Chuyên đề thể tích khối đa diện – Nguyễn Văn Thân Toán 12

Tài liệu gồm 19 trang tóm tắt lý thuyết và tuyển tập các bài toán trắc nghiệm về thể tích khối đa diện. Mời các bạn đón xem.

56 28 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện

Môn: Toán 12

Thông tin:

19 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Lan Tường
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Nguyễn Văn Thân Trang 1
VẤN ĐỀ 1: ÔN TẬP HÌNH HỌC PHẲNG
1/ Ca
c hê
thư
c lươ
ng trong tam gia
c vuông
Cho ABCD vuông ta
i A, AH la
đươ
ng cao, AM la
đươ
ng trung tuyê
n. Ta co
:
2/ Ca
c hê
thư
c lươ
ng trong tam gia
c bất kỳ
a) Đi
nh lı
ha
m sô
cosin
b) Đi
nh lı
ha
m sô
sin
c) Công thư
c tı
nh diê n tı
ch cu
a tam gia
c
d) Công thư
c tı
nh đô
da
i đươ
ng trung tuyê
n cu
a tam gia
c
. .
.
A
C
B
R
2
sin sin sin
abc
R
ABC
===
(R la
ba
n kı
nh đươ
ng tro
n ngoa
i tiê
p ABC)
b
c
a
A
B C
b c
a
111
...
222
ABC a b c
Sahbhch
D
===
111
sin sin sin
222
ABC
SabCbcAacB
D
===
,.
4
ABC ABC
abc
SSpr
R
DD
==
()()()
,
2
ABC
abc
S ppapbpc p
D
æö
++
÷
ç
=--- =
÷
ç
÷
ç
èø
p – nư
a chu vi
r – ba
n kı
nh đươ
ng tro
n nô
i tiê
p
R – bk đươ
ng ngoại nô
i tiê
p
A
B C
b
c
a
222
222
222
222
222
222
2cos cos
2
2cos cos
2
2cos cos
2
bca
abc bcA A
bc
acb
bac acB B
ac
abc
cab abC C
ab
+-
*=+- =
+-
*=+- =
+-
*=+- =
A
B C
H M
()
222
BC AB AC Pitago=+
..AH BC AB AC=
22
., .AB BH BC AC CH CB==
2
222
111
,.AH HB HC
AH AB AC
=+ =
2
BC
AM =
A
B C
N
K
M
222
2
24
AB AC BC
AM
+
*= -
22 2
2
24
BA BC AC
BN
+
*= -
22 2
2
24
CA CB AB
CK
+
*= -
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Nguyễn Văn Thân Trang 2
3/ Đi
nh lı
Talet
4/ Diê
n tı
ch cu
a đa gia
c
a/ Diê
n tı
ch tam gia
c vuông
Diê
n tı
ch tam gia
c vuông bă
ng ½ tı
ch 2 ca
nh go
c
vuông.
b/ Diê
n tı
ch tam gia
c đê
u
+ Diê
n tı
ch tam gia
c đê
u:
. 3
4
S
D
=
+ Chiê
u cao tam gia
c đê
u:
. 3
2
h
D
=
c/ Diê
n tı
ch hı
nh vuông va
hı
nh chư
nhâ
t
+ Diê
n tı
ch hı
nh vuông bă
ng ca
nh bı
nh phương.
+ Đươ
ng che
o hı
nh vuông bă
ng ca
nh nhân
2 .
+ Diê
n tı
ch hı
nh chư
nhâ
t bă
ng da
i nhân rô
ng.
d/ Diê
n tı
ch hı
nh thang
Diê
n tı
ch hı
nh thang:
S
Hı
nh Thang
1
2
=
.(đa
y lơ
n + đa
y be
) . chiê
u cao
e/ Diê
n tı
ch tư
gia
c co
hai đươ
ng che
o vuông go
c
+ Diê
n tı
ch tư
gia
c co
hai đươ
ng che
o vuông go
c nhau
bă
ng ½ tı
ch hai đươ
ng che
o.
+ Hı
nh thoi co
hai đươ
ng che
o vuông go
c nhau ta
i
trung điê
m cu
a mô
i đươ
ng.
Lưu y
: Trong tı
nh toa
n diê
n tı
ch, ta co
thê
chia đa gia
c tha
nh như
ng hı
nh đơn gia
n dê
tı
nh diê
n tı
ch, sau đo
cô
ng ca
c diê
n tı
ch đươ
c chia na
y, ta đươ
c diê
n tı
ch đa gia
c.
VẤN ĐỀ 2: ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11
1/ Chư
ng minh đươ
ng thă
ng // ()dmpa
a. Phương pháp 1: Chư
ng minh
()
//
//
'
'() ()
()
dd
ddmp
d
aa
a
ì
ï
ï
ï
ï
ï
Ì
í
ï
ï
ï
Ë
ï
ï
î
2
2
//
AMN
ABC
AM AN MN
MN BC k
AB AC BC
S
AM
k
SAB
D
D
*===
æö
÷
ç
÷
*==
ç
÷
ç
÷
ç
èø
(Tı
diê
n tı
ch bă
ng tı
bı
nh phương đô
ng da
ng)
A
B C
N M
A
C
B
1
.
2
ABC
SABAC
D
=
A
B
C
a
h
2
3
4
3
2
ABC
a
S
a
h
D
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
í
ï
ï
=ï
ï
ï
î
A B
C D
a
O
2
2
HV
Sa
AC BD a
ì
=
ï
ï
ï
í
ï
==
ï
ï
î
A
B H C
D
(
)
.
2
AD BC AH
S
+
=
A
B
D
C
.
1
.
2
HThoi
SACBD=
(ca
nh)
2
đêu
(ca
nh)
đêu
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Nguyễn Văn Thân Trang 3
b. Phương pháp 2: Chư
ng minh
(
)
//
//
()
()
()
d
dmp
b
a
ba
ì
ï
Ì
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
c. Phương pháp 3: Chư
ng minh
d
va
()a
cu
ng vuông go
c vơ
i mô
t đươ
ng thă
ng hoă
c cu
ng vuông go
c vơ
i mô
t mă
t
phă
ng.
2/ Chư
ng minh
(
)
// ()mp mpab
a. Phương pháp 1: Chư
ng minh ()mp a chư
a hai đươ
ng thă
ng că
t nhau song song vơ
i
(
)
mp b .
b. Phương pháp 2: Chư
ng minh ()mp a va
(
)
mp b cu
ng song song vơ
i 1 mă
t phă
ng hoă
c cu
ng vuông go
c vơ
i 1
đươ
ng thă
ng.
3/ Chư
ng minh hai đươ
ng thă
ng song song:
a. Phương pháp 1: Hai
()
(),mp ab
co
điê
m chung S va
lâ
n lươ
t chư
a 2 đươ
ng thă
ng song song
,ab
thı
(
)
// // () Sx a babÇ=
.
b. Phương pháp 2: Chư
ng minh
()
(
)
//
//
()
()
amp
amp ab
b
a
b
ab
ì
ï
ï
ï
ï
ï
Ì
í
ï
ï
ï
Ç=
ï
ï
î
.
c. Phương pháp 3: Hai mă
t phă
ng cu
ng song song vơ
i mô
t đươ
ng thă
ng thı
giao tuyê
n cu
a chu
ng song song vơ
i
đươ
ng thă
ng đo
.
d. Phương pháp 4: Mô
t mă
t phă
ng că
t hai mă
t phă
ng song song theo giao tuyê
n song song.
e. Phương pháp 5: Hai đươ
ng thă
ng cu
ng vuông go
c vơ
i mô
t mă
t phă
ng thı
song song vơ
i nhau.
f. Phương pháp 6: Sư
du
ng phương pha
p hı
nh ho
c phă
ng: Đươ
ng trung bı
nh, đi nh lı
Tale
t đa
o, …
4/ Chư
ng minh đươ
ng thă
ng
(
)
dmpa^
a. Phương pháp 1: Chư
ng minh:
()
,
da
db
ab
ab mp a
ì
ï
^
ï
ï
ï
^
ï
ï
í
Ç
ï
ï
ï
ï
Ì
ï
ï
î
(
)
dmpa^
b. Phương pháp 2: Chư
ng minh:
(
)
// '
'
dd
dmpa
ì
ï
ï
ï
í
ï
^
ï
ï
î
(
)
dmpa^
c. Phương pháp 3: Chư
ng minh:
()
() ()
//
dmp
mp mp
b
ba
ì
ï
^
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
(
)
dmpa^
d. Phương pháp 4: Hai mă
t phă
ng că
t nhau cu
ng vuông go
c vơ
i mă
t phă
ng thư
3 thı
giao tuyê
n cu
a chu
ng vuông
go
c vơ
i mă
t phă
ng thư
3:
() ()
() ()
() ()
()
P
PdP
d
a
b
ab
ì
ï
^
ï
ï
ï
ï
^^
í
ï
ï
ï
Ç=
ï
ï
î
e. Phương pháp 5: Co
hai mă
t phă
ng vuông go
c, đươ
ng thă
ng na
o nă
m trong mă
t phă
ng na
y va
vuông go
c vơ
i giao
tuyê
n của 2 mặt phẳng, cu
ng vuông go
c vơ
i mă
t phă
ng kia:
() ()
() ()
()
()
a
d
d
da
ab
ab
b
a
ì
ï
^
ï
ï
ï
ï
Ç=
ï
^
í
ï
Ì
ï
ï
ï
^
ï
ï
î
5/ Chư
ng minh đươ
ng thă
ng
'dd^
a. Phương pháp 1: Đường thẳng
(
)
d a^ thì d ^ tất cả các đường thẳng nằm trong
()
mp a .
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Nguyễn Văn Thân Trang 4
b. Phương pháp 2: Sư
du
ng đi nh ly
ba đươ
ng vuông go
c.
c. Phương pháp 3: Chư
ng to
go
c giư
a d va
'd bă
ng
0
90
.
d. Phương pháp 4: Sư
du
ng hı
nh ho
c phă
ng.
6/ Chư
ng minh
() ()
mp mpab^
a. Phương pháp 1: Chư
ng minh
()
()
() ()
d
mp mp
d
a
ab
b
ì
ï
É
ï
ï
^
í
ï
^
ï
ï
î
(chư
ng minh mp chư
a 1 đươ
ng thă
ng vuông
go
c vơ
i mp kia)
b. Phương pháp 2: Chư
ng to
go
c giư
a hai mă
t phă
ng bă
ng
0
90
.
PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
(Phần này cần nắm cho thật vững)
I. TÍNH GÓC
1. Tính góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau
Phương pháp :
Có thể sử dụng một trong các cách sau:
a. Cách 1:
(theo phương pháp hình học)
+ Go
c giư
a hai đươ
ng thă
ng song song hoặc trùng nhau thì bằng 0
+ Go
c giư
a hai đươ
ng thă
ng chéo nhau
: La
go
c ta
o bơ
i hai đươ
ng
thă
ng că
t nhau lâ
n lươ
t ve
cu
ng phương vơ
i hai đươ
ng thă
ng đo
:
//
//
'
(,) ( ', ')
'
aa
ab a b
bb
f
ì
ï
ï
= =
í
ï
ï
î
(chú ý: Go
c giư
a hai đươ
ng thă
ng chỉ lấy góc nhọn không lấy góc tù)
b. Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ):

cos ,
ab
ab
ab



.
2. Tính góc giữa đường thẳng
a và mặt phẳng

P
Phương pháp xác định :
+
aP A
+ Trên đường thẳng a lấy điểm M bất kỳ.
+ Tìm điểm H là hình chiếu của M trên mp
MH P
+

;aP MAH

Chú ý: đường thẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng thì góc bằng 0
3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng

P
và
Q
Phương pháp :
+ Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng
P
và
Q
+ Tìm 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng

P
và
Q
đồng thời 2 đường thẳng này cùng vuông góc với giao tuyến chung
của 2 mặt phẳng
P
và
Q
+ Góc của 2 mặt phẳng
P
và
Q
là góc của 2 đường thẳng
cùng vuông góc với giao tuyến chung của 2 mặt phẳng
P
và
Q
Chú ý: 2 mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc bằng 0
II. TÍNH KHOẢNG CÁCH
1. Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng
Phương pháp :
Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó
đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau :
Cách 1 :
+ Tìm một mặt phẳng
(Q) chứa M và vuông góc với (P) .
a
b
'a
'b
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Nguyễn Văn Thân Trang 5
+ Xác định
mP Q .
+ Dựng
M
Hm P Q
,
M
HP
Suy ra
MH là đoạn cần tìm .
Cách 2: Dựng
//
M
HAK P
Chú ý :
+ Nếu
 
//
,,
MA P d d
M
PMP



.
+ Nếu
M
API

,
,
d
MP
I
M
dIA
MP





2. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng:
+ Khi
//aP
 
,,
dd
aP AP



với

A
P .
+ Khi đường thẳng
aP hoặc
aP thì khoảng cách bằng 0
3. Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :
+ Khi
//PQ
 
,,
P
QMQ
dd


 với
A
P
.
+ Khi



,
0
PQ
PQ
PQ
d



4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
a. Khi



,'
'
0
'
d





.
b. Khi
 
,' ,' ,
// '
MN
ddd


 với
,'MN  .
c. Khi hai đường thẳng chéo nhau :
+ Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
và
' là đường thẳng
a cắt
ở
M
và cắt
' ở
N
đồng thời vuông góc với cả
và
'
.
+ Đoạn
M
N được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau
và
'
.
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng đó .
Phương pháp :
+ Cách 1 :
Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến mp(P)
+ Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là
khoảng cách cần tìm .
+ Cách 3 :
Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó .
* Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau :
+
Dựng
,//PbPa
.
+ Dựng

'ahch a
P
, bằng cách lấy
M
a
+ Dựng đoạn
MN
, lúc đó a’ là đường thẳng đi qua N
và song song
a .
+ Gọi '
H
ab, dựng //
H
KMN
H
K là đoạn vuông góc chung cần tìm
( Hay MN là đoạn vuông góc chung cần tìm) .
* Nếu hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau thì:
+ Dựng một
,mp P b P a
tại H .
+ Trong
(P) dựng
H
Kb tại K .
+ Đoạn
HK là đoạn vuông góc chung của a và b .
VẤN ĐỀ 3: TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐẶC BIỆT
(
a
)
'

