Chuyên Đề Rút Gọn Biểu Thức Ôn Thi Vào 10 Giải Chi Tiết
Các khẳng định đúng sai được sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó, các khẳng định về cùng một nội dung hỏi. Do P đạt giá trị nguyên lớn nhất nên ta có 4=P . Khi đó giá trị cần tìm của x là 24 =x. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P=AB đạt giá trị nguyên lớn nhất. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!
Chủ đề: Tài liệu chung Toán 9 16 tài liệu
Môn: Toán 9 2.6 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ 5: RÚT GỌN BIỂU THỨC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ B. BÀI TẬP
DẠNG 1: RÚT GỌN VÀ TÌM CÁC GIÁ TRỊ CỦA BIẾN (NGUYÊN HOẶC THỰC)
ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN
PHẦN I. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1. TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN
Câu 1. [NB]: Tìm giá trị x nguyên để biểu thức 1 A = nhận giá trị nguyên x + 2 A. x 3 − ;1
B. x 3;− 1
C. x 3; 1 D. x 3 − ;− 1 Lời giải Chọn D ĐK: x −2
Để A nhận giá trị nguyên khi x Z thì 1 x + 2 hay x + 2−1; 1 . Ta có bảng x + 2 1 − 1 x 3 − (TM) 1 − (TM)
Vậy với x x 3 − ;−
1 thì P đạt giá trị nguyên
Câu 2. [NB] Tìm giá trị x nguyên để biểu thức 4 P = nhận giá trị nguyên x + 3 A. 1 − B. 1 C. 1 D. 1 − 2 2 Lời giải Chọn B P = 4
nguyên khi x +3 là ước của 4 vì x + 3 3 x + 3
Nên x + 3 = 4 hay x =1 x = 1 Vậy với x = 1thì P đạt giá trị nguyên
Câu 3. [NB] Tìm giá trị x nguyên để biểu thức 4 A = nhận giá trị nguyên 25 − x lớn nhất A. x = 23 B. x = 24
C. x = 21 D. x = 26 Lời giải Chọn B
Để P nhận giá trị nguyên khi x Z thì 4 (25− x) hay 25 − x 4 − ; − 2; −1;1; 2; 4 . Trang 1
Khi đó, ta có bảng giá trị sau: 25 − x −4 −2 1 − 1 2 4 x 29 27 26 24 23 21 P = . A B 1 − −2 −4 4 2 1
Đánh giá Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn
Do P đạt giá trị nguyên lớn nhất nên ta có P = 4 . Khi đó giá trị cần tìm của x là x = 24 .
Câu 4. [NB] Tìm giá trị x nguyên để biểu thức 2 P = nhận giá trị nguyên x −1 A. x 1 − ;0;2; 3
B. x 1;0;2; 3
C. x 1;2; 3 D. x 1 − ;2; 3 Lời giải Chọn A 2 P =
nguyên khi x −1 là ước của 2 , x −1 x −1 1 − 1 −2 2 x 0 2 1 − 3 Vậy với x 1 − ;0;2;
3 thì P đạt giá trị nguyên x +
Câu 5. [TH] Tìm giá trị x nguyên để biểu thức 1 P = có giá trị nguyên. x − 3
A. x 1;1 6
B. x 15; 25
C. x 1;16;25;4 9 D. x 1; 25 Lời giải Chọn C x +1 x − 3 + 4 4 P = = =1+ x − 3 x − 3 x − 3
Do P Z nên
x − 3 là ước của 4
x − 3 nhận các giá trị: 4 − ; -2; -1; 1; 2; 4 x ; 1 16 ; 4 ; ; 25
49 do x 4 x 16 ; 1 ; ; 25 49 2(a − ) 1
Câu 6. [TH] Tìm các giá trị nguyên của a để T = nhận giá trị nguyên a +1 A. 1 − B. 4 C. 3 D. 1 − 2 Lời giải Trang 2 Chọn C 2(a − ) Ta có 1 4 T = = 2 −
. Do đó T Z , khi a+1 là ước của 4 a +1 a +1
Vì a 0,a 1 nên ta có a +1 = 4 a = 3.
