1 0 2 0 3
: 0 1+ + =+ + ++P x a t y a t a tA B C Dz
• Nếu pt (1) vô nghiệm thì
( )
//dP
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 38
• Nếu pt (1) có vô số nghiệm thì
( )
dP
• Nếu pt (1) có nghiệm
0
tt=
thì
( )
caétdP
tại điểm
( )
0 1 0 0 2 0 0 3 0
;;+ + +M x a t y a t z a t
.
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
15
:
1 3 1
+−
==
−−
x y z
d
và mặt phẳng
( )
:3 3 2 6 0− + + =P x y z
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
d
cắt và không vuông góc với
( )
P
. B.
d
vuông góc với
( )
P
.
C.
d
song song với
( )
P
. D.
d
nằm trong
( )
P
.
Lời giải
Chọn A
Đường thẳng
d
đi qua
( )
1;0;5−M
có vtcp
( )
1; 3; 1= − −u
và mặt phẳng
( )
P
có vtpt
( )
3; 3;2=−n
.
Vì
( ) ( ) ( )
. 1.3 3 . 3 1 .2 10 0un= + − − + − =
, suy ra
d
cắt hoặc vuông góc vói
( )
P
Vì
13
33
−

−
,nu
không cùng phương
, nu
không vuông góc.
Vậy
d
cắt và không vuông góc với
( )
P
.
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
có phương trình:
10 2 2
5 1 1
− − +
==
x y z
. Xét mặt phẳng
( )
:10 2 11 0+ + + =P x y mz
,
m
là tham số thực. Tìm tất
cả các giá trị của
m
để mặt phẳng
( )
P
vuông góc với đường thẳng
.
A.
2=−m
. B.
2=m
. C.
52=−m
. D.
52=m
.
Lời giải
Chọn B
Đường thẳng
10 2 2
:
5 1 1
− − +
= =
x y z
có vectơ chỉ phương
( )
5;1;1=u
.
Mặt phẳng
( )
:10 2 11 0P x y mz+ + + =
có vectơ pháp tuyến
( )
10;2;=nm
Để mặt phẳng
( )
P
vuông góc với đường thẳng
thì
phải cùng phương với
5 1 1
10 2
= =
m
2=m
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
:
2 3 6 0+ + − =x y z
và đường thẳng
:
1 1 3
1 1 1
+ + −
==
−−
x y z
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
( )
//
. B.
( )
⊥
.
C.
cắt và không vuông góc với
( )
. D.
( )

.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 39
Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
15
:
1 3 1
+−
==
−−
x y z
d
và mặt
phẳng
( )
:3 3 2 6 0− + + =P x y z
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
d
vuông góc với
( )
P
. B.
d
nằm trong
( )
P
.
C.
d
cắt và không vuông góc với
( )
P
. D.
d
song song với
( )
P
.
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để đường thẳng
21
:
2 1 1
−−
==
−
x y z
d
song song với mặt phẳng
( ) ( )
2
:2 1 2 1 0.+ − + + =P x m y m z
A.
1;3−m
. B.
3=m
.
C. Không có giá trị nào của
m
. D.
1=−m
.
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
d
có vectơ chỉ phương
và mặt
phẳng
( )
P
có vectơ pháp tuyến
n
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
vuông góc với
thì
d
song song với
( )
P
.
B.
không vuông góc với
thì
d
cắt
( )
P
.
C.
d
song song với
( )
P
thì
cùng phương với
n
.
D.
d
vuông góc với
( )
P
thì
vuông góc với
.
Câu 15. Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng đi qua điểm
( )
1;4; 7−A
và vuông góc với mặt phẳng
2 2 3 0+ − − =x y z
có phương trình là
A.
1 4 7
1 2 2
− − −
==
−
x y z
. B.
1 4 7
1 4 7
+ + −
==
−
x y z
.
C.
1 4 7
1 2 2
− − +
==
−−
x y z
. D.
1 4 7
1 2 2
− − +
==
−
x y z
.
Câu 16. Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng đi qua điểm
( )
2;4;9A
và vuông góc với mặt phẳng
2 3 0+ − − =x y z
có phương trình là
A.
2 4 9
1 2 1
− − −
==
−
x y z
. B.
2 4 9
1 2 1
− − −
==
x y z
.
C.
2 4 9
1 2 1
− + −
==
−
x y z
. D.
2 4 9
1 2 1
− − +
==
−
x y z
.
Câu 17. Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng đi qua điểm
( )
1;2;3A
và vuông góc với mặt phẳng
4 3 3 1 0+ − + =x y z
có phương trình là
A.
14
23
33
= − +
= − +
= − −
xt
yt
zt
. B.
14
23
3
=+
=+
=−
xt
yt
zt
. C.
14
23
33
=−
=−
=−
xt
yt
zt
. D.
14
23
33
=+
=+
=−
xt
yt
zt
.
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường
thẳng đi qua
( )
2;3;0A
và vuông góc với mặt phẳng
( )
: 3 5 0?+ − + =P x y z
A.
1
13
1
=+
=+
=−
xt
yt
zt
. B.
1
3
1
=+
=
=−
xt
yt
zt
. C.
13
13
1
=+
=+
=−
xt
yt
zt
. D.
13
13
1
=+
=+
=+
xt
yt
zt
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 40
Câu 19. Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng đi qua điểm
( )
1;2; 2−A
và vuông góc với đường thẳng
1 2 3
:
2 1 3
+ − +
= =
x y z
có phương trình là
A.
3 2 5 0+ + − =x y z
. B.
2 3 2 0+ + + =x y z
.
C.
2 3 1 0+ + + =x y z
. D.
2 3 2 0+ + − =x y z
.
Câu 20. Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( )
1;1;1−A
,
( )
2;1;0B
,
( )
1; 1;2−C
. Mặt phẳng đi qua
A
và vuông góc với đường thẳng
BC
có phương trình là
A.
2 2 1 0+ − + =x y z
. B.
2 2 1 0+ − − =x y z
. C.
3 2 1 0+ − =xz
. D.
3 2 1 0+ + =xz
.
►DẠNG 3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG V ĐƯỜNG THẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
Cho đường thẳng
1
d
qua điểm
( )
1 1 1
;;M x y z
, có vectơ chỉ phương
( )
1
111
;;=
d
u a b c
và
2
d
qua điểm
( )
2 2 2
;;
M x y z
, có vectơ chỉ phương
( )
2
222
;;=
d
u a b c
.
•
12
//dd
nếu
12
.=
dd
u k u
và có không có điểm chung.
•
12
dd
nếu
12
.=
dd
u k u
và có một điểm chung.
•
1
d
cắt
2
d
nếu
1
d
u
không song song
2
d
u
và
12
. , 0
=

dd
MM u u
.
•
1
d
chéo
2
d
nếu
1
d
u
không song song
2
d
u
và
12
. , 0

dd
MM u u
.
Sơ đồ tư duy:
Xét
( )
( ) ( )
( ) ( )
12
12
2 1 2
2 1 2
1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
12
//
* ñuùng 1
*
. . . 0 caét
. , 0
. . . 0
* sai 2
. , 0 cheùo
dd
dd
M d d d
M d d d
a b c
a a b b c c d d
a b c
MM u u
a a b b c c d d
MM u u d d
→
→
→
= = →
+ +
=→

+ + = ⊥
→
→

A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, vị trí tương đối của đường thẳng
1
1 1 1
:
2 1 3
+ − +
==
−
x y z
d
và đường thẳng
2
3 2 2
:
2 2 1
+ + +
==
−
x y z
d
là
A. Cắt nhau. B. Song song. C. Chéo nhau. D. Trùng nhau.
Lời giải
Chọn A
1
d
qua
( )
1
1;1; 1−−M
, có vectơ chỉ phương
( )
1
2;1; 3=−
d
u
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 41
2
d
qua
( )
2
3; 2; 2M − − −
, có vectơ chỉ phương
( )
2
2;2; 1=−
d
u
.
1
d
u
không cùng phương
2
d
u
.
( )
12
2; 3; 1= − − −MM
,
( )
12
, 5; 4;2
=−

dd
uu
Ta có:
( )( ) ( )
12
12
. , 2.5 3 4 1 .2 0
= − + − − + − =

dd
M M u u
.
1
d
cắt
2
d
.
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, vị trí tương đối của
1
2
:
4
=
=
=
xt
d y t
z
và
2
3
:
0
=−
=
=
xt
d y t
z
là
A. Trùng nhau. B. Cắt nhau. C. Song song. D. Chéo nhau.
Lời giải
Chọn D
1
d
qua
( )
1
0;0;4M
, có vectơ chỉ phương
( )
1
2;1;0=
d
u
.
2
d
qua
( )
2
3;0;0M
, có vectơ chỉ phương
( )
2
1;1;0=−
d
u
.
1
d
u
không cùng phương
2
d
u
.
( )
12
3;0; 4=−MM
,
( )
12
, 0;0;3
=

dd
uu
Ta có:
( )
12
12
. , 4 .3 0
= −

dd
M M u u
.
1
d
chéo
2
d
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1
13
:
12
= − +
=−
=−
xt
d y t
zt
và
2
1 2 3
:
3 1 2
− − −
==
−
x y z
d
. Vị trí tương đối của
1
d
và
2
d
là
A. Chéo nhau. B. Cắt nhau. C. Trùng nhau. D. Song song.
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1
11
:
2 3 1
−+
==
−
x y z
d
và
2
1 2 7
:
1 2 3
− − −
==
−−
x y z
d
. Vị trí tương đối của
1
d
và
2
d
là
A. Cắt nhau. B. Trùng nhau. C. Chéo nhau. D. Song song.
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1
: 2 3
64
=
= − +
=−
xt
d y t
zt
và
2
4 2 5
:
6 2 3
+ − +
==
x y z
d
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1
d
song song
2
d
. B.
1
d
và
2
d
chéo nhau.
C.
1
d
cắt và vuông góc với
2
d
. D.
1
d
vuông góc
2
d
và không cắt nhau.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 42
Câu 24. Cho hai đường thẳng
12
3 1 4 3
: ; :
1 2 3 1 1 2
− + − −
= = = =
−
x y z x y z
dd
. Vị trí tương đối của
1
d
và
2
d
là
A. Chéo nhau. B. Trùng nhau. C. Cắt nhau. D. Song song.
Câu 25. Cho hai đường thẳng
1
2
: 1 4
26
=
=+
=+
xt
d y t
zt
và
2
13
:
1 2 3
−−
==
x y z
d
. Khẳng định nào sau là đúng?
A.
12
//dd
. B.
12
dd
. C.
1
d
,
2
d
chéo nhau. D.
1
d
cắt
2
d
.
Câu 26. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1
1 7 3
:
2 1 4
− − −
==
x y z
d
và
2
3 5 5
:
3 2 1
+ − +
==
−
x y z
d
. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là
A. Song song. B. Chéo nhau. C. Trùng nhau. D. Cắt nhau.
Câu 27. Trong không gian
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1
1
:
12
=+
=
= − +
x at
d y t
zt
;
2
1
: 2 2
3
=−
=+
=−
xt
d y t
zt
;
( ; )
tt
.
Tìm
để hai đường thẳng
1
d
và
2
d
cắt nhau.
A.
0=a
. B.
1=a
. C.
1=−a
. D.
2=a
.
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
12
:2
3
=+
= −
=−
xt
yt
z
và đường thẳng
32
:1
3
=+

= −
=−
xt
yt
z
. Vị trí tương đối của
và
là
A.
//

. B.
. C.
cắt
. D.
và
chéo nhau.
Câu 29. Cho đường thẳng
1 1 3
:
2 1 2
− + −
==
−
x y z
d
. Đường thẳng nào sau đây song song với
d
?
A.
11
:
2 1 2
+−
= =
−−
x y z
. B.
21
:
2 1 2
−−
= =
−−
x y z
.
C.
21
:
2 1 2
−−
= =
−
x y z
. D.
3 2 5
:
2 1 2
− + −
= =
−−
x y z
.
Câu 30. Trong không gian
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1
:2
3
=+
=+
=−
xt
d y t
zt
và
12
: 1 2
22
=+

= − +
=−
xt
d y t
zt
. Mệnh đề nào
sau đây đúng?
A. Hai đường thẳng
d
và
d
chéo nhau. B. Hai đường thẳng
d
và
d
song song.
C. Hai đường thẳng
d
và
d
cắt nhau. D. Hai đường thẳng
d
và
d
trùng nhau.
►DẠNG 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT CẦU V MẶT PHẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 43
Cho mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
: – – –+ + =S x a y b z c R
tâm
( )
;;I a b c
bán kính R và mặt phẳng
( )
:0+ + + =P Ax By Cz D
.
• Nếu
( )
( )
, d I P R
thì mp
( )
P
và mặt cầu
( )
S
không có điểm chung.
• Nếu
( )
( )
, =d I P R
thì mặt phẳng
( )
P
và mặt cầu
( )
S
tiếp xúc nhau.
Khi đó
( )
P
gọi là tiếp diện của mặt cầu
( )
S
và điểm chung gọi là tiếp điểm
• Nếu
( )
( )
, d I P R
thì mặt phẳng
( )
P
và mặt cầu
( )
S
cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn có
phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
0
− + − + − =
+ + + =
x a y b z c R
Ax By Cz D
Trong đó bán kính đường tròn
( )
( )
2
2
,=−r R d I P
và tâm H của đường tròn là hình chiếu của
tâm I mặt cầu
( )
S
lên mặt phẳng
( )
P
.
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho mặt phẳng
( )
: 2 1 0− + − =P x y z
và mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 2 1 4− + − + + =S x y z
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( )
P
không cắt
( )
S
. B.
( )
P
tiếp xúc
( )
S
.
C.
( )
P
cắt
( )
S
. D.
( )
P
đi qua tâm của
( )
S
.
Lời giải
Chọn A
( )
S
có tâm
( )
1;2; 1−I
và bán kính
2=R
.
Khoảng cách từ tâm
đến
( )
P
:
( )
( )
( )
2 2 2
1 2.2 1 1
56
,2
6
1 2 1
− + − −
= = =
++
d I P R
Vậy
( )
P
không cắt
( )
S
.
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho mặt phẳng
( )
: 3 4 0+ + + =P x y z m
và mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 2 3 26− + − + − =S x y z
. Xác định
m
để
( )
P
tiếp xúc với
( )
S
?
A.
7; 45= = −mm
. B.
7, 45==mm
. C.
7, 45= − =mm
. D.
7, 45= − = −mm
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 44
Lời giải
Chọn A
( )
S
có tâm
( )
1;2;3I
và bán kính
26=R
.
( )
P
tiếp xúc với
( )
S
( )
( )
2 2 2
1 3.2 4.3
, 26
1 3 4
+++
= =
++
m
d I P
2 2 2
19 26. 1 3 4 26 + = + + =m
19 26 7
19 26 45
+ = =



+ = − = −

mm
mm
.
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
1;0; 2−I
và mặt phẳng
( )
P
có phương
trình:
2 2 4 0+ − + =x y z
. Phương trình mặt cầu
( )
S
có tâm
và tiếp xúc với
( )
P
là
A.
( ) ( )
22
2
1 2 9− + + + =x y z
. B.
( ) ( )
22
2
1 2 3− + + + =x y z
.
C.
( ) ( )
22
2
1 2 3+ + + − =x y z
. D.
( ) ( )
22
2
1 2 9+ + + − =x y z
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
( )
,
=R d I
1 4 4
3
3
++
==
.
Phương trình mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
1;0; 2−I
, bán kính
3=R
có dạng
( )
S
:
( ) ( )
22
2
1 2 9− + + + =x y z
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 2 3 0+ + − + − − =S x y z x y z
. Hỏi
trong các mặt phẳng sau, đâu là mặt phẳng không có điểm chung với mặt cầu
( )
S
?
A.
( )
4
:2 2 10 0
+ − + =x y z
. B.
( )
1
: 2 2 1 0
− + − =x y z
.
C.
( )
2
:2 2 4 0
− + + =x y z
. D.
( )
3
: 2 2 3 0
− + − =x y z
.
Câu 32. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( )
2
22
: 2 1+ + − =S x y z
và mặt phẳng
( )
:3 4 12 0
+ + =xz
.
Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
A. Mặt phẳng
( )
đi qua tâm mặt cầu
( )
S
.
B. Mặt phẳng
( )
tiếp xúc mặt cầu
( )
S
.
C. Mặt phẳng
( )
cắt mặt cầu
( )
S
theo một đường tròn.
D. Mặt phẳng
( )
không cắt mặt Cầu
( )
S
.
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho mặt cầu
( )
S
và mặt phẳng
( )
P
lần lượt có phương
trình
2 2 2
2 2 2 6 0, 2 2 2 0+ + − + − − = + + + =x y z x y z x y z m
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
để
( )
P
tiếp xúc với
( )
S
?
A.
. B.
. C.
1
. D.
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 45
Câu 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ
,Oxyz
mặt phẳng
( )
: 2 3 0+ − + =P x y z
cắt mặt cầu
( )
2 2 2
:5+ + =S x y z
theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là
A.
11
4
. B.
9
4
. C.
15
4
. D.
7
4
.
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( ) ( )
22
2
: 3 1 10+ + + − =S x y z
. Mặt
phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây cắt mặt cầu
( )
S
theo giao tuyến là đường tròn có bán
kính bằng
3
?
A.
( )
1
: 2 2 8 0+ − + =P x y z
. B.
( )
1
: 2 2 8 0+ − − =P x y z
.
C.
( )
1
: 2 2 2 0+ − − =P x y z
. D.
( )
1
: 2 2 4 0+ − − =P x y z
.
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
1;1;0I
và mặt phẳng
( )
: 1 0+ + + =P x y z
. Biết
( )
P
cắt mặt cầu
( )
S
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính
bằng
1
. Viết phương trình mặt cầu
( )
S
.
A.
( ) ( )
22
2
1 1 2− + − + =x y z
. B.
( ) ( )
22
2
1 1 4− + − + =x y z
.
C.
( ) ( )
22
2
1 1 1− + − + =x y z
. D.
( ) ( )
22
2
1 1 3− + − + =x y z
.
Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
1; 0; 2−I
và mặt phẳng
( )
P
có phương
trình:
2 2 4 0+ − + =x y z
. Phương trình mặt cầu
( )
S
có tâm
I
và tiếp xúc với mặt phẳng
( )
P
là
A.
( ) ( )
22
2
1 2 9− + + + =x y z
. B.
( ) ( )
22
2
1 2 3− + + + =x y z
.
C.
( ) ( )
22
2
1 2 3+ + + − =x y z
. D.
( ) ( )
22
2
1 2 9+ + + − =x y z
.
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 2 2 9− + − + − =S x y z
và
mặt phẳng
( )
: 2 2 1 0− − + =P x y z
. Biết
( )
P
cắt
( )
S
theo giao tuyến là đường tròn có bán
kính
r
. Tính
r
.
A.
3=r
. B.
22=r
. C.
3=r
. D.
2=r
.
Câu 39. Trong không gian tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 4 16 0+ + − + − − =S x y z x y z
và mặt
phẳng
( )
: 2 2 2 0+ − − =P x y z
. Mặt phẳng
( )
P
cắt mặt cầu
( )
S
theo giao tuyến là một đường
tròn có bán kính là:
A.
6=r
. B.
22=r
. C.
4=r
. D.
23=r
.
Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 4 2 4 0+ + + − − =S x y z x y
và một
điểm
( )
1;1;0A
thuộc
( )
S
. Mặt phẳng tiếp xúc với
( )
S
tại
A
có phương trình là
A.
10+ + =xy
. B.
10+=x
. C.
20+ − =xy
. D.
10−=x
.
► DẠNG 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT CẦU V ĐƯỜNG THẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 46
Cho đường thẳng
( )
( )
( )
01
01
01
1
: 2
3
=+
=+
=+
x x a t
d y y bt
z z c t
qua
( )
0 0 0 0
;;M x y z
và có vectơ chỉ phương
( )
111
;;=
d
u a b c
Mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
: − + − + − =x a y b z c RS
có tâm
( )
;;I a b c
, bán kính
R
.
Gọi khoảng cách từ tâm
của mặt cầu
( )
S
đến đường thẳng
d
là
( )
0
,
,
==
d
d
IM u
h d I d
u
.
• Nếu
( )
, d I d R
thì
d
không cắt
( )
S
.
• Nếu
( )
, =d I d R
thì
d
tiếp xúc
( )
S
.
• Nếu
( )
, d I d R
thì
d
cắt
( )
S
tại hai điểm phân biệt
, AB
và
AB
vuông góc với đường kính
(bán kính) mặt cầu. Khi đó
( )
2
22
,
2