M
N
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Nguyễn Văn Thân Trang 6
S
A
B
C
H
O
A
B C
D
S
O
H
I. HÌNH CHÓP ĐỀU
1/ Đi
nh nghı
a
: Mô
t hı
nh cho
p đươ
c go
i la
hı
nh cho
p đê
u nê
u co
đa
y la
mô
t đa gia
c đê
u va
co
chân đươ
ng cao tru
ng vơ
i
tâm cu
a đa gia
c đa
y.
Nhâ
n xe
t:
+ Hı
nh cho
p đê
u co
ca
c mă
t bên la
như
ng tam gia
c cân bă
ng nhau.
+ Ca
c mă
t bên ta
o vơ
i đa
y ca
c go
c bă
ng nhau.
+ Ca
c ca
nh bên cu
a hı
nh cho
p đê
u ta
o vơ
i mă
t đa
y ca
c go
c bă
ng nhau
.
+ Đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông ...)
2/ Hai hı
nh cho
p đê
u thươ
ng gă
p
a/ Hı
nh cho
p tam gia
c đê
u:
Cho hı
nh cho
p tam gia
c đê
u
.SABC. Khi đo
:
+ Đa
y
ABC
la
tam gia
c đê
u.
+ Ca
c mă
t bên la
ca
c tam gia
c cân ta
i
S
.
+ Chiê
u cao:
SO .( O là tâm của đáy)
+ Go
c giư
a ca
nh bên va
mă
t đa
y:
SAO SBO SCO==.
+ Go
c giư
a mă
t bên va
mă
t đa
y:
SHO .
+ Tı
nh châ
t:
21 3
,,
33 2
AB
AO AH OH AH AH
===.
Lưu y
: Hı
nh cho
p tam gia
c đê
u kha
c vơ
i tư
diê
n đê
u:
+ Tư
diê
n đê
u co
ca
c mă
t la
ca
c tam gia
c đê
u.
+ Tứ diê
n đê
u la
hı
nh cho
p tam gia
c đê
u co
ca
nh bên bă
ng ca
nh đa
y.
b/ Hı
nh cho
p tư
gia
c đê
u:
Cho hı
nh cho
p tam gia
c đê
u
.SABCD
.
+ Đa
y
ABCD la
hı
nh vuông.
+ Ca
c mă
t bên la
ca
c tam gia
c cân ta
i
S .
+ Chiê
u cao:
SO
.
+ Go
c giư
a ca
nh bên va
mă
t đa
y:
SAO SBO SCO SDO===
.
+ Go
c giư
a mă
t bên va
mă
t đa
y:
SHO .
II. TỨ DIỆN ĐỀU:
+ Tư
diê
n đê
u co
4 mă
t la
ca
c tam gia
c đê
u
+ Khi hı
nh cho
p tam gia
c đê
u co
ca
nh bên bă
ng ca
nh đa
y thì đó là tư
diê
n đê
u. Do đó tư
diê
n đê
u có tính chất như
hình chóp tam giác.
III. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
HÌNH LĂNG TRỤ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
+ 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau.
+ các cạnh bên song song và bằng nhau
+ các mặt bên là hình bình hành
+ Chiều cao là khoảng cách của 2 mặt đáy
Hình hộp:
là hình lăng trụ có 2 đáy là hình bình hành
+ 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau.
+ các cạnh bên song song và bằng nhau
+ các mặt bên là hình bình chữ nhật và vuông góc với 2
mặt đáy
+ Chiều cao là cạnh bên
Hình hộp chữ nhật :
là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Nguyễn Văn Thân Trang 7
hình chữ nhật
Hình lập phương: là hình lăng trụ đứng có 6 mặt là
hình vuông.
IV. CHIỀU CAO CỦA MỘT SỐ HÌNH CHÓP CÓ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT
1/
Hı
nh cho
p co
mô
t ca
nh bên vuông go
c vơ
i đa
y: Chiê
u cao cu
a hı
nh cho
p la
đô
da
i ca
nh bên vuông go
c vơ
i đa
y
Vı
du
: Hı
nh cho
p
.SABCD
co
ca
nh bên
()
SA A BCD^
thı
chiê
u cao la
SA
.
2/ Hı
nh cho
p co
mô
t mă
t bên vuông go
c vơ
i mă
t đa
y: Chiêu cao cu
a hı
nh cho
p la
chiêu cao cu
a tam gia
c chư
a
trong mă
t bên vuông go
c vơ
i đa
y
.
Vı
du
: Hı
nh cho
p .SABCco
mă
t bên
()
SAB vuông go
c vơ
i mă
t đa
y
()
ABC thı
chiê
u cao cu
a hı
nh cho
p la
chiê
u
cao cu
a SABD .
3/ Hı
nh cho
p co
hai mă
t bên vuông go
c vơ
i đa
y: Chiê
u cao cu
a hı
nh cho
p la
giao tuyê
n cu
a hai mă
t bên cu
ng
vuông go
c vơ
i đa
y.
Vı
du
: Hı
nh cho
p .SABCDco
hai mă
t bên
()
SAB va
(
)
SAD cu
ng vuông go
c vơ
i mă
t đa
y
(
)
ABCD thı
chiê
u cao
la
SA
.
4/ Hı
nh cho
p đê
u và tứ diện đều: Chiê
u cao cu
a hı
nh cho
p la
đoa
n thă
ng nô
i đı
nh va
tâm cu
a đa
y.
Vı
du
: Hı
nh cho
p tư
gia
c đê
u .SABCDco
tâm mă
t phă
ng đa
y la
giao điê
m O cu
a hai đươ
ng che
o hı
nh
vuông
ABCD
thı
co
đươ
ng cao la
SO
.
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
LÝ THUYẾT: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN, DIỆN TÍCH XUNG QUANH,
DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN
Thể tích Diện tích xung quanh Diện tích toàn phần
KHỐI CHÓP
1
.
3
VBh
+ B là diện tích đáy
+ h đường cao hình chóp
S
xq
= Tổng diện tích các mặt bên S
tp
= S
xq
+ Diện tích mặt đáy
KHỐI LĂNG
TRỤ
.VBh
+ B là diện tích đáy
+ h là đường cao lăng trụ
S
xq
= Tổng diện tích các mặt bên S
tp
= S
xq
+ Diện tích 2 mặt đáy
KHỐI CHÓP
CỤT
(
)
''
3
h
VBBBB
=++
+Vơ
i
,'BB la
diê
n tı
ch hai đa
y
+ h đường cao hình chóp
S
xq
= Tổng diện tích các mặt bên S
tp
= S
xq
+ Diện tích mặt đáy
Chú ý:
I.
Thê
tı
ch hı
nh hô
p chư
nhâ
t: ..Vabc= Thê
tı
ch khô
i lâ
p phương:
3
Va=
Hình hộp chữ nhật Hình lập phương
II. 4 phương pha
p thươ
ng du
ng tı
nh thê
tı
ch
1.Tı
nh thể tı
ch bă
ng công thư
c.
+ Tı
nh ca
c yê
u tô
câ
n thiê
t: đô
da
i ca
nh, diê
n tı
ch đa
y, chiê
u cao,….
+ Sư
du
ng công thư
c tı
nh thê
tı
ch.
a
b
c
a
a
a
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Nguyễn Văn Thân Trang 8
+ Cần năm vững các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác, ....
2. Tı
nh thê
tı
ch bă
ng ca
ch chia nho
:
Ta chia khô
i đa diê
n tha
nh nhiê
u khô
i đa diê
n nho
ma
co
thê
dê
da
ng tı
nh thê
tı
ch cu
a chu
ng. Sau đo
, ta cô
ng kê
t qua
la
i, ta se
co
kê
t qua
câ
n tı
m.
3. Tı
nh thê
tı
ch bă
ng ca
ch bô
sung:
Ta co
thê
ghe
p thêm va
o khô
i đa diê
n mô
t khô
i đa diê
n kha
c, sao cho khô
i đa
diê
n thêm va
o va
khô
i đa diê
n mơ
i co
thê
dê
da
ng tı
nh đươ
c thê
tı
ch.
4. Tı
nh thê
tı
ch bă
ng tı
sô
thê
tı
ch.
* Trong nhiê
u ba
i toa
n, viê
c tı
nh trư
c tiê
p thê
tı
ch khô
i đa diê
n co
thê
gă
p kho
khăn vı
hai lı
do:
+ Hoă
c la
kho
xa
c đi
nh va
tı
nh đươ
c chiê
u cao.
+ Hoă
c tı
nh đươ
c diê
n tı
ch đa
y nhưng cu
ng không dê
da
ng.
* Khi đo
, ta co
thê
la
m theo ca
c phương pha
p sau:
+ Phân chia khô
i câ
n tı
nh thê
tı
ch tha
nh tô
ng hoă
c hiê
u ca
c khô
i cơ ba
n (hı
nh cho
p hoă
c hı
nh lăng tru
) ma
ca
c khô
i na
y dê
tı
nh hơn.
+ Hoă
c la
so sa
nh thê
t
ı
ch khô
i câ
n tı
nh vơ
i mô
t đa diê
n kha
c đa
biê
t trươ
c hoă
c dê
da
ng tı
nh thê
tı
ch.
* Trong da
ng na
y, ta thươ
ng hay sư
du
ng phương pháp tỉ số, lấy kê
t qua
cu
a ba
i toa
n sau:
Cho hı
nh cho
p S.ABC. Lâ
y A’, B’, C’ tương ư
ng trên ca
nh SA, SB, SC. Khi đo
:
.' ' '
.
'''
..
SABC
SABC
V
SA SB SC
VSASBSC
=
.
Chư
ng minh:
Ke
A’H’ va
AH cu
ng vuông go
c vơ
i mă
t phă
ng (SBC).
Khi đo
: A’H // AH va
S, H’, H thă
ng ha
ng.
Ta co
:
''
.' ' ' ' ' '
..
1
.' '
3
1
.
3
SB C
SABC ASBC
SABC ASBC
SBC
SAH
VV
VV
SAH
D
D
==
()
1
'. '.sin . ' '
'. '. '
2
1..
..sin.
2
SB SC A H
SB SC SA
Ðpcm
SB SC SA
SB SC AH
a
a
==.
Trong đo
:
''BSC BSCa ==.
Lưu y
: Kê
t qua
trên vâ
n đu
ng nê
u như trong ca
c điê
m A’, B’, C’ co
thê
co
điê
m
', ', 'AABBCCººº.
Thông thươ
ng, đô
i vơ
i loa
i na
y, đê
thươ
ng cho điê
m chia đoa
n theo tı
lê
, song song, hı
nh chiê
u,…
III. Sử dụng phương pháp thể tích khối đa diện để tính khoảng cách
* Ca
c ba
i toa
n tı
m khoa
ng ca
ch:
Khoa
ng ca
ch tư
mô
t điê
m đê
n mô
t mă
t phă
ng, khoa
ng ca
ch giư
a hai đươ
ng
thă
ng, trong nhiê
u trươ
ng hơ
p co
thê
qui vê
ba
i toa
n thê
tı
ch khô
i đa diê
n. Viê
c tı
nh khoa
ng ca
ch na
y dư
a va
o công thư
c
hiê
n nhiên:
3V
h
B
=
, ơ
đây ,,VBhlâ
n lươ
t la
thê
tı
ch, diê
n tı
ch đa
y va
chiê
u cao cu
a mô
t hı
nh cho
p na
o đo
(hoă
c
V
h
S
=
đô
i vơ
i hı
nh lăng tru
).
* Phương pha
p na
y a
p du
ng đươ
c trong trươ
ng hơ
p sau: Gia
sư
co
thê
qui ba
i toa
n tı
m khoa
ng ca
ch vê
ba
i toa
n
tı
m chiê
u cao cu
a mô
t hı
nh cho
p (hoă
c mô
t lăng tru
) na
o đo
. Dı
nhiên, ca
c chiê
u cao na
y thươ
ng la
không tı
nh đươ
c trư
c tiê
p
bă
ng ca
ch sư
du
ng ca
c phương pha
p thông thươ
ng như đi
nh lı
Pitago, công thư
c lươ
ng gia
c,… Tuy nhiên, ca
c khô
i đa diê
n
na
y la
i dê
da
ng tı
nh đươ
c thê
tı
ch va
diê
n tı
ch đa
y. Như vâ
y, chiê
u cao cu
a no
se
đươ
c xa
c đi
nh bơ
i công thư
c đơn gia
n trên.
* Phương pháp: Sư
du
ng ca
c đi
nh lı
cu
a hı
nh ho
c trong không gian sau đây:
+ Nê
u
(
)
// AB mp P trong đo
(
)
mp P chư
aCD thı
(
)
(
)
,,dABCD dAB P
éù
=
êú
ëû
.
+ Nê
u
(
)
(
)
// mp P mp Q trong đo
(
)
(
)
,mp P mp Q lâ
n lươ
t chư
a AB va
CD thı
:
(
)
(
)
(
)
,,dABCD dmpP mpQ
éù
=
êú
ëû
.
+ Tư
đo
, qui ba
i toa
n tı
m khoa
ng ca
ch theo yêu câ
u ba
i toa
n vê
viê
c tı
m chiê
u cao cu
a khô
i cho
p (hoă
c mô
t khô
i
lăng tru
) na
o đo
.
S
A’
B’
C’
A
B
C
H
H’
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Nguyễn Văn Thân Trang 9
+ Gia
sư
ba
i toa
n đa
đươ
c qui vê
tı
m chiê
u cao ke
tư
đı
nhS cu
a mô
t hı
nh cho
p (hoă
c mô
t lăng tru
). Ta tı
m thê
tı
ch
cu
a hı
nh cho
p (lăng tru
) na
y theo mô
t con đươ
ng kha
c ma
không dư
a va
o đı
nh
S na
y, chă
ng ha
n như quan niê
m hı
nh cho
p
â
y co
đı
nh
'SS¹ . Sau đo
, tı
nh diê
n tı
ch đa
y đô
i diê
n vơ
i đı
nhS . Như thê
, ta suy ra đươ
c chiê
u cao ke
tư
S câ
n tı
m.
CHỦ ĐỀ 1: CÁC DẠNG TOÁN KHỐI CHÓP
DẠNG 1: HÌNH CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Bài 1. Cho hı
nh cho
p .SABCco
đa
y la
ABCD vuông cân ơ
()
,2, ,BAC a SA mp ABC SA a=^ =.
a. Tı
nh thê
tı
ch khô
i cho
p
.SABC
. ĐS:
()
đvtt
3
.
6
SABC
a
V =
.
b. Go
i G la
tro
ng tâm cu
a SBCD ,
(
)
mp a đi quaAG va
song song vơ
i BC că
t ,SC SB lâ
n lươ
t ta
i ,MN. Tı
nh
thê
tı
ch khô
i cho
p
.SAMN. ĐS:
()
đvtt
3
2
27
SAMN
a
V =
.
Bài 2. Cho hı
nh cho
p .SABCco
đa
y la
ABCD đêu ca
nh a va
()
SA ABC^ , 2SA a= . Go
i ,HK lân lươ
t la
hı
nh
chiê
u vuông go
c cu
a điê
m
A lâ
n lươ
t lên ca
nh ,SB SC .
a. Tı
nh thê
tı
ch khô
i chóp
.HABC theo a . ĐS:
()
đvtt
3
.
3
30
HABC
a
V =
.
b. Tı
nh thê
tı
ch khô
i
.ABCKH
theo
a
. ĐS:
()
đvtt
3
.
33
50
ABCKH
a
V =
.
c. Tính khoảng cách từ H đến
(
)
mp SAC . ĐS:
()
()
đvđd
,
3
10
HSAC
a
d
éù
êú
ëû
=
.
Bài 3. Cho tư
diê
n ABCD co
ca
nh AD vuông go
c vơ
i
()
mp ABC ,
(
)
(
)
4, 3AC AD cm AB cm== = ,
(
)
5BC cm= . Tı
nh khoa
ng ca
ch tư
A đê
n
()
mp BCD . ĐS:
()
()
,
634
17
ADBC
dcm
éù
êú
ëû
=
Bài 4. Cho hı
nh cho
p .SABCco
đa
yABC la
tam giác có ,3AC a AB a==,
0
60BAC =
. Go
i H là hình chiếu
của
S trên
()
ABC biết HABÎ va
2AH HB= . Cạnh bên SC hợp với đáy một góc
0
45 .
a. Tı
nh thê
tı
ch khô
i cho
p
.SABC
b. Tı
nh khoa
ng ca
ch tư
A đê
n
()
mp SBC .
Bài 5. Cho hı
nh cho
p .SABC co
đa
y ABCD la
tam gia
c vuông ta
i B va
(
)
SA ABC^ vơ
i
0
60ACB =
,
,3BC a SA a==. Go
i
M
la
trung điê
m cu
a ca
nh
SB
.
a. Chư
ng minh ră
ng:
() ()
mp SAB mp SBC^
.
b. Tı
nh thê
tı
ch khô
i cho
p
.SABC
. ĐS:
()
đvtt
3
.
2
SABC
a
V =
.
c. Tı
nh thê
tı
ch khô
i tư
diê
nMABC . ĐS:
()
đvtt
3
4
MABC
a
V =
.
d. Tı
nh khoa
ng ca
ch tư
điê
m M đê
n
(
)
mp SAC . ĐS:
()
()
đvđd
,
2
MSAC
a
d
éù
êú
ëû
=
Bài 6. Cho hı
nh cho
p .SABCDco
đa
yABCD la
hı
nh vuông ca
nh a ,
()
SA ABCD^
,
3SA a=
. Gọi O là giao
điểm của hai đường chéo hình vuông
ABCD
.
a. Tı
nh thê
tı
ch khô
i cho
p
.SABCD
theo
a
. ĐS:
()
đvtt
3
.
3
3
SABCD
a
V =
.
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Nguyễn Văn Thân Trang 10
b. Tı
nh thê
tı
ch khô
i cho
p .SOBC theo a . ĐS:
()
đvtt
3
.
3
12
SABCD
a
V =
.
c. Tı
nh khoa
ng ca
ch tư
điê
m A đên
(
)
mp SBC . ĐS:
()
()
đvđd
,
3
2
ASBC
a
d
éù
êú
ëû
=
d. Tı
nh khoa
ng ca
ch tư
điê
m O đê
n
(
)
mp SBC . ĐS:
()
()
đvđd
,
3
4
ASBC
a
d
éù
êú
ëû
=
Bài 7. Cho hı
nh cho
p .SABCDco
đa
yABCD la
hı
nh vuông ca
nh a ,
()
SA A BCD^ . Cạnh SC tạo với mặt phẳng
đáy
()
ABCD một góc
0
60 .
a. Tı
nh thê
tı
ch khô
i cho
p
.SABCD
theo
a
. ĐS:
()
đvtt
3
.
6
3
SABCD
a
V =
.
b. Xa
c đi
nh va
tı
nh đô
da
i đoa
n vuông go
c chung cu
a hai đươ
ng thă
ng
SC
va
BD
. ĐS:
()
;
3
4
SC BD
a
d =
Bài 8. Cho hı
nh cho
p
.SABCD
co
đa
y la
hı
nh vuông ca
nh bă
ng
a
, chiê
u cao
2SA a=
. Go
i
N
la
trung điê
m cu
a
SC
.
a. Tính diện tích toàn phần hình chóp
.SABCD.
b. Tı
nh thê
tı
ch khô
i cho
p
.SABCD theo a . ĐS:
()
đvtt
3
.
2
3
SABCD
a
V =
.
c. Mă
t phă
ng
()
P chư
a AN va
song song vơ
i BD lân lươ
t căt ,SB SD ta
i ,MP. Tı
nh thê
tı
ch khôi cho
p
.SAMNP theo a . ĐS:
()
đvtt
3
.
2
9
SAMNP
a
V =
.
Bài 9. Cho hı
nh cho
p .SABCD co
đa
y ABCD la
hı
nh chư
nhâ
t tâm
(
)
,OSA mp ABCD^ . Biê
t 3AB a= , go
c
0
60BAC = . Mặt bên
(
)
SBC hợp với đáy một góc
0
45 .
a. Tı
nh thê
tı
ch khô
i cho
p
.SABCD theo a . ĐS:
()
đvtt
3
.
93
SABCD
Va= .
b. Tı
nh thê
tı
ch khô
i cho
p SOAD . ĐS:
()
đvtt
3
.
93
4
SOAD
a
V =
.
c. Tı
nh khoa
ng ca
ch tư
điê
m
O
đê
n
(
)
mp SBC
. ĐS:
()
()
đvđd
,
32
2
OSBC
a
d
éù
êú
ëû
=
Bài 10. Cho khô
i cho
p .SABCD co
đa
y ABCD la
hı
nh chư
nhâ
t. Biê
t ră
ng
(
)
,SA ABCD SC^ hơ
p vơ
i mă
t phă
ng
chư
a đa
y
ABCD
mô
t go
c
0
30 va
,2AB a BC a==
.
a. Tı
nh thê
tı
ch khô
i cho
p
.SABCD. ĐS:
()
đvtt
3
.
15
3
SABCD
a
V =
.
b. Tı
nh thê
tı
ch khôi cho
p
.SABC
. ĐS:
()
đvtt
3
.
15
6
SABC
a
V =
.
c. Gọi O là giao điểm của
A
C và
B
D . Tı
nh khoa
ng ca
ch tư
điê
m O đê
n
()
mp SCD .
ĐS:
()
()
đvđd
,
1140
60
OSCD
a
d
éù
êú
ëû
=
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Nguyễn Văn Thân Trang 11
DẠNG 2: HÌNH CHÓP CÓ MỘT MẶT VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Chú ý:
-
(
)
(
)
() ()
()
()
PQ
PQa
bQ
bP
ba
ì
ï
^
ï
ï
ï
ï
Ç=
ï
^
í
ï
Ì
ï
ï
ï
^
ï
ï
î
- Tam giác BAC cân tại A , I là trung điểm BC AI vừa đường cao vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác
ABCD
.
- Tam giác ABC đều , G là trọng tâm ABCD , ,,MNPlần lượt là trung điểm cạnh ,,BC AC AB . Ta cần nhớ:
+
12
33
12
33
12
33
AG GM AM
BG GN BN
CG GP CP
ì
ï
ï
==
ï
ï
ï
ï
ï
ï
==
í
ï
ï
ï
ï
ï
==
ï
ï
ï
î
+ ,,AM BN CP vừa đường cao vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác của ABCD .
Bài 1. Cho hı
nh cho
p .SABCDco
đa
yABCD la
hı
nh vuông ca
nh a . Mă
t bên SAB la
tam gia
c đê
u nă
m trong mă
t
phă
ng vuông go
c vơ
i mă
t phă
ng đa
y
()
ABCD
.
a. Chư
ng minh ră
ng chân đươ
ng cao cu
a khô
i cho
p đa
cho tru
ng vơ
i trung điê
m cu
a ca
nh
AB .
b. Tı
nh thê
tı
ch khô
i cho
p
.SABCD. ĐS:
()
đvtt
3
.
3
6
SABCD
a
V =
.
c. Tı
nh thê
tı
ch khô
i cho
p .SBCD. ĐS:
()
đvtt
3
.
3
12
SBCD
a
V =
.
d. Tı
nh khoa
ng ca
ch tư
D đê
n
(
)
mp SBC . ĐS:
()
()
đvđd
,
3
2
DSBC
a
d
éù
êú
ëû
= .
Bài 2. Cho hı
nh cho
p .SABCDco
đa
yABCD la
hı
nh chư
nhâ
t. Mă
t bên SAB la
tam gia
c đêu ca
nh la
a va
năm trong
mă
t phă
ng vuông go
c vơ
i
()
mp ABCD . Cạnh bên SC hơ
p vơ
i
()
mp ABCD mô
t go
c bă
ng
0
30 .
a. Tı
nh thê
tı
ch khô
i cho
p
.SABCDđa
cho. ĐS:
3
.
30
12
SABCD
a
V =
.
b. Tı
nh khoa
ng ca
ch của điểm
C
đến
()
mp SAD ĐS:
()
()
đvđd
,
3
2
CSAD
a
d
éù
êú
ëû
=
.
c. Tı
nh khoa
ng ca
ch của điểm
B
đến
(
)
mp SAC ĐS:
()
()
đvđd
,
390
13
BSAC
a
d
éù
êú
ëû
= .
Bài 3. Cho hı
nh cho
p
.SABC
co