Vậy a = 3là giá trị cần tìm. x −
Câu 7. [TH] Tìm giá trị x nguyên để 7 P =
với x 0, x 4. nhận giá trị x + 2 nguyên
A. x 1;− 7 .
B. x 1; 7 . C. x 1 − ; 7 . D. x 1 − ;− 7 . Lời giải Chọn B x − 7 3 P = = x − 2 − x + 2 x + 2 +) x − 7 P = 0
= 0 x = 7(tmdk) x + 2 +) P 0 Trường hợp 1: x −
x , x 7, x I. 7 P = I (Loại). x + 2
Trường hợp 2: x , x . 3
P = x − 2 − 3
x + 2Ư(3) x = 1 (TMĐK). x + 2 x + 2
Kết luận: x1; 7 . a −
Câu 8. [TH] Tìm giá trị x nguyên để 2 P = 2.
với a −2 nhận giá trị nguyên a + 2
A. a Î {- 6;- 4;- 3;- 1; }
2 B. a Î {- 6;- 4;- 3;- 1; } 0
C. a Î {- 10;- 6;- 4;- 3;- 1;0; 2; }
6 D. a Î {- 4;- 3;- 1;0; } 2 Lời giải Chọn C a − 2 P = 2. với a −2 a + 2 Trang 3 −
Để P nguyên thì 2a 4 nguyên. a + 2 − + −
Ta có 2a 4 2a 4 8 8 = = 2 − a + 2 a + 2 a + 2
Do đó, để P nguyên thì a + 2 là ước của 8, tức là a + 2 Î {- 8;- 4;- 2;- 1;1;2;4; } 8 .
Suy ra a Î {- 10;- 6;- 4;- 3;- 1;0;2; } 6
Câu 9. [VD] Tìm giá trị x để biểu thức 3 P = có giá trị nguyên. x + x +1 − − − − + A. 2 3 x = ;1 B. 3 2 x = ;1 C. 2 3 x = D. 2 3 x = 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 2 Ta có 1 3
3 0 và x + x +1 = x + + 0
với mọi x thuộc điều kiện xác 2 4 định. 3 0 P 0 x + x +1 Lại có: 3
x 0 x + x 0 x + x +1 1 3 P 3(2) x + x +1
Từ (1) và (2) ta có 0 P 3 mà P Z P 1; 2 a) 3 TH1: P = 1
=1 x + x +1 = 3 x + x − 2 = 0 ( x + 2)( x − ) 1 = 0 x + x +1
x −1 = 0 x =1(TMDK ) TH2: 3 P = 2
= 2 2x + 2 x + 2 = 3 2x + 2 x −1 = 0 x + x +1 2 1 1 3 1 3 2 − 3
2x + 2 x = 1 x + x = x + = x + = x = (ТМÐК) 2 2 4 2 2 2 − Vậy 2 3 x
;1 biều thức P có giá trị nguyên. 2
Câu 10. [VD] Tìm x nguyên dương để biểu thức 3 P =
, x 0, x 4 có giá trị x + 2 nguyên. A. x 0 B. x
C. x 0;− 4
D. x 4;− 4 Lời giải Chọn A Trang 4 3 P =
. (Điều kiện : x 0, x 4 ). x +1
Để P thì ( x +1) là ước của 3 .
Do x +1 0 với x thỏa mãn điều kiện nên
+) x +1 =1 x = 0 x = 0 (tm).
+) x +1 = 3 x = 2 x = 4 (ktm). Vậy x 0 x − 3
Câu 11. [VD] Tìm số nguyên x lớn nhất để biểu thức P =
với x 0; x 4 x + 3 nhận giá trị nguyên. A. x B. x = 9
C. x 0;− 9
D. x 9;− 9 Lời giải Chọn B x − 3 P =
( x 0; x 4 ) x + 3
* TH1: x − 3 = 0 x = 3 (tmđk) M = 0 Z
Vậy x = 3 thì P nguyên (1)
* TH2: x − 3 0 x 3 x − 3 6 P = = x − 3 + x + 3 x + 3 6
P P Z x − 3 +
Z x + 3{ 1; 6 ; 2 ; 3 } x + 3
Mà: x 0 x 0 Type equation here. x + 3 3 x + 33; 6 x 0; 9 (tmđk) (2)
+ Từ (1) và (2): x 0;3; 9 thì P nguyên
Vì x là số nguyên lớn nhất nên x = 9 Câu 12. [VDC] Cho x 2 4 x + 2 2 A = − + và B =1− với x −1 x + 2 x + x − 2 1− x
x 0 ; x 1. Trang 5 Với 3
P = A : B . Tìm x để 4 − P đạt giá trị nguyên lớn nhất. 2 A. 5 x = B. x = 0 C. x = 4
D. x = 2 2 Lời giải Chọn C Ta có: x +1 x + 2 B =
với x 0 ; x 1 A = x −1 ; x −1 x + 2 P =
với x 0 ; x 1 x +1 Đặt 3 3 x + 2
8 x + 8 − 3 x − 6 5 x + 2
M = 4 − P = 4 − . = = 2 2 x +1 2( x + 2) 2( x + 2)
Theo ĐKXĐ: x 0 nên 5 x + 2 0 và 2( x + 2) 0 . Suy ra: M 0 5(2 x + 4) −16 Ta có: 5 x + 2 16 5 M = 2M = = 5 − 5 M 2( x + 2) 2( x + 2) 2( x + 2) 2 Vậy: 5 0 M
nên M đạt giá trị nguyên lớn nhất là 2. 2 3 x +
M = 2 4 − P = 2 4 2 4 P =
= 3 x + 6 = 4 x + 4 2 3 x +1 3
x = 2 x = 4 (t/m đkxđ)
Kết luận: Để thỏa mãn đề bài thì x = 4
2. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (Soạn khoảng 4 câu): Các khẳng định đúng sai được
sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó, các khẳng định về cùng một nội dung hỏi.