=+


AB
R d I d
.
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, đường thẳng
12
:
2 1 1
−−
==
−
x y z
d
và mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 1 0+ + − + + =S x y z x z
. Số điểm chung của
d
và
( )
S
là
A.
3
. B.
. C.
. D.
1
.
Lời giải
Chọn B
d
qua
( )
0;1;2M
, có vectơ chỉ phương
( )
2;1; 1=−
d
u
( )
S
có tâm
( )
1;0; 2−I
và
( )
2
22
1 0 2 1 2= + + − − =R
( )
1;1;4=−IM
( )
, 5;7; 3
= − −

d
IM u
.
( )
,
, 3,7193 2
= =
d
d
IM u
d I d R
u
.
Vậy
d
và
( )
S
không cắt nhau.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 47
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
12
:
2 1 2
−−
==
x y z
d
, mặt cầu tâm
( )
2;5;3I
tiếp xúc với
d
là
A.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 2 5 3 18− + − + − =S x y z
. B.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 2 5 3 16− + − + − =S x y z
.
C.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 2 5 3 25− + − + − =S x y z
. D.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 2 5 3 9− + − + − =S x y z
.
Lời giải
Chọn A
d
qua
( )
1;0;2M
, có vectơ chỉ phương
( )
2;1;2=
d
u
.
( )
1; 5; 1= − − −IM
.
( )
, 9;0; 9
=−

d
IM u
.
Mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng nên
( )
,
, 18
= = =
d
d
IM u
R d I d
u
.
2
18=R
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
( ) ( )
0;1; 1 , 2;3;1−−AB
và mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 0+ + + − =S x y z x y
. Đường thẳng
AB
và mặt cầu
( )
S
có bao nhiêu điểm chung?
A. Vô số. B.
. C.
1
. D.
.
Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, đường thẳng
35
:
2 6 5
++
==
x y z
d
và mặt cầu
( ) ( ) ( )
22
2
: 1 2 9− + + − =S x y z
. Số điểm chung của
d
và
( )
S
là
A.
. B.
1
. C.
. D.
3
.
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, mặt cầu tâm
( )
2;1; 3−I
và tiếp xúc với trục
Oy
có
phương trình là
A.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 3 4− + − + + =x y z
. B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 3 13− + − + + =x y z
.
C.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 3 9− + − + + =x y z
. D.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 3 10− + − + + =x y z
.
Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, bán kính của mặt cầu tâm
( )
1;3;5I
và tiếp xúc với
đường thẳng
:1
2
=
= − −
=−
xt
d y t
zt
là
A.
7
. B. 14. C.
14
. D. 7.
Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, bán kính của mặt cầu tâm
( )
3;3; 4−I
và tiếp xúc với
trục
Oy
bằng
A. 5. B. 4. C.
5
. D.
5
2
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 48
Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, phương trình mặt cầu tâm
( )
1; 2;3−I
tiếp xúc với trục
Oy
là
A.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 9− + + + + =x y z
. B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 9− + + + − =x y z
.
C.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 10+ + − + + =x y z
. D.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 10− + + + + =x y z
.
Câu 47. Cho đường thẳng
23
:
1 1 1
+−
= =
−−
x y z
và và mặt cầu
( )
2 2 2
: 4 2 21 0+ + + − − =S x y z x y
. Số
giao điểm của
( )
và
( )
S
là
A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.
Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
S
:
2 2 2
2 4 1 0+ + − + + =x y z x z
và đường
thẳng
12
:
2 1 1
−−
==
−
x y z
d
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
A.
d
cắt
( )
S
tại hai điểm. B.
d
không cắt
( )
S
.
C.
d
tiếp xúc với
( )
S
tại
( )
2;2;3−M
. D.
d
cắt
( )
S
và đi qua tâm của
( )
S
.
Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, đường thẳng
1 2 1
:
2 1 2
− − +
==
x y z
d
và mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 4 1 2 27− + + + − =S x y z
. Số điểm chung của
d
và
( )
S
là
A.
3
. B.
. C.
. D.
1
.
Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho đường thẳng
1 2 3
:
2 1 1
+ − +
==
−
x y z
d
và điểm
( )
1; 2;3 .−I
Phương trình mặt cầu có tâm
và tiếp xúc với
d
là
A.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 5 2− + + + − =x y z
. B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 50− + + + − =x y z
.
C.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 50+ + − + − =x y z
. D.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 50+ + − + + =x y z
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 49
BI 6: KHOẢNG CÁCH TỔNG HỢP
►DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM
PHƯƠNG PHÁP:
Cho hai điểm
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1
; ; , ; ; = − + − + −A x y z B x y z AB x x y y z z
.
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
, cho điểm
( )
2;2;1A
. Tính độ dài đoạn thẳng
OA
.
A.
3=OA
. B.
9=OA
. C.
5=OA
. D.
5=OA
.
Lời giải
Chọn A
2 2 2
2 2 1 3= + + =OA
.
Ví dụ 2. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
4;3; 2−A
và
( )
3; 5;0−B
. Độ dài đoạn thẳng
AB
là
A.
69
. B.
38
. C.
96
. D.
.
Lời giải
Chọn A
Với
( )
4;3; 2−A
và
( )
3; 5;0−B
thì
( )
1; 8;2= − −AB
, do đó
( ) ( )
22
2
1 8 2 69= − + − + =AB
.
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho các điểm
( )
3; 4;0−A
,
( )
1;1;3−B
,
( )
3,1,0C
. Tìm
tọa độ điểm
D
trên trục hoành sao cho
=AD BC
.
A.
( )
2;1;0−D
,
( )
4;0;0−D
. B.
( )
0;0;0D
,
( )
6;0;0−D
.
C.
( )
6;0;0D
,
( )
12;0;0D
. D.
( )
0;0;0D
,
( )
6;0;0D
.
Lời giải
Chọn D
Gọi
( )
;0;0 D x Ox
( )
2
0
3 16 5
6
=
= − + =
=
x
AD BC x
x
.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
2; 1;2−M
. Tính độ dài đoạn thẳng
OM
.
A.
9=OM
. B.
3=OM
. C.
3=OM
. D.
5=OM
.
Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
3; 1;1−A
. Gọi
A
là hình chiếu của
A
lên trục
Oy
. Tính độ dài đoạn
OA
.
A.
1
=−OA
. B.
10
=OA
. C.
11
=OA
. D.
1
=OA
.
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;2;3A
và
( )
5;2;0B
. Khẳng định nào
sau đây đúng?
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 50
A.
61=AB
. B.
3=AB
. C.
5=AB
. D.
23=AB
.
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
3; 2;1−M
,
( )
0;1; 1−N
. Tìm độ dài của
đoạn thẳng
MN
.
A.
22=MN
. B.
10=MN
. C.
22=MN
. D.
10=MN
.
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2; 3;5−M
,
( )
6; 4; 1−−N
và đặt
=u MN
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A.
( )
4;1;6=−u
. B.
53=u
. C.
3 11=u
. D.
( )
4; 1; 6= − −u
.
Câu 6. Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
1;1; 3−A
,
( )
3; 1;1−B
. Gọi
M
là trung điểm của
AB
, đoạn
OM
có độ dài bằng
A.
26
. B.
6
. C.
3
. D.
5
.
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho hai điểm
( ) ( )
3;0;0 , 0;0;4MN
. Tính độ dài đoạn
thẳng
MN
.
A.
1=MN
. B.
5=MN
. C.
7=MN
. D.
10=MN
.
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho các điểm
( ) ( )
1;2; 1 ; 1;1;3−AB
. Gọi
là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác
AOB
, tính độ dài đoạn thẳng
OI
.
A.
17
4
=OI
. B.
6
2
=OI
. C.
11
2
=OI
. D.
17
2
=OI
.
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho tam giác
ABC
với
( )
1;1;1 ,A
( )
1;1; 0 ,−B
( )
3;1; 2C
. Chu vi của tam giác
ABC
bằng:
A.
45+
. B.
45
. C.
35
. D.
2 2 5+
.
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho
( )
2;0;0A
,
( )
0;3;1B
,
( )
3;6;4−C
. Gọi
M
là điểm
nằm trên đoạn
BC
sao cho
2=MC MB
. Độ dài đoạn
AM
là
A.
33=AM
. B.
27=AM
. C.
29=AM
. D.
19=AM
.
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
( )
2;3;1−A
và
( )
5; 6; 2B
. Đường thẳng
AB
cắt mặt phẳng
( )
Oxz
tại điểm
M
. Tính tỉ số
AM
BM
.
A.
2=
AM
BM
. B.
1
2
=
AM
BM
. C.
1
3
=
AM
BM
. D.
3=
AM
BM
.
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( ) ( )
2; 1;1 ; 3; 2; 1− − −AB
. Tìm điểm
N
trên
Ox
cách đều
A
và
B
.
A.
( )
4;0;0−
. B.
( )
4;0;0
. C.
( )
1;0;0
. D.
( )
2;0;0
.
Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
cho
( )
2;0;0A
,
( )
0;3;1B
( )
3;6;4−C
. Gọi
M
là điểm
nằm trên đoạn
BC
sao cho
2=MC MB
. Độ dài đoạn
AM
là.
A.
30
. B.
27
. C.
29
. D.
33
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 51
Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ
,Oxyz
gọi
là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm
( )
2;3; 1 ,−A
( )
1;2;1 ,−B
( )
2;5;1 ,C
( )
3;4;5 .D
Tính độ dài đoạn thẳng
OI
.
A.
123
3
.
B.
41
3
.
C.
113
2
. D.
6
.
Câu 15. Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
5;2;3−E
,
F
là điểm đối xứng với
E
qua trục
Oy
. Độ dài
EF
là
A.
2 34
. B.
2 13
. C.
2 29
. D.
14
.
►DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG, KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT
PHẲNG SONG SONG, KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT
PHẲNG TỚI MẶT PHẲNG.
PHƯƠNG PHÁP:
. Trong không gian
,Oxyz
cho điểm
0 0 0 0
(x ; ; )M y z
và mặt phẳng
( )
: 0.
+ + + =Ax By Cz D
Khi đó
khoảng cách từ điểm
0
M
đến mặt phẳng
()
được tính:
0 0 0
0
2 2 2
||
( ,( ))
+ + +
=
++
Ax By Cz D
dM
A B C
Đặc biệt:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 0 0
, ; , ; , .= = =d M Oxy z d M Oxz y d M Oyz x
. Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng
kia.
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
. Khoảng cách giữa đường thẳng song song với mặt phẳng tới mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm
thuộc đường thẳng đến mặt phẳng.
Chú ý: Nếu đường thẳng không song song với mặt phẳng thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
(2; 3;5)−M
và mặt phẳng
( )
có phương
trình:
2 2 6 0− + − =x y z
. Khoảng cách từ điểm
M
mặt phẳng
( )
là
A.
57
7
. B.
11
3
. C.
17
3
. D.
5
3
.
Lời giải
Chọn B
Áp dụng công thức
( )
( )
( )
( )
2
22
2.2 1. 3 2.5 6
11
,
3
2 1 2
− − + −
==
+ − +
dM
.
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
( )
:2 3 2 0,
+ − + =x y z
( )
:2 3 16 0
+ − + =x y z
. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
( )
và
( )
là
A.
14
. B.
. C.
15
. D.
23
.
Lời giải
Chọn A
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 52
Lấy điểm
( ) ( )
0;0;2
M
.
Áp dụng công thức
( ) ( )
( )
( )
( )
,,
=d d M
( )
2
22
2.0 3.0 2 16
14
14
14
2 3 1
+ − +
= = =
+ + −
.
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
:2 2 1 0− − + =P x y z
và đường thẳng
1 2 1
:
2 1 2
− + −
= =
x y z
. Tính khoảng cách
d
giữa
và
( )
P
.
A.
1
3
=d
. B.
5
3
=d
. C.
2
3
=d
. D.
2=d
.
Lời giải
Chọn D
()P
có vecto pháp tuyến
(2; 2; 1)−−n
và đường thẳng
có vecto chỉ phương
(2;1;2)u
thỏa
mãn
.0=nu
nên
/ /( ) P
hoặc
() P
Do đó: lấy
(1; 2;1)− A
ta có:
2.1 2.( 2) 1 1
( ( )) ( ;( )) 2
4 4 1
− − − +
= = =
++
d P d A P
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 16. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
(3; 1;1)−A
. Tính khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
Oyz
.
A.
1
. B.
3
. C.
. D.
.
Câu 17. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
P
có phương trình
2 2 3 0+ + − =x y z
. Khoảng cách
từ điểm
( )
1; 1;1−A
đến mặt phẳng
( )
P
bằng
A.
2
3
. B.
2
3
−
. C.
. D.
1
.
Câu 18. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
P
có phương trình
2 3 6 21 0− + − =x y z
. Khoảng
cách từ gốc tọa độ
O
đến mặt phẳng
( )
P
bằng
A.
3
. B.
3−
. C.
21
. D.
21
31
.
Câu 19. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
(2; 3;5)−M
và mặt phẳng
( )
có phương trình
2 2 6 0− + − =x y z
. Khoảng cách từ điểm
M
mặt phẳng
( )
là
A.
57
7
. B.
11
3
. C.
17
3
. D.
5
3
.
Câu 20. Tính khoảng cách từ điểm
( )
0 0 0
;;B x y z
đến mặt phẳng
( )
: 1 0+=Pz
. Chọn khẳng định đúng
trong các khẳng định sau:
A.
0
z
. B.
0
z
. C.
0
1
2
+z
. D.
0
1+z
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 53
Câu 21. Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
( )
:2 3 2 0,
+ − + =x y z
( )
:2 3 16 0
+ − + =x y z
.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
( )
và
( )
là:
A.
14
. B.
. C.
15
. D.
23
.
Câu 22. Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
( )
:2 2 2 0,
− + + =x y z
( )
:4 4 2 5 0
− + + =x y z
.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
( )
và
( )
là:
A.
3
. B.
1
. C.
3
. D.
1
6
.
Câu 23. Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
( )
:5 5 5 1 0+ − − =P x y z
và
( )
: 1 0+ − + =Q x y z
.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
bằng
A.
23
15
. B.
2
5
. C.
2
15
. D.
23
5
.
Câu 24. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho
( ) ( ) ( )
1;1;3 , 1;3;2 , 1;2;3−−A B C
. Khoảng cách từ
gốc toạ độ O đến mp
( )
ABC
bằng
A.
3
. B. 3. C.
3
2
. D.
3
2
.
Câu 25. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
1;2;3M
gọi
,,A B C
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
điểm
M
lên các trục
,,Ox Oy Oz
. Khi đó khoảng cách từ điểm
( )
0;0;0O
đến mặt phẳng
( )
ABC
có giá trị bằng
A.
1
2
. B.
6
. C.
6
7
. D.
1
14
.
Câu 26. Trong không gian
Oxyz
, cho tứ diện
ABCD
với
( ) ( ) ( ) ( )
1;2;3 , 3;0;0 , 0; 3;0 , 0;0;6 .−−A B C D
Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh
A
của tứ diện
ABCD
.
A.
9
. B.
1
. C.
. D.
3
.
Câu 27. Trong không gian Oxyz cho điểm
( )
1; 2; 1−M
. Tìm phương trình mặt phẳng
( )
đi qua gốc
tọa độ O và cách M một khoảng lớn nhất.
A.
20+ − =x y z
. B.
1
1 2 1
+ + =
−
x y z
. C.
0− − =x y z
. D.
20+ + − =x y z
.
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho mặt phẳng
( )
:3 2 6 14 0− + + =P x y z
và mặt cầu
( ) ( )
2 2 2
: 2 22 0+ + − + + − =S x y z x y z
. Khoảng cách từ tâm
I
của mặt cầu
( )
S
tới mặt phẳng
( )
P
là
A.
1
. B.
. C.
3
. D.
.
Câu 29. Trong không gian
,Oxyz
mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
2;1; 1−I
và tiếp xúc với mặt phẳng
( )
:2 2 3 0
− − + =x y z
. Bán kính của
( )
S
bằng
A.
. B.
2
3
. C.
4
3
. D.
2
9
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 54
Câu 30. Trong không gian
,Oxyz
cho
( ) ( )
3, 2, 2 , 3,2,0−−AB
,
( )
0,2,1C
và
( )
1,1,2−D
. Mặt cầu tâm
A
và tiếp xúc với mặt phẳng
( )
BCD
có bán kính bằng
A.
9
. B.
5
. C.
14
. D.
13
.
►DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
Cách 1: Xác định hình chiếu vuông góc của điểm
A
lên đường thẳng
.
Bước 1: Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
A
lên
. Khi đó tham số hóa tọa độ điểm
H
theo
t
.
Bước 2: Từ
.0
=AH u
tìm ra tham số
t
rồi suy ra tọa độ điểm
H
.
Bước 3: Tính đoạn
AH
.
Cách 2: Sử dụng công thức:
( )
,
,,

=
AM u
d A M
u
.
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
;;P a b c
. Khoảng cách từ
P
đến trục toạ độ
Oy
bằng
A.
22
+ac
. B.
22
+ac
. C.
. D.
b
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
H
là hình chiếu của
P
lên trục
Oy
. Khi đó
( )
0; ;0Hb
.
( )
;0;=HP a c
.
( )
,=d P Oy PH
22
=+ac
.
Ví dụ 2. Trong không gian
Oxyz
, tính khoảng cách từ điểm
( )
4; 3;2−M
đến đường thẳng
22
:
3 2 1
++
= =
−
x y z
.
A.
( )
; 3 3=dM
. B.
( )
;3=dM
. C.
( )
;3=dM
. D.
( )
; 3 2=dM
.
Lời giải
Chọn A
Đường thẳng
có
( )
VTCP 3;2; 1=−u
và qua điểm
( )
2; 2;0−−B
.
( )
6;1; 2= − −MB
,
( )
; 3; 12; 15

= − −

MB u
.
( )
( ) ( )
( )
22
2
2
22
;
3 12 15
; 3 3
3 2 1

+ − + −
= = =
+ + −
MB u
dM
u
.
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 31. Trong không gian với hệ trục
Oxyz
, khoảng cách
từ điểm
( )
4;3;2−A
đến trục
Ox
là
A.
4=h
. B.
13=h
. C.
3=h
. D.
25=h
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 55
Câu 32. Khoảng cách giữa điểm
( )
1; 4; 3−M
đến đường thẳng
( )
1 2 1
:
2 1 2
− + −
= =
−
x y z
là
A.
. B.
3
. C.
.
D.
.
Câu 33. Tính khoảng cách từ điểm
( )
1; 2; 6−M
đến đường thẳng
d
:
2 1 3
2 1 1
− − +
==
−
x y z
.
A.
5
. B.
30
6
. C.
30
2
. D.
11
.
Câu 34. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
2;1;1A
và đường thẳng
1 2 3
:
1 2 2
− − −
==
−
x y z
d
. Khoảng
cách từ
A
đến đường thẳng
d
là
A.
35
. B.
35
2
. C.
25
. D.
5
.
Câu 35. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
4; 1;2−M
và đường thẳng
:
21
1 2 2
−+
==
x y z
. Tính
khoảng cách từ điểm
M
đến đường thẳng
.
A.
( )
, 10=dM
. B.
( )
, 3 10=dM
.
C.
( )
1
, 10
2
=dM
. D.
( )
, 2 10=dM
.
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
tính khoảng cách từ điểm
( )
1;3;2M
đến đường thẳng
1
:1
=+
= +
=−
xt
yt
zt
.
A.
3
. B.
2
. C.
. D.
22
.
Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho
( )
4;4;0−A
,
( )
2;0;4B
,
( )
1; 2;1−C
. Khoảng
cách từ
C
đến đường thẳng
AB
là:
A.
32
. B.
13
. C.
23
. D.
3
.
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho tam giác
ABC
với
( )
1; 2; 1−A
,
( )
0; 3; 4B
,
( )
2; 1; 1−C
. Độ dài đường cao từ
A
đến
BC
bằng:
A.
6
. B.
53
. C.
50
33
. D.
33
50
.
Câu 39. Trong không gian
Oxyz
, cho các điểm
( )
2;1; 2−A
,
( )
1; 3;1−B
,
( )
3; 5;2−C
. Độ dài đường cao
AH
của tam giác
ABC
là.
A.
17
2
. B.
2 17
. C.
17
. D.
32
.
Câu 40. Bán kính mặt cầu tâm
( )
1;3;5I
và tiếp xúc với đường thẳng
:1
2
=
= − −
=−
xt
d y t
zt
là
A.
14
. B.
14
. C.
7
. D.
23
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 56
►DẠNG 4. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
PHƯƠNG PHÁP:
. Cách 1: Tính đoạn vuông góc chung
AB
của
1
và
2
.
• Bước 1: Tham số hóa tọa độ hai điểm
,AB
theo
12
,tt
. Xác định hai vec tơ chỉ phương của hai đường
thẳng lần lượt là
12
,uu
.
• Bước 2: Sử dụng
1
11
2
.0
,
.0
=
=
AB u
tt
AB u
. Từ đó xác định được tọa độ hai điểm
,AB
.
• Bước 3: Tính đoạn
AB
.
. Cách 2: Quy về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
• Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
chứa
1
và song song với
2
.
• Bước 2: Tính khoảng cách từ một điểm
1
A
đến mặt phẳng
( )
P
. Khi đó
( ) ( )
( )
12
,, =d d A P
. Cách 3: Sử dụng công thức:
( )
1 2 1 2
12
12
,
,
,

=


u u M M
d
uu
.
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1 1 1
:
2 3 2
+ + −
==
x y z
d
và
1 2 3
:
2 1 1
− + −
==
x y z
d
. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng
d
và
d
.
A.
8 21
21
=h
. B.
10 21
21
=h
. C.
4 21
21
=h
. D.
22 21
21
=h
.
Lời giải
Chọn A
d
có vectơ chỉ phương
( )
2;3;2=u
, đi qua
( )
1; 1;1−−M
.
d
có vectơ chỉ phương
( )
2;1;1
=u
, đi qua
( )
1; 2;3
−M
.
Ta có:
( )
, 1;2; 4