00
90 , 30 ,BAC ABC SBC==D
la
tam gia
c đê
u ca
nh
a
va
(
)
(
)
mp SAB mp ABC^ .
a. Tı
nh thê
tı
ch khô
i cho
p
.SABC. ĐS:
()
đvtt
3
.
39
96
SABC
a
V =
.
b. Tính khoảng cách từ B đến
()
mp SAC . ĐS:
()
()
đvđd
,
39
8
BSAC
a
d
éù
êú
ëû
=
.
c. Gọi G là trọng tâm SBCD . Tı
nh khoa
ng ca
ch của điểm G đến
()
mp SAC .
Bài 4. Cho hı
nh cho
p
.SABC
co
đa
y
ABC
la
tam gia
c vuông cân ta
i
B
, co
BC a=
. Mă
t bên
()
SAC
vuông go
c vơ
i
mă
t phă
ng đa
y, mă
t bên
(
)
SAB ta
o vơ
i mă
t phă
ng đa
y mô
t go
c
0
45 . Biết SACD cân tại S .
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Nguyễn Văn Thân Trang 12
a. Gọi
H
là trung điểm
AC
. Chứng minh
(
)
SH ABC^
.
b. Tı
nh thê
tı
ch khô
i cho
p
.SABC. ĐS:
()
đvtt
3
.
12
SABC
a
V =
.
c. Tính khoảng cách từ
H
đến
(
)
mp SBC
. ĐS:
()
()
đvđd
,
2
4
HSBC
a
d
éù
êú
ëû
= .
Bài 5. Cho hı
nh cho
p .SABCD co
đa
y ABCD la
hı
nh vuông ca
nh a ,
() ( )
mp SAB mp ABCD^ , SA SB= , go
c
giư
a đươ
ng thă
ng
SC
va
mă
t phă
ng đa
y bă
ng
0
45
.
a. Tı
nh theo
a
thê
tı
ch cu
a khô
i cho
p
.SABCD
. ĐS:
()
đvtt
3
.
5
6
SABCD
a
V =
.
b. Tính khoảng cách từ D đến
()
mp SBC . ĐS:
()
()
đvđd
,
30
6
DSBC
a
d
éù
êú
ëû
= .
c. Gọi
G
là trọng tâm
SABD
. Tı
nh khoa
ng ca
ch của điểm
G
đến
()
mp SCD
. ĐS:
()
,
25
9
GSCD
a
d
éù
êú
ëû
=
.
Bài 6. Cho hı
nh cho
p .SABCD co
đa
y ABCD la
hı
nh vuông ca
nh a ,
() ( )
mp SAC mp ABCD^ , SACD , vuông
cân tại
S .
a. Tı
nh theo
a thê
tı
ch cu
a khô
i cho
p .SABCD. ĐS:
()
đvtt
3
.
2
6
SABCD
a
V =
.
b. Tı
nh theo a thê
tı
ch cu
a khôi cho
p .SBCD. ĐS:
()
đvtt
3
.
2
12
SBCD
a
V =
.
b. Tính khoảng cách từ B đến
()
mp SAD . ĐS:
()
()
đvđd
,
6
12
BSAD
a
d
éù
êú
ëû
= .
DẠNG 3: HÌNH CHÓP CÓ HAI MẶT VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Chú ý:
() ()
() ()
() ()
()
QP
RP aP
QRa
ü
ï
^
ï
ï
ï
ï
^^
ý
ï
ï
ï
Ç=
ï
ï
þ
Bài 1. Cho hı
nh cho
p .SABCco
SA AB AC BC a====. Hai ()mp SAB va
()mp SAC cu
ng vuông go
c vơ
i
()mp SBC .
a. Tı
nh thê
tı
ch cu
a hı
nh cho
p
.SABC. ĐS:
()
đvtt
3
.
3
12
SABC
a
V =
b. Tính góc giữa đường thẳng SB và ()mp ABC . ĐS:
()
0
,45SB ABC = .
c. Tính khoảng cách từ
A
đến
()
mp SBC
. ĐS:
()
()
đvđd
,
15
5
ASBC
a
d
éù
êú
ëû
= .
Bài 2. Cho hình chóp .SABCDcó đáyABCD là hình chữ nhật có ,2AB a BC a==. Hai
()
mp SAB và
()
mp SAD
cu
ng vuông góc với mă
t phă
ng đáy, cạnh
SC
hợp với đáy một góc
0
60 .
a. Tính thể tích khối chóp
.SABCD theo a . ĐS:
()
đvtt
3
215
3
ABCD
a
V =
b. Gọi
{}
OACBD=Ç
. Tính thể tích khối chóp .SOBC theo a . ĐS:
()
đvtt
3
.
15
6
SOBC
a
V =
c. Tính khoảng cách từ
O đến
(
)
mp SCD . ĐS:
()
()
đvđd
,
60
219
OSCD
a
d
éù
êú
ëû
= .
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Nguyễn Văn Thân Trang 13
Bài 3. Cho hı
nh cho
p
.SABC
co
đa
y
ABC
la
tam gia
c vuông cân ta
i
A
. Hai mă
t phă
ng
(
)
SAB
va
(
)
SAC
cu
ng vuông go
c
vơ
i mă
t phă
ng đa
y
(
)
ABC , cho
2BC a=
, mă
t bên
()
SBC ta
i vơ
i đa
y
(
)
ABC mô
t go
c
0
60 .
a. Tı
nh thê
tı
ch cu
a khô
i cho
p
.SABC
b. Tı
nh khoa
ng ca
ch tư
điê
m
A đê
n mă
t phă
ng
()
SBC .
c. Trên cạnh
AB lấy điểm D sao cho:
2
3
AD AB=
. Tı
nh khoa
ng ca
ch tư
điê
m D đê
n mă
t phă
ng
(
)
SAC .
Bài 4. Cho hı
nh cho
p .SABCDco
đa
yABCD la
hı
nh vuông ca
nh a , hai mă
t bên
()
SAB va
()
SAD cu
ng vuông go
c
vơ
i
()
ABCD
. Cho
3SB a=
. Go
i
M
la
trung điê
m cu
a
CD
.
a. Tı
nh thê
tı
ch cu
a khô
i cho
p
.SABCM.
b. Tı
nh khoa
ng ca
ch của điểm
M
đến
()
mp SBC
Bài 5. Cho hı
nh cho
p .SABCDco
đa
y ABCD la
hı
nh chư
nhâ
t, ca
c mă
t bên
()
SAB va
()
SAD cu
ng vuông go
c vơ
i
mă
t đa
y
()
ABCD , cho ,2,AB a AD a SC== ta
o vơ
i mă
t đa
y
()
ABCD mô
t go
c
0
45 .
a. Tı
nh thê
tı
ch cu
a khô
i cho
p
.SABCD
theo
a
.
b. Gọi
H
là hình chiếu của
A
trên cạnh
BD
. Tính thê
tı
ch cu
a khô
i cho
p
.S AHCD
theo
a
.
c. Tı
nh khoa
ng ca
ch của điểm
C đến
(
)
mp SAH .
d. Tı
nh khoa
ng ca
ch 2 đươ
ng thă
ng
SB va
AH .
Bài 6. Cho hı
nh cho
p .SABCDco
đa
y ABCD la
hı
nh thoi cạnh a ,
0
120BAD =
. Biết mặt bên
(
)
SAB và
(
)
SAD
cùng vuông góc với mặt đáy
()
ABCD . Cạnh bên SC tạo với đáy một góc
0
60 .
a. Tı
nh thê
tı
ch khô
i cho
p
.SABCD. ĐS:
()
đvtt
3
.
2
SABCD
a
V =
.
b. Tı
nh thê
tı
ch khô
i cho
p .SBCD. ĐS:
()
đvtt
3
.
4
SBCD
a
V =
.
c. Tính khoảng cách từ C đến
(
)
mp SAB . ĐS:
()
()
đvđd
,
3
2
CSAB
a
d
éù
êú
ëû
=
.
DẠNG 4: HÌNH CHÓP ĐỀU
Định nghĩa:
+ đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều ...)
+ các mặt bên là tam giác cân tại đỉnh của hình chóp.
+ đường cao là đường hạ từ đỉnh đến tâm của đa giác đều.
+ các cạnh bên tạo với đáy 1 góc đều bằng nhau.
+ các mặt bên tạo với đáy 1 góc đều bằng nhau.
Chú ý:
+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng cạnh bên.
+ Hình chóp đều khác với hình chóp có đáy là đa giác đều (hình chóp có đáy là tứ giác đều là hình
chóp chỉ có đáy là đa giác đều )
Bài 1. Cho hình chóp đều .SABCD có cạnh đáy 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
0
60 . Gọi G là trọng tâm tam
giác
SACD
.
a. Tính thể tích của hình chóp
.SABCD
. ĐS:
()
đvtt
3
.
43
3
SABCD
a
V =
.
b. Tính khoảng cách từ
A
đến
(
)
mp SBC
. ĐS:
()
()
đvđd
,
3
ASBC
da
éù
êú
ëû
= .
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Nguyễn Văn Thân Trang 14
c. Tính khoảng cách từ G đến
()
mp SAB ĐS:
()
()
đvđd
,
3
3
GSAB
a
d
éù
êú
ëû
=
.
Bài 2. Cho khô
i cho
p tư
gia
c đê
u .SABCD. Mô
t mă
t phă
ng
(
)
P qua ,ABva
trung điê
m M cu
a SC . Tı
nh tı
sô
thê
tı
ch
cu
a hai phâ
n khô
i cho
p bi
phân chia bơ
i mă
t phă
ng đo
. ĐS:
.
3
5
SABMN
ABCDNM
V
V
=
Bài 3. Cho tư
diê
n đê
u
ABCD
co
ca
nh
a
. Lâ
y ca
c điê
m
', 'BC
trên
AB
va
AC
sao cho
',
2
a
AB =
2
'
3
a
AC =
.
a. Tı
nh thê
tı
ch khô
i tư
diê
n
''AB C D . ĐS:
()
đvtt
3
''
2
36
AB C D
a
V =
.
b. Tı
nh khoa
ng ca
ch tư
'B đê
n
()
mp ACD . ĐS:


';
6
đvđd
6
BACD
a
d


Bài 4. Cho khô
i tư
diê
n đê
u ABCD ca
nh bă
ng a . Go
iM la
trung điê
m cu
a ca
nhDC .
a. Tı
nh thê
tı
ch khô
i tư
diê
n đê
u
ABCD . ` ĐS:
()
đvtt
3
2
12
ABCD
a
V =
.
b. Tı
nh khoa
ng ca
ch tư
M đê
n
(
)
mp ABC . Suy ra thê
tı
ch hı
nh cho
p .MABC. ĐS:
3
.
2
24
MABC
a
V =
Bài 5. Cho khô
i cho
p tam gia
c đê
u
.SABC
biê
t ca
nh đa
y bă
ng
a
, ca
nh bên bă
ng
2a
.
a. Tı
nh thê
tı
ch khô
i cho
p
.SABC
. ĐS:
()
đvtt
3
.
11
2
SABC
a
V =
.
b. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho:
1
3
AE AC=
. Tı
nh khoa
ng ca
ch tư
E đê
n
()
mp SBC .
Bài 6. Cho khô
i cho
p tam gia
c đê
u .SABCbiê
t ca
nh đa
y bă
ng a , mă
t bên hơ
p vơ
i đa
y mô
t go
c
0
60 . Trên cạnh SB
lấy điểm
E sao cho:
1
3
SE
SB
=
, trên cạnh SC lấy điểm F sao cho:
2
3
SF
SC
=
.
a. Tı
nh thê
tı
ch khô
i cho
p
.SABC. ĐS:
()
đvtt
3
.
3
24
SABC
a
V =
.
b. Tı
nh thê
tı
ch khô
i cho
p .SAEF.
Bài 7. Cho hı
nh cho
p tư
gia
c đê
u .SABCDco
ca
nh đáy bă
ng a , go
c giư
a mă
t bên va
mă
t đa
y bă
ng
0
60
.
a. Tı
nh thê
tı
ch cu
a khô
i cho
p
.SABCDtheo a .
b. Gọi
O
là tâm của đáy
ABCD
. Tı
nh thê
tı
ch cu
a khô
i tứ diện
SOAB
.
c. Tı
nh khoa
ng ca
ch tư
điê
m
A đê
n
()
mp SBC .
Bài 8. Cho hı
nh cho
p tư
gia
c đê
u
.SABCD
co
ca
nh đa
y bă
ng
a
va
0
60BSA = .
a. Tı
nh diện tích xung quanh cu
a hı
nh cho
p đê
u na
y. ĐS:
()
đvdt
2
3
3
a
S =
.
b. Tı
nh thê
tı
ch cu
a khô
i cho
p
.SABCD
. ĐS:
()
đvtt
3
.
2
6
SABCD
a
V =
.
Bài 9. Cho hı
nh cho
p tư
gia
c đê
u .SABCD co
ca
nh đa
y bă
ng a va
ca
nh bên hơ
p vơ
i đa
y mô
t go
c
0
60 .
a. Tı
nh diện tích toàn phần cu
a hı
nh cho
p đê
u na
y. ĐS:
()
()
đvdt
2
10 1
tp
Sa=+ .
b. Tı
nh thê
tı
ch cu
a khô
i cho
p .SABCD. ĐS:
()
đvtt
3
.
6
6
SABCD
a
V =
.
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Nguyễn Văn Thân Trang 15
CHỦ ĐỀ 2: THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ
DẠNG 1: LĂNG TRỤ ĐỨNG
HÌNH LĂNG TRỤ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
+ 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau.
+ các cạnh bên song song và bằng nhau
+ các mặt bên là hình bình hành
+ Chiều cao là khoảng cách của 2 mặt đáy
Hình hộp:
là hình lăng trụ có 2 đáy là hình bình hành
+ 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau.
+ các cạnh bên song song và bằng nhau
+ các mặt bên là hình bình chữ nhật và vuông góc với 2
mặt đáy
+ Chiều cao là cạnh bên
Hình hộp chữ nhật :
là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là
hình chữ nhật
Hình lập phương: là hình lăng trụ đứng có 6 mặt là
hình vuông.
Chú ý:
+ Hình lăng trụ tam giác đều là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là tam giác đều.
+ Hình lăng trụ có đáy tam giác đều là hình lăng trụ xiên có 2 đáy là tam giác đều.
+ Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là hình vuông.
Bài 1. Cho hı
nh lăng tru
đư
ng .'''ABC A B C co
đa
y ABC la
tam gia
c đê
u. Biê
t ca
nh bên 'AA a= . Tı
nh thê
tich khô
i
lăng tru
trong ca
c trươ
ng hơ
p sau:
a.
()
'mp A BC hơ
p vơ
i đa
y mă
t phă
ng chư
a đa
yABC mô
t go
c
0
60
. ĐS:
(
)
đvtt
3
.' ' '
3
ABC A B C
Va=
b. Đươ
ng thă
ng 'ABhơ
p vơ
i
(
)
mp ABC mô
t go
c
0
45
. ĐS:
()
đvtt
3
.' ' '
3
4
ABC A B C
a
V =
c. Chiê
u cao ke
tư
'A cu
a 'ABCD bă
ng đô
da
i ca
nh đa
y cu
a lăng tru
. ĐS:
(
)
đvtt
3
.' ' '
3
ABC A B C
Va=
Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng .'''ABC A B C có đáyABC là tam giác vuông tại
0
,, 60AAC aACB==. Đường
chéo
'BC của mặt bên
()
''BC C C tạo với mặt phẳng
()
''mp AA C C một góc
0
30 .
a. Tính thể tích của khối lăng trụ theo
a . ĐS:
()
đvtt
3
.' ' '
6
ABC A B C
Va= .
b. Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ. ĐS:
(
)
(
)
đvdt
2
223 3
xq
Sa=+
Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng .'''ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại ,BBC a= ,
()
'mp A BC tạo với
đáy một góc
0
30 và 'ABCD có diện tích bằng
2
3a
.
a. Tính thể tích khối lăng trụ
.'''ABC A B C
. ĐS:
()
đvtt
3
.'''
33
2
ABC A B C
a
V =
b. Tính diện tích toàn phần hình lăng trụ. ĐS:
(
)
(
)
đvdt
2
343 30
tp
Sa=+ +
Bài 4. Cho hı
nh lăng tru
tam gia
c đê
u .'''ABC A B C co
ca
nh đa
y bă
ng a . Biê
t khoa
ng ca
ch giư
a hai đươ
ng thă
ng
AB va
'AC bă
ng
15
5
a
.
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Nguyễn Văn Thân Trang 16
a. Tı
nh thê
tı
ch khô
i lăng tru
.'''ABC A B C . ĐS:
()
đvtt
3
.' ' '
3
4
ABC A B C
a
V =
.
b. Tı
nh thê
tı
ch khô
i đa diện
'''ABCBC
.
c. Tı
nh khoa
ng ca
ch tư
A đê
n
(
)
'mp A BC .
Bài 5. Cho lăng tru
đư
ng
.'''ABC A B C
co
đa
y
ABC
la
tam gia
c đê
u ca
nh
a
. Biê
t ră
ng
'AB
hơ
p vơ
i mă
t bên
(
)
''BCC B
mô
t go
c
0
30
.
a. Tı
nh đô
da
i đoa
n thă
ng
'AB . ĐS:
()
đvđd'3AB a= .
b. Tı
nh thê
tı
ch khô
i lăng tru
.'''ABC A B C . ĐS:
()
đvtt
3
.' ' '
3
2
ABC A B C
a
V =
.
c. Tı
nh khoa
ng ca
ch tư
C
đê
n
()
''mp AB C
.
Bài 6. Cho lăng tru
đư
ng .'''ABC A B C co
đa
y ABC la
tam gia
c vuông ta
iA . Biê
t
0
;60AB a A CB== va
đươ
ng
thă
ng
'BC hơ
p vơ
i mă
t bên
(
)
''AA C C mô
t go
c
0
30
.
a. Thê
tı
ch khô
i lăng tru
.'''ABC A B C
ĐS:
()
đvtt
3
.' ' '
6
ABC A B C
Va=
b. Tı
nh diê
n tı
ch tam gia
c 'ABC . ĐS:
()
đvdt
2
'
33
2
ABC
a
S
D
= .
Bài 7. Cho hı
nh lăng tru
đư
ng .'''ABC A B C co
đa
yABC la
tam gia
c vuông ta
i ,,'2BAB aAA a==, '3AC a= .
Go
i
M la
trung điê
m đoa
n thă
ng ''AC va
I la
giao điê
m cu
aAM va
'AC.
a. Tı
nh thê
tı
ch cu
a khô
i tư
diê
n
IABC . ĐS:
()
đvtt
3
4
9
IABC
a
V =
b. Tı
nh khoa
ng ca
ch tư
A đê
n
(
)
mp IBC theo a . ĐS:
()
()
()
đvđd
,
25
5
AIBC
a
d =
Bài 8. Cho hı
nh lăng tru
đư
ng .'''ABC A B C co
đa
y ABC la
tam gia
c vuông cân ta
i B ; 2AC a= . Biê
t ră
ng
(
)
'mp A BC
hơ
p vơ
i
(
)
mp ABC
mô
t go
c
0
45 .
a. Tı
nh thê
tı
ch khô
i lăng tru
.'''ABC A B C
. ĐS:
()
đvtt
3
.' ' '
2
ABC A B C
Va= .
b. Tính diện tích toàn phần hình lăng trụ.
Bài 9. Cho lăng tru
đư
ng .'''ABC A B C co
đa
y ABC la
tam gia
c vuông ta
i A , go
c
0
30 ,ACB = '3AA a= ,
2AC a= .
a. Tı
nh thê
tı
ch khô
i lăng tru
.'''ABC A B C .
b. Tı
nh thê
tı
ch khô
i chóp
'''ABCC B
.
c. Mă
t phă
ng
()
'ABC chia khô
i lăng tru
.'''ABC A B C tha
nh hai khô
i đa diê
n. Tı
nh thê
tı
ch cu
a mô
i khô
i đa diê
n.
Bài 10. Cho lăng tru
đư
ng co
đa
y la
tam gia
c đê
u, biê
t ră
ng tâ
t ca
ca
c ca
nh cu
a lăng tru
bă
ng a .
a. Tı
nh thê
tı
ch va
tô
ng diê
n tı
ch ca
c mă
t bên cu
a lăng tru
. ĐS:
3
2
3
;3
4
xq
a
VSa==
.
b. Tı
nh thê
tı
ch khô
i tứ diện 'ABCB .
DẠNG 2: HÌNH LĂNG TRỤ XIÊN
Bài 1. Cho hı
nh lăng tru
tam gia
c .'''ABC A B C co
đa
y ABC la
tam gia
c đê
u vơ
i tâm O . Cạnh bên 'CC a= va
hơ
p
vơ
i mă
t phă
ng chư
a đa
y
ABC mô
t go
c
0
60 . Hı
nh chiê
u cu
a điê
m 'C lên
()
mp ABC tru
ng vơ
i O .
a. Chư
ng minh ră
ng:
''AA B B la
hı
nh chư
nhâ
t. Tı
nh diê
n tı
ch hı
nh chư
nhâ
t na
y. ĐS:
2
3
2
a
S =
.
b. Chứng minh hình chóp
.'''OA B C
là hình chóp tam giác đều.
c. Tı
nh thê
tı
ch khô
i lăng tru
.'''ABC A B C
na
y. ĐS:
3
33
8
a
V =
.
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Nguyễn Văn Thân Trang 17
Bài 2. Cho hình lăng trụ .'''ABC A B C có đáyABC là tam giác đều cạnh bằnga . Điểm H là hình chiếu vuông góc
của
'A
xuống
()
mp ABC
là trung điểm của
AB
. Mặt bên
()
''AA C C
tạo với đáy một góc bằng 45
.
a. Tính thể tích của khối lăng trụ này. ĐS:
()
đvtt
3
.' ' '
3
16
ABC A B C
a
V =
b. Tính khoảng cách từ điểm
'C
đến
'mp AHA . ĐS:
()
()
đvđd
', '
3
2
CAHA
a
d
éù
êú
ëû
=
Bài 3. Cho hı
nh lăng tru
tam gia
c
.'''ABC A B C
co
đa
y
ABC
la
tam gia
c đê
u ca
nh
a
. Biê
t ca
nh bên bă
ng 3a va
no
hơ
p vơ
i mă
t phă
ng chư
a đa
y
ABC mô
t go
c
0
60 .
a. Tı
nh thê
tı
ch khô
i lăng tru
.'''ABC A B C . ĐS:
()
đvtt
3
.' ' '
33
8
ABC A B C
a
V =
.
b. Tính khoảng cách từ điểm
A
đến
'mp A BC
. ĐS:
()
()
đvđd
,'
15
5
AABC
a
d
éù
êú
ëû
=
Bài 4. Cho hı
nh lăng tru
tam gia
c .'''ABC A B C co
đa
y ABC la
tam gia
c đê
u ca
nh a . Hı
nh chiê
u cu
a điê
m 'A trên
(
)
mp ABC tru
ng vơ
i trọng tâm G cu
a ABCD . Biết cạnh bên '2AA a= .
a. Tı
nh thê
tı
ch khô
i lăng tru
.'''ABC A B C .
b. Tı
nh thê
tı
ch khối chóp
.' ' 'GA B C .
Bài 5. Cho hı
nh lăng tru
tam gia
c
.'''ABC A B C
co
đa
y
ABC
la
tam gia
c đêu ca
nh
a
. Hı
nh chiêu cu
a điê
m
'A
xuông
()
mp ABC
tru
ng vơ
i tâm
O
cu
a đươ
ng tro
n ngoa
i tiê
p
ABCD
va
biê
t ră
ng đươ
ng thă
ng
'AA
ta
o vơ
i mă
t phă
ng chứa
đa
y
ABC
mô
t go
c
0
45 .Tı
nh thê
tı
ch khô
i lăng tru
.'''ABC A B C
đa
cho.
CHỦ ĐỀ 3: MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết
2
A
Ba
.
A.
3
22Va
B.
3
2Va
C.
3
2Va
D.
3
22
3
Va
Câu 2.
Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết
'2
B
Bm
.
A.
3
8Vm
B.
3
2Vm
C.
3
8
3
Vm
D.
3
6Vm
Câu 3.
Hỏi khi các cạnh của khối lập phương tăng lên 5 lần, thì lúc đó thể tích của khối lập phương sẽ tăng lên bao nhiêu
lần?
A. 125 lần. B. 15 lần. C. 25 lần. D. 5 lần.
Câu 4.
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB 2a và AC = 5a .Tính độ dài đường sinh l của hình
nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.
A.
7la
B.
10la
C.
3la
D. 7la
Câu 5. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại B, AB
2a
và BC = 6a .Tính độ dài đường sinh
l
của hình
nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.
A.
2la
B.
22la
C.
4la
D. 3la
Câu 6. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB 1m và AD 2m. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD
và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần S
tp
của hình trụ đó.
A. S
tp
2
2
m
. B. S
tp
2
m
. C. S
tp
6
2
m
. D. S
tp
10
2
m
.
Câu 7. Trong không gian, cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo các cạnh là AB 1m, AD 2m và AA’=3m.
Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.
A.
3
6Vm
B.
3
2Vm
C.
3
Vm
D.
3
12Vm
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Nguyễn Văn Thân Trang 18
Câu 8. Cho khối chóp S.ABCD có SA (ABCD),
2SC a
và ABCD là hình vuông cạnh
a
. Tính bán kính R của mặt
cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
A. Ra B. 2Ra C. 2Ra D.
2
2
R
a
Câu 9. Trong không gian, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo các cạnh là AB 1m, AD 2m và AA’=3m.
Tính diện tích toàn phần S
tp
hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.
A. S
tp
22
2
m
. B. S
tp
6
2
m
. C. S
tp
2
2
m
. D. S
tp
11
2
m
.
Câu 10. Tính diện tích toàn phần S
tp
hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết
2
A
Ba
.
A.
3
tp
S12a
B.
3
tp
S64a
C.
3
tp
S2a
D.
3
tp
S8a
Câu 11.
Tính diện tích toàn phần S
tp
hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết '2
A
Am .
A.
3
tp
S24m B.
3
tp
S64m C.
3
tp
S12m D.
3
tp
S8m
Câu 12.
Cho khối chóp S.ABCD có SA (ABCD), 2SC a và ABCD là hình vuông cạnh a . Tính thể tích V của khối
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A.
3
4
3
Va
B.
3
4
3
Va
C.
3
4Va
D.
3
4Va
Câu 13.
Cho khối chóp S.ABCD có SA (ABCD),
2SA a
và ABCD là hình vuông cạnh
a
. Tính bán kính R của mặt
cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
A. 2Ra B. Ra C. 2Ra D.
2
2
R
a
Câu 14. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết 2
A
Ca .
A.
3
2Va
B.
3
22Va
C.
3
2Va
D.
3
22
3
Va
Câu 15.
Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết
'22
B
Cm
.
A.
3
22Vm
B.
3
8Vm
C.
3
82
3
Vm
D.
3
62Vm
Câu 16.
Hỏi khi thể tích của khối lập phương tăng lên 8 lần, thì lúc đó các cạnh của khối lập phương sẽ tăng lên bao nhiêu
lần?
A. 8 lần. B.2 lần. C . 4 lần. D. 24 lần.
Câu 17.
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AC
2a
và AB = 5a .Tính thể tích V của khối nón nhận
được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.
A.
3
25
3
Va
B.
3
25
3
Va
C.
3
25Va
D.
3
10
3
Va
Câu 18.
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại B, AB 3m và BC =2m . Tính thể tích V của khối nón nhận
được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.
A.
3
12Vm
B.
3
12Vm
C.
3
6Vm
D.
3
2Vm