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, em chọn đúng hoặc sai 2( x − ) 1 Câu 1. Cho A =
. Các câu sau Đúng hay Sai? x +1
a) A nhận giá trị nguyên khi x = 4
b) A nhận giá trị nguyên khi x = 1
a) A nhận giá trị nguyên khi x = 9
a) A nhận giá trị nguyên khi x = 16 Lời giải a) S b) Đ c) Đ d) S Trang 6 2( 4 − ) 1 2
a) Thay x = 4 ta có A = = ( Sai) 4 +1 3 2( 1 − ) 1
a) Thay x = 1 ta có A = = 0 ( Đúng) 1 +1 2( 9 − ) 1
a) Thay x = 9 ta có A = = 1( Đúng) 9 +1 2( 16 − ) 1 6
a) Thay x = 16 ta có A = = ( Sai) 16 +1 5 10 Câu 2. Cho A =
. Các câu sau Đúng hay Sai? x + 3
a) Với x Z , biểu thức A nhận giá trị nguyên khi x 4; 49 1
b) Với số hữu tỉ x, biểu thức A nhận giá trị nguyên khi x ;4;49 9
c) Với x Z , biểu thức A nhận giá trị nguyên lớn nhất khi khi x 49
d) Với x Z , biểu thức A nhận giá trị nguyên nhỏ nhất khi khi x 4 Lời giải a) Đ b) Đ c) S d) S 10
a) Với x Z , biểu thức A nhận giá trị nguyên khi
Z x + 3 1 ; 2 ; 5 ; 1 0 x + 3
x 0 x + 3 3 x + 35;1 0 x 2; 7 x 4;4 9 Vì
Điều kiện : x 0 b)
Vì 10 0, x + 3 0 nên A 0 10 10 10
Mặt khác, x 0 x + 3 3 A x + 3 3 3 10 Do đó 0 A
nên A Z khi 3 10 =1 x + 3 A = 1 10 = x + 3 x = 7 x = 49 10 A = 2 = 2 10 = 2 x + 6 x = 2 x = 4 (thỏa mãn điều kiện) x + 3 A = 3 10 = 3 x + 9 1 1 10 x = x = = 3 3 9 x +3 Trang 7 1
Vậy x 49;4; là giá trị cần tìm. 9
c) Với x Z , biểu thức A nhận giá trị nguyên lớn nhất khi x 9; 49 Ta có x 4 49 A 2 1
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của A = 2 khi x = 4
d) Với x Z , biểu thức A nhận giá trị nguyên nhỏ nhất là 4 khi x = 49 a - 4 a + 7 a Câu 3. Cho A = và B =
(a > 0,a ¹ 4 ), Cho P = A B a + 2 a a - 4
a) Với a = 1, biểu thức P nhận giá trị nguyên . 1
b) Với a ;9, biểu thức P nhận giá trị nguyên. 4
c) Với a = 9 , biểu thức P nhận giá trị nguyên nhỏ hơn 3 . 1
d) Với a ;4, biểu thức P nhận giá trị nguyên lớn hơn 1. 9 Lời giải a) Đ b) Đ c) S d) S a + 7 5
Với a > 0,a ¹ 4 , P = = 1 + a + 2 a + 2 7 Chỉ ra 1 < P < 2
Do đó để P nguyên thì P = 2 hoặc P = 3 . ìï 1üï Tìm được a ï 9; ï Î í ý thì P nguyên. ï 4ï ïî ïþ
Câu 4. Cho hai biểu thức x + 5 x - x - x A = và 4 2 13 B = + - x - 3 x + 3 x - 9 x - 3
với x ³ 0, x ¹ 9 .