=−

uu
,
( )
2; 1;2
=−MM
( ) ( )
, . 1.2 2. 1 4 .2 8 0


= + − + − = −

u u MM
,
dd
chéo nhau.
Khi đó: khoảng cách
giữa hai đường thẳng
d
và
d
là:
,.
8 8 21
.
21
21
,


= = =


u u MM
h
uu
B. BI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1 1 1
:
2 3 2
+ + −
==
x y z
d
và
1 2 3
:
2 1 1
− + −
==
x y z
d
. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng
d
và
d
.
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 57
A.
4 21
21
=h
. B.
10 21
21
=h
. C.
8 21
21
=h
. D.
22 21
21
=h
.
Câu 43. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
1
d
:
32
1 2 1
−−
==
x y z
và
2
d
:
3 1 2
1 2 1
− + −
==
−
x y z
A.
12
5
. B.
32
2
. C.
3
. D.
2
3
.
Câu 44. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
1
14
:2
3
=−
= −
= − +
xt
yt
zt
và
2
21
:
4 1 1
++
= =
−
x y z
. Khoảng
cách giữa hai đường thẳng
1
và
2
bằng bao nhiêu?
A.
1
. B.
. C.
3
. D.
.
Câu 45. Trong không gian
Oxyz
, cho bốn điểm
( )
1; 2;3−A
,
( )
2; 1;1−B
,
( )
1;1;0−C
,
( )
1;2; 1−D
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
CD
bằng bao nhiêu?
A.
4
11
. B.
6
11
. C.
8
11
. D.
10
11
.
| 1/57
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ MỤC LỤC
BÀI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ ........................................................................................................... 1
►DẠNG 1: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CÁC TÍNH CHẤT.................................................................. 2
►DẠNG 2: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM ............................................................................................................ 4
►DẠNG 2: TÍCH VÔ HƯỚNG, TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ – CÁC BÀI TOÁN LIÊN
QUAN ........................................................................................................................................................ 7
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU ..................................................................................................... 10
►DẠNG 1. XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU. NHẬN BIẾT PT MẶT CẦU 10
►DẠNG 2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT MỘT SỐ YẾU TỐ CHO TRƯỚC ......... 12
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ............................................................................................... 17
► DẠNG 1: TÌM MỘT VTPT CỦA MẶT PHẲNG ............................................................................. 17
►DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ............................................................................ 19
► DẠNG 3: ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG .......................................................................................... 22
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ......................................................................................... 25
►DẠNG 1: TÌM MỘT VTCP CỦA ĐƯỜNG THẲNG ........................................................................ 25
►DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG ............................................................ 27
►DẠNG 3: TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG VÀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐT VÀ MẶT PHẲNG 32
BÀI 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI TỔNG HỢP .............................................................................................. 35
►DẠNG 1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA 2 MẶT PHẲNG ................................................................... 35
►DẠNG 2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG................................. 37
►DẠNG 3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG ........................... 40
►DẠNG 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG ....................................................... 42
► DẠNG 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG ................................................ 45
BÀI 6: KHOẢNG CÁCH TỔNG HỢP ................................................................................................... 49
►DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM ................................................................................. 49
►DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG, KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT
PHẲNG SONG SONG, KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT
PHẲNG TỚI MẶT PHẲNG. .................................................................................................................. 51
►DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG ...................................................... 54
►DẠNG 4. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU ..................................... 56
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 1
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
BÀI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ
►DẠNG 1: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CÁC TÍNH CHẤT PHƯƠNG PHÁP:
. Định nghĩa: a = a .i + a . j + a .k a = a ;a ; a . 1 2 3 ( 1 2 3)
. Tính chất: Cho a = (a ;a ;a ;b = b ;b ;b . 1 2 3 ) ( 1 2 3) a = b 1 1 
• a = b  a = b . 2 2 a =  b 3 3
• a b = (a b ;a b ;a b . 1 1 2 2 3 3 )
• ka = (ka ;ka ;ka , k  . 1 2 3 )
• 0 = (0;0;0), i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0; ) 1 .
• a cùng phương b  k  : a = kb (b  0) . a a a  1 2 3 = =
(b ,b ,b  0 1 2 3 ) b b b 1 2 3
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , cho a = (1; 2; 3 − ); b = ( 2
− ;2;0) . Tọa độ vectơ c = 2a −3b là A. c = (4; 1 − ; 3 − ). B. c = (8; 2 − ; 6 − ).
C. c = (2;1;3) . D. c = ( 2 − ;4;3) . Lời giải Chọn B 2a = (2;4; 6 −  ) Ta có:  3  b =  ( 6 − ;6;0)
Suy ra c = 2a − 3b = (2 + 6;4 − 6; 6 − − 0)  c = (8; 2 − ; 6 − ) .
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = (2; − 5;3) , b = (0; 2; − ) 1 . Tọa độ
vectơ x thỏa mãn 2a + x = b là A. ( 4 − ; 2; − 7) . B. ( 4 − ; 2; 3) . C. ( 4 − ; 12; − 7) . D. ( 4 − ; 12; − 3) . Lời giải Chọn C
Ta có 2a + x = b x = b − 2a b = (0;2;− ) 1 Ta có:  2a =  (4; 1 − 0;6)
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 2
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Suy ra x = b − 2a = (0 − 4;2 +10; 1 − − 6)  x = ( 4 − ;12; 7 − ) .
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a = (3;− 2; ) 1 , b = ( 1 − ;1;− 2) ,
c = (2;1;− 3) , u = (11;− 6;5) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. u = 3a − 2b + c .
B. u = 2a + 3b + c .
C. u = 2a − 3b + c .
D. u = 3a − 2b − 2c . Lời giải
Giả sử u = xa + yb + zc Ta có hệ phương trình: 3
x − y + 2z =11   2
− x + y + z = 6 − .
x − 2y −3z = 5  x = 2 
Giải hệ ta được: y = 3 − z =1 
Vậy u = 2a −3b + c .
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Câu 1.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = −i + 2 j − 3k . Tọa độ của vectơ a là A. ( 1 − ;2; 3 − ) . B. (2; 3 − ;− ) 1 . C. (2; 1 − ; 3 − ) . D. ( 3 − ;2;− ) 1 . Câu 2.
Câu nào sau đây sai? 1  1  1  1  A. a = 3
− i + j + k a = 3 − ;1;   . B. a =
i − 5 j a = ; 0; 5 −   . 2  2  2  2  2  2 
C. a = 2i − 3 j a = (2; 3 − ;0). D. a =
j + k − 3i a = 3 − ; ;1   . 5  5  Câu 3.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai véc tơ u = ( 1 − ;3; 2
− ) và v = (2;5;− ) 1 . Tìm tọa
độ của vectơ a = 2u −3v A. a = ( 8 − ;9;− ) 1 . B. a = ( 8 − ; 9 − ; ) 1 . C. a = (8; 9 − ;− ) 1 . D. a = ( 8 − ; 9 − ;− ) 1 . Câu 4.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ u = 2
− j −3k và u = i + 2k , khi đó tọa độ
của u + v đối với hệ tọa độ Oxyz là: A. (1; 2 − ;− ) 1 . B. (1;0; ) 1 . C. (1; 2; 2) . D. ( 1 − ;0;2) . Câu 5.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a = (2;−3;1) và b = ( 1 − ;0;4) . Tìm tọa độ vectơ u = 2 − a +3b . A. u = ( 7 − ;6;−10) . B. u = ( 7 − ;− 6;10) .
C. u = (7;6;10) . D. u = ( 7 − ;6;10) . Câu 6.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 vecto a = (5; 4; − ) 1 ; b = (2; 5
− ;3) và c thỏa mãn
hệ thức c = 2a −3b. Tìm tọa độ c ?
A. c = (4; 23; − ) 11 .
B. c = (16;19; 10
− ) . C. c = (4;7;7) .
D. c = (16; 23;7) .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 3
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Câu 7.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vectơ a = (1;2;3) , b = (2;2;− ) 1 , c = (4;0; 4 − ).
Tọa độ vectơ d = a −b + 2c là A. d = ( 7 − ;0; 4 − ) . B. d = ( 7 − ;0;4). C. d = (7;0; 4 − ) .
D. d = (7;0;4) . Câu 8.
Trong không gian Oxyz , cho a = (1; 2; 3 − ) , b = ( 2 − ; 4
− ;6). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a = 2b . B. b = 2 − a . C. a = 2 − b .
D. b = 2a . Câu 9.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , để hai véctơ a = ( ;
m 2;3) và b = (1; ; n 2) cùng phương
thì m + n bằng: 11 13 17 A. . B. . C. . D. 2 . 6 6 6
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vec tơ a = (2;1 ) ;1 , b = (3; 1
− ;2). Tọa độ của vec
tơ c thỏa mãn biểu thức 2b − a + 3c = 0 là:  3 5   1 5   7 5   7  A. − ;1; −   . B. − ; 2 − ;−   . C. − ; 2; −   . D. − ;1; 1 −   .  2 2   2 2   2 2   2 
►DẠNG 2: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM
. Định nghĩa: M ( ; x ; y z)  OM = . x i + . y j + .
z k (x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ) . Chú ý:
• M (Oxy)  z = 0;M (Oyz)  x = 0;M (Oxz)  y = 0
• M Ox y = z = 0;M Oy x = z = 0;M Oz x = y = 0 .
. Tính chất: Cho (
A x ; y ; z ), B(x ; y ; z ) A A A B B B
• AB = (x − x ; y − y ; z − z ) B A B A B A • 2 2 2 AB =
(x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) B A B A B A
x + x y + y z + z A B A B A B
• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : M  ; ;   2 2 2 
• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC :
x + x + x y + y + y z + z + z A B C A B C A B C  • G  ; ;   3 3 3 
• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :
x + x + x + x
y + y + y + y
z + z + z + z A B C D A B C D A B C C  • G  ; ;   4 4 4 
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 3 − ;2), B(0;1;− ) 1 và C (5; −1; 2) .
Tọa độ là trọng tâm G của tam giác ABC là A. G (2; 1 − ) ;1 . B. G (2;1; ) 1 . C. G (2;1; ) 1 − . D. G ( 2 − ;1;− ) 1 .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 4
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Lời giải Chọn A
G là trọng tâm tam giác ABC nên: x + x + x 1+ 0 + 5 A B C x = = = 2  G 3 3   y + y + y 3 − +1−1 A B Cy = = = 1 − G 3 3   z + z + z 2 −1+ 2 A B C z = = =1  G  3 3 Vậy G (2; 1 − ; ) 1 .
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A(1;0; 2 − ), B(2;1;− ) 1 , C (1; 3 − ;3) và điểm
M thỏa mãn hệ thức AM = 2AB + 3BC . Tìm tọa độ điểm M . A. (0; 5 − ; 6 − ) . B. (0; 5 − ;2). C. (0; 10 − ;12) .. D. (0; 5 − ;4). Lời giải Chọn C Ta có: AB = (1;1; ) 1  2AB = (2;2;2) BC = ( 1 − ; 4 − ;4)  3BC = ( 3 − ; 1 − 2;12)
 2AB + 3BC = ( 1 − ; 1 − 0;14).
Gọi M (x; y; z)  AM = (x −1; y; z + 2) x −1 = 1 − x = 0  
AM = 2AB + 3BC  y = 1 − 0  y = 1 − 0   z + 2 = 14 z = 12   Vậy M (0; 10 − ;12) .
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; 2;3) . Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục Ox . A. (2;0;0) . B. (1;0;0) . C. (3;0;0) . D. (0; 2;3) .
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1; 2;3) . Tìm tọa độ điểm N đối xứng với
điểm M qua mặt phẳng (Oxy) A. N ( 1 − ; 2 − ; 3 − ). B. N (1; 2;0) . C. N ( 1 − ; 2 − ;3). D. N (1; 2; 3 − ) .
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A(1;1;0) , B (0;3;3) . Khi đó A. AB = ( 1 − ;2;3) .
B. AB = (1;2;3) . C. AB = ( 1 − ;4;3) .
D. AB = (0;3;0) .
Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A(1; 2;0) ; B (3; 1 − ) ;1 và C (1;1 ) ;1 . Tính tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC .  5 2 2   5 2 2   5 2 2   5 2 2  A. G ; ;   . B. G − ; ;   . C. G ; − ;   . D. G ; − ; −   .  3 3 3   3 3 3   3 3 3   3 3 3 
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 5
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm ( A 1;0; 2 − ) , B(2;1; 1
− ) . Tìm độ dài của đoạn thẳng AB ? A. 2 . B. 18 . C. 2 7 . D. 3 .
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ ( ;
O i , j, k ), cho hai điểm ,
A B thỏa mãn OA = 2i − j + k và
OB = i + j − 3k . Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn AB .  1   3   1 
A. M − ; 1; − 2   . B. M ; 0; −1   .
C. M (3; 0; − 2) . D. M ; −1; 2   .  2   2   2 
Câu 17. Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm là A(1;3; − ) 1 , B (3; 1
− ;5) . Tìm tọa độ của điểm M
thỏa mãn hệ thức MA = 3MB .  5 13   7 1   7 1  A. M ; ;1  . B. M ; ;3   . C. M ; ;3   . D. M (4; 3 − ;8) .  3 3   3 3   3 3 
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(1;0; 2) , B ( 2
− ;1;3) , C (3;2;4) ,
D (6;9; − 5) . Hãy tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD . A. (2;3; − ) 1 . B. (2; − 3; ) 1 . C. (2;3; ) 1 . D. (−2;3; ) 1 .
Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; − )
1 , B (2; −1;3), C ( 3 − ;5 ) ;1 .
Tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành là A. D ( 4 − ;8; 5 − ) . B. D ( 2 − ;2;5) . C. D ( 4 − ;8; 3 − ) . D. D ( 2 − ;8;− 3) .
Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM = (1;5; 2) , ON = (3;7; 4
− ) . Gọi P là điểm đối
xứng với M qua N . Tìm tọa độ điểm P . A. P (5;9; 1 − 0) . B. P (7;9; 1 − 0) . C. P (5;9; 3 − ) . D. P (2;6; ) 1 − .
Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M (0;1; 2), N (7;3; 2), P ( 5 − ;− 3;2) . Tìm
tọa độ điểm Q thỏa mãn MN = QP .
A. Q (12;5; 2) . B. Q ( 12 − ;5;2) . C. Q ( 1 − 2;− 5;2) . D. Q ( 2 − ;−1;2) .
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(1; 2; ) 1
− , B(3;0;3) . Tìm tọa độ
điểm C sao cho G (2;2;2) là trọng tâm tam giác ABC .
A. C (2; 4; 4) .
B. C (0; 2; 2) .
C. C (8;10;10) . D. C ( 2 − ; 4 − ; 4 − ).
Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABC . D A BCD
  . Biết tọa độ các đỉnh A(−3; 2; )
1 , C (4; 2;0) , B( 2 − ;1 )
;1 , D(3;5; 4) . Tìm tọa độ điểm A của hình hộp. A. A( 3 − ;3; ) 1 . B. A( 3 − ; 3 − ;3). C. A( 3 − ; 3 − ; 3 − ). D. A( 3 − ;3;3).
Câu 24. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(3; 2 ) ;1 , B (1; 1 − ;2),C (1;2;− ) 1 . Tìm
tọa độ điểm M thỏa mãn OM = 2AB − AC . A. M ( 2 − ; 6; − 4) .
B. M (2; − 6; 4) . C. M ( 2
− ; − 6; 4) . D. M (5; 5; 0) .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 6
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2;3) , trên trục Oz lấy điểm M sao cho
AM = 5 . Tọa độ của điểm M là A. M (0;0;3) . B. M (0;0; 2) . C. M (0;0; 3 − ) . D. M (0;3;0) .
►DẠNG 2: TÍCH VÔ HƯỚNG, TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN PHƯƠNG PHÁP:
. Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a = (a ; a ; a ) , b = (b ;b ;b ) . 1 2 3 1 2 3
• Tích vô hướng của hai véc tơ: .
a b = a . b .cos ( ,
a b) = a b + a b + a b 1 1 2 2 3 3
• Tích có hướng của hai vectơ a và b, kí hiệu là  , a b 
 , được xác định bởi  a a a a a a  2 3 3 1 1 2
a,b =  ; ;
 = (a b − a b ;a b − a b ;a b − a b 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 )  b b b b b b 2 3 3 1 1 2 
. Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số. . Tính chất: • [ , a ] b ⊥ ; a [ , a ] b ⊥ b •  , a b  = −  , b a    
• i , j= k;
 j,k  = i ;
k,i  = j • [ , a ]
b = a . b .sin (a,b ) • ,
a b cùng phương  [ , a ] b = 0 .
. Ứng dụng của tích có hướng:
• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: ,
a b và c đồng phẳng  [ , a ] b .c = 0
• Diện tích hình bình hành ABCD : S = AB AD ABCD  ,  • 1
Diện tích tam giác ABC : S = AB AC ABC  ,    2
• Thể tích khối hộp ABCD A B C  D : V = [A , B A ] D .A A
ABCD.A' B'C ' D' • 1
Thể tích tứ diện ABCD : V = [A , B AC].AD ABCD 6 a b a b + a b + • . a b
Góc giữa hai vectơ: cos ( ; a b) 1 1 2 2 3 3 = = 2 2 2 2 2 2 a . b
a + a + a . b + b + b 1 2 3 1 2 3
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , cho a = (1; 2;0), b = (2; 1 − ; ) 1 , c = (1; 1
− ;0) . Phát biểu nào sau đây
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 7
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ sai? A. a = 5 . B. . a c = 1 − .
C. a ⊥ b .
D. c ⊥ b . Lời giải Chọn D Ta có: . c b = 2.1+ (− ) 1 .(− ) 1 +1.0 = 3  0  ,
c b không vuông góc nhau.
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , cho a = i − j + 2 k, b = i + (m + )
1 j − k . Tìm tham số m để a ⊥ b . A. m = 2 . B. m = 2 − . C. m = 0 . D. m = 1 − . Lời giải Chọn B Ta có: a = (1; 1
− ;2),b = (1;m +1;− )
1 ; a ⊥ b  .
a b = 0 1− m −1− 2 = 0  m = 2 − .
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = (2;1;0) và b = ( 1 − ;0; 2 − ). Tính cos (a,b) . A. (a b) 2 cos , = − . B. (a b) 2 cos , = − . C. (a b) 2 cos , = . D. (a b) 2 cos , = 25 5 25 5
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 26. Trong không gian Oxyz cho u = j − 3k ; v = i + k . Tìm tích vô hướng . u v . A. – 3. B. – 2. C. 3. D. 2. → → →
Câu 27. Trong không gian Oxyz, cho 3 vecto a = ( 1
− ;1;0) ; b = (1;1;0) ; c = (1;1; ) 1 . Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào sai A. a = 2 . B. c = 3 .
C. a ⊥ b .
D. b ⊥ c .
Câu 28. Gọi  là góc giữa hai vectơ a = (1; 2;0) và b = (2;0;− )
1 , khi đó cos bằng 2 2 2 A. 0. B. . C. . D. − . 5 5 5
Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho u (1; 2 − ; ) 1 , v ( 2 − ;1; )
1 ; góc giữa hai vectơ là: 5   2 A. . B. . C. . D. . 6 3 6 3
Câu 30. Trong không gian tọa độ Oxyz , độ dài của véc tơ u = (1; 2; 2) là A. 3 . B. 5 . C. 2 . D. 9 .
Câu 31. Tính góc giữa hai vecto a = (–2; –1; 2) và b = (0; 1; –1) A. 60°. B. 120°. C. 45°. D. 135°.