Câu 19. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB 1m và AC
3
m. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần S
tp
của hình trụ đó.
A. S
tp
2
2
m
. B. S
tp
3
2
m
. C. S
tp
2 3
2
m
. D. S
tp
3
3
2
m
.
Câu 20. Trong không gian, cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo các cạnh là AB 1m, AA’=3m và có độ dài
đường chéo AC
3
m. Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Nguyễn Văn Thân Trang 19
A.
3
2Vm
B.
3
6Vm
C.
3
Vm
D.
3
12Vm
Câu 21.
Cho khối chóp S.ABCD có SA (ABCD),
2SA a
và ABCD là hình vuông cạnh
a
. Tính bán kính R của mặt
cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD..
A.
2Ra
B.
Ra
C.
2Ra
D.
2
2
R
a
Câu 22. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh
2a
. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
(ABCD) bằng 60
0
. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
A.
2Ra
B.
Ra
C.
23
3
R
a
D.
3
2
R
a
Câu 23. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh
2a
. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
(SBD) bằng 30
0
. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
A.
2Ra
B.
6
3
R
a
C.
23
3
R
a
D.
3
2
R
a
Câu 24. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh
2a
. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
(ABCD) bằng 60
0
. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A.
3
83
9
Va
B.
3
23
9
Va
C.
3
32 3
27
Va
D.
3
23
9
Va
Câu 25. Trong không gian, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo các cạnh là AB 1m, AC
5
m và
AA’=3m. Tính thể tích V của khối chóp D.A’B’C’D’.
A.
3
35Vm
B.
3
6Vm
C.
3
2Vm
D.
3
5Vm
Câu 26.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
1m
, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy và góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 60
0
. Tính diện tích toàn phần S
tp
của mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABCD.
A. S
tp
5
2
m
. B. S
tp
3
2
m
. C. S
tp
5
2
m
. D. S
tp
1
2
m
.
Câu 27. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh AB = 6a. có SA (ABC),
10SB a
. Tính diện
tích toàn phần S
tp
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. S
tp
544
a
2
B. S
tp
60
a
2
C. S
tp
136
a
2
D. S
tp
30a
2
Câu 28. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là điểm H thuộc
cạnh BC sao cho HC = HB.
Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
. Tính diện tích toàn phần S
tp
của khối
nón nhận được khi quay tam giác SHA xung quanh trục SH.
A. S
tp
6
a
2
B. S
tp
9a
2
C. S
tp
a
2
D. S
tp
9a
2
Câu 29. Trong không gian, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo các cạnh là AB 1m, AC 5 m và Góc
giữa mặt (A’BC) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60
0
. Tính thể tích V của khối chóp D.A’B’C’D’.
A.
3
5
3
Vm
B.
3
25Vm C.
3
23Vm D.
3
3
3
Vm
Câu 30.
Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh 2m. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là điểm H thuộc
cạnh BC sao cho HC = HB.
Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích V của khối nón nhận
được khi quay tam giác SHB xung quanh trục SH.
A.
3
3Vm B.
3
3
3
Vm
C.
3
3Vm
D.
3
Vm
| 1/19
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Chuyên đề Thể tích khối đa diện
VẤN ĐỀ 1: ÔN TẬP HÌNH HỌC PHẲNG
1/ Các hê ̣ thức lượng trong tam giác vuông Cho AB D
C vuông ta ̣i A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có: A  2 2 2
BC = AB + AC (Pitago)
AH.BC = AB.AC 2 2
AB = BH.BC, AC = CH.CB 1 1 1  = + , 2
AH = HB.HC 2 2 2 AH AB AC B C BC H M  AM = 2
2/ Các hê ̣ thức lượng trong tam giác bất kỳ
a) Đi ̣nh lı́ hàm số cosin 2 2 2 b + c -a * 2 2 2
a = b + c - 2bc cos A  cos A = A 2bc 2 2 2 a + c -b c b * 2 2 2
b = a + c - 2ac cos B  cos B = 2ac 2 2 2 a + b -c 2 2 2 B a C
* c = a + b - 2ab cosC  cosC = 2ab
b) Đi ̣nh lı́ hàm số sin A a b c c = = = 2R b sin A sin B sinC B C
(R là bán kı́nh đường tròn ngoa ̣i tiếp ABC) R a
c) Công thức tı́nh diê ̣n tı́ch của tam giác A 1 1 1  S = a.h = . b h = . c h AB D C 2 a 2 b 2 c 1 1 1 c b  S
= ab sinC = bc sin A = ac sin B AB D C 2 2 2 abcS = , S = . p r AB D C 4 A D BC R B a C æ
a + b + c ö = - - - ç = ÷ S p (p a)(p b)(p c), p AB D C ç ÷ çè 2 ø p – nư ̉ a chu vi
r – bán kı́nh đường tròn nô ̣i tiếp
R – bk đường ngoại nô ̣i tiếp
d) Công thức tı́nh độ dài đường trung tuyến của tam giác A 2 2 2 2 2 2 . . AB + AC BC BA + BC AC * 2 AM = - * 2 BN = - K N 2 4 . 2 4 2 2 2 CA +CB AB * 2 CK = - B M C 2 4
Nguyễn Văn Thân Trang 1
Chuyên đề Thể tích khối đa diện 3/ Đi ̣nh lı́ Talet AM AN MN A * MN / /BC  = = = k AB AC BC 2 S æAM ö M N ç ÷ * AM D N 2 = ç ÷ = k ç ÷ ç ÷ S è AB ø AB D C B C (Tı
̉ diê ̣n tı́ch bằng tı̉ bı̀nh phương đồng dạng)
4/ Diê ̣n tı́ch của đa giác a/ Diê ̣n tı B ́ch tam giác vuông 1  S = AB.AC
Diê ̣n tı́ch tam giác vuông bằng ½ tı́ch 2 ca ̣nh góc AB D C 2 vuông. A C
b/ Diê ̣n tı́ch tam giác đều B 2 ìï a 3 . (ca ̣nh)2 3 S ïï = + Diê D ̣n tı ABC
́ch tam giác đều: S đều = ïï 4 D 4 a  í h ïï a 3 . (ca ̣nh) 3 h ï = ï
+ Chiều cao tam giác đều: h đều = A C ïî 2 D 2 A B
c/ Diê ̣n tı́ch hı̀nh vuông và hı̀nh chữ nhâ ̣t 2 S ìï = a HV ï a  í
+ Diê ̣n tı́ch hı̀nh vuông bằng ca ̣nh bı̀nh phương. O AC ï = BD = a 2 ïïî + Đươ D C
̀ ng chéo hı̀nh vuông bằng ca ̣nh nhân 2 .
+ Diê ̣n tı́ch hı̀nh chữ nhâ ̣t bằng dài nhân rô ̣ng. d/ Diê ̣n tı A D ́ch hı̀nh thang
(AD + BC ).AH
Diê ̣n tı́ch hı̀nh thang:  S = 2 1
SHı̀nh Thang = .(đáy lớn + đáy bé) . chiều cao 2 B H C B
e/ Diê ̣n tı́ch tứ giác có hai đường chéo vuông góc 1
+ Diê ̣n tı́ch tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau A C  S = AC.BD H .Thoi bằng ½ tı 2 ́ch hai đường chéo.
+ Hı̀nh thoi có hai đường chéo vuông góc nhau ta ̣i
trung điểm của mỗi đường. D
Lưu ý: Trong tı́nh toán diê ̣n tı́ch, ta có thể chia đa giác thành những hı̀nh đơn giản dễ tı́nh diê ̣n tı́ch, sau đó
cô ̣ng các diê ̣n tı́ch được chia này, ta được diê ̣n tı́ch đa giác.
VẤN ĐỀ 2: ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11
1/ Chứng minh đường thẳng d // m ( p a) d ìïï // d ' ïï
a. Phương pháp 1: Chứng minh d í ' Ì (a)  d // m ( p a) (ïïïd Ë (a ï )) ïî
Nguyễn Văn Thân Trang 2
Chuyên đề Thể tích khối đa diện d ìï Ì (b) ï
b. Phương pháp 2: Chứng minh (í ïï )  d // m ( p ) a b // ( ) a ïî
c. Phương pháp 3: Chứng minh d và (a) cùng vuông góc với mô ̣t đường thẳng hoă ̣c cùng vuông góc với mô ̣t mă ̣t phẳng. 2/ Chứng minh ( mp a /
) / mp (b)
a. Phương pháp 1: Chứng minh ( mp )
a chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mp (b).
b. Phương pháp 2: Chứng minh (
mp a) và mp (b) cùng song song với 1 mă ̣t phẳng hoă ̣c cùng vuông góc với 1 đường thẳng.
3/ Chứng minh hai đường thẳng song song:
a. Phương pháp 1: Hai ( mp )
a ,(b) có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a,b thı̀
(a) Ç (b) = Sx // a // b . a ìï // m ( p a) ïïï
b. Phương pháp 2: Chứng minh a í Ì mp (b)  a// b . ï(ïï )aÇ ï (b) = b ïî
c. Phương pháp 3: Hai mă ̣t phẳng cùng song song với mô ̣t đường thẳng thı̀ giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.
d. Phương pháp 4: Mô ̣t mă ̣t phẳng cắt hai mă ̣t phẳng song song theo giao tuyến song song.
e. Phương pháp 5: Hai đường thẳng cùng vuông góc với mô ̣t mă ̣t phẳng thı̀ song song với nhau.
f. Phương pháp 6: Sử du ̣ng phương pháp hı̀nh ho ̣c phẳng: Đường trung bı̀nh, đi ̣nh lı́ Talét đảo, …
4/ Chứng minh đường thẳng d ^ mp (a) d ìï ^ a ïïdïï ^b
a. Phương pháp 1: Chư ï ́ ng minh: í
d ^ mp (a) a ï Ç b
ïïaïï,b Ìmp(a) ïî d ìï // d ' ï
b. Phương pháp 2: Chứng minh: í
d ^ mp (a) d ï ' ^ mp ï (a) ïî d ìï ^ mp ï (b)
c. Phương pháp 3: Chứng minh: í
d ^ mp (a) mp
ïï (b) // mp(a) ïî
d. Phương pháp 4: Hai mă ̣t phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mă ̣t phẳng thứ 3 thı̀ giao tuyến của chúng vuông (ìïa) ^ ï (P) ïï
góc với mă ̣t phẳng thứ 3: ( í b) ^ (P)  d ^ (P) (ïïïa ï ) Ç (b) = d ïî
e. Phương pháp 5: Có hai mă ̣t phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong mă ̣t phẳng này và vuông góc với giao (ìïa) ^ ï (b) (ïïïa ï ) Ç (b) = a
tuyến của 2 mặt phẳng, cũng vuông góc với mă ̣t phẳng kia: í  ^ b d ï Ì ï (a) d ( ) ïdïï ^ a ïî
5/ Chứng minh đường thẳng d ^ d '
a. Phương pháp 1: Đường thẳng d ^ (a) thì d ^ tất cả các đường thẳng nằm trong mp (a).
Nguyễn Văn Thân Trang 3
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
b. Phương pháp 2: Sử du ̣ng đi ̣nh lý ba đường vuông góc.
c. Phương pháp 3: Chứng tỏ góc giữa d và d ' bằng 0 90 .
d. Phương pháp 4: Sử du ̣ng hı̀nh ho ̣c phẳng.
6/ Chứng minh mp (a) ^ mp (b) (ìïa ï ) É d
a. Phương pháp 1: Chứng minhí  a ^
b (chứng minh mp chứa 1 đường thẳng vuông d ï ^ ï (b) mp ( ) mp( ) ïî góc với mp kia)
b. Phương pháp 2: Chứng tỏ góc giữa hai mă ̣t phẳng bằng 0 90 .
PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
(Phần này cần nắm cho thật vững) I. TÍNH GÓC
1. Tính góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau
Phương pháp : Có thể sử dụng một trong các cách sau: a. Cách
1: (theo phương pháp hình học)
+ Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì bằng 0 + Go
́c giữa hai đường thẳng chéo nhau: Là góc tạo bởi hai đường a ' a
thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương với hai đường thẳng đó: a ìï // a '  ï   b ' í
 (a,b) = (a ',b ') = f b b ï // b ' ïî
(chú ý: Góc giữa hai đường thẳng chỉ lấy góc nhọn không lấy góc tù)   ab
b. Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ): cosa,b    . a b
2. Tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P
Phương pháp xác định :
+ a  P    A
+ Trên đường thẳng a lấy điểm M bất kỳ.
+ Tìm điểm H là hình chiếu của M trên mp P  MH   P +     ;
a P MAH  
Chú ý: đường thẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng thì góc bằng 0
3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng P và Q Phương pháp :
+ Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng P và Q
+ Tìm 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng P và Q
đồng thời 2 đường thẳng này cùng vuông góc với giao tuyến chung
của 2 mặt phẳng P và Q
+ Góc của 2 mặt phẳng P và Q là góc của 2 đường thẳng
cùng vuông góc với giao tuyến chung của 2 mặt phẳng P và Q
Chú ý: 2 mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc bằng 0 II. TÍNH KHOẢNG CÁCH
1. Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng
Phương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó
đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau : Cách 1 :
+ Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) .
Nguyễn Văn Thân Trang 4
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
+ Xác định mPQ .
+ Dựng MH mPQ , MH P
Suy ra MH là đoạn cần tìm .
Cách 2: Dựng MH // AK PChú ý :
+ Nếu MA / / P  dd . M ,P M ,P    
dM ,P   IM
+ Nếu MAPI   d ,  IA M P   
2. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng: +
Khi a //P  dd với A   P . a,P  , A P    
+ Khi đường thẳng aP hoặc aPthì khoảng cách bằng 0
3. Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng : +
KhiP//Q  d    d
với A P .
P,Q M ,Q    
PQ + Khi   d    PQ   0 P ,Q   4.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng ' a. Khi   d .         '  0 , '
b. Khi  / /  '  d (a)    với M    , N    ' .  d d  , ' M ,' N ,      
c. Khi hai đường thẳng chéo nhau : M 
+ Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
 và ' là đường thẳng a cắt  ở M và cắt ' ở N
đồng thời vuông góc với cả  và ' . '
+ Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau  và ' . N
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng đó .
Phương pháp :
+ Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến mp(P)
+ Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là
khoảng cách cần tìm .
+ Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó .
* Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau :
+ Dựng Pb,P//a .
+ Dựng a 'hc h a P
, bằng cách lấy M a