c) Tìm giá trị của x nguyên nhỏ nhất để P có giá trị nguyên.
a) Khi x = 4 thì A = 7 B x - 5
b) Rút gọn biểu thức P = ta được P = . A x + 3
c) Khi x = 4 , biểu thức P nhận giá trị nguyên. Trang 8
d) x = 1 là giá trị nguyên nhỏ nhất của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên . Lời giải a) S b) Đ c) S d) Đ
a) Thay x = 4 (Thỏa mãn ĐKXĐ) vào A , ta có: 4 + 5 2 + 5 A = = = - 7 . 4 - 3 2- 3
Vậy với x = 4 thì A = - 7.
b) ĐKXĐ: x ³ 0, x ¹ 9 . B æ 4 2x x 13 x ö - - ç ÷ x + 5 P = = B ç = + - : ÷ A ç ÷ çè x + 3 x- 9 x - 3÷ø x - 3 4 æ ( x 3) 2x x 13 x( x 3)ö - + - - - + ç ÷ x + 5 = ç : ÷ ç ÷ çè ( x + 3)( x - 3) ÷ø x - 3 æ x 25 ö - ( x + ) 5 ( x - ) 5 ç ÷ x + 5 x - 3 = ç : ÷ ç ÷ = .
çè( x + 3)( x - 3)÷ø x - 3 ( x + 3)( x - 3) x + 5 x - 5 = x + 3 x - 5 Vậy P =
với x ³ 0, x ¹ 9 . x + 3 x - 5 8 c,d) P = = 1- x + 3 x + 3
Vì x Î ¢ Þ Để P Î ¢ thì x + 3Î U = ± 1;± 2;± 4;± 8 . 8 { } ( ) Ta có bảng sau : x + 3 - 1 1 - 2 2 - 4 4 - 8 8 - 2 - 4 - 1 - 5 - 7 - 11 x ( 5
L) (L) (L) (L) 1 (L) (L) x 1 25
Vì x Î ¢ , x nhỏ nhất Þ x = 1.
Vậy P Î ¢ Û x = 1
3. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN ( soạn khoảng 6 câu)
Câu 1. [NB] Cho biểu thức 3 A =
. Tìm x nguyên để A nguyên. 2 x +1 Lời giải
Đáp án: x 0; 1 Trang 9
Điều kiện xác định x 0 Cách 1: 3 A Z
Z 2 x +1 thuộc các ước dương của 3 (vì 2 x +1 0 với 2 x +1 x 0 ) 2 x +11; 3 x 0 ;1 (thỏa mãn)
Cách 2: Ta có 3 A =
0 với mọi x 0 2 x +1 Với 3
x 0 2 x +1 1 A = 3 2 x +1
Khi đó 0 A 3, mà A Z A1;2; 3 + Xét 3 A = 1
=1 2 x +1 = 3 x =1 Z (thỏa mãn) 2 x +1 + Xét 3 3 1 A = 2
= 2 2 x +1 = x = Z (loại) 2 x +1 2 4 + Xét 3 A = 3
= 2 2 x +1 =1 x = 0 Z (thỏa mãn) 2 x +1
Vậy với x 0; 1 thì A nguyên. x + 3
Câu 2. [NB] Tìm x để biểu thức M =
( x 0; x 9) nhận giá trị nguyên x − 3 Lời giải
Đáp án: x 0;1;4;16;25;36; 81 x − 3 + 6 x − 3 6 6 M = = + =1+ x − 3 x − 3 x − 3 x − 3 6
Vì x Z nên M khi
x − 3 1 ; 2 ; 3 ; 6 x − 3
x 0;1;4;16;25;36;
81 (thỏa mãn điều kiện) 4( x + ) 1 Câu 3. [TH] Cho 1 A = ; B =
Tìm tất cả giá trị nguyên của x để biểu thức 25 − x x +1 P = .