Câu 32. Trong hệ trục Oxyz, cho ba điểm A(−2,1, 0) , B ( 3
− ,0, 4) , C (0,7,3) . Khi đó, cos(A , B BC) bằng: 14 7 2 14 14 A. . B. − . C. . D. − . 3 118 3 59 57 57
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 8
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a (4; 2 − ; 4 − ),b = (6; 3 − ;2) thì
(2a−3b)(a+2b) có giá trị là: A. 200. B. 200 . C. 2 200 . D. 200  .
Câu 34. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba vectơ a (3;0; ) 1 ,b (1; 1 − ; 2 − ),c(2;1;− ) 1 . Tính
T = a (b + c). A. T = 3.
B. T = 6 .
C. T = 0 . D. T = 9 .
Câu 35. Cho điểm A(4; 3 − ; 5 − ), B(2;1; 2
− ) . Gọi a là số đo góc AOB với O là gốc tọa độ. Giá trị của a là A. a = 150. B. a = 30 . C. a = 135 . D. a = 45 .
Câu 36. Cho bốn véc tơ a = ( 1
− ;1;0) , b = (1;1;0) , c = (1;1; ) 1 , d = (2;0; )
1 . Chọn mệnh đề đúng.
A. a , b , c đồng phẳng.
B. a , b , c đồng phẳng.
C. a , b , c đồng phẳng.
D. a , b , c đồng phẳng.
Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = (2; 2; 4 − ), b = (1;1; 2 − ). Mệnh đề nào sau đây sai? A.  , a b = 0   . B.  , a b  0   .
C. a = 2 b .
D. a = 2b .
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A(1;1 )
;1 , B (4;3; 2) , C (5; 2 ) ;1 .
Diện tích tam giác ABC là 42 42 A. . B. 42 . C. 2 42 . D. . 4 2 Câu 39. Trong
không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0 ) ;1 , B (2;0; − )
1 , C (0;1;3), D (3;1 )
;1 . Thể tích khối tứ diện ABCD là 2 4 A. V = . B. V = . C. V = 4 . D. V = 2 . 3 3
Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(0;1; ) 1 ,
B (1; −2;0) , C ( 2 − ;1;− )
1 . Diện tích tam giác ABC bằng bao nhiêu? 22 11 A. 22 . B. 2 22 . C. . D. . 2 2
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 9
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
►DẠNG 1. XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU. NHẬN BIẾT PT MẶT CẦU PHƯƠNG PHÁP:  2 2 2
. Dạng chính tắc: ( x a) ( y b) (z c) 2 − + − + −
= R , có tâm I (a; ; b c) , bán kính R.
. Dạng khai triển: 2 2 2
x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 , đk: 2 2 2
a + b + c − d  0 , có tâm I (a; ; b c) , bán kính 2 2 2 R =
a + b + c − d .
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu có phương 2 2
trình ( x + ) + ( y − ) 2 2 3 + z = 5 là :
A. I (2;3;0) , R = 5 . B. I ( 2 − ;3;0) , R = 5 . C. I (2;3; ) 1 , R = 5 .
D. I (2; − 2;0) , R = 5 . Lời giải Chọn B
Mặt cầu có tâm I ( 2
− ;3;0) và bán kính là R = 5 .
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z − 2x + 4 y − 4z − 25 = 0 .
Tìm tọa độ tâm I và bán kính mặt cầu (S ) . A. I (1; 2
− ;2); R = 34 . B. I ( 1 − ;2; 2 − ); R = 5 . C. I ( 2 − ;4; 4 − ); R = 29 . D. I (1; 2 − ;2); R = 6 . Lời giải Chọn A
Từ phương trình ta có : a =1,b = 2 − ,c = 2,d = 2 − 5.
Suy ra (S ) tâm I ( − ) R = + (− )2 2 2 1; 2; 2 ; 1 2 + 2 + 25 = 34 .
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình (S) 2 2 2
: x + y + z − 2x − 4 y − 6z + 5 = 0 . Tính diện tích mặt cầu ( S ) . A. 42 . B. 36 . C. 9 . D. 12 . Lời giải Chọn B
Mặt cầu (S ) có tâm I (1;2;3) và bán kính 2 2 2
R = 1 + 2 + 3 − 5 = 3.
Diện tích mặt cầu (S ) : 2 S = 4 R 2 = 4 3 = 36 .
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: 2 2 2 Câu 1.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) : ( x − 5) + ( y − )
1 + ( z + 2) = 16 . Tính
bán kính của (S ) . A. 4 . B. 16 . C. 7 . D. 5 .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 10
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 2 2 2 Câu 2.
Trong không gian Oxyz , mặt cầu ( x − )
1 + ( y − 2) + ( z + 3) = 4 có tâm và bán kính lần lượt là A. I (1; 2; 3
− ) , R = 2 . B. I ( 1 − ; 2 − ;3) , R = 2 . C. I (1; 2; 3 − ) , R = 4 . D. I ( 1 − ; 2 − ;3) , R = 4 . Câu 3.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình
(x + )2 +( y − )2 2 1 3
+ z = 16 . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó. A. I ( 1 − ;3;0) ; R =16. B. I ( 1 − ;3;0) ; R = 4 .
C. I (1; −3;0) ; R =16.
D. I (1; −3;0) ; R = 4 . Câu 4. Cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z − 2x + 4 y + 2z − 3 = 0 . Tính bán kính R của mặt cầu (S ) . A. R = 3 . B. R = 3 . C. R = 9 . D. R = 3 3 . Câu 5.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z − 6x + 4 y − 8z + 4 = 0 .
Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S ) . A. I (3; 2
− ;4), R = 25 . B. I (3; 2 − ;4), R = 5 . C. I ( 3 − ;2; 4 − ), R = 25 . D. I ( 3 − ;2; 4 − ), R = 5 . Câu 6.
Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z − 4x + 2 y − 6z −11 = 0 . Tìm tâm và bán kính của ( S ) là:
A. I ( 2; −1; 3) , R = 25 .
B. I ( − 2; 1; − 3) , R = 5 .
C. I ( 2; −1; 3) , R = 5 .
D. I ( − 2; 1; − 3) , R = 5 . Câu 7.
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho các phương trình sau, phương trình nào không
phải là phương trình của mặt cầu? 2 2 2 A. 2 2 2
x + y + z − 2x − 2 y − 2z − 8 = 0 . B. ( x + )
1 + ( y − 2) + ( z − ) 1 = 9 . C. 2 2 2
2x + 2 y + 2z − 4x + 2 y + 2z +16 = 0 . D. 2 2 2
3x + 3y + 3z − 6x +12 y − 24z +16 = 0 . Câu 8.
Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu? A. 2 2 2
x + y + z −10xy − 8y + 2z −1 = 0 . B. 2 2 2
3x + 3y + 3z − 2x − 6 y + 4z −1 = 0 . 2 C. 2 2 2
x + y + z − 2x − 4 y + 4z + 2017 = 0 . D. 2
x + ( y − z) − 2x − 4( y − z ) − 9 = 0 . Câu 9.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) x + ( y − )2 2 2 :
1 + z = 2 . Trong các điểm
cho dưới đây, điểm nào nằm ngoài mặt cầu (S ) ? A. M (1;1; ) 1 . B. N (0;1;0) . C. P (1;0; ) 1 . D. Q (1;1;0) . Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho phương trình 2 2 2
x + y + z − (m + ) 2 2
2 x + 4my − 2mz + 5m + 9 = 0 . Tìm m để phương trình đó là phương trình của một mặt cầu. A. 5 −  m  5 . B. m  5
− hoặc m 1. C. m  5 − . D. m  1.
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 11
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Câu 11. Trong không gian Oxyz , tìm tất cả các giá trị của
m để phương trình 2 2 2
x + y + z + 4x − 2 y + 2z + m = 0 là phương trình của một mặt cầu. A. m  6 . B. m  6 . C. m  6 . D. m  6 .
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I (1; 2 − ) ;1 và mặt phẳng
( ): x + 2y −2z −4 = 0 . Mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với ( ) có phương trình là 2 2 2 2 2 2 A. ( x − )
1 + ( y + 2) + ( z − ) 1 = 9 . B. ( x + )
1 + ( y − 2) + ( z + ) 1 = 9 . 2 2 2 2 2 2 C. ( x − )
1 + ( y + 2) + ( z − ) 1 = 3. D. ( x − )
1 + ( y + 2) + ( z − ) 1 = 3 .
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz giả sử tồn tại mặt cầu (S ) có phương trình 2 2 2
x + y + z − 4x + 8y − 2az + 6a = 0 . Nếu (S ) có đường kính bằng 12 thì các giá trị của a là A. a = 2 − ;a = 8 .
B. a = 2; a = 8 − . C. a = 2 − ;a = 4 .
D. a = 2; a = 4 − .
►DẠNG 2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT MỘT SỐ YẾU TỐ CHO TRƯỚC
PHƯƠNG PHÁP: Xác định được tâm và bán kính, hoặc là các hệ số , a , b , c d
. Mặt cầu có tâm I (a; ;
b c) , bán kính R thì có phương trình chính tắc là:
(x a)2 ( y b)2 (z c)2 2 − + − + − = R
. Mặt cầu có tâm I (a; ;
b c) và đi qua điểm A • 2 2
Tính bán kính R = IA = ( x − x ) + ( y − y A I A I )
• Viết phương trình mặt cầu.
. Mặt cầu có đường kính AB
• Tìm tọa độ tâm I (trung điểm của đoạn AB ) AB
(x − x )2 +( y − y )2
• Tính bán kính R = = B A B A 2 2
• Viết phương trình mặt cầu.
. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (hoặc là: Mặt cầu đi qua 4 điểm , A ,
B C, D có tọa độ cho trước) • Gọi mặt cầu 2 2 2 2 2 2
(S) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 (a + b + c − d  0)
• Thay tọa độ các điểm , A ,
B C, D vào phương trình mặt cầu, lập được hệ 4 phương trình 4 ẩn , a , b , c d .
• Kết luận phương trình cần lập.
. Mặt cầu có tâm I (a; ;
b c) Và tiếp xúc với mặt phẳng ( P) : Ax + By + Cz + D = 0
Aa + Bb + Cc + D
• Tính bán kính R = d (I,(P)) = 2 2 2 A + B + C • 2 2 2
Viết phương trình mặt cầu: ( x a) ( y b) (z c) 2 − + − + − = R
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 12
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ x − x y − y z − z
. Mặt cầu có tâm I (a; ;
b c) Và tiếp xúc với đường thẳng () 0 0 0 : = = u u u 1 2 3
• Xác đinh tọa độ điểm M ( x ; y ; z và véc tơ chỉ phương u (u ;u ;u của đường thẳng() 1 2 3 ) 0 0 0 ) M I,u  
• Tính bán kính R = d (I,()) 0 = u
• Viết phương trình mặt cầu.
B. BÀI TẬP MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S ) có tâm I ( 1
− ;4;2) và bán kính R = 9.
Phương trình của mặt cầu (S ) là: 2 2 2 2 2 2 A. ( x + )
1 + ( y − 4) + ( z − 2) = 81. B. ( x + )
1 + ( y − 4) + ( z − 2) = 9 . 2 2 2 2 2 2 C. ( x − )
1 + ( y + 4) + ( z − 2) = 9 . D. ( x − )
1 + ( y + 4) + ( z + 2) = 81 Lời giải Chọn A
Mặt cầu (S ) có tâm I ( 1
− ;4;2) và bán kính R = 9 nên (S ) có phương trình:
(x + )2 +( y − )2 +(z − )2 1 4 2 = 81.
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I ( 1
− ;2;0) và đi qua điểm A(2;− 2;0) là 2 2 2 2
A. ( x + ) + ( y − ) 2 1 2 + z =100.
B. ( x + ) + ( y − ) 2 1 2 + z = 5. 2 2 2 2
C. ( x + ) + ( y − ) 2 1 2 + z = 10.
D. ( x + ) + ( y − ) 2 1 2 + z = 25. Lời giải Chọn D Ta có: Tâm I ( 1 − ;2;0) và bán kính 2 2
R = IA = 3 + 4 = 5 .
Vậy phương trình mặt cầu có dạng: ( x + )2 + ( y − )2 2 1 2 + z = 25.
Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(−2;1;0) , B (2; 1
− ;2) . Phương trình của mặt cầu có
đường kính AB là
A. x + y + ( z − )2 2 2 1 = 24 .
B. x + y + ( z − )2 2 2 1 = 6 .
C. x + y + ( z − )2 2 2 1 = 24 .
D. x + y + ( z − )2 2 2 1 = 6 . Lời giải Chọn D x + x A B x = = 0  I 2   y + y
Gọi I là trung điểm của AB khi đó A By = = 0  I . I (0;0; ) 1 2   z + z A B z = = 1  I  2
IA = ( + )2 + ( − )2 + ( − )2 0 2 0 1 1 0 = 6 .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 13
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Mặt cầu đường kính AB nhận điểm I (0;0; )
1 làm tâm và bán kính R = IA = 6 có phương
trình là: x + y + ( z − )2 2 2 1 = 6 .
Ví dụ 4. Gọi (S ) là mặt cầu đi qua 4 điểm A(2;0;0) , B (1;3;0) , C ( 1 − ;0;3) , D(1;2;3) .
Tính bán kính R của (S ) . A. R = 2 2 . B. R = 3 . C. R = 6 . D. R = 6 . Lời giải Chọn D
Giả sử phương trình mặt cầu (S ) 2 2 2
x + y + z − ax − by − cz + d = ( 2 2 2 : 2 2 2
0 a + b + c − d  0)
Vì (S ) đi qua 4 điểm A(2;0;0), B (1;3;0),C ( 1
− ;0;3), D(1;2;3) nên ta có hệ phương trình:  4 − a + d = 4 − a = 0    2
− a − 6b + d = 1 − 0 b =1   
2a − 6c + d = 1 − 0 c = 1    2
− a − 4b − 6c + d = 1 − 4 d = 4 − 2 2 2  R = 0 +1 +1 −( 4 − ) = 6 .
Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz cho điểm I ( 1
− ;2;3) và mặt phẳng(P) : 4x + y − z −1= 0 . Viết phương
trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P) . A. 2 2 2
(x +1) + ( y − 2) + (z − 3) = 2 . B. 2 2 2
(x +1) + ( y − 2) + (z − 3) = 2 . C. 2 2 2
(x −1) + ( y + 2) + (z + 3) = 2 . D. 2 2 2
(x +1) + ( y − 2) + (z − 3) = 1 . Lời giải Chọn A
Gọi (S ) là mặt cầu tâm I , bán kính R và (S ) tiếp xúc với (P) : 4x + y − z −1 = 0 4.( 1 − ) + 2 − 3−1 6
Ta có d (I;( P)) = R  = = 2 2 2 2 4 +1 + ( 1) − 3 2
Vậy mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2
(x +1) + ( y − 2) + (z − 3) = 2 .
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 14. Phương trình mặt cầu tâm I (1; 2; − 3) bán kính R = 2 là: 2 2 2 A. 2 2 2
x + y + z − 2x − 4 y + 6z +10 = 0 . B. ( x − )
1 + ( y − 2) + ( z + 3) = 2 . 2 2 2 C. 2 2 2
x + y + z + 2x − 4 y − 6z +10 = 0 .
D. ( x + ) + ( y + ) + ( z − ) 2 1 2 3 = 2 .
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I ( ( 1; 2 − ;3) và đi qua điểm A(3;0;2) . 2 2 2 2 2 2 A. ( x − )
1 + ( y + 2) + ( z − 3) = 3 . B. ( x + )
1 + ( y − 2) + ( z + 3) = 9 . 2 2 2 2 2 2 C. ( x − )
1 + ( y + 2) + ( z − 3) = 9 . D. ( x + )
1 + ( y − 2) + ( z + 3) = 3 .
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm ( A 1
− ;1;2) , M (1;2;1) . Mặt cầu tâm A đi
qua M có phương trình là
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 14
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ A. 2 2 2
(x +1) + ( y −1) + (z − 2) = 1. B. 2 2 2
(x −1) + ( y +1) + (z + 2) = 6 . C. 2 2 2
(x +1) + ( y −1) + (z − 2) = 6 . D. 2 2 2
(x +1) + ( y −1) + (z − 2) = 6 .
Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I (1; 0; − )
1 và A(2; 2; − 3) . Mặt cầu (S ) tâm I và đi
qua điểm A có phương trình là. 2 2 2 2 A. ( x + ) 2
1 + y + ( z − ) 1 = 3 . B. ( x − ) 2 1 + y + ( z + ) 1 = 3 . 2 2 2 2 C. ( x + ) 2
1 + y + ( z − ) 1 = 9 . D. ( x − ) 2 1 + y + ( z + ) 1 = 9 .
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(6; 2; 5 − ), B( 4 − ;0;7). Viết phương
trình mặt cầu đường kính AB . 2 2 2 2 2 2
A. ( x + 5) + ( y + ) 1 + ( z − 6) = 62 . B. ( x − ) 1 + ( y − ) 1 + ( z − ) 1 = 62. 2 2 2 2 2 2 C. ( x + ) 1 + ( y + ) 1 + ( z + ) 1 = 62 .
D. ( x − 5) + ( y − ) 1 + ( z + 6) = 62 .
Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;3) và B (3; 2; )
1 . Phương trình mặt cầu đường kính AB là 2 2 2 2 2 2
A. ( x − 2) + ( y − 2) + ( z − 2) = 2 .
B. ( x − 2) + ( y − 2) + ( z − 2) = 4 . 2 2 C. 2 2 2
x + y + z = 2 . D. ( x − ) 2
1 + y + ( z − ) 1 = 4 .
Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A(2;1 ) ;1 , B (0;3; ) 1
− . Mặt cầu (S ) đường
kính AB có phương trình là 2 2
A. x + ( y − )2 2 2 2 + z = 3.
B. ( x − ) + ( y − ) 2 1 2 + z = 3 . 2 2 2 2 2 C. ( x − )
1 + ( y − 2) + ( z + ) 1 = 9 .
D. ( x − ) + ( y − ) 2 1 2 + z = 9 .
Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) có tâm I (2;1; ) 1
− và tiếp xúc với mp(P) có
phương trình: 2x − 2y − z + 3 = 0 Bán kính của mặt cầu (S ) là: 2 2 4 A. R = . B. R = . C. R = . D. R = 2 . 9 3 3
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : 2x + 2y − z − 3 = 0 và điểm
I (1; 2 − 3) . Mặt cầu (S ) tâm I và tiếp xúc mp ( P) có phương trình: A. 2 2 2
(S) : (x +1) + ( y − 2) + (z − 3) = 4 . B. 2 2 2
(S) : (x −1) + ( y − 2) + (z + 3) = 16 . C. 2 2 2
(S) : (x −1) + ( y − 2) + (z + 3) = 4 . D. 2 2 2
(S) : (x −1) + ( y − 2) + (z + 3) = 2 .
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới dây là phương trình mặt cầu có tâm I (1; 2; ) 1
− và tiếp xúc với mặt phẳng (P) : x − 2y − 2z −8 = 0 ? 2 2 2 2 2 2 A. ( x + )
1 + ( y + 2) + ( z − ) 1 = 3 . B. ( x − )
1 + ( y − 2) + ( z + ) 1 = 3 . 2 2 2 2 2 2 C. ( x − )
1 + ( y − 2) + ( z + ) 1 = 9 . D. ( x + )
1 + ( y + 2) + ( z − ) 1 = 9 .
Câu 24. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu (S ) đi qua bốn điểm
O, A(1;0;0), B (0; 2
− ;0) và C (0;0;4) . A. (S ) 2 2 2
: x + y + z + x − 2 y + 4z = 0 . B. (S ) 2 2 2
: x + y + z − 2x + 4 y − 8z = 0 .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 15
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ C. (S ) 2 2 2
: x + y + z − x + 2 y − 4z = 0 . D. (S ) 2 2 2
: x + y + z + 2x − 4 y + 8z = 0 .
Câu 25. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm I (0; 3
− ;0) . Viết phương trình của mặt cầu tâm
I và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz ) .
A. x + ( y + )2 2 2 3 + z = 3 .
B. x + ( y − )2 2 2 3 + z = 3 .
C. x + ( y − )2 2 2 3 + z = 3 .
D. x + ( y + )2 2 2 3 + z = 9 .
Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A( 1
− ;0;0) , B(0;0;2) , C (0; 3 − ;0). Bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là 14 14 14 A. . B. . C. . D. 14 . 3 4 2
Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A(1;1;3), B ( 1 − ;3;2),C ( 1
− ;2;3) . Mặt cầu tâm O và
tiếp xúc mặt phẳng ( ABC ) có bán kính R là 3 3 A. R = 3 . B. R = 3 . C. R = . D. R = . 2 2
Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) có tâm I (2;1; − 4) và mặt phẳng
(P): x + y − 2z +1= 0. Biết rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn
có bán kính bằng 1. Viết phương trình mặt cầu (S ) . 2 2 2 2 2 2
A. (S ) : ( x − 2) + ( y − ) 1 + ( z + 4) = 25 .
B. (S ) : ( x + 2) + ( y + ) 1 + ( z − 4) = 13. 2 2 2 2 2 2
C. (S ) : ( x + 2) + ( y + ) 1 + ( z − 4) = 25 .
D. (S ) : ( x − 2) + ( y − ) 1 + ( z + 4) = 13 .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 16
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
► DẠNG 1: TÌM MỘT VTPT CỦA MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP:
. Định nghĩa: Vectơ n  0 , n có giá vuông góc với
(P)  n là 1 VTPT của (P) . Chú ý:
• Nếu n là một VTPT của mặt phẳng (P) thì kn (k  0) cũng là một VTPT của mp (P)
• Nếu mp (P) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một VTPT là ( n ; A ; B C) .
• Nếu (P) có cặp u,v không cùng phương với nhau và có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng
(P) thì n = [u, v] là một VTPT của (P) .
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 3x + 2 y − 4z +1 = 0 . Vectơ nào sau đây là một
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) ?
A. n = 3; 2; 4 .
B. n = 2; − 4;1 .
C. n = 3; − 4;1 .
D. n = 3; 2; − 4 4 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) Lời giải Chọn D
Phương trình mặt phẳng ( ) có dạng: Ax + By + Cz + D = 0với A = 3; B = 2;C = 4 − ; D =1.
Suy ra ( ) có n = 3;2; − 4 là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( ) . 4 ( )
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : 2x − 3z + 4 = 0 . Vectơ nào dưới đây
có giá vuông góc với mặt phẳng ( P) ?
A. n = 2; − 3; 4 .
B. n = 2; 0; − 3 .
C. n = 3; 0; 2 .
D. n = 2; − 3; 0 4 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 ( ) Lời giải Chọn B
Vectơ n = 2; 0; − 3 có giá vuông góc với mặt phẳng ( P) vì là một vectơ pháp tuyến của ( P) . 1 ( )
Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(2; 1 − ;3) , B(4;0 ) ;1 và C ( 1
− 0;5;3) . Vectơ nào dưới
đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC ) ?
A. n = (1; 2; 2) . B. n = (1; 2 − ;2).
C. n = (1;8; 2) .
D. n = (1; 2;0) . Lời giải Chọn A
Ta có AB = (2;1; 2 − ) , AC = ( 1 − 2;6;0) , A ,