+ Dựng đoạn MN   , lúc đó a’ là đường thẳng đi qua N và song song a .
+ Gọi H a 'b , dựng HK //MN
HK là đoạn vuông góc chung cần tìm
( Hay MN là đoạn vuông góc chung cần tìm) . *
Nếu hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau thì:
+ Dựng một mpPb,Pa tại H .
+ Trong (P) dựng HK b tại K .
+ Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b .
VẤN ĐỀ 3: TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐẶC BIỆT
Nguyễn Văn Thân Trang 5
Chuyên đề Thể tích khối đa diện I. HÌNH CHÓP ĐỀU
1/ Đi ̣nh nghı̃a: Mô ̣t hı̀nh chóp được go ̣i là hı̀nh chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với
tâm của đa giác đáy. Nhận xét:
+ Hı̀nh chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau.
+ Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
+ Các cạnh bên của hı̀nh chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
+ Đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông ...) S
2/ Hai hı̀nh chóp đều thường gă ̣p
a/ Hı̀nh chóp tam giác đều:
Cho hı̀nh chóp tam giác đềuS.ABC . Khi đó:
+ ĐáyABC là tam giác đều.
+ Các mă ̣t bên là các tam giác cân ta ̣iS .
+ Chiều cao: SO .( O là tâm của đáy)    A + Go
SAO = SBO = SCO . C
́c giữa ca ̣nh bên và mă ̣t đáy: 
+ Góc giữa mă ̣t bên và mă ̣t đáy: SHO . O H 2 1 AB 3
+ Tı́nh chất: AO = AH, OH = AH, AH = . 3 3 2 B
Lưu ý: Hı̀nh chóp tam giác đều khác với tứ diê ̣n đều:
+ Tứ diê ̣n đều có các mă ̣t là các tam giác đều.
+ Tứ diê ̣n đều là hı̀nh chóp tam giác đều có ca ̣nh bên bằng ca ̣nh đáy. S
b/ Hı̀nh chóp tứ giác đều:
Cho hı̀nh chóp tam giác đềuS.ABCD .
+ ĐáyABCD là hı̀nh vuông.
+ Các mă ̣t bên là các tam giác cân ta ̣iS . A D + Chiều cao: SO .
+ Góc giữa ca ̣nh bên và mă ̣t đáy: H     O
SAO = SBO = SCO = SDO .  B C
+ Góc giữa mă ̣t bên và mă ̣t đáy: SHO .
II. TỨ DIỆN ĐỀU:
+ Tứ diê ̣n đều có 4 mă ̣t là các tam giác đều
+ Khi hı̀nh chóp tam giác đều có ca ̣nh bên bằng ca ̣nh đáy thì đó là tứ diê ̣n đều. Do đó tứ diê ̣n đều có tính chất như hình chóp tam giác.
III. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG HÌNH LĂNG TRỤ
HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
+ 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau.
+ 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau.
+ các cạnh bên song song và bằng nhau
+ các cạnh bên song song và bằng nhau
+ các mặt bên là hình bình hành
+ các mặt bên là hình bình chữ nhật và vuông góc với 2 mặt đáy
+ Chiều cao là khoảng cách của 2 mặt đáy + Chiều cao là cạnh bên
Hình hộp: là hình lăng trụ có 2 đáy là hình bình hành
Hình hộp chữ nhật : là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là
Nguyễn Văn Thân Trang 6
Chuyên đề Thể tích khối đa diện hình chữ nhật
Hình lập phương: là hình lăng trụ đứng có 6 mặt là hình vuông.
IV. CHIỀU CAO CỦA MỘT SỐ HÌNH CHÓP CÓ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT
1/ Hı̀nh chóp có mô ̣t ca ̣nh bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hı̀nh chóp là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy
Vı́ du ̣: Hı̀nh chópS.ABCD có ca ̣nh bên SA ^ (ABCD)thı̀ chiều cao là SA.
2/ Hı̀nh chóp có mô ̣t mă ̣t bên vuông góc với mă ̣t đáy: Chiều cao của hı̀nh chóp là chiều cao của tam giác chứa
trong mặt bên vuông góc với đáy.
Vı́ du ̣: Hı̀nh chópS.ABC có mă ̣t bên(SAB) vuông góc với mă ̣t đáy(ABC )thı̀ chiều cao của hı̀nh chóp là chiều cao của SA D B .
3/ Hı̀nh chóp có hai mă ̣t bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hı̀nh chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng
vuông góc với đáy.
Vı́ du ̣: Hı̀nh chópS.ABCD có hai mă ̣t bên (SAB)và(SAD) cùng vuông góc với mă ̣t đáy(ABCD)thı̀ chiều cao
là SA. 4/ Hı̀nh chóp đều và tứ diện đều: Chiều cao của hı̀nh chóp là đoạn thẳng nối đı̉nh và tâm của đáy.
Vı́ du ̣: Hı̀nh chóp tứ giác đềuS.ABCD có tâm mă ̣t phẳng đáy là giao điểm O của hai đường chéo hı̀nh
vuông ABCD thı̀ có đường cao là SO .
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
LÝ THUYẾT: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN, DIỆN TÍCH XUNG QUANH,
DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN Thể tích
Diện tích xung quanh
Diện tích toàn phần 1 V  . B h 3 KHỐI CHÓP
Sxq = Tổng diện tích các mặt bên
Stp = Sxq + Diện tích mặt đáy
+ B là diện tích đáy
+ h đường cao hình chóp V  . B h KHỐI LĂNG
+ B là diện tích đáy S TRỤ
+ h là đường cao lăng trụ
xq = Tổng diện tích các mặt bên
Stp = Sxq + Diện tích 2 mặt đáy h
V = (B + B '+ BB ') KHỐI CHÓP 3 S CỤT
xq = Tổng diện tích các mặt bên
Stp = Sxq + Diện tích mặt đáy +Với ,
B B ' là diê ̣n tı́ch hai đáy
+ h đường cao hình chóp Chú ý:
I. Thể tı́ch hı̀nh hô ̣p chữ nhâ ̣t: V = a. .
b c Thể tı́ch khối lâ ̣p phương: 3 V = a a a b a a c Hình hộp chữ nhật Hình lập phương
II. 4 phương pháp thường dùng tı́nh thể tı́ch
1.Tı́nh thể tı́ch bằng công thức.
+ Tı́nh các yếu tố cần thiết: đô ̣ dài ca ̣nh, diê ̣n tı́ch đáy, chiều cao,….
+ Sử du ̣ng công thức tı́nh thể tı́ch.
Nguyễn Văn Thân Trang 7
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
+ Cần năm vững các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác, ....
2. Tı́nh thể tı́ch bằng cách chia nhỏ: Ta chia khối đa diê ̣n thành nhiều khối đa diê ̣n nhỏ mà có thể dễ dàng tı́nh thể
tı́ch của chúng. Sau đó, ta cô ̣ng kết quả la ̣i, ta sẽ có kết quả cần tı̀m.
3. Tı́nh thể tı́ch bằng cách bổ sung: Ta có thể ghép thêm vào khối đa diê ̣n mô ̣t khối đa diê ̣n khác, sao cho khối đa
diê ̣n thêm vào và khối đa diê ̣n mới có thể dễ dàng tı́nh được thể tı́ch.
4. Tı́nh thể tı́ch bằng tı̉ số thể tı́ch.
* Trong nhiều bài toán, viê ̣c tı́nh trực tiếp thể tı́ch khối đa diê ̣n có thể gặp khó khăn vı̀ hai lı́ do: +
Hoặc là khó xác đi ̣nh và tı́nh được chiều cao. +
Hoặc tı́nh được diê ̣n tı́ch đáy nhưng cũng không dễ dàng. * Khi
đó, ta có thể làm theo các phương pháp sau:
+ Phân chia khối cần tı́nh thể tı́ch thành tổng hoặc hiê ̣u các khối cơ bản (hı̀nh chóp hoặc hı̀nh lăng trụ) mà
các khối này dễ tı́nh hơn. +
Hoặc là so sánh thể tı́ch khối cần tı́nh với một đa diê ̣n khác đã biết trước hoặc dễ dàng tı́nh thể tı́ch.
* Trong dạng này, ta thường hay sử dụng phương pháp tỉ số, lấy kết quả của bài toán sau: V
SA' SB ' SC '
Cho hı̀nh chóp S.ABC. Lấy A’, B’, C’ tương ứng trên ca ̣nh SA, SB, SC. Khi đó: S.A'B 'C ' = . . . V SA SB SC S .ABC Chứng minh:
Kẻ A’H’ và AH cùng vuông góc với mă ̣t phẳng (SBC).
Khi đó: A’H // AH và S, H’, H thẳng hàng. S 1 S .A' H ' H’ V V SB D 'C ' Ta co S A B C A SB C 3 ́: . ' ' ' ' ' ' = = A’ B’ V V 1 S .ABC . A SBC S .AH 3 SBC D C’ H 1 A B SB '.SC '.sin . a A'H '
SB '.SC '.SA' 2 = =  (Ðpcm). 1 SB.SC.SA SB.SC.sin . a AH C 2  
Trong đó: a = B 'SC ' = BSC .
Lưu ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm A º A',B º B ',C º C ' .
Thông thường, đối với loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tı̉ lê ̣, song song, hı̀nh chiếu,…
III. Sử dụng phương pháp thể tích khối đa diện để tính khoảng cách
* Các bài toán tı̀m khoảng cách: Khoảng cách từ mô ̣t điểm đến mô ̣t mă ̣t phẳng, khoảng cách giữa hai đường
thẳng, trong nhiều trường hợp có thể qui về bài toán thể tı́ch khối đa diê ̣n. Viê ̣c tı́nh khoảng cách này dựa vào công thức 3V hiển nhiên: h = , ở đâyV, ,
B h lần lượt là thể tı́ch, diê ̣n tı́ch đáy và chiều cao của một hı̀nh chóp nào đó (hoă ̣c B V h =
đối với hı̀nh lăng trụ). S
* Phương pháp này áp dụng được trong trường hợp sau: Giả sử có thể qui bài toán tı̀m khoảng cách về bài toán
tı̀m chiều cao của mô ̣t hı̀nh chóp (hoă ̣c mô ̣t lăng trụ) nào đó. Dı̃ nhiên, các chiều cao này thường là không tı́nh được trực tiếp
bằng cách sử dụng các phương pháp thông thường như đi ̣nh lı́ Pitago, công thức lượng giác,… Tuy nhiên, các khối đa diê ̣n
này la ̣i dễ dàng tı́nh được thể tı́ch và diê ̣n tı́ch đáy. Như vâ ̣y, chiều cao của nó sẽ được xác đi ̣nh bởi công thức đơn giản trên.
* Phương pháp: Sử du ̣ng các đi ̣nh lı́ của hı̀nh ho ̣c trong không gian sau đây:
+ Nếu AB // mp (P)trong đo é ù
́ mp (P)chứaCD thı̀d (A , B CD) = d A , B ê (P) ë úû . + Nếu
mp (P) // mp(Q) trong đó mp(P),mp(Q) lần lượt chứa AB và CD thı̀: d (A , B CD) d m
é p(P),mp(Q)ù = êë úû .
+ Từ đó, qui bài toán tı̀m khoảng cách theo yêu cầu bài toán về viê ̣c tı̀m chiều cao của khối chóp (hoă ̣c mô ̣t khối lăng tru ̣) nào đó.
Nguyễn Văn Thân Trang 8
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
+ Giả sử bài toán đã được qui về tı̀m chiều cao kẻ từ đı̉nhS của mô ̣t hı̀nh chóp (hoă ̣c mô ̣t lăng trụ). Ta tı̀m thể tı́ch
của hı̀nh chóp (lăng tru ̣) này theo mô ̣t con đường khác mà không dựa vào đı̉nh S này, chẳng ha ̣n như quan niê ̣m hı̀nh chóp
ấy có đı̉nhS ' ¹ S . Sau đó, tı́nh diê ̣n tı́ch đáy đối diê ̣n với đı̉nhS . Như thế, ta suy ra được chiều cao kẻ từS cần tı̀m.
CHỦ ĐỀ 1: CÁC DẠNG TOÁN KHỐI CHÓP
DẠNG 1: HÌNH CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Bài 1. Cho hı̀nh chóp S.ABC có đáy là AB D C vuông cân ở ,
B AC = a 2,SA ^ mp (ABC ),SA = a . 3 a
a. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S.ABC . ĐS: V = . S .ABC (đvtt) 6
b. Go ̣i G là tro ̣ng tâm của SB D
C , mp (a)đi quaAG và song song với BC cắt SC,SB lần lượt ta ̣i M,N . Tı́nh 3 2a
thể tı́ch khối chóp S.AMN . ĐS: V = . SAMN (đvtt) 27
Bài 2. Cho hı̀nh chóp S.ABC có đáy là AB D
C đều ca ̣nh a và SA ^ (ABC ),SA = 2a . Gọi H,K lần lượt là hı̀nh
chiếu vuông góc của điểm A lần lượt lên ca ̣nh , SB SC . 3 a 3
a. Tı́nh thể tı́ch khối chóp H.ABC theo a . ĐS: V = . H .ABC (đvtt) 30 3 3a 3
b. Tı́nh thể tı́ch khối . ABCKH theo a . ĐS: V = . . A BCKH (đvtt) 50 a 3
c. Tính khoảng cách từ H đếnmp (SAC ). ĐS: d = . é ù (đvđd) H ê ( , SAC ) ë úû 10
Bài 3. Cho tứ diê ̣n ABCD có ca ̣nh AD vuông góc với mp (ABC ) , AC = AD = 4(cm),AB = 3(cm) , 6 34
BC = 5(cm). Tı́nh khoảng cách từ A đến mp(BCD). ĐS: d = (cm é ù ) A ê ( , DBC ) ë úû 17 
Bài 4. Cho hı̀nh chóp S.ABC có đáyABC là tam giác có AC = a, AB = 3a , 0
BAC = 60 . Go ̣i H là hình chiếu
của S trên (ABC ) biết H Î AB và AH = 2HB . Cạnh bên SC hợp với đáy một góc 0 45 .
a. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S.ABC
b. Tı́nh khoảng cách từ A đến mp (SBC ). 
Bài 5. Cho hı̀nh chóp S.ABC có đáy AB D
C là tam giác vuông ta ̣i B và SA ^ (ABC )với 0 ACB = 60 ,
BC = a,SA = a 3 . Go ̣i M là trung điểm của ca ̣nh SB .
a. Chứng minh rằng: mp (SAB) ^ mp (SBC ) . 3 a
b. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S.ABC . ĐS: V = . S .ABC (đvtt) 2 3 a
c. Tı́nh thể tı́ch khối tứ diê ̣nMABC . ĐS: V = . MABC (đvtt) 4 a
d. Tı́nh khoảng cách từ điểm M đến mp (SAC ). ĐS: d = é ù (đvđd) M ê (,SAC) ë úû 2
Bài 6. Cho hı̀nh chóp S.ABCD có đáyABCD là hı̀nh vuông ca ̣nh a ,SA ^ (ABCD), SA = a 3 . Gọi O là giao
điểm của hai đường chéo hình vuông ABCD . 3 a 3
a. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S.ABCD theo a . ĐS: V = . S .ABCD (đvtt) 3
Nguyễn Văn Thân Trang 9
Chuyên đề Thể tích khối đa diện 3 a 3
b. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S.OBC theo a . ĐS: V = . S .ABCD (đvtt) 12 a 3
c. Tı́nh khoảng cách từ điểm A đến mp (SBC ). ĐS: d = é ù (đvđd) A ê ( , SBC ) ë úû 2 a 3
d. Tı́nh khoảng cách từ điểm O đến mp (SBC ). ĐS: d = é ù (đvđd) A ê ( , SBC ) ë úû 4
Bài 7. Cho hı̀nh chóp S.ABCD có đáyABCD là hı̀nh vuông ca ̣nh a ,SA ^ (ABCD). Cạnh SC tạo với mặt phẳng
đáy (ABCD) một góc 0 60 . 3 a 6
a. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S.ABCD theo a . ĐS: V = . S .ABCD (đvtt) 3 a 3
b. Xác đi ̣nh và tı́nh đô ̣ dài đoa ̣n vuông góc chung của hai đường thẳng SC và BD . ĐS: ( d = SC ;BD) 4
Bài 8. Cho hı̀nh chóp S.ABCD có đáy là hı̀nh vuông ca ̣nh bằng a , chiều cao SA = 2a . Go ̣i N là trung điểm của SC .
a. Tính diện tích toàn phần hình chóp S.ABCD . 3 2a
b. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S.ABCD theo a . ĐS: V = . S .ABCD (đvtt) 3