A B đạt giá giá trị nguyên lớn nhất Lời giải
Đáp án: x = 24 Trang 10 4( x + ) 1 Ta có 1 4 P = . A B = = . 25 − x x +1 25 − x Để P nhận giá trị nguyên khi x Z thì 4 (25 − x) hay 25 − x U = 4 − ; − 2; −1;1; 2; 4 . 4 ( )
Khi đó, ta có bảng giá trị sau: 25 − x −4 −2 1 − 1 2 4 x 29 27 26 24 23 21 P = . A B 1 − −2 −4 4 2 1 Đánh giá Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn
Do P đạt giá trị nguyên lớn nhất nên ta có P = 4 . Khi đó giá trị cần tìm của x là x = 24 . 10
Câu 4. [TH] Tìm x R để các biểu thức A =
nhận giá trị là số nguyên : x + 3 Lời giải 1
Đáp án: x 49;4; 9
Điều kiện : x 0
a)Vì 10 0, x + 3 0 nên A 0 10 10 10
Mặt khác, x 0 x + 3 3 A x + 3 3 3 10 Do đó 0 A
nên A Z khi 3 10 =1 x + 3 A = 1 10 = x + 3 x = 7 x = 49 10 A = 2 = 2 10 = 2 x + 6 x = 2 x = 4 (thỏa mãn điều kiện) x + 3 A = 3 10 = 3 x + 9 1 1 10 x = x = = 3 3 9 x +3 1
Vậy x 49;4; là giá trị cần tìm. 9 2 x + 5
Câu 5. [VD] Tìm x để biểu thức A =
. sau có giá trị là số nguyên. x +1 Trang 11 Lời giải 1
Đáp án: x 0; ; 4 4
Điều kiện: x 0 2 x + 2 + 3 2 x + 2 3 3 Có A = = + = 2 + x +1 x +1 x +1 x +1 3 Đặt B = x +1 3
Vì 2 nên A khi B = x +1
Vì 3 0, x +1 0 nên B 0 3 3
Mặt khác x 0 x +1 1 B 3 x +1 2
Do đó: 0 B 3 B khi 3 = 1 x +1 x = 2 x = 4 B = 1 3 = x +1 3 1 1 B = 2 = 2 3 = 2 x + 2 x = x = (TMĐK) x +1 2 4 B = 3 3 = 3 x + 3 3 x = 0 x = 0 = 3 x +1 1
Vậy x 0; ; 4 là các giá trị cần tìm 4
PHẦN II. BÀI TẬP TỰ LUẬN Phương pháp giải: ☑️ b
Dạng 1: Tìm x Z để P = a + Z(a, ,
b c, d Z) c x + d
Bước 1 Đặt điều kiện, khử x ở trên tử, đưa P về dạng như trên. b
Bước 2 P khi
c x + d Ư (b) c x + d ☑️ a
Dạng 2: Tìm x R để P = Z( * a, , b c ) b x + c
Bước 1 Đặt điều kiện và chặn hai đầu của P :
• a 0,b x + c 0 P 0. a a a
• b x + c c P . b x + c c c a
Như vậy ta chặn hai đầu của P là 0 P . c Trang 12 a
Bước 2 Chọn P ,0
Z P . Từ đó suy ra x . c BÀI TẬP MẪU Ví dụ 1 [NB]: x + 2 x x Cho biểu thức 1 A = + .
(với x 0; x 4 ) − − x 1 x 2 x x 2 + 1. Chứng minh rằng 2 𝐴 = . √𝑥 − 2
2. Tìm x để A . Lời giải
1)Với x 0; x 4 , ta có: x( x + 2) x 1 A = + . x( x 2) x 2 − − x +1 x + 2 x 1 x + 2 + x 1 = + . = . x 2 x 2 − − x +1 x − 2 x +1 + + 2 x 2 1 2( x 1) 1 2 = . = . = x − 2 x +1 x − 2 x +1 x − 2 Vậy 2 A =
với x 0; x 4 . x − 2
2) Với x , để A thì 2 x − 2 1 ; 2 x 0;1;1 6 , x − 2 4( x + ) 1 15− x 2 x +1
Ví dụ 2 [TH]: Cho hai biểu thức: A = và B = + : 25 − x x 25 x 5 − + x − 5
với x 0; x 25 .
1. Rút gọn biểu thức B ;
2. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A B đạt giá trị nguyên lớn nhất. Lời giải − 15 − x + 2 x x + ( x −5 15 2 1 ) x −5 1 x − 5 1 1. B = + : = = = x 25 x 5 − + x − 5
( x −5)( x +5) x +1 x −5 x +1 x +1 4( x + ) 1 2. 1 4
P = A B = = 25 − x x +1 25 − x Trang 13
Vì 4 0 nên để P đạt giá trị nguyên lớn nhất khi 25 − x đạt giá trị nguyên dương nhỏ
nhất. Khi đó: 25 − x = 1 x = 24 .