B AC = (12;24;24) =12.(1;2;2)  
 ( ABC) có một vectơ pháp tuyến là n = (1;2;2) .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 17
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Câu 1.
Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( P) : 3x − 2z −1 = 0 có một véctơ pháp tuyến là
A. u = (3;0; 2) . B. u = ( 3 − ;0;2) . C. u = (3; 2 − ;0). D. u = (3; 2 − ;− ) 1 . Câu 2.
Trong không gian Oxyz , một vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng 2x + 3y − z +1 = 0 là A. n = (2;3; ) 1 . B. n = (3; 2; ) 1 .
C. n = (2;3; − ) 1 .
D. n = (3;2; − ) 1 . Câu 3.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : 2x − 3z + 2 = 0. Vectơ nào dưới đây
là vectơ pháp tuyến của ( P)? A. n = ( 2 − ;3;0). B. n = (2; 3 − ; ) 1 . C. n = (2; 3 − ;2) . D. n = (2;0; 3 − ) . Câu 4.
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : x − 3y − 2z − 6 = 0 . Vecto nào
không phải là vecto pháp tuyến của ( ) ?
A. n = (1; − 3; − 2) . B. n = ( 1 − ;3;2) .
C. n = (1;3; 2) . D. n = ( 2 − ;6;4) . Câu 5.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm , A ,
B C không thẳng hàng. Tìm một
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC ). Chọn đáp án sai. 1 A. A , B AC   . B. A , B BC   . C. A . C BC . D. C , B C    A . 3 Câu 6.
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;1;0) , B (2; −1 )
;1 . Một vectơ pháp tuyến n của
mặt phẳng (OAB) là A. n = ( 3 − ;1;− ) 1 .
B. n = (1;−1; − 3) .
C. n = (1;−1;3) .
D. n = (1;1;3) . x y z Câu 7. Mặt phẳng (P) : + +
=1 có một vectơ pháp tuyến là: 2 3 2 −
A. n = (3;2;3) .
B. n = (2;3; − 2) .
C. n = (2;3;2) .
D. n = (3;2;− 3) . x y z Câu 8.
Trong không gian Oxyz , một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng + + =1 là 2 − 1 − 3 A. n = (3;6; 2 − ). B. n = (2; 1 − ;3) . C. n = ( 3 − ; 6 − ; 2 − ) . D. n = ( 2 − ; 1 − ;3) . Câu 9.
Toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm M (2;0;0) , N (0; 3 − ;0) , P (0;0; 4) là A. (2; 3 − ;4) . B. ( 6 − ;4; 3 − ) . C. ( 6 − ; 4 − ;3) . D. ( 6 − ;4;3) .
Câu 10. Toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm M (2;0;0) , N (0; 3 − ;0) , P (0;0; 4) là A. (2; 3 − ;4) . B. ( 6 − ;4; 3 − ) . C. ( 6 − ; 4 − ;3) . D. ( 6 − ;4;3) .
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A( 3 − ;−1;3) , B( 1 − ;3 ) ;1 và ( P) là mặt
phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . Một vectơ pháp tuyến của ( P) có tọa độ là:
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 18
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ A. ( 1; − 3 ) ;1 . B. (−1;1; 2) . C. ( 3 − ;−1;3) . D. (1; 2; − ) 1 .
Câu 12. Trong không gian với hệ trục độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2 − ) ;1 , B ( 1 − ;3;3) , C (2; 4 − ;2) . Một
véc tơ pháp tuyến n của mặt phẳng ( ABC ) là: A. n = ( 1 − ;9;4) . B. n = (9; 4; 1 − ) . C. n = (4;9; 1 − ) .
D. n = (9; 4;11) . 1 4 3 2
Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt phẳng ( ) song song mặt phẳng
(P):3x − 2y + z + 7 = 0. Tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( ) .
A. n = (3; − 2; ) 1 . B. n = ( 1 − ;3;2) . C. n = (3; 2; ) 1 .
D. n = (3; − 2; − ) 1 .
Câu 14. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng (Oyz ) có
một vecto pháp tuyến là: A. k = (0;0; ) 1 . B. n = (0;1 ) ;1 .
C. j = (0;1;0) . D. i = (1;0;0).
Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm ( A 1 − ;0;1), B( 2 − ;1;1) . () là mặt
phẳng trung trực của đoạn AB .Tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng () . A. n = ( 1 − ;1;0). B. n = (1;1 ) ;1 .
C. n = (1;1;0) .
D. n = (0;1; − ) 1 .
►DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP:
. Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.
⬧ Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M ( x ; y ; z và nhận vectơ n = ( ; A ;
B C ) làm VTPT có phương 0 0 0 )
trình dạng ( ) : A( x − x + B y − y + C z − z = 0 hay ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 . 0 ) ( 0 ) ( 0 )
⬧ Mặt phẳng ( ) đi qua điểm ba điểm A( ; a 0; 0), A(0; ;
b 0) A(0;0;c) có phương trình theo đoạn
chắn: x + y + z =1. a b c
. Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua 1 điểm M ( x ; y ; z và song song với 1 mặt phẳng 0 0 0 )
( ): Ax + By +Cz + D = 0cho trước.
⬧ VTPT của ( ) là n = ( ; A B;  C ) ( )
⬧ Vì ( ) // ( ) nên VTPT của mặt phẳng ( ) là n = n = ( ; A ;   B C ) ( ) ( )
⬧ Phương trình mặt phẳng ( ) : A( x − x + B y − y + C z − z = 0 0 ) ( 0 ) ( 0 )
. Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua 3 điểm ,
A B, C không thẳng hàng.
⬧ Tìm tọa độ các vectơ: A , B AC
⬧ Vectơ pháp tuyến của ( ) là: n = AB AC ( ) ,   
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 19
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
⬧ Điểm thuộc mặt phẳng là A (hoặc B hoặc C )
⬧ Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT (n)
. Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua hai điểm ,
A B và vuông góc với mặt phẳng (  ) .
⬧ Tìm VTPT của ( ) là (n)
⬧ Tìm tọa độ vectơ AB
⬧ VTPT của mặt phẳng ( ) là n = n AB ( )  ( ) ,   
⬧ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
A. BÀI TẬP MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào được cho dưới đây là phương trình
mặt phẳng (Oyz) ?
A. x = y + z .
B. y − z = 0 .
C. y + z = 0 . D. x = 0 . Lời giải Chọn D
Mặt phẳng (Oyz) đi qua O(0;0;0) và nhận n = (1;0;0) làm vec tơ pháp tuyến nên phương
trình mặt phẳng (Oyz ) là x = 0 .
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;5; 2
− ) , B(3;1;2) . Viết phương trình mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng AB .
A. 2x + 3y + 4 = 0 .
B. x − 2y + 2x = 0 .
C. x − 2y + 2z + 8 = 0 . D. x − 2 y + 2z + 4 = 0 . Lời giải Chọn D Ta có: AB = (2; 4
− ;4) là một VTPT của mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB .
Gọi I là trung điểm của AB I (2;3;0) .
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua điểm I và có VTPT n = (2; 4 − ;4) nên có
phương trình là: 2( x − 2) − 4( y − 3) + 4( z − 0) = 0  x − 2y + 2z + 4 = 0 .
Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng chứa trục Oz và vuông góc với mặt phẳng
( ):x − y + 2z −1= 0 có phương trình là
A. x + y = 0 .
B. x + 2 y = 0 .
C. x − y = 0 .
D. x + y −1 = 0 . Lời giải Chọn A
Mặt phẳng ( ) :x − y + 2z −1 = 0 có vectơ pháp tuyến n = (1;−1;2  )
Trên trục Oz có vectơ đơn vị k = (0;0; ) 1
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 20
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Mặt phẳng chứa trục Oz và vuông góc với mặt phẳng ( ) là mặt phẳng qua O và nhận
n ;k  = ( 1 − ;−1;0  )   làm vectơ pháp tuyến.
Do đó có phương trình −x − y = 0  x + y = 0 .
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 16. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (Oxz ) có phương trình là A. z = 0 .
B. x + y + z = 0 . C. y = 0 . D. x = 0 .
Câu 17. Cho hai điểm A(1;3; 4 − ) , B( 1
− ;2;2) . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là
A. 4x + 2y −12z −17 = 0 .
B. 4x + 2y +12z −17 = 0 .
C. 4x − 2y −12z −17 = 0 .
D. 4x − 2y +12z +17 = 0 .
Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 1 − ;2) và mặt phẳng
(P):2x − y + z +1= 0. Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với (P) . Phương trình
mặt phẳng (Q) là
A. (Q) : 2x − y + z − 5 = 0 .
B. (Q) : 2x − y + z = 0 .
C. (Q) : x + y + z − 2 = 0 .
D. ( P) : 2x + y − z +1 = 0 .
Câu 19. Cho 3 điểm A(2;1; − ) 1 , B ( 1 − ;0;4),C (0; 2 − ;− )
1 . Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm ,
A B, C là
A. x − 2 y − 5z − 5 = 0 .
B. 2x − y + 5z − 5 = 0 .
C. x − 2y − 5 = 0 .
D. x − 2 y − 5z + 5 = 0 .
Câu 20. Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng đi qua ba điểm (
A 1; 0; 0) , B(0; 1 − ;0) ,  1  C 0; 0;   là  2 
A. x − y + 2z −1 = 0 .
B. x − y + 2z = 0 . z
C. x − y + 2z +1 = 0 .
D. x − y + −1= 0 . 2
Câu 21. Cho hai điểm A(1; −1;5) , B (0;0 )
;1 . Mặt phẳng ( P) chứa ,
A B và song song với trục Oy có phương trình là
A. 4x − z +1 = 0 .
B. 4x + y − z +1 = 0 .
C. 2x + z − 5 = 0 .
D. x + 4z −1 = 0 .
Câu 22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt phẳng chứa hai điểm A(1;0; ) 1 , B ( 1 − ;2;2) và song
song với trục Ox có phương trình là
A. y − 2z + 2 = 0 .
B. x + 2z − 3 = 0 .
C. 2y − z +1 = 0 .
D. x + y − z = 0 .
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa trục Oz và điểm M (1; 2 ) ;1 .
A. ( P) : y − 2z = 0 .
B. ( P) : 2x − y = 0 .
C. ( P) : x − z = 0 .
D. ( P) : x − 2 y = 0 .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 21
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Câu 24. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy) và đi qua điểm ( A 1;1;1) có phương trình là A. y −1 = 0 .
B. x + y + z −1 = 0 . C. x −1 = 0 . D. z −1 = 0 .
Câu 25. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oyz ) và đi qua điểm ( A 1 − ; 1 − ; 1
− ) có phương trình là A. y −1 = 0 .
B. x + y + z −1 = 0 . C. x +1 = 0 . D. z −1 = 0 .
Câu 26. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x − 2 y + 2z − 5 = 0 và hai điểm A(−3;0; ) 1 , B (0; 1
− ;3) . Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng ( P) .
A. x − 2y + 2z −1 = 0 .
B. x − 2y − 2z +1 = 0 .
C. x − 2 y − 2z −1 = 0 .
D. x − 2 y + 2z +1 = 0 .
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; − )
1 ; B (2;1;0) mặt phẳng
(P):2x + y −3z +1= 0. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ;
A B và vuông góc với ( P) . Phương trình
mặt phẳng (Q) là
A. 2x + 5y + 3z − 9 = 0 .
B. 2x + y − 3z − 7 = 0 .
C. 2x + y − z − 5 = 0 .
D. x − 2 y − z − 6 = 0 .
Câu 28. Trong hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z − 2x − 4 y − 6z = 0 cắt các trục O , x Oy,Oz
lần lượt tại các điểm ,
A B,C ( khác O ) . Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là x y z x y z x y z x y z A. − − =1. B. + + =1. C. + + = 0. D. + − =1. 2 4 6 2 4 6 2 4 6 2 4 6 x − 2 y − 6 z + 2
Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo nhau d : = = và 1 2 2 − 1 x − 4 y +1 z + 2 d : = =
. Phương trình mặt phẳng ( P) chứa d và ( P) song song với đường 2 1 3 2 − 1 thẳng d là 2
A. ( P) : x + 5y + 8z −16 = 0 .
B. ( P) : x + 5y + 8z +16 = 0 .
C. ( P) : x + 4 y + 6z −12 = 0 .
D. ( P) : 2x + y − 6 = 0 . x +1 y −1 z
Câu 30. Cho A(1; 1 − ;0) và d : = =
. Phương trình mặt phẳng ( P) chứa A và d là 2 1 3 −
A. x + 2 y + z +1 = 0 .
B. x + y + z = 0 .
C. x + y = 0 .
D. y + z = 0 .
► DẠNG 3: ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP:
 Điểm M ( x ; y ; z P : Ax + By + Cz + D = 0  Ax + By + Cz + D = 0 0 0 0 ) ( ) 0 0 0
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 22
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng ( P) : 2x − y + z − 2 = 0 ? A. Q (1; 2 − ;2) . B. P (2; 1 − ;− ) 1 . C. M (1;1; ) 1 − . D. N (1; 1 − ;− ) 1 . Lời giải Chọn D
Thay toạ độ điểm Q vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được 2.1− ( 2
− ) + 2 − 2 = 4  0 nên Q  ( P) .
Thay toạ độ điểm P vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được 2.2 − (− ) 1 + (− ) 1 − 2 = 2  0 nên P  ( P) .
Thay toạ độ điểm M vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được 2.1−1+ (− ) 1 − 2 = 2 −  0 nên M  ( P) .
Thay toạ độ điểm N vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được 2.1− (− ) 1 + (− ) 1 − 2 = 0 nên N ( P) .
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 2x − y + 3z − 7 = 0 và
( ): x − 2y + z − 2 = 0 . Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây? A. Q(2; 1 − ;3) . B. M (1;0; 3 − ) . C. P( 1 − ;0;3) . D. N (1; 2 − ;1). Lời giải Chọn C P   () Điểm  P d . P   (    )
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 31. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng 3x − 5y + z − 2 = 0 đi qua điểm nào sau đây?
A. M (1; 2; − ) 1 . B. N (1;1; − ) 1 .
C. P (2;0; − 3) . D. Q (1;0; − ) 1 .
Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : 2x − y + z −1 = 0 đi qua điểm nào dưới đây?
A. P (1; −2;0) . B. M (2; 1 − ; ) 1 . C. N (0;1; 2 − ) . D. Q (1; 3 − ; 4 − ) .
Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm M (3; 4; 2
− ) thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
A. (S ) : x + y + z + 5 = 0.
B. ( P) : z − 2 = 0 .
C. (Q) : x −1 = 0 .
D. ( R) : x + y − 7 = 0 .
Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : x + y + z − 6 = 0 . Điểm nào dưới
đây không thuộc mặt phẳng ( ) ? A. P (1; 2;3) . B. Q (3;3;0) . C. M (1; 1 − ) ;1 .
D. N (2; 2; 2) .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 23
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Câu 35. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : 2x − y + z −1 = 0 . Điểm nào
sau đây thuộc mặt phẳng ( P) ? A. M (2; −1 ) ;1 .
B. N (0;1; − 2) .
C. Q (1; − 3; − 4) .
D. H (1; − 2;0) .
Câu 36. Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng ( P) : 2x − y + z − 2 = 0 ? A. M (1;1; ) 1 − . B. Q (1; 2 − ;2) . C. P (2; 1 − ;− ) 1 . D. N (1; 1 − ;− ) 1 .
Câu 37. Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng ( ) :− x + y + 3z − 2 = 0 ? A. (1; − 3; 2) . B. (1; 2;3) . C. (1;3; 2) . D. (−1; − 3; 2) .
Câu 38. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( P) : x − 2 y + 3z −10 = 0 cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng A. 10. B. 10 − . C. 5. D. 0.
Câu 39. Trong không gian Oxyz , hình chiếu của điểm M (1; 2;3) trên mặt phẳng (Oxy) là A. (1; 2;0) . B. (1; 0;3) . C. (0; 2;3) . D. (0; 0;3) .
Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1; 2
− ;3) . Tìm tọa độ điểm A là hình
chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Oyz) . A. A(1; 2 − ;3). B. A(1; 2 − ;0) . C. A(1;0;3) . D. A(0; 2 − ;3).
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 24
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
►DẠNG 1: TÌM MỘT VTCP CỦA ĐƯỜNG THẲNG PHƯƠNG PHÁP:
. Định nghĩa: Vectơ u  0 , u có giá song song hoặc
trùng với d u là 1 VTCP của đường thẳng d . 
. Chú ý:
Nếu u là một VTCP của đường thẳng d thì ku (k  0) là một VTCP của đường thẳng d
x = x + a t 0 1 
• Nếu  có trình tham số của dạng: y = y + a t, t
thì  có 1 VTCP là a = (a ;a ;a 1 2 3 ) 0 2 ( )
z = z + a t  0 3 − − − • x x y y z z
Nếu a a a  0 thì 0 0 0 = =
được gọi là phương trình chính tắc. 1 2 3 a a a 1 2 3
• Nếu  có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d thì  có 1
VTCP là a = [u , n p ] d
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian
Oxyz cho đường thẳng
song song với đường thẳng x 2 t d : y 1 t
. Một vectơ chỉ phương của là z 1 3t A. a (2;0; 6 − ) . B. b( 1 − ;1;3). C. v (2;1;− ) 1 . D. u (1;0;3) . Lời giải Chọn A
Theo phương trình tham số của đường thẳng thì ta thấy
có một vectơ chỉ phương là a (2;0; 6 − ) .
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng x −1 y − 2 z d : = = 2 1 − ? 3 A. (2; −1;3) . B. (2;1;3) . C. (1; −2;0) . D. (1; 2;0) . Lời giải Chọn A
Theo phương trình chính tắc của đường thẳng d thì ta thấy d có một vectơ chỉ phương là (2;−1;3).
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 25
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d song song với trục Oy . Đường thẳng d có một
vectơ chỉ phương là
A. u = 2019; 0; 0 .
B. u = 0; 2021; 0 . 2 ( ) 1 ( )
C. u = 0; 0; 2019 .
D. u = 2020; 0; 2020 . 4 ( ) 3 ( ) Lời giải Chọn B
Vì đường thẳng d song song với trục Oy nên vectơ chỉ phương của d cùng phương với vectơ
đơn vị j = (0; 1; 0) . Vậy đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u = 0; 2021; 0 . 2 ( )
Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz , đường thẳng qua hai điểm M ( 2
− ;1;2) , N (3;−1;0) có một vectơ chỉ phương là
A. u = (1;0; 2) .
B. u = (5; − 2; − 2) . C. u = ( 1; − 0;2) .
D. u = (5;0; 2) . Lời giải Chọn B
Đường thẳng đi qua hai điểm M ( 2
− ;1;2) và N (3;−1;0) nhận MN = (5;− 2;− 2) làm một VTCP.
Vậy u = (5; − 2; − 2) cũng là một VTCP của đường thẳng đã cho.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: x −1 y − 2 z − 3 Câu 1.
Trong không gian Oxyz ,đường thẳng d : = =
có vectơ chỉ phương là 2 1 − 2 A. 1 u = (1; 2;3) . B. u = 2 (2;1;2) . C. u = − 3 (2; 1;2).
D. u = − − − 4 ( 1; 2; 3). x y +1 z Câu 2.
Vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng d : = = ? 2 3 − 1
A. u = (2;− 6; ) 1 .
B. u = (4; − 6; 2) .
C. u = (1; − 3;2) . D. u = (2;3; ) 1 . Câu 3.
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng : x 2z 3 0 .
Một véc tơ chỉ phương của là A. a (1;0;2) . B. b (2; 1 − ;0). C. v (1;2;3) . D. u (2;0;− ) 1 . Câu 4.
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P) : 2x − 3z + 5 = 0 .
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là A. u = (2; 3 − ;5). B. u = (2;0; 3 − ) . C. u = (2; 3 − ;0) .
D. u = (2;0;3) .  x =1− tCâu 5.
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y = 2
− + 2t . Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ  z =1+t
phương của d ? A. u = (1; 2 − ; ) 1 . B. u = (1; 2 ) ;1 . C. u = ( 1 − ; 2 − ; ) 1 . D. u = ( 1 − ;2; ) 1 .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 26
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZx = 1+ 2tCâu 6.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y = 2 + (m − )
1 t . Tìm tất cả các  z = 3 − t
giá trị của tham số m để d có thể viết được dưới dạng chính tắc? A. m  R . B. m  1 − . C. m  1. D. m = 1. Câu 7.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1; − 2;0) ; B (3; 2; − 8) . Tìm một vectơ
chỉ phương của đường thẳng AB .
A. u = (1;2;− 4) .
B. u = (2;4;8) . C. u = ( 1 − ;2;− 4) .
D. u = (1;− 2;− 4) . Câu 8.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1; 2; 2) , B (3; − 2;0) . Một vectơ chỉ
phương của đường thẳng AB là
A. u = (1; 2; − ) 1 .
B. u = (2; − 4; 2) .