c. Mă ̣t phẳng (P) chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB,SD ta ̣i M,P . Tı́nh thể tı́ch khối chóp 3 2a
S.AMNP theo a . ĐS: V = . S .AMNP (đvtt) 9
Bài 9. Cho hı̀nh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hı̀nh chữ nhâ ̣t tâm ,
O SA ^ mp (ABCD). Biết AB = 3a , góc  0
BAC = 60 . Mặt bên (SBC ) hợp với đáy một góc 0 45 .
a. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S.ABCD theo a . ĐS: 3 V = 9a 3 . S .ABCD (đvtt) 3 9a 3
b. Tı́nh thể tı́ch khối chóp SOAD . ĐS: V = . S .OAD (đvtt) 4 3a 2
c. Tı́nh khoảng cách từ điểm O đếnmp (SBC ). ĐS: d = é ù (đvđd) O ê ( , SBC ) ë úû 2
Bài 10. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hı̀nh chữ nhâ ̣t. Biết rằng SA ^ (ABCD),SC hợp với mă ̣t phẳng
chứa đáy ABCD mô ̣t góc 0
30 vàAB = a,BC = 2a . 3 a 15
a. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S.ABCD . ĐS: V = . S .ABCD (đvtt) 3 3 a 15
b. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S.ABC . ĐS: V = . S .ABC (đvtt) 6
c. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Tı́nh khoảng cách từ điểm O đến mp (SCD). a 1140 ĐS: d = é ù (đvđd) O ê ( , SCD) ë úû 60
Nguyễn Văn Thân Trang 10
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
DẠNG 2: HÌNH CHÓP CÓ MỘT MẶT VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Chú ý: (ìïïP) ^ (Q) ï(ïïP ï ) Ç (Q) = a - í  ^ b ï Ì ï (P) b (Q) ïbïï ^ a ïî
- Tam giác BAC cân tại A , I là trung điểm BC AI vừa đường cao vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác AB D C .
- Tam giác ABC đều , G là trọng tâm AB D
C , M,N,P lần lượt là trung điểm cạnh BC,AC,AB . Ta cần nhớ: ìï 1 2 AG ïï = GM = AM ïï 3 3 ïï 1 2 + BG ïí = GN = BN ï 3 3 ïïï 1 2 CG ï = GP = CP ïï 3 3 ïî
+ AM,BN,CP vừa đường cao vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác của AB D C .
Bài 1. Cho hı̀nh chóp S.ABCD có đáyABCD là hı̀nh vuông ca ̣nh a . Mă ̣t bên SAB là tam giác đều nằm trong mă ̣t
phẳng vuông góc với mă ̣t phẳng đáy(ABCD).
a. Chứng minh rằng chân đường cao của khối chóp đã cho trùng với trung điểm của ca ̣nh AB . 3 a 3
b. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S.ABCD . ĐS: V = . S .ABCD (đvtt) 6 3 a 3
c. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S.BCD . ĐS: V = . S .BCD (đvtt) 12 a 3
d. Tı́nh khoảng cách từ D đến mp (SBC ). ĐS: d = . é ù (đvđd) D ê ( , SBC ) ë úû 2
Bài 2. Cho hı̀nh chópS.ABCD có đáyABCD là hı̀nh chữ nhâ ̣t. Mă ̣t bên SAB là tam giác đều ca ̣nh là a và nằm trong
mă ̣t phẳng vuông góc vớimp (ABCD). Cạnh bên SC hợp với mp (ABCD)mô ̣t góc bằng 0 30 . 3 a 30
a. Tı́nh thể tı́ch khối chópS.ABCD đã cho. ĐS: V = . S .ABCD 12 a 3
b. Tı́nh khoảng cách của điểm C đến mp (SAD) ĐS: d = . é ù (đvđd) C ê ( , SAD) ë úû 2 a 390
c. Tı́nh khoảng cách của điểm B đến mp (SAC ) ĐS: d = . é ù (đvđd) B ê ( , SAC ) ë úû 13  0 
Bài 3. Cho hı̀nh chóp S.ABC có 0
BAC = 90 ,ABC = 30 , SBC D
là tam giác đều ca ̣nh a và
mp (SAB) ^ mp(ABC ). 3 a 39
a. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S.ABC . ĐS: V = . S .ABC (đvtt) 96 a 39
b. Tính khoảng cách từ B đến mp (SAC ). ĐS: d = . é ù (đvđd) B ê ( , SAC ) ë úû 8
c. Gọi G là trọng tâm SB D
C . Tı́nh khoảng cách của điểm G đến mp (SAC ).
Bài 4. Cho hı̀nh chóp S.ABC có đáyABC là tam giác vuông cân ta ̣iB , cóBC = a . Mă ̣t bên (SAC ) vuông góc với
mă ̣t phẳng đáy, mă ̣t bên (SAB) ta ̣o với mă ̣t phẳng đáy mô ̣t góc 0 45 . Biết SA D
C cân tại S .
Nguyễn Văn Thân Trang 11
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
a. Gọi H là trung điểm AC . Chứng minh SH ^ (ABC ). 3 a
b. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S.ABC . ĐS: V = . S .ABC (đvtt) 12 a 2
c. Tính khoảng cách từ H đến mp (SBC ). ĐS: d = . é ù (đvđd) H ê ( , SBC ) ë úû 4
Bài 5. Cho hı̀nh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hı̀nh vuông ca ̣nh a ,mp (SAB) ^ mp (ABCD), SA = SB , góc
giữa đường thẳng SC và mă ̣t phẳng đáy bằng 0 45 . 3 a 5
a. Tı́nh theo a thể tı́ch của khối chóp S.ABCD . ĐS: V = . S .ABCD (đvtt) 6 a 30
b. Tính khoảng cách từ D đến mp (SBC ). ĐS: d = . é ù (đvđd) D ê ( , SBC ) ë úû 6 2a 5
c. Gọi G là trọng tâm SAB D
. Tı́nh khoảng cách của điểm G đến mp (SCD). ĐS: d = . G é (,SCD)ù êë úû 9
Bài 6. Cho hı̀nh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hı̀nh vuông ca ̣nh a ,mp (SAC ) ^ mp (ABCD), SAC D , vuông cân tại S . 3 a 2
a. Tı́nh theo a thể tı́ch của khối chóp S.ABCD . ĐS: V = . S .ABCD (đvtt) 6 3 a 2
b. Tı́nh theo a thể tı́ch của khối chóp S.BCD . ĐS: V = . S .BCD (đvtt) 12 a 6
b. Tính khoảng cách từ B đến mp (SAD). ĐS: d = . é ù (đvđd) B ê ( , SAD) ë úû 12
DẠNG 3: HÌNH CHÓP CÓ HAI MẶT VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
(Q) ^ (P) üïïïï
Chú ý: (R) (P) ^
ý  a ^ (P) ( ï
Q) Ç (R) = aïïïþ
Bài 1. Cho hı̀nh chóp S.ABC có SA = AB = AC = BC = a . Hai ( mp SAB) và (
mp SAC ) cùng vuông góc với ( mp SBC ). 3 a 3
a. Tı́nh thể tı́ch của hı̀nh chóp S.ABC . ĐS: V = S .ABC (đvtt) 12
b. Tính góc giữa đường thẳng SB và ( mp ABC ) . ĐS: SB (ABC )  0 , = 45 . a 15
c. Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC ). ĐS: d = . é ù (đvđd) A ê ( , SBC ) ë úû 5
Bài 2. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a,BC = 2a . Hai mp (SAB) và
mp (SAD)cùng vuông góc với mă ̣t phẳng đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 0 60 . 3 2a 15
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . ĐS: V = ABCD (đvtt) 3 3 a 15
b. Gọi {O} = AC Ç BD . Tính thể tích khối chóp S.OBC theo a . ĐS: V = S .OBC (đvtt) 6 a 60
c. Tính khoảng cách từ O đến mp (SCD). ĐS: d = . é ù (đvđd) O ê ( , SCD) ë úû 2 19
Nguyễn Văn Thân Trang 12
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Bài 3. Cho hı̀nh chópS.ABC có đáyABC là tam giác vuông cân ta ̣iA . Hai mă ̣t phẳng(SAB)và(SAC )cùng vuông góc
với mă ̣t phẳng đáy(ABC ), cho BC = a 2 , mă ̣t bên(SBC ) ta ̣i với đáy(ABC )mô ̣t góc 0 60 .
a. Tı́nh thể tı́ch của khối chóp S.ABC
b. Tı́nh khoảng cách từ điểm A đến mă ̣t phẳng (SBC ) . 2
c. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho: AD =
AB . Tı́nh khoảng cách từ điểm D đến mă ̣t phẳng (SAC ). 3
Bài 4. Cho hı̀nh chóp S.ABCD có đáyABCD là hı̀nh vuông ca ̣nh a , hai mă ̣t bên(SAB)và(SAD) cùng vuông góc
với(ABCD). Cho SB = 3a . Go ̣i M là trung điểm của CD .
a. Tı́nh thể tı́ch của khối chóp S.ABCM .
b. Tı́nh khoảng cách của điểm M đến mp (SBC )
Bài 5. Cho hı̀nh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hı̀nh chữ nhâ ̣t, các mă ̣t bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với
mă ̣t đáy (ABCD), choAB = a,AD = 2a,SC ta ̣o với mă ̣t đáy (ABCD) mô ̣t góc 0 45 .
a. Tı́nh thể tı́ch của khối chóp S.ABCD theo a .
b. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BD . Tính thể tı́ch của khối chóp S.AHCD theo a .
c. Tı́nh khoảng cách của điểm C đến mp (SAH ).
d. Tı́nh khoảng cách 2 đường thẳng SB và AH . 
Bài 6. Cho hı̀nh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hı̀nh thoi cạnh a , 0
BAD = 120 . Biết mặt bên(SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Cạnh bên SC tạo với đáy một góc 0 60 . 3 a
a. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S.ABCD . ĐS: V = . S .ABCD (đvtt) 2 3 a
b. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S.BCD . ĐS: V = . S .BCD (đvtt) 4 a 3
c. Tính khoảng cách từ C đến mp (SAB) . ĐS: d = . é ù (đvđd) C ê ( , SAB) ë úû 2
DẠNG 4: HÌNH CHÓP ĐỀU Định nghĩa:
+ đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều ...)
+ các mặt bên là tam giác cân tại đỉnh của hình chóp.
+ đường cao là đường hạ từ đỉnh đến tâm của đa giác đều.
+ các cạnh bên tạo với đáy 1 góc đều bằng nhau.
+ các mặt bên tạo với đáy 1 góc đều bằng nhau. Chú ý:
+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng cạnh bên.
+ Hình chóp đều khác với hình chóp có đáy là đa giác đều (hình chóp có đáy là tứ giác đều là hình
chóp chỉ có đáy là đa giác đều )
Bài 1. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 0
60 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC D . 3 4a 3
a. Tính thể tích của hình chópS.ABCD . ĐS: V = . S .ABCD (đvtt) 3
b. Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC ). ĐS: d = a 3 . é ù (đvđd) A ê ( , SBC ) ë úû
Nguyễn Văn Thân Trang 13
Chuyên đề Thể tích khối đa diện a 3
c. Tính khoảng cách từ G đến mp (SAB) ĐS: d = . é ù (đvđd) G ê ( , SAB) ë úû 3
Bài 2. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD . Mô ̣t mă ̣t phẳng (P) qua ,
A B và trung điểm M của SC . Tı́nh tı̉ số thể tı́ch V 3
của hai phần khối chóp bi ̣ phân chia bởi mă ̣t phẳng đó. ĐS: S.ABMN = V 5 ABCDNM a 2a
Bài 3. Cho tứ diê ̣n đều ABCD có ca ̣nh a . Lấy các điểm B ',C ' trên AB và AC sao cho AB ' = , AC ' = . 2 3 3 a 2
a. Tı́nh thể tı́ch khối tứ diê ̣n AB 'C 'D . ĐS: V = . AB 'C ' D (đvtt) 36 a 6
b. Tı́nh khoảng cách từ B ' đến mp (ACD). ĐS: d  đvđd B'; ACD       6
Bài 4. Cho khối tứ diê ̣n đều ABCD ca ̣nh bằng a . Go ̣iM là trung điểm của ca ̣nhDC . 3 a 2
a. Tı́nh thể tı́ch khối tứ diê ̣n đều ABCD . ` ĐS: V = . ABCD (đvtt) 12 3 a 2
b. Tı́nh khoảng cách từ M đến mp (ABC ) . Suy ra thể tı́ch hı̀nh chópM.ABC . ĐS: V = M .ABC 24
Bài 5. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC biết ca ̣nh đáy bằng a , ca ̣nh bên bằng 2a . 3 a 11
a. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S.ABC . ĐS: V = . S .ABC (đvtt) 2 1
b. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho: AE =
AC . Tı́nh khoảng cách từ E đến mp(SBC ). 3
Bài 6. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC biết ca ̣nh đáy bằng a , mă ̣t bên hợp với đáy mô ̣t góc 0 60 . Trên cạnh SB SE 1 SF 2
lấy điểm E sao cho:
= , trên cạnh SC lấy điểm F sao cho: = . SB 3 SC 3 3 a 3
a. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S.ABC . ĐS: V = . S .ABC (đvtt) 24
b. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S.AEF .
Bài 7. Cho hı̀nh chóp tứ giác đều S.ABCD có ca ̣nh đáy bằng a , góc giữa mă ̣t bên và mă ̣t đáy bằng 0 60 .
a. Tı́nh thể tı́ch của khối chóp S.ABCD theo a .
b. Gọi O là tâm của đáy ABCD . Tı́nh thể tı́ch của khối tứ diện SOAB .
c. Tı́nh khoảng cách từ điểm A đến mp (SBC ).  Bài 8. Cho hı 0
̀nh chóp tứ giác đều S.ABCD có ca ̣nh đáy bằng a và BSA = 60 . 2 a 3
a. Tı́nh diện tích xung quanh của hı̀nh chóp đều này. ĐS: S = (đvdt). 3 3 a 2
b. Tı́nh thể tı́ch của khối chóp S.ABCD . ĐS: V = . S .ABCD (đvtt) 6
Bài 9. Cho hı̀nh chóp tứ giác đều S.ABCD có ca ̣nh đáy bằng a và ca ̣nh bên hợp với đáy mô ̣t góc 0 60 .
a. Tı́nh diện tích toàn phần của hı̀nh chóp đều này. ĐS: 2 S = a ( 10 + ) 1 . tp (đvdt) 3 a 6
b. Tı́nh thể tı́ch của khối chóp S.ABCD . ĐS: V = . S .ABCD (đvtt) 6
Nguyễn Văn Thân Trang 14
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
CHỦ ĐỀ 2: THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ
DẠNG 1: LĂNG TRỤ ĐỨNG HÌNH LĂNG TRỤ
HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
+ 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau.
+ 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau.
+ các cạnh bên song song và bằng nhau
+ các cạnh bên song song và bằng nhau
+ các mặt bên là hình bình hành
+ các mặt bên là hình bình chữ nhật và vuông góc với 2 mặt đáy
+ Chiều cao là khoảng cách của 2 mặt đáy + Chiều cao là cạnh bên
Hình hộp: là hình lăng trụ có 2 đáy là hình bình hành
Hình hộp chữ nhật : là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là hình chữ nhật
Hình lập phương: là hình lăng trụ đứng có 6 mặt là hình vuông.
Chú ý: + Hình lăng trụ tam giác đều là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là tam giác đều.
+ Hình lăng trụ có đáy tam giác đều là hình lăng trụ xiên có 2 đáy là tam giác đều.
+ Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là hình vuông.
Bài 1. Cho hı̀nh lăng trụ đứng ABC.A'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều. Biết ca ̣nh bên AA' = a . Tı́nh thể tich khối