Vậy khi x = 24 thì P đạt giá trị nguyên lớn nhất là 4 . Ví dụ 3 [TH]: 1 1 x − 2 Cho biểu thức P = +
với x 0 ; x 4 . x + 2 x − 2 x 1) Rút gọn P . 9
2) Tìm tất cả các giá trị thực của x để Q = P có giá trị nguyên. 2 Lời giải 1) 1 1 x − 2 x − 2 + x + 2 x − 2 2 x x − 2 2 P = + = = = x + 2 x − 2 x
( x −2)( x +2) x ( x −2)( x +2) x x + 2 9 9
2) Ta có: Q = P = 2 x + 2
Vì x 0 ; x 4 nên Q 0 (1) 9 9
Mặt khác: x + 2 2 (2) x + 2 2 9
Từ (1) và (2) suy ra 0 Q . Mà Q nhận giá trị nguyên 2 Q 25 1
1; 2; 3; 4 x 49; ; 1; 4 16 Ví dụ 4 [VD]: x − 2 x x +1 1+ 2x − 2 x Cho biểu thức A = + +
( Với x 0, x 1) 2
x x −1 x x + x + x x − x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên. Lời giải x + 2 a) A = . x + x +1
b) Cách 1: Với x 0, x 1 x + x +1 x +1 1. Trang 14 x + 2 x + 2 1 Vậy 0 A = =1+ 2. x + x +1 x +1 x +1 x + 2 Vì A nguyên nên A = 1
=1 x =1( Không thỏa mãn). x + x +1
Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giả trị A là một số nguyên.
Cách 2: Dùng miền giá trị x + 2 A =
Û Ax+ (A - 1) x + A - 2 = 0 x + x + 1
Trường hợp 1: A = 0 x = −2 x 1 Trường hợp 2: 2 2 2
A 0 = (A−1) − 4 ( A A − 2) = 3
− A + 6A +1 0 A − 2A − 0 3 4 4 2 2
A − 2A +1 (A−1) A1;
2 doA Z, A 0 3 3
Với A = 1 => x = 1 ( loại) x + 2 Với A = 2
= 2 x = 0 ( loại). x + x +1
✔️BÀI TẬP TỰ LUYỆN −
Bài 1. [NB] Cho biểu thức a 3 a 2 B = − −
với a 0;a 9 a − 3 a + 3 a − 9 a) Rút gọn B.
b) Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên Hướng dẫn a)
Với a 0; a 9 ta có: a 3 a − 2 a 3 a − 2 B = − − = − − a − 3 a + 3 a − 9 a − 3
a + 3 ( a − 3)( a + 3) a( a + 3) 3( a − 3) a − 2 = − −
( a − 3)( a + 3) ( a − 3)( a + 3) ( a − 3)( a + 3)
a + 3 a − 3 a + 9 − a + 2 11 = = a − 3)( a + 3) a − 9 11
b) Để B Z
Z 11 (a − 9) (a − 9) Ư (11) a − 9 Ư (11) = 1;11; 1 − ;−
11 . Khi đó ta có bảng giá trị a − 9 −11 1 − 1 11 Trang 15 a −2 8 10 20 Không
Thoả mãn Thoả mãn Thoả mãn thoả mãn Vậy a 8;10;
20 thì B Z x - 3 x - 2 9- x
Bài 2. [TH] Cho biểu thức P = + -
với x ³ 0; x ¹ 4 2- x 3+ x x + x - 6 a) Rút gọn P 7
b) Tìm x để P = 12 1
c) Tìm x để P > 2 1
d) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để nhận giá trị nguyên. P
e) Tìm tất cả các giá trị hữu tỷ của của x để P nhận giá trị nguyên. Hướng dẫn x - 3 x - 2 9- x
a) Với x ³ 0; x ¹ 4 thì P = + - 2- x 3+ x
x + 3 x - 2 x - 6 x - 3 x - 2 9 - x = + - 2 - x 3 + x