C. u = (2; 4; − 2) . D. u = ( 1 − ;2; ) 1 . Câu 9.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OA = 2i + 3 j − 5k ; OB = 2
− j − 4k . Tìm một vectơ
chỉ phương của đường thẳng AB .
A. u = (2;5; − ) 1 .
B. u = (2;3; − 5) . C. u = ( 2 − ;−5;− ) 1 .
D. u = (2;5; − 9) . x − y − z +
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 2 1 d : = = nhận vectơ 2 1 2 u = ( ;
a 2;b) là vectơ chỉ phương. Tính a + . b A. 8 − . B. 8 . C. 4 . D. −4 .
►DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG PHƯƠNG PHÁP:
. Xác định một điểm cố định M ( x ; y ;z 0 0 0 ) thuộc  .
. Xác định một vectơ chỉ phương a(a ;a ;a 1 2 3 ) của  .
. Viết PT đường thẳng:
x = x + a t 0 1 
Phương trình tham số của  có dạng:  : y = y + a t ,t  . 0 2 z = z +  a t 0 3 x − x y − y z − z
Phương trình chính tắc của  có dạng: 0 0 0 = =
, ( a .a .a  0 ) a a a 1 2 3 1 2 3
A. VÍ DỤ MINH HỌA: x = 2 + 2t
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y = 3 − t . Phương trình chính z = 3 − + 5  t
tắc của d là
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 27
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ x − 2 y + 3 z + 3 x + 2 y z − 3 A. = = . B. = = . 2 3 − 5 2 3 − 5 x y z x − 2 y z + 3 C. = = . D. = = . 2 3 − 5 2 3 − 5 Lời giải Chọn D x − 2 t =  2 x = 2 + 2t    y
Ta có: d :  y = −3tt  = . 3 −   z = −3 + 5t   z + 3 t =  5 − +
Do đó phương trình chính tắ x 2 y z 3 c của d là: = = . 2 3 − 5
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , trục Ox có phương trình tham số là x = 1 x = tx = 0 x = t     A. y = 0 . B. y = 0 .
C. y = t . D. y = 1 .     z = tz = 0  z = tz = 1  Lời giải Chọn B
Trục Ox đi qua O(0;0;0) và nhận i = (1;0;0) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình x = t
tham số là  y = 0 .z = 0 
Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M (2; 1 − ; ) 3 và
có vectơ chỉ phương u (1;2; 4 − ) là x +1 y + 2 z − 4 x −1 y − 2 z + 4 A. = = . B. = = . 2 1 − 3 2 1 − 3 x + 2 y −1 z + 3 x − 2 y +1 z − 3 C. = = . D. = = . 1 2 4 − 1 2 4 − Lời giải Chọn D
Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M ( x ; y ; z và có vectơ chỉ phương 0 0 0 ) x − x y − y z − z u ( ; a ; b c) với . a . b c  0 là 0 0 0 = =
nên phương trình đường thẳng cần tìm là a b c x − 2 y +1 z − 3 = = . 1 2 4 −
Ví dụ 4. Cho điểm A(1; 2;3) và hai mặt phẳng ( P) : 2x + 2 y + z +1 = 0 , (Q) : 2x − y + 2z −1 = 0 . Phương
trình đường thẳng d đi qua A song song với cả ( P) và (Q) là x −1 y − 2 z − 3 x −1 y − 2 z − 3 A. = = . B. = = . 1 1 4 − 1 2 6 −
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 28
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ x −1 y − 2 z − 3 x −1 y − 2 z − 3 C. = = . D. = = . 1 6 2 5 2 − 6 − Lời giải Chọn D
Ta có ( P) : 2x + 2 y + z +1 = 0 có một véctơ pháp tuyến là n = (2;2; ) ( ) 1 . P
(Q):2x − y + 2z −1= 0 có một véctơ pháp tuyến là n = (2; 1 − ;2 . Q ) ( )
Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là u . d u  ⊥ n d  (P)
Do đường thẳng d song song với ( P) và (Q) nên 
u = n ,n  = − − . d P Q (5; 2; 6)  ( ) ( )  u  ⊥ n d  (Q)
Mặt khác đường thẳng d đi qua A(1;2;3) và có véctơ chỉ phương u = (5; 2 − ; 6 − nên phương d ) x − y − z − trình chính tắc của 1 2 3 d là = = . 5 2 − 6 −
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 11. Cho đường thẳng  đi qua điểm M (2;0; 1
− ) và có vectơ chỉ phương a = (2; 3 − ;1) . Phương
trình tham số của đường thẳng  là x = 2 + 2tx = 2 − + 4tx = 2 − + 2tx = 4 + 2t     A. y = 3 − t . B. y = 6 − t . C. y = 3 − t . D. y = 3 − t .     z = 1 − + tz = 1+ 2tz = 1+ tz = 2 + t
Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng d đi qua
gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương u = (1;3;2) là x = 0 x =1  
A. d :  y = 3t (t  ) .
B. d :  y = 3 (t  ) .   z = 2tz = 2  x = tx = t −  
C. d :  y = 3t (t  ) .
D. d :  y = 2
− t (t  ) .   z = 2tz = 3 − t
Câu 13. Trong không gian Oxyz , đường thẳng Oz có phương trình là x = 0 x = 0 x = tx = 0    
A. y = t . B. y = 0 . C. y = 0 .
D. y = t .     z = tz = 1+ tz = 0  z = 0 
Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  đi qua điểm M (2;0; − ) 1 và có một vectơ chỉ phương a = (4; 6
− ;2). Phương trình tham số của  là x = 2 − + 4tx = 2 + 2tx = 4 + 2tx = 2 − + 2t    
A. y = 6t . B. y = 3 − t . C. y = 6 − .
D. y = 3t .     z = 1+ 2tz = 1 − + tz = 2 + tz = 1+ t
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 29
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Câu 15. Trong không gian tọa độ Oxyz , đường thẳng đi qua điểm I (1; −1; − ) 1 và nhận u = ( 2 − ;3;−5)
là vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là x −1 y −1 z +1 x −1 y −1 z −1 A. = = . B. = = . 2 3 5 2 3 5 x −1 y +1 z +1 x −1 y −1 z +1 C. = = . D. = = . 2 − 3 5 − 2 3 − 5
Câu 16. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d đi qua điểm E ( 1
− ;0;2) và có vectơ chỉ phương
a = (3;1; − 7) . Phương trình của đường thẳng d là x −1 y z + 2 x +1 y z − 2 x −1 y z − 2 x +1 y z − 2 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 3 1 7 − 3 1 7 − 1 1 3 − 1 1 3
Câu 17. Trong không gian tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường
thẳng đi qua hai điểm A(1; −2;5) và B (3;1; ) 1 ? x − 3 y −1 z −1 x −1 y + 2 z − 5 A. = = . B. = = . 1 2 − 5 1 2 − 5 x −1 y + 2 z − 5 x +1 y − 2 z + 5 C. = = . D. = = . 2 3 4 − 2 3 4 −
Câu 18. Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(−3;1; 2) , B (1; 1 − ;0) là x −1 y +1 z x + 3 y −1 z − 2 A. = = . B. = = . 2 − 1 − 1 2 1 1 − x + 3 y −1 z − 2 x −1 y +1 z C. = = . D. = = . 2 1 − 1 2 1 − 1 −
Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho điểm (
A 1; 2 ; 3) và mặt phẳng (P) : 3x − 4 y + 7z + 2 = 0 . Đường
thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là x = 3+ tx =1+ 3t   A. y = 4
− + 2t (t  ) .
B. y = 2 − 4t (t  ) .   z = 7 + 3  t z = 3 + 7  tx =1− 3tx =1− 4t  
C. y = 2 − 4t (t  ) .
D. y = 2 + 3t (t  ) .   z = 3 + 7  t z = 3 + 7  t
Câu 20. Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (1; − 2;3) và vuông
góc với mặt phẳng (P) : x + y − 2z + 3 = 0 . x = 2 + tx =1+ tx =1+ tx =1− t     A. y = 1 − + t .
B. y = 2 + t .
C. y =1− 2t .
D. y =1+ 2t .     z = 1− 2tz = 3 − 2tz = 2 − + 3tz = 2 − − 3t
Câu 21. Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua điểm M (1; 2; 3 − ) và vuông góc với
mặt phẳng (P) : x − y + 2z −1 = 0 là x −1 y − 2 z + 3 x −1 y + 2 z − 3 A. = = = = 1 − 1 − . B. 2 1 1 − . 2
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 30
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ x −1 y − 2 z + 3 x −1 y − 2 z + 3 C. = = . D. = = . 1 1 2 1 1 − 2 x = 2 + 2t
Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình tham số y = 3 − t ;t  . Khi z = 3 − + 5t
đó phương trình chính tắc của d là x − 2 y z + 3 x − 2 y z − 3 A. = = . B. = = . 2 3 − 5 2 3 − 5
C. x − 2 = y = z − 3 .
D. x + 2 = y = z − 3 . x − y − z +
Câu 23. Trong hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1 2 2 d : = =
. Phương trình nào sau đây là 1 2 − 3
phương trình tham số của d ? x =1 x =1+ tx =1+ tx =1    
A. y = 2 − t .
B. y = 2 + 2t .
C. y = 2 − 2t .
D. y = 2 + t .     z = 2 − + 3tz = 1+ 3tz = 2 − + 3tz = 1− t
Câu 24. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; − )
1 , B (2; 4;3), C (2; 2; − ) 1 . Phương
trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là x =1 x = x = x =  1 1 1   
A. y = 4 + t .
B. y = 4 + t .
C. y = 4 + t .
D. y = 4 − t .     z = 1 − + 2  t z = 1 + 2  t z = 1 − − 2  t z = 1 − + 2  t
Câu 25. Cho điểm A(1; 2;3) và hai mặt phẳng ( P) : 2x + 2 y + z +1 = 0 , (Q) : 2x − y + 2z −1 = 0 . Phương
trình đường thẳng d đi qua A song song với cả ( P) và (Q) là x −1 y − 2 z − 3 x −1 y − 2 z − 3 A. = = . B. = = . 1 1 4 − 1 2 6 − x −1 y − 2 z − 3 x −1 y − 2 z − 3 C. = = . D. = = . 1 6 2 5 2 − 6 −
Câu 34. Trong không gian tọa độ Oxyz , gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : x − 3y + z = 0 và
( ): x + y − z + 4 = 0. Phương trình tham số của đường thẳng d là x = 2 − tx = 2 + tx = 2 − + tx = 2 + t    
A. y = t .
B. y = t .
C. y = t .
D. y = t .     z − 2 − 2tz = 2 + 2tz = 2 + 2tz = 2 − + 2t
Câu 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P) : x + y − z −1 = 0 và đường − + + thẳng x 4 y 2 z 1 d : = =
. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của 2 − 2 1
d trên mặt phẳng ( P) . x y + 2 z +1 x y − 2 z −1 A. = = . B. = = . 5 7 2 5 − 7 2 x y + 2 z +1 x y − 2 z −1 C. = = . D. = = . 5 − 7 2 5 7 2
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 31
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
►DẠNG 3: TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG VÀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐT VÀ MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP:
x = x + at 0 
Phương trình tham số của d : y = y + bt . 0
z = z +ct  0
Điểm M d M ( x + a t ; y + a t ; z + a t . 0 1 0 2 0 3 )
M ( P)  A( x + at + B y + bt + C z + ct + D = 0 0 ) ( 0 ) ( 0 )
từ đó suy ra t rồi suy ra tọa độ giao điểm M .
A. VÍ DỤ MINH HỌA: x − y + z +
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 3 2 1 d : = = 2 1 − 4
Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d .
A. M (1; −1; − 5) .
B. M (1; −1;3) .
C. M (3; − 2; − ) 1 .
D. M (5; − 3;3) . Lời giải Chọn B 1− 3 1 − + 2 5 − +1
Thử đáp án A ta được: = = = 1
− . Suy ra M thuộc đường thẳng d . 2 1 − 4 1− 3 1 − + 2 3+1
Thử đáp án B ta được: = 
. Suy ra M không thuộc đường thẳng d . 2 1 − 4 3 − 3 2 − + 2 1 − +1
Thử đáp án C ta được: = =
= 0. Suy ra M thuộc đường thẳng d . 2 1 − 4 5 − 3 3 − + 2 3+1
Thử đáp án D ta được: = =
=1. Suy ra M thuộc đường thẳng d . 2 1 − 4 x − 2 y −1 z
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng 1 − 2 2
(P): x + 2y − z −5 = 0 . Tọa độ giao điểm của d và (P) là A. (2;1; ) 1 − . B. (3; 1 − ; 2 − ) . C. (1;3; 2 − ) . D. (1;3; 2) . Lời giải Chọn D x = 2 − t  y =1+ 2t Xét hệ: 
 2 − t + 2 (1+ 2t ) − 2t − 5 = 0 z = 2t
x + 2y − z −5 = 0
t =1  A(1;3;2) là tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
x − 3 y +1 z
Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , giao điểm của đường thẳng d : = = 1 1 và mặt phẳng − 2
(P) : 2x − y − z − 7 = 0 có tọa độ là
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 32
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ A. (3; 1 − ;0). B. (0;2; 4 − ) . C. (6; 4 − ;3). D. (1; 4; 2 − ) Lời giải Chọn A x = 3 + t
Phương trình tham số của d: y = 1 − − t z = 2t
Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ: x = 3 + tx = 3 + tx = 3  y 1 t  y 1 t  = − − = − − y = 1 −     z 2t z 2t  = = z = 0   
2x − y − z − 7 = 0 2(3+ t)+1+ t − 2t − 7 = 0 t  = 0
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là: (3; 1 − ;0).
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: x −1 y z + 2
Câu 36. Trong không gian Oxyz, đường thẳng d : = =
đi qua điểm nào dưới đây? 2 3 1 A. M ( 1 − ;0;2). B. N (2; 3; ) 1 .
C. P (1; 0; 2) .
D. Q (1; 0; − 2) . x − y + z +
Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 3 2 1 d : = = 2 1 − 4
Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d .
A. M (1; −1; − 5) .
B. M (1; −1;3) .
C. M (3; − 2; − ) 1 .
D. M (5; − 3;3) .
Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho điểm A(3; −2; )
1 . Đường thẳng nào sau đây đi qua A ? x − 3 y + 2 z −1 x + 3 y + 2 z −1 A. = = . B. = = . 1 1 1 1 1 1 x − 3 y − 2 z −1 x − 3 y + 2 z +1 C. = = = = 4 2 − 1 − . D. 4 2 − 1 − . x = 1+ 2t
Câu 39. Trong không gian với hệ trục độ Oxyz , cho phương trình đường thẳng  :  y = 1 − + 3t . z = 2 − t
Trong các điểm dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng  ? A. (1;4; 5 − ) . B. ( 1 − ; 4 − ;3) . C. (2;1; ) 1 . D. ( 5 − ; 2 − ; 8 − ) . x = 2 − t
Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng  :  y = 1
không đi qua điểm nào sau z = 2 − + 3t  đây? A. M (2;1; 2 − ) . B. P (4;1; 4 − ). C. Q (3;1; 5 − ) .
D. N (0;1; 4) . x − 2 y z +1
Câu 41. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  : = =
. Tọa độ điểm M là giao điểm 3 − 1 2
của  với mặt phẳng ( P) : x + 2y −3z + 2 = 0 :
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 33
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ A. M (5; 1 − ; 3 − ). B. M (1;0 ) ;1 . C. M (2;0; − ) 1 . D. M ( 1 − ;1 ) ;1 . x = 4 − 2t
Câu 42. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y = 3
− + t (t  ) , giao điểm của d với mặt z =1−t
phẳng (Oxy) có tọa độ là A. (4; − 3;0) . B. (2; − 2;0) . C. (0; −1; − ) 1 . D. ( 2 − ;0;− 2) .
Câu 43. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A(1; − 2;3) , B (2;0; − ) 1 và mặt phẳng
(P): x + y + z −1= 0. Tọa độ giao điểm C của đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là A. C (2;0; − ) 1 . B. C (1;1; − ) 1 .
C. C (0; 2; − ) 1 .
D. C (2; −1;0) .
Câu 44. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : 2x − 2 y − z + 7 = 0 và điểm ( A 1;1; − 2) . Điểm H( ; a ;
b −1) là hình chiếu vuông góc của ( )
A trên (P) . Tổng a + b bằng A. 2 . B. 3 . C. 1 − . D. 3 − .
Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi ( ) là mặt phẳng chứa đường thẳng x − 2 y − 3 z (d) : =
= và vuông góc với mặt phẳng ( ) : x + y − 2z +1= 0 . Hỏi giao tuyến của 1 1 2
( ) và ( ) đi qua điểm nào? A. (0;1;3) . B. (2;3;3) . C. (5;6;8) . D. (1; −2;0) .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 34
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
BÀI 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI TỔNG HỢP
►DẠNG 1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA 2 MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP:
Cho 2 mặt phẳng (P) : A x + B y + C z + D = 0 và (Q) : A x + B y + C z + D = 0 1 1 1 1 2 2 2 2
(P) có VTPT n = A ;B ;C và (Q) có VTPT n = A ;B ;C . 2 ( 2 2 2) 1 ( 1 1 1) • A B C D Nếu 1 1 1 1 = = 
thì ( P) // (Q) . A B C D 2 2 2 2 • A B C D Nếu 1 1 1 1 = = =
thì ( P)  (Q) . A B C D 2 2 2 2
• Nếu n và. n không cùng phương thì ( P) , (Q) . 1 2
• Nếu n ⊥ n thì (P) ⊥ (Q) . 1 2
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P) : x − 2y + z −1 = 0 và mặt phẳng
(Q):3x −3y + 2z + 6 = 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. (Q) cắt và không vuông góc với ( P) .
B. (Q) ⊥ ( P) .
C. (Q) song song với ( P) .
D. (Q)  ( P) . Lời giải Chọn A n = (1; 2 − , n = Q (3; 3 − ;2) P ) ;1 1 2 − Ta có: 
 ( P) và (Q) cắt nhau 3 3 −
Xét: n .n = 1.3 − 2. P Q ( 3 − ) +1.2 =11 0
 (P) và (Q) cắt và không vuông góc nhau.
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P) : 2x + 4 y − 6z + 5 = 0 và mặt phẳng
(Q): x + 2y + mz +1= 0. Tìm m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song A. m = 3 . B. m = 3 − . C. m = 2 . D. m = 2 − . Lời giải Chọn B
(P) có vtpt n = (2;4; 6 − P ) (Q) có vtpt n = m Q (1;2; )
Để 2 mặt phẳng song song thì n , n cùng phương. P Q 2 4 6 −  = =  m = 3 − . 1 2 m
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 35
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P) : 5x − 2 y + z −1 = 0 và mặt phẳng
(Q): x −3y + mz +11= 0. Tìm m để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc nhau. A. m = 11 − . B. m = 1. C. m = 11. D. m = 1 − . Lời giải Chọn A
(P) có vtpt n = (5; 2 − P ) ;1 (Q) có vtpt n = m Q (1; 3 − ; )
Để 2 mp vuông góc nhau thì n ⊥ n n .n = 0 . P Q P Q
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Câu 1.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P) : 4x + 2y + z −1 = 0 và mặt phẳng
(Q): x −3y + 2z +1= 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. (Q)  ( P) .
B. (Q) cắt và không vuông góc với ( P) .
C. (Q) song song với ( P) .
D. (Q) ⊥ ( P) . Câu 2.
Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P) : 2x − 3y + z − 4 = 0 ; (Q) : 5x − 3y − 2z − 7 = 0
Vị trí tương đối của ( P) & (Q) là A. Song song.
B. Cắt nhưng không vuông góc. C. Vuông góc. D. Trùng nhau. Câu 3.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P) : 2x + 2 y − z = 0 và mặt phẳng
(Q): x + y + mz +1= 0. Tìm m để hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau 1 1 1 A. m  − . B. m  . C. m  1 − . D. m = − . 2 2 2 Câu 4.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P) : 2x + 4y − 6z + 5 = 0 và mặt phẳng
(Q): x + 2y + mz +1= 0. Tìm m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song A. m = 3 . B. m = 3 − . C. m = 2 . D. m = 2 − . Câu 5.
Trong hệ trục tọa độ Oxyz , điều kiện của m để hai mặt phẳng (P) : 2x + 2y − z = 0 và
(Q): x + y + mz +1= 0 cắt nhau là 1 1 1 A. m  − . B. m  . C. m  1 − . D. m = − . 2 2 2 Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng
( ): x + 2y − z −1= 0 và
( ):2x + 4y − mz − 2 = 0. Tìm m để ( )//( ) . A. m = 1. B. m = 2 . C. m = 2 − .
D. Không tồn tại m . Câu 7.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P) : 2x + y + mz − 2 = 0 và
(Q): x + ny + 2z +8 = 0 song song với nhau. Giá trị của m và n lần lượt là 1 1 1 1 A. 4 và . B. 4 và . C. 2 và . D. 2 và . 4 2 2 4
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 36
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng
(P):2x + my +3z −5 = 0 và
(Q):nx −8y −6z + 2 = 0 . Tìm giá trị của các tham số m , n để (P) và (Q) song song. A. m = 4 − , n = 3.
B. m = 4 , n = 3 . C. m = 4 − , n = 4 .
D. m = 4 , n = 4 − . Câu 9.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M (3; 1 − ; 2 − ) và mặt phẳng
( ):3x − y + 2z + 4 = 0. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và
song song với ( ) ?
A. 3x − y + 2z − 6 = 0 .
B. 3x − y + 2z + 6 = 0 .
C. 3x − y − 2z + 6 = 0 .
D. 3x + y + 2z −14 = 0 .
Câu 10. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A(2; 1
− ;2) và song song với mặt phẳng
(P):2x − y +3z + 2 = 0 có phương trình là
A. 2x + y + 3z − 9 = 0 .
B. 2x − y + 3z +11 = 0 .
C. 2x − y − 3z +11 = 0 .
D. 2x − y + 3z −11 = 0 .