lăng tru ̣ trong các trường hợp sau:
a. mp (A'BC )hợp với đáy mă ̣t phẳng chứa đáyABC mô ̣t góc 0 60 . ĐS: 3 V = a 3
ABC .A' B 'C ' (đvtt) 3 a 3
b. Đường thẳngA'B hợp vớimp (ABC ) mô ̣t góc 0 45 . ĐS: V =
ABC .A' B 'C ' (đvtt) 4
c. Chiều cao kẻ từA' của A
D ' BC bằng đô ̣ dài ca ̣nh đáy của lăng trụ. ĐS: 3 V = a 3
ABC .A' B 'C ' (đvtt) 
Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại 0 ,
A AC = a,ACB = 60 . Đường
chéo BC ' của mặt bên (BC 'C 'C ) tạo với mặt phẳng mp (AA'C 'C ) một góc 0 30 .
a. Tính thể tích của khối lăng trụ theo a . ĐS: 3 V = a 6 .
ABC .A' B 'C ' (đvtt)
b. Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ. ĐS: S = ( + ) 2 2 2 3 3 a xq (đvdt)
Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại ,
B BC = a , mp (A'BC ) tạo với đáy một góc 0 30 và A
D ' BC có diện tích bằng 2 a 3 . 3 3a 3
a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' . ĐS: V =
ABC .A' B 'C ' (đvtt) 2
b. Tính diện tích toàn phần hình lăng trụ. ĐS: S = ( + + ) 2 3 4 3 30 a tp (đvdt)
Bài 4. Cho hı̀nh lăng trụ tam giác đều ABC.A'B 'C ' có ca ̣nh đáy bằng a . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng a 15
AB và A'C bằng . 5
Nguyễn Văn Thân Trang 15
Chuyên đề Thể tích khối đa diện 3 3a
a. Tı́nh thể tı́ch khối lăng trụ ABC.A'B 'C ' . ĐS: V = .
ABC .A' B 'C ' (đvtt) 4
b. Tı́nh thể tı́ch khối đa diện A'BCB 'C ' .
c. Tı́nh khoảng cách từ A đến mp (A'BC ).
Bài 5. Cho lăng tru ̣ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều ca ̣nh a . Biết rằng AB ' hợp với mă ̣t bên
(BCC 'B ') một góc 0 30 .
a. Tı́nh đô ̣ dài đoa ̣n thẳng AB ' .
ĐS: AB ' = a 3 (đvđd). 3 a 3
b. Tı́nh thể tı́ch khối lăng trụ ABC.A'B 'C ' . ĐS: V = .
ABC .A' B 'C ' (đvtt) 2
c. Tı́nh khoảng cách từ C đến mp (AB 'C '). 
Bài 6. Cho lăng tru ̣ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông ta ̣iA . Biết 0
AB = a;ACB = 60 và đường
thẳng BC ' hợp với mă ̣t bên (AA'C 'C ) mô ̣t góc 0 30 .
a. Thể tı́ch khối lăng trụ ABC.A'B 'C ' ĐS: 3 V = a 6
ABC .A' B 'C ' (đvtt) 2 3a 3
b. Tı́nh diê ̣n tı́ch tam giácABC ' . ĐS: S = . AB D C ' (đvdt) 2
Bài 7. Cho hı̀nh lăng trụ đứngABC.A'B 'C ' có đáyABC là tam giác vuông ta ̣i ,
B AB = a,AA' = 2a , A'C = 3a .
Go ̣i M là trung điểm đoa ̣n thẳngA'C ' vàI là giao điểm củaAM vàA'C . 3 4a
a. Tı́nh thể tı́ch của khối tứ diê ̣n IABC . ĐS: V = IABC (đvtt) 9 2a 5
b. Tı́nh khoảng cách từ A đến mp (IBC ) theo a . ĐS: d = (đvđd) ( A (,IBC ) 5
Bài 8. Cho hı̀nh lăng trụ đứng ABC.A'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân ta ̣i B ;AC = 2a . Biết rằng
mp (A'BC ) hợp với mp(ABC ) một góc 0 45 .
a. Tı́nh thể tı́ch khối lăng trụ ABC.A'B 'C ' . ĐS: 3 V = a 2 .
ABC .A' B 'C ' (đvtt)
b. Tính diện tích toàn phần hình lăng trụ. 
Bài 9. Cho lăng tru ̣ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông ta ̣i A , góc 0
ACB = 30 , AA' = 3a , AC = 2a .
a. Tı́nh thể tı́ch khối lăng trụ ABC.A'B 'C ' .
b. Tı́nh thể tı́ch khối chóp A'BCC 'B ' .
c. Mă ̣t phẳng (A'BC ) chia khối lăng trụ ABC.A'B 'C ' thành hai khối đa diê ̣n. Tı́nh thể tı́ch của mỗi khối đa diê ̣n.
Bài 10. Cho lăng tru ̣ đứng có đáy là tam giác đều, biết rằng tất cả các ca ̣nh của lăng tru ̣ bằng a . 3 a 3
a. Tı́nh thể tı́ch và tổng diê ̣n tı́ch các mă ̣t bên của lăng trụ. ĐS: 2 V = ;S = 3a . 4 xq
b. Tı́nh thể tı́ch khối tứ diện ABCB ' .
DẠNG 2: HÌNH LĂNG TRỤ XIÊN
Bài 1. Cho hı̀nh lăng tru ̣ tam giác ABC.A'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O . Cạnh bên CC ' = a và hợp
với mă ̣t phẳng chứa đáy ABC mô ̣t góc 0
60 . Hı̀nh chiếu của điểm C ' lên mp (ABC ) trùng với O . 2 a 3
a. Chứng minh rằng: AA'B 'B là hı̀nh chữ nhâ ̣t. Tı́nh diê ̣n tı́ch hı̀nh chữ nhâ ̣t này. ĐS: S = . 2
b. Chứng minh hình chóp O.A' B 'C ' là hình chóp tam giác đều. 3 3a 3
c. Tı́nh thể tı́ch khối lăng trụ ABC.A'B 'C ' này. ĐS: V = . 8
Nguyễn Văn Thân Trang 16
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằnga . Điểm H là hình chiếu vuông góc
của A' xuống mp (ABC ) là trung điểm của AB . Mặt bên (AA'C 'C ) tạo với đáy một góc bằng 45 . 3 3a
a. Tính thể tích của khối lăng trụ này. ĐS: V =
ABC .A' B 'C ' (đvtt) 16 a 3
b. Tính khoảng cách từ điểm C ' đến mp AHA' . ĐS: d = é ù (đvđd) C ê (',AHA') ë úû 2
Bài 3. Cho hı̀nh lăng trụ tam giác ABC.A'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều ca ̣nh a . Biết ca ̣nh bên bằng a 3 và nó
hợp với mă ̣t phẳng chứa đáy ABC mô ̣t góc 0 60 . 3 3a 3
a. Tı́nh thể tı́ch khối lăng trụ ABC.A'B 'C ' . ĐS: V = .
ABC .A' B 'C ' (đvtt) 8 a 15
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp A' BC  . ĐS: d = é ù (đvđd) A ê ( , A' BC ) ë úû 5
Bài 4. Cho hı̀nh lăng trụ tam giác ABC.A'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều ca ̣nh a . Hı̀nh chiếu của điểm A' trên
mp (ABC ) trùng với trọng tâm G của AB D
C . Biết cạnh bên AA' = a 2 .
a. Tı́nh thể tı́ch khối lăng trụ ABC.A'B 'C ' .
b. Tı́nh thể tı́ch khối chóp G.A'B 'C ' .
Bài 5. Cho hı̀nh lăng trụ tam giác ABC.A'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều ca ̣nh a . Hı̀nh chiếu của điểm A' xuống
mp (ABC )trùng với tâm O của đường tròn ngoa ̣i tiếp AB D
C và biết rằng đường thẳng AA' ta ̣o với mă ̣t phẳng chứa
đáyABC mô ̣t góc 0
45 .Tı́nh thể tı́ch khối lăng trụ ABC.A'B 'C ' đã cho.
CHỦ ĐỀ 3: MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết AB  2a . 2 2 A. 3
V  2 2a B. 3
V  2a C. 3
V  2a D. 3 V a 3
Câu 2. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết BB '  2m . 8 A. 3
V  8m B. 3
V  2m C. 3 V m D. 3
V  6m 3
Câu 3. Hỏi khi các cạnh của khối lập phương tăng lên 5 lần, thì lúc đó thể tích của khối lập phương sẽ tăng lên bao nhiêu lần? A. 125 lần. B. 15 lần. C. 25 lần. D. 5 lần.
Câu 4. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB  a 2 và AC = a 5 .Tính độ dài đường sinh l của hình
nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.
A. l  7a
B. l  10a C. l  3a
D. l  7a
Câu 5. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại B, AB  a 2 và BC = a 6 .Tính độ dài đường sinh l của hình
nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.
A. l  2a
B. l  2 2a C. l  4a
D. l  3a
Câu 6. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB  1m và AD  2m. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD
và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ đó. A. Stp  2 2 m . B. Stp   2 m . C. Stp  6 2 m . D. Stp  10 2 m .
Câu 7. Trong không gian, cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo các cạnh là AB  1m, AD  2m và AA’=3m.
Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. A. 3
V  6m B. 3
V  2m C. 3 V m D. 3
V  12m
Nguyễn Văn Thân Trang 17
Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Câu 8. Cho khối chóp S.ABCD có SA  (ABCD), SC  2a và ABCD là hình vuông cạnh a . Tính bán kính R của mặt
cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. 2
A. R a
B. R  2a C. R  2a D. R a 2
Câu 9. Trong không gian, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo các cạnh là AB  1m, AD  2m và AA’=3m.
Tính diện tích toàn phần Stp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. A. Stp  22 2 m . B. Stp  6 2 m . C. Stp  2 2 m . D. Stp  11 2 m .
Câu 10. Tính diện tích toàn phần S 
tp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết AB 2a . A. 3 S  12a B. 3 S  64a C. 3 S  2a D. 3 S  8a tp tp tp tp
Câu 11. Tính diện tích toàn phần S 
tp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết AA ' 2m . A. 3 S  24m B. 3 S  64m C. 3 S  12m D. 3 S  8m tp tp tp tp
Câu 12. Cho khối chóp S.ABCD có SA  (ABCD), SC  2a và ABCD là hình vuông cạnh a . Tính thể tích V của khối
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 4 4 A. 3 V a B. 3
V a C. 3 V  4 a D. 3 V  4a 3 3
Câu 13. Cho khối chóp S.ABCD có SA  (ABCD), SA  2a và ABCD là hình vuông cạnh a . Tính bán kính R của mặt
cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. 2
A. R  2a
B. R a C. R  2a D. R a 2
Câu 14. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết AC  2a . 2 2 A. 3
V  2a B. 3
V  2 2a C. 3
V  2a D. 3 V a 3
Câu 15. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết BC '  2 2m . 8 2 A. 3
V  2 2m B. 3
V  8m C. 3 V m D. 3
V  6 2m 3
Câu 16. Hỏi khi thể tích của khối lập phương tăng lên 8 lần, thì lúc đó các cạnh của khối lập phương sẽ tăng lên bao nhiêu lần? A. 8 lần. B.2 lần. C. 4 lần. D. 24 lần.
Câu 17. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AC  a 2 và AB = a 5 .Tính thể tích V của khối nón nhận
được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB. 2 5 2 5 10 A. 3 V a B. 3 V a C. 3
V  2 5 a D. 3 V a 3 3 3
Câu 18. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại B, AB  3m và BC = 2m . Tính thể tích V của khối nón nhận
được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB. A. 3
V  12m B. 3
V  12 m C. 3
V  6m D. 3
V  2 m
Câu 19. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB  1m và AC  3 m. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ đó. 3 A. S 2 tp  2 2 m . B. Stp  3  2 m . C. Stp  2 3  2 m . D. Stp  m . 3
Câu 20. Trong không gian, cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo các cạnh là AB  1m, AA’=3m và có độ dài
đường chéo AC  3 m. Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.
Nguyễn Văn Thân Trang 18
Chuyên đề Thể tích khối đa diện A. 3
V  2m B. 3
V  6m C. 3 V m D. 3
V  12m
Câu 21. Cho khối chóp S.ABCD có SA  (ABCD), SA  2a và ABCD là hình vuông cạnh a . Tính bán kính R của mặt
cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.. 2
A. R  2a
B. R a C. R  2a D. R a 2
Câu 22. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
(ABCD) bằng 600. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. 2 3 3
A. R  2a
B. R a C. R a D. R a 3 2
Câu 23. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
(SBD) bằng 300. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. 6 2 3 3
A. R  2a B. R
a C. R a D. R a 3 3 2
Câu 24. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
(ABCD) bằng 600. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 8 3 2 3 32 3 2 3 A. 3 V a B. 3 V a C. 3 V a D. 3 V a 9 9 27 9
Câu 25. Trong không gian, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo các cạnh là AB  1m, AC  5 m và
AA’=3m. Tính thể tích V của khối chóp D.A’B’C’D’. A. 3
V  3 5m B. 3
V  6m C. 3
V  2m D. 3
V  5m
Câu 26. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 1m, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy và góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính diện tích toàn phần Stp của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. A. Stp  5 2 m . B. Stp  3  2 m . C. Stp  5  2 m . D. Stp  1 2 m .
Câu 27. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh AB = 6a. có SA  (ABC), SB  10a . Tính diện
tích toàn phần Stp của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. Stp  544 a2 B. Stp  60 a2
C. Stp  136 a2 D. Stp  30a2
Câu 28. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là điểm H thuộc
cạnh BC sao cho HC = HB. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính diện tích toàn phần Stp của khối
nón nhận được khi quay tam giác SHA xung quanh trục SH.
A. Stp  6 a2 B. Stp  9a2 C. Stp  a2 D. Stp  9a2
Câu 29. Trong không gian, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo các cạnh là AB  1m, AC  5 m và Góc
giữa mặt (A’BC) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính thể tích V của khối chóp D.A’B’C’D’. 5 3 A. 3 V m B. 3
V  2 5m C. 3
V  2 3m D. 3 V m 3 3
Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh 2m. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là điểm H thuộc
cạnh BC sao cho HC = HB. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích V của khối nón nhận
được khi quay tam giác SHB xung quanh trục SH. 3 A. 3
V  3m B. 3 V m C. 3
V  3m D. 3 V m 3
Nguyễn Văn Thân Trang 19