x ( x + 3)- 2( x + 3) x - 3 x - 2 9 - x = + - 2 - x 3 + x
x ( x + 3)- 2( x + 3) x - 3 x - 2 9 - x = - + - x - 2 3 + x ( x + 3)( x - 2)
- ( x - )( x + )+ ( x - )2 3 3 2 - 9 + x = ( x + 3)( x - 2)
- x + ( x - )2 - + x ( x - )2 9 2 9 2 x - 2 = ( = = x + 3)( x - 2)
( x + 3)( x - 2) x + 3 x - 2
Vậy với x ³ 0; x ¹ 4 thì P = x + 3 Trang 16 7 x - 2 7 b) P = Û =
Û 12 x - 24 = 7 x + 21 Û 5 x = 45 12 x + 3 12 Û
x = 9 Û x = 81 ( thỏa mãn x ³ 0; x ¹ 4 ) 7
Vậy với x = 81 thì P = 12 1 x - 2 1 x - 2 1 2 x - 4- x - 3 x - 7 c) P > Û > Û - > 0 Û > Û > 0 x + 3 x + 3 2( x + ) 0 2 2 2 3 x + 3 (3)
Vì x ³ 0 với mọi x ³ 0; x ¹ 4 nên x + 3 > 0 với mọi x ³ 0; x ¹ 4 Nên (3) Û x - 7 > 0 Û
x > 7 Û x > 49
Kết hợp với điều kiện x ³ 0; x ¹ 4 . 1
Vậy x > 49 thì P > 2 1 x + 3 x - 2 + 5 5 d) Ta có = = = 1+ P x - 2 x - 2 x - 2 1 5 nguyên Û nguyên Û 5 ( M x - ) 2 Û
x - 2 là Ư (5)= {± 1;± } 5 P x - 2 Lập bảng: x - 2 1 − 1 5 − 5 x 1 3 -3 7 x 1 9 49 Thỏa mãn Thỏa mãn Loại Thỏa mãn 1 Vậy x Î {1;9; } 49 thì nguyên. P x - 2 x + 3- 2 2 e) Ta có P = = = 1- x + 3 x + 3 x + 3 2 Vì
> 0 nên P < 1 với mọi x ³ 0; x ¹ 4 x + 3 2 2 2 2 2 2 1 Mà x + 3 ³ 3 Þ £ Þ - ³ - Þ 1- ³ 1- = x + 3 3 x + 3 3 x + 3 3 3 Trang 17 1
Do đó £ P < 1. Vậy không có giá trị hữu tỷ nào của x để P nguyên. 3 2(x + ) 4 x 8
Bài 3. [VD] Cho biểu thức B = + -
với x ³ 0; x ¹ 16 x - 3 x - 4 x + 1 x - 4 a) Rút gọn B .
b) Tìm giá trị của x để B = 1 3
c) Tính giá trị của x sao cho không vượt quá 2
d) Tìm giá trị của B khi x thỏa mãn đẳng thức 2x - 1 = x
e) Tìm x để giá trị của B là một số nguyên. Hướng dẫn 2(x + ) 4 x 8
a) Với x ³ 0; x ¹ 16 thì B = + -
x + x - 4 x - 4 x + 1 x - 4 2(x + 4) x 8 = + - x ( x + ) 1 - 4( x + ) 1 x + 1 x - 4 2(x + 4) x 8
2x + 8 + x ( x - 4)- 8( x + ) 1 = ( + - = x - 4)( x + ) 1 x + 1 x - 4 ( x - 4)( x + )1
2x + 8 + x - 4 x - 8 x - 8 3x - 12 x 3 x ( x - 4) 3 x = ( = = = Vậy x - 4)( x + ) 1 ( x - 4)( x + ) 1 ( x - 4)( x + ) 1 x + 1 3 x
với x ³ 0; x ¹ 16 thì B = x + 1 3 x 1 1 b) B = 1 Û = 1 Û 3 x =
x + 1 Û 2 x = 1 Û x = Û x = x + 1 2 4 1
( thỏa mãn x ³ 0; x ¹ 16 ). Vậy x = thì B = 1 4 3 3 3 x 3 3 x 3
c) B không vượt quá Û B £ Û £ Û - £ 0 2 2 x + 1 2 x + 1 2 6 x - 3 x - 3 3 x - 3 x - 1 Û ( £ Û £ 0 Û £ 0 (*) x + ) 0 2 1 2( x + ) 1 x + 1
Vì x ³ 0 với mọi x ³ 0; x ¹ 16 nên x + 1> 0 với mọi x ³ 0; x ¹ 16 Suy ra (*) Û x - 1£ 0 Û