►DẠNG 2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG PHƯƠNG PHÁP:
. Cho đường thẳng d qua điểm M ( x ; y ; z có vectơ chỉ phương u = a b c và mặt phẳng d ( ; ; ) 0 0 0 )
(P): Ax + By +Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến n = A B C . P ( ; ; )
• d // (P) nếu u ⊥ n và không có điểm chung. d P
• d  (P) nếu u ⊥ n và có điểm chung. d P
• d ⊥ (P) nếu u = k.n . d P Sơ đồ tư duy:
M d M (P)  d  (P) u .n = 0  d P ( )1
M d M (P)  d // (P) Xét u .n d P
(*) ñuùng  d ⊥ (P) .  0 a b c u n  = =  d P (2) (*) A B C
(*) sai  d caét (P)
x = x + a t 0 1 
. Cho đường thẳng d : y = x + a t và mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0. 0 2 z = z +  a t 0 3
Xét phương trình ( P) : A( x + a t + B y + a t + C z + a t + D = 0 1 0 1 ) ( 0 2 ) ( 0 3 ) ( )
• Nếu pt (1) vô nghiệm thì d // (P)
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 37
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
• Nếu pt (1) có vô số nghiệm thì d  (P)
• Nếu pt (1) có nghiệm t = t d caét P M x + a t y + a t z + 0 thì
( ) tại điểm ( ; ; a t . 0 1 0 0 2 0 0 3 0 )
A. VÍ DỤ MINH HỌA: x +1 y z − 5
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng 1 3 − 1 −
(P):3x −3y + 2z + 6 = 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. d cắt và không vuông góc với ( P) .
B. d vuông góc với ( P) .
C. d song song với ( P) .
D. d nằm trong ( P) . Lời giải Chọn A
Đường thẳng d đi qua M ( 1
− ;0;5) có vtcp u = (1; 3 − ;− )
1 và mặt phẳng ( P ) có vtpt n = (3; 3 − ;2) . Vì . u n =1.3+ ( 3 − ).( 3 − )+(− )
1 .2 =10  0 , suy ra d cắt hoặc vuông góc vói (P) 1 3 − Vì    3 3
n, u không cùng phương
n, u không vuông góc. −
Vậy d cắt và không vuông góc với ( P) .
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  có phương trình: x −10 y − 2 z + 2 = =
. Xét mặt phẳng ( P) :10x + 2 y + mz +11 = 0 , m là tham số thực. Tìm tất 5 1 1
cả các giá trị của m để mặt phẳng ( P) vuông góc với đường thẳng  . A. m = 2 − . B. m = 2 . C. m = 52 − . D. m = 52 . Lời giải Chọn B x − y − z + Đườ 10 2 2 ng thẳng  : = =
có vectơ chỉ phương u = (5;1; ) 1 . 5 1 1
Mặt phẳng ( P) :10x + 2 y + mz +11 = 0 có vectơ pháp tuyến n = (10; 2; m)
Để mặt phẳng ( P) vuông góc với đường thẳng  thì u phải cùng phương với n 5 1 1  = =  m = 2. 10 2 m
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : x + 2y + 3z − 6 = 0 và đường thẳng x + y + z −  1 1 3 : = =
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 − 1 − 1 A.  // ( ) . B.  ⊥ ( ) .
C. cắt và không vuông góc với ( ) . D.   ( ) .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 38
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ x +1 y z − 5
Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = và mặt 1 3 − 1 −
phẳng ( P) : 3x − 3y + 2z + 6 = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. d vuông góc với ( P) .
B. d nằm trong ( P) .
C. d cắt và không vuông góc với ( P) .
D. d song song với ( P) .
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng x − 2 y −1 z d : =
= song song với mặt phẳng (P) x + ( − m) 2 : 2 1 2
y + m z +1 = 0. 2 − 1 1 A. m  1 − ;  3 . B. m = 3 .
C. Không có giá trị nào của m . D. m = 1 − .
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u và mặt
phẳng ( P) có vectơ pháp tuyến n . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. u vuông góc với n thì d song song với ( P) .
B. u không vuông góc với n thì d cắt ( P) .
C. d song song với ( P) thì u cùng phương với n .
D. d vuông góc với ( P) thì u vuông góc với n .
Câu 15. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A(1; 4; 7
− ) và vuông góc với mặt phẳng
x + 2y − 2z − 3 = 0 có phương trình là x −1 y − 4 z − 7 x +1 y + 4 z − 7 A. = = . B. = = . 1 2 2 − 1 4 7 − x −1 y − 4 z + 7 x −1 y − 4 z + 7 C. = = . D. = = . 1 2 − 2 − 1 2 2 −
Câu 16. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A(2; 4;9) và vuông góc với mặt phẳng
x + 2 y − z − 3 = 0 có phương trình là x − 2 y − 4 z − 9 x − 2 y − 4 z − 9 A. = = . B. = = . 1 2 1 − 1 2 1 x − 2 y + 4 z − 9 x − 2 y − 4 z + 9 C. = = . D. = = . 1 2 1 − 1 2 1 −
Câu 17. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A(1; 2;3) và vuông góc với mặt phẳng
4x + 3y − 3z +1 = 0 có phương trình là x = 1 − + 4tx =1+ 4tx =1− 4tx =1+ 4t     A. y = 2 − + 3t .
B. y = 2 + 3t .
C. y = 2 − 3t .
D. y = 2 + 3t .     z = 3 − − 3  t z = 3 −  t z = 3 − 3  t z = 3 − 3  t
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của đường
thẳng đi qua A(2;3;0) và vuông góc với mặt phẳng (P) : x + 3y − z + 5 = 0? x =1+ tx =1+ tx =1+ 3tx =1+ 3t    
A. y = 1+ 3t .
B. y = 3t .
C. y = 1+ 3t .
D. y = 1+ 3t .     z = 1−  t z = 1−  t z = 1−  t z = 1+  t
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 39
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Câu 19. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A(1; 2; −2) và vuông góc với đường thẳng x +1 y − 2 z + 3  : = =
có phương trình là 2 1 3
A. 3x + 2 y + z − 5 = 0 .
B. 2x + y + 3z + 2 = 0 .
C. x + 2 y + 3z +1 = 0 .
D. 2x + y + 3z − 2 = 0 .
Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A( 1 − ;1; )
1 , B (2;1;0) , C (1; −1; 2) . Mặt phẳng đi qua A
và vuông góc với đường thẳng BC có phương trình là
A. x + 2 y − 2z +1 = 0 .
B. x + 2 y − 2z −1 = 0 . C. 3x + 2z −1 = 0 .
D. 3x + 2z +1 = 0 .
►DẠNG 3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG PHƯƠNG PHÁP:
Cho đường thẳng d qua điểm M ( x ; y ; z , có vectơ chỉ phương u = a b c và d d ( ; ; ) 1 1 1 ) 1 qua điểm 1 1 1 1 2
M ( x ; y ; z , có vectơ chỉ phương u = a b c . d ( ; ; ) 2 2 2 ) 2 2 2 2
• d // d nếu u = k.u và có không có điểm chung. 1 2 1 d d2
• d d nếu u = k.u và có một điểm chung. 1 2 1 d d2
• d cắt d nếu u không song song u và MM .u ,u  = 0 . 1 2  d d  1 d d2 1 2
• d chéo d nếu u không song song u và MM .u ,u   0 . 1 2  d d  1 d d2 1 2 Sơ đồ tư duy:
M d → d // d 2 1 2
(*) ñuùng ( )1 → Md →d d 2 1 2 a b c Xét 1 1 1 = = (*) → a b c
a .a + b .b + c .c  0  d caét d 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
MM .u ,u  = 0 →   1d 2 d  (
a a + b b + c c =  d ⊥ d *) sai (2) . . . 0  1 2 1 2 1 2 1 2 →
MM .u ,u   0 → d cheùo d  1d 2 d 1 2 
A. VÍ DỤ MINH HỌA: x +1 y −1 z +1
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vị trí tương đối của đường thẳng d : = = 1 2 1 3 − x + y + z + và đườ 3 2 2 ng thẳng d : = = là 2 2 2 1 − A. Cắt nhau. B. Song song. C. Chéo nhau. D. Trùng nhau. Lời giải Chọn A d qua M 1 − ;1; 1
− , có vectơ chỉ phương u = (2;1; 3 − . d ) 1 ( ) 1 1
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 40
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ d qua M 3 − ; 2 − ; 2
− , có vectơ chỉ phương u = (2;2;− . d ) 1 2 ( ) 2 2
u không cùng phương u . 1 d d2 M M = 2 − ; 3 − ; 1
− , u ,u  = d d (5; 4 − ;2) 1 2 ( )   1 2
Ta có: M M . u , u  = 2.5 − + 3 − 4 − + 1 − .2 = 0 . 1 2 d d ( )( ) ( )   1 2
d cắt d . 1 2 x = 2tx = 3− t  
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vị trí tương đối của d :  y = t và d :  y = t là 1  2  z = 4  z = 0  A. Trùng nhau. B. Cắt nhau. C. Song song. D. Chéo nhau. Lời giải Chọn D
d qua M 0; 0; 4 , có vectơ chỉ phương u = . d (2;1;0) 1 ( ) 1 1 d qua M
3; 0; 0 , có vectơ chỉ phương u = . d ( 1 − ;1;0) 2 ( ) 2 2
u không cùng phương u . 1 d 2 d M M = 3;0; 4
− , u ,u  = d d (0;0;3) 1 2 ( )   1 2
Ta có: M M . u , u  = 4 − .3  0 . 1 2 d d ( )   1 2
d chéo d . 1 2
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng x = 1 − + 3tx −1 y − 2 z − 3
d :  y = −t và d : = =
. Vị trí tương đối của d và d là 1 1 2  2 3 − 1 2 z = 1− 2  t A. Chéo nhau. B. Cắt nhau. C. Trùng nhau. D. Song song. x −1 y z +1
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : = = và 1 2 − 3 1 x −1 y − 2 z − 7 d : = =
. Vị trí tương đối của d và d là 2 1 − 2 3 − 1 2 A. Cắt nhau. B. Trùng nhau. C. Chéo nhau. D. Song song. x = t
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d :  y = 2 − + 3t và 1 z = 6− 4  t x + 4 y − 2 z + 5 d : = =
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 6 2 3
A. d song song d .
B. d và d chéo nhau. 1 2 1 2
C. d cắt và vuông góc với d .
D. d vuông góc d và không cắt nhau. 1 2 1 2
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 41
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ x y − 3 z +1 x − 4 y z − 3
Câu 24. Cho hai đường thẳng d : = = ; d : = =
. Vị trí tương đối của d và 1 2 1 1 − 2 3 1 1 2 d là 2 A. Chéo nhau. B. Trùng nhau. C. Cắt nhau. D. Song song. x = 2tx −1 y z − 3
Câu 25. Cho hai đường thẳng d : y = 1+ 4t và d : = =
. Khẳng định nào sau là đúng? 1  2 1 2 3 z = 2 + 6  t
A. d // d .
B. d d .
C. d , d chéo nhau. D. d cắt d . 1 2 1 2 1 2 1 2 x −1 y − 7 z − 3
Câu 26. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : = = và 1 2 1 4 x + 3 y − 5 z + 5 d : = =
. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là 2 3 2 − 1 A. Song song. B. Chéo nhau. C. Trùng nhau. D. Cắt nhau. x =1+ atx =1− t  
Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d :  y = t
; d :  y = 2 + 2t; (t;t ) . 1  2  z = 1 − + 2  t z = 3 − t 
Tìm a để hai đường thẳng d và d cắt nhau. 1 2 A. a = 0 . B. a =1 . C. a = 1 − . D. a = 2 . x =1+ 2t
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :  y = 2 − t và đường thẳng z = 3 −  x = 3+ 2t  
 : y =1−t . Vị trí tương đối của  và  là z = 3 −  A.  //   . B.    . C.  cắt  .
D.  và  chéo nhau. x − y + z −
Câu 29. Cho đường thẳng 1 1 3 d : = =
. Đường thẳng nào sau đây song song với d ? 2 1 − 2 x +1 y z −1 x − 2 y z −1 A.  : = = . B.  : = = . 2 − 1 2 − 2 − 1 2 − x − 2 y z −1 x − 3 y + 2 z − 5 C.  : = = . D.  : = = . 2 1 2 − 2 − 1 2 − x =1+ tx =1+ 2t  
Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d :  y = 2 + t và d :  y = 1
− + 2t . Mệnh đề nào   z = 3 −  t z = 2 − 2t  sau đây đúng?
A. Hai đường thẳng d và d  chéo nhau.
B. Hai đường thẳng d và d  song song.
C. Hai đường thẳng d và d  cắt nhau.
D. Hai đường thẳng d và d  trùng nhau.
►DẠNG 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP:
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 42
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 2 2 2
Cho mặt cầu (S ) ( x a) + ( y b) + ( z c) 2 : – – –
= R tâm I (a; ;
b c) bán kính R và mặt phẳng
(P): Ax + By +Cz + D = 0.
• Nếu d (I,(P))  R thì mp (P) và mặt cầu (S ) không có điểm chung.
• Nếu d (I,(P)) = R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S ) tiếp xúc nhau.
Khi đó (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm
• Nếu d (I,(P))  R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S ) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn có
(x −a)2 +( y −b)2 +(z −c)2 2 = phương trình R : 
Ax + By + Cz + D = 0
Trong đó bán kính đường tròn r = R − d (I (P))2 2 ,
và tâm H của đường tròn là hình chiếu của
tâm I mặt cầu (S ) lên mặt phẳng ( P) .
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P) : x − 2y + z −1 = 0 và mặt cầu
(S) (x − )2 +( y − )2 +(z + )2 : 1 2 1
= 4 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ( P) không cắt (S ) .
B. ( P) tiếp xúc (S ) .
C. ( P) cắt (S ) .
D. ( P) đi qua tâm của (S ) . Lời giải Chọn A
(S) có tâm I (1;2; ) 1
− và bán kính R = 2 .
Khoảng cách từ tâm I đến ( P) :
d ( I ( P)) 1− 2.2 + (− ) 1 −1 5 6 , = =  R = 2 2 2 2 + + 6 1 2 1
Vậy ( P) không cắt (S ) .
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P) : x + 3y + 4z + m = 0 và mặt cầu
(S) (x − )2 +( y − )2 +(z − )2 : 1 2 3
= 26 . Xác định m để (P) tiếp xúc với (S ) ?
A. m = 7; m = 4 − 5 .
B. m = 7, m = 45 . C. m = 7
− , m = 45 . D. m = 7 − , m = 4 − 5 .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 43
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Lời giải Chọn A
(S) có tâm I (1;2;3) và bán kính R = 26 .
(P) tiếp xúc với (S) ( (P)) 1+3.2+ 4.3+  m d I , = = 26 2 2 2 1 + 3 + 4 2 2 2
 19 + m = 26. 1 + 3 + 4 = 26 19  + m = 26 m = 7     . 19  + m = 26 − m = −45
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I (1;0; 2
− ) và mặt phẳng (P) có phương
trình: x + 2 y − 2z + 4 = 0 . Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I và tiếp xúc với ( P) là 2 2 2 2 A. ( x − ) 2 1
+ y + (z + 2) = 9. B. ( x − ) 2 1
+ y + (z + 2) = 3. 2 2 2 2 C. ( x + ) 2
1 + y + ( z − 2) = 3 . D. ( x + ) 2
1 + y + ( z − 2) = 9 . Lời giải Chọn A 1+ 4 + 4
Ta có R = d ( I,( )) = = 3. 3
Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (1;0; 2
− ) , bán kính R = 3 có dạng (S ) :
(x − )2 + y +(z + )2 2 1 2 = 9.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z − 2x + 4 y − 2z − 3 = 0 . Hỏi
trong các mặt phẳng sau, đâu là mặt phẳng không có điểm chung với mặt cầu (S ) ?
A. ( : 2x + 2 y − z +10 = 0 .
B. ( : x − 2y + 2z −1 = 0 . 1 ) 4 )
C. ( : 2x − y + 2z + 4 = 0 .
D. ( : x − 2 y + 2z − 3 = 0 . 3 ) 2 )
Câu 32. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) x + y + ( z − )2 2 2 : 2
= 1 và mặt phẳng ( ) :3x + 4z +12 = 0.
Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
A. Mặt phẳng ( ) đi qua tâm mặt cầu (S ) .
B. Mặt phẳng ( ) tiếp xúc mặt cầu (S ) .
C. Mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu (S ) theo một đường tròn.
D. Mặt phẳng ( ) không cắt mặt Cầu (S ) .
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S ) và mặt phẳng ( P) lần lượt có phương trình 2 2 2
x + y + z − 2x + 2 y − 2z − 6 = 0, 2x + 2 y + z + 2m = 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m để ( P) tiếp xúc với (S ) ? A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 4 .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 44
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Câu 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( P) : x + 2y − z + 3 = 0 cắt mặt cầu (S) 2 2 2
: x + y + z = 5 theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là 11 9 15 7 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 2 2
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) ( x + ) 2 : 3 + y + (z − ) 1 =10 . Mặt
phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3 ?
A. ( P : x + 2 y − 2z + 8 = 0 .
B. ( P : x + 2 y − 2z − 8 = 0 . 1 ) 1 )
C. ( P : x + 2 y − 2z − 2 = 0 .
D. ( P : x + 2 y − 2z − 4 = 0 . 1 ) 1 )
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) có tâm I (1;1;0) và mặt phẳng
(P): x + y + z +1= 0. Biết (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính
bằng 1. Viết phương trình mặt cầu (S ) . 2 2 2 2
A. ( x − ) + ( y − ) 2 1 1 + z = 2 .
B. ( x − ) + ( y − ) 2 1 1 + z = 4 . 2 2 2 2
C. ( x − ) + ( y − ) 2 1 1 + z = 1 .
D. ( x − ) + ( y − ) 2 1 1 + z = 3.
Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm I (1; 0; − 2) và mặt phẳng ( P) có phương
trình: x + 2 y − 2z + 4 = 0 . Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P) là 2 2 2 2 A. ( x − ) 2 1
+ y + (z + 2) = 9. B. ( x − ) 2 1
+ y + (z + 2) = 3. 2 2 2 2 C. ( x + ) 2
1 + y + ( z − 2) = 3 . D. ( x + ) 2
1 + y + ( z − 2) = 9 . 2 2 2
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) : ( x − )
1 + ( y − 2) + ( z − 2) = 9 và
mặt phẳng (P) : 2x − y − 2z +1 = 0 . Biết ( P) cắt (S ) theo giao tuyến là đường tròn có bán
kính r . Tính r . A. r = 3. B. r = 2 2 . C. r = 3 . D. r = 2 .
Câu 39. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z − 2x + 4 y − 4z −16 = 0 và mặt
phẳng (P) : x + 2y − 2z − 2 = 0 . Mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến là một đường
tròn có bán kính là: A. r = 6 . B. r = 2 2 . C. r = 4 . D. r = 2 3 .
Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z + 4x − 2 y − 4 = 0 và một
điểm A(1;1;0) thuộc (S ) . Mặt phẳng tiếp xúc với (S ) tại A có phương trình là
A. x + y +1 = 0 . B. x +1 = 0 .
C. x + y − 2 = 0 . D. x −1 = 0 .
► DẠNG 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG PHƯƠNG PHÁP:
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 45
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
x = x + a t 1 0 1 ( ) 
Cho đường thẳng d : y = y + b t 2 qua M x ; y ; z và có vectơ chỉ phương u = a b c d ( ; ; 1 1 1 ) 0 ( 0 0 0 ) 0 1 ( )
z = z +c t 3  0 1 ( ) Mặt cầ 2 2 2 u (S ) ( x a) ( y b) (z c) 2 : − + − + −
= R có tâm I (a;b;c) , bán kính R . IM ,u   
Gọi khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S ) đến đường thẳng d là h = d (I,d ) 0 = d . ud
• Nếu d (I,d )  R thì d không cắt (S ) .
• Nếu d (I,d ) = R thì d tiếp xúc (S ) .
• Nếu d (I,d )  R thì d cắt (S ) tại hai điểm phân biệt ,
A B và AB vuông góc với đường kính 2  AB
(bán kính) mặt cầu. Khi đó 2 2
R = d ( I, d ) +   .  2 
A. VÍ DỤ MINH HỌA: x y −1 z − 2
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d : = = và mặt cầu 2 1 1 − (S) 2 2 2
: x + y + z − 2x + 4z +1 = 0 . Số điểm chung của d và (S ) là A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn B
d qua M (0;1; 2) , có vectơ chỉ phương u = (2;1; − d ) 1
(S) có tâm I (1;0; 2 − ) và R = + + (− )2 2 2 1 0 2 −1 = 2 IM = ( 1 − ;1;4) IM ,u  = . d ( 5 − ;7;− ) 3   IM u d ( I d ) ,  d  , =  3,7193  R = 2 . ud
Vậy d và (S ) không cắt nhau.
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 46
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ x −1 y z − 2
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = , mặt cầu tâm 2 1 2
I (2;5;3) tiếp xúc với d là 2 2 2 2 2 2
A. (S ) : ( x − 2) + ( y − 5) + ( z − 3) = 18 .
B. (S ) : ( x − 2) + ( y − 5) + ( z − 3) = 16 . 2 2 2 2 2 2
C. (S ) : ( x − 2) + ( y − 5) + ( z − 3) = 25 .
D. (S ) : ( x − 2) + ( y − 5) + ( z − 3) = 9 . Lời giải Chọn A
d qua M (1;0; 2) , có vectơ chỉ phương u = . d (2;1;2) IM = ( 1 − ; 5 − ;− ) 1 . IM ,u  = . d (9;0; 9 − )   IM u   d
Mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng nên R = d ( I d ) , , = = 18 . ud 2  R =18 .
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(0;1; − ) 1 , B ( 2 − ;3 ) ;1 và mặt cầu (S) 2 2 2
: x + y + z + 2x − 4 y = 0 . Đường thẳng AB và mặt cầu (S ) có bao nhiêu điểm chung? A. Vô số. B. 0 . C. 1. D. 2 . x y + 3 z + 5
Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d : = = và mặt cầu 2 6 5
(S) (x − )2 + y +(z − )2 2 : 1 2
= 9 . Số điểm chung của d và (S ) là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm I (2;1; 3
− ) và tiếp xúc với trục Oy có phương trình là 2 2 2 2 2 2
A. ( x − 2) + ( y − ) 1 + ( z + 3) = 4 .
B. ( x − 2) + ( y − ) 1 + ( z + 3) = 13 . 2 2 2 2 2 2
C. ( x − 2) + ( y − ) 1 + ( z + 3) = 9 .
D. ( x − 2) + ( y − ) 1 + ( z + 3) = 10 .
Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , bán kính của mặt cầu tâm I (1;3;5) và tiếp xúc với x = t
đường thẳng d : y = 1 − − t là z = 2−  t A. 7 . B. 14. C. 14 . D. 7.
Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , bán kính của mặt cầu tâm I (3;3; 4 − ) và tiếp xúc với
trục Oy bằng 5 A. 5. B. 4. C. 5 . D. . 2
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 47
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I (1; 2
− ;3) tiếp xúc với trục Oy là 2 2 2 2 2 2 A. ( x − )
1 + ( y + 2) + ( z + 3) = 9 . B. ( x − )
1 + ( y + 2) + ( z − 3) = 9 . 2 2 2 2 2 2 C. ( x + )
1 + ( y − 2) + ( z + 3) = 10 . D. ( x − )
1 + ( y + 2) + ( z + 3) = 10 . x + 2 y z − 3
Câu 47. Cho đường thẳng  : = =
và và mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z + 4x − 2 y − 21 = 0 . Số 1 − 1 1 −
giao điểm của () và (S ) là A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.
Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) : 2 2 2
x + y + z − 2x + 4z +1 = 0 và đường x y − z − thẳng 1 2 d : = =
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất? 2 1 1 −
A. d cắt (S ) tại hai điểm.
B. d không cắt (S ) .
C. d tiếp xúc với (S ) tại M ( 2 − ;2;3) .
D. d cắt (S ) và đi qua tâm của (S ) . x −1 y − 2 z +1
Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d : = = và mặt cầu 2 1 2
(S) (x − )2 +( y + )2 +(z − )2 : 4 1 2
= 27 . Số điểm chung của d và (S ) là A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1. x + y − z +
Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 2 3 d : = = và điểm 2 1 1 − I (1; 2
− ;3). Phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với d là 2 2 2 2 2 2 A. ( x − )
1 + ( y + 2) + ( z − 3) = 5 2 . B. ( x − )
1 + ( y + 2) + ( z − 3) = 50 . 2 2 2 2 2 2 C. ( x + )
1 + ( y − 2) + ( z − 3) = 50 . D. ( x + )
1 + ( y − 2) + ( z + 3) = 50 .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 48
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
BÀI 6: KHOẢNG CÁCH TỔNG HỢP
►DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP: Cho hai điểm 2 2 2
A( x ; y ; z , B x ; y ; z AB = x − x + y − y + z − z . 1 1 1 ) ( 2 2 2) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1)
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A(2; 2 )
;1 . Tính độ dài đoạn thẳng OA . A. OA = 3. B. OA = 9 . C. OA = 5 . D. OA = 5 . Lời giải Chọn A 2 2 2 OA = 2 + 2 +1 = 3 .
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(4;3; − 2) và B (3; − 5;0) . Độ dài đoạn thẳng AB là A. 69 . B. 38 . C. 96 . D. 4 . Lời giải Chọn A
Với A(4;3;− 2) và B(3;− 5;0) thì AB = ( 1 − ;−8;2) , do đó AB = (− )2 + (− )2 2 1 8 + 2 = 69 .
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A(3; 4 − ;0) , B( 1
− ;1;3) , C (3,1,0). Tìm
tọa độ điểm D trên trục hoành sao cho AD = BC . A. D ( 2 − ;1;0) , D( 4 − ;0;0) .
B. D (0;0;0) , D ( 6 − ;0;0) .
C. D (6;0;0) , D (12;0;0) .
D. D (0;0;0) , D (6;0;0) . Lời giải Chọn D Gọi D ( ; x 0; 0) Ox
AD = BC  ( x − ) x = 2 0 3 +16 = 5   . x = 6
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Câu 1.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (2; 1
− ;2) . Tính độ dài đoạn thẳng OM . A. OM = 9 . B. OM = 3 . C. OM = 3. D. OM = 5 . Câu 2.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3;−1 ) ;1 . Gọi 
A là hình chiếu của A
lên trục Oy . Tính độ dài đoạn  OA . A. OA = 1 − . B. OA = 10 . C. OA = 11 . D. OA = 1. Câu 3.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;3) và B (5; 2;0) . Khẳng định nào sau đây đúng?
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 49
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ A. AB = 61. B. AB = 3 . C. AB = 5 . D. AB = 2 3 . Câu 4.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M (3; 2 − ; ) 1 , N (0;1; ) 1 − . Tìm độ dài của đoạn thẳng MN . A. MN = 22 . B. MN = 10 . C. MN = 22 . D. MN = 10 . Câu 5.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M (2; 3 − ;5) , N (6; 4 − ;− ) 1 và đặt
u = MN . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. u = ( 4 − ;1;6) . B. u = 53 . C. u = 3 11 . D. u = (4; 1 − ; 6 − ) . Câu 6.
Trong không gian Oxyz , cho A(1;1; 3 − ) , B(3; 1 − )
;1 . Gọi M là trung điểm của AB , đoạn
OM có độ dài bằng A. 2 6 . B. 6 . C. 3 . D. 5 . Câu 7.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm M (3;0;0), N (0;0;4) . Tính độ dài đoạn thẳng MN . A. MN = 1. B. MN = 5 . C. MN = 7 . D. MN = 10 . Câu 8.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A(1; 2; − )
1 ; B (1;1;3) . Gọi I là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác AOB , tính độ dài đoạn thẳng OI . 17 6 11 17 A. OI = . B. OI = . C. OI = . D. OI = . 4 2 2 2 Câu 9.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A(1;1; ) 1 , B ( 1 − ;1; 0),
C (3;1; 2) . Chu vi của tam giác ABC bằng: A. 4 + 5 . B. 4 5 . C. 3 5 . D. 2 + 2 5 .
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A(2;0;0) , B (0;3; ) 1 , C ( 3
− ;6;4). Gọi M là điểm
nằm trên đoạn BC sao cho MC = 2MB . Độ dài đoạn AM là A. AM = 3 3 . B. AM = 2 7 . C. AM = 29 . D. AM = 19 .
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−2;3; )
1 và B (5; 6; 2) . Đường thẳng
AB cắt mặt phẳng (Oxz ) tại điểm M . Tính tỉ số AM . BM AM AM 1 AM 1 AM A. = 2 . B. = . C. = . D. = 3. BM BM 2 BM 3 BM
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2; 1 − ) ;1 ; B (3; 2 − ;− ) 1 . Tìm điểm N
trên Ox cách đều A và B . A. (−4;0;0) . B. (4;0;0) . C. (1;0;0) . D. (2;0;0) .
Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;0;0) , B (0;3; ) 1 C ( 3
− ;6;4). Gọi M là điểm
nằm trên đoạn BC sao cho MC = 2MB . Độ dài đoạn AM là. A. 30 . B. 2 7 . C. 29 . D. 3 3 .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 50
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi I là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A(2;3; − ) 1 , B ( 1 − ;2; ) 1 , C (2;5 )
;1 , D (3; 4;5). Tính độ dài đoạn thẳng OI . 123 41 113 A. . C. . D. 6 . 3 B. 3 . 2
Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho E ( 5
− ;2;3) , F là điểm đối xứng với E qua trục Oy . Độ dài EF là A. 2 34 . B. 2 13 . C. 2 29 . D. 14 .
►DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG, KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT
PHẲNG SONG SONG, KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT
PHẲNG TỚI MẶT PHẲNG. PHƯƠNG PHÁP:
. Trong không gian Oxyz, cho điểm M (x ; y ; z ) và mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó 0 0 0 0 khoảng cách từ điểm | Ax By Cz D |
M đến mặt phẳng ( ) được tính: 0 0 0 d (M , ( + + + )) = 0 0 2 2 2 A + B + C
Đặc biệt: d (M ,(Oxy)) = z ;d M , Oxz = y ;d M , Oyz = x . 0 ( ( )) 0 ( ( )) 0
. Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
. Khoảng cách giữa đường thẳng song song với mặt phẳng tới mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm
thuộc đường thẳng đến mặt phẳng.
Chú ý: Nếu đường thẳng không song song với mặt phẳng thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (2; 3
− ;5) và mặt phẳng ( ) có phương
trình: 2x − y + 2z − 6 = 0 . Khoảng cách từ điểm M mặt phẳng ( ) là 5 7 11 17 5 A. . B. . C. . D. . 7 3 3 3 Lời giải Chọn B 2.2 −1. 3 − + 2.5 − 6
Áp dụng công thức d (M ( )) ( ) 11 , = = . + (− )2 2 2 3 2 1 + 2
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) : 2x + 3y − z + 2 = 0,
( ):2x +3y − z +16 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) là A. 14 . B. 0 . C. 15 . D. 23 . Lời giải Chọn A
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 51
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Lấy điểm M (0;0;2)( ) .
Áp dụng công thức d (( ),( )) = d (M ,( )) 2.0 + 3.0 − 2 +16 14 = = = 14 . + + (− )2 2 2 14 2 3 1
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : 2x − 2 y − z +1 = 0 và đường thẳng x −1 y + 2 z −1  : = =
. Tính khoảng cách d giữa  và ( P) . 2 1 2 1 5 2 A. d = . B. d = . C. d = . D. d = 2 . 3 3 3 Lời giải Chọn D
(P) có vecto pháp tuyến ( n 2; 2 − ; 1
− ) và đường thẳng  có vecto chỉ phương u(2;1;2) thỏa mãn .
n u = 0 nên  / /(P) hoặc   (P) Do đó: lấy ( A 1; 2 − ;1) 2.1− 2.( 2 − ) −1+1
ta có: d ((P)) = d ( ; A (P)) = = 2 . 4 + 4 +1
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho điểm ( A 3; 1
− ;1) . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (Oyz) . A. 1. B. 3 . C. 0 . D. 2 .
Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) có phương trình 2x + 2y + z − 3 = 0 . Khoảng cách từ điểm A(1; 1 − ; )
1 đến mặt phẳng ( P) bằng 2 2 A. . B. − . C. 0 . D. 1. 3 3
Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) có phương trình 2x − 3y + 6z − 21 = 0 . Khoảng
cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( P) bằng 21 A. 3 . B. 3 − . C. 21 . D. . 31
Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho điểm M (2; 3
− ;5) và mặt phẳng ( ) có phương trình
2x − y + 2z − 6 = 0 . Khoảng cách từ điểm M mặt phẳng ( ) là 5 7 11 17 5 A. . B. . C. . D. . 7 3 3 3
Câu 20. Tính khoảng cách từ điểm B ( x ; y ; z đến mặt phẳng ( P) : z +1 = 0 . Chọn khẳng định đúng 0 0 0 )
trong các khẳng định sau: z +1 A. z . B. z . C. 0 . D. z +1 . 0 0 0 2
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 52
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) : 2x + 3y − z + 2 = 0, ( ) : 2x + 3y − z +16 = 0 .
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) là: A. 14 . B. 0 . C. 15 . D. 23 .
Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) : 2x − 2 y + z + 2 = 0, ( ) : 4x − 4 y + 2z + 5 = 0 .
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) là: 1 A. 3 . B. 1. C. 3 . D. . 6
Câu 23. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P) : 5x + 5y − 5z −1 = 0 và (Q) : x + y − z +1 = 0 .
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( P) và (Q) bằng 2 3 2 2 2 3 A. . B. . C. . D. . 15 5 15 5
Câu 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A(1;1;3), B ( 1 − ;3;2),C ( 1
− ;2;3) . Khoảng cách từ
gốc toạ độ O đến mp ( ABC ) bằng 3 3 A. 3 . B. 3. C. . D. . 2 2
Câu 25. Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; 2;3) gọi ,
A B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của
điểm M lên các trục O ,
x Oy,Oz . Khi đó khoảng cách từ điểm O (0;0;0) đến mặt phẳng
( ABC) có giá trị bằng 1 6 1 A. . B. 6 . C. . D. . 2 7 14
Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD với A(1; 2;3), B ( 3 − ;0;0),C (0; 3 − ;0), D(0;0;6).
Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện ABCD . A. 9 . B. 1. C. 6 . D. 3 .
Câu 27. Trong không gian Oxyz cho điểm M (1; 2; − )
1 . Tìm phương trình mặt phẳng ( ) đi qua gốc
tọa độ O và cách M một khoảng lớn nhất. x y z
A. x + 2 y − z = 0 . B. + + =1.
C. x − y − z = 0 .
D. x + y + z − 2 = 0 . 1 2 1 −
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : 3x − 2 y + 6z +14 = 0 và mặt cầu (S) 2 2 2
: x + y + z − 2 ( x + y + z ) − 22 = 0 . Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S ) tới mặt phẳng (P) là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 29. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S ) có tâm I (2;1; ) 1
− và tiếp xúc với mặt phẳng
( ):2x − 2y − z +3 = 0. Bán kính của (S) bằng 2 4 2 A. 2 . B. . C. . D. . 3 3 9
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 53
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Câu 30. Trong không gian Oxyz, cho A(3, 2 − , 2
− ), B(3,2,0), C (0,2, ) 1 và D ( 1 − ,1, 2) . Mặt cầu tâm
A và tiếp xúc với mặt phẳng ( BCD) có bán kính bằng A. 9 . B. 5 . C. 14 . D. 13 .
►DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG PHƯƠNG PHÁP:
Cách 1: Xác định hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng  .
Bước 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên  . Khi đó tham số hóa tọa độ điểm H theo t .
Bước 2: Từ AH.u = 0 
tìm ra tham số t rồi suy ra tọa độ điểm H .
Bước 3: Tính đoạn AH . AM u    
Cách 2: Sử dụng công thức: d ( A ) , , = ,M   . u
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , cho điểm P ( ; a ;
b c) . Khoảng cách từ P đến trục toạ độ Oy bằng A. 2 2 a + c . B. 2 2 a + c . C. b . D. b . Lời giải Chọn B
Gọi H là hình chiếu của P lên trục Oy . Khi đó H (0; ; b 0) .  HP = ( ; a 0;c) .
d (P,Oy) = PH 2 2 = a + c .
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , tính khoảng cách từ điểm M (4; − 3; 2) đến đường thẳng x + 2 y + 2  z : = = . 3 2 1 −
A. d (M ; ) = 3 3 .
B. d (M ; ) = 3 .
C. d (M;) = 3 .
D. d (M ; ) = 3 2 . Lời giải Chọn A
Đường thẳng  có VTCP u = (3;2;− ) 1 và qua điểm B ( 2 − ;− 2;0) . MB = ( 6 − ;1;− 2), M ;
B u = (3;−12;−15)   . 2 2 MB u 2 d ( + − + −   M ; ) ; 3 ( 12) ( 15) = = = 3 3 . u 3 + 2 + (− )2 2 2 1
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 31. Trong không gian với hệ trục Oxyz , khoảng cách h từ điểm A( 4
− ;3;2) đến trục Ox là
A. h = 4 .
B. h = 13 .
C. h = 3 .
D. h = 2 5 .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 54
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ x − y + z −
Câu 32. Khoảng cách giữa điểm M (1; 4
− ; 3) đến đường thẳng () 1 2 1 : = = là 2 1 − 2 A. 6 . B. 3 . C. 4 . D. 2 . x − 2 y −1 z + 3
Câu 33. Tính khoảng cách từ điểm M (1; 2; − 6) đến đường thẳng d : = = . 2 1 − 1 30 30 A. 5 . B. . C. . D. 11 . 6 2 x − y − z −
Câu 34. Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;1 ) ;1 và đường thẳng 1 2 3 d : = = . Khoảng 1 2 2 −
cách từ A đến đường thẳng d là 3 5 A. 3 5 . B. . C. 2 5 . D. 5 . 2 x − 2 y z +1
Câu 35. Trong không gian Oxyz , cho điểm M (4; 1
− ;2) và đường thẳng  : = = . Tính 1 2 2
khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  .
A. d (M , ) = 10 .
B. d (M , ) = 3 10 .
C. d (M ) 1 , = 10 .
D. d (M , ) = 2 10 . 2
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz tính khoảng cách từ điểm M (1;3; 2) đến đường thẳng x =1+ t
 : y =1+ t . z = −  t A. 3 . B. 2 . C. 2 . D. 2 2 .
Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A( 4
− ;4;0), B(2;0;4) , C (1;− 2 ) ;1 . Khoảng
cách từ C đến đường thẳng AB là: A. 3 2 . B. 13 . C. 2 3 . D. 3 .
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A(1; 2; − ) 1 , B (0; 3; 4) , C (2; 1; − )
1 . Độ dài đường cao từ A đến BC bằng: 50 33 A. 6 . B. 5 3 . C. . D. . 33 50
Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(2;1; 2 − ), B(1; 3 − ) ;1 , C (3; 5
− ;2) . Độ dài đường cao
AH của tam giác ABC là. 17 A. . B. 2 17 . C. 17 . D. 3 2 . 2 x = t
Câu 40. Bán kính mặt cầu tâm I (1;3;5) và tiếp xúc với đường thẳng d :  y = 1 − − t là z = 2−  t A. 14 . B. 14 . C. 7 . D. 2 3 .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 55
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
►DẠNG 4. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU PHƯƠNG PHÁP:
. Cách 1: Tính đoạn vuông góc chung AB của  và  . 1 2
• Bước 1: Tham số hóa tọa độ hai điểm ,
A B theo t ,t . Xác định hai vec tơ chỉ phương của hai đường 1 2
thẳng lần lượt là u ,u . 1 2 A . B u = 0
• Bước 2: Sử dụng 1 
t ,t . Từ đó xác định được tọa độ hai điểm , A B . 1 1 A . B u = 0  2
• Bước 3: Tính đoạn AB .
. Cách 2: Quy về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
• Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa  và song song với  . 1 2
• Bước 2: Tính khoảng cách từ một điểm A  đến mặt phẳng ( P) . Khi đó d ( , = d , A P 1 2 ) ( ( )) 1 u ,u    M M
. Cách 3: Sử dụng công thức: d ( ,  ) 1 2 1 2 = . 1 2 u ,u  1 2  
A. VÍ DỤ MINH HỌA: x +1 y +1 z −1
Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : = = và 2 3 2 x −1 y + 2 z − 3 d : = =
. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng d và d . 2 1 1 8 21 10 21 4 21 22 21 A. h = . B. h = . C. h = . D. h = . 21 21 21 21 Lời giải Chọn A
d có vectơ chỉ phương u = (2;3; 2) , đi qua M ( 1 − ; 1 − ; ) 1 .
d  có vectơ chỉ phương u = (2;1; ) 1 , đi qua M (1; 2 − ;3).
Ta có: u,u = (1;2; 4 − )   , MM  = (2; 1
− ;2)  u,u.MM =1.2+ 2.(− ) 1 + ( 4 − ).2 = 8 −  0  
d,d chéo nhau.
u,u.MM    Khi đó: khoảng cách 8 8 21
h giữa hai đường thẳng d và d  là: h = = = . u,u 21 21  
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: x + y + z −
Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 1 1 d : = = và 2 3 2 x −1 y + 2 z − 3 d : = =
. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng d và d . 2 1 1
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 56
HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 4 21 10 21 8 21 22 21 A. h = . B. h = . C. h = . D. h = . 21 21 21 21 x y − 3 z − 2 x − 3 y +1 z − 2
Câu 43. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d : = = và d : = = 1 1 2 1 2 1 2 − 1 12 3 2 2 A. . B. . C. 3 . D. . 5 2 3 x =1− 4tx + 2 y +1 z
Câu 44. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  :  y = 2 − t và  : = = . Khoảng 1  2 4 1 1 − z = 3 − +  t
cách giữa hai đường thẳng  và  bằng bao nhiêu? 1 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 45. Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(1; − 2;3) , B (2; 1 − )
;1 , C (−1;1;0) , D (1; 2; ) 1 − .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng bao nhiêu? 4 6 8 10 A. . B. . C. . D. . 11 11 11 11
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm! 57