x £ 1 Û x £ 1 Trang 18
Kết hợp với điều kiện x ³ 0; x ¹ 16 3
Vậy 0 £ x £ 1thì B không vượt quá 2
d) Ta có 2x - 1 = x ( x ³ 0; x ¹ 16 )
Û x - = x Û x - x + = Û (x - )2 2 2 2 1 2 1 0
1 = 0 Û x = 1 ( thỏa mãn x ³ 0; x ¹ 16 ) 3 1 3 3 Þ B = =
Vậy 2x - 1 = x thì B = 1 + 1 2 2 3 x 3 x + 3- 3 3 3 e) B = = = 3- < 3( vì
> 0 với x ³ 0; x ¹ 16 ) x + 1 x + 1 x + 1 x + 1
Vì x ³ 0 với mọi x ³ 0; x ¹ 16 nên x + 1³ 1với mọi x ³ 0; x ¹ 16 3 3 3 Þ £ 3 Þ - ³ - 3 Þ 3- ³ 0 x + 1 x + 1 x + 1
Suy ra 0 £ B < 3 Mà B Î Z nên B Î {0;1; } 2 3 x TH1: B = 0 Û
= 0 Û x = 0 ( thỏa mãn) x + 3 3 x 3 9 TH2: B = 1 Û = 1 Û 3 x = x + 3 Û x = Û x = ( thỏa mãn) x + 3 2 4 3 x TH3: B = 2 Û
= 2 Û 3 x = 2 x + 6 Û
x = 6 Û x = 36 ( thỏa mãn) x + 3 ìï 9 ü ï ï Vậy x 0; ;36 Î í ý thì B Î Z ïî 4 ï ï ïþ 1- x
Bài 4. [VD] Cho biểu thức: A = với x ³ 0 và 1+ x 15 æ x 2 ö - ç ÷ x + 1 B = ç + : ÷ x ³ x ¹ ç với 0; 5 çè x - 25 ÷ x + 5÷ø x - 5 a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm x để biểu thức M = B - A nhận giá trị nguyên. Hướng dẫn
a) Với x ³ 0; x ¹ 5 thì é ù 15 æ x 2 ö - ç ÷ x + 1 ê 15- x 2 ú x + 1 B = ç + : ÷ = ç ÷ ê + ú çè x- x + ÷ø x - (ê x - ê ) 5 ( x + ) : 25 5 5 5 x + 5ú x - 5 ë úû Trang 19 15- x + 2 x - 10 x + 1 5 + x x - 5 1 = ( = = x - ) 5 ( x + ) : 5 x - ( x - ) 5 ( x + ). 5 5 x + 1 x + 1 1
Vậy với x ³ 0; x ¹ 5 thì B = x + 1 1 1- x 2- x - 1- x + 3 3
b) Ta có M = B - A = - = = = - 1+ x + 1 1+ x x + 1 x + 1 x + 1
Vì x ³ 0" x ³ 0; x ¹ 5 Þ
x + 1³ 1" x ³ 0; x ¹ 5 3 3 Þ £ 3 Þ M = - 1+ £ - 1+ 3 = 2 x + 1 x + 1 3 3 Lại có > 0 Þ - 1+ > - 1 x + 1 x + 1
Þ - 1< M £ 2 . Mà M Î Z Þ M Î {0;1; } 2 2- x TH1: M = 0 Þ = 0 Û 2-
x = 0 Û x = 4 (TM ) x + 1 2- x 1 TH2: M = 1Þ = 1 Û 2- x =
x + 1 Û 2 x = 1 Û x = (TM ) x + 1 4 2- x TH3: M = 2 Þ = 2 Û 2-
x = 2 x + 2 Û 3 x = 0 Û x = 0 (TM ) x + 1 ìï 1ü ï ï Vậy x 0;4; Î í ý thì M Î Z ïî 4ï ï ïþ x +
Bài 5 [VD] Cho hai biểu thức: 2 1 x 3 = x A ; B = − − với x − 3 x + 2 1− x x + x − 2
x 0; x 1; x 9
a) Rút gọn biểu thức B . b) Đặt M = .
A B , hãy tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức M có giá trị nguyên. Hướng dẫn
x −1+ x.( x + 2) −3 x x −1 x +1 a) B = ( x − ) = = 1 ( x + 2)
( x − )1( x +2) x +2 x + 2 x +1 x +1 4 b) M = . A B = . = =1+ x − 3 x + 2 x − 3 x − 3 4 M
4 x − 3 x − 3 1 ; 2 ; 4 x − 3
Vậy x 1;4;16;25; 49 Trang 20